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LA MÉTHODE DES ROTATIONS
LA MÉTHODE DES ROTATIONS
EXEMPLES DE CALCUL DES SYSTÈMES HYPERSTATIQUES
J. VENIEN Ingénieur E.T.P. — Ingénieur Conseil
g v
PARIS GAUTHIER-VILLARS
1969
DU MÊME AUTEUR
A paraître :
Dalles, Poutres, Poteaux, Semelles sans calcul
© GAUTHIER-VILLARS, 1969 Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction, par tous procédés y compris la pho- tographie et le microfilm réservés pour tous pays.
TABLE DES MATIÈRES
Pages Notations VII Généralités < IX
CHAPITRE I — Exposé de la méthode 1 CHAPITRE II — Ossatures à barres verticales et horizontales . . . 11
CHAPITRE III — Systèmes à barres brisées 29 CHAPITRE IV - Systèmes à faite triangulaire 53
CHAPITRE V — Dénivellation des appuis d'une poutre continue .. 81 CHAPITRE VI - Variation de température . 87 CHAPITRE VII - Poutre à inertie variable 101
CHAPITRE VIII - Lignes d'influence 109
CHAPITRE IX — Recherche des équations du 2ème groupe en uti- lisant le théorème de réciprocité 125
CHAPITRE X — Calcul des portiques par une méthode d'itération. 145 I) Portiques sans déplacement latéral 145
II) Portiques avec déplacement latéral 151 III) Examen de quelques cas particuliers 176
1) Portique soumis à un effort horizontal à un noeud . . . . . 176 2) Portique articulé en pied 180
IV) Systèmes à barres brisées 184 V) Systèmes à inertie variable 200
VI) Resolution d'équations à expression littérale . . . . . . . . . . . 210 VII) Portique simple à inertie variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Pages CHAPITRE XI — Notions sur les ordinateurs et leur utilisation .. 235
A) Structure d'un ordinateur 235 B) Le matériel 236 C) Le langage Fortran 236 D) Analyse d'un problème et préparation du programme . . . . 242 E) Rappel de méthodes mathématiques 246 F) Exemple d'application, utilisation de l'ordinateur . . . . . . . 252 G) Utilisation de la Programma 101 Olivetti 257
Renseignements techniques 273
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
NOTATIONS
E module d'élasticité, 7 moment d'inertie, I0 moment d'inertie minimum d'une poutre à inertie variable, / longueur d'une barre, oo valeur d'une rotation, par exemple :
— la rotation d'un nœud D s'écrit cod, — la rotation d'une barre DF s'écrit codf ,
Convention de signes des moments et des rotations :
— le sens positif est le sens trigonométrique soit le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre.
Convention de signes des forces extérieures. — les forces extérieures dirigées de gauche à droite seront affectées
du signe + : + > — les forces extérieures dirigées de droite à gauche seront affectées
du signe — : < - Constantes mécaniques caractéristiques d'une poutre.
pour une barre à inertie variable DF
;)f(.df moment d'encastrement parfait d'une barre DF. MDF couple total exercé par une poutre DF sur le nœud D.
FORMULES ESSENTIELLES pour une barre DF
pour la même poutre à inertie constante /
s'il y a une articulation en F, l'inertie restant constante
GÉNÉRALITÉS
La méthode des rotations permet la recherche des inconnues hypers- tatiques d'un système, c'est-à-dire des moments fléchissants aux extrémités des poutres. Mais on substitue à ces inconnues les rotations des nœuds et des barres. On écrit l'équilibre de chaque nœud et l'équilibre de l'ensemble de l'ossature située au-dessus d'une coupure fictive.
L'ouvrage est divisé en trois parties. Dans une première partie, nous avons exposé la méthode classique qui
nous amène à une série de n équations linéaires à n inconnues. Nous y avons traité une grande variété d'exemples. Dans une deuxième partie, nous avons exposé une méthode de résolution du système d'équations par itération. Cette derniere méthode est très générale. Elle s'applique aux systèmes non symétriques donc susceptibles de balancement latéral et aux systèmes à barres brisées. C'est une méthode exacte, en ce sens qu'il suffira de pour- suivre les cycles de calculs jusqu'à obtenir une précision jugée suffisante.
La dernière partie de l'ouvrage est consacrée au traitement des calculs par ordinateurs. Nous y rappelons quelques notions concernant les ordina- teurs et leur langage. Nous abordons le calcul matriciel qui s'avère particu- lièrement utile, apportant une importante simplification dans le maniement des équations et permettant l'utilisation directe de l'ordinateur.
Cet ouvrage est avant tout un ouvrage pratique. Nous nous sommes surtout attachés à résoudre complètement de nombreux systèmes de por- tiques et nous espérons que de ce fait, il pourra rendre de nombreux ser- vices.
CHAPITRE 1 EXPOSÉ DE LA MÉTHODE
I – RAPPEL DES FORMULES DE BRESSE
Soit une poutre à fibre moyenne GO GI ci-contre, nous voulons connaitre, dans une section S, les composantes horizontales u et verticales v du dé- placement de son centre de gravité et la rotation w du plan de cette section sous l'effet d'un système de charges données, du déplacement de la section origine Mo , v0 et wo et d'une variation
linéaire T. Les formules de Bresse permettent de déterminer ces quantités, nous ne donnerons pas la démonstration de ces formules, elles se trouvent dans tous les traités de Résistance de matériaux.
La plupart du temps on néglige les effets de l'effort normal N et de l'effort tranchant T ce qui simplifie les équations précédentes.
II – PROBLEMES PARTICULIERS
1) Coefficients de souplesse.
Nous définirons au préalable trois constantes mécaniques caractéristiques d'une poutre que nous appelerons coefficients de souplesse d'une travée et qui s'écrivent
Les valeurs de ces trois intégrales ne dépendent que de la portée / de la travée et de la loi de variation du moment d'inertie.
Si le moment d'inertie est constant, les trois intégrales deviennent
De plus la poutre est caractérisée par les facteurs p et p' définissant la position des foyers ; nous utiliserons les notations suivantes
2) Effet d'une rotation co0 imposée sur l'appui de gauche G0 - Soient Ro et RI les réactions verti-
cales des appuis dues à la déformation imposée, M(e) le moment fléchissant à l'abscisse £ , M0 le moment fléchissant dans une section ô0 très voisine de l'appui Go. Le moment fléchissant à l'abscisse t vaut
Le moment fléchissant en G 1 est nul
On détermine Ro, en exprimant au moyen de la 2eme équation de Bresse, l'invariabilité du niveau de l'appui Gl.
Cette condition s'écrit
3) Effet d'une rotation coj imposée sur l'appui de droite.
Le même raisonnement nous conduit aux résultats suivants
4) Effet de deux rotations co0 et coj imposées simultanément sur les appuis Go et G j.
Nous utiliserons les résultats précédents, en appliquant la loi de Hooke.
Nous supposerons que les deux rotations ont été obtenues en appliquant un couple Mo en Go et Ml en Gl.
Le couple M0 produit des rotations eg en et en Gl. Le couple Ml produit des rotations 0 1 en G 1 et 0q en Go. On a
on sait que
il en résulte
On peut calculer ainsi les réactions d'appui et les moments fléchissants. On trouve :
d'où, en utilisant les expressions précédentes des facteurs de translation et des coefficients de rigidité.
Ces formules définissent les moments aux appuis en fonction des rota- tions correspondantes.
III – CALCUL DES OSSATURES – METHODE DES ROTATIONS
1) Objet de l'étude.
Nous nous proposons d'étudier des ossatures formées de poutres droites possédant le même plan moyen, liées invariablement entre elles en des points appelés noeuds et soumises à des chages situées dans le plan moyen.
2) Signe des rotations et des couples.
Le sens positif des rotations est le sens trigonométrique c'est-à-dire le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre. Un couple appliqué sur un nœud, sera positif s'il tend à faire tourner le nœud dans le sens positif.
3) Notations.
Considérons le faisceau de poutres réunis- sant au nœud d les nœuds e , f . . . h. Si tous les nœuds d , e , / . . . h sont verrouillés par des dispositifs interdisant toute rotation, les poutres de , dl... dh se comporteront comme des poutres encastrées à leurs deux extrémités sous les charges qu'elles supportent. Si l'on impose à un nœud /, par exemple, une rotation
une poutre telle que df aboutissant à ce nœud se comportera comme une poutre en- castrée en d et soumise à une rotation oy sur l'appui /.
Nous désignerons par :
JIl df et les couples exercés sur les noeuds d & f par la poutre df, sup- posée encastrée à ses extrémités, sous l'effet des charges qui lui sont di- rectement appliquées,
Mdf le couple total exercé par la poutre df sur le nœud d sous les effets des rotations des nœuds d et f et des charges appliquées sur la poutre,
Mfd le couple exercé par la poutre df sur le nœud f sous les effets de ces rotations et de ces charges.
Md le couple total imposé au nœud d, soit :
La somme Ad = Ade + Adf ... + Adh sera le coefficient de rigidité du nœud d.
4) Expressions des couples sur les nœuds.
Considérons une poutre df de longueur / soumise à des rotations œd et wf sur ces appuis.
Nous savons que les moments fléchissants créés par ces rotations sur les appuis de la poutre sont ; en nous référant à la formule générale de la page 5.
Si des charges sont, en outre, appliquées sur la poutre, les couples totaux exercés sur les nœuds voudront :
Mdf et Mfd sont les couples appliqués par la poutre sur les nœuds d & f.
Cas particulier. 1 constant : on a
et les expressions des couples deviendront :
Cas d'un déplacement relatif des nœuds d et f — (Balancement la- téral).
Les expressions précédentes supposent que la corde df conserve une direction fixe. Les rotations cod et wf sont alors mesurées à partir de cette direction fixe. Mais les noeuds peuvent éprouver des déplacements rela- tifs qui entraînent une variation de la direction de la corde df. Il conviendra, dans ce cas, si les rotations œd et Gif sont rattachées à une direction fixe, de tenir compte de la rotation (Vaf de la corde df par rapport à cette direc- tion. On substituera, dans les relations qui précèdent, aux rotations cûd et cOf les différences cod — codf et cûf — codf. On aura ainsi :
Formule générale.
Lorsque le moment d'inertie est constant.
Les formules qui précèdent sont évidemment applicables si l'une des rotations ojd ou ooy est nulle.
5) Expressions des moments fléchissants en travée et des efforts tranchants sur les appuis.
Les moments fléchissants sur les appuis d'une poutre df sont Mdf et — Mfd. Si l'on désigne par n(x) le moment fléchissant créé, à l'abcisse x, par les charges dans une poutre sur appuis simples de même portée l, le moment fléchissant supporté par la poutre df à l'abcisse x vaut :
On ru tire la valeur de l'effort tranchant
On aura sur les appuis (l'origine des abcisses est supposée en d).
Cas d'une pcitre articulée à une extrémité.
Si la poutre df est articulée sur l'appui f, elle n'exercera aucun couple sur le nœud f et l'on aura quelles que soient les charges appliquées et la rotation du nœud f, dTifd = 0 Mfd = 0.
Soit le moment fléchissant créé par les charges sur l'appui d d'une poutre df encastrée en d et articulée en f. Si les nœuds d et f subissent des rotations œd et ay, les couples exercés sur les appuis seront :
3 El Pour une poutre de moment d'inertie constant, — —-—:
Les valeurs de l'effort tranchant sur les appuis seront obtenues en faisant Mfd = 0 dans les formules précédentes. On aura :
6) Application méthode des rotations.
La méthode des rotations conduit à prendre pour inconnues des rota- tions telles que 03d , ojy et co .
La formule générale :
permet de calculer les moments en fonction des rotations. Les rotations inconnues sont données par l'ensemble des rotations défi-
nissant l'équilibre de l'ossature. 1er groupe d'équations. On écrit pour chaque nœud que la somme des
moments appliqués est nulle. 2ème groupe d'équations. On écrit l'équilibre des diverses parties de
l'ossature, isolées par une coupure du reste de l'ouvrage. Les équations du 1er groupe sont en nombre égal à celui des nœuds. Le nombre d'équations du second groupe est théoriquement égal à celui des barres, mais en pratique il n'en est pas ainsi. On peut, en effet, considérer comme négligeables les variations des distances de deux nœuds voisins (variations dues à l'effort normal ou conséquence des déformations dues au moment fléchissant). Il existe alors, entre les deplacements des nœuds, des relations géométriques qui réduisent le nombre des équations du second groupe. Ces simplifications sont efficaces pour des ossatures possédant deux cours de barres parallèles.
IV – RESOLUTION DES SYSTEMES D'EQUATIONS LINEAIRES
L'utilisation de la méthode des rotations pour le calcul des systèmes hyperstatiques conduit à un système d'équations linéaires. La résolution de tels systèmes peut se faire soit par des méthodes itératives soit par le calcul matriciel. Le chapitre X expose une méthode itérative ; le chapitre XI fait appel au calcul matriciel.
CHAPITRE II OSSATURES A BARRES VERTICALES
ET HORIZONTALES
Pour comprendre le mécanisme des opérations nous allons traiter une série d'exemples de portiques simples.
PREMIER EXEMPLE
Soit le portique ABCD encastré en A et D uniformément chargé sur sa traverse Be.
Nous faisons une première constatation : le portique étant symétrique et symétriquement- chargé il n'y a aucun déplacement latéral.
Calcul des moments d'encastrement.
Par convention le sens positif des rotations est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre.
Le nœud B, sous l'effet de la charge sur la traverse BC, tend à tourner dans le sens des aiguilles d'une montre, le moment d'encastrement en ce nœud sera affecté du signe moins.
On écrit
de même
Les béquilles AB et CD n'étant pas chargées, les moments initiaux à leurs extrémités sont nuls.
Rigidité des barres.
En fait les rigidités des barres n'interviennent dans les calculs que par leur rapport, elles peuvent donc s'exprimer en n'importe quelles unités. Admettons que Il = 70 000 cm4 et 12 = 140 000 cm4, on peut prendre Il — 1 et 12 = 2.
Formules générales des moments aux nœuds en fonction des rotations.
Barre AB. Reprenons la formule générale établie à la page 11 pour un système
à inertie constante.
— Comme il y a encastrement en A, coa = 0 . — Comme il n'y a pas de déplacement latéral ojab = 0. — De plus JllAB = 0 pas de charges sur AB, l'équation se simplifie
On écrit de même
après simplification
Barre Be.
avec
soit
en définitive
Et c'est inutile d'aller plus loin, car, par raison de symétrie, nous aurons
et
donc La seule inconnue est la rotation du nœud b.
1er groupe d'équations.
Il nous suffit d'écrire qu'au nœud B la somme des moments appliqués est nulle.
Nœud B.
avec Eœc = - EWb
on obtient en définitive
d'où
donc
Le problème est résolu.
Moments définitifs.
2 EXEMPLE
Prenons un cas un peu plus compliqué. Considérons le même portique ABCD mais articulé en A et D soumis à une charge ponctuelle sur la traverse Be. Mais on admettra que tout déplacement latéral est empéché par une liaison au niveau de la traverse Be.
Calcul des moments d'encastrement.
Formules générales des moments aux nœuds en fonction des rotations.
Barre AB. Formule générale
nous remarquons que
— ClZAB — 0 pas de charge sur AB — articulation en A donc MAB = 0 — pas de déplacement latéral donc wab = 0
la formule générale devient
d'où
avec
en définitive
3 Ei Nous remarquons que l'on a bien ASA = — comme nous l avions
indiqué à la page 8. Cas d'une poutre articulée à une extrémité.
d'où
Barre BC.
avec
on écrit de même
Barre CD. Nous écrivons directement
En conclusion nous constatons que les inconnues sont cûb et coc ; or nous disposons avec les équations du 1er groupe, qui expriment l'équi- libre des nœuds B et C, de deux équations qui sont suffisantes pour ré- soudre le problème.
1er groupe d'équations.
de ces deux équations nous tirons
En portant ces valeurs dans les formules générales des moments nous obtenons les moments définitifs. d'où
MBA = - EWb = - 11 050 kgm MBA = + 11 050 kgm
MBC = - 21 600 - 1,60 EWb - 0,80 £ooc = - 21 600 - 1,60 (- 11 050) - 0,80 (8 950) MBC = - 11 050 kgm
MCB = 14 400 - 1,60 (8 950) - 0,80 (Il 050) MCB = + 8 940 kgm
MCD = - 8 950 kgm
Efforts tranchants sur appui.
Nous avons vu à la page 8 que
appui de gauche
appui de droite
Remarque. — Ce cas d'ossature est plus fréquent qu'on ne le pense. En effet si nous avons affaire à un bâtiment à ossature comportant des murs pignons pleins, nous remarquons que les poutres de l'ossature sont solidaires de la dalle de plancher, laquelle vient s'ancrer dans les murs pignons et even- tuellement dans les murs de refend.
L'ensemble forme alors un système d'une très grande rigidité et l'ossa- ture ne peut donc subir de déplacement latéral sous l'effet des charges.
3ème EXEMPLE
Etudions maintenant un exemple de portique dissymétrique et non tenu en tête.
Nous voyons immédiatement que les déplacements des nœuds ont une composante verticale nulle en raison de l'existence des 2 appuis invariables A et B : la droite BC reste horizontale, donc œbc = 0 .
Le déplacement horizontal des nœuds B et C situés au même niveau sont égaux, car la traverse BC ne varie pas de longueur, il en résulte que wab = wdc'
Le nombre d'inconnues de cette espèce est de un. Puisque l'ossature comporte trois nœuds susceptibles de tourner, soit
cjb , Wc , cod, le nombre total des inconnues est 3 + 1 = 4, nous remar- quons toutefois que OOD est déterminé en fonction de CJc ce qui réduit les inconnues à 3 (articulation en D).
Moments d'encastrement.
Moments aux nœuds.
IMPRIMERIE LOUIS-JEAN Publications scientifiques et littéraires
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Dépôt légal - 2 72 1969
Imprimé en France
Dépôt légal 1691 N° Dossier 68 21
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