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MA202 – 2ème
partie
Chapitre 1 : Intégrales généralisées (ou impropres)
Année scolaire : 2010 – 2011
Elia HABIB
Bureau 3258
Mars 2011
MA202
2
1 Généralités
1.1 Position du problème et conventions de notation
1.1.1 Point sur ce qu’on sait déjà intégrer On a défini en I1 la notion d’intégrale d’une fonction continue, ou continue par morceaux, sur un intervalle
[ ];a b , où a et b sont deux réels quelconques tels que a b< .
Définition :
Pour toute fonction f définie sur [ ],a b , on dit que f est continue par morceaux sur [ ],a b si et
seulement si :
� il existe une subdivision ( )0 1, ,..., nx x xσ = de [ ],a b pour laquelle f est continue sur
chaque intervalle ] [1; , 1, ,i ix x i n− = …
et
� f admet une limite finie à droite en1ix − et à gauche en
ix
Exemples :
Toute fonction continue sur[ ];a b est continue par morceaux sur[ ];a b
La fonction1
xn’est continue par morceaux que sur des intervalles du type [ ];a b avec 0a > ou 0b < .
Théorème 1: Une condition suffisante (et pratique) d’intégrabilité
Toute fonction continue par morceaux sur [ ],a b est intégrable sur [ ],a b .
1.1.2 Intégrale sur un ouvert
Que se passe-t-il si on veut intégrer une fonction sur un intervalle ouvert ] [;a b ( )( )2;a b ∈� ?
Si la fonction est prolongeable par continuité à gauche en a et à droite en b , alors on construit son
prolongement par continuité f� , et on pose par définition :
( )] [
( )[ ]; ;a b a b
f t dt f t dt=∫ ∫ �
Dans la pratique, on confond (abusivement) f et f� , tant et si bien qu’on finit même par ne pas spécifier si on
intègre sur [ ];a b ou sur ] [;a b , l’intégrale ne mentionnant plus que les bornes et pas l’intervalle ( ( )b
af t dt∫ ).
Exemple :
La fonction( )sin x
x, encore appelée fonction sinus cardinal, n’est pas définie en 0, mais prolongeable par
continuité en 0.
On définit donc la fonction( )
0
sinx tdt
t∫ en se basant implicitement sur le prolongement par continuité de cette
fonction et en intégrant ce prolongement sur l’intervalle fermé [ ]0; x .
RA
PP
EL
S
Intégrales généralisées ou impropres
3
Que se passe-t-il si la fonction n’est pas prolongeable par continuité ? par exemple, est-ce que
l’intégrale1
0
1dt
t∫ a un sens ? Et si oui quelle est sa valeur ? C’est l’objet de ce chapitre !
1.1.3 Etendre l’intégrabilité au sens de Riemann L’idée est désormais de voir comment on peut étendre (d’où le nom d’intégrales généralisées) cette notion aux
cas suivants, jusque-là non traités :
� f continue (ou continue par morceaux) sur [ [;a b et f non bornée à gauche de b , autrement dit
lim ( )x b
f x−→
= ±∞ . C’est le cas d’une fonction f ayant une asymptote verticale au point x b= .
Dans ce cas de figure, comment définir ( )b
af t dt∫ ? Et est-ce que cela a un sens ?
� f continue (ou continue par morceaux) sur [ [;a +∞ .
Dans ce cas de figure, comment définir ( )a
f t dt+∞
∫ ? Et est-ce que cela a un sens ?
Bien entendu, le problème se pose également dans le cas où l’étude se fait sur ] ];a b avec f non bornée à droite
de a , ou encore si l’étude se fait sur ] ];b−∞ . Toutefois, ces cas se déduisant des cas précédemment exposés en
ayant recours au changement de fonction ( ) ( )g x f x= − , ils ne nécessitent pas d’étude spécifique
additionnelle.
1.1.4 Convention de notation Enfin, et par souci de simplifier les écritures dans ce chapitre, on regroupe les deux cas principaux ci-dessus dans
une seule et même écriture, en convenant de noter [ [;I a ψ= l’intervalle d’étude de la fonction, avec la
possibilité pourψ d’être alternativement soit un réel strictement supérieur à a soit +∞ .
Dans ce poly,ψ sera appelé « point critique » de l’intégration.
1.2 Idée de base de l’intégration généralisée Définition :
Pour toute fonction f définie sur un intervalle [ [;I a ψ= et intégrable sur tout intervalle [ ];a b inclus
dans[ [;a ψ , on pose :
( )définition
lim ( )b
a abf x dx f x dx
ψ
ψ→=∫ ∫
Deux cas de figure peuvent alors se présenter :
Si lim ( )b
abf x dx
ψ→ ∫ existe et est finie, alors on dira que l’intégrale généralisée ( )a
f x dxψ
∫ est
convergente.
Sinon, soit donc si lim ( )b
abf x dx
ψ→ ∫ n’existe pas ou est infinie, alors on dira que l’intégrale
généralisée ( )a
f x dxψ
∫ est divergente.
MA202
4
Notation :
On rencontre la notation suivante pour signifier que ( )a
f x dxψ
∫ est convergente :
( )a
f x dxψ
< +∞∫
Exemples :
Soit la fonction définie comme suit :
( )*
2
1x f x
x∀ ∈ =R
� Intéressons-nous d’abord au cas où le point critique estψ = +∞ .
On a :
( )21 1
b b
b
dtI f t dt
t= = =∫ ∫ …
Et par suite
lim bb
I→+∞
=…
Donc l’intégrale généralisée 21
dt
t
+∞
∫ est donc une intégrale…
� Intéressons-nous maintenant au cas où le point critique est 0ψ = . En effet, la fonction f admet bien une
asymptote verticale d’équation 0x = . (Ceci justifie le fait qu’on parle d’intégrale généralisée avec cette valeur-
ci de point critique.)
On a :
( )1 1
2aa a
dtJ f t dt
t= = =∫ ∫ …
Et par suite
0lim aa
J→
=…
Donc l’intégrale généralisée 1
20
dt
t∫est donc une intégrale…
Exercice 1:
Suivre la même méthode pas à pas pour déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :
( )1
ln x dx+∞
∫
20
1
1dx
x
+∞
+∫
1.3 Interprétation graphique Que représente graphiquement une intégrale généralisée ?
Repartons de l’exemple précédent et représentons graphiquement bI puis lim bb
I→+∞
:
Intégrales généralisées ou impropres
5
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
Faire de même avec aJ et0
lim aa
J→
.
Comment se traduit alors graphiquement la notion d’intégrale généralisée convergente/divergente ?
Nous pouvons dire que :
- si la surface que la fonction couvre est infinie, on dira que son intégrale est divergente.
- si la surface que la fonction couvre est finie, on dira que son intégrale est convergente.
Attention à ne pas confondre la notion de finie/infinie et la notion de « avec bord » / « sans bord » !!!
Bien que voisines, ces deux notions ne sont pas équivalentes.
La surface du globe terrestre, par exemple, est une surface sans bord dans le sens où en parcourant cette surface,
on ne tombe jamais sur une limite, un bord, qui pourrait nous empêcher de continuer notre parcours.
Pour autant, la surface de la terre n’est pas infinie, elle a une valeur bien déterminée, fonction de son rayon.
La notion d’intégrales impropres ou généralisées est typiquement dans ce genre de cas de figure : on considère
une surface sans bord (soit parce qu’on intègre sur un intervalle illimité, soit parce qu’on intègre sur un intervalle
où la fonction présente une asymptote verticale) et on se demande si cette surface va être finie ou infinie.
MA202
6
2 Définitions et première méthode d’étude Définition :
Le fait qu’une intégrale généralisée soit convergente ou divergente est ce qu’on appelle sa nature.
Déterminer la nature d’une intégrale impropre est donc le fait de déterminer si elle est convergente ou
divergente.
Deux intégrales impropres sont dites de même nature si elles sont toutes deux convergentes ou bien
toutes deux divergentes.
Méthode :
� La première chose, dans l’étude d’intégrales impropres, est d’identifier le ou les « points critiques »,
autrement dit les points qui font que l’intégrale est bien une intégrale impropre.
Ces points critiques se produisent dans les deux cas suivants :
- Si, tout simplement, l’une au moins des deux bornes d’intégration est infinie, que ce soit +∞ ou −∞ .
- Si, sur l’intervalle d’intégration, la fonction présente un ou plusieurs points où la fonction admet une
asymptote verticale. Ceci peut ne pas être flagrant et peut nécessiter une étude plus poussée. Une bonne
approche est d’identifier dans un premier temps le(s) point(s) éventuel(s) (aux bornes du domaine de
définition) où la fonction n’est pas définie, puis, dans un deuxième temps, par une étude de limite à
gauche et à droite (en fonction de l’intervalle d’intégration bien sûr), de déterminer si effectivement la
fonction admet une asymptote verticale.
� Une fois les points critiques identifiés, scinder l’intégrale en autant d’intégrales que nécessaire (en utilisant
la relation de Chasles), de manière à étudier un par un les différents cas critiques (et rien qu’un à la fois).
� Enfin, pour déterminer la nature de(s) intégrale(s) impropre(s) ainsi mises en évidence, déterminer une
primitive et étudier la/les limite(s) de cette primitive aux points critiques identifiés.
Dans le cas où l’une au moins de ces limites est infinie ou inexistante, l’intégrale est divergente.
Dans les autres cas (soit donc si toutes les limites sont des limites finies), l’intégrale est convergente.
En effet, soit F une primitive de la fonction f étudiée.
Supposons que l’on intègre cette fonction de a à +∞ et que cet intervalle comprend un unique point b où f
admet une asymptote verticale, alors :
1
1( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) ( ) ( 1) lim ( ) lim ( ) ( 1)
b b
a a b b
xx b x b
f t dt f t dt f t dt f t dt
F x F a F b F x F x F b− +
+∞ + +∞
+
→+∞→ →
= + +
= − + + − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
(le choix du ( )1b + comme borne intermédiaire est bien entendu ici complètement arbitraire, et on peut
faire une infinité d’autres choix).
et cette intégrale impropre n’a de valeur finie que si chacune des limites ci-dessus est finie.
Voilà pourquoi, si on connaît une primitive et qu’on sait déterminer ses limites aux points critiques, on peut
démontrer que l’intégrale généralisée converge ou qu’elle diverge.
Exemple :
Etudier l’intégrale impropre suivante :
20 1
xdx
x
+∞
−∫
1) Identifions les points critiques de cette intégrale
D’emblée, il y a le point critique +∞
Intégrales généralisées ou impropres
7
Ensuite, sur l’intervalle d’intégration, il y a le point x = 1 qui est potentiellement critique car la fonction
intégrée n’y est pas définie. En fait, il s’agit effectivement d’un point critique, car
2
1lim
1x
x
x−→=
−…
et
21
lim1x
x
x+→=
−…
La fonction admet bien une asymptote verticale en ce point. C’est bien un point critique.
2) Scindons alors l’intégrale
1 2
2 2 2 20 0 1 21 1 1 1
x x x xdx dx dx dx
x x x x
+∞ +∞
= + +− − − −∫ ∫ ∫ ∫
3) Déterminons une primitive et étudions ses limites aux points critiques
( )F x =…
et comme l’intégrale peut s’écrire
( )( ) ( )( ) ( )( )20 1 1lim ( ) (0) (2) lim ( ) lim ( ) (2)
1 xx x
xdx F x F F F x F x F
x − +
+∞
→+∞→ →= − + − + −
−∫
on a à déterminer :
1
lim ( )x
F x−→
=…
1
lim ( )x
F x+→
=…
lim ( )x
F x→+∞
=…
et donc l’intégrale étudiée est …
Exercice 2:
Suivre la même méthode pas à pas pour déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :
0cos(7 )x dx
+∞
∫
02x
e dx−∞∫
3
1
4dx
x
+∞
−∫
MA202
8
3 Propriétés des intégrales impropres
3.1 Somme Proposition 1: Somme
Pour toutes fonctions f et g définies sur un intervalle quelconque [ [;a ψ ayant ψ pour unique point
critique au sens de l’intégration généralisée, et intégrables sur tout intervalle [ ];a b inclus
dans[ [;a ψ , on a :
� Si ( )a
f x dxψ
∫ et ( )a
g x dxψ
∫ convergent alors
( )( )a
f g x dxψ
+∫ converge aussi
et on a, bien entendu :
( )( ) ( ) ( )a a a
f g x dx f x dx g x dxψ ψ ψ
+ = +∫ ∫ ∫
� Si seule l’une des deux intégrales converge et pas l’autre, alors ( )( )a
f g x dxψ
+∫ sera
divergente.
� Enfin, si toutes deux divergent, on ne peut rien conclure a priori (cela pouvant ramener à la
forme indéterminée « +∞ − ∞ » et nécessitant alors une étude plus poussée).
Exemples :
( ) ( )1
f x g xx
= =
( )1
f xx
= et ( )2
1 1g x
x x= −
3.2 Multiplication par un réel non nul Proposition 2:
Pour toute fonction f définie sur un intervalle quelconque [ [;a ψ ayant ψ pour unique point critique
au sens de l’intégration généralisée, et intégrable sur tout intervalle [ ];a b inclus dans [ [;a ψ , et pour
tout*λ ∈� , on a :
L’intégrale impropre ( )a
f x dxψ
∫ converge si et seulement si ( )a
f x dxψ
λ∫ converge et, bien
entendu :
( ) ( )a a
f x dx f x dxψ ψ
λ λ=∫ ∫
Intégrales généralisées ou impropres
9
4 Nécessité de savoir intégrer Quelle que soit l’étude à mener, il est impératif de bien maîtriser toutes les techniques d’intégration vues en I1
pour être en mesure de répondre à la question de la nature de l’intégrale étudiée.
Ci-après, on passe en revue les principaux points acquis en I1. Ce sont donc des révisions !
4.1 Décomposition en éléments simples: Etudier la nature de l’intégrale suivante :
3 4
xdx
x
+∞
−∫
Faire de même avec :
1
20
1
1dx
x −∫
Exercice 3:
Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :
2
20
1
4dx
x −∫
1
27
2 22
6 7
xdx
x x−
− −
+ −∫
MA202
10
4.2 Intégration par parties Déterminer la nature de l’intégrale impropre suivante après l’avoir calculée grâce à l’intégration par parties :
21
ln( )xdx
x
+∞
∫
Faire de même avec :
0
xxe dx
+∞−
∫
Exercice 4:
Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes : 1
0ln( )x dx∫
2
0
xx e dx
+∞−
∫
4.3 Changement de variable
Proposition 3: Changement de variable
La nature d’une intégrale généralisée ne change pas lorsqu’on lui applique un changement de variable
d’intégration.
Exemples :
Déterminer la nature des intégrales généralisées suivantes : 0
7ln( 7)x dx
−+∫
Intégrales généralisées ou impropres
11
20
1
1 2dx
x
+∞
+∫
Exercice 5:
Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes :
0
xe
dxx
−+∞
∫
0
21
1
2 31
3
dx
x−
+ −
∫
4.4 Reconnaissance d’une forme usuelle Nous rappelons que la recherche de formes usuelles pour la détermination de primitives n’est rien d’autre qu’un
changement de variable raccourci.
Exemples :
Transformer l’écriture de l’intégrale impropre suivante en ayant recours à une forme usuelle.
20
arctan( )
1
xdx
x
+∞
+∫
De même avec l’intégrale suivante :
220
cos( )
sin ( )
xdx
x
π
∫
Exercice 6:
Rappeler les différentes formes usuelles apprises en I1.
MA202
12
5 Quelques éclairages complémentaires
5.1 Les faux points critiques Dans la méthode mise en place au paragraphe 2, nous avons évoqué le fait de vérifier si les points critiques
repérés après un premier coup d’œil se révèlent être bel et bien des points critiques.
En effet, il peut arriver de tomber sur de faux points critiques.
Dans ce cas, l’intégrale, en ce point particulier, n’est rien d’autre qu’une intégrale classique et donc il n’y a pas
lieu d’étudier sa nature. Elle est évidemment convergente !
Exemples :
Etudier l’intégrale impropre suivante :
1 2
220
sin
( 1)
xdx
x x −∫
Ici, le point critique potentiel est le point x = 0
Mais qu’en est-il réellement ?
En 0+, si nous déterminons la limite
22 2
2 20 0 0
sin sin 1 sin 1lim lim lim
( 1) ( 1) ( 1)x x x
x x x
x x x x x x+ + +→ → →
= = =
− − − …
Donc le point 0 est un faux point critique, car la fonction n’admet pas d’asymptote verticale en ce point.
Notre intégrale est donc une fausse intégrale généralisée : c’est en fait une intégrale classique et il n’y a aucun
doute sur sa « convergence ».
Exercice 7:
Vérifier si les intégrales suivantes sont réellement impropres :
( )1 1
0
1 xx dx+∫
4
0
tan( )xdx
x
π
∫
2
1 cos( )1
0
x
xe dx
−
∫
5.2 Une condition importante dans le cas d’un point critique en + /- ∞∞∞∞
Pour toute fonction f continue par morceaux sur un intervalle quelconque [ [;a +∞ ne comportant d’autre point
critique que +∞ , examinons les différents scénarii suivants :
� Dans le cas où
lim ( )x
f x→+∞
= +∞
que peut-on dire sur la nature de l’intégrale impropre
( )a
f x dx
+∞
∫
Expliquer la réponse.
Intégrales généralisées ou impropres
13
� Dans le cas où
lim ( ) ,x
f x l l +∗
→+∞= ∈R
que peut-on dire sur la nature de l’intégrale impropre
( )a
f x dx
+∞
∫
Expliquer la réponse.
� Dans le cas où
lim ( ) 0x
f x→+∞
=
que peut-on dire sur la nature de l’intégrale impropre
( )a
f x dx
+∞
∫
Expliquer la réponse.
Proposition 4: Conditions suffisantes de divergence
Pour toute fonction f définie sur un intervalle quelconque [ [;a +∞ où +∞ est l’unique point critique
au sens de l’intégration généralisée, et intégrable sur tout intervalle [ ];a b inclus dans[ [;a +∞ , on a :
lim ( ) ( ) divergentex
a
f x f x dx
+∞
→+∞= +∞ ⇒ ∫
lim ( ) , ( ) divergentex
a
f x l l f x dx
+∞∗
→+∞= ∈ ⇒ ∫R
En revanche, l’implication suivante est FAUSSE !!!
lim ( ) 0 ( ) convergentex
a
f x f x dx
+∞
→+∞= ⇒ ∫ ******
Exercice 8:
Que penser de la proposition précédente dans le cas d’un intervalle d’intégration du type ]-∞, a] où
seul -∞ est un point critique au sens de l’intégration généralisée ? Expliquer.
MA202
14
5.3 Déterminer la nature d’une intégrale impropre ne veut pas forcément
dire la calculer Dans les exemples précédents, on a montré la convergence ou la divergence des intégrales proposées en
déterminant une primitive et sa limite éventuelle en un ou plusieurs points critiques.
Ceci constituera toujours une méthode possible pour déterminer la nature d’une intégrale.
Néanmoins, il existe de très nombreux cas où déterminer une primitive ne sera pas envisageable (fonction trop
compliquée, primitive inconnue…). Dans ces cas, nous allons voir que, malgré cela, nous pouvons prouver leur
nature.
Autrement dit, les deux aspects :
- déterminer une primitive
- déterminer la nature d’une intégrale impropre
sont deux aspects complémentaires, qui peuvent être dissociés.
Intégrales généralisées ou impropres
15
6 Intégrales généralisées de fonctions positives
6.1 Théorème de comparaison Proposition 5: Comparaison d’intégrales généralisées
Pour toutes fonctions f et g définies et positives sur un intervalle quelconque [ [;a ψ ayant ψ pour
unique point critique au sens de l’intégration généralisée, et intégrables sur tout intervalle [ ];a b inclus
dans[ [;a ψ , on a :
[ [ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ); divergente divergentea a
x a f x g x f t dt g t dtψ ψ
ψ ∀ ∈ ≤ ∧ ⇒ ∫ ∫
Et
[ [ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ); convergente convergentea a
x a f x g x g t dt f t dtψ ψ
ψ ∀ ∈ ≤ ∧ ⇒ ∫ ∫
Exemple :
Il s’agit de déterminer la nature de l’intégrale
31
dt
t
+∞
∫
En premier, nous observons qu’il s’agit bien d’une fonction positive sur l’intervalle d’intégration. De plus, l’une
des bornes d’intégration est bien infinie. Donc il s’agit bien d’une intégrale impropre.
En second lieu, y a-t-il un ou plusieurs points de l’intervalle d’intégration où la fonction admet une asymptote
verticale ? …
Comparer la fonction intégrée par rapport à la fonction :
2
1( )f t
t=
dont on a déjà établi la convergence (voir 1.2)
En conclusion, cette intégrale impropre est-elle convergente ?
Peut-on la calculer ?
Exercice 9:
Répondre aux mêmes questions pour les intégrales suivantes :
3
1
1
2dt
t
+∞
∫
31
2
( 1)dt
t
+∞
+∫
6.2 Intégrales de référence : intégrales de Riemann Pour utiliser au mieux le théorème de comparaison, nous avons besoin d’intégrales de référence dont on établit,
une bonne fois pour toutes, la nature, au premier rang desquels les fonctions de Riemann.
MA202
16
Définition :
On appelle fonctions de Riemann les fonctions définies comme suit :
( ) ( )* 10x f x
xα
α∀ ∈ = >R
Proposition 6: En x → +∞
Les intégrales (généralisées) de Riemann
1
1dt
tα
+∞
∫
� convergent si 1α >
� divergent si ( )0 1α< ≤
Proposition 7: En x = 0
Les intégrales (généralisées) de Riemann
1
0
1dt
tα∫
� divergent si 1α ≥
� convergent si ( )0 1α< <
Attention donc, deux comportements différents selon qu’on intègre vers l’infini ou vers l’asymptote 0x =
Ceci peut s’illustrer par le graphique suivant :
Exemple :
Déterminer la nature de l’intégrale suivante, sans la calculer, après avoir vérifié que la fonction est bien une
fonction positive et après avoir identifié les points critiques :
Intégrales généralisées ou impropres
17
31
2dt
t
+∞
∫
De même avec l’intégrale suivante :
1
ln( )xdx
x
+∞
∫
Exercice 10:
Déterminer la nature des intégrales suivantes, sans essayer de les calculer :
71
24dt
t
+∞
∫
9
30
5dt
t∫
6.3 Liens avec les séries Y a-t-il un quelconque lien avec les séries ? La réponse est « oui mais » :
Proposition 8:
Pour toute fonction f positive, décroissante et intégrable sur tout intervalle fermé inclus dans +� , on
a :
( ) ( ) ( )1
*
01 0
n nn
k k
n f k f t dt f k−
= =
∀ ∈ ≤ ≤∑ ∑∫�
MA202
18
On insistera sur le fait que cette inégalité n’est valable que pour des fonctions positives et décroissantes. Cette
restriction cadre néanmoins avec notre étude. En effet, c’est l’occasion de remarquer, s’il en était besoin, que
pour qu’une intégrale généralisée converge en +∞ , il faut nécessairement que la fonction f tende vers 0 en
+∞ et que ce n’est pas une condition suffisante.
Proposition 9: Corollaire
Pour toute fonction f positive, décroissante et intégrable sur tout intervalle fermé inclus dans +� , on
a :
� la série de terme général ( )nu f n=
et
� l’intégrale généralisée ( ) , ,a
f t dt a+∞
∈∫ � et n’admettant aucun autre point critique que
+∞ dans l’intervalle [ [;a +∞
sont de même nature.
Exercice 11:
Grâce à la comparaison avec les séries, déterminer la nature des intégrales généralisées suivantes :
0
te dt
+∞−
∫
30
1
7
tdt
t
+∞ +
+∫
6.4 Equivalent (développements limités) Proposition 10:
Pour toute fonction f définie sur un intervalle quelconque [ [;a ψ ayant ψ pour unique point critique
au sens de l’intégration généralisée, et intégrable sur tout intervalle [ ];a b inclus dans[ [;a ψ , on a :
Si f admet un développement limité au point ψ de partie principale ( )A x , et si f et A sont de
signe constant au voisinage de ψ , alors les intégrales généralisées
( )a
f t dtψ
∫
et
( )a
A t dtψ
∫
sont de même nature.
6.4.1 Exemples d’équivalents en +∞ : Déterminer la nature de l’intégrale suivante. On prendra soin d’identifier d’abord les points critiques concernés.
1
1
( 1)xe dx
+∞
−∫
Intégrales généralisées ou impropres
19
Faire de même pour :
1sin dx
xπ
+∞
∫
Exercice 12:
Déterminer la nature de l’intégrale suivante. On prendra soin d’identifier d’abord les points critiques
concernés.
1
1ln 1 dx
x
+∞
+
∫
2011
1cos 1 dx
x
+∞ −
∫
6.4.2 Exemples d’équivalents en un point autre que l’infini : Déterminer la nature de l’intégrale suivante. On prendra soin d’identifier d’abord les points critiques concernés.
6
0
1
tan( )dx
x
π
∫
2
0
1
1xdx
e −∫
Exercice 13:
Déterminer la nature de l’intégrale suivante. On prendra soin d’identifier d’abord les points critiques
concernés.
1
02
1
11
1
dx
x
−
+
∫
1 2
3
0
2 7x xdx
x x
+ +
+ ∫
MA202
20
7 Intégrales généralisées de fonctions autres que positives
7.1 Fonctions négatives Proposition 11:
Pour toute fonction négative f , on a :
Toute intégrale généralisée construite avec f est de même nature que la même intégrale généralisée
construite avec f
7.2 Fonctions de signe variable Pour étudier une intégrale généralisée d’une fonction de signe variable, il est toujours possible, pour peu que la
fonction garde un signe constant au voisinage de chacun de ses points critiques, de passer par un équivalent, si
tant est que ce dernier existe !.
Si le passage à l’équivalent ne résout pas le problème ou si la fonction ne garde pas un signe constant au
voisinage de son point critique, on peut avoir recours à la convergence absolue.
Définition :
Pour toute fonction f définie sur un intervalle quelconque [ [;a ψ ayant ψ pour unique point critique
au sens de l’intégration généralisée, et intégrable sur tout intervalle [ ];a b inclus dans[ [;a ψ ,
On dit que l’intégrale généralisée
( )a
f x dx
ψ
∫
converge en valeur absolue (ou encore : est absolument convergente) si et seulement si
( )a
f x dx
ψ
∫
converge.
Proposition 12: Convergence absolue implique convergence (simple)
Pour toute fonction f définie sur un intervalle quelconque [ [;a ψ ayant ψ pour unique point critique
au sens de l’intégration généralisée, et intégrable sur tout intervalle [ ];a b inclus dans[ [;a ψ , on a :
( ) convergente ( ) convergentea a
f x dx f x dx
ψ ψ
⇒∫ ∫
De plus, on a :
( ) ( )a a
f x dx f x dx
ψ ψ
≤∫ ∫
La réciproque est fausse.
Exemple :
Que penser de la nature de l’intégrale suivante :
2
1
cos( )xdx
x
π+∞
∫
Intégrales généralisées ou impropres
21
Même question pour :
4
1
sin( ) ln( )
3
x xdx
x
+∞
∫
Définition :
Pour toute fonction f définie sur un intervalle quelconque [ [;a ψ ayant ψ pour unique point critique
au sens de l’intégration généralisée, et intégrable sur tout intervalle [ ];a b inclus dans[ [;a ψ , on dit
que ( )a
f x dx
ψ
∫ est dite semi-convergente si et seulement si :
( )a
f x dx
ψ
∫ converge
mais
( )a
f x dx
ψ
∫ diverge
Exemple :
( )sin tdt
tπ
+∞
∫
MA202
22
Table des matières
Chapitre 1 : Intégrales généralisées (ou impropres) ................................................................................................ 1 1 Généralités..................................................................................................................................................... 2
1.1 Position du problème et conventions de notation................................................................................. 2 1.1.1 Point sur ce qu’on sait déjà intégrer ................................................................................................ 2 1.1.2 Intégrale sur un ouvert..................................................................................................................... 2 1.1.3 Etendre l’intégrabilité au sens de Riemann ..................................................................................... 3 1.1.4 Convention de notation ................................................................................................................... 3
1.2 Idée de base de l’intégration généralisée.............................................................................................. 3 1.3 Interprétation graphique ....................................................................................................................... 4
2 Définitions et première méthode d’étude....................................................................................................... 6 3 Propriétés des intégrales impropres ............................................................................................................... 8
3.1 Somme ................................................................................................................................................. 8 3.2 Multiplication par un réel non nul........................................................................................................ 8
4 Nécessité de savoir intégrer ........................................................................................................................... 9 4.1 Décomposition en éléments simples: ................................................................................................... 9 4.2 Intégration par parties .........................................................................................................................10 4.3 Changement de variable......................................................................................................................10 4.4 Reconnaissance d’une forme usuelle ..................................................................................................11
5 Quelques éclairages complémentaires ..........................................................................................................12 5.1 Les faux points critiques .....................................................................................................................12 5.2 Une condition importante dans le cas d’un point critique en + /- ∞....................................................12 5.3 Déterminer la nature d’une intégrale impropre ne veut pas forcément dire la calculer.......................14
6 Intégrales généralisées de fonctions positives ..............................................................................................15 6.1 Théorème de comparaison ..................................................................................................................15 6.2 Intégrales de référence : intégrales de Riemann..................................................................................15 6.3 Liens avec les séries............................................................................................................................17 6.4 Equivalent (développements limités) ..................................................................................................18
6.4.1 Exemples d’équivalents en +∞ :.....................................................................................................18 6.4.2 Exemples d’équivalents en un point autre que l’infini : .................................................................19
7 Intégrales généralisées de fonctions autres que positives .............................................................................20 7.1 Fonctions négatives.............................................................................................................................20 7.2 Fonctions de signe variable.................................................................................................................20
Table des matières..................................................................................................................................................22
