L analyse temps fréquence - Altracustica · VERSION FEVRIER 2001 1 L’analyse temps – fréquence Document réalisé par : Jacky DUMAS 01dB-STELL (Groupe MVI technologies) Directeur

VERSION FEVRIER 2001 1

L’analyse temps – fréquence

Document réalisé par :

Jacky DUMAS01dB-STELL (Groupe MVI technologies)Directeur Marketing565 rue de sans souci69760 LIMONESTTél : 04 72 20 91 00Fax : 04 72 20 91 01E-mail : [email protected]


INTRODUCTION :................................................................................................................................................................3

LES TECHNIQUES D’ANALYSE TEMPS – FREQUENCE.......................................................................................4

LA TRANSFORMEE DE FOURIER COURT TERME (TFCT)...................................................................................................4LA TRANSFORMEE PAR FILTRAGE NUMERIQUE COURT TERME (TFNCT)...........................................................................5LA TRANSFORMEE EN ONDELETTES (WAVELET TRANSFORM : WT)............................................................................6

LES PROPRIETES DE RESOLUTION .........................................................................................................................9LE CHOIX DE LA FONCTION ANALYSANTE DE BASE........................................................................................10ETAPES DE LA WT ......................................................................................................................................................11

LA TRANSFORMEE DE WIGNER VILLE (TWV) .............................................................................................................12TWVL (Transformée de WIGNER-VILLE LISSEE) ....................................................................................................13

COMPARAISON ENTRE TPWVL ET TFCT:........................................................................................................................14

CONCLUSION .....................................................................................................................................................................14

EXEMPLES DE CALCULS TEMPS - FREQUENCE .................................................................................................15

OBJECTIFS: ......................................................................................................................................................................15


Introduction :

L’analyse spectrale basée sur la transformée de FOURIER (FFT) et sur le filtrage numérique (1/nd’octave) fournit une bonne description des signaux stationnaires et pseudo - stationnaires.Malheureusement, ces techniques ont de nombreuses limitations quand les signaux à analysersont très instationnaires.

En particulier, la FFT est une analyse par bloc temporel qui suppose le signal échantillonnéstationnaire sur toute la durée du bloc.

L’image ci dessous montre un tel signal accompagné de son spectre moyen d’amplitude calculépar FFT.

Cette analyse montre ses limites dès lors où elle ne donne pas la localisation temporelle de sescomposantes fréquentielles représentées par les pics du spectre. En fait, cette information estcachée dans la phase du spectre.

Dans ce cas, la solution sera de calculer les spectres instantanés pour chaque pas temporel dusignal. Les outils pour atteindre ce but sont appelés techniques d’analyse temps – fréquence.Plusieurs méthodes existent et aucune ne prédomine sur l’autre. Leur utilisation va dépendre del’application visée et des avantages et des inconvénients de chacune pour faire apparaître lesinformations recherchées. Trois méthodes sont détaillées par la suite :

La transformée de FOURIER court terme (TFCT)La transformée par filtrage numérique court terme (TFNCT)La transformée de Wigner – Ville (TWV)La transformée en Ondelettes (WT : Wavelets transform)

L’augmentation de puissance des ordinateurs a permis de mettre en application les modèlesnumériques de ces transformées et donc d’obtenir les descriptions temps fréquence des signauxnon stationnaires. Cependant, sans attendre les ordinateurs, l’homme et en particulier le musicienpratique depuis très longtemps les techniques d’analyse temps – fréquence par l’écriture despartitions musicales.


Les techniques d’analyse temps – fréquence

La transformée de FOURIER court terme (TFCT)

La transformée de FOURIER ne peut seulement s’appliquer à l’analyse de signaux stationnairesou supposés comme tel. La formulation de cette transformée le montre clairement puisquel’intégration enlève la dépendance temporelle.

∫+∞

∞−

−= dtetsfS ftj π2*)()( (1)

Si le signal à analyser est non stationnaire, l’idée de la TFCT est de partager ce signal enfractions supposées stationnaires. Pour chaque fraction temporelle, une transformée deFOURIER (FFT) est appliquée. Le signal est découpé au moyen d’une fenêtre (« g ») où l’indice τreprésente le positionnement temporel de cette fenêtre et donc le positionnement du spectrecorrespondant. La formule suivante résume le principe :

∫+∞

∞−

−−−= dtetgtsfS tfj )(2*)(*)()( τπτ τ

(2)

Où τ représente le paramètre de localisation de la fenêtre g. Sτ(f) correspond au spectre du signals autour de τ. f est le paramètre de fréquence.La série de spectre ainsi constitué représente une forme de transformée temps fréquence dusignal appelé spectrogramme.Ce traitement fait l’hypothèse de stationnarité durant la durée de la fenêtre g quelle que soit lapartie du signal considéré. La longueur de la fenêtre est cependant choisie pour respecter cettehypothèse. Ce choix influence directement les propriétés de résolution de la composition ; plus lafenêtre g est petite, plus la résolution temporelle est meilleure mais plus la résolution fréquentielleest mauvaise. Si une haute résolution fréquentielle est nécessaire alors une longue fenêtretemporelle g sera utilisée et il sera difficile de respecter les hypothèses de stationnarité.La forme, la longueur de cette fenêtre ainsi que le pas d'incrémentation sont des paramètres fixésavant l’analyse. Ils présupposent une bonne connaissance a priori du signal à analyser.


La transformée par filtrage numérique court terme (TFNCT)

Le filtrage numérique en 1/n d’octave consiste à appliquer à un signal numérisé uneopération de filtrage par un banc de filtres dit « numériques », par opposition à un traitementdirect du signal audio par un banc de filtres analogiques (type RC par exemple).

L’opération de filtrage numérique consiste alors à faire passer le signal de départ par labatterie de filtres (par exemple 14 filtres d’octave et 43 de 1/3 d’octave), et à calculer descritères énergétiques sur chaque signal de sortie. Les calculs énergétiques sontgénéralement réalisés par un détecteur numérique en sortie de chaque filtre. Le détecteurréalise des moyennes de type exponentiel, linéaire ou retenue de max.

La synthèse de filtres numériques consiste à transposer les méthodes de synthèse desfiltres analogiques :

- Définition d’un gabarit du filtre numérique : fréquences de coupure, atténuation,ondulation en bande passante.

- Distorsion de fréquence pour obtenir le gabarit du filtre analogique équivalent.- Synthèse du filtre analogique par techniques classiques (Butterworth, Bessel,

Cauer, ...)- Changement de variable pour obtenir la fonction de transfert numérique.

Le résultat de la synthèse est un jeu de coefficients qui serviront à calculer, par une sommepondérée des échantillons du signal d’entrée et du signal de sortie aux instants précédents,la sortie du filtre pour chaque échantillon d’entrée.

Le nombre de coefficients varie en fonction de la sévérité du gabarit des filtres désirés. Parexemple, pour des filtres d’octave et de 1/3 d’octave réalisés à partir de filtre typeButterworth, 8 coefficients suffisent pour chaque filtre.

Contrairement à l’analyse FFT classique qui réalise une opération de transformation à partirde blocs d’échantillons temporels, l’analyse par filtrage numérique est un processusd’analyse continu (chaque échantillon temporel entrant faisant varier la sortie du filtre). Dece fait, la datation temporelle du spectre correspond à l’instant du relevé des valeursprovenant des détecteurs, alors que pour la FFT, elle correspond au centre de gravitétemporel du bloc.

De plus, l’opération par filtrage numérique 1/n d’octave donne un spectre à largeur de

bande relative constante cstef

f =∆ sur échelle logarithmique de fréquence. La résolution

fréquentielle de chaque filtre est donc variable avec la fréquence. Comme le temps deréponse des filtres numériques est inversement proportionnel avec la résolutionfréquentielle, la datation d’un événement ne sera évidente aux basses fréquences là où larésolution fréquentielle est la meilleure et donc où le temps de réponse est le plus long. Il enrésultera un « traînage » des filtres numérique basses fréquence lorsque les phénomènessont très non stationnaires voire transitoires. La qualité de l’analyse temps – fréquence vadonc dépendre de la résolution 1/n d’octave demandée (1/1, 1/3, 1/12, 1/24,…), du type demoyenne utilisée et de la cadence de relevé des valeurs.


La transformée en ONDELETTES (Wavelet Transform : WT)

L’analyse est réalisée au moyen d’une fonction d’analyse spécifique Ψ appelée ondelette debase. Durant l’analyse, cette ondelette est positionnée dans le domaine temporel poursélectionner la partie du signal à traiter. Puis, elle est dilatée ou contractée par l’utilisation d’unfacteur d’échelle a permettant de concentrer l’analyse sur une gamme donnée d’oscillations.Quand l’ondelette est dilatée, l’analyse regarde les composants du signal qui oscille lentement ;quand elle est contractée, l’analyse observe les oscillations rapides comme celle contenues dansune discontinuité de signal.Par ce traitement d’échelle (contraction - dilatation d’un ondelette), la transformée en ondelettesamène à une décomposition temporelle du signal.

La formule utilisée est :

∫+∞

∞−

− −= dta

bttsaabS )(*)(),(

2/1 ψ (3)

avec b paramètre de translation et a paramètre d’échelle (a ≠ 0)

La fonction S (b, a) donne une idée des contributions au signal autour du temps b et à une échellea. Il est à noter qu’une telle transformation ne mène pas à une décomposition temps - fréquencemais à une décomposition temps - échelle. Cependant, une ondelette appropriée arrangera cepoint et fera de la transformée en ondelettes une transformée temps – fréquence.

Les ondelettes sont des fonctions Ψb, a très particulières représentant les oscillations les pluscourtes et les plus élémentaires qui puissent être considérées. Le paramètre de localisationtemporelle est b et le paramètre de fréquence est 1/a.

)()( 2/1,

a

btatab

−= ψψ (4)


Pour mieux comprendre, l’analogie avec la TFCT est nécessaire. Les deux transformationspeuvent être interprétées comme des projections du signal sur des fonctions qui sontsimultanément localisées en temps et en fréquence/échelle.

La TFCT définit un outil d’analyse temps fréquence tandis que la WT définit un outil tempséchelle. Cependant, une relation entre l’échelle et la fréquence peut être établie supposant quel’ondelette de base est positionnée dans le domaine fréquentielle autour d’une fréquence f0. Il estimportant que f0 soit reliée de manière franche à Ψ, c’est à dire que f0 soit le centre de gravité ousimplement la valeur maximale du spectre de l’ondelette de base. La figure ci-après le montre :

Une fois l’ondelette de base localisée en fréquence, il est facile de démontrer que l’ondelette Ψb, a

est positionnée autour de la fréquence f0/a. Ainsi, la WT devient un outil temps fréquence.

VERSION FEVRIER 2001

Le spectre de l’ondelette de base montre que l’ondelette correspond à un filtre de bande passanteautour de f0. Le dimensionnement de l’ondelette dans le domaine temporel correspond à unetranslation dans le domaine des fréquences : Le spectre de l’ondelette dilatée est localisé vers lesbasses fréquences tandis que celui de l’ondelette contractée vers les hautes fréquences.

Une autre caractéristique de l’ondelette dilatée est d’être plus diffuse dans le temps et doncd’avoir un spectre plus concentré autour de sa fréquence centrale. L’inverse est constaté pourl’ondelette contractée. Ceci est la conséquence du principe d’incertitude puisque une fonctionrencontre quelques limitations dans sa résolution à la fois dans les domaines temporel etfréquentiel.

Il est facile de conclure que la WT favorise la résolution temporelle lors de l’analyse descomposantes hautes fréquences, et privilégie la résolution fréquentielle lors de l’analyse descomposantes basses fréquences. De plus, la WT donne une analyse à largeur de fréquence et detemps relative constante, tandis que la TFCT correspond à une analyse à résolution temporelle etfréquentielle constante.

Quelque propriétés intéressantes de la TFCT et de la WT exprimées par des variablestemporelles et fréquentielles, montrent la grande similitude des deux approches :

dfdfSE

Eg

s ττ ²)(1

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

=

∫∫+∞

∞−

−−+∞

∞−

−= dfdetgfSts tfj ττ τπτ

)(2*)(*)()(

ffadbdfabSEs /,²),(1

0== ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−ψε

ffadbdfa

btaabSts /,)(),(

1)( 0

2/1 =−= ∫ ∫∞

∞−

−∞

∞−

ψεψ

Es et Eg représente les énergies respectives du signal et de

∫∞

∞−

= dffgEg ²)(

Tandis que εψ représente l’énergie apparentée de l’ondelette< ∞):

dfff

f∫∞

∞−

=0/

²)(ψ̂εψ

TFCT

la fenêtre.

qui est sup

WT

8

posée être admissible (εψ


LES PROPRIETES DE RESOLUTION

La TFCT et la WT sont obtenues par projection d’un signal sur des fonctions analysantes. Ladurée et la largeur de bande de ces fonctions détermine les résolutions locales de cestransformées dans le temps et la fréquence respectivement. De manière à décrire de manièrequantitative ces résolutions, la durée et la largeur de bande sont exprimées en terme de valeurefficace (RMS) qui est équivalente à un écart type statistique (moment d’ordre 2) :

Durée RMS ∫∞

∞−

−=∆ 2/10 )²)()²(

1( dttgttE

tg

Largeur de bande RMS ∫∞

∞−

−=∆ 2/10 )²)()²(

1( dffGffE

fg

Avec g (t) et G (f) notant un signal et son spectre et t0 et f0 correspondant aux centre de gravitésdes fenêtres respectivement dans le domaine temporel et fréquentiel. Sur la base des définitionsdes équations (2) et (3), il est facile de démontrer que les durées et largeurs de bande desfonctions analysantes constituant la TFCT et la WT sont:

TFCT: gtt ∆=∆ et gff ∆=∆Où gt∆ et gf∆ sont la durée et la largeur de bande de la fenêtre d’observation.WT: ψtat ∆⋅=∆ et aff /ψ∆=∆Où ψt∆ et ψf∆ sont la durée et la largeur de bande de l’ondelette de base.

Ces équations montrent que la TFCT fournit une analyse à largeur de bande constante et la WT àlargeur de bande relative constante. Les résolutions simultanées en temps – fréquence,exprimées comme le produit t∆ et f∆ , restent constante pour toutes les fonctions analysantesd’une transformée.Cependant, à cause de la dualité temps fréquence, la résolution simultanée est restreinte auprincipe d’incertitude d’Heinsenberg disant:

π4

1≥∆⋅∆ ft


La limite inférieure de cette inégalité est atteinte seulement pour une fonction d’analyse de formegaussienne. Dans tous les cas de la TFCT, le produit t∆ . f∆ = 1

De manière à illustrer les propriétes de résolution simultanée de la TFCT et de la WT, les ellipsesd’Heinsenberg sont utilisées. Les axes de l’ellipse sont egales à la durée et la largeur de bandeRMS de la fonction analysante et l’ellipse est positionnée dans le plan temps fréquence au tempset à la fréquence relative à la fonction analysante. Dans tous les cas, les surfaces des ellipsesrestent constantes.

A gauche, les ellipses d’Heisenberg pour la TFCT ; A droite pour la WT

LE CHOIX DE LA FONCTION ANALYSANTE DE BASE

Avant de réaliser l’analyse temps fréquence, il est important de choisir la fonction analysante. Nonseulement la forme est importante mais les performances de résolution également.

Comme vu précédemment, la meilleure résolution simultanée est obtenue pour une fonctionanalysante de forme gaussienne. Naturellement, la fonction gaussienne doit être tronquée pourdes raisons pratiques d’implantation numériques dans les algorithmes de calcul et la limite bassedu principe d’incertitude d’Heinsenberg n’est pas tout à fait atteint. Pour ces raisons, d’autresformes sont intéressantes. L’ondelette de MORLET est souvent utilisée :

tfjt

eet 0

²2)(

)( πσψ −−=

Avec cette ondelette, cette transformée est similaire à une TFCT avec une fenêtre gaussienneglissante. La différence réside dans le fait que la largeur de la fenêtre dépend dans ce cas dufacteur d’échelle a.

Une fois la forme de la fonction analysante définie, sa durée et sa largeur de bande doivent êtrechoisies. Il est crucial pour obtenir un bon résultat de l’analyse temps fréquence que lespropriétes de résolution soient en accord avec une connaissance a priori du signal. Dans le casde la TFCT, les propriétes de résolution sont paramétrés par la longueur de la fenêtre qui fixedonc les résolutions temporelles et fréquentielles de la transformée.

Le paramétrage de la WT est souvent proposé pour se référer à une analyse en fréquenceconventionnelle avec des filtres à largeur de bande relative constante (fraction d’octave). lalargeur de bande relative constante de l’analyse tiers d’octave est égale à 23,2%. L’ondelette de


MORLET donne une résolution de 26,6%. Egalement, des ondelettes gaussiennes 1/3, 1/6, 1/12d’octave sont souvent utilisées.

ETAPES DE LA WT

Le signal est multiplié par l’ondelette de fréquence 1/a décalée de b par rapport à l’origine destemps

∫+∞

∞−

− −= dta

bttsaabS )(*)(),(

2/1 ψ

La somme algébrique des aires du produit obtenu donne un coefficient d’ondelette S pour chaquevaleur de a et de bSi le fragment considéré du signal est très régulier, l’intégrale est nulle car l’ondelette est telle quesa moyenne est nulleSi le fragment de signal est court, les seuls coefficients non négligeables sont ceux pour lesquelsla fréquence 1/a est l’ordre de grandeur de la fréquence du signal


La transformée de WIGNER VILLE (TWV)

La transformée de WIGNER VILLE fournit une décomposition temps fréquence sans aucunerestriction sur les résolutions temporelles et fréquentielles. Elle apparaît tout à fait adaptée àl’analyse des signaux non stationnaires puisque qu’elle ne nécessite par d’hypothèses sur lesignal lui-même. La TWV est définit par :

∫+∞

∞−

−−+= dtetstsftW ftj πττ 2*)2

(*)2

(),(

Cette formule représente l’énergie d’un signal s au temps t et à la fréquence f. Malheureusement,la non – linéarité de cette transformée a des conséquences désastreuses qui se manifestent parl’apparition d’interférences et d’énergies négative dans la distribution temps fréquence de l’énergiedu signal. Ces phénomènes sont remarquables lorsqu’il y a présence de 2 événements distinctsen temps et en fréquence. Ce phénomène est totalement irréaliste d’un point de vue physique etlaisse entrevoir des difficultés d’interprétation de la TWV. C’est pourquoi, afin d’extraire desrésultats fiables, il est nécessaire d’éviter ces énergies négatives par un post traitement quiaffectera les propriétés de résolution de la transformée.

Simplement négliger les énergies négatives est une erreur car elles représentent une informationqui doit être pris en compte bien que difficilement interprétable. La solution revient à adoucirlocalement la rigueur de la résolution. La transformée de Wigner Ville lissée (TWVL) est expriméepar :

∫∫ ++= dtdfftKffttWftWK ),(),(),( 0000

Où K est appelé noyau de lissage. Selon les propriété bi dimensionnelles de cette fonction, laTWVL diminue les niveaux d’énergies négatives et fournit suivant les cas une distributiond’énergie complètement positive. Cette condition est souhaitée quel que soit le signal. D’un autrecôté, le lissage doit préserver le caractère local du signal. Des compromis sont à trouver. Lenoyau gaussien suivant est souvent utilisé pour la TWVL :

)²2()²(00 ),( ft eeftK πδγ −−= avec γδ = 1


TWVL (Transformée de WIGNER-VILLE LISSEE)

La formule utilisée suivante est présentée sous une forme plus décomposée que celles définiesprécédemment:

( ) ∫ ∫ −

−+

++= ττττ πτ dduututuftW fi2* e

2x'

2x')g()(h',x

avec:h' = fenêtre d'observation glissante assurant le lissage fréquentiel.g = fonction de lissage temporel.x' = signal analytique associé au signal réel x(t)

Pour un instant t donné, le spectre calculé est une moyenne de spectres instantanés, pondéréepar la fonction g de lissage. Chacun de ces spectres instantanés est obtenu par TWV sur unsegment pondéré par la fonction d'observation h'.

La TPWVL est une Transformation de WIGNER-VILLE à court terme, lissée. C'est l'équivalentd'une TWV lissée séparément en temps et en fréquence. Le lissage temporel est assuré par lafonction de lissage, le lissage fréquentiel par la fenêtre glissante. On montre en effet que lemultispectre obtenu est le produit de convolution de la TWV du signal par la fonction de lissageselon les temps, et du spectre de la fenêtre glissante selon les fréquences:

Wx(t, f)= Wx'(t, f)* [g(-t).H'(f)].

Les lissages temporel et fréquentiel sont indépendants, et peuvent être ajustés séparément.

Lissage temporel:Ce lissage permet d'affaiblir les interférences qui apparaissent quand 2 signaux de spectresdisjoints coexistent. Un exemple familier de ces interférences est le battement d'amplitude quiaffecte la somme de 2 sinusoïdes. Ce battement se traduit dans le plan temps – fréquence parune puissance alternativement positive et négative à la fréquence égale à leur différence et situéeà la fréquence moyenne des 2 sinusoïdes. Bien que reflétant une réalité tangible, les battementsapparaissant dans les signaux aux spectres compliqués peuvent rendre le multispectre difficile àlire. Le lissage s'effectue aux dépens bien entendu de la résolution temporelle, c'est-à-dire lacapacité à distinguer 2 impulsions successives. La fonction de lissage donne une résolutiontemporelle valant un pourcentage (par exemple 34%) de la durée du lissage. Le lissage procureun autre avantage: il n'est pas nécessaire de calculer un spectre pour chaque point de l'histoire:

. 84% de recouvrement assure moins de 10% d'erreur de niveau sur les histoiresfréquentielles.. 75% de recouvrement assure la conservation de l'énergie

Lissage fréquentiel:Il permet d'atténuer les interférences qui apparaissent entre 2 signaux successifs. On sait parexemple que le spectre de plusieurs impulsions successives est modulé en amplitude et tend versun spectre d'harmoniques quand les impulsions deviennent nombreuses. On a l'équivalent d'unbattement dans le domaine spectral, qui se traduit dans le plan temps - fréquence par unepuissance alternativement positive et négative. Cette oscillation est située à mi-chemin entre lesimpulsions, parallèlement à leurs spectres. Là encore bien qu'elles traduisent une réalitéphysique, ces oscillations peuvent brouiller le multispectre dans le cas de signaux comportant denombreuses impulsions. La solution est alors de réduire la durée de la fenêtre glissante demanière à diminuer le nombre d'impulsions vues par celle-ci. Le lissage s'effectue aux dépens de


la résolution fréquentielle. La fenêtre donne une résolution fréquentielle valant généralement plusque la précision en fréquence ∆f. (par exemple, 2.7).

Comparaison entre TPWVL et TFCT:

On sait que la TFCT s'exprime comme une TWV lissée en temps et en fréquence, donc commeun cas particulier de TPWVL:Dx(t, f)= Wx(t, f)* Wh(-t, f)avec:

. Wx= TWV du signal

. Wh= TWV de la fenêtre glissante.On peut donc régler les lissages temporel et fréquentiel de la TPWVL de manière à passerprogressivement de la TWV à la TFCT. L'indice de positivité permet de positionner la TPWVL: unindice proche de 0 % indique qu'on a pratiquement une TWV, tandis que 100% indiquel'équivalent d'une TFCT, partout positive. Passer au delà de 100% dénote une situation desurlissage: on a l'équivalent d'une TFCT lissée!Par exemple: pour une fenêtre glissante de 256 points, la durée de lissage critique est de 187points. Ce lissage assure 100% de positivité, et donne l'équivalent d'une TFCT, mais au prix decalculs nettement plus importants. Un lissage plus faible n'assure plus la positivité, mais permetd'accéder à une résolution meilleure que celle de la TFCT. Un lissage plus fort donne unerésolution inférieure à la TFCT: il n'offre donc pas d'intérêt.Dans la pratique on utilisera la TFCT pour balayer de longues durées de signal et obtenir une vuegénérale à un moindre coût de calcul. Puis pour obtenir des détails fins autour d'un instant donnéon utilisera la TPWVL avec la résolution souhaitée.

Conclusion

La littérature démontre que la TFCT et la WT sont des cas particuliers de la TWVL, ce qui pousseà penser l’intérêt de maîtriser cette dernière pour la perception temps fréquence de phénomènesinstationnaires. La TFCT correspond à un lissage régulier de la TWV (convolution 2D avec unnoyau de lissage donné), tandis que la WT s’assimile à un lissage apparenté de la TWV(intégration 2D avec un noyau de lissage dont la forme dépend de la fréquence).

La TFNCT peut être considérée comme une opération numérique figée dans ces réglages carelle seule est normalisée par la CEI 1260.

Cependant, la mise en pratique de la TWVL requiert plus de calcul que la TFCT et la WT.

En pratique, la TFCT et la TWVL se complètent pour des opérations temps – fréquence sur deséchelles linéaires de fréquence, tandis que la WT et la TFNCT sont pour des opérations temps –fréquence sur des échelles logarithmiques de fréquence.


EXEMPLES DE CALCULS TEMPS - FREQUENCE

OBJECTIFS:

L’intérêt de ce document est de montrer les avantages et les inconvénients de représentationstemps – fréquence réalisées par :

La transformée de Fourier Court Terme (TFCT)La transformée par Filtrage Numérique court terme de type 1/n octave (TFNCT)La transformée en ondelettes (WT : Wavelets Transform)La transformée de Wigner-Ville (TWV)

Le signal étudié est une succession de chocs (8 évènements) composés chacun de plusieursphénomènes transitoires (4 à 5 sous- évènements).

L’objectif est de les distinguer.


Signal étudié

Spectre moyen FFT du signal étudié sur toute sa longueur. Longueur des blocs 2048 points

Le spectre moyen ne donne pas la position temporelle d’apparition des pics de fréquence.


Représentation 3D des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps. Echelled’amplitude linéaire. Longueur des blocs 2048 points.

Ce résultat montre une bonne résolution fréquentielle mais pas de repérage évident desévénements.


Représentation sonagramme des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps.Echelle d’amplitude linéaire. Longueur des blocs 2048 points.

Ce résultat montre une bonne résolution fréquentielle. Le repérage des événements est un peumeilleure grâce à cette représentation mais les sous - événements sont impossibles à analyser.


Représentation 3D des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps.Echelle d’amplitude logarithmique. Longueur des blocs 2048 points.

Dans ce cas, l’échelle logarithmique en amplitude utilisée en représentation 3D ajoute à laconfusion.


Représentation sonagramme des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps.Echelle d’amplitude logarithmique. Longueur des blocs 2048 points.

Dans ce cas, l’échelle logarithmique en amplitude utilisée en représentation 3D ajoute à laconfusion.


Représentation 3D des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps. Echelled’amplitude linéaire. Longueur des blocs 256 points.

La résolution fréquentielle est dégradée mais les événements commencent à apparaître.Ce constat est meilleure dans ce qui suit.


Représentation sonagramme des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps.Echelle d’amplitude linéaire. Longueur des blocs 256 points.

La position des chocs apparaît bien, malgré tout il est difficile de distinguer les sous - événements.La résolution fréquentielle est cependant très dégradée.


Représentation 3D des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps.Echelle d’amplitude logarithmique. Longueur des blocs 256 points.

Dans ce cas, l’échelle logarithmique ajoute à la confusion.


Représentation sonagramme des multispectres FFT du signal étudié en fonction du temps.Echelle d’amplitude logarithmique. Longueur des blocs 256 points.

La représentation logarithmique du sonagramme donne plus d’informations sur le contenufréquentiel.


Représentation 3D des multispectres 1/3 d’octave du signal étudié en fonction du temps. Echelled’amplitude logarithmique. Constante de temps exponentielle 1/8 s.

Ce type de représentation n’est pas exploitable pour le signal étudié.


Représentation sonagramme des multispectres 1/3 d’octave du signal étudié en fonction dutemps. Echelle d’amplitude logarithmique. Constante de temps exponentielle 1/8 s.

Les chocs sont repérables mais pas les sous – évènements.


Représentation 3D des multispectres 1/3 d’octave du signal étudié en fonction du temps. Echelled’amplitude logarithmique. Constante de temps exponentielle1/32 s.

Une constante de temps courte donne plus d’informations sur l’échelle des temps, mais ce typede représentation est inexploitable.


Représentation sonagramme des multispectres 1/3 d’octave du signal étudié en fonction dutemps. Echelle d’amplitude logarithmique. Constante de temps exponentielle 1/32 s.

La vue sonagramme commence à présenter les sous-évènements grâce à une constante detemps courte.


Représentation 3D des multispectres 1/12 d’octave du signal étudié en fonction du temps. Echelled’amplitude logarithmique. Constante de temps exponentielle 1/8 s.

La résolution fréquentielle est meilleure mais la distinction temporelle est faible à cause d’uneconstante de temps longue.


Représentation sonagramme des multispectres 1/12 d’octave du signal étudié en fonction dutemps. Echelle d’amplitude logarithmique. Constante de temps 1/8 s.

De plus, le sonagramme commence à faire apparaître l’influence du temps de réponse des filtresen basse fréquence (résolution faible).


Représentation 3D des multispectres 1/12 d’octave du signal étudié en fonction du temps. Echelled’amplitude logarithmique. Constante de temps 1/32 s.

Représentation inexploitable


Représentation sonagramme des multispectres 1/12 d’octave du signal étudié en fonction dutemps. Echelle d’amplitude logarithmique. Constante de temps 1/32 s.

Les sous-évènements sont devinés en haute fréquence, mais le problème de temps deréponse des filtres en basse fréquence trouble l’interprétation. La constante de tempscourte donne plus d’information


Représentation sonagramme de la transformée de Wigner Ville d’une partie du signal étudié.Fenêtre 256 points. Lissage 19 points

Le faible lissage temporelle fait apparaître les interférences dus à la non – linéarité de latransformée. Par contre, le repérage des sous – évènements est parfait.



Le lissage n’est pas encore suffisant.



Le compromis trouvé sur les réglages permet de distinguer les sous-évènements et élimine lesinterférences.



Contrairement à la TFCT, l’augmentation de la résolution fréquentielle permet toujours dedistinguer les sous –évènements.


Représentation 3D de la transformée en ondelettes d’une partie du signal étudié. Résolution en1/12 octave sur 2048 points.

Le sous – évènements sont facilement repérables


Représentation sonagramme de la transformée en ondelettes d’une partie du signal étudié.Résolution en 1/12 octave sur 2048 points.

La représentation est très nette.


Représentation 3D de la transformée en ondelettes d’une partie du signal étudié. Résolution en1/3 octave sur 2048 points.


Représentation sonagramme de la transformée en ondelettes d’une partie du signal étudié.Résolution en 1/3 octave sur 2048 points.

La résolution fréquentielle n’a pas d’influence sur le repérage des sous – événements.

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