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La force centrifuge et la force de Coriolis sur un manège…

Soit le manège installé près de la tour Eiffel…

Présentation dédiée à tous ceux qui ont envie d’en savoir un peu plus ! Denise Cruette

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Soit R un système d’axes [O,XYZ]

fixes par rapport à la Terre, et centré sur la Tour Eiffel (référentiel terrestre supposé galiléen)

Soit R ‘ un système d’axes [O’,X’Y’Z’]

fixes par rapport au plateau du manège

YX

O

Z

R

O’Y’

R ‘Z’

X’

Rappel: un référentiel est dit« galiléen » lorsque les mouvements qui se produisent dans ce référentiel peuvent être décrits par application du principe fondamental de la dynamique (seconde loi de Newton-1686) :« La force résultante F exercée sur un point matériel, de masse m donnée ,est égale au produit de la masse du corps et de son accélération : F = mR »Les forces appliquées considérées ici étant les forces fondamentales existant dans notre univers (attraction gravitationnelle, forces de réaction, forces électromagnétiques, etc.) et qui existent quel que soit le référentiel dans lequel on se place;Rq: Dans un référentiel galiléen est également vérifié le principe d’inertie (première loi de Newton): tout corps isolé, qui n’est soumis à aucune sorte d’interaction avec d’autres objets matériels, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme qu’il possédait auparavant .

Si un référentiel est galiléen, tous ceux qui sont immobiles ou en translation rectiligne uniforme par rapport à celui-ci sont également galiléens

YX

O

ZR

O’ Y’

Z’

X’

R O’ Y’

Z’

X’

R

3

Considérons un wagonnet posé sur un rail situé le long de l’axe O’X’ du manègeet retenu par une cordelette fixée en O’ .

Y

X

O

Z

R

O’

Y’

R ‘

Z’

X’

Lorsque le manège est à l’arrêt, le référentiel R’ , immobile par rapport à R est également « galiléen »,

de sorte que les forces qui s’exercent sur le groupe de piétons et sur le wagonnet sont identiques :

- leur poids P

P

R

- et la réaction du sol R

R

P

4

Y

X

O

Z

R

O’

Y’R ‘

Z’

X’

Le manège étant maintenant en rotation uniforme dans le sens direct autour de l’axe O’Z’, déplaçons le centre du référentiel R pour le faire coïncider avec O’

appelons l’angle [O’ X,O’X’] : la vitesse angulaire =d/dt est constante,

sectionnons la corde: le wagonnet se met en mouvement de plus en plus rapide vers l’extérieur du plateau:

P

R

Y

X

Z

R

une force nouvelle s’exerce donc sur le wagonnet

Pour prendre en compte les forces induites par le mouvement du référentiel, il faut généraliser le principe fondamental de la dynamique aux référentiels non galiléens

le référentiel R ‘, animé d’un mouvement de rotation par rapport au référentiel, R n’est plus galiléen.

R

P

D’où vient cette force ?

5

Changement de référentiel - composition des mouvements

Pour expliquer cette force, nous allons devoir rappeler les règles cinématiques de composition des vitesses et des accélérations qui permettent de calculer la vitesse et accélération d’un mobile M dans un référentiel fixe connaissant :- sa vitesse et son accélération dans un

référentiel mobile - ainsi que le mouvement du référentiel mobile

par rapport au référentiel fixe.

Y

X

O

Z

R O’

Y’R ‘

Z’

X’

M

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Généralisation du principe fondamental de la dynamique au cas des référentiels non galiléens

Règle de composition des vitesses:Désignons par VR est vitesse de l’objet (l’avion) dans le référentiel mobile

et par VE , vitesse d’entraînement, la vitesse absolue du point fixe du repère mobile

où se trouve l’avion à l’instant t.

On peut montrer que la vitesse absolue VA = VR+VE

Y

X

O

Z

R O’

Y’R ‘

Z’

X’

MVR

VEVA

7

Généralisation du principe fondamental de la dynamique au cas des référentiels non galiléens

Règle de composition des accélérationsOn peut montrer que a = d (VA)/dt = R + E + C

où R = d (VR)/dt E = d (VE)/dt et C un terme complémentaire, appelé accélération de Coriolis

C n’existe que dans des référentiels en rotation et si VR0

Donc R = A - E - C et l’on peut écrire : mR = mA - m E - m C

Y

X

O

Z

R O’

Y’R ‘

Z’

X’

M

donc mR = (forces fondamentales appliquées) - m E - m C

Et en posant: - m E = FIE «force d’inertie d’entraînement » et - m C = FIC « force de Coriolis »le principe fondamental de la dynamique généralisé s’écrit:

Du fait du mouvement du référentiel mobile, on voit donc que pour décrire le mouvement dans un référentiel non galiléen en rotation , outre les forces fondamentales, on doit prendre en compte deux forces supplémentaires, dites « d’inertie » (ou de référentiel) : la force d’inertie d’entraînement et la force de Coriolis

R

E

A C

Or mA = (forces fondamentales appliquées)

mR = (forces fondamentales appliquées) + FIE + FIC

8

Y

X

Z

(R )O’

Y’

(R ‘)

Z’

X’

P

P

R

R

0

La force d’inertie d’entraînement se déduit de l’accélération « absolue » du point fixe M de R‘ où se trouve le wagonnet à l’instant t (point coïncident).

Dans R, ce point est en rotation uniforme autour de l’axe O’Z’, à la vitesse angulaire = d/dt, sur un cercle de rayon r

vE = r E=v2/r

sa vitesse absolue VA = r. = r(d/dt). C’est, par définition, la vitesse d’entraînement VA = VE

son accélération absolue A (dans R) :

M

En projection sur une base mobile de vecteurs unitaires , n et B (base de Frénet) :

n B

ndt

dr

dt

d

d

d

dt

dr

dt

d

dt

dr

dtdtdrd

a

2)(

Donc: a = E = = (vE2/r).n est centripète

card

d

= n

r

Calcul de la force d’inertie d’entraînement dans le cas du wagonnet

ndt

dr

2

9

Y

X

Z

R

O’

Y’R ‘

Z’

X’

P

R

Calcul de la force d’inertie d’entraînement

E= v2/r

La force d’inertie d’entraînement FIE = - m E= - m(v2/r).n = - m(2 r).n

C’est la fameuse force « centrifuge » !

Elle met en mouvement le wagonnet initialement immobile et l’accélère de plus en plus en direction du bord du plateau (elle augmente en effet avec la distance du mobile par rapport au centre du plateau)

FIE

R

P

R

P FIE

10

Application: cas de l’avion en virage

Forces agissant sur le planeur selon le référentiel dans lequel on se place

P

Ra Ra’

un avion en virage stabilisé à altitude et à vitesse V constantes et décrit un cercle de centre C et de rayon r

La composante verticale Ra’ de Ra équilibre le poids

Sa composante horizontale R’h constitue la force centripète qui crée et

entretient le virage.

Pour un observateur situé au sol dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

Il est soumis à la résultante aérodynamique Ra et à son poids P.

Va

Cr R’h

Référentiel terrestre (supposé galiléen)

Projetons les composantes de la vitesse, de l’accélération et des forces appliquées sur une base associée à l’avion et telle que l’un de ses vecteurs unitaires T soit porté par la direction de la vitesse, l’autre N soit dirigé vers le centre du cercle et le troisième B, perpendiculaire au plan défini par T et N et dirigé vers le

haut (base de Frénet).

Sur cette base de projection, on a : Va=v.T

et a= (v2/r).N

D’après le Principe Fondamental de la Dynamique ,la résultante des forces appliquées R’h= m a= m(v2/r).N

Va

Cr R’h

Référentiel terrestre (supposé galiléen)On appelle facteur de charge n, le rapport RA/P

B

N

P

R’h

CORDIER Guillaume – mai 2004

Va

On a la relation :

horizontaleC

g

V

mgrmV

R

Rtg

a

h

r'

' 2

2

Ra Ra

Si désigne l’inclinaison de l’avion

r

Le facteur de charge n = RA/P= RA/ R’A= 1/cos

P

Ra

et donc en rotation par rapport au référentiel terrestre fixe OXYZ,

avec Fc = - m E = - mV2/r

Où E est l’accélération d’entraînement (accélération absolue du point coïncidant)

Va

Pour un observateur situé dans l’avion, au centre d’un référentiel O’xyz, lié cette fois à l’avion, avec O’x tangent au cercle, O’y dirigé vers le centre C du cercle et O’z selon la verticale ascendante

et de vecteurs unitaires i, j, k

l’avion, immobile dans ce référentiel en rotation, est soumis :

- à la résultante aérodynamique Ra, - à son poids P - et à la force centrifuge Fc (horizontale)

Fc

X

Y

Z

O

x

y

z

O’

P+Fc = Pa est appelé poids apparent du planeur

Pa

et Ra= -Pa

C

Rq: on ne peut parler de poids apparent que dans le référentiel avion

i k

j

15

Etude de la force de Coriolis

Celle-ci n’existe que :- que dans un référentiel en rotation - et que si l’objet étudié est déjà en mouvement.

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Pour cela , nous allons maintenant étudier le mouvement d’un employé du manège

Y

X

O

Z

R

O’

Y’

R ‘

Z’

X’

Lorsque le manège est à l’arrêt, le référentiel R’ , immobile par rapport à R est également « galiléen »,

de sorte que les forces qui s’exercent sur le groupe de piétons et sur l’employé sont identiques :

leur poids P

P

P

R

R

et la réaction du sol R

se déplaçant sur le plateau , à partir de O’, à vitesse constante en suivant l’axe O’X’.

17

Y

X

O

Z

R

O’

Y’(R ‘)

Z’

X’

Lorsque le manège est en rotation uniforme, à la vitesse angulaire =d/dt, dans le sens direct autour de l’axe O’Z’,

le référentiel R’ , en rotation par rapport à R n’est plus « galiléen », deux forces supplémentaires s’exercent sur l’employé :

P

P

R

R

La force d’inertie d’entraînement FIE

La force d’inertie de Coriolis FCO

Y

X

Z

(R )

18

Y

X

Z

(R)

O’

Y’(R ‘)

Z’

X’

P

P

R

R

0

Comme dans le cas du wagonnet, la force d’inertie d’entraînement se déduit de l’accélération

« absolue » du point fixe M de R‘où se trouve l’employé à l’instant t (point coïncident).

Dans R, ce point est en rotation uniforme autour de l’axe O’Z’, à la vitesse angulaire = d/dt, sur un cercle de rayon r

vE = r E=v2/r

sa vitesse absolue Va = r. = r(d/dt). C’est, par définition, la vitesse d’entraînement VA = VE

son accélération absolue A (dans R) :

M

En projection sur une base mobile de vecteurs unitaires , n et B (base de Frénet) :

n B

a = E = (vE2/r).n =r(d/dt)2.n

est centripète

r

et FIE = -m E

est centrifuge FIE

19

Y

X

Z

O’

Y’(R ‘)

Z’

X’

0

Maintenant, pour calculer la force de Coriolis FIC = - mIC , il convient de calculer l’accélération de Coriolis IC

M

(R)

Pour exprimer commodément C , il est pratique d’introduire le vecteur rotation du plateau , porté par l’axe de OZ , dirigé selon la verticale ascendante dans le cas d’une rotation de sens direct

et de module .

Remarque: le sens direct est celui que nous empruntons quotidiennement sur nos ronds-points

Plaçons ce vecteur en M

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Y

X

Z

O’

Y’R ‘

Z’

X’

P

R

Dans le cas d’un référentiel mobile en rotation par rapport à un référentiel galiléen, on peut démontrer que l’accélération de Coriolis est égale au produit vectoriel:

Dont le résultat est un vecteur dont le module est égal à 2 .vR , (où vR est le module de la vitesse relative)

R

le pouce selon la direction du vecteur rotationle majeur selon la direction de la vitesse relative

et la direction peut être obtenue en appliquant la règle des trois doigts de la main gauche :

L’index donnant la direction de l’accélération de Coriolis

Celle-ci est donc dirigée 90° à droite du vecteur vitesse relative

V RC

VR

C

On voit donc bien que: si VR est nulle (employé immobile), l’accélération de Coriolis est nullesi le référentiel mobile n’est pas en rotation par rapport au référentiel galiléen, l’accélération de Coriolis est nulle

Le trièdre {, VR,C} est direct

Rc V

2

21

Y

X

Z

O’

Y’R ‘

Z’

X’

P

R

R

Or la force de Coriolis FCO = - m C

Dans le cas d’une rotation de sens direct, FCO est dirigée 90° à gauche du vecteur vitesse relative

VR

C

Celle-ci est donc de sens opposé à l’accélération de Coriolis

FC0

La force de Coriolis tend donc en permanence à dévier le mouvement vers sa droite

22

Y

X

Z

O’

Y’R ‘

Z’

X’

P

R

En résumé, dans le référentiel du manège en rotation de sens direct, l’employé est soumis à:

R

R et P qui sont les forces fondamentales dans le référentiel galiléen

FIE force d’inertie d’entraînement, ici centrifuge, qui l’accélère en direction du bord du plateau

FCO la force de Coriolis, dirigée vers la droite du mouvement et qui le dévie constamment, cette déviation augmentant avec la vitesse relative.

VRFCO

La trajectoire est constamment déviée vers la doite

F IE

P

R

23

Y

X

Z

O’

Y’R ‘

Z’

X’

P

R

Et si le plateau tourne dans le sens des aiguilles d’une montre ?

R

C est orientée 90° à droite du mouvement (le trièdre {, VR,C} doit être direct) FCO force de Coriolis, est dirigée vers la gauche du mouvement et le dévie constamment, cette déviation augmentant avec la vitesse relative.

VR

FCO

La trajectoire est constamment déviée vers la gauche

F IE

est cette fois dirigé vers le bas afin que la rotation soit de sens direct autour de lui

C

FIE force d’inertie d’entraînement est inchangée

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En résumé Force centrifuge et force de Coriolis, appelées forces d’inertie, sont des effets qui

n’apparaissent dans des référentiels en rotation par rapport à un référentiel galiléen. Induites par le mouvement propre de ces référentiels par rapport à un référentiel galiléen, on peut aussi parler de « forces de référentiel ».

Dans un référentiel R‘ en rotation par rapport à un référentiel R galiléen le principe fondamental de la dynamique s’écrit:

mR ‘ = (somme des forces fondamentales) + FCE + FCO

• La force de Coriolis ne s’exerce que sur des objets en mouvement dans le référentiel en rotation

• Elle agit perpendiculairement au déplacement (au vecteur vitesse relative), vers la droite dans le cas où la rotation du référentiel mobile est de sens direct, vers la gauche dans le cas contraire

• Contrairement à la force centrifuge, la force de Coriolis ne peut mettre un objet en mouvement, ni l’accélérer. Elle est uniquement déviatrice.

Pour se convaincre de tout cela, rendez-vous au manège de la cité des sciences !

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Et sur la Terre , grand manège autour du soleil ?

26

Les référentiels terrestres locaux• Reprenons le cas du référentiel centré sur la tour Eiffel; • Si nous supposons que :

0X est dirigé vers l’Est, OY vers le Nord et OZ selon la verticale locale ascendante,sur le globe terrestre, ce référentiel local est ainsi positionné

Y (NORD

X (EST)

O

Z

R

Equateur

C

Parallèle

OX

Méridien

Y

Z

Un tel référentiel, en rotation autour de l’axe des pôles, peut-il être considéré comme galiléen ?

Nous allons voir que tout dépend de l’échelle spatiale et temporelle du mouvement considéré et de sa durée

27

Référentiel galiléens, Nous avons rappelé (diapo 2) que si un référentiel est galiléen, tous ceux

qui sont immobiles ou en translation rectiligne uniforme par rapport à celui-ci, sont également galiléens

YX

O

ZR

O’ Y’

Z’

X’

R O’ Y’

Z’

X’

R

O’Y’

Z’

X’

R

O’Y’

Z’

X’

R

O’Y’

Z’

X’

R

28

le référentiel « absolu » de CopernicMais existe-t-il réellement dans la nature un référentiel galiléen ?

A l’heure actuelle, le meilleur référentiel galiléen que l’on soit en mesure de mettre en évidence est le référentiel de Copernic,

- dont l’origine est située au centre du soleil - et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines, n’ayant pas de mouvement

apparent dans notre galaxie (étoiles dites fixes)

O

X

Y

Z

29

le référentiel géocentriqueOn peut associer à la Terre un référentiel dont le centre coïncide avec le centre C de la Terre dont les axes

CX,CY,CZ conservent une direction fixe par rapport au référentiel de Copernic

O

X

Y

Z

C

X Y

Z

C

X Y

Z

C

X Y

Z

Ce référentiel en translation « elliptique » (et non rectiligne uniforme) par rapport au référentiel de Galilée, n’est en principe pas galiléen

Cependant pour des mouvements dont les distances caractéristiques sont faibles devant la dimension de l’orbite terrestre et dont les durées caractéristiques sont faibles devant la période de révolution de la Terre (1 an), on peut, avec une très bonne approximation, le considérer comme galiléen.

30

Y’

C

OX’

Z’

Par rapport au référentiel géocentrique (C,XYZ), le référentiel local (O,X’Y’Z’), en rotation avec la Terre, n’est pas galiléen

Cependant, pour tous les mouvements dont les durées sont faibles devant la période de rotation propre de la Terre (1 jour), on peut, avec une précision raisonnable, considérer le référentiel local comme galiléen.De même tout référentiel lié à un solide immobile par rapport à la terre (salle de cours, murs du laboratoire d’expériences) pourra être considéré comme galiléen.

Mais, tel n’est pas le cas pour la Météorologie et la Balistique

Z

Y

X

Direction fixe

Direction fixeDirection fixe

31

La force de Coriolis due à la rotation terrestre

32

Pour un avion long courrier survolant le pôle Nord en direction de l’Est, tout se passe comme sur la plateforme du manège précédent, en rotation dans le sens direct.

Y

X

Z

O’

Y’(R ‘)

Z’

X’

®

VRFCO

P

R

X

Y

Z

Y’Z’

X’

Et la force de Coriolis : FCO = - 2 V dévie sa trajectoire horizontale vers la droite

33

Pour le même avion long courrier survolant le pôle Sud en direction de l’Est, tout se passe comme sur la plateforme du manège précédent, en rotation dans le sens indirect.

X

Y

Z

X’

Z’

Y’

Y

X

Z

O’

Y’(R ‘)

Z’

X’

(R)

VR

FCO

Soit en remettant l’observateur la tête « en haut » :

Et la force de Coriolis : FCO = - 2 V dévie le mouvement vers la gauche

34

Y’

C

O

Z’

Plaçons-nous dans un plan méridien et orientons le vecteur rotation terrestre selon la verticale.

Déplaçons le vecteur rotation en O

Désignons par la latitude de 0

Et à une latitude quelconque ?

Z’

Y’

Soit (O,X’Y’Z’) le référentiel terrestre local (OX’ est dirigé vers l’arrière de la figure)

Localement, le référentiel O,X’,Y’Z’ est en rotation :-autour de l’axe OZ’, à la vitesse angulaire Z’ = sin ,- et autour de l’axe OY’, à la vitesse angulaire Y’ = cos .

- Sa composante Z’ selon OZ’, verticale locale, est : sin

- Sa composante Y’ selon OY’ (direction du Nord) est : cos

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Vu en perspective, cette fois, plaçons-nous dans un plan méridien et représentons les composantes du vecteur rotation terrestre:

Z’ selon la verticale locale : sin Y’ selon OY’ (direction du Nord) : cos

Un mobile se déplaçant dans le plan horizontal (OX’,OY’) est soumis à la force de Coriolis-d’intensité 2m Z’ -et dont la direction est opposée à celle de l’accélération de Coriolis, donnée par la règle des trois doigts précédemment décrite

Y’

C

O

Z’

Y’

X’Z’

Y

X

Z

O’

Y’

R ‘

Z’

X’

R

VR

FCO

P

R

Z’

Tout se passe comme si le manège précédent, posé sur la surface « horizontale » définie par le plan (OX’,OY’), tournait autour de l’axe OZ’, à la vitesse angulaire : Z’ = sin

Pour la démonstration complète de cette relation, voir l’annexe 1

36

Et à l’équateur ?

Z’ = sin = 0 et Y’ = cos =

Normal… puisqu’elle change de sens dans l’hémisphère sud !

Y’

CO

Z’

Y’

X’

Z

O’

Y’R

‘

Z’

X’

VR

P R

Tout se passe comme si le manège précédent, posé sur la surface « horizontale » définie par le plan (OX’,OY’),

est maintenant parallèle au vecteur rotation terrestre. Il ne tourne plus autour de l’axe OZ’

et la force de Coriolis est nulle!

37

Annexe 1: calcul de la force de Coriolis à une latitude donnée

imvjmukmujviukjmF

VkjmF

ZZYZYCO

RZYCO

'''''

''

222)()(2

)(2

k

j

Le terme est généralement bien inférieur à l’accélération de la pesanteur, de sorte que l’on peut le négliger.

kum

)cos2(

En désignant respectivement par , et les vecteurs unitaires des axes OX’, OY’ et OZ’ i

et par u et v les composantes de la vitesse selon les axes OX’ et OY’La force de Coriolis est égale à :

0

jj

ijk

jik

kij

car :

kumjmfuimfvF

alors

f

posons

CO

Z

)cos2(

:

sin22

:

'

La force de Coriolis à la latitude peut donc s’écrire: )2( ' RZCO VkmF

Remarque: à la latitude de 43° N, f= 10-4 s-1

(1)

38

Ordre de grandeurs

• Pour un missile de croisière , de masse m = 1000 kg , • se déplaçant initialement vers l’Est, à la latitude de 43° N, où f= 2sin = 10-4 s-1 ,• à la vitesse de 1000 m/s, sur une distance de 1000 km, On peut calculer la déviation vers le Sud, due à la force de Coriolis, de la façon suivante :D’après l’équation (1) précédente on à: m(dv/dt) = - mfu , soit: dv/dt = -fu.Or nous cherchons à calculer l’écart y au bout de 1000 km, en supposant que f est consatnt

Résultat : le missile sera déporté de 50 km vers le sud

2

00

0

2

10

0

0

tfudttfuvdty

donc

tfuvdtdyy

tt

tyy

y