Jean-Louis Foulley, Christèle Robert* INRA-Génétique animale, SGQA-78350 Jouy-en-Josas; *SAGA-31326 Castanet Tolosan Journées didactiques INRIA « Modèles

Jean-Louis Foulley, Christèle Robert*

INRA-Génétique animale, SGQA-78350 Jouy-en-Josas; *SAGA-31326 Castanet Tolosan

Journées didactiques INRIA « Modèles Mixtes »

Jean-Louis Foulley, Christèle Robert*Journées didactiques INRIA « Modèles Mixtes »

8/03/2002 1

Modèles mixtes pour données longitudinales





8/03/2002 2

Plan

• Introduction• Modèle à coefficients aléatoires

-profils longitudinaux-approche hiérarchique-fonctions de variance et covariance-polynômes orthogonaux-polynômes fractionnaires-formulation générale

• Processus temporels-stationnaires pour temps discrets -stationnaires pour temps continus-ex de processus non stationnaires

• Conclusion• Bibliographie





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Profils longitudinaux: ex croissance





8/03/2002 4

Approche hiérarchique: ex croissance

sexe; mesure; individu intra sexe

(échantillonnage des enfants voi

ijk ik ik j ijky A B t e

i j k

1)Ajustement d'un profi l individuel par régression

2) Spécifi cation de lois de probabilité sur les coeffi cients

2

2

re info a priori)

~ ,ik i ik i ika ab

ik i ik i ikab b

ijk i ik i ik j ijk

ijk i i j ik ik j ijk

A A a

B B b

y a b t e

y t a b t e





8/03/2002 5

Approche hiérarchique: formulation générale

x1 x x1

xx1 x1

'

1) | ; ~ ( , )

2) ; ~ ( , )

1) 2)

: Modèle linéaire mixte

E ( ) ; Var ( )

cf Lindley & Smith, 1972, JRSS, 3

i i

i

i i i i i i i

n n q q

i i i i

q pq p

i i i i i i

i i i i i

i i i i i i i

X

Y Z e e 0 R

K u u 0 G

Y Z K Z u e

Y X Z u e

Y X Y V Z G R

b b

b b

b

b

b Z

N

N

4,1-41





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Fonctions de variance et de covariance

1 2

00 01 2

01 11

2 200 01 11

2 3 4 200 01 11 02 12 22

00 011

01 11

1Var( ) 1

Var( ) 2

Var( ) 2 2 2

___________________________________________________

Cov( , ) 1

it e

it e

it e

it it

g gy t

g g t

y g g t g t

y g g t g g t g t g t

g gy y t

g g

1 2

1 2

2

00 01 1 2 11 1 2

2 200 01 1 2 11 1 2 02 1 2

2 2 2 212 1 2 2 1 22 1 2

1

Cov( , )

Cov( , ) ( )

( )

it it

it it

t

y y g g t t g t t

y y g g t t g t t g t t

g t t t t g t t





8/03/2002 7

F. de variance-covariance: formule générale

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1 21 20 0

1 21 2

' '1 2 2 1

'1 2

Formule générale pour un ordre (degré 1)

Cov( , )

Soit = , = ; 0,1,..., 1

Cov( , ) tr( )

Cov( , ) '

produit d'Hadam

q q jiit it ij et ti j

i i

it it

it it

q q

y y g t t I

t t i q

y y

y y

T T

T GT GT T

1 G T T 1H

H ard





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F. de covariance: polynômes orthogonaux

1 1

1 2 1 20 0

0 1 2

Kirkpatrick & Heckman,1989, J Math Biol, 27, 429-450

Kirkpatrick et al, 1990, Genetics, 124, 979-993

Meyer, 1998, GSE, 30, 221-240

( , )

ˆ, , ,..., ,...polynomes orth

q q

ij i ji j

k

t t k t t

t t t t

F

2

ogonaux

sur l'intervalle a,b

rappel: 0 , ; 1 ,b b

k l ka at t dt k l t dt k





8/03/2002 9

F. de covariance: polynômes orthogonaux (suite)

1 1

1 2 1 20 0

x x x x

00 01 02 0 1 0 20 1 1 1 2 1

01 11 12 1 1 1 22x 20 2 1 2 2 2

02 12 22 2 1 2 2

21 1

2

( , )

'

'

1

1

q q

ij i ji j

N N N q q q q N

t t k t t

k k k t tt t t

k k k t tt t t

k k k t t

t t

t t

F K

F

K

Z

F F

FF

=

F

0 1 1 1 2 1

20 2 1 2 2 22

0 1

110 1 2

22

0 1 2

, ,..., ,...

ˆLes covariables au lieu d'etre , , ,..., ,...

.. sont , , ,..., ,.....

k

kk

kkk

k k

k

kk NN

t t t

t t t

tt

t t t ttt

t t t t

tt

Z Z Z Z

Z

F

F

=





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Fonction de covariance: passage Legendre-RC

1 2

1 1 1 1

1 2 1 2 1 20 0 0 0

Comme pour la régression polynomiale classique,

on peut mettre ( , ) sous la forme:

( , )

est l'élément (i,j) de = ' où est tel que:

1/ 2 3/ 2

q q q q i jij i j iji j i j

ij

t t

t t k t t g t t

g

G KL L L

F

F

2

2

45 / 8 5 / 8 ...

1/ 2 0 5 / 8 ..

0 3/ 2 0 ..1 ...

0 0 45 / 8 ..

0 0 0 ..

' ' ' '

ij ij

ij ij

t t

t t

ZGZ Z K Z K Z

L

L L F F F = L





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Ajustement par les polynômes fractionnaires

0

1 2 1 2

Article de base: Royston & Altman, Appl Stat (1994), 43, 429-467

Application: Robert, Maza, Rupp, Foulley (2002)

( ; , ) ( )

: entier positif (degré);

( , ,..., ) ' ... réels

,

m

m j jj

m m

X H X

m

p p p p p p

p

p

1

x

x= ( )

1( )

1 1

0

22 0 1 2

23 0 1 2 3

,..., ' coefficients réels

si si 0

( ) =( ) ln si ln si 0

( ) 1

Ex: ( ; , 2,1) /

( ; ,0,0,1) ln (ln )

j

j

j

m

ppj j

p jj j j j

j

X p pX p

H X XH X X p pX p

H X

X X X

X X X X

2

x

x





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Ex de polynômes fractionnaires de degré 2





8/03/2002 13

Décomposition du profil individuel ajusté(Diggle, Liang & Zeger, 1994)





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Décomposition du profil individuel ajusté:formulation générale

( )"effets aléatoires ( )"copie d'un processus ( ) "erreur de mesurerelatifs au sujet" stochastique temporel" vraie ou pseudo"

'

' 2

; ~ ( , )

( )

( )

i i i i i

i i i i i i

ij ij i i ij ij

i i i i

w t e

I II III

Y X 0 V

Z u W t e

z u

V Z G H

b e e

e

Z 2

Modèles linéaires: (II); (III); (II)+(III)

Modèles mixtes: (I)+(III); (I)+(II); (I)+(II)+(III)

ie n

i

R

I

Modèles possibles





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Processus stationnaires: exemples AR(1)

1 1

1

2

2 2 2

; 2,...,

; 2,...,

"bruit blanc" tel que: E( ) 0,Var( )

Cov( , ) 0, , 1,2,..., 1

1 cor ,

Comme 1, cor , 0 ( )

t t t t t

t t t

t t t

t t t v

t t k

kv t t k

t t k

y y v t T

w y

w w v t T

v v v

v v t k t

w w

w w k





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AR(1): suite

2 3

22

2

3 2

21 1 1

22 2

1

1

1

1

1 0 0

1 01 1

0 1 1

0 0 1

w

w

Σ H H

Σ H H





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Structures d’autocorrélation stationnaire pour temps continus

2

2

2

Cov( , ) ( ) où

1. ( ) (0 1) : puissance

ou = exp(- ) >0 ou *=1/ : exponentielle

2. ( ) exp(- ) >0 : gaussienne

13. ( ) : Cauchy

1

u

s t u u s t

u

u

u u

uu





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Structures non stationnaires en continu: qlq exemples

2

" " (temporelle et structurale)

Goldstein, Healy, Rabash, 1994; Wolfinger, 1996

Foulley et al, 1990; San Cristobal et al, 1993; Foulley &Quaas, 1995; Robert et al, 1999

expijt

Hétérogénité de variances

p '

vecteur de covariables incluant le temps ( )

ou ajustement non paramétrique (Torres & Quaas,2000 B-splines de Torres)

_____________________________________________________________________

"

ij

ij ijtp

Typ

d

,

"

(Pletcher & Jaffrézic, 2000); ; (stat en transf. Box-Cox)

avec ou sans hétérogénité de variances

_____________________________________________________________________

" : Integ

f s f t

s t f t t

e AD

IOU

, 3

2 2

rated Ornstein Uhlenberg " (recommandé par Lindsey)

2 min( , ) exp( ) exp( ) exp( )

2

/ constant, (Brownien:min( , ))

0 (modèle mixte intercept+pente)

s t

s t s t s t

avec s t





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Conclusion: grande flexibilité de modélisation

• Choix de deux modèles– Tendance moyenne: profils de population

• Ajustement polynomial classique ou fractionnaire• Méthodes semi ou non paramétriques: splines et noyau

– Partie aléatoire: profils individuels ajustés• Ajustement polynomial à coefficients aléatoires• Corrélation sérielle par des processus temporels

• Comparaison de modèles et validation





8/03/2002 20

Bibliographie

Ouvrages relatifs à l’analyse des données longitudinales Anderson T.W., The statistical analysis of time series. J Wiley & Sons, 1971; Wiley Classics Library,

1994 Diggle P.J., Liang K.Y., Zeger S.L., Analysis of longitudinal data, Oxford Science Publications, Clarendon

Press, Oxford, 1994 Gregoire TG., Brillinger DR., Diggle PJ., Russek-Cohen E., Warren WG., Wolfinger RD., Modelling

longitudinal and Spatially Correlated Data, Springer Verlag, Lectures notes in Statistics, New York, 1997

Littell R.C., Milliken G.A., Stroup W.W., Wolfinger R.D., SAS System for mixed models, SAS Institute Inc,

Cary, NC, USA, 1996 Laird N.M., Ware J.H., Random effects models for longitudinal data, Biometrics 38 (1982) 963-974 Lindsey J.K., Models for repeated measurements. Oxford University Press Statistical Science Series, 19,

Oxford University Press, Oxford Rao CR The theory of Least Squares when the parameters are stochastic and its application to the

analysis of growth curves. Biometrika 52 (1965) 447-468 Verbeke G., Molenberghs G., Linear mixed models for longitudinal data, Springer Verlag, New York, 2000

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