Jean-Dominque osser L B Tanoh Sciences industrielles pour

TouT-en-un Jean-Dominque MosserPascal LeclercqJean-Pierre BrodelleJacques Tanoh

MP |PSI|PT

2e ÉDITION

Sciences industrielles pour l’ingénieurtout-en-un

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© Dunod, 2010, 201711 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.comISBN 978-2-10-075215-7

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Table des matières

1 Théorie des mécanismes 1 1.1 Paramétrer un mécanisme 2 1.2 Approche cinématique 9 1.3 Approche dynamique 15 1.4 Approche globale 21 1.5 Faut-il l’isostatisme ? 27

Synthèse 28 Exercices d’application 29 Exercices d’approfondissement 32 Solutions des exercices 37

2 Description des masses en mouvement 51 2.1 Masse – Répartition de la masse 52 2.2 Quantité de vitesse et quantité d’accélération 61 2.3 Énergie cinétique 71


3 Dynamique des solides 95 3.1 Principe fondamental de la dynamique 96 3.2 Notion de puissance 102 3.3 Théorèmes énergétiques 105 3.4 Applications du PFD 111


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V

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Table des matières

4 Systèmes asservis – Stabilité des systèmes 141 4.1 Systèmes commandés, asservis – Perturbations 142 4.2 Stabilité des systèmes asservis 151 4.3 Évolution de la modélisation d’un système 160 4.4 Complément – Critère de Routh 161


5 Performances – Évaluation et amélioration 191 5.1 Performances des systèmes asservis 191 5.2 Améliorer les performances en corrigeant la commande 205 5.3 Correction proportionnelle 206 5.4 Corrections à action intégrale 208 5.5 Corrections à action dérivée 213 5.6 Correction PID 216


6 Les systèmes à événements discrets 253 6.1 Notion d’état d’un système 254

6.2 Différents états d’un système sur un exemple 260

6.3 Les diagrammes d’état 262

6.4 Diagrammes d’état sur l’exemple de l’axe linéaire 268

6.5 Structures hiérarchiques 270


Index 299

VI

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Avant-propos

Cet ouvrage s’adresse aux étudiants de deuxième année de classe préparatoire aux grandes écoles et s’inscrit dans la continuité du volume de première année. Il présente l’ensemble des notions et des compétences à maîtriser pour l’analyse, le contrôle et la commande des servomécanismes dans le cadre du programme officiel des trois filières PT, PSI et MP :

• le premier chapitre expose les bases pour aborder l’analyse de la structure des mécanismes ;• les deux chapitres suivants définissent les outils pour la description des masses solides en mouvement et des

énergies mises en jeu ;• les quatrième et cinquième chapitres s’intéressent à la stabilité et aux performances des systèmes asservis ;• le dernier chapitre apporte les compléments requis pour préciser la commande des systèmes à événements

discrets.

Dès que possible, le cours s’appuie sur les notions acquises en sciences physiques, en mathématiques et en informatique. Il reste concis, avec des notations simples et transversales, construites de manière à transmettre les notions abordées. Les exercices sont expliqués et corrigés de façon détaillée, avec des compléments accessibles sur le site Internet http://www.jdotec.netLes systèmes présentés à cette occasion sont des ensembles dont une étude partielle a été menée lors des concours d’entrée aux écoles d’ingénieurs, X-Cachan, Centrale-Supélec, Mines-Ponts, CCP ou E3A par exemple.

La finalité de cet ouvrage est d’une part de préparer les étudiants aux concours les plus exigeants, d’autre part de donner outils et méthodes nécessaires à l’approche de réalisations industrielles modernes de plus en plus automatisées.

Au-delà de cette finalité, l’objectif des auteurs est également de soutenir l’étudiant dans la construction d’une attitude de recherche autonome, capacité qui offre ouverture d’esprit et enrichissement sur les plans professionnel, social et humain.

Les auteurs confient aux lecteurs la tâche de retourner remarques et suggestions en adressant un courrier électronique à l’adresse [email protected] ou un courrier postal aux bons soins des éditions Dunod. Ils souhaitent à chacun de leurs lecteurs de parvenir au niveau d’expertise leur permettant de prendre une place active dans la gestion des projets industriels complexes.

Jean-Dominique Mosser

VII

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1

1.1 Paramétrer

un mécanisme 2

1.2 Approche

cinématique 9

1.3 Approche

dynamique 15

1.4 Approche globale 21

1.5 Faut-il l’isostatisme ? 27

Exercices d’application 29

Exercices

d’approfondissement 32

Solutions des exercices 37

Introduction

Les mécanismes sont des dispositifs constitués de solides assemblés

pour transformer des mouvements, et pour lesquels on peut mener deux

approches complémentaires :

• une approche technologique, pour l’art du choix et de l’assemblage des

composants ;

• une approche mécanique, pour les outils et les méthodes de calcul à

appliquer sur les modèles associés.

La théorie des mécanismes est le domaine de la mécanique qui s’intéresse

à l’architecture des mécanismes et relève clairement d’une approche méca-

nique. Elle s’appuie sur la théorie des graphes et sur les techniques de

résolution des systèmes d’équations linéaires pour atteindre trois objectifs :

• aboutir à une mise en équation ;

• évaluer les possibilités de résolution ;

• automatiser la recherche de l’influence de chacun des paramètres.

Aujourd’hui, le génie logiciel accompagne le mécanicien et on met en

conséquence l’accent plus sur la compréhension des phénomènes que sur

les méthodes de calcul, et on sollicite un travail d’imagination de mouve-

ments en parallèle aux activités menées.

Prérequis

• Notion de solide indéformable.

• Graphe de structure, graphe des liaisons.

• Chaînes ouvertes et chaînes fermées.

• Degré de liberté.

• Liaisons usuelles.

• Lois de composition des mouvements.

• Techniques de résolution des systèmes d’équations linéaires.

Objectifs

• Paramétrer un mécanisme.

• Dénombrer les inconnues et les équations disponibles.

• Différencier les structures isostatiques des structures hyperstatiques.

Plan

CHAPITRE 1

Théorie

des mécanismes

1

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12/19/16 7:33 PM

Chapitre 1 • Théorie des mécanismes

28

1

2

4

3P ( x 1)

PG ( x 2)

PG (CB )

S (C )

P Pivot d’axe (Dte)

PG Pivot glissant d’axe (Dte)

S Sphérique de centre (P t)

On a ajouté deux degrés de liberté au sein de la structure, pour passer d’un indice de

mobilité nul à un indice de mobilité égal à deux.

− =

≥≥

m h

m

h

2

2

0

Il y a au moins deux mouvements indépendants à imaginer...

On peut poursuivre ce travail de réflexion en utilisant les degrés de liberté de la chaîne

ouverte 1 – 2 –4 – 3

pour essayer de confondre les points C1 et C3. Cela semble pos-

sible et on peut supposer la structure isostatique.

Synthèse

Savoirs

Je sais définir les mots ou expressions :

• sommets et arcs d’un graphe ;

• cycle ;

• paramétrer ;

• variables et invariants ;

• mobilité ;

• indice de mobilité ;

• degré de mobilité ;

• degré de statisme ;

• isotatisme et hyperstatisme ;

• approche globale.

Je connais :

• les liaisons usuelles sous leurs aspects géométri-

que, cinématique et dynamique ;

• la différence entre une approche cinématique et

une approche dynamique ;

• la représentation matricielle d’un système

d’équations.

Savoir-faire

Je sais :

• tracer un graphe de structure sans que les arcs ne se croisent ;

• dénombrer les cycles ;

• paramétrer un mécanisme ;

• déterminer l’indice de mobilité attaché à une structure ;

• proposer des minorants pour les degrés de mobilité et de statisme.

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La page d’entrée de chapitre

Elle propose une introduction au cours, un rappel des prérequis et des objectifs, ainsi qu’un plan du chapitre.

Les pictogrammes dans la marge

Commentaires pour bien comprendre le cours (reformulation d’un énoncé, explication d’une démonstration...).

Indication du degré d’importance d’un résultat.

Mise en garde contre des erreurs fréquentes.

Rappel d’hypothèse ou de notation.

Monier Algèbre Monier

Géométrie


Monier Algèbre Géomé

Géométrie Monier

2.1 • Masse – Répartition de la masse

53

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Un système à masse conservative est un système dont la masse ne varie pas au

cours du temps.

Définition

Cette indépendance entre la masse et le temps est à exploiter d’autant plus que les

calculs à mener s’appuient sur deux activités principales :

• on définit des quantités élémentaires dépendant du point P courant et du temps t,

nommée simplement ici f P t dm( , ) , que l’on somme par intégration sur tout le

système matériel. • on s’intéresse aux variations de ces quantités au cours du temps.

On démontre alors que pour un système à masse conservative, la dérivée par rapport

au temps de la somme de ces quantités élémentaires est égale à la somme de la dérivée

par rapport au temps de ces mêmes quantités, ce que l’on peut écrire∫ ∫( ) =

∑

∑

ddt f P t dm d

dtf P t dm

( , )( , )

2.1.3 Centre de masseSoient un système matériel quelconque Σ , de masse m, et P un point courant de ce

système, de masse dm.

Le centre de masse d’un système matériel quelconque Σ est le point noté G vérifiant

la propriété

∫ =∑ GPdm 0

Définition

Le centre de masse d’un système matériel est également appelé centre d’inertie. Il

vérifie de nombreuses propriétés que l’on se contente d’énoncer ici.

Propriété 1Le centre de masse d’un système matériel est unique. Propriété 2

Le centre de masse G d’un système matériel Σ de masse m se détermine à partir d’un

point quelconque Q par la relation

∫=∑

QGm QPdm1

Propriété 3Soient Σ1 et Σ2 deux systèmes matériels quelconques mais disjoints de masses et de

centres de masse respectifs m1 et m2 ,G1 et G2 .

Soit Q un point quelconque.Le point G, centre de masse du système Σ = Σ ∪ Σ1

2 de masse = +m m m12 , est le

barycentre des points G1 et G2 affectés de leurs masses respectives m1 et m2 et il vérifie

la relation

=+

mQG m QG m QG1 1 2 2

Certaines de ces propriétés sont démontrées en exercice.


Géométrie



Géométrie Monier

Les points Q et G sont uniques, le point P est le point courant du système

matériel ∑.

f P,t( ) est une fonction quelconque, soit scalaire, soit vectorielle.


Géométrie



Géométrie Monier

Pour un système à masse conservative, on peut échanger l’ordre de la dérivée

et de l’intégrale !

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La synthèse

En fin de chapitre, elle propose un récapi-tulatif des savoirs et savoir-faire indispen-sables.

Pour bien utiliser cet ouvrage

Le cours

Le cours aborde toutes les notions du programme de façon structurée afin d’en faciliter la lecture.La colonne de gauche fournit des remarques pédagogiques qui accompagnent l’étudiant dans l’assimilation du cours. ll existe quatre types de remarques, chacun étant identifié par un picto-gramme.

VIII

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Exercices d’application

Ils proposent à l’étudiant d’utiliser sa connais-sance du cours pour résoudre des problèmes simples. Leur difficulté est indiquée sur une échelle de 1 à 3.

Exercices d’approfondissement

lci, l’étudiant devra aller plus loin que Ia simple application pour résoudre des problèmes parfois transversaux et demandant une réflexion poussée. Leur difficulté est indiquée sur une échelle de 1 à 3.

Les solutions des exercices

Tous les exercices d’application et d’approfondissement sont corrigés.Les solutions sont regroupées en fin de chapitre.

29

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Exercices d’application

Exercices d’application1.1 Un espace à six degrés de libertéL’espace géométrique dans lequel évoluent les objets

est de dimension 3. La position d’un point dans cet

espace est ainsi caractérisée par trois coordonnées. Un

solide est un ensemble infini de points et une question

se pose :« Combien faut-il de paramètres scalaires indépendants

pour définir la position d’un solide dans l’espace ? »

Répondre à la question précédente par une approche géo-

métrique, à partir de la définition d’un solide indéformable.1.2 MouvementsOn s’intéresse dans cet exercice au décompte des mouve-

ments envisageables sur un ensemble de n solides.

On rappelle qu’un mouvement de solide indéfor-

mable se note sous la forme i/k, et se lit « mouvement

de i par rapport à k ».1. Lister les mouvements envisageables sur la chaîne

fermée 1 - 2 - 3 - 1 de la figure 1.3, en distinguant les

mouvements de solide indéformable des autres.

1

3

2

Figure 1.3 Exemple d’une chaîne fermée.2. Lister les seuls mouvements de solide indéformable

envisageables sur la chaîne ouverte 1 - 2 - 3 - 4 de la

figure 1.4.

1

2

3

4

Figure 1.4 Exemple d’une chaîne ouverte.3. Généraliser l’approche précédente et exprimer le nombre

N de mouvements de solide indéformable envisageables

sur un ensemble de n solides.4. Appliquer le résultat précédent au graphe de structure du

mécanisme présenté sur la figure 1.5.

13

2

4

5

6

7Figure 1.5 Exemple d’un mécanisme complexe.1.3 Forme des systèmes d’équations

On considère un mécanisme comportant une structure

mobile et isostatique.1. Donner la forme du système d’équations obtenu par une

approche cinématique.2. Recommencer pour une approche dynamique.1.4 Système vis-écrouOn se propose d’analyser un système de transformation de

mouvement utilisant l’association d’une vis et d’un écrou.

Ax1

y1

z1

1

32

Ce mécanisme comporte trois solides :• un support 1, auquel on associe un repère (A,

x1, y1 ,

z1) ;

• un écrou 3, guidé en translation rectiligne par rapport au

support par une glissière de direction

x1 ;

• une vis 2, en liaison pivot d’axe (A,

x1) avec le support et

en liaison hélicoïdale de même axe avec l’écrou.

1. Paramétrer ce mécanisme.2. Un moteur entraîne la vis par rapport au support et

l’écrou est accroché à un récepteur. Déterminer la loi

entrée-sortie.3. On souhaite un déplacement suivant

x1+ du récepteur

lors de la rotation positive du moteur. Déterminer le

sens à imposer à l’hélice de la liaison hélicoïdale.

4. Évaluer le degré de statisme de cette structure.

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180

1. Pour établir l’équation différentielle régissant le mou-

vement du pendule, on considère le système constitué du

pendule 3 seul.Les actions mécaniques extérieures au pendule se résument

à :• l’action de la pesanteur sur le pendule ;

• l’action du coulisseau 2 ® 3 relative à la liaison pivot ;

• l’action du coulisseau 2 ® 3 engendrée par les frottements

visqueux.Les six équations scalaires résultant de l’application du PFD

au pendule permettent :• de déterminer les cinq inconnues scalaires de la liaison

pivot ;• d’obtenir une équation de mouvement.

Comme on recherche seulement l’équation de mouvement,

on choisit d’écrire l’équation du moment dynamique au point

A en projection sur z1 .

δ⋅ =

→ ⋅

AM A

z

( ,3 / 1) z ( , 3 3)1

1 (1)

Actions mécaniquesOn pose les deux torseurs d’action mécanique concernés

→ −

p

G

mgy( 3) =0

1

µθ

→ →

→→ ⋅ = −

R

M AM A

z

(2 3) = (2 3)( ,2 3), avec ( , 2 3)

1On calcule en préliminaire la composante du moment du

poids au point A suivant

z1

θ

→ ⋅ = − ∧ ⋅= + ⋅= −

M A p z mgy Ry zmg Rx y

mg R

( , 3) ()

sin

11

3 11 3

Le deuxième terme est déjà connu et on obtient en consé-

quence

θ µθ

→ ⋅ = −−

M Az mg R

( , 3 3)sin

1

(2)

Quantités d’accélérationLa masse du pendule 3 est supposée concentrée en G, le

vecteur moment dynamique est dans ce cas nul au centre de

masse.

δ=G( ,3/1) 0La relation de changement de point sur le champ des vecteurs

moment dynamique permet alors d’écrire

δ

=∧

AmA G

GA

( ,3/1) ( ,3/1)Il est nécessaire de calculer le vecteur accélération

A G( ,3/1) .

On écrit dans ce but le torseur cinématique pour le mouvement

3/1. Il se détermine par composition des mouvements sur la

chaîne ouverte 1 – 2 – 3

θ=

Az

xx

(3/1) 1

1On calcule ensuite successivement :• le vecteur vitesse

V G( ,3/1) ;

θ

θ

= + ∧ −= +

V Gxx z Ry

xx R x

( ,3/1)( )

11

31

3

• le vecteur accélération

A G( ,3/1) ;

θ θ

=

= + +

A G d

dtV G

xx R x R y

( ,3/1)( ,3/1)

11

3 23

• la composante du moment dynamique

δ A( ,3/1) suivant z1

δ

θ θθ θ

⋅ = + +∧ ⋅=

+

A z m xx R x R y Ry zm R xR

( ,3/1) ( (

) )( cos)

11

3 23

3 1

(3)

Équation du mouvementOn regroupe les deux résultats (2) et (3) pour détailler l’équa-

tion initiale (1)

θ θθ µθ

+ = −−

m R xR

mgR

( cos)

sin .L’équation différentielle du mouvement du pendule peut être

finalement mise sous la forme

θθ µ θ

θ θ

= −−

−

mRx t mR t

tt

t mg Rt

( ) ( )cos ( )

( )cos ( ) tan ( )

2

(4)

Exercices d’application4.1

Solutions des exercices

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4.8 Asservissement de position avec un moteur

linéaire

Un robot de découpe au laser est représenté sur la figure

ci-dessous. Le déplacement du porte-outil par rapport au

bâti résulte de la composition de deux translation selon

X et selon Y. Les actionneurs utilisés sont deux moteurs

linéaires. Ces derniers présentent la particularité d’un

entraînement direct sans réducteur, pignon-crémaillère, ou

autre transmetteur permettant d’obtenir un mouvement de

translation à partir d’un mouvement de rotation.

XY

glissièreporte-outil

bâti

Figure 4.36 Principe de la table à mouvements croisés.

L’étude suivante se limite à un seul axe, celui correspon-

dant à la translation de l’ensemble « glissière » par rapport

au bâti suivant X.

On décrit dans ce cas le mécanisme à l’aide de deux

ensembles :

•lebâti,surlequelestfixéunaimant;

•l’équipage mobile, de masse M, en liaison glissière de

direction x avec le bâti et équipé d’un circuit électrique

en enroulement.

a) Modélisation du moteur

La tension u(t) appliquée aux bornes du moteur provoque

la vitesse v t( ) de l’équipage mobile par rapport au bâti.

Les deux équations différentielles qui régissent le fonc-

tionnement sont

•uneéquationélectrique

= ++

u t Ri t Ldi t

dte t

( ) ( )( ) ( )

aveci(t) le courant traversant le circuit ;

R et L respectivement la résistance et l’inductance du

circuit,

e(t) la force électromotrice due au mouvement du

moteur et caractérisée par =e t K v t( ) ( )

v, où Kv est la

constante de vitesse du moteur ;

•une équation mécanique, issue de l’équation de la

résultante dynamique appliqué à l’équipage mobile en

projection sur x

µ= − +

Mdv t

dtf t v t z t

( ) ( ) ( ) ( )

m

avecf t( )m

la force motrice générée par le passage du cou-

rant dans le circuit et caractérisée par =f t K i t( ) ( )

mf

,

où Kf est la constante de force,

µ le coefficient de frottement visqueux au niveau de la

liaison glissière,

z(t) la composante suivant x d’une force perturbatrice

appliquée à l’équipage mobile.

La vitesse du moteur dépend ainsi de u(t) et de z(t) :

Moteur linéaireu(t)

z(t)

v(t)

Hypothèses simplificatrices

Pour tout ce problème, on néglige l’inductance L du moteur

dans l’équation électrique, le coefficient de frottement

visqueux µ dans l’équation mécanique et on utilise la

seule constante K pour remplacer les deux constantes Kv

et Kf qui ont la même valeur numérique dans le système

d’unités SI.

Données numériques

== Ω =

==M

g RK

AC200

34 SI

2 V/m40

1. À partir des équations décrivant le fonctionnement du

système, construire un schéma-bloc en adoptant comme

structure

++

F1(p)F2(p)

U(p)

Z (p)V (p)

Détailler les deux fonctions de transfert F p( )1

et F p( )2

sous leurs formes canoniques.

b) Asservissement en position

On propose un asservissement en position selon le schéma-

bloc ci-dessous

+ -

++

AC

F1(p)F2(p)

1p

A

X c(p) UX (p)U(p)

V (p)X (p)

Z (p)

M X (p)

L’adaptateur de consigne et le capteur de position sont de

même gain pur A, le correcteur est de type proportionnel

caractérisé par une constante C.

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