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La soustraction
La mission MATHS 94 vous propose un module sur :
Alors ?
How many ?
8-9 = ?9-8 ?
Je retiens 1Un quoi ?
279 c’est 280-1280 pour aller à 360
?20 et 60moins 2
et ……
help
Retour sur les programmes : progressions 2008
-consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux ;-division d’un décimal par un entier…
Effectuer un calcul posé : addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux.
CM2
-estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat ;-division euclidienne de deux entiers et division décimale de deux entiers…
Effectuer un calcul posé : addition et soustraction de deux nombres décimaux
CM1
-calculer mentalement des différences ;-résoudre des problèmes relevant des 4 opérations
Effectuer un calcul posé : addition et soustraction et multiplication
CE2
-connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des différences ;-calculer en ligne des suites d’opérations-résoudre des problèmes relevant de l’addition, la soustraction, la multiplication
Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur des nombres inférieurs à 1000)
CE1
-calculer en ligne des différences, des opérations à trous ;-résoudre des problèmes simples à 1 opération
Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur des nombres inférieurs à 100)
CP
Compétences en lien avec la soustraction :
Concernant explicitement la soustraction :
Quels obstacles ?
•Le fonctionnement de l’écriture des nombres : le principe de la numération décimale de position veut que chaque chiffre qui constitue l’écriture d’un nombre ait une valeur différente en fonction du rang qu’il occupe. Cette évidence ne va pas de soi. Mal compris, cela devient un obstacle.
•Ce que l’on appelle « la retenue ». (dans les procédures que nous proposons, le mot usuel n’est pas employé : nous parlerons « d’échanges » en référence à la NDP ( numération décimale de position). Souvent, la retenue ne fait pas sens et elle est donc gérée de manière approximative et aléatoire.
•La maîtrise des petits répertoires additifs et soustractifs : pour certains enfants,l’effort se porte sur « 8-5 », péniblement trouvé avec l’usage tardif des doigts, quand d’autres récupèrent tout de suite le résultat dans un stock de résultats mémorisés et disponibles. En parallèle, sur des temps décrochés et réguliers, il faut travailler et entretenir la mémorisation des répertoires de petits nombres.
•La multiplicité des « termes » techniques utilisés : « je retire de » ; « j’enlève à »; « j’ôte» ; « je soustrais » ; « moins » …. en fonction des adultes qui guident
l’apprentissage, ajoute de la confusion chez certains élèves.
Quels conseils ?
•Articuler en permanence au cours des 5 années, calcul posé et calcul mental (automatisé, pour les résultats des tables et réfléchi, pour développer des procédures).
•Faire vivre l’apprentissage à travers ses usages : en résolution de problème, dans le domaine des grandeurs et mesures (par exemple, avec les périmètres)
•Privilégier la méthode qui vise à « casser la dizaine » pour la transformer en 10 unités. (la technique dite de « l’écart constant », quoique « sociale », est écartée);Argumentaire de la mission MATHS 94 :
cette « technique » est plus facile à comprendre et le sens aide à la mémorisation deprocédures et à leur automatisation progressive ;
elle offre l’avantage de renforcer le domaine de la numération décimale de positionet de mieux en comprendre son fonctionnement (notion d’échange : 10 contre 1) ;
elle facilitera l’apprentissage du calcul des durées : 1 heure contre 60 minutes..elle permet l’utilisation de matériel didactique (bouliers, abaques, matériel multibase)
et garantit ainsi la manipulation, nécessaire aux apprentissages et tant concurrencée,dès les petites classes, par l’usage du fichier et de présentations formelles et abstraites.
Items évalués et niveau de maîtrise CM2 2011
Item 82 : exercice 13 56,73 – 7,02
environ ¼ des élèves ne réussit pas en janvier
Le fait d’avoir une partie décimale au centième dans les deux nombres ne permet pas de voir si l’élève a bien identifié l’unité pour poser l’opérationou s’il a procédé par « habitude » en posant les chiffres les uns sous les autres de la droite vers la gauche. On pourrait essayer 55,43 – 5,4.
Un élève peut très bien avoir fait illusion en traitant séparément la partie décimale et la partie entière comme deux nombres entiers juxtaposés(56-7) puis (73-02). On pourrait perturber davantage la situation en proposant56,74 – 4,91 ou 56,7 – 5,91
Il ne s’agit pas de mettre l’élève en difficulté mais de creuser pour distinguer la procédure « mécanique » de la bonne compréhension du système décimal. Certaines réponses justes occultent, elles aussi,des incompréhensions ou des représentations erronées bien installées. (Le calcul offre l’avantage de consolider la numération : c’est fondamental à l’école primaire)
Items évalués et niveau de maîtrise CM2 2011
suiteItem 95 : exercice 19
La virgule n’est pas le cœur du problème…..
246 + 34 + …… = 500
Environ la moitié des élèves ne trouve pas…
Le calcul est écrit pour soulager la mémoire de travail.
500 est un nombre « rond ».
L’ordre de présentation invite à mobiliser une stratégie de simple bon sens :compléter par 4 unités (retenir 250) ; compléter par 3 dizaines (retenir 280) ; Difficulté : garder en mémoire 280 jusqu’au bout (s’il est oublié, il faut tout recommencer)
Poursuivre en cherchant le complément jusqu’à 300 et de 300 à 500.Il n’y a pas de problème de « retenue ».
Nombre d’élèves ne semblent pas voir la quantité en lisant directement un nombre. L’habitude de manipuler du matériel multibase permet de voir mentalement 4 barres de 10 dans 845 ; dans 1043 dans 48 ; dans 547,56
Items évalués et niveau de maîtrise CE1 2011
Item 76 : exercice 10 786 – 254 =
Environ ¼ des élèves ne réussit pas en mai
Des élèves peuvent avoir eu « juste » en procédant de manière plus ou moinsmécanique, colonne par colonne. Le nombre égal de chiffres aux deux termesde la soustraction limite les risques d’erreur de position. Le calcul ne garantit pas la compréhension du fonctionnement de la numération de position.
Sans doute que le répertoire des tables de soustraction de petits nombres n’est pas suffisamment mémorisé et automatisé pour offrir disponibilitéet rapidité à l’élève.Au demeurant, l’usage des doigts était possible (je lève 6 doigts, j’en replie 4 et il en reste 2 levés) difficulté : ne pas confondre avec les autres doigts ; adopter un sens de lecture.
Item 77 : exercice 10 481 – 126 =
Environ la moitié des élèves ne trouve pas…
L’écriture posée ne peut poser problème puisqu’il y a autant de chiffres aux deux termes de la soustraction (cf item 76)
Le problème de la « retenue » ne se pose qu’une fois et au début.
Les nombres choisis sont réguliers sur le plan de leur lecture : quatre cents ; vingt-six (différent de quinze ou soixante-treize)
Or, dès le CP les élèves abordent la technique opératoire de la soustraction …Le principe des échanges 10 contre 1 est-il compris ?
Étape de familiarisation avec le matériel : CP et aussi CE1Constituer 57 sur la table
Avec le matériel, la position n’a pas d’importance.
Rédaction du bon de commande
Nombre de barres de 10
Nombre de cubes simples
5 7
Mettons un peu d’ordre
Usage du matériel multibase Avec les remerciements à Aurélie, IMF àl’école Decroly
On transforme tout en barres de 10
Constituer 245 sur la table
Usage du matériel multibaseÉtape de familiarisation avec le matériel : CP et aussi CE1
Rédaction du bon de commande
Nombre de barres de 10
Nombre de cubes simples
Nombre de plaques
542
Il faut bien s’assurer de la conversion d’1 plaque en 10 barres
24
Rédaction du bon de commande
Constituer 505 sur la table
Usage du matériel multibaseÉtape de familiarisation avec le matériel : CP et aussi CE1
Risque de confusion
ou
Avec le « o » au milieu : absence de quoi ?
Nombre de cubes simples
Nombre de barres de 10
Nombre de plaques
505
505Cinq cents, c’est 5 centaines, c’est 5 plaques
Euréka ! It’s easy
Usage du matériel multibaseÉtape de résolution simple (sans retenue) CE1
365 moins 142J’ai 365
Je retire 142
Nombre de cubes simples
Nombre de barres de 10
Nombre de plaques
563
En rouge, la table de travail sur laquelle je pose ce que je retire ou transforme
Il reste 223
Nombre de plaques
Nombre de barres de 10
Nombre de cubes simples
3 6 5
Résultat : 223
2 cubes en moins
4 barres en moins
1 plaque en moins
322
Good !
243 moins 174
Usage du matériel multibaseÉtape de résolution plus complexe (avec retenue) CE1
J’ai 243
Nombre de cubes simples
Nombre de barres de 10
Nombre de plaques
42
Je retire 174
Je rencontre un problème Comment enlever 4 cubes ?!!!
En rouge, la table de travail sur laquelle je pose ce que je retire ou transforme
Je prends une barre de 10 et je l’échange contre 10 cubes
3+10 cubes-1 barre13 cubes3 barres2 plaques
Je peux retirer 4 cubes
moins 49 cubes
243 moins 174
J’ai 243
Nombre de cubes simples
Nombre de barres de 10
Nombre de plaques
9 cubes3 barres2 plaques
Je rencontre un autre problème
Comment enlever 7 barres ?
Je prends 1 plaqueet je l’échange contre 10 barres
En rouge, la table de travail sur laquelle je pose ce que je retire ou transforme
+10 barres- 1 plaque131 9
Je peux retirer 7 barres
moins7 barres
6
Résultat : 169
You are the best !
Prolongement de l’usage du matériel : conseils
•Eviter de cesser l’utilisation du matériel afin qu’il reste familier à l’élève sur l’ensemble de sa scolarité en école élémentaire. Il s’en servira :
-en CE2 avec les cubes de 1000, -en CM1 pour revoir les bases
et gérer les soustractions de grands nombres de 10 000 et plus, de temps en temps (cf dessin du matériel multibase fiche annexe)
-en CM1 et en CM2 pour les nombres décimaux
•En complément, utiliser les abaques et les bouliers (de 10 contre 1) : la notion se construit ainsi indépendamment du matériel utilisé. Développer une dextérité.Si un élève est fragile et privilégie un type de matériel, renforcer cet usage sans le Perdre avec une multiplicité de matériels.
•En complément, sur des temps décrochés, très courts et réguliers, développer la mémorisation du répertoire soustractif. Tenir, par exemple, une feuille de route (de scores) sur le CP-CE1 et l’entretenir régulièrement sur les cycles suivants.
•En complément, proposer des situations variées nécessitant l’usage de la soustractionEn grandeurs et mesures : situation sur la longueur d’un terrain rectangulaire, même Avant l’enseignement des périmètres… ; montant d’une réduction entre deux prix en euros…En gestion des données …
431-151
Comment passer à l’abstraction ? Au cahier ?
Avec les remerciements à Aurélie, IMF
De la méthode
Toujours la même
On dessine (2 couleurs)
631 - 457
Comment passer à l’abstraction ? Au cahier ?
consigneTechnique avec les chiffresRésultat annoncé clairement
4 5 7+ 1 7 4---------------
6 3 1
Vérification avec addition
431-282
Comment passer à l’abstraction ? Au cahier ?
consigneTechnique habituelleENTRAINEMENTAnnonce du résultat
Vérification avec additionAutomatisation de la méthode
pour se concentrer sur le calcul
300 - 134
Et la gestion des zéros ? La propreté des calculs ?
Je barre, j’échange et je retire : technique maîtriséeLa compréhension de la NDP aide à franchir l’obstacleVérification par l’addition et validation par le maître
1541 - 6343604 - 738
Toujours plus vite et plus efficace… avec la pratique
Si tu en réussis 5 sans te tromper, je te dirai que tu sais soustraire.
Il est très important et motivant pour l’élève de l’associer explicitement aux critères de réussite
et d’évaluation des compétences.
Emulation et enjeu
Lisibilité sur les apprentissages
Autre rapport à l’école ….
Compétence validée ?
Yes of course !!
En espérant que cet outil puisse vous offrir quelques pistes concrètes….
Le matériel multibase (+ bouliers, abaques, monnaie, cartons Montessori….) est disponible dans chaque circonscription.
Les équipes de circonscription pourront relayer cette présentation.
Pour les grands nombres et les décimaux, le principe resteidentique et il est familier des élèves s’il a été abordé en C2.
The end