Julian DUPLAN rapport de PFE GC5 2010 - version corrigée 1.0

Rapport de PFE année 2009

PFE : Etude de la distribution du renforcemedes structures en maçonnerie

carbone, en utilisant

Julian DUPLAN GC5 INSA STRASBOURG Tuteur INSA: Didier GUTHTuteur UFU: Jesiel CUNHA

Rapport de PFE année 2009-2010

: Etude de la distribution du renforcemedes structures en maçonnerie par fibres de

en utilisant l’ optimisation topologique.

Tuteur INSA: Didier GUTH Tuteur UFU: Jesiel CUNHA

: Etude de la distribution du renforcement par fibres de

optimisation topologique.

Julian DUPLAN Rapport de PFE

2

Sommaire Résumé ............................................................................................................................. 4

Resumo ............................................................................................................................. 5

Remerciements ................................................................................................................. 6

Nomenclature.................................................................................................................... 7

Nomenclature maçonnerie ....................................................................................................... 7

Nomenclature fibre de carbone ................................................................................................ 7

Nomenclature optimisation topologique .................................................................................. 7

Introduction ...................................................................................................................... 8

1 Universidade federal de Uberlândia .......................................................................... 9

1.1 L’Université.................................................................................................................... 9

1.2 Localisation .................................................................................................................... 9

1.3 La FECIV (Faculdade de Engenharia Civil) .................................................................... 10

2 Sujet ......................................................................................................................... 10

2.1 Rappel .......................................................................................................................... 10

2.2 Aspect novateur .......................................................................................................... 10

2.3 Méthodologie du projet .............................................................................................. 10

3 Structures en maçonneries ....................................................................................... 11

3.1 Définition ..................................................................................................................... 11

3.2 Historique .................................................................................................................... 11

3.3 Aujourd’hui .................................................................................................................. 12

3.3.1 Différents types de forme ................................................................................... 12

3.3.2 Différents types de matériaux ............................................................................. 13

3.3.3 Différents types d’empilement ........................................................................... 13

3.3.4 Au Brésil ............................................................................................................... 14

3.4 Pathologies .................................................................................................................. 15

3.4.1 Pathologies structurelles ..................................................................................... 15

3.4.2 Pathologies liées à l’action climatique ................................................................ 17

3.6 Caractéristiques des matériaux de l’étude ................................................................. 18

3.6.1 Caractéristiques géométriques ........................................................................... 18

3.6.2 Caractéristiques mécaniques .............................................................................. 18

4 Matériaux composites /Fibre de carbone ................................................................ 20

4.1 Historique .................................................................................................................... 20

4.2 Définitions ................................................................................................................... 21

4.2.1 Les composites à fibres .............................................................................................. 22


3

4.3 Procédés de fabrication .............................................................................................. 23

4.3.1 Les résines ........................................................................................................... 23

4.3.2 Les fibres.............................................................................................................. 24

4.3.3 Elaboration des fibres de carbone. ..................................................................... 25

4.4 Applications des matériaux composites ..................................................................... 26

4.5 Comportement mécanique des matériaux composites ............................................. 28

5 Modélisation par éléments finis : Ansys ................................................................. 29

5.1 Présentation ................................................................................................................ 29

5.2 Eléments ...................................................................................................................... 30

5.2.1 Eléments de maçonnerie ..................................................................................... 30

5.2.2 Maillage ............................................................................................................... 32

5.2.3 Chargement ......................................................................................................... 33

5.2.4 Conditions d’appuis ............................................................................................. 33

5.2.5 Élément de renfort .............................................................................................. 34

5.3 Problèmes rencontrés ................................................................................................. 36

5.3.1 Problème de continuité nodale ........................................................................... 36

5.3.2 Problème d’interprétation des résultats ............................................................. 36

5.3.3 Problème de traitement des résultats ................................................................ 37

6 Optimisation topologique ........................................................................................ 38

6.1 Définition ..................................................................................................................... 38

6.2 Optimisation topologique formulation générale de la méthode des densités ........... 39

6.3 Méthode des densités ................................................................................................. 40

6.3.1 Fondement mathématique de la Méthode des Densités ................................... 40

6.5 Résultats des simulations numériques ........................................................................ 43

6.5.1 Compression simple ............................................................................................ 43

6.5.2 Chargement compression cisaillement ............................................................... 52

Conclusion ...................................................................................................................... 57

Références bibliographiques........................................................................................... 58

Maçonneries ............................................................................................................................ 58

Matériaux composites ............................................................................................................. 58

Optimisation topologique ....................................................................................................... 58

Annexes .......................................................................................................................... 59


4

Résumé

Initialement le projet devait traiter du renforcement par fibre de carbone des structures en béton armé. Pare la suite, le sujet a été réduit à la modélisation et l’optimisation topologique des renforts en fibre de carbone, appliquées aux structures en maçonnerie. En effet, la structure en maçonnerie est un type de construction très répandu au Brésil, pour son faible coût et sa facilité de mise en œuvre. Jusqu’à aujourd’hui, il existe principalement deux méthodes de réhabilitation de ce type de structure, la première qui consiste à démolir pour reconstruire, et l’autre qui consiste à renforcer la structure existante. L’une de ces techniques de renforcement, consiste à disposer des bandes de matériaux composites (fibres de carbone ou fibre de verre associées avec une résine époxyde, etc.) sur les surfaces endommagées. Cependant, l’utilisation de ces matériaux de hautes performances a un coût non négligeable. À l’heure actuelle, les méthodes de prédiction d’utilisation de ce type de renfort dans le génie-civil résident essentiellement sur des observations structurelles ainsi que sur l’expérience de l’ingénieur. Toutefois, dans le cas de structure complexe la détermination de la distribution du renfort n’est pas évidente et l’expérience ne suffit plus. C’est pour cela que l’optimisation topologique offre une alternative intéressante, montrant automatiquement les régions où appliquer le renfort. L’objectif étant ainsi d’aboutir à une économie de matériau, à travers cette distribution optimisée. Mot-clef : Structure en maçonnerie, fibre de carbone, renforcement, optimisation topologique


5

Resumo

Inicialmente o projeto devia se focalizar sobre as estruturas em concreto reforçadas por fibra de carbono. Posteriormente, o tema restringiu-se à modelagem e a otimização topológica de um reforço de fibra de carbono, aplicada à alvenaria estrutural. A alvenaria estrutural é um tipo de construção muito comum no Brasil pelo seu custo e sua facilidade construtiva, e, portanto, sujeitas a muitas pesquisas para melhorar o comportamento e os desempenhos deste tipo de edificação.

Até hoje existe principalmente duas maneiras de recuperar uma alvenaria

estrutural, a primeira que consiste simplesmente a demolir e reconstruir, e a outra que é de usar técnicas de reforço da estrutura existente. Uma delas é de colocar faixas de materiais compostos (fibra de carbono com resina epóxi, fibra de vidro com resina epóxi, etc.) sobre as superfícies das estruturas danificadas. Contudo o custo desses materiais de alto desempenho não é desprezível.

A utilização do reforço estrutural com fibras de carbono é feita atualmente com

base no comportamento estrutural e na experiência do projetista. No entanto, para estruturas complexas a determinação da distribuição do reforço não é evidente. Neste sentido, a otimização topológica entra como uma ferramenta interessante do cálculo automático da distribuição do reforço, mostrando as regiões onde este deve ser aplicado. O objetivo assim é de obter uma economia de material, a partir da distribuição otimizada do material. Palavras-chave: Alvenaria estrutural, fibra de carbono, reforço estrutural, otimização topológica


6

Remerciements Je tiens à remercier en premier lieu mes deux tuteurs, Monsieur Jesiel CUNHA et Monsieur Didier GUTH pour l’aide et les conseils qu’ils m’ont apportés tout au long de mon projet. Je tiens également à remercier Madame Raquel SANTINI LEANDRO RADE, ainsi que tout le service des relations internationales de l’Université Fédérale d’ Uberlândia, pour cette immense expérience pédagogique et culturelle qu’ils m’ont permis de réaliser. Et enfin je remercie le peuple brésilien pour son accueil chaleureux sans commune mesure. Muito obrigado, abraços.


7

Nomenclature

Nomenclature maçonnerie A : hauteur de la brique

C : longueur de la brique

L : largeur de la brique

Em : épaisseur de mortier

Eb : module d’élasticité de la brique (GPa)

El : épaisseur des parois de brique

νb : coefficient de poisson de la brique

Em : module d’élasticité du mortier (GPa)

νm : coefficient de poisson du mortier

Fa : résistance minimale de la brique

Nomenclature fibre de carbone E1 : module d’élasticité dans la direction des fibres

E2 : module d’élasticité dans la direction perpendiculaire aux fibres

G12 : module de cisaillement dans le plan (1,2)

G23 : module de cisaillement dans le plan (2,3)

ν12 : coefficient de poisson dans le plan (1,2)

Nomenclature optimisation topologique X = [ 1x 2x 3x ... Nx ] : Vecteur des variables du projet (densité des éléments);

K : Matrice de rigidité globale;

U : Vecteur déplacement global;

F : Vecteur force;

0k : Matrice de rigidité de l’élément;

eu : Vecteur déplacement de l’élément e;

N : Nombre d’élément de la structure discrétisée;

0V : Volume du domaine de projet (volume initiale);

f : Fraction volumique (détermine la réduction volumique que va subir le matériau);

β : Facteur de pénalisation (généralement β=3);


8

Introduction

Comme nous le verrons par la suite les structures en maçonneries peuvent être victimes de désordres de diverses natures, qui ont dans la plupart des cas des conséquences néfastes sur la pérennité des ouvrages.

Nous verrons également, que les changements d’utilisation d’un bâtiment (ajout d’étages supplémentaires, utilisation industrielle d’un bâtiment, etc.) entrainant une augmentation des charges d’exploitation, ne sont pas sans causer certains problèmes au point de vue structurel.

Il existe des techniques de réparation, de réhabilitation et de renforcement des structures, l’une d’elle consiste à disposer des bandes de renfort en matériaux composites (fibre de carbone ou fibre de verre) sur les parements. Pendant de nombreuses années l’ingénieur avait recours à son expérience conjuguée à des calculs relativement grossiers afin d’utiliser et d’optimiser l’emploi de ces matériaux dont le coût jusqu’à aujourd’hui demeure non négligeable.

L’apparition et la vulgarisation de la conception assistée par ordinateur, jumelée à l’augmentation de la puissance de calcul nous permettent désormais (sous réserve de bonne modélisation et d’utilisation de loi de comportement adéquate) de prévoir le comportement des structures, de modéliser des matériaux dont les lois de comportement sont plus complexes, etc. Il est donc aujourd’hui possible d’optimiser la quantité de matériaux composites apportés afin de renforcer une structure sans pour autant travailler par tâtonnement, et ainsi gagner en compétitivité.

L’objectif fondamental de ce projet est dans un premier temps, l’élaboration d’un modèle éléments finis d’une structure en maçonnerie renforcée par fibres de carbone (sous diverses chargements et conditions d’appuis), puis dans un second temps d’arriver à optimiser la quantité, la forme du renfort et de cibler les régions nécessitant cette ajout de renfort (arriver à des surfaces de renfort prête à l’emploi en fonction du type de sollicitation et de réfection à effectuer).


1 Universidade federal de Uberlândia

1.1 L’Université Reconnue comme « Universidade Federal(l’Université Fédérale d’UberlMinas Gerais. Particulièrement réputéjouit d’une excellente réputation auprès des entreprises aussi bien locales que nationales. Le campus Santa Mônica regroupe Faculdade de Engenharia Civil, MecatrSciences Humaines et de Lettre

Fig 1:

1.2 Localisation Uberlândia située au Sud-Ouest de l’état de Minas Gérais, dans le est la deuxième ville de l’état de par sa population et son activité 700 000 habitants et la municipalité

Fig 2: Etat de Minas Gérais, et la ville d’U

Universidade federal de Uberlândia

Universidade Federal » (Université Fédérale) en mai 1978, édérale d’Uberlândia) fait partie des meilleurs université

Minas Gerais. Particulièrement réputée dans le domaine de la mécanique, jouit d’une excellente réputation auprès des entreprises aussi bien locales que

nica regroupe l’ensemble de la filière scientifique (FECIV e Engenharia Civil, Mecatrônica, Mecânica, etc.) ainsi que l

ettres.

1: Université Fédérale d’Uberlândia

Ouest de l’état de Minas Gérais, dans le Tritat de par sa population et son activité économique. Ave

la municipalité s’étend sur une superficie de 4.116 km²

Etat de Minas Gérais, et la ville d’Uberlândia, source Wikipedia

9

édérale) en mai 1978, l’UFU ndia) fait partie des meilleurs universités de l’Etat de

de la mécanique, l’Université jouit d’une excellente réputation auprès des entreprises aussi bien locales que

scientifique (FECIV ) ainsi que les filières de

riângulo Mineiro, économique. Avec

116 km².

berlândia, source Wikipedia


10

1.3 La FECIV (Faculdade de Engenharia Civil) J’ai été accueilli au sein du FECIV par le docteur Jesiel CUNHA et son équipe, afin de mener l’étude théorique et bibliographique, qui sera par la suite complétée par une campagne expérimentale.

2 Sujet

2.1 Rappel Initialement le projet devait se focaliser sur la «Simulation du comportement des structures en béton armé renforcées par fibres de carbone ». De façon générale, le sujet reste sensiblement le même c’est à dire la modélisation et l’optimisation topologique du renforcement par fibres de carbone, mais appliquées aux «Alvenaria Estrutural» (constructions en maçonneries), type de construction très répandu dans cette partie du globe.

2.2 Aspect novateur Les études menées jusqu’à présent sur les structures en maçonnerie renforcées par fibres de carbones se sont surtout focalisées sur la réalisation de modèle de calcul homogénéisé afin de minimiser le coût de calcul. Ce projet lie à la fois, l’utilisation de matériaux de hautes performances (fibres de carbone) et la mise en place de techniques de calculs jusqu’à lors peu utilisées dans le domaine de la construction et du Génie-civil (optimisation topologique).

2.3 Méthodologie du projet

Réaliser un modèle de 1,20 m*1,20 m chargé verticalement, uniformément et symétriquement, afin d’éviter les concentrations de contraintes en certains points, les tassements différentiels ainsi que l’apparition de flexion dans la maçonnerie.

Trouver un modèle de renfort compatible avec l’anisotropie des matériaux composites.

Prise en compte des problèmes de cisaillement transversaux. Trouver un maillage adapté au calcul ainsi qu’au module d’optimisation

topologique. Développer un moyen de contrôle (moyen de vérification rapide et robuste). Travailler sur des surfaces de renfort inférieures ou égales à celles qui auraient

été couramment utilisées sans optimisation.


11

3 Structures en maçonneries

3.1 Définition Une maçonnerie est un empilage de blocs (pierre, briques terre cuite ou en béton aggloméré etc.) liés entre eux par un liant hydraulique (chaux, ciment, plâtre etc.). On réalise à partir de deux matériaux de caractéristique et de comportement différent un assemblage homogène destiné à vieillir durablement.

3.2 Historique Historiquement, la construction en maçonnerie est l’une des techniques de construction les plus anciennes employées par l’homme et dont on retrouve encore les traces jusqu’à aujourd’hui. Utilisant des blocs de pierre, d’argile, certaines de ces structures ont traversées les millénaires, les plus célèbres d’entre elles sont sans aucun doute les pyramides Maya et Egyptienne.

Fig 4: Pyramide Maya de Tikal (Guatemala) - Pyramide de Khéops à Gizeh

(Egypte), source Wikipedia Quefren, Khéops et Miquerinos sont les trois pyramides les plus célèbres construites en bloc de pierre datant d’approximativement 2600 avant J.C. La plus grande d’entre elles Khéops, culminant à près de 147 m nécessita près de 2,3 millions de blocs de pierre d’un poids moyen de 2,5 tonnes.

Fig 5: cathédrale de StrasbourgConstruite en blocs de grès des Vosges


12

La figure 6 présente des tunnels anciens en maçonnerie, subissant l’érosion et les effets du temps, les charges restent les mêmes cependant la résistance de la maçonnerie chute irrémédiablement avec le temps.

Fig 6: Tunnels en maçonnerie, source Science Direct

www.elsevier.com

3.3 Aujourd’hui

3.3.1 Différents types de forme

La figure 7 présente les grandes lignes des structures en maçonnerie, c’est-à-dire, construction briques plus mortier, avec différents types de briques selon les régions et le type de construction.

Fig 7: Formes courantes de brique, source www.ledictionnairevisuel.com


13

3.3.2 Différents types de matériaux

Les figures 8 et 9 ci-dessous présentent les trois grandes familles de matériaux couramment utilisées dans le domaine de la construction en maçonnerie :

• Les parpaings en béton aggloméré • La pierre taillée • Les briques en céramique (terre-cuite généralement en argile)

Fig 8: Maçonnerie en béton aggloméré-maçonnerie en pierre taillée

Fig 9: Maçonnerie en céramique

3.3.3 Différents types d’empilement

Fig 10: Empilement de briques courant.


14

L’empilement retenu lors notre projet est un empilement en décalage d’une demi-brique, ce qui correspond à l’empilement le plus répandu dans la construction en maçonnerie, figure 10.

3.3.4 Au Brésil

Les «alvaneria estructural» (constructions en maçonneries), type de construction très répandu, au Brésil, font l’objet de nombreuses recherches en termes de recherche et développement (amélioration des performances, et de la durabilité), et d’une concurrence féroce entre les entreprises qui rendent ce type de construction très compétitif. En effet sous réserve d’un calpinage architectural cohérent, d’une bonne qualité de matériau et de mise en œuvre, la construction en maçonnerie se révèle performante aussi bien mécaniquement qu’économiquement. Réservées principalement aux édifices d’habitation, elles sont surtout utilisées dans les structures poteaux-poutre afin de réaliser les murs et cloisons. Cependant on voit de plus en plus apparaître des bâtiments pouvant atteindre jusqu’à 15 étages ou les maçonneries (avec béton et armatures, graute) jouent un rôle structurel. La figure 11 présente à gauche une maçonnerie jouant un rôle structurel, à droite structure traditionnel, poteaux-poutres avec remplissage de maçonnerie

Fig 11: chantier de construction au Brésil

Avantages

Coût Matériau préfabriqué de qualité contrôlée Réduction du nombre de poste et de spécialisation sur chantier Flexibilité du temps de travail, moins contraignant que le béton armé avec

ces impératifs de temps de prise. Inconvénients

Nécessité d’une main d’œuvre qualifié et bon marché Changements architecturaux quasi impossible (nouvelles portes, fenêtre,

etc.) dans les structure à maçonnerie porteuse. Limites architecturales


15

3.4 Pathologies

3.4.1 Pathologies structurelles

Erreurs de conception, actions sismiques et choix des matériaux Des tassements différentiels importants (mauvais dimensionnement des fondations), des actions sismiques trop fortes peuvent entrainer le dépassement de la résistance du mortier et amorcer la fissuration de la maçonnerie. Nous verrons ici les principales erreurs de conception à l’origine des désordres (fissurations communément observées) Une maçonnerie en bloc creux, n’est en aucun cas apte à reprendre des charges verticales importantes, elle ne peut servir d’appui à une poutre principale, notamment si elle est aux extrémités.

Fig 12: Descente de charge verticale sur une maçonnerie

La figure 13 illustre les fissures les plus souvent observées sur les résidences pavillonnaires :

Fig 13: Fissurations courantes, source UNIVERSITE ABOUBEKR BELKAID,

Pathologies des constructions


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(1) Tassement des fondations (2) Mouvement différentiel du plancher des combles (chaudes) et de la charpente (froide) (3) Reprises de maçonnerie mal faite s (4) Mauvaise qualité du jointoiement qui maintient mal l’enduit (5) Fissuration verticale (coup de sabre) dû à une fissuration verticale des briques (6) Fissures de cisaillement entre briques gonflantes et plancher en béton coulé sur place, ayant fait beaucoup de retrait. (7) Fissures au niveau du cadre des fenêtres dues à la déformation des briques creuses et du mauvais remplissage des vides avant enduisage (8) Décollement de l’emmarchement fondé sur remblai (9) Fissuration due à un mauvais chainage en tête

Fig 14: Dégradations des maçonneries lors d’un séisme, Victor Davidovici

Interaction chainage maçonnerie lors d’un séisme Pouvant entrainer la ruine totale ou partielle de la maçonnerie du fait de la compression de la diagonale qui se forme dans le mur.

Fig 15: Interaction chainage maçonnerie lors d’un séisme, source Victor

Davidovici


17

3.4.2 Pathologies liées à l’action climatique

Le mortier, la chaux et le ciment sont de nature basique, et donc très sensibles à l’action des acides. L’action conjointe de l’eau de pluie et des polluants atmosphériques ont tendance à décomposer les chaines cristallines des liants, décomposition qui produit des sels dont certains (les chlorures et nitrates) s'éliminent par dissolution dans l'eau (fuite du joint), et d'autres (les sulfates) cristallisent en produisant des gonflements (gypse ou ettringite). En outre des conditions climatiques favorables (humidité) à la prolifération des micro-organismes (bactéries, levure, champignons, etc.) peuvent également engendrer des désordres au sein des mortiers. En effet, ces micro-organismes ont la capacité de transformer l’azote atmosphérique en acide nitrique, ou les pyrites en acide sulfurique, et leur développement à l’intérieur des joints peuvent faire apparaître des contraintes supplémentaires dans les mortiers. Dans les briques le phénomène le plus grave observé est « l’alvéolisation ». Phénomène apparaissant souvent à la base des murs soumis aux remontés capillaires, présence permanente d’eau, elle a pour conséquence le désagrégement de la brique qui perd alors une grande partie de sa résistance mécanique. Enfin, une trop grande disparité de capillarité entre la brique et le mortier peut créer des zones étanches, empêchant la migration de l’eau vers les joints où elle est sensée s’évaporer. La face avant de la brique va alors reculer peu à peu et se creuser par rapport au joint.


18

3.6 Caractéristiques des matériaux de l’étude

3.6.1 Caractéristiques géométriques

Fig 16: Brique en béton aggloméré, source RAMALHO, M.A. ; CORREA M.R.S

A= 0,19 m C= 0,39 m L= 0,14 m em = 0,01 m (épaisseur des joints de mortier) El = 0.03 m (épaisseurs des parois de brique) Dimensions des briques normalisées par la NBR 10837.

Fig 17: Dimension de la maçonnerie réalisée Les dimensions de la maçonnerie sont les suivantes, il s’agit des dimentions retenues pour le modèle expérimental.

3.6.2 Caractéristiques mécaniques

Conformément à la norme NBR10837 (donnant une valeur max de 16 GPa) les caractéristiques mécaniques des parpaings étudiés sont les suivantes : Le module d’Young des parpaings en béton aggloméré retenu pour l’étude est : Eb= 15 GPa

1,2m

1,2m


19

Le module d’Young du joint de mortier : Em= 5 GPa La résistance minimal d’un bloc est donnée par la NBR 7171 et vaut : Fa= 4,5 MPa Il est cependant plus rare de rencontrer dans les normes les valeurs des coefficients de poisson. Dans la littérature nous avons trouvé des études utilisant les valeurs de coefficient de poisson suivant : νb = 0,27 pour les blocs νm = 0,2 pour le mortier Ces données sont essentielles à la réalisation du modèle éléments finis.


20

4 Matériaux composites /Fibre de carbone

4.1 Historique Historiquement le bois est le premier matériau composite naturel utilisé par l’homme, fibre de cellulose dans une matrice de résine (lignine et hémicellulose). Par la suite le torchis a été utilisé pour ses propriétés d’isolation (fibre végétales dans une matrice de terre plastique). Les principales applications des matériaux composites sont :

• Les fibres de verre • Les fibres de carbone utilisées dans l'aviation. • Le contreplaqué utilisé en menuiserie, construction, ébénisterie. • Les cloisons de Placoplatre, très utilisé dans le bâtiment. • Le béton armé en génie civil. • La fibre d'aramide (ou Kevlar)

L’utilisation des matériaux composites (fibre de carbone, verre, aramide) dans le domaine du génie-civil est assez récente, depuis à peu près 50 ans ces nouveaux matériaux sont employés surtout dans le cadre de réparation et de réhabilitation de structures existantes. Les hautes performances mécaniques de ces matériaux en ont fait un enjeu majeur des années futures en matière de construction. Cependant le manque de référence normative en limite encore la vulgarisation.

Fig 18: consolidation de poutre et dalle par fibre de carbone


4.2 Définitions Littéralement le mot composite désigne parties différentes. En effet un matériau composite est réalisé à partirnature différentes, se complétant et permettant d’aboutir à un matériau dont les performances sont supérieur

Fig 1 Dans le cas le plus générale discontinues réparties dans une phase continue. La phase continue est appelée la matrice et la ou les phases discontinues dernières possèdent des propriétésd’où leur dénomination.

On identifie principalement deux - Les composites à fibres- Les composites à particules

Dans ce mémoire nous nous

Fig 20:Les différentes famille

le mot composite désigne un matériau constitué de deux ou plusieurs

composite est réalisé à partir de l’assemblage de deux matériaux de nature différentes, se complétant et permettant d’aboutir à un matériau dont les performances sont supérieures à celles des composants pris séparément.

19: Schéma d’un matériau composite

Dans le cas le plus générale un matériau composite se compose de plusieurs discontinues réparties dans une phase continue. La phase continue est appelée la matrice

les phases discontinues sont appelées le renfort ou matériau renforçant.propriétés mécaniques très supérieures à celle

On identifie principalement deux classes de matériaux composites :

Les composites à fibres Les composites à particules

Dans ce mémoire nous nous intéresserons principalement aux composites à fibres

familles de composite, source Université de liège, cours sélection des matériaux.

21

un matériau constitué de deux ou plusieurs

de l’assemblage de deux matériaux de nature différentes, se complétant et permettant d’aboutir à un matériau dont les

se compose de plusieurs phases discontinues réparties dans une phase continue. La phase continue est appelée la matrice

le renfort ou matériau renforçant. Ces à celles de la matrice

principalement aux composites à fibres.

ité de liège, cours


22

4.2.1 Les composites à fibres

On parle de composite à fibres si le renfort se trouve sous forme de fibres (continues ou discontinues) dans la matrice. L’arrangement, l’orientation des fibres permettent de confectionner des matériaux à la carte. Les matériaux composites à fibres donnent au concepteur la possibilité d’élaborer et de moduler à volonté le comportement mécanique et physique en jouant sur :

- La nature des constituants - La proportion des constituants (fibre: de l’ordre de 60%) - L’orientation des fibres

Sa grande adaptabilité aux différents cahiers des charges en fait le type de matériau composite le plus répandu.

Fig 21: Fibres vues au microscope électronique

Avantages - Caractère multifonctionnel, adaptés aux diverses exigences d’un projet - Excellente rapport rigidité/poids et résistance/poids (principaux

indicateurs de performance) - Possibilité de définir l’orientation du renforcement (direction des fibres) - Bon comportement à la fatigue - Résistance à la corrosion, et aux agressions chimiques. - Manutention facile et très bonne durabilité - Bonne tenue au feu - Peut servir d’isolant thermique et phonique et certains pouvant servir

également d’isolant électrique - Liberté de forme

Inconvénients

- Coût élevé, production et mise en œuvre qui demande un investissement important et nécessite une main d’œuvre qualifiée.

- Propriétés transversales médiocres, notamment au cisaillement - Nature anisotropique qui rend les lois de comportement complexe et qui

entraine des difficultés lors des modélisations expérimentales.


23

Tab 1: Coût des plaques de fibres de carbone

4.3 Procédés de fabrication

4.3.1 Les résines

Les résines utilisées dans les matériaux composites ont pour but de transférer les sollicitations aux fibres et de protéger ces dernières de l’environnement extérieur. Elles doivent répondre à certains critères :

• Être assez déformable et présenter une bonne compatibilité avec les fibres. • Avoir une masse volumique assez faible afin de conserver des caractéristiques

mécaniques spécifiques élevées.

Il existe deux grandes familles de résine, les résines thermoplastiques et les résines thermodurcissables. Elles possèdent toutes les deux la faculté d’être moulées sous différentes formes (définitive ou semi-définitive). Les résines thermoplastiques sont celles dont la fabrication atteint le plus gros tonnage. En effet leur faible coût de fabrication et leur caractère recyclable (par réchauffage) en ont fait les résines les plus répandues. Les résines thermodurcissables, elles ne peuvent être mise en forme qu’une fois. En effet leur fabrication conduit à une structure géométrique qui ne peut être rompue que par l’apport d’une importante quantité d’énergie thermique. Cette propriété confère aux résines thermodurcissables de meilleures propriétés mécaniques et surtout thermomécaniques (meilleur résistance thermique).

Les résines polyesters insaturées, les plus répandues à cause de leur faible coût de production et qui présentent de bonnes propriétés (rigidité) à température ambiante. Utilisation préférentielle : coque de bateau, corps de piscine, etc.

Les Vinyle-ester, comparativement aux polyesters insaturées, ces résines possèdent de meilleurs caractéristiques mécaniques, confèrent une meilleure étanchéité au composite, ainsi qu’une meilleure résistance à la chaleur et aux attaques chimiques.

Les résines époxyde.

Carbon-Plate 350mm x 150mm x 0.3mm

type Densité (g/cm^3)Orientation des

fibrescoût (EUR)

1,56

1,56

1,56

0°-90°

0°-90°

0°-90°

0°-90°

0°-90°

6,49

11,63

16,77

18,17

36,39

Coût (EUR) /m²

123,62

221,52

319,43

346,10

1200,95

1479,24

1728,19Carbon-Plate 350mm x 150mm x 6mm

Carbon-Plate 350mm x 150mm x 5mm


0°-90°

0°-90°

63,05

77,66

90,73

1,56

1,56

1,56

0°-90°





693,14Carbon-Plate 350mm x 150mm x 2mm

2,56 0°-90° 29,85 568,57

1,56

1,56


24

Tab 2: Caractéristiques mécaniques des résines

4.3.2 Les fibres

Sous formes linéiques, les fibres sont élaborées suivant un diamètre de quelques microns, cette dimension implique qu’elles ne peuvent être utilisées sous forme unitaire (mono filament). En pratique les fibres sont réunies en fils ou en mèches. Fibre de carbone Il existe différents types de fibres; les fibres de verre, d’aramide, etc. Cependant compte tenu du sujet nous nous intéresserons plus particulièrement aux fibres de carbone. Les fibres de carbone sont les plus utilisées lorsque les exigences de performance mécanique sont au centre des préoccupations du projet. Elles présentent des caractéristiques mécaniques intéressantes (module d’élasticité variant entre 207 et 1035 GPa) ainsi que des rapports résistance/poids et rigidité/poids très élevés. De plus elles présentent l’avantage d’avoir un coefficient de dilatation thermique bas et une bonne résistance à la fatigue qui en font un matériau de haute performance. On distingue deux types de fibres, les fibres de carbone graffite contenant près de 99% de carbone et les fibres de carbone classiques contenant entre 80 et 95% de carbone. Cette proportion de carbone varie selon la température de production. Nous allons voir que ce matériau présente énormément d’avantage du point de vue mécanique, mais que ses coûts d’exploitation et de production élevés demeurent encore à l’heure actuelle un frein.

PropriétéRésine

polyesterRésine

époxydeacier

Module d'élasticité (Gpa) 3,5 4,5 205

Coefficient de poisson 0,37 0,38 0,3

Résistance en traction

(Mpa)80 100 500

Résistance en

compression (Mpa)100 150 500

Résistance au

cisaillement (Mpa)20 50 250

Déformation de rupture

en traction (%)2,5 5 15

PropriétéRésine

polyesterRésine

époxydeacier

Densité (kg/m3) 1250 1200 7800

Coefficient d'expention

thermique (*10-6

/ºC)120 60 15


25

Ces caractéristiques mécaniques remarquablement élevées proviennent de la structure cristallographique du carbone graphite. En effet, le carbone graphite a une structure hexagonale, d’atome de carbone, disposés en plans parallèles. Ces plans sont décalés de telle sorte qu’un atome de carbone se projette au milieu d’un hexagone de plans voisins. Les liaisons entre atomes de carbone de plans voisins sont faibles (ce qui confère au graphite de bonnes propriétés de conduction thermique et électrique), cependant les liaisons entre atomes d’un même plan sont fortes et permettent au carbone graphite d’avoir des caractéristiques mécaniques élevées dans la direction parallèle au plan cristallographique. C’est pour cela que l’on a vu apparaitre des procédés de fabrication permettant d’obtenir des fibres les plus parfaites possibles, et dont la direction des plans cristallographiques soit le plus parallèle possible à l’axe des fibres. Toutefois les fibres industrielles n’atteignent pas les valeurs mécaniques théoriques, du fait des imperfections des structures cristallines, mais ces caractéristiques restent néanmoins élevées.

4.3.3 Elaboration des fibres de carbone.

Les fibres de carbone sont élaborées à partir d’un polymère de base appelé précurseur. Les précurseurs utilisés sont des fibres acryliques, elles sont élaborées à partir de poly acrylonitrile (PAN), et la qualité finale des fibres dépend en grande partie de la qualité du précurseur utilisé. De façon globale le principe de fabrication repose sur le fait de faire subir aux fibres acryliques une décomposition thermique, sans fusion. Les procédés actuels utilisent des mèches de filaments acryliques assemblés sans torsion (entre 500 et 10000 filaments voir plus). On leur fait subir quatre traitements successifs : une oxydation, une carbonatation, une graphitassions et pour finir un traitement de surface que nous détaillerons par la suite. L’oxydation : Les fibres acryliques sont fusibles, c’est-à-dire qu’à une température donnée elles passent de l´état solide à l’état liquide. Cette phase a pour but de supprimer artificiellement le point de fusion. Cette opération est effectuée en chauffant les fibres à environ 300°C en atmosphère d’oxygène, il y a oxydation conduisant à une réticulation des chaines moléculaires. La carbonatation : La deuxième phase, la carbonatation consiste à augmenter graduellement la température des fibres réticulées de 300°C à 1100°C environ en atmosphère inerte afin d’éliminer l’eau et l’acide cyanhydrique. On arrive ainsi à ne conserver que le carbone par ce procédé. La graphitassions : Cette phase est utilisée lorsqu’on souhaite obtenir des fibres à module élevé. Elle consiste à réaliser une pyrolyse (décomposition d'un composé organique par la chaleur) des fibres en atmosphère inerte, jusqu’à une température avoisinant les 2600°C. Cette opération provoque une réorientation des réseaux hexagonaux de carbone suivant l’axe des fibres. Suivant le taux de graphitassions, on obtient des fibres à haut module (HM) ou très haut module (THM).


26

Le traitement de surface : Il s’agit de la dernière étape du procédé d’élaboration, et consiste par le biais d’acide, nitrique ou sulfurique, d’oxyder chimiquement les fibres afin d’en accroitre la rugosité, et donc d’améliorer la liaison fibre–résine.

Fig 22: Procédé de fabrication de la fibre de la fibre de carbone

Tab 3: Caractéristiques mécaniques des fibres de carbone

Les propriétés exposées ici sont des valeurs moyennes fournies par les fabricants.

4.4 Applications des matériaux composites Dans le domaine du génie-civil :

En raison de leurs hautes propriétés mécaniques et tous les avantages déja exposés précédemment par rapport aux matériaux traditionnels, les matériaux composites sont de plus en plus utilisés dans le génie-civil. Ces nouveaux matériaux de hautes performances, font aussi bien leurs apparition dans la réhabilitation que dans la conception et la réalisation de nouvelles structures.

Propriétécarbone

HScarbone

HMacier

Module d'élasticité (Gpa) 295 725 205

Coefficient de poisson 0,2 0,2 0,3

Résistance en traction

(Mpa)5500 2400 500

Déformation de rupture

en traction (%)1,2 0,5 15

Propriétécarbone

HScarbone

HMacier

Densité (kg/m3) 1750 1950 7800

Coefficient d'expention

thermique (*10-6

/ºC) -0,5 -1 15


27

Parmi les multiples applications des matériaux composites dans l’ingénierie cvile, nous pouvons citer:

• Construction d’édifices et d’ouvrage d’art léger; • Renforcement structurel d’édifices existants, afin de respecter de nouvelle

norme ou en prévision d’utilisation nouvelle d’un bâtiment (ajout d’étage, changement du type d’exploitation). Utilisation principalement dans ce cas de la fibre de carbone pour le renforcement de poutres, poteaux et dalles sous flexion et cisaillement tranversal;

• Réalisation de formes complexes de grande portée; • Réalisation de profisl pultrudés pour structures réticulées (poutres portiques,

treillis); • Utilisation de produits dérivés du béton avec ajouts de fibre, béton armé avec

renfort en fibre de verre ou de carbone. • Elaboration de matériaux hybrides avec des matériaux traditionnels. • Transmission et distribution d’électricité temporaire et durable, pylônes

électriques modulables et déplaçables; • Structures destinées aux réservations d’eau; • Panneaux pour murs et planchers; • Produits dérivés du bois : bois aggloméré, laméllé collé, panneaux OSB, etc; • Géotextiles: pour les opérations de drainage, stabilisation de sol, construction

de barrages;


28

4.5 Comportement mécanique des matériaux composites Un composite renforcé uni-directionnellement est un matériau transversalement isotrope. Cette caractéristique implique la connaissance de 5 constantes élastiques indépendantes, afin de définir dans toutes les directions de l’espace les caractéristiques mécaniques de ce dit matériau. Ces 5 constantes sont les suivantes :

E1, E2 : module d’élasticité dans les directions 1 et 2 la direction 1 étant toujours la direction des fibres (conventionnel) et la direction 2 la direction perpendiculaire aux fibres

G12, G23 : modules de cisaillement. ν12 : coefficient de poisson dans le plan (1,2)

Les données du fabricant pour le composite utilisé lors des simulations numériques sont les suivantes: Lâmina de SIKA CARBODUR®S 512

• Base: fibre de carbone dans une matrice époxyde • Couleur : noir • Volume de fibre > 68% • Densité :1,6g/cm3 • Résistance à la température > 150°C • Largeur d’une bande 50mm • Epaisseur 1,2mm • Module d’élasticité > 155 GPa • Résistance à la traction >2400 MPa • Résistance de rupture en traction : 3100 MPa • Déformation > 1,9%

On définit le repère (1,2,3) local aux composites unidirectionnels. Cependant ce repère ne coïncide pas toujours avec le système de référence global (x,y,z). Il est donc nécessaire de définir des matrices de passage faisant intervenir un paramètre angulaire θ afin de passer d’un système de référence à l’autre.

Fig 23: Changement de référentiel, souce J.CUNHA


29

5 Modélisation par éléments finis : Ansys

5.1 Présentation Ansys est un logiciel d’anlyse par la méthode d’éléments finis (MEF) utilisant le langage APDL. Deux possibilités afin de réaliser les modélisations:

- réaliser un fichier .txt qu’ANSYS est capable de lire, en faisant «file », «Read input from »

- ou directement en utilisant les fonctions du preprocessor afin de réaliser la structure, le maillage et les calculs.

Dans un souci de lisibilité et de traçabilité des codes utilisés on utilisera essentiellement la première méthode. Procédure générale ANSYS: Réaliser un modèle éléments finis sur ANSYS peut se résumer aux trois grandes étapes suivantes

/ prep7• Entrer le type d’élément

• Entrer les propriétés du matériau (module d’Young, coefficient de poisson, densité,etc)

• Entrer les données géométrique (épaisseur des plaques, surface, volume, inertie, etc)

• Générer le maillage

• Entrer le chargement (forces statiques, gradient de température, etc)

• Entrer les conditions d’appuis

Finish

/solution• Entrer le type de calcul éffectué (statique,dynamique ,

etc)

Solve

Finish

/post1• Listing, impression et visualisation des résultats

Finish

Pre

-pro

cess

or

So

luti

on

Po

st

pro

cess

or

Fig 24: Schéma d’utilisation d’ANSYS


La figure 25 expose le cheminement d’un calcul éléments finis sur ANSYS à travers un exemple de plaque en traction.

Fig 25: Exemple de

5.2 Eléments

5.2.1 Eléments de maçonnerie

Pour les éléments de brique et de mortier nous avons choisi

Fig 2

expose le cheminement d’un calcul éléments finis sur ANSYS à travers un exemple de plaque en traction.

Exemple de la construction de MEF d’une plaque en

de maçonnerie

de brique et de mortier nous avons choisi l’élément SOLID

26: Elément SOLID45, source ANSYS

30

expose le cheminement d’un calcul éléments finis sur ANSYS à

plaque en traction

l’élément SOLID45


31

C’est un élément couramment utilisé dans les modèles 3-D, l’élément est défini par 8 nœuds qui présentent chacun trois degrés de liberté, les translations x, y, z.

Fig 27: Eléments de brique

Cette figure 27 présente le modèle éléments finies du mur en maçonnerie, où l’on peut identifier les éléments de parpaing, matériau numéro 1. La figure 28 ci-dessous présente le matériau numéro 2, les joints de mortier


32

Fig 28: Elément de mortier

5.2.2 Maillage

Fig 29: Maillage du modèle

Nous avons choisi d’effectuer dans un premier temps un maillage relativement grossier, qui sera susceptible de changer en fonction des besoins de l’algorithme d’optimisation topologique.


33

Cependant des problèmes de continuité nodale nous ont poussé à raffiner le maillage. En effet la non continuité entre nœud faisait apparaître des déplacements indésirables.

Afin de régler ce problème de continuité nodale, j’ai donc réalisé la structure dans son intégralité en multiple de la plus petite des longueurs, c’est-à-dire en fonction de l’épaisseur du joint de mortier m = 0,01 m.

m=0.01 !épaisseur du mortier (m) el=3*m !épaisseur latéral (m) a=19*m !hauteur de la brique (m) c=39*m !Longueur de la brique (m) l=14*m !Largeur de la brique (m) em=3*m !épaisseur milieu (m)

Par la suite le maillage a été également généré en multiple de cette longueur.

lesize,1,m !nombre de division pour le maillage (4eme chiffre ou longueur d’un élément 1er chiffre)

lesize,6,m lesize,4,m lesize,2,m lesize,3,m

5.2.3 Chargement

Fig 30: Chargement Il s’agit ici d’un chargement nodal, connaissant les caractéristiques de chargement de la machine d’essai, 60 kN et le nombre de nœuds sur la face supérieure de la maçonnerie.

5.2.4 Conditions d’appuis

Comme nous l’avons vu précédemment, les éléments SOLID45 possèdent trois degrés de libertés, les translations suivant, x, y et z. Les conditions d’appuis sont les suivantes, toutes les translations sont donc bloquées, la figure 31 montre comment sont modélisées sur ANSYS, ces conditions d’appuis.

Fig 31: Conditions d’appuis


34

5.2.5 Élément de renfort

L’élément utilisé pour le renfort de fibre de carbone, est un SHELL93 compatible avec les calculs d’optimisation topologique.

Fig 32: Elément SHELL93, source ANSYS

Il s’agit là d’un élément surfacique à 8 nœuds. Il a fallu adapter le maillage des éléments en SOLID45 en fonction de cette nouvelle donnée.

Fig 33: Superposition maillage SOLID45 et SHELL93

Maillage du SHELL93 Maillage du SOLID45

m =1cm

2*m


35

Fig 34: Renfort deux faces, SHELL93

Le matériau 3, le renfort ayant les propriétés de la fibre de carbone. Dans cette étude deux cas on été traités, l’un avec le renfort sur deux faces de la maçonnerie et l’autre sur les quatre faces comme nous pouvons le voir sur la figure ci-contre.

Fig 35: Renfort quatre faces.


36

5.3 Problèmes rencontrés

5.3.1 Problème de continuité nodale

Principale préoccupation lors de la phase de réalisation du modèle, il a conduit à une structure extrêmement lourde, ce qui affecte directement le temps de calcul. En effet afin d’obtenir des résultats exploitables, l’optimisation topologique requiert un minimum d’itérations, cependant avec un maillage aussi fin on aboutit en théorie à des résultats relativement précis.

Fig 36: Discontinuité nodale

5.3.2 Problème d’interprétation des résultats

Une fois les calculs d’optimisation topologique effectués, il nous fallait une base de comparaison afin de savoir si les résultats obtenus n’étaient pas totalement faux. Dans cette optique, nous avons réalisé des modèles simplifiés afin de valider le comportement global de la maçonnerie. Un modèle de bloc homogène ayant les mêmes dimensions, le même chargement, mais n’ayant que les propriétés élastiques des blocs agglomérés a été réalisé.

Fig 37: Modèle de vérification bloc unique


37

Nous avons effectué des tests sous différents chargements, sur la figure ci-dessus, une maçonnerie sollicitée en flexion.

5.3.3 Problème de traitement des résultats

Les résultats obtenus après calcul ne sont pas directement exploitables, il est nécessaire de mettre en œuvre une solution respectant à la fois le renforcement préconisé par le calcul, mais prenant en compte également les considérations géométriques du renforcement utilisé pour les essais.

Fig 38: Exploitation des résultats d’optimisation topologique


38

6 Optimisation topologique Communément employé dans le milieu de l’automobile depuis le début des années 90, l’optimisation topologique remet directement en cause la topologie de la pièce étudiée (nombre de composants, les bords, les trous, etc.). Outil de conception sans à priori, l’optimisation topologique est une bonne aide objective en avant-projet. En effet cette méthode suppose l’introduction du calcul très tôt lors du processus de conception et donne ainsi une solution neuve adaptée au problème donné.

Fig 39: Exemple d’optimisation topologique, source S.CALVEL

Dans cette partie nous allons essayer de faire un état de l’art, décrire les différentes techniques qui existent en matière d’optimisation, pour ensuite nous intéresser plus particulièrement à la méthode utilisée par ANSYS.

6.1 Définition Deux formes ont la même topologie si on peut passer de l'une à l'autre par une déformation continue. Soit : Ω : Domaine ρ: Densité ω : Sous-domaine De façon générale, il s’agit de répartir de façon optimale, un matériau de densité ρ et de propriété A dans un domaine Ω. En d’autres termes, déterminer le sous domaine ω de Ω rempli de matière supportant un chargement F donné :

⊂

L’optimisation topologique travaille essentiellement par itération.


39

6.2 Optimisation topologique formulation générale de la méthode des densités Comme il a été dit précédemment, l’optimisation topologique des structures continues est une avancée relativement nouvelle dans le domaine de l’optimisation structurale. Les travaux de Bendsoe et Kikuchi (1988) constituent l’une des références en matière d’optimisation topologique. Fondamentalement, la méthode repose sur le fait de distribuer un matériau à l’intérieur de domaine fixe prédéfini, de telles sortes à maximiser ou inversement, minimiser une fonction objectif. Cette dernière pouvant être, par exemple la maximisation de la rigidité, ou la minimisation de la souplesse, ou encore la minimisation de l’énergie de déformation. En premier lieu, il est nécessaire de définir le domaine d’étude, les conditions d’appuis ainsi que le chargement appliqué. Par la suite le domaine est discrétisé par éléments finis (ou autre méthode d’analyse numérique compatible avec les structure de forme complexe). Il s’en suit un calcul algorithmique itératif, de distribution du matériau dans le domaine prédéfini, minimisant ou maximisant la fonction objective. Le résultat obtenu est une structure possédant une topologie optimale. La figure ci-dessous montre les différentes étapes de l’optimisation.

Fig 40: Procédé d’optimisation topologique en projet, source E.C Nelli Silva Il s’agit ici d’une méthode basée sur des calculs élément finis relativement simple communément appelé Méthodes des densités, utilisant uniquement la densité relative du matériau de chaque élément du domaine de travail. Dans la partie qui suit nous exposerons les bases de la théorie de cette méthode.

Domaine initial Domaine discrétisé Topologie obtenue

Interprétation, design Vérification

Fabrication


40

6.3 Méthode des densités La méthode est la suivante, le domaine de travail est discrétisé par éléments finis et rempli de façon homogène de matériau. L’idée motrice de cette méthode est de réorganiser le matériau, c’est-á-dire de changer la densité (ρ) dans chaque élément du domaine. Ainsi, on obtient à la fin du processus des éléments solides de densité égale ou voisine de 1, contenant du matériau, et des éléments vides de densité voisine de 0 où il n’apparait pas nécessaire de disposer du matériau. Graphiquement comme nous pouvons le voir sur la figure n°40

• Les éléments en blanc correspondent aux vides = grande flexibilité • Les éléments en noir correspondent aux matériaux solides = faible flexibilité • Et les éléments de couleur intermédiaire correspondent à l’état intermédiaire du

matériau = flexibilité également intermédiaire. On obtient alors une forme généralisée non exploitable et non « fabricable » en l’état. Il faut donc opérer un post traitement, c’est à dire pénaliser les densités intermédiaires, en forçant les densités à prendre des valeurs proches de 0 ou 1. Vient ensuite l’étape de design de la pièce compromis entre résultat de l’optimisation et les moyens de conception. Enfin pour finir vient l’étape de vérification (contraintes notamment) sous chargement afin de valider la géométrie finale de la pièce.

6.3.1 Fondement mathématique de la Méthode des Densités

L’équation mathématique reliant la valeur des densités de chaque élément du domaine, aux propriétés effectives du matériau est donnée par la relation suivante (Carbonari, 2003) :

= Ou est la fonction de distribution continue des densités,0 ≤ ≤ 1 et est une constante mécanique du matériau du domaine, par exemple le module d’Young . Mathématiquement la présence de densité intermédiaire pour la variable atteste qu’il s’agit d’une solution du problème d’optimisation avec variables continues. Cependant, d’un point de vue pratique, les éléments de densité intermédiaire ne sont pas très intéressants, et rendent de sur quoi l’interprétation de la topologie difficile. Toujours selon Carbonari, pour éviter d’être incommodé par un excès d’éléments de densité intermédiaire, il est possible de les pénaliser de la façon suivante : =

(1)


41

Avec ≥ 1 le facteur de pénalisation, qui permet de réduire les densités intermédiaires dans la topologie finale.

Fig 41: Projet d’optimisation topologique schématiquement

La figure ci-dessus montre le domaine du projet, les conditions d’appuis et le chargement. Le domaine étant discrétisé par éléments finis, il est donc possible de connaitre les expressions d’équilibre de la structure.

= Où K est la matrice de rigidité globale, U est le vecteur déplacement et F le vecteur des forces appliquées. La matrice globale K est en fait la somme des matrices de rigidité des éléments ke du domaine.

=

!

Avec N le nombre d’élément du domaine discrétisé. La variable de travail xe est la densité relative du matériau de l’élément e, nous pouvons donc écrire = avec la densité relative d’un élément solide du domaine (ici = 1 mais en théorie valeur comprise entre 0 et 1) Cette formulation repose comme nous l’avons dit précédemment sur la minimisation de la souplesse moyenne (compliance en terme ANSYS) de la structure, qui est équivalent à minimiser l’énergie de déformation, nous verrons par la suite en quoi cette remarque a son importance. La flexibilité moyenne peut s’écrire de la façon suivante :

" = # = # = $#%

!$

(2) En réécrivant l’expression (1), en prenant en compte le coefficient de pénalisation β des densités intermédiaires, on arrive à la relation suivante pour un élément :

=

(3)

charge

appuis

Domaine de travail

solide

vide


42

En introduisant (3) dans l’équation (2) il en résulte :

" = $#$

!

Le processus d’optimisation utilise la donnée du volume V(X) du matériau, donné par :

&' = !(! + *(* + ⋯ + ( = ( = '#(

!

Ou X est le vecteur des variables du projet et v le vecteur volumique des éléments. Ainsi, nous pouvons mettre en équation le problème d’optimisation topologique selon Sigmund de la manière suivante : La fonction à minimiser, la souplesse :

"' = # = $#$

!

Devant respecter la restriction volumique imposée :

&'&

=

Tout en respectant l’équilibre global de la structure donné par :

= → = $

!=

Ainsi que les restrictions latérales

-./ ≤ ≤ -01 2 = 1, … , 5


43

6.5 Résultats des simulations numériques

6.5.1 Compression simple

Comme nous l’avons annoncé dans la partie 5, l’étude réalisée portait sur deux types de renforcement, l’un sur deux faces et l’autre sur les quatre. Cependant les résultats obtenus font apparaitre de grande similarité entre les deux cas de figure. Nous nous attacherons donc à présenter uniquement les résultats du renforcement deux faces, les résultats obtenus pour le renforcement quatre faces serons disponible en annexe.

Fig 42: Chargement compression sinple

Dans cette partie nous tenterons de décrypter les résultats d’optimisation topologique pour le type de chargement exposé à la figure 42. Nous montrerons également par quels moyens nous avons essayé de valider nos résultats. Optimisation topologique ANSYS Les premiers résultats d’optimisation topologique à 50 et 70% de la fonction objectif, 10 itérations, font apparaitre les résultats suivants :

Fig 43: Résultats d’optimisation topologique, 50 et 70% de la fonction objectif Les parties en rouge indiquent suivant le pourcentage de la fonction objectif les zones

où il est nécessaire de renforcer la structure, tout en donnant une idée sur la direction

préférentielle du renforcement. Les résultats obtenus laissent penser que les fibres du

renfort devront s’opposer au chargement direction z (verticale). Les zones en bleu sont

au contraire elles des zones où il n’est pas nécessaire mettre du renfort.


44

Fig 44: Optimisation topologique bloc unique 50 et 70%

Dans un premier temps nous avons cherché à valider ces résultats en réalisant un modèle bloc homogène possédant les caractéristiques mécaniques des briques. Mais la présence de cavité dans ces dernières, la présence de joint de mortier rendent les comparaisons et les interprétations difficiles, le comportement n’est pas le même. Cependant ce modèle nous a permis de comprendre le fonctionnement de l’optimisation topologique. En effet moins lourd en temps de calcul, nous avons pu modifier les variables du projet, charge, caractéristiques mécaniques, appuis, etc. Afin de comprendre la logique de calcul et des résultats. Par la suite, l’observation détaillée des résultats obtenus pour la maçonnerie seule, c’est-à-dire sans renfort laisse apparaitre quelques motifs de satisfaction. En effet, les figures suivantes présentes les résultats d’énergie de déformation et de contrainte de Von Mises.

Fig 45: Energie de déformation – Contrainte de Von Mises

On remarque que les zones d’énergie de déformation et de contrainte de Von Mises les plus élevé correspondent, aux zones renforcées par optimisation topologique. Comme nous l’avons énoncé précédemment la minimisation de la souplesse moyenne de la structure équivaut à minimiser l’énergie de déformation. Par ailleurs, on sait que la maximisation de la raideur correspond á la maximisation de la résistance de la structure. Un indicateur de cet aspect, la contrainte de Von Mises, car en effet il s’agit d’un critère de rupture.


45

Nous obtenons donc un renforcement symétrique, positionné essentiellement sur les éléments de brique.

Fig 46: Anomalie

Cette bande n’apparait ni dans les résultats d’énergie de déformation ni dans les résultats de la contrainte de Von Mises. Nous l’attribuerons donc à des effets de concentration de contrainte ou de flexion au niveau des appuis. Traitement des résultats En l’état les résultats ne sont pas exploitables, il faut en effet à partir des résultats obtenus réaliser de nouveaux modèles, utilisant les dispositions de renfort préconisées par l’optimisation, pour par la suite les comparer avec les méthodes de renforcement communément employées, traditionnelles.

Fig 47: Renforcement traditionnel vertical

La figure ci-dessus montre un type de renforcement souvent rencontré dans la littérature lors des essais de compression. On y retrouve une bande centrale et deux autres de part

25cm 35cm 35cm 25cm

1,2m


46

et d’autre à égale distance, s’opposant à l’effort vertical. D’une largeur de 5 cm, pour 1,2 m de long chacune, la longueur totale du renforcement est de 3,6 m linéaire, soi 0,18 m2 ce qui constitue 12,5% de l’aire totale du mur. La figure suivante sera également à la base de notre comparaison. L’orientation des vibres est désormais perpendiculaire au chargement et les dimensions restent les mêmes.

Fig 48: Renforcement traditionnel horizontal

La figure suivante présente la structure issue des calculs d’optimisation topologique, prenant en compte les contraintes du matériau de renforcement utilisé, c’est-à-dire des bandes de renfort de 5 cm de largeur. On arrive finalement à une structure renforcée avec 3,45 m de fibre de carbone, soit un gain de 5 % de renfort, disposé théoriquement de façon optimale.

15cm

35cm

35cm

1,2m


47

Fig 49: Renforcement basé sur les résultats d’OT (optimisation topologique)

Nous verrons maintenant à travers des comparaisons sur les déplacements et les contraintes si notre structure est bien optimale. Le choix des points de mesure est une donnée relativement délicate, cependant il nous faut des points de comparaison. Nous avons fait les mesures de contrainte sur les éléments de brique en veillant à éviter les bandes de renfort, car en présence de ces dernières les contraintes sont grandement atténuées. Nous cherchons donc à observer l’influence du renfort sur le comportement global de la structure.

type surface de

renfort (m2)

contrainte σxx

en E (MPa)

contrainte σzz en

E (MPa)

sans renfort 0 -6,18E-02 -6,27E-01

topologique 0,1725 -2,75E-02 -6,09E-01

traditionnel vertical 0,18 -3,18E-02 -0,62111

traditionnel horizontal 0,18 -3,87E-02 -0,6508

75cm

60cm

20cm


L’interprétation de cette première mesure de contrainte au point E nous révèle que la structure renforcée topologiquement possède la celle renforcée traditionnellement verticalement. On a bien la contrainte la structure sans renfort.

-7,00E

-6,00E

-5,00E

-4,00E

-3,00E

-2,00E

-1,00E

0,00E+00

sans renfort

renfort topologique

renfort traditionnel vertical

renfort traditionnel horizontal

con

tra

inte

σx

x e

n E

(M

pa

)

contrainte

E

-6,60E

-6,50E

-6,40E

-6,30E

-6,20E

-6,10E

-6,00E

-5,90E

-5,80E

sans renfort

renfort topologique



con

tra

inte

σzz

en

E (

Mp

a)

contrainte

E

L’interprétation de cette première mesure de contrainte au point E nous révèle que la structure renforcée topologiquement possède la contrainte σxx la plus basse suivicelle renforcée traditionnellement verticalement. On a bien la contrainte

7,00E-02

6,00E-02

5,00E-02

4,00E-02

3,00E-02

2,00E-02

1,00E-02

0,00E+00

1

-6,18E-02

-2,75E-02

renfort traditionnel vertical -3,18E-02

renfort traditionnel horizontal -3,87E-02

contrainte σxx en E (Mpa)

6,60E-01

6,50E-01

6,40E-01

6,30E-01

6,20E-01

6,10E-01

6,00E-01

5,90E-01

5,80E-01

1

-6,27E-01

-6,09E-01

renfort traditionnel vertical -0,62111

renfort traditionnel horizontal -0,6508

contrainte σzz en E (MPA)

48

L’interprétation de cette première mesure de contrainte au point E nous révèle que la xx la plus basse suivie de

celle renforcée traditionnellement verticalement. On a bien la contrainte maximale dans


type

sans renfort

topologique

traditionnel vertical

traditionnel horizontal

Ici on observe que la structure avec renfort traditionneldéplacements. Cela s’explique par la présence du renfort sur toute la longueur de l’axe de symétrie de la structure utile de comparer également les déplacements maximum afin d’étayer les comparaisons de flèche.

-5,50E-5,40E-5,30E-5,20E-5,10E-5,00E-4,90E-4,80E-4,70E

sans renfort

renfort topologique



de

pla

cem

en

t U

z e

n A

(m

)

deplacement Uz en A (m) A

-6,20E

-6,00E

-5,80E

-5,60E

-5,40E

-5,20E

-5,00E

sans renfort

renfort topologique



dé

pla

cem

en

t U

zma

x (

m)

Déplacement Uzmax (m)

déplacement

Uz en A (m)

déplacement

Uzmax (m)

déplacement

Ux en B (m)

-5,50E-05 -6,15E-05 -3,94E

-5,20E-05 -5,45E-05 -3,65E

vertical -5,01E-05 -5,46E-05 -3,76E

horizontal -5,38E-05 -6,04E-05 -3,81E

cture avec renfort traditionnel vertical enregistre . Cela s’explique par la présence du renfort sur toute la longueur de l’axe

où se trouve le point A. C’est pour cela que nous avons jugé utile de comparer également les déplacements maximum afin d’étayer les comparaisons

5,50E-055,40E-055,30E-055,20E-055,10E-055,00E-054,90E-054,80E-054,70E-05

1

-5,50E-05

-5,20E-05



deplacement Uz en A (m)

6,20E-05

6,00E-05

5,80E-05

5,60E-05

5,40E-05

5,20E-05

5,00E-05

1

-6,15E-05

-5,45E-05



Déplacement Uzmax (m)

49

déplacement

Ux en B (m)

3,94E-06

3,65E-06

3,76E-06

3,81E-06

vertical enregistre les plus petits . Cela s’explique par la présence du renfort sur toute la longueur de l’axe

C’est pour cela que nous avons jugé utile de comparer également les déplacements maximum afin d’étayer les comparaisons


type

sans renfort

topologique

traditionel vertical

traditionnel horizontal

.

-3,95E-3,90E-3,85E-3,80E-3,75E-3,70E-3,65E-3,60E-3,55E-3,50E

sans renfort

renfort topologique



dé

pla

cem

en

t U

x e

n B

(m

)

Déplacement Ux en B (m)

B

3,45E3,50E3,55E3,60E3,65E3,70E3,75E3,80E3,85E3,90E3,95E

sans renfort

renfort topologique



dé

pla

cem

en

t U

x e

n C

(m

)

Déplacement Ux en C (m)

C

déplacement

Ux en C (m)

contrainte de

Von Mises

% de fibre en

3,94E-06 6,14E-01

3,63E-06 5,96E-01

vertical 3,72E-06 6,40E-01

horizontal 3,81E-06 0,63267

3,95E-063,90E-063,85E-063,80E-063,75E-063,70E-063,65E-063,60E-063,55E-063,50E-06

1

-3,94E-06

-3,65E-06




3,45E-063,50E-063,55E-063,60E-063,65E-063,70E-063,75E-063,80E-063,85E-063,90E-063,95E-06

1

3,94E-06

3,63E-06

renfort traditionnel vertical 3,72E-06

renfort traditionnel horizontal 3,81E-06

Déplacement Ux en C (m)

50

% de fibre en

plus

0

4,17

4,17


Les coordonnées du point ayant servi de mesure pour la contrainte de Von Mises sont les suivantes. De façon générale la disposition du renfort suivant les calculs topologique montre efficacité, cependant il reste nécessaire d’effectuer une analyse afin de corroborer ces résultats.la structure pour ainsi en améliorer le rendement et donc la résistance, on ne procède plus par tâtonnement ce qui en soit est une grande

5,60E5,70E5,80E5,90E6,00E6,10E6,20E6,30E6,40E

sans renfort

renfort topologique



con

tra

inte

de

Vo

n M

ise

s

Contrainte de Von Mises

n° du noeud

65841

Les coordonnées du point ayant servi de mesure pour la contrainte de Von Mises sont

De façon générale la disposition du renfort suivant les calculs topologique montre efficacité, cependant il reste nécessaire d’effectuer une analyse statistiqueafin de corroborer ces résultats. Néanmoins grâce à ce procédé nous savons ou rigidifier la structure pour ainsi en améliorer le rendement et donc la résistance, on ne procède

ce qui en soit est une grande avancée.

5,60E-015,70E-015,80E-015,90E-016,00E-016,10E-016,20E-016,30E-016,40E-01

1

6,40E-01

5,90E-01

renfort traditionnel vertical 6,06E-01

renfort traditionnel horizontal 0,63334

Contrainte de Von Mises

n° du noeud x y z

65841 0,75 0 0,35

51

Les coordonnées du point ayant servi de mesure pour la contrainte de Von Mises sont

De façon générale la disposition du renfort suivant les calculs topologique montre son statistique plus poussé

grâce à ce procédé nous savons ou rigidifier la structure pour ainsi en améliorer le rendement et donc la résistance, on ne procède

35


52

6.5.2 Chargement compression cisaillement

Dans ce cas de chargement en plus de la charge verticale, désormais nous rajoutons une charge linéique sur le coin haut gauche de la maçonnerie modélisant une charge de vent et faisant apparaitre du cisaillement dans la structure.

Fig 50: Chargement compression-cisaillement

Optimisation topologique ANSYS Les premiers résultats d’optimisation topologique pour ce cas de chargement à 50% de la fonction objectif, 10 itérations, font apparaitre les résultats suivants :

Fig 51: Résultats d’OT pour le cas compression-cisaillement

Les résultats semblent logiques; apparition d’une zone tendue et d’une autre comprimée sur les côtés, ainsi que la diagonale comprimée, effet de cisaillement.


53

Le modèle simplifié homogène cette fois confirme le comportement global de la maçonnerie. Les figures suivantes présentes les résultats à 50 et 70% de la fonction objectif.

Fig 52: OT bloc unique 50 et 70%, compression cisaillement

Traitement des résultats

A partir des résultats d’optimisation on aboutit à la réalisation du modèle de la figure 53, que l’on comparera comme dans le cas de la compression simple avec des structures renforcées de manière traditionnelle. Pour cette exemple nous avons volontairement baisser significativement la surface de renfort afin d’analyser les limites de la méthode.

Fig 53: Renforcement basé sur les résultats d’OT

Il était également d’une grande importance d’assurer la superposition des maillages des deux éléments, maçonnerie et renfort, afin d’obtenir des résultats exploitables. La figure 54 suivante présente la superposition des maillages.

60cm

60cm

1,7m


54

Fig 54: Superposition des maillages

Dans le cadre d’essais de compression cisaillement nous avons rencontré dans la littérature la structure suivante, figure 55 comparable à un contreventement en croix de Saint André.

Fig 55: Renforcement traditionnel pour les essais de compression cisaillement

On arrive finalement à une consomation de 3,5 m linéaire dans le cas du renforcement optimisé contre 5,8 m dans le cas traditionnel, ce qui représente pratiquement 40% d’économie sur un matériaux dont le coût est non négligeable.

Comme dans le cas précédent nous effectuerons des comparaisons afin valider notre modèle.

45°


type suface de

renfort (m

topologique


On remarque que le modèle plus près les résultats, on constate que pour σxx, 2% pour σzz), ce

-1,00E+00

-5,00E

0,00E+00

renfort topologique

renfort traditionnel

con

tra

inte

σx

x e

n E

(M

pa

) Contrainte

E

-1,50E+00

-1,00E+00

-5,00E-

0,00E+00

renfort topologique


con

tra

inte

σzz

en

E (

Mp

a)

contrainte

E

n° du noeud

140565

suface de

renfort (m2) contrainte σxx en E (Mpa)

contrainte

0,175 -8,62E-01

0,29 -8,36E-01

èle traditionnel est plus performant, cependant en regardant de on constate que la différence n’excède jamais plus de 3% , ce qui correspond à dire que les résultats sont similaires.

1,00E+00

5,00E-01

0,00E+00

1

renfort topologique -8,62E-01

renfort traditionnel -8,36E-01

Contrainte σxx en E (Mpa)

1,50E+00

1,00E+00

-01

0,00E+00

1

renfort topologique -1,05E+00

renfort traditionnel -1,03

contrainte σzz en E (Mpa)

n° du noeud x y z

140565 0,60 0 0,89

55

contrainte σzz en

E (MPA)

-1,05

-1,03

est plus performant, cependant en regardant de ède jamais plus de 3% (3%

qui correspond à dire que les résultats sont similaires.

89


type

topologique


Nous arrivons pour les déplacements pratiquement aux mêmes différence entre les deux modèles est infime soit la structure performante (cas du déplacement au point B)

-6,00E

-4,00E

-2,00E

0,00E+00

renfort topologique


de

pla

cem

en

t U

z e

n A

(m

)

Déplacement Uz en A (m)

A

0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

4,00E-04

renfort topologique


dé

pla

cem

en

t U

x e

n B

(m

)

Déplacement Ux en B (m) B

déplacement

Uz en A (m)

déplacement

Uzmax (m)

déplacement

Ux en B (m)

-5,52E-05 -5,45E-05 3,42E

vertical -5,50E-05 -5,46E-05 3,51E

Nous arrivons pour les déplacements pratiquement aux mêmes conclusions,différence entre les deux modèles est infime soit la structure optimisé

cas du déplacement au point B)

6,00E-05

4,00E-05

2,00E-05

0,00E+00

1

renfort topologique -5,52E-05

renfort traditionnel -5,50E-05

Déplacement Uz en A (m)

0,00E+00

04

04

04

04

1

renfort topologique 3,42E-04

renfort traditionnel 3,51E-04


56

déplacement

Ux en B (m)

3,42E-04

3,51E-04

conclusions, soit la optimisée est plus


57

Conclusion

Les résultats obtenus sont des plus encourageants, l’optimisation topologique montre une partie de son efficacité et on aboutit à une structure renforcée de façon optimale. En fonction du type de sollicitation nous savons désormais les régions nécessitant un apport de renfort et la disposition de ce dernier.

Cependant le projet que j’ai eu la chance de mener nécessiterait un approfondissement plus important tant les possibilités de l’optimisation topologique sont grandes.

Dans une étude complémentaire il serait intéressant d’examiner plus en profondeur l’interaction qu’il peut y avoir avec des ouvertures (fenêtres, porte, et chainages), développer des renforcements adaptés et approuver les résultats par une campagne d’essais.


58

Références bibliographiques

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de otimização topológica. Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica, USP -

São Paulo, 2003

CALVEL, S. Conception d’organes automobiles par optimisation topologique, Toulouse, 2004


59

Annexes

Annexe 1: Différents type de matériaux composites.

Annexe 2: Réactions des différents types de matériau en fonction des sollicitations.


60

Annexe 3: Résultat pour les maçonneries renforcées sur les quatre faces

compression simple.

Annexe 4: Bande de renfort plus résine époxyde sur un parement.

Documents

Julian DUPLAN rapport de PFE GC5 2010 - version corrigée 1.0