105

k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

������������ �� ��������������� ����� ���� ������� !�����������"�#����� �� $��� ������ � �#%&�'�(��� �

)+*-,/.1032146587896:�4;,/<=9>.?9@,A9B.BC�9D78915FEHG89B.1IJ9

9�KMLONPNRQTSVUPW�URLYX[Z�NV\^]`_aLYUbUPQTKcUPXdURefQg ShW!K`\^W�UPQ�,/ije^XAX[kml"58Qonp)qSh\MZ^NPn>LYihr

.?\sUPt�QTShNvu`:He^Q�,[UPW�UPQFw8ZMLyx[QTShNRLYU{z�X}|~5�Qon��AQ�SVNPQTzL�Z(�MW!SRURLOW�k�|�\MkY�`k�k�_�Q�Z[U�X}|�URefQ�ShQT�s\MLOSVQ�_�Q�Z[UPN

|�X�S�URefQ�KMQTt�SVQ�Q�X}|��XAivUPX}SBX}|��HefL�kOX}NPX��Me[z

g SVW!K`\^W�UPQ���ShX}t}ShW�_�L�Z(�He[zsNRLOioN�W�Z^K�9BNbUPSVX[Z^X[_�z

<�SjLyUbUPQ�Z�\fZfKfQ�S�URefQ�K`LOSVQ�ivURLOX�Z(X�|��SVX�|�Q�NPNPX}S g W!]MShLOQ�k�)1��7>X}URkOLOW!S

W�ZfK�W!�f�MSVX�x[QTK�]/z

5�QTn�)qSh\MZ^NPn>LYihr`uM58Qon��AQTShNPQTz� ioUvu��}�}�[�

Page 2: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���������������� �����������������������������

�! #"%$�&('*),+.-�/102 �3�'*$�/4'*576859$:+85�3�'*59;#59'<0=$>39'?"%$�5�/@'?6859+.-BAC �+85D02 #"/FEG/10=$H"%/

I,JK�MLONQPSR@T�U2V=W�R@XZYV(L�V[�MV(LO\]V_^`VaT�bOc�V(LOdQV�eNfXgXhRFL�W�V=W�NQiSTj�eNQL�R2bkWgiSLFl#m�L�ion<R@XgXhioL`p�V=IqLONQR2dD�srt^siaW�dfNfV=L

utvFwtxzyO{*w}|�~1�����#�=w}{��qw�w}y�xzy�{*w}|?�g�}{�x��gyF�q�hyF�#��xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f�#x��H�hy#xz��~(�g|�{?�hyO{Hx��*�*�Fw����g|���{�|*�gy1���z����g|�|*w}���h{*w���w}��w��}{�|*�gy1x�����h{*w}|�x��h�����hyF��x��#��w}y�{�|?�h��{*��{�v1x���{�vFw���x������ew�~1|*w��*w}yO{#xzyF��xz��v�{*�#{�v@�h{v@����wC�(w�w}y��g�1{?�hxzyFw��xzyO{*��{�vFwC�g~1{�x����h�2|*w��*~=�gyF�*w��k�*v@�h|���wC�O�h~B�hyF��w��1�}xz{*�gy1x��C�=w}v@����x��g|�xzy��gyFw� ��xz��w}yF��x��gy@�h��¡��g{�{SxzyF���1���h{*�g|*�S�1{�xz�zxz¢�xzy1�C{�vFw��1w}yF�*xz{f�G���h{�|�x£�¤|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy#��|*�g�1~¦¨§�¡�©«ª­¬��w}{�vF�k�a�#�ew���vF���®vF�¥�!��¡��g{�{< f¯.�1�1�@�h|*�ew��1�}xz{*�gyo�,���(�g�1yF�e��{?�h{*w#�(w}{f��w�w}y`���1�g�1�1��w��k�� �}�1~@�hyF�}�°�hyF�±�hy°w}��~1{f����xz{*w�xzy±���@�g�*²k��|*�g�1yF�±�h�G��xzy1���z�³�k���}�1~1x�w��°��xz{*w��¥�q���hy°�(w���g|���w�����Fw�{*���ByFw��h|*w��*{< QyFw}xz��vO�(�g|�´��g�1���g�­�µ|*w}~1�1����x��gy

V�«xz{�v1xzy³{�vFw�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�«¯.�1�1�@�h|*�

���k�1w}�Q�9utvFw#xzy�{*w}|?�g�}{�x��gy�yF�g{¤�gy1�z���1xzyF�1�¤{�vFw�w����}xz{*�gyo�a�1�1{­�h���?��|*w}yF�g|����h�zxz¢�w��­{�vFw���~(w��}{�|?�h��O�h~e�hyF�s��{�|*�gy1���z�����g�1~1��w��G{�vFw#w��1�}xz{*�gys{*��g{�vFw}|Gw}��w��}{�|*�gyF���­�ew#��vF���¶{�v@�h{G{�v1x��C��w��g�1��{*�B�yF�gy� Q���gyF�g{*�gy1x��#�(w}v@���kx��g|��h�q{�vFw�w��1�}xz{*�gy1x���~1|*�g~=w}|�{�x�w��G�g�G���·�1yF�}{�x��gy��h�

V�(�hyF�sw}��w}y�{��@�h�z�z�

{*�����*v@�h|���w� f�1w}yF��xz{��°������w�xzyF��{?�h�1xz�zxz{����[utvFw�w��1�}xz{*�gy1x����1xzyF��xzy1�³w}yFw}|�����x������g��~@�h|?�h�1��w�{*�{�vFw¤�g~1{�x����h�,�O�h~�xz{*�*w}�£�����h²�xzy1��{�vFwG~1|*�g�1��w}��yF�gy� Q~=w}|�{��1|��@�h{�xz��w��tutv1x��.�*vF�g�1�����(w¤���gyO{�|?�g��{*w���«xz{�v�w��1�}xz{*�gyF�8xzy����gy���w}yO{�x��gy@�h���@�hyF��xzyF�*�1���h{*�g|*�8�«v1x��*v�w��kv1xz�1xz{��#���gyF�g{*�gy1x��¤�(w}v@���kx��g|C�g�D��¨�1yF�}{�x��gy��h�H´��g�1���g�9��|*w}~1�1����x��gyo�

¸Cw���{��D��w����gyF��x��1w}|�{�vFw��zxz��xz{��h�9xzy�¹Fy1xz{*w���xz��w}yF�*x��gy@�h�zxz{f���Gxzy[~@�h|�{�x��}�1���h|��G{�vFw���w}�z�z�1���h|���ky@�h��x����h����w��hyj¹@w}���j{�vFw��g|��!¦Q´�§�¡�º�u.¬��D�«vFw}|*w}xzy¶�}�z�F�*{*w}|*���h���*xz{*w����h|*w³w}�­�(w��1�1w��»xzy

xzx

Page 3: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{���w���xz�1���]utv1x�����w}{�vF�k��xzyF���g|�~=�g|?�h{*w����vF�g|�{�|?�hy1��w����g|�|*w}���h{�x��gyF��hyF�k 

�1w}~(w}yF�1w}yF��w­�h�,{�vFw­�*w}�£��w}yFw}|�����«v1x��*vs�h|*w���x��*��xzy1��xzyB{�vFw­�g|�xz��xzy@�h�S��xzy1����wGxz��~1�1|�xz{���§�¡�º�uG��ew��*�g�z��w�{�vFwe´�§�¡�ºMu��*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{w����@�h{�x��gyF��xzy_{�vFw��q�g|*�*{����g�?w��*��w}y@�h|�x��1�.��xz¢��z�8{�vFw�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�Sw���{*w}yF�1w��B¯D�1�1�@�h|*�������1w}�(�F��xzy1��{�vFw�w��F�g�}{8��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy���w}{�vF���a�H�ew���g��~@�h|*w¤�«xz{�v�§�¡�©8ª®�hyF�B¹FyF��{�v@�h{Dw}��w}y�{�vFw­�����h�z��w���{D�}�z�F��{*w}|D��xz¢�w��8~1|*���kx��1w��hy��g���}�1|?�h{*w�1w��*�}|�xz~1{�x��gy��h�a{�vFw.�gyF��xz{*w8���g|�|*w}���h{�x��gyF�¥���«v1xz��w.{�vFw.���a��xz{*w����@�hyO{�xz{�x�w���xz��~1|*����wC������{*w}���h{�x����h�z�z��«xz{�v�xzyF�}|*w��g��xzy1�e�}�z�F��{*w}|��*xz¢�w����ew��h���*�sw��k{*w}yF�µ{�vFw�´�§�¡�ºMu w����@�h{�x��gyF��{*�s�1w��*�}|�xz�(w��1|*�h ²�w}y����k����w}{�|��B�hyF�BxzyO��w���{�xz�O�h{*w­{�vFw¤���gyO��w}|���w}yF��w��g�.���¨�1yF�}{�x��gy��h���@�h{�v���xz¢�wC���g|8�}�z�F��{*w}|*�.�h���x��aw}|*w}yO{D�*xz¢�w����

�,�g��{��z�����qw��g�F�*w}|���wC{�v@�h{«�(�g{�v�§�¡�©8ªj�hyF��´�§�¡�ºMu]xzy����g�z��w�{�vFwCw}�9�=w��1��xzy1���h���G¹Fy1xz{*w��xz¢�w�������{*w}� xzys�����h|���w}|G�gyFw9{*���1w��*�}|�xz�(w­{�vFw������h�z��w}|�������{*w}�%�g�D~@�h|�{��h�q�����h|���w��g|Dxzy�¹Fy1xz{*w���h{�{�x���w����«�g�*w����gy�{�v1x��¥�O��w«~1|*�g~=���?wD��yFw}�_�h~1~1|*���g�?v�{�v@�h{q�1��w}yF�1�H{�vFw�´�§C¡�º�u±�hyF��§�¡�©8ªx��1w��g�8{*�#~(w}|<���g|�� ���h���}�1���h{�x��gyF�«���g|«|*w��h�zx���{�x��¤������{*w}���«xzyB{��q��hyF�B{�v1|*w�w¤��xz��w}yF��x��gyF���

xzxzx

Page 4: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

[)��G5�6��4-*$�3��8$H"%$�5D02/

�«�h� ��|?�h{*w��¨�1�S{*���­���g���kx��*�g|��(ªG�h�1x��D�g{��zx��h|��2�¨�g|Dv1x��8~@�h{�x�w}yF��w��hyF�����h�z�@�h�1��w­���1x��F�hyF��w�����w}|{�vFw��*wG��w��h|*�¥�

~(w��}x��h��{�v@�hy1²k�M���D{*�.�9�¤�¨|�x�w}yF���hyF�#���g�z���h�(�g|?�h{*�g|�´t�h|����������g��w��?v#�«xz{�v��«vF�g�¶��w}|*w��*~=w}y�{���hyO�����gy1��y1xz��v�{*�.��x��*�}�F�?��xzy1���hyF�B�*v@�h{�{�xzy1�F�

�¤�h���?��{�v@�hy1²³ªC�1y1y@�h|���h���*�*�gy³�¨�g|���v@�h|�xzy1��v1x��­²kyF���«��w�����w��gyµ���g��~1�1{�xzy1���hyF�³¯��h|?�h�����w���vF�?²�wG���g|.�#���h|*w��·�1�S|*w��g��xzy1���h�M{�vFw¤���hyO�F�*�}|�xz~1{��

xz�

Page 5: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

�®$�3�'*)M+t02'*6.5

uS����w}���g|�x�w��.{�v@�h{.�1�gy�� {.w}��w}|8��w�����w¤��w

Page 6: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��+��#-*$>6�� �±685D02$�5D02/

9B]fNbUPShW!ivU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xzx9qihrsZ^X�n>kOQTKMt}Q�_�Q�Z[UPN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .xz�

��QTK`LOioW�URLOX�Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I�LONbU�X�|���LOt�\fShQTN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x£�

� �858\M_�Q�ShLOioW�kJC�QoURefXAKfN���AShX�_ ]fSj\^UPQ8|�X�SVioQ�UPX�. g. . . . . . . . . . . . . .

� � �fy�{�|*�����F�}{�x��gy��G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �����`¸.�1��w}|�x����h�� D�@�hyO{��1� ¡s�hyO� �t�k����¡�w}{�vF���1�]�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤�

����� � utvFw �S�hyF�}¢����8��w}{�vF�k� �G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �

�����`utvFw¤¸.�1��w}|�x����h�M©.w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy�ªC|*�g�1~`¦¨¸C©«ª­¬q��w}{�vF���_�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �

� �F�`º@�hxz�z�1|*w­�h��¸D©8ªj���g| § �S�h{�{�x���w¤���k�1w}������º1|*w�w­~@�h|�{�x��}��w¤�gy��#�?v@�hxzy �¤�­�G�¤� �

�����`utvFw¤§�w}yF��xz{f�B¡s�h{�|�x£��©Dw}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy�ªC|*�g�1~�¦¨§�¡�©8ª¤¬���w}{�vF�k�_�G�¤�­�G�¤� �� ����� � �fy�¹Fy1xz{*w9´qv@�hxzy��.�z���g|�xz{�v1���¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �

��������� º,xzy1xz{*w�´qv@�hxzy��.�z���g|�xz{�v1� �¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �

�����`§D�ky@�h��x����h��´��g|�|*w}���h{�x��gy�º1�1yF�}{�x��gyF�8�F�*xzy1��§�¡�©8ª �¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �

����� � �S�hyF�}¢����8��w��}{*�g|8��w}{�vF�k���¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � � ���������K´��g|�|*w��}{�x��gy���w��}{*�g|8��w}{�vF�k� �G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �

���k�����k{*w}yF�*x��gy�{*�#{f������xz��w}yF��x��gyF�C�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ���

�/� � �^URLOioW�k�ShQTNP��X�ZfNPQ8W�ZfK�Q �si�LyUPX[Z^NBLOZcX�ZfQ8K`L�_�Q�ZfNRLOX�ZfW�kJCX}UbUBL�Z^NR\MkOW�UPX}ShN.

������ � �fy�{�|*�����F�}{�x��gy��G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ��������������hy1y1x�w}|C�hyF��¡��g{�{����1�}xz{*�gyF� �G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ����������`¡��k�1w}�S¯��h��xz�z{*�gy1x��hy¶�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � ���� �F� �v@�g�*w¤��x��h��|?�h� �G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ��!

�kx

Page 7: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���������D~1{�x����h�S|*w���~(�gyF�*w¤�hyF����~(w��}{�|?�h�(�¨�1yF�}{�x��gyF�«�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ��!���������ew��h²�´��g�1~1�zxzy1� �qºMx�w}���B{�vFw��g|*w}{�x��­�h~1~1|*���g�*v �¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ��������k� �1�����h|����hyF�����gyF�}�z�F��x��gyF� �¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ��!

� �8:He^Q���C. g �;SVX�t}ShW�_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� ��� ���_v���º@�g|�{�|?�hy ! ��� �¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � ������� �fy�{�|*�����F�}{�x��gy��G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � ��������`utvFwG|*�g�1{�xzyFw��8�G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � �

� �8:He^Q��?z^Z^W�_ LYiTW�k�C�QTW�Z ��LOQ�kOKcC�QoURefXAK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� ��F� � �fy�{�|*�����F�}{�x��gy��G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � ��F�����µ´q���g�*��x����h�S��~1xzy������1w}�����G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � ��F����� �f{�xzyFw}|?�hy�{ ���@�hyO{��1� ��w��?v@�hy1x����h�S���k�1w}��� �¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � �F� �F� �o�����h�,�*w}�£��w}yFw}|���� �¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ����F����� �f��~1�1|�xz{��B�����1w}�a~@�h|?�h��w}{�|�xz¢¥�h{�x��gy��hyF� ���F�g�}{.§Cx��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy��h�z���g|�xz{�v1� � ����F����� �axz��xz{?�h{�x��gyF�D�h����xzy1����wGxz��~1�1|�xz{����h~1~1|*���g�*v �G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ���

� �FE;Q�kOk�\MkOW!S>�?z^ZfW�_aLOioW�kJCQ�W�Z ��LOQ�kYK�:;efQTX�SRz�|�X}S�URefQ�G�\^]M]fW!ShK�C�XAKMQ�k. . .

��!��� � �fy�{�|*�����F�}{�x��gy��G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ��!�������`utvFw9´�§�¡�º�u4¡�w}{�vF��� �¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � �

������� � utvFw9´t���kxz{f��´��gyF��{�|��F�}{�x��gy��¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � ����������� �4�¨�1yF�}{�x��gy@�h�oxzyO{*w}|�~1|*w}{?�h{�x��gy �­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �������������� �.y ���F�g�}{.§Cx��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy��D�z���g|�xz{�v1� �¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � �

�������`§Cw}{*w}|���xzy@�h{�x��gys�h��{�vFw9´q�z�F��{*w}| w}�£� ��yFw}|����B�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ������ �F�`©.w����1�z{*�t���g|«{�vFw¤¯D�1�1�@�h|*��¡����1w}��¦

V = 0¬ �G�­�¤�G�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤� � �

�������`©.w����1�z{*�t���g|«{�vFw �H¯C¡ ¦V 6= 0

¬ �¤�¤�G�¤�G�¤�G�­�¤�G�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤� � ��������µ´��gyF�}�z�F��x��gyF�C�hyF���D�1{����k�g²B�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ���

� �8:He^Q�E;��C ��:"��SVX�t}ShW�_. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� !

��F,s\f_ _�W!SVz�ufiTX�ZfiTk�\^NRLOX[Z^NqW�ZfKcX[\sURkOXAX}r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

���

��xzx

Page 8: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

.1QT|�Q�SVQ�Z^iTQTN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

! �2�LyUPW

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .!��

�kxzxzx

Page 9: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��'*/10 6�� ��' �8 9&=$�/

� �`uS��|*w}���¥��wG{�vFwG²kxzy1²=�1�gyFw¤yFw�w��1�«{*��²�w�w}~��h�z������{C�h�z�a{�vFw¤��{?�h{*w��«xzy�w��g�?v��1���k�*² �� �������DyFw��·�1�z�,���qw�w}~��h��{�vFwC¹Fy1xz{*w¤��xz¢�w9�h�z���g|�xz{�v1� �¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� �

������� �g§ §�¡�©«ª®�h�z���g|�xz{�v1� �g�1{?�hxzyFw���������h~1~1xzy1���gyO{*��� §»���h{�{�x���w �¤�­�G�¤� ������ � �o�����h����~(w��}{�|?�h�o�¨�1yF�}{�x��gyF�8���g|.��x��aw}|*w}yO{C�g�h�z�Fw��C�h��{�vFw9���g�1~1�zxzy1�

V�t¸C�g{*w¤{�vFw

�h�1|��1~1{D�*v@�hy1��w­xzyB~@�h|�{�x��}��w��OvF�g��w­���k����w}{�|����=w}{��qw�w}y�{�vFwG{f����~1v@�g�*w����o�­�G�¤� ������������D~1{�x����h�2�hyF��©D�h���hy#|*w���~(�gyF�*w��¨�1yF�}{�x��gyF�M�¨�g|H��x��aw}|*w}yO{����h�z�Fw��H�h�2{�vFwt���g�1~1�zxzy1�

V�MutvFw«��w}|�{�x����h�2�1�g{�{*w����zxzyFw«xzyF��x����h{*w���{�vFw8���h��y1xz{��F�1w.�h�({�vFw8��xzy1����w��O~@�h|�{�x��}��w

��~=w��}{�|?�h�S�O�h~�xzy�w��g�*v����g�*w�� �¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� ����������������}xz{*�gy1x��­�qw}xz��v�{C�g�.���¨�1yF�}{�x��gy��h��{�vFwG���g�1~1�zxzy1�

V�`�G�¤�G�­�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­� � �

��� �F�µªG�h~F�«���g|8��x��(w}|*w}y�{8���h�z�Fw��.�h��{�vFwG���g�1~1�zxzy1�V� �¤�G�¤�G�¤�G�­�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­� ���

�F� �µ´��g�z���h~F�*wD�h�a{�vFwD�*w����gyF���g|*�1w}|t���gyO{�|�xz�1�1{�x��gy�{*�¤{�vFw.xz|�|*w����F�}xz�1��wD�?w}�£�aw}yFw}|�����xzy{�vFwG�zxz��xz{

d→ ∞ �e�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�G�­�¤�G�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤� ����F�������Dy1�z�­{�vFwt¯C�h|�{�|*w�w����gyO{�|�xz�1�1{�x��gy����1|���xz��w��M{�vFw��zxz��xz{

d→ ∞ �¨�g|MyFw��h|�yFw}xz��vO�(�g|´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gyo�D�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � �

��� ���j�*�?vFw}���h{�x��¤xz�z�z�F��{�|?�h{�x��gy��h�M{�vFwG�}�z�F�*{*w}|.����y@�h��x����h�,��w��hyB¹@w}�����h�z���g|�xz{�v1� � ���������� ~=w��}{�|?�h�,�O�h~��g�.���¨�1yF�}{�x��gy��h�����Z{t���g|«{�vFwGv@�h�£�,¹F�z��w���¯.�1�1�@�h|*�B���k�1w}�Q�M�G�¤� ���������� �f���h��xzy@�h|���~@�h|�{t�h�o{�vFwC�gyF��xz{*w�ª�|*w�w}y�� �H�¨�1yF�}{�x��gys¦·��w��¨{t���g�z�1��y2¬��hyF��|*w��h�2~@�h|�{

�h�@{�vFw�yFw��h|*w��*{,yFw}xz��v��=�g|�ªC|*w�w}y�� �,�¨�1yF�}{�x��gyB¦·|�xz��v�{����g�z�1��y2¬S�gy�{�vFw�¡��h{*���1�@�h|?��Z�kx��t���g|8��x��aw}|*w}yO{.���h�z�Fw��8�h�

U¦·xzy��1y1xz{*�D�h�

t¬�� �¤�G�¤�G�¤�G�­�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­� ��!

��� �F�`§Cw}�kx��h{�x��gy`�h� � � �:�hyF�³´�§C¡�º�uKªC|*w�w}y�� �G�¨�1yF�}{�x��gyF���¨|*�g��{�vFw�§�¡�©8ª:|*w� ���1�z{*�.�g�.���¨�1yF�}{�x��gy��h��{�vFwG�@�h{�v���xz¢�w

Nb�s�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � �

�������`º1|*�g� ��w��·{�{*�°|�xz��vO{s��w`��vF�¥� {�vFw`���k���h�9��~(w��}{�|?�h�­�¨�1yF�}{�x��gyF���¨�g|���xz{*w����gyFw{�v1|*�g�1��v4{�v1|*w�w�xzy4�µ�}�z�F��{*w}|��h���*xz¢�w

Nc = 3�«xz{�v

U = 12t� utvFws�@�h{�v

��xz¢�wGx��t¹1�1w����h{Nb = 6

���­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�G�­�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­� �

x£�

Page 10: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

������� �f���h��xzy@�h|���~@�h|�{t�h�o{�vFwC�gyF��xz{*w�ª�|*w�w}y�� �H�¨�1yF�}{�x��gys¦·��w��¨{t���g�z�1��y2¬��hyF��|*w��h�2~@�h|�{�h�@{�vFw�yFw��h|*w��*{,yFw}xz��v��=�g|�ªC|*w�w}y�� �,�¨�1yF�}{�x��gyB¦·|�xz��v�{����g�z�1��y2¬S�gy�{�vFw�¡��h{*���1�@�h|?��Z�kx��t���g|8��x��aw}|*w}yO{.���h�z�Fw��8�h�

VxzyB{�vFw §«� ~1v@�g�*w��H�¤�G�¤�G�­�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­� � �

�����k�`©.w��h�o~@�h|�{.�h�M{�vFw¤�gyF��xz{*w9ª�|*w�w}y�� �t�·�1yF�}{�x��gy�xzyB{�vFw9´�§«� ~1v@�g�*w����¤�G�¤�­�G�¤� � �������� �f���h��xzy@�h|���~@�h|�{.�h��{�vFw¤�gyF��xz{*w9ª�|*w�w}y�� �t�·�1yF�}{�x��gy�xzy�{�vFw­´�§«� ~1v@�g�*w����­�G�¤� � �����!��`©.w��h�o~@�h|�{.�h�M{�vFwGyFw��h|*w���{8yFw}xz��v��=�g|GªC|*w�w}y�� �t�¨�1yF�}{�x��gy�xzy�{�vFw9´�§8� ~1v@�g�*w��_� � ���� �� � �*vFw}���h{�x���|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�x��gy �h���hy ©8ª�~1|*�k��w����1|*wsxzyO{*w}yF�1w�� {*�`|*w��g�*v[���h|���w

�}�z�F��{*w}|.��xz¢�w����M�G�¤�G�¤�­�G�¤�G�¤�G�¤�¤�G�­�G�¤�G�¤�¤�G�¤�G�­�G�¤�¤�G�¤�G�¤�­�G�¤� � �

Page 11: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

����+��902$�&���: �"%$�&('*)M+8-�� $M0���6G39/��(�¤&(6." �9&( ­02$ ��6«&=)M$!026p�

� r � �ZT,W�L�i ���qbkW�NQiST

{�|*�gy1���z�����g|�|*w}���h{*w���w}��w��}{�|*�gy1x��.�*�k��{*w}���¥�g{f�k~1x£¹@w����O�����h{*w}|�x��h�������F�?v��g��vFw������9�¨w}|���x��gy����g�# ~(�g�1yF�1����v1xz��v�{*w}��~(w}|?�h{��1|*w��*�1~=w}|*���gyF���F�}{*�g|*��hyF�µ���hy1�O�hy@�h{*w����«�h���gy1����{��*w}��w}|?�h�.�g{�vFw}|*�¥����gyO{�xzy��FwG{*���*v@�h�z��w}y1��w­w��kx���{�xzy1�#��w}{�vF�k�1�txzy����hyO��=�k����~1vO����x������ ������w}~1{����g|«��~=w��}x��h�a���g�*w��¥����gyO{�|*�g�z��w��4�hy@�h�z�k{�x����h�G�h~1~1|*���g�*vFw����h|*w��*���h|*��w}�z�_�����hxz���h�1��w�� �fy]{�vFw�~1v��k��x����h�z�z�±xzyO{*w}|*w���{�xzy1�~@�h|?�h��w}{*w}|G|*w}��xz��w#{�vFw��*w#������{*w}�����1��yF�g{�v@����w�����1xz{?�h�1��w#�����h�z��~@�h|?�h��w}{*w}|9�hyF��{�vFw}|*w��¨�g|*w~(w}|�{��1|��@�h{�xz��wq{�|*w��h{���w}y�{*���h|*wq���h|���w}�z�¤xzy@�h~1~1|*�g~1|�x��h{*w����.�z{�vF�g�1��v#��w��hy9¹@w}�����h~1~1|*���g�*vFw���v@����w�kx�w}���1w��s���qw��h�z{�ve�h�Hxzy����g|����h{�x��gyo�a{�vFw}xz|C|*�g��w9x��D�zxz��xz{*w����O��{�vFw9�Q�g�}{D{�v@�h{C���hyO���h�H{�vFw����Z {*w}|�x��h���­�h|*w��?v@�h|?�g�}{*w}|�xz¢�w����������¥�®��xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f���hyF����{�|*�gy1���F�F�}{��@�h{�x��gyF�¥��utvFw��Z�¨�g|*w�� �hx���*v@�h�z��w}y1��w��tv@����wG��{�xz�­�1���h{*w��v��1��w��g�����hyF��w���xzy�{�vFw��1w}��w}���g~1��w}y�{.�hyF���F�*wC�h�,���g��~1�1{?�h{�x��gy@�h���w}{�vF�k�1�«���g|8��{�|*�gy1���z����g|�|*w}���h{*w���������{*w}�����

� r�� ����\]RFLON�b�V(d����HVaT,W��q\ �>VaT,J»��i �HJ��>R1W�c�i��qX

�D���gy1����{�{�vFw.yO�1��w}|�x����h�(��w}{�vF���1�t�����hxz���h�1��wD{*�­��{��F��� ���@�hyO{��1�:�����1w}�������g|����g|�|*w}���h{*w���w}��w��� {�|*�gyF���2{�vFw¤��w��g��{C�*�g~1v1x���{�x����h{*w��s�h~1~1|*���g�*vsx��D{�vFw­w��F�g�}{D��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy���w}{�vF�k�`¦¨�*w�w�� �� ���g|��|*w}��x�w}�D¬�� ��y`{�v1x�����w}{�vF�k�a��{�vFw¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyµ���g|#��¹Fy1xz{*w���xz¢�w��³�}�z�F��{*w}|����h���gy1�s�«xz{�vµ{�vFw�g~(w}|?�h{*�g|*���h�.xzyO{*w}|*w���{����h|*w|*w}~1|*w��*w}yO{*w��µ���³�����h{�|�x£�(� �D��xzy1������~(w��}x��h�q�@�g��x��#���F�?v±�g��{�vFw�S�hyF�}¢����G�@�g�*x����(xz{Gx���~=���?��xz�1��w�{*��g�1{?�hxzy��«xz{�v����h|���w#~1|*w��}x��*x��gye{�vFw���|*�g�1yF�e��{?�h{*w�������w��·�1yF�� {�x��gyo��w}yFw}|����³�hyF�³�g{�vFw}|#w��k~(w��}{?�h{�x��gyµ�g�h�z�Fw��#�h�8xzyO{*w}|*w��*{�� � |*w��}�1|*�*x��gy³~1|*�k��w����1|*w~=w}|���xz{*��g����w��*�«{*������y@�h��x����h�S���g|�|*w}���h{�x��gy��·�1yF�}{�x��gyF�C�g�«�qw}�z�Q� �fy��g|*�1w}|.{*�#xzyO��w���{�xz�O�h{*w¤¹Fy1xz{*wG{*w}��~=w}|< �h{��1|*w~1|*�g~=w}|�{�x�w��¥���gyFw����hy���x��h���gy@�h�zxz¢�wB{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy����h{�|�x£�µxzy��¨�1�z�t�F��xzy1�syO�1��w}|�x����h��zxz�1|?�h|���|*�g�1{�xzyFw�����utvFw.~1|�xz���h|�����gyF��{�|?�hxzyO{txzy��h~1~1�z��xzy1�����h{�|�x£����w}{�vF�k�1�t���F�*vB�g��{�vFwC�h�(����w

Page 12: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

�gy������g��~1�1{*w}|q{*�G��{��F���9���hy��#�=�k����¯��h��xz�z{*�gy1x��hyF�Hx��H{�vFw8w��k~(�gyFw}yO{�x��h�z�z�#xzyF�}|*w��g��xzy1����xz¢�w��H�h�{�vFw¤¯Dxz�z�=w}|�{D��~@�g��w­�g�«{�vFw¤�}�z�F�*{*w}|D��xz¢�w�xzyF�}|*w��g�*w��¥�qutv1x����@���g�­�1xzyFw����«xz{�v�{�vFw�¹Fy1xz{*wG~1|*w��}x���x��gy�����hxz���h�1��w��@��|?�g�*{�x����h�z�z�|*w����F��w��.{�vFwG��xz¢�w��«{�v@�h{.���hy��=wG�1w��h�z{8�«xz{�vo�

º@�g|�w��F�h��~1��w���{�vFw���xz¢�w�h�8{�vFw�¯Dxz�z�(w}|�{9��~@�g��w��¨�g|#��¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}�G¦·�«xz{�v����g�1|9��{?�h{*w��~(w}|9��xz{*w��M�kxz¢��z� |0〉 � |↑〉 � |↓〉 �hyF� |↑↓〉 ¬��gy���¹Fy1xz{*w��}�z�F�*{*w}|��h� Ns

��xz{*w����*���h��w��9�g�4Ns

� �f{9x��w��g����{*�#�*w�w.{�v@�h{�{�vFw��g�*�*�k�}x��h{*w�����w}���g|���|*w����1xz|*w}��w}yO{*�8�hyF��´ �[{�xz��w��h|*w�w}yF�g|����g�F�«w}��w}y���g|���{��q�³��xz��w}yF��x��gy@�h�D���h{�{�x���w��h�¤��xz¢�w

Ns = 4 × 4�[utvFw����h{�|�x£�±��xz¢�w������hy±�(wB|*w����F��w��

�O��xzy����g²�xzy1�����k����w}{�|�x�w��.��~(w��}x£¹@�G{*��{�vFw¤¯��h��xz�z{*�gy1x��hy��hyF�B{�vFw¤�(�g�1yF�F�h|��B���gyF��xz{�x��gyF���tutvFw���k����w}{�|�x�w��C|?�hy1��w¤�¨|*�g� {�vFw��g�O�kx��g�F�G�gyFw��C���F�*ve�g�D{�vFw­y��1�­�(w}|��h�q~@�h|�{�x��}��w����hyF�

Sztotal

�2{*����g|*w9xzyO���g�z��w��s�gyFw���¦·xzy�{*w}|������h��xz��~1��w}��w}y�{?�h{�x��gy2¬����F�?v��g�D{�|?�hyF�����h{�x��gy@�h��xzyO���h|�x��hyF��w��=�*~1xzyxzyO��w}|*�*x��gyo��|*�g{?�h{�x��gyB�h�(�g�1{«�G���h{�{�x���w���xz{*w.�¨�g|�� �O�@�h|*wD���h{�{�x���w����k|*w��@w��}{�x��gyF�t�«xz{�v|*w���~=w��}{�{*�9{�vFw���h{�{�x���wB�Z��w����hyF�µ�*�s�gyo� �DyF�g{�vFw}|#�}xz|*�}�1���*{?�hyF��w��«v1x��*v�x��#�h�·{*w}yµw���~1���gxz{*w��µ{*���g�����hyO{?�h��w��x��D{�vFw��*~@�h|*�*w}yFw��*�C�h�����h{�|�x���w��C�«vFw}ys�g~(w}|?�h{*�g|*�G�h|*w9w���~1|*w��*�*w���xzy�{�vFw­���k���h�,�@�g�*x����D¡�w}���g|��|*w����1xz|*w}��w}yO{*���h|*wG|*w}���Z��w��a�F�=w����h�F�*w­�gy1�z�{�vFw¤yF�gy �O¢�w}|*�����h{�|�x£��w}��w}��w}yO{*���h|*w¤��{*�g|*w��a����y�w��· ¹@�}x�w}yO{8w��F�g�}{«��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy�~1|*�g��|?�h������{�vFw�¯��h��xz�z{*�gy1x��hyB���h{�|�x£�x����F���@�h�z�z��yF�g{tw���~1�zx��}xz{��z���w}yFw}|?�h{*w��a� �fyF�*{*w��g�a�@�#~1|*�k��w����1|*w¤{*���9�1�z{�xz~1�z���#��w��}{*�g|.���

Hx��«�F�?w����«v1x��*v���w}yFw}|?�h{*w��.{�vFw

¯��h��xz�z{*�gy1x��hy³���h{�|�x£�³w}��w}��w}yO{*���g�­{�vFw}�³�h|*w�yFw�w��1w��a� �fyF��~1xz{*w�h�8{�vFww��k~1���gxz{?�h{�x��gyµ�h�D���k�# ��w}{�|�x�w��­�hyF����~@�h|*�*xz{f���(�¨�1�z����x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy��h�q{�vFw�¯��h��xz�z{*�gy1x��hye{*���w}{�¹Fy1xz{*w#{*w}��~=w}|?�h{��1|*w~1|*�g~(w}|�{�x�w����@w��1��w}~1{8���g|.��w}|��B�����h�z�M���k�*{*w}� ��xz¢�w����1x��.�=w}���gyF��{�vFw¤|*w��g�?v��h��~1|*w��*w}y�{C�F�������g�# ~1�1{*w}|*�­�hyF���h�z���g|�xz{�v1�����#utvFw}|*w����g|*w��a{�vFw#{*w}|�� w��1�g�}{¤��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy`|*w��¨w}|*�����h|���w}�z��{*��{�vFw�F�*wD�h�o{�vFw �S�hyF�}¢�����{*w��*v1y1x ���FwD{*�9�1w��h�2�«xz{�v���|*�g�1yF���{?�h{*w8~1|*�g~(w}|�{�x�w��«�hyF��¢�w}|*�9{*w}��~=w}|?�h{��1|*w���g|�|*w}���h{�x��gyF���

�D~@�h|�{«�¨|*�g� ��xz|*w��}{D�h~1~1�zx����h{�x��gyF�D{*��{�vFw¤��{��F�����h�������1w}�S¯��h��xz�z{*�gy1x��hyF���@{�vFw¤w��1�g�}{8��x��h�g �gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy��h~1~1|*���g�*vBv@�g�q~1|*����w�����h�z�@�h�1��w.xzy����gy�� �1yF�}{�x��gy��«xz{�vB�hyF�g{�vFw}|tyF�gy� Q~=w}|�{��1|��@�h{�xz��w��w}{�vF�k�a�(y@�h��w}�z���({�vFw9§C�ky@�h��x����h��¡�w��hysº,x�w}����{�vFw��g|�� ��� � ���ew���v@�h�z����x��*�}�F�*�C{�v1x��Cxzy��1w}{?�hxz�xzy��?v@�h~1{*w}| �F�����1�g�}{t��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy�x����h���?�9�­�g�h�z�@�h�1��wD{*���g�(�hx���xzy1�����g��~@�h|?�h{�xz��w���{��F��x�w��t�h��hy@�h�z�k{�x��­�h~1~1|*����xz���h{�x��gy��?�*vFw}��w��D�hyF�B�1w}��w}���g~1��w}y�{C�h��yFw}�4��w}{�vF�k�1���

Page 13: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� r���r � �cHR��.V(Tqb��1iSX�\]R1W�c�i��utvFw��@�g��x���x��1w����(w}v1xzyF�±{�v1x�����w}{�vF���_x���{�v@�h{B����~(w��}x��h�D�@�g��x�����hy]�=w��*vF���*w}y]�«vFw}|*w�{�vFw¯��h��xz�z{*�gy1x��hy`v@�g�#�B{�|�x���x��h���gy@�h�t|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�x��gy ��� � �ButvFw�xz{*w}|?�h{�xz��w�~1|*����w����1|*w��{?�h|�{*�9�«xz{�v�*w}��w��}{�xzy1���«yF�g|����h�zxz¢�w��9|?�hyF�1�g�j��w��}{*�g| |φ0〉

xzy¤{�vFw�¯Dxz�z�=w}|�{M��~@�g��w��h�1{�vFw������1w}�k¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyo�utv1x����?vF�gx���w.x��H���g�1w8xzy��g|*�1w}|q{*�Gv@����w���yF�gy� Q¢�w}|*�­�¥��w}|����h~��(w}{f��w�w}y�{�vFwC�g�}{��@�h�@��|*�g�1yF���*{?�h{*w

0〉�@�hyF�B{�vFwGxzy1xz{�x��h�S�*{?�h{*w |φ0〉

�ew8{�vFw}y��1w�¹FyFwD�GyFw}�°��w��}{*�g|������h~1~1�z��xzy1�¤{�vFwD¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyH{*� |φ0〉

�hyF�����1�1{�|?�g�}{�xzy1�{�vFwG~1|*� ��w��}{�x��gy�����w}| |φ0〉

|φ1〉 = H|φ0〉 −〈φ0|H|φ0〉〈φ0|φ0〉

|φ0〉,¦ � ¬

´q��w��h|��z��� 〈φ0|φ1〉 = 0�8�ew����hy��¨�1|�{�vFw}|D�1�1xz���s����{?�h{*w¤{�v@�h{Cx��D�g|�{�vF�g���gy@�h��{*���=�g{�v |φ0〉

�hyF�

|φ1〉�F��xzy1�F�

|φ2〉 = H|φ1〉 −〈φ1|H|φ1〉〈φ1|φ1〉

|φ1〉 −〈φ1|φ1〉〈φ0|φ0〉

|φ0〉.¦ ����¬

utv1x��«~1|*�k��w����1|*w­���hyB�(wG��w}yFw}|?�h�zxz¢�w���{*���g�1{?�hxzy�{�vFw��¨�g�z���¥�«xzy1���g|�{�vF�g���gy@�h�,�@�g��x��«|*w��}�1|*��xz��w}�z���

|φn+1〉 = H|φn〉 − an|φn〉 − b2n|φn−1〉,¦ ����¬

�«vFw}|*wn = 0, 1, 2, · · ·· �@�hyF�B{�vFw¤���kw����}x�w}yO{*� an

�hyF�bn�h|*w¤��xz��w}y��O�

an =〈φn|H|φn〉〈φn|φn〉

, b2n =〈φn|φn〉

〈φn−1|φn−1〉.

¦ � ��¬

��yB{�v1x��«�@�g��x�����xz{.���hy��=wG��vF�¥�«y�{�v@�h{8{�vFwG¯��h��xz�z{*�gy1x��hy����h{�|�x£�B�(w����g��w��«{�|�x���x��h���gy@�h�Q�

H =

a0 b1 0 0 · · ·

b1 a1 b2 0 · · ·

0 b2 a2 b3 · · ·

0 0 b3 a3 · · ·��� ��� ��� ��� � � �

¦ ����¬

�DyF��wtxzy�{�v1x������g|�����{�vFwt���h{�|�x£�����hy��=w«��x��h���gy@�h�zxz¢�w���w��g�*xz�z�9�F��xzy1�¤�*{?�hyF�F�h|*�#�zxz�1|?�h|��9|*�g�1{�xzyFw����¯C���qw}��w}|���xz{tx��qxz��~1|?�g�}{�x����h�a{*�#���g��~1��w}{*w}�z����x��h���gy@�h�zxz¢�w�{�vFwD�����1w}�(�(w}xzy1����{��F��x�w����gyB�G¹Fy1xz{*w�}�z�F��{*w}|��O��~(w}|<���g|���xzy1� �,�hyF�}¢����txz{*w}|?�h{�x��gyF��w����@�h�({*�­{�vFwC��xz¢�wC�h�o{�vFwD¯Dxz�z�(w}|�{���~@�g��w���utvFwD²�w}��g�����hyO{?�h��w��h�q{�v1x���{*w��?v1y1x �O�Fw#x���{�v@�h{G�������}x�w}y�{��z�s�g���}�1|?�h{*w#xzy����g|����h{�x��gy`�h�(�g�1{�{�vFw9��|*�g�1yF�

Page 14: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��{?�h{*wD�h�o{�vFw8~1|*�g�1��w}� ���hy��(w.�g�1{?�hxzyFw����Z�·{*w}|t�¤�����h�z�2yO�1�­�(w}|«�h�axz{*w}|?�h{�x��gyF��¦·{���~1x����h�z�z���h�o{�vFw�g|*�1w}|t�h� ∼ 100

�g|q��w��*� ¬���utvO�F��{�vFwD��w}{�vF����x��q�*�1xz{?�h�1��w8���g|q{�vFwC�hy@�h�z�k�*x��q�h�o���¥�]{*w}��~(w}|?�h{��1|*w~1|*�g~(w}|�{�x�w��.�h��{�vFwG�����1w}���.�h�����g|�|*w}���h{*w���w}��w��}{�|*�gyF���

utvFwD������{q|*w}���h|�²g�h�1��wD��w��h{��1|*wD�h�o{�vFw �S�hyF�}¢�������w}{�vF����x���{�v@�h{��1�h~@�h|�{q�·|*�g�!{�vFw.��|*�g�1yF�k ��{?�h{*wqw}xz��w}yO���h�z�Fw��H�hyF�9w}xz��w}y���w��}{*�g|*���gxz{,~1|*�¥��x��1w����g���}�1|?�h{*wqxzy��¨�g|����h{�x��gy��h�(�g�1{S{�vFw�����y@�h��x����h����g|�|*w}���h{�x��gy��·�1yF�}{�x��gyF���¨�g|�{�vFw8��xz��w}y�¹Fy1xz{*wD��xz¢�w8������{*w}� � � � �M�ewD�1w�¹FyFw8{�vFw8¢�w}|*�­{*w}��~=w}|?�h{��1|*w���g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyB���g|.�hy��g~(w}|?�h{*�g|

O�g���

CO(t− t′

) = 〈ψ0|O†(t)O(t′

)|ψ0〉¦ ����¬

utvFwt��~(w��}{�|?�h���¨�1yF�}{�x��gy��g�*�*�k�}x��h{*w����«xz{�v�{�v1x������g|�|*w}���h{�x��gy�x����h�·{*w}y�|*w}���h{*w���{*�G�hy�w��k~(w}|�xz��w}yO{?�h��g�F�*w}|����h�1��w�����{ � �8ºF�g�1|�x�w}|8{�|?�hyF�<���g|�� xzyB�¨|*w����Fw}yF�}���~@�g��w¤x��«��xz��w}y��O���

I(ω) = − 1

πIm[〈ψ0|O† 1

ω +E0 + iε− HO|ψ0〉].

¦ ����¬

|ψ0〉�hyF�

E0�h|*wB{�vFwB��|*�g�1yF�°��{?�h{*w�w}xz��w}yO��w��}{*�g|B�hyF�°w}xz��w}yO���h�z�Fw��h��{�vFw�¯��h��xz�z{*�gy1x��hy

H�

|*w���~(w��}{�xz��w}�z���ωx��a{�vFw��·|*w����Fw}yF�}���h�hyF�

εx��o�«�����h�z��|*w��h�OyO�1�­�(w}|Sxzy�{�|*�����F��w��­xzy¤{�vFw����h���}�1���h{�x��gy

{*����v1x£�¨{,{�vFwq~=�g��w����h�2{�vFwtªC|*w�w}y�� �M�¨�1yF�}{�x��gy#xzyO{*��{�vFwt���g��~1��w��9~1���hyFw�� ��yO{�|*�k���F�}xzy1�¤�D���g��~1��w}{*w�*w}{��h�D�@�g�*x����*{?�h{*w����q�hyF�³�F��xzy1�s{�vFw��qw}�z�£ Q²kyF���«y_��x���{�|�xz�1�1{�x��gy°~1|*�g~(w}|�{f��� 1

x+iε = P ( 1x) −

iπδ(x)�F�qw­�g�1{?�hxzy

I(ω) =∑

n

|〈ψn|O|ψ0〉|2δ(ω − (En −E0)).¦ ����¬

¯Cw}|*w�� |ψn〉�h|*ww}xz��w}yO��w��}{*�g|*���h�.{�vFw¯��h��xz�z{*�gy1x��hy³�«xz{�vµw}xz��w}yO���h�z�Fw��

En� ��y�~1|?�g�}{�x���w��H{�vFw

δ ��¨�1yF�}{�x��gyF�8�h|*wC����w��h|*w���������¹Fy1xz{*w

ε�OxQ� w��z��{�vFw}���h|*wD|*w}~1���g��w������ �o�g|*w}yO{�¢�x��hyF�D�g�����g|*��xzy1��{*�

δ(x) → 1π

εx2+ε2

��ys�g|*�1w}|G{*��y��1��w}|�x����h�z�z��w}���h�z�@�h{*w � �=� ���k�(xz{Cx������gy���w}y1x�w}yO{¤{*��«|�xz{*w#{�vFw#¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy���h{�|�x£��xzy��#��~=w��}x��h�a�@�g�*x������D�t�(w����g|*w����qw��«xz�z�,�h~1~1�z�{�vFw �S�hyF�}¢����8��w}{�vF�k��{*�#�«|�xz{*w

Hxzy��

{�|�x���x��h���gy@�h�o���g|��>�1�1{8xzyF��{*w��g���h����{?�h|�{�xzy1��{�vFwGxz{*w}|?�h{�x��gyF�8�«xz{�v���|?�hyF�1�g����{?�h{*w����qw­�*vF�k���*w

|φ0〉 =O|ψ0〉

〈ψ0|O†O|ψ0〉.

¦ ��!�¬

´��gyF��x��1w}|B{�vFws���h{�|�x£�(z − H)

�hyF� {�vFw�x��1w}y�{�xz{f�(z − H)(z − H)−1 = I

�8�«vFw}|*wz =

ω+E0 + iε��utv1x���x��1w}yO{�xz{�����hy�(wD�1w����g��~(���*w��xzy�{�vFw �S�hyF�}¢����t�@�g�*x�� {|φn〉}

�k�«xz{�v |φ0〉�g�

��xz��w}yB�O� � �=� ��!���{*���g�1{?�hxzyo� ∑n(z − H)mn(z − H)−1np = δmp

��º@�g|«{�vFwC�*~=w��}x��h�o���g�*wp = 0

Page 15: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

n(z − H)mnxn = δm0���«vFw}|*w

xn = (z − H)−1n0

�eutv1x��#|*w}~1|*w��*w}yO{*�����*�k��{*w}� �h�.�zxzyFw��h|w����@�h{�x��gyF�����g|H{�vFw«�1y1²kyF���«y

xn�MutvFw8~@�h|�{�x��}�1���h|����g�*w«�h�

n = 0���g|�|*w��*~=�gyF�1�q{*� 〈φ0| 1

z−H|φ0〉

�«v1x��*vsx��C{�vFw �O�@�hy�{�xz{f���qw��«x���v�{*����{��F�����C�ew#���hys�*�g�z��w�{�vFw��*w­�zxzyFw��h|Gw����@�h{�x��gyF�C�F��xzy1��{�vFw´q|?�h��w}| � �8|��1��w��

x0 =detB0

det(z − H),

¦ � �� ¬

�«vFw}|*w��1{�vFwG���h{�|�x���w��D���hy��(w��«|�xz{�{*w}y�xzy�{�vFw {|φn〉}�@�g�*x��.�g���

z − H =

z − a0 −b1 0 0 · · ·

−b1 z − a1 −b2 0 · · ·

0 −b2 z − a2 −b3 · · ·

0 0 −b3 z − a3 · · ·��� ��� ��� ��� � � �

¦ � � ¬

�hyF�

B0 =

1 −b1 0 0 · · ·

0 z − a1 −b2 0 · · ·

0 −b2 z − a2 −b3 · · ·

0 0 −b3 z − a3 · · ·��� ��� ��� ��� � � �

.¦ � ��¬

utvFwB���kw����}x�w}yO{*�an

�hyF�bn�qw}|*w��1w�¹FyFw��°�=w����g|*w��«vFw}y°{�vFw �S�hyF�}¢�������w}{�vF���µ�t�g��xzyO{�|*�h 

���F��w��a�4utvFw��1w}{*w}|���xzy@�hyO{*�B�h�G{�vFw��*w����h{�|�x���w������hy]�(w�w��k~@�hyF�1w��_{*�e��xz��wdet(z − H) =

(z − a0) detD1 − b21 detD2���hyF�

detB0 = detD1���«vFw}|*wxzyµ��w}yFw}|?�h�«{�vFw���h{�|�x£�

Dnx��

�g�1{?�hxzyFw��µ�¨|*�g� � �=� � � �O�³|*w}�����kxzy1��{�vFw¹F|*��{ n |*���8��hyF�����g�z�1��yF���°utvFw}yo�qxz{����hy��=w��vF�¥�«y�{�v@�h{

x0 =1

z − a0 − b21det D2

det D1

.¦ � ��¬

utvFwG|?�h{�x����h���1w}{*w}|���xzy@�hyO{*�Dxzy�{�vFw¤�h�(����w¤w����@�h{�x��gy����hyB�(wGw���~@�hyF�1w���xzyB{��1|�y��g�

detD2

detD1=

1

z − a1 − b22det D3

det D2

¦ � ��¬

utv1x��t~1|*�k��w����1|*wC���hy��(wC|*w}~=w��h{*w���1yO{�xz�S�¤�¨�1�z�(���gy�{�xzyO�Fw����¨|?�g�}{�x��gy�x��t���gyF��{�|��F�}{*w��a�H©.w����h�z�zxzy1�{�vFw¤�1w�¹Fy1xz{�x��gy��h�,{�vFw¤��~(w��}{�|?�h�oxzy�{*w}yF��xz{f�

I(ω)��¹Fy@�h�z�z��xz{8���hy��(wG��vF���«y�{�v@�h{

I(ω) = − 1

π=

〈ψ0|O†O|ψ0〉ω−a0− b2

1

ω−a1−b22

ω−a2−...

.¦ � ��¬

Page 16: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

©.w����h�z�zxzy1��{�v@�h{z = ω + E0 + iε

�M�qw����hyµ�g�1{?�hxzy�{�vFw��~(w��}{�|?�h�H�¨�1yF�}{�x��gye���g|��hy����g�h�z�Fw�h�{�vFw��¨|*w��O�Fw}yF�}�

ω�hyF��{�vFw#�«x���{�v

ε�o�«xz{�v`�²�yF�¥�«��w�����w��h�t{�vFw#��|*�g�1yF�e��{?�h{*w�w}yFw}|����s�h��{�vFw

������{*w}���SutvFwt�gy1�z�¤²kyF���«y#�t���¤{*�C{*w���{,{�vFw����gy���w}|���w}yF��w«�h�F{�vFwt���gyO{�xzyO�Fw����¨|?�g�}{�x��gy�w��k~@�hyF�*x��gyx��«{*�#~1���g{8{�vFw­��~=w��}{�|?�h�(�¨�1yF�}{�x��gy��«xz{�v���~@�h|�{�x��}�1���h|

ε�F�hyF���g�F�*w}|���w¤{�v@�h{«{�vFwG|*w����1�z{*�«|*w}���hxzy

w��*�*w}y�{�x��h�z�z���1yF�*v@�hy1��w����«xz{�v��g�1��xz{�x��gy@�h�S~(�g��w����

� r�� �cHR�� �q\]RFLONfb�Vad.��R2THioLO\]VadfN �1V=W�NfiST»p�L�i ����� �`�sp���\]R1W�cHi �

���F�g�}{9��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy°�hyF� �S�hyF�}¢����­��w}{�vF�k�1�­¹F|����z�ew���{?�h�1�zx���vFw��`{�vFw�{�|*w}yF���h�.���g��~1�1{?�Z {�x��gy@�h�M�h~1~1|*���g�?vFw��C{*���1w��h�S�«xz{�v�{�vFw¤���g��~1��w��kxz{����h�H��{�|*�gy1���z�����g|�|*w}���h{*w���w}��w��}{�|*�gy1x��9�����1w}���¥�¸Cw}��w}|�{�vFw}��w��*���q{�vFw��zxz��xz{?�h{�x��gy_�h�G�����h�z�8�}�z�F��{*w}|���xz¢�w�����w�����w����s���1�F�*{?�hyO{�x��h�.�1�g�1�1{�xzy°�gyFw � ���xzyF�e�g�C{*��{�vFw��g�h�zx���xz{����h��{�vFw#|*w��*�1�z{*�C�¨�g|�|*w��h��������{*w}���Cxzy�{�vFw#{�vFw}|����k���ky@�h��x��#�zxz��xz{�� ��y~1|?�g�}{�x���w���{�vFw���~1xzy�  � ��¯Dw}x��?w}yO�(w}|������k�1w}�t���hy³�(w���x��h���gy@�h�zxz¢�w����gyµ�1~³{*���h�(�g�1{ �����*xz{*w���hyF��{�vFw�¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}�M�gy��1~�{*���h�(�g�1{ � � ��xz{*w����«utvFw9w��k~(�gyFw}yO{�x��h�z�z��xzyF�}|*w��g��xzy1�¯Dxz�z�(w}|�{��~@�g��w��«xz{�v�xzyF�}|*w��g�*xzy1��������{*w}� ��xz¢�w�x��­�hy��1~1v1xz�z���@�h{�{���w��hyF�e���gyO{?�hxzyF�­���h|���w}�z�sxzyF��xz��y1x£¹@���hyO{��{?�h{*w����g�H���h|��g�H{�vFw«�����±w}yFw}|����#~1|*�g~(w}|�{�x�w����h�(xzyO{*w}|*w���{t�h|*w8���gyF��w}|�yFw��a��utvFw}|*w����g|*w��k�G�*���h|�{*w}|�h�z���g|�xz{�v1� ���g�1����xzyO���g�z��w9�#���k�*{*w}���h{�x���{�|��1yF���h{�x��gy��*�?vFw}��w��H¯.x��*{*�g|�x����h�z�z���1{�vFwC¹F|*��{8���F����w��*�� �¨�1�S�h�z���g|�xz{�v1� {*�#xz��~1��w}��w}yO{C���F�*v���{�|��1yF���h{�x��gy����g�«{�vFw�y��1��w}|�x����h�S|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~¦¨¸C©«ª­¬��1w}��w}���g~=w������`�]xz���*�gy ��� � {*���*�g�z��w�{�vFw �.�gyF�1��~1|*�g�1��w}���°utvFw�x��1w��e�h�D{�vFw�¸C©8ª���g|C� �O�@�hy�{��1� ��w��?v@�hy1x����h�H¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy

Hx��.{*���g�1{?�hxzy�{�vFw9���hyO�� Q�(������w}xz��w}yF�*{?�h{*w����hyF�

w}xz��w}yO���h�z�Fw��C�gy��h�z�Sw}yFw}|����B�*���h��w��«xzy��#�*w����Fw}yF��w¤�h����{*w}~F�����«xz{�v�w��g�?v���{*w}~����g|�|*w��*~=�gyF��xzy1��{*�����x���{�xzyF�}{Cw}yFw}|������g|.��w}y1��{�v��*���h��w��tºF�g|����h�z�z�B{�vFw¤~1|*�k��w����1|*w¤xzy����g�z��w��D{�|?�g�}xzy1��g�1{.{�vFw­v1xz��vw}yFw}|�������{?�h{*w��D{*����xz��w�w �aw��}{�xz��w9¯��h��xz�z{*�gy1x��hyF�

HN�=�1w��*�}|�xz�1xzy1�{�vFw­~1v��k��x������h{D�*�F����w��*��xz��w}�z�

������w}|�w}yFw}|����9�?���h��w��ωN��utvFw�|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~�¦¨©8ª¤¬S{�|?�hyF�<���g|����h{�x��gy

R|*w}���h{*w��Hw �(w��� 

{�xz��w#¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyF�­�1w��*�}|�xz�1xzy1�B{�vFw�~1vO����x������gys�*�F����w��*��xz��w#w}yFw}|������*���h��w�� �HN+1 = R[HN ]

��D�z{�vF�g�1��v�{�vFw�x��1w���x�����{�|?�hxz��vO{<���g|����h|*�a�oxz{ � �Cw������g�}�s�g�G��{*�k�g��{*�����g��~1�1{*w�w���~=w}|�xz��w}y�{?�h�z�z�|*w}��w}���hyO{��O�@�hy�{�xz{�x�w����zx�w��Sxzy�{�vFwt�h�1xz�zxz{f�¤{*�DxzyO{*w}��|?�h{*w«�g�1{M{�vFw�yF�gy� fw��?�*w}yO{�x��h�1�1w}��|*w�w����h�1�·|*w�w��1�g��hyF�B{�v@�h{8{��1|�yF�.�g�1{8{*�#�=w¤����x ���}�1�z{8{?�g��²(�

utvFw �.�gyF�1�����k�1w}�q�1w��*�}|�xz�(w������������h�q���h��yFw}{�x�����g��w}yO{�¦·xz��~1�1|�xz{f�F¬¤w}�9�=w��1�1w��³xzyµ�hy�1yF���g|�|*w}���h{*w�����w}{?�h�H�hyF�sxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1���hyO{�x£��w}|�|*�g���h��yFw}{�x����h�z�z���«xz{�v�{�vFw#���gyF���F�}{�x��gy�w}��w��}{�|*�gy��~1xzy� f�1w}yF��xz{����h{«{�vFwGxz��~1�1|�xz{f��¦ ���g|D�#�1w}{?�hxz��w�����x��*�}�F�*��x��gy��h��~1vO����x����D�h�M{�v1x��.�����1w}�o��wG|*w���w}|

Page 17: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

{�vFwD|*w��g�1w}|�{*�9{�vFwD���gyF�g��|?�h~1vB�O��¯Cw}�8�*�gy ��� � ��utvFw.~1|*�g�1��w}� x���v1xz��v1�z��yF�gy� Q~(w}|�{��1|��@�h{�xz��w�xzy{�vFw«���g�1~1�zxzy1�

J�hyF�#{�vFwt������{*w}� �*v@�hy1��w�� �O�@�h�zxz{?�h{�xz��w}�z������w}|����hy���w}yFw}|����#�*���h��w��H�g�Mxz{�~@�g�*�*w��

{�v1|*�g�1��v��9�}|*���*�*����w}|«�(w}{f��w�w}y��9v1xz��v{*w}��~(w}|?�h{��1|*wC¹1�1w���~(�gxzyO{t�«xz{�v��qw}�z�o�1w�¹FyFw������h��yFw}{�x�����g��w}yO{�{*�e�sºFw}|���x8�zx ���1x��³¹1��w��µ~(�gxzyO{��h{�{*w}��~(w}|?�h{��1|*w����(w}�����>{�vFwB�}|*���*�?����w}|��*���h��w�� ��y�g|*�1w}|�{*�9�1w��*�}|�xz�(w«{�v1x����}|*���*�?����w}|�{�vFw«x��1w��Gx���{*�­�*w}~@�h|?�h{*wD�g�1{�{�vFw«���hy���w}yFw}|������*���h��w��Hxzy�{�vFw~1|*�g�1��w}���hyF��{*��*w}{C�1~s��~1|*����w����1|*w9���g|D{�|*w��h{�xzy1�Bw��g�?vs�?���h��w¤xzy�{��1|�yo�D�]xz���*�gy�� �DyO�1��w}|�x����h�©8ªj���g|«xz��~1�1|�xz{f�B���k�1w}���D�g�*v1x�w}��w��.{�v1x��8���B�����g�O�h|�xz{�v1��x��9��x��*�}|*w}{�xz¢¥�h{�x��gy��h��{�vFwG���gyF���F�}{�x��gy�@�hyF�µ�«xz{�v�xzyO{*w}|����h���

[Λ−(n+1),Λ−n]�hyF�

Λ > 1�hyF�°���}|��F�}x��h�.���h~1~1xzy1�e�h�D{�vFwB�g|�xz��xzy@�h�

��~1vFw}|�x����h�z�z�s���k����w}{�|�x�� �.�gyF�1�B~1|*�g�1��w}� �gyO{*�����gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h� �O�@�hy�{��1�����h{�{�x���w����k�1w}�Q�utvFwCxz��~1�1|�xz{f�x���|*w}~1|*w��*w}yO{*w��B����{�vFwD¹F|*��{t��xz{*w��1�hyF�{�vFwC�*~1vFw}|�x����h�z�z����k����w}{�|�x��C���g��w}yO{��1���vFw}�z�����O���g�z�����«xzy1���­���g�O�h|�xz{�v1��x��G��x��*�}|*w}{�xz¢¥�h{�x��gyB�h�S{�vFw����gyF���F�}{�x��gy�@�hyF�a�F�h|*wD|*w}~1|*w��*w}y�{*w����O��D�*w}��x£ Qxzy�¹Fy1xz{*w����h{�{�x���wq�«xz{�v��gy1�z�¤yFw��h|< QyFw}xz��v��=�g|�vF�g~1~1xzy1�F� ���g�?v����F����w��*��xz��w���xz{*wt�g�1�1w����h���gy1�{�vFw­�?v@�hxzy����g|�|*w��*~=�gyF�1�C{*���g�1��xzy1��������w}|�w}yFw}|������1w}��|*w�w����h���¨|*w�w��1�g���@��w��g���1|*w���|*w}���h{�xz��w9{*�{�vFw¤ºFw}|���xS��w}��w}�Q�

�.�¨{*w}|«{�vFw����h~1~1xzy1���gyO{*��� § ���@�hyO{��1� ���h{�{�x���w�~1|*�g�1��w}���F{�vFwG©8ª»~1|*�k��w����1|*wG~1|*����w�w��1��g�t���g�z�����8���

�8utvFw�¹F|*��{���{*w}~]x���{*�`�1|*w��h²°�1~]{�vFw § �*v@�hxzy xzyO{*�`¹Fy1xz{*w�x��1w}yO{�x����h���1�����?²k��¦¨�?�����.�h��*xz¢�w

L¬t�hyF���}|*w��h{*w�{�vFwG�1���k�*²�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy

HB���gy�{?�hxzy1xzy1��h�z�a{*w}|����8�h�

Hxzy����g�z��xzy1�

�gy1�z�³��xz{*w��#�«xz{�v1xzyB� ��y��¨�g|����h{�x��gy�|*w}�O�h|*��xzy1��{�vFw��1���k�*²`x�����{*�g|*w��³�O�µw}yO�1��w}|?�h{�xzy1�

{�vFw ���@�hyO{��1� y��1�­�(w}|*�¤�h�����hyO�� Q�(�������*{?�h{*w��G�gy�{�vFw��1���k�*²��hyF�����h{�|�x£�sw}��w}��w}yO{*�¤�h��g~(w}|?�h{*�g|*�q�=w}{��qw�w}y�{�vFw��*w8��{?�h{*w��¥���ow}{

m�(w«{�vFw8y��1�­�(w}|��h�S�*{?�h{*w��H²�w}~1{�xzyw��g�*v�1�����?²=�

��� ��y#{�vFwt�*w����gyF�#��{*w}~o�g�qwtx��*�g���h{*w�{��q�G���F�?v��1�����?²k���hyF�#�}|*w��h{*wt{�vFw�� ���1~=w}|��1���k�*² �g¯C�h��xz�z{*�h y1x��hy

HBB¦¨�h�=��xz¢�w

m2×m2 ¬a�«v1x��?v����g��~1|�x��*w����(�g{�v�xzy�{�|?�h�1�����?²#�hyF��xzy�{*w}|��1�����?²�{*w}|����¥���yB�g|*�1w}|8{*�#�1���*�1���gyFw�yFw�w��1�«{*�#��{*�g|*w

m×m|*w}~1|*w��*w}yO{?�h{�x��gyF�C�h�,{�vFwG�g~(w}|?�h{*�g|*�«yFw��h|

{�vFw­w�����w��.�h��{�vFw��1�����?²=�

���8¸Cw���{����qw¤��x��h���gy@�h�zxz¢�wHBB

�F�hyF���g�1{?�hxzy�{�vFwm�����qw��*{Dw}yFw}|����Bw}xz��w}yO��w��}{*�g|*�

uα �

�F�«�ew«�¨�g|��®���h{�|�x£��|*w}~1|*w��?w}yO{?�h{�x��gyF���h�({�vFw.w�����w8�g~=w}|?�h{*�g|*�����g|�{�vFw8���1~(w}|��1�����?²BB

�·|*�g�{�vFw­���g|�|*w���~=�gyF��xzy1�����h{�|�x���w��«���g|

B�

Page 18: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���«�ew³�*v@�hy1��wµ�@�g�*x���{*�]{�vFwuα �­²�w�w}~1xzy1�[�gy1�z�4{�vFw`������w���{ m ��{?�h{*w��¥�¤�F��xzy1�

HB′ =

OHBBO† ¦ O x����hy

m × m2 ���h{�|�x£���«xz{�v°{�vFw�|*���8�����g�1wB�1~°�h��{�vFwBw}xz��w}yO��w��}{*�g|*�

uα ¬���utvFwC� �h��w8{�|?�hyF�<���g|����h{�x��gyBx����F�?w���{*���g�1{?�hxzy�yFw}� �g~(w}|?�h{*�g|*�8�h{�{�vFwCw�����w����h�,{�vFw�*�1~=w}|��1���k�*²(� xzyF��w

O¦m×m2 ¬ax��MyF�g{H�D� �O�@�h|*wq���h{�|�x£�a��{�vFw�{�|?�hyF���¨�g|����h{�x��gy�{�|��1yF���h{*w��

�������Bv1xz��v�w}yFw}|����B��{?�h{*w����

���8ºMxzy@�h�z�z���a��w#|*w}~1���g��wB�«xz{�v

B′ �hyF������@�g�*²�{*����{*w}~ �����g|�{�vFw�yFw��k{�xz{*w}|?�h{�x��gyo��utvFwxz{*w}|?�h{�xz��w9~1|*�k��w����1|*w¤x��8���gy�{�xzyO�Fw����1yO{�xz�,{�vFw­������{*w}�>x��8���h|���w9w}yF�g�1��v�{*��|*w}~1|*w��?w}yO{C{�vFw~1|*�g~(w}|�{�x�w��.�h��{�vFwGxzy�¹Fy1xz{*w¤�*�k��{*w}���

�D�z{�vF�g�1��v��]xz���*�gy�� �D�h~1~1|*���g�?v�{*��{�vFw �.�gyF�1��~1|*�g�1��w}� x��«��w}|��B��xz��xz���h|8{*��{�vFw­�h�z���g|�xz{�v1��1w��*�}|�xz�(w��`�h�(����w���{�vFw}|*w�x��­�gyFw�xz��~=�g|�{?�hy�{#��x��aw}|*w}yF��w���©C�h{�vFw}|9{�v@�hy³�1�g�1�1�zxzy1��{�vFw������{*w}���xz¢�w#�«xz{�vew��g�?vexz{*w}|?�h{�x��gyo�M���*xzy1����w���xz{*w#x��­�g�1�1w��s{*��{�vFw��1���k�*²��h{­�{�xz��w���utvFw���xz¢�w��h�t{�vFw���1~(w}|��1�����?²�x��

nm¦·|?�h{�vFw}|.{�v@�hy

m2 ¬�� n �=w}xzy1��{�vFw�y��1�­�(w}|D�h���1w}��|*w�w��.�h�M�·|*w�w��1�g� ~=w}|8��xz{*w��utv1x��.�h�z���¥�8�8���g|«²�w�w}~1xzy1���#�9�F�*v����h|���w}|.yO�1�­�(w}|D�h����{?�h{*w��«~(w}|«�1���k�*²(�

º@�g|��³��w}yFw}|�x�� § ���h{�{�x���we���k�1w}�Q�C{�vFwsyFw}����w��}{��h�9{�vFwev1xz��vFw}|�w}yFw}|����[��{?�h{*w����h{�w��g�*vxz{*w}|?�h{�x��gy9�*{*w}~­�1��w��SyF�g{o���@�h|?�hyO{*w�wq{�v@�h{oxz{o�«xz�z�OyF�g{S��w��g�G{*�«xzy@�g���}�1|?�g�}�Gxzy­{�vFw������³w}yFw}|����G~@�h|�{�h�q{�vFw#��~(w��}{�|��1� ���h���}�@�h{*w���xzy����1�F�*w����Fw}yO{�xz{*w}|?�h{�x��gyF����¯D�¥�qw}��w}|��axzys{�vFw �D�gyF�1���hyF���g{�vFw}|���@�hyO{��1��xz��~1�1|�xz{f�����k�1w}�����2{�vFw9�g�1��xz{�x��gy��h���hy�w}yFw}|������*vFw}�z�,x��C��~(w}|�{��1|��@�h{�x��gy��h�H|*w}���h{�xz��w��{�|*w}y1��{�v

Λ−1/2 < 1�hyF�{�vFw����g�1~1�zxzy1���(w}{f�qw�w}y��*�F����w��*��xz��w�����xz{*w����.�1w��}|*w��g�*w��«w���~(�gyFw}yO{�x��h�z�z���

��{Gx��G{*�B�(w#yF�g{*w��evFw}|*w�{�v@�h{¤{�vFw�~=w}|�{��1|��@�h{�x��gy`x��GxzyF�1w}~=w}yF�1w}y�{��h�t{�vFw���xz¢�w��h��{�vFw�|��1y1y1xzy1����g�1~1�zxzy1������utv��F���O���Fw.{*�G{�vFw«xzyO{�|�xzyF�*x��.�*w}~@�h|?�h{�x��gy�h�={�vFw8w}yFw}|������*���h��w����hyF��{�vFw«���g�O�h|�xz{�v1��x����x��*�}|*w}{�xz¢¥�h{�x��gy��h�M{�vFw¤���gyF���F�}{�x��gy��@�hyF�a�1�]xz���*�gy�� �8©8ª»�q�g|�²��8��w}�z�a���g|«xz��~1�1|�xz{f�B���k�1w}�����

� r�� �VaNfd �HL�R³ion­�`�sp n<ioL � � �8V=WgW�N�b�R³\]i �HR2dfXkl� �L�RFR���V(L�W�N�b1dQR�i,TjV]bOc�V(N�T

ºF�g�z���¥�«xzy1��{�vFwC���F����w��*���h�S¸C©«ª �g���h~1~1�zx�w��{*�­{�vFw �D�gyF�1�­~1|*�g�1��w}���F�h{�{*w}��~1{*���qw}|*wD���g�1wD{*��F�*w#{�vFw#{*w��?v1y1x �O�Fw�{*�B��{��F���s�y��1�­�(w}|9�h� �O�@�hy�{��1� ���h{�{�x���w����k�1w}���¤���F�?v��g�G{�vFw�¯.�1�1�@�h|*��hyF��¯Cw}x��*w}yO�(w}|������k�1w}���«xzy��gyFw¤��xz��w}yF��x��gyo� ���1{«xz{«���g�.�g�F�?w}|���w��B{�v@�h{8{�vFwG��w}{�vF�k�B~1|*����w��{*��=w9|?�h{�vFw}|��1y1|*w}�zx��h�1��w�w}��w}y��¨�g|G����g��~1�1{?�h{�x��gye�h�q��{?�h{�x���~1|*�g~=w}|�{�x�w��G�*�F�*ve�g�C{�vFw9��|*�g�1yF���{?�h{*wqw}yFw}|������,utv1x��,|*w����1�z{S�t�g�SyF�g{,���g��~1��w}{*w}�z�¤�1y@�hyO{�x��}xz~@�h{*w����(w����h�F�*w��h�@�8�}|��F�}x��h�k��x��(w}|*w}yF��w�(w}{f�qw�w}y�{�vFw �.�gyF�1��~1|*�g�1��w}�!�hyF� § �O�@�hy�{��1�®���h{�{�x���wt���k�1w}�����,utvFw«�?�g�z�1{�x��gy��h�2{�vFw �.�gyF�1�

Page 19: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

!

~1|*�g�1��w}� |*w}�zx�w��#�gyµ��{�|�x��*²`�«vFw}|*w}�O��{�vFw¯��h��xz�z{*�gy1x��hyµ���hyµ�(w�~1�1{#xzyO{*�s����~=w��}x��h�q���g|����H��*v@�hxzy��«xz{�v�{�vFwGxz��~1�1|�xz{����h{.�gyFw¤w}yF���hyF���hy�w��k~(�gyFw}yO{�x��h�z�z���1w��}|*w��g�*xzy1��vF�g~1~1xzy1��h���gy1��{�vFw�*v@�hxzyo� �Dy±{�vFw��g{�vFw}|�v@�hyF�a�txzy]{�vFw����g�*w��h� § �O�@�hy�{��1� ���h{�{�x���w����k�1w}�����t{�vFw����g�1~1�zxzy1�|*w}���hxzyF�«���gyF��{?�hy�{«�=w}{��qw�w}y��g� �*�g��w}yO{8��xz{*w��«�h�z�o�h���gy1�#{�vFwG������{*w}��� �.yF�g{�vFw}|t������{*���kx�w}� {�vFw��x ���}�1�z{f�s�«xz{�v�¸C©«ª!x���xzys{*w}|����¤�h���=�g�1yF�F�h|������gyF��xz{�x��gyF��� �t{­�hyO���*{?�h��w#xzy�{�vFw#xz{*w}|?�h{�x��gy~1|*�k��w����1|*w���{�vFwD���¥�qw���{.�z��xzy1����{?�h{*w���{�v@�h{.�h|*wC²�w}~1{tv@����w�xzy@�h~1~1|*�g~1|�x��h{*w���w��h{��1|*w��8�h{t{�vFwCw}yF�1��h�H{�vFw��1�����?²=�2�(w����h�F�*w­{�vFw��1���k�*²�v@�g�DyF�����gy1yFw��}{�x��gyF��{*��{�vFw9|*w���{��h�H{�vFw­���h{�{�x���w���utvFw��(w���{�����e{*���h~1~1|*w��}x��h{*w�{�vFw�xzy@�g�1w����@�g�}���h�«{�vFw�¸C©8ª x��1w��B�¨�g| �O�@�hy�{��1� ���h{�{�x���w������{*w}���¤x��­{*����gyF��x��1w}|�xz{*�H�h~1~1�zx����h{�x��gy�{*��{�vFwt���g�*w«�h�a�.�·|*w�w�~@�h|�{�x��}��w8�gy��C�*v@�hxzyo��utvFw«¯��h��xz�z{*�gy1x��hy��}��w��h|��z��*���h��w����g�¤{�vFw��*xz¢�w��h�«{�vFw��*v@�hxzy

L|?�h{�vFw}|9{�v@�hy`�hy`w���~=�gyFw}y�{�x��h�q�h�

L�g�¤xzy`�hy`xzyO{*w}|?�g�}{�xzy1�

������{*w}��� ��{��t�g���g�F�*w}|���w��³{�v@�h{�¸D©8ª �1�kw��9~(�k�g|��z�exzy����g��~1�1{�xzy1��w}��w}yµ{�vFw���|*�g�1yF���*{?�h{*ww}yFw}|����4�g���*�k�gy4�g�B{�vFw�yO�1�9�=w}|��h�#�*{?�h{*w��B~=w}|B�1���k�*²

mx��B��w��*�B{�v@�hy

L� �f{Bx���w��g���_{*�

�1yF�1w}|*��{?�hyF�]�«vO���jutvFw�w}xz��w}y��¨�1yF�}{�x��gy[�h�9��~@�h|�{�x��}��w��gy ���*v@�hxzy[�h�¤��w}y1��{�vL�«xz{�v_¹1��w��

�(�g�1yF�F�h|��e���gyF��xz{�x��gyF�­���hy1x���vFw��9�h{­�=�g{�v³w}yF�1��� �f�«�gyFw�xz���h��xzyFw��#�B������{*w}� �h�8��xz¢�wL{*�B�=w

���gyF��{�xz{��1{*w����h�.{��q�s�1���k�*²����h{��hyµw��h|��zx�w}|���{?�h��wxzyµ{�vFw�¸D©8ª xz{*w}|?�h{�x��gyo��w��g�*v��h�C��xz¢�wL/2

�{�vFw���|*�g�1yF�³��{?�h{*w����h�8{�vFw�{��q���1�����?²k�9v@����w�yF���1w��#�h{­{�vFw}xz|#w}yF�1����´q��w��h|��z�`�����g�­�1xzy@�h{�x��gy�h�t{�vFw���|*�g�1yF�e��{?�h{*w��9�h��{��q���1�����?²k�­�h�«�*xz¢�w

L/2���hy1yF�g{­|*w}~1|*�k���F��w��¹Fy1xz{*w��g�h�z�Fw��h{

L/2

���g|8{�vFw¤��|*�g�1yF����{?�h{*w¤w}xz��w}y��¨�1yF�}{�x��gy��h��{�vFw¤�·�1�z�,���k�*{*w}� �h�H��xz¢�wL�g�.�1w}~1x��}{*w���xzy�{�vFwG¹F���1|*w

�(w}�����¤�eutv��F����{�|*w��h{���w}y�{��h�.{�vFw�(�g�1yF�F�h|�x�w����h�.{�vFw�1�����?²�x��#�}|��F�}x��h�«xzy³�¨�g|��9�1���h{�xzy1���hy�g���}�1|?�h{*w�©8ªK~1|*����w����1|*w��G�]v1xz{*w��hyF��¸C���g�*²���� � �¨�g|��9�1���h{*w��s{f�q��{���~(w����h�q©8ªK~1|*����w����1|*w���«v1x��*v��*�g�z��w{�vFw��*w�~1|*�g�1��w}���#xzy³{�vFw�yF�gy� Qxzy�{*w}|?�g�}{�xzy1�����g�*w��sutvFw�¹F|*��{9~1|*�k��w����1|*wx��9���h�z��w�����g�­�1xzy@�h{�x��gy��h�2�(�g�1yF�F�h|������gyF��xz{�x��gyF�D¦Q´ �8´«¬M�«vFw}|*w}xzy�{�vFwtyFw}�±{�|��1yF���h{*w����@�g��x���x������g�1w8�1~�h�������4�z�kxzy1��w}xz��w}yF��{?�h{*w��.�h���*w}��w}|?�h�S��x��aw}|*w}yO{.�1�����?²�¯��h��xz�z{*�gy1x��hyF�8�«xz{�v���x��(w}|�xzy1���(�g�1yF�F�h|�����gyF��xz{�x��gyF��¦ ���g|�w��1�h��~1��w���¹1�1w��°�hyF�³�·|*w�w��q�g|�~=w}|�x��k��x��B�hyF�°�hyO{�x£ Q~(w}|�x���x��¥¬�� �.�z{�vF�g�1��v�{�v1x��~1|*�k��w����1|*wq���g|�²k����w}|��9�qw}�z���O����xz�­�1���h{�xzy1�­�C�������}x�w}y�{��z�­��w}yFw}|?�h�F�*w}{��h�@�(�g�1yF�F�h|��9���gyF��xz{�x��gyF����g|9{�vFw��1�����?²k�¥��xz{­x��#��x ���}�1�z{#{*�����gyF��w}xz��wB����w}yFw}|?�h�zxz¢¥�h{�x��gy�{*��xzy�{*w}|?�g�}{�xzy1�e¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyF���ºF�g|tw��1�h��~1��w���{�vFwD���hyO�� Q�(�������t����w��¨�1yF�}{�x��gy��¨�g|«�¤�*�k��{*w}� �h�oyF�gy� QxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1���¨w}|���x��gyF��x��t� ���h{*w}|q�1w}{*w}|���xzy@�hy�{��h�({�vFw.�*xzy1����w«~@�h|�{�x��}��w8�t����w��¨�1yF�}{�x��gyF���h�({�vFw8xzyF��xz�kx����@�h�@~@�h|�{�x��}��w��¥� �g��w�h�@{�vFw��*wq~@�h|�{�x��}��w��������­v@����w�yF���1w����hyF���*�g��w��g{�vFw}|*�������¤v@����wt�hy�{�xzyF���1w��H�h{M{�vFwq�=�g�1yF�F�h|�x�w���h�o���1�����?²=�H´q��w��h|��z����¹FyF��xzy1�9��x��aw}|�xzy1�­�*w}{*�H�h�(�=�g�1yF�F�h|������gyF��xz{�x��gyF�q�«v1x��*v�~1|*�����F��w8��x��aw}|*w}yO{

Page 20: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��

ψψ ψ(L/2) (L/2)

(L)

KinkºMxz���1|*w � �HuS��|*w}������w¤{�vFw�²kxzy1²(�1�gyFwGyFw�w��1�8{*�#²�w�w}~��h�z�����*{D�h�z�a{�vFw¤��{?�h{*w��«xzy�w��g�*v��1���k�*²

�(w}v@���kx��g|«�¨�g|8��x��aw}|*w}yO{D~@�h|�{�x��}��w��8x��«��w}|�����x ���}�1�z{��

�Dy��h�z{*w}|�y@�h{�xz��w9~1|*����w����1|*w­x��8{*����x��h���gy@�h�zxz¢�w#�#���h|���w}|C���k�*{*w}�>{�v@�hy�{�v@�h{D���gy�{?�hxzyFw���xzy���1���k�*²(�HutvFw�{�|��1yF���h{*w����@�g��x������g|«{�vFw��1���k�*²�x��t{�vFw}y��*vF���?w}y��O�~1|*� �<w��}{�xzy1��{�vFwG������w��·�1yF�}{�x��gy�h�D{�vFw����1~(w}|��1���k�*²`�gy�{*�s{�vFw����k�*{*w}� �1���k�*²(�eutv1x��#~1|*� ��w��}{�x��gy�x��#w��k~(w��}{*w��µ{*��~1|*���kx��1w�{�vFw���gyF��xz{�x��gyF�G�h{.{�vFw­�=�g�1yF�F�h|�x�w��C{�v@�h{C{�vFw¤{�|?�hyF�<���g|���w����1���k�*²��D�q�g�1�����*w�w9�g�.~@�h|�{C�h�������h|���w}|������{*w}���a�«v1x��?vex���{�vFw��gyFw��h�txzyO{*w}|*w���{���utv1x��G~1|*�k��w����1|*w�x��G���h�z��w���{�vFw��*�1~=w}|��1���k�*²���w}{�vF���a��D�z{�vF�g�1��v�{�vFw­�Z���g|*w}��w}yO{�x��gyFw���~1|*� �<w��}{�x��gy�x��8��xzy1����w� Q���h�z�Fw���xzy�{�vFw¤yF�gy� QxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1�B������{*w}���xz{G�(w����g��w����­�1�z{�xz���h�z�Fw������g|C{�vFw#xzy�{*w}|?�g�}{�xzy1�����g�*w���utvFw�§�w}yF��xz{f�s¡��h{�|�x£�s©.w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gyªC|*�g�1~�~1|*�g~=���*w����O� � ©­�F�_v1xz{*w ����� ! � �F�«v1x��?v���w­��x��*�}�F�*�.xzy�{�vFwGyFw���{D�*w��}{�x��gyo�@x��«�@�g�*w����gy�*vF�k����xzy1���hy��g~1{�xz���h�o�������h�����h|�|��kxzy1���g�1{8{�v1x��«~1|*� ��w��}{�x��gyo�

� r�� �cHR���R@TqXhNQW�J �>V=W�LON��j��R2THioLO\]VadfN �1V=W�NfiST¶p�L�i ��� � � �>�sp��\]R1W�cHi �

utvFwt§�¡�©8ª �h�z���g|�xz{�v1�K�h�z�����8���¨�g|��C���k�*{*w}���h{�x��q{�|��1yF���h{�x��gy��h�={�vFwt¯.xz�z�(w}|�{���~@�g��w��O�­²�w�w}~1xzy1�{�vFw¤�����*{.~1|*�g�@�h�1��w���{?�h{*w��.�h�����*�1�F���k�*{*w}� |*w��O�1xz|*w���{*���g���}�1|?�h{*w}�z���1w��?�}|�xz�=w����*w}{.�h�H��{?�h{*w��¦·�F���@�h�z�z��� � �F��{�{�vFw#��|*�g�1yF����{?�h{*w¥¬G�h�q{�vFw��¨�1�z���*�k��{*w}��¦ ���g|¤�|*w}��x�w}� ��w�|*w���w}|C{�vFw#|*w��g�1w}|­{*�{�vFw��(���g² � �� � ¬��Hutv1x��8��vF�g�1�����(wG���gyO{�|?�g�*{*w����«xz{�vB{�vFw¤¸C©8ªj��w}{�vF���B�«vFw}|*w � �F��{t{�vFwG���¥�qw���{w}yFw}|����s��{?�h{*w��¤�h�q{�vFw����1�F������{*w}���h|*w#²�w}~1{���utvFw#�F�*w��h��{�vFw��1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£��{*�B�?vF�����*w�{�vFw

Page 21: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��{?�h{*w��«{*��²�w�w}~����hyB�=w �<�F��{�x£¹@w����g�«�¨�g�z���¥�8���

´��gyF�*x��1w}|��hy°x��*�g���h{*w��µ¹Fy1xz{*w��1�����?²��h{#¹Fy1xz{*w�{*w}��~=w}|?�h{��1|*w��_utvFwB~1|*�g�@�h�1xz�zxz{f��{�v@�h{�{�vFw�1���k�*²�x���xzy��hyew}xz��w}yF�*{?�h{*w

α�h�q{�vFw#�1���k�*²s¯��h��xz�z{*�gy1x��hy

HBx���~1|*�g~(�g|�{�x��gy@�h�H{*��{�vFw �t�g�z{�¢} 

���hy1y�qw}xz��vO{exp(−βEα)

��utvFw �t�g�z{�¢����hy1y��w}xz��vO{tx��q�hy�w}xz��w}yO���h�z�FwC�h�o{�vFw.�1w}yF��xz{������h{�|�x£�

exp(−βHB)�o�hyF���hy�w}xz��w}yF��{?�h{*w#�h�q{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy�x��¤�h���?��hy�w}xz��w}yF��{?�h{*w#�h�q{�vFw#�1w}yF��xz{��

���h{�|�x£�a� xzyF��wq������w���{Hw}yFw}|����­���g|�|*w���~(�gyF�1��{*�Dv1xz��vFw���{,~1|*�g�@�h�1xz�zxz{��9xzy�{�vFw �t�g�z{�¢����hy1y���w}xz��vO{��{�vFw�¸D©8ª»�h~1~1|*���g�*v��h���g�1yO{*�«{*�#�*vF�k����xzy1�#{�vFwC������{t~1|*�g�@�h�1��wGw}xz��w}yF��{?�h{*w��«{*��|*w}~1|*w��*w}y�{«{�vFw�1���k�*²s�1yF�1w}|¤{�vFw��g�*���1��~1{�x��gy�{�v@�h{¤{�vFw��1���k�*²�x��Gx��*�g���h{*w��a��¯C����w}��w}|��,{�vFw#�1���k�*²sx��������.x��?�h ���h{*w��#�¨|*�g� {�vFwt|*w���{H�h�({�vFw«���k�*{*w}�����1�1{Hx���xzy#�Q�g�}{H��{�|*�gy1���z�����g�1~1��w���{*��xz{���utvFwt�1�����?²#�1w}yF�*xz{f����h{�|�x£��x��.yF�����gy1��w}|

exp(−βHB)�hyF��vFw}yF��w��2{�vFw9w}xz��w}yF��{?�h{*w����h��{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy��h|*w­yF�g{

w}xz��w}yF��{?�h{*w��q�h�={�vFwt�1���k�*² � ���1w}yF��xz{��#���h{�|�x£�(� ��xz{Hx������g|*w.�h~1~1|*�g~1|�x��h{*w.{*�¤�1w��*�}|�xz�(wt{�vFw«�1���k�*²�F��xzy1��{�vFwG�1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�B|?�h{�vFw}|8{�v@�hy�{�vFw¤w}xz��w}yF��{?�h{*w��D�h�M{�vFw��1���k�*²B¯��h��xz�z{*�gy1x��hyo�

��yF���g|�~(�g|?�h{�xzy1�9{�vFwD�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£��x��1w��­��x��*�}�F�*�*w����h�(����wDxzyO{*���Gy��1��w}|�x����h�2|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�Z {�x��gy���|*�g�1~��h�z���g|�xz{�v1�!xzy����g�z��w��«�C�·�1yF�F�h��w}y�{?�h�a�1w}~@�h|�{��1|*w8�¨|*�g�®{�vFw.¸C©8ª4�h~1~1|*���g�?vo� �ow}{��F����gyF��x��1w}|.� �O�@�hy�{��1�>��w��*v@�hy1x����h�S�*�k��{*w}� xzy��9�1w�¹Fy1xz{*w�~1�1|*wG��{?�h{*w��1�hyF�����k�g²��h{t{�vFw�~1|*�g~(w}|< {�x�w����h����~@�h|�{C�h�q{�vFw��*�k��{*w}���C�ew����h�(w}�,{�vFw#w}yO{�xz|*w#������{*w}� �g�C{�vFw � �*�1~=w}|��1���k�*² �z�GutvFw�~@�h|�{{�v@�h{¤��w��h|*w#xzyO{*w}|*w���{*w���xzye���gyF��{�|��F�}{�xzy1���{�|��1yF���h{*w����@�g��x������g|��«xz�z�H�=w����h�z��w��e{�vFw � ������{*w}��1���k�*² �k�hyF�{�vFwD|*w}���hxzyF�1w}|t�h�,{�vFwD������{*w}�:{�vFw � w}y���xz|*�gy1��w}y�{8�1���k�*² �z���ow}{ |i〉 ���h�(w}�2{�vFwC��{?�h{*w���h��{�vFw#������{*w}���1�����?²=�o�hyF� |j〉 ���h�=w}��{�vFw#��{?�h{*w����h��{�vFw#w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{­�1�����?²=�=xQ� w��z�({�vFw�|*w���{G�h�{�vFw¤���1~(w}|��1���k�*²(� �Q� |ψ〉 x��.�#��{?�h{*w­�h�M{�vFwG���1~(w}|��1���k�*²(�

|ψ〉 =∑

i,j

ψij |i〉 ⊗ |j〉 , ¦ � ��¬

utvFwG|*w����F��w����1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£���¨�g|«{�vFw¤�*�k��{*w}�>�1���k�*²x��8�1w�¹FyFw����g�

ρii′ =∑

j

ψij∗ψi′j

¦ � ��¬

���eyF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gyo�Trρ = 1

�eutvFwB�1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�����gyO{?�hxzyF���h�z��{�vFwxzy����g|����h{�x��gy�yFw�w��1w���¨|*�g� {�vFw��t����w��¨�1yF�}{�x��gy

ψ{*�����h���}�1���h{*w�hy���~1|*�g~=w}|�{��e|*w���{�|�x��}{*w���{*��{�vFw���k�*{*w}���1�����?²=� �f�

�g~(w}|?�h{*�g|A�g�}{*�D�gy1�z��gy�{�vFwG�*�k��{*w}�>�1���k�*²(�1{�vFw}y

〈A〉 =∑

ii′

Aii′ρii′ = TrρA¦ � ��¬

Page 22: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��yB{*w}|����.�h��{�vFwGw}xz��w}yO���h�z�Fw��wα ≥ 0

�hyF�B{�vFw­w}xz��w}yO��w��}{*�g|*�uα �h��{�vFwG�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£�a�

〈A〉 =∑

α

wα〈uα|A|uα〉. ¦ � !�¬

�f�=���g|��¤~@�h|�{�x��}�1���h|α�wα ≈ 0

�O��w.���h²�wDyF�­w}|�|*�g|�xzy 〈A〉 �O���g|��hy�� A ��x£�o�qwC��x��*���h|*� uα �Mutv1x��y@�h{��1|?�h�z�z�B���1����w���{*�.��|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~�~1|*�k��w����1|*w��

��ys~@�h|�{�x��}�1���h|Gxz{G���hy��=w#��vF�¥�«y�~1|*w��}x��?w}�z��{�v@�h{�²�w�w}~1xzy1��{�vFw�������{�~1|*�g�@�h�1��w�w}xz��w}yF��{?�h{*w���h�9{�vFws�1w}yF��xz{��_���h{�|�x£� ��xz��w����F��{�vFw�������{��g���}�1|?�h{*ws|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�x��gy �h�9{�vFw���{?�h{*ws�h��{�vFw���1~(w}|��1�����?²=��xQ� w��z�k{�vFwG������{*w}�:�1�����?²�~1�z�F�t{�vFw�w}y���xz|*�gy1��w}y�{.�1���k�*²(���ew��«x���v�{*�����gyF�*{�|��F�}{.�hy�g���}�1|?�h{*w­w���~@�hyF��x��gy����g|D�#��{?�h{*w |ψ〉 �h�M{�vFwC���g|��

|ψ〉 ≈ |ψ〉 =∑

α,j

aα,juα |j〉 ¦ ��� � ¬

�«xz{�vα = 1, ...,m

���h�=w}�zxzy1��{�vFw¤{�|��1yF���h{*w�����{?�h{*w����hyF�m��w��*�.{�v@�hy�{�vFw9�g�}{��@�h�,yO�1�9�=w}|

l�h�

������{*w}�>�1���k�*²���{?�h{*w����HutvFw¤w}|�|*�g|��

S = ||ψ〉 − |ψ〉|2 ¦ ��� ¬

x���{*�­�(wD��xzy1xz��xz¢�w����O�����h|��kxzy1���¥��w}|«�h�z�aα,j

�hyF�uα �����1� �<w��}{�{*� 〈uα|uα′〉 = δαα′

��§Cw�¹Fy1xzy1�

vαj = 〈j|vα〉 = Nαaα,j

���«xz{�vNα

�*vF���?w}y�{*���*w}{ ∑

j |vαj |2 = 1

�1{�vFwGw}|�|*�g|.�=w����g��w����

S =∑

ij

(ψij −m

α=1

aαuαi v

αj )2

¦ ������¬

utv1x��Cw}|�|*�g|.v@�g�8{*���=w¤��xzy1xz��xz¢�w����¥��w}|C�h�z�uα � vα �=�hyF� aα

�F��xz��w}y�{�vFw9��~(w��}x£¹@w������h�z�Fw¤�h�m�

utvFw��?�g�z�1{�x��gy�{*�B{�v1x��­��xzy1xz��xz¢¥�h{�x��gy`~1|*�g�1��w}� ���hye�(w��g�1{?�hxzyFw������s�F��xzy1���B�*xzy1���1���h|­���h�z�Fw�1w����g��~(����xz{�x��gy��h� |ψ〉 �

ψ = UDV T ¦ ������¬

�«vFw}|*wU�hyF�

D�h|*w

l× l���h{�|�x���w����

Vx��«�hy

l× J���h{�|�x£�a���«xz{�v

J�1w}yF�g{�xzy1��{�vFwDy��1�­�(w}|.�h�

��{?�h{*w���xzy�{�vFw8w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{t�1���k�*²(��¯Dw}|*wUx����g|�{�vF�g���gy@�h�Q�

Vx��H���g�z�1��y� f�g|�{�vF�g���gy@�h�Q�F�hyF��{�vFw

��x��h���gy@�h�����h{�|�x£�D���gyO{?�hxzyF��{�vFw���xzy1���1���h|D���h�z�Fw��C�h�

ψ�8�]xz{�v�{�v1x��C�1w����g��~(����xz{�x��gys{�vFw

uα �

vα �,�hyF� aα�«v1x��?ve��xzy1xz��xz¢�w

S�h|*w���xz��w}y`�g�����g�z�����8���G{�vFw

m���h|���w��*{¤���h��y1xz{��F�1w���x��h���gy@�h�

w}��w}��w}yO{*�­�h�D�h|*w#{�vFw

aα�o�hyF��{�vFw����g|�|*w���~(�gyF��xzy1�����g�z�1��yF�G�h�

U�hyF�

V�h|*w9{�vFw

uα �hyF�

vα �

Page 23: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

utvFw¤|*w����F��w����1w}yF��xz{f�����h{�|�x£���g�8�1w�¹FyFw���w��h|��zx�w}|C���hyB�=w��«|�xz{�{*w}ys�g�

ρ = UD2UT ,¦ ��� ��¬

xQ� w��z�U��x��h���gy@�h�zxz¢�w��

ρ�tutvFw­w}xz��w}y��g�h�z�Fw����h�

ρ�h|*w

wα = a2α

�hyF��{�vFw9�g~1{�xz���h�M�*{?�h{*w��uα �h|*w

{�vFw¤w}xz��w}yF��{?�h{*w��.�h�ρ�«xz{�v�{�vFw����h|���w���{.w}xz��w}yO���h�z�Fw���� ���g�*v

wα|*w}~1|*w��*w}yO{*�.{�vFwG~1|*�g�@�h�1xz�zxz{f���h�

{�vFwt�1���k�*²��=w}xzy1�Gxzy�{�vFw«��{?�h{*wuα ���«xz{�v ∑

α wα = 1�MutvFw8�1w}�kx��h{�x��gy��h� ∑m

α=1 wα�¨|*�g� �1y1xz{f���

xQ� w��z�2{�vFw � ��x��*���h|*�1w����qw}xz��v�{ �=�h�H{�vFw9�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£��w}xz��w}yO���h�z�Fw����=��w��g���1|*w��.{�vFw#�g���}�1|?�g�}���h�{�vFwG{�|��1yF���h{�x��gy�{*�

m�*{?�h{*w����

u,�����1�����h|�xz¢�w��M�«vFw}y`{�vFw����1~(w}|��1�����?²sx��¤xzy³�B~1�1|*w���{?�h{*w��,{�vFw��g~1{�xz���h����{?�h{*w��¤{*��²�w�w}~�h|*w�{�vFw

m������{��*xz��y1x£¹@���hyO{�w}xz��w}yF��{?�h{*w����h��{�vFw�|*w����F��w��[�1w}yF��xz{f�]���h{�|�x£� �h�9{�vFw����k�*{*w}�

�1���k�*²(���g�1{?�hxzyFw����¨|*�g�!{�vFwD������w��·�1yF�}{�x��gy��h�o{�vFwC���1~(w}|��1�����?²=��utvFwC���gyF�}�z�F��x��gy�x��H���g�1yF��{*�¤�(wx��1w}yO{�x����h�ow}��w}y��«vFw}y�{�vFw����1~(w}|��1�����?²�x���xzy��9��x£�1w�����{?�h{*w��1�g�qx���{�vFwCy@�h{��1|?�h�o�g�*���1��~1{�x��gy���g|�#������{*w}� �h{«¹Fy1xz{*wG{*w}��~(w}|?�h{��1|*w��

utvFw9w �(w��}{�xz��w}yFw��?�D�h��{�vFw¤{�|��1yF���h{�x��gys�h��{�vFw­¯Dxz�z�=w}|�{C��~@�g��w­�h��{�vFw9���k�*{*w}� �1�����?²���x���{�vFw�1w}yF��xz{������h{�|�x£���1w}~=w}yF�1�G�}|��F�}x��h�z�z���gy�{�vFw#��x���{�|�xz�1�1{�x��gy`�h��{�vFw#�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£��w}xz��w}y��g�h�z�Fw��

wα��ºF�g|#��w}|�{?�hxzy�w��1�g�}{��z�e�?�g�z�g�h�1��w������{*w}�����,xz{9x��9~=���?��xz�1��w�{*����vF���:{�v@�h{�{�vFw���x���{�|�xz�1�1{�x��gy

�h�«{�vFw��1w}yF��xz{������h{�|�x£��w}xz��w}yO���h�z�Fw��9�1w������k��w��k~(�gyFw}yO{�x��h�z�z��� ��{¤x��¤��w}yFw}|?�h�z�z�s���g�1yF��{�v@�h{9{�vFw���gyO��w}|���w}yF��wG�h�a{�vFwC��x��*���h|*�1w����qw}xz��vO{¤¦��hyF��{�vO�F��{�vFw8��|*�g�1yF���{?�h{*wCw}yFw}|����1¬q�g�q�¤�¨�1yF�}{�x��gy�h�

m�¨�g|«~(w}|�x�����x����(�g�1yF�F�h|������gyF��xz{�x��gyF�8x��«�9�F�*v������¥�qw}|D{�v@�hy��¨�g|8�g~(w}yB�=�g�1yF�F�h|������gyF��xz{�x��gyF���

utvFw}|*w����g|*w��1�1�1�z²�~1|*�g~=w}|�{�x�w��D�h���#������{*w}� �h|*wG�(w���{8�g�1{?�hxzyFw��B����{�|*w��h{�xzy1�����h|���wG���h{�{�x���w��.�«xz{�v�g~(w}yB�=�g�1yF�F�h|��B���gyF��xz{�x��gyF���@|?�h{�vFw}|8{�v@�hy�������{*w}���t�«xz{�v�~(w}|�x�����x��¤�=�g�1yF�F�h|��B���gyF��xz{�x��gyF���

utvFw}|*wD�h|*wt{�v1|*w�wt���hxzy�xzy1��|*w���x�w}yO{*��yFw�w��1w���{*�G�1w�¹FyFw.��§�¡�©8ª �h�z���g|�xz{�v1� �,¹F|*��{�����w«v@����w{*���1w��}x��1wtvF����{*�G�g�1�#�1w}��|*w�w��H�h�@�¨|*w�w��1�g�¶{*�C{�vFw«���k�*{*w}�����*w����gyF�a�g�qwtv@����wt{*�C�1w}{*w}|���xzyFw8{�vFw���gy�¹F���1|?�h{�x��gyB�h�a{�vFw.���1~(w}|��1�����?²��hyF��¹Fy@�h�z�z�����qwD�­�F��{��*vF�k���*w8�«v1x��?v�*�1~=w}|��1���k�*²�w}xz��w}yF��{?�h{*w�g|«w}xz��w}yF��{?�h{*w��t{*�9�F�*wC{*�9���gyF��{�|��F�}{«{�vFw��1w}yF��xz{������h{�|�x£�a��utvFwC������{�w����}x�w}y�{.�1w}yF��xz{������h{�|�x£��h�z���g|�xz{�v1���D�F�*w¤�gyFw¤w}xz��w}yF��{?�h{*w��@�F���@�h�z�z� � �F�*{«{�vFwG��|*�g�1yF����{?�h{*w­�g|8{�vFwG������w���{�w����}xz{*w����*{?�h{*w{*�#���g|�� {�vFw¤�1w}yF��xz{������h{�|�x£�(�qutvFw¤��{?�h{*w��F�*w��B{*���¨�g|�� {�vFw¤�1�����?²��1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�Bx��«�F���@�h�z�z����h�z��w��¤{�vFw � {?�h|���w}{,��{?�h{*w �z�MutvFw���w}�qw}|S{�vFwHyO�1�­�(w}|��h��{?�h|���w}{,��{?�h{*w����Z{�vFwHv1xz��vFw}|ox��S{�vFw��g���}�1|?�g�}��h�F{�vFw}xz|S|*w}~1|*w��?w}yO{?�h{�x��gy�xzy­{*w}|����M�h�F{�vFwH�1���k�*²9��{?�h{*w���� ���1w}yF�*xz{f�G���h{�|�x£���h�z���g|�xz{�v1�»x��,�1w�¹FyFw�����hxzy1�z������{�vFwD�¨�g|�� �h�S{�vFw����1~(w}|��1�����?²��hyF�{�vFwC���hy1yFw}|�xzy��«v1x��?v{�vFwC�1���k�*²��«�h|*wCw}y1���h|���w��a�

Page 24: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

utvFwG{���~1x����h�S�*�1~=w}|��1���k�*²B���gy�¹F���1|?�h{�x��gy��F�?w���xzy�������{8���h���}�1���h{�x��gyF�Dx��.�g�8��vF�¥�«y��=w}���¥�¤�

BLj

� · · · • · · · • · · ·BR

j′

BLj

|*w}~1|*w��*w}y�{*�8�¤�1���k�*²���g��~=���?w����h�j�*xz{*w��t�hyF�

BRj′x��«�­�1�����?²��h�

j′��xz{*w�����utvFw����k�­�(�g�

• |*w}~1|*w��*w}yO{*���³��xzy1����ws��xz{*w�� utvFws{*�g{?�h��y��1�­�(w}|��h����xz{*w��xzy {�vFws���1~=w}|��1���k�*²_x��{�vFw}|*w��¨�g|*w

L = j + j′ + 2� �fy°{�vFw�yFw��k{�xz{*w}|?�h{�x��gyo�«{�vFwByFw}� �1���k�*²�x����¨�g|���w��°�·|*�g��{�vFw���w��¨{��1�����?²

~1�z�F�C�gyFw­��xz{*w��2xQ� w��z�BL

j+1

�«utvFw­|�xz��vO{Cv@�hyF���1���k�*²��hyF����xz{*w •BRj′�h|*w9�gy1�z�B�F�*w���{*���¨�g|�� {�vFw

�1w}yF��xz{��e���h{�|�x£�e���g|BL

j+1 �{�vFw��{?�h{*w����gy •BR

j′�h|*w�{�|?�g��w��³����w}|���utvFw�?�h��w����gy�¹F���1|?�h{�x��gy

�h�(����wDx��H�F�*w���xzy�{f���9��x��aw}|*w}yO{«�h�z���g|�xz{�v1������{�vFw.xzy�¹Fy1xz{*wC�hyF��¹Fy1xz{*w.�*v@�hxzyB�h�z���g|�xz{�v1�����k�«v1x��*v�qw­��x��*�}�F�*�«xzy��1w}{?�hxz�S�·�1|�{�vFw}|«�(w}�����¤�

� r���r � �hT��tT�N�W�R±cHVaN�T»��d��oioLONQW�c�\

� {?�h|�{.�«xz{�v��#���1~=w}|��1���k�*²����gy�¹F���1|?�h{�x��gy BLj • •BR

j ,v@����xzy1���hy�w����@�h�ayO�1�9�=w}|D�h����xz{*w��

xzy{�vFw8��w��¨{«�hyF��|�xz��vO{t�1���k�*²�����©.w}~1|*w��*w}y�{q{�vFwD�1���k�*²��������zx���{�xzy1��{�vFw ���@�hyO{��1� yO�1�9�=w}|*��h�M{�vFw}xz|8��{?�h{*w��8�hyF�B�*w}{t�1~B���h{�|�x���w��t���g|t{�vFw��1�����?²�¯��h��xz�z{*�gy1x��hy��hyF�B�g{�vFw}|8�g~=w}|?�h{*�g|*�xzy�{�v@�h{8�@�g��x����

�������1xz����{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hys���h{�|�x£��xzys��~@�h|*�*w9���h{�|�x£�����g|�� ���g|.{�vFw#���1~(w}|��1�����?²=� �f��{�vFw}|*w�h|*w¤{f�q����{?�h{*w��«~(w}|8��xz{*w���{�vFw}y�{�vFw¤�*�1~=w}|��1���k�*²�v@�g�

4m2 �

��� �C��xzy1�s{�vFw �S�hyF�}¢�������w}{�vF�k�a�H��x��h���gy@�h�zxz¢�wB{�vFw����1~(w}|��1�����?²`¯��h��xz�z{*�gy1x��hy�{*��¹FyF�µ{�vFw{?�h|���w}{���{?�h{*w

�{f�k~1x����h�z�z� �<�F��{G{�vFw���|*�g�1yF����{?�h{*w�� �t{¤{�v1x��¤�*{?�h��w��gyFw����hye��w��g���1|*w�{�vFw

w���~(w��}{?�h{�x��gy��g�h�z�Fw��D�h���hy���g~(w}|?�h{*�g|*�8�F�*xzy1��{�vFw���|*�g�1yF����{?�h{*w��t����w��¨�1yF�}{�x��gyo� |ψ〉 �

�F�8º@�g|�� {�vFwG|*w����F��w����1w}yF��xz{f�B���h{�|�x£�����g|8{�vFwG��w��¨{8�1�����?²�~1�z�F�8{�vFw¤��xzy1����w­��xz{*wBL

j •�F��xzy1�

{�vFw¤{?�h|���w}{.��{?�h{*w��Hu,���1�#{�v1x����1{�vFwG{?�h|���w}{D��{?�h{*w�x��8�1w����g��~(���*w����g���

|ψ〉 =∑

k,l

ψkl |k〉 ⊗ |l〉 , ¦ ������¬

¯Cw}|*w��k�hyF�

l���h�(w}�«{�vFwB�*w}{��h�D{�vFw��@�g��x�����{?�h{*w����gy�{�vFw���w��¨{��1���k�*²³~1�z�F���gyFwB��xz{*w��

BLj •

�hyF�s{�vFw�|�xz��vO{9�1�����?²�~1�z�F�9�gyFw���xz{*w •BRj

|*w���~=w��}{�xz��w}�z�����ew����hye|*w}�O�h|*�BL

j •�g�

{�vFw � �*�k��{*w}� �a�hyF� •BRj

�g��{�vFw � w}y���xz|*�gy1��w}y�{ �z��utvFw#|*w����F��w����1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�����g|�{�vFw

Page 25: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

�*�k��{*w}�Kx��H�g�1{?�hxzyFw�������{�|?�g�}xzy1�9����w}|�{�vFw.�1w}��|*w�w����h�(�¨|*w�w��1�g�®�«xz{�v1xzy�{�vFwDw}yO�kxz|*�gy1��w}yO{��

ρ =∑

l

ψklψ∗k′l

¦ ������¬

���8§Cx��h���gy@�h�zxz¢�wρ{*�9¹FyF�����*w}{t�h�Mw}xz��w}yO��w��}{*�g|*�

uα �hyF��w}xz��w}yO���h�z�Fw�� wα��§Cx��*���h|*���h�z�(�1�1{

{�vFwm���h|���w��*{.w}xz��w}yO���h�z�Fw��D�hyF���g�?�*���}x��h{*w���w}xz��w}yO��w��}{*�g|*���

���8º@�g|��»���h{�|�x£�9|*w}~1|*w��*w}yO{?�h{�x��gyF�H�h�=�g~=w}|?�h{*�g|*�����F�?v��g�H���g|,{�vFw

BLj ••BR

j

���gy�¹F���1|?�h{�x��gy�¨|*�g� �g~(w}|?�h{*�g|*�t���g|.w��g�*v��?w}~@�h|?�h{*wG�1�����?²=�

�k�8º@�g|��>�9yFw}�]��w��·{��1���k�*²������*v@�hy1��xzy1���@�g�*x��q{*�9{�vFwuα �hyF��{�|��1yF���h{�xzy1��{*�9{�vFw m ��{?�h{*w��

�F�*xzy1�H ′

BLj+1

= OHBLj+1O† � O x��.�hy

m×m2 ���h{�|�x£���«xz{�v�{�vFw�|*���8�.���g�1wG�1~��h��{�vFww}xz��w}y���w��}{*�g|*�

uα �MutvFw�yFw}�`|�xz��vO{��1���k�*²Gx��S�¨�g|���w��9�O�¤|*w��@w��}{�xzy1��{�vFw���w��·{,�1�����?²=� �D���*�«�qw�g�1{?�hxzy9yFw}�`�g~(w}|?�h{*�g|*�M�h{S{�vFw�w�����w��S�h�1{�vFwq���1~=w}|��1���k�*²��F��xzy1�D{�vFwH�?�h��w�{�|?�hyF�<�¨�g|����h{�x��gyo�

��� {?�h|�{��#yFw}� xz{*w}|?�h{�x��gy��«xz{�v�{�vFw¤���gy�¹F���1|?�h{�x��gyBL

j+1 • •BRj+1

� �DyFw9���gyO{�xzyO�Fw��Cxzy�{�v1x�����hy1yFw}|��F�g�1��xzy1��{��q����xz{*w��8�h{tw��g�*v��*{*w}~��h�,{�vFwDxz{*w}|?�h{�x��gyo�F�1yO{�xz�aw��g�*vB�1���k�*²�|*w}~1|*w��*w}yO{*��gyFw¤v@�h�£���h�H�hy�xzy�¹Fy1xz{*w¤�?v@�hxzyo�

utvFw�xzy�¹Fy1xz{*w#�*v@�hxzye�h�z���g|�xz{�v1�����gy���w}|���w��C�·|*�g��{f����?w}~@�h|?�h{*w����h�F�?w����«xzyF�}|*w��g�*w�xzy�{�vFw��w��¨{��1���k�*²`�*xz¢�w��h~1~1|*���g�*v1xzy1�³�hyµxzy�¹Fy1xz{*w��?v@�hxzy±�hyF�°�h���*�sxzyµ{�vFwB�*w}yF�*w{�v@�h{�{�vFw���w��¨{�1���k�*²���{?�h{*w����h|*wD�(w}{�{*w}|t�g�F�h~1{*w��{*�9�hyxzy�¹Fy1xz{*wC��xz¢�w���w}y���xz|*�gy1��w}y�{«{*�­{�vFw.|�xz��vO{��Hutv1x���h�z���g|�xz{�v1� x��9{f�k~1x����h�z�z���F�*w������g|�� ���1x��*²��hyF�`~1|*w}{�{f���g���}�1|?�h{*w��{��F���e�h�«{�vFw���|*�g�1yF��*{?�h{*wG~1|*�g~=w}|�{�x�w��D�h���#�*�k��{*w}���

� r���r�� GN�T�NQWgR°cHVaN�T ��d �oioL�N�W�c�\

utv1x��t�h�z���g|�xz{�v1�!x����F�*w���{*�­�*{��F����{�vFw.~1|*�g~=w}|�{�x�w����h�S��¹Fy1xz{*wD��xz¢�w���������{*w}�K�h�S��xz¢�w����?���L�=¦·�qw

�g�*���1��wL{*���=wGw}��w}y`� �f{8���gyF��x��*{*�8�h�M{�vFwG�¨�g�z���¥�«xzy1����{*w}~F���

�8§C�1|�xzy1�¤�«v@�h{�x���|*w��¨w}|�|*w���{*�¤�g�H{�vFwt¹F|*��{H����w�w}~o���qw«�*{?�h|�{H�«xz{�v������1~(w}|��1�����?²#���gy�¹F���1|?�Z {�x��gy

BL1 ••BR

1

�¥�«xz{�vBL

1

�hyF�BR

1

|*w}~1|*w��?w}yO{�xzy1�¤�8��xzy1����wq��xz{*w��MutvFw}yo�Z��w��F�?wH{�vFwHxzy�¹Fy1xz{*w�*xz¢�wC�h�z���g|�xz{�v1� {*�9��|*���]{�vFwD���1~(w}|��1���k�*²��1y�{�xz�=xz{q|*w��g�*vFw��t{�vFwC��xz¢�w

LBLL/2−1 • •BR

L/2−1

�{�vFwyFw���{��*{*w}~`x��9{*���F�?w

BLL/2 • •BR

L/2−2

{*�����g|��BL

L/2+1

��utv1x��#�hyF�µ�h�z�«�g{�vFw}|��*�� ~(w}|��1���k�*²��t{*�¤���g�z����� v@����w

L��xz{*w��¥���ewD���gy�{�xzyO�FwG{*��xzyF�}|*w��g�*wC{�vFwC��xz¢�w��h�S{�vFwC��w��·{��1�����?²

Page 26: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

�1y�{�xz��xz{C|*w��g�?vFw��L − 3

�2�F�*xzy1�{�vFw����1~(w}|��1�����?²BL

L−3 • •BR1

� �.y1�zxz²�w�{�vFw9xzy�¹Fy1xz{*w��*xz¢�w�h�z���g|�xz{�v1���F�«vFw}|*wD{�vFwC{�vFwC�1���k�*²

BLl

x���yF�g{t|*w��O�1xz|*w��B�Z�¨{*w}|�{�vFwD���g|����h{�x��gyB�h�BL

l+1

�1�h�z�{�vFw

L−3�1�����?²k�t�hyF��{�vFw.�g~(w}|?�h{*�g|*���gy�{�vFw}�:�h|*wC��{*�g|*w��a��utvFw8�1���k�*²��t�h|*w8���h�(w}�z��w������

{�vFw}xz|¤�*xz¢�w��­§C�1|�xzy1�B{�vFw��*w����Fw}yF��w��h��xz{*w}|?�h{�x��gyF�9�h�(����w��axz{�x��G���g�����gye{*�|*w���w}|�{*��{�vFw��w��¨{��1���k�*²#~1�z�F�H�gyFw8��xz{*wt{*�¤xz{*��|�xz��vO{q�g�H{�vFw ��������{*w}� �«�hyF�#{�vFw8|�xz��vO{��1���k�*²�~1�z�F�H�gyFw8�*xz{*w{*��xz{*�G��w��·{­�g�¤{�vFw ��w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{��?� �t{¤w��g�*v���{*w}~�{�vFw��1w}��|*w�w��­�h���·|*w�w��1�g���«xz{�v1xzy�{�vFww}y���xz|*�gy1��w}y�{C�h|*w�{�|?�g��w��B�¥��w}|«{*���g�1{?�hxzyB{�vFw�|*w����F��w��B�1w}yF��xz{f����h{�|�x£�����g|t{�vFwG������{*w}���

��� ��y°{�vFwByFw���{�v@�h�£�¤�h�G�«v@�h{�x���|*w���w}|�|*w���{*�³�g��{�vFwB¹F|*��{����qw�w}~o��{�vFwB��w��hy1xzy1����h�G{�vFww}y���xz|*�gy1��w}y�{­�hyF���*�k��{*w}�%�h|*w­|*w}��w}|*�?w��a�DutvFw���{?�h|�{�xzy1�����1~=w}|��1���k�*²

BLL−3 • •BR

1

¦BR

1

�(w}xzy1�C�.��xzy1����w��*xz{*w�x��o|*w}~1|*w��*w}y�{*w��#w��1�g�}{��z�F¬=x��o�F�?w��¤{*�.�g�1{?�hxzyBL

L−4••BR2

� ��y¤{�v1x��,�*{*w}~o�

BLL−4

�·|*�g�K{�vFw8~1|*w}�kx��g�F�Hxz{*w}|?�h{�x��gy�x��H|*w��g���¨|*�g�®{�vFw8��{*�g|*w�����w}|*��x��gy��hyF��xz{*�q�1w}��|*w�w��q�h��¨|*w�w��1�g�>�h|*w8{�|?�g��w���g�1{�{*�­�g�1{?�hxzy

BR2

��utv1x����*w��O�Fw}yF��wD�h�o��{*w}~F��x��q���gyO{�xzy��Fw��a���1yO{�xz�a�h{{�vFw­w}yF���h��{�vFw�¹F|*��{.����w�w}~��qw­|*w��g�*v�{�vFw¤���gy�¹F���1|?�h{�x��gyo�

BL1 • •BR

L−3

� �t{Dw��g�*v��*{?�h��w{�vFw¤yFw}�4�1�����?²k�«�¨�g|���w����h|*w¤�«|�xz{�{*w}y�{*����x���²��¨�g|«�F�*w­���1|�xzy1��{�vFwGyFw���{8���qw�w}~o�

���8utvFw­�*w����gyF�B���qw�w}~��=w}��xzyF�«�«xz{�vBL

2 • •BRL−4

��{�vFwG|�xz��v�{8�1�����?²k�8yF���4�(w}xzy1��|*w��g���¨|*�g�{�vFw���x���²��h{tw��g�*vBxz{*w}|?�h{�x��gy�{*�­�¨�g|��>�­|*w����F��w���1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£���¨�g|q{�vFwC��w��·{��1�����?²��1yO{�xz���w�|*w��g�?v

BLL−3 • •BR

1

� utvFw��*w����gyF�±v@�h�£�¤�h��{�v1x������w�w}~_���g��~1|�x��*w���{�vFw�xz{*w}|?�h{�x��gyF�{?�h²kxzy1��{�vFwG������{*w}� �¨|*�g�

BLL−3 • •BR

1

�@�g�*²{*�BL

2 • •BRL−4,

�«xz{�vByF���4{�vFw���w��¨{t�1�����?²k��(w}xzy1��|*w��g���¨|*�g� ��x���²(�

�F�8utvFw�����w�w}~F�C�h|*w����gyO{�xzy��Fw����1y�{�xz�������gyO��w}|���w}yF��w��}|�xz{*w}|�x��gy�x��D� �h{�x��<¹@w��a�«utvFw9�}|�xz{*w}|�x��gy{���~1x����h�z�z�³�F�*w��`x��������g��~@�h|�x��?�gyµ�h�C{�vFw���|*�g�1yF���*{?�h{*w�w}yFw}|����`xzyµ�*�F����w��*��xz��w����qw�w}~F�¥��C���@�h�z�z�B�����gyO��w}|���w}yF��w­x��.�g�*v1x�w}��w���xzy�{f�����g|«{�v1|*w�w¤�*�qw�w}~F���

��� �Dy[{�vFwe��w}|��_���g��{��*�qw�w}~[�qwe�F���@�h�z�z�]�*{*�g~ �Z�·{*w}|B{�vFw���x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy¶�h�BL

L/2−1 •

•BRL/2−1

���hyF��{�vFw}y��F�*wC{�vFwD��|*�g�1yF�B��{?�h{*wC������wC�·�1yF�}{�x��gye¦¨�g|t{�vFwC{?�h|���w}{t�*{?�h{*w¥¬��h�,{�vFw

L− ��xz{*wG������{*w}�>{*�#��w��g���1|*wG���h|�x��g�F�8~1|*�g~(w}|�{�x�w��.�*�F�*v��g�8�*{?�h{�x��¤����w}|?�h��w����

utvFwC��{*w}~F�qxzy�gyFw.�¨�1�z�2����w�w}~��h�o{�vFw.¹Fy1xz{*wC��xz¢�wD�h�z���g|�xz{�v1� �h|*wC�*�*vFw}���h{�x����h�z�z��|*w}~1|*w��*w}yO{*w��xzy�ºMxz� �����HºF�g|.����xz��w}y��*�k��{*w}� �h����xz¢�w

L��{�vFwC¹Fy1xz{*w¤�*xz¢�w¤�h�z���g|�xz{�v1� x��«���g|*w¤�g���}�1|?�h{*w¤{�v@�hy

Page 27: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

Exact

Good approx. for left block

Exact

Exact

Good approx.

Exc. approx.Exc. approx.

Poor approximation for right block

Better approx. for right block

Good approx. for left block

Excellent approx.

Excellent approx. for right block

º,xz���1|*w ��� � �DyFw��¨�1�z�o���qw�w}~��h��{�vFw�¹Fy1xz{*w¤�*xz¢�w¤�h�z���g|�xz{�v1�

Page 28: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

{�vFw#xzy�¹Fy1xz{*w��?v@�hxzy`�h�z���g|�xz{�v1���S�(w����h�F�*w#�(�g{�vs{�vFw���w��·{¤�hyF��|�xz��v�{¤�1���k�*²��G�h��{�vFw����1~(w}|��1���k�*²(��h�z{*w}|�y@�h{�xz��w}�z�`�g�*�*�1��w�{�vFw�|*�g��w��h�8{�vFw�������{*w}� �hyF�`w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{��hyF�`�h|*w�{�vFw}|*w}�O��w����@�h�z�z��qw}�z���g�F�h~1{*w��e{*��|*w}~1|*w��?w}yO{G{�vFw��g{�vFw}|�� �Dy�{�vFw��g{�vFw}|Gv@�hyF�a�(xzy�{�vFw�xzy�¹Fy1xz{*w��*xz¢�w#�h�z���g|�xz{�v1��gy1�z��{�vFw¤������{*w}�>x��.�g�F�h~1{*w���{*��|*w���~(�gyF�B{*��{�vFw¤w}y���xz|*�gy1��w}y�{���utvFw¤v1xz��vFw}|C�g���}�1|?�g�}�B�h��{�vFw¹Fy1xz{*w���xz¢�w��h�z���g|�xz{�v1�7���g��w����h{�{�vFwB~1|�x���w��h�­�����g|*w����g��~1�zx����h{*w��]�h�z���g|�xz{�v1� �hyF�±�h���*�`�v1xz��vFw}|.���g��~1�1{?�h{�x��gy@�h��������{«xzy�{*w}|����8�h���(�g{�v�´ �j{�xz��w­�hyF�B��w}���g|����

�%�1w}{?�hxz��w��_w��1�h��xzy@�h{�x��gy]�h��{�vFw�{�|��1yF���h{�x��gy]w}|�|*�g|s¦¨�g|�{�vFw�w}|�|*�g|�xzy_{�vFwB��|*�g�1yF�±�*{?�h{*ww}yFw}|����F¬��g���`�·�1yF�}{�x��gy4�h�

m�hyF� y��1�­�(w}|��h�­¹Fy1xz{*w���xz¢�ws����w�w}~F�Bx����F�*w��¨�1�Q� ��{�x���¨�g�1yF�

{�v@�h{.{�vFw}|*w­x��8�kxz|�{��@�h�z�z��yF���1w}~(w}yF�1w}yF��w9�h��{�vFw9�g���}�1|?�g�}���h��{�vFw­w}yFw}|������gymxzy�{�vFwG¢�w}|*�g{�v

xz{*w}|?�h{�x��gyo�={�vFw¤xzy�¹Fy1xz{*w�������{*w}� ~1v@�g�*w�� �8�¨{*w}|.{��q��g|.{�v1|*w�w����qw�w}~F���2{�vFw­w}|�|*�g|Cxzy�{�vFw�w}yFw}|�����?�h{��1|?�h{*w������g|¤���xz��w}y

m�a�«xz{�v�{�vFw��?�h{��1|?�h{�x��gy��k���}�1|�xzy1���Z�·{*w}|­����h|���w}|Gy��1�­�(w}|­�h�«���qw�w}~F�

���g|­���h|���w}|m��utvFw}|*w��¨�g|*w���xz{9���h²�w��#�*w}yF�*w�yF�g{�{*��v@����wB�B�1y1x£���g|�� ���h�z�Fw��h�

m�¨�g|#�h�z�q{�vFw

����w�w}~F���a�1�1{¤{*��xzyF�}|*w��g�*wm|?�h~1x����z���«xz{�vew��g�*vexz{*w}|?�h{�x��gy`���F�*ve{�v@�h{G�����*{¤�h�q{�xz��w�x��G��~(w}yO{

xzyB{�vFw����g��{.�hyF��������{«xz��~(�g|�{?�hyO{D���qw�w}~o� �DyF�g{�vFw}|8yF�g{*w}���g|�{�vO����w��h{��1|*w�x��t{�v@�h{.���gyO��w}|���w}yF��wx��.���g��~1��w}{*w}�z��xzyF�1w}~=w}yF�1w}y�{C�h�H���g�1~1�zxzy1�~@�h|?�h��w}{*w}|*�Dxzy�{�vFw­¯��h��xz�z{*�gy1x��hy����F�?v��g�

Uxzy�{�vFw

¯D�1�1�@�h|*�������1w}�Q��º@�g|q�D¹1��w���yO�1�­�(w}|m�h�a��{?�h{*w���|*w}{?�hxzyFw��a��{�vFw8��x��*���h|*�1w����qw}xz��v�{�x���v1xz��vFw}|

�g�t���g��xzyF�}|*w��g�*w�{�vFw�|?�hy1��wG�h�S{�vFw�xzy�{*w}|?�g�}{�x��gy�xzyB{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyo� �DyFwC���hyB��w}{8�hyBx��1w��#�h�{�vFwC~=w}|<���g|����hyF��wG�h�,{�vFw�§�¡�©«ª¶�h�z���g|�xz{�v1� �O�����gyF�*x��1w}|�xzy1���­{���~1x����h�ow��F�h��~1��w��1���F�?v��g�t{�vFw���g�*w9�h��{�vFw9��~1xzy�  ¯Cw}x��*w}y��=w}|���*v@�hxzyo�«utvFw¤��|*�g�1yF����{?�h{*w9w}yFw}|������¨�g|8{�vFw­xzy�¹Fy1xz{*w9�*�k��{*w}� x���g�1{?�hxzyFw��`�g���}�1|?�h{*w}�z�s�1~�{*���?w}��w}ye�1w��}xz���h��~1���g��w����S�«xz{�v`�g�G�zxz{�{���w��g�

m = 100�*{?�h{*w��¤²�w}~1{

�hyF���#��x��*���h|*�1w����qw}xz��vO{��h�10−11 �

� r � �sJHTHVa\ Nfb�Vad¤�ioL�LOR@dQV=W�NQiST» �qT�bkW�NQiSTqX ��XgN�T � � �>�sp

�g��w.�h�o{�vFw.������{q�*xz��y1x£¹@���hyO{�xzyF��xz��vO{*��xzyO{*�­{�vFw8~1|*�g~(w}|�{�x�w��t�h�(���h{*w}|�x��h���«�h|*wD�g�1{?�hxzyFw��������hyxzyO��w��*{�xz�O�h{�x��gy��h�,���ky@�h��x����h�(�g�F�?w}|��g�h�1��w�����utvFw��?w��h|*wC~1|*�g�(w���O���?w}��w}|?�h�=w���~=w}|�xz��w}y�{*�«�«v1x��*vxzyF�}�z�F�1w9yFw}�1{�|*�gy��*���h{�{*w}|�xzy1�F�=�g~1{�x����h�M�h�F�?�g|�~1{�x��gys�hyF��~1vF�g{*��w}��x��*�*x��gyo�=�h���gy1����{C�g{�vFw}|*�����D�£ {�vF�g�1��v�xz{#v@�g���=w�w}yµ~(���*��xz�1��w{*�s�*�g�z��w��¨�g|�{�vFw�w��1�g�}{���~(w��}{�|?���h�C�*w}��w}|?�h�«�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h����@�hyO{��1� ���k�*{*w}���¤�F��xzy1� ��w}{�vFw�hyF�?�h{�¢������h���}�1���h{�x��gy��h�«���ky@�h��x����h��~1|*�g~=w}|�{�x�w��9�«xz{�v1xzy`{�v1x���¨|?�h��w}�q�g|�²��h|*w���x ���}�1�z{¤�hyF��|?�h|*w��GªCxz��w}ys{�v@�h{C{�vFw9§�¡�©«ª®��w}{�vF�k��~(w}|<���g|����.|*w}���h|�²��h�1�z�

Page 29: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

!

�qw}�z��xzye���h���}�1���h{�xzy1����|*�g�1yF�e��{?�h{*w�w}yFw}|���x�w��­�hyF�e��{?�h{�x��#~1|*�g~(w}|�{�x�w��­�h�t�����K��xz��w}yF�*x��gy@�h�������< {*w}�����=xz{�x��Cy@�h{��1|?�h�M{*�B�g��²B�«vFw}{�vFw}|Gxz{����hys~1|*���kx��1w���|*w}�zx��h�1��w9�¨|?�h��w}�q�g|�²��¨�g|C{�vFw���{��F�����h����ky@�h��x����h�H~1|*�g~=w}|�{�x�w��¥� xzyF��w#{�vFw��g|�xz��xzy@�h�Hx��1w����h�t{�vFw�§C¡�©8ª!��w}{�vF���exzyO���g�z��w��9���*{�|*�gy1�{�|��1yF���h{�x��gy��h��{�vFw�¯.xz�z�(w}|�{¤��~@�g��w��h{¤w��g�*ve�*{*w}~��F��xzy1����|*w����F��w��e�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£�a�a{f�k~1x����h�z�z��1�1xz�z{��g�1{��h� �<�F��{�{�vFw«��|*�g�1yF���*{?�h{*w����­�F�?v�xzy����g|����h{�x��gy��h�a{�vFw8w��1�}xz{*w�����{?�h{*w����kxz{?�h�F{*�­�¤���g�# ~1�1{?�h{�x��gy��h�M���ky@�h��x����h�a~1|*�g~(w}|�{�x�w��«x��t������{�� ��{qx��«�}��w��h|«{�v@�h{«��wDyFw�w���{*� � {?�h|���w}{ �1���g|*w���{?�h{*w��{�v@�hy �<�F��{�{�vFw���|*�g�1yF�e��{?�h{*w#{*���1�1xz�������g|�|*w}���h{�x��gye�¨�1yF�}{�x��gyF����utvFw}|*w��h|*w�{��q���¨�1yF�F�h��w}yO{?�h����Fw���{�x��gyF�«{*���(w¤�g�1��|*w��*�*w��BxzyB{�v1x��.���gyO{*w���{��

�8u,�­�«v@�h{tw���{*w}yO{t�1��w��q{�vFwD�1w}yF�*xz{f���h�o��{?�h{*w��q���g|�{�vFw.�*�1~=w}|��1���k�*²(�O�«v1x��?v�x��q���gyF��{�|��F�}{*w������{?�h|���w}{�xzy1��gy1�z��9��w}�4��{?�h{*w����F�h~1~1|*���g�?v�{�vFw�{�|��FwG�gyFwC���g|«{�vFwC�·�1�z�o¯Dxz�z�=w}|�{8�*~@�g��w�xzy���«x��1w¤w}yFw}|�����|?�hy1��w �

��� ��ys�g|*�1w}|C{*��1w��*�}|�xz�(w#����y@�h��x����h��~1|*�g~(w}|�{�x�w���|*w}�zx��h�1�z���(�«v@�h{Cx��D{�vFw#�}|�xz{*w}|�x��gy�{*���?w}��w��}{���g|*w¤{?�h|���w}{.��{?�h{*w�� �

utvFw�¹F|*��{ ���Fw���{�x��gye���hye�gy1�z���=w��g�1��|*w��*�?w��s�O�����h²�xzy1������g��~@�h|?�h{�xz��w���{��F�����«xz{�v�²kyF���«y|*w����1�z{*�­�¨�g|9����� ��xz��w}yF��x��gy@�h�t���k�*{*w}�����ButvFw��*w����gyF� �O�Fw��*{�x��gy`��w��g�1�9y@�h{��1|?�h�z�z�e{*����x��aw}|*w}yO{��w}{�vF�k�1���«xz{�v1xzy�§�¡�©8ª]���g|q�*{��F����xzy1�����g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyF��� ��y�{�vFw.w}yF�*�1xzy1�9��x��*�}�F�*�*x��gy��qw�����}�F��w}yO{�xz|*w}�z�³�gy`¢�w}|*��{*w}��~=w}|?�h{��1|*w����ky@�h��x������ �t{­¹Fy1xz{*w�{*w}��~(w}|?�h{��1|*w���xz{9x���~(���*��xz�1��w�{*�w}���h�z�@�h{*w����k���h�Hxz���h��xzy@�h|��O Q{�xz��w����g|�|*w}���h{�x��gyF� �O�1xz{*w��g���}�1|?�h{*w}�z���«xz{�v1xzy�{�vFw�{�|?�hyF�<��w}|¤���h{�|�x£�|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gye��|*�g�1~°¦¨u«¡�©«ª­¬D�h~1~1|*���g�?v��hyF���qw�|*w��¨w}|�{*� � ��� �¨�g|��1w}{?�hxz����� ��y�~1|�xzyF�}xz~1��w�gyFw���hy`w���{�|?�g�}{9|*w��h�q�·|*w����Fw}yF�}��xzy����g|����h{�x��gy`�¨|*�g� xz���h��xzy@�h|��� Q{�xz��wB���g|�|*w}���h{�x��gy³�·�1yF�}{�x��gyF��F��xzy1��{�vFw¤���Z�kxz�9�1��w}y�{�|*�g~O�B��w}{�vF�k�a�F�1�1{8{�vFw ���@�h�zxz{f�Bx��8yF�g{D�g�8���k�����g�«{�vFw¤�*�g�1|*��w9�F�h{?��(w����h�F�*w8�h�a{�vFw«xzyO{�|�xzyF�*x����h�z�z��xz�z�£ f���gyF��xz{�x��gyFw���xzy���w}|*�*w8~1|*�g�1��w}����utvFw8u«¡�©8ª[��w}{�vF����g�����F�?vxzyO���g�z��w��D�9��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy��h�S{�vFwC{�|?�hyF�<�¨w}|t���h{�|�x£��|?�h{�vFw}|t{�v@�hy{�vFwG¯��h��xz�z{*�gy1x��hyo�HutvFwD�¨|*w�ww}yFw}|������hyF���g{�vFw}|�{�vFw}|��������ky@�h��x�� �O�@�hy�{�xz{�x�w��q�h|*wt�1w}{*w}|���xzyFw������­{�vFwt���Z��xz�­�1�Kw}xz��w}y��g�h�z�Fw�h��{�vFwG{�|?�hyF�<��w}|«���h{�|�x£�(�

Page 30: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

� r � r � �.VaT�b��1iSX�PSR@bkW�ioL�\_RFW�c�i ��ew��?���¶w��h|��zx�w}|D{�v@�h{C{�vFw¤¢�w}|*��{*w}��~(w}|?�h{��1|*w�ª�|*w�w}y�� �.�¨�1yF�}{�x��gy��¨�g|��hy��g~(w}|?�h{*�g|

A���g�1�����=w

�«|�xz{�{*w}y�xzy�{�vFw.���g|��:�h�M�­���gyO{�xzy��Fw����·|?�g�}{�x��gy�w���~@�hyF��x��gy��F��xzy1�9{�vFw �S�hyF�}¢����t��w��}{*�g|���w}{�vF���a�

GA(z) = 〈Ψ0|A†(z −H)−1A |Ψ0〉¦ ��� ��¬

=〈ψ0|A†A|ψ0〉

z − a0− b21

z−a1−b22

z−a2−...

¦ ������¬

��y�{�v1x��#w��O�@�h{�x��gyµ{�vFw����w����}x�w}y�{*�an

�hyF�bn�h|*w��1w�¹FyFw��³{�v1|*�g�1��vµ{�vFw�|*w��}�1|*�*x��gy³|*w}���h{�x��gy

� �=� �����hyF� � �=� � �F� ��y­~1|?�g�}{�x���w���{�vFwt���gyO{�xzy��Fw����·|?�g�}{�x��gy��h�¨{*w}y����gy���w}|���w���{*���8�zxz��xz{H�h�z|*w��g������g|t¹Fy1xz{*w

n¦ ≈ 100 − 120)

��xzyF��wbn���kw��«{*�#¢�w}|*���hyF�

an�=w����g��w��.��w}|������h|���w��

utvFw8¹F|*��{�|*w}�zx��h�1��wD§�¡�©8ª[�?�*vFw}��wD{*�­���g��~1�1{*w8¢�w}|*�­{*w}��~=w}|?�h{��1|*wC���g|�|*w}���h{�x��gy�·�1yF�}{�x��gyF�¥�~1|*�g~(���*w��s�O� ���a¯C�h�z�z�(w}|�� � � � �ox����@�g�?w����gy�{�v1x��¤���gyO{�xzy��Fw����¨|?�g�}{�x��gye|*w}~1|*w��*w}yO{?�h{�x��gyo��utvFw²�w}��x��1w����h�8{�vFw���w}{�vF���`x��¤{*���F�*w�{�vFw �S�hyF�}¢������@�g��x�����{?�h{*w�� {|φn〉}

�g�#�g�1��xz{�x��gy@�h�q{?�h|���w}{��{?�h{*w��­�h���gy1���«xz{�v�{�vFw���|*�g�1yF�e��{?�h{*w#�«v1xz��w#�1�1xz����xzy1��{�vFw��1w}yF��xz{f�s���h{�|�x£�e�h{¤w}��w}|��s§�¡�©8ªxz{*w}|?�h{�x��gyo� ��{9x��#w���~=w��}{*w��³{�v@�h{#{�vFw��{?�h{*w��#xzy`{�vFw|*w����F��w���¯Dxz�z�=w}|�{#��~@�g��w|*w}��w}���hyO{#{*��{�vFww��1�}xz{*w�����{?�h{*w������gy1yFw��}{*w���{*��{�vFw«��|*�g�1yF���*{?�h{*w«��x��C{�vFw.�g~=w}|?�h{*�g|

A���h|*w«xzyF�}�z�F�1w���xzy�{�v1x��H�*w}{��

utvFw��¨�1�z���1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�s�F�*w���{*��{�|��1yF���h{*w#{�vFw�¯Dxz�z�=w}|�{G��~@�g��w�x���{�vFw}y����qw}xz��v�{*w��`����w}|?�h��w�h��{�vFw¤�1w}yF��xz{f�����h{�|�x���w��8�¨�g|8w��g�?v�{?�h|���w}{8��w��}{*�g|��

ρii′ =M∑

l=1

pl

j

φlijφ

li′j

¦ ����!�¬

�«vFw}|*wMx��C{�vFw#{*�g{?�h��yO�1�­�(w}|¤�h�q{?�h|���w}{G��{?�h{*w��¥�

i�hyF�

j�1w}yF�g{*w#{�vFw#��{?�h{*w����h��{�vFw��*�k��{*w}�

�hyF�_{�vFw�w}y���xz|*�gy1��w}y�{��.|*w���~(w��}{�xz��w}�z���.�hyF�pl¦ ∑

l pl = 1{*�`²�w�w}~ �e�1y1xz{?�h|��°{�|?�g��w�xzy

ρ¬

x��#{�vFw��qw}xz��v�{��h�D{�vFw�{?�h|���w}{���{?�h{*wφl �`¯Cw}|*w φ1 x��#{�vFw���|*�g�1yF�°�*{?�h{*w��hyF� φl(l = 2, ..M)

|*w}~1|*w��*w}y�{�{�vFw �S�hyF�}¢������@�g�*x��B��{?�h{*w���� utvFw}|*wsx��ByF�µ²kyF���«y4�g~1{�xz���h�¤�t���[�h�#�g�*�*xz��y1xzy1�±�|*w}���h{�xz��wG��w}xz��vO{.�(w}{f��w�w}y�{�vFw���|*�g�1yF���*{?�h{*wG�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£���hyF�B{�vFwG�1w}yF��xz{f�����h{�|�x���w��«�1�1xz�z{�¨|*�g��{�vFw �S�hyF�}¢����¤�@�g��x��G��{?�h{*w����¤u���~1x����h�z�z��� � ��� �h��{�vFw��qw}xz��vO{­x��¤�g�*��xz��yFw���{*�{�vFw9��|*�g�1yF���{?�h{*w��=�hyF��{�vFw¤|*w}���hxzy1xzy1�x��C��x���{�|�xz�1�1{*w����h���gy1���*{.{�vFw �,�hyF�}¢����.{?�h|���w}{���{?�h{*w����tutvFw¤��w}xz��vO{�h�H� �S�hyF�}¢����.��w��}{*�g|

φl xzy�{�vFwG��~(w��}{�|��1� x��«��xz��w}y����

pl =∑

m

(〈φ2|ψm〉)2(〈φn|ψm〉)2 ¦ ��� � ¬

Page 31: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

¯Cw}|*w |ψm〉 |*w}~1|*w��*w}yO{*��{�vFwqw}xz��w}yO��w��}{*�g|H�h�F{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy#�«xz{�v#w}xz��w}yO���h�z�Fw Em�,utvFw��g�}{��@�h�

���h���}�1���h{�x��gy��h�({�vFw8���g|�|*w}���h{�x��gy��·�1yF�}{�x��gy�x������g�1w8�«vFw}y�{�vFw8������{*w}� �1���k�*²�x���{�vFw8�?�h��w«��xz¢�w8�g�{�vFwCw}yO�kxz|*�gy1��w}yO{«�1���k�*²(����xzyF��wD{�vFwD{�|��1yF���h{�x��gy�w}|�|*�g|*�t�h|*wC�����h�z��w���{�xzy�{�v@�h{t��{*w}~o��uS���1�­{�v1x��¥��gyFw«yF�g{��gy1�z�#�F�*w���{�vFw��S�hyF�}¢����q��w��}{*�g|*�H{�v@�h{H��w}|*w8{?�h|���w}{���{?�h{*w������1�1{�²�w�w}~F�����h���}�1���h{�xzy1��yFw}��S�hyF�}¢�������w��}{*�g|*���1y�{�xz�H�g|�{�vF�g���gy@�h�zxz{f�s�1|*w��h²k���1�¥�«ye���Fw9{*�{�vFw­¹Fy1xz{*w#yO�1��w}|�x����h��~1|*w��}x���x��gyo��]xz{�v�{�vFw9yO�1�9�=w}|

m�h�q��{?�h{*w��C|*w}{?�hxzyFw��s~(w}|D�1���k�*²�¹1��w��a�={�vFw����g|*w�{�vFw�yO�1�­�(w}|¤�h��{?�h|���w}{

��{?�h{*w��#���gyF��x��1w}|*w��a��{�vFw���w��*�9x���{�vFw�~1|*w��}x���x��gyµ�h�Dw��g�?vµ�gyFw�h�.{�vFw}����utvFw~1|�xz��w��*�g�1|*��w��h�w}|�|*�g|���{*w}�����·|*�g� {�vFw��h~1~1|*����xz���h{�x��gy_�h�G{�vFw�x��1w}yO{�xz{��°xzy�{*w}|������h��{�vFw������h�z�«y��1�­�(w}|�h��S�hyF�}¢����.�@�g��x��«��w��}{*�g|*�8{�v@�h{D���hy��=w��F�?w����g�«{?�h|���w}{.��{?�h{*w��8xzy�~1|?�g�}{�x����h�,���h���}�1���h{�x��gyF��� ����w}|���g�1��xz{�x��gy@�h� �S�hyF�}¢�������w��}{*�g|��g�1�1���hyF�g{�vFw}|#~(w��h²=�,{f�k~1x����h�z�z�³�h{9v1xz��v³w}yFw}|������H�hyF�³�*��v1xz��vFw}|w}yFw}|����_w��1�}xz{?�h{�x��gyF���«xz�z�G�(w����g��w�xzy@�g���}�1|?�h{*w��!utvFw}|*w��¨�g|*w����hy[�g~1{�xz���h�GyO�1�9�=w}|��h�­{?�h|���w}{��{?�h{*w��

M�hyF���h��|*w}{?�hxzyFw����*{?�h{*w��8~(w}|«�1�����?²

mv@�g�«{*���(w��¨�g�1yF��xzy�w��g�*v����g�*w�� �|*�g~(w}|.���1�

|��1��w��«v@����w¤{*�#�(wG���h���}�1���h{*w���{*���1w}{*w}|���xzyFw­{�vFwGw}|�|*�g|*�8xzyO���g�z��w��a�

utvFwG���gy���w}|���w}yF��w­�h��{�vFw �S�hyF�}¢����8~1|*�k��w����1|*wG�1w}~(w}yF�1�8�}|��F�}x��h�z�z���1~=�gyB{�vFw���w}��w}�S�*~@�g�}xzy1��h�=�D��xz��w}y�������{*w}���g��w}{�{�xzy1���q�g|*�*w��«xz{�v�|*w����F�}xzy1����w}��w}�F��~@�g�}xzy1�F� xzyF��wt{�vFw�§�¡�©8ª°{*w��?v1y1x �O�Fw{�|*w��h{*���­�F�?v����h|���w}|����k�*{*w}���,{�v@�hy�w��F�g�}{���x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gyo��{�vFw���w}��w}�1��~@�g�}xzy1��x��,�9�F�*v������h�z��w}|��y@�h{��1|?�h�z�z�����h²�xzy1��{�vFw­�h�z���g|�xz{�v1� ��w��*�8�g���}�1|?�h{*w¤�¨�g|8w���{�|*w}��w}�z�����h|���w¤������{*w}�����

� r � r�� ioL�L�R@bkW�NfiST4P,R@bkW�ioL�\]R1W�c�i�� xzyF��w«{�vFw��,�hyF�}¢�������w��}{*�g|q��w}{�vF����|*w}~1|*w��?w}yO{*�q{�vFw8���g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gy��«xz{�v���x��?�}|*w}{*w«~=�g��w��¥�xz{��q�g|�²��­��w}|��e��w}�z�q�«vFw}yµ{�vFw���~=w��}{�|��1� ���gyF��x���{*�#�h�D�B�¨w}� ��v@�h|�~e��w��h{��1|*w����h{9���¥�:w}yFw}|������utvFw}|*w����g|*wBxz{�x���xz�z�£ f���1xz{*w���{*�s|*w}~1|*�k���F��wBv1xz��vFw}|�w}yFw}|����³~1|*�g~(w}|�{�x�w����q�*�F�*v_�g�#{�vFw��*v@�h~=wB�h���1|*���g�ew��1�}xz{?�h{�x��gye�@�hyF�a� xzyF��w�xzyF�}|*w��g��xzy1��{�vFw�yO�1�9�=w}|­�h�t{?�h|���w}{­��{?�h{*w��¤��w}|*w}�z��|*w����F��w��{�vFw �O�@�h�zxz{����h�M{?�h|���w}{�xzy1�#�¨�g|tw��g�*v���{?�h{*w��1����x��aw}|*w}yO{«��w}{�vF�k��x��q|*w����1xz|*w��a�Hutv1x�����w}{�vF�k� � � �~1|*�g~(���*w��S{�vFw�{?�h|���w}{�xzy1�C�h�F{�vFw���|*�g�1yF�9�*{?�h{*wH~1�z�F���hyF�g{�vFw}|M��{?�h{*wq���h�z��w��¤{�vFw����g|�|*w��}{�x��gy9��w��}{*�g|��{*�#|*w}~1|*�k���F��w¤{�vFw¤��~(w��}{�|��1� �h{D�9¹1�1w����¨|*w��O�Fw}yF�}���

z = ω + iη�HutvFw¤{?�h|���w}{.��{?�h{*w��«xzyF�}�z�F�1w��

|ψ0〉 the ground state

|A〉 = A|ψ0〉 the first Lanczos vector

|x(z)〉 =1

z −H|A〉 the correction vector

¦ ��� ¬

Page 32: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

xzyF��w#�#¹Fy1xz{*w9�1|*���g�1w}y1xzy1�ηx��.�F�*w��a�@{�vFw9���g|�|*w��}{�x��gys��w��}{*�g|C���hy��=w9��~1�zxz{.xzy�{*��xz{ � �D|*w��h���hyF�

xz���h��xzy@�h|��s~@�h|�{���utvFw�xz���h��xzy@�h|��s~@�h|�{¤x��­�g�1{?�hxzyFw��e�O���*�g�z�kxzy1�B{�vFw#���g�z�����«xzy1���zxzyFw��h|­�*w}{­�h�w����@�h{�x��gyF���1{f�k~1x����h�z�z���F��xzy1��{�vFwG���gy��<�1�O�h{*w¤��|?�g��x�w}y�{.��w}{�vF�k� �

((H − ω)2 + η2)|Im(x(z))〉 = −η|A〉 ¦ ������¬

utv1x��Cw��O�@�h{�x��gy��=w����g��w��C��xzy1���1���h|G�g�ω��w}{*�C�}�����*w}|.{*��hy�w}xz��w}yFw}yFw}|������h�H{�vFw9¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyo�

�hyF� �g��{�vFw��1|*���g�1w}y1xzy1�µ�Q�g�}{*�g|η�(w����g��w��������h�z��w}|��¶¸C�h{��1|?�h�z�z���.{�vFw����gy��<�1�O�h{*w���|?�g��x�w}yO{

�h�z���g|�xz{�v1�%���gyO��w}|���w����­�F�?v��Q�g��{*w}|.�¨�g|8���h|���w}|η� �¥�F�1�1{C{�v@�h{D�}��w��h|��z�B�zxz��xz{*�D{�vFw­|*w��*�g�z�1{�x��gys�h�

{�vFw«��~(w��}{�|��1���,utvFw}|*w����g|*w����C���1xz{?�h�1��w«���g��~1|*�g��x��?w«�=w}{��qw�w}y�|*w��*�g�z�1{�x��gy��h�2{�vFwt��~(w��}{�|��1�K�hyF����g��~1�1{?�h{�x��gy�{�xz��w��¨�g|G{�vFw����gy��<�1�O�h{*w���|?�g��x�w}y�{��h�z���g|�xz{�v1��v@�g�­{*���=w#|*w��g�?vFw���w}��~1xz|�x����h�z�z���utvFwG|*w��h�o~@�h|�{8�h��{�vFw¤���g|�|*w��}{�x��gy���w��}{*�g|8x��8���h���}�1���h{*w����F�*xzy1�

|Re(x(z))〉 =1

η(H − ω)|Im(x(z))〉 ¦ ������¬

��yB{*w}|����.�h��{�vFwG���g|�|*w��}{�x��gy���w��}{*�g|8{�vFw9ª�|*w�w}y�� �«�¨�1yF�}{�x��gy����hyB�=w��«|�xz{�{*w}y���xz|*w��}{��z���g���

GA(z) = 〈A|x(z)〉 ¦ ��� ��¬

utvFw¤�F�?w¤�h��{�vFw9�h�(����w¤{�v1|*w�w­��w��}{*�g|*�C�g�.{?�h|���w}{D��{?�h{*w��¥�@�g~1{�xz��xz¢�w��D{�vFw­§�¡�©8ª �@�g��x��8{*��|*w}~� |*w��*w}y�{�{�vFw}� �hyF�_�h�z���¥�8�����g|����xz|*w��}{���g��~1�1{?�h{�x��gy[�h�¤{�vFwsªC|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gy[�h{����xz��w}y�¨|*w��O�Fw}yF�}�

ω�«xz{�v±���1|*���g�1w}y1xzy1���Q�g�}{*�g|

η� �fy³~1|?�g�}{�x���w��q{�vFwB���g|�|*w}���h{�x��gyµ�·�1yF�}{�x��gy�x�����{�xz�z�

���g��~1�1{*w����g�.xzy�{�vFw �,�hyF�}¢����D��w��}{*�g|C��w}{�vF�k�a�2w��1��w}~1{D{�v@�h{C{�vFw­�*~=w��}{�|��1��x��C�g���}�1|?�h{*w��gy1�z�yFw��h|

ω� ���k{�|*w}��w}�z�³~1|*w��}x��*w|*w����1�z{*�9���g|�{�vFw���~(w��}{�|?�����hyµ�=w�g�1{?�hxzyFw��µ�O�`�F��xzy1�s{f�q�����g|< 

|*w��}{�x��gy[��w��}{*�g|*���}�����*w�xzy �¨|*w��O�Fw}yF�}� �hyF�]�F��xzy1��{�vFw}� {*�µ���g��~1�1{*ws{�vFw�ªC|*w�w}y�� ��·�1yF�}{�x��gy���g|D�¨|*w����Fw}yF�}x�w��G�=w}{��qw�w}ye{�vFw}����´q��w��h|��z���a{�vFw����g|�|*w��}{�x��gye��w��}{*�g|G��w}{�vF�k�sx������g|*w�������{��z��xzy{*w}|������h�����g��~1�1{?�h{�x��gy�{�xz��w��g�C���g��~@�h|*w���{*��{�vFw �S�hyF�}¢�������w��}{*�g|C��w}{�vF�����«v1x��*vs~1|*�¥��x��1w��{�vFw�ªC|*w�w}y�� �D�·�1yF�}{�x��gys����w}|�{�vFw�w}yO{�xz|*w9�·|*w����Fw}yF�}��|?�hy1��w9xzy��gyFw�§�¡�©8ªK|��1yo�C¸Dw}��w}|�{�vFw}��w��*�¥�xz{¤x��G�(w}{�{*w}|­���1xz{*w��e�¨�g|G{�vFw���{��F�����h���1|*���g�`w����}xz{?�h{�x��gy`�@�hyF�1��� ��ye~1|?�g�}{�x���w��M�1w}~=w}yF��xzy1���gy{�vFwD~1|*�g�1��w}� �h{�v@�hyF�a���gyFw.���g�1����¹F|*��{��F�*w.{�vFw �S�hyF�}¢�������w��}{*�g|���w}{�vF�����hyF��{�vFw}y��g�*��w}|�{?�hxzy{�vFwGyFw���w��*�*xz{f�B�h�M�F�*xzy1��{�vFw¤���g|�|*w��}{�x��gy���w��}{*�g|.��w}{�vF���B{*���g�1{?�hxzy�{�vFw9ªC|*w�w}y�� �8�·�1yF�}{�x��gy�xzy��~@�h|�{�x��}�1���h|8�¨|*w����Fw}yF�}��|?�hy1��wG���g|*w9�g���}�1|?�h{*w}�z���

Page 33: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

� r�� � ��WgR2T�XgNQiSTjW�i_W�Yi ��N�\_R2T�XgNQiSTqX

utvFw�x��*���FwG�h�MvF���4{*�#�g~1{�xz���h�z�z�Bw���{*w}yF��{�vFwG§C¡�©8ª»{*��{f�����g|t���g|*w¤��xz��w}yF��x��gy@�h� ���@�hyO{��1�������{*w}����x����x ���}�1�z{��hyF�±x����e�*�1� �<w��}{�h�9�g�}{�xz��w��1w}��w}���g~1��w}y�{�� ��{�x���xzyF��{�|��F�}{�xz��w�{*��¹F|*�*{���gyF��x��1w}|9{�vFw�w���{*w}yF��x��gy`�h�8{�vFw��gyFw� f��xz��w}yF�*x��gy@�h�«�h�z���g|�xz{�v1� {*���gyFw��h�t¹Fy1xz{*w��«x���{�vo��xQ� w��z������g�1�1w}|�� � ��xz��~1��w#w���{*w}yF��x��gy��h��§C¡�©8ªK{*���*�g�z��w­���g|D{�v1x���������{*w}���q�g�1���s�(w¤{*�|*w}~1���g��w�{�vFw��xzy1����w��xz{*w����g�1�1w����(w}{f��w�w}y�{�vFw��1���k�*²����«xz{�v`|*�¥�8���h�.��xz{*w�����¯D�¥�qw}��w}|���{�vFw�w���{�|?���1w}��|*w�w���h�M�·|*w�w��1�g�%�g�1�1w��B{*��{�vFw¤������{*w}�>���g�1�������h²�wG{�vFw¤¯Dxz�z�(w}|�{.��~@�g��wG~1|*�gv1xz�1xz{�xz��w}�z�B���h|���w��qutvFw������{���{�|?�hxz��vO{<���g|����h|*�������{*�¤v@����wD�¤{f�q����xz��w}yF��x��gy@�h�a�h�z���g|�xz{�v1� �«v1x��*vB�g�1�1���gy1�z���¤�*xzy1����w��xz{*w�{*�����*�k��{*w}� �1�����?²��h{��B{�xz��w�x��­{*�����h~�{�vFw �g§ ������{*w}� �gy�{*��� § ���k�*{*w}���S�kxz¢��z�M{*��*vF�k���*w��G~@�h{�v{*�­�g|*�1w}|«�h�z�2{�vFwD���h{�{�x���wC��xz{*w�����utvFw}|*w��¨�g|*w��k{�vFw �g§[~1|*�k��w����1|*wD��x��aw}|*�H�¨|*�g�:{�vFw

§ �gyFw#xzy�{�v@�h{¤{�vFw}|*w��h|*w��g�1��xz{�x��gy@�h�����gy1yFw��}{�x��gyF�¤�(w}{f�qw�w}y�{�vFw�������{*w}���hyF�ew}yO�kxz|*�gy1��w}yO{�1���k�*²���� ��{���~1x����h�D~@�h{�v±|��1y1y1xzy1���1~ �hyF�°�1���«y]{�vFwB�«x���{�v]�h��{�vFw�������{*w}� x���xz�z�z�F��{�|?�h{*w��xzy±{�vFw�¹F���1|*w��(w}�����¤�jutvFw�y��1�­�(w}|��h�­�*{?�h{*w���yFw�w��1w��_{*�����hxzy�{?�hxzy ����w}|�{?�hxzy]{�|��1yF���h{�x��gy

System Environment

ºMxz���1|*w ��� � � �g§»§�¡�©8ª �h�z���g|�xz{�v1� �g�1{?�hxzyFw����O����h~1~1xzy1���gyO{*��� §»���h{�{�x���w

w}|�|*�g|�xzy�{�vFwB�1w}yF��xz{��`���h{�|�x£��~1|*� ��w��}{�x��gy°~1|*�k��w����1|*wB�1w}~=w}yF�1����{�|*�gy1���z�³�gy�{�vFw�y��1�­�(w}|��h��g~(w}|?�h{*�g|*�«���gy1yFw��}{�xzy1��{�vFwC{��q�#������{*w}� �hyF�w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{�� �tw���{��g���}�1|?�g�}��x��t�g�1{?�hxzyFw����«vFw}y{�vFw�y��1�­�(w}|��h�8���gy1yFw��}{�x��gyF�9�=w}{��qw�w}y³{�vFw�{f����x��­��xzy1xz��xz¢�w��a�ButvFw}|*w��¨�g|*w�xz{¤x��­���g�����gy`{*���{��F�����g~(w}yµ���k�*{*w}���9�g|�~=w}|�x��k��x����gy1�z�`�h���gy1�s{�vFw��«x���{�v��h�.{�vFw����g�1�1w}|�� �f{����g�����g�1yF�`�O��ax��hy1���hyF� ��hy1� � � � {�v@�h{�{�vFw#yO�1�­�(w}|¤�h���*{?�h{*w���yFw�w��1w��s{*�����hxzy�{?�hxzy`���w}|�{?�hxzy��g���}�1|?�g�}�

Page 34: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

��|*���8�qw��k~(�gyFw}yO{�x��h�z�z�#�«xz{�v�{�vFwt�«x���{�v��h�={�vFw«���h{�{�x���w�� �D�z{�vF�g�1��v�{�vFw8������{*w}� ��{��F��x�w������9{�vFw}����g�C�#�O�g�.�h��yF�gy �OxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1�B��~1xzy1��w��?�«��w}|���x��gyF���1xz{8x��8w���~(w��}{*w��B{�v@�h{.{�vFw­�h�(����w9��{?�h{*w}��w}yO{x���~1|*�g�@�h�1�z�s�g�h�zx������g|¤�hyO� �g§ §C¡�©8ª:���h���}�1���h{�x��gy�~(w}|<�¨�g|���w��s�����F�*xzy1�B{�vFw §!���h~1~1xzy1�F�utvO�F�.{�v1x��.�h�z���g|�xz{�v1���Fx��8yF�g{D��{�|��Fw�g§¶§�¡�©8ª �h�z���g|�xz{�v1���

utvFw.���g��w}yO{��1�>��~@�g��wC§�¡�©8ª ~1|*�¥��x��1w��«�hy��h�z{*w}|�y@�h{�xz��w.�t����{*�­xz��~1��w}��w}yO{t{�vFwD§�¡�©8ªxzy�{f�����g|����g|*w���xz��w}yF�*x��gyF��� �fy�{�v1x���|*w}~1|*w��*w}yO{?�h{�x��gyo��{�vFwB���g��w}y�{��1��x������gyF�*w}|���w��_�hyF�²kxzyFw}{�x���w}yFw}|�����x���{�|*w��h{*w��e|�xz���g|*�g�F���z����xzyF��w#xz{Gx��G��x��h���gy@�h�Q��¯D�¥�qw}��w}|��,xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF�����F�*v��g�{�vFw�¯.�1�1�@�h|*�]{*w}|�� �h|*w�yF�gy� f��x��h���gy@�h�Gxzy]���g��w}yO{��1� ��~@�g��w��»utvFw�¯D�1�1�@�h|*�]xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyxzy����g��w}yO{��1� ��~@�g��wxzyO���g�z��w���s���1� ����w}|�{�v1|*w�w����g��w}y�{?����w��g��xzy1�e{*�

N3 {*w}|�����xzy�{�vFw¯��h��xz�z{*�gy1x��hyo��utvFw}|*w��¨�g|*w������{�|?�hxz��vO{<���g|����h|*�`xz��~1��w}��w}yO{?�h{�x��gy³x���yF�g{G~=���?��xz�1��w��¨�g|�|*w��h�zx���{�x�����h���}�1���h{�x��gyF��� ��{.�t�g�C�g�F�?w}|���w���xzy � � � {�v@�h{C{�vFw9{�v1|*w�w� ����g�����*�1�����h{�x��gyF��xzy�{�vFw9xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy���hy��(w�|*w����F��w��`{*�������1� ���gyO{?�hxzy1xzy1�e�hy³�g|*�1w}|

NyO�1�9�=w}|#�h�«{*w}|����­���e�1w�¹Fy1xzy1����w}|�{?�hxzy

���g��~(����xz{*w��g~=w}|?�h{*�g|*�¥�¤uS�B���h|�|����g�1{G{�vFw�§�¡�©8ª®xz{*w}|?�h{�x��gyF�¥�o�gyFw#yFw�w��1��{*���g|*�1w}|G{�vFw(kσ)

~(�gxzyO{*��� �fy���w}yFw}|?�h�Q�8�h�z�(kσ)

~=�gxzy�{*���h|*w����gy1yFw��}{*w��±{*�ew��g�*v]�g{�vFw}|����³xzy�{*w}|?�g�}{�x��gyF���.�hyF�{�vFw�|?�h{*w��h�8���gyO��w}|���w}yF��w��h�8{�vFw���|*�g�1yF�`��{?�h{*w�w}yFw}|����e�1w}~(w}yF�1�9�*{�|*�gy1���z�e�gy�{�vFw��g|*�1w}|�xzy1�F��:|��1��w��h�«{�vO�1�9�����g|­�g|*�1w}|�xzy1��{�vFw

(kσ)~=�gxzy�{*�­x��­{�v@�h{¤{�vF���*w

(kσ)~@�hxz|*�¤�«v1x��*v³v@����w�{�vFw

��{�|*�gy1��w���{.xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy��*vF�g�1���B�=w¤�h|�|?�hy1��w����g�8�}�����*w­�g�t~(���*��xz�1��w�xzy�{�vFwG�g|*�1w}|*w��(kσ)

�*v@�hxzyo���y³{�vFwB¯D�1�1�@�h|*�µ���k�1w}�Q�HvF����w}��w}|���{�vFw�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy_�*{�|*w}y1��{�v°�1��w��#yF�g{��1w}~(w}yF���gy

k�hyF�

�gyFw��������?vF�����*w��hy����g|*�1w}|�xzy1�F��utv1x���x���yF�g{�{�vFw����g�*w��H�¨�g|�w��F�h��~1��w��q�«xz{�v°{�vFwBw��k{*w}yF�1w��¯D�1�1�@�h|*�µ�����1w}�«�«xz{�v�yFw��h|*w���{�yFw}xz��v��=�g|�´��g�1���g�­�±|*w}~1�1���*x��gyo�³©Dw����1�z{*���g�1{?�hxzyFw��µxzy��(�g{�v�gyFwB�hyF�³{f�q�s��xz��w}yF��x��gyF�����g|#{�vFw�¯D�1�1�@�h|*�³�����1w}�t�F��xzy1�s{�vFw����g��w}yO{��1���*~@�g��w�§�¡�©«ª���h�z{�vF�g�1��v�|*w��g�*�gy@�h�1��w��@��vF���[{�v@�h{«{�vFwC��w}{�vF�k��x��t�����k���gy1�z���h{t�qw��h²����g�1~1�zxzy1�F��º@�g|«{�vFwG�gyFw��xz��w}yF��x��gy@�h�qv@�h�£��¹F�z��w���¯.�1�1�@�h|*�������1w}�q�����g��~@�h|�x��*�gy�{*�B|*w��h�q��~@�g��w�§�¡�©8ª ��vF���8�­{�v@�h{���g��w}yO{��1� ��~@�g��wB§�¡�©8ª ~(w}|<�¨�g|����#~(�k�g|*w}|��`utv1x���x��#�(w����h�F�*w�{�vFwB¯D�1�1�@�h|*�µxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyx���������h��xzy |*w��h�G��~@�g��w��hyF� w}��w��}{�|*�gyF��{*w}yF� {*���(w��������h�zxz¢�w��]xzy[��~@�g��w��h{�v@�h�£�¤¹F�z�zxzy1�F� ��y{f������xz��w}yF��x��gyF�9{�vFw���w}{�vF�k��~(w}|<�¨�g|����G�(w}{�{*w}|­{�v@�hy�xzy��gyFw���xz��w}yF��x��gyo�,�1�1{­�gy1�z�s�=w����h�F�?w{�vFw#|*w}���h{�xz��w����gyO{�|�xz�1�1{�x��gy³�h��{�vFw�²kxzyFw}{�x���w}yFw}|�����{*w}|�� {*��{�vFw#��|*�g�1yF����{?�h{*w#w}yFw}|������o�«v1x��*vx��¤{�|*w��h{*w���|�xz���g|*�g�F���z�������g��~@�h|*w��e�«xz{�v`{�vFw�~(�g{*w}yO{�x��h�tw}yFw}|������Mx��¤���h|���w}|­xzy`{f������xz��w}yF��x��gyF�{�v@�hy±xzy]�gyFw��[utvFw}|*w��¨�g|*w��D�h�z{�vF�g�1��v_xz{�x����e�*{*w}~±{*���t�h|*�1�B��{�|��Fw��g§ §C¡�©8ª �h�z���g|�xz{�v1���{�vFw����g��w}yO{��1����~@�g��w¤§�¡�©«ªjx��8yF�g{��O�1xz{*wG�gyFw��1�(w����h�F�*w�xz{*�«~(w}|<���g|����hyF��wG�1w}~=w}yF�1�D�gyB{�vFw

Page 35: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

��{�|*w}y1��{�v��h��{�vFwGxzy�{*w}|?�g�}{�x��gyF���

�ewD��v@�h�z�@��x��*�}�F�?��xzy´qv@�h~1{*w}|��¤�hy��h~1~1|*���g�*v�{*�¤���g�­�1xzyFwD{�vFw.§�¡�©8ª x��1w��G�«xz{�v����ky@�h�# x����h�o��w��hyB¹@w}����{�vFw��g|���xzy��g|*�1w}|.{*���g�1{?�hxzy�� � �(w}{�{*w}|.���hyF��x��F�h{*w �1���g|.� �g§ ©8ª �h�z���g|�xz{�v1���

Page 36: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

����+��902$�&��

� �902'*)M+8-B&($�/ �6859/2$!+.5937$��G)M'<026.59/4'?57685�$:39'?"%$�5�/@'?6859+.-�� 6t0F0'?59/2 9-*+«026«&(/

��r � �ZT,W�L�i ���qbkW�NQiST

��y9|*w���w}y�{M��w��h|*�¥���*w}��w}|?�h�����h{*w}|�x��h����v@����w��=w�w}y#��x��*������w}|*w���{�v@�h{H�h�z�����µ{�vFwqxzyO��w���{�xz�O�h{�x��gy��h�2{�vFw~1|*�g~(w}|�{�x�w��D�h��{�vFw § w}��w��}{�|*�gy1x��9��{?�h{*wG�1yF�1w}|.{�vFw¤xzy �F�Fw}yF��w9�h���=�g{�v���{�|*�gy1��w}��w��}{�|*�gy� Q���h{�{�x���w�hyF�¤w}��w��}{�|*�gy� fw}��w��}{�|*�gy#���g|�|*w}���h{�x��gyo��utvFw��*w ���@�g��xO�gyFwH��xz��w}yF��x��gy@�h�k������{*w}���axzyF�}�z�F�1w����h{*w}|�x��h������F�?v��g� | ´q� �

2� |

2´q� �

3�k���gy�� �1�O�h{*w���~(�g�z����w}|*�t�hyF��¸DxFv@�h�zx��1w�� � � � � � �h���gy1����{��?w}��w}|?�h�

�g{�vFw}|*����utvFw��*wD������{*w}��������w}�z�=�1w��?�}|�xz�=w���g�q¡��g{�{�xzyF���1���h{*�g|*�¥�O|*w}���hxzyB�¤�?v@�h�z��w}y1��wD{*�9w��kx��*{�xzy1�{�vFw��g|*w}{�x����h�G��w}{�vF�k�1��� �fy]{�v1x����*v@�h~1{*w}|B��w��*v@�h�z�C��x��*�}�F�?��?�g��w�xzyF�*xz��vO{*��{�v@�h{�v@����w��(w�w}y�g�1{?�hxzyFw��[xzy�{*�µ{�vFw��g~1{�x����h�¤|*w���~(�gyF�*w��.�?v@�h|���w��O�h~ �hyF� {�vFws�=w}v@����x��g|��h�#w����}xz{*�gyF��xzy4�gyFw��xz��w}yF��x��gy@�h��¡��g{�{SxzyF���1���h{*�g|*�S�1{�xz�zxz¢�xzy1�C{�vFw��1w}yF�*xz{f�G���h{�|�x£�¤|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy#��|*�g�1~¦¨§�¡�©«ª­¬��w}{�vF�k�a�

��r�� � VaTqT�NQR@L�VaT�� � iaWgW�� ��b1NQW�iST�X

���1�}xz{*�gyF��xzy����gyO��w}yO{�x��gy@�h�a�@�hyF��xzyF���1���h{*�g|*�t�h|*w«�qw}�z�(�1w��*�}|�xz�(w����O�����hy1y1x�w}|q{�vFw��g|���� �±���hy� y1x�w}|tw����}xz{*�gyx����­�*v@�h|���wCyFw}�1{�|?�h�(�g~1{�x����h�=w��1�}xz{?�h{�x��gy����g�1wC�h�,�hy�w}��w��}{�|*�gy�xzy{�vFw.���gyF���F�}{�x��gy�@�hyF���hyF���.vF�g��wqxzy9{�vFw����h��w}yF��w��@�hyF�a�g�(�g�1yF��{*�g��w}{�vFw}|M���¤{�vFw«´��g�1���g�­���h{�{�|?�g�}{�x��gy#�=w}{��qw�w}y{�vFw}������y�xzyF�g|��O�hy1x��­�*w}��x����gyF���F�}{*�g|*�«�zxz²�w­ªG� �C����{�vFw�{f�k~1x����h�a�1xzyF��xzy1��w}yFw}|������F�g�«�1w�¹FyFw����O�{�vFw�w}yFw}|����s��x��(w}|*w}yF��w��(w}{f��w�w}ye{�vFw�w��1�}xz{*�gy��hyF��{�vFw#�@�hyF��w�����w��h��{�vFw#~@�h|�{�x��}��w#vF�g��w����gy� {�xzyO�1�1���qx��#�*w}��w}|?�h�«��w��#��utv1x�����vF�g�1���³�(w���g��~@�h|*w��µ�«xz{�v�{�vFw�@�hyF�µ�O�h~µxz{*�*w}�£�����«v1x��*v±x���h�.{�vFw��g|*�1w}|��h�C�gyFw�w��#�MutvFw�{���~1x����h�8�*xz¢�w�h�������hy1y1x�w}|�w��1�}xz{*�gy°�h{ ������ x����h�z������{#{f�q��g|*�1w}|*���h�.���h��y1xz{��F�1w����h|���w}|#{�v@�hyµ{�vFw����h{�{�x���wB�*~@�g�}xzy1�F�s�ew�h���*��yF�g{*w{�v@�h{��h�z{�vF�g�1��v�{�vFw

Page 37: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

{*�g{?�h�2�*~1xzy��h�S�hy��g~1{�x����h�z�z��w��1�}xz{*w���w��1�}xz{*�gy�x��qyFw���w��*�?�h|�xz�z�#¢�w}|*�1��xz{�x������g��~(���*w����h�({��q� �O�@�g�*x£ ~@�h|�{�x��}��w��«���h|�|��kxzy1�#�*~1xzy�  � ��� �fy���hy1y1x�w}|t{�vFw��g|����kw��1�}xz{*�gy�~1|*�g~=w}|�{�x�w��¥�k�*�F�*v��g�q�*xz¢�w����1xzyF��xzy1�w}yFw}|������(w �(w��}{�xz��w­���g�*���=�g|D�g~1{�x����h�M�qw}xz��v�{��(�h|*w9|*w}���h{*w����O����xz��~1��w�w��O�@�h{�x��gyF���hyF��w��kv1xz�1xz{�����gyF�g{*�gy1x����(w}v@���kx��g|��g�9��·�1yF�}{�x��gy³�h��{�vFw´��g�1���g�­�³|*w}~1�1����x��gy`��{�|*w}y1��{�vo��utv1x��­��xz��~1�zx��}xz{��x������Fw�{*�e�s��|?�g��{�x����g�*���1��~1{�x��gy°�h��{�v1x���{�vFw��g|�� �B�g~1{�x����h�Dw����}xz{?�h{�x��gyF��h|*w�|*w}~1|*w��*w}yO{*w��±�O�w}��w��}{�|*�gy� QvF�g��w#~@�hxz|*���«v1x��*v��h|*w9xzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{G�¨|*�g� {�vFw#������{*w}� � �C�g{�vFw}|G�1w}��|*w�w��G�h�H�·|*w�w��1�g���utvFwDxzyO{*w}|?�g�}{�x��gy��«xz{�v�{�vFw��?wD�1w}��|*w�w��t�h�a�¨|*w�w��1�g�!x��q{?�h²�w}y�xzy�{*���g�����g�1y�{«�gy1�z��{�v1|*�g�1��v�|*w}yF�g|< ���h�zxz¢�w���~@�h|?�h��w}{*w}|*�G���F�*v��g�Dw �aw��}{�xz��w¤���g�?�*w��8���g|.{�vFw�w}��w��}{�|*�gy��hyF��vF�g��w��(�hyF���hy�w �(w��}{�xz��w�@�g�*²k��|*�g�1yF����x�w}��w��}{�|�x��9���gyF��{?�hyO{8�¨�g|8{�vFw­´��g�1���g�9��xzy�{*w}|?�g�}{�x��gy��(w}{f��w�w}y�w}��w��}{�|*�gy��hyF��vF�g��w��

��y#{�vFw8���g�*wt�h�a¡��g{�{�xzyF���1���h{*�g|*�¥��{�vFw8��xz{��@�h{�x��gy�x�� ���1xz{*w«��x��aw}|*w}yO{q�hyF�#{�vFw«w��1�}xz{*�gy�~1|*�g~(w}|< {�x�w�����vF�¥�±�.���g|*wt���g��~1��w��#�=w}v@����x��g|�� �D�z{�vF�g�1��v���¡��g{�{< f¯D�1�1�@�h|*��w��1�}xz{*�gy#���hy��(wt�1w��*�}|�xz�(w���g�9���=�g�1yF��~@�hxz|9�h�.w��1�}xz{?�h{�x��gyF�­�«xz{�v³�g~1~=���*xz{*w��*v@�h|���w��¥��{�vFw´��g�1���g�­�³xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy°�h{9{�vFw�?�h��w{�xz��w�1w}{*w}|���xzyFw���{�vFw���xz¢�w��h�D{�vFw¡��g{�{��O�h~o��{�vFw�w����}xz{*�gyµ~1|*�g~(w}|�{�x�w������hyF�³{�vFw����g�� ~1�zxzy1���h��{�vFw�w��1�}xz{*�gy�{*��{�vFw��g{�vFw}|Dw}��w��}{�|*�gyF�Cxzy�{�vFw9������{*w}���«utvFw}|*w����g|*w��=�hy�xzyF�}|*w��g�*w��h�H{�vFw´��g�1���g�­�`xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy³��{�|*w}y1��{�v��1�kw���yF�g{¤��xz��~1�z���1xzyF�e{�vFw�w����}xz{*�gye���g|*w#{�xz��v�{��z���S�1�1{­�h���?�|*w}yF�g|����h�zxz¢�w���{�vFw«�O�h~�hyF�����g�1~1��w���{�vFw8~@�h|�{�x��}��w� QvF�g��wCw��1�}xz{?�h{�x��gy����g|*wD��{�|*�gy1���z�#{*�¤{�vFw8�g{�vFw}|w}��w��}{�|*�gyF���Hutv1x��8��w��g�1�«{*����yF�gy� Q���gyF�g{*�gy1x��­�(w}v@���kx��g|8�h��¡��g{�{< f¯D�1�1�@�h|*��w��1�}xz{*�gy�~1|*�g~=w}|�{�x�w���g�9���·�1yF�}{�x��gy³�h�t{�vFw�´��g�1���g�­�³|*w}~1�1����x��gy`�*{�|*w}y1��{�vo�M�hyF�`w}��w}y�{*�BxzyF��{?�h�1xz�zxz{�x�w���{*�¥���h|*�`{�vFw���g|����h{�x��gy��h�H�*v@�h|���w� f�1w}yF��xz{����t����w­��|*�g~1��w}{*�¥��utvFw9w����}xz{*�gy��1xzyF��xzy1��w}yFw}|������2xzy�w�� �F�z�F~(�g�z����x£ �g��w}{f�k��w}yFw�� � !�� � � � x��«���g�1yF�B{*���(wG�h��{�vFw¤�g|*�1w}|D�h� � ����w��®�hyF�Bx��.���g��~@�h|?�h�1��w¤{*��{�vFw¤�g~1{�x����h��O�h~��«v1x��?v�x��8�h��{�vFw¤�g|*�1w}|D�h� ��� ��w ���FutvFw­w����}xz{*�gy��*xz¢�wGv@�g�«�(w�w}y�w���{�xz���h{*w���{*�#�(w­�g�8�*���h�z��g� � � �hyF��vFw}yF��w����g��~@�h|?�h�1��wC{*�9{�vFwD��w}y1��{�v��h�S{�vFwD�1y1xz{���w}�z�a�h{�� � �kutvFw��*w.���g�}{*�qy@�h{��1|?�h�z�z����1����w���{q{�v@�h{qw}��w��}{�|*�gy� fw}��w��}{�|*�gy�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF�t�«xz�z�2~1�������hy�xz��~=�g|�{?�hy�{q|*�g��w.xzy��hyO��{�vFw��g|*w}{�x����h��1w��*�}|�xz~1{�x��gy��h��w��1�}xz{*�gyF�«xzy�{�vFw��*w����h{*w}|�x��h���¥�

��r�� �>i �HR2dG��Va\ NfdQWgi,T�NQVaT

©.w��h�zx��*{�x������k�1w}���¤���g|­{�vFw��Z���g|*w}��w}yO{�x��gyFw���������{*w}���9�­�F��{��g�����g�1yO{����g|9{�vFw�w �(w��}{*�#�h�8�(�g{�vw}��w��}{�|*�gy� fw}��w��}{�|*�gy°�hyF�ew}��w��}{�|*�gy� Q~1vF�gyF�gyµxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF����ªCxz��w}y�{�vFw����g��~1��w��kxz{����h�t{�vFw�{?�g��²(��g����¹F|*��{C��{*w}~�xz{Dx��Dy@�h{��1|?�h�,{*��xzyO��w��*{�xz�O�h{*w9{�vFw�w �aw��}{*�C�h�H{�vFw9{f�����w��*v@�hy1x������G�*w}~@�h|?�h{*w}�z����ew.�¨�k�}�F�qw}y�{�xz|*w}�z���gy�{�vFwDw �aw��}{*�t�h�Sw}��w��}{�|*�gy� fw}��w��}{�|*�gy�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy��hyF����{��F����{�vFw ���k{*w}yF�1w��

Page 38: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

¯D�1�1�@�h|*��¡��k�1w}��¦ �H¯C¡s¬«�1w�¹FyFw��B�O�

H = −t∑

j,σ

(

c†j+1σcjσ +v.c.

)

+U∑

j

(

nj↑ −1

2

)(

nj↓ −1

2

)

+V∑

j

(nj − 1) (nj+1 − 1)

¦ ��� ¬utvFw#¹F|*��{­{f�q��{*w}|����­���g|�|*w���~(�gyF��xzy1��{*��vF�g~1~1xzy1���(w}{f�qw�w}y³yFw��h|*w���{¤yFw}xz��v��=�g|���xz{*w��9�hyF�e{�vFw�gyF��xz{*wG´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gy~1|*���kx��1w.{�vFwC���g��~(w}{�xz{�x��gy�(w}{f��w�w}y�xz{�xzyFw}|?�g�}���hyF�����k���h�zxz¢¥�h{�x��gy�xzy{�vFwt|*w}���1���h|H¯D�1�1�@�h|*�#�����1w}�Q��utvFwt{�v1xz|*�#{*w}|�� |*w}~1|*w��*w}y�{*��´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gy��=w}{��qw�w}yw}��w��� {�|*�gyF�¤�k���}�1~O�kxzy1�ByFw��h|*w���{GyFw}xz��vO�(�g|¤��xz{*w����9utvFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy³�g���«|�xz{�{*w}y��h�=�¥��w#���@�h|?�hyO{*w�w���hy�xzyF���1���h{�xzy1����|*�g�1yF����{?�h{*wG�«xz{�v��9¹F�z�zxzy1���h���gyFw¤w}��w��}{�|*�gy�~=w}|.�*xz{*w��

�D�z{�vF�g�1��vs{�v1x��.���k�1w}�Mv@�g�D�(w�w}y��«x��1w}�z����{��F��x�w��a�=���hyO� ���Fw���{�x��gyF�C|*w}���hxzy��1y@�hyF���qw}|*w��a�utvFw ��w}{�vFw �.yF� �h{�¢9��w}{�vF�k��~1|*�¥��x��1w��G�hysw��1�g�}{C�*�g�z�1{�x��gyo�@�1�1{��gy1�z�B�«vFw}y

V = 0��� �� �.utvFw

��w}{�vF�k�¤v@�g�a�(w�w}y­�F�*w��¤{*�8�g�1{?�hxzy­{�vFwHw}yFw}|����¤�*~=w��}{�|��1�j�hyF�¤{�vFw}|��������ky@�h��x������g�1�1{,�t|*w}�zx��h�1��w���g��~1�1{?�h{�x��gyB�h�o����y@�h��x����h� �O�@�hy�{�xz{�x�w��q�*�F�*vB�g�H{�vFw.�g~1{�x����h�=|*w���~(�gyF�*w«|*w}���hxzyF��w}�z�F��xz��w���¸C�gy� ~(w}|�{��1|��@�h{�xz��w�hy@�h�z�k{�x�����{��F��x�w��9�h�«{�vFw�����y@�h��x����h�q|*w���~(�gyF�*w�xzy�{�vFw��?w�������{*w}���Gv@����w����h|���w}�z��(w�w}y�|*w���{�|�x��}{*w���{*�­{�vFw8���gyO{�xzy��1�1� �zxz��xz{ ������� ��� � ���ew.��x��*�}�F�*�H{�vFw8|*w}��w}���hyF��w.�h�a{�vFw��*w8��{��F��x�w�����h{*w}|8xzyB{�v1x��D�*v@�h~1{*w}|��

¸D�1��w}|�x����h�O��w}{�vF�k�1�S�*�F�*v9�g�,w��1�g�}{S��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gyo���h�z{�vF�g�1��v����h�z�@�h�1��w�xzy¤~1|*���kx���xzy1�C|*w��h��¨|*w��O�Fw}yF�}��xzy����g|����h{�x��gyo���h|*w��zxz��xz{*w��`{*�������h�z�q������{*w}� ��xz¢�w������ � � � D�@�hyO{��1� ¡��gy�{*w�´t�h|������w}{�vF�k�1�q���hy�{�|*w��h{����h|���w«¹Fy1xz{*wC��xz¢�w8�}�z�F�*{*w}|*���O�1�1{t�hy@�h�z��{�x��D���gyO{�xzy��@�h{�x��gy��·|*�g�®xz���h��xzy@�h|���{*�|*w��h�a�¨|*w��O�Fw}yF�}x�w��8x��.�hy��1y1|*w}�zx��h�1��w¤~1|*�k��w����1|*w��

utvFw#|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~�x��1w��v@�g��vFw}�z~=w����«xz{�ve�*�g��w#�h�q{�vFw�{*�g�1��vFw���{G~1|*�g�1��w}���¤xzy~1vO����x����«xzy��«v1x��*vo�F{���~1x����h�z�z���=�����h|���wGyO�1�9�=w}|C�h���1w}��|*w�w��D�h�,�¨|*w�w��1�g� ~1�����B�hy�w��?�*w}yO{�x��h�,|*�g��w��utvFw¤w������g�}���h��{�v1x��«x��1w����g�D��{*�k�g�o{*�����g��~1�1{*w9w��k~(w}|�xz��w}yO{?�h�z�z�B|*w}��w}���hyO{ �O�@�hy�{�xz{�x�w��.�zx�w��.xzy{�vFw��h�1xz�zxz{f��{*�9xzyO{*w}��|?�h{*w��g�1{�{�vFw.yF�gy� fw��*�?w}yO{�x��h�a�1w}��|*w�w��t�h�o�·|*w�w��1�g����utv1x��qv@�g���=w�w}y��1|*�g�1��vO{{*���·|��1xz{�x��gy³�«xz{�v`{�|*w}��w}yF�1�g�F���*�F����w��*�­xzyµ��y��1��w}|�x����h�8�h�z���g|�xz{�v1� ���g|������ ��xz��w}yF��x��gy@�h�txzy� {*w}|?�g�}{�xzy1��������{*w}�����=y@�h��w}�z��{�vFw�§�w}yF��xz{f��¡��h{�|�x£�s©.w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy³ªC|*�g�1~±¦¨§�¡�©8ª¤¬ ����� ! � ��«v1x��*v³���g�#��x��*�}�F�?�*w���xzyµ�1w}{?�hxz��xzy�{�vFw�~1|*w}�kx��g�F�9�?v@�h~1{*w}|���utvFw��*{?�hyF�F�h|*�`§�¡�©«ª ��w}{�vF�k����g�1~1��w����«xz{�v�{�vFw � �S�hyF�}¢����C��w��}{*�g|D��w}{�vF��� �Gx��.w���~(w��}{*w���{*���(wG��w}|��Bw����}x�w}yO{Cxzy����h~1{��1|�xzy1���v@�h|�~���w��h{��1|*w��D�h{«���¥� w}yFw}|���x�w��.���F�?v��g�8w��1�}xz{*�gyF�«xzy�{�vFwG�g~1{�x����h�S��~(w��}{�|��1��� �D�z{�vF�g�1��v�w��1�}x£ {*�gy1x��C��w��h{��1|*w��«xzyB�­�1�z{�x£ Q~@�h|�{�x��}��w9���g|�|*w}���h{�x��gyB�·�1yF�}{�x��gyF�8v@����wG�(w�w}yB|*w}~=�g|�{*w���xzyB{�vFw ��¯D¡ xzy

Page 39: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��!

~1|*w}�kx��g�F�«��{��F��x�w�����{�vFw}|*wCv@�g�t�=w�w}yByF��|*w}�zx��h�1��w�yF�gy� Q~(w}|�{��1�@�h{�xz��w¤���g��~1�1{?�h{�x��gy��h�M{�vFwC�g~1{�x����h����gyF���F�}{�xz�kxz{f������w}|.{�vFw¤w}yO{�xz|*w­|?�hy1��w¤�h�,�¨|*w����Fw}yF�}���hyF�����g�1~1�zxzy1��~@�h|?�h��w}{*w}|*� ����� � � � � �

��r�� m�c�VaXZR �qNQV �oL�Va\

utvFw �H¯D¡ �h{v@�h�£�· �¹F�z�zxzy1�µ�*vF���8�B�hy±xzy�{*w}|*w���{�xzy1��~1v@�g�*w���x��h��|?�h��� ��y±{�vFw��qw��h²±���g�1~1�zxzy1��zxz��xz{­¦

U � t¬�{�vFwG������{*w}�>�1yF�1w}|�����w��D�#�*w����gyF�B�g|*�1w}|«{�|?�hyF��xz{�x��gyB�¨|*�g� �#��~1xzyB�1w}yF��xz{f���t����w

¦ §«�4¬.~1v@�g�*w�{*�����*v@�h|���w��1w}yF�*xz{f���t����w�¦Q´�§«�4¬D��{?�h{*w��g�G���¨�1yF�}{�x��gy��h��xzyF�}|*w��g��xzy1�V�(�h{

V = U/2+δ(U)�HºF�g|�xzyO{*w}|���w���x��h{*w8���h�z�Fw��H�h�

U{�vFw §«� �hyF��´�§«� ~1v@�g�*w����h|*w«�*w}~@�h|?�h{*w��

�O���Cy@�h|�|*�¥�±|*w}��x��gy��«xz{�v���=�gyF���?v@�h|���w.�1w}yF��xz{��#������w#¦ �8´�§«�4¬��g|*�1w}|����D���gyFwD�h~1~1|*���g�*vFw����{�|*�gy1�e���g�1~1�zxzy1� ¦

U � t¬��q{�vFw�{�|?�hyF��xz{�x��gy°x����h�O�hxzy��¨|*�g���hy §«� {*�e�e´�§«� ~1v@�g�*w��h{

V = U/2 + δ(U)�S�1�1{¤xz{Gx��­yF��� ¹F|*�*{­�g|*�1w}|���utvFw������h�z�����g|�|*w��}{�x��gy

δ(U)x��G~(����xz{�xz��w��hyF�

�h~1~1|*���g�*vFw��¤¢�w}|*��h{C�=�g{�v�{�vFw9�qw��h²��hyF����{�|*�gy1�B���g�1~1�zxzy1�Bw}yF�1���CutvFw9~1|*w��}x��?w­���k���h{�x��gy��h�q�{�|�x��}|�xz{�x����h�(~=�gxzy�{t�h{�{�vFw.�}|*���?�*����w}|t�(w}{f�qw�w}y�{�vFw8¹F|*��{t�hyF��*w����gyF��g|*�1w}|q{�|?�hyF�*xz{�x��gyF�qv@�g�q�(w�w}y�B���1� ��w��}{¤�h�«�­�F�?v�xzyO��w��*{�xz�O�h{�x��gy ������� ��� � � �� �hyF��x��¤���g��~1�zx����h{*w��`�O��{�vFw�w��kx��*{*w}yF��w��h�t{�vFw�8´�§«� �g|*�1w}|��

��r�� � �HW�Nfb�VadDL�R@X �«iSTqXZRµVaT��KX �«R2bkWgLOV(dCn ��TqbkW�NQiSTqX

��y�{�v1x����*w��}{�x��gy���w8���k�g²#�h{�{�vFw8�g~1{�x����h�@|*w���~(�gyF�*w8�hyF���������h�F��~(w��}{�|?�h�1�¨�1yF�}{�x��gy��h�({�vFw��H¯C¡�xzy{�vFw���{�|*�gy1�����g�1~1�zxzy1��|*w}��xz��w����ewD¹1�

U�h{8�¤|*w��h�zx���{�x��C���h�z�Fw��h�

12t¦¨w}�F� | ´q� �

2¬���utvFw.¹F|*�*{

�g|*�1w}|�{�|?�hyF��xz{�x��gy#�(w}{f�qw�w}y�{�vFw §8� �hyF��´�§«� ~1v@�g�*w��Mx������hy1x£�¨w���{�xzy#{�vFwt�g~1{�x����h�1~1|*�g~=w}|�{�x�w���g���qw}�z�o�g��xzy�{�vFwD��|*�g�1yF����{?�h{*wCw}yFw}|������ �.�z�={�vFwD|*w����1�z{*��~1|*w��*w}yO{*w���vFw}|*wC�qw}|*w��g�1{?�hxzyFw����¨|*�g����g��~1�1{?�h{�x��gyF�#~(w}|<�¨�g|���w��`�«xz{�ve¹Fy1xz{*w��xz¢�w��?v@�hxzyF�#�h�

Ns = 50��xz{*w��­�«xz{�v³�g~=w}y³�(�g�1yF�F�h|��

���gyF��xz{�x��gyF���F��xzy1�e{�vFw �S�hyF�}¢�������w��}{*�g|���w}{�vF�k�a� {��F���kxzy1���g{�vFw}|��*xz¢�w���¦Ns = 18, 34, 66

¬��vF�¥�8��{�v@�h{�{�vFw8|*w����1�z{*�����g|

Ns = 50�h|*w8���hxz|��z��|*w}~1|*w��?w}yO{?�h{�xz��w��h�o{�vFw8{�vFw}|����k����y@�h��x��D�zxz��xz{��

�ewB�F�*w�{�vFwB¹Fy1xz{*w���xz¢�w���w}|*��x��gy±�h��{�vFw�§�¡�©«ª��h�z���g|�xz{�v1� �hyF�°�?vF�����*wm = 300

���g|�{�vFw���h|���w���{�������{*w}���*xz¢�w��D��w9���gyF�*x��1w}|�� w}��w��}{*w��s|��1yF�C~(w}|<�¨�g|���w����«xz{�vsv1xz��vFw}|��g�h�z�Fw����h�

m��x��

yF�g{Sxzy�{�|*�����F��w���xz��y1x£¹@���hy�{��?v@�hy1��w��Sxzy9{�vFwH|*w����1�z{*�¥�,u���~1x����h����x��*���h|*�1w��¤��w}xz��vO{*����w}|*wO(10−6)

�uS�����h�zx��F�h{*w��g�1|#���k�1w����qw����g��~@�h|*w��µ�g�1|9|*w����1�z{*�9���g|9{�vFw��{?�h{�x����hyF�`���ky@�h��x��~1|*�g~=w}|�{�x�w���«xz{�v�w��F�g�}{8��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy����g|8��vF�g|�{.�?v@�hxzyF���

Page 40: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�ew¤�F�*w�{�vFw����g�z�����«xzy1���1w�¹Fy1xz{�x��gy��¨�g|«{�vFwG|*w��*~=�gyF�*wC�¨�1yF�}{�x��gy �

χAB(ω) =i

L

∫ ∞

0dt ei(ω+iε)t〈0

[

A†(t), B(0)]∣

∣0〉 ¦ ������¬

utvFw#|*w��h��~@�h|�{¤�h�q{�vFw#�g~1{�x����h�H���gyF���F�}{�xz�kxz{f�sx����1w�¹FyFw���{�v1|*�g�1��v�{�vFw�xz���h��xzy@�h|���~@�h|�{¤�h��{�vFw�}�1|�|*w}yO{ ���}�1|�|*w}y�{�|*w���~=�gyF�?w��«xz{�v

ε→ 0�

σ′(ω) =1

ωχ′′

jj(ω)¦ ������¬

�«vFw}|*w

j = −it∑

j,σ

(

c†j+1σcjσ − c†jσcj+1σ

) ¦ ��� ��¬

x��G{�vFw�~@�h|?�h���h��yFw}{�x���}�1|�|*w}yO{��g~=w}|?�h{*�g|���utvFw�yF�gy� Q|*w��*�gy@�hy�{�©C�h���hy���~(w��}{�|��1��xzy��B¡��g{�{< ¯D�1�1�@�h|*��������{*w}�>x��«��xz��w}y�����{�vFwG|*w��*~=�gyF�*wC�¨�1yF�}{�x��gy��h��{�vFw¤��{�|*w��*�.w}yFw}|�����{*w}yF�*�g| ����� � �

τ = −t∑

j,σ

(

c†j+1σcjσ + c†jσcj+1σ

) ¦ ������¬

��y�{�vFw����g�*w��h�.�hyexzyF���1���h{*�g|��χττ

x��GyF�g{­{�vFw��1�g��xzy@�hyO{9���gy�{�|�xz�1�1{�x��gyµ{*��{�vFw�{*�g{?�h��©C�h���hy��~(w��}{�|��1�������1{«xz{�x��txzy�{*w}|*w���{�xzy1�����g|t�#���g��~@�h|�x��?�gyB�«xz{�v

χjj�(w����h�F�*w��

j�hyF�

τ�h|*wG�k�1���hyF�

w}��w}y�|*w���~(w��}{�xz��w}�z���1yF�1w}|8~@�h|�xz{f�B���gy��<�1�O�h{�x��gyo�2�h~@�h|�{«�¨|*�g� �hy��¥��w}|?�h�z�S~1v@�g�*w��

�D~@�h|�{��¨|*�g� {�vFw«~@�h|�{�x��}��w� QvF�g��w.���k����w}{�|�����{�vFw8¯��h��xz�z{*�gy1x��hy�v@�g��{��q�¤�g{�vFw}|q��x��*�}|*w}{*w8���k�# ��w}{�|�x�w��C|*w}��w}�g�hy�{D{*��{�vFw����g��~1�1{?�h{�x��gys�h���g~1{�x����h��w��1�}xz{?�h{�x��gyF���.���*~1xzy�  �Fxz~����k����w}{�|����hyF�s���~@�h{�x��h�a|*w��@w��}{�x��gy����k����w}{�|���{�v1|*�g�1��vB{�vFw����h{�{�x���wG��w}y�{*w}|��HutvFw}|*w����g|*wGw��g�*v�w}xz��w}yF��{?�h{*wG�h�M{�vFw¯��h��xz�z{*�gy1x��hy`v@�g�#�B��w}�z�£ f�1w�¹FyFw��µ~@�h|�xz{f���1yF�1w}|#�*v@�h|���w����gy�� �1�O�h{�x��gy[¦

Pc = ±1¬9�hyF����~1xzy� 

�Fxz~]¦Ps = ±1

¬����hyF�e�(w}���gy1���­{*���gyFw��h�«{�vFw�xz|�|*w����F�}xz�1��w�|*w}~1|*w��?w}yO{?�h{�x��gyF���Ag

�g|Bu���h�.�

�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�H���h{�{�x���w#|*w��@w��}{�x��gye�*������w}{�|�����|*�g�1~o�G�ew�yF�g{*w#vFw}|*w9{�v@�h{�{�vFw#�}�1|�|*w}yO{9�g~� w}|?�h{*�g|�x��CxzyO���h|�x��hyO{G�1yF�1w}|�{�vFw9�*~1xzy�  �Fxz~�{�|?�hyF���¨�g|����h{�x��gyo�(�1�1{¤�hyO{�x��*������w}{�|�x��#�1yF�1w}|G�*v@�h|���w���gy��<�1�O�h{�x��gy`�hyF�e��~@�h{�x��h�H|*w��@w��}{�x��gyo��utvFw}|*w��¨�g|*w��,x£�q{�vFw���|*�g�1yF����{?�h{*w#�=w}���gy1���­{*��{�vFw����k�# ��w}{�|������1�F�*~@�g��ws¦

Ag, Pc, Ps¬����gy1�z�`w��1�}xz{*w��`�*{?�h{*w��9�(w}���gy1��xzy1�s{*��{�vFw����k����w}{�|������1�F�*~@�g��w

¦Bu,−Pc, Ps

¬����gyO{�|�xz�1�1{*w9{*�#{�vFw¤�g~1{�x����h�S���gyF���F�}{�xz�kxz{f���

�_��w}|��#�F�*w��¨�1�F���gyF��x���{*w}yF�}���*vFw��?²#�h�a{�vFwt��w}{�vF�k���qw.�F�*wt{*�¤���g��~1�1{*w8���ky@�h��x����h�2���g|�|*w}���Z {�x��gy��·�1yF�}{�x��gyF��x��q{*�¤{*w���{��g�h|�x��g�F�����1�:|��1��w�����|*w}���h{�xzy1�9{�vFwD���g��w}yO{*�«�h�o{�vFw.�·�1yF�}{�x��gy

σ(ω)�g|

{�vFw­�*~=w��}{�|?�h�a�¨�1yF�}{�x��gyA(ω)

{*����|*�g�1yF����{?�h{*w¤w���~(w��}{?�h{�x��gy����h�z�Fw����1�«v1x��?v����hy��=w¤w}���h�z�@�h{*w��

Page 41: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

�«xz{�v���|*w��h{H�g���}�1|?�g�}�9�F�*xzy1�C{�vFw«�*{?�hyF�F�h|*��§C¡�©8ª±��w}{�vF���a��ºF�g|�xzyF��{?�hyF��w����¨�g|H�C¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy�«xz{�v��g~(w}yB�=�g�1yF�F�h|��B���gyF��xz{�x��gyF�D�qw¤���hyB�«|�xz{*w¤{�vFw��¨�g�z���¥�«xzy1�����1�>|��1��w�� �

∫ ∞

0dω ωσ(ω) =

1

L〈0|j2|0〉 ¦ ������¬

∫ ∞

0dωσ(ω) =

e2t

2L〈0|

(

c†j+1σcjσ + c†jσcj+1σ

)

|0〉 ¦ ������¬

∫ ∞

−∞dωA(ω) = 1

¦ ������¬

��y�ºMxz�F� ��� ��w9��vF�¥�j{�vFw­�������h����~(w��}{�|?�h�o�¨�1yF�}{�x��gy����g|.���h|�x��g�F�D�g�h�z�Fw��C�h� V |?�hy1��xzy1���¨|*�g�0

{*�9t� ��y�{�vFw §8� ~1v@�g�*w��@{�vFw9��xzy1����w9~@�h|�{�x��}��w­�O�h~µ¦

∆s¬8��{?�����C���gyF��{?�hyO{C�1yO{�xz����{�v1|*w���vF�g���

���h�z�Fw��h�V�h|*�g�1yF�

3tx���|*w��g�?vFw�� �hyF�_{�vFw}y ��{?�h|�{*�|*w����F�}xzy1� ¦¨����� ºMxz�F� ��� ��¬�� ¯Cw}|*w��hyF�

�¨�1|�{�vFw}|8xzyB{�v1x��«��w}{�{*w}|«�«vFw}y���wG|*w��¨w}|«{*�#{�vFw��O�h~�xzy��#���g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyB�qwG��w��g���1|*w¤{�vFw~(����xz{�x��gye�h�q{�vFw#���¥�qw���{­w}yFw}|�����~(w��h²=�9�ew#xz��yF�g|*w�{�vFw#{?�hxz��~@�h|�{G�«v1x��*v`�g|�xz��xzy@�h{*w��G�¨|*�g� {�vFw�����h�z�M¹Fy1xz{*w#�1|*���g�1w}y1xzy1�B{�v@�h{Gx��C�F�*w���{*�|*w}~1|*w��*w}yO{G{�vFw �S�hyF�}¢����¤���gy�{�xzyO�Fw��s�¨|?�g�}{�x��gyo�­utv1x��xz��~1�zx�w��D{�v@�h{C�g�1|D�g�h�z�Fw��.�¨�g|D{�vFw¤�O�h~F���h|*w¤{�xz��v�{D�1~1~(w}|.�(�g�1yF�1�.{*��{�vFw��g�}{��@�h�M�gyFw������t{D{�vFw §«�_  ´�§«� {�|?�hyF��xz{�x��gyo�2{�vFw¤��~(w��}{�|?�h�o�O�h~�|*w����F��w��C�h�1|��1~1{��z���@|*w��g�?vFw��C�#¹Fy1xz{*w¤���h�z�Fw���� �1��~F��1~��hyF��{�vFw}y��*{?�h|�{*�8xzyF�}|*w��g��xzy1�B�h�O�hxzy�xzy�{�vFw�´�§«� ~1v@�g�*w��«¸D�g{*w­{�v@�h{.xzy�{�vFw�´�§«� ~1v@�g�?w��{�vFw��*xz{*w��gy��«v1x��?v`��w����g��~1�1{*w�{�vFw���~(w��}{�|?�h�H�¨�1yF�}{�x��gy�x��­w}��~1{��exzye{�vFw���|*�g�1yF����{?�h{*w�� ��yºMxz�F� �������qw�|*w}~=�g|�{¤{�vFw��}�1|�|*w}y�{< f�}�1|�|*w}yO{��hyF��yF�gy� Q|*w��*�gy@�hy�{9©C�h���hy�|*w���~=�gyF�?w��·�1yF�}{�x��gyF�­xzy{�vFw¤��w��¨{D�hyF�B|�xz��v�{C���g�z�1��yF�.|*w���~(w��}{�xz��w}�z��� �¶������{*w}���h{�x��¤�?v@�hy1��w­xzy�{�vFw­�g~1{�x����h�S|*w��*~=�gyF�*w¤xzy{�vFw¤�k�1��¦

χjj¬«�hyF��w}��w}y³¦

χττ¬t�*v@�hy1yFw}���Dx��8��x��*��w}|�y1xz�1��w��g�8��w¤���qw�w}~�{�v1|*�g�1��v

V�g�}|*���*�8{�vFw

§«� �hyF��xzyO{*��{�vFw�´�§«� ~1v@�g�*w��CºF�g|V = 0

��w9�*w�w����1|*���g����w��h{��1|*w9��w}y�{*w}|*w��s�h{G�h|*�g�1yF�

U��xzy����k�k��h��|*w�w}��w}y�{«�«xz{�v��­|*w���w}yO{«���h���}�1���h{�x��gy����g|�{�vFw���{?�hyF�F�h|*�¯.�1�1�@�h|*����k�1w}�2�«xz{�v1xzy

{�vFw�§�¡�©«ª �h~1~1|*���g�*v ����� � � �D�1|9��w}{�vF���e�1�kw��¤yF�g{��h�z�����:�B|*w��*�g�z�1{�x��gy`�h�«{�vFw�{�xzy����1�1��~�*w�w}yBxzyB{�vFwG��x��1����w­�h�M{�vFw��1|*���g���g~1{�x����h�M�h�F�*�g|�~1{�x��gy��@�hyF����� �Ow��*²�w}�z���hy1y�w}{C�h� ����� � � ���1{���g�Vx��GxzyF�}|*w��g�*w����qw��1�ByF�g{�x���w�{�vFw��¨�g|����h{�x��gy³�h�«��|*w��?�gy@�hyF��w��«v1x��*v³��|?�g���@�h�z�z���O�hxzyF�¤xzy

�qw}xz��v�{¤�hyF����v1x£�¨{*�8{*�¥���h|*�1�����¥�qw}|C�·|*w����Fw}yF�}x�w�� ������� � �k� � � � �.utv1x��C���gyF��{�xz{��1{*w��G��~1|*w��}�1|*�*�g|G�h�{�vFw¤w��1�}xz{*�gy1x�����w��h{��1|*wG{�v@�h{8�qw­�1w��*�}|�xz�=wC�¨�1|�{�vFw}|8�(w}�����¤�

º@�g|��*���h�z�,���h�z�Fw����h�V{�vFw9�g~1{�x����h�.¦

∆jj¬D�hyF�s©D�h���hy�¦

∆ττ¬8�O�h~F���q�g�1�����(w9w���~(w��}{*w��

{*�����gxzyF�}x��1w��«xz{�vµ{�vFw��~(w��}{�|?�h���O�h~o�∆s���ew�¹FyF�³{�vFw}� {*���(w��*�zxz��vO{��z�����h|���w}|#�(w����h�F�*w�xz{

x��CyF�g{�~=���*�*xz�1��w9{*��}|*w��h{*w��¨�1�z�z��yF�gy� QxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1��w}��w��}{�|*�gy �OvF�g��w�~@�hxz|*�Cxzy���¹Fy1xz{*w#��xz¢�w#�*v@�hxzyo�

Page 42: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

−10 −5 0 5 10

ω

V=6.2

V=6.1

V=6.0

V=4.0

V=2.0

A(ω) [SDW]

V=0.0

−10 −5 0 5 10

ω

V=9.0

V=8.0

V=7.0

V=6.5

V=6.4

A(ω) [CDW]

V=6.3

ºMxz���1|*w ��� � �o�k���h���*~=w��}{�|?�h���¨�1yF�}{�x��gyF�­���g|#��x��(w}|*w}y�{��g�h�z�Fw��#�h�.{�vFw����g�1~1�zxzy1�V�s¸C�g{*w�{�vFw

�h�1|��1~1{.�?v@�hy1��w¤xzy�~@�h|�{�x��}��w��OvF�g��w9��������w}{�|���(w}{f�qw�w}y�{�vFwG{f����~1v@�g�*w��¥�

Page 43: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

5 10 15 20ω

V=9.0

V=8.0

V=7.0

V=6.0

V=5.0

V=4.0

V=3.0

V=2.0

V=1.0

χjj(ω)

V=0.0

5 10 15 20ω

V=9.0

V=8.0

V=7.0

V=6.0

V=5.0

V=4.0

V=3.0

V=2.0

V=1.0

χττ(ω)

V=0.0

ºMxz���1|*w ����� � �D~1{�x����h���hyF��©C�h���hys|*w���~=�gyF�?w­�¨�1yF�}{�x��gyF�C���g|���x��aw}|*w}yO{­�g�h�z�Fw��G�h��{�vFw����g�1~1�zxzy1�V�«utvFw­��w}|�{�x����h�,�1�g{�{*w����zxzyFw¤xzyF��x����h{*w��C{�vFw¤���h��y1xz{��F�1w��h��{�vFw­��xzy1����w��O~@�h|�{�x��}��w#��~(w��}{�|?�h�S�O�h~

xzy�w��g�*v����g�*w��

Page 44: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�D|*�g�1yF�V ∼ 1.5t

�g{�vFw��g~1{�x����h���O�h~9���h�z���S�=w}���¥�µ{�vFw���~(w��}{�|?�h���O�h~9xzy#�h��|*w�w}��w}y�{��«xz{�v9~1|*w}�kx��g�F��q�g|�² ����� � ��utvFw¤� �h��w�v@�h~1~=w}yF�t���g|«{�vFwG©D�h���hyB�O�h~��h{ V ∼ 3t

���ew¤�1w�¹FyFw¤� �O�@�hy�{�xz{f�B{�v@�h{�qw��«xz�z�����h�z�H{�vFw�w��1�}xz{*�gy1x�����w}xz��vO{�¦

Wjj(ττ)¬G�g�¤{�vFw#�·|?�g�}{�x��gy³�h��{�vFw��qw}xz��vO{�xzye{�vFw��g~1{�x����h�

¦¨©D�h���hy2¬«��~=w��}{�|��1� �=w}���¥�∆s �

Wjj(ττ) =

∫ ∆s

0 dω χjj(ττ)(ω)∫ ∞0 dω χjj(ττ)(ω)

¦ ����!�¬

��y�º,xz�F� �����G�qw«~1���g{�{�v1x��qw����}xz{*�gy1x��«��w}xz��vO{t�g���D�·�1yF�}{�x��gy��h�V����y#{�vFw8���g�*w«�h�(�=�g{�v�|*w��*~=�gyF�*w

0 2 4 6 8

V

0

0.5

1

W

Wττ Wjj

ºMxz���1|*w����� � �����}xz{*�gy1x��G��w}xz��vO{��g�.���¨�1yF�}{�x��gy��h�M{�vFw­���g�1~1�zxzy1�V�

�¨�1yF�}{�x��gyF�«xz{«x��«�*w�w}yB{�v@�h{«{�vFwGw��1�}xz{*�gy1x����qw}xz��vO{Dx��t¢�w}|*�#�1yO{�xz�o{�vFw¤�h�(����w���w}y�{�x��gyFw����}|*���*�*xzy1��h���O�h~F���k���}�1|*��¦¨���<��ºMxz�F� ��� ��¬�� �D�

Vx���xzyF�}|*w��g�*w��µ�¨�1|�{�vFw}|���{�vFw�w��1�}xz{*�gy1x��B�qw}xz��v�{���{?�h|�{*�

�h~1~(w��h|�xzy1�µ�hyF� ��|*w��*�gy@�hyF��w��(w}��xzyF���*w}~@�h|?�h{�xzy1�³�¨|*�g��{�vFw�|*w���{��h�¤{�vFw���~(w��}{�|��1���4�]vFw}y

Wjj(ττ)|*w��g�*vFw����s���Z�kxz�9�1� �h|*�g�1yF�

V ∼ 4t��{�vFw���~(w��}{�|��1� x����1�g��xzy@�h{*w��_�O�°����v@�h|�~

w��1�}xz{*�gy1x��C�¨w��h{��1|*wG���h|�|��kxzy1��������{8�h�,{�vFw���w}xz��vO{��86%

�hyF�77%

���g|t{�vFwG�g~1{�x����h�S�hyF�B©D�h���hy|*w���~(�gyF�*w���utv1x���~(w��h²(�O��w}�z�=��x��aw}|*w}yO{�x��h{*w���¨|*�g�K{�vFw.|*w���{q�h�o{�vFwC��~(w��}{�|��1���Ox����}��w��h|��z�����k���h{*w��xzyF��x��1w�{�vFw��*xzy1����w��O~@�h|�{�x��}��wB��~=w��}{�|?�h���O�h~³�«v1xz��w�{�vFw�|*w���{#�h�.{�vFw��qw}xz��vO{#�Q�h�z�����g�1{*��x��1w��sutvFw�S�hyF�}¢�������w}{�vF�k��x��C|?�h{�vFw}|C�qw}�z�����1xz{*w���{*���1w��?�}|�xz�=w�{�vFw��*w�w����}xz{*�gy1x��­��w��h{��1|*w����=�1�1{Dxz{Cx��CyF�g{�*�9�����k��xzy����h~1{��1|�xzy1���1w}{?�hxz�a�h{�{�vFwDv1xz��vFw}|«w}yF���h�,{�vFwD��~(w��}{�|��1����utvFw��g~1{�x����h�(�@�hyF�1�qxzyF�*x��1w

Page 45: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

0 2 4 6 8

V

0

10

20G

aps

∆s

∆ττ∆jj

ºMxz���1|*w��� � �qª¤�h~F�t�¨�g|8��x��aw}|*w}yO{D�g�h�z�Fw��.�h�M{�vFw¤���g�1~1�zxzy1�V�

{�vFw��gyFw��O~@�h|�{�x��}��w����gyO{�xzy��1�1� {*w}yF�³{*���=w��v1x£�¨{*w��`{*�¥���h|*�1��v1xz��vFw}|�w}yFw}|���x�w��¥� �t{#{�vFw� �h��w{�xz��w8{�vFw.|*w}���h{�xz��w8��w}xz��vO{�xzy�{�vFw8w��1�}xz{*�gy1x��«��w��h{��1|*w���x����g���}�1|?�h{*w}�z��|*w}~1|*w��*w}yO{*w��a����xzyF��w.�qw8¹FyF�{�v@�h{«{�vFwG���1� |��1��wC���g|�{�vFwG�g~1{�x����h�,���gyF���F�}{�xz��xz{���xzyB{*w}|����8�h�M²�xzyFw}{�x��Gw}yFw}|����x��«�g�(w}��w����«xz{�v

1%�g���}�1|?�g�}���g|��(w}{�{*w}|�¦¨w��1��w}~1{���w}|����}�����*w9{*�{�vFw�{�|?�hyF��xz{�x��gy2¬�� �C�

Vx��DxzyF�}|*w��g�?w����·�1|�{�vFw}|

�(w}���gyF�V ∼ 4t

��{�vFw¤w��1�}xz{*�gy1x����¨w��h{��1|*wG�*{?�h|�{*�«�������*xzy1���qw}xz��vO{��hyF���h{«{�vFwG�?�h��wG{�xz��w����¥��w��{*���t�h|*�1��¢�w}|*�G�¨|*w��O�Fw}yF�}��� �t{�{�vFw8~1|*w��}x��*w8~(�gxzyO{��h�({�vFw §«�±  ´�§8� {�|?�hyF��xz{�x��gyo��{�vFw8w����}xz{*�gy1x�����k�1wG|*w��g�*vFw��.{�vFwG������w���{«�¨|*w��O�Fw}yF�}x�w��.�qw¤���hy�|*w��?�g�z��w�¦

ω ∼ 1/L¬��

��y°��¡��g{�{#xzyF���1���h{*�g|�|*w}~1|*w��*w}y�{*w����O�³{�vFwv@�h�£� ��¹F�z��w��±¯.�1�1�@�h|*�µ���k�1w}�Q���}|*w��h{�x��gy°�h�G�hyxzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{��1�g�1�1��we�k���}�1~@�hyF�}�]�hyF�4�hy4w}��~1{��_���h{�{�x���w��*xz{*w�xzy �`�@�g�?²���|*�g�1yF�4�h�#��xzy1���z��k���}�1~1x�w��±��xz{*w���¦¨�g|��svF�g���gy �k�hyO{�xzvF�g���gy ~@�hxz|�xzy±{�vFw �tw}{�vFw��hyF�?�h{�¢����hy1���@�h��w¥¬�v@�g����¹Fy1xz{*ww}yFw}|�����{�v1|*w���vF�g���

�y@�h��w}�z��{�vFw��~(w��}{�|?�h���O�h~o�Butv1x��­{�v1|*w���vF�g����x��9������w}|*w���xzy`{�vFw�~1|*w��*w}yF��w

�h�8�hy`�h{�{�|?�g�}{�xz��w����g|*��w��O��{�vFw��1xzyF��xzy1��w}yFw}|����s�h�t{�vFw��1�g�1�1��w������}�1~@�hyF�}�e�hyF�ew}��~1{��s�*xz{*w���«v1x��*v`�qw����h�z���B¡��g{�{< f¯D�1�1�@�h|*��w��1�}xz{*�gyo��utv1x����h{�{�|?�g�}{�x��gy�x��¤���Fw�{*�B{�vFw�xzyF�}|*w��g�*w���|?�hy1��w�h�q´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gy�xzy�{�vFw�H¯C¡ �hyF��x��D��xz��y1x£¹@���hyO{��z���h�F�?w}yO{Cxzy�{�vFw­��{?�hyF�F�h|*��¯.�1�1�@�h|*����k�1w}�Q�°uS�e�?�g��w�w��k{*w}y�{���{�v1x���x���|*w}��xzy1x��*��w}y�{��h��{�vFw���xz{��@�h{�x��gy_w}yF���g�1y�{*w}|*w��°xzy°���hy1y1x�w}|

Page 46: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

{�vFw��g|������g|D�#�@�hyF��xzyF�*�1���h{*�g|��«¯D�¥�qw}��w}|��2�1y1�zxz²�w­xzy����hy1y1x�w}|C{�vFw��g|����F{�vFw9�1�g�1�1��w9�k���}�1~@�hyF�}��hyF�#{�vFwtvF�g��w8�h|*wtyF�g{���w}|���x��gy1x�� �O�@�g��x£ Q~@�h|�{�x��}��w��¥���1�1{H��~1xzy1��w��*��v@�h|*�k f���g|*w8�=���*�gyF�¥� ����w}y����g|*wxz��~(�g|�{?�hyO{��z���H{�vFw}|*w�x������}|�xz{�x����h�����h�z�Fw��h�

V�(w}����� �«v1x��?v³yF��w��1�}xz{*�gyµ�h~1~(w��h|*���1yF�1w}|�{�vFw

{�v1|*w���vF�g���s�h��{�vFw9~@�h|�{�x��}��w� QvF�g��w����gyO{�xzy��1�1��� �D�C��w­xzyF�}|*w��g�*wV�2{�vFw9�1xzyF��xzy1��w}yFw}|������h��{�vFw

w��1�}xz{*�gy�²�w�w}~F�¤��|*�¥�«xzy1�����gy�{�xzyO�F�g�F���z���H�hyF��{�vFw�w����}xz{*�gy1x����¨w��h{��1|*w�������w����}�����*w}|9�hyF���}�����?w}|{*��¢�w}|*��¨|*w��O�Fw}yF�}��� �t{G{�vFw��?�h��w#{�xz��w��S{�vFw��1w}yF��xz{f���h�tw}��w��}{�|*�gy`�hyF��vF�g��w���{?�h{*w��­���g�hxz���h�1��w���g|��1xzyF��xzy1�9¹F|*��{�xzyF�}|*w��g�*w��¥��|*w��g�?vFw��«�G���Z��xz�­�1�>�hyF��{�vFw}y����w���{*�­¢�w}|*���h{q{�vFw §«�_  ´�§«��(�g�1yF�F�h|�����utv1x��DyF�gy� Q���gyF�g{*�gy1x��9�=w}v@����x��g|C�h��¡��g{�{< f¯D�1�1�@�h|*��w��1�}xz{*�gy��g�C���·�1yF�}{�x��gy��h��{�vFw´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gy���{�|*w}y1��{�v�x��H�C���gyF�*w����Fw}yF��w8�h�2{�vFwq�Q�g�}{M{�v@�h{��hy�xzyF�}|*w��g�?w«�h�2{�vFw8´��g�1���g�­�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy���{�|*w}y1��{�v��1��w��MyF�g{���xz��~1�z�­�1xzyF��{�vFw�w����}xz{*�gy#���g|*w�{�xz��vO{��z���O�1�1{��h���*�C|*w}yF�g|����h�zxz¢�w��{�vFw��O�h~³�hyF�����g�1~1��w��9{�vFw�~@�h|�{�x��}��w� QvF�g��ww����}xz{?�h{�x��gy`���g|*w���{�|*�gy1���z��{*�B{�vFw��g{�vFw}|9w}��w��}{�|*�gyF����]vFw}yB{�vFw¤w}yFw}|������O�hxzyFw��B�·|*�g�>�1xzyF��xzy1��{�vFwGw}��w��}{�|*�gy �OvF�g��w¤~@�hxz|*�.w����@�h���t{�vFw¤w}yFw}|�����������{.�h��}|*w��h{�xzy1��{�vFw}� �g�}|*���*��{�vFw��*xzy1����w#~@�h|�{�x��}��w#�O�h~o�a{�vFw��g~1{�x����h���O�h~��g�hy1x��*vFw���xzy��=�g{�vs{�vFw��k�1�¦χjj¬t�hyF��w}��w}y³¦

χττ¬��?v@�hy1yFw}�����

�C�«�gyFw¤�h�M{�vFwGw��1�h��~1��w��D�h� §¶¡��g{�{.xzyF���1���h{*�g|*�«��w}yO{�x��gyFw���w��h|��zx�w}|��1��w}{«�F�8���gyF��x��1w}|.{�vFw���g�*w��h� |

2´q� �

3{*�BxzyF��x����h{*w�{�vFw�w���~(w}|�xz��w}yO{?�h��|*w}��w}���hyF��w��h�«�g�1|G|*w����1�z{*����ºF|*�g��~1|*w}��x��g�F�

�zxz{*w}|?�h{��1|*w ������� ��� � �M{�vFw��g�h�z�Fw��#�h�8{�vFw�~@�h|?�h��w}{*w}|*���¨�g|9{�v1x��­���h{*w}|�x��h�8�h|*ww���{�xz���h{*w��³{*���(w��t ≈ 0.55−0.6

w��#�U ≈ 7.2

w�� �hyF�V ≈ 0.8

w��#�OutvFw}|*w����g|*w.{�vFw.���h{*w}|�x��h�2�zx�w���|�xz��vO{�yFw��h|q{�vFw�(�g�1yF�F�h|��B�«vFw}|*w9w��1�}xz{*�gy1x��¤��w}xz��vO{�xzy

χjj�=w}��xzyF�.{*���h~1~(w��h|��«¸Dw}��w}|�{�vFw}��w��*�¥�@{�vFw9w����}xz{*�gy��g|

xz{*��~1|*w��}�F�*�g|Gxzys{�vFw9�¨�g|�� �h�«��y@�h|�|*�¥� ~=w��h²���x���{�xzy1���1x���vFw����¨|*�g�%{�vFw#|*w���{G�h��{�vFw���~(w��}{�|��1���vF�g�1�����h�z|*w��g�����(wG�*w�w}yBxzy�{�vFwG�g~1{�x����h�M���gyF���F�}{�xz��xz{����

��r � � R@V=U®�i ���qdfN�T �Hl� GNfR@d � W�cHRFiSL�R1W�Nfb�V � ��L�ioVab�c

utvFwG|*w}��xz��w¤�h�������h�z�S¡��g{�{«�O�h~F�.���hy��=w¤�g�1��|*w��*�?w����O�B��{��F���kxzy1��{�vFwC¹@w}���B{�vFw��g|*w}{�x����h�S�zxz��xz{¦¨�g|q�?���h�zxzy1�¤�zxz��xz{ ¬��k�«v1x��*v����g|�|*w��*~=�gyF�1�q{*�Gv@���kxzy1��{�vFw«�@�hyF���«x���{�v��g��{�vFw8���h|���w���{��*���h��w«xzy�{�vFw~1|*�g�1��w}��� ��{«x��8�1w�¹FyFw��B����?vF�����*xzy1�

t→ ∞ , U/t→ 0 , M =8t

π

U

4texp (−2πt/U) fixed.

¦ ��� �� ¬

Page 47: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�hyF�ev@�g�9�(w�w}y`��{��F��x�w����O�����hyO���h�1{�vF�g|*��������� ����� � � � ��! � ���Dy³�hy³�g~=w}|?�h{*�g|9��w}��w}��{�vFw�¹@w}���{�vFw��g|��x��«���gyF��{�|��F�}{*w��B�O����~1�zxz{�{�xzy1��{�vFwGw}��w��}{�|*�gy��g~=w}|?�h{*�g|*�«xzy�{*�����g�*{«�hyF���������4���g��~(�gyFw}yO{*�

cl,σ −→ √a0 [exp(ikFx) Rσ(x) + exp(−ikFx) Lσ(x)] .

¦ ��� � ¬

¯Cw}|*wkF

x���{�vFw8ºFw}|���x=���g��w}yO{��1� ¦·xz{�x��π/2

�¨�g|H{�vFw.v@�h�£�  �¹F�z��w����@�hyF�@¬��Rσ

�hyF�Lσ

�h|*w8|�xz��vO{�hyF�s��w��¨{G�����kxzy1��w}��w��}{�|*�gy�¹@w}���1�­�hyF�

x = la0�(�«vFw}|*w

a0x���{�vFw#���h{�{�x���w���~@�g�}xzy1�F���fyF�?w}|�{�xzy1�

{�v1x��«~1|*w��*�}|�xz~1{�x��gy�xzyO{*��{�vFw­w��k{*w}yF�1w���¯D�1�1�@�h|*��¯��h��xz�z{*�gy1x��hy��gyFw¤�g�1{?�hxzyF�

Hext = Hc + Hs ,

Hc =2πvc

3

dx[

: I · I : + : I · I :]

+

dx[

g⊥(

I+I− + I−I+)

+ g‖ Iz Iz

]

,

Hs =2πvs

3

dx[

: J · J : + : J · J :]

− 2g⊥

dx J · J. ¦ ��� ��¬

�«vFw}|*w

g⊥ = (U − 2V )a0 , g‖ = (2U + 12V )a0 ,¦ ��� ��¬

vc = vF +(U + 4V )a0

2π, vs = vF − Ua0/2π.

¦ ��� ��¬

º1�1|�{�vFw}|����g|*w��vF = 2ta0

x���{�vFw�ºFw}|���xa��w}���k�}xz{f���F�hyF�J�hyF�

I�h|*wD{�vFw��?v1xz|?�h�o���g��~=�gyFw}y�{*�.�h�

�#¦ ��¬t��~1xzy��hyF�B~F�*w}�F�1���*~1xzy��}�1|�|*w}yO{*�

I3 =1

2

σ

: L†σLσ : , I+ = L†

↑L†↓ ,

I3 =1

2

σ

: R†σRσ : , I+ = R†

↑R†↓ ,

J3 =1

2

(

L†↑L↑ − L†

↓L↓

)

, J+ = L†↑L↓ ,

J3 =1

2

(

R†↑R↑ −R†

↓R↓

)

, J+ = R†↑R↓ .

¦ ��� ��¬

utvFw}|*w8x����G�}��w��h|q�*~1xzy� f�*v@�h|���wC�*w}~@�h|?�h{�x��gyo�k�hyF��{�vFw8{��q�¤~@�h|�{*���h�({�vFw.¯��h��xz�z{*�gy1x��hys¦ ��� ��¬H���hy�(w#�=���*�gy1xz¢�w����*w}~@�h|?�h{*w}�z��� ��y�{�vFw�¹@w}����{�vFw��g|��s�zxz��xz{��o{�vFw�w}��w��}{�|�x����}�1|�|*w}y�{9�g~(w}|?�h{*�g|­�h�t{�vFw���h{�{�x���wG���k�1w}�ox��«��xz��w}y����

j =4et

~

dx[

I3(x) − I3(x)] ¦ ��� ��¬

utvFw��}�1|�|*w}y�{9���g�1~1��w��­�gy1�z��{*�B{�vFw��?v@�h|���w�~@�h|�{­�h�t{�vFw�¯��h��xz�z{*�gy1x��hy³�hyF�s{�vFw}|*w����g|*w��qw����hyxz��yF�g|*wB{�vFwB��~1xzy�~@�h|�{�� ��{#x����q�g|�{�v��«v1xz��w�{*�syF�g{*wBvFw}|*w�{�v@�h{�{�vFwB��~1xzy°�?w��}{*�g|�x����O�h~1��w��*��x£�

Page 48: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

U > 2V�hyF���O�h~1~(w����g{�vFw}|��«x��?w����D~1~1�z��xzy1��{�vFw���{?�hyF�F�h|*�`�(���*�gy1xz¢¥�h{�x��gy`|��1��w��9{*� Hc

�gyFw�h|�|�xz��w��D�h{«{�vFw­¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy��h�M{�vFw xzyFw�  ª��g|*�1�gy������1w}��¦ ª�¡s¬�¦ ��� ��¬ � � � � ����xz��w}y����

Hc =1

16π

[

(∂tφ)2 + (vc∂xφ)2]

+ 2µ cos βφ,¦ ��� ��¬

�«vFw}|*wµ�hyF�

β�h|*wG�·�1yF�}{�x��gyF�D�h�

U�hyF�

V�

β2 =4πvF

4πvF +√

g2‖ − g2

¦ ��� ��¬

utvFwC~1�1|*w�¯.�1�1�@�h|*����k�1w}�(���g|�|*w��*~=�gyF�1�t{*��{�vFwD�zxz��xz{β → 1

�hyF�{�vFw�w �aw��}{��h�MxzyF�}|*w��g��xzy1�V

x��«{*���1w��}|*w��g�*w­{�vFw��g�h�z�Fw­�h�β��utvFw ªG¡ ~(���*w��*�*w��8�����gyF�*w}|���w���¦·{*�g~(�g���g��x����h� ¬«�*v@�h|���w

Q =

∫ ∞

−∞j0 dx = − β

∫ ∞

−∞

∂φ

∂xdx ,

¦ ��� !�¬

�«vFw}|*w

jµ = − β

2πεµν∂νφ

¦ ����� � ¬

x��M{�vFwq¸C�kw}{�vFw}|��}�1|�|*w}y�{���utvFw�w}��w��}{�|�x��t�}�1|�|*w}y�{.¦ ��� ��¬ox��M~1|*�g~(�g|�{�x��gy@�h��{*�D{�vFw�¸C��w}{�vFw}|��}�1|�|*w}yO{

j1

j =√A ∂0φ ,

¦ ����� ¬

�«vFw}|*wAx��«�*�g��w�yF�gyO�1y1xz��w}|*�?�h�M���gyF��{?�hyO{ � ��utvFw ª�¡ x��txzyO{*w}��|?�h�1��w9�hyF��v@�g�«�=w�w}y��*{��F��x�w��

xzyB��|*w��h{.�1w}{?�hxz�S�¥��w}|8{�vFw����g��{ ������w��h|*� ��� �k� ����� � �� �qutvFw­��~=w��}{�|��1� �h��{�vFw ª�¡ �1w}~=w}yF�1�.�gy{�vFwG���h�z�FwG�h�M{�vFw­���g�1~1�zxzy1�����gyF��{?�hy�{

β2 �g|��@�h�z{*w}|�y@�h{�xz��w}�z���2�gy

ξ =β2

1 − β2.

¦ ��������¬

ºF�g|β2 < 1

{�vFw�������xzyFw�{*w}|�� x��9|*w}��w}���hyO{#xzyµ{�vFw|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~4¦¨©«ª­¬­�?w}yF�*w�hyF����ky@�h��x����h�z�z�e��w}yFw}|?�h{*w�������~(w��}{�|?�h���O�h~

Mxzy�{�vFw�w����}xz{?�h{�x��gyµ��~(w��}{�|��1��� �fy�{�vFw�|*w}~1�1����xz��w

|*w}��xz��w1 < ξ < ∞ {�vFw���~=w��}{�|��1� ���gy�{?�hxzyF���gy1�z���?v@�h|���w���~@�h|�{�x��}��w����h�C�?v@�h|���w

Q = ±1�

�«v1x��*vs�h|*w­���h�z��w�������������� �D�hyF�������������������� ��� ��y�{�v1x��8|*w}��xz��w­{�vFw­��~(w��}{�|?�h�o�O�h~Mx��8|*w}���h{*w��

{*��{�vFw ���g~1{�x����h�,�O�h~ �∆�FxQ� w��z�@{�vFw­�O�h~��*w�w}y�xzy�{�vFw­�g~1{�x����h���h�F�*�g|�~1{�x��gys��~=w��}{�|?��{�v1|*�g�1��v�{�vFw

|*w}���h{�x��gyo�∆ = 2M

� �t{�{�vFw��?�h f���h�z��w�� � �a�1{�vFw}|<  �H��w}|�� � � � � � ¦ � ��¬G~(�gxzyO{ ξ = 1{�vFw ª�¡

�������������������! #"$�%&�'�A����(�)*(���(��,+* �-���.&/0 �12������ 3�%� 3 �., �1���-��141#�5-�- #(6�����7(�)����81#)*(��� �-+� 2"!96����(6��:�<;>=?)�-��%�

.,�'�����1# @�!)�"� �.�A

Page 49: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��!

x��#w��O�1xz���h��w}yO{#{*�s�B�¨|*w�w����g�*��xz��w�§Cxz|?�g����w}|���x��gyo� �fy`{�v1x����zxz��xz{�{�vFw��*�g�zxz{*�gyF���(w����g��wyF�gy� xzyO{*w}|?�g�}{�xzy1��~@�h|�{�x��}��w��#�hyF�e{�vFw�¡��g{�{­xzyF���1���h{*�g|9{��1|�yF�¤xzy�{*���B���gy���w}yO{�x��gy@�h�t�@�hyF�exzyF���1���h{*�g|����y�{�vFwC�zxz��xz{

ξ → ∞ ��{�vFw xzyFw�  ª��g|*�1�gyB���k�1w}�o�g���O�1xz|*w��«�hy �#¦ ��¬��*������w}{�|����hyF���1w��*�}|�xz�(w��{�vFw­�?v@�h|���w9�?w��}{*�g|D�h�H{�vFw­¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}�M�h{Dv@�h�£�  �¹F�z�zxzy1�xzy�{�vFw­�zxz��xz{C�h����w��h²BxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF��g�.��x��?�}�F�*�*w����h�(����w�� ��y�{�vFw­�h{�{�|?�g�}{�xz��w9|*w}��xz��w

0 < ξ < 1�*�g�zxz{*�gy� ��hy�{�x��*�g�zxz{*�gys�=�g�1yF����{?�h{*w��

���h�z��w�� �f�1|*w��h{�vFw}|*� �9�h|*wG���g|���w����hyF��{�vFw}�B���g|�|*w���~(�gyF��{*��{�vFw­w��1�}xz{*�gyF�8�«v1x��?v���w­�g�F�*w}|���w­xzy�g�1|8���h{�{�x���wG���k�1w}�Q�

��r�� ���q\ \_V(L�JjV(T �®b�iSTqb1d ��XgNfiST�X

uS�B���gyF�}�z�F�1w��S�qw�v@����w���vF���«y�{�v@�h{¤��v@�h|�~�w����}xz{*�gy1x��#��w��h{��1|*w��¤�1�g��xzy@�h{*w#{�vFw#{�|?�hyF��~(�g|�{G�(w� v@���kx��g|¤xzy`�B~@�h|�{�x��}�1���h|­|*w}��xz��w��h�t{�vFw �H¯C¡ �h{Gv@�h�£�  �¹F�z�zxzy1�F�utv1x��Gx��­�B��xz|*w��}{9���gyF�*w��O�Fw}yF��w�h�H{�vFw9xzyF�}�z�F��x��gy��h�HyF�gy �O���k���h��´��g�1���g�­�sxzyO{*w}|?�g�}{�x��gysxzy�{�v1x��.���k�1w}�Q�.utvFw��?w9w��1�}xz{*�gyF�G�h|*w9�h��¨�1yF�F�h��w}yO{?�h�z�z����x��aw}|*w}yO{��g|�xz��xzy³�g�¤���g��~@�h|*w��`{*�B{�vF���*w�xzy`�*w}��x����gyF���F�}{*�g|*�¤���g|���w��e���s{�vFw�1xzyF��xzy1�B�h�qw}��w��}{�|*�gy �OvF�g��w#~@�hxz|*��� �.�z{�vF�g�1��ve��¡��g{�{< f¯D�1�1�@�h|*�sw����}xz{*�gy����hy��=w��1w��*�}|�xz�(w����g��­�=�g�1yF��~@�hxz|��h�Mw����}xz{?�h{�x��gyF�t�«xz{�v��g~1~=���*xz{*wD�?v@�h|���w�����{�vFw�´��g�1���g�9�BxzyO{*w}|?�g�}{�x��gy��h{�{�vFwD� �h��w{�xz��w��1w}{*w}|���xzyFw��9{�vFw���xz¢�w��h�t{�vFw�¡��g{�{G�O�h~o�S{�vFw�w��1�}xz{*�gye~1|*�g~(w}|�{�x�w����,�hyF�e{�vFw����g�1~1�zxzy1���h�{�vFw�w����}xz{*�gy�{*�9{�vFw��g{�vFw}|tw}��w��}{�|*�gyF�txzy{�vFw�������{*w}����utvFw}|*w��¨�g|*w��F�hy�xzyF�}|*w��g�*w��h�S{�vFwG´��g�1���g�­�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy���{�|*w}y1��{�v��1��w��MyF�g{���xz��~1�z�­�1xzyF��{�vFw�w����}xz{*�gy#���g|*w�{�xz��vO{��z���O�1�1{��h���*�C|*w}yF�g|����h�zxz¢�w��{�vFw��O�h~³�hyF�����g�1~1��w��9{�vFw�~@�h|�{�x��}��w� QvF�g��ww����}xz{?�h{�x��gy`���g|*w���{�|*�gy1���z��{*�B{�vFw��g{�vFw}|9w}��w��}{�|*�gyF���utv1x��«��w��g�1�«{*����yF�gy� Q���gyF�g{*�gy1x��­�=w}v@����x��g|8�h��¡��g{�{< f¯.�1�1�@�h|*��w��1�}xz{*�gyB~1|*�g~(w}|�{�x�w��D�g�8�9�¨�1yF�� {�x��gy��h�H{�vFw#´��g�1���g�­�s|*w}~1�1����x��gy���{�|*w}y1��{�vo�a�hyF��w}��w}y�{*��xzyF��{?�h�1xz�zxz{�x�w��C{*���t�h|*��{�vFw¤�¨�g|����h{�x��gy�h�S�*v@�h|���w� f�1w}yF�*xz{f���t����w���|*�g~1��w}{*����§C�Fw8{*����{�|*�gy1�����g|�|*w}���h{�x��gyB�hyF������� ��xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f���@w}��w��� {�|*�gyF�C�1w����g�1~1��w9xzy�{*��yFw}�¶w}��w}��w}yO{?�h|���w����}xz{?�h{�x��gyF�¥�@y@�h��w}�z���(��~1xzyF�gyF���hyF��vF�g���gyF� � � � � �8utv1x��yFw���w��*��xz{?�h{*w��G�����h|*w��·�1��{�|*w��h{���w}y�{¤�h��{�vFw¤�¨�1�z�M���hyO� �O�=�k����~1|*�g�1��w}���GutvFw �S�hyF�}¢�������w}{�vF�k����g�­�1xzyFw����«xz{�vB{�vFwG§�¡�©8ª �h~1~1|*���g�?v�x��8��~(���qw}|<�¨�1�oyF�gy� Q~(w}|�{��1|��@�h{�xz��w¤{*�k�g�(�¨�g|8���g��~1�1{�xzy1�{�vFw�����y@�h��x����h�a���g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyF�t�h�M�¤yF�gy� Q{�|�xz�kx��h�o������{*w}�:�zxz²�w.{�v1x���� �D�1|ty��1��w}|�x����h�S�h~� ~1|*���g�*vs~(w}|���xz{*�.�F�C{*��w��g��xz�z�BxzyF�}�z�F�1w#�g{�vFw}|Dxzy1��|*w���x�w}y�{*�G���F�*v��g�Dw���~1�zx��}xz{���xz��w}|�xz¢¥�h{�x��gy��hyF�xzyO{*w}|*�?v@�hxzy`vF�g~1~1xzy1���«v1x��*vµ�h|*w�~1|*w��*w}yO{9xzy�{�vFw��*w����h{*w}|�x��h���9xzy��g|*�1w}|¤{*���h�z���¥�®���g|­���(w}{�{*w}|���@�hyO{�xz{?�h{�xz��w­���g��~@�h|�x��?�gy��«xz{�v�w���~=w}|�xz��w}y�{*�8xzyB{�vFw��¨�1{��1|*w��

� �}�����?w}�z�°|*w}���h{*w��]~1|*�g�1��w}� �h�­�9�F�*v xzyO{*w}|*w��*{��.�gy]�«v1x��*v {�vFw�§�¡�©8ª �h~1~1|*���g�?v[�����

Page 50: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

��vFw��]�zxz��vO{��hyF� �«v1x��?v[x����1yF�1w}|BxzyO��w���{�xz�O�h{�x��gyo�Cx���{�v@�h{��h�­{�vFws~1v@�g�?w���x��h��|?�h� �h� �O�@�g�*x£ �gyFw���xz��w}yF��x��gy@�h���g|��O�hy1x������g��~=�g�1yF�1�9u«¡�u«u«º[�hyF��u«¡�u º �hyF�e{�vFw}xz|G�1yO�F���@�h�H��w}{?�h�z�zx���(w}v@���kx��g| � ��� � � � � �HutvFw��*w¤���h{*w}|�x��h���D�h|*wG�(w}�zx�w}��w��B{*�#�(w �O�@�h|�{*w}|8¹F�z��w���¡��g{�{ ��yF���1���h{*�g|*�C�hyF��}�����*wB{*�s{�vFw�¡��g{�{�{�|?�hyF�*xz{�x��gy°~=�gxzy�{�� ���³�g�h|��kxzy1�e{�vFw��hy1x���{�|*�g~��°�h�C{�vFw��*�k��{*w}���hyF�°{�vFww}yFw}|����s�*���h��w��h{G�«v1x��*v`xz{Gx���~1|*�g�=w��a�M��«x��1w#|?�hy1��w��h�q�(w}v@���kx��g|*�¤v@�g�G�(w�w}y�|*w}~(�g|�{*w��a��utvFw��w}{?�h�z�zx��«~1v@�g�*w.��vF���8���C�1|*���g�#�¨w��h{��1|*w8|*w}~1|*w��*w}yO{?�h{�xz��wD�h�={�vFw8¡��g{�{�xzyF���1���h{�xzy1�9�O�h~o�����h|�|���xzy1��«��� ���g|�xz{f�9�h�F{�vFwq��~(w��}{�|?�h�O��w}xz��vO{��hyF���8��w}|��Gy@�h|�|*�¥�µ§C|��F�1wq~=w��h²(�Sutv��F���g{�vFw��*wq���g��~=�g�1yF�1��h|*wG��w}|������h|t�¨|*�g� �(w}xzy1��ºFw}|���xS�zx ���1x��1�.�hyF�B~1|*w��?w}yO{8xzy�{*w}|*w���{�xzy1���?v@�h�z��w}y1��w����

Page 51: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

����+��902$�&��

� �9$&����� �µ&(6 �«&(+."

��r � �7c,J» HioL�W�L�VaT������

utvFwG§�¡�©8ª �h�z���g|�xz{�v1� {*���*�g�z��wC���g|«�#�gyFw­��xz��w}yF��x��gy@�h�Sw���{*w}yF�1w���¯.�1�1�@�h|*�������1w}��¦ �H¯C¡�¬���g�Sxz��~1��w}��w}yO{*w��9xzy9�«���g��~1�1{*w}|,~1|*�g��|?�h� �«v1x��*v9�qwH�1w��?�}|�xz�=w�xzy­{�v1x��S�*v@�h~1{*w}|���utvFw�~1|*�g��|?�h�x��.�}�����?wG{*� � ����� �zxzyFw��¥�@�hyF���t�g�.�«|�xz{�{*w}y�xzy�ºF�g|�{�|?�hy ! � �«v1x��*vs�h�z�����8�.�¨�g|8��|*w��h{*w}| �@w��kxz�1xz�zxz{���hyF�¤���k���1���h|�xz{f�­{�v@�hy9��{?�hyF�F�h|*�9ºF�g|�{�|?�hy ���k�,�ewH�zx��*{o�=w}���¥�`{�vFw�²�w}�¤�g���g�hy�{?�h��w����hyF�¤�¨w��h{��1|*w���h��ºF�g|�{�|?�hy ! � �«v1x��?v����h²�wGxz{8���gyF���F�}xz��w¤�¨�g|8�*�}x�w}y�{�x£¹@�¤~1|*�g��|?�h����xzy1� �

• ºF�g|�{�|?�hy ! � �h�z���¥�8�����g|����¨|*w�w����g|����h{��q�«xz{�v_yF��|*w}�zx��hyF��w��gy]��~(w��}x£¹@�B~=���*xz{�x��gy1xzy1�`�h��*~=w��}x��h�S�?v@�h|?�g�}{*w}|*�G�hyF�B�1~�{*� �������g�z�1��yF�D~(w}|8�zxzyFw�� ��y� Q�zxzyFw¤���g����w}yO{*�G�h|*w­�h�z���¥�qw��a����h²kxzy1��xz{.w��g�*x�w}|«{*���hy1yF�g{?�h{*w¤���k�1w��

• �D|�xz{�v1��w}{�x��e�����_yF�¥� �(w�~(w}|<���g|���w��4�gy4�«vF�g��w��h|�|?���k���hyF�j�h|�|?���[�*w��}{�x��gyF���>utv1x�����h²�w���{�vFw����k�1w9��vF�g|�{*w}|¤�hyF���­�F�?v����g|*w9|*w��g�F�h�1��w�� �D~(w}|?�h{�x��gyF�Cxzye�hys�h|�|?�������h�z�Fw��w���~1|*w��*��x��gy��h|*w�~=�g{*w}y�{�x��h�z�z�B~=w}|<���g|���w��BxzyB~@�h|?�h�z��w}�Q�

• ��{��h�z���¥�8���¨�g|�����y@�h��x��D��w}���g|����h�z���k���h{�x��gyo�Hutv1x���x��q²�w}��{*�­~1|*�g��|?�h����xzy1��{�vFwD§�¡�©«ª�h�z���g|�xz{�v1� �«vFw}|*wG��w}���g|���|*w��O�1xz|*w}��w}y�{*�D���hy��=wG�1w}���hyF��xzy1�F�

• ��{qx���~(���*��xz�1��wD{*�#��~=w��}x£�¨��{�vFw��1w���xz|*w���~1|*w��}x���x��gy��h�M�hy��g� �<w��}{txzyB�­~(�g|�{?�h�1��wC�������HuH�k~=w�*~=w��}x£¹@���h{�x��gyF�H���hy��(w�~@�h|?�h��w}{�|�xz¢�w��a�O��w��hy1xzy1�G{�v@�h{�{�vFwt~1|*w��}x��*x��gy��h�(�D~@�h|�{�x��}�1���h|H{f�k~(w�h�����h|�x��h�1��w��.���hy��(wG�*v@�hy1��w����O�B�h�z{*w}|�xzy1��{�vFw����h�z�Fw¤�h���gyFw­���gyF��{?�hyO{��

• ¡������1��w���|*w}~1���g��w8���hy����1y1|*w}�zx��h�1��w8��w��h{��1|*w����h�oºF�g|�{�|?�hy ���G�g~(w}y�{*�Gxzy@�g����w}|�{*w}yO{8�h�1�F�*w�*�F�*v��g�M{�vFw��� � ����G�1���k�*²(�MutvFw}�9���hy��=wq�F�*w��9�¨�g|M�����g�@�h�1�1w�¹Fy1xz{�x��gyF���h�@{f�k~(w������g� �<w��}{*�¥��g~(w}|?�h{*�g|*�q�hyF��~1|*����w����1|*w����k�hyF�����hy��(wt�F�*w���{*��~1|*�¥��x��1w8�·�1yF�}{�x��gy@�h�zxz{����«vF���*wtxzyO{*w}|�y@�h��1w}{?�hxz���D���hy��(w�v1x��1�1w}yB�·|*�g� {�vFw��F�*w}|��

Page 52: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

• ��yO{*w}|<�Q�g��w��.�(w}{f��w�w}ys~1|*����w����1|*w����h�z�����j�¨�g|Cw����}x�w}yO{C~@�g�*��xzy1��h�H�h|�|?���k�¥���.|�|?���B�=�g�1yF�1��1�9yF�g{tv@����wC{*�9�=wD~@�g�*�*w���g�t�h|����1��w}y�{*�.�hyF���h|�|?�����*v@�h~=wD���hy�(w8xzy1vFw}|�xz{*w���¨|*�g�:{�vFw�g�}{��@�h�M�h|����1��w}yO{��

• utvFw}|*wGx��D�#�g�g�*{��z��xz��~1|*�¥��w����*w}{8�h��xzyO{�|�xzyF��x��¤�·�1yF�}{�x��gyF�¥�Fw���~(w��}x��h�z�z���F�*w��¨�1�axzy�{�vFw¤�h�z��w� �1|?�hx��¤���hy1xz~1�1���h{�x��gy��h�H�h|�|?�������

��r�� �ZT,W�L�i ���qbkW�NQiST

�C��xzy[�h�z�G���g��~1�1{*w}|~1|*�g��|?�h����{�vFw}|*w�x��������g��~1|*�g��x��?w�{*�³�(w����g�1w��(w}{f�qw�w}y[��w}yFw}|?�h�zxz{���hyF����w}y1��{�vo�.�ew¤v@����w­�«|�xz{�{*w}y�{�vFw­§�¡�©«ª®~1|*�g��|?�h�%�������}x�w}yO{��z����w}yFw}|?�h�M{�v@�h{Cxz{D���hy��?�g�z��w���g|¤�=�g{�v`{�vFw���{?�h{�x���hyF�����ky@�h��x����h��~1|*�g~(w}|�{�x�w��9�h�.� § �O�@�hy�{��1� ������{*w}���«xz{�vµ�h|��1xz{�|?�h|��vF�g~1~1xzy1�F���������h�.�hyF�µyFw��h|*w��*{�yFw}xz��vO�(�g|�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF���h���gy1�e{�vFw���w}y1��{�v±�h��{�vFwB�*v@�hxzyo�±utvFw~1|*�g��|?�h� x���w��g��xz�z�±��w}yFw}|?�h�zxz¢¥�h�1��w�{*�`�g{�vFw}|����k�1w}��¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyF��«xz{�v]���g|*w����g��~1�zx����h{*w��xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF�¥�®�ew��F�*w�{�vFw�¹Fy1xz{*ws��xz¢�w��h�z���g|�xz{�v1� �«xz{�v[�g~(w}y_�(�g�1yF�F�h|��_���gyF��xz{�x��gyF���*xzyF��wxz{�x��­�9�F�*vµ���g|*w�g���}�1|?�h{*w{�v@�hy³{�vFw�xzy�¹Fy1xz{*w���xz¢�w��gyFw���§C�ky@�h��x����h�q~1|*�g~(w}|�{�x�w���v@����w�(w�w}y���g��~1�1{*w����F�*xzy1�G{�vFw��S�hyF�}¢����H��w��}{*�g|���w}{�vF���a�O�«v1x��*v��t�g����x��*�}�F�?�*w��#xzy�´qv@�h~1{*w}| � �.�O�hxzy�xz{x���~(���*��xz�1��w�{*�����k��x£�·��{�vFwt~1|*�g��|?�h�®{*��{?�h|���w}{��g{�vFw}|H��w��}{*�g|*��{*�G�g�1{?�hxzy����ky@�h��x����h�F~1|*�g~=w}|�{�x�w���«xz{�v�|*w��g�*�gy@�h�1��wqw��g�?w��,u,�8|*w����F��wq{�vFwq��xz¢�w��,�h�F���h{�|�x���w����h�@�g~=w}|?�h{*�g|*���g���k����w}{�|�x�w����g�*�*�k�}x��h{*w���«xz{�v�{�vFw¤���gyF�?w}|��g�h{�x��gy��h�

Sz�hyF��~@�h|�{�x��}��w­yO�1�­�(w}|C�h|*w�xz��~1��w}��w}y�{*w���{�v1|*�g�1��vF�g�1{��

utvFws~1|*�g��|?�h� �F�?w��B��w}|�{?�hxzy[�zxz�1|?�h|��_|*�g�1{�xzyFw������g|��zxzyFw��h|��h�z��w}�1|?���hyF� �g{�vFw}|B~1�1|�~=���*w���«v1x��*v_���hy°�=w��g�1{?�hxzyFw��°�·|*�g� ���h|�x��g�F���*�g�1|*��w����*�F�*v±�g� � � �.´ ����¸D�1��w}|�x����h�8|*w��}xz~=w����g|¸ �.ª»~1|*�g��|?�h� �zxz�1|?�h|�x�w�����utvFw��*wGxzyF�}�z�F�1w��

• �%|*�g�1{�xzyFw�{*���g�1{?�hxzy]{�vFw�������w���{�w}xz��w}yO���h�z�Fw��hyF�_w}xz��w}yO��w��}{*�g|B�h�9�s|*w��h����������w}{�|�x��{�|�x���x��h���gy@�h�G���h{�|�x£�a�¶utv1x���x����F�?w�� �Z�¨{*w}|{�vFw �S�hyF�}¢�����~1|*�k��w����1|*wsx���~=w}|<���g|���w�� �gy{�vFw�¯��h��xz�z{*�gy1x��hy�¦¨���gyF�*x���{�xzy1�B�h�H{�vFw9������{*w}� ~1�z�F�Cw}y���xz|*�gy1��w}y�{­�hyF��{f�q����xz{*w��Dxzy�{�vFw��x��1����w¥¬«{*�#|*w����F��w¤xz{«{*���#{�|�x���x��h���gy@�h�S�¨�g|�� �hyF���g�1{?�hxzy�{�vFwG��|*�g�1yF����{?�h{*w��

• � |*�g�1{�xzyFw�{*�B�¨�1�z�z�e��x��h���gy@�h�zxz¢�w{�vFw��1w}yF��xz{��e���h{�|�x£�`�hyF�`�g�1{?�hxzy��h�z��xz{ � ��w}xz��w}yO���h�z�Fw���hyF��w}xz��w}yO��w��}{*�g|*���

• �j|*�g�1{�xzyFw¤{*���*�g|�{«{�vFw­w}xz��w}yO���h�z�Fw��D�h��{�vFwG�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£�a�

Page 53: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

utvFw�¹F|*��{¤��{*w}~sxzy�{�vFw#~1|*�k��w����1|*w�x���{*��|*w}�«|�xz{*w#{�vFw��g|�xz��xzy@�h��¯��h��xz�z{*�gy1x��hyexzy��yF�g{?�h{�x��gy��h���~1xzy1��w��*�C��xz{*w����=�����*w}~@�h|?�h{�xzy1��{�vFw­�1~��hyF���1���«y���~1xzys�1w}��|*w�w��G�h���·|*w�w��1�g����utvFw9�@�g��x��C{�vFw}y���k�g²k�.�g�«�¨�g�z���¥�8���

(↑ ⊗ ↓)1 ⊗ (↑ ⊗ ↓)2 ⊗ (↑ ⊗ ↓)3 ⊗ (↑ ⊗ ↓)4 ⊗ (↑ ⊗ ↓)5 · · ·

utvFwG�g���g�hy�{?�h��w¤�h�,{�v1x��«�*{*w}~x���{�v@�h{.�h{«w��g�*v�§�¡�©8ªjxz{*w}|?�h{�x��gy��9�*~1xzy�1~B�g|«�1���«y���xz{*wC�«xz{�v{f�����1w}��|*w�w��D�h�,�¨|*w�w��1�g� x��.�g�1�1w���{*��{�vFw¤������{*w}�>�1���k�*²��g�«xz{8��|*�¥�8���1|?�h{�vFw}|.{�v@�hy����·�1�z�o�*xz{*w�«xz{�v9�¨�g�1|��1w}��|*w�w����h�1�·|*w�w��1�g� �gy�xz{��,utv1x��M���h²�w��M{�vFw�{*�g{?�h��������{*w}�j�*xz¢�w

2m×2m|?�h{�vFw}|�{�v@�hy

4m× 4m�hyF�B{�vFw}|*w}�����h�z���¥�8�«���g|����g|*w­��{?�h{*w��t{*�#�=wC²�w}~1{8xzy�{�vFwG������{*w}� �hyF�Bw}y���xz|*�gy1��w}y�{

�1���k�*²(�

��r�� �cHRµL�i �HW�N�THR@X

¸C��� ��w­��x��*�}�F�?�«{�vFw­�1w}{?�hxz���C�h��xzyF��xz��x����@�h�M���1�1|*�g�1{�xzyFw����F{�vFw}xz|Dxzy1~1�1{*�C�hyF���g�1{�~1�1{*�C�hyF��{�vFw{?�g��²��«{�vFw}�~=w}|<���g|����HutvFwC¹F|*��{8|*�g�1{�xzyFw­�h�Mxz��~(�g|�{?�hyF��w¤x��.�����k���1��w��F���h�z��w������ ������������ F�

• t[kYX�]fW�k�� |������ �D�8{�vFw�y@�h��w�xz��~1�zx�w��8{�v1x��«���k���1��w�x��«�F�*w���{*���1w��}���h|*wG���h|�x��h�1��w��.�hyF���h|< |?���k�q�h���gy1�G�«xz{�v�{�vFw}xz|H�*v@�h~=w«�hyF�#���h²�wt{�vFw}�K�g����w��*��xz�1��w«w}��w}|��k�«vFw}|*wt{�vFw}���h|*wtyFw�w��1w��a�utvFw��?wH�����g�@�h�k�g�h|�x��h�1��w����h|*w��g����w��?�*w��¤xzy�w��g�*v�|*�g�1{�xzyFw��«xz{�v9{�vFw����g�����hyF����������� �������F��°~@�h|?�h��w}{*w}|���y@�h��w��������@�Z�F�*w���{*�8¹1��{�vFw�~1|*w��}x���x��gy��h�(�h�z�k|*w��h�1�hyF�#���g��~1��w��#�g�h|�x��h�1��w��xzy�{�vFw­~1|*�g��|?�h��x��.�1w��}���h|*w����hyF���g�*��xz��yFw���vFw}|*w�� �D{�vFw}|D���h|�x��h�1��w��.xzyF�}�z�F�1w9{�vFw���xz¢�w­�h�{�vFw����h{�{�x���w��

Ns�M{�vFw�yO�1�9�=w}|��h�8��{?�h{*w��9{*���(w�²�w}~1{9xzy³��§�¡�©8ª>{�|��1yF���h{�x��gy

m�,{�vFw

���k���h{�x��gys�h�H{�vFw­��xz{*w­�«vFw}|*w­{�vFw­�������h����~(w��}{�|?�h�o�¨�1yF�}{�x��gy�x��D���g��~1�1{*w��a�2{�vFw9yO�1�9�=w}|G�h�¹Fy1xz{*w#��xz¢�w9§�¡�©8ªK���qw�w}~F�G�hyF��{�vFw­{*�g��w}|?�hyF��w�{*���(w#�g�*v1x�w}��w���xzy�{�vFw �S�hyF�}¢�����~1|*�k��w� ���1|*w���utvFw}y����g�z�����]{�vFw8���h|�x��g�F���h|�|?���k�t��{*�g|�xzy1�9{�vFw.��w��¨{��hyF��|�xz��vO{t�1�����?²k�¥�O���1~(w}|��1�����?²k��hyF��{�vFw��g~(w}|?�h{*�g|*�8�h{«{�vFw�w�����w��«�h�,{�vFwC�1�����?²k�«�g�1{«�h�M�«v1x��*vB{�vFwG¯��h��xz�z{*�gy1x��hyBx��«���gy� �*{�|��F�}{*w��a�Cº@�g|D{�vFw�w��k{*w}yF�1w��s¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}�Q�={�vFw9�g~(w}|?�h{*�g|*�G�h{D{�vFw�w�����w����h�H�1�����?²k�xzyF�}�z�F�1w�{�vFw��}|*w��h{�x��gy��g|¤�1w���{�|��F�}{�x��gy��g~(w}|?�h{*�g|9�hyF��{�vFw#y��1�­�(w}|9�g~(w}|?�h{*�g|��¨�g|G�1�1xz���k xzy1��{�vFwGyFw��h|*w���{< QyFw}xz��v��=�g|G�hyF�����k���h�M´��g�1���g�­��xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyo���»���g��x����h�,�g�h|�x��h�1��w¤���h�z��w�� �"! #%$&��! ��'�x��D�F�*w���{*����x���{�xzy1���1x��*v��(w}{f��w�w}y�{�vFw9��x��(w}|*w}y�{�~1|*����w����1|*w��C{*���(w9�g�1�g~1{*w��xzy`{�vFw#¹F|*��{�§C¡�©8ª ����w�w}~��«vFw}y�{�vFw�������{*w}� ��xz¢�w�x��­��|*���«xzy1���hyF��{�vFw����h{*w}|����qw�w}~F��«vFw}y�{�vFwG�¨�1�z�S������{*w}� ��xz¢�w­v@�g�8�(w�w}y��h{�{?�hxzyFw��a�«utvFw¤���g��x����h�,�g�h|�x��h�1��w(��! �)'Bx��8�F�*w���{*�

Page 54: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

��x��*{�xzy1���1x���v�{�vFw9���g�*w��D�«vFw}y�{�vFw­��w��·{D�1�����?²Bx��.{�vFw9���k�*{*w}���hyF��{�vFw9|�xz��vO{C�1���k�*²Bx��D{�vFww}y���xz|*�gy1��w}y�{��hyF����x���w���w}|*�?���

¡��F�*v_w����}x�w}yF�}�`x����O�hxzyFw��°xzy�{�vFw��h�z���g|�xz{�v1� �O�µ��{*�g|�xzy1��{�vFw ���@�hyO{��1� y��1�­�(w}|*���h�{�vFw��*{?�h{*w��D|?�h{�vFw}|G{�v@�hy�{�vFw#��{?�h{*w���{�vFw}���?w}�z��w���� �{�vFw��g�h|�x��g�F�¤�h|�|?���k�­�1w}yF�g{�xzy1�B{�vFw���@�hyO{��1�>y��1�­�(w}|*���k��xz¢��z�k{�vFwDyO�1�9�=w}|8�h�o�1~��hyF��1���«yB��~1xzy�w}��w��}{�|*�gyF�¤¦·yO�1~��hyF�yF�1�O¬�h����{?�h{*w��#�gyµ{�vFw�*�k��{*w}� �hyF�µw}yO�kxz|*�gy1��w}yO{��1���k�*²����hyF�³{�vFw�w}yO{�xz|*wB������{*w}� �h|*w��h���?��1w��}���h|*w���xzyB�������1��w���� �����&�1�

�D{�vFw}|#��x��*��w}�z���hyFw��g�F�#���h|�x��h�1��w���xzyF�}�z�F�1w{�vFw�y��1�­�(w}|#�h� �S�hyF�}¢������@�g��x��#��{?�h{*w��­{*���(w{?�h|���w}{�{*w���¦�������� g¬o���g|��1�1xz����xzy1�G{�vFw����ky@�h��x����h�F���g|�|*w}���h{�x��gy#�¨�1yF�}{�x��gyF���hyF��{�vFwq|*w}���h{�xz��w��w}xz��vO{�¦ '����)���&$&��#�¬D{*���=w��g�*�*xz��yFw����¨�g|G{�vFw#��|*�g�1yF�e�*{?�h{*w��1w}yF��xz{f�����h{�|�x£�(��utvFw#���g�*{���h|�x��h�1��w��«{*�#�(wG�g����w��*��xz�1��wGw}��w}|��k�«vFw}|*w­�h|*w�{�vFw�~@�h|?�h��w}{*w}|*�8xzyB{�vFwG¯��h��xz�z{*�gy1x��hy����F�?v�g�H{�vFw«¯.�1�1�@�h|*��xzy�{*w}|?�g�}{�x��gy

U��{�vFw«yFw��h|*w���{< QyFw}xz��vO�(�g|q���g�1~1�zxzy1�

V��{�vFw8vF�g~1~1xzy1�

t�hyF�

{�vFw­�*vFw}��x����h�S~(�g{*w}yO{�x��h�Q�

• L�Zf�M\^Uv� |��}� �³utv1x���|*�g�1{�xzyFw�x���{�vFw�¹F|*��{��gyFw�{*�`�(w����h�z��w��_�·|*�g�7{�vFw����hxzy ~1|*�g��|?�h���� �!�� ����� @� �D�O�hxzy��g��{�vFw«y@�h��w«�*�1����w���{*���O�h�z�F{�vFwtxzy1~1�1{*��{*��{�vFw«~1|*�g��|?�h�!�h|*w«~1|*�¥��x��1w��{�v1|*�g�1��v�{�v1x���|*�g�1{�xzyFw��9u���~1x����h�z�z���S{�v1|*w�w�¹Fy1xz{*w�§C¡�©8ª:���qw�w}~F�9�h|*w#yFw�w��1w��s{*���h{�{?�hxzy���gy���w}|���w}yF��w��

50%�h�2{�vFw��qw}xz��v�{Hxzy#{�vFw��¨�1�z�1�1w}yF��xz{f�9���h{�|�x£�9x��H�g�*�*xz��yFw��9{*�C{�vFw���|*�g�1yF�

�*{?�h{*w­�hyF�B{�vFw�|*w���{8{*�#{�vFw �S�hyF�}¢����8�@�g��x��.��{?�h{*w����

• K`_�Shts� |������.utv1x��Dx��D{�vFw¤���hxzy�~1|*�g��|?�h� �«v1x��?vs���gy�{�|*�g���C{�vFw­�*w����Fw}yF��w9�h�H���h�z���C{*��{�vFw���h|�x��g�F�«|*�g�1{�xzyFw����qutvFwC¹F|*��{8���h�z�ox��«{*�#{�vFw­���1�1|*�g�1{�xzyFw � ���&$ ����� @��utvFw¤��~1xzy1��w��*�8�*xz{*w���h���gy1��{�vFw��?v@�hxzy³�h|*w����h�(w}�z��w����¨|*�g����w��¨{¤{*�B|�xz��vO{��«xz{�vexzy�{*w}��w}|*����_xz{�v�w��g�?v³§�¡�©8ªxz{*w}|?�h{�x��gyo��{f������~1xzy1��w��*�#��xz{*w���xzyµ�=w}{��qw�w}y°������{*w}� �hyF�µw}y���xz|*�gy1��w}y�{����zx��1wB�h���gy1�s{�vFw��w}y1��{�v��h�M{�vFw��*v@�hxzyB{*��{�vFw�|�xz��vO{.�hyF�{�vFw}yB{*��{�vFwC��w��·{������g�?v�§�¡�©8ª»��{*w}~�x������h�=w}�z��w�����­{�vFw�xzyO{*w}��w}|����h|�x��h�1��w ���G�1w}yF�g{�xzy1�G{�vFwq�������h{�x��gy��h�2{�vFwH¹F|*��{��h�@{�vFw�{��q����xz{*w��M�=w}{��qw�w}y�*�k��{*w}�>�hyF��w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{�� �4���h�z�(x��q{�vFw}y����g�1wC{*��{�vFw.~1|*�g��|?�h� #�����!���� � � ����� �{*��1�1xz����{�vFw¤��w��¨{D�hyF��|�xz��v�{D�1���k�*²��D�hyF��{�vFw¤w�����w­�g~(w}|?�h{*�g|*�D�«xz{�v�{�vFw9�h|����1��w}y�{ �&��¦¨�?w�w�1w��?�}|�xz~1{�x��gy��h� #������!&����� � ����� #���g|8�1w}{?�hxz���.�h��{�v1x��«~1|*�k��w����1|*w¥¬��

�]xz{�v�{�vFw­vFw}�z~��h��{�vFw��*w­�1�����?²��hyF��w�����w9�g~=w}|?�h{*�g|*���2{�vFw­¯��h��xz�z{*�gy1x��hy�x��D���gyF��{�|��F�}{*w��xzy�w��g�?v��*w��}{*�g|«�«xz{�v�¹1�1w��

Sz��utvFw���|*�g�1yF����{?�h{*wGw}xz��w}y��g�h�z�Fw9�hyF�Bw}xz��w}yO��w��}{*�g|.x��8{�vFw}y

Page 55: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�g�1{?�hxzyFw��#���9�C���h�z��{*� �&��� ����� F�MutvFwqyFw��k{���{*w}~�xzyO���g�z��w����1�1xz����xzy1��{�vFwt�1w}yF��xz{��­���h{�|�x£��g�1{��h�.{�vFw��|*�g�1yF�µ��{?�h{*w��hyF���hyO�`�g{�vFw}|���{?�h{*w���{*���=w�{?�h|���w}{�{*w��a�eutv1x���x����g�*v1x�w}��w��{�v1|*�g�1��v[�����h�z�D{*�e{�vFw����1�1|*�g�1{�xzyFw � ��� � !� � ����� ]¦ ���g|��1w}{?�hxz�����?w�wB{�vFw��1w��*�}|�xz~1{�x��gy�(w}�����®�h��{�v1x��C|*�g�1{�xzyFw¥¬��9utvFw9�¨�1�z���1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�sx�����{*�g|*w��sxzys{�vFw��h|�|?���s���h�z��w�� !�� �F�utvFw ���@�hyO{��1�>y��1�­�(w}|*�8�h�,{�vFwC�@�g��x��«�*{?�h{*w��qxzy��«v1x��?v�!� �9x��t�«|�xz{�{*w}y��h|*wCw}xz{�vFw}|«{�vF���?w�gy�{�vFwH��w��¨{,�g|,|�xz��vO{����1~(w}|��1�����?²¤�1w}~=w}yF��xzy1�C�1~(�gy­�«vFw}{�vFw}|��gyFwHx��M���qw�w}~1xzy1�C{*�D{�vFwH|�xz��vO{�g|«��w��¨{���|*w���~(w��}{�xz��w}�z���HutvFw¤�1w}yF��xz{������h{�|�x£��x��8��x��h���gy@�h�zxz¢�w��Bxzy�w��g�?v����1�F�*w��}{*�g|D�h�S¹1�1w���1~e�hyF�s�1���«y���~1xzy��gy�{�vFw#���k�*{*w}� �1���k�*²(� �8�¨{*w}|C�g�1{?�hxzy1xzy1���h�z��{�vFw�w}xz��w}yO��w��}{*�g|*���hyF�w}xz��w}y��g�h�z�Fw��¥�F�¤|*�g�1{�xzyFw ���)��#)!�$#x����F�*w���{*���*�g|�{q{�vFwCw}xz��w}y��g�h�z�Fw��«�h�o{�vFwC�1w}yF��xz{������h{�|�x£��g�}|*���?�t�h�z�a��~1xzy��*w��}{*�g|*����utvFw

mw}xz��w}y���w��}{*�g|*�«�«xz{�v�{�vFw.���h|���w��*{tw}xz��w}y��g�h�z�Fw��8�h|*w���{*�g|*w��

xzy��#|*w��}{?�hy1���1���h|��h|�|?���B���h�z��w�� ��� � �DyFwG��xzy��F�.{�vFw¤�*�1� �h��{�vFwm���h|���w���{.w}xz��w}yO���h�z�Fw��

�*{*�g|*w���xzy�{�vFw9�h|�|?��� �W � alfa

�@��xz��w��8{�vFw­��x��?���h|*�1w�����w}xz��vO{�� � #�������$2�t§�w}~(w}yF��xzy1���gy�«vFw}{�vFw}|9�gyFw#x��¤���qw�w}~1xzy1��{*��{�vFw#|�xz��vO{­�g|G{�vFw#��w��¨{��a{�vFw#��w��¨{¤���1~=w}|��1���k�*²s�g|G{�vFw#|�xz��vO{�*�1~=w}|��1���k�*²e¦·xQ� w��z�1{�vFw¤�*�k��{*w}�>�1���k�*²F¬qx��8{�|��1yF���h{*w����O���F��xzy1��{�vFw

mw}xz��w}yF��{?�h{*w��D�h�M{�vFw

�1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�B��{*�g|*w��xzy ��� ��utv1x��t{�|��1yF���h{�x��gyBx��t���h|�|�x�w��B�g�1{��¨�g|�{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy��g���w}�z�,�g�«�g{�vFw}|.�g~(w}|?�h{*�g|*�8��xz{��@�h{*w����gyB{�vFwGw�����wG�h��{�vFw��1���k�*²B�hyF���hyO���g{�vFw}|.�g~=w}|?�h{*�g|*��«vF���?w���|*�g�1yF�B��{?�h{*w�w��k~(w��}{?�h{�x��gyB�g�h�z�Fw��8�h|*wG�?�g�1��vO{�� �D�z�({�vFwC�g~(w}|?�h{*�g|*�8�gy�{�vFw��1���k�*²�h|*w­�h����xz¢�w

m×m�hyF�B��w­�h|*wGyF�¥�4|*w��g����{*�#�=w}��xzy���yFw}�j§C¡�©8ª»xz{*w}|?�h{�x��gyo�

• NR\f�M]MkOXAihr`� | �}� � �fy�g�1|qyF�g{?�h{�x��gy�{�vFwD��w��·{t�hyF��|�xz��v�{«���1~=w}|��1���k�*²��1w}yF�g{*wC{�vFwD��w��·{q�1�����?²~1�z�F������~1xzy1��w��*����xz{*w��hyF��{�vFw�|�xz��vO{#�1���k�*²e~1�z�F������~1xzy1��w��*����xz{*w�|*w��*~=w��}{�xz��w}�z��� �t{�{�vFw�(w}��xzy1y1xzy1�F� #��������� �� ����� ����h²�w��9���h�z���­{*��|*�g�1{�xzyFw�� ����$�������� ���hyF� ! �%���$�������� �

¦¨�?w�w��1w��?�}|�xz~1{�x��gy��h� ����� �� ����� k¬o�«xz{�v��h|����1��w}y�{����{*�C�1�1xz����{�vFwq��w��¨{H�hyF�­|�xz��v�{��1�����?²k�¥�¸Cw���{��@���B�F��xzy1��{�vFw���{*�g|*w����g~(w}|?�h{*�g|*���h{D{�vFw9w�����w��D�h�H{�vFw9��w��·{��hyF��|�xz��v�{D�1���k�*²����2{�vFw|�xz��v�{��hyF�³��w��·{����1~(w}|��1���k�*²��h|*w���gyF�*{�|��F�}{*w��a�³utv1x��#xzy����g�z��w���{*w}yF�*�g|#~1|*�k���F�}{*���«v1x��*v�h|*wD~(w}|<�¨�g|���w���F��xzy1���G|*�g�1{�xzyFw����h�z��w�� � �%!� #�� a�MutvFwCw�����wC�g~=w}|?�h{*�g|*�«�h|*wC{�vFw}y�{�|?�hyF�� ���g|���w���{*��{�vFw����1~(w}|��1�����?²��@�g��x��G�hyF��{�vFw}xz| ���@�hyO{��1�%y��1�­�(w}|*��xzy�{�vFw�yFw}�»�@�g��x��G�h|*w�}|*w��h{*w��a� �C��xzy1�B{�vFw ���@�hyO{��1� yO�1�9�=w}|*�­xzy�{�vFw#��w��·{¤�hyF�s|�xz��v�{­���1~(w}|��1�����?²=� ���@�hyO{��1�

Page 56: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

y��1�­�(w}|*�8���g|«{�vFw��¨�1�z�o������{*w}�>~1�z�F�8w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{G�h|*wGyF�¥�4�1�1xz�z{8�F��xzy1� �

qL ⊕ qR =

qL1 + qR

qL2 + qR

���

utv1x���{*w}yF�*�g|����1�����h{�x��gy_x����g�?v1x�w}��w��°�O���1w�¹Fy1xzy1�µ�hy±�g~=w}|?�h{*�g| ��� � ��¦·xzy_�s���k���1��w���h�z��w�� � �"!�� "$ � �&! � � %$ ����� k¬({*�8�(wHxzyF�?w}|�{*w��­xzy9�=w}{��qw�w}y#{�vFwH{��q�G�h|�|?�����,�h� ���@�hyO{��1�y��1�­�(w}|*���

• ]`kOXAiVr`� |������]utv1x������gyF��x���{*�B�h�#{f����|*�g�1{�xzyFw���  ����$ ������� ��_�hyF��! �)����$ ����� � ��2� ��{{?�h²�w���{�vFwC�h|����1��w}yO{ �����hyF��xz{ � �t�g�}{�x��gy��1w}~(w}yF�1�q�}|��F�}x��h�z�z���gy{�vFwD�g�h|�x��h�1��w � ¹F|*��{���|*��� ��hyF� � ��|*��� �z��utvFw��*w�|*�g�1{�xzyFw����h|*w�|*w���~(�gyF��xz�1��w����g|­�1�1xz����xzy1�s{�vFw���w��¨{��hyF�`|�xz��vO{��1���k�*²¯��h��xz�z{*�gy1x��hyF�9�g����w}�z���g�G{�vFw}xz| ���@�hyO{��1��y��1�­�(w}|*�����fy1xz{�x��h�z�z���«vFw}y ���Bx���{�vFw#���¥�qw���{���h�z�Fw��hyF� �%! #)$&��! �)'sx��­{�|��Fw��M{�vFw���w��·{#�hyF��|�xz��v�{9�1���k�*²��h|*w����gyF��{�|��F�}{*w��³�«xz{�ve���g�1|�*~1xzy1��w��*�9�*xz{*w��9w��g�?vo� ��{�vFw��{?�h|�{�xzy1�s��xz¢�w��h�8{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyµ{�v@�h{9x��9��x��h���gy@�h�zxz¢�w��w��F�g�}{��z��x�� �� �*xz{*w����F�«xz{�v����g�1|.xzysw��g�*v��1�����?²��hyF��{��q�xzy�{�vFw­��x��1����w�� �t{Dw��g�?vs�*{?�h��w�g�9���g�³��|*���:{�vFw��*v@�hxzyo��{�vFw���w��¨{­�1���k�*²�~1�z�F�#����~1xzy1��w��?�­��xz{*w�g�}{#�g�9{�vFw�������{*w}� �hyF�{�vFw�g�*�*�k�}x��h{*w����g~(w}|?�h{*�g|*���h|*w��«|�xz{�{*w}y`{*����x���²s{*���(w�|*w��g�`�h�O�hxzy³�«v1xz��w��*�qw�w}~1xzy1��{*�{�vFw���w��·{�� �Q�t�gyFw�x��­����w�w}~1xzy1��{*�B{�vFw���w��·{��S{�vFw}ye{�vFw���w��¨{G�1�����?²�x��­|*w��g�s�¨|*�g��{�vFw���x���²�¨|*�g� {�vFw#~1|*w}�kx��g�F�¤���qw�w}~o�#utvFw�|�xz��v�{G�1�����?²�x��­���gyF��{�|��F�}{*w��ew��F�g�}{��z���h���¨�g�1|G��~1xzy1��w��*��*xz{*w��G���1|�xzy1�{�vFw�¹F|*�*{C����w�w}~�{*�{�vFw9|�xz��v�{­�hyF�sw��g�*v�{�xz��w��gyFw�|*w��g�*vFw��G{�vFw�|�xz��v�{¤w}yF����1|�xzy1��{�vFw9���qw�w}~F���Dº1|*�g��{�vFw9�*w����gyF������w�w}~��gy����h|*�1���«vFw}ys�gyFw­x��C���qw�w}~1xzy1�{*��{�vFw|�xz��v�{��a{�vFw#|�xz��vO{G�1���k�*²�x��C|*w��g���·|*�g�%{�vFw#��x���²��g�G�?����w����·|*�g�%{�vFw9¹F|*��{G����w�w}~o�¤�]vFw}y�gyFw¤x��8���qw�w}~1xzy1��{*��{�vFw���w��·{��F{�vFw�|�xz��vO{.�1���k�*²~1�z�F�.���*~1xzy1��w��*�8��xz{*w¤�g�}{*�.�g�8{�vFw¤������{*w}����hyF��{�vFw}|*w��¨�g|*wG{�vFw¤|�xz��vO{8�1���k�*²�x��«�«|�xz{�{*w}y�{*����x���²=��¸C�g{*w�{�v@�h{8{�vFw¤�*�1~=w}|��1���k�*²��8�h���gyFwxz{*w}|?�h{�x��gy��¨�g|��>{�vFw¤�1�����?²k�t���g|«{�vFwGyFw���{.§�¡�©8ªjxz{*w}|?�h{�x��gyo�

• ]`\fL�kOKMShefXs� |������sutv1x���|*�g�1{�xzyFw��1�1xz���1��{�vFw��1w}yF��xz{������h{�|�x£�°�g�1{��h�G{�vFwB��|*�g�1yF�±��{?�h{*w�g|G�g{�vFw}|G��{?�h{*w������F�?v��g�C{�vFw �S�hyF�}¢������@�g��x��C�«vFw}y����g|�|*w}���h{�x��gys�¨�1yF�}{�x��gyF�¤�h|*w9�1w���xz|*w��a�utvFw�xzy1~1�1{B{*�`{�v1x���|*�g�1{�xzyFw�x���{�vFw���|*�g�1yF� ��{?�h{*w�����#k�.{�vFw���|*�g�1yF�]�*{?�h{*w ���@�hyO{��1�y��1�­�(w}|*�«�hyF��{�vFw.��xz¢�w����h�({�vFw.���k�*{*w}�!�hyF��{�vFw8w}y���xz|*�gy1��w}y�{�� �DyF��w«{�vFwD������{*w}� ��|*���8�{*��xz{*���¨�1�z�«��xz¢�w���{�vFwB������{*w}� �hyF�µ{�vFww}y���xz|*�gy1��w}y�{�h|*w�w����@�h�z�z��|*w}~1|*w��*w}y�{*w����O�

2m

Page 57: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�*{?�h{*w���w��g�?vo� �fyµ�g|*�1w}|�{*���1�1xz���`{�vFw��1w}yF��xz{f�`���h{�|�x£�(��{�vFw��|*�g�1yF�µ��{?�h{*ww}xz��w}yO��w��}{*�g|�«v1x��?v�x���xzy�{�vFw«�¨�1�z�F�@�g��x��q�h�a{�vFw.������{*w}�®~1�z�F��{�vFw.w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{tyFw�w��1�q{*�G�(w«~1|*� �<w��}{*w���gy�{*�B{�vFw#��{?�h{*w���|*w���x���xzy1��w}y�{�xz|*w}�z�s�gys{�vFw�������{*w}� �hyF��w}yO{�xz|*w}�z�s�gy�{�vFw�w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{��utv1x��Cx��D~=w}|<���g|���w����O���hy�xzyO{�|�xzyF��x��9�¨�1yF�}{�x��gy����h�z��w����&�����������2�(ª�xz��w}y�{�vFw9��xz¢�w����h�H{�vFw�*�k��{*w}� �hyF�µw}yO�kxz|*�gy1��w}yO{��q�hyF�`{�vFw�g|*�1w}|�xzy1�s���gy���w}yO{�x��gy�xzy³{�vFw�{*w}yF�?�g|����1�����h{�x��gy�h� �O�@�hy�{��1�>yO�1�9�=w}|*�����&����������|*w��h|�|?�hy1��w��«{�vFwG�gyFw� f��xz��w}yF�*x��gy@�h�,�h|�|?�������gyF��x���{�xzy1���h�{�vFw���|*�g�1yF����{?�h{*w�w}xz��w}yO��w��}{*�g|.xzy�{*�����g§ �h|�|?������� #&�¤xzyB{�vFw���w��¨{8�hyF��|�xz��vO{.���1~(w}|��1���k�*²�@�g�*x�����utv1x��q~1|*� ��w��}{�x��gy��¨�g�z���¥�qw���O���¤{�|?�g��wD�¥��w}|q{�vFwC��{?�h{*w����h�o{�vFw.w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{«��xz��w��{�vFw­�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£�a�

�f�o����y@�h��x����h�(���g|�|*w}���h{�x��gyF�«�h|*w8�(w}xzy1�­���g��~1�1{*w��{�vFw}yo�����g|�w��F�h��~1��w��Oxzy�{�vFw.���g�*wD�h�a{�vFw���k���h�t��~=w��}{�|?�h�q�¨�1yF�}{�x��gyo��{�vFw��1w���{�|��F�}{�x��gy��g~(w}|?�h{*�g|9v@�g�9{*���=w�g�}{*w��`�gy³{�vFw���|*�g�1yF��*{?�h{*w9w}xz��w}y���w��}{*�g|��Cutv1x��D���h{�|�x£���9�1�z{�xz~1�zx����h{�x��gy�v@�g�.{*���=w9�1�gyFw¤�«xz{�v��­�F�?vs���h|*w9�(w� ���h�F�?w«{�vFw«�g~=w}|?�h{*�g|����g�1����w���x���{��gy�w}xz{�vFw}|H{�vFw«��w��¨{H���1~(w}|��1�����?²��g|H{�vFw8|�xz��vO{����1~(w}|��1���k�*²�1w}~(w}yF��xzy1���gy�{�vFw�§�¡�©«ª!xz{*w}|?�h{�x��gy`��{*w}~o� xzyF��w#{�vFw��1w��*{�|��F�}{�x��gy��g|¤�}|*w��h{�x��gy��g~(w}|< �h{*�g|­xz{*�*w}�£��x��­�1w�¹FyFw��e�gy�{�vFw����1~(w}|��1�����?²��@�g�*x����a{�vFw��9�1�z{�xz~1�zx����h{�x��gy�x��G~(w}|<�¨�g|���w����gy{�vFw9~1|*� ��w��}{*w�����|*�g�1yF����{?�h{*w � #&�k�8utvFw¤xzy�{�|�xzyF��x��9�·�1yF�}{�x��gy���� �@�@�«v1x��*vs~=w}|<���g|����D{�vFww��F�g�}{8|*w}��w}|*�*w¤{?�g��²��h��{�vFwGxzyO{�|�xzyF�*x����&�����������2��x��«�F�*w���{*�#�1�1xz���B{�vFwG¹F|*��{��S�hyF�}¢����D��w��� {*�g|­xzy�{�vFw#�·�1�z���@�g�*x��G�h��{�vFw��*�k��{*w}�%~1�z�F�G{�vFw�w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{���utv1x�� �S�hyF�}¢����­��w��}{*�g|­x��{�vFw}y��w���{*�9{�vFwD|*�g�1{�xzyFw �&��� G{*�­�1�1xz���{�vFwD|*w���{��h�,{�vFw �S�hyF�}¢����t�@�g�*x���� �8�¨{*w}|q�1�1xz����xzy1�{�vFw �S�hyF�}¢������@�g�*x����tw��g�*v_�h��{�vFw}��x���|*w���v@�h~(w���{*��~1|*� ��w��}{��gyO{*��{�vFw���w��¨{��hyF��|�xz��vO{�*�1~=w}|��1���k�*² �<�F��{.�g�8�t�g�D�1�gyFw¤�¨�g|.{�vFwG��|*�g�1yF����{?�h{*w��@{*���1�1xz�������1w}yF��xz{f�B���h{�|�x£�a�tutvFw�¨�1�z�,�1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£��x��D���qw}xz��vO{*w������1���h��{�vFw¤��|*�g�1yF����{?�h{*w­�1w}yF��xz{f�B���h{�|�x£���hyF��{�vFw�1w}yF�*xz{f�����h{�|�x���w��.�g�1{?�hxzyFw����·|*�g�>{�vFw �,�hyF�}¢����8�@�g��x��«��w��}{*�g|*�¥�

• ]`\fL�kOK`e^W�_(� | �}� ��utv1x���|*�g�1{�xzyFw��1�1xz���1��{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy_xzy_�����1�F�*w��}{*�g|��«xz{�v�¹1��w�����@�hyO{��1� yO�1�9�=w}|

Sz���g|¤{�vFw�w}yO{�xz|*w�������{*w}��~1�z�F�¤{�vFw�w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{���utvFw�xzy1~1�1{*�­{*�

{�v1x������1�1|*�g�1{�xzyFwBxzyF�}�z�F�1w�� ���2��{�vFwB��xz¢�w����h��{�vFwB��w��¨{��hyF��|�xz��vO{���1~(w}|��1�����?²k���hyF�°{�vFw���@�hyO{��1�7yO�1�9�=w}|

Sz� �Dy1�z�³{�vFwB�1~1~=w}|�{�|�x��hy1����w��h��{�vFwB���h{�|�x£�±�hyF�µyF�gy� Q¢�w}|*�����= 

��x��h���gy@�h�a���h{�|�x£�w}��w}��w}yO{*�.�h|*wC��{*�g|*w��a���ewC�F�*w8{�vFwD���g�z�����«xzy1����~@�h|*�*wD���h{�|�x£��yF�g{?�h{�x��gy

Page 58: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

{*����{*�g|*w�{�vFw¤¯��h��xz�z{*�gy1x��hy��g�«xz�z�z�F��{�|?�h{*w����O��{�vFwC�¨�g�z���¥�«xzy1��w��F�h��~1��w��

H ��� =

0 1 0 2 0 0

1 2 0 3 0 5

0 0 0 0 1 0

2 3 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0

0 5 0 0 0 0

���g�1�����(w�|*w}~1|*w��*w}yO{*w����F��xzy1� �

vF��x��h�= (0, 2, 0, 1, 1, 0)

vF���a��x��h�= (1, 2, 3, 5, 1)

v1~(���= (2, 4, 4, 6, 5)

y1|*���= (2, 2, 1, 0, 0, 0)

� � ��������{*�g|*w����h�z�@{�vFw.��x��h���gy@�h�(w}��w}��w}yO{*��� � ��� � �����#��{*�g|*w��q�h�z�@{�vFw8yF�gy� Q¢�w}|*�����B��x��h���h y@�h�(���h{�|�x£��w}��w}��w}y�{*�txzy�{�vFwC�1~1~(w}|q{�|�x��hy1���1���h|t~@�h|�{�� ��� ��#G�*{*�g|*w��q{�vFw����g�z�1��y�yO�1�9�=w}|�h�.w��g�?v����(��x��h���gy@�h�tw}��w}��w}yO{�� ��! �)'e���gyO{?�hxzyF��{�vFw�yO�1�9�=w}|��h�8yF�gy� Q¢�w}|*�s���2 f��x��h���gy@�h����h{�|�x£��w}��w}��w}yO{*�Cxzy�w��g�?v�|*�¥�¤� ��y��g|*�1w}|C{*��~1x��*²�{�vFw¤���h{�|�x£��w}��w}��w}y�{*�C�h�H{�vFw�¯��h��xz�£ {*�gy1x��hyo�=�gyFw¤v@�g�.{*�����gyF��x��1w}|��h�z�S~(���*��xz�1��w¤���g�9�1xzy@�h{�x��gyF�G�h� �O�@�hy�{��1� yO�1�9�=w}|*�Cxzy�{�vFw��w��¨{.�hyF��|�xz��vO{D���1~=w}|��1���k�*²�«v1x��*v���xz��wG|�x��*w�{*�#{�vFwC¹1�1w����g�h�z�FwG�h�

Sz��utvFw����h{�|�x£��w}��w� 

��w}y�{*��{�vFw}���*w}�z��w����h|*wt���gyF��{�|��F�}{*w����O�­���h�z�zxzy1�¤�8�·�1yF�}{�x��gy#���h�z��w�� ���� ���F�Sutv1x��,�·�1yF�}{�x��gy���� ���9{?�h²�w��8�g�«�h|����1��w}yO{*�«{�vFwD�@�g��x��t��{?�h{*w��t�gy�{�vFw.��w��¨{8�hyF��|�xz��v�{8���1~(w}|��1�����?²�{*����xz��w�����h{�|�x£��w}��w}��w}y�{.xzy�{�vFw��¨�1�z�a�@�g��x����

u,��w}yF���1|*w�{�v@�h{­{�vFw�§�¡�©8ª ~1|*�k��w����1|*w�x����h�z����������{?�h�1��w��hyF�e���gy���w}|���w}yO{���{�vFw�������{*w}���|*�g�1yF����{?�h{*w#�F���@�h�z�z��v@�g��{*���(w��1w}{*w}|���xzyFw��e{*����|?�h{�vFw}|Gv1xz��v��g���}�1|?�g�}������{¤�h���*��v@�h~1~=w}yF�{*���(w¤{�vFw­������{C{�xz��w� f���gyF���1��xzy1��~@�h|�{D�h�q��§�¡�©8ª®���h���}�1���h{�x��gyo��� ���1�F��{?�hyO{�x��h���h���g�1yO{G�h�´ �:{�xz��w����hy`�=w��?����w����O�sv@����xzy1�s����w}|��s�����k�sxzy1xz{�x��h�����Fw��*�G�¨�g|­w}xz{�vFw}|­{�vFw �S�hyF�}¢������g|§G���kx��1�*�gy��h�z���g|�xz{�v1�®{*�G�1w}{*w}|���xzyFw.{�vFwt��|*�g�1yF����{?�h{*w�� �Dy�x��1w��h�@xzy1xz{�x��h�F���Fw��*���g���g|�{�vFw8���g�*w«�h�{�vFwD¹Fy1xz{*wG������{*w}�>§C¡�©8ª»�h�z���g|�xz{�v1���1x��t{�vFwD¹Fy@�h�a������w��¨�1yF�}{�x��gy��¨|*�g� {�vFwC~1|*w}��x��g�F�8§�¡�©8ª��{*w}~o�sutv1x���������w��·�1yF�}{�x��gyo�t�h�z{�vF�g�1��v°���g|�|*w���~(�gyF��xzy1��{*������x��(w}|*w}y�{����k�*{*w}� ���gy�¹F���1|?�h{�x��gyo�

Page 59: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� !

���hy��(w¤{�|?�hyF���¨�g|���w���xzyO{*��{�vFw­�}�1|�|*w}yO{����gy�¹F���1|?�h{�x��gyo� �C�*w¤�h��{�v1x��Dxzy1xz{�x��h�M�*{?�h{*wG|*w����F��w��C{�vFwyO�1�9�=w}|C�h��xz{*w}|?�h{�x��gyF�8�O���h�z������{��9���g�}{*�g|D�h��{��q��hyF���h���*��{�vFw¤�?v@�hyF��w��D�h�����gyO��w}|���xzy1���gyO{*��hy�xzyF���g|�|*w��}{������t Q�z�kxzy1�9w}xz��w}yF��{?�h{*w���¡�w��g���1|*w}��w}y�{*���h�(��|*�g�1yF���{?�h{*w8w���~=w��}{?�h{�x��gy��g�h�z�Fw����hyF����ky@�h��x����h�����g|�|*w}���h{�x��gy��·�1yF�}{�x��gyF���h|*w�������{H�g���}�1|?�h{*w��«vFw}y�{�vFwq§�¡�©«ª±xz{*w}|?�h{�x��gyF��{*w}|���xzy@�h{*w�h{.{�vFw­��w��g��w}{�|�x��9��w}y�{*w}|C�h��{�vFw §¶���h{�{�x���w��«utv1x��.x��.�=w����h�F�*w­{�vFw­������{*w}� �hyF��w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{�1���k�*²������gyF��x���{��h�2{�vFw«�?�h��w�y��1�­�(w}|��h�=��xz{*w��H�hyF���h|*w«w����@�h�z�z�­��w}�z�1|*w}~1|*w��*w}yO{*w������

2m��{?�h{*w����

Page 60: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

����+��902$�&��� �9$&� EG5�+."%'*)M+8-�� $�+85 ��'*$�-*3 � $M0���6G3

�Hr � �ZT,W�L�i ���qbkW�NQiST

��{Bx����³�qw}�z�£ Q²kyF���«yj���g�}{B{�v@�h{B{�vFw��g|*w}{�x����h�9xzyO��w���{�xz�O�h{�x��gyF���h� ���@�hyO{��1�# Q��w��?v@�hy1x����h�9���hy���(�����¤������{*w}�����h|*wH�Q�g��w��9�«xz{�v��*w}��w}|*w�{*w��?v1y1x����h���?v@�h�z��w}y1��w�����~@�h|�{�x��}�1���h|��z�9xzy9{�vF���*w���xz��w}yF��x��gyF��«v1x��*v��h|*w�������{�xzy�{*w}|*w���{�xzy1�F��xQ� w��z�

d = 2, 3����y#{�vFw«�h�F�*w}yF��wt�h�=w��F�g�}{M��w}{�vF�k�1��xzy#{�v1x����1�g���hxzy

{�vFw}|*wCx��t�}��w��h|��z��­��|*w��h{�yFw�w������g|t|*w}�zx��h�1��w��1���gyO{�|*�g�z��w����h~1~1|*����xz���h{�x��gy��*�?vFw}��w�����utvFw}|*wGw���x���{�*w}��w}|?�h�2�h~1~1|*���kxz���h{�x��gy�{*w��*v1y1x ���Fw��H�«v1x��?v����h²�w«�F�*w«�h�={�vFw8��xz��~1�zx£¹@���h{�x��gyF��{�v@�h{������}�1|��«vFw}y�*�g��w#~@�h|?�h��w}{*w}|��,w�� �F�z�a{�vFw#��w}y1��{�v��h���*~1xzyF�

S�g|G{�vFw���~1xzy��1w}��w}yFw}|?�g�}�

N�h|*w#{?�h²�w}ye{*��=w

���h|���w�� ��yO��w���{�xz�O�h{�x��gyF�¤xzy�{�v1x��C�zxz��xz{��a���1~1~1��w}��w}y�{*w����O�s�hy�w��k~@�hyF��x��gysxzys{�vFw�xzyO��w}|*�*w��h�q{�vFw���h|���w9~@�h|?�h��w}{*w}|��=���hy�~1|*���kx��1w­xzyF�*xz��vO{CxzyO{*��{�vFwG�¨�1yF�F�h��w}yO{?�h��~1|*�g~=w}|�{�x�w����h�H������{*w}���8�«vFw}|*w{�v1x��«~@�h|?�h��w}{*w}|Dx��«yF�g{8���h|���w��

��y#{�vFwt���g��{��1w����g�1w.�DyFw}�±�h~1~1|*���g�*v�{*�C��w}|���x��gy1x��«������{*w}�����g�@�g�*w����gy�{�vFwt�zxz��xz{H�h�d→ ∞

v@�g�#�(w�w}y`�F�*w��µ���F����w��?�<�·�1�z�z��{*���1w��?�}|�xz�=w��*w}��w}|?�h�8�g��~(w��}{*�#�h�C��{�|*�gy1���z�³���g|�|*w}���h{*w������k�*{*w}�����������{tyF�g{?�h�1�z�{�vFwG¡��g{�{t{�|?�hyF��xz{�x��gy�¦ ���g|t|*w}��x�w}�8�8�?w�w ����� � � � ¬�� �|*w��*w}yO{��z���=�9���g{t�h�M|*w��*w��h|*�*v�x�������}�F�*�?w��9�gy��h~1~1�zx����h{�x��gyF�H�h�@{�v1x�����w}{�vF�k��{*�D{�vFw���{��F�����h�@|*w��h�����h{*w}|�x��h����� �fy�{�v1x����*v@�h~1{*w}|��qw~1|*w��*w}y�{.�hy��¥��w}|���x�w}�j�h�S{�v1x��«��w}{�vF�k����h�z��w���{�vFw�§C�ky@�h��x����h�o¡�w��hy�ºMx�w}����utvFw��g|��s¦¨§�¡�º�u.¬��

�Hr�� dfV(XgXgNfb�VadCX �qNfT¶\]i �HR@d�X

utvFwB�zxz��xz{��h��xzy�¹Fy1xz{*w����k�g|*��xzy@�h{�x��gy±y��1�­�(w}|��Z → ∞ �q�h�z���¥�8�����g|�{�vFwB���gyF��{�|��F�}{�x��gy]�h�G�

��w��hys¹@w}����{�vFw��g|��³¦¨¡�º�u.¬8xzys{�vFw����g�*w#�h�q�}���g�?��x����h����~1xzys�����1w}���G���F�?ve�g��{�vFw�� ��xzy1�����k�1w}�Q�ºF�g|8xzyF�*{?�hyF��w��1{�vFw���w}|�|*�g���h��yFw}{�x�� � ��xzy1�������1w}�,¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy`¦

J > 0¬

H = −J∑

〈ij〉

SiSj¦ �F� ¬

Page 61: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���hyB�(wD|*w}~1���g��w�����������xzy1����wG�*xz{*wD��w��hy�¹@w}���B¯��h��xz�z{*�gy1x��hyo�1x£�M�qw¤�g�*���1��w�{�v@�h{8w��g�?v���~1xzySi

xzyO{*w}|?�g�}{*�D�«xz{�v���� ����������� ������¹@w}���B~1|*�k���F��w��B���xz{*�8yFw��h|*w���{8yFw}xz��vO�(�g|*�D�h{«{�vFw­��xz{*wi�

HMF = −hMF

i

Si +1

2NJZ〈S〉2, ¦ �F����¬

�«vFw}|*whMF = JZ〈S〉 �hyF� N x��G{�vFw�{*�g{?�h��yO�1�9�=w}|��h�����h{�{�x���w���xz{*w�����utv1x��9���g|�|*w���~=�gyF�1�­{*�

yFw}����w��}{�xzy1��{�vFw­���g|�|*w}���h{*w����F�F�}{��@�h{�x��gyF�D�h����~1xzyF�.�h{D��xz{*w��i�hyF�

j�1xQ� w��z�

〈[Si − 〈S〉][Sj − 〈S〉]〉 = 0¦ �F����¬

ºF�g|hMF

{*�#|*w}���hxzy����gyF��{?�hy�{8xzy�{�vFwG�zxz��xz{Z → ∞ �

Jv@�g�«{*���(w�|*w��*���h��w����g�

J → J∗

Z, with J∗ held constant.

¦ �F� ��¬

utvFwG��w��hyB¹@w}����~@�h|?�h��w}{*w}|hMF

x��8�1w}{*w}|���xzyFw����*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yO{��z���F��xzy1�

〈S〉 = tanh(βJ∗〈S〉), β = 1/T.¦ �F����¬

utvFw��*���h�zxzy1���h��{�vFw����g�1~1�zxzy1�����gyF��{?�hyO{J�h�=�¥��w#x���{f�k~1x����h���¨�g|Gx��?�g{�|*�g~1x�����~1xzys�����1w}���G�«xz{�v

��yF�gy� Q¢�w}|*���*~@�h{�x��h�q����w}|?�h��w��Jij = J

� �fy�{�vFw����g�?w��h��|?�hyF�1�g� ��~1xzye���k�1w}�����S���F�?v`�g�¤��~1xzy�����g�*��������{*w}���D�«xz{�v

Jij = 0�={�vFw��h~1~1|*�g~1|�x��h{*w��*���h�zxzy1��{*���g�*v1x�w}��w�����w��hy�¹@w}����{�vFw��g|������hy

�(wG��vF���«y�{*���=wJ → J∗/

√Z�

�Hr�� ��W�N�THRFL�VaT,W ���HVaT,W ��\ \]R@b�cHVaT�N�b�VadD\]i �HR@d�X

utvFw��zxz��xz{Z → ∞ ��w��g�1�9{*���*xz��y1x£¹@���hyO{���xz��~1�zx£¹@���h{�x��gyF��xzy�{�vFw�xzyO��w���{�xz�O�h{�x��gy��h� ���@�hyO{��1�

���h{�{�x���w������1w}�������F�*v��g�9{�vFw�¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}���hyF�`x��9�­�F�*v³���g|*w���1�1{���w�{�v@�hy³{�vFw����g�?w��h��}���g�*��x����h�(��~1xzy�����1w}��� � � � � �HutvFwC¯.�1�1�@�h|*�����k�1w}�2x��t�1w�¹FyFw����O��{�vFw.�¨�g�z���¥�«xzy1��¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy �

H = −t∑

〈ij〉,σ

(

c†iσcjσ + h.c.)

+ U∑

j

nj↑nj↓¦ �F����¬

utvFw�¹F|*�*{M�hyF�­�?w����gyF�­{*w}|����M���g|�|*w���~(�gyF�¤{*�8vF�g~1~1xzy1�C�(w}{f�qw�w}y#yFw��h|*w���{,yFw}xz��vO�(�g|M�*xz{*w��M�hyF�­{�vFw�gyF��xz{*w.´��g�1���g�9��|*w}~1�1����x��gyo��|*w���~(w��}{�xz��w}�z���hyF�#~1|*���kx��1w8�����g��~=w}{�xz{�x��gy��(w}{f��w�w}y�xz{�xzyFw}|?�g�}���hyF����k���h�zxz¢¥�h{�x��gyo��utv1x��H���k�1w}�1���g��¹F|*�*{�xzyO{�|*�k���F��w���xzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{��z���O��¯D�1�1�@�h|*���hyF��ªC�1{�¢��«xz�z��w}|xzy��hy��h{�{*w}��~1{D{*���1w��*�}|�xz�=w¤{�vFw�~1vO����x����.�h��{�|?�hyF��xz{�x��gy���w}{?�h���.�«xz{�v�~@�h|�{�x��h�z�z�¹F�z��w��

d Q�@�hyF�1���

utvFw��*w����k�*{*w}���9��vF�¥�!�(�g{�v³���@�hyF�k Q�zxz²�w��1w}�������h�zx��*w��³�hyF�³�hyµ�h{*�g�# Q�zxz²�w�������h�zx��*w����=w}v@����x��g|

Page 62: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�1w}~(w}yF��xzy1���gy�{�vFw9��{�|*w}y1��{�v��h��{�vFw�´��g�1���g�9��xzy�{*w}|?�g�}{�x��gyF�D�«v1x��?v����hy��=wG���gy�{�|*�g�z��w������B{�vFw�h~1~1�zx����h{�x��gy��h��~1|*w��*���1|*w��

utvFw�ºF�g�1|�x�w}|�{�|?�hyF���¨�g|�� �h��{�vFw�²�xzyFw}{�x���w}yFw}|�����{*w}|��7�gy]�d f��xz��w}yF��x��gy@�h�CvO�k~=w}|*�}�1�1x��

���h{�{�x���wG�«xz{�v��1y1xz{.���h{�{�x���w¤��~@�g�}xzy1��xzy����g�z��w��C�#��x���~(w}|*��x��gyεk��xz��w}y����

εk = −2t

d∑

i

cos ki.¦ �F����¬

utvFw��1w}yF��xz{��°�h���*{?�h{*w���¦¨§ � ¬#���g|�|*w���~(�gyF��xzy1��{*��{�v1x�����x���~(w}|*��x��gy°xzy°{�vFwB�zxz��xz{�h�Cxzy�¹Fy1xz{*w��xz��w}yF��x��gyF�Cx��G�����1�%�h�HxzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{G|?�hyF�1�g�%yO�1�9�=w}|*�¤�hyF��x��.��xz��w}y��O��{�vFw9��w}y�{�|?�h�M�zxz��xz{{�vFw��g|*w}���g�D��ªG�h�F�*��x��hyo�

limd→∞

Nd(E) = limd→∞

k

δ(E − εk) =1

2t√πd

exp[−(E

2t√d)2].

¦ �F����¬

�jyF�gy� Q{�|�xz��x��h�S§ � x��.�g�1{?�hxzyFw����1yF�1w}|8{�vFwG�*���h�zxzy1�F�

t→ t∗√Z, t∗ held constant, Z = 2d.

¦ �F��!�¬

utvFwDxzyO{*w}|?�g�}{�x��gy�{*w}|��!xzy � �=� �F���­x��H~1�1|*w}�z�����k���h�=�hyF��xzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{«�h�o{�vFwD�*�1|�|*�g�1yF��xzy1�#�*xz{*w���hyF�����gyF�?w��O�Fw}y�{��z��|*w}���hxzyF�.{�vFw9�?�h��w¤xz|�|*w��*~=w��}{�xz��w��h��{�vFw­��xz��w}yF��x��gys�h��{�vFw­������{*w}���tutvO�F���{�vFw¤�*���h��w��B¯��h��xz�z{*�gy1x��hy

H = − t∗√Z

〈ij〉,σ

(

c†iσcjσ + h.c.)

+ U∑

j

nj↑nj↓¦ �F� �� ¬

v@�g�«�9yF�gy� Q{�|�xz��x��h�Z → ∞ �zxz��xz{��1���F�*v�{�v@�h{t�=�g{�v{�vFwC²�xzyFw}{�x���w}yFw}|������hyF��xzy�{*w}|?�g�}{�x��gy�{*w}|����

���hy����g��~(w}{*w¤�gy��hy�w����@�h�(�¨�k�g{�xzy1���g�«xzy�¹Fy1xz{*w­��xz��w}yF��x��gyF���

�Hr�� �8i�b�Vad�XhR@dQn¤R2THRFL �oJ

��y��g|*�1w}|G{*����x��*�@�h�zxz¢�w9{�vFw�xz��~1�zx����h{�x��gyF�¤�h��{�vFw��zxz��xz{Z → ∞ �=��w����gyF��x��1w}|¤��~(w}|�{��1|��@�h{�x��gy

{�vFw��g|���xzyB{*w}|����.�h�U���t{

T = 0�hyF�

U = 0�1{�vFwG²kxzyFw}{�x��Gw}yFw}|������������=w��«|�xz{�{*w}y��g�

E0kin = −t

〈ij〉σ

g0ij,σ

¦ �F� � ¬

�«vFw}|*wg0ij,σ =

c†iσcjσ

0

x���{�vFw��·|*w�w�gyFw~@�h|�{�x��}��w��1w}yF��xz{f�`���h{�|�x£�(��ºF�g|E0

kin

{*��|*w}���hxzy���gyF��{?�hy�{.xzyB{�vFwG�zxz��xz{

d→ ∞ �qwG¹FyF�

g0ij,σ ∼ O(

1√d),

¦ �F� ��¬

Page 63: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

��xzyF��wt ∼ 1/

√d�hyF��{�vFw}|*w��h|*w

O(d)yFw��h|*w���{#yFw}xz��v��=�g|���xz{*w��

j{*��{�vFw���xz{*w

i��utvFw��?�h��w

�1w}~(w}yF�1w}yF��wHvF�g���1�a���g|o{�vFw��¨�1�z�O�gyFw�~@�h|�{�x��}��w�ªC|*w�w}y�� �o�·�1yF�}{�x��gy��h�k{�vFw�yF�gy �OxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1�G������{*w}���

G0ij,σ(ω)

E0kin = − t

2πi

〈ij〉σ

∫ ∞

−∞dωG0

ij,σ(ω)¦ �F� ��¬

��{Cx��¤{*���(w#yF�g{*w��s{�v@�h{9�h�z{�vF�g�1��ve{�vFw#~1|*�g~@�h�O�h{*�g|G0

ij,σ ∼ 1/√d���hy1x���vFw��¤�g�

d → ∞ �a{�vFw~@�h|�{�x��}��w����h|*w­��{�xz�z�o���g�1xz��w��=��xzyF��w­��~@�h|�{�x��}��w­�����vF�g~�{*�

dyFw��h|*w���{.yFw}xz��v��=�g|*�D�«xz{�v�|*w����F��w��

�h��~1�zxz{��F�1wt∗/

√2d���fys��w}yFw}|?�h�Q�ox£� ||Rij ||

|*w}~1|*w��*w}yO{*�­{�vFw��*�����h�z��w�� ��¡��hy1v@�h{�{?�hy`��x���{?�hyF��w �¦¨��x���{?�hyF��w#��w��g���1|*w����gy1�z���h���gy1�BvF�g|�xz¢��gyO{?�h�t�hyF�s��w}|�{�x����h���zxzyFw��¤���gy1yFw��}{�xzy1�

i�hyF�

j¬Dxz{¤���hy

�(wG��vF���«y�{�v@�h{

G0ij,σ ∼ O(1/d||Rij ||/2).

¦ �F� ��¬

utv1x���~1|*�g~=w}|�{���x����hy_w��?�*w}yO{�x��h�C���gyF�*w��O�Fw}yF��w��h�G{�vFw��*���h�zxzy1�³�h�G{�vFw�vF�g~1~1xzy1��~@�h|?�h��w}{*w}|t

�hyF�µ��w��g�1�#{*���h�z�8��xz��~1�zx£¹@���h{�x��gyF���h|�x���xzy1��xzy�{�vFw�zxz��xz{d → ∞ � ��y³~@�h|�{�x��}�1���h|��qxz{�xz��~1�zx�w��

{�vFw����g�z���h~F�?w��h�­�h�z�D���gy1yFw��}{*w��a�8xz|�|*w����F�}xz�1��w�~(w}|�{��1|��@�h{�x��gy ��x��h��|?�h����xzy_~=���*xz{�x��gy±��~@�g��w��g�xz�z�z�F��{�|?�h{*w��B�(w}�����¤�H�ewG���gyF��x��1w}|8{�vFwG�*w����gyF���g|*�1w}|8���gy�{�|�xz�1�1{�x��gy�{*�#{�vFw�~(w}|�{��1|��@�h{�x��gy��*w}|�x�w���h�«{�vFw�xz|�|*w����F�}xz�1��w�*w}�£�8w}yFw}|���� ∑(2)

ij

xzyU� �������gyF��x��1w}|�xzy1��{�vFw��*���h�zxzy1���h�«{�vFw�xzyF��xz��x����@�h�

ªC|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gyF�8�hyF�{�vFwC�*�1�����h{�x��gy��¥��w}|Rij

xz{«���hy��(wD�*w�w}y�{�v@�h{ ∑(2)ij ∼ 1/

√d�1�hyF��xz{

���hy1x���vFw����k�1y1��w��*�i = j

��¯Cw}yF��w���xzy�{�vFwC�zxz��xz{d→ ∞ �hy���{f���#��w}|�{�x���w����«v1x��*v��h|*w����gy1yFw��}{*w��

1/√

d

1/√

d

1/√

d

� d → ∞

�δij

ºMxz���1|*w �F� �­´��g�z���h~F�*w��h�t{�vFw��*w����gyF���g|*�1w}|9���gyO{�|�xz�1�1{�x��gy³{*��{�vFw�xz|�|*w����F�}xz�1��w��*w}�£�tw}yFw}|����sxzy{�vFwG�zxz��xz{d→ ∞ �

�O�µ���g|*w�{�v@�hy°{f�����*w}~@�h|?�h{*w�~@�h{�vF���«xz�z�D���g�z���h~F�?w��gy°{�vFw��?�h��w���xz{*w�� xzyF��w�{�vFw�w��k{*w}|�y@�h�

Page 64: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

��w}|�{�x���w����h�8�hy��sxz|�|*w����F�}xz�1��w��*w}�£�8w}yFw}|�������x��h��|?�h� �h|*w��h�z�����k�#���gy1yFw��}{*w��e�����h{¤��w��g��{¤{�v1|*w�w�*w}~@�h|?�h{*wG~@�h{�vF�¥�1{�vFw}���h�z�t�����.���g�z���h~F�*w¤{*����xz��w­�����k���h�S�*w}�£�Mw}yFw}|������

limd→∞

Σij,σ(ω) = Σij,σ(ω)δij¦ �F� ��¬

´��gyF�*w����Fw}yO{��z���@{�vFw¤ºF�g�1|�x�w}|8{�|?�hyF�<���g|�� �h�Σij,σ

�=w����g��w��8���g��w}yO{��1��xzyF�1w}~=w}yF�1w}y�{��

limd→∞

Σσ(k, ω) = Σσ(ω)¦ �F� ��¬

utv1x��8��xz��~1�zx£¹@���h{�x��gy�x��«~1vO����x����h�z�z� �<�F��{�x£¹2�h�1��w­�g�.�hy�w��1��w}�z��w}yO{��h~1~1|*����xz���h{�x��gy�xzy��*w}��w}|?�h�,�}xz|< �}�1����{?�hyF��w������¨�g|#w��1�h��~1��w��Hxzy

d = 3{�vFw���k�g|*��xzy@�h{�x��gy�yO�1�9�=w}|

Zx��#�h�z|*w��g��� �O�1xz{*w����h|���w

¦Z = 12

���g|­�����g��w���w}y�{*w}|*w����}�1�1x������h{�{�x���w¥¬�� �DyFw��h�t{�vFw�������{G~1|*�g��xzyFw}y�{9w��F�h��~1��w��­���gy� {�|?�h|���{*�G{�v1x�����x��H{�vFwD���g�*w8�h�a{�vFw8v1xz��v�{*w}��~=w}|?�h{��1|*wC���1~(w}|*���gyF���F�}{*�g|*���«v1x��*vv@����wD�­��{�|*�gy1���z��hy1x��*�g{�|*�g~1x��

2D�?v@�h|?�g�}{*w}|��¤�ew#��v@�h�z��|*w}�kx���xz{�{�v1x���x��*���Fw9xzy�{�vFw�yFw���{G�*v@�h~1{*w}|G�«vFw}y��qw#��x��< 

�}�F�*���}�z�F��{*w}|G��w}{�vF�k�1��{*�xzyF���g|�~=�g|?�h{*w��*vF�g|�{C|?�hy1��w#���g|�|*w}���h{�x��gyF�­�«xz{�v1xzye§C¡�º�uG�(utvFw9�����*{xz��~(�g|�{?�hyO{G�g�F��{?�g�}��w��«v1x��*vs���h²�w��C{�vFw­~1|*�g�1��w}� �h�H~(w}|<�¨�g|���xzy1�B��x��h��|?�h�����h{�x������h���}�1���h{�x��gyF�xzy�¹Fy1xz{*w���xz��w}yF�*x��gyF��xzyO{�|?�g�}{?�h�1��w#x��D{�vFw9xzy�{*w}��|?�h{�x��gye����w}|�xzyO{*w}|���w���x��h{*w#���g��w}y�{?��«xz{�vs{�vFw���gyF��{�|?�hxzy�{.�h�S���g��w}yO{��1�����gyF�*w}|����h{�x��gyo�Hutv1x��tx���yF�#���gy1��w}|«{�vFwC���g�?w.���g|

d = ∞ �k�«vFw}|*wG�gyFw���hy�|*w}~1���g��w«{�vFwt�9�1�z{�x���xz��w}yF��x��gy@�h�@xzy�{*w}��|?�h��������w}|����g��w}yO{��1�K�����gyFw«��xz��w}yF�*x��gy@�h�FxzyO{*w}��|?�h�������w}|G{�vFw#§ � � �t{�{�vFw#�?�h��w�{�xz��w#xz{��*vF�g�1�����(w�yF�g{*w���{�v@�h{G{�vFw9�zxz��xz{

d → ∞ |*w}{?�hxzyF�G{�vFw�¨�1�z�,���ky@�h��x����D�h�H{�vFw9���k�*{*w}���g�8{�vFw}|*w9x��DyF�����g�z���h~F�*w­xzy�{�vFw¤�·|*w����Fw}yF�}�B�g�h|�x��h�1��w����hyF��{�xz��wx��.�h�z�t�����8�1y1x���xz��w}yF��x��gy@�h�Q�

utvFw«�*xz��~1�zx£¹@���h{�x��gyF�HxzyO{�|*�k���F��w������9{�vFwt�zxz��xz{d→ ∞ ���hy��(wt�F�*w��#{*�G�1w}|�xz��w8����xzy1����w«��xz{*w

w �aw��}{�xz��w¤�g�}{�x��gyB�O�{�|?�g�}xzy1���g�1{.�h�z�={�vFwG�1w}��|*w�w��.�h�S�¨|*w�w��1�g� w��k{*w}|�y@�h�a{*��{�vFwG��xz{*wCxzy��hy@�h���g���{*�#{�vFw¤�}���g�*�*x����h� ���*xzy1�������1w}�Q�HutvFwG�g|�xz��xzy@�h���g�}{�x��gy��h��{�vFw¤¯.�1�1�@�h|*�������1w}�

S =

∫ β

0dτ

c†iσ∂τ ciσ −∑

ijσ

tijc†iσcjσ − µ

niσ + U∑

i

ni↑ni↓

,¦ �F� ��¬

���hy��=w9��~1�zxz{Dxzy�{*�{�v1|*w�w­~@�h|�{*���S(o) + So + ∆S

�2�«vFw}|*wS(o) x��C{�vFw9���h{�{�x���w��g�}{�x��gys�«xz{�v�{�vFw

��xz{*w � � �F|*w}������w��a�So���gyF�*x���{*�.�h��{*w}|����8~1�1|*w}�z�B�gy�{�vFw­��xz{*w � � �@�hyF�

∆S���gyF��x���{�xzy1���h��{*w}|����

���gy1yFw��}{�xzy1��{�vFw­��xz{*w � � ��{*��{�vFwG|*w���{8�h��{�vFwG���h{�{�x���w�� ����F��xzy1��{�vFw¤�*���h�zxzy1���h�M{�vFw�~1|*�g~@�h�O�h{*�g|��x��*�}�F�*�?w��_xzy {�vFw�~1|*w}�kx��g�F�B�*w��}{�x��gyo�.xz{�x��~(���*��xz�1��w�{*�`�¨�g|����h�z�z�_xzyO{*w}��|?�h{*w�{�vFws�1w}��|*w�w����h�

Page 65: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�¨|*w�w��1�g�i 6= o

��{*���g�1{?�hxzy���~1�1|*w}�z�����k���h�S�g�}{�x��gy��h�M{�vFwG�¨�g|�� ��� � �

Seff = −∫ β

0dτ

∫ β

0dτ ′

σ

c†oσ(τ)G−10 (τ − τ ′)coσ(τ ′) + U

∫ β

0dτno↑(τ)no↓(τ).

¦ �F� ��¬

�«vFw}|*w

G−10 (iωn) = Σ(iωn) +

(∫ ∞

−∞dε

D(ε)

iωn + µ− ε− Σ(iωn)

)−1 ¦ �F� !�¬

¯Cw}|*w��D(ε)

x���{�vFw��@�h|*w����h{�{�x���w��1w}yF��xz{f�°�h�¤��{?�h{*w��¥�±utv1x���~1|*���kx��1w�����}�����?w��±�*w}{��h����w��hy¹@w}���w��O�@�h{�x��gyF��|*w}���h{�xzy1�#{�vFw.�ew}x��?�H¹@w}���

G0(iωn){*�#� ���@�hyO{�xz{������g��~1�1{?�h�1��wD�¨|*�g�!{�vFwD�������h�

w �aw��}{�xz��w­�g�}{�x��gy�xz{*�*w}�£���

�Hr�� �Z\ � �HLONQW�J \]i �HR2d ��V(L�Va\]R1W�LON �1V=W�NQi,T V(T �»� ��VabkWB�eNQV �oiST�VadfN �1V=W�NQi,T V(d��oi��LONQW�cq\

�D�z{�vF�g�1��v9{�vFw�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy��(w}{f�qw�w}y�{�vFw�w}��w��}{�|*�gyF�M�gy���x��(w}|*w}y�{,���h{�{�x���w���xz{*w��,v@�g�S�(w�w}y­|*w����F��w��{*���hy�xzy�{*w}|?�g�}{�x��gye�h��w}��w��}{�|*�gyF���«xz{�vs����w��hy�¹@w}���a�({�vFw����ky@�h��x����C�h�H{�vFw9���h{�{*w}|�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyx�����{�xz�z�GyF�gy� Q{�|�xz�kx��h�Q� utvFws���hy��O Q�(����� y@�h{��1|*we�h�#{�vFw�¯D�1�1�@�h|*�[�����1w}�¤�*�1|���xz��w���w}��w}y xzy

d = ∞ �����h²kxzy1�`�hy_�hy@�h�z�k{�x���w}���h�z�@�h{�x��gy_�h�G{�vFwB���k���h�8~1|*�g~@�h�O�h{*�g|���w}yFw}|?�h�z�z��xz��~(���*��xz�1��w����y±{�v1x�����gyO{*w���{��8xz{��t�g�~=�gxzy�{*w��]�g�1{��O�]ªGw��g|���w����hyF� �.�g{��zx��h| � � ! � {�v@�h{�{�vFw���xzy1����w��*xz{*w�g�}{�x��gy��1w}|�xz��w���xzyB{�vFwGw��h|��zx�w}|.�?w��}{�x��gy����g|�|*w���~=�gyF�1�8{*�#{�vFw¤�g�}{�x��gy��¨�g|.�hy��h����xz�zx��h|���xz��~1�1|�xz{��~1|*�g�1��w}��� ��ys~@�h|�{�x��}�1���h|��S{�vFw��g�}{�x��gy����hy��=w��kx�w}�qw���{*���(w#{�v@�h{­�h�t�hy �DyF�1w}|*�*�gyexz��~1�1|�xz{�����k�1w}�Q�

HAIM =∑

εka†kσakσ +

Vk(a†kσdσ + d†σakσ) − µ

σ

d†σdσ + Und↑nd↓¦ �F��� � ¬

utv1x��«���h~1~1xzy1��v@�g�«{�vFwG�g�����hyO{?�h��wG{�v@�h{«{�vFwC���g|�� �h�,{�vFwGw �aw��}{�xz��w�~1|*�g~@�h�O�h{*�g|9¦·�ew}x��*��¹@w}���@¬x��.�h�z|*w��g����²kyF���«y �

G0−1(iωn)AIM = iωn + µ−

∫ ∞

−∞dω

∆(ω)

iωn − ω,

¦ �F��� ¬

�«vFw}|*w

∆(ω) =∑

V 2k δ(ω − εk)

¦ �F������¬

x��B{�vFw�v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy �·�1yF�}{�x��gyj�*v@�h|?�g�}{*w}|�xz¢�xzy1�]{�vFw��@�h{�v �h�����gyF���F�}{�x��gyjw}��w��}{�|*�gyF��� utv1x���Q�g�}{B{*�g��w}{�vFw}|��«xz{�v4{�vFw�w���{*w}yF��xz��wsyO�1��w}|�x����h�#�hyF�4�hy@�h�z��{�x����h�­w���~(w}|�x�w}yF��w�{�v@�h{Bv@�g�B�(w�w}y

Page 66: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�g���}�1�­�1���h{*w��`xzye{�vFw#{�|*w��h{���w}y�{��h�txz��~1�1|�xz{f�����k�1w}���Gv@�g�¤���g�1w�{�vFw�yO�1��w}|�x����h���*�g�z�1{�x��gy`�h�{�vFw¤�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}�~1|*�g�1��w}� ��w}yFw}|?�h�z�z��{�|?�g�}{?�h�1��w��

�ew8yF���±�1w��*�}|�xz�(w.����w}{�vF�k���h�a�*�g�z�kxzy1�¤{�vFw8§�¡�º�u��*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}��w����@�h{�x��gyF�H�@�g�*w����gy{�vFw�w��F�g�}{¤��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy³�h~1~1|*���g�*v�{*��{�vFw9xz��~1�1|�xz{��s�����1w}�Q����y�{�v1x�����w}{�vF�k�a�o{�vFw��ew}x��*��¨�1yF�}{�x��gy��1w�¹FyFw����h�(����w¤xzy � �2� �F��� �Fx��8�h~1~1|*����xz���h{*w�����������x��?�}|*w}{�xz¢�w��B��w}|*��x��gy �

G0−1(iωn)Nb = iωn + µ−

Nb∑

l=1

V 2l

iωn − εl

¦ �F������¬

�«xz{�vNb

�@�h{�v��g|��1xz{?�h������utv1x��C��x��?�}|*w}{�xz¢¥�h{�x��gye�h�H{�vFw9�@�h{�vs��vF�g�1�����(w­{�vF�g�1��v�{��h�t�g�����¨�1yF�� {�x��gy@�h�=~1|*� �<w��}{�x��gy���g|�{�vFwD�ew}x��*�H¹@w}�����hyF���vF�g�1����yF�g{��(w.���gy��¨�F�*w����«xz{�vB�¤¹Fy1xz{*w� f��xz¢�w.���h{�{�x���w���g|«{�vFw¤�g|�xz��xzy@�h�o���k�1w}�Q�

utvFwq¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy#���g|�|*w���~(�gyF��xzy1�D{*�.{�v1x��,��x��?�}|*w}{*wH�@�h{�v­x��M��x��h���gy@�h�zxz¢�w���w��1�g�}{��z���gw}xz{�vFw}|��h{¹Fy1xz{*w8{*w}��~(w}|?�h{��1|*w8�F�*xzy1�­w��1�g�}{���x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy�g|��h{�¢�w}|*�G{*w}��~(w}|?�h{��1|*w.�F�*xzy1�¤{�vFw��S�hyF�}¢������w}{�vF�k�­{*�D�g�1{?�hxzy9{�vFw��������h�1ªC|*w�w}y�� �,�·�1yF�}{�x��gy

G(iωn)�,utvFw��*w}�£�F���gyF��x���{*w}yF�}�¤���gyF��xz{�x��gy#��w��g�1�

{*���yFw}�®�ew}x��?���·�1yF�}{�x��gyo�S�«v1x��*v`yFw�w��1�G{*�B�(w#~1|*� �<w��}{*w��e�gy�{*�����¨�1yF�}{�x��gye�«xz{�v`����x��*�}|*w}{*wyO�1�9�=w}|C�h�M~@�h|?�h��w}{*w}|*�

εk�hyF�

Vk��utv1x��8~1|*� ��w��}{�x��gy�x��«�(w���{8���h|�|�x�w����g�1{8�gy�{�vFw¤¡��h{*�*�1�@�h|?�

�Z��x��«�O���1w�¹Fy1xzy1��#��x���{?�hyF��wG�·�1yF�}{�x��gy�{*���=w���xzy1xzy1xz��xz¢�w��a�

d =1

(nmax + 1)

nmax∑

n=0

∥∆(iωn)new − ∆(iωn)Nb

¦ �F��� ��¬

¯Cw}|*w��nmax

�1w}yF�g{*w���{�vFw­y��1�­�(w}|G�h�H~=�gxzy�{*�G�gy�{�vFw�¡��h{*�*�1�@�h|?����|�x��a�CutvFw���xzy1xz��xz¢¥�h{�x��gy�x��{f�k~1x����h�z�z�­���h|�|�x�w����g�1{,�F�*xzy1�.{�vFw����gy�� �1�O�h{*wq��|?�g��x�w}yO{���xzy1xz��xz¢¥�h{�x��gy��h�z���g|�xz{�v1����utv1x��,��x���{?�hyF��w���gyO��w}|���w���|?�h~1x����z���g����·�1yF�}{�x��gy³�h�

Ns�,��xz��y1x£�¨�kxzy1��{�v@�h{­{�vFw��*�g�z�1{�x��gy`�h�8{�vFw�§�¡�º�uK�*w}�£�· 

���gyF��x���{*w}y�{�w����@�h{�x��gyF���«xz{�v1xzy`{�vFw�|*w���{�|�x��}{*w��³���1�F��~@�g��w��F�*w��e���g|­{�vFw���x��*�}|*w}{�xz¢�w�� �.yF�1w}|*�?�gy���k�1w}�Mx��DxzyF�1w�w��s|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�xz��w��h��{�vFw � �g�}{��@�h� �a�?�g�z�1{�x��gyo�Gutv1x��D��w}{�vF�k�s�h�q�*�g�z�kxzy1�����g|C{�vFwxz��~1�1|�xz{f�­�����1w}���«xz{�v1xzy�§�¡�ºMu�x��o���h�z�@�h�1��w��g�=w����h�F�?wHxz{S~1|*�¥��x��1w��M|*w��h�O�·|*w����Fw}yF�}�Gxzy��¨�g|����h{�x��gy��xz|*w��}{��z���k�1y1�zxz²�w D�@�hy�{��1�:¡��gyO{*wG´t�h|�����¦ C¡s´«¬��k�hyF��x��t�h���*�¤���g|*wDw����}x�w}yO{txzy����g��~@�h|�x��*�gyo�

�Hr � �.N�\ N�W�V=W�NfiST�Xion9XhN�T �SdfR³N�\ � �HL�N�W�J V ����LOioVabOc

utvFw#����y@�h��x����h����w��hy�¹@w}���s{�vFw��g|��µ¦¨§C¡�º�u.¬ ��� � v@�g�C�(w�w}y����F����w��*�<�¨�1�,xzye�g����w��*�*xzy1����w}|�{?�hxzy�g��~(w��}{*���h�o{�vFw.yF�gy� Q~=w}|�{��1|��@�h{�xz��wC~1vFw}yF�g��w}y@�­xzy���{�|*�gy1���z�����g|�|*w}���h{*w��w}��w��}{�|*�gy�*�k��{*w}���¥�Mº@�g|

Page 67: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

w��F�h��~1��w���xz{�v@�g�q��xz��w}y�yFw}�]xzyF��xz��vO{*�8�hyF��~1|*w���x��}{*w���g�h|�x��g�F� ���@�h�zxz{?�h{�xz��wD{�|*w}yF�1��xzy{�vFw.|*w���x��� {�|�xz�1�1{�x��gy��h�«��~(w��}{�|?�h���qw}xz��vO{#�g��{*w}��~=w}|?�h{��1|*w��,~1|*w��*���1|*w��hyF���1�g~1xzy1���h|*w��g�h|�x�w��sxzye�g~1{�x����h��hyF�B~1vF�g{*�kw}��x��*��x��gy�w���~(w}|�xz��w}yO{*�8yFw��h|.{�vFw¤¡��g{�{«{�|?�hyF�*xz{�x��gyo�

xzy1����w���xz{*w#§C¡�º�u w��k{�|?�g�}{*�¤~1vO����x����h� ���@�hyO{�xz{�x�w��­�*�F�*v��g�G{�vFw��*w}�£�tw}yFw}|������¨|*�g� ����k���h�xz��~1�1|�xz{f�s���k�1w}���«xz{�v����?w}�£�����gyF��x���{*w}y�{G�@�h{�v±¦��h���*�|*w��¨w}|*w��s{*�B�g� � � � ���g|��������h��xz��~1�1|�xz{���*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{G�h~1~1|*���kxz���h{�x��gy2¬��hyF���O�����gyF��{�|��F�}{�x��gyo�a{�v1x����h~1~1|*���g�*v���x��*�*w��D{�vFw#w �(w��}{*���h���vF�g|�{D|?�hy1��w9���g|�|*w}���h{�x��gyF���a�*�F�*v��g�D{�vFw

k f�1w}~(w}yF�1w}yF��w#�h�H{�vFw­�*w}�£��w}yFw}|������=�«v1x��?vs�h|*w9�=�g�1yF�

{*�#�(w����g��wGxz��~=�g|�{?�hy�{C�h{8���¥�4{*w}��~(w}|?�h{��1|*w����

��yB{�vFwG���g�*wG�h�M���g|*wG��w}yFw}|?�h�oxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF�D{�v@�hyB{�vFwG¯D�1�1�@�h|*�BxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyo�=���F�*v��g�8yFw��h|yFw}xz��vO�(�g|�´��g�1���g�9�_|*w}~1�1���*x��gy

V��{�vFw�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy]v@�g��{*�e�(w��*���h��w��°{*���1��xzy°{�vFw��zxz��xz{��h�

d→ ∞ � �f{«x��8w��g�*��{*���*w�w�{�v@�h{.{�vFwGxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyVv@�g�8{*���=wG�?���h��w���xzy�{�vFwC�¨�g|��

V → V ∗

Z

¦ �F������¬

{*���(w��h��{�vFw��?�h��w��g|*�1w}|�xzyd�g��{�vFwBvF�g~1~1xzy1�³�hyF�±�������h�8xzy�{*w}|?�g�}{�x��gy_{*w}|����¥� xzyF��w�{�vFw

~1|*�g~@�h�O�h{*�g|«�*���h��w��q�g�q�(w��¨�g|*wC�g�1/√d��{�vFwC�*w}�£�· fw}yFw}|�����x����h�o{�vFw8��w}yFw}|?�h�2���g|��!��vF�¥�«y��(w}�����¤�

����

�������� ����

��

1/d

1/√d

O(1) O(1/√d)

� �

· · ·Σij =

ºMxz���1|*w�F��� � �Dy1�z�B{�vFw9¯��h|�{�|*w�w#���gyO{�|�xz�1�1{�x��gye���1|��kxz��w��.{�vFw9�zxz��xz{d → ∞ ���g|DyFw��h|CyFw}xz��vO�(�g|

´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gyo�

§C�Fw�{*�B{�vFw��*���h�zxzy1��xzy � �=� �F���������h�z�q���gy�{�|�xz�1�1{�x��gyF����w�����w}~1{¤�¨�g|9{�vFw�¯C�h|�{�|*w�w�{*w}|������h|*w���g�1yF�_{*�µ���hy1x���v xzy

d → ∞ �K¯Cw}yF��w��.yF�gy1���k���h�GxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF���gy1�z�_���gyO{�|�xz�1�1{*we��x��`{�vFw}xz|¯��h|�{�|*w�w� f���gyO{�|�xz�1�1{�x��gyo���«v1x��?v�x��¤~1�1|*w}�z����{?�h{�x����utv1x��¤xz��~1�zx�w��­{�v@�h{��,�h�.�h�z�H{�vFw�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF����g|9��w}|���x��gy1x��B���h{�{�x���wB���k�1w}�����q�gy1�z�`{�vFwB¯D�1�1�@�h|*�µxzyO{*w}|?�g�}{�x��gy_|*w}���hxzyF������y@�h��x����h�.xzy�{�vFw�zxz��xz{

d → ∞ �.utv1x��Dx��D�}��w��h|��z�����zxz��xz{?�h{�x��gy��h�H{�vFw9�*xzy1����w­xz��~1�1|�xz{����h~1~1|*���g�*vo� ��y�{�vFw9yFw��k{

Page 68: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�*v@�h~1{*w}|D�qw¤��x��?�}�F�*�.����w}{�vF�k�B{*��xzyF���g|�~(�g|?�h{*wG{�vFw��*wG��x��*�*xzy1����vF�g|�{8|?�hy1��wGxzy�{*w}|?�g�}{�x��gyF���

Page 69: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��!

����+��902$�&���±$�-*-? 9-*+8&��®E�5�+."%'*)M+8-�� $�+85@��'*$�-?3 � ��$�6«&=E ��68&40���$��! � �#+«&(3

� 6G3�$�-

��r � �ZT,W�L�i ���qbkW�NQiST

utvFw}|*w�v@����w�=w�w}y³��xz��y1x£¹@���hyO{�w �a�g|�{*�­{*��w���{*w}yF��{�vFw�§C¡�º�u®��w}{�vF�k�1�g���g����{*���g�1��|*w��*��{�vFw�zxz��xz{?�h{�x��gyF�8{�v@�h{.�qw}|*w¤��x��*�}�F�?�*w���xzyB{�vFwG���g��{8�*w��}{�x��gy��h��{�vFw�~1|*w}�kx��g�F�.�*v@�h~1{*w}| ����� � ��� � � � ��� � �¡s�hyO�9�h�2{�vFw�w}��w}��w}y�{*�H�h�@{�vFwt§�¡�º�u³��w}{�vF�k�����hy#�(w�{�|?�g��w��9�@�g�?²­{*�C{�vFwt���gvFw}|*w}yO{H~(�g{*w}yO{�x��h��h~1~1|*����xz���h{�x��gy ¦Q´ �G¬ ����� � �«v1x��?v±v@�g���(w�w}y°��w}|��µ���F����w��*�<�¨�1�8xzy°��x��*�g|*�1w}|*w��_������{*w}����� ��y{�v1x��¤���gy�{*w��k{��S{�vFw��*w��h|*�*ve�¨�g|Gw���{*w}yF��x��gyF�¤�h�t{�vFw�´ �:���g�¤�·|?�h�1��v�{¤�«xz{�v����hyO����x ���}�1�z{�x�w�����hyF� w��k{*w}yF�*x��gyF���h�9§�¡�º�u%��vF�g�1��� �(w��?�}|��1{�xzy1xz¢�w��4���h|*w��·�1�z�z�_xzy {�v1x����zxz��vO{��:utvFw�§�¡�º�uw����@�h{�x��gyF���M�«v1xz��w�v@���kxzy1������xz��xz���h|���~1xz|�xz{­{*��{�vF���*w��h�C´ �:�¨�g|��1w}{*w}|���xzy1xzy1��{�vFw�w �(w��}{�xz��w��w���xz�1�����h|*w«���gyF��x��1w}|?�h�1�z�����g|*w8���g��~1��w����=w����h�F�?wt{�vFw}��xzy����g�z��w8{�vFw«�*�g�z�1{�x��gy��h�a� ���@�hyO{��1�xz��~1�1|�xz{f�������1w}�Q���«v1x��*v~1��������{�vFw8|*�g��wC�h�o{�vFw.w �aw��}xz��wD¯��h��xz�z{*�gy1x��hy�¨�g|q{�vFw8���k���h�=�1w}��|*w�w��t�h��¨|*w�w��1�g�!{�|*w��h{*w���xzy�{�vFwD§�¡�º�uG�Ou,���hy@�h�z���*wD{�vFw��*w.w����@�h{�x��gyF����yFw}�]���gyF��w}~1{*�«�hyF��yO�1��w}|*�g�F�{*w��*v1y1x ���Fw��Gv@����w#�=w�w}y��1w}��w}���g~(w�������w}|G{�vFw����g��{G�1w����g�1w��­utvFw}xz|GxzyF���g|�~(�g|?�h{�x��gyexzyO{*�B�}�z�F�*{*w}|��w}{�vF�k�1�8x��«~1|*�g��x���xzy1���1�1{8|*w��O�1xz|*w��.���1�F��{?�hyO{�x��h�,yFw}�[�q�g|�²(�

��y�{�v1x��q�*v@�h~1{*w}|�����w«�����}�F�q�gy�gyFwD�}�z�F��{*w}|qw���{*w}yF��x��gy��h�a§�¡�º�uG��{�vFwC´�w}�z�z�1���h|t§C��y@�h��x����h�¡�w��hy�ºMx�w}����utvFw��g|���¦Q´�§�¡�ºMu.¬ ������� � � � �«utvFw9�hxz�%�h��{�v1x��D�q�g|�² ����� � x��.{*��xzyO��w���{�xz�O�h{*w9vF���{�vFw�w��F�g�}{¤��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy³�h~1|*���g�*v��«v1x��*ve�t�g�¤�*�����F����w��*�<�¨�1��xzy�{�vFw����gyO{*w���{­�h�q{�vFw��*xzy1����w��xz{*wG§�¡�ºMu ����! � � �� �F���hy��(w��F�*w���xzy�{�vFw­´�§�¡�º�u4���gy�{*w��k{��

�ew­�*�g�z��wG{�vFw¤�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{D�}�z�F��{*w}|Dw��O�@�h{�x��gyF�.�¨�g|«{�vFw9�gyFw¤��xz��w}yF��x��gy@�h�M¯.�1�1�@�h|*���hyF�w���{*w}yF�1w���¯.�1�1�@�h|*�#���k�1w}�����F��xzy1�¤w��F�g�}{H��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy��h�={�vFw«w �(w��}{�xz��w8�1yF�1w}|��z��xzy1�­�}�z�F�*{*w}|xz��~1�1|�xz{f�����ew��*vF�k���*w�{�vFw��*w#���k�1w}���G�(w����h�F�*w��h��{�vFw}xz|G��w}yFw}|�x���y@�h{��1|*w��M�g����w}�z�q�g�G{�vFw��Q�g�}{{�v@�h{�§C¡�º�uG�H�«v1x��?v]�(w����g��w��w��1�g�}{xzy±{�vFw��zxz��xz{�h�¤xzy�¹Fy1xz{*w����k�g|*��xzy@�h{�x��gy]y��1�­�(w}| � � � � ��Q�g��w��¤{�vFw����g|*��{#���g�*w��*��w}y@�h|�x���xzy`�gyFw���xz��w}yF�*x��gyo��º1�1|�{�vFw}|����g|*w���xzy`�gyFw���xz��w}yF��x��gye�Q�hxz|��z�

Page 70: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

|*w}�zx��h�1��w����g��~1�1{?�h{�x��gyF��h�C��{?�h{�x����g�#�qw}�z�D�g�����ky@�h��x�� ���@�hyO{�xz{�x�w������hy��=w����g�1wB�F�*xzy1��{�vFw§�w}yF��xz{f�s¡s�h{�|�x£�s©Dw}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy³ªC|*�g�1~_¦¨§�¡�©«ª­¬ ����� !�� ��� � � �h~1~1|*���g�?ve{*�B���h|�|��s�g�1{­����g��~@�h|?�h{�xz��w­�*{��F�����

utvFw9w��1�g�}{C��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gye�h~1~1|*���g�*vo�=�«xz{�v1xzy�{�vFw9��xzy1����w­�*xz{*w¤§�¡�º�u ���gy�{*w��k{��2��w��g�1�D{*�{�vFw¤�1w}��w}���g~1��w}y�{D�h�H��{*w��*v1y1x ���Fw¤xzyF��~1xz|*w��B����|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~�x��1w��g�.�«v1x��*v�|*w����1�z{*w��xzy�{�vFw�¹F|*��{ ���@�hyO{�xz{?�h{�xz��w���{��F�����h�«{�vFw��}|�xz{�x����h��~1|*�g~=w}|�{�x�w��9yFw��h|­{�vFw�¡��g{�{9{�|?�hyF��xz{�x��gy ����� � ��]xz{�v��G�kx�w}�°{*���t�h|*�1��{�vFw«�¨�1{��1|*w����qwD��x��*�}�F�*��{�vFw8~(���*��xz�1xz�zxz{f���h�o���g�­�1xzy1xzy1�#|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy��|*�g�1~�x��1w��g���hyF��´�§�¡�º�uµ{*�G�1w}��w}���g~��CyFw}�°yO�1��w}|�x����h�2��w}{�vF���#xzy�{�vFw.��~1xz|�xz{H�h�2{�vFw8§�¡�©8ª��w}{�vF�k�a�

utvFw���k{*w}yF�1w���¯.�1�1�@�h|*��¡��k�1w}�q¦ �H¯C¡s¬qx��8�1w�¹FyFw����O��{�vFw����g�z�����«xzy1��¯��h��xz�z{*�gy1x��hy �

H = −t∑

j,σ

(

c†j+1σcjσ + h.c.)

+ U∑

j

nj↑nj↓

+V∑

j

njnj+1 − µ∑

j

nj¦ ��� ¬

utvFw�{f�q�`{*w}|�������g|�|*w���~=�gyF��xzy1�µ{*��vF�g~1~1xzy1�`�(w}{f��w�w}y]yFw��h|*w��*{�yFw}xz��v��=�g|���xz{*w����hyF�±{*��{�vFw�gyF��xz{*wG´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gy~1|*���kx��1w.{�vFwC���g��~(w}{�xz{�x��gy�(w}{f��w�w}y�xz{�xzyFw}|?�g�}���hyF�����k���h�zxz¢¥�h{�x��gy�xzy{�vFw�|*w}���1���h|8¯D�1�1�@�h|*�������1w}�Q�HutvFwC{�v1xz|*��{*w}|��>|*w}~1|*w��*w}y�{*�8{�vFw¤´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gyB�=w}{��qw�w}yw}��w��}{�|*�gyF�������}�1~���xzy1�µyFw��h|*w���{yFw}xz��vO�(�g|B��xz{*w����jutvFw�¯��h��xz�z{*�gy1x��hy �g��«|�xz{�{*w}y[�h�=�¥��w��«xz{�v

µ = U/2 + 2V���@�h|?�hy�{*w�w��­�hy�xzyF�*�1���h{�xzy1�B��|*�g�1yF���*{?�h{*w­�«xz{�ve��¹F�z�zxzy1���h���gyFw�w}��w��}{�|*�gys~(w}|

��xz{*w��

��y�{�vFw8�¨�g�z���¥�«xzy1�9�*w��}{�x��gy��qw8xzy�{�|*�����F��w��hyF����x��?�}�F�*��{�vFwC´�§�¡�º�u±�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}��w����@�Z {�x��gyF���hyF�µ��vF��� vF�¥�>{�vFw}�����hyµ�=w��w}yFw}|?�h�zxz¢�w��µ{*��{�|*w��h{#yF�gy� Q�������h�D´��g�1���g�9��xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF�w}��w}y�xzy�{�vFwB~1|*w��*w}yF��wB�h���1|*�g²�w}y±���k����w}{�|�x�w���� ��y³{�vFw�yFw��k{��hyF�����1�F�?w��O�Fw}y�{��*w��}{�x��gyF���qw~1|*w��*w}y�{8|*w����1�z{*�«���g|«{�vFwG|*w}���1���h|D�hyF��{�vFwGw��k{*w}yF�1w���¯.�1�1�@�h|*�B���k�1w}���«|*w���~(w��}{�xz��w}�z���

��r�� �cHR_� � G� �>R1W�cHi �

utvFw8´�§�¡�º�u ����� � ��w}{�vF����x��H�D��{�|?�hxz��vO{<���g|����h|*����w}yFw}|?�h�zxz¢¥�h{�x��gy��h�2{�vFwt��xzy1����wt��xz{*w�§C¡�º�uG�hxzy�«v1x��*v��������h�F�1w}��|*w�w��q�h�2�¨|*w�w��1�g� �«xz{�v1xzy����}�z�F��{*w}|q�h|*wt{�|*w��h{*w���w��1�g�}{��z���hyF��{�vF���*w«�g�1{*��x��1w8{�vFw�}�z�F��{*w}|D�h|*w¤|*w}~1���g��w��B�O�����@�h{�v��h��yF�gy� QxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1�Bw}��w��}{�|*�gyF�.�1w}{*w}|���xzyFw����*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yO{��z���

Page 71: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

utv1x��¤�h~1~1|*���g�*vo�o�¨�g|��9�1���h{*w����«xz{�vs|*w��h�zx���{�x�����{��F��x�w���xzys��xzyF�a�o�1w��h����xzys~1|�xzyF�}xz~1��w#�«xz{�ve����w}|< ���h~1~1xzy1����w}�z���«�hyF���«xz{�v��}�z�F��{*w}|*���«v1x��*v��h|*wDyF�g{qyFw���w��?�?�h|�xz�z���1w�¹FyFw��xzy�|*w��h�(��~@�g��w��hyF�����g�1���w}��w}y��(w��1w�¹FyFw����O��yF�gy� f�g|�{�vF�g���gy@�h�2�g|��1xz{?�h����� ��y�{�v1x��H~@�h~=w}|�����wtxz��yF�g|*w«{�vFw��*wt���g��~1�zx����h{�x��gyF��hyF�����g|�²��«xz{�v�|*w��h�H��~@�g��w��}�z�F��{*w}|*�G�F�*xzy1���hy��g|�{�vF�g���gy@�h���@�g�*x���� �f{Gx��¤�q�g|�{�ve~(�gxzyO{�xzy1���g�1{{�v@�h{.x£����w9�h~1~1�z�B{�vFw9�h~1~1|*���g�?v�{*��yF�gy� QxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1�B��x��*�g|*�1w}|*w��s�h�z���������F{�vFw9�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}����gyF��xz{�x��gy��h�H´�§C¡�º�u]�=w����g��w��«x��1w}y�{�x����h�o{*�#{�v@�h{«�F�*w��xzyB{�vFwC���g��w��}�1���h|C´ �»�h~1~1|*���kxz���Z {�x��gy��h�«§C�F���g��{*w}�z��w ����� � ��utv1x��­x��­�hy@�h���g���g�F�¤{*�B{�vFw������s{�vFw��?w}�£�  f���gyF��x��*{*w}yF�}�����gyF��xz{�x��gy`xzy��xzy1����wt��xz{*w�§�¡�º�u`�=w����g��w���x��1w}y�{�x����h�1{*�.{�vFwt��xzy1����wt��xz{*w«´ �]�hyF��{�vFwq{��q�h Qxz��~1�1|�xz{����h~1~1|*���� xz���h{�x��gy�~1|*�g~(���*w����O���fy1��w}|*�?w}yO{q�hyF� �*v1xz�z��w}| ��� � � �hyF���O��ª�w��g|���w����hyF� �.�g{��zx��h| ��� � ���=w����g��w��x��1w}yO{�x����h�@{*�D{�vFwt~@�hxz|q´ ����¯D�¥�qw}��w}|����1y1�zxz²�wt{�vFw«�*xzy1����w��*xz{*w«���g�*w��g�«vFw}|*wt{�vFwt{�|?�hyF��xz{�x��gy#�¨|*�g�|*w��h�t��~@�g��w�{*�����g��w}yO{��1� �*~@�g��w�x����1y@�h�­�1xz���F�g�F�¥�H�gyFwv@�g�­{*���=w���h|*w��¨�1�qxzy³xzyO{*w}|�~1|*w}{�xzy1�{�vFw#|*w����1�z{*�¤�h��{�vFw�´�§�¡�º�u w����@�h{�x��gyF�Gxzy

k f��~@�g��w��#utv1x��Gx����=w����h�F�?w#{�vFw#�����h���h�«´�§�¡�ºMu

x���{*���g�1{?�hxzy°{�vFw��=w���{#~(���*��xz�1��wBw���{�xz���h{*w����h� � ����� ���@�hyO{�xz{�x�w���{�v@�h{��zxz��w��«xz{�v1xzy_���}�z�F�*{*w}|��ºF�g|�{�v1x���~1�1|�~(���*w��a���}�z�F�*{*w}|��?w}�£�qw}yFw}|�����x��CxzyO{�|*�k���F��w��a� �S�gy1����x��*{?�hyF��w9~1|*�g~(w}|�{�x�w��G���F�?v��g�{�vFw��gyFw��­���gy�{?�hxzyFw��exzy�{�vFw#���h{�{�x���w�ª�|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gy³�hyF��{�vFw#���h{�{�x���w��*w}�£�«w}yFw}|����s�h|*w�{�vFw}y� ��������������¨|*�g�%{�vFw��}�z�F��{*w}|9ªC|*w�w}y�� �C�¨�1yF�}{�x��gye�g|G{�vFw��}�z�F��{*w}|G�*w}�£��w}yFw}|������«v1xz��w#���hxzyO{?�hxzy1xzy1����h�F�?�h�zxz{�� ����� � �

��r���r � �cHR_�VFP�NQW�J �i,T�XZW�L ��bkW�NQi,TutvFw�������{«w����gyF�g��x����h�S�t���{*���h|�|�xz��w¤�h{t{�vFwG���gyF��w}~1{*�.�h�������ky@�h��x����h�o��w��hy�¹@w}����{�vFw��g|��x���kx��#{�vFw­������xz{������gyF��{�|��F�}{�x��gyo�@�«v1x��?v���{�|*w��?�*w��8{�vFwG~(�gxzyO{D���g�1w9�h�(����w��@{�v@�h{.{�vFwG���k�}�F�8�h��{�vFw��w}{�vF�k�¤x��,xzy9w���{�|?�g�}{�xzy1�D���k���h� ���@�hyO{�xz{�x�w����MutvFw��g|�xz��xzy@�h�����h{�{�x���w�x��,��xz�kx��1w��¤xzy�{*�Dw����@�h���}�z�F��{*w}|*��h�M�*xz¢�w

Nc� �fy�{*w}��|?�h{�xzy1���g�1{«{�vFw��1w}��|*w�w��8�h�S�¨|*w�w��1�g�>w��k{*w}|�y@�h�a{*�����?vF���*w}y��}�z�F��{*w}|¤¦·���h�=w}�z��w��

0¬�����w.���hy����g|����h�z�z�#�«|�xz{*w.�hy�w �aw��}{�xz��w.�g�}{�x��gy��«v1x��*v�q�g�1�����h�z���¥�±{�vFw8���g��~1�1{?�h{�x��gy��h�a�������h����@�hyO{�xz{�x�w��D�g�

1

Zeffe−Seff c†0µσ ,c0µσ � ≡ 1

Z

j 6=0,µσ

Dc†jµσDcjµσe−S .

¦ ������¬

¯Cw}|*wj���h�(w}���¤xzyF��xz�kx����@�h�q�}�z�F�*{*w}|*���hyF�

µx��9�hy�xzyF�1w������h�(w}�z�zxzy1����xz{*w��­�«xz{�v1xzy`w��g�?v³�}�z�F��{*w}|��

�ew¤���hy���~1�zxz{.{�vFwG�g|�xz��xzy@�h�M�g�}{�x��gy�xzy�{*��{�v1|*w�wG~@�h|�{*���

S = S(0) + S0 + ∆S,¦ ������¬

Page 72: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�«vFw}|*wS(0) xzyF�}�z�F�1w��#{*w}|����#�g�1{*��x��1w�{�vFw��?vF���*w}y��}�z�F��{*w}|B¦·{�vFw��¨�1�z�t�g�}{�x��gy³�«xz{�vµ{�vFw��}�z�F�*{*w}|

|*w}~1���g��w��_�O�°�e������xz{��1¬��S0

���g��~1|�x��*w���{*w}|������*�g��w}�z�µ�«xz{�v1xzy_{�vFw��}�z�F��{*w}|��«�hyF��¹Fy@�h�z�z���∆S

xzyF�}�z�F�1w���{�vF���*w{*w}|����#{�v@�h{����g�1~1��w�{�vFwB�}�z�F��{*w}|#�«xz{�v�xz{*��w}y���xz|*�gy1��w}y�{�� ���k~1�zx��}xz{��z���qxzyµ{�vFw���g�*wG�h��{�vFw �H¯C¡`�

S0 =

∫ β

0dτ

µν,σρ

c†0µσ(δµνδσρ∂τ +E00µν,σρ)c0νρ

+∑

µ

Un0µ↑n0µ↓ + V∑

〈µ,ν〉

n0µn0ν¦ ��� ��¬

∆S =

∫ β

0dτ

〈jµ,0ν〉,σρ

Ej0µν,σρc

†jµσc0νρ +E0j

νµ,ρσc†0νρcjµσ

+V∑

〈jµ,0ν〉

njµn0ν¦ ������¬

¯Cw}|*wE00 xzyF�}�z�F�1w��S{�vFw�vF�g~1~1xzy1�.���h{�|�x£�­�g�a��w}�z���g�a{�vFwH�?vFw}��x����h�O~(�g{*w}yO{�x��h�O�«xz{�v1xzy9{�vFw�¢�w}|*�kw}{�v

�}�z�F��{*w}|9�hyF� 〈jµ, 0ν〉 �1w}yF�g{*w��#�h�z�HxzyO{*w}|*�}�z�F��{*w}|�yFw��h|*w���{¤yFw}xz��v��=�g|*�¥� ��{Gx��¤{*���=w�yF�g{*w��e{�v@�h{���«v1xz��w#{�vFw��gyF��xz{*w�´��g�1���g�9�exzyO{*w}|?�g�}{�x��gy

U���gyO{�|�xz�1�1{*w��­�gy1�z��{*�

S0�o�yF�gy1���k���h��xzyO{*w}|?�g�}{�x��gy

���F�?v��g��{�vFwtyFw��h|*w���{HyFw}xz��v��=�g|�´��g�1���g�9��|*w}~1�1����x��gyV���gyO{�|�xz�1�1{*w��q{*���=�g{�v

S0�g���qw}�z�2�g�

∆S�

utv1x��M�����kxz{f�­���gyF��{�|��F�}{�x��gy#x��M�*�«�Q�h|o��w}|*w}�z�9�8|*w}���h�=w}�zxzy1���h�F{*w}|����Mxzy­{�vFw��g|�xz��xzy@�h���g�}{�x��gy��hyF�9x��w��F�g�}{���¯D�¥�qw}��w}|D�h~1~1|*���kxz���h{�x��gyF�.yFw�w���{*�9�(wC���g�1w�{*���g�}{��@�h�z�z���g����w��*�t{�vFwC���k���h�a~1|*�g~=w}|�{�x�w���«xz{�v1xzys{�vFw#�}�z�F��{*w}|����ew��h~1~1|*���kxz���h{*w�{�vFw9w �aw��}{�xz��w��g�}{�x��gye�h��{�vFw9�}�z�F�*{*w}|C����²�w�w}~1xzy1�B�gy1�z�{�vFw�|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy��h�«{�vFw ���@�g��|?�h{�x���{*w}|������g�1{?�hxzyFw��µ�Z�·{*w}|¤xzy�{*w}��|?�h{�xzy1���g�1{­{�vFw��1w}��|*w�w���h�S�¨|*w�w��1�g�>�h�,{�vFw����1|�|*�g�1yF��xzy1��w}y���xz|*�gy1��w}y�{ ��� � �H¸C�g{�x���wC{�v@�h{«{�v1x��8�h~1~1|*����xz���h{�x��gy���x��g���h{*w��{�vFw¤{�|?�hyF�*���h{�x��gy@�h���*������w}{�|��B�h�H{�vFw­�g|�xz��xzy@�h�M���h{�{�x���w������1{.{�v1x��Dx��8yF�g{���~1|*�g�1��w}���(��xzyF��w­{�vFw��~1xz|�xz{��h�H{�vFw��h~1~1|*���g�*vsx��C{*��w���{�xz���h{*w9���k���h� ���@�hyO{�xz{�x�w�����utvFw�ªG�h�F�*��x��hy��h~1~1|*����xz���h{�x��gys���g|{�vFw�w �aw��}{*�­�h�«{�vFw�w}y���xz|*�gy1��w}y�{��?w�w}ye�O��{�vFw��}�z�F�*{*w}|­�(w����g��w��­w��F�g�}{¤xzy�{�vFw��zxz��xz{��h�����h|���w���k�g|*��xzy@�h{�x��gy���� � �.�hyF�±{�vFw}|*w��¨�g|*w��.�g�1|�{*w���{���g�*w�xzy �gyFw���xz��w}yF��x��gy ���gyF��{�xz{��1{*w��{�vFw������*{��x ���}�1�z{D���g�?w���utvFw¤w �(w��}{�xz��w9�g�}{�x��gyB�¨�g|«{�vFw­�}�z�F��{*w}|.���hy�{�vFw}yB�(w¤�h~1~1|*����xz���h{*w����g�¥�

Seff

[

c†0µσ , c0µσ

]

=

∫ β

0dτ

µν,σρ

c†0µσ

[

G−10

]

µν,σρc0νρ

+∑

µ

Un0µ↑n0µ↓ + V∑

〈µ,ν〉

n0µn0ν .¦ ������¬

¯Cw}|*w��2{�vFw�{�xz��w��1w}~=w}yF�1w}y�{G�ew}x��*�D¹@w}��� G−10

x��CyF���®�����h{�|�x£��xzy�{�vFw#�}�z�F��{*w}|C���h|�x��h�1��w��¤�hyF�x������·�1yF�}{�x��gy@�h�9�h�9{�vFw �H¯C¡ ªC|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gy[�«xz{�v[{�vFws�}�z�F��{*w}|B|*w}~1���g��w��[���]�µ�����kxz{f���

Page 73: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�1~1~1|*w��*��xzy1����~1xzy�xzyF��x���w����1xz{8���hy��=w��«|�xz{�{*w}y��gy�{�vFwG¡��h{*���1�@�h|?���Z�kx��.�g�

[

G−10 (iωn)

]

µν= iωnδµν −E00

µν − V δµν

〈jµ′,0ν〉

njµ′

(0)

−∑

〈iµ′,0µ〉

〈jν′,0ν〉

E0iµµ′G

(0)iµ′ ,jν′ (iωn)Ej0

ν′ν .

©.w}���h{�xzy1��{�vFwC�����kxz{f��ª�|*w�w}y�� �H�¨�1yF�}{�x��gyo�G(0) �O{*�9{�vFw.�·�1�z�oªC|*w�w}y�� �q�·�1yF�}{�x��gy��h�o{�vFw �H¯D¡³��{�vFw

���g�z�����«xzy1���?w}�£�  f���gyF��x��*{*w}yF�}����gyF��xz{�x��gy�{*���1w}{*w}|���xzyFw¤{�vFwG�ew}x��*�«¹@w}�������hy��(wG�g�1{?�hxzyFw�� �

G−10 (iωn) = G−1

loc(iωn) + Σc(iωn),¦ ������¬

�«vFw}|*wG{�vFwG���k���h�,ªC|*w�w}y�� �8�·�1yF�}{�x��gy��gyB{�vFw­�}�z�F��{*w}|8xzy��gyFw¤��xz��w}yF��x��gy�x��«�1w�¹FyFw����g�­¦·�«xz{�v��hy�g�O�kx��g�F�8��w}yFw}|?�h�zxz¢¥�h{�x��gy�{*�#v1xz��vFw}|.��xz��w}yF��x��gyF��¬

Gloc(iωn) =

∫ π/Nc

−π/Nc

1

iωn + µ− Σc(iωn) − t(k)

dk

2π/Nc.

¦ ������¬

Σcx��D{�vFw��}�z�F��{*w}|��*w}�£��w}yFw}|������g�C�g�1{?�hxzyFw����·|*�g�

Seff�t(k)

x��D{�vFw#ºF�g�1|�x�w}|�{�|?�hyF�<�¨�g|��%�h��{�vFw�}�z�F��{*w}|�vF�g~1~1xzy1�B���h{�|�x£���h��{�vFw��H¯D¡ �hyF�

kx��G����w��}{*�g|�xzy�{�vFw�|*w����F��w�� ��|�xz�z���g�1xzy�¢��gyFw��h�

{�vFw���1~=w}|����h{�{�x���w(− π

Nc, π

Nc]� ���k~1�zx��}xz{��z�����g|����gyFw���xz��w}yF�*x��gy@�h�����k�1w}���«xz{�vµ�gy1�z�eyFw��h|*w���{

yFw}xz��vO�(�g|.vF�g~1~1xzy1�F�

tµν(k) = −t[δµ−ν±1 + e−ikNcδNc+µ−ν±1

+eikNcδ−Nc+µ−ν±1]¦ ����!�¬

��r���r�� � n ��T�bkW�NfiSTHVad�NfT,W�RFL �qL�R1W�V=W�NfiST�4�*w����gyF�B�h~1~1|*���g�?vB{*���1w}|�xz��wC{�vFwG�h�(����wG�h~1~1|*����xz���h{�x��gy�x�����x��9{�vFwC���gyF��{�|��F�}{�x��gy��h�M�­�¨�1yF�� {�x��gy@�h�S�h�M{�vFw �O�@�hy�{�xz{�x�w��.�h�,xzy�{*w}|*w���{��F�?����{�vFw­ª�|*w�w}y�� �t�·�1yF�}{�x��gyB|*w��*{�|�x��}{*w��B{*�����������h�o�}�z�F�*{*w}|�hyF�µxz{*�����1~(w}|*��w}�z�t{�|?�hyF�����h{�x��gyF�������F�*v�{�v@�h{�{�vFw���{?�h{�x��gy@�h|��³~=�gxzy�{��h�D{�vFw�¨�1yF�}{�x��gy@�h�«��x�w}���1�{�vF���*w ���@�hyO{�xz{�x�w�� ������� ��� � � ��y�~1|�xzyF�}xz~1��w����F�?v_���¨�1yF�}{�x��gy@�h�.���hy°�(w����gyF��{�|��F�}{*w��±�g|*�1w}|��O��g|*�1w}|8xzy��9~(w}|�{��1|��@�h{�xz��w­w���~@�hyF��x��gyBxzyB{�vFw�vF�g~1~1xzy1���g|«{�vFw�xzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF�D�«v1xz��w¤���gyF��{�|?�hxzy1xzy1�{�vFw9ªC|*w�w}y�� �«�·�1yF�}{�x��gy�{*���9¹1�1w��B���h�z�Fw�� �fyB~1|?�g�}{�x���w��2�*w}yF��xz�1��w¤�h~1~1|*���kxz���h{�x��gyF�D{*�#{�vFw¤w��F�g�}{�¨�1yF�}{�x��gy@�h�S�h|*wG���gyO{�|��F�}{*w���������{?�h|�{�xzy1���«xz{�vB{�vFwC�¨�1�z� �«���k�#  �¤�g�F�hyF�����¨�1yF�}{�x��gy@�h�

Φ[G]�hyF�

|*w���{�|�x��}{�xzy1��xz{*�G�h|����1��w}yO{��¨|*�g� {�vFw­�¨�1�z��ªC|*w�w}y�� �C�¨�1yF�}{�x��gy�{*��{�vFw�ªC|*w�w}y�� �D�¨�1yF�}{�x��gys�1w�¹FyFw���gy1�z�xzyF��x��1wG{�vFwG�}�z�F��{*w}|D�hyF��xz{*�«~=w}|�x��k��x��G���1~(w}|*��w}�z�o|*w}~(w}{�xz{�x��gyF���Hutv1x��8���gyF��{�|?�hxzy�{.x��«|*w��h�zxz¢�w��

Page 74: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�O��{�vFw8�}�z�F��{*w}|q�*w}�£�=w}yFw}|����#�«v1x��*v�~1�������H{�vFwt|*�g��w8�h�({�vFw �S�h��|?�hy1��w8�9�1�z{�xz~1�zx�w}| ����� � ��� � ��§Cx��aw}|< w}yO{�x��h{�x��gye�h�q{�v1x��.�¨�1yF�}{�x��gy@�h����xz��w��C{�vFw�´�§�¡�º�ujw����@�h{�x��gyF��� �Cx�w}�qw����g�C�hye�h~1~1|*���kxz���h{�x��gy{*��{�vFw �«�����#  �¤�g�F�hyF���]�·�1yF�}{�x��gy@�h�t���g|�{�vFw��¨�1�z�����h{�{�x���w���{�v1x��#~1|*����w����1|*w�����`�*w�w}� ���@�g��h~1~1|*����xz���h{�x��gy ����! � ��¯C���qw}��w}|��M{�v1x��9���gyF��{�|��F�}{�x��gy`�h�t{�vFw#�¨�1yF�}{�x��gy@�h�q��vF�g�1�����(w��kx�w}�qw����g��hy��h~1~1|*����xz���h{�x��gy�{*�#{�vFw�w��F�g�}{8w �(w��}{�xz��w¤�g�}{�x��gy����g|t�������h� ���@�hyO{�xz{�x�w����@�hyF��´�§�¡�º�u_�F�?w��txz{~1|*w��}x��*w}�z����g|8���F�*v���~1�1|�~(���*w��

utvFw8�·�1yF�}{�x��gy@�h�(�h~1~1|*���g�*vx��H�F�*w��¨�1�F�(w����h�F�*w8xz{q�}���h|�x£¹@w���{�vFw.��w}��w}�2�h�o�h~1~1|*����xz���h{�x��gy�F�?w��xzy�{�|*w��h{�xzy1��{�vFw��1|*�g²�w}y³���k����w}{�|��e��{?�h{*w�� ��ye{�vFw���g�*w�{�v@�h{9�qw���gyF��x��1w}|��H�h�z��{�vFw¯��h|�{�|*w�w��|?�h~1vF�B�h|*w��g�1�1w��±{*�`{�vFw��·�1yF�}{�x��gy@�h��¦¨�*w�w � �=� ��� � ¬��¶utvFw �� f§�¡�º�u ��� �F������������������� � � �xzyF�}�z�F�1w��t�g�1��xz{�x��gy@�h�2��|?�h~1vF�q{*�¤{�vFw8¯��h|�{�|*w�w8{*w}|����¥�O�1�1{q{�vFw ���@�h�zxz{f���h�o{�vFw«|*w����1�z{*�q~1|*w��*w}yO{*w���(w}����� ��vF�¥�4{�v@�h{8{�vFw}��q�g�1�������h²�w­����w}|��B�����h�z�o���gyO{�|�xz�1�1{�x��gyo�

��r���r�� ��T¶� ��VabkW��eNQV �oi,THVadfN �1V2W�NfiSTj��d��oioLONQW�c�\

ºF�g|�{�vFwt~1�1|�~(���*w«�h�2~1|?�g�}{�x����h�@xz��~1��w}��w}yO{?�h{�x��gy��h�({�vFw8�h�z���g|�xz{�v1�®xz{�x������gyO��w}y1x�w}y�{q{*�����gyF��x��1w}|{�vFw¤�}�z�F��{*w}|Dw �(w��}{�xz��w­�g�}{�x��gy�{*���h|�x��*w��¨|*�g� �#��w}yFw}|?�h�zxz¢�w���xz��~1�1|�xz{���¯��h��xz�z{*�gy1x��hyo�

Himp =∑

µνσ

Eµνc†µσcνσ + U

µ

nµ↑nµ↓

+∑

µν

Vµνnµnν +∑

εkσa†kσakσ

+∑

kσ,µ

(V hkσ,µa

†kσcµσ + V h∗

kσµc†µσakσ)

¦ ��� �� ¬

¯Cw}|*w��εkσ

|*w}~1|*w��*w}yO{*��{�vFw���x���~(w}|*��x��gy±�h�¤�hy_�h����xz�zx��h|��µyF�gy� QxzyO{*w}|?�g�}{�xzy1�³�@�h{�v_�hyF�V h

kσ,µ

x��{�vFw#vO�k�1|�x���xz¢¥�h{�x��gy����h{�|�x£�s�(w}{f�qw�w}y`{�vFw#�@�h{�v��hyF��{�vFw#xz��~1�1|�xz{f���}�z�F��{*w}|��#utvFw��*w����gyF�`�hyF�{�v1xz|*��{*w}|�����xzyF�}�z�F�1w��h�z��{�vFw9xzy�{�|?�Z f�}�z�F��{*w}|GxzyO{*w}|?�g�}{�x��gy�{*w}|������ ��y

E��w#�z�1��~�{*�g��w}{�vFw}|G{�vFw

�}�z�F��{*w}|HvF�g~1~1xzy1�­���h{�|�x£���hyF���?vFw}��x����h�@~(�g{*w}yO{�x��h�Q�k�g���qw}�z�2�g�H{�vFw«¯C�h|�{�|*w�w«{*w}|����q�h|�x���xzy1�G�¨|*�g�yF�gy� Q���k���h�oxzyO{*w}|?�g�}{�x��gyF�D�=w}{��qw�w}y��}�z�F��{*w}|*���HºF�g|.{�vFw �H¯C¡

Eρζ = E00ρζ + V δρζ

〈jρ′,0ζ〉

njρ′⟩

,¦ ��� � ¬

�«vFw}|*w ⟨

njρ′⟩ x��H���g��~1�1{*w����O�#�F��xzy1�G{�vFwt{�|?�hyF�����h{�x��gy@�h�2xzyO���h|�x��hyF��w8�h�={�vFw«�*�k��{*w}�K�h{�{�vFw8��w}��w}�

�h��{�vFw¤���1~(w}|����h{�{�x���w��

Page 75: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

��y�{*w}|������h��{�vFw�xz��~1�1|�xz{��������1w}�Q�,{�vFw�~@�h|?�h��w}{�|�xz¢¥�h{�x��gyµ�h�«{�vFw��ew}x��*�G¹@w}�����·�1yF�}{�x��gy`x��|*w��g��xz�z�B�g�1{?�hxzyFw����g���

G−10 (iωn) = iωn − E − ∆(iωn),

¦ ��� ��¬

�«vFw}|*wG{�vFwGv����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy��·�1yF�}{�x��gy�x��«��xz��w}y��O�

∆µν,σ(iωn)[εkσ, Vhkσ,δ] =

k

V h∗kσ,µV

hkσ,ν

iωn − εkσ.

¦ ��� ��¬

utvO�F�S{�vFw��h�z���g|�xz{�v1�4xzy����g�z��w��,�1w}{*w}|���xzy1xzy1�D{�vFw��@�h{�v¤~@�h|?�h��w}{*w}|*�εkσ

�hyF�V h

kσ,µ

�?w}�£�  f���gyF��x��*{*w}yO{��z������1� ��w��}{«{*��{�vFwG���gyF��xz{�x��gy���xz��w}y��O� � �=� �����k� �D�1|«xz��~1��w}��w}yO{?�h{�x��gy�|*w}�zx�w��«�gyB{�vFwG�*�g�z�1{�x��gy��h�{�vFw#xz��~1�1|�xz{f�����k�1w}���F��xzy1��w��F�g�}{¤��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy�����! � � {?�h|�{�xzy1���«xz{�v³�hy�xzy1xz{?�h�H���Fw��*�C���g|{�vFwD�@�h{�v�~@�h|?�h��w}{*w}|*���qwC�g�1{?�hxzy�{�vFw.�}�z�F��{*w}|t�*w}�£�Sw}yFw}|����

Σc���hyF���F��xzy1�­{�vFwC�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}�

���gyF��xz{�x��gy°�1w}{*w}|���xzyFw���yFw}� �ew}x��*��¹@w}���a� G−10 (iωn)new � ��y³{��1|�yo�H{�v1x����1w�¹FyFw�����yFw}� vO�� 

�1|�x���xz¢¥�h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gy∆(iωn)new �`u,���}�����*w�{�vFwB�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}�����k�g~��qw�~1|*� ��w��}{��gyO{*�`�

¹Fy1xz{*w����1�F��~@�g��w­�h�H�@�h{�v���xz¢�wNb�«utv1x��.~1|*� ��w��}{�x��gy�x��D���h|�|�x�w����g�1{.�F��xzy1�������gy��<�1�O�h{*w­��|?�g��x£ 

w}yO{.��xzy1xz��xz¢¥�h{�x��gy��h��{�vFwC�¨�g�z���¥�«xzy1����x���{?�hyF��wG�·�1yF�}{�x��gyo�

D =1

(nmax + 1)NbNc

nmax∑

n=0

∥∆(iωn)new − ∆(iωn)Nb

¦ ��� ��¬

�«vFw}|*wnmax

x��q{�vFw8yO�1�9�=w}|«�h�o��|�x���~=�gxzy�{*���gy�{�vFw.¡s�h{*���1�@�h|?���Z�kx���� �D�z{�vF�g�1��v���wD�*{��F����{�vFw´�§�¡�º�u»w��O�@�h{�x��gyF�G�gy1�z�s�h{D¢�w}|*�{*w}��~(w}|?�h{��1|*w��({�vFw#�*w}�£�  f���gyF�*x���{*w}yF�}��w����@�h{�x��gyF�¤�h|*w��?�g�z��w���gy�{�vFwG¡s�h{*���1�@�h|?���Z��x����5�X}UPQ �µutvFw�~@�h|?�h��w}{�|�xz¢¥�h{�x��gy4�h�¤{�vFw��@�h{�v_xzy_{*w}|������h�¤�hy �DyF�1w}|*�*�gy±xz��~1�1|�xz{��±���k�1w}�

�h�9{�vFw����g|�� ��x��*�}�F�*�?w��4�h�=�¥��w����g����we��v@�h�z�¤�*w�w��(w}�����¤�C~1|*���kx��1w����`~(����w}|<�·�1�¤{*�k�g�Q� ���1{xz{�x���{*�e�(wByF�g{*w��°{�v@�h{�{�v1x���~@�h|?�h��w}{�|�xz¢¥�h{�x��gy]x���yF�g{�{�vFw�������{���w}yFw}|?�h���gyFw�{�v@�h{���hy°�(w���gyF��w}xz��w��a�ButvFw����h{�|�x£��v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy³�¨�1yF�}{�x��gy

∆(iωn)x�����·�1yF�}{�x��gy³�h�«{�vFw�~@�h|?�h��w}{*w}|*�

εkσ�hyF�

V hkσ,µ

� {�|�x��}{��z����~(w��h²�xzy1�F�2{�vFw­��x��h���gy@�h�H�hyF�����2 f��x��h���gy@�h��w}��w}��w}yO{*�G�h�H{�v1x��D���h{�|�x£��h|*wGxzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{��h�Hw��g�*v��g{�vFw}|��hyF����vF�g�1���B�(wG~@�h|?�h��w}{�|�xz¢�w����«xz{�v�xzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{C�g�h|�x��h�1��w��¥� �¤{�vFw.���g|��!�*vF���?w}y��h�(����w.xzy � �=� ��� �¤���h²�w��«�hy�h~1~1|*����xz���h{�x��gy�{*�¤{�vFwD������{���w}yFw}|?�h�2���g|���«vFw}|*w

V hkσ,µ

�hyF�εkσ

�h|*w9���h{�|�x���w��¥�(|?�h{�vFw}|C{�v@�hys��w��}{*�g|*�����]xz{�vF�g�1{������*�C�h����w}yFw}|?�h�zxz{f��xz{�x���h�z�����k�C~(���*��xz�1��wG{*����x��h���gy@�h�zxz¢�w�{�vFw

εkσ���h{�|�x£�(�«utv1x��.���g|�� ���g|8{�vFw­v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gye�hyF��{�vFw

�1yF�1w}|��z�kxzy1� �.yF�1w}|*�?�gy�xz��~1�1|�xz{f�B���k�1w}�,�h|*w���xz��w}y���� �

∆µν,σ(iωn)[εkσ,λζ , Vhkσ,δρ] =

k

V h∗kσ,µγ [iωn − εkσ]−1

γγ Vhkσ,γν

¦ ��� ��¬

Page 76: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

Initial guess for bath parameters

Impurity model Solver

Cluster Green’s functionCluster Self energy

Self consistency condition

Lattice Green’s functionNew Weiss field

for impurity model

New bath parameters

Conjugate gradient Algorithm

ºMxz���1|*w��� � �»�*�*vFw}���h{�x��­xz�z�z�F��{�|?�h{�x��gy��h��{�vFw¤�}�z�F��{*w}|.���ky@�h��x����h�o��w��hyB¹@w}�����h�z���g|�xz{�v1�

Himp =∑

µνσ

Eµνc†µσcνσ + U

µ

nµ↑nµ↓

+∑

µν

Vµνnµnν +∑

kσ,γ

εkσ,γ

[

a†kσ,γakσ,γ + h.c]

+∑

kσ,µν

(V hkσ,µνa

†kσµcνσ + V h∗

kσ,µνc†νσakσµ)

¦ ��� ��¬

�Dy]w��F�g�}{B��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy �h�z���g|�xz{�v1� �@�g�*w�� �gy_{�v1x��~@�h|?�h��w}{�|�xz¢¥�h{�x��gy4xzy����g�z��w����g�����hy���@�h{�vF���g��{�vFw«y��1�­�(w}|��h�=�*xz{*w��H�gy�{�vFw«�}�z�F��{*w}|��hyF�#x������g��~1�1{?�h{�x��gy@�h�z�z���*�Gw���~=w}yF�*xz��wq{�v@�h{�xz{�x��yF�g{���w��g��xz�1��w�xzy#��xz��w}yF�*x��gyF��v1xz��vFw}|H{�v@�hy��gyFw��M�ewt|*w���{�|�x��}{H�g�1|���{��F���­{*��{�vFwt~@�h|?�h��w}{�|�xz¢¥�h{�x��gy�h��{�vFwG�@�h{�v��g�8��~(w��}x£¹@w���xzy�� �=� ��� ���

��r�� ��R1W�RFL�\]N�THV=W�NQiST ion¤W�c�R°d ��XZW�RFL��MR@dfn¤��THRFL �oJ

utvFw�¹F|*��{,��{*w}~9xzy­{�vFw«´�§�¡�º�uexz{*w}|?�h{�xz��wt�*�?vFw}��w�x��,{*�.���g��~1�1{*w�{�vFwq�}�z�F��{*w}|M�?w}�£�1w}yFw}|����Σc���g|

�hy�xzy1xz{�x��h�,���Fw��*�8�h��{�vFwG�@�h{�v�~@�h|?�h��w}{*w}|*���qutv1x��.���hy��(w¤�1�gyFwG�F�*xzy1� � �=� �������O�B���1�1{�|?�g�}{�xzy1�{�vFwBxzy���w}|*�*w����h�G{�vFwBy��1��w}|�x����h�z�z�±�1w}{*w}|���xzyFw��]�}�z�F��{*w}|ªC|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gyo�

Gimp(iωn)�·|*�g�

{�vFwBw��F�g�}{��z��²kyF���«y°�ew}x��*��¹@w}���a� �D�z{�vF�g�1��v°{�v1x��#x����g���}�1|?�h{*w�w}yF�g�1��vµ���g|�������{#~1�1|�~=���*w��¥�

Page 77: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�«vFw}y±{�vFw��*w}�£�¤w}yFw}|�����x��������h�z�Q�txz{����hy°xzy�{�|*�����F��w�yO�1��w}|�x����h��w}|�|*�g|*��� uS�`�1w��h�8�«xz{�v±{�v1x��¥��hye�h�z{*w}|�y@�h{�xz��w#~1|*����w����1|*w#�t�g��~1|*�g~=���?w���xzy�{�vFw#���gyO{*w���{¤�h��{�vFw#��xzy1����w�xz��~1�1|�xz{f� �.yF�1w}|*�?�gy���k�1w}� ��� �� �­utvFw#x��1w���x���{*�x��*�g���h{*w����gyO{�|�xz�1�1{�x��gyF�­{*��{�vFw��?w}�£��w}yFw}|��������g��xzy1�B~1�1|*w}�z���¨|*�g�{�vFw¤v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gye�hyF��{�vFw­xzy�{*w}|?�g�}{�x��gyF���.utvFw­{*w}|����C�h|�x���xzy1���·|*�g� {�vFw¤xzy�{*w}|?�g�}{�x��gyF�G���hy��(w�«|�xz{�{*w}y��g��|?�h{�x����H�h�a���g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyF�H�h�a���g��~=����xz{*w«�g~(w}|?�h{*�g|*����w��g��xzy1�¤{*�¤�D���g|*w8�*{?�h�1��wyO�1��w}|�x����h�«~1|*�k��w����1|*w��s�ew���w}yFw}|?�h�zxz¢�w�{�v1x���~1|*�k��w����1|*w{*��{�vFw�}�z�F��{*w}|��.yF�1w}|*�?�gy³xz��~1�1|�xz{�����k�1w}�o{*�#�«|�xz{*wG{�vFw¤�*w}�£��w}yFw}|����xzy�{�vFw����g|��

Σc(iωn) = ΣU (iωn) + ΣV (iωn)¦ ��� ��¬

�«vFw}|*w

ΣµνUσ(iωn) = UF µν′

σ (iωn)[

G−1imp

]ν′ν

σ(iωn)

¦ ��� ��¬

ΣµνV σ(iωn) = Kµν′

σ (iωn)[

G−1imp

]ν′ν

σ(iωn)

¦ ��� !�¬

�hyF�

F µνσ = � cµσc

†µσcµσ, c

†νσ � ¦ ����� � ¬

Kµνσ =

ν′

Vµν′ � cµσnν′ , c†νσ �

+∑

ν′

Vν′µnν′ � cµσ , c†νσ � ¦ ����� ¬

¯Cw}|*w�� � A,B � �1w}yF�g{*w���{�vFw�ªC|*w�w}y�� �C�·�1yF�}{�x��gy��h�t�g~=w}|?�h{*�g|*�A�hyF�

B��utv1x�����w}{�vF�����h�

���g��~1�1{�xzy1��{�vFw#�*w}�£�tw}yFw}|�����x���~@�h|�{�x��}�1���h|��z��|*�g�1�F��{��¨�g|G�����h�z�����h�z�Fw��G�h�U/t

�a�«vFw}ys{�vFw��*w}�£�w}yFw}|�����x��«|*w}���h{�xz��w}�z�B�����h�z�oxzyB���h��y1xz{��F�1w��=�g�8���g��~@�h|*w���{*�#{�vFw¤��xz|*w��}{C�h~1~1|*���g�*vo�

��r�� �sR@X ��dQW�X�n iSL�W�cHRµ���HI�IqV(L � �>i �HR2d �V = 0

��y°�g|*�1w}|�{*��v1xz��v1�zxz��v�{�{�vFw���x��aw}|*w}yF��w����(w}{f��w�w}y_{�vFw���xzy1����wBxz��~1�1|�xz{f� ¦ � � �G¬��hyF�±�}�z�F�*{*w}|���ky@�h��x����h�a��w��hy�¹@w}���B�*�*vFw}��w����F�qw�~1|*w��*w}y�{«|*w����1�z{*�«�g�1{?�hxzyFw������g|�{�vFw����k���h�a��~(w��}{�|?�h�a�O�h~B�g����¨�1yF�}{�x��gy��h��{�vFw¤�gyF��xz{*w9´��g�1���g�9��|*w}~1�1����x��gy

U�HuS��²�w�w}~�{�vFw¤���g��~1�1{?�h{�x��gy@�h��������{.��xz��xz���h|��

�qw�xzy1xz{�x��h�z�z��¹1��{�vFw�{*�g{?�h�(y��1�­�(w}|.�h�M��xz{*w��txzy�{�vFwG�}�z�F��{*w}|.�hyF��@�h{�vo�Ns = Nc +Nb = 6

���¨�g|�(�g{�v��*�*vFw}��w��¥��utvFw�w��F�g�}{¤|*w����1�z{¤�¨�g|¤{�vFw��O�h~�x��G²kyF���«y��·|*�g� �tw}{�vFw��hyF� �h{�¢�hyF��x��G��xz��w}y�O� ��� � �

∆(U) =16t2

U

∫ ∞

1

y2 − 1

sinh(2πty/U)dy

¦ ��������¬

Page 78: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

0 5 10U/t

0

2

4

6

8G

apExactLISACDMFT

º,xz���1|*w ����� � ~=w��}{�|?�h�o�O�h~��g�.���¨�1yF�}{�x��gy��h�����Z{t���g|«{�vFwGv@�h�£�,¹F�z��w���¯.�1�1�@�h|*�B���k�1w}�Q�

ºMxz�F� �����­��vF�¥�8��{�v@�h{�{�vFw}|*wDx����­�*v@�h|?�g�}{*w}|�x���{�x����h�z�z����x��(w}|*w}y�{q�(w}v@���kx��g|��=w}{��qw�w}y�{�vFwD�*xzy1����wxz��~1�1|�xz{f�¶¦

Nc = 1¬��hyF�]�}�z�F��{*w}|��*�*vFw}��w��e¦

Nc = 2¬�� ��y±{�vFw���xzy1����w�xz��~1�1|�xz{f�_���g�?w��t�¨�g|

U > 7.5t{�vFwD�O�h~����g�z�����8�t{�vFwGw��F�g�}{t|*w����1�z{����«vFw}|*w��g�����g|

U < 7txz{t|*w����F��w��t{*�#�g�h�z�Fw����9�F�*v

�����h�z��w}|�{�v@�hy�{�vFwtw��1�g�}{��O�h~��hyF���h~1~1|*���g�*vFw���¢�w}|*�1��ºF�g|�{�vFw�|?�hy1��w7t < U < 7.5t

�qw«�g�F�?w}|���w������w���x���{*w}yF��wC�h�,{�vFwC�O�h~1��w��*�«�hyF��O�h~1~=w��~1v@�g�*w��¥��utv1x��t{�|?�hyF��xz{�x��gy�·|*�g� �hy�xzyF���1���h{�xzy1�#{*�����w}{?�h�z�zx��¤~1v@�g�?wGx��D�hy��h|�{�x£�Q�g�}{D�h��{�vFw¤��w��hy�¹@w}�����h~1~1|*���g�*v��«v1x��*v�xzyF���g|�~=�g|?�h{*w��D{�vFwG~1v��k��x�����h��v1xz��vFw}|G��xz��w}yF��x��gyF���«vFw}|*w�{�vFw#¡��g{�{C{�|?�hyF��xz{�x��gysx��CxzyF�1w�w���~1|*w��*w}yO{�� �Dys{�vFw��g{�vFw}|Cv@�hyF�a�´�§�¡�º�uµ���g��~@�h|*w��Hw��1��w}�z��w}yO{��z��{*�C{�vFw�w��F�g�}{��O�h~��hyF���hy�xzyF�*�1���h{�xzy1�¤�*�g�z�1{�x��gy�w��kx��*{*�,{�v1|*�g�1��v�h�z�a¹Fy1xz{*wG���h�z�Fw��8�h�

U�1xzy��h��|*w�w}��w}y�{D�«xz{�v�{�vFw¤�qw}�z�o²kyF���«y�~1v��k�*x����.�h��{�vFw¤�gyFw¤��xz��w}yF��x��gy@�h�

¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}�Q���ew���w��g���1|*w�{�vFw�v@�h�£�q��~(w��}{�|?�h�M�O�h~��g��{�vFw9~=�gxzy�{C�«vFw}|*w#{�vFw���{�|*w}y1��{�ve�h�{�vFw������w���{��·|*w����Fw}yF�}��~(�g��w��Q�h�z����{*�

25%�h�.xz{*��~(w��h²evFw}xz��vO{��eutv1x���~(w}|*��w}yO{?�h��w�x����h|�|�xz��w��

�h{­����|*w��O�1xz|�xzy1��{�v@�h{�{�vFw��O�h~��h{9��{�|*�gy1�����g�1~1�zxzy1���(w�¹1�1w��`�h{�{�vFw�w��F�g�}{­���h�z�Fw��B�ew��h���?�¹FyF�a�@�g�Dw��k~(w��}{*w����¨|*�g�>{�vFw¤�����kxz{f�����gyF��{�|��F�}{�x��gys�hyF�ByF�g{*w��B|*w���w}y�{��z� ����! � �1{�v@�h{8xzy�{�vFw¤���g�?w�h��´�§�¡�º�uG�@{�vFw¤�@�h{�vs�gy1�z�����g�1~1��w��D{*����xz{*w��.�gy�{�vFw¤�(�g�1yF�F�h|����h��{�vFw��}�z�F��{*w}|��@�«vFw}|*w��g�.���g|

Page 79: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��!

�g{�vFw}|t�}�z�F��{*w}|���w}{�vF�k�1�t���F�*v��g��{�vFwD����y@�h��x����h�a�}�z�F��{*w}|t�h~1~1|*����xz���h{�x��gy�¦¨§¤´ �G¬��k�h�z�2{�vFwD�*xz{*w��xzy�{�vFw��}�z�F��{*w}|�h|*wBw��O�1xz���h��w}yO{��z�����g�1~1��w��°{*�s{�vFw��@�h{�vo�°utvFwB�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yO{�~1|*����w����1|*w�x��|*�g�1�F��{9�hyF�s��w}yFw}|?�h{*w��9{�vFw��*w#{��q����x��aw}|*w}yO{­²�xzyF�1�¤�h�«�*�g�z�1{�x��gyF�­|*w}�O�h|*����w��*�­�h�t{�vFw#y@�h{��1|*w��h�{�vFw¤��{?�h|�{�xzy1�����Fw��*���

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

CDMFTDMRGEDLISA

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

Im[G

(iω

n)]

0 2 4 6 8ω

n

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

U=1

U=6

U=12

0.2

0.4

0.6

0.8

1

CDMFTDMRGEDLISA

0.05

0.10.15

0.20.25

Re[

G(i

ωn)]

0 2 4 6 8ω

n

0

0.02

0.04

0.06

0.08

U=1

U=6

U=12

ºMxz���1|*w ����� � �f���h��xzy@�h|���~@�h|�{��h�S{�vFw��gyF��xz{*w¤ªC|*w�w}y�� �q�¨�1yF�}{�x��gye¦·��w��·{«���g�z�1��y2¬��hyF�|*w��h�=~@�h|�{«�h�{�vFw�yFw��h|*w���{�yFw}xz��vO�(�g|qªC|*w�w}y�� �M�¨�1yF�}{�x��gy�¦·|�xz��vO{H���g�z�1��y2¬M�gy#{�vFwt¡��h{*�*�1�@�h|?�G�Z�kx��,���g|���x��aw}|*w}yO{���h�z�Fw��8�h�

U¦·xzy��1y1xz{*�8�h�

t¬��

u,�C�·�1|�{�vFw}|�xz�z�z�F��{�|?�h{*wt{�vFwt~(w}|<���g|����hyF��w«�h�2{�vFw8´�§�¡�º�u³��w}{�vF���a��xzy#ºMxz�F� �����D�qw«���g��~@�h|*w{�vFw��gyF��xz{*w��g�t�qw}�z�o�g��yFw��h|*w���{tyFw}xz��vO�(�g|DªC|*w�w}y�� �q�·�1yF�}{�x��gyF�«�gy�{�vFwC¡��h{*���1�@�h|?�#�Z��x���{*�9{�vF���?w�qwD�g�1{?�hxzy��F��xzy1�9{�vFw8§�¡�©8ª]��w}{�vF�k�a��utvFw8���h���}�1���h{�x��gy��h�(���ky@�h��x����h�2���g|�|*w}���h{�x��gy��·�1yF�}{�x��gyF��«xz{�v1xzy³{�vFw�§�¡�©«ª ��w}{�vF�k��x������h|�|�x�w��`�g�1{��F��xzy1��{�vFw�¹Fy1xz{*w��xz¢�w��h�z���g|�xz{�v1� ��! � ���g�­�1xzyFw���«xz{�v�{�vFw �S�hyF�}¢�������w��}{*�g|���w}{�vF��� � ��� � � �`utvFw�|*w��*�1�z{*����vF���«y°xzyµ{�vFw¹F���1|*w����h|*w�{�vF���?w���g|��?v@�hxzyF�G�«xz{�v ���xz{*w��¤�hyF�s�g~=w}ys�(�g�1yF�F�h|������gyF��xz{�x��gyF���­�ew���w}|�x£�·��{�v@�h{G{�vFw9|*w��*�1�z{*�¤�h|*w�}�����*w.{*�G{�vF���*w«���g�1yF������w}��w}y����gy1��w}|��*v@�hxzyF�t�hyF��vFw}yF��w8|*w}~1|*w��?w}yO{?�h{�xz��w��h�a{�vFw.������{*w}�®xzy�{�vFw{�vFw}|����k����y@�h��x����zxz��xz{��BuS��v1xz��v1�zxz��vO{�{�vFw�|*�g��w��h�8{�vFw��@�h{�v��«xz{�v1xzy³{�vFw´�§�¡�º�u ��w}{�vF���a�

Page 80: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

0 1 2 3 4 5 6 7N

b

00.05

0.10.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45

χ

Nc=2, U=2, onsite

Nc=2, U=2, offsite

Nc=2, U=12, onsite

Nc=2, U=12, offsite

2 3 4 5 6 7N

b

00.05

0.10.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45LISA, U=2, onsiteLISA, U=2, offsiteLISA, U=12, onsiteLISA, U=12, offsite

0 1 2 3 4 5N

b

00.05

0.10.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45N

c=3, U=2, onsite

Nc=3, U=2, offsite

Nc=3, U=12, onsite

Nc=3, U=12, offsite

ºMxz���1|*w ��� � �H§�w}�kx��h{�x��gy��h��� � �¶�hyF��´�§C¡�º�ujªC|*w�w}y�� �8�·�1yF�}{�x��gyF�.�·|*�g� {�vFw¤§�¡�©8ª»|*w����1�z{*��g�.�9�¨�1yF�}{�x��gy��h��{�vFwG�@�h{�v���xz¢�w

Nb�

�qw��h���*������w}|������³|*w��*�1�z{*���g�1{?�hxzyFw����¨|*�g� w��1�g�}{���x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy ¦ �H§¤¬��h�¤�s�}�z�F��{*w}|��h�C�*xz¢�w

Nc = 2���1�1{��«xz{�vF�g�1{.{�vFwD�@�h{�vo� �D�

U�1w��}|*w��g�*w�������wGw��k~(w��}{t{�vFwG��x��(w}|*w}yF��w��(w}{f��w�w}y��gyF��xz{*w

ªC|*w�w}y�� �.�·�1yF�}{�x��gyF�.�¨|*�g� {�vFw¤x��?�g���h{*w����}�z�F��{*w}|#¦ �H§¤¬8�hyF��{�vFw9§�¡�©«ª {*��xzyF�}|*w��g�*w��=��xzyF��w­{�vFw~1vO����x����«�(w����g��w��t��w��*�t���k���h�Q��utvFwG���gyO{�|�xz�1�1{�x��gy��h�,{�vFw��@�h{�vBxzy�´�§�¡�º�u {�vFw}|*w����g|*w��=w����g��w�����g|*w���xz��y1x£¹@���hyO{«�«xz{�vB�1w��}|*w��g��xzy1�

U�hyF����vF���8�«��������{*w}���h{�x��Dxz��~1|*����w}��w}yO{.�«xz{�v�@�h{�vB��xz¢�w

�g�8�«xz�z�M�(w¤��x��*�}�F�*�*w������h{*w}|��8utv1|*�g�1��vF�g�1{C{�vFw¤|?�hy1��w��h�U�qw����gyF��x��1w}|��2{�vFw¤xz���h��xzy@�h|���~@�h|�{

�h�H{�vFw��gyF��xz{*w#ª�|*w�w}y�� �.�¨�1yF�}{�x��gy����g��~1�1{*w����F��xzy1�B´�§�¡�º�u ���h{*�?vFw��D|*w}���h|�²��h�1�z����w}�z���«xz{�v{�vFw§C¡�©8ª �}�1|���w�� �Dy³{�vFw��g{�vFw}|9v@�hyF�a�q�����g��~@�h|�x��*�gy³���g|9{�vFw|*w��h��~@�h|�{��h�8{�vFw�yFw��h|*w��*{yFw}xz��vO�(�g�1|�ªC|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gy ��vF���8�{�v@�h{�{�vFw��*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{B´�§�¡�º�u �*�g�z�1{�x��gy[�g�*v1x�w}��w���gy1�z�°�����h|���xzy@�h�Cxz��~1|*����w}��w}y�{��¥��w}|�{�vFw��H§����h���}�1���h{�x��gy_�¨�g|��*���h�z�

U�hyF�]�h�z������{�yF�gyFw

���g|D���h|���wU� ��{C���hy��=w��}��w��h|��z���?w�w}y�{�v@�h{�{�vFw#��xzy1����w9xz��~1�1|�xz{f���h~1~1|*���g�*v±¦ � � ��¬8~(w}|<�¨�g|����

~(���g|��z�����g|.{�vFw��gyF��xz{*w�ªC|*w�w}y�� �D�·�1yF�}{�x��gy��¨�g|��h�z�U�2w��1��w}~1{D�«vFw}y

Ux��D���h|���w�� �axz²�w}�«x��?w��2{�vFw

yFw��h|*w���{¤yFw}xz��v��=�g|#ªC|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gy����g��~1�1{*w��e�F��xzy1� � � � �h��|*w�w��G~(���g|��z���«xz{�v�{�vFw�w��F�g�}{|*w����1�z{8{�v1|*�g�1��vF�g�1{D{�vFwGw}yO{�xz|*w­|?�hy1��wGxzy

U�

�Dy�xz��~(�g|�{?�hyO{ �O�Fw��*{�x��gy�{*���g�1��|*w��?�8x��8{�vFw­x��*���Fw¤�h�����gy���w}|���w}yF��w��hyF��{�vFw¤y@�h{��1|*w��h��{�vFw�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{t�?�g�z�1{�x��gyB�g�«�¤�·�1yF�}{�x��gyB�h�o{�vFw���xz¢�wC�h�S{�vFwCw �(w��}{�xz��wCxz��~1�1|�xz{f���}�z�F��{*w}|«�hyF�{�vFw�@�h{�vo����y�g|*�1w}|t{*�9¹FyF�B���?�h{�x��<�Q�g�}{*�g|����*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{t�?�g�z�1{�x��gyo���qwD¹FyF��{�v@�h{t{�vFwC�*xz¢�wD�h�M{�vFw¯Dxz�z�=w}|�{���~@�g��w��h�z���g{�{*w���{*��{�vFw��@�h{�vsv@�g�C{*���(w��h{���w��g��{����g��~@�h|?�h�1��w#{*��{�v@�h{��h�q{�vFw��}�z�F�*{*w}|xz{*�*w}�£���.ºF�g|CxzyF��{?�hyF��w��(�}�z�F��{*w}|*���h����xz¢�w

Nc = 2|*w��O�1xz|*w#����xzy1xz�9�1� �@�h{�v��h�q�*xz¢�w

Nb = 4�¨�g|

���k�������gy���w}|���w}yF��w�� ����w}y��hyF�����1���}�z�F�*{*w}|*�H��vF��� �O�@�h�zxz{?�h{�xz��w}�z����x��aw}|*w}yO{q{f�k~=w��H�h�o�*�g�z�1{�x��gyF�¥��g�¤��w���x��*�}�F�*�¤�·�1|�{�vFw}|­�=w}���¥�¤� ��y�ºMxz�F� ��� ����w�~1���g{

χ�,����w��g���1|*w��h�t{�vFw��1w}��x��h{�x��gy³�h�t{�vFw

� � �j�hyF��´�§�¡�º�u]�?�g�z�1{�x��gyF�t�¨�g|«{�vFwG�gyF�*xz{*w¤�hyF��yFw��h|*w���{«yFw}xz��vO�(�g|CªC|*w�w}y�� �t�¨�1yF�}{�x��gy��¨|*�g��g���}�1|?�h{*wD|*w����1�z{*�q�g�1{?�hxzyFw����F��xzy1��§C¡�©8ª#�O�g�����¨�1yF�}{�x��gy�h�a{�vFw8�@�h{�v��xz¢�w

Nb��utv1x��H��w��g���1|*w

Page 81: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

χx����1w�¹FyFw��e�g��{�vFw�xzyO{*w}��|?�h{*w����h�F�*�g�z�1{*w���x��aw}|*w}yF��w#�(w}{f�qw�w}y�{�vFw�´�§�¡�ºMu ¦¨�g| � � �G¬D�hyF�

§�¡�©8ª®ª�|*w�w}y�� �t�·�1yF�}{�x��gyF�¥�

�Sw}{¤�F��¹F|*��{¤��x��*�}�F�?�G{�vFw�|*w����1�z{*�¤�¨�g|G{�vFw���{�|*�gy1�����g�1~1�zxzy1�����g�*w�¦U = 12t

¬���utvFw��gyF��xz{*wªC|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gyB���g��~1�1{*w����F��xzy1� � � �j���g��~@�h|*w��«w�����w}�z��w}y�{��z���«xz{�vB§�¡�©8ª»�hyF�{�v1x��«���gy� {�xzyO�Fw��C{*���=w9�*���«xz{�v�{�vFw�´�§C¡�º�u4��w}{�vF�k�a�DutvFw}|*w9x��D~1|?�g�}{�x����h�z�z��yF���1w}~(w}yF�1w}yF��w#�h�

χ�gy

{�vFw�@�h{�v���xz¢�w��eºF�g|#{�vFw����(�*xz{*w�ªC|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gyo�χ��vF�¥�8�������k�*{*w}���h{�x���|*w����F�}{�x��gy°�«xz{�v

xzyF�}|*w��g��xzy1���}�z�F�*{*w}|.��xz¢�w��1�1�1{«|*w}���hxzyF�8���hxz|��z�xzyF�1w}~=w}yF�1w}y�{C�h��{�vFw��@�h{�v���xz¢�w��

º@�g|���w��h²³���g�1~1�zxzy1�F���=�g{�v � � � �hyF�°´�§�¡�ºMu:�(w����g��wBw��1�g�}{���utvFw�{*�g�1��vFw��*{����g�*wx���«vFw}y

Ux����h�G{�vFw��g|*�1w}|��h��{�vFwB�@�hyF���«x���{�v

��?�sxzy°{�vFw����g�z�����«xzy1����w���x��*�}�F�?��{�vFwB|*w����1�z{*�

���g|U = 2t

��ºF�g|­w}��w}y��}�z�F��{*w}|*�¥�a�qw#¹FyF�e{�v@�h{χ�¨�g|G{�vFw��gyF��xz{*w�ªC|*w�w}y�� �G�¨�1yF�}{�x��gy���vF�¥�8�­�

������{*w}���h{�x��.�1w��}|*w��g�?w8�«xz{�v�xzyF�}|*w��g�*xzy1�­�@�h{�v��*xz¢�w��O�gyF��wD�¤��xzy1xz�­�1�:�@�h{�v���xz¢�w8x��H|*w��g�*vFw��a� �Dy{�vFw«�g{�vFw}|�v@�hyF�a�

χ���g|�{�vFw«���(��xz{*w8ªC|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gy���vF�¥�8��yF���1w�¹Fy1xz{*w«{�|*w}yF�#�«xz{�v�xzyF�}|*w��g��xzy1�

�@�h{�v���xz¢�w��

0.5

1

1.5

A↑(ω

)

-10 -5 0 5 10ω

0

0.5

1

1.5

A↓(ω

)

-10 -5 0 5 10ω

-10 -5 0 5 10ω

ºMxz���1|*w ����� ��º1|*�g� ��w��·{�{*��|�xz��vO{t�qw���vF�¥�]{�vFwC���k���h�=�*~=w��}{�|?�h�=�¨�1yF�}{�x��gyF�����g|t��xz{*w��t�gyFwD{�v1|*�g�1��v{�v1|*w�wGxzy��#�}�z�F�*{*w}|.�h���*xz¢�w

Nc = 3�«xz{�v

U = 12t�HutvFw��@�h{�v���xz¢�wGx��t¹1�1w����h{

Nb = 6�

´��gy�{�|?�h|���{*�9{�vFwDw���~(w��}{?�h{�x��gyF�����g|��­��w��hy�¹@w}�����*�g�z�1{�x��gyo��w}��w}y��}�z�F��{*w}|«��xz¢�w���¦Nc = 2, 4

¬��vF�¥�»yF��w���~1�zx��}xz{��������h����~1xzy����k����w}{�|����1|*w��h²kxzy1�F� �C�1���}�z�F��{*w}|*��¦

Nc = 3, 5¬C�*vF���®��xz��xz���h|

�(w}v@���kx��g|8���g|8�����h�z�o�@�h{�v���xz¢�w��.�1~�{*�Nb = Nc

��ºF�g|8���h|���w}|D�@�h{�v���xz¢�w����Nb ≥ Nc

�F�hyF�B���h|���ww}yF�g�1��v

U�1{�vFw¤�(w}v@���kx��g|��h��{�vFw­�������h�M��~(w��}{�|?�h�a�·�1yF�}{�x��gy�x��.�*~1xzy��1w}~=w}yF�1w}y�{¤�g�.���hy��(w¤�*w�w}y

�¨|*�g� ºMxz�F� �����#���g|U = 12t

� �C�1���}�z�F��{*w}|*�8�«xz{�v��1|*�g²�w}y����k����w}{�|����h|*w¤�}��w��h|��z�BxzyF���gyF��x���{*w}y�{�«xz{�ve�}�z�F��{*w}|¤~(w}|�x��k��x��}{f���hyF�����gyF�*w��O�Fw}y�{��z����vF��� ~(���g|*w}|¤���gy���w}|���w}yF��w���utvO�F�¥�a���g|­�h�z�Hw}��w}y

Page 82: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�}�z�F��{*w}|*�¤�hyF�s�k�1���}�z�F�*{*w}|*���«xz{�ve�����h�z��w}yF�g�1��v��@�h{�ve��xz¢�w����={�vFw��gyFw#��xz��w}yF��x��gy@�h�H�*v@�h|?�g�}{*w}|�h��{�vFw9~1|*�g�1��w}�%x��C�1�g��xzy@�hy�{¤����w}|�{�vFw�|*�g��w9�h�q{�vFw­�@�h{�ve�hyF��~1|*w}��w}yO{*�G{�vFw��*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}��¨|*�g� ��vF�¥�«xzy1��w���~1�zx��}xz{#��~1xzy³�*������w}{�|����1|*w��h²kxzy1�F� �Dy`{�vFw��g{�vFw}|�v@�hyF�a���k�1�`�}�z�F��{*w}|*��¦·�qw�qw}|*w��h�1��wG{*�#{*w���{.�gy1�z�{�vFw¤���g�*w

Nc = 3¬��«xz{�v����h|���w

U�hyF���#�*�����}x�w}yO{��z�B���h|���wG�@�h{�v��*vF���

�#���k����w}{�|����1|*�g²�w}y��*�g�z�1{�x��gy����gyF��x��*{*w}yO{8�«xz{�v�{�vFw¤��w��hyB¹@w}�����h~1~1|*���g�*vo�

utvFwCw �aw��}{q�h�o{�vFwD�@�h{�v����g|Nc = 3

v@�g�t�hyw}��w}y���g|*w.��|?�h���h{�x������gyF�*w����Fw}yF��w��h{������h�z��w}|

U� �D���g~1~(���*w��s{*�Bw}��w}ye�}�z�F��{*w}|*���«v1x��?v����g|�|*w��}{��z���?w�w��gy1�z���hy�xzyF���1���h{�xzy1���*�g�z�1{�x��gy�xzye�gyFw

��xz��w}yF��x��gyo�,�qw��*w�w#�(�g{�v`���w}{?�h�z�zx����hyF�`�hy�xzyF���1���h{�xzy1���*�g�z�1{�x��gy����g|Nb ≥ 5

�hyF�U ≤ 3t

���y�{�vFw¤|*w}��x��gy��h�����kw���x���{*w}yF��w��F{�vFw­��w}{?�h�z�zx��­�*�g�z�1{�x��gy���vF���8���#�(w}{�{*w}|D���gyO��w}|���w}yF��w�{�v@�hy�{�vFwxzyF���1���h{�xzy1���gyFw���utv��F���M{�vFw�xz��~1|*����w}��w}y�{��O�hxzyFw���xzy����gxzy1���·|*�g� � � �:{*�

Nc = 3x��¤{�v@�h{

{�vFw�|*w}��x��gy��h�M���kw���x���{*w}yF��wC������w��«{*�������h�z��w}|U� �8�hyF��{�vFw�xzyF�*�1���h{�xzy1���*�g�z�1{�x��gyBx��t~1|*w��*w}yO{.�h�z�

{�vFw¤�t�����1~1{*�U = 0

� ���h�z�M�@�h{�vF���@���Fw­{*��{�vFw9�h�F�?w}yF��w9�h�Hw}yF�g�1��vs�1w}��|*w�w��D�h���¨|*w�w��1�g� {*�xz��~(���*w­����w��hyB¹@w}�����*v@�h|?�g�}{*w}|.{*��{�vFw¤�*�g�z�1{�x��gyo�F��vF�¥�j�hy�xzyF���1���h{�xzy1���{?�h{*w�{�v1|*�g�1��vF�g�1{C{�vFw|?�hy1��wGxzy

U����w}���gyF�

Nc = 3�¨�g|8�*�����}x�w}yO{��z�B���h|���w¤�k�1�B�}�z�F��{*w}|*���1��w¤w���~=w��}{8{*���?w�wG�gy1�z�B�hy

xzyF���1���h{�xzy1���?�g�z�1{�x��gyB�¨�g|C�h�z�U > 0

��r�� �sR@X ��dQW�X�n iSL�W�cHR³��� � �V 6= 0

��ye{�v1x��­�*w��}{�x��gy`�qw���{��F���s{�vFw�~(w}|<�¨�g|����hyF��w��h�«�}�z�F�*{*w}|¤��w��hye¹@w}������w}{�vF���1�#�g�9�h~1~1�zx�w���{*�{�vFw ����{*w}yF�1w��°¯D�1�1�@�h|*�±¡����1w}�Q�±utv1x��������1w}�D���gyF��{�xz{��1{*w����sy@�h{��1|?�h�.{*w���{����g�*wB��xzyF��w�{�vFwyF�gy� Q���k���h��yFw��h|*w���{GyFw}xz��vO�(�g|�´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gy`�h���gy1����x��aw}|*w}yO{­��xz{*w����«xz{�v1xzy�{�vFw��}�z�F�*{*w}|���hy��(w¤�g�����g�1yO{*w����¨�g|8w��F�g�}{��z���

�t{v@�h�£�G¹F�z�zxzy1�F�«���g|����h|���w�w}yF�g�1��vU¦¨�*{�|*�gy1�³���g�1~1�zxzy1��¬��.{�vFw�������{*w}� ���kw��{�v1|*�g�1��v �

¹F|*��{«�g|*�1w}|t{�|?�hyF��xz{�x��gy��¨|*�g�>����~1xzyB�1w}yF��xz{����t����w�¦ §«�4¬q{*���­�?v@�h|���w¤�1w}yF��xz{f��������w�¦Q´�§«�[¬�g|*�1w}|*w����*{?�h{*w.�h{H|*�g�1��v1�z�

V = U/2��� � ��!�� � � � ���ew«���g|�²�xzy�{�v1x���|*w}��xz��w����O��¹1�kxzy1� U = 12t

�hyF���*���hy1y1xzy1�G{�v1|*�g�1��v�{�vFw�yFw��h|*w���{�yFw}xz��v��=�g|t´��g�1���g�­��|*w}~1�1����x��gyV�MutvFw.´�§C¡�º�uµ��w}{�vF���

��vF�¥�8�D���}��w��h|C��xz��y@�h{��1|*w­�h��{�v1x��8{�|?�hyF��xz{�x��gy��«xz{�v����}�z�F�*{*w}|D�g�.�����h�z�M�g�Nc = 2

� �fy�ºMxz�F� ������qwt|*w}~(�g|�{q�C���g��~@�h|�x��*�gy��h�({�vFwtxz���h��xzy@�h|���~@�h|�{��h�2{�vFw«�gyF��xz{*w.ª�|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gy��hyF��{�vFwt|*w��h�~@�h|�{8�h��{�vFw�yFw��h|*w���{< QyFw}xz��vO�(�g|Gª�|*w�w}y�� �t�·�1yF�}{�x��gyBxzy�{�vFw §«� ~1v@�g�?w�� �D�«�?w�w}yBxzyB{�vFw

V = 0

���g�*w���{�vFw���g��~@�h|�x��?�gy°�«xz{�v�§C¡�©8ª x��#�=w}{�{*w}|#���g|#{�vFw��¨�g|���w}|�{�v@�hy�{�vFw���h{�{*w}|��`�ew�yF�g{*w

Page 83: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0CDMFTDMRG

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

Im[G

(iω

n)]

0 10 20 30ωn

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

V=2

V=4

V=6

0.020.040.06

0.080.1

0.12CDMFTDMRG

0.020.040.06

0.080.1

Re[

G(i

ωn)]

0 6 12 18ωn

00.020.040.060.08

0.1

V=2

V=4

V=6

ºMxz���1|*w ����� � �f���h��xzy@�h|���~@�h|�{��h�S{�vFw��gyF��xz{*w¤ªC|*w�w}y�� �q�¨�1yF�}{�x��gye¦·��w��·{«���g�z�1��y2¬��hyF�|*w��h�=~@�h|�{«�h�{�vFw�yFw��h|*w���{�yFw}xz��vO�(�g|qªC|*w�w}y�� �M�¨�1yF�}{�x��gy�¦·|�xz��vO{H���g�z�1��y2¬M�gy#{�vFwt¡��h{*�*�1�@�h|?�G�Z�kx��,���g|���x��aw}|*w}yO{���h�z�Fw��8�h�

VxzyB{�vFw §«� ~1v@�g�*w��

Page 84: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

0 10 20 30 40 50ω

n

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Re[

G(i

ωn)]

CDMFT(V=12)CDMFT(V=10)CDMFT(V=8)DMRG(V=12)DMRG(V=10)DMRG(V=8)

ºMxz���1|*w����� �H©Dw��h�a~@�h|�{.�h�M{�vFwG�gyF�*xz{*w9ªC|*w�w}y�� �«�¨�1yF�}{�x��gy�xzyB{�vFw9´�§8� ~1v@�g�?w��

0 10 20 30 40 50ωn

-0.06

-0.04

-0.02

0

Im[G

(iω

n)]

CDMFT(V=12)CDMFT(V=10)CDMFT(V=8)DMRG(V=12)DMRG(V=10)DMRG(V=8)

º,xz���1|*w ����� � �f���h��xzy@�h|���~@�h|�{.�h��{�vFw¤�gyF��xz{*w9ª�|*w�w}y�� �t�·�1yF�}{�x��gy�xzy�{�vFw­´�§«� ~1v@�g�*w��

Page 85: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

0 10 20 30 40 50ωn

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Re[

G(i

ωn)]

CDMFT(V=12)CDMFT(V=10)CDMFT(V=8)DMRG(V=12)DMRG(V=10)DMRG(V=8)

ºMxz���1|*w����! �H©.w��h�a~@�h|�{D�h�M{�vFwGyFw��h|*w��*{«yFw}xz��vO�(�g|�ªC|*w�w}y�� �8�·�1yF�}{�x��gy�xzyB{�vFw�´�§«� ~1v@�g�*w��

{�v@�h{��«xz{�v³xzyF�}|*w��g�*xzy1�V{�vFw���a��xz{*wªC|*w�w}y�� �9�¨�1yF�}{�x��gy����g��~@�h|*w��#�=w}{�{*w}|��«xz{�v`{�vFw�§�¡�©«ª

|*w����1�z{��sºMxz����� �����k� �������hyF� ����!����g��~@�h|*w�{�vFwBªC|*w�w}y�� �9�¨�1yF�}{�x��gyF�9�«xz{�v1xzyµ{�vFwB´�§«� ~1v@�g�?w���«�}|*���*��{�vFw#|?�hy1��w#xzy

V�o{�vFw#�h��|*w�w}��w}y�{­�«xz{�v�§�¡�©8ª!x��G�*�|*w}���h|�²��h�1��w�{�v@�h{G�gy1�z���gyFw#�*w}{

�h���}�1|���w��G�h|*w9��x��?��w}|�y@�h�1��w­�«xz{�v1xzys{�vFw­¹F���1|*w���� ��y�~@�h|�{�x��}�1���h|��aºMxz�F� ��������vF�¥�8�D{�vFw9|*w��h�M~@�h|�{�h��{�vFw¤�gyF��xz{*w#ªC|*w�w}y�� �«�¨�1yF�}{�x��gy��«v1x��?v�x��8¢�w}|*��xzy�{�vFw §«� ~1v@�g�?wG�1�1{D�g�����1xz|*w��C�#yF�gy� Q¢�w}|*����h�z�Fw­xzy�{�vFw�´�§«� ~1v@�g�*w���utv1x��CxzyF��x����h{*w��¤���1|*w��h²kxzy1�B�h�H�������h��~@�h|�{�x��}��w� QvF�g��w����k����w}{�|����h�{�vFw����k�*{*w}� {�v@�h{Cx��.yF�¥� ���gyF�*w}|���w��s�gy1�z���gy�{�vFw#����w}|?�h��w�w}��w}|���{f�q����xz{*w��¥�D¸C�g{�x���w­vF�¥�¶{�vFw�}�1|���w������g|���x��aw}|*w}yO{q�g�h�z�Fw��q�h�

V�}|*���*�����1w�¹Fy1xzy1�����*v@�h|?�g�}{*w}|�x��*{�x��D�*���h��wD�h~1~1|*����xz���h{*w}�z��w��O�@�h�

{*�U��utvFw���w}|*�?�h{�xz�zxz{f���h�a´�§�¡�º�u`xzy#�(w}xzy1�­�h�1��wt{*�C{�|*w��h{�{�vFw«�g|*�1w}|*w��#~1v@�g�*wt��{*w}���M�·|*�g� {�vFw

�Q�g�}{8{�v@�h{8xz{.�gy1�z���g�*���1��w��.���1~=w}|*��w}�z�S~=w}|�x��k��x��}xz{f���hyF�����gyF�?w��O�Fw}y�{��z���h�z�����8�.�¨�g|8���g��~1�zx����h{*w���g|*�1w}|*w�� ��{?�h{*w���«xz{�v1xzy4����w}�z�Q�¶utv1x��x��xzy]���gy�{�|?�g��{B{*��{�vFw�§¤´ � ��w}{�vF�k�_{�v@�h{B�g�*���1��w���¨�1�z�o~=w}|�x��k��x��}xz{f���h��{�vFw­���h{�{�x���w��=�hyF��{�vFw}|*w��¨�g|*w­|*w��O�1xz|*w�����¹FyFw9��x��*�}|*w}{�xz¢¥�h{�x��gy�xzy����g��w}yO{��1���~@�g��w�{*���g�1w��O�@�h{*w}�z�����h~1{��1|*w9{�vFw#��x��*���gy�{�xzyO�1xz{�x�w��­xzy�{�vFw ��|�xz�z���g�1xzys¢��gyFw9{�v@�h{¤�h~1~(w��h|��«xz{�v{�vFw¤w}��w}|���w}yF��w9�h����vF�g|�{«|?�hy1��w­�g|*�1w}|*w���~1v@�g�*w����

Page 86: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

ºMxz���1|*w ��� �� � �?vFw}���h{�x���|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�x��gy��h�F�hy­©8ªµ~1|*�k��w����1|*w�xzy�{*w}yF�1w��­{*�t|*w��g�?v­���h|���w��}�z�F�*{*w}|��xz¢�w����

Page 87: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

��r � �iSTqb1d �qXhNfiST�X�V(T �!����W�dQi�ioU

�ewqv@����wt��vF���«y#{�v@�h{M{�vFw8´�§C¡�º�u���w}{�vF�k�9~1|*�����F��w��M|*w}���h|�²��h�1�z�­���k���­|*w����1�z{*�M�«vFw}y�{*w��*{*w��xzy��gyFw«��xz��w}yF��x��gy@�h�@������{*w}�����,utv1x���x�����w}|��9w}yF���g�1|?�h��xzy1�F�k��xzyF��wt�gyFwt�q�g�1����w���~(w��}{���w��hy#¹@w}�����w}{�vF�k�1�8{*�#~(w}|<�¨�g|�� w}��w}y��=w}{�{*w}|D�g�8{�vFw¤��xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f�BxzyF�}|*w��g�?w����H�ew¤� ���4{�v@�h{.w}��w}y�{�vFw�����h�z��w���{C~(���*��xz�1��w­�}�z�F�*{*w}|��*xz¢�w�¦

Nc = 2¬C�h���gy1��«xz{�vs���*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yO{��@�h{�vs�h�H�����1w��*{C��xz¢�w

�h�z�����8�C���g|¤�hys�g���}�1|?�h{*w��1w}{*w}|���xzy@�h{�x��gy`�h�q�gyF��xz{*w#���g|�|*w}���h{�x��gyF���a�«v1xz��w�{�vFw#���(�*xz{*w ���@�hyO{�xz{�x�w��xz��~1|*����w�������{*w}���h{�x����h�z�z���«xz{�v°xzyF�}|*w��g��xzy1�³�}�z�F��{*w}|���xz¢�w��_º1�1|�{�vFw}|����g|*w��«{�vFw����F����w��?���h�¤�g�1|w���{*w}yF��x��gy��h�D{�vFw�´�§�¡�º�u w��O�@�h{�x��gyF��{*���1w��?�}|�xz�=w{�vFwB��x��*�}|*w}{*w�1|*�g²�w}y°���k����w}{�|��`�h�C{�vFw´�§«� �g|*�1w}|­�}��w��h|��z���1w}���gyF��{�|?�h{*w��¤{�vFw#~(����w}|­�h�t{�vFw#��w}{�vF����{*��xzyF���g|�~(�g|?�h{*w���vF�g|�{G|?�hy1��w���g|�|*w}���h{�x��gyF���

º@�g�z�����«xzy1�¤{�vFw�w��1�h��~1��wt�h�={�vFw �H¯C¡³�Z�«xz{�v#{�vFw���xz��~1��w���{�²kxzyF���h�=��vF�g|�{,|?�hy1��wt���g|�|*w}���h{�x��gyo�xz{­��vF�g�1�����=w�~=���*�*xz�1��w�{*��{�|*w��h{9{�vFw�~1vO����x����9�h�t���g|*w����g��~1�zx����h{*w��`�g|*�1w}|*w��`~1v@�g�*w����g�¤�qw}�z��g�9�1y1xz{���w}�z���#�h�8|*w��h�zx���{�x������h{*w}|�x��h�����«xz{�v1xzy`{�vFw��w}�z�z�1���h|#��w��hy�¹@w}���µ�h~1~1|*���g�*vo�sutvFw����hxzy�g�F��{?�g�}��w�xzy]{�v1x���~1|*�g��|?�h� x���{�vFw����g��~1�1{?�h{�x��gy@�h�9w �(�g|�{{�v@�h{����kw��xzyO{*�³�*�g�z�kxzy1�`{�vFws�*w}�£�· ���gyF��x���{*w}y�{w����@�h{�x��gyF���¨�g|�{�vFw����h|���w��}�z�F�*{*w}|*��|*w����1xz|*w��°����|*w��h�.�q�g|���� �h~1~1�zx����h{�x��gyF���4utv1x�����h�z���C���g|��������{*w}���h{�x����h~1~1|*���g�*ve{�v@�h{��1��w}yF�1��{*�g��w}{�vFw}|¤�}�z�F��{*w}|G���ky@�h��x����h����w��hy�¹@w}���e�hyF�|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~³x��1w��g� ����� ��� ! � {*���*w}��w��}{�{�vFw�������{9|*w}��w}�g�hy�{��1w}��|*w�w����h�«�¨|*w�w��1�g� {*�|*w}~1|*w��*w}y�{C�#�}�z�F��{*w}|��

�ewG�*�1����w���{«{�v@�h{8{�vFw­´�§�¡�º�u4�h~1~1|*���g�?v����hyB�(w��F�*w���xz{*w}|?�h{�xz��w}�z��xzy����g��~1��w}{*w9�hy@�h���g����«xz{�v�{�vFw�1w}yF��xz{������h{�|�x£��|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gyµ��|*�g�1~µ�h~1~1|*���g�?vo� ��{¤x��­�F�?w��·�1�q{*�����g��~@�h|*w�{�vFw��xz��xz���h|�xz{�x�w��M�hyF�¤��x��(w}|*w}yF��w��,�(w}{f�qw�w}y9{�vFw��*w�{��q�8��w}{�vF�k�1��� �fy¤�(�g{�v¤�h�1{�vFw}���Z�gyFwHxz��~1|*����w��M�gy{�vFw�w��F�g�}{���x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy³�h���������h�z�M¹Fy1xz{*w���xz¢�w#������{*w}�%�O��w}�­�(w��1��xzy1��{�vFw#�����h�z�H������{*w}�xzy±�����h|���w}|��gyFw

��hy°w}�9�=w��1��xzy1�e�«v1x��?v±���hy��(wB�1w��*�}|�xz�=w��µ���µ��|*w����F��w��±�1w}yF��xz{f�µ���h{�|�x£�a�

�]xz{�v1xzy_§�¡�©8ª�{�vFw��1w}yF��xz{������h{�|�x£�°x����1w}{*w}|���xzyFw��_�O�±�hy]w��1�g�}{��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy[�h�¤{�vFw���h|���w}|¤������{*w}� ���gyO{?�hxzy1xzy1��{�vFw��*�1�F���k�*{*w}���h��xzyO{*w}|*w���{�����y�´�§�¡�ºMuG�a�gyFw����hye�h~1~1|*���kxz���h{*w{�vFw¤�1w}yF��xz{������h{�|�x£�������k�1w}�z�zxzy1��{�vFw¤w}y���xz|*�gy1��w}y�{D�«xz{�v���ªG�h�F�*��x��hyB�ew}x��*�«¹@w}���a�

utvFw�´�§�¡�º�u%�g�*���1��~1{�x��gy �h�9���?w}�£�  f���gyF��x��*{*w}yO{�ªG�h�F�*��x��hy_�@�h{�v �g�{�vFw�w}yO�kxz|*�gy1��w}yO{��{�v@�h{¤�gyFw����hysxzyO{*w}��|?�h{*w��g�1{�w��F�g�}{��z��xzys�g|*�1w}|G{*�B�1w�¹FyFw���|*w����F��w��e�1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�����g|�{�vFw�}�z�F��{*w}|��(�(w����g��w��C���g|*w#�hyF�����g|*w��g���}�1|?�h{*w��g�C{�vFw9��xz��w}yF�*x��gy@�h�zxz{f��xzyF�}|*w��g�*w����Gutv1x��G�*vF�gx���w

Page 88: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

�h�t�@�h{�v�x��¤�g~1{�xz���h�Hxzy`�����ky@�h��x����h�H��w��hy�¹@w}�����*w}yF�?w�¦¨�g~1{�xz��xz¢�w������g|G{�vFw����g��~1�1{?�h{�x��gy³�h�{�vFw�������h�«�gyFw�~@�h|�{�x��}��w�ªC|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gy��h�D{�vFw��}�z�F��{*w}| ¬#�hyF�µ��x��1w���{*w}~F�#{�vFw����gy���w}yO{�x��gy@�h�§�¡�©8ª ~1|*����w����1|*w����g|­�1�1xz����xzy1��{�vFw�|*w����F��w��³�1w}yF��xz{f�����h{�|�x£�`�g�1{9�h�D�B�¨w}�!{?�h|���w}{���{?�h{*w��¥�º1�1|�{�vFw}|��O{�vFw8§�¡�©8ª_~1|*w��*�}|�xz~1{�x��gy ��� � �h�=�*w}��w��}{�xzy1�¤{�vFw«�*{?�h{*w����¨�g|��«v1x��?v�{�vFwt|*w����F��w����1w}yF�*xz{f����h{�|�x£��v@�g�G{�vFw����h|���w���{9w}xz��w}yO���h�z�Fw��9�h�z�����8�¤�¨�g|��{�|��1yF���h{�x��gy`�h�t{�vFw��}�z�F��{*w}|­¯Dxz�z�=w}|�{¤�*~@�g��w�«v1xz��w8|*w}{?�hxzy1xzy1�9{�vFw8|*w}��w}���hyO{q~1vO����x����h�@xzy����g|����h{�x��gyo� �fy�º,xz�F� ��� �� �qw.xzyF��x����h{*w.�*�?vFw}���h{�x����h�z�z�vF��� ���F�?v�G��w}{�vF�k�����g�1����~1|*�k��w�w��������1�gxzy1��´�§�¡�º�u±�gy��*���h�z�@�}�z�F��{*w}|*����{�|��1yF���h{�xzy1�9{�vFw}xz|¯Dxz�z�=w}|�{��*~@�g��w8�F��xzy1�¤{�vFwD§�¡�©8ª ~1|*w��?�}|�xz~1{�x��gy�hyF��¹Fy@�h�z�z���F�*xzy1�¤{�vFw}�:�g���1�1xz����xzy1�­�1���k�*²��q�h�w}��w}y����h|���w}|��}�z�F�*{*w}|*���,utv1x���~1|*����w����1|*w.���hy��=wt|*w}~(w��h{*w����1yO{�xz�2w}xz{�vFw}|q���1w���xz|*w����}�z�F��{*w}|��*xz¢�w«�g|���gyO��w}|���w}yF��w.xzy�����w}|�{?�hxzy��g�F�*w}|����h�1��w«�h�=xzy�{*w}|*w���{Hx���|*w��g�?vFw��a���ewt�=w}�zx�w}��wt{�v1x����*�*vFw}��w8�*vF�g�1����g~(w}y�yFw}� �kx���{?�g�H���g|�yO�1��w}|�x����h�a|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gyB��|*�g�1~B���h���}�1���h{�x��gyF�«�h�S|*w��h�zx���{�x���������{*w}���qxzy{f�����hyF�B{�v1|*w�w­��xz��w}yF��x��gyF���

Page 89: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� !

����+��902$�&��

� �9$ ������� � �µ&=6 �8&=+."

��y�{�v1x����*v@�h~1{*w}|H��w8��x��*�}�F�*�H�����g��~1�1{*w}|H~1|*�g��|?�h�K{*�D{�vFw«�?�g�z��wt{�vFw.´�§C¡�º�u��*w}�£�· f���gyF��x���{*w}yF�}�w����@�h{�x��gyF�¤�F��xzy1��{�vFw�w��1�g�}{9��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy³��w}{�vF�k�a���ew�|*w���{�|�x��}{9�g�1|*�?w}�z��w��¤{*�B¢�w}|*��{*w}�# ~(w}|?�h{��1|*w.�hyF���1{�xz�zxz¢�w«{�vFw��,�hyF�}¢����H��w}{�vF�k��¦¨��x��*�}�F�*�?w��#xzy´qv@�h~1{*w}| ��¬M{*�G�*�g�z��w8{�vFw��.yF�1w}|*�?�gyxz��~1�1|�xz{f�B���k�1w}�Q�

�D~@�h|�{��·|*�g� {�vFw�|*�g�1{�xzyFw����w���x��?�}�F�*���(w}�����¤�D�gyFw�yFw�w��1�{��q�³~1|*�g��|?�h����{�v@�h{���hy]�(w{f�k~1x����h�z�z�³�¨�g�1yF�µxzy°¸D�1��w}|�x����h�8�zxz�1|?�h|��µ~@�g�*²��h��w����*�F�*v±�g� � � �.´ ����¸ �.ª%�g|�¸.�1��w}|�x����h�©.w��}xz~(w�����utvFwC¹F|*��{t~1|*�g��|?�h�>x��«�gyFw�{�v@�h{«�*�g�z��w������g|«�h�z�({�vFwGw}xz��w}y��g�h�z�Fw��.�hyF�Bw}xz��w}y���w��}{*�g|*�.�h��9|*w��h�o���k����w}{�|�x���{�|�x���x��h���gy@�h�o���h{�|�x£�B�Z�¨{*w}|t{�vFw �S�hyF�}¢����8��{*w}~o��utvFwG�?w����gyF��~1|*�g��|?�h� x��«�gyFw{�v@�h{.���hy�xzy���w}|�{D�#��w}yFw}|?�h�S���g��~1��w��B���h{�|�x£�a�HutvFwG���hxzy�|*�g�1{�xzyFw��.xzy��g�1|8~1|*�g��|?�h� xzyF�}�z�F�1w��

• t[kYX�]fW�k�� |������.utv1x��D���k���1��w9�*w}|���w��.{�vFw¤~1�1|�~(���*w­�h�H���h²kxzy1�������g�@�h�M���h|�x��h�1��w��C���g�hxz���h�1��w�«vFw}|*w}��w}|�yFw�w��1w��³�«xz{�vµ{�vFw���g�����hyF� ��������� �������F��utvFw~1|*w��}x���x��gy��h�C�h�z��|*w��h�8�hyF����g��~1��w��e���h|�x��h�1��w��¤xzy�{�vFw�~1|*�g��|?�h� ���hy��=w��?w}{¤�O�e�B��xzy1����w��g�h|�x��h�1��w��M�«v1x��*v`�qw����h�z��&�&�2�=�hyF��x��Cxzy1xz{�x��h�zxz¢�w��svFw}|*w���utvFw9²�w}��~@�h|?�h��w}{*w}|*�G�1w��}���h|*w��sxzy�{�v1x��C���k���1��w9xzyF�}�z�F�1w{�vFw8yO�1�­�(w}|q�h�a��xz{*w���xzy�{�vFw«�}�z�F��{*w}|Hxz��~1�1|�xz{f��� � ���{�vFw«y��1�­�(w}|q�h�a��xz{*w��H�gy�{�vFw«�@�h{�vo�����hyF��{�vFw�{*�g{?�h��������{*w}���*xz¢�w�� � #��� �����=�CutvFw�{*�g{?�h��¢} f���g��~(�gyFw}yO{¤�h��{�vFw#��~1xzyo�

Szx��G�

���gyF�?w}|���w�� ���@�hyO{�xz{f�����hyF�­�qwqw��k~1���gxz{o{�vFw��1�����?²G��x��h���gy@�h�Oy@�h{��1|*w��h�1{�vFwH¯��h��xz�z{*�gy1x��hy��O�|*w��*{�|�x��}{�xzy1�­{*�G�*w��}{*�g|*���«xz{�v�¹1��w��#y��1�­�(w}|q�h�(�1~��hyF���1���«y��*~1xzy�w}��w��}{�|*�gyF�����1w}yF�g{*w����O������hyF� � � ��|*w��*~=w��}{�xz��w}�z��� � # �����1w}yF�g{*w��«{�vFwC���Z��xz�­�1� �*xz¢�wC�h�����*w��}{*�g|t�¨�g|8�­¹1�1w���*�k��{*w}� �*xz¢�w�� � #k��¸Cw��k{��q�qw��1w�¹FyFw�{�vFw�~@�h|?�h��w}{*w}|*���h��{�vFw�¯D�1�1�@�h|*�°¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyo�{�vFw�vF�g~1~1xzy1� $=�q{�vFw��gyF��xz{*w�´��g�1���g�­�_|*w}~1�1����x��gy �(��{�vFwByFw��h|*w���{�yFw}xz��v��=�g|B´��g�1���g�­�|*w}~1�1���*x��gy���hyF��¹Fy@�h�z�z��{�vFw��*vFw}��x����h�t~=�g{*w}y�{�x��h� �2��¯C�g~1~1xzy1��xzy�|*w��h����~@�g��w��«xz{�v1xzy{�vFwB�}�z�F�*{*w}|�x�����{*�g|*w��³xzy�{�vFw��h|�|?��� �� ��$_¦¨�h����xz¢�w � × � g¬9�hyF�µxzy°ºF�g�1|�x�w}|���~@�g��w�xzy{�vFw`�h|�|?����$�=�C�1w�¹FyFw�� �gy �³��|�x��[�h� ���±²� Q~=�gxzy�{*���>utvFws�@�h{�v[x��B~@�h|?�h��w}{�|�xz¢�w�� xzy

Page 90: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

{*w}|����.�h�,{�vFwG��xz{*wGw}yFw}|���x�w��8�*{*�g|*w���xzy � � #��9�hyF�B{�vFwCvO�k�1|�x���xz¢¥�h{�x��gy�xzy � ��$2���ew¤�h�z��������g|�{�vFw��*w�{*�µ�=w��1w}{*w}|���xzyFw��[xzyF�1w}~(w}yF�1w}yO{��z�]���g|�(�g{�v �1~4�hyF�[�1���«y4��~1xzyo� �D{�vFw}|~@�h|?�h��w}{*w}|*�q�qwD�1w�¹FyFw«xzy�{�v1x����������1��w«xzyF�}�z�F�1w.{�vFw«���Z��xz�­�1�Ky��1�­�(w}|��h�(xz{*w}|?�h{�x��gyF�qxzy{�vFw �S�hyF�}¢�����~1|*�k��w����1|*w��({�vFw#´�§�¡�º�uj�*�?vFw}��w��hyF��{�vFw����gy�� �1�O�h{*w9��|?�g��x�w}yO{G|*�g�1{�xzyFw��utvFwG¯��h��xz�z{*�gy1x��hyBx��t��{*�g|*w���xzy�{�vFw��?�h��w���~@�h|*�*wC���h{�|�x£��yF�g{?�h{�x��gy��g�t�1w��*�}|�xz�(w���xzy�{�vFw§�¡�©8ª_~1|*�g��|?�h�®xzy�´qv@�h~1{*w}| ��� �S�g��{��z������w«�1w�¹FyFw«{�vFw�vO�k�1|�x���xz¢¥�h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gy�¦ ������$���hyF� ������$�!���$�¬��a{�vFw#�}�z�F��{*w}|9ª�|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gy±¦ � � ����hyF� � !���$1¬D�hyF�s{�vFw��?w}�£��w}yFw}|����¦�#�������hyF� # �&���!���$1¬��H�gy�{�vFwxz���h��xzy@�h|����hyF�³|*w��h�t�¨|*w��O�Fw}yF�}� ¦·|*w}{?�h|*�1w��@¬��Z��x��#�«xz{�v�h�z���k���h{?�h�1��w9�h|�|?���k�¥�

• L�Zf�M\^Uv� |��}� ���D�8{�vFw¤y@�h��w­�*�1����w���{*���1{�v1x��.|*�g�1{�xzyFw­x��«�F�?w���{*��~1|*�¥��x��1w­{�vFw¤~@�h|?�h��w}{*w}|*��h��{�vFw¤¯D�1�1�@�h|*��¯��h��xz�z{*�gy1x��hy��hyF�B{�vFwG�*{?�h|�{�xzy1�����Fw��*�t���g|«{�vFwG�@�h{�v�xzy�{�vFw �.yF�1w}|*�?�gyxz��~1�1|�xz{��±���k�1w}�Q� �.���*�³�g�*��xz��yFw��_vFw}|*w��h|*w�{�vFw��g�h�z�Fw������g|�{�vFw���xz¢�w��h�¤{�vFw��}�z�F�*{*w}|��{�vFw��@�h{�vo�S{�vFw����Z��xz�­�1� yO�1�9�=w}|��h��xz{*w}|?�h{�x��gyF�#�hyF�s{*�g��w}|?�hyF��w��¤���g|¤���gyO��w}|���w}yF��w����g|{�vFw �,�hyF�}¢����­�hyF�e´�§C¡�º�u¶~1|*����w����1|*w��¥�({�vFw���xz¢�w#�h�q{�vFw���|�x��sxzy

k f�*~@�g��w��hyF���gy�{�vFw

¡s�h{*���1�@�h|?���hyF��|*w��h�,�Z�kx��«�¨�g|«{�vFw­ªC|*w�w}y�� �8�·�1yF�}{�x��gyF�C�hyF���*w}�£��w}yFw}|���x�w����

• ]`\fL�kOKM]fW!NRLONv� | �}���Dutv1x��.|*�g�1{�xzyFw9�1�1xz���1�.{�vFw��*w}{.�h�H�@�g�*x��D��{?�h{*w��.��xz��w}ys��¹1��w����g�h�z�Fw��h�

Sz�hyF����¹1�1w���������{*w}� ��xz¢�w��HutvFwG�@�g�*x��8��{?�h{*w��D�h|*w¤|*w}~1|*w��*w}yO{*w����O��xzyO{*w}��w}|*���@�«v1x��*v�x��

w���~1���hxzyFw��exzy�{�vFw��¨�g�z���¥�«xzy1��w��1�h��~1��w�� �Q���qw�v@����w��,� ����� ���*xz{*w��Gxzye{�vFw��}�z�F��{*w}|­�hyF� ��*xz{*w��«xzy�{�vFw��@�h{�v�{�vFw}y���{f�k~1x����h�S���gy�¹F���1|?�h{�x��gy��«xz{�vo�F� ����� �#w}��w��}{�|*�gyF�D�q�g�1���B�(w��

([1 ⊗ 1] {⊗ 0 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ 0})↑ ⊗ ([1 ⊗ 0] ⊗ { 0 ⊗ 0 ⊗ 1 ⊗ 0})↓��yµ{�vFwB�h�=�¥��wB���gy�¹F���1|?�h{�x��gyo�q{�vFw�� ���@�h|*w�1|?�g�*²�w}{*��w}yF�}�����?w�{�vFw�*xz{*w����gy³{�vFwB�}�z�F�*{*w}|�hyF�e{�vF���*w��«xz{�v1xzy`�}�1|��z�s�1|?�g��w��­|*w}~1|*w��*w}yO{���xz{*w��¤�gye{�vFw��@�h{�vo�utvFw���{�|�xzy1���h� ���hyF�

� �#|*w}~1|*w��?w}yO{��k���}�1~1x�w��°�hyF��w}��~1{f�µ��xz{*w�����|*w���~(w��}{�xz��w}�z����utvFw���w��¨{#v@�h�£�C�h�.{�vFwB�*{�|�xzy1�|*w}~1|*w��?w}yO{*���*~1xzy� Q�1~��hyF�#{�vFw�|�xz��v�{Hv@�h�£�2{�vFwt��~1xzy� f�1�¥�«y��@�g��x����MutvFw«��{�|�xzy1�G�h� �C��~1xzy1��w��*��*xz{*w��9�«xz{�v±� ��g|��B���hyµyF��� �(w�xz���h��xzyFw��µ{*���(w�{�vFw�1xzy@�h|��`|*w}~1|*w��*w}yO{?�h{�x��gy±�h���hyxzy�{*w}��w}|��M�O���g�*��xz��y1xzy1����w}xz��vO{*���

(20, 21 · · · 211)��utv1x��9�*vF�gx���w��h�t|*w}~1|*w��*w}y�{�xzy1����@�g��x��

�*{?�h{*ws�g���hy xzy�{*w}��w}|Bx����F�*w��·�1���(w����h�F�*w�{�vFw�xzyO{�|�xzyF��x��s���hy1xz~1�1���h{�x��gy �h���1xz{*�B�gy {�vFw���g��~1�1{*w}|�x�������w}|����Q�g��{#�g~=w}|?�h{�x��gy±�hyF�³���hyµ�=w�F�*w��`{*���g�*v1x�w}��w�v1xz��v1�z�`�g~1{�xz��xz¢�w�����k�1w���utvFw8�@�g��x��q��{?�h{*w��q�h|*w.�*w}yO{t�g�H�g�1{�~1�1{�����{�vFw«|*�g�1{�xzyFw �� ��� � ����#&��#Cxzy�{*�9�hy��h|�|?���

Page 91: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���h�z��w�� � #%$ � �=��utvFw���xz¢�w����h����x��(w}|*w}y�{��*w��}{*�g|*���h|*w�{�vFw}���*w}�z��w�����{*�g|*w��³xzy°�hy±�h|�|?������ #%$���$���#k�

• ioShQTW�UPQ���KMQTNbUPShX�z ��utvFw��*w�|*�g�1{�xzyFw��¤���h|�|����g�1{G{�vFw��g�}{�x��gye�h�«���¨w}|���x��gy1x����}|*w��h{�x��gy��g|���1w���{�|��F�}{�x��gy��g~=w}|?�h{*�g|C�gys����xz��w}y��@�g�*x��.��{?�h{*w��8utvFw9xzy1~1�1{D���gyF�*{�xz{��1{*w��D{�vFw­�������h{�x��gy�h��{�vFw¤�*xz{*w��@�hyF�B{�vFwG�@�g��x��.��{?�h{*wG|*w}~1|*w��*w}y�{*w����O���hy�xzy�{*w}��w}|��qutvFw9�g�1{�~1�1{8x��.�h�O�hxzys�hyxzy�{*w}��w}|��hyF����~1�z�F�#�g|�����xzyO�F����xz��yµ|*w����1�z{�xzy1���¨|*�g� {�vFw��hyO{�x����g���9�1{�xzy1��y@�h{��1|*wB�h���w}|���x��gy1x��.�g~(w}|?�h{*�g|*����utvFw.�g�}{��@�h�2{?�g��²9x����1�gyFw��O�1xz{*w.w����}x�w}yO{��z���O�#�F��xzy1�­{�vFw«xzyO{�|�xzyF��x���¨�1yF�}{�x��gy��%����� � ¦·xzy`�}|*w��h{*w¥¬G�g|��%� ���³¦·xzy��1w��*{�|*���F¬��«v1x��*v³w}xz{�vFw}|­|?�hx��*w��B�1xz{G�·|*�g� �{*�� �g|.�����qw}|Cxz{8�¨|*�g� � {*��� � �h{.{�vFw­�h~1~1|*�g~1|�x��h{*w����k���h{�x��gyo��utvFw��?w¤|*�g�1{�xzyFw����h|*w�F�?w��sxzy��(�g{�vs�1�1xz����xzy1��{�vFw#¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy³�g���qw}�z��xzy��g�1{?�hxzy1xzy1��{�vFw#��{?�h|�{�xzy1� �S�hyF�}¢������w��}{*�g|*�8�¨�g|8���gyF�*{�|��F�}{�xzy1�����ky@�h��x����h�S���g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyF���

• efW�_aL�k�� |��}� �­utv1x���|*�g�1{�xzyFw#�1�1xz���1��{�vFw �DyF�1w}|*�*�gysxz��~1�1|�xz{f���}�z�F��{*w}|G¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy�xzy���*~@�h|*�*w����h{�|�x£�9yF�g{?�h{�x��gyB¦·|*w���w}|M{*��´qv@�h~1{*w}| ��¬oxzy#�D�*w��}{*�g|M�«xz{�v9¹1�1w��9yO�1�­�(w}|��h�@�1~��hyF��1�¥�«y`��~1xzyew}��w��}{�|*�gyF�¥� �f{G���h²�w��9���h�z���G{*� %!�����$����hyF� � ��#%$�! ����{*���1�1xz����{�vFw����h{�|�x£�w}��w}��w}y�{*�#�h�t{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyo�Butv1x��9x��­�g~1{�xz��xz¢�w��`�O��{�vFw��F�*w��h�«�1xz{9�g~(w}|?�h{�x��gyF���gy{�vFw��@�g��x�����{?�h{*w��C�«v1x��?v��h|*w��*{*�g|*w��s�g�Cxzy�{*w}��w}|*���¤utvFw9���g��x����h�H�g~=w}|?�h{*�g| � � ��� � x��D�F�?w��{*���*vFw��*²�{�vFwG���h�z�Fw¤�h�H� � �%$2��{*���}|*w��h{*w¤�g|8�1w��*{�|*�����#~@�h|�{�x��}��w¤�gy���~@�h|�{�x��}�1���h|C��xz{*w��

• W�ZfKfQ�SVNRX�Z�� | �}� ��utv1x��9���1�1|*�g�1{�xzyFw�x��G{�vFw#xz��~1�1|�xz{��e�*�g�z��w}|����]xz{�v��hy��g�1{*w}|­§ �!�����g~�¥��w}| ���C�hyF� � � �F�¥xz{a�1�1xz���1�S{�vFw��@�g��x��axzy9�t�*w��}{*�g|S�«xz{�v�¹1��w��

Sz¦·�O�����h�z�zxzy1� �� ��� � ����#&��#�¬��

{�vFw}y��1�1xz���1��{�vFwC¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyB�������h�z�zxzy1� ��� �������� F�����h²�w��«�­���h�z�={*� ����� �� ��#¤xzy��g|< �1w}|�{*�C�g�1{?�hxzy#{�vFwq��|*�g�1yF�#��{?�h{*wtw}xz��w}y��g�h�z�Fw8�hyF��w}xz��w}yO��w��}{*�g|Hxzy#w��g�*v��*w��}{*�g|H�hyF�9¹Fy@�h�z�z��g�1{?�hxzyF�q{�vFw«�����g�@�h�2��|*�g�1yF����{?�h{*w � # ��� ���ºF�g|qw��g�*v��?w��}{*�g|�� ��� �"$ ��� .x��q�¤���g��~1��w���|?�hy� �1�g�>��w��}{*�g|8�?w}yO{«{*��{�vFw �S�hyF�}¢����8|*�g�1{�xzyFw¤�h���gy1���«xz{�v�{�vFwG¯��h��xz�z{*�gy1x��hyB{*���g�1{?�hxzyB{�vFw��|*�g�1yF�µ��{?�h{*w � ��� ���utvFw���|*�g�1yF�³��{?�h{*w�*w��}{*�g|¦¨�g|#�*w��}{*�g|*� ¬9�h|*w��*{*�g|*w���xzy³�g�h|�x��h�1��w��������#��hyF� � � ��� #k� �DyF��w�{�vFw���|*�g�1yF����{?�h{*w�w}xz��w}yO��w��}{*�g|��hyF��w}xz��w}y��g�h�z�Fw�v@����w��(w�w}y�g�1{?�hxzyFw��a�k{�vFwDyFw��k{q{?�g��²�x��H{*�9�1�1xz����{�vFwC�}�z�F��{*w}|«ªC|*w�w}y�� �q�·�1yF�}{�x��gyo��utv1x��qx���~(w}|<���g|���w�����g|�w��g�*v#��|*�g�1yF�#��{?�h{*w����­���h�z����{*� � ���������!�!��������� ��hyF�9{�vFwq|*w����1�z{*���h|*wt����w}|?�h��w�������w}|{�vFwty��1�­�(w}|q�h�=��|*�g�1yF����{?�h{*w���������#��,utvFw �S�hyF�}¢�����xz{*w}|?�h{�x��gyF��|*w����1xz|*w«{�vFw«¯C�h��xz�z{*�gy1x��hyxzy�{�vFw.�h~1~1|*�g~1|�x��h{*wD�?w��}{*�g|D¦·��|*�g�1yF����{?�h{*w«~1�z�F�q�g|H��xzyO�F����~@�h|�{�x��}��w¥¬H�hyF��vFw}yF��w«�qwD���h�z�

Page 92: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�� ��� � ����#���##�hyF� ���� �������� ��(w��¨�g|*wG���h�z�zxzy1� � ����� ���!&!��&� ����� @�

• K`LOW!t}ioX�SVShQ�k�� |������ �C�8{�vFw9y@�h��w­���1����w��*{*���F{�v1x��D|*�g�1{�xzyFw9���g��~1�1{*w��C{�vFw­xz��~1�1|�xz{f���}�z�F�< {*w}|�ªC|*w�w}y�� �­�·�1yF�}{�x��gy³�«xz{�v1xzy³{�vFw����gy�{�xzyO�Fw��`�·|?�g�}{�x��gy³|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�x��gyo��u,�����gyF��{�|��F�}{��x��h���gy@�h�C~@�h|�{*���h�G{�vFw��}�z�F�*{*w}|�ªC|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gyo� 〈TA(t)A†(t′)〉 �q{�vFw���{?�h|�{�xzy1����w��� {*�g|�{*��~(w}|<�¨�g|�� �S�hyF�}¢�����xz{*w}|?�h{�x��gyF�¤x��¤�h�z{*w}|�y@�h{*w}�z�

A|GS〉 �hyF� A†|GS〉 �(���g|D{�vFw#vF�g��w�hyF��~@�h|�{�x��}��w­~(�g|�{�x��gyF���@|*w���~=w��}{�xz��w}�z���tutv1x��C��{?�h|�{�xzy1����w��}{*�g|Dxzy�{�vFw­~1|*�g��|?�h� x��8y@�h��w��� "$ ���&� #C�hyF���1�1xz����xzy1�Gxz{�|*w��O�1xz|*w����g����w��*��{*�C�(�g{�v�{�vFw��@�g��x�����{?�h{*w����h�2{�vFwq��|*�g�1yF���*{?�h{*w�g�¤�qw}�z�q�g�G{�vF���?w#xzye�*w��}{*�g|*�G�«xz{�v��gyFw���w��?�G�g|¤�gyFw���|*w��h{*w}|¤~@�h|�{�x��}��w�{�v@�hye{�vFw#��|*�g�1yF��*{?�h{*w���utvFw8��|*�g�1yF���*{?�h{*w8�@�g��x���x�����{*�g|*w���xzy � #)$ � �&� #G�hyF��{�vFw«~@�h|�{�x��}��wC�g|�vF�g��w.�?w��}{*�g|x�����{*�g|*w��`xzy � #%$ � �=��uS���F�*w�����gy�{�xzyO�Fw��³�¨|?�g�}{�x��gy`|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�x��gyµ�¨�g|����2 f��x��h���gy@�h�ª�|*w�w}y�� �H�¨�1yF�}{�x��gyF�q�h�a{�vFw.{f�k~=w�� 〈AB†〉 ¦¨���1~1~1|*w��?��xzy1�­{�vFw.{�xz��w8���h�(w}�������g|����g��~@�g�}{�yFw��*��h�,yF�g{?�h{�x��gy2¬q�g����w}�z�Q����w����gyF��{�|��F�}{«ª�|*w�w}y�� ���¨�1yF�}{�x��gyF�t�«xz{�v����1xz{?�h�1��w����g�­�1xzy@�h{�x��gyF�8�h�

A�hyF�

B��utvFw}|*w��¨�g|*w��@x£�M��w¤�1w�¹FyFw��

C = A+B , GC = 〈CC†〉, ¦ ��� ¬

D = A+ iB , GD = 〈DD†〉, ¦ ������¬

{�vFw}y�{�vFw¤���2 f��x��h���gy@�h��ªC|*w�w}y�� �t�¨�1yF�}{�x��gyo� 〈AB†〉 ���hy��=wGw���~1|*w��*�*w����g���

2〈AB†〉 = GC − iGD − (1 − i)(GA +GB)¦ ������¬

utvFw��@�g��x����g~(w}|?�h{�x��gy°xzyO���g�z��w��_xzy�{�vFw �S�hyF�}¢�����~1|*����w����1|*w�x���{�vFwB�­�1�z{�xz~1�zx����h{�x��gy[�h���¯��h��xz�z{*�gy1x��hy����h{�|�x£�`�«xz{�v°����w��}{*�g|��eutv1x���{?�g��²����hy1yF�g{��(w��1�gyFw���³�hyµxzyO{�|�xzyF��x���¨�1yF�}{�x��gy��h�8ºF�g|�{�|?�hy�! � ���F�*v`�g����� � ��������xzyF��w�{�vFw�¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy`x��¤��{*�g|*w���xzye��~@�h|*�?w���h{�|�x£�GyF�g{?�h{�x��gyo� ��{ax��o�1�gyFwH���C{�vFwH|*�g�1{�xzyFw ��$ � � �2�,utvFwH����w����}x�w}y�{*�,�h�1{�vFwH���gy�{�xzyO�Fw���¨|?�g�}{�x��gy w��k~@�hyF��x��gy �g�1{?�hxzyFw�� �Z�·{*w}|��s¹1�1w��±y��1�­�(w}|�h� �S�hyF�}¢�������{*w}~F�¥� ������� k�8�h|*w�*{*�g|*w���xzy��h|�|?����������hyF� ����hyF�e�*w}y�{G{*�B{�vFw#|*�g�1{�xzyFw ��� ���$�����!�����2��utv1x��G|*�g�1{�xzyFw�g�}{��@�h�z�z���1�1xz���1�.{�vFw¤¡��h{*�*�1�@�h|?���1|*w}{?�h|*�1w����hyF���g�����hyF��w���ªC|*w�w}y�� �8�·�1yF�}{�x��gyF���

• iTk�\fNbUPQTS�� |�������utv1x���x���{�vFw����hxzy�~1|*�g��|?�h� �«v1x��?v±���gyO{�|*�g����{�vFw��*w����Fw}yF��wB�h�C���h�z���#{*��g{�vFw}|#|*�g�1{�xzyFw�����utvFw�¹F|*��{#��{*w}~³x��9{*��xzy1xz{�x��h�zxz¢�w�{�vFw��xz¢�w��#�h�8�g�h|�x��g�F���h�z���k���h{?�h�1��wB�h|< |?���k��«v1x��?v �*{*�g|*w�{�vFws�}�z�F��{*w}|�ªC|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gyF�¥�8{�vFw�vO�k�1|�x���xz¢¥�h{�x��gy �·�1yF�}{�x��gyo�.{�vFw

Page 93: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�?w}�£��w}yFw}|������hyF�B���h{�{�x���w#ªC|*w�w}y�� �t�¨�1yF�}{�x��gyF��� xzyF��wG{�vFw­�*w}�£�  f���gyF�*x���{*w}yF�}�Bw��O�@�h{�x��gyF�C�h|*w�?�g�z��w��e�gye{�vFw�¡s�h{*���1�@�h|?���Z��x����S�h�z�H{�vFw��h�(����w��·�1yF�}{�x��gyF�9�h|*w��1w�¹FyFw����¥��w}|9����|�x��e�h���'�~=�gxzy�{*�qxzy�xz���h��xzy@�h|����¨|*w��O�Fw}yF�}����utvFwD|*w��h�F�¨|*w��O�Fw}yF�}��xzy����g|����h{�x��gy�x��q�h���*�9��{*�g|*w���xzy���g|�|*w��*~=�gyF��xzy1���h|�|?���k�¤�¨�g|G�g�1{�~1�1{�� �tw����g|*w#{�vFw����h�z�H{*� � ����$�x��G���g�1w��¨�g|¤�g�1{?�hxzy1xzy1�{�vFw�~@�h|?�h��w}{*w}|*���h�D{�vFwB¯��h��xz�z{*�gy1x��hy_�g�#�qw}�z�.�g�#{�vFwB�*{?�h|�{�xzy1�����Fw��*�#���g|����*�g�z�1{�x��gyo�{�vFw�ºF�g�1|�x�w}|G{�|?�hyF�<���g|��%�h�H{�vFw­vF�g~1~1xzy1�����h{�|�x£���gy�{�vFw��}�z�F��{*w}|�� $�2�2x��C�1w�¹FyFw����¥��w}|¤���|�x��s�«xz{�v ���

k Q~=�gxzy�{*����utvFw9~@�h|?�h��w}{*w}|*�¤�¨�g|¤���{?�h|�{�xzy1�B���Fw��*�G�h��{�vFw#�*w}�£�  f���gyF�*x���{*w}yO{

�?�g�z�1{�x��gyo� � � #���¦·�@�h{�vB��xz{*w�w}yFw}|���x�w�� ¬t�hyF� �� ��$�¦¨�}�z�F��{*w}|< Q�@�h{�vBv����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy2¬8�h|*w�{�vFw}y�g�1{?�hxzyFw����O���#���h�z�o{*��{�vFw­���1�1|*�g�1{�xzyFw ����&$2�HutvFw¤yFw��k{8��{*w}~�x��«{*���g�1{?�hxzy�{�vFwGxzy1xz{�x��h�v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy°�·�1yF�}{�x��gy ���&��$��s�hyF�³���h�z��{�vFw����1�1|*�g�1{�xzyFw ��� � ��! #�����{*���?�g�z��w����g|�{�vFw��|*�g�1yF����{?�h{*w­�hyF��xz��~1�1|�xz{f���}�z�F�*{*w}|CªC|*w�w}y�� �t�¨�1yF�}{�x��gyo� �1�F�*w����Fw}yO{D{*�#{�v1x������qwG�1�1xz���{�vFw�}�z�F��{*w}|#�*w}�£�.w}yFw}|������F�*xzy1��{�vFw§D���*�gyµw��O�@�h{�x��gyo��utv1x��#�*w}�£�.w}yFw}|����ex��9{�vFw}y`�F�?w��xzy_{�vFw��*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{B´�§�¡�º�u w����@�h{�x��gyF��{*�`�g�1{?�hxzy_{�vFw����h{�{�x���w�ªC|*w�w}y�� ���·�1yF�}{�x��gy� � � ��hyF��{�vFw�yFw}�¶vO�k�1|�x���xz¢¥�h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyo�(y@�h��w�� ������$������)'(�GutvFw�yFw}�»v����1|�x���xz¢¥�Z {�x��gy��·�1yF�}{�x��gyBx��t~1|*� ��w��}{*w����gyO{*���#��x��*�}|*w}{*w��@�h{�v��F��xzy1���#���h�z�a{*�#{�vFwG|*�g�1{�xzyFw #�����! �=�utvFw��?wByFw}� �@�h{�v°~@�h|?�h��w}{*w}|*�B�h|*w����g��~@�h|*w��±{*��{�vFw���{?�h|�{�xzy1�`���Fw��*��¦¨�g|�s~1|*w}��x��g�F�xz{*w}|?�h{�x��gy2¬G�O�s�1w�¹Fy1xzy1������x���{?�hyF��w�� � ��#��2��utv1x��¤��x���{?�hyF��w�� � ��#��2�ax��¤�1w�¹FyFw����g�¤{�vFw�h�F�?�g�z�1{*w���x��(w}|*w}yF��w��(w}{f��w�w}y°{�vFw�vO�k�1|�x���xz¢¥�h{�x��gy°�¨�1yF�}{�x��gyF��xzy����gyF�*w��}�1{�xz��w�´�§�¡�º�uxz{*w}|?�h{�x��gyF�¥� �Q��{�vFw­��x��*{?�hyF��w­x��D�����h�z��w}|.{�v@�hy�����~(w��}x£¹@w���{*�g��w}|?�hyF��w��={�vFw�´�§�¡�º�u �*w}�£�· ���gyF�*x���{*w}yO{.�?�g�z�1{�x��gyBv@�g�«�=w�w}yB�g�1{?�hxzyFw��a�F�g{�vFw}|��«x��?wG�qw��(w}��xzyB{�vFw�yFw��k{«xz{*w}|?�h{�x��gy��«xz{�v�����h�z�a{*��{�vFwG|*�g�1{�xzyFw(��� � ��! # �����«xz{�v�yFw}�4�@�h{�v�~@�h|?�h��w}{*w}|*���

• NPQ�W!SVije�� | �}��utv1x��¤x��G{�vFw�|*�g�1{�xzyFw�|*w���~(�gyF��xz�1��w��¨�g|­{�vFw��}|��F�}x��h�H{?�g��²s�h��~1|*� ��w��}{�xzy1��{�vFwv����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy_�¨�1yF�}{�x��gy±�g�1{?�hxzyFw����¨|*�g� {�vFw�´�§�¡�º�u �?w}�£�  f���gyF��x��*{*w}yF�}�³���gyF��xz{�x��gy_xzy�}�z�F�*{*w}|�� � ! � �gyO{*�#�­��x��?�}|*w}{�xz¢�w����¨�1yF�}{�x��gy@�h�=�*�1�F��~@�g��w.�«xz{�v��G¹Fy1xz{*w.yO�1�9�=w}|«�h�o�@�h{�v~@�Z |?�h��w}{*w}|*��{*�9��{?�h|�{��¤yFw}�±xz{*w}|?�h{�x��gyo�HutvFw.~1|*� �<w��}{�x��gyx����g�?v1x�w}��w��������F��xzy1���­���gy�� �1�O�h{*w��|?�g��x�w}y�{.|*�g�1{�xzyFw¤���h�z��w�� � � � ��� ��{*�#��xzy1xz��xz¢�w­�#�1w�¹FyFw�����x���{?�hyF��w¤�=w}{��qw�w}y�{�vFwG��x��� �}|*w}{*wG�hyF����gyO{�xzyF�g�F�«v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyF�«�gy{�vFwD¡s�h{*���1�@�h|?�#�Z�kx��¥�Mutv1x��t��x���{?�hyF��wx������g��~1�1{*w��#���­{�vFwt���1�1|*�g�1{�xzyFw ������!&� �2�MutvFw�{*�g{?�h�ky��1�­�(w}|��h�@~@�h|?�h��w}{*w}|*�8¦ � � #&�C�hyF�� ��$�¬8{*���(w9�g�h|�x�w���x�� �g¸.�S¦ �g¸C��� ¬C�hyF��x��D�1w}yF�g{*w��s��� �&�����!� a�CutvFw��g�}{��@�h��~1|*�k��w� ���1|*w­x��.�g�t���g�z�����8����ºMxz|*��{��1{�vFw¤w���x���{�xzy1��~@�h|?�h��w}{*w}|*�.�¨|*�g� �#~1|*w}�kx��g�F�8xz{*w}|?�h{�x��gy��*{*�g|*w��

Page 94: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

xzy��h|�|?���k� � � #&�­¦¨�h�(��xz¢�w�¸.� × ��¬M�hyF� �� ��$�¦¨�h�=�*xz¢�wq¸D� ×2× ¸C�¥¬,�h|*w«�h|�|?�hy1��w��#xzy�{*���C�gyFw��xz��w}yF�*x��gy@�h�q�h|�|?��� ��$��� ��2��utv1x���x��G�1�gyFw�w����}x�w}yO{��z�s�O��{�vFw#xzyO{�|�xzyF��x����¨�1yF�}{�x��gy ��� ��2�utv1x��9�h|�|?��� ��$��� ���x���{�vFw���{?�h|�{�xzy1�B���Fw��*��{*�¹F{G{�vFw#yFw}� v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy��·�1yF�}{�x��gy³�hyF�x��9�*w}yO{��g�Gxzy1~1�1{­{*�B{�vFw�|*�g�1{�xzyFw ��� � �����1� ��y�{�vFw����1�1|*�g�1{�xzyFw ��� � �����1� �&$�� ��x�����h|�x�w��{*����xzy1xz��xz¢�w�{�vFwC��x��*{?�hyF��wC�1w�¹FyFw���xzy ������!�� ���«xz{�v��9��~=w��}x£¹@w��{*�g��w}|?�hyF��w��qutvFw�*�1�1|*�g�1{�xzyFw ������!&� ��~(w}|<�¨�g|�����{�vFw#|*w}��w}|*�?w#{?�g��²��h��|*w��h|�|?�hy1��xzy1��{�vFw��gyFw���xz��w}yF��x��gy@�h��h|�|?��� �&$�� ���Z�¨{*w}|tw��g�?vB���gy�� �1�O�h{*wC��|?�g��x�w}yO{«xz{*w}|?�h{�x��gy�xzy�{*� � � #��­�hyF� � ��$2���F��xzy1�#{�vFwxzy�{�|�xzyF��x����¨�1yF�}{�x��gy �&������������hyF��{�vFw}y����g��~1�1{�xzy1���#��x���{?�hyF��wG�·|*�g�>{�vFw�v����1|�x���xz¢¥�h{�x��gy�¨�1yF�}{�x��gy�{*���=wG~1|*� ��w��}{*w��a�tutvFw¤~@�h|?�h��w}{*w}|*�.�¨�g|C�#yFw}�¶´�§�¡�ºMu4xz{*w}|?�h{�x��gys�h|*w¤�1w}{*w}|< ��xzyFw����g�q�¤�qw}xz��v�{*w�������w}|?�h��wD�h�o{�vF���?w«���g�1yF���O��{�vFwD���gy�� �1�O�h{*w.��|?�g��x�w}yO{t|*�g�1{�xzyFw��hyF�{�vFw9~@�h|?�h��w}{*w}|*�D�·|*�g� ��~1|*w}�kx��g�F�Dxz{*w}|?�h{�x��gy�{*��xzyF�}|*w��g�*w9{�vFw9��{?�h�1xz�zxz{����h�H{�vFw­xz{*w}|?�h{�xz��w~1|*�k��w����1|*w��

Page 95: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

����+��902$�&���� #" "%+«&=E��#)M685�),-* �/@'?6859/j+85�3�68 ­02-*6G6 �

¡s�hyO�#�h�2{�vFw«������{*w}�����h�2xzy�{*w}|*w���{�xzy ���@�hyO{��1�# Q���hyO���(�k���­~1vO����x����H�h|*w«�?v@�h|?�g�}{*w}|�xz¢�w����O���������xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{����hyF����{�|*�gy1��xzy�{*w}|?�g�}{�x��gyo�a|*w}yF�1w}|�xzy1��{�vFw­xzy���w���{�xz�O�h{�x��gye�h��w}��w}y�{�vFw9��xz��~1��w��*{���k�1w}�����s��x ���}�1�z{�{?�g��²(��utvFw}|*w�x�����vO�1��w��1w��h|�{�v±�h�G�hy@�h�z�k{�x����h�8��w}{�vF�k�1��xzy°��xz��w}yF��x��gyF�v1xz��vFw}|¤{�v@�hy³�gyFw���utv1x��­�}xz|*�}�1����{?�hyF��w�v@�g�Gxzye{�vFw�~@�g�*{¤�1w����g�1w���{�xz�9�1���h{*w��evO�1��w�g���g�hyF��w��xzy�{�vFw��1w}��w}���g~1��w}y�{�hyF���F�*w��h�G���g��~1�1{?�h{�x��gy@�h�.��w}{�vF�k�1�����g| �O�@�hy�{��1� ���hyO�� Q�(�����µ�����< {*w}������¸.�1��w}|�x����h�t��w}{�vF�k�1��v@����w����g��wB�B���gy1�s�����e�¨|*�g� �1|��1{*w��¨�g|*��ww��F�g�}{���x��h���gy@�h�zxz¢¥�Z {�x��gy_�h�9�e¯C�h��xz�z{*�gy1x��hy �gy°¹Fy1xz{*w��}�z�F��{*w}|*� � � � � {*�ew}��w}�O�hyO{�|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy ��|*�g�1~]�h�z���h |�xz{�v1��� ����� ��� ! � �eutvFw��1w}yF��xz{f�`���h{�|�x£�`|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy°��|*�g�1~4¦¨§�¡�©«ª­¬¤��w}{�vF�k���hyF�³{�vFw���ky@�h��x����h����w��hy³¹@w}���³{�vFw��g|��_¦¨§�¡�ºMu.¬ ��� � �h|*w�~1|*�g�@�h�1�z�`{f�����h�8{�vFw������*{9~(����w}|<�·�1�tyO�� ��w}|�x����h� �O�@�hy�{��1� ���hy��O Q�(�����B��w}{�vF�k�1�C�1w}��w}���g~=w���xzy�{�vFw­~@�g��{D�1w����g�1w��hyF���h|*w9��w}yO{�|?�h�M{*�{�v1x��q{�vFw���x�����utvFw.§�¡�©«ª4��w}{�vF�k��v@�g�q�=w�w}y�v1xz��v1�z�����F����w��*�<�¨�1�@xzyw}�z�F�}x��F�h{�xzy1�9{�vFwD~1|*�g~=w}|�{�x�w���h�.�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�����@�hyO{��1� ���hyO�� Q�=�k����������{*w}������utvFw�§�¡�ºMuG�,�gy`{�vFw��g{�vFw}|#v@�hyF�a��x�����*w}�£�  f���gyF�*x���{*w}yO{C��w��hy�¹@w}���s�h~1~1|*����xz���h{�x��gy��«v1x��*vs�(w����g��w��Dw��F�g�}{Cxzy�{�vFw9�zxz��xz{C�h�Hxzy�¹Fy1xz{*w��xz��w}yF��x��gyF��� ��{Hv@�g����xz��w}y�yFw}�°xzyF��xz��v�{*���hyF��~1|*w���x��}{*w������h|�x��g�F� ���@�h�zxz{?�h{�xz��w8{�|*w}yF�1�qxzy�{�vFw.|*w� ��x���{�|�xz�1�1{�x��gy�h�(��~(w��}{�|?�h�F��w}xz��vO{«�g��{*w}��~=w}|?�h{��1|*w���~1|*w��*���1|*wD�hyF���1�g~1xzy1�9�h|*w«���h|�x�w���xzy��g~1{�x����h��hyF�B~1vF�g{*�kw}��x��*��x��gy�w���~(w}|�xz��w}yO{*�8yFw��h|.{�vFw¤¡��g{�{«{�|?�hyF�*xz{�x��gyo�

��y |*w���w}yO{B��w��h|*���D�*w}��w}|?�h�G���h{*w}|�x��h���Bv@����w��(w�w}y[��x��*������w}|*w��4{�v@�h{B�h�z���¥� {�vFwsxzyO��w���{�xz�O�Z {�x��gy[�h�­{�vFw�~1|*�g~=w}|�{�x�w��B�h�­{�vFw § w}��w��}{�|*�gy1x�����{?�h{*w��1yF�1w}|�{�vFw�xzy �F�Fw}yF��ws�h�­�(�g{�v �*{�|*�gy1�w}��w��}{�|*�gy� Q���h{�{�x���w#�hyF��w}��w��}{�|*�gy� fw}��w��}{�|*�gys���g|�|*w}���h{�x��gyo��utvFw��?w �O�@�g�*xS�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�����k�*{*w}���xzyF�}�z�F�1w����h{*w}|�x��h�������F�*v��g� | ´q� �

2� |

2´q� �

3�h���gy��<�1�O�h{*w���~=�g�z�k��w}|*���hyF�9¸Dxkv@�h�zx��1w�� � � � � �

�h���gy1����{M�*w}��w}|?�h�k�g{�vFw}|*�¥�,utvFw��*wq������{*w}�����Z�qw}�z���1w��?�}|�xz�=w��#�g�S¡��g{�{SxzyF���1���h{*�g|*�¥�Zv@����w�|*w}���hxzyFw���#�*v@�h�z��w}y1��w­{*��w���x���{�xzy1��{�vFw��g|*w}{�x����h�S��w}{�vF�k�1���H¸C�gy� Q~=w}|�{��1|��@�h{�xz��w9��{��F��x�w��8�h��{�vFwG����y@�h��x����h�|*w���~(�gyF�*wqxzy�{�vFw��?w��*�k��{*w}���,v@����wt���h|���w}�z�9�=w�w}y�|*w���{�|�x��}{*w��#{*�C{�vFw����gyO{�xzyO�1�1�!�zxz��xz{�������� ��� � �hyF�

Page 96: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

��w}|���zxz{�{���wG���g�.²�yF�¥�«y��h�=�g�1{«{�vFw¤���h{�{�x���wG~1|*�g�1��w}������yB{�v1x��«{�vFw���x��«��wGv@����wG~1|*w��?w}yO{*w����?�g��wxzyF��xz��v�{*�q{�v@�h{�v@����wC�(w�w}y��g�1{?�hxzyFw��xzyO{*��{�vFwD�g~1{�x����h�=|*w��*~=�gyF�*w��k�*v@�h|���wC�O�h~B�hyF��{�vFw.�=w}v@����x��g|�h��w��1�}xz{*�gyF��xzy��gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h��¡��g{�{GxzyF���1���h{*�g|*���1{�xz�zxz¢�xzy1�B{�vFw�§�¡�©8ªK��w}{�vF�k�a�­�ew�v@����w�F�*w��B{�vFwG¹Fy1xz{*w­��xz¢�w¤�h�z���g|�xz{�v1�%�h��§�¡�©8ª»�«xz{�v��g~(w}y��(�g�1yF�F�h|������gyF��xz{�x��gyF�D{*���1w}��w}���g~��g�1|���g��~1�1{*w}|#~1|*�g��|?�h����§C�ky@�h��x����h�t���g|�|*w}���h{�x��gy³�¨�1yF�}{�x��gyF�­��w}|*w����g��~1�1{*w��`����{?�h|���w}{�xzy1�s{�vFw�h~1~1|*�g~1|�x��h{*w �S�hyF�}¢�������w��}{*�g|*���B�ew�v@����w��vF���«y³vF���>��¡��g{�{< f¯.�1�1�@�h|*�³w��1�}xz{*�gyo�H�B�(�g�1yF���{?�h{*w«�(w}{f��w�w}y�G�1�g�1�1��wD�����}�1~@�hyF�}���hyF��hy�w}��~1{f����xz{*w«xzy���@�g�*²k��|*�g�1yF���h�o��xzy1���z�#�����}�1~1x�w����xz{*w��������hy��(wt���g|���w���xzy�{�vFw.~1|*w��*w}yF��w.�h�S��yFw��h|*w��*{< QyFw}xz��vO�(�g|8´��g�1���g�9��|*w}~1�1����x��gyo�

V���«xz{�v1xzy

{�vFw­�gyFw� f��xz��w}yF�*x��gy@�h��¯D�1�1�@�h|*�������1w}� ��� � � �t�ew­���g��~1�1{*w9{�vFw9�}�1|�|*w}y�{< f�}�1|�|*w}yO{�¦¨�g~1{�x����h�M|*w� ��~(�gyF�*w��·�1yF�}{�x��gy2¬M�hyF��²�xzyFw}{�x��� Q²kxzyFw}{�x��¤¦¨©D�h���hy#|*w���~(�gyF�*w��·�1yF�}{�x��gy2¬,���g|�|*w}���h{*�g|*���g���8�·�1yF�}{�x��gy�h�S{�vFw�yFw��h|*w���{< QyFw}xz��v��=�g|�´��g�1���g�­�B|*w}~1�1����x��gy��g�t{�vFw�������{*w}�:�1yF�1w}|�����w��8�9{�|?�hyF��xz{�x��gy��¨|*�g� ���~1xzyB�1w}yF��xz{����t����w�¦ §«�4¬q{*���#�*v@�h|���wG�1w}yF��xz{����t����w�¦Q´�§8�[¬���{?�h{*w����ew¤�h���?�����g��~1�1{*w¤{�vFw���k���h�S��~(w��}{�|?�h�o�¨�1yF�}{�x��gy�����w}|D{�vFw­�?�h��w¤|?�hy1��w¤xzy

V���]xz{�v1xzy�{�vFw §«� ~1v@�g�*w��1{�vFw9��~=w��}{�|?�h�

�O�h~|*w}���hxzyF�����gyF�*{?�hyO{��1yO{�xz�a�­�}|�xz{�x����h�=�g�h�z�FwD�h�Vx��H|*w��g�?vFw����hyF��{�vFw}y|?�h~1x����z������w��q{*�­¢�w}|*�

yFw��h|«{�vFw §«�_  ´�§«� ~1v@�g�*w��(�g�1yF�F�h|���� �t{V = 0

{�vFwG�g~1{�x����h�,�hyF�B©C�h���hyB|*w���~(�gyF�*wD�·�1yF�� {�x��gyF�­�*vF���!��1|*���g�s��w��h{��1|*w�|*w}~1|*w��*w}y�{?�h{�xz��w��h�t{�vFw�¡��g{�{¤xzyF���1���h{�xzy1���O�h~`��w}yO{*w}|*w��`�h|*�g�1yF�

U� �D�

V�(w����g��w���yF�gy� Q¢�w}|*�1�,�hyew��1�}xz{*�gy1x��#�¨w��h{��1|*w��*{?�h|�{*��{*�B�1w}��w}���g~exzys�=�g{�v�{�vFw��g~1{�x����h�

�hyF��©D�h���hy|*w���~(�gyF�*wD�·�1yF�}{�x��gyF�«�h|*�g�1yF��{�vFwC�?�h��w��}|�xz{�x����h�=���h�z�Fw��h�V�g��xzy�{�vFwD���g�*w��h�S{�vFw

��~(w��}{�|?�h���·�1yF�}{�x��gyo���_xz{�v���¨�1|�{�vFw}|GxzyF�}|*w��g�*w�xzyV�a{�vFw�w��1�}xz{*�gy1x��#��w��h{��1|*w#�O�hxzyF�¤xzye�g~1{�x����h�

�qw}xz��v�{���|*w��g�*vFw����.���Z�kxz�9�1�®�hyF�¤{�vFw}y��g�hy1x���vFw��,yFw��h|M{�vFw §«�_  ´�§«�7�=�g�1yF�F�h|���� �.�z{�vF�g�1��v��¡��g{�{< f¯.�1�1�@�h|*��w����}xz{*�gy����hy��=wG�1w��?�}|�xz�=w����g�D�#�=�g�1yF��~@�hxz|.�h��w��1�}xz{?�h{�x��gyF�D�«xz{�v��g~1~=���*xz{*w�*v@�h|���w��¥��{�vFwG´��g�1���g�­��xzy�{*w}|?�g�}{�x��gyB�h{�{�vFwC�?�h��w8{�xz��wC�1w}{*w}|���xzyFw��t{�vFw.��xz¢�wC�h�a{�vFwD¡��g{�{��O�h~o�{�vFwBw��1�}xz{*�gy°~1|*�g~=w}|�{�x�w��¥���hyF�µ{�vFw����g�1~1�zxzy1�`�h�C{�vFwBw��1�}xz{*�gy°{*�s{�vFwB�g{�vFw}|�w}��w��}{�|*�gyF��xzy�{�vFw������{*w}����utvFw}|*w����g|*w��q�hy�xzyF�}|*w��g�?wB�h�D{�vFw�´��g�1���g�­�°xzy�{*w}|?�g�}{�x��gy_��{�|*w}y1��{�v°�1�kw��#yF�g{���xz��~1�z��1xzyF�s{�vFw#w����}xz{*�gy����g|*w#{�xz��v�{��z���o�1�1{­�h���*�|*w}yF�g|����h�zxz¢�w��­{�vFw9�O�h~��hyF�s���g�1~1��w��G{�vFw#~@�h|�{�x��}��w� vF�g��wBw��1�}xz{?�h{�x��gy����g|*wB��{�|*�gy1���z�`{*�s{�vFw��g{�vFw}|�w}��w��}{�|*�gyF���µutv1x��#��w��g�1��{*����yF�gy� Q���gyF�g{*�gy1x���(w}v@���kx��g|Gxzy�{�vFw�~1|*�g~(w}|�{�x�w��G�h��{�vFw�¡��g{�{< f¯.�1�1�@�h|*��w��1�}xz{*�gye�g�����¨�1yF�}{�x��gye�h��{�vFw�´��g�1���g�­�|*w}~1�1����x��gy���{�|*w}y1��{�vo�1���g|.w��F�h��~1��w��Fxz{*�.�g~1{�x����h�M�qw}xz��v�{��=�hyF��w}��w}y�{*��xzyF�*{?�h�1xz�zxz{�x�w��.{*�¥���h|*��{�vFw���g|����h{�x��gy��h�(�?v@�h|���w� f�1w}yF��xz{f��������wD��|*�g~1��w}{*����utvFw8w��1�}xz{*�gy��1xzyF��xzy1�­w}yFw}|����#x��H���g��~@�h|?�h�1��w.{*�{�vFw��g~1{�x����h�(�O�h~xz{*�?w}�£�M�hyF�vFw}yF��wD{�vFwC~1|*�g�1��w}� x���v1xz��v1�z��yF�gy� Q~(w}|�{��1|��@�h{�xz��w���utv1x��«��vF�g�1�����(w

Page 97: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

� �

���gyO{�|?�g�*{*w����«xz{�v{�vFw.w��1�}xz{*�gyF��xzy����gy���w}yO{�x��gy@�h�a�@�hyF��xzyF���1���h{*�g|*���«v1x��*vBw��kv1xz�1xz{t�¤���gyF�g{*�gy1x���(w}v@���kx��g|��g�­��¨�1yF�}{�x��gy`�h�t{�vFw�´��g�1���g�9�`|*w}~1�1����x��gy³��{�|*w}y1��{�v����Fw�{*��{�vFw����h|���w��*w}~@�h|?�h{�x��gyxzy±w}yFw}|����°�*���h��w��=w}{��qw�w}y]{�vFwB�@�hyF�°�O�h~_�hyF�±{�vFwB�1xzyF��xzy1�`w}yFw}|����°�h�G{�vFw�w��1�}xz{*�gyF���]§C�Fw{*����{�|*�gy1�����g|�|*w}���h{�x��gy³�hyF�����¥�K��xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f����w}��w��}{�|*�gyF�9�«xz{�v1xzye{�vFw §>¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}��h|*w#²kyF���«y�{*�B�1w����g�1~1��w�xzy�{*��yFw}�®w}��w}��w}yO{?�h|��ew��1�}xz{?�h{�x��gyF���ay@�h��w}�z���S�*~1xzyF�gyF��¦����*v@�h|���w}��w��*���~1xzy�  � �G�g� ��w��}{ ¬��hyF�#vF�g���gyF�C¦�����~1xzy1��w��*�H�g� ��w��}{��«xz{�v��1y1xz{��?v@�h|���w¥¬ � � � � ��utv1x��HyFw���w��*��xz{?�h{*w��q����h|*w��¨�1�o{�|*w��h{���w}yO{��h�M{�vFwG�·�1�z�o���hy��O Q�(�k����~1|*�g�1��w}����utvFw �S�hyF�}¢����D��w}{�vF�������g�­�1xzyFw����«xz{�v{�vFw­§�¡�©8ª®�h~1~1|*���g�*vsx��C��~(���qw}|<�¨�1�MyF�gy� Q~=w}|�{��1|��@�h{�xz��w�{*�k�g�a�¨�g|C���g��~1�1{�xzy1��{�vFw9����y@�h��x����h����g|�|*w}���h{�x��gy��¨�1yF�}{�x��gyF�.�h�H��yF�gy� Q{�|�xz�kx��h�,������{*w}�>�zxz²�wG{�v1x���� �D�1|.yO�1��w}|�x����h���h~1~1|*���g�*v��hyF��{�vFw��w}yFw}|?�h�zxz{f���h���g�1|.���g��~1�1{*w}|D~1|*�g��|?�h� ~(w}|���xz{*�8�F�«{*��w��g�*xz�z��xzyF�}�z�F�1w9�g{�vFw}|8xzy1��|*w���x�w}yO{*�����F�?v�g�.w���~1�zx��}xz{.��xz��w}|�xz¢¥�h{�x��gy��hyF��xzy�{*w}|*�*v@�hxzy�vF�g~1~1xzy1���«v1x��?v��h|*wG~1|*w��*w}y�{Dxzy�{�vFw��*wG���h{*w}|�x��h���Dxzy�g|*�1w}|8{*���h�z���¥�[���g|.���1w}{?�hxz��w�� ���@�hyO{�xz{?�h{�xz��w­���g��~@�h|�x��?�gy��«xz{�v�w���~=w}|�xz��w}y�{*�8xzy�{�vFwC�¨�1{��1|*w��

� �}�����?w}�z�°|*w}���h{*w��]~1|*�g�1��w}� �h�­�9�F�*v xzyO{*w}|*w��*{��.�gy]�«v1x��*v {�vFw�§�¡�©8ª �h~1~1|*���g�?v[�������vFw��]�zxz��vO{��hyF� �«v1x��?v[x����1yF�1w}|BxzyO��w���{�xz�O�h{�x��gyo�Cx���{�v@�h{��h�­{�vFws~1v@�g�?w���x��h��|?�h� �h� �O�@�g�*x£ �gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h���g|��O�hy1x������g��~(�g�1yF�1�­u«¡�u«u«º �hyF��u«¡�u º4�hyF��{�vFw}xz|­�1yO�F���@�h�H��w}{?�h�z�zx���(w}v@���kx��g| � ��� � � � � �>utvFw��*ws���h{*w}|�x��h�����h|*ws�=w}�zx�w}��w��[{*�µ�(w ���@�h|�{*w}|< �¹F�z��w�� ¡��g{�{ �fyF���1���h{*�g|*��hyF���}�����*w{*��{�vFwB¡��g{�{#{�|?�hyF��xz{�x��gy±~=�gxzy�{�� ���e���h|���xzy1��{�vFwB�hy1x���{�|*�g~����h�.{�vFwB������{*w}� �hyF�{�vFw�w}yFw}|������*���h��w��h{#�«v1x��*vµxz{9x���~1|*�g�(w��a�����«x��1w�|?�hy1��w��h�8�(w}v@���kx��g|*�#v@�g���=w�w}y³|*w}~=�g|�{*w��a�utvFw���w}{?�h�z�zx���~1v@�g�*wB��vF�¥�8�����1|*���g�³�¨w��h{��1|*w�|*w}~1|*w��?w}yO{?�h{�xz��w��h�C{�vFwB¡��g{�{#xzyF���1���h{�xzy1���O�h~o����h|�|��kxzy1��#��� ���g|�xz{f���h��{�vFw­�*~=w��}{�|?�h�o��w}xz��vO{¤�hyF������w}|��y@�h|�|*�¥�»§C|��F�1w­~=w��h²(�qutv��F���F{�vFw��?w���g��~(�g�1yF�1���h|*wB��w}|��³�Q�h|#�·|*�g� �(w}xzy1��ºFw}|���x.�zx �O�1x��1��hyF��~1|*w��*w}yO{�xzyO{*w}|*w���{�xzy1�³�*v@�h�z��w}y1��w�����D���*���h�M���1�F�*{?�hyO{�x��h�Sxzy�{*w}|*w���{8����xz{*�*w}�£��x��8�hy��1yF�1w}|*��{?�hyF��xzy1��h�,{�vFw¤���ky@�h��x����h�o~1|*�g~(w}|�{�x�w��.�h�{�vFw ���@�h|�{*w}|,¹F�z��w����gyFw� f��xz��w}yF�*x��gy@�h�2w���{*w}yF�1w���¯.�1�1�@�h|*�#���k�1w}�o¦ �H¯D¡�¬��hyF��x����=w}xzy1�¤�*{��F��x�w���h{«{�vFwG{�xz��w¤�h���«|�xz{�xzy1��{�v1x��.{�vFw���x����

��y�{�vFw­{�vFw���x����F��w¤v@����w��h���*�����gyF��x��1w}|*w���{�vFw­�zxz��xz{D�h��xzy�¹Fy1xz{*w���xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f���=xzy�~@�h|�{�x��� �1���h|��@����w}{�vF�k�B�«vFw}|*w}xzy��}�z�F�*{*w}|*�8�h���*xz{*w��.�h|*wGw}�­�(w��1�1w���xzy��#�?w}�£�  f���gyF��x��*{*w}yO{8��w���xz�1� ����� � �utv1x�����w}{�vF�k��xzyF���g|�~(�g|?�h{*w��¤��vF�g|�{�|?�hy1��w����g|�|*w}���h{�x��gyF���

k f�1w}~(w}yF�1w}yF��w��h��{�vFw��?w}�£�qw}yFw}|������g�

�qw}�z�(�g����xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{����«v1x��*vB�h|*w«��x��*��xzy1�­xzy�{�vFw.�g|�xz��xzy@�h�=��xzy1����w«xz��~1�1|�xz{f�����ky@�h��x����h�@��w��hy¹@w}����{�vFw��g|��`¦¨§�¡�º�u.¬ ��� � �C�ew#�*�g�z��w­{�vFw#�*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{Gw��O�@�h{�x��gyF�C���g|D{�vFw��}�z�F��{*w}|< f§�¡�ºMu¦Q´�§�¡�º�u.¬oxzy­{�vFwq�q�g|*��{����g�*w��*��w}y@�h|�x��1�g�kxz¢��z�Z{�vFw��gyFw���xz��w}yF�*x��gy@�h��w���{*w}yF�1w��#¯.�1�1�@�h|*�9���k�1w}�

Page 98: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

���

�F��xzy1�#{�vFw�w��1�g�}{«��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy��h~1~1|*���g�?vo�H�ew����g��~@�h|*w��«xz{�v�§�¡�©8ª»�hyF��¹FyF�{�v@�h{8w}��w}y{�vFw��*���h�z��w���{­~(���*��xz�1��w��}�z�F�*{*w}|9��xz¢�w�¦

Nc = 2¬­�h���gy1���«xz{�vµ�B�@�h{�v³�h�t���k�1w���{���xz¢�w�~1|*���kx��1w��

�hy`�g���}�1|?�h{*w��1w��*�}|�xz~1{�x��gy³�h�t{�vFw��gyF�*xz{*w����g|�|*w}���h{�x��gyF���M�«v1xz��w�{�vFw����a��xz{*w ���@�hyO{�xz{�x�w��9xz��~1|*����w������{*w}���h{�x����h�z�z�s�«xz{�v�xzyF�}|*w��g��xzy1���}�z�F��{*w}|­��xz¢�w���utv1x��¤x��­��w}|��sw}yF���g�1|?�h��xzy1�F����xzyF��w��gyFw��q�g�1���w���~=w��}{8��w��hy�¹@w}������w}{�vF�k�1�8{*��~(w}|<���g|�� w}��w}y��(w}{�{*w}|C�g�«{�vFw9��xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f��xzyF�}|*w��g�*w����q�ew�h���*��w��k{*w}yF��{�vFw#´�§�¡�ºMujw��O�@�h{�x��gyF�D{*��1w��*�}|�xz�=w­�1|*�g²�w}y��*������w}{�|����hyF����{��F��������y@�h��x����h����g|�|*w}���h{�x��gyF�¤xzy�{�vFw�´�§«� ~1v@�g�*w#{*�¹FyF�e�hyew��1��w}�z��w}yO{­�h��|*w�w}��w}y�{­�«xz{�ve���h���}�1���h{�x��gyF�¤�F�*xzy1�{�vFw8§�¡�©«ª ��w}{�vF���a��ºF�g�z���¥�«xzy1�9{�vFw«w��F�h��~1��w8�h�({�vFw��H¯C¡`�g�«xz{�v�{�vFw.��xz��~1��w���{H²kxzyF���h�(�*vF�g|�{|?�hy1��w.���g|�|*w}���h{�x��gyo��xz{���vF�g�1�����=w«~(���*��xz�1��w8{*�G{�|*w��h{H{�vFw«~1v��k��x����q�h�a���g|*w8���g��~1�zx����h{*w����g|*�1w}|*w��~1v@�g�*w����g����w}�z�=�g�H�1y1xz{���w}�z���q�h�a|*w��h�zx���{�x��.���h{*w}|�x��h�����«xz{�v1xzy�{�vFw.��w}�z�z�1���h|���w��hy�¹@w}����h~1~1|*���g�*vo�utvFw����hxzyµ�g�F�*{?�g�}��w�xzy³{�v1x���~1|*�g��|?�h� x���{�vFw���g��~1�1{?�h{�x��gy@�h�8w �(�g|�{�{�v@�h{9���kw��9xzyO{*�s�*�g�z�kxzy1�{�vFw��*w}�£�· f���gyF��x���{*w}y�{­w��O�@�h{�x��gyF�G�¨�g|G{�vFw#���h|���w��}�z�F�*{*w}|*�G|*w��O�1xz|*w��s����|*w��h�����g|����`�h~1~1�zx����h{�x��gyF���utv1x��.���h�z���.���g|.��������{*w}���h{�x��­�h~1~1|*���g�?v�{�v@�h{D�1��w}yF�1�8{*�g��w}{�vFw}|��}�z�F��{*w}|.���ky@�h��x����h�,��w��hy�¹@w}����hyF��|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~�x��1w��g� ����� ��� ! � {*���?w}��w��}{.{�vFw9������{D|*w}��w}���hyO{��1w}��|*w�w����h���·|*w�w��1�g�{*�#|*w}~1|*w��*w}y�{C���}�z�F��{*w}|��

�ew��g�F�*w}|���w�{�v@�h{­�=�g{�v³§C¡�©8ª �hyF�µ´�§C¡�º�u xzyO���g�z��w�{�vFw�w}�9�=w��1��xzy1�s�h�.�¹Fy1xz{*w��*xz¢�w������{*w}� xzy]�����h|���w}|��gyFwB{*�e�1w��?�}|�xz�=wB{�vFw������h�z��w}|�������{*w}�7�g��~@�h|�{��h�G{�vFwBxzy�¹Fy1xz{*w����h{�{�x���w���«�g�*w��°�gy°{�v1x��¥����w�v@����w�~1|*�g~=���?w��±�syFw}� �h~1~1|*���g�?v±{�v@�h{��1��w}yF�1��{�vFw�´�§�¡�º�u ¦¨�1w}|�xz��w���¨|*�g��{�vFw��zxz��xz{�h�¤xzy�¹Fy1xz{*w���xz��w}yF��x��gyF� ¬��hyF�±{�vFw�§�¡�©8ª7¦¨���F����w��*�<�¨�1�.xzy]�gyFw���xz��w}yF��x��gy2¬x��1w��g�#{*��~=w}|<���g|�� ���h���}�1���h{�x��gyF�#�¨�g|�|*w��h�zx���{�x���������{*w}����xzyµ{f�q�e�hyF�³{�v1|*w�w���xz��w}yF��x��gyF����utvFw´�§�¡�º�u �g�*���1��~1{�x��gy��h�D���*w}�£�  f���gyF�*x���{*w}yO{�ªG�h�F�*��x��hy³�@�h{�v°�g�­{�vFww}yO�kxz|*�gy1��w}yO{���{�v@�h{��gyFw���hy³xzyO{*w}��|?�h{*wB�g�1{#w��1�g�}{��z�exzyµ�g|*�1w}|#{*���1w�¹FyFw���|*w����F��w��³�1w}yF�*xz{f�e���h{�|�x£�`�¨�g|9{�vFw�}�z�F�*{*w}|���(w����g��w������g|*wC�hyF�����g|*wD�g���}�1|?�h{*wC�g��{�vFw.��xz��w}yF��x��gy@�h�zxz{f��xzyF�}|*w��g�*w�����utv1x��q�?vF�gx���w.�h�o�@�h{�v�x���g~1{�xz���h�@xzy�G����y@�h��x����h�2��w��hy�¹@w}�����?w}yF�*w¤¦¨�g~1{�xz��xz¢�w������g|�{�vFw8���g��~1�1{?�h{�x��gy��h�a{�vFw«�������h�2�gyFw~@�h|�{�x��}��w«ªC|*w�w}y�� �a�¨�1yF�}{�x��gy9�h�1{�vFw��}�z�F�*{*w}| ¬o�hyF�­�*x��1w���{*w}~F�o{�vFwq���gyO��w}yO{�x��gy@�h�1§�¡�©«ª�~1|*����w����1|*w���g|��1�1xz����xzy1��{�vFw�|*w����F��w����1w}yF��xz{f����h{�|�x£�B�g�1{8�h���9��w}�]{?�h|���w}{8�*{?�h{*w�����º1�1|�{�vFw}|��F{�vFwG§�¡�©8ª~1|*w��*�}|�xz~1{�x��gy ��� � �h�¤�*w}��w��}{�xzy1�`{�vFw���{?�h{*w����¨�g|��«v1x��*v]{�vFw�|*w����F��w��±�1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�°v@�g��{�vFw���h|���w���{­w}xz��w}y��g�h�z�Fw����h�z�����8�¤�¨�g|­�{�|��1yF���h{�x��gy³�h��{�vFw��}�z�F�*{*w}|¤¯.xz�z�(w}|�{¤��~@�g��w��«v1xz��w�|*w}{?�hxzy1xzy1�{�vFwq|*w}��w}�g�hy�{�~1vO����x����h��xzy��¨�g|����h{�x��gyo� �*vFw}���h{�x����h�z�z�������F�*v��.��w}{�vF�������g�1���9~1|*�k��w�w����O�­�1�gxzy1�´�§�¡�º�u_�gy������h�z�@�}�z�F�*{*w}|*���O{�|��1yF���h{�xzy1��{�vFw}xz|q¯Dxz�z�(w}|�{q��~@�g��w.�F��xzy1�­{�vFwD§C¡�©8ª ~1|*w��*�}|�xz~1{�x��gy

Page 99: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

��!

�hyF��¹Fy@�h�z�z���F�*xzy1��{�vFw}� �g�­�1�1xz����xzy1���1���k�*²��­�h�8w}��w}y����h|���w}|��}�z�F��{*w}|*����utv1x��¤~1|*�k��w����1|*w���hy�(w�|*w}~=w��h{*w��µ�1y�{�xz�.w}xz{�vFw}|��s�1w���xz|*w����}�z�F��{*w}|���xz¢�w��g|����gyO��w}|���w}yF��w�xzy±�s��w}|�{?�hxzy±�g�F�*w}|����h�1��w�h�Dxzy�{*w}|*w���{�x���|*w��g�?vFw��a���ew��(w}�zx�w}��w�{�v1x����*�*vFw}��w���vF�g�1�����g~=w}y�yFw}�>�kx���{?�g�#���g|#yO�1��w}|�x����h�|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~����h���}�1���h{�x��gyF�D�h��|*w��h�zx���{�x��¤�*�k��{*w}���txzy�{f�q���hyF�B{�v1|*w�w¤��xz��w}yF��x��gyF���

utvFw­��xz|*w��}{�x��gyF�8���g|«�¨�1{��1|*wG�q�g|�²��«xz{�v�{�vFw�´�§C¡�º�u[��w}{�vF�k���h|*wGyO�1��w}|*�g�F���hyF���?w}��w}|?�h�xzyO��w��*{�xz�O�h{�x��gyF���h|*w��1yF�1w}|�������� �DyFw�h�«{�vFw�~1|*�g�1��w}���9�(w}xzy1��xzy���w���{�xz�O�h{*w��³x��¤{�vFw�y@�h{��1|*w��h�{�vFw���~=w��}{�|?�h�C�qw}xz��v�{��g�����·�1yF�}{�x��gy[�h�­�1�g~1xzy1�F�»utvFw�~1vO����x������h�9{�vFw�¯D�1�1�@�h|*�±���k�1w}�Cxzy{f������xz��w}yF��x��gyF�¤�h{G¢�w}|*�{*w}��~(w}|?�h{��1|*w�x��G�����1� �<w��}{G�h��xzy�{*w}yF�*w�xzy�{*w}|*w���{­�hyF� �O�1xz{*w��hy��g~(w}y~1|*�g�1��w}�����ew«�h|*wt�}�1|�|*w}yO{��z����{��F���kxzy1�C{�v1x������k�1w}�@�h{H�hyF�����������·|*�g�¶v@�h�£�· �¹F�z�zxzy1�F� �|*�g��xzyFw}yO{�h���gy1����{t{�vFw �O�Fw���{�x��gyF���1yF�1w}|txzyO��w��*{�xz�O�h{�x��gyBx��q�«vFw}{�vFw}|t{�vFw}|*wCx��t�­���g|�|*w}���h{�x��gy���|�xz��w}yB¡��g{�{{�|?�hyF��xz{�x��gyµ�h{­v@�h�£�· �¹F�z�zxzy1�s�g�­xzyev1xz��vFw}|���xz��w}yF�*x��gyF��� �.���*���h�txzy�{*w}|*w���{�x��¤{�vFw�y@�h{��1|*w�h�«{�vFw��~(w��}{�|?�h���qw}xz��vO{��hyF��{�vFw��}�����*xzy1���h��{�vFw��O�h~�xzys{�vFw��1�g~(w��s���g�*w��¤ºF�g�z���¥�«xzy1���g�1|¤w��k{*w}yF�*x��gy�h�D{�vFw�´�§C¡�º�u>w��O�@�h{�x��gyF��{*�sxzyF���g|�~=�g|?�h{*wB�1|*�g²�w}y_��������w}{�|����q�qw��h|*w��h���?�sxzyO��w���{�xz�O�h{�xzy1�{�vFw­���g��~(w}{�xz{�x��gy��(w}{f��w�w}ys�hy�{�x£�¨w}|�|*�g���h��yFw}{�x��*� �hyF�

d Q������w��*�1~=w}|*���gyF���F�}{�xz�kxz{f�Bxzys���1�g~=w��

�}�z�F��{*w}|8xzy��g§#�

Page 100: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

! �

�»$���$�&=$�5�),$�/

� �� �8�1§G�h���g{�{*�1�q´��g|�|*w}���h{*w���w}��w��}{�|*�gyF�«xzy�v1xz��v� Q{*w}��~=w}|?�h{��1|*w9���1~=w}|*���gyF���F�}{*�g|*�¥��� ������� �������� � ��� ��� ��� ��� � � � � � !�! �F�

��� � ���Mª�w��g|���w��¥��ª�� �.�g{��zx��h|����¶� ��|?�h�1{�vo�H�hyF�`¡`� �F�,©.�g¢�w}y��=w}|��F��§C�ky@�h��x����h�q��w��hy� �¹@w}���{�vFw��g|����h�H��{�|*�gy1���z�B���g|�|*w}���h{*w����¨w}|���x��gy����k�*{*w}���.�hyF��{�vFwG�zxz��xz{C�h��xzy�¹Fy1xz{*w­��xz��w}yF��x��gyF���� ������� ��������� ����� ��� � � � ����� !�!����

��� � ª#�gª��g�z�1���hyF��´C� ���hy �o���hyo��� ��� � ����� ������� ������� � � �}� ���gv1yF��¯C�g~1²�xzyF� �.y1xz��w}|*�*xz{f� �|*w��*�¥� !�!����

� � � �8� ©9�(ª¤�h���zx��hyF���hyF��´C� ��� �«�h���*w}xz|*�1�C§C��y@�h��x����h� �|*�g~(w}|�{�x�w��G�h� D�@�hyO{��1��¡s�hyO��  ���k��� ����{*w}���.�h{��=w}|*��uSw}��~(w}|?�h{��1|*w������ � � � ������! � � �"��� ��! ����!�!�! � � ��� ��� !�� �k�

��� � ��� ª#�t�]xz���*�gyo�!utvFws|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy4��|*�g�1~ �±´q|�xz{�x����h�G~1vFw}yF�g��w}y@�°�hyF� {�vFw �.�gyF�1�~1|*�g�1��w}���#� ������� ����� ��� � ��� � � ����� � � � � � � ! � ���

��� � ��� ´C�t¯Dw}�8�*�gyo�%$� �'& ��� � �( � ��) � ��� � �(* ��+� �-, ���.� � � � ���®´t�h�9�1|�x�����w �.y1xz��w}|*�*xz{f��|*w��?���F¸Cw}�0/��g|�²=�1¸�� /#�z� !�!����

��� � � ©9�@�]v1xz{*w��hyF��©9� ¡`�=¸C���g�*²(�G©.w��h�£ f��~@�g��w ���@�hyO{��1� |*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gye��|*�g�1~F���1��� ���� ������! � � �"��� ��� ��� � � � � � � ! � � !�!����

��� � � ©9�.�]v1xz{*w�� §�w}yF��xz{��4���h{�|�x£�4���g|��­�1���h{�x��gy¶���g| ���@�hyO{��1� |*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy®��|*�g�1~F�¥���� � � � ������! � � �"��� ��! ��������� � ��������� !�!����

��! � � ©9�Z�]v1xz{*w���§�w}yF��xz{f�� Q���h{�|�x£���h�z���g|�xz{�v1���H�¨�g|����@�hyO{��1� |*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~F���2��� ���� ������3.� � � � �� � � � � �� ������� !�!����

� �� � ��� Mw��*�*vFw}�Q�54#�o���hy1�F��¡³� �¤�h�1�z²�w��H�hyF� ���S¯��h�z�z�=w}|���¦¨w��1��� ¬��'6 � � � � �7�+89� � � � �:�;� � � � �.8� ��� �:< ����� � �'8�=?> ��@A>B��� � � ��� ����� � �C ����� �D��� � � � �}� ~1|�xzy1��w}| �Hw}|����h�F� !�!�!��

� ��� ©9� �F� ���1|*��xz�z�Q�«uG��4Dx��hy1�F�8�hyF� ª#� �9�tª�w}v1|�xzy1�F�[utvFw��1w}yF�*xz{f�����h{�|�x£�±|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy��|*�g�1~��¨�g|�� ���@�hyO{��1� ��~1xzy��*v@�hxzy��h{DyF�gy� Q¢�w}|*��{*w}��~=w}|?�h{��1|*w��FEG����� ����� � � ����� ��� � � �}�� � � ����� � � ��! � � !�!����

� � � ��� ���@¯��h�z�z�=w}|��F�t§�w}yF��xz{��O Q���h{�|�x£���h�z���g|�xz{�v1� ���g|8{�vFw­���h���}�1���h{�x��gy��h�H����y@�h��x����h�M~1|*�g~(w}|< {�x�w��8�h�������t f��xz��w}yF�*x��gy@�h�M������{*w}��������� ��� � ���+��38� ��� � © !���� � ��©�!���� � � !�!����

� � � uG� §#� ���1v1yFw}|9�hyF� � ©9�(�_v1xz{*w��#§C�ky@�h��x����h�����g|�|*w}���h{�x��gye�¨�1yF�}{�x��gyF�G�F��xzy1�B{�vFw��1w}yF�*xz{f����h{�|�x£�B|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~o����� ��� � ������3.� � � ������� � � � ��� !�!�!��� � � ���ox��hy1�]�hyF�4¯�� ��hy1�F� �D~1~1|*����xz���h{*w���x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gy»�F��xzy1�°{�vFwe�1w}yF�*xz{f�[���h{�|�x£�

|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy� Q��|*�g�1~:��w}{�vF��� � ��{f���h f��xz��w}yF��x��gy@�h�£ f������{*w}����~(w}|*��~(w��}{�xz��w��H��� ���� ������3.� � ! ��!�� � � !�� �k� !�! �F�

Page 101: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

!

� � � uG� 4Dx��hy1�F� §�w}yF��xz{f�� Q���h{�|�x£� |*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy� Q��|*�g�1~®��w}{�vF�k� xzy»���g��w}yO{��1� �*~@�g��w����� � � � ������38� ��� � © �� ��� � ��© �� ��� ��� !�!����

� � � /��«¡�xz¢��1yF�1� ���«u,���1{*���1xQ��uG�«uS�gv��O�h�����­�hyF� �«¡��gw}²����t��� ¸D�gy1�zxzyFw��h|��g~1{�x����h�­|*w� ��~(�gyF�*w¤�hyF���*~1xzy� f�*v@�h|���w��*w}~@�h|?�h{�x��gy�xzy��gyFw� f��xz��w}yF�*x��gy@�h�,¡��g{�{8xzyF���1���h{*�g|*���#��� ����� �����3.� ��� � ©�� � ��! ��© � ��� ��� � ����� �

� � � ¯�� ��x�w��*��� � � � � ��� ��� �� � � � �+� � ��� ��� � � �+� � � ��� ~1|�xzy1��w}| �Hw}|����h�F� !�!����� � � ¯�� ��x���v1x��F����¯��S¡s�h{*���1¢¥�h²kxQ�M¯�� �D²��h���g{*�1��uG�S¡s�hy@�h�=w���¡³� /q�h���g��v1xz{?��� /��SuM�h���F�*v1xQ��hyF� /���uS�g²k�1|?����ª�xz�O�hyO{�x����g~1{�x����h�8yF�gy1�zxzyFw��h|�xz{��µxzy°�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�D¡��g{�{< f¯.�1�1�@�h|*�

xzyF���1���h{*�g|*�¥��> ���7� ���}� � � � ��!���! � !������ � ����� �� ! � �H� w}�@�g��{�x��hy°�hyF�°ª#�,�ew}x��*w}|�� �DyFw� f§Cxz��w}yF��x��gy@�h�8�]x��1w �HyFw}|���� �«�hyF�1�#xzyµ� M�g�z�k��x£ 

�g��w}{�����w}yFw9©.w}��w��h��w��B��� ����w��}{�|*�g|*w��@w��}{?�hyF��w�� ��� � � � ������! � � �"��� � � � � ��� � � ��!�� !�� ���� � � ���g¯D�g|����h{�vo��ª#�h�ew}x��*w}|���´C� �,�h~=w}|*�*�gy1yFw� f¡�w}��w}|��O¡³� �*vF�g{�{��k�hyF� � ~@�h��yF�g�zxQ�����hy1y1x�w}|w��1�}xz{*�gyF�C�hyF��º1|?�hy1¢}  �Gw}��������vsw �(w��}{��h��~=�g�z����x��g��w}{f�k��w}yFw#�*v@�hxzyF����xz�z�1{*w���xzy�{�vFw}xz|C�*xzy1����w

�}|�����{?�h�a���gyF�g��w}|.���h{�|�x£�a����� � � � ������38� ��� � ��� � � � ��� �F� !�!������� �� �8� ��� �ax�w}���hyF��ºt� /#�=���o� �.�F�?w}yF��w��h��¡��g{�{¤uo|?�hyF��xz{�x��gyexzye�hy ���F�g�}{ �g�z�1{�x��gy��h��{�vFw

vF�g|�{< f©C�hy1��w�� �DyFw�  �t�hyF�¡����1w}�=xzy �DyFwC§Cxz��w}yF��x��gyo����� � � � ���+��! � � �"��� � � � ��� � � ��� ��� !������

����� � �F� �H�gxz{�� Hv@�g�*w#��x��h��|?�h� �hyF�����g|�|*w}���h{�x��gys�¨�1yF�}{�x��gyF�G�h��{�vFw�v@�h�£�· �¹F�z��w���w��k{*w}yF�1w��s¯D�1�� �@�h|*�B���k�1w}�oxzy��gyFw¤��xz��w}yF�*x��gyo����� ��� � ������3.� � � � � � � � � � � � ��� !�!����

����� � §#�C´��gy�{�|*�g¢�¢�xQ�­ºt� ¯�� �H� �H�?����w}|��­�hyF� ��� ¡³�8uS����w}�zxz²(� �D~1{�x����h�#´��gyF���F�}{�xz�kxz{f�j�h� �DyFw� §Cxz��w}yF��x��gy@�h�M¡��g{�{ ��yF���1���h{*�g|*������� � � � ������! � � �"��� ��� ����� � � ������� !�!����

��� � � ©9� ¡`��º1��w���¡`� �F�k¡s�h|�{�xzyF����§#� �F� ���h���h~1xzyF�1� �F�����h��yFw}|��F�hyF���¶�O¯��hy1²�w���§C|��F�1w.��w}xz��vO{���g~1{�x����h�����gyF���F�}{�xz��xz{����a�hyF� �F����~1|*�g~(w}|�{�x�w��C�h�H�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h��¯D�1�1�@�h|*��|�xzy1���¥����� ���� ������3.� ��� ����! � ! � ��! ��� !�! �

����� � �¶� {*w}~1v@�hy �hyF� ��� Mw}yF��� §D�ky@�h��x����h�µ�1w}yF��xz{f�� f�1w}yF��xz{f� ���g|�|*w}���h{�x��gyF�¶xzy �gyFw� ��xz��w}yF��x��gy@�h�M¡��g{�{«xzyF�*�1���h{*�g|*������� � � � ������3.� � � � © � ����! ��© � � � ��� !�!����

����� � �8� ©9�@´qv@�h�z�@�h�F���hyF� �F� M�2ªG�h�z�zxzy@�h|������hy1y1x�w}| {?�h|�²���g�1�1w}|*�«xzyB{�vFw��g~1{�x����h�,�h�F�*�g|�~1{�x��gy��~(w��}{�|��1� �h�H� � ¯.�1�1�@�h|*��w����}xz{*�gy��z� E ����� � �#��� ��������� � ��������� !�!������� � � �F� M�HªG�h�z�zxzy@�h|�� �D~1{�x����h�£ ��h�F�*�g|�~1{�x��gy°��~(w��}{�|��1� �h�C���gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�8��{�|*�gy1�g f���g�1~1�zxzy1�

´��g�1���g�9�1x��9¯D�1�1�@�h|*��w��1�}xz{*�gyo����� ��� � ������3.� � � ��� � � � � � � � � !�!��������� � �F� �.��¯Dxz|*�*�?vo�K´qv@�h|���w� f§Cw}yF�*xz{f�� Q������we{*� ~1xzy� f§�w}yF��xz{f�� Q������w`uo|?�hyF��xz{�x��gy[xzy]{�vFw ���k 

{*w}yF�1w���¯D�1�1�@�h|*��¡��k�1w}�H����� ��� � ������! � � �"��� ��� ������� � � ����� � � !�� �F�����! � �F� ���a´t�hy1yF�gyo�a©9� uG� ���h��w}{�{?�h|��o�hyF� �8�(º1|?�g��²kxzyo�¤ªC|*�g�1yF�k f��{?�h{*w�~1v@�g�*w���x��h��|?�h�%�h�q{�vFw

�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h��w���{*w}yF�1w���¯.�1�1�@�h|*�������1w}�Q����� ��� � ������38� ��� ����!�!�� � � ��� � !�! ���� � � ª#� M���2v@�hy1�F��ªC|*�g�1yF�k f��{?�h{*w�~1v@�g�*wH��x��h��|?�h�j�h��{�vFwH�gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h��w���{*w}yF�1w��¤¯.�1�1�@�h|*����k�1w}� � �»�1w}yF��xz{f�� Q���h{�|�x£�B|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy� Q��|*�g�1~��h~1~1|*���g�?vo����� � � � ������38� ��� ��! ��! �! !���� !�! �k�

Page 102: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

!��

��� �� ¡³��¸��h²��h�­�1|?����uo|�x��}|�xz{�x����h�a�(w}v@���kx��g|txzy�{�vFwCw���{*w}yF�1w��¯D�1�1�@�h|*���*v@�hxzyF������� ����� ����� 3.�� � ��� ��� � ����!���� � ����� �

����� � ��� � v@�g��{�|��³�hyF� ��� ��� v1|?�hxz���hyo�eutvFw��g|��³�h�C©C�h���hyµ�?���h{�{*w}|�xzy1��xzy�¡��g{�{< f¯.�1�1�@�h|*�������{*w}��������� ��� � ���+��! � � �"��� ��� � �� ��� � �� � � !�! � �

����� � �8� ��w��?²�w}�z���hy1yo�aº��(ª�w}�1v@�h|*�a�(�hyF��ºt� ¯�� �H� ���*����w}|�� �D~1{�x����h��´��gyF���F�}{�xz��xz{����h�H{�vFw­¯��h�£�· ºMxz�z��w���¯D�1�1�@�h|*��´qv@�hxzyo����� � � � ������! � � �"��� ��� ����! �� � ��! ��� � ����� ���� � � ºt�Oª�w}�1v@�h|*�a� ��� �t�g{�{���¡`� �*vFw}x�����w}|�� M��utvF�g���g�����hyF� � �¶� �.�k�*vo� �D~1{�x����h�2�h�F�*�g|�~1{�x��gy�h�¤��{�|*�gy1���z�����g|�|*w}���h{*w��°v@�h�£�· �¹F�z��w��±¡��g{�{�¯D�1�1�@�h|*�±�?v@�hxzyF���0� � � � � � ��� 3.� � � � � � � �����

!�! �k������ � ´C� ��xz��� ��� /���¡��h{*�*�1�1|?��� �M� 4�� vFw}yo��¸���¡��g{*���O�h�����°¯�� ��x�� �h²�xQ� � �C�*v1x��F���

uG�Hu,�gvO�O�h�����.�hyF� �H¡��gw}²����t��� �D�F�?w}|��g�h{�x��gy]�h� ~1xzy�  ´qv@�h|���w w}~@�h|?�h{�x��gy_xzy �DyFw� §Cxz��w}yF��x��gy@�h� | ´q� � ������� ��� � ������! � � �"��� ��� � � � � � � � � � �k� !�!����

����� � ©9��¸Dw}�F�1w}|�{��g¡³� ��yO�1~���w}|��h¡³� �Zª��g���1w}yo� �F�¥º,xzy1²(���¶� {*w}~1v@�hyo� ��� Mw}yF���g¸9��¡��g{*���O�h�����¯�����x��?�h²kxQ�O�hyF� � �C�*v1x��F����¡s�hy1x£�¨w��*{?�h{�x��gy��h� ~1xzy�  ´qv@�h|���w w}~@�h|?�h{�x��gy�xzy�{�vFw8§C�ky@�h��x��§Cx�w}��w��}{�|�x��©.w���~(�gyF�*w��h� �DyFw� f§Cxz��w}yF��x��gy@�h� | ��´q� � ��� ��� ��� � ������! � � �"��� � ����� � � ��� � � !�!����

��� � � ��� �a�1{�vFw}|�� ��xz��w}y��g�h�z�Fw9��~(w��}{�|��1� �h�Mxzy�{*w}|?�g�}{�xzy1�����g�*��xz��wC��w}|���x��gyF�«xzy��gyFwG��xz��w}yF��x��gyo���� � � � ������38� � ��� ��� � � ��!�� ! � ���

����� � ��� ��� �(�h���g���k�1�*v1xz²������hyF� �.�Q� ��� �(�h���g�����1�?v1xz²����(��º2�g�}{*�g|�xz¢�w��  Q���h{�|�x���w��9xzy³{f���s��x£ ��w}yF��x��gyF�«�g�q{�vFw.w��F�g�}{��?�g�z�1{�x��gyF���h�S��w}|�{?�hxzy|*w}���h{�xz�kx���{�x�� ���@�hyO{��1�!¹@w}����{�vFw��g|��������1w}���¥�= � � ��� � � � ��� � � � ����� � � ������� � ��! � ! � !��

����! � ºt� ¯�� �H� �H�*�*��w}|��@ºt�@ª�w}�1v@�h|*�a�2�hyF���8� ��w��?²�w}�z���hy1yo�����1�}xz{*�gyF�8xzy��gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h��¡��g{�{xzyF���1���h{*�g|*�¥����� ��� � ������3.� � � � ��� � !�� � ��� �

� � � � ��� ���2ª��g���g�zxzyo� ��� ���F¸Dw}|*�?w����O�hyo�F�hyF� ��� ¡`�Fu,����w}�zxz²(��3 ��� � � � <� ��� � � � � � � � � � ��� � � � � �.8��� � ��� �� � � � � ��� �}��´t�h�­�1|�x�����w �.y1xz��w}|*�*xz{f� �|*w��*��� !�!����� � �� ��´��g��w}���hyo� D�@�hyO{��1�>��xzyFw�  ª��g|*�1�gy�w��O�@�h{�x��gy��g�H{�vFwD���g�*��xz��w8utv1xz|�|�xzy1�����k�1w}�Q����� ���

� ������6­� � ��� � ��� � � � ! �k� ! � ���� � � � ��� �a�1{�vFw}|.�hyF� ��� �F� �H��w}|���� �«�g�*²k���h|*� ���h{�{*w}|�xzy1��xzy�{�vFw �DyFw� f§Cxz��w}yF��x��gy@�h� ����w��}{�|*�gyªG�g�¥����� ��� � ������! � � �"��� ��� ������! � ��!���� ! � �F�� � � � ¸��h{?�hy �DyF��|*w}xQ��� � � � � � ��) � � � ��� � � � � � � � � � � � ���� � ��� � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � �(� ���+8� � � � � � � � � ���� � � � � � ����� � ��� ����� ��� ��� ! �+@ 876 � � � � � � � � ����#� � � �7�G� , � � � � $� � � � � � �� � � � ��� � � � ���� � ��� � � � ��� � � � � � � ��� � ��! � � �� ��� � � � � ����� � � � � � � � � � ��� ��! ��� �� � � �g�

�e�g|���� �}x�w}y�{�x£¹@��� !�!����� ��� � ´C� ���g�1|��(�gy1y@�hx����hyF�`§#� ��w}|*�g��w�� $� � � � �.� ��� � � ��� � �� �� � � �C8 ��� ��8 � � � � � � � ��� ��� � �.8

� ��� ��� �.� � � � � � � �+� � � � � ��� � �A �#3 ��� � ����� � �#! � ��� � � � � � ������3 � � � ��� �� � � ��� = �+� � � ��� �� � � � � �C � ������� � ����� ���1$�@ � � �7� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � �-$ � �� � ��� � �+��� � ��������������?w}��x�w}|��F¸Cw}�0/��g|�²(� !�!�!��

� � � � §#� �Ow}|*�g��w�� � � � � � ��� � � � ��� � ��� �+� � � � �!�B, � ��� (TMTSF )2PF6� ��, � � � � ��� � � �}�8¡s�h|*��w}�

§�w}²k²�w}| �fyF���z� !�! �F�

Page 103: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

!��

� � � � � ��x�w}|����hy1yo� ����ª�w��g|���w���� ��� �ax��*v�{*w}yF��{*w}xzyo�1�hyF��uG�OªCx��h���h|*�*v1xQ��§�w����gy�¹FyFw}��w}y�{quo|?�hy� ��xz{�x��gy��hyF� �a�1{�{�xzy1��w}|�{*�Cº@w}|���x �ax �O�1x���´q|*���?�*����w}|�xzy D�@�g��x£  �DyFw� f§Cxz��w}yF��x��gy@�h� �k��{*w}���¥���� � � � ������! � � �"��� � � ��� � � � � ��� � ��� �

� � � � §Cx�w}{*w}| �H�g�z�zv@�h|*��{�� � � � � � ��� � ����� � � � � � � � �� � ��� �� � � � � � � � � ��� � � ��� �;� � � � � �C � � �C� � � � � � �� ���C� � � � � � � ��� � �A� � � �� � ��� �� � � � � � � � � �.� � � ��� �B� ��� � � � ������)������5E ����� � �.�����e�g|���� �}x�w}y�{�x£¹@��� xzy1�O�h~(�g|*w�� !�!����

� � � � ���h�z{*w}|�¡�w}{�¢�yFw}|��hyF�[§Cx�w}{*w}| �H�g�z�zv@�h|*��{��>´��g|�|*w}���h{*w�� �S�h{�{�x���weºFw}|���x��gyF�Bxzyd = ∞§Cxz��w}yF��x��gyF������� ��� � ������! � � �"��� ���1¦ ��¬ ����� � � ��� �k� !���!��

� � ! � ���=ª�w��g|���w��G�hyF�eª#���.�g{��zx��h|���¯.�1�1�@�h|*�����k�1w}�,xzy�xzy�¹Fy1xz{*w#��xz��w}yF��x��gyF���B��� ����� �����53.�� � ��� � � ! � � � ����� !�!����

��� � � ¡³� ¯9��¯Cw}{�{���w}|D�h�(� ��� ¸��1u,�hvO�kxz���F�h|<  �(�g�1w}vo�=¡`� �O�h|�|*w}�z�Q�FuG� H|��F�*�*v1²�w��=�hyF�B¯9� ©9� ��|�x��*v� y@�h�9�1|�{�vO����¸D�gy1���k���h�O���ky@�h��x����h�����g|�|*w}���h{�x��gyF�M�h���*{�|*�gy1���z�Dxzy�{*w}|?�g�}{�xzy1�Cw}��w��}{�|*�gy����k�*{*w}�������� � � � ������38� ��� � © � � � � ��© � � � !�� !�!����

��� �� �q¡��g�1²��g�1|�xQ�.´C�H¯D�F�*�}|*�h�¨{��«�hyF�±¡³���O�h|�|*w}�z�Q�[utvFw�§C�ky@�h��x����h��´q�z�F��{*w}| �.~1~1|*���kxz���Z {�x��gy � �K¸Cw}�®uSw��?v1y1x �O�Fw��¨�g| xz�9�1���h{�x��gyF�­�h� {�|*�gy1���z�e´��g|�|*w}���h{*w�� ����w��}{�|*�gy �k��{*w}���¥�� ��� �C��� � � � ��8"� ����� ��� �� �� � � � ����� �

����� � ��� � � �ox��*vO{*w}yF�*{*w}xzy¶�hyF�4¡³� ��� �¤�h{*��yFw}���*�gyo� �DyO{�x£��w}|�|*�g���h��yFw}{�x���� �hyF� �k Q������w`���1~(w}|< ���gyF���F�}{�xz�kxz{f�µxzy��}�1~1|?�h{*w���� � �}�z�F��{*w}|����ky@�h��x����h�«��w��hy� �¹@w}���µ{�vFw��g|���� ��� ����� �����#3.���� � © !������ ��©�!�������� � ����� �

����� � ª#� ��h���*�*�gy�ª#� �D�g{��zx��h|�� � /�� ����|?�g�?�����hyF��ª�����xz|*�g�zxQ��´�w}�z�z�1���h|�§C��y@�h��x����h�1¡�w��hy�ºMx�w}����D~1~1|*���g�*v�{*� {�|*�gy1���z��´��g|�|*w}���h{*w�� �k�*{*w}��������� � ��� ������! � � �"��� � � � ��� � � � � ��� ���� � � ª#� �.�g{��zx��h| � ��hy1²������hyF�F/#�h¡��g{*�g��w�� w}��x��}���g�*�*x����h�1�hy@�h�z����x����h�2w���{*w}yF�1w��#����y@�h��x����h���w��hy� �¹@w}����w��O�@�h{�x��gyF������� ��� � ������3.� ��� � � � � � �k� � ��� �������� � M� �1y��hyF��ª#� �D�g{��zx��h|�� ���k{*w}yF�1w�������y@�h��x����h����w��hy� �¹@w}����{�vFw��g|��s�hyF��ªC� ��w}{�vF���a�

��� � � � ������38�1~@�h��w � ��� � � � � ��� �������� � ©9� �F� ���z�zx��g{�{�� �@� �9� ��|��1��v@�hyF���Q���hyF� M� �H� �ow��h{�vo��utvFw#{�vFw��g|����hyF��~1|*�g~(w}|�{�x�w��¤�h�t|?�hy� �1�g���z����x��*�g|*�1w}|*w����}|��k�*{?�h���D�hyF��|*w}���h{*w���~1vO����x����h�,�*�k��{*w}���¥�#� ����� � � ������� � ��� � � � � ��� �

� � ��� ! � �F���� � � ª#� ��xz|*�g�zx=�hyF�ª�� �.�g{��zx��h|���´q�z�F�*{*w}|���w}{�vF�k�1�H���g|q��{�|*�gy1���z�����g|�|*w}���h{*w��w}��w��}{�|*�gy����k�*{*w}�������� � � � ������38� ��� � ��� � ��� � ��� �������� � ´C� �F� �t�g��w��?vo� � � �¤�hyF�*v@�h|��������hyF��ª#� �.�g{��zx��h|���´�w}�z�z�1���h|q§D�ky@�h��x����h�@¡�w��hy�º,x�w}����utvFw� �g|������g|�{�vFw § ���k{*w}yF�1w���¯D�1�1�@�h|*��¡����1w}�Q����� ��� � ����� 3 �7= ����"��� �� � � � ��� ) � � ������ � � �h�

� ��� �������! � ¡³�O´t� �a�h|*w}�=�hyF�#�»� ��|?�h�1{�vo�����F�g�}{H��x��h���gy@�h�zxz¢¥�h{�x��gyB�h~1~1|*���g�*v�{*�G���g|�|*w}���h{*w����¨w}|���x��gyF�xzy³xzy�¹Fy1xz{*wB��xz��w}yF��x��gyF����¡��g{�{�{�|?�hyF��xz{�x��gy±�hyF�³���1~=w}|*���gyF���F�}{�xz�kxz{f�(�-��� � ��� ������! � � �"���

� � � � � � � � � ��� !�! �F���� � � ª#�=¡���w}�z��w}|G¡³� �F�2©D�g¢�w}yO�(w}|����hyF��ª����D�g{��zx��h|��¤utvFw���w}{?�h�£ QxzyF���1���h{*�g|G{�|?�hyF��xz{�x��gysxzys{�vFw¯D�1�1�@�h|*�B���k�1w}�,�h{«¢�w}|*��{*w}��~(w}|?�h{��1|*w�� � ����� ��� ��� ! � � �"��3.� � ������� � � � ��� !�! �F�

Page 104: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

! �

��� �� �� xQ��¡³� �F�q©.�g¢�w}yO�(w}|��F�Dª#� �.�g{��zx��h|��.�hyF� �9� �8�q©8�F�?²�w}yF��{*w}xzyo� ´��g|�|*w}���h{�x��gy_xzyF���F��w��xzyF���1���h{*�g|.{*����w}{?�h�o{�|?�hyF��xz{�x��gyF������� ��� � ������! � � �"��� � � ��� � � � � � � �F� !�! �F�

����� � ª��kw}{�¢¤¡���w}�z��w}|�� Dxz��x��g� xQ�2ªG�h�1|�x�w}� �D�g{��zx��h|��@¡s�h|*��w}����©.�g¢�w}y��=w}|��F�@�hyF��§��hy1x�w}� �1º,x��� �?vFw}|��`´q|�xz{�x����h���tw}v@���kx��g|�yFw��h|�{�vFw�¡��g{�{�uo|?�hyF��xz{�x��gy�xzyµ{�vFw�¯.�1�1�@�h|*��¡��k�1w}�Q� ��� ���� ������! � � �"��� � �@¦ � ¬ ��� � ��� � � � ����� !�!����

����� � ºt�@§C�F���g��{*w}�z��w�� �Dy@�h�z��{�x��­~1|*�g~=w}|�{�x�w��C�h�H{�vFw¤���gvFw}|*w}y�{C~(�g{*w}yO{�x��h���h~1~1|*����xz���h{�x��gye�hyF���h�xz{*�«���g��w��}�1���h|D��w}yFw}|?�h�zxz¢¥�h{�x��gyF����E ����� � ����� � � � !�� � � ��� ! � �F���� � � ��� �?v1xz�z��w}| �hyF� ��� ��y1��w}|*�*w}y�{�� ����{*w}���h{�x�� �h� ´��g|�|*w��}{�x��gyF�»{*� {�vFw �fy�¹Fy1xz{*w� 

§Cxz��w}yF��x��gy@�h� �axz��xz{��h�=´��g|�|*w}���h{*w�� �S�h{�{�x���w ����w��}{�|*�gy�¡����1w}�����5��� ���G� ���+�G! � � �"����� � � � � �� ��� !�!����

����� � ©9�k´qv1xz{�|?���hyF��ª#� �.�g{��zx��h|������(w��}{t�h� �o�gy1�#©D�hy1��w�´��g�1���g�­� ��yO{*w}|?�g�}{�x��gyF�«�gy�{�vFwC¡��g{�{uS|?�hyF��xz{�x��gyo����� � � � ������! � � �"��� � � ����� � � � ����� � � ����� ������ � ©9��´qv1xz{�|?�#�hyF��ª#� �.�g{��zx��h|�� � �aw��}{�xz��w� ��g�}{�x��gy��h~1~1|*���g�?vB{*���*{�|*�gy1���z�����g|�|*w}���h{*w����w}|���x��gy������{*w}��������� ��� � ���+��38� ��� � � � ��� � � ��� ���� � � ©9�1º1�1²��F�F���2¡`� �D�g���g�*v1xz�O��� � /��g²�� �<xz����� /�� �1¢��1²�xQ� ��� �D²��1�9�1|?���2�hyF��uG� ��y@�h�O�h²kxQ�¸C����w}�q�F�*w��h���ow}��w}yF��|*w�{�|?�hyF�<�¨�g|����h{�x��gy`xzye¹@w}����{�vFw��g|����hyF�����hyO��~@�h|�{�x��}��w����k�*{*w}���< 

�gy� f��vFw}�z�tw���~@�hyF��x��gy³�hyF�`xzyO��w}|*��x��gy³��w}{�vF�k�a� � � ���1$� � � ���D��� ��� � � � � � ��� � � � � ����� !�!����

����� � ª#���.�g{��zx��h|�� �S�hyF�F�h�s{�vFw��g|����h�H{�vFw�¡��g{�{D{�|?�hyF��xz{�x��gysxzy�{�vFw­�·�1�z�z���¨|��F��{�|?�h{*w���¯.�1�1�@�h|*����k�1w}�oxzyBxzy�¹Fy1xz{*w­��xz��w}yF�*x��gyF��� ��� � ������� ��� E � 38� � ��� � � ��!�� !�!�!������! � uG� ����¡��hx�w}|�� ���Hª��gy1¢¥�h��w}¢��H¡³���O�h|�|*w}�z�Q�q�hyF�µuG� �*vO�1�z{�vFw��?���euo��� D�@�hyO{��1� ´q�z�F�*{*w}|

�D~1~1|*����xz���h{�x��gyF��� � � � � ��� � � � �+8"� ����� � ��� !� � �g� � ��� ������ � � �F� �H� ��xz{�v³�hyF� Dxz��x��g� xQ� ~@�h{�x��h�t���g|�|*w}���h{�x��gyF��xzy`���ky@�h��x����h�q��w��hy� �¹@w}���³{�vFw��g|��(�

��� � � � ������38� � ��� � � � � !���� � ����� ���� �� ©9� �q�1�z����� �9� ´C�1¯Cw}�8�*�gyo�@�hyF��uG� �|��F�*�*v1²�w��q¸.�1��w}|�x����h�S|*w}yF�g|����h�zxz¢¥�h{�x��gy���|*�g�1~����h���}�� ���h{�x��gyF�����g|�{�vFw«�*w}�£�· fw}yFw}|������h�={�vFwtxz��~1�1|�xz{f� �DyF�1w}|*�*�gy������1w}�o��EG� ��� ���5� � � ��� � ��� � � �}�

�� ��������� � ����� � � !�!������� � � ��� �9� �D�kx��*v1xzy1y1xz²��¥�=� �����}xz{?�h{�x��gy`��~=w��}{�|��1� xzy�{�vFw��gyFw� f��xz��w}yF��x��gy@�h�q¯D�1�1�@�h|*�����k�1w}�Q�

� ������9� ��$ � � ����, � < ��� � � ��� � � � � � ��� !���!����� � � � � �¤�hyF�?v@�h|������hyF��´C� �F� �t�g��w��*vo� �D~1{�x����h�a|*w���~=�gyF�?wDxzy��gyFw� f��xz��w}yF�*x��gy@�h�S¡��g{�{«xzyF�*�1���Z {*�g|*������� ��� � ���+��38� � � � � ��� � !�� � ����� �

Page 105: k 1w}~(w}yF 1w}yF w h ,{ vFw *w} £ w}yFw}| «v1x *vs h|*w ...kotliar/thesis/venky_thesis.pdf · )+*-,/.1032146587896: 4;,/.?9@,A9B.BC 9D78915FEHG89B.1IJ9 9 KMLONPNRQTSVUPW

!��

� '<02+

��LON�PSR2THU=V2W�R@XZY�V(L�V[��V=L�\_V_^�VaT�b�cHV(LOdfV

� � � � )qW!ihefQ�kOX}SBX}|�,/iTLOQ�Z^ioQ�xzy �v��k��x����¥��.y1xz��w}|*�*xz{f�B�h� �t�g�9�@����� �t�g�9�@����� ��yF��x����

� � � � CW!NPUPQTS?X}|6,AiTLOQ�ZfioQ�xzy �vO����x�������fyF��x��hy ��yF��{�xz{��1{*w¤�h��uSw��?v1yF�g���g����� �t�g�9�@����� �fyF��x����

� � � � ���MSVQ�NPQ�Z[U g ShW!KM\fW�UPQd,/UR\fKMLOQTN�L�Z E;X�ZfKfQ�Z^NPQ�KcC�W�UbUPQTS?�;e[zsNVLYiTN��©8�1{���w}|*���(utvFw {?�h{*w �Dy1xz��w}|*��xz{f���h�q¸Dw}� ��w}|*�?w}���a¸Dw}� ��|��1yF���«x��*²(�a¸Cw}���w}|*�*w}��� � ���

������� �;e�� ��xzy �v��k�*x������©8�1{���w}|*���(utvFw {?�h{*w �Dy1xz��w}|*��xz{f���h�q¸Dw}� ��w}|*�?w}���a¸Dw}� ��|��1yF���«x��*²(�a¸Cw}���w}|*�*w}��� � ���

� � � � �H�}�}��� ©8�1{���w}|*� �Dy1xz��w}|*��xz{���u,w��g�*v1xzy1� �D�?��x���{?�hyO{*�*v1xz~o�

�;\f]Mk�LOioW�URLOX�ZfN����� � ��������� ��� ��� �9� ��� ��� � � � � ��8 ���C� � � � � � � ��� � ��� � � � �.� � ��� � � ���

� � �¤�hyF�*v@�h|������hyF��´C� �@� ���g��w��?vo� HvO����x����h�H©.w}�kx�w}� ��� � � � � ��� � !��¦ � ��� ¬��������� � � � � � � � �#6 � � �+� ���� � � � ��� , � � � �;$� � � �.� � � � �C � � 6 � � � � � � ��1* � ) ) � ��

� ��� � �:�´C� �F� �t�g��w��*vo� � � �¤�hyF�?v@�h|������hyF��ª#� �.�g{��zx��h|��,¦ �«����w}~1{*w��B���g|�~1�1�1�zx����Z {�x��gy�xzy �v��k��x����h�,©.w}�kx�w}� �8¬��