LA fOrmuLe De L’Aire Du TriAngLenumerisation.univ-irem.fr/WR/IWR16002/IWR16002.pdfCadres numérique et géométrique Le paragraphe précédent met en évidence deux cadres que l’élève

LA fOrmuLe De

L’Aire Du TriAngLe

Katia ViardMaître - formatrice,

Ecole pasteur à allonnes

Guillaume MoussardFormateur, EspE de Nantes,

Laboratoire de Mathématiques Jean Leray de Nantes

reperes - irem. N° 102 - janvier 2016

1945, les programmes prescrivent le « calculde surfaces », en particulier celle du triangle.La notion d’aire apparaît dans les programmesde 1945, établissant une distinction entrel’objet géométrique, la surface, et sa gran-deur, l’aire. seule l’aire du triangle rectangleest alors à connaître, l’aire d’un triangle quel-conque étant calculée à partir de celle-ci dansdes cas particuliers. Le découpage et recolle-ment comme activité de référence pour fon-der la notion d’aire apparaît dans les pro-grammes de 1980. dès lors, la mesure del’aire est d’abord effectuée avec une unitéarbitraire, avant d’introduire les unités usuellesdu système métrique. La formule ne doit pasêtre connue par cœur, et jusqu’en 2002, un for-

1. — Tour d’horizon

1. 1. La formule de l’aire du triangle dans les programmes

Les programmes actuellement en vigueur,qui datent de 2008, ont restauré l’enseigne-ment de la formule de l’aire du triangle dans lechamps Grandeurs et mesures. ils ont même ins-tallé largement l’emploi de ce mot de formu-le, qui avait complètement disparu des précé-dents programmes. C’est ce changement,notamment, qui nous a amenés à nous interro-ger sur les modalités possibles de l’enseigne-ment de cette formule de l’aire du triangle à lafin du cycle 3. dans les projets de programmespour la rentrée 2016, il est préconisé de construi-re et utiliser cette formule en classe de 6ème.

Qu’en a-t-il été de l’enseignement de cettenotion à l’école primaire depuis un siècle ? avant

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Résumé : La formule de l’aire du triangle est une nouveauté des programmes de l’enseignementprimaire de 2008 par rapport aux précédents qui dataient de 2002. après une rapide analyse del’histoire de l’enseignement de cette notion en France et des enjeux d’apprentissage liés à sonenseignement, cet article présente une modalité originale d’enseignement de cette formule et décritsa mise en œuvre dans une classe de CM2.


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mulaire est mis à la disposition des élèvesdans lequel se trouvent les formules dont il peutavoir besoin pour résoudre des problèmes etcalculer des grandeurs [5].

1. 2. La formule de l’aire du triangle dans les manuels de CM2 aujourd’hui

pour établir la formule de l’aire du tri-angle, tous les manuels que nous avons consul-tés présentent le triangle comme étant inscrit dansun plus grand rectangle :

La connaissance de la formule de l’airedu rectangle leur permet ensuite d’en déduirecelle du triangle, comme en étant la moitié.rappelons que la formule de l’aire du rectangleest obtenue par dénombrement des carreauxd’un quadrillage. En effet, lorsqu’un rectanglea des dimensions égales à des nombres entiersde centimètres (nous nous restreignons à cettesituation dans cet article), son aire en cm² estégale au produit de ses dimensions.

aire du rectangle = 4 ¥ 9 = 36 cm².

La base et la hauteur de notre triangle sontalors interprétées comme la longueur et la lar-geur du rectangle circonscrit, d’où découle laformule :

aire du triangle = base ¥ hauteur ÷ 2.

il nous semble que ce raisonnement pour éta-blir la formule de l’aire du triangle est acces-sible à très peu d’élèves de CM2, et surtout qu’ilmasque le défi principal du problème posé, àsavoir de paver un triangle avec des carrés.

Le raisonnement que nous venons d’effec-tuer pour établir l’aire du triangle s’opère en deuxtemps. Le premier temps ressort de la notion d’airecomme grandeur géométrique et demande decomprendre que le triangle inscrit a la même aireque la surface qui le complète dans le rec-tangle, surface grisée sur le dessin ci-dessous.Ceci est déduit du partage des deux petits rec-tangles, obtenus par le tracé de la hauteur, endeux parties égales par leurs diagonales :

L’élève doit donc comprendre que la dia-gonale d’un rectangle le partage en deux partiesd’aires égales, et que l’aire de la réunion dedeux surfaces, les deux blanches ou les deux grises,est égale à la somme des aires des deux surfaces.

a ce stade est établie l’égalité des aires desparties blanche et grise. Le deuxième temps duraisonnement consiste à déduire de l’égalitéde deux parties formant un tout que chacune vautla moitié du tout.


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L’ensemble de ce raisonnement suppose dela part des élèves un raisonnement complexe carconstitué de plusieurs étapes, et une habileté àconcevoir des relations entre diverses parties d’unefigure géométrique.

d’autre part, on est surpris, alors même quel’on effectue une mesure, que cette démarchene fasse à aucun moment apparaître l’unitédans laquelle l’aire est exprimée. Mesurerl’aire d’un triangle en cm², c’est déterminer lenombre de carrés d’un centimètre de côté qui,pris ensemble, auront la même aire que le tri-angle. or il est impossible de paver un triangleavec des carrés, comme le montre la figure ci-dessous :

il nous semble essentiel de confronter lesélèves à cette apparente impossibilité de mesu-rer l’aire du triangle en cm². d’abord c’est ladémarche qui aura été suivie pour déterminerla formule de l’aire du rectangle : il est donc natu-rel d’essayer de la reproduire dans le cas du tri-angle. Ensuite, un calcul d’aire donne le plussouvent un résultat sous forme d’un nombre decentimètres carrés, c’est-à-dire d’un nombrede carrés de 1 centimètre de côté, auquel ilfaut pouvoir donner un sens.

L’existence d’un tel nombre ne va d’ailleurspas de soi dans le cas général. Le problème desgrandeurs incommensurables formulé par les géo-mètres grecs de l’antiquité aboutit à l’impos-sibilité d’exprimer l’aire d’un triangle quel-

conque par un nombre. Le premier livre des Élé-ments d’Euclide fournit alors un moyen decomparer les aires des polygones sans les mesu-rer par des nombres, par la construction, à la règleet au compas, d’un carré d’aire égale à celle d’unpolygone quelconque donné.

1. 3. Cadres numérique et géométrique

Le paragraphe précédent met en évidencedeux cadres que l’élève doit concilier dans sonapprentissage de la notion d’aire d’une figure[2]. un cadre géométrique d’abord dans lequell’aire est une grandeur associée à la figure quireste inchangée par découpage et recollementde celle-ci. un cadre numérique ensuite danslequel l’aire est mesurée par un nombre, lenombre d’unités qu’il faut reporter pour recou-vrir entièrement la figure elle-même, ou touteautre figure d’aire égale.

Les productions des élèves reproduitesdans la suite montrent le conflit engendré parces deux conceptions numérique et géomé-trique de l’aire.

2. — Déroulement de la séquence et résultats

Notre proposition

Nous proposons quant à nous une démarcheoriginale pour construire la formule de l’aire dutriangle, inspirée par un dossier du groupenational de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais [1]. Nousl’avons testée dans une classe de CM 2 situéeen zone d’éducation prioritaire et comptant 21élèves.

Notre choix a été de partir d’un triangle quel-conque et d’agir directement sur cette figure pourmesurer son aire, sans introduire de figure auxi-

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liaire. Bien sûr, pour mesurer son aire en cm²,c’est-à-dire en première intuition pour la paveravec des carrés, il est idéal de se ramener à unrectangle. or il est toujours possible de décou-per un triangle pour reformer un rectangle : ontrace une hauteur, puis la perpendiculaire au milieude cette hauteur, et enfin on réagence les quatreparties obtenues :

Ce découpage met en évidence quel’aire du triangle est égale au produit de sabase par la moitié de sa hauteur. Les prérequis mobilisés quant à la notion d’aire sontla conservation de celle-ci par découpageet recollement, et la formule de l’aire d’unrectangle.

Etape 1 : Faire un rectangle avec un triangle

Chaque élève a donc reçu un exemplai-re en papier du même triangle accompagnéde la consigne : « Faites un rectangle avec votretriangle ». Cette consigne, volontairementd’apparence irréalisable, a impressionné dura-blement les élèves.

Les productions obtenues montrent ladifficulté à concilier les deux contraintesprincipales, la conservation de l’aire et l’obten-tion d’une forme rectangulaire (voir deuxexemples ci-dessous). Elles sont essentielle-ment de deux types. Certains élèves décou-pent le triangle en petits morceaux, éven-tuellement nombreux, et s’attellent à reconstitueravec tous ces morceaux une forme rectangulaire.Ces élèves laissent des trous dans leur pro-duction finale, et souvent les pièces se che-vauchent entre elles.

d’autres élèves découpent le triangle enquelques morceaux et reconstituent un poly-gone en ajustant les côtés des morceaux entreeux. aucun n’a cependant obtenu une pro-duction qui satisfasse toute la classe.

Cette première étape est donc l’occasion,précieuse, de rappeler les règles du découpagerecollement : ne laisser ni trou ni chevauche-ment. Ces règles garantissent la conservationde l’aire entre la figure initiale, le triangle, etla figure finale.


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Etape 2 : reproduire la construction de l’enseignante

aucun élève n’ayant trouvé une procédureentièrement satisfaisante, l’enseignante a expo-sé la sienne (voir plus haut) sur un grand tri-angle découpé au tableau, et demandé auxélèves de la reproduire. Elle explique qu’ellea tracé la hauteur issue du sommet, détermi-né son milieu et tracé la parallèle à la base pas-sant par ce milieu. Elle montre plusieurs foisle mouvement des parties supérieures du tri-angle vers les extrémités pour reformer unrectangle.

Lors de cette deuxième étape, les élèvesmontrent des difficultés à concevoir et repro-duire le mouvement des parties supérieures dela figure, capacité essentielle pour élaborerdes raisonnements géométriques. ils finissenttoutefois par réaliser la construction, dont laprécision dépend (voir exemple ci-dessus) dela compréhension que la première ligne est per-pendiculaire à la base du triangle, et que ladeuxième ligne est tracée perpendiculaire-ment à la première en son milieu.

Etape 3 : mesurer l’aire du triangle

L’étape suivante consiste à utiliser le tra-vail sur la figure réalisé jusque-là, pour mesu-rer l’aire d’un triangle. Les élèves reçoivent pour

cela un triangle quadrillé tous les centimètresavec comme consigne de mesurer l’aire de cetriangle.

En fait, les élèves ne recourent pas en pre-mier lieu aux constructions précédentes (ànotre grande déception !), et dénombrent pourla plupart les carreaux présents sur le triangle.Les carreaux incomplets sont traités de diversesmanières. ils sont selon les élèves soit ignorés,soit regroupés. dans ce deuxième cas, les car-reaux sont le plus souvent regroupés par deuxdans l’intention de former un carreau considéréentier, alors que ce n’est généralement pasexactement le cas. Les élèves aboutissent parces procédés à des résultats numériques variés.


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Nous présentons les réponses de trois élèvesinterrogés sur leur procédure.

amora est la seule à avoir reproduit lesconstructions exposées précédemment, maiselle ne les utilise pas pour mesurer l’aire. « J’aitracé au milieu ; j’ai fait l’issue du sommet ; aprèsj’ai coupé la moitié comme elle avait expliqué,donc j’ai fait une perpendiculaire ; et puis aprèsj’ai compté mes carreaux et j’en ai obtenu 17 ;et bah après on verra si c’est bon ».

tristan compte les carrés entiers et regrou-pe mentalement les morceaux de carrés restant :« J’ai compté tous mes carrés et ceux qui étaientcoupés j’ai essayé de mettre tout le carré en entier[c’est-à-dire vraisemblablement de reconsti-tuer un carré entier] ».

Margaux, quant à elle, applique la formu-le de l’aire du rectangle au triangle. « J’ai mesu-ré ça [montre la base du triangle] donc ça faitsix ; et six fois ça [montre un deuxième côté dutriangle] ça fait tout ça [désigne l’ensemble dutriangle] ; ça fait beaucoup trop de carrés [elletrouve 42 cm²] ». signalons que sans la présencesur le dessin de l’unité de mesure, cette élèven’aurait jamais remarqué l’invraisemblance deson résultat.

La disparité des résultats proposés par lesélèves fournit l’occasion d’une réflexion col-

lective, orientée par l’enseignante vers le recoursà la construction vue lors des étapes antérieures,susceptible de fournir un résultat exact et indis-cutable. En mettant en œuvre cette constructionsur un nouveau triangle, les élèves obtiennentun rectangle dont les côtés sont volontairementdes nombres entiers de carreaux, en l’occurrence13 carreaux en longueur et 3 en largeur (exempleci-dessous).

Nous fûmes surpris à ce stade qu’aucunélève ne mobilise la multiplication pour dénom-brer ces carreaux, et qu’un seul élève emploiel’addition itérée 13 + 13 + 13. tous les autrescomptent les carreaux un par un. Est-ce quela multiplication n’est pas disponible pourdénombrer les carreaux d’un quadrillage ?Est-ce que la figure obtenue comme adjonc-tion de plusieurs morceaux n’est pas reconnuecomme un véritable rectangle auquel s’appli-querait la formule connue de l’aire du rec-tangle ? Quoi qu’il en soit, la synthèse del’enseignante permet à ce stade d’institution-naliser le fait que l’aire du triangle est donnéepar le produit de sa base par la moitié de sa hau-teur, ce qui est bien une « formule de l’aire dutriangle ». La question de l’écriture de cetteformule mériterait de faire l’objet d’uneréflexion complémentaire. Nous avons retenul’écriture suivante :

aire du triangle = base ¥ ½ hauteur


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Etape 4 : faire fonctionner la formule

Jusque-là nous avons justifié la validité dela formule de l’aire du triangle. Mais afin quecette formule devienne un outil conceptuelpour l’élève, il importe que celui-ci la mobili-se dans des situations de résolution de pro-blèmes. une première façon de la mobiliser, immé-diate, est de calculer l’aire d’un triangle sansreproduire à chaque fois les découpages expo-sés plus haut. Nous avons mis en œuvre cettesituation en demandant aux élèves de détermi-ner l’aire d’un triangle découpé dans du papieruni sans quadrillage. Certains ont reproduit lequadrillage ; certains, éventuellement les mêmes,ont découpé le triangle pour reconstituer unrectangle ; d’autre enfin, moins nombreux, ontseulement mesuré la base et la demi-hauteur dutriangle pour les multiplier. La confrontation deces productions permet de convaincre peu à peul’ensemble des élèves qu’il n’est désormaisplus nécessaire de compter des carreaux ou de

découper le triangle pour calculer son aire. Laformule traduit la conviction que, si l’on peuttout à fait reprendre entièrement le processusavec n’importe quel autre triangle, on sait main-tenant d’avance le résultat que l’on obtiendra.

une autre façon de mobiliser la formule del’aire du triangle, et plus précisément de mobili-ser les propriétés arithmétiques de celle-ci, est dedemander aux élèves de construire un triangle d’airedonnée. il s’agit alors de trouver deux nombresdont le produit égale cette aire donnée, et quimesureront l’un la base et l’autre la demi-hauteurdu triangle. Cette étape permet d’ancrer l’idée, d’abord peu disponible chez les élèves, que l’aireest obtenue comme un produit de deux nombres.L’enjeu ici est l’articulation entre les conceptionsde l’aire comme grandeur et comme nombre. Lesproductions des élèves, nécessairement variées,procurent une nouvelle occasion de remarquer quedes figures de même aire peuvent avoir néan-moins des formes différentes.


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3. — Conclusion

Ce travail nous a amenés à repérer trois obs-tacles majeurs à la compréhension de la formulede l’aire du triangle telle qu’elle est enseignéedans tous les manuels :— la multiplication pour calculer l’aire d’unrectangle n’est pas aussi disponible qu’on pour-rait l’espérer dans une classe qui a traité cechapitre, alors même que la méthode employéedans tous les manuels s’appuie sur la formulede l’aire du rectangle ;— le travail sur les formes géométriques pourconcevoir leur déplacement ou leur superposi-tion pose des difficultés aux élèves qui ne doi-vent pas être sous-estimées ;— la mesure de l’aire du rectangle au moyend’une unité carrée provoque des réactions dif-férentes chez les élèves, diversité qui appelledes explications, sujet complètement évincépar les manuels.

Notre conclusion est donc que la formulede l’aire du triangle, plutôt qu’un objet d’appren-tissage en soi, fournit un terrain privilégié pourpoursuivre la construction de la notion d’aireau CM2, en articulant les notions de forme, degrandeur et de nombre qu’elle fait intervenir.Les étapes successives proposées dans cetteséquence permettent aux élèves de construireprogressivement cette articulation, et de disposermentalement de situations de référence qui ren-dent opérationnelle la notion d’aire du triangleet lui donnent du sens.

La formulation des programmes actuelspose la question du statut de la formule enmathématiques comme objet d’apprentissage ensoi. avec pour conséquence l’exemple de ce pro-fesseur qui, interrogé par un stagiaire s’étonnantqu’il donne la formule de l’aire du triangle auxélèves sans justification de sa validité, répon-dit qu’il aimerait vraiment la justifier, si seu-lement il savait pourquoi elle est vraie !

bibliographie

[1] airE Et pÉriMètrE, dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupenational de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais,disponible à l’adresse :http://eduscol.education.fr/cid47903/aire-et-perimetre.html, dernière consultationle 21/08/2015.[2] douady & pErriN-GLoriaN, un processus d’apprentissage du concept d’airede surface plane, Educational studies in mathematics, 20, n° 4, springer, 1989.[3] douady & pErriN-GLoriaN, « aires de surfaces planes », Petit x, n° 6, p. 5-33, 1984 et n° 8, p. 5 à 30, 1985.[4] rouChE, Nicolas, Le sens de la mesure, Bruxelles : didier hatier, 1992.[5] MorEira BaLtar, paula, « a propos de l’apprentissage du concept d’aire », Petitx, n° 43, p. 43-68, 1996.[6] ChaMoNtiN, Françoise, « des aires sans mesure à la mesure des aires », RepèresIREM, n° 44, p. 33-62.

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