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Notes de mathmatiques financiresNotes de mathmatiques financiresNotes de mathmatiques financires

Par A. Par A. BenchekrounBenchekroun

Mathmatiques financires A. Benchekroun

1

PARTIE I: OPERATIONS FINANCIERES DE COURT TERME

I.1 Intrt simple

I.1)a) Formule fondamentale de l'intrt simple


2

Soit

C: le montant du capital prt

n: la dure du placement

i : le taux de placement sur la priode

Le montant des intrts, I, sera donn par la formule

C i nI=)1( Remarques:Le taux de placement est souvent donn sur une priode annuelle.Si aucune indication nest donne, il sagira toujours dun taux annuel.


3

Exemple: Un capital de 25 000 DH, prt pendant 2 ans au taux de 9%, fournira au prteur un intrt gal

I = 2x9%x 25 000 = 4 500 DH, et l'emprunteur devra, l'expiration du dlai de 2 ans remettre son prteur la somme 25 000 + 4 500 = 29 500 DH.

La dure n d'un placement peut tre exprime en mois; Comme i est souvent relatif l'anne, la formule (1) reste valable en convenant qu'il s'agit d'un taux mensuel donn par la formule

12i=mensueli Donc C 12

i nI =

en moistaux annuel


4

Exemple: Capital = 25 000 DH; n = 6 mois et i = 9% (annuel); le montant des intrts est:

DH 125 1 000 25 129% 6I ==

6 mois aprs l'emprunt de 25 000 DH, l'emprunteur devra remettre son prteur la somme de 25 000 + 1125 = 26 125 DH.


5

La dure n peut aussi tre exprime en jours; L'usage veut que l'on prenne souvent:

i jo u r = i3 6 0

taux annuel

et donc la formule (1) devient: C 360

in I =

Bien que l'anne soit compte 360 jours dans la dtermination du taux dintrt qui nest finalement quune grandeur financire "ngocie" et conventionnelle, les mois sont compts leur nombre de jours exact ( et non 30 jours).


6

Il est trs important de noter que dans la formule (1), la dure de financement n est exactement gale t2 t1 o

! t1 est la date de consentement (mise disposition du capital);

! t2 est la date de remboursement (capital initial augment des intrts).


7

Pour calculer de manire pratique t2 t1 pour une dure n exprime en jours, on peut utiliser la rgle suivante:

! Si t1 et t2 se situent l'intrieur d'un mme mois, n se calcule simplement par simple diffrence de ces deux dates;

! Si t1 et t2 ne se situent pas l'intrieur d'un mme mois, le principe de comptage consiste retenir que l'une de ces deux dates extrmes (par exemple la date finale t2).


8

Exemple: Emprunt = 25 000 DH; taux = 9%; consentement = 13 mars & remboursement = 8 juillet; mars 31 (nombre de jours du mois) - 13 (date initiale) = 18 javril = 30 jmai = 31 jjuin = 30 jjuillet = 08 j

Total = 117 j

et donc le total des intrts est DH 731,25 000 25 3609% 117I ==

Le 8 juillet, la somme de 25 000 + 731,25 = 25 731, 25 DH devra tre rembourse.


9

I.1)b) Valeur acquise par un capitalLa valeur acquise par un capital est la valeur du

capital major de l'intrt qu'il a produit.

Donc la valeur acquise est: V = C + I = C + n i C = ( 1 + n i) C

Il est trs important d'assimiler l'aspect temporel de cette notion; Il faut considrer que , compte tenue du taux i, C & V reprsentent le mme capital "valu" 2 dates diffrentes:

! C est le capital valu la date de consentement, cette grandeur C est souvent appele "valeur actuelle" du capital;

!V est le mme capital valu la date de remboursement.

C i)n +(1V =)2(


10

I.1)c) Taux moyen d'une srie de placements effectus simultanment.

Une mme personne effectue simultanment K placements aux conditions suivantes:


11

nKiKCK

.

.

.

n2i2C2

n1i1C1

DureTaux Capitaux

L'intrt total produit par ces K placements est gal

I n i C n i C n i C n i C1 1 1 2 2 2 K K K= + + + ==... p p pp

K

1


12

Le taux moyen de ces placements est le taux, qui appliqu aux capitaux respectifs et pour leurs dures respectives, conduirait au mme montant des intrts I; Soit i ce taux, donc:

I n C n C n C1 1 2 2 K K= + + +i ( ... ) et donc

C'est la moyenne des taux d'intrt pondre par les capitaux pour leur dure respective.

1

1

( 3 )

K

p p pp

K

p pp

n C ii

n C

=

=

=


13

I.1)d) Intrt prcompt et taux effectif de placement

Les formules (1), (2) et (3) sont fondes sur le paiement des intrts par l'emprunteur au jour du remboursement du capital emprunt. Il est frquent que, par convention entre les intresss, les intrts soient verss par l'emprunteur le jour du consentement du prt. Dans ce cas, les fonds engags par le prteur procurent un taux de placement suprieur au taux stipul (taux nominal), qui sert lui au calcul des intrts.


14

Exemple : Une personne place intrt prcompt 500 000 DH pour un an au taux de 4%; Quel taux effectif de

placement ralise - t- elle?

L'intrt procur par l'opration s'lve I = 500 000 x 4% x 1 = 20 000 DH; Le prteur reoit immdiatement cet intrt;Tout se passe comme s'il n'avait engag que

500 000 20 000 = 480 000 DH; Un an aprs, le prteur reoit son capital de 500 000 DH (les intrts tant dj perus); Finalement, le prteur a gagn en 1 an, 20 000 DH, en ne prtantque 480 000 DH.

Donc, le taux effectif de placement est ie tel que

480 000 x ie x 1 = 20 000, d'o %17,04

241

482

==ei


15

Cas gnral : Soit C un capital prt intrt prcompt au taux i pour une dure n.

On a les relations suivantes:

Intrts = I = C x i x n et

Capital effectivement engag = C - I = C(1 - ni) et donc le taux effectif de placement ie est tel que,

C(1 - ni) x ie x n = C x i x n d'o

nii

ei = 1)4(donc, le taux effectif d'un placement intrt prcompt est indpendant du capital plac: il ne dpend que du taux d'intrt nominal et de la dure du placement.


16

I.2 Escompte

I.2)a) Effet de commerceExemple: Le 10 mars, A vend B des marchandises pour un montant de 30 000 DH, le rglement devant intervenir le 31 mai.

A, le crancier, doit donc attendre le 31 mai pour entrer en possession de ses fonds; Cependant, il peut avoir besoin de cet argent bien avant le 31 mai.Supposons que A sollicite, le 26 mars, une avance de son banquier, avance garantie par la crance que A possde sur B; Le banquierne consentira cette avance que si son client A est en mesure dejustifier par un document crit, l'existence de cette crance de30 000 DH chance du 31 mai.


17

A se tournera vers B et lui demandera :

!soit de souscrire un billet ordre, c'est dire de promettre, par crit, de lui payer la somme de 30 000 DH la date du 31 mai;

!soit d'apposer sa signature sur une lettre de change ou traite, reconnaissant l'existence au profit de A, d'une crance de 30 000 DH, encaisser le 31 mai.

"Billet ordre" et "Lettre de change" sont des effets de commerce.


18

I.2)b) L'opration d'escompteLes deux mentions essentielles portes sur un effet de commerce sont:

!le montant de l'effet, appel "valeur nominale";

!la date du paiement de cette valeur nominale, appele "chance".

Le 26 mars, A prsente l'effet de commerce son banquier; On dit qu'il ngocie l'effet ou qu'il le remet l'escompte. De son ct, le banquier escompte l'effet; Il ne consent cette opration que s'il bnficie d'une rmunration, appele "escompte commercial".


19

I.2)c) L'escompte commercialC'est le prix du service rendu par le banquier:

V 360

in e =(5)

escompte dure en jours qui spare la date de remise l'escompte de l'effet, de la

date d'chance de l'effet = dure du prt consenti par le banquier.

Taux d'intrt (annuel) affich par le banquier

Valeur nominale de l'effet


20

Exemple: Soit un effet de commerce de valeur nominale 30 000 DH d'chance le 31 mai , escompt le 26 mars au taux de 9%.

Mars: 31-26 = 05 j

Avril: = 30 j

Mai: = 31 j

Total = 66 j D'o

DH 495 = 000 30 3609%66x =e


21

I.2)d) Valeur actuelle commercialeSi le banquier se conformait la dfinition de l'intrt

simple, il serait conduit prter le 26 mars, 30 000 DH son client A, lequel lui verserait, le 31 mai,

30 000 + 495 = 30 495 DH;En ralit, le banquier retient immdiatement l'escompte; Le 26 mars, il remet son client 30 000 - 495 = 29 505 DH; le 31 mai, son client lui rendra 30 000 DH; Il pratique de "l'intrt prcompt" au taux d'intrt nominal i (9%).

La somme effectivement mise par le banquier la disposition deson client (diffrence entre la valeur nominale de l'effet et son escompte commercial) est appele "valeur actuelle commerciale";


22

a = V - e (Valeur actuelle commerciale = Valeur nominale - Escompte) donc:

)360ni1(Va)6( =


23

I.2)e) Equivalence d'effets ou de capitaux et date d'quivalenceExemple: Deux effets de commerce, de valeurs nominales

respectives 9 840 DH (chance le 31 octobre) et 9 900 DH (chance le 30 novembre), sont ngocis au taux d'escompte de 7,2%; S'il existe une date laquelle les valeurs actuelles de ces deux effets sont gales, on dira que ces deux effets sont quivalents la date en question, appele date d'quivalence.

Rsolution:


24

date d'quivalence 31/10 30/11

9 840 DH 9 900 DH

x jours 30 joursDonc

5010121066,0012,0

4,5998,19900968,19849

)]30(360072,01[9900)

360072,01(9840

3

1

===

==

+==

xx

xxa

xxa

et donc la date d'quivalence se situe 50 jours avant le 31 octobre, soit le 11 septembre.


25

I.2)f) Problmes pratiques poss par la notion d'quivalenceProblme 1: B doit A une somme de 7 110 DH payable le 31/05,

sa dette tant constate par l'acceptation d'un effet de commerce; Le 16 mai, B se voit dans l'incapacit de faire face, la date du 31/05, au rglement de sa dette: il demande alors A de remplacer l'effet de commerce chance du 31/05 par un autre d'chance le 30 juin.

Quelle est la valeur nominale de l'effet de commerce d'chance le 30 juin? Taux d'escompte : 10%.


26

Rsolution: la date du 16 mai, date laquelle est prise la dcision de remplacer le premier effet par le second, est retenue comme date d'quivalence.

a V

V

V V D H

= =

=

= = =

7 1 1 0 1 1 53 6 0

0 1 1 4 53 6 0

0 1

7 1 1 0 3 6 0 1 5 3 6 0 4 5

2 5 4 8 9 3 5 3 5 5 52 5 4 8 9 3 5

3 5 5 57 1 7 0

( , ) ( , )

( , ) .( , )

,,


27

Problme 2: Le dbiteur aurait pu proposer son crancier de remplacer le premier effet par un second de nominal fix, 7 200 DH par exemple, et dont il aurait fallu calculer l'chance.

31/0516/05 date d'quivalence

15 jours

n jours

a n

n

n n jo u r s

= =

=

= =

7 1 1 0 1 1 53 6 0

0 1 7 2 0 0 13 6 0

0 1

2 5 4 8 9 3 5 7 2 0 0 3 6 0 0 1

7 2 0 4 3 0 6 54 3 0 6 5

7 2 05 9 8 1 6 0

( , ) ( , )

( , )

,

L'chance de l'effet de remplacement sera donc fixe 60 jours aprs le 16 mai, soit au 15 juillet.


28

I.2)g) Problmes de l'chance communeProblme 1: Le 6 septembre le dbiteur de 3 effets:

! 10 000 DH chance du 31/10! 30 000 DH chance du 30/11! 20 000 DH chance du 31/12

demande son crancier (le mme pour les 3 effets) de remplacer ces 3 effets par un effet unique chance du 15 dcembre.

Quelle est la valeur nominale de cet effet unique? Taux d'escompte: 9%.


29

Rsolution: le jour o le remplacement est dcid, la valeur actuelle de l'effet de remplacement est gale la somme des valeurs actuelles des effets remplacs.

Du 06/09/ au 31/10 on compte 55 jdu 06/09/ au 30/11 on compte 85 jdu 06/09/ au 31/12 on compte 116 jdu 06/09/ au15/12 on compte 100 j

V

V

V DH

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

,

1 100360

0 09 10000 1 55360

0 09 30000 1 85360

0 09 20000 1 116360

0 09

351 3550500 10570500 6991200 2111220021112200

35160148 72

= + +

= + + =

= =


30

Problme 2: Avec les mmes donnes que celles du "problme 1", il s'agit maintenant de dterminer l'chance d'un effet unique remplaant les 3 effets, et dont le nominal serait de 59 800 DH.

Rsolution: si n dsigne le nombre de jours qui spare le 6 septembre de l'chance cherche, nous devons avoir:

59800 1360

0 09 10000 1 55360

0 09 30000 1 85360

0 09 20000 1 116360

0 09

21528000 5382 21112200 5382 415800 4158005382

77 26

77

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

,

= + +

= = =

n

n n n

n jours

l'chance se situe 77 jours aprs le 6 septembre, soit le 22 novembre.


31

I.2)h) Cas particulier du problme de l'chance commune: chance moyenneDans les deux problmes prcdents (I.2)g), les deux valeurs

nominales sont voisines de 60 000 DH, total des valeurs nominales des 3 effets remplacs; C'est pourquoi on peut s'intresser au problme du remplacement des 3 effets par un seul de nominal 60 000 DH (somme des trois valeurs nominales); Il faut donc rechercher l'chance de cet effet de remplacement:


32

joursn

n

nn

n

90

33,903

2715400

487800487800540020011221540000060021

)09,03601161(20000

)09,0360851(30000)09,0

360551(10000)09,0

3601(60000

==

==

+

+=

l'chance de l'effet interviendra donc 90 jours aprs le 6 septembre, soit le 5 dcembre. On remarque que

n = + +

= = =55 10000 85 30000 116 20000

600005420000

60000542

6271

3

autrement ditn = valeur moyenne des dures pondres par les valeurs nominales.


33

C'est pourquoi on parle d'chance moyenne. Ceci est gnral; En effet, supposons qu' une certaine date, on dcide de remplacer K effets de valeurs nominales respectives V1 , V2 , ... , VK et chances respectives

n1 , n2 , ... , nK jours, compts partir de la date de remplacement, par un effet de valeur nominale

V = V1 + V2 + ... + VK.

Quelle est la date laquelle devra tre fixe l'chance de l'effet unique de nominal V?


34

Rsolution:

Vn

i Vn

i

i Vn V V

n iV n V n V

pp

Kp

pp

Kp

p

K

p p pp

K

( ) ( )13 6 0

13 6 0

3 6 0 3 6 01

1

1 1 1

0

=

= + =

=

= = =

! "# $#

( )71

1n

V pn pV

p

K=

=


35

Il y a quelques remarques importantes faire sur l'chance moyenne.

! Dans la formule (7) , le taux d'escompte n'apparat pas; La date d'chance moyenne ne dpend pas du taux d'escompte.

! L'escompte de l'effet unique est

=

==

==K

pV p

in pV

iK

pV pn pV

Vine1 3603601

)(1360

c'est donc la somme des escomptes des effets remplacs.


36

! L'chance moyenne ne dpend pas de la date d'origine choisie pour crire les quivalences; En effet, supposons que les quivalences soient crites d jours avant ou aprs la date retenue primitivement; La date d'chance moyenne se situe n' jours de cette nouvelle date d'quivalence:

+

=

+=+=

=

=

+=

=

=

+=

aprsjoursdequivalencsiavantjoursdequivalencsi

dndK

pV pn pV

n

K

pV pd

K

pV pn pV

K

pVd pn pV

n

11

1

1'

)11

(1

1)(1'

ce qui montre bien que la date d'chance moyenne est inchange.


37

I.2)i) Les problmes de crditExemple : Un achat d'un montant de 100 000 DH est rgl de

la faon suivante:! comptant: 20% de l'achat;! le solde au moyen de 6 traites mensuelles, chacune de

montant nominal V, la premire chant un mois aprs l'achat.

Il s'agit de dterminer le montant V, compte tenu d'un taux de crdit de 12%.


38

Rsolution: Il faut crire, qu' la date d'achat, il y a galit entre

! le montant du crdit consenti, soit 80% x 100 000 = 80 000 DH,

! et la somme des valeurs actuelles des effets de commerce qui assureront le rglement de ce crdit.

8 0 0 0 0 10 1 21 2

10 1 21 2

2 10 1 21 2

3 10 1 21 2

6

8 0 0 0 0 6 0 0 1 6 0 0 16 7

25 7 9

8 0 0 0 05 7 9

1 3 8 1 6 9 3

1

6

= + + + +

= =

=

= =

=

V V V V

V V p V V V

V D H

p

(,

) (,

) (,

) . . . (,

)

, , ,

,,


39

D'une manire plus gnrale, les problmes de crdit se rsolvent en crivant qu' la date d'achat, l'quivalence entre le montant du crdit et les sommes qui assureront le rglement de ce crdit*.

*: en ralit, ceci nest financirement valable que si la date dachat correspond la date de livraison du bien achet;D'une manire plus gnrale, il faut crire quil y a quivalence, la date de livraison, entre la valeur du bien, et les sommes verses qui assureront lerglement de cette valeur.

Il est alors vident, dans ce cas, que la formule de la valeur

actuelle dune somme verse V, , se gnralise mme une dure n ngative dans le cas o le versement V intervient antrieurement la date de livraison.

ni)V(a = 1


40

PARTIE II: OPERATIONS FINANCIERES DE LONG TERMEII.1 Intrts composs

En matire d'oprations long terme, un prt pouvant durer plusieurs annes, il est naturel que le prteur considre l'intrt simple fourni par son capital comme un nouveau capital, qui ajout au capital initial, portera intrt son tour.


41

II.1a) Formule fondamentaleLa valeur acquise par le capital C, aprs n priodes de

placement (aprs n capitalisations de l'intrt) estniCC n )1()8( +=

et donc Intrt compos = Cn - C = C[(1+i)n - 1]


42

Exemples d'utilisation de la formule (8) :

Exemple 1: C = 20 000 DH, capitalisation annuelle des intrts au taux de 9,5%, et dure = n = 7 ans. Quelle est la valeur acquise par le capital C?

C7 = (1 + 0,095)7 x 20 000 = 1,88755160 x 20 000 = 37 751,03 DH.

Exemple 2: C = 30 000 DH, capitalisation annuelle des intrts sur une dure = n = 11 ans; Quelle est le taux de placement sachant que la valeur acquise par le capital est C11 = 89 971,77 DH?

89 971,77 = (1+i)11x 30 000 i = ( 89 971,77 / 30 000 )1/11 - 1= 0,10499

i 10,50%


43

Exemple 3: C = 40 000 DH, capitalisation semestrielle des intrts avec un taux d'intrt semestriel de 4,75%; Quelle est la dure du placement sachant que la valeur acquise par le capital est 76 597,84 DH?

76 597,84 = (1,0475)n x 40 000

(1,0475)n = 76 597,84 / 40 000

n ln1,0475 = ln(76 597,84 / 40 000)

n = 14,0000044

n = 14 semestres


44

Exemple 4: n = 10 ans, capitalisation annuelle au taux d'intrt de 7,5%; Quel est le capital plac sachant que la valeur acquise est de 123 661,92 DH?

123 661,92 = 1,07510 x C C = 123 661,92/1,07510

60 000,01 DH.


45

II.1b) Formule fondamentale dans le cas d'un nombre de priodes non entierExemple: C = 20 000 DH plac intrt compos; taux annuel

de placement = 11%, et dure = 7 ans 3 mois. Quelle est la valeur acquise par le capital C?

n = 7 + 3/12 = 7 + = 29/4 ; C7+3/12 = 1,1129/4 x 20 000 = 42 620,80 DH


46

II.1c) Taux quivalents - Taux proportionnels Soit C un capital plac intrt compos au taux annuel i

pendant n annes. A l'expiration des n annes, sa valeur acquise sera C(1+i)n. Le mme capital plac intrt compos au taux semestriel is , pendant 2n semestres aura pour valeur acquise C(1+is)2n . Quand les deux valeurs acquises sont gales entre elles, on dira que les deux taux i (annuel) et is (semestriel) sont quivalents.

(1+is)2n = (1+i)n is = (1+i)1/2 - 1


47

Plus gnralement, si i dsigne le taux annuel,et, ik le taux attach une priode k fois plus petite que

l'anne, on aura:

1+ i = (1+i)k 111 (10) - /k+i) = (ki

itrim = (1+i)1/4 - 1 et imois = (1+i)1/12- 1

Le taux proportionnel au taux i , relatif une priode k fois plus petite que l'anne est i/k ; C'est gnralement le taux utilis en intrt simple.


48

II.2 Escompte Intrts composs

II.2)a) PrincipeSoit une crance de nominal V chance sur une dure n,

qui est ngocie au taux i.

Exemple: V = 100 000 DH, chance = 5 ans, taux ngoci = 7%.

Il est demand de calculer la valeur actuelle de la crance et son escompte ( intrt compos).

En opration de long terme, ne peut tre retenu que le principe de "l'escompte rationnel" intrt compos: l'escompte est l'intrt compos de la somme effectivement prte par le banquier et non l'intrt de la valeur nominale de la crance (cas de l'escompted'un effet de commerce).


49

Soit donc:e' , l'escompte intrt compos et a' la valeur actuelle

correspondante; on doit avoir:a' + e' = V et e' = intrt compos de a' soit a' + intrt compos de a' = V soit encore a'(1+i)n = V et

donc

( ) '( )

1 21

aV

ni=

+

c'est l'expression de la valeur actuelle (somme effectivement prte par le banquier), et donc l'escompte est

e' = V - a' = V[1-(1+i)-n].


50

0 n

a' Vmontant disponible la date 0 pour le client

valeur nominale de la crance, disponible pour le banquier qu'aprs une dure n

Ainsi pour notre exemple, V = 100 000 DH, n = 5 ans, et i = 7%

Valeur actuelle de la crance = a' = 100 000/(1,07)5 = 71 298,62 DH, c'est le montant que mettra le banquier la disposition de son client; Et escompte = e' = 100 000 - 71298,62 = 28 701,38 DH.


51

II.2)b) Effets quivalents, capitaux quivalents

Deux capitaux, de valeurs nominales diffrentes et d'chances diffrentes, escompts au mme taux, sont dits quivalents s'ils ont des valeurs actuelles gales la date d'escompte.

Donc un taux donn i, soit deux crances:

!crance 1: nominal V1 , chance n1!crance 2: nominal V2 , chance n2

Effet 1 Effet 2 1 21 1 1 2

V Vi

ni

n( ) ( )+

=+


52

Il est trs important de noter, qu'en intrt compos, l'quivalence se conserve dans le temps: elle est indpendante de la date d'escompte (ce qui n'est pas le cas en escompte intrt simple).


53

II.2)c) Cas pratiques poss par la notion d'quivalence.

Cas 1 : Calcul d'une valeur nominaleSoit une crance de montant V1 = 100 000 DH qui aurait lieu

dans 3 ans, et qui doit tre substitue par une autre de montant V2 chance dans 5 ans.

Il s'agit de dterminer V2 sachant que le taux d'escompte est de 8%.

V1 /1,083 = V2/1,085 V2 = 1082 x V1 = 116 640 DH.


54

Cas 2 : Calcul d'une valeur nominaleOn dcide aujourd'hui de remplacer un rglement de

100 000 DH qui aurait eu lieu dans 3 ans par un autre 115 000 DH. Il s'agit de dterminer la date de rglement

remplacement sachant que le taux d'escompte est de 6%.100 000/1,063 = 115 000/1,06n

n = 3 + ln(115/100)/ln1,06 3 + 2,39 = 5,39

n = 5 ans 4 mois 23 jours.


55

II.2)d) Echance communeCas 1 : On remplace aujourd'hui 4 rglements:! V1 = 200 000 DH chance de 1 an! V2 = 300 000 DH chance de 3 ans! V3 = 100 000 DH chance de 4 ans! V4 = 400 000 DH chance de 7 ans

par un rglement unique chance de 5 ans; Il s'agit de dterminer le montant V du rglement unique sachant que le taux d'escompte est de 7%.

07,107,107,107,1

07,107,107,107,107,1

24

32

24

1

74

43

321

5

VVVVV

VVVVV

+++=

+++=

V = 1.062.004,69 1.062.005 DH.


56

Cas 2: On remplace les 4 rglements par un paiement unique de montant 1000 000 DH. Il sagit de dterminer la date de rglement unique avec un taux descompte de 7%.

31 2 43 4 7 5

1000 000 1062 004, 6931, 07 1, 07 1, 07 1, 07 1, 07 1, 07n

VV V V= + + + =

56

6

1062 004, 6931, 071, 07

ln(1062 004, 693 105 5 0, 889 4,11ln 1, 07

4 1 10

n

n an

n ans mois jours

=

= %

%


57

II.3) AnnuitsUne suite dannuits est une suite de versements

effectus intervalle de temps gaux. Une suite dannuits est parfaitement dfinie par

! la date du premier versement,! la priode: dure constante qui spare deux versements

conscutifs, ! le nombre des versements ! le montant de chacun des versements.


58

0 1 2 3 n-1 n

a1 a2 a3 an-1 an

Une suite d'annuits a gnralement pour objectif:

!soit la constitution d'un capital

!soit le remboursement d'un emprunt.

priode


59

0 1 2 n-1 n

a1 a2 an-1 an

II.3)a) Valeur acquise d'une suite d'annuits

premier versement

Evaluation la date n des sommes verses : valeur acquise

aiaiaiaV nnnn

n +++++++= )1(...)1()1( 1

2

2

1

1

=

+ =n

ki knakn

V1

)1()13(


60

Cas particulier des annuits constantes: pour tout k, ak = a

(1 ) 1(14)n

niV ai

+ =

1 1(1 ) (1 )

n nn k n k

n kk k

V a i a i = =

= + = +

1

0

(1 ) 1(1 )nn

k

k

ia i ai

=

+ = + =


61

Exemples" Exemple 1 Calculer la valeur acquise par une suite de

10 annuits constantes et gales chacune 15 000 DH; Taux=04,50%

10

10

14323184

.....2882091200015045,0

1045,100015

DH,

,V

=

==


62

" Exemple 2 15 annuits capitalises 10% ont une valeur acquise de 100 000 DH; Calculer l'annuit.

1515

2

15

1,1 1100 000 10 (1,1 1)0,1

10 000 3147,381,1 1

V a a

a DH

= = =

= =


63

" Exemple 3 20 annuits constantes de 4000 DH ont une valeur acquise de 200 000 DH; Dterminer le taux de capitalisation.

501)1(

1)1(400000020020

20

=+

+=

ii

ii

i peut tre calcul en utilisant une table et/ou par interpolation linaire.

On peut aussi le calculer en utilisant un tableur (Excel, Lotus 123,).

On trouve i 8,79%


64

" Exemple 4 A l'aide d'annuits de 15 000 DH chacune, capitalises 6,5%, on veut constituer un capital de

150 000 DH; Dterminer le nombre de ces annuits.

951994998,7065,1ln65,1ln

65,1065,0101065,1065,0

1065,100015000150

=

=+=

==

n

Vn

n

n

n doit absolument tre ici entier : 7 annuits conduiraient une capitalisation infrieure 150 000 DH , et 8 une suprieure; Deux alternatives pourraient tre proposes.


65

Alternative 1 : On verse 7 annuits , toutes gales 15 000 DH, sauf la 7me qui doit tre majore ; Cette majoration risque d'tre trs suprieure 15 000 DH dans la mesure o le n thorique est trsproche de 8 : c'est pourquoi cette solution ne correspond pas auproblme.

7

7DH 843,05 127

065,01065,115000 ==V

Donc, il doit y avoir versement de 6 annuits gales 15 000 DH, la 7me gale 15 000 + (150 000-127 843,05)=37 156,95 DH.


66

Alternative 2 : On verse 8 annuits , toutes gales 15 000 DH, sauf la 8me qui doit tre minore; Cette minoration sera trs infrieure 15 000 DH dans la mesure o le n thorique est trs proche de 8 : c'est la solution qui doit tre retenue.

8 8

11,06515000 151 152,85 DH 0,065V

= =

Donc, il doit y avoir versement de 7 annuits gales 15 000 DH, la 8me gale 15 000 - (151 152,85-150 000)=13 847,15 DH.


67

0 1 2 n-1 n

a1 a2 an-1 an

II.3)b) Valeur actuelle d'une suite d'annuits

n

n

ia

ia

iaV

)1(...

)1(1 221

0

+++

++

+=

= +

=n

k iaV k

k

1 )1(0)15(

Valeur actuelle V0 : valuation de la suite d'annuits une priode avant le versement de la 1re annuit.


68

La comparaison des formules (13) et (15) montre que

)1(0)16( iVVn

n +=

La formule (16) est financirement triviale: la valeur acquise et la valeur actuelle reprsentent l'valuation d'un mme capital, celui constitu par la suite d'annuits; Une valuation est faite la date n, et l'autre la date 0.


69

Cas particulier des annuits constantes: pour tout k, ak = a

iia

i

ii

an

k iaV

n

n

k

+=

++

+=

= +=

)1(1)1(

11)1(1

11 )1(1

0

ii naV )1(1

0)17( +

=


70

II.4) Emprunt indivisIl y a indivision du capital emprunt.

Paramtres:

"Montant du capital prt : K

"Taux d'intrt : i

"Le remboursement est assur par une suite de n (n entier > 1) annuits: a1, a2,,an.


71

II.4)a) Tableau d'amortissement

an=Mn+ iDn-1Mn = Dn-1iDn-1Dn-1=Dn-2-Mn-1n

an-1=Mn-1+ iDn-2Mn-1iDn-2Dn-2=Dn-3-Mn-2n-1

.

.

.

ap=Mp+ iDp-1MpiDp-1Dp-1=Dp-2-Mp-1p

.

.

.

a3=M3+ iD2M3iD2D2=D1-M23

a2=M2+ iD1M2iD1D1=D0-M12

a1=M1+ iD0M1iD0=iKD0=K1

Annuit verse en fin de priode

Amortissement de la priode

Intrts de la priode

Dette de dbut de priode

Priode


73

La somme de tous les amortissements est gale la dette initiale K=D0.

KDMn

kk ==

=0

1

)18(

L'amortissement Mn contenu dans la dernire chance anmet fin la dette, donc

1)19( = nn DM


74

D'aprs la structure du tableau d'amortissement, il est facile de voir que

MiMaanp pppp )1()11( 1)20( 1 +== ++

La formule (20) donne la diffrence entre deux annuits conscutives en fonction des amortissements et du taux d'intrt : elle est gale la diffrence entre les amortissements contenusdans ces annuits sous rserve de capitaliser au taux d'intrt l'amortissement de la priode infrieure.


75

On peut facilement dduire des formules (18), (19) & (20) que

= +

=n

k iaK k

k

1 )1()21(

Le montant du capital emprunt est gal la valeur actuelle des annuits, value au taux d'intrt de l'emprunt.

(21) est quivalente aprs multiplication par (1+i)n

=

+ =+n

ki knaki

nK1

)1()1()22(

La valeur acquise, la date du dernier rglement, par le capital prt, est gale la valeur acquise par les annuits , condition d'valuer tous les flux au taux d'intrt de l'emprunt.


76

La formule (22) se gnralise : on peut donner l'expression, de la dette Dp de l'emprunteur aprs paiement de la pime annuit, en fonction du taux d'intrt i, du capital emprunt, et des annuits.

La dette encore vivante aprs le paiement da pime annuit est gale la diffrence entre:

" la valeur acquise cette date, par la somme prte,

"et la valeur acquise, cette mme date, par les p annuits djverses.

1(23) (1 ) (1 )

pp p k

p kk

D K i a i =

= + +


77

D'aprs le principe de la formule (21), la dette Dp aprs paiement de la pime annuit, est gale la valeur actuelle, exprime la mme date, des annuits restantes payer.

1(24)

(1 )

nk

p k pk p

aDi = +

=+


78

II.4)b) Amortissement d'un emprunt par annuit constantepour tout k, ak = a d'o d'aprs (21)

Ou encore

1 (1 ) niK ai

+=

( 2 5 )1 (1 ) n

iKai

= +


79

(20) donne dans le cas d'annuits constantes:

MiMnp pp )1(0)11( 1 +== +

Autrement dit, les annuits sont en progression gomtrique de raison 1+i. Donc on peut crire :

11)1()26()1( MiMnp pp+==


80

Le premier amortissement M1 peut tre calcul en crivant que

On peut retrouver (27) en crivant

11

(1 ) 1nnk

k

iK M Mi=

+ = =

1

1

1 ( 1 )

( 2 7 )( 1 ) 1

n

n

i Ka i K Mi

i KMi

= = + +

=+


81

La dette amortie aprs le paiement de la pime annuit est

11

(1 ) 1 (1 ) 1(1 ) 1

(1 ) 1(1 ) 1

p pp

k nk

p

n

i iK iM Mi i i

iKi

=

+ + = =

+

+ =

+

Donc, le capital restant d, aprs paiement de la pime annuit est

1

(1 ) 1(1 ) 1

(1 ) (1 )(1 ) 1

pp

p k nk

n p

n

iD K M K Ki

i iKi

=

+ = =

+

+ +=

+

(1 ) (1 )(28)(1 ) 1

n p

p n

i iD Ki

+ +=

+


82

II.4)c) Amortissement constant d'un empruntpour tout k, Mk = M d'o (29)

KMn

=

D'aprs (20)

1( 1 1) (1 )p p Kp n a a M i M iM i n+ = = + = =

soit1(30) p p Ka a i n+ =

Les annuits sont en progression arithmtique de raison iK/n.

Notes de mathmatiques financiresPARTIE I: OPERATIONS FINANCIERES DE COURT TERMERemarques:Le taux de placement est souvent donn sur une priode annuelle.Si aucune indication nest donne, il sagira toujoI.1)b) Valeur acquise par un capitalI.1)c) Taux moyen d'une srie de placements effectus simultanment.I.1)d) Intrt prcompt et taux effectif de placementI.2 EscompteI.2)b) L'opration d'escompteI.2)c) L'escompte commercialI.2)d) Valeur actuelle commercialeI.2)e) Equivalence d'effets ou de capitaux et date d'quivalenceI.2)f) Problmes pratiques poss par la notion d'quivalenceI.2)g) Problmes de l'chance communeI.2)h) Cas particulier du problme de l'chance commune: chance moyenneI.2)i) Les problmes de crditPARTIE II: OPERATIONS FINANCIERES DE LONG TERMEII.1a) Formule fondamentaleII.1b) Formule fondamentale dans le cas d'un nombre de priodes non entierII.1c) Taux quivalents - Taux proportionnelsII.2 Escompte Intrts compossII.2)b) Effets quivalents, capitaux quivalentsII.2)c) Cas pratiques poss par la notion d'quivalence.II.2)d) Echance communeII.3) AnnuitsII.4) Emprunt indivisII.4)a) Tableau d'amortissementII.4)b) Amortissement d'un emprunt par annuit constanteII.4)c) Amortissement constant d'un emprunt

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