2013-2015 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 2 corrigé page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2013-2015 **/01/2014

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 2/3

CORRIGE

Exercice 1 : (3 points)

Un nouveau produit est lancé sur le marché en février, très bien accueilli puisqu’on a constaté une

progression des ventes de 17% par mois (chaque mois, on vend 17% d’articles en plus que le mois

précédent). On prévoit que cette tendance durera jusqu’en décembre inclus.

1) Par combien la quantité vendue sera-t-elle multipliée après dix mois de progression ? 1 pt

Chaque mois, elle est multipliée par 1,17, donc après 10 mois par 1,1710

= 4,807.

2) Si on a vendu 500 unités en février, combien vendra-t-on en septembre ? 1 pt

500 × 1,177 = 1500 ou 1501

3) Expliquer pourquoi on peut dire qu’au bout de x mois, la quantité vendue aura été multipliée par

e0,157x

(où « e » désigne l’exponentielle). 1 pt

e0,157x

= (e0,157

) à la puissance x = 1,17 à la puissance x, ce qui correspond à +17% mensuels.

Exercice 2 : (3 points)

Résoudre le système suivant : 2 3 1

4 5 7

x y

x y

+ = + =

.

L L

x y x y x y x

x y x y y y−

+ = + = + = = ⇔ ⇔⇔ + = + = = − = − 1 2

2 3 1 4 6 2 4 6 2 8

4 5 7 4 5 7 5 5

Exercice 3 : (4 points)

Vous avez emprunté 10000 € remboursables sur 8 ans au taux d’intérêts annuel de 5,6%, sur le mode

des annuités constantes.

Former puis compléter les deux premières lignes du tableau d’amortissement du remboursement de

l’emprunt.

Annuité :

( )

,, €

,n

ta C

t− −= = =

−− +0 8

0 05610000 1584 96

1 1 0561 1

Années Cap. restant

dû (début)

Amortissement Intérêts Annuités Cap. restant

dû (fin)

N 10000 1024,96 560 1584,96 8975,04

N + 1 8975,04 1082,36 502,60 1584,96 7892,68

… … … … … …

10000 2679,68 12679,68

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Exercice 4 : (5 points)

Soit la fonction C définie sur [0 ; 12] par : ( )2

2 2 20

16

x xC x

x

+ +=+

.

1) a. Dériver la fonction C. 1 pt

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

.x x x x x xC x

x x

+ + − + + + +′ = =+ +

2 2

2 2

4 2 16 2 2 20 1 2 64 12

16 16

b. Montrer que la fonction C est croissante sur [0 ; 12]. 0,5 pt

Le dénominateur de C ’(x) est positif, car c’est un carré ; son numérateur est positif car il est la

somme de trois nombres positifs (x ∈ [0 ; 12]).

C ’(x) est donc positif et la fonction C est croissante sur cet intervalle.

c. Représenter graphiquement en page suivante la fonction C, pour x ∈ [0 ; 12]. 1,5 pt

2) Une entreprise produit des pièces détachées d’un certain type, en quantité x, x ∈ [0 ; 12], en tonnes.

Le coût total de production, C, est donné en fonction de x par : ( )2

2 2 20

16

x xC x

x

+ +=+

(en k€).

Le coût de production moyen, CM, est défini par : ( ) ( )M

C xC x

x= , en k€/tonne, sur ]0 ; 12].

a. Calculer le coût de production moyen pour deux tonnes produites ; faire de même pour 10

tonnes. 0,5 pt

( ) ( ) ( ) ( ), € / ; , € /

M M

C CC k tonne C k tonne= ≈ = ≈

2 102 0 889 10 0 923

2 10

b. Justifier que, si on désigne par O l’origine de notre repère (annexe 1) et par A un point de la

courbe de la fonction C, alors la pente du segment [OA] a la même valeur que le coût de

production moyen. 0,5 pt

Entre les points O et A,

c. Utiliser le principe énoncé dans la question précédente pour déterminer graphiquement la

quantité à produire qui rend le coût moyen minimal. 1 pt

On recherche le segment [OA] ayant la pente la plus faible, en faisant parcourir la courbe par le

point A. On s’aperçoit que pour x = 4, cette pente est la plus faible (segment tracé sur la figure).

( ) ( )A A

M

A A

C xy y yypente C x CQFD

x x x x x

−∆= = = = =∆ −

0

0

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Exercice 5 : (5 points)

Le tableau 1 ci-dessous montre les résultats d’un groupe d’étudiants de TC en mathématiques (la ligne

« effectifs » désigne le nombre d’étudiants correspondant à la note indiquée au-dessus).

note sur 20 6 8 9 10 12 14 17

effectifs 1 3 2 8 7 3 1

1) a. Déterminer la note médiane de la série (expliquer). 1 pt

Il y a 25 étudiants. La note médiane est celle du 13ème

de la liste : 10/20.

b. Donner la note moyenne et son écart type. 1 pt

D’après la calculatrice : x ≈ 10,84 points et σ ≈ 2,344 points.

2) On décide de regrouper ces résultats en classes, suivant le tableau 2 ci-dessous :

note sur 20 [6 ; 9[ [9 ; 11[ [11 ; 13[ [13 ; 20[

effectifs 4 10 7 4

a. Compléter la ligne des effectifs de ce tableau 2, à partir du tableau 1. 1 pt

b. Ci-dessous, représenter l’histogramme de la série donnée par le tableau 2. 2 pts

Les hauteurs des rectangles sont les concentrations : 4/3 = 1,33 ; 5 ; 3,5 ; 0,57.

note sur 20 [6 ; 9[ [9 ; 11[ [11 ; 13[ [13 ; 20[

effectifs 4 10 7 4

amplitudes 3 2 2 7

concentrations 1,33 5 3,5 0,57

6 10 15 20

1

5

concentrations

note