Master parcours TACS

INTRODUCTION AUX PROBLEMES INVERSES

Stéphane ANDRIEUXLaboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables

(LaMSID)UMR CNRS EDF

Plan du cours

• Introduction :• Philosophie, exemples et contre-exemples• Quelques rappels techniques

• Identification directe et méthodes énergétiques• Méthodes variationnelles des moindres carrés

• Calcul du gradient par état adjoint

• Régularisations• Algorithmes

Plan du cours 1

• Définitions des problèmes inverses et exemples• 4 exemples précis• Les questions posées par la résolution de problèmes inverses• Problèmes bien et mal posés• Identifiabilité : peut-on entendre la forme d’un tambour ?

Problème inverse en gravimétrie

• Problème direct:• Déterminer le champ de pesanteur vertical g3

(plus exactement sa perturbation ou son « anomalie) en fonction de la distribution de masse volumique dans une région V :

• Problème inverse• A partir de mesures d’anomalie de g3 sur le

bord du domaine V, reconstruire la répartition de masse volume ρ.

33

1( ). ( )V

g g dVx

ρ∂=∂ −∫x e y

x ySi ρ(x) est donnée,

Points de mesure

ρρρρ ?

Prospection sismologique

A partir de nombreuse mesures de pression sur les hydrophones (100x 1500 valeurs), déterminer (E,ν,ρ) dans le sous -sol.

Ondes acoustiques dans l’eau, ondes élastodynamiques dans le sol Célérités : 1500 m.s-1 eau

Ondes « p » : 2000/5000 m.s-1 roches

Identification de source électriques : applications biomédicales

Equation du problème direct identique à l’équation (stationnaire de la chaleur)

Mesure du potentiel électrique (Φ) et de l’intensité (∇ Φ .n) sur une vingtaine de points du scalp

( ) ( )div sσ− ∇Φ = x

Modifier la position du départ de la bille et relever le point de sortie (angle également éventuellement)

L’énergie cinétique de départ est un paramètre important.

A partir des résultats de différents « tirs » (position et énergie cinétique) : déterminer la forme de l’obstacle

Un analogue mécanique des problèmes de « scattering » inverse

Beaucoup de méthodes de tomographie* sont basées sur le principe de l’excitation du système via une onde (mécanique, acoustique, électro-magnétique) et l’analyse de la diffraction/réflexion de celle-ci sur des capteurs disposés autour de l’objet à imager.

*Tomos : tranche en grec

Définitions

• Problèmes inverses < > problèmes directs• Problèmes inverses < > problèmes bien posés• Problèmes inverses :

• recherche des causes < > recherche des effets

• Problèmes inverses : • Identification de paramètres, recalage, recherche de forme ou

de frontières• Restauration de contraste sur images (deblurring)• Dérivation numérique, interpolation sur grille irrégulière, ..• Détection acoustique, magnétique, rayon X ou γ, ..…

Exemple 1 : identification de la loi de comportement cisaillement dun matériau à partir dessai de torsion

z

Γ Θ

Données :Géométrie (R,L)Fonction Couple /angle Γ(Θ),Θ dans [0,Θ max]

Γ

Θ

τ

γ

?Inconnue: Fonction τ = f(γ)

τ cisaillement, γ déformation de distorsion

Mise en équationHypothèses :Matériau isotrope, champs de contraintes et de déformations invariants/zChamp de contrainte uniaxial, déplacement de la même forme qu’en élasticité

Contraintes :

( )( , ) ( ) z zr r θ θθ τ= ⊗ + ⊗σ e e e e

Déformations :

( , ) rzrL θθ = Θu e

Equilibre 2 20

π τ( )r r drR∫ = Γ

τ fonction quelconque (non nécessairement C0)

( )2rrL θγ = Θ e( )( , ) ( ) z zr r θ θθ γ= ⊗ + ⊗ε e e e ed’où

Equation sur la fonction f cherchée

f rL

r drR ( ) ( )Θ Γ Θ2 2

20∫ =

π ∀ Θ ∈ [0, Θmax]

Formulation du problème inverse

Trouver la fonction f de ]0, ΘmaxR/2L[ telle que :

f rL

r drR ( ) ( )Θ Γ Θ2 2

20∫ =

π∀ Θ ∈ [0, Θmax]

Equation intégrale de Fredholm de première espèce : k x y f x dx g yI

( , ) ( ) ( )=∫k(x,y) est le noyau de l’équation

Changement de variable : x = rΘ/2L f x x dxL

RL ( ) ( )2

3

302

16=∫

Θ Γ ΘΘ

π

33 2

1 1 ( )42

dRfdLRL π

Θ = Θ Γ Θ ΘΘ

Solution « explicite » du problème inverse

Θ ∈ [0, Θmax]

Commentaires sur l’exemple 1

• Solution explicite (rare)• Pour autant : si les données sont sous forme discrète, il faudra « dériver les

données »• L’équation intégrale de Fredholm de première espèce est très fréquemment

rencontrée dans les problèmes inverses : le modèle type est la dérivation numérique ….équation pas si simple à manipuler

• Ici, on peut directement estimer, à partir de l’amplitude de la rotation imposée lors de l’essai, le domaine de f identifiable

• NB : Généralisation de la formule associé à la recherche de la dérivée fd’ordre n d’une fonction g :

11

10( )!

( )( ) ( )n

f x y x dx g yny

−− =−∫

Equation de Volterra (borne variable)

Exemple 2 : identification de fissures, dhétérogénéités ou de cavités par des données surabondantes de bord.

Inconnue: 1. Fonction conduction k(x)2. Contours Γi (fissures, cavité, bord inaccessible aux mesures)

Tomographie thermique ou électrique

Ω=−

Ω=∇−

isurnTk

dansTkdiv

∂∂∂ 0

0).(

k(x)

ΦΦΦΦ,Tm

ΓΓΓΓi

ΓΓΓΓc

ΩΩΩΩ

Données :Géométrie (partiellement)

. .mcT T et q n T n sur∂= = −∇ = Φ Ω

Equilibre thermique ou électrique(ou élastique)

Données surabondantes pour le problème « direct »

Opérateur de Dirichlet NeumanCas où tout le bord extérieur est accessible aux mesures

Pour Tm donnée, il existe une unique solution au problème dit de Dirichlet :

Ω=−

Ω=∇−

isurnTk

dansTkdiv

∂∂∂ 0

0).( et mcT T sur ∂= Ω

k(x)

T=Tm

ΓΓΓΓi

ΓΓΓΓc

ΩΩΩΩ

L’opérateur de Dirichlet Neuman associe à la température Tm sur le bord du solide, le flux de la solution de problème de Dirichlet sur le bord du solide :

( ) ( ).m mDN T T T n= −∇ = Φ

: ( ).m mDN T T T n∂Ω ∂Ω

→ −∇

Formalisation du problème inverse :La connaissance de DN(Ω,k) conduit-elle à celle de Γi ou k(x) de manière unique ? Une connaissance partielle de DN (nombre fini d’expériences) suffit elle ?Quels sont les k(x) ou les contours indiscernables pour une expérience donnée ?

Un exemple plus réaliste : stratification thermique dans une tuyauterie

T

z

50

250

Tube « épais » Re=2Ri u1 u2

Erreur u1-uexact

Quatre grands types de problématiques associés aux problèmes inverses

1. Est-ce possible ? • Question d’identifiabilité

2. Est-ce stable ou stabilisable compte tenu des erreurs ou incertitudes des données ?

• Question de la régularisation, paramétrisation des inconnues

3. Quelle méthode utiliser ?• Formulation du problème inverse, paramétrisation des inconnues• Algorithmes pratiques

4. Quelles autres « données », non strictement nécessaires à la résolution introduire ?

• Question des informations a priori

Problèmes bien et mal posés

Hadamard (1923) :

Le problème : ( ),

, munisde topologies

K u ff Y donnéx XX Y

= ∈ ∈

est bien posé Ssi:1. Pour tout f de Y , il existe une solution2. Cette solution est unique (ou en nombre fini)3. x dépend continûment de f pour les topologies de X et Y

Illustration I du caractère mal posé d’un problème (existence de solution)

u=fy0(x)

u,xy=0

L

hu=fyh(x)

u=fxL(y)u=fx0(y)

Aucune solution n’existe si les données ne vérifient pas les deux conditions :

y0 yL y x0 xL x, constantes tellesque : f (x)-f (x)=C ,f (y)-f (y)=Cx yC C∃

, 0xyu =

( , ) ( ) ( )u x y U x V y= +

Changement de variables :2

y xX +=2

y xt −= , , 0XX ttu u− =

Equation des ondesSolution générale f(X-t)+g(X+t)X

t

Pas de conditions sur tous les bords pour une équation des ondes (hyperbolique) : le problème n’est bien posé que pour certaines CL

Illustration II du caractère mal posé d’un problème (sensibilité aux données)

u=0 u=0

T=0,Φ

u=?, ϕ=?

∆u=0

1

0,5

Si

Alors

( ) sin( )x n xπΦ =

1( , ) sin( )s ( )u x y n x h n yn

π ππ

=

Prenons 0 ( ) sin( )x xπΦ = Alors 01( , ) sin( )s ( )u x y x h yπ ππ

=

Perturbons cette donnée par 1( ) sin( )x nxε πΦ = Avec ε « petit »

… qui peut être rendue aussi éloignée que voulu de la solution initiale en choisissant n assez grand

La solution « perturbée » est par linéarité

11( , ) sin( )s ( ) sin( )s ( )u x y x h y n x h n y

nεπ π π π

π π= +

Solution initiale

0 sin( )xπΦ =

t

x

t

x

Solution liée à la donnée perturbée

0 sin( )n xε πΦ +

ε=0.001 n=6

Caractère mal posé des équations de Fredholm de première espèce

g étant donnée, Trouver f(y) sur l’intervalle I telle que : ∀ x∈ J ∫ =

Ixgdxyfyxk )()(),(

Unicité de la solution :Dépend beaucoup du noyau k, exemple : k(x,y)= x sin y, I = J= [0,π], g(x)=x

Dans la pratique ,on approchera g par une fonction régulière)

Existence de solution :Problème posé par la régularité de g , (f intégrable, k continue continue( , ) ( )

Ik x y f y dx∫

Continuité par rapport aux données :

Caractère mal posé des équations de Fredholm de première espèce

g étant donnée, Trouver f(y) sur l’intervalle ]0,π[ telle que ∀ x∈ J

0( , ) ( ) ( )k x y f y dx g x

π=∫

Non continuité par rapport aux données

∫ =∞→

π

00sin),(lim nydyyxk

n

Lemme de Lebesgue : si k est de carré intégrable, alors

∫∫ +=

+

ππ

εε 00sin),(1)(sin1)(),( nydyyxkxgdynyyfyxkOr

fε gεSolution pour

0

1 ( , )sing g k x y nyπ

ε ε− = ∫

20

1 1 1sin sin2

f f ny nydyπ

επ

ε ε ε− = = =∫

Pour ε quelconque, la norme de la différence des solutions peut être aussi grande que voulue en choisissant n assez grand

mais

Enseignements tirés de ces exemples et contre exemples

• Importance de la formulation du problème :– Ce qui est connu, qualité et quantité des données– Information a priori permettant de réduire l’ensemble des solutions

(Positivité d’un paramètre, bornées, régularité, ..)

• Nécessité de régulariser dans la majorité des cas• Importance de l’analyse (fine) du problème direct• Algorithmique robuste• Nécessité d’étudier l’influence du bruit sur les données

Peut-on entendre la forme d’un tambour ?

Vibration libres dune membrane tendue

u

z

x y

0T U hU dans

U surρ∆ = Ω

= ∂Ω!!

Analogue de la corde tendue en deux dimensions d’espace

U(x,y,t) (petit) déplacement hors du plan,

T tension, h épaisseur, ρ masse volumique

Modes propres de vibrations : U(x,y,t) = sin(ωt) u(x,y)

0u u dansu sur

λ∆ = Ω= ∂Ω

2hTρλ ω=

On se ramène à trouver le spectre de l’opérateur Laplacien sur l’ouvert Ω, càdles couples (u,λ) tels que :

Il existe une suite infinie (un,λn) de solutions, qui ne dépendent que de la géométrie de Ω avec :

1 2 30 ....λ λ λ< < ≤ ≤

et sans point d’accumulation fini

Relation entre forme et spectre : ce que l’on sait

4 (1 ) ....2 64 2

nt tn

n

NPet t

λπ π

− −Ω − + +∑ ∼ lorsque 0t →

Weyl (1911), Pleijel, Singer

La connaissance de toutes les fréquences propres de vibrations donne donc accès à l’aire, au périmètre P et au nombre de « trous » du domaine Ω

D’où la question de Kac en 1966 :Peut- on entendre la forme d’un tambour ?

ou encore :

Deux ouverts différents peuvent-ils partager le même spectre (λi) i = 1, … ?

Un résultat qui prouve que la réponse est NONGordon, Webb, Wolpert (1991)

Deux couples

de

tambours isospectraux

2 2

Plus simple mais moins pur : deux « bi-tambours » isopectraux

1

1

1

2

2

2