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Géographie physique et Quaternaire

La modélisation fractale et la variabilité spatiale desphénomènes naturelsDie fraktale Modellierung und räumliche Veränderlichkeit derNaturphänomeneAndré Robert et André G. Roy

Volume 47, numéro 1, 1993

URI : https://id.erudit.org/iderudit/032928arDOI : https://doi.org/10.7202/032928ar

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Éditeur(s)Les Presses de l'Université de Montréal

ISSN0705-7199 (imprimé)1492-143X (numérique)

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Citer cet articleRobert, A. & Roy, A. G. (1993). La modélisation fractale et la variabilité spatialedes phénomènes naturels. Géographie physique et Quaternaire, 47 (1), 3–19.https://doi.org/10.7202/032928ar

Résumé de l'articleLe modèle fractal a suscité beaucoup d'intérêt récemment en sciencesnaturelles. Cette théorie de Benoit Mandelbrot s'avère particulièrementpertinente en géographie, puisque le modèle fractal traite de la variabilitéspatiale des phénomènes naturels, de l'échelle d'observation de cesphénomènes et des propriétés géométriques résultantes. La première partie decette revue consiste en une description du modèle fractal et des méthodes quipeuvent être utilisées pour estimer la dimension de Hausdorff et de l'intérêtimmédiat des fractales en sciences naturelles. La deuxième partie traite, defaçon générale, de l'application des fractales à la variabilité spatiale de diversphénomènes (pédologie, réseaux hydrographiques, turbulence, etc.). Uneimbrication de différents niveaux de variation est généralement observée etun des intérêts du modèle provient de la variation de la dimensionfractionnaire avec l'étendue d'échelles considérée. La troisième partie estconsacrée à l'analyse des surfaces topographiques, de la microéchelle(quelques millimètres) à l'échelle des bassins-versants. Différents typesd'utilisation du modèle fractal pour l'analyse des surfaces topographiques sontprésentés. Plus particulièrement, il s'agit de l'utilisation des surfaces fractalescomme surface initiale pour l'étude des processus géomorphologiques, demême que l'utilisation de la dimension fractionnaire pour caractériser larugosité des surfaces topographiques (pour des études hydrauliques ouhydrologiques). Cette revue se termine en considérant brièvement lesconséquences en géographie physique et en géomorphologie des découvertesrécentes de la théorie du chaos. L'outil fractal est privilégié dans l'étude ducomportement des systèmes dynamiques.

Géographie physique et Quaternaire, 1993, vol. 47, n" 1, p. 3-19, 14 fig., 4 tabl.

LA MODÉLISATION FRACTALE ET LA VARIABILITÉ SPATIALE DES PHÉNOMÈNES NATURELS André ROBERT et André G. ROY1 Department of Geography, York University, 4700 Keele Street, North York, Ontario M3J 1P3 et Département de géographie, Université de Montréal, CP. 6128, succursale « A », Montréal, Québec H3C 3J7.

RÉSUMÉ Le modèle fractal a suscité beaucoup d'intérêt récemment en sciences naturelles. Cette théorie de Benoit Mandelbrot s'avère particulièrement perti­nente en géographie, puisque le modèle fractal traite de la variabilité spatiale des phénomènes naturels, de l'échelle d'obser­vation de ces phénomènes et des propriétés géométriques résultantes. La première par­tie de cette revue consiste en une description du modèle fractal et des méthodes qui peuvent être utilisées pour estimer la dimen­sion de Hausdorff et de l'intérêt immédiat des fractales en sciences naturelles. La deuxième partie traite, de façon générale, de l'application des fractales à la variabilité spa­tiale de divers phénomènes (pédologie, réseaux hydrographiques, turbulence, etc.). Une imbrication de différents niveaux de variation est généralement observée et un des intérêts du modèle provient de la varia­tion de la dimension fractionnaire avec l'étendue d'échelles considérée. La troi­sième partie est consacrée à l'analyse des surfaces topographiques, de la micro­échelle (quelques millimètres) à l'échelle des bassins-versants. Différents types d'utilisa­tion du modèle fractal pour l'analyse des sur­faces topographiques sont présentés. Plus particulièrement, il s'agit de l'utilisation des surfaces fractales comme surface initiale pour l'étude des processus géomorphologi­ques, de même que l'utilisation de la dimen­sion fractionnaire pour caractériser la rugo­sité des surfaces topographiques (pour des études hydrauliques ou hydrologiques). Cette revue se termine en considérant briè­vement les conséquences en géographie physique et en géomorphologie des décou­vertes récentes de la théorie du chaos. L'outil fractal est privilégié dans l'étude du comportement des systèmes dynamiques.

ABSTRACT Fractal ideas have generated a lot of interest recently in natural sciences. Mandelbrot's theory is particularly relevant to physical geographers since it deals in part with the spatial variability of natural phenom­ena, scales of observation, and resultant geometric properties. The first part of this review consists in a description of the fractal model and the methods that can be used to determine the fractal (Hausdorff) dimension, as well as a description of the immediate interests of fractals in natural sciences. The second part deals with the application of fractals to the spatial variability of different phenomena (e.g. pedology, drainage net­works, turbulence, etc.). Nested levels of variation are generally observed and one basic interest of fractals is related to the fact that the fractal dimension varies with the range of scales considered. A third section is concerned with the analysis of topographic surfaces, from the microscale (e.g. a few mil­limetres) to the scale of drainage basins. Different ways of using fractal concepts for the analysis of topographic surfaces are pre­sented. More specifically, these are the use of fractal surfaces as a null hypothesis and initial surface for the study of geomorphic processes, and the use of the fractal dimen­sion for the characterization of surface roughness (for hydraulic and hydrologie studies). Finally, this review considers briefly the significance of chaos theory in physical geography and geomorphology. Fractal con­cepts are clearly predominant in the study of dynamic systems behaviour.

ZUSAMMENFASSUNG Die fraktale Model-lierung und raumliche Veranderlichkeit der Naturphânomene. In den Naturwissen-schaften hat das Fraktalmodell jungst viel Interesse hervorgerufen. Dièse Théorie von Benoit Mandelbrot erweist sich als beson-ders sachdienlich in der Géographie, da das Fraktalmodell von der râumlichen Verander­lichkeit der Naturphânomene, dem Beo-bachtungsmafistab dieser Phânomene und den hieraus folgenden geometrischen Eigenschaften handelt. Der erste Teil dieser Ubersicht besteht aus einer Beschreibung des Fraktalmodells und der Methoden, die man benutzen kann, um die Hausdorff-Dimension zu bestimmen sowie dem unmit-telbaren Nutzen der Fraktaien in den Natur-wissenschaften. Der zweite Teil handelt in allgemeiner Weise von der Anwendung der Fraktaien auf die raumliche Veranderlichkeit verschiedener Phânomene (z.B. Bodenfor-schung, Gewàssernetze, Turbulenz u.s.w.). Im allgemeinen kann man eine Dachziegellagerung verschiedener Varia-tionsebenen beobachten, und einer der Vorteile des Modells besteht in der Variation der Bruchdimension entsprechend dem Umfang der berùcksichtigten MaBstâbe. Der dritte Teil ist der Analyse der topographis-chen Oberflàchen gewidmet, vom Mikro-maBstab (einige Millimeter) bis zum MaBstab der Abhangsbecken. Es werden verschiedene Verwendungstypen des Frak­talmodells fur die Analyse der topographis-chen Oberflàchen vorgestellt. Im besonde-ren geht es um die Verwendung der Fraktal-oberflàchen als Ausgangsoberflàche fur das Studium der geomorphologischen Prozesse, wie auch die Verwendung der Fraktal-dimension, um die Rauhheit der topograph-ischen Oberflàchen zu bestimmen ( fur hydraulische Oder hydrologische Studien). Diese Ubersicht betrachtet schlieBlich kurz die Folgen der neuen Entdeckungen der Chaos-Theorie fur die physische Géo­graphie und die Géomorphologie.

Manuscrit reçu le 8 janvier 1992; manuscrit révisé accepté le 2 novembre 1992

4 A. ROBERT et A. G. ROY

INTRODUCTION

Durant la dernière décennie, la théorie des fractales a pro­voqué un vif intérêt et suscité de très nombreux travaux dans diverses disciplines scientifiques. Les articles de vulgarisa­tion, d'intérêt plus général, où l'accent est davantage mis sur la fascination visuelle et esthétique ont consacré la popularité des fractales (voir, par exemple, Batty, 1985; Peitgen et Richter, 1986; Peitgen et Saupe, 1988). Bien qu'elle ait des antécédents dans les travaux des mathématiciens du début du siècle, la théorie des fractales de Mandelbrot a été élaborée de façon formelle au cours des années 1960 et 1970. Elle a connu une diffusion fulgurante à la suite de la parution de trois ouvrages (Mandelbrot, 1975a, 1977, 1982), dont le dernier, The Fractal Geometry of Nature, consacre en quelque sorte deux décennies de travaux rédigés sur les frac­tales et leur importance pour décrire et expliquer les proprié­tés géométriques des phénomènes naturels.

Les fractales rendent possible la description mathéma­tique de l'irrégularité et de la complexité des formes natu­relles. La géométrie euclidienne classique repose sur des formes géométriques parfaites (le cercle, le carré, le rec­tangle, etc.) mais en même temps abstraites par rapport aux formes réelles que traitent les sciences de la nature. Par exemple, peut-on dire comme Robert Pirsig dans son fameux roman Traité du zen et de l'entretien de la motocyclette que le paysage du Dakota est aussi plat que la géométrie d'Eu-clide? Ou encore peut-on décrire un sapin par un simple cône ou un terrain fraîchement labouré par des ondulations régu­lières? Comment décrit-on mathématiquement un nuage ou un jet turbulent? La géométrie classique nous force à rame­ner les objets naturels à des formes simples à manipuler mathématiquement. En l'absence d'outils mieux adaptés, ce carcan rigide a dominé notre approche de la nature depuis l'Antiquité, sans toutefois en permettre une description adé­quate. L'attrait des fractales est de fournir un instrument mathématique capable de saisir la complexité géométrique des objets et d'ainsi briser les limites imposées par la géomé­trie euclidienne.

La géographie physique constitue l'un des domaines les plus appropriés à l'application de la théorie de Benoit Mandelbrot. En effet, cette théorie traite essentiellement de l'échelle d'observation et de ses effets sur les propriétés métriques des phénomènes. Elle permet de modéliser la variabilité spatiale et de saisir la complexité des phénomènes naturels. Burrough (1984) souligne l'intérêt que présentent les fractales en géographie et dans les sciences de la nature en général. Il a démontré que les fractales peuvent constituer un outil efficace, nouveau, et stimulant pour l'étude des phé­nomènes géophysiques tout en illustrant clairement les limites du modèle. Certaines différences fondamentales apparaissent cependant entre les données réelles et les fonc­tions stochastiques issues de la théorie des fractales (Burrough, 1983a, b). Depuis, de très nombreuses études ont été publiées afin de clarifier et d'étayer les idées préconisées par Burrough (1981, 1984, 1985). Plus récemment, une revue du sujet préparée par Goodchiid et Mark (1987) a iden­tifié différents aspects de la géographie pour lesquels les fractales constituent un changement important dans la pen­

sée. L'article de Goodchiid et Mark (1987) met l'accent sur la notion d'autosimilarité statistique et les modèles d'organisa­tion spatiale, limitant ainsi l'intérêt des fractales à des champs géographiques spécifiques et peut-être trop restreints. Nous croyons cependant que la théorie des fractales est essen­tielle à l'étude de la géographie physique (et des sciences naturelles en général). Ces aspects ne sont pas traités à fond par Goodchiid et Mark (1987). Finalement, le développement rapide de la théorie et de ses applications en sciences de la Terre (voir Culling, 1987a, b, 1988a, b, 1989; Roy et al., 1987; Robert, 1988a; Elliot, 1989; Jones et al., 1989; Turcotte, 1989) illustrent clairement l'importance accrue de la modéli­sation fractale en géographie physique. Cette éclosion de l'utilisation des fractales en géographie physique exige que l'on fasse le point sur le sujet.

L'article se divise en quatre parties. La première consiste en une brève description du modèle fractal et de ses proprié­tés fondamentales. Elle traite de l'estimation de la dimension fractale selon diverses méthodes et dévoile l'intérêt immédiat des fractales pour l'étude des phénomènes géophysiques. La deuxième partie porte, surtout, sur la variabilité spatiale des phénomènes naturels. L'analyse fractale de divers phé­nomènes (pédologiques, karstiques, hydrauliques, hydrolo­giques) met en évidence leur variabilité en fonction de l'échelle. Dans ce contexte, l'imbrication de plusieurs échelles de variation est importante puisqu'elle pourrait être révélatrice des processus sous-jacents aux phénomènes. Les objets et processus naturels apparaissent souvent comme ayant des propriétés statistiques dites « multifracta-les». En troisième lieu, le champ d'analyse de la géographie physique auquel les fractales ont le plus contribué consiste probablement en l'étude des surfaces topographiques. La modélisation fractale à toutes les échelles des paysages, et particulièrement de la topographie, y est aussi décrite et expliquée. Deux approches distinctes sur l'utilisation des fractales dans l'étude des surfaces naturelles sont présen­tées: celle de Goodchiid et Mark (1987) qui préconisent le recours aux surfaces fractales comme hypothèse nulle ou surface initiale pour l'étude des processus géomorphologi­ques, et celle proposée par Culling (1986b, 1987a, 1988, 1989) sur les surfaces fractales comme résultantes de la théorie de la diffusion de l'évolution des paysages. Finalement, une brève présentation des liens entre la théorie du chaos, les fractales et la géographie physique clôt l'article.

DESCRIPTION DU MODÈLE FRACTAL

Avant de considérer certaines propriétés mathématiques du modèle fractal, illustrons à l'aide d'un exemple simple en quoi les fractales s'avèrent d'un intérêt particulier en géomor­phologie. La figure 1 représente un profil topographique hypothétique obtenu à trois échelles différentes. On note immédiatement qu'il est impossible de déterminer l'échelle d'observation du profil à partir du degré d'irrégularité de la surface. L'allure générale du profil demeure la même en dépit du fait que l'échelle est considérablement modifiée. Cette propriété est appelée autosimilarité ou autoaffinité (ces con­cepts seront définis de façon plus détaillée plus loin dans cette section). De plus, un indice mathématique peut être uti­lisé pour décrire les propriétés géométriques de ce profil,

O i i s l a m u ' i a A7U\ 1QQT

LA MODELISATION FRACTALE 5

D = 1

FIGURE 1. Illustration, à l'aide d'un exemple géomorphologique, des concepts de base de la géométrie fractale (d'après Gravel, 1988).

Illustration of the basic concepts of fractal geometry using a geomor-phological example (after Gravel. 1988).

c'est-à-dire principalement son degré d'irrégularité constant observé à toutes les échelles spatiales et les liens statis­tiques existant entre les mesures successives (qui dans ce cas-ci sont des mesures d'altitudes). Cet indice consiste en la dimension fractale ou fractionnaire du profil et sera également défini en détail dans les sections qui suivent. L'autosimilarité et la dimension fractionnaire peuvent s'appli­quer à divers types de courbes, soit des courbes fermées dans le plan (e.g. courbes de niveau, tracé des littoraux), des séries statistiques unidimensionnelles représentant des phé­nomènes naturels (séries climatologiques, pédologiques, etc.) et des surfaces topographiques naturelles.

Certains concepts de base reliés au modèle fractal peuvent être décrits à l'aide de l'exemple illustré à la figure 2, où r représente un rapport de similarité et N le nombre de par­ties déduites de l'ensemble. La figure 2 montre aussi les rap­ports entre les notions de dimension euclidienne et d'autosi-milarité d'une part, et les valeurs de N et de r (rapport de similarité) d'autre part. On peut généraliser ce concept pour

H 1 1

D = 2

N = 3

r = 1/3 = 1/N

Nr1 =1

N = 9

r = 1/3 = 1/N 1 / 2

Nr2 = 1

D = 3

y s s / ^ /

*s*^>

y N = 27

r = 1 / 3 = 1/N N r 3 = 1

1/3

GÉNÉRALISATION

N r D = 1 ou N = r D

log N ET D =

l og (1 / r )

FIGURE 2. Interprétation de la notion de dimension et de l'autosi­milarité (d'après Voss, 1988).

Interpretation of the concept of dimension and autosimilahty (after Voss, 1988).

définir la dimension fractionnaire (D) d'une entité géomé­trique à partir de N et de r. La courbe de Koch est maintenant l'exemple classique de l'application de ce concept (fig. 3). Cette courbe est un exemple idéal d'un objet fractal. Chaque portion de la courbe de Koch représente une image réduite de l'ensemble, d'où une similarité géométrique à toutes les échelles d'observation. Cette propriété d'un objet représente l'autosimilarité stricte, c'est-à-dire l'imbrication successive de formes géométriques identiques, sauf en ce qui a trait à leur taille. En conséquence, on ne peut déterminer l'échelle de l'objet à partir de son allure géométrique. De plus, cette ligne (fig. 3) a une longueur indéterminée puisque cette dernière augmente avec l'augmentation de chaque degré de résolu­tion par un facteur de 4/3. Dans cet exemple, la valeur de 1,2618 représente la dimension fractionnaire ou dimension de Hausdorff (D) du tracé. Un exemple additionnel est pré­senté à la figure 3, où un carré est utilisé pour produire l'irré­gularité (dans ce cas, D = 1,465). L'idée de dimension frac­tionnaire revient à Hausdorff (1919) et Besicovitch (1929) et la théorie mathématique sur les mesures et dimensions de Hausdorff se trouve dans Rogers (1970), Adler (1981), Falconer (1985), ainsi que Culling (1986b).

Une des propriétés bien connues des formes fractales consiste en la relation entre la longueur d'une ligne (L) et

Géographie physique el Quaternaire, 47(1). 1993

6 A. ROBERT et A. G. ROY

(a) D = log 4 / l o g 3 = 1,2618 FIGURE 3. Courbe de Koch: exemple classique de courbe frac-taie (voir Burrough, 1983a).

Example of the ideal fractal curve (Koch); see Burrough (1983a).

(b) D = log 5 / l o g 3 = 1,4650

(i) METHODE DE RICHARDSON

» »

(ii) METHODE DE LA GRILLE

( / N

Ï S

C1

O I/

N: Nombre d'unités r utilisées le long du tracé

N a r -D

L (Longueur du tracé) = N . r

L oc M-D

N(r) a r D

N(r): Nombre de carrés touchés par le tracé

FIGURE 4. Méthodes empiriques d'estimation de la dimension fractionnaire (d'après Voss, 1988).

Empirical methods of estimating fractal dimensions (after Voss, 1988).

l'unité de mesure utilisée (r). Par exemple, pour une ligne fractale,

kr1 (1)

où k est une constante (Richardson, 1961; Mandelbrot, 1967), ce qui implique l'augmentation de la longueur de la ligne mesurée avec la diminution de l'unité de mesure utilisée (fig. 4). L'équation (1) s'applique évidemment aux courbes fractales illustrées à la figure 3, mais également à des courbes représentant divers phénomènes naturels tels qu'il­lustrés par Mandelbrot (1967) pour le tracé des lignes de rivage. La valeur de D estimée à partir de l'équation (1 ) repré­sente donc la dimension fractionnaire du tracé considéré. Plus la valeur de D est élevée, plus le tracé considéré est irré­gulier et plus la longueur estimée augmente rapidement avec une diminution du degré de résolution (r). Cette méthode a été employée, par exemple, pour estimer la dimension frac­tale des contours de particules sédimentaires (Orford et Whalley, 1983; Whalley et Orford, 1982, 1989; Hayward et

al., 1989), ainsi que pour les courbes de niveau par Goodchild (1982), Roy et al. (1987) et Culling et Datko (1987). Il s'agit d'une méthode simple à appliquer pour esti­mer les dimensions fractionnaires de courbes fermées dans un plan ou de segments de ces courbes (Mandelbrot, 1975b; Burrough, 1984; Mark, 1984; Snow, 1989). Un exemple d'ap­plication est présenté à la figure 5. Le tracé considéré est ici celui d'un segment de la rivière Don (Angleterre) tel que relevé originellement sur un feuillet topographique à l'échelle de 1 /25 000. La longueur estimée du tracé de la rivière dimi­nue dans ce cas-ci de 6,3 à 5 km lorsque l'unité de mesure (r) utilisée pour estimer cette longueur augmente de 50 à approximativement 300 m. En utilisant l'équation (1), la valeur estimée de la dimension fractionnaire pour cette partie du tracé de la rivière est de 1,16. Une méthode similaire à la relation de Richardson (équation 1) est également présentée à la figure 4. Le principe consiste ici à superposer une grille régulière sur la ligne à l'étude et à compter le nombre de car­rés intersectés par la ligne à l'étude. Ces méthodes sont également présentées et expliquées en détail par Longley et Batty (1989a, b).

Le concept des fractales peut être étendu aux surfaces et aux volumes. Une surface fractale autosimilaire et isotropi­que présente une dimension comprise entre 2 et 3. Une courbe de niveau dans le plan horizontal et le profil d'une sec­tion verticale d'une surface fractale sont autosimilaires et ont une dimension fractionnaire inférieure de 1 à celle de la sur­face. On trouve de nombreuses simulations de surfaces frac­tales dans la littérature (voir Mandelbrot, 1975b, 1982; Goodchild, 1980; Adler, 1981; Culling, 1986a; Goodchild et Mark, 1987). La dimension dans le plan horizontal peut être estimée à partir du diagramme de Richardson (équation 1 ) en utilisant la courbe de niveau topographique associée à une certaine altitude (Culling, 1988a), alors que la dimension d'une section verticale peut être estimée à partir de la varia­tion de l'altitude le long d'un transect et de la théorie des pro­cessus browniens fractionnaires (Mandelbrot, 1965, 1975b; Mandelbrot et Van Ness, 1968).

En termes plus généraux, les propriétés fractales d'une série unidimensionnelle de valeurs sont généralement décrites et estimées par le semi-variogramme. Par exemple, Burrough (1983a, b) et Culling (1986a) ont employé cette méthode pour l'analyse fractale des séries spatiales des pro-

Géographie physique et Quaternaire, 47(1), 1993

LA MODELISATION FRACTALE 7

FIGURE 5. Application de la méthode de Richardson à un tra­cé de rivière (Don River, Royaume-Uni)

Application of Richardson's method for the estimation of the length of a river segment (Don River, United Kingdom). o . 8 0 -

6 .76 -(D

E S .72 H

,68

1 km

1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3

Unité de mesure, m (log1Q)

2,4 ~~1 1 2,5 2,6

priétés pédologiques, ainsi que Mark et Aronson (1983), Ahnert (1984), Culling (1986b), et Culling et Datko (1987) pour les propriétés fractales des surfaces naturelles. La marche aléatoire (ou mouvement brownien) est souvent uti­lisée pour illustrer comment les propriétés fractales d'une série de points peuvent être estimées à partir du semi-variogramme. La marche aléatoire, désignée ici BH(t), est un exemple de processus stochastique non stationnaire et auto­similaire. De façon plus spécifique, BH(t) a la propriété que, pour chaque e>0, la séquence des valeurs de BH (t + e) -BH(t) soit une séquence de valeurs aléatoires et indépen­dantes, distribuées normalement, avec une moyenne de zéro et une variance égale à e. Les processus qui possèdent cette propriété (augmentation de la variance avec une augmenta­tion de la distance entre les observations) sont définis comme étant non stationnaires. Le mouvement brownien est autosi­milaire en ce sens que pour toute valeur de u > 0 et toute valeur de s, B H (t + s) - B „ (t) a exactement la même distribu­tion de probabilité que [BH(t + su) - B„(t)] / uH (Mandelbrot et Van Ness, 1968), où H est un paramètre d'échelle qui est égal à 0,5. Pour être plus précis, le terme autoaffinité devrait être ici employé plutôt qu'autosimilarité (Voss, 1988). L'autoaffinité diffère de l'autosimilarité en ce sens que les coordonnées des axes horizontal et vertical diffèrent et que ces deux axes ne sont pas interchangeables. L'autosimilarité s'applique, par exemple, aux courbes de niveau et au tracé d'une rivière ou d'un littoral (fig. 3, 4 et 5), alors que l'autoaf­finité se rapporte aux propriétés statistiques des séries unidi-mensionnelles. Les profils topographiques possédant les propriétés fractales sont ainsi caractérisés par l'autoaffinité.

Un corollaire important de l'autoaffinité en ce qui a trait au mouvement brownien (ou marche aléatoire) est que

E[B„(t + S) + BH(t)]2 = C „ S 2 H (2)

où E représente la valeur attendue, CH est une constante égale à 1 et H = 0,5 (Mandelbrot et Wallis, 1969b). En variant le paramètre H de l'équation (2) de la valeur standard de 0,5 à n'importe quelle valeur comprise entre 0 et 1, on obtient selon Mandelbrot toute une famille de processus stochas­tiques appelés mouvements browniens fractionnaires (fBm). Ces processus couvrent une étendue de variations spatiales

(ou temporelles) allant des courbes très lisses aux courbes très irrégulières. Le processus fBm est défini pour 0 < H < 1 et l'exposant de l'équation (2) peut donc varier entre 0 et 2. Ces mouvements browniens fractionnaires (fBm) possèdent également la propriété d'autoaffinité, l'autoaffinité ayant le même sens que celui décrit précédemment pour la marche aléatoire (Mandelbrot, 1965, 1985; Mandelbrot et Van Ness, 1968).

De plus, la séquence des valeurs de z„ qui représentent les différences entre les valeurs successives de BH(t) pour le mouvement brownien fractionnaire

Z1= B„(t+1) - BH(t) (3)

où t est un entier, est appelée bruit gaussien fractionnaire (fGn). À l'opposé de la marche aléatoire, les valeurs succes­sives de z, pour le mouvement brownien fractionnaire ne sont pas indépendantes les unes des autres et l'autocorrélation à une distance h nous est donnée par

P (h) = 0.5[(h + 1)2H - 2h2H + (h-1)2M] (4)

(pour h2*1 et 0 < H < 1; Mandelbrot et Wallis 1969b). Différentes séries de fGn possédant les propriétés statis­tiques définies par les équations 3 et 4 sont illustrées à la figure 6. À partir de l'équation (4), on remarque que pour H>0,5, un processus fGn a une autocorrélation positive, indiquant une persistance des valeurs positives ou négatives de z,. Pour H<0,5, l'autocorrélation est négative, indiquant que des valeurs positives et négatives de z, tendent à alter­ner. Lorsque H=0,5, l'autocorrélation est nulle (tel que défini précédemment pour le mouvement brownien) et il s'agit d'un bruit blanc. En résumé, le mouvement brownien standard est caractérisé par une valeur de H égale à 0,5 ce qui implique une séquence de valeurs successives de B„(t+I) - BH(t) aléatoires et indépendantes. À l'opposé, le mouvement brow­nien fractionnaire (fBm) est caractérisé par un exposant H variant entre 0 et 1 ; les différences entre les valeurs succes­sives des séries correspondant au mouvement brownien fractionnaire sont autocorrélées et cette corrélation dépend de la distance h séparant les observations et du paramètre H (équation 4).

8 A. ROBERT et A. G. ROY

2 -

1 -

0 -

-1 -

• 2 -

2 -1 -

0 --1 -2 -

H = 0,9; D - 1,1

H = 0,7; D = 1,3

H = 0,5; D = 1,5

H = 0.3; D = 1.7

H = 0,1; D = 1,9

0 50 100 i I i

150 1 I

200

FIGURE 6. Simulations de différents processus fGn et dimensions qui leur sont associées (valeurs centrées-réduites; d'après Robert, 1988a).

Simulations of different fGn processes and associated fractal dimen­sions (zero mean and unit variance to facilitate comparisons; after Robert, 1988a).

Orey (1970) a montré que Ia dimension fractionnaire des séries fractales est égale à 2-H. En supposant que l'on traite de surfaces fractales autoaffines et isotropiques, le semi-variogramme représente donc un moyen simple d'estimer la dimension fractionnaire d'une série spatiale empirique Z(x.) puisque

2 y (h) = CH h2H (5)

et que

N-h

2 7 (h) - 1/(N-h) S [Z(X1+ h) - Z(X1)]2 (6)

i = 1

(où N-h représente le nombre de paires d'observations sépa­rées par la distance h). La fonction 7(h) est appelée semi-variogramme et sa valeur estimée (7 (h)) procure l'informa­tion de base nécessaire à la description et l'explication de la variation spatiale d'un phénomène naturel (Oliver et Webster,

/ /

/ /

log h

FIGURE 7. Illustration schématique des semi-variogrammes associés à différents processus fractals (voir Burrough, 1983a).

Schematic illustration of semi-variograms corresponding to fractal processes of different dimensions (see Burrough, 1983a).

1986; McBratney et Webster, 1986). Par conséquent, la semi-variance à divers pas d'échantillonnage h est estimée à partir de l'équation (6) et le paramètre H (et D puisque D = 2 - H) est ensuite estimé selon l'équation (5) (à partir d'une régression linéaire entre log 7 (h) et log h). Des semi-variogrammes correspondant à des processus fractals de dimensions variées sont illustrés à la figure 7. Les processus caractérisés par une forte valeur de D présentent donc un faible taux d'augmentation de la semi-variance avec la dis­tance (fig. 7) et les fréquences élevées dominent les fluctua­tions. À l'opposé, les processus caractérisés par une faible valeur de D présentent un semi-variogramme avec une forte pente, où les fréquences d'oscillations plus faibles dominent la série.

Les deux méthodes décrites en détail ci-dessus (c'est-à-dire le diagramme de Richardson et le semi-variogramme) constituent sans aucun doute les méthodes les plus employées pour estimer la dimension fractale d'un phéno­mène naturel. Il en existe toutefois d'autres décrites par Burrough (1984) (par méthodes d'estimation basées sur la relation périmètre-superficie, le spectrum de puissance et l'entropie) et utilisées, notamment, par Lovejoy (1982), Lovejoy et Mandelbrot (1985), Culling (1987), Brown et Scholz (1985) ainsi que Fox (1989). Un des problèmes méthodologiques susceptibles de se poser est la variabilité des résultats obtenus lorsque la dimension fractionnaire d'un phénomène est estimée selon différentes méthodes (voir Bradbury et Reicheit (1983) et Bradbury et al. (1984)). Les

LA MODELISATION FRACTALE 9

comparaisons d'un certain nombre de méthodes présentées par Roy et al. (1987), ainsi que celles de Culling et Datko (1987) laissent croire qu'il n'y a pas de variation systématique de la dimension fractionnaire estimée en fonction de la méthode utilisée. À titre d'exemple, les résultats présentés au tableau I sur l'application de différentes méthodes à un modèle numérique d'altitudes (MNA) pour la région fronta­lière entre le Québec et le New Hampshire montrent que les mesures individuelles peuvent varier considérablement, mais que les dimensions moyennes estimées selon les diverses méthodes ne diffèrent pas de façon significative. Toutefois, l'étude récente et détaillée de Klinkenberg et Goodchild (1992) laisse croire que la méthode de Richardson (équation 1) sous-estime les dimensions fractionnaires des surfaces topographiques et n'est pas suffisamment robuste pour permettre de distinguer clairement des surfaces possé­dant des degrés d'irrégularité variés.

VARIABILITÉ DES PHÉNOMÈNES NATURELS

Les processus browniens fractionnaires ont été originelle­ment élaborés comme modèle statistique du phénomène de Hurst (Hurst, 1951) que l'on observe dans les séries météo­rologiques et hydrologiques (Mandelbrot, 1965; Mandelbrot et Wallis, 1968, 1969a, b). L'effet de Hurst consiste en une forme de persistance, c'est-à-dire une autocorrélation posi­tive qui se manifeste parfois au-delà de la longueur des séries disponibles. L'application des modèles browniens fraction­naires aux séries temporelles hydrologiques a aussi été dis­cutée de façon détaillée par Klemes (1974), McLeod et Hipel (1978) et Kirkby (1987). Un comportement statistique corres­pondant au modèle fractal est parfois défini comme étant un phénomène de Hurst (e.g. Culling, 1986b).

Il existe de nombreux domaines des sciences naturelles pertinents à la géographie physique et pour lesquels les frac-taies sont d'un intérêt certain. Parmi ceux-ci, les propriétés fractales et la structure de la variabilité spatiale des phéno­mènes pédologiques ont particulièrement attiré l'attention (Burrough, 1983a, b, c; Armstrong, 1986; Culling, 1986a). Dans une étude détaillée et innovatrice, Burrough (1983a, b) a tiré des conclusions importantes sur la structure d'autocor­rélation spatiale des propriétés pédologiques et sur l'utilité des fonctions fractales pour modéliser la variation spatiale de ces propriétés. Il y est clairement démontré que les données pédologiques sont fractales, en ce sens qu'un changement de l'échelle d'observation {Le, pour un pas d'échantillonnage plus petit) introduit une variabilité ou une complexité addition­nelle. Culling (1986a) a particulièrement insisté sur la struc­ture fractale de la variation fine ou détaillée du pH. La dimen­sion de Hausdorff a également été présentée par Burrough comme une mesure de l'importance relative des variations pédologiques de courtes et de longues étendues. À ce pro­pos, tous les résultats des études mentionnées précédem­ment dans le domaine pédologique montrent que les varia­tions de courtes étendues sont dominantes (D étant généralement supérieur à 1,5), et les différences positives et négatives entre les observations successives tendent à alter­ner (Culling, 1986a). Il y a antipersistance du comportement de la variable mesurée.

TABLEAU I

Dimensions fractionnaires estimées selon différentes méthodes pour le modèle numérique d'altitudes (MNA) de la région de Moose Bog,

New Hampshire (d'après Gravel, 1988 et Roy et al., 7987;.

Variogramme de surface

Variogrammes-profils E-O n = 9

Variogrammes-profils N-S n = 7

Courbes de niveau (extraites) n = 47

Courbes de niveau numérisées (à partir du feuillet 1 /24 000; N = 13)

D

2,16

1,13

1,17

1,09

1,17

Dmln

—

1,06

1,09

1,01

1,06

Dm„

—

1,19

1,28

1,28

1,33

n est le nombre de profils ou courbes de niveau utilisés

Malgré ces résultats, il existe toutefois des différences fon­damentales entre le modèle fractal type et la variabilité spa­tiale des données pédologiques. Alors que le modèle fractal indique une augmentation de la semi-variance avec une aug­mentation de la distance entre les points d'échantillonnage (voir fig. 7), les données pédologiques sont souvent caracté­risées par des semi-variogrammes où une valeur maximale de y (h) est observée à une certaine distance h. De plus, le semi-variogramme des données pédologiques présente généralement des zones assez restreintes et distinctes où le modèle fractal peut s'appliquer. Ces bandes fractales sont parfois séparées par des zones de transition plus ou moins marquées. Il s'agit en fait d'imbrication de différents niveaux de variation représentant des processus pédologiques super­posés et indépendants, chacun de ces processus agissant à des échelles caractéristiques (Burrough, 1987). Ces proprié­tés fréquemment rencontrées en milieu naturel (ainsi que la forme générale du semi-variogramme correspondant) sont illustrées à la figure 8. La valeur de c (fig. 8) représente la semi-variance maximale observée (ce qui est également la variance de la série) et hm„ constitue l'étendue du semi-variogramme, c'est-à-dire la distance maximale à laquelle le modèle fractal s'applique. Un exemple tiré de la littérature est également présenté à la figure 9. Cet exemple provient d'une étude détaillée de la microtopographie du lit des cours d'eau à fond de graviers. Dans cet exemple, la semi-variance maxi­male observée est de l'ordre de 8 cm2 et l'étendue du proces­sus (h™*), soit la distance maximale à laquelle le modèle frac­tal s'applique est approximativement 75 cm (Robert, 1988b). Cet exemple sur la rugosité de surface dans les cours d'eau naturels sera également repris en détail dans la prochaine section. L'imbrication de différents niveaux de variation et la présence de bandes fractales étroites semblent être davan­tage la norme que l'exception en modélisation fractale des phénomènes naturels (voir Orford et Whailey, 1983; Mark et Aronson, 1984; Culling et Datko, 1987; Robert, 1988b).

Les fortes valeurs de dimension fractionnaire généra­lement observées pour les données pédologiques ont des conséquences pratiques, surtout en ce qui concerne

Géographie physique et Quaternaire, 47(1), 1993

10 A. ROBERT et A. G. ROY

C

v — i

h ' 'max (axes logar i thmiques)

FIGURE 8. Représentation schématique du semi-variogramme caractéristique associé à divers phénomènes naturels.

Schematic illustration of characteristic semi-variograms correspond­ing to various natural phenomena.

l'échantillonnage. Des valeurs élevées de dimension fraction­naire impliquent une grande variabilité spatiale ainsi qu'un degré de complexité constant, malgré une diminution du degré de résolution. Par conséquent, la mesure sur le terrain de variables à des échelles préalablement déterminées, l'uti­lisation de valeurs moyennes et l'emploi de différentes tech­niques d'interpolation doivent être remises en question par suite de l'analyse fractale des données pédologiques. De fait, dans une surface extrêmement complexe (D de l'ordre de 2,9), l'interpolation devient virtuellement impossible tant elle est désorganisée et antipersistante. Pour Culling (1986a, 1988b), le modèle fractal propose une vision alternative du monde réel, vision fondée sur une conception plus fine de la réalité et sur la notion d'irrégularité. Culling (1986a) avance également la notion selon laquelle la plupart des processus en géomorphologie prennent place à l'intérieur de bandes fractales étroites et de dimension fractionnaire généralement élevée.

L'analyse fractale de la variabilité des phénomènes natu­rels s'étend également aux propriétés géométriques des réseaux hydrographiques et aux phénomènes de turbulence. L'analyse fractale des réseaux de drainage a connu récem­ment un essor considérable (Gupta et Waymire, 1989; La Barbera et Rosso, 1989; Tarboton et al., 1989; Thornes, 1990; Rosso ef al., 1991; Stark, 1991; Montgomery et Dietrich, 1992). Par exemple, La Barbera et Rosso (1989) montrent que les propriétés géométriques des réseaux de drainage des bassins-versants sont adéquatement représen­tées par le modèle fractal dont la dimension varie entre 1,5 et 2 (valeur moyenne de 1,7). Ces dimensions fractionnaires sont déterminées à partir des rapports de bifurcation (Le. rap­port du nombre de segments d'un certain ordre divisé par le nombre de segments de l'ordre supérieur) et du rapport des longueurs des segments d'ordres successifs. Ces propriétés

ie -,

1 Z 1.0-

f

0.1 1 1 1 1 0,1 1.0 10 100 1000

Dislance (cm)

FIGURE 9. Exemple d'un semi-variogramme caractéristique de la rugosité de surface dans les rivières à lits graveleux (d'après Robert, 1988b).

Example of the characteristic semi-variogram used to model the sur­face roughness properties in gravel-bed rivers (after Robert, 1988b).

renvoient directement aux travaux antérieurs de Horion (1945) et Strahler (1957) sur les lois de la composition des réseaux hydrographiques. Un autre aspect relié à la structure fractale des bassins hydrographiques concerne la longueur estimée des cours d'eau et l'interprétation fractale de la rela­tion entre la longueur du cours d'eau principal (L) et la super­ficie de drainage (A) (Mesa et Gupta, 1987; Hjelfelt, 1988; La Barbera et Rosso, 1989; Robert et Roy, 1990). Il existe pré­sentement deux interprétations possibles de l'exposant dans la relation de Hack (1957) où

L a Ab (7)

Plus précisément, l'interprétation allométrique de la relation {i.e., changement de forme avec l'augmentation de la taille; Church et Mark, 1980) est remise en question. Mandelbrot (1982) avance que les longueurs des cours d'eau sont carac­térisées par une dimension fractionnaire puisque la longueur estimée est fonction de l'échelle d'observation (voir fig. 5). Plus précisément, il montre que la valeur de b = 0,6 (équation 7) obtenue par Hack (1957) résulte du fait que la dimension fractionnaire des cours d'eau principaux est égale à 1,2 et que l'exposant b de la relation entre la longueur des cours d'eau principaux et la superficie de drainage est égal à D/2. Les travaux de Robert et Roy (1990) montrent toutefois que l'interprétation de la valeur de b varie en fonction de l'échelle de la carte utilisée et que l'interprétation fractale de b (équation 7) est valable, tout au moins à certaines échelles.

Finalement, un autre domaine particulièrement négligé en géographie physique a trait à la modélisation fractale de la turbulence. Par suite des travaux originaux de Mandelbrot (1974, 1975c) sur les phénomènes de turbulence, la modé­lisation fractale de ces phénomènes a suscité relativement peu d'intérêt jusqu'aux travaux récents de Sreenivasan (1986,1991 ), Sreenivasan et Meneveau (1986), Sreenivasan ef al. (1989) et Ait-Kheddache et Rajala (1987). Un exemple de leurs travaux est illustré à la figure 10 où un « jet » est intro­duit dans une écoulement turbulent. Le contour de ce jet est irrégulier et se caractérise par une dimension fractionnaire de 1,36 (celle-ci étant obtenue par la méthode de la grille et du diagramme présenté au bas de la fig. 10). Une des princi­pales conclusions de ces travaux est que plusieurs aspects des écoulements turbulents, caractérisés par une superposi-

LA MODELISATION FRACTALE 11

0 1 2 3

"og10 r

tion de mouvements à différentes longueurs d'ondes, ont un comportement fractal et que leurs dimensions fractionnaires peuvent être mesurées. Sreenivasan et Meneveau (1986) mentionnent également que la turbulence représente peut-être une collection d'un certain nombre d'entités fractales et que cette notion peut être conciliée avec la vision moderne de la turbulence comme un ensemble de mouvements semi-organisés (Sreenivasan et Meneveau, 1986, p. 382). L'autosimilarité possible de certaines structures turbulentes et la signature statistique (et possiblement fractale) des fluc­tuations de vélocité dans le champ tridimensionnel pourraient certainement se révéler des aspects à explorer davantage. L'interprétation des processus à partir de la signature fractale et de la valeur de D estimée n'est toutefois pas évidente puisque la signature fractale ne traduit pas nécessairement un processus particulier. Ce point sera abordé plus en détail en discussion.

ANALYSE DES SURFACES TOPOGRAPHIQUES

En géographie physique, l'utilisation la plus intensive de la théorie des fractales consiste en l'analyse des surfaces topo­graphiques, de la micro-échelle (sur quelques centimètres; voir Armstrong, 1986; Whalley et Orford, 1989) à l'échelle de la planète (Mandelbrot, 1982). Ces études procurent une

FIGURE 10. Contour d'un «jet» dans un écoulement turbulent et diagramme de Richardson correspondant (d'après Sreenivasan, 1991).

Contour of a jet in a turbulent flow and corresponding Richardson's plot (after Sreenivasan, 1991).

vision détaillée et relativement nouvelle des surfaces topo­graphiques, tant du point de vue de la modélisation descrip­tive (Pentland, 1984) que de l'intégration théorique des pro­cessus ou mécanismes d'évolution des paysages.

Des propriétés d'ensemble du paysage (en termes de signature statistique et d'autocorrélation des différences d'al­titudes ou pentes locales) se dégagent très bien des nom­breuses études des surfaces topographiques. En premier lieu, les études détaillées de Mark et Aronson (1984), Culling et Datko (1987), Roy et al. (1987), et Culling (1988a) montrent que les surfaces topographiques se caractérisent par deux bandes fractales. Pour des distances relativement faibles (intervalle d'échantillonnage généralement de l'ordre de 50 m; voir Culling, 1988a), les valeurs de D généralement obtenues varient entre 2,1 et 2,3. Ces valeurs sont considé­rées comme étant les plus représentatives des surfaces natu­relles et elles correspondent probablement à la texture de la surface des versants. À des échelles spatiales plus grandes, on rapporte souvent un changement marqué de la pente du semi-variogramme ou du diagramme de Richardson (équations 5 et 1), ce qui entraîne une augmentation signifi­cative de la dimension de Hausdorff (D variant entre 2,4 et 2,6; voir fig. 8 pour les propriétés caractéristiques du semi-variogramme des surfaces topographiques). Les sites du sud de l'Angleterre analysés par Culling et Datko (1987) et Culling (1988a) sont interprétés par les auteurs comme étant des surfaces browniennes fractionnaires où un mécanisme d'évolution des paysages de type davisien est dominant le long des versants. Ces surfaces fractales sont également superposées sur une seconde structure fractale du paysage, de dimension plus élevée et qui est associée au réseau de drainage.

Un deuxième point fondamental a également été relevé par Goodchild (1982) et Roy et al. (1987). Il s'agit en fait de la variation de la complexité des surfaces selon l'altitude (variation systématique de la dimension fractale avec l'alti­tude). Roy et al. (1987) et Gravel (1988) ont fait ressortir les liens entre la complexité (ou l'irrégularité) des surfaces, l'al­titude et la nature des sédiments (tabl. II). En effet, ils ont noté que la portion du modèle numérique d'altitudes où les dépôts glaciaires sont dominants (fond de vallée) présente une dimension fractionnaire supérieure aux fenêtres correspon­dant à un sommet et à une surface d'érosion fluviale, tout au moins en ce qui a trait au variogramme de surface et aux pro­fils E-O. La modélisation fractale s'avère ainsi un instrument efficace et précis pour décrire et comparer les propriétés d'ensemble de différentes surfaces topographiques (Elliot, 1989) et une étude plus approfondie devrait être entreprise sur les signatures fractales de terrains caractéristiques (tels que les paysages fluvial, morainique, éolien, structural).

Plusieurs études ont également été effectuées à micro­échelle, soit à des échelles spatiales inférieures au mètre

Géoaraohie ohvsiouB el OualBrnaire 47M) 1QQn

12 A. ROBERT et A. G. ROY

(voir Brown et Scholz, 1985; Armstrong, 1986; Robert, 1988a, 1988b, 1991). Ces études (tabl. Ill) ont permis de démontrer clairement qu'à micro-échelle, les surfaces topo­graphiques sont très irrégulières et caractérisées par des valeurs de D allant de 2,5 à 2,9 (Armstrong, 1986; Robert, 1988a, b; Elliot, 1989). La seule exception semble être l'étude de Andrle et Abrahams (1989). Ils rapportent des valeurs très faibles (de l'ordre de 2,10 pour des surfaces ou 1,10 pour des profils longitudinaux ou transects). Andrle et Abrahams (1989) ont toutefois utilisé le diagramme de Richardson pour estimer la dimension fractale de séries unidimensionnelles d'altitudes d'une surface topographique. Cette méthode (équation 1) est généralement employée pour estimer la dimension de Hausdorff de courbes fermées dans un plan (telle une courbe de niveau), alors que les fonctions fractales stochastiques et le semi-variogramme sont utilisés pour esti­mer la dimension de Hausdorff des séries de points où la

TABLEAU II

Dimensions fractionnaires moyennes estimées selon différentes méthodes pour les trois sous-surfaces extraites du MNA complet (région de Moose Bog, New Hampshire; d'après Gravel (1988)

et Roy et al, 1987).

Variogramme de surface

Variogramme-profils E-O

Variogramme-profils N-S

Courbes de niveau extraites

Sommet

2,10

1,10 (n=8) 1,13 (8)

1,08 (13)

Fluviale

2,13

1,11 (8)

1,17 (8)

1.07

(9)

Glaciaire

2,21

1,28 (8)

1,15 (8)

1,10 (21)

Les nombres entre parenthèses indiquent le nombre de mesures uti­lisées pour déterminer la moyenne

variabilité n'existe que dans une dimension (Burrough, 1984; Culling, 1986a). Les implications méthodologiques à ce niveau ne sont pas claires, mais les travaux de Mandelbrot (1975b) et Culling et Datko (1987) laissent croire que la méthode employée par Andrle et Abrahams (1989) est inap­propriée (Roy et Robert, 1990). Une étude détaillée de ce type de problème méthodologique et de l'équivalence des dif­férents algorithmes disponibles pour estimer D devrait également être entreprise. Dans un continuum topogra­phique, les résultats obtenus montrent que la dimension frac­tale des surfaces varie systématiquement avec l'échelle. D'une façon générale, on prévoit qu'elle soit très élevée à micro-échelle (D > 2,6), faible à l'échelle des versants (D — 2,1) et plus élevée à l'échelle de la structure hydrogra­phique (D ̂ 2,6 - 2,7). L'imbrication et la transition entre ces dimensions sont encore mal connues et doivent faire l'objet d'une étude particulière en fonction des types de paysages (Roy et Robert, 1990).

En plus de l'irrégularité prononcée de la micro­topographie (en raison des valeurs de D élevées générale­ment observées), les études récentes ont mis en valeur deux types d'application des fractales en sciences de la Terre. Elliot (1989), par exemple, a considéré la dimension fractale comme indice de rugosité des surfaces permettant de déter­miner l'âge relatif des surfaces d'érosion glaciaires, en Norvège. Les propriétés mathématiques de la dimension de Hausdorff en font, selon Culling (1986a), l'indice de rugosité des surfaces le plus informatif. Ces propriétés descriptives de l'indice D ont également permis à Robert (1988b, 1991) de caractériser deux échelles de rugosité associées aux lits de graviers des cours d'eau alluviaux : la rugosité à l'échelle du grain et une seconde, plus irrégulière, correspondant aux petites structures sédimentaires. Dans l'exemple présenté précédemment à la figure 9, ces deux échelles corres­pondent respectivement à des distances inférieures à 15 cm d'une part, et comprises entre 15 et 75 cm d'autre part. Ces

TABLEAU III

Analyse fractale et microtopographie des différents types de surfaces naturelles

Auteur Échelle spatiale

(mm)

Étendue des dimensions

Méthode d'estimation Milieu

Robert (1988a, b)

Brown et Scholz

Armstrong (1986)

Elliot (1989)

Gravel (1988)

Andrle et Abrahams (1989)

5-125 70-700

1-10 10-100

20-100 (approximatif)

1-250 100-900

100-400

100-550

75-1000

1,52-1,72 1,70-1,91

1,19-1,52 1,18-1,68

1,53-1,91

1,60-1,86 1,27-1,64

1,25-1.96 1,47-1,89 1,58-1,89 1,16-1,22

1,06-1,20

Variogramme-profils

Analyse spectrale

Variogramme-profils

Variogramme-profils

Variogramme-profils

Diagramme de Richardson

Lit de rivières

Surface de roche

Surface de sol

Till

Terre agricole

Talus-éboulis

^ ^ v i r a n h i â n/iij A7H\ 1QQT

LA MODÉLISATION FRACTALE 13

deux échelles de rugosité sont caractérisées par des dimen­sions fractionnaires supérieures à 1,5 (telles qu'estimées selon l'équation 5) et sont imbriquées dans un profil longitu­dinal. La rugosité de la surface dans les lits de graviers est hautement irrégulière et difficile à caractériser étant donné la variabilité dans la taille, la forme et l'orientation des cailloux. Cette modélisation descriptive de la configuration du lit per­met également d'inférer certaines propriétés significatives de la rugosité hydraulique et du transport des sédiments. En effet, il apparaît raisonnable de penser que chacune des échelles de rugosité du lit, telles qu'identifiées par le modèle fractal, est également associée à un type particulier de résis­tance et de contrainte de cisaillement sur le lit (Robert, 1988a, b). La rugosité introduite par les structures sédimentaires à petite échelle augmente la résistance à l'écoulement et la force de cisaillement totale, alors qu'une partie seulement de cette force serait disponible pour le transport des cailloux sur le fond du lit. Ces exemples illustrent bien le potentiel des fonctions fractales pour modéliser la micro-topographie ainsi que l'utilisation adéquate et puissante de D comme indice de rugosité. Cet indice permet ainsi la distinction et la comparai­son précise entre les échelles de rugosité et les différents types de surfaces topographiques.

FRACTALES, SYSTÈMES DYNAMIQUES ET CHAOS

Les fractales sont intimement liées aux découvertes récentes sur le comportement des systèmes dynamiques, c'est-à-dire des systèmes qui évoluent dans le temps. Un des objectifs des sciences naturelles est de prévoir l'état futur d'un système à partir de la connaissance de son état initial et d'équations déterministes qui régissent son comportement dans le temps. Le fait que des équations déterministes soient utilisées porte à croire que l'on peut à coup sûr donner l'état du système pour n'importe quel temps à venir. Cependant, certains systèmes comme la circulation de l'atmosphère ou l'écoulement d'un fluide turbulent sont irréductibles à une telle approche, en ce sens qu'ils demeurent imprévisibles à plus ou moins long terme. Il est aujourd'hui reconnu que même des systèmes déterministes simples sont aussi sujet à des comportements imprévisibles, voire erratiques.

Prenons un exemple simple qui a été traité par Lorentz (1964) et May (1976), soit l'équation quadratique ou logis­tique que l'on retrouve en biologie des populations. Cette équation prévoit la population (X) au temps (t + 1) à partir de la connaissance de la population au temps t et d'un para­mètre r. L'équation s'écrit comme suit

X„ , - r X, (1 - X.) (8)

ou

0 < r < co (9)

et

O ^ X s M . (10)

Donc, connaissant X0 soit l'état initial du système et fixant le paramètre r, on peut trouver par itération la valeur de X pour n'importe quel temps futur. Le tableau IV présente des séquences temporelles de X pour différentes conditions intia-

les et pour un r de 2. De telles séquences temporelles sont appelées orbite. Dans tous les cas la valeur de X se stabilise et atteint un point fixe (0,500). Ce point de convergence, aussi nommé attracteur est constant quelle que soit la valeur initiale du système, donc le système converge vers un état unique et il est stationnaire. On peut représenter le compor­tement du système ou son orbite en utilisant une approche graphique telle qu'illustrée à la figure 11. Dans ce graphe, la courbe correspond à la fonction quadratique et la droite, à la ligne où les valeurs de X1 et X,., sont égales. Pour décrire la trajectoire suivie d'une itération à l'autre il s'agit de partir avec un X0 sur l'axe X1 et de projeter verticalement cette valeur sur la courbe. La rencontre entre la verticale et la courbe donne

TABLEAU IV

Orbites de l'équation quadratique pour r = 2,0 et différentes valeurs initiales de X

Itération Valeurs de X

0

1

2

3

4

5

6

7

0,100

0,180

0,295

0,416

0,486

0,500

0,500

0,500

0,200

0,320

0,435

0,492

0,500

0,500

0,500

0,500

0,400

0,480

0,499

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0,500

0.0 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 Xt

FIGURE 11. Illustration de la méthode graphique appliquée à l'équation quadratique. La courbe représente X1., = 2 X,(1 - X1) et la valeur initiale est X0 = 0,1.

Illustration of the graphie method for the quadratic equation. In this case, the curve represents X,., = 2X1(I-X1) and the initial value is X0 = 0.1.

Géographie physique et Quaternaire, 47(1), 1993

14 A. ROBERT et A. G. ROY

la nouvelle valeur après la première itération. Pour obtenir la seconde itération, il s'agit de retourner cette nouvelle valeur dans l'équation, ce qui revient à la projeter sur la droite pour ensuite la retourner vers la courbe et ainsi de suite pour les prochaines itérations. À la figure 11, on remarque que la tra­jectoire converge vers un point fixe. Dans cet exemple, on peut sans erreur prévoir l'état stationnaire du système à long terme. Lorsque X0 est égal à 0 ou 1, la solution est 0, alors que pour les autres valeurs initiales la solution est donnée par 1 - 1 /r. Ceci est valable pour 1 < r < 3. Qu'arrive-t-il lorsque r augmente? La figure 12 montre les séquences temporelles de systèmes avec différentes valeurs de r et une même valeur initiale ( X 0 = 0,40). À première vue,, on constate immédiatement une variabilité croissante dans le comporte­ment du système en fonction de r. Aussi, le nombre de points fixes augmente et le système tend à osciller périodiquement entre les points fixes. Pour r = 4,0, on observe un com­

portement irrégulier. L'effet de r comme paramètre de con­trôle a largement été étudié et on connaît les bornes où le système change de comportement (pour une revue, voir Goodings, 1991b). De fait, à partir de r = 3,0, le nombre de points fixes passent à deux; à r = 3,45, il double et passe à quatre. Le nombre double ensuite rapidement avec de petits changements dans la valeur de r et on observe un compor­tement irrégulier à partir de r = 3,57. De plus, si on utilise des valeurs initales très rapprochées pour une valeur élevée de r comme par exemple r = 4,0, on note que les orbites diver­gent à partir d'un certain nombre d'itérations (fig. 13). Cette dépendance sensitive aux conditions initiales du système est la propriété fondamentale d'un comportement que l'on quali­fie de chaotique (voir Ruelle, 1991). Techniquement, si la divergence est exponentielle avec le temps, le taux auquel la divergence s'effectue permet de quantifier le chaos dans une série. Ainsi, lorsqu'il devient impossible de prévoir le compor-

1.04

T r 10 20

I t e r a t i o n i r

I t e r a t i o n

I t e r a t i o n

FIGURE 12. Orbites de l'équation quadratique X,„ = r X1(I -X 1 ) pour une valeur initiale de X0 = 0.4 et différentes valeurs de r. A. r = 2,0; B. r = 3,4; C. r = 3,50; D. r - 3,58; E. r = 4.0.

Orbits for the quadratic equation X1., = rX,(1 - X1) for an initial value eX0 = 0.4 and different r values. A. r = 2.0; B. r = 3.4; Cr = 3.50; D. r = 3.58; E. r = 4.0.

fïArvirarihia nh\t at niiatarnaim d 7 / 1 \ 1QQ3

LA MODELISATION FRACTALE 15

tement à long terme du système ou l'effet de changements extrêmement faibles dans les valeurs initiales, on entre dans le chaos déterministe.

Quelle est l'importance des résultats obtenus à partir de l'équation quadratique et que peut-on en tirer en ce qui con­cerne les systèmes naturels? D'abor, il faut dire qu'est née

1.0H

0.8-

0,6-

T 10 20

I t é r a t i o n

Xo = 0 , 4 0 0 0 0 2

Xo = 0 , 4 0 0 0 0 1

30

1,OH

0.5-

GO

<*>

Q) i _ -̂ C Q)

Q) O C Q) i_

^Q)

0,0-

0,5-

Q

-1.0 ~i r 10 t 20

I t é r a t i o n

30

FIGURE 13. Orbites de l'équation quadratique X1., = 4 X 1 ( I -X 1 ) pour deux valeurs de X0 très rapprochées.

Orbits for the quadratic equation X1., = 4 X,(1 -X1) for two closed values of X0.

de l'équation quadratique une famille extrêmement riche de fonctions qui ont permis d'élaborer des ensembles fascinants (pour une revue, voir Peitgen et Saupe, 1988) qui produisent des images d'une complexité encore jamais soupçonnée. Mais au-delà de cette fascination qu'en est-il? Malgré sa sim­plicité, l'équation quadratique est une illustration éloquente du chaos déterministe. Elle permet, justement par sa simpli­cité, une exploration relativement facile de la transition vers le chaos ou la turbulence dans un système et de comprendre ainsi ce qui peut se manifester dans un système régi par une équation déterministe. La cascade du doublement du nombre de points fixes est une route vers le chaos que l'on retrouve dans d'autres systèmes (Goodings, 1991b). De plus, tous les systèmes déterministes décrits par des équations non linéaires sont sujets à un comportement chaotique. L'étude de l'équation quadratique permet de comprendre intuitive­ment ce qui se passe dans des systèmes complexes comme les fluides en mouvement. Ainsi, la transition vers le chaos peut s'appliquer au mouvement d'un fluide passant de lami­naire à turbulent. La turbulence est vue comme un compor­tement chaotique issu des équations non linéaires qui la gou­vernent (Ruelle et Takens, 1971 ; Tritton, 1989; Ruelle, 1991 ).

Les fractales interviennent dans l'étude des systèmes dynamiques pour décrire leur comportement. Étant un outil qui permet de saisir mathématiquement la complexité des trajectoires, les fractales sont tout indiquées pour distinguer quantitativement les orbites ou l'évolution dans le temps des systèmes. Les itérations successives des systèmes chao­tiques peuvent se traduire par des propriétés fractales. Dans un système chaotique, la trajectoire peut tendre vers un ou plusieurs attracteurs que l'on qualifie d'étranges (Lorentz, 1963; Grassberger et Procaccia, 1983). L'analyse de ces attracteurs est possible par les fractales.

En quoi ces découvertes sont-elles importantes pour les sciences de la Terre? Plusieurs auteurs ont déjà signalé des avenues nouvelles qui découlent du chaos déterministe et de l'étude des systèmes dynamiques (Culling, 1987b; Huggett, 1988; Malanson étal., 1990; Middleton, 1990, 1991). Dans les domaines du climat (Nicolis et Nicolis, 1984, 1987; Lorentz, 1984; Grassberger, 1986) ou de la dynamique de la croûte et du manteau de la Terre (Kellog et Turcotte, 1990; Turcotte, 1989), des progrès importants sont imputables à l'avènement de la théorie du chaos. Le climat est reconnu pour son irrégularité et son imprévisibilité et a d'ailleurs figuré de façon importante dans les découvertes sur le chaos (Lorentz, 1963). En géomorphologie, par contre, les applica­tions s'avèrent plus difficiles. Ceci s'explique en partie par l'absence d'un corpus théorique soutenu et essentiellement mathématique des systèmes géomorphologiques. Cette lacune rend impossible l'exploration des équations qui décrivent les systèmes géomorphologiques puisque la des­cription quantitative des systèmes semble un prérequis à l'étude dynamique. Puisque les applications proprement géo­morphologiques se font encore peu nombreuses, une bonne partie de ce qui est paru sur le sujet tente de montrer le poten­tiel de ce champ d'étude tout en dégageant les répercussions conceptuelles importantes qu'occasionnent ces découvertes. On reconnaît que la dépendance sensitive du comportement

Géographie physique et Quaternaire, 47(1), 1993

16 A. ROBERT et A. G. ROY

d'un système aux conditions initiales est cruciale. En géomor­phologie, le concept d'équifinalité domine depuis que la théo­rie générale des systèmes soutient l'élaboration des con­cepts dynamiques (Chorley, 1962). L'équifinalité signifie que les conditions initiales n'affectent pas l'état final du système. Eu égard à ce que nous savons des systèmes dynamiques, cette vision est très limitante et ne correspond qu'à une por­tion (probablement la moins intéressante) des comporte­ments possibles (Culling, 1987b) ou à des systèmes linéaires. Il serait avantageux de remplacer le concept d'équi­finalité par une caractérisation des systèmes utilisant leur sta­bilité potentielle. La dépendance sensitive aux conditions ini­tiales signifie aussi que même une légère imprécision dans la détermination de l'état initial du système peut entraîner une différence importante dans la prévision à long terme de son comportement.

Puisque les mécanismes de transport en géomorphologie sont régis par des équations de mouvement non linéaires, l'étude des processus devrait bénéficier des connaissances sur les systèmes chaotiques. Les mécanismes donnant nais­sance à la turbulence en particulier joueront un rôle crucial dans notre compréhension du système fluvial. Étant donné la présence quasi certaine de comportements irréguliers dans les mécanismes de transport, on devrait observer des traces d'instabilité à différentes échelles du paysage.

Des applications récentes viennent confirmer l'intérêt de la théorie du chaos pour la géomorphologie. Phillips (1992) a traité de la réponse des terres humides aux fluctuations du niveau marin. L'auteur postule la présence d'un comporte­ment chaotique dans les systèmes géomorphologiques et tente de déterminer dans quelle mesure il est présent. La méthode préconisée est semi-quantitative. Ceci a permis de contourner la difficulté inhérente à l'absence d'une descrip­tion mathématique adéquate du système. Le point de départ de l'analyse est une matrice des liens entre les composantes du système (fig. 14). La méthode repose sur un système d'équations basées sur les relations entre les composantes du système. Les effets de rétroaction causés par la végéta­tion (fig. 14) sont particulièrement importants dans le contrôle du système. Ainsi, l'auteur montre que si la rétroaction est positive le système est généralement chaotique et que, par contre, si elle est négative, le système est instable et poten­tiellement chaotique. L'analyse graphique analogue à celle présentée a la figure 11 peut aussi être mise à profit comme le font Arlinghaus et al. (sous presse). Les auteurs montrent

qu'une différence minime dans la relation souvent asymétri­que entre la production de sol et l'épaisseur du sol conduisent à des comportements différents du système. Ainsi, une quan­tification exacte de la courbe est requise afin de décrire le comportement du système avec justesse. La méthode d'ajus­tement de la courbe aux données s'avère donc critique.

L'analyse des séries temporelles recèle un potentiel énorme pour la mise en évidence du comportement des sys­tèmes (Goodings, 1991a). En l'absence d'une théorie mathé­matique, les fluctuations dans le temps de l'état d'un système permettent une analyse du degré de stabilité. Cette approche s'avère particulièrement prometteuse pour les sciences de la Terre puisqu'elle permet de mettre en évidence la présence de comportement chaotique de faible dimension. Des tech­niques de corrélation sont particulièrement utiles pour l'ana­lyse des séries. Des travaux en dynamique des fluides sur la convection montrent un comportement décrit par une dimen­sion relativement faible (Malraison et al., 1983). Il faut cepen­dant utiliser ces techniques avec prudence (Ruelle, 1990; Goodings, 1991a).

DISCUSSION ET CONCLUSIONS

Grâce à la théorie des fractales, la complexité des phéno­mènes naturels ne résiste plus à l'analyse mathématique et à la description géométrique. De plus, elle permet d'exprimer la variabilité spatiale des phénomènes naturels en fonction de l'échelle d'observation et, de ce fait, les notions fondamen­tales comme l'autosimilarité et la dimension fractionnaire possèdent une composante géographique évidente. L'utilisation adéquate de ces concepts s'avère prometteuse et tout à fait pertinente pour l'avenir de la science géogra­phique. Il a ainsi été clairement démontré que plusieurs phé­nomènes naturels possèdent certaines propriétés fractales, c'est-à-dire une variation de la complexité ou de l'irrégularité selon le degré de résolution. En milieu naturel, les fonctions stochastiques fractales ne sont toutefois applicables qu'en bandes étroites, séparées ou non par des zones de transi­tion. Différents facteurs peuvent être invoqués pour expliquer cette structure fractale généralement rencontrée en milieu naturel. Parmi ces exemples, on peut mentionner la taille limite des structures sédimentaires observées dans les cours d'eau alluviaux (Robert, 1988a, b), des changements dans les processus physiques (Goodchild, 1982; Roy era/., 1987; Montgomery et Dietrich, 1992), la discontinuité entre l'échelle spatiale des versants et celle des réseaux de drainage

Altitude relative de la surface du marais

Accretion verticale / Augmentation

du niveau marin

Accretion verticale nette

FIGURE 14. Ensemble des relations utilisées par Phillips (1992) dans une analyse de la sta­bilité des terres humides.

Set of relations used by Phillips (1992) in the analysis of the stabil­ity of wetlands.

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LA MODELISATION FRACTALE 17

(Culling et Datko, 1987), la faible profondeur de plusieurs cours d'eau qui limite le développement de structures turbu­lentes de grande taille, etc. Les différences observées entre le modèle et les données peuvent donc permettre d'inférer des variations de processus avec l'échelle ou la localisation et de ce fait, contribuer de façon singulière à l'explication de certains phénomènes géomorphologiques.

Les méthodes employées pour estimer la dimension de Hausdorff sont variées. Nous avons décrit les deux plus importantes (tout au moins les plus utilisées), soit le dia­gramme de Richardson pour les courbes fermées dans un plan, et le semi-variogramme pour les séries unidimension-nelles. Différents algorithmes reliés à la méthode de Richardson sont également présentés par Longley et Batty (1989 a, b) et Hayward et al. (1989). Roy et al. (1987) ont également noté que la dimension fractionnaire estimée à par­tir d'une surface est du même ordre de grandeur que la moyenne des valeurs de D obtenues à partir de profils ou de courbes de niveau. Toutefois, le variogramme des surfaces masque généralement la variation de D selon la direction et l'altitude, et cette technique devrait être employée avec pru­dence. Le variogramme global peut donc masquer des écarts locaux importants dans la valeur de D et un certain nombre d'incertitudes demeurent dans l'interprétation des variogram-mes de surface, principalement.

Finalement, deux approches se sont constituées sur la modélisation fractale des phénomènes géographiques. La première consiste principalement en l'utilisation des fractales comme hypothèse nulle, c'est-à-dire comme point de réfé­rence qui sert à étudier les propriétés statistiques des séries spatiales de données reliées à des phénomènes naturels (Burrough, 1984, 1985; Goodchild et Mark, 1987; Goodchild, 1988). Dans le cas plus précis des propriétés statistiques des surfaces topographiques, la propriété d'autosimilarité des surfaces fractales permet leur utilisation comme hypothèse nulle (ou surface initiale) pour l'étude des processus géomor­phologiques (Goodchild et Mark, 1987). La plupart des études en géomorphologie et autres domaines des sciences naturelles montrent que les phénomènes naturels ne pré­sentent les propriétés fractales que pour d'étroites bandes. La dimension fractale peut donc varier de façon très impor­tante avec l'étendue d'échelles considérées. L'utilisation des fractales en tant qu'hypothèse nulle s'est donc avérée plutôt fructueuse puisque l'absence d'autosimilarité permet cer­taines conclusions sur les processus en cause.

Une deuxième approche sur la modélisation fractale des surfaces topographiques a été élaborée par W.E.H. Culling dans une série d'articles récents (Culling, 1986b, 1987a, 1988 a, 1988 b, 1989; Culling et Datko, 1987). Les travaux de Culling visent essentiellement à établir les liens entre les frac­tales, la théorie du chaos dans un contexte géomorphologi­que et les systèmes dynamiques. Culling intègre ainsi les processus dans la modélisation des surfaces topogra­phiques. Il établit des liens entre les surfaces fractales et la théorie de la diffusion comme mécanisme d'évolution des surfaces géomorphologiques recouvertes d'un sol et montre qu'une surface fractale est le résultat de l'évolution davi-sienne des paysages. Un des points fondamentaux qui se

dégage des travaux de Culling consiste en l'utilisation des fractales comme fondement théorique en sciences de la Terre. Cette approche, d'un niveau conceptuel et mathéma­tique élevé, permet néanmoins de montrer que l'emploi des fractales en géographie déborde la mesure et la modélisation descriptive. Culling a aussi ouvert la voie à ce qui pourrait se révéler être un progrès fondamental des sciences naturelles au cours des prochaines années.

REMERCIEMENTS

Nous désirons remercier Mike Church et un lecteur cri­tique anonyme pour les commentaires sur la version originale de cet article.

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