C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 411–416, 2000Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems in Mechanics

Justification d’un modèle bi-dimensionnel non linéairede coque analogue à celui de W.T. KoiterPhilippe G. CIARLET, Anne ROQUEFORT

Laboratoire d’analyse numérique, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, FranceCourriel : pgc@ann.jussieu.fr

(Reçu le 17 juillet 2000, accepté le 20 juillet 2000)

Résumé. Un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coque analogue à celui de W.T. Koiter aété récemment proposé par le premier auteur. On établit ici que, selon deux catégoriesmutuellement exclusives d’hypothèses portant sur la variété associée des déplacementsinextensionnels admissibles, le premier terme du développement asymptotique formel dela solution de ce modèle, avec l’épaisseur comme « petit » paramètre, satisfait soit leséquations bi-dimensionnelles d’une coque « membranaire » non linéairement élastique, soitcelles d’une coque « en flexion » non linéairement élastique.

Ces conclusions étant identiques à celles récemment obtenues par V. Lods et B. Miarapour le premier terme du développement asymptotique formel de la solution des équationsde l’élasticité non linéaire tri-dimensionnelle, à nouveau avec l’épaisseur comme « petit »paramètre, le modèle non linéaire de coques considéré ici est donc justifié, au moinsformellement. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales ElsevierSAS

Justification of a two-dimensional nonlinear shell model of Koiter’s type

Abstract. A two-dimensional nonlinear shell model “of Koiter’s type” has recently been proposedby the first author. We show here that, according to two mutually exclusive sets ofassumptions bearing on the associated manifold of admissible inextensional displacements,the leading term of a formal asymptotic expansion of the solution of this two-dimensionalmodel, with the thickness as the “small” parameter, satisfies either the two-dimensionalequations of a nonlinearly elastic “membrane” shell or those of a nonlinearly elastic“flexural” shell.

These conclusions being identical to those recently drawn by V. Lods and B. Miara forthe leading term of a formal asymptotic expansion of the solution of the equations of three-dimensional nonlinear elasticity, again with the tickness as the “small” parameter, thenonlinear shell model of Koiter’s type considered here is thus justified, at least formally. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Note présentée par Jacques-Louis LIONS.

S0764-4442(00)01673-6/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 411

P.G. Ciarlet, A. Roquefort

Abridged English version

This Note is a sequel to the Note [2]. With the same notations as in [2], consider afamily of nonlinearlyelastic shells with thickness2ε > 0 approaching zero, with each having thesamemiddle surfaceS = θ(ω).Each shell is subjected to aboundary condition of placeon a portion of its lateral face having thesamesetθ(γ0) as its middle curve, whereγ0 ⊂ γ and lengthγ0 > 0. Each shell is subjected to body forces inits interior and to surface forces on its upper and lower faces, whose resultant is given by means of itscontravariant componentspi,ε ∈ L2(ω). Finally, each shell in the family is made with thesame nonlinearlyelastic, homogeneous, andisotropicmaterial, and its reference configuration is anatural state.

Each shell in the family is modeled by thenonlinear shell model of Koiter’s typeproposed in [2]. Thismeans that the fieldζε = (ζεi ) : ω→R3, whereζεi a

i is the displacement field of the middle surfaceS, is astationary pointof theenergyjε defined by

jε(η) :=ε

2

∫ω

aαβστGστ (η)Gαβ(η)√ady +

ε3

6

∫ω

aαβστR]στ (η)R]αβ(η)√ady−

∫ω

pi,εηi√ady,

where

Gαβ(η) :=1

2

(aαβ(η)− aαβ

),

R]αβ(η) :=1√a∂αβ

(θ+ ηia

i)·a1(η)∧ a2(η)

− bαβ ,

aαβστ :=4λµ

λ+ 2µaαβaστ + 2µ

(aασaβτ + aατaβσ

),

pi,ε :=

∫ ε

−εf i,ε dxε3 + hi,ε+ + hi,ε− , wherehi,ε± := hi,ε(·,±ε),

λ > 0 andµ> 0 being the twoLamé constantsof the material constituting the shells.The objective of this Note isto justify the model proposed in[2] by means of a formal asymptotic analysis

of its solution. Detailed proofs will be found in [3].The problem of finding a stationary pointζε of the energyjε is first written as a set of variational

equations posed over the space

W(ω) :=η= (ηi) ∈W2,p(ω); η= ∂νη= 0 surγ0

,

for some fixedp > 2. Then, following a well-established procedure (see, e.g., [1], Chap. 8), the unknownand the data are first “scaled”, by letting ζ(ε) := ζε andpi(ε) = ε−1pi,ε. It is then assumed that the fieldζ(ε) admits aformal asymptotic expansionin terms of the thickness as the “small” parameter, viz.,

ζ(ε) = ζ0 + εζ1 + ε2ζ2 + · · · , with ζ0 ∈W(ω).

The main results of this Note are that, according to two mutually exclusive sets of assumptions on anassociatedmanifoldM(ω) of “inextensional” displacements(i.e., that satisfyaαβ(η) − aαβ = 0 in ω),the leading termζ0 satisties either the equationsPM (ω) of a nonlinearly elastic “membrane” shell(Theorem 1) or the equationsPF (ω) of a nonlinearly elastic “flexural” shell(Theorem 2):

THEOREM 1. –Assume that the manifold

M(ω) :=η ∈W2,p(ω); η= 0 onγ0, aαβ(η)− aαβ = 0 in ω

contains onlyη = 0 and that the applied forces are “of orderε0 with respect toε”, in the sense thatpi(ε) = pi,0 for all ε > 0, where the functionspi,0 ∈ L2(ω) are independent ofε. Thenζ0 satisfies thefollowing variational problemPM (ω):

412

Justification d’un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coque

ζ0 ∈WM (ω) :=η ∈W1,4(ω), η= 0 onγ0

,∫

ω

aαβστGστ(ζ0)(G′αβ

(ζ0)η)√ady =

∫ω

pi,0ηi√ady

for all η= (ηi) ∈WM (ω).

THEOREM 2. –Assume thatM(ω) 6= 0 and that, at each point ofM(ω), the tangent space toM(ω)contains nonzero elements. Also, assume that the applied forces are “of orderε2 with respect toε”, in thesense thatpi(ε) = ε2pi,2 for all ε > 0, where the functionspi,2 ∈ L2(ω) are independent ofε. Thenζ0

satisfies the following variational problemPF (ω):

ζ0 ∈MF (ω) :=η= (ηi) ∈W2,p(ω); η= ∂νη= 0 onγ0, Gαβ(η) = 0 in ω

,

1

3

∫ω

aαβστR]στ(ζ0)(

(R]αβ)′(ζ0)η)√ady =

∫ω

pi,2ηi√ady

for all η= (ηi) in the tangent space atζ0 to the manifoldMF (ω).

The assumptions and the conclusions of Theorems 1 and 2 being identical to the assumptions and tothe conclusions reached about the leading term of a formal asymptotic expansion of thethree-dimensionalsolution (cf. Miara [7] and Lods and Miara [6]), again with the thickness as the “small” parameter, thenonlinear shell model of Koiter’s type proposed in [2] is thus justified, at least formally.

Cette Note fait suite à la Note [2], à laquelle on se reportera pour toutes les notations et hypothèses nonrappelées ici.

1. Un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coque analogue à celui de W.T. Koiter

On considère unefamille de coques non linéairement élastiques, de même surface moyenneS = θ(ω) etd’épaisseur2ε > 0 tendant vers zéro. Chaque coque est assujettie à unecondition aux limites de placementsur une portion de sa face latérale de courbe moyenneθ(γ0), oùγ0 est une partie deγ indépendante deε,de longueur strictement positive. Chaque coque est soumise à desforces de volumeen son intérieur et à desforces de surfacesur ses faces « inférieure » et « supérieure », données par leurs composantes covariantesf i,ε ∈ L2(Ωε) et hi,ε ∈ L2(Γε+ ∪ Γε−). Enfin, on suppose que chaque coque de la famille est composéedu même matériau élastique, homogèneet isotrope, et que chaque configuration de référence est unétatnaturel.

Pour de telles coques, lemodèle bi-dimensionnel non linéairesuivant, analogue au modèle non linéairede Koiter [4], a été proposé dans [2] : pour chaqueε > 0, l’ inconnueest le champ de vecteursζε = (ζεi ) :ω→ R3, où les fonctionsζεi : ω→ R sont les composantes covariantes du champ de déplacementζεi a

i dela surface moyenneS, etζε doit être unpoint stationnairede l’énergiejε définie par

jε(η) :=ε

2

∫ω

aαβστGστ (η)Gαβ(η)√ady +

ε3

6

∫ω

aαβστR]στ (η)R]αβ(η)√ady−

∫ω

pi,εηi√ady,

où

Gαβ(η) :=1

2

(aαβ(η)− aαβ

),

R]αβ(η) :=1√a∂αβ

(θ+ ηia

i)·a1(η) ∧ a2(η)

− bαβ,

aαβστ :=4λµ

λ+ 2µaαβaστ + 2µ

(aασaβτ + aατaβσ

),

413

P.G. Ciarlet, A. Roquefort

pi,ε :=

∫ ε

−εf i,ε dxε3 + hi,ε+ + hi,ε− , oùhi,ε± := hi,ε(·,±ε),

λ > 0 etµ> 0 étant les deux constantes de Lamé du matériau élastique constituant les coques. Étant donnéun champ de vecteursη = (ηi) : ω→ R3 suffisamment régulier,Gαβ(η) etR]αβ(η) sont respectivementles composantes covariantes dutenseur de changement de métrique, et celles d’untenseur « modifié » dechangement de courbure, associés au champ de déplacementηia

i de la surface moyenneS. Les fonctionsaαβστ sont les composantes contravariantes dutenseur bi-dimensionnel d’élasticité de chaque coque.

L’objet de cette Note est dejustifier ce modèlepar uneanalyse asymptotique formelle de sa solution. Ontrouvera les démonstrations détaillées des résultats qui suivent dans [3].

2. Mise en œuvre de la méthode des développements asymptotiques formels

On remarque pour commencer que, pour toutp > 2, l’énergiejε est définie et dérivable sur l’espaceW2,p(ω). On fixe donc une fois pour toutes un réelp > 2, et on exprime que, pour toutε > 0, l’inconnueζε vérifie (jε)′(ζε)η = 0 pour toutη ∈W(ω) (si u est un élément d’un espace vectoriel norméV etf : V →R est une application dérivable,f ′(u) désigne la dérivée de Fréchet def enu), où

W(ω) :=η= (ηi) ∈W2,p(ω); η= ∂νη= 0 surγ0

,

les relationsη = ∂νη = 0 sur γ0 constituant desconditions aux limites « d’encastrement fort »(voir [1],Section 10.5).

Suivant une technique maintenant bien établie (voir par exemple [1], Section 8.6), on commence pareffectuer une «mise à l’échelle» des équations variationnelles(jε)′(ζε)η = 0, en posantζ(ε) := ζε etpi(ε) := ε−1pi,ε, de sorte que, pour toutε > 0, l’inconnue mise à l’échelleζ(ε) vérifie le problèmevariationnelP(ε;ω) suivant :

ζ(ε) ∈W(ω) et∫ω

aαβστGστ(ζ(ε)

)(G′αβ

(ζ(ε)

)η)√ady

+ε2

3

∫ω

aαβστR]στ(ζ(ε)

)((R]αβ

)′(ζ(ε)

)η)√ady =

∫ω

pi(ε)ηi√ady

pour toutη ∈W(ω). On suppose ensuite queζ(ε) admet undéveloppement asymptotique formel enpuissances deε :

ζ(ε) =1

εNζ−N +

1

εN−1ζ−N+1 + · · · ,

lequel est reporté dans les équations variationnelles du problèmeP(ε;ω). On annule alors les facteurs despuissances successives deε trouvées dans ces équations jusqu’à ce que l’ordre−N du premier termesoit déterminé. Une fois cet ordre connu, on continue de même, jusqu’à ce que le premier terme dudéveloppement formel soit identifié comme la solution d’un problème variationnel. Suivant en cela [7],on requiert en particulier que, à chaque étape, aucune restriction ne soit imposée aux forces appliquées etque le « principe de linéarisation » soit satisfait ; la première de ces conditions permet de préciser quel doitêtre « l’ordre par rapport àε» des forces appliquées, afin qu’elles apparaissent dans la partie linéaire deséquations variationnelles (voir théorèmes 1 et 2).

On établit ainsi, pour commencer, queN = 0. Autrement dit, le développement asymptotique formel del’inconnue mise à l’échelle est de la forme

ζ(ε) = ζ0 + · · · , avec ζ0 ∈W(ω).

Étant donné un champ de vecteursη = (ηi) : ω → R3 suffisamment régulier, on dit que le champde déplacements associéηiai de la surfaceS, et aussi, par abus de langage, le champη lui-même, estinextensionnelsi aαβ(η)− aαβ = 0 dansω, auquel cas les surfacesS = θ(ω) et (θ+ ηia

i)(ω) ont donc lamême métrique.

414

Justification d’un modèle bi-dimensionnel non linéaire de coque

On montre alors (voir théorème 1) que,si une certaine variétéM(ω) de déplacements inextensionnelsest réduite à0, l’annulation du coefficient deε0 suffit à identifier le premier termeζ0 du développementformel comme la solution d’un problème variationnelPM (ω). On notera que l’hypothèse faite ci-dessoussur les fonctionspi,ε exprime que les forces appliquées sont « d’ordre zéro par rapport àε».

THÉORÈME 1. –On suppose que

ζ(ε) = ζ0 + · · · , avecζ0 ∈W(ω).

On suppose par ailleurs que la variété

M(ω) :=η ∈W2,p(ω); η= 0 surγ0, aαβ(η)− aαβ = 0 dansω

ne contient queη = 0. On suppose enfin que les forces appliquées sont telles qu’il existe des fonctionspi,0 ∈ L2(ω) indépendantes deε telles que, pour toutε > 0,

pi(ε) = pi,0.

Alors le premier termeζ0 du développement deζ(ε) satisfait le problème variationnelPM (ω) suivant:

ζ0 ∈WM (ω) :=η ∈W1,4(ω); η= 0 surγ0

,∫

ω

aαβστGστ(ζ0)(G′αβ

(ζ0)η)√ady =

∫ω

pi,0ηi√ady

pour toutη= (ηi) ∈WM (ω).

En raisonnant comme dans [1], théorème 10.1-1, on montre ensuite que,si la variétéM(ω) contient deséléments non nuls et si les plans tangents en chacun de ses points contiennent également des éléments nonnuls, alors, d’une part, les fonctionspi,0 du théorème 1 doivent s’annuler, et, d’autre part, le premier termeζ0 appartient nécessairement à la variétéM(ω).

On montre alors (théorème 2) que, dans ce cas, il suffit d’annuler successivement les coefficients deε0, εetε2 (c’est pourquoi on doit maintenant supposer queζ(ε) = ζ0 +εζ1 +ε2ζ2 + · · ·), pour pouvoir identifierle premier termeζ0 comme la solution d’un problème variationnelPF (ω). On notera que l’hypothèse faitesur les fonctionspi,ε exprime cette fois que les forces appliquées sont « d’ordre deux par rapport àε».

THÉORÈME 2. –On suppose que

ζ(ε) = ζ0 + εζ1 + ε2ζ2 + · · · , avecζ0, ζ1 ∈W(ω), ζ2 ∈W2,p(ω).

On suppose par ailleurs que la variétéM(ω) (voir théorème1) contient des élémentsη 6= 0 et que, enchaqueζ ∈M(ω), le plan tangentTζM(ω) àM(ω) contient des éléments non nuls. On suppose enfinque les forces appliquées sont telles qu’il existe des fonctionspi,2 ∈ L2(ω) indépendantes deε telles que,pour toutε > 0,

pi(ε) = ε2pi,2.

Alors le premier termeζ0 du développement deζ(ε) satisfait le problème variationnelPF (ω) suivant:

ζ0 ∈MF (ω) :=η= (ηi) ∈W2,p(ω); η= ∂νη= 0 surγ0, Gαβ(η) = 0 dansω

,

1

3

∫ω

aαβστR]στ(ζ0)((

R]αβ)′(ζ0)η)√ady =

∫ω

pi,2ηi√ady

pour toutη= (ηi) ∈ Tζ0MF (ω), où

Tζ0MF (ω) :=η ∈W2,p(ω); η= ∂νη= 0 surγ0, G

′αβ(ζ0)η= 0 dansω

.

Remarque1. – L’espace vectorielTζ0MF (ω) n’est autre que le plan tangent à la variétéMF (ω) aupointζ0.

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P.G. Ciarlet, A. Roquefort

3. Conclusions

On compare maintenant les résultats de cette Note avec ceux obtenus par Miara [7] et Lods & Miara [6],à partir cette fois d’un développement asymptotique formel de la solution

u(ε) = u0 + εu1 + ε2u2 + · · ·des équations « mises à l’échelle » de l’élasticité non linéairetri-dimensionnelle, appliquées à lamêmefamille de coques que celle considérée au paragraphe 1. Les composantes du champu(ε) : ω× [−1,1]→R3

sont les composantes covariantes, « mises à l’échelle » sur le domaine fixeω× [−1,1], du déplacementtri-dimensionnel.

Alors Miara ([7], théorème 2) établit que, siM(ω) = 0 et sipi(ε) = pi,0 pour toutε > 0 (les notationssont celles du théorème 1), le premier termeu0 est indépendant de la variable « transverse » mise à l’échellex3 (i.e., la coordonnée curviligne « normale à la surface moyenne ») et la moyenne1

2

∫ 1

−1 u0 dx3 résout lemêmeproblème variationnelPM (ω) que celui du théorème 1.

De même, Lods & Miara ([6], théorème 1) établissent que, siM(ω) 6= 0, siTζM(ω) 6= 0 en toutζ ∈M(ω), et sipi(ε) = ε2pi,2 pour toutε > 0 (les notations sont celles du théorème 2), le premier termeu0 est indépendant dex3 et sa moyenne12

∫ 1

−1u0 dx3 résout lemêmeproblème variationnelPF (ω) que

celui du théorème 2. (En fait, le théorème 1 de [6] est énoncé à l’aide de fonctions dont l’expression estbeaucoup plus compliquée que celle donnée au paragraphe 1, et qui est due à [8], des fonctionsR]αβ(η)).

Les hypothèses et les conclusions du théorème 1 et du théorème 2 étant donc identiques à celles faites etobtenues à partir de l’élasticité tri-dimensionnelle, lemodèle bi-dimensionnel de coque proposé en[2] setrouve ainsi justifié.

Remarque2. – L’hypothèseTζM(ω) 6= 0 en toutζ ∈M(ω), qui est formulée sous cette formedans [1], théorème 10.1-1, est implicite dans [6].

Remarque3. – Certains des espaces fonctionnels de [6] et [7] ne sont pas exactement les mêmes que ceuxconsidérés ici. Mais cette remarque est sans conséquence, dans la mesure où l’on compare des méthodesformelles.

Remarque4. – Cette justification du modèle non linéaire proposé dans [2] est analogue dans sonprincipeà la justification du modèlelinéairede Koiter [5] (voir [1], Section 7.2, pour les résultats et leurs références).Mais celle-là reste formelle, alors que celle-ci résulte dethéorèmes de convergencelorsqueε tend vers zéro.

Références bibliographiques

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331 (2000) 405–410.[3] Ciarlet P.G., Roquefort A., Justification of a two-dimensional nonlinear shell model of Koiter’s type, Chinese Ann.

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(1970) 169–195.[6] Lods V., Miara B., Nonlinearly elastic shell models. II. The flexural model, Arch. Rational Mech. Anal. 142 (1998)

355–374.[7] Miara B., Nonlinearly elastic shell models. I. The membrane model, Arch. Rational Mech. Anal. 142 (1998) 331–

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et-Marie-Curie, Paris, 2000.

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