LA ~ DI~CONVOLUTION ~ * EN CALCUL NUMI~,RIQUE

par Julien LOEB

SGMMAIRE. - - On transpose dans le domaine du calcul numgrique l'gquation int@rale

v(~) = --j[~ g(u) z(x+ u) du

oit l' inconnue est la [onction z, V(x) est une /onction enregistrge et g ddfinit le brouillage d~t d un appareil de mesure. - - L'dchantillonnage conduit ~ ddfinir des matrices particuli~res 5 un hombre inf ini de refines, mais presque dia- gonales, que l'auteur propose d'appeler gr i l les . On en donne un mode d'expres ion au moyen de l'opdrateur d'avan- cement E. On indique les r~gles de l'algdbre des grilles (la multiplication est commutati~,e et l' inc,ersion peat s'opgrer suivant les rSgles de la division des polyn6mes). - - O n donne les conditions ndcessaires et suffisantes pour que l'inversion soit possible et on indique un procgdd pratique d'approximations successiees pour le ealcul de la grille

ineerse.

PL&N. - - 1. Introduct ion. -- 2. Exemple de la rdsonance magndt ique . - - 3. l ~ e h a n t i l l o n n a g e . - - 4. Matr ices d u n n o m b r e i n d d l l n i de t e r m e s : r162 g r i l l e s ~. -- 5. L'algObre des g r i l l e s . - 5 . t . Prodai t de deax grilles. - - 5.2. Grille inverse. - - 5.3. Factorlsation de grilles.. -- 6. I n v e r s i o n d u b i n S m e . -- 6 1. Dgvelop- pement en sJrie. - - S&ie inverse d'un bindme. - - 6.3. Grille i + E. - - 6.4. G, ille I - - E. 7. - - G r i l l e s s y m d - t r i q u e s . - - 7 . t . L'opgrateur X = % - - 7.2. Inversion du bindme G = I + XS~. - - 7 3 CritSrium de maniabi- bilitg pour une grille symJtrique quelconque. - - 7.4. Marche~ suivre pour trouver l'ineerse d'une grille symJtri- que G. - - 7.5. Mdthode d'approximations successives. - - 8. G r i l l e s d i s s y m d t r i q u e s . - - 9. Normtd isa t ion , relat ion entre les gi et les ~ , ~ . - - 10. Excursion dans ie d o m a i n e r n o n n t a n i a b l e ~. ~ 11. Facteur

n ~ u l t i p l i e a t e u r d ' e r r e u r .

~. - - I N T B O D U C T I O N .

I1 arrive tr~s fr6quemment qu 'un instrument de mesure manque de (< finesse )), c'est-h-dire que son indication finale n'est pas uniqucment fonction de la valeur h mesurer, mais des valeurs (, voisines )).

Soient une grandeur physique z(x) qui d6pend d'une variable ind6pendante x, V(x) la restitution qu'en fera rappareil, et g(x) une fonction qui carac- t6rise cet appareil. L'effet de brouillage sera indiqu6 par l '~quation :

f (1) v(~) = g(u) ~(x + u) du.

L'objet du pr6sent travail est d'indiquer des m6thodes num6riques pour extraire z(u) de la con- naissance de V(x) et de g(x).

Comme l'int6grale (I) est une convolution, nous appellerons notre op6ration la (( d6convolution )). Un exemple vient h tous les esprits ; c'est celui off la variable ind6pendante x n'est autre que le temps. L'6quation (1) t radui t Faction d 'un r6seau lin6aire sur un signal. L'inversion de l '6quation (1) est dans ce cas facilit6e par le fait que la variable ind6pen- dante x apparalt comme 6rant une limite de rint6- grale et qu'il s'agit alors d 'une 6quation de Volterra. Physiquement le noyau g ( t - - u ) est tel que le principe de causalit6 est respect6 : en tout 6tat de cause V(t) ne peut d6pendre que des valeurs ant6-

rieures de z(t), et g(t - - u) dolt gtre nulle pour toutes les valeurs u > t.

Dans de nombreuses applications industrielles il n'en est pas ainsi, et nous aurons affaire h la r6solu- tion de r6quation int6grale (l) avec des limites fixes qui peuvent ~ t re - - -oo et + ,x~.

2. ~ E X E M P L E D E L A I ~ S O N A N ( ~ E

M A G N 3 ~ T I Q U I ~ . N U G L ~ . . A I R E .

Supposons que ron relive la courbe de r6sonance d'une raie simple (par exemple la raie simple des protons). Sa largeur est trbs faible si le temps de relaxation T~ est grand.

La courbe en traits pleins de la figure I n'est obtenue qu'avec un champ magn6tique trbs homo- gbne. En fait, dans le champ magn6tique r6el, qui est forc6ment inhomog6ne, il y a des r6gions qui correspondent h des fr6quences to -f- 8to d6cal6es par rapport h too. Ce signal sera donc de la forme

(2) V(too) = j It(o% - ~o) z(to) dto

H ( t o o - - to) est caract6ristique du d6faut d'homo- g6.n6it6 du champ.

La fonction H(@ dco indique les pourcentages du volume de l'6chantillon dans lesquels le champ ma- gn6tique H est accord6 sur la fr6quence r h dto prbs.

En g6n6ral H(@ est repr6sent6e par la courbe en pointill6s de la figure I.

* Pour s impl i f ier nous avons forg6 ce m o t h pa r t i r de l ' angla is (c convolu t ion )) don t la t r a d u c t i o n fran~aise cst (~ p rodu i t de compos i t ion )).

- - 8 4

t. 15, n ot 3-4, 1960] LA <( DI~CONVOLUTION )) EN CALCUL NUM~2RIQUE 2 / 8

Si la raie z(r est trbs 6troite, l ' indication de l 'apparei l de mesures sera j u s t emen t H((o). Ici V(o~o) d6pend aussi bien des contr ibutions des fr6-

x H(o}

F~G. t.

/

quenees r sup6rieures ou inf@ieures h ~o0, et les m6thodes applicables aux circuits t616phoniques ne le sont pas ici.

3. - - I ~ . G H A N T I L L O N N A G E .

Comme il est n6cessaire de le faire pour le calcu] num6rique, nous allons diviser le domaine des x en un tr~s grand nombre d ' intervalles, s6par6s par des p o i n t s d ' ~ c h a n t i l t o n n a g e x x ~ . . . x~, x~+~ . . . Nous aurons ainsi 2 collections de valeurs

V 1 V2 . . . . . Vr V{+~ . . . . . ~ la sortie de l'appareil,

zx z2 . . . . . z~ z~+~ . . . . . h l'entr6e de l'appareil.

Nous 6chantillonnerons de m6me la fonction H, et nous 6crirons

(3) V~ - E g~z~+~. k

En fait il arrive souvent que les fonctions z et V doivent ~tre 6chantillonn6es en un nombre consi- d6rable de points. Au contraire, seuls les 616ments de z proches de z~ contr ibueront h la construct ion de V~. On aura par exemple

(4) V i = g--azi--3 + g--~Z~--~ + g--lZ~,--1 goZi + g l z i+ t 4- g2zi+~.

Ce r6sultat peut s'6crire en langage matricicl, en consid6rant V~ et z~ comme les 616ments de 2 vecteurs h u n tr~s grand nombre N de eomposantcs, et G comme la matr ice h N ~ 616ments p e r m e t t a n t de passer des z~ aux V~.

4. - - M A T B I C E S A U N N O M B B E I N D I ~ F I N I

D E T E B M E S : t( G R I L L E S )).

mention, pour l ' instant , des valeurs aux extr6mit6s des s6ries. La matr ice G peut s'6crire : (5)

l i g n e i - - t 0 g-3 g-~ g-1 go gl g~ 0 0 0 . . . l ignei 0 0 g-3 g-2 g-1 go gl g2 0 0 . . . l i g n e i + I 0 0 0 g-3 g - 2 g - 1 go ~1 g2 0 0 .

\ \ \ \

\ \ , , go g~

On n 'a pas in t rodui t dans ce tableau les b o r d s de la matrice. Seules interviennent la diagonale win- cipale dont tous les termes sont 6gaux h go et quelques parall~les h cette diagonale, garnies respec- t ivement de termes tous 6gaux h gx g-~ g~ g-~ etc.

Nous avons d6jh rencontr6 cette matr ice (*) et l 'avons trouv6e assez particuli~re pour lui donner un nora sp6cial, et l ' avons appel6e gr i l l e .

La relation (4) dolt ~tre substitu6e h la relation int6grale (1). Le probl~me consistera h t rouver les quantit6s z~ connaissant les Hj et les Vk.

Les probl~mes les plus int6ressants seront ceux off les zr s ' expr imeront en fonction des V par l ' inter- m6diaire d 'une grille K.

Par exemple :

(6) z~ = l f _ ~ V ~ _ 5 + K _ ~ V ~ _ 1 + . . . + K o V i

+ K 1 V i + ~ + . . . + KsV~+s.

La grille K serait ainsi l ' in~, ,erse de la grille G. Toutes les grilles ne poss6dent pas leur inverse.

En g6n6ral l ' inverse K n ' au ra pas un nombre fini de tcrmes et tout l ' a r t du caleulateur va consister h t rouver la bonne approximat ion.

5. ~ L ' A L G I ~ B R E D E S G R I L L E S .

N o u s c o r n m e n c e r o n s p a s i n t r o d u i r e l ' o p d r a t e u r d ' a -

~ a n c e m e n t E .

Par d6finition lorsqu'on s 'est donn6 une suite de nombres x o Xa . . . xr Xr �9 �9 �9 l 'expression E x ~ sera 6gale h xr L 'op6ra teur E appliqu6 h la suite d6ca- lera d 'un rang les 616ments x~.

Plus g6n6ralement

(7) EKx~ = X*+K.

Bien entendu, dans (7) K peut gtre positif ou n6gatif.

L '6quat ion (4) se met t ra ainsi sous la forme con- dens6e :

(8) V - ( E - - a g _ a + E - 2 g _ z + . . . go + . . . + E2g2) z

5.1 . P r o d u i t de d e u x gr i l l e s .

Par d6finition, si on applique successivement h une suite w~ l 'op6rat ion E ~ puis l 'op6ration Et , on note E ~+~ la combinaison de ces op6rations.

Si I . . . . K , le r6sultat est le maint ien de la suite originale des x~.

En fait la relation (4) est valable au cours des enregis t rements des V et des g, sans qu'il soit fair

(*) LoEB (3.), Une interpr6tation physique de l'ambiguit6 de Shannon. A n n . Tdl~communic. (mars-avril 1958), 13, n ~ 3-4, pp. 78-82.

- - 85 - -

3 / s

De plus E X + t = E t+K. Les op~rateurs Etr sont

commutat i[s .

Consid6rons maintenant le produit de 2 grilles. La premib.re sera par exemple

go + Egl.

Cela veut dire qu'h une suite x i ellc fera corres- pondre la suite

(9) y~ = gox~ + glx~+~.

La seconde grille, par exemple

g~ + Eg~

fera correspondre h la suite des y, la suite des z~ telle que

(10) zi = g'oyi + g'ly,+~

quc nous 6crirons, en rempla~ant dans (t0) lcs y tir6s de (9)

(11) z~ = g'ogoxi + g'og~x~+l + g[gox~+~ + g~glx,+~.

Les z~ tir6s de (1t) sont ainsi les 616ments de la suite :

' o ' = ' (go~l + glgo) E + g lg lE ) } x~.

Formellement on 6crira

zi + G~x~ avec

(13) G" = CC' =~(go + g~E) (g~ + gl~).

Le produit de deux grilles, e'est-~-dire l'op6ra- teur 6quivalent h l 'application de la premiX.re/~ une suite x~ puis de la deuxi~me au r6sultat trouv6, s'6crit en fonction des deux composantes suivant les rbgles de l'algbbre ordinaire.

(L'extension aux grilles ayan t plus de deux termes est imm6diate.)

L a mul t ip l i ca t ion des grilles est donc contlTtu-

tative. Grille uni t& ~ C'est la grille qui transforme en

elle-mgme la suite des ~. Nous la notons simple- merit 1.

5-2. Grille inverse. - - C'est la grille G -1 telle que

(14) G G - I = t.

Cette grille, on l 'a vu, donnerait une solution formelle h l '6quatiou (4) consid6r6e comme donnant implicitement les z~ en fonction des V~.

Si une grille G est le produit de grilles GIG2 �9 �9 �9 GK

son inverse G -1 est le produit de G11G~ -2 . . . G~ 1.

5.3. Factor i sat ion des grilles. - - Une grille est repr6sent6e par un polynSme en E, comportant d'ailleurs des puissances n6gatives.

Soit

(t5) G = g--KE - K + g_~K_l~E--(r:--l~ + " " + g o + . . . + gE

On petit l'$crire en inerrant g - K c n facteur

(16) G = E - x [g--K + g--~K--,)E

+ . . . + go EK + . . . + gEg+~].

J . L O E B [ANNA~LE$ DES TI~LI~COMMUNICATIONS

Le polynSme en E entre parentheses se isfaetore ais6ment quand on connalt les racines de l '6quation :

g--~ + g--~K--~)x + . . . + go xK + . . . + gx T M = O.

On trouve des facteurs de la forme :

i + p jE OU

I + SKE + u ~ E ~

lorsqu'il y a des racines imaginaires. En d6finitive, l ' inversion des grilles pourrai t en

principe se ramener h trois problbmes : - - i n v e r s i o n d 'un terme en E K. La r6ponse est

imm6diate : l 'inverse de E K est E -K, - - i n v e r s i o n s de bin6mes, .... inversions de trin6mes. La r6alit6 des calculs num6riques nous a cepen-

dant impos6 des m6thodes diff6rentes, mais la fac- torisation va nous permet t re de classer les grilles G en deux cat6gories, suivant que l ' inversion est possible ou non.

6. ~ I N V E B S I O N D U B I N O M E .

Soit une grille

G = go + gl E.

I1 s'agit de t rouver une grille

K = k o + k i E + . . . + k _ l E - I + . . . ,

telle que K G = 1.

Le produit s'6erira :

(17) K G = . . . + k_ igoE- - l + kog o + ktgoE + . . . + k--2glE - 1 + k--lg0 + k0gtE + . . .

I,es inconnues k o k l k - 1 . . . sont li6es aux donn6es go et gl par les relations

hlg o + kog 1 = O,

(18) kog o + k _ l g o = 1,

k--lgo + k--2gl = O.

Le syst~me (18) ne peut manifes tement pas r6pondre h la question car il ne donne que trois 6qua- tions pour les quatre inconnues k _ 2 k - l k o e t k 1. On aura beau ajouter les 6quations obtenues en annu- lant les coefficients de E" E 3 . . . E - 2 E - a . . . , il manquera toujours une 6quation,

E t pourtant , dans de nombreux probl~mes 05 les V, de l '6quation (16) sont tous enregistr6s, l 'emploi des k h indices n6gatifs a un sens. (Ce n 'est que darts les probl6mes de t616communications sans enregistrement que l 'avenir est inconnu.)

6.1. - - D ~ v e l o p p e m e n t en s~rie.

L'existence de solutions multiples dans (18) n 'est pas non plus prouv6e, car il y a une infinit6 d'6qua- tions et d'inconnues. Nous pensons pouvoir contour- her la difficult~ en introduisant une nouvelle hypo- th~se: les quantit$s Vt fournies par l 'exp6rience restent finies.

Si done on arrive ~ mettre K = G -1 sous la

- - 8 6 - -

t . 15, n ~ 3-4 , 1960]

forme d'une s6rie Y~ k~E ~ eela voudra dire que les

valeurs chereh6es se met t ron t sous la forme :

l = + o o (19) z~ = E l'~+tkt.

l= --r

Si les Vi+ sont born6es et si la s6rie

/ = + o a Z kt

l = - - o o

est eonvergente, l '6quation (19) aura un sens et donnera la solution eherch~e.

De plus d~s que Ies t grand kt doit ~tre petit. Phy- siquement, eela veut dire que le terme z~ est alors construit au moyen des valeurs de V en des points proches du i 'me. C'est d'ailleurs cette fagon de voir les choses que sugg~re un examen intuitif.

LA (( D ] ~ C O N V O L U ' I I O N )) E N C A L C U L N U M I ~ R I Q U E 4/8

6.4. - - Grille 1 - - E.

L'aspect du d6veloppement en s6rie est le m~me que dans le paragraphe pr6c6dent. Cependant eette grille a une interpr6tat ion analytique remarquable.

L 'op6rateur I - - E appliqu6 h la suite des valeurs xr d 'une variable est en calcul num6rique l '6quivalent de la ddri~,ation

- - Y l = x i + x - - x { .

S O l l i n v e r s e

1 1 1 I - - E E - - I - E ( I - - E -1)

repr6sentera l ' intdgration, car

1 - - - E - a ( l + E + E e + E 3 + . . . )

I - - E

6.2. - - Sfirie inverse d 'un binOme.

Soit

G = go + gx E' = go( l + gxEIgo) = go( 1 + pE).

Formellement, on peut effeetuer sur la grille I + p E l 'op6ration de division des polynbmes qui condui t au d6veloppement elassique

l / ( l + x ) = t - - x + x ~ - :c ~ . . .

Cela donne

K = 1 Igo(l + pE) = (t/go) [1 - pE + p2EZ -- p3ES + p4E4 ...].

C<3

Pour que la s6r ie~ (-- l)np" converge et il faut 0

et il suffit que [Pl < 1. Dans ce cas les points de mesure Vi+ t interviendront peu dans le ealcul de z d6s que l sera grand.

Iei p = gl/go. I1 faut donc pour que (20) soit utilisable, que !g,] < Igol.

S'il n'en est pas ainsi on ~erira

G = gtE(l + goE-i lgx) et

E - t (2t) K = - . [ l - - g o E - 1 / g l + (golgx)2E - 2 . . .3

gl

6.3. - - Grille 1 + E.

Uu cas particuli~rement instructif est celui off go =: g r L'op6ration alg~brique de division donne

I / ( t + E ) = t - - E + E " - - E 3 . . .

c'est-'h-dire que

a) z~ = Vr -- V~+I+ V~+2-- V~+3 . . . . (22) b) z~+l= V~+I-- V~+~ + V,+ 3 - . . . .

O,i retrouve bien, en a joutant 22a el: 22b.

V~ = z~ + z~+t c'est-h-dire V = z(l + E).

Mais ici la s6rie des ( - -1) tVi+ t s '6tend jusqu'~l l'infini ou plutSt jusqu'h la derni~re valeur enre- gistr6e V~+N.

est l '6quivalent de

y(t) = - - / ~ x ( t ) dt.

Si l 'int6grale converge, elle repr6seute y(t). Ces deux exemples nous montrent que lorsque

nous allons tenter de g6n~raliser le paragraphe 6, nous pourrons rencontrer deux sortes de grilles, h savoir :

les grilles maniables dont la division formellement alg6brique conduira h des expressions convergentes au sens du paragraphe 6-1,

les grilles non maniables qu'il sera impossible de d6velopper de cette faqon.

Avant d 'entreprendre cette g6n6ralisation, nous aurons h consid6rer les grilles sym6triques.

7. ~ G B I L L E S S Y M ~ . T B I Q U E S .

l.e paragraphe 6 nous a montr6 que, dans le cas du binSme go -4- glE, nous pouvons presque toujours obtenir un d6veloppement ,( convergent )) en prenant

T 1 F �9

FIG. 2 .

comme terme non d6cal6 le terme le plus grand en valeur absolue. I1 faut en somme descendre le long des termes g en commen~ant par le plus grand.

Cela u'est plus possible si la grille h inverser est du type repr6sent6 par ]a figure 2.

87

5/s

Nous allons d ' abord examiner le cas des ~i l les sym6triques de la forme :

(23) G = g o + g t ( E + E - x ) + g ~ ( E ~ + E - g ) + . . . + g, (E ~ + E-~)

repr6sent6es figure 3.

T IT go gfi*

Fro. 3.

Nous allons encore essayer d ' inverser G au moyen de la division des polyngmes.

7.1 . - - L ' o p 6 r a t e u r X = $,.

Pour cela remarquons que t o u s l e s op6rateurs

(24) & = E~ + E--"

peuvent s ' cxpr imer au moyen des puissances de l 'op6rateur S 1 -~ E "4- E - 1 =- X.

Le tab leau i donne d ' abord la corrcspondance entre ]es S . consid6r6s commc donn6es et les X consid6r6s comme inconnus.

TABLEAU I

X = S1 X 2 = $2 + 2 X a + $3 + 3S1 X 4 = $ 4 + 4 S 2 + 6 X 5 = S 5 + 5 S a + 1 0 S v

Les eoettlcients sont ceux du binSme de Newton, qu 'on peut eonstruire avee le triangle de Pascal, la formule 6tant

Pour n pair n = 2K x 2 K K 2K C~KK+ I S~ = ~2211~$2E -~- C2K_IS2K_2 + +

. . . + C~ K . (25) Pour n impair n = 2p +

X~v+l ~2v+1.~ /?2v+Lq

. . . +

Supposons ma in t enan t qu 'on ait t rouv6 un d6ve- loppement pour G - 1

(26) G - ~ = i -~- f i x 4:- r~.X ~ + . . . + r,,X'~,

et qu 'on cherehe h repasscr aux S

(27) G - t = A o + A ~ S 1 + A ~ S ~ + . . .

On aura encore h distinguer ici entre les termes pairs et impairs. On aura en part ieulier

(28) { Ao = t + r ,C~ + . . . r ~ C ~ r + . . . ,

A~ = r~C~ + r~C~ + . . . .

J . L O E B [ A N N a 3 L ~ DES T~L~COM~Lr~ICATIONS

Les relations inverses s 'obt iennent de proche en proche.

TABLEAU II

$ 1 = X S~ = - - 2 + X ~ S s = - - 3 X + X * S 4 = + 2 - - 4 X 2 + X 4

S 5= 5X--5X*+X 5.

Comme ce]a a 6t6 expliqu6 au paragraphe 6-I, on recherche un d6veloppement tel que ] 'expres- sion (27) air un sens si les V~ res tent born6s, c 'est- h-dire que la s6rie des A~ soit convergente.

Le te rme g6n6ral de Ao dans (28) a pour module

(29) r ~ ~ = r ~ (2K) ! ! ( k !)~.

Avec l ' approximat ion de Stirling

(2k)! (30) (k

Pour que la s6rie des A 0 soit convergente il faut donc que la s6rie

oo 2k2~X (31) A o ---= Z

soit convergente. (Nous notons A~ la s6rie qui est convergente en

m~me temps que Ao de (28).)

7.2 . - - I n v e r s i o n d u b i n g m e G -= t + X S t .

La division alg6brique donne

(32) G - 1 = 1 - - XX -~ )vgX 2 - - X2X 2 3V .**

On a ici

r ~ = X 2K et

(33) At = Z (2X)~/V/~ . 0

Pour que A~ soit convergente il faut et il suttit que

12xl < t.

Les autres termes A I A 2 etc.., seront a [ o r t i o r i

eonvergents. D o n c :

La grille bin6me G = t q- XSt est - - maniable si !X] < 112, - - non maniable si IX] > t / 2 .

7.3 . - - O r i t 6 r i u m d e m a n i a b i l i t 6 p o u r u n e g r i l l e

s y m ~ t r i q u e q u e l c o n q u e .

Une somme queleonque de termes en S~ se trans- forme en un polyn6me en X et c 'est sous cet te forme que nous allons examiner le cas g6n6ral. Un tel poly- n6me peut toujours se t ransformer en un produi t de bin6mes de la forme (t -4- E'X) correspondant aux racines r6elles et de t r in6mes (ctX ~ + ~X + y) cor- respondant aux racines complexes lorsque 92 < 4~,.

Consid6rons donc un trinfime que nous met t rons sous la forme

(35)

- - 8 8 - -

t . 15 , n ~ 3-4, 1960]

o5 r e s t un hombre complexe et 7 son conjugu6. Formellement, on aura :

(36) G - t = ( l - - r X + r~X ~+ . . . + (-- l )nrnX ~ + . . . )

(l - ~ x + 7~x 2 + . . . + ( - ~ ) ~ , ~ x m + . . . ) .

Le terme en X~ sera

LA (( DECONVOLUTION )) EN CALCUL NUMERIQUE g / 8

d) On reconvert i t le second membre de (41) en somme des S~ au moyen du tableau 1.

Si Ia condition b e s t remplie, on est stir que le processus est convergent au sens du paragraphe 6-1. La convergence est d ' au tan t plus lente que la limite 2 est plus pros d'gtre atteinte.

T~ = X~ [(-- l)~r~ + (-- l)r ~-~ (-- 7) + . . . . . . + (-- ])~-~,~-e(-- t ) r ?p + . . . ] ,

OU

soit

(__ t ) k X k [rk + rk--U. + r/t--~}2 + . . . + }k],

(37) T~ = (-- l)kX~ r~+~ -- ~k+~

Posons maintenant

r = Re]~.

I1 vient

(38) Tk = (-- I)kX~B~ sin (k + 1) ~/sin ~.

On dolt 6carter ici les valeurs de ~ qui annulent en m~me temps sin ,pet sin (k -4- 1)~ car elles cor- respondent aux racines r~elles.

D o n c

Isin (k + 1) ~/sin ~1 < llsin %

Le terme en sinus est done born6. On peut donc 6tendre le r6sultat du paragraphe

pr6c6dent, et donner pour condit ionde convergence : R , module de r, dolt gtre inf6rieur ~ I /2 . En d 'autres termes, si aprbs t ransformation en X

la grille s'6crit sous la forme

(39) G = ao + a~X + , ~ + . . . + a~X~

on cherche les racines du polynbme

(40) Piz) = a o + a~z + . . . + a,~z".

S'il existe unc racine dont le module est inf6rieur ou 6gal h 2 la grille G, n 'est pas maniable.

S'il n 'y a que des raeines de module sup6rieur h 2, ]a grille G est maniable.

7.4. - - Marche ~t su ivre pour t rouver l ' inverse d ' u n e gri l le s y m 6 t r i q u e G.

Le paragraphe 7 va avoir pour conclusion la marehe h suivre :

a) On par t de la grille

G = go + gtS1 + " . . + gnS,~.

On la t ransforme en

G = a 0 + a t X 1 + a2,X 2 + . . . + a n X n,

en appliquant le tableau du paragraphe 7-t. b) On s'assure qu 'aucune racine de l '6quation

a o + a l z + . . . + a,~z n - 0

n'a un module inf6rieur ou 6gal "~ 2. c) On effectue, selon les r~gles de la division des

polynSmes, l 'op6ration

(41) 11(%+ a~X + a2X 2 + . . . + a, ,X'*)= b o + b l X + . . . + bkX~ + . . .

7.5. - - M6thode d ' a p p r o x i m a t i o n s success ives .

La marche h suivre 7-4 a pour inconv6nicnt que l 'on ne salt pas fi quel point il faut s 'arrgter dans l 'op6ration c).

Aussi bien quand on aura une premiere approxi- mation Gg I on la v6rifiera en effectuant l 'op6ration

(42) 6 1c = h0,

h o est une nouvelle grille, 6gale/~ t si l 'op@ation est parfaite. S'il n 'en est pas ainsi, h 0 est de la forme

(43) h o = I + ra o = 1 + r %S 2 + . . . + CnS~.

I,e d6veloppement est ici limit6, car les deux fac- teurs du premier membre le sont.

Les termes ~ sont petits devant l'unit6. De (42) on tire la vraie valeur de G -1

(44) G -1 = G o l l h o

Une approximation meil|eure sera obtenue en faisant

l l h o = 11(1 + too) = 1 - - r n o

et en consid6rant

(45) c T = C7o 1 (1 - too).

On continuera ainsi de proche en proche. Prati- quement, on arrive h des termes z inf6rieurs au 1/1000, quand la grille G est maniable, apr~s 3 ou 4 6chelons d 'approximations.

La grille G -1 a, en route rigueur, un nombre de termes infini. Chacune des approximations G~ -1 a un nombre de termes tlni, qui devient r i t e plus grand que le nombre de termes de G.

A chaque approximation, ce nombre augmente, mais les termes ajout6s deviennent de plus en plus petits.

La grille G -I. est for tement oscillante lorsque G ressemble h celle de la figure 3.

Par exemple soit

G = 1 + 0,7S1 + 0,3S~ + 0,IS a.

On t rouve

G -~ = 4,7 ~ -- 0,672S~ +0,254S~-- 0,054S.~ + 0,005S4~.

Le produit G G -~ est

GG - ~ = 0,95 [1 + 0,07St + 0,09S2 + 0,13S a - 0,1454S4].

Ce r6sultat vient de la division des polyngmes, arrgt6e au terme en X 4. I1 peut servir de base au t ra i tement du prfsent paragraphe (approximations suecessives).

- - 89 - -

7/8

8. ~ G B I L L E S D I S S Y 1 V ~ T B I Q U E S .

Nous allons surtout nous intSresser aux grilles qui, t o u t en n ' 6 t a n t pas sym6t r iques , p rSsen t en t un maximum (voir fig. 2 w 7).

Une grille dissym6trique K peut toujours ~tre con- sid6r6e comme la somme d 'une grille sym6trique G et d 'une grille antisym6trique H ---: ]~ bk (E k - - E--k),

k

(46) K = G + H,

d'off

(47) K - ~ = 11(~ + H).

Nous cherehons, eomme au paragraphe pr6c6dent, la premiere 6bauehe de solution, h part ir de laquelle le proeessus d' i t6ration du paragraphe 7-5 pourra gtre eopi6.

Supposons que les termes des E , dans H soient plus petits que les termes correspondants dans G. Nous 6erirons, apr~s avoir caleul6 le premier stade Go suivant la m6thode du paragraphe 7-5

(48) a + H = G(I + H 6 o ~ ) , puis

(49) K o l = ~ - 1 (l - - H 6 o l ) .

C'est h part i r de la grille K~ que nous op6rerons, eu effectuant successivement :

K o l K = h o = t + m o d'ofi (50)

~ 7 ~ = Ko~- (l - too)

et ainsi de sui te . P r a t i q u e m e n t le ca rac t~re non sym~t r i que ne

compl ique pas b e a u c o u p le p r o b l b m e et dans eer- t a ines a p p l i c a t i o n s nous avons o b t e n u h a - - t -[- m~ avec ]es coefficients de | ' o r d r e de J / l 000.

9. ~ N O B M A L I S A T I O N , B E L A T I O N S E N T B E L E S g~ E T L E S g~K 1.

Reprenons les relations

(3) V~ = Z gkz~+~ k

et la relation d6riv6e de (14)

(51) zz = Z g~l V~+t

en y faisant tous les z 6gaux h une valeur donn6e z o-

Nous imposerons aux ~ la condition que (3) se traduise par une identit6

Zo = Z gx-z0 K

d'ofl la condition de normalisation.

(52) Z gK = 1. K

Cette condition appliqu6e h (51) donne (53) Z ~ 1 = 1.

m

g -- I + S~ qui est manifestement non-maniable, puisque la racine de I -4- X ---- 0 a un module inf6- rieur h 2.

Supposons qu'on tolbre dans (59) des termes g,-1

J . LOEB

Pre nons m a i n t e n a n t relatif aux z, soit

(54) z~ = ixz o d'ofl z~+k = z 0 (i + k).

On d6duit de (3)

(55) V i = Z glcz o ( i + k ) = Zoi" Z gk + Zo Z k gk, k k k

ou, h cause de (52)

V~ = zoi + z o Z kgk. k

En por tant dans (51) la valeur 4e V, trouv6e

Z0I ~- Z gX 1 [2:0 (1 + m) + z o Z kg~] m /r

off h cause de (53)

zol = zol + z o Z kg~ + Zo Z mg~ 1, d'ofl k m

d 'of l

(56)

[ANNALES DES TI~L~COMMUNICATIONS

un autre cas narticulier I L

Z mg-~ 1 + Y~ kgk = O. m k

lci la deuxi~me somme est un nombre fini, calcul6 h par t i r de G.

La premiere est en g6n6ral une s6rie dont on est stir qu'elle converge (si G -1 existe). Dans ce cas, le terme g6n6ral dolt tendre vers z6ro c'est-h-dire que g~l tend obligatoirement vers z6ro pour m grand, et ceei au moins aussi vite que l l m .

Par ailleurs, la relation (56) permet de snivre et de contr61er le processus d 'approximation.

10. ~ E X G U R S I O N D A N S L E D O M A I N E (( N O N - M A N I A B L E , .

Nous avons vu au paragraphe 7 la condition n6cessaire et suffisante pour que G soit maniable, c'est-~-dire pour qu'il existe une grille,

(57) G -1 = g O 1 "4- g l " - l E -I- . . . -4- ~-~ 1E~ 2v . . .

telle que G G - 1 = t .

La grille G -1 peut comporter un grand hombre de termes (rien ne s'oppose h ce que ce nombre soit infini).

Les conditions du paragraphe 7 sont exigibles iorsqu'on eherche h avoir le produit G G - t exaete-

m e n t 6gal h 1. Pra t iquement on peut dans beaueoup de cas se

contenter d 'une relation d' inversion approximat ive telle que

(58) GG ' - x = m

off m est une grille f in ie dont les termes autres que m o

sont petits. En effet les signes des coefficients g~t de G - I sont

altern6s. Si comme nous l 'avons toujours suppos6 les z~ restent born6s la somme

(59) VK = Z g~l--zr k

eonsti tuera une valeur suffisamment approch6e de ZK.

Nous allons prendre comme exemple la ,~rille

9 0 - -

t. 15, n ~ 3-4, 1960]

nf6rieurs h 0, l S~, et qu ' on d6cide (arl) i trairement) que g - 1 aura 9 tcrmes. ()n dolt donc calculer les r de la gr i l le :

(60) gg---1 = I -~- ~IS1 -~- $2S2 -~- . . . $8S8.

Comme g, exprim6 en X a pour racine la va- l e u r - - 1 , il faut que, si on expr ime le second membre en fonct ion des X, il air a u s s i - I pour racine.

En c o m b i n a n t ce t te condi t ion avec la condi t ion que nous nous sommes donn6e l~[ ~< 0,1 on t rouve

(61) gg--X = J + 0 , I S 1 + 0 , I S 2 - - 0 , I S a + 0 , i S 4 q- O , IS 5 - 0 , 1 3 6 -~- 0 , J 3 7 q- 0 , I S 8.

R e v e n a n t aux X par le t ab l eau 11 du para- graphe 7-1 on t rouve

(62) gg--1 = 1,4 + 0,2X -- 2,8X 2 + 0,SX 3 + 2,7X ~ - - 0,6X5 -- 0,9X6 + O,IX 7 + 0 , IX s,

qui se factorise effect ivement en

(63) gg--~ = (t + X) (1,4 - - 1,2X -- 1,6X 2 + 2,4X a + 0,3X ~ -- 0,9X 5 + 0,1XT).

En r evenan t aux S par le tableau ] du para- graphe 7.J, on t rouve f inalement

(64) g -1 = 0,5S 1 _ 0,4S~ + 0,3St - - 0,2S5 + 0,lST, dont ]e produi t avec g redonne bicn une grille dont tous les coefficients (saul' go qui cst 6gale h ~/ sont 6gaux h 0,1.

LA (( DECONVOLUTION )) EN CALCUL NUMERIQUE 8/8

L ' inve r s ion d 'une grille nott-maniable a done un sens phys ique .

t -1. - - F A C T E U R

M U L T I P L I C A T E U B D ' E R R E U R .

Si les mesures sur les V~ donnen t lieu h une er reur gaussienne de var iance (~2, l ' e r reur commise sur z~ dans la re lat ion

z~ = Z g~V~+~ 1r

aura pour var iance

(65) ~ = ~ Z (g~-~ ~)~

P r a t i q u e m e n t c 'est la va leur de ~], donn6e par (65), let non les condi t ions de maniabili t6), qui d6cidera de la possibilit6 d ' inverser une grille.

Remerc iemcnts . ~ Je remercie la Socidtd Schlum- berger Ldt qui m'a donn~ l'aatorisation de publier ce travail ainsi que M M . Kunz et Moran du Centre de Recherches de la Socidtd Schlumberger dont les trm,aux de math~matiques pures ont dclaird cette analyse de calc~l num&ique.

Manuscrit re~u le 8 ]an~ier 1960.

COMPTES R E N D U S DE LIVRES (Cette mbrique s'dchelonne pp. 70, 76, 91, 99.)

Guides d ' o n d e s et r6sonateur 61ectromagn6t ique *

de F. BOBGNIS et C. P A P A S

Ce fascicule, au texte tr6s dense,est bien ~ sa place dans la collection Handbuch der Physik. L'int6r~t du sujet trait6 ne se limite pas h l 'art des t616communications : les propri6t6s des cavit6s 61ectromagn6tiques ont 6t6 raises en application dans plusieurs ddterrninations r6centes et pr6cises de la grandeur c, commun6ment nomm6e vitesse de la lumi6re (voir Th. Kahan : (( Les cavitds dlectromagndtiques et leurs applications en radio- physique )), M6morial des Sciences Physiques, fasc. LX, pp. 1t2-i13). Les deux auteurs 6taient naturellement d~sign6s par leurs t ravaux ant6rieurs : on connalt la m6thode de M. BORGNIS, expos6e par M. Louis de BRo- GLIS dans un livre demeur6 classique : Probl6mes de propagations guid6es des ondes 61ectromagn6tiques. L'esprit du pr6sent ouvrage est le m~me que celui du pr6c6dent ** : Randwert probleme der Mikrowellen- physik. I1 s'agit de problSmes aux limites, envisag6s du point de rue de la physique math6matique, h l'ex- clusion de tous les d6tails techniques dont la litt6rature sp6cialis6e abonde.

Les 31 premieres pages sont consacr6es h des r6suhats g6n6raux qui seront constamment appliqu6s darts la suite : par tant des 6qualions de Maxwell, exprim6es en systbme M. K. S. A. rationalis6, les auteurs 6tablissent l'influence d 'une discontinuit6 sur les champs et les inductions, rappellent une variante du th6or~me de Poynting dont ils se serviront pour l 'approximation des pertes, puis exposent les deux modes fondamentaux de propagations, le mode E et le mode H, en par tant de la consid6ration des 2 vecteurs de Hertz, l 'orthogonalit6 des solutions, l 'analogie avec les lignes homog~nes.

On trouve en d6tail l '6tude des guides cylindriques, de

sections rectangulaire, circulaire, r parabolique, en triangle 6quilat6ral, en secteur circulaire, puis de for- me quelconque, ainsi naturellement que celle du cable coaxial, qui seul peut transmettre une onde purement transversale. Yient ensuite l '6tude des cornets en forme de portions de secteurs circulaire, pyramidal, co- nique, etc... Ces d6veloppements font eonstamment appel aux fonctions dites , sp6ciales )) de Bessel, de Mathieu, de Legendre, etc...

On examine l'influence des coudes et des irr6gula- rit6s ; les auteurs renvoient en particulier aux t ravaux de M. M. L6on BBILLOUIN et Marc JOUGUET. De nom- breux autres exemples sont trait6s. Citons-en quelques- uns : le guide di61ectrique, les ondes de surface, le guide de M. GouBAu, l'h61ice, etc... Les auteurs traitent aussi des jonctions, des quadripSles non r6ciproques (ferrite), puis des cavit6s r6sonnantes, auxquelles sont consacr6es les 16 derni~res pages. Les citations bibliographiques sont bien choisies et pour la plupart r6centes.

Faisons une remarque : l'influence des pertes est trait4e syst6matiquement par une m6thode connue ; on admet, pour la topographic des champs, la solution qu! correspond aux parois parfaitement conductrices, pros on d6termine les pertes qui r6sultent de la valeur finie de la conductibilit6 par l 'application du th~or~me de Poynting le long des surfaces m6talliques. I1 y aurait lieu de rechercher si l 'on trouve le m6me r6sultat en premi6re approximation h partir de la solution exacte pour le cable coaxial de M. POLLACZEK : Th~orie du cable coaxial, Journ. Phys. et Bad., 8, n ~ 7 (juillet 1947), pp. 215-224, et 8, n~ (aofit 1917), pp. 244-251.

P. POINCELOT.

* En anglais (Electromagnetic Waveguides and resonators). Tir6 ~t part de I-Iandbuchder Physik, titre XVI, pp. 285- 422. Ed. Springer-Verlag, Berlin (1958) . - - I vo]. broch6 t6,5 • 2tk,5 ; 62 fig. ; 27 r6f. bibl. Ouvrage offert par l'auteur en service de presse ; annonc6 darts le Bulletin Signaldtique des T~ldcommunications (mai t958) sous la cote 103.682.

** Ouvrage re~u en service de presse, annonc6 darts le Bulletin (septembre t956)sous la cote L t~ 009 quifera 6gale- meri t l ' ob j e t d ' u n compt e rendu dans les Annales.

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