Jean-Maxime doit se rendre au travail. En chemin, il passera au centre d’activités physiques pour s’entraîner.

De sa maison, il parcourt une distance de 0,75 km dans la direction [N36oE] et s’arrête au centre.

Après son entraînement, il marche jusqu’à l’arrêt d’autobus situé à 0,50 km au sud du centre.

L’autobus arrive.

Jean-Maxime embarque et débarque à l’entrée de son travail, 2,6 km plus loin dans la direction [S40oE].

Détermine le déplacement total de Jean-Maxime.

Étape 1 : Écris les données et trace un diagramme vectoriel.

Données :

1

2

3

0,75km [N36°E]

0,50km [S]

2,6km [S40°E]

?total

d

d

d

d

1d

2d

3d

totald

Diagramme vectoriel :

36o

40ox

y

x

y

x

Le triangle est rectangle et la mesure de l’angle entre l’axe des x positif et le vecteur est donnée. Tu peux alors faire appel au rapport trigonométrique cosinus.

Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des

vecteurs à additionner.

1d

36o

x

y

90 36 54 54

1xd

1yd

Commence par déterminer la composante dans la direction x.

cosadj

hyp

Pour cela, détermine la longueur du côté adjacent à l’angle

cosadj

hyhyp hyp

p

coshyp adj

cosadj hyp

(composante vectorielle dans la direction x)

(com

posa

nte

vect

orie

lle

dan

s la

dire

ctio

n y)

Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des

vecteurs à additionner.

1d

36o

x

y

54

1xd

1yd

0,75 km

cosadj hyp

(composante vectorielle dans la direction x)

(com

posa

nte

vect

orie

lle

dan

s la

dire

ctio

n y)

La longueur de l’hypoténuse est la longueur du vecteur donné, soit 0,75 km.

1 (0,75km) cos54xd

1 0,4408kmxd

* Note que pour indiquer qu’il s’agit bien d’une composante et non d’une composante vectorielle, il n’y a pas de flèche au-dessus de la lettre.

Une fois que tu as déterminé la composante dans la direction x, calcule la composante dans la direction y.

Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des

vecteurs à additionner.

1d

36o

x

y

54

1xd

1yd

0,75 km

cosadj hyp

(composante vectorielle dans la direction x)

(com

posa

nte

vect

orie

lle

dan

s la

dire

ctio

n y)

1 (0,75km) cos54xd

1 0,4408kmxd

Tu cherches maintenant à déterminer la longueur du côté opposé à l’angle

La longueur du côté opposé à l’angle est la composante dans la direction y.

Fais appel au rapport trigonométrique sinus pour déterminer la composante dans la direction y.

Note que est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur. 1 0,6068km

yd 1 0,6068km

yd

Étape 2 : Détermine les composantes dans les directions x et y des

vecteurs à additionner.

1d

36o

x

y

54

1xd

1yd

0,75 km

(composante vectorielle dans la direction x)

(com

posa

nte

vect

orie

lle

dan

s la

dire

ctio

n y)

sinopp

hyp

sinopp

hyhyp hyp

p

sinhyp opp

sinopp hyp

1 (0,75km) sin 54yd

Récapitulation (mi-activité)

Pour déterminer la composante dans la direction x, tu peux utiliser l’équation qui suit :

cosadj hyp

Tu peux aussi retravailler l’équation pour qu’elle soit plus pratique.

xiadj d

ihyp d

L’équation devient :

cosxi id d

où est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur.

Récapitulation (mi-activité) (suite)

Pour déterminer la composante dans la direction y, tu peux utiliser l’équation qui suit :

sinopp hyp

Tu peux aussi retravailler l’équation pour qu’elle soit plus pratique.

yiopp d

ihyp d

L’équation devient :

sinyi id d

où est toujours la mesure de l’angle prise dans le sens anti-horaire entre la partie positive de l’axe des x et le vecteur.

Détermine maintenant les composantes dans les directions x et y des

deux autres vecteurs.

2dx

y

2 (0,50km) cos 270x

d

2 0kmx

d

2 (0,50km) sin 270y

d

2 0,50kmy

d

cosxi id d

270

sinyi id d

0,50 km

3 (2,6km) cos310x

d

3 1,6712kmx

d

3 (2,6km) sin 310y

d

3 1,9917 kmy

d

cosxi id d

270 40

sinyi id d

3d

40o

x

y

310

3xd

3yd

3,6 km

Étape 3 : Additionne les composantes dans chaque direction (x et y).

1 0,4408kmxd

2 0kmx

d 2 0,50kmy

d 1 0,6068kmyd

0,4408km 0km 1,6712kmxd

0,6068km ( 0,50) km ( 1,9917) kmyd

2,112kmxd

1,8849kmyd

3 1,6712kmx

d 3 1,9917 kmy

d

Étape 4 : Résous le triangle rectangle qui en résulte pour déterminer la

longueur du vecteur résultant (l’hypoténuse) et son orientation.

x

y

totald

2,112kmxd

2,8308kmtotald 2,8308km

Étape 4 : Résous le triangle rectangle qui en résulte pour déterminer la

longueur du vecteur résultant (l’hypoténuse) et son orientation.

totald

2,112km

2 2 2c a b 2 2 2(1,8849km) (2,112km)totald

2 28,0134kmtotald 2 28,0134kmtotald

tanopp

adj

2,112kmtan

1,8849km

tan 1,1205 1tan (1,1205)

48 48

1,88

49km

yN1d

2d

3d

totald

x

Donc, le déplacement total de Jean-Maxime

est de 2,8 km [S48oE].