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Iset du kef 2011/2012

Résistance De Matériaux Page 1

INTRODUCTION

On présente dans ce document un cours de résistance de matériaux (RDM ) nécessaire pour la

formation d’un technicien supérieur en mécanique. Ce cours est accompagné par des travaux

dirigés à la fin de chaque chapitre.

Ce document comporte cinq chapitres :

Généralités sur la résistance des matériaux.

Traction et compression simple

Torsion simple

Cisaillement

Flexion simple



SOMMAIRE

Chapitre I : RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX GÉNÉRALITÉS 1. Introduction…………………………………………………………………………….........5

2. Notion de poutre……………………………………………………………………………..5

3. Hypothèses fondamentales de la résistance de matériaux…………………………………...6

4. Efforts extérieurs ou actions mécaniques extérieures……………………………………….6

5. Effort intérieur ou de cohésion ……………………………………………………………...7

5.1. Définition d’un effort de cohésion………………………………………………………...7

5.2. Définition et repérage de la coupure fictive……………………………………………….7

5.3. Définition du torseur de cohésion…………………………………………………………………7

5.4. Détermination des éléments de réduction en G du torseur de cohésion…………………………..8

6. Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion…...10

7. Différents types de sollicitations…………………………………………………………...10

8. Notion de contrainte…………………………………………………………………….....12

9. Notions sur les coefficients de sécurité…………………………………………………….13

10. Exemple de calcul………………………………………………………………………...14

Chapitre II : TRACTION- COPRESSION SIMPLE

1. Définition……………………………………………………………………………..........18

2. Essai de traction……………………………………………………………………………18

3. Courbes de contraintes et déformation…………………………………………………….19

4. Etude de contraintes et de déformations…………………………………………………...19

5. Caractéristiques mécaniques d'un matériau………………………………………………..20

6. Condition de résistance…………………………………………………………………….21

7. condition de rigidité………………………………………………………………………..21

8. Concentration de contraintes………………………………………………………………21

9. Exemples de calcul………………………………………………………………………..22



TRAVAUX DIRIGE………………………………………………………………………..24

Chapitre III : TORSION SIMPLE

1. Définition…………………………………………………………………………………..26

2. Essai de torsion simple……………………………………………………………………..26

3. Etude de contraintes et de déformations…………………………………………………...27

4. Condition de rigidité……………………………………………………………………….29

5. Condition de résistance…………………………………………………………………….29

6. Concentration de contraintes……………………………………………………………….30

7. Exemple de calcul………………………………………………………………………….30

8. TRAVAUX DIRIGES……………………………………………………………………..32

Chapitre IV : CISAILLEMENT

1. Définition…………………………………………………………………………………..34

2. Essai de cisaillement………………………………………………………………………35

3. Déformations élastiques……………………………………………………………………36

4. Contraintes………………………………………………………………………………..37

5. Relation entre contrainte et déformation………………………………………………….37

6. Caractéristiques mécaniques d'un matériau……………………………………………….37

7 Condition de résistance…………………………………………………………………….38

Chapitre V : FLEXION SIMPLE

1. Définition…………………………………………………………………………………39

2. Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant………………………………..39

3. Etude des contraintes normales……………………………………………………………39

4. Allongement / Raccourcissement relatif de la fibre M’M………………………………....40

5. Expression de la contrainte normale…………………………………………………….....40 6. Relation entre contrainte normale et moment fléchissant………………………………....40

7. Moment quadratique………………………………………………………………………41

8. Théorème de Huygens……………………………………………………………………..42 9. Module de flexion…………………………………………………………………………43



10. Contrainte normale maximale……………………………………………………………43

11. Condition de résistance à la contrainte normale…………………………………………43

12. Déformations…………………………………………………………………………….43 13. Formulaire des poutres…………………………………………………………………..46

14. Contrainte tangentielle …………………………………………………………………..50

15. Condition de résistance à la contrainte tangentielle……………………………………..51

16. Principe de superposition………………………………………………………………....53 17. Flexion de poutres hyperstatiques……………………………………………………………55

TRAVAUX DIRIGES…………………………………………………………………….....56

BIBLIOGRAPHIE …………………………………………………………………………..59



Chapitre I : RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

GÉNÉRALITÉS

Objectifs :

- Définir les notions de poutre, d’efforts intérieurs ou de cohésion, de sollicitations simples et composées et de contraintes.

- Préciser les hypothèses fondamentales de la résistance des matériaux. - Donner des notions concernant les coefficients de sécurité.

1. Introduction :

La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées, . .) dans le but de déterminer ou de vérifier leurs dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions, des matériaux. . .)

2. Notion de poutre :

On appelle poutre (voir fig.) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne.

Les caractéristiques de la poutre sont :

ligne moyenne droite ou à grand rayon de

courbure.

section droite (S) constante ou variant

progressivement.

grande longueur par rapport aux dimensions

transversales.

existence d'un plan de symétrie. Fig 1 : poutre

D

A x x x G B

Plan de symétrie de la poutre

L

Section

droite Ligne

moyenne

Lm

d



3. Hypothèses fondamentales de la résistance de matériaux : Homogénéité :

Un matériau est dit homogène si les grains de la matière sont identiques en forme et en structure

Elasticité : Un matériau est dit élastique si reprend entièrement sa forme initiale (son volume) après un cycle de charge et de décharge quelconque.

Isotropie : Un matériau est dit isotrope si ses caractéristiques mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions.

Linéarité : Un matériau est dit linéaire si sa réponse à une sollicitation quelconque est une courbe linéaire

Hypothèse de Navier Bernoulli : Les sections droites, planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformations. Il n’y a pas de gauchissement des sections droites.

Fig 3 : hypothèse de Navier Bernoulli Hypothèse de petites déformations :

On se place toujours dans le cas de petites déformations. Autrement dit, les déformations restent faibles comparativement aux dimensions de la poutre.

4. Efforts extérieurs ou actions mécaniques extérieures :

Soit (E) un solide assimilé à une poutre et(E ) l’ensemble extérieur à (E), on appelle effort extérieur toute force exercée par(E ) sur (E).on définit deux types de forces extérieures :

- charge repartie P (N/m) sur la partie (DE) de la poutre (AB) - charge concentrées (

F1 ou moment

MC)



F1Mc

CA B

D E

p

5. Effort intérieur ou de cohésion : 5.1.Définition d’un effort de cohésion :

Ces actions, non visibles, sont internes au matériau et lui permettent de garder son intégrité physique d'où le nom de cohésion.

5.2.Définition et repérage de la coupure fictive :

Soit )(E le solide assimilé à une poutre )(El’ensemble extérieur à )(E . 迎0(剣, 捲 0, 検 0, 権 0) est le repère lié à )(E tel que 捲 0est confondu avec la ligne moyenne. Considérons un plan

)(P normal à 捲 0définissant la section droite )(S de )(E . Soit G le centre de surface de)(S ,

définissant 頚罫 = 捲. 捲 0la position de la section droite par rapport à0R .

La coupure fictive par le plan )(P partage la

poutre en deux tronçons )( 1E et )( 2E

5.3.Définition du torseur de cohésion : Le torseur de cohésion �潔剣ℎ 罫 est le torseur associé à l'ensemble des actions mécaniques

exercées par le tronçon )( 2E sur le tronçon )( 1E de la poutre dont les éléments de réduction

sont exprimés au point G centre de la surface)(S .

�算伺酸札 = 三札捌札札

Remarque :

Ces actions, non visibles, sont internes au matériau et lui permettent de garder son intégrité physique d'où le nom de cohésion.

Le torseur de cohésion est toujours le torseur des actions mécaniques exercées par le tronçon

de droite )( 2E sur le tronçon de gauche )( 1E



R Get M G sont fonctions de l’abscisse x du centre de surface G de )(S

Pour simplifier les écritures, il n’y aura pas d’indices sur les éléments de réduction

5.4.Détermination des éléments de réduction en G du torseur de cohésion : Le principe de détermination des éléments de réduction du torseur de cohésion se base essentiellement sur l’étude de l’équilibre des deux tronçons isolés.

5.4.1. Étude de l’équilibre du premier tronçon )( 1E :

Le principe fondamental de la statique nous permet d’écrire :

迎 (継→継1)警 (継→継1)

罫 + 迎罫警罫罫 = 0

0

Avec : 迎 (継→継1)警 (継→継1)

罫 : - le torseur des actions mécaniques extérieures à la poutre appliquées sur

)( 1E

Et 迎罫警罫罫 = 迎 (継2→継1)警 (継2→継1)

罫: le torseur associé aux efforts exercés par le tronçon (E2) sur celui (E1)

Or on sait que 迎 (継2→継1)警 (継2→継1)

罫est le torseur de cohésion �潔剣ℎ 罫 ce qui donne finalement :

�算伺酸札 = − 三 (撮→撮層)捌 (撮→撮層)

札



5.4.2. Étude de l’équilibre du premier tronçon (E2)

De même Le principe fondamental de la statique nous permet d’écrire :

迎 (継→継2)警 (継→継2)

罫 + 迎罫警罫罫 = 0

0

Avec : 迎 (継→継2)警 (継→継2)

罫 : - le torseur des actions mécaniques extérieures à la poutre appliquées sur

(E2)

Et 迎罫警罫罫 = 迎 (継1→継2)警 (継1→継2)

罫 : le torseur associé aux efforts exercés par le tronçon (E1) sur celui (E2)

Or on sait que 迎 (継1→継2)警 (継1→継2)

罫 = − 迎 (継2→継1)警 (継2→継1)

札

Le torseur de cohésion est finalement :

�算伺酸札 = 三 (撮→撮匝)捌 (撮→撮匝)

札

5.4.3. Conclusion :

Les éléments de réduction du torseur sont donnés en fonction des efforts exercés par l’ensemble extérieur de la façon suivante : 三札 = moins la somme des forces extérieures à gauche de G

= la somme des forces extérieures à droite de G 捌札 = moins la somme des moments des forces extérieures à gauche de G

= la somme des moments des forces extérieures à gauche de G



6. Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion :

Les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion sont les projections 迎罫 et 警罫 dans le repère 迎0(剣, 捲 , 検 , 権 )

� � = � + � ; � : Effort normal, projection de R G sur 捲 ; N = N. 捲 � : Effort tranchant, projection de R G dans le plan (検 , 権 ) ; � = Tyy + Tzz 捌札 = 捌 � + 捌讃捌 �: Moment de torsion, projection de M G sur 捲 ; 捌 � = 捌� . 捲捌讃 : Moment fléchissant, projection de 捌札 dans le plan (検 , 権 ) ; 捌讃 = Mfy y + Mfz z Le torseur de cohésion est sous la forme suivante :

�算伺酸札 = 三札捌札札 = 錆参姿参子捌�捌讃姿捌讃子札

7. Différents types de sollicitations :

Les sollicitations sont classées suivant le nombre des composantes non nulles du torseur de cohésion, on définit :

Une sollicitation est dite simple si une seule composante du torseur de cohésion est non nulle Une sollicitation est dite composée si au moins deux composantes du torseur de cohésion sont non nulles

On définit alors le tableau ci-dessous :



Traction ou Extension / Compression

R

00000

NT

S

S

G

RcohG

CISAILLEMENT

RG

RcohGTzTyT

S

S

0000

Torsion

RG

RcohG

MtT

S

S

0000

0

Flexion pure

RG

RcohGMfz

T

S

S

0

0000

Flexion simple

RG

RcohGMfz

TyT

S

S

0

000

Flexion + traction

RG

RcohGMfz

TyN

T

S

S

0

00

Flexion + torsion

RG

RcohGMfz

TyMt

T

S

S

0

00



E1

G

捲

検

権

穴繋 dS

錆

参姿

参子

Flambage

RG

RcohGMfz

NT

S

S

0

000

Flexion déviée

RG

RcohGMfz

TyT

S

S

0

000

RG

RcohGTz

MfyT

S

S

0

000

Tableau : sollicitations simples et composées

8. Notion de contrainte : 8.1.Définition :

La contrainte C

est le rapport entre l'action mécaniqueFd

, qui s'exerce sur l'élément de surface dS de la section S, sur la surface dS.

La contrainte caractérise les liaisons mécaniques internes au matériau (représentées par le torseur de cohésion �算伺酸札 sur chaque élément de surface dS de la section S quelconque. On peut choisir dS aussi petit que l'on veut.

Unité : le N/mm2 soit le Mpa

Rappel : 1 Mpa = 106 Pa = 1 N/mm² = environ 10 bars

Contrainte normale :

Considérons un torseur de cohésion �算伺酸札 dont la résultante R

n'a qu'une composante N sur

X .

SSS

dSxdSCFdxNR ....

S

dsN . Si nous supposons une répartition constante de la contrainte sur S

SdSdSNSS

... SN

Contrainte tangentielle : La contrainte tangentielle s’écrit sous la forme suivante :

zyxdS

FdC zy

...



� = 穴鯨 �検検 + 穴鯨 �権権 Si nous supposons une répartition constante de la contrainte �姿 =

参姿傘 et �子 =参子傘

9. Notions sur les coefficients de sécurité

Pour qu’une structure (machine, véhicule…) puisse supporter en toute sécurité les charges normalement la sollicitent, il suffit qu’elle puisse résister à des charges plus élevées. La capacité à supporter ces charges constitue la résistance de la structure. Le coefficient de sécurité s est

nécéssaire résistance réelle résistance

exercées charges admissible charge s

La sécurité est obtenu si , sous charge

- les déformations du matériau restent élastiques - la rupture du matériau n’est pas atteinte

Donc

pratique résistanceélastique résistance

RpRe s Ou

pratique résistancerupture la à résistance

RpRr s



10. Exemple de calcul :

La figure ci-dessous représente une tige assimilée à une poutre cylindrique AB de longueur L=200 mm. La tige est en liaison pivot en A avec un mécanisme (1) et se reposant en appuis simple sur un solide (2) en B. La tige doit supporter une charge R 3→E de 100 daN concentrée en C.

On donne : 畦系 = 150 隙 ; 畦稽 = 200 隙 Questions

1. Déterminer les torseurs des actions mécaniques aux points de sollicitation A, B et C 2. Déterminer les inconnues de liaisons en A et B par l’application de PFS. 3. Déterminer les torseurs de cohésion. 4. Tracer les diagrammes de sollicitation et en déduire la valeur maximale du moment

fléchissant.

Réponse

Détermination des torseurs des actions mécaniques aux points A, B et C :

Isolons la poutre (E) :

(E) est soumise à trois actions mécaniques en A, B et C de torseurs :

En A liaison pivot d’axe (A,傑 ) : 劇1→継畦 = 隙1継桁1継傑1継詣1継警1継0

畦

En B liaison ponctuelle de normale 桁 : 劇2→継稽 = 0桁2継0

000

稽

En C charge concentrée : 劇3→継系 = 0−10000

000 系

A B

C

R→

(3→E)

隙

桁

傑 1

2



Transformation des torseurs en même point A :

警畦 2 → 継 = 警稽 2 → 継 + 畦稽 ʌ 0桁2継0

= 200

0

0

ʌ 0桁2継0

= 0

0

200 桁2継

On a donc 劇2→継畦 = 0桁2継0

0

0

200. 桁2継畦

De on a 警畦 3 → 継 = 警系 3 → 継 + 畦系 ʌ 0−1000

0

= 150

0

0

ʌ 0−1000

0

= 0

0−150000

劇3→継畦 = 0−1000

0

0

0−150000

畦

Calcul des inconnues statique par application du principe fondamental de la statique

On a: 劇1→継畦 + 劇2→継畦 + 劇3→継畦

⇒ 隙1継桁1継0

詣1継警1継0

畦 + 0桁2継0

0

0

200 . 桁2継畦+ 0−1000

0

0

0−150000

畦= 0

0

0

000

隙1継 = 0桁1継 + 桁2継 = 1000傑1継 = 0詣1継 = 0警1継 = 0

200 桁2継 = 150000

⇒ 桁1継 + 桁2継 = 1000

200 桁2継 = 150000 ⇒ 桟匝撮 = ��宋錆桟匝撮 = 匝�宋錆

Conclusion:

劇2→継稽 = 0

750

0

000

稽 ; 劇1→継畦 = 0

250

0

000

畦 ; 劇3→継系 = 0−10000

000 系

Détermination des torseurs de cohésion :

Pour déterminer les efforts de cohésion il faut :

- Diviser la poutre en (n+1) tronçons, avec n le nombre de charges exercées sur la poutre

- Etudier chaque tronçon isolé suivant l’abscisse x du point G

Pour 0< 捲 < 150 :

Equilibre de E1 : τcoh G = R G

M G

G

= − R 1→E M G 1 → E

G

avec : R (1→E) = 0

250

0



M G 1 → E = M A 1 → E + GA ʌ 0

250

0

= −x

0

0 ʌ 0

250

0

= 0

0−250x

On aura donc : �算伺酸札 = − 0

250

0

0

0

250. 捲罫

Pour 150< 捲 < 匝宋宋 :

Equilibre de E2 : τcoh G = R G

M G

G

= R 2→E M G 2 → E

G

avec : R (2→E) = 0

750

0

M G 2 → E = M B → E + GB ʌ 0

750

0

= 200 − x

0

0

ʌ 0

750

0

= 0

0

750. (200 − x)

On aura donc : �算伺酸札 = 70

50

0

0

0

750. (200 − 捲) 罫

Traçage des diagrammes de sollicitations :

Les diagrammes de sollicitations sont les représentations des variations des efforts intérieures en fonction de l’abscisse x du point G .en définit sur le tableau suivant les efforts de cohésion à représentés :

Effort 0< 捲 < 150 層�宋 < 捲 < 匝宋宋 N 0 0 Ty -250 750 Tz 0 0 M t 0 0 M fy 0 0 M fz 250. x 750. (200-x)

Les efforts de cohésion à représentés sont l’effort tranchant Ty et le moment fléchissant Mfz

Donnés par les deux courbes ci-dessous :



Effort tranchant T y :

Moment fléchissant Mfz :

Surface la plus sollicitée :

La surface la plus sollicitée est celle ou le moment fléchissant est maximale au niveau du point C Mfzmax = 37500 N.mm

M fz (N.mm)

x (mm)

A B

C

37500

Ty (N)

x (mm)

A B C

750

250



擦

擦

姉

姿

子

擦錆 G

Chapitre II : TRACTION- COPRESSION SIMPLE

1. Définition :

Une poutre est sollicitée en traction ou compression simple si elle est soumise à deux forces strictement opposées qui tende à l’allonger ou la raccourcir dans des conditions de sécurité bien déterminées. Le torseur de cohésion au point G s’écrit sous la forme suivante :

�算伺酸札 = 錆宋宋宋宋宋札 - si N > 0 : traction ; si N < 0 : compression

2. Essai de traction :

Essai le plus classique, il consiste à exercer sur une éprouvette normalisée (pièce de dimensions normalisées fabriquée dans le matériau à tester), cylindrique ou parallélépipédique (plate), deux actions mécaniques et opposées qui vont la déformer progressivement puis la rompre.



3. Courbes de contraintes et déformation :

Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette retrouve sa longueur initiale. Dans cette zone, l'allongement est proportionnel à l'effort d'extension. Des essais effectués avec des éprouvettes de dimensions différentes permettent de constater que pour un même matériau, l'allongement unitaire (l / l0) est proportionnel à l'effort unitaire

(F / S0).

Les sections droites et planes de l'éprouvette restent droites et planes pendant l'essai. Zone ABCD : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa longueur initiale. τn ne s'intéressera (pour l’instant) qu'à la zone des déformations élastiques.

4. Etude de contraintes et de déformations : 4.1.Contraintes :

Dans les deux sollicitations, traction et compression, elles s'expriment de la même façon :

(Dans le cas d’une répartition uniforme des contraintes)

S

N

Traction : N>0, >0

Compression : N<0, <0

4.2.Déformations :

L’allongement est proportionnel aux dimensions initiales τn a :

S

N et 0LL

Avec : = contrainte normale en Mpa N = effort normal en N S = aire de la section droite en mm²



= contrainte normale en Mpa

E = module de Young en Mpa = allongement relatif sans unités

L = allongement en mm

0L = longueur initiale N = effort normal en N S = aire de la section droite en mm Dans les deux sollicitations, extension et compression, elles s'expriment de la même façon :

E Soit ESNLL 0

Une poutre tendue, de longueur l, de section S, construite dans un matériau de module de Young E et sollicitée dans une section droite quelconque par un effort normal N > 0 connu, s'allonge de l .

4.3.Loi de Hooke :

Nous avons déjà vu que N

S et que

F

SE

l

l

, on peut en déduire que :

El

lE

.

l

l est l'allongement élastique unitaire suivant x, il généralement noté �

Unités : 購 en Mpa E en Mpa sans unité

5. Caractéristiques mécaniques d'un matériau :

Contrainte limite élastique en traction �蚕 C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique, appelée aussi limite d'élasticité Re.

Pour l'acier, cette valeur est voisine de 300 MPa. Contrainte limite de rupture en extension �r C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette, appelée aussi nommée résistance à la traction R. Pour l'acier, cette valeur est voisine de 480 MPa.

Loi de Hooke



Allongement A%

Al l

l% * 0

0100

avec : l

0 : longueur initiale de l'éprouvette.

l : longueur de l'éprouvette à sa rupture. Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.

6. Condition de résistance :

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite

appelée contrainte pratique à la traction pe.

On a :

s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

réelle peN

S

7. condition de rigidité :

Pour de raisons structurelles, l’allongement ∆詣 doit rester inférieur à une valeur limite ∆詣健�兼 ∆鯖 ≤ ∆鯖残餐仕 ⇒ 錆鯖宋撮傘 ≤ ∆鯖残餐仕

8. Concentration de contraintes :

Toute variation de section provoque une concentration de contrainte au voisinage de cette variation, la valeur de 購 n’est pas égale à �仕�姉,on définit alors un coefficient de concentration de contrainte kc pour avoir :

��é蚕残残蚕 = 暫算�仕�姉

Condition de résistance : ��é蚕残残蚕 ≤ �使蚕

Fig : concentration de contraintes

s

epe



9. Exemples de calcul :

Exercice N°1 :

Un tirant de 2 m de long supporte dans une section droite un effort normal d’extension de N = 5000 N. Il est en acier pour lequel : pe = 100 Mpa, E = 20000 Mpa.

Déterminer son diamètre minimal et son allongement

Diamètre : mmdmmSSNSSN

pepe 8 donc ²50

1005000 ou d'

Allongement : mmSE

Nll 12000050

20005000.

Exercice N°2 : Cas d’une enveloppe cylindrique mince

Soit un réservoir cylindrique (E) de diamètre intérieur d, de longueur l et d’épaisseur e avec p la pression effective à l’intérieur du réservoir.

Le repère ),,,( zyxG

est le repère des sollicitations S est l’aire de la section fictive par le plan ),( zy

donc S = 2el

Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une sollicitation d’extension telle que : dlpN .. leS ..2

SN

e

dp

.2

. p en Mpa, d, e, l en mm

Exercice N°3 : Cas d’une enveloppe sphérique mince

Soit un réservoir sphérique (E) de diamètre intérieur d et

d’épaisseuヴ e avec p la pヴession effective à l’intéヴieuヴ du réservoir.

Le repère ),,,( zyxG

est le repère des sollicitations

S est l’aiヴe de la section fictive paヴ le plan ),( zy

donc S .d.e

Compte tenu de la pression intérieure, le réservoir reçoit une

sollicitation d’extension telle ケue :

4².. dpN edS .. S

N edp.4.

p en Mpa, d, e en mm



Exercice N°4 : Cas d’une enveloppe cylindrique mince

Une presse hydraulique est alimentée en huile par un tube en acier de diamètre 10 mm sous une pression de 10 Mpa.

La contrainte pratique en extension du tube : pe = 60 MPa

La pression atmosphérique est d’environ : p0 = 0.1 Mpa

Calculer l’épaisseur minimale du tube

La condition de résistance se traduit par :

Exemple 2 : Cas d’une enveloppe sphérique mince

Un réservoir sphérique en tôle d’acier a un diamètre de 2 m. Il contient un gaz liquéfié sous une pression de 0.5 Mpa. L’acier utilisé a une contrainte limite élastique Re = 300 MPa et on adopte un coefficient de sécurité s = 10. La pression atmosphérique est d’environ : p0 = 0.1 Mpa

Calculer l’épaisseur minimale de la tôle

La condition de résistance se traduit par

Donc mm 6,7 30 42000 0,4 e τn optera pour une tôle d’épaisseur 7 mm

peedp .2.

avec

p = 10 – 0,1 = 9,9 MPa

peedp .4.

avec

p = 0,5 – 0,1 = 0,4 MPa

d = 2000 mm

MPasRe

pe 3010300



TRAVAUX DIRIGES

TRACTION-COMPRESSION

Exercice N°1 :

Le fer H, repéré 1 sur la figure, supporte un effort de compression de 50 000 daN. Le fer est soudé sur un plat carré en acier de coté b repéré 2. L’ensemble repose sur un support circulaire 3 en béton de diamètre d posé à même le sol.

1. Calculer la section du fer H si la contrainte

admissible de l’acier est de 10 daσ.mm-2

. 2. Déterminer le coté b du carré 2 si la

contrainte admissible en compression du

béton est de 0,4 daN.mm-2

. 3. Calculer le diamètre d du socle si la

contrainte admissible à l’écrasement du sol est de 2,5 daN.cm

-2.

Exercice N°2 :

Une poutre tubulaire (diamètre extérieur 400 mm, épaisseur e) en acier (limite à la rupture Rr = 380 MPa ; limite élastique Re = 240 MPa), appartenant à la charpente métallique du centre G. Pompidou à Paris, supporte un effort de traction de 400 kN. Le coefficient de sécurité est égal à 6.

1. Déterminer l’épaisseur e minimale admissible pour la construction. 2. La longueur de la partie tubulaire est de 3,5 m ; déterminer son allongement si E = 200 GPa.

Exercice N°3 :

Une poutre en béton est renforcée par 4 fers en acier de diamètre d inconnu. La poutre est rectangulaire (200×220 mm). La contrainte admissible en compression du béton est de 7 MPa; celle de l’acier est de 150 MPa. Si la poutre doit supporter une charge de compression F = 50 000 daN, calculer le diamètre d des fers.



Exercice N°3 :

Le tableau ci-dessous récapitule les résultats d’un essai de traction effectué sur une éprouvette en acier à haute teneur en carbone traité thermiquement. F est la charge sur l’éprouvette et DL son allongement.

F kN 0 51.8 72 93.2 109 141.6 149.6 161 170 DL mm 0 0,0255 0,035 0,046 0,0535 0,076 0,101 0,152 0,203 F kN 177,2 186,8 197,6 214,4 227 235 242 246 rupture DL mm 0,254 0.355 0,508 0,762 01,016 1,272 1,524 1,780

Le diamètre initial de l’éprouvette est de 17,68 mm, le diamètre ultime est de 16,41 mm, la longueur testé de 25 mm et la longueur ultime 26,75 mm.

1. Tracer le graphe contrainte j (x) - déformation ε (y). 2. En déduire Rr, Re, E et A%. Sachant que Re est la limite élastique du matériau et est

située à l’extrémité de la portion droite de la courbe. Rr est la résistance à la rupture du matériau et se mesure au point culminant de la courbe d’essai de traction. Et que, A% est l’allongement pour cent, et se calcule comme suit : A% =

Lu −L0

L0

Exercice N°3 :

Deux tronçons (1) et (2) en matière plastique sont collés comme l’indique la figure. La résistance à la rupture par traction de la colle est de 235 MPa pour des températures comprises entre - 60 °C et 120 °C. Si la section collée est rectangulaire et mesure 50 mm

Déterminer l’effort de traction admissible par le joint collé.



Chapitre III : TORSION SIMPLE

1. Définition :

Une poutre est sollicitée en torsion simple si elle est soumise à ses extrémités à deux moments directement opposés qui tendent à la tordre dans des conditions de sécurité bien déterminées.

Le torseur de cohésion au point G est sous la forme suivante :

�潔剣ℎ 罫 = 0

0

0

警建0

0

罫

2. Essai de torsion simple :

On considère un barreau cylindrique soumis à une de ces deux extrémités à un moment porté par l’axe du barreau, et bloqué en rotation à son autre extrémité.par L’étude du barreau on constate que : toute section plane et normale à l’axe du cylindre reste plane et normale à l’axe ce qui

vérifie bien l’hypothèse de σavier-Bernoulli. la distance entre deux sections droites données reste sensiblement constante, Le mouvement d’une section droite est uniquement une rotation autour de son axe et cette rotation est proportionnelle à sa distance à la section encastrée.

Des remarques précédentes on peut donc déduire que : Dans une section droite, il n’y a pas de déformation longitudinale donc de contrainte

normale, les sections ont seulement un mouvement de rotation sans aucune translation, Lµes seules contraintes sont donc des contraintes tangentielles.



�(穴結�)

警建(軽兼兼)

Zone plastique Zone élastique

O

A

C

B

Courbe de torsion

Zone OA : zone de déformation élastique

Zone AC : zone de déformation plastique

Dans la zone OA la valeur de la déformation en torsion � est proportionnelle au moment de torsion 警建 3. Etude de contraintes et de déformations : 3.1.Etude de contraintes :

La figure suivante représente un cylindre sollicité en torsion entre deux sections droites. On définit :

纂� = � : angle de déformation en torsion (degré)

纂散 = 散 : distance séparant deux sections droites (mm)

� = �.�散 : la distorsion ou la

déformation de la surface latérale du cylindre (degré) � = � : la distance séparant le point en torsion de la ligne moyenne (mm)



Loi de COULOMB :

La loi de COULOMB traduit la relation entre la déformation en torsion et la contrainte tangentielle, on définit : � = 罫. � = 貢.

�隙 ; avec G : module d’élasticité transversale ou module de CτULτMB en

(MPa)

Si on définit � =�隙 : angle de torsion unitaire (rad /mm). � = 罫. 貢. � (MPa)

Remarque :

La contrainte tangentielle est nulle en tout point de la ligne moyenne, on parle de la fibre neutre. La contrainte est maximale au point M appartenant à la surface extérieure de la poutre ou � = 三 : rayon de la poutre. �兼欠捲 = 迎. 罫. �

3.2.Etude de déformations :

Dans le domaine élastique, le moment de torsion est proportionnel à l’angle unitaire de torsion, on définit : 警建 = 罫. �. �0 警建 : Moment de torsion en (Nm)

G : Module de COULOMB en (MPa) �0 : Moment quadratique en (mm4) � : Angle de torsion unitaire en (rad/mm)

Moment quadratique :



On définit le tableau ci-dessous des moments quadratiques de quelques formes usuelles :

3.3.Relation contraintes-déformations :

La contrainte tangentielle s’écrit en fonction du moment de torsion : � = 貢.警建�0

et �兼欠捲 = 迎.警建兼欠捲�0

4. Condition de rigidité :

Pour les arbres de grandes longueur soumise à la torsion, il est souvent d’intéressant d’imposer un angle unitaire limite de torsion à ne pas dépasser. τn invitera ainsi de trop grandes déformations de torsions qui risqueraient d’engendrer des vibrations trop importantes pour un fonctionnement correct. On définit : � ≤ �lim 剣憲

警建罫. �0

5. Condition de résistance :

Pour des conditions de sécurité, la contrainte tangentielle doit rester inférieure à la limite d’élasticité Re. on définit Rpg, la contrainte pratique de glissement et on adopte un coefficient

de sécurité s tels que : 迎喧� =迎結嫌 . la condition de résistance s’écrit alors sous la forme

suivante :



�兼欠捲 = 迎.警建兼欠捲�0

≤ 迎喧�

6. Concentration de contraintes :

Toute variation de section provoque une concentration de contrainte au voisinage de cette variation, la valeur de � n’est pas égale à �仕�姉,on définit alors un coefficient de concentration de contrainte kc pour avoir : ��é蚕残残蚕 ≤ 暫算. �仕�姉

7. Exemple de calcul :

Exemple1 : Essai de torsion

On considère une éprouvette cylindrique en cuivre de diamètre d = 25mm et de longueur L = 1m soumise à un couple Mt = 210σm lors d’un essai de torsion. L’angle de torsion mesuré est α = 4,9 degrés.

a) Calculer le module d’élasticité transversal G du cuivre testé b) Déterminer l’angle de torsion d’une même poutre (même matériau et même diamètre) de longueur L'= 1,8m, si elle supporte une contrainte de cisaillement maximale kmax = 140 MPa Réponse

a) 罫 =警建��0

avec �0講穴4

32 et � =

�捲 = 0.085 堅欠穴/兼 ⇒ G = 64046 MPa

b) � =2詣�兼欠捲罫穴 = 18°

Exemple2 : Transmission par clavette

Un arbre cylindrique de diamètre d transmet un couple de moment Mt = 100Nm. La construction exige une grande rigidité, on limite la déformation unitaire à 0.25 °/m. Une rainure de clavette provoque une concentration de contrainte de valeur k = 3. On choisit comme matériau un acier A33 pour lequel ke = 75 MPa et G = 8 104 MPa a) Déterminer le diamètre minimal de cet arbre b) Déterminer la contrainte tangentielle maximale pour d = 42mm



c) Quelle est la valeur du coefficient de sécurité dont on dispose ?

Réponse

a) 警建 = 罫��0 avec �0講穴4

32 ⇒ 穴兼�券 = 32警建講�罫4

= 41.34兼兼

b) �兼欠捲 = 倦警建�0

穴2

= 倦 16警建講穴3= 20.62 警鶏欠

d) �兼欠捲 ≤ �喧 =�結嫌 ⇒ 嫌 =

�結�兼欠捲 = 3.6



TRAVAUX DIRIGES

TORSION SOMPLE

Exercice N°1

Pour transmettre un couple de 400 σm on envisage d’utiliser un arbre cylindrique plein ou creux. Ces deux arbres sont constitués du même acier pour lequel ke = 240 MPa et G = 8 104 MPa .On adopte dans les deux cas le même coefficient de sécurité s=3 L’arbre plein a un diamètre D1. L’arbre creux a pour diamètres D2 et d2 tels que d2 = 0.6D2

a) Déterminer le diamètre D1 de l’arbre plein à utiliser et la déformation angulaire entre deux sections distantes de 300 mm. b) Déterminer les diamètres D2 et d2 de l’arbre creux à utiliser et la déformation angulaire entre deux sections distantes de 300 mm. Comparer avec le a). c) Déterminer le rapport λ de leur masse. Conclusion ?

Exercice N°1 : Torsion d’un arbre étagé

On considère un arbre en acier (G = 8.104) de longueur L = 1,20m étagé en trois morceaux de

diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm.

Cet arbre est sollicité en torsion pure par un couple Mt.

a) Décrire et donner l’expression des contraintes dans une section droite S de cet arbre

b) Quelle doit être l’intensité du couple de torsion Mt pour que les sections d’extrémités SA et

SD tournent de (π / 360) radians l’une par rapport à l’autre ?

c) Donner le diagramme des angles de torsion le long de l’arbre (α = f(x)).

d) Quelle est la contrainte maximale ? (On néglige les concentrations de contraintes)



Exercice N°3 :

Soit un arbre AB de longueur 1.2 m, de sections cylindriques constantes et doit transmettre une puissance P = 24 KW d’un moteur électrique à manchon d’accouplement avec une fréquence de rotation N = 1600 tr/mn

On admettra Rg = 0.5 Re ; Re = 390 MPa ; s = 5 ; G = 8 104 MPa

Calculer 1. le diamètre de l’arbre 2. l’angle unitaire de torsion entre A et B



Chapitre IV : CISAILLEMENT

1. Définition :

Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsqu'elle est soumise à deux systèmes d'action de liaison qui se réduisent dans un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne à deux forces directement opposées.

(E) (P)

F

F'

A

B

Sous l'action de ces deux forces la poutre tend à se séparer en deux tronçons E1 et E2 glissant l'un par rapport à l'autre dans le plan de section droite (P).

F

F'

E1

E2

(P)

(E1)(S)

x

y

zG

T

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

Cohé sion Ty

TzG x y z

0 0

0

0( , , )

Remarque :

on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par une unique composante T en réalisant un changement de repère.

Ty

Tz

T



Le cisaillement pur n'existe pas, il subsiste toujours de la flexion...

2. Essai de cisaillement :

Il est physiquement impossible de réaliser du cisaillement pur au sens de la définition précédente. Les essais et résultats qui suivent permettent toutefois de rendre compte des actions tangentielles dans une section droite et serviront ainsi dans le calcul de pièces soumises au cisaillement. On se gardera cependant le droit d'adopter des coefficients de sécurités majorés pour tenir compte de l'imperfection de la modélisation. Considérons une poutre (E) parfaitement encastrée et appliquons-lui un effort de cisaillement

F uniformément réparti dans le plan (P) de la section droite (S) distante

de ∆x du plan (S0) d'encastrement (voir fig.).

F

G

B

A x

(S) (S0)

x

(E1) (E2)

y

(P)

Si l'on isole (E1), on trouve alors le torseur de cohésion suivant :

Cohé sion F

F xG x y z

0 0

0

0 .( , , )

Lorsque ∆x tend vers 0, on retrouve alors le torseur de cohésion du cisaillement pur.



Analyse de la courbe obtenue

F(N)

y (mm)O

A

B

C

(S0)

(S)

y x

F

Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette retrouve sa forme initiale. Zone ABC : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa forme initiale. (déformations plastiques)

3. Déformations élastiques

L'essai précédent a permis pour différents matériaux d'établir la relation :

F

SG

y

x

Unités : F en Newton

S en mm2

G en MPa

∆y et ∆x en mm.



G est une caractéristique appelée module d'élasticité transversal ou module de Coulomb.

Matériau Fontes Aciers Laiton Duralumin Plexiglas

G (MPa) 40000 80000 34000 32000 11000

4. Contraintes :

On définit la contrainte � dans une section droite (S) par la relation :

T

S

avec : �: contrainte tangentielle de cisaillement en MPa (valeur moyenne).

T : effort tranchant en Newton.

S : aire de la section droite (S) en mm2.

5. Relation entre contrainte et déformation :

Nous avons déjà vu que T

S , que

F

SG

y

x

et nous savons que F=T.

On en déduit que :

Gyx

G . .

y

x est appelé glissement relatif.

6. Caractéristiques mécaniques d'un matériau :

Contrainte tangentielle limite élastique �e C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique. Pour l'acier, cette valeur est comprise entre 250 MPa et 600 MPa.



Contrainte tangentielle de rupture �r C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette.

7 Condition de résistance :

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale � doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique de cisaillement �p.

On a :

p

e

s

s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

ré elle p

T

S



Chapitre IV : FLEXION SIMPLE

1. Définition :

Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe z

si pour chacune des sections droites, le torseur de cohésion se réduit, dans le repère ),,,( zyxGR

de définition

des sollicitations :

),,,(

12

0000

zyxGGG

G

coh

MfzTy

MREET

Remarque : si Ty est nul, alors la sollicitation est appelée flexion pure

2. Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant :

Tydx

dMfz

3. Etude des contraintes normales :

La poutre étant sollicitée en flexion simple, la ligne caractéristique peut être assimilée à un arc de cercle de rayon R appelé rayon de courbure

Au cours de la déformation, le tronçon considéré initialement prismatique se transforme en portion de tore de rayon moyen R intercepté d’un angle d

MM’ est une fibre du tronçon joignant deux points homologues des sections et '



Les fibres situées dans le plan ),,( zxG

ne varient pas et sont appelées fibres neutres

Les fibres au dessus de G (Y > 0) se raccourcissent et celles en dessous de G (Y < 0) s’allongent

4. Allongement / Raccourcissement relatif de la fibre M’M :

- coordonnées du point M (YM, ZM) dans le repère local ),,,( zyxGR

- longueur initiale M’M = dx

allongement relatif : dxdYM

5. Expression de la contrainte normale

En exprimant la loi de Hooke définie par la relation E. , on obtient :

dxdYE MM .

- la contrainte normale est nulle sur la fibre neutre - le signe s’inverse à la traversée du plan ),,( zxG

- la répartition est linéaire sur la section droite - le point le la section le plus sollicité est celui qui est le plus éloigné de la fibre

neutre

6. Relation entre contrainte normale et moment fléchissant :

Une coupure est effectuée au niveau de la section droite

Soit un pont M de coordonnées

),,( MMM ZYX et d un élément de

surface entourant M



L’action mécanique de cohésion s’écrit :

),,,(),,,(

..0000.

00000.

zyxGM

M

GzyxG

M

MdY

ddSS

Le moment fléchissant Mfz est la somme des moments en G des actions mécaniques élémentaires transmises par les éléments de surface d constituant le section droite avec

dYdMfz M..

dY

YdY

dxdEd

dxdEYdMYMfz

M².²....².. donc

dYYMfz M

M

²..

7. Moment quadratique :

La somme dY². (mm4) est le moment quadratique de la

section droite par rapport à l’axe Gz que l’on notera GZI . Le moment quadratique dépend uniquement de la géométrie de la section droite

dYIGZ ².



8. Théorème de Huygens Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au moment quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par son barycentre, augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

².dSII GyOy

OyI : moment quadratique de (S) par rapport à (O,y

) (mm4)

GyI : moment quadratique de (S) par rapport à (G,y

) (mm4)

S : aire de la section (S) (mm²)

d : distance entre les axes (O,y

) et (G,y

) (mm)

Exemple : calculer le moment quadratique de l’équerre / xG

: GxI

Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK

1210100 3

11xI xG ;

553

1111 101210²10).10.100(

1210.100². dSII xGGx

1250.10 3

22 xGI

443

2222 10.2012

10.125²20).10.50(1250.10². dSII xGGx

4421 10.2,41 mmIII GxGxGx



9. Module de flexion :

On appelle module de flexion la quantité maxYIGZ en mm3. C’est une caractéristique courante des

profilés.

10. Contrainte normale maximale

max = contrainte normale maximale (Mpa)

maxYIGZ = module de flexion (mm3)

Mfz = moment de flexion sur z

(N.mm)

11. Condition de résistance à la contrainte normale

peR : contrainte pratique de limite élastique (Mpa) = s

Re

eR : contrainte de limite élastique (Mpa)

s : coefficient de sécurité

max = contrainte normale maximale (Mpa)

kt : coefficient de concentration de contrainte

max

max

YIMfz

GZ

peRkt max.



12. Déformations :

Soit une poutre AB sollicitée en flexion simple et ),,,( zyxA un repère d’étude global

qui ne se déplace pas lorsque la poutre se déforme.

C est la ligne caractéristique de la poutre déformée considérée comme la graphe de la fonction )(xfy

L’équation de la déformée s’obtient par intégration successive de y’’

Exemple :

GZGZGZ

fz

IExF

IE

xF

IEMxy

..2.

.2.

.)(''

xFyIE GZ .''...2

première intégration

12².'...2 CxFyIE GZ

1².'...4 CxFyIE GZ

recherche de C1 : y’=0 pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

4².

4².0 11

lFCClF

4².².'...4 lFxFyIE GZ

deuxième intégration :

23

23

23

12²...3..4

4²..

3..

4².

3....4 CxlFxFCxlFxFCxlFxFyIE GZ

recherche de C2 : y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe y

)

GZIExlFxFy

..48²...3..4 3 y est maxi pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

GZ

fz

IEMxy.

)(''



GZGZGZGZ IE

lF

IE

llF

IE

llF

IE

llFlFy

..48

)2

2(

..48

)2

32

(

..48

)2

38

4(

..482

²...38..4 33333

3

GZIE

lFy

..48

. 3



13. Formulaire des poutres :









14. Contrainte tangentielle : Ty est l’effort tranchant (σ)

S est la surface de la coupure (mm²)

Ymoy est la contrainte tangentielle (Mpa)

Contrainte tangentielle maximale

Section rectangulaire

moy23

max

Section circulaire

moy34max

Autres sections

A

moy

S

23

max

Si l’épaisseur est petite devant les autres dimensions tranversales, on peut considérer que seule la section SA (partie grisée) travaille au cisaillement

STy

Ymoy



15. Condition de résistance à la contrainte tangentielle :

pgR : contrainte pratique de limite au glissement (Mpa) = s

Rg

gR : contrainte de limite élastique au glissement (Mpa)

s : coefficient de sécurité

max = contrainte tangentielle maximale (Mpa)

La contrainte limite au glissement gR s’exprime en fonction de la contrainte limite à l’extension eR

- matériaux ductiles : gR = 0.5 eR - matériaux peu ductiles : gR = 0.6 eR ou gR = 0.7 eR - matériaux à décohésion franche : gR = 0.9 eR

Exemple :

Etude statique

On déduit SY1 = SY2 = 23 SF = 10,5 N donc yA S

.5.101 et yB S

.5.102

Torseur de cohésion pour 2

0 lx

),,,(),,,(),,,(

5.10005.1000

5,0005.000

0005.000

zyxGGzyxGGzyxAA

coh

xxFFFSST

F = 21 N

l = 600 mm

b= 20 mm

h = 4 mm

Matiere : A60

E = 200 000 Mpa

Re = 340 Mpa

= 0.6

pgY Rmax

1 2

3



Torseur de cohésion pour lxl 2

),,,(),,,(),,,(

63005.10005.1000

)(5,0005.000

0005.000

zyxGGzyxGGzyxBB

coh

xxlFFFSST

Diagrammes

Contrainte normale maximale

MPahb

hM

IYM

YIM fz

GZ

fz

GZ

fz 0625,59

124.20

2.3150

12.

2..

33

max

max

max

Condition de résistance

170592

34059maxmax sRR epe la condition est vérifiée avec un

rapport 17.0maxeR

Contrainte tangentielle maximale

MPahbF

moy 19.04.205.10.

23

.5.0.

23

23

max

10,5

N

10,5

N 3150

N.mm N 2



Condition de résistance

10219.02

3406.019.06.0maxmax sRR e

YpgY la condition est vérifiée avec un rapport

00059.0maxeR

Conclusion La poutre soumise à la flexion simple est plus sensible aux contraintes normales qu’aux contraintes tangentielles.

Calcul de la flèche maximale

GZIElPlf..48

.)2

( 3 = mm42.4

124.20.200000.48

600.213

3

Calcul de la flèche sans l’aide du formulaire

000148,0

124.20.200000

3150.

)(''3

GZ

fz

IEMxy

1.000148,0)(' Cxxy y’(x)=0 pour x=l/2=300mm 044297,0300.000148,01 C

044297,0.000148,0)(' xxy

2.044297,02².000148,0)( Cxxxy y(x)=0 pour x=0 donc C2 = 0

xxxxxy .044297,0².000074,0.044297,02².000148,0)(

La flèche sera maxi au point C : -6,64

16. Principe de superposition Dans la limite des déformations élastiques, le vecteur déformation en un point, du à un système de forces extérieures est égal à la somme géométrique des vecteurs déformation dus à chacune des forces du système agissant séparément.



Exemple On considère un IPE 180 reposant sur deux appuis linéaires rectilignes parfaits en A et B Cette poutre, dont on ne négligera pas le poids supporte en

C une charge verticale concentrée yC.120014

Hypothèses : - poids linéique : p = 188 N/m - moment quadratique IGZ = 1 317 cm4 - module de Young : E = 2.105 Mpa - longueur l = 3m Calculer la flèche en I, milieu de la poutre Considérons dans un premier temps la poutre soumise à la charge répartie p uniquement

mmIElpIy

GZ075.0

10.1317.200000.3843000.188,0.5

..384..5)( 4

43

1

Considérons dans un deuxième temps la poutre soumise à la charge concentrée uniquement

mmIE

lPIyGZ

256.010.1317.10.2.48

3000.1200..48

.)( 45

33

2

Utilisons le principe de superposition : y= y1 + y2 = 0,075 + 0,256 = 0,331mm

A

B C

D A

B

D A

C

D

= +



17. Flexion de poutres hyperstatiques

Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis. Il faut faire intervenir en plus les équations de déformations .

Exemple 1

Une poutre AB en HEA 600 (IGZ/v = 4786 cm3 ; E = 2.105 MPa) de longueur l = 4m encastrée à ses deux extrémités

supporte en C une charge yF.5000

Déterminer les actions en A et B

Equations de statique :

2/21 FBA SS (symétrie)

0.2

221 lBMFlM SSBSA :

022

21 FlMFlM SBSA

donc SBSA MM 11

le système est hyperstatique d’ordre 1

Equation de déformation :

Calcul du moment fléchissant quand 2

0 lx

xAM

AxAM

ATTSSA

S

GSSA

S

G

Sextcoh

.0000

.0000

11

1

11

1 SASfz MxAM 11 .

Utilisation de l’expression de la déformée

SASGZ MxAyIE 11 .''..

111 .2².'.. CxMxAyIE SASGZ

211

3

1 .2².

6... CxCxMx

AyIE SASGZ

00)0(' 1 Cy

00)0( 2 Cy donc 2².

6... 1

3

1xM

xAyIE SASGZ

Compte tenu de la symétrie de la déformée : 0)2

(' ly donc

4.

2

)²2

(2

2.)²

2(

22.

2

)²2

(.0 1

1

111

11lA

l

lAMlMlAlM

lA S

S

SASAS

SAS

21

FA S donc 8.

21lFMM SBSA

Torseur de cohésion pour 2

0 lx

B A C

F y

x

l

l/2 1

2

S

B A C

F y

x

SA1 SB 2

SAM 1

SBM 2



)4

.(2

0

02

00

280

02

00

20

02

00

20

02/00

11 lxF

F

FxFl

F

FxM

FFxM

FTTcoh

GGSA

G

SAG

Sext

zFxFlFxFlFxFl

Fx

FlAGAMM SSASG

.

2828

00

2

00

8

00

02

0

00

8

00

11

Torseur de cohésion pour lxl 2

))(4

.(2

0

02

00

2)(

8.0

02

00

).(00

2

00

22 xllF

F

xlFlF

F

xlBM

FTTcoh

GG

SSBG

Sext

zxlFFlxlFFlxlFFl

Fxl

FlBGBMM SSBSG

.

2)(

82

)(8

00

2)(

00

8

00

02

0

00

8

00

222

Effort tranchant

20 lx : NFTy 2500

2

lxl 2

: NFTy 25002

Moment fléchissant

0x : mNFlM fz .25008

4.50008

2lx : mNFlM fz .2500

84.5000

8

lx : mNFlM fz .25008

4.50008

Flèche maximale au point C

².16

.122

².6

... 31

3

1 xFlxFxMx

AyIE SASGZ

6.32)

21

31(

3264964.

168.

12..

333333 FlFlFlFllFllFyIE GZ

GZIElF

y..192

. 3

mmly 74,14786000.200000.192

4000.50002

3

B A C

F y

x

SA1 SB 2

SAM 1

SBM 2

y

B

A

C

x

8Fl

8Fl

B A

C

x 8Fl

8Fl



TRAVAUX DIRIGES

FLEXION SIMPLE

Exercice 1 :

Calculer les contraintes maximales en flexion et

en cisaillement de la poutre ci contre dans les

deux cas suivants :

a) si la poutre est rectangulaire (a)

b) si la poutre est creuse (b)

Exercice 2 :

Calculer les contraintes maximales en flexion et en cisaillement de la poutre ci contre :



Exercice 3 :

Calculer les contraintes maximales en flexion et en cisaillement de la poutre ci de profilé W200x100 en négligeant son poids

Exercice 4 :

Choisir un profilé pour la poutre ci-dessous en négligeant son poids



BIBLIOGRAPHIE

MECANIQUE TERMINALES collection Durrande Auteur : P. Agati N. Mattera

MECANIQUE APPLIQEE collection Agati Auteur : P. Agati M. Rausseto

MECANIQUE 2 (RESISTANCE DES MATERIAUX) Auteur : P. Agati N. Mattera

GUIDE DE MECANIQUE, SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES Auteur : Jean Louis Fanchon

Documents

INTRODUCTION - Academie pro téléchargement gratuit cours ... · Ce cours est accompagné par des travaux dirigés à la fin de chaque chapitre. Ce document comporte cinq chapitres