INTRODUCTION

La Relativité générale est exemplaire en denombreux aspects :- Elle montre à quel point une théorie mêmerévolutionnaire n’apparaît pas spontanément maisest le fruit d’un lent mûrissement à travers desgénérations de physiciens. En ce sens la Relativitéest tributaire des premières interrogations desGrecs sur le mouvement.- La Relativité générale, comme la Relativitérestreinte, est construite à partir d’un principeunique, ici le principe d’équivalence. De plus,elle ne laisse pas le choix de paramètresajustables. Un seul principe conduit à undéveloppement de mathématiques et de lois physiquesprodigieux ouvrant la possibilité de nombreux testsexpérimentaux. En ce sens, c’est une théorieprenant beaucoup de risques donc fortementfalsifiable au sens du philosophe Karl Popper.

Deux traits caractéristiques d’une théorieféconde sont l’extension et l’unification.L’extension veut dire que l’on étend les théoriesprécédentes à de nouvelles échelles et à denouvelles situations. Tel est le cas pour laRelativité générale qui étend la Gravitationnewtonienne à des corps animés de vitesses prochesde celle de la lumière, ou constitués de massestellement grandes que la théorie newtonienne nes’applique plus (trous noirs par exemple).L’unification veut dire que la théorie prend encompte d’une manière unifiée des phénomènes quisemblaient de prime abord ne rien avoir en commun,qui semblaient faire partie de domaines disjointsde la physique. Tel est principalement le cas del’unification de l’inertie et de la gravitation parla Relativité générale.

Tout ceci, allié à la très grande cohérenceinterne (absence de contradictions internes, dedifficultés mathématiques comme les infinis enElectrodynamique quantique, précision des conceptsde base), en font le prototype de ce que doit êtreune bonne théorie physique.- La Relativitérestreinte et la Relativité générale, montrent lapuissance de la physique : en partant d’uneréflexion approfondie sur le mouvement, on déboucheentre autres sur l’équivalence entre la masse etl’énergie, sur la prédiction de l’existence desantiparticules (Relativité restreinte et Mécaniquequantique) et sur le calcul de l’âge de l’univers.- La Relativité générale est également remarquablepar le temps qui s’est écoulé entre beaucoup de ses

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prédictions et leurs vérifications expérimentales :ainsi l’expansion de l’univers fut tout de suitedéduite des équations de la Relativité générale.Ce résultat parut tellement surprenant à Einsteinqu’il modifia ses équations en introduisant uneconstante dite cosmologique qui permettait àl’univers d’être statique. Une fois la confirmationexpérimentale de l’expansion faite par Hubble en1929 (décalage vers le rouge de la lumière reçuedes galaxies lointaines) il reconnut quel’introduction de cette constante fut la plusgrande erreur de sa vie.

Le rayonnement cosmologique à 3 K prévu par Gamowen 1948 ne fut découvert fortuitement qu’en 1964par Penzias et Wilson. L’effet Einstein de décalagevers le rouge d’un rayonnement dans la traverséed’un champ de gravitation, prévu dès le départ parEinstein lui-même, ne fut vérifié expérimentalementavec une grande précision grâce à l’effet MÖssbauerqu’en 1960 par Pound et Rebka.

Ces décalages ont contribué à marginaliser laRelativité générale qui au début avait peu devérifications expérimentales et peu d’applications.Jusqu’en 1960 deux vérifications seulement étaientdisponibles : l’avance du périhélie de Mercure etla déviation de la lumière des étoiles au passageprès du Soleil. Ainsi, la Relativité générale dutsubir une véritable traversée du désert jusqu’à cesannées 1960. Pourtant ceci est une preuve del’extraordinaire pouvoir prédictif de cette théorieet de l’immense avance qu’ont pris à ce moment lesconcepts théoriques sur l’expérience. Le peu devérifications expérimentales de la Relativitégénérale tenait à la difficulté de cesvérifications faisant pour la plupart appel àl’astrophysique qui était une science à l’étatd’ébauche au moment du développement de cettethéorie. Des moyens technologiques perfectionnésnon disponibles à l’époque sont également utilisésdans beaucoup d’expériences modernes. Insistons surle fait que la Relativité générale a une trèsgrande richesse de contenu. Le nombre de résultatsprédits dans des situations variées est prodigieux.

Actuellement on assiste à un véritable renouveau.Les applications en astrophysique sont nombreuses,en liaison souvent avec la physique des particules.Cela contribue à obtenir de plus en plus devérifications expérimentales. Or, jusqu’à présent,à chaque fois qu’un nouveau test expérimental esteffectué, le résultat prédit par la Relativitégénérale se trouve confirmé. La Relativitégénérale, qui fut conçue presque entièrement commeune pure abstraction de pensée au début de cesiècle, s’avère donc finalement totalement juste.

Indépendamment de ce renouveau expérimental, unregain d’intérêt apparaît également de la part des

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théoriciens. Des liens très étroits existent eneffet entre cette théorie et les théories modernesdes interactions en physique des particules. Cesthéories comme la Relativité générale sont desthéories de jauges. Un demi-siècle à l’avance,cette théorie trouvait donc une structure quiallait s’avérer être la structure générale detoutes les interactions. Le but ultime est bien sûrd’unifier les quatre interactions (forte, faible,électromagnétique et gravitationnelle) dans unethéorie unique.

Cet ouvrage s’adresse à un public du niveau duDEUG ou des Classes Préparatoires aux GrandesEcoles scientifiques. La Relativité restreinte estreprise dans ses grandes lignes.L’Electromagnétisme classique est supposé connu. LeCalcul tensoriel nécessaire pour les développementsmathématiques de la théorie est introduit, aucuneconnaissance préalable n’étant nécessaire. Lesconnaissances de base en Algèbre linéaire sontcependant supposées connues.

Cet ouvrage n’a pas pour but d’être exhaustif surtous les aspects de la Relativité générale. Ainsila théorie des ondes gravitationnelles asseztechnique n’est pas développée. Par contre, j’aiessayé d’être complet en ce qui concerne tous lesaspects conceptuels de la Relativité générale.

J’ai réservé dans ce livre beaucoup de place àdes expériences de pensée. Ce sont des expériencesidéalisées mais faisables et que la théorie prendcomplètement en compte. Cependant on ne se souciepas de leur réalisation pratique. Le but est par cemoyen d’explorer la cohérence d’une théorie, seslimites et les concepts nouveaux qu’elle introduit.Elles ont également un rôle pédagogique. L’étude decas particuliers concrets permet de poser lesproblèmes cruciaux, de faire ressortir lesparadoxes apparents et de faire avancer ainsi lathéorie. Elles permettent également à travers cescas particuliers de mémoriser les formules et lesconcepts.

Ce livre étant pédagogique, les calculs ont étécomplètement développés. S’agissant d’uneinitiation à la Relativité générale, je me suisefforcé de donner des explications détaillées etcomplètes.

Quelques exercices et problèmes sont donnés à lafin de chaque chapitre. Les corrigés sontrassemblés à la fin du livre.

J’aurai atteint mon but si je réussis à mettre enlumière le cheminement des idées, les principes debeauté, de simplicité, de cohérence et degénéralisation qui guident le physicien dans laconstruction d’une théorie nouvelle.

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Chapitre Premier

LA MECANIQUE NEWTONIENNE

1. Les référentiels galiléens. - Un référentielest un repère (point origine et trois directionsd’axes) lié à un corps solide supposé s’étendreindéfiniment. La Mécanique newtonienne (Newton :1642-1727) suppose l’existence d’un ensemble deréférentiels appelés référentiels galiléens entranslations rectilignes uniformes les uns parrapport aux autres dans lesquels la loifondamentale de la dynamique est la plus simple :

F = m γ

Nous notons les vecteurs de l’espace à troisdimensions dont les symboles sont des lettreslatines en caractère gras. Pour une lettre grecque,nous emploierons le même symbole, que ce soit unscalaire ou un vecteur. Lorsque le vecteur seraobtenu à partir d’un bipoint comme dans l’équation(1,1), nous utiliserons une flèche. Le vecteur nulsera noté en caractère gras : 0 .

Le Référentiel de Copernic, dont l’origine durepère est le centre de gravité du système solaireet les axes trois directions d’étoiles lointainesest supposé être un tel référentiel avec une bonneapproximation.

dvF = 0 ⇒ γ = ---------- = 0 ⇒ v = Ctedt

Le symbole Cte signifie un vecteur constantquelconque.

Nous obtenons la loi de l’inertie : une particulelibre se déplace en ligne droite à vitesseconstante dans un référentiel galiléen (ouréférentiel non accéléré).

2 La transformation de Galilée, le Principe derelativité de Galilée. - A chaque référentielgaliléen est associé un système de coordonnées(x, y, z, t). Nous dirons alors parfois, par abusde language, système au lieu de référentiel. Latransformation de Galilée entre les deux-référentiels R et R (fig. 1.1) dont les vecteurs-unitaires sont égaux, O étant sur l’axe des x,s’exprime alors par les équations :

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- x = x + V t -y = y - z = z - t = t

-V est la vitesse de O par rapport à R,parallèle et de même sens que l’axe des x. Ladernière équation exprime l’existence d’un tempsabsolu.

La transformation de Galilée correspond bien aufait que tous les référentiels galiléens sont enmouvement de translation rectiligne uniforme lesuns par rapport aux autres. On le voit sur la loi-reliant x à x, les autres coordonnées étantidentiques. On obtient ensuite :

-dx dx - vx = ---------- = ---------- + V = vx + V d t dt - vy = vy - vz = v z

-Soit : v = v + V

C’est la loi de composition des vitesses. Ilvient ensuite :

-dv dv -γ = ---------- = ---------- = γd t d t

En particulier, une particule libre ayant uneaccélération nulle par rapport à un référentielgaliléen a bien une accélération nulle par rapportà tous les référentiels galiléens. Une telleparticule libre, en translation rectiligne uniformepar rapport à tout référentiel galiléen, définitelle même un référentiel galiléen et un seul danslequel elle est immobile. Nous appellerons ce

0référentiel, le référentiel ou système au repos R(sous entendu de la particule). Par abus delanguage, on peut dire que la particule est elle

0même ce référentiel galiléen R .Puisqu’une particule libre obéissant à la loi de

l’inertie, donc ayant un mouvement dit inertiel,0défini un tel référentiel R , et puisque tout

référentiel galiléen peut être considéré comme untel référentiel, nous appellerons également lesréférentiels galiléens des référentiel ou systèmesinertiels. Ainsi, pour trouver un référentielgaliléen, il suffit de suivre le mouvement d’une

0particule libre, et de prendre le référentiel R decette particule. Tout le problème consiste àvérifier qu’une particule est bien libre. Nous

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verrons la difficulté de cela au § 7 du chapitre 6

m étant supposée invariante, on arrive à :

- -F = m γ = m γ = F

La force est un invariant.

-R RI I -1 y 1 y1 1 V1 11 1 -------------------------------------L1 11 11 11 1 -------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L - O O x - - z z x

F i g. 1.1

Deux observateurs situés dans deux référentielsdifférents seront d’accord quant à la forceappliquée à une particule; ils trouveront la mêmevaleur. Ce que traduit le principe de relativité deGalilée : "Les lois de la mécanique sont les mêmesdans deux référentiels galiléens.".

Il est donc impossible par des expériences demécanique de privilégier un référentiel galiléenparticulier dont on dirait qu’il est immobile. Nousverrons dans l’étude de la Relativité restreintequ’aucune loi de la physique ne permet deprivilégier un référentiel galiléen par rapport àun autre. Le mouvement a donc un caractèrerelatif : Si, dans le vide interstellaire, deuxobjets bougent l’un par rapport à l’autre, il estimpossible de dire lequel est immobile, lequel esten mouvement; c’est une pure affaire de convention.Il en résulte que la phrase : " Je suis revenu aumême endroit à un autre moment " n’a pas de sens sil’on ne précise pas le référentiel choisi. Cetterelativité du mouvement qui s’oppose à laconception aristotélicienne du mouvement considérécomme absolu fut correctement comprise par Galilée(Galilée : 1564-1642). Cela lui permit d’affirmerque le mouvement de translation d’un objet sur lasurface de la Terre dû à la rotation de la Terresur elle même est indécelable. Il en est de même dumouvement de la Terre (30 km/s) dans sa courseautour du Soleil. Notons que cela correspond à unenécessité de simplicité : On voit mal les lois dela mécanique sur Terre changer entre le mois dejanvier et le mois de juillet (période pendantlaquelle le mouvement de la Terre par rapport auréférentiel de Copernic s’inverse), ou entre midiet minuit.

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3. Mesure de la masse et de la force. - Toutegrandeur physique doit être définie par un procédéexpérimental précis de sa mesure, au moins dans uneexpérience de pensée; qu’en est-il de F et γ ?Effectuons maintenant la démarche inverse de celledu § 1 . Le point de départ est le principe del’inertie et l’existence des référentielsgaliléens. Une particule isolée a un mouvementrectiligne uniforme dans un tel référentiel.Ensuite, ce principe est généralisé à un ensemblede particules. Cela correspond à une exigence desimplicité et d’autocohérence de la théorie : Uneparticule considérée comme élémentaire (atomed’hydrogène, proton ...) peut se révéler composéed’un assemblage de particules plus élémentaires(proton et électron, quarks ...). La théorie nedoit pas distinguer ces deux cas (élémentaire,composé) vis-à-vis du comportement externe.

Considérons N particules en interaction ou nonentre elles, mais sans interaction avec le reste del’univers (nous verrons la difficulté que présentecette dernière notion au § 13 du chapitre 6 ). Onsuppose alors l’existence d’un point G (centre degravité) obéissant encore au principe de l’inertie.On suppose l’existence de N paramètres m1,...,mNliés aux N particules de manière intrinsèque telsque :

--------Lmi OMi--------L OG = ------------------------------------------------------------------------ (1,1)Σ mi

To u t ceci est susceptible de vérificationsexpérimentales précises : Pour mesurer la massed’un corps A, il suffit de le faire interagir avecle corps B de masse unité; le point G de la droiteAB tel que GA/GB = Cte qui décrit une lignedroite dans un référentiel galiléen donne la massede A par : ma/1 = GB/GA . Les masses mi étantainsi déterminées, la relation (1,1) peut alorsêtre vérifiée. Notons que la donnée fondamentaleest l’existence de référentiels galiléens; nousreviendrons sur le problème de leur déterminationexpérimentale précise au § 13 du chapitre 6 .(1,1) donne :

mi VG = PG = mi Vi = Pi = Cte (1,2)

PG est la quantité de mouvement ou impulsiontotale du système de particules. Ce vecteur seconserve donc. Pi est la quantité de mouvement ou

emimpulsion de la i particule. En dérivant (1,2)nous obtenons :

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mi γi = 0 (1,3)

On définit alors les forces par :

Fi = mi γi (1,4)

Et on a :

Fi = 0 (1,5)

Ce qui est le principe de l’action et de laréaction. Ainsi (1,2) ⇔ (1,5) ; c’est à dire que leprincipe de l’action et de la réaction estéquivalent à la loi de la conservation del’impulsion.

4. Addition des forces. - La loi d’addition desforces est susceptible d’une vérificationexpérimentale. En faisant agir la particule M,d’abord avec M1 seule, puis avec M2 seule, puisavec M1 et M2, les positions de chaque particulerestant les mêmes. Les forces usuelles étant detype électromagnétique, la loi d’additioncorrespond à la linéarité de cette interaction.Prenant l’exemple de E (idem avec B), nous avons :

F = q E = F1 + F2 = q E1 + q E2

⇒ E = E1 + E2

5. Interprétation de la loi d’addition desforces. - En physique moderne (Théorie quantiquerelativiste), on interprète les interactions qui setraduisent ici par des forces, comme des échangesde particules virtuelles. Le mot virtuel vient dufait que ces particules ne sont pas détectées.Elles correspondent à des états quantiquesintermédiaires entre les états initiaux et finauxet servant aux calculs de diffusions ou de duréesde vies. Elles permettent de véhiculer l’impulsionéchangée par deux particules en interaction. Pourl’interaction électromagnétique, la particule dechamp est le photon. Pour la gravitation, il s’agitdu graviton. Pour l’interaction faible, il y atrois bosons (un boson est une particule de spinentier avec comme unité ; toutes les particules

+ - 0d’interaction sont des bosons) : W , W et Z .L’interaction forte correspond à huit gluons.

Une force correspond au débit d’impulsionF = dP/dt , l’impulsion dP étant véhiculée parles particules de champ frappant l’objet considérésoumis à la force. Une force F1 agissant surl’objet considéré, correspond à un débit departicules de type "1" avec F1 = dP1/dt . Uneforce F2 agissant sur le même objet correspond à un

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débit de particules de type "2" avec F2 = dP2/dt .Supposons maintenant que les particules de type "1"soient sans interaction avec les particules de type"2" (et réciproquement à cause du principe del’action et de la réaction), c’est à dire,intuitivement, que les deux types de particules nese voient pas. Lorsque les deux interactions "1" et"2" sont en présence simultanément, nous aurons :

dP dP1 + dP2F = ------------ = ------------------------------------------------ = F1 + F2d t d t

La présence des particules de type "2" ne modifieen effet en rien la nature et la fréquence deschocs entre l’objet et les particules de type "1"(et réciproquement); ces chocs correspondent audébit d’impulsion dP1/dt (et réciproquement).D’autre part les débits d’impulsion s’ajoutentcomme l’indique la dérivée de l’équation (1,2) quicorrespond à :

dPG = dP - dP1 - dP2 = 0

dP est la variation d’impulsion subie par laparticule matérielle; les variations d’impulsionsubies par les particules d’interaction sont - dP1et - dP2 .

Ainsi, la linéarité de l’interaction correspondau fait que les particules d’interaction sont sansinteraction entre elles. Tel est le cas del’interaction électromagnétique : dansl’interprétation de cette interaction en termesd’échange de photons, cela correspond au fait quele photon ne porte pas de charge électrique. Lesphotons sont donc sans action électrique les unssur les autres. Il faut remarquer que, enélectrodynamique quantique, un photon peut créerune paire virtuelle électron-positon. Par cetteintermédiaire, les photons peuvent agir trèsfaiblement entre eux. Ce qui est dit ci-dessusn’est donc vrai qu’en première approximation. Dansle cadre de l’électromagnétisme classique, lalinéarité de l’interaction se traduit par lalinéarité des équations de Maxwell à laquellecorrespond le principe de superposition des étatsd’équilibre.

Nous voyons donc que le lien entre une loimécanique : l’addition des forces, et une loi detype géométrique : l’addition des vecteurscorrespondant vient de la loi F = dP/dt avec-----LP = m v = m dM/dt . Le lien entre géométrie etmécanique vient ainsi de la loi définissant F et Pà partir des points M de l’espace, c’est à dire duprincipe de l’inertie pour le mouvement du centrede gravité d’un ensemble de corps.

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EXERCICES

1.1 Une particule fait des allers et retours dans lachambre d’un piston. Les chocs contre les paroissont parfaitement élastiques. vx = ± V ; V > 0 ;vy = 0 .

Le piston avance lentement vers la droite à lavitesse constante v µ V .

v------------------L------------------------------ww---------------------------------------------------------------------------------------------------e2 y I22 J------------------* 2 1--------------------------------------------------l2 2 122 V 2 122 2 1------------------------------xx---------------------------------------------------------------------------------------------------c -----k------------------------------LJ---------------------------------------------------------------------------------------------------L x

l

Montrez que le produit V l est constant. C’estun invariant adiabatique.

1.2 Déviation d’une particule au passage près d’unastre.

1. Ecrire l’expression de la vitesse encoordonnées polaires r et θ.

2. Pour un point matériel de masse m soumis à uneforce centrale due à l’attraction gravitationnelle

2d’un corps de masse M ( Fr = - G m M / r ), écrirela conservation de l’énergie E et du momentcinétique J.

3. En déduire les expressions de dr/dt dθ/dtpuis dθ/dr.

4. Une particule arrive de l’infini. La droitetrajectoire est à la distance b du point O centreattractif (paramètre d’impact b).

On prend comme axe des x l’axe passant par Oparallèle à la droite précédente et dirigé versl’endroit d’où vient la particule. L’angle polairede la particule est toujours positif. Exprimerl’angle de déviation D en fonction de la valeurprise par θ lorsque la distance à O est minimale;on note cette valeur θ(rmin); θ(r=+∞;t=-∞) = 0 .

5. Exprimer θ(rmin) par une intégrale en r.6. Dans l’intégrale précédente, exprimez E et J

en fonction du paramètre d’impact b et de lavitesse à l’infini v∞.

7. Calculez l’intégrale obtenue. On rappelleque :

⌠ dx x- ------------------------------------------------ = Arc cos ------------------------------------------------- a⌡ 2 2√ a - x

8. En déduire cos θ(rmin) puis tg θ(rmin).9. En déduire tg D/2 en fonction de G,M,b,v∞.

Le calcul précédent permet de connaitre ladéviation de la lumière au passage près du Soleil.

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On considère alors qu’elle est constituée departicules ponctuelles : les photons, obéissant àla Mécanique newtonienne et allant à la vitesse dela lumière : v∞ = C . On trouve la moitié de lavaleur exacte donnée par la Relativité générale.

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Chapitre Deux

DIFFICULTES DE LA MECANIQUE NEWTONIENNE

1. Vitesse des particules. - La Mécaniquenewtonienne implique l’existence de vitesses aussigrandes qu’on veut pour les particules de matière.-En effet, quelle que soit la vitesse v > 0considérée pour une particule dans le référentiel-R, elle sera plus grande dans le référentiel R :-v = v + V ; or les lois de la mécanique étant les-mêmes dans R et dans R , une particule peut donc se- -déplacer à la vitesse v > v dans R . Cependantl’expérience montre aussi bien en ce qui concerneles accélérateurs de particules que les rayonscosmiques qu’aucune particule de matière ne peutaller plus vite que la vitesse de la lumière.

2. Le problème de l’électromagnétisme. - Les loisde la mécanique sont covariantes par latransformation de Galilée; cela veut dire que leséquations sont les même dans deux référentielsdifférents, même si les variables peuvent prendredes valeurs différentes. Ainsi l’équation v = cte-pour une particule libre dans R s’écrit v = cte- -dans R; v ≠ v mais les deux équations sontidentiques. Les équations de Maxwell ne sont pascovariantes par la transformation de Galilée; sielle sont vraies dans un référentiel elles sontfausses dans un autre. Cela se voit tout de suitelorsque l’on sait qu’elles impliquent l’existenced’ondes dont la lumière visible fait partie sepropageant à la vitesse :

1C = ------------------------------------------------------------------√ ε µ

0 0

ε et µ étant mesurés par des expériences0 0

d’électrostatique et de magnétostatique. Celaimplique en particulier que la vitesse de lalumière est la même dans toutes les directions.-Mais si cela est vrai dans R, cela ne peut être-vrai dans R avec C = C + V . L’expérience deMichelson et Morley a vérifié que la vitesse de lalumière est une constante universelle et ne dépendpas du référentiel. Remarquons que la covariancedes lois de l’électromagnétisme correspond à unenécessité de simplicité : on voit mal les appareilsélectriques sur Terre fonctionner différemment en

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janvier et en juillet, ou à midi et à minuit (voir§ 1 du chapitre 3 ).

3. Expérience des deux barres. - Pour illustrersur un exemple concret la non covariance deséquations de l’électromagnétisme, envisageonsl’expérience de pensée suivante (fig. 2.1) : deuxbarres parallèles infinies (1) et (2) chargéesd’électricité statique avec la densité linéiqueλ > 0 , à la distance r l’une de l’autre, sont-immobiles dans R . Calculons la force subie par unélément de longueur l de la barre (2) (nous notons-ici v la vitesse de R par rapport à R) :

lJ-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L(1 )============================================================================================================================================================================================================================================================= λI r1

FB 1 B (2 ) =============================================================, ===========================================================i================i===================================================================================== 1 1FE 1 1 E λ1 <1< v------------------------------------------------L

Fi g . 2 .1

Soit E le champ électrique créé par la barre (1)en un point de la barre (2) (idem B). Le théorèmede Gauss donne :

λ l λ2 π r l E = --------------- ⇒ E = ----------------------------------------ε 2 π ε r0 0

2λ lF - = FE = q E = --------------------------------------R 2 π ε r0

FE est une force répulsive. Dans R, FE reste lamême, mais les charges en mouvement correspondent àun courant I = ρ v S = λ v car λ = ρ S ;le théorème d’Ampère donne :

µ λ v02 π r B = µ I ⇒ B = --------------------------------

0 2 π r

2 2λ v µ λ v l µ λ v l0 0FB = I B l = -------------------------------------------------------------- = ------------------------------------------------2 π r 2 π r

FB est attractive. La force totale vaut :

2 22 µ λ v lλ l 0F = -------------------------------------- - ------------------------------------------------R 2 π ε r 2 π r

0

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F ≠ F - , en contradiction avec l’invariance deR Rla force en mécanique newtonienne.

Ainsi, nous avons supposé que les équations del’électromagnétisme sont vraies dans R et dans-R et nous sommes arrivé à une contradiction avecla Mécanique newtonienne.

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Chapitre trois

LA RELATIVITE RESTREINTE : CINEMATIQUE

1. Le Principe de Relativité restreinte. -Puisque les équations de Maxwell supposées justesne sont pas covariantes par la transformation deGalilée, celle-ci doit être fausse. Nous allonsdonc chercher à la modifier. Nous ne nous limitonspas à l’électromagnétisme et supposons que toutesles lois de la physique sont les même dans tous lesréférentiel galiléens. Nous arrivons ainsi auPrincipe de relativité restreinte d’Einstein, plussimplement appelé principe de relativité, quigénéralise le principe de relativité de Galilée :" Les lois de la physique sont identiques dans tousles référentiels galiléens ". Aucune expérience dephysique ne permet donc de mesurer d’une manièreabsolue le mouvement puisque tous les référentielssont équivalents. La vitesse de la lumière qui sedéduit des lois de l’électromagnétisme est donc lamême dans tous les référentiels galiléens. Le mot" restreint " vient du fait que le Principe derelativité est limité aux mouvements detranslations rectilignes uniformes et ne s’appliquepas aux mouvements accélérés, en particulier auxmouvements de rotation. Ainsi, par exemple, unréférentiel en rotation est non galiléen; il s’ydéveloppe des forces centrifuges : une particulelibre ne s’y déplace pas en ligne droite.

Nous pouvons reprendre ici la remarque de la findu § 2 du chapitre 1 et celle de la fin du § 2du chapitre 2 en les appliquant à toutes les loisde la physique et en particulier aux lois del’électromagnétisme : il nous paraît tout à faitnaturel que tous nos appareils électriques etélectroniques fonctionnent exactement de la mêmemanière quelle que soit la période de l’année ou dela journée. Et pourtant, compte tenu des mouvementsdifférents de ces appareils par rapport auréférentiel de Copernic à ces différents moments,cela suppose la covariance des équations deMaxwell.

Plus encore, la constitution des corps solidesest d’origine électromagnétique. La modificationdes lois de l’électromagnétisme pourrait entraînerune déformation des solides qui serait a priorivariable suivant la matière dont ils sontconstitués. Le changement de vitesse de la Terresuivant les périodes de l’année casserait, par

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déformations différentes des parties, les solidesnon homogènes!

2. Coordonnées d’un évènement. - Nous allons voirpar la suite qu’il n’y a pas de temps absolu. Ilfaut donc définir avec précision comment le tempsest mesuré. Dans chaque référentiel galiléen il yaura un réseau d’horloges immobiles synchronisées,aussi proches qu’on veut les unes des autres,appellées horloges étalons. Nous omettrons souvent,quand il n’y aura pas d’ambiguïté, et pour raisonde simplicité, ce dernier adjectif.

Le mot étalon précise que le temps donné parl’horloge est le temps exact, compte tenu del’unité choisie. L’horloge étalon ne présente niavance ni retard par rapport à ce temps exact. Lefonctionnement d’une horloge étalon est basé sur unphénomène régulier permettant de mesurer le tempsqui s’écoule. Pour plus de précision, voir§ 10 du chapitre 7 .

Pour synchroniser ces horloges, nous disposons dedeux méthodes équivalentes. Nous pouvonstransporter une horloge étalon à une vitesse faibledevant celle de la lumière. Nous supposons que laMécanique newtonienne s’applique pour de telsobjets se déplaçant lentement dans un référentielgaliléen. Dans ce cas, l’horloge indiqueconstamment le temps absolu du référentiel. Ellepermettra de mettre à l’heure toutes les horlogesqu’elle rencontrera. Une autre méthode estd’utiliser la lumière. A l’instant t(1) nousenvoyons, de l’horloge étalon (1) une impulsionlumineuse vers l’horloge (2). Elle arrive àl’instant t(2) et elle est renvoyée par un miroirvers l’horloge (1) où elle arrive à l’instantt’(1). Le principe de relativité restreinteimplique que la lumière va à la même vitesse dansles deux sens. Nous avons donc :

t(1 ) + t’ (1 )t(2) = ----------------------------------------------2

Il suffit alors de retarder ou d’avancerl’horloge (2) du décalage qu’elle avait avec letemps théorique t(2) au moment de l’arrivée durayon lumineux sur le miroir, pour la mettre àl’heure.

Nous supposons alors que les horloges d’unréférentiel galiléen restent synchronisées; ellesmesurent le temps du référentiel.Un évènement E : désintégration d’une particule

etc, définit un lieu dans l’espace à un momentdonné. Un tel évènement est un point del’espace-temps; Il sera repéré par les troiscoordonnées x, y, z du lieu où il se produit et letemps t indiqué par l’horloge du référentiel situéeà cet endroit. Le lieu à un instant donné est un

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point de l’espace géométrique à trois dimensionsappellé simplement espace lorsqu’il n’y a pasd’ambïguité. Les quatre nombres notés :

0 t x 1 x x α= 2 = (x ) y x 3 z x

sont les coordonnées de l’évènement E dans leréférentiel choisi. Un indice écrit en lettresgrecques ira de 0 à 3 et correspondra auxvariables d’espace-temps. un indice écrit enlettres latines ira de 1 à 3 et correspondraaux variables d’espace :

0 x α(x ) = i x

3. La transformation spéciale de Lorentz. - Ilnous faut maintenant voir le lien entre les-β - αcoordonnées (x ) de l’événement E dans R et (x )dans R ; la barre au dessus d’un indice signifie-que la coordonnée correspondante est dans R. Les-référentiels R et R sont disposés comme sur la-figure 1.1 . Nous réglons les horloges de R et R de-façon à ce que lorsque O et O sont confondus, les-deux horloges respectivement liées à O et O-indiquent toutes les deux le temps 0 : t = t = 0 ,comme cela a été fait implicitement au § 2 duchapitre 1 .

Les variables t, x, y, z doivent être des- - - -fonctions linéaires de t, x, y, z pour qu’uneparticule libre ayant un mouvement rectiligne-uniforme dans R ait également un mouvementrectiligne uniforme dans R.- -De plus y = y et z = z pour tout évènement,sinon on pourrait distinguer un sens absolu sur ladroite des x : le sens de la vitesse du référentielqui correspondrait à la coordonnée la plus petite-par exemple (si on avait y < y cela impliquerait-également z < z par symétrie de rotation autourde l’axe des x). L’espace étant supposé isotropecela est impossible.

Considérons un rayon lumineux émis en O au moment-de la rencontre avec O. L’évènement E est icil’arrivée du rayon lumineux en un point. Le rayon-se propage à la vitesse C dans R et dans R. Sadirection est quelconque. Les repères d’espaceétant supposés orthonormés, nous avons :

2 2 2 2 2 2 -2 2-2 - 2 - 2 - 2s = C t -x -y -z = 0 et s = C t -x -y -z = 0

2 -2Les symboles 2 de s et de s viennent du faitque ces nombres seront interprétés comme les carrés

3 19

2 -2scalaires de vecteurs. Donc s = 0 ⇔ s = 0t, x, y, z étant des fonctions linéaires de- - - - 2 -2t, x, y, z , cela implique s = k s pour toutévènement qui n’annule pas ces nombres. Par raison-de symétrie entre R et R , nécessairement k = 1 :

2 -2 2 2 2 2 -2 -2s = s . Il vient : C t - x = C t - x .Puisque cette relation doit être vraie quels que- -soient y et z , y et z , x et t étant fixés ainsi- -que x et t , cela implique que x et t sont- -fonctions linéaires uniquement de x et t :

- - x = a x + b t - - t = c x + d t

- -Les coordonnées de O vérifient x = 0 soit

-x = b t = b t / d = v t

-La vitesse de R étant ainsi maintenant notée parun petit v nous avons pour O :

x = 0

-x b--------------- = - -------------- = - v- at

I l vient :

b = d v = a v ⇒ a = d

- - x = a x + a v t - - t = c x + a t

2 2 2 2 2 -2 2 - -C t - x = C c x + 2 C c a x t +

2 2 -2 2 - 2 2 - - 2 2 - 2C a t - a x - 2 a v x t - a v t =

2 -2 -2C t - x

Il vient :

2 2C c a - a v = 0

2a v 2 2 2 2 2 2 Cc = --------------------------- ; C a - a v = C ⇒ a = ------------------------------------2 2 2C C - v

On sait que a > 0 de façon à retrouver latransformation de Galilée pour v µ C ; donc :

4 20

v----------------21 Ca = -------------------------------------------------------------- c = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

2 2 2 2√ 1 - v / C √ 1 - v / C

La transformation des coordonnées correspondant àla situation particulière envisagée s’appelle latransformation spéciale de Lorentz. Elle s’écritdonc :

1 - v - x = ---------------------------------------------------------------- x + -------------------------------------------------------------- t -------------------------------------------------- ------------------------------------------------ 2 2 2 2 √ 1 - v / C √ 1 - v / C (3,1)v ---------------- 2 C - 1 - t = ---------------------------------------------------------------- x + -------------------------------------------------------------- t -------------------------------------------------- ------------------------------------------------ 2 2 2 2 √ 1 - v / C √ 1 - v / C

Soit th ϕ la tangente hyperbolique de ϕ ;posons th ϕ = v/ C ; on sait que

2 2ch ϕ - sh ϕ = 1

--------------------------------------2 2 21 - th ϕ = 1 / ch ϕ ch ϕ = 1 / √ 1 - th ϕ

---------------------------------------------------2 2= 1 / √ 1 - v / C

v----------------Csh ϕ = th ϕ ch ϕ = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

On arr ive à :

- -x = c h ϕ x + sh ϕ C t (3,2) - -C t = s h ϕ x + ch ϕ C t

Ces équations sont très symétriques;-l’utilisation de C t et C t permet cettesymétrie en ayant la même unité pour toutes lescoordonnées.Nous noterons désormais les coordonnées d’unévènement :

5 21

0 C t x 1 x x α= 2 = (x ) (3,3) y x 3 z x

Remarquons la grande analogie de latransformation spéciale de Lorentz avec leséquations d’un changement d’axes par une rotationd’angle θ en géométrie euclidienne :

- - x = cos θ x - s in θ y - - y = s in θ x + cos θ y

Le passage des fonctions trigonométriques auxfonctions hyperboliques vient du fait quel’invariant n’est plus la distance usuelle :

2 2 2 2 2x + y ; mais l’intervalle : C t - x avecl’apparition d’un signe moins.

4. Relativité de la simultanéité. - Nous voyons-tout de suite que deux évènements simultanés dans R-(même t) ne le sont pas dans R dès qu’ils se-produisent en deux endroits différents (xdifférent). La Relativité restreinte établit ainsiune symétrie entre l’espace et le temps : la phrase" Ces deux évènements se sont produits en mêmetemps en deux endroits différents " n’a pas de senssi on ne précise pas le référentiel; de même que laphrase " Ces deux évènements se sont produits aumême endroit à deux instants différents "(voir § 2du chapitre 1 ).

5. Dilatation des temps. - Considérons une-horloge étalon fixée en O . Ses coordonnées sont :- - -x = y = z = 0 ; la transformation de Lorentz donne-C t = ch ϕ C t ; soit :

1 -t = -------------------------------------------------------------- t (3,4)------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

-Le temps t croît donc plus vite que le temps t .Il semble donc, vu du référentiel R , que l’horloge-fixée en O retarde, indiquant ainsi un temps pluspetit que celui de R. Autrement dit, le temps de-R , vu de R , semble dilaté; c’est à dire qu’ils’écoule plus lentement.

Il faut insister sur le fait que ce phénomènecorrespond à une propriété physique del’espace-temps et affecte de la même manière tousles processus physiques réguliers pouvant-servir d’horloges (voir § 10 du chapitre 7 ).-Le fait que les horloges de R, vues de R,retardent semble contredire la symétrie parfaitequi doit exister entre tous les référentiels

6 22

galiléens, compte tenu du principe de relativité.Il semble impossible que les horloges de R puissent-également retarder, vues de R . Le paradoxe estrésolu lorsqu’on se rend compte que la dissymétrieest introduite par le processus de mesure. En- -effet, une seule horloge de R mesure le temps t,tandis qu’une multitude d’horloges de R donnent letemps t, les horloges coïncidant avec les-différentes positions dans R de l’horloge de Rétudiée.

Les instant origines étant maintenant-quelconques, le point O ne coïncident pas avec O àt = 0 , la relation (3,4) n’est plus valable.Cependant, nous pouvons toujours écrire, utilisantles différentielles :

------------------------------------------------- 2 2dt = √ 1 - v / C dt (3,5)

6. Temps propre. - Considérons maintenant unehorloge étalon ayant un mouvement quelconque, c’està dire ayant une accélération non nulle par rapportaux référentiels galiléens. Cette accélération peutêtre elle même variable.

Nous faisons ici l’hypothèse que la relation(3,5) est toujours valable. Ainsi, nous supposonsque l’accélération d’une horloge étalon par rapportà un système inertiel n’a aucune influence sur lefonctionnement de cette horloge (voir§ 10 du chapitre 7 ). L’accroissement du temps decette horloge donné par l’équation (3,5) est ainsiégal à l’accroissement de temps dans le référentiel

0inertiel R dans lequel l’horloge est immobile àl’instant considéré. Cet accroissement de tempssera appelé accroissement du temps propre del’horloge et noté dτ . Nous arrivons donc à :

------------------------------------------------2 2dτ = √ 1 - v / C dt (3,6)

Pour un mouvement quelconque de l’horloge entreles évènements (1) et (2) , l’accroissement detemps propre de l’horloge sera alors :

t2⌠ ------------------------------------------------2 2τ2 - τ1 = √ 1 - v / C dt (3,7)

⌡t1

Bien sûr, le mouvement complet entre lesévènements (1) et (2) doit être repéré toujoursavec le même référentiel inertiel.

Nous devons insister sur le fait que l’hypothèseque nous venons de faire a une très grandeimportance et représente un saut dans l’inconnu. LaRelativité restreinte traite des mouvements desréférentiels galiléens les uns par rapport auxautres, donc elle ne traite que les mouvements de

7 23

translation rectilignes uniformes. Nous venons icide passer aux référentiels accélérés, donc dequitter la Relativité restreinte proprement dite.Nous verrons dans l’étude de la Relativitégénérale, que l’action d’une accélération est lamême qu’une action gravitationnelle. Donc, aveccette hypothèse, nous venons en fait de faire unpremier pas dans la Relativité générale.

7. Contraction des longueurs. - Cherchons quelleest la longueur l dans R d’une barre rigide de- -longueur l dans R. Pour mesurer sa longueur dans unréférentiel, il faut considérer ses deux extrémitésau même instant suivant le temps du référentiel.- - -Les extrémités sont par exemple x = 0 et x = l- -dans R; supposons que à t = t = 0 , l’extrémitégauche soit en x = 0 ; l’extrémité droite est en- -x = ch φ x + sh φ C t avec :

- -0 = C t = sh ϕ x + ch ϕ C t

- sh ϕ -x = ch ϕ l + sh ϕ - --------------------- l ch ϕ

- - 2 2 l l -= ch ϕ - sh ϕ -------------------- = -------------------- < l ch ϕ ch ϕ

-ll = -------------------- (3,8)ch ϕ-Ainsi, l < l . Dans ce phénomène de contraction

des longueurs, il s’agit encore d’une propriétéphysique, géométrique, de l’espace-temps et non pasd’une compression de la barre qui est supposéeparfaitement rigide (voir § 10 du chapitre 7 ).Ainsi un solide animé d’une grande vitesse tientmoins de place qu’immobile.

Nous faisons maintenant ici une hypothèseanalogue à celle du paragraphe précédent. Noussupposons que l’accélération d’un corps n’a pasd’effet sur les longueurs. Ainsi, pour connaître lalongueur d’un petit objet en accélération, ilsuffit de connaître la longueur qu’aurait le même

0objet fixé dans son système d’inertie R (donc avecla même vitesse, mais sans accélération) au momentconsidéré. Pour un objet étendu, la longueur seramesurée par intégration des longueurs élémentairesobtenues grâce à l’hypothèse ci-dessus.

8. Les quadrivecteurs. - La transformationspéciale de Lorentz peut s’écrire, avec un produitde matrices, de la manière suivante :

8 24

- C t ch ϕ sh ϕ 0 0 C t - x sh ϕ ch ϕ 0 0 x = (3,9) - y 0 0 1 0 y - z 0 0 0 1 z -α βSoit : (x ) = Λ (x )

ou :

- α βx = Λ x

αΛ = (Λ -) que nous appellerons matrice deβ αLorentz est la matrice d’élément général Λ -β

écrite en (3,9). On écrit :

- -α α β α βx = Λ - x = Λ - x (3,10) β β-β

avec la convention d’Einstein : la sommation estsous entendue quand le même indice apparaît unefois en position haute, une fois en position basse.On appelle un tel indice : indice muet, car on peutchanger sa notation sans changer le sens del’expression mathématique écrite.αPour la matrice (Λ -) , l’indice en positionβhaute est un indice de ligne, l’indice en positionbasse est un indice de colonne. C’est également leαcas pour les matrices colonnes (x ) etβ(x ) ; elles ont bien des indices en position haute(indices de lignes). Nous verrons que, une fois laposition haute choisie pour l’indice descomposantes d’un vecteur, la convention d’Einsteinimpose la position de tous les indices quiinterviendront. Ce qui est remarquable, c’est qu’ily aura toujours une solution et une seule pourcette position. Ainsi, nous devrons mettre lesindices des vecteurs de base de l’espace enposition basse de façon à pouvoir écrire :

iV = V e (3,11)iipour tout vecteur V . Les nombres V sont les

composantes de V , la base étant notée e .iL’équation (3,11) peut s’écrire matriciellement

comme produit d’une matrice ligne par une matricecolonne placée à sa droite :

9 25

j jV = (_______________ e _______________) x = (e ) (x )i i

i iNous avons posé : e x = x e (ssi) . (ssi)i iveut dire : sans sommation sur l’indice i .

Dans ce dernier cas, la matrice ligne a bienencore des indices en position basse (indices decolonnes). Nous verrons cependant au chapitre 5(calcul tensoriel), que cette convention de laposition des indices des lignes et des colonnespour une matrice n’est pas générale.

Si les axes de R ne sont plus parallèles aux axes-de R, les origines des temps et des coordonnéesétant également quelconques, la transformation descoordonnées s’appelle simplement la transformationde Lorentz. Pour une telle transformation, nousavons :

-α α β αx = Λ - x + c (3,12)βαLes c sont des constantes quelconques. Λ est le

produit de la matrice de la transformation spécialede Lorentz (3,9) par une matrice de la forme(3,13) :

1 0 0 0 0 u----------------------------o 1 (3,13) 0 1 U 1 1 1 0 m----------------------------.

U est une matrice inversible quelconque. U estune matrice orthogonale dans le cas où les axes deR sont encore orthonormés.

Supposons dans ce qui suit que les axes de R---------soient quelconques : αSoient deux évènements A et B de coordonnées a- -α α β -et b dans R et a et b dans R :

- -α α β α α α β αa = Λ - a + c ; b = Λ - b + cβ βα α α⇒ ∆x = b - a (3,14)

- - - - -α β α β α β β α β= Λ - b - Λ - a = Λ - (b - a ) = Λ - ∆ xβ β β β

-α α β∆x = Λ - ∆x (3,15)β

Revenons aux vecteurs du chapitre 1 , le vecteurforce par exemple. Ce vecteur était visualisé

10 26

géométriquement par une flèche dans l’espace àtrois dimensions, mais pour des calculs numériqueson utilise les composantes qui sont un ensemble detrois nombres se transformant suivant : (3,16) dansle changement de repère défini par (3,17) :

-i i jF = U - F (3,16)j

ie- = U - e (3,17)j j i

On dit qu’un vecteur est contravariant car la loide transformation (3,16) est opposée d’une certainemanière à la loi définissant le changement debase (3,17). Cette dernière loi est ditecovariante. La matrice U donne la nouvelle base(e-) en fonction de l’ancienne (e ), mais donne lesj ianciennes composantes en fonction des nouvelles; deplus dans (3,16) il y a sommation sur les colonneset dans (3,17) sur les lignes. Remarquons que laconvention d’Einstein permet d’écrireautomatiquement les formules (3,16) et (3,17) sansaucune ambiguïté.

Nous noterons également :

- - -j j i jF = U F et e = U e-i i i j

Ainsi :

-j i -1(U ) = (U -) (3,18)i j

-j iLes deux matrices (U ) et (U -) sonti jinverses l’une de l’autre. Aucune ambiguïté

-1n’existe avec cette notation entre U et U . Nouspouvons écrire :

-i k iU - U = δk j j

iδ est le symbole de Kronecker. Il vaut 1jlorsque i = j et 0 lorsque i ≠ j . Suivant lescas, et pour avoir la même position des indices nonmuets dans les deux membres d’une équation, nousnoterons également ce symbole :

ijδ ou δij

Remarquons que dans toutes les formules-ci-dessus, nous pouvons remplacer sans ambiguité j- - -par i, en ayant ainsi les indices j et i (idem β-par α). Nous utiliserons parfois cette notation par

11 27

la suite.La structure mathématique représentée par la loi

de transformation (3,15) est la même que celle dela loi (3,16) sauf qu’il y a un nombre en plus. Onpeut donc considérer l’ensemble des quatre nombresα∆x dans un référentiel muni de la loi detransformation (3,15) comme un vecteur d’un espaceà quatre dimensions que nous appellerons l’espacede Minkowski. On dit qu’on a un quadrivecteur;c’est ici le quadrivecteur déplacement. On a bienune structure d’espace vectoriel. La somme consisteà ajouter terme à terme les composantes, le produitexterne par un nombre consiste à multiplier toutesles composantes par ce nombre. Ces opérationspeuvent être effectuées dans n’importe quelréférentiel. On peut dire qu’un vecteur est laclasse d’équivalence des couples (Référentiels,Composantes) munis de la relation d’équivalencedéfinie par (3,15). Cette relation d’équivalenceest bien stable pour l’addition interne, et lamultiplication externe par un scalaire. Lastabilité pour l’addition est détaillée dans leséquations (4,1). Dorénavant tout ensemble de quatrenombres se transformant suivant (3,15) dans unchangement de référentiel représentera unquadrivecteur. Les quadrivecteurs seront symboliséspar une lettre surmontée d’une flèche. Leréférentiel auquel correspond les composantes seramis en indice lorsque nous écrirons lequadrivecteur comme vecteur colonne de sescomposantes.; nous omettrons cet indice lorsqu’iln’y aura pas d’ambiguïté. On écrit :

- α β∆x = (∆x ) = (∆x ) -R RPosons :

1 0 0 0 0 1 0 0 e = ; e = ; e = ; e = (3,19)

0 0 1 0 2 1 3 0 0 0 0 1 R R R R

Ces quatre vecteurs forment une base del’espace de Minkowski. On a :

α ∆x = ∆x e (3,20)α

Avec la même convention pour les vecteurs de-base obtenus au moyen de R, nous avons :

- - α α β β ∆x = ∆x e = Λ - ∆x e = ∆x e -α β α β

12 28

α ⇒ e - = Λ - e (3,21)β β α

Cette dernière équation est l’analogue dansl’espace de Minkowski de (3,17).

Résumons nous : un référentiel galiléen est munid’un repère orthonormé de l’espace à troisdimensions et d’un réseau d’horloges donnant letemps du référentiel. Il lui correspond un repèrede l’espace-temps constitué de quatre vecteurs debase de l’espace de Minkowski et d’une origine,l’évènement qui consiste en l’existence du point Oau temps t = 0 . Cet évènement est noté O .

9. Le produit scalaire. - Dans ce paragraphe,nous supposons les axes d’espace de R orthonormés.---------

Posons :

2 0 2 1 2 2 2 3 2a = (a ) - (a ) - (a ) - (a ) (3,22)

Cette quantité est invariante par changement deréférentiel. En effet (3,15) appliquée à a donne :

-α α βa = Λ - a (3,23)βce qui implique que nous avons également :

- - - -2 0 2 1 2 2 2 3 2a = (a ) - (a ) - (a ) - (a )

En effet, la matrice de la transformation (3,23)est le produit de la matrice (3,13) écrite avec Uorthogonale, par la matrice écrite en (3,9). Lesdeux transformations correspondantes laissentd’une manière évidente la quantité (3,22)invariante.

On a donc bien un nombre associé d’une manièreintrinsèque au quadrivecteur a . Posonsmaintenant :

u o 1 1 2

2

2 1a . b = --------------- 1 (a + b) - a - b 12 1 1m .

On a bien une quantité invariante, tous lestermes du membre de droite étant invariants. Uncalcul simple montre que :

0 0 1 1 2 2 3 3a . b = a b - a b - a b - a b (3,24)

0 0a . b = a b - a b (3,25)

avec :

13 29

1 a 2 ia = a = (a )3 a

La relation (3,25) permet de définir le produitscalaire lorsque le repère d’espace n’est pasorthonormé.

Il est facile de vérifier que a . b vérifie lesaxiomes d’un produit scalaire :

a . (λ b) = (λ a) . b = λ (a . b) (3,26)

a . b = b . a (3,27)

a . (c + d) = a . c + a . d (3,28)

La seule différence avec un espace euclidien est2

que a = a . a peut être négatif ou nul avec

2a ≠ 0 , en particulier e = - 1 (dans un espaceieuclidien, un tel nombre est strictement positifpour un vecteur non nul); on dit qu’on a un espacepseudo-euclidien.

2

a est le carré scalaire de a ; d’où la2justification du symbole 2 dans s car :

2

2s = (∆x) ; avec B = E et A = O . Nousappellerons, comme dans le cas des espaceseuclidiens, produit scalaire des deux vecteurs a et b le nombre a . b .

La base e est telle que :α e . e = ± δ (3,29)α β αβ

C’est ce que les mathématiciens appellent unebase type dans un espace pseudo-euclidien. Cettenotion généralise celle de base orthonormée enespace euclidien.

La mesure du temps dans un référentiel galiléendonne automatiquement un axe des temps dansl’espace de Minkowski de vecteur de base normé ( e . e = 1 ) et perpendiculaire aux axes

0 0d’espace.

10. Conclusion. - Nous avons donc construit unespace vectoriel à quatre dimensions, l’espace deMinkowski, muni d’un produit scalaire, et ayantainsi la structure d’espace pseudo-euclidien. Adeux évènements quelconques A et B deα αl’espace-temps de coordonnées a et b on associeun vecteur unique de l’espace de Minkowski, levecteur déplacement :

14 30

-------------L α α A B = (b - a ) e (3,30)α

-------------L α A B = ∆x e = ∆x (3,31)α

D’autre part, il est facile de vérifier que-------------L -------------L -------------L -------------L -------------LA B = - B A et que A B + B C = A C ; enfin,quel que soit le quadrivecteur V , il existe un------------ L évènement unique M tel que O M = V . Cesrelations correspondent aux axiomes d’un espaceaffine sur un espace vectoriel.-------------L2

2 2A B = ∆x = ∆s est appelé l’intervalle entre

les deux évènements A et B . L’intervallegénéralise la notion de distance d entre deuxpoints de l’espace (espace affine euclidien).

0 ∆x = C ∆t 1 α ∆x = ∆x ∆x = (∆x ) = 2 (3,32) ∆x = ∆y 3 ∆x = ∆z

Il vient donc, lorsque le repère d’espace estorthonormé :

2 2 2 2 2 2∆x = C ∆t - ∆x - ∆y - ∆z (3,33)

Si il est quelconque, on a encore :

2 2 2 2∆x = C ∆t - d (3,34)

d est la distance spatiale des deux évènements.2Lorsque ∆s > 0 on parle d’intervalle du genre

2temps; lorsque ∆s < 0 on parle d’intervalle du2genre espace; et enfin lorsque ∆s = 0 on parle

d’intervalle du genre lumière. Le même language est2

2

utilisé pour le carré scalaire a : a > 0 ⇒ aquadrivecteur du genre temps. Cette notion estintrinsèque. Lorsque l’intervalle est du genreespace, il existe un référentiel galiléen danslequel les deux évènements sont simultanés en deuxendroits différents. Lorsque l’intervalle est dugenre temps, il existe un référentiel galiléen danslequel les deux évènements ont lieu au même endroità des instants différents.

En conclusion, l’espace-temps a la structure d’unespace affine sur un espace vectorielpseudo-euclidien à quatre dimensions, l’espacevectoriel des quadrivecteurs, ou espace deMinkowski. La Relativité restreinte, qui correspondà cette structure, lie ainsi physiquement l’espaceet le temps.

Précisons maintenant la terminologie que nousutiliserons par la suite :

Un référentiel galiléen, donnée d’un repèred’espace (à priori quelconque, non nécessairement

15 31

orthonormé) et d’un temps correspond à la donnéed’un repère de l’espace-temps. Les coordonnéescorrespondantes sont appelées coordonnéesgaliléennes. Lorsque le repère d’espace estorthonormé, et lorsqu’on mesure le temps avec la

0coordonnée x = C t , les équations (3,29) sontvérifiées; on a un repère type de l’espace-temps.Nous dirons alors qu’on a des coordonnéesgaliléennes types. Ceci généralise les repèresorthonormés de l’espace euclidien et lescoordonnées correspondantes, au cas del’espace-temps de la Relativité restreinte.

Les coordonnées galiléennes sont ce qu’on appelled’une manière générale des coordonnées rectilignesou cartésiennes (voir § 3 chapitre 9 ). Lescoordonnées galiléennes types sont ce qu’on appelledes coordonnées rectilignes ou cartésiennes types,ou coordonnées types. Elles ont pour équivalent enespace euclidien les coordonnées orthonormées(obtenues avec un repère orthonormé). Notons,d’après (3,34) que l’axe des temps est toujoursorthogonal aux axes d’espace (voir également ladernière remarque du § 8 ).

L’espace-temps de la Relativité restreinte,espace affine sur l’espace de Minkowski seraappelé l’espace-temps plat. ou espace-temps platpseudo-euclidien. Nous verrons en effet au § 8 duchapitre 11 qu’un tel espace a une courbure nulle,donc est plat, comme le plan, en opposition à lasurface d’une sphère par exemple.

Ceci sera également en opposition avecl’espace-temps de la Relativité générale dont nousverrons qu’il possède une courbure non nulle. Dansla Théorie de la relativité restreinte, nous avonsun espace-temps plat global. En Relativitégénérale, nous verrons que nous avons desespaces-temps plats locaux dans des régionssuffisamment petites de l’espace-temps, danslesquelles la Relativité restreinte s’applique(voir § 2 chapitre 12 ).

16 32

EXERCICE

-- -3.1 R est animé de la vitesse vr par rapport à R, et-R est animé de la vitesse ve par rapport à R. ve et-- -vr sont parallèles aux axes x, x, et x .1. Exprimez la formule de composition de ces

vitesses colinéaires en utilisant l’équation (3,2)mise sous la forme matricielle correspondant à(3,9).

2. Que donne la formule pour vr µ C etve µ C ; et pour ve C ?

17 33

34

Chapitre Quatre

LA RELATIVITE RESTREINTE : MECANIQUE

1. Abandon de l’impulsion newtonienne. -Maintenant que nous avons changé la loi detransformation des coordonnées dans un changementde référentiel, il nous faut voir si les lois de lamécanique sont encore covariantes. Nous allonsexaminer la covariance de la loi de conservation del’impulsion (1,2) : Σ Pi = Cte , avec l’expressionnewtonienne de l’impulsion P = m v , donnée parcette même équation (1,2). Supposant cette loi-vraie dans R, nous allons voir si elle est vraiedans R.

Envisageons deux particules, M1 de masse m1 et M2de masse m2. La particule M1 est animée de la- -vitesse v µ C vers la droite par rapport à R,tandis que M2 est animée de la vitesse C vers la-gauche, par rapport à R (fig. 4.1) :

-- v CR . ------------------------L . J------------------------------------------------------------------------- .-M1 O M2

Fig. 4. 1

-Nous supposons que m1 v = m2 C de telle sorteque l’impulsion totale soit nulle. Une situationenvisageable est donc que les deux particules se-lient en O puis restent immobiles.

Vue dans R, la situation finale consiste en deuxparticules animées de la même vitesse V, vitesse de-R par rapport à R. Nous savons qu’une particuleanimée de la vitesse C dans un référentiel a cettevitesse par rapport à tout référentiel (nous avonsconstruit la transformation de Lorentz pour qu’il-en soit ainsi). D’autre part, les vitesses v et Vétant supposées faibles devant celle de la lumière,la loi newtonienne de composition des vitesses jouepour la particule M1 . Nous pouvons maintenantexaminer les impulsions vues de R.

Avant le choc, nous avons :

-Pi = m1 ( v + V ) - m2 C = m1 V

Après le choc :

1 35

Pi = ( m1 + m2 ) V

La loi de conservation de l’impulsion supposée-vraie dans R est donc fausse dans R! Cette loin’est pas covariante. Nous avons maintenant lechoix de l’abandonner ou de modifier de manièreadéquate l’expression mathématique de l’impulsion,de façon à rendre la loi covariante.

Rappelons nous que cette loi vient directement duprincipe de l’inertie que nous avons généralisé àun ensemble de plusieurs particules. Nous avonsfait cela de façon à ne pas distinguer lesparticules élémentaires de celles qui ne le sontpas vis-à-vis du comportement externe. Il s’agitd’une telle exigence de simplicité etd’autocohérence de la théorie que nous allonsessayer de conserver cette loi tout en la rendantcovariante.

Il nous faut préciser ici que nous ne nousservons plus de la notion de centre de gravité, carelle n’est pas intrinsèque : pour déterminer laposition de G, il nous faut envisager lesdifférents points Mi simultanément, et cela dépenddu référentiel choisi. G dépend donc du référentielet n’a plus d’utilité.

2. L’impulsion relativiste. - Essayons d’utiliserla nouvelle structure découverte en relativité :les quadrivecteurs. Supposons donc qu’on arrive àdéfinir un quadrivecteur impulsion. Une égalitéentre quadrivecteurs est automatiquementcovariante, et cela vient de l’existence même del’espace de Minkowski; cependant nous allons ledétailler ici avec les composantes. Nous avonsalors, pour l’exemple des deux particules considéré-au § 1 , dans R :

- - - -β β β βP1 + P2 = Q1 + Q2

P1 et P2 sont les impulsions des particules M1

et M2 avant le choc, Q1 et Q2 après le choc.Dans R :

- -α α α β α βP1 + P2 = Λ - P1 + Λ - P2β β- - - -α β β α β β = Λ - P1 + P2 = Λ - Q1 + Q2 (4,1)β β

- -α β α β α α= Λ - Q1 + Λ - Q2 = Q1 + Q2β βLa loi est donc vraie également dans R, donc

covariante. La suite d’égalités que nous venonsd’écrire correspond tout simplement à l’écriture à

2 36

- -l’aller (R vers R) et au retour (R vers R) de lastabilité de la relation d’équivalence (3,15) pourl’addition (à la base, avec la stabilité pour laloi externe, de l’existence de l’espace de-Minkowski), et au milieu, à l’écriture dans R de laconservation de l’impulsion.

Il nous reste a trouver un quadrivecteur, le plussimple possible, redonnant l’impulsion newtoniennepour les vitesses faibles.

m est un invariant ainsi que le temps propre τ;nous avons alors un quadrivecteur par :

dxP = m ---------- (4,2)dτ

Détaillons les termes de cette formule : onconsidère deux évènements infiniments proches quisont l’existence de la particule à deux instantsvoisins. Il suffit, pour avoir une image mentale decela, d’imaginer que la particule clignote. Lesdeux évènements sont deux allumages successifs duclignotant fixé sur la particule. dτ est alors ladurée séparant ces deux allumages telle quelle estindiquée par l’horloge étalon fixée sur laparticule; c’est l’accroissement infinitésimal detemps propre. dx est le quadrivecteur déplacementde la particule entre ces deux évènements. P,produit du quadrivecteur dx par le scalaire m/dτest bien également un quadrivecteur. Ecrivons sescomposantes :

C dt m -------------------- dτ dx m ---------- m C ch ϕ dτ P = = = m C U(4,3) dy m ---------- m v ch ϕ dτ dz m ---------- dτ

d t / dτ ch ϕ α dx / C dτ 1 dx U = = = ----------------- ---------- (4,4) v dy / C dτ C dτ ----------------- ch ϕ C dz / C dτ U est appellée quadrivitesse de la particule. Ses

trois composantes d’espace ont pour limite v/Cquand v µ C .

On notera également :

0 U v U = ----------------- ch ϕ ; U = C U

3 37

2v1 - ----------------2 2 2 2 2 2

2 C dt - dx - dy - dz CU = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------------2 2 2C dτ dτ-------------------

2dt

(3,6) donne alors :

2U = 1 (4,5)

et nous pouvons écrire :

2

2 2 2 2 2 2 2 2ds = dx = C dτ = C dt - dx - dy - dz (4,6)

2ds , intervalle infinitésimal est appelé élémentlinéaire ou élément métrique. Il généralise àl’espace de Minkowski l’élément de longueur del’espace dl vérifiant :

2 2 2 2dl = dx + dy + dz

Les signes moins dans l’élément linéaire viennentdu fait qu’on a affaire a un espacepseudo-euclidien. On voit sur la formule (4,6) quelorsque l’élément linéaire est du genre temps, ilest égal au produit du carré de la vitesse de lalumière par l’accroissement infinitésimal du tempspropre dτ.

Rappellons ( § 6 chapitre 3 ) que cette durée dτest l’accroissement du temps dans le référentiel

0galiléen R de la particule au moment considéré,référentiel dans lequel les deux évènements (deuxallumages successifs du clignotant) ont lieu aumême endroit. Ce qui vient d’être dit s’écrit :

2 2 2 2C dτ = C dt pour dx = dy = dz = 0 . A partirde là, et de l’invariance de l’élément linéaire, on

2retrouve l’expression donnée en (4,6) de dτ , puis2 2en divisant (4,6) par C dt , on retrouve (3,6).

2 2Enfin, en divisant (4,6) par C dτ , on retrouve2U = 1 .Pour les vitesses faibles devant C, nous avons :

m C P (4,7)P

Nous retrouvons bien la loi de conservation del’impulsion newtonienne (1,2) aux faibles vitesses,si nous supposons que le quadrivecteur P total d’unensemble de particules isolées du reste del’univers se conserve. Nous ferons donc cettehypothèse que l’expérience confirme.

La loi de conservation correspondant à lapremière composante de P traduit une autre loi : la

4 38

conservation de l’énergie. En effet :

2 2 ϕ v m C ch ϕ m C 1 + --------------- m C 1 + --------------------- 2 2 2 C

1 2 1 2 E= ----------------- m C + --------------- m v = -----------------C 2 C

avec :

2 1 2E m C + --------------- m v (4,8)2

1 2--------------- m v est l’énergie cinétique newtonienne; mais2il apparaît un terme d’énergie au repos liéedirectement à la masse, d’où la célèbre formule :

2E = m C .Cela permet d’envisager, lors d’un choc, la

création ou la destruction de particules, l’énergie2de masse m C étant convertie en vitesse des

autres particules. Cela a couramment lieu dans lesaccélérateurs de particules; la Mécaniquenewtonienne était incapable de prendre en compte detelles expériences.

Remarquons cependant que la Mécanique newtonienneprend en compte la désintégration d’un systèmecomposé comme l’ionisation de l’atome d’hydrogènepar exemple. La relativité permet de ne pas fairede distinction entre les particules élémentaires etcelles qui ne le sont pas dans ce genre deréaction; voir à ce sujet le § 3 . Ainsi, uneexpérience de désintégration ne permet pas desavoir si les particules en jeu sont élémentairesou non. Cet idée de comportement extérieur communpour les particules élémentaires et composéesexistait déjà en Mécanique newtonienne ( § 3 ,chapitre 1 ). Elle est étendue grâce à larelativité au cas où le système n’est plusinvariable (désintégration). Cette idée estégalement reprise en Mécanique quantique. EnMécanique quantique classique, on parle de l’étatquantique d’un électron dans l’atome d’hydrogène;l’atome d’hydrogène est alors décrit par lesnombres quantiques correspondant (orbitales). EnMécanique quantique relativiste, l’électronlui-même, pourtant considéré comme rigoureusementélémentaire est un état quantique.

La Relativité restreinte nous permet d’unifierdeux lois distinctes de la Mécanique newtonienne,la conservation de l’impulsion et la conservationde l’énergie. De plus, nous avons approfondi laconnaissance de cette dernière en découvrant unnouveau type d’énergie, l’énergie d’un corpsimmobile liée directement à sa masse.

Dorénavant, nous écrirons :

5 39

E ----------------- CP = (4,9) P

Le vecteur de l’espace P est la généralisation del’impulsion newtonienne que nous écrirons avec lamême lettre.

22 m CE = m C ch ϕ = -------------------------------------------------------------------- (4,10)------------------------------------------------------

2 2√ 1 - v / C

m vP = m v ch ϕ = ------------------------------------------------------------------ (4,11)----------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

Nous appellerons dorénavant le quadrivecteur P :

quadrivecteur impulsion-énergie.

22 2 2

2 2 2 E 2P = m C U = m C = ---------------- - P

2CD’où la formule :

2 2 2 2 4E - P C = m C (4,12)

qui remplace la formule newtonienne :

2PE = --------------------2 m

L’énergie E de la particule se compose donc de2deux termes : m C est l’énergie de masse ou

énergie de repos , P C est l’énergie cinétique------------2liée au mouvement ( P =

P = √ P est la norme

de P ; la norme d’un vecteur noté en caractère grassera toujours notée en caractère non gras).

3. Création d’une particule massique avec desparticules de masses nulles. - Lorsque m 0 ,(4,3) montre que P 0 (nous verrons au § 7 quenécessairement v µ C ; v est bornée) sauf sich ϕ + ∞ . Envisageons le cas limite obtenu quand

2m ch ϕ a une limite finie : E/C . Nous avons uneparticule de masse nulle dont le quadrivecteurimpulsion-énergie est donné par (4,9) avecE = P C . Cela correspond bien à la formule(4,12) avec m = 0 . Toute l’énergie est sous formecinétique. Il existe en effet de telles particules.Ainsi, le photon est de masse nulle avec E = h ν ,donc P = h ν/C .

Considérons maintenant l’expérience de pensée-suivante : dans R, une boîte de masse nulle(fig. 4.2) aux parois parfaitement réfléchissantescontient deux photons de même énergie faisant des

6 40

-allers et retours le long de l’axe des y en ayanttoujours des vitesses opposées. Calculons lequadrivecteur impulsion-énergie total, tout d’abord-avec ses composantes dans R :

-u-------------------------------------------------------------o I y1 1 11

1 11 I

1 11

1 11

< 1 111 1m-------------------------------------------------------------.

Fig. 4 .2

- h ν/C h ν/C βP 0 0 = + h ν/C - h ν/C 0 0

2 h ν/C m C 0 0 = = 0 0 0 0

2 2m = 2 h ν/C = E/C ; E = 2 h ν . E est l’énergietotale contenue dans la boîte. Ainsi, l’ensemble secomporte comme une particule massique immobile.Dans R, et en supposant v µ C :

m C ch ϕ α m C sh ϕ P = 0

0

et la seule composante non nulle de P estxP = m C sh ϕ m C v / C = m v .On a bien encore le comportement d’une particule

de masse m en Mécanique newtonienne. Si la boîteest toute petite, elle a l’apparence d’une telleparticule. Si la boîte libère les deux photons,cela correspond à la désintégration de cette-particule fictive. Le référentiel R dans lequel lesystème constitué de la boîte et des deux photonsivérifie P = 0 sera appelé référentiel ou systèmedu centre d’inertie, et cette dénomination serautilisée pour tout système composé, pour leréférentiel dans lequel les composantes d’espace del’impulsion-énergie totale sont nulles. Leréférentiel du centre d’inertie est le référentiel

0R d’une particule élémentaire qui aurait le mêmequadrivecteur impulsion-énergie. Nous continuerons

0d’employer la notation R . Dans le cadre del’approximation newtonienne (particules de masses

0non nulles et de vitesse faible devant C), Rserait le référentiel dans lequel le centre degravité de l’ensemble est immobile. Le référentiel

7 41

R pourra être appelé système du laboratoire.Cet exemple que nous appellerons expérience de la

boîte aux deux photons pourrait être reproduit avecun système comportant un nombre quelconque departicules. Nous arrivons à la conclusion qu’en cequi concerne le quadrivecteur impulsion-énergietotal, qui gouverne le comportement mécanique del’ensemble vu de l’extérieur, on peut considérerque c’est celui d’une particule unique de masse

0 iP /C dans le référentiel où P = 0 ; c’est à dire0dans le référentiel R de cette particule fictive.

La masse de cette particule fictive est égale à lasomme des énergies dans ce référentiel divisée par

2 2C . La loi E = m C s’applique donc pour unensemble de particules considéré comme un tout.

La masse de l’ensemble est supérieure à la sommedes masses des particules constituantes à moins quecelles-ci soient toutes au repos. Ainsi, enmécanique relativiste la loi d’addition des massesne joue pas.

Prolongeant ce qui a été dit au § 5 duchapitre 1 , rappelons qu’en Mécanique quantiquerelativiste, dans l’espace-temps, il n’y a que desparticules, particules de matière ou particules dechamp assurant les interactions. Ce qui vientd’être dit est donc vrai pour tout système. Ainsi,la masse d’un système composé est égal à la somme

2des énergies qu’il contient divisée par C dans0R : énergie de masse des particules de matière,

énergie cinétique de ces dernières, et énergiespotentielles d’interaction correspondant auxénergies des particules de champ que contient lesystème. Si le système est contenu dans un petitvolume, il se comportera comme une particuleélémentaire en ce qui concerne son comportementmécanique vu de l’extérieur, comportementcaractérisé par le quadrivecteur impulsion-énergietotale; et ceci tant que la masse totale du système

0 2(énergie dans R au facteur C près) resteraconstante. Aucune expérience de mécanique nepermettra de savoir si le système est élémentaireou composé, tant qu’il se comportera comme un toutinvariable dans les expériences. Tel est le cas duproton par exemple, qui est en fait constitué dequarks et de gluons et dont la masse provient pourpartie de l’énergie cinétique de ces quarks etgluons.

Nous avons donc bien réalisé le programme quenous nous étions fixé aux § 1 et § 2 , à savoirgarder en Mécanique relativiste le mêmecomportement extérieur pour les particulesélémentaires et celles qui ne le sont pas.

La masse m de la particule fictive, égale à2E/C , sera parfois appelée masse-énergie pour

rappeler son origine (somme des énergies) et soncomportement (comme la masse d’une particuleélémentaire). On prendra au choix, l’unité d’une

8 42

masse, d’une impulsion, ou d’une énergie.Par extension, on appellera parfois

0masse-énergie, la composante de temps P duquadrivecteur impulsion-énergie d’un systèmeicomposé, sans que les composantes d’espace Psoient nulles; ceci car nous verrons que ce termeest doué de la capacité d’attirergravitationnellement comme une masse (voir § 4 duchapitre 6 ).

4. La force en Mécanique relativiste. - La forcea été définie grâce à l’égalité (1,2) permettantd’arriver par dérivation à (1,5) : Σ Fi = 0 . Ilest naturel de vouloir conserver cette égalité. Ilest alors nécessaire de dériver l’équationΣ Pi = Cte par rapport à un paramètre commun àtoutes les particules. Ce ne peut être un tempspropre. Le plus simple est de prendre le temps duréférentiel galiléen considéré. On pose donc :

dPF = ------------ (4,13)d t

Il y a là une certaine subtilité, car pour ladéfinition de l’impulsion, on utilisait le tempspropre τ et non pas t (en utilisant la notation--------Lx = OM ) :

dxP = m ----------dτ

Essayons de nous convaincre que la formule (4,13)est la bonne solution. Considérons une plaqueimmobile dans R (fig. 4.3), bombardée par un fluxde particules venant de la gauche d’impulsions P1,et par un flux de particules venant de la droited’impulsions P2. La plaque absorbe les particuleset reste immobile. Il est naturel de dire qu’elleest soumise à deux forces égales en valeursabsolues et opposées. Ceci correspond à notrebesoin d’utiliser (1,5).

P1 u-------o P2---------------------------------------------L 1 1 J----------------------1 1 . . .1 1. . . . . 1 1 . .

. . . . . . 1 1 .

. . . . . 1 1 .1 .1 11 1 . . .1 11 1n1 m-------. n2

Fi g . 4 .3

Soit n1 le nombre de particules arrivant parunité de temps de la gauche, et n2 de la droite. Encomptant les impulsions qui arrivent de la droite

9 43

et de la gauche pendant le temps dt, et qui doiventêtre égales, nous arrivons à :

n1 dt P1 = n2 dt P2Posons :

dP1 = n1 dt P1 et dP2 = n2 dt P2

dP1 dP2dP1 = dP2 ⇒ --------------- = ---------------d t d t

Les particules venant de la gauche par exemple,peuvent être relativistes, tandis que celles venantde la droite ne le sont pas. Pour P2, on peut alorsprendre l’expression classique, tandis que pour P1,on prend l’expression relativiste. F2 = dP2/dts’identifie donc à la force newtonienne, tandis queF1 = dP1/dt résulte de notre volonté d’avoir

F1 = F2 lorsque la plaque est en équilibre, sansnous préoccuper du type de particules en jeu.

Prenons un exemple concret : on peut avoir uneplaque noire exposée à la lumière et subissant lapression de radiation des photons du côté gauche,tandis que du côté droit elle est maintenueimmobile grâce à un ressort ou au choc mou departicules non relativistes. Lorsque la plaque està l’équilibre, on écrit bien F1 = F2 . Leségalités :

dP1 dP2--------------- = --------------- = F2d t d t

impliquent alors :

dP1F1 = ---------------d t

Remarquons que toutes les forces usuelles autresque la gravitation sont de natureélectromagnétique. Elles peuvent donc s’interprétercomme dues à un flux de photons virtuelsrelativistes; elles sont égales au flux d’impulsionde ces photons.

En conclusion, la force est donc égale au fluxd’impulsion.

L’expérience montre d’ailleurs que c’est cetteforce qui est utilisée en électromagnétisme dans laformule :

dPF = ------------ = q E + q v ∧ B (4,14)d t

5. Quadrivecteur force. - Le quadrivecteur :

10 44

1 dE 1 dE ----------------- ------------ ----------------- ------------ ch ϕ dP C dτ C d t Φ = ----------- = = (4,15)dτ dt F ---------- F ch ϕ dτ

est appelé le quadrivecteur force. Utilisons lepour voir quelle est la loi de transformation de la-force dans le passage de R à R. Considérons une-particule immobile dans R, de masse invariable m.

- -0 α α βΦ = 0 ; Φ = Λ - Φ donne :β

- -1 x 1 xΦ = F ch ϕ = Φ ch ϕ = F ch ϕ

- - -1 x x xcar Φ = F . Il vient : F = F .

- -2 y 2 yΦ = F ch ϕ = Φ = F

de même avec l’axe des z. Ainsi :

-y - ------------------------------------------------y F y 2 2F = ---------------------- = F √ 1 - v / Cch ϕFinalement :

------------------------------------------------2 2F = F - + F - √ 1 - v / C (4,16)R

,R ,,R

Les symboles

et , signifiant parallèle etperpendiculaire au mouvement de la particule. Laforce n’est donc pas un invariant en mécaniquerelativiste.

6. Travail de la force. - Considérons uneparticule de masse invariable m (m peut être nulle)et dont l’énergie varie continuement sous l’actiond’une force F :

2 2 2 2 4 2E = P C + m C donne E dE = P dP C

P dP 2Soit : dE = ----------------- ------------ C dtE d t

or :

m c h ϕ vP v----------------- = -------------------------------------------------------------- = ---------------- (4,17)E 2 2m C ch ϕ C

v dP 2⇒ dE = ---------------- ------------ dt C2 d tC

11 45

dE = F dl (4,18)

La variation d’énergie est égale au produitscalaire de la force extérieure appliquée à laparticule par le vecteur déplacement élémentaire,c’est à dire au travail de la force. Ainsi,l’expression newtonienne du travail de la force estencore valable. Cela est naturel : en effet lesforces classiques de la Mécanique newtonienne sontcausées par des particules de champ pouvant aller àla vitesse de la lumière (photons, gravitons). Sil’on suppose qu’il y a conservation d’énergie entreles particules de matière obéissant à la Mécaniquenewtonienne et ces particules de champ, la formule(4,18) doit être retrouvée dans le cadre de laphysique relativiste. Notons que la conservation del’énergie, ajoutée au fait que le dl subi par unsystème est égal à celui subi par le systèmecomplémentaire, impose que l’on doit avoir leprincipe de l’action et de la réaction, si l’onveut que le travail soit donné toujours par laformule (4,18). Cela justifie encore la définitionde la force du § 4 :

dE1 = F2/1 dl1 = - dE2 = F2/1 dl2

= - F1/2 dl2 ⇒ F2/1 = - F1/2

En conclusion, la formule (4,18) s’applique dèsque l’on a une particule invariable dontl’énergie varie continuement sous l’action d’unflux de particules. Bien sûr, elle ne s’appliqueplus lors des désintégrations de particulesélémentaires, la particule suivie devant garder uncertain temps son identité.

0(4,15) donne Φ = F v ch ϕ / C .

7. Vitesse limite des particules matérielles. -Montrons qu’aucune particule massique ne peutdépasser la vitesse de la lumière : (4,11) impliqueen effet que P ∞ quand v C .

Pour que v atteigne C en un temps fini, celanécessiterait que P atteigne une valeur infinie enun temps fini, donc cela nécessiterait une forceF = dP/dt infinie, ce qui est impossible.

8. Vitesse limite de toutes les interactions. -Aucune interaction ayant un effet physique ne peutse propager plus vite que la lumière. Cela entre eneffet en contradiction avec la causalité quiimplique que la cause d’un phénomène doit toujoursprécéder son effet. -Considérons un signal partant de O = O à- -t = t = 0 et arrivant en A ( x > 0 ) au temps- - - -t > 0 avec v = x / t > C . Utilisons la

12 46

transformation de Lorentz.- -C t = x sh ϕ + C t ch ϕ < 0 ; à condition que ϕsoit négatif donc V = sh ϕ / ch ϕ également, etque :

-sh ϕ t C--------------------- < - C --------------- = - -----------------ch ϕ - vxsoit :

V C-------------------- > -----------------C v

Ce qui est possible, car C/v < 1 .Dans R le signal est émis en A avant d’être reçu-en O, alors que dans R, c’est l’inverse, il est-émis en O et reçu en A. Notons que R se déplace

vers la gauche, vu de R. La vitesse C n’est doncpas seulement la vitesse de la lumière, maiségalement la vitesse limite de toute interactionayant un effet physique. Ce résultat estintéressant, car nous avons construit la Relativitérestreinte en faisant jouer un rôle particulier àla vitesse de la lumière, donc à l’interactionélectromagnétique. Nous aurions pu construire cettethéorie sans faire jouer ce rôle particulier àcette interaction, en postulant que toutes lesinteractions ont une vitesse limite commune : C, lamême dans tous les référentiels.

Il est important de noter que la propriétéprécédente de vitesse finie C pour toutes lesinteractions entre en contradiction avec la notionde corps solide. En effet, un ébranlement a uneextrémité d’un corps solide, c’est à dire undéplacement de cette extrémité, doit se répercuterinstantanément dans tout le solide, donc sepropager à une vitesse infinie, toutes les partiesdu solide restant à distance constante les unes desautres. Or la notion de corps solide est pour nousfondamentale, puisque nous nous en sommes servi au§ 1 du chapitre 1 pour définir les référentielsgaliléens. Nous pouvons sauver la situation dans lamesure ou un corps déformable se comporte comme uncorps solide tant qu’il n’est soumis à aucunecontrainte.

Il est intéressant de remarquer que la Mécaniquequantique réintroduit la notion de solide parfaitayant une extension spatiale précise. Ainsi, unatome d’hydrogène dans son état quantiquefondamental a une extension spatiale décrite parl’orbital de l’électron bien précise et invariable.De même, dans l’effet Mössbauer, le cristal de ferrecule en bloc lors de l’émission d’un photon γ.

La contradiction avec la Relativité restreinteest levée grâce au principe d’incertitude quiassure le flou nécessaire quant aux positionsgéométriques d’un solide. Lors de la réduction dupaquet d’onde, il y a mise en place instantanée de

13 47

l’emplacement du solide dans son ensemble. Celacorrespond à la même non localité que celleobservée dans les expériences de corrélation dedeux photons par exemple (inégalités de Bell,expérience d’Aspect). Il y a corrélation entre lesdeux bouts du solide. Mais cette corrélation nepermet pas de transporter de l’information d’unbout à un autre. Ce n’est qu’après la réduction dupaquet d’onde effectuée, que l’on peut vérifier quele solide a la bonne longueur.

9. Les antiparticules. - L’existence desantiparticules se déduit de la prise en compteconjointe de la Relativité restreinte et de laMécanique quantique. Nous allons le montrer par unraisonnement intuitif.

Nous avons vu au § 5 du chapitre 1 qu’enThéorie quantique des champs, les interactionss’interprètent comme des échanges de particulesvirtuelles entre les particules de matière(diagrammes de Feynman). On peut montrer que cesparticules virtuelles ne sont pas tenues à ne pasdépasser la vitesse de la lumière. Intuitivement,cela vient du principe d’incertitude qui offre unetelle possibilité, compte tenu des incertitudes surles variables classiques, en particulier sur lavitesse. Nous avons vu au § 8 que si(x - x ) / (t - t ) > C dans un référentiel R,

2 1 2 1 - - -on peut avoir t > t dans R et t < t dans R,2 1 2 1-pour une certaine vitesse V de R par rapport à R.

En conséquence une particule virtuelle allant de O-vers A dans R, peut être vue comme allant de A vers-O dans R. Mais si, dans R, on voit une particulechargée positivement allant dans un sens, dans R onverra une particule chargée négativement allantdans l’autre sens. Il faut être en effet d’accordsur le transport effectif de charge entre O et Adans le processus. Nous verrons en effet au § 11que la charge électrique est invariante dans unchangement de référentiel. Tous les observateursdoivent donc être d’accord sur le transfert decharge observé. Si on voit une particule virtuelle-échangée dans R, dans R on voit donc sonantiparticule. A toute particule est donc associéeune antiparticule de même masse mais de chargeopposée. Ceci s’étend aux particules de matière etaux particules neutres. Enfin certaines particulessont identiques à leurs antiparticules.

Construisons par exemple le diagramme de Feynmandu processus d’interaction faible transformant unproton en neutron, tandis qu’un électron esttransformé en neutrino. La particule virtuelle

+ -échangée est un boson W dans un cas, W dansl’autre (fig. 4.4) :

14 48

p n

+W

<-------------------------------------------------------L ___________________________________________________________________L

-e ν

p n

I-

W

-------------------------------------------------------L __________________________________________________________________L-e ν

F i g . 4 . 4

D’une manière générale, on peut effectuer lestransformations suivantes sur un diagramme :- On peut changer toutes les particules en leursantiparticules, avec changement de la parité doncde l’hélicité. Cela correspond à l’invarianceglobale sous la symétrie C P : C transformationgénérale de toutes les charges en leurs opposées,ou conjuguaison de charge, donc passage auxantiparticules, et P changement de la parité doncde l’hélicité.- On peut changer le sens de toutes les flèches.Cela correspond à l’invariance globale sous lasymétrie T, changement de sens de l’écoulement dutemps.

Notons qu’on a découvert quelques réactions, donten particulier une réaction faisant intervenir le

0 --------0système K K , n’obéissant pas séparément à lasymétrie C P . Puisque la symétrie C P T esttoujours vérifiée, d’après le théorème célèbreC P T de la Théorie quantique des champs, cetteréaction n’obéit pas non plus à la symétrie Tseule.- On peut inverser une flèche à la condition dechanger la particule correspondante en sonantiparticule, et de changer également la parité,donc l’hélicité de cette particule. Cela s’appellela symétrie croisée. (crossing symmétry). Celarevient à faire subir à la particule concernée, lasymétrie locale C P T .

En utilisant ces trois procédés, des diagrammesprécédents, on peut déduire celui correspondant àla désintégration du neutron (fig. 4.5) :

15 49

p

n

------------------------------------------------------------------------L -

-W ν

<

- e

Fig. 4 . 5

10. Le Problème des deux barres : invariance dela force par unité de longueur. - Considérons uneparticule d’une barre, soumise à la force appliquéepar l’autre barre. Cette force est perpendiculaireau mouvement et (4,16) donne :

------------------------------------------------2 2F = F = F - √ 1 - v / CR ,,R ,,R

Mais le nombre de particules chargées par unité-de longueur dans R est plus grand que dans R d’un-------------------------------------------2 2facteur 1 / √ 1 - v / C à cause de la

contraction des longueurs. Il en résulte que :

F F -R R-------------------- = ---------------------l l

Nous devons donc retrouver dans les deux repèresla même force par unité de longueur. Nous pouvonsd’ailleurs donner une interprétation imagée decette propriété : imaginons que les barres soient-maintenues immobiles dans R grâce aux forces depression de pistons régulièrement espacés le longdes barres. Vu de R, à cause de la contraction deslongueurs, l’espacement de ces pistons est réduit-------------------------------------------

2 2du facteur : √ 1 - v / C ; mais les phénomènes se-produisant dans R sont vus dans R ralentis de cemême facteur; il en est ainsi du mouvement desmolécules frappant les parois des pistons et ydélivrant leurs impulsions qui elles, restentinchangées étant perpendiculaires au mouvement.Leurs débits, donc finalement les forcesappliquées, sont donc réduits de ce facteur. Lesforces sont plus faibles, les longueurs pluspetites, les deux phénomènes se compensentexactement. Nous allons vérifier dans le paragraphesuivant que les lois de l’électromagnétisme sontbien en accord avec cette loi de transformation de

16 50

la force, donc que cet ensemble de la physique estbien globalement covariant.

11 Calcul de la force électromagnétique dans les-deux référentiels. - Dans R :

- 2 -λ lF - = FE = --------------------------------------R 2 π ε r0

Dans R : remarquons tout d’abord la propriétéfondamentale d’invariance de la charge électrique;la charge d’une particule est la même vue den’importe quel référentiel. Ainsi la charge del’électron de l’atome d’hydrogène annuleparfaitement la charge du proton quelle que soit lavitesse de l’électron, donc quel que soit l’étatd’excitation de l’atome.

Ajoutons à cela le fait que la charge électriqueest quantifiée, multiple de celle de l’électron, oude celle des quarks les moins chargés (charge1/3 ), si l’on tient compte de ces derniers. Cesdeux faits, alliés à l’existence de chargespositives et négatives permettent bien àl’interaction électrostatique de disparaîtrecomplètement pour un atome neutre, vu del’extérieur, quel que soit son état, et de manièregénérale pour toute matière dans l’univers, àgrande échelle, les charges positives annulantrigoureusement les charges négatives. Ainsi seulela gravitation intervient à l’échelle de l’univers.

Il résulte de cette propriété d’invariance de lacharge et de la contraction des longeurs que :

-λλ = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

2 22 µ λ v lλ l 0F = FE + FB = -------------------------------------- - ------------------------------------------------R 2 π ε r 2 π r

0

or

2ε µ C = 10 0

donc :

2 2 - 2λ l v λ lF = -------------------------------------- 1 - ---------------- = --------------------------------------R 2 π ε r 2 2 π ε r0 C 0

ainsi :

F F -R R-------------------- = ---------------------l l

comme prévu au paragraphe précédent.

17 51

EXERCICES

4.1 Les ondes de matière de de Broglie.

18 52

De Broglie suppose qu’à une particule ponctuellede masse m, immobile dans le référentiel

0 -R = R , est associée une onde stationnaire dans cemême référentiel. Stationnaire signifie que, danstoute l’étendue de l’onde, les vibrations seront enconcordance de phase. La pulsation ω0 de cette onde-dans R est supposée vérifier la relation de de

2Broglie : ω0 = m C . L’expression de lafonction d’onde est alors, en chaque point del’espace :

-- - - i ω0 tψ(x,t) = A e

1. Exprimez la même fonction d’onde, vue dans leréférentiel du laboratoire R, où la vitesse ducorpuscule est v.

2. Montrez que dans le référentiel dulaboratoire, la pulsation vue est :

ω0ω = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

3. Montrez que, dans le référentiel dulaboratoire, le phénomène devient une ondeprogressive où une même phase arrive successivementen des points différents. Quelle est la vitesse dephase V de l’onde?

4. Montrez que, dans R, on a la relation de deBroglie λ = h/P , P étant l’impulsion relativistede la particule.

5. Montrez que l’ensemble des composantes :

ω /C x k k = y k z k avec

k = 2 π/λ , se transforme comme un

quadrivecteur dans un changement de référentiel. Aquel autre quadrivecteur est-il proportionnel?

6. Qu’obtient-on pour v C , ω0 0 , avec

ω0 ch ϕ ω , ω étant une limite finie?

4.2 Etude de l’aberration de la lumière.Dans R, un rayon lumineux arrive depuis les x

positifs en O en faisant l’angle π/2 - θ avecl’axe des x.

π / 2 - θ

--------------------------------------------------.----------------------------------------------Lx

- -1. Calculez l’angle θ de ce rayon, vu de R.2. Montrez que l’on retrouve la valeur-newtonienne pour v µ C ; quelle est la valeur de θ

quand v = C .

19 53

3. Application numérique pour la lumière venantdes étoiles sur la Terre, quand θ = 0 . On donne :v = 30 km/s .

4.3 Interprétez la relation F = F - en prenant,R

,Rl’exemple d’une force de pression longitudinaleobtenue par le choc des molécules d’un gaz dans lachambre d’un piston.

4.4 L’effet Doppler : Un rayonnement se déplaçantdans le sens des x positifs est vu avec lafréquence ν dans le référentiel R. Il est vu avec- -la fréquence ν dans le référentiel R animé de lavitesse v par rapport à R.

1. En exprimant le quadrivecteur-impulsion-énergie d’un photon dans R et dans R,-calculez ν en fonction de ν.2. En déduire le décalage vers le rouge-z = (λ - λ)/ λ .3. Donnez la formule approchée quand v µ C .4. Quelle est la limite de z quand v C ?

4.5 Le mouvement hyperbolique.Cet exercice étudie le mouvement d’un objet de

masse m soumis à la force constante F = m g àpartir de l’instant t = 0 , instant où l’objet estimmobile.

1. Exprimez la vitesse v en fonction du temps duréférentiel fixe : t.

2. En déduire la fonction x(t) .3. Montrez que la courbe x(t) est une

hyperbole.4. Exprimez le temps propre τ du mobile en

fonction de t.5. Calculez le temps propre τ nécessaire pour que

l’objet franchisse la distance de 50 000 années2lumière (on prendra g = 9,81 m/s ).

6. On suppose que le diamètre de notre galaxie,la Voie Lactée, fait approximativement 100 000années lumière.

Une fusée part de la Terre et accélère avec2l’accélération constante g = 9,81 m/s jusqu’au

centre de notre galaxie. Ensuite, elle freine de lamême manière, après un retournement, pours’immobiliser à l’autre bout de la galaxie.

Calculez la durée totale du voyage aller etretour pour un observateur terrestre, et pour unpassager. Conclusion?

20 54

55

56

Chapitre Cinq

ELECTROMAGNETISME RELATIVISTECALCUL TENSORIEL

1. Introduction. - Nous supposons connuel’algèbre linéaire au programme des ClassesPréparatoires aux Grandes Ecoles et des DEUGscientifiques. Nous en rappellerons quelques-unesdes propriétés, ceci de facon à introduire lestenseurs qui jouent un rôle capital en Relativitégénérale. L’électromagnétisme servira de premierexemple d’utilisation de cette structure enphysique.

2. Le tenseur électromagnétique. - L’énergie seranotée ici E , pour éviter la confusion avec lechamp électrique E . Les indices des quadrivecteursseront notés : 0,1,2,3 ; tandis que les composantesde E et B seront notées avec les indices x,y,z .Les équations (4,14) (4,15) et (4,18) donnent :

0 1 dE 1 F dl q E dlΦ = ----------------- ----------- = ----------------- -------------------- = ----------------- --------------------C dτ C dτ C dτ

0 x 1 y 2 z 3 Φ = q E U + E U + E U (5,1)

1 1 x Φ U B 2 d t 0 2 y Φ = F ---------- = q E U + q C U ∧ B (5,2)3 dτ 3 z Φ U B

(5,1) et (5,2) se regroupent dans (5,3) :

x y z 0 E E E 0 Φ 0 ----------------- ----------------- ----------------- U C C C x 1 E z y 1 Φ ----------------- 0 B - B U C (5,3) = q C y 2 E z x 2 Φ ----------------- - B 0 B U C z 3 E y x 3 Φ ----------------- B - B 0 U C

1 57

α α βSoit : Φ = q C F U (5,4)β

ou : Φ = q C F(U) (5,5)

αF est l’application linéaire de matrice : F ; ββindice en position basse à droite étant l’indice decolonne, et α indice en position haute à gaucheétant l’indice de ligne.

Voyons quelle est la loi de transformation desαcoefficients F dans un changement deβréférentiel :

- - - -α α α α β β α α βΦ = Λ - Φ = q C F Λ - U = Λ - q C F - Uα β β α β

-α β α αF Λ - = Λ - F -β β α β

Multiplions l’équation matricielle précédente par-1Λ . L’équation (3,18) permet d’écrire :

- - -γ α α γ α βΛ Λ - F - = Λ F Λ -α α β α β β- - - -γ α α α α βδ - F - = F - = Λ F Λ -α β β α β β

- -α α β αF - = Λ Λ - F (5,6)β α β β

- -1ou : F = Λ F Λ (5,7)

F est la matrice de l’application linéaire dans-l’ancienne base, F dans la nouvelle. Λ est lamatrice de passage de l’ancienne à la nouvellebase. L’équation matricielle (5,7) est bien connueen algèbre linéaire, mais la forme (5,6) avec lescomposantes et en utilisant la notation du calcultensoriel est moins connue.

On voit que l’on a un ensemble de nombre à deuxindices, et la matrice de passage intervient deuxfois; tandis que pour un vecteur qui est unensemble de nombre à un indice, la matrice depassage intervenait une fois dans le changement descomposantes d’une base à une autre.

Souvenons nous que c’est à partir de la loi(3,15) de transformation des composantes que nousavons défini les quadrivecteurs au § 8 duchapitre 3 . La loi de transformation (5,6) va nouspermettre en généralisant la loi (3,15) de définir

2 58

les tenseurs : précisons cela :Dans (5,6) l’indice en position haute se

transforme comme celui des composantes d’unvecteur, on a un indice contravariant; l’indice enposition basse se transforme comme les vecteurs debase, on a un indice covariant. La loi (5,6)généralise la loi de transformation des composantesd’un vecteur pour un ensemble de nombres à deuxindices. On appelle tenseur tout ensemble denombres (que nous appellerons également tableau denombres) à zéro, un ou plusieurs indices, obéissantà des lois de transformation de ce type dans unchangement de base : chaque indice en positionhaute se transformera de manière contravariante,tandis que chaque indice en position basse setransformera de manière covariante. Ces nombresindicés seront appelés les composantes du tenseurdans la base utilisée. Le nombre total d’indicesest l’ordre du tenseur. Un nombre est un tenseurd’ordre zéro, un vecteur est un tenseur une foiscontravariant. Le tenseur F , appelé tenseurélectromagnétique, est une fois covariant, une foiscontravariant, on dit qu’on a un tenseur mixte, eton voit qu’un tenseur mixte est une applicationlinéaire (équation (5,5)). Toute équation du type(5,4) mettant en jeu des tenseurs de différentsordres est automatiquement covariante dans unchangement de référentiel.

En ce qui concerne la notation, nous noteronsαparfois F = (F ) , les parenthèses insistant surβle fait que l’on considère en bloc toutes lescomposantes, donc que l’on considère le tenseur.Par abus de language, nous omettrons cependantparfois ces parenthèses.

De la même manière que F désigne aussi bien laαmatrice que le tenseur, (F ) pourra désignerβ αégalement la matrice d’éléments F , avec αβindice de ligne et β indice de colonne. Nousfaisons cela car il n’y aura jamais d’ambiguïté;nous saurons toujours clairement si nousconsidérons la matrice ou le tenseur. Cela nouspermet de ne pas surcharger la notation. La matricepourra également être désignée par (F) , letenseur étant alors désigné par F; c’est à dire queles parenthèses insistent sur le fait qu’onconsidère la matrice (voir remarque au dessous del’équation (5,42)).

On voit que la convention d’Einstein de positiondes indices permet d’écrire automatiquement la loide tranformation des composantes pour tout tenseur.

D’autre part, on voit que l’utilisation del’espace de Minkowski, c’est à dire du formalismequadridimensionnel permet déjà ici d’unifier E etB; la loi de force (4,14) semblait les faireintervenir d’une manière différente. Ils sont

3 59

unifiés dans (5,3). Notons que cela est possibleparce que le même paramètre q intervient pourl’électrostatique et le magnétisme (voir § 6chapitre 6 ). La transformation des composantes deF dans un changement de référentiel donneimmédiatement la loi de transformation des champs Eet B .

3. Critère de tensorialité. - Comment savoir siun tableau de nombres à plusieurs indices est untenseur? Il suffit, pour avoir la réponse,d’examiner comment nous avons trouvé le tenseurélectromagnétique F . Nous avons déduit la loi detransformation (5,6) pour les composantes de F ,faisant du tableau de nombres de ses composantes untenseur, de la loi (5,4) vraie dans toute base,connaissant les lois de transformation des

composantes de Φ et U. Supposons que l’on ait uneégalité du type (5,4), faisant intervenir autant detableaux de nombres indicés qu’on veut, le nombred’indices des tableaux étant également quelconques.Supposons que l’on sache que l’égalité est vraiedans toutes les bases, les lois de transformationdes tableaux de nombres indicés étant connues etcorrespondant bien à la loi de transformation descomposantes d’un tenseur, sauf pour un tableau denombres dont la loi de transformation est inconnue.De l’égalité du type (5,4) et des lois detransformations connues, on déduira la loi detransformation inconnue, qui s’avèrera êtreautomatiquement la loi de transformation descomposantes d’un tenseur.

Une égalité du type (5,4) est donc un critère detensorialité pour un tableau de nombres inconnu, sitous les autres tableaux sont des tenseurs.

4. Egalité de deux tenseurs. - Dès que deuxtenseurs ont les mêmes composantes dans une base,ils sont égaux, car la loi de transformation descomposantes assure l’égalité des composantes danstoute base; c’est à dire l’égalité des deuxtenseurs.

5. Le tenseur métrique. - Dans toute la suite dece chapitre, sauf exception, nous utiliserons lesmêmes notations que dans l’étude de l’espace deMinkowski : vecteur en caractère non gras avec uneflèche au dessus, et indices avec les lettregrecques, ceci bien que, à priori, dans ce quisuit, le nombre de dimensions de l’espace soitquelconque. Considérons donc un espace vectorielquelconque muni d’un produit scalaire, et posons :

g(a,b) = a . b (5,8)

Les égalités (3,26) et (3,28) traduisent lalinéarité de g :

4 60

g(λ a, b) = λ g(a,b) (5,9)

g(a, c + d) = g(a,c) + g(a,d) (5,10)

L’égalité (3,27) traduit la symétrie de g :

g(a,b) = g(b,a) (5,11)

g est une forme bilinéaire symétrique. Dans unebase quelconque, on a :

α β α βg(a,b) = g( a e , b e ) = a b g (5,12)α β αβ

avec :

g = g( e , e ) (5,13)αβ α β

Dans un changement de base :

α β α βg - - = g( Λ - e , Λ - e ) = Λ - Λ - g (5,14)αβ α α β β α β αβ

α βg - - = Λ - g Λ -αβ α αβ β

u o αg - - = 1(g) Λ 1 Λ -αβ m . - ααβtu o α tu o = 1(g) Λ 1- Λ - = 1(g) Λ 1 Λm .βα α m . - -β α

Compte tenu de la symétrie de g :

tu o g- - = 1(g) Λ 1 Λβα m . - -β αqui peut s’écrire matriciellement sous la formebien connue en algèbre linéaire :

- t(g) = Λ (g) Λ (5,15)

Les nombres g muni de leur loi deαβtransformation (5,14) constituent donc un tenseurdeux fois covariant. Ce tenseur correspond auproduit scalaire donnant la métrique de l’espacevectoriel. On l’appelle le tenseur métrique g .

Lorsqu’il pourra y avoir ambiguïté pour unsymbole, nous mettrons deux flèches superposées audessus, de façon à préciser que nous avons affaireà un tenseur d’ordre 2 . Nous avons donc ici :

5 61

g = g

De toute façon, les tenseurs d’ordre 2 seronttoujours écrits en caractère non gras, avec deuxflèches ou non au dessus.Dans le cas de l’espace de Minkowski, le tenseurmétrique est noté η et appelé le tenseur deMinkowski. Dans une base type, on a :

1 0 0 0 0 -1 0 0 g = η = e . e = (5,16)αβ αβ α β 0 0 -1 0

0 0 0 -1

La notation η correspondra toujours auxαβcomposantes du tenseur de Minkowski exprimées dansune base type.

Ainsi à une forme bilinéaire est associé untenseur deux fois covariant. Cette propriété vanous permettre de définir en toute généralité lestenseurs au § 7 ; mais, dans un premier temps, ilnous faut rappeler les principales propriétés desformes linéaires.

6. Les formes linéaires. - Une forme linéaire ϕest une application linéaire de l’espace vectorielE dans R :

ϕ

a ∈ E --------------------------------------------------------L ϕ(a) ∈ R

ainsi :

ϕ(λ a) = λ ϕ(a)

ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)

L’ensemble des formes linéaires constitue un*espace vectoriel E (prononcé E dual) dit dual deE . La somme et le produit par un nombre étantdéfinis par :

(ϕ + ψ) (a) = ϕ(a) + ψ(a)

(λ ϕ) (a) = λ ϕ(a)

A toute base e de E correspond la base diteα *α *duale de la base précédente : e de E , les*αformes linéaires e étant définies par :

*α αe (e ) = δ (5,17)β β

L’indice doit être mis en position haute pour lesformes linéaires, compte tenu de la conventiond’Einstein, et de leur loi de transformation dans

6 62

un changement de base de E. En effet : soit le

changement de base e ----------L e - :α α- - - - -*β *β α α *β e (e ) = e Λ e - = Λ e (e - )α α α α α

- - - - -α β β β β β *β = Λ δ - = Λ = Λ δ = Λ e (e )α α α β α β α

- -*β β *β⇒ e = Λ e (5,18)β

L’indice en position haute correspond bien à laloi de transformation contravariante.

Pour toute forme ϕ on peut écrire :

*αϕ = ϕ e (5,19)α

avec la convention d’Einstein de sommationimplicite et de position des indices. L’indice enposition basse pour ϕ correspond bien à une loi deαtransformation covariante; il est en effet facilede vérifier que :

αϕ - = Λ - ϕ (5,20)α α α

A toute forme linéaire ϕ est ainsi associé untableau de nombres à un indice se transformantsuivant (5,20), donc un tenseur une fois covariant.Réciproquement, à tout tableau de nombre ϕ à unαindice se transformant suivant (5,20), donc à touttenseur une fois covariant, on peut associer laforme linéaire définie par (5,19) dont les ϕ sontαles composantes. Il y a donc identité entre lestenseurs une fois covariants et les formeslinéaires. On a alors :

*β βϕ(e ) = ϕ e (e ) = ϕ δ = ϕ (5,21)α β α β α α

puis :

α α αϕ a e = a ϕ(e ) = a ϕ (5,22) α α α

Nous allons maintenant introduire une nouvellenotation pour les formes linéaires de la baseduale. Soit :

α v = v eα

7 63

*β e βv ---------------------------------------------------L v

en effet :

*β *β α α β βe (v) = e v e = v δ = v (5,23) α α

èmeLa β forme linéaire de base associe donc au

èmevecteur v sa β composante. Nous introduironsalors la notation :

*β *βe = dx (5,24)

*β *βNous utilisons ici dx et non pas x , cequi peut paraître surprenant, mais autrement lanotation ne pourrait pas être généralisée auxcoordonnées curvilignes (voir § 4 du chapitre 9 ;voir également § 16 de ce chapitre).

7. Les tenseurs. - Nous utiliserons parfois deslettres latines comme indices dans la suite, pouraérer la notation, surtout quand il y aura beaucoupd’indices différents. Nous introduisons maintenantune nouvelle définition des tenseurs, qui s’avèreraidentique à celle du § 2 . Un tenseur T , p foiscontravariant, q fois covariant, est une formemultilinéaire associant à p formes linéaires et qvecteurs un nombre réel :

i * T(...,ϕ ,...,u ,...) ∈ ...× E × ...× E × ... ----------------------Lj

i

T(...,ϕ ,...,u ,...) ∈ Rj

Dans les parenthèses, il y a dans un ordrequelconque dépendant de T une suite de formeslinéaires et de vecteurs. Nous appellerons ladonnée du nombre et de la position des indicescontravariants et covariants du tenseur la variancede ce tenseur.

Nous aurons par exemple :

T(ϕ,u,v)

Dans la suite, nous prendrons toujours parcommodité de notation, cet exemple d’un tenseur unefois contravariant, deux fois covariant ( p = 1 ;q = 2 ). D’une manière générale, la linéaritédemandée impose :

i iT(...,λ ϕ ,...) = λ T(...,ϕ ,...)

idem avec u .

8 64

T(...,ϕ + ψ,...) = T(...,ϕ,...) + T(...,ψ,...)

idem avec u et v .

Un vecteur est un tenseur une fois contravariantpar :

a(ϕ) = ϕ(a) (5,25)

Le tenseur métrique est bien selon cettedéfinition un tenseur deux fois covariant.

8. Identification d’un tenseur mixte d’ordre 2 àune application linéaire. - En ce qui concerne untenseur mixte d’ordre 2 une fois covariant et unefois contravariant, comme le tenseurélectromagnétique, on peut l’identifier à uneapplication linéaire, comme nous l’avons vu au§ 2 ; en effet au tenseur T est associée d’unemanière canonique l’application linéaire f par :

T(ϕ,a) = ϕ f(a) (5,26) *Le vecteur f(a) , forme linéaire sur E est tel

que :

f(a) u o

ϕ -----------------------------------------------L f(a) 1 ϕ 1 = ϕ f(a) = T(ϕ,a)m .

On peut donc noter par abus de language : u o

f(a)( . ) = T1 . , a 1 = T(a)( . ) (5,27)m .

et f = T .

Ainsi un vecteur a permet d’associer linéairementau tenseur une fois contravariant une foiscovariant T le tenseur une fois contravariant, donc

le vecteur T(a) . On a donc fait sauter unecovariance et diminué la variance totale, c’est àdire l’ordre de 1 . Nous verrons au § 15 avecl’équation (5,59) qu’il y a bien accord avecl’association à une application linéaire vue au§ 2 par (5,4).

9. Enlèvement d’une covariance d’un tenseur grâceà un vecteur. - Nous allons voir que l’on peutfaire l’opération précédente sur tout tenseurpossédant au moins un indice covariant. Notons quele cas de formes linéaires est évident; on obtientun scalaire; c’est la définition de ces formes.

Prenons maintenant l’exemple d’un tenseur unefois contravariant et deux fois covariant :

9 65

T(ϕ,u,v) ∈ R

On peut grâce au vecteur a associer, selon lemême procédé qu’en (5,27) un tenseur une foiscontravariant, une fois covariant :

U : U( . , . ) = T( . , . , a ) (5,28)

U(ϕ,u) = T(ϕ,u,a) (5,29)

Grâce au vecteur a on a bien fait sauter unecovariance de T. Par convention, nous feronstoujours sauter celle qui est le plus à droite.

Nous noterons encore :

U = T(a) (5,30)

10. Composantes d’un tenseur. - Nous allonsmaintenant voir quelles sont les composantes d’untenseur dans une base, et retrouver ainsi ladéfinition des tenseurs du§ 2 .

*i j k j k iT(ϕ,u,v) = T(ϕ e ,u e ,v e ) = ϕ u v t (5,31)i j k i jk

En posant :

i *i t = T(e ,e ,e ) (5,32)jk j k

Nous noterons toujours avec un t minuscule lescomposantes d’un tenseur T a priori quelconque,pour aérer la notation. Cependant, dans le cas dutenseur d’impulsion-énergie, le tenseur ainsi queles composantes seront toujours notés avec lesymbole T majuscule.

Ce tableau de nombres à p + q indices (ici,1 + 2 ) ainsi construit correspond bien à untenseur au sens du § 2 ; en effet ces nombres setransforment bien dans un changement de base commeles composantes d’un tenseur :

- -*i i j k *i T(e ,e-,e -) = Λ Λ - Λ - T(e ,e ,e ) (5,33)j k i j k j k

Ceci, en exprimant les vecteurs et formes

linéaires liés à la base e- par leursi

expressions dans la base e .iRéciproquement, à un tableau de nombres vérifiant

la relation (5,33) dans un changement de basecorrespond une forme multilinéaire et une seule,dont les valeurs sur les vecteurs et les formes

10 66

linéaires de bases sont justement données par cesnombres. Les valeurs pour tout ensemble de vecteurset formes linéaires s’en déduisent suivantl’équation (5,31) par linéarité. Ainsi lacorrespondance est faite entre les deux définitionsdes tenseurs : comme ensemble de nombres vérifiantune loi de transformation dans un changement debase, et comme forme multilinéaire.

Remarquons qu’on retrouve bien les composantesd’un vecteur par (5,32), car (5,25) donne :

*i *i iv(e ) = e (v) = v (5,34)

grâce à (5,23). Il y a bien de même accord de(5,32) avec les composantes d’une forme linéairegrâce à (5,21).

11. Combinaison linéaire de deux tenseurs de mêmevariance. - Prenons l’exemple suivant d’un tenseurune fois contravariant deux fois covariant :

( λ T + µ U ) ϕ,u,v = λ T(ϕ,u,v) + µ U(ϕ,u,v) (5,35) Nous généralisons ainsi la définition qui a été

faite au début du § 6 pour les formes linéaires,et qui a été utilisée dans les équations (5,18) et(5,21).

On a bien évidemment :

i i i( λ T + µ U ) = λ t + µ u (5,36)jk jk jk

12. Abaissement et élévation d’indices. - Letenseur métrique g permet de transformer lesindices covariants en contravariants etréciproquement, donc d’associer d’une manièrecanonique, à un tenseur donné, un ensemble detenseurs du même ordre ayant un nombre d’indicescovariants et contravariants différents.Identifiant tous ces tenseurs, on peut dire qu’ilpermet ainsi de changer la variance d’un tenseur àson gré. Voyons comment nous réalisons cela surl’exemple du tenseur électromagnétique :αAu tenseur mixte F on peut associer leβtenseur F deux fois covariant par :αβ

µF = g F (5,37)αβ αµ β

Il est facile de vérifier qu’on a la bonne loi detransformation des composantes.

On identifie ces deux tenseurs associéscanoniquement, et on dit qu’on a ainsi lescomposantes deux fois covariantes de F. Nousferons une telle identification et utiliserons un

11 67

tel vocabulaire pour toute élévation et abaissementd’indice.

Il est important de maintenir les positionshorizontales des indices, de façon à se souvenirαque F vient de F , α étant déjà à gauche. Enαβ βeffet, F = - F et il faut se souvenir de laαβ βαconvention qui consiste à mettre l’indice abaissé àgauche de celui qui ne l’est pas dans l’exemple quenous considérons. Cette convention se retrouve dansαla mise à gauche de α dans F si nous nousβimposons la règle du respect de l’ordre horizontallors de l’abaissement ou de l’élévation d’unindice, règle que nous suivrons dans la suite. Dans(5,37), il y a bien sommation sur l’indice µ decolonne pour la matrice (g) et de ligne pour lamatrice (F). Pour F , α , indice à gauche, estαβalors bien un indice de ligne, et β indice à droiteest bien un indice de colonne. Cette conventionsera toujours adoptée pour la représentationmatricielle d’un tableau de nombres indicés, lesdeux indices étant à la même hauteur. La conventionαde mettre α à gauche dans F permet bien ainsiβd’obtenir la convention précédente. Notons que nousprenons la même convention (lignes et colonnes dela matrice) pour la position horizontale etverticale des indices des matrices de passage( équations (3,15) ; (3,16) ; (3,17) ).

Nous avons donc :

x y z E E E 0 ----------------- ----------------- ----------------- C C C x E z y - ----------------- 0 - B B C F = y αβ E z x - ----------------- B 0 - B C z E y x - ----------------- - B B 0 C

x y z E E E 0 - ----------------- - ----------------- - ----------------- C C C x E z y ----------------- 0 - B B C αβ F = y E z x ----------------- B 0 - B C z E y x ----------------- - B B 0 C

αβ(voir ci-dessous pour l’obtention de F )On vérifie bien que ces deux tenseurs sont

12 68

antisymétriques.

Remarquons que :

α β λ α βF(u,v) = F u v = g F u vαβ αλ β

α β u o

= g u F(v ) = g 1 u , F(v) 1 = u . F(v) (5,38)αλ m .

On voit sur cet exemple sans l’utilisation descomposantes, comment g permet d’associer à uneapplication linéaire (un tenseur mixte) un tenseurdeux fois covariants (une forme bilinéaire). Desformules analogues existent pour tout passaged’indices contravariants en indices covariants etréciproquement, de telle manière qu’on peut sepasser des composantes dans ce genre de définition.αElevant la composante covariante de F deβαβfaçon à obtenir F nous parlerons descomposantes deux fois contravariantes de F. Voyonsci-dessous comment faire cela :λαSoit (γ) = (γ ) la matrice inverse de(g) = (g ) . (γ) comme (g) est symétrique. On a :αµ

λα λγ g = δ (5,39)αµ µ

λα λα µ λ µ λγ F = γ g F = δ F = Fαβ αµ β µ β β

λα(γ ) permet bien ainsi de monter les indices,αpuisque à partir de F on a retrouvé Fαβ β(changeant la notation λ en α et réciproquement).

α αλF = γ F (5,40)β λβ

On pose alors :

αβ βλ αF = γ F λλLa formule (5,39) permet alors de dire que δ µ

est le tenseur mixte associé au tenseur métriquepar changement de la variance de ce tenseur. Ainsià la forme bilinéaire de la métrique est associéel’application linéaire unité :

y = (δ)(x)

donne en effet :

13 69

α α β αy = δ x = xβ

voir § 2 formules (5,4) et (5,5). Enparticulier , cela est évident par (5,38) avec :

F(u,v) = g(u,v) = u . v ⇒ F(v) = v

αδ = (δ ) , tenseur mixte dont l’applicationβlinéaire correspondante est l’application linéaireunité, est appellé tenseur de Kronecker. Il a bienévidemment les mêmes composantes dans n’importequelle base. En effet, la matrice de l’applicationlinéaire unité, matrice des composantes du tenseurde Kronecker est la matrice unité (I) dansn’importe quelle base.α αOn pose δ = δ , et ces deux tenseurs mixtesβ βune fois contravariant et une fois covariant pourle premier, une fois covariant et une foiscontravariant pour le second, sont identifiés à lamême application linéaire, l’application linéaireunité, et ont pour composantes la matrice unité(voir également la remarque en dessous del’équation (5,47)).

Continuons maintenant à élever les indices dutenseur métrique; élevons le deuxième indice deαβfaçon à obtenir ce que nous nommerons donc g :

αβ βλ α βα αβg = γ δ = γ = γ (5,41)λαβet on se sert donc des composantes g pour

monter les indices. (5,40) devient alors :

α αλF = g F (5,42)β λβ

Ainsi la matrice inverse de (g), matrice descomposantes deux fois covariantes de g , estégalement celle des composantes deux foiscontravariantes du tenseur g .

Le produit scalaire de deux vecteurs a et bs’écrit :

α β α βa . b = g a b = a b = a b (5,43)αβ α βles a étant les composantes covariantes duα

vecteur a (idem pour b), c’est à dire lescomposantes de la forme linéaire associée

canoniquement à a grâce au tenseur métrique. Onpeut donc écrire, employant la même notation pourle vecteur et la forme linéaire qui lui estidentifiée (voir (5,22)).

14 70

a . b = a(b) = b(a) (5,44)

Autrement dit la forme linéaire associée à un

vecteur a par passage aux composantes covariantes

est celle donnant comme image du vecteur v le

produit scalaire a . v :

a

v ------------------------------L a . v

13. Produit tensoriel. - Prenons ici l’exempled’un tenseur T une fois covariant, une foiscontravariant et d’un tenseur U deux foiscontravariant, une fois covariant. On définit alorsle produit tensoriel de T et U noté T ⊗ U par :

T ⊗ U ϕ , a , ψ1 , ψ2 , b = T(ϕ,a) U(ψ1,ψ2,b) (5,45)

Si T ∈ E1 et U ∈ E2 , on dit queT ⊗ U ∈ E1 ⊗ E2 .

E1 ⊗ E2 est l’ensemble de toutes lescombinaisons linéaires possibles d’éléments de laforme T ⊗ U avec T ∈ E1 et U ∈ E2 . Un telélément : T ⊗ U est dit décomposable, ce quin’est pas le cas de l’élément général de E1 ⊗ E2 .On voit que E1 ⊗ E2 est l’ensemble des* * *applications multilinéaires de E × E × E × E × E* *dans R . Donc E1 ⊗ E2 = E ⊗ E ⊗ E ⊗ E ⊗ E . Leproduit tensoriel est donc associatif.

Il est important de respecter l’ordre des E et

15 71

*E , car l’abaissement et l’élévation d’indices*définis au § 12 transforment un E en E et*réciproquement. T ∈ E ⊗ E par exemple, devient :T ∈ E ⊗ E . Or ceci doit respecter l’ordrehorizontal des indices, car la permutation de deuxindices rendus au même niveau peut changer lavaleur de la composante. Voir ce qui a été dit auα§ 12 pour F , α étant à gauche de β. Examinonsβce que cela donne pour un tenseur T obtenu parproduit tensoriel d’une forme linéaire ψ et d’unvecteur v . On sait que ce tenseur est identifiableà une application linéaire f.

ψ ⊗ v ϕ , a = ϕ f(a) = ψ(a) v(ϕ) =

= ψ(a) ϕ(v) = ϕ ψ(a) v

ainsi : f(a) = ψ(a) v (5,46)

On peut donc noter :

ψ ⊗ v (a) = ψ(a) v (5,47)

L’application linéaire associée au produittensoriel v ⊗ ψ est la même. On aura doncégalement :

v ⊗ ψ (a) = ψ(a) v = v ψ(a) (5,48)

On peut en effet noter le produit d’un vecteurpar un nombre en plaçant ce nombre à droite. Onarrive aux notations utilisées en Mécaniquequantique : v = v> , ψ = <ψ , v ⊗ ψ = v><ψ (5,49)

ψ(a) = <ψa> v ⊗ ψ (a) = v><ψa> (5,50)

v><ψa> peut s’interpréter comme le produit du vecteur v> par le nombre <ψa> , ou comme lavaleur prise par l’opérateur v><ψ pour le vecteur a> . <ψa> = a>.ψ> , produit scalairedu vecteur a> par le vecteur ψ> canoniquementassocié dans un espace muni d’un produit scalaire àla forme linéaire <ψ ; ceci par passage descomposantes covariantes aux composantescontravariantes : équations (5,43) et (5,44).

<u étant la forme linéaire associée à u>également par changement de variance, l’équation

1 72

(5,44) s’écrit :

u>.v> = <u v> = <uv> (5,51)

(5,38) s’écrit alors :

F u> , v> = u>. F v> = <u F v>

= F <u , v> = <uFv> (5,52)

L’avant-dernière égalité correspond à (5,26). La notation : a><bFc> par exemple, peut

alors s’interpréter d’une multitude de manièresdifférentes donnant toutes le même résultat. Notonsque les formules de la Mécanique quantique sontparfois un peu différentes, du fait que les espacesvectoriels sont sur le corps des complexes C. *λe ⊗ e est l’opérateur projection sur leλ

vecteur e . Nous avons la relation de fermetureλbien connue en Mécanique quantique :

α *λ(δ ) = I = e ⊗ eβ λλ

et :

α *λ (δ ) = e ⊗ eβ λ

λα αIdentifiant (δ ) et (δ ) comme cela a étéβ β

suggéré lors de la définition du tenseur deKronecker, on a :

α α (δ ) = (δ ) = e ><e (5,53)β β λ λ

λ

Il est facile de vérifier que si les composantesid’un tenseur T sont t , alors, T peutjks’écrire :

i *j *kT = t e ⊗ e ⊗ e (5,54)jk i

en effet (5,45) donne :

*i’ i *j *k *i’ T(e ,e ,e ) = t e ⊗ e ⊗ e e ,e ,ej’ k’ jk i j’ k’

2 73

i *j *k *i’ = t e ⊗ e ⊗ e e ,e ,e jk i j’ k’

i i’ j k i’= t δ δ δ = tjk i j’ k’ j’k’

Les indices primés sont des indices différentsdes indices non primés, mais pour les vecteurs debase de la même base. Dans la base choisie, T a lesbonnes composantes pour toutes les valeurs desindices i’,j’,k’, cela est donc vrai pour lescomposantes dans toute base, la loi detransformation étant la bonne.

Reprenons les tenseurs T et U de l’équation(5,45) :

*i *k *l *i *k *l T ⊗ U e ,e ,e ,e ,e = T( e ,e ) U( e ,e ,e ) j m j m

donc :

i kl i klT ⊗ U = t U (5,55) j mj m

ainsi, le produit tensoriel de deux tenseurs setraduit en ce qui concerne les composantes par leurproduit.

En Mécanique quantique, on utilise des produitstensoriels de tenseurs sur des espaces vectorielsdifférents, tandis qu’ici nous avons toujours*utilisé au bout du compte E et E uniquement. Celane pose pas de problème réellement nouveau et(5,55) par exemple est encore vraie.

14. Contraction .- Lorsque un tenseur possèdedeux indices, l’un en position contravariante,l’autre en position covariante, on peut sommer parrapport à ces deux indices, et on obtient unnouveau tenseur dit contracté du précédent. Lerésultat ne dépend pas de la base choisie pourfaire l’opération, et les nouvelles composantesobtenues obéissent bien à la loi de transformationdes composantes d’un tenseur. L’ordre du tenseur aété ainsi diminué de deux.αAinsi, au tenseur T on peut associer leβ αtenseur d’ordre 0 ou nombre T ; on retrouve laαtrace d’une application linéaire qui est ainsiautomatiquement invariante.

15. Règle d’enlèvement d’une variance avec lescomposantes. - Nous avons avec (5,54) :

3 74

i *j *k T(ϕ,u,a) = t e ⊗ e ⊗ e (ϕ,u,a)jk i

puis avec (5,29) et (5,45) :

i *j *k = U(ϕ,u) = t e (ϕ) e (u) e (a)jk i

i *k *j⇒ U = t e (a) e ⊗ e (5,56)jk i

i i *k U = t e (a) (5,57)j jk

i i kU = t a (5,58)j jk

On a ce qu’on appelle la multiplicationcontractée par le vecteur a : multiplicationtensorielle suivie de la contraction sur les deuxindices covariants et contravariants voisins.

U = T(a) = T ⊗ a (5,59) contracté

Le changement de la variance d’une composanted’un tenseur s’interprète d’ailleurs comme leproduit contracté avec le tenseur métrique deuxfois covariant ou deux fois contravariant. Ainsipar exemple :

α α (v ) = g (v ) = g ⊗ (v )α contracté

L’existence du tenseur métrique correspond donc àl’existence d’un isomorphisme canonique entre E et*E :

g *E ------------------------------L E

Le tenseur mixte associé à g réalisel’isomorphisme de E sur E et est donc évidemmentl’application linéaire identité.

De même, on avait :

i *j T(a) = f(a) = t e (a) ej i

ce qui revient en fait à utiliser (5,47). i j

f(a) = t a ej i

4 75

iu o i j1 f(a) 1 = t a (5,60)m . j

Cela prouve que la matrice de l’applicationlinéaire f est identique au tableau des composantesdu tenseur mixte T auquel elle est associée, avecl’indice contravariant en haut à gauche, indice deligne, et l’indice covariant en bas à droite,indice de colonne. Cela fait aussi l’accord avecl’identification entre tenseurs mixtes d’ordre 2 etapplications linéaires faite, à l’aide descomposantes, au § 2 .

Remarquons qu’on a :

u oi i1 1 j1 v ⊗ ψ (a)1 = v ⊗ ψ a1 1 m . j

d’après (5,58)

u oii j 1 1= v ψ a avec (5,55) = 1 ψ(a) v 1 avec (5,22)j 1 1m .

et on a bien (5,47).

16. Dérivation d’un champ de tenseurs. - Un champde tenseurs défini dans l’espace à trois dimensionsordinaire est la donnée en chaque point de cetespace d’un tenseur, par ses composantes parexemple. Il va de soi que la variance des tenseurs(nombres d’indices contravariants et covariants)reste la même en chaque point. On supposeratoujours que les fonctions composantes définiesainsi dans l’espace ont des dérivées partiellesd’ordres aussi grands qu’on veut. D’une manièregénérale, un champ de tenseurs est la donnée d’une*application de E dans ...⊗ E ⊗ ...⊗ E ... ; Edésignant l’espace affine associé à l’espacevectoriel E .

champ de tenseu r s *M ∈ E -------------------------------------------------L T(M) ∈ ...⊗ E ⊗ ...⊗ E ...

Prenons ici l’exemple d’un champ de tenseurs deuxfois contravariants et une fois covariants; on peutlui associer un champ de tenseurs deux foiscontravariant et deux fois covariant par :

αβ∂Tαβ γ(DT) = ------------------------------ (5,61)γδ δ∂x

Il est facile de vérifier qu’on a la bonne loi detransformation pour les composantes. DT est ladérivée covariante de T .

5 76

Il va de soi que dans (5,61) la dérivée partielleδest calculée par rapport à x , pour l’expressiondes composantes de DT dans la base e δ--------L δ associée à ces coordonnées par OM = x e ; Mδétant le point courant où est évalué le tenseur T.Il vient donc :

αβ∂T γ *γ *δDT = ------------------------------ e ⊗ e ⊗ e ⊗ e (5,62)δ α β∂x

-------------L δ Avec M1M2 = dM = dx e , et compte tenu deδ(5,30) et (5,58) :

αβ αβu o ∂T1 1 γ δ αβ1 DT(dM) 1 = ------------------------------ dx = dT (5,63)1 1 δ γm . ∂xγ

αβLes composantes dT sont les composantes duγtenseur dT . On a :

-------------LT(M2) - T(M1) = dT + ε M1M2

-------------L ε ----------L 0 quand M1M2 ----------L 0

Lorsque dM est infiniment petit, dT est donc la

variation au premier ordre du tenseur T pour latranslation de vecteur dM ; mais bien sur danstoutes les équations écrites, dM est quelconque etn’est pas nécessairement "petit".

(5,30) s’écrit dans le cas particulier envisagéici :

dT = DT(dM) (5,64)

Dans le cas où T est un vecteur, c’est à direquand on a affaire à un champ de vecteur, DT est untenseur mixte donc une application linéaire. C’estl’application linéaire tangente ou différentielledu champ de vecteur. Par abus de language, onappelle parfois également différentielle la valeurprise pour un accroissement arbitraire dM.

Prenons le cas de l’espace-temps de la Relativitérestreinte, la quadrivitesse U est telle que :

------- L 1 dOM dUU = ----------------- ----------------------- et Φ = m C -------------C dτ d τ------- L

dOM et dU sont des exemples pour la formule(5,64), T étant un vecteur.

6 77

La divergence d’un champ de vecteurs est letenseur d’ordre 0 contracté de la dérivéecovariante du champ de vecteurs :

α α ∂vdiv v = (Dv) = ----------------- (5,65)α α∂x

La divergence est donc la trace de l’applicationlinéaire différentielle du champ de vecteur, d’oùson invariance dans un changement de coordonnées.

Dans le cas où T est un scalaire U :

∂U *δ *DU = ------------------ e = grad U (5,66)δ∂ x

Le gradient de U est donc la forme linéairedérivée covariante du champ de scalaire U. C’est àdire la différentielle de ce champ de scalaire. Parabus de language, la valeur prise pour unaccroissement arbitraire, dU = DU(dM) estégalement appellée différentielle. Dans le cas oùα emU = x , α fonction coordonnée, on a :

αα ∂x *δ *α *αDU = D(x ) = ----------------- e = e = dx (5,67)δ∂x

èmeainsi, la différentielle de la α fonctionèmecoordonnée est la α forme linéaire de la baseα *α

duale. Par abus de language, dx = dx (dM) estégalement appellée différentielle, cette dernièrerelation, expression particulière de (5,64),n’étant autre que (5,23), et cela justifie la*αnotation dx .

Dans un espace muni d’un produit scalaire, on------------------------Lpeut associer canoniquement un vecteur : grad Uavec (5,44) par :

------------------------L * ∀ a grad U . a = grad U (a)

* dU = DU(dM) = grad U (dM) (5,68)

------------------------L donc : dU = grad U . dM (5,69)

α ------------------------L αβ * αβ ∂Ugrad U = g (grad U) = g ------------------- (5,70) β β∂ x

--------LLes composantes covariantes du vecteur OM ,qu’on peut appeler les coordonnées covariantes de Msont obtenues par :

7 78

βx = g xα αβ (5,71)

Notons que les composantes covariantes d’unvecteur sont les produits scalaires de ce vecteuravec les vecteurs de base. (5,21) et (5,44) donnenten effet :

β βv = v(e ) = v . e = v e . e = v gα α α β α αβ

β αβx = g x (5,72)αOn a ∀ U :

β∂U ∂U ∂x ∂U αβ-------------------- = ------------------- ----------------- = ------------------- g (5,73)∂ x β ∂x βα ∂ x α ∂ x

ainsi :

α ------------------------L ∂Ugrad U = -------------------- (5,74) ∂ x α

D’autre part on a, par (5,73), la relation entreopérateurs de dérivation :

∂ αβ ∂----------------- = g ---------------- (5,75)∂x βα ∂x

17. Electromagnétisme relativiste. - Il estfacile de voir que les deux équations :

∂Brot E = - ------------ et div B = 0∂ t

sont équivalentes à :

∂F ∂F ∂Fαβ βγ γα------------------------ + ----------------------- + ------------------------ = 0 (5,76)γ α β∂x ∂x ∂x

tandis que :

ρ ∂Ediv E = --------------- et rot B = µ j + ε µ ------------ε 0 0 0 ∂ t0

sont équivalentes à :

αβ∂F α------------------ = - µ j (5,77)β 0∂x

avec :

8 79

ρ C αj = (5,78)j

L’équation (5,77) étant vraie dans tout repère,αj est nécessairement un quadrivecteur (voir§ 3 critère de tensorialité).

L’équation (5,76) implique qu’il existe unquadrivecteur A tel que :

∂A ∂Aβ αF = -------------------- - -------------------- (5,79)αβ α β∂ x ∂ x

(5,79) avec (5,3) et avec :

∂AB = rot A et E = - grad V - ------------- (5,80)∂ t

impliquent alors que :

V / C αA = (5,81)A

V et A sont les potentiels scalaires et vecteursde l’électromagnétisme classique; et les équations(5,80) sont résumées dans (5,79).

Supposons que nous soyons en présence d’un seultype de charges toutes animées de la même vitesselocalement autour du point d’espace-tempsconsidéré. Appelons ρ la densité volumique de

00charge correspondante dans le référentiel R où les

particules sont au repos. Appelons n le nombre de0

particules par unité de volume dans ce référentiel.Supposons que les particules aient toutes la mêmecharge q : ρ = n q

0 0

ρ0 0j = ρ C = ---------------------------------------------------------- C--------------------------------------------

2 2√ 1 - v / C

Le dénominateur provient de la contraction deslongueurs. On voit que :

0 0 0j = ρ C U = n q C U0 0

9 80

ρi i 0 i i ij = ρ v = ---------------------------------------------------------- v = ρ C U = n q C U-------------------------------------------- 0 02 2√ 1 - v / C

Ainsi : j = ρ C U = n q C U (5,82)

0 0

La conservation de la charge électrique s’écrit :

α∂ρ ∂ j----------- + div(ρ v) = 0 ; qui donne ----------------- = 0 (5,83)∂ t α∂x

La conservation de la charge électrique s’exprimeainsi par la nullité de la divergence duquadrivecteur courant.

Les équations de l’électromagnétisme ont ainsitoutes été mises sous forme quadridimensionnelle.Elles forment ce qu’on appelle l’Electromagnétismerelativiste.

18. Effets magnétiques des courants électriqueset relativité. - Pour montrer la nécessité de laRelativité restreinte, nous avons montré qu’il y acontradiction entre l’interaction électromagnétiquedans son ensemble (électrostatique et magnétisme)et la Mécanique newtonienne. Nous allons maintenantrenverser l’argument et montrer que la connaissancede la seule interaction électrostatique, alliée àla Relativité restreinte, implique l’existenced’effets magnétiques liés à la présence de chargesen mouvement. Ce nouveau point de vue estintéressant, car il sera repris en Relativitégénérale pour découvrir la structure del’interaction gravitationnelle à partir de la seuleloi connue de la Gravitation universelle de Newton.Cette loi est la partie "électrostatique" del’interaction gravitationnelle totale qui seraainsi découverte.

Pour ce faire, nous allons considérer uneexpérience de pensée inspirée de l’expérience desdeux barres, mais un peu différente. Considéronsdeux barres (1) et (2), de densités volumiques decharges ρ et ρ dans les référentiels où elles

1 2sont immobiles. La barre (1) est immobile dans R ,-et la barre (2) est immobile dans R .

Supposons enfin que :

ρ2ρ = --------------------------------------------------------------- (5,84)

1 -------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

Si seule l’interaction électrostatique est prise

10 81

en compte, dans R les deux barres ont la mêmeaction électrique sur une particule chargée.L’augmentation de la densité volumique de chargepour la barre (2) due à la contraction deslongueurs et l’égalité (5,84) impliquent en effetce résultat. -Cependant, dans R, la barre (2) est immobile etla barre (1) est animée de la vitesse v vers lagauche. Les densités volumiques de charges vuesdans ce repère sont donc ρ et

2 --------------------------------------------2 2ρ / √ 1 - v / C , deux densités différentes. Les

1deux barres qui avaient la même action dans R,-n’ont pas la même action dans R, ce qui estimpossible. Pour lever la contradiction, il fautsupposer qu’il y a une action électrique liée à lavitesse des barres qui compense l’effet précédent.C’est en effet la vitesse des barres qui changed’un référentiel à l’autre. Il doit donc y avoir uneffet magnétique lié au mouvement des charges. Dansle paragraphe suivant nous allons reprendre cetargument sous une forme mathématique de façon àprouver que la source du champ électromagnétiqueest le quadrivecteur courant complet.

19. Ce qui intervient : le quadrivecteur courant.- Dans ce paragraphe, nous ne supposons plus connule fait que la source de l’interactionαélectromagnétique est le quadrivecteur j (résultatdu § 17 , équation (5,77)). Nous allons aucontraire le retrouver en essayant d’allierl’interaction électromagnétique seule avec larelativité. Un raisonnement analogue sera reprispour la gravitation. Si la densité de charge est ρ

00dans le référentiel R où l’objet chargé est au-------------------------------------------

2 2repos, elle vaut ρ /√ 1 - v / C dans un0

référentiel où il est animé de la vitesse v.Définissons le quadrivecteur courant parα αj = ρ C U ; on s’aperçoit que la densité de

00charge est égale à la composante temporelle j /C-------------------------------------------

0 2 2car U = 1/√ 1 - v / C . Pour un ensemble decharges en mouvement avec des vitesses différentes,αdéfinissons j comme la somme des différentsαquadrivecteurs courants des différentes charges; jest encore un quadrivecteur, chaque terme de lasomme se transformant de la même manière dans unchangement de référentiel. La densité de chargeglobale, dans un référentiel, à l’origine del’interaction électrostatique, sera encore égale à0 αj /C , composante temporelle de j /C dans ce

référentiel.Considérons maintenant pour cet ensemble de-charges le passage de R à R ; on a :

11 82

0 0 1j = j - ch ϕ + j - sh ϕ (5,85)R R R

V = th ϕ (il n’y a pas de confusion possible entre-la vitesse et le potentiel) est la vitesse de R parrapport à R et n’a rien à voir avec les différentesvitesses des particules chargées considérées. Onvoit donc que l’action électrostatique vue de R

0liée à j fait intervenir l’action électrostatiqueR- 1vue de R (modifiée par ch ϕ ) et une partie j - liéeR -directement à la vitesse des charges dans R.1 0 0Modifier j - en laissant constant j - modifie j doncR R R

modifie l’interaction électromagnétique dans R ,1donc a priori dans tout repère. Ainsi j - doit avoirR-un effet dans R. C’est l’effet magnétique des

charges en mouvement.

20. Invariance de jauge de l’électromagnétisme. -0 1 2 3Soit χ(x ,x ,x ,x ) une fonction quelconque des

coordonnées d’espace-temps. Posons :

∂χA’ = A + ------------------ (5,86)α α α∂x

∂A ’ ∂A ’ 2 2β α ∂ χ ∂ χ-------------------------- - -------------------------- = F + --------------------------------------- - ---------------------------------- = F (5,87)α β αβ α β β α αβ∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂x ∂x

Ainsi, le quadrivecteur potentiel A n’est pasαunique. Tout quadrivecteur qui s’en déduit par laformule (5,86) avec χ quelconque convientégalement. La possibilité de faire les calculs enélectromagnétisme avec différents quadrivecteurspotentiels s’appelle l’invariance de jauge del’électromagnétisme. Le choix d’un quadrivecteurpotentiel précis s’appelle le choix d’une jauge.Cette propriété d’invariance de jauge qui seretrouve pour toutes les interactions estfondamentale et est à la base des théories modernesdes interactions appelées théories de jauge.

21. Création du quadrivecteur potentiel par lequadrivecteur courant. - Nous allons mettre cettedernière équation sous forme relativiste. Ellecorrespond aux équations classiques del’électrostatique et de la magnétostatique :

2 ρ 2∇ V + --------------- = 0 et ∇ A + µ j = 0 (5,88)ε 00

αβ αβEn coordonnées galiléennes types, g = η et(5,75) donne :

12 83

∂ αβ ∂----------------- = η ---------------- (5,89)∂x βα ∂xOn a :

∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂-------------- = ----------------- -------- et ------------- = - ----------------- ------------- (5,90)∂x C ∂t ∂x C i0 i ∂x

(5,79) s’écrit alors :

β ααβ ∂A ∂AF = -------------------- - -------------------- (5,91)∂ x ∂ xα βet (5,77) donne :

2 β 2 α∂ A ∂ A α----------------------------------------- - ----------------------------------------- = - µ j (5,92)β β 0∂x ∂ x ∂x ∂ xα βPosons :

2 2 2 2 2∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ u-----o------------------------------------- = ---------------- ------------- - -------------- - -------------- - -------------- = 1 1 (5,93)β 2 2 2 2 2 m-----.∂x ∂x C ∂t ∂x ∂y ∂zβu-----oL’opérateur 1 1 s’appelle le dalembertien.m-----.

2u-----o 1 ∂1 1 = ---------------- ------------- - ∆ (5,94)m-----. 2 2C ∂t

L’équation (5,86) donne :

β β 2 β∂A ∂A ’ ∂ χ ∂A ’ u-----o------------------- = ------------------- - ------------------------------------- = ------------------- - 1 χ (5,95)β β β β m-----.∂ x ∂ x ∂x ∂x ∂ xβL’équation :

βu-----o ∂A ’1 1 χ = f(x,y,z,t) = -------------------------m-----. β∂ x

a une solution pour toute fonction f suffisammentrégulière, et nous pouvons donc choisir A de façonà avoir :

β∂A------------------- = 0 (5,96)β∂ x

C’est la jauge de Lorentz. (5,92) donne alors :

2 α∂ A α----------------------------------------- = µ jβ 0∂x ∂ xβsoit :

13 84

u-----o 1 1 A = µ j (5,97)m-----. 0

en posant :

u-----o u-----o α1 1 A = 1 1 A m-----. m-----.

L’équation (5,97) exprime la création du champ,décrit par le quadrivecteur potentiel, par lemouvement des charges, décrit par le quadrivecteurcourant. Elle est à la base de la quantification duchamp électromagnétique en Electrodynamiquequantique. On accorde en effet maintenant uneréalité physique au quadrivecteur A , bien que savaleur dépende de la jauge (expérienced’interférence d’électrons d’Aharonov).

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EXERCICES

α5.1 Vérifiez que ϕ - = Λ - ϕ .α α α5.2 Vérifiez que (5,25) est compatible avec (5,35).

5.3 Vérifiez que l’on a la bonne loi detransformation des composantes pour F à partirαβde (5,37).

5.4 Cet exercice a pour but d’étudier l’interactionélectrique entre deux positrons A et B (charge+ e ) animés d’un mouvement rectiligne uniforme devitesse v (dans le référentiel R), perpendiculaireà la droite les joignant (droite parallèle aux axes-y et y), séparés par une distance constante a. Les-positrons sont immobiles dans R.

-R RI I -1 y 1 y1 1 +1 1 v A . e1 1 -----------------------------------L 11 1 1 a1 1 11 1 B . +1 1 e -------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L - O O x - - z z x

1. Calculez la force de répulsion électrostatique-subie par le positron A dans le référentiel R.2. En déduire, par la formule de transformation

des forces, la force subie par le positron A, vuedans R.

3. Interprétez cette force en terme de photonsvirtuels.

4. On demande de calculer dans R, les potentielscréés par B et vus en A. Pour cela, on rappelle laformule des potentiels de Lienard et Wiechert :

1 eφ(M,t) = ------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------4 π ε v . R(t’)0 R(t’) - -----------------------------------------C

µ0 e vA(M,t) = ----------------- ------------------------------------------------------------------------------4 π v . R(t’)R(t’) - -----------------------------------------C

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M. dM

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A(t)

R ( t ’ )

dx Iy 1 R 0 ( t ’ 0 )

a dM = dy 1

1 dz k--------------------L

x z

θ

----------------------------------------------------------------------------------------------------- . ----------------- . ------------------------------------------------------------------------------------- . -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------B(t’) B ( t ’ 0 ) l B( t )

R est le vecteur mené du point où se trouve lacharge créant les potentiels et allant au pointd’observation variable M. Les quantités sont prisesà l’instant t’ tel que :

R( t ’)t’ + -------------------------- = tC

5. Déduire des potentiels, les champs en A, crééspar B.

6. Déduire de la question 5 , la force subie parA dans R.

7. Déduire, grâce au formalisme du tenseurélectromagnétique, les champs E et B dans R, à-partir de leur valeur dans R; conclusion?

16 87

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Chapitre Six

DIFFICULTES DE LA RELATIVITE RESTREINTE

1. Introduction. - Les difficultés de laRelativité restreinte apparaissent toutes lorsqu’onessaye d’intégrer dans cette théorie l’interactiongravitationnelle. La résolution de ces difficultésmène à la Relativité générale qui est donc laThéorie relativiste de la gravitation. Cettethéorie devient nécessaire lorsque les masses descorps deviennent très importantes, ou bien lorsqueleurs vitesses s’approchent de celle de la lumière,tandis qu’on s’intéresse à leurs actionsgravitationnelles.

2. Egalité de la masse inerte et de la massegravitationnelle. - Il existe a priori deux massesdifférentes : la masse inerte mi qui mesure lespropriétés d’inertie des corps et intervient dansl’équation F = mi γ (l’indice i fait référence àla masse inerte et n’est pas un indice denumérotation); et la masse gravitationnelle mg quimesure la force avec laquelle un corps agitgravitationnellement et qui intervient dansl’équation :

mg m’gF = - G ------------------------------------ u (6,1)2r

F est la force subie par le point M’, dirigéevers M (force toujours attractive) donc opposée auvecteur u défini par :

------------------LMM ’u = ------------------------------------- (6,2)------------------LMM ’

A priori, ces deux masses n’ont rien à voir l’uneavec l’autre, et pourtant elles sontproportionnelles. En effet, pour toutes lesparticules, le rapport mi/mg est le même. Cesdeux masses sont donc égales en choisissant la mêmeunité.

Pour l’interaction électrostatique, il n’y aaucun rapport entre l’inertie d’un corpscaractérisée par sa masse, et sa capacitéd’attraction électrostatique suivant la loi deCoulomb caractérisée par sa charge électrique. Telest le cas par exemple du muon et de l’électron,toutes deux particules rigoureusement élémentaires

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pour la Théorie quantique des champs, et qui ont lamême charge, et pas du tout la même masse.

On sait que la Relativité restreinte établit que2E = mi C ; mais cette théorie ne traite à aucun

moment de la gravitation. Or le défaut de massed’un atome par rapport à ses constituants séparés,dû à l’énergie potentielle de l’interaction forte,est le même en terme de masse inerte et de massegravitationnelle, ce qui paraît miraculeux. Enconclusion de ce paragraphe, l’égalité entre mi etmg, loin d’être quelque chose de naturel, apparaîtcomme complètement inattendu et miraculeux; quelquechose qui s’ajoute à la Mécanique newtonienne et àla Relativité restreinte sans être englobé dans cesthéories.

3. Vérification expérimentale de l’égalité entremi et mg . - La force qui attire un corps suivantla verticale sur la Terre est principalement due àl’attraction gravitationnelle de la Terre faisantintervenir mg (la force centrifuge due à larotation de la Terre sur elle même est icinégligée). Un corps en chute libre obéit donc à :

mgmi γ = mg g soit : γ = ------------ gm i

Ainsi, l’égalité de l’accélération de chute librepour tous les corps est une confirmation del’égalité entre mi et mg .

C’est Galilée le premier qui découvrit que tousles corps tombent avec une accélérationindépendante de leur masse. Son matérielexpérimental consistait en un plan incliné pourralentir la chute, et une horloge à eau pourmesurer le temps. L’expérience de chute depuis latour de Pise de deux corps constitués de matériauxdifférents, qu’elle ait réellement eu lieu ou non,est restée célèbre. Un pendule simple au boutduquel on accroche différent matériaux permetégalement de vérifier cette égalité entre la masseinerte et la masse pesante (Huygens : 1629-1695).

En 1889, la précision fut considérablementaméliorée par Roland von Eötvös. Il vérifia

-9l’égalité entre mi et mg à 10 près. Eötvösutilisa le fait que sur la Terre, la force àlaquelle est soumise un corps immobile est la sommede la force de gravitation appliquée par la Terre,faisant intervenir la masse gravitationnelle, et dela force d’inertie centrifuge due à la rotation dela Terre sur elle-même, faisant intervenir la masseinerte. Il en résulte que l’accélération g ,faisant intervenir ces deux forces, que prend uncorps laché, sera variable d’un corps à l’autre simi ≠ mg . Il utilise alors un pendule de torsion audeux bouts duquel sont attachés les deux corpsdifférents A et B . L’absence de torsion permet de

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vérifier l’égalité entre mi et mg.Récemment, R. H. Dicke améliora l’expérience

d’Eötvös en utilisant la force d’attractiongravitationnelle du Soleil et la force centrifugedue à la rotation de la Terre autour du Soleil. Lesmesures ont alors une période de 24 heures, due àla rotation de la Terre sur elle-même, permettantainsi de filtrer les bruits éventuels. Il atteint

-11alors la précision de 10 .Il fut montré également, avec une précision bien

moindre, que les neutrons tombent avec la mêmeaccélération que la matière ordinaire, et que laforce gravitationnelle subie par les électrons dansle cuivre est la même que celle subie par lesélectrons libres.

Une expérience actuellement envisagée est devérifier que les antiprotons tombent exactement dela même manière que les protons.

On voit donc le long cheminement expérimentalsuivi par la vérification de plus en plus précisede l’égalité entre mi et mg. Ce cheminement avaitfortement impressionné Einstein, qui allait fairede cette égalité le fondement de la Relativitégénérale.

4. La boîte aux deux photons. - Reprenons cetexemple étudié au § 3 du chapitre 4 . L’ensemblede la boîte et des deux photons présente uneinertie caractérisée par la masse inerte

0 2mi = P / C = 2 h ν / C , due à l’énergie cinétiquedes deux photons, alors que la boîte elle-même aune masse nulle. Le système constitué de la boîteet des deux photons, dans son ensemble, doit doncêtre capable d’attirer gravitationnellement,puisque mi = mg . Ainsi, ce n’est plus seulementla masse au repos qui attire, mais égalementl’énergie potentielle (voir le paragraphe 2 ) etl’énergie cinétique (énergie cinétique desphotons).

Rappelons ce qui a été dit au § 3 duchapitre 4 : l’énergie potentielle d’interaction(interaction forte par exemple) correspond à la

0composante de temps P du quadrivecteurimpulsion-énergie des particules de champ (gluonsdans le cas de l’interaction forte) assurantl’interaction. Ce sont donc toutes les composantes

0de temps P de toutes les particules contenues dansle système qui doivent avoir une actiongravitationnelle. Cette composante de temps, nousl’avons nommée masse-énergie au § 3 duchapitre 4 . Ceci nous oblige à revoir la loi de lagravitation universelle qui, sous sa formenewtonienne, ne fait intervenir que les masses aurepos mi = mg des particules constituantes, etnon les masses-énergies.

D’autre part, lorsqu’on change de référentiel,toutes les composantes du quadrivecteur

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impulsion-énergie se mélangent pour intervenir dans0la nouvelle composante P . Suivant un raisonnement

analogue à celui fait au § 19 du chapitre 5 , onαen conclut que toutes les composantes P ont uneaction gravitationnelle. On a là déjà, lapossibilité d’avoir des nombres négatifs (certainsiP ) à l’origine d’effets gravitationnels. Nousreverrons cela au § 12 . Nous verrons égalementd’autres problèmes posés par l’union de lagravitation et de la Relativité restreinte aux§ 12 et § 14 .

Puisque la boîte aux deux photons est capabled’attirer gravitationnellement, elle doit égalementêtre sensible à la gravitation. Remarquons à cesujet que le même paramètre, la massegravitationnelle, caractérise, en Mécaniquenewtonienne, déjà deux propriétés différentes : lerôle actif consistant à attirergravitationnellement et le rôle passif consistant àêtre dévié (accéléré) par un champ de gravitation.

En particulier, on peut penser que les photons,capables d’attirer gravitationnellement par leur

0composante P , doivent être sensible à lagravitation. On arrive à la conclusion que lalumière doit être déviée dans un champ degravitation. Il en résulte que les équations deMaxwell, dont on déduit la propagation rectilignede la lumière, doivent être fausses en présenced’un champ de gravitation. Ainsi,l’électromagnétisme qui était en parfait accordavec la Relativité restreinte, pose problèmelorsqu’on fait intervenir l’interactiongravitationnelle.

5. Nécessité de cette égalité. - Une premièreremarque est qu’il est nécessaire que mi = mgpour la structuration de l’univers tel qu’on leconnaît. En effet, une planète comme la Terre parexemple exploserait immédiatement s’il n’en étaitpas ainsi, l’uranium, par exemple, devant orbiterautour du Soleil à une vitesse différente de cellede l’eau. Ceci car la force centrifuge qui dépendde mi doit équilibrer la force de gravitation quidépend de mg. A tout le moins, si cela n’était passuffisant pour faire exploser la Terre, cela auraitgrandement gêné sa formation. Pour que lespoussières interstellaires puissent se réunir enétoiles et en planètes par la gravitation et mêmeformer des structures à très grandes échelles commeles galaxies, il est nécessaire que mi = mg .

En effet, si mi ≠ mg , dans un nuage depoussières interstellaires tout autour d’une étoilepar exemple, des poussières de matériaux différentsanimées de vitesses voisines au même endroit,auraient un équilibre entre force de gravité etforce d’inertie différent, et il y auraitséparation de ces matériaux. Ainsi, un corps comme

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la Terre, ne pourrait pas avoir rassemblé dans unvolume réduit tous les éléments nécessaires à lavie.

Certes, l’effet de marée a également tendance àfaire exploser des corps trop volumineux, lorsquele gradient de gravité est important. Cependant,son effet peut devenir négligeable lorsque legradient de gravité est suffisamment faible. Dansle cas cité ci-dessus, ce n’est pas le gradient quiintervient, mais la gravité elle-même.

6. Unification de l’inertie et de la gravitation.- Nous avons insisté au § 2 du chapitre 5 sur lefait que le même paramètre q : la chargeélectrique, intervient pour l’électrostatique et lemagnétisme dans les équations :

F1 = q E et F2 = q v ∧ B

et nous avons dit que ceci était le premier indiced’une unification possible.

L’équation (5,3) montre que pour un système decharges en mouvement, B E / C ; doncF2 q (v / C) E ; et F2 F1 v / C . On voit quela vitesse de la lumière entre comme facteurd’échelle dans l’électromagnétisme. Pour lesvitesses faibles devant celle de la lumière, laforce magnétique est très faible. Pour les vitessesvoisines de celle de la lumière, les deux forcesont le même ordre de grandeur.

Pour un plasma, il existe une température àpartir de laquelle les particules chargéesdeviennent ultra-relativistes : v C . Les forcesélectrostatiques et magnétiques ont donc alors lamême intensité. Lorsque la température chute, il ya un découplage de l’intensité de ces deux forces.

Présentement, on pense que lors durefroidissement du plasma constituant l’universaprès le Big Bang, il y a eu de la même manièredécouplage successif de l’intensité des quatreinteractions fondamentales. Suffisamment tôt aprèsle Big Bang, elles devaient toutes avoir la mêmeintensité et être unifiée en une interactionunique.

Suivant le raisonnement précédent, le fait que lemême paramètre m intervienne pour l’inertie et lagravitation nous fait penser qu’un même phénomènephysique se tient caché derrière ces deuxmanifestations a priori déconnectées. Accordant lerôle principal à la gravitation, qui est une desquatre interactions structurant l’univers, nouspensons donc que l’inertie doit être un aspectparticulier de la gravitation. Ceci mènedirectement au principe de Mach étudié auparagraphe suivant, du nom du physicien autrichienErnst Mach (1838-1916).

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7. La force centrifuge et le principe de Mach. -Dès Newton, et même avant, les physiciens s’étaientaperçus que, si le mouvement de translation a uncaractère relatif, le mouvement de rotation semble,lui, avoir un caractère absolu.

Imaginons un avion à hélices isolé dans l’espaceinterstellaire (ce qui est un endroit curieux pourun tel appareil, mais il s’agit d’une expérience depensée) et supposons que l’hélice tourne parrapport à l’avion. Il semble qu’on puisse savoird’une manière absolue si c’est l’hélice qui tourneou bien l’avion. Il suffit d’accrocher au bout despales de l’hélice et au bout des ailes, desressorts se terminant par de petites masses. Lesressorts se tendront au bout du corps qui tourne àcause des forces centrifuges qui se développentdans un corps tournant.

Ce qui est remarquable, c’est qu’un corps netourne pas de cette manière, qu’on appelle iciabsolue, quand justement il ne tourne pas parrapport aux étoiles, et que les forces centrifugesse développent quand le corps tourne par rapportaux étoiles.

Le physicien et philosophe (évêque irlandais1685-1753) George Berkeley fut le premier à émettredes critiques sur la notion d’espace absolu qu’ilconsidérait comme une notion purement métaphysiquesans support expérimental suffisant, et dont onpourrait peut être, dans une meilleur théorie, sepasser. Il affirma qu’en fait, la réalité physiqueconsiste en l’ensemble de ces étoiles constituantun ensemble de masses gigantesques. L’idée de Mach,que l’on appelle maintenant principe de Mach, estque ce sont justement les étoiles et plusgénéralement toutes les masses de l’univers quisont responsables des forces centrifuges, et plusgénéralement de toutes les forces d’inertie par uneaction gravitationnelle. On fait ainsi l’économied’une coïncidence troublante.

On comprend en effet alors pourquoi mi = mg ;l’inertie est due à une action gravitationnelle del’ensemble des masses de l’univers imposant que lecorps donné ait "en moyenne" une accélération nullepar rapport à l’ensemble de l’univers.

"en moyenne" est un terme demandant à êtrepréciser dans une théorie complètement machienne;et nous verrons que la Relativité générale, bienqu’intégrant logiquement le principe de Mach, n’estpas complètement machienne.

8. La philosophie positiviste. - Il est à noterque Berkeley a une conception philosophique dans lamouvance de ce qui allait devenir le positivime. Cemouvement voulait se débarasser des présupposésmétaphysiques inutiles à la science et se cantonneraux grandeurs observables.

Pour Berkeley, puis le physicien positiviste

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Ernst Mach, l’espace absolu était une telleconception métaphysique inobservable, donc vide desens.

Par leurs critiques de la Mécanique newtonienneet de cette notion d’espace absolu, ils ont faitprogresser la science en préparant la venue de laRelativité générale. Mach a beaucoup influencéEinstein. Le remplacement de l’espace absolu parl’ensemble des étoiles était un grand progrès.

Cependant, si il faut toujours soumettre à lacritique les concepts métaphysiques à la base de lascience, il est vain de vouloir les éliminer tous.La conception positiviste extrême mène à lanégation de toute réalité expliquable par lascience.

A force de rejeter toute métaphysique, et toutconcept non directement relié à l’expérience, onarrive en effet à une science où la priorité estdonnée aux sensations directes. On arrive alors àdes absurdités. Ainsi, Auguste Comte affirma quecela n’avait pas de sens de parler de latempérature des étoiles ou de leur compositionchimique, dans la mesure où on ne pourra jamaisaller sur place faire des expériences. Duhem etBerthelot ainsi que Mach rejetèrent la réalité desatomes car non visibles directement. Ce n’étaitpour eux qu’une hypothèse commode. Plus près denous, le fait qu’on ne puisse pas isoler les quarkshors des nucléons amène certains à dire que ce nesont pas des objets réels, mais uniquement descalculs.

Très succinctement, on peut retracer de lamanière suivante l’origine du positivisme : ilvient de la reconnaissance du fait qu’à l’originedes concepts de la science, il y a des mythesmétaphysiques, d’origine religieuse ou mystiqueparfois. Il vient alors de la volonté radicaled’éliminer toute métaphysique de la science. Lascience devient alors empirique. L’âme à lanaissance est une page blanche sur laquelle lesexpériences sensibles écrivent peu à peu. Mais laseule théorie valable expliquant comment on peutacquérir une telle connaissace du réel uniquement àpartir de l’expérience sensible et sans aucunemétaphysique est la théorie de l’induction. Lacritique valable par Hume de l’induction mène alorsà l’idéalisme (il n’y a plus de vérité) et aupositivisme : les théories sont seulement desconventions ou des instruments commodes.

La co n ce p tion réaliste : le réalismemétaphysique, est concrètement différente de laconception positiviste :

Le réalisme, en postulant l’existence d’uneréalité objective compréhensible, donne la priorité

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aux concepts sur les équations. Il y a alorsforcément des concepts primitifs non définissableset forcément auréolés d’un certain vague; et il y anécessairement des concepts a priori métaphysiquesc’est à dire dont on ne sait pas a priori s’ilssont falsifiables (au sens de Popper) ou non. Telest le cas par exemple du modèle d’univers infinide la Relativité générale a priori difficilementtestable. Les positivistes, en interdisant cespréoccupations ou interrogations sous prétextequ’elles n’ont pas un rapport avec l’observationdirecte bloquent la science.

Donnons un exemple concret : dans la conceptionréaliste, l’univers repose sur les trois conceptsmétaphysiques d’espace, de temps, et de matière ouplutôt de particule ou quanton (du nom inventé parle philosophe Mario Bunge). De la matière peut êtreà un endroit à un moment donné et à un autreendroit à un autre moment. En réunissant ainsi lestrois concepts, on arrive au concept de mouvementpuis à sa mesure scalaire, l’énergie. On arrive àla définition suivante de l’énergie : l’énergie estla mesure unifiée des différentes formes demouvement. On a alors mieux compris l’énergie quesi l’on dit uniquement qu’elle est équivalente àl’équation de conservation correspondante.

La conception réaliste est plus performante dupoint de vue pédagogique que la conceptionpositiviste, car dans la vie quotidienne, tout lemonde adopte spontanément la position réaliste etest habitué à celle-ci. Il y a alors continuitéentre la façon quotidienne de penser et la façon depenser en science.

De plus, c’est une erreur de croire que le savoirdes élèves se construit directement et uniquementdes observations par induction. Ce n’est pas commecela d’ailleurs que la science s’est construitehistoriquement. Donnons un exemple : tous les faitsd’observation étaient là (phases de la Lune etc),en ce qui concerne les marées, et depuis fortlongtemps; mais on n’a réussi à comprendre lesmarées, et à les prévoir avec précision, quelorsque la gravitation newtonienne fut disponible,et ce fut alors très rapide.

Le positivisme a besoin de beaucoupd’expériences, chacune ayant peu d’importance. Leréalisme a besoin de peu d’expériences, maischacune est cruciale car elle peut falsifier lathéorie.

Dans la conception réaliste, une bonne théorie(dans son domaine d’application, comme la Mécaniquenewtonienne) est un reflet de la réalité. Elle estdonc unique (à un isomorphisme près des structures,comme la mécanique des matrices de Heisenberg etles fonctions d’onde de Schrödinger), intangible et

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éternelle et également vraie dans tout l’univers.De plus le progrès de la science doitnécessairement se faire de manière discontinue; caron découvre brutalement de nouveaux pans de laréalité. Il ne s’agit pas simplement d’équations demieux en mieux approchées.

Dans la conception réaliste, la science estunificatrice et réductionniste. Puisqu’il y a uneréalité et une seule descriptible par la science,la science est unique et forme un tout. Il ne peutpas y avoir de science autonome dans son domaineavec ses propres règles et échappant aux autresdomaines de la science.

Le positivisme distingue souvent les expériencesproches des sens directs, comme la vision d’unobjet, auxquelles il accorde une part de réalité,et les théories complexes comme la structureatomique de la matière qui ne sont que deshypothèses commodes. Mais il y a continuité entreces deux aspects, de telle sorte que la coupure estarbitraire. La reconnaisance d’un objet fait eneffet déjà appel à des théories complexes comme leslois de la perspective, appréhendées spontanémentpar le cerveau. On ne voit jamais l’objet"directement", on voit les photons diffusés par cedernier, suivant des lois faisant appel à desthéories admises etc (c’est en ce sens quel’induction pure n’existe pas).

Une théorie physique est une constructionglobale, et il est possible que certains conceptsde la théorie ne soient pas reliés directement àune observation. Après tout, l’espace absolu deNewton est une réalité physique, si l’on considèreque c’est la trace locale, là où on est, del’influence de l’ensemble des étoiles. C’est uncertain état du vide au point considéré, causé parles étoiles. La Relativité générale (et le principede Mach) ne détruit pas l’espace absolu. Elle enexplique son origine, ses propriétés, et seslimites. La notion de fixité qui était attachée àl’espace absolu de Newton a, elle, disparu. On nepeut en effet privilégier un référentiel galiléendont on dirait qu’il est absolument fixe. Concluonsce paragraphe en remarquant qu’une philosophiediscutable fut à l’origine, dans le cas considéré,d’un progrès considérable de la science, mais ceprogrès fut l’oeuvre de physiciens réalistes.

9. La force de Coriolis et le principe de Mach :le pendule de Foucault. - Pour aller plus avantdans la confirmation expérimentale du principe deMach, nous allons utiliser le pendule de Foucault.Faisant intervenir la force de Coriolis, il estbeaucoup plus sensible qu’un simple ressort faisantintervenir la force centrifuge.

Le physicien Léon Foucault (1819-1868) fit son

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expérience célèbre en 1851. Il attacha un pendule(constitué d’un objet en bronze très lourd suspenduau bout d’une corde) à la voûte du Panthéon àParis. Son but était de démontrer par cetteexpérience la rotation de la Terre sur elle-même.Galilée avait montré grâce à son principe derelativité, que le mouvement de translation trèsrapide d’un point de la surface de la Terre lié àla rotation de la Terre sur elle-même ne donne paslieu à des manifestations mécaniques visibleslocalement, mais il n’avait pas non plus prouvé quela Terre tourne sur elle-même.

Considérons, pour simplifier le raisonnement, unpendule de Foucault situé au pôle nord. Dans cecas, le plan d’oscillation du pendule est fixe parrapport à un référentiel galiléen. Il en résulteque par rapport à la surface terrestre, il tourneavec une vitesse angulaire opposée à celle de lasurface terrestre par rapport au référentielgaliléen. On peut étudier directement le mouvementdu pendule dans un référentiel terrestre, enutilisant la force de Coriolis.

Le pendule de Foucault permet alors de tester lanon rotation par rapport à un référentiel galiléen,dont les directions d’axes sont matérialisées trèsprécisément par le plan d’oscillation du pendule.

Si l’on considère le Soleil, on s’aperçoit qu’ilse décale de 1˚ environ par jour par rapport auplan du pendule. Cela est lié au fait que le centrede gravité de la Terre n’est pas l’origine d’unréférentiel galiléen, la Terre tournant autour duSoleil en un an.

Toutes les étoiles visibles appartiennent à notregalaxie : la Voie lactée. Le Soleil fait un tour dela Voie lactée en 250 millions d’années. Lesétoiles se décaleront donc lentement par rapport auplan d’oscillation du pendule de Foucault de 1˚environ en 1 million d’années, en ordre degrandeur.

Pour avoir une direction fixe, il ne faut pasnon plus prendre la galaxie d’Andromède, ni encoreles galaxies proches, jusqu’à l’amas de la Vierge à50 millions d’années lumières environ. Par contre,si nous prenons des galaxies à quelques milliardsd’années-lumière, là certainement, plus aucunmouvement ne sera décelable.

Le pendule de Foucault oscille en ignorantsuperbement son environnement local, faisant fi dela Terre, du Soleil, du groupe local de galaxies,du super-amas local de galaxies, contenant l’amasde la Vierge. Il obéit à l’ensemble des galaxieslointaines constituant la masse gigantesque del’univers. Aussi, nous ne dirons plus que le plandu pendule est immobile par rapport aux étoiles,mais par rapport aux galaxies lointaines.

L’inertie serait alors due, d’après le principede Mach, à l’action gravitationnelle de l’ensemble

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des galaxies lointaines.

Remarquons que le principe de Mach permet deprévoir l’existence des galaxies extérieures à lanotre, ce qui fit l’objet d’un débat passionné au19˚siècle et au début du 20˚ siècle :

Tout groupement de matière ayant une rotationd’ensemble (moment cinétique total non nul), dansl’univers, devient progressivement plan, s’ilexiste des forces de friction internes.

La matière située dans le plan perpendiculaire àl’axe de rotation et passant par G, centre degravité, est en effet soutenue par la forcecentrifuge et peut rester à distance constante decet axe. La matière hors de ce plan tombe sur cedernier, aucune force ne s’opposant à la gravitétendant à amasser la matière vers le centre degravité contenu dans ce plan. Dans la mesure où ilexiste des forces de friction suffisantes pourralentir un objet lors de son passage dans le plan,il finira par s’y stabiliser. Autrement, il peut yavoir un mouvement de va et vient de l’objet depart et d’autre du plan (ceci est le cas pour lesamas globulaires d’une galaxie).

Il en est ainsi des anneaux autour des planètes(anneau de Saturne par exemple), du systèmesolaire, et des galaxies ayant suffisamment depoussières et de gaz interstellaires pour assurerces forces de friction : les galaxies spirales. Lesgalaxies elliptiques entièrement condensées enétoiles peuvent, elles, rester non planes.

La simple observation du ciel à l’oeil nu nousmontre que la Voie lactée, notre galaxie est plane.Ceci montre donc que des forces centrifuges sont àl’oeuvre et qu’elle doit tourner par rapport à dela matière extérieure à elle (principe de Mach).

L’hypothèse la plus plausible ne lui faisant pasjouer un rôle particulier dans l’univers est alorsde supposer que cette matière extérieure estconstituée de galaxies semblables à la nôtre.

Ceci résout, en ce qui concerne les étoiles denotre galaxie, le problème fondamental suivant :comment se fait-il que le ciel ne nous tombe passur la tête? Les étoiles ne nous tombent pas sur latête parce qu’elles sont soutenues par la forcecentrifuge.

En ce qui concerne les galaxies, elles ne noustombent pas sur la tête, emportées qu’elles sontdans le mouvement général d’expansion de l’univers.Mais ce mouvement se ralenti effectivement.

1 0 . Difficulté d’une théorie complètementmachienne. - Nous avons dit que l’inertie est uneffet de la gravitation. Dans une telle théorie, onne peut pas attribuer d’une manière intrinsèque unemasse à chaque particule. Regardons en effet ladifférence qui existe entre un univers constitué de

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trois particules : 1,2,3 ; et un univers constituéde deux particules : 1,2 . Dans le premier cas,l’inertie de la particule 1 est plus grande quedans le second, car il y a plus de particules pourimposer leurs lois.

Pour une particule seule, on ne peut plus définirni accélération ni effet gravitationnel; c’est àdire qu’on doit considérer que cette particuleisolée est toujours soumise à une forcegravitationnelle nulle. Toutes les autresinteractions étant également absentes, la forcetotale est nulle. Admettons en effet que larelation F = m γ soit toujours vraie, F étantnulle et γ indéterminée donc quelconque. Celanécessite m = 0 . Cela est cohérent : la masseétant liée à l’arrière plan, lorsque ce dernierdisparait, la masse s’évanouit.

Ainsi la masse ne fait pas seulement intervenirla particule considérée, mais dépend aussi del’univers dans son ensemble. On a donc là unexemple de non localité en physique, qui rappellela non localité en mécanique quantique. Nousn’insisterons pas sur les inégalités de Bell et lescorrélations à distance qu’elles impliquent.Prenons plutôt l’exemple des particules de spin1/2 . On sait que pour revenir à la positioninitiale, il faut faire tourner la particule de 4πet non pas de 2π . Cela correspond au fait que legroupe de rotations n’est pas simplement connexe,mais cela fait référence au chemin complet de larotation de l’état initial à l’état final; cheminqui correspond à un lien de la particule avec lereste de l’univers. On voit là la grande unité dela physique à travers des théories trèsdifférentes; comme si, quel que soit le cheminsuivi pour progresser, on découvrait peu à peu lemême paysage.

De la même manière, on peut penser que leprincipe de Mach implique que des corps placés prèsd’une masse importante voient leur masse augmenter.Mais dans ce cas, comme dans le précédent, on peutremarquer que toutes les masses doivent augmenterdans la même proportion, les masses 1 et 2 parexemple : m1/m2 = Cte). Les masses étant définiesen rapport avec une masse choisie comme unité, desaugmentations proportionnelles entre elles detoutes les masses sont indétectables et n’ont doncpas de réalité physique. Une augmentation globalede toutes les masses dans le voisinage considéré,peut avoir un effet de diminution des accélérationsqui est peut-être bien pris en compte par leseffets de ralentissement de l’écoulement du tempset de contraction des longueurs que nousdécouvrirons au chapitre 7.

12 100

En Relativité générale, on définit d’une manièreabsolue la masse d’un corps, indépendamment deconsidérations sur le reste de l’univers. Ainsi, lamasse de l’électron est toujours la même, quelleque soit sa situation. Notons que cela est remis encause en Electrodynamique quantique, puisque larenormalisation de la masse, fait intervenirl’interaction de l’électron avec les photonsvirtuels, interaction variable suivantl’environnement de l’électron.

En Théorie quantique des champs, l’idée departicules individuelles aux propriétés biendéfinies et fixées quel que soit l’environnementest donc ainsi mise en défaut. Il faut ainsitoujours penser l’électron entouré de son nuage dephotons virtuels etc, ce nuage dépendant lui-mêmede l’environnement de l’électron.

11. Relativité du mouvement de rotation etprincipe de Mach. - Nous allons maintenant utiliserle principe de Mach pour passer de la relativitémathématique du mouvement de rotation à lacompréhension de l’origine de la relativitéphysique du mouvement de rotation.

Notons que la notion de mouvement impliquetoujours l’existence de deux corps qui bougent l’unpar rapport à l’autre, et dont l’un est choisicomme référentiel. Si l’univers était constitué parune seule boule rigide, et de rien d’autre, leproblème de savoir si cette boule tourne ou nonn’aurait pas de sens. Ainsi la phrase "La Terretourne sur elle-même." n’a pas en fait de sens. Sila Terre était seule, il n’y aurait pas moyen desavoir si elle tourne ou non. Ce qui a un sens,c’est de dire que la Terre tourne par rapport auSoleil, ou aux étoiles. D’ailleurs, suivant cesdeux cas, on considère le jour solaire, ou le joursidéral, la différence entre les deux venant de larotation de la Terre autour du Soleil en un an.Mais dire que la Terre tourne par rapport auxétoiles est équivalent à dire que les étoilestournent autour de la Terre. C’est cela que nousappelons la relativité mathématique du mouvement derotation. En ce sens, en Mécanique newtonienne, onpeut dire que la Terre tourne par rapport àl’espace absolu, mais également que l’espace absolutourne par rapport à la Terre.

Utilisons maintenant le principe de Mach : onpeut dire que la Terre tournant par rapport auxgalaxies lointaines il s’y développe des forcesd’inertie qui font par exemple que le pendule deFoucault tourne; mais on peut dire aussi bien, etgrâce a ce principe de Mach que ce sont lesgalaxies tournant autour de la Terre qui fonttourner le pendule par une action gravitationnelle.Nous avons là la relativité physique du mouvement

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de rotation; c’est à dire que nous intégrons avecune loi physique précise : l’actiongravitationnelle des galaxies lointaines, larelativité du mouvement de rotation.

Il faut donc trouver une théorie dans laquelle onpuisse effectivement traiter les choses de cettefaçon. C’est de là que vient le nom de Relativitégénérale, car ce n’est plus seulement le mouvementde translation rectiligne uniforme qui est relatif,mais également le mouvement de rotation, et plusgénéralement, tout mouvement accéléré, avec uneaccélération quelconque. L’ensemble des galaxieslointaines constitue simplement un référentielprivilégié; dans ce référentiel, les lois de lamécanique ont effectivement une forme plus simple.

La relativité du mouvement de rotation nousamène curieusement à penser de nouveau, comme au§ 10 à la non localité. Mettons brusquement unobjet en rotation. Nous pouvons considérer quec’est tout l’univers qui se met à tourner dans unmouvement d’ensemble autour de l’objet.Instantanément, l’ensemble des galaxies acquiert unmouvement parfaitement corrélé autour de l’objet.Il y a donc corrélation instantanée à distance,donc non localité, comme dans l’expérience decorrélation de photons d’Aspect vérifiant lesinégalités de Bell.

12. Interaction gravitationnelle et relativité. -Montrons tout d’abord qu’il est nécessaire demodifier considérablement l’interactiongravitationnelle décrite par la loi :

2F = G m m’/ r , de façon à la rendre relativiste.Cette loi, telle quelle, traduit en effet desaction instantanées à distance. Modifier laposition d’une particule, donc r, change en effet Fpour les deux particules instantanément. Or on saitqu’aucune interaction ne peut se propager plus viteque la lumière. Il faut donc modifier cette loi. Enparticulier, une oscillation périodique d’une massedoit créer un champ gravitationnel oscillant sepropageant avec une certaine vitesse, c’est à direune onde gravitationnelle. Mais on sait que lesondes électromagnétiques font intervenir desoscillations couplées des champs électrique etmagnétique. Pour rendre l’existence de telles ondesgravitationnelles possibles, il doit donc existerun effet "magnétique" de la gravitation, lié aumouvement des masses.

La nécessité de faire intervenir un champ dansl’expression de l’interaction gravitationnellevient déjà du fait que r n’est plus défini enRelativité restreinte. La valeur de r dépendra duréférentiel galiléen choisi, définissant lasimultanéité entre M et M’. Il n’est donc pluspossible d’exprimer directement l’interactiongravitationnelle entre deux points. Les étudiants

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doivent remarquer que l’on parle de l’interactiongravitationnelle définie par la formule instantanéede Newton ci-dessus; à d’autre moments on parle deRelativité restreinte; mais on ne parle à aucunmoment simultanément des deux! Sauf bien sûrlorsqu’on aborde la théorie correspondante qui estla Relativité générale. Bien sûr, le raisonnementprécédent s’applique aussi à l’interactionélectromagnétique, et conduit à la réalité physiquede ce champ.

Reprenons maintenant ce qui a été dit auparagraphe précédent. Il faut pouvoir traiter larotation du pendule de Foucault en supposant quec’est la Terre qui est immobile, et l’ensemble desgalaxies lointaines qui tourne autour d’elle.L’ensemble de toutes ces masses lointaines enmouvement doit avoir un effet sur le pendule enmouvement. Cela évoque l’action magnétique decharges en mouvement sur d’autres charges enmouvement. On retrouve là encore, comme dansl’alinéa ci-dessus, qu’il doit y avoir en effet"magnétique" de la gravitation.

Le fait qu’on doive unifier, comme nous lesuggère le principe de Mach, les forces d’inertieet de gravitation en une interaction unique, unenouvelle théorie de la gravitation, pose enapparence problème. Ces deux forces sont en effetapparemment d’une nature très différente enMécanique newtonienne.

Si l’on observe le comportement à l’infini, onvoit que les forces gravitationnelles tendenttoujours vers 0 loin des corps les créant, tandisque les forces d’inertie restent finies (force deCoriolis) ou deviennent infinies (force d’inertiecentrifuge) à l’infini, dans le cas d’unréférentiel tournant par exemple.

L’existence des référentiels galiléens permet àloisir d’annuler les forces d’inertie globalement.Au contraire, les champs de gravitation réels nepeuvent être éliminés globalement par l’utilisationdes forces d’inertie qui contrairement à eux nes’annulent pas à l’infini. Cet argument est utilisépour dire que les forces d’inertie sont des forcesfictives. En Relativité générale, elles sont biensûr considérées comme réelles au même titre que lagravitation.

La différence entre les forces d’inerties et degravitation apparaît également dans leursexpressions mathématiques très différentes.

Là encore, nous trouverons la solution en prenantl’analogie avec l’électromagnétisme et enconsidérant qu’il existe une partie magnétique dela gravitation.

Tout d’abord, il y a également une grande

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différence apparente dans les formulationsF1 = q E et F2 = q v ∧ B de l’électromagnétisme.Mais examinons justement l’origine de ladisparition de ce que nous appelons définitivementl’effet magnétique de la gravitation, dans lesréférentiels galiléens, en faisant une analogieavec l’électromagnétisme.

Considérons pour cela un ensemble de chargesélectriques immobiles les unes par rapport aux

0autres. Dans le référentiel R dans lequel ellessont immobiles, l’action électrique des charges estcomplètement caractérisée par le champ électrique Esomme des champs créés par chaque charge. Dans tout

0autre référentiel en mouvement par rapport à R , ily a en plus un effet magnétique caractérisé par lechamp magnétique total B . Ce champ agira sur uneparticule test de charge q animée de la vitessequelconque v par F2 = q v ∧ B , alors que la forceà laquelle est soumise cette particule test estcalculée uniquement avec le champ électrique par

0F1 = q E dans R .0La disparition de tout effet magnétique dans R

ne vient en aucune manière du fait que les forcesmagnétiques sont fictives et dues au fait qu’on achoisi un mauvais référentiel. Cette disparitionn’est pas non plus un indice de l’impossibilitéd’unifier les effets électrostatiques etmagnétiques; la forme apparemment différente desformules donnant l’expression des forcesélectrostatiques et magnétiques non plus. Cette

0disparition des effets magnétiques dans R estsimplement liée à la configuration particulière dusystème de charges à l’origine des effetsélectriques.

De même, la disparition des effets magnétiques dela gravitation dans les référentiels galiléens,doit être liée à la disposition particulière detoutes les galaxies remplissant l’univers. Nousverrons en effet au chapitre 18 sur la cosmologierelativiste, que la répartition des galaxies etplus généralement de toutes les masses, y comprisles masses cachées non lumineuses, dans l’univers,et à grande échelle, est homogène et isotrope;ceci, tant en ce qui concerne les positions que lesvitesses. Cette disposition particulière, alliée auprincipe de Mach, doit bien être à l’origine de laforme purement "électrostatique" de la gravitationdans les référentiels galiléens. Dans notre

0analogie, les charges électriques de R jouent lerôle des galaxies de l’univers.

Envisageons maintenant un autre problème posé parla réunion de la gravitation avec la Relativitérestreinte. Ce problème se pose lorque les massesdeviennent très importantes, comme cela a étésignalé dans l’introduction (§ 1).

Considérons deux particules de masse m. Lorsqu’on

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les rapproche, ces deux particules qui s’attirentgravitationnellement perdent de l’énergiegravitationnelle. A cause de la formule

2∆E = ∆m C , et si les masses sont importantes, defaçon à ce que ∆E soit importante, vu de loin, lamasse de l’ensemble des deux particules doitdiminuer. Autrement dit, leur actiongravitationnelle sur une troisième particule doitêtre inférieure à la somme de leur actiongravitationnelle individuelle (lorsque chaqueparticule est seule); voir fig. 6.1 .

0 -----------L J--------------- 0m m

Fi g . 6. 1

Ainsi, l’interaction gravitationnelle est nonlinéaire, c’est à dire que la loi d’addition desforces gravitationnelles ne joue pas; le principede superposition des états d’équilibre non plus. Laloi de l’attraction universelle de Newton (6,1) estdonc fausse lorsque les masses deviennentimportantes, c’est à dire quand l’énergiegravitationnelle est importante.

Nous avons vu au § 5 du chapitre 1 que le faitqu’une interaction soit non linéaire est lié àl’action des particules d’interaction les unes surles autres. Effectivement les gravitons, particulesassurant l’interaction gravitationnelle, commetoutes les particules ont un quadrivecteur

0impulsion-énergie avec une composante de temps P .La masse-énergie correspondante agitgravitationnellement et les gravitons peuvent ainsiagir les uns sur les autres.

Dans l’exemple envisagé, le fait que l’actiongravitationnelle soit inférieure à la somme desactions des deux masses, doit être lié au fait quese surajoute l’action gravitationnelle desgravitons. La diminution de la gravité doit êtreliée à un effet répulsif de ces gravitons auqueldoit correspondre une composante de temps ou

0masse-énergie P négative (voir également § 4 ).L’effet est opposé de celui de deux chargesélectriques égales qui se repoussent toujours.

Ainsi, on peut dire que l’énergiegravitationnelle est négative. De plus, nous sommesconduit à considérer des masses négatives àl’origine d’effet répulsif en Relativité générale.Nous reverrons cela au chapitre 8 et au chapitre

17 105

19 .

13. Difficulté du concept de référentielgaliléen. - Nous avons vu que ce concept étaitessentiel pour la construction de la Mécaniquenewtonienne, puis la Relativité restreinte. Or uncertain malaise ne peut manquer d’apparaîtrelorsqu’on cherche effectivement dans la réalité unexemple de référentiel galiléen. Certe, en ce quiconcerne la non rotation, un pendule de Foucaultpeut faire l’affaire, mais en ce qui concerne lemouvement de translation rectiligne uniforme d’unpoint du référentiel, la vérification est plusdélicate. Voyons cela plus précisément. La Terre nepeut convenir de par sa rotation sur elle même,mais également du fait de son accélération (dechute libre) vers le Soleil. Le Soleil ne peutconvenir pour les mêmes raisons. Il "tombe"perpétuellement vers le centre de notre galaxie.Enfin les galaxies agissent gravitationnellementles unes sur les autres et sont ainsi soumises àdes accélérations. Où trouver dans l’univers unréférentiel non accéléré?

Peut on définir un référentiel galiléen d’unemanière absolue sans faire référence àl’astronomie? Une particule libre y est animée d’unmouvement rectiligne uniforme. Cela est fort bon,mais toutes les particules sont soumises à lagravitation, même les particules de masse nullecomme le photon, comme nous l’avons vu au § 4 . Ilest possible de considérer une particule isoléedans le vide interstellaire loin de toute étoilecomme libre; mais outre que c’est placer fort loinla recherche d’un référentiel galiléen, cetteparticule ne sera libre qu’en premièreapproximation. Si sa trajectoire dans unréférentiel n’est pas tout à fait une ligne droite,comment allons nous savoir si elle est soumise à unfaible champ de gravitation, ou si le référentielchoisi n’est pas tout à fait Galiléen?

Notons le fait extrêmement important que c’estl’égalité entre mi et mg qui empêche effectivementde savoir si la gravité est effectivement nulle ounon. S’il existait deux particules de même masseinerte et de masses gravitationnelles différentes,par exemple, le champ de gravitation serait nullorsque leurs trajectoires seraient identiques. Simi était différente de mg, il serait toujourspossible par assemblage de constituer deux telleparticules. S’il était possible ainsi de déterminerun lieu ou la gravitation est nulle, un référentielgaliléen en un tel lieu serait tel que lesparticules non soumises aux autres interactions yobéissent au principe de l’inertie.

Le cas des corps pseudo-libres sur Terre, commeun solide sur une table à coussin d’air, est

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intéressant, car il montre l’exemple d’unraisonnement en boucle. On affirme d’abord que lesolide est libre car soumis à deux forcesopposées : son poids et l’action du coussin d’air.On dit que l’on vérifie alors le principe del’inertie dans un référentiel galiléen. On oubliede dire que ce qui permet d’affirmer que les deuxforces sont opposées, c’est justement son mouvementrectiligne uniforme, le principe de l’inertie étantadmis, ainsi que le fait, sans aucune justificationque la Terre est un référentiel galiléen. Le faitest que tout cela fonctionne, mais le problème estqu’on peut ainsi trouver autant de référentielsgaliléens qu’on veut, tous différents les uns desautres, et accélérés les uns par rapport auxautres. Ainsi, du fait que tous les corpsaccélèrent de la même façon vers la Terre (toujoursdû à mi = mg ), on peut considérer un ascenseur enchute libre comme un bon référentiel galiléen. Desparticules non soumises aux autres interaction quela gravitation y ont effectivement un mouvementrectiligne uniforme. Il suffit donc d’affirmer quela gravitation est nulle dans l’ascenseur. Certes,cela paraît surprenant, mais la mécanique que l’ondéveloppe ainsi est cohérente. Il nous est pluscommode de considérer la Terre comme un référentielgaliléen plutôt que l’ascenseur en chute libre.

Mais nous savons maintenant que ces arguments decommodité ne sont pas des justifications pour unethéorie physique. La réalité doit s’imposer plusfortement que par simple commodité. En effet, sinous adoptons la conception réaliste de la science,la théorie n’est pas une manière commode de classerles observations. Elle est le reflet de la réalité.

Enfin on peut rejeter l’exemple de l’ascenseur enchute libre lorsqu’on se rend compte que de telsascenseurs en différents points de la Terre ne sontpas en translation rectiligne uniforme les uns parrapports aux autres. Il n’en est pas moins vraiqu’on peut plutôt rejeter l’existence deréférentiels galiléens globaux, et prendreeffectivement les référentiels en chute libre etsans rotation par rapport aux galaxies lointainescomme les référentiels galiléens locaux danslesquels la Relativité restreinte s’applique (Nousverrons au § 2 du chapitre 7 que c’esteffectivement la bonne solution).

En conclusion : la construction précise d’unréférentiel galiléen englobant tout l’univers estune impossibilité pratique. J’espère dans ceparagraphe avoir créé un sentiment de doute quant àla vision précise d’un référentiel dont on seraitsûr qu’il est parfaitement galiléen avecvérification à l’appui.

Un des piliers de la Relativité restreinte, leréférentiel galiléen, est ainsi un colosse aux

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pieds d’argile, et s’avère pour l’instant aussinébuleux que l’était l’espace absolu de Newton.

14. Expérience des deux barres. - Elle vaconfirmer ce qui a été dit au § 1 , à savoir quela Relativité générale devient nécessaire lorsqueles masses sont animées de vitesses voisines decelle de la lumière. Considérons donc de nouveaul’expérience des deux barres. Nous supposonsmaintenant qu’il s’agit de deux barres massiquess’attirant par la gravitation, de masses volumiques

0ρ dans le référentiel R constitué par les barres.0

Notons tout d’abord que la Mécanique newtonienneest compatible avec la loi de la gravitation

2universelle : F = G m m’/r . On obtient bien uneforce invariante. La gravitation ne pose donc pasle problème que posait l’électromagnétisme.Cependant cette fois-ci, la difficulté vient de laRelativité restreinte. Vue de R, à cause de lacontraction des longueurs, la densité massique-------------------------------------------

2 2devient : ρ = ρ /√ 1 - v / C (cf (3,8)). De0

2plus, ce qui attire, c’est E/C , E étant l’énergietotale : masse au repos et énergie cinétique, c’està dire ce qu’on appelle masse-énergie (cf § 4 );ce qui correspond à une densité apparente de masse-------------------------------------------

2 2gravitationnelle : ρ/√ 1 - v / C (cf (4,10)).

Finalement la situation devient encore pire quedans le cas de l’électrostatique seule; la forcegravitationnelle par unité de longueur se trouveu 2 2 o2 -multipliée par 1 1/(1- v / C ) 1 en passant de Rm .à R au lieu de rester invariante comme elle ledevrait. Il y a en effet un terme en

2 21/(1 - v / C ) pour le rôle attractif d’une barre,mais également encore une fois ce terme pour lerôle passif d’être attiré de l’autre barre. Enélectrostatique, la force par unité de longueur

2 2était multipliée par 1/(1 - v / C ) ( § 112chapitre 4 , terme en λ )

Là encore il y a contradiction entre la loi de lagravitation universelle newtonienne et laRelativité restreinte; ici (6,1) est fausse quandles vitesses deviennent proches de celle de lalumière.

Il faut bien sûr donner la préférence au cadreconceptuel de la Relativité restreinte. Il faudradonc dans ce cadre modifier la loi de lagravitation universelle. Gardant le concept demasse invariante attachée intrinsèquement auxparticules, la manière la plus simple de résoudrele problème posé ici consiste encore à penser,comme pour l’électromagnétisme, qu’il doit exister

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une forme magnétique de l’interactiongravitationnelle liée au mouvement des masses.Cette force doit avoir, dans notre exemple, uneffet répulsif.

21 109

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Chapitre sept

INTRODUCTION A LA RELATIVITE GENERALE

1. Le principe de relativité générale, ouprincipe d’équivalence entre l’inertie et lagravitation. - Rappelons que l’origine de ladifficulté que posent les référentiels galiléensvient du fait qu’aucune expérience de mécanique nepermet de distinguer l’inertie de la gravitation,ceci parce que : mi = mg . De ce fait, si latrajectoire d’une particule est courbe, on ne peutpas savoir si c’est un effet de l’inertie, leréférentiel choisi étant non galiléen, ou un effetde la gravitation, la particule étant attirée parun astre.

Donnons un exemple concret : Considérons un enginspatial dérivant dans l’espace, et mettons enmarche les moteurs. Les objets à l’intérieur sontplaqués sur le plancher. Il est impossible de direpar des expériences de mécanique si c’est parce quel’engin est accéléré ou si, étant maintenu nonaccéléré grâce aux moteurs, les objets sont attiréspar un champ de gravitation; ceci parce que lachute libre de l’engin dans le champ de gravitationest arrêtée par les moteurs.

Nous généraliserons en supposant, comme le fitEinstein, qu’aucune expérience de physique réaliséelocalement (Il est important de préciser"localement"; voir à ce sujet l’étude de la Théoriede Brans et Dicke au chapitre 19 ) dans l’engin nepermet de distinguer ces deux cas. En fait, ladistinction entre les deux cas devient alors unepure affaire de convention. Le choix de la valeurde la gravité g est ainsi arbitaire, et dépend duréférentiel choisi arbitrairement comme nonaccéléré. On peut ainsi choisir de dire que laTerre est non accélérée et qu’il y règne la gravitég. Ce choix, qui correspond au choix de g est lechoix de la jauge. C’est ce même type de choix quifixe la valeur du quadrivecteur potentiel A enélectromagnétisme. C’est en ce sens que ces deuxinteractions, comme d’ailleurs les deux autres(forte et faible), font intervenir les Théories dejauge. Ces Théories de jauge demanderaient bienévidemment un développement spécial hors de proposdans ce livre.

On arrive ainsi au principe d’équivalence entrel’inertie et la gravitation :

"Aucune loi de la physique ne permet de

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distinguer entre un effet de l’inertie et un effetde la gravitation". Ce qui revient à affirmer que :"Aucune loi de la physique ne permet de savoir siun référentiel est accéléré ou non". Notons que lefait que la perte de masse due à l’interactionforte dans les noyaux atomiques soit la même enterme de masse inerte et de masse gravitationnelleamène à penser que l’interaction forte elle même nepermet pas de distinguer entre inertie etgravitation. Cela conduit donc logiquement auprincipe d’équivalence.

On distingue un principe d’équivalence simpledans lequel la gravitation elle même est exclue deces lois de la physique, et un principed’équivalence fort dans lequel elle est inclue. Lesthéories alternatives à la Relativité généralecomme celle de Brans et Dicke, qui se sont révéléesfausses ne prenaient en compte que le principe ausens simple. La Relativité générale elle, prend leprincipe au sens fort. Dans ce dernier cas, nousverrons que la loi de force, c’est à dire la loiqui donne la courbure de l’espace-temps en fonctiondu tenseur d’impulsion-énergie est suggéréedirectement par le principe, compte tenu del’argument de la simplicité; voir tout de même laremarque du dernier alinéa § 4 .

Si l’on admet le principe d’équivalence simpleseul, la perte d’énergie due à l’interactiongravitationnelle dans la formation de la Terrepourrait affecter différemment sa masse inerte etsa masse gravitationnelle. En effet dans ce casl’énergie de gravitation "tombe" de façon un peutdifférente des autres formes d’énergie. le rapportmi/mg est différent pour un défaut de masse dû àcette énergie.

Il résulte de cela par exemple, que la Terre etla Lune ne tombent pas de la même façon vers leSoleil, leur énergie gravitationnelle étantdifférente. Cela s’appelle l’effet Nordtvedt, dunom de son découvreur. Un tel effet doit avoir lieudans la Théorie de Brans et Dicke qui ne prend leprincipe d’équivalence qu’au sens simple. Or en1971, grâce à l’utilisation des réflecteurs à laserposés sur la Lune par la mission Apollo 11, ladistance Terre-Lune put être mesurée à quelquescentimètres près. Il résulta de cette expérience,que la Terre et la Lune tombent de la même façon

-11vers le Soleil à 10 près, résultat ayant la mêmeprécision que celui vérifiant le principed’équivalence normal. Ce résultat invalide laThéorie de Brans et Dicke et confirme la Théorie dela relativité générale reposant sur le principed’équivalence au sens fort.

De plus, on peut considérer que les particulesélémentaires, comme l’électron par exemple,possèdent une énergie gravitationnelle (voir § 8

2 112

du chapitre 15 ). Le champ gravitationnel et lechamp électrique deviennent en effet infinis auvoisinage d’un électron considéré comme ponctuel.

On sait que l’on définit de cette manière lerayon classique de l’électron en écrivant que

2l’énergie de masse me C se retrouve tout entièresous la forme d’énergie électrostatique d’une boulechargée uniformément.

En Electrodynamique quantique, l’énergieélectromagnétique propre d’un électron estégalement infinie. Aucune preuve n’existe du faitque l’énergie gravitationnelle d’un électron soitfaible. Il est même possible que l’énergiegravitationnelle très importante et négativecompense l’énergie électrostatique très importanteet positive. La résolution des divergences enElectrodynamique quantique passerait alors par laprise en compte d’une Théorie quantique de lagravitation.

Pour que le principe d’équivalence soit vrai pourtoutes les particules élémentaires ayant desénergie gravitationnelles différentes, il est alorsnécessaire de prendre le principe d’équivalence ausens fort, ce qui invalide la Théorie deBrans-Dicke.

Le principe d’équivalence au sens fort seul,permet d’affirmer par exemple, qu’une étoile d’unsystème double, en rotation autour d’une autreétoile, fonctionne exactement comme si elle étaitseule, les effets de marée mis à part. Ceci est uneexigence de simplicité vérifiable et admiseactuellement par les astrophysiciens.

C’est donc une pure affaire de convention qued’affirmer qu’un référentiel est non accéléré,cette notion n’est pas absolue. Ainsi, larelativité du mouvement est étendue aux mouvementsaccélérés; c’est pourquoi on parle de Relativitégénérale comme nous l’avons dit au § 11 duchapitre 6 . Le principe d’équivalence s’appelleégalement principe de relativité généraled’Einstein (au sens simple, ou fort).

Il est certain que l’ensemble des étoiles et desgalaxies définit grossièrement un référentiel. Maissans aucune précision. Certes un objet peutposséder une grande accélération par rapport àl’ensemble des étoiles. Cependant rien ne permet dedonner une valeur précise et absolue à cetteaccélération. Il est donc naturel par simplicité desupposer qu’une telle accélération est totalementindistinguable d’un champ de gravité par desexpériences de physique locales.

Notons qu’en généralisant le principe derelativité restreinte à tous les mouvementspossibles, nous avons pris en compte uneinteraction : la gravitation. Ces principes de

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relativité qui affirment que les lois de laphysique ne distinguent pas entre un référentiel etun autre, correspondent à ce que l’on appelle dessymétries. En physique, on dit que l’on a unesymétrie lorsque quelque chose est invariant dansune transformation. Ce qui est invariant ici, cesont les lois de la physique. La transformation estun changement de référentiel. En élargissant unesymétrie, nous avons été amenés à prendre en compteune interaction : la gravitation. C’est ce type destructure qui est commune à toutes les Théories dejauges des interactions : en élargissant unesymétrie (plus précisément en transformant unesymétrie globale en symétrie locale dans laquelleles paramètres peuvent varier continuement d’unpoint à un autre), on découvre la nécessité d’uneinteraction et sa structure; les quatreinteractions obéissent donc à des propriétés trèsprofondes de symétrie. Il ne faut pas nous étonnerde cela. Une symétrie caractérise des propriétésinvariantes dans une transformation, donc quandd’autres choses changent. La description del’univers correspond fondamentalement au changementavec la conservation de certaines structures. Sanschangement, il ne se passerait rien, sansconservation de structure, on ne pourrait s’yretrouver!

2. Les référentiels galiléens en Relativitégénérale. - Le concept de référentiel galiléensemble s’évanouir en conclusion du paragrapheprécédent. En effet, l’accélération étant relative,la notion même de référentiel non accéléré perdtoute signification. Cependant les référentielsgaliléens étaient essentiels pour la constructionde la Relativité restreinte. Cette théorie,vérifiée expérimentalement, doit se retrouver commecas limite dans la nouvelle théorie qu’on est entrain de construire. Cette limite est obtenuelorsque l’interaction gravitationnelle estnégligeable.

Ainsi, si l’on veut sauver la notion deréférentiel galiléen, il faudra prendre comme telsdes référentiels où tout effet gravitationnel estabsent; tout effet d’inertie également, puisqu’onne peut distinguer entre inertie et gravitation demanière absolue. Tel est le cas d’un référentiel enchute libre et sans rotation par rapport auxgalaxies lointaines. Les particules non soumisesaux autres interactions que la gravitation yobéissent bien au principe de l’inertie. Tout ceciest une conséquence du principe d’équivalence vu auparagraphe précédent.

Un tel référentiel accélère en effet au mêmerythme que les particules libres. Nous sommesassuré de cela si les particules sont animées devitesses faibles devant celle de la lumière par

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rapport au référentiel; la Mécanique newtonienneest en effet valable dans ce cas et tous les objetstombent avec la même accélération. En particulierplusieurs référentiels en chute libre au mêmeendroit et ayant des vitesses faibles devant C ontdes mouvements de translations rectilignesuniformes les uns par rapport aux autres, ce quiest en accord avec cette propriété des référentielsgaliléens utilisés en Relativité restreinte.

Un référentiel terrestre ne convient pas. Eneffet une particule, pour y être animée d’unmouvement rectiligne uniforme doit être soumise àune force d’origine non gravitationnelle : laréaction du plancher par exemple. Cette réaction nepeut pas être éliminée par aucune convention. Aucontraire, dans le référentiel en chute libre,l’équivalence entre inertie et gravitation nouspermet de convenir que la force gravitationnelleest nulle. On a alors une particule totalementlibre et animée d’un mouvement rectiligne uniforme,vu de ce référentiel. Ce référentiel est bien ainsigaliléen.

Nous postulons donc que la Relativité restreintes’applique telle quelle dans ces référentiels(voir également § 4 pour plus de précision). Onpeut dire que dans ces référentiels, tous leseffets gravitationnels, quels qu’ils soient, sontparfaitement annulés par les effets d’inertie; etcela est la conséquence du principe d’équivalencevu au paragraphe précédent.

Ainsi nous arrivons à la formulationsuivante : "Un référentiel galiléen est unréférentiel en chute libre et ne tournant pas parrapport aux galaxies lointaines, quel que soitl’endroit où il se trouve." (voir cependant le § 9du chapitre 14 ).

Insistons sur la précision "quel que soitl’endroit ou il se trouve", en particulier il peutse trouver dans un champ de gravitation extrêmementintense. Nous n’avons à priori aucune idée de cequi peut se passer dans un tel champ. C’est lepremier saut conceptuel que nous faisons ici (voirle deuxième au § 3 ; voir également § 1chapitre 6 ; cas où la Relativité générale devientnécessaire).

Insistons également sur le fait suivant : Lorsquenous sommes en présence d’un champ de gravitationcréé par un astre, donc non uniforme (fig. 7.1),différents référentiels en chute libre endifférents endroits ne sont pas en mouvements detranslation rectiligne uniforme les uns par rapportaux autres, comme cela a déjà été mentionné au§ 13 du chapitre 6 . Or cela est une propriétéessentielle demandée aux référentiels galiléenspour la construction de la Relativité restreinte.

5 115

Nous en déduisons que, en présence d’un champ degravitation non uniforme, ce qui est le casgénéral, il n’existe pas de référentiels galiléensglobaux qui permettent de repérer tout évènement enn’importe quelle région de l’espace-temps avec sescoordonnées galiléennes. Nous ne pourrons doncappliquer les résultats de la Relativité restreinteque localement dans l’espace-temps au moyen deréférentiels galiléens locaux. Nous verrons au § 2du chapitre 12 que cela est lié au fait quel’espace-temps possède une courbure non nulle enprésence d’un champ de gravitation. Dans ce cas,l’espace-temps n’est pas plat. Il n’a pas lastructure d’espace affine sur l’espace deMinkowski.

g . --------------------

.

g

-----------------------L________________________________________________________________________

.

1

1 Astre 1

. 1

________________________________________________________________________

FG. 7.1

3. L’espace-temps : une variété riemanienne. -Soient deux évènements A et A’ infiniment prochesdans l’espace-temps, c’est à dire infinimentproches spatialement et temporellement dans unα αcertain référentiel. Nous aurons donc : x’ - x =αdx . On peut leur associer d’une manière

2intrinsèque un nombre ds appelé intervalle entreces deux évènements. Pour ce faire, il suffit deprendre un référentiel galiléen englobant ces deuxévènements et de calculer dans ce référentiel

2 2 2 2 2 2ds = C dt - dx - dy - dz . Tout autreréférentiel galiléen donnerait le même nombre avecce calcul. Cela suppose que les hypothèses du§ 3 , chapitre 3 sont vérifiées dans lesréférentiels galiléens tels que nous les avonsdéfinis au § 2 . Cela suppose donc l’invariance dela vitesse de la lumière, toujours égale à C,mesurée avec des règles étalons parfaitementrigides et des horloges étalons fixées dans unréférentiel galiléen tel qu’ils ont été définis au§ 2 . D’autre part, nous avons vu au § 2 que

6 116

pour les vitesses faibles devant celle de lalumière, tous les référentiels galiléens sont enmouvement de translation rectiligne uniforme lesuns par rapport aux autres, ce qui est équivalent àdire que le mouvement d’une particule libre dans untel référentiel est rectiligne uniforme. Nousdevons supposer ici que cela est vrai pour toutevitesse, aussi voisine qu’on veut de C .

Il faut insister sur le deuxième saut conceptuelque représente cette affirmation. Nous n’avons àpriori aucune idée de ce qui se passe dans un champde gravitation pour les vitesses voisines de cellede la lumière (voir § 1 chapitre 6 ).

Compte tenu des deux hypothèses précédentes, latransformation de Lorentz est alors vraie et tousles résultats de la Relativité restreinte deschapitres 3, 4, 5 s’appliquent dans lesréférentiels galiléens définis au § 2 , et ceciquels que soient les endroits où ils se trouvent.

D’une manière générale, un espace dans lequel lespoints sont munis localement de coordonnéess’appelle une variété. Lorsqu’à deux points

2voisins, on peut associer un nombre ds , appeléélément linéaire, on parle de variété riemanienne.Tel est le cas de l’espace-temps en Relativitégénérale.

Un exemple de variété riemanienne est la surfaced’une sphère. Les coordonnées peuvent être lalatitude et la longitude. On a donc une variété àdeux dimensions. Entre deux points voisins, on peuttracer l’arc de grand cercle passant par ces deuxpoints et mesurer la longueur de cet arc. Onassocie bien d’une manière intrinsèque un nombre(appelé distance sur la sphère) à ces deux points.Les variétés riemaniennes généralisent la notiond’espace euclidien. L’axiome d’Euclide n’y est plusforcément vrai. Par un point extérieur à unedroite, on peut mener dans certains cas uneinfinité de droites ne coupant pas la précédente,ou dans d’autres cas, aucune. Rappelons que dans untel espace une droite est par définition unegéodésique, c’est à dire le chemin de longueurminimal entre deux points, quels que soient cesdeux points. Cette longueur est appelée distancedes deux points. La longueur d’un chemin quelconqueest obtenue en faisant la somme des longueurs pourdes points très voisins répartis le long du chemin.Dans le cas de l’espace temps, à cause du signe -

2dans le ds les mots longueurs et distances sontremplacés par le mot intervalle. Une géodésique estdans ce cas le chemin d’intervalle maximal entredeux évènements.

La construction de l’espace vectoriel deMinkowski, et la structure correspondante d’espaceaffine sur un espace vectoriel pseudo-euclidien de

7 117

l’espace-temps, nécessitait l’utilisation d’unréférentiel galiléen global dans tout l’espace dontles coordonnées permettent de repérer toutévènement. L’impossibilité d’avoir un telréférentiel galiléen global en présence d’un champde gravitation non uniforme, vue au § 2 duchapitre 7 , implique que la variété riemaniennen’a pas une telle structure d’espace affine surl’espace de Minkowski globalement. Nous verrons quecela est lié au fait que en présence d’un champ degravitation, l’espace-temps n’est pas plat. Il y aune courbure caractérisée par le tenseur decourbure.

4. Le principe de covariance généralisée. -Faisons un bilan des résultats du paragraphe 3 :l’espace-temps est une variété riemanienne dansαlaquelle les coordonnées u α = 0,1,2,3 utiliséespour repérer un événement pourront être absolumentquelconques. Cependant, localement, autour dechaque point de l’espace-temps, il existe desαréférentiels galiléens avec des coordonnées x pourlesquelles la Relativité restreinte s’applique.

Lorsque nous dirons qu’il règne un champ degravitation, ce sera parce que nous utilisons unréférentiel non galiléen; c’est à dire en fin deαcompte des coordonnées u quelconques. Celaapparaîtra clairement par exemple au § 7 et § 8du chapitre 12 . Mais cela apparaîtra déjà aux§ 5 , § 8 et § 9 de ce chapitre.

Nous avons vu au paragraphe 4 du chapitre 6 queles équations de Maxwell ne sont plus vraies enprésence d’un champ de gravitation. Il nous faudratrouver comment les modifier. Nous voyons sur cetexemple que le problème fondamental en Relativitégénérale sera d’écrire les lois de la physique enprésence d’un champ de gravitation; c’est à dired’après ce qui vient d’être dit, qu’il nous faudraécrire les lois de la physique avec des coordonnéesαu quelconques.

Une équation de la physique traduisant une loigénérale devra garder la même forme quelles quesoient les coordonnées utilisées, ce qui veut direqu’elle devra être généralement covariante . Or unepropriété mathématique fondamentale est qu’uneéquation généralement covariante est vraie dèsqu’elle est vraie dans un système de coordonnéesparticulier.

Cela est une généralisation de ce qui a été vu au§ 4 du chapitre 5 (d’où l’adjectif "généralement"devant covariante) : une égalité entre deuxtenseurs est bien une équation covariante pour lestransformations particulières de coordonnées vuesau chapitre 5 . Une égalité tensorielle vraie dansun système de coordonnées se traduit par l’égalité

8 118

des composantes des tenseurs dans ce système decoordonnées particulier; et la simple donnée de ceségalités dans ce système particulier de coordonnéesentraîne l’égalité des deux tenseurs, doncl’équation covariante correspondante. Mais celasera généralisé au chapitre 12 aux changementsquelconques de coordonnées nécessités par laRelativité générale.

Compte tenu de ce qui vient d’être dit, latraduction mathématique du principe d’équivalenceest alors le principe de covariance généralisée :

Le principe de covariance généralisée affirmequ’une équation de physique est vraie en présenced’un champ de gravitation si les deux conditionssuivantes sont réunies :1- L’équation est vraie en l’absence degravitation, c’est-à-dire dans un référentielgaliléen où elle redonne l’équation déjà connue enRelativité restreinte; c’est à dire avec descoordonnées particulières, les coordonnéesgaliléennes types d’un référentiel galiléen.2- L’équation est covariante dans un changementquelconque des coordonnées.

Notons qu’il est impossible que deux équationscovariantes différentes donnent la même équationdans un référentiel où la gravitation est annulée.En effet, les lois de transfert des équationscovariantes dans un changement de coordonnéesdéterminent la forme de l’équation dans toutréférentiel à partir de sa forme dans unréférentiel.

Le principe de covariance généralisée estéquivalent au principe d’équivalence entrel’inertie et la gravitation ou principe derelativité générale. Il le traduit sous une formemathématique :

En effet, considérons une équation obéissant auxdeux conditions. La condition 2 montre que si elleest vraie dans un système de coordonnées, elle estnécessairement vraie dans tout système decoordonnées. Or, d’après le principe d’équivalence,il existe un référentiel galiléen dans lequel touteffet de gravitation disparaît. La condition 1 nousindique alors que l’équation est vraie dans ceréférentiel, avec les coordonnées correspondantes,coordonnées galiléennes types. Elle est donctoujours vraie, même dans les référentiels où lagravitation se manifeste. Le principe de covariancegénéralisée s’est donc appliqué.

L’étude de la physique en présence d’un champ degravitation consiste donc à rechercher leséquations généralement covariantes dansl’espace-temps redonnant les équations connues enRelativité restreinte dans un référentiel galiléen.

9 119

Cela est mathématiquement inapplicable pour trouverles équations de la gravitation elle-même, et il ya là une grande subtilité! Les lois de la physiquedans un référentiel où il n’y a pas de gravitationne nous renseignent pas sur les lois de lagravitation! C’est cette subtilité qui fait que leslois de la gravitation sont les seules lois qui nesont pas démontrables par le principe de covariancegénéralisée, mais seulement suggérées (voirchapitre 13 ).

5. Etude d’une fusée. - Nous allons utiliser dansce paragraphe le principe d’équivalence à l’étuded’une fusée. Il y a équivalence du point de vue deslois physiques entre une fusée posée immobile surla Terre et une fusée moteurs allumésd’accélération g dans le videinterstellaire; Cf § 1 alinéa 2 (fig. 7.2).Voyons quelques conséquences que l’on peut entirer:

u---------o________________________ 2 I 22 11 22 12j______________________________________L 1 22 12 1 212 1h22 12 1 22 12 I 1 22

12

1 22

12 , < 2=========================================================================================x

F i g . 7 . 2

a- Déviation de la lumière dans unchamp de gravitation.

Considérons une petite lampe qui émet de lalumière depuis une paroi verticale de la fusée etperpendiculairement à celle-ci. La fusée accélèredans le vide. Supposons la fusée immobile au tempst = 0 , le photon décrit une droite. Dans leréférentiel accéléré lié à la fusée, il décrit doncune parabole.

On en déduit par le principe d’équivalence, quedans une fusée sur Terre, un photon émis de la mêmemanière décrit aussi une parabole. Comme dansl’expérience de la boîte aux deux photons, on endéduit que la lumière est, comme la matière,sensible à la gravité. Le résultat précédent

10 120

correspond à la déviation de la lumière que l’onobtient en supposant qu’elle est constituée dephotons allant à la vitesse C et obéissant à laMécanique newtonienne.

L’effet réel calculé avec la Relativité généraleest en fait double de celui donné par le résultatprécédent, à cause d’un effet supplémentaire decontraction des longueurs dont nous n’avons pastenu compte. L’origine de cet effet sera expliquéeau § 9 .

b- Effet Einstein de décalage vers le rouge de lalumière dans un champ de gravitation.

Considérons cette fois une lampe posée sur leplancher de la fusée émettant de la lumière vers lehaut. La fusée est encore supposée immobile autemps t = 0 et elle a l’accélération g. Le photonmet le temps t = h/C pour arriver en haut, lahauteur de la fusée étant h (cela suppose que lafusée n’accélère pas trop). Pendant ce temps, lafusée a acquis la vitesse v = g t = g h/C . Lephoton est donc reçu en haut avec un léger décalageDoppler de la fréquence :

∆ν v g h--------------------- = ----------------- = ------------------------ (7,1)ν C 2C

Il en est donc de même pour une fusée posée surTerre. La lumière montant dans un champ degravitation est donc progressivement décalée versle rouge.

Si une étoile est suffisamment massive, bien quela formule précédente ne s’applique plus, on peuten déduire qualitativement que la lumières’échappant de la surface peut être tellementdécalée vers le rouge qu’elle devient unrayonnement radio. Ce rayonnement très faibledevient indécelable. On arrive déjà à une visionintuitive du phénomène des trous noirs.

c- Ralentissement du temps près d’un objet massif.

Une horloge placée au pied de la tour Eiffel, parexemple, peut être constituée d’un quartz oscillantde fréquence ν pilotant l’émission d’une onde radiode fréquence identique ν. L’horloge émet un toptoutes les 1/ν secondes. En haut de la tour Eiffel,chaque crête de l’onde radio qui arrive marquel’arrivée en haut d’un top de l’horloge du bas. Enhaut, les tops arrivent à la féquence ν’< ν

2avec : ∆ν = ν’- ν ; ∆ν/ν = g h/C . Considéronsdeux horloges identiques à la précédentepréalablement synchronisées et qui indiquent doncla même heure. Brusquement on les sépare et on enplace une en haut, l’autre en bas très rapidement,de telle manière que le temps qui s’écoule pendant

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cette opération est négligeable. On compte ensuiteen haut le nombre de tops émis par l’horloge du baspendant un intervalle de temps t (temps mesuré enhaut). Ce nombre vaut ν’t . L’horloge placée enhaut a pendant ce temps là émis un nombre ν t detops. ν t et ν’t sont supposés grands. Lafréquence est suffisamment faible pour qu’une seulecrête d’onde à la fois voyage de bas en haut. A lafin de la durée précédente, on réunit trèsrapidement en un temps négligeable les deuxhorloges. Pour ce qui concerne l’horloge du bas, onpeut à la limite oublier quelques tops, ceux quivoyagent vers le haut pendant qu’on réunit leshorloges. Ceci est négligeable devant le nombretotal de tops. Comparons les horloges. On prendcomme unité de temps, la durée entre deux tops deces horloges examinée en haut. L’horloge du haut àémis ν t tops correspondant au temps Th = ν t ;celle du bas à émis ν’t tops correspondant au tempsTb = ν’t . Ainsi l’horloge du bas retarde surl’horloge du haut. Rappelons que les fréquences νet ν’ sont mesurées en haut où le temps quis’écoule est t. On a :

∆T ∆ν g h------------------- = ------------------ = ----------------- (7,2)T ν 2C

Le champ de pesanteur g étant supposé uniforme,les conditions physiques qui règnent en haut et enbas sont les mêmes. Les deux horloges ne voientleur fonctionnement en aucune manière perturbé.Toute horloge basée sur n’importe quel phénomènephysique peut servir à piloter l’onde de fréquenceν servant à compter les tops depuis le haut. Leraisonnement marche donc pour n’importe quel typed’horloge. Il faut donc en conclure que c’est letemps lui même qui s’écoule plus lentement en basavec :

∆T g h------------------- = -----------------T 2C

Deux jumeaux séparés et placés l’un en haut etl’autre en bas puis réunis de nouveau s’apercevrontqu’ils n’ont pas vieilli de la même manière. L’unpourra avoir 50 ans tandis que l’autre n’aura que20 ans, alors qu’ils avaient 18 ans lors de leurséparation.

On peut aussi considérer que c’est l’oscillationd’un électron tournant sur une orbite bien préciseautour du noyau d’un atome qui émet l’onde(approximation classique valable pour les grandsnombres quantiques). A chaque phase de l’ondeobservée en haut, correspond l’arrivée de la visiond’une position de l’électron sur son orbite. Leralentissement de la vibration de l’onde correspondau fait qu’en haut, on voit l’électron du bas

12 122

osciller au ralenti. Le temps s’écoule pluslentement en bas, en effet la période de larotation d’un électron autour d’un noyau d’un atomedonné, à un niveau d’énergie bien précisé, est uneconstante précise pouvant servir d’étalon de temps.

Si l’objet est suffisamment massif, et si l’onregarde les choses évoluer à la surface de l’objetavec un télescope depuis un point éloigné, on al’impression de voir un film au ralenti. Tellementralenti pour un objet suffisamment massif, qu’on al’impression que tout est immobile. Même lesélectrons autour des noyaux des atomes semblentimmobiles. Aucune lumière ne semble donc être émisepar des atomes ainsi figés. On a un trou noir, dunom donné à ces objets pour la première fois par lephysicien Wheeler. La vie s’écoule dans le trounoir, mais une seconde à l’intérieur peutcorrespondre à un milliard d’années ou plus audehors.

Nous voyons là que la coordonnée de temps, que0nous appelons u , utilisée dans la fusée posée sur

0Terre par exemple n’est pas la coordonnée x = C td’un référentiel galiléen. En effet, dans unréférentiel galiléen, les horloges étalonsindiquant le temps t placées en des endroitsdifférents restent synchronisées, ce qui n’est pasle cas ici. Ainsi, l’étude de la physique enprésence d’un champ de gravitation; c’est à dire,d’après le principe d’équivalence le choix d’unréférentiel non galiléen, correspond bien àαl’utilisation de coordonnées autres appelées u ,comme cela a été dit au deuxième alinéa du § 4 .

6. Vérifications expérimentales. - Nous donnonsdans ce paragraphe quelques vérificationsexpérimentales récentes des résultats précédents.

a- Le décalage vers le rouge de la lumière dansun champ de gravitation fut découvert par Einsteindès 1911 en utilisant comme nous le principed’équivalence. Cependant il fallut attendre 1960pour qu’une vérification expérimentale précise aitlieu. En 1960 Pound et Rebka utilisèrent l’effetMössbauer pour avoir des rayons γ de fréquence biendéterminée montant et descendant une tour. Laconfirmation la plus précise date de 1976. Uneexpérience embarquée dans une fusée utilisa deshorloges maser à hydrogène vérifiant leralentissement du temps dans le champ de gravitéterrestre avec une précision de 0,02 % . Récemmentla mission Voyager vérifia le décalage vers lerouge dans le champ gravitationnel de Saturne avecune précision de 1% .

b- La première vérification expérimentale de ladéviation de la lumière dans un champ de

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gravitation date de 1919 :Le Soleil modifie la position apparente des

étoiles situées dans son voisinage sur la voûtecéleste (fig. 7.3). La position des étoiles sur lavoûte céleste n’est donc pas la même près du disquedu Soleil lors d’une éclipse totale, et à un autremoment lorsque le Soleil n’est plus là. Ceci futvérifié lors de l’éclipse totale du 29 mai 1919 parEddington. Le Soleil se trouve par un hasardextaordinaire juste dans l’amas ouvert des Hyadesle 29 mai jour de cette éclipse totale. Le grandnombre d’étoiles de l’amas, à des distancesangulaires variables du Soleil facilite énormémentl’obtention de mesures précises. Les résultatsnumériques furent en accord avec ceux prédits parla Relativité générale, à 20 % près, et éliminèrentdéfinitivement la déviation moitié donnée par laMécanique newtonienne. Ce fut une des premièresconfirmations expérimentales de cette théorie.

Pos i t ionTERRE

de .SOLEIL

l ’é toi l e **

Pos i t ion apparente de l ’ é t o i l e

Fig . 7 . 3

Le dévelo p pement des interféromètres radiopendant les années 1960 allié à la découverte desquasars (voir § 8 ) apporta une prodigieuseaugmentation de la précision. La technique utilisela variation de l’écart angulaire de deux quasarspendant que le Soleil passe devant eux. Bien sûr lamesure peut se faire en continu en plein jour. En1975 une douzaine de mesures de cette sorte avaientapporté une précision de 1,5% .

La déviation de la lumière considérée commevalidée expérimentalement a maintenantd’importantes applications en astrophysique. Ellejoue le rôle d’instrument pour étudier la structuredes galaxies et des amas de galaxies qui agissentcomme lentilles gravitationnelles donnant demultiples images des quasars éloignés. Elles sertégalement à obtenir une évaluation de la distancede ces quasars.

c- La découverte du pulsar binairePSR 1913 + 16 , à 1600 années lumière de la Terre,au radiotélescope d’Arecibo (Porto Rico) en 1974, a

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montré que des objets hors du système solairepeuvent servir pour tester avec précision laRelativité générale, les effets précédemmentdécrits étant considérés comme vrais.

Un pulsar est une étoile à neutron de quelqueskilomètres de diamètre, résidu de l’explosion ensupernovae d’une étoile plus massive que le Soleil.La rotation rapide obtenue par conservation dumoment cinétique, alliée à un champ magnétiquepuissant et directionnel fait jouer à l’étoile àneutron le rôle d’un phare tournant émettant despulses périodiques d’ondes radio.

-3Le pulsar étudié a une période de 59 10 set une orbite parcourue en 8 heures autour d’unautre pulsar compagnon invisible, sans douteparce que le faisceau tournant ne balaye pas laTerre.

L’avance du périastre de l’ellipse est de 4,2˚par an (voir le chapitre 16 ). Ce résultat, avec ledécalage vers le rouge dans le champ de gravitationdu compagnon, et avec le décalage de temps donnépar la Relativité restreinte dû à la vitesse, ontété utilisés pour mesurer les différents paramètresdu système. Les deux masses ont ainsi été trouvéeségales à 1,439 et 1,389 masses solaires.

Le ralentissement de la période orbitalepermet alors de mettre en évidence la perted’énergie par émission d’ondes gravitationnelles(§ 4 chapitre 14 ). Le calcul théorique donnealors une augmentation de la période orbitale égaleà celle mesurée à 0,5 % près. Les américainsRussell Hulse et Joseph Taylor ont eu le prix Nobelde physique 1993 pour cette détection indirecte desondes gravitationnelles.

Un intérêt d’une telle vérification est de testerla Relativité générale dans le cas de champ degravitation très puissants. L’énergiegravitationnelle intérieure des pulsars estimportante, de telle sorte que cette expériencepermet de vérifier le principe d’équivalence ausens fort. La Relativité générale a donc passé avecsuccès ce test qui invalide la Théorie deBrans-Dicke.

7. Calcul du décalage vers le rouge grâce auprincipe de conservation de l’énergie. - Dans ceparagraphe, on n’utilise donc plus le principed’équivalence. Considérons dans une expérience depensée l’appareil suivant : en bas on réalise+ -l’annihilation e + e γ + γ . Puis on faitmonter à l’aide de miroirs les deux photons d’unehauteur h; voir fig. 7.4 .

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---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I------- * ------L 1I I I 1 11 11 1

1 1 - 11 +1 e 1 1 e 1 11 < 1 1Photons

h

< 1 11 g 1 1 11 1 1 <1 1< 1 1J------- * --------------- 1<---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fi g . 7 .4

Si leur fréquence n’est pas changée, ils restentidentiques à eux-mêmes, et en haut on peut les+ -rematérialiser avec γ + γ e + e . Ensuite onlaisse retomber l’électron et le positron enrecueillant l’énergie potentielle de pesanteur. Ona réalisé un moteur perpétuel. En réalité, lasolution à ce paradoxe est que les photons changentde fréquence en montant dans le champ de pesanteur.Ecrivons la conservation de l’énergie. Lesélectrons sont animés de la vitesse v en bas etimmobiles en haut. La constante de Planck est icinotée h pour éviter la confusion avec la hauteurh.

En bas :

2 1 22 m C + 2 --------------- m v = 2 h ν2

en haut :

2 22 m C = 2 h ν’ ; d’autre part : m C h ν h ν’

1 22 --------------- m v = 2 m g h = 2 h (ν - ν’)2

hh ∆ν = m g h ; ∆ν = m g ----------------h

∆ν m g h m g h g h------------------ = ----------------------------------- = --------------------------------- = -----------------ν ν h 2 2m C C

Ce qui est intéressant, c’est que pour trouver unrésultat de Relativité générale, on a utilisé laMécanique quantique, c’est-à-dire le fait quel’énergie d’un photon de fréquence ν est h ν .Il doit donc être possible d’unifier dans unethéorie plus large la Mécanique quantique et la

16 126

Relativité générale.

8. Etude du disque tournant : le temps. - Nousallons maintenant utiliser le principed’équivalence pour l’étude d’un disque tournant.

Considérons un disque de rayon r tournant à lavitesse angulaire ω. Le bord est animé de lavitesse v = ω r . Des horloges fixées sur ledisque retardent par rapport à celles d’un-------------------------------------------

2 2référentiel galiléen avec τ = √ 1 - v / C t . Leshorloges sont synchronisées à t = τ = 0 . t est letemps du référentiel galiléen. Ceci est un résultatde Relativité restreinte. Remarquons que nousutilisons ici ce qui a été dit au § 6 duchapitre 3 : seule la vitesse influencel’écoulement du temps, et non pas l’accélération.

---------------------------------------------------------------2 2 2τ = √ 1 - ω r / C t

La force centrifuge vaut :

2 2v F v 2 dφF = m -------------- ; ------------------ = -------------- = ω r = - -----------r m r d r

φ étant le potentiel centrifuge.

2 1 2 2dφ = - ω r dr ⇒ φ = - --------------- ω r2

------------------------------------------------- 2 φτ = 1 + ------------------ t (7,3)√ 2C

Nous supposons que la physique est décrite pardes équations locales, et que le principed’équivalence nous assure que ces équations localessont exactement les mêmes dans un corps accéléréque dans un corps soumis à un champ de gravitation.Il nous faut alors trouver le bon paramètrelocal décrivant l’effet de ralentissement du temps.Ce ne peut être la valeur de l’accélération degravité g , car nous avons vu au § 5 qu’unehorloge en bas d’une tour retarde par rapport àcelle en haut, même dans un champ de gravitéuniforme où g garde partout la même valeur. Nousavons d’ailleurs supposé que les accélérationsn’avaient pas d’influence sur l’écoulement dutemps. Nous postulons ici dans un cas où il n’y aplus de vitesses, et en invoquant le principed’équivalence (il doit y avoir un effet deralentissement du temps) que c’est φ le potentielgravitationnel qui est le bon paramètre. Nouspostulons alors, et grâce au principe

17 127

d’équivalence, que la formule (7,3) est valabledans un champ de gravité, t étant le temps mesurépar les horloges étalons là ou par convention nousavons choisi de prendre φ = 0 .

Dans le cas où nous sommes àl’extérieur d’un astre, φ = - G M / r à ladistance r d’une étoile de masse M (où le temps estτ), le temps à la distance r de l’étoile s’écouleplus lentement avec :

-------------------------------------------------------- 2 G Mτ = 1 - ------------------------------------------ t (7,4)√ 2r C

t est le temps propre mesuré à l’infini là oùl’astre n’a plus aucune action.

Le temps t permet grâce à l’équation (7,4) derepérer tout évènement; mais nous voyons bien,puisqu’il est différent du temps indiqué par leshorloges étalons, que ce n’est pas le temps d’unréférentiel galiléen. Ainsi, ce qui a été dit au§ 4 est encore justifié.

Avec deux distances r1 et r2 = r1 + dr , on a :

------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 d √ 1 - 2 G M / (r C ) dτ--------------- = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------τ -------------------------------------------------------------------------------------------------------2√ 1 - 2 G M / (r C )

1 2 G M--------------- -----------------------------------------------2 2 2dτ r C-------------------- = ----------------------------------------------------------------------------------------------- drτ 2 G M1 - ------------------------------------------2r C

2G M / r = g ; et si 1 - 2 G M / r 1

dτ g dr g h-------------------- = -------------------------- = ---------------------------τ 2 2C C

On retrouve la formule approximativeprécédemment trouvée quand dτ/τ était petit.

2Pour 1 - 2 G M /(r C ) = 0

2 G Mr = rs = ------------------------------- (7,5)2C

c’est le rayon de Schwarzschild.

Le temps semble ne plus s’écouler vu de loin de

18 128

l’astre : τ = 0 × t = 0 . Si toute la masse del’étoile est concentrée dans une rayon inférieure àrs, on a un trou noir.

Considérons pour simplifier le cas d’un objet demasse volumique constante, et supposons que laformule newtonienne donnant la masse M en fonctionde ρ donne un bon ordre de grandeur.

4 3 2 G MM = --------------- π r ρ ; le cas limite est avec r = -------------------------------3 2C

3 3 64 8 G M 2 3 CM = --------------- π ρ ------------------------------------------ ; M = --------------------- ------------------------- (7,6)3 6 32 π 3C G ρ15 3Pour une étoile à neutrons , ρ 10 g/cm et

nous obtenons M 5 M (M veut dire massesolaire) qui est un bon ordre de grandeur. Enréalité, une étude plus complète faisant intervenird’autres phénomènes physiques (§ 10 chapitre 17 )donne :

M < 2,5 M (7,7)

pour une étoile à neutrons. Au delà, on a un trounoir.

Les étoiles massives peuvent donc finir leur vieen trou noir. Le trou noir engloutit la matièreenvironnante (chapitre 16) qui se rassemble dans undisque d’accrétion (voir la fin du § 9 ,chapitre 6 ), et s’engouffre dans le trou noir enémettant un puissant rayonnement X ou γ, dûprincipalement au rayonnement synchrotron descharges accélérées. Ces sources de rayonnementpermettent de confirmer la présence d’un trou noir,surtout si ce dernier fait partie d’un systèmebinaire dont on peut déterminer la masse desconstituants. Dans ce cas, on peut en effetvérifier que la valeur limite de 2,5 massessolaires est dépassée. Citons Cygnus X-1 et plusrécemment dans la constellation de la LicorneAO620-00 de 3,8 masses solaires.

Une autre possibilité est la présence de trous-4 3noirs dans le noyau des galaxies. ρ 10 g/cm

est un ordre de grandeur de la densité auvoisinage du noyau d’une galaxie. On obtient alors

10M 10 M ce qui est une masse raisonnable pourun noyau de galaxie.

Lors de la formation des protogalaxies, lamatière n’ayant pas un moment cinétique suffisants’effondre dans le noyau en un gigantesque trounoir source d’un puissant rayonnement gamma et X.Ces noyaux de protogalaxies contenant un trou noirengloutissant des étoiles sont les quasars : objetstrès anciens (époque des protogalaxies) et donctrès lointains, visibles comme des points lumineux

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ressemblant, hormis le spectre et les fluctuationsd’éclat, aux étoiles, d’où leur nom (quasi stellarobject).

Récemment une source γ intense, indice d’un trounoir, a été découverte à 300 a.l. (année lumière)du centre de notre galaxie.

On pense actuellement que les noyaux de toutesles galaxies contiennent des trous noirs, actifs ounon. Le trou noir se calme lorsqu’il a avalé toutela matière environnante. Cependant il peut êtreréactivé par différents mécanismes : collision degalaxies, déformation d’une galaxie par effet demarée causé par une autre galaxie. On a alors, plusprès de nous, une radio-galaxie ou galaxie deSeyfert, sorte de miniquasar.

Un puissant rayonnement est émis suivant l’axe derotation du trou noir formant un jet. Un magnifiqueexemple d’un tel jet, est celui de la galaxieelliptique M 87 dans l’amas de la Vierge, célèbreégalement pour sa multitude d’amas globulairesservant de jalon dans la mesure des distances desgalaxies.

9. Etude du disque tournant : l’espace. -Supposons que l’on dispose pour mesurer leslongueurs de règles parfaitement rigides de unmètre de longueur. Revenons au disque tournant.Fixons sur le disque, sur sa circonférence, à ladistance r, les règles bout à bout. Les règlestournent donc avec le disque. La longueur de lacirconférence pour quelqu’un situé sur le disqueétant λ, il y a λ règles. Vu du référentielgaliléen à l’instant t de ce référentiel, les-------------------------------------------

2 2règles précédentes ont la longueur √ 1 - v / C àcause de la contraction des longueurs.

Là encore, nous utilisons une hypothèse du mêmetype que celle faite au paragraphe précédent :celle faite au § 7 du chapitre 3 . Nous supposonsque seule la vitesse influence les longueursétalons et non pas les accélérations. Cela supposeen outre que nous disposons de matériaux étalons delongueurs, suffisamment rigides et indéformables,pour rester des corps parfaitement solides en étantsoumis à des accélérations variables.

La circonférence vaut donc dans ce référentiel-------------------------------------------2 2l = λ √ 1 - v / C . On a évidemment

l = 2 π r donc :

2 πλ = ---------------------------------------------------------------- r--------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

C’est-à-dire que pour faire un tour sur un cerclede rayon r en rotation, il faut parcourir plus dechemin que 2 π r . Il n’y a pas d’effet de

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contraction des longueurs suivant un rayon, lavitesse étant alors perpendiculaire à la règleétalon. Quand le disque tourne, on peut donc placerplus de règles à la distance r que lorsqu’il estimmobile.

Là encore, nous voyons apparaître des coordonnéesnouvelles pour mesurer l’espace, liées à unréférentiel, donc à un corps solide dans lequel onétudie la physique; la coordonnée λ par exemple.Ceci justifie encore la remarque du deuxième alinéadu § 4 . L’important dans ces changements decoordonnées est le fait qu’on leur attribue uneréalité physique : Coordonnées d’espace, oucoordonnées de temps. C’est à partir de là que laphysique étudiée avec ces coordonnées seradifférente (apparition d’un champ de gravitation).Nous verrons cela plus précisément au § 7 et § 8du chapitre 12 .

Il résulte de cela que si l’on met un disqueen rotation, il doit apparaître à la périphérie descontraintes d’étirement. Ces contraintes peuventaller jusqu’à casser le solide.

Mieux même : Un théorème de Relativité généraleaffirme qu’il est impossible de mettre en rotationun objet, un disque par exemple, parfaitementindéformable (totalement rigide). Cette contraintetotale de l’espace environnant l’objet, du seulfait qu’il est indéformable, est impressionnante.

Une image de ceci est qu’un piéton qui se dirigevers le bord du disque rapetisse, mais tous leséléments de son environnement rapetissent aussi, etde la même manière que lui, de tel sorte qu’il nes’en rend pas compte. Cependant il s’en rend comptes’il fait un tour complet, car il lui faudra fairebeaucoup plus de pas que la traversée suivant undiamètre le laissait prévoir. L’effet est visualisésur la figure 7.5 avec des disques étalons, dansle cas inverse (qui est celui d’un astre attirant)où c’est vers le centre que les objets étalonsrapetissent.

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Fig. 7.5

A cause du principe d’équivalence, lorsqu’on serapproche d’une étoile massive, on descend dans unpuit de potentiel gravitationnel, comme lorsqu’ons’éloigne du centre du disque, et tout rapetisseaussi. C’est comme si l’on voulait entrer dans unemaison minuscule, et qu’une fois à l’intérieur ellenous paraisse immense, parce que sans s’en rendrecompte, en entrant on est devenu tout petit.

Les lieux de notre enfance nous paraissent toutpetits lorsqu’on y retourne adulte, du fait qu’onles mesurait avec notre taille de l’enfance. Ainsi,un agrandissement de notre corps nous faitressentir l’espace plus petit.

Là encore, nous avons supposé que, à causedu principe d’équivalence, il doit y avoir uneffet. Aucune vitesse n’étant plus disponible,rejetant le fait que l’accélération puisseintervenir, supposant qu’un paramètre local est labonne solution, nous supposons, comme auparagraphe précédent, que c’est le potentielgravitationnel φ le bon paramètre permettant decalculer l’effet de contraction des longueurs dansun champ de gravité par :

---------------------------------------------------- φl = λ 1 + 2 ---------------- (7,8)√ 2C

Ceci correspond en termes mathématiques au faitque l’espace n’est plus euclidien. Nous étudieronsces espaces au chapitre 11 . C’est un tel effet decontraction des longueurs qui modifie le résultattrouvé au § 5 a pour la déviation des rayonslumineux.

Lorsqu’un corps solide ayant une certaine étendueévolue dans un tel espace, il peut apparaître descontraintes pouvant le briser si les variations de

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"dimensions" sont trop rapides.Notons que à partir du moment où nous disons que

le piéton rapetisse, cela nécessite que nousconsidérions, au même endroit que lui, un substratqui lui, est invariable. Cela suppose que le piétonest dans un monde où existent deux sortes d’objets,ceux qui rapetissent comme lui, et ceux qui restentinvariables. Les objets invariables étantinvisibles et impalpables, en fait insensibles àtous les sens. Le rôle joué par ce substratinvariable est joué par la grille des lignescoordonnées dans une variété différentiable, àpartir desquelles la formule (11,8) donne la valeurde la longueur des objets étalons. Nous avons doncici un modèle tout à fait valable d’espace noneuclidien. En fait, tout espace non euclidien peutêtre construit de cette façon. Nous avons en effetune expression quelconque des longueurs étalons enfonction du substrat invariable (les lignescoordonnées). Mais si ce substrat est vraimenttotalement indétectable, son existence n’est pastestable. Effectivement, seule compte la structurede l’espace non euclidien, et l’image que nous enavons donné ci-dessus n’est qu’un modèle dont onpeut se passer.

Certains espaces non euclidiens, mais pas tous,peuvent être représentés comme immergés dans unespace euclidien de dimension supérieure, leslongueurs étant mesurées grâce à la longueurdéfinie dans l’espace euclidien global. Nousutiliserons un tel modèle au § 13 pour expliquerintuitivement l’effet Shapiro.

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10. Le rôle de la Mécanique quantique dansl’existence des étalons de longueurs et des étalonsde temps. - Il faut insister ici sur l’importancecruciale des étalons de temps (horloges) et delongueurs (règles étalons) pour mesurer les effetsprécédents de modification de l’écoulement du tempset de contraction des longueurs. La Mécaniquequantique joue là un rôle essentiel. C’est laquantification des niveaux d’énergie des atomes quileur donne une dimension fixe pouvant servird’étalon de longueur. Une règle étalon n’est qu’unensemble d’atomes mis bout à bout à distancesfixes, grâce aux propriétés des solides dues à laMécanique quantique. Les transitions atomiquesentre niveaux d’énergies donnent des fréquencesfixes pouvant servir d’étalons de temps fiables.

Citons à ce sujet la définition légale de l’unitéde temps : Depuis 1967 , l’étalon de durée estdéfini par un phénomène de physique atomique : leniveau d’énergie fondamental de l’atome de césium133 se décompose en deux sous-niveaux selon ladirection relative des spins de l’électron et dunoyau. La fréquence de transition entre ces deuxsous-niveaux est posée comme étant égale à9 192 631 770 Hz , ce qui définit la seconde, qu’onappelle seconde de temps atomique. Dans un universnon quantique, les objets évolueraient continuement(distances des électrons aux noyaux etc), et il n’yaurait aucun étalon de temps ni de longueuruniversel et servant de référence. En ce sens, laMécanique quantique est à l’origine des notions delongueur et de temps qui sont à la base de notredescription de l’univers. C’est elle qui est àl’origine du fait que toutes les molécules d’eausont identiques par exemple, quel que soit letraitement qu’elles aient subi, aussi violent qu’ilsoit. Elle est à l’origine de la constitution del’univers en "briques" de différentes sortes,identiques entre elles dans une espèce donnée etéternelles, c’est à dire ne vieillissant pas. Cesbriques sont à l’origine de nos étalons de longueuret de durée.

Citons ici Newton : "Et c’est pourquoi, afin quela nature soit durable, les changements des chosescorporelles doivent consister uniquement dansdiverses séparations et nouvelles associations etdans les mouvements de ces particules permanentes"(Newton 1721, p. 375). Un peut plus haut, ildéfinissait ainsi les atomes : "Dieu, aucommencement des choses, a formé la matière enparticules solides, massives, dures, impénétrables,mobiles... Ces particules primitives étant dessolides, sont incomparablement plus dures quen’importe quels corps solides composés d’elles ;elles sont même tellement dures qu’elles ne s’usentou ne se brisent jamais". Il fallut attendre la

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Mécanique quantique pour donner une assisethéorique à cette géniale idée des atomes qui pritnaissance chez les Grecs tel : Démocrite(-420, -370). L’impénétrabilité étant due auprincipe d’exclusion de Pauli, un résultat de laMécanique quantique. Le fait d’avoir des particulesrigoureusement identiques et sans usure est unepropriété typiquement quantique. Il résulte de celal’absence de causalité locale pour un phénomènecomme une désintégration; autrement, l’existence devariables cachées locales entraînerait la nonidentité des particules pour lesquelles cesvariables différeraient.

Insistons sur le fait que la Mécanique quantiquerésout le problème fondamental qui est de savoirpourquoi il existe, dans notre monde matériel, desformes et des qualités qui restent pareilles àelles-mêmes; pourquoi, par exemple, le liquideappelé "eau" se reproduit toujours avec toutes sespropriétés caractéristiques, que ce soit par fusionde la glace ou par condensation de vapeur d’eau, ouencore par combustion d’hydrogène. Ceci a, certesété admis en physique, mais jamais compris.

Nous avons vu ci-dessus que cette permanence despropriétés de l’eau par exemple résulte del’invariance dans le temps des particulesconstituantes (ici la molécule d’eau) et de latotale identité de ces particules.

Pour que cette propriété d’identité soit unepropriété physique, il faut qu’elle soitfalsifiable (au sens de Popper). Il faut donc quechaque type de particule soit parfaitement définipar un nombre fini de paramètres. Autrement, lavérification expérimentale de l’égalité desparamètres ne serait pas faisable. Cela impliquequ’il y a un nombre fini de types de propriétés,charge, masse, etc; et que lorque ces propriétéspeuvent varier, comme l’énergie, les variationssont quantifiées avec l’existence d’un niveaufondamental. Toute possibilité de variables cachéeslocales est ainsi exclue.

La masse précise des particules élémentaires,quantifiée et ne variant pas continuement, est doncdéjà une propriété typiquement quantique. En effetle fait que l’atome d’hydrogène ait une énergiebien précise dans son état fondamental, allié à la

2relation E = m C fait qu’il a une masse bienprécise. La masse du proton parfaitement définie,résulte elle-même de l’existence d’un niveaufondamental bien précis pour les trois quarks quile constitue. Le fait que les particulesrigoureusement élémentaires aient une masse bienprécise résulte alors de la non-distinctionélémentaire/composé pour les systèmes, ce que nousallons maintenant examiner.

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Détaillons ici le fait, mentionné au § 2 duchapitre 4 , qu’on retrouve dans la descriptionquantique des particules la non distinction entreles cas élémentaires et composés vis à vis del’extérieur : ainsi, tant que l’électron de l’atomed’hydrogène reste dans son état fondamental,l’atome d’hydrogène se comporte comme un tout,comme une particule élémentaire, vue del’extérieur.

En Mécanique quantique classique, l’électronétant donné, son état dans l’atome d’hydrogène parexemple se décrit par un vecteur dans un espace deHilbert. L’état correspondant de l’atomed’hydrogène est donc décrit par ce vecteur. Lanon-distinction élémentaire/composé fait que, enMécanique quantique relativiste, l’électronlui-même, et seul, correspond à un état quantiquedécrit par un vecteur dans un espace de Hilbert.Ceci correspond à la seconde quantification. Cecipermet de dire par exemple, que le neutrinoélectronique νe est un électron dans un étatquantique différent.

On peut alors faire des combinaisons linéaires departicules, c’est à dire des combinaisons linéairesdes vecteurs décrivant chaque particule, le nouveauvecteur représentant une particule possible. De lamême manière, en Mécanique quantique classique, onpeut faire la combinaison linéaire de deux étatsdifférents de l’atome d’hydrogène. Ainsi, laMécanique quantique relativiste, ne fait pas dedistiction de nature pour les particules, entre lescas élémentaires et composés.

11. Les étalons de temps et de longueurs. - Nousavons vu au paragraphe précédent comment laMécanique quantique permet d’avoir des solides(dimensions fixes) pouvant servir d’étalons, etcomment elle permet d’avoir des horloges étalons.Voyons maintenant plus précisément comment à partirde là s’est dégagée la notion de temps et la notionde solide indéformable permettant de mesurer lesdistances.

En ce qui concerne le temps, le problèmefondamental est d’arriver à caractériser avecprécision un appareil appelé horloge qui servira àmesurer le temps. La propriété fondamentaleutilisée est qu’il existe une classe de phénomènesprésentant une régularité qui fait que leursévolutions sont proportionnelles les unes auxautres. L’un quelconque d’entre eux pourra êtreprit comme horloge unité puisque l’évolution desautres lui sera proportionnelle. Le temps devientainsi une grandeur mesurable.

On admet donc que les durées qu’indiquent ceshorloges sont constantes. Mais il importe deremarquer que cette constance est une définition du

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temps et n’est pas une loi physique (ce qui est uneloi physique c’est l’existence de cette classe); eneffet supposons que tous les phénomènes physiques àla base du fonctionnement des horloges précédentesse mettent à accélérer dans la même proportion, ycompris les phénomènes biologiques liés à la vie, àla vie de l’homme en particulier; si nous supposonségalement que les phénomènes n’ayant pas uneévolution linéaire par rapport aux phénomènes de laclasse précédente garde toujours la même loid’évolution par rapport à ces derniers; si cetteaccélération générale est la même partout dansl’univers, il n’y a aucun moyen de s’en rendrecompte; de telle manière que cette accélération necorrespond pour le physicien à aucun élément deréalité puisqu’elle est indécelable. Par contre, siles horloges en un certain endroit accélèrent parrapport aux horloges placées à un autre endroit ouanimées de vitesses différentes, il y a moyen des’en rendre compte. Ceci se produit effectivementen Relativité restreinte et générale et correspondau fait qu’il n’existe pas de temps absolu.

Il faut insister sur l’universalité de cetteclasse d’horloges en ce qu’elle fait intervenirn’importe quel phénomène physique. En particulierchacune des quatre interactions, gravitationnelle,électromagnétique, forte et faible peut êtreutilisée, chacune donnera le même résultat. Celamontre déjà qu’il y a un lien entre toutes cesinteractions, ce qui encourage à essayer de lesunifier. Les vieilles horloges à balancierfonctionnant grâce à des phénomènes purementmécaniques faisant intervenir les lois de l’inertieet de la gravitation, la durée de vie d’un étatexcité, que ce soit un état faisant appel àl’interaction électromagnétique (chute d’unélectron d’un niveau excité à son fondamental) oufaisant appel à l’interaction faible(désintégration de certains noyaux radioactifs),tous peuvent également servir d’étalon de temps.

C’est cette universalité et le fait qu’ellerecouvre l’ensemble des interactions qui permet àla notion d’un temps propre local unique d’exister.Nous verrons cependant au paragraphe suivant qu’onpeut concevoir également qu’il puisse existerplusieurs temps différents.

Venons en maintenant à ce qui concerne la mesuredes distances. Cette mesure nécessite lareconnaissance d’une classe d’objets qui pourrontservir d’étalons de longueur. Comment allons nousreconnaître qu’un objet appartient à cette classe?

La propriété fondamentale est que dans notreespace physique, certains objets gardent le mêmeaspect les uns par rapport aux autres, et ceciqu’on les laisse dans un même lieu ou qu’on lesdéplace à un autre endroit. Ce sont ces objets,

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possédant cette propriété qu’on appel les corpssolides. Précisons ce que veut dire le fait degarder le même aspect les uns par rapport auxautres : si dans une certaine boîte je peux justeranger 50 billes et si je transporte à 1000 km delà la boîte et les billes, je pourrais encoremettre exactement les 50 billes dans la boîte.Imaginons qu’à 1000 km de là il fasse plus chaud.La boîte se sera dilatée. Si les billes sontconstituées du même matériau que la boîte, elles seseront dilatées de la même manière et tiendrontencore exactement dans la boîte. Je risque de ne merendre compte de rien! Comment puis-je donc savoirque la boîte s’est dilatée? Je m’en rendrai compteen comparant son aspect avec celui d’un objet quilui, ne se sera pas dilaté; soit parce qu’il est enun matériau qui se dilate très peu, soit parce queje l’aurai maintenu à température constante. Maiscomment puis-je savoir si c’est la boîte qui agrandit ou l’objet précédent qui est devenu pluspetit? Simplement parce qu’il y a beaucoup de corpsqui se dilatent de manières différentes etchangeront d’aspect les uns par rapport aux autres,et il apparaitra un ensemble d’objets qui gardentle même aspect les uns par rapport aux autres, cesobjets se distinguant nettement des autres. Lanotion est assez délicate car nous avons vu que desobjets tous constitués du même matériau se dilatantpareil pourraient constituer une telle classed’objets. Disons que la classe choisie doit être laplus vaste possible et présenter un caractèreuniversel. C’est justement la possibilité detrouver une telle classe, et de trouver etd’éliminer les facteurs parasites modifiant lataille du corps, comme les variations detempérature ou de pression, qui à nos yeux sont àla base de la construction de la notion de corpssolide (plus précisément solide étalon, totalementinsensible à la dilatation par exemple) puis decelle d’étalon de distance qui en découle.

La classe d’objets appelés solides et lespropriétés correspondantes permettent en effet parl’étude expérimentale de construire la géométrie etde voir si l’espace est euclidien ou non. Ainsi,une chaine dont les maillons sont des anneauxsolides permet en étant tendue d’obtenir une lignedroite. En prenant des maillons de plus en pluspetits, on arrive à la limite à la ligne droitemathématique sans épaisseur.

Le problème se pose alors par exemple de savoirsi la somme des angles d’un triangle vaut 180˚. Onrapporte que le mathématicien allemand CarlFriedrich Gauss (1777-1855) construisi un triangleentre trois sommets dans les montagnes du Hartzpour voir si la somme des angles intérieursfaisait 180˚. Il supposait que la propagation de la

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lumière est rectiligne, au sens où la lumière suitle même chemin qu’une chaîne tendue (donc delongueur minimale entre deux points); résultat quiest faux en Relativité générale (voirexercice 12.2 ). Bien sûr, aux incertitudesexpérimentales près, il trouva que l’espacephysique est euclidien, les effets de lagravitation terrestre sur la géométrie de l’espaceétant bien trop faibles.

Nous voyons le parallèle très frappant entre cetensemble d’objets gardant le même aspect les unspar rapport aux autres appelés corps solides et laclasse des phénomènes pouvant servir d’horlogeslorsque nous nous sommes préoccupés de ladéfinition du temps. La construction de l’espacecomme celle du temps fait donc appel à desrégularités; celle-ci sont tout à fait analoguesdans les deux cas. Nous avions vu que si toutes leshorloges accéléraient de la même manière, cela neserait pas décelable. De la même façon, si tous lescorps solides rapetissaient de la même manièrepartout, il n’y aurait aucun moyen de s’en rendrecompte et cela ne correspondrait à aucune réalitéphysique. En fait, dans notre esprit, la notion delongueur prend par habitude un caractère absoluqu’elle n’a pas! En effet, toute longueur estrelative à un objet pris comme unité et la mesurant(encore la relativité!).

Si un solide se déforme dans un champ degravitation ou d’accélération, on en trouvera unautre qui se déformera différemment (plus rigidepar exemple). Par comparaison de ces différentesdéformations, il doit être possible d’atteindre laclasse des objets parfaitement solides qui ne sedéformeront pas du tout dans le champ degravitation considéré. Ces objets pourront servird’étalons de longueur fiables pour mesurer l’effetdécrit au § 9 . (voir première phrase du § 9 ).

12. Deux temps différents? - Le modèle que nousavons prit pour décrire un espace non euclidiensuppose qu’il existerait deux classes d’objets :une classe d’objets indéformables les uns parrapport aux autres que l’on appelle les solides, etun substrat invariable par rapport auquel lesobjets de la classe précédente peuvent grossir ouse rapetisser. Bien sûr, comme nous l’avons dit, cen’est qu’un modèle. Il n’est pas nécessaire d’avoirce substrat invariable pour pouvoir décrir lastructure d’espace non euclidien. Mais ceci nousfait penser qu’on peut concevoir deux classesd’objets étalons différents pour construire lanotion de temps. Milne en 1935 proposa une théoriecosmologique dans laquelle il y a deux tempsdifférents, c’est à dire deux classes différentes

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de phénomènes. Dans chaque classe, les évolutionsdes phénomènes sont proportionnelles et permettentde définir un temps, mais il n’y a plusproportionnalité pour les évolutions des phénomènesdes deux classes différentes.

Milne distingue le temps dynamique qui est lié àla Mécanique, c’est à dire au fond à l’interactiongravitationnelle, et le temps cinématique lié auxphénomènes atomiques donc au fond aux autreinteractions que la gravitation. Le temps dynamiqueτ correspond par exemple au principe de l’inertie.Dans un référentiel galiléen, ce temps peut êtremesuré par le chemin parcouru par une particulelibre : elle parcourt des longueurs égales en destemps égaux. Le temps cinématique t correspond parexemple aux fréquences des transitions atomiques,donc au temps mesuré actuellement par les horlogesatomiques.

La relation entre t et τ est supposée égale à :

tτ = t0 Log ------------ + t0t0

Ainsi le Big Bang correspond à t = 0 etτ = -∞ . La question de savoir ce qu’il y avaitavant le Big Bang est alors éliminée car en prenantle temps τ, l’univers a toujours existé.

La distinction entre ces deux temps estintéressante. Récemment des efforts ont étéstentés, en utilisant des satellites artificielspour voir si le temps atomique et le tempsnewtonien sont différents. La théorie de Milne estactuellement abandonnée.

Dans la mesure ou l’on pense que les quatreinteractions dérivent d’une interaction unique, ilest logique de penser qu’elles mènent toutes aumême temps. L’existence de temps différentsposerait des problèmes pour des notions comme laconservation de l’énergie liée au mouvement donc autemps.

L’existence d’une singularité, le Big Bang àt = τ = 0 il y a 15 milliards d’années a alors unesignification physique incontournable : l’univers aune origine.

13. Effet Shapiro : retard des échosradars. - Considérons maintenant un signal radarémis depuis la Terre et allant sur Mercure enrasant le Soleil, puis revenant par le chemininverse (fig. 7.6).

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Tr a jec t o i re du s ignal radar.

OTe r re

˚ * Sol e ilMercure

Fig . 7 .6

En passant près du Soleil, on arrive dans unezone où les règles unités de longueurs sont "pluspetites" et le temps s’écoule "plus lentement". Unobservateur dans un référentiel galiléen utilisantles règles étalons et les horloges étalons locales,trouve la valeur invariante C pour la vitesse de lalumière qui est également celle des signaux radar.Souvenons nous maintenant (cf § 6 et § 7chapitre 3 ) que nous avons supposé quel’accélération n’a pas d’influence sur l’écoulementdu temps et la longueur des règles étalons. Il enrésulte qu’un observateur immobile dans le champ degravitation du Soleil, et non pas en chute librecomme le référentiel galiléen, trouvera toujours Cpour la vitesse de la lumière, et ceci quelle quesoit sa position. L’observateur utilise bien sur,et répétons le, les règles étalons locales et leshorloges étalons locales pour cette mesure. Lasomme des temps locaux étalons mis pour franchirles l règles étalons mises bout à bout est donc :τ = l/C .

Considérons pour simplifier le calcul que lesignal radar fait pratiquement l’aller et retour auSoleil. 2 π r étant la circonférence de latrajectoire de la Terre, et l étant le nombre derègles unités étalons mises bout à bout et reliantla Terre au Soleil, nous avons l > r et :

l r 2 rt > τ = ----------------- > ----------------- ; 2 t > ----------------C C C( 1 ) ( 2 )

d’où un retard de l’arrivée de l’écho par rapportau temps 2 r / C que donne la Mécaniquenewtonienne. Le retard fait intervenir à la fois leralentissement du temps (inégalité 1) et lacontraction des longueurs (inégalité 2).

Dans l’exemple considéré, on peut prendre unmodèle à deux dimensions d’espace, la trajectoirede la lumière étant plane. On peut alors donner unmodèle de l’espace non euclidien dans lequel l’échoradar se propage en considérant que c’est unesurface non plane dans un espace euclidien à troisdimensions (fig. 7.7) :

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Fig. 7.7

On comprend alors, en examinant la figure 7.7 ,pourquoi l > r , sans avoir à considérer que lesobjets rapetissent près du Soleil. Ce qui compte,c’est la structure d’espace non euclidien. On peutprendre ensuite, pour visualiser la structure, lemodèle qu’on veut.

Les observations de l’effet Shapiro débutèrentdans les années 1960 avec des échos radar surMercure et sur Vénus. Plus tard, les vaisseauxspatiaux furent utilisés, comme Mariner 6, 7, 9et les Vikings. Les données des Vikings vérifièrentla prédiction théorique à 0,1% près.

Le paramètre r tel que la circonférence del’orbite terrestre soit égale à 2 π r est biencelui qui intervient dans la troisième loi de

2 3Kepler T / r = Cte vraie avec une très grandeprécision, même en Relativité générale (voirchapitre 16 ), et donc correspond bien à ladistance de la Terre au Soleil calculée dans lecadre de la Mécanique newtonienne. C’est égalementcette valeur qu’on obtient pour la circonférence enmesurant la vitesse de la Terre sur son orbite parle décalage Doppler de la lumière des étoiles, eten considérant qu’elle fait un tour en un an. Ainsiil n’y a pas d’ambiguïté sur le calcul du temps quedevrait mettre l’écho radar en Mécaniquenewtonienne. Ce calcul oublie simplement lesdistorsions de l’espace et du temps qui ne sontsignificatives qu’au voisinage du Soleil etn’interviennent pratiquement pas (à part une trèsfaible précession du périhélie de la Terre) auvoisinage de la Terre. Il y a donc bien lapossibilité de mesurer avec précision et sansambigüité le retard dû aux effets de la Relativitégénérale. L’écho radar est une sonde allantexaminer ces effets de Relativité générale auvoisinage du Soleil.

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14. La loi de la gravitation en Relativitégénérale. - Dans les paragraphes précédents, nousavons envisagé quelques conséquences du principed’équivalence. Cependant, ce principe ne représentequ’une partie de la Relativité générale. Il permetde savoir quelles sont les lois physiques enprésence d’un champ de gravitation; c’est-à-dire aufond, comment se comportent les choses dans un telchamp. Cela correspond à la loi dynamique analogueà la loi F = m γ de la Mécanique newtonienne, Fétant donnée. L’autre partie de la Relativitégénérale, doit être constituée de la loi de force,analogue à la loi de la gravitation universelle.Elle doit indiquer comment les masses crèent unchamp de gravitation. C’est cette partie que nousallons commencer à aborder dans ce paragraphe. Letraitement complet donnera ce qu’on appellel’équation du champ d’Einstein.

Le principe d’équivalence au sens fort nousmènera à l’équation du champ d’Einstein (comme nousl’avons déjà mentionné ci-dessus, cf § 1chapitre 7 ). Ainsi la loi dynamique nous donneraautomatiquement la loi de force, ces deux loisétant donc intimement reliées en Relativitégénérale.

Reprenons le raisonnement fait aux paragraphes 18et 19 du chapitre 5 , mais avec des massesgravitationnelles.

Considérons donc une barre (1) immobile dans R,-et une barre (2) immobile dans R, avec les massesvolumiques ρ et ρ telles que

1 22 2ρ = ρ /(1 - v / C ) de façon à ce que les deux

1 2barres attirent de la même manière dans R (voir-§ 14 chapitre 6 ). Il est clair que dans R labarre (1) attire plus que la barre (2). Pour leverla contradiction, il faut admettre qu’il existe uneffet gravitationnel lié à la vitesse des barres.

Nous savons que si la masse volumique de matièreagissant gravitationnellement est ρ dans le

00référentiel R où l’objet est au repos, il lui

correspondra une masse volumique apparente agissant2 2gravitationnellement égale à ρ / (1 - v / C )

0dans un référentiel où l’objet est animé de lavitesse v.

αβ 2 α βConsidérons le tenseur T = ρ C U U .0

D’après (5,55), les produits de grandeurscomposantes de tenseurs sont bien en effet encoreles composantes d’un tenseur. ρ est la masse

00volumique dans le référentiel R où la matière

étudiée est au repos; c’est donc un scalaireinvariant ou tenseur d’ordre 0 . Ce qui agitgravitationnellement dans tout repère, c’est :

10 143

00 2 0 0 2 2 2T = ρ C U U = ρ C /(1 - v / C ) . Pour un0 0

ensemble de masses en mouvement avec des vitessesαβdifférentes, on peut définir T comme la somme desdifférents tenseurs élémentaires correspondant auxdifférentes masses. On a bien encore un tenseur. Laquantité agissant gravitationnellement sera encore

00égale à T dans le référentiel considéré.Considérons maintenant un changement de

référentiel tout à fait quelconque faisant passer-de R à R. Nous supposons ici que la matrice Λ de latransformation est la plus générale possible.

0 0 0 0 αβOn a : T = Λ Λ T -R α β RAinsi, l’action gravitationnelle dans R, liée à0 0 0 0T fait intervenir T - mais égalementR Rαβtoutes les composantes T - . En particulier,Rαβmodifier une composante T - suffit à modifierR0 0T donc à modifier l’action gravitationnelle.R

Ainsi il est impossible de considérer que seule00T agit, car les équations ne seraient pas

covariantes dans un changement de référentiel. Leαβtenseur T s’appelle le tenseurd’impulsion-énergie du système. Nous en concluonsdonc que, en fait, toutes les composantes dutenseur d’impulsion énergie doivent agirgravitationnellement. Les autres composantes que

00 iT , de même que les composantes P (voir § 4chapitre 6 ) doivent être à l’origine des effetsmagnétiques de la gravitation.

En électromagnétisme nous écrivons la loiexprimant comment les charges crèent le champ, soità partir de la loi de Coulomb en utilisant lacharge électrique q qui est un tenseur d’ordre 0(scalaire invariant), soit avec le quadrivecteurcourant qui en découle et qui est un tenseurd’ordre 1 (équation (5,77) et (5,97)). Le premiercas est obtenu quand on considère que les sourcesdu champ sont des particules élémentairesponctuelles. Le deuxième cas est obtenu quand onconsidère qu’on a une densité volumique de charge.

De la même manière, en Relativité générale, nouspouvons utiliser l’équivalent de la loi newtoniennede la loi de la gravitation universelle, et nousavons vu que ce n’est pas m seule qui intervientαmais toutes les composantes P du quadrivecteurimpulsion-énergie des particules (confère § 4 duαchapitre 6 ). (P ) est un tenseur d’ordre 1. Onpeut alors utiliser le tenseur d’ordre supérieurdonc ici 2 qui en découle pour une densité continuede matière énergie, et c’est le tenseurαβd’impulsion-énergie (T ) . D’où le tableausuivant (fig. 7.8)

11 144

Sou r ces du cham p

u----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------i-----------------------------------------------------------------------------------------------------------o11 11 1 11 1 α1 E lectromagnétisme q 1 j 11 11 1 11 1 11 Ten s e u r d ’ o r d r e 0 1 Ten s eur d ’ o rd r e 11 1 11 11 1 11____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1___________________________________________________________________________________________________________1 1 11 1 11 1 11 α 1 αβ 11 Gravita t ion P 1 T 11 1 11 1 11 1 11 Ten s e u r d ’ o r d r e 1 1 Ten s eur d ’ o rd r e 2 11 1 11 1 11j----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------l1 1 11 1 11 Fo r ma l i s m e av e c d e s 1 Fo r ma l i s m e ave c une 11 1 11 cha r g e s p o n c t u e l l e s 1 den s i t é c o n t i nue 11 1 11 1 de c ha r g e1 1m----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------------------------------------------------.

F i g . 7 . 8

Le tenseur d’impulsion-énergie qui est source del’interaction gravitationnelle joue de ce fait unrôle central en Relativité générale; c’est pourquoinous consacrons le chapitre suivant à étudier sespropriétés. Ce faisant, nous nous familiariseronsavec les tenseurs étudiés au chapitre 5 .

En conclusion de ce chapitre, mentionnons unedernière remarque, fondamentale pour comprendre ladifférence de structure entre l’électromagnétismeet la gravitation : En électromagnétisme, aussiα αbien A que j sont des quadrivecteurs. On peutmontrer qu’un tel formalisme conduit nécessairementà une force répulsive entre deux chargesidentiques. La force gravitationnelle entre deuxmasses identiques étant attractive, le champgravitationnel ne peut pas être un champ vectoriel.Le plus simple est de prendre un champ tensorield’ordre 2 , dont la source est également un champαβtensoriel d’ordre 2 : T (voir également (14,9)par exemple).

Le fait que le champ gravitationnel soitentièrement décrit par un champ tensoriel seracrucial dans la construction des équations de laRelativité générale. Il est toujours possibled’envisager en plus d’autres champs, scalaires,vectoriels, tensoriels. Tel est le cas dans laThéorie de Brans-Dicke qui contient un champscalaire en plus. L’expérience a tranché par lasimplicité en invalidant la Théorie de Brans-Dicke.

12 145

EXERCICES

7.1 Montrez que l’on peut retrouver la valeur durayon de Schwarzschild d’un trou noir en exprimantqu’à la distance rs du centre de l’astre, lavitesse de libération est égale à C.

7.2 Calculez, dans le cadre de la Mécaniquenewtonienne, le temps de chute depuis la distance Rjusqu’à la distance rs d’une particule en chutelibre ayant une vitesse nulle à l’infini.

7.3 1. Montrez que le champ gravitationnel du Soleilpeut être considéré comme un milieu possédantl’indice de réfraction n = 1 + rs/r .

2. En supposant que la trajectoire des rayonslumineux est approximativement rectiligne dans lechamp de gravitation du Soleil, en déduire leretard des échos radars faisant l’aller et retourde la Terre à Mercure, lors d’une conjonctionsupérieure, en rasant le Soleil.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------L----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------J--------------------------------------------------------------------------------------------------------M . T

r

3. Application numérique :

8r = 6 ,96 1 0 m11D is t ance de l a T e r re au So l ei l : r T = 1,496 10 m10D is t ance de Mer c u re au So l e i l : rM = 5,789 10 m

3 0 8M = 1 ,99 1 0 kg ; C = 3 10 m/s

G , cons t ant e de l a grav i t a t ion univers e lle :- 1 1G = 6,67 1 0 S . I .

a. Calculez rsb. Calculez ∆τ le retard de l’écho radar.c. Conclusion?4. Utilisez le principe d’Huygens pour la

propagation d’un front d’onde pour déduire de laquestion 2 la formule donnant la déviation d’unrayon lumineux rasant le Soleil, déviation due àl’attraction gravitationnelle du Soleil.

5. Application numérique.6. Conclusion?

7.4 En Mécanique quantique non relativiste, on peut,comme dans l’exercice 4.1 , associer une onde delongueur d’onde λ = h/P à une particuled’impulsion P. On ne parle plus alors de la

13 146

fréquence de l’onde.1. Montrez que ce formalisme est en accord avec

la Mécanique newtonienne pour la réfraction de latrajectoire d’une particule au passage d’unebarrière de potentiel rectiligne de profondeur U0,les vitesses pouvant être aussi grandes qu’on veut.

2. Retrouvez, en utilisant ce formalisme, avecl’indice de réfraction de l’exercice précédent, etle résultat newtonien de la déviation d’uneparticule animée de la vitesse C (exercice 1.2 ),la déviation de la lumière par un astre.

7.5 En utilisant l’indice de réfraction calculé dansl’exercice 7.3 , et la loi de la réfractionn sin i = Cte , calculez directement la déviationd’un rayon lumineux par un astre. On étudiera latrajectoire d’un tel rayon en considérant qu’il estfaiblement dévié.

7.6 On considère deux horloges H1 et H2 immobiles surl’axe des x du référentiel R à l’instant t = 0 etanimées de l’accélération constante g > 0 .L’horloge H1 est à gauche de H2. Elles sontséparées par la distance constante a.

A l’instant t du référentiel R, elles sont-immobiles dans le référentiel R animé de la vitessev = g t par rapport à R.

1. En étudiant les temps propres τ1 et τ2indiqués par ces deux horloges, vus dans R et dans-R, montrez que l’horloge H1 retarde sur l’horloge

0H2 dans le référentiel R dans lequel les deuxhorloges sont constamment immobiles (le référentiel

0R n’est pas galiléen, et a l’accélération g); etmontrez que :

τ2 - τ1 ∆τ g a--------------------------------- = ----------------- = ----------------------τ τ 2C2. En déduire, en utilisant le principe

d’équivalence, le décalage de temps propre écoulépour deux horloges immobiles dans le champ degravitation uniforme g, leur différence d’altitudeétant h.

14 147

148

Chapitre Huit

PROPRIETES DU TENSEUR D’IMPULSION-ENERGIE

1. Définition générale du tenseurd’impulsion-énergie. - Ce chapitre prend la suitedu chapitre 5 , c’est à dire que nous nous plaçonsdans l’espace-temps de la Relativité restreinte.Dans ce paragraphe, nous avons une démarcheheuristique. Nous voulons donner une imageconceptuelle simple du tenseur d’impulsion-énergiesans prétendre à la rigueur.

Nous allons donc prendre un modèle dans lequelnous considérons que l’univers est uniquementconstitué de particules évoluant dansl’espace-temps, comme la peinture d’un tableauévolue sur la toile. Ceci a déjà été supposé au§ 3 du chapitre 4 qui suivait l’idée émise au§ 5 du chapitre 1 .

Il y a les particules de matière et lesparticules de champ assurant les interactions.Lorsqu’une particule de champ assure uneinteraction, elle est dite virtuelle, mais ellepeut également être non virtuelle. Ainsi la lumièreest constituée de photons effectivement détectablesdans un photomultiplicateur. Ajoutons ici que lesparticules élémentaires de matière sont toutes despin 1/2 , c’est à dire sont des fermions; lemoment cinétique vaut 1/2 . Ces particules dematière sont constituées de trois générationscontenant chacune deux leptons : électron etneutrino électronique; muon µ et neutrino muonique;τ et neutrino tauique; et deux quarks : up et down;charm et beauty; top et bottom. Les expériencesfaites sur le L.E.P. au C.E.R.N. à genève depuis

01989 et étudiant les désintégrations du Z ontmontrées qu’il n’y a que trois générations. Lesquarks u et d sont les constituants du proton (uud)et du neutron (udd). Les particules de champ onttoutes un spin entier en unité de ; ce sont des+ - 0bosons : photon 1 ; W , W et Z 1 ; gluons 1 ; etgraviton 2 (caractère tensoriel d’ordre 2 del’interaction gravitationnelle).

Considérons, pour le raisonnement heuristique quisuit, que ces particules n’atteignent jamais lavitesse de la lumière. Considérons un certain typede particules, toutes identiques et toutes

0 0immobiles dans leur référentiel R . R existe,puisqu’elle n’ont pas la vitesse de la lumière.

0Dans R , leur densité ou nombre par unité de volume

1 149

est n . Dans le référentiel R, Le quadrivecteur0

impulsion-énergie d’une de ces particules est P ,

et U est la quadrivitesse commune de cesparticules. On appelle alors tenseurd’impulsion-énergie du type de particulesconsidérées, le tenseur :

T = n C P ⊗ U (8,1)0

Avec les composantes nous obtenons :

αβ α βT = n C P U (8,2)0

Pour connaitre le tenseur d’impulsion-énergietotal en un point donné de l’espace-temps, ilsuffit alors de sommer (8,1) pour tous les types departicules présentes. Précisons ce que nous voulonsdire : on appelle type de particule, la réunion dela donnée de l’espèce de particule (électron,

0photon, etc) avec la donnée également de n et R ,0

ce qui détermine P et U .Dans cette formulation, nous supposons bien sur

qu’il n’y a pas de particule isolée. Touteparticule fait partie d’un ensemble homogène, dansun petit volume entourant le point ou on calcule T,de particules du même type. Cela est l’hypothèseimplicite de la formulation avec une densitécontinue de charge des lois de la physique (§ 14chapitre 7).

Bien sur, il peut y avoir variation de n , P et U0

d’un point à un autre de l’espace-temps; ce quifait qu’on a en fait le champ de tenseurs T dont onpourra calculer la divergence etc. Cependant, dansla formule (8,1), on garde le même type departicules au moins dans un certain domainede l’espace-temps autour du point considéré, pourpouvoir justement calculer des dérivées donc ladivergence (n dérivable etc).

0

Supposons qu’il y ait N types différents departicules, nous obtenons pour le tenseurd’impulsion énergie total :

T = n C P ⊗ U (8,3) 0l l ll = 1,N

Avec notre démarche heuristique, le tenseurd’impulsion-énergie total au point considéré estainsi complètement obtenu, et dans tous les cas,par sommation à partir d’une formuleunique : (8,1).

2 150

2. Autre formulation pour le tenseurd’impulsion-énergie. - Considérons le cas desparticules de matière. Nous avons (4,3) :

P = m C U

D’où :

2

2

T = n m C U ⊗ U = ρ C U ⊗ U (8,4)0 0

On retrouve bien le tenseur du § 14chapitre 7 .

Considérons maintenant le cas des particulesd’interaction : une force répulsive peut êtreréalisée par des particules de masse m > 0faisant des allers et retours entre les deuxparticules se repoussant. Ainsi, deux pêcheursassis dans deux bateaux sur un lac et échangeant unballon s’éloignent progressivement l’un de l’autre(fig. 8.1).

Fig. 8.1

La formule (8,4) est donc encore applicable, ilsuffit de considérer que les bosons ont une massenon nulle.

Nous allons voir au paragraphe suivant commentmodéliser une force attractive.

3. Impulsion-énergie d’une particule de massenégative. - Nous supposons que la formule (4,3)s’applique encore avec une masse négative. Ainsiune particule de masse négative aura une impulsionopposée à sa vitesse et une énergie négative :P - m v . Considérons alors une particule demasse négative - m faisant la navette entre deuxparticules de masses positives M (fig. 8.2).

- P - v-----------------------------L J--------------------------------------------.--------------------------------L( -------------- - m2 PM * ---------------------------------------------------------------------------------------------L * Mv PJ------------------------------------.---------------------------------------------L

- m

F i g . 8 . 2

3 151

Lorsque la particule de masse - m arrive sur laparticule de gauche, elle repart vers la droitetandis que son impulsion passe de + P à - P . Laparticule de masse M prend l’impulsion 2 P et,comme sa masse est positive, elle part vers ladroite, ce qui correspond à un effet d’attraction.

4. Tenseur d’impulsion-énergie le plus général. -La formule (8,4) pourra donc encore s’appliquer.Compte tenu de (8,3), avec notre modèleheuristique, nous obtenons pour le tenseurd’impulsion-énergie au point considéré :

2

T = n m C U ⊗ U (8,5) 0l l l ll = 1,N

2

T = ρ C U ⊗ U (8,6) 0l l ll = 1,N

Rappellons que l’on considère un petit volumeautour du point considéré dans lequel on supposeque tous les types de particules présentes ont unedistribution homogène. Bien sur, autour d’un autrepoint, les distributions seront différentes, lestypes de particules présentes pourront êtreégalement différents, et le tenseurd’impulsion-énergie prendra une autre valeur.

5. Propriétés du tenseur d’impulsion-énergie. -On voit tout de suite sur la forme faisant

intervenir deux fois U que T est un tenseurlsymétrique.

Considérons maintenant un volume fini de l’espacedélimité par une surface S. Dans la suite, nousemploierons parfois le mot impulsion pourimpulsion-énergie ou quatre-impulsion, de façon àêtre plus bref. Lors des interactionslocales ponctuelles entre particules de matière etparticules de champs de forces dans le domaineconsidéré, l’impulsion totale reste constante. Ilen est ainsi même si lors de ces interactions il ya création ou annihilation de particules. Nousavons une suite de "chocs" entre deux particuleslaissant constante cette impulsion. Ces chocssont une suite d’évènements individuels successifset conservant chacun séparément l’impulsion.L’impulsion totale ne peut donc varier que lors del’arrivée ou de la sortie d’une particule dudomaine par traversée de la frontière. Nous pouvonsfaire un bilan pour chaque composante del’impulsion.

4 152

Dans le référentiel où les particules l sontanimées de la vitesse v leur nombre dans le volumeldV est :

n dV0 l------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2√ 1 - v / Cl

Le dénominateur est dû à la contraction deslongueurs. L’impulsion totale est donc égale à :

⌠⌠⌠ n 0 l -------------------------------------------------------------- P dV ------------------------------------------------ l 2 2 ⌡⌡⌡ √ 1 - v / C l lV

emLa α composante de l’impulsion vaut :

⌠⌠⌠ n 0 l α -------------------------------------------------------------- P dV ------------------------------------------------ l 2 2 ⌡⌡⌡ √ 1 - v / C l lV

Les particules qui entrent ou sortent en uneseconde sont à la distance v .dS /

dS de lal αsurface. Chacune transporte l’impulsion P . D’oùl

la variation d’impulsion en une seconde :

α⌠ n P ⌠ 0l l α ------------------------------------------------------------------ v dS = n P C U dS ---------------------------------------------------- l 0l l l⌡ 2 2 ⌡S √ 1 - v / C Sl l l

Le dénominateur dans le premier membre vientencore de la contraction des longueurs dans leréférentiel où les particules l ont la vitesse v .l

α⌠⌠⌠ n P ⌠∂ 0l l α-------- ---------------------------------------------------------------- dV = - n P C U dS∂t -------------------------------------------------- 0l l l⌡⌡⌡ 2 2 ⌡V √ 1 - v / C Sl l l

α ⌠⌠⌠ n P ∂ 0l l α -------- ---------------------------------------------------------------- + div n P C U dV =0∂t -------------------------------------------------- 0l l l ⌡⌡⌡ 2 2 V √ 1 - v / C l l l

5 153

n0 l 0Or : -------------------------------------------------------------- = n U------------------------------------------------ 0l l

2 2√ 1 - v / Cl

j1 ∂ α 0 ∂ α ----------------- -------- n P U + ------------- n P U = 0C ∂t 0l l l j 0l l l ∂xl l

αβ∂TCe qui s’écrit : ------------------------------ = 0 (8,7)β∂x

αβ βL’expression ∂T /∂x s’appelle laquatre-divergence (ou divergence) du tenseurd’impulsion-énergie. Nous dirons donc que laquatre-divergence du tenseur d’impulsion-énergieest nulle. Nous avons une équation qui traduit laconservation de l’impulsion-énergie totale lors deschocs entre particules de matière et particules dechamp, ou entre particules de champ, aveccréation ou annihilation possible de particules.

Abandonnons maintenant la méthode heuristiqueprécédente. Nous nous servirons de l’équation (8,7)pour découvrir l’expression mathématique du tenseurd’impulsion-énergie d’un champ par exemple.Considérons ainsi un ensemble de particuleschargées en interaction électromagnétique. Nousconnaissons l’expression rigoureuse du tenseurd’impulsion énergie des particules de matière Tm. Acause de l’interaction électromagnétique entre cesαβ∂T mparticules chargées, nous n’avons plus ------------------------- = 0.β∂x

Si nous arrivons, avec une formule relativementsimple, à construire un tenseur fonction des champs

électromagnétiques E et B tel que :

αβ αβ∂T m ∂T c h------------------------- + ------------------------- = 0β β∂x ∂x

nous considérerons que nous avons trouvé le tenseurdu champ électromagnétique Tch. Ceci sera fait au§ 22 .

La conservation de la charge électrique qui estun scalaire s’exprime par l’annulation de laα αdivergence d’un quadrivecteur ∂j /∂x = 0 . Ceαquadrivecteur j est la source de l’interactionélectromagnétique dans la formulation continue. Demême, la conservation de l’impulsion-énergie quiest un quadrivecteur, s’exprime par l’annulation dela divergence d’un tenseur d’ordre deuxαβ β αβ∂T /∂x = 0 . Ce tenseur T est la source del’interaction gravitationnelle dans la formulation

6 154

continue. Ainsi l’équation de conservation faitintervenir la divergence d’un tenseur d’ordre n+1si la quantité conservée est un tenseur d’ordre n.

6. Interprétation des différentes composantes dutenseur d’impulsion-énergie. - Considérons un seultype de particules. Le cas général ne posera pas deproblème nouveau, étant obtenu comme réunion dedifférents types de particules.

2ρ C00 2 0 0 0T = n m C U U = ------------------------------------------------------------- (8,8)

0 2 21 - v / C

C’est la densité d’énergie totale, énergie demasse et énergie cinétique. Par rapport à ρ , il y

0-------------------------------------------2 2a un facteur 1/√ 1 - v / C dû à la contraction des

longueurs, et un deuxième dû à la variation del’énergie avec la vitesse (§ 14 chapitre 6).

2 iρ C v0i 2 0 i 1 0T = ρ C U U = ----------------- -------------------------------------------------- (8,9)

0 C 2 21 - v / C

iρ C v0i 0T = -------------------------------------------------- (8,10)

2 21 - v / C

Le premier terme de (8,9) donne la densitéid’énergie totale. Avec le produit par v , onobtient le flux à travers la surface unitéix = Cte . On a le flux d’énergie à travers laisurface x = Cte , divisé par C.

ρ 0 i----------------------------------------------------------- v --------------------------------------------- 2 2 i √ 1 - v / C ρ vi0 2 i 0T = ρ C U U = C -------------------------------------------------------------------------------------- = C ----------------------------------------------------------- (8,11)

0 ------------------------------------------------ ---------------------------------------------2 2 2 2√ 1 - v / C √ 1 - v / C

ρ est la densité de masse apparente compte tenude l’augmentation du nombre de particules par unitéde volume à cause de la contraction des longueurs

em( § 14 , chapitre 6 ). On a la i composante de ladensité d’impulsion multipliée par C.

7 155

ρ 0 i----------------------------------------------------------- v --------------------------------------------- 2 2 √ 1 - v / C ij 2 i j jT = ρ C U U = --------------------------------------------------------------------------------------------------- v (8,12)

0 ------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

jLe terme à gauche de v est égal, comme nouseml’avons vu ci-dessus à la i composante de la

densité d’impulsion dans le référentiel considéré.jEn multipliant par v , on obtient le flux à traversj emla surface unité x = Cte de la i composantede l’impulsion.

i jρ v vij 0T = ------------------------------------------------ (8,13)2 21 - v / C

Toutes les composantes du tenseurd’impulsion-énergie sont bien homogènes entre elleset homogènes au produit d’une masse volumique parle carré d’une vitesse, comme c’est visible sur lesformules ci-dessus.

7. Lien avec le tenseur des contraintes enélasticité. - En théorie de l’élasticité, onconsidère un corps composé d’atomes ou de moléculesdont la cohésion interne est assurée par les forcesagissant entre ces atomes ou molécules. Unedéformation du corps fait varier ces forces, enfaisant varier les distances des molécules entreelles. Ces forces sont appelées contraintesinternes. Elles ont un rayon d’action infime.

Il en résulte que les forces avec lesquelles unepartie quelconque d’un corps est sollicitée par lesparties contigües ne peuvent agir que directementau travers de la surface de contact. Ces forcescorrespondent au flux de particules d’interaction,le photon en fait, car les forces intermoléculairessont d’origine électromagnétique.

Ces photons ont un parcourt de longueur : ladistance entre deux molécules environ, entre deuxinteractions.

Le mot tenseur vient justement de la théorie del’élasticité, les contraintes font intervenir eneffet des tensions ou compressions suivant que lapression est négative ou positive.

8 156

1 1 1 1 1 j 1 S1 1 -----------------------------------------L1 11 11 1I 1 11 x 1 1 1 21 i 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

jok,---------------------------------------------------Lxj

F i g. 8.3

jSoit un petit élément de surface unité Sj(fig. 8.3) correspondant à x = Cte , doncjperpendiculaire à l’axe x . Il sépare le milieuj j(1) : ( x < Cte ) du milieu (2) : ( x > Cte ). Laforce F que subit le milieu (2) de la part dujmilieu (1) sur la surface S est égale au fluxjd’impulsion de (1) vers (2) à travers S . Lai emcomposante F est égale au flux de la icomposante de l’impulsion à travers la surfacejorientée S ( § 4 , chapitre 4 , en particulier,équation (4,13)).

i ij ijOn a : F j = σ = T (8,14)(S )

jNous noterons S avec l’indice en haut pourrappeler qu’une surface correspond plutôt à uneforme linéaire, donnant 0 pour tout vecteur contenudans cette surface; et ici surface unité voudrajdire alors que la forme linéaire S donne 1 pour levecteur unité perpendiculaire à cette surface.ii ii i iEn particulier F = σ = p ; p est lapression ressentie sur une surface perpendiculaireià x = Cte . La pression est en effet la forcesubie par une surface unité, perpendiculairement àcelle-ci.

Pour calculer la force de pression appliquée parjle milieu (1) sur le milieu (2) à travers S àpartir du tenseur d’impulsion-énergie, il fautjorienter x la normale à S de (1) vers (2). Enj jjeffet, T > 0 correspond à une pressionpositive. On a bien une force positive appliquéepar le milieu (1) sur le milieu (2) dirigée de (1)j jjvers (2) : F j = T > 0 .(S )

Cela correspond à des particules entrantes dansle milieu (2) ayant une impulsion positive (dirigéevers (2)) ou à des particules sortantes de (2)ayant une impulsion négative (dirigée vers (1)).Cela correspond bien à une impulsion de même sens

9 157

que la vitesse donc à une masse positive.Ainsi à des particules de masses positives

faisant des allers et retours le long de l’axe desj jjx par exemple, doit correspondre T > 0 . Celaest bien ce que donne la formule (8,4).

Ces particules de masses positives faisantl’aller et retour de (1) vers (2) repoussent lemilieu (2) (voir § 2 ).

Envisageons maintenant une tension ou pressionnégative. Le milieu (1) tire le milieu (2) àjtravers S , et avec l’orientation choisie de x onjj jja bien : F j = T < 0 . Cela correspond à des(S )particules entrantes dans le milieu (2) ayant uneimpulsion négative et à des particules sortantesayant une impulsion positive; donc cela correspondà des particules de masses négatives. Or la formulejj(8,4) donne bien T < 0 pour m < 0 . Cesparticules de masses négatives venant du milieu (1)et y retournant attire le milieu (2) vers le milieu(1) (voir § 3 ).

Ainsi il y a accord entre la valeur algébrique dela force (répulsion, attraction), le type departicules intervenant (masses positives ounégatives), et la valeur algébrique des termes depression du tenseur d’impulsion-énergie.

En ce qui concerne une force transversale : uneforce appliquée par (1) sur (2) vers le hauti( x > 0 sur le dessin) correspond à desparticules entrantes ayant une impulsion dirigéevers le haut, soit qu’on ait affaire à desparticules de masses positives montantes, ou à desparticules de masses négatives descendantes. Enutilisant (8,13) :

j iv > 0 ρ > 0 avec v > 0

iou ρ < 0 avec v < 0

ij iet T = F j > 0(S )

ou encore, pour des particules sortantes :

j iv < 0 ρ > 0 avec v < 0

iou ρ < 0 avec v > 0

ij iet T = F j > 0(S )

Il est facile de trouver les différents casijdonnant T < 0 .

10 158

Dans ce cas de force transversale, il n’y a doncpas de problème de convention pour l’orientation dex ; mais il faut toujours que x soit orienté dei j(1) vers (2) pour calculer la force appliquée par(1) sur (2).

En conclusion : étant donné le tenseurd’impulsion-énergie d’un système, nous devonsséparer les contributions des particules (dematière ou de champ) de libre parcours moyen avantinteraction infime. Les composantes spatiales de lapartie correspondante du tenseurd’impulsion-énergie constituent le tenseur desijcontraintes (σ ) de la théorie de l’élasticité.

Les trois composantes diagonales sont égales à lacomposante de la force (pour l’unité de surface)perpendiculaire à la surface considérée. Elles sontégales aux valeurs de la pression pour les troissurfaces perpendiculaires aux axes de coordonnées.

Il va de soi que l’on peut toujours appelerpression les composantes diagonales de la partiespatiale du tenseur d’impulsion-énergie total (danslequel nous avons également les particules de grandlibre parcourt moyen). Il s’agit alors d’unepression généralisée. Ainsi : dans le référentieloù la barre défile à la vitesse v (§ 11chapitre 4 ), le tenseur d’impulsion-énergiecontient une composante de pression pour unesurface parallèle à l’axe des x, bien que lasituation soit différente de la pression dans ungaz homogène et isotrope par exemple.

8. Description des forces à distance en liaisonavec la théorie de l’élasticité. - Soient deuxparticules A et B interagissant par une force àdistance. On peut remplacer cette force à distancepar une barre rectiligne infiniment mince reliantles deux particules et qui est comprimée oudistendue selon que la force est répulsive ouattractive. La barre peut également transmettre uneforce non parallèle à elle.

Cette barre est sensée traverser les autresparties du solide sans aucune interaction. Elle ne"voit" pas les autres parties du solide, elle n’estelle même pas "vue" d’après le principe de l’actionet de la réaction. Elle leur est impalpable. Uneparticule neutre ne voit pas l’interactionélectromagnétique qui pour elle n’existe pas. Demême, les leptons sont insensibles à l’interactionforte. Deux matières obéissant uniquement à deuxinteractions différentes peuvent doncs’interpénétrer sans se voir, comme on peutpénétrer un fantôme (fig. 8.4).

11 159

Force intérieure à d i s t anceB

AForce e x térieure à distance

Fig. 8.4

L’expérience de pensée précédente est doncpossible compte tenu des lois de la physique, cequi doit être vrai pour toute expérience de pensée.Le tenseur d’impulsion-énergie correspondant àcette force à distance peut être différent dutenseur d’impulsion-énergie de cette barre fictive,Il en est ainsi du tenseur d’impulsion-énergie duchamp électromagnétique entre deux particuleschargées. Dans ce cas le tenseur du champ occupe eneffet tout l’espace, comme nous le verrons.Cependant la barre fictive réalise une force àdistance avec un tenseur d’impulsion-énergiecorrespondant possible et non contradictoire aveccette force. Elle a le mérite de donner un modèleintuitif de cette force avec le tenseurd’impulsion-énergie correspondant.

Le tenseur des contraintes classique du solide,ne prend pas en compte le tenseur des contraintesde ces barres.

Cependant, avec le modèle de la barre, toutes lesforces, de contact et à distances, peuvent êtretraitées avec un tenseur des contraintes de lathéorie de l’élasticité. On peut à loisir retrouverle tenseur des contraintes usuel en ne tenant pluscompte de ceux des barres. Même le vrai tenseurd’impulsion-énergie de forces à distances, commeles forces électromagnétiques, peut être imaginécomme celui d’un solide déformable remplissantl’espace, ne "voyant" que les particules chargéesentre lesquelles les forces à distances agissent,et étant "fantomatique" pour les autres objets.

9. Condition de l’équilibre d’un solide. -Considérons un solide immobile non soumis à desforces à distance. La partie spatiale du tenseurd’impulsion-énergie se réduit donc au tenseur descontraintes.

αβ i β i0 ij∂T ∂T 1 ∂T ∂T------------------------- = 0 donne : ------------------ = 0 soit : ----------------- --------------- + --------------- = Oβ β C j∂x ∂x ∂ t ∂x

12 160

i0 ij1 ∂T ∂σ----------------- ------------------- + ----------------- = 0C j∂ t ∂x

i0∂TSi le corps est en équilibre : ------------------- = 0 ;∂ t

Les équations d’équilibre d’un corps déformés’écrivent donc :

ij∂σ----------------- = 0 (8,15)j∂x

0β βIl reste à écrire ∂T /∂x = 0 soit :

00 0j1 ∂T ∂T----------------- ---------------- + ------------------- = 0C ∂ t j∂x

00∂T ∂ 0j ---------------- = - ------------- C T (8,16)∂ t j ∂x

Compte tenu de (8,8), (8,9), on voit que lavitesse de variation de la densité d’énergie estopposée au gradient du flux d’énergie; c’est à direqu’on retrouve l’expression locale de la loi dela conservation de l’énergie.

10. Valeur moyenne du tenseurd’énergie-impulsion. - Considérons un corps isolé,et supposons que son tenseur d’impulsion-énergiesoit constant. Il vient donc (Nous gardons laij ijnotation T sans utiliser σ ) :

ij∂T------------------ = 0j∂x

Soit un volume V délimité par la surface S etenglobant le corps :

⌠⌠⌠ ij ⌠⌠⌠∂T k ∂ ij k ------------------ x dV = ------------- T x dVj j ⌡⌡⌡ ∂x ⌡⌡⌡ ∂xV V

⌠⌠⌠ k ⌠ij ∂x ij k- T --------------- dV = T x dSj⌡⌡⌡ ∂x ⌡V S

13 161

⌠⌠⌠ ik- T dV = 0⌡⌡⌡V

L’intégrale de surface est nulle. Cela supposeque le corps n’est soumis à aucune force venant del’extérieur, que ce soit une force de contact ouune force à distance (§ 8). Il vient :

⌠⌠⌠ ---------------ik ik T dV = V T = 0⌡⌡⌡V

La valeur moyenne des composantes spatiales dutenseur d’énergie-impulsion est donc nulle.

Dans le référentiel où l’impulsion totale estnulle :

⌠⌠⌠1 i0----------------- T dVCi ⌡⌡⌡ --------------P V 1 i00 = ---------------- = ------------------------------------------------------------------------------ = ----------------- TCV V

------- E 0 0 0 ----------------- 0 0 0 0 Ainsi : T = (8,17) 0 0 0 0

0 0 0 0

Penons l’exemple d’un ballon gonflé. Le gaz àl’intérieur est soumis à une pression positive,tandis que la membrane du ballon, qui est tendue, aun tenseur des contraintes ayant des composantes depression négatives. La valeur moyenne sur tout lecorps de ces composantes est nulle. La tension dela membrane compense exactement la pressionpositive du gaz à l’intérieur. Ceci, qui estéquivalent à (8,15) n’est rien d’autre que leprincipe de l’action et de la réaction (1,5); quicorrespond à la loi de la conservation del’impulsion (1,2).

Ainsi, bien que toutes les composantes du tenseurd’impulsion-énergie aient une actiongravitationnelle, pour un corps isolé, vu d’unecertaine distance, seul le terme de masse-énergiesemble agir. Cela justifie que dans l’expressionclassique de la loi de la gravitation universelle,

0 0un seul terme scalaire : T identifié à mi = mgintervienne. Ceci quelle que soit la structureinterne de l’objet, qui peut à priori êtrehautement relativiste, comme pour le proton par

14 162

exemple contenant des quarks et gluonsrelativistes.

Dans le cas où le tenseur d’impulsion-énergien’est pas constant, la démonstration précédente estencore valable si ce tenseur évolue périodiquementdans le temps. Il faut dans ce cas remplacer lesgrandeurs par leur valeur moyenne sur une période.Remarquons que les opérations de moyenne sur letemps et l’espace sont permutables. On peut doncfaire la valeur moyenne dans le temps sur unepériode avant ou après avoir fait la valeur moyennesur l’espace dans l’équation (8,15) par exemple.

11. La boîte aux deux photons. - Considérons denouveau, dans une expérience de pensée une boitede volume V aux parois parfaitement réfléchissantesdans laquelle deux photons font l’aller et retouravec une vitesse parallèle à un des côtés de laboite de longueur l, et en ayant toujours unevitesse opposée. Soit p la pression exercée sur lesparois de la boite. Pour un photon :

------F ------ ∆P 2 l 2 h νp = ---------------- ; F = ------------- ; ∆t = --------------- ; ∆P = 2 P = ----------------------------S ∆ t C C

------ 2 h ν C h ν h ν xxF = ---------------------------- --------------- = -------------- ; p = ------------------- = TC 2 l l V

00 E h νT = ------------------ = -------------------V V

Nous remplaçons l’axe des y de la figure 4.2 parl’axe des x.

Pour les deux photons :

2hν / V 0 0 0 0 2hν / V 0 0 T = (8,18) 0 0 0 0 0 0 0 0

Il y a donc deux termes qui agissentgravitationnellement : un terme qui correspond à la

00densité d’énergie T et un autre à la pressionxxT . Or en Relativité restreinte, la masse inertede cette boite ne fait intervenir que l’énergie desdeux photons, et pas du tout la pression. On enarrive à la conclusion que mi ≠ mg . Il y acontradiction avec le principe d’équivalence. Pourillustrer la contradiction, supposons que les deuxphotons se matérialisent brutalement en un électronet un positron immobiles. Le terme de pressiondisparait, tandis que le terme d’énergie garde lamême valeur. La masse gravitationnelle vue del’extérieur doit changer, tandis que la masseinerte ne change pas.

15 163

La contradiction vient du fait que dans notreexpérience de pensée, nous avons négligé le rôle dela boîte qui est pourtant essentiel puisque c’estelle qui maintient les deux photons localisés. Lesparois de la boîte sont tendues, ce qui correspondà une pression négative, ceci à cause de lapression exercée par les deux photons.

----------------- -----------------xx xxT + T = 0p hotons b o îte

Vue de loin, l’action gravitationnelle de laboîte compense exactement celle due au terme depression des photons, et on retrouve ce qui a étédit au § 10 . Si, comme nous verrons que c’est lecas, une pression positive cause une attraction,une pression négative doit avoir un effet répulsif,pour que les deux actions puissent s’annuler.Lorsque les deux photons se matérialisent en unélectron et un positron, le terme de pression desphotons disparait ainsi que le terme de tension dela boîte.

Remarquons sur la forme (8,18) que :

α 2 h ν 2 h νT = ----------------------------- - ----------------------------- = 0α V V

La trace du tenseur d’impulsion-énergie estnulle.

Nous verrons que c’est une propriété générale dutenseur d’impulsion-énergie du champélectromagnétique ( § 14 et § 22 ).

On voit là encore, comme au § 4 et au § 12 duchapitre 6 , apparaitre en Relativité générale destermes négatifs pouvant avoir un effet répulsif. Cephénomène sera étudié plus longuement auchapitre 19 . Il est intéressant de remarquer quedu point de vue de l’inertie, seuls les photonsinterviennent ( § 3 chapitre 4 ); alors que dupoint de vue de l’action gravitationnelle, lesphotons et la boîte agissent. Il y a un partage desrôles qui est possible compte tenu de l’interactionconstante de la boîte avec les photons.

12. Tenseur d’impulsion-énergie d’un fluideparfait au repos. - L’équation (8,5) donne avec lescomposantes :

αβ 2 α βT = n m C U U (8,19) 0l l l ll = 1,N

Si le fluide est macroscopiquement au repos dans0le référentiel R , dans ce référentiel les vitessesm

des particules de matière sont celles liées àl’agitation thermique. Les composantes d’espace des

16 164

quadrivitesses sont alors totalement décorellées.Il en est ainsi également pour ce qui concerne lesparticules d’interaction. Il vient donc, pour les

0composantes dans R :m

i j 2 i jT = n m C U U = 0 0l l l li ≠j l

Cette relation est tout à fait générale. Lefluide considéré peut être le gaz de photons durayonnement thermique dans une cavité (voir § 14).

Cette hypothèse correspond à l’isotropiemicroscopique (positions et vitesses des molécules)parfaite du fluide autour de chaque point et àchaque instant; et un fluide pour lequel cettehypothèse est vérifiée est appelé un fluideparfait. Pour que cette isotropie microscopiqueautour de chaque point puisse avoir lieu lorsqueles différentes parties macroscopiques du fluidesont animées de mouvements différents, il faut quela viscosité soit nulle. Si le fluide est au repos,cela n’est pas nécessaire.

Considérant macroscopiquement le fluide comme00immobile, la densité d’énergie T est égale à

2ρ C ; ρ étant la masse volumique macroscopique du0fluide dans le référentiel R où il estm

macroscopiquement au repos. Notons que ρ a une partdue à l’énergie cinétique des particules, et c’estpourquoi nous ne le notons pas ρ qui correspondait

0à un seul type de particules immobiles les unes parrapport au autres dans un petit volume entourant lepoint considéré.

Ainsi le gaz de photons considéré a une massevolumique non nulle (voir ci-dessus la boîte auxdeux photons § 3 chapitre 4 ); de même la massevolumique du proton est supérieure au quotient dela masse des trois quarks et des gluons par levolume qu’ils occupent, les quarks étantrelativistes.

D’autre part, par raison de symétrie, aucunedirection n’étant privilégiée :

11 22 33T = T = T = p (voir § 7); et la densitéi0 0d’impulsion T est nulle. On obtient dans R :m

17 165

2 ρ C 0 0 0 0 p 0 0 αβ T = (8,20) 0 0 p 0 0 0 0 p

13. Formulation indépendante du système decoordonnées du tenseur d’impulsion-énergie d’unfluide parfait au repos. - Considérons le tenseur :

2

T = ρ C + p U ⊗ U - p η (8,21)

Voir ( § 5 , chapitre 5 ) pour η . U est la0quadrivitesse du référentiel R par rapport aum

référentiel du laboratoire, c’est à dire laquadrivitesse macroscopique du fluide. Il s’agitdonc du mouvement d’ensemble du fluide qui reste aurepos dans son référentiel. C’est à dire que tousles points du fluide ont la même vitesse.

Les composantes s’écrivent :

αβ 2 α β αβT = ρ C + p U U - p η (8,22)

0Dans le référentiel R on obtient :m

00 2 2T = ρ C + p - p = ρ C

ii i jT = p ; T = 0i ≠j

c’est à dire la formulation (8,20).D’après le § 4 du chapitre 5 , T est le tenseur

d’impulsion-énergie du fluide.

On voit avec l’expression (8,21) du tenseurd’impulsion-énergie, qu’on retrouve l’expression(8,4) pour un seul type de particules, quandp = 0 . Un seul type de particules veut dire qu’iln’y a aucun mouvement aléatoire à l’intérieur dufluide, qui s’ajouterait au mouvement d’ensemble de

0 0quadrivitesse U, c’est à dire que R = R .m

Ainsi la pression est bien due à ces mouvementsaléatoires de particules de matière ou de champ,assurant un débit d’impulsion interne permanentdans le référentiel de repos macroscopique du

0fluide R . Nous le voyons d’ailleurs sur l’étudem

18 166

statistique que nous avons fait de l’expression(8,19).

Prenons l’exemple du fluide constitué parl’ensemble des galaxies de l’univers. Si lesgalaxies ont un mouvement aléatoire les unes parrapport aux autres, il lui correspond une pressionde ce fluide. Tel est le cas, la galaxied’Andromède par exemple se rapprochant de la notreà la vitesse de 50 km/s .

Cette pression qui est à l’origine d’un effetgravitationnel sera cependant considérée commenégligeable en cosmologie.

Dans le cas des barres massiques ( § 14chapitre 7 ) nous avons supposé que la pressionétait nulle et T avait bien l’expression (8,4).

14. Trace du tenseur d’impulsion-énergie. -L’équation (8,19) donne :

α 2 αT = n m C U Uα 0l l l lαl

2 α(4,5) donne U = U U = 1 .α

Donc :

α 2T = n m C (8,23)α 0l ll

Dans le cas d’un fluide au repos nous obtenons :

2 2n m C = ρ C - 3 p (8,24) 0l ll

Considérons un ensemble quelconque de photonsréels.

Nous obtenons ce cas avec la limite m = 0 ;l0ch ϕ = U = +∞ ; m ch ϕ ayant une limite finie

(cf § 3 chapitre 4 ). (8,23) donne alorsαT = 0 . La trace du tenseur impulsion-énergieαd’un ensemble quelconque de photons réels estnulle. Nous retrouverons cela au § 22 .

Considérons maintenant un gaz homogène etisotrope de photons. L’expression (8,20) estvalable, donc (8,24) s’applique alors et :

2ρ C up = ------------------ = --------------- (8,25)3 3

u étant la densité volumique d’énergie; dans le cas00présent u = T .

19 167

Il ne faut pas voir de contradiction dans le faitque nous prenons ici une masse nulle pour lesphotons dans l’expression du tenseurd’impulsion-énergie; alors qu’au § 3 nous avonsconsidéré que dans le cas où les photons virtuelsont un rôle attractif ils ont une masse négative(et une masse positive dans le cas répulsif). Iciles photons sont réels et ont une masse nulle. Parcontre les photons virtuels assurant uneinteraction peuvent être considérés comme ayant unemasse non nulle. Cela est souvent utilisé dans lescalculs de Mécanique quantique relativiste. Nous neconsidérons pas pour autant les photons virtuelscomme moins réels que ceux que nous appelons réels!

Nous retrouverons au § 22 que tout ensemble dephotons ne constituant pas forcément un fluide aurepos, a un tenseur d’impulsion-énergie de tracenulle. Voir également à ce sujet le § 11 .

Considérons maintenant un gaz parfait newtonien :les molécules sont sans interaction entre deuxchocs, et ont une vitesse faible devant celle de lalumière. Dans le cas limite de chocs ponctuels, letenseur d’impulsion-énergie des particulesd’interaction est nul. Il reste uniquement celuides molécules. Il vient :

2n m C00 2 0 0 0l lT = n m C U U = ------------------------------------------------------ 0l l l l 2 21 - v / Cl ll

D’ailleurs :

00 n mT 0 l l---------------- = ρ = -------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------2 ------------------------------------------------ -------------------------------------------------------C 2 2 2 2√ 1 - v / C √ 1 - v / Cl l lm--------------------------------------------------------------. m---------------------------------------------------------------------.

c o n t r a c t i o n de s a u gm e n t a t i on d e lal o n g u e u r s m a s s e a p p a r en t e

a v e c l a v i t e s s e

2v v l 00 2 l--------------- µ 1 ⇒ T n m C 1 + ---------------- (8,26)C 0l l 2 C l

(8,23) et (8,20) donnent :2 v 2 2 ln m C = n m C 1 + ---------------- - 3 p 0l l 0l l 2 C l l

1 169

Nous retrouvons le résultat connu que la pressionest égale au tiers de la densité d’énergie.

168

20 = n m v - 3 p 0l l ll

La densité d’énergie newtonienne du gaz parfaitest la densité d’énergie cinétique newtonienne :

1 2 u = n --------------- m v (8,27) 0l 2 l l l

Ici nous ne tenons plus compte des effets decontraction des longueurs et d’augmentation de lamasse apparente avec la vitesse qui dans (8,24)serait des infiniments petits d’ordre supérieur. Ilvient :

0 = 2 u - 3 p

2 up = --------------- (8,28)3

résultat classique de la théorie cinétique des gaz.On voit ici la puissance du formalisme utilisé quipermet de retrouver d’un seul coup ces formulesobtenues plus laborieusement dans les cours usuels.

15. Equation d’Euler d’un fluide parfaitrelativiste. - L’équation d’Euler d’un fluidetraduit la loi fondamentale de la dynamique (1,4)équivalente à (1,2) également équivalente à (8,7).Montrons donc qu’on la retrouve à l’aide de (8,7)en utilisant l’expression (8,22) du tenseurd’impulsion-énergie.

Remarquons tout d’abord que dans un fluideparfait (dépourvu de viscosité), un petit élément

0du fluide est, dans le référentiel R quim

l’accompagne dans son mouvement, un fluide au repospour lequel (8,21) est vraie. L’expression (8,21)du tenseur d’impulsion-énergie est donc vraie pourun fluide parfait.

Remarquons que l’écriture de (8,7) suppose quetoutes les forces sont prises en compte dans letenseur d’impulsion-énergie (voir § 5 et § 8 dece chapitre). L’équation d’Euler suppose donc quele fluide n’est pas soumis à un champ de forcesvolumiques qui ne serait pas prit en compte dansl’expression (8,21) du tenseur d’impulsion-énergie.Ainsi les forces au sein du fluide contribuenttoutes à la valeur de la pression p. Ecrivons donciβ β∂T /∂x = 0 .

Nous calculons cette expression dans le0 iréférentiel R où U = 0 .m

2 169

2 β∂(ρ C + p) ∂U------------------------------------------------------ et ------------- n’apparaissent pas du fait deβ β∂x ∂ xila nullité de U .

i 2 β ∂U ∂p iβρ C + p U ------------------- - ---------------- η = 0 β β∂ x ∂x

β βabaissons l’indice i : η = δ .i i

∂U 2 β i ∂pρ C + p U ------------------- - ------------- = 0 β i∂ x ∂x

Pour un fluide dont la vitesse d’écoulement estfaible devant C, on obtient :

0 iU 1 ; U = - Ui

i iv = C UOn obtient :

i i∂v j ∂v 1 ∂p---------- + v ------------- = - ------------------------------------------------ -------------∂ t j p i∂x ρ + ---------------- ∂x2C

Il y a tout de même une différence avecl’équation d’Euler newtonienne, c’est la

2présence du terme ρ + p/C au lieu de ρ. Nousallons interpréter ce terme surprenant auparagraphe suivant.

∂v dv ∇ pPour v = 0 : ---------- = ---------- = - --------------------------------------------------∂ t dt pρ + ----------------2C

16. Interprétation de "l’inertie" de la pression.- Prenons un fluide au repos. L’équation d’Eulers’écrit :

p dv- ∇p = ρ + ---------------- ---------- 2 d tC

∆p p dv- ------------ = ρ + ---------------- ----------∆ l 2 dtC

3 170

F - F2 1 F- ∆p = p - p = ------------------------------------ = ---------------- (fig. 8.5).

2 1 S S

x------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L

q====================================================================================================================================e2 p 2 p2 2 2 1S 2 2F 2 F2 2 12--------------------------------------L 2------------------------------------------------L22 2z====================================================================================================================================cJ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L

∆l

F ig. 8.5

avec V = S ∆l on obtient :

p F = ρ + ---------------- V γ (8,30) 2 C

à identifier avec F = m γ ⇒2m = (ρ + p/C ) V .

2D’où une densité de masse inerte apparente p/Cen plus de ρ. La pression ajoute t’elle à l’inertied’un corps? Dans ce cas, le calcul fait au § 3 duchapitre 4 est faux. Il aurait fallu tenir comptede l’inertie due à la pression des photons et del’inertie négative due à la pression négative de laboîte.

Pourtant le calcul fait au § 3 du chapitre 4est parfaitement correct. En Relativité restreinte,l’inertie est décrite par le quadrivecteurimpulsion-énergie. Dans le cas de la boîte, seulles deux photons ont un quadrivecteurimpulsion-énergie total non nul. On peut d’ailleurslaisser les photons libres et enlever la boîte.L’inertie de l’ensemble des deux photons est biendécrite par leur quadrivecteur impulsion-énergieseul qui est équivalent à celui d’une particule

2unique de masse m = 2 h ν / C immobile, sansfaire intervenir la pression.

La solution à ce paradoxe est dans le choixdifférent dans les deux cas du référentiel. Toutd’abord, dans l’exemple du § 3 chapitre 4 ,l’accélération et la pression sont mesurées enutilisant le temps unique d’un référentielgaliléen. Nous allons voir que ce n’est pas le caslorsque l’on considère que la pression a uneinertie.

Utilisons le principe d’équivalence etconsidérons un fluide au repos dans le champ degravité g. L’équation d’Euler s’applique avec∂v/∂t = - g . Il vient :

4 171

p ∇p = ρ + ---------------- g (8,31) 2 C

qui est l’équation de l’hydrostatique enrelativité. Le terme ρ g est lié au fait que lesparticules du fluide sont sensibles à l’interactiongravitationnelle dans l’espace qu’elles occupent etde ce fait, pressent plus fort en bas qu’en haut.Supposons que nous ayons un fluide constitué departicules pouvant transporter de l’impulsion (d’oùune pression) et totalement insensibles à lagravitation. Cela n’est pas impossible car dansl’expérience de la boîte aux deux photons, la boîteavait une tension (pression négative) et une massenulle, donc ρ = 0 . Nous obtenons dans ce cas :

p∇p = ---------------- g (8,32)2C

Examinons deux tranches horizontales du fluide desurface S séparées par la hauteur ∆l (fig. 8.6).

p Shj-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l tI h11 1 I 1 2 1 1 2 1 1 2 g 1 1 ∆l 2 1 2 J------------- 1 1 < 1 1 < 11p 1b <j-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l tb

Fi g . 8.6

Chaque particule transporte toujours la mêmeimpulsion; en effet une particule ne transporte pasune impulsion différente en haut et en bas, du faitqu’elle est insensible à la gravitation. Comment sefait-il alors que le flux d’impulsion soitsupérieur en bas?

Puisque toutes les particules transportent lamême impulsion, la pression c’est à dire le fluxd’impulsion est proportionnelle au débit departicules franchissant la surface. Ce débit est lequotient du nombre N de particules traversant lasurface par la durée t considérée : p = k N / t .Mais le point crucial est que cette durée estmesurée avec des horloges étalons locales. Si cettedurée est t en haut et t en bas,h b

5 172

t - th b g ∆l------------------------------ = ----------------------t 2C

t < t implique que le débit vu en bas estb hsupérieur à celui vu en haut. Pendant une duréemesurée en haut, le nombre de particules quifranchissent la surface du haut est égal au nombrede particules qui franchissent la surface du bas,mais la durée correspondante mesurée en bas estplus petite, d’où un débit plus grand.Intuitivement, vu du bas, la pression semble deplus en plus forte car le débit de particulesarrivant du haut parait de plus en plus important,à cause du ralentissement local du temps. Soit N lenombre de particules franchissant la surface enhaut et en bas.

N Np = k ------------------ ; p = k ------------------ ; p p = p ; t t = th t b t h b h bh b

t - t 1 1 h b∆p = p - p = k N --------------- - --------------- = k N -----------------------------b h t t 2b h t

t - th b g ∆l∆p = p ------------------------------ = p ----------------------t 2C

Il vient :

∆p p g------------ = ∇p = -----------------∆ l 2C

ce qui est bien (8,32).

Cette inertie de la pression est due au fait quel’on considère une accélération constante pendantun certain laps de temps (même court) de façon àécrire l’équation d’Euler. La pression est unegrandeur locale faisant appel pour son calcul autemps local. ρ et p dans (8,21) sont en effetmesurés avec des règles étalons parfaitementrigides et des horloges étalons, ces appareilsétant immobiles par rapport au fluide au point oùon fait la mesure, ce fluide étant dans un champ degravité quelconque, aussi puissant qu’on veut (§ 2chapitre 7). L’accélération entraine un décalagedes temps locaux aux deux extrémités du fluideconsidéré. Remarquons que le temps local, et leslongueurs locales, en un point ne dépendent pas del’état d’accélération de ce point (insensibilité dutemps local à g, sensibilité à φ , § 6chapitre 3 ).

Il est tout de même merveilleux que le terme p de

6 173

2ρ C + p dans l’équation (8,21) soit lié au faitqu’il n’y a pas de temps absolu! Maiseffectivement, la nature tensorielle de T impliquela formule (8,21) en faisant appel à la structurede l’espace-temps de Minkowski, donc au fait qu’iln’y a pas de temps absolu. Parfois, en physique, onest dépassé et ébloui par tout ce que contiennentles équations.

En conclusion, la solution au paradoxe est quedans les deux cas on ne prend pas le mêmeréférentiel, donc on ne prend pas le même temps, cequi modifie l’expression de la pression quicorrespond à un débit de particules donc faitintervenir le temps. Ainsi, si l’on mesure lesforces à l’aide d’un référentiel galiléen commedans le § 3 du chapitre 4 , on a toujours :F = m dv/dt = ρ S dv/dt mais (8,29) implique quel’on n’a plus F = - ∇p S .

17. Equilibre gravitationnel d’une étoile. - Cequi vient d’être dit dans le paragraphe précédent ades conséquences dramatiques pour ce qui concernel’équilibre d’une étoile. Dans une étoile densecomme une étoile à neutron, le champ de gravité gest énorme. Mais le gradient de pression n’est plus

2gouverné par ρ, mais par ρ + p / C qui lui estsupérieur. La pression croit donc plus vitelorsqu’on s’enfonce dans l’étoile.

Comme nous l’avons vu au § 16 c’est leralentissement du temps quand on s’enfonce dansl’étoile qui est la cause de cela. Pour luttercontre une pression, il faut appliquer soit-mêmeune pression, et cela nécessite d’être "actif", carcela correspond à un débit de particules. Leralentissement du temps qui fige les choses rendplus difficile cette lutte en bas, contre lapression venue du haut; comme une armée ne pourraitpas lutter contre un envahisseur dont le tempspropre s’écoulerait plus rapidement que celui dupays envahi.

De plus, toutes les composantes du tenseurd’impulsion-énergie ont un effet gravitationnel.En particulier la pression attire, ce qui contribueà augmenter g; ceci est précisé par l’équation(17,21) et le commentaire qui suit du § 8 duchapitre 17 .

Pour les étoiles newtoniennes telles que2p / C µ ρ il n’y a aucun problème. Par

2contre, lorsque p / C devient du même ordre degrandeur que ρ, les deux effets précédents jouantsimultanément ont un effet catastrophique. Au delàd’une certaine masse pour l’étoile, la pressiondevient infinie au centre, ce qui montre qu’aucunéquilibre n’est possible. L’étoile a atteint lestade d’effondrement ou collapse gravitationnelsans fin menant au trou noir. Cette masse limite

7 174

est calculée au chapitre 17 et vaut :

62 16 CM = -------------------------------------------------------- (8,33)

3243 π ρ G

qui est une limite un peu plus contraignante quecelle donnée en (7,6). Cela signifie qu’il y aeffondrement gravitationnel avant que le rayon del’étoile soit inférieur au rayon de Schwarzschild.Il ne peut donc pas exister de trou noir enéquilibre hydrostatique. Tous les trous noirs sonten effondrement permanent. Cela est évident,puisque un trou noir correspond justement au faitque le temps local ne semble plus s’écouler parrapport au temps loin du trou noir. Il n’y a doncplus aucun moyen de lutter contre un débit infinide particules venant de l’extérieur.

18. L’énergie gravitationnelle. - Dans n’importequel champ gravitationnel, on peut toujours prendreun référentiel galiléen qui est par exemple unascenseur en chute libre. Dans cet ascenseur,quelle que soit sa vitesse, toute actiongravitationnelle ou d’inertie disparait localement.Il faut donc admettre que localement l’énergiegravitationnelle y est nulle. Ainsi, l’énergiegravitationnelle ne peut pas canoniquement êtrelocalisée. Elle est essentiellement non locale.

On ne peut donc pas considérer d’une manièrecanonique un tenseur d’impulsion-énergie lié à lagravitation.

Puisque dans l’ascenseur en chute libre, touteffet gravitationnel disparait; on doit doncadmettre qu’il n’y a aucun graviton. Vu d’un autreréférentiel, la gravité est présente, il y a doncdes gravitons.

Ainsi la notion même de gravitons donc égalementleur nombre correspond à un point de vueparticulier. Cela est vrai pour toutes lesparticules. Un champ gravitationnel intense, dontl’intensité dépend du référentiel choisi, peutcréer toute sortes de particules (c’est ce qui faitque les trous noirs rayonnent). Le nombre departicules créées dépendra du référentiel choisi.Il est connu que dans un référentiel accéléré, doncégalement dans un champ de gravitation, unobservateur voit un rayonnement électromagnétiquethermique, là où un observateur en chute libre voitl’état du champ électromagnétique du vide àtempérature nulle; le nombre de photons est biensûr différent pour les deux observateurs.

Le nombre de particules vues dans un volume donnédépend donc du référentiel. Bien sûr, il y acohérence entre différents référentiels.L’évènement consistant en la détection d’uneparticule par un appareil du type

8 175

photomultiplicateur par exemple est vu dans tousles référentiels.

Lorsqu’on affirme que c’est le tenseurd’impulsion-énergie qui crèe la gravitation, ilfaut donc conclure que dans ce tenseur, on faitintervenir toute forme de matière et d’interactionexcepté la gravitation. Tel est le cas dansl’équation du champ d’Einstein. Le rôle de lagravitation sur elle-même est pris en compte dansla non linéarité des équations du champ. Ainsi,considérons l’action gravitationnelle de deuxmasses m. Si l’on approche ces masses, il y a perted’énergie gravitationnelle. Vu de loin, celacorrespond à une diminution de l’actiongravitationnelle donc de la masse globale affectéeà l’ensemble. Mais ce phénomène n’est pas pris encompte en faisant intervenir un tenseurd’impulsion-énergie de la gravitation, maisdirectement par la non linéarité des équations duchamp. L’action des deux masses rapprochées n’estpas la somme de l’action de chaque masse priseséparément ( cf § 12 , chapitre 6 ).

19. Cas d’une étoile. - Considérons une étoiledans laquelle règne une pression énorme. Cettepression est créée par la gravitation qui assure lacohésion de l’étoile. On pourrait imaginerremplacer la gravitation par une membrane tendue àla surface de l’étoile ayant donc une composante depression négative dans le tenseurd’impulsion-énergie. Ainsi à la pression positivede l’étoile devrait correspondre une pressionnégative de la gravitation qui sert à comprimerl’étoile.

Dans l’exemple de la membrane tendue, cettepression négative est cantonnée à la surface, maison peut plutôt imaginer que la pression négative dela gravitation est répartie uniformément danstout le volume.

Cependant cette pression négative de lagravitation n’est pas prise en compte dans letenseur d’impulsion-énergie créant la gravitation.Ainsi la valeur moyenne du terme de pression n’estplus nulle. La pression attire réellement, d’oùl’effet mentionné au § 17 . Nous verrons cependantaux chapitres 15 et 17 que vu de loin, l’étoile secomporte comme un corps caractérisé uniquement parsa masse du point de vue de l’actionαβ 00gravitationnelle. Les termes de T autres que Tsont "noyés" dans la déformation de l’espace-tempsau voisinage de l’étoile, et disparaissent vu deloin. Encore un miracle!

20. Valeur moyenne du tenseur d’impulsion-énergieen présence d’un champ de gravitation. - Nous avonsvu au paragraphe précédent que dans le cas d’une

9 176

étoile liée par la gravitation, nous n’avons plus--------------------αβT = 0 pour (α,β) ≠ (0,0) ; or cette équationαβ∂Tprovenait de ------------------- = 0 .β∂xCette équation ne doit donc plus être vraie. Nous

verrons en effet qu’en présence d’un champ degravitation, l’espace-temps n’est plusl’espace-temps plat, mais est un espace de Riemannavec une courbure. Nous verrons qu’il faut alorsremplacer la dérivation ordinaire par ce qu’onappellera la dérivation covariante. L’équationαβprécédente est à remplacer par : T = 0 , le ";"; βsignifiant dérivation covariante.αβCe tenseur T , nous l’appellerons la;βdivergence covariante (parfois par abus delanguage, nous oublierons le mot covariante) dutenseur d’impulsion-énergie, dans le cas del’espace courbe de la Relativité générale.

21. Tenseur d’impulsion-énergie du champ degravitation. - Lorsque les masses étudiées créantla gravitation seront localisées dans un volumefini, comme dans le cas du système solaire parexemple, nous pourrons trouver un système decoordonnées telles que :

g = η + hαβ αβ αβ

avec h 0 à l’infini où on retrouveαβl’espace-temps plat. Nous montrerons au § 6 duαβchapitre 15 que l’équation T = 0 pourra;βs’écrire dans ce système particulier de coordonnéesαque nous noterons encore x comme pour lescoordonnées galiléennes types :

αβ αβ αβ∂τ ∂T ∂ t----------------- = ------------------- + ----------------- = 0β β β∂x ∂x ∂x

αβ αβ αβet τ = T + t

αβNous appellerons t le tenseurαβd’impulsion-énergie du champ de gravitation et τle tenseur d’impulsion-énergie total. On pourrad’ailleurs réécrire les équations du champ avecαβτ comme terme source. On aura alors :

------------------ -------------------- ----------------αβ αβ αβτ = T + t = 0 pour (α,β) ≠ (0,0)

10 177

------------- ---------ii iiavec T > 0 et t < 0 . Nous faisons bienainsi apparaitre un terme de pression négative liéà l’interaction gravitationnelle. Cependant laséparation envisagée entre τ, T et t n’est pasαβgénéralement covariante; en particulier (τ ) etαβ(t ) ne sont pas des tenseurs pour lestransformations les plus générales des coordonnéesen Relativité générale. Le concept d’énergiegravitationnelle sera donc lié à ce type trèsparticulier de coordonnées, comme cela a déjà étédit au § 18 .

22. Tenseur d’impulsion-énergie du champélectromagnétique. - Nous allons montrer quelorsque des particules chargées interagissentélectromagnétiquement, nous n’avons plus :

αβ∂T m αβ------------------- = 0 ; Tm étant le tenseur purementβ∂xmécanique des particules matérielles. Nous pourronsalors ajouter le tenseur impulsion-énergie du champαβélectromagnétique T c h tel que :

αβ αβ∂T m ∂T c h------------------- + ------------------- = 0β β∂x ∂x

αβ 2 α βTm = n m C U U 0l l l ll

α βαβ u ∂U ∂(n U )o∂T m 1 2 β l 2 α 0 l l 1------------------- = 1n m C U -------------------- + m C U -------------------------------------------- 1β 1 0l l l β l l β 1∂x m ∂ x ∂x .l

On suppose ici qu’il n’y a pas création oudestruction de particules. Le deuxième terme estalors nul. La conservation du nombre de particulesentraine en effet la nullité de la divergence du

quadrivecteur n U , pour chaque valeur de l,0l l

c’est à dire pour chaque type (l) de particules.Le premier terme est nul également lorsqu’il n’y

a aucune interaction, en effet :

α α α β αdp dU ∂U dx ∂Uα l l l l l β0 = Φ = ----------------- = m C -------------------- = m C -------------------- ---------------- = m C -------------------- C Ul dτ l d τ l β dτ l β l∂ x ∂ x

Nous avons là, pour des particules de matièresans interaction uniquement, une nouvelledémonstration de la nullité de la divergence dutenseur d’impulsion-énergie.

Dans le cas où il y a interactionélectromagnétique (5,4) et (5,82) donnent :

11 178

α∂Uα α β 2 l βΦ = q C F U = m C -------------------- Ul l β l l β l∂ x

α∂U 2 β l α β α βn m C U -------------------- = F n q C U = F j 0l l l β β 0l l l β∂ xl l

αβ∂T m α β------------------- = F j (8,34)β β∂x

Nous allons vérifier que l’expression suivantepour le tenseur impulsion-énergie du champélectromagnétique est la bonne :

αβ 1 α βγ 1 αβ γδ T c h = - --------------- F F - --------------- η F F (8,35)µ0 γ 4 γδ

αβ βγ α γδ∂T c h α ∂F βγ ∂F γ 1 αβ ∂F- µ0 ------------------------- = F ---------------------- + F ----------------------- - --------------- η F ----------------------β γ β β 2 γδ β∂x ∂x ∂x ∂x

∂ αβ ∂Compte tenu de : ---------- = η ----------∂x βα ∂x

Les deux derniers termes donnent :

α γ δβγ ∂F γ 1 ∂FF ----------------------- - --------------- F -----------------------β 2 γδ ∂x∂x α

αγ γ δ∂F 1 ∂F= F ----------------------- - --------------- F -----------------------βγ ∂x 2 γδ ∂xβ α

γα βγ∂F 1 ∂F= - F ------------------------ - --------------- F -----------------------βγ ∂x 2 βγ ∂xβ α

γα βα αβ∂F ∂F ∂FOr : F ------------------------ = F ------------------------ = F ------------------------βγ ∂x γβ ∂x βγ ∂xβ γ γ

par permutation des indices muets β et γ, puisantisymétrie de F. Les deux derniers termesdeviennent alors, compte tenu de (5,76) :

12 179

γα αβ βγ1 ∂F 1 ∂F 1 ∂F= - --------------- F ------------------------ - --------------- F ------------------------ - --------------- F -----------------------2 βγ ∂x 2 βγ ∂x 2 βγ ∂xβ γ α

αβ βγ γα1 ∂F ∂F ∂F = - --------------- F ------------------------ + ----------------------- + ------------------------ = 02 βγ ∂x ∂x ∂x γ α β

αβ βγ γβ∂T c h α ∂F α ∂F α γµ0 ------------------------- = - F ---------------------- = + F ----------------------- = - F µ0 jβ γ β γ β γ∂x ∂x ∂x

αβ∂T c h α γ------------------------- = - F jβ γ∂x

αβ αβ∂T m ∂T c hFinalement : ------------------------- + ------------------------- = 0β β∂x ∂x

Nous donnons ci-dessous l’expression du tenseurd’impulsion-énergie du champ électromagnétique enfonction des vecteurs E et B.

2 2ε E B00 0T = ----------------------------------- + ------------------------------------- (8,36)

2 2 µ0

10i i0 1T = T = --------------------------- E ∧ B = ----------------- P (8,37)Cµ C

0

P étant le vecteur de Poynting donnant le fluxd’énergie.

Avec (i,j,k) = (x,y,z) ou (y,z,x) ou (z,x,y) :

ε 2 2 2 2 2 2ii 0 j k i 1 j k i T = -------------- E + E - E + ---------------- B + B - B (8,38)2 2 µ 0

ij i j 1 i ji≠j : T = - ε E E - --------------- B B (8,39)0 µ

0

On voit avec (8,36) et (8,38) que nous retrouvonsce qui a été découvert pour des photons réels au§ 14 : la trace du tenseur d’impulsion-énergie duchamp électromagnétique, donc d’un ensemblequelconque de photons réels ou virtuels est nulle.

α 00 iiT = T - Σ T = 0α

13 180

23. Etude d’un condensateur plan. - Nous allonsvérifier sur cet exemple et sur ceux desparagraphes suivants que la valeur moyenne dutenseur d’impulsion énergie se réduit au terme dela densité d’énergie. Le condensateur est maintenupar une tige rigide de section s. Les plaques ontpour section S (fig. 8.7).

+ q - q

E----------------------L

S

s I y++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

11J-------------------------------L

1

e 1 11 k-----------------------------------------------------L

x⊗ z

F ig . 8 . 7

ε0 Sq = C V ; C = -------------------- ; V = E eeLa force appliquée par un des plateaux sur

l’autre, fait intervenir le champ électriqueappliqué par ce plateau, égal à la moitié du champtotal.

2E V ε0 S V ε0 S EF = q ----------------- = q ---------------------------- = -------------------- V ---------------------------- = --------------------------------2 2 e e 2 e 2

C’est la tige comprimée qui s’oppose à cetteforce; on en déduit :

2xx ε 0 S ET t i ge = --------------------------------2 s

Le champ électrique est uniforme entre les deuxplaques et nul à l’extérieur :

xx ε 0 2T c h = - ---------- E2

-----------------xx xx xxV T = T c h S e + T t i ge s e = 0

Compte tenu de (8,36), (8,37), (8,38), (8,39), letenseur d’impulsion-énergie vaut :

14 181

2 ε E 0 --------------------- 0 0 0 2 2 ε E 0 0 - --------------------- 0 0 αβ 2T = (8,40)2 ε E

0 0 0 --------------------- 0 2 2 ε E

0 0 0 0 --------------------- 2

yy zzLes termes de pression positive T = Tcorrespondent à la pression électrostatique. Lescharges de mêmes signes sur chaque plateau tendentà se repousser et cela correspond à une pressionselon les axes y et z .

24. Energie et particules de masses négatives. -On peut se poser la question suivante : on a vu queles forces attractives sont interprétées comme duesà l’action de particules de masses négatives. La

00densité d’énergie correspondante, T doit êtrenégative (masse négative dans (8,8)). Or les forcesattractives de type électromagnétique par exemplecorrespondent toujours à une densité d’énergiedonnée par (8,36) positive. Cela est visible

00 xxégalement dans (8,40) où T > 0 et T < 0 .Considérons le cas de deux charges +q et -q

s’attirant (Fig. 8.8).

(-)(+)

(+). .

-q +q

Fig . 8.8

On peut sauver la situation en considérant qu’ily a deux types de particules d’interactions : desparticules notées (-) de masses négatives faisantla navette entre la charge +q et la charge -q, etassurant l’attraction, et des particules notées (+)de masses positives partant d’une charge etrevenant sur la même charge de telle sorte queleur effet soit nul. Ce type de distinction estcourant en Théorie quantique des champs, enElectrodynamique quantique par exemple. L’énergiedes particules (+) correspond à la renormalisationde la masse des charges (électron par exemple).

15 182

Les termes de densité d’énergie des deux types departicules, les (+) et les (-), s’ajoutent pouravoir une contribution finale positive. Lorsqu’unecharge est isolée, seules les particules (+)existent. Les particules (-) n’apparaissent quelorsqu’on rapproche les deux charges opposées.Elles sont créées à ce moment. Leur apparitioncorrespond à la diminution d’énergie classiquelorsqu’on rapproche les deux charges par apparitionde l’énergie négative liée à leurs massesnégatives; elles correspondent également àl’apparition de l’attraction entre les deuxcharges. Ces particules (-) voient à distance lesdeux charges se rapprocher et passent de l’une àl’autre par effet tunnel. Un tel passage par effettunnel correspond justement en Mécanique quantiqueà l’état virtuel des particules.

Le fait que les particules de type (-) voientglobalement l’emplacement des deux charges pourfaire la navette correspond à une non localitéhabituelle en Mécanique quantique. Elles voient àdistance qu’elles peuvent passer par effet tunnel!

On peut étayer cela avec la formule (8,36). Uneparticule isolée +q correspond à la densitéd’énergie :

2ε E00 0 +qu = T = -----------------------------2

E étant le champ qu’elle crèe. Lorsque les deux+q

charges sont en présence :

ε 200 0 u = T = -------------- E + E2 +q -q

ε ε0 2 0 2= -------------- E + ε E E + -------------- E2 +q 0 +q -q 2 -q

Le premier et le deuxième terme correspondentrespectivement aux particules de type (+) pour lacharge +q et pour la charge -q. Ces deux termessont toujours présents et ont toujours la mêmevaleur quelle que soit la distance des deuxcharges.

Le terme du milieu apporte une contributionglobale négative en l’intégrant sur tout l’espace.On peut vérifier que cette contribution est égale àla variation d’énergie de l’ensemble des deuxcharges lors de leur rapprochement depuis unedistance infinie jusqu’à la distance considérée.

Cette contribution est d’autant plus forte queles charges sont rapprochées et agissent doncfortement l’une sur l’autre. Il fait intervenir à

16 183

la fois la charge +q et la charge -q et corresponddonc bien aux particules de masses négatives doncd’énergie négative faisant la navette entre lesdeux charges. Il disparait, ainsi que lesparticules de masses négatives lorsque les deuxcharges sont infiniment éloignées.

25. Etude d’une barre tournante. - On considèreune barre de masse négligeable de section s seterminant aux deux bouts par deux petites masses m(fig. 8.9).

2 aJ--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Om m

Fig . 8.9

L’ensemble est supposé tourner autour du centrede gravité; l’angle que fait la barre avec l’axedes x est ω t . La vitesse des masses est v.

2F = - m v /a est la valeur algébrique de la forcede tension de la barre.--------------- ----------------- -----------------

00 xx yySeuls T , T et T peuvent être non nuls,les barres indiquent : valeur moyenne sur le tempset l’espace.

Dans la suite, l’indice t fait référence autenseur d’impulsion-énergie de la barre, tandis quel’indice m fait référence à celui des masses.xxT t est la composante en x de la force appliquéesur la surface unité perpendiculairement à l’axedes x ( § 7). Sur la figure (8,10), on voit quepour la surface :

sΣ = --------------------------------- perpendiculairement à l’axe des x,cos ω t

2x m von a : F = - ------------------ cos ω ta

Donc :

x 2xx F m v 2T t = ---------------- = - ------------------ cos ω tΣ a s

17 184

s x F J-------------------------------

_____________________________________________ Σ 1 _____________________________________________

ω tO ----------------------------------------------------------------------------------------------- . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L

x a

F i g . 8 . 1 0

⌠⌠⌠ 2xx m v 2 T t dV = - ------------------ 2 a s cos ω ta s⌡⌡⌡

2 2= - 2 m v cos ω t

Idem avec les composantes en y en permutant sinuset cosinus. D’autre part :

xx 2Tm ρ vx

yy 2Tm ρ vy

⌠⌠⌠ ⌠⌠⌠xx 2 2 2 2 Tm dV = v sin ω t ρ dV = 2 m v sin ω t⌡⌡⌡ ⌡⌡⌡

Là, le tenseur d’impulsion énergie n’est pasconstant, mais en prenant les moyennes sur le tempségalement la démonstration reste vraie puisque :

------------------------------- ---------------------------------2 2 1sin ω t = cos ω t = ---------------2

----------------- -----------------xx yyT = T = 0

la barre indiquant : valeur moyenne sur le temps etl’espace.

26. Etude d’une barre élastique. - Considérons denouveau la barre précédente. Cette fois ci, elle netourne pas mais elle est élastique avec laconstante de raideur k. On suppose que les deux

18 185

masses oscillent en se rapprochant et ens’éloignant l’une de l’autre. Soit x la distance dela masse de droite au centre de gravité et F laforce qu’elle subit :

2 kF = - k(x-a) ; x = A cos ωt + a ; ω = ------------------m

2 2 2 2v = - A ω sin ωt ; v = A ω sin ωt

xx 2 2 2 2Tm ρ v = ρ A ω sin ωt

La barre désignant la valeur moyenne sur le temps :

----------------------------------------------------⌠⌠⌠ -----------------------------xx 2 2 2 2 2 2 Tm dV = 2 m A ω sin ωt = m A ω = kA⌡⌡⌡

xx F k ATb a rre = ---------------- = - --------------------------- cos ωts s

⌠⌠⌠ xx k A Tb dV = - --------------------------- cos ωt 2 x ss⌡⌡⌡

= - 2 k A cos ωt ( A cos ωt + a )

------------------------------------------------------------⌠⌠⌠ xx 2 T b dV = - k A⌡⌡⌡

xxLa valeur moyenne sur le temps et l’espace de Test donc nulle. xxA chaque valeur positive de Tb à l’instant t,correspond en valeur absolue une valeur identique,mais négative, à l’instant t’ avecω t’ = ω t + π ; cependant les valeurs négatives seproduisent quand la barre est plus longue! D’où unevaleur moyenne sur le temps et l’espace globalementnégative et annulant exactement la contribution desdeux masses.

19 186

EXERCICES

8.1 On considère deux barreaux aimantés identiques desection s en contact par deux pôles opposés (voirfigure).

------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 s1N S 1 N S1 m------------------------------------------------------------------------------------,-------------------------------------------------------------------------------,x------------------------------------------------------------------------------L

En utilisant le formalisme du tenseurd’impulsion-énergie, déduire la valeur du champmagnétique uniforme qui règne à l’intérieurd’un barreau, de la force qu’il faut appliquer pourles séparer. Application numérique : F = 1 kg ;

2s = 1 cm .

8.2 1. Retrouvez la force d’attractionélectrostatique entre deux charges ponctuellesopposées avec le formalisme du tenseurd’impulsion-énergie.

2. Etudiez de même le cas de la force répulsiveentre deux charges égales.

8.3 On considère une fusée de hauteur h et de sectionS posée sur la Terre. Sur le plancher, une lampeémet des photons de fréquence νb vers le haut avecle débit Db. Ils sont absorbés en haut.

1. En utilisant le principe d’équivalence, endéduire le débit des photons Dh et leur fréquenceνh en haut.

2. Montrez que l’équation (8,31) est vérifiée.3. Conclusion?

8.4 Une lampe immobile dans R émet vers les xpositifs une onde électromagnétique plane polarisée

0xrectilignement avec la puissance P = C T pourla surface unité perpendiculaire à l’axe des x.

1. Calculez la puissance reçue dans le-référentiel R animé de la vitesse v > 0 enutilisant le formalisme du tenseurd’impulsion-énergie du champ électromagnétique.

2. Retrouvez ce résultat en considérant quel’onde est constituée de photons.

3. Lien avec l’exercice 8.3 ?

20 187

188

Chapitre neuf

ANALYSE TENSORIELLE EN ESPACE AFFINE

1. Introduction. - Nous avons vu au § 3 duchapitre 7 que l’espace-temps de la Relativitégénérale est une variété riemanienne. Il nous faut,pour pouvoir complètement développer la Théorie dela relativité générale, étudier complètement cettestructure mathématique. Ce sera fait auchapitre 11 . Cette structure généralise celled’espace affine euclidien sur un espace vectorieldont la représentation la plus simple est notreespace à trois dimensions de la géométrieélémentaire. Nous étudions donc les espaces affinesdans ce chapitre, et les espaces affines munis d’unproduit scalaire donc d’un intervalle ou d’unedistance au chapitre suivant, enrichissant ainsiprogressivement la structure. Dans ces troischapitres, les tenseurs joueront un rôleprimordial.

Dans les trois chapitres qui suivent, purementmathématiques, nous prendront pour indices leslettres latines; cette notation permettant de sesouvenir du caractère général de ces troischapitres. Nous reviendrons aux lettres grecquesquand nous aborderons la Relativité généraleproprement dite au chapitre 12 . Pour les vecteurs,la notation sera ici celle de l’espace à troisdimensions : vecteurs en caractères gras, sauf pourceux obtenus à partir d’un bipoint notés avec uneflèche au dessus.

2. Espace affine sur un espace vectoriel. - Nousrappelons ici les axiomes définissant cettestructure : un ensemble d’éléments, appelés points,E, est un espace affine sur l’espace vectoriel E dedimension n, si à tout couple de points A et B, on--------Lpeut associer un vecteur unique de E appelé AB telque :

--------L -------L --------L -------L --------LAB = - BA ; AB + BC = AC

De plus, quel que soit le point O de E et levecteur V de E, il existe un point M unique de E--------L

tel que OM = V .

3. Système de coordonnées. - De façon générale,on appelle système de coordonnées dans E tout modede définition d’un point M de cet espace en

1 189

ifonction de n scalaires notés u . On appelle cesnombres les coordonnées de M dans le systèmeconsidéré. On appelle lignes coordonnées pour untel système les trajectoires des points M dont uneseule coordonnée varie. On appelle coordonnéescartésiennes de M relativement au repère fixeiO, e les nombres notés x tels que :i--------L iOM = x e . On dit aussi coordonnées rectilignesicar les lignes coordonnées sont des droites.Lorsque tel n’est pas le cas, on parle decoordonnées curvilignes.

Les coordonnées d’espace et de temps dans unréférentiel galiléen sont de telles coordonnéesrectilignes. Nous avons vu au paragraphe 10 duchapitre 3 qu’on les appelle coordonnéesgaliléennes.

4. Repère naturel associé à un système decoordonnées curvilignes. - Rappelons que :

--------L 1 i i n --------L 1 i n OM u ,.,u + ∆u ,., u - OM u ,.,u ,.,u --------L ∂OM---------------------- = lim ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- i i∂ u ∆u i ∆u 0

et nous notons : --------L∂M ∂OM----------------- = ----------------------i i∂ u ∂ u

Dans le cas d’utilisation des coordonnéesi icartésiennes x = u , on a :

j j i j ( x + δ ∆x ) e - x e∂M i j j----------------- = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = e (9,1)i i i∂ x ∆x(s s i )

On utilisera alors la notation :

∂e = ------------- (9,2)i i∂x

Ceci permet de faire jouer un rôle prépondérantaux coordonnées définissant le point, comme cela a*i *idéjà été commencé dans la notation e = dx en(5,24).

Généralisant cette notation, dans le cas decoordonnées curvilignes quelconques, nousiassocierons aux coordonnées u la base deivecteurs notés ∂/∂u par :

2 190

∂ ∂M------------- = ----------------- (9,3)i i∂u ∂ u

∂ iOn a : dM = ------------- du (9,4)i∂u

iLe repère O; ∂/∂u est appelé le repère naturelassocié au système de coordonnées curvilignes.

On a : k∂M ∂M ∂x----------------- = ------------------- ---------------i k i∂ u ∂ x ∂u

qu’on peut démontrer composante par composante enutilisant (9,14).donc :

k∂ ∂x ∂------------- = --------------- ---------------i i k∂u ∂u ∂x

Nous généraliserons également la notationutilisée en (5,67) et noterons :

*i idu = Du (9,5)

*i emdu est ainsi la dérivée covariante de la iicoordonnée curviligne u . La notation introduiteau § 6 du chapitre 5 est ainsi justifiée,*ipuisque du est introduite par le moyen d’unedifférentielle. i(5,68) donne avec U = u :

*i idu (dM) = du (9,6)

Nous avons par (5,61), (5,62) :

i*i ∂u *jdu = ------------- dxj∂xdonc :

i i l*i ∂ ∂u *j ∂ ∂u *j ∂x ∂ du --------------- = ------------- dx --------------- = ------------- dx --------------- ------------- k j k j k l ∂u ∂x ∂u ∂x ∂u ∂x

i j i∂u ∂x ∂u i= ------------- --------------- = --------------- = δj k k k∂x ∂u ∂u

(voir (9,14)). *iAinsi la base des formes linéaires du est laibase duale de la base naturelle ∂/∂u . Cecipermet de retrouver (9,6) compte tenu de (9,4) et(5,23).

3 191

U étant une fonction scalaire quelconque, nousavons (avec (9,14)) :

i∂U *i ∂U ∂u *j ∂U *j---------------- du = ---------------- ------------- dx = ---------------- dx = DUi i j j∂ u ∂ u ∂x ∂ x

∂U *iDU = ---------------- du (9,7)i∂ u

L’égalité au dessus de (9,7) correspond à cequ’on appelle l’invariance de la notationdifférentielle. On a :

∂U *j ∂U j ∂U *i ∂U idU = DU(dM) = ---------------- dx (dM) = ---------------- dx = ---------------- du (dM) = ---------------- duj j i i∂ x ∂ x ∂ u ∂ u

ii ∂u javec : du = ------------- dxj∂x

iLes du peuvent être ainsi calculés à partir desjdx choisis arbitrairement, et pourtant,il’expression de dU à partir des du estformellement identique à l’expression de dU àjpartir des dx .

On voit que cela utilise le théorème decomposition des dérivations (9,14) :

i∂U ∂u ∂U---------------- ------------- = ----------------i j j∂ u ∂x ∂ x

voir à ce sujet le commentaire au dessous de(9,21). On a ainsi deux modes de calcul de dU àjpartir des dx :

j i i j j i i idx du = ∂u /∂x dx dU = ∂U /∂u duj j j jdx dU = ∂U /∂x dx

(9,7) nous permet de dire que la formule (5,62)est encore valable avec des coordonnées curvilignesquelconques dans le cas d’un champ de tenseurd’ordre 0 . Nous allons voir ci-dessous qu’ellen’est plus valable dans le cas d’un champ detenseur d’ordre quelconque, et qu’il faut lacompliquer un peu.

La notation utilisée en (9,2) et (9,3) est-ellejen accord avec celle utilisée en (5,75) où ∂/∂xétait un opérateur de dérivation sur les fonctionsscalaires?

On peut associer au vecteur V l’opérateur dedérivation sur les fonctions scalaires suivant :

4 192

V(U) = DU(V) (9,8)

∂U *i j ∂ j ∂UV(U) = ---------------- du V ------------- = V ---------------- (9,9)i j j∂ u ∂u ∂ u

L’expression (9,9) est appelée dérivée de U dansla direction V.

et on a bien :

∂ ∂U------------- (U) = ---------------- (9,10)j j∂u ∂ u

Il y a donc bien accord avec la notationi(5,75). Le vecteur ∂/∂u est l’opérateur dedérivation utilisé dans (5,73) et (5,75), ceciétant généralisé à des coordonnées curvilignesquelconques. Par contre nous n’identifierons pas∂/∂u a une forme linéaire de base. Nousiconsidérerons que c’est la combinaison linéaire devecteurs de base correspondant à la définitiondonnée en (5,75).

Aucune confusion n’étant possible, les vecteursi i∂/∂u , les u étant des coordonnées curvilignesquelconques, seront encore notés parfoisci-dessous, par économie de notation e (idem,i*i *idu = e ). Les vecteurs e sont cette fois-ciivariables; on a un repère mobile.

Pour chaque indice nous avons un champ devecteurs variables dont la dérivée covariante peuts’exprimer dans la base naturelle e :i

i *kDe = Γ e ⊗ e (9,11)j jk i

iLes coefficients Γ s’appellent les symbolesjkde Christoffel.

Remarquons qu’on a encore comme dans un repèrefixe :

*j *j i i j je (dM) = e (e du ) = du δ = du (9,12)i i

et donc (5,64) avec (5,30) et (5,57) donnent :

5 193

i kde = Γ e du (9,13)j jk i

5. Changement de coordonnées curvilignes. -Etudions la matrice du changement de base mobileassociée à un changement de coordonnéescurvilignes. Les anciennes coordonnées sont

i jappelées u , les nouvelles v . Les anciens vecteursde bases e , les nouveaux ε .

i jQuelle que soit la fonction scalaire U, on a :

i∂U ∂U ∂u---------------- = ---------------- ------------- (9,14)j i j∂ v ∂ u ∂v

qu’on peut appeler : loi de composition desdérivées partielles. Il vient donc, pour lesopérateurs de dérivation :

i∂ ∂ ∂u---------- = ---------- ---------- (9,15)j i j∂v ∂u ∂v

qui s’écrit :

i∂uε = e ------------- (9,16)j i j∂v

et, par changement de notation :

j∂ve = ε ------------- (9,17)i j i∂u

En ce qui concerne la base duale, (9,7)idonne avec U = u :

i*i ∂u *jdu = ------------- dv (9,18)j∂v

Pour un vecteur V, (5,34) donne :

i -i *i ∂u *j V = V(du ) = V -------------- dv - j∂v

i -i ∂u jV = -------------- V (9,19)-j∂v

De même, pour un tenseur quelconque (ici une foiscontravariant, deux fois covariant), (9,17) et

6 194

(9,18) permettent grâce à (5,32) de remplacer(5,33) par :

-i j k- ∂u ∂v ∂v ii = -------------- -------------- --------------- t (9,20)t - - i - - jkj k ∂v j k∂u ∂v

Un tableau de nombre se transformant suivant(9,20) est bien alors le tableau des composantesd’un tenseur. Nous avons ainsi généralisé ce qui aété dit au § 10 du chapitre 5 au cas descoordonnées curvilignes quelconques.

i(9,14) donne avec U = u :

i k i∂u ∂v ∂u i--------------- --------------- = ------------- = δk j j j∂v ∂u ∂u

La matrice de (9,17) est donc inverse de celleécrite en (9,18). La loi de transformation (9,17)est dite covariante, tandis que la loi detransformation (9,18) est dite contravariante.i jSi les u et v sont des coordonnées rectilignes,on a :

i∂u i------------- = Λ = Ctej j∂v

et on retrouve la matrice Λ utilisée dans leschapitres 3 , 4 et 5 .

(9,18) donne, en l’appliquant au vecteur dM :

ii ∂u jdu = ------------- dv (9,21)j∂v

expression vraie quelles que soient les variablesindépendantes; c’est à dire que les accroissementsjdv sont choisis arbitrairement ou calculés commejles différentielles des fonctions v d’autres

variables, dM étant construits avec différentesvariables. Cette propriété traduite par l’existence*i *jdes formes linéaires du et dv avec leursconversion les unes dans les autres, repose sur lapropriété mathématique (9,14) déjà utilisée pourdémontrer (9,7) (ligne au dessus de (9,7)).

Ainsi, il suffit de connaitre la correspondanceentre deux systèmes de coordonnées curvilignes(sans que leurs correspondances avec lescoordonnées rectilignes initiales aient àintervenir) pour en déduire la correspondance entreles bases naturelles associées à ces deux systèmes.Cette propriété permettra de généraliser ces

7 195

notions aux variétés différentiables danslesquelles il n’existe pas de coordonnéesrectilignes associées à un repère fixe.

6. Dérivation covariante d’un vecteur dans uni i emrepère mobile. - V = V est la i composante duvecteur V . Le vecteur V pourra être noté eniutilisant les composantes , (V ) :

i i iV = (V ) ; DV = D(V ) ; dV = d(V )

dV = V(M2) - V(M1)

j j j= (V + dV )(e + de ) - V ej j j

jLe terme dV de est du second ordre.j

j j j i k i= V de + dV e = V Γ e du + dV ej j jk i i

ij i k ∂V k= V Γ e du + ------------------ e dujk i k i∂ u

ii ∂V j i kdV = d(V ) = ------------------ + V Γ e du k jk i∂ u

et, avec (9,12) :

ii ∂V j i ∂ *kDV = D(V ) = ------------------ + V Γ ---------- ⊗ du k jk i∂ u ∂u

Nous utiliserons les notations suivantes :

ii i ∂V j i(DV) = V = ------------------ + V Γ (9,22)k ;k k jk∂ u

ii ∂VV = ------------------ (9,23),k k∂ u

i i i k i j i k(dV) = DV = V du = dV + V Γ du;k jk

i i kDV dV j i du------------------- = ---------------- + V Γ --------------- (9,24)D τ d τ jk dτ

i iDV /Dτ est le vecteur dérivée du vecteur (V (τ))kle long de la courbe u (τ) . Nous dirons parfoisdérivée covariante pour insister sur le fait qu’ona utilisé les symboles de Christoffel pour calculerla dérivée exacte du vecteur avec les coordonnées

8 196

curvilignes.Le vecteur vitesse U, est obtenu au moyen dei i(9,4), et U = du /dτ . On a alors pour le vecteuri iaccélération : γ = DU /Dτ . Attention, dans le

cas de coordonnées curvilignes, les composantes de--------L iOM ne sont pas u , et il est faux d’écrire pouri iles composantes U : Du /Dτ . Mais on peutécrire :

--------L i 2 --------L ii D(OM) i D (OM)U = ---------------------------------- ; et γ = --------------------------------------Dτ 2Dττ pourra être par exemple le temps newtonien t

dans le cas de l’espace à trois dimensions, ou letemps propre dans le cas de la Relativité générale.

7. Dérivation covariante d’une forme linéairedans un repère mobile. - Au point M1 le champ devecteur V(M) prend la valeur V1, le champ de formeϕ(M) prend la valeur ϕ1. Au point M2, on a : V2 etϕ2.

Ceci étant :

ϕ2(V2) - ϕ1(V1) = ϕ2(V2) - ϕ1(V2) + ϕ1(V2) - ϕ1(V1)

= (ϕ2 - ϕ1) (V2) + ϕ1(V2 - V1)

(ϕ2 - ϕ1) (V1) + ϕ1(V2 - V1)

En effet, remplacer V2 par V1 dans le premierterme introduit une différence du deuxième ordre.

Ainsi : d ϕ(V) = dϕ (V) + ϕ (dV) (9,25) dϕ (V) = d ϕ(V) - ϕ(dV)

Appliquons cela avec V = e :i

(dϕ) = dϕ(e ) = d ϕ(e ) - ϕ(de )i i i i

j k(dϕ) = dϕ - Γ ϕ dui i ik j

∂ϕ i j k(dϕ) = ---------------- - ϕ Γ du (9,26)i k j ik ∂u

Résumons les résultats concernant les vecteurs etles formes linéaires :

i ∂V j i kdV = ------------------ + V Γ e du (9,27) k jk i∂ u

9 197

∂ϕ i j *i kdϕ = ---------------- - ϕ Γ e du (9,28) k j ik ∂u

i ∂V j i ∂ *kDV = ------------------ + V Γ ------------- ⊗ du (9,29) k jk i∂ u ∂u

∂ϕ i j *i *kDϕ = ---------------- - ϕ Γ du ⊗ du (9,30) k j ik ∂u

8. Dérivation covariante d’un tenseur quelconque.- Prenons l’exemple d’un tenseur deux foiscovariant et une fois contravariant; nous noteronsij ijT = (t ) ; dT = d(t ) . Par le mêmek kraisonnement qu’au § 7 , on a :

d T (ϕ,ψ,V) = dT (ϕ,ψ,V) + T (dϕ,ψ,V) + T (ϕ,dψ,V)

+ T (ϕ,ψ,dV) (9,31)

dT(ϕ,ψ,V) = d T(ϕ,ψ,V) - T(dϕ,ψ,V) - T(ϕ,dψ,V)

- T(ϕ,ψ,dV)

*i *jAppliquons cela avec ϕ = e ; ψ = e ;V = e :h

ij *i *j ij(dT) = dT (e ,e ,e ) = Dth h h

m kde = Γ e duh h k m

*j(9,28) donne pour ϕ = e :

*j j *m kde = - Γ e du (9,32)mket donc :

*j j *m *kDe = - Γ du ⊗ du (9,33)mk

Il vient :

ij ij ij i k mjDt = (dT) = dt + Γ du th h h mk h

j k im m k ij+ Γ du t - Γ du t .mk h h k m

10 198

Permutons les symboles h et k :

ij ij h(dT) = t du avec :k k;h

i j∂ tij k mj i im j ij mt = ----------------------- + t Γ + t Γ - t Γ (9,34)k;h h k mh k mh m k h∂u

Le ";h" signifie : dérivation covariante parrapport à h.

ij ∂ ∂ *k *hDT = t ------------- ⊗ ------------- ⊗ du ⊗ du (9,35)k;h i j∂u ∂u

(9,34) et (9,35) remplacent ainsi (5,62) etredonnent (9,7).

Ainsi, les indices contravariants introduisent unsymbole de Christoffel analogue à celui d’unvecteur, tandis que les indices covariantsintroduisent un symbole de Christoffel analogue àcelui d’une forme linéaire.

9. Propriétés des symboles de Christoffel. - Pourque les coordonnées soient rectilignes, c’est àdire que les vecteurs de bases associés soientconstants, il faut et il suffit que les symboles deChristoffel soient nuls. Cela se voit d’après leurdéfinition dans l’expression qui donne la variationdes vecteurs de bases pour une variation descoordonnées.

Ils sont symétriques en j et k, car on a :

∂e ∂ei j ∂M ∂M k iΓ e = --------------- = -------------------------------- = ---------------------------------- = --------------- = Γ ejk i k k j j k j kj i∂u ∂u ∂ u ∂u ∂ u ∂uiLes Γ ne sont pas les composantes d’unjk

tenseur :Examinons en effet la loi de transformation de

ces coefficients dans un changement decoordonnées :

- - j ji k ∂u ∂uΓ- - e- du = de- = d -------------- e = -------------- de +j k i j - j - jj j∂u ∂u

2 j -∂ u k---------------------------- e du- - jk j∂u ∂u

Le premier terme vaut :

11 199

-j j i k -∂u i k ∂u i ∂u ∂u k-------------- Γ e du = -------------- Γ -------------- e- --------------- du- jk i - jk i i -j j ∂u k∂u ∂u ∂u

Le deuxième terme vaut :

-2 i - 2 i i -∂ u k ∂ u ∂u k---------------------------------- e du = ---------------------------------- -------------- e- du- - i - - i ij k j k ∂u∂u ∂u ∂u ∂u

Ainsi :

- -- i j k 2 i ii ∂u ∂u ∂u i ∂ u ∂uΓ- - = -------------- -------------- --------------- Γ + ---------------------------------- -------------- (9,36)j k i - - jk - - i∂u j k j k ∂u∂u ∂u ∂u ∂u

La présence du second terme exclut latensorialité.

10. Application au calcul de la divergence et dulaplacien en coordonnées non rectilignes. - Lessymboles de Christoffel permettent en effet decalculer automatiquement ces grandeurs :

ii ∂V i mdiv(V) = (DV) = ---------------- + Γ V (9,37)i i mi∂ u

i2 ∂grad ϕ i m∇ ϕ = div(grad ϕ) = ----------------------------------- + Γ grad ϕ (9,38)i mi∂u

Notons qu’en un point donné, il n’y a pas deproblème particulier pour passer des composantescovariantes aux contravariantes et réciproquementpar (5,37) et (5,42) ; avec g = e . e . Laij i jdistinction entre base fixe et base mobile n’ayantplus de sens en un point fixe.

11. Equation des droites de E grâce aux symbolesde Christoffels. - On peut paramétrer la droite defaçon à avoir :

--------LOM = λ V + C

V et C sont des vecteurs constants. La droiteiest définie par la donnée des u (λ) coordonnées dupoint courant de la droite.

i ii dM ∂M du duV(λ) = V e = -------------- = ----------------- ----------- = ----------- ei d λ i dλ dλ i∂ u

V(λ) est un vecteur constant, donc :

12 200

i i j kdV + Γ V du = 0jk

i iavec V = du /dλ , soit :

2 i j kd u i du du------------------- + Γ -------------- ---------------- = 0 (9,39)2 jk dλ dλdλ

12. Exemple : Equation des droites encoordonnées polaires du plan. - Nous traitonscomplètement cet exemple pour familiariser lelecteur avec l’utilisation des symboles deChristoffel.

Dans le plan (xOy) rapporté au repère orthonorméO;i,j , on introduit les nouvelles coordonnées

1 2u = r et u = θ , telles que : x = r cos θet y = r sin θ . Nous utilisons la notationsuivante :

dx dM = dx i + dy j = dy

dr cos θ - r s in θ dθ dM = dr s in θ + r cos θ dθ

dM = dr e + dθ e ; et donc :r θ

cos θ - r s in θ e = e =r s in θ θ r cos θ

∂e j i--------------- = Γ ek jk i∂u

∂er r θ-------------- = 0 ⇒ Γ = 0 ; Γ = 0∂r rr rr

∂er - s in θ 1 r θ 1--------------- = = --------------- e ⇒ Γ = 0 ; Γ = ---------------∂θ cos θ r θ rθ rθ r

∂eθ - s in θ 1 r θ 1---------------- = = --------------- e ⇒ Γ = 0 ; Γ = ---------------∂r cos θ r θ θr θr r

∂eθ - r cos θ r θ----------------- = = - r e ⇒ Γ = - r ; Γ = 0∂θ - r s in θ r θθ θθ

On vérifie bien que les symboles de Christoffelsont symétriques en j et k.

On obtient les deux équations (le point signifiedérivée) :

13 201

2d r r dθ dθ .. .2--------------- + Γ ----------- ----------- = r - r θ = 02 θθ dλ dλdλ

2d θ θ dr dθ θ dθ d r 1 . . ..----------------- + Γ ----------- ----------- + Γ ----------- ----------- = --------------- 2 r θ + r θ = 02 rθ dλ dλ θr dλ dλ r dλ

2 .La deuxième équation donne r θ = C . Si C = 0

θ = Cte ; on a une droite passant par l’origine.Si C ≠ 0 , il faut résoudre le système :

. C ..θ = --------------------- ; calculons r :2r

. d r dθ dr C d 1 r = ----------- ----------- = ----------- --------------------- = - C ----------- ---------------dθ dλ dθ 2 dθ r r

2.. d . dθ d 1 Cr = ----------- (r ) ----------- = - C --------------- --------------- ----------------dθ dλ 2 r 2dθ r

2 2d 1 C CIl vient : - C --------------- --------------- ---------------- - r ---------------- = 02 r 2 4dθ r r

.. 1y + y = 0 avec y = --------------- ⇒ y = A cos θ + B sin θr

1--------------- = A cos θ + B sin θ ou r cos(θ - θ0) = dr

On a l’équation bien connue des droites encoordonnées polaires.

d est la distance de l’origine à la droite. θ0est l’angle formé par la perpendiculaire menéedepuis l’origine à la droite, avec le vecteur i.

14 202

EXERCICE

9.1 En utilisant l’équation (9,27) et les symboles deChristoffel en coordonnées polaires du plan,--------Lretrouvez que ∂OM/∂θ = ∂/∂θ .

15 203

204

Chapitre dix

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN ESPACE AFFINEMUNI D’UN PRODUIT SCALAIRE

1. Le tenseur métrique. - La donnée nouvelle estl’existence du tenseur métrique g tel que : g(a,b)= a . b , produit scalaire des vecteurs a etb ( § 5 , chapitre 5 ).

Notons déjà que toutes les propriétés trouvées auchapitre 5 concernant le tenseur métrique et nefaisant pas intervenir les coordonnées curvilignessont bien entendu vraies. Il en est ainsi de (5,41)par exemple.

2Nous avons alors un élément linéaire ds par :

2

ds = g(dM,dM) = dM.dM (10,1)

En coordonnées curvilignes quelconques :

2 ∂ i ∂ j ∂ ∂ i jds = ------------- du . ------------- du = ------------- . ------------- du du i j i j ∂u ∂u ∂u ∂u

2 i jds = g du du (10,2)ij

Réciproquement, la donnée de l’élément linéaire(10,2) muni l’espace d’un produit scalaire, doncd’un tenseur métrique par :

i jg(a,b) = a . b = g a b (10,3)ij

i ja et b étant les composantes des vecteurs a etb dans la base mobile associée aux coordonnéesicurvilignes u .

2Lorsque ds > 0 on a un espace euclidien; c’estle cas de l’espace à trois dimensions. Lorsque le

2signe du ds est quelconque, on dit qu’on aaffaire à un espace pseudo-euclidien. C’est le casde l’espace-temps de la Relativité restreinte; etce que nous venons de dire généralise ce qui a étévu au § 9 du chapitre 3 .

Ce tenseur g est une donnée sur l’espacevectoriel E. On peut considérer que nous avons unchamp de tenseurs sur l’espace E, mais c’est alors,bien évidemment un champ constant, le même en toutpoint : g(M) = g . On en déduit Dg = 0 ; dg = 0

1 205

donc : g = 0 , soit :ij;h

∂gi j m m------------------ - g Γ - g Γ = 0 (10,4)h im j h mj i h∂u

Ce sont les identités de Ricci. On peut obtenirces identités directement, en effet :

g = e .e ⇒ dg = de .e + e .deij i j ij i j i j

m h m h= Γ e du e + e Γ e du avec :i h m j i j h m

g = e .e et g = e .emj m j im i m

En coordonnées rectilignes correspondant à unebase fixe de l’espace vectoriel, g = Cte . Dansijune telle base fixe, (9,13) implique que tous lessymboles de Christoffel sont nuls. (10,4) est alorsbien vérifiée.

Lorsque, pour i ≠ j g = 0 et g = ± 1 , onij iia la forme réduite du tenseur métrique, et ilexiste toujours des bases permettant d’obtenircette forme réduite.

On peut montrer que le nombre de + 1 et de - 1de la forme réduite du tenseur métrique ne dépendpas du repère choisi pour obtenir cette formeréduite et est une caractéristique du tenseurmétrique (Théorème d’inertie de Sylvester). Onl’appelle la signature du tenseur métrique. Ainsi,pour l’espace-temps de la Relativité restreinte, et

2avec notre convention du signe du ds , la signatureest (+1,-1,-1,-1) . On dit qu’on a une baseorthonormée s’il n’y a que des + 1 , une base typedans le cas contraire. Les bases types sont lagénéralisation aux espaces pseudo-euclidiens desbases orthonormées des espaces euclidiens. Le choixd’une origine donne un repère orthonormé ou repèretype suivant le cas. Les coordonnéescorrespondantes sont appelées coordonnéescartésiennes (ou rectilignes) types (ouorthonormées). Tout ceci ne fait que généraliserle vocabulaire introduit par (3,29) et le § 10 duαchapitre 3 . Les coordonnées x utilisées auchapitre 3 sont des coordonnées rectilignes types;appelées dans le cas de la Relativité restreinte :coordonnées galiléennes types.

2. Calcul des symboles de Christoffel à partir dutenseur métrique. - Les identités de Riccipermettent en effet ce calcul. Opérons unepermutation circulaire sur i,j,k :

2 206

∂g i j h h-------------------- = g Γ + g Γ k ih jk h j ik∂u ∂g jk h h -------------------- = g Γ + g Γi j h ki hk j i ∂u ∂g k i h h-------------------- = g Γ + g Γ j kh i j h i k j∂u

∂g ∂g ∂gjk ki i j h------------------ + ------------------ - ------------------ = 2 g Γi j k hk i j∂u ∂u ∂u

lk lg g = δkh h

∂g ∂g ∂gkl jk ki i j lg ------------------ + ------------------ - ------------------ = 2 Γ i j k ij∂u ∂u ∂u

enfin : l i ; i j ; j k ; k h

∂g ∂g ∂gi 1 ih hk jh jk Γ = --------------- g -------------------- + -------------------- - -------------------- (10,5)jk 2 j k h ∂u ∂u ∂u

Ainsi, on peut calculer directement les symbolesde Christoffels à partir du tenseur métrique,c’est à dire également directement à partir del’expression de l’élément linéaire (10,2); sansutiliser les coordonnées cartésiennes liées àl’espace vectoriel "fixe" sur lequel est construitl’espace affine. Ce fait étend les résultats du§ 5 , chapitre 9 résumés dans le dernier alinéa dece paragraphe 5 . Il représente une généralisationconsidérable de ces résultats, et permettrad’étendre ce calcul des symboles de Christoffel auxvariétés différentiables pour lesquelles iln’existe pas d’espace vectoriel fixe global.

3. Exemple : calcul des symboles de Christoffelen coordonnées polaires du plan. - Nous effectuonsce calcul pour un coefficient particulier.

2 2 2 2 1 0 ds = dr + r dθ ⇒ g = 2 0 r

∂gr 1 rr θθ Γ = --------------- g 0 + 0 - ----------------------θθ 2 ∂r

3 207

∂gr 1 rr θθΓ = - --------------- g ---------------------- = - rθθ 2 ∂r

Résultat déjà trouvé précédemment.

4. Les équations de Lagrange. - Nous allons dansle paragraphe suivant montrer que les droites,qui sont les chemins de direction constante, sontégalement les chemins de longueur minimale entredeux points, ceci dans un espace euclidien. Dans unespace pseudo-euclidien, il s’agit simplement deschemins d’intervalle stationnaire. Mais pour cefaire nous aurons besoin des équations de Lagrangeque nous démontrons donc dans ce paragraphe.

On considère un chemin paramétré par la variableλ, on a donc : M(λ), le point M est déterminé parla valeur du paramètre. Dans la suite, un point audessus d’un symbole signifie que l’on a affaire àla dérivée de la fonction désignée par le symbole.

On considère l’intégrale suivante calculée lelong du chemin :

λ2⌠ i . i S = L u (λ) , u (λ) , λ dλ (10,6) ⌡λ1

Nous reprenons ici les notations utilisées enmécanique classique où S est appelée l’action et Lle lagrangien; dans ce cas λ est le temps t, ce quin’est pas le cas ici. iNous cherchons quel est le chemin u (λ) joignantdeux points donnés qui rend stationnaire S.Considérons donc un chemin voisin se déduisant duichemin considéré par les variations δu (λ) desifonctions u (λ). Tous les chemins considérés ontles deux mêmes extrémités M1 = M(λ1) eti iM2 = M(λ2) ; de telle sorte que δu (λ1) = δu (λ2)= 0 . Nous devons avoir δS = 0 .

λ2⌠ ∂L i ∂L . i δS = --------------- δu (λ) + --------------- δu (λ) dλ i . i ⌡ ∂u ∂uλ1

i. i du d iδu (λ) = δ ----------- = ----------- δu dλ dλ

λ2 λ2⌠ λ2 ⌠∂L d i ∂L i i d ∂L --------------- ----------- δu dλ = --------------- δu - δu ----------- --------------- dλ. i dλ . i dλ . i⌡ ∂u ∂u λ1 ⌡ ∂uλ1 λ1

iLes variations δu étant nulles aux deuxextrémités, le premier terme du second membredisparait. Il vient :

4 208

λ2⌠ ∂L d ∂L i iδS = --------------- - ----------- --------------- δu dλ = 0 ; ∀ δu (λ) i dλ . i ⌡ ∂u ∂uλ1

d ∂L ∂L⇒ ∀ i : ----------- --------------- - --------------- = 0 (10,7)dλ . i i∂u ∂u

Ce sont les équations de Lagrange du problèmeconsidéré.

5. Les droites, comme chemins d’intervallestationnaire. - Nous allons montrer que dans unespace affine muni d’un élément linéairestrictement positif, c’est à dire dans un espaceeuclidien, les droites sont les chemins de longueurstationnaire. Nous montrerons ensuite qu’il s’agitd’un minimum; puis nous envisagerons le cas del’espace pseudo-euclidien de la Relativitérestreinte.

M2⌠ ---------2La longueur du chemin vaut : S = √ ds

⌡M1

λ2⌠ k l 1/2 du du S = L dλ ; avec L = g ----------- ----------- (10,8) kl dλ dλ ⌡λ1

Pour S stationnaire, les équations de Lagrangedonnent :

∂L 1 .k ∂L 1 .k . l--------------- = ----------------- g u ; --------------- = --------------------------- g u u. i L ik i 2 L kl,i∂u ∂u

∂gklavec : g = ----------------------- ; posons : ds = L dλkl,i i∂u

k k ld 1 du 1 du du----------- ----------------- g L ---------- - --------------------------- L L g ---------- ---------- = 0dλ L ik ds 2 L kl,i ds ds

dg k k k lik du d du L du du------------------- ---------- + g ----------- ---------- - ----------------- g ---------- ---------- = 0dλ ds ik dλ ds 2 kl,i ds ds

dg dg lik ik du------------------- = ------------------ L = g ---------- Ldλ ds ik,l ds

5 209

l k 2 k k ldu du d u L du duL g ---------- ---------- + g L -------------- - ----------------- g ---------- ---------- = 0ik,l ds ds ik 2 2 kl,i ds dsds

L ne s’annulle jamais, l’élément linéaire étantstrictement positif; et on peut donc diviser par L.

Dans le premier terme, on peut échanger l et kqui sont des indices muets, puis permuter i et l,le tenseur métrique étant symétrique;

l kdu dug devient g ; ---------- ---------- ne change pas dansik,l li,k ds ds

cette manipulation. Il vient :

2 k k ld u 1 du dug -------------- + --------------- g + g - g ---------- ---------- = 0ik 2 2 ik,l li,k kl,i ds dsds

2 k k lhi d u 1 hi du dug g -------------- + --------------- g g + g - g ---------- ---------- = 0ik 2 2 ki,l il,k kl,i ds dsds

Nous retrouvons bien (9,39) :

2 h k ld u h du du------------------- + Γ --------------- ------------- = 0 (10,9)2 kl ds dsds

6. Les droites sont les chemins de longueurminimale dans un espace euclidien. - Nous pouvonsprendre l’axe des x parallèle à la droite M1M2 et xcomme paramètre pour tout chemin voisin de la. .droite M1M2 . Posant y = dy/dx et z = dz/dx , ilvient :

M2 x2 x2⌠ ------------------------------------------------------------ ⌠ ---------------------------------------------- ⌠2 2 2 . 2 . 2S = √ dx + dy + dz = dx √ 1 + y + z > dx

⌡ ⌡ ⌡M1 x1 x1

Ainsi : S > x2 - x1 = Sdroite .

7. Cas de l’espace pseudo-euclidien de laRelativité restreinte pour des intervalles du genretemps. - Considérons un chemin dans l’espace-tempsreliant les évènements M1 et M2 tel qu’à aucunmoment la vitesse de la lumière ne soit atteinte. Lne s’annulle donc jamais. Pour avoir une quantitépositive sous la racine carrée, il faut prendre :

2 2 2 2 2 2 2 2ds = C dτ = C dt - dx - dy - dz > 0

S est égale à la durée totale du voyage pouraller de l’évènement M1 à M2, indiquée parune horloge solidaire du mobile au facteur C,vitesse de la lumière près : -En effet, il existe un référentiel galiléen Rdans lequel l’objet est immobile pendant la courte

6 210

durée dt, près d’un évènement quelconque du chemin.Dans ce référentiel les horloges indiquent unedurée écoulée égale à dτ puisqu’on y calcul (voir§ 6 chapitre 3 et (4,6); rappelons que noussupposons que l’état d’accélération n’a pasd’influence sur l’écoulement local du temps) :

2 2 2 2 -2 -ds = C dτ = C dt - 0 - 0 - 0 ⇒ dτ = dt

- - -dx = dy = dz = 0 , l’objet étant immobile, dτ estdonc la durée séparant les deux évènementsinfiniment voisins indiquée par une horlogesolidaire du mobile. Ceci se reproduisant à chaqueinstant, il en résulte que :

M2⌠S = C dτ = C ( τ2 - τ1) (10,10)

⌡M1Nous allons montrer maintenant que S est maximale

pour le chemin correspondant à la droite del’espace-temps reliant M1 à M2.

Les deux évènements M1 et M2 étant séparés par unintervalle du genre temps, il existe unréférentiel galiléen dans lequel ces deuxévènements ont lieu au même endroit. Mesurons doncles coordonnées d’espace et de temps dans ceréférentiel. Pour une droite d’espace-temps, lescoordonnées du point courant sont des fonctionslinéaires d’un paramètre λ dans un référentielgaliléen. Ce ne serait pas le cas dans unréférentiel non galiléen. λ variant de 0 en M1 à 1en M2, on a :

0 x = C t = λ C t - t + C t M2 M1 M1

i i i i ix = λ x - x + x = x = C te; i = 1,2,3 M2 M1 M1 M11 2 3On a donc : dx = dx = dx = 0

M2⌠ S = C dt = C t - t (10,11)droite M2 M1⌡M1

L’objet est donc constamment immobile dans leréférentiel considéré pour la ligne droite d’espacetemps. Prenons un chemin différent de la lignedroite; on peut paramétrer ce chemin par le temps tdu référentiel précédent, on a : x(t), y(t), z(t).

t 2 t 2 ------------------------------------------------------⌠ ---------------------------------------------------------------------------------------- ⌠ i 22 2 2 2 2 1 dx S = √ C dt - dx - dy - dz = C dt 1 - Σ ------- ------------√ i C dt ⌡ ⌡t 1 t 1

7 211

t 2⌠S < C dt = S

droite⌡t 1

Ainsi la ligne droite d’espace-temps, quicorrespond à un objet constamment immobile dans unréférentiel galiléen, donc à un objet non accéléré,correspond au chemin de temps maximal indiqué parune horloge solidaire de l’objet.

On en déduit le fameux paradoxe des jumeaux deLangevin : un des deux jumeaux reste immobiletandis que l’autre fait un aller et retour avec unefusée, donc en suivant un chemin d’espace-temps quin’est pas une ligne droite. Ce dernier a moinsvieilli que le jumeau immobile lorsqu’ils seretrouvent. Ceci d’autant plus qu’il s’est approchéde la vitesse de la lumière, car à la limite pourun aller et retour à la vitesse de la lumière :

. i 2Σ ( x )i1 - ------------------------------------------- = 0 ; et S = 0 = C (τ2 - τ1)

2C

En ce sens un photon ne vieillit pas, son tempspropre ne s’écoule pas, il est partout en mêmetemps au sens de son temps à lui. Ainsi, s’il fautpar exemple 200 000 ans pour faire l’aller etretour de notre galaxie vu de la Terre, pour levoyageur, s’il peut subir d’énormes accélérations,il peut faire ce voyage en un temps aussi petitqu’il veut (voir exercice 4.5 ).

8. Cas des intervalles du genre espace. - Dans cecas, nous devons prendre :

2 2 2 2 2 2ds = dx + dy + dz - C dt , de façon à pouvoir---------

2calculer √ ds . On a encore L ≠ 0 , et ladémonstration du § 5 fonctionne.

Deux évènements séparés par un intervalle dugenre espace se produisent simultanément dans uncertain référentiel galiléen. Raisonnons dans ceréférentiel. La ligne droite d’espace-tempsjoignant les deux évènements est, dans leréférentiel précédent la ligne droite de l’espace àtrois dimensions constituée d’évènementssimultanés. Or de tous les chemins à tempsconstants de l’espace à trois dimensions, la lignedroite minimise S, qu’on appelle alorsSdro i te .

simultanésOn peut en effet paramétrer les chemins par la

coordonnée x par exemple. L’axe des x est choisi defaçon à ce que M1 et M2 se produisent aux pointsd’espace M1 et M2 tels que M1M2 soit parallèle àl’axe des x. Si x est monotone le long des chemins,

8 212

on a alors :

M2 x2⌠ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ⌠ -----------------------------------------2 2 2 2 2 . 2 . 2S = √ dx + dy + dz - C dt = dx √ 1+ y + z

⌡ ⌡M1 x1

On est ramené au cas du §6, et S est minimale pourla ligne droite de l’espace à trois dimensions.

Cependant, un chemin en ligne droite dansl’espace à trois dimensions et constituéd’évènements non simultanés rend S encore pluspetite; en effet :

x2 x2⌠ -------------------------------------- ⌠2 .2S = dx √ 1 - C t < dx = Sd

s⌡ ⌡x1 x1

Dans ce cas, la ligne droite de l’espace-tempsqui rend S stationnaire n’est ni un maximum, ni unminimum! Cela est équivalent à une fonction de deuxvariables par exemple qui est stationnaire, sansêtre ni maximale, ni minimale, la surface z =f(x,y) ayant la forme d’une selle de cheval ou d’uncol en montagne.

9. Cas des intervalles du genre lumière. - Pourdeux évènements séparés par des intervalles dugenre lumière, tout chemin voisin peut avoir des

2 2 2 2 2parties avec dx + dy + dz - C dt > 0 , etd’autres parties où ce nombre est négatif. On nepeut donc pas définir d’intégrale donnant S.

q===== =====e2 22 Ensemble des dr o i tes 22 22 d ’ in t erv a l le es p ace 22 2 Ren d S2 22 U 2 s t a t i o nna i re2 2Ensemble 2 Ensemble des dr o i tes 2 max i mi se= 2 ----- ----------------------Ldes d roites 2 d ’ in t erv a l le t emps 2 S2 =====c22 U =====e2 22 Ensemble des dr o i tes 22 2 S n o n dé f i nied ’ in t erv a l le lumière 22z===== =====c

Les trajectoires des particules matériellesjoignent des intervalles du genre temps. Pour cestrajectoires, il y a équivalence entre ladéfinition des droites de l’espace-temps commechemins de direction constante, et comme chemin detemps propre maximal.

10. Volume d’un domaine, élément de volume. - EnRelativité générale, nous serons amenés à prendredes coordonnées curvilignes quelconques. Nousaurons besoin de connaitre la valeur de l’élémentde volume exprimé avec ces coordonnées. Nous allonsvoir ci-dessous que l’on peut également trouver une

9 213

formule élégante pour la divergence d’un champ devecteurs. A ce propos, rappelons que les équationsde conservation écrites pour le tenseurαβ βd’impulsion-énergie ∂T /∂x = 0 ont été écritesαen utilisant les coordonnées rectilignes types xde l’espace-temps, pour lesquelles les symboles deChristoffel sont nuls. En coordonnées curvilignes,il faudra utiliser la formule (9,34) avec lessymboles de Christoffel, ou la formule (10,22) quenous allons trouver ci-dessous pour la divergence.

Nous commençons par la notion de volume, enrappelant sa définition en coordonnéesrectilignes orthonormées ou types.

Dans l’espace physique à trois dimensions, pourdéfinir le volume d’un domaine

, on prend un

repère orthonormal et on définit V par :

⌠1 2 2V = dx dx dx (10,12)

⌡

1 2 3x , x , x étant les trois coordonnéesorthonormales.

1 2 3dV = dx dx dx (10,13)

dV est appelé élément de volume. Tel est en effetle point de départ obligé de la construction decette notion de volume faisant intervenir pour sadéfinition des repères particuliers.

Rappelons que d’une manière générale, pourdéfinir le volume dans un espace affine à ndimensions non muni d’un produit scalaire, onchoisis arbitrairement un repère de l’espace, et onprend pour convention que le volume duparallélépipède construit sur les vecteurs de basesest 1. Cela revient à choisir que le déterminant deces n vecteurs de bases vaut 1, et cela fixe laconstante de proportionnalité indéterminée dansl’expression du déterminant de n vecteurs. On ditalors que l’espace est jaugé. Dans le cas d’unespace muni d’un produit scalaire, la formule(10,12) correspond au fait qu’on choisi une baseorthonormée (ou base type) comme base dedéterminant 1, ce qui est naturel.

Un exemple de structure d’espace affine non munid’un produit scalaire est l’espace du diagrammepression-volume d’un fluide en thermodynamique.Ayant choisi l’unité de volume et l’unité depression arbitrairement, l’élément de "volume"unité qui est ici un élément d’aire, correspond àun parallèlogramme construit avec l’unité depression et l’unité de volume (fig. 10.1).

10 214

P

___________________________1 P a

-------------------------- ------------------------------------------L31 m V

F i g . 10.1

Dans un tel espace, les notions affines commecelle de parallèlisme ont un sens, tandis queles notions métriques comme celle de produitscalaire ou de longueur d’un arc de courbe n’en ontpas. Ainsi, pour un cycle, donc une trajectoirefermée dans l’espace (P,V), l’aire du cycle a unsens et correspond au travail échangé, tandis quela circonférence n’a pas de longueur définie,s’exprimant en unité de pression parallèlement àl’axe des volumes et en unité de volumeparallèlement à l’axe des pressions; aucune unitén’étant disponible dans le cas général, les deuxunités pression et volume n’étant pas reliées.

Dans un espace muni d’un produit scalaire, lanotion de longueur d’un arc de courbe existe, etégalement celle de volume. Ces deux notions et lesunités correspondantes sont reliées de façon à ceque la formule donnant le volume d’unhyper-paralélépipède-rectangle soit :

V = l1 l2 ... ln (10,14)

avec le coefficient 1 devant l1...ln .Cette formule est en effet la même que celle

(10,13) donnant l’élément de volume en coordonnéesorthonormales ou types. Le coefficient deproportionnalité est pris arbitrairement égal à 1(le choix d’une unité par le choix du coefficient 1dans une formule est courant en physique). Tel estle sens du choix précédemment précisé d’une baseorthonormée (ou base type) comme base dedéterminant 1 donc de volume unité dans un telespace.

Remarquons que la Relativité restreinte, grâce àla constante universelle C , vitesse de la lumière,permet de relier les unités de longueurs et detemps, donnant une commune mesure à ces deuxgrandeurs. La notion de longueur d’un chemin(intégrale du temps propre) dans l’espace-tempsprend alors un sens. La Relativité restreintepermet donc de passer de la structure affinenewtonienne de l’espace-temps à la structuremétrique (espace affine muni d’un produitscalaire).

11 215

11. Volume d’un domaine et élément de volume en-i icoordonnées curvilignes. - Soit u (x ) un systèmede coordonnées curvilignes. On sait par la théoriedu changement de variables dans un calculd’intégrales multiples que :

⌠ ⌠ i1 n ∂x 1 nV = dx ...dx = det -------------- du ...du (10,15)-⌡ ⌡ i ∂u

Nous avons généralisé la formule (10,12) pour uniespace à n dimensions. Les coordonnées x sont descoordonnées rectilignes types ou orthonormées.Généralisant la notation utilisée en Relativitérestreinte, nous écrirons le tenseur métriqueexprimé avec ces coordonnées (η ). Nous noteronsijiη = det η . On a : η = ± δ et η = ± 1 .ij ij j

L’élément de volume exprimé avec les coordonnées-icurvilignes u vaut, d’après (10,15) :

i1 n ∂x 1 ndV = dx ...dx = det -------------- du ...du (10,16)-i∂u

Le déterminant considéré s’appelle le jacobien de-ila transformation faisant passer des coordonnées uiaux x . D’autre part, on a grâce à (9,20) :

i j∂x ∂xg-- = -------------- η --------------ij - ij -i j∂u ∂u

Cette formule peut s’interpréter comme un produitde trois matrices. Posons :

g = det g--ij

Il vient, la première matrice étant égale à latroisième :

i∂x 2g = η det -------------- (10,17)-i∂u

Cette formule implique que le déterminant dutenseur métrique garde toujours le même signequelles que soient les coordonnées choisies.Il vient :

----------- i∂x√ g = det -------------- -i∂u

12 216

-----------1 n 1 net dV = dx ...dx = √ g du ...du (10,18)

iEn coordonnées curvilignes u , l’élément devolume de l’espace-temps vaut :

---------0 1 2 3dV = √ - g du du du du (10,19)

Et le volume d’un domaine

vaut :

⌠ ---------0 1 2 3V = √ - g du du du du (10,20)

⌡

Dans le cas de la géométrie euclidienne du planpar exemple :

----------- 1 0 g = 2 ; √ g = rαβ 0 r

dV = dx dy = r dr dθ

12. Expression de la divergence en coordonnéescurvilignes. - Utilisons l’expression de ladivergence donnée par l’équation (9,37) au moyendes symboles de Christoffel (ici, r est un indicemuet n’ayant rien à voir avec les coordonnéespolaires) :

i∂V i rdiv V = ---------------- + Γ Vi ri∂ u

Les identités de Ricci donnent :

∂gi j m m------------------ = g Γ + g Γh im j h mj i h∂u

ijLa multiplication contractée par g donne :

∂gij i j j ig ------------------ = Γ + Γh jh ih∂u

Et, puisque i et j sont des indices muets, etcompte tenu de la symétrie des symboles deChristoffel par rapport aux deux indices du bas :

∂gi 1 ij ijΓ = --------------- g -----------------ir 2 r∂u

13 217

ikNous savons que (g ) est la matrice inverse de(g ), donc :ik

ikik ∆g = --------------------gikOù ∆ est le cofacteur de l’élément g .ik

En développant le déterminant g par rapport à laemk colonne :

omk ik 1g = g ∆ + g ∆ sskm k ik 1m----------------------------------.m ≠ i ss i .

ikOr ∆ ne contient pas la variable g ; de là,ikon voit que :

∂g ik--------------------- = ∆∂g i k

ikRemplaçons ∆ par cette expression, il vient :

ik 1 ∂gg = ---------------- --------------------g ∂g ik

∂gi 1 1 ∂g ijet : Γ = --------------- ---------------- ------------------- -----------------ri 2 g ∂g ri j ∂u

i 1 ∂Γ = --------------- -------------- Log gri 2 r∂u

Dans le cas où g < 0 , on a donc :

---------i ∂Γ = -------------- Log √ - g (10,21)ri r∂u

i ---------∂V ∂ rdiv V = ---------------- + -------------- Log √ - g Vi r∂ u ∂u

--------- i ---------1 ∂V i ∂ = ------------------------- √ - g ---------------- + V ------------- √ - g---------- i i ∂ u ∂u√ - g

---------1 ∂ i div V = ------------------------- ------------- V √ - g (10,22)---------- i ∂u√ - g

14 218

Dans l’espace-temps de la Relativité restreinte,et en coordonnées curvilignes quelconques, nousdevrons donc remplacer la relation :

αβ ---------∂T ∂ αβ ------------------------------ = 0 par ---------------- √ - g T = 0 (10,23)β β ∂x ∂u

αβ βL’expression ∂T /∂x est en effet laα αβquatre-divergence du quadrivecteur V = T e .β

15 219

EXERCICES

10.1 Dans cet exercice, nous voulons calculer ladivergence d’un champ de vecteur V en coordonnéessphériques (coordonnées polaires de l’espace).

Les vecteurs de bases usuellement utilisés sont :

∂ 1 ∂ 1 ∂ε = --------- ; ε = ---------------------------------- ----------- ; ε = --------------- -----------1 ∂r 2 r cos ϕ ∂θ 3 r ∂ϕ

ϕ est la latitude et θ la longitude. On a :

ε =

ε =

ε = 1

1 2 3

1 ∂ 2 ∂ 3 ∂ r θ ϕV = V --------- + V ----------- + V ----------- = V ε + V ε + V ε∂r ∂θ ∂ϕ 1 2 3

1 2 3 r1. Calculez V , V , V en fonction de V ,θ ϕV ,V .2. Exprimez l’élément linéaire (élément de

longueur) en coordonnées sphériques de l’espace, et-----------en déduire √ g .

3. Calculez la divergence en coordonnées polairesde l’espace grâce à (10,22).

10.2 On désire, dans cet exercice, calculer lelaplacien en coordonnées polaires de l’espace aumoyen de la formule (9,38).

1. λ étant la latitude, θ la longitude, et r ladistance à l’origine, exprimez l’élément linéaire.

2. Calculez tous les symboles de Christoffel nonnuls au moyen de (10,5). i3. Calculez les composantes grad ϕ .

4. En déduire le laplacien de ϕ.

16 220

Chapitre onze

LES VARIETES DIFFERENTIABLES

1. Définition d’une variété. - Il nous fautmaintenant généraliser la notion géométriqued’espace affine sur un espace vectoriel. Il nousfaut trouver la structure générale de ce que nousappellerons "espace", structure qui s’appliquera àl’espace-temps de la Relativité générale. En effet,en Relativité générale, il n’existe plus deréférentiel galiléen global permettant de définirles quadrivecteurs, donc il n’y a plus d’espacevectoriel global sous-jacent sur lequel estconstruit l’espace géométrique.

Nous avons déjà la notion de certains espaces quine sont pas des espaces affines, comme la surfaced’une sphère par exemple. Mais nous les considéronscomme placés dans un espace affine de plus grandedimension. Cependant, nous devons être capablesd’étudier la structure de l’espace-temps de laRelativité générale, qui constitue la trame denotre univers, d’une manière intrinsèque, sansavoir à le plonger dans un univers fictif échappantà nos sens, donc à la physique.

Ce qu’il nous reste, c’est la notion d’évènement,évènements correspondants aux points del’espace-temps. Enfin, nous sommes capables derepérer l’emplacement de ces évènements et lemoment auquel ils se produisent par troiscoordonnées d’espace et une de temps.

Ce type d’espace, nous l’appellerons variétédifférentiable. Il est constitué par un ensemble depoints repérés par une suite de nombres appeléscoordonnées. Le nombre de coordonnées que noussupposerons dans la suite égal à n constitue cequ’on appelle la dimension de la variété. D’unpoint donné à un point voisin, les coordonnéesvarient d’une manière continue; ce qui peutconstituer la définition du voisinage, s’il n’y ena pas d’autre plus intuitive. Enfin, il se peutqu’il ne soit pas possible d’avoir un seul type decoordonnées sur l’ensemble de la variété. Certainesrégions peuvent nécessiter l’emploi de coordonnéesdifférentes. Nous supposerons que le nombre decoordonnées est partout le même. Le domained’application d’un certain type de coordonnées surla variété constituera une carte, et noussupposerons que les cartes se recouvrent. Dans unezône de recouvrement, nous supposerons que les deux

1 221

types de coordonnées différentes sont des fonctionsdifférentiables les une des autres jusqu’à toutordre nécessaire pour le calcul, d’où le terme devariété différentiable. Un ensemble de cartesrecouvrant complètement la variété constitue unatlas. On reconnait là les termes utilisés engéographie. La surface de la Terre est en effet unexemple de variété.

2. Espace vectoriel tangent. - Il nous fautmaintenant définir d’une manière intrinsèque ce quenous appellerons vecteur tangent en un point de lavariété. Essayant de rester le plus proche possiblede la structure d’espace affine sur un espacevectoriel, nous nous rappelons que dans cettestructure, à un ensemble de deux points A et B, on--------Lassocie le vecteur AB. Dans la variété, ceci nesera possible que pour deux points voisins M et M’.

A deux tels points, on peut associer l’ensemble1 n i ides nombres du ,...,du ; avec : du = u (M’) -

i ju (M). Si l’on prend les coordonnées v , on aura :

ii ∂u jdu = ------------- (M) dv (11,1)j∂v

Nous avons déjà trouvé une telle relation, (9,19)dans l’étude des coordonnées curvilignes dans lesespace affines. Tout ensemble de nombres reliés parla relation (11,1) dans un changement decoordonnées devra donc constituer un vecteurtangent en M à la variété. Nous sommes donc amenésà la construction suivante :

Considérons un point M fixé. Considérons lairelation R entre deux suites de n nombres (a ) et

j i j(b ) définies en coordonnées u et v .

1 1 a b P P i i j i ∂u ja R b si a = ------------- (M) b (11,2) P P jn n ∂v a i b j(u ) (v )

C’est une relation d’équivalence, en effet, elleest réflexive :

i∂u j i j i------------- a = δ a = aj j∂u

Elle est symétrique :

m m i m∂v i ∂v ∂u j ∂v j m------------------ a = ------------------ ------------- b = ------------------ b = bi i j j∂u ∂u ∂v ∂v

Elle est transitive :

2 222

i j ii ∂u ∂ v k ∂ u ka = ------------- ------------------ c = ------------------ cj k k∂v ∂w ∂w

i j i jDe plus : (a ) R (b ) et (a’ ) R (b’ ) +++++⇒i i j j i j(a + a’ ) R (b + b’ ) et (k a ) R (k b ).Ainsi, les classes d’équivalences sont stables

par ces opérations. On peut donc munir l’ensemblede ces classes de ces opérations. L’ensemble desclasses est ainsi muni d’une structure d’espacevectoriel sur R. On a ainsi construit la structured’espace vectoriel tangent en M à la variété. Lesdérivées partielles variant à priori d’une manièrequelconque d’un point à un autre, et cettevariation dépendant du type de coordonnées choisi,il n’y a aucun lien entre les deux espaces tangentsen deux points voisins. Ainsi, il est impossible dedéfinir d’une manière canonique indépendante des--------L --------L -------Lcoordonnées une égalité du type : AB = AC + CBmême pour des points voisins. Ceci est relié aufait que les espaces vectoriels tangents en despoints différents sont déconnectés. Il n’y a aucunmoyen de faire correspondre à un vecteur en M, unvecteur en un point voisin M’. La seule chose quenous donne l’espace vectoriel tangent, c’est aufond un code qui, à partir du point M,permet de donner une direction de déplacement surla variété, et un plus ou moins grand déplacementdans cette direction.

On pose :

q 0 e2 P 2∂ 2 em 2------------- = Classe 2 1 ----- ----L i position 2 (11,3)i P ∂u 2 2z 0 i c( u )On a :

---------L i ∂ j ∂MM’ = du ------------- = dv ------------- (11,4)i j∂u ∂v

Ainsi, on retrouve le même lien (9,4) entrecoordonnées et vecteurs de bases qu’en espaceaffine. Enfin, dans l’égalité précédente, prenonsj j’dv = 1 ; dv = 0 pour j ≠ j’ ; il vient :

i i ii ∂u j ∂u j’ ∂udu = ------------- dv + ------------- dv = -------------j j’ j∂v ∂v ∂v

( s s j)

(11,4) donne alors :

3 223

i∂ ∂u ∂------------- = ------------- ------------- (11,5)j j i∂v ∂v ∂u

Et on a retrouvé (9,15).Disposant de l’espace vectoriel tangent en M à la

variété, la notion de tenseur en M s’en déduit. Untenseur en M est donc un ensemble de nombresobéissant à la bonne loi de transformation, c’est àdire (9,20) lors d’un changement de base del’espace vectoriel tangent en M; c’est égalementune forme multilinéaire sur un produit cartésiencontenant un certain nombre de fois l’espacetangent en M et un certain nombre de fois son dual.

En particulier, on a les formes linéaires, et la*i ∂base duale e de la base e = ---------- . On a :i i∂u

*i *i ∂ j *i ∂ j i j ie (dM ) = e ---------- du = e ---------- du = δ du = du j j j∂u ∂u

*i *iOn note toujours e = du ; et on a :

*i idu (dM ) = du (11,6)

On a retrouvé ainsi (9,6).Notons qu’on peut définir les vecteurs tangents à

une variété différentiable comme opérateurs dedérivation sur les fonctions scalaires définies surla variété. Certains auteurs préfèrent eux, définird’abord les formes linéaires de l’espace dual commedifférentielles des fonctions scalaires définiessur la variété, et passer ensuite aux vecteurstangents par dualité. Toutes ces définitions sontéquivalentes.

3. Variétés riemaniennes. - Ce sont des variétésoù il existe un produit scalaire dans l’espacetangent en M auquel correspond un élément linéairepar :

i j i j(a ) i . (b ) i = g a b (11,7)(u ) (u ) ij

---------L ---------L 2 i jMM’ . MM’ = ds = g du du (11,8)ij

∂ ∂On a : g = ---------- . ---------- (11,9)ij i j∂u ∂ug = g = (g ) est un tenseur deux foisij

covariants.Réciproquement, la donnée d’un élément linéaire2 i jds = g du du indépendant des coordonnéesij

4 224

choisies muni l’espace tangent d’un produitscalaire, les g obéissant aux bonnes lois deijtransformation pour un tenseur deux fois covariantsdonc un produit scalaire. Nous avons vu au § 3 duchapitre 7 que tel est le cas pour l’espace-tempsde la Relativité générale. Nous retrouverons

2l’espression générale du ds (11,8) au § 2du chapitre 12 . L’espace-temps de la Relativitégénérale est donc une variété riemanienne. Danstoute la suite de ce chapitre, nous supposerons quel’on a affaire à de telles variétés.

Nous avons vu que sur une variété, il n’y a pasde connection entre des vecteurs tangents en despoints différents de la variété. Nous ne pouvonsdonc pas définir les droites comme chemins dedirection constante, car il n’y a aucun moyen decomparer une direction en un point à une directionen un autre point.

L’élément linéaire nous permet cependant dedéfinir un ensemble de courbes d’intervallestationnaire. Les démonstrations du § 4 et § 5du chapitre 10 sont en effet valables sur unevariété riemanienne quelconque. Nous appelleronsces courbes qui généralisent les droites desespaces affines, des géodésiques. Elles ont pouréquation :

2 h k ld u h du du--------------------- + Γ ---------------- -------------- = 0 (11,10)dλ kl dλ dλ

à la condition de poser :

h 1 hi Γ = --------------- g g + g - g (11,11)kl 2 ki,l il,k kl,i

On retrouve ainsi exactement les formulesobtenues en espace affine euclidien, bien que lanotion de dérivée covariante d’un vecteur ne soitpas définie pour le moment. On appellera encore les

iΓ les symboles de Christoffel.jkLes symboles de Christoffel sont bien

symétriques, comme dans le cas des espaces affines,de par leur définition en fonction du tenseurmétrique qui est symétrique.

La loi de transformation des symboles deChristoffel dans un changement de coordonnéess’obtient par la formule les définissant enfonction du tenseur métrique, avec la loi detransformation des composantes de ce tenseur et laloi de transformation des coordonnées et de leursdérivées partielles. Or toutes les formules et loisde transformations sont identiques à cellestrouvées dans le cas des espaces affines. Dans ce

5 225

dernier cas, les formules et lois detransformations étaient en accord avec la loi detransformation des symboles de Christoffel dans unchangement de coordonnées vue au chapitre 9 . Cetteloi de transformation est donc nécessairement lamême, et il n’est pas nécessaire de la recalculer.

4. Transport parallèle d’un vecteur. - Un champde vecteur constant en espace affine, vérifiait :

i i j i k(dV) = dV + V Γ du = 0 (11,12)jk

Nous pouvons donc définir la non variation d’un---------L kvecteur lors du déplacement MM’ = (du ) sur unevariété riemanienne, par la formule précédente. Ondit que l’on fait le transport parallèle du vecteurV de M à M’. Ce vecteur reste en effet parallèle àlui même, il garde une direction (et une intensité)constante; mais c’est la formule précédente quipermet de définir ce qu’on appellera direction etintensité constante sur une variété riemanienne.Cette définition est intéressante, car elle permetde considérer localement les géodésiques comme descourbes de direction constante. Posanti i iV = du /dλ ; V = (V ) est un vecteur tangent àla géodésique; et l’équation des géodésiques(11,10) redonne (11,12).

Notre but est en effet de montrer que localementles variétés riemaniennes peuvent être considéréescomme des espaces affines munis d’un produitscalaire sur un espace vectoriel. Les géodésiquesdevront alors être localement des droites, donc descourbes de direction constante.

Notons que le procédé que nous utilisons, quoiquefaisant appel à des mathématiques plus élaborées,est le même que celui qui permet de construire lagéométrie de notre espace à trois dimensions. Engéométrie physique, le concept primitif est lanotion de chemin, et de longueur d’un chemin. Ondéfini alors les droites comme des chemins delongueurs minimale, et on les visualise avec uneficelle tendue. On dit alors que deux bipoints sontéquipollents si le quadrilatère formé est unparallèlogramme, ce qui suppose que les diagonales(qui sont des droites) se coupent en leur milieu.La notion de parallélisme, donc de directionconstante est ainsi obtenue à partir des droitesobtenues auparavant comme courbes de longueursminimale. Le reste de la géométrie se déroule alorsà partir de ce point de départ physique. Il restela propriété remarquable que dans un espace affineles droites sont à la fois les courbes de directionconstante, et de longueur stationnaire.

Les espaces vectoriels en deux points voisins Met M’ sont maintenant connectés, la différence dedeux vecteurs, l’un en M, l’autre en M’, à un sens,

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avec :

i i j i kV(M’) - V(M) = dV + V Γ du jk

i i i ∂V(M’) - V(M) = (dV) ; dV = (dV) ---------- i∂u

Pour que la définition précédente soit valable,iil faut que les nombres (dV) se transforment biencomme les composantes d’un vecteur dans unchangement de base. Or leur loi de transformationise déduit de (11,2) pour V et de la loi detransformation des symboles de Christoffel. Cetteloi de transformation est la même que dans le casdes espaces affines. Dans ce dernier cas, cette loide transformation des symboles de Christoffel étaitien accord avec le fait que les nombres dV étaientles composantes d’un vecteur. Toutes les formulesétant identiques, il n’est pas nécessaire de fairele calcul, le résultat est acquis.

On dit que la variété est munie d’uneconnection définie par les symboles deChristoffel. Cette connection ayant été construite

2à partir de l’élément linéaire riemanien ds , ondit qu’on a une connection riemanienne. jLa formule ci-dessus donne, pour V = ∂/∂u :

i ∂ ∂ m i k i k------------- (M’) - ------------- (M) = δ Γ du = Γ du j j j mk jk∂u ∂u

i∂ ∂ ∂ i ∂ kd ------------- = d ------------- ------------- = Γ ------------- duj j i jk i∂u ∂u ∂u ∂u

i ksoit : de = Γ e duj jk i

et on a retrouvé (9,13).

5. Stabilité de la somme et du produit externepar un nombre des vecteurs par transport parallèle.- Le vecteur obtenu par transport parallèle d’unpoint à un autre le long d’une courbe d’unecombinaison linéaire de deux vecteurs est égal à lamême combinaison linéaire des deux vecteurstransportés. On a en effet :

i j i kd( λ V + µ W ) = - ( λ V + µ W ) Γ dujk

j i k j i k i i= - λ V Γ du - µ W Γ du = λ dV + µ dWjk jk

i iAinsi : ( λ V + µ W ) (M’) = ( λ V + µ W ) (M)

i i i i i+ d( λ V + µ W) = λ V (M) + λ dV + µ W (M) + µ dW

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i i= λ V (M’) + µ W (M’) .

6. Transport parallèle d’un tenseur. - A partirdu transport parallèle des vecteurs, on peutdéfinir le transport parallèle des formes linéaireset plus généralement des tenseurs, suivant le mêmeprocédé q’aux § 7 et § 8 du chapitre 9 . Onaboutit alors aux même formules avec les symbolesde Christoffel.

La variation d’une forme linéaire est définie àpartir de l’équation (9,25) posée comme définition.Cette définition assure qu’une forme linéairetransportée parallèlement à elle même, c’est à direconstante, donne une valeur constante en étantappliquée à un vecteur transporté parallèlement àlui même, donc constant :

dV = 0 ; dϕ = 0 ⇒ d ϕ(V) = 0

De la même manière qu’au chapitre 9 , il endécoule alors : (9,26); (9,28); (9,30); (9,32); et(9,33).

Pour les tenseurs d’ordres quelconques, ladéfinition du transport parallèle est faite enposant (9,31). De là découle (9,34) et (9,35).

La propriété de stabilité du § 5 est encorevalable pour les tenseurs comme on le voitimmédiatement avec la formule utilisant lessymboles de Christoffel.

7. Conservation du produit scalaire par transportparallèle. - Nous avons :

i jd V.W = d g V W ij

Cette formule exprime la différentielle duiproduit scalaire en fonction des g , dg , dV , etij ijjdV . Ces dernières s’expriment avec les symboles deChristoffel. Les formules sont les même que dans lecas des espaces affines; en particulier le lienentre les symboles de Christoffel et le tenseurmétrique. Dans le cas des espaces affines ontrouvait zéro. De nouveau, il est inutile de fairele calcul, nécessairement d(V.W) = 0 , et il y aconservation du produit scalaire par transportparallèle. Ainsi, au transport parallèle du vecteur ---------LdM = MM’ , correspond deux nouveaux points M1, M’1,définissant le nouveau vecteur, tels quel’intervalle entre ces deux derniers soit le mêmeque celui du départ. En ce sens le transportparallèle construit respecte la métrique, et cette

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condition le défini d’une manière unique. En effet,réciproquement, tout transport parallèle correspondà la formule (11.12) avec certains symboles deChristoffel ayant la loi de transformation (9,36);la conservation du produit scalaire impliqued(e .e ) = dg = 0 , qui sont les identités dei j ijRicci, dont on déduit l’expression des symboles deChristoffel en fonction du tenseur métrique.

8. Transport parallèle d’un vecteur le long d’unecourbe fermée. - Considérons un circuit fermé C quiest le bord d’une surface S (fig. 11.1).

C C1

C2

S

Ci

Fig. 1 1 . 1

On peut diviser la surface S en petites celluleslimitées par de petits circuits fermés Ci. Lechangement du vecteur V par transport parallèle lelong de C est la somme des changements obtenus partransport autour de chaque circuit Ci. Lechangement de V autour d’une cellule intérieure esten effet annulé par les changements obtenus encirculant en sens inverse autour des cellulesadjacentes. Il ne reste donc que la contributiondes bords extérieurs des cellules bordant S quiconstitue C. On peut donc ne se préoccuper que duchangement de V lors du transport parallèle autourd’un petit circuit. Dans ce cas, on a :

i j i kdV = - V Γ du +++++⇒jk

j j m j l l V (λ) = V (λ0) - V (λ0) Γ (λ0) u (λ) - u (λ0) + ...ml

i∂Γi i jk l l Γ (λ) = Γ (λ0) + ------------------- (λ0) u (λ) - u (λ0) + ...jk jk l ∂u

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λ1⌠ i i j m j l l V (λ1) = V (λ0) + - V (λ0)- V (λ0) Γ (λ0) u (λ)-u (λ0) ml ⌡λ0

i ∂Γ ki jk l l du × Γ (λ0) + ------------------- (λ0) u (λ) - u (λ0) ---------------- dλjk l dλ ∂u

⌠ kSi le circuit est fermé : du = 0⌡

2 l l On néglige le terme en u (λ) - u (λ0) ; il reste, au premier ordre non nul :

i ∂Γ ⌠i i j h i jk l kV (λ1) - V (λ0) = V Γ Γ - ------------------- u dujl hk l ∂u ⌡

⌠ ⌠ ⌠l k l k k l u du = d u u - u du ⌡ ⌡ ⌡m------------------------------i----------------------------.

<0

iPour tout tenseur T , on a alors :jkl

⌠ ⌠ ⌠i l k 1 i l k 1 i k lT u du = --------------- T u du - --------------- T u dujkl 2 jkl 2 jkl⌡ ⌡ ⌡

⌠1 i i k l= --------------- T - T u du2 jlk jkl ⌡

Appliquant cela :

i iV (λ1) - V (λ0) =

i i ∂Γ ∂Γ ⌠j 1 jk j l h i h i k lV --------------- ------------------- - ------------------- + Γ Γ - Γ Γ u du2 l k jk hl j l hk ∂u ∂u ⌡

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⌠i 1 j i k l∆V = --------------- V R u du (11,13)2 jkl ⌡

Avec :

i i∂Γ ∂Γi jk j l h i h iR = ------------------- - ------------------- + Γ Γ - Γ Γ (11,14)jkl l k jk hl j l hk∂u ∂u

iLes nombres R sont les composantes d’unjkltenseur du fait de la covariance de l’équation(11,13) ; on l’appelle : Le tenseur de courbure deRiemann Christoffel.

Remarquons la grande analogie de la formule(11,14) avec la formule (5,79) :

∂A ∂Al kF = ------------------ - ------------------kl k l∂ u ∂ u

exprimant le tenseur électromagnétique en fonctiondu potentiel vecteur. Les symboles de Christoffelsont appelés les coefficients de connection. Laconnection est en effet caractérisée par la formule(11,12) donnant le transport parallèle d’unvecteur, donc par les symboles de Christoffel. Onvoit que les composantes du potentiel vecteurjouent le rôle de coefficients de connection.αLe quadripotentiel vecteur A est soumis à latransformation de jauge (5,86) laissant invariantαβle tenseur de courbure de la connection : F . Demême, les symboles de Christoffel sont soumis à latransformation de Jauge (9,36) laissant invariantile tenseur R par (11,14).jkl

Dans les Théories de jauge, à chaque interactioncorrespond une connection sur un espace fibré.Considérons une variété différentiable quelconque.L’ensemble de cette variété et des espacesvectoriels tangents (L’espace vectoriel tangent estl’ensemble des vecteurs tangents en un point)constitue ce qu’on appelle un espace fibré.L’espace est la variété; en chaque point de cettevariété, il y a une fibre qui est l’espacevectoriel tangent en ce point qu’on peut identifierà un plan affine (fig. 11,2).

11 231

Fibres

Chemin de vecteursChemin s ur dan s les f ibresl a vari é t é

Variété Fig. 11.2

La connection permet d’associer à un chemin surla variété un chemin dans l’ensemble des fibres. Apartir d’un vecteur dans l’espace tangent au pointde départ, on peut associer par transport parallèleun vecteur dans l’espace tangent au pointd’arrivée, et un vecteur dans toutes les fibres duchemin. La variation du vecteur correspond à unevariation de l’état de la particule, donc à uneinteraction agissant sur elle. Dans le cas de laRelativité générale, la connection correspond àl’existence des géodésiques de l’espace-tempstrajectoires des particules libres.

Mais plus généralement, en chaque point de lavariété, on peut associer une fibre (un espacevectoriel) qui n’est pas nécessairement l’espacetangent à la variété. Il reste ensuite à construirela connection correspondante. Dans le cas del’électromagnétisme, en chaque point del’espace-temps, la fibre est un espace vectoriel àune dimension; un vecteur correspond à l’état de laphase de la fonction d’onde. Le potentiel vecteurcorrespondant à la connection change la phase de laparticule, ce qui correspond pour un paquetd’ondes, par interférences, à un changement dedirection, donc à l’application d’une force.L’arbitraire de jauge pour le potentiel vecteurcorrepond à un effet de perspective sur la visiondu potentiel vecteur par la particule en fonctionde la phase de départ en un point, choisiearbitrairement.

Le fait qu’il n’y ait qu’un indice pour lescoefficients de la connection correspondant àl’électromagnétisme vient du fait que la fibreétant à une dimension, dans la formule (9,13) iln’y a plus besoin que de l’indice k. On arriveainsi à la formule simplifiée (5,79).

Ainsi le tenseur électromagnétique est le tenseurde courbure de la connection caractérisée par lepotentiel vecteur de l’électromagnétisme.

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iLes nombres R sont fixes au point M. Pourjkl ⌠ k ldes circuits vérifiant u du très inférieur⌡ i∆Vaux inverses de ces nombres, on a : ------------------ 0 .jViSi les coordonnées u sont homogènes à une

longueur, on voit que les inverses des composantesdu tenseur de courbure sont homogènes à unesurface. La condition est donc que la surfacedélimitée par le petit circuit soit très inférieureà l’ordre de grandeur de cette surfacecaractéristique. (Pour une carte terrestre, c’estla surface à partir de laquelle une carte plane estmanifestement fausse et ne respecte pas lesdistances). Dans ce cas, l’erreur relative commiseien considérant les ∆V comme nuls est négligeable.Le transport parallèle d’un vecteur sur un circuitfermé redonne le vecteur du départ.

Cette propriété est bien sur vérifiéerigoureusement si le tenseur de courbure est nul.On dit dans ce cas que l’espace est plat; d’où laterminologie utilisée pour dénommer l’espace-tempsde la Relativité restreinte, dont le tenseur decourbure est nul (voir alinéa suivant). Dans cecas, en décomposant un circuit donné en somme depetits circuits, comme indiqué ci-dessus, letransport parallèle redonne le vecteur du départquel que soit le circuit. Cette propriété est vraid’une manière approchée, tant que l’aire du circuitest inférieure à l’aire caractéristiquecorrespondant aux composantes du tenseur decourbure.

Le plan affine, comme tout espace affine sur unespace vectoriel est bien sur plat. Ainsi, le sensque nous donnons à l’adjectif "plat" est bien lemême que le sens commun. Le plan usuel évoqué parla surface d’un lac sans vent est bien plat! Eneffet, en coordonnées rectilignes dans un espaceaffine, d’après (9,13) tous les symboles deiChristofel sont nuls et (11,14) donne R = 0 .jklToutes les composantes du tenseur de courbure sontnulles dans une base, et ce tenseur est donc nul.Le transport parallèle correspond à garder le mêmevecteur de l’espace vectoriel associé à l’espaceaffine, et sur un circuit fermé, on retrouve doncévidemment le même vecteur!

Nous établirons la réciproque, à savoir que toutevariété riemanienne sur laquelle le tenseur decourbure est partout nul est un espace affine surun espace vectoriel au § 13 . Ceci à part desproblèmes de connexité que nous n’étudierons pasici et qui pourraient empécher l’espace d’avoirglobalement cette structure; comme pour le cône parexemple, qui est bien plat, pouvant être déplié et

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étendu sur une surface plane sans modification del’élément de longueur, donc sans déformation de lasurface, mais dont le point sommet pose problème.

Insistons bien à ce propos sur le fait que, dupoint de vue de la géométrie interne, il n’y a pasde différence de structure entre une partie de côneet une partie de plan, parce que le tenseur decourbure est également nul. Ceci se traduit par lapossibilité de déplier le cône et de le plaquer surle plan.

Pourquoi cela? Parce que la transformationenvisagée ne modifie pas les distances et nedéforme donc pas la surface. C’est une isométrie.Une telle isométrie est possible parce que le côneet le plan ont le même élément linéaire. Celasignifie qu’il est possible de trouver descoordonnées sur le cône, et des coordonnées sur leplan, telles que la formule (11,8) soit la mêmepour le cône et le plan. Il suffit alors, pourconstruire l’isométrie, d’associer les points ayantles même coordonnées sur le cône et sur le planavec ces systèmes de coordonnées.

Par contre, on sait qu’il est impossible deplaquer un morceau de pelure d’orange ayant unecertaine dimension sur le plan. La pelure sefendille en plusieurs endroit. Ceci parce que letenseur de courbure n’est pas nul pour l’orange. Ilest impossible de trouver des coordonnées surl’orange et dans le plan donnant la même formulepour l’élément linéaire.

Toutes les propriétés géométriques que nousétudions ici, comme la distance de deux points, oule tenseur de courbure, sont ainsi construites àpartir de l’élément linéaire. Cet élément linéairecaractérise donc toutes les propriétés géométriquesintrinsèques de la variété.

C’est Gauss qui envisagea le premier qu’ilexistait des propriétés géométriques intrinsèquesdes surfaces, étudiables sans avoir à considérerces surfaces dans l’espace à trois dimensions, etceci uniquement par l’expression de l’élémentlinéaire.

Cette idée apparait en effet pour la premièrefois dans la publication de Gauss en 1827 :"Disquisitiones generales circa superficiescurvas"; Gauss distingue alors pour la premièrefois les propriétés internes de la surface, c’est àdire la géométrie ressentie par des êtres vivantsur cette surface, des propriétés externescaractérisant comment la surface est immergée dansun espace de plus grande dimension. Gauss se rendalors compte que les propriétés internes sontcomplètement caractérisées par la distance ouintervalle de deux points voisins. Gauss raisonnealors uniquement sur les espaces à 2 dimensions,c’est à dire les surfaces. La généralisation de

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cela aux espaces à plus de 2 dimensions revient àRiemann en 1854 .

9. Transport parallèle d’une forme linéaire etd’un tenseur quelconque le long d’une courbefermée. - La propriété précédente : le transportparallèle sur une courbe fermée redonne l’objet dudépart lorsque le tenseur de courbure est nul, estvraie pour les forme linéaires et les tenseurs,quand elle est vraie pour les vecteurs.

Cela se voit d’après la définition de leurtransport parallèle du § 6 . Ainsi les indices 1et 2 se référant au point de départ M1 et au pointd’arrivée M2 avec M1 = M2 :

ϕ2(M) V2(M) = ϕ1(M) V1(M) (transport parallèle de ϕ) = ϕ1(M) V2(M) (transport parallèle de V

redonne V ⇒ V2(M) = V1(M)); cette égalité étantvrai quel que soit V, on a ϕ2(M) = ϕ1(M), et letransport parallèle de ϕ redonne ϕ.

Puis, pour un tenseur T :

T2(M) ϕ2(M),ψ2(M),V2(M) = T1(M) ϕ1(M),ψ1(M),V1(M) = T1(M) ϕ2(M),ψ2(M),V2(M) ⇒ T2(M) = T1(M)

Dans toute la suite jusqu’au § 13 inclus, noussupposerons le tenseur de courbure nul ounégligeable dans le domaine considéré.

10. Champ de vecteurs obtenu par transportparallèle d’un vecteur. - Puisque le tenseur decourbure est considéré comme nul, la variation d’unvecteur par transport parallèle sur un circuitfermé est nulle. Dans ce cas nous allons montrerque le transport parallèle d’un point à un autre ne

C idépend pas du chemin suivi. Appelons ∆A

B V lavariation des composantes de V par transportparallèle de A à B le long du circuit C. Pour unetransformation infinitésimale :

i j i k j i k idV = - V Γ du = + V Γ (- du ) = - dVM

M’ jk jk M’

M

C i C iPar intégration : ∆ V = - ∆ VA

B B

A

C 1 i C2 i∆ V + ∆ V = 0 (Circuit total C1 U C2 fermé)A

B B

A

C 1 i C 2 i+++++⇒ ∆ V - ∆ V = 0 (Propriété ci-dessus)A

B A

B

C 1 i C 2 iSoit : ∆ V = ∆ VA

B A

B

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Ainsi, on obtient la même valeur pour un vecteurpar transport parallèle de A à B quel que soit lechemin suivi. Le raisonnement est le même avec desformes linéaires et des tenseurs, pour passer d’unevariation nulle sur un circuit fermé à unevariation indépendante du chemin suivi pour uncircuit non fermé.

11. Vecteur libre sur la variété. - Définissonsune relation R entre deux vecteurs V(A) et W(B) endeux points différents A et B si W(B) est obtenupar transport parallèle du vecteur V(A) de A à B.Cette relation est réflexive, symétrique ettransitive. Les classes d’équivalences sont leschamp de vecteurs obtenus par transport parallèled’un vecteur unique à travers tout le domaineconsidéré. La relation R est compatible avec lacombinaison linéaire de deux vecteurs d’après lapropriété du § 5. On peut transporter cetteopération sur les classes. L’ensemble des classes,c’est à dire l’ensemble des champs de vecteursobtenu par transport parallèle est ainsi muni d’unestructure d’espace vectoriel. Le transportparallèle respectant le produit scalaire, cetespace vectoriel est muni de ce produit scalairequi en fait un espace euclidien oupseudo-euclidien suivant les cas.

On appelle une classe d’équivalence un vecteurlibre. Les vecteurs tangents en un point à lavariété sont appelés vecteurs liés.

Regardons ce qui se passe en ce qui concerne lesformes linéaires. On peut définir une relationd’équivalence du même type pour elles. Deux formessont équivalentes si elle se désuisent l’un del’autre par transport parallèle. La relation eststable pour la combinaison linéaire. Toutes lesformes d’un tel champ (classe d’équivalence)prennent la même valeur pour tous les vecteurs liéreprésentant un même vecteur libre. On peut direque c’est la valeur de ces formes pour ce vecteurlibre. Appelant ϕ la forme libre, V le vecteurlibre, tandis que les indices 1 et 2 se réfèrentaux formes et vecteurs liés aux points M1 et M2,on a :

ϕ(V) = ϕ2(V2) = ϕ1(V1)

On a la valeur prise par l’ensemble des formes(forme libre) pour le vecteur libre. Une formelibre est donc une forme linéaire sur l’espace desvecteurs libre, et réciproquement.

Ce raisonnement peut maintenant être recopié pourtout tenseur. Un ensemble de tenseurs reliés, quel’on appelle un tenseur libre (la combinaisonlinéaire étant stable pour cette relation), c’est àdire donnant la même valeur pour des formes

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linéaires et des vecteurs reliés, c’est à direobtenu par transport parallèle d’un tenseur lié,est un tenseur du même type construit sur l’espacedes vecteurs libre et son dual. Résumons nous : unchamp de tenseur obtenu par transport parallèle estun tenseur sur l’espace des vecteurs libre et sondual du même type. On l’appelle tenseur libre.

Il nous reste maintenant à montrer que la variétéa une structure d’espace affine sur l’espacevectoriel des vecteurs libres, localement si letenseur de courbure n’est pas nul, globalement surtoute la variété, si le tenseur de courbure estpartout nul.

12. Coordonnées associées à une base de vecteurslibres. - Nous noterons V un vecteur libre, V(M)sont représentant, vecteur lié en M. Etant donnéeune base de vecteurs libres e , existe t’il desiicoordonnées x telles que :

∂ *i *ie (M) = ------------- (M) ⇔ e (M) = dx (M)i i∂x *i *i *j ⇔ ∀ dM ; e (M) (dM) = e (M) du (M)(dM) j

i *i j *i i ∂x j= e (M) du = dx (M)(dM) = dx = ------------- (M) du j j∂u

i∂x *i ⇔ ------------- (M) = e (M) (11,15)j j∂u

*iLe champ de formes e (M) étant obtenu partransport parallèle, on peut appliquer (9,28) avec*idϕ = 0 , et ϕ(M) = e (M) . Avec un changementd’indices muets, il vient :

2 i∂ x-------------------------------- =k j∂u ∂u

* i *i ∂ e (M) ∂ e (M) j k *i l *i l--------------------------------------------------- = e (M) Γ = e (M) Γ = ---------------------------------------------k l jk l kj j∂u ∂u

2 i∂ x= ----------------------------------j k∂u ∂u

La relation ci-dessus assure la compatibilité dusystème différentiel et l’existence des coordonnéesi 1 nx , exprimées ici en fonction des u ,...,u , etappelées coordonnées rectilignes; cette

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dénomination étant justifiée par ce qui va suivre.

13. Structure d’espace affine de la variété. -iDans le système de coordonnées rectilignes x , ona :

i kde (M) = Γ e (M) dx = 0j jk i

En effet, les vecteurs e (M) sont transportésj iparallèlement à eux même. On en déduit : Γ = 0 .jkAinsi, les symboles de Christoffel exprimés enicoordonnées x sont nuls. Ceci est également vrai-iavec d’autre coordonnées rectilignes x . On en

déduit, d’après la formule de transformation :-- 2 i i 2 ii ∂ x ∂x ∂ x0 = Γ- - = 0 + ---------------------------------- -------------- ⇒ ---------------------------------- = 0j k - - i - -j k ∂x j k∂x ∂x ∂x ∂x

Les coordonnées rectilignes sont donc desfonction linéaires les unes des autres. Cela est-i iévident puisque les dérivées partielles ∂x /∂xpermettent de passer par combinaison linéaire de la-i ibase de vecteurs libres ∂/∂x à la base ∂/∂x .Ceci est réalisé par passage d’une relation entrevecteurs liés, vraie en tout point M par transportparallèle de tous les vecteurs, à la même relationentre vecteurs libres (cf § 5 de ce chapitre).Ces dérivées sont donc des constantes indépendantesde M.

En coordonnées rectilignes, l’équation desgéodésiques s’écrit :

2 id x i i i i------------------- = 0 ; soit x = a + λ (b - a ) (11,16)2dλ

Ceci pour une géodésique passant par le point Aide coordonnées (a ) et le point B de coordonnées

i(b ).

On peut alors associer aux deux points A et Ble vecteur libre :

i i i(b - a ) ∂/∂x (11,17)

Dans un autre système de coordonnées rectilignes,on associerait :

- -i i ∂(b - a ) -------------- =-i∂x

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- - i i j i ∂x i i ∂x i ∂x ∂ b -------------- + c - a -------------- + c -------------- ---------- i i - j ∂x ∂x i ∂x∂x

-i ji i ∂x ∂x ∂ i i ∂= (b - a ) -------------- -------------- ---------- = (b - a ) ----------i - j i∂x i ∂x ∂x∂x

On associe bien ainsi aux deux points A et B unvecteur unique ne dépendant pas du système de--------Lcoordonnées que l’on appelle AB. Il est clair queles axiomes des espaces affines sont vérifiés. Pouri ia’ - a petit, on voit que l’on associe le vecteurlibre dont le représentant en A est le vecteur dA--------L= AA’ tangent à la variété défini quand on aconstruit l’espace vectoriel tangent. Enfinl’équation des géodésiques s’écrit :

--------L --------L --------LOM = OA + λ AB (11,18)

C’est bien l’équation d’une droite dans un espaceaffine.

Ainsi dans toute la variété si le tenseur decourbure est nul, ou dans une région suffisammentpetite s’il n’est pas nul, toute variétériemanienne, a la structure d’un espace affine surun espace vectoriel euclidien ou pseudo-euclidien.

A partir de coordonnées rectilignes, on peutobtenir des coordonnées rectilignes types, lesrésultats du § 1 chapitre 10 à ce sujets’appliquant localement. On a alors avec cesicoordonnées g = η = ± δ . g = η = ± 1ij ij jsuivant le nombre de - 1 et de 1 , qui constitue lasignature de la métrique. Localement la propriétédu § 11 du chapitre 10 correspondant àl’équation (10,17) est vérifiée, et g = det g aijun signe indépendant des coordonnées choisies.

La propriété locale de structure d’espace affinepour une variété permet par exemple d’avoir unprocédé simple de tracé des géodésiques sur lessurfaces euclidiennes, comme celles plongées dansnotre espace à trois dimensions.

Dans le plan euclidien, deux roues solidaires etsoudées à un arbre perpendiculaire à elles sontobligées de tourner à la même vitesse; ellesdécrivent deux droites parallèles (fig. 11.3).

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I I1 11 1u---------o u---------o1--------- 1------------------1 1---------11---------j----------------------------------------------------------------------------l---------11---------1 ---------1--------- 1---------1m---------. m---------.

Fig. 11.3

Toute variété à deux dimensions euclidienne étantlocalement identifiée au plan euclidien, un moyende tracer une géodésique sur une telle surface estde faire rouler un tel dispositif. La courbeobtenue est localement une droite affine auvoisinage de chacun de ses points. Elle vérifiedonc partout l’équation (11,10) et est doncglobalement une géodésique.

14 . Utilisation des formules dans une variétédifférentiable riemanienne quelconque - Nous avonsvu à la fin du paragraphe précédent que nouspouvons utiliser les résultats des chapitres 9 et10 dans une variété riemanienne quelconque. Voyonscela de plus près :

D’une manière générale, une variété riemanienneayant localement la structure d’espace affine surun espace vectoriel euclidien ou pseudo-euclidien,toutes les formules locales des chapitres 9 et 10s’appliquent sur une variété riemaniennequelconque. Il en est ainsi par exemple de (5,41).En ce qui concerne un résultat global, il faudraexaminer si le tenseur de courbure intervient, cecidistinguant le cas des variétés plates, espacesaffines, des variétés courbes (tenseur de courburenon nul).

15. Propriétés algébriques du tenseur decourbure. - Commençons par examiner quelles sontles composantes du tenseur de courbure dans unsystème de coordonnées rectilignes. Dans un telsystème, les symboles de Christoffel sont nuls et :

i i∂Γ ∂Γi jk j lR = ------------------- - ------------------- (11,19)jkl l k∂x ∂x

i 1 ih avec : Γ = --------------- g g + g - gjk 2 jh,k hk,j jk,h

ikEn coordonnées rectilignes, g = 0 .,l

20 240

i 1 ih R = --------------- g g + g - g - gjkl 2 jh,kl hk,jl jk,hl jh,lk

- g + g (11,20)hl,jk jl,hk

2 2∂ g ∂ gjh jhOr : g = ------------------------------ = ---------------------------- = g (11,21)jh,kl l k k l jh,lk∂x ∂x ∂x ∂x

i 1 ih R = --------------- g - g + g - g + gjkl 2 hl,jk hk,jl jk,hl jl,hk (11,22)

λR = g R ⇒ijkl iλ jkl

1 R = --------------- - g + g - g + g (11,23)ijkl 2 il,jk ik,jl jk,il jl,ik

Le tenseur métrique est symétrique. De plus onpeut intervertir deux dérivées successives (cféquation (11,21)). Compte tenu de ces deuxpropriétés, il est aisé de vérifier, sur la formeprécédente du tenseur de courbure les propriétésalgébriques suivantes :

(A) Symétrie : R = R (11,24)ijkl klij

(B) Antisymétrie : R = - R = - R = R (11,25)ijkl jikl ijlk jilk

(C) Cyclicité : R + R + R = 0 (11,26)ijkl iljk iklj

Les équations précédentes sont des égalitésentre tenseurs vraies dans un système decoordonnées. Elles sont donc vraies dans toutsystème de coordonnée.

On défini le tenseur de Ricci par :

ikR = g R (11,27)jl ijkl

(A) ⇒ R = R (11,28)jl lj

ik ik λ k λ λR = g R = g g R = δ R = Rjl ijkl iλ jkl λ jkl jλl

21 241

λR = R (11,29)jl jλl

(B) implique que le tenseur de Ricci est le seultenseur du second ordre qui peut être formé parcontraction à partir du tenseur de courbure car, enikmultipliant les équations (B) par g , onobtient :

ik ik ikR = - g R = - g R = g R (11,30)jl jikl ijlk jilk

De plus (B) implique que :

ij ij jig R = - g R = - g R = 0 (11,31)ijkl jikl jikl

Car les indices i et j sont muets; de même :

kl kl lkg R = - g R = - g R = 0 (11,32)ijkl ijlk ijlk

Les indices i,j,k,l dans l’expression (11,23)du tenseur de courbure étant numérotés 1,2,3,4 ,la contraction peut porter sur les couples : (1,2); (1,3) ; (1,4) ; (2,3) ; (2,4) ; (3,4) . (11,27)correspond à (1,3) ; (11,30) à (2,3) ; (1,4) ;(2,4) . (11,31) implique que (1,2) donne 0 .(11,32) implique que (3,4) donne 0 . Toutes lescontractions possibles ont bien ainsi étéenvisagées, et elles aboutissent toutes, au signeprès au seul tenseur de Ricci comme tenseur nonnul.

Il n’y a alors qu’une façon de contracter letenseur de Ricci pour obtenir un scalaire R, qu’onappelle la courbure scalaire.

ij j iR = g R = R = R (11,33)ij j i

j ji ijet : R = g R = g Rj ji ij

Ainsi, on a également :

ijR = g R (11,34)ij

On a enfin, directement à partir du tenseur decourbure :

jl ikR = g g R (11,35)ijkl

16. Nombre de composantes indépendantes du

22 242

tenseur de courbure. - L’espace étant de dimensionn, appelons ce nombre de composantes Cn. Nousallons utiliser la notation de Petrov :

R = R (11,36)ijkl I,J

I et J étant des indices repérant les couples(i,j) et (k,l). Ainsi, à chaque valeur de l’indiceI correspond un couple (i,j), de même, pour J.

(B) implique que chacun des indices I et J prendun nombre de valeurs indépendantes égal au nombred’éléments d’une matrice antisymétrique d’ordre n,soit : 1 + 2 + 3 +...+ (n-1) = 1/2 n(n-1) .

(A) implique que R est symétrique en cesI,Jindices. Le nombre de composantes indépendantes estdonc égal au nombre de composantesindépendantes d’une matrice symétrique d’ordre N =1/2 n(n-1), soit :

N ( N - 1) N ( N + 1)--------------------------------------------------------- + N = -----------------------------------------------------------2 2

N étant le nombre de valeurs pour la diagonale,le premier terme étant le même que pour une matriceantisymétrique. On obtient :

1 1 1 --------------- --------------- n ( n - 1) --------------- n ( n - 1) + 12 2 2

1 2= --------------- n ( n - 1) ( n - n + 2)8

Les équations (A) et (B) rendent la somme del’équation (C) complètement antisymétrique, desorte que l’égalité (C) introduit :1-------------- n (n - 1) (n - 2) (n - 3) relations. En effet,4!

les indices doivent être tous différents, d’où nchoix pour le premier, n - 1 pour le second, etc;puis, toutes permutation (et il y en a 4!) redonneune équation qui n’apporte rien de nouveau à causede l’antisymétrie.

1 2 1Cn = --------------- n(n-1)(n -n+2)- --------------- n(n-1)(n-2)(n-3)8 24

1 2 2Cn = -------------------- n ( n - 1) (11,37)12

(B) et (C) impliquent qu’en dimension 1 letenseur de courbure s’annulle. Il peut paraitresurprenant qu’une ligne courbe ait un tenseur decourbure nul, mais cela montre simplement que letenseur de courbure reflète les propriétés internesde l’espace, et non pas la manière dont il estimmergé dans un espace de dimensions supérieures.Dans un espace de dimension 2, on voit que letenseur de courbure a une seule composante

23 243

indépendante qui peut être prise égale à R . R,1212

la courbure scalaire, est donc fonction de R .1212

En inversant cette fonction, on voit que toutes lescomposantes du tenseur de courbure sont fonction decette seule courbure scalaire. Elle décrit donccomplètement la courbure d’une surface (espace dedimension 2). Dans le cas de la Relativité généraleoù n = 4 , nous aurons Cn = 20 composantesindépendantes.

17. L’identité de Bianchi. - Dans un système decoordonnées rectilignes, nous avons :

1 R = R = --------------- - g + gijkl;m ijkl,m 2 il,jkm ik,jlm

- g + g ; En permuttant cycliquement k,jk,ilm jl,ikm

l et m, il est facile de voir avec l’expressionprécédente que :

R + R + R = 0 (11,38)ijkl;m ijlm;k ijmk;l

C’est l’identité de Bianchi. C’est une équationtensorielle, donc vraie dans tout système decoordonnées.

L’identité de Bianchi pour la connexioncorrespondant à l’interaction électromagnétique estl’équation (5,76) (voir (12,6)) :

F + F + F = 0 (11,39)ij;k jk;i ki;j

18. Le tenseur d’Einstein. - Effectuons unepremière fois la multiplication contractéede l’identité de Bianchi par le tenseur métrique;dans un système de coordonnées rectilignes, onobtient :

ik g R + R + R = 0 ijkl,m ijlm,k ijmk,l

ik ik ikOr g = g = g = 0 (ssk). Il vient :,m ,l ,k

∂ ik ∂ ik ∂ ik ------------------ g R + --------------- g R + ------------- g R = 0m ijkl k ijlm l ijmk ∂x ∂x ∂x

Compte tenu de (11,29) :

24 244

kR + R - R = 0jl,m jlm,k jm,l

∂ jl ∂ jl k ∂ jl ------------------ g R + --------------- g R - ------------- g R = 0m jl k jlm l jm ∂x ∂x ∂x

k lR - R - R = 0,m m,k m,l

En effet, compte tenu de (11,29) :

jl k jl ki ki kg R = g g R = - g R = - Rjlm ijlm im m

k k 2 R - δ R = 0 m m ,k

Puis, en faisant la multiplication contractée parjmg :

kj kj 2 R - g R = 0 ,k

ij ij 1 ijNous posons : G = R - --------------- g R (11,40)2

Le tenseur G est appelé le tenseur d’Einstein etijG = 0 .,jIl n’y aura jamais de confusion possible avec la

constante de la gravitation universelle qui seradonc notée également G.

Encore une fois, puisque nous sommes dans unsystème de coordonnées rectilignes, la dérivationcovariante est identique à la dérivation ordinaire,ce qu’on peut écrire : ", = ;" . Il vient :

ijG = 0 (11,41);j

Cette égalité tensorielle vraie dans un systèmede coordonnées est alors vraie dans tout système decoordonnées. Le tenseur d’Einstein a une divergencenulle.

D’une manière générale, soit une égalité du typeiQ = 0 ; dans un système de coordonnéesj;i irectilignes, on obtient Q = 0 , puis puisquej,idans ce système de coordonnées, les dérivées

25 245

partielles du tenseur métrique sont nullesi kj i ik∂/∂x (g Q ) = 0 ; soit Q = 0 ; soitj ,iikQ = 0 . Ceci étant finalement vrai, en tant;i

qu’égalité tensorielle dans tout système decoordonnées. On peut résumer cela en disant quepuisque la dérivée covariante du tenseur métriqueest nulle, on peut intervertir la multiplicationcontractée par le tenseur métrique, et l’opérationde dérivation covariante.

19. Déviation des géodésiques. - Dans un espacenon euclidien ou non pseudo-euclidien, c’est à direquand le tenseur de courbure de la variété n’estpas nul, l’axiome des parallèles d’Euclide n’estplus vérifié. Par un point extérieur à une droite(géodésique), soit on peut mener plusieursparallèles à cette droite (espace à courburenégative), soit aucune (espace à courburepositive). Le tenseur de courbure caractérisantl’écart à un espace euclidien ou pseudo-euclidiendoit donc également caractériser le comportement dedeux géodésiques voisines. Si ces deux géodésiquessont parallèles en deux points voisins (vecteurstangents paralèles), ce qui correspond à unedistance stationnaire, elles ne doivent pas lerester lorsqu’on les parcourt, la dérivée secondede la distance doit donc être non nulle. Il suffitde prendre deux grands cercles voisins sur unesphère pour visualiser ce comportement.

Considérons donc deux géodésiques voisinesparamétrées par le même nombre τ (ce sera le tempspropre en relativité). Ces géodésiques ont pouri iéquations paramétriques : u (τ) et u (τ) +

iδu (τ) .Les équations sont :

2 i j kd u i du du0 = ------------------ + Γ ------------- ---------------2 jk dτ dτdτ

2d i i i l l d j j0 = -------------- u + δu + Γ (u + δu ) ---------- u + δu2 jk dτ dτ

d k k---------- u + δudτ

Evaluons la différence entre ces deux équationsiau premier ordre en δu :

i2 i ∂Γ j k j kd δu jk l du du i du dδu0 = ----------------------- + ------------------------ δu ------------- --------------- + 2 Γ ------------- --------------- (11,42)

2 l dτ dτ jk dτ dτdτ ∂u

Evaluons cette différence avec la dérivée

26 246

icovariante du vecteur séparation (δu ) entre lesdeux géodésiques (équation (9,24) .

i kD(δu ) d i i j du-------------------------- = ---------- δu + Γ δu ---------------Dτ dτ jk dτ

i i j kD D(δu ) d D(δu ) i D(δu ) du------------- -------------------------- = ---------- -------------------------- + Γ -------------------------- ---------------Dτ Dτ dτ Dτ jk Dτ dτ

2 i j k l md δu i dδu du i j k du du = -------------------- + Γ --------------- --------------- + Γ δu - Γ ------------- ------------------2 jk dτ dτ jk lm dτ dτ dτ

i∂Γ k l k j k mjk j du du i du dδu i j du l du+ ------------------------ δu --------------- ------------- +Γ --------------- --------------- +Γ Γ --------------- δu ------------------l dτ dτ jk dτ dτ jk lmdτ dτ∂u

2 i 2Remplaçons d δu /dτ par sa valeur (équation(11,42)), le terme contenant le symbole deChristoffel avec le coefficient 2 annulle deuxtermes; en changeant certains indices muets, onobtient :

2 j lD i i k du du----------------- δu = R δu ------------- ------------- (11,42)2 jkl dτ dτDτ

C’est l’équation de déviation des géodésiques.Cette équation exprimera en Relativité générale,comment deux particules voisines évoluent l’une parrapport à l’autre dans un champ de gravitation.Elle consiste donc en ce que nous appelons une loidynamique. Cette loi exprime l’effet del’interaction, ici la gravitation, en fonction dutenseur de courbure de la connexion. Elle est toutà fait équivalente à la loi correspondante del’électromagnétisme faisant intervenir le tenseurde courbure de l’électromagnétisme (équation(5,4)), qui peut s’écrire :

2 ------- L α ------- L βα D (OM) α D(OM)Φ = m --------------------------------------- = q F -----------------------------------2 β DτDτ

Soit :

2 ------- L α βD (OM) q α du----------------------------------- = ------------------ F ---------------- (11,43)2 m β dτDτ

En gravitation, il faut considérer deux pointsvoisins, car pour une particule libre seule, satrajectoire est une droite dans un référentiel enchute libre dans lequel tout effet gravitationneldisparait. On peut dire que seuls les effets demarées ont un sens absolu. Par contre, pourl’électromagnétisme, et dans un référentiel

27 247

galiléen, l’effet de l’interaction est parfaitementcaractérisé par l’action sur un point unique.

20. Courbure de la sphère. - ϕ étant la latitudeet θ la longitude, nous avons, a étant le rayon dela sphère :

2 2 2 2 2 2ds = a dϕ + a cos ϕ dθ2 a 0

ainsi : g = ij 2 2 0 a cos ϕ

Il est aisé de calculer les symboles deChristoffel à partir du tenseur métrique; les seulscoefficients non nuls sont :

ϕ θ θΓ = sin ϕ cos ϕ ; Γ = Γ = - tg ϕθθ θϕ ϕθ

ϕ 2On obtient ensuite : R = - cos ϕ puis,θϕθen descendant l’indice ϕ à l’aide du tenseur

2 2métrique : R = - a cos ϕ .ϕθϕθLes autre composantes du tenseur de courbure se

déduisent par des considérations de symétrie de lacomposante précédente, ou sont nulles. Nous avonsvu en effet au § 16 que dans le cas où n = 2 ,il existe une seule composante indépendante pour letenseur de courbure : R .

1212En contractant avec le tenseur métrique, on

trouve pour le tenseur de Ricci :

2R = -1 ; R = R = 0 ; R = - cos ϕϕϕ ϕθ θϕ θθPuis en contractant de nouveau :

2R = - -------------- (11,44)2a

La courbure scalaire est donc constante etproportionnelle à l’inverse du carré du rayon. Lecoefficient 2 et le signe - n’ont pas designification importante. On a l’habitude de direpour des raisons historiques que la sphère est unespace à courbure positive. La courbure

sera donc

prise égale à l’opposé de la courbure scalaire,et :

2= + -------------- (11,45)

2a

21. Exemple de surface à courbure constante etnégative - Dans le plan, la tractrice est par

28 248

définition, la courbe dont la tangente coupe l’axedes x à la distance T constante du point decontact. On appelle λ l’abscisse curviligne orientépositivement dans le sens où la tractrice serapproche de l’axe des x (fig. 11.4).

Mdy1 dλ1 1 y 1 T1 ---------------------------------------------k--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lx

F i g . 11.4

On a :

λdλ T dy dλ - ---------------------------- = - ----------------- ; ---------- = - ------------ ; y = Cte e Tdy y y T

Prenons pour origine de l’abscisse curviligne λle point où la tangente est verticale, parconséquent le point où T = y.

λ- -----------------On a : y = T e T

Cette courbe s’appelle la tractrice, carintuitivement le point M tire la tangente delongueur constante derrière lui lorsqu’ilprogresse.

Considérons maintenant la surface de révolutionobtenue en faisant tourner la tractrice autour del’axe des x (fig. 11.5).

Fig. 11.5

Nous allons voir qu’elle est l’équivalent de lasphère mais à courbure

négative, T jouant le rôle

de a rayon de la sphère.2 2 2 2On a visiblement : ds = dλ + y dθ

29 249

λ2 2 2 - 2 ----------------- 2ds = dλ + T e T dθ

1 0 g = λ ij 2 - 2 ----------------- 0 T e T

Les seuls coefficients de Christoffel non nulssont :

λλ - 2 ----------------- θ θ 1Γ = T e T ; Γ = Γ = - -----------------θθ λθ θλ T

λ λλ - 2 ----------------- - 2 -----------------R = e T ; puis : R = e Tθλθ λθλθ

λ1 - 2 -----------------R = ---------------- ; R = R = 0 ; R = e Tλλ 2 λθ θλ θθT

2 2R = ---------------- = Cte ;

= - ---------------- . (11,46)2 2T T

22. Formule de Stokes. - L’intégrale de ladivergence d’un champ de vecteur dans un domaine d’une variété est égale à l’intégrale sur le borddu domaine noté ∂ du flux de ce champ de vecteur.Démontrons d’abord cette formule au moyen d’unesuite d’intégrales simples; puis dans le paragraphesuivant, nous donnerons l’interprétation mentionnéeci-dessus. Cette formule sera très utile pour toutce qui concerne les lois de conservation enRelativité générale.

Cette formule sera ainsi utilisée aux § 13 duchapitre 13 , au § 7 du chapitre 15 et égalementau § 13 du chapitre 15 .

Nous supposons que le déterminant du tenseurmétrique est négatif, comme en Relativité générale(voir § 2 du chapitre 12).

⌠ ⌠ --------- ---------1 i 1 n div V dv = ------------------------- V √ - g √ - g du ...du---------- ,i⌡ ⌡ √ - g

⌠ --------- i 1 n= V √ - g du ...du ,i⌡ On a une somme de n termes correspondant chacun à

une valeur de l’indice i . Pour chacun de cestermes, effectuons l’intégration au moyen du

30 250

théorème de Fubini :

iu2⌠ ⌠ ⌠ ⌠ ⌠ ------- 1 i-1 i+1 n ∂ i i= du .. du du .. du ----------------- V √ - g du i ⌡ ⌡ ⌡ ⌡ ⌡ i ∂ui u1

san s so mm a t i o n s u r i

iu⌠ ⌠ ⌠ ⌠ u --------- o 2 1 i-1 i+1 n i 1= du .. du du .. du 1 V √ - g 1 1 i⌡ ⌡ ⌡ ⌡ m . ui 1

Utilisons la notation suivante :

1 i-1 i+1 n 1 î ndu ...du du ...du = du ...du ...du

Le chapeau sur le i veut dire que l’élémentcorrespondant à cet indice est supprimé.

⌠ --------- i 1 î n= V √ - g du ...du ...du ⌡i ∂

∂ signifie le bord du domaine . Ainsi le bordd’une boule est sa surface, une sphère.

1 î nu ,...,u ,...,u étant fixés, le bord ∂ esti icomposé de deux points, celui avec u = u2 , eti icelui avec u = u1 (fig. 11.6).

i.u2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ln u

1

u i.u1

F i g . 1 1.6

⌠ fait donc bien intervenir les deux termes⌡∂

correspondant à ces deux points :

31 251

---------------------------- ----------------------------i i i i i iV (u ) √ - g(u ) et - V (u ) √ - g(u )2 2 1 1

Les signes + et - correspondent à l’orientationde ce bord compte tenu de l’ordre des variables

1 nu ,...,u .

⌠ ⌠ --------- i 1 î n div V dv = V √ - g du ...du ...du (11,47)⌡ ⌡ i ∂

Cette formule constitue la formule générale deStokes. A partir de cette formule, on peutretrouver toutes les formules usuellesde l’analyse vectorielle établissant une relationentre une intégrale sur un domaine d’une variété,et une intégrale sur le bord de ce domaine.

23. Interprétation de la formule de Stokes enterme de flux du champ de vecteur. - La formule deStokes est vraie avec des coordonnées curvilignesquelconques. Pour l’interpréter, nous pouvonsutiliser des coordonnées à notre convenance.Supposons donc que l’équation du bord ∂ soit :

1u = 0 . Supposons d’autre part que la coordonnée1u soit choisie de telle manière qu’une petite

variation de cette coordonnée à partir de la valeur0 correspondant à un point de ∂ donne toujours undéplacement perpendiculaire à ∂ . Cette coordonnéeest enfin supposée normalisée, c’est à dire que :

---------LMM’

-------------------------------------------------] = 11 ∆ u

1Le point M correspond à la valeur u = 0 et le1 1point M’ à u = ∆u , les autres coordonnées

gardant la même valeur.

⌠ ⌠1Si il intervient du dans , on obtient 0

⌡ ⌡∂1car u = Cte sur le bord ∂ . Dans le deuxième

membre de la formule de stokes il reste doncuniquement :

⌠ ⌠ ---------1 2 nI = div V dv = V √ - g du ...du

⌡ ⌡ ∂

D’autre part :

32 252

---------1 2 n 1dv = √ - g du du ...du = dS du

1Puisque du correspond à la longueur oupseudo-longueur effective perpendiculairement aubord ∂ , et d’après notre définition des élémentsde volumes. Nous appellerons dv élément de volumebien que le nombre de dimension soit n, et dSélément de surface (bien que le nombre dedimensions soit n-1 . Donc :

---------2 ndS = √ - g du ...du

Vérifions cette formule. Avec notre système decoordonnées :

22 1 ∂ i jds = ± (du ) + g du du (avec i et j ≠ 1)i j

Cette forme particulière de l’élément linéaire1traduit l’orthogonalité du vecteur ∂/∂u au bord

∂ , tous les autres vecteurs de base étant dans cebord, et le fait que ce vecteur est normalisé. Cecis’écrit :

∂ ∂ 1-------------- . ------------- = ± δ1 i i∂u ∂u

∂g est donc le tenseur métrique sur le bordi j∂ .

±1 0 .. . . . .. 0 0 u----------------------------------------o . 1 1 g = . 1 ∂ 1ij . 1 g 1 1 i j 1 0 m----------------------------------------.

Et on a bien :

--------------------- ---------∂ 2 n 2 ndS = √ g du ...du = √ - g du ...du

Puisque les deux déterminants sont égaux au signeprès, comme on le voit en développant g suivant lapremière ligne ou la première colonne.

D’autre part :

i ∂ ∂ 1V = V ---------- ⇒ V . ---------- = ± Vi 1∂u ∂u

En orientant dS judicieusement, c’est à direavec (nous notons en caractère gras le d et le Scar nous n’avons pas la différentielle d’un vecteur

33 253

S) :

∂dS = ± -------------- dS1∂u

on arrive bien à :

1 ∂V dS = ± V . ---------- dS = V . dS1∂u

Et la formule de Stokes s’écrit :

⌠ ⌠ div V dv = V . dS (11,48)⌡ ⌡ ∂

Le deuxième membre s’interprétant bien comme leflux du vecteur V à travers le bord de . Cetteformule écrite d’une manière covariante, et vraiedans un système de coordonnées, est alors vraiedans tout système de coordonnées.

34 254

EXERCICES

11.1 On étudie les géodésiques de la sphère.1. Ecrire l’équation de déviation des géodésiquesϕfaisant intervenir R . On ne considère qu’uneθϕθ

déviation correspondant à δϕ , se modifiant parvariation de θ seul à l’endroit où la déviation estmaximale.

2. Interprétez ce résultat.

11.2 On considère (voir figure) un tore obtenu enfaisant tourner un cercle de rayon r autour d’unpoint fixe O situé à la distance R du centre C ducercle.

ϕ

O θ C. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- .R r

Un point sur le cercle est repéré par les anglespolaires θ et ϕ.

1. Calculez l’élément linéaire en fonction de θet ϕ.

2. Calculez les symboles de Christoffel non nuls.3. En déduire la courbure scalaire du tore.4. Conclusions?

11.3 Dans cet exercice, on veut réaliser complètementle programme du § 12 sur le cas des coordonnéespolaires r et θ du plan affine.

r = 1 1. Partant du point A : , transportez θ = 0 parallèlement à elle même la base :

35 255

∂ 1 ∂ 0 e (A) = ---------(A) = et e (A) = -----------(A) =r ∂r 0 θ ∂θ 1 r au point P = . On obtient ainsi le champ de θ

vecteurs correspondant aux vecteurs libres e etxr ∂ θ ∂e , avec : e = (e ) (M) ---------(M) + (e ) (M) -----------(M) ,y x x ∂r x ∂θidem pour e .y

2. Vérifiez qu’il y a conservation du produitscalaire de ces deux vecteurs par transportparallèle. (on peut d’ailleurs également fairecette vérification au premier ordre dans l’exercice12.6 ).

3. Trouvez de même, par transport parallèle, les* *composantes dans la base mobile dr (M) et dθ (M)*x *ydes formes e et e .4. En déduire, grâce à la formule (11,15) les

expressions des coordonnées rectilignes x et y enfonction de r et θ.

11.4 Démontrez, pour le champ de vecteurs W(M) laformule (voir figure) :

⌠ ⌠⌠ W dl = rot W d ⌡ ⌡⌡∂S S

à partir de (11,48).

S

∂S

36 256

Chapitre douze

LOI DYNAMIQUE EN RELATIVITE GENERALE

1. Introduction. - Grâce à l’intermède des troischapitres précédents, nous sommes maintenant enpossession de toutes les mathématiques nécessairespour développer complètement la Théorie de larelativité générale.

Dans ce chapitre, nous allons effectuercomplètement le programme décrit au § 4 duchapitre 7 . Il s’agit de savoir quelles sont leslois physiques en présence d’un champ degravitation. En particulier, quelle est latrajectoire d’une particule soumise uniquement à lagravitation, et plus généralement, quelle est latrajectoire d’une particule soumise également àd’autres interactions que la gravitation. Nousregroupons cela sous le terme de loi dynamique( § 14 , chapitre 7 ) dont l’expression estF = m γ en Mécanique newtonienne. Nous effectuonsce programme en utilisant le principe d’équivalencedécrit au § 1 du chapitre 7 , et sa formemathématique, le principe de covariance généraliséedécrit au § 4 du même chapitre.

2. L’espace-temps une variété différentiableriemanienne. - Nous supposons tout d’abord quel’espace-temps est une variété différentiable,c’est à dire qu’il est toujours possible de repérerles évènements dans un domaine par une coordonnéede temps et trois coordonnées d’espace. Cela esttoujours possible dans un petit domaine enchoisissant un référentiel galiléen, c’est à direen chute libre et ne tournant pas par rapport auxgalaxies lointaines. Les coordonnées sont alorscelles utilisées en Relativité restreinte : lescoordonnées galiléennes types.Dans un tel référentiel, à deux évènements voisins,on peut associer l’intervalle :

2 2 2 2 2 2ds = C dt - dx - dy - dz (12,1)

Nous sommes assurés que ce nombre ne dépend quedes deux évènements car dans tout autre référentielgaliléen, on trouverait par le même procédé le mêmenombre ( cf § 3 du chapitre 7 ). Ce nombreconstitue l’élément linéaire permettant deconsidérer l’espace-temps comme une variété

1 257

riemanienne. -β αAvec des coordonnées quelconques u , les x étantfonctions de ces coordonnées, on a :

α -α ∂x βdx = ----------------- du-β∂uet

α β - -2 α β ∂x ∂x α βds = η dx dx = η ----------------- ---------------- du duαβ αβ - -α β∂u ∂u

- -2 α βds = g - - du du (12,2)αβ

On a bien la formule générale (11,8) pour unevariété différentiable riemanienne, et les g - -αβont bien la loi de transformation (9,20) dans lecas d’un tenseur deux fois covariant.

Dans le référentiel galiléen, la Relativitérestreinte s’applique. L’espace-temps a donc ainsilocalement une structure d’espace affine sur unespace vectoriel pseudo-euclidien.

D’autre part, l’espace-temps est une variétédifférentiable; grâce à ce qui a été fait auchapitre précédent, localement autour d’un point del’espace-temps, nous avons alors des coordonnéesrectilignes, et l’espace-temps est identifié denouveau, mais d’une manière purement mathématiquecette fois, à un espace affine sur un espacevectoriel pseudo-euclidien.

Le problème est d’identifier ces deux structuresobtenues par deux méthodes différentes, une méthodemathématique et une méthode physique :l’utilisation pour faire les mesures d’unréférentiel en chute libre. Ceci revient àidentifier les coordonnées rectilignes localestrouvées grâce à la méthode mathématique duchapitre précédent, et les coordonnées galiléennesqui sont des coordonnées rectilignes del’espace-temps local de la Relativité restreinte.

Les géodésiques de l’espace-temps de laRelativité générale sont définies avec l’équationdes géodésiques (11,10) faisant intervenir lessymboles de Christoffel définis par (11,11) avec letenseur métrique et ses dérivées. Dans unréférentiel galiléen, en coordonnées galiléennes,c’est à dire rectilignes au sens de l’espace-tempsde la Relativité restreinte, les symboles deChristoffel qui s’expriment par la même formule(10,5) sont nuls. Or le tenseur métrique défini par

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2le ds avec les équation (10,2) et (11,8) est lemême partout dans les deux cas : espace-temps de laRelativité restreinte local et espace-temps globalde la Relativité générale. Il en est donc ainsi dessymboles de Christoffel, et les symboles deChristoffel de la variété de la Relativité généralesont nuls avec ces coordonnées galiléennes.

En utilisant ces coordonnées, cela assure que lestraces locales des géodésiques de l’espace-tempssont les droites de l’espace-temps plat localconstruit à partir des référentiels galiléenslocaux. Or ces traces locales sont également lesdroites de l’espace plat auquel on a identifié lavariété localement au moyen de la méthodemathématique. Ceci prouve que les droites obtenuesmathématiquement sont les mêmes que les droitesobtenues physiquement. Les coordonnées galiléennes,donc obtenues à partir d’un référentiel en chutelibre, sont donc également les coordonnéesrectilignes locales de la variété espace-temps dela Relativité générale. La structure affine del’espace-temps de la Relativité restreinte est doncidentifiée à la structure affine locale de lavariété, trouvée mathématiquement.

Les deux espaces vectoriels, celui des vecteurslibres et celui de l’espace de Minkowski sont alorsidentiques dans la zône de validité des coordonnéesrectilignes. En effet, un vecteur libre estfinalement, compte tenu de la constance descomposantes par transport parallèle en coordonnéesrectilignes, et compte tenu de (11,3), la donnéed’un ensemble de nombres dans un système decoordonnées rectilignes, muni de la loi dei jtransformation (11,2) où les ∂u /∂v sont desconstantes compte tenu de ce qui est dit au § 13du chapitre 11 . Ceci est totalement identique à ladéfinition des quadrivecteurs par (3,15) avec-α α βΛ - = ∂x /∂x compte tenu de (3,12).β

En ce qui concerne les quadrivecteursdéplacement, considérons les deux évènements A et Bα βde coordonnées a et b ; le quadrivecteur associéen Relativité restreinte par (3,14) est identiqueau vecteur libre associé par (11,17) compte tenu de(11,3).

Nous avons vu au § 2 du chapitre 7 qu’il n’y apas de référentiels galiléens globaux en présencede champs de gravitation créés par des masses. Celaest dû au fait que des ascenseurs en chute libre endifférents endroits ne sont plus en mouvement detranslation rectiligne uniforme les uns par rapportaux autres; ce qui était une des propriétés de basedemandées aux référentiels galiléens pour laconstruction de la Relativité restreinte. Il estalors impossible de construire la structured’espace affine sur un espace vectoriel de

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Minkowski globalement sur tout l’espace-temps. Celaveut dire que cette structure, qui existelocalement devient peu à peu fausse lorsqu’onconsidère un domaine trop vaste de l’espace-temps.Nous avons vu au chapitre précédent que cela est lacaractéristique du fait que le tenseur de courbureest non nul sur la variété différentiable. Ainsi,nous en arrivons à la conclusion que des massesdoivent créer une courbure de l’espace-temps parleur action gravitationnelle. Cette courbure estcaractérisée par le tenseur de courbure.

Nous pouvons déjà en déduire que la création d’unchamp de gravitation par une masse devra semanifester mathématiquement par une équationreliant la présence de la masse, avec la valeur dutenseur de courbure dans le repère étudié del’espace-temps. Ce sera la loi de force, étudiée auchapitre suivant.

3. Trajectoire d’une particule libre. - Nousappelons particule libre, une particule qui n’estsoumise qu’au champ de gravitation. Dans unréférentiel galiléen, la Relativité restreintes’applique, la gravité s’évanouissant et laparticule considérée décrit une droite del’espace-temps. Traduisons cette propriété entermes mathématiques. Dans une région suffisammentpetite pour que la variété y soit considérée commeplate, la particule décrit une droite, donc unmorceau de géodésique. Ceci se reproduisantlocalement tout le long de la trajectoire, il estclair que cette trajectoire dans son ensemble estune géodésique de la variété.

Ainsi les particules libres décrivent lesgéodésiques de l’espace-temps. Il est clair quepour obtenir ce résultat, nous avons utilisé leprincipe d’équivalence permettant de trouver unréférentiel où la gravité est annulée.

D’ailleurs, le principe d’équivalence est utilisépour construire la structure de variétédifférentiable en introduisant l’élément linéairepar l’intermédiaire des référentiels galiléens( § 2 chapitre 7 et § 3 chapitre 7 ), donc pourconstruire les géodésiques.

Nous pourrons considérer en Relativité généralela lumière comme constituée de particules libres,les photons animés de la vitesse C, et suivant doncd’après ce qui vient d’être dit des géodésiques del’espace-temps. Ce sont les géodésiques

2d’intervalle lumière : ds = 0 pour deuxévènements voisins sur la géodésique. Ladescription ondulatoire de la lumière est égalementcohérente avec la Relativité générale. Nousutiliserons cette description au paragraphe 21.

4. Trajectoire d’une particule en interaction. -

4 260

Utilisons maintenant la forme mathématique duprincipe d’équivalence, c’est à dire le principe decovariance généralisé. Dans un référentiel galiléenl’équation du mouvement s’écrit :

α 2 α 2 ------- L αα dp d x D (OM)Φ = ---------- = m --------------- = m --------------------------------------- (12,3)dτ 2 2dτ Dτ

La dernière égalité venant du fait qu’avec lescoordonnées utilisées, localement, les symboles deChristoffel sont nuls. L’équation (12,3) s’écritavec les coordonnées particulières choisies, sousla forme générale :

2 ------- L α 2 α β γα D (OM) d u α du duΦ = m --------------------------------------- = m --------------- + m Γ ---------- ---------- (12,4)2 2 βγ dτ dτDτ dτ

αLes composantes Φ sont les composantesdu quadrivecteur force dans le système deαcoordonnées curvilignes u . L’équation précédenteest covariante; elle est vraie dans un référentielgaliléen ou la Relativité restreinte s’applique,les symboles de christoffel y devenant nuls. Elleest donc toujours vraie, d’après le principe decovariance généralisé. α αLe dernier terme peut s’écrire - Φg , Φgpouvant s’interpréter suivant les circonstances (etd’une manière arbitaire) comme une force de gravitéou d’inertie.

β γα α du duΦg = - m Γ ---------- ---------- (12,5)βγ dτ dτ

La possibilité d’une telle interprétation auchoix, assure l’égalité de la masse inerte et de lamasse gravitationnelle passive (sensibilité à unchamp de gravitation correspondant à l’équation(12,5)); cette égalité est la conséquence directedu principe d’équivalence.

La formule (12,5) permettra ainsi de retrouveraussi bien la force d’attraction universelleF = - grad φ , comme cela est fait au § 15 de cechapitre, que la force de Coriolis par exemple :Cela est fait au § 7 de ce chapitre avec leséquations (12,16) qui peuvent être obtenues enfaisant intervenir les forces d’inertiescentrifuges et de Coriolis.

Les forces d’inertie et de gravitation sont bienainsi unifiées dans le même formalisme, ce quiprouve que les forces d’inertie sont réelles etd’origine gravitationnelle, en accord avec leprincipe de Mach. La Relativité générale est doncla théorie exprimant la relativité générale(valable dans tous les cas) de l’inertie et de la

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gravitation.

Pour trouver la force classique qui n’existe quedans un référentiel galiléen (on peut cependanttoujours considéré le référentiel galiléen immobilepar rapport au corps étudié à l’instant considéré),il faut trouver l’expression du quadrivecteur forcecorrespondant à l’équation (12,4) et passer à laforce dans le référentiel galiléen choisi grâce àla formule (4,15). Nous verrons l’utilisation decela aux paragraphes 15 ; 16 ; 18 ; 19 de cechapitre.

L’action d’un champ gravitationnel sur un corpsétendu sera évaluée en considérant ce corps commel’ensemble des particules élémentaires leconstituant. Chaque particule élémentaire obéiraalors à l’équation (12,4), Φ étant la forceappliquée par les autres particules (ou champs), etpar le moyen des autres interactions que lagravitation, sur la particule étudiée.

D’une manière générale, les équations de laphysique en présence d’un champ de gravitations’obtiendront en utilisant le principe decovariance généralisée. Prenons l’exemple del’électromagnétisme. Pour écrire les équations deMaxwell en présence d’un champ de gravitation, ilnous suffit de trouver les équations généralementcovariantes redonnant (5,76) et (5,77). Ceséquations sont :

F + F + F = 0 (12,6)αβ;γ βγ;α γα;β

αβ αF = - µ0 j (12,7);β

D’autre part nous pouvons démontrer ici laformule (12,8) :

αβF = 0 (12,8);αβDans un référentiel galiléen, nous avons en

effet :

2 αβ 2 βα 2 βα 2 αβ∂ F ∂ F ∂ F ∂ F---------------------------------------- = - ---------------------------------------- = - --------------------------------------- = - ---------------------------------------- = 0α β α β β α α β∂x ∂ x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x

αβLe scalaire F nul dans un référentiel;αβgaliléen est bien sur toujours nul. La formule(12,8) sera utilisée au § 9 du chapitre 13 .

5. Propriétés du tenseur d’impulsion-énergie dansun espace courbe ou règne un champ de gravitation.

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- Ces propriétés découlent de celles trouvées auchapitre 8 et du principe de covariancegénéralisé.

Tout d’abord, le tenseur d’impulsion-énergie estsymétrique. L’égalité :

αβ βαT = T (12,9)

est en effet une égalité entre tenseurs, donc estcovariante. Elle est vrai dans un référentielgaliléen où les symboles de Christoffel sont nuls.Elle est donc toujours vraie d’après le principe decovariance généralisé.

D’autre part, dans un référentiel galiléen, nousαβ βavons également : ∂T /∂x = 0 , ce qui estéquivalent, dans ce référentiel où les symboles deChristoffel sont nuls à :

αβT = 0 (12,10);β

Cette dernière égalité est covariante; à cause duprincipe de covariance généralisé, elle est donctoujours vraie. Nous arrivons bien ainsi à lapropriété mentionnée au § 20 du chapitre 8 .

Dans un référentiel quelconque où les symboles deChristoffel ne sont pas nuls, il s’agit bien d’uneαβ βégalité différente de ∂T /∂x = 0, et dans un-------------------------αβréférentiel quelconque, T ≠ 0 .

Nous avons vu au § 5 et au § 22 duαβ βchapitre 8 que l’égalité ∂T /∂x = 0 venait de laconservation du quadrivecteur impulsion-énergieglobal lors des chocs entre les particules dematière et les particules virtuelles assurantl’interaction, et de la conservation del’impulsion-énergie entre deux chocs. αβOn peut donc dire que l’égalité T = 0;βtraduit la conservation de l’impulsion-énergieglobale par les interactions autre que lagravitation, le ";" traduisant les échangesd’impulsion-énergie avec la gravitation, donc lamodification de la trajectoire de ces particulespar cette interaction.

En ce qui concerne le tenseur d’impulsion-énergied’un fluide parfait, dans un référentiel galiléen,il prend la forme (8,22). Le tenseur :

αβ 2 α β αβT = ρ C + p U U - p g (12,11) αβg étant le tenseur métrique correspondant à

(12,2) est bien un tenseur de par sa constructionet prend la forme (8,22) dans un référentiel

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galiléen. Ce sera donc le tenseurd’impulsion-énergie d’un fluide parfait dans le casle plus général.

6. Etude du disque tournant. - Nous avons vu queles forces d’inertie sont totalement équivalentesdu point de vue de leur cause (actiongravitationnelle des étoiles lointaines, principede Mach) et de leur effet physique (principed’équivalence) aux forces gravitationnelles.L’intérêt de l’étude du disque tournant est depouvoir complètement développer les calculs deRelativité générale avec un champ de gravitation dûà l’inertie, tout en ayant ainsi la vérification duretour à la Relativité restreinte dans leréférentiel d’inertie par rapport auquel le disquetourne.

Dans le référentiel d’inertie :

2 2 2 2 2 2ds = C dt - dx - dy - dz

Nous ne nous occupons que du plan du disque-(z = 0), r et θ étant la distance à l’origine etl’angle polaire :

2 2 2 2 2 -2ds = C dt - dr - r dθ

Nous supposons que le disque tourne à la vitesseangulaire ω . Les points sur le disque sont-maintenant repérés par t, r et : θ = θ - ω t . Onobtient :

2 2 2 2 2 2ds = C dt - dr - r ( dθ + ω dt )

2 2 2 2 2 2 2 2 2ds = (C - ω r ) dt - dr - 2 ω r dt dθ - r dθ (12,12)

Pour un point immobile sur le disque à la

distance r, nous avons :

2 2 2 2 2ds = (C - ω r ) dt .

Nous supposons d’autre part, que pendant le courtinterval de temps entre les instants t et t + dt,une horloge étalon liée au disque fonctionne commeune horloge étalon qui se détache à l’instant t dudisque pour suivre ensuite un mouvement rectiligneuniforme. Une telle supposition a déjà été faite au§ 6 du chapitre 3 . Elle correspond au fait quel’on suppose que seules les vitesses affectentlocalement l’écoulement du temps et non lesaccélérations.

L’horloge étalon qui se détache indique la durée2 2 2dτ telle que : ds = C dτ . Il vient donc, dτ

étant également d’après ce qui précède la duréeindiquée par une horloge solidaire du disque :

8 264

-------------------------------------------2 2dτ = √ 1 - v / C dt , avec v = ω r . (12,13)

Cette relation peut être intégrée pour un tourcomplet, et on retrouve le fait que les horlogessur le dique retardent par rapport à celles duréférentiel d’inertie. Entre deux rencontres d’unehorloge sur le disque avec une horloge immobile, onà l’effet de retard donné par la Relativitérestreinte et qui correspond au paradoxe des deuxjumeaux.

L’élément linéaire possède un terme croisé endt dθ . Nous verrons (équation (12,29)) que celacorrespond au fait que des évènements voisinssimultanés pour le disque n’ont pas la mêmecoordonnée t .

7. Equation des géodésiques. - Ecrivons letenseur métrique :

2 2 2 2 C - ω r 0 - ω r g = 0 - 1 0 (12,14)αβ

2 2 - ω r 0 - r

αβg est la matrice inverse :

2 2 1 / C 0 - ω / C αβ g = 0 - 1 0 (12,15)

2 2 2 2 - ω / C 0 - 1 / r + ω / C

Donnons l’exemple du calcul d’un symbole deChristoffel :

∂ g ∂ gt 1 tt tt 1 tθ θt Γ = --------------- g ---------------------- + --------------- g ------------------------tr 2 ∂r 2 ∂ r

1 1 2 1 ω = --------------- ---------------- ( - 2 ω r) + --------------- - ---------------- ( - 2 ω r)2 2 2 2 C C

2 2ω r ω r= - --------------------------- + --------------------------- = 02 2C C

Les seuls symboles non nuls sont :

9 265

r 2 r rΓ = - ω r Γ = Γ = - ω rt t tθ θt

r θ θ ωΓ = - r Γ = Γ = ------------------θθ t r r t r

θ θ 1Γ = Γ = ---------------rθ θ r r

Les équations des géodésiques sont donc :

2 d t ---------------- = 0 2 dτ 2 2 d r dθ d t ---------------- - r ----------- + ω ----------- = 0 (12,16)

2 dτ dτ dτ 2 d θ 2 d r dθ d t ---------------- + --------------- ----------- ------------ + ω ----------- = 0 2 r dτ d τ dτ dτ

Dans le cas où l’on étudie le mouvement d’unrayon lumineux, le paramètre décrivant unegéodésique ne peut plus être τ, mais sera noté p.Il restera alors à étudier la loi reliant t à p.Ici, on arrive au fait que t est proportionnel à p.Ce traitement de la lumière en introduisant leparamètre p décrivant les géodésiques sera effectuédans l’exercice 12.1 et au § 8 du chapitre 16 .

Ici, le temps t est naturellement une fonctionlinéaire du temps propre τ, donc sa dérivée secondeest nulle.

En effet nous savons que la solution dansl’espace fixe est un mouvement rectiligne uniformede vitesse constante v ; et par intégration de(12,13) :

-------------------------------------------2 2τ = √ 1 - v / C t (12,17)

Le mouvement le plus général s’écrit :

x = a y = v t

L’axe des y étant pris parallèle au mouvement,orienté dans son sens; a est une constante.

On a :

-------------------------------------------2 2 2r = √ a + v t

(12,18) v t θ = Arctg ------------- - ω t a

10 266

Il est facile de vérifier que ces deux fonctionsvérifient les équations des géodésiques. Nouslaissons le lecteur effectuer le calcul.

8. Conclusion. - L’angle absolu par rapport au-repère galiléen étant égal à θ = θ + ω t , on voitque les équations en r et t redonnent pour lesvitesses faibles devant celle de la lumière(dt = dτ) :

.. - .2 r - r θ = 0 (12,19). - . - . . 2 r θ + r θ = 0

Ce sont les équations d’une droite parcourue àvitesse constante en coordonnées polaires. Ceséquations avaient été trouvées au § 12 duchapitre 9 avec également l’utilisation dessymboles de Christoffel, mais dans l’espaceeuclidien à deux dimensions.

Il faut cependant bien voir la différence denature entre le calcul fait ici et celui fait enMécanique classique avec l’utilisation descoordonnées polaires. En Mécanique classique, les-équations précédentes en r et θ sont de pureséquations de cinématiques. Il faut leur adjoindrela loi dynamique F = m γ qui donne γ = 0 pourune particule libre, de façon à obtenireffectivement une loi de mécanique.

Par contre, dans le calcul fait dansl’espace-temps à quatre dimensions, la loidynamique est incorporée dans la loi géométriquequi affirme que les trajectoires sont desgéodésiques. Le passage de l’espace à troisdimensions à l’espace-temps unifie donc lacinématique et la mécanique dans une seule loidynamique.

De plus, cette loi dynamique implique que laprésence d’une force gravitationnelle ou d’inertie,qui correspond au fait que la trajectoire de laparticule libre n’est plus une ligne droite del’espace parcourue à vitesse constante, est liée àune modification de l’expression de l’élémentlinéaire (équation (12,12)). Cette modificationcorrespond au fait que l’immobilité correspondant àila constance des coordonnées u n’est pasl’immobilité permanente, c’est à dire pendant unecertaine durée, dans un référentiel galiléen. Nousverrons qu’il correspond à cette modification desmodifications géométriques ou déformations del’espace-temps, à savoir des effets deralentissement de l’écoulement du temps (équation(12,17) et (12,30)) et de contraction des longueurs(voir § 17 ). En particulier l’espace à troisdimensions n’est plus euclidien. Ce que nous venons

11 267

de dire précise ce qui a été fait au§ 4 ; 5 ; 8 ; 9 du chapitre 7 .

Tous ces phénomènes donnant lieu à des mesuresphysiques : mouvement d’une particule, écoulementdu temps et propriétés de l’espace, qui semblent aupremier abord ne rien à voir l’un avec l’autre,sont ainsi unifiés. Telle est la caractéristiqued’une théorie féconde : unifier de phénomènes àpriori sans aucun rapport.

Tout ensemble de particules agissantgravitationnellement (par son tenseurd’impulsion-énergie) déforme donc l’espace-temps.Cette déformation est ici, seulement un effet de"perspective" dû à l’emploi de coordonnées nongaliléennes. Dans l’exemple ci-dessus,l’espace-temps est en effet plat. Cette déformationest simplement causée par l’emploi descoordonnées : r, θ, t . Elle est due, comme nousl’avons déjà dit, au fait que la fixité définie parla constance des coordonnées r et θ n’est pas lafixité permanente dans un référentiel galiléen.

Lorsque cette déformation sera intrinsèque, ellese manifestera par la présence d’un tenseur decourbure non nul. Nous devrons alors étudierquantitativement cette déformation en fonction desa cause, le tenseur d’impulsion-énergie. Cela serafait au chapitre suivant dans l’étude de la loi deforce.

Cependant nous pouvons déjà voir ici le lienquantitatif entre une force gravitationnelle donnéeet la déformation correspondante de l’espace-temps,indépendamment de la cause de cette déformation;ceci en imposant de retrouver dans le cas limite oula Mécanique classique s’applique, la loiF = m γ ; ce sera fait au § 15 . Mais pourpouvoir effectuer cela, il nous faut auparavantétudier avec plus de précision ce que signifientαles coordonnées u permettant de repérer lesévènements dans l’espace-temps. En particulier,dans quelle mesure elles permettent de faireressortir ce que nous appelons l’espace, l’espacephysique à trois dimensions, dont l’existences’écoule dans le temps. Cet examen est nécessairede façon à pouvoir relier les déductions que nousαobtiendrons, exprimées avec les coordonnées u àdes propriétés usuelles traduisibles en expériencesconcrètes.

α9. Signification des coordonnées u . - Nous avonsvu que dans l’espace-temps de la Relativitégénérale qui est une variété riemanienne, la formela plus générale de l’élément linéaire est :

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2 α βds = g du du (12,20)αβ0u est une coordonnée permettant de repérer les

1 2 3évènements dans le temps et u ,u ,u sont troiscoordonnées permettant de repérer les évènementsdans l’espace.

On peut visualiser intuitivement ces coordonnéesde la manière suivante : on attache au système deαcoordonnées u un fluide en mouvement. Chaque pointdu fluide a un mouvement tel que ses coordonnées

1 2 3u ,u ,u restent constantes. Les différentes0valeurs de la coordonnée u permettent alors de

savoir à quel moment le point considéré du fluideen mouvement est examiné. C’est un tel fluideαfictif attaché aux coordonnées u qui constitueraun référentiel en Relativité générale.

On peut dire aussi que chaque point de ce fluideest une horloge emportée par ce mouvement. On aainsi une infinité continue d’horloges en mouvementquelconque les unes par rapport aux autres. Chaquehorloge est repérée par trois nombres invariables

1 2 3u ,u ,u qui la caractérise. Elle est ensuite0réglée de façon a indiquer le temps arbitraire u .0Il ne s’agit donc pas d’une horloge étalon, u

étant quelconque. On demande simplement que pour0deux états d’une horloge donnée, u est la valeur

la plus grande pour l’état qui est le plus tardif.

Il va de soit qu’une telle représentation n’estvalable dans le cas général que dans une régionlimitée de l’espace-temps. En effet deux horlogesvoisines peuvent se séparer puis se retrouver. Ilest possible que à ce moment elle n’indiquent plus

0la même valeur de la coordonnée u . Cela correspondau fait que dans un tel cas on a une carte valableuniquement dans une région limitée de la variété.L’essentiel est que la variété soit totalementrecouverte par un ensemble de telles cartes.

10. Les durées. - Il nous faut déterminer le lienentre le temps réel qui s’écoule, indiqué par unehorloge battant l’étalon de temps placée au point Aconsidéré du fluide précédent et accompagnant lemouvement de ce fluide, et une horloge placée aumême point et ayant le même mouvement mais réglée

0de façon à indiquer le temps u .Nous supposons toujours que l’horloge étalon

accompagnant le fluide fonctionne de la mêmemanière qu’une horloge étalon en chute libre, c’està dire fixe dans un référentiel galiléen. Une tellehorloge correspond à l’horloge se détachant àl’instant t dans l’étude du disque tournant. Ilfaut bien sur, que ces deux horloges étalons, celleaccompagnant le fluide et celle qui est fixe dansle référentiel galiléen, soient immobiles l’une parrapport à l’autre à l’instant considéré.

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Nous supposons donc, ce qui a déjà été rappelédans l’étude du disque tournant, que les variationsde l’écoulement du temps sont dues à latransformation de Lorentz et elle seule localement.

Considérons deux évènements qui sont l’existence0du point A considéré du fluide aux instants u et

0 0u + du . Pour ces deux évènements, on a2 2 2ds = C dτ . dτ est la durée écoulée indiquée en

commun par les deux horloges étalons, celleaccompagnant le fluide, et celle immobile parrapport à cette dernière à l’instant considéré et

1 2 3en chute libre. D’autre part du = du = du = 02 0 2pour ces deux évènements, et ds = g (du ) . Il

00vient donc : ---------1 0dτ = ----------------- √ g du (12,21)C 0 0

Telle est la relation déterminant les temps réels(ou, comme on dit, le temps propre en un point de

0l’espace) en fonction de la coordonnée u ; τ est letemps vécu par un objet ou un être accompagnant lefluide. Pour le disque tournant, nous retrouvons la------------------------------1 2 2formule : dτ = ----------------- √ C - v dt , qui avait étéCétablie par le même raisonnement effectué dans uncas particulier.

Les coordonnées du référentiel galiléen ci-dessusαétant appelées x , nous avons :

αα ∂x βdx = ----------------- du (12,22)β∂u

jLorsque du = 0 pour j = 1 à 3 , nous avonsiégalement dx = 0 pour i = 1 à 3 . L’immobilitédans le référentiel galiléen choisi, définie paridx = 0 , correspond en effet à l’immobilité dansjle fluide définie par du = 0 à l’instantconsidéré.

Il vient :

2 2 2 0 2 0 2ds = C dτ = (dx ) = g (du )00

--------------0 0⇒ dx = √ g du (12,23)

0 0

Ces résultats s’écrivent :

0 --------- ∂x -------------- = √ g (12,24) 0 j 0 0∂u u =C t e

14 270

i ∂x -------------- = 0 (12,25) 0 j∂u u =C t e

11. L’espace. - L’espace est l’ensemble desévènements se produisant simultanément. L’espace,comme la simultanéité dépendra donc du référentielconsidéré. Pour définir un espace global dans unerégion étendue, il faudra être capable pour toutecette région de définir une simultanéité globale.Cela ne sera pas toujours possible quel que soit leréférentiel utilisé.

On le voit déjà en reprenant l’exemple du disquerigide tournant qui constitue bien un référentielen Relativité générale; les coordonnées lui étantattachées étaient : t,r,θ .

Supposons en effet qu’une telle simultanéitéglobale existe sur le disque, et qu’à la distancer, N lampes soient uniformément réparties sur lepourtour du disque. On suppose que lorsqu’on va dela lampe n à la lampe n+1, on se déplace dans lesens de la rotation du disque. La distance sur ledisque entre deux lampes est L/N , avec :

2 π rL = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 2√ 1 - ω r / C

Les lampes sont supposées être toutes allumées enmême temps au sens du disque tournant. Appelonsalors tn l’instant de l’allumage de la lampe n dansle référentiel fixe. Appliquons la transformationde Lorentz :

LC (tn+1 - tn) = sh ϕ ------------------ + ch ϕ × 0N

avec n allant de 1 à N et : tN+1 = t1 , laemN + 1 lampe étant en effet identique à la

première; ϕ est défini par : th ϕ = ω r/C . Onsuppose en effet que deux lampes consécutives sontsuffisamment voisines pour que l’on puisseconsidérer qu’elles ont à peu près le même vecteurvitesse. Rappelons d’autre part que l’on supposeque seules les vitesses influencent l’écoulement dutemps, et non les accélérations. En ajoutant toutesces égalités, on obtient : C (tN+1 - t1) = 0= N sh ϕ L/N = L sh ϕ . On arrive donc à unecontradiction.

Autrement dit, vu du référentiel fixe, la lampen+1 s’allume après la lampe n qui s’allume après lalampe n-1 etc. Mais il est impossible de trouverune lampe qui s’allume la première, car cette lampeétant supposée trouvée, celle qui est située

15 271

derrière doit s’allumer avant. Or pour un ensemblede N lampes s’allumant toutes à des instantsdifférents, il devrait en exister une s’allumant lapremière!

Il n’existe donc pas de simultanéité globale surle disque.

En conclusion nous devrons nous contentersouvent, un référentiel étant donné, de considérerune simultanéité locale définissant un espacelocal. Cette simultanéité sera celle définie dansle référentiel galiléen ayant le même mouvement quele fluide référentiel à l’instant et à l’endroitconsidéré.

12. Les distances. - Considérons deux points A etB liés au fluide et voisins. En les considérantsimultanément dans le référentiel lié au fluide,nous pourrons mesurer leur distance spatial.

Cette simultanéité et la distance spatiale sontcelles définies dans le référentiel galiléenimmobile par rapport à eux à ce moment. En effet,si A et B sont suffisamment voisins, leur vitesserelative est négligeable, donc le référentielgaliléen peut être immobile par rapport à chacund’eux. De plus, nous supposons toujours qu’il n’y apas d’effet de modification des longueurs ni destemps dû aux accélérations; par conséquent, puisqueseul l’accélération et non la vitesse distingue leréférentiel galiléen précédent des points dufluide, ce référentiel galiléen peut bien servirpour définir les simultanéités et donc la distanceentre A et B. αAppelons comme dans le paragraphe précédent xles coordonnées dans ce référentiel galiléen. Soitdσ la distance spatiale entre A et B.

l l2 l l ∂x ∂x i jdσ = dx dx = ------------- ------------- du du i j∂u ∂ul = 1 ,3 l = 1,3

l l ll ∂x β ∂x 0 ∂x jEn effet : dx = ---------------- du = -------------- du + ------------- duβ 0 j∂u ∂u ∂um--------------.0

avec (12,25).

2 i jdσ = γ du du (12,26)ij

α β∂x ∂xg = ----------------- ---------------- η (12,27)ij i j αβ∂u ∂u

16 272

l l 0 0 ∂x ∂x ∂x ∂xg = - ------------- ------------- + -------------- --------------ij i j i j∂u ∂u ∂u ∂ul = 1,3

0 0∂x ∂xγ = - g + -------------- --------------ij ij i j∂u ∂u

0 0 l l 0 ---------∂x ∂x ∂x ∂x ∂xg = -------------- -------------- - ------------- -------------- = -------------- √ gi0 i 0 i 0 i 0 0∂u ∂u ∂u ∂u ∂ul = 1,3 m--------------.0

g g0i 0jγ = - g + ---------------------------------- (12,28)ij ij g

0 0

Les relations (12,26) et (12,28) établissent unlien entre la métrique de l’espace et la métriquede l’espace-temps quadridimensionnel.

Il faut toutefois remarquer que les g dépendentαβ0en général de u . Il n’y a donc pas de sens à

intégrer dσ. Une telle intégrale dépendrait de lasimultanéité choisie qui dans la plupart des casn’existerait même pas globalement. On peuttoutefois intégrer dσ le long d’une courbe ouverteen prenant en chaque point la simultanéité définieαpar le fluide, c’est à dire par les coordonnées uen ce point (voir paragraphe suivant). Attentioncependant, si on revient au point de départ, on n’a

0pas en général le même temps u à l’arrivée qu’audépart.

Par conséquent, en Relativité générale la notionde distances déterminées entre des corps perd engénéral tout sens. Elle n’existe que localement.

La distance peut cependant être définie dans desrégions finies de l’espace quand les g neαβdépendent pas du temps. Cela entraine quel’intégrale ∫ dσ sur une courbe spatiale a unsens déterminé. Dans ce cas, il n’est en effet pasnécessaire de définir une simultanéité globale defaçon a donner un sens à l’intégrale.

13. La simultanéité. - Passons à présent àl’expression de la simultanéité locale avec les

αcoordonnées u . Cette simultanéité est définie dansle référentiel galiléen immobile par rapport aufluide lié aux coordonnées, à l’instant et àl’endroit considéré. Pour deux évènementssimultanés, on a :

2 2 0 2 0 i i 0ds = - dσ = g (du ) + g du du + g du du00 0i i0

17 273

g gi j i j 0 i 0j i j+ g du du = g du du - ------------------------------ du duij ij g0 0

2 0 2 0 i i 0⇒ g (du ) + g g du du + g g du du00 00 0i 0i 00

i j α β+ g g du du = 0 ; soit : g g du du = 00i 0j 0α 0β

α β Ce qui s’écrit : g du g du = 0 0α 0β

Les indices étant muets, on arrive à la nullitéαd’un carré et g du = 0 ; soit :0α

g0 0 i idu = - ------------- du (12,29)g

00

On trouve ainsi la différence des valeurs du0temps u pour deux évènements simultanés ayant

lieux en deux points infiniment voisins.La relation précédente permet de synchroniser les

horloges dans n’importe quel volume suffisammentpetit de l’espace. On peut également synchroniserles horloges, c’est à dire déterminer lasimultanéité d’évènements le long d’une ligne

0 0arbitraire ouverte, avec ∆u = ∫ du le long de laligne. Cela a été utilisé au paragraphe précédent.

En ce qui concerne l’existence d’une simultanéitéglobale correspondant au référentiel considéré,c’est à dire correspondant à la simultanéitélocale, elle est équivalente à l’existence d’unesimultanéité, déterminée par la différence des

0temps u entre deux points A et B, indépendante dela ligne choisie les reliant. Cela équivaut à

0du = 0 pour toute ligne fermée sur laquelle on

procède à la synchronisation des horloge. Cetterelation est assurée, dès que les g sont nuls.

0i

14. Champs gravitationnels stationnaires, champsgravitationnels constants. - Un champgravitationnel sera dit stationnaire si lescomposantes du tenseur métrique ne dépendent pas de

0la coordonnée temporelle u .Nous verrons que tel est le cas du champ créé par

un astre tournant à vitesse angulaire constante parexemple. Notons qu’un tel système n’est pasinvariant par changement du sens du temps quicorrespond à un changement du sens de rotation del’astre.

Un champ gravitationnel constant est un champstationnaire invariant par renversement du sens dutemps. Nous voyons que cela élimine le cas d’un

18 274

astre tournant par exemple. En fait, seul un astreisolé peut créer un champ gravitationnel constant.Les champs gravitationnels constants sont des casparticuliers des champs stationnaires.

D’une manière générale, pour tous ces champs0stationnaires, la coordonnée u est appelée temps

d’univers ou temps universel. Dans le cas deschamps constants, l’invariance de la physique, donc

2du ds par changement de sens du temps, donc par0 0u - u implique que g = 0 . Il existe alors

0iune simultanéité globale; elle correspond à la même

0valeur de la coordonnée u pour un ensembled’évènements simultanés.

0A chaque valeur de u correspond alors un espaceexistant à ce moment là. Par contre, dans un champstationnaire général, les g étant non nuls, il

0in’y a pas en général de simultanéité globale

2correspondant au référentiel dans lequel le ds estexprimé.

Pour les champs constants, la formule :

---------1 0∆τ = ------------ √ g ∆u (12,30)C 0 0

obtenue par intégration de la formule (12,21), g00

variant d’un point à un autre, nous montre alorsque :

L’intervalle de temps propre entre deuxévènements ayant lieu en un même point de l’espace,et l’intervalle de temps propre entre deuxévènements simultanés avec les premiers et en unautre point de l’espace, sont en généraldifférents.

On peut dire alors que : le temps s’écoule plusou moins vite selon les régions.

15. Lien entre le tenseur métrique et les forcesde gravitation. - Nous allons voir comment l’espacetemps est déformé lorsqu’une force gravitationnelleest présente. Cette déformation se décritmathématiquement par la forme du tenseur métrique.Nous obtiendrons ce résultat en nous efforçant deretrouver la loi de la gravitation universelle dansl’approximation newtonienne des vitesses faiblesdevant celle de la lumière, et d’astres créant unegravitation qui ne soit pas trop intense.

Nous supposons que le champ gravitationnelconsidéré est constant dans le référentiel choisiappelé R. En prenant des corps usuels agissantgravitationnellement, comme le Soleil ou la Terre,l’espace-temps est très proche d’êtrel’espace-temps plat de la Relativité restreinte. Il

19 275

doit donc exister des coordonnées telles que lescomposantes du tenseur métrique soient trèsvoisines de celles du tenseur de Minkowski,exprimées dans une base type : η . On écritαβdonc :

g = η + h (12,31)αβ αβ αβ

L’hypothèse de champs gravitationnels qui ne sontpas trop intenses se traduit par h µ 1 . Nousαβsupposons de plus qu’à l’infini, là ou lagravitation créée par les corps considérés devientnégligeable, on retrouve la métrique de Minkowskide la Relativité restreinte. Donc h est considéréαβcomme nul à l’infini.

L’équation des géodésiques est :

2 α β γd x α dx dx---------------------- + Γ ---------------- --------------- = 0 (12,32)2 βγ dτ dτdτ

2 i 0 2 0 j k ld x i dx i dx dx i dx dx--------------- + Γ -------------- + 2 Γ -------------- ------------- + Γ --------------- ------------- = 0 (12,33)2 00 dτ 0j dτ dτ kl dτ dτdτ

Les coordonnées, très voisines des coordonnéestypes d’un référentiel galiléen (coordonnéesrectilignes types sur la variété), sont encore

0notées avec le symbole x . On pose x = C t . Letemps t, dont chaque valeur correspond à desévènements simultanés à travers tout l’espace(puisque g = 0 , le champ gravitationnel étant

0iconstant) est le temps propre à l’infini, là où laRelativité restreinte s’applique. Autrement dit, unobservateur, quel que soit l’endroit où il estplacé, en lisant localement la valeur de lacoordonnée t, lit le temps indiqué au même moment àl’infini par une horloge étalon.

Toutes les composantes non nulles du tenseurmétrique doivent avoir le même ordre de grandeurpar raison de symétrie. Les symboles de Christoffelqui s’en déduisent doivent également tous avoir lemême ordre de grandeur. Notons que ce n’est pas lecas dans l’exemple du disque tournant pour lequelon ne mesure pas θ avec la même unité que r.Examinons l’ordre de grandeur des différentstermes :

0 2 2i dx i 2 dt i 2Γ -------------- = Γ C ---------- Γ C00 dτ 00 dτ 00

dt/dτ est en effet très voisin de 1 , car l’effet

20 276

de modification de l’écoulement du temps dû à lagravitation est supposé faible, ainsi que celui liéà la vitesse qui est supposée faible devant cellede la lumière.

j jdx dx------------- µ C ⇔ ------------- = ε C avec ε µ 1dτ dτ

0 ji dx dx i i 2Γ -------------- ------------- Γ C ε C ε Γ C0j dτ dτ 0j 0j

k li dx dx i 2 i 2Γ --------------- ------------- Γ ε C ε C ε Γ Ckl dτ dτ kl kl

Il résulte de cela, que les deux derniers termessont négligeables; ces deux derniers termes quidépendent de la vitesse correspondent aux effetsmagnétiques de la gravitation qui sont ici (v µ C)absents. Il vient, en remplaçant dt par dτ, puisqueces deux nombres sont égaux avec une très bonneapproximation :

2 id x 2 i----------------- = - C Γ (12,34)2 00dt

i emSoit F la i composante de la force calculéedans le référentiel lié à la particule (à priori,la force n’est pas invariante et dépend duréférentiel choisi pour la calculer); on a :

2 ii d σF = m ---------------- (12,35)2dτ

iσ étant la longueur spatiale mesuréeiparallèlement à la ligne coordonnée x dans leréférentiel lié à la particule et τ le temps proprei idans ce même référentiel. Mais σ x , letenseur métrique étant très voisin dans R dutenseur de Minkowski (Effets de contractions deslongueurs liés à la gravitation supposésnégligeables dans (12,35)), et la particule ayantune vitesse suffisamment faible pour qu’il n’y aitpas d’effet de contraction des longueurs liés à lavitesse. De même nous avons vu ci-dessus que t τpour les même raisons. Ainsi :

2 ii d x 2 iF = m ----------------- = - m C Γ (12,36)2 00dt

La force est ainsi pratiquement invariante(indépendante du référentiel) comme en Mécaniquenewtonienne. Identifions donc la formule précédenteà la formule analogue de la Mécanique newtonienne :

21 277

F = m g = - m grad φ

φ étant le potentiel de gravitation, il vient :

2 i ∂φ- C Γ = - -------------- (12,37)00 i∂x

∂g ∂hi 1 ii 00 1 00Γ - --------------- g ------------------ --------------- ------------------00 2 i 2 i∂x ∂x

∂h00 2 ∂φIl vient : ------------------ = ---------------- --------------i 2 i∂x C ∂x

A l’infini, φ et h sont nuls, donc :00

2h = ---------------- φ00 2C

2 φet g = 1 + ------------------ (12,38)00 2C

2 2 φ 2 2 i jds = 1 + ------------------ C dt + g dx dx (12,39) 2 ijC

L’expression précédente est nécessaire etsuffisante de façon à ce que la Relativité généraleredonne bien comme cas limite la Mécaniquenewtonienne.

Le raisonnement précédent ne permet pasd’atteindre la connaissance des g .ij

Rappelons que le temps t est un temps universelet défini une simultanéité globale. En un point oùle potentiel de gravitation est φ, le temps τ(parfois noté tl, comme temps local) qui est letemps réel s’écoulant à l’endroit considéré vérifie

0(12,30) avec t = u :

------------------------------------------------------ 2 φτ = tl = 1 + ---------------------------- t (12,40)√ 2C

φ est négatif. On en conclut que la gravitationralentit l’écoulement du temps, c’est à dire quel’intervalle de temps réel entre deux évènements enun point donné A, et l’intervalle de temps réelentre deux évènements simultanés avec les premiers

22 278

en un point B sont différents avec :

------------------------------------------------- 2 φA1 + -----------------------√ 2τA C-------------------- = ------------------------------------------------------------------------τB ------------------------------------------------- 2 φB1 + -----------------------√ 2C

Le temps s’écoulant le plus lentement là ou lepotentiel est le plus faible donc le plus près del’astre. Ainsi, le temps s’écoule plus lentement àla surface de la Terre que dans l’espace. On aretrouvé d’une manière rigoureuse les équations(7,3) et (7,4).

En reprenant en sens inverse le raisonnement du§ 5 du chapitre 7 , on en déduit le décalage versle rouge des rayons lumineux dans un champ degravitation.

Donnons un ordre de grandeur du phénomène enprenant l’exemple de la surface de la Terre.

-11 24G = 6,67 10 SI ; M = 6 10 kg

3r = 6400 10 m

G M 7 2 φ - 9φ = - --------------------- = - 6,3 10 SI ; ----------------------- = - 1,4 10r 2C

τ - t φ - 10---------------------- ---------------- = 7 10t 2C

Ces résultats numériques justifient lesapproximations faite : t = τ dans l’équation desgéodésiques, et h µ 1 . Au bout d’un milliardαβd’année, il y a tout de même un décalage d’à peuprès un an entre le temps écoulé sur la Terre et letemps écoulé dans l’espace intersidéral.

16. Le problème des deux barres massiques enRelativité générale : étude d’une barre immobile enprésence d’une particule animée de la vitesse v. -Nous allons voir ci-dessous que nous sommesmaintenant à même de résoudre complètement leproblème des deux barres en Relativité générale.Rappelons qu’il s’agit de vérifier que lesdifférentes valeurs de l’attractiongravitationnelle des deux barres calculées dans desréférentiels variés sont cohérentes entre elles.

Notons tout d’abord qu’on peut simplifier leproblème en considérant l’attraction d’une barre etd’un point matériel unique, ce qui permetd’utiliser le formalisme des géodésiques développé

23 279

précédemment. Il suffit de considérer en effet unedes deux barres comme l’ensemble des pointsmatériels la constituant, points qui sont eninteraction gravitationnelle avec l’autre barre. Siles calculs menés dans différents référentiels sontcohérents entre eux pour ce problème simplifié, ilest évident qu’ils seront cohérents pour leproblème initial; voir à ce sujet la remarque du§ 4 sur l’action d’un champ gravitationnel sur uncorps étendu.

Nous verrons ci-dessous qu’il nous fautl’expression complète de l’élément linéaire enchamp faible, et non pas uniquement g . Cette

00expression sera calculée au § 5 du chapitre 14 ,au moyen de l’équation du champ étudiée au chapitre13 . On a :

2 2 φ 2 2 2 φ 2 2 2ds = 1 + ------------------ C dt - 1 - ------------------ (dx + dy + dz ) (12,41) 2 2 C C

2Avec φ/C µ 1 , de telle sorte que φn’interviendra dans les calculs que sous forme dedérivée partielle. D’autre part φ = 0 à l’infinioù l’on retrouve le tenseur métrique de Minkowski,et donc φ ≤ 0 partout. Pour être rigoureux, ilfaut considérer que la barre, bien que très longue,n’est pas infinie.

Pour le cas d’un point immobile attiré par unebarre immobile, le calcul du § 15 , ne nécessitantque l’expression incomplète de l’élément linéaire,s’applique avec les approximations correspondanteset (fig. 12.1) :

x ∂φF = - m ----------- (12,42)∂x

Envisageons donc maintenant le cas d’un pointanimé de la vitesse v selon l’axe des z et attirépar une barre immobile (fig. 12.1), la vitesse vpouvant être voisine de celle de la lumière.

⊗ y m v. ----------------------------------------L11 1 F1 x 1< <-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L

z

Fig. 1 2 . 1

Notons que l’appellation des axes de coordonnéesest différente de celle utilisée dans la figure

24 280

1.1 .Rappelons que la force n’est pas invariante en

Relativité générale; nous devons donc préciser dansquel référentiel nous la calculons. Considéronsdonc la force subie par la particule vue dans leréférentiel où la particule est immobile.

2 xx d σF = m ---------------------2dτ

xτ est le temps propre de la particule; et σ estla longueur spatiale mesurée parallèlement à laligne coordonnée x dans le référentiel lié à laxparticule. σ x en effet, d’une part il n’y apas d’effet de contraction des longueurs liés à lavitesse de la particule (qui peut cette fois êtrevoisine de celle de la lumière) car la longueur estmesurée perpendiculairement à la vitesse; d’autrepart on suppose toujours que la gravitation estsuffisamment faible pour qu’il n’y ait pas decontraction des longueurs qui lui soit associéed’une manière appréciable dans la formule examinée.Donc :

2x d xF = m --------------- (12,43)2dτ

2 2x x C dt x C dt dz x dzF = - m Γ -------------------- - 2 m Γ -------------------- ---------- - m Γ ---------- (12,44)00 dτ 0z dτ dτ zz dτ

∂g x 1 xx 0 0 1 ∂φ Γ = --------------- g - --------------------- ---------------- -----------0 0 2 ∂x 2 ∂x C

x 1 xx Γ = --------------- g × 0 = 0 (12,45)0z 2

∂gx 1 xx zz 1 ∂φ Γ = --------------- g - --------------------- ---------------- ----------- zz 2 ∂x 2 ∂xC

2 2 x 1 ∂φ C dt dz F = - m ---------------- ----------- -------------------- + ---------- (12,46)2 ∂x dτ dτ C

2 2 2x ∂φ 1 C dt + dzF = - m ----------- ---------------- ------------------------------------------------------------ (12,47)∂x 2 2C dτ

2 2 2 2 2 2 dzor ds = C dτ C dt - dz ; et ---------- = vd t

25 281

2v1 + ----------------2 2 2 2 2 2 2C d t + dz C dt + dz C------------------------------------------------------------ = ---------------------------------------------------------- = ----------------------------------------------------

2 2 2 2 2 2C dτ C dt - dz v1 - ----------------2C

2 2x ∂φ 1 + v / CF = - m ----------- ------------------------------------------------- (12,48)∂x 2 21 - v / C

Interprétons cette formule : on peut considérerque le point est immobile et que c’est la barre quidéfile. D’autre part :

2 2 1∂φ 1 + v / C ∂φ- m ----------- ------------------------------------------------- = - m ----------- -----------------------------------------------∂x 2 2 ∂x 2 21 - v / C 1 - v / C

2 2∂φ v / C- m ----------- -------------------------------------------------- (12,49)∂x 2 21 - v / C

Au premier terme correspond bien à priori00l’attraction due à la composante T du tenseur

d’impulsion énergie (formules (12,42) avec (8,8));on a bien alors la multiplication par le facteur

2 21/(1 - v / C ) venant de l’effet simultané de lacontraction des longueurs et de l’augmentation del’énergie avec la vitesse.

Mais il y a en plus le deuxième terme. On voitzzintuitivement qu’il correspond à T avec le mêmecoefficient de proportionalité que celui reliant le

00premier terme à T .Nous verrons (chapitre 14) que nous sommes dans

le cas de l’approximation linéaire de lagravitation, les différents effets s’ajoutent alorsles uns aux autres. Ainsi on a deux effetsattractifs, l’un lié à l’énergie, l’autre à lapression (à la barre qui défile correspond en effetune pression comme nous l’avons vu au § 7 duchapitre 8 ), avec la même intensité (mêmecoefficient de proportionalité; formules (8,8)et (8,13)). Nous reverrons tout cela rigoureusementau chapitre 14 en connaissant exactement comment letenseur d’impulsion-énergie crèe la gravitation(équations du champ, chapitre treize).

17. Effet de contraction des longueurs dans unchamp de gravitation. - Considérons la formule(12,41) . A l’infini φ = 0 et les coordonnéesx,y,z,t deviennent galiléennes types. D’un autrecôté, elles sont définies partout, même dans lesrégions où le champ gravitationnel est présent.Elles vont donc jouer le rôle du substratinvariable défini partout, par rapport auquel on

26 282

pourra évaluer un effet de "contraction deslongueurs" dû à la gravité. Précisons cela :

Considérons par exemple la déviation de lalumière au passage dans un champ degravitation, qui sera étudiée au § 21(fig. 12.2).

.φ = 0 . .M a s s e s---------------------------------------------------------------------------------------____________________________ ________________________________________________________----------------------------------------------------------------------. .. C h a m pφ ≠ 0 . d e. .

g r a v i t éDév i at ion

d e la l um ière

F i g . 1 2 . 2

Les points de départ et d’arrivée du rayonlumineux se situent dans des régions où φ = 0 etoù l’espace-temps est plat. Les coordonnéesx,y,z,t sont alors galiléennes types. On mesure ladéviation du rayon lumineux entre le départ etl’arrivée où ces coordonnées x,y,z,t sont descoordonnées étalons, c’est à dire correspondent àdes longueurs et des temps mesurés avec des règlesétalons et des horloges étalons. Cette déviationest mesurée par rapport à la trajectoire que l’onaurait si φ était nul partout.

Mais le fait que les coordonnées x,y,z,t sontdéfinies partout nous permet de suivre l’évolutiondu rayon lumineux par rapport à ces coordonnéestout le long de sa progression, et de voir où ilest dévié, par rapport au cas de non déviation quel’on aurait si φ était nul partout (fig. 12.2); casoù les coordonnées x,y,z,t sont galiléennes typespartout. Dévié, cela veut dire qu’il n’a plus unetrajectoire rectiligne par rapport aux coordonnéesx,y,z ; c’est à dire que ses coordonnées d’espacene sont plus des fonctions linéaires affines dutemps t , ce qui est le cas partout quand φ = 0 .

Dans un référentiel galiléen local, la lumière sepropage bien sur toujours en ligne droite à lavitesse C. Nous verrons d’autre part au chapitre 14que ces coordonnées utilisées ici, ne sont pasquelconques et s’introduisent naturellement enchamp faible. Elles donnent à l’équation du champla forme très simple (14,9). Elles correspondent aucas où la gravité est suffisamment faible pour être

27 283

décrite approximativement par un champ tensorield’ordre 2 dans un espace-temps plat (voir § 1 duchapitre 14 ; de telle manière que ces coordonnéesont un caractère canonique renforçantl’interprétation que nous donnons ici. Mais nousavons vu au § 13 du chapitre 7 que ce n’est toutde même qu’une image possible parmi d’autres ducaractère non euclidien de l’espace.

Ainsi en conclusion, les coordonnées x,y,z,tnous permettent de donner une significationrigoureuse à ce substrat invariable hypothétiqueimaginé au § 9 du chapitre 7 , et par rapportauquel les effets de contraction des longueurs oud’autres effets, comme la déviation de la lumière,sont mesurés. De la même manière, le temps t, tempsétalon à l’infini, permettait d’évaluer partoutl’écoulement du temps local τ et de voir s’il yavait un effet de "ralentissement" du temps(formule 12,30)).

Rappelons qu’il n’est pas possible d’obtenir unsystème de coordonnées types globalement, et parrapport auquel on puisse par exemple repérer ladéviation de la lumière. Les coordonnées x,y,z,tprésentées ici représentent donc la meilleursolution pour étudier des effets globaux comme ladéviation de la lumière, en suivant ces effets deproche en proche localement.

Les formules (12,26) avec (12,28) et (12,41)donnent :

2 2 φ 2 2 2dσ = 1 - ------------------ (dx + dy + dz ) (12,50) 2 C

soit (dσ sera noté aussi dl) :

------------------------------------------ 2 φdσ = dl = 1 - ------------------ dX (12,51)√ 2C

dX étant la distance mesurée avec le substratinvariable correspondant aux coordonnées x,y,z . φétant négatif, il y a bien un effet de contractiondes longueurs étalons par rapport à ce substratinvariable, qui fait que localement dans le champde gravitation, les règles étalons sont plus"petites", et la mesure dσ faite avec ces règlesétalons est plus grande que la valeur donnée par lesubstrat invariable : dσ > dX . Où, pour desrègles étalons toutes identiques, placées endifférents endroits, soit pour dσ = Cte , dX estde plus en plus petit au fur et à mesure que l’ons’enfonce dans un champ de gravitation, φ devenantde plus en plus petit (φ croit et φ < 0 ). Lesrègles étalons rapetissent donc quand elles

28 284

s’enfoncent dans un champ de gravitation.

18. Etude d’une barre défilant à la vitesse v enprésence d’une particule immobile. - Développonsmaintenant le calcul correspondant au point de vuedéveloppé à la fin du § 16 .

Nous devons trouver la même force, dans leréférentiel lié à la particule, que dans ceparagraphe 16 ; ceci bien que le calcul soit menéd’une manière différente.

Il nous faut ici calculer l’élément linéaire créépar une barre animée de la vitesse v. A l’infini,-le passage du référentiel R lié à la barre auréférentiel R lié à la particule s’exprime par unetransformation de Lorentz.

Nous pouvons définir globalement dans toutl’espace-temps des coordonnées t,x,y,z à partir- - - -des coordonnées t,x,y,z par cette transformation deLorentz :

- x = x - y = y - - (12,52)z = ch ϕ z + sh ϕ C t - - C t = sh ϕ z + ch ϕ C t

Pour un point immobile par rapport à la barre, on-a dz = 0 et cela donne bien dz/dt = sh ϕ C /ch ϕ = v . Dans le référentiel correspondant auxcoordonnées ainsi définies, la barre est donc bienanimée de la vitesse v. La coordonnée z correspondbien en effet à la mesure de longueur étalons, etle temps t à un temps étalon et dz/dt donne bien lavitesse réelle de la barre. Rappelons qu’on a biendes coordonnées étalon car avec ces coordonnéesl’élément linéaire est très voisin de son

2expression de la Relativité restreinte, φ/C étanttrès petit.

D’ailleurs à l’infini, là ou la gravitationdisparait, on retrouve l’élément linéaire de laRelativité restreinte avec les coordonnéest,x,y,z ; et ce sont les seules coordonnéesassociée au référentiel dans lequel la particuleest immobile vérifiant cela.

2 2 φ 2 -2 2 φ -2 -2 -2ds = 1 + ------------------ C dt - 1 - ------------------ (dx + dy + dz ) 2 2 C C

22 2 φ ds = 1 + ------------------ - sh ϕ dz + ch ϕ C dt 2 C

2 2 φ 2 2 - 1 - ------------------ dx + dy + ch ϕ dz - sh ϕ C dt 2 C

29 285

2 2 2 2 φ 2 2 2 2 2 φds = C dt + ------------------ ch ϕ + sh ϕ C dt - 1 - ------------------2 2 C C

2 2 2 φ(dx + dy ) - dz - 8 ----------------- sh ϕ ch ϕ C dt dz2C

2 φ 2 2 2+ ------------------ ch ϕ + sh ϕ dz (12,53)2 C

Toujours avec la même approximation, absenced’effet de contraction des longueurs lié à lagravitation qui est faible, et absence d’effet decontraction des longueurs perpendiculairement à lavitesse; idem pour les temps, ici t τ (particuleimmobile, pas d’effet lié à la gravitation); on a :

2x x C dt x 2F = - m Γ -------------------- - m Γ C00 dτ 00

∂gx 1 xx 00 2 2 1 ∂φΓ = --------------- g - ------------------ = ch ϕ + sh ϕ ---------------- -----------00 2 ∂x 2 ∂xC

2 22 2 1 v / Cch ϕ + sh ϕ = --------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------

2 2 2 21 - v / C 1 - v / C

2 2x ∂φ 1 + v / CF = - m ----------- -------------------------------------------------∂x 2 21 - v / C

On retrouve bien par un calcul différent menédans un référentiel différent, l’expression (12,48)du paragraphe 16 .

19. Etude d’une barre et d’une particuleimmobiles l’une par rapport à l’autre et animées dela vitesse v colinéaire à la barre. - L’élémentlinéaire est le même qu’au paragraphe précédent :

2 2 φ 2 2 2 2 2 φ ds = 1 + ------------------ (ch ϕ + sh ϕ) C dt - 1 - ------------------ 2 2 C C

2 2 2 φ 2 2 2(dx + dy ) - 1 - ------------------ (ch ϕ + sh ϕ) dz (12,54) 2 Cφ- 8 ---------------- sh ϕ ch ϕ C dt dz

2C

Toujours en l’absence de contraction deslongueurs, on a :

2 2x x C dt x C dt dz x dzF = - m Γ -------------------- - 2 m Γ -------------------- ---------- - m Γ ----------00 dτ 0z dτ dτ zz dτ

30 286

∂gx 1 xx 0 0 1 ∂φ 2 2Γ = --------------- g - -------------------- = ------------------ ----------- ( ch ϕ + sh ϕ )0 0 2 ∂x 2 ∂xC

∂gx 1 xx zz 1 ∂φ 2 2Γ = --------------- g - -------------------- = ------------------ ----------- ( ch ϕ + sh ϕ )zz 2 ∂x 2 ∂xC∂gx 1 xx 0 z 2 ∂φΓ = --------------- g - -------------------- = - ------------------- ----------- s h ϕ ch ϕ

0z 2 ∂x 2 ∂xC

4 φ( g = - -------------------------- sh ϕ ch ϕ )0z 2C

Pour deux évènements voisins correspondant à deuxpositions voisines de la particule, on a :

2 2 2 2 2 2 dzds = C dτ C dt - dz ; et ---------- = vdt

2 2 2 2 2x ∂φ (ch ϕ + sh ϕ)(C dt + dz )-4shϕ chϕ CdtdzF = - m----------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∂x 2 2 2C dt - dz

2v1 + ---------------- v2 2 ----------------C v C v------------------------------------- 1 + ---------------- - 4 ------------------------------------- -----------------2 2 2 Cv C v1 - ---------------- 1 - ----------------2 2x ∂φ C CF = - m ----------- =======================================================================================================================================================================================∂x 2v1 - ----------------

2C

On voit facilement que la fraction vaut 1 et :

x ∂φF = - m -----------∂x

On retrouve bien (12,42).La force subie par la particule, vue dans son

référentiel, calculée de la manière ci-dessus avecparticule et barre en mouvement, est donc bien lamême que celle calculée en considérant la barre etla particule immobiles. Le problème des deux barresest donc complètement résolu. La gravitation estmaintenant compatible avec la Relativitérestreinte. On a une Théorie relativiste de lagravitation, c’est la Relativité générale.

En comparant au résultat du § 18 , on voit qu’ilfaut ajouter, à cause du mouvement de la particuledeux termes correspondant aux symboles dex xChristoffel Γ et Γ .

0z zzOn peut donc dire qu’on a une force multipliée

2 2 2 2par (1 + v / C )/(1 - v / C ) à cause de l’effetde contraction des longueurs, d’augmentation del’énergie avec la vitesse et de l’effetd’attraction de la pression. Mais on a unerépulsion qui correspond à l’effet magnétique de la

31 287

gravitation et qui compense exactementl’augmentation d’attraction due aux effetsprécédents. Cette répulsion est due à l’action dela barre en mouvement de translation rectiligneuniforme sur la particule en mouvement detranslation rectiligne uniforme dans le même sens.

De la même manière qu’en électromagnétisme, uneffet magnétique vient de l’action d’une charge enmouvement sur une autre charge en mouvement, enRelativité générale des effets magnétiquesapparaissent, même avec des mouvements nonaccélérés. Nous verrons au chapitre 14 , que cesont les termes du tenseur d’impulsion-énergiecorrespondant à la densité d’impulsion, doncégalement au flux d’énergie qui sont la cause del’effet répulsif sur la particule en mouvement.

20. Déviation de la lumière dans un champ degravitation. - Les résultats des paragraphes 16 et17 nous permettent de connaitre la déviation de lalumière dans un champ de gravitation. Reprenons lesformules (12,43) et (12,47) :

x 2 2 2 2 F d x ∂φ 1 C dt + dz------------------ = --------------- = - ----------- ---------------- ------------------------------------------------------- (12,55)m 2 ∂x 2 2dτ C dτ Dans le cas d’un objet animé d’une vitesse faible

devant celle de la lumière parallèlement à l’axedes z, dz/dt µ C , dt dτ et (12,55) donnealors la formule newtonienne :

2d x ∂φ-------------- = - ----------- (12,56)2 ∂xdt

Considérons maintenant un rayon lumineux sepropageant parallèlement à l’axe des z. Il vient :

2 2 2 2 2 20 = ds = C dτ C dt - dz2 2 2dz = C dt c’est à dire dz/dt = C , ce qui est

évident. Cela traduit la propagation à la vitesse Cde la lumière le long de l’axe des z, les effets decontraction des longueurs dus à la gravitationappliquée par la barre étant négligeables. (12,55)

2 2multipliée par dτ /dt donne (Faire cettemanipulation suppose dt proportionnel à dτ, ce quiest le cas pour une particule se dirigeant presqueà la vitesse de la lumière, horizontalement etdonc, à vitesse pratiquement constante) :

2 2d x ∂φ 1 2 dz -------------- = - ----------- ---------------- C + ---------- (12,57)2 ∂x 2 2 dt C dt

(1) (2)

2d x ∂φ-------------- = - 2 ----------- (12,58)2 ∂xdt

32 288

Dans le référentiel R lié à la barre, on a uneaccélération vers le bas de la lumière double decelle d’un objet newtonien (animé d’une vitessefaible devant C).

Extrapolant la Mécanique newtonienne à uncailloux animé de la vitesse C horizontalement, onaurait prit (12,56) au lieu de (12,58) et on auraittrouvé tout le long du chemin une déviation moitiéde la déviation réelle, mesurée avec lescoordonnées x,y,z,t ; donc également à l’infini làoù la déviation est rigoureusement mesurée avec cescoordonnées qui deviennent étalons à l’infini.

La formule (12,57) nous montre qu’il y a deuxtermes (1) et (2) apportant chacun une déviationégale à la déviation newtonienne. Voyons quelle estl’origine de ces deux termes en examinant (12,45) :

2 xA (1), donc C correspond Γ venant de00

∂g /∂x . Cet effet est lié au ralentissement du00

temps dans un champ de gravitation (formule(12,21)); ralentissement parfaitement vudirectement grâce au principe d’équivalence au § 5du chapitre 7 . Donc, au bout du compte, cettecontribution à la déviation de la lumière avait étéparfaitement évaluée directement grâce au principed’équivalence dans ce § 5 du chapitre 7 .

2 2L’autre contribution, (2) avec dz /dt vient dexΓ , donc de ∂g /∂x . Ce terme est lié à l’effetzz zzde contraction des longueurs dans un champ degravitation par la formule (12,51). Cet effet a étémentionné au § 5 du chapitre 7 , sans à l’époquel’évaluer numériquement.

21. Influence de la contraction des longueursdans la déviation de la lumière. - Au § 17 a étédonnée l’interprétation des coordonnées x,y,z enterme de substrat invariable par rapport auquel onpeut à la fois mesurer l’effet de contraction deslongueurs et suivre pas à pas la déviation de lalumière.

En utilisant la nature ondulatoire de la lumière,nous allons grâce à cela pouvoir recalculerrigoureusement l’influence conjointe des effets deralentissement du temps et de contraction deslongueurs dans la déviation de la lumière, par uncalcul direct et sans utiliser le formalismemathématique des variétés différentiables. Cetteinterprétation nous permettra de saisirdirectement, en l’évaluant quantitativement,l’influence de l’effet de contraction des longueurssur la déviation de la lumière mentionné au § 5du chapitre 7 . Voir également l’exercice 7.3 à ce

33 289

sujet.

Soit un plan d’onde de phase déterminée (plan oùle champ électrique est maximal par exemple)parallèle au plan xOy (fig. 12.3). Ce plan d’ondeavance parallèlement à l’axe des z. A cause de lacontraction des longueurs et de la dilatation destemps, et compte tenu de l’invariance locale de lavitesse de la lumière mesurée avec les coordonnéesétalons (§ 3 , chapitre 7), à un niveau inférieurle plan d’onde avance moins vite (en terme du tempsuniversel t et des coordonnées x,y,z).

Il en résulte une rotation progressive de ce pland’onde au fur et à mesure qu’il avance,correspondant à la déviation du rayon lumineuxassocié. Nous avons un effet de réfraction de lalumière.

Pendant la durée du temps d’univers t, le pland’onde a avancé de z2 à l’altitude x2 et de z1 àl’altitude x1, et, en longueur étalon locale,respectivement de l2 et l1; Elles seront leslongueurs d’onde de la lumière, vues localement, sit correspond à la période de la vibration. Il s’estalors écoulé le temps étalon tl2 à l’altitude x2 ettl1 à l’altitude x1.

t

1M2 1 z2 1 α1 1 11 _________________________________________1J______________________________________1___________L N21 I 1 11 1 1 t l 21 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 M1 1 z1 11 1 11 _______________________1J_____________________________L N 11 I 11 1 t l 11 x2 11 11 11 11 11 x1 1 1 1y 1 1⊗ 1 11 ------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO 1 z1

1 x<

Fi g . 1 2 . 3

L’invariance de C donne :

l2 l1C = ---------------- = ----------------t l 2 t l 1

l est la longueur étalon à l’altitude x, tandis quetl est le temps propre local d’une horloge étalon

34 290

immobile à l’altitude x.(12,51) donne :

------------------------------------------------------ 2 φ (x)l = 1 - ------------------------------ z√ 2C

Il y a contraction des longueurs pour desx croissants, donc lorsque φ décroit. Ainsi, à lamême valeur de la longueur d’un chemin mesuré enterme de la coordonnée z, correspond un plus grandnombre de règles étalons mises bout à bout quand xest plus grand, c’est à dire quand on est plusenfoncé dans le champ de gravitation. Il corresponddonc alors une plus grande valeur de l (fig 12,4).

l = 7 r è g l e s é ta l on s

j-----------------------------k-----------------------------k-----------------------------k-------------------------k-----------------------k-----------------------k---------------------------l

J_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Lm ê me v a l eu r d e z

j----------k----------k----------k----------k-----------k---------k---------k-------k--------k------k------k--------k--------k----------l

l = 1 4 r èg l es ét a l o n s

--------------------------------------- 2 φtl = 1 + ------------------ t (12,59)√ 2C

A une même valeur du temps d’univers t correspondun plus court lapse de temps local réel tl lorsquex est plus grand, donc lorsque φ est plus petit.

L’invariance de la vitesse de la lumière donne :

--------------------------------------- 2 φ1 - ------------------√ 2C------------------------------------------------------------------- z = Cte--------------------------------------- 2 φ1 + ------------------√ 2C

En effet, le plan d’onde vibre en phase sur toutesa longueur, donc simultanément en tous ses pointsau sens du temps d’univers t. Le plan d’ondeatteint donc au même instant M1 et M2 et égalementau même instant N1 et N2.

La durée mesurée en temps d’univers qui s’écouleentre les arrivées en M1 M2 et N1 N2 est notée t(formule (12,59)). t est ainsi le même aux deuxaltitudes.

Par contre, z et φ ne sont pas les même en M1 eten M2. Ils valent : z1,z2, φ(z1), φ(z2).

35 291

2 φ1 - ------------------2C 2------------------------------------------------- z = Cte2 φ1 + ------------------2C

dφ dφ dx dxDérivons par rapport à z : ----------- = ----------- ---------- = φ’ ----------dz dx dz dz

2 φ1 - ------------------2C2 z ------------------------------------------------- +2 φ1 + ------------------2C

2 φ’ 2 φ 2 φ 2 φ’- ------------------ 1 + ------------------ - 1 - ------------------ ------------------2 2 2 2

2 dx C C C Cz ---------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 0 dz 2 2 φ 1 + ------------------ 2 C

2 2 φ Multiplions le tout par 1 + ------------------ , divisons 2 C

par 2 z .

2 φ 2 φ remarquons que : 1 - ------------------ 1 + ------------------ 1 2 2 C C

dx 2 φ’1 - z ---------- ------------------ = 0dz 2C

φ’ = - g

z2 - z1 dzα = - -------------------------------- = - ----------x2 - x1 dx

1 2 g1 = z ----------------- -----------------α 2C

Pour une avancée du plan d’onde de z, il y a doncrotation vers le bas de :

2 g zα = ------------------------------- (12,60)2C

On voit que le coefficient 2 vient de l’effet deralentissement du temps ajouté à l’effet decontraction des longueurs. Si nous prenons un seuleffet en compte, nous avons le coefficient 1. Nouslaissons le lecteur vérifier cela.

36 292

Vérifions que l’effet est double de celui quel’on calcule pour une particule matérielle quisuivrait la Mécanique newtonienne tout en allant àla vitesse C. Considérons, pour faire un calculsimple, un mouvement circulaire uniforme sur uncercle de rayon R, dans lequel la force centrifugeannule la force de gravité. A un instant donné, latrajectoire est bien perpendiculaire au champ degravité. Si l’on se restreint à une régionsuffisamment petite, on a une légère déviationcausée par un champ pratiquement uniforme.

2m Cm g = ----------------------Rz = R α

2 α g zg = C ----------------- et α = -----------------z 2C

résultat moitié de (12,60).

22. Déformation apparente d’un référentielgaliléen vu avec les coordonnées x,y,z . - Il nousreste à comprendre avec une totale clarté pourquoidans l’exemple du § 5 du chapitre 7 la déviationde la lumière vue de la fusée est moitié de celleayant lieu dans un champ de gravitation, bien quepour l’astronaute de la fusée, tout se passe commesi un champ de gravitation régnait.

Nous pouvons donner une formulation un peudifférente de ce paradoxe :

Ainsi, une particule animée de la vitesse Chorizontalement accélère deux fois plus vers le bas(dans un champ de gravitation vertical) qu’uneparticule animée d’une vitesse faible devant cellede la lumière. Ceci n’est-il pas en contradictionavec le principe d’équivalence ? Celui-ci sembleaffirmer en effet que tous les corps ont la mêmeaccélération quelle que soit leur vitesse dans unchamp de gravitation; puisqu’il affirme (§ 2 et§ 3 du chapitre 7) que tous les corps libres,quelle que soit leur vitesse ont un mouvementrectiligne uniforme dans un référentiel galiléen(en chute libre).

La solution de ce paradoxe réside dans le choix,différent dans les deux cas, du référentiel, c’està dire dans le choix du système de coordonnées parrapport auquel on mesure la déviation de la lumièreou l’accélération.

Considérons le système de coordonnées x,y,z,t ;l’élément métrique vaut :

37 293

2 2 φ 2 2 2 φ 2 2 2ds = 1 + ------------------ C dt - 1 - ------------------ ( dx + dy + dz ) 2 2 C C

Soit R le référentiel correspondant à cescoordonnées. φ est le potentiel de gravitation.Dans un champ uniforme, φ = - g x + Cte . Pour quel’élément métrique prenne la forme précédente, ilfaut que φ soit partout faible et prenne la valeur0 à l’infini. On retrouve bien alors à l’infini lamétrique de l’espace-temps de Minkowski avec descoordonnées galiléennes. C’est bien par rapport àde telles coordonnées qu’on mesure la déviation dela lumière.

On suppose en effet que la lumière est déviée parson passage dans un champ de gravitation localisé;la déviation étant mesurée à l’infini. Ce systèmede coordonnées d’espace-temps est différent decelui d’un référentiel galiléen local, et il y a uneffet de contraction des longueurs par rapport à untel référentiel.

Considérons un tel référentiel galiléen Rgconstruit avec des règles étalons parfaitementrigides. Plus précisément, ce référentiel estconstitué d’un rectangle parfaitement rigide decôtés de longueurs h verticalement et lhorizontalement, avec h µ l . Ce référentiel esten chute libre. Il y a un instant ou il estparfaitement immobile dans le champ de pesanteur(fig. 12.5).

0 z 2Référenti e l ga l i léen 11 l 11 j------------------------------------------k------------------------------------------_______________________ x21111 h 1 l 1 h11 j------------------------------------------k------------------------------------------_______________________ x1<11

0 z 1g 11<

1⊗ -----k--------------------------------------------------------------------------------------------------L1y 1 z1< x

Fig . 12.5

Le haut du référentiel correspond à la valeur x2de la coordonnée x; le bas à la valeurx1 ; x1 - x2 h . De même, la partie gauchecorrespond à la valeur 0 de z ; la partie droitecorrespond à la valeur z2 en haut et z1 en bas. z2est différent de z1 à cause de la contraction deslongueurs dans un champ de gravitation !

38 294

(12,51) donne en effet :

---------------------------------------------------------------------- 2 φ ( x1) φ( x 1) l = 1 - ------------------------------------ z1 1 - ------------------------- z1√ 2 2 C C

---------------------------------------------------------------------- 2 φ ( x2) φ( x 2) l = 1 - ------------------------------------ z2 1 - ------------------------- z2√ 2 2 C C

φ(x2) > φ(x1) ⇒ z2 > z1

Le référentiel galiléen est vu déformé dans leréférentiel R (fig. 12.6) :

z2

z1 α

h

z1

Fig. 12.6

Le bas du référentiel plongé plus profondémentdans le champ de gravitation semble plus petit. Dela lumière émise à l’instant 0 de la source, suitles géodésiques du référentiel galiléen, donc subitde ce fait un effet de rotation vu du référentielR.

Il correspond une rotation : α = (z2 - z1) / h

φ(x2) - φ(x1) l gα = -------------------------------------------------------------- l = ---------------2 2C h C

Le rayon de courbure du cercle parcouruvaut :

2l CR = ----------------- = ---------------- (12,61)α g

Il lui correspond pour la lumière, vue dans R,une accélération vers le centre qui vaut :

2 2v C 2 g---------------- = ---------------- = C ---------------- = gR R 2C

39 295

D’autre part, pendant que la lumière parcourtcette distance l horizontalement dans leréférentiel galiléen, elle accompagne ce dernierdans sa chute libre avec l’accélération g. Onobtient donc en tout l’accélération 2 g qui estbien le double de celle d’un corps peu rapide.

Il faut bien voir que tout objet lancéhorizontalement subira l’accélération vers le bascorrespondant à la courbure de l’espace et à

2l’angle α = l g / C . Mais, pour un corps animéd’une vitesse faible devant celle de la lumière,l’accélération correspondant à cette courbure seranégligeable devant l’accélération g que le corpsprend en accompagnant le référentiel galiléen danssa chute libre. Calculons précisément cetteaccélération due à la courbure de l’espace :

2 2 2 2v v g g dz 1 ∂φ dz γ = ---------------- = --------------------- = ---------------- ---------- = - ---------------- ----------- ----------R 2 2 d t 2 ∂x d t C C C

∂φ ------------ < 0 ∂x

On a donc bien retrouvé avec ce raisonnementdirect le deuxième terme de la formule(12,57). Ce deuxième terme correspond bien à lacourbure de l’espace.

On voit que l’effet de déviation de la lumière dûà la contraction des longueurs se calculeexactement de la même manière en étudiant ladéviation qui en résulte pour un plan d’onde, ou ladéformation apparente qui en résulte pour unréférentiel galiléen.

En conclusion, dans la fusée qui coïncide àl’instant considéré avec le référentiel galiléenétudié, l’accélération vers le bas est bien la mêmepour tous les corps et la déviation de la lumièremoitié de celle calculée avec les coordonnéesx,y,z .

Mais il n’y a pas de contradiction. Simplement,les coordonnées utilisées ne sont pas les mêmes. Vud’un référentiel terrestre, et avec les coordonnéesx,y,z , la fusée bien que parfaitement rigide,parait déformée (fig. 12.7). Un chemin qui seproduit dans un référentiel en ligne droite àvitesse constante, est vu dans un autre référentielcomme un mouvement circulaire uniforme, donc avecune accélération!

40 296

==================================================

F i g . 1 2 . 7

Et d’ailleurs, avec les coordonnées x,y,z , lagravitation est nulle à l’infini. Par contre, enutilisant le principe d’équivalence, dans la fuséequi accélère, la gravitation (apparente) n’est pasnulle à l’infini. Il est donc normal de ne pasretrouver la même déviation de la lumière àl’infini dans les deux cas.

41 297

EXERCICES

12.1 On considère un champ gravitationnel uniforme gdirigé vers le bas (voir figure), les effets deRelativité générale étant faibles. L’élémentlinéaire est donc donné par (12,41) qui peut

2s’écrire, 2 φ/C étant très faible :

2 2 2 1 2 2 2ds = A C dt - ------------------ dx + dy + dzA

2 φavec A = 1 + ------------------2C

111 h ν1 11 1 g11 < <x 1<

============================================================================================================================================================================================

L’axe des x est vertical et dirigé vers le bas.On considère un rayon lumineux se propageantverticalement dans ce champ de gravité.

1. p étant un paramètre décrivant la trajectoire,écrire les équations des géodésiques, en t et en x,en utilisant A et A’ = dA/dx .

2. Intégrez l’équation des géodésiques en t etmontrez que l’on peut écrire la relation :dt/dp = 1/A C .

3. En déduire le lien entre x et p.4. En déduire que la vitesse de la lumière est

bien constante et égale à C lorsqu’elle est mesuréelocalement avec des règles étalons et des horlogesétalons, tandis que, vue de l’extérieur, la lumièrea une progression plus lente, ceci étant dû d’unepart au ralentissement du temps, d’autre part à lacontraction des longueurs.

12.2 1. L’équation (12,50) à deux dimensions s’écrit(voir figure ci-dessous) :

2 2 φ 2 2dl = 1 - ------------------ (dx + dz ) 2 C

42 298

1---------------k---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L1 z11 S1 fic e l l e tendue1 1 .1 g 1 . .1 1 z1 z2< 1 M1 M21111 x<

En utilisant les équations de Lagrange (10,7),retrouvez la courbure d’une ficelle tenduehorizontalement dans un champ de gravitationuniforme vertical, courbure repérée par rapport auxlignes coordonnées x = Cte , et calculée au § 22(figure 12.6 et équation (12,61).

2. Montrez que la courbure de la trajectoireparcourue par de la lumière se propageanthorizontalement a le double de cette valeur. Queconclure?

3. Calculez numériquement la flèche de la ficelletendue dans le champ de gravité de la Terre, sicelle-ci a 10 km de long.

12.3 Montrez que l’on retrouve l’équation (12,57) pourun objet massique animé à l’instant considéré d’unevitesse horizontale, en considérant les ondes dematière de de Broglie. Pour cela, on fera unraisonnement analogue à celui du § 21 , enutilisant les résultats de l’exercice 4.1 sur letraitement relativiste de la relation λ = h/p .

12.4 On considère une barre infinie massique animée dela vitesse V ( V µ C ) parallèle au support decette dernière, l’axe des z. Un point M est animéde la vitesse v (v µ C) perpendiculaire à V etsituée dans le plan défini par M et la barre. v estportée par l’axe des x orienté vers la barre.

2 21. Calculez d z/dt .2. Montrez que l’on peut interpréter

l’accélération de M comme étant due à la forceF = m C v ∧ BG . BG est le champ de l’effetmagnétique de la gravitation (voir exercice 14.2).Calculez BG , précisez la disposition du vecteurBG et comparez avec le magnétisme.

3. Pour la densité volumique de masse ρ animéeM

de la vitesse V, on pose jG = ρ C V . Donnez laM---------Lformule analogue de ro t B = µ j de la

0magnétostatique.

12.5 On veut dans cet exercice vérifier dans un casparticulier les formules (12,21), (12,28) et(12,29). Pour cela, on considère les référentiels R- -et R du paragraphe 18 , mais le temps de R est

0mesuré par t, le temps de R; ainsi : u = t ;

43 299

1 - 2 - 3 -u = x ; u = y ; u = z .2 α1. Exprimez le ds avec les coordonnées u .

2. Vérifiez les formules (12,21), (12,28)et (12,29).

12.6 Dans cet exercice, on veut réaliser complètementle programme du § 12 du chapitre 11 sur unexemple concret de Relativité générale. Lesnotations sont les mêmes que dans l’exercice 12.2 .

1. Montrez que l’on peut prendre φ = 0 dans2l’expression du ds à l’altitude considérée dans le

champ de gravité uniforme; ce qu’on fera dans toutela suite.

2. Calculez tous les symboles de Christoffel nonnuls (on ne fait pas intervenir la variable y). α3. On considère les coordonnées u = t,x,z(α = 0,1,2); et au point O à l’instant t = 0 ;c’est à dire en l’évènement :

0 O = 0

0 α(u )la base :

1 e-(O) = 0 = e (O)t t 0 α(u )

0 e -(O) = 1 = e (O)x x 0 α(u )

0 e-(O) = 0 = e (O)z z 1 α(u )

Cette base est transportée parallèlement àelle-même. Calculez les composantes, avec lesαcoordonnées u des trois vecteurs de base aupoint :

t M = x

z α(u )

Interprétez physiquement les résultats obtenus.4. Déterminez maintenant les vecteurs de la base

duale par leur transport parallèle depuis*β βl’origine; et vérifiez que e (e ) = δ .α αInterprétez physiquement les résultats obtenus.

5. Ecrivez les équations (11,15) correspondantes.Vérifiez que le système est compatible, et calculez- - -les coordonnées rectilignes t, x, z .Interprétation physique des résultats.

12.7 Montrez que l’égalité :

44 300

∂A ∂Aβ αF = -------------------- - --------------------αβ α β∂ u ∂ u

est covariante sans avoir à utiliser les symbolesde Christoffel. F est la différentielleαβextérieure du champ de formes linéaires A .α

12.8 On considère la métrique (12,41).1. Montrez que l’on peut introduire un nouveau

0vecteur champ électrique E’ = E/U (E est lechamp électrique habituel) et un vecteur excitationélectrique D :

E’D = ε0 -------------------------------------------------------------------- = ε E’------------------------------------------------------2√ 1 + 2 φ/C

tels que les équations de l’électrostatiques’écrivent :

rot E’ = 0

div D = ρOn utilisera les équations (12,6) et (12,7) ainsi

que le résultat de l’exercice 12.7 . Conclusion?2. On considère une charge ponctuelle + q

placée dans le vide où règne la métrique (12,41).Dans cette question et dans toute la suite, onsuppose d’autre part que règne un champ degravitation uniforme. On reprend le repère desexercices 12.2 et 12.6 complétés avec l’axe desy et on a donc φ = - g x . Donnez l’allure deslignes de champ du champ électrique.

3. On considère deux charges identiques + qplacées sur une même horizontale et séparées par ladistance d. Montrez qu’il résulte de la question 2que chaque charge est soumise à une forceélectrostatique dirigée vers le bas que l’oncalculera après l’avoir interprétée physiquement.

4. On désire maintenant calculer le champE(x,y,z) . Pour cela, on utilise le principed’équivalence. On rappelle la formule :

2v1 - ------------------2q C r v E = ------------------------------ ----------------------------------------------------------- r - ----------------4 π ε0 3 C v . r r - ------------------- C

q 1 r v .+ ---------------------------------------------- ----------------------------------------------------------- r ∧ r - ---------------- ∧ v 2 3 C 4 π ε0 C v . r r - ----------------- C

pour le champ créé par une charge dont la vitesse.est v. v est la dérivée de cette vitesse. r est lerayon vecteur mené de la charge au point où on

45 301

évalue le champ électrique. Les quantités à droitesont prises à l’instant t’ < t tel que

r C = ------------------------- , pour le calcul du champ E(t) .t - t’On pourra procéder comme suit :Dans le référentiel précédent, on considère

maintenant que la gravitation est nulle. Onconsidère alors une charge q en M, accélérée, decoordonnées :

1 2 x = - --------------- g t = Z 2 y = 0 z = 0

et on évalue le champ électrique au point :

xA y

z

à l’instant t = 0 . La figure ci-dessous est faitep o u r y = 0 .

1 11M 1.Z1 11 jo-------------k------------------------------------------------------------------------------k-----------------LO z1 1r1 11 r 0 1∆θ1 1θ0 1j------------------------------------------------------------------------------ . Ad 11 1x < <

5. Montrez que le calcul de la questionprécédente permet de retrouver la relation

2E = m C de la relativité restreinte.6. Vérifiez que le champ électrique calculé est

bien solution des équations de l’électrostatiquedans le champ de gravitation.

7. Interprétez physiquement le terme :

2q g x-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3/2

2 2 2 2 8 π ε0 C x + y + z de la composante en x du champ électrique trouvée àla questiont 4 , en prenant l’exemple de deuxcharges situées sur une même verticale.

8. On demande le même type d’interprétation descomposantes de E, mais dans le cas où les deuxcharges ne sont pas situées sur une même verticale.

46 302

Chapitre treize

LOI DE FORCE EN RELATIVITE GENERALE

1. Introduction. - Nous étudions maintenant ledeuxième volet de la Relativité générale, c’est àdire la loi de force, ou comment le tenseurd’impulsion-énergie crèe la gravitation endéformant l’espace d’une manière intrinsèque. Cetteloi consiste en l’équation du champ d’Einstein.Nous allons voir que nous l’obtenons nécessairementet sans ambigüité avec le principe d’équivalence ausens fort. A l’issue de ce chapitre, la Relativitégénérale sera donc complètement établie, et nousn’aurons plus qu’à en développer les différentesconséquences.

Rappelons que nous avons vu au § 14 duchapitre 7 que le tenseur d’impulsion-énergie estla source de l’interaction gravitationnelle.

Nous avons vu d’autre part au § 2 du chapitre 7puis à la fin du § 3 du chapitre 7 que laprésence d’un champ de gravitation créé par desastres doit se traduire par la présence d’unecourbure de l’espace-temps. Nous avons reprit cetteidée à la fin du § 2 du chapitre 12 avec plus deprécision, en affirmant que la description d’unchamp de gravité doit se faire avec le tenseur decourbure. Ainsi, la déformation intrinsèque del’espace liée à un champ de gravitation doit êtrecaractérisée par la présence d’un tenseur decourbure non nul.

Nous concluons déjà de tout cela que l’équationdu champ d’Einstein doit relier le tenseurd’impulsion-énergie au tenseur de courbure. Maisvoyons ci-dessous d’autres arguments; tout celanous amenant peu à peu à la forme exacte del’équation du champ.

2. Première indication sur la forme deséquations. - Nous allons dans un premier temps nousrestreindre a l’équation du champ dans une régionde l’espace où le tenseur d’impulsion-énergie estnul, ce que nous appellerons un espace vide (videde matière et d’énergie). Nous savons que dans cecas, en Mécanique newtonienne, l’équationdéterminant la gravitation est :

1 303

22 ∂ φ∆φ = ∇ φ = ---------------------------- = 0 (13,1) i 2(∂x )i = 1,3

φ est le potentiel gravitationnel précédemmentutilisé. Le potentiel φ étant défini dans toutl’espace constitue un champ scalaire, l’équationci-dessus peut donc être appelée l’équation duchamp de Newton. Cet équation de Newton est unebonne approximation lorsque les champs sontfaibles. Or dans ce cas, nous avons vu que nousdevons avoir l’équation (12,38) :

2 φg 1 + ------------------00 2C

L’équation du champ doit donc se réduire à :

2∂ g 00--------------------------- = 0 (13,2) i 2(∂x )i = 1,3

A cause de la tensorialité des équations duchamp, nécessaire car nous voulons que le tenseurd’impulsion-énergie intervienne, nous en déduisonsdonc que les dérivées secondes de toutes lescomposantes de g doivent apparaitre. De plus, laαβsommation sur l’indice i de l’équation (13,2)correspond pour une égalité tensorielle à unecontraction. Nous savons que le tenseur de courbures’exprime justement avec les dérivées secondes dutenseur métrique. Nous sommes donc encore amené àpenser que le tenseur de courbure doit intervenirdans l’équation du champ, et plus précisément uneforme contractée de ce tenseur. On est donc amené àpenser au tenseur de Ricci.

3. Cas limite de l’espace plat de la Relativitérestreinte. - Une solution de l’équation du champlorsque le tenseur d’impulsion-énergie est nul estl’espace plat de la Relativité restreinte. Noussavons que la caractéristique d’un tel espaceest :

αR = 0 (13,3)βγδ

Cependant, près d’un astre et en dehors de cetastre, le tenseur d’impulsion-énergie est nul bienque l’espace soit courbé car déformé par l’astre.L’équation du champ dans l’espace libre doit doncavoir comme solution particulière (13,3), mais doitêtre plus générale que cette dernière équation, defaçon à permettre d’autre solutions que celle del’espace plat. En bref, nous devons d’une certaine

2 304

manière affaiblir l’équation (13,3). Cependant,l’intervention de l’équation (13,3) pour l’espaceplat solution de l’équation du champ, nous inclineencore à penser que le tenseur de courbure doitintervenir d’une certaine manière dans l’équationdu champ.

4. L’équation du champ en espace vide. - Résumonsnous : l’équation du champ en espace vide doitfaire intervenir le tenseur de courbure, doit êtreune version affaiblie de la nullité de ce tenseur,et doit faire intervenir une contraction.Heureusement, il n’y a qu’une forme contractée dutenseur de courbure au signe près, c’est le tenseurde Ricci.

Nous postulons donc que l’équation du champ enespace vide est :

R = 0 (13,4)αβ

5. Confirmation de l’équation du champ :utilisation de l’expression du tenseur de courbure.- Nous allons montrer dans ce paragraphe et lesuivant, par deux méthodes différentes que leprincipe de covariance généralisée permet deconfirmer la validité de l’équation du champprécédemment trouvée. Il ne permet cependant pas dela démontrer.

Il nous faut tout d’abord resituer ce principedans le cas de la gravitation. Nous prenonsévidemment le principe au sens fort de façon à cequ’il s’applique à la gravitation elle même. Sinous relisons le § 4 du chapitre 7 , nous voyonsque le principe de covariance généralisée stipulequ’une équation est vraie si elle est généralementcovariante et si elle est vraie dans un référentielgaliléen en l’absence de gravitation. Tel quel, ceprincipe est inapplicable, car il est impossible devérifier la validité d’une équation concernant lagravitation en l’absence de gravitation.

Il nous faut remplacer le terme absence degravitation, par approximation newtonienne; c’est àdire : gravitation faible et champs gravitationnelspratiquement constants. Précisons pourquoi nousdevons considérer des champs gravitationnelspratiquement constants et ce que cela signifie :

Nous pouvons en effet considérer des champsgravitationnels variables, mais traités avec unebonne approximation avec les équations de laRelativité générale en champs constants. EnMécanique newtonienne, nous ne disposons pasd’équation de propagation du champ. Cela revient àdire qu’on suppose une propagation à vitesse

3 305

infinie devant les autres vitesses considérées. Laloi de la gravitation universelle prend en effet encompte la position des masses à l’instantconsidéré, quelle que soit leur distance, et netient pas compte de leur vitesse. Pour que cetteapproximation soit valable, il faut que les massescréant la gravitation soient animées de vitessesfaibles devant celle de la lumière dont nousverrons qu’elle est la vitesse de propagationréelle du champ gravitationnel. Comment fait-onpour calculer le champ? On fait une "photo" de larépartition des masses à l’instant considéré, et oncalcul le champ avec l’équation de Newton enconsidérant que toutes les masses sont immobiles.Ainsi, nous ne voulons pas dire que le champ nevarie pas, nous voulons dire que sa structurespatiale, sa valeur en tous les points de l’espace,est cohérente à chaque instant avec l’équation duchamp de Newton et qu’il pourrait rester constantavec ces valeurs, tout étant immobile par ailleurs,sans contredire cet équation. Cela implique qu’ence qui concerne les équations de la Relativitégénérale, il faut les considérer à champsconstants. Toutes les composantes intervenantuniquement dans les champs non constants étantnégligeables.

Avec cet aménagement, le principe de covariancegénéralisé appliqué à la gravitation permet-il deprouver l’équation du champ, l’approximationnewtonienne étant supposée vraie? A cause duprincipe d’équivalence, l’équation du champ doitêtre généralement covariante, tout système decoordonnées étant valable pour les écrire. Si dansun référentiel où l’approximation newtonienne estvalable, elle donne des égalités entre composantesde tenseurs et que ces égalités sont identiques al’équation de la gravitation newtonienne, alorsc’est la seule équation généralement covarianteayant cette propriété. En effet, avec le principede covariance généralisée, d’une égalité entrecomposantes de tenseurs dans un référentiel, on endéduit l’égalité complète des tenseurs. Il fautdonc admettre que ces équations généralementcovariante sont les équations cherchées . Rappelonsque nous sommes amenés à prendre des équationsentre tenseurs car nous sommes convaincus que c’estle tenseur d’impulsion-énergie qui est à l’originede la gravitation.

Cependant, le point faible de la démonstrationprécédente vient du fait que cette fois nous nenous plaçons pas dans un référentiel où lagravitation est nulle. Nous nous plaçons dans unréférentiel où elle est faible. L’équation que l’onobtient, équation du champ de Newton n’est pasrigoureusement exacte (les seules équations

4 306

rigoureusement exacte de la gravitation serontjustement les équations de la Relativité générale);il est alors vain de chercher l’identité avec cetteéquation approximative. Dans le cadre del’approximation newtonienne, nous n’aurons donc pasidentité entre deux équations. Si notre équation duchamp est supposée exacte, elle ne pourra qu’êtrevoisine de l’équation de Newton qui n’estqu’approximative! Nous aurons donc deux équationsdonnant à peu près la même chose. Rien ne prouvequ’une autre équation covariante ne serait paségalement voisine de l’équation de Newton danscette approximation. Nous ne serons donc jamais surd’avoir trouvé la seule équation covariantepossible.

Il nous faudra donc ajouter pour être convaincuun argument de simplicité et d’esthétique. Nousprendrons l’équation covariante la plus simple quimarche. Dans le cas d’application du principe decovariance généralisé à autre chose que lagravitation, on annulait totalement la gravitationdans le référentiel galiléen et il s’agissait alorsd’une identité entre équations. Ainsi, leséquations de Maxwell sont supposées totalementexacte dans un référentiel galiléen (dans le cadrede l’électrodynamique classique). Les équationscovariantes correspondantes (12,6) et (12,7) sontalors uniques.

Ce que nous venons de dire est cependant teintéde positivisme; en effet cela est basé sur deséquations qui sont dévalorisées parce qu’elles sontapproximatives; mais toutes les équations nesont-elles pas approximatives? Nous plaçant dans laperspective réaliste, nous pouvons faire leraisonnement suivant : l’équation du champ deNewton peut être considérée comme décrivantparfaitement la réalité de la gravitation lorsqueles effets de la Relativité générale (masseimportante ou vitesse voisine de celle de lalumière) tendent vers 0 . L’équation covariante laplus simple redonnant dans ces conditions cetteéquation sera alors la solution.

Venons en au calcul proprement dit : le tenseurde courbure s’exprime avec (11,14) en fonction desdérivées des symboles de Christoffel et desproduits deux à deux de tels symboles. Si noussommes en champ faibles, nous sommes très proched’être dans un référentiel galiléen où les symbolesde Christoffel sont nuls. Ils doivent donc êtretrès faibles. Nous pouvons donc garder simplementla partie linéaire en ces symboles du tenseur decourbure et prendre l’équation (11,19). On arrive à(11,22) que nous écrivons ici avec d’autres indicesmuets :

5 307

α 1 αλ R --------------- g - g + g - g + g (13,5)βγδ 2 λδ,βγ λγ,βδ βγ,λδ βδ,λγ

i 1 ii R = --------------- g g (13,6)0j0 2 00,ij

i iEn effet, seul g est non nul, le champ étantsupposé constant. D’autre part, toutes les dérivéesdu tenseur métrique contenant une dérivation par

0rapport à x sont nulles. Puis :

2 φ g 1 + ------------------00 2 C

2i 1 2 ∂ φR = - --------------- ---------------- ----------------------------0j0 2 2 j iC ∂x ∂x

2i 1 ∂ φR = - ---------------- ---------------------------- = 00i0 2 i 2C (∂x )i = 1,3

(11,25) implique R = 0 ; puis :0000

0 i 00 = R = g R + g R ⇒ R = 00000 00 000 0 i 000 000

1<( = 0 , champ co n s t ant )

On trouve donc :

α 1 2R = R = - ---------------- ∇ φ = 0 (13,7)00 0α0 2C

0 0Notons que R R ; on peut donc tout aussi0 0

0 0bien écrire R = 0 . Récapitulons : lorsquel’approximation newtonienne s’applique, l’équationdu champ de Newton s’écrit R = 0 .

0 0Supposons cette équation rigoureusement vraie, etce n’est qu’une supposition; les équations R = 0αβétant généralement covariante, et donnantl’équation du champ de Newton lorsque celle-ci estvraie, sont vraies à cause du principe decovariance généralisé. Nous pouvons bien surutiliser les composantes contravariantes et

écrire :αβR = 0 . (13,8)

6. Utilisation de l’équation de déviation desgéodésiques. - Nous montrons dans ce paragraphe lavalidité de l’équation du champ en espace vide, enutilisant le principe de covariance généralisé avec

6 308

l’équation donnant la déviation des géodésiques(11,42); ceci dans le cadre de l’approximationnewtonienne. La gravité étant supposée faible, lessymboles de Christoffel voisins de 0 sont négligés(On peut les rendre nuls au point considéré enprenant le référentiel galiléen local en ce point).La dérivée covariante est alors pratiquement égaleà la dérivée ordinaire.

2 α β δd (δx ) α γ dx dx----------------------------------- = R δx ---------- ---------- (13,9)2 βγδ dτ dτdτ

On considère deux points matériels libres, c’està dire soumis uniquement à la gravitation, quisuivent deux géodésiques voisines. Ils sontconsidérés simultanéments au départ et les deuxévènements qu’ils constituent alors vérifient

0δx = 0 . L’équation de déviation des géodésiquesdonne le suivi de la séparation spatiale ettemporelle des deux points matériels pris à desintervalles de temps propre égaux sur chaquegéodésique. Le temps ne s’écoulant pas tout à faità la même vitesse sur les deux géodésiques,ultérieurement, les deux points ne seront plus toutà fait considérés à des instants identiques, et en

0toute rigueur δx ≠ 0 . Mais étant donné que0 0δx = 0 au départ, on aura toujours δx 0 .Intéressons nous alors à leur séparation spatialeiδx avec i = 1,3 . Les points matériels ayant une

vitesse faible devant celle de la lumièrejdx /dτ = ε C avec ε µ 1 et dτ dt .Les composantes du tenseur de courbure étant

toutes supposées du même ordre de grandeur, seulles termes avec β = δ = 0 interviennent en

0liaison avec dx /dτ = C dt/dτ C . Les autrejtermes faisant intervenir dx /dτ sont négligeables.0Puisque δx 0 , le terme avec γ = 0 est nul.

On obtient :

2 id (δx ) i j 2------------------------------ = R δx C2 0j0dt

D’autre part :

2 --------Ld OM F ( M)-------------------------- = ----------------------------- = g(M)mdt

2 --------Ld OM’-------------------------- = g ( M ’ )dt

2 id (δx ) i i ∂φ ∂φ------------------------------ = g (M’) - g ( M) = - ----------- (M’) + ----------- (M)2 i idt ∂x ∂x

7 309

2 i 2d (δx ) ∂ φ j------------------------------ = - ---------------------------- δx2 j idt ∂x ∂x

On trouve :

2i 1 ∂ φR = - ---------------- ---------------------------- (13,10)0j0 2 j iC ∂x ∂x

qu’on a obtenu au § 5 .

α 0 i 1 2donc R = R = R + R = - ---------------- ∇ φ = 000 0α0 000 0i0 2C

7. Calcul de trois composantes du tenseur decourbure à la surface de la Terre. - Soit a lerayon de la Terre. Considérons deux pointsmatériels M et M’ immobiles à la surface decelle-ci (à la même altitude) et séparés par ladistance horizontale δx correspondant à l’axe x. Lahauteur au dessus de la surface terrestre estappelée z et correspond à l’axe z orienté vers lehaut (fig. 13.1) :

Iz 111

M 1 δ x M’. ------------------------ . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1z-----------------------------------------------------------------------k----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L I Sur f ace de O1 1 x1l a Ter re 11 111 111δα 11 a1 11 11 11 11 11 1O <

F i g . 1 3 . 1

Il correspond à la distance horizontale un angleδα des deux rayons OM et OM’ .

Les points étant abandonnés en même temps enchute libre, vont se diriger vers le centre de laTerre et donc se mettre à se rapprocher (puisquequ’ils coïncideraient une fois arrivés au centre dela Terre O = G ). Nous gardons ci-dessous, commecela a déjà été souvent fait précédemment, lesymbole 0 pour indiquer une composante temporelle,

8 310

tandis que nous mettons x pour i = 1 , y pouri = 2 et z pour i = 3 . On a :

1 2z = - --------------- g t ; δx = ( a + z ) δα2

2 2d (δx) d z δx x 2--------------------------- = δα -------------- = - δα g = - ---------- g = R δx C2 2 a 0x0dt dt

x gR = - --------------------- (13,11)0x0 2a C

Effectuons l’application numérique :

3 8 2a = 6400 10 m ; C = 3 10 m/s ; g = 9.81 m/s

x -23 -2R = 1.7 10 m0x0

Ce qui est une valeur très faible. Pour avoir uneαsurface où R devienne non négligeable, ilβγδ -------------------2 3 11faut un carré de côté √ 10 = 3,16 10 m ;

soit 17,5 minutes lumière.

Considérons maintenant deux points M et M’ situéssur la même verticale au voisinage de la surface dela Terre et séparés par la hauteur δz. Le point leplus près de la Terre sera attiré le plus fortementet accélèrera le plus. Cette fois-ci, la distancedes deux points augmentera ce qui correspond à unecomposante positive du tenseur de courbure. G estla constante de la gravitation universelle et MT lamasse de la Terre.

2 2 2d (δz) d d z G MT G MT--------------------------- = --------- ( z + δz) - -------------- = - ---------------------------------------------- + --------------------------2 2 2 2 2dt dt dt (a + δz) a

G MT g z 2= 2 -------------------------- δz = 2 --------------- δz = R δz C3 a 0z0a

z gR = 2 -------------------------- (13,12)0z0 2a C

Prenons l’axe y horizontal complètant le repèrede façon à avoir le trièdre direct x,y,z. Puisquel’axe y joue un rôle tout à fait analogue àl’axe x, on a :

y gR = - -------------------------- (13,13)0y0 2a C

On vérifie bien que

9 311

αR = R = 0 ; en effet :0α0 00

0 x y zR + R + R + R = R = 0 (13,14)0 00 0 x0 0 y0 0 z0 00

1 1 1 1< < < <2 2 20 - g /aC - g /aC + 2 g/aC

Conclusion : On voit que l’équation de déviationdes géodésiques décrit les effets de marées quisont liés à une valeur non nulle du tenseur decourbure. Ainsi, on peut distinguer un champgravitationnel réel d’un champ d’inertie par leseffets de marée qu’il crèe et qui correspondent àla valeur non nulle du tenseur de courbure. Celanécessite la présence d’au moins deux corpsd’épreuve. On voit que plus la distance à l’astreest grande, plus les effets de marée sont petits.Cela justifie intuitivement que pour les champsd’inertie qui sont dus uniquement à l’actiongravitationnelle des galaxies lointaines, leseffets de marée soient nuls. Le tenseur de courbureest alors nul et l’espace-temps est plat.

Cela n’est pas dû au fait que l’actiongravitationnelle des galaxies lointaines obéit àune loi différente des autres actionsgravitationnelles. Cela est dû, comme nous l’avonsdéjà remarqué (§ 12 du chapitre 6 ) à ladisposition particulière de ces galaxies :répartition homogène et isotrope, le mouvement desgalaxies les unes par rapport aux autres étantfaible dans une région limitée de l’espace parrapport aux dimensions de cette région.

Nous verrons avec plus de précision dans lechapitre sur la cosmologie relativiste la structureà grande échelle de l’espace-temps. Si celui-cin’est pas plat, il peut être considéré comme teldans une région de la grandeur du système solaireet pour des durées de quelques années par exemple.

8. L’équation du champ en espace non vide. - Nousétudions maintenant l’équation du champ lorsque dela matière et de l’énergie sont présentes, donclorsque le tenseur d’impulsion-énergie est non nul.Dans le cas de l’approximation newtonienne,l’équation (13,1) est à remplacer par :

2∇ φ = 4 π G ρ (13,15)

ρ étant la masse volumique de matière présente.On a toujours :

10 312

2 T 0 000 ∇ φ 0 0 TR = R = - -------------------------- ; or ρ = ----------------------- = -----------------------

00 2 2 2C C C

Cette équation corespond donc à :

00 4 π G 00R = - ----------------------------- T4C

Nous sommes donc tentés d’écrire l’équation duchamp dans le cas général sous la forme :

αβ 4 π G αβR = - ----------------------------- T (13,16)4C

αβMalheureusement, T = 0 tandis que;βαβR ≠ 0 . Cette équation ne peut donc convenir.;βNous sommes donc amené à rechercher une autreéquation. Nous cherchons un tenseur faisantintervenir le tenseur de Ricci et de divergencenulle. Heureusement le tenseur d’Einstein vérifiecette propriété :

αβ αβ 1 αβ αβG = R - --------------- g R ; et G = 02 ;βNous écrirons donc l’équation du champ :

αβ 1 αβ αβR - --------------- g R = K T2

K étant une constante à déterminer en cherchant àretrouver l’équation de Newton dans le cas où elles’applique. Dans ce cas, on trouve :

00 1 00 00R - --------------- g R = K T2

00 00 R 00g 1 ; R - ----------------- = K T2

ij 00or, dans l’approximation newtonienne : T µ T Ceci est obtenu en considérant les équations

(8,8) et (8,13).

ij 1 ij ij ij 1 ijet R - --------------- g R = K T 0 ⇒ R --------------- g R2 2

enfin g η et :αβ αβ

αβ 00 ii 00 3R η R = R - R R + --------------- Rαβ 2i = 1,3

00R - 2 R

00 00 00 00Il vient : R + R = 2 R = K T

11 313

8 π G 00 00- ----------------------------- T = K T4C

4Cela marche donc avec K = - 8 π G / C .On arrive à :

αβ 1 αβ 8 π G αβR - --------------- g R = - ----------------------------- T (13,17)2 4C

C’est l’équation du champ d’Einstein.

Cependant le tenseur :

αβ 1 αβ αβR - --------------- g R + Λ g2

est également de divergence nulle puisque ladivergence du tenseur métrique est nulle.

Nous pourrions donc écrire l’équation du champ enajoutant ce dernier terme. Λ s’appelle la constantecosmologique. Son nom vient du fait que c’estEinstein qui l’introduisi de façon à avoir unesolution statique pour l’univers dans les modèlescosmologiques. Les modèles avec Λ = 0 impliquenten effet l’impossibilité d’un univers stationnaireet amènent donc à la théorie du Big Bang. Einsteinaurait donc pu prévoir le Big Bang dès 1916. Mais àcette époque, l’idée d’un univers éternel etimmobile était bien ancrée dans les mentalités, etl’idée d’un Big Bang impliquant une création avaitun côté religieux assez mal vu.

Einstein appela plus tard l’introduction de cetteconstante la plus grande erreur de sa vie.

Les théories modernes de physique des particulesattribuent au vide des propriétés intrinsèques(création permanente de particules virtuelles) detelle manière qu’il est possible d’attribuer auvide un tenseur d’impulsion-énergie. Dans ce cadre,

4 αβl’expression (C /8 π G) Λ g correspond autenseur d’impulsion-énergie du vide. Avec desαβ αβcoordonnées telles que g = η , on voit que levide correspond à un fluide parfait avec

2 4 2ρ C = - p = Λ C /8 π G . L’expression ρ + 3 p/Cde l’exercice 13.2 est alors négative et le vide secomporte comme un milieu répulsif du point de vuede la gravitation. D’où les phases d’inflations del’univers lorsque Λ > 0 (faux vide dans un étatmétastable d’énergie au moment des brisures desymétrie des interactions).

Il faut noter tout de même que l’équation (13,17)redonne l’équation de Newton avec une précisionextraordinaire, et qu’il faut prendre Λ extrèmementpetite de façon à ce que ce terme n’interfère pasavec le succès de la théorie newtonienne. Autrement

12 314

dit, Λ correspond à un nouvel effet gravitationnel,et si nous supposons que la Théorie newtonienne estparfaite dans son cadre d’approximation, celaimplique que Λ = 0 .

L’introduction de Λ amène de plus un paramètrenouveau dont la valeur doit être choisie de manièread hoc, et n’est pas fournie par la théorie.

Dans la suite, nous prendrons Λ = 0 . Tous lestests expérimentaux de la Relativité générale sonten accord avec cette valeur. Cette épisode de laconstante cosmologique nous montre bien cependantque le principe d’équivalence à lui seul ne permetpas de prouver la validité des équations du champ,sans arguments de type réaliste par exemple.

9. Analogie avec l’électromagnétisme. - Nouspouvons poursuivre l’analogie avecl’électromagnétisme faite au § 14 du chapitre 7(fig. 7.8); faite également au § 8 du chapitre 11(équations (11,14) et (5,79)); au § 17 duchapitre 11 (équations (11,38) et (11,39)) et au§ 19 du chapitre 11 (équation de déviation desgéodésiques (11,42) et (11,43)).

A l’interaction électromagnétique correspond uneαβconnexion dont le tenseur de courbure est F letenseur électromagnétique. L’équation de créationdu champ par les charges est (12,7) :

αβ αF = - µ j;β 0

Examinant le tableau de la figure 7.8 , nousαβprenons T comme source de l’interactiongravitationnelle, la connexion correspondante ayantαle tenseur de courbure R . L’équationβγδd’Einstein (13,17) est l’analogue de (12,7).D’autre part, l’équation traduisant la conservationαde la charge s’écrit : j = 0 et on a bien vu;α αβau § 4 du chapitre 12 que : F = 0 .;αβαβ βF = µ j nécessite en effet;α 0αβ βF = µ j = 0 .;αβ 0 ;β

αβCes équations sont les analogues de T = 0;βtraduisant la conservation de l’impulsion-énergie;αβ αβ 4 αβG = 0 et G = - 8 π G/C T (voir;βégalement le § 5 du chapitre 8 ).

10. Accord des équations du champ en espace nonvide avec les équations du champ en espace vide. -Il nous faut montrer que l’équation du champ(13,17) redonne bien (13,8) en espace vide. En

13 315

αβeffet quand T = 0 :

αβ 1 αβR - --------------- g R = 02

αβ 1 αβ αβ αg R - --------------- g g R = 0 et g g = δ = 4αβ 2 αβ αβ α

1 αβR - --------------- 4 R = - R = 0 et : R = 02

11. Non linéarité de l’équation du champ. - Lacaractéristique fondamentale de l’équation du champest en effet cette non linéarité. Elle provient dela non linéarité du tenseur de courbure par rapportau tenseur métrique, et de la non linéarité dudeuxième terme, comme produit du tenseur métriquepar la courbure scalaire elle même non linéaire!

Nous avons déjà mentionné qu’il devait en êtreainsi au § 12 du chapitre 6 , le principe desuperposition ne jouant pas pour la gravitation.Autrement dit, on n’obtient pas une solution del’équation du champ en ajoutant membre à membredeux solutions.

Comme nous l’avons dit, cela correspond au faitque la gravitation a une action sur elle même.Ainsi, un champ gravitationnel agit lui-même commesource du champ. Réciproquement, un champgravitationnel dans une région de l’espace estsoumis à une action de la part d’un autre champgravitationnel.

Cette interaction mutuelle des différents champsgravitationnels en différentes régions de l’espaceet l’évolution globale qui en résulte pour le champgravitationnel total est prise en compte par cettenon linéarité de l’équation du champ. L’interactiondu champ gravitationnel avec les autres champsd’interactions et avec la matière est prise encompte elle, par l’intervention du tenseurd’impulsion-énergie des autres interactions et deαβla matière : T au deuxième membre de l’équationdu champ.

Résumons nous : dans le tenseurαβd’impulsion-énergie T , on fait intervenirl’impulsion-énergie de la matière et de tous leschamps d’interaction autres que la gravitation.L’action de la gravitation comme source du champgravitationnel est prise en compte elle, d’unemanière différente par la non linéarité del’équation du champ.

Il n’est donc pas question de faire intervenirαβdans T l’impulsion-énergie de la gravitationelle-même.

14 316

Rappelons ici ce qui a été dit au § 5 duchapitre 1 : en terme de particules virtuellessources de l’interaction, on peut dire qu’ungraviton ayant un quadrivecteur impulsion-énergieest lui même sensible à l’interactiongravitationnelle, et est capable d’agirgravitationnellement. Ainsi, la particulemédiatrice du champ est elle même chargée. Ungraviton est capable lui-même d’émettre etd’absorber des gravitons et d’agir sur d’autresgravitons. Cette interaction entre-elles desparticules médiatrices d’un champ est la cause dela non linéarité.

12. La loi dynamique est contenue dans la loi deforce. - Considérons une onde gravitationnelleplane correspondant à la propagation en lignedroite de gravitons et arrivant dans le voisinaged’une étoile à l’origine d’un champ gravitationnelintense (fig. 13.2).

Onde gravitationnelle

E toile

Fig.13.2

La loi dynamique nous enseigne que le gravitondécrit une géodésique de l’espace-temps identique àcelle que suivrait un photon placé dans les mêmesconditions, puisque ces deux particules ont unemasse nulle, se propagent à la vitesse de lalumière, et doivent tomber de la même manière dansun champ de gravité.

Cela est équivalent à dire qu’une ondegravitationnelle se propage toujours en lignedroite dans un référentiel galiléen, quel que soitson environnement.

Le fait que la gravitation "tombe" comme toutesles autres formes d’énergie suppose, comme nousl’avons vu au § 1 du chapitre 7 , le principed’équivalence au sens fort.

Ce que nous disons là n’est donc pas vrai dans laThéorie de Brans Dicke. Dans cette dernièrethéorie, au contraire, la gravitation ne tombantpas comme les autres formes interaction, l’ondegravitationnelle ne va pas forcément en ligne

15 317

droite dans un référentiel galiléen. Le graviton aune trajectoire différente du photon.

Dans le cas de la Relativité générale, il résultede ce qui précède que les gravitons (donc l’ondegravitationnelle) sont déviés en passant auvoisinage de l’étoile, exactement comme le seraitun rayon lumineux. En Relativité, les interactionss’expriment par des équations locales. Il nous fautinterpréter physiquement cette déviation comme uneaction du champ gravitationnel autour de l’astre etcréé par celui-ci sur l’onde gravitationnelle quiest un autre champ gravitationnel. Or l’actionlocale d’un champ gravitationnel sur un autre estprise en compte complètement par la non linéaritéde l’équation du champ.

Dans ce cas particulier, nous voyons donc que laloi dynamique, c’est à dire la déviation de l’ondegravitationnelle est contenue dans la loi deforce : l’équation du champ.

Si notre équation du champ est bonne, elle doitdonc contenir la loi dynamique pour la gravitationelle-même (gravitons). Nous le vérifieronsrigoureusement au § 8 du chapitre 15 .

Mais nous le vérifierons également au § 4 duchapitre 14 : en effet, que l’équation du champimplique la loi dynamique, nous pouvons nous enconvaincre par le raisonnement suivant reprenantl’étude faite ci-dessus. Considérons donc l’arrivéed’une onde gravitationnelle dans un champ degravitation. L’équation du champ étant covariante,nous pouvons regarder ce qui se passe dans unascenseur en chute libre où le champ de gravité del’étoile est annulé. Dans un tel référentiel,l’onde de gravité est décrite par l’équation(14,10) que nous démontrerons. Les solutions ensont des ondes planes se propageant en lignesdroites. La propagation en ligne droite dans unréférentiel galiléen assure alors que cette ondeest déviée exactement comme la lumière dans unchamp de gravité.

Nous sommes alors maintenant amenés à nousdemander si l’équation du champ ne contient pascomplètement cette loi dynamique. Il nous faut pourcela vérifier qu’elle contient la loi dynamiqueconcernant cette fois-ci la matière et les autresformes d’interactions que l’interactiongravitationnelle.

Nous savons que la dérivée covariante du tenseurd’Einstein est nulle. Cela est une conséquence desidentités de Bianchi. C’est une propriétégéométrique des variétés différentiables.αβL’équation du champ implique donc : T = 0 .;β

16 318

Ainsi, l’équation du champ contient l’informationcorrespondant au fait que la dérivée covariante dutenseur d’impulsion-énergie est nulle. Quelle estla signification de cette relation? La relationcorrespondante en Relativité restreinte et enαβ βcoordonnées galiléennes est : ∂T /∂x = 0 . Nousavons vu au chapitre 8 qu’elle traduit laconservation du quadrivecteur impulsion-énergie quicorrespond pour une particule libre à lapropagation en ligne droite et à vitesse constante.En fait, nous avons démontré de deux manièresdifférentes, au § 5 et au § 22 du chapitre 8 ,que la conservation de ce quadrivecteurimpulsion-énergie impliquait cette relation pour letenseur d’impulsion-énergie.

Pour montrer l’équivalence totale du point de vuecontenu d’information physique de ces deuxrelations, il nous faut démontrer la réciproque, cesera fait au paragraphe suivant.

Les interactions en Relativité restreintes’interprètent comme des chocs entre particulesvirtuelles d’interactions et particules de matière,chocs conservant l’impulsion-énergie. Entre deuxchocs, la loi de conservation de cetteimpulsion-énergie qui correspond à la loi del’inertie joue. Supposant l’équivalence avecαβ β∂T /∂x = 0 démontrée, cette dernière équationpeut donc s’interpréter comme la loi dynamique enRelativité restreinte. Il est alors clair que laloi correspondante en Relativité générale :αβT = 0 est la loi dynamique en Relativité;βgénérale pour les particules de matière et lesparticules d’interactions autres que lagravitation. Le remplacement de la dérivéeordinaire par la dérivée covariante traduitjustement l’action d’un champ de gravitationfaisant dévier les particules. Nous en arrivons àla conclusion que l’équation du champ qui est laloi de force contient la loi dynamique. Ainsi :Toute la Relativité générale se réduit finalement àune seule équation!

Cette équation contient à la fois l’informationnous indiquant comment la gravitation est créée etcomment cette gravitation agit en retour sur ce quil’a créé.

On doit donc retrouver, à partir de l’équation duchamp, l’égalité entre la masse inerte, la masseactive créant la gravitation, et la masse subissantpassivement la gravitation. Cela sera fait au § 14du chapitre 15 et au § 6 du chapitre 16 ; voirégalement le paragraphe suivant. On voit là larichesse et la beauté de la Relativité générale entant que Théorie de l’interaction gravitationnelle.Elle atteint un degré d’achèvement supérieur à

17 319

l’électromagnétisme tel que nous l’avons décrit, oùloi de force (comment les charges crèent le champ)et loi dynamique (comment les champs appliquent desforces sur la matière) sont deux lois disjointes.Notons que ces deux lois s’unissent en une seuleéquation dans le formalisme lagrangien del’électromagnétisme, le Lagrangien total étantsomme du Lagrangien du champ, de celui desparticules, et du Lagrangien d’interaction entresparticules et champs.

Pour nous convaincre totalement que l’équation duchamp contient la loi dynamique, nous allonsmontrer maintenant mathématiquement qu’enαβimpliquant : T = 0 , elle impose qu’une;βparticule localisée de matière ou de champ autreque la gravitation a pour trajectoire dansl’espace-temps une géodésique. Pour réaliser ceprogramme, nous allons démontrer rigoureusement queαβ β∂T /∂x = 0 implique la conservation del’impulsion-énergie pour une particule localisée!

Cette conservation assurera alors la propagationen ligne droite dans un référentiel galiléen etdonc assurera le fait que la trajectoire soit unegéodésique (§ 3 du chapitre 12 ) donc donnera laloi dynamique.

13. Lien entre tenseur d’impulsion-énergie etquadrivecteur impulsion-énergie. - Nous avons vuaux § 5 et § 22 du chapitre 8 que laconservation du quadrivecteur impulsion-énergieimpliquait la nullité de la divergence du tenseurd’impulsion-énergie. Nous démontrons ici laréciproque. Nous nous plaçons donc dansl’espace-temps de la Relativité restreinte etutilisons des coordonnées galiléennes types. Noussupposons que le tenseur d’impulsion-énergievérifie :

αβ∂T------------------------- = 0β∂x

αβSupposons que le tenseur T soit différent dezéro uniquement dans une région finie de l’espace àαβchaque instant. Le support de T , c’est à dire larégion de l’espace-temps où ce tenseur est non nulpeut être enclose dans un cylindre à quatreαβdimensions sur le bord duquel T = 0 .Considérons la partie de qui est délimitée parles hypersurfaces (espace à trois dimensions) i àt = ti et f à t = tf . Le bord de : ∂ est

constitué d’une part par la partie du bord de :αβ∂ comprise entre i et f sur laquelle T = 0et par ces deux régions d’espace à troisdimensions : i à l’instant initial ti et f àl’instant final tf, dans lesquelles le tenseur est

18 320

non nul (fig. 13.3). On note t l’hypersurfacecorrespondant à la valeur t comprise entre ti ettf. On a : = i et = f .ti tf

u-----11 ∂ 111111 f ∂ J-------------------------------------- tf1111 1 ∂ 11 J-------------------------------------- t11 t1 i J-------------------------------------- ti1111111m-----

Fig . 1 3 .3

Appliquons le théorème de Stokes dans auα α β αβvecteur V de composantes (V ) = T :

⌠ ⌠ ^αβ 4 αγ 0 γ 3 T d x = T dx ...dx ...dx,β ⌡ ⌡ ∂γ = 0,3

⌠ ⌠ ⌠α 0 3 α0 3 α0 3= T d x = T d x - T d x = 0⌡ ⌡ ⌡ i U f f i

Sur les domaines i et f, seule l’intégralecorrespondant à γ = 0 est en effet non nulle, car

0dx = 0 sur ces domaines. Pour les autres valeurs0de γ, il intervient dx = 0 . Sur le bord ∂ , le

tenseur est nul et il ne vient donc aucunecontribution de cette région.αAinsi, le quadrivecteur P défini par :

19 321

⌠α 1 α0 3P = ----------------- T d x (13,18)C ⌡ t

reste constant si l’on intègre dans un domaine tde l’espace à trois dimensions qui peut changeravec le temps, mais qui est choisi de telle manièreαβque T est nul sur sa frontière.

La formule ci-dessus correspond bien à ladéfinition du quadrivecteur impulsion-énergie totalà partir de la masse inerte dans le domaine

00considéré; en effet, on sait que T est la densitéi0d’énergie et T est égal à C fois la densitéd’impulsion (§ 6 du chapitre 8 ).

Le tenseur d’impulsion-énergie construit avec leparamètre m est source de l’interactiongravitationnelle par l’équation du champ. On voitdonc que m intervient comme la massegravitationnelle active. D’autre part ce paramètrem apparait dans le quadrivecteur impulsion-énergieconstruit à partir de (13,18) donc correspond à lamasse inerte. Nous voyons donc apparaitre déjàl’identité entre masse inerte et massegravitationnelle active. Cette identité est imposéepar notre formulation de l’équation du champ d’unemanière assez ad-hoc. Nous en reparlerons cependantdans les chapitres suivants, et nous verrons quecette identité correspond à une cohérence profondede cette équation du champ.

Le système physique inclu dans le domaine estbien isolé mécaniquement de l’extérieur, puisqueαβT = 0 à la frontière, ce qui signifie qu’aucunchamp ni aucune particule de matière ne traversecette frontière. Nous arrivons bien ainsi à laconservation du quadrivecteur impulsion-énergietotal du domaine considéré. Il est clair que lapropriété précédente est vraie pour tout tenseur dedivergence nulle, et amène à la conservation duquadrivecteur correspondant.

14. L’équation du champ contient le fait que lesparticules décrivent des géodésiques. - Considéronsune particule matérielle libre de toute interactionautre que la gravitation (ou une particule de champautre que le graviton également libre).L’espace-temps est supposé être une variétériemanienne. Il est alors possible de trouver,localement dans l’espace et le temps autour de laparticule, un système de coordonnées rectilignestypes avec lesquelles les symboles de Christoffelsont tous nuls. αβL’équation T = 0 imposée par l’équation du;βchamp s’écrit avec ce système de coordonnées :

20 322

αβ∂T------------------------- = 0β∂x

La particule considérée est exactement un systèmephysique auquel on peut appliquer les hypothèses du§ 13 . Du fait qu’elle est libre, on peut en effetl’envelopper dans un domaine sur la frontièreαβduquel T = 0 . On arrive alors à :

⌠α 1 α0 3P = ----------------- T d x = Cte (13,19)C ⌡ t

La particule est seule dans son domaine. Leαquadrivecteur P est donc le quadrivecteurimpulsion-énergie de la particule. Si il y aαplusieurs particules dans le domaine P est lequadrivecteur impulsion-énergie total. Si il y apar exemple deux particules dans le domaineconsidéré subissant un choc, la conservationséparée des deux quadrivecteurs des deux particulesavant le choc et du quadrivecteur total pendant lechoc assure bien que la masse inerte joue son rôlede mesure de l’inertie lors d’interactions autresque la gravitation.

L’équation (13,19) vraie dans tout référentielαβgaliléen est en accord avec le fait que T est unαtenseur et P un quadrivecteur. Une telle formuleαβavec T tenseur pour la transformation de Lorentzαimplique donc que la quantité P ainsi définie soitun quadrivecteur!

Localement autour de la particule, la variété aαla structure d’espace affine. L’équation P = Cteassure que la trajectoire de la particule est unedroite. Reprenant le raisonnement fait au § 3 duchapitre 12 , il en résulte que la particule décritune géodésique de la variété.

Il faut bien préciser les conditionsd’application de (13,19). Sous l’intégrale, il nedoit y avoir que de la matière et des champs autresque la gravitation. Par conséquent, la formulen’est pas applicable par exemple au cas d’uneparticule constituée par un mini trou noir, nitoute singularité du champ gravitationnel. Dans cescas, l’énergie gravitationnelle est prépondérante.De plus, pour déduire de (13,19) le fait que laparticule décrit une géodésique, il faut être denouveau dans une région de l’espace-temps où il n’ya pas de singularité du champ gravitationnel. Cecide façon à pouvoir prendre un référentiel galiléendans lequel la Relativité restreinte s’applique, et

21 323

où on peut déduire de (13,19) le fait que laparticule décrit une ligne droite.

En particulier, le champ gravitationnel créé parla ou les particules dans le domaine considéré doitêtre négligeable, ce qui exclut le cas d’une étoileà neutron par exemple. Ainsi, on ne peut pasdéduire de cette étude le fait qu’une étoile àneutron décrit une géodésique de l’espace-temps.

Tout ce que nous disons ici correspond au faitque, bien que nous sachions que le principed’équivalence au sens fort à l’origine del’équation du champ assure que la gravité secomporte comme les autres interactions, nous nel’avons pas démontré mathématiquement en partant del’équation du champ. Ceci sera fait au § 8 duchapitre 15 . Là, nous verrons que ce qui vientd’être démontré peut être étendu au cas del’énergie gravitationnelle elle-même, l’informationcorrespondante étant contenue dans la non linéaritéde l’équation du champ.

22 324

EXERCICES

13.1 On considère un astre sphérique homogène de massevolumique ρ. Au voisinage du centre O et passantpar ce dernier, est creusé un petit tunnelrectiligne vide (voir figure). Un point matériel Moscille autour du point O dans ce tunnel, en étantsoumis à la seule force de gravité due àl’astre.

ρ

u-----------------------------------------------------------------------------------o------------------------------------------------------------------------------------------l . . j------------------------------------------------------------------------------------------Lm-----------------------------------------------------------------------------------. xO M

1. En étudiant directement le mouvement de cepoint, et avec l’équation de déviation desgéodésiques, montrez que l’on retrouve la valeurxR du tenseur de courbure en O.

0x02. Montrez que cette valeur est cohérente avec

l’équation du champ d’Einstein.

13.2 (non corrigé). On considère l’équation du § 6 :

2 id (δx ) i j 2------------------------------ = R δx C2 0j0dt

1. g étant le vecteur accélération de lagravitation d’un point matériel, en déduire :

i 2∇.g = R C0i0

02. Au § 5 , on a montré que R = 0 dans un000

champ constant. Avec (11,29), montrez que2∇.g = R C .

003. En utilisant l’équation du champ mise sous laαβ αβforme (17,2), en déduire que lorsque g = η et

23 325

pour un fluide parfait au repos :

3 p ∇.g = - 4 π G ρ + ----------------- 2 C2Dans le cas des faibles pressions : p µ ρ C ,

on a bien : ∇.g = - 4 π G ρ .

Il n’y a aucune contradiction à concevoir unmatériau tendu (pression négative) et tel que

2ρ < 3 p/C . Dans ce cas, on voit que l’objet aun effet gravitationnel répulsif correspondant àune masse gravitationnelle effective négative.

D’une manière générale, on peut écrire, pourl’effet de marée suivant trois directionsperpendiculaires :

2 2 21 d (δx) 1 d (δy) 1 d (δz) i 2--------------- ---------------------------- + --------------- ---------------------------- + --------------- ---------------------------- = R Cδx 2 δy 2 δz 2 0i0dt d t d t

4 π G 2 = - ----------------------------- ρ C + 3 p2 C

et on peut vérifier cette formule, par exemple, audessus de la surface de la Terre, ou au centre dela Terre.

13.3 (non corrigé). On considère un fluide parfaithomogène tel qu’une transformation adiabatiqueréversible obéisse à l’équation ρ = Cte : letravail de la pression crèe la masse-énergie justenécessaire pour combler le vide apparaissant lorsd’une expansion par exemple; ce processus simulantune création continue.

Montrez, en écrivant que le travail des forces depression est égal à la variation de lamasse-énergie dans le domaine considéré, quel’équation d’état est la même que celle du vide

2avec constante cosmologique : p = - ρ C .Notons que dans le cas de l’expansion de

l’univers, le résultat est donné directement parl’équation (18,23). Nous voyons, avecl’exercice 13.2 , que ce fluide se comporte d’unemanière répulsive du point de vue gravitationnel.

24 326

Chapitre Quatorze

APPROXIMATION LINEAIREDE L’EQUATION DU CHAMP

1. Introduction. - Lorsque la gravitation estfaible, l’action de la gravitation sur elle-mêmepeut être négligée. Ainsi, lorsque le systèmeTerre-Lune agit sur les autres planètes, il esttout à fait légitime de considérer que la masse del’ensemble est égale à la masse de la Lune plus lamasse de la Terre. On est alors dans le cadre del’approximation linéaire de l’équation du champ.Notons que nous sommes tout de même en Relativitégénérale. Rappelons que celle-ci devient nécessairelorsque les masses créant la gravitation sont trèsimportantes (trou noir, noyau de galaxie) oulorsque la vitesse des corps n’est pas négligeabledevant celle de la lumière tandis qu’on s’intéresseà leurs actions gravitationnelles. Dans le cadre del’approximation linéaire, le premier aspect esteffectivement éliminé, mais le deuxième aspectreste présent.

Lorsque la gravitation est absente,l’espace-temps est plat et l’on peut prendre unsystème de coordonnées rectilignes types danslequel g = η . Ici, l’espace-temps seraαβ αβpresque plat, et nous pourrons trouver descoordonnées correspondant au référentiel R aveclesquelles :

g = η + h et h µ 1 (14,1)αβ αβ αβ αβ

Ces coordonnées voisines de coordonnéesαgaliléennes types seront encore notées x .Nous supposerons en plus que h = 0 àαβ

l’infini.

Reprenons le raisonnement fait au § 18 du-chapitre 12 . Soit un référentiel R animé de lavitesse v par rapport au référentiel précédent. Al’infini, le changement de coordonnées est unetransformation de Lorentz. Nous pouvons prendre des-coordonnées liées à R se déduisant des coordonnéesde R par une transformation de Lorentz en toutpoint. On aura donc :

1 327

- - -α α α α α αx = Λ - x et x = Λ xα αNous aurons alors :

α β α β g - - = Λ - Λ - g = Λ - Λ - η + hαβ α β αβ α β αβ αβ

α βg - - = η - - + h - - avec h - - = Λ - Λ - hαβ αβ αβ αβ α β αβ

Nous aurons évidemment encore : h - - µ 1 .αβNous voyons que dans une telle transformation,

l’ensemble des composantes (h ) se transformeαβcomme s’il était un tenseur en Relativitérestreinte!

Il faut voir que cette propriété n’est vraie quedans le changement de coordonnées précédemmentdéfini. La coupure entre η et h ne garde unαβ αβsens que dans ce type de transformation. (h )αβn’est donc pas un tenseur, qui devrait être définiquel que soit le type de coordonnées choisies. End’autres termes, la séparation entre g et hαβ αβn’est pas covariante mais est liée à un type decoordonnées très particulières. Mais si nous nouscantonnons aux transformations précédentes à partirαdu système de coordonnées x choisi au départ, quenous appellerons les transformations de Lorentz del’arrière plan, h se comporte comme un tenseur.αβ

Cette propriété restreinte aux transformationsprécédentes mène à une agréable approximation :nous pouvons traiter un espace-temps légèrementcourbé comme un espace-temps plat avec un tenseurh défini dessus. Tous les champs physiques liés àαβla gravitation comme R par exemple serontαβγδdéfinis en fonction de h et seront traités commeαβdes champs tensoriels dans un espace-temps plat.Cette approximation permet de traiter lagravitation comme les autres interactions qui sontdécrites aux moyens de champs régnant dansl’espace-temps plat de la Relativité restreinte. Ilen est ainsi de l’électromagnétisme décrit au moyendu tenseur F . Nous travaillerons dans toute laαβsuite de ce chapitre dans le cadre de cetteapproximation.

2. Approximation linéaire de l’équation du champ.- Dans le calcul du tenseur de courbure, prenantl’approximation au premier ordre en h , nousαβpouvons prendre uniquement la partie linéaire dans

2 328

les symboles de Christoffel. On arrive à la formule(11,23), et à l’expression suivante en fonction deh :αβ

1 R = --------------- - h + h - h + hαβγδ 2 αδ,βγ αγ,βδ βγ,αδ βδ,αγ

αβ αβEtant donné que g η , nous pouvons, aupremier ordre en h écrire :αβ

1 αγ R = --------------- η -h +h -h +hβδ 2 αδ,βγ αγ,βδ βγ,αδ βδ,αγ

1 βδ αγ R = --------------- η η -h +h -h +h2 αδ,βγ αγ,βδ βγ,αδ βδ,αγ

1 2 3 41 αγ 1G = ----------------- η -h +h - h +h - -------------ab 2 αb , aγ αγ ,ab aγ,αb ab ,αγ 4

5 6 7β 1δ1 α1γ1× η η η - h +h -h +ab α1δ1 , β1γ1 α1γ1 , β1 δ1 β1γ1,α1δ1

8hβ 1 δ1 , α 1 γ1

Pour toute fonction f nous introduisons lanotation :

,β αβf = η f,αD’autre part, la trace du tenseur h sera notéeαβh.

1 1 , α 1(1) + ---- (2) = - --------------- h + --------------- h

2 2 αb , a 4 , ab

1 , α 1 ,α = - --------------- h - --------------- η h2 αb,a 2 αb ,a

1 1 , γ 1(3) + ---- (2) = - --------------- h + -------------- h

2 2 aγ ,b 4 ,ab

1 , γ 1 ,γ = - --------------- h - --------------- η h2 aγ,b 2 aγ ,b

1 ,γ 1 ,γ (4) + (6) = --------------- h - --------------- η h2 ab,γ 2 ab ,γ

3 329

1 , α 1 δ 1 1 , β1γ 1(5)+(7)+(8) = --------------- η h + --------------- η h4 ab α 1 δ 1 4 ab β1 γ1

1 , γ 1- --------------- η h4 ab , γ 1

1 , αδ 1 ,αδ= --------------- η h - --------------- η η h2 ab αδ 2 ab αδ

-αβ αβ 1 αβPosons : h = h - --------------- η h (14,2)2

Nous appelons ce tenseur, le tenseur à traceopposée, car nous avons :

- -αh = h = - h (14,3)αIl est facile de vérifier que la relation entre

les deux tenseurs est symétrique :

αβ -αβ 1 αβ -h = h - --------------- η h (14,4)2

On obtient alors après quelques changements delettres pour les indices muets :

1 - , γ - ,γδ - ,γ - ,γ G = --------------- h + η h - h - h (14,5)ab 2 ab,γ ab γδ aγ,b γb,a

L’équation précédente se simplifieconsidérablement si :

- , βh = 0αβ

En effet, il reste alors uniquement :

1 - , γG = --------------- h (14,6)ab 2 ab,γ

3. La jauge de Lorentz. - Faisons une analogieavec l’électromagnétisme. Avec cette dernièreαinteraction, c’est la quadrivecteur courant j quiαcrèe le champ décrit par le potentiel vecteur A .On a alors l’équation (5,92) qui se simplifieconsidérablement avec la jauge de Lorentz. Lequadrivecteur courant est ici remplacé par letenseur d’impulsion-énergie et le quadripotentielα -A est remplacé par le tenseur h . Nous allonsαβmontrer qu’il existe un arbitraire de jauge sur cedernier tenseur qui correspond à différents choixde coordonnées, et que dans ce que nous appelleronségalement la jauge de Lorentz, nous auronseffectivement :

4 330

- , βh = 0 (14,7)αββanalogue de (5,96) : A = 0 .,β

Considérons en effet la transformation :

α’ α αx = x + ξαLes ξ étant petits :

α β α β∂x ∂x α ∂ξ β ∂ξ g = ----------------- ---------------- g = δ - ------------------- δ - ----------------α’β’ α’ β’ αβ α’ α’ β’ β’∂x ∂x ∂x ∂x

× η + h αβ αβ

Au premier ordre :

n o u veau a n c ienη + h = η + h - ξ - ξα’β’ α’β’ α’β’ α’β’ β’,α’ α’,β’

α nLes ξ étant petits, h est également petit.αβOn a donc :

- n n 1 n a 1 ah = h - --------------- η h = h - ξ - ξ - --------------- η hαβ αβ 2 αβ αβ β,α α,β 2 αβ

α+ η ξαβ , α

-nαβ -aαβ α,β β,α αβ γh = h - ξ - ξ + η ξ ,γ

-nαβ -aαβ α , β β , α α β γ αβ γh = h - ξ - ξ + η ξ + η ξ,β ,β , β , β , β , γ ,γβ1 1 11 < 11 11 0 111 1m-------------------------------------------------------i-------------------------------------------------------.1<

0

2 α 2 α-nαβ -aαβ ∂ ξ ∂ ξh = h - -------------------------- + ------------------------------,β ,β 0 2 i 2(∂x ) (∂x )i = 1,3

Si nous voulons :

-nαβh = 0,βIl suffit de prendre :

5 331

u-----o α -aαβ1 ξ = hm-----. ,β

Avec des conditions de régularité supposéessatisfaites par le second membre, cette équation aαdes solutions. Notons que la solution ξ n’est pasαunique. Toute solution ζ qui s’en déduit enαajoutant les fonctions f de dalembertien nul sontégalement utilisables :

u-----o α α α αf = 0 ; ζ = ξ + fm-----.

Comme en électromagnétisme, il y a donc toute uneclasse de jauges de Lorentz.

Avec une telle jauge on a :

αβ 1 u-----o -αβG = --------------- 1 h (14,8)2 m-----.

Et l’équation linéarisée du champ s’écrit :

u-----o -αβ 16 π G αβ1 h = - ------------------------------------ T (14,9)m-----. 4C

L’équation précédente est covariante pour lestransformations de Lorentz de l’arrière plan.Lorsqu’on a la solution dans un référentiel donné,on a donc automatiquement la solution dans unréférentiel en translation rectiligne uniforme parrapport au premier, donc pour le tenseurd’impulsion-énergie déduit du précédent par laformule de transformation des composantes d’untenseur. Il suffit d’effectuer cette transformation-αβdes composantes sur h . L’égalité (14,4) étantégalement tensorielle, on peut faire cetteαβtransformation des composantes directement sur hαβdonc sur g . Cela est complètement en accord avecl’obtention du tenseur métrique de la barre quidéfile au § 18 du chapitre 12 par transformationde Lorentz à partir de celui de la barre immobile.

Lorsque le tenseur d’impulsion énergie est nul,-αβ αβh = 0 et donc h = 0 sont bien solution, etle tenseur de Minkowski est bien solution. Onretrouve bien la Relativité restreinte lorsque lagravitation disparait.

4. Les ondes gravitationnelles. - Dans l’espaceαβvide, T = 0 et l’équation linéaire du champse réduit à :

u-----o -αβ1 h = 0 (14,10)m-----.

Une équation de ce type avec le dalembertien est

6 332

l’équation bien connue d’ondes se propageant à lavitesse de la lumière C. On voit donc qu’il existedes ondes gravitationnelles se propageant à lavitesse de la lumière. Ces ondes sont créées parles masses en mouvement et correspondent au faitque toute modification des masses créant le champentraine une modification de celui-ci se propageantà la vitesse finie C. Elles sont capables d’exercerune force sur toute particule, donc ellestransportent de l’impulsion et de l’énergie. Uneémission d’onde gravitationnelle doit donc avoir uneffet de freinage sur les masses qui la crèent.

La preuve expérimentale des ondesgravitationnelles a été fournie par l’étude dupulsar binaire PSR 1913 + 16 découvert en 1974par Joseph Taylor. Le ralentissement de la périodeorbitale du pulsar appartenant au système doublecorrespond exactement à la perte d’énergie dusystème par émission d’ondes gravitationnelles : Lapériode de révolution est de 8 heures etl’excentricité de l’orbite est de 0,60 . Ladiminution de la période est de 0,07 µs à chaquerévolution.

L’évaluation nécessaire pour le calcul précédentdes différents paramètres du système (masses,orbites) est faite en utilisant d’autres résultatsde la Relativité générale : décalage vers le rouge,avance du périastre. Une contrainte est encoreapportée en prenant en compte le retard du signalémis par le pulsar lorsqu’il effectue un passagerasant près de l’autre astre

Nous n’étudierons pas plus en détail les ondesgravitationnelles dans cet ouvrage, car c’est undomaine un peu à part de la Relativité générale. Ilne servirait pas dans cet ouvrage aux autresparties théoriques que nous étudierons. Il faudraiten particulier étudier la polarisation de cesondes.

On peut également essayer de quantifierl’équation des ondes (14,10), ce qui amène à la-αβnotion de graviton. Le champ h étant tensorield’ordre deux, on peut montrer qu’il en résulte quele graviton doit avoir un moment cinétique égal à2 . Ceci est une première approche de laquantification de la gravitation dans un cas trèsparticulier. Un autre aspect approché de traitementde la gravitation avec la Mécanique quantique estla quantification des autres interactions dans unespace-temps courbe traité lui, classiquement.

5. Gravitation newtonienne. - La limitenewtonienne correspond à des masses suffisammentfaibles et à des vitesses petites devant celle dela lumière. La première condition est contenue dansl’approximation linéaire. Il nous suffit donc dans

7 333

cette approximation de faire v 0 ouC + ∞ . Cela implique en considérant leséquations (8,8), (8,10) et (8,13) :

00 0i ijT » T » T (14,11)

A cause de l’équation du champ (14,9), nousaurons également :

- 00 -0i -ijh » h » h (14,12)

u-----o 2D’autre part, C + ∞ ⇒ 1 - ∇m-----.

Dans l’équation du champ, il ne reste plus de nonnégligeable que :

2 -00 16 π G 00 00 2- ∇ h = - ------------------------------------ T ; avec T = ρ C4C

2 -00 16 π G∇ h = ------------------------------------ ρ (14,13)2C

La gravitation est donc décrite dans ce cadre par-00un champ scalaire unique h . L’équationprécédente est identique à l’équation du champ deNewton :

2 -00 4∇ φ = 4 π G ρ avec h = ---------------- φ (14,14)2C

- -0 4 φ αβ -αβ 1 αβ -h = h = ---------------------------- ; h = h - --------------- η h0 2 2C

00 4 φ 1 4 φ 2 φh = h = ---------------------------- - --------------- ---------------------------- = -----------------------00 2 2 2 2C C C

ii 1 - 2 φh = h = ----------------- h = ----------------------------ii 2 2C

2 2 φ 2 2 2 φ 2 2 2ds = 1 + ------------------ C dt - 1 - ------------------ (dx + dy + dz ) (14,15) 2 2 C C

Ceci est bien l’élément linéaire donné au § 16du chapitre 12 . Nous avons vu au § 15 du mêmechapitre que cette métrique donne la bonne équationdu mouvement dans le cas des vitesses faiblesdevant celle de la lumière et compte tenu de la loidynamique de la Relativité générale. Le fait quecette métrique provienne de l’équation du champdans le cadre de l’approximation linéaire achève de

8 334

prouver que la Relativité générale redonne laGravitation newtonienne lorsque celle-ci est unebonne approximation.

Les coordonnées x,y,z correspondent à deslongueurs égales sur les trois axes, l’effet decontraction des longueurs étant le même pour cestrois coordonnées.

Ainsi, la Relativité générale, par (14,13), c’està dire (13,17), puis (14,15), puis (12,36), redonnela loi de la Gravitation newtonienne. Enparticulier, elle explique la décroissance de laforce entre deux masses ponctuelles selon l’inversedu carré de la distance. Cette loi, posée sansexplication en Mécanique newtonienne, découle icides propriétés de l’espace-temps.

6. Le problème des deux barres. - Nous pouvonsmanipuler à notre guise la covariance des équationsdans les transformations de Lorentz de l’arrièreplan, comme cela a été mentionné à la fin duparagraphe 3 . Ainsi nous allons ci-dessousretrouver avec l’équation du champ linéairel’élément métrique associé à la barre en mouvement,à partir du tenseur d’impulsion-énergie decelle-ci, vu du référentiel R.

Nous sommes exactement dans le cadre del’approximation linéaire : gravitation faible, maisvitesse de la barre pouvant être voisine de cellede la lumière. Le passage du tenseurd’impulsion-énergie à la force subie par uneparticule d’essai se résume ainsi :

αβ -αβ αβ α αT --------------------L h --------------------L h --------------------L Γ --------------------L Fβγ

Dans chaque passage, la quantité à droite est unefonction linéaire de la quantité à gauche. Enαβparticulier, pour le passage de h aux symboles deαβ αβChristoffel, on pourra prendre g η et :

α 1 αλ Γ --------------- η h + h - h (14,16)βγ 2 λγ,β λβ,γ βγ,λ

Nous avons une théorie entièrement linéaire. Laforce est donc une fonction linéaire du tenseurd’impulsion-énergie. Nous allons donc examinerséparément chaque composante du tenseur d’impulsionénergie et voir la valeur de la composanteαβcorrespondante du tenseur h créé.

Considérons d’une manière générale, une barre enmouvement de translation suivant la droite qu’elledéfini (axe des z) à la vitesse v; v = vz > 0 .(8,8), (8,10) et (8,13) donnent, en remplaçant ρ

0par ρ pour simplifier la notation :

9 335

2 ρ C ρ v C ------------------------------------------------------ 0 0 ---------------------------------------------------- 2 2 2 2 1 - v / C 1 - v / C 0 0 0 0 αβ T = (14,17) 0 0 0 0 2 ρ v C ρ v ------------------------------------------------------ 0 0 ---------------------------------------------------- 2 2 2 2 1 - v / C 1 - v / C

L’équation linéaire du champ (14,9) donnetoujours le même facteur de proportionnalité entreαβ -αβT et h . Il y aura donc le même facteur deproportionnalité entre différentes composantes de-αβ αβh et les composantes correspondantes de T . Les

00 -00valeurs de T et h en Gravitation newtonienne(équations (14,13) et (14,14)) nous donnent ce

4facteur de proportionnalité qui vaut 4 φ / ρ C .

-00 -00hé signifie : valeur de h créée par la partieénergie du tenseur d’impulsion-énergie; idem pourles autres composantes.

2-00 - 4 φ / C - -0 -00hé = hé = -------------------------------------------------- ; hé = hé = hé00 2 2 01 - v / C

200 ii 2 φ / Ché = hé = hé = hé = --------------------------------------------------

00 ii 2 21 - v / C

2 4-zz 4 φ v / C - -z -zzhp = ----------------------------------------------------- ; et hp = hp = - hp2 2 z1 - v / C

2 400 2 φ v / Chp = hp = -------------------------------------------------

00 2 21 - v / C

2 4xx yy 2 φ v / Chp = hp = hp = hp = - -------------------------------------------------xx yy 2 21 - v / C

2 4zz 2 φ v / Chp = hp = -------------------------------------------------zz 2 21 - v / C

3-0z 4 φ v / C -hf = ------------------------------------------------- ⇒ hf = 02 21 - v / C

10 336

30z 4 φ v / Chf = - hf = - -------------------------------------------------

0z 2 21 - v / C

(énergie) en petits caractères dans uneparenthèse au dessus d’un terme, veut dire partiedue à la composante d’énergie du tenseurd’impulsion-énergie etc. On a alors :

( éne r g ie ) ( p r e s s i o n )

2 22 2 φ 1 2 φ v / C ds = 1 + ---------------------------- ----------------------------------------- + ---------------------------- ------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 C 1 - v / C C 1 - v / C

2 2× C dt

( éne r g ie ) ( p r e s s i o n )

2 2 2 φ 1 2 φ v / C - 1 - ---------------------------- ----------------------------------------- + ---------------------------- ------------------------------------------------- 2 2 2 2 2 2 C 1 - v / C C 1 - v / C

2 2× (dx + dy )

( éne r g ie ) ( p r e s s i o n )

2 2 2 φ 1 2 φ v / C 2- 1 - ---------------------------- ----------------------------------------- - ---------------------------- ------------------------------------------------- dz 2 2 2 2 2 2 C 1 - v / C C 1 - v / C

( f l u x d ’ i mpul s ion)

8 φ v / C- ---------------------------- ------------------------------------------------- C dt dz (14,18)2 2 2C 1 - v / C

2 2

2 2 φ 1 + v / C 2 2ds = 1 + ---------------------------- ------------------------------------------------- C dt 2 2 2 C 1 - v / C

2 2 2 φ 2 2 2 φ 1 + v / C 2- 1 - ---------------------------- (dx + dy ) - 1 - ---------------------------- ------------------------------------------------- dz (14,19) 2 2 2 2C C 1 - v / C

8 φ v / C- ---------------------------- ------------------------------------------------- C dt dz2 2 2C 1 - v / C

On reconnait bien l’élément linéaire (12,53) du§ 18 du chapitre 12 , compte tenu des valeurs de

11 337

ch ϕ et sh ϕ en fonction de v.

2 2On voit en examinant le terme en C dt quelorsque la particule et la barre sont animées de lavitesse v l’une par rapport à l’autre, ce qu’onpeut décrire avec la particule immobile et la barredéfilant, on a un terme d’attraction dû à l’énergieet un dû à la pression; le terme dû à l’énergie a

2 2bien le facteur 1/ 1- v / C dû à la contractiondes longueurs et à l’augmentation de l’énergie avecla vitesse. En ce qui concerne les termesmagnétiques causés par la vitesse qui permettentd’annuler les effets ci-dessus quand la barre et laparticules défilent toutes deux en étant immobilesl’une par rapport à l’autre; on distingue un termedû à l’énergie et un autre dû à la pression, lié au

2terme en dz de l’élément linéaire donc au carré dela vitesse de la particule. Enfin il y a le termecorrespondant au flux d’impulsion lié à dt × dz ,donc proportionnel à la vitesse de la particule. Ceterme est très intéressant. Imaginons une barreanimée d’une vitesse proche de celle de la lumièresuivant sa longueur; et une particule avançant àfaible vitesse parallèlement à la barre. Le terme

2magnétique en v est négligeable. Il reste le termedû au flux d’impulsion en v. Ce terme est répulsifou attractif, suivant que la particule va dans lemême sens ou en sens inverse de la barre.

7. Un problème d’électrostatique. - Nous allonstraiter dans ce paragraphe un problèmed’électrostatique dont les résultats mathématiquesnous serviront au paragraphe 9 . On considère deuxboules B1 et B2 de même rayon R, celle de gauche,B1, centrée en O1, et celle de droite, B2, centréeen O2. O1O2 = ε , ε étant un nombre infinimentpetit. La boule B1 est chargée uniformément avec ladensité volumique de charge - ρ < 0 ; la boule B2est chargée uniformément avec la densité volumiquede chargé ρ > 0 . O est le milieu de O1O2 . L’axedes x sera l’axe porté par la droite O1O2 orientéede O1 vers O2. L’électrostatique étant linéaire, onpeut considérer qu’on a une charge nulle dans ledomaine B1 ∩ B2 . Ainsi, on a pratiquement uneboule unique de rayon R centrée en O milieu de O1O2et chargée avec la densité surfacique σ. Calculonsσ : soit D une demie droite orientée vers son côtéinfini, issue de O et faisant l’angle θ avec l’axedes x. Elle coupe la boule B1 en A et la boule B2en B (fig. 14.1).

12 338

I z1

1 D1 B

1

1 A

1

1

1

1

1

1

1

R 1

1

B 1 θ B 2ε1

----------------------------------------------------------------------------------------------------- .k . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO 1 1 O 2 x⊗ 1y 1- ρ + ρ111 k-----L1 i11

F i g . 1 4 . 1

On a :

ε εOA O1A - --------------- cos θ = R - --------------- cos θ2 2

ε εOB O2B + --------------- cos θ = R + --------------- cos θ2 2

--------------- --------------- ----------------AB = OB - OA ε cos θ

Pour une surface dS autour de A et B sur laboule B, on a :

dq = σ dS = ρ dV = ρ dS AB

dq = ρ dS ε cos θ = σ dS

On a donc : σ = ρ ε cos θ ; on suppose doncque ρ est infiniment grand, de façon que ρ ε = σ0soit une quantité finie. D’autre part, M étantentre A et B : x(M) = R cos θ et :

x ( M)σ(M) = σ0 ------------------------------ (14,20)R

Considérons un point P intérieur à la boule B.Soit E1(P) le champ créé par la boule B1 en P etE2(P) le champ créé par la boule B2 en P. Seulesles charges de B1 plus près de O1 que P agissentélectrostatiquement, de même seules les charges deB2 plus près de O2 que P agissent.

13 339

------------L1 4 3 O1 PE1(P) = -------------------------- - ρ --------------- π (O1P) -----------------------------4 π ε 3 30 (O1 P )

ρ ------------LE1(P) = - -------------------- O1 P3 ε0

ρ ------------L ------------L ρ ------------LE = E1 + E2 = ---------------- (O2 P - O1 P) = ---------------- O2O1 (14,21)3 ε 3 ε0 0

La densité surfacique de charge σ crèe donc àl’intérieur de la boule B un champ électriqueuniforme. Le potentiel étant nul à l’infini, et leplan yOz étant une surface équipotentielle parraison de symétrie, le potentiel est nul en O. On adonc :

σ0 ------------LE = - -------------------- i ; avec O1O2 = ε i (14,22)3 ε

0σ

0V(M) = -------------------- x(M) (14,23)3 ε0

8. Retour au disque tournant. - Nous allonségalement avoir besoin dans le paragraphe 9 deconnaitre l’élément linéaire du disque tournantexprimé en coordonnées cartésiennes, lorsque ledisque tourne lentement. Reprenons donc cet élémentlinéaire, formule (12,12) et exprimons le encoordonnées cartésiennes x et y.

x = r cos θ dx = dr cos θ - r s in θ dθ y = r s in θ dy = dr s in θ + r cos θ dθ

2x dy - y dx = r dθ

dr = cos θ dx + sin θ dy r dθ = - s i n θ dx + cos θ dy

On a alors :

2 2 2 2 2dr + r dθ = dx + dy

0 x y2ω 2 2 ω y ω x 1 - ------------------- (x + y ) ------------------- - ------------------- 2 C C C ω y g = ------------------- - 1 0 (14,24)αβ C ω x - ------------------- 0 - 1 C

14 340

Soit :

22 ω 2 2 2 2 2 ω yds = 1 - ---------------- (x + y ) C dt + --------------------------- C dt dx 2 CC

2 ω x 2 2 2- --------------------------- C dt dy - dx - dy - dz (14,25)C

On peut en effet ajouter la dimension z. Dans latransformation faisant passer des coordonnées dansle référentiel galiléen à celles liées au disque- 2tournant, on a z = z , d’où le terme dz dansl’élément linéaire.

Supposons que le disque tourne lentement.L’élément linéaire est alors voisin de celui deMinkowski. Utilisons donc la formule approchée(14,16) donnant les symboles de Christoffels dansle cadre de l’approximation linéaire. Nous endéduirons ensuite les équations en x et y desgéodésiques.

x 1 xx 1 ωΓ = --------------- η g - g = - --------------- 2 -----------------0y 2 x0,y 0y,x 2 C

2x 1 xx ωΓ = --------------- η - g = - ---------------- x00 2 00,x 2C

yEt, avec un calcul semblable pour les Γ , ilα βvient :

2 d x 2 dy -------------- - ω x - 2 ω ---------- 0 2 d t dt (14,26) 2 d y 2 dx-------------- - ω y + 2 ω ---------- 0 2 d t dt

On s’aperçoit alors que la force d’inertied’entrainement Fe provient de g et la force de

00Coriolis Fc de g et g .

0x 0y

Supposons qu’on étudie le mouvement d’uneparticule dont la vitesse relative vr par rapportau disque est grande devant celle ve du pointcoïncidant du disque. On a : Fc m ω vr » m ω ve

2= m ω r = Fe . On peut alors négliger la forced’inertie d’entrainement, celle-ci provenant dansle cadre de cette approximation de g . On peut

00alors négliger la correction à 1 de g dans

00

15 341

l’élément linéaire. Donnons un exemple numériqueconcret : imaginons un disque qui tourne en 24 hpar exemple et un pendule de Foucault situé dessusdont l’amplitude des battements est de un mètre etqui bat la seconde. La vitesse de la boule dupendule est de l’ordre de un mètre par seconde,tandis que la vitesse d’entrainement ve = ω r =

-42 π × 1 / (24 × 3600) 10 m/s . Nous sommes toutà fait dans le cadre de cette approximation.Ecrivons d’ailleurs l’élément linéaire du disque enr et θ sous la forme suivante :

2 22 ω r 2 2 2 ω rds = 1 - ------------------ C dt - dr - 2 ------------------ C dt r dθ - 2 CC (14,27)

2 2r dθ

On voit que la correction par rapport à l’élément2 2linéaire de Minkowski est d’ordre ve/C dans g

00et d’ordre ve/C dans g , les différentielles

0θ2 2C dt et C dt r dθ ayant bien la même

homogénéité.Pour des vitesses de rotation faibles, on pourra

bien tenir compte uniquement des termes du premierordre en l’infiniment petit ve/C dans l’élémentlinéaire.

Résumons nous : pour un disque tournantfaiblement, négligeant les effets d’inertied’entrainement devant les effets de Coriolis, onpeut écrire en coordonnées cartésiennes :

2 2 2 2 2 2 2 ω yds = C dt - dx - dy - dz + --------------------------- C dt dxC2 ω x- ----------------------------- C dt dy (14,28)C

Notons que la seule force d’inertie apparaissant,la force d’inertie de Coriolis, ne dépend pas de laposition de l’axe de rotation du disque.D’ailleurs, une translation de l’origine descoordonnées par rapport auquel le disque estsupposé tourner dans l’élément linéaire (14,28)modifie cet élément linéaire, mais ne modifie pasles dérivées partielles de g , donc les équationsαβdes géodésiques.

9. Etude de l’action gravitationnelle créée àl’intérieur d’une sphère creuse tournant lentement.- Nous considérons une sphère creuse rigided’épaisseur négligeable, de rayon R et de masse Mrépartie uniformément sur sa surface. Noussupposons que la sphère tourne lentement à lavitesse angulaire constante Ω autour de l’axe desz. Lentement veut dire ici que les points de lasphère ont une vitesse faible devant celle de la

1 342

lumière. Ils peuvent donc avoir une vitesseconsidérable au sens usuel. Nous allons montrer queles référentiels d’inertie à l’intérieur de lasphère tournent à vitesse angulaire constante parrapport aux référentiels d’inertie loin de lasphère. Nous nous plaçons dans le cadre del’approximation linéaire de la Relativité générale.

A - Etude du tenseur d’impulsion-énergie.

Compte tenu des vitesses faibles devant celle dela lumière, nous avons :

00 0i ijT » T » T

Au premier ordre, nous négligeons donc lesijcomposantes T . Appelons ρ la masse volumique :

M00 2 0i inous prendrons T = ρ C et T = ρ C v .

M M

0 x - Ω y v = 0 ∧ y = Ω x (14,29)

Ω z 0

0x T = - ρ C Ω y M0yAinsi : T = ρ C Ω x (14,30)

M 0z T = 0

B - Calcul des composantes du tenseur à traceopposée.

Nous sommes en régime stationnaire etu-----o 21 = - ∇ . Il vient :m-----.

2 -00 16 π G 00 16 π G∇ h = ------------------------------------ T = ------------------------------------ ρ (14,31)4 2 MC C

2 -0x 16 π G 0x 16 π G∇ h = ------------------------------------ T = - ------------------------------------ ρ Ω y (14,32)4 3 MC C

2 -0y 16 π G 0y 16 π G∇ h = ------------------------------------ T = ------------------------------------ ρ Ω x (14,33)4 3 MC C

2 -ij∇ h = 0 (14,34)

- 0 0Calculons maintenant h :2Nous avons ρ = σ δ(r - R) et 4 π R σ = M.

M M MPour une sphère creuse chargée uniformément, on a :

2 343

2 ρ σ δ(r - R)∇ V = - --------------- = - ------------------------------------------------- ; avec σ = Cteε ε0 0

Alors, à l’intérieur de la sphère :

21 4 π R σ σ RV = ------------------------------ --------------------------------------------- = ------------------ = Cte4 π ε R ε0 0

2 -00 16 π GOr ∇ h = ------------------------------------ ρ2 MC

1 16 π GIdentifiant - -------------- à ----------------------------------------- , on trouve donc :ε 20 C

-00 16 π G 4 G Mh = - σ R ------------------------------------ = - --------------------------------------- = CteM 2 2C C R

-0iCalculons maintenant h ; reprenons l’étude du§ 7 ; lorsque :

σ x2 ρ σ δ( r - R) 0∇ V = - --------------- = - ------------------------------------------------- = - --------------------- δ(r - R)ε ε R ε

0 0 0

σ0alors, V = -------------------- x3 ε

0

2 -0y 16 π G MIci ∇ h = ------------------------------------ Ω x ----------------------------------- δ(r - R)3 2C 4 π R

σ0 4 G M ΩIdentifiant - ---------------------- à ---------------------------------------------------R ε 2 3

0 R C

-0y 4 G M ΩIl vient donc : h = - -------------------------------------------- x33 R C

effectuons la substitution x ----------L - y :

-0x 4 G M Ωh = --------------- ---------------------- ------------------------ y3 3 RC

-ijEnfin , h = 0 .

αβC - Calcul de h .

- -0 4 G Mh = h = - -----------------------------------------0 2R C

00 -00 1 00 - 2 G Mh = h = h - --------------- η h = - -----------------------------------------00 2 2R C

0x -0x 1 0x - 4 G M Ωh = - h = - h + --------------- η h = - --------------- ----------------- ---------------------------------- y0x 2 3 3 RC

3 344

0y 4 G M Ωh = - h = --------------- ----------------- ---------------------------------- x0y 3 3 RC

xx 1 xx - 2 G Mh = 0 ; h = h = h = h = - --------------- η h = - -----------------------------------------xy xx yy zz 2 2R C

D - Elément linéaire, conclusion.

Finalement :

2 2 G M 2 2ds = 1 - ------------------------------------ C dt 2 R C

2 G M 2 2 2- 1 + ------------------------------------ ( dx + dy + dz ) (14,35) 2 R C

8 G M Ω 8 G M Ω+ --------------- --------------------------------------- C dt x dy - --------------- --------------------------------------- C dt y dx3 3 3 3R C R C

g , g , g , sont constants. Ils sont de la00 xx yy

forme (14,15), avec φ = Cte = - G M / R . Ils leurcorrespond une dilatation des temps et unecontraction des longueurs à l’intérieur de lasphère par rapport à l’infini dont la valeur estcelle attendue. Ces effets étant constants, on peutredéfinir les longueurs et les temps à l’intérieurde façon à avoir g = 1 et g = g = - 1 ;

00 xx yycela correspond à prendre comme coordonnées àl’intérieur de la sphère, des coordonnées étalonslocales. Ces changements de coordonnées sont desinfiniment petits du premier ordre. Cela donne descorrections qui sont des infiniment petits dudeuxième ordre pour g et g qui sont eux-même

0x 0ydes infiniment petits du premier ordre. Au premierordre, on peut donc garder les mêmes valeurs pources deux composantes du tenseur métrique.

En posant :

4 G Mω = - --------------- -------------------------- Ω (14,36)3 2R C

Il vient alors :

2 2 2 2 2 2 2 ω yds = C dt - dx - dy - dz + --------------------------- C dt dxC (14,37)2 ω x- --------------------------- C dt dyC

Et l’élément linéaire est totalement identique àcelui du disque tournant faiblement (14,28). Laphysique est donc exactement la même que sur un teldisque.

Sur le disque, et par rapport à lui, un pendulede Foucault permettant de repérer les référentiels

4 345

d’inertie en "non rotation" tourne à la vitesseangulaire ωi = - ω . Nous en concluons donc qu’àl’intérieur de la sphère, un pendule de Foucaulttourne à la vitesse angulaire constante etindépendante du lieu :

4 G Mωi = --------------- -------------------------- Ω (14,38)3 2R C

Imaginons maintenant un pendule de Foucaultchargé électrostatiquement et battant dans undomaine où règne un champ magnétique uniforme. Ilest soumis à une force F = q v ∧ B , formule toutL Là fait identique à Fc = m v ∧ 2 ω , 2 ωcorrespondant à B

Suivant cette image, on peut considérer que cequi fait tourner le pendule de Foucault, c’est bienun effet magnétique de la gravitation que l’onappellera effet de gravitomagnétisme. La sphèrecreuse tournante permet d’annuler totalement leseffets électrostatiques de la gravitation, puisquele potentiel gravitationnel constant à l’intérieurn’applique aucune force dans l’approximationnewtonienne. Notons à ce sujet que l’on retrouve cerésultat par la Relativité générale g et g

00 iiétant constants dans (14,35). Dans cet exemple, ilne reste plus que les effets magnétiques de lagravitation. En électromagnétisme, la présence decharges positives et négatives, permet beaucoupplus facilement d’éliminer les effetsélectrostatiques tout en gardant les effetsmagnétiques; qu’on pense par exemple à un filparcouru par un courant. Il est intéressant que,malgré l’absence de masses négatives, on puissetout de même trouver une situation idéalisée danslaquelle les effets électrostatiques de lagravitation sont éliminés et où seuls restent leseffets magnétiques.

L’élément linéaire (14,37) est exprimé avec lescoordonnées x,y,z,t, correspondant aux équations(14,29), c’est à dire dans un référentiel netournant pas par rapport aux galaxies lointaines.La sphère creuse tourne, elle, en effet, à lavitesse angulaire Ω par rapport aux galaxieslointaines. Or ce référentiel n’est pas unréférentiel galiléen. Les particules libres n’y ontpas un mouvement de translation rectiligneuniforme. Il nous faut donc modifier ici ce qui aété dit au § 2 du chapitre 7 . Un référentielgaliléen sera un référentiel dans lequel on peuttrouver des coordonnées étalons telles quel’élément linéaire prenne la forme :

2 α β 2 2 2 2 2ds = η dx dx = C dt - dx - dy - dzαβUn référentiel galiléen sera un référentiel en

5 346

chute libre dans lequel l’axe d’un gyroscope ou unpendule de Foucault ne tournent pas; et un telréférentiel peut s’avérer tourner par rapport auxgalaxies lointaines, comme c’est le cas ici.

10. Relativité générale et principe de Mach. -Nous avons vu qu’à l’intérieur de la sphère, lesréférentiels d’inertie tournent par rapport auxréférentiels d’inertie distants. Ceci porte le nomd’effet de Lense et Thirring du nom des deuxphysiciens ayant fait (en 1918) pour la premièrefois le calcul aboutissant à (14,36). Le principede Mach affirme que les propriétés d’inertie del’espace-temps dépendent de la position et dumouvement de toute la matière présente dansl’univers (ensemble des galaxies de l’univers).L’effet d’entrainement des référentiels d’inertiepar la sphère en rotation nous montre que laRelativité générale prend bien en compte localementle principe de Mach.

Le potentiel électrostatique à l’intérieur d’unesphère uniformément chargée sur sa surface estconstant. Or, le potentiel est fonction de ladistance à la charge par une loi en 1/r . Laconstance de ωi nous suggère que l’influence de lamatière éloignée sur les propriétés d’inertie obéitégalement à une loi en 1/r . Ainsi, les propriétésd’inertie, ne sont pas principalement déterminéespar la matière proche, mais plutôt par toute lamatière de l’univers (exemple d’un point intérieurtrès près de la surface, où ωi est le même qu’aucentre de la sphère qui est éloigné de tous lespoints en mouvements).

Cependant il est clair que si la Relativitégénérale est en accord localement avec le principede Mach, cette théorie n’est pas complètementmachienne. Dans le problème considéré, la métriquede Minkowski à l’infini n’est pas obtenue en tenantcompte par des formules de l’effet de la matièrelointaine de l’univers. Elle est obtenue comme unecondition aux limites plaquée artificiellement.Cela est caractéristique d’une théorie partiellequi est obligée d’intégrer les résultats d’unethéorie plus profonde avec les valeurs deparamètres fixés artificiellement, ou avec desconditions aux limites fixées de manière ad-hoc.Les référentiels galiléens en Mécanique newtoniennecorrespondent déjà à une telle condition au limiteidéalisée.

La Relativité générale n’est donc pas "relative"au sens de Mach. Cette théorie n’est pas construiteuniquement à partir des différentes positions de lamatière. La propriété de directions fixes (danslesquelles la métrique est de Minkowski) estaffectée à l’espace vide en l’absence complète de

6 347

matière (solution des équations du champ avecαβT = 0 partout) et le mouvement est repéré parrapport à cette géométrie absolue.

Gödel en 1949 obtint une solution cosmologique del’équation du champ d’Einstein correspondant à unedensité constante de matière, pour laquellel’élément linéaire contient un terme croisé en

0 idx dx . Cette solution correspond à un univers enrotation intrinsèque par rapport à toute la matièrequ’il contient! Un moyen de le voir est d’étudierla trajectoire d’une particule libre. Elle estdéviée par rapport à la matière, c’est à direqu’elle n’a pas pour trajectoire une ligne droitede l’espace lié à cette matière. Cependant laconstruction de l’univers de Gödel nécessite deprendre l’équation du champ d’Einstein avec uneconstante cosmologique non nulle, ce que nous avonsrejeté.

La Relativité générale n’est donc pas encoresuffisamment générale. Elle garde des traces d’unabsolu arbitraire dans le formalisme. Celacorrespond au fait que l’équation du champd’Einstein n’est pas suffisante à elle seule. Deséquations différentielles ne déterminent pas unesolution. Il faut leur ajouter des conditions auxlimites adéquates.

Dans ce cadre, on peut dire que le principe deMach fourni les conditions aux limites permettantde distinguer parmi toutes les solutionsmathématiques de l’équation du champ celle quicorrespond à la situation physique envisagée (voirchapitre 18 , cosmologie).

On peut reconnaitre à la Relativité générale deuxsuccès. Tout d’abord elle inclu les forces degravitation usuelles et les forces d’inerties dansun même formalisme alors que ce n’est pas le cas enMécanique newtonienne (§ 4 du chapitre 12 ). Eneffet, la force de Coriolis ne dérive pas d’unpotentiel et n’entre pas dans le formalisme généraldes forces de gravitation en Mécanique newtonienne.Ensuite la Relativité générale est localementmachienne comme le montre l’effet de Lense etThirring. Cependant, compte tenu de ce qui a étédit, elle n’est pas le fin mot de l’histoire.

La Théorie de Brans-Dicke (voir § 2 ,chapitre 19 ) représente une tentative de prise encompte du principe de Mach. Les masses de l’universinterviennent dans le calcul du champ scalaire φ.Cependant cette théorie est maintenant abandonnéecar non confirmée par l’expérience.

Le rôle joué par l’ensemble des masses del’univers dans le principe de Mach fait penser à uneffet non local du même type que ceux rencontrés enMécanique quantique. Une théorie complètementmachienne et relativiste sortira peut-être de

7 348

l’union de la Mécanique quantique et de laRelativité générale.

11. Etude du champ gravitationnel créé par unastre tournant. - Nous prenons le modèle simplifiéd’une étoile de masse volumique constante ρM (cequi peut être une bonne approximation pour uneétoile à neutron) tournant à la vitesse angulaireconstante Ω autour de l’axe des z. On suppose queles points de l’étoile sont animés d’une vitessefaible devant celle de la lumière, de telle sorteijque nous prendrons T 0 . Enfin, noustravaillons dans le cadre de l’approximationlinéaire de la Relativité générale. La masse totalede l’étoile est M, son rayon Re. Nous nous plaçonsà la distance r de l’étoile à l’extérieur decelle-ci. Le potentiel newtonien estφ = - G M / r , ce qui nous donne directement parun calcul analogue à celui fait pour l’intérieur dela sphère creuse au § 9 :

2 φ 2 G Mg = 1 + ------------------ = 1 - ---------------------------------00 2 2C r C

2 G M g = g = g = - 1 + ---------------------------------xx yy zz 2 r C

Il nous reste donc seulement à calculer g et0x

g .0yConsidérons dans un premier temps une sphère

de masse dM d’épaisseur dR et de rayon R. On a :

2 dM δ( r - R)4 π R dR ρM = dM donc : ρM = ------------------------------------------------------------- (14,39)24 π R

Dans le problème d’électrostatique du § 7 , vude l’extérieur de la boule B, on peut considérerque toute la charge de la boule B1, -q, est placéeen son centre O1, et que toute la charge de laboule B2, q, est placée en son centre O2. On aalors le champ et le potentiel d’un dipôleélectrostatique de moment :

4 3 4 3q ε = --------------- π R ρ ε = --------------- π R σ3 3 0

Le potentiel d’un tel dipôle est :

1 q ε 1 q εV = ------------------------------ -------------- cos θ = ------------------------------ -------------- x4 π ε 2 4 π ε 30 r 0 r

Par conséquent (voir (14,20)) l’équation :

σ2 0∇ V = - ---------------------- x δ(r - R) (14,40)R ε

0

8 349

a pour solution :

3R σ x0V = ---------------------------------------- (14,41)

33 ε r0

σ0 4 G Ω dMIdentifiant - ---------------------- à ---------------------------------------------------R ε 3 2

0 C R

2 -0y 4 G Ω dM xL’équation : ∇ h = ---------------------------------------------------------------- δ(r - R)3 2C R

obtenue avec (14,33) compte tenu de (14,39) a doncpour solution :

2-0y 4 G dM Ω R xh = - --------------- ---------------------------------------------------------------- (14,42)3 3 3C r

2or dM = 4 π R dR ρ ; donc pour toute l’étoile :M

Re⌠ 2-0y 4 G Ω R 2h = - --------------- --------------------------------------- x 4 π R ρ dR3 3 3 M C r⌡ 0

G Ω ρ x-0y 16 π M 5h = - --------------------- ---------------------------------------------- Re (14,43)15 3 3C r

Remplaçant x par - y :

G Ω ρ y-0x 16 π M 5h = --------------------- ---------------------------------------------- Re (14,44)15 3 3C r

Soit J le moment cinétique de l’étoile.

2 2 4 3J = --------------- M Re Ω ; M = --------------- π Re ρ5 3 M

8 5J = --------------- π Re Ω ρ (14,45)15 M

-0y 2 J G x -0x 2 J G yh = - -------------------------------------- ; h = --------------------------------------3 3 3 3C r C r

0y -0y 1 0y - -0y 2 J G xh = - h = - h + --------------- η h = - h = --------------------------------------0y 2 3 3C r

Idem pour h ; finalement :0x

2 2 G M 2 2 2 G M 2ds = 1 - ---------------------------------- C dt - 1 + --------------------------------------- (dx 2 2 C r C r

9 350

2 2 4 J G y 4 J G x+ dy + dz ) - -------------------------------------- C dt dx + -------------------------------------- C dt dy (14,46)3 3 3 3C r C r

En coordonnées polaires de l’espace, x dy - y dx2 2= r cos α dθ et :

2 2 G M 2 2 2 G M 2ds = 1 - ---------------------------------- C dt - 1 + ---------------------------------- (dr 2 2 C r C r (14,47)2 2 2 2 2 4 J G 2+ r dα + r cos α dθ ) + ---------------------------------- cos α C dt dθ

3C r

12. Recherche d’une orbite circulaire parcourue àvitesse angulaire constante dans le planéquatorial. - Nous avons donc r = Cte soit

2 2d r/dt = 0 . L’équation en r de la géodésiqueest :

2 2r dθ r dt r dt dθΓ ----------- + Γ ---------- + 2 Γ ---------- ----------- = 0θθ dτ tt dτ tθ dτ dτ

c pAppelons (η ) l’expression que prend le tenseurαβde Minkowski en coordonnées polaires de l’espace.αβLes composantes contravariantes seront notées η .

c p2On l’obtient à partir du ds en supposant φ et J

négligeables :

2 c p α β 2 2 2 2 2 2 2 2ds = η du du = C dt - dr - r dα - r cos α dθαβ

rr 1Ainsi, η = --------------- = - 1cp cpηrr

r 1 rr Γ --------------- η g + g - g = - rθθ 2 cp rθ,θ rθ,θ θθ,r

r 1 rr G MΓ --------------- η g + g - g = --------------------------tt 2 cp rt,t rt,t tt,r 2r

r 1 rr J GΓ --------------- η g + g - g = - ----------------------------tθ 2 cp rt,θ rθ,t tθ,r 2 2C r

2 dθ J G dθ G Mr ----------- + 2 ---------------------------- ----------- - --------------------- = 0 d t 2 2 d t 2C r r

Posons X = dt/dθ , on obtient :

32 2 J rX - ------------------------------- X - --------------------- = 0

2 G MC M

10 351

X1 et X2 étant les deux racines de cette équation :

t + t - t+ - t- 2 JX1 + X2 = -------------- + ----------------------- = ---------------------------- = -------------------------------2 π - 2 π 2 π 2C M

4 π Jt+ - t- = ------------------------------------- (14,48)2C M

Ce décalage des périodes dans le sens direct etrétrograde est indépendant de la distance r.

La période est plus grande lorsque le satellitetourne dans le même sens que l’astre. On peutdonner une explication intuitive de ce phénomène.Lorsque le satellite tourne dans le même sens quel’astre, il se déplace dans le même sens que le solau dessous de lui et est donc soumis de la part decelui-ci à une force répulsive qui le soutient. Laforce centrifuge nécessaire pour le soutenir estdonc moins grande et il tourne moins vite àl’équilibre.

Le phénomène précédent correspond encore, commedans le cas de la sphère creuse à un effetd’entrainement de l’espace et des référentielsd’inerties. Nous allons le voir plus en détail dansle paragraphe suivant.

13. Effet d’entrainement des référentielsd’inerties à l’extérieur d’un astre tournant. -Examinons tout d’abord la trajectoire d’uneparticule venant de l’infini et se dirigeant droitsur le centre de l’astre. Cela correspond à unparamètre d’impact nul. Prenons l’équation de lagéodésique en θ.

2d θ θ dr dt---------------- + 2 Γ ---------- ---------- = 02 r t dτ dτdτ

θ 1 θθ Γ = --------------- η g + g - grt 2 c p θr,t θt,r rt,θ

1 1 2 J G J G= --------------- - -------------- - --------------------------------- = ----------------------------2 2 2 2 2 4r C r C r

2d θ 2 J G drt τ et : --------------- + --------------------------------- --------- = 0 (14,49)2 2 4 dtdt C r

Orientons θ de façon à ce que J soit positif. On2 2voit que lorsque dr/dt < 0 d θ/dt > 0 . Il se

développe une force de type force de Coriolisdéviant la particule vers les θ positifs(fig. 14.2).

11 352

θ > 0

I y1111J 111----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO x

Fig. 14.2

Considérons maintenant un pendule de Foucaultbattant parallèlement à l’axe des x (fig. 14.3).

I y1111J 11 O1----------------------------------------------------------------k---------------------------------------------------------------------------------------------O--------------------O--------------------LO O x

Fig. 14. 3

Lorsqu’il se rapproche de l’astre, il est déviévers les y > 0 , lorsqu’il s’éloigne, il est déviévers les y < 0 . Cela correspond à une lenterotation dans le sens négatif du pendule.Considérons maintenant un pendule battantparallèlement à l’axe des y. Lorsqu’il va vers lesy > 0 il est soumis à une force répulsive par lesol au dessous de lui; tandis que lorsqu’il va versles y < 0 il est soumis à une force attractive.Cela correspond encore à une lente rotation dans lesens négatif.

On voit donc qu’en dehors de l’astre, l’effetd’entrainement en rotation, par rapport aux étoileslointaines, des référentiels d’inertie se fait dansle sens contraire de la rotation de l’astre,contrairement au cas de l’intérieur de la sphèrecreuse.

Il est facile de voir pourquoi. Ce qui compte,lorsque l’on raisonne dans le plan équatorial(α = 0), c’est le terme g or dans le cas de latθ,r

12 353

sphère creuse :

2 4 G M 2g = - ω r = --------------- -------------------------- Ω rtθ 3 2R C

8 G Mg = --------------- -------------------------- Ω r > 0tθ,r 3 2R C

2 J GIci : g = ----------------------------------tθ 2C r

2 J Gg = - --------------------------------- < 0tθ,r 2 2C r

Intuitivement, on voit que l’effet d’entrainementdes référentiels d’inertie correspond auxtourbillons qui seraient créés dans un fluidevisqueux entrainé par les corps en mouvements(fig. 14.4). La vitesse angulaire par rapport auxétoiles lointaines des référentiels d’inertiecorrespond au rotationnel de la vitesse de cefluide dans le régime stationnaire (voirexercice 14.8).

Sphère creuse Astre tournantt ournante

Fig. 14.4

On peut maintenant trouver une autre explicationintuitive de la différence des périodes de rotationdans le sens direct et dans le sens rétrograde.Dans le référentiel fixe par rapport aux étoileslointaines, dans le problème considéré, le penduletourne comme dans un disque tournant dans le senspositif. On peut donc remplacer le problèmeconsidéré par le problème suivant : un astre netournant pas, mais vu depuis un disque tournantdans le sens positif. Dans un tel disque, lependule de Foucault tourne bien dans le sensnégatif. La vitesse absolue du satellite est lamême dans un sens ou dans l’autre. Cependant savitesse relative par rapport au disque est plusfaible dans le sens direct que dans le sensrétrograde. D’où la différence des périodesconsidérées. Cela est schématisé sur lafigure 14.5 .

13 354

Di s que tournant

⇔

Astre tournant As t re f ixe

Fi g . 14.5

14 355

EXERCICES

14.1 En faisant une analogie avec le calcul de l’effetde Lense et Thirring dans le cas de la sphèrecreuse, et en utilisant g , calculez la vitessetθ,rangulaire de précession des repères inertiels dansle plan équatorial d’un astre tournant.

14.2 Les équations de la magnétostatique s’écrivent :

2j = ρ v ; ∇ A = - µ j0

B = rot A ; F = q v ∧ B

Montrez que l’on peut définir un vecteur0 0i 0 0iT = (T ) ; un vecteur h = (h ) ; et un vecteur

BG ; tels que les équations de lagravitomagnétostatique s’écrivent :

0 2 0 16 π G 0T = ρ C v ; ∇ h = ------------------------------------ TM 4C

0BG = rot h ; F = m C v ∧ BG( v µ C)

14.3 1. Pour une charge q de masse m animée d’unmouvement circulaire uniforme autour d’un pointfixe O, calculez le rapport gyromagnétique γg telque : M = γg J . M est le moment magnétique et Jle moment cinétique.

2. A l’aide de la question 1 et des résultats del’exercice 14.2 , retrouvez l’équation (14,49).

14.4 Utilisez le formalisme de lagravitomagnétostatique et les résultats del’exercice 14.3 pour calculer le temps t+ - t-de la formule (14,48).

14.5 Utilisez le champ gravitomagnétique BG pourretrouver la formule (14,38). On rappelle que lechamp magnétique à l’intérieur d’une sphère creusede rayon R chargée avec la densité surfacique σ et

tournant à la vitesse angulaire Ω est uniforme et

vaut B = (2 µ /3) σ R Ω .0

14.6 Il existe deux autres effets que celui de Lenseet Thirring, à l’origine de la précession de l’axed’un gyroscope satellisé autour de la Terre. Il y ala précession de Thomas qui est un effet de pureRelativité restreinte pour un corps animé d’unmouvement circulaire uniforme. Il y a d’autre part

15 356

la précession de Fokker qui correspond audéplacement du gyroscope dans le champ degravitation de la Terre.

Par raison de symétrie, ces deux effets fonttourner l’axe du gyroscope autour d’une droiteperpendiculaire au plan de rotation du satellite.

Considérons donc, sur la figure ci-dessous, unsatellite en orbite polaire, l’axe d’un gyroscopeplacé dans ce satellite étant parallèle au planéquatorial terrestre et perpendiculaire au plan derotation du satellite. Les deux effets précédentssont alors annulés.

1. On demande alors, en utilisant le formalismede la gravitomagnétostatique, de calculer laprécession de l’axe du gyroscope, placé dans un telsatellite, en secondes d’arc par an; précession dueà l’effet de Lense et Thirring seul.

On considérera pour cela un satellite en orbitecirculaire basse, dont le rayon est de l’ordre durayon de la Terre, soit 6400 km. On rappelle que la

24masse de la Terre vaut environ 6 10 kg.2. Quelle est le sens de la précession pour un

gyroscope immobile au dessus du pôle? Au dessus del’équateur? Conclusion?

14.7 (non corrigé). On considère un fluide parfait, mais2la pression est telle que p/C n’est pas

négligeable devant ρ . En utilisant la mêmedémarche qu’au § 5 , montrez que g étant levecteur accélération de la pesanteur :

3 p ∇.g = - 4 π G ρ + ----------------- 2 C

14.8 (non corrigé).21. En comparant le ds de (12,12) et de (14,47),

montrez qu’un observateur en rotation à la vitesse2 3angulaire ωe = 2 J G/C r (e pour espace) autour

2de l’astre n’a pas de terme en g dans son ds .tθLa simultanéité définie par t correspond alors

16 357

bien à la simultanéité définie par cet observateur.On peut alors avoir une image intuitive danslaquelle tout point de l’espace vide, c’est à direl’espace lui-même est entrainé en rotation à cettevitesse angulaire autour de l’astre. L’espace jouele rôle du fluide du § 13 .

2. On rappelle que pour un corps solide en

rotation à la vitesse angulaire Ω, le champ des

vecteurs vitesse vérifie rot v = 2 Ω . Calculez lerotationnel du champ des vecteurs vitesse despoints de l’espace entrainé de la question 1 , etretrouvez que localement, l’espace est animé d’unerotation sur lui-même et par rapport aux étoiles

2 3lointaines à la vitesse angulaire ωl = - J G/C r(l pour local) comme trouvé à la question 2 del’exercice 14.6 . L’image du fluide visqueux du§ 13 est ainsi pleinement justifiée. C’estl’espace vide lui-même qui est ce fluide.

17 358

Chapitre quinze

L’ENERGIE GRAVITATIONNELLE

1. Retour à l’approximation linéaire del’équation du champ, équation de Bianchi dans cecadre. - Il existe beaucoup de solutions auproblème de la recherche d’un tenseurd’impulsion-énergie du champ de gravitation, dontaucune n’est pleinement satisfaisante. Nous nousplacerons dans ce chapitre au voisinage del’approximation linéaire : c’est à dire dans dessituations où, sauf en des régions limitées, cetteapproximation est valable. Cela correspond à un casoù l’intuition peut encore s’appliquer.

Posons, comme au chapitre 14 :

g = η + h (15,1)αβ αβ αβ

Comme dans ce chapitre, les coordonnées serontαnotées x . Dans le traitement mathématique que nousαβeffectuons, nous ne supposons pas ici h µ 1 ,sauf lorsque nous supposerons l’approximationlinéaire de l’équation du champ vraie. Mais nousαβsupposerons qu’à l’infini h 0 ,l’espace-temps devenant celui de la Relativitérestreinte, l’espace-temps plat; ceci précise leαchoix des coordonnées x .

Nous prendrons comme convention de monter etαβd’abaisser les indices pour le tenseur h ainsique pour le tenseur de courbure et le tenseur deαβRicci au premier ordre en h , et les coordonnéesα αβx , au moyen de η . Le point de départ réel seraαh pour les tenseurs et x pour les coordonnées,αβde façon à pouvoir utiliser la formule (11,23) pourl’expression au premier ordre du tenseur decourbure. C’est d’ailleurs pour cette raison quenous avons utiliser les coordonnées covariantespour écrire l’équation (15,1).

Substituons donc l’expression (15,1) du tenseurmétrique dans le calcul du tenseur de Ricci et dela courbure scalaire. Ordonnons les différentsαβmonômes suivant les ordres en h . Désignons alors

(1)αβpar R la partie du tenseur de Ricci qui est duαβ (1)premier ordre en h . R désigne de même lapartie de la courbure scalaire du premier ordre enαβh . L’équation linéaire du champ (14,9) s’écritalors :

1 359

(1)αβ 1 αβ (1) 8 π G αβR - --------------- η R = - ----------------------------- T (15,2)2 4C

Notons que l’on peut écrire cette équation avecles indices en haut et avec notre convention pourmonter les indices, car lorsque nous l’écrivons, onαβ αβ αβsuppose que h µ 1 , et η g . Il s’agiten effet d’une approximation au premier ordre deαβl’équation du champ vraie pour h µ 1 .

La démonstration des identités de Bianchiconcernant le premier membre, effectuée au § 18du chapitre 11 peut alors être recopiée enutilisant ces expressions au premier ordre.Cependant, cette fois-ci, on ne suppose plusαβh µ 1 pour les identités de Bianchi seules; onpeut en effet s’occuper de la valeur du premierαβmembre de (15,2) même quand h n’est pas trèspetit devant 1. Il faut remplacer partout ladérivation covariante par la dérivation ordinaire.Tout d’abord, nous partons de l’expression (11,23)αβpour R , les indices étant montés grâce à η .αβγδOn arrive alors à :

R + R + R = 0αβγδ,ε αβεγ,δ αβδε,γ

Nous effectuons ensuite d’une manière répétée laαβmultiplication contractée par η , grâce à notreconvention pour monter les indices. La propriétéutilisée de la nullité de la dérivée covariante dutenseur métrique est ici à remplacer par laαβpropriété de nullité de la dérivée simple de η .On arrive alors à l’identité de Bianchi linéaire :

(1)αβ 1 αβ (1) R - --------------- η R = 0 (15,3) 2 ,β

Lorsque l’équation du champ linéaire (15,2) estsupposée vraie, elle donne alors :

αβ∂T------------------------- = 0 (15,4)β∂x

2. Interprétation physique de l’équation (15,4).- Comme nous l’avons vu au § 13 du chapitre 13 ,l’équation (15,4) traduit la conservation duquadrivecteur impulsion-énergie des particules dematière et des particules virtuelles d’interactions(autres que la gravitation).

Ceci a bien lieu en l’absence de champgravitationnel. Autrement dit, ce quel’approximation linéaire de l’équation du champnous donne, c’est l’absence d’action

2 360

gravitationnelle entre elles des particulesαβcorrespondant à T donc à l’origine des actiongravitationnelles considérées. Ainsi, dans le cadrede l’approximation linéaire, la matière à l’originedes actions gravitationnelles est considérée commesans action gravitationnelle sur elle même.

Considérons un exemple concret, celui de la Terrecréant un champ gravitationnel et d’un satelliteconsidéré comme ponctuel tournant autour d’elle.Une manière de traiter le problème est de calculerle champ gravitationnel créé par la Terre au moyende l’approximation linéaire de l’équation du champ,puis d’étudier le mouvement du satellite grâce àl’équation des géodésiques.

Si l’on prend comme système la Terre + lesatellite + le champ gravitationnel, l’équation duchamp nous donne la trajectoire du satellite. Or,si l’on prend l’équation linéaire du champ, cela nemarche pas! On arrive au fait que le satellite aune trajectoire rectiligne (équation (15,4))! D’oùvient la contradiction? D’où vient que leséquations linéaires du champ ne peuvent pass’appliquer? On peut tout à fait dans ce problèmeconsidérer le mouvement de la Terre comme donné.D’autre part, la Terre peut être considérée commeune distribution volumique de matière avec ladensité ρ. Autour de la Terre et à l’intérieure decelle-ci, il est donc tout à fait justifiéd’utiliser l’équation linéaire du champ (insistonsbien sur le fait que le mouvement de la Terre estdonné et n’est pas calculé!). En fait, le problèmevient du satellite considéré comme ponctuel. Le

2champ gravitationnel qu’il crèe en 1/r devientinfini pour r 0 . La particule correspond à unesingularité du champ gravitationnel, et en cepoint, l’approximation linéaire de l’équation duchamp ne s’applique plus.

En traitant le problème en calculant le champ créépar la Terre avec l’approximation linéaire, et lemouvement du satellite grâce à l’équation desgéodésiques, on utilise bien l’approximationlinéaire là où on peut le faire et, pour lesatellite, là où c’est interdit, sans le dire, onutilise une formule (l’équation des géodésiques)qui est équivalente à la non linéarité del’équation du champ.

3. Lien avec l’énergie gravitationnelle. - Enmécanique classique, le mouvement du satellite peuts’interpréter en termes énergétiques. Il y aconservation de l’énergie. Lorsqu’il se rapprochede la Terre, son énergie potentielle de gravitationdiminue, tandis que son énergie cinétique augmente.αβEst-il possible de trouver un tenseur t quiserait le tenseur d’impulsion-énergie du champ de

3 361

gravitation? Ce tenseur serait tel que l’onait :

αβ αβ∂T ∂ t------------------------- + ----------------------- = 0 (15,5)β β∂x ∂x

En consi d érant que l’approximation linéaires’applique partout, on arrive à une erreur :αβ β∂T /∂x = 0 correspondant à une trajectoirerectiligne à vitesse constante pour le satellite.Nous en arrivons à la conclusion que, physiquement,l’existence d’un tenseur d’impulsion-énergie pourla gravitation est liée à la présence de lasingularité du champ au niveau du point matériel.D’une manière générale, elle est liée à la partienon linéaire du tenseur d’Einstein. Une solutionest donc d’utiliser la partie non linéaire dutenseur d’Einstein.

4. L’énergie gravitationnelle. - Nous avons vuque dans un ascenseur en chute libre (référentielgaliléen local), on peut annuler totalement lagravitation. Si l’on compare avecαβl’électromagnétisme décrit par le tenseur F , lasituation est radicalement différente. Certe,lorsque l’on change de référentiel, les valeurs deE et B changent, on peut même trouver parfois unréférentiel où l’un de ces deux vecteurs est nul.αβMais, cela correspond pour le tenseur F à desvariations de ses composantes par changement debase. Le tenseur, en tant qu’entité unique resteinvariant. En particulier, il est impossible detrouver un référentiel où ce tenseur s’annulle,c’est à dire qu’il est impossible d’annulersimultanément toutes ses composantes. Passant àl’énergie, dans le référentiel galiléen, l’énergiegravitationnelle doit être considérée comme nulle,alors que pour l’énergie électromagnétique, leαβraisonnement fait avec F s’applique. Le tenseurαβT c h existe en tant qu’entité et ne peut être annulédans aucun référentiel.

La notion d’énergie gravitationnelle n’a donc pasd’existence locale. On peut trouver dans le casαβgénéral, mathématiquement, un tenseur t (ayantune transformation des composantes correspondant àun tenseur, uniquement vis à vis destransformations de Lorentz de l’arrière plan) liéau champ gravitationnel qui obéit à une loi deαβconservation avec T . Mais il se pose un problèmequant à l’écriture de cette loi de conservation! Laquestion se pose en effet de faire intervenir dans---------cette loi, multiplicativement - g , ou √ - g, gétant le déterminant du tenseur métrique, à causede la forme générale de l’élément de volume encoordonnées curvilignes. D’autre part, la loi de

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conservation étant choisie, la solutionαβmathématique pour t n’est pas unique. Il enexiste même une infinité.

Les seuls cas où nous parlerons ici d’énergiegravitationnelle correspondent à des cas du typede l’exemple du satellite et de la Terre. Dans detelles situations, l’espace-temps a à peut prèspartout la structure correspondant à la Relativitérestreinte, sauf dans quelques régions isolées (quipeuvent être des singularités du champ) danslesquelles le champ est particulièrement intense.Cela est équivalent mathématiquement à dire qu’àl’infini, l’espace-temps a la structurecorrespondant à la Relativité restreinte. Nouspourrons alors utiliser la décomposition (15,1) duαβteneur métrique, avec h µ 1 à l’infini.

Dans les régions où la Relativité restreintes’applique approximativement, la situationgravitationnelle est alors bien décrite par letenseur :

(1)αβ 1 αβ (1)R - --------------- η R2

Dans les régions de champ intenses, il faututiliser :

αβ 1 αβR - --------------- g R2

On voit que les régions où le champ est intensesont très petites par rapport aux régions où il estfaible (qui s’étendent à l’infini!). Dans cettesituation, on peut accorder une réalité physique auchamp correspondant à l’approximation au premierordre du tenseur d’Einstein. On a alors partoutdeux champs gravitationnels distincts, celui décritpar l’approximation au premier ordre, et le champdécrit par le tenseur exact d’Einstein, cettedistinction correspondant à une réalité physique.Cependant, cette réalité correspond à un point devue particulier, qui correspond à un choix decoordonnées telles que l’élément linéaire soit deMinkowski à l’infini. Cela n’enlève rien à cetteréalité, car par exemple, la valeur du vecteurchamp électrique E dépend du référentiel choisipour l’observer, mais cela n’enlève rien à nos yeuxà sa réalité physique.

Ce qui vient d’être dit ci-dessus justifiephysiquement le traitement mathématique duparagraphe suivant.

5. Le tenseur d’impulsion-énergie du champgravitationnel. - Nous prendrons la convention du§ 1 pour la montée et la descente des indices,sauf pour le tenseur de courbure réel, le tenseurαβde Ricci réel, et le tenseur métrique g pourlesquelles nous monterons et descendrons lesindices grâce à ce tenseur métrique. Nous pouvons

5 363

alors écrire l’équation exacte du champ sous laforme :

( 1 ) 1 (1) 8 π G R - --------------- η R = - ----------------------------- T + t (15,6)αβ 2 αβ 4 αβ αβ C

avec :

4C 1 ( 1 ) 1 (1)t = ----------------------------- R - --------------- g R - R + --------------- η R (15,7)αβ 8 π G αβ 2 αβ αβ 2 αβ

L’équation (15,6) correspond bien au traitementque nous voulons faire :

1- Elle est exacte.

2- Elle fait intervenir le champ gravitationnelcorrespondant au tenseur d’Einstein au premierαβordre en h , qui est le champ qui nous intéressedans la région où la gravitation est faible.

A ce sujet, répétons que nous accordons uneréalité physique à ce champ au premier ordre alorsqu’il correspond à une approximation qui d’ailleursn’est plus valable en champ fort! Ceci est àcomparer avec la méthode des perturbations deFeynman en électrodynamique quantique.L’interaction électromagnétique y est représentéepar des diagrammes de Feynman. Ceci résulte d’undéveloppement en termes de plus en plus petits.Nous avons les diagrammes de Feynman au premierordre, au deuxième ordre etc. Cependant on estamené à accorder une réalité physique aux photonsvirtuels échangés dans les diagrammes. En physique,dès que les mathématiques font apparaitre unestructure correspondant à une description juste del’univers, il nous faut accorder une réalitéphysique à cette structure dans la philosophieréaliste que nous adoptons.

En ce sens, la décomposition en deux parties duchamp gravitationnel dans l’équation (15,6),correspondant d’une part aux tenseurs au premierordre, d’autre part à t , n’est pas pour nousαβsimplement une astuce mathématique. Nous sommesamené à lui accorder une réalité physique.

3- Nous séparons bien la partie linéaire du champ,et la partie non linéaire.

4- La non linéarité de l’équation du champ est àl’origine du fait que le champ gravitationnel estsa propre source, comme nous l’avons vu au § 11du chapitre 13 . Or nous plaçons bien la partie nonlinéaire de l’équation du champ sous la forme det qui est mis sur le même plan que T , commeαβ αβterme source. En ce sens, la différence de

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traitement entre la gravitation d’une part, et lamatière et les autres interactions d’autre part, ence qui concerne la création du champgravitationnel, est effacée.

6. Valeur moyenne du tenseur d’impulsion-énergiedu champ de gravitation. - Comme nous l’avons vu auparagraphe 1, le premier membre de l’équation(15,6) obéit à l’identité de Bianchi linéarisée. Ilen résulte que :

αβ αβ∂T ∂ t------------------- + ----------------- = 0 (15,8)β β∂x ∂x

αβNous pouvons donc appeler t le tenseurd’impulsion-énergie du champ de gravitation d’aprèsce qui a été dit au § 21 du chapitre 8 . Cetenseur est bien symétrique, comme nous l’indiquel’équation (15,7). Le tenseur d’impulsion-énergieαβtotal d’un système sera appelé τ :

αβ αβ αβτ = T + t (15,9)

L’équation (15,8) peut s’interpréter comme unetraduction mathématique possible de la conservationde l’impulsion-énergie totale du système(voir § 7 ). On peut en déduire en particulierl’équation :

--------------- ----------------- -------------iα iα iατ = T + t = 0 (15,10)

-----permettant d’écrire l’équation (8,17) pour τ. Cecijustifie ce qui a été dit au § 21 du chapitre 8 .

D’autre part, on a :

------------- --------------- -----------00 00 00τ = T + t

Reprenons l’exemple du § 12 du chapitre 6 desdeux masses m qui s’attirent gravitationnellementet qui se rapprochent. Lorsqu’elles se rapprochent,les forces intérieures d’attractiongravitationnelle travaillent, ce qui correspond àune perte d’énergie du système. Cette perted’énergie correspond à une perte de masse ∆m par

2∆E = ∆m C et donc également à une diminution dupouvoir attractif par la gravitation de l’ensembledes deux masses. C’est lorsque les deux masses sont-----------

00rapprochées que t se manifeste, et on peutécrire :

------------- --------------- -----------2 00 00 00∆m C = V τ - T = V t < 0

Ainsi l’énergie gravitationnelle est négative, ce

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0qui correspond à une composantes de temps Pnégative pour les gravitons, ceux-ci se manifestantquand les deux masses se rapprochent.

7. Quadrivecteur impulsion-énergie total d’unsystème, y compris la gravitation. - Soit unsystème isolé, c’est à dire inclus dans un domaineαβ

t sur la frontière duquel τ = 0 . Cela estréalisé dès que le champ est suffisamment faibleαβsur cette frontière (t 0) avec égalementαβT = 0 sur la frontière. L’équation (13,19)s’applique alors en remplaçant T par τ et on al’équation de conservation suivante :

⌠α 1 α0 3P = ----------------- τ d x = Cte (15,11)C ⌡ t

αNous pouvons alors interpréter P comme lequadrivecteur impulsion-énergie total du systèmecomprenant toutes les formes de matière etd’interaction, y compris la gravitation. Nousallons voir ci-dessous et au paragraphe suivantαque P a bien toutes les propriétés pour cela.

αβt n’est pas un tenseur, c’est à dire que sescomposantes ne se transforment pas comme celle d’untenseur pour des transformations générales descoordonnées. Cependant les transformations deLorentz de l’arrière plan sont cohérentes avec ladécomposition (15,1) du tenseur métrique en sommeαβdu tenseur de Minkowski et de h . Il en résulteαβque si l’on se restreint à ces transformations, tse comporte comme un tenseur, chacun des termes lecomposant se comportant comme un tenseur (voir lechapitre 14 sur l’approximation linéaire).

Une équation du type (15,11) reliant leα αβquadrivecteur P a un tenseur quelconque τ estcovariante pour les transformations de Lorentz. Eneffet, elle est vrai dans tout référentielαgaliléen, P se transformant comme unαβquadrivecteur, et τ comme un tenseur. Il enrésulte, et sans faire aucun calcul, qu’à chaquefois que l’on mettra un tenseur vis à vis destransformation de Lorentz de l’arrière plan sous lesigne d’intégration dans cette formule, la quantitéαP correspondante se transformera comme unquadrivecteur dans de telles transformations. Il enrésulte donc, compte tenue de la propriété deαβ αtransformation de τ que P défini dans (15,11)est bien un quadrivecteur.

8. L’équation du champ redonne la loi deconservation de l’impulsion de la mécanique de la

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Relativité restreinte. - Supposons maintenant quela matière dans le domaine

t soit divisée en des

sous-systèmes i ; i = 1,n distants les uns desautres : fig. 15.1 .

1 2

i 3

t

n

F i g. 15.1

Supposons qu’entre deux sous-systèmes, le champgravitationnel soit négligeable. Cela revient àsupposer que les sous-systèmes sont tellementéloignés les uns des autres qu’en premièreapproximation, ils n’interagissent pasgravitationnellement. Dans l’espace entre lessous-systèmes, la Relativité restreinte s’appliqueαβdonc, et h = 0 . Nous pouvons alors écrire :

αβ αβ αβ αβh = h 1 + ... + h i +... + h n (15,12)

αβh i est non nul uniquement dans i, etc. lesαβtermes d’interférence entre les différents h icréés par les différents sous systèmes dans leαβcalcul de τ peuvent être négligés, car dès queαβl’un des h i est important, tous les autres sontαβ αβnégligeables. Ainsi, τ est non nul là où un h iest non nul et à cet endroit, ne dépend que de ceterme là. On arrive alors à :

⌠ ⌠α α0 3 α0 3P = τ d x = τ i d x⌡ ⌡i i

α αP = P i = Cte (15,13)i = 1,n

L’un ou plusieurs des sous systèmes peuvent êtreconstitués d’un particule massique ou de massenulle comme un photon, dont le tenseurαβd’impulsion-énergie se réduit à T ; la quantitéαcorrespondante P est alors exactement celle de la

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mécanique de la Relativité restreinte. Ainsi,l’équation du champ nous redonne la loi deconservation de cette quantité. Ceci avait déjà étévu au § 14 du chapitre 13 pour des systèmescontenant toute forme de matière et de champ autreque la gravitation. Ces systèmes étaient d’autrepart supposés avoir une interactiongravitationnelle interne négligeable, car ilsétaient plongés dans un espace-temps plat. Nousétendons ici cette loi au cas où les champsgravitationnels sont suffisamment intenses pourapporter leur contribution à l’intérieur des soussystèmes, au cas de minitrous noirs, desingularités du champ par exemple, ou au casd’étoiles à neutrons. Les systèmes sont encoresupposés ne pas interagir gravitationnellemententre eux tant qu’on écrit (15,12) donc (15,13).

Une particule comme l’électron est supposéeponctuelle dans les théories modernes. Il luicorrespond donc une singularité du champ ou aumoins une région où le champ gravitationnel esttrès intense. Dans ce cas, il est impossible dansα αβP , donc dans τ de distinguer la partieαβ αβgravitationnelle pur t de l’autre partie T .Autrement dit dans la masse de l’électron parexemple, quelle est la partie due au champélectromagnétique? Quelle est la partie due auchamp gravitationnel lui même? L’impossibilité dedistinguer entre les deux, vu de l’extérieur,justifie notre traitement de l’énergiegravitationnelle qui met dans l’équation du champαβ αβT et t exactement sur le même plan. Voir à cesujet, ce qui a été dit au § 1 du chapitre 7 .

On retrouve par la loi précédente qu’un soussystème, quelle que soit sa constitution interne,se déplace en ligne droite et à vitesse constantesauf lorsqu’il s’approche trop près d’un autresous-système, ces deux sous-systèmes interagissantalors gravitationnellement par exemple. Les soussystèmes ne doivent pas interagirgravitationnellement pour qu’on puisse les sépareren différents sous systèmes ayant chacun sonαquadrivecteur P i . Remarquons qu’il nous faut

savoir, pour affirmer cela, que dans tous les cas,αP est colinéaire à la vitesse. Par raison desymétrie, un corps immobile dans son ensemble a unquadrivecteur impulsion-énergie se réduisant à la

0composante P . Lorsque le corps est animé d’unecertaine vitesse, le quadrivecteur se calcul partransformation de Lorentz à partir de sa valeurdans son référentiel propre où il est au repos. Onαest donc assuré, du fait que P est unquadrivecteur, que toutes les formules de lamécanique de la Relativité restreinte sont valable,

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en particulier celles reliant l’impulsion à lavitesse.

On retrouve bien de nouveau, dans le casci-dessus, que l’équation du champ redonne la loidynamique, cette loi étant en accord complet avecla mécanique de la Relativité restreinte telleαqu’elle est exprimée par Σ P i = Cte .

En conclusion, la Relativité générale contientdonc le concept de force de la Mécaniquenewtonienne, en tant que débit d’impulsion,puisqu’elle contient le concept d’impulsion.

Vérifions maintenant qu’on retrouve le fait qu’unsystème localisé décrit une géodésique del’espace-temps : Prenons le cas où le système estbien délimité par un domaine

t en dehors duquel le

champ gravitationnel est dépourvu de toutesingularité et varie d’une manière appréciable surune échelle bien plus grande que

t. On peut alors

prendre un référentiel galiléen englobant

t. Laαconservation de P pour le système considéré dansle référentiel galiléen assurera le fait que lesystème, globalement, décrira une géodésique del’espace-temps (cf § 3 , chapitre 12 ). Nousavons étendu ce qui a été dit au § 14 duchapitre 13 au cas absolument général où lagravitation joue un rôle important dans laconstitution interne du système considéré :l’équation du champ, loi de force, donnecomplètement la loi dynamique, c’est à dire qu’unsystème isolé décrit une géodésique del’espace-temps quelle que soit sa constitution,même si c’est un paquet d’énergie gravitationnellepure par exemple : une onde gravitationnelle.

9. L’équation du champ implique qu’à distance,tout corps est complètement décrit en ce quiconcerne son action gravitationnelle passive et soninertie par un scalaire unique, sa masse m. - Commenous l’avons vu ci-dessus, à un corps globalementimmobile correspond un quadrivecteur

0impulsion-énergie total réduit à P . Pour un telsystème, et compte tenu du fait que :

αβ∂τ----------------------- = 0β∂x

le raisonnement du § 10 du chapitre 8s’applique. Si le système est dans un étatistationnaire ou périodique, et si P = 0 , on a :

----------- ------------ -------------ij i0 00τ = 0 ; τ = 0 ; seul τ ≠ 0

Nous voyons que la seule valeur non nulledans ce cas du quadrivecteur impulsion-énergie

11 369

est :

-------------0 1 00P = ----------------- τ V = m CC

------------- 200 m CEn posant : τ = ----------------------- (15,14)V

Ainsi la masse inerte du corps, celle quiintervient dans le quadrivecteur impulsion-énergieobéissant à l’équation (15,13), est complètementcaractérisée par la seule donnée du nombre :

-------------00τ

αβD’autre part, τ intervient comme source duchamp dans l’équation (15,6) compte tenu de (15,9),et correspond donc à une action gravitationnelleactive. Compte tenu de ce qui est dit ci-dessus surles valeurs moyennes, nous sommes amené à penserque loin d’un corps, l’action gravitationnelle quel’on ressent de la part de celui-ci ne dépend pasαβdes composantes de τ dont les valeurs moyennessont nulles et ne dépend que de la valeur moyenne

00de τ . Ainsi, l’action gravitationnelle actived’un corps, loin de celui-ci est caractérisée parun scalaire unique, sa masse gravitationnelleactive égale à sa masse inerte. Nous étendons ainsice qui a été dit au § 13 du chapitre 13 au casoù la gravitation intervient elle-même comme sourcede champ et d’inertie.

Certe, un astre tournant comme au § 11 duchapitre 14 a bien un effet autre que celui dû àsa masse, mais cet effet devient rapidementnégligeable lorsque la distance augmente, lesdistances internes au système nécessaire pour créerl’effet devenant négligeables par rapport à ladistance du système au point d’observation.

On a bien dans l’exemple du § 12 du chapitre 14t+ - t- = Cte , mais comme la période augmente enfonction de la distance du satellite, lorsquecelui-ci est suffisamment loin, et pour unintervalle de temps donné, la différence decomportement pour la rotation dans un sens ou dansl’autre est négligeable.

Souvenons nous maintenant que le fait quel’équation du champ nous donne pour trajectoire desparticules des géodésiques de l’espace-temps,correspond au principe d’équivalence, et assurel’identité entre masse inerte et massegravitationnelle passive. Nous appelons massepassive, celle qui caractérise comment un corps estsensible à un champ gravitationnel. Ainsi, nous

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arrivons au fait que l’équation du champ, donc laRelativité générale, implique l’identité de cestrois masses, ce qui restait un mystère engravitation newtonienne. Nous démontreronsrigoureusement l’identité de la massegravitationnelle active et de la masse inerte, doncl’identité de ces trois masses au § 14 de cechapitre, et au § 6 du chapitre 16 .

Notons que dans le cadre de la gravitationnewtonienne, l’identité entre les massesgravitationnelles actives et passives correspond àla conservation de l’impulsion totale pour les deuxmasses en interaction, donc au principe de l’actionet de la réaction. L’équation du champ nous donnecette conservation de l’impulsion, il est naturelqu’elle nous donne également cette identité.

10. Partage entre l’énergie gravitationnelle etles autres formes d’énergie. - Le partage de

0 00 3l’énergie P = 1/C ∫ τ d x en une énergie00 3gravitationnelle 1/C ∫ t d x et une énergie de

00 3matière et des autres champs 1/C ∫ T d x n’estpas canonique et dépend du choix des coordonnées.iUne modification des coordonnées d’espace x sansmodification de la coordonnée temporelle ne modifie-- ----- ----

00 00 0 0 00 00pas T ; en effet T = Λ Λ T = T .0 0

Cependant, dans la mesure où lescoordonnées redonnent la métrique deMinkowski à l’infini, à l’intérieur d’unastre par exemple, on peut prendre de nouvellesicoordonnées y dilatées ou contractées aveci iy = λ x avec λ 0 à l’infini.

3 3 3 1 ⌠ 00 3d y = λ d x et ----------------- T d yC ⌡

3 1 ⌠ 00 3= λ ----------------- T d xC ⌡00Par contre, ∫ τ ne dépend pas du choix des

coordonnées utilisées pour le calculer! On peut eneffet (§ 13 ) montrer que l’on peut calculer cetteintégrale par une intégrale de surface loin ducorps. Or, à l’infini, on doit retrouver lamétrique de Minkowski.

11. Localisation de l’énergie gravitationnelle. -Sur la formule (15,6) donnant t , on voit qu’enαβespace vide, c’est à dire lorsque T = 0 , leαβtenseur d’impulsion-énergie du champ de gravitationse réduit aux termes du premier ordre en h pourαβle tenseur de courbure. Si l’on fait un calcul dansle cadre de l’approximation linéaire, c’est à direen considérant que la gravitation newtonienne est

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valable par exemple, ce tenseur est égalementconsidéré comme nul. On voit donc que dans l’espacevide en dehors des masses créant le champ,t = 0 . Par contre, là ou T ≠ 0 et lorsque ceαβ αβtenseur est important, le tenseur d’Einstein estnon nul et peut être important, et t ≠ 0 .αβ

Si l’on considère une situation où un ensemble demasses placées dans le vide interagissent, il fautbien voir que notre traitement de l’énergiegravitationnelle localise cette énergie là où il ya des masses. Dans l’espace vide, l’énergiegravitationnelle est pratiquement nulle. Notretraitement est donc complètement différent de celuique l’on fait en électrostatique par exemple. Dansce dernier cas, on sait que l’on considère quel’énergie est localisée dans l’espace entre les

2charges avec la densité ε0 E / 2 . Essayons dejustifier physiquement cela : nous avons vu que lefait que deux masses s’attirent est lié à la nonlinéarité de l’équation du champ là où se situentles masses. L’énergie gravitationnelle qui est unmoyen de décrire cette attraction est doncnaturellement localisée là où sont les masses; làoù il y a une singularité du champ.

Considérons en électrostatique une chargeponctuelle. Le champ électrique que cette chargecrèe devient infini au voisinage de la charge,quand r 0 . Il correspond donc également unedensité d’énergie très forte (infinie) sur lacharge. Cependant, nous évacuons cela enrenormalisant la masse. On dit que compte tenu dela relativité, à cette énergie infinie au voisinagede la charge, correspond une masse infinie. Onaffirme alors qu’il doit exister une énergienégative d’un autre type également très grande oùinfinie qui compense exactement la masse infinied’origine électrostatique, pour donner une massetotale finie. Nous évacuons donc l’intégrale de

2ε0 E / 2 , E étant le champ créé par la charge.pour le calcul de l’énergie de la particule, doncde sa masse. La masse est une donnée faisantréférence à toutes les énergies liées à laparticule.

Lorsque nous envisageons l’énergie d’interactionde deux particules chargées, on évalue alors lavariation de l’énergie correspondant au termed’interférence entre les champs électriques crééspar les deux particules. Les termes correspondant àchaque particule seule qui ne varient pas suivantla séparation des particules sont évacués enconsidérant qu’ils sont pris en compte lorsque l’onconsidère les masses des particules :

E = E1 + Einteraction + E2

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⌠ 2 ⌠ ⌠ 2E1 E2E = ε ----------------- dv + ε0 E1.E2 dv + ε0 ----------------- dv0 2 21 ⌡ 1 ⌡ 1 ⌡ 11 1 1 1m---------------------------------------------------------------------. m---------------------------------------------------------------------.

∞ ∞Ainsi, on élimine des infinis en les incorporant

dans les masses des particules, et on garde leterme fini. Il s’agit déjà, dans le cadre del’électromagnétisme classique, d’un procédé derenormalisation qu’on retrouve en électrodynamiquequantique. Notons à ce propos qu’il se pose unproblème de localisation de cette énergierenormalisée, suivant qu’elle est affectée sur laparticule où dans l’espace vide là où règne lechamp électrique. La gravitation créée ainsi parl’équation du champ est elle la même? D’autre part,si la particule se met à bouger, il doit en être demême instantanément pour son champ électrostatiquecorrespondant à sa masse! Cette propagationinstantanée à distance a t’elle un lien avec cettenon localité que l’on voit apparaitre si souvent enphysique? Comme pour l’effet Mössbauer qui estrendu possible grâce au principe d’incertitude.

Revenons maintenant à notre problème delocalisation de l’énergie. En Relativité générale,nous ne pouvons pas évacuer l’énergie très grandelocalisée sur la particule, car elle correspond àla très forte non linéarité de l’équation du champsur la particule qui est la clé de la bonnedescription des phénomènes. La Relativité généralepermet en effet de retrouver dans son cadre lanotion de particule en tant que singularité duchamp, ce que ne permet pas du toutl’électromagnétisme! La Relativité générale permetdonc d’une certaine manière d’aller sonder àl’intérieur des particules où elle reste valable.

On peut dire d’ailleurs qu’on voit là unepossibilité de solution au problème de larenormalisation de la masse en électromagnétisme,car cette très grande énergie gravitationnellelocalisée sur la particule doit être négative commenous l’avons vu au § 6 .

En conclusion : en électrostatique, l’énergie estlocalisée dans le vide, en gravitation, àl’intérieur des particules. Il nous faut acceptercela, car la localisation de l’énergie d’une chargehors de cette charge en électrostatique, pose,comme nous l’avons vu ci-dessus certains problèmes

De toute façon, il est clair qu’en Relativitégénérale, on ne peut pas traiter l’énergie comme enélectrostatique. En électrostatique, si nous avonsdeux charges q1 et q2, le champ est :

E = E1 + E2

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Il en résulte que l’énergie d’interaction faitintervenir E1 . E2 . En gravitation, l’énergied’interaction des deux masses est liée au fait queles deux masses rapprochées attirent moins que lasomme de l’attraction de chaque masse priseisolément. On a donc :

g ≠ g1 + g2

Il n’y a plus de sens à faire intervenir un termed’interférence g1 . g2 .

12. Nouvelle expression pour le tenseurd’Einstein au premier ordre. - Nous introduisons letenseur d’ordre trois Q :

µ µ∂h ∂h µαλαβ 1 µ λβ µ αβ ∂h λβQ = --------------- ----------------------- η - ---------------------- η - ----------------------- η2 ∂x ∂x µα λ ∂x

µλ αβ λβ∂h αβ ∂h ∂h + ---------------------- η + ----------------------- - -----------------------µ ∂x ∂x ∂x λ α

λαβ 1 µ,α λβ µ,λ αβ µα λβQ = --------------- h η - h η - h η, λ 2 µ,λ µ,λ , µλ

µλ αβ αβ,λ λβ,α + h η + h - h, µλ , λ , λ

1 µ,αβ µ,λ αβ µα,β µλ αβ αβ,λ λβ,α= --------------- h - h η - h + h η + h - h (15,15)2 µ µ,λ , µ , µλ , λ , λ ( 1 ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) ( 6 )

D’autre part, l’équation (14,5) s’écrit :

1 - ,γ - ,γδ - ,γ - ,γ G = --------------- h + η h - h - hab 2 ab,γ ab γδ aγ,b γb,a

(1)αβ 1 αβ,γ 1 αβ ,γ αβ γδG = --------------- h - --------------- η h + η h2 , γ 2 ,γ ,γδ1

(5 ) ------------------- ( 2 ) ( 4 )2

1 αβ γδ αγ,β 1 αγ ,β- --------------- η η h - h + --------------- η h2 ,γδ , γ 2 ,γ1 1------------------ ( 2 ) ( 3 ) ------------------ (1 )2 2

γβ,α 1 γβ ,α- h + --------------- η h, γ 2 ,γ

1(6 ) --------------- ( 1)2

16 374

On voit donc que :

(1)αβ (1)αβ 1 αβ (1) ∂ λαβG = R - --------------- η R = ---------------- Q (15,16)2 λ∂x

λαβOn voit sur l’expression de Q que ce tenseurest antisymétrique par rapport aux deux premiersindices. Il en résulte les identités de Bianchilinéarisées que nous avons déjà vues :

( 1 )αβ λαβ αλβ λαβ∂G ∂Q ∂Q ∂Q---------------------------------------- = ------------------------------------------- = - -------------------------------------------- = - ------------------------------------------- = 0α α λ λ α α λ∂ x ∂x ∂ x ∂x ∂x ∂x ∂ x

λαβNous avons utiliser l’antisymétrie de Q , lefait que l’on peut intervertir l’ordre desdérivées, et le fait que α et λ sont des indicesmuets dont on peut permuter les appellations.

On retrouve alors le fait que :

∂ (1)αβ 1 αβ (1) ----------------- R - --------------- η R = 0α 2 ∂x

13. Le quadrivecteur impulsion-énergie, comme uneintégrale sur une surface englobant le système. -Il résulte de la propriété précédente, que nouspouvons trouver une formule donnant lequadrivecteur impulsion-énergie avec une intégralesur la surface d’un domaine quelconque englobant lesystème étudié. Cette surface peut être prisesuffisamment éloignée du système pour que leαβtenseur h soit faible. Elle sera donc pratiquepour calculer numériquement ce quadrivecteur. Nousavons :

(1)αβ 1 αβ (1) 8 π G αβ ∂ λαβR - --------------- η R = - ----------------------------- τ = ---------------- Q (15,17)2 4 λC ∂x

⌠ 3 ⌠α 1 α0 3 C ∂ λα0 3P = ----------------- τ d x = - ----------------------------- ---------------- Q d xC 8 π G λ⌡ ⌡ ∂xV V

3 ⌠α C iα0 iP = - ----------------------------- Q dS (15,18)8 π G ⌡Si = 1,3

λ = 0 donne un terme nul; en effet sur (15,15),λα0 λ0αon voit que Q = Q . Il vient :, λ , λ0α0 00αQ = Q = 0 à cause de l’antisymétrie de Q par, 0 ,0

rapport à ses deux premiers indices.

17 375

Nous avons ensuite transformé l’intégrale devolume en intégrale de surface par le théorème deStokes dans l’espace à trois dimensions.

Appliquons cette formule au calcul de l’énergie0P :

µi 00i00 1 ∂h 00 ∂h 00 ∂h Q = --------------- - ---------- η + ------------------- η + -------------- (15,19)2 ∂x µ ∂x i ∂x i

En effet, en supposant la source du champ0i 0stationnaire : ∂h / ∂x = 0 , et :

jj iji00 1 ∂h ∂h Q = ------------- - ---------------- + ---------------- (15,20)2 i j ∂x ∂xj = 1,3

3 ⌠ jj ij0 C ∂h ∂h iP = ------------------------------------ + ---------------- - ---------------- dS (15,21)16 π G i j ⌡ ∂x ∂x

i = 1,3j = 1,3

Nous allons utiliser cette formule dans leparagraphe suivant en calculant l’énergie d’unastre suffisamment petit pour que l’approximationlinéaire soit valable partout :

14. Calcul effectif d’une énergie . - Rappelonsαβles valeurs des termes du tenseur h en fonctiondu potentiel newtonien φ .

ii 00 2 φh = h = h = h = ------------------ii 00 2C

D’autre part, nous prendrons comme surfaced’intégration, la surface d’une sphère de rayon r.

Pour évaluer l’élément à intégrer en un point Mde la surface, choisissons localement l’axe des xparallèle et de même sens que le rayon OM . On aalors x = r et, Ω étant l’angle solide

2dS = r dΩ .

jj ij jj xj ∂h ∂h i ∂h ∂h + ---------------- - ---------------- dS = + ---------------- - ------------------ dS (15,22) i j ∂x j ∂x ∂x ∂xi jj

On a également localement :

jj ∂h 6 ∂φ---------------- = ---------------- ---------------- ∂x 2 ∂ rCj

18 376

xj xx ∂h ∂h 2 ∂φ------------------ = --------------- = ---------------- ----------- j ∂x 2 ∂ r∂x Cj

3 ⌠0 C 4 ∂φ 2P = ------------------------------------ ---------------- ----------- r dΩ16 π G 2 ∂ r⌡ C

S

0 C ∂φ 2 C G M 2P = ------------------ ----------- r = ------------------ ------------------------------- rG ∂ r G 2r

0P = M C (15,23)

Lorsque nous avons remplacé ∂φ/∂r par sa valeurfaisant intervenir M, M est bien à l’origine duchamp gravitationnel. Ceci par l’équation du champ(14,13) donnant la métrique (14,15). On a vu au§ 15 du chapitre 12 que cette métrique donne bienla bonne loi de mouvement. M est donc bien la massegravitationnelle active de Newton. On voit d’autrepart sur la formule ci-dessus (15,23) et comptetenu de ce qui a été dit au § 8 , que M est lamasse inerte de la Relativité restreinte.

Nous montrons bien dans cet exemple l’identité deces deux masses. Nous sommes dans un cas où lagravitation est faible partout, puisque nous avonsutilisé l’approximation linéaire. Nous verrons auchapitre suivant dans le cas d’un astre sphériquecréant un champ qui peut être aussi grand qu’onveut, que l’on a encore cette identité. Nousverrons au § 11 du chapitre 17 que dans la valeurde M intervient pour une part l’énergiegravitationnelle elle-même.

Nous avons déjà vu au paragraphe 4 duchapitre 12 avec l’équation (12,5) qu’il y aégalité entre masse inerte et massegravitationnelle passive. Il y a donc identitéentre les trois masses : masse inerte, massegravitationnelle active, et masse gravitationnellepassive.

Rappelons ici ce qui a été dit à la fin du § 9 :l’égalité entre la masse gravitationnelle passiveet la masse gravitationnelle active correspond auprincipe de l’action et de la réaction pour lesforces gravitationnelles. Une inégalité entre cesdeux masses violerait ainsi la conservation duquadrivecteur impulsion-énergie. Ainsi, laRelativité générale obéit bien au principe del’action et de la réaction.

19 377

378

Chapitre seize

LA SOLUTION DE SCHWARZSCHILD

1. Introduction. - L’équation du champ, à causede sa non linéarité, est difficile à résoudre etl’on en connait peu de solutions exactes. Cependanten imposant des conditions de symétries surl’élément linéaire, dictées par des argumentsphysiques, on peut grandement la simplifier danscertains cas. Un tel cas correspond au champgravitationnel créé par un astre à symétriesphérique immobile et sans rotation par rapport auxgalaxies lointaines. La solution exacte del’équation du champ dans ce cas fut trouvée parSchwarzschild en 1916 . Cette solution estparticulièrement importante, car elle correspond auproblème astronomique classique du champ créé parun seul corps et au potentiel en - 1/r quipermit à Newton de retrouver tous les résultatsexpérimentaux de Kepler (déduits des observationsde Tycho Brahé) sur les orbites des planètes.

Nous verrons ensuite, que trois des plusimportantes vérifications de la Relativitégénérale : la déviation de la lumière, l’avance dupérihélie de Mercure, et le retard des échosradars, reposent sur cette solution qui joue doncun rôle central. La déviation de la lumière etl’avance du périhélie de Mercure furent d’ailleurspendant très longtemps les seules vérificationsexpérimentales de la Relativité générale.

2. Forme de l’élément linéaire imposée par lesconditions de symétrie. - Le champ gravitationnelcréé par l’astre est constant (cf § 14 ,chap 12 ). Nous savons que cela correspond àl’invariance de l’élément linéaire par le

0 0changement de u en - u , donc à g = 0 . Il0i

vient :

2 0 2 i jds = g (du ) + g du du00 ij

Les g sont indépendants de la coordonnéeij0temporelle u . Par raison de symétrie, deux

géodésiques de l’espace à trois dimensions (quenous appelons des droites) issues de l’origine Ocentre de l’astre, font un angle qui, vu par un

1 379

observateur local, est indépendant de la distance àl’origine. Cet angle correspond en effet à unefraction de tour qui ne dépend pas de la distance àl’origine. L’espace est en effet isotrope autour del’astre et tout le monde est d’accord sur ce quesignifie un tour complet redonnant donc la mêmeposition, et correspondant à 2 π radiants. Nousutiliserons donc comme coordonnées, les angles descoordonnées polaires de l’espace : α la latitude etθ la longitude dont la signification ne pose pas deproblème.

A cause de l’isotropie de l’espace, un changementde α en - α ou de θ en - θ ne change pasl’élément linéaire. Il n’y a donc pas de termes dela forme dr dα , dr dθ , et dθ dα . L’élémentlinéaire est donc nécessairement diagonal :

2 2 2 2 2 2 2 2 2ds = A C dt - B dr + C r dα + D r cos α dθ

Attention, la constante C n’a ici rien à voiravec la vitesse de la lumière.

La signature de l’élément linéaire, le signe quenous lui donnons et la signification de lacoordonnée t qui représente un temps, imposent queA, B, C, D, soient positifs.

Nous savons, cf § 14 du chapitre 12 , que t estun temps d’univers. Une valeur de t fixée définidonc une simultanéité globale à laquelle correspondun espace physique à trois dimensions. Si nouspouvons avoir A = 1 à l’infini, t sera le tempsmesuré par une horloge étalon située à l’infini.

A cause de la symétrie sphérique, les fonctionsA, B, C, D, ne doivent dépendre que de r. Lesymbole A’ par exemple signifiera alors : dérivéede A(r) par rapport à r. A cause de cette symétrieégalement, la distance dl = r dα depuis le pôlenord est égale à la distance dl = r dθ àl’équateur (α = 0) pour dα = dθ ; et :

2 2 2 2 2 2ds = - dl = - C r dα = - D r dθ

On en déduit que C = D .

2 2 2 2 2 2 2 2 2ds = A C dt - B dr - C r dα + r cos α dθ

Il est possible d’obtenir une simplificationsupplémentaire par un choix judicieux de lacoordonnée radiale r. Prenons :

----------------r = r √ C(r) (16,1)

2 380

2 -2C r = r

’ 2 - -C r dr + 2 C r dr = 2 r dr

C ’ - -C r dr 1 + ------------------- r = r dr 2 C

22 C ’ -2C dr 1 + ------------------- r = dr 2 C

-22 B dr - -2B dr = ----------------- ------------------------------------------------------------------ = B drC 2 C’ r 1 + ---------------------- 2 C

-Grâce à cette équation et à (16,1) B peut être-exprimé en fonction de r. -L’équation (16,1) nous montre alors que C = 1 .Renommons alors les coordonnées barrées encoordonnées non barrées, nous arrivons avec cesnouvelles coordonnées à :

2 2 2 2 2 2 2 2ds = A C dt - B dr - r dα + cos α dθ (16,2)

La coordonnée r a une signification physiquesimple et directement accessible à l’expérience.En effet, sur une sphère centrée sur l’astre :

2 2 2 2 2 2ds = - dl = - r dα + cos α dθ

Pour un grand cercle sur cette sphère défini pardθ = 0 : dl = r dα et pour un tour, c’est à direpour une circonférence du cercle, l = 2 π r .

A une certaine distance de l’astre, on mesuredonc la valeur de la cordonnée r en mesurant avecune règle étalon la longueur de la circonférence enfaisant un tour complet en restant à la mêmedistance de l’astre. La méthode est la même qu’enespace euclidien. Il faut voir par contre quecontrairement au cas de l’espace euclidien, lacoordonnée r ne donne pas la longueur effective surun rayon depuis O le centre de l’astre jusqu’aupoint considéré. A cause de la contraction deslongueurs au voisinage de l’astre (cf § 9 ,chap 7 ), la distance physique au centre que l’onmesure avec des règles étalons locales estcertainement supérieure à r!

Les composantes non nulles du tenseur métrique

3 381

sont :

2 2 2 2g = A C ; g = - B ; g = - r ; g = - r cos αtt rr αα θθ

Ce tenseur étant diagonal, on a tout de suite :

tt 1 rr 1 αα 1 θθ 1g = ------------------------ ; g = - ----------------- ; g = - --------------; g = - ---------------------------------2 B 2 2 2A C r r cos α

Notons bien ici que nous prenons comme coordonnéetemporelle le temps t, comme le précise l’indice t,ce qui entraine une homogénéité bien précise pourles composantes du tenseur métrique et les symbolesde Christoffel. Ainsi :

tt 1 ijη = ---------------- η = - 12C

3. Calcul des symboles de Christoffel. - Lesseuls symboles non nuls sont :

r 1 rr 1 1 Γ = --------------- g g = --------------- - ----------------- ( - B’)rr 2 rr,r 2 B

r B ’Γ = -------------------rr 2 B

r 1 rr 1 1 Γ = --------------- g - g = --------------- - ----------------- 2 rαα 2 αα,r 2 B

r rΓ = - -----------------αα B

r 1 rr 1 1 2Γ = --------------- g - g = --------------- - ----------------- 2 r cos αθθ 2 θθ,r 2 B

r r 2Γ = - ----------------- cos αθθ B

r 1 rr 1 1 2Γ = --------------- g - g = --------------- - ----------------- (- A’ C )tt 2 tt,r 2 B

2r A’ CΓ = -----------------------------tt 2 B

α α 1 αα 1 1 Γ = Γ = --------------- g g = --------------- - -------------- ( - 2 r)r α αr 2 αα,r 2 2 r

α α 1Γ = Γ = ---------------r α αr r

4 382

α 1 αα Γ = --------------- g - gθθ 2 θθ,α

1 1 2 = --------------- - -------------- - 2 r sin α cos α2 2 r

αΓ = sin α cos αθθ

θ 1 θθ 1 1 2Γ = --------------- g g = --------------- - -------------------------------------- (- 2 r cos α)θr 2 θθ,r 2 2 2 r cos αθ θ 1Γ = Γ = ---------------θr rθ r

θ 1 θθ 1 1 2Γ = --------------- g g = --------------- - --------------------------------- (2 r sinα cosα)θα 2 θθ,α 2 2 2 r cos αθ θΓ = Γ = - tg ααθ θα

t t 1 tt 1 1 2Γ = Γ = --------------- g g = --------------- ------------------------ A’ Ctr rt 2 tt,r 2 2A C

t t A ’Γ = Γ = ---------------------tr rt 2 A

Récapitulons :

r B ’ r r r r 2Γ = ---------------------- Γ = - --------------- Γ = - -------------------- co s αrr 2 B αα B θθ B

2r A ’ C α 1 αΓ = --------------------------------- Γ = ------------ Γ = s i n α cosα (16,3)t t 2 B r α r θθ

θ 1 θ t A ’Γ = ---------------------- Γ = - tg α Γ = ---------------------θr r θα t r 2 A

4. Calcul des composantes du tenseur de Ricci. -Le tenseur de Ricci s’obtient avec lesformules (11,29) et (11,14). En remplaçant jet l par α et β et h par µ, cela donne :

λ λ∂Γ ∂Γαλ αβ µ λ µ λR = ------------------------ - ------------------------ + Γ Γ - Γ Γ (16,4)αβ β λ αλ µβ αβ µλ∂u ∂u

Attention, l’indice courant α n’a rien à voiravec l’angle α des coordonnées polaires del’espace. Dans la suite la même notation α est

5 383

utilisée pour ces deux significations différentes.Le contexte permet à chaque fois sans ambiguïté desavoir quelle signification est à donner à α.Lorsqu’il s’agira de α angle polaire, la répétitionde l’indice n’implique bien sur aucune sommation,contrairement au cas de α indice courant.

Nous aurons besoin de l’expression :

λ t r α θ A ’ B ’ 2Γ = Γ + Γ + Γ + Γ = --------------------- + ------------------- + ---------------rλ rt rr r α rθ 2 A 2 B r

λCalculons R ; par abus de language, u serarrnotée λ :

1 2 3 4

λ λ∂Γ ∂Γr λ r r µ λ µ λR = ----------------------- - --------------------- + Γ Γ - Γ Γrr ∂ r ∂λ rλ µr r r µλ

2 2A ’ ’ A ’ B ’ ’ B ’ 2(1) = --------------------- - ------------------------- + ------------------- - ----------------------- - --------------2 A 2 2 B 2 22 A 2 B r

2B ’ ’ B ’(2) = - ------------------- + -------------------2 B 22 B

2 B ’ µ = r ⇒ λ = r ⇒ --------------------- 2 B 2 1 µ = α ⇒ λ = α ⇒ --------------------- r (3) =

2 1 µ = θ ⇒ λ = θ ⇒ --------------------- r 2 A ’ µ = t ⇒ λ = t ⇒ --------------------- 2 A

B ’ A ’ B ’ 2 (4) = - ------------------- --------------------- + ------------------- + ---------------2 B 2 A 2 B r

A ’ ’ 1 A’ A’ B’ 1 B’R = --------------------- - --------------- ----------------- ----------------- + ---------------- - --------------- ----------------rr 2 A 4 A A B r B

λ λ∂Γ ∂Γt λ t t µ λ µ λR = ----------------------- - -------------------- + Γ Γ - Γ Γtt ∂ t ∂λ t λ µt t t µλ

0 1 2 3

6 384

2 2A’’ C A’ B ’ C(1) = - ------------------------------- + ------------------------------------------2 B 22 B

r t t r(2) = Γ Γ + Γ Γtt rt tr tt

2 2A’ C= + 2 ------------------------------------4 A B

2A’ C A ’ B ’ 2 (3) = - ----------------------------- --------------------- + ------------------- + ---------------2 B 2 A 2 B r

2 2 2A’’C 1 A ’ C A’ B’ 1 A ’ CR = - ---------------------------- + --------------- ---------------------- ----------------- + ---------------- - --------------- ----------------------tt 2 B 4 B A B r B

1 2 3 4

λ λ∂Γ ∂Γαλ αα µ λ µ λR = ------------------------- - ------------------------- + Γ Γ - Γ Γαα ∂α ∂λ αλ µα αα µλ

1 1 r B’(1) + (2) = - -------------------------- + ----------------- - ------------------

2 B 2cos α B

r α α r θ θ(3) = Γ Γ + Γ Γ + Γ Γαα r α αr αα αθ θα

r 1 2= - 2 ----------------- --------------- + tg αB r

r A ’ B ’ 2 (4) = ----------------- --------------------- + ------------------- + ---------------B 2 A 2 B r

r A’ B’ 1R = - 1 + ---------------- ----------------- - ---------------- + -----------------αα 2 B A B B

λ λ∂Γ ∂Γθλ θθ µ λ µ λR = ----------------------- - ----------------------- + Γ Γ - Γ Γθθ ∂θ ∂λ θλ µθ θθ µλ

0 1 2 3

1 2 r B’ 2 2 2(1) = ----------------- cos α - ------------------ cos α - cos α + sin αB 2B

r θ θ r θ α α θ(2) = Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γθθ rθ θr θθ θα θθ θθ αθ

7 385

r 2 1= - 2 ----------------- cos α --------------- - 2 tg α sin α cos αB r

r 2 A ’ B ’ 2 (3) = + ----------------- cos α --------------------- + ------------------- + ---------------B 2 A 2 B r

- sin α cos α - tg α

On trouve :

2R = cos α Rθθ αα

D’autre part :

R = 0 pour α ≠ βαβ

Le fait que R , R , R , R , R , soient nulsrα rθ tα tθ αθ2et que R = cos α R est la conséquence deθθ αα

l’invariance de la métrique pour une rotationquelconque autour de l’origine. Le fait que Rrtsoit nul est la conséquence de l’invariance de lamétrique par la transformation t - t.

5. Résolution de l’équation du champ. - Nousrésolvons cette équation dans l’espace vide autourde l’astre, donc elle s’écrit :

R = 0αβ

Nous voyons qu’il suffit d’annuler R , R ,rr ααR ; d’autre part :tt

R Rr r t t 1 A’ B’ ------------------ + ---------------------- = - ---------------- ----------------- + ----------------B 2 r B A B A C

Nous obtenons donc l’équation :

A’ B’----------------- = - ---------------- soit : A B = CteA B

Nous devons imposer à la métrique de devenircelle de Minkowski à l’infini; donc à l’infiniA = B = 1 et :

1A = -----------------B

Il nous reste à annuler R et R . Utilisonsrr ααla relation précédente, il vient :

8 386

R = - 1 + r A’ + AααR ’A ’ ’ 1 A’ ααR = --------------------- + --------------- ----------------- = ----------------------------------rr 2 A r A 2 r A

Nous voyons que sur les trois équations, deuxseulement sont indépendantes. Il nous suffit doncd’annuler R :αα

Cte(r A)’ = 1 ⇒ r A = r + Cte ⇒ A = 1 + ----------------r

Pour fixer la constante d’intégration, nousutilisons le fait qu’à grande distance la

2composante g doit être voisine de 1 + 2 φ/C , φttétant le potentiel newtonien : φ = - G M/r ; M estla masse gravitationnelle active de l’astre. Il

2vient Cte = - 2 G M/C et :

2 G M 1A = 1 - --------------------------------- ; B = --------------------------------------------------------------2 2 G Mr C 1 - ---------------------------------

2r C

2 2 G M 2 2 1 2ds = 1 - --------------------------------- C dt - --------------------------------------------------------- dr 2 2 G Mr C 1 - ---------------------------------2r C (16,5)

2 2 2 2 2- r dα - r cos α dθ

Tel est l’élément linéaire, solution exacte del’équation du champ, trouvé par Schwarzschild. Nousavons calculé la solution de Schwarzschild oumétrique de Schwarzschild.

6. La masse gravitationnelle pour la solution deSchwarzschild est égale à la masse inerte. - Nousutilisons la formule (15,22) pour faire le calcul.Plaçons nous loin de l’astre, là ou φ est faible,et utilisons les coordonnées suivantes que nousappellerons quasi-galiléennes. Elles redonnent lescoordonnées galiléennes types quand les effets dela Relativité générale deviennent négligeables.

x = r cosα cosθ ; y = r cosα sinθ ; z = r sinα

2 2 2 2r = x + y + z ; r dr = x dx + y dy + z dz

2 2 2 2 2 2 2 2 2dx + dy + dz = dr + r dα + r cos α dθ

9 387

Pour évaluer l’élément à intégrer, nous pouvonsutiliser le fait que l’élément linéaire garde lamême forme pour une rotation des axes deicoordonnées x . Au point M où on évalue l’élément,nous pouvons choisir l’axe des x parallèle auvecteur dS, de telle sorte que : x = r ,y = z = 0 . L’élément devient :

jj xj ∂h ∂h 2---------------- - ------------------ r dΩ ∂x j ∂xj = 1,3

2 2 2 2ds = A C dt - dl

Avec loin de l’astre :

2 2 φ 2 2 2 2 2 2- dl = - 1 - ------------------ dr - r dα - r cos α dθ 2 C

22 2 2 φ (x dx + y dy + z dz) 2 2 2 2- dl = - dr + ------------------ --------------------------------------------------------------------------------------------------- + dr - dx - dy - dz

2 2C r

2 2ij i j 2 φ 2 y 2 z 2 yh dx dx = ------------------ (dx + -------------- dy + -------------- dz + 2 --------------- dx dy2 2 2 xC x x

z y z+ 2 --------------- dx dz + 2 --------------- dy dzx 2x

jj ∂h 2 ∂φ---------------- (y = z = 0) = ---------------- ---------------- ∂x 2 ∂ rCj

u o u oxj 1 1 1 1 ∂h ∂ 1 2 φ 1 ∂ 1 2 φ y 1- ----------------------- = - ---------- 1 ------------------ 1 - ---------- 1 ------------------ ---------------1 j ∂x 2 1 ∂y 2 x∂x 1 C 1 1 C 1j m . m .

u o1 1∂ 1 2 φ z 1- ---------- 1 ------------------ --------------- 1∂z 2 x 11 C 1m .

2 ∂φ 4 φ= - ---------------- ----------- - -----------------------2 ∂ r 2C C r

3 ⌠0 C 4 φ 2 G MP = ------------------------------------ - ---------------------------- r dΩ ; avec φ = - ---------------------16 π G 2 r⌡ C rS

0P = M C (16,6)

10 388

Nous avons donc démontré l’égalité de la massegravitationnelle active et de la masse inerte dansun cas où la gravitation peut être forte et oùl’approximation linéaire ne s’applique pas. Dans untel cas, le champ de gravitation lui-même contribueeffectivement pour une part à la masse (voirégalement à ce sujet le § 11 du chapitre 17 ).

7. La singularité de Schwarzschild. - Pour2 2rs = 2 M G/C , le coefficient de dr devient

2infini et celui de dt devient nul. Le nombre rss’appelle le rayon de Schwarzschild et la surfacer = rs la surface de Schwarzschild.

Il faut remarquer tout d’abord que pour tous lesastres stables, comme nous le verrons plus loin,cela ne pose pas de problème. En effet, et mêmepour les astres les plus compactes, les étoiles àneutrons, le rayon de Schwarzschild est inférieurau rayon de l’étoile. Ainsi, pour le Soleil, cerayon vaut environ 3 km. La discontinuité seraitdonc située à l’intérieur de l’étoile, là oùjustement la solution que nous avons trouvé, quiest une solution de l’équation du champ dansl’espace vide, ne s’applique plus. En fait, nousverrons en résolvant au chapitre suivant l’équationdu champ à l’intérieur de l’astre, qu’il ne seprésente pas de discontinuité. Le problème de ladiscontinuité de Schwarzschild ne peut donc seposer que pour des astres en train de s’effondreren trou noir. Nous aboutirons nécessairement à detels objets au § 10 du chapitre 17 .

Le théorème de Birkhoff (voir § 29 duchapitre 18 ), que nous ne démontrons pas dans celivre, affirme que toute distribution de matière àsymétrie sphérique et sans rotation d’ensemble mèneà l’extérieur à l’élément linéaire de Schwarzschildmême si la matière créant le champ n’est pasimmobile. Une étoile s’effondrant en gardant lasymétrie sphérique mène donc à l’extérieur àl’élément linéaire de Schwarzschild qui estconstant. Cela prouve qu’un tel effondrement necrèe pas d’ondes gravitationnelles. Envisageant untel collapse dont nous verrons au § 16 de cechapitre qu’il n’est jamais achevé vu del’extérieur, il est donc raisonnable de penser quel’élément linéaire garde un sens physique au moinsaussi près qu’on veut de la surface deSchwarzschild et d’étudier les conséquences decette discontinuité.

La question que l’on doit se poser est de savoirs’il s’agit d’une vraie discontinuité physique, ousimplement d’un mauvais choix des coordonnées à cetendroit là de la variété différentiable. Ainsi, aupôle d’une sphère, la coordonnée θ (longitude) n’apas de valeurs précises. Une manière de vérifier

11 389

que la sphère ne présente pas de discontinuité aupôle, est d’étudier le tenseur de courbure et lacourbure scalaire. Ces quantités restenteffectivement continues aux pôles.

Il en est de même pour la surface deSchwarzschild sur laquelle le tenseur de courbureest continu. Nous sommes donc amenés à penser qu’ils’agit plus d’un mauvais choix des coordonnéesplutôt que d’une vrai discontinuité physique.Ainsi, cela doit avoir un sens d’étudier cettesurface et son intérieur.

2La discontinuité du coefficient de dr neprésente pas de difficulté. Imaginons le modèled’une surface à trois dimensions ayant la formeindiquée sur la figure 16.1 . En particulier, cettesurface se termine par un cylindre.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------i----------------------------------------------------------------------------------------------------1 11 11 11 111 11 11 11 11 11 11 11 111 1

Fig. 16.1

On voit qu’une fois le cylindre atteint, undéplacement vers le bas ne correspond à aucunevariation de la longueur de la circonférence quicorrespond à la coordonnée r de la métrique deSchwarzschild. Les coordonnées spatiales sur lasurface sont r et θ au dessus du cylindre. Sur lecylindre, on a un déplacement dl avec dr = dθ = 0et la coordonnée r n’est plus adaptée.

2Le fait que le coefficient de dt s’annulle poseplus de difficulté du point de vue del’interprétation physique. On voit que plus on serapproche de la surface de Schwarzschild plus letemps propre, vu par un observateur local au moyend’horloges étalons, est petit par rapport au tempst à l’infini. Il est clair que si l’on pouvait voirde loin avec un télescope les choses évoluer près

12 390

de la surface, on aurait l’impression de voir unfilm au ralenti. A la limite un objet extrèmementprès de la surface est vu immobile, quelle que soitla durée d’observation, car toute l’évolution del’Univers au dehors, pendant des milliards d’annéespeut correspondre à moins de une seconde en cetendroit. Quel sens physique peut on donner àl’existence d’objets pour lesquels l’évolution detout l’Univers ne représente qu’une fraction deseconde? Il est clair qu’on a une espèce dedéconnection spatiale et temporelle de cette partiede l’Univers. Un tel résultat pose la question deslimites de la Relativité générale.

Ce qu’on peut dire de sûr, c’est que tout rayonlumineux émis depuis le voisinage de cette surfaceest tellement décalé vers le rouge qu’il devientindétectable. Cette surface correspond à une régionopaque au delà de laquelle on ne voit rien. C’estde là que vient la dénomination d’horizon pourcette surface. Tout ce qui est à l’intérieur decette horizon contitue un objet totalement noir,d’où l’appellation due au physicien Wheeler de trounoir. Un tel objet n’est perçu de l’extérieur quepar son action gravitationnelle (et éventuellementun effet électrique s’il n’est pas neutre).

Le fait qu’un trou noir n’a pas d’autrecaractéristique que sa masse, son moment cinétiqueet sa charge est traduit de manière imagée endisant qu’il n’a pas de cheveux.

Il n’y a donc pas de différence entre un trounoir rempli de matière et un trou noir remplid’antimatière. Il ne faut pas être étonné de cela.la séparation particule-antiparticule vient del’équation de Dirac, c’est à dire de l’union de laRelativité restreinte et de la Mécanique quantique.La symétrie de l’espace-temps de Minkowski est doncà la base de la symétrie particule-antiparticule.Dans un espace-temps courbe où cette symétrie estbrisée, la séparation particule-antiparticule l’estégalement. Dans la perspective d’une union detoutes les interactions, il ne faut pas s’étonnerque dans les Théories modernes de physique desparticules, la brisure de cette symétrie soitégalement envisagée. Elle serait à l’origine del’excès de la matière sur l’antimatière juste aprèsle Big Bang. Cela explique que notre Universprésent ne contienne pratiquement que de lamatière. Cette idée à été étudiée au débutprincipalement par Sakharov.

Enfin en ce qui concerne la vérificationexpérimentale de l’existence des trous noirs, nousrenvoyons au paragraphe 8 du chapitre 7 .

8. Equation des géodésiques. - p étant un

13 391

paramètre décrivant la trajectoire, les symboles deChristoffel avec l’équation des géodésiquesdonnent :

2 2 2 2d r B ’ dr r dα r 2 dθ -------------- + ------------------- ---------- - ----------------- ------------ - ----------------- cos α -----------2 2 B dp B dp B dp dp

(16,7)2 2A’ C dt + -------------------------- ---------- = 02 B dp

2 2d α 2 dr dα dθ ----------------- + --------------- ---------- ------------ + sinα cosα ----------- = 0 (16,8)2 r dp dp dp dp

2d θ 2 dr dθ dθ dα---------------- + --------------- ---------- ----------- - 2 tgα ----------- ------------ = 0 (16,9)2 r dp dp dp dpdp

2d t A’ dt dr-------------- + ----------------- ---------- ---------- = 0 (16,10)2 A dp dpdp

9. Résolution des équations. - Voir à ce sujetégalement l’exercice 12.1 . Nous résolvons cesystème d’équations en recherchant des constantesdu mouvement. Puisque le champ est isotrope, nouspouvons considérer uniquement les trajectoires dansle plan α = 0 (la symétrie de la situationimplique que les trajectoires soient planes).L’équation en α est alors automatiquementsatisfaite.

Divisons (16,9) par dθ/dp et (16,10) pardt/dp , on obtient :

d 2 ---------- Log θ’ + Log r = 0 dp d ---------- Log t ’ + Log A = 0dp

Attention, le ’ sur A signifie : dérivée parrapport à r, tandis que le ’ sur θ et t signifie :dérivée par rapport à p.

Cela nous donne deux constantes du mouvement :

2 dθ d tr ----------- = J (16,11) ; ---------- A = Cte (16,12)dp dp

J joue le rôle d’un moment cinétique. Nouspouvons choisir de normaliser le paramètre p defaçon à avoir :

14 392

d t 1---------- = -------------------- (16,13)dp A C

A étant voisin de l’unité, p est voisin du temps0d’univers x = C t . Compte tenu de tout cela,

l’équation en r , (16,7) devient :

2 2 2d r B ’ dr 1 J A’-------------- + ------------------- ---------- - ----------------- ------------- + ---------------------------------- = 02 2 B dp B 3 2dp r 2 B A

Multiplions cette équation par 2 B dr/dp , ilvient :

2 2 d dr J 1---------- B ---------- + ------------- - ------------------ = 0dp dp 2 A r

La dernière constante du mouvement est donc :

2 2 dr J 1B ---------- + ------------- - ------------------ = - E (16,14) dp 2 Ar

E étant une constante du mouvement qui tient lerôle joué par l’énergie dans le problème équivalenttraité en Mécanique newtonienne.

2 2 2 2 2 2 2C dτ = A C dt - B dr - r dθ

2 2 2 1 dr J 2= dp ------------------ - B ---------- - ------------- = E dpA dp 2 r

2 E 2dτ = ---------------- dp (16,15)2C

Pour les photons et les particules de massesnulles, nous avons donc E = 0 , et pour lesparticules matérielles E > 0 .

Nous pouvons maintenant éliminer le paramètre p,puisque dp = A C dt :

2 dθr ----------- = J A C (16,16)d t

2 2B dr J 1-------------------------------- ----------- + ------------- - ------------------ = - E (16,17)2 2 d t 2 AA C r

2 2 2d τ = E A dt (16,18)

10. Approximation newtonienne. - Dans cecas A B 1 ; posons Jn = C J :

15 393

2 dθr ----------- = Jnd t

1 2 φ------------------ 1 - ------------------A 2C

2 21 dr Jn 1 - E 2--------------- --------- + ----------------- + φ = --------------------------- C2 dt 2 22 r

Nous retrouvons les équations de la Mécaniquenewtonienne, le deuxième membre de l’équationci-dessus représentant l’énergie totale newtoniennepour l’unité de masse.

11. Etude générale du mouvement : écriture deséquations. - Nous allons utiliser l’équationconcernant la variable r . Nous allons dans unpremier temps lui donner une forme plus pratique.Commençons par remplacer t par q = C τ enutilisant (16,18) dans (16,17) :

2 2 dr J 1B E ---------- + ------------- - ------------------ = - E dq 2 Ar

2 2 dr J 1 1---------- = - ------------------------------- - ----------------- + ----------------- (16,19) dq 2 B Er B E

21 2 JPosons : E = ----------------- ; J = ---------------- (16,20)E E

2 2 dr rs J ---------- = E - 1 - ------------ 1 + -------------- (16,21) dq r 2 r

Envisageons maintenant le cas des photons.L’équation en r (16,17) donne :

2 2B dr J 1------------------------------ --------- + ------------- - ------------------ = 02 2 dt 2 AA C r

2 2 2 2Avec (16,13) : dp = A C dt , il vient :

2 2 dr J rs ---------- = 1 - ------------- 1 - ------------ dp 2 r r

2Divisons cette équation par J , puis posonsdq = J dp (il est en effet loisible de choisir unparamétrage de la trajectoire adapté suivant les

2valeurs de J). Posons enfin E = 1/J :

16 394

2 dr rs 1---------- = E - 1 - ------------ -------------- (16,22) dq r 2r

Posons enfin :

2 rs J V(r) = 1 - ------------ 1 + -------------- (16,23) r 2 r

rs 1W(r) = 1 - ------------ ---------------- (16,24) r 2r

12. Etude du potentiel efficace V(r) pour uneparticule matérielle. - Nous allons étudiersuccessivement la forme des courbes V(r) et W(r).

Etude de V(r).

2Soit x = 1 / r ; l = J :

2V(x) = ( 1 - rs x ) ( 1 + l x )

2V’ = - rs ( 1 + l x ) + 2 l x ( 1 - rs x)

2V’ = - 3 rs l x + 2 l x - rs

Supposons dans un premier temps que2 2 2∆’ = l - 3 rs l > 0 . Cela correspond à :

2 22 G MJ > 12 --------------------------------

4C

V’ a alors deux racines positives car leur sommeet leur produit sont positifs.

1V’’ = 2 l ( 1 - 3 rs x ) > 0 pour x < --------------3 rs

Soit : r > 3 rs

Nous pouvons dresser le tableau de variationsuivant, figure 16.2 :

17 395

1r 1 + ∞ 3 r s 011---------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x 1 0 + ∞1---------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1y’ ’ + 0 -1---------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11y’ 111---------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 11y 111 - ∞---------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F i g . 16.2

Dans la mesure où l’on retrouve la gravitationnewtonienne comme cas limite, on peut penser qu’ilexiste des cas où le maximum relatif de la fonctionV(r) , obtenu pour r = rci , est plus élevé que lalimite de V(r) quand r tend vers + ∞ :V(rci) > 1 . En effet, en gravitation newtonienne,V(r) + ∞ quand r 0 . Nous appelons rcs lavaleur de r pour le minimum relatif de V(r). Nousarrivons donc à la courbe suivante pour la fonctionV(r) (fig. 16.3) :

I1V( r )1 J--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (c )111 J----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (d )1

11 D_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________V(r) = 11

1

J--------------------------------------------------------------------------------------------------- (a )1

A1

1

1

1

1

J---------------------L1

1 1 (b)1

r- r+1

1

1

1

1

1

1

------------------------k-------------------k----------------------------------------------------k--------------------------------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------LO 1 r s r c i r c s r

F ig. 16.3

13. Discussion générale du mouvement. -L’équation en r est de la forme générale :

18 396

2 dr ---------- + V(r) = E dq

Cette relation étant constamment vérifiée, larelation dérivée l’est également :

2 dr d r dr2 ---------- -------------- + V’(r) ---------- = 0 dq 2 dqdq

Soit :

2d r V’ (r)-------------- = - ------------------------------2 2dq

La relation ci-dessus étant vraie sur toute uneplage ou dr/dq ≠ 0 l’est également, parcontinuité, aux points où dr/dq est nul.

Nous pouvons représenter l’évolution d’uneparticule par une droite horizontale de hauteur Eau dessus de l’axe des abscisses et munie d’uneflèche indiquant le sens de variation de r. Laparticule s’arrête lorsque dr/dq = 0 donc lorsqueV(r) = E , c’est à dire aux points d’intersectionsde la courbe y = V(r) et de la droite précédente.En ces points, la direction vers laquelle laparticule repart sur la droite est donnée par lapente de la courbe en ce point. V’(r) > 0 donner’’ < 0 et la particule redémarre vers la gauche.Elle redémarre vers la droite pour V’(r) < 0 .Enfin elle reste immobile pour V’(r) = 0 . Si ils’agit d’un sommet de la courbe, il est clair quel’équilibre est instable, car une petite diminutionde r par exemple, donne V’(r) > 0 donc r’ < 0et le mouvement s’amplifie (idem pour une peiteaugmentation en changeant les signes). Leraisonnement est analogue pour montrer qu’à unminimum relatif de la fonction V(r) correspond unéquilibre stable.

Ceci dit, dans le cas (a), on voit que laparticule vient de l’infini, s’arrête en A puisretourne à l’infini. On a une trajectoire tout àfait analogue au cas de l’hyperbole du mouvementnewtonien. De même dans le cas (b), r oscille enpermanence de r- à r+ . C’est le cas analogue del’ellipse du mouvement newtonien donnant desorbites stables, bien que non fermées comme nous leverrons (précession du périhélie). Le casr = Cte = rcs correspond à une trajectoirecirculaire stable (cs rappel circulaire et stable).

Un cas nouveau se présente pour la trajectoire(c). r décroit sans arrêt jusqu’à atteindrel’horizon dans laquelle la particule s’engloutit.

19 397

Le cas limite est le cas (d). La particule spiralepour se stabiliser à r = rci (cercle instable)mais il suffit d’un rien, et la spirale infernalereprend la particule étant engloutie par le trounoir. Notons que l’augmentation de E à J constantcorrespond à une diminution de E et donc à unediminution de J qui correspond à un momentcinétique d’après (16,16).

Dans le cas où la dérivée V’(r) n’a pas deracines, elle est constamment négative. V(r) estune fonction constamment croissante de r et aucuneorbite stable n’existe. On passe de ce cas au cascité précédemment en faisant varier les conditionsinitiales de lancement de la particule. Toutes lesparticules sont englouties (fig. 16.4).

2 2 2 4Ce cas correspond à J < 12 G M /C et unevaleur plus petite de J correspond d’après (16,20)à une plus petite valeur de J qui correspond aumoment cinétique, donc également par exemple à unparamètre d’impact plus petit.

I1V( r )1111111______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1V(r) = 1111111111111111------------------------k---------------k--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO 1 r s r

Fig. 16.4

Le cas limite est celui où y’ a une racinedouble. y’’ s’annulle donc également, et nous avonsun point d’inflexion à tangente horizontale, doncla possibilité d’avoir une orbite circulaire. C’estd’ailleurs la seule solution qui évitel’engloutissement (fig. 16.5).

20 398

I1V( r )1111111__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________V(R) = 111111111 J-------------------L1

11

11

11

1

1------------------------k---------------k------------------------------------------------------k----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO 1 r s rc i = r cs r

Fig. 16.5

Lorsqu’on est voisin de ce cas, mais qu’on a toutde même deux zéros, on peut voir la forme de lacourbe par continuité par rapport à la courbeprécédente. Lorsqu’on est proche de la courbeprécédente, le maximum relatif est certainementinférieur a la limite de V(r) quand r tendvers + ∞ . Les seuls orbites qui évitentl’engloutissement sont celles pour lesquelles roscille entre r- et r+ (figure 16.6).

I1V( r )1111111____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________V(r) = 111111111

11

J----------------------L1 1 11

1 r -

r +1

1

1

1

------------------------k---------------k-------------------------------------------k--------------------------------------------k------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO 1 r s r ci r cs r

F ig . 1 6 . 6

La demie somme des deux racine de y’ vaut :

21 399

1 1----------- + ------------r c i r c s 1-------------------------------------------- = ------------------ = Cte3 r s2

Donc, rcs et rci sont toujours de part et d’autrede 3 rs . rci et rcs se rejoignent et on à ladernière orbite circulaire stable possible, cellequi est le plus près possible du trou noir pour :

G Mr = rci = rcs = 3 rs = 6 ----------------------------- (16,25)2C

14. Cas des photons. - Nous avons :

2W(x) = x ( 1 - rs x)

2 2y’ = 2 x ( 1 - rs x ) - x rs = - 3 x rs + 2 x

D’où le diagramme et la courbe, figure 16.7 et16.8 .

1r 1 + ∞ 3 r s 01 ------------------- r s1 2---------------------------------------------k---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 1x 1 0 --------------- ------------ + ∞1 3 r s r s---------------------------------------------k---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1y’ + 0 -1---------------------------------------------k---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11y 1 011 0 - ∞---------------------------------------------,---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F i g. 16.7

22 400

I1W( r )1 J-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (c )111 J--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (b )1

11

11

1

J---------------------------------------------------------------------- (a )1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

--------------------------k-------------------k-----------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO 1 r s 3 rs r---------------------2

Fig. 16.8

On voit qu’il n’existe que trois cas :

(a) qui correspond à la déviation de la lumièrevenant de l’infini et y retournant. (b) : lalumière se rapproche du trou noir en spiralant pourfinir par décrire un cercle; mais cette trajectoireest instable, et la spirale peut reprendre menant àl’engloutissement. Enfin, dans le cas (c), on aengloutissement à la suite d’une spirale plus oumoins enroulée sur elle même. Le rayon de l’orbitecirculaire instable correspond à l’annulation de ladérivée qui est obtenue pour :

3 3 G Mr = --------------- rs = ------------------------------- (16,26)2 2C

La montée (a) (b) (c) correspond àl’augmentation de E, donc à la diminution de ce quijoue le rôle de moment cinétique J. Ce sont lesphotons de "moment cinétique" trop faible qui sontengloutis, comme il fallait s’y attendre. J, biensûr, est différent du moment cinétique classique,puisque des photons suivant la même trajectoire etde fréquence variable, donc d’impulsion variableont ici le même J. On voit ainsi que la trajectoirene dépend pas de la fréquence de la lumière puisqueJ n’en dépend pas.

En conclusion, on voit qu’un trou noir peutengloutir de la matière qui s’enfonce en spiralant.Ce qui a été dit sur les trous noirs à la fin duparagraphe 8 du chapitre 7 est ainsi justifié.

15. Etude de l’orbite circulaire de la lumière. -Nous allons montrer en faisant intervenir la nature

23 401

ondulatoire de la lumière comme cela a été fait au§ 21 du chapitre 12 que l’on retrouve directementle rayon de l’orbite circulaire.

Nous considérons une onde plane qui tourne autourde l’astre dans le plan équatorial (α = 0). Deuxplans d’ondes voisins se rejoignent au centre etsont caractérisés par l’angle qui les sépare(fig. 16.9) :

λ1r1

λ2r2

O

Fig. 16.9

Un tour complet à la distance définie par lavaleur r1 a pour circonférence 2 π r1 et contientN longueurs d’ondes. Un tour complet à la distancevoisine définie par r2 a pour circonférence 2 π r2et contient également N longueurs d’ondes. Enr = r1 , la longueur d’onde est λ1, idem pour r2,λ2. On a donc :

r1 = k λ1 ; r2 = k λ2

D’autre part, le long d’un rayon équatorial, surun plan d’onde, la vibration doit être partout enphase. Il y a simultanéité de la vibration qui estdonc caractérisée par sa période mesurée en tempsd’univers t. A la distance définie par r1,localement, la période est égale à τ1, idem τ2 pourr2. On a :

-------------------------------- -------------------------------- r s r sτ1 = 1 - ------------- t ; τ2 = 1 - ------------- t√ r1 √ r2

La vitesse de la lumière est trouvée partoutégale à C, donc :

24 402

λ1 λ2C = --------------- = ---------------τ1 τ2

On en déduit :

r------------------------------------------------- = Cte------------------------------- rs1 - ------------√ r

r s------------21 1 r-------------------------------------------------- + r - --------------- ------------------------------------------------- = 0-------------------------------- 2 3 rs -------------- rs 1 - ----------- 21 - ------------ r √ r

rs 1 rs 31 - ------------ - --------------- ------------ = 0 ⇒ r = --------------- rsr 2 r 2

et on retrouve (16,26) :

G Mr = 3 ------------------------2C

16. Temps de chute d’une particule. - Nousprenons l’exemple simple d’une particule immobile àl’infini qui chute radialement vers le trou noir etnous nous proposons d’étudier le temps qu’il luifaut pour atteindre l’horizon.

L’équation (16,19) donne (rappelons que q = C τ),puisque J = 0 :

2 dr 1 1---------- = - ----------------- + ----------------- dq B E

Le premier membre s’annulle à l’infini oùB = 1 ; donc E = 1 et :

2 dr rs---------- = ------------ dq r

---------1 1dτ = - ----------------- ---------------------- √ r dr (16,27)C --------√ r s

Le signe moins vient du fait que lorsque le tempscroit, r décroit. Le temps de chute pour unobservateur sur la particule (temps propre), depuisla valeur r = R jusqu’à l’horizon est donc :

25 403

3 3-------------- --------------2 2 2 ∆τ = ------------------------------------------- R - rs (16,28)------- 3 C √ rs

Ainsi l’engloutissement par le trou noir aeffectivement lieu en un temps fini pour laparticule. On peut montrer que tel est le cas pourn’importe quelle trajectoire se terminant par unengloutissement.

Envisageons maintenant la situation vue en tempsuniversel t, temps propre à l’infini. (16,18) avecE = 1 donne dτ = A dt . Il vient :

1 1 drdt = - ------------------------------------------------------------------ ----------------- ---------------------------------------------C --------------------------- rs rs1 - ------------ ------------ r r√

Posons u = r - rs ; Le temps est donné par :

U 3⌠ --------------1 1 du 2∆t = ---------------------- ----------------- -------------------- ( u + rs )-------- C u⌡√ r s 0

L’intégrale diverge en 0 . Ainsi il faut un tempsinfini pour que la particule franchisse l’horizon.On peut montrer qu’il en est ainsi pour toutetrajectoire menant à cette horizon. Cela ne doitpas nous surprendre, puisqu’on sait que la chuteest vue de plus en plus au ralentie au fur et àmesure que la particule se rapproche de l’horizon.

On peut déduire de cela qu’un collapsegravitationnel n’est jamais achevé vu del’extérieur. La situation se fige de plus en plusalors que certaines particules n’ont pas encoreatteint l’horizon. Nous allons montrer cependant auparagraphe suivant qu’il se produit un décalagevers le rouge brutal entrainant l’extinctionsoudaine de la particule en chute libre quidisparait ainsi totalement de la vue en un tempsfini.

17. Extinction d’un objet lumineux lors de lachute dans un trou noir. - Reprenons l’exemple duparagraphe précédent d’une particule immobile àl’infini qui chute radialement vers le trou noir etsupposons que cette particule soit lumineuse. Nousappelons z le décalage vers le rouge de cettelumière et posons :

1 404

λ - λ0z = -------------------------------λ0

λ0 est la longueur d’onde d’une radiation émisepar l’objet, λ est la longueur d’onde de cetteradiation mesurée par l’observateur à l’infini quivoit cette lumière. On peut montrer(exercice 16.5 ) que pour r rs :

rsz 2 ----------------------- (16,29)r - rs

La valeur de r est prise à l’instant d’émissiondu signal : t en temps universel, tandis que lesignal est reçu à l’infini (très loin) à l’instantt∞ en temps universel.

D’autre part :

------------dr rs rs--------- = - 1 - ------- ------- C (16,30)dt r r√

Envisageons deux cas distincts :

a - r » rs ⇒ z 0

b - r rs

dr rs r - rs r - rs--------- - 1 - ------- C = - ------------------------- C - ----------------------- Cdt r r rs

dr C dt------------------------- = - -------------------r - rs r s

C t- --------------r - rs = Cte e rs (16,31)

On retrouve bien le fait qu’il faut un tempsinfini pour avoir r = rs . Mais (16,29) donne :

C t--------------z = Cte e rs

Ainsi le décalage vers le rouge est voisin dezéro pendant très longtemps puis se met à croitreexponentiellement très brutalement avec laconstante de temps T = rs/C . Prenons l’exempled’un trou noir de masse 2,5 M cf § 8 duchapitre 7 )

2 G M -5T = ------------------------------- ; T = 2,46 10 s3C

L’extinction de l’objet est donc quasimentinstantanée.

2 405

Il faut tout de même se souvenir que t n’est pasle temps d’arrivée du signal au point où il estobservé; t est l’instant d’émission. Cela modifiequelque peu la formule si l’on exprime z enfonction de t∞, le décalage t∞ - t croissant lorsde la chute (voir exercice 16.7 ).

Sans faire une démonstration rigoureuse, nouscomprenons bien comment une étoile s’effondrant entrou noir disparait de la vue quasi instantanément.On peut imaginer une enveloppe de gaz s’effondrant,mais encore située à une distance supérieure àcelle de l’horizon déjà formée. Chaque particule secomporte comme celle que nous avons étudiéeci-dessus et l’enveloppe dans son ensembledisparait quasi-instantanément de la vue bien quen’atteignant jamais complètement l’horizon, vue dureste de l’univers.

En conclusion de ce paragraphe, les trous noirspeuvent exister en ce qu’il peut exister des massesgigantesques invisibles par les rayonnementsélectromagnétiques et agissant pourtantgravitationnellement. On peut d’ailleurs calculercomplètement la métrique d’une boule de poussières’effondrant gravitationnellement; on arriveégalement et plus rigoureusement au fait qu’il y aextinction brutale de l’astre.

18. Déviation de la lumière par le Soleil. - Nousarrivons à l’étude des tests fondamentaux de laRelativité générale basés sur la solution exacte deSchwarzschild.

Ici, nous avons besoin de la forme de l’orbite,donc du lien entre r et θ. Eliminons dp entre(16,11) et (16,14) :

21 r 1---------------- = ------------- ---------------dθ J dp

2B dr 1 1 E---------------- ----------- + -------------- - -------------------------- = - ---------------- (16,32)4 dθ 2 2 2r r J A J

1-------------- 2dr 1 E 1 2 r----------- = --------------------- - ---------------- - -------------- ---------------------dθ 2 2 2 -------J A J r √ B

La solution est alors déterminée par unequadrature :

3 406

⌠ 1/2 B drθ = ± ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (16,33)1/2

2 1 E 1⌡ r --------------------- - ----------------- - -------------- 2 2 2 J A J r

Considérons un photon ou une particule matériellequi arrive de l’infini (fig. 16.10). A l’infini, lamétrique est celle de Minkowski etA(∞) = B(∞) = 1 . Le mouvement s’effectue en lignedroite à la vitesse V. Nous pouvons choisirl’origine des longitudes de façon à avoirθ (∞) = 0 .

M-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------J-------------------------------------------------------------------------r ID 11 bθ θ = 0 <-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lr x

Fig. 1 6 . 10

b = r s in θdrV = - ---------dt

Introduisons ces valeurs dans les équations dumouvement (16,16) et (16,17), nous voyons quecelles-ci sont vérifiées, et cela nous donne lesconstantes du mouvement :

22 dθ b dθr ----------- J C = --------------------------- -----------d t 2 d tsin θ

cos θ dθ J CV = b ------------------------- ----------- ---------------- (16,34)2 d t bs in θ

4 407

2VE = 1 - ----------------- (16,35)2C

Nous retrouvons le fait que pour un photon,E = 0 .

Dans le cas qui nous intéresse, il est pluspratique d’exprimer J en fonction de la distanceminimale d’approche du Soleil r0. En r0, dr/dθs’annulle et (16,17) donne :

21 1 1 V -------------- - --------------------- = - -------------- 1 - -----------------2 2 2 2 r0 J A J C

2 1/2 1 V J = r0 ------------------ - 1 + ----------------- A 2 C

La déviation est alors égale à : D = 2 θ - πavec :

+ ∞⌠ 1 / 2 B( r ) d rθ = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (16,36) u - 1 o1/2 1 2 2 1 21 1 1 V 1 V 1 1 r 1 ------------- ------------------------- -1+ ---------------- --------------------- -1+ ----------------- - --------------1⌡ 2 A(r0) 2 A(r) 2 211 r 0 C C r 1r 0 m .

Pour un photon V = C et on obtient :

+ ∞ - 1/2⌠ 1 /2 2 r A(r0) drθ = B(r) ------------- -------------------- - 1 -------------- (16,37) r0 A(r) r⌡ r0

Nous prenons :

2 G M 2 G MA(r) = 1 - -------------------------------------- ; B(r) 1 + ---------------------------------2 2r C r C

La quantité à la puissance moins un demi vautalors :

2r 2 G M 2 G M ------------- 1 - ----------------------------------- + --------------------------------- - 12 2 2 r0 r 0 C r C

2 2r 2 G M 1 1 r= ----------------- - 1 + ------------------------------- --------------- - -------------- -------------2 2 r r0 2r0 C r0

5 408

Or :

2r (r - r0)(r + r0)------------- - 1 = ----------------------------------------------------------------------2 2r0 r0

2r------------- - 12 2 1 1 r (r - r0) r r0 r--------------- - -------------- ------------- = - ------------------------------------------ = - ----------------------------------------- ------------- r r0 2 2 r + r0 r0r0 r0 r0

Donc, on obtient :

2 r 2 G M r -------- - 1 1 - ------------------------------- -------------------------------------------------- 2 2 r0 ( r + r0) r0 C

et :

+ ∞⌠ dr ------------- r G M G M r θ = -------------------------------------------------- 1 + -------------------------- + ------------------------ ------------------------------------------------------2 1/2 2 2 r0 ( r + r0) r r C C -------- - 1⌡ 2 r0r0

Dérivons :

-------------------------------- ---------------------------------2 r0 r - r0f(r) = 1 - -------- + ---------------------------------√ 2 √ r + r0r

r0 r0 r + r 0 - ( r - r0)- 2 ------------- - ------------ ------------------------------------------------------------------------------r 2 2r ( r + r0)------------------------------------------------------------------------- + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------2 r0 r - r02 1 - -------- 2 --------------------------------√ 2 √ r + r0r

r0------------2r 1= ------------------------------------------------ + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------

2 2 r r-------- - 1 (r + r0) ------------- - 1√ 2 √ 2r0 r0

r0Dérivons g(r) = Arcsin ------------- , on obtient :r

r0- --------2r 1 1------------------------------------------------- = - --------------- --------------------------------------------------------------------------------- r --------------------------------

2 2 r0 r1 - -------- -------- - 1√ 2 √ 2r r0

6 409

Nous pouvons maintenant calculer θ :

+ ∞⌠ 1 G M θ = ----------------- ------------------------ f’(r) - g’(r) dr r0 2 ⌡ Cr0

u o + ∞ u o + ∞G M 1 1 1 1θ = ------------------------------ 1 f(r)1 - 1 g(r) 12r 0 C m . m .r 0 r0

G M πθ = ------------------------------ 2 + ---------------- ; et avec D = 2 θ - π :2 2r 0 C

M = M , M est la masse du soleil.

4 G M D = ------------------------------------ (16,38)

2r C

La déviation est en effet maximale pour un rayonlumineux rasant le Soleil, et dans ce casr0 r .

On voit que la déviation est positive comme surla figure 16.10 . Elle correspond bien à uneattraction de la lumière.

La valeur est double de celle que donne laMécanique newtonienne pour une particule matérielleanimée de la vitesse C , comme cela avait déjà ététrouvé au § 20 du chapitre 12 . Avec les valeursnumériques suivantes en unités légales :

- 11 30G = 6.67 10 M = 1.99 10

8 8r = 6 .95 10 C = 3 10

On trouve D = 1.75 ’’

Voir à ce sujet l’exercice 7.3 .

L’expédition de 1919 menée par Eddington lorsd’une éclipse totale trouva environ 1.98’’.

Lors des mesures ultérieures, les valeursoscillent entre 1.7’’ et 2’’. On voit que laprécision est faible, mais la valeur théorique estbien incluse dans les résultats expérimentaux..

On a effectivement une déviation, ce qui éliminela théorie ondulatoire de la lumière avec un tempsabsolu et un espace euclidien. D’autre part ladéviation trouvée élimine également la possibilitéque le photon soit une particule matérielleobéissant à la Mécanique newtonienne. La Relativité

7 410

générale franchi donc avec succès ce premier test.Voir également à ce sujet le § 6 du

chapitre 7 .

La déviation de la lumière par une galaxie est àl’origine de mirages gravitationnels. La lumièreémise par une autre galaxie plus lointaine, ou unquasar, peut être déviée par la galaxie servant delentille gravitationnelle de telle sorte que deuximages virtuelles identiques sont créées(fig. 16.11). La figure pouvant avoir la symétriesphérique, on peut parfois voir un anneau entourantla galaxie servant de lentille. Ce phénomène appeléanneau d’Einstein qui avait été prévu par Einsteina été effectivement observé sur plusieurs cas.

Galaxie lointaine Galaxie lentille Terre

Fig . 16.11

Ces mirages gravitationnels sont un moyend’évaluer la masse de la galaxie lentille, doncpermettent d’évaluer les masses dans l’univers.Ceci apporte une contribution à l’étude de ladensité actuelle de l’univers (voir chapitre 18 ).

19. Précession du périhélie. - Nous considéronsmaintenant une orbite liée, qui sera donc trèsvoisine d’une ellipse qui est la trajectoire donnéepar l’approximation newtonienne (fig. 16.12).

----------------------------2b = a √ 1 - e

I y11__________________________________________________________________________________I 1

1 Ib

11 1

e a 1 p1J______________________________________L1

<

<

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k----------------------------------------------------------------------------------------------------------LM2

r+ r -M1

O 1 F

x11 a

1J___________________________________________________________________________________________L

111__________________________________________________________________________________11

Fig. 1 6 .1 2

8 411

Lorsque r atteint sa valeur minimale aupérihélie, r = FM1 = r- et lorsque r atteint savaleur maximale à l’aphélie, r = FM2 = r+ ,dr/dθ = 0 . (16,32) donne alors :

1 1 E---------------- - --------------------- = - ---------------- (16,39)2 2 2r± J A± J

Avec la notation : A+ = A(r+) , A- = A(r-) .Ces deux équations nous permettent de déterminer

E et J.

1 1 1 1 1 -------------- - -------------- - -------------- ----------------- - ---------------- = 02 2 2 A+ A - r+ r - J

1 1----------------- - -----------------2 A+ A -J = ----------------------------------------------------------1 1----------------- - -----------------

2 2r + r -

2J 1E = - ------------- + -----------------2 A+r+

2 1 1 1 2 1 2r - ----------------- - --------------- + ---------------- r+ - ----------------- r - A+ A - A+ A+= -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2r + - r -

2 2r + r ------------------ - ----------------A+ A -E = ---------------------------------------------------------2 2r + - r -

(16,33) nous donne la variation angulaire θ lorsdu passage de r- à r+ :

r+ -----------⌠ √ B drθ = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (16,40)1/2 2 1 E 1 ⌡ r ---------------------- - ----------------- - --------------r - 2 2 2 J A J r

La partie du dénominateur à la puissance un demivaut :

9 412

1 1 2 2----------------- - ------------- r + r -2 2 ---------------- - -----------------r + r - A+ A - 1------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------- - --------------

2 1 1 2 2 1 1 r----------------- - ---------------- A r+ r - ---------------- - ---------------- A+ A - A+ A -

2 -1 2 -1 2 - 1 2 -1r - A - r+ A + r+ A+ - r - A - 1= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - --------------2

2 2 1 1 rr+ r - ------------------ - --------------- A + A -

Nous allons faire un développement limité de ceterme en rs/r . Si nous prenons pour les termescontenant A des développement au premier ordre,nous voyons que rs se trouve en facteur aunumérateur et au dénominateur et disparait. Il nousfaut donc aller au deuxième ordre pour A.

rsA = 1 - ------------r

rsB 1 + ------------r2

-1 rs r sA 1 + ------------ + -------------r 2r

On voit alors que la quantité considérée est dusecond degré en 1/r ; d’autre part elle s’annulepour r = r+ et pour r = r- ; ceci est donné par(16,32) avec dr/dθ = 0 . De plus cette quantitéest positive. Elle est donc de la forme :

1 1 1 1 k ------------- - --------------- --------------- - -------------- r - r r r+

Pour trouver la valeur de k, il suffit deregarder la valeur prise quand r + ∞ .

2 2 - 1 2 2 - 1k r - - r - A - - r+ + r+ A+- -------------------- = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r - r+ 2 2 - 1 -1r+ r - ( A+ - A - )

2 22 r s r s 2 r s r s r - -------------- + --------------- - r+ ------------- + ------------- r- 2 r+ 2 r - r+k = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 r s r s r s r s r+ r - --------------- + -------------- - ------------- - -------------- r + 2 r - 2 r+ r -

10 413

1k = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 1 1 + rs -------------- + ------------- r+ r -

-1/2 r s 1 1 k = 1 + ------------- -------------- + -------------2 r+ r -

-1/2On obtient : k = 1 + rs / p , p étantle paramètre de l’ellipse :

pr = --------------------------------------------------------1 + e cos θ

Finalement l’intégrale de r- à r+ vaut :

⌠ r+ r s 1 + --------------- dr 2 r r s I = 1 + ------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (16,41) p u o1/2 2 1 1 1 1 1 1r 1 ------------- - ---------------- --------------- - -------------- 1 r - r r r+ 1⌡ r - m .

Posons :

1 1 1 1 F(r) = ------------- - --------------- --------------- - -------------- r - r r r+

et effectuons le changement de variable :

1 1 1 1 1 1 1 --------------- = --------------- -------------- + ------------- + --------------- -------------- - ------------- xr 2 r+ r - 2 r+ r -

1 1 1 1 1 --------------- = --------------- + --------------- -------------- - ------------- xr p 2 r+ r -

F s’annulle pour r = r+ et r = r- , donc pourx = ± 1 . F est positive pour - 1 < x < 1 , F est

2 2du second degré en x. Donc F = λ (1 - x ).2λ est la valeur de F pour x = 0 , soit

puisqu’on a alors :

1 1 1--------------- = -------------- + --------------r 2 r+ 2 r-

2 1 1 1 1 1 1 λ = ------------- - -------------- - -------------- -------------- + -------------- - -------------- r - 2 r+ 2 r- 2 r+ 2 r- r+

2 1 1 1 1 1 1 λ = --------------- ------------- - -------------- --------------- ------------- - --------------2 r - r+ 2 r - r+

11 414

1 1 1 et λ = --------------- ------------- - --------------2 r - r+

Finalement :

----------- -----------------------------1 1 1 2√ F = --------------- ------------- - -------------- √ 1 - x2 r - r+

D’autre part :

dr 1 1 1 - ------------------- = --------------- -------------- - ------------- dx2 2 r+ r - r

Il vient alors :

⌠ +1 r s r s 1 1 1 + -------------- + -------------- -------------- - ------------- x 2 p 4 r+ r - r s I = 1 + ------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- dx p ----------------------------- 2√ 1 - x⌡ -1

La part du numérateur faisant intervenir x donneune contribution nulle entre - 1 et + 1 et onobtient :

+1⌠ r s r s dxI = 1 + ------------- 1 + -------------- --------------------------------------- (16,42) p 2 p -------------------------⌡ 2-1√ 1 - x

+1 +1⌠ u odx 1 1 --------------------------------------- = - 1Arccos x 1 = π------------------------- 1⌡ 2 m .-1 √ 1 - x -1

3 r sθ+ - θ- = π + ------------------ π2 p

La précession du périhélie vaut donc :

3 π rs∆θ = 2 θ+ - θ- - 2 π = ---------------------------- p

6 π G M ∆θ = ----------------------------------------------- (16,43)

2p C

La valeur trouvée est positive, ce qui prouve quel’ellipse tourne dans le même sens que la planète.

L’effet de perturbation des autres planètes commeJupiter, entraine également une précession dupérihélie calculable par la Mécanique newtonienne.

12 415

On peut montrer que tous les différents effetss’ajoutent, et une fois les effets classiquesenlevés, il reste uniquement la précession due à laRelativité générale qui restait inexpliquable avantque cette dernière théorie voie le jour.

Prenons les éléments de l’orbite de Mercure :

10demi-grand axe a = 5.791 10 mexcentricité e = 0.206

2 10p = a(1 - e ) = 5.545 10 m

On trouve :-7∆θ = 5 10 rd

Mercure faisant un tour autour du Soleil en0.2408 année, on obtient 43’’ par siècle, ce quiest pratiquement exactement la valeur expérimentaletrouvée. Cette valeur de 43’’ était déjà connue en1916, année d’avènement de la Relativité générale,de telle sorte que la précession du périhélie deMercure fait partie avec la déviation de la lumièrepar le Soleil des deux seules vérificationsexpérimentales contemporaines de la découverte decette théorie. Il fallut attendre les années 1960pour que d’autres vérifications apparaissent(décalage vers le rouge, retard des échos radars,mirages gravitationnels etc).

Nous pouvons comparer les précessions théoriqueset les valeurs observées pour les précessions dupérihélie en un siècle pour les différentesplanètes (fig. 16.13) :

------------------------------------------i-------------------------------------------i--------------------------------------i------------------------------------------i--------------------------------------------i-------------------------------------i-------------------------------i----------------------------------------------------------11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1P l anètes1 a e p 1 ∆θ 1Nbr de 1 ∆θ 1 ∆θ1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 0 1en ’ ’ p o u r1 r év par1e n ’ ’ / 1 o b s e r v é1 10 m 1 1 10 m 1 1 t o u r1 1 11 1 s i èc l e 1s i è c l e 1------------------------------------------k-------------------------------------------k--------------------------------------k------------------------------------------k--------------------------------------------k-------------------------------------k-------------------------------k----------------------------------------------------------1 11 1 1 1 1 1 1Mercure 1 5 .79 1 1 0.206 1 5 .5 4 5 1 0 . 1036 1 4 15 .3 1 4 3 1 4 3 .1 ± 0.45------------------------------------------k-------------------------------------------k--------------------------------------k------------------------------------------k--------------------------------------------k-------------------------------------k-------------------------------k----------------------------------------------------------1Vénus 1 10 .82 1 1 0.007 1 10 .8 2 0 1 0 . 0531 1 1 62 .55 1 8 . 63 1 8 . 4 ± 0.51----------------------------------------------------------------------------------------------k--------------------------------------k------------------------------------------k--------------------------------------------k-------------------------------------k-------------------------------k----------------------------------------------------------1T er re 1 14 .96 0 1 0.0167 1 14 .9 5 6 1 0 . 0383 1 1 00 1 3 . 83 1 5 ± 1.21 1------------------------------------------k-------------------------------------------k--------------------------------------k------------------------------------------k--------------------------------------------k-------------------------------------k-------------------------------k----------------------------------------------------------1I ca re 1 16 .10 1 0.827 1 5 .0 8 9 1 0 . 11286 1 89 1 1 0 .051 9 . 8 ± 0.81 1------------------------------------------,-------------------------------------------,--------------------------------------,------------------------------------------,--------------------------------------------,-------------------------------------,-------------------------------,----------------------------------------------------------

F i g . 1 6 . 1 3

Ce tableau montre le grand accord entre lesprévisions théoriques et les résultatsexpérimentaux.

20. Effet Shapiro : retard des échos radars. -

13 416

Venons en maintenant à cet effet déjà mentionné au§ 13 du chapitre 7 . Nous envisageons doncmaintenant l’évolution de la position du mobile enfonction du temps.

L’équation (16,17) donne, dans le cas d’un photon(E = 0) :

2 2B dr J 1------------------------------ --------- + ------------- - ------------------ = 02 2 dt 2 AA C r

dr/dt = 0 à la distance d’approche maximale dusoleil que nous appelons r0, donc :

2J 1------------- - --------------------- = 0 soit en posant A(r0) = A02 A(r0)r0

22 r 0J = --------------------- ; Il vient :A0

2 2B dr r0 1 1------------------------------ --------- + ------------- ----------------- - ------------------ = 0 (16,44)2 2 dt r A0 AA C

1u o ----1 21 2 2 1dr 1 r0 A A C 1--------- = 1 1 - ------------- ----------------- ---------------------- 1 (16,45)dt r A0 B 11 11 1m .

Nous appelons alors t(r1,r0) le temps que metla lumière pour aller du point M1(r1,θ1) au pointM0(r0,θ0) (fig. 16.14). L’effet de courbure de lalumière est énormément exagéré sur la figure pourbien préciser les notations.

14 417

. M 1

r 1

M0

.

1

1r θ 1 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L

θ 2

r 2

. M2

F i g . 1 6 . 1 4

⌠ r1 ---------------------- B----------------- √ A1t(r1,r0) = ----------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- dr (16,46)C ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 r 0 A 1 - ----------------- ------------------√ r A 0⌡ r0

et pour aller de M1 à M2, on a :

t(M1,M2) = t(r1,r0) + t(r2,r0)

Pour calculer cette intégrale, nous allons fairedes développements limités en rs/r .

rs rsB(r) 1 + ------------ et A(r) = 1 - ------------r r

----------------------- B rs------------------ 1 + ------------√ A r

15 418

r s2 2 1 - ------------- 2 r0 A r0 r r0 rs r s 1 - ------------- ----------------- = 1 - ------------- -------------------------------- = 1 - ------------- 1 - ------- + ------------- r A0 2 r s 2 r r0 r 1 - ------------- rr0

2 2 2 2r0 r0 rs r0 r0 rs r0 - r= 1 - ------------- + ------------------- (r0 - r) = 1 - ------------- + ------------------- ----------------------------2 3 2 3 r0 + rr r r r

2 2r0 r0 rs r0 1= 1 - ------------- - ------------------- 1 - ------------- ----------------------------2 r 2 r0 + rr r

2 r0 r0 r s = 1 - ------------- 1 - ------------------------------------------- 2 r (r0 + r) r

⌠ r1 u o rs 1 r0 r s 11 + ------------ 1 1 + ------------------------------------------------------ 1 r 2 r (r0 + r)1 m .t(r1,r0) = ----------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- drC ---------------------------------------- 2 r01 - -------------- √ 2⌡ r0 r

r1⌠ 1 dr rs r0 r st(r1,r0) = ----------------- ------------------------------------------------------- 1 + ------------ + ------------------------------------------------- (16,47)C ------------------------------------- r 2 r (r0 + r) 2 r0 1 - -------------⌡ √ 2rr0

t(r1,r0) = I1 + I2 + I3avec :

⌠ r1 2 21 d(r -r0 )I1 = ----------------- --------------------------------------------2 C -----------------------------2 2⌡ √ r - r 0r0

-------------------------------1 2 2I1 = ----------------- √ r1 - r 0 (16,48)C

⌠ r1r s drI2 = --------------- ---------------------------------------------C ------------------------------- 2 2⌡ √ r - r0r0

16 419

-------------------------------- 2 r s r1 r1I2 = --------------- Log ------------- + ------------- - 1 (16,49)C r0 √ 2 r0

⌠ r1r s r0 drI3 = ---------------- --------------------------------------------------------------------------------------2 C ------------------------------ 2 2⌡ (r0 + r) √ r - r 0r0

---------------------------------r s r1 - r 0I3 = ---------------- --------------------------------- (16,50)2 C √ r1 + r 0

et

u --------------------------------1 ------------------------------- 2 1 1 2 2 r1 r1t(r1,r0) = ----------------- 1 √ r1 - r 0 + rs Log ------------- + ------------- - 1 C 1 r0 √ 21 r0 m

--------------------------------- o1r s r1 - r0 1+ ------------- --------------------------------- 1 (16,51)2 √ r1 + r0 11.

On voit sur la figure 16.15 que le premierterme, prépondérant, est celui que l’on obtient enconsidérant, en géométrie euclidienne, que lalumière se propage en ligne droite à la vitesse C.On retrouve ce terme seul quand rs = 0 donc quandM G = 0 , lorsque la gravité est donc absente.

i-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.M0 j. M11111r 0 1 r11111k-----------------------r

Fig. 16.15

Le retard est donc donné par :

u -------------------------------- --------------------------------- o1 2 1r s 1 r1 r1 1 r1 - r0 1∆t(r1,r0) = --------------- 1 Log ------------- + ------------- - 1 + --------------- --------------------------------- 1 (16,52)C r0 √ 2 2 √ r1 + r01 r0 1m .Il reste à évaluer avec précision r1 en métrique

de Schwarzschild (Shapiro 1968). De plus, pour une-------------------------------------------horloge sur Terre, on a : τ = √ 1 - 3rs/2rT t(Voir exercice 16.11 avec une influence négligeablede la gravité terrestre sur l’écoulement du temps).

L’expérience consiste à envoyer un signal radarsur Mercure et à mesurer le retard ∆τ du retour parrapport au résultat attendu dans le cas d’unepropagation rectiligne de la lumière à la vitesse

17 420

C. La situation la plus favorable est obtenue lorsd’une conjonction supérieure de Mercure, le signalradar rasant le Soleil à l’aller et au retour(fig. 16.16) :

Sole i lMercure Terre

Fig. 16.16

Nous appelons rM la distance de Mercure auSoleil, rT la distance de la Terre au Soleil, r lerayon du Soleil. On a alors, en tenant compte del’aller et du retour :

u o∆τ = 2 1 ∆t(rT,r ) + ∆t(rM,r )1 (16,53)1m .

Le calcul numérique donne :

-3∆τ = 0.240 10 secondes

Voir à ce sujet l’exercice 7.3Les premières mesures faites par le laboratoire

Lincoln lors des conjonctions supérieures deMercure du 28 avril au 20 mai 1967 et du 15 aout au10 septembre 1967 donnèrent un bon accord entre lathéorie et l’observation.

Le retard produit par le passage d’une onde prèsdu Soleil est maintenant vu très nettement grâceaux pulsars. Lorsque, du fait de la rotation de laTerre autour du Soleil, un pulsar s’aligne avec leSoleil, on détecte avec beaucoup de précision leretard sur l’arrivée des impulsions d’ondesradioélectriques.

21. Ralentissement apparent de la vitesse de lalumière. - Montrons que le calcul fait dans leparagraphe précédent est en accord avecl’explication intuitive du ralentissement apparentde la propagation de la lumière vu par unobservateur loin de l’astre, donnée au § 13 duchapitre 7 et dans l’exercice 7.3 .

L’équation utilisée était (16,17). Montronsqu’avec l’équation (16,16), elle redonne bien lavitesse locale de C pour un photon :

L’élément linéaire de Schwarzschild (16,5) montreque :

18 421

2 2 2 2dl = B dr + r dθ-------------

et le temps local tl est tel que tl = √ A dt .La vitesse mesurée localement avec des instrumentsétalons est donc telle que :

2 2 2 22 dl B dr r dθv = ---------------- = ------------------ --------- + ----------------- -----------l 2 A 2 A 2dt l dt d t

(16,17) avec E = 0 donne :

2 2 2 2 2 dr A C J A C--------- = ---------------------- - ------------------------------------------ dt B 2B r

2 2 2 2 dθ J A C(16,16) donne : ----------- = ------------------------------------- d t 4r

2 2 2 22 2 J C A J A Cet v = C - ------------------------------------- + -------------------------------- ⇒ v = Cl 2 2 lr r

Considérons maintenant le cas simple d’unmouvement radial : J = 0 .

2 2 dr A C(16,17) donne --------- = ---------------------- dt B

et on a rigoureusement :

r2 r2 ----------------------- r2⌠ ⌠ ⌠ dt 1 B drt = --------- dr = ---------------- ------------------ dr = ------------- dr C √ A v⌡ ⌡ ⌡r1 r1 r1

Cela correspond bien à une vitesse apparente v de----------------la lumière, vue de loin, avec v = C √ A/B . Il y-------------a le facteur √ A dû au ralentissement du temps et------------le facteur 1/√ B < 1 dû à la contraction deslongueurs étalons radiales par rapport à cellesmesurées en tournant à distance constante autour del’astre.

En effet l’augmentation des longueurs radialesmesurée avec des règles étalons locales estcomplètement représentée par l’image d’une surfacecourbe plongée dans l’espace euclidien à troisdimensions telle qu’elle est dessinée sur lafigure 7.7 , avec augmentation des distancesradiales, sans modification des distancesorthoradiales (en cercle autour de l’astre).

19 422

1--------------------------- dl------------- ----------------------- -----------------------dr √ B A dl Av = --------- = ---------------------------------------------------- = ------------------ -------- = ------------------ Cdt 1 √ B dtl √ B--------------------------- dtl-------------

√ A

20 423

EXERCICES

16.1 1. Calculez le rayon de Schwarzschild pour untrou noir de 1 milliard de masses solaires aucentre d’une galaxie (quasar).

2. Montrez que ce résultat est cohérent avec letemps minimum de fluctuation du rayonnement desquasars qui est de quelques heures.

16.2 1. La masse de la Terre étant égale à246 10 kg , calculez le rayon de Schwarzschild

correspondant.2. Calculez un ordre de grandeur de l’effet de

contraction des longueurs au niveau de la surfaceterrestre, et déduisez en l’erreur sur lacirconférence terrestre.

====================================================================================================

Les exercices 16.3 à 16.9 étudient le mobile enchute libre depuis l’infini où il a une vitessenulle, décrit aux § 16 et § 17 .

16.3 1. Calculez la vitesse du mobile duparagraphe 16 , vu par un observateur fixe decoordonnée r.

2. Quelles conclusions en tirez vous, en liaisonavec l’exercice 7.1 ?

16.4 1. Trouvez le lien entre dtl, temps propre locald’un objet immobile de coordonnée r et dτ, tempspropre du mobile étudié au § 16 .

Montrez que ce lien correspond à la formule (3,6)de Relativité restreinte, donnant le retard d’unehorloge mobile, vue du référentiel fixe.

2. En déduire la formule dτ = A dt , compte tenude (16,30).

16.5 En utilisant les résultats des exercices 16.3 et16.4 , ainsi que la formule de l’effet Dopplerrelativiste de l’exercice 4.4 , trouvez la formuledonnant le décalage vers le rouge de la lumièreémise par un objet, situé à la coordonnée r, enchute libre depuis l’infini où il était immobile,cette lumière étant observée à l’infini.

En déduire la formule (16,29).

16.6 1. Ecrire l’équation différentielle à variablesséparables reliant t et r pour un rayon lumineux sepropageant radialement dans la métrique deSchwarzschild.

2. Exprimez cette équation sous forme intégralepour le mouvement d’une crête d’onde, émise en r à

21 424

l’instant du temps universel t par le mobile du§ 16 , et qui arrive au point d’observation r∞ trèsgrand devant rs (sans être infini) au tempsuniversel t∞.

Exprimez de même le mouvement de la crête d’ondesuivante, émise par le mobile, partant du pointr + δr au temps universel t + δt et arrivant enr∞ (le point d’observation est fixe) au tempsuniversel t∞ + δt∞ .

3. Connaissant l’équation δτ = A δt etl’équation (16,27), calculez δt∞/δτ .

4. En déduire le décalage vers le rouge z enfonction du point d’émission de coordonnée r.

16.7 On étudie toujours le même mobile.1. Le mobile émet un signal lumineux à l’instant

t du temps universel, au point de coordonnée r(t).Ce signal arrive au point d’observation éloigné

de coordonnée r∞ au temps universel t∞.Exprimez t∞ en fonction de t au moyen d’une

intégrale (que l’on ne calculera pas) contenant unefonction de r(t).

2. Montrez que à la fois t et l’intégraledivergent quand r(t) L rs . Exprimez ce quesignifie pratiquement la divergence de ces deuxquantités.

3. Déduire de la formule trouvée le décalage versle rouge z de la lumière émise par l’objet situé enr(t) et reçue à l’infini. On rappelle que :

a⌠ u od 1 dh(t)-------- f(x) dx = - f1 h(t)1 ---------------------dt 1 1 d t⌡ m .h(t)

4. r est supposé voisin de rs et la formule(16,31) est vérifiée. En utilisant cette formule eten calculant d’une manière approchée l’intégralequi apparait dans la formule reliant t∞ et t,exprimez t∞ en fonction de t, et de r(t) positionde l’émission du signal qui est reçu au tempsuniversel t∞ au point d’observation éloigné.

En déduire le décalage vers le rouge de l’objeten fonction de l’instant d’observation t∞ de cetobjet. Conclusion?

16.8 Calculez l’intégrale apparaissant à la question 1de l’exercice 16.7, et donc le retard t∞ - tentre l’instant en temps universel d’émission dusignal par le mobile et l’instant de réception aupoint de coordonnée r∞.

16.9 1. Calculez :

22 425

---------- dr a -------------------------------------------------------------------------------------------- en posant --------------- = u---------- √ r a a --------------- 1 - --------------- √ r r

2. En déduire, à partir de (16,30), la formuleexacte donnant la valeur du temps universel ∆tnécessaire pour une particule lachée avec unevitesse nulle à l’infini pour aller de r0 à r .

3. Montrez que pour r » rs , on retrouve laformule (16,28); justifiez.

4. Montrez que pour r L rs on retrouve(16,31).

5. Utilisez les résultats précédents, ainsi queceux de l’exercice 16.8 , pour donner la valeurnumérique du temps t∞ d’arrivée du signal au posted’observation (l’origine des temps sera choisie àvotre guise) en fonction de z. x = r/rs variera

10 -9de 1 + 10 à 1 + 10 ; x - 1 étant divisépar 10 d’un calcul à l’autre.

On prendra la valeur numérique du § 17 :-5T = 2,46 10 .

6. Sachant que la Terre est à environ 8 mnlumière du Soleil, lorsque le corps tombant est àla même distance du trou noir que la Terre duSoleil, quel est son décalage vers le rouge?

Combien de temps met-il à tomber depuis cettedistance dans le trou noir?

7. Vérifiez cette valeur par un calcul demécanique newtonienne.

16.10 Une horloge étalon posée sur la Terre voit sontemps propre s’écouler plus lentement que celuid’une horloge immobilisée à une certaine hauteur.

Quel est le mouvement d’une horloge partant àl’instant universel ta d’un point de la surfaceterrestre et y revenant à l’instant tb, latrajectoire étant telle que le temps propre écoulésoit maximal?

16.11 On considère un astre sans atmosphère (comme laLune) isolé dans l’espace, et trois horlogesétalons : La première (temps t) est située immobileet loin de l’astre; la deuxième (temps τi) estposée sur la surface de l’astre; la troisième(temps τc) a une orbite circulaire au voisinage dela surface de l’astre.

1. Calculez τi en fonction de t.2. Calculez τc en fonction de t.3. Montrez que le résultat de la question 2

permet de retrouver le rayon de la trajectoirecirculaire de la lumière autour d’un trou noir.

4. Calculez la période de rotation du satellite

23 426

autour de l’astre, et montrez que l’on retrouve lerésultat newtonien.

5. Vérifiez le résultat de la question 4 enconsidérant un photon.

6. Montrez que pour rs faible, le lien entre τiet τc est celui donné par la Relativité restreinte.

16.12 Montrez que l’on peut retrouver le résultat de laquestion 4 de l’exercice 16.11 en considérant lesondes de matière de de Broglie (exercice 4.1 et12.3 et § 15 de ce chapitre).

16.13 On considère une particule matérielle maintenuesur une orbite circulaire parcourue à vitesseconstante autour d’un trou noir.

1. Calculez la force gravitationnelle subie parcette particule.

2. Montrez que l’on peut interpréter cette forcecomme la somme de la force d’attraction universellede Newton indépendante de la vitesse et de la forcecentrifuge.

3. Montrez que sur l’orbite circulaire de lalumière, la force centrifuge est nulle; et que,plus près encore de l’astre, la force centrifugepropulse le mobile vers l’astre au lieu de l’enécarter. Montrez qu’un accroissement de la vitesseorbitale renforce l’"attraction" de la forcecentrifuge.

4. Conclusion?

16.14 (non corrigé).1. Montrez, en partant de (16,7), que

l’accélération de gravité g ressentie par unobservateur fixe local de coordonnée r à distanced’un trou noir, et mesurant les quantités avec seshorloges et longueurs étalons locales, vaut :

2d l 1 G Mg = ------------- = - ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------2 --------------------------------------------------------------------------- 2dt l 2 r√ 1 - 2 G M/r C

---------------------------------- 1avec dtl = √ 1 - rs/ r dt et dl = ------------------------------------------------- dr-----------------------------------√ 1 - rs/ r

et devient donc infinie lorsque l’on s’approche del’horizon. F = - m g est la force qu’il fautappliquer à la masse m pour l’empêcher de tomberdans le trou. On voit que, au niveau de l’horizon,plus rien ne peut empêcher une telle chute.

2. On considère l’exemple de la chute libredepuis l’infini du § 16 , et on veut montrer dansce cas particulier qu’un observateur fixe localvérifie la formule :

24 427

dP m-------------- = ------------------------------------------------------------- gd t l -----------------------------------------------2 2√ 1 - v /Cl

avec

------------m vl dl rsP = ------------------------------------------------------------ ; v = ---------- = C ---------------------------------------------------------- l dtl √ r

2 2√ 1 - v /Cl

(exercice 16.3).Pour cela, on utilisera également l’équation

(16,30) ainsi que :

---------------------------------- dP dP dr dtdtl = √ 1 - rs/r dt ; avec ------------- = ----------- --------- ----------d t l d r dt dtl

Le fait que la force de gravitation soit :

mF = ------------------------------------------------------------- g-----------------------------------------------2 2√ 1 - v /C

montre que, en Relativité générale, c’est bien la-------------------------------------------2 2masse-énergie m/√ 1 - v /C qui est couplée à la

gravitation.3. Montrez que lorsque v , g , on obtient :

lγ = dv /dtl = g .

l4. Montrez que, pour un objet tombant

verticalement, la relation entre P et g donne :2 2γ = g ( 1 - v /C ) , l’accélération γ est doncl

nulle lorsque v = C .l

5. Retrouvez la relation précédente en partant de(16,7).

16.15 (non corrigé).Montrez, à l’aide des équations (16,11) et

(16,14), que le demi-angle du cône qui contient lesdirections des particules de masses nulles pouvants’échapper du trou noir est de----------α = 3 √ 3 l/4 rs . l est la hauteur, mesurée endistance propre, des particules considérées audessus de l’horizon. On pourra tout d’abord montrer----------que si J ≥ 3 √ 3 rs/2 , les particules nepeuvent s’échapper, dr/dp s’annulant.

25 428

Chapitre dix-sept

LA SOLUTION INTERIEURE DE SCHWARZSCHILD

1. Introduction. - Après avoir étudié la solutionde Schwarzschild en espace vide dans le chapitreprécédent, nous allons étudier maintenant lasolution intérieure de Schwarzschild. Celle-ci estune solution en espace non vide de l’équation duchamp, donc à l’intérieur de la matière et avec lesmême symétries que la solution de Schwarzschild enespace vide. Notre but est en effet de résoudrel’équation du champ complète (13,17), donc enespace non vide et en prenant en compte le tenseurd’impulsion-énergie du système. De plus, nousferons cela dans le cas où l’approximation linéairen’est pas valable. Nous allons ainsi découvrir dansun calcul complet les effets de la non linéarité del’équation du champ.

Nous étudierons la solution à symétrie sphériqueet constante dans le temps de façon à simplifierles équations par des considérations de symétrie.Pour le tenseur d’impulsion-énergie, nous prendronsla forme (8,22) correspondant à un fluide parfait.Toutes ces approximations sont justifiées pourl’intérieur des étoiles qui ont atteint le stadefinal de leur évolution : naines blanches etétoiles à neutrons.

Une naine blanche est une étoile dans laquelle latempérature joue un rôle négligeable. Les noyauxdes atomes sont intacts, mais tous les électronssont délocalisés dans un gaz dont la pression estdue à la dégénérescence quantique liée au principed’incertitude de Heisenberg. Les effets detransfert de chaleur et de viscosité sont supposésjouer un rôle négligeable, d’où la possibilitéd’utiliser le tenseur d’impulsion-énergie d’unfluide parfait.

Les étoiles à neutrons ou pulsars, résidus dessupernovaes sont encore plus massives et les effetsliés à la relativité y joueront un rôle crucial.Elles sont le stade final d’évolution des étoilesgéantes. Cette fois-ci, il n’y a plus que desneutrons dont la dégénérescence quantique est àl’origine de la pression soutenant l’étoile. Làencore, la viscosité, la température et lestransferts de chaleurs jouent un rôle négligeableet nous pourrons prendre le tenseur

1 429

d’impulsion-énergie d’un fluide parfait.Nous aboutirons alors au résultat crucial qu’il

existe une masse limite au delà de laquelle uncollapse sans fin est inévitable, tout étatd’équilibre étant impossible.

Pour avoir des équations relativement simples,nous prendrons un modèle où la masse volumique estsupposée constante, ce qui n’est pas si loin de laréalité pour les étoiles à neutrons dont la matièreest pratiquement incompressible.

2. Calcul des composantes du tenseurd’impulsion-énergie. - Les considérations desymétrie du chapitre précédent sont identiques àcelles valables ici et nous avons encore avec lesmêmes coordonnées la forme (16,2) de l’élémentlinéaire :

2 0 2 2 2 2 2 2ds = A (dx ) - B dr - r ( dα + cos α dθ )

Nous préférons utiliser ici la coordonnée0x = C t pour avoir la même homogénéité pour

toutes les coordonnées dans les formules quisuivent.

Nous reprenons donc l’expression (12,11) dutenseur d’impulsion-énergie d’un fluide parfait :

αβ αβ 2 α βT = - p g + ρ C + p U U (17,1)

αβAvec : g U U = 1α β

Cette relation est déduite de (4,5) avec (11,7)et (11,8).

0Ici, seule la coordonnée U est non nulle, lasituation étant constante dans le temps.

αβ 0 2 0 2g U U = g (U ) = A (U ) = 1α β 00

-------------0 1 0U = --------------------------- ; U = g U = √ A------------- 0 00

√ A

αβ 0g étant diagonal et seule U étant non nulle,nous voyons sur l’expression (17,1) que le tenseurd’impulsion-énergie est diagonal.

2 430

200 p 2 1 CT = - ------------------ + ρ C + p ------------------ = ρ -----------------A A A

rr p αα p θθ pT = ----------------- ; T = -------------- ; T = --------------------------------------B 2 2 2r r cos α

00 2T = g g T = ρ C A ; T = p B00 00 00 rr

2 2 2T = p r ; T = p r cos ααα θθ

2 ρ C --------------------- 0 0 0 A p 0 ----------------- 0 0 αβ B T = p 0 0 -------------- 0 2 r p 0 0 0 -------------------------------------- 2 2 r cos α

2 ρ C A 0 0 0 0 p B 0 0 T = 2 αβ 0 0 p r 0 2 2 0 0 0 p r cos α

3. Nouvelle forme de l’équation du champ. - Nousallons maintenant mettre l’équation du champ sousune forme plus pratique pour la résoudreeffectivement :

αβ 1 αβ 8 π G αβR - --------------- g R = - ----------------------------- T2 4C

αβ 1 αβ 8 π G αβg R - --------------- g g R = - ----------------------------- g Tαβ 2 αβ 4 αβC

On sait (équation (5,41)) que les matrices g etαβαβ αβg sont inverses l’une de l’autre. g g estαβla trace de leur produit, la matrice unité et vaut

3 431

donc 4 . Il vient :

8 π G αR - 2 R = - ----------------------------- T4 αC

8 π G λR = ----------------------------- T4 λC

αβ 1 αβ 8 π G λ 8 π G αβR - --------------- g ----------------------------- T = - ----------------------------- T2 4 λ 4C C

et donc :

αβ 8 π G αβ 1 αβ λ R = - ----------------------------- T - --------------- g T (17,2)4 2 λ C

4. Ecriture des différentes composantes del’équation du champ : loi de force. - Tout d’abord,λnous évaluons T :λ

λ 00 11 22 33T = g T + g T + g T + g Tλ 00 11 22 33

λ 2T = ρ C - 3 pλ

Puis, nous utilisons l’équation (17,2) :

8 π G 2 1 2 R = - ----------------------------- ρ C A - --------------- A ρ C - 3 p 00 4 2 C

4 π G 2 R = - ----------------------------- ρ C + 3 p A00 4 C

8 π G 1 2 R = - ----------------------------- p B + --------------- B ρ C - 3 p rr 4 2 C

4 π G 2 R = - ----------------------------- ρ C - p Brr 4 C

2 8 π G 2 r 2 R = - ----------------------------- p r + -------------- ρ C - 3 p αα 4 2 C

4 432

4 π G 2 2R = - ----------------------------- ρ C - p rαα 4 C

Et, tout de suite :

4 π G 2 2 2R = - ----------------------------- ρ C - p r cos αθθ 4 C

Compte tenu des valeurs obtenues pour lesdifférentes composantes du tenseur R au § 4 duαβchapitre 16 et qui sont valables ici et en notant

2que R = C R , le système différentiel obtenutt 00est :

A ’ ’ 1 A’ A’ B’ 1 A’- -------------------- + --------------- ----------------- ----------------- + ---------------- - --------------- ----------------- =2 B 4 B A B r B

4 π G 2 - ----------------------------- ρ C + 3 p A (17,3)4 C

A ’ ’ A ’ A’ B’ B ’--------------------- - --------------------- ----------------- + ---------------- - ------------------ =2 A 4 A A B r B

4 π G 2 - ----------------------------- ρ C - p B (17,4)4 C

r A’ B’ 1- 1 + ---------------- ----------------- - ---------------- + ----------------- =2 B A B B

4 π G 2 2- ----------------------------- ρ C - p r (17,5)4 C

Nous n’écrivons pas l’équation en θ, identique à2celle en α multipliée par cos α .

5. Equation dynamique. - Elle s’écrit :

αβT = 0;βNous laissons le lecteur vérifier que lorsque

l’indice variable α vaut 0,α,θ , on obtient uneéquation identiquement nulle. Il reste :

5 433

rβ r0 rr rα rθT = T + T + T + T = 0;β ;0 ;r ;α ;θ

Nous avons (9,34) :

αβ αβ αh β hβ αT = T + T Γ + T Γ;γ ,γ hγ hγ

Nous noterons encore avec un prime toutes lesdérivées par rapport à la variable r. Compte tenude (16,3), nous avons :

2r0 rr 0 00 r p A ’ ρ C A ’T = T Γ + T Γ = ----------------- --------------------- + --------------------- --------------------;0 r0 00 B 2 A A 2 B

rr rr rr r p ’ p B’ p B ’T = T + 2 T Γ = ---------------- - ------------------- + 2 ----------------- -------------------;r ,r rr B 2 B 2 BB

rα rr α αα r p 1 p r T = T Γ + T Γ = ----------------- --------------- + -------------- - -----------------;α r α αα B r 2 B r

rθ rr θ θθ r p 1 pT = T Γ + T Γ = ----------------- --------------- + --------------------------------------;θ rθ θθ B r 2 2r cos α

r 2 - ----------------- cos α B

Il vient :

2p A’ ρ C A’------------------ + -------------------------------------- + p’ = 02 A 2 A

A ’ 2 p’ = - --------------------- p + ρ C (17,6)2 A

Lorsque l’approximation newtonienne s’applique :

2 φ 2 φ’ 2A = 1 + ----------------------- 1 et A’ = ---------------------- = ---------------- g2 2 2C C C

Il vient :

dp p ---------- = - g ρ + ---------------- (17,7)dr 2 C

Nous retrouvons bien l’équation (8,31). Nousrenvoyons à la discussion faite à ce sujet au § 16

6 434

du chapitre 8 .

Si l’on examine maintenant le système completd’équations : (17,3) , (17,4) , (17,5) , (17,6) ,nous remarquons que nous avons 4 équations pour 3inconnues : A,B,p . Le système n’est donc pasindépendant. En effet, la loi de force contient laloi dynamique. Les trois équations de la loi deforce doivent donc permettre de retrouverl’équation (17,6). Nous allons le vérifier dans leparagraphe suivant.

6. La loi de force contient la loi dynamique. -Effectuons la somme des équations (17,3) diviséepar A et (17,4) divisée par B :

B ’ 1 A ’ 8 π G 2 - ---------------------- - --------------- ----------------------- = - ----------------------------- ρ C + p (17,8)2 r A B 4 r B C

Ajoutons maintenant membre à membre les équations(17,8) et (17,5) multipliée par 2 et divisée par

2r . Le terme en p du deuxième membre disparait, etil reste :

42 C B ’ 1 1 ρ C = - ----------------------------- - ---------------------- - -------------- + -------------------- (17,9)8 π G 2 2 2 r B r r B

De (17,8) et (17,9) on déduit p :

8 π G 1 A ’ 1 1----------------------------- p = --------------- ----------------------- - -------------- + -------------------- (17,10)4 r A B 2 2C r r B

Les premiers membres de (17,4) divisée par B et2de (17,5) divisée par r sont égaux. Cette équation

nous sera utile :

2A’ ’ A’ A ’ B’ B ’----------------------------- - --------------------------------- - ------------------------------------- - ---------------------- =2 A B 2 2 24 A B 4 A B r B

1 1 A’ B’ 1- -------------- + --------------------------- ----------------- - ---------------- + ------------------------- (17,11)2 2 r B A B 2r r B

(17,10) nous permet de calculer p’ :

28 π G 1 A ’ A’ ’ A’ A ’ B’----------------------------- p’ = - -------------- ----------------------- + ---------------------------- - -------------------------------- - ------------------------------------4 2 A B r A B 2 2C r r A B r A B

2 1 B’ 2+ -------------- - -------------- ---------------- - -------------------- (17,12)3 2 2 3r r B r B

On reconnait dans la somme du troisième terme etdu quatrième terme le premier membre de l’équation(17,8) multiplié par A’/A . Le reste vaut :

7 435

2 A ’ A’ ’ 1 B’ 1 - --------------- ------------------------------------------ - ----------------------------- - -------------- + -------------------------------- + --------------------r 2 r A B 2 A B 2 2 2 r 2 r B r B

L’équation (17,11) nous montre que cela vaut :

22 A’ A ’ B’ - --------------- - --------------------------------- - -------------------------------------r 2 2 4 A B 4 A B

2A ’ A’ B ’= ---------------------------------------------- + ------------------------------------------------2 22 r A B 2 r A B

On retrouve la moitié de l’opposé du troisièmeterme plus le quatrième terme de (17,12).Finalement :

28 π G A ’ A’ B ’----------------------------- p’ = - ---------------------------------------------- - ------------------------------------------------4 2 2C 2 r A B 2 r A B

Enfin, compte tenu de (17,8) :

A ’ 2 p’ = - --------------------- ρ C + p2 A

Cela était bien l’équation cherchée.

7. Bilan des équations. - Nous faisons maintenantun tableau des équations qui nous seront utilespour résoudre le problème. (17,9) donne :

2C B ’ 1 1 1 ρ = - ----------------------------- - ---------------------- - -------------- + -------------- ----------------- (17,13)8 π G 2 2 2 B r B r r

(17,10) donne :

4C 1 A ’ 1 1 p = ----------------------------- --------------- ----------------------- - -------------- + -------------------- (17,14)8 π G r A B 2 2 r r B

(17,11) donne :

21 1 A’ ’ A’ A ’ B’ B ’-------------------- = -------------- + ----------------------------- - --------------------------------- - ------------------------------------- - ----------------------2 2 2 A B 2 2 2r B r 4 A B 4 A B r B

1 B’ A’ + --------------------------- ---------------- - ----------------- (17,15)2 r B B A

(17,8) donne :

42 C B ’ A’ p + ρ C = ----------------------------- ---------------------- + ---------------------------- (17,16)8 π G 2 r A B r B

(17,14) donne :

8 436

A ’ 8 π G 1 1----------------------- = ----------------------------- r p + --------------- - ---------------- (17,17)A B 4 r r BC

Enfin rappelons :

A ’ 2 p’ = - --------------------- p + ρ C (17,6)2 A

8. L’équation de Tolman-Oppenheimer-Volkov. - Ils’agit de la généralisation relativiste del’équation d’équilibre hydrostatique newtoniennepour une étoile. Définissons tout d’abord lafonction m(r) par :

1 2 G m 1B = ------------------------------------------------------------------ ⇔ 1 - -------------------------------- = -----------------(17,18)2 G m 2 B1 - ------------------------------------- r C2r C

En supposant la fonction m(r) continue à lasurface de l’étoile, on a alors automatiquement lacontinuité de la fonction B, m prenant à la surfaceet à l’extérieur, la valeur correspondant à lasolution extérieure de Schwarzschild etcorrespondant à la masse totale de l’astre.

Il vient, en dérivant l’équation de droite :

B’ 2 G m’ 2 G m 2 G m’ 1 1- ---------------- = - -------------------------------- + ---------------------------------- = - -------------------------------- + --------------- - ----------------2 2 2 2 2 r r BB r C r C r C

(17,13) donne :

2 G m’ 8 π G- ---------------------------------- = - ----------------------------- ρ2 2 2r C C

2m’ = 4 π r ρ (17,19)

m doit être nulle pour r = 0 de façon à éviterune discontinuité pour la métrique. Cela donneB = 1 . Nous supposons qu’il est effectivementpossible de choisir la coordonnée r de façon àavoir cela. Notons que cela correspond au faitqu’on a l’espace plat de Minkowski au centre del’astre où la gravitation est nulle. Un référentielgaliléen y est en effet immobile et en prenant deslongueurs et des horloges étalons : g = η .αβ αβNous avons alors :

9 437

r⌠2m = ρ 4 π r dr (17,20)

⌡0

La masse totale de l’étoile est donnée par laformule (17,20) avec r = r0 , r0 étant le rayon del’étoile, exactement comme dans la théorienewtonienne. Cependant, il ne faut pas oublier que

24 π r dr n’est pas l’élément de volume, dr necorrespondant pas à la distance réelle radialemesurée avec des règles étalons pour la variationde cette coordonnée et cette masse ne corresponddonc pas à la masse totale de matière ayant servi àconstituer l’étoile. Nous détaillerons cettequestion au paragraphe 11 .

(17,6) et (17,17) donnent :

4 π G B 1 2p’ = - ----------------------------- r B p - ---------------- + -------------- p + ρ C 4 2 r 2 r C

4 π G 1 2 G m ----------------------------- r p + -------------------- --------------------------------4 2 r 2 2 C r Cp’= - p + ρ C ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 G m1 - ---------------------------------

2r C

4 π 3----------------------- r p + m2 p Cp’ = - G ρ + ---------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------- (17,21) 2 C 2 G m r r - -------------------------------- 2 C

C’est l’équation de Tolman-Oppenheimer-Volkov.Cette équation est très utile pour la constructiondes modèles d’étoiles. En ce qui nous concerne, etpuisque nous supposons ρ = Cte , nous nousservirons directement de l’équation (17,6) pourintégrer le système différentiel.

Supposons que nous soyons proche del’approximation newtonienne. Le dénominateur est

2 3voisin de r . m 4/3 π r ρ et :

4 3 3 p --------------- π r ρ + -----------------3 2 p Cp’ = - G ρ + ---------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- (17,22) 2 2C r

10 438

On reconnait l’équation que l’on obtient avec lamécanique newtonienne, mais la densité de massegravitationnelle passive est remplacée par

2ρ + p/C comme nous l’avons vu ci-dessus (équation(17,7)). D’autre part, le facteur à l’origine de

2l’attraction gravitationnelle est ρ + 3 p/C aulieu de ρ. Cela nous montre que les quatrescomposantes du tenseur d’impulsion-énergie,exprimées dans des coordonnées voisines de cellesde Minkowski, interviennent avec le même facteurpour créer l’attraction gravitationnelle. Commenous l’avons vu au § 6 du chapitre 14 et au§ 16 du chapitre 12 , le tenseur se réduit eneffet à sa forme diagonale avec :

00 2 iiT ρ C ; et T p

9. Détermination de la métrique. - Nous allonsmaintenant intégrer complètement le systèmed’équations différentielles.

Puisque ρ est constant, (17,20) implique :

4 3m = --------------- π r ρ (17,23)3

(17,18) donne alors :

1 1B = -------------------------------------------------------------------------- = ---------------------------------------- (17,24)2 28 π G ρ r r1 - ------------------------------------------------------- 1 - ---------------------

2 ^ 23 C R

En posant :

2^2 3 CR = --------------------------------------- (17,25)8 π G ρ

^Nous devons supposer que r0 < R de façon à nepas avoir de discontinuité pour B. Nous reviendronssur cette limitation au paragraphe suivant.

(17,6) donne alors :

p ’ A ’------------------------------------------- = - ---------------------2 2 Ap + ρ C

Soit :

2 1Log ( p + ρ C ) = - --------------- Log A + Cte2

-------------2( p + ρ C ) √ A = K (17,26)

(17,16) donne alors :

11 439

4K C B ’ A’ ------------------------------ = ----------------------------- --------------------------- + -------------------------------------------- 8 π G 2 r A B r B√ A

4 4r K C B’ C A ’--------------------------- = ----------------------------- ---------------- + ----------------------------- ------------------------------------ 8 π G 2 8 π G A BB√ A

(17,24) donne alors :

4 4r K C 16 π G ρ r C A’--------------------------- = - ----------------------------- - ----------------------------------------------------- + ----------------------------- ------------------------------ 8 π G 2 8 π G A3 C√ A

2 8 π G ρ r 1 - --------------------------------------------------- 2 3 C

4 2 4r K C r r 2 C A ’--------------------------- = ----------------------------- ---------------- + 1 - ---------------- ------------------------------- ---------------------------------- 4 π G ^ 2 ^ 2 8 π G 2 AR R√ A

Posons :

------------- 4 ------------- ’C A’y = √ A ----------------------------- ; √ A = ----------------------------------------8 π G ------------2 √ A

2r r r K = 2 y ---------------- + 1 - ---------------- 2 y’^ 2 ^ 2 R R

2 r r r K1 - ---------------- y’ + ---------------- y = ----------------- ^ 2 ^ 2 2R R

Nous avons une solution particulière :

1 ^2y = --------------- K R2

Résolvons l’équation sans second membre :

y’ r-------------- = - ----------------------------------------------------------------------y 2^ 2 r R 1 - ---------------- ^ 2 R

2y 1 r Log ----------------- = --------------- Log 1 - ----------------L 2 ^ 2 R

12 440

---------------------------------------------2 ry = L 1 - ---------------------√ ^ 2R

La solution générale est la somme d’une solutionparticulière et de la solution générale del’équation sans second membre :

----------------------------------------------------- 2 8 π G 1 ^2 r√ A = ----------------------------- --------------- K R + L 1 - ---------------- 4 2 √ ^ 2C R

Nous avons donc, λ et µ étant deux nouvellesconstantes :

----------------------------------------------------- 2 r√ A = λ + µ 1 - ---------------- (17,27)√ ^ 2R

4 π G ^2λ = ----------------------------- K R (17,28)4C

(17,26) donne alors :

42 C 1p + ρ C = ----------------------------------------------- λ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- (17,29)^ 2 ----------------------------------------4 π G R 2 rλ + µ 1 - ----------------√ ^ 2R

Nous avons déjà une condition à la limite qui estque la pression soit nulle à la surface del’étoile :

42 C λρ C = ----------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------^ 2 ----------------------------------------4 π G R 2 r 0λ + µ 1 - ----------------√ ^ 2R

D’une manière évidente :

24 π G 3 C 3ρ ----------------------------- --------------------------------------- = ---------------2 8 π G ρ 2C

donc :

4 π G ρ 3------------------------------------------ = ---------------------2 ^ 2C 2 R

Il vient :

----------------------------------------23 3 r 0--------------- λ + --------------- µ 1 - ---------------- = λ2 2 √ ^ 2R

soit :

13 441

----------------------------------------2 r 0λ = - 3 µ 1 - ---------------- (17,30)√ ^ 2R

Nous déterminons la constante d’intégration µ endemandant que la métrique de Schwarzschildintérieure soit identique à la métrique deSchwarzschild extérieure à la surface de l’astre.La masse totale correspondant à la solutionextérieure de Schwarzschild est :

4 3M = --------------- π r0 ρ (17,31)3

Ceci venant de la continuité de B à la surface,de (17,18) et de (17,23). (17,27) donne alors avec(17,30) :

---------------------------------------- ----------------------------------------------------- 2 2 r 0 r√ A = µ - 3 1 - ---------------- + 1 - ---------------- (17,32)√ ^ 2 √ ^ 2 R R

---------------------------------------- ---------------------------------------- 2 2 2 2 r 0 rA = µ 3 1 - ---------------- - 1 - ---------------- √ ^ 2 √ ^ 2 R R

La continuité avec la solution de Schwarzschildexprimée par (16,5) donne alors :

22 r 0 2 G MA(r0) = µ 4 1 - ---------------- = 1 - --------------------------------- (17,33) ^ 2 2R r 0 C

(17,31) donne :

4 22 G ---------------- π r0 ρ 2 22 G M 3 8 π G ρ r0 r 0--------------------------------- = -------------------------------------------------------------------------- = ------------------------------------------------------- = ---------------------(17,34)2 2 2 ^ 2r0 C C 3 C R

Il vient :

2 22 r 0 r 0 1µ 4 1 - ---------------- = 1 - ---------------- ; et µ = ± --------------- ^ 2 ^ 2 2R R

(17,26) implique K > 0 , donc λ > 0et :

1µ = - --------------- (17,35)2

Finalement avec (17,24) :

14 442

---------------------------------------- ---------------------------------------- 2 2 2 2 3 r 0 1 r 2 2ds = --------------- 1 - ---------------- - --------------- 1 - ---------------- C dt2 √ ^ 2 2 √ ^ 2 R R

2dr 2 2 2 2 - ---------------------------------- - r dα + cos α dθ (17,36)2 r1 - ---------------^ 2R

Cet élément linéaire constitue la solution deSchwarzschild intérieure, avec :

2^2 3 C ^R = --------------------------------------- et r0 < R (17,37)8 π G ρ

^Nous avons supposé r0 < R de façon à ne pasavoir de discontinuité pour B donné par (17,24) etcorrespondant à la solution intérieure deSchwarzschild. En ce qui concerne la solutionextérieure :

1 1B(r) = ---------------------------------------------------- = ------------------------------------------------2 G M 31 - --------------------------------- r 02 1 - -----------------------------r C ^ 2r R

La condition de non discontinuité est ici :

3 3r 0 r 0------------------- < 1 soit r > --------------------- ∀ r ≥ r0^ 2 ^ 2r R R

^Soit : r0 < R et nous retrouvons la mêmecondition! La condition de non discontinuité pourla métrique intérieure est donc identique à lacondition de non discontinuité pour la métriqueextérieure, ces deux métriques étant identiques àla surface de l’étoile.

10. Calcul de la pression. - Nous nous servonsde l’équation (17,26). Tout d’abord, il nous fautcalculer K; (17,28) avec (17,25), (17,30) et(17,35) donne :

----------------------------------------4 2 4λ C 3 r 0 C 8 π G ρK = -------------------------------------------- = --------------- 1 - ---------------- ----------------------------- ---------------------------------------^ 2 2 √ ^ 2 4 π G 24 π G R R 3 C

----------------------------------------2

2 r 0K = ρ C 1 - ---------------- (17,38)√ ^ 2R

15 443

Pu i s :

---------------------------------------- ---------------------------------------- 2 2 2 3 r 0 1 r(p + ρ C ) --------------- 1 - ---------------- - --------------- 1 - ---------------- 2 √ ^ 2 2 √ ^ 2 R R

----------------------------------------2

2 r 0= ρ C 1 - ----------------√ ^ 2R

---------------------------------------- ----------------------------------------2 2 r 0 r- 1 - ---------------- + 1 - ----------------√ ^ 2 √ ^ 2

2 R Rp = ρ C ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ (17,39)---------------------------------------- ----------------------------------------2 2 r 0 r+ 3 1 - ---------------- - 1 - ----------------√ ^ 2 √ ^ 2R R

Avec :

4 3M = --------------- π r0 ρ3

Nous devons vérifier que le dénominateur nes’annulle pas, ce qui donnerait une pressioninfinie. Sa valeur minimale est obtenue pourr = 0 . Cela correspond à la pression maximale aucentre de l’étoile.

----------------------------------------2 r 03 1 - ---------------- > 1√ ^ 2R

----------2 2r 0 1 r 0 8 2 √ 2 ^1 - ---------------- > --------------- ; ---------------- < --------------- ; r0 < ----------------------------------- R (17,40)^ 2 9 ^ 2 9R R 3

^Cette condition est plus sévère que r0 < R .

Exprimons la condition précédente en faisantintervenir la masse de l’étoile.

22 8 π G ρ 8 r 0 G 6 M 8r0 ------------------------------------------ < --------------- ; ------------------------ ------------------ < ---------------

2 9 2 3 93 C 3 C r 0

M G 4------------------------------ < --------------- (17,41)2 9r 0 C

La Relativité générale nous apporte ce résultatnouveau qu’il y a une limite à la masse d’uneétoile de rayon donné au delà de laquelle tout état

16 444

d’équilibre est impossible, un tel état d’équilibreconduisant à une pression infinie au centre del’étoile.

On peut montrer que cette limite existe et estdonnée par la formule ci-dessus pour tout modèled’étoile et sans supposer que la masse volumiqueest constante.

Nous avons déjà mentionné au § 17 du chapitre 8que cela vient fondamentalement du fait que legradient de pression dans un champ de pesanteurdonné est supérieur à celui donné par la Mécaniquenewtonienne et du fait que la pression ainsi crééeattire elle-même gravitationnellement; voirégalement le commentaire au dessous de l’équation(17,22). Une telle limite n’existe pas en Mécaniquenewtonienne où la pression reste toujours finie aucentre quels que soient la masse et le rayon del’étoile.

Nous pouvons enfin exprimer la condition(17,41) en faisant intervenir la masse totale del’étoile et sa masse volumique. Il vient pour lamasse limite :

3 3 33 M G 9 r0 > ---------------------------- ---------------

6 4 C

3 3 63 M 729 M G 2 3 × 64 C------------------------------- > --------------- ---------------------------- ; M < ------------------------------------------------------------4 π ρ 64 6 3C 4 π 729 ρ G

62 16 CM < ------------------------------------------------------ (17,42)

3243 π ρ G

La condition exprimant que le rayon deSchwarzschild soit inférieur au rayon de l’étoiletrouvée au § 8 du chapitre 7 donnait (7,6) :

62 3 CM < --------------------- ------------------------- (17,43)32 π 3ρ G

La comparaison des équations (17,42) et (17,43)qui est moins contraignante montre qu’il ne peutpas exister de trou noir en équilibre. Il y aeffondrement de l’astre à cause de l’impossibilitéde réaliser une pression infinie au centre avantque l’horizon de Schwarzschild n’existe réellementà l’extérieur de l’astre.

Les astres les plus compacts qui existent sontles étoiles à neutrons. Une telle étoile a une

15 3masse volumique : ρ 10 g/cm . (17,42) donne30alors M < 7 10 kg soit M < 3.6 M .

Une étude précise tenant compte de la structure

17 445

complète de l’étoile à neutron et de ladégénérescence quantique des neutrons donne en faitune masse limite de 2.5 masses solaires; au delàon a donc un trou noir en effondrement permanent.

Il peut paraitre curieux d’avoir ainsi un teleffondrement sans fin de la matière. Cela heurtenotre sens commun de la matière constituéed’entités élémentaires incompressibles. Cependanten physique moderne, les particules élémentairessont considérées comme ponctuelles et rien nes’oppose à leur rapprochement dans un volume aussipetit qu’on veut. De toute façon, à cause duphénomène de contraction des longueurs, dans letrou noir on peut dire que la matière a de laplace. Ajoutons que vu de l’extérieur, le collapsen’est jamais achevé.

Examinons maintenant comment se forment lesétoiles à neutrons ou pulsars :

La limite de la masse d’une naine blancheimposée par le fait que le gaz d’électronsdégénérés puisse soutenir l’étoile estM < 1.4 M

. Elle est appelée masse deChandrasekhar. Lorsqu’une étoile s’effondre etlorsque sa masse est supérieure à la masse deChandrasekhar, le coeur qui à la structure d’unenaine blanche s’écroule brutalement et devient uneétoile à neutron incompressible tandis que lescouches extérieures sont éjectées par un phénomènede rebond sur ce coeur rigide dans une gigantesqueexplosion. On a alors une supernovae. Ce phénomènes’accompagne de nombreuses réactions nucléairesfabricant les atomes lourds. Il y a égalementémission de rayonnement électromagnétique et deneutrinos.

Si la condition de stabilité du coeur, l’étoile àneutron, n’est pas satisfaite, nous sommes assurépar la Relativité générale d’avoir un collapse sansfin et création d’un trou noir.

Il faudrait tenir compte pour une étude précisedes équations d’état avec la Relativité générale,mais aussi des réactions nucléaires ayant lieu aumoment de l’explosion et donnant naissances auxatomes lourds (plus lourds que le fer), commel’uranium 238 et 235. On peut montrer alors quepour une certaine masse d’étoile, toute l’étoileest volatilisée par l’explosion en gaz éjectés etqu’il ne reste plus rien à l’emplacement del’étoile.

11. Interprétation de la constance de la massevolumique ρ; énergie gravitationnelle négative deformation de l’étoile. - Pour mesurer localement ρ,nous devons prendre un référentiel galiléen localdans lequel le système est macroscopiquement au

2repos. ρ C est alors l’énergie totale par unité devolume, énergie totale prenant en compte la matière

18 446

et toutes les formes d’interaction autres quel’interaction gravitationnelle. Le volume estmesuré au moyen des règles étalons parfaitementindéformables du référentiel galiléen.

Nous avons toujours supposé que seule la vitesseavait un rôle dans la contraction des longueurs etla dilatation des temps et non l’accélération. Desrègles étalons liées au système de coordonnées quenous avons choisi dans l’étoile, donc fixées parrapport à la matière de l’étoile, conviennent toutà fait pour mesurer le volume. Le référentielgaliléen considéré ci-dessus est en effet àl’instant considéré immobile par rapport à lamatière de l’étoile, donc par rapport au système decoordonnées de l’étoile.

Par la pensée, nous pouvons détacher un petitmorceau de volume à l’intérieur de l’étoile,délimité par des règles étalons parfaitementindéformables et l’amener à l’infini. Supposer queρ = Cte lors de cette manipulation, c’est supposerque la masse de cet élément de volume estconstante, puisque l’élément de volume délimité parla matière indéformable servant d’étalon delongueur est lui-même constant. On peut supposerque la masse est constituée de la masse même de cesrègles étalons.

Ainsi, nous arrivons à l’image tout à fait justeque l’étoile est obtenue par la juxtapositiond’éléments de volume constitués d’une matièrepesante et parfaitement rigide pouvant servird’étalon de longueur. ρ = Cte peut s’interpréteren supposant que c’est la même matière parfaitementincompressible qui a servi à constituer toutel’étoile.

Si nous voulons connaitre la masse totale dematière

, puisée à l’infini, qui a servi à

constituer l’étoile, il nous faut ajouter lesmasses d

= ρ dv de tous ces éléments de volume :

⌠⌠⌠ ⌠⌠⌠= ρ dv = ρ dv = ρ V⌡⌡⌡ ⌡⌡⌡

dv peut être évalué à l’aide des coordonnéesutilisées. En effet, la simultanéité définie par letemps d’univers t dans (17,36) correspond à lasimultanéité locale. Dans l’équation (12,28)γ = - g . Les longueurs étalons peuvent doncij ijêtre évaluées par :

19 447

22 dr 2 2 2 2 dl = ---------------------------------- + r dα + cos α dθ (17,44)

2 r1 - ---------------^ 2R

La formule (10,18) nous donne alors :

----------dV = √ γ dr dα dθ (17,45)

Donc :

1 2dV = ----------------------------------------------------------- r cos α dr dα dθ (17,46)-----------------------------------------2 r1 - ----------------√ ^ 2R

r0⌠ 2rV = 4 π --------------------------------------------------------- dr--------------------------------------- 2⌡ r1 - ----------------0 √ ^ 2R

Dans le cas où l’on n’est pas trop éloigné del’approximation newtonienne :

21 r---------------------------------------------------------- 1 + ------------------------------------------------------------ ^ 22 2 R r1 - ----------------√ ^ 2R

r0⌠ 44 3 r drV --------------- π r0 + 4 π ------------------------------3 ^ 2⌡ 2 R0

Le deuxième terme vaut :

5r 0 2 5 8 π G ρ2 π -------------------- = --------------- π r0 ---------------------------------------^ 2 5 25 R 3 C

2 54 3 16 π ρ G r0V --------------- π r0 + ---------------------------------------------------------------------3 215 C

2 2 516 π ρ G r0 M + -------------------------------------------------------------------------215 C

La masse de l’étoile mesurée par sa capacitéd’attraction gravitationnelle : M (ou son inertiedans un arrière-plan de Minkowski, ou sa capacité

20 448

d’être attirée), est donc inférieure à la masse desconstituants séparés ayant servi à la former. Nousdevons interpréter ∆

=

- M comme la perte demasse due à l’énergie gravitationnelle lors de laformation de l’étoile à partir de ses constituantsséparés.

2 2 52 16 π ρ G r0∆E = ∆

C = ------------------------------------------------------------------ (17,47)15

Vérifions cette formule directement avec uncalcul fait dans l’approximation newtonienne.

Pour un rayon r, la masse de l’étoile est :

4 3 --------------- π r ρ3

2Ajoutons la masse d

= 4 π r dr ρ en l’amenantde l’infini. Elle part du potentiel 0 pour arriverau potentiel - G

/ r ; d’où la perte

d’énergie :

G

d

G 4 3 2dE = ------------------------------------------- = ------------------ --------------- π r ρ 4 π r dr ρr r 3

2 2 416 π G ρ rdE = ------------------------------------------------------------------3

r0 2 2 5⌠ 16 π G ρ r0∆E = dE = ------------------------------------------------------------------⌡ 1 50

La non linéarité de l’équation du champ permetbien de retrouver quantitativement le fait que desmasses rapprochées attirent moins que la somme desattractions de ces masses séparées. La différence

2vérifie bien : ∆E = ∆ C ; E étant l’énergie

gravitationnelle de liaison de la matière. La masseM qui apparait dans la solution extérieure deSchwarzschild représente donc bien toute lamasse-énergie contenue dans la source, y comprisl’énergie gravitationnelle négative.

Notons que nous ne pouvons pas utiliser ici lesrésultats du chapitre 15 , car comme nous l’avonsvu au § 10 , la séparation entre énergiegravitationnelle et autres formes d’énergie n’y estpas canonique.

Nous avons mentionné au § 7 du chapitre 16 lethéorème de Birkoff dont nous reparlerons auchapitre 18 . Ce dernier affirme que pour un astreen train de s’effondrer en gardant la symétriesphérique, nous avons à l’extérieur l’élément

21 449

linéaire de Schwarzschild. Ainsi l’astre en trainde s’effondrer est vu de l’extérieur comme un astreattirant gravitationnellement avec la masseconstante M.

Nous pouvons interpréter cela : il y a de plus enplus d’énergie gravitationnelle négative, ce quicorrespond à une contribution de plus en plusnégative à M, mais simultanément, la matièreacquiert de plus en plus d’énergie cinétique etnous avons vu que l’énergie cinétique contribued’une manière positive à l’attractiongravitationnelle. La conservation de l’énergietotale somme de l’énergie potentiellegravitationnelle et de l’énergie cinétique assurela constance de M.

En ce qui concerne un astre immobile en équilibre(comme un astre en effondrement d’ailleurs), nousavons vu au § 8 (équation(17,22)) que la pressionà l’intérieur de l’astre attire. Or vu del’extérieur, seule la masse attire compte tenu de

2la perte de masse par ∆E = ∆C . Comme pour un

objet maintenu par d’autres interactions quel’interaction gravitationnelle, la contribution dela pression disparait donc (voir § 10 duchapitre 8 ). Mais ici, l’influence de la pressionne disparait pas par la présence d’une pressionnégative, mais par la modification de la géométriede l’espace modifiant le calcul des intégrales dansle calcul de l’influence gravitationnelle totale.

22 450

EXERCICE

17.1 On considère le modèle envisagé dans ce chapitred’une sphère pleine homogène constituée d’unematière incompressible de masse volumique ρ.

1. Dans le cas limite où la pression est infinieau centre, calculez le décalage vers le rouge zd’une radiation émise au centre de l’étoile etreçue à l’infini.

2. Donnez l’interprétation du résultat dans lecadre de ce qui a été dit au § 16 du chapitre 8 .

3. Toujours dans le cas où la pression est justeinfinie au centre, calculez le décalage vers lerouge d’une lumière émise à la surface de l’astreet reçue à l’infini.

4. Quelle conclusion peut-on en tirer en ce quiconcerne les quasars dont le décalage vers le rougepeut atteindre plus de 4 ?

23 451

452

Chapitre dix-huit

COSMOLOGIE RELATIVISTE

1. Rôle de la Relativité générale en cosmologie.- La cosmologie a pour objet de décrire l’Universdans son ensemble.

Le premier principe, indispensable pour pouvoireffectuer cette tâche, est celui qui suppose queles lois de la physique sont les mêmes partout dansl’univers (régularité dans l’espace) et onttoujours été les mêmes (régularité dans le temps).Notons que cela ne suppose pas que les constantesfondamentales, comme la constante de la gravitationuniverselle G, aient partout la même valeur etsoient effectivement constante. Leurs variationspourraient être prises en compte dans une loi plusgénérale valable partout. La variation de Gpourrait être décrite par une loi de la gravitationprenant en compte le principe de Mach. Toutevariation des lois pouvant être prise en comptedans une loi plus générale, on voit que ce principerevient à dire qu’il existe dans l’univers desrégularités permettant de le décrire par unestructure mathématique.

Pour nous, nous supposerons, ce qui esteffectivement un principe non trivial, que les loisde la physique des particules et la Relativitégénérale ont toujours été valables et sont valablespartout dans l’univers. En particulier, noussupposerons que G, C, h, sont constantes et ont lamême valeur partout.

Nous savons qu’il existe quatre interactionsfondamentales. Deux de ces interactions :l’interaction forte et l’interaction faible sont àtrès courtes portées. L’interactionélectromagnétique met en jeu des charges positiveset des charges négatives. De part l’invariance dela charge électrique et sa quantification, unecharge positive compense toujours exactement unecharge négative, quel que soit l’état de ces deuxcharges. Ceci permet à la matière d’être neutre àgrande échelle. Cette interaction disparait donctotalement à une telle échelle. L’interactionélectromagnétique joue encore un rôle dans lastructure des étoiles, essentiellement par deseffets magnétiques, et peut être dans la structuredes galaxies. Par contre, il est admis qu’en ce qui

1 453

concerne l’interaction des galaxies entre ellesdans un amas ou un super amas, ou en ce quiconcerne l’interaction des amas et superamas entreeux, seule la gravitation intervient, tout au moinsactuellement. Il est possible en effet que lesautres interactions soient intervenuesantérieurement dans la formation de ces structures,dans la formation des murs de galaxies par exemple.

A l’échelle de l’univers, la vitesse de lalumière peut être considérée comme très petite. Lamécanique classique correspond à la limiteC + ∞ . Elle est donc inappropriée.

Résumons nous : l’interaction à considérer est lagravitation. Elle doit être prise en compte dans lecadre de la Théorie de la relativité. La théorieadéquate pour décrire l’univers dans son ensembleest donc la Relativité générale. Si nous supposonsque les effets quantiques sont actuellementnégligeables à grande échelle, le fait que nous nedisposions pas d’une théorie quantique de lagravitation ne doit pas être gênant.

2. Description de l’univers. - A l’échelle del’univers, les galaxies jouent le rôle d’atomesisolés. Ces atomes interagissent uniquement par lagravitation. Nous considérerons donc l’image d’ununivers rempli d’un gaz dont les atomes ou lesmolécules sont les galaxies. Les amas ou superamasde galaxies constituent alors des fluctuations dedensité analogues, bien que d’un type différent,aux fluctuations de densité des gaz usuels. Noustraiterons ce gaz comme un fluide parfait homogène,l’élément de volume infiniment petit considéréétant grand devant la distance moyenne desgalaxies. La formule (17,1) s’applique donc.

L’espace-temps dans son ensemble est une variétédifférentiable. Le problème que nous nous posonsest de trouver un système de coordonnées valableglobalement sur toute cette variété. Enparticulier, est-il possible de trouver un temps

0d’univers u valable partout et définissant unesimultanéité globale? Nous allons voir qu’il existeune solution mathématique à ce problème, lescoordonnées de Gauss. Cette solution estappliquable concrètement moyennant certainspostulats physiques. Nous allons décrire dans leparagraphe suivant ce système de coordonnées, puisnous verrons comment construire effectivement cescoordonnées à partir de notre positiond’observateur de l’univers.

3. Les coordonnées de Gauss. - Considéronsl’espace-temps de la Relativité générale le plusquelconque; c’est à dire que nous ne lui attribuonsaucune propriété particulière. Nous avons donc une

2 454

variété riemanienne à 4 dimensions, la signature dela métrique étant : (1,-1,-1,-1) (voir le § 1 duchapitre 10).

Considérons une hypersurface S à trois dimensionsαde cet espace. Nous supposons que tout vecteur nperpendiculaire à S vérifie :

α βg n n > 0 (18,1)αβ

Un tel vecteur est donc du genre temps. Nousdirons que la surface S est du genre espace.

Sur la surface S, nous définissons un système de1 2 3trois coordonnées u , u , u , permettant de

1 2 3repérer les points : P(u ,u ,u ).Depuis chaque point P sur la surface, nous

pouvons tracer la géodésique perpendiculaire à S enP. Ces géodésiques forment un champ de courbes nese coupant pas dans un voisinage

de P, en

supposant la surface suffisamment régulière. Nouschoisissons un sens de parcours sur cesgéodésiques. Cela est fait par continuité à partirde l’orientation de l’une d’entre elles. Nousdéfinissons ainsi une flèche du temps, c’est à direque nous aurons avant S et après S . Etant donné unpoint M de l’espace-temps appartenant à cevoisinage, il passe une et une seule de cesgéodésiques par M. Celle-ci est issue d’un point Pde S. Nous définissons alors les coordonnées de Mpar :

⌠ M ---------i i 0 2u (M) = u (P) ; u (M) = ε √ ds (18,2)⌡ P

ε = + 1 si M est dans la région après; ε = - 1si M est dans la région avant (fig 18,1).

. M(après )

---------2√ ds

1 u 2 . P u

3 u S

(avant )

Fig . 18 . 1

3 455

Puisque nous avons des géodésiques du genretemps, compte tenu de (18,1), elles peuvent êtreeffectivement parcourues par des particulesmatérielles. Nous pouvons donc bien avoir recours àl’image donnée au § 9 du chapitre 12 . Nous avonsun fluide en mouvement. Nous pouvons supposer queles points du fluide parcourent bien lesgéodésiques dans le sens choisi. Comme indiqué auparagraphe mentionné, un point du fluide qui seidéplace vérifie bien u = Cte . Par construction,et en supposant la surface suffisamment régulière,lorsqu’on prend deux points suffisament voisins deS, les deux géodésiques correspondantes viennent seconfondre. Cela assure que deux points voisins ontdes trajectoires pratiquement identiques dansl’espace-temps. Ils s’accompagnent donc et ont unevitesse nulle l’un par rapport à l’autre. Cela ad’ailleurs été supposé vrai pour tout système decoordonnées suffisamment régulier au § 12 duchapitre 12 . Dans le cas présent, la régularitésupposée de la construction, donc du système decoordonnées correspondant, fait qu’en tout point Pde S, il existe un plan tangent unique à S (donc unαvecteur n unique).

Au § 9 du chapitre 12 , le mouvement du fluideétait supposé quelconque, dans la mesure où ilpouvait être effectivement suivi par des particulesmatérielles. Ici, puisque les trajectoires sont desgéodésiques de l’espace-temps, les particules dufluide sont en mouvement de chute libre.

0Compte tenu de (18,2) nous avons du = C dτ . Au0facteur C près, la coordonnée u est donc le temps

réel mesuré par une horloge étalon accompagnant lefluide. (12,21) donne alors g = 1 .

00Exprimons maintenant l’orthogonalité de la

géodésique passant par P à la surface S au moyenαdes coordonnées u . Un vecteur tangent à lagéodésique est :

0 a α 0 a = 0

0

Un vecteur quelconque de la surface S est :

0 1α b b = 2 b 3 b

4 456

α β 0 ig a b = 0 donne g a b = 0αβ 0i

Soit : g = 0 (18,3)0i

Compte tenu de (12,29), nous voyons que la0simultanéité définie par u est identique à la

simultanéité locale pour un observateur immobiledans le fluide.

Ces propriétés sont résumées dans la forme del’élément linéaire sur la surface S :

2 0 2 i jds = (du ) + g du duij

Montrons maintenant que l’élément linéaire acette forme dans tout le voisinage

. L’équation

des géodésiques :

2 α β γd u α du du---------------------- + Γ ---------- ---------- = 02 βγ dp dpdp

2 i 2avec α = i donne, puisque d u /dp = 0 eti idu /dp = 0 ( u = Cte sur une géodésique) :

iΓ = 000

1 iλ --------------- g g + g - g = 02 0λ,0 λ0,0 00,λ

Nécessairement λ ≠ 0 ⇒ λ = j et g = 000,j

puisque g = 1 = Cte . Donc il vient :00

ijg g = 00j,0

ijLe système étant de Kramer ( det g ≠ 0 ) :

∂g0j----------------- = 00∂u

Partant de la valeur nulle sur la surface S, lestermes g sont constants sur les géodésiques

0jdonc dans tout

, donc sont nuls partout dans

. Ainsi, dans tout

, l’élément linéaire a laforme :

5 457

2 0 2 0 1 2 3 i jds = (du ) + g (u ,u ,u ,u ) du duij

0Toute hypersurface u = Cte est donc normale aufaisceau des géodésiques et joue un rôle identiqueà la surface S du départ. Une telle hypersurfacecorrespond à un état de l’espace à un moment donné

0du temps d’univers u . Le temps d’univers définidonc une simultanéité globale (dans tout

). La

durée séparant les deux moments correspondant aux0 0hypersufaces S1 et S2 est égale à u2 - u1 , durée

du temps propre écoulé en commun sur chaquegéodésique.

Ainsi, les coordonnées de Gauss permettent deconcilier la structure de l’espace-temps de laRelativité générale avec la vision intuitive d’unespace à trois dimensions dont l’existence s’écouledans un temps universel.

Il faut bien remarquer que nous avons démontrél’existence de coordonnées de Gauss localement danstoute région de la variété. L’existence globaledans toute la variété d’un système unique decoordonnées de Gauss n’est pas assurée. Deuxgéodésiques peuvent au bout d’un certain temps secouper par exemple. On arriverait à lacontradiction d’un point unique ayant deux valeursdifférentes pour ses coordonnées d’espace(fig. 18.2).

.

. iu i v .

Fig. 18 . 2

Nous avons des coordonnées de Gauss sur unevariété dès que les lignes coordonnées, pour lavariation d’une coordonnée particulière, sont desgéodésiques, la variation de la coordonnée sur ceslignes étant égale à la longueur ou à la pseudolongueur de l’arc correspondant. Ainsi, lescoordonnées latitudes et longitudes sur la sphère,sont des coordonnées de Gauss. Les lignes θ = Ctesont les méridiens qui sont des grands cercles,donc des géodésiques. La variation de la latitude αsur ces grands cercles est proportionnelle à lalongueur de l’arc correspondant ( l = R α ), Rétant le rayon de la sphère.

6 458

4. Le postulat de Weyl. - Il stipule que l’onpeut effectivement trouver dans l’espace-temps denotre univers des coordonnées de Gauss globales,c’est à dire valables partout. Il suppose de plusque les géodésiques correspondantes sont lestrajectoires des galaxies traitées comme des pointsmatériels.

Il est donc possible d’avoir une coordonnée detemps que nous noterons t commune pour toutes lesgalaxies. Ce temps sera appelé temps cosmique. Ilcorrespond au temps propre mesuré par chaqueobservateur dans sa galaxie. On suppose que leseffets sur l’écoulement du temps par décalage versle rouge dû à la gravitation, ou par des effets devitesse, sont négligeables au poste d’observationconsidéré dans la galaxie. La simultanéité définiepar le temps cosmique est identique à lasimultanéité locale dans une région où les galaxiessont pratiquement immobiles les unes par rapportaux autres. Nous arrivons donc à :

2 2 2 i jds = C dt + g du du (18,4)ij

Notons que seule l’hypothèse de globalité estvraiment fondamentale. Elle suppose quel’espace-temps ne présente pas de situationpathologique. Compte tenu du fait que l’on supposeque les galaxies ne sont sensibles qu’àl’interaction gravitationnelle, elles sonteffectivement en chute libre et décrivent desgéodésiques. Il est clair que chaque observateurdans sa galaxie peut mesurer son temps propre aumoyen d’une horloge étalon. La synchronisation deshorloges de proche en proche entre galaxiesvoisines en faibles mouvements les unes par rapportaux autres, au moyen de signaux lumineux, neprésente pas de difficulté. Cette synchronisationdefini un temps cosmique commun pour toutes cesgalaxies. Si l’on ajoute un moyen quelconque derepérage des galaxies au moyen de troiscoordonnées, on a bien construit localement unsystème de coordonnées de Gauss dans lequel lesgéodésiques correspondantes sont les trajectoiresdes galaxies. On arrive bien à la vision locale del’existence de l’espace contenant ces galaxies,existence s’écoulant dans le temps. Le postulat deWeyl suppose qu’on peut élargir cette vision àl’univers dans sa totalité.

5. Le principe cosmologique. - Il suppose quel’espace à 3 dimensions, correspondant àl’hypersurface S des coordonnées de Gauss, dontl’existence est assurée par le postulat de Weyl,est homogène et isotrope, quelle que soit l’époqueconsidérée. Cette homogénéité et cette isotropie seréfère au contenu de matière de l’univers.

7 459

L’observation astronomique justifie cettehomogénéité et cette isotropie. Il est clair que larépartition des étoiles dans le ciel n’est pasisotrope et suggère la structure de notre galaxie.Les étoiles se font plus rares dans des directionshors du plan de notre galaxie. Par contre, larépartition des galaxies dans le ciel n’indique pasde concentrations particulières dans certainesdirections du ciel, hormis la répartition de cesgalaxies en amas et superamas. Il est admismaintenant que l’univers a une structurealvéolaire, les superamas de galaxies étantrépartis sur les parois de ces alvéoles (murs degalaxies). Ces alvéoles seraient la dernièrestructure existante dans la hiérarchie desstructures. Au delà, l’univers peut être considérécomme homogène et isotrope. Le diamètre desalvéoles, de l’ordre de 300 millions d’annéeslumières, donne l’ordre de grandeur des dernièresstructures avant d’atteindre l’homogénéité.

Le rayonnement fossile à 2,7 K , qui est lerésidu de la boule de feu primordiale, estégalement isotrope et montre la très grandehomogénéité et isotropie de l’univers à ses débuts.En fait, il y a une anisotropie dipolaire de cerayonnement indiquée par un décalage vers le bleudans une direction (température maximale) et undécalage vers le rouge dans la direction opposée(température minimale). Cela est facilementinterprété par le mouvement de la Terre par rapportau référentiel de Gauss précédemment décrit, etcorrespondant à une fluctuation locale de vitesse.Les mesures indiquent une vitesse de 390 km/sde la Terre par rapport au référentiel de Gauss.

Le Soleil tourne autour du centre de la Voielactée à la vitesse de 220 km/s. La Terre parcourtson orbite à 30 km/s. Il en résulte que le centrede la Voie lactée a une vitesse de 600 km/s, dont100 km/s vers la galaxie d’Andromède. L’amas de laVierge, dont notre galaxie est à la périphérie, estsupposé se déplacer à 400 km/s vers les amas degalaxie de l’Hydre et du Centaure.

Mentionnons le résultat récent des mesures dusatellite Cobe ayant trouvé les très faiblesinhomogénéités du rayonnement fossile qui sont latrace des inhomogénéités à l’origine de laformation des amas de galaxies.

L’hypothèse d’homogénéité et d’isotropie à grandeéchelle de l’univers est liée à l’hypothèse qu’audébut de son histoire son entropie est trèsfaible :

L’homogénéité du gaz primordial après le Big Bangcorrespond à la faible entropie de l’univers à cemoment là. La progressive condensationgravitationnelle des faibles inhomogénéités en

8 460

galaxies, étoiles, puis finalement trous noirs,correspond en effet à une augmentation del’entropie de l’univers. L’attractiongravitationnelle, toujours attractive entre deuxmasses, à en effet cet aspect curieux qu’unensemble de masses rassemblées a une entropiesupérieure aux même masses dispersées à l’infini;de l’énergie gravitationnelle s’est en effetnécessairement transformée en chaleur interne, ouen rayonnement de photons fortement entropique,lors du rassemblement.

Ainsi, on peut montrer que l’entropie d’un trounoir est énorme par rapport à l’entropie de la mêmemasse dispersée en un nuage diffus d’hydrogène parexemple.

Supposer l’univers homogène à grande échellecorrespond ainsi à lui assigner une faible entropiepermettant aux structures complexes comme la vied’apparaitre.

Cela correspond à la possibilité de séparer letenseur de courbure en une partie fonctionuniquement du tenseur de Ricci et une autre partieappelée tenseur de Weyl. A cause de l’équation duchamp, en espace vide seul le tenseur de Weyl estnon nul. Il décrit les effets de marée au voisinaged’un astre et il lui correspond une forte entropie(forte entropie d’un trou noir où les effets demarée sont importants). Le tenseur de Ricci estmaximal dans le cas d’un tenseurd’impulsion-énergie uniforme. Il correspond àl’attraction gravitationnelle effective et il luicorrespond une faible valeur de l’entropie (faiblevaleur de l’entropie du gaz d’hydrogène). Onattribue ainsi directement une entropie àl’ensemble des gravitons constituant un champgravitationnel.

Le principe cosmologique peut s’exprimer endisant que toutes les positions dans l’espace sontéquivalentes. Sous cette forme, il est uneextension à tout l’univers du principe de Copernic.Le premier pas fut en effet franchi par Coperniclorsqu’il se rendit compte que la Terre n’estqu’une planète parmi d’autres dans le systèmesolaire. Un autre pas fut franchi lorsqu’ondécouvrit que le Soleil n’est qu’une étoile parmitoutes les étoiles de notre galaxie. Enfin, ledernier pas qui correspond au principe cosmologiqueconsiste à dire que l’univers est rempli degalaxies analogues à la notre dont la répartition àgrande échelle ( > 300 millions d’années lumières)est homogène et isotrope. Aucune position n’estprivilégiée au delà de cette échelle. En résumé,nous n’occupons pas une position privilégiée, et iln’existe pas de position privilégiée.

9 461

6. Utilisation du principe de Mach. - Le principede Mach suppose que les propriétés d’inertie descorps sont complètement déterminées par ladistribution de matière dans l’univers. Lagéométrie de l’espace-temps (déterminant lespropriétés d’inertie), donc également celle del’espace, sont donc déterminées de cette manière,en accord avec le principe de Mach et ladescription géométrique de l’interactiongravitationnelle par la Relativité générale.

En accord avec le principe de Mach, et comptetenu du principe cosmologique imposant ladistribution de matière, nous demanderons donc quela géométrie de l’espace soit homogène et isotrope,comme cette répartition de matière.

7. La métrique de Robertson-Walker. - Reprenonsl’expression (18,4) de l’élément linéaire.L’hypothèse d’homogénéité se traduit par le faitiqu’il existe des coordonnées d’espace u telles queg ne dépende pas de la position et ne dépendeijque du temps cosmique t , par l’intermédiaire d’unfacteur d’échelle f(t) :

∂gi j------------------ = 0k∂u

i j i jg du du = f(t) h du du avec h = Cteij ij ij

Notons que h n’a rien à voir avec lasignification que ce symbole avait dans le chapitresur l’approximation linéaire de l’équation duchamp, ou dans le chapitre sur l’énergiegravitationnelle.

Le raisonnement fait au § 2 du chapitre 16s’applique tel quel ici : il est donc possibled’utiliser des coordonnées polaires r,α,θ autourdu point d’observation de façon à avoir :

i j 2 2 2 2 2 2h du du = - B dr - C r dα - D r cos α dθij

Le raisonnement fait dans le paragraphe cité etmenant à C = D , ainsi que la redéfinition de lavariable r qui permet de prendre C = D = 1 , sontvalables ici, compte tenu de l’isotropie del’espace. On obtient donc :

i j 2 2 2 2 2 2g du du = - f(t) B(r) dr + r dα + r cos α dθ (18,5)ij

Nous notons B(r) pour rappeler que, compte tenu

10 462

de l’isotropie, la fonction B ne dépend que de lavariable r. L’homogénéité de la métrique impliqueque la courbure scalaire R de l’espace doit êtreconstante.

Nous allons faire le calcul de R en prenantf(t) = 1 . Une redéfinition de la variable r àl’instant t permet quelle que soit la situationd’obtenir cela.

Pour calculer cette courbure scalaire del’espace, nous utilisons l’élément linéaire (12,26)avec (12,28), en tenant compte de (18,3).

Nous pouvons alors utiliser les résultats du § 4du chapitre 16 pour le calcul du tenseur deRicci. les symboles de Christoffel ne faisant pasintervenir la variable t de ce dernier paragraphesont identiques à ceux que nous obtenons ici avec

2l’expression de dσ . Le changement de signe dutenseur métrique ne change pas les symboles deChristoffel qui font intervenir les produits dutenseur métrique avec ses dérivées partielles. Ilen résulte que R , R , R sont donnés par lesrr αα θθexpressions trouvées au § 4 en enlevant lestermes contenant A . On obtient :

B ’ 1 r B’R = - ------------------ ; R = - 1 + ----------------- - --------------------------rr r B αα B 22 B

2R = cos α Rθθ αα

La courbure scalaire R de l’espace à troisdimensions vaut :

rr αα θθR = γ R + γ R + γ Rrr αα θθ

1 B ’ 2 1 r B’ R = ----------------- - ------------------ + -------------- - 1 + ----------------- - ---------------------B r B 2 B 2 r 2 B

2 B’ 2 2R = - --------------------- + --------------------- - --------------2 2 2r B r B r

Or :

’2 r 2 2 1 r B’-------------- 1 - ----------------- = -------------- - -------------- ----------------- - ------------------2 B 2 2 B 2 r r r B

2 2 2 r B’= -------------- - -------------------- + -------------------------------2 2 2 2r r B r B

11 463

2 r ’R = - -------------- 1 - ----------------- 2 B r

’ 2 r R r----------------- = 1 + ---------------- B 2

A étant une constante,

3r R r----------------- = r + ---------------- + AB 6

1B = ------------------------------------------------------------------------------------------2R r A1 + ---------------- + ------------------6 r

B doit être continu pour r = 0 , donc A = 0 .

2 1 2 2 2 2 2 2dσ = --------------------------------------------------- dr + r dα + r cos α dθ2R r1 + ----------------6

Pour R ≠ 0 , changeons de nouveau de variable ret posons :

R 2 2r1 = --------------------------- r6

2 R R 2 2 2 2r1 dr1 = --------------------------- r dr ; r1 dr1 = --------------------------- r dr6 6

2 6 2dr = --------------------------- dr1 R

Avec :

Rk = - --------------------------- R

2 2 6 dr 1 2 2 2 2 2dσ = --------------------------- ------------------------------------ + r1 dα + r1 cos α dθ

2 R 1 - k r1

Cet élément linéaire est bien de la forme (18,5)2 i j(dσ = - g du du ) avec f(t) = 6 / R(t) . Onij

voit que c’est la courbure scalaire de l’espace quivariera en fonction du temps. Supprimant l’indice 1

12 464

pour la variable r, et posant :

2 6S (t) = --------------------------- R

Il vient :

2 2 2 2 2 dr 2 2 2 2 2ds = C dt - S (t) ------------------------------------ + r dα + r cos α dθ (18,6)

2 1 - k r

Avec k = 0 ou ± 1 . La courbure scalaire vautalors :

6 kR = - ---------------- (18,7)2S

C’est la métrique de Robertson-Walker, obtenueuniquement avec des considérations de symétrie, etsans tenir compte de l’équation du champ. N’importequel point de l’espace peut bien sur être choisicomme origine de la coordonnée r, et la métriqueest toujours de la forme (18,6).

Une galaxie donnée a des coordonnées r,α,θfixées, en accord avec le fait qu’on a descoordonnées de Gauss. Sa distance à la galaxieorigine varie par l’intermédiaire du facteur S(t),donc en liaison avec la courbure scalaire del’espace.

S(t) établit l’échelle de la géométrie del’espace et est appelé le facteur d’échelle del’univers ou : facteur d’échelle cosmique.

Nous verrons au paragraphe 10 que S est le rayonde l’espace à trois dimensions dans le cas ou, lacourbure étant positive, il est une hypersphère. Ssera prit homogène a une longueur et k et rseront prit sans dimensions (voir formule (18,8) et(18,10)).

Construisons un triangle dans l’espace vide aumoyen de ficelles tendues de longueurs fixées. Sik ≠ 0 , la somme des angles de ce triangle estdifférente de 180˚ et varie avec le temps. lespropriétés géométriques de l’espace vide varientdonc en liaison avec la distance de deux galaxiesdonnées. On peut dire que l’espace emporte dans sadéformation les galaxies. Ainsi, on peut prendrel’image d’un ballon de baudruche que l’on gonfle etsur lequel on a peint des points. Au fur et àmesure que la membrane se tend, les pointss’éloignent les uns des autres. Il ne faut pascependant prendre cette image au pied de la lettre,car contrairement à la membrane du ballon, l’espace

13 465

vide ne donne pas de référence d’immobilité. Sideux galaxies s’éloignent l’une de l’autre, il fautdire effectivement qu’elles sont en mouvement l’unepar rapport à l’autre, sans parler d’un mouvementde l’espace qui emporterait les galaxies. Un telmouvement n’existe pas. Mais effectivement, enrelation avec la distance variable de ces deuxgalaxies, les propriétés géométriques de l’espacevide varient. D’ailleurs, on peut renverserl’image, et faire jouer un rôle moteur aux galaxiesplutôt qu’à l’espace. On peut dire que ce sont lesgalaxies qui crèent la structure de l’espace, enaccord avec le principe de Mach. Le mouvement desgalaxies les unes par rapport aux autres entrainealors une modification de la structure de l’espacevide. La propriété fondamentale est que lagéométrie de l’espace et son contenu de matière,sont inextricablement reliés.

Ayant ainsi obtenu la forme générale de lamétrique, nous allons dans les paragraphes 8 à 15en étudier les différentes conséquences. A partirdu paragraphe 16 nous tiendrons compte en plus del’équation du champ de la Relativité générale defaçon à avoir la connaisance précise de la fonctionS(t).

8. Etude de la géométrie de l’espace pourk = 0 : Le modèle d’Einstein - de Sitter . - Lacourbure scalaire est nulle. En posant :

x = S r cos α cos θ y = S r cos α s in θ (18,8) z = S r s in α

S étant constant, on obtient :2 2 2 2dσ = dx + dy + dz .Nous avons la structure d’espace affine sur un

espace euclidien à 3 dimensions. A grande échelle,la géométrie usuelle s’applique. (18,6) donne :

2 2 2 2 2 2ds = C dt - dx - dy - dz

L’espace-temps est globalement de Minkowski, etla Relativité restreinte s’applique partout àgrande échelle.

9. Etude du cas k = - 1 . - La courbure scalaireest non nulle. L’espace n’est pas plat. Nous voyonssur l’élément linéaire qu’il n’y a pas delimitations pour la variable r qui peut aller àl’infini. L’espace peut donc être infini.

Cependant, il n’est pas exclu qu’il soit fini,

14 466

des valeurs différentes de r correspondant en faitau même point physique. Donnons une image pour nousrendre compte de cette possibilité :

Le plan euclidien est plat et doublement infini.Replions le sur lui-même de façon à former uncylindre de rayon R (fig. 18.3).

R------------------------------------------------------------------------------o1

11 11 11 I y 11 1 11 1 11 1 11 11 1 11 1 11 k--------------------------------------------------L 1x 11 O 11 11 11 1

Fig. 1 8 .3

Le repère xOy est tracé sur la surface ducylindre.

Les points d’abscisse x et x + 2 π R sontidentiques. L’espace n’est plus qu’une fois infini.L’espace obtenu est pourtant encore plat du pointde vue de la métrique. Il est même possible, bienqu’on ne puisse pas l’immerger dans l’espace àtrois dimensions, d’imaginer un espace euclidienplat fini, en identifiant également les pointsd’ordonnées y et y + n λ λ étant une constante etn un nombre entier variable. Un tel espacecorrespond à ce qui se produit sur l’écran decertains jeux vidéos où un objet disparaissant àdroite (ou en haut) de l’écran réapparaitinstantanément à gauche (en bas). On peut égalementvisualiser cela comme un univers constitué d’unmotif spatial périodique, la corrélation (àdistance!) étant totale d’une période à l’autre,dont en fait l’étendue réelle, en ce qui concernel’information de structure, est donc constituéed’une seule période (fig. 18.4).

O O O uo 1 uo 1 uo 1 uo1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1____________________ 11 1 1 1 11 1 11 1 1 1 ____________________m. m----------. m. m----------. m. m----------. m.

F ig. 1 8 . 4

Après cette disgression, notons que pour cettevaleur de k, un cercle de circonférence L = 2 π r Sa pour rayon :

15 467

r⌠ d rrc = S -------------------------------------------- < r S------------------------------⌡ 20 √ 1 + r

Nous avons donc : L > 2 π rc Ceci est lacaractéristique d’un espace à courbure négative. lacourbure scalaire est en effet positive, et nousavons vu dans l’étude des variétés différentiablesque ce que nous appelons la courbure de l’espaceest opposée à la courbure scalaire, donc icinégative.

6= - R = - --------------- (18,9)

2S

Notons que le signe de k donne le signe de lacourbure de l’espace.

10. €Etude pour k = + 1 . - L’espace est àcourbure positive. L < 2 π rc . La géométrie estdu même type que celle de la surface d’une sphèrede l’espace à 3 dimensions où les cercles onteffectivement une circonférence inférieure à 2 πmultiplié par la longueur de leur rayon(fig. 18.5).

.rc

L.

Fig. 18.5

Le grand cercle équatorial a pour circonférenceL = 2 π S , S étant le rayon de la sphère. Le rayondu cercle sur la sphère est :

1 πrc = --------------- 2 π S = ---------------- S4 2

L = 4 rc < 2 π rc

2Le dénominateur dans le facteur de dr s’annullepour r = 1 . S’agit-il d’un mauvais choix descoordonnées où d’une limitation de l’espacelui-même? Posons :

r = cos ψ (18,10)

16 468

1 1 1--------------------------- = -------------------------------------------- = -----------------------2 2 21 - r 1 - cos ψ sin ψ

2 2 2dr = sin ψ dψ

2 2 2 2 2 2 2 2dσ = S dψ + cos ψ dα + cos ψ cos α dθ (18,11)

Posons :

x = S cos ψ cos α cos θ y = S cos ψ cos α s in θ (18,12)z = S cos ψ s in α w = S s in ψ

Il est facile de vérifier que, S étant constant :

2 2 2 2 2dσ = dx + dy + dz + dw

x, y, z, w, peuvent toutes varier de - S à+ S . De plus :

2 2 2 2 2x + y + z + w = S

L’espace à trois dimensions a donc la structurede la surface d’une hypersphère dans un espaceeuclidien à 4 dimensions. Les coordonnées S,ψ,α,θsont les coordonnées polaires de l’espace euclidienà 4 dimensions. Il est facile de trouver le domainede variation des coordonnées ψ,α,θ :

Tout d’abord, ψ varie de - π/2 à + π/2 defaçon à ce que w varie de - S à + S . w ainsifixé, nous avons une section de l’hypersphère parun hyperplan. Nous retrouvons une sphère ordinairede rayon S cos ψ = S r . Nous savons alors que αvarie de - π/2 à + π/2 et θ de 0 à 2 π .

r = 0 correspond à ψ = π/2 par exemple. Nousavons le pôle nord. r = 1 correspond à ψ = 0 ,c’est l’équateur, et nous voyons que ψ peut allerjusqu’à - π/2 donnant le même domaine devariation pour r alors que nous avons d’autrespoints de l’espace!

Nous avons donc un mauvais choix de coordonnées.Avec la coordonnée ψ, il n’y a pas de singularités.La coordonnée r est adaptée uniquement pour despoints qui ne sont pas situés au delà de l’équateursi nous nous considérons comme au pôle.

La formule (18,6) nous montre, par les2 2coefficients de dα et de dθ , que la coordonnée r

est telle que la surface d’une sphère centrée sur2 2l’origine est égale à 4 π S r . Pour le rayon

17 469

maximal d’une telle sphère, donc pour la distancemaximale à nous, la surface vaut 0; on a le pointsitué exactement aux antipodes. C’est le point, quiest unique, le plus éloigné de nous dans l’espace.Au delà de la distance qui correspond à l’équateurpar rapport à nous, la coordonnée r décroit eneffet pour s’annuler aux antipodes.

Nous voyons que l’espace, surface del’hypersphère de l’espace euclidien à 4 dimensions,est dans ce cas fini est sans bornes. Nous allonsmaintenant calculer son volume.

11. Volume de l’espace pour k = + 1 . - Nousutilisons les coordonnées polaires de l’espace à 4ijdimensions. Posons γ = det γ ; (18,11) donne :

---------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 2 2 2 2√ γ = √ S S cos ψ S cos ψ cos α

----------3 2√ γ = S cos ψ cos α

(10,18) donne :----------

dV = √ γ dψ dα dθ

π π+ --------------- + ---------------- 2 π⌠ 2 ⌠ 2 ⌠ 3 2V = S cos ψ dψ cos α dα dθ ⌡ π ⌡ π ⌡- --------------- - ---------------- 0

2 2

3 π V = S ---------------- 2 2 π 2

2 3V = 2 π S (18,13)

La plus grande distance possible dans un telunivers, est celle pour aller aux antipodes. Fixonsα et θ à 0, ψ varie de - π/2 à + π/2 et :

π+ ----------------⌠ 2L = S dψ = π S (18,14)

⌡ π- ----------------2

La formule est la même que pour une sphèreordinaire. On a une demie circonférence.

18 470

12. La loi de Hubble. - Nous allons maintenantdéduire quelques conséquences cosmologiques de lamétrique de Robertson-Walker indépendamment de laforme explicite de la fonction S(t). Considéronsune galaxie de coordonnées r1 , α = θ = 0 . Sadistance à la galaxie origine à l’instant t est :

r1⌠ drd(t) = S(t) ---------------------------------------------------- = S(t) f(r1)--------------------------------------⌡ 20 √ 1 - k r

Sa vitesse par rapport à la galaxie origine vautalors :

.. . Sv = d = S f(r1) = -------------- d = H dS

.Sv = H d ; avec H = -------------- (18,15)S

H est la constante de Hubble. La loi précédentenous montre que la vitesse d’éloignement (ou derapprochement) des galaxies est proportionnelle àleur distance. Cette loi est une loi rigoureuse,quelle que soit la distance, cette distancecorrespondant à la métrique de l’espace, au tempscosmique t.

Pour d suffisamment grand, il est donc possibled’avoir v > C . Il n’y a pas là de contradiction.La Relativité restreinte affirme que deuxréférentiels galiléens ne peuvent pas aller à unevitesse supérieure à celle de la lumière l’un parrapport à l’autre. En Relativité générale, iln’existe que des référentiels galiléens locaux.Cette interdiction n’est donc vraie que localementpour le mouvement l’une par rapport à l’autre dedeux particules voisines. D’ailleurs, les horlogesétalons mesurant le temps cosmique considérées ici,sont à des distances variables avec le temps lesunes des autres, tandis que les horloges d’unréférentiel galiléen sont à des distances fixes lesunes des autres.

Ce que nous venons de dire nous fait comprendrequ’il n’y a pas de contradiction avec la Relativitérestreinte lorsque l’on considère les périodesd’inflation juste après le Big Bang pendantlesquelles l’expansion de l’univers étaitprodigieusement rapide.

En astronomie, il y a chevauchement entre lesdifférentes méthodes de mesure des distances, cequi permet de les ajuster les unes aux autres enles exprimant en fonction de la distance étalon del’espace, d.

19 471

Lorsque la distance est faible, la formule del’effet Doppler relativiste s’applique, laRelativité restreinte étant valable. De plus, lesvitesses sont faibles et on peut écrire (voir ledébut du § 17 du chapitre 16 pour la définitionde z) :

λ0 - λ1 ∆λ v H dz = ----------------------------------- = ------------- = ----------------- = -------------------- (18,16)λ1 λ C C

.S dz = -------------- ----------------- (18,17)S C

L’expérience confirme l’existence d’un décalagevers le rouge proportionnel à la distance, nousmontrant que l’univers est en expansion. C’estHubble en 1929 qui le premier étudiasystématiquement le décalage vers le rouge desgalaxies lointaines et établit la loi (18,16).Actuellement, la valeur admise de H est compriseentre 50 et 100 km/s Mpc (voir le § 34 pour ladéfinition d’un parsec).

13. Temps de parcours de la lumière, d’un point àun autre. - L’équation du mouvement d’une crêted’onde est :

22 2 2 2 dr0 = ds = C dt - S ------------------------------------

21 - k r

C dt dr------------------------- = ± ---------------------------------------------------- (18,18)S(t) --------------------------------------2√ 1 - k r

t0 r1⌠ ⌠C dr ------------------------ dt = ---------------------------------------------------- = f(r1) (18,19)S ( t) --------------------------------------⌡ ⌡ 2t1 0 √ 1 - k r

Il s’agit d’une onde radiale, partant de ladistance r1 au temps cosmique t1 , et arrivant àl’origine au temps cosmique t0 > t1 .

On voit sur la formule précédente, que si S(t)est constant, le temps de parcourt de la lumièreest obtenu simplement par la formule :

C (t0 - t1) = d

D’une manière générale, la lumière va partout àla vitesse C mesurée avec le temps cosmique t quiest le temps propre local et des longueurs étalons.Ainsi, une distance de 4 milliards d’annéeslumières par exemple veut dire que la lumière avoyagé pendant 4 milliards d’années :

20 472

t(r1)⌠t1 - t0 = 4 Ma.l. ; t1 - t0 = dt⌡t(r0)

La formule (18,18) peut s’interpréter avec ceque nous venons de dire :

dσ S drC = ----------- = -------------- ----------------------------------------------------d t dt --------------------------------------2√ 1 - k r

Si S(t) croit par exemple, l’espace étant pluspetit au début du parcourt, la lumière franchitplus rapidement les bornes correspondant à desvariations égales de la fonction f(r). Ainsi lavitesse locale de la lumière est toujours C; maisau début de sa progression, elle avance dans ununivers plus petit donc en apparence plusrapidement. On ferait un raisonnement analogue siS(t) décroit.

14. Formule générale pour le décalage vers lerouge. - Nous allons écrire la formule donnant ledécalage vers le rouge pour des distancesquelconques. Considérons une crête d’onde partantradialement de la coordonnée r1 à l’instant t1 etarrivant à l’origine à l’instant t0. La crêted’onde suivante part à l’instant t1 + δt1 etarrive à l’instant t0 + δt0. Nous avons :

t1 t1 + δt 1⌠ ⌠C C -------------------- dt = f(r1) = -------------------- dtS ( t) S ( t)⌡ ⌡t0 t0 + δt 0

En soustrayant les deux égalités ci-dessus, et ennotant que S(t) ne varie pratiquement pas pendantle temps d’une oscillation d’une onde lumineuse, onobtient :

δt0 δt1C ---------------------- = C ----------------------S(t0) S(t1)

ν0 λ1 δt1 S(t1)--------------- = --------------- = ----------------- = --------------------------ν1 λ0 δt0 S(t0)

λ0 - λ1 S(t0)z = ----------------------------------- = --------------------- - 1 > 0 (18,20)λ1 S(t1)

Si : S(t0) > S(t1)

Ainsi, on a bien un décalage vers le rouge avecun univers en expansion. Montrons que la formulegénérale redonne bien (18,17) dans le cas dedistances faibles :

21 473

. .S(t0 ) - S(t1) S ( t 0 - t1) S dz = -------------------------------------------------------- = -------------------------------------------------- = ---------------------S(t1 ) S(t1) S C

dz = H -----------------C

La Relativité restreinte s’applique partoutlocalement. La formule précédente s’applique donctout le long du chemin sur des morceaux dedistances faibles. On obtient alors la formulegénérale du décalage vers le rouge par intégrationdes décalages élémentaires tout le long du chemin.On peut donc bien dire intuitivement que ledécalage vers le rouge est dû à l’effet Doppler liéà la vitesse d’éloignement des galaxies les unesdes autres. Cependant Il ne faut pas appliquercette formule globalement. Il faut tenir compte ducheminement progressif de la lumière dans ununivers de taille et d’expansion variable tout lelong du trajet.

En Relativité restreinte, pour une vitessequelconque, l’effet Doppler est donné par laformule (exercice 4.4) :

-----------------------------------------1 + v/Cz = ------------------------------------ - 11 - v/C√

On peut donc associer au décalage vers le rougeune vitesse fictive, n’ayant rien à voir avec lavaleur H d , qui donnerait en Relativitérestreinte la même valeur de z.

En conclusion des paragraphes 12, 13, 14,l’éloignement d’un objet astronomique peut êtremesuré par la distance étalon d au temps cosmiquet. Il peut être mesuré par le temps qu’à mis lalumière issue de l’objet pour nous parvenir. Cettedurée de parcourt de la lumière est égale à ladifférence entre le temps cosmique t1 au moment del’émission et le temps cosmique t0 au moment de laréception. En effet, partout où la lumière passe,son temps de parcourt sur des petites distancesétalons est mesuré au moyen d’horloges étalonsfixées par rapport aux galaxies locales etindiquant le temps cosmique t. Si l’on multiplie cetemps par C, on a la distance, appelée dc,effectivement parcourue par cette lumière comptetenu du fait que l’univers est en expansion pendantla progression de la lumière. Enfin, l’éloignementde l’objet peut être repéré par son décalage versle rouge z.

15. Autre interprétation du décalage vers lerouge. - Nous allons donner une autre

22 474

interprétation intuitive de l’équation :

λ0 S(t0)-------------------- = --------------------------λ1 S(t1)

Prenons l’hypothèse k = + 1 d’un univers fini.Nous pouvons envisager par la pensée une ondemonochromatique qui fait perpétuellement le tour del’univers. A chaque fois qu’elle passe à un endroitdonné, au temps cosmique t, supposons que :

λ ∝ S(t)

Si nous superposons cette onde avec une onde demême fréquence suivant exactement la mêmetrajectoire, mais en sens inverse, nous obtenonsune onde stationnaire. Au fur et à mesure quel’univers s’étend, sa longueur d’onde croitproportionnellement à cette extension. Cela veutdire que le nombre de longueurs d’ondes n estconstant (fig. 18.6) et :

L Sn = ----------------- ∝ ---------------- = Cteλ λ

Fig. 18.6

Le nombre de longueurs d’ondes est ce qu’onappelle un invariant adiabatique (voir exercice1.1). Une situation analogue est celle d’une ondelumineuse stationnaire entre deux paroisparfaitement réfléchissantes. Si l’on écartelentement les parois (d’une manière adiabatique),la longueur d’onde croit proportionnellement àl’espacement des parois : λ ∝ l .

Cela est également vrai en Mécanique quantiqueclassique pour une particule matérielleeffectuant des rebonds parfaitement élastiques surles parois d’une boîte (fig. 18.7).

23 475

lJ_____________________________________________________________________________________________________________________________________________Lu---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o11 11 11 11 ----------------------------------- 11 11 -----------------------------------L 11 1m---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.

Fig . 18.7

h hλ = ---------------- = ------------------ ∝ lP m v

⇒ v l = Cte

1 2 CteE = --------------- m v = --------------------2 2l

On sait que les états d’une telle particule sonten effet quantifiés, l’énergie étant donnée par laformule :

2 2n hE = --------------------------------28 m l

On démontre effectivement en Mécanique quantique,que pour des variations lentes (adiabatiques) del’hamiltonien le système reste dans l’étatquantique défini par le nombre quantique n et

2E ∝ 1/l .La théorie des invariants adiabatiques se

développe également en Mécanique newtonienne (cfexercice 1.1) pour les mouvements périodiques. Laformule générale pour l’invariant adiabatique Iest :

⌠1 I = ---------------- P dq2 π ⌡

P est le moment conjugué de la variable q. Ici,q = x et P = m v . I = m v l/π (fig. 18.8).

Remarquons d’ailleurs que la relation λ ∝ S(t)est également vraie pour l’onde λ = h/P de deBroglie. La vitesse v d’une particule libre décroitdonc, ce qui est évident puisqu’elle rattrape sansarrêt des points qui la fuient. En écrivantv(x + dx) = v(x) - H dx et λ = h/m v , on peutd’ailleurs retrouver λ(t) ∝ S(t) (idem avecl’effet Doppler local pour la lumière).

24 476

P I11u-----------------------------k----------------------------------o m v1 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1------------------------------------------------------------k-----------------------------k----------------------------------k---------------------------------------------------------------------L1 - l/ 2 1 l / 21 1 1 x1 1 11 11 1 11 1m-----------------------------k----------------------------------. - m v1

F ig . 18.8

Les propriétés thermodynamiques d’un gazrésultent de l’interprétation statistique dumouvement de ses particules constituantes. Ilrésulte de l’existence des invariants adiabatiquesla propriété que les transformations adiabatiqueslaissent l’entropie constante. En effet,S = k Log Ω , Ω étant le nombre d’états quantiquesréalisant la configuration macroscopique. Ω estbien constant dans une transformation adiabatique,puisque un état microscopique réalisant cetteconfiguration reste invariant lors de latransformation, les nombres quantiques lecaractérisant étant constants.

On peut donc interpréter le décalage vers lerouge en disant que lors de sa progression, l’ondese dilate au même rythme que l’univers.

Utilisons maintenant l’équation E = h ν . Nétant le nombre de photons, la densité volumique

2d’énergie ρ C du rayonnement vérifie :

2 N h ν N h ν -4ρ C = ------------------------------------- ∝ ---------------------------------- ∝ SV 3S

Alors que la densité de matière vérifie :

-3ρ ∝ S

Avant d’aller plus avant dans les conséquencesastronomiques des modèles d’univers, nous voulonsla forme explicite de la fonction S(t). celle-ciest obtenue en écrivant les équations de laRelativité générale : équation du champ et équationdynamique. Les modèles cosmologiques où S(t) estobtenu de cette façon sont appelés les modèles deFriedmann.

16 . Calcul des composantes du tenseur

25 477

d’impulsion-énergie. - Dans toute la suite nousutiliserons t comme variable temporelle, ainsi lesdérivées temporelles seront bien des dérivées parrapport à t sans introduire des puissances de C.

Reprenons la formule (17,1) :

2 T = - p g + ρ C + p U U (18,21)αβ αβ α β

Pour une galaxie, les coordonnées de positionisont fixées et U = 0 , donc :

α β t 2g U U = g (U ) = 1αβ tt

2 t 1g = C ⇒ U = -----------------tt C

tU = g U = Ct tt

Avec α,β = t,r,α,θ , nous avons alors :

4 ρ C 0 0 0 2 p S 0 -------------------------------------- 0 0 2 T = 1 - k r αβ 2 2 0 0 p S r 0 2 2 2 0 0 0 p S r cos α

ρ 0 0 0 2 1 - k r 0 p -------------------------------------- 0 0 αβ 2 T = S p 0 0 ------------------------ 0 2 2 r S p 0 0 0 ------------------------------------------------- 2 2 2 r S cos α

17. Etude des équations. - Nous allons voir qu’ilest plus simple d’utiliser l’équation du champ soussa forme originale (13,17). Il nous sera en effetfacile de calculer la courbure scalaire R.

A cause de l’isotropie, les composantes del’équation du champ en r-r, α-α, θ-θ sontproportionnelles et ne contribuent que pour uneéquation. Avec l’équation en t-t et l’équationdynamique (dont seule la composante de temps estnon triviale), nous avons trois équations. Mais

26 478

nous savons que ces trois équations ne sont pasindépendantes, l’identité de Ricci faisant quel’équation dynamique est contenue dans l’équationdu champ. Ici, nous écrirons donc la composante ent-t de l’équation du champ et l’équationdynamique.

18. Calcul des symboles de Christoffel. - Nousnoterons avec le symbole au dessus, toutes lesquantités (tenseur métrique, tenseur de courbure,tenseur de Ricci, courbure scalaire, symboles deChristoffel) se référant à l’espace seul.

Nous avons donc :

2 2 2 i jds = C dt - g du duij

Les symboles de Christoffels non nuls sont :

. g .t 1 S S i j SΓ = ----------------- g = ----------------------- -------------------- = ----------------------- gij 2 ij,t 2 2 2 ij2 C C S C S

.i 1 ii S iΓ = --------------- g g = -------------- δtj 2 ij,t S j

i iΓ = Γjk jk

19. Calcul de R . - Reprenons l’expression dettR (§ 4 du chapitre 16 ) :tt

λ λ∂Γ ∂Γt λ t t µ λ µ λR = ----------------------- - -------------------- + Γ Γ - Γ Γtt ∂ t ∂λ t λ µt t t µλ

λ∂Γ .. .2t λ 3 S 3 S----------------------- = ----------------- - --------------------∂ t S 2S

.2i j 3 SΓ Γ = --------------------tj ti 2S

..3 SR = -----------------tt S

27 479

20. Calcul de R . - Rappelons l’expression deijR (équation (16,4)) :ij

λ λ∂Γ ∂Γi λ i j µ λ µ λR = ----------------------- - -------------------- + Γ Γ - Γ Γij ∂ j ∂λ i λ µj i j µλ

Nous utilisons la notation abrégéej∂/∂u = ∂/∂j .

t∂Γij k t t l t lR = R - ----------------- + Γ Γ + Γ Γ - Γ Γij ij ∂ t i t kj il tj ij tl

Remarquons que (déjà utilisé au § 18 ) :

∂g g .ij . i j 2 S---------------- = 2 S S --------------- = ----------------- g∂ t 2 S ijS

g . . .. .2 i j S SR = R - S S + S ------------------------- + -------------- ---------------------------- gij ij 2 2 S 2 ijC S C S

. . . .S S l S 3 S+ ---------------------------- g -------------- δ - ---------------------------- g --------------------2 il S j 2 ij SC S C S

. . . 2 S 2 S R = R - g --------------------------- + ---------------------------ij ij ij 2 2 2 C S C S

21. Calcul de la courbure scalaire. - Nousavons :

αβ ii ttR = g R = g R + g Rαβ ii tt

ii ii iig R = - g R = - g Rii ii ii

. . . 2ii S 2 S + g g -------------------------------- + ---------------------------ii 2 2 2 C S C S

ii 6 k iig R = R = - ---------------- ; g g = 3ii 2 iiS

28 480

. . . . . 26 k 3 S S 6 SR = ---------------- + ----------------------- + 3 -------------------------- + ---------------------------2 2 2 2 2S C S C S C S

22. Calcul de la composante de temps del’équation d’Einstein. - Elle s’écrit :

1 8 π GR - --------------- g R = - ----------------------------- Ttt 2 tt 4 ttC

.. . . . 23 S 1 2 6 k 6 S 6 S ----------------- - --------------- C ---------------- + ----------------------- + ---------------------------S 2 2 2 2 2 S C S C S

= - 8 π G ρ

.2 2 8 π G 2S + k C = ----------------------------- ρ S (18,22)3

23. Equation dynamique. - A cause del’homogénéité spatiale, seule la partie temporellede cette équation est non triviale.

tβT = 0;β

tt tt tλ t λt t .T = T + T Γ + T Γ = ρ;t ,t λt λt

tr tr tλ r λr tT = T + T Γ + T Γ;r ,r λr λr

. .S S= ρ -------------- + p -----------------------S 2C S

Attention, ci-dessous α est un angle et n’est pasun indice muet.

tα tα tλ α λα tT = T + T Γ + T Γ;α ,α λα λα

. .S S= ρ -------------- + p -----------------------S 2C S

29 481

tθ tαT = T;θ ;α

Nous obtenons donc :

.. p Sρ + 3 ρ + ---------------- -------------- = 0 (18,23) 2 SC

Soit :

d 2 3 d 3 -------- ρ C S + p -------- S = 0 (18,24)dt dt

Nous pouvons donner une interprétationénergétique de cette formule. Considérons unesurface fermée Σ dont tous les points ont descoordonnées r,α,θ fixées et invariables au coursdu temps. Cette surface gonfle avec l’expansion del’univers. L’élément de longueur étalon de lamétrique de Robertson-Walker nous montre que le

3volume délimité par Σ est proportionnel à S :

----------3∆V = √ γ δr δα δθ = Cte S

(γ = g et γ = det γ )ij ij ij

En multipliant l’équation (18,24) par cetteconstante et par dt, elle s’écrit :

δE = - p δV (18,25)

E est la masse-énergie totale contenue dans levolume ∆V, exceptée l’énergie gravitationnelle :

2E = ρ C ∆V ; δV = δ(∆V) (18,26)

La variation de l’énergie totale du systèmeinclus dans la surface Σ est égale au travail desforces de pression. Nous n’avons pas à prendre encompte dans ce bilan, ni l’énergiegravitationnelle, ni l’énergie cinétiqued’expansion de l’univers. En effet localement, lamatière est plongée dans un espace-temps deMinkowski et la gravitation peut être considéréecomme nulle. De plus, dans le référentielconsidéré lié aux galaxies en mouvement, la matièrea un mouvement d’ensemble nul, donc une énergiecinétique macroscopique nulle. Le mouvement relatifdes différents points de la surface lié àl’expansion de l’univers est en effet tellementfaible, quand le volume ∆V est suffisamment petit,

30 482

qu’on peut le négliger.

Dans la formule générale :

dE = dW + dQ = - p dV + dQ

nous avons dQ = 0 , ce qui veut dire quel’expansion de l’univers est adiabatique. Nousavons déjà rencontré cela dans le cas durayonnement au § 15 . Cela n’empêche pas qu’il yait des créations locales d’entropie par uneévolution interne des différentes parties del’univers sous l’action des autres interactions quela gravitation.

Considérons deux cas limites. Tout d’abord celuioù la matière est dominante, qui correspond à lapériode actuelle. Etudions des galaxiessuffisamment voisines pour que la vitessecorrespondant à l’expansion de l’univers soitnégligeable. Le mouvement résiduel aléatoire desgalaxies les unes par rapport aux autres estfaible. C’est lui qui est à l’origine des termes depression dans le tenseur d’impulsion-énergie. On adonc p = 0 et (18,24) donne :

1ρ ∝ ---------------3S

Ce résultat qui est prévisible, a été donné au§ 15 .

L’autre cas limite qui est supposé régner au toutdébut de l’univers est celui où toutes lesparticules sont relativistes. On a un comportementanalogue à celui d’un gaz de photons (§ 14 duchapitre 8 ). Dans un tel cas, on sait que :

1 2p = --------------- ρ C (18,27)3

d 2 3 1 2 d 3-------- ( ρ C S ) + --------------- ρ C -------- (S ) = 0dt 3 dt

. 3 2 .ρ S + 4 ρ S S = 0

d 4-------- ( ρ S ) = 0dt

- 4ρ ∝ S

Ce résultat a déjà été trouvé au § 15 . Nousavons obtenu ici ce résultat avec une équationdynamique : (18,24) et une équation d’état :(18,27). Au § 15 nous avions également utiliséune équation dynamique et une équation d’état pour

31 483

obtenir le même résultat :En effet, l’expression du décalage vers le rouge

a été obtenue en supposant que la longueur d’onde λest proportionnelle à S, ce qui est une équationdynamique. L’équation E = h ν reliée àP = h ν/C donne le quadrivecteur impulsion-énergie(4,9) et l’équation (8,7) à l’origine au § 22 duchapitre 8 du tenseur d’impulsion-énergie d’un gazde photons, de trace nulle, donc vérifiantu = 3 p . C’est donc bien une équation d’état.

24. Résolution des équations. - C’est Friedmannun météorologiste russe, dans les années 1920 , quieffectua le premier ce type de calcul.

Supposons tout d’abord que la matière soitprépondérante. A étant une constante, nousavons :

Aρ = ----------------- (18,28)3S

L’équation (18,22) donne :

.2 8 π G A 2S - ------------------------------------------ = - k C (18,29)3 S

Traçons la courbe correspondant à la fonctionpotentiel (fig. 18.9) :

8 π G AV(S) = - ------------------------------------------ (18,30)3 S

V I1111 k = - 12 1C u--------------------------------------------------------L---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11 k = 01 S----------------------------------------------k--------------------------------------------------------L------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L0 1 k = 12 1- C u--------------------------------------------------------L-------------------. V(S)111 Sa11111111

F i g . 18.9

Nous pouvons utiliser la méthode employée au§ 13 du chapitre 16 pour résoudre l’équation(18,29).

On voit tout de suite qu’il n’y a pas desolutions avec S = Cte . Pour le seul point où. ..S = 0 avec k = 1 , S < 0 . Ainsi il ne peut

32 484

pas y avoir d’univers statique. C’est cetteimpossibilité qui amena Einstein a modifierl’équation du champ en introduisant la constantecosmologique Λ de façon à avoir une possibilitéd’univers statique. Eddington montra que cettesolution est instable et ne présente donc pasd’intérêt physique. On est donc déjà conduit à laconclusion que l’univers dans son ensemble évolueavec le temps.

A l’époque actuelle, les observations nous.indiquent que S > 0 . Le point correspondant àl’état de l’univers se déplace donc vers la droitesur l’une des trois horizontales k = -1 , k = 0ou k = + 1 . Il y a donc trois futurs possiblespour l’univers :

Pour k = - 1 , cas de l’univers à espace àcourbure négative, l’expansion se poursuivrainfiniment avec une vitesse ayant une limite finie.

Pour k = 0 , cas de l’univers à espaceeuclidien, l’univers est en perpétuelle expansion,mais avec une vitesse tendant vers 0.

Pour k = + 1 , cas de l’univers fini à courburepositive, l’expansion s’arrête pour le rayon :

8 π G AS = ----------------------------------------- (18,31)a 23 C

..La figure 18.9 nous montre que S < 0 . Il y adonc ensuite une phase de contraction.

Nous pouvons également envisager le passé del’univers. En remontant le temps, il n’y a pas de.possibilité pour S de s’annuler. Les trois modèlesd’univers débutent donc avec une singularité :S = 0 ; c’est le BIG BANG.

En remontant le temps, S décroit donc. La densité3de matière croit alors proportionnellement à 1/S

tandis que la densité de radiation croit4proportionnelement à 1/S . Tel est le cas du

rayonnement fossile actuellement à 2.7 K . Ilexiste donc une époque antérieure à laquelle lerayonnement devait être prépondérant. Pour cette

4période, nous devons utiliser : ρ = B/S . Lesrésultats qualitatifs précédemment trouvés ne sontpas changés. Le potentiel correspondant :

8 π G BV(S) = - -------------------------------------------------- (18,32)23 S

donne le même type de courbe. Nous arrivons doncencore à la conclusion que l’univers a commencé sonexistence à S = 0 .

Posons nous la question de savoir si S = 0 a

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été obtenu en un temps fini dans le passé. Pour S2suffisamment faible, k C est négligeable dans

l’équation (18,22) et nous obtenons :

.2 8 π G BS = ---------------------------------------- (18,33)23 S

----------------------------------------------. 8 π G B 1S = ----------------------------------------- ----------------√ 3 S

----------------------------------------------1 2 8 π G B--------------- d(S ) = ----------------------------------------- dt2 √ 3

----------------------------------------------2 8 π G BS = 2 ----------------------------------------- t + Cte (18,34)√ 3

Nous avons donc effectivement S = 0 pour unevaleur finie de t. Nous pouvons ajuster notreorigine des temps de façon à avoir S = 0 àt = 0 ; c’est à dire Cte = 0 .

1/4 --------32 π G BS = ---------------------------------------------- √ t (18,35)3

.Nous voyons que S est infinie pour t = 0 .C’est la courbe connue de la fonction racine carréequi démarre avec une tangente verticale(fig. 18.10). La vitesse d’expansion est doncinfinie à l’origine. Nous avons vu au § 12 que cefait n’est pas en contradiction avec la Relativitérestreinte.

I11111 --------11 S ∝ √ t11I1k---------------------------------------------------------------------------------------------------------L

Fig. 1 8 . 10

En conclusion, nous arrivons, en remontant letemps, et en supposant les équations de laRelativité générale vraies, au fait que l’univers adébuté son existence par une singularité il y a untemps fini dans le passé. Le théorème de Penrose etHawking démontre que l’on arrive à une singularité,il y a un temps fini dans le passé, dans tous les

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cas, quelle que soit l’asymétrie de l’univers.Quelle confiance peut on accorder à ce résultat?

Ce qui est sûr, c’est que en remontant le tempsavec les équations de la Relativité générale, onarrive à un moment où l’univers était extrèmementchaud et dense. On arrive alors nécessairement à unmoment où il nous faudrait une théorie quantique dela gravitation pour décrire correctement leschoses. Cela s’appelle l’ère de Planck.

A une telle époque, le temps lui même devientincertain! En effet, en Relativité générale, unemasse ralenti le temps autour d’elle. L’incertitudede localisation de masses importantes, liée auxrelations d’incertitudes de Heisenberg, mèneinévitablement à une incertitude sur le temps.

L’idée d’un univers débutant son existence avecl’apparition du temps lui-même au temps 0 dans unegigantesque explosion, le Big Bang, a sans aucundoute une certaine validité.

25. Lien avec les paramètres observables. - Nousallons voir comment on peut déterminerexpérimentalement la valeur de k. L’équation(18,22) donne :

.2 2S k C 8 π G ρ--------------- + ------------------ = ---------------------------------------- (18,36)2 2 3S S

2C ρ1 + k ----------------------------- = -------------- (18,37)2 2 ρcS H

23 HAvec : ρc = -------------------------------- (18,38)8 π G

ρc est appelée la masse volumique critique, oula densité critique de l’univers.

On déduit de (18,37) que :

k = 1 ρ > ρc k = 0 ρ = ρc k = - 1 ρ < ρc

La mesure de la densité de matière présentementdoit donc permettre, en déterminant ρ, de savoirdans quel type d’univers nous vivons.

Envisageons maintenant le cas actuel où lamatière est prépondérante. Rappelons les équations(18,28) et (18,29) :

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.2 2 8 π G A AS + k C = ---------------------------------- ------------------ ; ρ = -----------------3 S 3S

.. .. 8 π G A S 8 π G .2 S S = - ------------------------------------------------------ = - ----------------------------- ρ S S2 33 S

.. 4 π GS = - ----------------------------- ρ S3

..S SSoit q = - --------------- (18,39). 2S

q s’appelle le paramètre de décélération. Ceparamètre sans dimension est mesurable en étudiantles galaxies lointaines qui, observées à un momentoù l’univers était plus jeune, sont vues avec unevitesse de récession supérieure à celle qu’ellesont maintenant.

. . 2S S 4 π G S- ---------------------- = ----------------------------- ρ ------------------- = q. 2 3 .2S S

3 2ρ = ----------------------------- q H = 2 q ρc4 π G

ρ-------------- = 2 q (18,40)ρc

Ainsi, la mesure de q est un autre moyen deconnaitre la structure de notre univers. L’idéalest évidemment de mesurer avec précision H, ρ et qet de vérifier l’équation (18,40).

De l’équation (18,37), on déduit que quand t 02 2 .2ρ ρc . En effet : S H = S ∞ et l’équation

devient 1 ρ / ρc .

Il ne faut pas en tirer la conclusion que à unmoment quelconque t nous n’avons pas le choix durapport ρ/ρc . Ce qui se passe, c’est que pourarriver à une situation présente raisonnable avecun rapport ρ/ρc ni extrèmement grand, niextrèmement petit, il a fallu que ce rapport soitextrèmement voisin de 1 à un temps très proche duBig Bang. Autrement, l’univers serait déjà retombésur lui-même avant l’époque présente, ou aurait unevitesse d’expansion qui rendrait le rapport ρ/ρcextrèmemement faible (voir § 39).

Pour mieux comprendre ce phénomène, considéronsune masse ponctuelle M attirant une masse m, situéeà la distance r, ou sa vitesse est v(r).

36 488

G M 1 2- --------------------- + --------------- v (r) = Cter 2

G M 1 2- --------------------- + --------------- vc(r) = 0r 2

vc(r) est la vitesse de libération à la distancer.

2 2On arrive à : v - vc= Cte et :

2v (r) Cte-------------------------- - 1 = ------------------------------2 2vc(r) v c ( r)

Et, comme vc ∞ quand r 0 , v(r)/vc(r) 1

quand r 0 .Une vitesse raisonnable pour une particule à la

distance r suppose que la vitesse était très prochede la vitesse de libération pour des distances trèsinférieures à r. On peut tirer une conclusion detout cela : pour k = 1 , un écart très faible de ρà la valeur ρc très tôt après le Big Bang auraitdonné un univers qui serait depuis longtempsretombé sur lui-même et nous n’existerions pas!Pour k = -1 , nous verrons au paragraphe 39 queρ/ρc

0 quand t ∞ et nous pourrions déjà-12avoir à l’heure actuelle ρ/ρc 10 par

exemple. Or les valeurs expérimentales donnent,compte tenu des masses cachées de matière inconnuedétectées par leur influence gravitationnelle, ρ/ρcdu même ordre de grandeur que 1 (voir exercice18.4).

Reprenons l’analogie de la particule et de savitesse de libération : une comète par exemple, aune vitesse raisonnable au voisinage de la Terre,donc une vitesse extrèmement proche de la vitessede libération près du Soleil. Mais cela est dû à lacondition initiale très logique de sa quasiimmobilité dans le nuage de Oort très loin duSoleil. Dans le cas de l’univers, nous n’avons àpriori rien pour nous expliquer la conditioninitiale correspondant au réglage fabuleux justeaprès le Big Bang ou ρ était égal à ρc avec uneprécision fantastique. les récentes théoriessupposant une phase d’inflation de l’univers justeaprès le Big bang pourraient donner une telleexplication. Une autre explication correspond à cequ’on appelle le principe anthropique (Dicke 1961).Dans un autre cas, nous n’existerions pas pourobserver l’univers! L’univers serait en effetretombé sur lui-même trop tôt, ou au contraire, lavitesse d’expansion trop rapide aurait dilué lamatière avant qu’elle n’arrive à se condenser engalaxies. Enfin, si ρ = ρc à l’époque présente,

37 489

les inhomogénéités même extrèmement faibles ferontque certaines vastes régions de l’universvérifierons ρ < ρc , tandis que d’autresvérifierons ρ > ρc et le modèle simple deFriedmann envisagé ne s’appliquerait éventuellementplus.

Dans les paragraphes suivants, nous allonsmontrer que l’on retrouve beaucoup des résultatsprécédents avec des calculs fait dans le cadre dela Mécanique newtonienne.

26. Pourquoi la Cosmologie newtonienne? - Unequestion valable que l’on peut se poser est :pourquoi le ciel ne nous tombe-t’il pas sur latête? Pourquoi les objets célestes, le Soleil, laLune, les étoiles, restent-ils immobiles dans lescieux. Les civilisations antiques, comme la chinepar exemple, se sont posées ce problème. Ceproblème est d’ordre cosmologique, étudiantl’équilibre des astres hors de notre planète.

Les grecs avaient trouvé une réponse à cettequestion en imaginant la sphère céleste rigidesoutenant les étoiles fixes.

La Mécanique newtonienne répond déjàpartiellement puisqu’elle explique, par la loi dela gravitation universelle, pouquoi la Lune reste àdistance fixe de la Terre en tombantperpétuellement vers cette dernière. Newtonlui-même essaya d’envisager des modèlescosmologiques basés sur sa Mécanique; et cela n’estpas hors de propos, car dans la "banlieue"terrestre, les champs de gravitation ne sont pas siforts, et les vitesses si proches de celle de lalumière, qu’il faille utiliser absolument laRelativité générale.

La Cosmologie newtonienne consiste en effet àextrapoler ces études locales valables (la régiondu système solaire) et à essayer d’étudierl’évolution de l’univers dans son ensemble dans lecadre de la Mécanique newtonienne.

Nous avons vu au § 9 du chapitre 6 que le faitque les étoiles ne tombent pas sur la Terre estrésolu par la structure plane de notre galaxie etsa rotation sur elle-même. Par contre, larépartition des galaxies autour de la notre neprésente pas de structure plane. Il faut donctrouver une autre solution. Nous avons vu, avec laRelativité générale, que celle-ci est l’expansionde l’univers.

Nous verrons au § 30 que la cosmologie baséesur la Mécanique newtonienne peut être justifiée.Elle a le mérite d’être très simple. C’est pourquoinous abordons son étude au paragraphe suivant.

27. Difficulté de la Cosmologie newtonienne. -

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Envisageons tout d’abord un univers constitué d’unerépartition infinie de matière homogène et isotropedans un espace euclidien. Nous supposons qu’ilexiste un temps absolu et que la Mécaniquenewtonienne s’applique. Ce modèle semble de primeabord très proche de l’univers de Friedmann aveck = 0 . Cependant des difficultés conceptuellesapparaissent quant à la prédiction de son évolutionfutur.

Considérons un point M . A toute particuleattirant M avec une certaine force dans unecertaine direction correspond une particuleattirant M avec la même intensité dans la directionopposée (fig. 18.11).

. Pa FM . - F

a . Q

F i g . 1 8 . 1 1

On en déduit que le point M est nécessairement enéquilibre. Ceci étant vrai pour tout point M,l’univers est statique.

Effectuons maintenant un autre raisonnement.Considérons un point O quelconque et un point M àla distance S de O. La répartition de matièrepossède la symétrie de révolution autour de O. Unthéorème simple de Mécanique newtonienne montre quela matière à l’extérieur de la sphère Σ de centre Oet de rayon S n’a aucune influence sur M, tandisque toute la matière située à l’intérieur de Σattire M comme le ferait une masse unique égale àla masse totale intérieure à Σ et située en O. Lepoint M doit donc accélérer vers le point O,résultat en contradiction avec le résultatprécédent. De plus, le point O ayant été choisid’une manière quelconque, la répartition de matièreétant à symétrie sphérique autour de tout point, onen arrive à la contradiction que le point Maccélère vers tout point.

Que conclure de cela? Simplement que leformalisme mathématique de la Mécanique newtonienneest incapable de déterminer l’évolution du modèled’univers considéré. Le concept de force avec

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sommation infinie sur toutes les forces pour avoirla résultante est inadéquat.

Le formalisme de la Relativité générale redonnedans les cas usuels le concept de force et lescalculs usuels avec sommation des forces de laMécanique newtonienne. Cependant, ce formalisme estplus puissant, car dans le cas de la cosmologie oùla répartition de matière est infinie, il permet decalculer sans ambiguïté et sans utiliser le conceptde force là où la Mécanique newtonienne estimpuissante.

Nous voyons sur ce cas que le formalisme de laRelativité générale est plus puissant et plus vasteque celui de la Mécanique newtonienne. LaRelativité générale résoud le problème del’accélération de M vers tout point O grâce auprincipe d’équivalence et à la Relativité del’accélération! Tout dépend du référentiel choisi.Elle seule peut intégrer ce principe dans unestructure mathématique cohérente.

Un moyen d’échapper, en Mécanique newtonienne, auproblème précédent est de supposer une quantitéfinie de matière, dont la répartition est àsymétrie sphérique autour d’un point O, le reste del’univers étant constitué d’espace vide. Ce modèleest, d’un point de vue physique, très artificiel etpeut satisfaisant (que signifie cette espace vides’étendant à l’infini, au delà de la matière), detelle manière que nous voyons qu’il n’existe pas decosmologie newtonienne satisfaisante. Poursuivonscependant notre étude dans ce cas, au paragraphesuivant, puisqu’elle est possible.

28. La Cosmologie newtonienne. - Calculons dansce cadre, la masse volumique critique ρc. Reprenonsla situation de la sphère Σ (rayon S) et du point Msur sa surface dans le cadre d’un modèle dynamique.La masse volumique critique correspond au cas où lasphère Σ se dilate à l’infini, le point M ayant unevitesse limite nulle. Pendant toute cette phased’expansion, l’attraction des masses intérieures àla sphère est équivalent à celle d’une masse uniqueégale à la somme des masses intérieures et placéeau centre de la sphère. On est donc ramené au casd’un point matériel de masse m attiré par une forcecentrale, le potentiel valant - G M m/r .

G M m 1 2- ----------------------------------- + --------------- m vc = 0S 2

4 3avec : vc = H S ; M = --------------- π ρc S3

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G 4 3 1 2 2- ------------------ --------------- π ρc S + --------------- H S = 0S 3 2

8 2- G --------------- π ρc + H = 03

23 Hρc = --------------------------------8 π G

On trouve exactement la valeur donnée par laRelativité générale. Est-ce une coïncidencefortuite, ou la Mécanique newtonienne a t’elle unejustification limite? Nous allons répondre à cettequestion dans le paragraphe suivant.

Plus généralement, trouvons les équations de laCosmologie newtonienne :

r S------------- = ---------------r0 S0

S étant un paramètre égal à la distance àl’origine d’un point particulier dont on suitl’évolution. r est la distance à l’origine d’unpoint quelconque. l’indice 0 veut dire que lesquantités sont prises à l’instant t0.

--------L --------L S(t) --------LOM(t) = OM(t0) ----------------- ; OM = rS(t0)

4 3 G mV(t) = - --------------- π r ρ(t) --------------------3 r

24 2 4 2 S= - --------------- π m G r ρ(t) = - --------------- π m G ρ(t) r0 -------------------3 3 2S0

.21 .2 1 2 ST = --------------- m r = --------------- m r0 ---------------2 2 2S0

21 r 0 .2 8 π G 2 E = --------------- m ------------------- S - ----------------------------- ρ S2 2 3 S0

2.2 8 π G 2 2 E S0S - ----------------------------- ρ S = ---------------------------------- (18,41)3 2m r 0

Le paramètre S n’est ici déterminé qu’à uneconstante multiplicative près, la constante ausecond membre, et a donc une valeur absoluequelconque. Ainsi, le second membre a également unevaleur absolue quelconque, seul son signe estimportant. On peut alors choisir le paramètre S0 defaçon à avoir :

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22 E S0 2---------------------------------- = - k C (18,42)2m r 0

On retrouve l’équation (18,22) donnée par laRelativité générale.

k = + 1 correspond bien à E < 0 et à ununivers retombant sur lui même au bout d’un certaintemps. De même, pour k = 0 , et k = + 1 , onretrouve bien E = 0 et E > 0 et la dynamiqueest la même que celle trouvée en Relativitégénérale.

Ce que la Mécanique newtonienne ne nous donnepas, bien sur, c’est la valeur exacte de S, donc lavaleur exacte de E, S étant le facteur d’échellecosmique.

Encore une fois, tout ce que nous venons detrouver résulte-t-il d’une coïncidence, où laCosmologie newtonienne peut-elle être justifiéecomme cas limite?

29. Retour au théorème de Birkhoff. - Nousavons déjà mentionné le théorème de Birkhoff au§ 7 du chapitre 16 et au § 11 du chapitre 17 .Rappelons ici ce théorème :

Le théorème de Birkhoff affirme que la solutionde Schwarzschild est la solution de l’équation duchamp en espace vide pour un système à symétriesphérique.

Ce théorème est très puissant : nous n’avons mêmepas besoin d’imposer de retrouver l’espace-temps deMinkowski à l’infini! Il suffit de supposer, enaccord avec le principe de Mach, que la métriqueest également à symétrie sphérique, comme larépartition des masses. Nous n’avons pas besoin nonplus de supposer que l’état du système estindépendant du temps. Ainsi, un collapsegravitationnel donne, à l’extérieur, la métrique deSchwarzschild, donc une métrique indépendante dutemps, dans la mesure où durant le collapse, lasymétrie sphérique est conservée.

Nous pouvons également appliquer le théorème deBirkhoff au champ gravitationnel à l’intérieurd’une cavité sphérique vide placée au centre d’unsystème possédant la symétrie sphérique. Dans untel cas, la métrique est également donnée par lasolution de Schwarzschild. Mais, puisque le pointr = 0 est ici en espace vide, il ne peut y avoirde singularité, et nécessairement, la constanted’intégration M G doit être nulle.

Le théorème de Birkhoff a donc pour corollaireque la métrique à l’intérieur d’une cavitésphérique vide au centre d’un système à symétriesphérique doit être la métrique de l’espace-tempsplat de Minkowski! Ce corollaire est l’analogue en

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Relativité générérale du fameux résultat de laMécanique newtonienne selon lequel le champgravitationnel à l’intérieur d’une sphère massiquecreuse est nul. En superposant de telles coquillesmassiques, on arrive bien au résultat que le champest nul à l’intérieur d’une cavité sphérique aucentre d’un système à symétrie sphérique.

L’importance du théorème de Birkhoff vient dufait que c’est un théorème local qui ne dépend pasdes conditions imposées à la métrique pour r ∞ ,à part la symétrie sphérique. Nous avons en effetvu ci-dessus que nous n’avons pas besoin desupposer que l’on retrouve la métrique de Minkowskià l’infini.

Ainsi, l’espace doit être plat à l’intérieurd’une cavité sphérique au centre d’un système àsymétrie sphérique, même si le système estl’univers entier. Nous allons voir dans leparagraphe suivant que ce résultat nous permet dejustifier la Cosmologie newtonienne.

Mais nous pouvons déjà ici justifierqualitativement le traitement newtonien du systèmesolaire : l’ensemble des astres situés hors dusystème solaire constitue un système à symétriesphérique. Supposons tout d’abord qu’il n’y aitrien à l’emplacement du système solaire. Lamétrique est donc celle de Minkowski et pour defaibles vitesses et de faibles masses, la Mécaniquenewtonienne s’applique donc. Mettons en place (parla pensée), le Soleil et les planètes, nous pouvonstraiter ce problème par la Mécanique newtonienne enpremière approximation et en ne tenant compte quede l’interaction des astres appartenant au systèmesolaire entre eux. Ce que nous venons de dire iciest justifié rigoureusement au paragraphe suivant.

Le théorème de Birkhoff justifie égalementl’obtention de la métrique de Schwarzschild auchapitre 16 , le reste de l’univers en dehors de larégion étudiée entourant l’astre étant supposée àsymétrie sphérique.

30. Justification de la Cosmologie newtonienne. -Soit S1 << S , S étant le facteur d’échellecosmique. Considérons la sphère Σ1 de centre O(point quelconque choisi arbitrairement) et derayon S1. Si l’intérieur de cette sphère est vide,le théorème de Birkhoff entraine que, dans cetintérieur, l’espace-temps est de Minkowski avecg = η .αβ αβ

Si nous plaçons maintenant à l’intérieur de cettesphère de la matière, nous pouvons, dans la mesureoù le champ gravitationnel créé par cette matièreest faible, considérer que la métrique est :

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g = η + hαβ αβ αβ

h est la perturbation due à la matièreαβajoutée, et h << 1 .αβ

La condition S1 << S a été posée de façon àavoir suffisamment peu de matière à l’intérieur deΣ1 pour que le champ gravitationnel créé parcelle-ci soit effectivement faible.

Nous sommes donc dans le cas de l’approximationlinéaire de la Relativité générale. Si noussupposons en plus que les vitesses des particulesplacées à l’intérieur de la sphère sont faiblesdevant celle de la lumière, nous sommes dans le casoù l’approximation linéaire de la Relativitégénérale redonne la Mécanique newtonienne.

Les actions gravitationnelles à l’intérieur de Σ1correspondent à la présence de h qui est crééαβuniquement par la matière à l’intérieur de Σ1.Autrement dit, la matière à l’intérieur de Σ1 agitgravitationnellement sur elle-même, mais ne subitaucune autre influence gravitationnelle. Elleévolue donc comme si elle était placée dans ununivers vide.

Nous arrivons donc au modèle suivant : une régionremplie de matière possédant la symétrie derévolution autour d’un point O et limitée par unesphère Σ1 de rayon S1. L’évolution de cette matièrepeut être traitée en appliquant la Mécaniquenewtonienne et en considérant toute cette matièrecomme isolée dans un espace vide, puisqu’elle nesubit aucune autre influence gravitationnelle.

Lorsque l’univers grandit, la Relativité généralenous assure que S1 et S croissent tout deux enrestant proportionnels. La Relativité générale nousassure donc que l’étude newtonienne de la régionintérieure à Σ1 permet de calculer l’évolution detout l’univers. Il ne faut pas être surprit decela. L’univers restant au cours de son évolutionhomogène et isotrope, il est clair que l’étude del’évolution d’une petite région permet de connaitrel’évolution globale de tout l’univers. Cependant,ce résultat justifie complètement la cosmologienewtonienne traitée au § 28 .

Remarquons que l’application de la Mécaniquenewtonienne à la région intérieure à Σ1 permet deretrouver l’équation (18,24) correspondant à laconservation de l’énergie, en tenant compte là de

2la Relativité restreinte par E = m C . Les deuxéquations fondamentales permettant de calculerl’évolution de l’univers sont donc retrouvées parla Cosmologie newtonienne, celle-ci étant justifiéepar la Relativité générale.

Cependant, bien que la Cosmologie newtonienne

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31. Détermination expérimentale de la constantede Hubble et du paramètre de décélération. - Leproblème que nous nous posons maintenant est celuide la détermination des distances des galaxies pourlesquelles la structure à grande échelle del’univers a une influence. C’est à dire quel’expansion de l’univers au cours du temps et sagéométrie spatiale doivent être prises en comptepour évaluer correctement ces distances.

Actuellement, la seule méthode vraiment efficaceest de comparer la luminosité apparente desgalaxies à leur luminosité absolue supposée connue.Les galaxies utilisées pour ce repérage sont lesgalaxies les plus brillantes des amas, galaxieselliptiques de type E, qui sont supposées toutesavoir la même luminosité absolue. Cette luminositéabsolue est déterminée par la connaissance par uneautre méthode de leur distance pour des galaxiesproches du même type.

La détermination de la distance pour des objetsaussi lointains avec cette méthode, n’est pasdirecte. Elle passe nécessairement parl’utilisation d’un modèle d’univers (ici lamétrique de Robertson-Walker avec un modèle pourl’évolution de S(t)) permettant d’avoir accès, avecla méthode précédente, et l’utilisation du décalagevers le rouge z, à la connaissance de la constantede Hubble H et du paramètre de décélération q. Cesvaleurs étant alors connues, la valeur du décalagevers le rouge, ou ce qui revient au même, de ce quenous appellerons la distance lumineuse dL, donnentensuite la distance.

Mais la détermination de H et q est bien surutile pour elle-même, pour l’étude de la structurede notre univers et la connaissance de sonévolution futur; et la relation luminositéapparente, luminosité absolue, décalage vers lerouge est actuellement la meilleur méthode pourleurs déterminations.

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permettent de retrouver les équations d’Einstein(18,22) et (18,24), elle est bien évidemmentincomplète. Tout d’abord, nous avons besoin de laRelativité générale pour justifier la Cosmologienewtonienne! Ensuite, nous n’avons pas accès aveccette cosmologie à la valeur exacte de S. Nous nepouvons suivre qu’une grandeur qui lui estproportionnelle.

Enfin, de nombreux phénomènes physiques liés àl’expansion de l’univers et à sa structure à grandeéchelle, comme le décalage vers le rouge, nepeuvent être traités correctement que dans le cadrede la Relativité générale.

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32. Distance lumineuse. - Voyons donc maintenantcomment sont effectués les calculs :

Considérons une source de luminosité absolue L. Lest la puissance totale émise par la source etrayonnée dans l’angle solide 4 π . Soit t1 letemps cosmique d’émission de la lumière, et t0 letemps cosmique de sa réception. Chaque photon émispar la source avec l’énergie h ν1 est décalé versle rouge jusqu’à l’énergie h ν1 S(t1)/S(t0) . Deplus, les photons émis à des intervalles de tempsδt1 sont reçus à des intervalles de temps :

S(t0)δt0 = δt1 ---------------------S(t1)

La puissance totale émise, vue du pointd’observation est donc :

2S (t1)P = L ------------------------- (18,43)2S (t0)

Remarquons que cette double influence de lavariation de l’énergie des photons et de leur débitest tout à fait analogue à ce qui se passait dansl’exercice 8.3 et l’exercice 8.4 .

Cette puissance, rayonnée dans l’angle solide4 π , est dispersée, au temps cosmique t0, sur unesurface qui vaut :

22 s = 4 π d = 4 π S(t0) r1 (18,44)

La luminosité apparente l est la puissance reçuepar unité de surface du miroir collecteur, donc :

2L S (t1)l = -------------------------------------------------------------- (18,45)4 24 π S (t0) r1

Dans un espace euclidien, la luminosité apparented’une source au repos à la distance d serait

2l = L/4 π d . Nous pouvons donc définir ladistance lumineuse dL d’une source comme égale à :

------------------------- LdL = ------------------------- (18,46)√ 4 π l

La formule (18,45) peut donc s’écrire :

S(t1)r1 = ---------------------- dL (18,47)2S (t0)

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D’autre part, rappelons (18,19) :

t0⌠ C ------------------------- dt = f(r1)S ( t)⌡t1

dL étant mesurée expérimentalement, nous avonsdonc deux équations à deux inconnues r1 et t1, lafonction S(t) étant supposée connue!

r1⌠ dret d = S(t0) f(r1) = S(t0) ----------------------------------------------- (18,48)---------------------------------⌡ 20 √ 1 - k r

La détermination des distances à partir de lacomparaison luminosité apparente, luminositéabsolue, passe donc bien par la connaissance de ladynamique de l’univers, c’est à dire par laconnaissance de la croissance de S(t) (pour desdistances suffisamment faibles, cela correspond àla connaissance de H et de q).

Elle passe également par la connaissance de k,donc de la géométrie de l’espace à 3 dimensions.Cependant, pour r1 faible, f(r1) = r1 et laconnaissance de k n’est pas nécessaire.

Pour r1 suffisamment petit, les formules (18,48)et (18,47) donnent bien :

S(t1) S(t1)d S(t0) r1 = S(t0) -------------------------- dL = -------------------------- dL dL2 S(t0)S (t0)

Rappelons ici que nous pouvons mesurerl’éloignement de l’objet par la distance étalon d;par le temps qu’à mit sa lumière pour nousrejoindre : t0 - t1 , ou la distancecorrespondante en années lumières par exemple :dc = C(t0 - t1) . On peut prendre également leu odécalage vers le rouge z = 1S(t0) - S(t1)1/S(t1) .m .Nous avons enfin la distance lumineuse dL.

33. Relation décalage vers le rouge distancelumineuse. - Rappelons les formules :

t0 r1⌠ ⌠C dr ------------------------- dt = ----------------------------------------------- (18,19)S ( t) ---------------------------------⌡ ⌡ 2t1 0 √ 1 - k r

S(t0)z = -------------------------- - 1 (18,20)S(t1)

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2S (t0)dL = r1 ------------------------------- = r1 S(t0) (1 + z) (18,49)S(t1)

A l’heure actuelle, la courbe dL(z) estdéterminée expérimentalement avec une bonneprécision uniquement pour les faibles valeurs dudécalage vers le rouge z. Nous sommes doncconcernés par le cas où C(t0 - t1) , r1 et z sontfaibles. Nous pouvons donc réaliser le programme duparagraphe précédent en utilisant desdéveloppements limités :

2. (t - t0) ..S(t) = S(t0) + (t - t0) S (t0) + --------------------------------- S (t0) (18,50)2

.avec : S (t0) = H0 S( t0)

.2.. S (t0) 2S (t0) = - q0 ------------------------------ = - q0 H0 S(t0)S(t0)

2 (t1 - t0) 2 S(t1) = S(t0) 1 + (t1 - t0) H0 - ------------------------------------- q0 H0 + ... (18,51) 2

L’utilisation de (18,51) dans (18,20) donne, endivisant en puissance croissante 1 par ledéveloppement limité de S(t1)/S(t0)(t = t1 - t0) :

2 t 2 1 = 1 + t H0 - -------------- q0 H0 + ... 2

q0 2 2 × 1 - t H0 + ( 1 + -------------- ) t H0 + ... 2

q0 2 2z = H0 (t0 - t1) + 1 + -------------- H0 (t0 - t1) + ... (18,52) 2

Inversons maintenant cette relation; c’est à diretrouvons le développement limité de t0 - t1 enfonction de z :

2t0 - t1 = a + b z + c z + ...

2 q0 z = H0 a + H0 b z + H0 c z + 1 + -------------- 2

2 2 q0 2× H0 a + 1 + -------------- H0 2 a b z 2

4 500

q0 2 2 2 q0 2 2+ 1 + -------------- H0 b z + 1 + -------------- H0 2 a c z 2 2

1a = 0 ; H0 b = 1 ⇒ b = -----------------H0

q0 1 q0 H0 c + 1 + -------------- = 0 ⇒ c = - ----------------- 1 + -------------- 2 H0 2

1 q0 2t0 - t1 = ----------------- z - 1 + -------------- z + ... (18,53)H0 2

C q0 2dc = ----------------- z - 1 + -------------- z + ... (18,54)H0 2

Trouvons maintenant, en utilisant (18,19) , ledéveloppement limité de r1 en fonction du temps devol de la lumière t0 - t1 . Tout d’abord, (18,52)donne :

1 1 q0 --------------------------- = ---------------------------- 1 + H0 (t0 - t1) + 1 + --------------S(t1) S( t 0) 2

2 2× (t0 - t1) H0

Puis, en intégrant ce développement limité grâceà l’équation (18,19) :

2r1 + O(r1) =

C 1 2 ------------------------------ (t0 - t1) + --------------- H0 (t0 - t1) + ...S( t 0) 2

2Nous avons ainsi, négligeant O(r1) , ledéveloppement limité de r1 en fonction det0 - t1 . Remplaçant t0 - t1 par son expression(18,53) en fonction de z, nous obtenons :

C 1 2 r1 = ---------------------------------------------- z - --------------- ( 1 + q0) z + ... (18,55)S(t 0 ) H0 2

Remarquons que pour k = 0 ou r1 suffisammentpetit, d S(t0) r1 .

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C 1 2d ----------------- z - --------------- 1 + q0 z + ... (18,56)H0 2

Au premier ordre, on retrouve bien :

C zd -------------------- ; qui est (18,54)H 0

Dans le cas général, la formule (18,49) donnealors :

C 1 2 dL = ----------------- (1 + z) z - --------------- (1 + q0) z + ...H0 2

C 1 2 dL = ----------------- z + --------------- (1 - q0) z + ... (18,57)H0 2

Et, on a bien dL C z/H0 = d au premier ordre.

2 2L 2 C z l = ------------------------------------- ; dL = ------------------------ 1 + (1 - q0) z2 2 4 π dL H0

2L H0 1 l = ------------------ ----------------- -------------- 1 + (q0 - 1) z (18,58)4 π 2 2 C z

l, L, et z étant connus tous les 3 pourdifférentes galaxies, la relation précédente permeteffectivement de calculer la constante de Hubble H0et le paramètre de décélération q0. (18,54) permetalors d’avoir accès à dc, et (18,56) à d.

Considérons le cas général, lorsque les distancessont telles que l’utilisation des développementlimités n’est plus possible. Posons nous laquestion de savoir si la connaissance de l, L et zpour différentes galaxies permet de calculer lafonction S(t) dont la connaissance permet decalculer les distances (cf § 32 ) . Les équationssont (18,19), (18,20) et (18,49). La réponse estnégative. Pour résoudre le problème, il estnécessaire d’utiliser les équations dynamiques(18,22) et (18,24). Revenons maintenant, dans leparagraphe suivant, à l’équation (18,58) que nousallons transformer en faisant intervenir lesmagnitudes relatives et absolues.

34. Magnitude apparente, et magnitude absolue. -Pour caractériser la luminosité apparente et la

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luminosité absolue, on préfère utiliser une échellelogarithmique. Cette échelle repose sur unepropriété physiologique de l’oeil : la sensationvarie comme le logarithme de l’excitation (loi deFlescher). Toutes les sensations obéissentd’ailleurs à une telle loi, en particulier lessensations auditives. On mesure donc également lessons avec une échelle logarithmique, d’où l’unitéle décibel. Cette propriété des sensations permetaux organes des sens de pouvoir détecter sansproblèmes les phénomènes dans une vaste gammed’intensités.

Historiquement, la première échelle d’éclat desétoiles fut définie par Hipparque. Les étoilesvisibles à l’oeil nu étaient classées en 6catégories, les étoiles les plus brillantes étantcelles de première magnitudes.

En 1856, Nr Pogson vérifia la découverte deHerschel : une étoile de 1˚ magnitude est à peuprès 100 fois plus brillante qu’une étoile de 6˚magnitude. On put ainsi quantifier mathématiquementl’échelle. Un intervalle de 5 magnitudes correspondà un éclat multipié par 100 donc:

l6 15 = m6 - m1 = k log ------------ = k log --------------- = - 2 k ⇒ k = - 2.5l1 100

et : m = - 2.5 log l + C

m est la magnitude apparente correspondant à laluminosité apparente l. La valeur de la constante Cest fixée en attribuant une magnitude à une étoiledonnée. Elle a été choisie de telle sorte que lesmagnitudes s’accordent au mieux à cellesintroduites par Hipparque.

Suivant le type de récepteur qui mesure l’éclatapparent de l’étoile, on ne mesure pas exactementla même quantité d’énergie, le récepteur ayant unesensibilité dépendant de la fréquence. De ce fait,on définit autant de système de magnitudes que l’onutilise de systèmes récepeurs différents.

Dans le système des magnitudes visuelles, laconstante C a été fixée en attribuant la magnitude6.55 à l’étoile λ de la constellation de la PetiteOurse. Cette étoile a été choisie parce qu’elle estproche du pôle, donc visibles par tous lesobservateurs de l’hémisphère nord où étaientconcentrés la plupart des observatoires dans lapériode où a débutée l’astrophysique. On l’apréféré à l’étoile polaire parce que celle-ci estd’éclat variable. On arrive alors à :

-8 - 2/5 m 2l = 2.52 10 10 W/m (18,59)

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m = - 2.5 log l - 19 (18,60)

La magnitude absolue M est la magnitude apparentequ’aurait l’étoile si sa distance était égale à10 pc.

Rappelons qu’un parsec est la distance au systèmesolaire et perpendiculairement à celui-ci vu delaquelle l’angle entre la direction du Soleil etcelle de la Terre est égal à 1’’.

π rd = 180 × 60 × 60 ’’

11π 1.5 10α = -------------------------------------------------------------------- = ------------------------------------180 × 60 × 60 d

La distance Terre-Soleil, qui est égale pardéfinition à une unité astronomique (u.a.) vaut en

11effet 1.5 10 m. Finalement :

161 pc = d = 3.09 10 m (18,61)

Rappelons que une année lumière (a.l.) vaut :

81 a.l. = 2.998 10 × 365.25 × 24 × 3600 m

151 a.l. = 9.46 10 m (18,62)

Donc : 1 pc 3.27 a.l. (18,63)

Ll = -------------------------------24 π d

M = m = - 2.5 log l - 1910 pc

= - 2.5 log L + 2.5 log 4 π + 5 log d10 pc - 19

17avec d10 pc = 3.09 10

M = - 2.5 log L + 71.2 (18,64)

28 - 2/5 ML = 3.02 10 10 W (18,65)

La différence m - M porte le nom de module dedistance. Le module de distance est nul, pardéfinition, pour une distance de 10 pc.

8 504

m - M = - 2.5 log l - 19 + 2.5 log L - 71.2

Lm - M = 2.5 log ----------------- - 90.2 (18,66)l

On peut également écrire, grâce à (18,46) vraiepour toute distance, et dL étant exprimée enmètre :

2m - M = 2.5 log 4 π dL - 90.2

m - M = 5 log dL - 87.45 (18,67)

Après cet intermède, nous pouvons maintenanttraduire la relation (18,58) en module de distance.

2 2 4 π C z m - M = 2.5 log ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 90.2

2 H0 1 + ( q0 - 1) z

1 uSachant que log(1 + u) = -------------------------------- Log (1 + u) --------------------------------Log 10 Log 10

pour u << 1 .

m - M = - 87.45 + 5 log C z - 5 log H0 + 1.086 (1 - q0) z

Si on exprime H0 en km/s/Mpc et C z enkm/s :

19H0 nouveau = H0 ancien × 3.09 10

- 3C z nouveau = C z ancien × 10

m - M = 25 - 5 log H0 + 5 log C z + 1.086 (1 - q0) z (18,68)

35. Résultats expérimentaux. - Nous présentonsici les résultats expérimentaux correspondants àl’étude théorique précédente.

Pour avoir accès à la valeur de H0 à partir de laformule (18,68), il suffit de l’appliquer à un seulobjet pour lequel le terme en q0 est négligeable,donc pour lequel z ≤ 0.1 . Pour avoir accès à q0,il faut étudier la courbe correspondant à laformule pour différentes valeurs de z supérieures à0.1 de façon à ce que le terme en q0 ne soit plusnégligeable.

Comme nous l’avons dit au § 31 , les objetsconsidérés sont les galaxies elliptiques de type E.

9 505

Lorsqu’on étudie un amas dont toutes les galaxiessont à peu près à la même distance, on considèreque les galaxies les plus brillantes de cet amasont la même magnitude absolue que la galaxieNGC 4472 = M 49 , la galaxie elliptique la plusbrillante de l’amas de la Vierge. Sa magnitudeabsolue est supposée être : M = -21.7 .

On peut mentionner ici que la distance de l’amasde la Vierge est calculée grâce aux amasglobulaires. On considère que les plus brillantsamas globulaires de la galaxie M 87 (très richeen amas globulaires) ont la même luminosité absolueque l’amas globulaire B 282 , le plus brillant dela galaxie d’Andromède M 31 . On trouve alors pourM 87 une distance d’environ 50 millions d’annéeslumières.

Différentes corrections sont à prendre en compte.Nous ne citons que les principales : Tout d’abord,les appareils de détections ne sont sensibles qu’àcertaines fréquences du spectre électromagnétique.Seule la luminosité dans ces fréquences estmesurée. Compte tenu du décalage vers le rouge,cela correspond à une mesure de la luminosité dansune autre gamme de fréquence pour la galaxieémissive. Nous n’entrerons pas ici dans le détailde la modification correspondante de la formule.

Il faut prendre en compte l’absorption de lalumière par les gaz et les poussières du plan denotre galaxie. L’absorption par les régions situéesentre les galaxies est supposée négligeable.

Enfin, plus on regarde loin, plus on regarde desgalaxies jeunes. Il est possible que les galaxiesles plus brillantes n’aient pas une luminositéconstante au cours de leur évolution. On peutpenser qu’elles sont plus brillantes au début deleur vie quand elles donnent naissance à beaucoupde grosses étoiles à vies brèves. D’un autre côté,on sait que les galaxies se rencontrent parfois etpeuvent fusionner en donnant naissance à desgalaxies de plus en plus grosses. Dans ce cas, on al’effet inverse, plus on regarde loin plus on a desgalaxies faibles.

Il faut également mentionner l’effet Scott :lorsqu’on observe des amas très lointains, on peutsans s’en rendre compte sélectionner ceux qui ontles galaxies les plus brillantes. Lorsqu’on regardeplus loin, les objets considérés auront donc uneplus grande luminosité absolue.

Sandage en 1970 sélectionna 41 amas de galaxies.Nous présentons (fig. 18.12) le résultat desmesures de z en fonction de la magnitude apparentem. Les différents effets perturbateurs ont étéévalués. Les magnitudes absolues étaient toutesconsidérées égales à - 21.7 . Sur la même figure,sont tracées les trois courbes théoriques

10 506

correspondant à l’équation (18,68) pour q = 0 ;q = 1 ; q = 2 . Les répartitions des pointscorrespondent bien à l’équation (18,68) avec :

H0 75 km/sec/Mpc

et

q0 1.2 ± 0.4

q 0 = 1

z I1 q0 = 211 q0 = 0

1.00 u-----1111111110.10 u-----11111

1110.01 u-----1111k-----------------------------,-----------------------------,----------------------------,-----------------------,----------------------------,----------------------------,--------------------------------------L

1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 m

F i g 18.12

A l’heure actuelle, il y a un consensus pourconsidérer que :

50 km/s Mpc ≤ H0 ≤ 130 km/s Mpc (18,69)

et :

q0 1 ± 0.5 (18,70)

Ceci place q0 vraiment très proche de la valeurcritique de 1/2 , et on ne peut pas conclure surun espace ouvert ou fermé. Pour que q0 soitactuellement si proche de cette valeur critique, ila fallut qu’il en soit extrèmement proche dans lesépoques antérieures et, pourquoi ne pas supposerqu’encore maintenant q0 0.5 ? Ceci revient à nepas faire jouer à notre époque un rôle particulier.En effet, la valeur q0 0.5 est la seule pourlaquelle q0 est constant au cours du temps (voir§ 39 ). Nous examinerons de nouveau cette questionau § 42 .

36. L’ère de la matière dominante. - Nous allonsdétailler à partir de maintenant l’évolution et la

11 507

structure de l’univers pour la phase dans laquellela matière est dominante. Nous examinerons ensuitele lien avec les données d’observation.

Nous avons vu au § 23 que lorsque la matière(particules animées de vitesses faibles devant

3celle de la lumière) est dominante, ρ ∝ 1/S ;tandis que lorsque les radiations (particules

4ultra relativistes) sont dominantes, ρ ∝ 1/S .Nous avions également déjà vu ces relations au§ 15 .

Actuellement la densité d’énergie des formesconnues de radiation est 1/100 de celle de lamasse au repos de la partie de la matière qui estanimée d’une vitesse faible devant celle de lalumière (ce que nous appelons simplement lamatière). En accord avec le fait queρradiation/ρmatière ∝ 1/S (cela suppose que lamatière est découplée des radiations), nous pouvonsen conclure que l’expansion de l’univers a étécommandée par son contenu de matière nonrelativiste au moins depuis la période où S étaitégal à 1/100 de sa valeur actuelle (voirégalement le § 43 ).

Cette période est très antérieure à l’instantd’émission de la lumière par les objets les pluslointains que nous observons (en dehors durayonnement fossile). En effet, d’après la formule(18,20) donnant le décalage vers le rouge enfonction de S, cette période correspond à undécalage vers le rouge de 100, alors que les objetsles plus lointains que nous observons, les quasars,ont un décalage vers le rouge inférieur ou égal à4.9 !

Seule l’ère où la matière est dominante est doncaccessible aux observations astronomiques d’objetsindividuels. Par contre, l’étude du rayonnementfossile donne des informations sur l’ère où lesradiations étaient dominantes.

L’étude éventuelle dans le futur d’un rayonnementfossile de neutrinos ou d’ondes gravitationnellespourrait donner d’autres informations sur cette èrede radiations, informations sur une périodeantérieure à celle correspondant au rayonnementélectromagnétique fossile.

Pour pouvoir étudier quantitativement les modèlesd’univers correspondant à l’ère de matière, nousallons avoir besoin de deux relations que nousdéveloppons au paragraphe suivant.

37. Pression et densité de l’univers actuel. -Nous pouvons écrire deux formules, vraies quelleque soit l’ère considérée, donnant la pression etla densité de l’univers actuel en fonction de k,S0, la constante de Hubble et le paramètre de

12 508

décélération.E n remplaçant ρc par sa valeur, l’équation

(18,37) nous donne, pour l’époque présente, notéeavec l’indice 0 :

2k C ρ1 + ---------------------------- = --------------2 2 ρcS H

28 π G k C------------------------------------- ρ0 = 1 + ----------------------------2 2 23 H 0 S0 H0

2 3 k C 2ρ0 = ----------------------------- ---------------------- + H0 (18,71)8 π G 2 S 0

Rappelons (18,22) :

.2 2 8 π G 2S + k C = ----------------------------- ρ S3

. .. 4 π G . 2 8 π G .S S = ----------------------------- ρ S + ----------------------------- ρ S S3 3

. . . 2S 4 π G ρ S 8 π G S------------------ = ----------------------------- -------------- -------------- + ----------------------------- ρ -------------- (18,72).2 3 . . 3 .2S S S S

Rappelons (18,23) :

.. p Sρ + 3 ρ + ---------------- -------------- = 02 S C

(18,72) donne, compte tenu de (18,23), (18,15) et(18,39) :

q0 4 π G 3 p 0 1 8 π G 1 1- --------------- = ----------------------------- - --------------- ρ0 + ---------------- ----------------- + ----------------------------- ρ0 ----------------- ---------------S0 3 S0 2 2 3 2 S0 C H0 H0

p 0 1 8 π G 1- q0 = - 4 π G ρ0 + ---------------- ----------------- + ----------------------------- ρ0 ----------------- 2 2 3 2C H0 H0

4 π G ρ 0 4 π G p0- q0 = - ----------------------------- ----------------- - ----------------------------------------------3 2 2 2H0 C H 0

(18,71) donne :

21 k C 4 π G p 0- q0 = - --------------- - --------------------------------------- - ----------------------------- -----------------2 2 2 2 22 H0 S0 C H0

13 509

24 π G 1 k C-------------------------------------- p0 = q0 - --------------- - -----------------------------------2 2 2 2 2C H 0 2 H0 S0

2 4C 2 k Cp0 = ----------------------------- H0 2 q0 - 1 - -------------------------------------------8 π G 28 π G S0

2 2 C k C 2 p0 = - ----------------------------- --------------------------- + H0 1 - 2 q0 (18,73)8 π G 2 S 0

Jusqu’à présent, nous étions dans le cas général.Envisageons maintenant ce qui se passe dans l’èrede matière dominante.

p0 0 ; (18,73) donne alors :

2k C 2 ------------------ = H0 2 q0 - 1 (18,74)2 S 0

Et (18,71) donne :

3 2 ρ0 = ----------------------------- 2 q0 H0 = 2 q0 ρc (18,75)8 π G

Formule déjà trouvée dans le cas où la matièreest prépondérante au § 25 (formule (18,40)).

La connaissance de H0 et q0 permet en principe decalculer ρ0 par (18,75). La valeur de q0 donne lavaleur de k; (18,74) donne alors accès à S0.

Actuellement, la valeur de k est inconnue, et lavaleur numérique de S est donc également inconnue.

2Le terme en H0 dans (18,71) est de toute manièreprépondérant.

Il est donc très difficile d’avoir accès aufacteur d’échelle de l’univers S0 qui est pourl’instant totalement inconnu. Cependant, cet accèsdonnant connaissance de la "dimensioncaractéristique de l’univers" est théoriquementpossible. Dans le cas où l’espace n’est pas plat,cet accès est en principe possible en construisantun immense triangle avec trois droites (ficellestendues!) et en mesurant l’écart de la somme desangles à 180˚. On a alors la courbure scalaire del’espace donc S d’après la formule (18,7). On aégalement k (somme des angles > ou < 180˚, suivantque k > 0 ou k < 0 ). Remarquons que ladétermination de S expérimentalement n’a un sensphysique que pour k ≠ 0 . Autrement, uneredéfinition de la variable r change S. Si k ≠ 0 ,

14 510

la valeur de k égale à ± 1 impose r, et S devientmesurable.

38. Résolution des équations. - Nous allonsdéterminer ici la fonction S(t) pour l’univers dematière.

Partons de (18,36) :

.2 2 8 π G 2S + k C = ----------------------------- ρ S3

-3 S Avec : ρ = ρ0 --------------- S0

2k C 2 ---------------------- = H0 2 q0 - 12 S 0

8 π G ρ0 2-------------------------------------------- = 2 q0 H03

Il vient :

-3.2 2 2 8 π G S 2S + S0 H0 2 q0 - 1 = ----------------------------- ρ0 --------------- S 3 S0

- 1.2 2 2 2 SS + S0 H0 2 q0 - 1 = 2 q0 H0 --------------- - 3S0

. 2 S 2 2 S0--------------- + 2 q0 - 1 H0 = 2 q0 H0 --------------- S0 S

. 2 S 2 S0 --------------- = H0 1 - 2 q0 + 2 q0 --------------- S0 S

. 1/2S S0 --------------- = ± H0 1 - 2 q0 + 2 q0 --------------- (18,76)S0 S

-1/21 S S0 dt = ± ----------------- d --------------- 1 - 2 q0 + 2 q0 --------------- (18,77)H0 S0 S

15 511

S/S0⌠ -1/21 2 q0 t = ----------------- 1 - 2 q0 + ------------------- dx (18,78)H0 x ⌡ 0

E n prenant t = 0 origine des temps, pourS = 0 . L’âge actuel de l’univers est donc :

1⌠-1/21 2 q0 t0 = ----------------- 1 - 2 q0 + ------------------- dxH0 x

⌡ 0

Nous allons maintenant examiner ce que donnel’équation (18,78) suivant les 3 valeurs de k.

(A) q0 = 1/2 , k = 0 , ρ = ρc .

S/S0 S/S0⌠ ⌠-1/2 ---------1 1 1t = ----------------- --------------- dx = ----------------- √ x dxH0 x H0 ⌡ ⌡0 0

3/22 S H0 t = --------------- --------------- (18,79)3 S0

2/3 3 H0 t S = S0 ------------------------------ (18,80) 2

Cette fonction est constamment croissante. Il n’ya pas de limite à l’expansion de l’univers,t ∞ ⇒ S ∞ . L’âge t0 de l’univers vaut :

3 H 0 t0 ----------------------------------- = 1 2

2 1t0 = --------------- ----------------- (18,81)3 H0

(B) q0 > 1/2 1 - 2 q0 < 0

Cherchons la valeur maximale possible de x :

16 512

2 q01 - 2 q0 + ------------------- = 0x

2 q0xm = ---------------------------------2 q0 -1

2 q0Donc 0 ≤ xm ≤ --------------------------------------2 q0 - 1

Au delà, lorsque t croit, x doit décroitre et ilfaut prendre le signe - devant l’intégrale.

Pour calculer explicitement l’intégrale,effectuons le changement de variable suivant :

2 q0 - 11 - cos θ = -------------------------------------- xq0

A x = 0 correspond cos θ = 1 , θ = 0 .A x = xm correspond 1 - cos θm = 2

cos θm = - 1 θm = π .

2 q0 2 q0 - 1 11 - 2 q0 + ------------------- = 1 - 2 q0 + 2 q0 -------------------------------------- --------------------------------------------x q0 1 - cos θ

4 q0 - 2= 1 - 2 q0 + --------------------------------------------1 - cos θ

- 1 + 2 q0 - ( 1 - 2 q0) cos θ= -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 - cos θ

1 + cos θ= (2 q0 - 1) ----------------------------------------------1 - cos θ

---------------------------------------- 1 - cos θ---------------------------------------------- = tg θ/2√ 1 + cos θ

S(t) θ ----------------------⌠ S0 q0 1H0 t = -------------------------------------- sin θ dθ ----------------------------------------------- tg θ/22 q0 - 1 ---------------------------------⌡ √ 2 q0 - 10

tg θ/2 sin θ dθ = (1 - cos θ) dθ

17 513

S(t) θ ---------------------- S0 q0 u oH0 t = -------------------------------------------------------- 1 θ - sin θ 13/2 m .(2 q0 - 1) 0

Nous avons donc pour :

2 q0 - 1 S(t)1 - cos θ = -------------------------------------- ---------------------- (18,82)q0 S0

la valeur de t qui est donnée par la formule :

q0H0 t = -------------------------------------------------------- (θ - sin θ) (18,83)3/2(2 q0 - 1)

Aux facteurs en q0 près, il s’agit de l’équationparamétrique d’une cycloïde. La courbe S(t) est unecycloïde déformée par la multiplication descoordonnées x et y par un facteur constant(fig. 18.13).

IS( t )1111111111111111111----------------k----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO t

Fig. 18.13

La valeur maximale de S(t) est obtenue pourθ = π :

2 q0S(t) = -------------------------------------- S02 q0 - 1

comme prévu par la valeur déjà trouvée de xm.

Le temps tm vaut :

q0 πtm = --------------------------------------------------------------------------3/2H0 (2 q0 - 1)

18 514

L’instant présent est déterminé par : S(t0) = S0dans (18,82).

2 q0 -1 11 - cos θ0 = --------------------------------- = 2 - --------------q0 q0

1cos θ0 = - 1 + -------------- (18,84)q0

Et l’âge de l’univers vaut donc :

1 q0 1 t0 = ----------------- -------------------------------------------------------- Arccos -------------- - 1 -H0 3/2 q0 (2 q0 - 1)

-------------------------------------- 1-------------- √ 2 q0 - 1 (18,85)q0

en effet :

-----------------------------------------------------------------------------------------------2 2 1sin θ = √ 1 - cos θ = -------------- - ---------------√ q0 2q0

--------------------------------------1sin θ = -------------- √ 2 q0 - 1q0

(C) q0 < 1/2 ; x peut alors être aussi grandqu’on veut.

Pour calculer l’intégrale donnant t, effectuonsle changement de variable :

2 q0 - 11 - ch ψ = -------------------------------------- xq0

x = 0 pour ch ψ = 1 et ψ = 0 ; d’autrepart, x + ∞ pour ψ + ∞ .

19 515

S(t ) ψ ------------------------⌠ S0 ------------------------------------------- q0 ch ψ - 1H0 t = ------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------ sh ψ dψ

3 / 2 √ ch ψ + 1 (1 - 2 q0 )⌡ 0 1 1m------------------------------------------------------i-------------------------------------------------------.1<

ψ ψ ψ= th ---------------- 2 sh ---------------- ch --------------------- d ψ2 2 2

2= 2 sh ψ/ 2 dψ = (ch ψ - 1) dψ dont laprimitive est : sh ψ - ψ . En conclusion :

1 - 2 q0 S(t)ch ψ - 1 = -------------------------------------- ---------------------- (18,86)q0 S0

q0H0 t = ------------------------------------------------------- (sh ψ - ψ) (18,87)3/2(1 - 2 q0)

L’instant présent est déterminé par S(t0) = S0dans (18,86).

1 1ch ψ0 = 1 - 2 + -------------- = -------------- - 1q0 q0

1ch ψ0 = -------------- - 1 (18,88)q0

et l’âge de l’univers est :

1 q0 1 t0 = ----------------- ------------------------------------------------------- - Argch -------------- - 1 +H0 3/2 q0 (1 - 2 q0)

--------------------------------------- 1√ 1 - 2 q0 -------------- q0

en effet :

-----------------------------------------------------------------------------------2 1 2sh ψ = √ ch ψ - 1 = -------------- - ---------------√ 2 q0q0

20 516

---------------------------------------1sh ψ = -------------- √ 1 - 2 q0 (18,89)q0

1 1 q0t0 = ----------------- --------------------------------- - ------------------------------------------------------------H0 1 - 2q0 3/2 ( 1 - 2 q0)

1 Argch -------------- - 1 (18,90) q0

39. Variation du paramètre de décélération. - Lesformules (18,84) et (18,88) reliant la valeur de θ0ou ψ0 à q0 sont valables bien évidemment quel quesoit l’instant présent noté par l’indice 0 utilisépour calibrer les équations.

Ainsi, pour k = 1 , l’équation (18,84) donne :

1q(t) = --------------------------------------------------------- (18,91)1 + cos θ(t)

q varie de 1/2 pour t = 0 , θ = 0 à ∞ pourt = tm , θ = π . q = ∞ correspond en effet à.S = 0 dans (18,39). Ensuite, q décroit de ∞ à1/2 lorsque l’univers se recontracte.

Pour k = - 1 , l’équation (18,88) donne :

1q(t) = ------------------------------------------------------ (18,92)1 + ch ψ(t)

q varie de 1/2 pour t = 0 , ψ = 0 à 0 pourt ∞ ; donc ρ/ρc = 2 q tend également vers 0pour t ∞ .

Par contre pour k = 0 , q = Cte = 1/2 . Ainsiaucune signification particulière ne peut êtreattachée à une valeur précise de q0, exceptée lavaleur 1/2 .

Nous résumons sur la figure 18.14 les troisévolutions possibles pour l’univers suivant quek = - 1 ; k = 0 ; k = + 1 . Les nombres le long descourbes donnent les valeurs du paramètre dedécélération q0 à différentes époques.

21 517

u----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o11 11 k = 0 11 11 11 k = - 1 11 0.21 11 ˚ 11 11 11 11 11 11 11 0.25 11 ˚ ˚ 11 ˚ 7 . 5 ∞ 1S 1 11 k = +1 11 11 ˚ 2 110.3 11 ˚ 111 1˚ 1 11 11 11 11 11 11 111 11 0.5 1m----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.˚ t

F i g . 1 8 . 14

40. Relation décalage vers le rouge distancelumineuse pour des distances quelconques. - Grâceaux paragraphes précédents, nous connaissonsmaintenant complètement la dynamique de l’universpour l’ère de matière, c’est à dire la fonctionS(t). Nous pouvons donc maintenant réaliser leprogramme défini au paragraphe 31 pour desdistances quelconques. Rappelons que ce programme aété réalisé au paragraphe 33 pour des distancesfaibles devant l’échelle de l’expansion del’univers (distance à partir de laquelle elledevient significative), au moyen de développementslimités.

Commençons par le cas : k = 0 , q0 = 1/2 .

r1⌠ dr ---------------------------------------------------- = r1-------------------------------------- 2⌡ √ 1 - k r

0

Posons :

S 1x = --------------- = -------------------------- (18,93)S0 1 + z

(18,78) avec q0 = 1/2 donne la valeur de dtet :

22 518

t0 ----------t0 ⌠ 1⌠ ----------------- dx √ xdt 1 H0 C ----------------------- = C --------------- -----------------------------------------------------------------S(t) S0 S(t)⌡ -------------------t1 ⌡ S0t1

⌠ t01 dx C u 1/2 o= C --------------------------- ------------------------ = ----------------------------- 2 1 x 1S0 H0 ---------- S0 H0 m .⌡ t1√ x

(18,19) donne :

------------------------------------ ---------- 2 C 1r1 = ---------------------------- √ 1 - -------------------------- S0 H0 √ 1 + z

---------------------------1 + z - √ 1 + zr1 = 2 C --------------------------------------------------------------------------------------------------- (18,94)S0 H0 (1 + z )

Nous trouvons donc la formule exacteredonnant (18,55) sous forme dedéveloppement limité (exercice 18.6).

Envisageons maintenant le cas : k = 1 ,q0 > 1/2 .

r1 r1⌠ ⌠dr dr ---------------------------------------------------- = ------------------------------------------ = Arcsin r1-------------------------------------- ----------------------------⌡ 2 ⌡ 20 √ 1 - k r 0 √ 1 - r

et avec (18,78) :

t0 t0⌠ ⌠ -1/2dt 1 dx 2 q0 C ----------------------- = C --------------------------- --------------- 1 - 2 q0 + -------------------S(t) S0 H0 x x ⌡ ⌡t1 t1

2 q0 - 11 - cos θ = -------------------------------------- xq0

On obtient :

⌠ 1 1 1 θC --------------------------- -------------------------------------------- sin θ dθ ---------------------------------------------------- tg ----------------S0 H0 1 - cos θ -------------------------------------- 2⌡ √ 2 q0 - 1

Avec (18,74) et compte tenu du fait que lesfonctions trigonométriques s’éliminent, onobtient :

23 519

t0⌠ dθ = θ(t0) - θ(t1)⌡ t1

2 q0 - 1 2 q0 - 1= Arccos 1 - -------------------------------------- - Arccos 1 - ----------------------------------------------------- q0 q0 ( 1 + z)

(18,19) donne :

2 q0 - 1 2 q0 - 1r1 = sin Arccos 1 - -------------------------------------- 1 - ----------------------------------------------------- q0 q0 ( 1 + z)

2 q0 - 1 2 q0 - 1- sin Arccos 1 - ---------------------------------------------------------- 1 - ------------------------------------------- q0 ( 1 + z ) q0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 q0 - 1 2 q0 - 1r1 = 1 - 1 - -------------------------------------- 1 - ----------------------------------------------------- q0 q0 ( 1 + z)√

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 q0 - 1 2 q0 - 1- 1 - 1 - ----------------------------------------------------- 1 - -------------------------------------- q0 ( 1 + z) q0√

--------------------------------------1 r1 = ----------------------------------------------------- √ 2 q0 - 1 q0 z + 1 - q02 q0 ( 1 + z)

-------------------------------------------------- -------------------------------------- - √ 2 q0 z + 1 √ 2 q0 - 1 1 - q0

et avec (18,74) :

-------------------------------------------------- q0 z + q 0 - 1 - 1 + √ 2 q0 z + 1 r1 = C ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (18,95)

2S0 H 0 q0 ( 1 + z)

Le dernier cas : k = - 1 , q0 < 1/2 , donneexactement la même formule pour r1 (voir exercice18.8). De plus, la formule précédente redonne lavaleur trouvée pour r1 lorsque k = 0 . Dans tousles cas, la valeur de r1 est donc donnée par cetteformule.

24 520

Cette formule donne la relation décalage vers lerouge, distance lumineuse pour des décalages versle rouge arbitraires. Nous avions trouvé cetterelation au § 33 sans utiliser un modèle précisd’univers, en utilisant des développements limités,donc pour des décalages vers le rouge faibles.

Rappelons (18,47) :

2S (t0)dL = r1 --------------------------S(t1)

dL = r1 S(t0) ( 1 + z)

Et finalement :

-------------------------------------------------- C dL = ---------------------------- z q0 + q0 - 1 - 1 + √ 2 q0 z + 1 (18,96)2 H0 q0

Nous avons ainsi une formule rigoureuse pourdL(z) en fonction de H0 et q0. On peut vérifier(exercice 18.7), que l’on retrouvre la formule(18,57) obtenue au § 33 , en effectuant ledéveloppement limité de (18,96) (développement audeuxième ordre de la racine carrée). Avec (18,67),nous avons une relation rigoureuse pour toutes lesdistances, entre le module de distance, z, q0 etH0.

41. Au t res méthodes d’accès aux distanceslointaines dans l’univers. - La méthode decomparaison luminosité apparente luminosité absolueest basée rappelons le, sur l’hypothèse que lesgalaxies elliptiques les plus brillantes (de typeE) des amas galactiques ont toujours à peu près lamême luminosité absolue. Actuellement, une desgalaxies les plus lointaines de ce type, laradio-galaxie 3C295 a un décalage vers le rougez = 0.46 . La méthode précédente ne peut donc pass’appliquer au delà de cette distance.

Les Quasars, dont on pense qu’ils sont liés à laprésence d’un trou noir actif (engloutisant de lamatière) au coeur du noyau des galaxies, ont desdécalages vers le rouge compris entre z = 0.16 etz = 4.9 . Ils permettent donc de sonder l’universbeaucoup plus loin. Cependant, la méthodeprécédente ne peut plus être utilisée pour eux, carils ont des luminosités variant d’un facteur 100 ouplus. Cependant, récemment une corrélation a ététrouvée entre la luminosité absolue des quasars etl’intensité de certaines raies spectrales. Lesquasars pourraient alors être utilisés pour sonderl’univers beaucoup plus loin avec la méthode

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décalage vers le rouge distance lumineuse, leurluminosité absolue étant connue.

A l’avenir, cette méthode pourra également êtreutilisée avec les supernovaes. Les supernovaespeuvent être détectées à de très grandes distances.Avec les nouveaux télescopes à venir, ces distancesaugmenterons encore considérablement. Des modèlesthéoriques associés à différentes mesures physiquespourront permettre d’avoir accès à la luminositéabsolue de ces supernovaes.

Il existe deux autres méthodes possibles pouravoir accès aux mesures des distance lointainesdans l’univers et à la géométrie à grande échellede l’espace. La première que nous abordons estbasée sur le comptage des objets lointains :

Supposons qu’une espèce d’objets, les quasars parexemple, soit répartie d’une manière homogène dansl’espace. Supposons d’autre part que leur nombredans une région de l’espace reste constant au coursdu temps. Cette hypothèse peut être valable parcequ’il n’y a plus création au bout d’un certaintemps de nouveaux quasars, et que pendant uncertain laps de temps, il n’y a pas non plus dedisparition de ceux-ci.

L’hypothè s e peut être valable d’une autremanière, si en moyenne, il y a apparition d’unnouveau quasar quand un quasar disparait.

Le comptage du nombre de quasars en fonction dudécalage vers le rouge, donne alors accès, à lagéométrie à grande échelle de l’espace à troisdimensions :

Prenons une analogie à deux dimensions. Supposonsun plan et une sphère recouverts de pointsrégulièrement espacés, leur densité étant la mêmepour le plan et la sphère. Comptons le nombre depoints observés en fonction de la distance à unpoint choisi arbitrairement. Lorsque la distanceaugmente, le nombre de points croit moins vite pourla sphère que pour le plan, et ce d’autant plus quele rayon de la sphère est petit (fig. 18.15).

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r 11j-------------------------------------------j-------.1 1 r d α1 1 1 1 1 R1α 1 1

F i g . 1 8 . 1 5

dS = R dα 2 π r

r = R sin α = R sin r1/R

d r 1dα = ----------------R

d r 1 r 1 dS = R ---------------- 2 π R sin ----------------R R

r 1 r 1dS = 2 π R sin ---------------- dr1 < 2 π R ---------------- dr1sphère R R

= 2 π r1 dr1 = dSplan

Il faut ajouter d’autre part l’effetcorrespondant à l’évolution de S(t). L’expansion del’univers contribue en effet à ce que les objetlointains soient répartis dans un volume plus petitdonc soient plus concentrés. Notons que ces deuxeffets, géométrie de l’espace et évolution au coursdu temps ont été pris en compte par le calculcomplet que nous avons fait en ce qui concerne larelation décalage vers le rouge distance lumineuse.Le calcul rigoureux prend également en compte lamodification de la loi de Hubble due àl’accélération q (variation de H avec t).

Actuellement, cette méthode ne donne pas derésultat concluant. La raison principale en est quele nombre de quasars dans une région de l’espacen’est sans doute pas constant, et leur taux devariation est pour le moment inconnu. Il semble quele nombre de quasars ait connu son apogée lorsque

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l’âge de l’univers était environ le tiers de sonâge actuel.

Cette méthode nécessite d’autre part deconsidérer de très nombreux objets avec desdécalages vers le rouge variés.

On peut bien sûr envisager également d’appliquercette méthode avec des galaxies. Deux physiciens del’université de Princeton, en utilisant unéchantillon de 1000 galaxies allant jusqu’à undécalage vers le rouge de 0.5 ont trouvérécemment avec cette méthode que l’univers étaitjustement plat.

De toute façon, cette méthode suggère qu’il y abeaucoup de matière cachée. Là encore, l’évolutionpossible des galaxies peut fausser le comptage.

La deuxième méthode dont nous parlerons ici estbasée sur l’étude du diamètre angulaire apparentd’objets connus en fonction de leur décalage versle rouge. La géométrie de l’espace a là aussi uneinfluence par l’effet de lentille à grande échellequ’elle joue.

Prenons encore l’exemple d’un espace à deuxdimensions sphérique. Le point diamétralementopposé au point d’observation est vu avec undiamètre angulaire de 360˚ puisque des rayonsarrivent de ce point de toutes les directions!Cependant, ce point a une dimension nulle! On voitlà un effet de grossissement causé par la géométriede l’espace lui-même (fig. 18.16). Cet effet est àdistinguer de l’effet de lentille gravitationnellecréé par une galaxie sur la lumière qui passe dansson voisinage. C’est un effet de lentillegravitationnelle du vide lui-même sur grandeéchelle!

O b serva t ion

I1111111111

E mi ss ion

Fig . 18.16

Bien que actuellement cette méthode ne donne pasde résultat fiables, elle est riche d’espoir pourl’avenir. Ceci grâce à la possibilité de mesurerles diamètres angulaires avec une meilleur

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précision par des procédés interférométriques dansle futur.

Une autre méthode, proche de celle-ci,consisterait à mesurer les parallaxes d’objets trèslointains, entre la Terre et un satellite dans lesystème solaire, par interférométrie.

42. Bilan des connaissances actuelles. - Plus onobserve loin, plus on observe dans le passé, etplus les radiations observées sont décalées vers lerouge. La comparaison luminosité apparente,luminosité absolue, ou le comptage des objets, oula comparaison diamètre angulaire apparent,diamètre angulaire réel, cela en liaison avec ledécalage vers le rouge, sont des méthodesthéoriquement capables, avec les équations de laRelativité générale, de nous donner une descriptionprécise de la géométrie de l’univers et de sonévolution. En particulier, les valeurs de H0 et q0peuvent être connues.

La valeur de q0 est à relier à la valeur de ladistribution moyenne de matière (équation (18,40)).Cette valeur peut être connue par la connaissancedes particules présentes dans notre environnementlocal. Une partie de ces particules peuvent ne pasêtre lumineuse (matière cachée). Voir à ce sujetl’exercice 18.4 . Un autre moyen d’avoir accès àcette densité locale de matière-énergie est l’étudedes mouvements les unes par rapport aux autres desgalaxies dans un amas. La valeur de la densité dematière-énergie à l’intérieur d’une galaxie peutêtre connue de la même manière par l’étude de ladynamique de la galaxie; c’est à dire desdifférentes vitesses des étoiles qu’elle contient,en fonction de la distance au centre. Les effets delentilles gravitationnelles peuvent égalementapporter des informations précieuses (voir § 18du chapitre 16 ). Dernièrement (1990) unastrophysicien américain a présenté une analyse derésultats sur le grand attracteur (Super amas degalaxies vers lequel notre galaxie et les galaxiesvoisines tombent). L’étude du mouvement de cesgalaxies semble indiquer que la densité del’univers serait finalement de l’ordre de ladensité critique. Là encore, comme mentionné dansle § 41 , cela suppose qu’il y a beaucoup dematière cachée (voir exercice 18.4).

Au delà des galaxies, on observe les quasars,dont certains sont bien vus au centre d’une galaxieclassique, ce qui confirme leur nature de noyauxactifs de galaxies. Il semblerait qu’un quasarmette environ 500 millions d’années à se former.Les tout premiers quasars se seraient allumés à peuprès un milliard d’années après le Big Bang, ce quicorrespond à un décalage vers le rouge de 4.9 pour

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le quasar le plus lointain observé (en 1991). Audelà des quasars, on n’observe plus d’objetsindividuels. On n’observe donc plus rien. Onobserve en effet tellement loin dans le passé quemême les quasars ne sont pas encore allumés. Acette époque, aucune lumière n’est émise.

Au delà, on voit le bord de la boule de feuprimordiale, à 300 000 ans environ après leBig Bang. Son rayonnement est tellement décalé versle rouge que ce n’est plus qu’un rayonnement radio,rayonnement du corps noir à 2.735 K (résultat deCobe).

Les radiations électromagnétiques ne peuvent nousdonner aucune information sur les époquesantérieures au moment où la boule de feu s’éteint.En effet, la boule de feu est totalement opaque auxradiations électromagnétiques.

Il sera peut être possible d’avoir desrenseignements sur les époques encore plus prochesdu Big Bang par l’étude du rayonnement de neutrinosou par l’étude des ondes gravitationnelles émises.Une théorie quantique de la gravitation, en liaisonavec l’observation de ces ondes gravitationnellesdonnera alors des informations entièrementnouvelles sur l’origine de l’univers.

La température de la frontière de la boule de feucorrespond à la température où les électrons serecombinent avec les noyaux des atomes pour fairedes atomes neutres. Elle est d’environ 4000 K . Laloi de Planck est :

33 8 π h ν 1u = T -------------------------- ----------------- -------------------------------------------------------- (18,97)ν 3 T h νC -----------------k Te - 1

Avec : du = u dννLe facteur intervenant dans la formule est ν/T .Le décalage vers le rouge revient à faire une

affinité le long de l’axe des fréquences pour lacourbe de rayonnement du corps noir; c’est à direque la courbe u(ν) détectée est encore, après avoirsubit le décalage vers le rouge, celle durayonnement du corps noir. Le décalage vers lerouge a simplement abaissé la température dans lerapport T0/T1 = ν0/ν1 .

Ainsi le rapport des fréquences entre l’émissionet l’absorption, qui correspond au décalage vers lerouge et au rapport des dimensions de l’universentre l’émission et l’absorption, est égal aurapport des températures absolues du corps noirentre l’émission et la reception. Ce rapport estégal à 4000/2.7 1500 . L’univers était donc 1500fois plus compact que maintenant.

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En conclusion, les confirmations du Big Bangviennent des faits suivants :

- Il est une solution des équations de laRelativité Générale.

- Il prévoit la concentration observée en héliumet deutérium (rapport hydrogène/hélium de 1/5 :20% d’hélium).

- Il prévoit le rayonnement fossile avec sescaractéristiques : température et isotropie, avecles fluctuations très faibles récemment découvertespar le satellite Cobe.

- Il y a accord entre les différentes estimationsde l’âge de l’univers :

L’âge de l’univers est obtenu :

- A partir de la vitesse actuelle de récessiondes galaxies (loi de Hubble) et des équations de laRelativité générale.

- L’étu d e des éléments radioactifs comme lerapport des concentrations en uranium 235 et 238donne un âge approximatif de notre galaxie. Lesisotopes 235 et 238 de l’uranium sont en effetproduits au moment de l’explosion en supernovae desgrosses étoiles dans une proportion bien définie etconnue. Des modèles de galaxie prévoient le rythmede telles explosions. La valeur mesurée du rapportU235/U238 avec ces modèles de galaxie donne alorsl’âge des galaxies. Sachant que les protogalaxiesse sont formées à peu près un milliard d’annéesaprès le Big Bang, au moment de l’apparition desquasars (effondrement du noyau en trou noir), on endéduit alors l’âge de l’univers.

- L’âge des étoiles dans les amas globulaires.Ces amas sont supposés s’être formés dèsl’apparition des protogalaxies. Leurs étoiles sontdonc toutes nées en même temps à ce moment. Ce sontdes étoiles très vieilles de type II ne contenantpratiquement pas d’autres éléments que l’hydrogèneet l’hélium. L’âge de ces étoiles, donc des amas,est déterminé par l’étude du diagrammed’Hertzsprung-Russell de l’amas.

L’âge le plus grand des trois et qui est le plusfiable est celui des étoiles des amas globulairesqui est de l’ordre de 15 milliards d’années aumaximum. En ajoutant un milliard d’années pour laformation des galaxies et des amas globulaires, onobtient 16 milliards d’années pour l’âge del’univers. En supposant l’espace plat (ρ = ρc), laformule (18,81) donne alors :

2 -18 -1H0 = ------------- = 1.32 10 s = 41 km/s/Mpc3 t0

Notons enfin que de multiples faits d’observation

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sont en accord avec la théorie du Big Bang : Ainsi,l’évolution des galaxies sur plusieurs milliardsd’années est en accord avec ce scénario. Dans unpremier temps, les protogalaxies sphériques voientleur noyau s’effondrer en trous noirs (quasars)tandis que les étoiles de type II (premièregénération) se forment dans les amas globulaires.

Le décalage vers le rouge des quasars ainsi quel’âge des amas globulaires sont bien en accord avecce scénario.

Lorsqu’on observe les galaxies les pluslointaines (autour de dix milliards d’années),elles semblent beaucoup plus riches en étoilesmassives bleues, étoiles très chaudes et à faibledurée de vie. D’autre part, ces étoiles necontiennent pas d’éléments lourds. On pense que lespremières générations d’étoiles (étoiles de typeII), étoiles issues de nuages de gaz ne contenantpas d’autres éléments que l’hydrogène et l’hélium,étaient constituées d’étoiles beaucoup plus grossesque celles qui naissent maintenant, et donc à duréede vie beaucoup plus courte (quelques millionsd’années). Ceci est dû à la plus grande difficultéqu’on les nuages de gaz à l’origine desprotoétoiles à rayonner et à se refroidir quand ilsne contiennent pas d’éléments lourds. Dans le cascontraire, les grains de poussière rayonnent eninfrarouge, ce qui est impossible pour les gazdilués d’hydrogène et d’hélium. Ces nuages ont doncplus de mal à se refroidir et à se contracter puisà se fragmenter en petits éléments. Peu à peu, lanucléosynthèse se produisant dans ces étoilesmassives enrichi les galaxies en éléments lourds.Cette évolution qui en résulte pour : le contenu enétoiles des galaxies, ainsi que pour le gradient deconcentration en éléments lourds suivant ladistance au centre des galaxies, suggère unenaissance simultanée pour toutes les galaxies, doncest en accord avec la théorie du Big Bang.

Ensuite, peu à peu, certaines galaxies deviennentplanes, tandis que la structure spirale apparait.Une deuxième génération d’étoiles, de type Iapparait alors dans les amas ouverts à l’intérieurdes bras spiraux. Ce processus produit d’unemanière continue de nouvelles étoiles. Ces étoiles,dont le Soleil fait partie, ont des planètescontenant des éléments lourds, donc pouvant donnernaissance à la vie.

Le halo d’amas globulaires de notre galaxie(comme de toutes les galaxies) a gardé la structurespérique originelle.

L’âge de la Terre : 4.5 milliards d’années,mesuré par la radioactivité des roches, est bien enaccord avec l’idée d’un début de l’universremontant à plusieurs milliards d’années.

Le nombre d’éléments s’emboitant parfaitementdans un gigantesque puzzle, une fois la solution du

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Big Bang trouvée, est donc fantastique, et laissedonc peu de doutes quant à la vérité de cettethéorie.

43. Lien entre distance en années lumières etdécalage vers le rouge. - Compte tenu de ce qui aété dit aux § 25 et § 35 , l’univers estpratiquement plat et nous pouvons considérer commejuste la formule (18,79).

3/22 S H0 t = --------------- ---------------3 S0 Elle correspond à l’évolution d’un univers plat

dominé par la matière. Or, on pense que l’ère dematière dominante est apparue tandis que latempérature de l’univers était comprise entre

51000 K et 10 K . Ceci est très imprécis, maisest situé très tôt après le Big Bang. La plusgrande partie de l’évolution de l’univers qui nousintéresse ici et pendant laquelle la physique desparticules et la Mécanique quantique n’ont pas àintervenir est donc bien constituée par l’ère dematière dominante.

La formule (18,20) nous donne :

S(t0)-------------------------- = z + 1S(t)Il vient :

2 1H0 t = --------------- ----------------------------------3 3/2(z + 1)Pour z = 0 , on a H0 t0 = 2/3 (formule

(18,81)); il vient donc :

t 0t = --------------------------------- (18,98)3/2(z + 1)

Prenons comme évaluation de l’âge de l’universt0 = 16 milliards d’années .

Le quasar le plus lointain a un décalage vers lerouge de 4.9 , ce qui correspond à unemultiplication des longueurs d’ondes par 5.9 . Celadonne, avec la formule (18,98), un âge de 7% decelui de l’univers, soit avec notre évaluation decet âge t0 environ un milliard d’années comme celaa été dit au § 42 .

Pour les plus proches quasars, les premierstrouvés, citons 3C 273 dont le décalage vers lerouge vaut z = 0.16 . On trouve alorst 13 milliards d’années.

Pour la galaxie la plus lointaine trouvée en1988 , z = 3.4 ; on trouve 1.7 milliard d’années.

Enfin, pour le rayonnement fossile, nous avons vuque z = 1500 . On trouve alors t 300 000 ans.C’est en effet la valeur la plus communément admisepour cette époque.

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EXERCICES

18.1 Calculez la vitesse de récession de l’amas de laVierge situé à 50 millions d’années lumière enprenant la valeur de la constante de Hubble du§ 42 .

18.2 On prend comme modèle d’univers, dans le cadre dela Mécanique newtonienne, une boule homogène derayon S et de masse volumique ρ. Cette boule est enexpansion, les vitesses étant radiales et obéissantà la loi de Hubble : v = H r .

1. Calculez l’énergie cinétique totale de laboule.

2. Calculez l’énergie potentiellegravitationnelle totale de la boule.

3. Calculez ρc en écrivant que pour ρ = ρcl’énergie totale est nulle.

18.3 On prend toujours le modèle de la boule homogènede rayon S en expansion, dans le cadre de lamécanique newtonienne. On suppose que la boule estconstituée d’un fluide de pression nulle.v = H r .

1. Ecrire l’équation de continuité de lamécanique des fluides et montrez que l’on arrive àl’équation (18,23).

2. Ecrire l’équation d’Euler et montrez que l’onretrouve la dérivée de l’équation (18,22).

18.4 1. En utilisant la valeur de H0 trouvée au§ 42 , calculez ρc. On donne la masse du proton

-27mp = 1,67 10 kg . Quelle est la densité critiqueexprimée en nombre d’atomes d’hydrogène par mètrecube np ?

2. La Voie lactée est supposée posséder 100milliards d’étoiles équivalentes au Soleil enmasse (la masse de toutes les étoiles est supposée

11égale à 10 masses solaires). En supposant quel’ensemble des gaz et poussières non lumineux aune masse égale, la masse de la Voie lactée est

11donc : 2 10 M . La Voie lactée est supposéeavoir la forme d’un disque de 100 000 a.l. dediamètre et de 10 000 a.l. d’épaisseur. Calculez lamasse volumique de la Voie lactée.

3. Sachant que dans l’univers, les galaxiescomparables à la Voie lactée sont séparées enmoyenne par la distance de 10 millions d’annéeslumière, en déduire la masse volumique moyenne del’univers. Calculez ρ/ρc et q0; conclusion?

18.5 1. En prenant la valeur de ρ/ρc obtenue dansl’exercice 18.4 , déduire de la formule (18,68)

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pour quel décalage vers le rouge la différence demagnitude entre le cas envisagé et celui del’espace plat est de 1 ? Dans quel cas l’objetest-il le plus lumineux?

2. Quelle est la distance correspondante enannées lumière? Conclusion?

18.6 Effectuez le développement limité au deuxièmeordre en z de (18,94) et retrouvez (18,55).

18.7 Effectuez le développement limité de (18,96) defaçon à retrouver (18,57).

18.8 Retrouvez la formule (18,95) à partir de (18,19)et (18,78) lorsque k = - 1 .

18.9 Ecrire l’équation du champ correspondant auxindices r,r c’est à dire faisant intervenir Rrret T . Conclusion?rr

18.10 (non corrigé). On considère le modèle d’universplat (modèle d’Einstein - de Sitter).

1. En utilisant la relation (18,94), montrez quele décalage vers le rouge pour lequel un objets’éloignant de nous présente une vitesse égale àcelle de la lumière est z = 3 .

2. Calculez la distance de cet objet en annéeslumières, en utilisant la relation (18,98) avec lesvaleurs numériques du § 43 .

3. Montrez qu’il y a un horizon qui nous sépared’objets qui sont invisibles de nous par principe;montrez que la vitesse d’éloignement au niveau del’horizon est de deux fois la vitesse de lalumière.

4. On désire dans cette question montrer que letemps passant, des objets au delà de l’horizondeviennent visibles. Pour cela, on utilise

3/2l’équation (18,79) pour montrer que H0 S0 = Ctelorsqu’on fait varier le temps t0 . On montreraalors que H0 S0

0 quand t0

+∞ donc que lavaleur limite de r1 temps également vers l’infini.

Regardant dans deux directions opposées etsuffisamment loin, nous voyons deux régions del’univers qui ne peuvent pas se voir et quipourtant sont semblables. L’horizon séparant despoints qui ne sont pas en contact causal depuis leBig Bang pose le problème de l’homogénéité del’univers sur une telle échelle. Les scénarios detype inflation résolvent ce problème, un contactcausal étant possible pendant l’inflation.

18.11 1. A l’aide des équations (18,22) et (18,23),..obtenez une équation exprimant la dérivée S enfonction de ρ, p, et S. ..2. Calculez simplement S dans le cas de la

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cosmologie newtonienne; conclusion?3. Dans le cas du faux vide (période d’inflation,

Cf § 8 chapitre 13 ), montrez que ρ = Cte ,ainsi que p.

4. Intégrez alors l’équation différentielle en..S . Conclusion?

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Chapitre dix-neuf

QUELQUES REFLEXIONSEN GUISE DE CONCLUSION

1. Introduction. - Dans ce chapitre, et en guisede conclusion, nous allons réfléchir sur troisquestions à propos de la Relativité générale : Nousallons réfléchir sur une théorie alternative, laThéorie de Brans-Dicke, sur le problème des massesnégatives en Relativité générale, et sur larelativité en physique.

Nous commençons donc par aborder la principalethéorie alternative à la Relativité générale, laThéorie de Brans-Dicke, apparue dans les années1960 et réfutée depuis.

2. Les motivations de la Théorie de Brans-Dicke.- Nous avons vu que la Théorie de la relativitégénérale, bien qu’incorporant le principe de Mach,n’est pas complètement machienne. Dans la Théoriede Brans et Dicke, on a un champ scalaire φ (Il n’arien à voir avec le potentiel du champ degravitation précédemment noté φ), qui prend unevaleur en chaque point de l’espace-temps. Cettevaleur est un nombre réel. La valeur de ce champscalaire, en tout point donné de l’espace et dutemps, est déterminée par la distribution de lamatière partout dans l’univers; aussi bien dans levoisinage du point considéré que dans les partiesles plus éloignées de l’univers. De ce fait, entenant compte de toute la matière de l’univers, cechamp scalaire correspond bien à une visionmachienne.

La valeur du champ scalaire détermine, par uneéquation du champ analogue à celle de la Relativitégénérale, les propriétés métriques del’espace-temps. Elle détermine également ce quicorrespond en Théorie newtonienne à la valeur de Gconstante de la gravitation universelle.

Comme l’univers évolue avec le temps, la valeurdu champ scalaire change, et également la valeur deG.

Ainsi, la Théorie de Brans-Dicke est réellementmachienne. Elle prend également en compte unevariation possible de G.

La Théorie de Brans-Dicke ressemble beaucoup à laRelativité générale dans la mesure où c’estégalement une théorie métrique de l’espace-temps

2(l’espace-temps est muni en tout point d’un ds ).

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Les particules de matière-énergie (excepté lagravitation) suivent les géodésiques del’espace-temps. La loi dynamique est donc la mêmequ’en Relativité générale. Seule la loi de forceest différente. Cette loi de force est non locale,par le fait qu’elle se calcule grâce à deuxéquations successives : une équation déterminant lechamp scalaire φ, et ensuite, une équation duchamp.

Malheureusement, il y a une indétermination dansla théorie puisque le champ scalaire est déterminéà l’aide d’une constante numérique ajustable ω dontla valeur n’est pas fixée à l’intérieur de lathéorie. De plus, pour ω ∞ on retrouveexactement la Relativité générale. Cette théorieest donc beaucoup moins satisfaisante que laRelativité générale du point de vue conceptuel.D’une part, il reste un paramètre libre ω !D’autre part, la construction de la machinerie duchamp scalaire est assez arbitraire et ne vient pasde grands principes fondamentaux.

3. D’où vient la différence entre la Théorie dela Relativité générale et la Théorie deBrans-Dicke ? - Rappelons ce que nous avons vu au§ 1 du chapitre 7 . Dans la Théorie deBrans-Dicke, le principe d’équivalence simple seulest vérifié. Toutes les particules de matière etd’interaction tombent de la même manière, exceptéela gravitation.

La Théorie de Brans-Dicke étant une théoriemétrique comme la Relativité générale, lesparticules de matière-énergie, exceptée lagravitation, décrivent les géodésiques del’espace-temps, ces géodésiques étant déterminées àpartir de la métrique, elle même calculée à partird’une équation du champ.

Nous savons que dans le cadre d’une théoriemétrique, il y a équivalence entre l’équation duchamp d’Einstein et le principe d’équivalence ausens fort. Puisque ce dernier principe n’est pasvrai dans la Théorie de Brans-Dicke, l’équation duchamp est donc différente. Cela entraine que lamétrique créée par une masse donnée est différentede celle calculée par l’équation du champd’Einstein. Cela correspond à ce qui a été dit auparagraphe précédent. La loi de force estdifférente.

Nous nous posons alors la question suivante :comment la Théorie de Brans-Dicke est-ellecompatible avec la nécessité de traiter de la mêmefaçon l’inertie et la gravitation qui sont deuxmanifestations différentes d’un même phénomènephysique? Le problème se pose effectivement, car

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cette théorie semble distinguer entre inertie etgravitation. Considérons en effet un paquetd’énergie gravitationnelle dans une fusée. Soncomportement sera différent dans une fuséeaccélérée dans le vide (où la gravitation estnulle) avec l’accélération g et dans une fuséeposée sur la Terre.

Dans le premier cas, par raison de symétrie, ildécrira la même trajectoire que les particules dematière. Dans l’autre cas, la gravitation netombant pas vers la Terre de la même manière queles particules de matières, son comportement seradifférent !

L’étude du disque tournant basée sur l’identitéentre les effets de l’inertie et ceux de lagravitation nous avait amené à la valeur de lacontraction des longueurs dans un champ degravitation, donc à la valeur de la métrique crééepar la gravitation (métrique de la Relativitégénérale). A quel endroit cette étude n’est elleplus vraie dans la théorie de Brans-Dicke? Cetteétude ne doit plus être vraie en effet car lathéorie de Brans-Dicke mène à une métrique, donc àune contraction des longueurs, différente.

On peut dire que dans la Théorie de Brans-Dicke,il y a équivalence totale globale entre inertie etgravitation. Nous entendons par là que ces deuxnotions sont indistinguables dans le formalismemathématique de la théorie. On peut dire aussi bienque ce sont les étoiles lointaines qui accélèrentla fusée étant immobile ou l’inverse. Par contre,ce que nous entendons par équivalence locale, c’estle fait qu’on ne puisse pas distinguer localementpar des expériences de physique un effetd’accélération de la fusée (ou d’une manièreéquivalente des étoiles lointaines), d’un champ degravitation (de la Terre par exemple). C’est celaque nous avons utilisé en nous servant de l’étudedu disque pour connaitre la contraction deslongueurs dans un champ de gravitation. Remarquonsque nous avons dit que ce n’était qu’une conventionde parler du champ de gravité de la Terre.Cependant il y a bien une différence globale desdeux situations (fusée dans le vide et sur laTerre).

Il nous faut donc ajouter l’adjectif local àchaque fois qu’on parlait du principe déquivalenceavant ce chapitre. En ce sens, la Théorie deBrans-Dicke n’admet pas le principe d’équivalencelocal au sens fort. Un paquet d’énergiegravitationnelle distingue entre l’attractiongravitationnelle de la Terre et une accélérationpar rapport aux étoiles lointaines, la Terren’étant pas là. Il y a cependant équivalence localeau sens simple. Notons que cette accélération parrapport aux étoiles lointaines dont on parle n’estpas calculable avec précision, toutes les étoiles

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accélérant les unes par rapport aux autre (il n’y apas de référentiel global canonique). Enconclusion, dans la Théorie de Brans-Dicke, lasituation de la fusée sur la Terre n’est pasqualitativement différente de la situation de lafusée accélérant dans le vide. Elle l’estsimplement quantitativement. C’est bien en ce sensque g sur Terre ne correspond à aucune mesureabsolue locale de la gravitation. C’est grâce auchamp scalaire φ justement que la Théorie deBrans-Dicke distingue quantitativement ces deuxcas, φ faisant intervenir les étoiles lointaines. φest donc une mesure de cette accélération de lafusée par rapport aux étoiles lointaines (pour cetexemple), ou de l’accélération des étoileslointaines par rapport à la fusée, accélération quin’est pas calculable avec précision.

4. La Théorie de Brans-Dicke est non locale. -Nous allons reprendre ce qui a été dit dans leparagraphe précédent pour en faire le bilan.Résumons nous : la Théorie de Brans-Dicke traitebien l’inertie et la gravitation comme deuxmanifestations différentes d’un même phénomène.Cela veut dire que dans la Théorie de Brans-Dicke,on peut tout aussi bien considérer que les galaxieslointaines sont fixes et que la Terre tourne ou quela Terre est immobile et que c’est l’ensemble desgalaxies qui tournent autour d’elle.

Cependant dans cette dernière théorie, il n’y apas totale équivalence entre une fusée posée sur laTerre et une fusée qui accélère de g dans le videloin de tout astre. Dans ce dernier cas, on peuttraiter le problème en considérant que la fusée estimmobile comme celle posée sur la Terre, et quec’est l’ensemble de l’univers qui accélère parrapport à elle avec l’accélération - g .Cependant, il est clair que la situation globale(répartition et vitesse des masses) estcomplètement différente de celle de la fusée surTerre.

La Théorie de Brans-Dicke résoud le problème endeux temps. En tenant compte de la répartitionglobale des masses, on calcule la valeur du champscalaire φ. On détermine ensuite la métrique del’espace-temps grâce à une équation locale faisantintervenir φ. On voit donc comment la Théorie deBrans-Dicke entraine que la physique n’est pas lamême à l’intérieur de la fusée dans les deux cas.C’est parce qu’elle est non locale. Cette nonlocalité provient du traitement avec deux équationssuccessives. Elle correspond à l’exigence duprincipe de Mach.

Au contraire, la Relativité générale est unethéorie de champ, donc locale. Cela veut dire quele comportement des particules est déterminé par la

4 536

valeur locale d’un champ unique et queréciproquement, ce champ est déterminé par uneéquation locale ne faisant intervenir que letenseur d’impulsion-énergie au point considéré. Lanon localité n’intervient que comme condition aulimite pour résoudre l’équation. La Relativitégénérale est la seule théorie avec un seul champ,locale, faisant intervenir des dérivées partiellesd’ordre 2 au maximum, qui redonne la Relativitérestreinte comme cas limite et qui traite de lamême manière inertie et gravitation. En ce sens,c’est la Théorie minimale résolvant le problème del’unification de la Relativité restreinte avec lagravitation.

L’étude du disque tournant ne permet pas, dans laThéorie de Brans-Dicke, de retrouver la contractiondes longueurs dans un champ de gravitationquelconque, car cette dernière dépend de larépartition globale des masses. Par contre, enRelativité générale, la contraction des longueursest déterminée par un seul paramètre local. L’étudedu disque tournant nous montre que ce paramètre nepeut être que le potentiel de gravitation. Laformule trouvée avec le disque tournant est doncabsolument générale, ce qui justifie ce qui a étédit au § 9 du chapitre 7 .

La construction de la Relativité générale estbeaucoup moins arbitraire que celle de Brans-Dicke.En effet, c’est une théorie de champ très analogueà l’électromagnétisme classique. En ce sens elletraite mathématiquement l’interactiongravitationnelle d’une manière voisine del’électromagnétisme. Ces deux théories sont batiessur le concept fondamental de champ. Certe, enRelativité générale, le principe de Mach n’est prisen compte que comme condition au limite pourrésoudre les équations. C’est simplement que ceprincipe découle d’une théorie plus vaste que laRelativité générale à trouver dans le futur. Il nesert à rien de chercher à l’incorporer de force sicela ne vient pas naturellement.

Enfin, la Relativité générale correspond auprincipe d’équivalence au sens fort. En ce sens,pour ce qui est du comportement dans un champ degravitation, elle ne fait pas de distinction entrela gravitation et les autres interactions. Cettefaçon de voir est logique, dans la mesure ou l’onsuppose que les quatre interactions ne sont que desaspects différents d’une interaction unique.

5. La métrique de l’espace-temps dans la Théoriede Brans-Dicke. - Nous avons vu au § 15 duchapitre 12 que dans le cadre de l’approximationnewtonienne de la Relativité générale, le

2coefficient du terme en dt était imposé pour que

5 537

l’on retrouve la loi de la gravitation universelle.

2 2 φ 2 2ds = 1 + ------------------ C dt + ... 2 C

Puisque la Théorie de Brans-Dicke redonne bienévidemment la Théorie newtonienne de la gravitationcomme cas limite, il est clair que le coefficient

2en dt sera le même qu’en Relativité générale aupremier ordre (premier terme après le 1).

Or, le décalage vers le rouge de la lumière dansun champ de gravitation, ainsi que le retard deshorloges, ne font intervenir que ce terme. Ces deuxphénomènes ne permettent donc pas de trancherexpérimentalement entre la Relativité générale etla Théorie de Brans-Dicke. Par contre, dans la

2Théorie de Brans-Dicke, les autres termes du dssont différents. Or, la précession du périhélie desplanètes, la déviation de la lumière, le retard deséchos radars font tous trois intervenirl’expression complète de la métrique. Cesdifférents termes permettent donc de départager lesdeux théories. A ce jour, ils ont invalidé lathéorie de Brans-Dicke qui est maintenantabandonnée, et ont confirmés d’une manièreéclatante la Théorie de la relativité générale.

6. Les masses négatives en Relativité générale. -Nous allons maintenant aborder un autre problème,celui de la prise en compte des masses négativesdans la Théorie de la relativité générale.

On arrive logiquement à ce problème de la manièresuivante : nous avons vu que toutes les composantesdu tenseur d’impulsion-énergie ont une actiongravitationnelle. En particulier, un terme depression positive attire. Plaçons nous dans lecadre de l’approximation linéaire de la Relativitégénérale. Les effets sont linéaires dans lescomposantes du tenseur d’impulsion-énergie. Il estdonc clair qu’une pression négative va avoir uneffet gravitationnel opposé et va avoir un effetrépulsif.

Reprenons l’exemple de la boite aux deux photons.(§ 11 du chapitre 8 ). Lorsque l’électron et lepositron s’annihilent et crèent deux photons, lecontenu en énergie E reste le même et a un pouvoird’attraction correspondant à la masse m définie par

2E = m C . Cependant maintenant, il y a la pressioncorrespondant au choc des deux photons sur la paroiet qui a un effet gravitationnel attractif.Heureusement, la pression négative de la boîte quicorrespond à sa tension a un effet répulsif quiannulle l’effet précédent. Lors de l’annihilation,la capacité d’attraction de la boîte qui correspondà la valeur moyenne du tenseur d’impulsion-énergiene change donc pas!

6 538

Nous avons déjà vu au § 3 du chapitre 8 ,comment on pouvait envisager l’attraction entredeux particules par l’échange de particules dechamp de masses négatives. Ce peut être le cas del’échange de photons virtuels entre deux particuleschargées. Voyons maintenant ci-dessous l’effet del’interaction gravitationnelle sur ces particulesde masses négatives.

7. Les règles d’attraction-répulsion enRelativité générale. - D’après le principed’équivalence, tous les corps réagissent de la mêmemanière dans un champ de gravitation. Il est doncclair qu’une zone de pression positive attireraaussi bien une zone de pression positive qu’unezone de pression négative. De même, une zone depression négative repoussera aussi bien une zone depression négative qu’une zone de pression positive.A priori, cela parait assez paradoxal. Continuonscependant à développer la théorie.

Etant donnée l’apparition, à l’intérieur de lathéorie, d’éléments négatifs ayant des effetsrépulsifs, il est loisible d’imaginer toutsimplement des masses négatives en Relativitégénérale. Reprenons alors le résultat obtenuci-dessus avec maintenant des masses :

Un masse positive :

Attire aussi bien une masse positive qu’une massenégative.

Une masse négative :

Repousse aussi bien une masse positive qu’unemasse négative.

8. Impulsion et masses négatives. - Voyonsmaintenant ce qu’il en est de la loi de laconservation de l’impulsion. Une particule de massenégative - m (m > 0) animée de la vitesse v aural’impulsion P = - m v opposée à sa vitesse.Considérons maintenant les trois situationsenvisageables :

Deux masse positives immobiles à la distance d .Chacune attire l’autre. Les deux masses se

rapprochent. L’impulsion totale reste nulle(fig. 19.1).

m v - v m.--------------------------------L J------------------------------------.--------------------------------------------------------L J------------------------------------------------------P - P

Fig. 19 . 1

7 539

Une masse positive à gauche, une masse négative àdroite. Par symétrie, on aura aussitôt le cas d’unemasse positive à droite et négative à gauche. Lamasse positive attire la masse négative quiaccélère vers la gauche. La masse négative repoussela masse positive qui accélère avec la mêmeaccélération vers la gauche. Les deux particulessont donc animées de la même vitesse v vers lagauche.

P = m v + (- m) v = 0total

L’impulsion totale reste encore nulle comme il sedoit (fig 19.2)!

v v - PJ------------------------------. m J----------------------------------.------------------------------------------------------LJ------------------------------------------------------P - m

Fig 19.2

Enfin, deux masses négatives vont s’éloignerl’une de l’autre avec des vitesse égales etl’impulsion totale sera encore nulle. La théorieest donc dans tous les cas parfaitement cohérente.

9. Conclusion sur la relativité. - La Relativitérestreinte montre que ce que l’on croyait absolu(le temps) n’est que relatif, relatif àl’observateur considéré. En ce sens, elle nous faitfaire un pas de plus vers l’objectivité, c’est àdire vers la description de la réalité en serendant compte de ce qui tient à la positionprivilégiée de l’observateur. La Mécaniquequantique a montré qu’on ne pouvait pas séparerl’observateur de l’objet quantique étudié dans lapréparation ou l’observation d’une expérience. Cetobservateur est pour nous tout objet macroscopique(et donc n’est pas forcément moi, ni même un êtrevivant), et nous n’adhérons donc pas à laphilosophie antiréaliste et solipsiste de l’Ecolede Copenhague.

Les trois concepts métaphysiques à la base denotre description de l’univers sont : l’espace, letemps, la matière. La notion de mouvement découlede la mise en relation de ces trois concepts. De lamatière est en mouvement lorsqu’elle changed’emplacement (espace) pendant que le tempss’écoule.

Le principe de relativité de galilée a introduitla relativité de l’espace. Il n’y a plusd’emplacement absolu quel que soit l’instantconsidéré (cf § 2 , chapitre 1 ); il faut préciserle référentiel.

8 540

La Relativité restreinte puis la Relativitégénérale ont introduit la relativité du temps. Lanotion de temps n’a un sens que dans la mesure oul’observateur, donc l’emplacement est précisé. Celacorrespond à l’inséparabilité du temps et del’espace !

La Mécanique quantique elle, a introduit ce qu’onpourrait appeler la relativité de la matière.L’état d’un électron (matière) fait référence audispositif expérimental complet (observateur)utilisé pour produire cet état ou l’observer. Onpeut donc ressentir une harmonie dans la démarchede ces théories montrant le rôle essentiel del’observateur dans la construction des différentsconcepts fondamentaux (espace, temps, matière).

Enfin, achevons ce livre en citant la phrased’Einstein : Il n’est point pour une Théoriephysique de destin plus beau que d’indiquer ellemême le chemin d’une Théorie plus vaste au sein delaquelle elle survivra comme un cas limite. Puisseune Théorie aussi belle que la Relativité généraleunifier un jour cette dernière avec la Mécaniquequantique.

10. Analogie des formules de l’Electromagnétismeet de la Relativité générale. - Nous terminons celivre par un récapitulatif des formules analoguesde l’Electromagnétisme et de la Relativitégénérale (Tous les indices vont de 0 à 3 , et ici,le passage des indices latins aux indices grecs n’apas de signification) :

αq et P

α αβj et T

α αβ∂ j ∂T----------------- = 0 et ------------------- = 0α β∂x ∂x

∂A ∂Al kF = ------------------ - ------------------kl k l∂ u ∂ u

i i∂Γ ∂Γi jk j l h i h iet R = ------------------- - ------------------- + Γ Γ - Γ Γjkl l k jk hl j l hk∂u ∂u

∂χA’ = A + ------------------α α α∂x

9 541

- -- i j k 2 i ii ∂u ∂u ∂u i ∂ u ∂uet Γ- - = -------------- -------------- --------------- Γ + ---------------------------------- --------------j k i - - jk - - i∂u j k j k ∂u∂u ∂u ∂u ∂u

F + F + F = 0ij;k jk;i ki;j

et R + R + R = 0ijkl;m ijlm;k ijmk;l

αβ ijF = 0 et G = 0;αβ ;j

αβ α αβ 8 π G αβF = - µ j et G = - ----------------------------- T;β 0 4C

2 ------- L α βD (OM) q α du--------------------------------------- = ------------------ F ----------2 m β dτDτ

2 j lD i i k du duet ----------------- (δu ) = R δu ---------- ----------2 jkl dτ dτDτ

====================================================================================================

10 542

CORRIGE DES EXERCICES

Chapitre 1

1.1 La particule va vers la gauche avec la vitesseV = V1 ; elle subit un choc élastique et va ensuitevers la droite avec la vitesse V = V2 . Le faitque le choc soit élastique implique que la vitesserelative de la particule et de la paroi du pistonest la même avant et après le choc :

V1 + v = V2 - v

V2 - V1 = 2 v

2 l∆V = 2 v pour ∆t = ----------------V

∆l = - v ∆t

∆l V ∆l∆V = - 2 ---------- = - 2 ∆l ---------------- = - ---------- V∆t 2 l l

∆V ∆l--------------- = - ----------V l

∆V v--------------- infiniment petit ⇔ ------------------ 0 ⇔ v µ VV V

dV dl k------------- = - -------- ⇒ Log V = - Log l + Cte = Log ---------------V l l

V l = k = Cte

Ce calcul explique l’échauffement d’un gaz lorsd’une compression lente et sans échange de chaleur,donc adiabatique réversible. Adiabatique correspondau fait que les chocs sont parfaitement élastiques,réversible au fait que v µ V . On peut d’ailleurscalculer de cette manière l’échauffement enthermodynamique statistique.

1.2 1. vr = r’ ; vθ = r θ’

22. J = m r θ’

1 2 1 2 2 G M mE = --------------- m r’ + --------------- m r θ’ - -----------------------------------2 2 r

1 543

3.

22 2 G M m Jr’ = ------------------ E + ----------------------------------- - ------------------------m r 2 2m r

Jθ’ = ---------------------2m r

J-----------------------------2dθ m r----------- = ± --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------dr --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 G M m J------------------ E + ----------------------------------- - ------------------------√ m r 2 2m r

4.

---------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ID 1 1 1 θ ( r m i n ) b 1 1 1 1 < ------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- D O

D = 2 θ(rmin) - π5.

+ ∞⌠ J ------------------------------ dr 2 m rθ(rmin) = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 2 G M m J ------------------ E + ---------------------------------- - ------------------------⌡ √ m r 2 2m rrmi n

+ ∞⌠ J -------------- d r 2 rθ(rmin) = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 G M m J 2 m E + ----------------------------------- - -----------------------⌡ √ r 2rrmi n

6.

2 544

1 2J = m b v∞ E = --------------- m v∞2

+ ∞⌠ b d ------------------------- r θ(rmin) = - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 G M b 1 + ----------------------------------- - --------------⌡ √ 2 2r v ∞ rrmi n

7.

b G MX = --------------- - -------------------------------r 2v∞ b

2 2 22 b 2 G M G MX = -------------- - ----------------------------------- + -----------------------------------

2 2 4 2r r v ∞ v∞ b

X(r = + ∞)⌠ d Xθ(rmin) = - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 2 G M 2 1 + -------------------------------------- - X⌡ √ 4 2v∞ bX ( rm i n )

u o X(r = + ∞)1 11 11 11 X 1θ(rmin) = 1 Arccos ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 2 2 11 G M 11 1 + ----------------------------------- 11 √ 4 2m v∞ b . X(rm i n )

Pour r = rmin la dérivée de r s’annulle et Xest donc justement égal à la racine carréci-dessus. On obtient Arccos 1 qui vaut 0 . Pourr = + ∞ nous avons :

G MX = - -------------------------------2v∞ b

Finalement, nous obtenons :

G M- -----------------------------------2v∞ bθ(rmin) = Arccos ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 G M1 + ---------------------------------------√ 4 2v ∞ b

3 545

8.

G M- -----------------------------------2v∞ bcos θ(rmin) = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 G M1 + ---------------------------------------√ 4 2v ∞ b

--------------------------------------------------------------------2 2√ 1 - cos θ (rmin ) v∞ btg θ(rmin) = ----------------------------------------------------------------------------------- = - -------------------------------cos θ ( r m i n ) G M

9.

D G Mtg ------------------ = -------------------------------2 2v∞ b

Si l’on suppose que les photons animés de lavitesse de la lumière obéissent à la Mécaniquenewtonienne, il suffit de remplacer v∞ par C. Ladéviation maximale est obtenue pour la lumièrerasant le soleil. Dans ce cas, b = r et nousécrivons :

2 G MD ---------------------------------------2r C

La vraie valeur donnée par la Relativité généraleest :

4 G MD ---------------------------------------2r C

Avec les valeurs suivantes en unités S.I. :

- 11 30 G = 6.67 10 M = 1.97 10

8 8 r = 6.95 10 C = 10

On trouve : D = 1,75 ’’L’expédition de 1919 menée par Eddington lors

d’une éclipse totale trouva 1,98 ’’ . Cette valeurest assez imprécise mais permet d’éliminer lavaleur théorique donnée par la Mécaniquenewtonienne.

====================================================================================================

Chapitre 3

-- -3.1 1. On peut supposer qu’à t = t = t = 0 , on a-- -O = O = O .

4 546

- x ch ϕe sh ϕe x = - C t sh ϕe ch ϕe C t

-- x ch ϕe sh ϕe ch ϕr sh ϕr x = - - C t sh ϕe ch ϕe sh ϕr ch ϕr C t

-- ch ϕe ch ϕr + sh ϕe sh ϕr ch ϕe sh ϕr + sh ϕe ch ϕr x = - - sh ϕe ch ϕr + ch ϕe sh ϕr sh ϕe sh ϕr + ch ϕe ch ϕr C t

-- ch(ϕe + ϕr) sh(ϕe + ϕr) x = - - sh(ϕe + ϕr) ch(ϕe + ϕr) C t

v a th ϕ e + th ϕ r--------------- = th(ϕe + ϕr) = ------------------------------------------------------------------------C 1 + t h ϕe t h ϕr

v e + v rva = ---------------------------------------------ve vr1 + ------------------------2C

2. Dans le cas des faibles vitesses, la formuleredonne la loi newtonienne de composition desvitesses va = ve + vr . Pour ve C :

C + vrva = -------------------------------------------- = C1 + v r /C

====================================================================================================

Chapitre 4

4.1 1. La valeur de la phase en un point de-l’espace-temps est un invariant. Or C t = - x sh ϕ+ C t ch ϕ . Il vient :

ω0 t ω0 x v - i ---------------------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------------------- ----------------- -------------------------------------------------- -------------------------------------------------- 2

2 2 2 2 C √ 1 - v / C √ 1 - v / C ψ(x,t) = A e

2. La pulsation est le coefficient devant t, cequi est bien le résultat demandé.

3. La valeur ci-dessus de ψ peut s’écrire :

5 547

i v ω0 ------------------------------------------------------------------------------ x - V t------------------------------------------------ 2 2 2C √ 1 - v / C

ψ(x,t) = e

2avec : V v = C

4. V = λ/T donne λ = 2 π V/ω .

------------------------------------------------ 22 π 2 2 Cλ = ------------------ √ 1 - v / C ----------------ω 0 v

2avec 1/ω0 = /m C , on obtient :

h hλ = ------------------------------------------------------------------ = ----------------m v P----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

5. Pour une particule se propageant le long del’axe des x, on a :

ω ω0----------------- = 0 + ---------------- ch ϕC C

2 π ω0 v ω0----------------- = ----------------------------------------------------------- ---------------- = ---------------- sh ϕλ --------------------------------------------- 2 C2 2 C√ 1 - v /C

et :

x ω0k = 0 + ---------------- sh ϕC

ω ω0 ----------------- ---------------- C C est donc bien obtenu à partir de x k 0

par la transformation spéciale de Lorentz.k est donc un quadrivecteur, le quadrivecteur

d’onde. Dans le référentiel où la particule est au2repos, on a m C = ω0 , ce qui s’écrit

P = k . Mais cette dernière relation, covariante,est vraie écrite dans tout référentiel; elle montrequ’il y a un accord profond entre la Mécaniquequantique et la Relativité restreinte.

2 2 2 2 26. ω0 ch ϕ - ω0 sh ϕ = ω0 et ω0 sh ϕ ωquand ω0

0 .

ω -----------------C ω k = -----------------C 0 0

6 548

pour une onde progressive le long de l’axe des x.On a le quadrivecteur d’onde d’une particule de masse nulle, et la relation P = k reste vraiepar passage à la limite.

4.2 1. Utilisons les résultats de l’exercice 4.1 pourune particule de masse nulle, ici le photon.

- h ν h ν ------------------ ------------------ C C - h ν h ν - - ------------------ s in θ - - ------------------ s in θ α C α CP = P = - h ν h ν - - ------------------ cos θ - ------------------ cos θ C C 0 0

- -ν cos θ = ν cos θ

-h ν h ν h ν------------------ = ------------------ ch ϕ + ------------------ sin θ sh ϕC C C-h ν - h ν h ν------------------ s i n θ = ------------------ sh ϕ + ------------------ sin θ ch ϕC C C

- sh ϕ + s i n θ ch ϕtg θ = -------------------------------------------------------------------------------------------------cos θ

- v / C + sin θtg θ = ------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------2 2cos θ √ 1 - v /C

2. Pour v µ C , la Mécanique newtonienne donne :

I1 11 1 11 11 1 1 l1 - 1 C 11θ 1θ 11m-------------------------- . -------------------------------------------------------------------------------------------------------.v a

C s in θ = a- a + vtg θ = --------------------------l C cos θ = l

- C s i n θ + vtg θ = ---------------------------------------------------------------------C cos θ- v/C + s in θtg θ = -----------------------------------------------------------------cos θ

La formule de la Relativité restreinte donne biencela pour v µ C . La correction est donc du

2 2deuxième ordre, en v /C . Quand v = C ,- -tg θ = ∞ et θ = π/2 .

3. Il vient :

7 549

- v - -4tg θ = ----------------- ; tg θ = 10C-θ = 20,5’’

4.3 Pour une molécule, les quadrivecteursimpulsion-énergies avant et après les choc sont :

- -0 0 P- P- - x - xα P α - P P 1 = ; P 2 = 0 0

0 0

l’énergie de la molécule étant supposée conservée;-x -et F - = 2 P /∆t . Vu dans R :,R

- -x x 0P1 = P ch ϕ + P sh ϕ- -x x 0P2 = - P ch ϕ + P sh ϕ

-x x -et ∆P = 2 P ch ϕ tandis que ∆t = ∆t ch ϕ .

x x∆P 2 P ch ϕF = ------------- = -------------------------------------------------- = F -,R ∆ t -

,R∆ t ch ϕ

Il y a augmentation de l’impulsion délivrée parchaque molécule, mais diminution du débit des-molécules par ralentissement des horloges de R vuesde R. Les deux effets se compensent.

4.4 1. Utilisons les résultats de l’exercice 4.1 pourle quadrivecteur impulsion-énergie d’une particulede masse nulle, ici le photon. La transformationspéciale de Lorentz donne :

- -h ν h ν h ν------------------ = ------------------ ch ϕ + ------------------ sh ϕC C C

v ----------------- 1 C ν = ν -------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------ -------------------------------------------------- 2 2 2 2 √ 1 - v / C √ 1 - v / C

v1 + ----------------- Cν = ν --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2√ 1 - v / C

Le référentiel R va à la rencontre durayonnement et la fréquence y est donc augmentée.

2. Il vient :

----------------------------------------- 1 + v/Cz = ------------------------------------ - 1√ 1 - v/C

8 550

3. quand v µ C z = v/C comme en Mécaniquenewtonienne.

4. Quand v C z ∞ .

4.5 1.

dP d m v F = m g = ----------- = -------- ------------------------------------------------------------d t dt ----------------------------------------------

2 2 √ 1 - v /C

v--------------------------------------------------------- = g t-------------------------------------------2 2√ 1 - v /C

g tv = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 2√ 1 + g t / C

2. L’intégration donne :

2 -------------------------------------------------------------- C 2 2 2x = ---------------- √ 1 + g t / C - 1 g

3.

2 2 2 g x g t----------------- + 1 = 1 + -------------------- 2 2C C

On a l’hyperbole d’équation :

2 2 2 2g t g x 2 g x------------------- - --------------------- - -------------------------- = 02 4 2C C C

D’où le nom de ce mouvement, le mouvementhyperbolique.

2 22 C x 2 Cx - C t = - ------------------------------------------------------------------ - -----------------g ( x + C t ) g

D’où l’équation de l’asymptote : x = C t -22 C /g , et la courbe :

I x 1 1 1 1 1 1 1 1

---------------------------------------------------------------------------------------------JkL--------------- ---------------------------------------------------------------------L1 t1 2 1

2 C 1 - ---------------

g 1 1 1 1

9 551

4.

t⌠ -------------------------------------------2 2τ = √ 1 - v /C dt

⌡0

t⌠ d tτ = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------⌡ 2 2 20 √ 1 + g t / C

⌠ ------------------------------dx 2 --------------------------------------------- = Argsh x = Log x + √ x + 1------------------------------- ⌡ 2√ 1 + x

------------------------------------------------------- 2 2 C g t g tτ = ----------------- Log --------------- + -------------------- + 1 g C √ 2 C

5. t est pratiquement égal à 50 000 ans comme onle voit sur la formule donnant x(t) : t ∞ ⇒x C t , et :

C g tτ ----------------- Log ---------------g C12t = 50 000 × 365,25 × 24 × 3600 = 1,58 10 s

τ = 10,3 ans

6. ∆t = 200 000 ans et ∆τ = 4 × 10,3

τ = 41,3 ans

On a l’illustration du fameux paradoxe "desjumeaux" de Langevin. D’autre part, on voit quemoyennant une source d’énergie convenable et unetechnologie fiable, il est tout à fait possible decoloniser la galaxie, puisque le voyage ne dure paslongtemps. D’autre part les stocks de nourriture etautre à emporter sont réalistes.

====================================================================================================

Chapitre 5

5.1 (5,21) donne : α αϕ - = ϕ(e - ) = ϕ( Λ - e ) = Λ - ϕα α α α α α

5.2 On écrit :

(λ a + µ b) (ϕ) = ϕ(λ a + µ b) = λ ϕ(a) + µ ϕ(b)

= λ a(ϕ) + µ b(ϕ)

10 552

5.3 On écrit :

- -µ α λ µ β µF - - = g - - F - = Λ - Λ - g Λ Λ - Fαβ αµ β α µ αλ µ β βα β λ µ α β λ= Λ - Λ - δ g F = Λ - Λ - g Fα β µ αλ β α β αλ β

α β= Λ - Λ - Fα β αβ-5.4 1. Dans R :

2e - e -E - = -------------------------------------------- y ; F - = F - = -------------------------------------------- yR 2 R ,,R 24 π ε a 4 π ε a0 0

B - = 0R

2. On utilise la formule (4,16) et :

2 ------------------------------------------------e 2 2F = -------------------------------------------- √ 1 - v / C yR 24 π ε a0

3. Les photons virtuels délivrent une impulsiontransversale au mouvement, donc inchangée dans le-passage de R à R. Mais, à cause du ralentissementdes horloges, le débit des photons virtuels (chaqueémission d’un photon virtuel correspond au ticd’une horloge étalon liée à A) est diminué, vu dans --------------------------------------------

2 2R, du facteur √ 1 - v / C . Il en est donc ainsidu débit d’impulsion, donc de la force.

4. On considère le rayon vecteur R0 représentantla "trajectoire" de propagation du potentielretardé, partant à l’instant t’0 de la position deB à ce moment là : B(t’0), et arrivant à l’instantd’observation t en A.

---------------------------------------LR0 = B ( t ’0 ) A ∆ t = t - t’0

l = v ∆ t R0 = C ∆ t

2 2 2 2 2 2 2 2l + a = R0 v ∆ t + a = C ∆t

22 a a∆t = ---------------------------------- ∆t = --------------------------------------------------

2 2 ------------------------------------C - v 2 2√ C - v

a C aR0 = ----------------------------------------------------- R0 = ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------2 2 2 2√ C - v √ 1 - v / C

---------------------------------------- ------------------------------------------------x 2 2 2R0 = R0 cos θ = R0 √ 1 - sin θ = R0 √ 1 - a / R0

11 553

x a v y zR0 = --------------------------------------------------- ; R0 = a ; R0 = 0-------------------------------------2 2√ C - v

Il nous faut calculer dans R, pour différents--------L points M voisins de A, avec AM = dM , et toujoursau même instant, les différentes valeurs de R. Lepotentiel retardé arrivant en M a été émis enB(t’), et :

---------------------------L R = B(t’) M = - dB + R0 + dM

-------------------------------------------------Lavec : dB = B(t’0) B(t’ )

On a :

x R = λ + µ dx + ν dy y R = a + dy z R = dz

--------------------------------------2 2 a CR0 = √ λ + a = --------------------------------------------------------------------------------------------

2 2√ C - v

a vλ = ------------------------------------------------------------------------------------------2 2√ C - v

zR = dz : en effet, une variation de dzcorrespond à un déplacement perpendiculaire à R0.On reste donc sur le front d’onde émis à l’instantt’0 de B(t’0) et arrivant à l’instant t-------------------------------L -------------------------------Lsimultanément en A et M.

B(t’0) A

=B(t’0) M

.

Il résulte de cela que dans ce cas dB = 0 etR = R0 + dM .

xDe toute façon dB n’intervient que pour R ,n’ayant pas de composantes sur les autres axes quel’axe des x, et un déplacement correspondant à uneyvariation de dy, donne donc R = a + dy .

x Pour R , dB intervient d’une manière inconnue,

aussi bien dans le coefficient de dx que dans celuide dy, d’où les coefficients inconnus µ et ν.

2On calcul R au premier ordre, puis on trouve :

u o------------------------------------ 1 12 2 1 λ µ λ ν + a 1R = √ λ + a 1 1 + ------------------------------------- dx + -------------------------------------- dy 1

2 2 2 2 11 λ + a λ + a 1m .

12 554

R v λ v + µ v dx + ν v dy-------------------- = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C C

------------------------------------R v 2 2 λ v λ µ µ v R - -------------------- = √ λ + a - ------------------ + ---------------------------------------------------- - ------------------ dxC C -------------------------------------- C 2 2 √ λ + a

λ ν + a ν v + ----------------------------------------------------- - ------------------ dy -------------------------------------- C

2 2 √ λ + a

------------------------------------2 2Compte tenu des valeurs de √ λ + a et de λ :

------------------------------------ ------------------------------------------------2 2 λ v 2 2√ λ + a - ------------------ = a √ 1 - v / CC

λ v--------------------------------------------------- - ----------------- = 0------------------------------------- C2 2√ λ + a

et on trouve :

------------------------------------------------R v 2 2 dy R - -------------------- = a √ 1 - v / C 1 + ---------------2 a C

D’où les potentiels :

1 e dy φ = ------------------------------- ------------------------------------------------------------------------- 1 - ---------------4 π ε ------------------------------------------------- a 0 2 2a √ 1 - v / C

µ 1 0 e dy A = ----------------- ------------------------------------------------------------------------- 1 - --------------- v 0 4 π ------------------------------------------------- a

2 2 0 a √ 1 - v / C

5. Nous avons :

∂AE = - grad φ - -------------∂ t

L’instant dt avant, les potentiels sont ceux quirègnent dx à gauche à l’instant considéré, avecdx/dt = v . Donc, comme dx n’intervient pas∂A/∂t = 0 ; et :

13 555

0 eE = - grad φ = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------ 2 2 2 4 π ε a √ 1 - v / C 0 0

Si c’était le champ qui était retardé, on auraitxpour E une composante E non nulle, mais c’est lepotentiel qui est retardé.

2B = rot A donne, avec ε µ C = 1 :0 0

0 B = 0 e v ------------------------------------------------------------ -------------------------------------------------------------- 2 2 ------------------------------------------------ 4 π ε C a 2 2 0 √ 1 - v / C

6. La formule F = e E + e v ∧ B redonne bien,compte tenu des valeurs ci-dessus de E et B, laforce trouvée à la question 2 .

7.

e 0 0 --------------------------------------------------------- 0 2 4 π ε a C 0 0 0 0 0 - α F - = β e --------------------------------------------------------- 0 0 0 2 4 π ε a C 0 0 0 0 0

- -1(5,7) donne F = Λ F Λ avec :

ch ϕ sh ϕ 0 0 sh ϕ ch ϕ 0 0 Λ = 0 0 1 0 0 0 0 1

14 556

e ch ϕ 0 0 ----------------------------------------------------------- 0 2 4 π ε a C 0 e sh ϕ 0 0 ----------------------------------------------------------- 0 2 α 4 π ε a C F = 0 β e ch ϕ - e sh ϕ ----------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------- 0 0 2 2 4 π ε a C 4 π ε a C 0 0 0 0 0 0

y e ch ϕ z e sh ϕE = ---------------------------------------------- ; B = ----------------------------------------------------------2 24 π ε a 4 π ε a C

0 0

et on retrouve bien les mêmes valeurs qu’à laquestion 5 .

====================================================================================================

Chapitre 7

7.1 On écrit :

1 2 m M--------------- m C - G --------------------- = 02 r ssoit :

2 G Mrs = -------------------------------2C

7.2

1 2 G m M--------------- m v - ----------------------------------- = 02 r

--------- -------------------------------------√ r dr = √ 2 G M dt

u oR1 3/2 1 ---------1 r 11 --------------------- 1 = C √ r s ∆t1 3 11 -------------- 1m 2 . r s

2 3/2 3/2 ∆t = ------------------------------------------------------- R - rs--------- 3 C √ r s

Voir à ce sujet la formule (16,28).

7.3 1. Le temps local τ mit pour parcourir lalongueur étalon λ vaut τ = λ/C . Mais, vu depuisun poste d’observation éloigné, à cause de lacontraction des longueurs, la longueur étalonsemble avoir une longueur effective :

15 557

-------------------------------------------------------------- ----------------------------------2l = λ √ 1 + 2 φ / C = λ √ 1 - rs/ r

Nous avons utilisé la formule (7,8).La durée τ indiquée par l’horloge étalon locale

correspond d’autre part à la durée t mesurée loinde l’astre, avec :

τ τt = ---------------------------------------------------------------------------- = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------2√ 1 + 2 φ / C √ 1 - rs/ r

Nous avons utilisé les formules (7,3) ou (7,4).La vitesse apparente de la lumière, vue de loin,

vaut donc :

l λ rs v = ------------- = ---------------- 1 - ------------ = C 1 - rs/rt τ r

C Cv ----------------------------------- = -----------------rs n1 + ------------r

La propagation de la lumière est ralentie commesi elle traversait un milieu d’indice de réfractionn = 1 + rs/r > 1 .

2.li--------------------------------------------------------------------------------.------------------------------------------------------------------------.M0 j. M M1111 rr 0 11 r11111k-----------------------r

Calculons le chemin optique l1 de M1 à M0 quandl’indice vaut 1.

-------------------------------2 2 r drl = √ r - r0 ; dl = ----------------------------------------------------------------------------

2 2√ r - r0

r1⌠ r drl1 = ----------------------------------------------------------------------------⌡ 2 2r0 √ r - r0

dans le cas où l’indice vaut n = 1 + rs/r :

r1⌠ (1 + r s/r) r drln = ------------------------------------------------------------------- ----------------------------⌡ 2 2r0 √ r - r0

16 558

r1⌠ drln - l1 = ∆l = rs ----------------------------------------------------------------------------⌡ 2 2r0 √ r - r0

------------------------------------------ 2 r1 r1 r1∆l = rs Arg ch ------------- = rs Log ------------- + ------------- - 1 r0 r0 √ 2 r0 Le retard de l’écho radar vaut :

-------------------------------- 2 ∆l r s r1 r1∆t(r1,r0) = --------------- = --------------- Log ------------- + ------------- - 1 C C r0 √ 2 r0

Dans le cas considéré :

u o∆τ = 2 1 ∆t(rT,r ) + ∆t(rM,r )11m .

3. On trouve : a. rs = 2949,6 m ; b.-3∆τ = 0,220 10 s .

c. Voir à ce sujet le § 20 du chapitre 16 etl’équation (16,52). L’erreur correspond à l’oublidu terme :

---------------------------------r s r1 - r 0---------------- ---------------------------------2 C √ r1 + r 0

et elle vient du fait qu’en réalité, la trajectoirede la lumière n’est pas rectiligne dans levoisinage du Soleil. La valeur exacte est :

-3∆τ = 0,240 10 s .

4. 1 α1 ∆l’-------------------------------- k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------kI ---------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k1 I 1 ∆l 11 1 1 r ’ 1 11 1 1 1r’01 1 1 11 r 0 1 1 r1 11 1 1 11 1 1 1< < 1 jo-------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k--------------

O D

r1∆l = rs Arg ch -------------r0

r’1∆l’ = rs Arg ch -----------------r’0

2 2 2 2 2 2rO + D = r1 ; r’0 + D = r’1

r0 dr0 = r1 dr1

17 559

- d(∆l ) 1111 dr011α111

d(∆ l)α = - -------------------------d r 0

1 dr1 r0 - r1 dr0d(∆l) = rs ----------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22 r0 r1------------- - 1√ 2r0

r s r0 r1 α = - ---------------- ------------- - -------------D r1 r0

r1

+ ∞ r1/D 1 et α = rs/r0 .

Pour un passage rasant le Soleil, venant del’infini et y retournant, la déviation ∆ϕ estdouble (α pour l’aller au Soleil, et encore α pourle retour à l’infini). De plus, dans ce cas,r0 = r .

4 G M ∆ϕ = ------------------------------------2r C

5. On trouve : 1,75’’ .

6. On trouve la valeur exacte donnée par laformule (16,38), valeur double de celle trouvéedans l’exercice 1.2 . Cela vient, comme nousl’avons vu au paragraphe 5 , de l’effet decontraction des longueurs. Si l’on refaisait tousles calculs en ne tenant pas compte de cet effet decontraction des longueurs, mais uniquement duralentissement du temps, on trouverait la valeur del’exercice 1.2 .

En effet : tous les calculs faits ci-dessusseraient encore valables, l’indice n = 1 + rs/rétant remplacé par n = 1 + rs/2 r . Il suffit doncpartout de remplacer rs par rs/2 , et on arriveraità la déviation moitié. L’exemple de la fusée et cetexercise, montrent bien que la déviationnewtonienne correspond à l’effet de ralentissementdu temps seul. Il correspond au décalage vers lerouge également prit en compte dans le cas de lafusée.

7.4 1.

18 560

I y 1 ( 1) 1 1 1 1 1 α 11 λ 1

1 1 U 0 1 J--------------------L----------------------------------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ld 1 x11111α 2111( 2) 111

Calculons tout d’abord la déviation avec les2ondes. λ1 = h/P1 ; λ2 = h/P2 ; P /2 m + U =

Cte . d = λ1/sin α1 = λ2/sin α2 ⇒ sin α1/sin α2= λ1/λ2 .

2 2P 2 P 1------------------- = ------------------- + U02 m 2 m

----------------------------------------------------------------------λ1 P2 2 sin α1--------------- = --------------- = √ 1 + 2 m U0/P1 = ----------------------------λ2 P1 sin α2

Calculons ensuite la déviation en considérant lax2 x1 xparticule matérielle. v = v = v .

1 x 2 y2 2 1 x 2 y1 2--------------- m (v ) + (v ) = --------------- m (v ) + (v ) + U02 2

xvsin α1 = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x 2 y1 2√ (v ) + (v )

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x 2 y1 2 y2 2 y1 2sin α1 (v ) + (v ) + (v ) - (v )---------------------------- = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sin α2 √ x 2 y1 2(v ) + (v )

---------------------------------------------------------------------------------2 2 U0 m= 1 + ---------------------- ------------------√ m 2P 1

et on trouve bien le même résultat.

2. Il nous faut trouver le potentiel correspondant àl’indice de réfraction n = 1 + rs/r pour les ondes dede Broglie. La déviation de ces ondes avec cet indice deréfraction, correspondra alors à la loi générale depropagation des ondes dans un milieu d’indice n; mais ladéviation de ces ondes sera donnée par la déviation dela particule newtonienne associée en considérant quel’on a affaire à des ondes de de Broglie.

19 561

h λ∞ 1 hλ = ------------------ = ------------------- = --------------- --------------------m v n n m C

v = n C ; v > C , mais la particule fictivenewtonienne peut aller à n’importe quelle vitesse.

1 2 1 2 2--------------- m v = --------------- m n C2 2

1 2 1 2 rs 2--------------- m v - --------------- m 1 + ----------------- C = 02 2 r

1 2 2 G m M 1 2--------------- m v - -------------------------------------------- = --------------- m C2 r 2

Le potentiel est donc double du potentiel newtonien,et la déviation double, ce qui donne le résultat de laRelativité générale.

7.5 i α ----------------------------------------------------------------------

r θ-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

n sin i = Cte ; i = θ - α ; n sin(θ - α) = Cte

Pour une propagation infinitésimale, cette loi dela réfraction s’écrit en considérant que lafrontière a une orientation fixe, donc avecθ = Cte .

dn sin(θ - α) - n cos(θ - α) dα = 0

n’dα = ---------------- tg(θ - α ) drn n’dα = - -------------- r dθr dθ nt g (θ - α) = - ----------------------d r

dα rs/r dθ . Le paramètre d’impact étant b, etla trajectoire étant pratiquement rectiligne, on ab r sin θ .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------k-------------------------- --------------------------------------------------------------------------------1 1 r b1 1 θ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------k---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

r sdα = ------------- sin θ dθb

r s u oπ 2 r s∆α = ------------- 1 - cos θ 1 = ------------------b m . 0 b

20 562

ce qui est la valeur donnée par la Relativitégénérale.

7.6 1. Les temps propres τ1 et τ2 indiqués par lesdeux horloges au temps t de R sont identiques :τ1 = τ2 = τ car, pour toutes les deux,l’accroissement de temps propre est donné par laformule (3,7). D’où le schéma à l’instant t de R :

- - t1 t2 - - -. t1 > t2 . Horloges de R

τ τ . . Horloges H1 e t H2

Tem p siden t i ques τ

t tI I1 11 1. . Horloges de RTem p s

iden t i ques t

- -t2 < t1 , en effet :

- C t1 = - x1 sh ϕ + C t ch ϕ - C t2 = - (x1 + a) sh ϕ + C t ch ϕ

- - a sh ϕ a v a g tt1 - t2 = -------------------------------- ----------------- = ------------------------C 2 2C C

Ce décalage est bien sur infinitésimal parrapport à t.

Les deux horloges H1 et H2 affichent donc des-temps identiques en deux instants différents de R.0 -L’horloge H1, vue dans R , identique à R au temps

t, indiquera donc le même temps que celui repéré2sur H2, a g t/C secondes plus tard. On a donc,

0dans le référentiel R dans lequel les horlogessont toujours fixes :

a g t a g ττ2 - τ1 ------------------------ --------------------------2 2C C

et :

∆τ a g----------------- = -----------------τ 2C

Cela est résumé dans le schéma suivant :

21 563

- - t1 t1 -. . Horloges de RTem p s -

iden t i ques t1

τ1. τ2 > τ1 . Horloges H1 e t H2 τ2

2. Le principe d’équivalence nous assure que lasituation est la même pour les deux horlogesci-dessous, immobiles dans le champ de gravitévertical et opposé à l’axe des x : g .

I x11. H2 1I 1 1 gh

1 <1 1< 1. H11

et :

∆τ g h----------------- = -----------------τ 2C

L’horloge du bas retarde sur celle du haut. Latotale identité des conditions ressenties par lesdeux horloges dans la question 1 nous montre quele décalage n’est pas dû à une quelconqueperturbation du mécanisme des horloges. C’est letemps lui-même qui s’écoule différemment.

C’est de cette façon que Einstein mit pour lapremière fois en évidence ce phénomène demodification de l’écoulement du temps par lagravitation en 1907, alors que la présentationqu’il en fit par l’effet Doppler date de 1911.

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Chapitre 8

8.1 Les deux barreaux en contact constituent unaimant unique de longueur double, dans lequel lechamp magnétique peut être considéré comme uniformeavec une bonne approximation.

⌠⌠x xx xxF = T dS = T s⌡⌡

(8,38) donne :

22 564

xx 1 2T = - ---------------- B2 µ0

xxLa valeur négative de T correspond bien à uneforce magnétique attractive maintenant en contactles deux barreaux.

------------------------------------2 µ F 0B = -------------------------------√ s

On obtient B = O.5 Teslas.

xx8.2 1. On calcule la force avec l’intégrale de Tdans le plan médiateur des deux charges.

I1 z11 1 1 u11 1 u2 1 1 1 1

r 1 1 l 1 1 1 1 θ 1 ------------------------------------.-------------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------------.-----------------------------------Lx+ q a / 2 1 a / 2 - q1111

q (u1 + u2) 2 q cos θE = ------------------------------ ------------------------------------------- = ------------------------------ ------------------------ x4 π ε 2 4 π ε 20 r 0 r

(8,38) donne :

ε 2 2xx 0 q cos θT = - -------------- ---------------------------------- ------------------------2 2 2 44 π ε r0

2 6xx 2 q cos θT = - --------------------------------------------------2 4π ε a

0

x ⌠⌠ xx π 2 sin θ dθF = T dS ; dS = 2 π l dl = ---------------- a ---------------------------------------⌡⌡ 2 3cos θ

π/2⌠ 2x q 3F = - ---------------------------------- cos θ sin θ dθ2⌡ π a ε0 0

23 565

2 0 2q ⌠ 3 q= ---------------------------------- u du = - --------------------------------------------2 ⌡ 2π a ε 1 4 π ε a

0 0

2.

ε 2 2 εxx 0 y z 0 2T = -------------- E + E = -------------- E 2 2

2 q sin θ E = ------------------------------ ----------------------4 π ε 20 r

ε 2 2xx 0 q sin θT = -------------- ---------------------------------- ----------------------2 2 2 44 π ε r0

Il vient :

π/2⌠ 3cos θ sin θ dθ⌡0

au lieu de :

π/2⌠ 3- cos θ sin θ dθ⌡0

1⌠ 3à la question 1 ; soit u du = 1/4 ; et :⌡0

2x qF = --------------------------------------------24 π ε a

0

8.3 1. On considère une fusée d’accélération g dansle vide, immobile à t = 0 . Au bout du tempst = h/C , la vitesse vaut v = g t = g h/C , et

2l’effet Doppler donne alors ∆ν/ν = v/C = g h/C .

g h νh = νb 1 - ----------------- 2 C

2Mais on a également Dh = Db (1 - g h/C ) ,puisque la fréquence n’est pas autre chose que ledébit des plans équiphases, dont la variation estla même que celle du débit des photons.

2. On a alors pb = Fb/S = ∆Pb/S pour uneseconde = Db (h νb/C)/S .

En haut :

h νh Dh ----------------------- C 2 g h ph = ------------------------------------------------------------ = pb 1 - --------------------------S 2 C

24 566

Finalement :

2 p g∇p = --------------------------2C

On a d’autre part un photon dans le volumeS × C × 1/D ; donc :

2 S C ρ C --------------------- = h ν D donc,

h ν D pρ = --------------------------------- = ----------------3 2S C C

et, on a bien :

p ∇p = ρ + ---------------- g 2 C

3. On voit que le terme ρ fait intervenir lasensibilité des photons au champ de gravité qui semanifeste par leur rougissement et par le lien

2entre νb et νh . Le terme p/C fait intervenir lavariation du débit d’impulsion donc du débit desphotons, liée à la variation de l’écoulement dutemps en haut et en bas, donc fait intervenir lelien entre Db et Dh .

8.4 1.

-- - - - -0x 0 x 0x 0 x xxT = Λ Λ T + Λ Λ T

0 x x x

- - - -0 x x0 0 x 0 0+ Λ Λ T + Λ Λ Tx 0 0 0

2 0x xx 2 x0 00= ch ϕ T - shϕ chϕ T + sh ϕ T - shϕ chϕ T

2 2 0x= ( ch ϕ - 2 shϕ chϕ + sh ϕ ) T

00 0x xx 2En effet : T = T = T = ε E0

22 0x (1 - v/C) 0x= (chϕ - shϕ) T = ------------------------------------------ T

2 21 - v /C

--0x 1 - v/C 0xT = ------------------------------------ T1 + v/C

et :

- 1 - v/CP = ------------------------------------ P1 + v/C

2. Le résultat de l’exercice 4.4 donne :

25 567

- 1 - v/C - 1 - v/CD = D ------------------------------------------------------------- ; ν = ν ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----------------------------------------------2 2 2 2√ 1 - v / C √ 1 - v / C

et :

2- - - (1 - v/C) 1 - v/CP = D h ν = D h ν ------------------------------------------ = ------------------------------------ P2 2 1 + v/C1 - v /C

3. On retrouve sur cet exemple que l’on peuteffectivement étudier la variation de puissance,donc de pression, liées aux photons, en faisantintervenir séparément la variation de leur débit etde leur fréquence. Le calcul mené à la question 2de l’exercice 8.3 est ainsi justifié.

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Chapitre 9

--------L r --------L θ9.1 (OM) = r ; (OM) = 0 .--------L∂OM --------L j i --------L r θ 1---------------------- = (OM) Γ e = (OM) Γ e = r × --------------- e = e∂ θ jθ i rθ θ r θ θ

====================================================================================================

Chapitre 10

10.1 1.

θ ϕ1 r 2 V 3 VV = V ; V = --------------------------------------- ; V = -------------------r c o s ϕ r

2 2 2 2 2 2 22. ds = dr + r cos ϕ dθ + r dϕ-----------

4 2 2g = r cos ϕ ; √ g = r cos ϕ

3.

u1 θ1 1 ∂ r 2 ∂ V 2 div V = -------------------------------------- 1 --------- V r cos ϕ + ----------- --------------------------------------- r cos ϕ2 ∂r ∂θ r c o s ϕ r cos ϕ 1m

oϕ 1∂ V 2 1+ ----------- ------------------- r cos ϕ 1∂ϕ r 11.

r θ ϕ∂V 2 r 1 ∂V 1 ∂V 1 ϕdiv V = ----------------- + --------------- V + ---------------------------------- ------------------- + --------------- ------------------- - --------------- tg ϕ V∂ r r r cos ϕ ∂ θ r ∂ϕ r

26 568

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Chapitre 11

11.1 1. L’espacement des géodésiques correspond ici àδϕ avec δθ = 0 . On a :

2 2 2D (δϕ) d (δϕ) ϕ dθ ------------------------------- = ---------------------------- = R δϕ -----------2 2 θϕθ d t Dt dt

1 570

2 2 2 2 2 2 210.2 1. ds = dr + r cos λ dθ + r dλ

2. On trouve (on ne met qu’une fois deux symboleségaux par symétrie sur les indices inférieurs) :

r r 2 λ 1Γ = - r Γ = - r cos λ Γ = ---------------λλ θθ rλ r

λ θ 1Γ = sin λ cos λ Γ = ---------------θθ rθ r

θΓ = - tg λλθ

3.

∂ϕ/∂r grad ϕ = ∂ϕ/∂θi ∂ϕ/∂λ

∂ϕ/∂r ri ii 2 2 grad ϕ = g grad ϕ = (1/r cos λ) ∂ϕ/∂θ θi

2(s s i ) (1/r ) ∂ϕ/∂λ λ

4.

i∂grad ϕ ∂ ∂ϕ ∂ 1 ∂ϕ ∂ 1 ∂ϕ ----------------------------------- = --------- ----------- + ----------- ------------------------------------- ----------- + ----------- -------------- -----------i ∂r ∂ r ∂θ 2 2 ∂θ ∂λ 2 ∂λ ∂u r cos λ r

iLes seules valeurs non nulles pour Γ , sansmisommation sur i, sont :

θ 1 θ λ 1Γ = --------------- ; Γ = - tg λ ; Γ = ---------------rθ r λθ rλ r

i m θ λ r θ λΓ grad ϕ = Γ + Γ grad ϕ + Γ grad ϕmi rθ rλ λθ

2 ∂ϕ tg λ ∂ϕ= --------------- ----------- - ------------------ -----------r ∂ r 2 ∂λr

2 2 22 ∂ ϕ 1 ∂ ϕ 1 ∂ ϕ 2 ∂ϕ tg λ ∂ϕ∇ ϕ = --------------- + ------------------------------------- ----------------- + -------------- ----------------- + --------------- ----------- - ------------------ -----------

2 2 2 2 2 2 r ∂ r 2 ∂λ∂r r cos λ ∂θ r ∂λ r

569

ϕen effet Γ = 0 . Il vient :ϕθ2 2d (δϕ) 2 dθ ---------------------------- = - cos ϕ ----------- δϕ

2 d t dt

2. On considère deux géodésiques voisines serencontrant sur l’axe des y.

δ ϕ0 dα

ϕ-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO y

dθ x

δϕ = δϕ0 cos α ; δϕ0 est l’écart maximal desgéodésiques. On suppose dα/dt = Cte ; α estl’angle au centre correspondant au déplacement surles deux géodésiques voisines, avec α = 0 là oùl’écart est maximal, c’est à dire là où lesdeux géodésiques sont parallèles.

d(δϕ) dα------------------------ = - δϕ0 sin α ------------dt d t

2 2d (δϕ) dα ---------------------------- = - δϕ0 cos α ------------2 d t dt

2 2puisque d α/dt = 0 ; en α = 0 , là où l’écartest maximal, nous avons donc :

2 2d (δϕ) dα ---------------------------- = - δϕ0 ------------2 d t dt

or dα = dθ cos ϕ ; il vient l’équation déjàtrouvée :

2 2d (δϕ) 2 dθ ---------------------------- = - δϕ cos ϕ -----------2 d t dt

11.2 1. Les déplacements correspondant à une variationde θ à ϕ fixé et de ϕ à θ fixé sont

2 570

perpendiculaires. On a donc :

2 2 2 2 2ds = (R + r cos ϕ) dθ + r dϕ

2. Les symboles à envisager sont :

θ θ θ ϕ ϕ ϕΓ ; Γ ; Γ ; Γ ; Γ ; Γθθ θϕ ϕϕ θθ θϕ ϕϕθ 1 θθ 1 1Γ = --------------- g g = --------------- --------------------------------------------------------------------- 2(R + r cos ϕ)(- r sin ϕ)θϕ 2 θθ,ϕ 2 2(R + r cos ϕ)

θ θ r sin ϕΓ = Γ = - ---------------------------------------------------------ϕθ θϕ R + r cos ϕϕ 1 ϕϕΓ = --------------- g ( - g )θθ 2 θθ,ϕ

u o1 1 1 1= --------------- -------------- 1 - 2 (R + r cos ϕ) ( - r sin ϕ) 12 2 1 1r m .

ϕ (R + r cos ϕ) sin ϕΓ = ---------------------------------------------------------------------------------------------θθ r

3. Nous avons :

i i∂Γ ∂Γi jk j l h i h iR = ------------------- - ------------------- + Γ Γ - Γ Γjkl l k jk hl j l hk∂u ∂u

Pour éviter la confusion avec R, paramètre dutore, la courbure scalaire sera notée R’ dans cetexercice.

jl jl λR’ = g R = g Rjl jλl

λ λ∂Γ ∂Γjl j λ jl j l jl h λ jl h λR’ = g ----------------------- - g -------------------- + g Γ Γ - g Γ Γl λ jλ hl j l hλ∂u ∂u

Calcul de :

jl h λg Γ Γjλ hl

a j = l = θ :

ϕ θ θθ θ ϕ θθΓ Γ g et Γ Γ gθθ ϕθ θϕ θθOn obtient donc :

u o u o1 1 1 1 11 r sin ϕ 1 1 R + r cos ϕ 12 1 - --------------------------------------------------------- 1 1 -------------------------------------------------------- sin ϕ 1 ---------------------------------------------------------------------1 R + r cos ϕ 1 r 1 21 1 1 1 (R + r cos ϕ)m . m .

22 sin ϕ= - ----------------------------------------------------------------2(R + r cosϕ)

3 571

b j = l = ϕ :

θ θ ϕϕΓ Γ gϕθ θϕ

2 2 2r s in ϕ 1 sin ϕ= -------------------------------------------------------------------- -------------- = ---------------------------------------------------------------------2 2 2(R + r cos ϕ) r (R + r cos ϕ)

Donc :

2jl h λ sin ϕg Γ Γ = - ---------------------------------------------------------------------jλ hl 2(R + r cos ϕ)

Calcul de :

jl h λ- g Γ Γj l hλa j = l = θ

2ϕ θ θθ sin ϕ- Γ Γ g = ---------------------------------------------------------------------θθ ϕθ 2(R + r cos ϕ)

hb j = l = ϕ ⇒ Γ = 0 ; donc :ϕϕ

2jl h λ sin ϕ- g Γ Γ = ---------------------------------------------------------------------j l hλ 2(R + r cos ϕ)Calcul de :

λ∂Γjl j λg -----------------------l∂u

a j = l = θ ∂/∂θ ⇒ 0 .b j = l = ϕ

θ∂Γϕϕ ϕθg -----------------------∂ϕu o1 1 r cos ϕ (R + r cos ϕ) - r sin ϕ (- r sin ϕ) 1= -------------- 1 - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

2 1 2 1r m (R + r cos ϕ) .

λ∂Γjl j λ r + R cos ϕg ----------------------- = - ----------------------------------------------------------------------------------l 2∂u r (R + r cos ϕ)

Calcul de :

λ∂Γjl j l- g --------------------λ∂u

a j = l = θ ⇒ λ = ϕ

4 572

2 21 R cos ϕ + r cos ϕ - r sin ϕ- --------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 r(R + r cos ϕ)

b j = l = ϕ ⇒ 0

λ∂Γ 2 2jl j l R cos ϕ + r cos ϕ - r sin ϕ- g -------------------- = - ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------λ 2∂u r (R + r cos ϕ)

En ajoutant tous les termes, il vient :

- 2 cos ϕR’ = -----------------------------------------------------------------------------r (R + r cos ϕ)

4. La courbure

vaut :

2 cos ϕ= ---------------------------------------------------------------------------r (R + r cos ϕ)

Pour R = 0 , on retrouve la courbure de la2sphère

= 2/r .

En ϕ = 0 , on a :

2 2= -------------------------------------------- = ---------------------------r (R + r) R1 R2

R1 = r et R2 = R + r sont les rayons decourbures principaux.

En ϕ = π :

- 2 2= ------------------------------------------- = - ---------------------------r (R - r) R1 R2

R1 = r et R2 = R - r sont encore les rayons decourbure principaux au point considéré.

En ϕ = π/2 la courbure est nulle.On retrouve, ce qui est évident intuitivement,

que pour 0 ≤ ϕ < π/2 on a une surface à courburepositive et pour π/2 < ϕ ≤ π on a une surface àcourbure négative.

11.3 Nous avons :

θ 1 rΓ = --------------- et Γ = - rrθ r θθ

r θ r θd(e ) = - (e ) Γ dθ = r (e ) dθx x θθ x

θ r θ θ θd(e ) = - (e ) Γ dθ - (e ) Γ drx x rθ x θr

r θ(e ) (e )θ x xd(e ) = - ---------------------- dθ - ------------------------ drx r r

2 r θ∂ ( e ) ∂( e )x x r--------------------------------- = r ------------------------------- = - (e )2 ∂θ x∂θ

5 573

rd’où (e ) = A(r) cos θ + B(r) sin θx

r∂(e )xet ---------------------------- = 0 ⇒ A’(r) = B’(r) = 0∂r

r(e ) (A) = 1 ⇒ A(r) = 1x

r∂( e )x θ----------------------------- (A) = r (e ) (A) = 0 ⇒ B(r) = 0∂θ xrFinalement : (e ) = cos θ . Puis :x

θ r∂( e ) (e )x x cos θ------------------------------- = - ---------------------- = - -------------------------∂θ r r

θ sin θ⇒ (e ) = - ----------------------- + ϕ(r)x r

θ∂(e )x sin θ sin θ ϕ(r)et ------------------------------ = ---------------------- + ϕ’(r) = ---------------------- - ------------------∂r 2 2 rr r

ϕ’ 1--------------- = - ---------------ϕ r

ϕ 1Log ---------------- = - Log r = Log ---------------λ r

λϕ = ----------------r

θ sin θ + Cte(e ) = - ---------------------------------------------------------------x r

θet (e ) (A) = 0 ⇒ Cte = 0x

Nous avons donc :

cos θ e = s in θ x - -------------------------- r

De la même manière, on obtient :

s in θ e = cos θ y -------------------------- r

2.

1 0 g = 2 0 r 2

2 2 sin θ e . e = 1 × cos θ + r × - ----------------------- = 1x x r 2 sin θ cos θ e . e = 1 × cos θ sin θ + r × - ----------------------- ------------------------- = 0x y r r

6 574

3. En ce qui concerne les formes :

*x *x r *x rd(e ) = (e ) Γ dr + (e ) Γ dθr r rr r rθ*x θ *x θ+ (e ) Γ dr + (e ) Γ dθθ rr θ rθ

*x *x∂(e ) ∂( e )r r *x 1--------------------------------- = 0 ; ---------------------------------- = (e ) ---------------∂r ∂θ θ r

De la même manière :

*x *x∂(e ) ∂( e )θ *x 1 θ *x----------------------------------- = (e ) --------------- et ------------------------------------ = - (e ) r∂r θ r ∂θ r

L’intégration de ce système différentiel donne :

*x cos θ e = - r s in θ De la même manière, on obtient :

*y sin θ e = r cos θ *yet on vérifie par exemple que e (e ) =x sin θ sin θ cos θ + r cos θ - ----------------------- = 0 r

4.

∂x *x---------- = (e ) = cos θ∂r r

2 2∂x ∂ x ∂ x----------- = - r sin θ et ------------------------ = - sin θ = -------------------------∂θ ∂θ ∂r ∂r ∂θ∂xx = r cos θ + ϕ(θ) ; ----------- = - r sin θ + ϕ’(θ) =∂θ

- r sin θ ⇒ ϕ’(θ) = 0 ⇒ ϕ(θ) = Cte ; et onprend l’origine des coordonnées de façon àavoir ϕ(θ) = 0 .

De la même manière, on obtient y = r sin θ .Finalement :

x = r cos θ y = r s in θ

11.4 Considérons, dans le plan muni du repèreorthonormé xOy le champ de vecteurs :

Q V = - P et la surface fermée .

7 575

Iy 11 dS 1 ∂ 1 1 dl111 11111111z 1 11--------k-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO x

dx dy dl = ; dS = dy - dx

On complète avec l’axe des z pour faire untrièdre direct, et on prend dans l’espace le champde vecteurs :

P(x,y,z) W = Q(x,y,z)

R(x,y,z) On a :

Q(x,y,0) V = - P(x,y,0)

0

∂R/∂y - ∂Q/∂z 0 ⌠⌠ ⌠⌠ rot W d = ∂P/∂z - ∂R/∂x 0 ⌡⌡ ⌡⌡ ∂Q/∂x - ∂P/∂y dx dy

⌠⌠ ⌠⌠ ⌠ ∂Q ∂P = ------------- - ----------- dx dy = div V dv = V dS ∂ x ∂y ⌡⌡ ⌡⌡ ⌡ ∂⌠⌠ ⌠ ⌠ Q dy = = P dx + Q dy = W dl - P - dx ⌡⌡ ⌡ ⌡∂ ∂ ∂ La formule est donc vraie pour une surface fermée

plane.Considérons maintenant une surface S non plane :

8 576

S rot W

∂S

On peut la décomposer en petits éléments desurface i de bords ∂ i suffisamment petits pourêtre considérés comme plans; et on a :

⌠ ⌠ W dl = W dl⌡ ⌡∂S i ∂ i

Les circulations sur les bords intérieurs étantparcourues une fois dans un sens, une fois dansl’autre, s’annulent en effet, et il ne restefinalement que la circulation sur le bord ∂S.

i i+1

⌠⌠ ⌠⌠= rot W d = rot W d ⌡⌡ ⌡⌡i i

====================================================================================================

Chapitre 12

12.1 1. On obtient :

2 2 2d t t dx t dx d t t dt -------------- + Γ ---------- + 2 Γ ---------- ---------- + Γ ---------- = 02 xx dp tx dp dp tt dp dp

t tΓ = 0 ; Γ = 0tt xx

t 1 tt 1 1 2 1 A’Γ = --------------- g g = --------------- -------------------- A’ C = --------------- -----------------tx 2 tt,x 2 2 2 AA C

9 577

2d t A’ d t dx-------------- + ----------------- ---------- ---------- = 02 A dp dpdp

2 2 2d x x dx x dx d t x dt --------------- + Γ ---------- + 2 Γ ---------- ---------- + Γ ---------- = 02 xx dp xt dp dp t t dp dp

x 1 xx 1 A’ A ’Γ = --------------- g g = --------------- (-A) ----------------- = - ---------------------xx 2 xx,x 2 2 2 AA

x x 1 xx A A’ 2Γ = 0 ; Γ = --------------- g (- g ) = --------------------- Cxt t t 2 tt,x 2

2 2 2d x A ’ dx 1 d t 2--------------- - --------------------- ---------- + --------------- A A’ ---------- C = 02 2 A dp 2 dp dp

2. Le traitement qui est fait dans cet exerciceest le même que celui qui sera effectué au § 8 et§ 9 du chapitre 16 ; x correspond à r.

d d t d---------- Log ---------- + ---------- Log A = 0dp dp dp

d t---------- A = Ctedp

ce qui est l’équation (16,12).On peut normaliser le paramètre p de façon à

avoir :

d t 1---------- = --------------------dp A C

3. L’équation en x devient :

2 2d x A ’ dx A A’ 1 2--------------- - --------------------- ---------- - --------------------- ---------------------------- C = 02 2 A dp 2 2 2dp A C

et x = ± p est solution de cette équation. Al’infini, où le champ de gravité est nul, et oùφ = 0 , cela correspond à dx/dt = ± C puisqueA = 1 . On a donc bien la propagation d’un rayonlumineux.

4. tl étant le temps propre local, on a :-------------dtl = √ A dt . l étant la longueur étalon locale,-------------on a : dl = 1/√ A dx . et :

dl 1 dx-------- = ------------------ ---------- = Cdtl A dt

On peut écrire :

10 578

dx ---------- ------------ dl dx dl √ A---------- = -------- --------------------------- = C ---------------------------------------- = A Cdt dtl ---------------- dt ---------- 1 /√ A dt l

et on voit que la vitesse apparente de la lumièredx/dt est inférieure à C, le facteur A venant pourmoitié du ralentissement du temps, et pour moitiéde la contraction des longueurs. Voir également àce sujet le § 21 du chapitre 16 .

12.2 1. On a :

z2⌠ --------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------2 2l = √ 1 - 2 φ(x)/C √ 1 + (dx/dz) dz

⌡z1

qui s’écrit :

z2⌠ . l = L x(z),x(z),z dz ⌡z1

L’équation de Lagrange correspondante s’écrit(voir § 4 du chapitre 10) :

d ∂L ∂L---------- ------------ - ------------ = 0dz . ∂x∂x

soit :

u o ----------------------------------------------------------1 --------------------------------------------------- 1 21 1 2 φ ’(x) dx 1 dx 2 φ (x) 1 - ----------------------------------- 1 + ----------1 2 ---------- 1 - ------------------------------- 1 2 √ dz 1 dz √ 2 1 Cd 1 1 C 1 1---------- 1 --------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 - --------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 0dz 1 2 ------------------------------------------------------- 2 --------------------------------------------------1 2 11 dx 1 2 φ ( x)1 1 + ---------- 1 1 - ---------------------------------1 √ dz 1 √ 21 1 Cm .

Au point S sommet de la courbe, on a x’(z) = 02d’autre part, φ(x)/C est extrèmement faible.

L’équation devient alors :

φ’ ( x) gx’’(z) + -------------------------- = 0 ; x’’(z) = ----------------2 2C C

ce qui, compte tenu de l’orientation de l’axe desx, donne bien une courbure vers le bas.

Pour le cercle de rayon R ci-dessous :

11 579

111----------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------------------L1 R z11.11111111 x<

2 2 2 2 2(x - R) + z = R ; x - 2 x R + z = 0

2soit x z /2 R ; x’’ = 1/R ; on adonc :

2CR = ----------------g

2et la courbure de la ficelle tendue vaut g/C .

2. On a vu au § 22 que la lumière (point L surla figure) possède l’accélération 2 g vers lebas : la moitié de cette accélération, g, estcelle qu’aura un objet (point M sur la figure)parcourant à la vitesse C le chemin d’une ficelletendue horizontalement (règle étalon d’unréférentiel galiléen). Cette accélération est due àla déformation de l’espace dans un champ degravitation. L’autre moitié, encore g, vient de lachute de la lumière dans le champ de gravité, chuterepérée par rapport à la ficelle tenduehorizontalement précédente, donc par rapport aupoint M précédent. La lumière tombe bien avecl’accélération g par rapport à une droitehorizontale de l’espace, comme tout corps lancéhorizontalement, quelle que soit sa vitesse.

11 g S A1 ----------------------------------------------k----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L< 1 . M z1 . f i c el letendue1 L lum i èrex1< 2 2On a SA C t ; AM = 1/2 g t ; AL = g t

et AM = ML .

Il est donc clair que la courbure de latrajectoire parcourue part la lumière est le double

2de celle de la ficelle tendue, donc vaut 2 g /C .

Dans un champ de gravitation, on ne peut donc pasdéfinir les droites de l’espace comme lestrajectoires de la lumière. Les droites sont les

12 580

chemins les plus courts de l’espace. Elles sontdéfinies au moyen de ficelles tendues. Les droites

2horizontales ont la courbure g/C par rapport auxcoordonnées x,z .

2 2 23. x = z /2 R = z g/2 C . On trouve :˚x = 55 A .

12.3 On considère donc sur la figure ci-dessous uneonde de matière plane se propageanthorizontalement. Les plans d’onde sont doncverticaux. On considère, comme dans lafigure 12.3 , trois niveaux d’altitude. Un niveautrès éloigné de l’astre (altitude infinie) où lalongueur d’onde vaut λ, la vitesse de propagationdes particules v, la vitesse de phase V, lapulsation ω. Un niveau x2 où ces valeurs sontrespectivement λ2, v2, V2, ω2. La distancehorizontale entre deux plans d’onde, évaluée avecla coordonnée z vaut alors z2. Plus bas, on arespectivement λ1, v1, V1, ω1, z1.

ω λ∞ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ t ___________________________________ v V111111111 λ2 z 2 1 αω2 1 1 1________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1J____________________________________________1____________L __________________________________________________________ v2 V 21 I 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 λ1 z 1 1ω1 1 1 1________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1J___________________________________L _______________________________________________________________________________ v1 V 11 I 11 11 x2 11 11 11 11 11 x1 1 1 1y 1 1⊗ 1 11 ------------------------------------k--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LO 1 z1

1 x<

On ne peut plus, comme dans le paragraphe 21 ,utiliser directement l’invariance de C. La démarcheest alors la suivante :

On sait que si la pulsation ω0 correspond aux2particules au repos par m C = ω0 , lorsque ces

dernières sont animées de la vitesse v, lapulsation vaut :

13 581

ω0ω = --------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2√ 1 - v /C

ainsi, la masse m étant fixée, nous avons un lienentre v et ω. La vitesse de phase V est alors

2donnée par V v = C .ω à l’infini étant donnée, nous en déduirons ω2

par la formule (12,59), l’onde vibrant partout enphase dans un plan vertical. En utilisant lapropriété d’invariance de la masse d’une particulequelle que soit sa situation, donc l’invariance deω0, et en utilisant un référentiel galiléen local àl’altitude x2 dans lequel la Relativité restreintes’applique, nous aurons alors accès à v2, doncaussi à V2. Nous aurons alors λ2 et enfin z2. De lavariation de z en fonction de x, nous en déduironsla rotation progressive des plans d’ondes, donc lachute de la particule. Effectuons ce programme :

ω ω0 1 ω0ω2 = ------------------------------------------------------------------- = ----------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------ = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------- ---------------------------------------------------- -------------------------------------------------2 2 2 2 2 2√ 1 + 2 φ/C √ 1 - v /C √ 1 + 2 φ/C √ 1 - v2 /C

2 2v 2 v 2 φ 1 - -------------------- = 1 - ---------------- 1 + ------------------2 2 2 C C C

2 2v 2 v 2 φ ---------------- = 1 - 1 - ---------------- 1 + ------------------2 2 2 C C C

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 2 v 2 φ v2 = C - C 1 - ---------------- 1 + ------------------√ 2 2 C C

2λ ω 2 π CV = ------------------ ; λ = ------------------------------2 π ω v

----------------------------------------------------2 2 22 π C 1 2 π C 1 + 2 φ/Cz2 = ---------------------------------- ---------------------------------------------------------------- = ---------------------------------- ----------------------------------------------------ω 2 v 2 -------------------------------------------------- ω v 2 √ 2

2 1 - 2 φ/C√ 1 - 2 φ/C

-----------------------------------------------------2 1 + 2 φ /C-----------------------------------------------------

2 √ 22 π C 1 - 2 φ /Cz2 = ----------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ω -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 2 v 2C - C 1 - ---------------- 1 + 2 φ/C√ 2 C

2dz vα = - ---------- ; R α = z ; γ = ----------------dx R

14 582

2 dz 1 2 d 1 γ = v - ---------- --------------- γ = v ----------- Log --------------- dx z dx z pour φ 0

u o1 2 11 v 11 2 g 1 - ---------------- 11 2 12 1 1 2 g 2 g 1 C 1γ = v 1 - --------------- - ----------------- - ----------------- + --------------- --------------------------------------------------------------------------- 1 2 2 2 2 21 C C v 11 11 11m .

2 2 22 g v v vγ = -------------------------- + g 1 - ---------------- ; γ = g + g ----------------2 2 2C C C

ce qui est bien la formule (12,57).

Remarquons que s’il n’y avait pas d’effet decontraction des longueurs donnant un aspect courbéau référentiel galiléen, il n’y aurait pas le terme

21 - 2 φ/C , et l’on obtiendrait :

2 2g v v γ = ----------------- + g 1 - ---------------- = g2 2 C C

résultat trouvé dans une fusée accélérée pourlaquelle seul l’effet de retard de l’écoulement dutemps intervient.

12.4 1.

. M11 v ⊗ BG<

----------k-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L1 z11 -------------------------------------------------------------L 11 1 g1 V 1<x <

2 2 2d z z dx z dx dt z dt --------------- + Γ ---------- + 2 Γ ---------- ---------- + Γ ---------- = 02 xx dτ xt dτ dτ tt dτ dτ

avec

2 2 2 2 2 2 φ 2ds = C + 2 φ (ch ϕ + sh ϕ) dt - 1 - ------------------ dx 2 C

φ 2 φ 2 2 2- 8 ----------------- sh ϕ ch ϕ dt dz - 1 - ------------------ (ch ϕ + sh ϕ) dzC 2 C

z zΓ = 0 ; Γ = 0xx tt

z 1 zz 1 φ ’ Γ --------------- η g = --------------- (-1) - 4 ---------------- sh ϕ ch ϕxt 2 tz,x 2 C

15 583

z 2 gΓ = - ----------------- sh ϕ ch ϕxt C

dτ dt car v µ C . Il vient :

2d z 4 g dx-------------- = ----------------- sh ϕ ch ϕ ----------2 C dtdt

2. F = m C v ∧ BG

4 g m------------------------------ sh ϕ ch ϕ v = m C v BGC

4 gBG = ----------------- sh ϕ ch ϕ2C

4 g VBG -----------------------------3C

En électromagnétisme, on a :

µ λ Vλ 0 2E = ---------------------------------------- B = ---------------------------------- avec ε µ C = 12 π ε r 2 π r 0 00

j = ρ V . Ici, BG est de sens opposé à celui duchamp magnétique créé par des charges animées de lavitesse V.

2Avec la gravité, on sait que : ∇ φ = 4 π G ρM

2au lieu de ∇ φ = - ρ/ε en électrostatique. g est0

l’analogue de E. Nous devons donc faire lasubstitution 1/ε - 4 π G et on obtient :

0

2 G λ 8 G λ VM Mg = ----------------------------------- donc BG = ----------------------------------------------------r 3C r

3. On obtient donc :

(λ C V)16 π G MBG = ------------------------------------------------------------------------------------------4C 2 π r

En comparant avec l’expression de B del’électromagnétisme, il faut donc écrire :

16 π Grot BG = - ------------------------------------ jG4C

12.5 1.

2 2 2 2 2 2ds = C dt - dx - dy - dz

16 584

- -dx = ch ϕ dx + sh ϕ C dt

- -C dt = sh ϕ dx + ch ϕ C dt

- C d t sh ϕ - dx = ch ϕ dx + sh ϕ ----------------------- - --------------------- dx c h ϕ ch ϕ

1 -dx = th ϕ C dt + --------------------- dxch ϕ- 2

2 2 2 2 dx th ϕ - -2 -2ds = C - v dt - --------------------- - 2 --------------------- C dt dx - dy - dz 2 ch ϕch ϕ

2. (12,21) donne :

------------------------------------ 1 2 2dτ = dt = ----------------- √ C - v dtC- - -pour dx = dy = dz = 0 ; soit :

-------------------------------------------- 2 2 1dt = √ 1 - v /C dt = --------------------- dtch ϕ

ce qui est bien ce que nous avons trouvé (équation(3,5)).

(12,28) donne :

g - g -tx txγ- - = - g- - + ----------------------------------xx xx gt t

2 t h ϕ - ---------------------- C ch ϕ 1γ- - = --------------------- + ---------------------------------------------------------------------- = 1xx 2 1 2ch ϕ --------------------- C2ch ϕ

-Donc x est bien la longueur étalon!

(12,29) donne :

g0 0i idu = - ------------- dug

00

t h ϕ- ----------------------------- Cch ϕ - sh ϕ -dt = - ------------------------------------------------------- dx = ---------------------- dx2 CC------------------------2c h ϕ

- - -or C dt = shϕ dx + ch ϕ C dt donne pour dt = 0ce résultat!

12.6 1. Nous avons, toutes les grandeurs étantévaluées dans cet exercice au premier ordre :

17 585

dφφ = φ0 + ----------- x = φ0 + φ1dx

avec φ1 = 0 au point considéré. On pose :

φ 0 φ 0 t’ = 1 + ---------------- t ; x’ = 1 - ---------------- x 2 2 C C

idem pour y et z. Cela revient à prendre lescoordonnées étalons au point considéré pour normert, x, y, et z. Cela ne change rien aux directionsdes lignes coordonnées correspondantes. On a :

2 1 2 --------------------------------------------- 1 - 2 φ0/C etc2 1 + φ0/C

2 2 φ0 2 φ1 2 2 φ0 2ds = 1 + ---------------------- 1 + ---------------------- C 1 - ---------------------- dt’ 2 2 2 C C C

2 φ0 2 φ1 2 φ0 2 2 2- 1 - ---------------------- 1 - ---------------------- 1 + ---------------------- (dx’ + dy’ +dz’ ) 2 2 2 C C C

2 2 φ1 2 2 2 φ1 2 2 2ds = 1 + ---------------------- C dt’ - 1 - ---------------------- (dx’ + dy’ + dz’ ) 2 2 C C

On peut alors enlever les primes dans lanotation, et écrire φ au lieu de φ1. On aφ1 = - g x au premier ordre en x.

2.

t g x x gΓ = - ---------------- Γ = - g Γ = ----------------t x 2 t t xx 2C Cx g z gΓ = - ---------------- Γ = ----------------zz 2 xz 2C C

3. On utilise l’équation (11,12) :

i j i kdV = - V Γ dujkPrenons e- :t

t∂( e-)t t g----------------------- = - Γ = ----------------∂x tx 2C x∂( e-)t x----------------------- = - Γ = g∂ t t t

2 1 + g x/C e- = g t t 0

soit :

18 586

2

e- = (1 + g x/C ) e (M) + g t e (M) + 0 e (M)t t x zPrenons e - :x

t∂(e -)x t g------------------------ = - Γ = ----------------∂ t xt 2C x∂(e -)x x g------------------------ = - Γ = - ----------------∂x xx 2C z∂(e -)x z g------------------------ = - Γ = - ----------------∂z xz 2C

2 g t /C 2e - = 1 - g x /C x 2 - g z / C

Prenons e- :z x∂( e- )z x g------------------------ = - Γ = ----------------∂z zz 2C z∂(e -)z z g------------------------ = - Γ = - ----------------∂x zx 2C

0 2e- = g z /C z 2 1 - g x/C

Interprétons ces résultats : On a des vecteursliés à un référentiel galiléen en chute libre(vecteurs libres de l’espace de Minkowski associé).

2Les termes 1 - g x/C pour la composante en x de e- et en z de e- viennent de l’effet dex zcontraction des longueurs lorsqu’on s’enfonce; eneffet :

x x x ∂M 1 ∂M (e-) = ---------------- = ---------------------------------------------------------------- ----------------x - -------------------------------------------------- ∂ x ∂ x 2√ 1 - 2 φ/C

g x= 1 - -----------------2C z 2

idem pour (e-) . De même, 1 + g x/C pour e-z tvient de l’effet de dilatation des temps lorsqu’ons’enfonce :

19 587

t t t ∂M 1 ∂M (e-) = ---------------- = ------------------------------------------------------------------ ----------------t - ---------------------------------------------------- ∂ t ∂ t 2√ 1 + 2 φ/C

g x= 1 + -----------------2C

2

Le terme g z/C pour e- montre la rotationzprogressive de ce vecteur vu avec les coordonnéest, x, z lorsqu’on le transporte parallèlement àlui-même dans un référentiel galiléen, effet déjàvu au paragraphe 22 et dans l’exercice 12.2 . Ceteffet est montré dans les deux figures ci-dessous.

2 zidem pour - g z/C pour (e-) .x

Le long du vecteur e- il y a simultanéité dans lexréférentiel galiléen, donc il n’y a passimultanéité dans le référentiel de départ, au boutdu temps t, lorsque la vitesse est devenue g t ;autrement dit : -Dans le référentiel galiléen que nous appelons R -l’extrémité du vecteur e- a pour coordonnées x = 1x-et t = 0 . C’est à dire que :

- - ------- L - 0 t 0 te - = OM avec dans R O = - M = -x 0 x 1 x

La transformation de Lorentz (3,2) avec v = g tdonne :

t g t(e-) = t(M) = ----------------x 2Cde même, on a :

- - ------- L - 0 t 1 te- = OM avec dans R O = - M = -t 0 x 0 x

et la transformation de Lorentz donne : x(e-) = x(M) = g tt

4. De (9,26) on tire :

∂ϕ i j---------------- = ϕ Γk j ik∂u

-*t∂(e )t t g------------------------------ = Γ = - ----------------∂x tx 2C

-*t∂(e )x t g-------------------------------- = Γ = - ----------------∂ t xt 2C

20 588

2- 1 - g x /C *t 2e = - g t /C 0

-*x∂(e )t x------------------------------- = Γ = - g∂ t t t

-*x∂(e )x x g--------------------------------- = Γ = ----------------∂x xx 2C

-*x∂(e )z x g--------------------------------- = Γ = - ----------------∂z zz 2C

- - g t *x 2e = 1 + g x/C 2 - g z/C

-*z∂(e )x z g--------------------------------- = Γ = ----------------∂z xz 2C

-*z∂(e )z z g--------------------------------- = Γ = ----------------∂x zx 2C

- 0 *z 2e = g z/C 2 1 + g x /C

2Les variations inverses en 1 - g x/C pour-

2 *z z(e-) par exemple et 1 + g x/C pour (e )z zcorrespondent à la dualité entre vecteurs et formeslinéaires. Elles peuvent s’interpréter en disantqu’un vecteur représente l’unité de longueur,tandis que la forme linéaire est la mesure de cettelongueur. Si l’unité est plus petite, la mesure estplus grande.

Au premier ordre en x et z, on vérifie bien que :

-*t 2 2 2 2 2e (e-) = (1 + g x / C ) (1 - g x/C ) - g t /C = 1t-*z 2e (e-) = g t g z/C = 0 etct

Interprétons les résultats obtenus; nous avons :

*i ie (M) (dM) = dx

21 589

- 0 - *x g x dσ = dl = dx = e dx = 1 + ----------------- dx 2 0 C

------------------------------------------2 φ= √ 1 - ------------------ dX ; ce qui est (12,51).2C

2On interprète de même le terme en 1 + g x/C de-*ze .

- dt- *t g x dτ = dt = e 0 = 1 - ----------------- dt 2 0 C

ce qui est (12,40).D’autre part, on a :

- 0 - *z g zdz = e dx = ----------------- dx2 0 C

qui s’interprète sur la figure ci-dessous.

1 z----------k---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L111 1 e - 1d x1 x 11 -----. dz1 - -------------------------------------------------------------------------o - -1 d z 1 - x + dx1 1 d x1 -x1 e - x = Cte1 - - z1 z + dz1 -< z = Ct e

g z z ------------------ - (e - ) 2dz x C g z---------- = --------------------------------- = --------------------------- = -----------------dx x 1 2(e - ) Cx

- 0 - *x g zdx = e 0 = - ----------------- dz2 dz C

g z x - ------------------ - (e -) 2dx z C g z---------- = ---------------------------- = ------------------------------- = - -----------------dz z 1 2(e -) Cz- -*t *xIl nous reste à interpréter (e ) et (e ) .x t

Reprenons la transformation de Lorentz :

22 590

-dx = dx ch ϕ - C dt sh ϕ-C d t = - dx sh ϕ + C dt ch ϕ

avec th ϕ = v/C = g t/C .

- 0 *t - dx v g te dx = dt = - ------------------- ------------------- = - ---------------- dxC C 2 0 C

- dt*x - ve 0 = dx = - C dt ------------------- = - g t dtC 0

-5. Commençons par la variable x.

- -∂x *x - 1 2---------- = (e ) = - g t ⇒ x = - --------------- g t + ϕ(x,z)∂ t t 2

- 2∂x g x - 1 2 1 g x---------- = 1 + ----------------- ⇒ x = - --------------- g t + x + --------------- ----------------- + ψ(z)∂x 2 2 2 2C C

-∂x g z ----------- = - ----------------- ; finalement, et puisque en O x = 0 :∂z 2C

2 2- 1 2 1 g x 1 g zx = x - --------------- g t + --------------- ----------------- - --------------- -----------------2 2 2 2 2C C-De la même manière, pour z on trouve :

- g x z = z 1 + ----------------- 2 C-et pout t :

- g x t = t 1 - ----------------- 2 C

et on a bien, par exemple :

- - 2 - 2-∂t g x ∂ t g t ∂ t ∂ t g--------- = 1 - ----------------- ; ---------- = - ---------------- ; ------------------ = ------------------- = - ----------------∂t 2 ∂x 2 ∂x∂t ∂t∂x 2C C C

Interprétons maintenant ces résultats :Les lignes coordonnées spatiales sont d’une part-x = Cte , ce qui donne pour t = 0 et x faible :

2- 1 g zx = x + --------------- -----------------2 2C-et d’autre part z = Cte soit :

-- g x zz = z - --------------------------2C

23 591

Pour les lignes horizontales, on retrouve2 2x’’ = g/C et un rayon de courbure R = C /g ;

pour les lignes verticales, on trouve des droites-de pentes proportionnelles à z donc à z comme on le- 2voit sur la figure ci-dessous (dz/dx = - g z/C ).

e - e -

z x z-----k--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L1 11 11 1 <1 Pen t e1 21 dx / dz = g z / C1 <11111 -1 z = Cte -1 x = C t e111 2 -x1 Pente dx/dz = - C / g z<

- 2L’équation z = z (1 + g x /C ) correspond bienà l’effet de contraction des longueurs lorsqu’ons’enfonce dans le champ de gravité, et l’équation- 2t = t (1 - g x/C ) au ralentissement du temps.

-Etudions maintenant x :Pour un point du référentiel galiléen avec par- -exemple x = z = 0 , on trouve z = 0 et :

1 2x --------------- g t2

On retrouve bien le mouvement de chute libre d’unpoint lié au référentiel galiléen!

Nous avons déjà interprété le terme2 2- 1/2 g z /C .

Enfin, la contraction des longueurs lorsqu’ons’enfonce dans le champ de gravité donne :

- g x dx = dx 1 + ----------------- 2 Cet :

x⌠ 2- g u 1 g xx = 1 + ----------------- du = x + --------------- ----------------- 2 2 2⌡ C C0

pour t = z = 0 .2 2Le terme 1/2 g x /C de l’expression de x est

ainsi expliqué.

24 592

12.7 F = A - A est l’égalité covariante qu’ilαβ β;α α;βfaut écrire.

Or :

∂A ∂Aβ m α nA = -------------------- - A Γ ; A = -------------------- - A Γβ;α α m βα α;β β n αβ∂ u ∂ u

Dans la différence, les symboles de Christoffelqui sont symétriques disparaissent et :

∂A ∂Aβ αF = -------------------- - --------------------αβ α β∂ u ∂ u

12.8 1. Tout d’abord, il nous faut préciser comment onobtient les composantes du champ électrique àpartir de celles du tenseur électromagnétique.

Le vecteur champ électrique est mesuré par unobservateur situé dans un référentiel galiléenlocal immobile dans le champ de gravité à l’instantconsidéré. Cet observateur écrit F = q E pour unecharge immobile. Or :

i i iΦ = F ch ϕ = F

i i 0 i iΦ = q C F U = F = q E0

i i 0Donc, E = C F U , et cette relation, vraie0

dans un système de coordonnées d’espace particulier(le système fixe dans le champ de gravité etcoïncidant localement à l’instant considéré avec lesystème du référentiel galiléen), est vraie danstout système de coordonnées d’espace, à lacondition que les nouvelles coordonnées soient desfonctions indépendantes du temps de cellesutilisées dans l’expression (12,41) du

2ds .On pose alors :

ii E iE’ = ----------------- = C F0 0Ui iet les deux vecteurs E’ et E partout colinéaires

ont les mêmes lignes de champ.

ii0 00 i 1 i E’F = g F = --------------------------------------- F = -----------------------------------------------------------------------0 2 φ 01 + ------------------ 2 φ

2 C 1 + ------------------C 2 C

E’ 2 φ i iF = - 1 - ------------------ F = - -------------------i0 2 0 CCEn posant :

25 593

i i 2 φ iE’ = γ E’ = - g E’ = 1 - ------------------ E’i ii ii 2 C

Compte tenu du résultat de l’exercice 12.7 :

F + F + F = 0αβ;γ βγ;α γα;βs’écrit, en exprimant le tenseur électromagnétiqueen fonction du quadrivecteur potentiel :

F + F + F = 0αβ,γ βγ,α γα,βOn a donc :

F + F + F = 00i,j ij,0 j0,i

soit :

∂F ∂F0i 0j------------------ - ------------------ = 0j i∂x ∂x

qui s’écrit :

∂E’ ∂E’i j------------------- - ------------------- = 0 ou rot E’ = 0j i ij∂x ∂x

Posons :

ii ε 0 E’ iD = ------------------------------------------------------------------- = ε E’-----------------------------------------------------2√ 1 + 2 φ/C

avec :

ε0ε = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2√ 1 + 2 φ/C

où ε est la permittivité du vide dans lequel règnele champ gravitationnel. Remarquons que D = ε0 E ,----------------------------------------------------

0 2puisque U = dt/dτ = 1/√ 1 + 2 φ/C .

αβ αF = - µ0 j;βdonne :

0i∂F mi 0 0m i 0------------------ + F Γ + F Γ = - µ0 ji mi mi∂x

0i∂F 0i 0 0j i 0------------------ + F Γ + F Γ = - µ0 ji 0i ji∂x

0 1 00 1 ∂φet Γ = --------------- g g = ---------------- --------------0i 2 00,i 2 iC ∂x

i 1 D∂ --------------------- ------------------------------------------------------------------ C ε0 ---------------------------------------------------- 2 i√ 1 + 2 φ/C 1 D 1 ∂φ--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------- --------------------------------------------------------------------- ---------------- --------------i C ε0 ------------------------------------------------------- 2 i∂x 2 C ∂x√ 1 + 2 φ/C

26 594

j1 D i 0+ --------------------- --------------------------------------------------------------------- Γ = µ0 jC ε0 ------------------------------------------------------- ji2√ 1 + 2 φ/CiLes deux termes en ∂φ/∂x s’annulent compte

tenu du fait qu’ils sont déjà petits et que----------------------------------------------------2√ 1 + 2 φ/C 1 .

i 01 ∂D 1 j i 0 j------------------------------------------------------------------ ---------------- + ------------------------------------------------------------------ D Γ = C µ0 ε0 j = -------------------------------------------------------------------- i ---------------------------------------------------- ji C2 ∂ x 2√ 1 + 2 φ/C √ 1 + 2 φ/C

0j 0 dt 1---------------- = ρ U = ρ ---------- = ρ ------------------------------------------------------------------C dτ ----------------------------------------------------2√ 1 + 2 φ/C

Donc :

div D = ρDans le cas où localement on a un système de

coordonnées spatiales à peu près orthonormé!constitué de barres rectilignes rigides, on aγ δ et rot E’ rot E’ et on arrive à :ij ij ij

rot E’ = 0 D = ε E’div D = ρ

Les équations de l’électrostatique ont ainsi étémises sous une forme totalement identique à cellesque l’on obtient dans un diélectrique. Ainsi, levide dans lequel règne un champ gravitationnelstatique se comporte comme un diélectrique de----------------------------------------------------

2permittivité ε = ε0/√ 1 + 2 φ/C . Il y aura doncréfraction des lignes du champ électrique.

2. On voit que lorsque l’on s’enfonce dans lechamp de gravité, la permittivité ε croit. Leslignes de champ du champ électrique ont tendance àêtre canalisées par ce diélectrique situé demanière prépondérante en dessous de la charge. Parconséquent, les lignes de champ "tombent" dans lechamp de gravité et ont l’allure suivante :

27 595

3. On voit que la ligne de champ partant d’unecharge et arrivant là où on mettra l’autre charge,n’est pas horizontale. Il en résulte une composanteverticale du champ électrique, donc de la forcesubie.

En effet, les forces électrostatiques, action desphotons virtuels sur les charges, ont unecomposante vers le bas due à l’action de la gravitésur ces photons, donc à leur "poids". Le poidstotal correspond à l’énergie électrostatiqued’interaction des deux charges : E, et vaut

2me g = g E/C , en appelant me la massecorrespondant à cette énergie électrostatique E par

2la relation E = me C .

21 qE = ------------------------------ --------------4 π ε0 dIl vient :

2me q g q gF = ---------------- g = -------------------------------------------------------- ; E = --------------------------------------------------------2 2 28 π ε0 C d 8 π ε0 C d

F est la force verticale subie par une charge,moitié de la force totale qui se répartit égalementpar raison des symétrie. E est donc la composanteverticale du champ électrique subie par une chargede la part de l’autre.

+q + q. .1 1F < < F

4. On pose :

---------L --------Ldr = MA - OA = dr + d r ,

dr // r ; dr 1 r , -----,---------

q q qE = ------------------------------------------- r0 - ------------------------------------------- dr + ------------------------------------------- dr3 3

3 ,4 π ε0 r0 2 π ε0 r0 4 π ε0 r0

q v.r 0 q v+ ------------------------------------------- r0 × 3 --------------------- - ------------------------------------------- -----------------3 r 0 C 2 C4 π ε0 r0 4 π ε0 r0

q 1 . + ---------------------------------------------- -------------- r0 ∧ r0 ∧ v2 3 4 π ε0 C r0

Nous allons donc calculer chacune de ces 5 correctionsau champ classique coulombien EC.-----------------------------------

2 2 2C = r0/t ; d = √ y + z ; Z = 1/2 g t .

------------------------------------------------------------------2 2r = √ (x + Z) + d

28 596

x g r0∆r = ------------------------------22 C

En dérivant r cos θ = d , et compte tenu desin θ0 = x/r0 , on obtient :

g d∆θ = ---------------------22 C

Calcul de la première correction E1

q x g r0 q g x E1

= ------------------------------------------- ------------------------------ = ------------------------------------------------------------3 2 2 22 π ε0 r0 2 C 4 π ε0 C r0

g xE1 = - ----------------- EC2C

Calcul de la deuxième correction E2

g ddr

= r0 ∆θ = r0 ---------------------, 22 C

cos θ0dr , y dr = - s in θ0dr ---------------, , d

z - s in θ0dr --------------- , d

1 g x q gE2 = - --------------- ----------------- EC + ----------------------------------------------------------- x2 2 2C 8 π ε0 C r0

Calcul du troisième champ électrique

v = g t = g r0/C ; v.r0 = g r0 x/C ; ontrouve :

E3 = - 3 E1

Calcul du quatrième champ électrique

On trouve tout de suite :

q gE4 = - ------------------------------------------------------ x24 π ε0 C r0

Calcul du cinquième champ électrique

En effectuant avec les composantes les produitsvectoriels, on trouve rapidement :

E5 = 2 E2

Et finalement :

q g g xE = EC + ----------------------------------------------------------- x + --------------------- EC2 28 π ε0 C r0 2 C

29 597

--------------------------------------------------------------2Pour E’ la correction en √ 1 + 2 φ / C =

2(1 - g x/C ) est du deuxième ordre, appliquée auxcorrections à EC. Elle est donc appliquéeuniquement à EC, et on trouve :

q g g xE’ = EC + ----------------------------------------------------------- x - --------------------- EC2 28 π ε0 C r0 2 C

Enfin, D = ε0 E

5. Lorsque les deux charges séparées par ladistance d sont sur une même droite perpendiculaireà l’accélération (x = 0 et r0 = d), on trouve uneforce d’inertie supplémentaire :

2q gF = q E = --------------------------------------------------------28 π ε0 C d

sur chaque particule, correspondant à une massesupplémentaire totale :

2q Eme = -------------------------------------------------------- = ----------------2 24 π ε0 C d C

E est l’énergie potentielle d’interaction desdeux charges. On vérifie bien que l’énergie a une

2inertie avec E = me C .

6. Tout d’abord :

q g 1 g rot E’ = ----------------------------------------------- grad -------------- ∧ x - ----------------- grad x ∧ EC2 r 0 2 8 π ε 0 C 2 C

g g= - --------------------- EC ∧ x - --------------------- x ∧ EC = 02 22 C 2 C

On trouve également tout de suite, avec laformule div f v = f div v + grad f . v quediv D = 0 .

D’autre part, pour r0 0 , donc également

x 0 , D ε0 E , et pour une surface fermée trèsproche de la charge, ∫∫ D.dS = q . Les équationsde l’électrostatique écrites à la question 1 sontdonc bien vérifiées.

Nous faisons ici un petit intermède pour bienfaire sentir intuitivement la réalité du poids del’énergie d’interaction.

L’action des deux charges + q l’une sur l’autrepeut être visualisée par une barre comprimée. Labarre repousse les deux charges en les poussantégalement vers le bas. La barre est courbée vers lehaut et s’appuie sur les charges en pesant dans lechamp de gravité.

30 598

+ + ++ + + +1 +q +qg1 . 1 .< <

La situation d’une charge + q qui attire unecharge - q peut être visualisée par une barretendue et également courbée vers le haut. En effet,la barre ayant une pression négative est repousséepar le champ de gravité. La barre tire les chargesvers le haut. Ces barres visualisent la réalité del’action gravitationnelle sur l’énergie, et qui serépercute sur les charges. Elles concrétisentl’énergie d’interaction.

I11- - -

- - - -1 +q -qg1 . .<

Les barres peuvent être remplacées par desparticules de champ faisant la navette entre lesdeux charges en ayant une trajectoire voisine de laposition de ces barres.

Cela peut sembler contradictoire (cf § 7 ,chapitre 19 ) d’avoir des particules de massesnégatives repoussées vers le haut et qui pourtanttombent en chute libre dans le champ de gravité,comme tout objet, à cause du principed’équivalence. Comment une particule repoussée versle haut peut-elle tomber vers le bas?

Lorsque nous disons qu’une masse positive attireune masse négative au § 7 du chapitre 19 , ilfaut se méfier du language. Nous voulons direqu’elle tend à la rapprocher d’elle, mais celacorrespond à une force de répulsion ! C’est à direà un gain d’impulsion dans la direction opposée(voir figure 19.2 ). Une attraction géométriquecorrespond à une force de répulsion.

Reprenons ce qui a été dit au § 7 duchapitre 19 mais avec les forces et non plusgéométriquement : on peut alors dire que deuxparticules de masses positives s’attirent, uneparticule de masse positive et une de massenégative se repoussent, et deux particules demasses négatives s’attirent, ce qui contribue à leséloigner !

On peut donc bien visualiser l’attraction desdeux charges avec une particule de charge négativefaisant la navette en passant au dessus du fait desa répulsion par le champ de gravité. Cetteparticule de masse négative est en chute libreentre les deux charges.

31 599

fo r ceI11

F ( - ) F1 +q -qg1 . 1 .< <accé l ération

7. Comme nous l’avons dit à la question 1 , lechamp électrique E est mesuré localement avec deshorloges et des règles étalons locales. Parconséquent, la variation de l’écoulement du tempspropre local avec l’altitude va jouer.

I1 FAq .1 A1 1x 1 < xq . B = O11< FB

Pour le calcul de FA, on place l’origine en B etx < 0 . xComme nous le voyons sur la figure

FA

= - FA .

2 2q q g FA

= -------------------------------------------- - ---------------------------------------------------------------2 24 π ε0 x 4 π ε0 C x

2 2q q g FB

= -------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------2 24 π ε0 x 4 π ε0 C x

et :

2q g∆F = 2 ---------------------------------------------------------------24 π ε0 C x

La moitié vient du poids de l’énergie2 2électrostatique : q g/4 π ε0 C x = me g avec

2 2q /4 π ε0 x = me C . L’autre moitié vient de ladifférence d’écoulement du temps entre A et B (onomet le signe valeur absolue pour x) :

∆τ g x------------ = -----------------τ 2C

d’où une variation du débit de particulesvirtuelles, donc de la force :

∆F ∆τ g x------------- = ------------ = -----------------F τ 2C

2g x q g∆F = F ----------------- = --------------------------------------------------------2 2C 4 π ε0 C x

32 600

Le phénomène qui se passe est exactement le mêmeque celui longuement étudié au § 16 duchapitre 8 . Pour visualiser cela, on peut prendreun tube de section s et de hauteur x.

FA/s = pA ; FB

/s = pB et (formule (8,31)) :

p ∇p = ρ + ---------------- g 2 C

2m e q 1ρ = ----------------- = -------------------------------------------------------- --------------s x 2 s x4 π ε0 x C

2F 1 qp = ---------------- = --------------- ----------------------------------------s s 24 π ε0 x

2 2 FB

- FA

q q∇p = --------------------------------------------------------- = --------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------- gs x 2 2 2 2 4 π ε0 C x s 4 π ε0 C x s

m--------------------------------------------------------------------------.m----------------------------------------------------------------------.2ρ p /C

D’où la valeur de FB

- FA

.

2Intuitivement, ρ = p/C , car globalement, leseul terme de pression est celui correspondant à ladirection verticale, et le tenseurd’impulsion-énergie des photons virtuels a laforme :

2 ρ C 0 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

On sait qu’il est de trace nulle et2ρ C - p = 0 .

8. On a avec des notations évidentes :

1 2 2 2 21 q xB q g q g x B1 - ------------------------------------------- + ------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------1 3 2 2 31 4 π ε0 r0 8 π ε 0 C r 0 8 π ε 0 C r011 2 21 q yB q g x B yBFA 1 - --------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------1 3 2 31 4 π ε0 r0 8 π ε 0 C r 011 2 21 q zB q g x B zB1 - --------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------1 3 2 31 4 π ε0 r0 8 π ε 0 C r 01

33 601

Chapitre 13

13.1 1. Avec des notations évidentes :

G m MF = - ---------------------------------- = m x’’2x

4 3et M = --------------- π x ρ3

Il vient :

4x’’ + --------------- π G ρ x = 03

1 603

. A = O ---------------------------L z1 ⊗ 1 y 1 r 0

1 x<

. B

FA + FB = ∆F est l’écart à la loi de l’action etde la réaction.

2 2 2 q g q g xB ---------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------2 2 3 4 π ε 0 C r0 4 π ε 0 C r 0 2q g x B yB ∆F = 0 + ----------------------------------------------------------------

2 3 4 π ε 0 C r 0 2q g x B yB 0 ----------------------------------------------------------------2 3 4 π ε 0 C r 0

m------------------------------------------------------------------------. m------------------------------------------------------------------------------------.P o i ds d e l ’ é n e r gi e ∆τ / τ

La deuxième force, due à la variation del’écoulement du temps, vaut au premier ordre :

g xB---------------------- FB2C

∆Fτ g xB ∆τ------------------ = ---------------------- = ------------FB 2 τC

Le débit de photons virtuels en B est donc plusgrand, d’où une force plus grande dans la directionde AB.

Résumons nous, on peut écrire simplement :

1 1 ∆τE = EC + --------------- me g - --------------- ------------ EC2 q 2 τ

====================================================================================================

602

Or, l’équation de déviation des géodésiquesdonne :

2d x x 2-------------- = R x C2 0x0dt

x = δx mesure la séparation entre le point M etun point matériel immobile en équilibre en O.et il vient :

x 4 G ρR = - --------------- π ---------------------0x0 3 2C

02. Avec R = 0 , on obtient :000

α G ρR = R = - 4 π ---------------------00 0α0 2C

00et R = - 2 R .

00 1 00 00 8 π G ρ 8 π G 00R - --------------- g R = 2 R = - ------------------------------------------ = - ----------------------------- T2 2 4C C

00 2puisque T = ρ C .

====================================================================================================

Chapitre 14

14.1 Dans le cas de la sphère creuse, on avait :

8 G Mg = --------------- -------------------------- Ω rtθ,r 3 2R C

4 G Met ωi = --------------- -------------------------- Ω ; donc :3 2R C

g1 tθ,rωi = --------------- ---------------------2 r

g 2 J GIci, tθ,r = - ---------------------------2 2C r

J G⇒ ωi = - -----------------------------2 3C r

14.2 En magnétostatique, la loi de force s’écrit :

j ii ∂A ∂A jF = q ---------------- - ---------------- v i j ∂ x ∂ x

La gravitomagnétostatique est la correction à lagravitation newtonienne, proportionnelle à lavitesse de l’objet étudié, lorsque toutes les

2 603

vitesses (objet créant le champ et objet lesubissant) sont faibles devant celle de la lumière.

0i iOn a T = ρ C v , les composantes faisantM

intervenir l’indice i se transformant comme cellesd’un vecteur. On peut donc définir le vecteur :

0T = ρ C v . D’autre part, l’équation (14,9)M

donne, dans le cas statique :

2 -0i 16 π G 0i∇ h = ------------------------------------ T4C

0i -0i 1 0i -et h = h - --------------- η h2

0i -0iOn a donc h = h et :

2 0i 16 π G 0i∇ h = ------------------------------------ T4C

0 0iEn définissant le vecteur h = (h ) , on adonc :

2 0 16 π G 0∇ h = ------------------------------------ T4C

Ecrivons maintenant la loi de force en Relativitégénérale.

Nous paramétrons les géodésiques par le temps tdu référentiel fixe.

2 i k l ji d x i dx dx i dx i 2F = m -------------- = - m Γ ---------- ---------- - 2 m Γ C ---------- - m Γ C2 kl dt dt 0j dt 00dt

Le premier terme est négligeable, le dernier nefait pas intervenir la vitesse. Le terme magnétiqueest donc celui du milieu, or :

i 1 iλ Γ = --------------- η h + h - h0j 2 0λ,j jλ,0 0j,λ

Dans le cas stationnaire (magnétostatique),

h = 0 et il vient :jλ,0

i 1 ii Γ = --------------- η h - h0j 2 0i,j 0j,i

ii 0iη = - 1 et h = - h .0i

Finalement :

0j 0i ji ∂h ∂h dxF = m C -------------- - -------------- ---------- i j dt∂x ∂x

Cette formule, analogue de la loi de force enmagnétostatique, justifie les équations de lagravitomagnétostatique écrites dans l’énoncé de

3 604

l’exercice.

14.3 1. Considérons une charge q de masse m animéed’un mouvement circulaire uniforme autour du point --------L O . Le moment cinétique vaut J = OM ∧ m v ;J =

J

= m v r . Cette charge tournante est, vuede loin, équivalente à une spire parcourue par uncourant I.

dq q q q vI = ---------- = ----------------- = ------------------------- = -------------------------d t T 2 π r 2 π r-------------------------vet le moment magnétique vaut :

q v 2 q v rM = I S = ------------------------- π r = ------------------------2 π r 2

Le rapport gyromagnétique γg est tel que :

q v r---------------------------M 2 qM = γg J ; γg = --------------------- = --------------------------- = ------------------J m v r 2 m

Ce rapport entre le moment magnétique et lemoment cinétique est le même, par sommation, pourtout ensemble de charges en mouvement.

2. Il nous faut calculer le champgravitomagnétique BG créé à la distance r par uneboule tournante de moment cinétique J.

On sait que le champ magnétique créé par uneboule chargée d’une manière uniforme et tournante,à l’extérieur de celle-ci, est celui d’un dipôlemagnétique.

On sait d’autre part que le champ magnétique d’undipôle magnétique est, dans le plan perpendiculaireà l’axe du dipôle et passant par ce dipôle :

µ 0 MB = - ----------------- --------------------4 π 3r

Cela donne, pour une boule tournante, chargéeavec la densité volumique ρ :

µ µ0 J 0 q JB = - ----------------- γg -------------- = - ----------------- ------------------ --------------4 π 3 4 π 2 m 3r r

Nous faisons ensuite la substitution :

16 π Gρ ρ C ; µ - ------------------------------------M 0 4C

Il vient :

2 G JBG = ----------------------------3 3C r

On a ensuite F = m C v ∧ BG , soit :

4 605

2 G Jm r θ’’ = - m C r’ ---------------------------3 3C r

2 G Jθ’’ = - --------------------------- r’2 4C r

14.4 La différence des temps vient de la forcegravitomagnétique tantôt attractive, tantôtrépulsive, ce qui modifie la force centrifugenécessaire pour sustenter le satellite.

Les vitesses sont v+, v-, et v lorsque il n’y apas d’effet magnétique. Les temps sont t+, t- et t.

La différence des chemins parcourus pendant lapériode d’un tour, t, vaut : l = ∆v t avec∆v = v - v+ ; v+ < v ; et l = (t+ - t) v ;t+ > t .

∆vt+ - t = ----------------- tv

2 2(v - ∆v) (v + ∆v)F + m --------------------------------------- = - F + m -----------------------------------------r r

v ∆v2 F = 4 m --------------------- = 2 m C v BGr2 2ce qui donne ∆v = G J/C r .

G J t G J tt+ - t = ---------------------------- --------------- ; t+ - t- = 2 ---------------------------- ---------------2 2 v 2 2 vC r C r

----------------------------- 3t = 2 π √ r /G M ; et v = 2 π r/t .

Il vient alors :

4 π Jt+ - t- = -----------------------------------2C M

14.5 Le champ gravitomagnétique à l’intérieur de lasphère creuse vaut :

2 16 π G BG = --------------- - ------------------------------------ (σ C) R Ω3 4 MC

2or 4 π R σ = M ; il vient :M

8 G M BG = - --------------- ---------------------------------- Ω3 3C R

La force subie par une particule de masse m et devitesse v vaut :

F = m C v ∧ BG = m v ∧ C BG

A l’intérieur d’un référentiel tournant à lavitesse angulaire ω, un corps de masse m est soumisà la force de Coriolis :

5 606

Fc = - 2 m ω ∧ v = m v ∧ 2 ω

et un pendule de Foucault précesse à la vitesse angulaire ωi = - ω . Identifiant F et Fc, lependule précesse à la vitesse angulaire :

C BG C 8 G M ωi = - ------------------------ = - ----------------- - --------------- ---------------------------------- Ω2 2 3 3 C R

4 G M ωi = --------------- ---------------------------------- Ω3 2C R

ce qui est la formule (14,38).

14.6 1. Pour un dipôle magnétique de moment magnétiqueM, on a :

µ µ0 2 M cos θ 0 M sin θB = ----------------- -------------------------------------------------- et B = ----------------- ----------------------------------------r 4 π 3 θ 4 π 3r r

La rotation de l’axe du gyroscope se fera autourde J moment cinétique de la Terre, donc égalementautour de la composante BG du champzgravitomagnétique, l’axe des z étant prisparallèlement à J.

I11 1 B1 B r1 θ 1 1 1 1 1 1 α 1 1 θ-------------------------------------------------------=============== k ============L-----------------------------------------------------------L zM

On obtient donc B = B cos θ + B cos(θ + π/2)z r θµ 2 µ 2

0 2 M cos θ 0 M sin θB = ----------------- -------------------------------------------------- - ----------------- ---------------------------------------z 4 π 3 4 π 3r r

4En faisant la substitution µ - 16 π G/C ;0

ρ ρ C et en tenant compte du rapportM

gyromagnétique (voir exercice 14.3), on obtient :

u o2 G J 1 2 2 1BG = --------------------------- 1 sin θ - 2 cos θ 1z 3 3 1 1C r m .

et, d’après l’exercice 14.5 ωi = - C BG/2 , soit :

6 607

G J 2 2 ωi = ---------------------------- 2 cos θ - sin θ2 3 C r

avec α = π/2 - θ , angle avec le plan équatorial :

G J 2 2 ωi = ω = ---------------------------- 2 sin α - cos αz 2 3 C r

G J 2 ω = ---------------------------- 3 sin α - 1z 2 3 C r

Il nous faut ensuite prendre la valeur moyenne deω sur un tour, l’axe du gyroscope tournantztoujours exactement à la vitesse angulaire ω duzpoint où il est, donc à des valeurs différentessuivant la position par rapport à l’équateur;L’angle final dont aura tourné le gyroscope étantd’autre part l’intégrale de ω .z

1 G J<ω > = --------------- ----------------------------z 2 2 3C r

2 2avec : J = --------------- M R Ω53On a : r = R = 6400 10 S.I. ;

-11 24G = 6.67 10 S.I. ; M = 6 10 S.I. ;8C = 3 10 S.I. ; T = 2 π/Ω = 24 h . On obtient :

-14<ω > = 10 S.I. = 0.065 ’’/anz

Un projet est à l’étude (Université de Stanford,réalisation finale vers 1996) pour l’envoi degyroscopes utilisant la technologie dessupraconducteurs dans un satellite en orbitepolaire basse (Satellite Gravity Probe B). Laprécision prévue de l’expérience est de 0.5milliseconde d’arc par an.

2. Au dessus du pôle, on a α = π/2 et : 2 G Jω = ----------------------------z 2 3C r

dans le même sens que la rotation de la Terre.Au dessus de l’équateur, on a α = 0 et :

G Jω = - -----------------------------z 2 3C r

dans le sens opposé de la rotation de la Terre.Ceci est bien en accord avec les explications

intuitives, faisant appel par exemple au mouvementd’un fluide visqueux, données au paragraphe 13 .

7 608

====================================================================================================

Chapitre 16

2 1216.1 1. rs = 2 G M/C = 2.95 10 m

2. Le temps mis par la lumière pour traverser lequasar est de l’ordre de t = rs/C soitt = 2.7 heures lumières .

Cela permet à des fluctuations globalesd’intensité du quasar (donc d’amplitude du mêmeordre de grandeur que le rayonnement total duquasar) d’avoir lieu dans une telle échelle detemps. Les différents points du quasar peuvent eneffet interagir dans cette échelle de temps

16.2 1. On trouve rs = 8.89 mm.

2.

1∆l = ------------------------------------------------- - 1 l----------------------------------- √ 1 - rs/r

avec l = 40000 km et r = 6400 km , on trouve∆l = 2.8 cm .

16.3 1.

------------ -------------dl v = -------- ; avec dl = √ B dr et dtl = √ A dtl dtl

d’après le paragraphe 21 .

------------------ ---------- B dr 1v = ------------------ --------- = ---------------------------------- (1 - rs/r) C √ rs/ rl √ A dt 1 - r s/r

d’après la formule (16,30).

------------ rsv = C ------------

l √ r

2. Lorsque r L rs , v L C . Ainsi, on retrouvel

le fait que l’horizon de Schwarzschild correspond àun endroit où la vitesse de libération (mesuréelocalement ici) est égale à C! Cela donne donc uneassise rigoureuse au raisonnement del’exercice 7.1 ; d’autant plus que la formule(16,28) est la même que celle trouvée classiquementà l’exercice 7.2 .

En conclusion, la Relativité générale donne uneloi de chute, examinée toujours localement,complètement identique à la loi newtonienne, et

8 609

l’horizon de Schwarzschild correspond bien àl’endroit où la vitesse de libération est égale àla vitesse de la lumière.

En r = rs , on a v = C pour une particulel

matérielle, en contradiction avec la Relativitérestreinte. Cela implique qu’à partir de cetteendroit, l’existence d’un référentiel immobile parrapport à l’extérieur du trou noir est impossible,puisque par rapport à un tel référentiel, on auraitune vitesse supérieure ou égale à C. A l’intérieurde l’horizon de Schwarzschild, il y a unentrainement forcé vers le centre du trou noir detous les référentiels, d’où l’effondrementirréversible de tout ce qui est à l’intérieur del’horizon vers le centre du trou noir. La loi dechute (16,28) est encore valable à l’intérieur dutrou noir, et :

2 3/2∆τ = --------------------------------------------- R---------3 C √ r s

est le temps propre de chute du mobile étudié,depuis la valeur r = R jusqu’au centre du trounoir.

16.4 1.

2 2 2 2 2C dτ = A C dt - B dr donne pour dr = 0

-------------dτ = dtl = √ A dt

et :

----------------------------------------------------------------------------- 2 B drdτ = √ A dt 1 - ---------------------------------------------√ 2 2C A dt

La valeur de v donnée à l’exercice 16.3 permetl

d’écrire :

-------------------------------------------2 2dτ = dtl √ 1 - v /Cl

ce qui est la formule (3,6) qui s’appliqueeffectivement dans un référentiel galiléen local.

2. (16,30) donne :

----------- ----------dr--------- = √ A/B √ rs/r C puis :dt

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ B A 2 r sdτ = √ A dt 1 - -------------------------- ------------------ C --------------√ 2 B rC A

9 610

---------------------------------------------- r s= √ A dt 1 - -------------- = A dt√ r

16.5 L’effet Doppler donne :------------------------------------------------

2 2√ 1 - v / Clνl = ν --------------------------------------------------------------1 + v /C

l------------- -------------

d’autre part dtl = √ A dt donne νl = ν∞ 1/√ Aet :

------------ rsv = C ------------

l √ r

------------------------------------------------2 2------------- √ 1 - v / Cν∞ l------------------- = √ A --------------------------------------------------------------ν 1 + v /C

l

--------------------------------------------------------------------- √ 1 - rs/r 1 - r s/r dτ= √ 1 - rs/ r ------------------------------------------------- = -------------------------------------------------- = ------------------------- --------------- dt∞1 + √ rs/r 1 + √ rs/ r

dτ est l’intervalle de temps propre entrel’émission de deux crêtes d’ondes. dt∞ estl’intervalle de temps observé à l’infini lors de laréception de ces deux mêmes crêtes d’ondes.

------------λ∞ ν 1 + √ r s/ r - 1 + rs/rz = ------------------- - 1 = ------------------- - 1 = ---------------------------------------------------------------------------------------------λ ν∞ 1 - r s/r

-------------rs + √ r r sz = ----------------------------------------------------------r - r s

Lorsque r L rs , on retrouve (16,29) :

2 r sz ------------------------r - rs

16.6 1.

2 2 2 20 = ds = A C dt - B dr

---------- C dt = √ B/A dr

2.

t∞ r∞⌠ ⌠ ---------- C dt = √ B/A dr⌡ ⌡t r

10 611

t∞ + δt∞ r∞⌠ ⌠ ---------- C dt = √ B/A dr⌡ ⌡t + δ t r + δ r

3. La deuxième équation s’écrit, compte tenu dela première :

t r∞ t∞ + δt∞ r∞⌠ ⌠ ---------- ⌠ ⌠ ----------- C dt + √ B/A dr + C dt = √ B/A dr⌡ ⌡ ⌡ ⌡t + δt r t∞ r + δ r

---------- - C δt + C δt∞ = - √ B/A δr

δt = δτ/A

----------δ τ- C ------------------ + C δt∞ = - √ B/A δrA

------------------ ------------1 δ t ∞ B 1 δr 1 rs- ------------------ + ------------------ = - ------------------ ----------------- ---------- = ------------------ ------------A δτ √ A C δτ A √ r

------------ δ t ∞ 1 rs------------------ = ------------------ 1 + ------------ δτ A √ r -----------

rs1 + -----------δ t ∞ √ r------------------ = --------------------------------------------------δτ r s1 - ------------r

formule trouvée dans l’exercice 16.5 .

4. On en déduit, comme dans l’exercice 16.5 :

-----------rs + √ r r sz = ------------------------------------------------r - rs

16.7 1.

r∞⌠ dtt∞ = t + --------- drdr⌡r ( t)

Pour un signal lumineux :

2 2 2A C dt = B dr

11 612

r∞⌠ 1 1t∞ = t + ----------------- ------------------------------- drC rs⌡ 1 - ------------r ( t) r

2. r L rs ; (16,31) donne t L +∞ et on voitque si r = rs , l’intégrale divergelogarithmiquement.

La première divergence correspond au fait quel’objet n’atteint jamais la surface deSchwarzschild; il lui faudrait un temps infini.

La deuxième divergence montre que lorsque l’objets’approche de la surface de Schwarzschild, le tempsmit par les signaux lumineux qu’il envoie pourarriver au poste d’observation éloigné devientégalement infini.

Ces deux effets s’ajoutent pour empêcher de voirl’objet atteindre la surface de Schwarzschild.

3. z = dt∞/dτ - 1 .

dt∞ 1 1 dr(t)---------------- = 1 - ----------------- ------------------------------ --------------------dt C rs dt1 - -----------r(t)

------------dt∞ 1 1 rs rs---------------- = 1 + ----------------- ------------------------------- 1 - ------------ ------------ Cdt C rs r √ r1 - ------------r

------------ rs= 1 + ------------√ r

-----------d t ∞ dt∞ dt 1 + √ rs/ r------------------ = ---------------- ---------- = ---------------------------------------------dτ dt dτ 1 - r s/r

d’où l’on déduit z comme dans les exercicesprécédents.

4.

C t- -------------- = Log(r - rs) + Cters

r∞ r∞⌠ ⌠1 dr 1 r dr ----------------- --------------------------------- = ---------------- ------------------------C 1 - rs/r C r - rs⌡ ⌡r ( t) r ( t)

r∞⌠1 r s dr 1----------------- -------------------------- = - ----------------- rs Log(r - rs) + CteC r - r s C⌡r ( t)

12 613

1t∞ t - ----------------- rs Log(r - rs) + CteC

r s r st∞ = - --------------- Log(r - rs) - --------------- Log(r - rs) + CteC C

2 rst∞ = - ------------------- Log(r - rs) + CteC

----------d t ∞ 2 r s dr 2 r s------------------ = - ----------------------------------- ---------- = --------------------------------------- C √ rs/rdτ C(r - rs) dτ C(r - rs)

dt ∞ 2 r s d t ∞ 2 r s------------------ ------------------------ et z = ------------------ - 1 ------------------------dτ r - rs dτ r - rs

C t∞------------------------2 r sz = Cte × e

Telle est la forme de z en fonction du temps deréception t∞, seule formule vérifiableexpérimentalement.

On voit que la formule fait intervenir un facteur2 par rapport à la formule trouvée au paragraphe 17donnant z en fonction du temps universel d’émissiont.

Cette différence provient du fait que, au fur età mesure que le temps s’écoule et que l’objets’enfonce vers la surface de Schwarzschild, leretard d’arrivée de la lumière augmente. La formuledonnant t∞ contient deux termes égaux : le retardet t, le retard augmentant exactement comme t.

Cela signifie que le signal qui arrive 1 secondeaprès le premier au poste d’observation, a été émispar le mobile 1/2 seconde seulement après lepremier en temps universel, et possède un décalagevers le rouge moins fort que celui du rayonnementémis 1 seconde plus tard en temps universel.

I I I1

e r

e m

11 2 r e t a r d 2.Si g nal Si g n al

1

.u----------------------------------------------------------o u--------------------------------------------------------------------o1 S u r f a ce de 1 1 S u r f a ce de 1Schwar z sch i ld S chwar z sch i l d

----------retard 1---------L

La formule trouvée nous montre cependant que ledécalage vers le rouge du signal reçu croitexponentiellement en fonction du temps deréception, et l’objet disparait donc brutalement àla vue.

13 614

16.8

r∞⌠1 dr----------------- --------------------------------- ; u = rs/r ; r = rs/uC 1 - rs/r⌡r

r sdr = - -------------- du2u

rs/r∞ r s du - ----------------------- rs/r∞2 ⌠1 u r s du----------------- ----------------------------------- = - --------------- ------------------------------------------C 1 - u C 2 ⌡ u (1 - u) rs/rrs/r

1 1 1 1----------------------------------------- = ------------------------- + -------------- + ---------------2 1 - u 2 uu (1 - u) u

rs/r∞u or s 1 1 1= - --------------- 1 - Log(1 - u) - --------------- + Log u 1C 1 u 1m . rs/r

u or s 1 1 - rs/r r∞ r r 1= - --------------- 1 Log --------------------------------- - ----------------- + ------------ + Log ----------------- 1C 1 1 - rs/r∞ r s rs r∞ 1m .

soit, en posant x = r/rs et x∞ = r∞/rs :

u or s 1 1 - 1/x x 1t∞ - t = - --------------- 1 Log ---------------------------------------- - x∞ + x + Log ------------------ 1C 1 1 - 1/x∞ x∞ 1m .

Changeons l’origine des temps en ce qui concernela mesure du temps t∞; on prend alors :

u or s 1 1t∞ - t = - --------------- 1 Log 1 - 1/x + x + Log x 1C 1 1m .et :

----------1 + √ xz = ---------------------------------------------x - 1

--------216.9 1. On obtient : √ a/r= u ; a/r = u ;

2 3r = a/u ; dr = - 2 a/u du

2 a - --------------- du 3 u du ------------------------------------------------ = - 2 a -----------------------------------------------2 4 2 u (1 - u ) u (1 - u )

14 615

1 1 1 1 1---------------------------------------------- = -------------- + -------------- + -------------------------------------------- - ------------------------------------------4 2 4 2 2 (u + 1) 2 (u - 1)u (1 - u ) u u

du 1 1 1 u + 1 ---------------------------------------------- = - ------------------- - --------------- + --------------- Log -------------------------- 4 2 3 u 2 u - 1 u (1 - u ) 3 u

dr ------------------------------------------------------------------------------------------------ =--------------- a a --------------- 1 - --------------- √ r r

u o1 --------------- --------- ---------- 11 3/2 11 1 r r 1 √ r + √ a 1- 2 a 1 - --------------- --------------- - --------------- + --------------- Log -------------------------------------------------------------------- 11 3 a √ a 2 --------- ----------1 11 √ r - √ a 1m .

2.

1 drdt = - ----------------- ----------------------------------------------------------------------------- ∆t = t - t0C ---------- √ rs/r 1 - rs/r

- C t - t0 =

u o1 --------- --------- 12 1 3/2 3/2 1---------------------------------- 1 r - r0 + 3 rs √ r - 3 rs √ r0 1 --------- 1 11 13 √ r s m .

--------- --------- --------- --------- √ r + √ r s √ r0 - √ r s - rs Log --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- --------- --------- √ r0 + √ r s √ r - √ r s

3. Il suffit de faire simplement rs L 0 ; ilreste :

2 3/2 3/2 C (t0 - t) = ---------------------------------- r - r0 --------- 3 √ r s

2 3/2 3/2 t - t0 = --------------------------------------------- r0 - r--------- 3 C √ r s

r0 > r et t > t0

analogue de (16,28). Dans cette dernière formule,on avait pris r = rs , mais la formule s’applique

15 616

pour toute valeur de r. La justification est quelorsque rs L 0 ⇔ r/rs L +∞ , t τ .

4. r rs , il vient :

--------- --------- - C (t - t0) = Cte + rs Log √ r - √ r s

C (t - t0)--------- --------- - -------------------------------------------r s√ r - √ r s = Cte e

--------- --------- --------- --------- --------- --------- --------- √ r - √ r s √ r + √ r s = r - rs √ r - √ r s 2 √ r s

C t- --------------rsr - rs = Cte e

5. En choisissant convenablement l’origine destemps pour t, on peut prendre :

u ---------- o1 ---------- 1-5 1 √ x + 1 2 3/2 1t = 2,46 10 1 Log --------------------------------------------- - --------------- x - 2 √ x 11 ---------- 3 11 1m √ x - 1 .

De même pour t∞ - t :

u o1 1-5 1 1 1t∞ - t = - 2,46 10 1 Log 1 - --------------- + x + Log x 1 x 11 1m .

et t∞ = (t∞ - t) + t avec une origine des tempsjudicieusement choisie.

D’autre part :----------

1 + √ xz = ---------------------------------------------x - 1

On obtient alors le tableau suivant :

------------------------------i-----------------------------------------------------i-----------------------------------------------------i--------------------------------------------------------i---------------------------------------------------i--------------------------------------------------o- 5 - 5 - 4 - 4 - 3z 1 10 1 3 .16 10 1 1 0 1 3 .16 10 1 10 1

------------------------------k-----------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k---------------------------------------------------k--------------------------------------------------l1 0 9 8 7 6x 1 10 1 10 1 1 0 1 10 1 10 1

------------------------------k-----------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k---------------------------------------------------k--------------------------------------------------l1 0 8 7 5t 1 - 1 .6 10 1 - 5 .2 10 1 - 1 . 6 10 1 - 5 .2 10 1 - 16400 1

en s------------------------------k-----------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k---------------------------------------------------k--------------------------------------------------l5 4 3t∞ - t1 - 2 .46 10 1 - 2 .46 10 1 - 2 . 4 6 10 1 - 246 1 - 24 .6 1

en s------------------------------k-----------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k---------------------------------------------------k--------------------------------------------------l1 0 8 7 5t ∞ 1 - 1 .6 10 1 - 5 .2 10 1 - 1 . 6 10 1 - 5 .2 10 1 - 16424 1

en s 1------------------------------k-----------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k---------------------------------------------------k--------------------------------------------------l1 - 519 ans 1 - 16 ans 1 - 6 moi s 1 - 6 jours1-4.6 heures11 1 1 1 1 1

16 617

------------------------------i-------------------------------------------------------i-----------------------------------------------------i---------------------------------------------------i-----------------------------------------------------i--------------------------------------------------o- - 3 - 2 -2z 1 3.17 1 0 1 10 1 3 .26 10 1 0 .11 1 0 .43 1

------------------------------k-------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k---------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------l5 4x 1 10 1 10 1 1001 1 101 1 11 1

------------------------------k-------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k---------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------l-4t 1 - 519 1 - 16 1 - 0 .521 1 - 0 .0171 1- 7 .46 10 1

en s------------------------------k-------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k---------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------l-4t∞ - t1 - 2 .46 1 - 0 .246 1 - 0 .0248 1 - 0 .00259 1- 3 .27 10 1

en s------------------------------k-------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k---------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k--------------------------------------------------lt ∞ 1 - 521 1 - 16 .6 1 - 0 .54 1 - 0 .02 1 - 0 .0011 1

en s 1------------------------------k-------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------,---------------------------------------------------,-----------------------------------------------------,--------------------------------------------------.1 - 8 .7 mn 11 1

------------------------------i--------------------------------------------------i-----------------------------------------------------i----------------------------------------------------i----------------------------------------------------i----------------------------------------------------oz 1 2 .41 1 20 .48 1 200 1 2000 1 20000 1

------------------------------k--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------lx 1 2 1 1 .1 1 1 .01 1 1 .001 1 1 .0001 1

------------------------------k--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------l- 5 - 5 -4 -4 -4t 1- 7,26 10 1 2 .14 10 1 0 .81 10 1 1 .38 10 1 1 .95 10 1

en s------------------------------k--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------l- 5 - 5 -4 -4 -4t∞ - t1- 4.9 10 1 2 .96 10 1 0 .88 10 1 1 .45 10 1 2 .02 10 1

en s------------------------------k--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------k----------------------------------------------------l- 4 - 5 -4 -4 - 4t ∞ 1- 1.21 10 1 5 .1 10 1 1 .70 10 1 2 .84 10 1 4 10 1

en s 1------------------------------,--------------------------------------------------,-----------------------------------------------------,----------------------------------------------------,----------------------------------------------------,----------------------------------------------------.

------------------------------i-------------------------------------------------------i-------------------------------------------------------i-------------------------------------------------------i--------------------------------------------------------i--------------------------------------------------------o7 8 9z 1 200000 1 2000 000 1 2 10 1 2 10 1 2 10 1

------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------l- 8 - 9x 1 1 .00001 1 1 .000001 1 1 .0000001 1 1 + 10 1 1 + 10 1

------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------l- 4 - 4 - 4 - 4 - 4t 1 2 .51 10 1 3 .08 10 1 3 .65 10 1 4 . 2110 1 4 . 79 10 1

en s ------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k---------- -----------------------------------------l- 4 - 4 - 4 - 4 - 4t∞ - t1 2 .59 10 1 3 .15 10 1 3 .72 10 1 4 . 28 10 1 4 . 85 10 1

en s ------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k-------------------------------------------------------k--------------------------------------------------------k---------- ---------------- --------------------l- 4 - 4 - 4 - 3 - 3t ∞ 1 5 .1 10 1 6 .24 10 1 7 .37 10 1 0 . 85 10 1 0 . 96 10 1

en s 1 ------------------------------,-------------------------------------------------------,-------------------------------------------------------,-------------------------------------------------------,--------------------------------------------------------,------------------------------- --------------- .

- 3 - 3 - 3 - 30 .1136 10 0 .1133 10 0 .1131 10 0 .113 10

-30 .057 1 0

L’objet devient brutalement invisible en 1/10000de seconde lorsque son décalage vers le rouge passede 2.41 à 20.48 .

D’autre part, on voit que vers la fin du tableau,t∞ augmente d’environ 0.113 millième de secondepour chaque multiplication par 10 de z. Or :

t∞ -5+ -------------------------------- + t∞/4.9 102 r s /Cz = Cte e = Cte e

donc :

17 618

-5+ ∆t∞/4.9 10-510 = e soit ∆t∞ = 4.9 10 Log 10

-3∆t∞ = 0.113 10 .

De plus, on voit que cet intervalle de temps-3vient pour moitié de ∆t = 0.0565 10 et

-3∆(t∞-t) = 0.0565 10 .

6. 8 mn = 480 s . Les effets de ralentissementdu temps et de contraction des longueurs étantnégligeables dès que l’on est un peu éloigné de lasurface de Schwarzschild, on a donc : r/C 480

-5tandis que rs/C = 2.46 10 . On a donc-5x = 480/2.46 10 = 19512195 s . On obtient donc

-4z = 2.26 10 et t∞ = - 1414003 s . L’instantt∞ = 0 correspond à peu près exactement au momentde l’extinction de l’objet (voir tableau), donc letemps vaut 16.37 jours.

27. v = 2 G M/r

--------- ----------------------- √ r dr = √ 2 G M dt

------------------------------------3/22 r 2 G M--------------- ----------------- = ---------------------- t3 C √ 3C

et l’on obtient t = 16.36 jours.

16.10 On peut penser faire monter l’horloge de façon àce que son temps propre s’écoule plus vite que surterre. Mais si on la fait monter trop haut pendantle temps considéré, on l’accélère trop, ce qui,compte tenu de l’effet de relativité restreinte,ralenti l’écoulement du temps.

La trajectoire optimale qui maximise l’écoulementdu temps propre est celle qui correspond aumouvement de chute libre, la particule étant lancéevers le haut à l’instant ta, de façon à retomberjuste à l’instant tb.

Les particules libres décrivent en effet lesgéodésiques de l’espace-temps d’après leparagraphe 3 du chapitre 12 . D’après lesparagraphes 4 et 5 du chapitre 10 et le § 3 duchapitre 11 ainsi que le § 6 du chapitre 10 cesgéodésiques rendent stationnaire le temps propre etcela correspond à une maximisation. Le chemin detemps propre maximal entre deux évènements est donccelui correspondant au mouvement d’une particulelibre reliant ces deux évènements.

16.11 1. D’après l’élément linéaire de Schwarzschild,pour un objet immobile, on a :

18 619

----------------------------------dτi = √ 1 - rs/ r dt

2. L’équation des géodésiques (16,7) donne pourun objet en orbite circulaire dans le planéquatorial (α = 0) :

2 2 2r dθ A’ C d t - ----------------- ----------- + ------------------------------- ---------- = 0B dp 2 B dp D’autre part (16,5) donne :

2 2 rs 2 2 2 2C dτ = 1 - ------------ C dt - r dθ r Il vient :

22 2 rs 2 2 2 r s 1 C 2C dτ = 1 - ------------ C dt - r ------------- --------------- ---------------- dt r 2 r 2r

2 2 3 rs 2 2C dτ = 1 - ----------------- C dt 2 r

------------------------------------------------------dτc = √ 1 - 3 rs/2 r dt

3. Pour la trajectoire circulaire d’un photon, onsait que le temps propre ne s’écoule pas. Un photonne vieillit pas! Et dτc = 0 donne 3 rs/2 r = 1soit r = 3 rs/2 , ce qui est bien le résultattrouvé au § 15 .

4. (16,7) donne :

22 A’ C 2r dθ = ------------------------- dt2

soit

22 r s C 2r dθ = ------------------- dt

22 r2avec rs = 2 G M/C .

-------------------------- --------------------------3 3 r rdt = --------------------- dθ et T = 2 π ---------------------√ G M √ G M

ce qui est le résultat newtonien!

5. tl étant le temps d’une horloge étalon fixe àla distance r, on a, pour un photon, la vitesse dela lumière mesurée localement étant toujours égaleà C : C = 2 π r/ Tl ; Tl est la période, mesuréelocalement avec une horloge étalon fixe à ladistance r, pour un tour. On a r = 3 rs/2 .

19 620

3 π rs 3 π rsC = -------------------------- Tl = -----------------------------T l C

---------------------------------- ----------puis Tl = T √ 1 - rs/ r = T/√ 3

Il vient :

----------3 √ 3 π rsT = ----------------------------------------------------------------C

D’un autre côté, d’après la question 4 :-------------------------- ---------------------- ----------------------------

3 r 3 rs 3 rs 2T = 2 π --------------------- = 2 π ----------------- ----------------- -----------------------√ G M √ 2 2 √ 2rs C

et on retrouve le même résultat pour T.

6. On a : ------------------------------------------------

√ 1 - 3 rs / 2rτc = τi -------------------------------------------------------------------------------------------------√ 1 - r s/ r

3 rs r s r s τc = τi 1 - ----------------- + ------------- = τi 1 - ------------- 4 r 2 r 4 r

22 G M v G M 2 G Mrs = ------------------------------- ; -------------- = --------------------- ; v = ---------------------2 r 2 rC r

2 G M v τc = τi 1 - ------------------------------------ = τi 1 - --------------------- 2 2 2 r C 2 C

------------------------------------------------2 2τc = τi √ 1 - v / C

ce qui est le résultat de la Relativité restreinte.

16.12 Nous notons simplement v pour v ; v = v ; voirl l

le § 21 pour la définition de v .l

------------------------------------------------2 2ω √ 1 - v / C = Cte ; r/λ = Cte

22 π C ω∞λ = ------------------------------ ; ω = -----------------------------ω v ---------------√ A

2 21 - v / CIl vient : -------------------------------------------------- = CteA

2 2r v r v--------------------------- = Cte ; --------------------- = Cte------------- A√ A

20 621

2 2 2 2(2 r v + 2 r v v’) A - r v A’ = 0

22 v v’ v - -------------------------- A - 1 - ------------------- A’ = 02 2 C C

2 2 v Cv v’ = - 1 - ---------------- A’ -------------------- 2 2 AC

22 2 v 2 2 22 r v A - r 1 - ---------------- A’ C - r v A’ = 0 2 C

22 r A ’ Csoit v = ------------------------------------- ; il vient :2 A

r dθ r dθ 1v = -------------------- = -------------------- ---------------------------d t l d t -------------√ A

2 2 2 dθ v A A’ C----------- = --------------------- = ------------------------- d t 2 2 rr

ce qui est le résultat déjà trouvé.

16.13 1. Dérivons l’équation (16,21) par rapport à q :

2 u o dr d r r s dr 2 d 1 rs 1 1 dr 2 ---------- -------------- = - ------------- ---------- - J --------- 1 1 - ------------ -------------- 1 ---------- dq 2 2 dq dr 1 r 2 1 dq dq r m r .

Compte tenu du lien entre q et τ, on obtient :

2 2d r r s 2 J 3 2 ------------------------------ = - ------------- - ------------------ --------------- rs - r2 2 2 4 2 C dτ r r

(16,17), (16,11) et (16,13) avec (16,20)donnent, en un point où dr/dt = 0 :

4 22 r dθ 1J = --------------------------- ----------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 d t 2 2A C 1 r dθ ------------------ - ------------------------------ -----------A 2 2 d t A Cm--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.+

2et on voit que J dépend de la vitesse et croitavec celle-ci. Finalement :

2 2 2 2d r 1 rs C m J m C 3 F = m -------------- = - --------------- ------------------------------------ - --------------------------------- --------------- rs - r2 2 2 4 2 dτ r r

2. On a bien la somme d’un terme constant et d’unterme dépendant de la vitesse. Remplaçant rs par sa

2valeur, le premier terme vaut - G m M/r ; c’estbien l’attraction newtonienne. Pour le deuxième

21 622

terme, avec r » rs , et dθ/dt faible :

42 r 2J ------------------------ ω

2A C2 2et on obtient m ω r/A m ω r ; c’est bien la

force centrifuge.

3. Pour r supérieur à 3/2 rs , rayon de latrajectoire circulaire de la lumière, on a bien uneforce centrifuge tendant à éloigner l’objet del’astre. Pour r = 3/2 rs , la force centrifugeest nulle quelle que soit la vitesse! Définissantles lignes "droites" de l’espace comme les lignesparcourues par la lumière (définition différente decelle utilisant une ficelle tendue), on peut eneffet considérer que l’objet va en ligne droite!

Pour r < 3/2 rs , la force centrifuge estnégative et propulse l’objet vers l’astre, cette

2propulsion augmentant, comme J , avec la vitesse.

4. Ce comportement inhabituel de la forcecentrifuge dans un champ gravitationnel intense ad’importantes applications en astrophysique.

Ainsi, lorsqu’une masse de gaz tournante secontracte en conservant sa masse et son momentcinétique, elle s’aplatit progressivement sousl’action de la force centrifuge. Mais, dans lesdernières phases de la contraction, lorsque lechamp gravitationnel est très fort, la masse de gazcesse de s’aplatir et au contraire regagne de lasphéricité sous l’action de cette même forcecentrifuge.

====================================================================================================

Chapitre 17

17.1 1.

----------2 √ 2 ^p = ∞ lorsque r0 = ----------------------------------- R3

(17,36) donne :

u o1 ---------------------------------------- ---------------------------------------- 11 2 2 11 3 r 0 1 r 1dτ = 1 --------------- 1 - ---------------- - --------------- 1 - ---------------- 1 dt1 2 √ ^ 2 2 √ ^ 2 11 R R 11 1m .

Le terme entre crochet est celui que l’on trouveau dénominateur dans l’expression de p de laformule (17,39). Il s’annulle pour p = ∞ aucentre. Donc p = ∞ pour r = 0 ⇒dτ = 0 × dt ; λt = ∞ × λτ . Et :

22 623

λt - λτz = ---------------------------------------- = ∞λτ

Le décalage vers le rouge est infini.

2. N’importe quel flux de particules venant del’infini, des neutrinos par exemple, dont on saitqu’ils peuvent traverser sans interagir desquantités énormes de matière, donneront un fluxinfini au centre, le temps ne s’y écoulant plus vude l’extérieur :

Pour un écoulement stationnaire de cesparticules, la conservation du débit aux différentsniveaux donne en effet dNr/dt = Cte (fig. 17.1);dNr est le nombre de particules franchissant lasphère de rayon r pendant le temps dt mesuré àl’infini.

Pour r = 0 on obtient alors :

dN0 dN0 d t----------------- = ----------------- ---------- = Cte × ∞d τ d t dτCe débit infini mesuré localement correspond à un

terme de pression infini dans le tenseurd’impulsion-énergie : débit radial d’impulsionradiale infini.

La pression infinie est bien reliée au fait quele temps ne s’écoule plus, ce qui empêche toutepossibilité "d’équilibrage" d’un flux de particulesvenant du dessus. Ceci correspond tout à fait àl’explication intuitive qui a été donnée au § 16du chapitre 8 .

r dNr

k O

Fig. 1 7 .1

3. (17,36) donne pour r = r0 :

----------------------------------------2 r 0dτ = 1 - ---------------- dt√ ^ 2R

23 624

λr0λ = ----------------------------------------------------------∞ ----------------------------------------2 r 01 - ----------------√ ^ 2R

λ - λ∞ r0 1z = -------------------------------------------- = ----------------------------------------------------------- - 1λ -----------------------------------------r 0 2 r 01 - ----------------√ ^ 2R

----------22 √ 2 ^ r 0 8 1avec r0 = ----------------------------------- R ; 1 - ---------------- = 1 - --------------- = ---------------3 ^ 2 9 9R

et z = 2 .

On retrouve bien le fait, mentionné au § 10 ,que la pression devient infinie au centre avant quel’horizon de Schwarzschild n’existe réellement àl’extérieur de l’astre, c’est à dire avant quez = ∞ . Cela est évident, puisque lorsqu’ons’enfonce dans l’astre, le temps s’écoule de plusen plus lentement. C’est donc au centre de l’astrequ’il s’écoule le plus lentement, et c’est là qu’ilcesse de s’écouler en premier, lorsque la masseaugmente jusqu’à sa valeur critique.

4. Le fait que certains quasars aient un décalagevers le rouge supérieur à 2 implique qu’il ne peuts’agir d’astres en équilibre, le décalage vers lerouge étant supposé d’origine gravitationnel. Ornous avons vu au § 17 du chapitre 16 que ledécalage vers le rouge d’un astre en effondrementgravitationnel n’est pas constant mais évolue aucontraire très rapidement de façon à rendre l’astrebrutalement invisible.

La seule origine possible du décalage vers lerouge des quasars, constant pour chaque quasarétudié, est celle d’un mouvement rapided’éloignement (il n’y a jamais décalage vers lebleu!) qui ne peut s’expliquer que dans le cadre del’expansion de l’univers (voir le chapitre 18). Lefait que ce décalage soit constant implique quetoutes les régions émissives subissent le mêmedécalage. Il ne peut donc pas y avoir, surajouté audécalage vers le rouge cosmologique, un décalagegravitationnel. Les régions émissives doivent doncêtre assez éloignées de la sphère de Schwarzschild.

====================================================================================================

Chapitre 18

18.1 v = 41 × 50 / 3.27 = 627 km/s

24 625

18.2 1.

S⌠⌠⌠ ⌠1 2 1 2 2 2Ec = --------------- ρ v dτ = --------------- ρ H r 4 π r dr2 2⌡⌡⌡ ⌡0

52 SEc = 2 π ρ H ---------------5

2. La solution est donnée par l’équation (17,47).

23. Ec + Ep = 0 ⇒ ρ = 3 H /8 π G .

18.3 On a v(r,t) = H(t) r .1.

∂ρ----------- + div(ρ v) = 0∂ t

.Sdiv(ρ v) = 3 ρ H = 3 ρ --------------Sil vient :

.∂ρ S----------- + 3 ρ -------------- = 0∂ t S

et on retrouve (18,23) avec p = 0 .

2. L’équation d’Euler s’écrit :

∂v G 4 3---------- + (v ∇) v = - ----------------- --------------- π ρ r u∂ t 2 3r

H x ∂ ∂ ∂ (v ∇) v = (H x ---------- + H y ---------- + H z ---------- ) H y∂x ∂y ∂z

H z On obtient, en x :

. 2 4H x + H x = - --------------- π G ρ x3.or H = S /S ; il vient :

.. .2 .2S S S 4-------------- - --------------- + --------------- = - --------------- π G ρS 2 2 3S S

.. 4S = - --------------- π G ρ S3

Partons maintenant de (18,22) que nous dérivons :

. .. 8 π G . 2 16 π G .2 S S = ----------------------------- ρ S + ---------------------------------- ρ S S3 3

compte tenu de l’équation de continuité, on arrivebien à la même équation différentielle en S.

-27 3 -318.4 1. On trouve ρc = 3 10 kg/m ; np 2 m .

25 626

2 61 32. V = π d h/4 = 6.65 10 m ;

41M = 3.98 10 kg ; il vient :-21ρ = 5.98 10 .

voie lactée3.

-7 3(10 ) -28ρ = ρv.l. × ------------------------- 6 10-1410

ρ-------------- 0.2 ; q0 0.1ρc

Cette valeur de q0 est, en ordre de grandeur,proche de 0.5 , la valeur de q0 pour un espaceplat. La présence de matière cachée peut doncamener q0 à la valeur de 1/2 .

18.5 1. 1.086 (1 - 1/2) z - 1.086 (1 - 0.1) z = - 1

z = 2.3

L’objet est plus lumineux dans le cas de l’espaceplat.

2. (18,98) donne :

3/2t = 16/(3.3) = 2.67 G.a.l.

t0 - t1 = 13.3 milliards d’années lumières.

3. Il faut donc sonder l’univers très loin pouravoir une différence d’éclat significativepermettant de trancher.

18.6

21/2 z z(1 + z) = 1 + --------------- - --------------2 8

il reste à diviser en puissance croissante2z + z /4 par 1 + z et on trouve :

C 3 2 r1 = ----------------------------- z - --------------- zS0 H0 4 ce qui est (18,55) avec q0 = 1/2 .

18.7

-------------------------------------------------- 2 2q0 z√ 1 + 2 q0 z = 1 + q0 z - ------------------------2

d’où la valeur de dL .

18.8 k = - 1 ; q0 < 1/2 .

26 627

r1⌠ dr -------------------------------------------- = Argsh r1------------------------------⌡ 20 √ 1 + r

En effet :y = Argsh x ⇒

dy 1---------- = ---------------------------------------------dx -------------------------------2√ 1 + x

(18,78) donne :

⌠ - 1/2⌠ C dt C 1 2 q0 -------------------- = ------------------------------------- ----------------- 1 - 2 q0 + ------------------- dx⌡ S( t ) S H0 x ⌡ S0 ---------------S0

⌠ -1/21 dx 2 q0 = C --------------------------- ---------- 1 - 2 q0 + ------------------- dxS0 H0 x x ⌡

1 - 2 q0ch ψ - 1 = -------------------------------------- xq0

⌠ 1 1 (ch ψ - 1)= C --------------------------- --------------- q0 ------------------------------------------------------------- dψS0 H0 x 3 / 2⌡ (1 - 2 q0)---------------------------------------

= ψ(t0) - ψ(t1) ; car C = H0 S0 √ 1 - 2 q0(d’après (18,74))

1 - 2 q0 1 - 2 q0 1 = Argch 1 + -------------------------------------- - Argch 1 + -------------------------------------- -------------------------- q0 q0 1 + z (18,19) donne :

u o1 1 - 2 q0 1 1 - 2 q0 1 r1 = sh 1 Argch 1 + -------------------------------------- 1 1 + -------------------------------------- -------------------------- q0 1 q0 1 + z m .

u o1 1 - 2 q0 1 1 1 - 2 q0 - sh 1 Argch 1 + -------------------------------------- -------------------------- 1 1 + --------------------------------------1 q0 1 + z 1 q0 m .

----------------------------2sh (Argch x) = √ x - 1

On obtient la même chose qu’au § 40 avec unchangement de signe sous la racine carrée.

u ---------------------------------------1 1r1 = ----------------------------------------------- 1 √ 1 - 2 q0 (q0 z + 1 - q0)2 1q0 (1 + z) m

-------------------------------------------------- --------------------------------------- o1- √ 1 + 2 q0 z √ 1 - 2 q0 (1 - q0) 11.

2 2 2et (18,74) avec - C = S0 H0 (2 q0 - 1) redonnebien (18,95).

27 628

18.9 Compte tenu de ce qui a été dit au § 7 duchapitre 18 , nous avons :

B ’R = - ------------------rr r B

puis, avec l’équation de la fin du § 20 duchapitre 18 :

. 2 . . . 2B S S 2 S R = - ------------------ - -------------------------------------- ---------------------- + ---------------------------rr r B 2 2 2 2 1 - k r C S C S

2 . . . 22 k S S 2 S R = - -------------------------------------- - -------------------------------------- ---------------------- + ---------------------------rr 2 2 2 2 2 1 - k r 1 - k r C S C S

L’équation du champ en r-r s’écrit donc :

2 . . . 2 2 . .2 k S S 2 S 1 S 6 k 6 S- -------------------------------------- - -------------------------------------- ---------------------- + --------------------------- + --------------- -------------------------------------- ---------------- + -----------------------2 2 2 2 2 2 2 2 21 - k r 1 - k r C S C S 1 - k r S C S

. 2 26 S 8 π G p S+ --------------------------- = - ----------------------------- --------------------------------------2 2 4 2C S C 1 - k r

2 .. .2 8 π G 2k C + 2 S S + S = - ----------------------------- p S2C

(18,22) donne alors :

8 π G 2 8 π G 2 ..----------------------------- ρ S + ----------------------------- p S = - 2 S S3 2C

D’autre part, la dérivée de (18,22) donne :

2.. 8 π G . S 8 π GS = ----------------------------- ρ -------------------- + ----------------------------- ρ S3 . 32 S

Il vient :..8 π G 8 π G 2 S 8 π G . S 8 π G----------------------------- ρ + ----------------------------- p = - ----------------- = - ----------------------------- ρ --------------- 2 ----------------------------- ρ3 2 S 3 . 3C S

soit :.. p Sρ + 3 ρ + ---------------- -------------- = 0 2 SC

Ainsi, l’équation du champ en r-r avec celle ent-t , nous donne l’équation dynamique (18,23)comme prévu.

18.11 1. On obtient :

28 629

.. 4 π G 3 p S = - ----------------------------- ρ + ----------------- S3 2 C.. 22. S = - G M/S = - 4/3 π G ρ S .

2On voit qu’il s’ajoute à ρ le terme 3 p/Cmontrant bien que les trois composantes de pressiondu tenseur d’impulsion-énergie agissentgravitationnellement.

3. Dans le cas du faux vide :

42 Λ Cp = - ρ C = - --------------------------------- < 08 π G. . . 2(18,23) donne alors ρ = 0 , puis p = - ρ C = 0

4. -------------------------------2√ Λ C /3 tS = Cte e

L’exponentielle d’exposant négatif disparait eneffet rapidement.

La pression négative se comporte d’une manièrerépulsive du point de vue gravitationnel, d’où unepériode d’expansion exponentielle de l’universappelée inflation.

====================================================================================================

29 630

I N D E X

A L P H A B E T I Q U E

Aberration (- de la lumière 53)Action (208)Affine (espace - 189)Aharonov (expérience d’- 85)Amas (- de la vierge 506)Amas globulaires (528)Amas ouverts (528)Analogie (- des formules del’Electromagnétisme et de laRelativité générale 541)Anneau (- d’Einstein 411)Année lumière (504)Anthropique (principe - 489)Antiparticules (48)Approximation linéaire (- de lagravitation 282)Aspect (expérience d’- 48, 102)Atlas (222)

Barres (les deux - 14, 50, 279,285, 286, 335)Bell (inégalités de - 48, 100,102)Berkeley (94)Berthelot (95)Boîte (- aux deux photons 42,91, 163)Bianchi (identité de - 244)Big Bang (314, 485)Birkhoff (théorème de - 389,449, 494)Bord (- du domaine 251)Brans-Dicke (théorie de - 112,348, 533)Bunge (Mario - 96)

Carte (221)Champ (équation du - d’Einstein143, 314, équation du - deNewton 304, - scalaire 533)Chandrasekhar (masse de - 446)Christoffel (symboles de - 193)Cobe (satellite - 526)Coefficients (- de connection231)

Collapse (- gravitationnel 404)Composantes (- d’un tenseur 59)Composition des vitesses (loide - 6, 33)Comptage (- d’objets lointains522)Comte (Auguste - 95)Conclusion (- sur la relativité540)Connexe (simplement - 100)Connexion (- riemanienne 227)Constante (- cosmologique 314,- de Hubble 471))Constants (champsgravitationnels - 274)Contraction (- des longueurs24, 130, 282, - d’un tenseur74)Contrainte (tenseur des- 156, 159)Contravariant (27, 59, 195)Convention (- d’Einstein 25)Coordonnées (- curvilignes 190,- de Gauss 454, - d’unévènement 19, - galiléennes 32,- galiléennes types 32,- quasi galiléennes 387),- rectilignes 190, 237)Copernic (principe de - 461,référentiel de - 5)Coriolis (force de - 97)Courbure (- scalaire 242, 248)Covariant (13, 27, 59, 195)Covariante (dérivée - 76)Critère (- de tensorialité 60)

Dalembertien (84)De Broglie (relation de - 53)Décalage (- vers le rougecosmologique 473, - dans unchamp de gravitation 121)Décélération (paramètre de- 488, 517)Déformation (- d’un référentielgaliléen 293)

631

Dérivation (- covariante 177,- d’un champ de tenseur 76)Dérivée (- covariante 76, 196,199, - dans une direction 193)Désintégration (- du neutron50)Déviation (- de la lumière120, 288, 402, 406, - desgéodésiques 247, 308)Diagramme(- d’Hertzsprung-Russel 527,- pression-volume 214)Diamètre (- angulaire apparent524)Différentielle (- d’un champ devecteur 71)Différentielle extérieure (301)Distance (- lumineuse 498)Distances (272)Divergence (78, 154, 177, 200,217, 220)Doppler (effet - 54)Dual (espace - 62)Duale (base - 62)Duhem (95)Durées (269)Dynamique (équation - 433, loi- 143, 257)

Ecoulement (- du temps 275)Effet (- de gravitomagnétisme346, - de marée 312,- d’entrainement desréférentiels d’inerties347, - magnétique de lagravitation 104, - Scott 506)Einstein (équation du champd’- 143, 314)Einstein - de Sitter (466, 532)Elément de volume (214)Elément linéaire (38, 117, 205,- de Schwarzschild 387)Energie (39, 96,- gravitationnelle négative105, 446, localisation del’- gravitationnelle 371)Entrainement (effet d’- desréférentiels d’inertie 347)Equation (- d’Euler 169, - deLagrange 209, - de TolmanOppenheimer Volkov 438, - duchamp d’Einstein 143, 314, - deNewton 304, - dynamique 433,- linéaire du champ 332)Ere (- de Planck 487)Espace (271, - affine 189, - de

Minkowski 28, - fibré 231,- plat 32, 233, - vectorieltangent 223)Etalon (horloge - 18)Euler (équation d’- 169)Evènement (18)

Facteur (- d’échelle 462, 465)Feynman (diagramme de - 48,364)Fibré (espace - 231)Flèche (- du temps 455)Fluide (- parfait 165)Force (9, 43, loi de - 143,303, 432)Forme (- bilinéaire symétrique61, - linéaire 62, - réduite206)Foucault (pendule de - 97)Friedmann (484, modèles de- 477)Fubini (théorème de - 251)

Galaxies lointaines (98)Galilée (transformation de - 5)Galiléen (référentiel - 5, 106,114, 346, 347)Galiléennes (coordonnées - 32)Gauss (138, 234, 454)Géodésique (117, 225)Gravitation (- newtonienne 333)Gravitomagnétisme (effet de- 346)Gravitomagnétostatique (356)Graviton (105, 317, 333)Gödel (348)

Hélicité (49)Hertzsprung-Russel (diagrammed’- 527)Horizon (391, 532)Horloge (136)Horloges étalons (18)Hubble (constante de - 471)Hume (95)Huygens (principe d’- 146)Hydrostatique (équation del’- 172)Hyperbolique (mouvement - 54)

Idéalisme (95)Impulsion (8, 37, 151, 152,540, 599)Indice (- de réfraction 146,- de ligne et de colonne 59, 68)Induction (95)

632

Inertie (loi de l’- 5, théorèmed’- de Sylvester 206)Inertiel (référentiel - 6)Inflation (314, 471, 489, 532)Intervalle (31)Invariance (- de jauge del’électromagnétisme 83, - de lacharge électrique 51, - de lanotation différentielle 192)Invariant (- adiabatique11, 475)

Jacobien (216)Jauge (- de Lorentz 84, 330,espace jaugé 214)Jumeaux (paradoxe des - 552)

Kronecker (symbole de - 27)

Lagrange (équation de - 208,209)Langevin (paradoxe "desjumeaux" de - 212, 552)Laplacien (200, 220)Lense et Thirring (effet de- 347)Lentille gravitationnelle (411)Lienard et Wiechert (potentielsde - 86)Linéaire (non - 105)Linéarisée (équation - du champ332)Linéarité (- de l’interaction10)Localisation (- de l’énergiegravitationnelle 371)Loi (- de force 143, 260, 303,317, 432, - dynamique 143, 247,257, 317)

Mach (principe de - 93, 94,347, 462)Magnétique (effet - de lagravitation 102)Magnitude (502)Marée (effet de - 312)Masse (caractère absolu de la- 101, - de Chandrasekhar 446)Masse-énergie (42, 91)Masse gravitationnelle (89,- active 377, - passive 261,387)Masse inerte (89, 261, 377,387)Masse négative (151, 182, 539,599)

Masse volumique (- critique487)Matière cachée (524, 525)Matrice (- de passage 58)Métrique (- de RobertsonWalker 462, - de Schwarzschild387)Milne (139)Mirages gravitationnels (411)Mixte (tenseur - d’ordre deux65)Module (- de distance 504)Multiplication contractée (75)

Négative (énergiegravitationnelle - 105, masse- 151, 182, 539, 599)Newton (équation du champ de- 304)Non linéarité (- de l’équationdu champ 316)Nordtvedt (effet - 112)

Onde gravitationnelle (102,332)Opérateur (- de dérivation 192)Ordre (- d’un tenseur 59)

Paramètre (- de décélération488, 517)Parité (49)Parsec (504)Penrose et Hawking (théorème de- 486)Petrov (notation de - 243)Planck (ère de - 487)Plat (espace - 32, 233, espacetemps - 32)Popper (1, 96)Positivisme (94)Postulat (- de Weyl 459)Poynting (180)Précession (- du périhélie 411)Pression-volume (diagramme- 214)Principaux (rayons de courbures- 573)Principe (- anthropique 489,- cosmologique 459, - deCopernic 461, - de covariancegénéralisée 118, - de l’inertie8, - de Mach 94, 347, 462,- d’équivalence 111, - derelativité de Galilée 7, - deRelativité restreinte 17)Produit scalaire (29, 60)

633

Produit tensoriel (71)Projection (opérateur - 73)Pseudo-euclidien (30)Pulsar (333)

Quadrivecteur (24, - impulsionénergie 40, 368, 375)Quadrivecteur déplacement (28)Quadrivecteur d’onde (549)Quadrivecteur force (44)Quadrivitesse (37)Quantifiée (charge - 51)Quanton (96)Quasars (129, 522)

Rayon de Schwarzschild (128,389)Réalisme (95)Réduite (forme - 206)Référentiel (269, - au repos 6,- de Copernic 5, - de reposmacroscopique 164, - du centred’inertie 41)Référentiels (- galiléens oud’inertie 5, 106, 114, 346,347, - inertiels 6)Relativité (principe de - deGalilée 5)Repère mobile (193)Repère naturel (190)Ricci (identité de - 206,tenseur de - 241)Riemann (235)Robertson-Walker (métrique de- 462)

Schwarzschild (métrique de- 387, rayon de - 128, 389,solution de - 379, 387,solution intérieure de - 429)Scott (effet - 506)Seconde (134)Seyfert (130)Shapiro (140, 416)Signature (206)Simultanéité (273)Solide (47, 134, 138, 139)Solution (- intérieure deSchwarzschild 429)Stationnaires (champsgravitationnels - 274)Stokes (250, 321)Supernovae (446)Sylvester (théorème d’inertiede - 206)Symbole (- de Christoffel 193,

- de Kronecker 27)Symétrie (49, - de g 61)Système (- au repos 6, - decoordonnées 5, 189, - dulaboratoire 42)

Tangent (espace vectoriel- 223)Temps (- d’univers ou universel275, 380, écoulement du - 275)Temps cinématique (140)Temps cosmique (459)Temps dynamique (140)Temps local (278)Temps propre (23)Tenseur (57, 59, 64,- à trace opposée 330,- composantes d’un - 66, - descontraintes 156, 159,- d’impulsion - énergie 144,149, - d’impulsion énergie duchamp de gravitation 365- d’impulsion énergie du champélectromagnétique 178)Tenseur de courbure (231)Tenseur d’Einstein (244)Tenseur de Kronecker (70)Tenseur de Minkowski (62)Tenseur de Ricci (241, 461)Tenseur de Weyl (461)Tenseur électromagnétique (57,59)Tenseur métrique (60, 205)Tenseur mixte (59)Théorème (- de Birkhoff 389,449, 494, - de Penrose etHawking 486)Tolman (équation de -Oppenheimer Volkov 438)Tolman Oppenheimer Volkov(équation de - 437)Tore (255)Trace (- d’une applicationlinéaire 74, - du tenseurd’impulsion énergie 167)Tractrice (248)Transformation (- de Galilée 5,- de Lorentz de l’arrière plan328, - spéciale de Lorentz 21)Transport parallèle (226)Trou noir (121, 391, 446)Type (base - 30, 206,coordonnées - 32, 206, - departicule 150)

Unité astronomique (504)

634

Variance (64)Variété (- différentiable221, - riemanienne 116, 224,257)Vecteur libre (236)Vecteur tangent (222)Virtuel (9, 48)Volume (214)Volume (élément de - 214)

Weyl (postulat de - 459,tenseur de - 461)

635

636

T A B L E D E S M A T I E R E S

Introduction......................................... 1

CHAPITREI. La Mécanique newtonienne........................ 5

§ 1 Les référentiels galiléens................................ 5§ 2 La transformation de Galilée, le Principe de re. de G..... 5§ 3 Mesure de la masse et de la force......................... 8§ 4 Addition des forces....................................... 9§ 5 Interprétation de la loi d’addition des forces............ 9

Exercices............................................ 11

CHAPITREII. Difficultés de la Mécanique newtonienne......... 13

§ 1 Vitesse des particules................................... 13§ 2 Le problème de l’électromagnétisme........................ 13§ 3 Expérience des deux barres................................ 14

CHAPITREIII La Relativité restreinte : Cinématique.......... 17

§ 1 Le principe de Relativité restreinte...................... 17§ 2 Coordonnées d’un évènement................................ 18§ 3 La transformation spéciale de Lorentz..................... 19§ 4 Relativité de la simultanéité............................. 22§ 5 Dilatation des temps...................................... 22§ 6 Temps propre.............................................. 23§ 7 Contraction des longueurs................................. 24§ 8 Les quadrivecteurs........................................ 24§ 9 Le produit scalaire....................................... 29§ 10 Conclusion................................................ 30

Exercice............................................. 33

CHAPITREIV La Relativité restreinte : Mécanique........... 35

§ 1 Abandon de l’impulsion newtonienne........................ 35§ 2 L’impulsion relativiste................................... 36§ 3 Création d’une particule massique......................... 40§ 4 La force en Mécanique relativiste......................... 43§ 5 Quadrivecteur force....................................... 44§ 6 Travail de la force....................................... 45§ 7 Vitesse limite des particules matérielles................. 46§ 8 Vitesse limite de toutes les interactions................. 46§ 9 Les antiparticules........................................ 48§ 10 Le problème des deux barres............................... 50§ 11 Calcul de la force électromagnétique dans les deux ref.... 51

1 637

Exercices............................................ 53

CHAPITREV Electromagnétisme relativisteCalcul tensoriel................................ 57

§ 1 Introduction.............................................. 57§ 2 Le tenseur électromagnétique.............................. 57§ 3 Critère de tensorialité................................... 60§ 4 Egalité de deux tenseurs.................................. 60§ 5 Le tenseur métrique....................................... 60§ 6 Les formes linéaires...................................... 62§ 7 Les tenseurs.............................................. 64§ 8 Identification d’un t. mix. d’ordre 2 à une app.lin....... 65§ 9 Enlèvement d’une covariance d’un tenseur.................. 65§ 10 Composantes d’un tenseur.................................. 66§ 11 Combinaison linéaire de deux tenseurs..................... 67§ 12 Abaissement et élévation d’indices........................ 67§ 13 Produit tensoriel......................................... 71§ 14 Contraction............................................... 74§ 15 Règle d’enlèvement d’une variance avec les composantes.... 74§ 16 Dérivation d’un champ de tenseur.......................... 76§ 17 Electromagnétisme relativiste............................. 79§ 18 Effets magnétiques des courants électriques et relativité. 81§ 19 Ce qui intervient : le quadrivecteur courant.............. 82§ 20 Invariance de jauge de l’électromagnétisme................ 83§ 21 Création du quadrivecteur potentiel par le qua.vect. cour. 83

Exercices............................................ 86

CHAPITREVI Difficultés de la Relativité restreinte......... 89

§ 1 Introduction.............................................. 89§ 2 Egalité de la masse inerte et de la masse grav............ 89§ 3 Vérification expérimentale de l’égalité entre mi et mg.... 90§ 4 La boîte aux deux photons................................. 91§ 5 Nécessité de cette égalité................................ 92§ 6 Unification de l’inertie et de la gravitation............. 93§ 7 La force centrifuge et le principe de Mach................ 94§ 8 La philosophie positiviste................................ 94§ 9 La force de Coriolis et le principe de Mach............... 97§ 10 Difficulté d’une théorie complètement machienne........... 99§ 11 Relativité du mouvement de rotation....................... 101§ 12 Interaction gravitationnelle et relativité................ 102§ 13 Difficulté du concept de référentiel galiléen............. 106§ 14 Expérience des deux barres................................ 108

CHAPITRE VII Introduction à la Relativité générale........... 111

§ 1 Le principe de relativité générale........................ 111§ 2 Les référentiels galiléens en Relativité générale......... 114§ 3 L’espace-temps : une variété riemanienne.................. 116§ 4 Le principe de covariance généralisée..................... 118§ 5 Etude d’une fusée......................................... 120§ 6 Vérifications expérimentales.............................. 123§ 7 Déca. vers le r. par le principe de cons. de l’énergie.... 125§ 8 Etude du disque tournant : le temps....................... 127

2 638

§ 9 Etude du disque tournant : l’espace....................... 130§ 10 Rôle de la M.Q. pour les étalons de longueurs et de temps. 134§ 11 Les étalons de temps et de longueurs...................... 136§ 12 Deux temps différents?.................................... 139§ 13 Effet Shapiro : retard des échos radars................... 140§ 14 La loi de la gravitation en Relativité générale........... 143

Exercices............................................ 146

CHAPITREVIII Propriétés du tenseur d’impulsion-énergie....... 149

§ 1 Définition générale du tenseur d’impulsion-énergie........ 149§ 2 Autre formulation pour le tenseur d’impulsion-énergie..... 151§ 3 Impulsion-énergie d’une particule de masse négative....... 151§ 4 Tenseur d’impulsion-énergie le plus général............... 152§ 5 Propriétés du tenseur d’impulsion-énergie................. 152§ 6 Interprétation des différentes composantes du T.I.E....... 155§ 7 Lien avec le tenseur des contraintes...................... 156§ 8 Description des forces à distance......................... 159§ 9 Condition de l’équilibre d’un solide...................... 160§ 10 Valeur moyenne du tenseur T.I.E........................... 161§ 11 La boîte aux deux photons................................. 163§ 12 T.I.E. d’un fluide parfait au repos.................... 164§ 13 Formulation indépendante du système de coordonnée......... 166§ 14 Trace du tenseur d’impulsion-énergie...................... 167§ 15 Equation d’Euler d’un fluide parfait relativiste.......... 169§ 16 Interprétation de "l’inertie" de la pression.............. 170§ 17 Equilibre gravitationnel d’une étoile..................... 174§ 18 L’énergie gravitationnelle................................ 175§ 19 Cas d’une étoile.......................................... 176§ 20 Valeur moyenne du T.I.E. dans un champ de gravitation..... 176§ 21 T.I.E. du champ de gravitation............................ 177§ 22 T.I.E. du champ électromagnétique......................... 178§ 23 Etude d’un condensateur plan.............................. 181§ 24 Energie et particules de masses négatives................. 182§ 25 Etude d’une barre tournante............................... 184§ 26 Etude d’une barre élastique............................... 185

Exercices............................................ 187

CHAPITREIX Analyse tensorielle en espace affine............ 189

§ 1 Introduction.............................................. 189§ 2 Espace affine sur un espace vectoriel..................... 189§ 3 Système de coordonnées.................................... 189§ 4 Repère naturel associé à un système de cor. curv.......... 190§ 5 Changement de coordonnées curvilignes..................... 194§ 6 Dériv. cov. d’un vecteur dans un repère mobile............ 196§ 7 Dérivation covariante d’une forme linéaire " "........... 197§ 8 Dérivation covariante d’un tenseur quelconque............. 198§ 9 Propriétés des symboles de Christoffel.................... 199§ 10 Calcul de la divergence et du laplacien en coor. curv..... 200§ 11 Equation des droites...................................... 200§ 12 Exemple en coordonnées polaires........................... 201

Exercice............................................. 203

3 639

CHAPITREX Analyse tensorielle dans un espace affinemuni d’un produit scalaire...................... 205

§ 1 Le tenseur métrique....................................... 205§ 2 Calcul des symboles de Christoffel........................ 206§ 3 Exemple en coordonnées polaires du plan................... 207§ 4 Les équations de Lagrange................................. 208§ 5 Les droites comme chemins d’intervalle stationnaire....... 209§ 6 Les droites, chemins de longueur minimale................. 210§ 7 Cas de l’espace pseudo-euclidien.......................... 210§ 8 Cas des intervalles du genre espace....................... 212§ 9 Cas des intervalles du genre lumière...................... 213§ 10 Volume d’un domaine....................................... 213§ 11 Volume en coordonnées curvilignes......................... 216§ 12 Expression de la divergence............................... 217

Exercices............................................ 220

CHAPITREXI Les variétés différentiables.................... 221

§ 1 Définition d’une variété.................................. 221§ 2 Espace vectoriel tangent.................................. 222§ 3 Variétés riemaniennes..................................... 224§ 4 Transport parallèle d’un vecteur.......................... 226§ 5 Stabilité des opérations.................................. 227§ 6 Transport parallèle d’un tenseur.......................... 228§ 7 Conservation du produit scalaire.......................... 228§ 8 Transport parallèle d’un vecteur le long d’une courbe..... 229§ 9 Transport parallèle d’un tenseur.......................... 235§ 10 Champ de vecteurs obtenu par transport parallèle.......... 235§ 11 Vecteur libre sur la variété.............................. 236§ 12 Coordonnées associées à une base de vecteurs libres....... 237§ 13 Structure d’espace affine de la variété................... 238§ 14 Utilisation des formules dans une variété riemanienne..... 240§ 15 Propriétés algébriques du tenseur de courbure............. 240§ 16 Nombre de composantes indépendantes....................... 242§ 17 L’identité de Bianchi..................................... 244§ 18 Le tenseur d’Einstein..................................... 244§ 19 Déviation des géodésiques................................. 246§ 20 Courbure de la sphère..................................... 248§ 21 La tractrice.............................................. 248§ 22 Formule de Stokes......................................... 250§ 23 Interprétation de la formule de Stokes.................... 252

Exercices............................................ 255

CHAPITREXII Loi dynamique en Relativité générale............ 257

§ 1 Introduction.............................................. 257§ 2 L’espace-temps une variété différentiable riemanienne..... 257§ 3 Trajectoire d’une particule libre......................... 260§ 4 Trajectoire d’une particule en interaction................ 260§ 5 Tenseur d’impulsion-énergie dans un espace courbe......... 262§ 6 Etude du disque tournant.................................. 264§ 7 Equation des géodésiques.................................. 265§ 8 Conclusion................................................ 267

4 640

§ 9 Signification des coordonnées............................. 268§ 10 Les durées................................................ 269§ 11 L’espace.................................................. 271§ 12 Les distances............................................. 272§ 13 La simultanéité........................................... 273§ 14 Champs stationnaires, champs constants.................... 274§ 15 Lien entre tenseur métrique et forces de gravitation...... 275§ 16 Le problème des deux barres (barre immobile).............. 279§ 17 Contraction des longueurs dans un champ de gravitation.... 282§ 18 Barre défilant, particule immobile........................ 285§ 19 Barre et particule défilant............................... 286§ 20 Déviation de la lumière dans un champ de gravitation...... 288§ 21 Influence de la contraction des longueurs................. 289§ 22 Déformation d’un référentiel galiléen..................... 293

Exercices............................................ 298

CHAPITREXIII Loi de force en Relativité générale............. 303

§ 1 Introduction.............................................. 303§ 2 Indication sur la forme des équations..................... 303§ 3 Cas limite de l’espace plat............................... 304§ 4 L’équation du champ en espace vide........................ 305§ 5 Utilisation du tenseur de courbure........................ 305§ 6 Utilisation de la déviation des géodésiques............... 308§ 7 Calcul à la surface de la Terre (effet de marée).......... 310§ 8 L’équation du champ en espace non vide.................... 312§ 9 Analogie avec l’électromagnétisme......................... 315§ 10 Accord des deux cas (vide, non vide)...................... 315§ 11 Non linéarité de l’équation du champ...................... 316§ 12 La loi dynamique est contenue dans la loi de force........ 317§ 13 Lien entre le T.I.E. et le quadrivecteur d’I.E............ 320§ 14 L’EQ. du champ contient l’EQ. des géodésiques............. 322

Exercice............................................. 325

CHAPITREXIV Approximation linéaire de l’équation du champ... 327

§ 1 Introduction.............................................. 327§ 2 Approximation linéaire.................................... 328§ 3 La jauge de Lorentz....................................... 330§ 4 Les ondes gravitationnelles............................... 332§ 5 Gravitation newtonienne................................... 333§ 6 Le problème des deux barres............................... 335§ 7 Un problème d’électrostatique............................. 338§ 8 Retour au disque tournant................................. 340§ 9 Champ à l’intérieur d’une sphère creuse.................. 342§ 10 Relativité générale et principe de Mach................... 347§ 11 Champ d’un astre tournant................................. 349§ 12 Recherche d’une orbite circulaire......................... 351§ 13 Effet d’entrainement des référentiels d’inerties.......... 352

Exercices............................................ 356

CHAPITREXV L’énergie gravitationnelle...................... 359

§ 1 Retour à l’approximation linéaire......................... 359

5 641

§ 2 Interprétation physique................................... 360§ 3 Lien avec l’énergie gravitationnelle...................... 361§ 4 L’énergie gravitationnelle................................ 362§ 5 Le tenseur d’impulsion-énergie du champ gravitationnel.... 363§ 6 Valeur moyenne............................................ 365§ 7 Quadrivecteur impulsion-énergie total..................... 366§ 8 Conservation de l’impulsion............................... 367§ 9 La masse.................................................. 369§ 10 Partage avec les autres formes d’énergie.................. 371§ 11 Localisation de l’énergie gravitationnelle................ 371§ 12 Le tenseur Q.............................................. 374§ 13 Intégrale sur une surface englobant le corps.............. 375§ 14 Calcul effectif d’une énergie............................. 376

CHAPITREXVI La solution de Schwarzschild.................... 379

§ 1 Introduction.............................................. 379§ 2 Forme de l’élément linéaire (symétries)................... 379§ 3 Calcul des symboles de Christoffel........................ 382§ 4 Calcul des composantes du tenseur de Ricci................ 383§ 5 Résolution de l’équation du champ......................... 386§ 6 Egalité de la masse inerte et de la masse gravitationnelle 387§ 7 La singularité de Schwarzschild........................... 389§ 8 Equation des géodésiques.................................. 391§ 9 Résolution des équations.................................. 392§ 10 Approximation newtonienne................................. 393§ 11 Etude générale du mouvement : équations................... 394§ 12 Potentiel efficace pour une masse non nulle............... 395§ 13 Discussion générale du mouvement.......................... 396§ 14 Cas des photons........................................... 400§ 15 Etude de l’orbite circulaire de la lumière................ 401§ 16 Temps de chute d’une particule............................ 403§ 17 Extinction lors de la chute dans un trou noir............. 404§ 18 Déviation de la lumière par le Soleil..................... 406§ 19 Précession du périhélie................................... 411§ 20 Effet Shapiro : retard des échos radars................... 416§ 21 Ralentissement apparent de la vitesse de la lumière....... 421

Exercices............................................ 424

CHAPITREXVII La solution intérieure de Schwarzschild......... 429

§ 1 Introduction.............................................. 429§ 2 Composantes du tenseur d’impulsion-énergie................ 430§ 3 Nouvelle forme de l’équation du champ..................... 431§ 4 Ecriture de l’équation du champ........................... 432§ 5 Equation dynamique........................................ 433§ 6 La loi de force contient la loi dynamique................. 435§ 7 Bilan des équations....................................... 436§ 8 L’équation de Tolman-Oppenheimer-Volkov................... 437§ 9 Détermination de la métrique.............................. 439§ 10 Calcul de la pression..................................... 443§ 11 Energie gravitationnelle négative de formation de l’étoile 446

Exercice............................................. 451

6 642

CHAPITREXVIII Cosmologie relativiste.......................... 453

§ 1 Rôle de la Relativité générale en cosmologie.............. 453§ 2 Description de l’univers.................................. 454§ 3 Les coordonnées de Gauss.................................. 454§ 4 Le postulat de Weyl....................................... 459§ 5 Le principe cosmologique.................................. 459§ 6 Utilisation du principe de Mach........................... 462§ 7 La métrique de Robertson-Walker........................... 462§ 8 Géométrie de l’espace pour k = 0 ........................ 466§ 9 Etude du cas k = - 1 .................................... 466§ 10 Etude pour k = + 1 ...................................... 468§ 11 Volume de l’espace pour k = + 1 ......................... 470§ 12 La loi de Hubble.......................................... 471§ 13 Temps de parcours de la lumière........................... 472§ 14 Formule du décalage vers le rouge......................... 473§ 15 Autre interprétation du décalage vers le rouge............ 474§ 16 Calcul des composantes du tenseur d’impulsion-énergie..... 477§ 17 Etude des équations....................................... 478§ 18 Calcul des symboles de Christoffel........................ 479§ 19 Calcul de Rtt ............................................ 479§ 20 Calcul de Rij ............................................ 480§ 21 Calcul de la courbure scalaire............................ 480§ 22 Composante de temps de l’équation d’Einstein.............. 481§ 23 Equation dynamique........................................ 481§ 24 Résolution des équations.................................. 484§ 25 Lien avec les paramètres observables...................... 487§ 26 Pourquoi la cosmologie newtonienne........................ 490§ 27 Difficulté de la cosmologie newtonienne................... 490§ 28 La cosmologie newtonienne .............................. 492§ 29 Retour au théorème de Birkhoff............................ 494§ 30 Justification de la cosmologie newtonienne................ 495§ 31 Détermination expérimentale de la constante de Hubble..... 497§ 32 Distance lumineuse........................................ 498§ 33 Relation décalage vers le rouge distance lumineuse........ 499§ 34 Magnitude apparente et magnitude absolue.................. 502§ 35 Résultats expérimentaux................................... 505§ 36 L’ère de la matière dominante............................. 507§ 37 Pression et densité de l’univers actuel................... 508§ 38 Résolution des équations.................................. 511§ 39 Variation du paramètre de décélération.................... 517§ 40 Rela. déca. vers le rou. dist. lu. pour des dist. quelc... 518§ 41 Autres méthodes d’accès aux distances lointaines.......... 521§ 42 Bilan des connaissances actuelles......................... 525§ 43 Lien entre distance en a.l. et décalage vers le rouge..... 529

Exercices............................................ 531

CHAPITREXIX Quelques réflexions en guise de conclusion...... 533

§ 1 Introduction.............................................. 533§ 2 Les motivations de la Théorie de Brans-Dicke.............. 533§ 3 Différence entre la Relativité générale et la Th. de B.D.. 534§ 4 La Théorie de Brans-Dicke est non locale.................. 536§ 5 La métrique de l’espace-temps dans la Théorie de B.D...... 537§ 6 Les masses négatives en Relativité générale............... 538§ 7 Les règles d’attraction-répulsion en Relativité générale.. 539

7 643

§ 8 Impulsion et masses négatives............................. 539§ 9 Conclusion sur la relativité.............................. 540§ 10 Analogie des formules de l’électromagnétisme et de la R.G. 541

CORRIGE DES EXERCICES ........................................... 543

Chapitre 1 .......................................... 543Chapitre 3 .......................................... 546Chapitre 4 .......................................... 547Chapitre 5 .......................................... 552Chapitre 7 .......................................... 557Chapitre 8 .......................................... 564Chapitre 9 .......................................... 568

Chapitre 10 ......................................... 568Chapitre 11 ......................................... 569Chapitre 12 ......................................... 577Chapitre 13 ......................................... 602Chapitre 14 ......................................... 603Chapitre 16 ......................................... 609Chapitre 17 ......................................... 623Chapitre 18 ......................................... 625

INDEX ALPHABETIQUE ............................................... 631

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