ISUP Institut de Statistique de l’Université de Paris ... · Baudouin, Vincent, Gustave, Khaoula, Ghada, Marie, Céline, … Je souhaite témoigner ma reconnaissance à toutes

ISUP Institut de Statistique de l’Université de Paris Septembre 2008

Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût

d’une garantie plancher.

PRINGAULT Manuel 1/115









RESUME

Mots-clés : Assurance vie, Traitement de données, Loi de comportement,

Méthode de Lee-Carter, Rachats dynamiques, Modèles SARIMA, Garantie

plancher.

L’objet de ce mémoire est de modéliser le comportement des assurés d’un

portefeuille de contrats d’épargne plus particulièrement les décès, les rachats et les

versements et de quantifier l’impact de ces lois au travers d’un calcul du coût d’une

garantie plancher.

Après une brève introduction sur le marché de l’assurance vie, cette étude présente les

trois risques étudiés ainsi que les enjeux qui y sont liés. Les nouvelles normes

(Solvabilité II, MCEV) et les nouveaux produits de type variable annuities obligent les

assureurs commercialisant des produits d’épargne, à prévoir au mieux les sinistres, les

versements et les rachats et connaître ainsi l’évolution de l’encours global et leur capital

de solvabilité. Cette première partie pose de plus les bases théoriques de la modélisation

du comportement des assurés qui sera utilisé dans cette étude.

La seconde partie est consacrée à la présentation des données : reconstitution de

l’épargne et statistiques descriptives nécessaires pour l’étude du comportement d’une

population. Ce chapitre présente le traitement réalisé sur les données afin de les

formaliser pour cette étude sur les comportements.

La troisième partie présente les résultats du calibrage des modèles retenus. Pour les

décès, cette étude décrit la construction d’une table d’expérience et d’une table de

mortalité prospective puis présente une loi dynamique de rachat fonction de l’ancienneté

et du temps pour finir par la modélisation des versements.

Enfin la dernière partie présente l’une des nombreuses applications découlant de l’étude

des comportements des assurés : l’impact sur le coût d’une garantie plancher. Cette

partie a pour but de montrer les limites de la tarification en prime sur encours retenue

pour ce portefeuille et les différences de résultats selon les lois de comportement

utilisées. Enfin cette étude se termine par des suggestions de stratégies de tarification

permettant un provisionnement plus juste.









ABSTRACT

Keywords : Life insurance, data processing, behaviour law, Lee-carter method,

dynamic lapses, sarima model, floor guarantee

The aim of this study is to model the life insured's behaviour of a saving contract,

more specifically death, lapses and payments and to quantify the impact of these

behaviour through cost calculation of the floor guarantee covered by the insurer.

After a brief presentation of life insurance's world, this study describes the three risks

mentionned before and their issues. Indeed given the current context, the main concerns

of life insurers is to better know the evolution of the global provision of their portfolio in

order to calculate the solvency capital requirement, to ensure a asset liability

management allowing the control of liquid risks and other constraints closely dependant

on insurers behaviour. This first part describes the theoretical basis for modeling the

life insured's behaviour.

The second part is devoted to the presentation of data, starting from the reconstitution of

savings account from closing accounts to descriptive statistics necessary to study the

behaviour of a population. We describe also the data extracting process.

In the third part we describe the calibration of models used. For deaths, the study

describes the construction of an experience table and a prospective mortality table, for

withdrawal we will present a dynamic lapses law based on seniority and computing time

and finally we wil present the modeling of new business.

The last part presents one of many applications related to life insured's behaviour ie the

impact on the cost of a floor guarantee. This section is intended to show the limits of

pricing using the premium on provision chosen for this portfolio and the differences in

results using different behavior laws. Finally, since this type of pricing does not correlate

premium to financial risk we will complete this study by suggesting best suited pricing

strategies for a more accurate provisioning.









REMERCIEMENTS

Je remercie Emmanuel Geli, partner du pôle assurance, pour m’avoir accueilli

dans son service où j’ai pu collaborer avec des personnes dotées d’un grand

professionnalisme. Je le remercie pour les missions qu’il m’a confiées, me permettant

ainsi de découvrir le monde du conseil.

Je remercie, en particulier, Abdallah El Malaki, mon maître de stage, pour ses conseils,

pour ses remarques pertinentes et pour m’avoir enseigné une méthode de travail

rigoureuse.

Un grand merci à Thomas Bourdoiseau et à Nada El Chidiac, pour leurs précieuses

aides, pour leurs conseils et de leurs explications pragmatiques, en toute circonstance et

à toute heure du jour comme de la nuit.

Je remercie également l’ensemble du pôle assurance pour leur accueil chaleureux et leur

soutien.

Mes remerciements s’adressent aussi aux différentes personnes de Rivage avec qui j’ai

pu partager une expérience enrichissante, Audrey, Matthieu, Romain, Mohamed,

Baudouin, Vincent, Gustave, Khaoula, Ghada, Marie, Céline, …

Je souhaite témoigner ma reconnaissance à toutes les personnes qui m’ont aidé, de près

ou de loin, à réaliser ce mémoire dans les meilleures conditions.









SOMMAIRE

RESUME ............................................................................................................................................... 3 ABSTRACT ........................................................................................................................................... 5 REMERCIEMENTS ............................................................................................................................ 7 SOMMAIRE .......................................................................................................................................... 9

INTRODUCTION .............................................................................................................................. 12

PARTIE I : Principes theoriques du comportement ................................................................ 14

Chapitre 1 : Le monde de l’épargne en France .................................................................................14 Section 1.1 : Le monde de l’assurance ..................................................................................................... 14 Section 1.2 : Le marché Français de l’épargne ........................................................................................ 15

1.2.1 : Définitions de l’assurance-vie ........................................................................................... 15 1.2.2 : Les avantages de ce produit ............................................................................................... 15 1.2.3 : Les organismes assureurs .................................................................................................. 16 1.2.4 : Quelques chiffres ............................................................................................................... 17

Chapitre 2 : Les enjeux liés au comportement .................................................................................19 Section 2.1 : Description du produit étudié .............................................................................................. 19 Section 2.2 : Le risque décès .................................................................................................................... 20 Section 2.3 : Le risque de rachat .............................................................................................................. 21 Section 2.4 : Le risque de versement ....................................................................................................... 23

Chapitre 3 : Rappels théoriques ........................................................................................................24 Section 3.1 : Construction de table de mortalité ...................................................................................... 24

3.1.1 : Modèle paramétrique : La loi de Makeham ....................................................................... 24 3.1.2 : Modèle non-paramétrique : Kaplan Meier ......................................................................... 27 3.1.3 : Table prospective : Méthode de Lee & Carter ................................................................... 28

Section 3.2 : Loi de Rachat ...................................................................................................................... 29 3.2.1 : Loi de rachat en fonction de l’ancienneté .......................................................................... 30 3.2.2 : Loi de rachat en fonction du temps .................................................................................... 30

Section 3.3 : Modélisation des séries temporelles .................................................................................... 30 3.3.1 : Quelques définitions : ........................................................................................................ 30 3.3.2 : Les modèles ARMA : ........................................................................................................ 31 3.3.3 : Les modèles SARIMA : ..................................................................................................... 31

PARTIE II : Les données ................................................................................................................. 34

Chapitre 1 : Présentation des données ..............................................................................................34 Section 1.1 : Description des fichiers issus du système d’information .................................................... 34 Section 1.2 : Reconstitution de l’épargne ................................................................................................. 35 Section 1.3 : Description des variables .................................................................................................... 36

Chapitre 2 : Traitement des données ................................................................................................36 Section 2.1 : La censure et la troncature .................................................................................................. 36 Section 2.2 : Détection et traitement des valeurs aberrantes .................................................................... 37 Section 2.3 : Adapter les données aux différents risques étudiés ............................................................. 38 Section 2.4 : Volume après traitement ..................................................................................................... 40

Chapitre 3 : Les différents choix réalisés ..........................................................................................41 Section 3.1 : Choix du périmètre de l’étude ............................................................................................. 41 Section 3.2 : Choix concernant les tables de mortalités ........................................................................... 41





Chapitre 4 : Statistiques descriptives ...............................................................................................42 Section 4.1 : Le portefeuille ..................................................................................................................... 42 Section 4.2 : Les décès ............................................................................................................................. 44 Section 4.3 : Les rachats .......................................................................................................................... 45 Section 4.4 : Les versements .................................................................................................................... 47 Section 4.5 : Définition des périodes de crises ......................................................................................... 49

PARTIE III : Calibration des modèles sur le portefeuille epargne ...................................... 52

Chapitre 1 : Construction des tables de mortalité ...........................................................................52 Section 1.1 : Calcul des taux de mortalité ................................................................................................ 52 Section 1.2 : La méthode de Makeham .................................................................................................... 54 Section 1.3 : Comparaison des deux méthodes ........................................................................................ 57 Section 1.4 : Par la méthode de Lee & Carter .......................................................................................... 59

Chapitre 2 : Construction d’une loi de rachat dynamique ...............................................................64 Section 2.1 : En fonction de l’ancienneté du contrat ................................................................................ 64 Section 2.2 : En fonction du temps .......................................................................................................... 69

Chapitre 3 : Détermination des versements .....................................................................................76 Section 3.1 : Résultats concernant les VLP .............................................................................................. 76 Section 3.2 : Résultats concernant les VI ................................................................................................. 77 Section 3.3 : Résultats concernant les VL ................................................................................................ 81

PARTIE IV : Application au travers du calcul du coût de la garantie plancher .............. 85

Chapitre 1 : La garantie plancher .....................................................................................................85 Section 1.1 : Définition et présentation du type de tarification ................................................................ 85 Section 1.2 : Evaluation des engagements par la méthode des puts ......................................................... 86 Section 1.3 : Evaluation des engagements intégrant les lois de comportement ....................................... 87

Chapitre 2 : Présentation générale de la méthodologie retenue .....................................................90 Section 2.1 : Description des éléments retenus et des hypothèses simplificatrices .................................. 90 Section 2.2 : Modélisation des actifs ........................................................................................................ 91 Section 2.3 : Présentation du moteur de calcul stochastique .................................................................... 94

Chapitre 3 : Présentation des résultats ............................................................................................96 Section 3.1 : Calcul de référence.............................................................................................................. 96 Section 3.2 : Intégration des rachats ...................................................................................................... 100 Section 3.3 : Intégration des décès ......................................................................................................... 101 Section 3.4 : Intégration des décès et des rachats................................................................................... 102

Chapitre 4 : Synthèse et réflexions .................................................................................................105 Section 4.1 : Les méthodes de tarification possibles pour une garantie plancher .................................. 105 Section 4.2 : Les différentes applications possibles pour les lois de comportements ............................ 105

CONCLUSION ................................................................................................................................. 107

ANNEXE I : Présentation de CSC ............................................................................................... 109 ANNEXE II : Algorithme de De Moro ......................................................................................... 111 ANNEXE III : Moteur de calcul du cout de la garantie plancher ....................................... 112 BIBLIOGRAPHIE ........................................................................................................................... 115





IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN





INTRODUCTION

Les sociétés d’assurances doivent se conformer à une législation française et

européenne très abondante, que ce soit dans leurs relations avec les assurés, en matière

de placements ou dans leur gestion. La solidité financière des entreprises d’assurances

est en effet la garantie qu’elles pourront tenir leurs engagements envers les assurés.

Ce contrôle est d’autant plus important que l’assurance est le seul secteur économique

dans lequel il y a une inversion du cycle de production : l’assureur fixe en effet le prix de

vente de sa prestation alors que le prix de revient de cette dernière lui est encore

inconnu.

Pour garantir à tout moment le règlement de leurs engagements, les sociétés

d’assurances doivent ainsi constituer des réserves appelées « provisions techniques » qui

leur permettront de régler les sinistres dus en cas de survenance du risque ou de verser

un capital (en assurance vie). De plus, le monde de l’assurance et sa réglementation

vivent actuellement des évolutions considérables, où la préoccupation du risque tient une

place primordiale. Ces changements ont pour but de mieux tenir compte des différents

risques inhérents à l’activité d’assurance, tout en améliorant la transparence des

informations fournies par les compagnies au sujet de leur situation d’assurance.

En effet, l’incertitude des marchés financiers et des risques supportés par les assureurs

nécessite la diffusion d’informations rigoureuses et c’est pourquoi toute compagnie doit

pouvoir disposer d’indicateurs susceptibles d’évaluer au plus juste sa richesse et la

hauteur de ses engagements. Ces transformations constituent un point important dans

le pilotage de la gestion et permettront une meilleure compétitivité et une meilleure

solvabilité.

Enfin, l’affaiblissement des grands régimes sociaux et la nécessité croissante de

protection favorise le marché de l’assurance vie. Cette évolution de besoin grandissant

pousse les assureurs à faire évoluer leurs produits soit par l’ajout de garanties

supplémentaires, soit par un cadre contractuel répondant plus précisément aux besoins

de l’assuré et nécessitant de la part de l’assureur toujours plus de rigueur et de clarté

dans l’évaluation de ses risques.





PPAARRTTIIEE II

PPrriinncciippeess tthhééoorriiqquueess dduu

ccoommppoorrtteemmeenntt





PARTIE I : PRINCIPES THEORIQUES DU

COMPORTEMENT

Cette partie décrit le monde de l’épargne en France et permet de comprendre les enjeux

liés au comportement des assurés. Elle présente aussi les différents risques étudiés : le

risque de décès, de taux et de liquidité à travers les rachats et les versements puis rappel

les différentes approches de modélisation possible que nous utiliserons par la suite.

Chapitre 1 : Le monde de l’épargne en France

Après avoir replacé cette étude dans son contexte, ce chapitre présente le marché

Français de l’assurance-vie avec ses avantages, illustré de quelques chiffres.

Section 1.1 : Le monde de l’assurance

Dans ce climat de réforme le secteur de l’assurance s’est mobilisé, comme l’a été le

secteur bancaire, afin de mettre en place une modification profonde des exigences

prudentielles et notamment pour améliorer l’allocation des fonds propres en fonction des

risques auxquels les entreprises sont confrontées.

Effectivement un organisme d’assurance se doit de pouvoir respecter les engagements

qu’il a envers ses assurés au travers de sa marge de solvabilité. Cependant le monde de

l’assurance est en train d’élargir cette définition afin de mieux répondre aux attentes des

actionnaires tout en améliorant la protection des assurés. C’est pourquoi la solvabilité

comprend désormais le devoir pour ces organismes de survivre à des chocs.

Ces chocs peuvent prendre des formes diverses et variées puisqu’un assureur est impacté

aussi bien par une hausse des taux qui donnera une opportunité de meilleurs

rendements sur d’autres produits aux assurés et qui pourrait entrainer une vague de

rachat massive, qu’une sinistralité exceptionnelle se rapprochant des pires scénarios

envisageables par le back office.

L’approche retenue actuellement par les autorités du monde de l’assurance pour le calcul

de solvabilité se dirige vers une projection des flux futurs. Ce calcul et les stress tests qui

en découlent nécessitent la modélisation et la prévision scénario par scénario de

nombreuses hypothèses :

Les variables macroéconomiques comme le taux d’inflation, la courbe des taux, la

projection d’indices tels que le CAC 40

La valorisation des fonds, de rendement, le choix discrétionnaires tels que la

distribution de PB.

La prévision des actes de gestion liés au comportement des assurés :

o Rachat

o Versement

o Décès

o Arbitrage

o Exécution d’option





Cette évolution conduit à étudier le comportement des assurés afin de pouvoir anticiper

au plus juste les différents mouvements financiers qui en découlent.

Section 1.2 : Le marché Français de l’épargne

1.2.1 : Définitions de l’assurance-vie

Au travers de versements les assurés constituent un capital, qui bénéficie de

revalorisation (participation aux bénéfices) pour les fonds en euros ou des hausses

boursières pour les fonds en unités de compte.

Ce socle de base constitué par l’épargne est souvent complété par des garanties :

la garantie plancher, assurant une valeur plancher de l’épargne en cas de décès

la garantie exonération qui permet à l’assuré de continuer de verser en cas

d’incapacité ou d’invalidité

des options d’arbitrage (sécurisation, dynamisation, stop-loss)

La vocation première de l’assurance vie est la transmission de patrimoine en cas de

décès.

Le marché des produits d’épargne s’est développé grâce à un cadre fiscal favorable, qui

évolue constamment. Il continue aujourd’hui de croître du fait du besoin des assurés de

compléter leur retraite d’état par une retraite par capitalisation.

Il existe différents type de contrat d’épargne en France présentant des caractéristiques

différentes et pouvant s’adapter aux différents besoins de chacun :

Les contrats en euros

Les contrats en UC

Les contrats de capitalisation

Les produits retraites article 83, article 82…

Différents cadres fiscaux : Madelin, PERP, PERE, PEA…

Les contrats collectifs PEE

L’arrivée des variables annuities ouvre aussi de nouvelles perspectives

Enfin un rappel sur la différence entre la notion de versement (décidé par l’assuré) et

celle de prime (imposé par l’assureur) est important puisqu’il conditionne la projection ou

non des versements dans Solvabilité II. Les ONC (Orientations Nationales

Complémentaires de l’ACAM) considèrent qu’une prime nécessaire à l’équilibre financier

de la société (dans ce cas la prime vient financer un capital garanti) doit être projetée

contrairement à un versement qui ajoute un nouveau risque.

1.2.2 : Les avantages de ce produit

En France, le régime fiscal de l'assurance-vie fut particulièrement avantageux mais a

cependant connu au fil des dernières années des restrictions importantes. Les gains tirés

d'un contrat d'assurance-vie sont imposés uniquement en cas de rachat total ou partiel.

Ils sont calculés au prorata des sommes retirées : par exemple en rachetant 10% du total

du contrat, l'imposition ne se fera que sur 10 % des intérêts générés depuis son

ouverture.





Pour les contrats ouverts ou pour les versements effectués depuis 1998, le contribuable

peut opter soit pour l'intégration à l'impôt sur le revenu de ses gains, soit pour un

prélèvement libératoire selon le barème suivant :

L'abattement de 4600 € (sur la fraction du retrait correspondant aux gains, la fraction

correspondant aux versements n'est pas taxée) est acquis quel que soit le choix

d'imposition (IR ou prélèvement libératoire) pour l'ensemble des contrats du

contribuable. Pour éviter l'impôt, il est judicieux de faire un retrait annuel dont les

intérêts ne dépassent pas le montant de l'abattement. S'ajoute à cette imposition des

prélèvements sociaux (de 11% en 2008) prélevés soit annuellement sur un contrat en

euros, soit au moment d'un rachat sur les contrats multisupports. Ce dernier point est le

plus avantageux puisqu’il permet un investissement avec intérêt composé jusqu’au

dernier euro.

On notera qu’il existe des circonstances de rachat qui exonèrent de la taxation :

licenciement, mise à la retraite anticipée, invalidité de 2e ou 3e catégorie. L'événement

exonérateur doit avoir lieu dans l'année fiscale du rachat.

Enfin, un contrat d'assurance-vie entre dans l'assiette de l'impôt de solidarité sur la

fortune. À noter que contrairement à une enveloppe fiscale comme par exemple le PEA,

il n'existe pas de plafond de versement ni de restriction sur les retraits ou versements.

Cela fait donc de ce produit un excellent investissement pour toutes les classes de la

population.

1.2.3 : Les organismes assureurs

Les premiers groupes d'assurance-vie en France sont (par montant de cotisation en 2006

et en % du marché français, source FFSA) :

CNP (dont Ecureuil Vie) : 26 milliards d'euros de cotisations (16,8 % du marché

français)

Crédit agricole : 22,3 milliards (14,4 %)

Axa France : 14,8 milliards (9,5 %)

BNP Paribas Assurance : 10,9 milliards (7 %)

Générali France : 10,4 milliards (6,7 %)

Société Générale (Sogecap) : 9,3 milliards (6 %)

Autres : 39,6 % du marché

Age du contrat Taux Abattement

Moins de 4 ans 35 % (aucun)

Entre 4 à 8 ans 15 % (aucun)

Plus de 8 ans 7,5 % 4600 € par an (9200 € pour un couple marié)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Imp%C3%B4t_de_solidarit%C3%A9_sur_la_fortune

http://fr.wikipedia.org/wiki/Imp%C3%B4t_de_solidarit%C3%A9_sur_la_fortune

http://fr.wikipedia.org/wiki/Plan_d%27%C3%A9pargne_en_actions





1.2.4 : Quelques chiffres

La France figure au 2ème rang pour l'assurance vie sur le marché européen de

l'assurance. L’assurance vie est le placement préféré des Français et les chiffres le

prouvent. La collecte nette en affaires directes vie et capitalisation en 2007 est de 53,7

Mds€ pour un encours total de 1146 Mds€ qui subit une croissance continue depuis 10

ans.

Progression de l’encours du marché de l’assurance- vie en France pour l’année 2007

Les raisons sont multiples mais la principale reste le rendement élevé que propose ce

type de contrat. En 2007, la moyenne des rendements des fonds euros valait 4,30%, un

rendement plus élevé que pour 2006 qui se situait vers les 4%.





Cependant nous vivons un retournement de situation puisque depuis le début de l’année

2008 la collecte de l’assurance vie recule fortement. La baisse des versements

d'assurance-vie sur les supports en unités de comptes, le plus souvent des fonds en

actions, atteint même 44% depuis le début de l'année. Les cotisations sur les fonds euros,

avec garantie du capital progressent de 2%, atteignant près de 80 milliards d'euros. Au

cours du mois d'août, les versements sur les contrats d'assurance-vie ont touché un plus

bas depuis plus de 6 ans à 1 milliard d'euros tous supports confondus.

Il existe plusieurs raisons à ce retournement de tendance :

- Cette mauvaise passe s’explique d’abord par un effet de base défavorable. Au

cours des dernières années, les compagnies ont bénéficié à plein de transferts

massifs dits « Fourgous » et d’anciens plans d’épargne logement (PEL),

devenus fiscalement moins avantageux. Or, aujourd’hui, cette manne

financière n’existe quasiment plus.

- L’assurance vie est surtout victime d’une conjonction d’événements

défavorable directement liés à la crise financière que nous traversons. Les

soubresauts qui ont agité les marchés boursiers ces derniers mois ont incité

les épargnants à la prudence, privilégiant des produits sécurisés au détriment

de contrats en unités de compte. Nous sommes confrontés à une baisse de

l’encours des produits en unité de compte et à un regain d’intérêt pour les

fonds en euros plus consommateurs de fonds propres pour les compagnies et

offrant des marges moindres.

- A cela s’ajoute une concurrence exacerbée des produits d’épargne. Les banques

ont davantage stimulé la collecte sur des produits bilanciels (dépôts à terme,

livrets), au détriment de l’assurance vie dans le but de consolider leur bilan.

Les réseaux collectent activement sur des produits liquides pour avoir

rapidement de l’argent disponible. La progression des versements sur le livret

A rémunéré jusqu’à 4% le prouve.





Chapitre 2 : Les enjeux liés au comportement

Ce chapitre présente les enjeux liés au comportement des assurés concernant le décès,

les rachats et les versements pour un assureur.

Section 2.1 : Description du produit étudié

Le portefeuille étudié est constitué d’un produit d’épargne multisupport c'est-à-dire

composé à la fois d’un fonds en euros (principalement des obligations d’Etat) et de fonds

en unité de compte (valeurs mobilières ou immobilières).

Ce produit comporte une garantie décès, permettant de verser au(x) bénéficiaire(s)

l’épargne constituée, ainsi qu’une garantie décès plancher. Cette garantie assure

l’application d’un montant plancher sur l’épargne, un capital décès minimum garanti

égal à la somme des versements effectués, nets de frais, diminuée de la somme des

rachats partiels et des avances consenties sur le contrat.

Le souscripteur du produit d’assurance vie étudié peut demander différents types de

rachats :

- Un rachat partiel

- Un rachat partiel programmé

- Un rachat total

Ces rachats peuvent lui être versés dès lors que le contrat possède une valeur de rachat.

En général les rachats peuvent faire l’objet de pénalités (exprimées en pourcentage des

provisions mathématiques) plus ou moins lourdes en fonction de la durée de vie

résiduelle du contrat. Ces pénalités ont pour but de dissuader les assurés de racheter

leurs contrats dans les premières années car les contrats d’assurance vie ne sont pas

rentables immédiatement pour les assureurs du fait des commissions versées aux

intermédiaires.

Cependant dans notre cas quelque soit le type de rachat il n’y a aucun frais associé.

Il est possible de réaliser différents types de versements pour l’assuré :

- Les versements initiaux : C’est l’épargne que l’assuré alloue initialement à son

contrat d’assurance vie.

- Les versements libres : Ce sont des versements que l’assuré peut effectuer à

tout moment.

- Les versements libres programmés : Ces versements sont définis

contractuellement.

Ce produit n’a pas de TMG (taux minimum garanti) pour le fonds Euro.

Enfin le produit possède des options permettant de réaliser des arbitrages automatiques

comme une sécurisation des plus values, une limitation des moins values qui permettent

aux assurés une gestion automatique personnalisée sur les supports en UC. Cependant

nous ne détaillerons pas ces options qui ne font pas partie de notre étude.





Section 2.2 : Le risque décès

2.2.1 : Description du risque

Le risque décès est un risque connu et maîtrisé par les assureurs, car il s’agit d’une des

premières garanties historiques de l’assurance, qu’il est étudié de manière approfondie

par les états (INSEE) et que ce risque est très stable.

L’épargne acquise est versée en cas de vie (rachat total) ou en cas de décès. La

complémentarité de ces deux évènements induit que le versement de l’épargne en cas de

décès n’est pas un risque assurantiel. Dans le cadre de Solvabilité II il n’entraîne pas

l’apparition d’un capital de solvabilité dans le module Vie/Décès.

En revanche la garantie plancher porte un risque inhérent au décès dont le capital sous

risque est le maximum entre 0 et le montant de l’épargne moins le montant plancher.

Pour la partie épargne la projection des décès peut donc s’apparenter à celle des rachats

(à quelques différences près comme la fiscalité). La modélisation des décès pour l’épargne

(hors plancher) a donc pour objet de calculer un capital de solvabilité pour les risques de

liquidité ou de taux.

2.2.2 : Les enjeux liés à ce risque

Il apparaît différents enjeux liés au risque de décès :

1. Un enjeu réglementaire : la philosophie de Solvabilité II est de coller au plus près

du risque réel, les tables de mortalité ont donc tout leur sens. On peut imaginer

que l’ACAM demande moins de capital de solvabilité à un assureur qui a

provisionné au plus près de son risque. Un assureur qui ne connait pas la

mortalité de son portefeuille pourra être « sanctionné » par une marge de

solvabilité plus importante.

2. Un enjeu économique : Mieux maîtriser la gestion de ces risques et leurs

mutualisations. Avoir des risques décès et longévité avec des populations

similaires présentant les mêmes tables d’expérience permet une annulation des

risques.

3. Un enjeu financier : avoir une gestion actif-passif la meilleure possible avec une

estimation au plus près des sorties futures.

Les tables industrielles restent cependant des gardes fous et permettent de répondre à

un manque de données en particulier sur les tables générationnelles. Ces tables de

mortalités sont créées par des démographes et facilitent grandement le travail des

actuaires. La construction de ses dernières, réalisée sur l’ensemble de la population

Française, est un atout qu’il ne faut pas négliger mais qui ne peut refléter au plus juste

chaque portefeuille épargne.





Section 2.3 : Le risque de rachat


Comme nous l’avons vu précédemment le produit d’assurance-vie étudié offre la

possibilité à l’assuré de racheter une partie ou l’intégralité de son contrat. Mais cela n’est

pas sans conséquence pour l’assureur. En effet ce dernier, pour faire face à ses

engagements, investi l’épargne de ses clients dans différents actifs, qui seront impactés

par les marchés financiers au fur et à mesure du temps. Ces investissements sont

réalisés pour garantir un rendement prédéfini par l’assureur à un instant t et déterminé

selon les caractéristiques du marché et/ou de la conjoncture actuel. Mais nous savons que

ces données peuvent varier énormément.

La possibilité de rachat, laissée à la guise de l’assuré, devient donc rapidement un risque

pour l’assureur puisque ces rachats interfèrent dans la gestion des placements et dans la

rentabilité associée. En effet, en cas de baisse des taux, le rendement des actifs, qui est

souvent majoritairement des obligations, est plus faible. Pourtant l’assureur doit verser

des taux garantis minimaux qui peuvent être élevés, provenant de contrats anciens

signés en période de taux élevés. Les frais de gestion, qui sont essentiellement des frais

fixes, deviennent alors relativement lourds à porter, dans la mesure où ils sont en partie

couverts par les rendements des actifs. Dans ce cas la marge de l’assureur tend à se

réduire. En cas de hausse des taux, l’assureur pourra honorer aisément les taux garantis

dans les contrats en cours mais l’assuré peut-être tenté de racheter son contrat pour

investir dans un produit plus rémunérateur son apport initial augmenté des intérêts

déjà perçus. Le risque de rachat supporte donc le risque de taux.

Ce phénomène de rachat peut être accéléré d’une part par l’intérêt des agents à faire

signer de nouveaux contrats, et d’autre part par l’intensification de la concurrence dans

le secteur de l’assurance. Une vague de rachat massive peut rapidement intervenir et

créer un manque de liquidité conséquent pour l’assureur. Dans tous les cas ces rachats

doivent être provisionnés par l’assureur qui doit revendre des actifs pour pouvoir

honorer ses obligations envers ses assurés. C’est pourquoi le risque de rachat supporte

aussi le risque de liquidité.

En général, les rachats peuvent avoir différentes causes, qui vont être plus ou moins

faciles à anticiper par les assureurs et que l’on peut regrouper en deux grands types :

- Les rachats dit « conjoncturels » qui regroupent l’ensemble des rachats

provoqués par une opportunité d’arbitrage logique offrant un meilleur rendement à

l’assuré sur un autre produit.

- Les rachats dit « structurels » qui regroupent l’ensemble des causes non

rationnelles poussant l’assuré à racheter son contrat (par exemple un déménagement,

l’achat d’une voiture ou tout autre besoin de fonds).

Il n’est malheureusement pas possible pour l’assureur de différencier ces types de

rachats dans son historique de données et c’est pourquoi l’étude des rachats est souvent

approximé par un taux fixe global.






Cet acte de gestion dont le volume est bien plus important que le décès va fortement

impacter la durée de disparition du portefeuille dans une projection en run off. Maîtriser

ces sorties permettront :

1. D’assurer une gestion actif-passif au plus près permettant de maîtriser le risque

de liquidité.

2. Une stratégie de hedging efficace, puisqu’elle colle au sorties réelles du

portefeuille.

3. De connaître au mieux l’évolution de l’encours global du portefeuille et ainsi de

connaître les futurs capitaux de solvabilité nécessaires, les frais futurs générés et

donc le rendement financier du portefeuille pour l’assureur et ainsi donner une

valeur du portefeuille (MCEV).

Le rachat anticipé des contrats d’épargne est donc un risque important pour l’assureur.

La difficulté d’évaluation de ce risque, comme nous venons de le voir, est que l’assuré ne

l’exerce pas rationnellement par rapport aux conditions de marché. C’est pourquoi ces

sorties anticipées peuvent amener l’assureur à devoir vendre des actifs pour rembourser

le capital et verser les intérêts à un moment inopportun sur le marché financier, par

exemple lorsque les plus-values potentielles sont faibles. En cas de sorties favorables

pour l’assuré, la société d’assurance se fragilisera si elle n’a pas incorporé ce risque dans

ces coûts en puisant dans ses réserves et en s’empêchant d’en constituer pour des

périodes moins rentables. Compte tenu de la situation presque à maturité du secteur de

l’assurance-vie, il devient difficile pour les compagnies d’assurance de rembourser les

sorties de contrats par la simple rentrée d’argent que constituent les nouveaux entrants.

Le risque pour l’assureur s’explique par l’écart entre le tableau de flux initialement

prévu lors de la souscription du contrat et l’échéancier affecté par les sorties anticipées

effectivement constatées.

L’argent dû aux assurés est provisionné chaque année. Le portefeuille correspondant,

sur lequel est adossé le contrat, n’est pas gelé. L’actif correspondant aux sommes

provisionnées est toujours investi par l’assureur pour son propre compte.

Un risque est donc l’écart entre la somme versée à l’assuré et l’argent gagné sur les

marchés financiers. En effet, en cas de vente après une hausse des taux, l’actif

d’adossement, composé d’obligations achetées avec l’argent déposé par l’assuré, ne suffit

pas à rembourser le montant dû.

L’assureur peut donc soit vendre plus d’obligations, au risque de désadosser les contrats

restants, soit emprunter de l’argent sur le marché.

Les enjeux liés au risque de rachat sont importants et peuvent être lourd de

conséquences mais ils ont été limités grâce à une fiscalité désavantageuse sur les

première années de vie du contrat et une fiscalité avantageuse au-delà de 8 ans. C’est

pourquoi l’ancienneté de chaque contrat peut être un bon point de départ pour étudier

les rachats dans notre étude.





Section 2.4 : Le risque de versement


Les versements se décomposent en trois types : Les versements initiaux, les versements

libres et les versements libres programmés. L’ensemble des versements représente

l’apport en affaires nouvelles du portefeuille. Cependant selon le type de versement, cet

apport sera plus ou moins facilement prévisible.

Les versements libres programmés sont les plus faciles puisque l’assuré défini

contractuellement son plan de versement. Ce plan peut être mensuel, trimestriel,

semestriel ou annuel. Dans tous les cas la mise en place, par un assuré, de ce type de

versement montre une volonté d’investir à intervalle régulier dans ce produit et pour une

période assez longue. C’est pourquoi il existe une assez grande stabilité dans l’encours de

ces versements qui peuvent être approchés soit par une fonction en escalier, soit par

régression linéaire sur l’ensemble du périmètre.

Pour les versements initiaux et les versements libres la modélisation est plus difficile

puisqu’elle dépend essentiellement du libre arbitre des assurés. Ces versements peuvent

avoir différentes causes :

- Une campagne commerciale intense relançant les versements initiaux.

- Un attrait nouveau concernant un fonds prometteur qui permettra une

meilleur rentabilité pour l’assuré.

- Une volonté d’investir dans un produit sans risque (c'est-à-dire sur un fonds

en euros) durant une période de crise.

- Et les nombreux avantages que procure l’assurance-vie.

Il existe un grand nombre de variables exogènes pouvant expliquer ces versements c’est

pourquoi il nous semble difficile d’isoler ces variables et d’avoir une approche contrat par

contrat. Par contre nous possédons un portefeuille ayant un nombre de contrat

conséquent il nous est donc possible de déterminer une tendance générale des

versements et c’est pourquoi nous avons décidé de considérer les versements comme une

série temporelle dans notre étude.


L’apport en affaire nouvelle conditionne les résultats d’un portefeuille. Effectivement un

déclin de l’encours global qui s’explique par un plus grand nombre de sorties que

d’entrées serait le signe d’un manque de dynamisme du produit. La modélisation des

versements participe au fait de pouvoir anticiper ce problème et d’y remédier par une

campagne commerciale ou par le lancement de nouveau fonds. C’est pourquoi avoir une

bonne prévision de cet apport est un atout pour l’assureur qui pourra ainsi anticiper et

mieux gérer son portefeuille.





Chapitre 3 : Rappels théoriques

Ce chapitre présente les rappels théoriques nécessaires à la quantification des différents

risques étudiés. Nous commencerons par voir différentes façons de construire une table

de mortalité périodique puis prospective, nous parlerons de l’approche retenue pour la

modélisation des rachats et nous finirons par des rappels sur les séries temporelles que

nous appliquerons par la suite.

Section 3.1 : Construction de table de mortalité

3.1.1 : Modèle paramétrique : La loi de Makeham

Dans cette section, nous allons rappeler un modèle paramétrique simple et bien connu de

la littérature, le modèle de Makeham, nous permettant de déterminer les taux de

mortalité et ainsi construire une table de mortalité adapté à notre portefeuille. Nous

décrirons aussi ses avantages et ses inconvénients ainsi que la validité de ce modèle.

L’approche paramétrique consiste à résumer l’information disponible dans un nombre

restreint de paramètres. Ces paramètres seront estimés à l’aide de nos données dans la

troisième partie.

3.1.1.1 : Le modèle de Makeham

L’un des premiers à modéliser le taux de mortalité est Gompertz (1825) et il considère

que ces taux adoptent une allure exponentielle en fonction de l’âge. Ce choix de modèle

avait pour but de décrire les deux phénomènes suivants :

- L’irrémédiable détérioration de la santé.

- Le hasard.

Son modèle est le suivant: x

x cb

Avec : 0b et 1c

Cette approche ne prend pas en compte les accidents ou bien les maladies survenant à

tout âge. C’est pourquoi Makeham quelques années plus tard va proposer de compléter

la formule de Gompertz par un terme indépendant de l’âge.

Ainsi le modèle devient : x

x cba

Avec : 0a , 0b et 1c

Le modèle de Makeham revient donc à considérer que le taux instantané de mortalité à

l’âge x se décompose de la manière suivante :

- Un premier terme constant a , qui est indépendant de l’âge et qui représente la

mortalité accidentelle ainsi que celle due aux maladies pouvant survenir quelque soit

l’âge.

- Un second terme croissant en x , xcb qui représente la mortalité due au

vieillissement pour laquelle on postule un comportement exponentiel.

On remarque que pour ce choix de modèle nous avons :

ccbdx

d xx ln





Ainsi il apparait que ce modèle ne permet pas de prendre en considération des

décroissances des taux instantanés de mortalité avec l’âge. Nous ne pourrons donc pas

ajuster ce modèle dans les zones sensibles connues que sont les très jeunes âges (où la

mortalité infantile augmente le taux de mortalité) et la bosse des accidents des jeunes

(accidents de la route et suicides des jeunes). Cependant notre étude se concentre sur un

portefeuille d’assurance-vie dont la population est constituée de personnes actives ayant

entre 25 et 90 ans environ. C’est pourquoi nous n’allons pas construire des tables de

mortalité sur l’ensemble des âges mais seulement sur un intervalle utile à notre

portefeuille. Nous ne serons donc pas gêner par ce problème.

Pour ce modèle nous obtenons des formules assez simples pour la probabilité de survie

xt p et pour la loi de survie :

xctc

tx

xt gscc

bctap

11

lnexp

xcxxx gshc

c

bxa

1

lnexp0

Avec : 0ln

exp0

c

bh ; 1)exp( as ; 1

lnexp

c

bg

Puisque, dans la pratique, la valeur de 01c , nous pouvons réaliser un développement

de Taylor du second ordre de la fonction exponentielle, ainsi les probabilités annuelles de

décès peuvent être approchées par :

1ln

exp

cc

cbap

x

x et xx pq 1

3.1.1.2 : Adéquation de la courbe au modèle

Avant de s’intéresser à l’estimation des paramètres nous devons nous intéresser à la

validité de notre modèle. Pour cela nous pouvons remarquer que :

gccspq xxx ln1lnln1ln

Or lorsque les xq sont proches de 0 nous pouvons faire un développement de Taylor à

l’ordre 1 de notre équation ce qui nous donne :

gccsqq xxx ln1ln1ln

Il en résulte : 0ln12

1 gccqq xxx

On obtient donc : gccxqq xx ln1lnlnln2

1

Sous l’hypothèse que les taux de mortalité suivent une loi de Makeham, les points

xx qqba 1ln, sont alignés sur une droite de pente cln . On peut donc déterminer

si notre choix de modèle est judicieux en effectuant une régression linéaire et en

déterminant le 2R associé.





3.1.1.3 : Estimation des paramètres par la méthode de frère

Après avoir validé le choix de notre modèle nous pouvons nous intéresser à l’estimation

des paramètres.

On note xp̂ une estimation de la probabilité de survie basée sur un échantillon et

maxmin, xx l’intervalle sur lequel nous allons travailler.

La méthode de frère consiste à décomposer la fourchette d’âges maxmin, xx

en deux 38,minx et max,39 x , pour négliger a dans la deuxième région.

Nous utiliserons une nouvelle paramétrisation du modèle de Makeham :

xx clap ln

Avec : gcl ln)1(

Ainsi, dans la deuxième région, nous pouvons négliger a qui représente le risque de

décéder par un accident par rapport au deuxième terme représentant le risque de

décéder à cause du vieillissement naturel.

Nous obtenons donc :

)ln()ln()ln(ln cxlpx

Nous pouvons alors appliquer la méthode des moindres carrés dans la région 2 pour

déterminer les paramètres l et c , c'est-à-dire que ces paramètres minimisent la formule

suivante :

max

39

2lnlnˆlnln

x

xx cxlp

Par la suite, il suffit d’appliquer la même méthode dans la première région pour

déterminer a c'est-à-dire que ce paramètre minimise :

38

min

ˆlnxx

xx clap

Cette méthode a un avantage évident c’est qu’elle propose des solutions explicites pour

les solutions retenues. Nous obtenons donc :

max

39

2max

2max

39

max

39

max

39

max

39max

38

ˆlnln38ˆlnln

ˆlnx

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxx

pxxpx

c

max

39

max

39max

ˆlnˆlnln38

1ˆlnx

x

x

xx xcp

xl

38

minmin

ˆˆˆln39

1ˆ

xx

xx clp

xa

Il existe quelques inconvénients concernant cette méthode qui fait intervenir un choix

arbitraire celui du pivot séparant la fourchette d’âge en deux. De plus l’approximation

qui consiste à négliger a pour des âges dépassant notre pivot, peut sembler peu

rigoureuse. Cependant le modèle de Makeham donne en général de bons résultats et à





l’avantage d’avoir des solutions explicites simples. C’est pourquoi nous avons décidé de

conserver ce modèle comme première approche mais de compléter la construction des

tables de mortalités périodiques par une approche non-paramétrique, la méthode de

Kaplan Meier.

3.1.2 : Modèle non-paramétrique : Kaplan Meier

Nous poursuivrons les rappels sur la construction des tables périodiques de notre

portefeuille par la méthode de Kaplan Meier qui est une approche non paramétrique

ayant pour principal avantage de ne pas faire d’hypothèse a priori sur la forme de la loi

de survie, ce qui revient à estimer directement cette fonction dans un espace de

dimension infinie.

3.1.2.1 : L’estimateur de Kaplan Meier

L’estimateur de Kaplan Meier s’appuie sur le fait que la probabilité de survivre au-delà

de st peut s’écrire :

sSsTtTsTsTtTtS

On peut renouveler l’opération, ce qui fait apparaître des produits de termes en

sTtT ainsi en choisissant comme instant de conditionnement les instants où se

produit un évènement (par exemple une sortie) nous nous ramenons à estimer des

probabilités de la forme :

1 iii TTTTp

Ce qui représente la probabilité de survivre sur l’intervalle ii TT ,1 sachant que nous

étions vivants à l’instant 1iT .

Un estimateur naturel de ii pq 1 est : 1

ˆ

in

d

r

dq i

i

ii

Où id est une variable d’état qui vaut 0 ou 1 selon si la personne est décédée ou vivante

et ir le nombre de personnes.

On observe alors qu’à l’instant iT , et en l’absence d’ex aequo, s’il y a sortie par décès

alors 1id , et dans le cas contraire l’observation est censurée et 0id .

L’estimateur de Kaplan Meier s’écrit donc finalement :

tiT

iD

intS

1

11ˆ

En pratique nous aurons obligatoirement des ex aequo c’est pourquoi nous supposerons

par convention que les observations non censurées précèdent toujours les observations

censurées. L’estimateur de Kaplan Meier s’écrit :

tiT i

i

r

dtS 1ˆ

On utilisera la version continue à droite de la fonction de survie. Dans le cas où il y a des

arrivées en cours de période, l’expression reste valable en tenant compte de celles-ci dans

le calcul de ir .





3.1.2.2 : Les principales propriétés

L’estimateur de Kaplan Meier possède un grand nombre de propriétés très intéressantes

pour un statisticien, cet estimateur est considéré comme la généralisation naturelle de

l’estimateur empirique de la fonction de répartition en présence de censure :

- Il est convergent dès que la fonction de survie et la distribution des censures

n’ont pas de discontinuité commune.

- Il est cohérent c'est-à-dire que la propriété suivante est vérifiée :

n

i iiDtiT

n

itiT

TS

tS

ntS

10,

1ˆ

ˆ11

1ˆ

Cette formule signifie que les survivants au-delà de t sont la somme des individus ni

morts, ni censurés avant t et des individus qui, censurés en iT avant t , survivent après

t avec la probabilité conditionnelle

iTS

tS

ˆ

ˆ.

- Il est asymptotiquement gaussien si les fonctions de répartition de la survie et

de la censure n’ont aucune discontinuité commune :

),0(ˆ d

SSn

Avec comme covariance :

ts

uGuF

udFtSsSts

02

11,

3.1.3 : Table prospective : Méthode de Lee & Carter

L’objectif des tables prospectives est de tenir compte des évolutions à venir de la table de

mortalité. Les méthodes usuelles cherchent tout d’abord à ajuster les tendances passées,

puis à les extrapoler à l’avenir. La méthode de Lee & Carter possède les avantages et les

inconvénients de l’objectivité puisqu’elle n’incorpore pas d’avis d’expert sur l’évolution

présumée de la mortalité, sur les progrès de la médecine, l’apparition de nouvelles

maladies ou encore l’évolution du style de vie. Cette méthode se borne à extrapoler dans

le futur les tendances constatées dans le passé.

3.1.3.1 : Présentation de Lee & Carter

Historiquement cette méthode d’extrapolation des tendances passées était utilisée par

les américains mais elle est vite devenue un standard.

La modélisation retenue est la suivante :

txtxxtx k ln

Avec : - tx qui est le taux instantané de mortalité à la date t pour l’âge x.

- tx iid et qui suit une loi 2,0 N .

- x s’identifie à la valeur moyenne des txln au cours du temps.

- x traduit la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapport à

l’évolution générale tk .





L’idée de ce modèle est d’ajuster à la série des logarithmes des taux instantanés de décès

une structure déterministe à laquelle on rajoute un phénomène aléatoire. Le critère

d’optimisation retenu va consister à maximiser la variance expliquée par le modèle c'est-

à-dire à minimiser la variance des erreurs.

Des contraintes sur les paramètres viennent compléter le modèle pour le rendre

identifiable. Lee & Carter proposent de fixer la valeur des sommes des x et des tk de la

manière suivante :

1max

min

x

xxx et 0

max

min

t

tttk

D’après le modèle, la conclusion est que le taux de mortalité à l’âge x pour l’année t est

donc décomposé sur l’échelle logarithmique, à un terme d’erreur près, en la somme d’une

composante spécifique à l’âge x et d’un produit entre un paramètre temporel décrivant

l’évolution générale de la mortalité et un paramètre propre à l’âge décrivant l’évolution

du taux à l’âge a par rapport à ceux relatifs aux autres âges. On espère bien entendu que

la variance des erreurs tx sera aussi petite que possible. Ainsi, la majeure partie de la

variance des tx à chaque âge x sera expliquée par le paramètre tk , les tx n’étant plus

qu’un bruit blanc.

3.1.3.2 : Estimation des paramètres

Il est clair que le modèle présenté ne peut pas être ajusté par une simple régression

linéaire. Les paramètres s’obtiennent par un critère de moindres carrés (non linéaire). Il

faut donc résoudre le système suivant :

tx

txxtxtxx kk,

2ˆlnminargˆ,ˆ,ˆ

La résolution de ce système demande une assistance informatique et nous avons choisi

d’utiliser le logiciel « LifeMetrics » pour nous aider à calibrer, à prédire et à simuler

l’ensemble de tout ce que nous avions besoin pour l’application de ce modèle.

Section 3.2 : Loi de Rachat

L’approche retenue pour l’étude des rachats est de type : fréquence de racheter fois coût

moyen du rachat.

Pour cela nous avons défini un taux de rachat à la date t comme le rapport entre le

nombre de contrats sortis à cette date et le nombre de contrats non encore rachetés juste

avant cette date.

Ainsi chaque contrat de notre portefeuille a une probabilité d’être racheté que nous

appellerons p et qui correspond au taux de rachat défini. Puis dans le cas du rachat

nous devons déterminer le pourcentage de l’épargne racheté ce qui nous permet de

déterminer le montant de ce dernier.

Cependant pour tenir compte des facteurs externes qui poussent les assurés à racheter il

convient de déterminer la loi de rachat en fonction de variables explicatives qui sont

l’ancienneté des contrats et le temps.





3.2.1 : Loi de rachat en fonction de l’ancienneté

Le premier cas étudié considère que la loi de rachat dépend de l’ancienneté du contrat.

Nous allons donc construire une probabilité de racheter un contrat en fonction de son

ancienneté. Ce cas prend en compte l’importance évidente de la fiscalité dans les rachats.

Il existe deux états : L’état de racheter son contrat et l’état de ne pas racheter. A chaque

état nous associons une probabilité xp dépendant de l’âge du contrat et calculé sur les

données historiques de notre portefeuille. De même pour le pourcentage de l’épargne

racheté que nous déterminons aussi en fonction de l’ancienneté. Ce pourcentage est

déterminé par 20 fourchettes de 5% allant donc de 0% à 100% d’épargne racheté (100%

étant un rachat total).

3.2.2 : Loi de rachat en fonction du temps

Une deuxième approche pour déterminer le taux de rachat est de considérer que les

rachats dépendent du temps et donc de considérer la probabilité de racheter comme une

série temporelle. Nous allons donc déterminer une probabilité tp dépendant du temps

cette fois par un modèle ARMA. Le pourcentage de l’épargne racheté est déterminé sur

l’ensemble de notre période.

Section 3.3 : Modélisation des séries temporelles

Différentes séries peuvent être considérées comme des série temporelle que nous

chercherons à modéliser comme des SARIMA. Cette méthode de modélisation cherche

d’abord à isoler des tendances générales puis se concentre sur ce qu’il reste c'est-à-dire le

résidu pour estimer la série en exploitant les propriétés statistiques de cette dernière.

3.3.1 : Quelques définitions :

Pour étudier une série temporelle il faut d’abord identifier si cette série à une tendance,

une saisonnalité et surtout si cette série est stationnaire. Nous allons rappeler la

définition de ces termes.

Soit tX une série temporelle.

Définition 1 : On parle de tendance linéaire lorsque la série peut se décomposer en

tt btaX où t est une série stationnaire.

Plus généralement, on parle de tendance polynômiale lorsque la série peut se décomposer

en : tpp

t ataX 11 où t est stationnaire.

Définition 2 : On parle de saisonnalité, ou de périodicité, lorsque la série se décompose en

ttt sX où ts est périodique et où t est un résidu non-périodique et sans tendance.





Définition 3 : Un processus Ztxt , est dit stationnaire, au sens faible, si :

- 2, txEZt

- mxEZt t ,

- hxxZht htt ,cov,, 2, indépendant de t .

3.3.2 : Les modèles ARMA :

Le modèle ARMA(p,q) est composé de deux parties : une part autorégressive (AR) et une

part moyenne mobile (MA) où p est l’ordre de la part AR et q est l’ordre de la partie MA.

Les processus AR (p) :

Le processus stationnaire ZtXt , satisfait une représentation AR d’ordre p, notée

AR(p), si et seulement si :

t

p

iitit XcX

1

Avec : c , i , 1i , 0p , t est un bruit blanc

On parle ici de représentation autorégressive, dans le sens où la variable tX est

déterminée par les valeurs passées ptt XX ,,1 . Les différentes conditions sur les

paramètres signifient que tous les paramètres du polynôme peuvent être nuls à

l’exception du paramètre correspondant au p-ième retard.

Les processus MA (q) :

Le processus ZtXt , satisfait une représentation MA d’ordre q, notée MA(q), si et

seulement si :

t

p

iitit cX

1

Avec : c , i , 1i , 0p , t est un bruit blanc

Les processus ARMA(p,q) :

Le processus ZtXt , satisfait une représentation ARMA d’ordre p et q, notée

ARMA(p,q), si et seulement si :

t

p

iiti

p

iitit XcX

11

Avec : c , i , 1i , 0p , i , 1i , 0p , t est un bruit blanc

3.3.3 : Les modèles SARIMA :

En règle général, l’hypothèse de stationnarité demandée dans les modèles ARMA n’est

pas vérifiée. Dans ce cas les modèles ARIMA prennent tout leur sens. Effectivement on

peut étudier la série des différences premières ou les différences à des ordres plus élevés

qui seront stationnaires et se ramener ainsi à un processus ARMA.





Les processus ARIMA(p,d,q) :

Le processus ZtXt , satisfait une représentation ARIMA si et seulement si :

td

t YLX 1

Avec : tY : un processus ARMA(p,q)

Pour passer d’une série à l’autre il suffit d’appliquer un filtre dL1 , où L est

l’opérateur de retard et d l’ordre de différentiation du processus.

Enfin les modèles SARIMA peuvent être vus comme une généralisation des modèles

ARIMA, contenant une partie saisonnière.

Les processus SARIMA(p,d,s,D,q) :

Le processus ZtXt , satisfait une représentation SARIMA si et seulement si :

t

Dst YLX 1

Avec : tY : un processus ARIMA(p,d,q), s la saison et D la différence saisonnière.





PPAARRTTIIEE IIII

LLeess ddoonnnnééeess





PARTIE II : LES DONNEES

Cette partie présente les données à partir desquelles les travaux ont été réalisés. Elle

décrit les fichiers bruts utilisés, puis les différents traitements réalisés permettant

d’obtenir des informations exploitables et enfin énumère les choix faits et les raisons qui

y ont conduit.

Chapitre 1 : Présentation des données

Ce chapitre décrit :

les données brutes issues du système d’information et les informations

disponibles,

les traitements réalisés,

les données retraitées.

Section 1.1 : Description des fichiers issus du système d’information

La profondeur de l’historique doit être assez grande pour permettre de réaliser une étude

complète et significative sur le comportement des assurés. Pour modéliser correctement

les rachats, une profondeur minimum de 8 ans est nécessaire du fait de la fiscalité.

Les fichiers peuvent être classés en trois catégories :

les arrêtés de compte contenant le nombre d’unités de compte (UC) par contrat et

par fonds, au 31/12, après versement de la participation aux bénéfices (fonds

euro), prélèvement des frais de gestion sur encours et des prélèvements sociaux.

L’arrêté de compte principal sur lequel s’appuie l’étude est celui du 31/12/2007.

les mouvements financiers (dates d’effet, montant brut de frais…) avec leur

décomposition d’investissement ou de désinvestissement par fonds.

les informations concernant les assurés (sexe, date de naissance, date de décès…)

et le contrat (date de souscription, état du contrat…)





Section 1.2 : Reconstitution de l’épargne

Une grande partie du travail réalisé sur les données a été de reconstituer l’épargne des

contrats à la date de chaque mouvement. Ce calcul a été réalisé en partant de l’arrêté de

compte et en retirant chaque mouvement rencontré.

Un exemple très simple permet de comprendre rapidement la démarche. Soit un contrat

comportant un versement initial (au 12/05/07) et un rachat partiel (au 17/06/07).

Opérations VI FG Rachat FG FG FG FG FG FG FG PB AC

Dates 12/05/07 31/05/07 17/06/07 30/06/07 31/07/07 31/08/07 30/09/07 31/10/07 31/11/07 31/12/07 31/12/07 31/12/07

UC 1 40,23 - 0,02 - 40,21 - - - - - - - - -

UC 2 22,63 - 0,01 - - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 0,01 - 22,54

UC 3* 2 567,89 - - - - - - - - - 81,24 2 649,13

* Fonds euros

Opérations VI FG Rachat FG FG FG FG FG FG FG PB

Dates 12/05/07 31/05/07 17/06/07 30/06/07 31/07/07 31/08/07 30/09/07 31/10/07 31/11/07 31/12/07 31/12/07

UC 1 - 40,23 40,21 - - - - - - - -

UC 2 - 22,63 22,62 22,62 22,61 22,60 22,58 22,57 22,56 22,55 22,54

UC 3 - 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89 2 567,89

Les épargnes sont obtenues de proche en proche jusqu’au premier mouvement amenant

à une épargne initiale nulle.

Date d’effet

Etat

Date de fin

Souscriptions

Sexe

CSP

Date de naissance

Date de décès

Assurés 1 n

Date d’effet

Etat

Mouvements

Code UC

Variation d’UC

Mouvements UC

1

n 1 n

Date d’effet

Etat

Arrêté de compte

Code UC

Nombre d’UC

AC par UC

n 1 n

1

1

n





Remarque : la capitalisation du fonds euro n’est prise en compte qu’une fois par an au

travers de la PB. Cette approximation n’a que très peu d’effet sur les résultats car la PB

anticipée est assez faible par rapport au montant de l’épargne.

Des retraitements manuels ont dû être réalisés. En effet certains mouvements

n’apparaissaient pas en base ou alors avec des montants erronés. Ces écarts sont faciles

à identifier car une épargne non nulle est alors obtenue sur le versement initial. Un

fichier recensant les corrections manuelles par les gestionnaires (système de cales) a

permis de corriger ces écarts.

Section 1.3 : Description des variables

Voici une description des différentes variables présentes dans les fichiers :

le numéro client de l’assuré (permettant de faire le lien si celui-ci possède

plusieurs contrats),

le sexe de l’assuré,

la date de naissance de l’assuré,

la date de décès de l’assuré,

la CSP de l’assuré,

la date d’effet du contrat,

l’identifiant de chaque mouvement,

le type de mouvement (frais, rachat partiel, arbitrage…),

la date d’effet de chaque mouvement

le montant d’investissement ou désinvestissement par mouvement et par

fonds,

l’état du mouvement (les mouvements annulés ont été supprimés de l’étude),

l’état du contrat (encours, annulé, racheté…),

la date de cet état,

le nombre d’UC par fonds et par contrat au 31/12/07,

les valeurs liquidatives hebdomadaires de chaque fonds.

Chapitre 2 : Traitement des données

Ce chapitre décrit :

les notions de censure et troncature,

la fiabilisation des données,

les traitements réalisés sur celles-ci.

Section 2.1 : La censure et la troncature

Les individus du portefeuille ne sont pas observés de leur naissance à leur décès. Il est

important de correctement géré ce manque d’information au risque de biaiser les

résultats. Les notions de « censure » et « troncature », complétées par la méthode de

Kaplan-Meyer, permettent de tenir compte de l’incomplétude de ces informations.

Lorsqu’un assuré souscrit un contrat d’épargne, il est alors entre deux anniversaires x et

x+1. L’observation de l’âge x de l’assuré est alors incomplète.





De même lorsqu’un assuré sort du portefeuille (rachat, décès) l’âge de la dernière année

d’observation est censuré. Pour la méthode actuarielle les données censurées et

tronquées ont un poids d’un demi.

Section 2.2 : Détection et traitement des valeurs aberrantes

Il existe dans tout système de gestion de nombreuses valeurs erronées (montants, dates,

doublons…). Les inventaires permettent d’en détecter et corriger une grande partie.

Le premier lot d’erreurs est découvert suite à l’arrêt des macros : âge négatifs,

dépassement de capacité.

La deuxième méthode est visuelle. L’étude des différents graphes révèlent des pics

« étranges » ou des résultats contre intuitifs. Cela a permis d’identifier des biais, en effet

il existait des arbitrages automatiques suite à la fermeture de fonds.

Exemple du graphique des variations par UC pour deux fonds de même nature dont la

cotation de l’un s’arrête pendant la période d’observation :

Le nombre d’arbitrages explose à une date donnée. Ce graphique est l’illustration d’un

cas concret d’arbitrage automatique suite à la fermeture d’un fond que nous n’avons pas

pris en compte.

Ces deux premières approches sont empiriques, elles permettent d’identifier une grande

partie des données erronées mais ne garantissent pas une correction complète. Certaines

données sont présentes plusieurs fois en base (date de naissance, sexe et qualité…), en

les recoupant il est donc possible de relever des contradictions qui peuvent ensuite être

corrigées par déduction.





Pour les mouvements une recette a été effectuée pour s’assurer que la somme des

variations permettait de reconstituer les anciens arrêtés de compte. Concernant les

arbitrages, les contrôles vérifiaient que la somme des désinvestissements correspondait à

la somme des investissements.

Section 2.3 : Adapter les données aux différents risques étudiés

Après avoir fiabiliser les données, différents traitements sont réalisés pour permettre la

création d’une table d’expérience sur la mortalité du portefeuille.

1. Les dates de début et fin d’observation sont déterminées, en sachant qu’un assuré

peut avoir plusieurs contrats :

La date de début d’observation est égale au minimum des dates d’effet des

contrats de l’assuré.

La date de fin d’observation est égale à :

la date de décès si l’assuré est décédé,

au 31/12/2007 si l’assuré a un contrat en vigueur à cette date,

sinon au maximum des dates de fin d’effet des contrats de l’assuré,

2. Une fois ces deux dates obtenues, il est facile, en utilisant sa date de naissance, de

connaître les âges auxquels l’assuré a été observé. Pour chaque assuré et pour

chaque âge de 0 à 107 ans, la macro VBA détermine s’il s’agit de l’âge d’entrée en

portefeuille (« T » pour tronqué), d’un âge observé entièrement (c'est-à-dire

compris strictement entre l’âge d’entrée et l’âge de sortie : « X ») ou de l’âge de

sortie du portefeuille (« C »).

Cette méthode permet de discrétiser l’évaluation par Kaplan-Meyer. Le pas utilisé est

annuel pour des raisons de places de stockage et de temps de traitement.


Modélisation du comportement des assurés d’un portefeuille épargne et application au travers d’un calcul de coût d’une garantie plancher.


Le tableau et le schéma ci-dessous illustrent le traitement réalisé :

Il est facile ensuite d’en déduire la mortalité, par exemple à 62 ans ont été observés, 3 assurés sur la totalité de l’année et un décès.

Id assuré

Date de naissance

Date de décès

Date de début d'obs.

Date de fin d'obs.

Âge en début d'obs.

Âge en fin d'obs.

0 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 107

6876987 02/12/ 60 30/12/97 31/12/07 37 47 T X X X X X X X X X C

46587 10/08/39 07/01/98 31/12/07 68 78 T X X X X X X X X X C

4653 19/01/51 31/12/97 31/12/07 46 56 T X X X X X X X X X C

145629 16/11/38 31/12/97 31/12/07 59 69 T X X X X X X X X X C

43729 26/03/ 37 07/07/99 31/12/97 07/07/99 60 62 T X D

325476 03/06/42 03/12/97 15/12/06 55 64 T X X X X X X X X C

Assuré 6876987

Assuré 46587

Assuré 4653

Assuré 145629

Assuré 43729

Assuré 325476





Pour les rachats il a fallu créer un fichier répertoriant l’ensemble des mouvements

correspondant en incluant les variables suivantes :

Le numéro du contrat,

La date d’effet du contrat,

La date d’effet du rachat,

L’épargne avant le rachat,

L’épargne après le rachat.

Ce fichier, qui a été épuré des rachats annulés ou des montants aberrants, a permis de

construire différentes variables utiles à notre étude :

L’ancienneté des contrats lors de son rachat,

Le pourcentage d’épargne racheté.

Puis à partir de cette table nous avons pu extraire, par macro, les informations utiles à

notre étude en sélectionnant les critères dont nous avions besoin (par exemple le nombre

de contrat ayant réalisé un rachat durant sa première année de vie avec le cumul des

montants associés). Nous disposions alors de l’ensemble des statistiques nécessaire à la

construction de notre loi de rachat.

Concernant les versements, la méthode de reconstitution de l’épargne a permis de créer

des tables regroupant l’ensemble des versements avec leurs dates d’effets associées. Il

aura juste fallu agréger les résultats par mois pour obtenir nos séries temporelles.

Section 2.4 : Volume après traitement

Voici un tableau récapitulant le volume de données supprimées pour l’exercice 2007 :

Année 2007 Nombre de

contrats Nombre de

mouvements

Volumes initiaux 213 329 1 532 844

Volume après traitement

en absolu 202 227 1 453 136

par rapport au volume initial

94,80% 94,80%

Le pourcentage de contrats supprimés est le même que le pourcentage de mouvements

supprimés puisque dès qu’une information obligeait la suppression d’un mouvement

alors le contrat au complet était supprimé, et vice et versa.

Enfin il faut préciser que 9,67% des données erronées ont pu être reconstituées passant

ainsi le pourcentage de volume de données supprimées de 14,87% au 5,20% du tableau.

La reconstruction a été possible par les nombreux doublons disponibles.





Chapitre 3 : Les différents choix réalisés

Section 3.1 : Choix du périmètre de l’étude

Le périmètre de l’étude est un choix très important puisqu’il va conditionner l’ensemble

des résultats. Différentes contraintes antagonistes existent : le nombre d’années

d’observation doit être suffisant pour obtenir des volumes d’étude suffisants, des années

trop anciennes peuvent intégrer des informations caduques (du fait de la fiscalité, la

réglementation, …).

Le portefeuille contient des mouvements financiers entre le 1er janvier 1997 et le 31

décembre 2007 ce qui permet d’observer une période de neuf années complètes et

d’étudier un cycle de vie d’un contrat d’épargne.

Les deux premières années ne contiennent pas assez de données pour être exploitables

puisque moins de 10 000 contrats sont présents. L’étude porte donc sur une période de 9

années du 1er janvier 1999 au 31 décembre 2007. La dernière année est complète c'est-à-

dire que l’ensemble des sinistres ont été enregistrés.

Cette période contient la crise de la bulle internet de 2001 permettant d’observer la

réaction des assurés en temps de crise, ainsi que les jours suivant le 11 septembre

associés à une sécurisation de l’épargne.

Section 3.2 : Choix concernant les tables de mortalités

Pour la construction des tables de mortalité, les informations disponibles ne permettent

pas de réaliser des tables sur l’ensemble des âges. Les âges faibles (inférieurs à 21 ans)

et élevés (supérieurs à 88 ans) ne sont donc pas étudiés. Le fait que la table d’expérience

n’intègre pas les âges extrêmes n’a aucune incidence car ces âges ne sont pas (ou peu)

présents en portefeuille et qu’ils n’ont pas besoin d’être modélisés.





Chapitre 4 : Statistiques descriptives

Une fois l’ensemble des données traitées, il est possible de s’intéresser aux statistiques

descriptives du portefeuille. Ce chapitre présente les principales statistiques en

commençant par un aperçu général des données, puis en présentant plus

particulièrement les données liées aux différents risques étudiés.

Section 4.1 : Le portefeuille

Le premier tableau présente l’évolution du nombre de contrat moyen, l’encours associé et

l’épargne moyen d’un contrat le long du périmètre retenu.

Années Nbre de

contrats

Encours

moyen

Epargne moyen

d'un contrat

1999 29 429 244 798 103 € 8 318 €

2000 72 146 685 127 701 € 9 496 €

2001 103 548 875 837 358 € 8 458 €

2002 121 805 948 424 099 € 7 786 €

2003 125 205 971 131 691 € 7 756 €

2004 125 487 1 098 939 404 € 8 757 €

2005 128 162 1 284 152 408 € 10 020 €

2006 161 666 1 716 618 760 € 10 618 €

2007 202 227 2 422 203 302 € 11 978 €

Ce portefeuille est donc assez jeune, puisqu’en 1999 le nombre de contrat ne dépasse pas

les 30 000 alors que nous avons plus de 200 000 contrats en 2007, c'est-à-dire presque

sept fois plus. Ce portefeuille n’est pas encore arrivé à maturité puisque même si entre

2002 et 2005 le nombre de contrat est assez stable (autour de 125 000) nous pouvons voir

une très nette progression durant les deux dernières années de 26% en 2006 et de 25%

en 2007.

L’épargne moyenne d’un contrat calculée comme le rapport de l’encours moyen sur le

nombre de contrat moyen suit une évolution assimilable à celle des marchés financiers.

Effectivement la période boursière 2000-2003 conserve une tendance générale baissière

et coïncide avec la baisse de l’épargne des contrats. Puis la période 2004-2007, où la

santé financière des marchés était repartie à la hausse, l’épargne connaît une forte

hausse d’environ 50% en 4 ans. Les contrats étudiés étant des contrats multisupport

investis sur des fonds en unité de compte il est assez logique de retrouver ce résultat qui

concorde aussi avec l’évolution des fonds disponibles pour ce produit.

De plus la nette augmentation du nombre de contrat sur la période 2006-2007 coïncide

avec une période de forte rentabilité et donc avec un réel attrait de ce produit pour les

nouveaux assurés. Nous pouvons noter que la confiance des assurés en la solidité des

marchés est assez longue à revenir puisque même si dès 2004 la rentabilité des fonds

proposés dépassait, en général, les 10%, il faudra attendre 2006 pour que la croissance

du portefeuille reprenne.





La répartition homme / femme du portefeuille est plutôt bien respectée puisque pour

prendre l’exemple de la dernière année (2007) nous avons :

Pourcentage

d'homme

Pourcentage

de femme

55,34% 44,66%

Il est aussi intéressant de regarder la répartition des assurés en fonction de leurs âges

sur l’ensemble du périmètre d’étude.

Et voici quelques statistiques associées :

Moyenne du nombre

d’assurés par âge 20 938

Max 37 144

Min 1 310

Variance 130 057 510

Ecart type 11 404

Kurtosis -1. 39196

L’augmentation du nombre de personne par classe d’âge est quasi linéaire pour atteindre

son maximum à 57 ans, puis nous observons un deuxième pic autour de 66 ans suivi

d’une décroissance rapide du nombre d’assuré pour des âges plus élevés. La moyenne est

aux alentours de 21 000 personnes et les âges les plus représentés se situent entre 42 et

74 ans.

Nous pouvons aussi déterminer l’âge moyen des assurés du portefeuille pour la période

des 9 années étudiées qui est de 55 ans.

Le portefeuille est donc constitué en majeur partie de personnes en fin de vie active et de

jeunes retraités qui profitent des avantages de l’assurance vie pour constituer un capital





pouvant servir en complément d’une retraite, à une transmission de patrimoine ou à

d’autres besoins pécuniaires.

Section 4.2 : Les décès

Le nombre de décès par année dépend du nombre de contrats actifs dans le portefeuille,

il faut donc s’intéresser à un nombre moyen de décès par contrat. Effectivement, il y a eu

116 décès en 1999, contre 1306 en 2007, mais ces données sont complètement biaisées

par l’augmentation massive du nombre d’assurés que nous avons pu voir précédemment.

C’est pourquoi le graphique suivant montre l’évolution du nombre de décès moyen par

contrat au cours du temps.

Le taux de décès des hommes est plus élevé que celui des femmes pour chaque année

d’observation cela correspond à une tendance générale souvent vérifiée. Il apparaît que

pour l’année 1999 il y avait en moyenne 4 décès pour 1000 personnes et ce taux

augmente en 2007 à 6,4 décès pour 1000 personnes. Nous observons donc une

augmentation du nombre moyen de décès. Il existe plusieurs explications à ce

phénomène :

- L’âge moyen du portefeuille qui augmente en fonction du temps puisque les

contrats d’assurance vie sont des contrats conservés plusieurs années par les

assurés

- L’effet « fourgous » qui permet aux assurés de transférer leurs anciens

contrats en euros en des contrats multisupport tout en gardant leurs

anciennetés peut entraîner une augmentation de l’âge moyen du portefeuille.

Effectivement une ancienneté élevée est souvent synonyme d’âge plus

important pour les assurés.

Cette liste n’est pas exhaustive. Il est très difficile d’isoler une unique raison à ce

phénomène mais cette étude se concentrera sur la création de table de mortalité

permettant au mieux de maitriser le risque décès quelles qu’en soit les conséquences.





Section 4.3 : Les rachats

Les différents traitements réalisés sur les mouvements associés aux rachats ont permis

d’isoler les rachats totaux ou partiels annulés. L’ensemble des rachats annulés

représente moins d’un pourcent des rachats valides c’est pourquoi nous les indiquons à

titre indicatif mais nous ne les étudierons pas dans la suite de l’étude.

Voici un tableau récapitulatif des différents rachats par année :

Nombre de rachats

Années Nombre de

contrats Rachat total

Rachat total

annulé Rachat partiel

Rachat

partiel

annulé

1999 29 429 298 (1,01%) 4 415 (1,41%) 14

2000 72 146 660 (0,91%) 15 1 444 (2,00%) 24

2001 103 548 2 342 (2,26%) 16 1 884 (1,82%) 18

2002 121 805 2 508 (2,06%) 15 1 754 (1,44%) 20

2003 125 205 2 633 (2,10%) 7 1 768 (1,41%) 5

2004 125 487 2 545 (2,03%) 9 2 153 (1,72%) 17

2005 128 162 2 367 (1,85%) 7 2 552 (1,99%) 11

2006 161 666 3 049 (1,89%) 42 5 117 (3,17%) 62

2007 202 227 4 973 (2,46%) 26 10 537 (5,21%) 45

Le nombre de rachats augmente parallèlement à la croissance du portefeuille. Nous

pouvons cependant voir que le nombre de rachats totaux et de rachats partiels n’est pas

particulièrement lié. En 1999-2000, les rachats partiels sont majoritaires alors que sur la

période 2001-2004 nous observons l’inverse. Au global nous observons plus de rachats

partiels que de rachats totaux ce qui est assez intuitif puisqu’un assuré pourra réaliser

plusieurs rachats partiels sur le même contrat alors qu’il ne pourra racheter totalement

son épargne qu’une fois.

Le graphique suivant montre l’évolution du nombre de rachats (totaux ou partiels) divisé

par le nombre de contrat au global par mois :





Ce graphique est assez stable puisqu’il oscille entre 0,2% et 0,4% sur la période 1999-

2006. Enfin nous observons une augmentation du pourcentage de rachats à partir de mi

2006.

La période d’observation inclus une crise financière (l’explosion de la bulle internet de

2000) et il est assez étonnant de ne pas voir un changement significatif du pourcentage

de rachat et donc du comportement des assurés en temps de crise. Il faut regarder plus

précisément chaque mouvement pour voir une augmentation très ponctuelle du nombre

de rachats et surtout du nombre d’arbitrages vers le fonds euros le lendemain du 11

septembre 2001. A titre indicatif les rachats doublent le lendemain de cette date et les

arbitrages vers le fonds euros triplent par rapport à la moyenne des 30 derniers jours.

Cependant ce pic ponctuel est lissé par les données mensuelles et n’apparaît quasiment

pas sur ce graphique.

L’augmentation du pourcentage du nombre de rachats à partir de mi 2006 est par contre

assez significative et peut s’expliquer par l’arrivée à maturité des contrats les plus

anciens. Les avantages fiscaux des contrats d’assurance vie sont optimums dès que les

contrats dépassent les 8 années d’ancienneté. Notre portefeuille étant jeune, nous avions

peu de chance de pouvoir observer durant les premières années le comportement des

assurés ayant un contrat d’au moins 8 ans d’ancienneté ce que nous pouvons faire à

partir de 2005-2006. Effectivement nous observions en 2000 moins de 100 contrats

d’ancienneté supérieure à 8 ans alors qu’à partir de 2005 ce nombre augmente

énormément pour atteindre 3 429 en fin d’année et 14 862 en fin d’année 2006.

Le graphique suivant montre le montant mensuel moyen des rachats :

Ce graphique est lui aussi assez stable avec pour moyenne un montant de 6 175 euros. Il

n’est pas possible de distinguer de tendance particulière mais ce montant concorde avec

l’épargne moyenne disponible qui est légèrement plus élevé. Ce graphique regroupe les

rachats totaux et les rachats partiels qui sont d’un montant naturellement plus faible.





Section 4.4 : Les versements

Voici un tableau récapitulatif du nombre des différents versements par année :

Nombre de versements

Années VLP Impayés VI Annulation

30 jours VL VL annulés

1999 40 543 287 37 488 262 5 344 94

2000 105 350 621 58 144 306 15 728 299

2001 141 645 1 031 37 527 232 12 231 146

2002 140 617 823 17 979 150 8 742 79

2003 144 452 838 4 072 49 4 496 33

2004 150 966 668 4 959 52 5 235 65

2005 169 349 664 19 374 101 10 948 160

2006 291 142 2 486 58 393 457 22 204 505

2007 468 559 4 284 57 461 376 31 618 437

Pour chaque type de versements, les annulations ou les impayés représentent :

- 0,76% pour les versements libres programmés

- 0,67% pour les versements initiaux

- 1,5% pour les versements libres

Le nombre de versements initiaux et de versements libres est fortement corrélé aux

périodes de crise des marchés. Effectivement la période 2001-2004 est une période de

crise alors que les périodes 1999-2001 et 2004-2007 sont des périodes fastes. Durant la

période de crise nous pouvons constater une très nette baisse du nombre de versements

lié au manque de confiance des assurés. Les versements libres baissent de 73% entre

2000 et 2003, sur la même période les versements initiaux baissent de 93%.

Le nombre de versement libre programmé va par définition être plus régulier que les

autres versements puisque la mise en place de ce type de versements est définie

contractuellement et montre une volonté d’investissement régulier de la part de l’assuré.

Ce nombre reste quasi constant contrairement aux autres types de versements qui sur la

même période auront tendance à baisser.





Voici les graphiques des montants moyens des différents types de versements :





Contrairement au nombre de versement, les montants moyens des versements sont assez

uniformes. Cela signifie qu’il existe des périodes fastes aux versements et des périodes de

crises, mais dans le cas où l’assuré choisi de verser de l’argent, le montant moyen reste

quasiment le même.

Le montant des VLP est le plus stable par définition et peut s’approcher par régression

linéaire. Nous observons une légère cassure du montant moyen à partir de janvier 2006

qui fait passer la moyenne des versements de 112 euros sur la période précédent cette

date à 85 sur la période suivant cette date.

Le montant des versements libres et des versements initiaux peuvent s’identifier à des

séries temporelles. Effectivement le montant des versements initiaux est quasiment

stationnaire avec quelques chocs en particulier pendant le mois de juin 2004 ou nous

pouvons voir un montant moyen 5 fois plus important qu’en temps normal et provoqué

par l’arrivée de clients plus fortunés. Cependant sur les 9 années d’observation ce

montant est quasi stationnaire, sans période apparente mais avec un bruit plus ou moins

important.

Le montant des versements libres semble lui aussi correspondre à une série temporelle

ayant un trend légèrement croissant et peut être même une périodicité annuelle puisque

nous pouvons voir des pics plus ou moins régulier en juillet. Ces premières observations

seront vérifiées par des tests adéquats en temps voulu.

Section 4.5 : Définition des périodes de crises

Entre 1999 et 2007 les marchés ont connu différentes périodes fastes ou non et un crack

communément appelée « bulle internet ». Lorsque nous nous intéressons aux différentes

valeurs mobilières constituant le marché français il est assez simple de décrire avec le

recul que nous avons aujourd’hui, les différentes périodes de hausses et de baisses des

marchés grâce aux historiques disponibles. En prenant comme référence l’indice phare

des cotations de paris, le CAC 40, nous pouvons déterminer des périodes très précises de

hausses et de baisses :

Entre le 1er janvier 1999 et le 4 septembre 2000 ainsi qu’entre le 12 mars 2003 et le 13

juillet 2007, le CAC 40 est dans une tendance haussière. Entre le 4 septembre 2000 et le

12 mars 2003, le CAC 40 est dans une tendance baissière.

Cependant il n’est pas aussi facile pour les assurés, de déterminer ces tendances avec

une si grande précision d’une part et de réagir assez vite en fonction d’autre part.

Effectivement les marchés réagissent très vite aux annonces et il est quasi impossible

pour un particulier de prendre conscience de ces inversions de tendances dans les

premiers temps. De plus lorsque ces derniers se rendent compte de cette inversion de

tendance, il est souvent trop tard pour réagir : prendre la décision de racheter son

contrat après 6 mois de crise se révèle très difficile puisque l’assuré doit déjà faire face à

une perte conséquente. A l’inverse investir dans un fonds ayant déjà eu une hausse

importante est aussi difficile puisque l’assuré se demande s’il n’est pas déjà trop tard.

C’est pourquoi les périodes définies par les données historiques des marchés ne

correspondent pas précisément aux périodes fastes et de crises que nous pouvons

réellement identifier grâce aux données de notre portefeuille.

Nous avons réalisé un tableau récapitulant l’ensemble des rendements mensuels,

trimestriels, et annuels des différents fonds proposés aux assurés et nous avons mis ces

données en relation avec le nombre de versements et de rachats effectués par les assurés

afin de déterminer un décalage qui s’identifie au temps de réaction des assurés.





Nous allons illustrer ce décalage par le graphique semestriel du nombre de versements

libres et initiaux :

Ce décalage est assez net puisque nous pouvons voir le nombre de versements initiaux

fondre littéralement à partir de juillet 2002 jusqu’à juillet 2005. C’est d’ailleurs la

période de crise retenue pour notre portefeuille. Le décalage pour ce portefeuille est donc

d’un an et demi pour le début de la crise et pour la fin de la crise. La période de crise de 3

ans est respectée à travers le comportement des assurés mais avec un décalage temporel

assez long qui laisse le temps de réaliser ce changement de tendance.

Nous pouvons faire plusieurs remarques sur ce décalage :

- Pour les versements, le montant est quasi constant c’est pourquoi nous ne

pouvons visualiser ce temps de réaction que sur le nombre d’actes de gestion

qui diminue fortement en temps de crise passant d’une moyenne de 20590

versements initiaux avant la crise à une moyenne de 3576 versements initiaux

pendant la crise, pour revenir à une moyenne de 25961 versements initiaux

après la crise.

- Pour les rachats il n’est pas possible d’identifier sur ce portefeuille une

différence de comportement des assurés liée à l’explosion de la bulle internet.

Le nombre de rachats n’augmente pas assez significativement pour nous

permettre de corroborer les résultats trouvés sur les versements ni pour

déterminer une autre période de crise. A titre informatif, sur les périodes

définis grâce aux versements, la moyenne du nombre de rachats avant crise

est de 1578 par mois, de 2173 pendant la crise et de 6291 après la crise

(données semestrielles). Il faut rappeler que ce portefeuille n’est pas encore

arrivé à maturité c’est probablement une raison pour laquelle nous ne

pouvons pas voir d’impact de la crise sur les rachats. Effectivement

l’assurance vie est un produit long terme et les assurés vont probablement

privilégier l’importance d’arriver à 8 années d’ancienneté sur leurs contrats

tout en gardant à l’esprit que les cycles boursiers font parti des aléas à

traverser sur ce genre de produit. L’étude dynamique des rachats en temps de

crise est évidemment intéressante pour l’assureur puisqu’il devra faire face à

un réel problème de liquidité mais les données de notre portefeuille ne nous

permettent pas d’identifier ce comportement.





PPAARRTTIIEE IIIIII

CCaalliibbrraattiioonn ddeess mmooddèèlleess ssuurr llee

ppoorrtteeffeeuuiillllee ééppaarrggnnee





PARTIE III : CALIBRATION DES MODELES

SUR LE PORTEFEUILLE EPARGNE

Ce chapitre présente les résultats du calibrage des modèles évoqués dans la partie 1 en

commençant par les tables de mortalité, suivie par la loi de rachat et en terminant par

une présentation des résultats liés aux versements.

Chapitre 1 : Construction des tables de mortalité

Après avoir présenté les deux méthodes de calcul du taux de mortalité, les résultats

obtenus pour la construction des tables de mortalités selon les différentes méthodes

retenues sont détaillés.

Remarque : La table de mortalité réalisée n’est pas complète, elle n’est par exemple pas

définie aux âges extrêmes, mais pour la modélisation du portefeuille étudié ces

approximations n’ont aucune importance (il n’y quasiment aucun assuré ayant moins de

10 ans ou plus de 80 ans).

Section 1.1 : Calcul des taux de mortalité

Pour construire une table de mortalité, les taux de mortalité bruts du portefeuille

associés à chaque âge doivent être définis. Pour cela deux méthodes sont utilisées, la

méthode actuarielle et la méthode de Kaplan Meier.

Le traitement des données a permis de connaître le nombre d’observations complètes (X),

le nombre d’observations censurées (C), le nombre d’observations tronquées (T) et le

nombre de décès (D) observés sur 9 années et cela pour chaque âge donné. N représente

le nombre total d’observations. Le taux de mortalité de l’âge « x » est défini par :

x

xx

N

Dq

Les différentes méthodes de calcul du taux de mortalité dépendront de la manière dont

les données censurées et tronquées seront comptabilisées.

La méthode actuarielle :

Cette méthode considère que toute personne censurée ou tronquée, pendant une période,

est exposée au risque en moyenne sur une demi-période, ce qui implique l’hypothèse

suivante : les censures et les troncatures sont uniformes et indépendantes sur une

période.

De ce fait, le taux de mortalité à l’âge « x » devient :

22

xxx

xx CT

X

Dq





La méthode de Kaplan Meier :

Cette méthode consiste à estimer la probabilité de survie à l’instant t comme étant la

probabilité de survivre à la période tt ;1 sachant que l’individu est en vie à la date

1t . Un produit de probabilité de survie est ainsi obtenu :

tx ppptp 21)( avec jj qp 1

L’estimateur s’écrit :

j j

jx

n

dtS 1)(ˆ et )(ˆ1)(ˆ tStQ xx

Lorsque les censures et les troncatures sont prises en compte alors jn devient :

12111 jijj dddndnn

Lorsque les censures et les troncatures sont prises en compte, le nombre d’assurés

observable est différent et nous avons choisi comme convention de considérer qu’une

entrée en portefeuille (une troncature) précède une censure qui précède elle-même un

décès. C’est pourquoi le nombre de têtes restant présentes face au risque de décès est

donné par :

1111 jjjjj tcdnn

L’estimateur de Kaplan Meier )(ˆ tQx conserve la même définition.

Le graphique des résultats comparant la TH/TF avec les taux de mortalité du

portefeuille étudié calculés à l’aide des deux méthodes décrites :





La première remarque sur le taux de mortalité actuariel est qu’il est en dessous des

tables TH0002/TF0002 (tables utilisées dans les conditions générales du produit) malgré

une population mixte. Cette constatation semble montrer que la méthode actuariel sous

estime les taux de mortalité, ou tout du moins, est moins fine que la méthode de Kaplan

Meier. Un pic à l’âge de 87 ans est observé.

Le taux de Kaplan Meier est lui entre la courbe de la TH0002 et celle de la TF0002

respectant ainsi la mixité de la population du portefeuille. Ce résultat est plus rassurant

puisque la courbe des taux de mortalité est cohérente avec les tables de mortalité de la

population Française. Le même pic est observé à l’âge de 87 ans qui est encore plus

accentué par cette méthode de calcul. Il faut aussi remarquer que pour l’âge de 88 ans la

courbe des taux de mortalité de Kaplan Meier est en dessous de la TF0002 et seulement

pour cette année. Il existe une plus grande volatilité des taux de mortalité pour les

grands âges car le nombre de personnes observé est bien moindre.

Section 1.2 : La méthode de Makeham

Il faut tout d’abord déterminer si la méthode de Makeham est acceptable pour les

données déterminées par la méthode actuarielle. Pour cela la variable 1ln xx qq est

calculée pour l’intervalle d’âge ansans 88;21 puis, grâce à Excel, une courbe de

tendance linéaire est calculée. Sont ainsi obtenus, une équation ainsi que le 2R associé à

la courbe de tendance permettant ainsi de juger de la qualité de la régression.

Pour la méthode actuarielle les résultats obtenus sont satisfaisants car le 2R obtenu est

de 0,64. La courbe a une tendance haussière (pente de 0,06) avec un trou entre 54 ans et

56 ans affectant légèrement la qualité de la régression.

Il est donc possible d’appliquer le modèle de Makeham pour construire une table de

mortalité lissée de type exponentielle permettant d’estimer des taux de mortalité sur le

portefeuille. La table de mortalité construite n’est pas complète du fait de la faible





quantité de données disponibles en particulier pour les grands âges. Cependant en se

concentrant sur un intervalle compris entre 21 ans et 88 ans, un lissage satisfaisant est

obtenu.

Voici le graphique représentant les taux donnés par la formule de Makeham et comparé

aux tables TH/TF0002 :

Les paramètres calculés grâce à la méthode de Frère sont les suivants :

Malgré les différents choix arbitraires imposés par cette méthode (le choix du pivot en

particulier), les résultats se rapprochent de la courbe réelle. L’écart le plus important

entre la courbe lissée et la courbe des taux de mortalité actuariel se situe au niveau de

l’intervalle 69 – 80 ans, où la courbe lissée est légèrement au dessus de la courbe des

taux réels.

La même procédure est réalisée pour les taux calculés par la méthode de Kaplan Meier.

Paramètres

ln( ) 0.10475591 0.0002853234

ln( ) -11.7021052 0.0000078504

0.00028532 1.1104395310





La même étude sur la faisabilité de la méthode de Frère est réalisée : grâce à une

régression linéaire sur la courbe de 1ln xx qq pour l’intervalle d’âge ansans 88;21 .

Le 2R est un moins satisfaisant que précédemment mais reste acceptable puisqu’il vaut

0,56. Il apparait par contre un pic très important entre 54 et 56 ans. Ce pic a une plus

grande amplitude comparé à celui observé sur le graphique lié aux taux actuariels et

cette différence s’explique par la méthode de calcul utilisée :

Le nombre de décès constaté à l’âge de 55 ans est plus faible que pour les autres années

voisines, le terme multiplicatif venant s’ajouter au calcul de taux de mortalité est donc :

1155

55 n

d

Ce qui entraîne que 5655ˆˆ QQ et ainsi le logarithme de la différence est fortement

négatif. Ce point particulier affecte fortement la qualité de la régression : une valeur est

fixée arbitrairement pour l’âge 55 ans, égale à la moyenne des valeurs des âges 54 et 56

ans, le 2R obtenu est alors égale à 0,72. Cette remarque renforce l’idée de départ

concernant la validité du modèle de Makeham pour ces données.

Voici les paramètres et le graphique des taux donnés par la formule de Kaplan Meier et

comparé aux tables TH/TF0002 :

Paramètres

ln( ) 0.105167 0.000495

ln( ) -11.486840 0.000010

0.000495 1.110896





La qualité du lissage est légèrement moins bonne que la précédente mais l’avantage de

cette méthode est que la courbe reste quasiment entre la TH/TF0002, tout au long de

l’intervalle (excepté pour les âges les plus grands).

Section 1.3 : Comparaison des deux méthodes

Ces deux méthodes de calculs ont chacune leurs avantages et leurs inconvénients :

- La méthode actuarielle est plus simple à mettre en place mais suppose que

chaque personne censurée ou tronquée est exposée au risque en moyenne sur

une demi-période. Cette contrainte est assez forte lorsque la période est

grande. Dans l’exemple étudié le pas est annuel et c’est pourquoi cette

méthode de calcul est moins robuste que la suivante. L’utilisation d’un pas

mensuel aurait pu être plus appropriée, mais dans ce cas un autre problème

survient qui est le nombre trop faible de décès par mois.

- L’application pratique de l’estimateur de Kaplan Meier suppose l’utilisation de

la chronologie exacte des sorties du portefeuille ainsi que le nombre de

censures et de troncatures entre deux mouvements. Cette exigence est forte et

nécessite un traitement important, la disponibilité d’informations

quotidiennes et individuelles a permis d’appliquer cette méthode et voir que

les résultats obtenus concordent avec les tables d’expériences de l’INSEE.





Le graphe ci-dessous présente la comparaison des résultats entre la méthode actuarielle

et la méthode de Kaplan Meier :

La mesure de la distance entre les données expérimentales et le modèle théorique (la

méthode des moindres carrés) donne une valeur de 0,0013 pour le lissage de la méthode

de Kaplan Meier et de 0,0004 pour le lissage de la méthode actuarielle. La méthode de

Frère s’applique donc mieux, ici, aux données déterminées grâce à la méthode actuarielle

et cette conclusion est renforcée par le fait que le 2R de validation du modèle des

données actuarielles était déjà meilleur que celui associé aux données de Kaplan Meier.

Conclusion :

L’estimateur de Kaplan Meier est maximum de vraisemblance et donne de meilleurs

résultats que la méthode actuarielle. Même si sa mise en œuvre semble a priori un peu

plus complexe lorsque le volume de données est important, cette méthode permet

d’obtenir des résultats entre la TH0002 et la TF0002 donc en concordance avec la mixité

de la population étudiée. Cette méthode est la meilleure et c’est celle que nous

retiendrons pour notre portefeuille.

Enfin le lissage par la méthode de Frère est meilleur pour la méthode actuarielle mais

reste largement acceptable pour la méthode de Kaplan Meier. Le choix arbitraire du

pivot à 39 ans qui provient de la littérature et qui peut sembler peut évident a été testé

sur une période de 10 ans. Un calibrage du modèle a été réalisé avec un pivot variant de

37 ans à 46 ans et les résultats obtenus par la méthode du maximum de vraisemblance

nous a montrer que le choix de 39 ans est celui qui lisse le mieux la courbe des taux de

mortalité.





Section 1.4 : Par la méthode de Lee & Carter

Le but de cette méthode est de construire des tables prospectives. Ces tables sont plus

fines lorsque l’assureur s’intéresse à la mortalité d’une population dans plusieurs

années. Effectivement, il existe une tendance baissière des taux de mortalité. Il peut

donc être intéressant d’isoler ces tendances passées pour les extrapoler dans le futur et

les appliquer à la table d’expérience retenue de notre portefeuille.

Le modèle de Lee & Carter est pour rappel le suivant :

txtxxtx k ln

Avec : - tx qui est le taux instantané de mortalité à la date t pour l’âge x.

- tx iid et qui suit une loi 2,0 N .

- x s’identifie à la valeur moyenne des txln au cours du temps.

- x traduit la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapport à

l’évolution générale tk .

Dans un souci de temps, le logiciel « LifeMetrics » a été utilisé pour calibrer la prédiction

et la simulation des taux de mortalité. Ce logiciel permet d’aider les utilisateurs dans

leur compréhension de la mortalité historique et dans la prédiction de la mortalité

future. Les données du portefeuille n’étant pas suffisantes pour déterminer ces

tendances et donc d’obtenir une table générationnelle, le programme a été utilisé avec la

table TGF 00-05. Pour des raisons de mémoire, il a été nécessaire de faire débuter la

table à la génération 1984. Cela permet de voir un historique de la tendance à la baisse

des taux de mortalité sur les 22 dernières années. De plus, le programme n’accepte pas

les âges supérieurs à 89 ans (Néanmoins ce point n’est pas gênant puisque notre fenêtre

d’étude s’arrête à 88 ans). L’implémentation du logiciel a été réalisée sous R.

Le logiciel « LifeMetrics » estime les paramètres du modèle de Lee & Carter par la

méthode suivante :

Pour les x :

En notant 1minmax ttt le nombre d’année d’observation, nous avons )exp( x qui

est la moyenne géométrique des tx :

tx

t

tttxtx

t

ttx kt

expexp)(max

min

max

min

Puisque 1max

min

x

xxx et 0

max

min

t

tttk

D’où :

max

min

))(ˆln(1

ˆt

ttx

tx t





Pour les x et des tk :

x le nombre d’âge observé et la matrice de dimensions tx dont les éléments

sont donnés par :

xxttxx tz ˆ))(ˆln(1min,1min

C'est-à-dire le centrage des ))(ˆln( tx par rapport à leur moyenne temporelle.

L’idée est donc d’approximer par le produit d’une matrice colonne et d’une matrice

ligne :

'ˆˆ

Avec 'ˆ,,ˆˆmaxmin xx et 'ˆ,,ˆˆ

maxmin tt de manière optimale au sens des

moindres carrés ordinaires, c'est-à-dire en minimisant :

2

max

min

max

min

1min,1min

x

xx

t

tttxttxx kz

A ce niveau et grâce aux caractéristiques du modèle, l’ensemble de l’information relative

à l’évolution de la mortalité dans le temps est contenu dans la série des tk .

Le second objectif du logiciel est d’extrapoler cette série. Il existe deux méthodes

standard retenues dans la littérature :

- La série des tk peut être considérée comme une série temporelle et retenir le

modèle ARIMA (0,1,0), ce qui donne :

ttt kck 1 avec c une constante et t un bruit blanc

Les prédictions seraient linéaires et les seuls paramètres à estimer seraient c

et 2 .

- Ou alors le modèle de Lee & Carter peut être modifié pour qu’il tienne compte

explicitement d’une tendance temporelle linéaire, ce qui donne :

txxxx tbat )(ˆln

Les différentes études réalisées autour de ce modèle montrent que dans les pays

industrialisés, l’application du modèle de Lee & Carter fournit une courbe des tk

fortement linéaire et spécialement à partir des années 1970. Etant donné que le

périmètre de l’étude s’arrête en 1984, la méthode d’extrapolation utilisée par le logiciel

« LifeMetrics » qui tient compte d’une tendance linéaire s’adapte a priori assez bien à

l’étude.

Dans la suite de cette partie les résultats fournis par le logiciel pour une simulation sont

présentés.





Voici les résultats de la calibration des x et des x pour une simulation :

Voici la calibration et l’extrapolation des tk :

Comme dit précédemment les tk sont extrêmement bien approchés par une régression

linéaire : le 2R obtenu est très proche de 1.

Enfin, comme le montre la courbe des x̂ , le déclin de la mortalité n’est pas identique

pour tous les âges et est moins important pour les grands âges.





L’ensemble des éléments nécessaires pour simuler une table de mortalité prospective sur

20 ans sont donc disponibles. Le graphique ci-dessous illustre cette projection :

Le choix du nombre d’années de projection est paramétrable, ici 20 ans mais ce nombre

n’est pas limité.

Enfin puisque cette approche est stochastique 1000 tables ont été simulées afin d’obtenir

des moyennes de tendance d’évolution pour chaque xQ correspondant à l’exponentiel des

tk .

Le graphe suivant montre cette moyenne de tendance pour les âges 44 et 70.





Une hypothèse forte appliquée ensuite est que ces tendances peuvent être appliquées à

la table d’expérience du portefeuille. Elles permettront ainsi de prendre en compte

l’évolution de la mortalité dans le futur grâce aux données de l’évolution des tendances

passées de l’ensemble de la population Française.

La rigueur nous imposerait une calibration avec une table prospective directement

calculée à partir du portefeuille ce qui est impossible étant donné le nombre trop faible

de données. Cette approximation n’est pas abusive car très peu d’assureurs peuvent

construire une table générationnelle d’expérience.

De plus les mortalités observées précédemment montrent que la population étudiée suit

une loi de décès assez proche de la TF0002.





Chapitre 2 : Construction d’une loi de rachat dynamique

Ce chapitre présente les résultats liés aux rachats. Une première approche dynamique

selon l’ancienneté est présenté, où un taux de rachat et un pourcentage d’épargne

racheté sont déterminés, tous les deux en fonction de l’ancienneté. Enfin une

modélisation dynamique est définie en fonction du temps utilisant les séries temporelles

pour modéliser le nombre de rachat.

Section 2.1 : En fonction de l’ancienneté du contrat

Des univers i sont définis avec 8;0i représentant les contrats d’ancienneté

8;0i formé de deux éventualités 1,i et 2,i correspondant respectivement à

l’évènement de racheter et de ne pas racheter pour une ancienneté fixée.

Les probabilités de réalisation associées à chaque évènement sont notées 1,ip et 2,i

p .

Deux variables aléatoires sont définies iiXX ~ 1,0U et

iiYY ~ 1,0U et

la répartition cumulée des rachats selon le pourcentage racheté : piF ,

où p représente les fourchettes de rachats %100%;95;%;5%;0 .

Cette approche consiste à déterminer pour chaque contrat, dans un premier temps si un

rachat a lieu puis dans le cas où le rachat survient, de déterminer le pourcentage

racheté. Ainsi pour chaque ancienneté doivent être déterminés, grâce aux données

historiques, une probabilité de racheter et un montant de rachat exprimé en pourcentage

de l’épargne disponible.

Cette méthode est directement inspirée de l’IARD : nombre moyen fois coût moyen.

Voici une illustration de cette méthode :

Contrat Ancienneté Tirage

d’une v.a. Test Evènement

Tirage

d’une

v.a.

Test Evènement

1Contrat 1Ancienneté 1,01X Si

1,11 ApX

2

1

Soit

Soit

1,01Y

____ pApA FYF ,111,1

_______

Rachat de p%

Pas de rachat

iContrat iAncienneté 1,0iX 1,iAi pX 1 1,0iY 45,40, iAiiA FYF Rachat de

45%

nContrat nAncienneté 1,0nX 1,nAn pX 2 ____ _______ Pas de rachat

Pour le contrat n° i avec une ancienneté iA , le nombre aléatoire est tiré suivant une loi

uniforme entre 0 et 1, si ce nombre est plus petit que la probabilité de racheter pour cette

ancienneté, un rachat est créé. Un nouveau nombre aléatoire est tiré suivant une loi

uniforme entre 0 et 1 que l’on compare à la répartition cumulée des rachats selon le

pourcentage racheté. Dans cet exemple iY est dans la fourchette 40 - 45%. Nous avons

donc un rachat dont le montant vaut 45% de l’épargne du contrat.





Pour le contrat n° n : Ce contrat à une ancienneté nA , on tire un nombre aléatoire de la

même façon, on test si ce nombre est plus petit que la probabilité de racheter associée à

cette ancienneté. Dans l’exemple la probabilité étant plus grande, il n’y a pas de rachat.

Cette méthode dynamique doit être appliquée un certain nombre de fois (fixé à 1000) et

permet ainsi d’avoir une distribution de rachats pour l’ensemble du portefeuille suite à

1000 simulations.

Pour appliquer cette méthode il a fallut déterminer les probabilités de rachats et la

répartition de ces derniers en fonction de l’ancienneté.

La probabilité de rachat a été déterminée par la méthode actuarielle, exactement comme

pour les décès.

Ci dessous le graphique du pourcentage de rachat en fonction de l’ancienneté et où sont

distingués les rachats partiels des rachats totaux :

L’effet fiscal apparait ici clairement puisque pour les 7 premières années le pourcentage

de rachat varie entre 3,70% et 5%, plutôt stable, alors que pour la 8 ème année il atteint

un pic à 9,20%. Dès la première année (ancienneté 0) 4,31% des contrats effectuent des

rachats dont 1,32% de rachats totaux. Ce taux augmente légèrement la deuxième année

pour ensuite atteindre un plus bas pour une ancienneté de 4 ans.

Le rapport entre les rachats partiels et les rachats totaux est aussi intéressant : la

proportion de rachats totaux d’ancienneté 0 est assez faible (autour de 30% des rachats)

et augmente pour dépasser les 50% au niveau des anciennetés 2, 3, 4 et 5.





A titre informatif, voici les graphiques du montant moyen des rachats en fonction de

l’ancienneté avec la même distinction entre les rachats partiels et les rachats totaux :

Ces graphes montrent une certaine stabilité du montant des rachats partiels et au

contraire une forte croissance du montant des rachats totaux en fonction de leur

ancienneté. Ainsi, les contrats ayant une épargne plus élevée, auront tendance à

respecter plus régulièrement l’objectif des 8 années d’ancienneté. A contrario les rachats

totaux dès les premiers mois sont en moyenne réalisés par des plus petits contrats. Ceci

peut s’expliquer par une plus grande réflexion de la part des assurés pour un placement





important alors que ces derniers vont moins hésiter à racheter dès la première année si

le montant de l’épargne est plus petit.

Il ne reste plus qu’à déterminer la répartition des rachats en fonction de leur

ancienneté c'est-à-dire les piF , . A titre d’exemple nous allons présenter la répartition

cumulée des rachats pour l’ancienneté 0 :

Répartition du pourcentage d’épargne rachetée pour une ancienneté de 0

Fourchettes Nbre de rachats Répartition Cumulé

5% 4 088 32.73% 32.73%

10% 578 4.63% 37.36%

15% 476 3.81% 41.17%

20% 446 3.57% 44.74%

25% 400 3.20% 47.95%

30% 300 2.40% 50.35%

35% 330 2.64% 52.99%

40% 243 1.95% 54.94%

45% 251 2.01% 56.95%

50% 250 2.00% 58.95%

55% 264 2.11% 61.06%

60% 187 1.50% 62.56%

65% 203 1.63% 64.18%

70% 182 1.46% 65.64%

75% 162 1.30% 66.94%

80% 154 1.23% 68.17%

85% 179 1.43% 69.61%

90% 158 1.27% 70.87%

95% 149 1.19% 72.06%

100% 3 489 27.94% 100.00%

Remarque : en reprenant l’ exemple du contrat n° i où l’on avait un rachat de 45% et en

supposant que l’ancienneté de ce contrat était bien 0 alors on peut dire que la variable

aléatoire iY valait entre 0,5495 et 0,5695.





Voici le graphique des 9 répartitions cumulées avec les fourchettes en abscisses et la

répartion en ordonné :

La majeur partie des rachats est concentré dans la fourchette de 5% et de 100%.

L’assuré va donc principalement soit racheter complètement son contrat (rachat total à

100%) soit racheter une partie minime comprise entre 0 et 5% de son épargne.

La forme générale de chaque courbe est assez similaire avec deux pics aux extrêmités et

une tendance quasi linéaire entre.

Les anciennetés dont la proportion de rachat appartenant à la fourchette 0-5% sont les

plus importants sont dans l’ordre : L’ancienneté 0, 1 et 8.

Les anciennetés dont la proportion de rachat appartenant à la fourchette 95-100% sont

les plus importants sont dans l’ordre : L’ancienneté 4, 3 et 5 c'est-à-dire les années

proches de la première réduction fiscale.





Section 2.2 : En fonction du temps

Le principe de cette approche est le suivant et peut être comparé à la précédente :

- Le nombre de rachat est cette fois ci modéliser comme une série temporelle

grâce aux modèles SARIMA par la méthode de Box et Jenkins. Le pas choisi

est mensuel, ce qui nous permets de disposer de 108 observations.

- Le montant des rachats toujours exprimé en pourcentage de l’épargne racheté

est déterminé sur l’ensemble de la période de la même façon que pour la

première méthode mais sans prendre en compte la notion d’ancienneté. La

distribution unique ainsi trouvée sera déterminée sur l’ensemble du périmètre

et sur l’ensemble des contrats sans distinction.

Cette approche permet de synthétiser dans la série du pourcentage de rachats toute

l’information relative à l’évolution des rachats dans le temps. Cette manière de procéder

possède les avantages et les inconvénients de l’objectivité : aucune attention n’est

accordée aux différents facteurs externes pouvant influencer les rachats (hausse des

taux, marchés en baisse, ancienneté du contrat …) mais nous nous bornons à extrapoler

dans le futur les tendances observées dans le passé. Cette démarche peut être critiquée

puisqu’elle est incapable de prévoir des variations subites de rachats mais l’interaction

complexe de facteurs sociaux ou économiques difficiles à modéliser peut rendre cette

technique intéressante.

Voici la série du pourcentage du nombre de rachats que l’on notera tR suivie de son

histogramme et de quelques statistiques descriptives réalisés sous Eviews :





Stationnarisation de la série :

Cette série est clairement non stationnaire. La modélisation SARIMA suppose que la

série des TtRt 1, le soit. Il faut donc déterminer un filtre F permettant de

transformer TtRt 1, en une série TtRFDR tt 1),( stationnaire. Nous

cherchons donc dans un premier temps à déterminer le filtre F .

Pour cela nous allons nous intéresser à l’autocorrélogramme de notre série. Ce dernier

nous montre une décroissance constante typique des séries avec trend. Nous allons donc

différencier notre série et regarder à nouveau l’autocorrélogramme de celle-ci

différenciée à l’ordre 1.

Si l’on note B la fonction de retard ( 1 tt RBR ) alors le filtre appliqué est BF 1 .

Voici les autocorrélogrammes des séries tR et )( tRF respectivement :





Un test de Dickey-Fuller Augmenté (DFA) est réalisé sur la série résultante

TtRF t 1),( afin de déterminer si la série obtenue est bien stationnaire.

Le test de Dickey-Fuller Augmenté repose sur trois tests de racine unité. Ces trois tests

diffèrent par les hypothèses que l’on émet sur le modèle :

- Le premier test porte sur la stationnarité d’un modèle avec constante et trend

- Le second porte sur la stationnarité d’un modèle avec constante sans trend

- Le troisième porte sur la stationnarité d’un modèle sans constante ni trend

Il faut et il suffit qu’un de ces trois tests accepte l’hypothèse nulle qui stipule la présence

d’une racine unité pour conclure que notre série est non stationnaire.

Voici l’illustration d’un des trois tests réalisés (avec constante et trend) :

Nous pouvons bien vérifier que l’hypothèse nulle est rejetée dans ce cas ainsi que dans

les autres cas :

- pour le test avec constante et trend, la p-value vaut 0,0000 (<0,05)

- pour le test avec constante et sans trend, la p-value vaut 0,0001

- pour le test sans constante ni trend, la p-value vaut 0,0000

La série résultante est donc bien stationnaire. Nous retiendrons le filtre BF 1 que

l’on appliquera à la série de base TtRt 1, pour obtenir la série filtrée

TtRF t 1),( stationnaire, àpartir de laquelle nous déterminerons un modèle ARMA.





Casting des modèles envisageables :

La sélection des modèles se fait en deux étapes. La première étape consiste à déterminer

l’ordre des MA et AR qui composeront le modèle. La deuxième étape valide les différents

modèles obtenus en ne gardant que ceux qui ont des coefficients significatifs et des

résidus correspondant à des bruits blancs.

Les critères de sélection et de validation sont les suivants :

- Pour la sélection : nous déterminerons les ordres des MA et des AR grâce aux

autocorrélations et aux autocorrélations partielles respectivement.

- Pour la validation : le modèle doit vérifier deux critères pour être validé. Nous

effectuerons un test de Student sur les coefficients et nous ne garderons que

les modèles pour lesquels les coefficients sont significativement non nuls. Puis

nous vérifierons la blancheur des résidus en testant leur indépendance et leur

stationnarité.

On rappelle que les valeurs de p et de q dans le choix des AR et des MA ne peuvent

dépasser la valeur de : 23.12100

10812

4

1

.

A partir du corrélogramme obtenu précédemment sur la série filtrée nous retenons :

- Les MA d’ordre : 1, 3, 6, 7, 9, 10. Les ordres correspondent aux lags des pics

observés sur l’autocorrélogramme.

- Les AR d’ordre : 1, 2, 6. Les ordres correspondent aux lags des pics observés sur

le diagramme d’autocorrélation partielle.

Nous testerons donc toutes les combinaisons de MA et AR possibles. Pour chacun des

modèles résultant de ces combinaisons, nous appliquerons les critères de validation cités

plus haut.

Exemple du modèle )3,1()2,1( MAAR retenu :





Ce modèle est bien valide puisque les p-values correspondant chacune à des t-stats sont

inférieur à 0,05. On rejette donc l’hypothèse nulle de nullité des coefficients.

Nous nous tournons vers les autocorrélogrammes associés pour vérifier la blancheur des

résidus :

Les autocorrélogrammes permettent de déterminer les corrélations entre les résidus.

Pour que les résidus soient des bruits blancs il est nécessaire qu’ils soient non corrélés.

La Q-stat est la statistique correspondant au test de Ljung-Box pour l’hypothèse nulle de

non-autocorrélation des perturbations (ce qui équivaut à tester la blancheur des résidus).

Pour l’exemple précédent nous voyons que les p-values correspondant à chacune des Q-

stats sont bien supérieures à 0,05. Nous acceptons alors l’hypothèse nulle : les résidus

sont la réalisation d’un bruit blanc.

Pour étudier un peu plus en profondeur la qualité des modèles nous effectuons un test de

normalité des résidus :





Le test de Jarque-Berra permet de tester l’hypothèse nulle selon laquelle les résidus sont

normaux. Ici, la p-value est de 0,004 ce qui est inférieur à 0,05, on rejète donc

l’hypothèse de normalité des résidus pour le modèle )3,1()2,1( MAAR .

Voici un tableau récapitulatif des modèles retenus avec les critères AIC (Akaike

Information Criterion) et SBC (Schwarz’s Bayesian Criterion) correspondants :

AR MA Présence de

racine unité

Normalité

des résidus AIC SBC

1 Non Oui -11,9319 -11,8540

1, 2 Non Oui -11,8745 -11,7839

1 Non Oui -11,8996 -11,7757

1, 3 Non Oui -11,8846 -11,8069

1, 2 1, 3 Non Non -11,8542 -11,7530

Forecast :

Il est possible à l’aide des critères AIC et SBC d’exhiber un ordre de préférence pour

l’étude de nos différents modèles. En effet, plus la valeur absolue du AIC (ou du SBC) est

petite, plus le modèle est bon.

Le meilleur modèle suivant les deux critères AIC et SBC est le modèle )3,1()2,1( MAAR

dont un graphique est donné ci-dessous sur la période de calibration. La courbe rouge

représente la série des rachats initiaux et la courbe bleue notre modèle :





Une fois le pourcentage de rachat modélisé nous pouvons nous intéresser aux montants

de ces rachats. Comme nous l’avions dis précédemment nous appliquons la même

méthode qu’à la section précédente mais nous ne déterminons cette fois qu’une unique

répartition globale calculée sur l’ensemble de notre périmètre d’étude.

Voici le graphique du résultat :

Nous avons dans ce cas 46,59% des rachats qui sont des rachats totaux et 13,86% des

rachats qui appartiennent à la fourchette 0-5%. La forme générale de la courbe reste la

même que pour les graphes précédents du même type.





Chapitre 3 : Détermination des versements

Ce chapitre présente les résultats obtenus concernant les versements. Sont d’abord

décrits les versements libres programmés puis les versements initiaux et enfin les

versements libres. Pour les versements libres et initiaux, deux types de périodes sont

définies dans la partie II les périodes dites de crise et les périodes fastes afin d’intégrer

la dynamique de marché vues au travers des statistiques descriptives de la partie II.

Section 3.1 : Résultats concernant les VLP

Comme dit précédemment les versements libres programmés sont mis en place par

l’assuré pour une période plutôt longue voire sur une grande partie de la vie de son

contrat. Cette acte de gestion permet un investissement régulier de la part de l’assuré

qu’il défini contractuellement.

L’approche retenue pour modéliser ces versements est assez simple étant donnée leur

forte stabilité aussi bien sur le taux de versement des VLP que sur leurs montants.

Le taux de versement des VLP est défini ainsi :

ContratdeNbre

VLPdeNbretxVLP

Ce taux est calculé chaque mois car le nombre de VLP mensuels est assez important

(voir le graphique suivant où le taux devient très stable dès 2001). Entre 1999 et 2001

une plus grande irrégularité dans la courbe est constatée ce qui peut être s’expliquer par

le nombre de contrats plus faible. Cependant dès que le nombre d’assurés est assez

grand le taux de versement moyen est de l’ordre de 9,61% avec un écart-type de 0,0076.

Ce graphique a été approché par une régression linéaire.

Le 2R vaut 0,462 sur l’ensemble du périmètre étudié mais sur la période restreinte

2001-2007 le 2R s’améliore nettement et vaut alors 0,691.





Le montant moyen des versements libres programmés est lui aussi très stable :

Ce graphique est dentelé et cela peut s’expliquer par les différents types de VLP.

Effectivement l’assuré a le choix entre 4 fréquences de versements (mensuelle,

trimestrielle, semestrielle, annuelle), les pics trimestriels apparaissent assez clairement.

La périodicité annuelle est, elle aussi, assez nette. Les personnes réalisant un versement

annuel ont tendance à verser une somme plus importante que les personnes réalisant

des versements mensuels ce qui explique ces pics réguliers à chaque échéance de

paiement.

Une discontinuité dans cette courbe apparait à partir de janvier 2006 qui fait passer la

moyenne des montants de versements mensuels de 112 à 85 euros.

En conclusion le taux de versement est de l’ordre de 9,61% (un contrat sur 10 a mis en

place des VLP) avec un montant mensuel moyen de 85 euros en se basant sur les deux

dernières années d’observation.

Section 3.2 : Résultats concernant les VI

Les versements initiaux ne sont pas pris en compte lors d’un calcul en run-off. Il est par

contre intéressant de connaître et de maitriser cet apport en affaires nouvelles lors de

l’évaluation d’un portefeuille pour le vendre par exemple. Ces versements sont étudiés en

prenant en compte les périodes de crise et les périodes fastes définies dans la partie II

qui conditionnent fortement le comportement des assurés envers ce type de versement.

Effectivement le nombre de versements est fortement corrélé à ces périodes alors que les

montants moyens restent stables. C’est pourquoi le nombre de versements est approché

par deux valeurs moyennes déterminées sur les données historiques.





Ci-dessous le graphique du nombre des versements initiaux semestriels au cours du

temps :

Le pas semestriel a été choisi pour lisser la courbe et permettre une meilleure vision des

deux périodes. La courbe rouge représente la moyenne du nombre des versements selon

les deux types de périodes et montre que la moyenne est un bon estimateur. Encore une

fois ce nombre est légèrement moins stable les premières années puisque le portefeuille

est en forte croissance. Cependant la période de crise est très nettement délimitée et

l’approximation de la courbe bleue par la courbe rouge est acceptable.

La moyenne des montants des versements initiaux est estimée par une modélisation

SARIMA selon un pas mensuel pour bénéficier de 108 données. Ci-dessous la série

associée :





La même méthode (Box et Jenkins) est appliquée que pour la série du nombre de

rachats.

Ci-dessous quelques statistiques descriptives associées à la série des VI :

Stationnarisation de la série :

Les trois tests de DFA sont réalisés sur la série sans filtre au vu de l’autocorrélogramme

et voici les résultats trouvés :





L’hypothèse nulle est rejetée dans ce cas ainsi que dans les autres cas :

- pour le test avec constante et trend, la p-value vaut 0,0000 (<0,05)

- pour le test avec constante et sans trend, la p-value vaut 0,0000

- pour le test sans constante ni trend, la p-value vaut 0,0417

La série est donc stationnaire. Nous n’appliquerons pas de filtre particulier pour cette

série.

Casting des modèles envisageables et forecast :

A partir du corrélogramme obtenu précédemment sur la série filtrée nous retenons :

- Les MA d’ordre : 1, 2, 5, 9. Les ordres correspondent aux lags des pics observés

sur l’autocorrélogramme.

- Les AR d’ordre : 1, 2, 5, 9. Les ordres correspondent aux lags des pics observés

sur le diagramme d’autocorrélation partielle.

Dans un souci de clarté nous ne présenterons ici que le tableau récapitulatif des modèles

retenus avec les critères AIC (Akaike Information Criterion) et SBC (Schwarz’s Bayesian

Criterion) correspondants :

AR MA Présence de

racine unité

Normalité

des résidus AIC SBC

1 1 Non Non 19,8091 19,9234

1, 9 1, 9 Non Oui 19,7989 19,9300

1, 5, 9 1, 5, 9 Non Non 19,8125 19,9160

1, 5 1, 5 Non Oui 19,8146 19,9387

Pour cette série les critères AIC et SBC ne donnent pas le même meilleur modèle.

Cependant il nous est possible de regarder le forecast de chacun des deux modèles

retenus et de conserver seulement celui qui nous parait le meilleur. Notre choix s’est

porté sur le modèle )9,1()9,1( MAAR dont voici le graphique :





Le modèle retenu pour modéliser le montant des versements initiaux est donc le modèle

)9,1()9,1( MAAR ayant pour coefficients :

Paramètres Coefficient

C 10542,29

AR(1) 0,4945

AR(9) -0,2700

MA(1) -0,3203

MA(9) 0,6518

Section 3.3 : Résultats concernant les VL

Sur l’ensemble du périmètre d’étude 116 546 versements libres ont été observés répartis

de la manière suivante :

- 74,98% de ces versements ne sont réalisés qu’une fois par an.

- 17,99% de ces versements sont réalisés deux fois par an.

- 5,63% de ces versements sont réalisés trois fois par an.

Les versements restant allant de 4 à 16 par an et par contrat représentent seulement

1,40% de l’ensemble des versements soit 1631 versements. C’est pourquoi ils ont été

regroupés en seulement trois catégories où sont négligés l’ensemble des versements de

plus de 3 versements par an, soit 1,4% des versements.

De plus nous allons différencier les périodes fastes et de crises qui représentent

respectivement 66% et 33% du temps selon notre périmètre d’étude. Pour cela nous

définissons trois taux de versement par année d’observation et selon les deux types de

périodes retenues. Nous avons donc compté par année et par période le nombre de

contrats réalisant aucun, un, deux ou trois versements et nous avons pu alors définir les

trois taux de versements que nous retiendrons pour la suite de notre étude :

VL

Période de

crise Période faste

Tx pour 1 versement 2.29% 9.76%

Tx pour 2 versements 0.23% 1.22%

Tx pour 3 versements 0.05% 0.43%

Maintenant que nous savons combien de contrat vont effectuer des versements libres

nous pouvons déterminer les deux densités du montant des versements en fonction du

type de période retenu.





Voici le graphique de la densité du montant des versements libres en temps de crise et sa

fonction de répartition associée :

En temps de crise les versements varient entre 498 euros à 23 281 euros et sont

concentrés dans une fourchette allant de 5 500 euros à 11 000 euros avec un très net pic

autour de 7 300 euros. La moyenne de ces montants vaut 7 921 euros. La fonction de

répartition associée nous permet de rester dans une approche dynamique pour l’étude

des versements. Effectivement une fois les contrats procédant à un (ou plusieurs)

versement(s) déterminés nous pouvons en tirant un nombre aléatoire suivant une loi

uniforme 1,0U déterminer un montant respectant la répartition historique du montant

des versements. Le pas retenu est de l’ordre de 500 euros permettant ainsi de lisser la

densité des montants tout en gardant une bonne précision.





L’opération est réalisée une nouvelle fois pour les versements libres en période faste :

En période faste les versements vont de 117 euros à 28 167 euros et sont concentrés dans

une fourchette allant de 5 000 euros à 18 000 euros avec deux pics autour de 7 600 euros

et de 10 500 euros. La moyenne de ces montants vaut 10 007 euros. Les montants sont

bien plus étendus et la moyenne est plus grande que pour la période de crise ce qui est

cohérent avec le type de période. La fonction de répartition est donc plus étendue.

Conclusion : Nous possédons l’ensemble des paramètres nécessaires pour modéliser les

versements libres selon le type de période retenu. Selon les données de notre portefeuille

nous avons à disposition la probabilité d’être en période de crise ou non, puis un taux de

versement que nous pouvons appliquer de manière dynamique aux contrats et enfin la

répartition des montants de ces versements.





PPAARRTTIIEE IIVV

AApppplliiccaattiioonn aauu ttrraavveerrss dduu ccaallccuull dduu

ccooûûtt ddee llaa ggaarraannttiiee ppllaanncchheerr





PARTIE IV : APPLICATION AU TRAVERS DU

CALCUL DU COUT DE LA GARANTIE

PLANCHER

Cette partie est consacrée à une application possible de l’étude du comportement des

assurés au travers du calcul du coût d’une garantie plancher. L’option est expliquée, puis

l’évaluation de l’engagement liée à cette option est présentée. La méthode des puts étant

difficilement applicable pour un portefeuille constitué d’une trentaine de fonds la

garantie est modélisée par une projection des flux futurs. Cette méthode est décrite ainsi

que l’outil créé pour ce calcul et termine par la présentation des résultats.

Chapitre 1 : La garantie plancher

Ce chapitre présente l’option garantie plancher et sa tarification actuelle, puis explique

pourquoi l’évaluation de l’engagement par la méthode des puts n’a pas été retenue et

pourquoi une projection des flux futurs est préférable.

Section 1.1 : Définition et présentation du type de tarification

Le produit étudié contient une option obligatoire à la souscription dès lors que l’assuré

investi sur des fonds en unité de compte appelée garantie plancher.

Lorsque le client choisit d’investir dans un produit d’épargne en UC, la somme versée

correspond à l’achat d’un certain nombre de parts d’un ou de plusieurs supports. Ces

supports sont en général des fonds profilés. L’engagement de l’assureur porte alors sur le

nombre de parts que l’assuré possède et non sur leur valorisation qui dépend de la valeur

liquidative du fonds et donc des marchés financiers. Malgré l’avantage considérable que

représente ce produit de placement qui bénéficie d’une fiscalité avantageuse et qui

présente des perspectives de rendements bien supérieures à un fonds euro, il ne contient

aucune garantie de performance pour l’assuré. Effectivement, l’assuré n’est pas sûr de

pouvoir récupérer sa mise initiale au terme du contrat.

Du point de vue de l’assureur les avantages sont évidents puisque ce dernier transfert

une partie très importante du risque. Le code des assurances prend en compte cette

diminution du risque puisque la marge de solvabilité réglementaire sur ce type de

produit est de 1% des provisions mathématiques contrairement au 4% des produits

adossés à un fonds en Euro.

Ceci explique pourquoi les assurés ont pu voir la création d’options qui sont des

garanties complémentaires apportant une plus grande sécurité aux contrats. Dans notre

cas la garantie plancher se définie de la manière suivante :

La souscription de cette option est obligatoire et garantie l’ensemble des versements de

l’assuré moins ses rachats. Cette valeur (strike) vaut donc :

AvancesRachatsVersementsS

L’organisme assureur prélève actuellement une prime fixe sur encours inclue dans ses

frais de gestion et permettant de financer le coût de la garantie plancher. Les frais sur

encours sont de 1% et la part attribuée à cette option est de 0,4%. La fréquence de





prélèvement de cette prime coïncide avec la fréquence de prélèvement des frais sur

encours.

Section 1.2 : Evaluation des engagements par la méthode des puts

L’évaluation des engagements liés au coût de la garantie plancher est assez libre. La

méthode des puts (répandue) consiste à répliquer la garantie plancher par un put, dont

le strike correspond au capital garanti par l’assureur. L’option est pondérée par les

probabilités de décés et de rachat.

Si l’on note S le capital garanti par l’assureur et défini précédemment alors l’assuré se

voit garantir, en cas de décès à la date t le versement de :

SSMax t ,

Ce flux financier en cas de décès peut s’écrire :

ttt SKSKSMax ,

Où : SK et tS est le montant de l’épargne de l’assuré.

En supposant les décès parfaitement mutualisés, le flux associé à la garantie pour un

assuré d’âge x vaut :

ttxxt SKqp 11

De manière plus formelle et sous les hypothèses fondamentales des mathématiques

financières (Complétude des marchés et absence d’opportunité d’arbitrage), pour le taux

sans risque r , ce flux vaut :

T

nn

rnQnxxnTxTxT

xrTQp SKeEqpSKeE1

111 [1]

On reconnait le prix d’une option de vente de prix d’exercice K et de maturité n (le

problème revient à calculer le prix de cette option nrnQ SKeE ).

Pour cela il faut définir un modèle pour le sous-jacent qui souvent est le modèle de Black

& Scholes.

Ce modèle est rapidement rappelé ci-dessous :

Il se base sur les hypothèses suivantes :

- Absence d’opportunité d’arbitrage

- Pas de dividende pour le sous-jacent

- L’action suit un processus lognormal : SdWSdtdS où W est un

mouvement brownien standard

- Le taux sans risque et la volatilité sont constant au cours du temps

- Pas de frais de transaction

Ce processus s’interprète de façon concrète puisque le premier terme dépendant

uniquement du temps est la tendance globale de l’évolution du cours tandis que le second

terme introduit des mouvements aléatoires ainsi que l’amplitude de ces mouvements (la

volatilité).

Sous ces hypothèses le prix d’un call s’écrit :

)()( 210 dNKedNSC rT





Le prix d’un put s’écrit :

)()( 102 dNSdNKeP rT

Avec : T

TrK

S

d

2

ln2

0

1 et T

TrK

S

d

2

ln2

0

2 et N : la fonction de

répartition de la loi normale.

On obtient donc :

[1] =

T

n

rnnxxn dNSdNKeqp

110211 )()(

La théorie de cette méthode reste assez simple mais son application devient rapidement

compliquée dès lors que les contrats sont adossés à un grand nombre de fonds.

Effectivement le portefeuille étudié comprend une trentaine de fonds, il est alors difficile

sans outil spécifique de réaliser une matrice de corrélation, nécessaire au calcul, d’autant

de fonds. C’est pourquoi l’utilisation d’une méthode de calcul à la juste valeur s’inspirant

du calcul d’un best estimate contrat par contrat selon la réglementation de solvabilité II

est une approche intéressante pour notre étude.

De plus l’utilisation d’une formule fermée rend complexe (au niveau théorique mais

surtout dans la mise en œuvre) l’intégration des flux financiers intermédiaires (rachats,

décès, frais, arbitrages).

Enfin, la formule étant fermée, les résultats par la méthode des puts sont donc beaucoup

plus compliqués à auditer et à valider.

Section 1.3 : Evaluation des engagements intégrant les lois de comportement

La méthode retenue consiste à simuler la vie du portefeuille en run-off pendant 50

années. Chaque contrat ayant une garantie plancher, nous observons l’épargne du

contrat pour chaque année de projection que l’on compare au capital garanti par

l’assureur. Le capital garanti évolue au cours du temps avec les rachats. Cette méthode a

donc l’avantage de pouvoir prendre en compte les lois de comportement construites dans

la partie III. De plus la mise en place de ce moteur de calcul permet de stocker de

nombreuses informations comme le nombre et la répartition des décès, l’évolution par

contrat de l’encours, et cela en rajoutant un temps de calcul très faible comparé au temps

de calcul global.

L’objectif de cette application est d’étudier l’équilibre financier entre les frais et les

prestations (principe de tarification). Mais la garantie plancher possède plusieurs

particularités :

- un caractère procyclique (la mutualisation porte uniquement sur le risque

décès, mais le risque financier – chute des fonds – est identique pour tous les

assurés).

- Une autre particularité est que la prime (frais sur encours) finançant cette

garantie diminue lorsque l’épargne chute : et donc plus il y a de sinistres

moins il y a de primes. Ce paradoxe peut être contré en prenant comme

assiette de calcul de la prime, le capital sous risque. Cette approche entraîne





un autre problème, qui est l’absence de prime lorsque les capitaux sous risque

sont nuls bien que le risque existe.

Pour notre application, le calcul se concentre sur les flux suivant :

- les frais sur encours de chaque contrat

- le capital sous risque si l’on est dans une approche déterministe

- Le coût réel prévisionnel supporté par l’assureur si l’on est dans une approche

stochastique.

- chaque flux sera actualisé au taux sans risque

Ci-dessous un schéma des différents flux intégrés dans le calcul :

Approche déterministe :

La modélisation des rachats se fait par une diminution de l’épargne, à la fin de chaque

année, sur chaque contrat. Ces rachats diminuent ainsi le capital garanti par l’assureur.

Les prestations sont calculées globalement sur l’ensemble du portefeuille, en sommant à

la fin de chaque année pour chaque contrat le capital sous risque pondéré par la

probabilité de décès. Le montant payé pour l’année n, sur les contrats, est :

nbcont

i

ix CRq1

nPrestation

Les frais sur encours sont actualisés ainsi que le montant des prestations.

Approche stochastique :

L’approche stochastique consiste à réaliser un certain nombre de simulations (fixé à

1000 pour cette étude) et permet une approche encore plus réaliste les prestations ne

sont pas calculées globalement ; un assuré décède « entièrement » ou ne décède pas

(contrairement à l’approche déterministe). Cette approche binaire met en relief les lois

Année n Année n +1

Frais

Rachat

Epargne garantie

Temps

Actualisation au

taux sans risque

Année 0

Evolution

du strike

Capital

sous risque

Epargne disponible

Décès





de comportement déterminées précédemment. Il faudra tout de même extrapoler les

résultats trouvé puisque l’historique disponible n’a pas pu permettre la construction de

loi sur 50 ans.

Extrapolation des lois de comportement :

Pour les rachats l’historique disponible n’a permit de déterminer des taux de rachats et

des répartitions de rachat que pour des anciennetés variant de 0 à 8 ans. L’extrapolation

des résultats est obligatoire pour poursuivre l’étude. Le taux de rachat sera donc

extrapoler grâce à une droite linéaire décroissante partant de l’ancienneté 8 et arrivant

au minimum constaté (4%) au bout des 50 ans de projection.

Pour la table de mortalité prospective une extrapolation des grands âges a aussi été

nécessaire et il a été décidé d’utiliser la TGF jusqu’à 107 ans.





Chapitre 2 : Présentation générale de la méthodologie retenue

Afin de calculer le coût de la garantie plancher dans un temps raisonnable, il a fallu

réaliser certaines hypothèses simplificatrices tout en gardant la plus grande cohérence

avec la réalité afin d’obtenir des résultats pertinents. Ce chapitre est consacré à la

présentation de ces hypothèses et de la méthodologie appliquée aussi bien pour la

simulation des fonds que pour le moteur de calcul.

Section 2.1 : Description des éléments retenus et des hypothèses simplificatrices

Les différentes hypothèses retenues peuvent se regrouper en deux classes : les

hypothèses liées à la vie du contrat et les hypothèses liées au calcul directement.

Les hypothèses liées à la vie du contrat :

- Tous les rachats et décès se produisent en fin d’année

- Il n’y a pas de versement puisque l’étude est réalisée sur un portefeuille en

run-off

- Chaque désinvestissement (rachat) au cours des 50 ans de projection est

réalisé au prorata de l’épargne pour chaque contrat

- Chaque année des frais de gestion de 1% sont appliqués (dont 0,4% sont

accordés au coût de la garantie plancher)

- Il n’y a pas de pénalité de rachat

- Il n’y a pas d’avance accordée par l’assureur

- En cas de décès avant le terme du contrat, l’épargne est versée aux ayants

droits de la même manière que pour un rachat total

- Le capital garanti évolue seulement en fonction des rachats, les versements ne

sont pas pris en compte, ni les avances

Les hypothèses liées au calcul du best estimate :

- La date d’évaluation du coût de la garantie plancher est fixée au 31 décembre

2007

- Le pas du calcul est annuel

- Le nombre d’année de projection est fixé à 50 ans

- Au terme des 50 années de projection l’ensemble des assurés restant rachète

leurs contrats

- La courbe de taux utilisée est celle des QIS 4

- Nous retenons 5 trajectoires d’actifs par fonds selon une méthode détaillée

dans la section suivante





Section 2.2 : Modélisation des actifs

Pour les fonds en UC :

Pour modéliser les différents fonds présents dans notre portefeuille nous avons choisi un

modèle qui s’appuie sur une approche macroéconomique qui constate deux sortes de

phase dans le développement économique des fonds au cours du temps : une phase

normale et une phase de crise. Ce modèle, utilisé aux Etats-Unis, est appelé « switch

régime ».

Ce modèle est basé sur la combinaison de deux lois normales : une en temps normal et

une en temps de crise. On détermine également une matrice de transition qui permet le

passage d’un état à l’autre.

Les éléments nécessaires à la réalisation de ce modèle sont les suivants :

- Définition des périodes de crise par une valeur de rendement limite

- Etat initial du fonds

- La matrice de transition

CCCN

NCNN

TT

TTT

- Les paramètres des lois normales :

),( 2111 N : représente le comportement du rendement des fonds en temps

normal

),( 2222 N : représente le comportement du rendement des fonds en temps de

crise

- Simulation de l’inverse de la loi normale

Voici un schéma de l’algorithme pour un fond initialement en temps normal :

L’ensemble des paramètres CCCNNCNN TTTT ,,,,,,, 2211 sont estimés à partir des

données historiques des rendements de chaque fonds depuis leur création. La valeur de

rendement limite déterminant les périodes dites de crise a été choisie à 3% en données

mensuelles.

Les périodes dites de crise correspondent aux périodes de forte volatilité des marchés et

pas seulement des périodes de baisse des marchés.

Etat normal 1N

Simulation loi

uniforme 1,0U

Inverse de la loi

normale 1N

Simulation loi

uniforme

1,0U

Simulation loi

uniforme

1,0U

Matrice de

transition

T

1N 1N

2N 2N





Le modèle de « switch régime » nécessite l’utilisation de générateur de nombre aléatoire

distribués selon la loi uniforme 1,0U et de l’inverse de la fonction de répartition d’une

loi normale. Nous utiliserons le générateur congruentiel Rnd de VB pour la loi uniforme

et l’algorithme de De Moro pour la loi normale que nous allons présenter.

Algorithme de De Moro :

Soit 2,N une loi normale, sa fonction de répartition F est donnée par :

xxF avec

x

t

dtex 2

2

2

1

sa fonction de répartition

La simulation de la loi normale peut être vue comme l’inversion de la fonction de

répartition d’une loi normale centrée, réduite puisque si Y ~ 1,0N alors YX suit

une loi 2,N .

Cependant l’inversion de la fonction de répartition d’une loi Normale centrée réduite

n’étant pas facilement calculable l’algorithme de De Moro permet d’approcher le résultat

par une méthode numérique de bonne qualité.

Cet algorithme peut être décrit de la manière suivante :

Soit u la valeur de loi uniforme générée. On pose 5,0 uX :

Si 42,0X alors la solution est approchée par :

4

0

2

4

1

)1(2

2

i

ii

i

ii

Xb

Xa

Xr avec 10 b

Sinon, si 0X on pose ur 1loglog

La solution est alors approchée par :

9

1

12

i

iircr

si 0X on pose ur loglog

La solution est alors approchée par :

9

1

12

i

iircr

Les valeurs des iii cba ,, sont données en annexe ainsi que l’implémentation sous VBA.

Afin de limiter le nombre de simulations qui est assez important dès lors que les lois

utilisées sont dynamiques la simulation des fonds en unité de compte a été réalisée à

part afin d’isoler des scénarios extrêmes déjà définis et limitant le temps de calcul du

moteur. Nous avons effectué 1000 simulations pour chaque fonds et nous en avons

retenu 5 correspondant aux quantiles 1%, 25%, 50%, 75% et 95% de la dernière année de

projection. Cette approche permet d’obtenir des résultats selon 5 trajectoires différentes

balayant ainsi l’éventail des scénarios possibles tout en limitant le nombre total de

simulations lors du calcul du cout de la garantie plancher.





Pour le fonds Euro :

Les 5 scénarios du fonds Euro ont eux été défini de manière constant c'est-à-dire ayant

un rendement fixe variant de 0% à 5% par an. Effectivement le produit étudié n’a pas de

taux minimum garanti, les contrats étant viagers il est très difficile pour l’assureur de

garantir un taux attrayant et atteignable pour de si longues périodes. Il existe bien un

taux minimum garanti annuel ou taux de rémunération garanti par an sur ce produit

mais la réalisation de ce taux n’est pas un réel enjeu pour l’assureur.

De plus une modélisation fine, décomposant le fonds Euro en différents produits

(obligations, actions, valeurs immobilières), calculant un taux de rendement des actif et

un taux cible de revalorisation du contrat, entrainant une réallocation d’actif, etc, est

chronophage et surtout n’est pas l’objectif de cette étude.

C’est pourquoi nous avons décidé de fixer 5 scénarios ayant des rendements constants et

qui valent 0%, 1,25%, 2,5%, 3,75% et 5% par an avec une distribution des plus values en

fin d’année.





Section 2.3 : Présentation du moteur de calcul stochastique

Voici l’organigramme de la méthode de calcul stochastique du coût de la garantie

plancher :

Lancement de la simulation

Initialisation des paramètres

p=1

Assuré p

i=1

Trajectoire i des actifs

j=1

Simulation j

h=1

Année h de projection

Génération dynamique des rachats en fonction de

l’ancienneté de chaque contrat

Déduction des frais et stockage du résultat

Génération des décès utilisant la table prospective

associée au portefeuille

Calcul du capital sous risque

h=H=50

j=J=1000

i=I=5

p=P=202 227

Faux

Faux

Faux

Faux

Calcul final

Vrai

Vrai

Vrai

Vrai

Fin de la simulation





Afin de mieux comprendre la méthode stochastique appliquée nous allons illustrer

l’organigramme précédent par un exemple simple :

On considère un assuré de 40 ans possédant son contrat d’assurance vie depuis 4 ans et

dont la répartition de son épargne au 31 décembre 2007 est la suivante :

- 5000 euros sur le fonds euro

- 2000 euros sur l’UC 1, représentant 200 unités de compte (valeur liquidative

du fonds 1 valant 10 euros)

- 3000 euros sur l’UC 2, représentant 30 unités de compte (valeur liquidative du

fonds 2 valant 100 euros)

- Son capital garanti est de 15 000 euros (versements antérieurs)

Afin de simplifier l’exemple, une description de la première année uniquement est

décrite avec un rachat de 3000 euros et un décès en fin d’année terminant ainsi la

simulation.

Les étapes de calcul sont les suivantes :

pour chaque année et pour chaque contrat l’ancienneté ainsi que l’âge de l’assuré

sont calculés.

l’épargne de l’assuré est calculée avec les nouvelles valeurs liquidatives

le programme détermine s’il y a un rachat de la manière décrite dans la partie III.

Dans cet exemple il y a effectivement un rachat qui va donc par la même occasion

diminuer le capital garanti de l’assuré à 12 000 euros.

l’épargne de l’assuré est recalculée

les frais de gestion sont prélevés et stockés afin d’être actualisé au taux sans

risque à la fin du calcul

l’épargne est recalculée et comparée au capital garanti. Si cette épargne est

inférieure au capital garanti alors le capital sous risque est stocké dans une

variable.

le programme détermine grâce à la table prospective construite précédemment s’il

y a un décès de la manière décrite dans la partie III. S’il y a un décès comme dans

cet exemple alors le coût supporté par l’assureur est stocké afin d’être actualisé

au taux sans risque à la fin du calcul

puis le programme réitère l’opération pour la simulation suivante

Le programme a été adapté en fonction des lois et de la méthode appliquée (déterministe

ou stochastique). Dans un souci de clarté, une présentation de la méthode la plus

complète vient d’être réalisée, les autres modes de calculs étant plus simple il n’y aura

pas d’illustration par des exemples risquant d’être trop répétitifs.





Chapitre 3 : Présentation des résultats

Ce chapitre présente les résultats du moteur de calcul. Le calcul de référence est le cas

utilisant les lois de l’assureur c'est-à-dire un taux de rachat fixe et les tables de mortalité

TH/TF. Puis chaque paramètre est modifié pour tester l’impact de la loi de rachat

dépendant de l’ancienneté du contrat et de la table de mortalité prospective.

Section 3.1 : Calcul de référence

Quelle que soit la loi de comportement utilisée, le coût de la garantie plancher évolue

fortement avec les scénarios d’actifs choisis. Effectivement dans le cas où les fonds

surperformeraient durant un grand nombre d’années, l’assureur ne serait pas inquiété

par le coût de son option. C’est pourquoi le choix de la modélisation des actifs a été très

important et le « switch régime » utilisé est apparu comme un choix judicieux puisque les

rendements moyens des fonds en période de crise étaient souvent négatifs. Cela a permit

en choisissant des quantiles faibles (1% et 25% en particulier) d’avoir une quantité de

capital sous risque non négligeable comparé à l’encours global de ce portefeuille et donc

de mettre en évidence les conséquences d’une forte tendance baissière (stress test).

Enfin pour avoir un aperçu de la vitesse à laquelle ce portefeuille se vide en run-off voici

le graphique de l’encours global en fonction du temps :

Ce graphique a été réalisé avec des lois déterministes :

- Rachats de 6,1% par an (moyenne des taux de rachat de la loi déterminée dans

la partie III)

- Table de mortalité : TH/TF





Le scénario 1 (quantile 1%) montre un encours qui chute relativement vite, comparé au

scénario 5 (quantile 95%) dont l’encours est légèrement croissant pendant les 5

premières années et qui n’est toujours pas égale à 0 au bout de 50 ans. Ce graphique

permet d’avoir un aperçu des rendements des fonds associés à chaque scénario.

Enfin pour chaque calcul une approche déterministe et stochastique est réalisée. La

convergence de l’une vers l’autre conforte les résultats.

Calcul déterministe :

Ce premier résultat déterministe est obtenu pour un taux de rachat fixe à 6,1% et

utilisant la table de mortalité TH/TF :

Portefeuille Frais 1% 0,40% Coût de la Garantie

plancher

Scénario 1 271 904 222 108 761 689 168 832 217

Scénario 2 273 717 888 109 487 155 142 956 270

Scénario 3 293 086 134 117 234 453 91 208 021

Scénario 4 301 607 907 120 643 163 71 938 156

Scénario 5 309 683 323 123 873 329 59 567 694

A titre informatif l’encours global à la date initiale est de 2,4 milliards d’euros.

La part attribuée au coût de la garantie plancher est de 0,4% de frais sur encours

comparé au coût prévisionnel de la garantie plancher l’assureur n’est pas couvert pour

les deux scénarios baissiers. Même si ces scénarios extrêmes sont peu probables le risque

est assez important.

Il est possible de réaliser quelques remarques supplémentaires :

Le coût de la garantie plancher est logiquement plus faible pour les scénarios d’actifs les

plus favorables (scénario 5) mais n’est jamais nul.

Le montant des frais selon les différents scénarios sont assez proches. La distribution en

fonction des scénarios d’actif est fine comparé au coût de la garantie plancher qui passe

du simple au triple.

Calcul stochastique :

Ce résultat stochastique réalisé sur 1000 simulations est obtenu pour un taux de rachat

fixe à 6,1% et utilisant la table de mortalité TH/TF. Le tableau ci-dessous présente

l’espérance des simulations pour l’ensemble des contrats en fonction des scénarios :


plancher

Scénario 1 268 340 654 107 336 262 173 015 219

Scénario 2 270 362 924 108 145 170 145 945 040

Scénario 3 290 632 082 116 252 833 94 801 649

Scénario 4 298 916 101 119 566 440 73 748 179

Scénario 5 307 957 106 123 182 842 60 657 169





La première observation est assez rassurante sur la qualité du moteur puisque les

espérances sont assez proches du calcul déterministe précédent. L’écart le plus

important est de l’ordre de 3,8%. Enfin l’avantage de cette approche, au-delà du calcul

plus précis, est la possibilité de visualiser les densités associées au coût prévisionnel de

la garantie plancher (en bleu) et au montant prélevé par l’assureur (en rouge) afin de

supporter ce risque.

Ce code couleur sera respecté pour l’ensemble des graphiques suivants.

Voici les densités pour le scénario d’actif 1 :

Ce graphique montre clairement que dans ce cas l’assureur n’est pas du tout couvert et

sous estime largement le risque associé à cette option.

Nous remarquons aussi que la densité du coût de la garantie plancher est moins fine que

celle du pourcentage de frais.






Contrairement à l’approche déterministe, ce graphique permets de constater que

l’assureur est couvert très légèrement puisque les deux densités se croisent. Cependant

ce scénario est aussi inquiétant puisque la densité du pourcentage des frais est

largement en dessous de la densité du coût de l’option.


Les deux densités se sont inversées et il est possible de dire que pour ce scénario

l’assureur est enfin couvert.

Voici les densités pour les scénarios d’actif 4 et 5 respectivement :





La tendance observée pour le scénario précédent s’accentue. La part d’encours prélevée

afin de couvrir le coût de la garantie plancher devient largement supérieure.

Section 3.2 : Intégration des rachats

Dans cette section, le calcul précédent est repris mais en intégrant la loi de rachat

déterminée dans la partie III c'est-à-dire dépendant de l’ancienneté du contrat. La table

de mortalité n’est pas changée.



plancher

Scénario 1 244 231 005 97 692 402 144 176 920

Scénario 2 246 846 292 98 738 517 122 329 116

Scénario 3 265 922 128 106 368 851 79 550 818

Scénario 4 273 548 455 109 419 382 62 454 439

Scénario 5 281 700 389 112 680 156 50 777 196

Ces résultats montrent l’impact de la loi de rachat et les résultats ne sont pas

négligeables. Effectivement le coût prévisionnel de la garantie plancher est diminuée de

14% en moyenne et les frais sont diminués de 10% en moyenne. Le taux de rachat

déterministe de 6,1% de l’exemple précédent (qui correspondait à la moyenne des taux de

rachats dépendant de l’ancienneté) semble sous estimer les rachats. Le coût de la

garantie plancher est donc diminué puisque l’évolution du capital garanti est

significativement différente. Chaque rachat diminue l’intérêt de la garantie plancher

pour l’assuré. De même pour les frais qui logiquement diminuent lorsque les rachats

augmentent.


Le calcul stochastique confirme les résultats précédents. Le tableau ci-dessous présente

l’espérance des simulations réalisées.


plancher

Scénario 1 245 349 630 98 139 852 145 902 226

Scénario 2 247 495 787 98 998 315 123 242 782

Scénario 3 264 909 172 105 963 669 79 456 081

Scénario 4 271 231 043 108 492 417 62 952 719

Scénario 5 279 469 516 111 787 806 51 157 965

Ces résultats convergent bien vers les résultats déterministes ci-dessus avec un écart

maximal de 3,3%.

Afin de ne pas surcharger inutilement cette étude les densités ne sont pas présentées

dans ce cas mais le seront dans le dernier exemple contenant les deux lois de

comportement définis dans la partie III.





Section 3.3 : Intégration des décès

Dans cette section, le calcul est repris mais en intégrant cette fois la table de mortalité

prospective déterminée dans la partie III. Les rachats sont quant à eux fixés à 6,1%.



plancher

Scénario 1 304 292 424 121 716 970 155 215 599

Scénario 2 308 788 787 123 515 515 125 807 056

Scénario 3 334 712 102 133 884 841 79 700 211

Scénario 4 346 424 871 138 569 949 57 736 719

Scénario 5 359 473 067 143 789 227 44 753 199

Ces résultats montrent l’impact de la table de mortalité choisie. Le coût de la garantie

plancher est diminué de 8% pour le scénario 1 à 25% pour le scénario 5. Cette diminution

est logique puisque les taux de mortalité utilisés sont plus faibles que pour les tables

TH/TF. L’écart de baisse important qui existe entre les scénarios peut s’expliquer par

l’évolution des valeurs liquidatives des premières années. Pour le scénario 5 (quantile à

95%) les premières variations des fonds ne sont pas forcément représentatives de

l’évolution globale. La plus grande partie du coût de la garantie plancher est concentrée

pour ce scénario sur les premières années puisque ce sont les seules années où l’épargne

de l’assuré a une chance d’être en dessous de son capital garanti. La baisse des taux de

mortalité va donc retarder l’apparition des premiers décès et donc diminuer fortement le

coût global lié à cette option. Le scénario 1 (quantile à 1%) permet plus facilement à

l’épargne d’être en dessous du capital garanti tout au long des 50 années de projection.

La baisse des taux de mortalité aura donc un impact réparti sur l’ensemble des années

de projection et plus faible au global. Le scénario 2 et 3 ont une baisse du coût

prévisionnel de la garantie plancher de 12% et le scénario 4 de 19%. La baisse est

croissante en fonction des scénarios d’actifs.


Le calcul stochastique confirme les résultats précédents. Le tableau ci-dessous présente

toujours l’espérance des simulations réalisées.


plancher

Scénario 1 305 301 738 122 120 695 160 591 922

Scénario 2 308 862 572 123 545 029 131 818 300

Scénario 3 333 446 817 133 378 727 83 649 103

Scénario 4 346 010 397 138 404 159 62 569 216

Scénario 5 358 682 378 143 472 951 49 294 198

Ces résultats convergent bien vers les résultats déterministes ci-dessus avec un écart

maximal de 9,2%. Cet écart plus important peut s’expliquer par la qualité du générateur

de nombre aléatoire utilisé ou par le nombre trop faible de simulations (1000).

Afin de ne pas surcharger inutilement cette étude les densités ne sont pas présentées

dans ce cas non plus.





Section 3.4 : Intégration des décès et des rachats

Cette dernière section intègre les deux lois définies dans la partie III : les rachats en

fonction de l’ancienneté et la table de mortalité prospective.



plancher

Scénario 1 279 862 127 111 944 851 132 367 592

Scénario 2 282 879 136 113 151 654 108 351 769

Scénario 3 303 571 877 121 428 751 68 700 702

Scénario 4 311 691 018 124 676 407 51 938 635

Scénario 5 318 174 124 127 269 649 40 471 817

La combinaison des deux lois a un impact important pour les prévisions de l’assureur

puisque ce dernier est quasiment couvert pour le scénario 2, ce qui n’était pas le cas dans

le premier exemple. Enfin l’application de ces deux lois augmente légèrement les frais de

l’ordre de 3% et baisse significativement le coût de la garantie plancher de 20% pour le

scénario 1 à 35% pour le scénario 5.



plancher

Scénario 1 277 491 881 110 996 753 133 658 383

Scénario 2 280 847 756 112 339 103 110 504 302

Scénario 3 301 633 413 120 653 365 70 158 194

Scénario 4 309 703 363 123 881 345 52 303 007

Scénario 5 320 010 564 128 004 225 41 144 085

Pour ce résultat, nous exploiterons les densités afin d’affiner les observations, la densité

associée au coût prévisionnel de la garantie plancher sera en bleu et la densité associée

au montant prélevé par l’assureur pour couvrir cette option sera en rouge.






Contrairement aux densités du calcul de référence, les densités observées dans ce cas

sont plus plates. Les lois utilisées permettent une plus grande variabilité et la notion de

Value at Risk devient rapidement intéressante.

Même si pour ce scénario le coût de la garantie plancher reste en moyenne supérieur à la

moyenne des 0,4% de frais, les deux densités sont quand même superposées ce qui veut

dire que pour certaines simulations l’option peut être quand même assez provisionnée.






Ce scénario présente une situation intermédiaire où il existe un certain nombre de cas où

l’assureur est couvert et d’autre simulations où le coût de la garantie plancher est sous

estimée.


A partir du scénario 3 les 0,4% de frais couvre complètement le risque associé à l’option

Voici les densités pour les scénarios d’actif 4 et 5:

Ces densités confirment le résultat précédent puisque 100% des cas sont couverts.





Chapitre 4 : Synthèse et réflexions

Ce chapitre élargie le périmètre de cette étude et de cette application afin de présenter

quelques pistes de réflexion et d’approfondissement qu’ouvre l’étude du comportement

des assurés.

Section 4.1 : Les méthodes de tarification possibles pour une garantie plancher

L’application présentée se base sur une stratégie de rémunération de la garantie

plancher appelé prime sur encours. Ce type de tarification couramment employé a des

avantages assez explicites :

- facilité de gestion pour l’assureur

- l’assuré appréhende facilement le montant de prime qu’il aura à payer

- le surcoût de gestion causé par cette garantie est maîtrisé

Cependant ce type de tarification présente aussi un inconvénient majeur :

- la prime sur encours ne corrèle pas du tout la prime au risque financier

Effectivement une chute de l’encours entraîne une augmentation des capitaux sous

risque et donc de l’engagement de l’assureur alors que simultanément l’engagement de

l’assuré diminue.

Il pourrait être intéressant de proposer une stratégie de tarification différente comme la

tarification à la prime unique (prélevé sur les sommes versées) ou encore une tarification

à la prime de risque qui consiste à appliquer périodiquement la probabilité de

survenance de l’évènement couvert au capital sous risque.

Section 4.2 : Les différentes applications possibles pour les lois de comportements

Comme nous l’avons déjà dit l’utilisation des lois de comportement et l’approche en juste

valeur ouvre la voie au calcul d’un best estimate pour ce portefeuille qui est une question

restant à traiter.

Mais les applications sont nombreuses et vont aller en grandissant. Effectivement

aujourd’hui et grâce à Solvabilité II, l’étude du comportement devient de plus en plus

important en ALM pour les calculs de MCEV et surtout l’apparition des variables

annuities présage l’arrivée d’outils novateurs encore plus complexe et permettant aux

assureurs de conquérir de nouvelles parts de marché.





CCOONNCCLLUUSSIIOONN





CONCLUSION

Cette étude a permis d’étudier le comportement des assurés d’un portefeuille épargne.

Cet exercice peut être abordé sous des angles très variés. Les raffinements de loi

possibles semblent illimités dans leurs conceptions et laissent d’innombrables

possibilités aux actuaires. Il a été possible de constater que l’étude du comportement est

à la base de chaque tarification, de chaque provisionnement puisque l’assuré est souvent

maître de son produit.

Cette étude a décrit la construction de tables d’expériences puis grâce à la méthode de

Lee & Carter la construction d’une table de mortalité prospective.

Elle a présenté une loi de rachat dynamique qui malheureusement n’a pas pu inclure la

notion de dynamique de marché puisque le portefeuille ne s’y prêtait pas, mais cette

intuition mériterait d’être étudiée sur un portefeuille plus vieux et probablement plus

enclin à ce type de comportement.

Enfin, elle a permis d’étudier l’ensemble des types de versements et de présenter la

méthode de Box et Jenkins (étude des séries temporelles). L’approche de modélisation

par les séries temporelles est rarement utilisée en assurance comparé à la finance mais

cette manière de procéder possède de nombreux avantages dès que le nombre de facteurs

externes est important. Effectivement, il est intéressant de posséder des outils qui se

bornent à extrapoler dans le futur les tendances observées dans le passé.

La quatrième partie s’est concentrée sur une application de calcul du coût de la garantie

plancher en soulignant les difficultés d’application de la méthode des puts et en

proposant une modélisation par projection des flux futurs intégrant les lois de

comportements définies précédemment.

Les résultats sont explicites puisque un changement de loi peut entraîner une variation

des résultats de calcul du coût d’une option de plus de 30%.

Enfin, il est important de préciser que nous vivons une période particulièrement

intéressante de l’assurance vie puisque nous pouvons assister à l’arrivée sur le marché

Français de nouveaux produits de type variable annuities où l’importance du

comportement des assurés est encore plus flagrante et où les possibilités pour l’assuré

semblent bien plus grandes.





AANNNNEEXXEESS





ANNEXE I : PRESENTATION DE CSC

Plus de 45 ans d’expérience:

Computer Sciences Corporation (CSC) est une société de services en ingénierie

informatique. Réinventer les processus métiers, optimiser les systèmes d’information,

innover les produits et les services grâce aux nouvelles technologies représentent des

problématiques complexes auxquelles CSC contribue à apporter des réponses simples et

concrètes.

Depuis sa création en 1959, CSC a la réputation de mener des programmes et des projets

de consolidation ou d’intégration des métiers, processus et technologies pour ses clients.

Aujourd’hui, elle est un des leaders mondiaux dans le conseil, l’intégration de systèmes

et l’externalisation. La société est cotée à la Bourse de New York (NYSE) sous le symbole

« CSC ».

L’écoute du client est au cœur de sa démarche de création de valeur :

une enquête trimestrielle est réalisée avec TNS Sofres pour analyser la qualité de

ses missions.

un programme, Pioneer, est mené et vise à définir les leviers d’amélioration au

service de ses clients.

des enquêtes annuelles sont menées en collaboration avec la presse spécialisée

(LSA, Liaisons Sociales, Usine Nouvelle, l’Argus de l’Assurance …) pour identifier

les meilleures pratiques sectorielles du moment et disposer d’une vision globale

de l’évolution des métiers.

CSC forme aujourd’hui un vrai réseau mondial grâce aux implantations de ses

établissements dans 50 pays (Argentine, Allemagne, Afrique du Sud, Autriche, Belgique,

France, Etats-Unis, Hong-Kong, Royaume-Uni, Suisse, Singapour, Taiwan, Thaïlande,

etc.) et compte plus de 80000 collaborateurs dans le monde. Elle intervient également

dans 38 autres pays (Finlande, Grèce, Islande, Israël, Maroc, Nouvelle Guinée,

République démocratique du Congo, etc.) où elle ne dispose pas encore de bureaux

permanents.

Au niveau de l’Europe par exemple, CSC mobilise plus de 22 000 collaborateurs sur cinq

régions :

- région Ouest : France, Belgique, Luxembourg ;

- région Nord : Grande-Bretagne, Irlande, Pays-Bas ;

- région Centrale : Allemagne, Suisse, Autriche, République Tchèque, Slovaquie,

Pologne, Hongrie ;

- région Scandinave : Danemark, Suède, Norvège ;

- région Sud : Italie, Espagne, Portugal, Afrique du Sud.

Ses métiers

Afin d’offrir la meilleure solution globale à ses clients, la société a développé une

expertise dans trois métiers complémentaires:

le conseil ; elle permet aux organisations d’anticiper les évolutions des marchés,

de redéfinir leur stratégie et d’adapter leurs modes de gestion et de management.

l'intégration de systèmes et de solutions ; elle garantit, à travers une gestion de

projet et du changement adaptée, la mise en œuvre d’une solution cohérente

intégrant l’organisation, les processus et le système d’information.





l’externalisation : elle aide les entreprises à se concentrer sur leur cœur de métier

en les accompagnant dans la gestion et l’optimisation de leurs infrastructures

technologiques, de leurs applications informatiques et de leurs processus de

gestion.

Ces trois expertises métiers intégrées permettent à CSC de répondre avec souplesse aux

besoins spécifiques de chaque client et de lui proposer la meilleure solution sur mesure.

Ses secteurs d’activité

CSC accompagne ses clients dans l’industrie et les services du secteur public et privé et les aide à augmenter leurs performances en utilisant le levier stratégique des nouvelles technologies.

Les marchés et les domaines d’intervention de CSC sont divers et variés :

Les services financiers:

La société est au cœur des grandes problématiques de la banque et de l’assurance : la concentration, la mise en commun de moyens, l’optimisation et la rationalisation des systèmes d’information, la gestion des risques et la dynamisation de la relation commerciale sont au nombre des ses missions réalisées dans ce secteur. Elles vont de la conduite de chantier de migration à la mise en œuvre de solutions sectorielles pour le monde bancaire et l’assurance (vie, santé retraite) avec en particulier GraphTalk A.I.A, logiciel leader dans le domaine de l’assurance des personnes.

L’industrie:

CSC offre des prestations d’amélioration des performances industrielles, logistiques, achat, gestion et finance pour les différents secteurs de l’industrie (automobile, aéronautique et défense, High Tech, industries de process).

Le transport et le tourisme:

La planification et l’optimisation de l’offre, la performance et les systèmes de production, de distribution et de vente, la performance de l’exploitation, la ponctualité et le service client, la gestion et le contrôle des coûts, l’amélioration de l’efficacité de la maintenance figurent parmi les missions menées dans ce secteur particulièrement touché par la concurrence sur les prix.

Le secteur public:

Dans un contexte de modernisation du secteur public, l’amélioration de la relation client-

usager, la transformation des organisations, l’implémentation des nouvelles technologies

de l’information et la conduite du changement sont au nombre de ses actions réalisées

avec succès au sein des administrations, ministères et établissements publics. L’eau, l’énergie, les télécommunications et le BTP:

Pour accroître leur productivité, CSC travaille avec les principaux acteurs du secteur sur

des missions telles que le développement de nouveaux services, la facturation, la relation

client, l’amélioration des performances commerciales et opérationnelles, la refonte des

processus métiers et des organisations. La grande consommation et la distribution:

Sur un marché en moindre croissance, CSC propose des prestations d’amélioration de la

performance couvrant l’ensemble de la chaîne de valeur : référencement, achats,

marketing, logistique, travail collaboratif… pour une meilleure qualité de service client.





ANNEXE II : ALGORITHME DE DE MORO

Public Function dFdRNormaleInverse_deMoro(u As Double) As Double

Dim X As Double, r As Double, r0 As Double, r1 As Double, r2 As Double

Const a1 = 2.50662823884

Const a2 = -18.61500062529

Const a3 = 41.39119773534

Const a4 = -25.44106049637

Const b1 = -8.4735109309

Const b2 = 23.08336743743

Const b3 = -21.06224101826

Const b4 = 3.13082909833

Const c1 = 0.337475482272615

Const c2 = 0.976169019091719

Const c3 = 0.160797971491821

Const c4 = 2.76438810333863E-02

Const c5 = 3.8405729373609E-03

Const c6 = 3.951896511919E-04

Const c7 = 3.21767881768E-05

Const c8 = 2.888167364E-07

Const c9 = 3.960315187E-07

X = u - 0.5

If Abs(X) < 0.42 Then

r = X ^ 2

r2 = X * (((a4 * r + a3) * r + a2) * r + a1) / ((((b4 * r + b3) * r + b2) * r + b1) * r + 1)

Else

If X > 0 Then r = Log(-Log(1 - u))

If X <= 0 Then r = Log(-Log(u))

r0 = c7 + r * (c8 + r * c9)

r1 = c4 + r * (c5 + r * (c6 + r * r0))

r2 = c1 + r * (c2 + r * (c3 + r * r1))

If X <= 0 Then r2 = -r2

End If

dFdRNormaleInverse_deMoro = r2

End Function

Remarque : Les constantes utilisées résultent de la calibration des actuaires du pôle

assurance de CSC.





ANNEXE III : MOTEUR DE CALCUL DU

COUT DE LA GARANTIE PLANCHER

Voici une partie du moteur de calcul stochastique du cout prévisionnel de la garantie

plancher :

Option Explicit Sub CaracteristiquesContrat() Dim nb_actifs, nb_contrats, nb_stressTest, nb_simul As Integer Dim d, e, i, j, k, l, m, n, o, p, H, age As Integer Dim SQL As String Dim date_initiale As Date Dim a, a1, b, b1, c, txfrais As Double Dim anciennete As Integer Dim nb_contratsTOTAL As Integer Dim num_bloc As Integer Dim qx(0 To 107, 0 To 58) As Double Dim TabletxRachat(0 To 58) As Double Dim TablerepartitionRachat(0 To 19, 0 To 58) As Double Dim TablefourchetteRachat(0 To 19) As Double date_initiale = #12/31/2007# nb_actifs = 30 'Nbre d'actifs 'nb_contrats = 266878 ' Nombre de contrats nb_contratsTOTAL = 202227 ' Nombre de contrats nb_contrats = 10 H = 50 nb_stressTest = 5 'les scénarios de l'actif nb_simul = 1000 txfrais = 0.01 'TxFraisVersement = 0.04 'Connexion avec la base de données Dim chemin As String Dim flux As ADODB.Recordset chemin = "C:\Users\Manuel\CSC\Mémoire\Moteur\SimulationsVtest.mdb" Dim cmdCommand As ADODB.Command Dim cnnConn As ADODB.Connection Call Connexion_base(chemin, cnnConn) ReDim ValeurUnitaireSupport(1 To nb_actifs, 1 To nb_stressTest, 0 To H) As Double SQL = "DELETE * FROM Best_Estimate2;" cnnConn.Execute (SQL) 'stockage des scénarios d'actifs For i = 1 To nb_actifs For j = 1 To nb_stressTest For k = 0 To H ValeurUnitaireSupport(i, j, k) = Worksheets("ScénarioActifs").Range("A3").Offset(j + l, k + 1) Next k Next j l = l + 8 Next i 'Stockage des valeurs de sorties For d = 0 To 58 For c = 0 To 107 qx(c, d) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("J3").Offset(c, d) Next c TabletxRachat(d) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("BK3").Offset(d) For e = 1 To 19 TablerepartitionRachat(e, d) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("BN3").Offset(e, d) Next e Next d For e = 0 To 19





TablefourchetteRachat(e) = Worksheets("Sorties Rachats - Décès").Range("BM3").Offset(e) Next e For num_bloc = 1 To nb_contratsTOTAL Step nb_contrats ReDim Coutgarplancher(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 1 To H) As Double ReDim Coutfrais(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 1 To H) As Double ReDim Coutgarplancher2(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul) As Double ReDim Coutfrais2(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul) As Double ReDim PourcentageActifRachat(1 To nb_actifs) ReDim num_contrats(1 To nb_contrats) As String ReDim date_naissance(1 To nb_contrats) As Date ReDim date_effet(1 To nb_contrats) As Date ReDim sexe(1 To nb_contrats) As String ReDim NbreUCParContratEtSupport(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H, 1 To nb_actifs) As Double ReDim Strike(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H) As Double ReDim Rachat(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H) As Double ReDim PM(1 To nb_contrats, 1 To nb_stressTest, 1 To nb_simul, 0 To H) As Double l = 0 For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul For l = 1 To H Rachat(i, j, k, l) = 0 Next l Next k Next j Next i SQL = "SELECT * FROM GAR_PLANCH3 WHERE INDEX >= " & num_bloc & " AND INDEX < " & (num_bloc + nb_contrats) & ";" Set flux = cnnConn.Execute(SQL) i = 1 Do While ((Not flux.EOF()) And (i <= nb_contrats)) num_contrats(i) = flux.Fields(0) date_naissance(i) = flux.Fields(1) sexe(i) = flux.Fields(2) date_effet(i) = flux.Fields(3) For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul For n = 7 To 36 NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, 0, n - 6) = flux.Fields(n) Next n Strike(i, j, k, 0) = flux.Fields(6) Next k Next j flux.MoveNext i = i + 1 Loop For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul a = 0 For l = 1 To nb_actifs a = a + NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, 0, l) * ValeurUnitaireSupport(l, j, 0) Next l PM(i, j, k, 0) = a Next k Next j Next i Randomize For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul Rachat(i, j, k, 0) = 0 For l = 1 To H 'Calcul de la PM pour chaque année et stockage des frais a = 0 a1 = 0 For n = 1 To nb_actifs NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l, n) = NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) * (1 - txfrais) a = a + NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l, n) * ValeurUnitaireSupport(n, j, l)





a1 = a1 + NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) * txfrais * ValeurUnitaireSupport(n, j, l) Next n PM(i, j, k, l) = a Coutfrais(i, j, k, l) = a1 Strike(i, j, k, l) = Strike(i, j, k, l - 1) 'Variables à calculer age = CalculAge(date_naissance(i), date_initiale) + l If age > 107 Then GoTo sortie7 End If anciennete = CalculAge(date_effet(i), date_initiale) + l 'Rachats If Rnd() < TabletxRachat(anciennete) Then b = Rnd() c = 0 While (b > TablerepartitionRachat(c, anciennete)) c = c + 1 Wend Rachat(i, j, k, l) = TablefourchetteRachat(c) * PM(i, j, k, l) Strike(i, j, k, l) = Strike(i, j, k, l - 1) - Rachat(i, j, k, l) If TablefourchetteRachat(c) = 1 Then GoTo sortie9 End If ' Répartition des rachats sur les différents supports For n = 1 To nb_actifs PourcentageActifRachat(n) = ValeurUnitaireSupport(n, j, l) * NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) * (1 - txfrais) / PM(i, j, k, l) o = PourcentageActifRachat(n) * Rachat(i, j, k, l) NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l, n) = NbreUCParContratEtSupport(i, j, k, l - 1, n) - o / ValeurUnitaireSupport(n, j, l) Next n End If 'Décès If Rnd() < qx(age, l - 1) Then sortie7: b1 = Strike(i, j, k, l - 1) - PM(i, j, k, l) If b1 > 0 Then Coutgarplancher(i, j, k, l) = b1 End If GoTo sortie9 End If If l = 50 Then Rachat(i, j, k, l) = PM(i, j, k, l) End If Next l sortie9: Next k Next j Next i For i = 1 To nb_contrats For j = 1 To nb_stressTest For k = 1 To nb_simul SQL = "INSERT INTO [Best_E2] (Num_Contrat, Num_Simul, Num_stresstest, Cout_frais, Cout_garplancher) SELECT " & num_contrats(i) & " AS Num_Contrat, " & k & " AS Num_Simul, " & j & " AS Num_stresstest, " & Replace(Coutfrais2(i, j, k), ",", ".") & " AS Cout_frais, " & Replace(Coutgarplancher2(i, j, k), ",", ".") & " AS Cout_garplancher;" 'Exécuter la requête cnnConn.Execute (SQL) Next Next Next Next End Sub





BIBLIOGRAPHIE

Cours et livres :

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[2] PLANCHET et THEROND (2006) : Modèles de durée, applications actuarielles,

collection Economica

[3] DELWARDE et DENUIT (2006) : Construction de tables de mortalité périodiques

et prospectives, collection Economica

[4] PLANCHET, THEROND et JACQUEMIN (2005) : Modèles financiers en

assurance, Analyse de risque dynamiques, collection Economica

[5] LE VALLOIS, PALSKY et TOSETTI (2003) : Gestion actif passif en assurance vie,

réglementation, outils, méthodes, collection Economica

Mémoire d’actuariat :

[1] Aurélie GAUMET, Construction de tables d’expérience pour l’entrée et le maintien

en incapacité, 2001, mémoire ISFA

[2] Sophie TERRIER, Les rentes viagères : mortalité d’expérience et réassurance, 2001,

mémoire CNAM

Articles :

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[2] PLANCHET et LELIEUR, Utilisation des méthodes de Lee-Carter et Log-Poisson

pour l’ajustement de tables de mortalité dans le cas de petits échantillons, 2005

Notes de doctrine interne CSC :

[1] CCA, Formation sur Solvency II, (2008)

Sites internet :

www.ffsa.fr

www.institutdesactuaires.com

www.ceiops.org

www.wikipedia.fr

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ISUP Institut de Statistique de l’Université de Paris ... · Baudouin, Vincent, Gustave, Khaoula, Ghada, Marie, Céline, … Je souhaite témoigner ma reconnaissance à toutes