LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS MATLAB

REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA Tanindrazana – Fahafahana – Fandrosoana

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE 2004 – 2005

DEPARTEMENT BATIMENTS ET TRAVAUX PUBLICS

Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme d’ingénieur

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS

MATLAB :

Application au calcul des structures

Présenté par : RALIHALIZARA Julliard Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo

Date de soutenance : 17 Novembre 2006

REPOBLIKAN’I MADAGASIKARA

Tanindrazana – Fahafahana – Fandrosoana

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE 2004 – 2005

DEPARTEMENT BATIMENTS ET TRAVAUX PUBLICS

Mémoire de fin d’études en vue de l’obtention du diplôme d’ingénieur

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS

MATLAB :

Application au calcul des structures

Président : Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin

Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo

Examinateurs : Monsieur RABENATOANDRO Martin

Monsieur RAKOTO David

Monsieur RANDRIANTSIMBAZAFY Andrianirina

Madame RAVAOHARISOA Lalatiana

REMERCIEMENTS

A cette occasion, nous tenons à adresser nos vifs remerciements à :

- Dieu qui nous a illuminés durant toute la période de réalisation de ce

mémoire ;

- Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin, Directeur de l’école Supérieure Polytechnique d’Antananarivo sans l’aval de qui, ce mémoire n’a jamais été soutenu ; - Monsieur RABENATOANDRO Martin, Maître de conférences à l’Ecole

Supérieure Polytechnique d’Antananarivo, et Chef du département Bâtiments et

Travaux Publics qui a accepté la tenue de ce mémoire ;

- Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo, Maître de conférences à l’Ecole

Supérieure Polytechnique d’Antananarivo, qui nous a encadrés durant l’élaboration

de ce mémoire. Il est vrai que les tâches sont moins écrasantes lorsque l’on est

épaulé par un géant comme vous ;

- Tous les honorables membres du jury, qui malgré leurs responsabilités, ont

bien voulu accepter d’examiner ce mémoire ;

- Tous les enseignants de l’Ecole Supérieure Polytechnique, qui ont contribué

à notre formation durant ces cinq dernières années ;

- toute la famille, particulièrement mes deux sœurs qui ne se sont pas

ménagées pour me soutenir ces derniers temps ;

- Tous les amis à la polytechnique, particulièrement ceux du

département télécommunication pour leurs aides généreuses.

NOTATIONS [C] : matrice de rigidité

[E] : le module d’élasticité

F : le vecteur des sollicitations nodales

|J| : Le déterminant du jacobien

[Ke] : la matrice de rigidité élémentaire

[K] : la matrice de rigidité après assemblage

L : longueur des poutres

[N] : la matrice des fonctions d’interpolation

U : énergie de déformation

V : potentiel des forces nodales

W : potentiel de déformation

ui, vi, wi : déplacements nodaux dans les directions de x, y et z

un : le vecteur des déplacements nodaux

δ : opérateur variationnel

ε : le vecteur déformation

σ : le vecteur des contraintes

υ : coefficient de Poisson

Π : la fonctionnelle d’un problème

Sommaire

INTRODUCTION.

Partie I : Théorie de la méthode des éléments fini s

Présentation

Historique

Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis

Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis.

Partie II : Applications aux calculs des structures élastiques

Elément barre à une dimension

Elément poutre dans le plan

Elément poutre dans l’espace

Elément triangulaire

Elément quadrilatéral

Etude des plaques

Elément hexaédrique à huit nœuds

Partie III : Présentation de Matlab

Introduction

Matlab comme outil pour la simulation

Pourquoi Matlab ?

Présentation du programme

Partie IV : Applications

Introduction

Portique spatial

Etude des consoles courtes

Plaque avec ouverture

Hypothèse de la bielle comprimée

Conclusion

Bibliographies

Annexe

INTRODUCTION

La méthode des éléments finis est devenue aujourd’hui une méthode très à la

mode. Elle se prête bien à la programmation sur ordinateur. De ce fait, les

procédures numériques peuvent être rendues automatiques et modulaires. Elle peut

prétendre, pouvoir apporter solutions à des problèmes de physique que l’Homme n’a

pas pu résoudre par les méthodes classiques.

D’une autre part, le monde de l’informatique ne cesse de nous émerveiller par

son évolution fulgurante. Maintenant, le grand public a accès à des ordinateurs de

plus en plus puissants qui peuvent traiter des informations complexes. Les

techniques de programmation suivent aussi cette évolution. Avec la nouvelle

génération de langage de programmation très puissante : le langage orienté objet,

l’art de programmer s’est revêtu d’un aspect nouveau. Parmi eux se trouve Matlab,

qui est reconnu mondialement comme la plus puissante en matière de simulation.

Nous allons créer et développer un environnement de calcul et d’analyse des

structures par la méthode des éléments finis sous Matlab. Il sera enrichi pour être

capable de recevoir des cas de problèmes variés.

Le premier chapitre de cet ouvrage est une présentation de la méthode des

éléments finis. Les bases théoriques ainsi que les outils mathématiques de la

méthode y seront exposés, après un bref historique.

Le deuxième chapitre est une application de la théorie à des modèles

physiques. Les éléments linéaires, planes est enfin les éléments volumiques seront

traités successivement.

Matlab n’apparaît qu’au troisième chapitre. Les points forts de ce logiciel

seront mis en exergues, suivi d’une présentation du programme.

Dans le dernier chapitre, Nous allons voir le programme à l’œuvre pour des

vérifications de quelques théorèmes de la RDM classique. Nous allons prendre

ROBOBAT comme référence pour les résultats numériques.

Chapitre – I:

«««« THEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINISTHEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINISTHEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINISTHEORIE DE LA METHODE DES ELEMENT FINIS »»»»

- Présentation

- Concepts mathématiques de la méthode

des éléments finis

- Les outils mathématiques de la méthode

des éléments finis.

Chapitre - I : Théorie de la méthode des éléments f inis BTP

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2

I-1. Présentation

La méthode des éléments finis est une approche numérique pour les

problèmes de Physique. Actuellement, l’Homme est souvent conduit à réaliser des

projets de plus en plus audacieux et complexes. Pour des raisons de sécurité et

économiques, il lui est nécessaire de modéliser ses ouvrages le plus fidèlement

possible. Il lui est indispensable de prévoir le comportement réel des systèmes

qu’il étudie. Pourtant, les lois de comportements se traduisent, dans la plupart des

cas, par des équations aux dérivées partielles complexes. La méthode des

éléments finis offre des solutions pour contourner ces genres d’équations.

L’histoire de la méthode des éléments finis n’a commencé que vers les

années 1940. C’était lorsque les ingénieurs en aéronautique américains

cherchaient à obtenir des modèles mathématiques fidèles pour calculer les

fuselages d’avions. Les avions modernes commençaient en cette période, à avoir

des formes de plus en plus complexes. Il était alors impossible de prévoir le

comportement d’une pièce lorsqu’elle est soumise à différentes sollicitations. Le

problème consistait à déterminer la rigidité d’une structure composée de poutres

et de plaques métalliques. Obtenir la rigidité des poutres était une chose facile

mais, ce n’était pas le cas pour les plaques.

En 1941, un ingénieur américain A. Hrennikoff, a proposé d’assimiler les

plaques à un ensemble de plusieurs poutres de rigidité connus. Les résultats

obtenus étaient satisfaisants pour les pièces rectangulaires mais médiocres pour

les autres formes. Alors, en 1956, quatre américains : Turner, Clough, Martin et

Topp, ont présenté ensemble, une méthode pour résoudre le cas des pièces

triangulaires et quadrilatérales.

Parallèlement, l’américain S.Levy (1953) et deux britanniques, J.Argyris et

S.Kalsey (1960) ont perfectionné la méthode d’analyse matricielle des structures

assistée par ordinateur. Ils ont notamment travaillé sur la résolution des systèmes

d’équations linéaires. Il faut dire que sans le développement de l’informatique, la

méthode des éléments finis, aussi efficace soit-elle, n’aurait pas son succès

actuel. Elle conduit toujours à la résolution de systèmes de plusieurs équations

linéaires qui sont difficiles à résoudre sans l’aide d’un ordinateur.


ESPA . 2004-2005

3

D’un autre côté, l’illustre mathématicien allemand Richard Courant a publié

en 1943, un article qui propose des solutions numériques aux problèmes

variationnels par les méthodes d’approximations de Ritz et Galerkin. Pourtant, il

faut attendre 1965 pour que les conceptions mathématiques de Courant se

transforment en solutions numériques pratiques, plus facilement solvables par

ordinateur. Mieux encore, O.C.Zienkevitch et Y.K.Cheung (1965), ont remarqué

que la méthode peut aussi résoudre d’autres problèmes régis par la même forme

de fonctionnelle que les problèmes d’élasticité. La parution de leur article marque

le début de l’expansion de la méthode des éléments finis vers d’autre domaine

autre que la mécanique des structures. Depuis, la méthode n’a cessé de gagner

du terrain et elle est aujourd’hui considérée comme une méthode d’analyse

standard. La méthode des éléments finis trouve application dans la

thermodynamique, la mécanique des fluides, l’acoustique, la médecine, la

sismologie, et dans bien d’autres.

La suite de cette première partie va nous introduire dans la méthode des

éléments finis proprement dite. Il sera question de la fondation mathématique de

la méthode.


ESPA . 2004-2005

4

I-2. Concepts mathématiques de la méthode des élém ents finis

Cette partie a pour but de jeter les bases théoriques de la méthode des

éléments finis. Nous allons notamment voir la formulation variationnelle d’un

problème et les méthodes d’approximations.

I-2-1. Relation déformation-déplacement en mécaniqu e du milieu continu

D’après les théories de la mécanique du milieu continu, en considérant les

déformations et les déplacements comme petits, les composants de la matrice de

déformation sont obtenus d’après l’équation matricielle :

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

w

v

u

XZ

YZ

XY

Z

Y

X

ZX

YZ

XY

Z

Y

X

0

0

0

00

00

00

γ

γ

γ

ε

ε

ε

ε.

Où u, v et w sont les composantes des déplacements dans les directions des axes

X, Y et Z.

I-2-2. Relation contrainte-déformation

Figure 1 : Les composantes des contraintes dans l’espace


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5

La relation entre contrainte σ et déformation ε s’appelle loi de

comportement. Pour un problème d’élasticité, elle représente la loi de Hooke

généralisée :

[ ] εσ ⋅= D

Où [D] est la matrice des coefficients élastiques.

Pour les contraintes planes nous avons :

[ ]

−

−=

=

γ

ε

ε

ν

τ

σ

σ

ν

νσ

XY

Y

X

XY

Y

X

E

2

100

00

001

21

.

ν : le coefficient de Poisson.

E : module d’élasticité d’young.

Pour les déformations planes :

[ ]

−

−

−

−−=

=

γ

ε

ε

τ

σ

σ

ν

ν

ν

ννσ

Xy

Y

X

XY

Y

X

E

2

2100

010

001

)21)(1(

Nous allons trouver la solution (déplacement-contrainte) de la mécanique

du milieu continu qui est à la fois cinématiquement et statiquement admissible.

Celle qui vérifie les équations de compatibilité des déformations et d’équilibre.

Pour ce faire, nous allons adopter l’approche cinématique.

I-2-3. Approche cinématique

Nous cherchons une formulation énergétique à l’aide du champ de

déplacements. Elle est basée sur le « principe » des travaux virtuels.


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6

Soit un corps solide en équilibre sous l’action des forces de volume )(Mf et

des forces de surface )( pF , dans un champ de déplacements virtuels uδ

cinématiquement admissible. Nous avons la formule :

v v )( )(vv

ddufdupFxu

j

iij

S

M

∂∂

∫∫ ∫ =+ σδσδσ

Figure 2 : Milieu continu

Le premier terme de la dernière équation exprime le travail virtuel des forces

externes. Le deuxième terme est l’expression du travail des forces internes.

Nous pouvons transformer cette relation en admettant l’existence d’un

potentiel de déformation W, tel que :

εσ ∂∂=

ijij

W

Il vient alors, par symétrie du tenseur des contraintes que :

εεεσσ δδ ijij

ijijj

iij dd

xu

Wv v

vvv∫ ∂∫∂

∂∫

∂==

∫∫ ==vv

vW v ddW δδ

Alors la formulation du « principe »du travail virtuel devient :

∫ ∫∫ +==S

dufduFWdvU MP

σ

δσδ v )( )(v

∫=v

v dWU : énergie de déformation.


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7

En élasticité, nous apprenons que l’énergie de déformation U s’obtient par :

U = ∫Ω

dvT 2

1 σε

Or,

][ εσ D=

L’énergie de déformation peut alors, prendre la forme :

U = [ ] ∫Ω

v 2

1dDT εε .

Si nous admettons que les forces de volume et les forces de surface

dérivent des potentiels suivant :

gf −∇=

GF −∇=

D’où :

+−=+ ∫ ∫∫ ∫

v ss

GdgdvduFduf σδσδδ v v

V δ−=

Avec V le potentiel des forces externes.

En introduisant la fonctionnelle énergie potentielle totale ∏ , nous avons

d’après toujours le « principe » des travaux virtuels :

0)VU( =+=∏ δδ

Ainsi, pour un corps solide en équilibre, l’énergie potentielle totale est stationnaire.

Inversement, cette propriété de stationnarité implique que les conditions

d’équilibre sont satisfaites suivant la première variation de l’énergie potentielle

totale.

∫ ∫ ∫∑

⋅−−=∏v v

dudvufWdv ) F ( σδδδδ

D’après l’expression de la variation du potentiel de déformation W :

∫ ∫ −++=∏v s

duPFnpTdufdiv σδδσδ ) )(),((v ).(-


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8

),( npT est le vecteur des contraintes.

La stationnarité de Π implique que :

0 =+ fdivσ : équation d’équilibre.

0)(),( =− PFnpT : conditions aux limites sur Sσ .

Par ailleurs, nous montrons que la seconde variation de Π ( Πδ 2 ) est

positive.

En résumé, nous avons le théorème de l’énergie potentielle qui est la base

de la méthode des éléments finis en mécanique des structures :

« De toutes les configurations géométriques possibles que puisse

prendre un système, la seule qui est probable et qu i vérifie l’équilibre, c’est

celle qui minimise la valeur de l’énergie potentiel le totale Π .»

En termes de calcul variationnel (Cf. Annexe) nous pouvons dire que les

équations d’équilibre appelées équations d’Euler avec condition aux limites sont le

problème d’extremum de la fonctionnelle énergie potentielle totale Π suivant :

∫ ∫∫ −−=Πv s

)( σ

σδ dupFdvufWdv

Avec uu = sur Su.

I-2-4. Méthodes d’approximations de Ritz

Lorsqu’une forme variationnelle d’un problème existe (c’est-à-dire

que la fonctionnelle Π existe), une solution peut être obtenue en choisissant une

fonction u(x) qui va minimiser la fonctionnelle. u(x) comporte des coefficients

arbitraires que nous pouvons ensuite ajuster.

Par exemple, si nous prenons comme fonction d’essai

u(x) = ∑=

⋅n

iii xc

1)( ϕ


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Où

ci : les coefficients inconnus.

ϕ i : fonctions tel que u(x) est cinématiquement admissible.

Les constantes sont déterminées en cherchant l’extremum de la

fonctionnelle par rapport à chacune d’elles, c’est-à-dire :

01

=Π∂∂c

, 02

=Π∂∂c

,…………, 0=Π∂∂cn

Retenons que u(x) est une solution approximative. Une minimisation de la

fonctionnelle donnera une solution qui va satisfaire l’équation différentielle dans

toute la région.

I-2-5. Méthode des Résidus pondérés : Méthode de Ga lerkin

La méthode des résidus pondérés est une alternative à la méthode

variationnelle. Lorsque la fonctionnelle n’existe pas, nous adoptons cette méthode.

Nous allons présenter dans ce paragraphe les principes généraux de celle-ci.

Soit un opérateur différentiel D qui transforme une fonction inconnue u en

une fonction p :

D(u) = p.

La solution générale de cette équation serait une fonction qui satisfait

l’équation différentielle sur tout le domaine ainsi que sur la frontière.

Nous allons chercher une solution u(x) solution de cette équation

différentielle. Elle doit vérifier l’équation différentielle aux frontières mais pas

nécessairement dans le domaine d’intégration : c ‘est le principe de la méthode

des résidus pondérés.

La méthode des résidus pondérés implique la « création » d’une fonction

solution approximative qui satisfait les conditions aux limites : la fonction de base.

Elle comporte des paramètres ajustables an , initialement inconnus, que nous

pouvons modifier pour minimiser les erreurs dans le domaine d’intégration.

Une fonction de base a la forme suivante :

u(x) = )(xGa ii∑ i = 1,2,…..,n.


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10

Où

=

a

a

a

GGG

n

nxu

...

...)(2

1

21

aG nxxu )( =

- Les ai sont des coefficients ajustables.

- Gi : des fonctions connues linéairement indépendantes.

- n est le nombre de coefficients.

Nous pouvons aussi utiliser l’approximation nodale telle que :

=

u

u

u

NNN

n

nxu

...

...)(2

1

21

unNxu )( =

Les paramètres ui sont les valeurs exactes de u(x) aux points xi. Ils sont aussi

appelés variables nodales.

Les fonctions N(x) sont les fonctions d’interpolation déterminées par :

[ ]GG nxxN 1 )( −=

Tel que :

[ ] aGu nnn =

L’erreur commise lors de l’approximation ou résidu est la différence :

E(x) = D(u) – p


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11

La méthode des résidus pondérés requiert que l’intégrale du produit de

l’erreur avec une certaine fonction appelée fonction poids W soit égale à zéro.

∫ =x

ii

dxxEW 0 )( , i = 1,2,…..,n.

Nous remarquons que le nombre de fonctions poids est égal au nombre de

coefficients ai. Si les fonctions poids sont judicieusement choisies, nous

aboutissons à n équations avec n inconnues dont les solutions sont les

coefficients ai.

Selon les fonctions poids utilisées, la méthode des résidus pondérés se

subdivise encore en :

- Méthode de collocation :

Cette méthode utilise une famille de fonction de Dirac : les fonctions delta,

comme fonction poids.

( ) 0 =∫ − dxExxxi

iδ i = 1,2,…..,n.

Cette méthode permet de forcer le résidu à être nul pour certains points de

la région.

- La méthode des sous-régions :

La fonction poids est égale à l’unité ;

∫ =xi

dxxE 0 )( , i = 1,2,…..,n.

- La méthode de moindre carrés

La fonction poids Wi = aE

i∂∂ , i = 1,2,…..,n.

Donc,

∫ =∂∂

xi

dxEai

02 .

- La méthode de Galerkin

La fonction poids serait :

Wi = au

i∂∂ = Gi, i = 1,2,…..,n.


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Donc,

∫ =x

ii

dxxEG 0)( , i = 1,2,…..,n.

I-2-6. Concept de discrétisation

Les deux derniers paragraphes ont montré comment trouver la fonction de

déplacement u(x) par la formulation variationnelle, après minimisation de la

fonctionnelle. L’idée est assez simple mais pour les problèmes réels, la chance de

trouver une fonction qui va vérifier l’équation différentielle sur tout le domaine

d’intégration est plutôt mince.

Comme alternative à la modélisation de la région en entière avec une seule

et complexe fonction, la méthode des éléments finis propose de subdiviser la

région en plusieurs éléments. Pour chaque subdivision, la fonction de

déplacement s’écrit d’une manière plus simple ; C’est le principe de la

discrétisation.

I-2-7. Milieux continus discrets

Dans le cadre de la méthode des éléments finis, nous étudions un modèle

discret du domaine continu. Il est subdivisé en sous-régions de forme géométrique

simple appelés « éléments finis ». Les subdivisions sont interconnectées en des

points remarquables appelés « nœuds ».

De plus, nous définissons dans chaque élément une approximation nodale

adéquate de la solution, uniquement en fonction des valeurs nodales attachées à

l’élément Ve considéré.

=

u

u

u

NNN

n

n xxxxu

...

)(...)()()(2

1

21


ESPA . 2004-2005

13

uenNxu )( =

Nous pouvons classer les différents types d’éléments suivant leur

géométrie :

1. Les éléments unidimensionnels (1D) : barres, poutres.

2. Les éléments bidimensionnels (2D) : élasticité plane,

plaque en flexion, coques.

3. Les éléments tridimensionnels (3D).

Figure 3 : Système discrétisé en éléments finis

L’énergie potentielle totale est la somme des énergies potentielles

élémentaires.

∑ Π=

=ΠN

e

e

1

N : nombre total d’éléments.

Sa variation est :

01

==Π ∑ Π=

N

e

eδδ

En élasticité, la variation de l’énergie potentielle pour un élément de volume V e

est:

dvFudvfudv efee

SVV

e [D] >∂<−>∂<−>∂<=∂ ∫∫∫ εεπ

Soit sous la forme discrétisée :


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−>∂<−>∂=<∂ ∫ ∫∫e e

fe V S

en

en

V

Tee dFNdvfNuVdvBDBu σπ ][ ][][

Où,

- efS est la surface frontière appartenant à l’élément Ve

- [B] est tel que :

en

en

uB

ux

N

N

x

u

u

][

....

....

....

....

=

∂∂

><

=

∂∂

En posant

- [ ] v ][ ][ ][v

dBDKe

B Te∫= : La matrice de rigidité élémentaire.

- σdFNdvfNFef

e SV

e ∫∫ −= : Le vecteur élémentaire des

sollicitations. Nous avons l’expression matricielle de eπ discrétisée qui est

la formule de la méthode des éléments finis.

[ ] ( ) een

een

e FuKu −>∂<=π

Nous obtenons la même forme de We discrétisée si la fonctionnelle n’existait

pas. Mais en calcul des structures, nous pouvons l’avoir directement après

discrétisation et à l’aide du « principe » des travaux virtuels.

I-2-8. Principe d’assemblage

L’assemblage de ces divers éléments se déduit,

- Soit de la stationnarité de l’énergie potentielle totale globale :


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15

01

=∂=∂ ∑=

N

e

eππ ,

- Soit de la forme intégrale globale :

01

== ∑=

N

e

ewW ,

- Soit de l’équilibre de chaque nœud avec continuité des déplacements en

calcul des structures.

Ainsi l’opération consiste à construire la matrice globale [K] et le vecteur

global des sollicitations [F] à partir des matrices éléments [Ke ] et Fe par

expansion de ces matrices élémentaires. Par suite nous avons :

[K] un = F

- [ ] ][1

∑=

=N

eeKK : Matrice globale de rigidité

-

1

∑=

=N

e

eFF : Vecteur global des sollicitations

- un : Vecteur global des variables nodales du problème

Avec le principe d’assemblage, nous terminons cette partie concept

mathématique de la méthode des éléments finis. La partie suivante concerne les

outils mathématiques utilisés par la méthode.


ESPA . 2004-2005

16

I-3. Les outils mathématiques de la méthode des élé ments finis

Dans ce paragraphe, nous allons voir les éléments mathématiques qui vont

essentiellement avec la méthode des éléments finis. Ce sont des outils

mathématiques qui complètent la théorie.

I-3-1. Systèmes de référence :

Nous avons à utiliser trois types de systèmes de référence :

– Le système de référence global :

C’est le repère le plus courant. Il est constitué par un système d’axes fixes.

L’unité de mesure est l’unité de longueur. Tout point du système a ses

coordonnées par rapport à ce repère ( les coordonnées globales).

– Le système de référence local :

C’est le repère attaché au système, l’orientation des axes dépend du

mouvement du système. L’unité de mesure est encore l’unité de longueur.

Figure 4 : Système de coordonnées locales et globales


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17

– Le système de référence naturel ou intrinsèque

C’est une manière de repérer les points indépendamment de la taille ni de

la forme du système considéré.

Un point A d’un triangle sera repéré à partir des trois côtés ( côté 1, 2 et 3)

de celui-ci. Le point A aura trois coordonnées L1, L2, L3. Les coordonnées

naturelles peuvent être considérées comme le quotient des surfaces intérieures

issues du point A et la surface totale du triangle.

Si S est l’aire totale du triangle et, S1, S2, S3 les surfaces des domaines

montrés par la figure 5, nous avons comme coordonnées du point A :

L1 = SS1 , L2 =

SS 2 et L3 =

SS3 .

Par exemple, les coordonnées de chacun des sommets du triangle sont :

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

Figure 5 : Repère naturel pour le triangle

Une autre manière de concevoir le système de coordonnées naturel, pour

un triangle, c’est de raisonner en distance. Prenons, par exemple le côté n°1, il

sera l’origine des L1, (tous les points appartenant à ce côté auront comme L1 égale

à zéro). Ensuite, le sommet opposé à elle aura pour coordonnée L1 égale à l’unité.

Les points intermédiaires sont donc à une fraction de l’unité, à partir du côté 1

(Figure 6). Ainsi de suite pour les deux autres coordonnées (L2, et L3).


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18

Figure 6 : Repère naturel pour le triangle

Nous constatons alors qu’en système de référence naturel, les

coordonnées d’un point ne dépassent jamais l’unité. Et, la somme des

coordonnées d’un point dans un tel repère est toujours égale à l’unité. Autrement

dit, les coordonnées appartiennent toujours dans l’intervalle [-1 , 1]. Ceci rend ce

mode repérage très intéressant pour la méthode des éléments finis. Plus tard,

nous allons voir que les calculs des matrices de rigidité impliqueront des

intégrations dans une certaine région. Les calculs sont nettement faciles lorsque

les intégrations se font de –1 à +1. Des méthodes d’approximations numériques

existent pour calculer ces genres d’intégrales. .

I-3-2. Eléments de référence

Dans le calcul de la matrice de rigidité élémentaire [Ke ], il est judicieux de

faire ce calcul sur un élément de référence invariable Vo au lieu de Ve .

La transformation qui fait passer de l’élément Vo à l’élément Ve est définie par :

( ) ( ),...,, 0 kjio xxxMx

rrrr →π


ESPA . 2004-2005

19

Explicitement,

><=

><=

><=

→

k

j

k

j

k

j

z

z

z

tsrNz

y

y

y

tsrNy

x

x

x

tsrNx

t

s

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

1

1

1

),,(

),,(

),,(

Où,

- ( ),...,, kji xxxrrr

sont les coordonnés des nœuds de l’élément Ve.

- (r, s, t) sont les coordonnées locales liées à l’élément

- Les fonctions N sont les fonctions de transformation géométrique.

Si les fonctions N sont identiques ( N =N), alors les éléments sont dits

isoparamétriques. Dans ce cas le calcul intégral fait intervenir le jacobien [J] de la

transformation.

[ ] ><

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= zyx

t

s

r

t

z

t

z

t

z

s

y

s

y

s

y

r

x

r

x

r

x

,,J


ESPA . 2004-2005

20

[ ]

=

∂∂

∂∂

∂∂

= zyx nnn

t

N

s

N

r

N

J

La dérivée par rapport à x ( x∂ ) est liée à la dérivée par rapport à 0x ( 0x∂ )

par la relation :

Avec

[j] =[J]-1

tout ceci se résume par l’organisation des calculs de N, [J] et [Ke ] suivante :

[ ] 0 j xx ∂=∂


ESPA . 2004-2005

21

I-3-3. Transformation de coordonnées Dans les calculs en éléments finis, il est préférable d’exprimer la matrice de

rigidité dans le système de coordonnées locales (X, Y). Dans le cas d’éléments

linéaires (poutres) les expressions de [Ke] (la matrice de rigidité) se font à partir

des transformations de coordonnées.

Soit [P] la matrice de passage du repère local (X,Y) au repère global (x, y) ;

[P] =

−

100

0)cos()sin(

0)sin()cos(

αα

αα

Figure 7 : Repère local (X, Y) et repère global (x, y) pour une barre

Alors les variables nodales se transforment de la façon suivante :

uu nn P ][=

Et la matrice de rigidité en :

=

KK

KKK e

2221

1211

dont

• PKPTK 11 11 =

• Les autres sous-matrices sont de la même forme


ESPA . 2004-2005

22

I-3-4. Formules d’intégrations numériques :

Pour calculer les matrices de rigidité des éléments, nous sommes

conduits à évaluer des intégrales le long d’une ligne ou à travers une surface ou

encore dans un volume. Dans le cas d’une ligne, les fonctions sont facilement

intégrables, ce qui n’est pas le cas pour les deux autres. Nous allons donc évaluer

les intégrales numériquement. Pour ce faire, nous allons utiliser des formules

d’intégration de Gauss.

Le but est d’évaluer une intégrale définie, sans faire l’intégration et avec un

minimum d’erreur.

Soit l’intégrale dxxfI )(11∫= +

− .

• Dans le cas où f(x) est une fonction linéaire ( de la forme ax + b).

Figure 8 : Intégrale d’une fonction linéaire

L’intégrale peut s’évaluer exactement par :

+−=2

)1()1( 2

ffI

C’est le produit de la valeur moyenne de la fonction entre +1 et -1 avec la largeur

de l'intervalle d’intégration.

babaffI +++−=+−= )1()1(

bI 2=

Nous pouvons dire alors que l’intégrale est égale à la somme de certaines

constantes multipliées par une valeur particulière de la fonction :

)()( 2211 xwxw ffI +=


ESPA . 2004-2005

23

Les facteurs wi représentent ce que nous appelons « facteurs poids »

• Dans le cas d’une fonction du troisième degré, les facteurs poids et

les points particuliers sont solution du système d’équation suivant :

=+

=+

=+

=−+

0

3

2

0

02

322

311

222

211

2211

21

xWxW

xWxW

WxWx

WW

Elles sont :

121 == WW

3

121 −=−= xx

Dorénavant, nous n’avons plus à faire l’intégration pour calculer l’intégrale

d’une fonction cubique, il suffit d’utiliser la formule :

)()( 2211 xWxWI ffa +=

Avec les valeurs de x1, x2,W1, et W2 déjà obtenues.

NOTES

- Pour les polynômes du deuxième degré, les résultats sont identiques à

ceux obtenus pour les polynômes du troisième degré.

- Le principe reste le même pour les polynômes de degré supérieur.

- Cette formule de Gauss ne marche plus lorsque les bornes d’intégration

ne sont plus –1 et +1.


ESPA . 2004-2005

24

I-3-5. Changement de variable d’intégration : le J acobien

Le calcul d’intégrale avec changement de variable d’intégration s’écrit :

I = ∫∫ ∫∫∫=v v

dtdsdrJtsrgdzdydxzyxf0

),,( ),,(

|J | est le jacobien.

I-3-6. Matrices creuses, matrices bandes et matrice s symétriques :

Lors des manipulations des matrices de rigidité par la méthode des

éléments finis, nous allons remarquer que :

Ces matrices de rigidité sont des matrices creuses c’est-à-dire qu’elles

contiennent plusieurs éléments nuls.

Les matrices de rigidité sont des matrices bandes : les éléments qui se

trouvent loin de la diagonale sont nuls.

Enfin les matrices sont symétriques.

Nous allons tirer avantage de ces trois caractéristiques pour optimiser notre

programme. Plus la taille d’une matrice est grande, plus il va occuper de l’espace

mémoire et, plus le temps de traitement sera long. Pour rendre les matrices de

rigidité moins encombrantes;

1. Nous n’allons enregistrer que leur moitié, l’autre moitié s’obtiendra par

symétrie. Les matrices ne seront remplies que lorsqu’elles sont utiles pour

un calcul.

2. Nous n’allons stocker que les éléments non nuls des matrices.

Les effets de ces techniques peuvent paraître minimes pour les matrices de

petite taille. Mais les différences commenceront à se sentir lorsque nous sommes

en train de manipuler des matrices de grande taille, qui sont fréquentes dans la

méthode des éléments finis.

Enfin, notons aussi que plus la somme des numéros des nœuds pour un

élément est grande, plus les éléments de la matrice de rigidité sont dispersés. Une

matrice est dispersée lorsque des éléments non nuls apparaissent loin du

diagonal. Ceci augmente aussi le temps de traitement des matrices. Les deux


ESPA . 2004-2005

25

solutions sus-citées vont nous éviter ce genre de problème. Plus tard nous allons

aussi voir qu’il est possible de réorganiser ces types de matrices en rendant les

éléments plus proches du diagonal.

I-3-7. Classification des traitements

Nous pouvons traiter les problèmes de calcul de structure par analyse

statique et analyse dynamique. Les problèmes statiques consistent à déterminer

les déplacements et contraintes sur l’impulsion de charges statiques ou à variation

lente. Pour les structures à comportement linéaire, nous nous ramenons à la

résolution du système linéaire :

[K] un = F

Pour les structures non linéaires, nous appliquons les méthodes incrémentales

avec itération ou non.

Par ailleurs, les problèmes dynamiques se ramènent :

• Soit à la recherche des modes propres de vibration, c'est-à-dire à

un problème aux valeurs propres.

[ ] [ ][ ] 0 =− UMK λ

Où,

[M] : la matrice de masse,

λ : mode propre de vibration.

• Soit à la détermination de la réponse dynamique en résolvant

l’équation :

[ ] [ ] [ ] [ ])(tFUKUCUM nnn =++ &&&

Où [C] est la matrice d’amortissement par la méthode de superposition modale,

ou la méthode d’intégration directe pas à pas.


ESPA . 2004-2005

26

I-3-8. Condition de convergence de la solution

La méthode des éléments finis fournit une solution approchée qui converge

vers la solution exacte lorsque la taille des éléments diminue.

Les erreurs tendent vers zéro en tout point du milieu (V), ainsi que sur les

frontières si ;

1. Les erreurs sur u(x) et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n tendent

vers zéro. Condition satisfaite si l’approximation de u contient un

polynôme complet d’ordre n.

2. u(x) est continue sur les frontières entre éléments, ainsi que ses

dérivées.

Et nous pouvons écrire :

∑= WeW

Dans le cas où les conditions de continuité sur les frontières entre éléments

ne seraient pas satisfaites, nous avons :

WWeW d+∑=

Wd est un terme dû aux discontinuités entre éléments. Il faut alors vérifier

que les discontinuités n’empêchent pas les erreurs de tendre vers zéro. La

technique du « pach test » permet de s’assurer que Wd est nul.

Nous montrons que les erreurs commises pour un élément linéaire sont :

)'

( 8

2

xMaxu ulu ex

ex ∂∂

≤−

)'

( 2 x

Maxxx

u ulu exex

∂∂

≤∂

∂−

∂∂

l est la dimension maximale de l’élément.

Nous avons terminé avec cette première partie mathématique de la

méthode des éléments finis. Le chapitre suivant nous emmènera vers des

applications sur des systèmes physiques de ces théories

.

Chapitre – II :

« APPLICATIONS DE LAMETHODE DES APPLICATIONS DE LAMETHODE DES APPLICATIONS DE LAMETHODE DES APPLICATIONS DE LAMETHODE DES

ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES ELEMENTS FINIS AU CALCUL DES

SSSSTRUCTURES ELASTIQUESTRUCTURES ELASTIQUESTRUCTURES ELASTIQUESTRUCTURES ELASTIQUES »

- Elément barre à une dimension

- Elément poutres dans le plan

- Elément poutre dans l’espace

- Elément triangulaire

- Elément quadrilatéral

- Etude des plaques

- Eléments hexaédriques à huit nœuds

Chapitre - II : Applications en CDS BTP

ESPA . 2004-2005 28

II-1. Elément barre à une dimension

Ce deuxième chapitre est une application de la théorie de la méthode des

éléments finis au calcul des structures. Sachant que nous pouvons prendre en

compte différents types de loi de comportement des matériaux, nous allons nous

limiter, pour notre étude, dans le domaine élastique.

Pour cette première application, nous allons étudier le cas d’une barre

élastique à une dimension. La barre subit des sollicitations et des déformations

seulement suivant l’axe des s (repère intrinsèque ou naturel).

Figure 9 : Forces nodales et déplacements nodaux pour la barre (avec leur sens positif)

F i et F j sont les sollicitations extérieures appliquées aux nœuds i et j,

ui ,uj sont les déplacements des nœuds.

II-1-1- fonction de déplacement.

La raison de la discrétisation de la région en plusieurs petits éléments c’est

de pouvoir utiliser des fonctions de déplacement simples pour chaque élément.

Nous évitons le cas d’une solution unique mais complexe, sur toute la région.

Nous remarquons que seule la dérivée première de la fonction de

déplacement existe dans le fonctionnel pour les problèmes d’élasticité. Et la

solution doit satisfaire la continuité des déplacements. Nous pouvons donc utiliser

une fonction qui possède une première dérivée continue.


ESPA . 2004-2005 29

Le cas le plus simple de fonction qui satisfait ces conditions est la fonction

linéaire.

Figure 10 : Repère local pour la barre

La fonction de déplacement est donc de la forme (dans le repère local) :

u(X) = a + b X

Les conditions aux limites donnent ( pour les nœuds i et j)

ui = a

uj = a + bL

Nous obtenons alors l’approximation nodale des déplacements,

=

u

u

NN

j

i

Xu )( 21

uenNXu )( =

II-1-2- Calcul du déplacement et de l’énergie de dé placement.

D’après la définition de la déformation, nous avons pour le cas de la barre :

dX

duX =ε

L’expression de la déformation devient :

udNdN e

nX dXdX 21=ε


ESPA . 2004-2005 30

Avec,

- L

XXN

jX

−=)(1

- L

X XN iX

−=)(2

D’où,

[ ]

−=

u

u

j

X L

i

11 1

ε

= [ ] uenB

Maintenant, nous allons utiliser la formule de l’énergie de déformation :

Ue = X

X

dEA

2 XX εε∫

Après avoir fait le calcul matriciel et l’intégration, ce terme devient :

Ue =

−

−

u

u

uu

j

i

jiL

EA

11

11

2

Ue = [ ] uKu eT 2

1

Tel que

[Ke] =

−

−

11

11

L

EA.

II-1-3- Calcul des énergies potentielles des forces extérieures.

L’énergie potentielle des forces nodales est le produit des forces avec leur

déplacement respectif.

Nœud i : Vi = - Fi ui


ESPA . 2004-2005 31

Nœud j : Vj = - Fj uj

Sous la forme matricielle:

Ve = - <ui uj>

F

F

j

i

Nous allons sommer l’énergie de déformation et l’énergie potentielle que

nous venons de calculer pour obtenir la fonctionnelle.

Πe =Ue + Ve

Πe = [ ] FuuKu ee

nen

e − 2

1 en

Sa première variation est :

[ ] ( )Fuu een

een

e K −==Π δδ

Maintenant, il ne reste plus qu’à assembler les éléments, puis résoudre

l’équation matricielle qui en découle pour trouver les inconnus du problème.

Cette première application nous a montré les démarches essentielles qu’il

faut entreprendre pour résoudre un problème d’élasticité linéaire. Notre but

principal est de trouver la matrice de rigidité de l’élément barre pour que nous

puissions procéder à l’assemblage et à la résolution des problèmes. Pour éviter

trop de répétition, nous n’allons plus détailler les étapes pour les éléments qui

suivent. Sachant que les mêmes démarches seront empruntées. Nous allons nous

contenter de présenter l’élément et sa matrice de rigidité qui sont essentiels pour

la programmation. Le cas suivant concernera les poutres dans le plan.


ESPA . 2004-2005 32

II-2. Elément poutre dans le plan

Le cas de figure se présente comme suit :

Figure 11 : Les charges pour l’élément poutre

Figure 12 : Les déplacements nodaux pour l’élément poutre

Les deux dernières figures représentent les déformations et les

déplacements nodaux avec leur sens positif respectif. Chaque nœud peut subir

trois déplacements indépendants. L’élément poutre a donc six degrés de liberté.

Forces nodales :

=

F

F

F

j

ie


ESPA . 2004-2005 33

Avec,

=

M

F

F

F

i

iy

ix

i

Fix : Forces suivant X,

Fiy : Forces suivant Y,

Mi : Couple autour de Z.

Les forces directement appliquées à la poutre sont ramenées en forces

nodales externes.

Déplacements nodaux :

=q

q

q

j

ien

Avec,

=

θ i

i

i

i v

u

q

ui : Déplacement suivant X.

vi : Déplacement suivant Y.

θ i : Rotation autour de Z.

La matrice de rigidité [Ke] s’écrit :

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

=

KK

KK

K

jjji

ijiie


ESPA . 2004-2005 34

Avec,

[ ]

−

−=

L

EIEI

EIEI

L

AE

L

LLK ii

460

6120

00

2

23

[ ]

=

L

EIEI

EIEI

L

AE

L

LLK jj

460

6120

00

2

23

[ ]

−

−−

−

=

L

EIEI

EIEI

L

AE

L

LLK ij

260

6120

00

2

23

et [ ] [ ]KK ijT

ji =

Où,

A : La section la poutre

I : Le moment d’inertie.

L : la longueur de la poutre

E : Le module d’élasticité

Dans le paragraphe suivant, nous allons augmenter le degré de liberté de

l’élément en travaillant dans l’espace.


ESPA . 2004-2005 35

II-3. Elément poutre dans l’espace

L’élément poutre avec les sollicitations nodales est montré par la figure

suivante :

Figure 13 : Poutre dans l’espace

Nous avons comme sollicitations :

=

F

F

F

j

i

e

Et si,

FiX : L’effort longitudinal ( traction ou compression),

FiY : L’effort tranchant suivant la direction de y,

FiZ : L’effort tranchant suivant la direction de z,

MiX : Le Moment de torsion (moment suivant la direction de x),

MiY : Le Moment fléchissant dans le plan de (x, z),


ESPA . 2004-2005 36

MiZ : Le moment fléchissant dans le plan de (x, y).

Nous avons :

MMMFFFF iZiYiXiZiYiXi =

Les déplacements nodaux sont :

=q

q

j

ieq

Et si,

ui : Désigne le déplacement suivant X.

vi : Désigne le déplacement suivant Y.

wi : Désigne le déplacement suivant Z

θ i :Désigne les rotations autour de X, ou Y ou Z.

Nous avons,

θθθ iZiYiXiiii wvuq =

Chaque nœud possède six déplacements indépendants, ce qui fait que

l’élément a 12 degrés de liberté.

La matrice de rigidité [Ke] s’écrit de la façon suivante :

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

=

KK

KK

K

jjji

ijiie

Avec,

[ ] [ ]KK ijT

ji =


ESPA . 2004-2005 37

[ ]

+

−

−

+

=

L

EIEI

L

EIEI

L

EIEI

EIEI

L

AE

ZZ

YY

P

YY

ZZ

ii

L

L

GI

LL

LL

K

400060

040600

00000

0601200

6000120

00000

2

2

23

23

[ ]

−

−

=

L

EIEI

L

EIEI

L

EIEI

EIEI

L

AE

ZZ

YY

P

YZ

ZY

jj

L

L

GI

LL

LL

K

400060

040600

00000

0601200

6000120

00000

2

2

23

23

[ ]

−

−

−−

−

−

=

L

EIEI

L

EIEI

L

EIEI

EIEI

L

AE

ZZ

YY

P

YY

ZZ

ij

L

L

GI

LL

LL

K

200060

020600

00000

0601200

6000120

00000

2

2

23

23


ESPA . 2004-2005 38

Où :

A : la section la poutre

L : la longueur de la poutre

IY : Le moment d’inertie suivant Y

IZ : Le moment d’inertie suivant Z

Ip : Le moment d’inertie polaire

E : Le module d’élasticité

G : Le module d’élasticité transversale

Jusqu’ici, nous n‘avons vu que des applications de la méthode des

éléments finis sur des éléments linéaires. Dans les applications suivantes, nous

allons ajouter une dimension à l’élément, en abordant le cas des éléments plans.


ESPA . 2004-2005 39

II-4. Elément triangulaire :

Le système que nous allons développer dans cette partie est élastique,

homogène et isotrope.

Le milieu est d’abord subdivisé en éléments triangulaires comme le montre

la figure suivante.

Figure 14 : Discrétisation du système en éléments triangulaires.

Figure 15 : Les forces nodales pour l’élément triangulaire


ESPA . 2004-2005 40

Afin de faciliter le calcul intégral pour obtenir la matrice de rigidité de

l’élément, nous allons travailler dans le repère naturel. La figure 15 montre aussi

que chaque nœud possède deux déplacements possibles : suivant l’axe des x et

suivant l’axe des y. Au total, un élément a six degrés de liberté. Les forces

extérieures sont des forces horizontales et verticales au niveau des nœuds.

Comme pour les applications précédentes, notre principal objectif est

encore de trouver la matrice de rigidité de l’élément.

II-4-1. Fonction de déplacement.

La fonction de déplacement est une fonction linéaire. Elle s’écrit :

=

u

u

u

LLLu

3

2

1

321

=

v

v

v

LLLv

3

2

1

321

u et v sont respectivement les déplacements suivant l’axe de x et de y

(L1+L2+L3=1)

Puisque l’élément est isoparamétrique nous pouvons écrire :

−−=

x

x

x

LLLLX

3

2

1

2121 1


ESPA . 2004-2005 41

−−=

y

y

y

LLLLY

3

2

1

2121 1

Où, xi, yi sont les coordonnées des nœuds dans le repère global.

II-4-2. Calcul de la déformation :

La relation déformation et déplacements nodaux est :

[ ] [ ] nn321 q q BBBB ==ε

Où

>>=<< 332211n q vuvuvu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

x

N

y

N

y

N

x

N

ii

i

i

0

0

Bi

Le calcul de la matrice [B] nécessite la dérivation de la fonction de déplacement

par rapport aux coordonnées globales des fonctions u et v qui sont exprimées

plus facilement à l’aide des coordonnées naturelles Li.

II-4-3. Déformation-Contrainte : loi de comportemen t

D’après la relation Contrainte-déformation :

][ εσ D= = [D] [B] qn


ESPA . 2004-2005 42

Avec,

−

−=

2

100

01

01

1][

2

υ

υ

υ

υE

D

Nous obtenons l’expression de l’énergie de déformation

hA]][[[B]2

1qqU n

Tn

e BD><=

Avec

h : l’épaisseur de l’élément

A : aire de l’élément Ve

Or

[ ]

−

−

=

=

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

−−

xx

yy

AJ

L

L

L

L

J

y

L

x

L

31

131

2

1

1

1

1

1

1

2

1

0

1

[ ]

−

−

=

=

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

−−

xx

yy

AJ

L

L

L

L

J

y

L

x

L

12

211

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

0

[ ]

−

−

=

−

−

=

∂−−∂

∂−−∂

=

∂∂

∂∂

−−

xx

yy

AJ

L

LL

L

LL

J

y

L

x

L

23

321

2

21

1

32

1

3

3

2

1

1

1

)1(

)1(


ESPA . 2004-2005 43

Avec,

[ ]

)2(

)()(

)()(1

1213

13131

AJ

xxxx

yyyy

JJ

=

−−−

−−−

=−

Nous déterminons complètement la matrice [B] et matrice de rigidité [Re]

[Re]=[B]T [D] [B] qhA

Le potentiel des forces extérieures est défini par :

enn

e FqV ><−=

Avec,

enF : les forces nodales extérieures.

Passons maintenant au cas suivant, qui est celui de l’élément quadrilatéral.


ESPA . 2004-2005 44

II-5. Elément quadrilatéral

Comme dans les cas précédents, nous allons trouver l’expression de la

matrice de rigidité d’élément quadrilatéral. L’élément quadrilatéral est présenté par

la figure suivante.

Figure 16 : Les forces nodales pour l’élément quadrilatéral.

Pour chaque nœud peut subir des forces verticales et horizontales.

l’élément a alors huit degrés de liberté.

L’élément est homogène isotropique et isoparamétrique. Les calculs sont

faits dans le domaine élastique.

L’origine du repère naturel est le centre du quadrilatéral. Les coordonnées

naturelles s et t varieront donc de –1 à +1.

II-5-1. Fonction de déplacement

=

u

u

u

u

NNNNtsu

4

3

2

1

4321 ),(


ESPA . 2004-2005 45

=

v

v

v

v

NNNNtsv

4

3

2

1

4321 ),(

Avec les coefficients Ni:

4

)1)(1(1

tsN

−−= 4

)1)(1(2

tsN

−+=

4

)1)(1(3

tsN

++= 4

)1)(1(4

tsN

+−=

Puisque l’élément est isoparamétrique ;

=

x

x

x

x

NNNNtsX

4

3

2

1

4321 ),(

=

y

y

y

y

NNNNtsY

4

3

2

1

4321 ),(

II-5-2. La Déformation

La déformation s’exprime par :

][ qnB=ε


ESPA . 2004-2005 46

Dans cette dernière équation,

vuvuvuvuqn 44332211=

Et

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

=

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

xyxyxyxy

yyyy

xxxx

B

NNNNNNNN

NNNN

NNNN

44332211

4321

4321

0000

0000

][

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]BBBBB 4321][ =

Avec,

[ ]

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂−

t

s

y

x

N

N

JN

N

i

i

i

i

1

et

[ ] [ ]yx

JJ

JJ

nn

t

N

s

N

J

2221

1211

∂∂

∂∂

=

=

−++−−−

+−+−−−

=

yx

yx

yx

yx

ssss

tttt

J

44

33

22

11

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

4

1][


ESPA . 2004-2005 47

Avec,

[ ] [ ]

−

−

=−

JJ

JJ

JJ

11211

12221

1

Le déterminant

JJJJJ 21122211 −=

[ ] xy nn aJ =

Où,

[ ]

+−+−

++−−

+−+−

−−−

−=

0)1(1

10)1()(

)(101

110

8

1

ttss

tsts

stst

sstt

a

Nous avons les entrées non nulles de la matrice [B], qui sont :

B1,1 = J8

1(y24, + sY43 + ty32) = B3,2 B2,2 =

J8

1(x42 + sx43 + tx23) = B3,1

B1,3 = J8

1(y31 + sy34 + ty14) = B3,4 B2,4 =

J8

1(x13 + sx43 + tx41) = B3,3

B1,5 = J8

1(y42 + sy12 + ty41) = B3,6 B2,6 =

J8

1(x24 + sx21 + tx14) = B3,5

B1,7 = J8

1(y13 + sy21+ ty23)= B3,8 B2,8 =

J8

1(x31 + sx12 + tx14) = B3,7

Tel que

xm n = xm – xn

ym n = ym – yn


ESPA . 2004-2005 48

Ces résultants suffisent pour obtenir la matrice de rigidité de l’élément

quadrilatéral donnée par :

[ ] [ ] dxdyBDhv

Te

eBK ][][∫=

En terme de s et de t :

[ ] [ ] dsdtBDhv

Te

eBK J ][ ][∫=

En résumé, nous avons les opérations nécessaires pour calculer la matrice

de rigidité [Ke] de chaque élément, par intégration numérique. Pour chaque point

d’intégration (s,t), elles se résument par :

• Initialiser [Ke] à zéro.

• Calculer la matrice jacobienne [J] à partir des dérivées en (s,t) des

fonctions de transformations géométriques N et coordonnées des

nœuds de l’élément puis son inverse et son déterminant.

• Calculer les dérivées des fonctions N à partir des dérivées en (s,t).

• Construire la matrice [B] et [D].

• Accumuler dans [Ke] le produit [B] T [D] [B] det J.

• Enfin les forces nodales s’expriment par :

dsdtJ

F

F

NF

y

x

v

Te

o

][

= ∫

Où Fx et Fy sont les projections des forces extérieures suivant les axes des x et y.

Nous avons terminé avec l’élément quadrilatéral, l’application suivante va

concerner le cas des plaques.


ESPA . 2004-2005 49

II-6. La méthode des éléments finis pour les plaqu es

Dans cette partie, nous allons seulement considérer les plaques minces

isotropiques, qui subissent des petites déformations. Les sollicitations aux nœuds

sont les efforts tranchants et les moments de flexion. Les déformations possibles

sont les déflexions verticales et les rotations.

Nous allons considérer l’élément rectangulaire à douze degrés de liberté.

Figure 17 : Les déplacements nodaux d’une plaque

II-6-1. Fonction de déplacement

La déflexion de la plaque sera approchée par la fonction polynôme à douze

constates ai :

w= ayxyyxxyx nxyxyxyyx 1 33322322

Avec

aaaaaaaaaaaaan 121110987654321=


ESPA . 2004-2005 50

II-6-2. Déformations

Les autres déformations sont :

- La rotation autour de x :yw

x ∂∂=θ

- La rotation autour de y : xw

y ∂∂−=θ

Les déplacements pour chaque nœud seront définis par :

=

θ

θ

iy

ix

i

i

w

q

Par conséquent, l’approximation nodale de la déflexion verticale est de la

forme :

=

q

q

q

q

NNNNw

4

3

2

1

4321

Où

NNNNNNN yxyxyx 1331111 −=





ESPA . 2004-2005 51

Avec

)1( )21( 21 sN sx −+= )1( )21( 2

1 tN ty −+=

)23(22 ssN x −= )23(2

2 ttN y −=

)1( 23 sN asx −= )1( 2

3 tN bty −=

)1(24 −= sasN x )1(2

4 −= tbtN y

II-6-3. La relation contrainte-déformation

La déformation est définie par :

∂∂−

−

−

=

∂∂∂∂∂

yx

w

w

w

y

x

2

2

2

2

2

2

ε

[ ] qnB =ε

La contrainte généralisée par :

[ ]

=

=

=

=

∫

∫

∫

−

−

−

2

2

2

2

2

2

h

hxyxy

h

hyyyy

h

hxxxx

dz

dz

dz

zM

zM

zM

σ

σ

σ

σ


ESPA . 2004-2005 52

h étant l’épaisseur de la plaque.

II-6-4. Loi de comportement

La loi de comportement élastique généralisée relie la contrainte à la

déformation par :

[ ] σε D=

Avec,

[ ]

−

−=

2

100

01

01

)(12 21

3

υ

υ

υ

υEhD

Où,

E : le module d’élasticité

h : l’épaisseur de la plaque

υ : le coefficient de Poisson.

Nous obtenons ainsi la matrice de rigidité par :

[ ] [ ] [ ]∫∫=v

][e

dydxBDBKTe

Nous allons terminer ce chapitre application de la méthode des éléments finis au

calcul des structures, par l’élément hexaédrique à huit nœuds.


ESPA . 2004-2005 53

II-7. Elément hexaédrique à huit nœuds

Ici, nous allons toujours rester dans le repère naturel (s, t, r), pour le

calcul de la matrice de rigidité. L’élément hexaédrique est représenté par la figure

qui suit. Les nœuds peuvent subir des déformations dans les directions de X de Y

et de Z. Ils sont soumis à des forces dans ces trois directions.

Figure 18 : Repère naturel et globale de l’élément hexaédrique

Avec les mêmes démarches que pour les problèmes plans, nous avons ;

II-7-1 – Fonction de déplacement

Si u indique le déplacement dans la direction de s, v dans la direction de t

et, w dans le sens de r. nous avons :

u(s,t) = uNNNNNNNN en 87654321

= <N> uen

v(s,t) = vNNNNNNNN en 87654321

= <N> ven

w(s,t) = wNNNNNNNN en 87654321


ESPA . 2004-2005 54

= <N> wen

Avec,

uuuuuuuuuen 87654321=

vvvvvvvvven 87654321=

wwwwwwwwwen 87654321=

Similairement, puisque l’élément est isoparamétrique :

xnNx >=<

ynNy >=<

znNz >=<

Nous pouvons ensuite appliquer les différentes opérations pour avoir la matrice de

rigidité [Ke].

Les fonctions d’interpolations Ni (i = 1,2,…,n) sont

N1 = 81 (1-s)(1-t)(1-r) N5 =

81 (1+s)(1-t)(1+r)

N2 = 81 (1-s)(1-t)(1+r) N6 =

81 (1+s)(1+-t)(1-r)

N3 = 81 (1-s)(1+t)(1+r) N7 =

81 (1+s)(1-t)(1-r)

N4 = 81 (1+s)(1+t)(1+r) N8 =

81 (1+s)(1-t)(1+r)

II-7-2. Déformation

Ecrivons maintenant les déformations en fonction des déplacements.

[ ] qnB =ε

Où,

<qn> = <u1 v1 w1 u2 v2 w2 ……….u8 v8 w8>

Et les éléments non nuls de la matrice [B] sont :


ESPA . 2004-2005 55

∂∂+∂

∂+∂∂=− r

NatNas

NaJB iiii 131211)23(,1 1

∂∂+∂

∂+∂∂=− r

NatNas

NaJB iiii 232221)13(,2 1

∂∂+∂

∂+∂∂=

rNat

NasNaJB iii

i 333231)3(,3 1

BB ii )13(,2)23(,4 −− =

BB ii )23(,1)13(,4 −− =

BB ii )3(,3)13(,5 =−

BB ii )13(,2)3(,5 −=

BB ii )3(,3)23(,6 =−

BB ii )23(,1)3(,6 −=

Avec i= 1,2,3,…7,8

D = la rigidité de l’élément est donnée par :

[ ])21( )1( υυ −+

= ED

−

−

−

−

−

−

×

22100000

02210000

00221000

0001

0001

0001

υ

υ

υ

υυυ

υυυ

υυυ

La matrice de rigidité s’obtient par :


ESPA . 2004-2005 56

[ ] dxdydzBDv

Te

eBK ][ ][ ][∫∫∫=

Puisque la matrice de rigidité [B] est fonction de s, t, r, nous pouvons

effectuer un changement de variables x, y, z en s, t, r et la matrice de rigidité

devient :

[ ] dsdtdrBDv

Te

oBK J ][ ][ ][∫∫∫=

Avec l’élément hexaédrique à huit nœuds nous terminons cette partie

application de la méthode des éléments finis au calcul des structures élastiques.

La partie suivante concernera l’outil de simulation Matlab.

Chapitre – III :

« PESENTATION DE MATLAB »

- Introduction - Matlab : outil de simulation - Pourquoi Matlab ? - Présentation du programme

© Mathworks

Chapitre – III : Présentation de Matlab BTP

ESPA . 2004 – 2005 58

III-1. Introduction

Tout au long du deuxième chapitre, nous avons aperçu à quel point les

calculs peuvent devenir compliqués au fur et à mesure que le modèle d’élément

choisi est plus avancé. Les matrices augmentent aussi de taille avec le degré de

liberté. Or, dans la pratique, le nombre d'éléments s’élève à des centaines voire

des milliers. L’aide d’un ordinateur s’avère indispensable. Pour cette occasion,

nous avons choisi d’utiliser le logiciel Matlab. Sa présentation fera l’objet de ce

chapitre.

III-2. MATLAB : Outil de simulation

Nous entendons ici par « outil » le langage de programmation qui va nous

permettre d’arriver à nos fins : Matlab. Ce paragraphe lui est concentré. Avant

d’aller plus loin, nous tenons à préciser que ceci n’est pas un tutorial de Matlab.

Pour en savoir plus, il faut se référer à la liste de livres et de sites web concernant

ce logiciel, à la fin de cet ouvrage ou utiliser le système d’aides de Matlab ou

encore visiter le site web de MathWorks.

III-2-1 – Présentation

Matlab est un logiciel interactif permettant de réaliser des calculs

numériques, ainsi que des visualisations graphiques. Il possède un vaste

ensemble de fonctions pré-programmées et directement utilisables par une simple

instruction. Matlab est un logiciel produit par MathWorks. Il est disponible pour

plusieurs systèmes d’exploitations (Mac OS, Windows, Unix, Linux).

Matlab est un outil précieux pour le scientifique puisqu’il permet

- de visualiser rapidement des données en 1-D, 2-D et 3-D avec

précision,

- de tracer des expérimentations,

- de réaliser facilement des programmes complexes ne nécessitant

pas la ré-programmation des fonctions « classiques ».


ESPA . 2004 – 2005 59

Pour les calculs numériques, Matlab est beaucoup plus concis que les

“vieux” langages (C, Pascal, Fortran, Basic). Par exemple, nous n’avons plus

besoin de programmer des boucles pour modifier un à un les éléments d’une

matrice. Nous pouvons traiter la matrice comme une seule variable. Matlab est un

langage simple et très efficace, optimisé pour le traitement des matrices. D’où son

nom Matlab qui est la contraction de « Matrix Laboratory »

Matlab contient également une interface graphique puissante et une grande

variété d’algorithmes scientifiques. Par ailleurs, il est également possible d’enrichir

Matlab en ajoutant des “boîtes à outils” (toolbox) qui sont des ensembles de

fonctions supplémentaires, profilées pour des applications particulières (traitement

de signaux, analyses statistiques, calculs symboliques,…). C’est sur cet

enrichissement de Matlab que nous allons nous orienter pour notre travail.

III-2-2 – Bref historique

Au début, Matlab a été écrit en Fortran par un professeur de

mathématiques et informatique américain Cleve Moler. Parallèlement, l’ingénieur

californien Jack Little développait, de son côté, des logiciels pour l’automatisme et

le traitement du signal. Les deux hommes ont mis en commun leurs

connaissances pour créer ensemble le logiciel Matlab. En 1984, ils décident de lui

donner une structure commerciale. Ils fondent alors MathWorks au

Massachusetts. C’est l’entreprise chargée de la commercialisation et de la

promotion de Matlab. Aujourd’hui MathWorks emploie plus de deux milles

informaticiens et chercheurs et Matlab est devenu le numéro un de mondial en

matière de simulation et de calcul scientifique.

Plusieurs versions de Matlab sont déjà sorties. Les plus récentes d’entre

elles sont la version 7 et la version 6.5. Pour notre programme, nous allons utiliser

la version 5.3, qui est encore très performante.


ESPA . 2004 – 2005 60

III-2-3 – MATLAB Dans l’entreprise

Pour donner une idée de l’importance de la place que Matlab occupe

actuellement, nous allons citer quelques exemples d’organismes qui l’utilisent

régulièrement.

Aux Etats-Unis, les ingénieurs McDonnell Douglas utilisent Matlab pour

mettre au point un système automatisé de détection des défauts pour les

hélicoptères. Ceci permet d’éviter des inspections manuelles des pales une par

une ou des tests parfois destructifs.

De même, la NASA, Boeing et ‘Saab Military aircraft’ utilisent Matlab pour

la conception de leurs avions. Ce sont des utilisations de Matlab en calcul des

structures.

Nous pouvons ainsi multiplier les exemples en citant BMW, Chrysler,

Philips, Matra Marconi Space.

Aux Etats Unis et en Suisse, Matlab fait partie intégrante des programmes

universitaires. Et les cours d’analyse et d’algèbre en classe préparatoire, sont

appliqués directement sur Matlab.

III-3. Pourquoi MATLAB ?

Dire que Matlab est reconnu mondialement ne suffit pas pour justifier notre

choix. Si nous retournons aux chapitres consacrés à la méthode des éléments

finis, nous allons apercevoir très vite, que nous sommes amenés à manipuler des

matrices. Or Matlab excelle en calcul numérique et matriciel. C’est la première

raison qui nous a poussés à le choisir.

Dans ce qui suit, nous allons souligner quelques instructions remarquables

de Matlab. Elles nous ont été particulièrement utiles durant la conception de notre

programme.

III-3-1. La commande ‘sparse ‘:

Pour les matrices creuses, il est avantageux de les déclarer ‘sparse’

(clairsemé). Ceci permet d’économiser de la place mémoire et d ‘accélérer les


ESPA . 2004 – 2005 61

calculs. Cette instruction crée une matrice clairsemée à partir d’une matrice pleine

et réciproquement.

Par exemple, la session de Matlab suivante, montre une matrice pleine m

tandis que s est la matrice clairsemée correspondante. La matrice pleine m

occupe 72 octets d’espace mémoire tandis que la version ‘sparse’ s n’en occupe

que 52. Pour cet exemple très simple, la différence peut paraître minime (20

octets) mais, elle est très signifiante lorsque la taille de la matrice augmente.

Figure 19 : Une session de Matlab

III-3-2. La commande ‘Symrcm’ et ‘Chol’

En cours d’élément finis, nous retenons aussi que pour avoir une matrice

de rigidité qui se rapproche d’une matrice diagonale, il faut prendre soin que la

somme des numéros des nœuds, pour chaque élément, soit le minimum possible.

Matlab nous offre plusieurs commandes de décomposition et de réorganisation

matricielle pour contourner ce problème. Entre-autre, nous avons les commandes

‘Symrcm’ et ‘Chol’ . Elles utilisent respectivement les algorithmes de Cuthill-

McKee et de Cholesky pour la réorganisation d’une matrice. Le principe consiste à

rassembler les éléments dispersés d’une matrice vers la diagonale. La matrice

proches de la diagonale ainsi obtenue est plus facile à manipuler et prendra


ESPA . 2004 – 2005 62

beaucoup moins de temps pour les calculs. Dorénavant, nous n’avons plus à nous

soucier de la manière dont nous allons numéroter les nœuds.

III-3-3. La commande ‘Spy’

La commande ‘spy’ permet de visualiser la densité d’une matrice ; seul les

éléments non nuls sont représentés par des points. Prenons l’exemple du maillage

d’éléments finis autour d’une aille d’avion de la figure 20. La matrice de rigidité

correspondante est montrée par la figure 21. Après réorganisation de Cuthill-

McKee, cette matrice de rigidité devient comme le montre la figure 22.

Figure 20 : Exemple de maillage qui vient de la Nasa, prédéfini sous Matlab

(© MathWorks)

Figure 21 : La densité de la matrice de rigidité relative au maillage.

(© MathWorks)


ESPA . 2004 – 2005 63

Figure 22 : La matrice de rigidité après transformation de Cuthill-Mckee

(© MathWorks)

Matlab comporte aussi des commandes pour effectuer des manipulations

matricielles ordinaires et, pour effectuer des es calculs numériques. Citons

- la commande ‘det’ pour calculer le déterminant,

- la commande ‘inv’ pour inverser une matrice,

- « + » et « * » pour effectuer des additions et produits matriciels.

- La commande « int » qui permet d’effectuer des intégrations

numériques et symboliques.

- Enfin, nous avons aussi la « boite à outils » très efficace « guide » qui

assiste lors de la création des interfaces graphiques. Avec cette « boite

à outils », le programmeur n’a plus besoin d’écrire une seule ligne de

code pour réaliser une interface graphique. Pendant qu’il configure la

fenêtre, Matlab écrit automatiquement les codes.

Nous allons rester avec ces quelques exemples d’instructions. Pour obtenir

de plus amples informations concernant ces commandes, il suffit de taper « help »

suivi du nom de la commande après l’invite de Matlab. Ces instructions vont

premièrement, nous aider à la programmation. En second lieu, elles vont changer

notre manière d’approche d’un problème d’éléments finis.


ESPA . 2004 – 2005 64

IV-4. Présentation du programme

Dans ce dernier paragraphe, Nous allons, en premier lieu, présenter notre

programme. Nous allons voir ensuite, comment le manipuler et prendre profit de

toutes ses fonctionnalités.

IV-4-1. Manipulations

Pour lancer le programme, il suffit de taper après l’invite le nom « cds-1 »

après l’invite de Matlab.

Figure 23 : Lancement de la simulation dans l’espace de travail Matlab.

Cette action permet d’ouvrir la fenêtre d’accueil de la page suivante. Elle

montre le logo de Matlab surmonté des les mots « La méthode des éléments

finis » en dessus.

• Le bouton « Info » affiche les aides relatives au programme.

• « Quitter ! » : permet d’abandonner la simulation et retourner vers

l’espace de travail de Matlab.

• Le bouton « Entrer » lancera le chargement des outils nécessaires

pour le programme. Le chargement peut durer quelques secondes,

et un message sonore va confirmer son avancement.

Le chargement terminé, la fenêtre d’accueil va se fermer pour faire place à

une nouvelle fenêtre-menu (page suivante). Pour entrer un choix, il suffit de

cliquer sur un icône.


ESPA . 2004 – 2005 65

Figure 24 : Fenêtre d’accueil

Figure 25 : Menu

Les choix disponibles sont :

1. ‘2-D’ : pour le cas des portiques dans le plan

2. ‘3-D’ : pour les portiques dans l’espace


ESPA . 2004 – 2005 66

3. ‘plan’ : contraintes/et déformations planes avec les éléments

triangulaires ou rectangulaires

4. ‘volume’ : pour les corps massifs avec les éléments hexaédriques à

huit nœuds.

5. ‘plaque’ : pour le cas des plaques.

En cliquant sur l’un des choix, une fenêtre comme celle-ci va apparaître sur

l’écran (elle est commune à tous les choix) ; c’est l’espace de notre simulation.

Figure 26 : Figure 27 : Espace pour la simulation

La fenêtre comporte les boutons suivants :

1. ‘<< Pre <’ : qui permet de revenir au menu,

2. ‘Charger ‘ : qui permet de charger des données déjà enregistrées sur

le disque.

3. ’Supprimer’ : Pour supprimer des données enregistrées.

4. ‘Quitter !’ : Pour sortir de l’environnement de simulation et revenir sur

l’espace de travail Matlab.

5. ‘Spy’ : pour visualiser la densité de la matrice de rigidité.


ESPA . 2004 – 2005 67

6. Nous avons deux boutons « sliders » en bas à droite de la fenêtre.

Ils permettent de changer de point de vue pour faire tourner l’image

dans l’espace. Ils sont particulièrement utiles pour les simulations

des systèmes à trois dimensions.

Cette fenêtre affiche les systèmes que nous allons analyser. Les résultats

numériques seront affichés sur l’espace de travail Matlab sous forme matricielle.

III-4-2. Contenus du programme

Le programme est l’association de cinq programmes « pères » qui prennent

en charge les cinq différents choix proposés par le menu. Cependant, les

programmes pères ont des structures similaires. Ils sont formés de plusieurs

sous–programmes qui à leur tour intègrent des fonctions.

Après enregistrement des données, un premier programme vérifie d’abord

la cohérence de celles-ci. Si aucune erreur existe, un deuxième programme va

tracer le système initial sur la fenêtre graphique. Après, les caractéristiques ainsi

que la matrice de rigidité de chaque élément sont calculées par un groupe de

programmes. Les étapes suivantes vont permettre de procéder successivement à

l’assemblage à la résolution de l’équation matricielle et à la récupération des

résultats numériques. La déformée du système sera ensuite tracée sur la même

fenêtre qu’avant tandis que les résultats numériques sont montrés sur l’espace de

travail Matlab.

La structure standard d’un programme père est montrée par la figure

suivante :


ESPA . 2004 – 2005 68

Chaque rectangle vert et rouge représente un des programmes contenus

dans un système de plusieurs fichiers.

Ici termine le troisième Chapitre consacré à Matlab. Le dernier sera

consacré à des exemples de calculs effectués avec le programme. Nous allons

notamment vérifier quelques théories classiques de la RDM par la méthode des

éléments finis.

Chapitre – IV :

« APPLICATIONS »

- Introduction

- Portique spatial

- Etude des consoles courtes

- Plaque avec ouverture

- théorie de la bielle comprimée

Chapitre – IV : Applications BTP

ESPA . 2004 – 2005 70

IV-1. Introduction

Dans ce dernier chapitre, nous aurons l’occasion d’appliquer notre

programme à des exemples. Pour ce, nous avons jugé convenable d’appliquer la

méthode sur quelques problèmes classiques de la RDM. Nous avons choisi de

prendre des exemples qui sont à la fois facilement compréhensibles et assez

représentatifs, pour donner un aperçu du potentiel du programme. Nous allons

laisser aux intéressés, le choix de traiter des cas plus complexes selon leur choix.

Le programme est conçu de la sorte qu’aucune limite ‘existe. La seule contrainte

possible est la performance de l’ordinateur sur lequel Matlab est installé.

Nous voulons souligner aussi que lors des applications numériques, nous

n‘allons pas insister sur les unités. Notre but est surtout de vérifier des théorèmes

généraux. Il est donc convenable que nous restions dans le cas général autant

que possible. Ce sont surtout les ordres de grandeur qui nous intéressent. Dans

certains cas, nous allons évoquer quand même les unités pour une approche

rapide du problème mais ils n’ont pas grand influence sur les résultats

numériques.

Comme première application, nous allons voir le cas d’un portique spatial.


ESPA . 2004 – 2005 71

IV-2. Application 1 : Portique spatial

Dans ce cette première application, nous allons étudier le cas d’un portique

spatial. Il est montré par la figure suivante. Notre but est de comparer les efforts

obtenus par ce modèle avec le cas où le portique est ramené à un problème plan.

Figure 28 : Ferme à trois dimensions.

Le portique est constitué de 48 éléments et de 28 nœuds. Des forces

unitaires horizontales sont appliquées sur les nœuds d’une face. Il est articulé sur

les appuis de base. Après déformation, nous obtenons la figure suivante :

Figure 29 : Déformée du portique


ESPA . 2004 – 2005 72

Pour l’analyse, nous allons prendre les poutres numéro 1, 3 et 16 qui se

trouvent sur la première face à gauche du portique.

Les résultats numériques sont résumés dans les tableaux qui suivent. Le

tableau 1 représente les valeurs obtenues dans le cas où le portique serait calculé

dans son ensemble. Le deuxième concerne le cas où les poutres sont calculées

dans leur plan.

Tableau 1 : Résultats des calculs dans l’espace 3D

Elément Nœuds F X

(unité)

FY

(unité)

FZ

(unité)

Mx

(unité)

My

(unité)

MZ

(unité)

1 1 0 0,46 0 0 0 2,10

2 0 0,46 0 0 0 -1,68

3 4 0,68 0,53 0 0 -0,003 2,54

5 0,68 0,53 0 0 0,001 -2,31

16 1 -0,75 0,52 0 0 0 -2,10

4 -0,75 0,52 0 0 -0,002 2,02

Tableau 2 : Résultats des calculs plans

Elément Nœuds F X

(unité)

FY

(unité)

MZ

(unité)

1 1 0 0,49 2,11

2 0 0,49 -1,71

3 4 0,69 0,57 2,55

5 0,69 0,57 -2,32

16 1 -0,77 0,55 -2,11

4 -0,77 0,55 2,08


ESPA . 2004 – 2005 73

Nous observons alors que les valeurs des sollicitations obtenues par calcul

plan sont toujours supérieures ou égales à celles obtenues par calcul à trois

dimensions. Les différences viennent du fait qu’en prenant la structure dans son

ensemble, tous les éléments constituant celle-ci vont participer en même temps à

la résistance. Les éléments auront donc moins d’efforts à développer.

Les différences sont montrées par le tableau suivant (en valeur absolu)

Tableau 3 : Tableau de comparaison

Différences

Elément Nœuds F X

(unité)

FY

(unité)

MZ

(unité)

1 1

0 0,03 0,01 2

0 0,03 0,03

3 4

0,01 0,02 0,01 5

0,01 0,02 0,01

16 1

0,02 0,03 0,01 4

0,02 0,03 0,06

Pour Fx et pour Fy, le décalage varie entre 1,44% pour la poutre n°3,

jusqu’à 6,12% pour la poutre 1. Pour les moments nous avons une différence

maximale de 2,88% pour la poutre n°16. Ces différen ces viennent du fait que le

modèle 3-D reflète fidèlement le comportement réel de la structure dans son

ensemble.

Nous remarquons aussi les moments dans les directions de x et y ne sont

pas toujours nuls. Pourtant leurs valeurs sont négligeables par rapport aux

moments autour de z. Dans le modèle de calcul plan, ces moments sont négligés.

Nous voyons que cette méthode est bien justifiée.

Avant de quitter cette première application, voici les valeurs des

contraintes, pour la même structure, données par Robobat. Elles montrent la

fiabilité de notre programme (page suivante).


ESPA . 2004 – 2005 74

Tableau 4 : Valeur des contraintes selon Robobat

Elément Nœuds F X

(unité)

FY

(unité)

MZ

(unité)

1 1 0 0,42 2,07

2 0 0,42 -1,68

3 4 0,70 0,54 2,55

5 0,70 0,54 -2,29

16 1 -0,78 0,55 -2,07

4 -0,78 0,55 1,92

Dans le paragraphe suivant, nous allons passer vers une autre application

sur les consoles courtes.


ESPA . 2004 – 2005 75

IV-3. Application 2 : Etude des consoles courtes

Dans cette partie, nous allons analyser le cas des consoles courtes. Les

règles de la RDM affirment que q’une poutre este considérée comme courte, si la

hauteur est supérieure à la distance du point d’application de la force appliquée

sur celle-ci. Nous allons justifier cette affirmation par la méthode des éléments

finis.

Figure 30 : console courte : h ≥ l

Nous allons considérer huit cas de poutres consoles dont le rapport

longueur sur hauteur est différent à chaque fois

Tableau 5 : Différents cas de consoles

Console Longueur l (unités) Hauteur h(unités)

1 6 10

2 8 10

3 10 10

4 12 10

5 14 10

6 16 10

7 18 10

8 20 10


ESPA . 2004 – 2005 76

Ici, nous allons prendre comme modèle l’élément rectangulaire. C’est la

forme la plus proche de la forme générale de nos poutres.

Figure 31 : Console –1, Celle qui a la plus petite longueur.

Figure 32 : Console –2 : Longueur deux fois la hauteur

Les deux figures suivantes (les déformées) nous permettent de tirer comme

première conclusion que les consoles courtes ne respectent pas l’hypothèse des

poutres de Navier-Bernoulli : « Une section plane reste plane après déformation ».

Ce n’est pas le cas pour la console n°1 (la plus co urte). En même temps, les deux

figures montrent les déformées des deux poutres consoles que nous venons de

considérer, avec les répartitions des contraintes normales σ X . Les zones à fortes


ESPA . 2004 – 2005 77

contraintes sont en noir et les contraintes sont de moins en moins faibles au fur et

à mesure que la couleur s’éclaircit.

Figure 33 : Console –1 : La section est distordue après déformation.

Figure 34 : Console –2 respecte le principe de Navier-Bernoulli.

Comparons les résultats avec ceux obtenus par la théorie des poutres de la

RDM. La contrainte normale dans une partie en flexion est donnée par est donnée

par :

vI

Plx =σ

où,

I : le moment d’inertie de la section


ESPA . 2004 – 2005 78

v : la distance de la fibre supérieure à la fibre moyenne.

Nous allons considérer, les contraintes au sens des éléments de la partie

supérieure.

Tableau 6 : Comparaison des contraintes

Console

Longueur de

la poutre

(unité)

σ x

prévue par

la RDM

(unité)

σ x :

obtenue

(unité)

1 6 0,36 0,42

2 8 0,48 0,49

3 10 0,60 0,59

4 12 0,72 0,70

5 14 0,84 0,83

6 16 0,96 0,95

7 18 1,08 1,08

8 20 1,20 1,21

Nous avons la courbe suivante :

0

20

40

60

80

100

120

140

6 8 10 12 14 16 18 20

Longueur de la poutre

cont

rain

te

RDM Methode des elements finis

Figure 35 : Variation des contraintes, en fonction de la longueur, pour une hauteur constante de la poutre


ESPA . 2004 – 2005 79

L’allure des variations des contraintes en fonction de la longueur nous

permet de tirer les résultats suivants :

• Pour une valeur de la longueur inférieure à la hauteur de la poutre, la

RDM donne une valeur de la contrainte inférieure à la contrainte donnée

par la méthode des éléments finis. La RDM donne une sous-estimation

des contraintes dans les consoles courtes

• Pour une longueur supérieure ou égale à la hauteur, les deux méthodes

donnent les mêmes valeurs de la contrainte.

• Au-delà de cette valeur, les deux méthodes donnent les mêmes valeurs

des contraintes.

Nous venons donc de démontrer que la méthode de la RDM ne peut plus

s’appliquer aux consoles courtes.

Par ailleurs, les résultats donnés par notre méthode coïncident avec ceux

donnés par ROBOBAT : pour une poutre de longueur deux fois la hauteur, nous

obtenons la valeur arrondie de la contrainte égale à 1,2 (unité), ce qui montre une

fois de plus la fiabilité de notre méthode.


ESPA . 2004 – 2005 80

IV-4. Application 3 : Plaques avec ouverture

Nous allons analyser, dans cette partie, le cas d’une plaque comportant une

ouverture. Une plaque avec ouverture peut être assimilée à une plaque pleine,

pour une certaine dimension de l’ouverture. Notre but est de trouver commet est-

ce qu’une ouverture, en fonction de sa taille, perturbe les contraintes dans la

plaque. Pour ce, nous allons pendre une plaque de 1 ×1 m2 chargée sur la

surface. Elle sera divisée en éléments de 10 × 10 cm2, c’est-à-dire en 100

éléments et 121 nœuds. En premier lieu, elle sera considérée comme pleine puis,

une ouverture de plus en plus grande sera taillée en son milieu. La plaque est

encastrée sur les quatre côtés.

Figure 36 : Plaque avec ouverture de 4%.

Comme vérification, nous constatons que les résultats relatifs à la plaque

pleine sont identiques à ceux obtenus par ROBOBAT, aux erreurs systématiques

de la méthode près. Pour une plaque pleine, le moment au centre est égal à

3,044.10-1 (unité) alors que la valeur obtenue auprès du programme est de 2,96

(unité). Ce qui confirme la validité de notre programme.

En fonction de l’ouverture, nous allons noter les contraintes pour un

élément un peu plus loin du centre. Puisque le système est symétrique, nous

n’allons considérer que le moment suivant une direction. Le tableau suivant

résume les résultats obtenus selon l’aire de l’ouverture.


ESPA . 2004 – 2005 81

Tableau 7 : Variation des moments en fonction de l’ouverture de la plaque

Proportion de l’ouverture (%) Différence des moments My (en unité)

0 2,77.10-1

1 4,99.10-1

2 7,49.10-1

3 1,31 4 4,19

Figure 37 : La déformée de la plaque ave une ouverture de 400cm2

0,00E+005,00E-011,00E+001,50E+002,00E+002,50E+003,00E+003,50E+004,00E+004,50E+00

1 2 3 4 5

Propotion des ouvertures (%)

Mom

ets

Figure 38 : Variation du moment en fonction de la taille des ouvertures


ESPA . 2004 – 2005 82

A partir des résultats précédents, Nous pouvons tirer sommairement que :

- Pour une ouverture de 1%, les contraintes dans la plaque sont multipliées

par deux.

- Les contraintes s’accroissent linéairement jusqu’à ce que les dimensions

de l’ouverture atteignent 3% de l’aire de la plaque.

- A partir de 3%, les contraintes augmentent très rapidement.

Ce sont des résultats qui peuvent aider sur les décisions à prendre sur les

renforcements à ajouter à la plaque lorsque celle-ci comporte une ouverture.

Retenons que la valeur 3 % est la valeur limite, à ne pas dépasser, pour éviter la

détérioration de plaque.

Sur ce, nous terminons cette application de la méthode des éléments finis

à la plaque. Dans la dernière application nous allons utiliser l’élément volumique

hexaédrique.


ESPA . 2004 – 2005 83

IV-5. Application 4 : Méthode de la bielle comprimé e

Les répartitions exactes des contraintes dans une semelle de fondation

sont assez difficiles à avoir par calculs. Les hypothèses sur les poutres de la RDM

ne peuvent plus s’appliquer à la semelle. Pour calculer une telle semelle, nous

utilisons couramment la méthode de la bielle comprimée. Cette méthode suppose

que la transmission des charges au niveau du sol, se fait par compression radiale.

Essayons d’analyser les répartitions réelles des contraintes dans la semelle

soumise à la charge d’un poteau.

Considérons la semelle rectangulaire suivante :

Figure 39 : Semelle rectangulaire

Nous allons subdiviser la semelle en éléments cubiques de 10cm de côté

chacun. Pour plus de clarté, nous allons prendre le quart de la semelle qui sera

discrétisé en 58 éléments et 132 nœuds. Le système est montré par la figure de la

page suivante. Quatre forces unitaires appliquées au sommet de la semelle

remplaceront les efforts transmis par un poteau. Nous allons analyser l’effet

qu’elles produiront dans la semelle.


ESPA . 2004 – 2005 84

Figure 40 : Modélisation de la semelle en éléments cubiques.

Le but est de trouver les directions des contraintes maximales au sein du

bloc. Pour ce, nous allons nous intéresser aux contraintes à l’intérieur de chaque

élément de la semelle.

Les répartitions des déformations zε au sein du bloc, ainsi que

l’arrangement des éléments après déformation sont montrées par la figure qui suit.

Figure 41 : Déformée de la semelle avec répartition des contraintes ε z .


ESPA . 2004 – 2005 85

Dans le domaine élastique, comme les contraintes et les déformations sont

directement proportionnelles ( εσ D= ), les directions des contraintes maximales

sont confondues avec celles des déformations maximales. Pour résoudre notre

problème, Nous allons trouver les directions des déformations maximales pour

quelques éléments.

• Elément n°17

le tenseur des déformations est la suivante :

−−

−−−

−−

=

00564,00034,00016,0

0034,01146,00034,0

0016,00034,00441,0

ε

les valeurs propres de cette matrice sont :

−

−

−

1150,0

0565,0

0437,0

La direction principale correspondante à la déformation principale donnée

par le vecteur :

− 05,0

99,0

04,0

• Elément n°10 :

−−

−

−−

=

0838,00196,00249,0

0196,00688,00113,0

0249,00113,00878,0

ε


ESPA . 2004 – 2005 86

Les valeurs propres :

−

−

−

1150,0

0540,0

04664,0

La direction de la déformation maximale

−

6558,0

3931,0

6446,,0

.

• Elément n°4 :

−−

−

−−−

=

215,17544,033,1

544,0673,2800,0

33,1800,00878,0

ε

Les valeurs propres :

−

32,17

75,2

75,2

La direction de la déformation maximale

− 469,0

0565,0

457,0

.

Des calculs similaires sont effectués pour obtenir les directions des

contraintes maximales pour les éléments n° 9, 11, 1 6 et 18


ESPA . 2004 – 2005 87

La figure suivante montre les directions des contraintes maximales pour les

quelques éléments de la semelle que nous venons de considérer. Nous

constatons que leur direction est proche de la direction que prévoit la méthode de

la bielle comprimée.

Figure 42 : Les directions des contraintes maximales dans le plan x, z

Cette étude concernant l’hypothèse de la bielle comprimée termine cette

dernière partie application de la méthode des éléments finis ainsi que notre travail.

Conclusion BTB

ESPA . 2004 – 2005 88

Conclusion

Dans ce présent, nous venons de créer un environnement de calcul et

d’analyse des structures par la méthode des éléments finis sous Matlab.

Après avoir rappelé les bases de la méthode des éléments finis, dans la

première partie, les matrices de rigidité des modèles d’éléments usuels sont

calculées dans la deuxième partie. Une brève présentation de Matlab fait l’objet

de la partie trois. Comme application, la dernière partie montre le programme à

l’œuvre par des vérifications de quelques méthodes de la RDM classique.

Le programme est enrichi de façon à pouvoir recevoir différents cas de

problèmes de structure selon notre choix. Bien que nous nous sommes

concentrés au calcul des structures, l’outil Matlab donne au programme la

souplesse d’être facilement extensible à d’autres systèmes physiques. Nous

pouvons aussi envisager comme extension, les cas des comportements

plastiques des matériaux et, la prise en charge des structures imbriquées.

Annexe BTP

ESPA . 2004 – 2005 I

Annexe Calculs variationnels

Une fonctionnelle est une intégrale qui dépend d’une ou plusieurs fonctions

inconnues, appelées fonctions argument, d’une ou plusieurs variables. Les

fonctions arguments pouvant intervenir sous forme de leurs dérivées jusqu’à

l’ordre n. Considérons l’intégrale à une seule fonction argument suivant :

Π = ∫xx dxxuxuxf2

1))('),(,(

La fonction à intégrer dépend de la variable indépendante x, d’une fonction de

u(x) et de ses dérivées u’(x).

Le but est de trouver la fonction u(x) pour que le fonctionnel Π devienne

minimum. Les valeurs de u(x1) et u(x2) étant fixées d’avance. Nous allons essayer

de visualiser la variation de la fonctionnelle en fonction de u(x).

Pour ce, remplaçons u(x) par w(x) défini par :

w(x) = u(x) + ε.η(x)

Tel que η(x) est une fonction continûment dérivable de x qui s’annule pour x = x1

et x = x2, ε est un paramètre arbitraire que nous pouvons varier à tout temps.

Nous avons alors :

Π(ε) = ∫xx dxwwxF2

1))('),(,( εε .

Π(ε ) passe par un extremum, lorsque ε = 0 (Pour w(x) = u(x)) et la dérivée

de Π(ε) y sera nulle pour cette valeur d’ ε ;

∫ ∫==Π xx

xx

dxwwxFdddxwwxF

dd

dd 2

1

2

1)',,()',,()( εεεε .

Effectuons d’abord la différenciation :

( ) ( ) ''

''

ηηεεε wF

wFw

wFw

wF

ddF

∂∂+∂

∂=∂∂

∂∂+∂

∂∂∂= .

Pour ε = 0, nous avons :

dwdF

0=ε=

uf

∂∂

Donc :

Annexe BTP

ESPA . 2004 – 2005 II

''0ηηε ε u

fuf

ddF

∂∂+∂

∂==

.

Revenons à l’intégrale, dxuf

ufx

xdd

∫Π

∂∂+

∂∂=

=2

1'

'0ηηε ε

=0,

Après intégration par partie du second terme Nous avons :

ηη''

2

1

2

1 uf

dxuf

dxd

uf x

x

xx ∂

∂+∫ ⋅

∂∂−∂

∂= 0.

Or η (x1) = η (x2) = 0

Donc :

∫ ⋅

∂∂−

∂∂x

x dxuf

dxd

uf

2

1 'η = 0.

Pour une fonction arbitraire η (x), Π sera minimum pour :

∂∂−

∂∂

'uf

dxd

uf

= 0.

C’est l’équation d’Euler pour la formulation variationnelle définie par :

Π = ∫xx dxxuxuxf2

1))('),(,( .

Avec,

0)()( 21 == xuxu δδ

Retournons à l’équation

ηη''

2

1

2

1 uf

dxuf

dxd

uf x

x

xx ∂

∂+∫ ⋅

∂∂−∂

∂= 0.

Calculons la première variation de Π:

δΠ = δ ∫xx dxxuxuxf2

1))('),(,( .

(Remarquons que δΠ est différente de dΠ la première désigne une petite

variation tandis que la seconde exprime la dérivée de Π ).

δΠ = ∫xx dxxuxuxf2

1))('),(,(δ .

La variation de f peut être développée en série de Taylor comme suit (les

termes de plus grand ordre seront négligés) :

Annexe BTP

ESPA . 2004 – 2005 III

δf = ''

uuf

uuf δδ

∂∂+

∂∂

.

Par substitution;

δΠ = ∫

∂∂+∂

∂xx

dxuufu

uf2

1'

'δδ = dxu

dxd

ufu

ufx

x∫

∂∂+∂

∂2

1)(

'δδ .

Une intégration par partie du second terme donne :

δΠ = uufdxu

uf

dxd

uf x

x

xx δδ ')

'(

2

1

2

1 ∂∂+⋅∫

∂∂−∂

∂.

La condition de stationnarité de Π donne uδ ∀ l’équation d’Euler.

0'

f =∂∂−∂

∂udx

duf

Dans le cas d’une fonctionnelle à plusieurs fonctions arguments d’une

variable.

∫=Πx

xdxuuuuxf nn

2

1

)',....,',,....,( 11

L’équation d’Euler:

0'

f =∂∂−∂

∂udx

duf

ii i = 1,2,….n

Table des matières

Chapitre – I: ............................................................................. 6

I-1. Présentation ................................................................................................................. 2 I-2. Concepts mathématiques de la méthode des éléments finis ...................................... 4

I-2-1. Relation déformation-déplacement en mécanique du milieu continu ................. 4

I-2-2. Relation contrainte-déformation .......................................................................... 4

I-2-3. Approche cinématique ......................................................................................... 5

I-2-4. Méthodes d’approximations de Ritz .................................................................... 8

I-2-5. Méthode des Résidus pondérés : Méthode de Galerkin ...................................... 9

I-2-6. Concept de discrétisation ................................................................................... 12

I-2-7. Milieux continus discrets ................................................................................... 12

I-2-8. Principe d’assemblage ....................................................................................... 14

I-3. Les outils mathématiques de la méthode des éléments finis..................................... 16 I-3-1. Systèmes de référence : ..................................................................................... 16

I-3-2. Eléments de référence ........................................................................................ 18

I-3-3. Transformation de coordonnées ........................................................................ 21

I-3-4. Formules d’intégrations numériques : ............................................................... 22

I-3-5. Changement de variable d’intégration : le Jacobien ......................................... 24

I-3-6. Matrices creuses, matrices bandes et matrices symétriques : ............................ 24

I-3-7. Classification des traitements ............................................................................ 25

I-3-8. Condition de convergence de la solution ........................................................... 26

Chapitre – II : ......................................................................... 27

II-1. Elément barre à une dimension .............................................................................. 28 II-1-1- fonction de déplacement. ................................................................................ 28

II-1-2- Calcul du déplacement et de l’énergie de déplacement. .................................. 29

II-1-3- Calcul des énergies potentielles des forces extérieures. .................................. 30

II-2. Elément poutre dans le plan.................................................................................... 32 II-3. Elément poutre dans l’espace ................................................................................. 35 II-4. Elément triangulaire : .............................................................................................. 39

II-4-1. Fonction de déplacement. ................................................................................. 40

II-4-2. Calcul de la déformation : ................................................................................ 41

II-4-3. Déformation-Contrainte : loi de comportement ............................................... 41

II-5-1. Fonction de déplacement .................................................................................. 44

II-5-2. La Déformation ................................................................................................ 45

II-6. La méthode des éléments finis pour les plaques..................................................... 49 II-6-1. Fonction de déplacement .................................................................................. 49

II-6-2. Déformations .................................................................................................... 50

II-6-3. La relation contrainte-déformation .................................................................. 51

II-6-4. Loi de comportement ....................................................................................... 52

II-7. Elément hexaédrique à huit nœuds ......................................................................... 53 II-7-1 – Fonction de déplacement ................................................................................ 53

II-7-2. Déformation ..................................................................................................... 54

Chapitre – III : ........................................................................ 57

III-1. Introduction ............................................................................................................ 58 III-2. MATLAB : Outil de simulation ............................................................................. 58

III-2-1 – Présentation ................................................................................................... 58

III-2-2 – Bref historique .............................................................................................. 59

III-2-3 – MATLAB Dans l’entreprise ......................................................................... 60

III-3. Pourquoi MATLAB ?............................................................................................ 60 III-3-1. La commande ‘sparse ‘: .................................................................................. 60

III-3-2. La commande ‘Symrcm’ et ‘Chol’ ................................................................. 61

III-3-3. La commande ‘Spy’ ........................................................................................ 62

IV-4. Présentation du programme ................................................................................... 64 IV-4-1. Manipulations ................................................................................................. 64

III-4-2. Contenus du programme ................................................................................ 67

Chapitre – IV : ....................................................................... 69

IV-1. Introduction ............................................................................................................ 70 IV-2. Application 1 : Portique spatial .............................................................................. 71 IV-4. Application 3 : Plaques avec ouverture ................................................................. 80 IV-5. Application 4 : Méthode de la bielle comprimée ................................................... 83

Conclusion ............................................................................ 88

Annexe ..................................................................................... I

Calculs variationnels .......................................................................................................... I

Liste des figures

Figure 1 : Les composantes des contraintes dans l’espace .................................................... 4 Figure 2 : Milieu continu ....................................................................................................... 6 Figure 3 : Système discrétisé en éléments finis ................................................................... 13 Figure 4 : Système de coordonnées locales et globales ....................................................... 16 Figure 5 : Repère naturel pour le triangle ............................................................................ 17 Figure 6 : Repère naturel pour le triangle ............................................................................ 18 Figure 7 : Repère local (X, Y) et repère global (x, y) pour une barre ................................. 21 Figure 8 : Intégrale d’une fonction linéaire ......................................................................... 22 Figure 9 : Forces nodales et déplacements nodaux pour la barre ........................................ 28 Figure 10 : Repère local pour la barre ................................................................................. 29 Figure 11 : Les charges pour l’élément poutre .................................................................... 32 Figure 12 : Les déplacements nodaux pour l’élément poutre .............................................. 32 Figure 13 : Poutre dans l’espace .......................................................................................... 35 Figure 14 : Discrétisation du système en éléments triangulaires......................................... 39 Figure 15 : Les forces nodales pour l’élément triangulaire ................................................. 39 Figure 16 : Les forces nodales pour l’élément quadrilatéral. .............................................. 44 Figure 17 : Les déplacements nodaux d’une plaque ............................................................ 49 Figure 18 : Repère naturel et globale de l’élément hexaédrique ......................................... 53 Figure 19 : Une session de Matlab ...................................................................................... 61 Figure 20 : Exemple de maillage qui vient de la Nasa, prédéfini sous dans Matlab .......... 62 Figure 21 : La densité de la matrice de rigidité relative au maillage................................... 62 Figure 22 : La matrice de rigidité après transformation de Cuthill-Mckee ......................... 63 Figure 23 : Lancement de la simulation dans l’espace de travail Matlab............................ 64 Figure 24 : Fenêtre d’accueil ............................................................................................... 65 Figure 25 : Menu ................................................................................................................. 65 Figure 26 : Figure 27 : Espace pour la simulation ............................................................... 66 Figure 28 : Ferme à trois dimensions. ................................................................................. 71 Figure 29 : Déformée du portique ....................................................................................... 71 Figure 30 : console courte : h ≥ l ....................................................................................... 75 Figure 31 : Console –1, Celle qui a la plus petite longueur. ............................................... 76 Figure 32 : Console –2 : Longueur deux fois la hauteur ..................................................... 76 Figure 33 : Console –1 : La section est distordue après déformation.................................. 77 Figure 34 : Console –2 respecte le principe de Navier-Bernoulli. ...................................... 77 Figure 35 : Variation des contraintes, en fonction de la longueur, pour une hauteur

constante de la poutre .................................................................................................. 78 Figure 36 : Plaque avec ouverture de 4%. ........................................................................... 80 Figure 37 : La déformée de la plaque ave une ouverture de 400cm2 .................................. 81 Figure 38 : Variation du moment en fonction de la taille des ouvertures ........................... 81 Figure 39 : Semelle rectangulaire ........................................................................................ 83 Figure 40 : Modélisation de la semelle en éléments cubiques. ........................................... 84

Figure 41 : Déformée de la semelle avec répartition des contraintes ε z . ......................... 84 Figure 42 : Les directions des contraintes maximales dans le plan x, z .............................. 87

Liste des tableaux

Tableau 1 : Résultats des calculs dans l’espace 3D ............................................................. 72 Tableau 2 : Résultats des calculs plans ................................................................................ 72 Tableau 3 : Tableau de comparaison ................................................................................... 73 Tableau 4 : Valeur des contraintes selon Robobat .............................................................. 74 Tableau 5 : Différents cas de consoles ................................................................................ 75 Tableau 6 : Comparaison des contraintes ............................................................................ 78 Tableau 7 : Variation des moments en fonction de l’ouverture de la plaque ...................... 81

Bibliographies

[1] Granding HARTLEY – Fundamentals Of Finite Element Method – McMillan

Publishing Co – 1986 (510 pages)

[2] Hayretting KARDESTUNCER & D.HORRIE - Finite element HandBook - Mc

GRAW-HILL – 1987 (362 pages )

[3] Irving SHAMES & Clive DYM – Energy And Finite Elements Methods In Structural

Mechanics – Hemisphere Publishing Corp – 1985 (757 pages)

[4] Jean COURBON – Réseau De Poutres Croisés (Tome-2) – Dunod – Paris 1971

(840 pages)

[5] Jean Louis BATOZ & Gouri DHATT – Modélisation Des Structures Par Eléments

Finis – Hermès Paris – 1990 Tome1 (455 pages), Tome2 (483 pages), Tome3 (564

pages)

[6] J.F IMBERT – Analyse Des Structures Par Eléments Finis – GEPADUES

EDITION – 1979 (480 pages)

[7] Klans J BATHE - Finite Elements In Engineering Analysis - Prentice Hill -1982

(726 pages )

[8] K.C.Rockey et H.R. EVANS et D.W GRIFFITH - Elements Finis - Eyrolles -1979

[9] Mohand MOKHTARI – Matlab 5.2, 5.3 et Simulink 2 et 3 Pour Les Etudiants Et

Ingénieurs – Springer – 2000 (663 pages)

sites web

- www.isabtp.univ.pau.fr

- www.math.edu

- www.MathWorks.com

- www.rocq.inria.fr

- www.Userbrooks.com

Titre : La méthode des éléments finis sous Matlab :Application au calcul des

structures

Auteur : RALIHALIZARA Julliard

Nombre de pages : 88

Nombre de tableaux : 7

Nombre de figures : 42

RESUME Le présent ouvrage se rapporte à la création et développement d’un environnement de

calcul et d’analyse des structures par la méthode des éléments finis sous Matlab. Le programme est ensuite utilisé pour vérifier les méthodes classiques de la RDM comme le calcul de portique à trois dimensions, les consoles courtes, les plaques avec ouvertures, et enfin, l’hypothèse de la bielle comprimée.

Summary This stands for the development of a toolbox for structural mechanics using

the finite element method, under the Matlab environment. The part one sets forth the

basis of the finite element method. In the second part, the stiffness matrix of some

usual elements models are developed for study involving elasticity problems. Third

part is brings up Matlab, and outlines some points that make it a convenient and

powerful tool to our concern. As applications, we end with some tests of classical

theories of mechanical structure with the finite element method.

Mots clés : Eléments finis, Matlab, Programmation, Matrice de rigidité,

Discrétisation, Assemblage.

Encadreur : Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo

Adresse : Lot IB 437 Adoharanofotsy Antananarivo 102

Téléphone : 033 14 324 93

e-mail: [email protected]

Documents

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS SOUS MATLAB