La tablette HT 123: une comptabilité en linéaire A

ROLAND CASH – EVELYNE CASH

LA TABLETTE HT 123: UNE COMPTABILITÉ EN LINÉAIRE A

Objet de la tablette, conséquences sur les valeurs des fractions et la signifi cation du terme 67-02

Le corpus connu des textes disponibles en linéaire A est avant tout constitué par des documents de comptabilité. Il est fréquent qu’on puisse comprendre le sens général d’une tablette au vu de sa struc-ture générale. Dans d’autres cas, le sens est plus obscur. Pourtant, une meilleure compréhension de ces documents devrait permettre de réaliser des progrès dans la connaissance générale de ce langage.

La tablette HT 123a est l’une des plus complexes au sein des docu-ments retrouvés à Haghia Triada. Elle a été discutée par plusieurs auteurs dans le passé, qui y voient un document de comptabilité avec une relation de proportionnalité entre les paramètres mais sans arri-ver à rendre compte de l’ensemble des entrées chiffrées (Was, 1981; Perna, 1991; Facchetti, 2002).

La tablette se lit ainsi, d’après GORILA (translittération des signes communs linéaire A/linéaire B par la valeur phonétique du syllabo-gramme correspondant en linéaire B)1:

Tableau 1: Présentation de la tablette HT 123, d’après GORILA

a.1–2 KI-TA-I • OLIV 31 *308 8 E KI-RO 1 X

a.3–4 PU-VINa OLIV 31 J *308 8 J E KI-RO X

a.4–5 SA-RU OLIV 16 *308 4 A[ ]KI-RO J E

a.6–7 DA-TU OLIV 15 *308 4 E KI-RO J E

a.7–9 KU-RO OLIV 93 J *308[[•]] KU-RO [ ]25H KI-RO 6[

1 La lecture des tablettes provient de GORILA: Louis Godart and Jean-Pierre Olivier, Recueil des inscriptions en Linéaire A. Études Crétoises 21, vols. 1–5 (Paris, 1976– 1985), la translittération à partir des signes du linéaire B étant celle proposée par J. G. Younger sur le site: http://people.ku.edu/~jyounger/LinearA/.

Kadmos Bd. 50, S. 33–62© WALTER DE GRUYTER 2011ISSN 0022-7498 DOI 10.1515/KADMOS.2011.003

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34 Roland Cash – Evelyne Cash

Parmi les noms utilisés, KI-TA-I et DA-TU sont des hapax, PU-VINa se retrouve en HT 14, SA-RU de retrouve en HT 86, HT 94, HT 95.

SA-RU apparaît dans des listes de noms ou plus probablement de toponymes. Il est donc probable qu’on ait ici affaire à des toponymes, d’autant que les nombres sont élevés par rapport à la plupart des autres tablettes où ces produits sont retrouvés, notamment *308 qui, ailleurs, n’est doté que de fractions ou de petits chiffres.

*308 est un idéogramme de signifi cation inconnue. Il apparaît dans les tablettes suivantes: – en HT 23: au milieu d’une liste de produits: CYP, plusieurs entrées de OLE, VIN, *550 (MI-JA-RU), *508, *509 …; *308 y est associé à la fraction H.

Figure 1: tablette HT 123a (GORILA)



La tablette HT 123: une comptabilité en linéaire A 35

– en HT 26: dans une liste avec, en en-tête, un idéogramme de vase; *308 est affecté du chiffre 2.– en HT 32: dans une liste sous SA-RA2, avec OLE, *550, *510, VIN, CYP …, et la fraction J.– en HT 35: au milieu d’une liste de produits: CYP, plusieurs entrées de OLE, VIN, *550, *510 …; *308 y est associé à la fraction B.– en HT Zf 167 de façon isolée.– en ARKH 7: de façon isolée, avec la fraction D.– en KH 12: au milieu d’une liste, avec CYP et MI-JA-RU et plusieurs idéogrammes de vases, avec la fraction J.– en KH 85: au milieu d’une liste, avec OLE, VIN, CYP, un idéo-gramme de vase, sans fraction affectée.

Ainsi, cet idéogramme semble se comporter comme un produit agricole, avec une association à plusieurs reprises à des idéogrammes de vases. On note les valeurs toujours faibles qui y sont associées. Il est tentant d’y voir une forme d’huile; c’est ce qu’a proposé Was (1981). Was propose aussi de voir dans la tablette HT 123a un docu-ment fi scal, où l’unité d’huile correspond à 20% de l’unité d’olives.

KI-RO est un mot fréquent dans le corpus disponible de linéaire A. Il a été suggéré qu’il pouvait jouer le même rôle que «opero» en linéaire B, qui signifi e «manque», «défi cit» (Duhoux, 1989), dans la mesure où il apparaît souvent après une quantité de produit avec un nombre inférieur au précédent. Ceci étant, dans certaines tablettes listant des noms avec la valeur 1, cette signifi cation pose problème (Schoep, 2002).

Les fractions utilisées ici sont indiquées dans la Figure 2.

Figure 2: Fractions utilisées dans HT 123a

Quelques diffi cultés de lecture des entrées chiffrées sont à souligner:a) En deuxième ligne du tableau 1, après KI-RO, une lacune (ligne

4) ne permet pas vraiment de déterminer le ou les signes en cause; GORILA propose d’y lire le signe X ou alors 1+A; la proposition de GORILA provient de l’identifi cation d’un «coin» à la fi n de l’espace disponible, qui peut appartenir à un signe A ou un signe X (cf. fi gure 3):




On peut par extension imaginer aussi 2+A car il est possible de placer un deuxième trait sous le premier avant le supposé signe A, ou même 1+J+A ou 1+E+A; par prudence, nous donnerons à cette inconnue, dans le raisonnement ci-après, le nom de Y.

Figure 3: zoom sur la lecture de GORILA des lignes 4 et 5 de HT 123a

b) En ce qui concerne le signe *308, toujours sur la deuxième ligne du tableau 1, GORILA suggère que 8+E est complété par J, lu en début de ligne 4 (cf. fi gure 3); ce J est assez faible et certains auteurs ont remis en cause cette lecture (Was, 1981). Nous considérerons que ce J est à considérer en variable; aussi, nous l’appellerons J’, qui peut prendre la valeur J ou la valeur 0.

c) En dernière ligne du tableau, le 25+H n’est pas certain, en raison d’une lacune en fi n de ligne 8. Nous considérerons cependant cette lecture comme la seule possible.

d) Enfi n, en fi n de tablette, ligne 9, une lacune ne permet pas d’exclure un complément à 6, complément que nous nommerons x. GORILA mentionne d’ailleurs que ce peut être 6 + fraction ou 7 (fi gure 4).

Figure 4: zoom sur la dernière ligne de HT 123a

En attribuant à JE la valeur de 0,75, qui fait consensus parmi les auteurs, on a alors le récapitulatif donné dans le tableau 2.




Tableau 2: présentation chiffrée de la tablette HT 123

Olives *308 KI-RO

31 8+E 1+X

31+J 8+E+J’ Y

16 4+A 0,75

15 4+E 0,75

TOTAL 93+J 25+H 6+x

On observe que le total de la première colonne est juste.Perna (1991) souligne l’existence d’une quasi proportionnalité de

4 entre les olives et *308. Mais la ligne «total» s’en éloigne en réalité.Lorsqu’on attribue à E la valeur 0,25, on trouve dans la quatrième

ligne du tableau une proportionnalité de 3 entre les olives (15) et la somme des deux autres paramètres: 4,25 + 0,75; cela a conduit certains auteurs2 à admettre ce facteur 3 et à l’appliquer sur les autres lignes (d’autant que sur la ligne TOTAL, ce ratio est facilement vérifi é avec J=0,5, x=0 et H=1/6). Cela omet toutefois de vérifi er l’exactitude des totaux des deux dernières colonnes. Et de fait, en appliquant ce facteur 3 à toutes les lignes, en attribuant aux signes A et X les valeurs ad hoc (ce qui cependant pose un problème pour X qui doit alors prendre la valeur curieuse de 13/12), on ne retrouve pas les bons totaux pour les deux dernières colonnes. Or, au moins dans la deuxième colonne, où fi gure KU-RO après *308, on attendrait un total juste (surtout avec un tel détail dans les décimales).

Pour la troisième colonne, la situation est plus complexe car quelle que soit la valeur de X, si on admet qu’une fraction doit être inférieure à 1, on a des diffi cultés pour trouver un total de 6, sauf à donner à Y une valeur élevée.

Par exemple, si on adopte 6 comme total de la dernière colonne, et si Y=X, il faudrait que X=1,75 pour que l’addition soit correcte. Et si le total est de 7, on aurait X=2,25. Ce ne serait donc pas une fraction mais un signe composite. Ou alors, l’hypothèse Y=X est à rejeter. Si Y=1+X avec un total de 6, on aurait en conséquence X=1,25, ce qui n’est pas plus satisfaisant. Enfi n, avec Y=2+X, cela donnerait X=0,75, déjà pris par JE.

Si par contre on a Y=2+A (il est aisé de vérifi er qu’avec Y=1+A, on n’a pas non plus de solution correcte avec des fractions inférieures à 1), cela conduirait à: 1+X+2+A+0,75+0,75=6, soit: X+A=1,5. Mais 2 Voir le commentaire de HT 123 sur le site http://people.ku.edu/~jyounger/LinearA/.




comme la fraction JA est attestée (une seule occurrence, en HT 120) et devrait être inférieure à 1, on devrait avoir A<1-J. Si J=0,5, on aurait A<0,5 et donc la condition X+A=1,5 conduirait à X>1, ce qu’on voudrait éviter. Si par contre J=0,25, on pourrait avoir A situé entre 0,5 et 0,75, avec en corollaire X situé entre 0,75 et 1.

Une autre diffi culté importante dans l’analyse de ces tablettes comptables est qu’il a été observé à plusieurs reprises que le scribe pouvait faire des erreurs de calcul ! On ne peut pas exclure qu’une telle erreur soit commise dans la troisième colonne, et que le total soit par exemple de 5 seulement ...

Moyennant ces diffi cultés, est-il possible à la fois de trouver une relation de proportionnalité en ligne entre les 3 paramètres et de trouver les totaux corrects sur les 3 colonnes ? Tel est l’objet du raisonnement qui va suivre.

Il est clair que dans cette démarche, l’idée qu’on se fait de l’objet de la tablette (et du sens de KI-RO) entre en jeu. Examinons plusieurs possibilités.

Nous nommerons O le montant d’olives, T le montant de *308 et K le montant de KI-RO.

a) Si on pense que l’on a affaire à un document fi scal, où une taxe s’appliquerait au montant d’olives et/ou au montant d’huile, KI-RO serait le calcul résultant, signifi ant «dû», «taxe à payer». Mais il y a plusieurs possibilités théoriques dans cette hypothèse:• La taxe s’applique aux olives et payable sous forme d’huile (si

*308 est de l’huile, mais le raisonnement est le même pour tout autre produit constituant une modalité de paiement). KI-RO serait alors le reste à payer ou le trop-payé. On attend alors une formule de type: aO=T+K où a est le taux d’imposition, soit aO-T-K=0. Le paramètre a serait une fraction d’entier.

Ainsi, dans l’hypothèse d’une proportionnalité de 3, on pourrait interpréter les choses ainsi: sur un total de n olives, a=1/3 doivent être versés: une partie a déjà été versée, transcrite sous le signe *308 (qui signifi erait alors «déjà payé»), et il resterait à verser la somme inscrite en KI-RO (qui adopterait la signifi cation «reste à payer»). Mais nous avons vu que cette hypothèse d’une proportionnalité de 3 ne permet pas de satisfaire à la condition des totaux des colonnes.

• La taxe s’applique aux olives et à l’huile, et KI-RO est le résultat dû. On attend alors une formule de type: aO+bT=K, où a et b




sont les taux respectivement appliqués aux olives et à l’huile (a peut être égal à b, mais ce n’est pas obligatoire), soit aO+bT-K=0.

• On peut aussi envisager que la taxe ne s’applique qu’à l’huile, et la tablette indiquerait comment on passe d’un montant d’olive donné à un montant d’huile résultant, ce dernier étant taxé. On aurait alors T=kO pour passer des olives à l’huile (k étant une fraction) et K=bT, b étant le taux de taxation sur T. Ceci étant, un rapide calcul montre que ce cas ne peut pas être celui de la tablette (ne serait-ce qu’à cause des lignes 3 et 4 du tableau 1 où K a le même montant pour des entrées différentes de T).

• Dans chacun de ces cas, on peut avoir une exemption partielle, un abattement sur la base d’imposition, de telle sorte qu’on ait:i. Dans le cas où la taxe s’applique aux olives: a(O-E)=T+K, E

étant le montant d’abattement sur la base, soit: aO-T-K=aEii. Dans le cas où la taxe s’applique aux olives et à l’huile: a(O-

E)+b(T-E’)=K, soit: aO+bT-K=aE+bE’• Il est aussi possible de fi xer la taxe en valeur absolue (ce qui

est plus simple pour le collecteur de la taxe). Cette option est rendue probable par l’observation que les entrées sur les 4 lignes du tableau 1 ont des montants très proches: 31 ou la moitié de 31 pour les olives, 8 ou la moitié de 8 pour *308. On pourrait avoir comme principe que chaque zone géographique ait à payer 31 ou 32 unités d’olive et 8 ou 9 unités de *308 (ou la moitié de ces nombres), et que la tablette enregistre les paiements réels, KI-RO notant la différence entre le montant attendu et le reçu réel.

Cette observation est valable que l’on taxe l’un des deux produits ou les deux, et on aurait d’une manière générale: (O-V)+m(T-W)=K, où V et W sont les montants attendus d’olives et de *308, et m un coeffi cient d’équivalence pour pouvoir additionner les deux produits (si m=0, cela signifi e que la taxation ne s’applique qu’aux olives). Cela donne: O+mT-K=V+mW.

Dans cette situation, on peut avoir le cas où O<V ou O>V, et de même T<W ou T>W, si bien que les contributions des deux produits peuvent se compenser en partie, et K serait ici un solde arithmétique du «reste à payer» ou du «trop perçu» selon les cas.

A noter que cette situation se traduit de manière identique dans l’hypothèse d’un versement préalable sur la base d’une valeur




fi xe (ou de sa moitié) et une régularisation après constatation de la production réelle.

• Dans le même esprit, la dernière colonne peut être un forfait fi xe en fonction des quantités indiquées dans les deux premières colonnes. Le fait que l’on ait 0,75 dans les 3ème et 4ème lignes en colonne KI-RO alors que les entrées des produits sont un peu différentes pourrait plaider en ce sens. Il y aurait alors dans les 2 premières lignes de la même façon des nombres similaires en dernière colonne, en l’occurrence 1+X. Mais on se heurte ici au problème évoqué ci-dessus de la valeur de X supérieure à 1 (à moins que le total de cette colonne soit faux).

• On peut enfi n avoir une combinaison entre un forfait fi xe F et une taxation proportionnelle: K=aO+bT+F dans le cas où les 2 produits sont taxés.

b) Nous avons parlé jusqu’à présent de taxation, mais tout le rai-sonnement qui précède peut s’appliquer dans l’autre sens, à savoir une allocation de ces produits à des zones géographiques. La présentation des différents cas est strictement symétrique.

c) Une autre façon de lire la tablette est de simplement la considérer comme une comptabilisation de la production d’huile (cette fois, cela ne fonctionne que si *308 signifi e effectivement une sorte d’huile) à partir d’un certain poids d’olives. Ce serait en quelque sorte le relevé de pressage d’huile. On sait que le rendement de production d’huile varie selon les types d’olives et les techniques, il est actuellement situé entre 11% et 27% quand les deux para-mètres sont mesurés en même unité de poids.

Si r est le rendement de production d’huile à partir d’olives, K peut enregistrer le résidu d’olives non utilisé (on a alors O=T/r+K) ou le différentiel d’huile attendu (on a alors rO=T+K: rO est le résultat théorique du pressage, T le résultat réel et K la différence entre les deux).

d) On peut avoir une table d’équivalence entre différents produits, indiquant combien d’olives il faut pour avoir tant de *308 et tant de KI-RO par exemple, avec une formule par exemple de type: O=cT+dK. Mais alors KI-RO serait dans cette option un produit, non un terme comptable.




e) Enfi n, la tablette peut enregistrer les termes d’un échange de pro-duits.

Ainsi, chaque zone géographique apporterait en théorie 31 ou 32 unités d’olives pour recevoir en contrepartie 8 ou 9 unités de *308 (qui dans ce cas peut être de l’huile ou autre chose), selon une relation d’équivalence pré-établie d’un coeffi cient a. Et la tablette enregistrerait les transactions réelles, KI-RO notant le différentiel entre le théorique et le réel. Ainsi, pour un apport O d’olives, on attendrait un montant de aO du produit *308; la comparaison de ce montant avec T peut conduire à un différentiel, K, tel que K=(aO)-T.

Finalement, pour éclairer le choix entre ces différentes options, et en assumant qu’il existe une relation de proportionnalité entre les 3 paramètres, il nous faut résoudre l’équation générale: a*O + b*T + c*K=Z,où a, b, c et Z sont des nombres réels pouvant prendre toutes valeurs positives ou négatives, de préférence des nombres entiers ou des fractions simples d’entiers.

Z non nul signifi erait qu’il y a abattement sur une partie de la base fi scale, ou qu’il y a un différentiel entre des montants attendus et les montants réels selon les options évoquées ci-dessus, ou encore qu’il existe une taxation forfaitaire non proportionnelle.

En réalité, trois variables suffi sent à décrire une éventuelle propor-tionnalité dans la mesure où on a:O+b/a*T+c/a*K=Z/asoit: O+m*T+n*K=N, si m=b/a, n=c/a et N=Z/a(à condition que a soit différent de 0, mais si a=0, on se trouverait dans le cas où il y aurait seulement une proportionnalité entre T et K, ce qui conduirait à la relation impossible A=E).

Remarquons au préalable qu’il n’y a pas de relation de propor-tionnalité 2 à 2:

• entre O et T d’une part (quand n=0: m=-31/(8+E) d’après l’équation (1) et m=-(31+J)/(8+E+J’) d’après l’équation (2), ce qui donne: 31(8+E+J’)=(31+J)(8+E), soit: 31J’=8J+8E, ce qui conduit, si J’=J, à E=23J/8, impossible),

• entre O et K d’autre part (quand m=0: les équations (3) et (4) sont incompatibles),

• entre T et K non plus comme nous l’avons indiqué.

Voyons le cas où N=0.




Nous recherchons alors une relation de proportionnalité directe entre les paramètres.

Il faut que les différentes valeurs obéissent aux équations suivantes:Equations en lignes:

(1) 31+m(8+E)+n(1+X)=0(2) 31+J+m(8+E+J’)+nY=0 (rappelons que J’ peut prendre la valeur

J ou la valeur 0)(3) 16+m(4+A)+0,75n=0(4) 15+m(4+E)+0,75n=0(5) 93+J+m(25+H)+n(6+x)=0

Totaux des colonnes:Le total de la première colonne est correct, sans inconnues:

31+31+J+16+15=93+J (6) 8+E+8+E+J’+4+A+4+E=25+H(7) 1+X+Y+0,75+0,75=6+x

Nous avons 6 équations indépendantes (compte tenu du total cor-rect de la 1ère colonne, il suffi t d’une autre équation en colonne pour décrire ce système; la dernière équation se déduit des autres) et 10 inconnues (avec J’). Mais si on alloue à E et J (et J’) les valeurs pro-posées dans la littérature, il reste 7 inconnues.

Les valeurs proposées pour les fractions E et J sont (en annexe, fi gurent les éléments de discussion sur ces options):

• Option 1: E=0,50 et J=0,25 avec JE=0,75 (Was, 1971; Facchetti, 1994)

• Option 2: E=0,25 et J=0,50 avec JE=0,75 (Bennett, 1950, 1980)• Option 3: E=0,50, J=0,75 et JE=0,25 (Billigmeier, 1973)

Dans chaque cas, J’ peut être égal à J ou à 0, sauf dans l’option 3 où il serait plus logique de comprendre J’=0. Ceci dit, cette option 3, qui se justifi e à partir de certaines tablettes, pose de nombreuses diffi cultés logiques et ne sera pas davantage investiguée ici (précisément, dans tous les calculs qui suivent, cette option 3 ne donne aucune solution satisfaisante pour HT 123a).

Par ailleurs, certaines conditions doivent être remplies:• x>=0 et <4 en théorie, mais au vu de la discussion ci-dessus

sur les valeurs de X et Y, il est beaucoup plus probable que x ne dépasse pas 1. On ne peut pas exclure même une erreur de totalisation sur cette colonne avec x<0 (si x=-1, le total de la colonne fait 5 au lieu de 6).

• A, H sont des réels positifs, et en principe des fractions simples d’entiers, inférieures à 1, et différentes des valeurs des fractions




connues. Comme il est attesté l’association JA de même que JH, on a en outre les conditions: J+A<1 et J+H<1.

• On devrait avoir aussi en principe X<1, même si nous avons vu que c’était une condition délicate à remplir.

• La valeur de Y doit être compatible avec la lecture de GORILA (par exemple 1+X ou 1+A ou 2+A …).

Développons, pour illustrer le raisonnement, le cas de l’option 1 (E=0,50 et J=0,25) avec J’=J:

(1) 31+m(8,50)+n(1+X)=0(2) 31,25+m(8,75)+nY=0 (3) 16+m(4+A)+0,75n=0(4) 15+m(4,50)+0,75n=0(5) 93,25+m(25+H)+n(6+x)=0(6) 1,75+A=1+H(7) X+Y=3,50+x

Ce qui conduit à:(8) (3)+(4): A=0,50-1/m(9) (8) avec (6): H=1,25-1/m(10) (4) donne: n=(-4,50m-15)/0,75=-6m-20(11) (9) et (10) dans (5): 93,25+m(25+1,25-1/m)+(-6m-20)(6+x)=0

Soit: 93,25+25m+1,25m-1-120-36m-20x-6mx=0Soit: m=-(27,75+20x)/(9,75+6x)

On constate que sur la plage de valeurs théoriquement possibles de x (de -1 à 3), m est négatif.

A partir de ces équations, il suffi t de faire varier x et on obtient les valeurs de m, n, A, H. Les valeurs de X et Y se déduisent ensuite des équations (1) et (2).

Reste à trouver un ensemble de valeurs qui obéit aux conditions énoncées ci-dessus, avec des valeurs de n et m égales à des entiers ou des fractions simples d’entiers. Dans l’option étudiée ici, en faisant varier x de façon incrémentale de -1 à 33, aucune solution remplissant l’ensemble des conditions n’est mise en évidence.

Le tableau 3 donne les valeurs les plus proches d’une solution en partie crédible pour les différentes options, mais à chaque fois, une ou plusieurs valeurs des paramètres ne remplissent pas les critères voulus.

3 Ont été testés des incréments de 1/48, 1/5, 1/7.




Tableau 3: Solutions partielles pour le cas où N=0

Option m n A H X Y x

1 avec J’=J -3 -2 5/6 1+7/12 7/4 2,5 0,75

1 avec J’=J -2,5 -5 9/10 1,65 0,95 1,875 -0,675

1 avec J’=0 -3 -2 5/6 1+1/3 07-avr 2,875 1+1/8

1 avec J’=0 -2,5 -5 9/10 1,4 0,95 2 -0,55

2 avec J’=J -30/9 -10/9 0,55 4/5 2,15 2,1 0,75

2 avec J’=J -3 -3 7/12 5/6 13/12 1,75 -2/3

2 avec J’=0 -30/9 -10/9 0,55 3/10 2,15 3,6 2,25

2 avec J’=0 -3 -3 7/12 1/3 13/12 2,25 -1/6

Lorsque H est supérieur à 1, cela suppose de placer un trait supplé-mentaire en fi n de ligne 8 de la tablette, à l’endroit de la lacune, ce qui n’est pas aisé.

A plusieurs reprises, pour A, on a le problème d’avoir, pour les valeurs indiquées, JA>1, ce que nous cherchons à éviter.

Et surtout, dans la plupart des cas, on a X>1, ce que l’on cherche là aussi à éviter.

Enfi n, les valeurs de Y contredisent la lecture de GORILA.

Pour revenir sur l’hypothèse d’une relation simple: O=3T+3K (c’est-à-dire n=m=-3 dans notre formalisme), tel que le suggèrent certains auteurs sur la base de la quatrième ligne, nous voyons que deux options sont ouvertes dans ce tableau en ce sens (option 2 avec J’=J ou J’=0), et les conditions pour y parvenir seraient les suivantes:

• Il faudrait accepter une erreur en première ligne avec un oubli d’un trait pour avoir non pas 1+X mais 2+X=2+1/12 (puisque nous cherchons un X<1)

• On aurait A=7/12, donc supérieur à 0,5, ce qui conduit à JA>1, ce qui est un problème

• On aurait H=1/3 dans un cas, ce qui ne pose pas de problème (mais s’il est égal à 5/6, on a alors JH>1)

• On aurait Y=1,75 ou 2,25, ce qui est diffi cile à expliquer au regard des indications de GORILA

• Et enfi n, il faudrait admettre une erreur dans le total de la der-nière colonne qui n’est pas de 6 mais de 5+1/3 dans un cas, de 5+5/6 dans l’autre cas (on pourrait plaider ici l’erreur d’arrondi).




Une autre manière de comprendre les choses est d’imaginer des erreurs ponctuelles d’arrondi, mais il faut au moins 2 erreurs pour rendre compte des données (outre l’erreur qu’il faut de toute façon accepter dans le total de la colonne KI-RO); des exemples sont don-nés tableaux 4 et 5.

Tableau 4: option 2 avec J’=J, pour x=-2/3, A=7/12, X=11/12, Y=1+X et H=5/6

Olives *308 KI-RO Différence entre Olives/3 et *308+KI-RO

31 8,25 1+11/12 1/6

31,5 8,75 1+11/12 -1/6

16 4+7/12 0,75 0

15 4,25 0,75 0

TOTAL 93,5 25+5/6 5+1/3 0

Tableau 5: option 2 avec J’=J, pour x=-1, A=7/12, X=11/12, Y=1+A et H=5/6

Olives *308 KI-RO Différence entre Olives/3 et *308+KI-RO

31 8,25 1+11/12 1/6

31,5 8,75 1+7/12 1/6

16 4+7/12 0,75 0

15 4,25 0,75 0

TOTAL 93,5 25+5/6 5 1/3

Outre les «erreurs», on constate que A et H prennent des valeurs supérieures à 0,5, ce qui conduit à JA et JH > 1.

Ainsi, cette option de proportionnalité par 3, pour attractive qu’elle puisse être, se heurte à de nombreuses diffi cultés.

Dans la mesure où les 2 premières lignes et les 2 lignes suivantes présentent des valeurs différentes (autour de 31 et 8 dans la pre-mière catégorie pour les olives et*308 respectivement, et environ la moitié dans l’autre catégorie), on pourrait se dire que les facteurs de proportionnalité m et n entre les paramètres diffèrent entre ces




deux catégories. Cette hypothèse a été testée, mais n’apporte rien de probant.

On peut alors élargir la recherche de solutions à partir de l’équation générale: O+m*T+n*K=N, N étant une constante.

Précisément, nous devons résoudre le système suivant:(1) 31+m(8+E)+n(1+X)=N(2) 31+J+m(8+E+J’)+nY=N (3) 16+m(4+A)+0,75n=N’(4) 15+m(4+E)+0,75n=N’(5) 93+J+m(25+H)+n(6+x)=2N+2N’(6) 8+E+8+E+J’+4+A+4+E=25+H(7) 1+X+Y+0,75+0,75=6+x

Aux deux premières lignes, aux valeurs proches, est affectée la même constante N, et aux deux suivantes, la constante N’. L’intuition conduit à N’=N/2, au vu des valeurs prises par les olives et *308, mais une telle option n’est pas obligatoire.

Pour trouver des solutions, il faut faire varier plusieurs paramètres et déterminer si les valeurs prises par les autres facteurs sont crédibles (puisqu’on a davantage d’inconnues que d’équations). Ces simula-tions ont été réalisées avec un tableur.

Evidemment, de nombreuses solutions se dégagent; il faut des critères de sélection. Ce sont les suivants:

– A et H doivent être inférieurs à 1, différents des valeurs de frac-tions connues (0,25; 0,5; 0,75) et égaux à des fractions simples d’entiers. Il est attendu aussi que A<1-J et H<1-J (et au sens strict, on devrait même avoir A et H<J, puisqu’il est attesté les formes JA et JH, mais cette condition n’est pas absolue)

– 0<X<1 et différent de valeurs connues (0,25; 0,5; 0,75)– 0<Y<=4 et d’une manière générale, doit avoir une valeur com-

patible avec la lecture de GORILA. Cette condition portant sur Y est la plus contraignante.

– x=fraction ou 1 (par extension, au vu de la lacune, on peut même avoir un chiffre supérieur à 7); et si une erreur de calcul porte sur cette zone, on peut attendre à l’inverse x situé entre -1 et 0 (ainsi, si x=-1, le total n’est pas de 6 mais de 5).

– et par ailleurs, il est logique d’attendre que m et n soient entiers (ou éventuellement des moitiés d’entiers), ou alors 1/n et m/n doivent être entiers, ou encore 1/m et n/m.




i) Prenons en premier lieu l’hypothèse simple où m=n, c’est-à-dire que l’on considère que l’on peut additionner le montant de *308 et le montant de KI-RO, affectés d’un même facteur de propor-tionnalité.On a:(1) 31+n(8+E+1+X)=N(2) 31+J+n(8+E+J’+Y)=N (3) 16+n(4+A+0,75)=N’(4) 15+n(4+E+0,75)=N’(5) 93+J+n(25+H+6+x)=3N(6) 8+E+8+E+J’+4+A+4+E=25+H(7) 1+X+Y+0,75+0,75=6+x

Quelques solutions se présentent pour x=-1 (tableau 6).

Tableau 6: Solutions possibles dans l’hypothèse d’un facteur de proportionnalité identique pour *308 et KI-RO

Option N N’ n A H X Y x

2 avec J’=J 0,5 0 -3 7/12 5/6 11/12 1+A -1

2 avec J’=0 1,25 0 -3 7/12 1/3 2/3 1,25+A -1

2 avec J’=0 16,25 7,5 -1,5 11/12 2/3 7/12 1+A -1

Ces solutions ne sont pas faciles à interpréter, car N et N’ ne sont pas dans une relation simple, et en outre, A prend une valeur conduisant à JA>1.

ii) On considère que m et n peuvent être différents, mais pour donner au système une cohérence avec les valeurs observées, on admet que N’=N/2 (puisque les deux premières lignes ont une quantité d’olives très proche, de l’ordre de 31, et les 2 lignes suivantes tournent autour de la moitié de 31).Nous avons testé aussi la possibilité N’=N, mais cela ne conduit à aucune solution valable. Plusieurs façons de procéder ont été testées, la principale consistant à faire varier A entre 0 et 1 par incréments de 1/240 et X entre 0 et 1 par incréments de 1/240 (en assumant que X est une fraction forcément inférieure à 1; il s’agit d’une condition contraignante puisque de nombreuses solutions existent avec X>1). En fi xant ces deux paramètres, les autres s’en déduisent à partir des équations issues du système ci-dessus:




(6): 3E+J’+A=1+H pour déduire H(3)-(4): 1+m(A-E)=0 pour déduire m(3)+(4)-(1): mA+n(0,5-X)=0 pour déduire n(3)+(4)-(2): mA-J-mJ’+n(1,5-Y)=0 pour déduire Y(7): X+Y=3,5+x pour déduire xEt l’une des équations (1) ou (2) pour déduire N

Le tableau 7 présente différentes solutions identifi ées dans ce cadre.

Tableau 7: Solutions possibles dans le cas général

Option N m n A H X Y x

2 avec J’=J 70,25 5 -1,5 0,05 0,3 0,333 3+X 0,167

2 avec J’=J 65 5 -5 0,05 0,3 0,45 2+A -1

1 avec J’=0 59,25 3 1,5 0,166 0,666 0,833 1,5+A -1

2 avec J’=J 68 5 -3 0,05 0,3 0,4166 2+X -0,666

2 avec J’=J 93,5 8 -3 0,125 0,375 0,166 2,5+X -0,666

Nous ne présentons que les solutions où Y a une relation avec X ou A; d’autres solutions existent avec Y>3 mais qu’on ne peut pas expliquer avec les données de la tablette.

La première solution répond à la condition d’une relation entre Y et X, mais avec Y=3+X; il faut donc trouver la place pour 3 traits dans la lacune de cet endroit de la tablette, tout en laissant la place pour X, ce qui est diffi cile.

Les deux solutions suivantes supposent une erreur de scribe sur le total de la colonne KI-RO avec un total de 5 au lieu de 6 (x=-1)4. Les deux dernières solutions supposent aussi une erreur sur ce total mais plus diffi cile à admettre avec x=-2/3.

La meilleure solution, répondant à l’ensemble des critères, avec des nombres entiers, est donc la deuxième de ce tableau avec l’équation suivante (pour les lignes (1) et (2)): O+5T-5K=65, ce qui peut se traduire par la relation: O/5+T-13=K, ce qui donne par exemple: (O-30)/5 + (T-7) = K.

La troisième solution présente davantage de diffi cultés; elle conduit à Y égal à 1+E+A, et la formule est un peu plus complexe, ne repo-sant pas sur des nombres entiers (par exemple, on peut comprendre: 2/3(33-O)+2(8,75-T)=K).

4 On remarquera qu’ainsi, les faces a et b ont le même montant de KI-RO, à savoir 5.




Une autre erreur possible serait un oubli d’un trait en fi n de pre-mière ligne: on aurait 2+X au lieu de 1+X après KI-RO. La solution suivante répond alors aux critères, dans l’option 2 avec J’=0: O-12T-3K=-76,5, avec x=1,333, A=1/3, H=1/12, X=5/6 et Y=3 ce qui donne par exemple: (O-31,5) + 12(9-T) = 3K Mais il faut placer 3 traits à la place de Y, et la formule est plus complexe que précédemment.

Si on va jusqu’à considérer x=-2, pour garder l’idée d’une erreur simple de total dans la colonne KI-RO, tout en maintenant les mêmes conditions, on ne trouve pas d’autre solution satisfaisante5.

Si par ailleurs on impose comme condition X=2A (hypothèse proposée par Bennett au vu de la forme des signes), on n’a pas de solution, à moins d’admettre x=-1,50 ou x=-1,75, ce qui semble très peu probable.

Finalement, après ce tri des solutions possibles, nous aboutissons à une solution répondant à l’ensemble des critères de lecture de la tablette, à base de paramètres entiers, moyennant une erreur dans le total de la colonne KI-RO (il ne devrait y avoir que 5 traits verticaux au lieu de 6): (O-30)/5 + (T-7) = K

Cette solution se place dans le cadre de l’option 2 de la valeur des fractions, à savoir J=0,5 et E=0,25, qui a certains autres arguments en sa faveur (cf. annexe).

Elle permet de déterminer des valeurs de fractions pour A (1/20), H (3/10) et X (9/20).

Et la tablette se lirait comme indiqué dans le tableau 8.

Tableau 8: solution proposée pour HT 123a

Olives *308 KI-ROHypothèse d’un différentiel sur les

2 produits par rapport à des valeurs fi xes

31 8,25 1,45 1,45=(31-30)/5+(8,25-7)

31,5 8,75 2,05 2,05=(31,5-30)/5+(8,75-7)

16 4,05 0,75 0,75=(16-15)/5+(4,05-3,5)

15 4,25 0,75 0,75=(15-15)/5+(4,25-3,5)

TOTAL 93,5 25,3 5 5=(93,5-90)/5+(25,3-21)

5 On a par exemple: dans l’option 2 avec J’=0: -O/10+T/2=K-0,25, avec A=0,45, H=0,2, X=0,275 et Y=1,225 soit Y=A+J+X, assez diffi cile à placer.




Cette solution permet d’effectuer une sélection parmi les différentes hypothèses de lecture détaillées plus haut.

La tablette peut signifi er que les montants de 30 et 7 sont les montants attendus par l’autorité fi scale (ou la moitié), fi xés en valeur absolue, et qu’il y eu un trop versé par les toponymes; ou alors il y a eu des versements antérieurs, sur une base forfaitaire, et cette tablette régularise la situation au regard des productions réelles (cette dernière façon de raisonner peut aussi conduire à lire à l’inverse les entrées chiffrées comme des versements aux toponymes par l’autorité en charge de la distribution des biens après une première distribution forfaitaire).

L’hypothèse d’un abattement sur les bases fi scales paraît moins plausible, car les montants fi xes paraissent élevés pour un abattement.

En tout état de cause, les montants des olives et de *308 sont tous deux taxés (ils sont du même signe dans cette équation) et il y a un coeffi cient de 1/5 sur les olives pour pouvoir additionner les deux produits. Peut-être est-ce un facteur de conversion conventionnel pour passer des olives à l’huile. KI-RO représente le résultat de l’opération, donc un différentiel (soit pour une taxe, soit pour un versement aux toponymes).

Et certaines autres hypothèses sont maintenant exclues:• L’hypothèse d’une taxation «simple» du type aO=T+K ou

aO+bT=K ne donne aucune solution.• L’hypothèse de l’enregistrement de production d’huile à partir

d’olives, selon la formule rO=T+K ou O=T/r+K ne conduit à aucune solution.

• L’hypothèse d’une table d’équivalence entre produits, de type O=cT+dK, est à rejeter.

• Et de même, l’hypothèse d’un échange de produits: avec aO-T=K n’offre pas de solution.

Finalement, on est conduit à la conclusion que la tablette se lit comme un document fi scal ou un document de versement, avec calcul d’un différentiel entre montant réel et montant attendu (ou entre montant réel et montant versé antérieurement).

Cette solution confi rmerait ainsi:• l’orientation donnée pour les valeurs de J et E, respectivement

de 0,50 et 0,25, en accord avec Bennett et Olivier (mais en contradiction avec Was et Facchetti);

• la signifi cation de KI-RO comme terme comptable traduisant un différentiel.




Ces résultats permettent-ils de comprendre la face b de la tablette HT123 ?

Cette face b apparaît très complexe et fait apparaître, comme la face a, KU-RO et KI-RO en fi n de calcul.

Figure 5: tablette HT 123b (GORILA)

Tableau 9: présentation de HT 123b, d’après GORILA

b.1 *188 *308 11

b.1 *312 1 J E

b.2 TI-DA-TA •

b.2 PI-SA 4

b.2-3 *188 1

b.3 *188-DU 10




b.3-4 TU-PA-DI-DA JL2

b.4 •

b.4 KA-NA[

b.4-5 ]SI-DU A

b.5 DU-MA-I-NA E F

b.6 KU-RO 20

b.6 KI-RO 5[

b.7 ]vacat

Il peut exister certains doutes dans l’interprétation des diviseurs: s’agit-il d’un diviseur ou du nombre 10 en ligne b3 ? La lecture de 10 n’est pas certaine. Par ailleurs, ligne b2, sous le TA, fi gure un trait qu’on pourrait interpréter comme le chiffre 1 (ce que ne fait pas GORILA).

Il se peut aussi que le signe A soit en fait à lire comme le signe 03 et non comme une fraction en ligne 5, ou inversement en ligne 3.

Enfi n, il y a une lacune ligne 4 où fi gure probablement une entrée chiffrée. Appelons z cette lacune.

La plupart des noms ne se retrouvent pas ailleurs; on retrouve seulement KA-NA sur une autre tablette (HT 23).

On ne sait pas quelles lignes correspondent au total en KU-RO et lesquelles aboutissent au montant de KI-RO, et il y a peut-être des chiffres à soustraire plutôt qu’à additionner pour obtenir les bons totaux, mais en tout état de cause, la combinaison des fractions de cette tablette conduit à des totaux KU-RO et KI-RO ne présentant pas de fractions.

Ainsi, on aurait, dans le cas d’une addition de tous les nombres: JE+JL2+A+EF+z=N (N étant un entier, égal à 2 ou 3), avec une indépendance par rapport aux options sur J et E puisqu’on a 2 fois E et deux fois J, ce qui donne L2+A+F+z=N-1,5

Si on adopte les valeurs proposées dans l’option 2 pour F (1/8) et L2 (3/20) (cf. annexe), et que l’on utilise la valeur de A (1/20) trouvée en HT 123a, on obtient:13/40+z=N-1,5

Ce qui donnerait N=2 et z=7/40 (par exemple F+A), ou encore N=3 et z=1+7/40 (1+F+A). Au vu de l’espace laissé ligne 4, toutefois, il paraît diffi cile de placer 2 signes tels que F et A. Mais peut-être que




le signe 03 en ligne 3 signifi e en fait la fraction A et que la lacune de la ligne 4 contient seulement le signe F ou 1+F. Ainsi, malgré ces incertitudes, on arrive à la conclusion que la somme des fractions et de la lacune z pourraient faire un total entier de 2 ou 3.

Moyennant cette estimation, si l’on s’en tient à la lecture de GORILA, l’ensemble des entrées chiffrées additionnées atteindrait alors 29 ou 30, ce qui est supérieur à la somme de KU-RO et KI-RO.

Si on considère le point en ligne 3 comme une césure et non un «10», ce total atteindrait 19 ou 20, ce qui est proche du total de KU-RO. On arrive à 20 en admettant N=3 et z=1+F, ou en lisant le trait en dessous de TA ligne 2 comme le chiffre 1 avec et z=F.

Le total KU-RO serait expliqué, mais pas celui de KI-RO. Il se peut que certaines lignes interviennent en soustraction, et le

calcul présenté dans le tableau 10, gardant le principe du nombre 10 en ligne 3, pourrait alors être plausible.

Tableau 10: lecture possible de HT 123b

Comptabilisation principale Déductions Solde

*188 *308 11 *312 1JE

TI-DA-TA 1 11 - 2,75 = 8,25

diviseur PI-SA 4 *188 1 4 – 1 = 3

*188-DU 10 TU A

DI-DA JL2

diviseur KA-NA F

SI-DU A

DU-MA-I-NA EF 10 - 1,25 = 8,75

TOTAL 25 5 20

Note: en italique souligné, fi gurent les hypothèses qui contredisent ou complètent la lecture de GORILA:

• Le trait sous le TA en ligne 2 est un 1 dans notre hypothèse• Le signe 03 en ligne 3 serait la fraction A• Et la lacune ligne 4 (que nous avons appelée z) correspondrait

à la fraction F.

Il y aurait ainsi 3 groupes avec dans chaque groupe, un montant élevé et une ou des déductions de faible valeur.




Ce que nous avons mis dans la colonne «déductions» correspond aux petits chiffres et peut en effet jouer le rôle de petites sommes à soustraire. Dans le premier et le troisième cas, dans le cadre de ce raisonnement, la déduction est répartie sur plusieurs termes: ce peut signifi er une répartition du prélèvement entre plusieurs acteurs.

Le signe *188 ne joue pas un rôle aisé à comprendre dans cette tablette. Il apparaît dans les 3 groupes identifi és, mais pas toujours à la même place. Dans le premier et le troisième cas, il précède le signe qui annonce la valeur élevée: *308 pour le nombre 11 d’une part, DU pour le nombre 10 d’autre part. Dans le deuxième volet, le *188 serait du côté de la déduction.

Il y a une forme de régularité dans ces déductions: dans les deux premiers cas, la déduction représente ¼ de l’entrée précédente (2,75 sur 11 dans le premier cas, 1 sur 4 dans le deuxième cas). Dans le troisième cas, la déduction représente 1/8 de 10. KI-RO semble donc là encore jouer un rôle de taxation proportionnelle; même si elle est diffi cile à comprendre, il est très probable qu’il existe une règle sous-jacente.

Les valeurs des fractions

Toutes ces réfl exions nous ont permis d’avancer quelques arguments sur les valeurs des fractions. Les valeurs proposées dans ce travail, complétant les analyses réalisées par d’autres auteurs (cf. annexe), laissent supposer que le système de comptabilité du linéaire A pour-rait utiliser des fractions de 20 ou de 40, voire de 80. Sachant qu’on peut combiner deux (voire trois) signes pour construire une fraction (comme JE=3/4), on peut construire un tableau représentant les dif-férentes valeurs à partir des identifi cations proposées des différents signes et des associations attestées (tableau 9).

Les autres caractères de fractions (Figure 6) peuvent être mobilisés pour cela, en prenant en compte certaines valeurs possibles qui leur ont été attribuées dans la littérature (cf. annexe), à savoir 1/8 pour F, 1/5 pour B, 1/16 pour K, 3/20 pour L2 (d’autres fractions sont répertoriées, mais trop rares pour raisonner dessus).

Figure 6: Autres fractions




En ce qui concerne le signe D, qui n’est jamais associé avec un autre, on le retrouve sous 3 formes: D, DD et DDDD. Sachant que par prin-cipe, DDDD<1, cette confi guration fait fortement penser à la série suivante: D=1/6, DD=2/6=1/3 et DDDD=4/6=2/3. Cela permettrait d’attribuer des signes à ces fractions qui ont toutes les chances d’être fréquemment utilisées (une autre possibilité serait 1/5, 2/5 et 4/5 respectivement mais la valeur de 1/5 est a priori déjà prise par B).

Tableau 11: propositions de fractions par incrément de 1/20

Formes fractionnaires attestées en lin. A Formes

fractionnaires non attestées

mais possiblesFractions Valeurs probables Valeurs possibles

1/20 A

2/20=1/10 AA

3/20 L2

4/20=1/5 B

5/20=1/4 E

6/20=3/10 H EA

7/20 HA

8/20=2/5 BB EL2

9/20 X ou EB ou ABB

10/20=1/2 J ou EE

11/20 JA HE

12/20=3/5 HH ou XL2

13/20 JL2 XB

14/20=7/10 JB XE

15/20=3/4 JE

16/20=4/5 JH JEA

17/20

18/20=9/10 JEL2 XX

19/20 JEB JX




Les formes fractionnaires attestées sont présentées sur deux colonnes, pour mettre à part le cas de L2 pour laquelle est proposée la valeur de 3/20, mais qui demanderait qu’on y voie plus clair sur la série L.

Lorsqu’aucune fraction n’est attestée dans ces deux colonnes, la zone est grisée, mais on constate que des fractions associées sont possibles pour expliquer certains de ces cas, même si on ne les a pas retrouvées: ainsi AA pour 1/10, HA pour 7/20, HH pour 12/20. Seule la fraction 17/20 reste sans option.

Toutefois, on observe que si un signe était affecté à 1/10, ce qui est probable (de la série L par exemple), on aurait facilement la solution aux autres zones grisées: en appelant d ce signe non identifi é, on aurait Ed pour 7/20, Jd pour 12/20, JEd pour 17/20.

On observe que X est situé dans une zone où deux autres associa-tions sont attestées: EB (une fois, lecture de GORILA en KH 9) et ABB, mais dans le cas de ABB (retrouvé une seule fois, en KH 86), on peut remarquer la proximité formelle entre X et ABB (Figure 7).

Figure 7: Signes X et ABB

Il peut y avoir assimilation des 2 types de signes.

Dans le même ordre d’idée, on pourrait suggérer que W puisse être assimilé à BB, mais seule l’intuition permet de l’affi rmer.

Allons plus loin en faisant le même exercice sur les fractions en n/40, en intégrant F=1/8 (tableau 12).

Tableau 12: propositions de fractions par incrément de 1/40

Formes fractionnaires attestées en lin. A Formes fractionnaires

non attestées mais possiblesFractions Valeurs

probablesValeurs possibles

1/40

2/40=1/20 A

3/40

4/40=1/10 AA




5/40=1/8 F

6/40=3/20 L2

7/40 FA

8/40=1/5 B

9/40

10/40=1/4 E

11/40 FL2

12/40=3/10 H EA

13/40 BF

14/40=7/20 HA

15/40=3/8 EF

16/40=2/5 BB EL2

17/40 HF

18/40=9/20 X ou EB ou ABB

19/40

20/40=1/2 J ou EE

21/40

22/40=11/20 JA HE

23/40 XF

24/40=3/5 HH ou XL2

25/40=5/8 JF

26/40=13/20 JL2 XB

27/40

28/40=7/10 JB XE

29/40

30/40=3/4 JE

31/40

32/40=4/5 JH JEA

33/40

34/40=17/20




35/40=7/8 JEF

36/40=9/10 JEL2 XX

37/40

38/40=19/20 JEB JX

39/40

Il y a davantage de zones grisées et davantage de besoins d’iden-tifi cation de signes fractionnaires (même si en pratique, certaines fractions ne sont pas forcément nécessaires, par exemple 37/40 …). La logique voudrait qu’on affecte un signe notamment aux valeurs 1/40 et 4/40=1/10, ce qui permettrait, par associations avec les autres signes, de remplir la plupart des «trous».

Or, on dispose pour cela de bons candidats avec L3, L4 et L6. On peut tenter de leur attribuer des valeurs en étudiant les associations dans lesquelles ces signes sont impliqués. Sont attestés: EL4, EL6, L2L4, BL6, L3L3.

Comme on trouve par ailleurs L2L4 et LL2, il est hautement pro-bable que l’ordre soit le suivant: L>L2>L3>L4>L66.

Le fait qu’existe L2L4 peut laisser penser que ce terme occupe une zone non identifi ée. Si L4 était égal à 1/20 par exemple, on aurait L2L4=1/5, déjà connu. Si L4 était égal à 2/20, on aurait L2L4=1/4, déjà connu aussi. Il ressort que L4 pourrait prendre la valeur 3/40 ou 1/40 (à moins que sa valeur soit en dehors de ce tableau). SI L4=3/40, L2L4 serait égal à 9/40 et EL4 serait égal à 13/40. Si L4=1/40, L2L4 serait alors égal à 7/40 et EL4 à 11/40.

L3 prendrait alors une valeur intermédiaire entre L2 et L4. Si L4 vaut 3/40, on pourrait avoir L3 égal à 4/40, soit 1/10 (mais pas 5/40=1/8 déjà pris par F). Si L4 vaut 1/40, on peut proposer pour L3 la valeur 3/40.

Quelle peut alors être la valeur de L ? On retrouve cette fraction dans les associations suivantes: LL2, LAA, LE, LL. La fraction L est donc supérieure à 3/20, même probablement supérieure à 1/4, et inférieure à 1/2. Si on poursuit notre recherche de comblement des lacunes dans le tableau 12, la valeur pour L qui permettrait de répondre à une majorité de cas serait 17/40.

On pourrait poursuivre le raisonnement en cherchant à «remplir» les cases des fractions en n/80, en introduisant K=1/16, mais sans

6 Il y a toutefois une diffi culté avec l’existence de KL2 à plusieurs reprises; si K=1/16, on n’aurait pas dans ce cas K>L2.




pouvoir avancer davantage dans la compréhension de la série L (il faudrait spéculer que L6=1/80 ).

Quoi qu’il en soit, l’hypothèse d’une série de fractions permettant de prendre quasiment toutes les valeurs en n/40 paraît solide.

Bibliographie

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Annexe: Discussion sur les valeurs de fractions proposées dans la littérature

Le tableau suivant reprend les cas des différentes tablettes (autres que HT 123) où on peut discuter les valeurs des fractions, dans l’Option 1 (J=0,25, E=0,5, JE=0,75), et dans l’Option 2 (J=0,5, E=0,25, JE=0,75).

L’option 3 (J=0,75, E=0,50, JE=0,25) est aussi mentionnée à cer-tains moments, pour les tablettes où cette option a pu être défendue.

On constate à la lecture de ce tableau que les deux options restent possibles. Bennett, d’ailleurs, dans un article de 19807, soulevait ce problème d’indécidabilité, et se rétractait sur ses premières propo-sitions de 1950, sans pouvoir conclure de manière défi nitive. Il ne discutait pas cependant la tablette HT Zd 155-156-157, qui est en faveur de l’option 2.7 Bennett E. L. Jr., Linear A fractional retractation, Kadmos 19, 1980, 12–23.




Tab

lett

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Opt

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1: E

=0,5

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J=

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Opt

ion

2: E

=0,2

5 et

J=

0,50

Con

clus

ion

HT

9a:

on

a un

to

tal d

e 31

JE a

lors

qu

’on

a en

ent

rées

: 5J

E+1

0+4+

2+2J

+2J+

4E=

29+J

E+2

J+E

Soit

: 2=2

J+E

Un

trai

t ve

rtic

al d

u to

tal d

e 31

a

été

ajou

té a

près

cou

p.L

a so

luti

on im

méd

iate

la p

lus

sim

ple,

si l

es d

onné

es s

ont

corr

ecte

s, e

st J

=0,7

5 et

E=0

,5,

ce q

ui p

ourr

ait

sign

ifi er

que

JE

=J-E

=0,2

5 (o

ptio

n 3)

A n

oter

qu’

en f

ace

b, le

tot

al

de 2

4 es

t ju

ste

On

aura

it 2

J+E

=1et

il f

aut

adm

ettr

e qu

e le

sc

ribe

a a

jout

é à

tort

le

trai

t su

pplé

men

tair

e

2J+E

=1,2

5Il

est

dif

fi cile

de

rend

re

just

e l’a

ddit

ion,

sau

f à

com

pren

dre

que

le s

crib

e a

vu s

on e

rreu

r au

reg

ard

du t

otal

de

30JE

(30

,75)

au

lieu

de

31 e

t a

impa

r-fa

item

ent

corr

igé

le t

otal

Fort

arg

umen

t po

ur l’

opti

on 3

.A

déf

aut,

plu

tôt

en f

aveu

r de

l’o

ptio

n 1

HT

104

: on

a un

to

tal d

e 95

pou

r le

s en

trée

s su

ivan

tes:

45

J+20

(J)+

29=9

4+J+

(J)

Le

deux

ièm

e J

est

en p

arti

e ef

facé

. Ce

peut

êtr

e 1+

une

frac

tion

ou

J+un

e fr

acti

on

Il f

aut

adm

ettr

e JE

en

deux

ièm

e lig

ne p

our

avoi

r un

tot

al c

orre

ct(R

q: c

ela

fonc

tion

ne

auss

i en

opti

on 3

)

En

lisan

t 20

J à

la d

eu-

xièm

e lig

ne (

vers

ion

GO

RIL

A),

on

a un

tot

al

corr

ect

Plut

ôt e

n fa

veur

de

l’op

tion

2

HT

13:

on

a un

tot

al

de 1

30J

pour

les

entr

ées

suiv

ante

s:

5J[]

+56+

27J+

18 (

ou 1

7)

+19+

5

Ave

c 18

en

4ème l

igne

, le

tota

l n’

est

pas

corr

ect,

la s

omm

e de

s en

trée

s fa

isan

t 13

0+2J

Mêm

e si

on

lit 1

7 en

4èm

e lig

ne, o

u qu

e l’o

n co

rrig

e lig

ne 2

, il e

st d

iffi c

ile d

e re

ndre

l’ad

diti

on ju

ste

Mêm

e pr

oblè

me

Non

con

clus

if (

et

l’opt

ion

3 n’

est

pas

mei

lleur

e)

HT

Zd

155,

156

, 157

: on

lit

la s

éque

nce:

*319

] [

NE

1 N

E 1

J

*319

2 E

*31

9 3

EF

TA

-JA

K [

Il a

été

pro

posé

de

lire

ici u

ne

prog

ress

ion

géom

étri

que

La

séri

e se

lit:

1 /

1,25

/ 2,

5 / 3

,5+F

/ ?

Sans

pro

gres

sion

logi

que

évid

ente

La

séri

e se

lit:

1 /

1,5

/ 2,

25 /

3,37

5 / 5

,062

5en

pre

nant

F=1

/8, K

=1/1

6 et

TA

JA=5

Séri

e gé

omét

riqu

e de

ra

ison

3/2

En

fave

ur d

e l’o

ptio

n 2




HT

93: o

n a

un t

otal

de

165H

en

face

b (

mêm

e si

KU

-RO

est

eff

acé)

, su

ivi d

’un

KI-

RO

ave

c un

chi

ffre

man

quan

t,

pour

des

ent

rées

(f

ace

a) t

otal

isan

t:

159+

J+JH

+JE

+J+F

Ce

qui d

onne

: 4J+

E+F

=6

Mai

s il

exis

te d

es la

cune

s en

lig

nes

a8 e

t a9

, et

en b

1; a

ussi

on

a p

lutô

t 4J

+E+F

+x=6

x ét

ant

une

inco

nnue

rés

uman

t le

s la

cune

s

F+x=

4,5

F+x=

3,75

Si F

=1/8

, x=3

+J+F

Non

con

clus

if

PE1:

on

peut

lire

une

re

lati

on d

e pr

opor

tion

-na

lité

½ e

ntre

VIR

et

GR

A+P

A: d

’une

par

t 72

et 3

6, e

t d’

autr

e pa

rt 5

0[

et 2

6J

La

lacu

ne a

près

50

doit

êtr

e in

terp

rété

eL

ison

s 52

+E, e

t on

a b

ien

52,5

0/2=

26+J

Lis

ons

53 e

t on

a b

ien

53/2

=26+

JN

on c

oncl

usif

Con

séqu

ence

s su

r d’

autr

es c

arac

tère

sK

H 7

: une

rel

atio

n de

pr

opor

tion

nalit

é se

lit

entr

e V

IR+*

313b

et

CY

P+D

, ave

c re

spec

tive

-m

ent

10 e

t J

d’un

e pa

rt,

4 et

B d

’aut

re p

art.

Si

J/10

=B/4

, alo

rs B

=4J/

10

On

iden

tifi e

aus

si 1

8 et

1JE

L2,

m

ais

avec

18,

le r

atio

ne

peut

êt

re le

mêm

e.O

r, il

y a

une

lacu

ne a

vant

le

18.

B=1

/10

L2=

4/20

=1/5

il fa

ut li

re 7

8 au

lieu

de

18…

mai

s il

n’y

a pa

s la

pla

ce !

on

aura

it

J/10

=(1+

J+E

+L2)

/78,

soi

t:L

2=78

J/10

-J-E

-1

B=1

/5L

2=3/

20

en li

sant

38

au li

eu d

e 18

; on

a J

/10=

(1+J

+E+L

2)/3

8,

soit

:L

2=38

J/10

-J-E

-1

Si o

n ad

opte

le

rais

onne

men

t su

r L

2, e

n fa

veur

de

l’opt

ion

2

HT

Zd

155,

156

, 157

: cf

. ci-

dess

usF=

1/8

K=1

/16




HT

8a

et b

: tab

lett

e av

ec

2 pa

rtie

s sé

paré

es p

ar u

n gr

and

trai

t ho

rizo

ntal

, un

e co

mm

ença

nt p

ar 1

0,

l’aut

re c

omm

ença

nt p

ar

5, q

ue l’

on p

eut

inte

rpré

-te

r co

mm

e de

s qu

anti

tés

à ré

part

ir

Prob

lèm

es:

* au

cun

tota

l n’e

st ju

ste

si o

n co

nsid

ère

chaq

ue p

arti

e sé

pa-

rém

ent

avec

ces

deu

x op

tion

s (m

ais

on p

ourr

ait

trou

ver

le

bon

tota

l de

la f

ace

a av

ec

J=0,

75 e

t E

=0,5

ave

c JE

=0,2

5 co

mm

e en

HT

9: o

ptio

n 3)

* la

tab

lett

e se

ter

min

e pa

r de

ux f

ois

un J

qu’

il es

t po

ssib

le

d’in

terp

réte

r de

plu

sieu

rs

faço

ns: r

ésid

u de

dis

trib

utio

n,

défi c

it, r

épét

itio

n d’

une

entr

ée

(la

prem

ière

éta

nt p

eu li

sibl

e)

1ère p

arti

e: 1

0 à

dist

ri-

buer

, les

ent

rées

qui

su

iven

t to

talis

ant

9 2èm

e par

tie:

5 à

dis

trib

uer,

le

s en

trée

s qu

i sui

vent

to

talis

ant

5+2F

si o

n om

et le

der

nier

JE

n ag

rége

ant

les

deux

pa

rtie

s de

la t

able

tte,

15

=9+5

+2F(

+/-J

), s

oit

F=1(

+/-J

)/2

Poss

ibili

tés:

le d

erni

er J

es

t un

rés

idu

et F

=3/8

ou le

der

nier

J e

st u

n dé

fi cit

, et

F=5/

8 (m

ais

cela

pos

erai

t pr

oblè

me

pour

le s

igne

EF

qui

fera

it 9

/8)

1ère p

arti

e: 1

0 à

dist

ribu

er,

les

entr

ées

qui s

uive

nt

tota

lisan

t 9,

5 2èm

e par

tie:

5 à

dis

trib

uer,

le

s en

trée

s qu

i sui

vent

to

talis

ant

5,25

+2F

si o

n om

et le

der

nier

JE

n ag

rége

ant

les

deux

pa

rtie

s de

la t

able

tte,

15

=9,5

+5,2

5+2F

(+/-

J),

soit

F=0

,25(

+/-J

)/2

Poss

ibili

tés:

le

der

nier

J e

st u

ne r

éécr

i-tu

re e

t F=

1/8

ou le

der

nier

J e

st u

n dé

fi cit

, et

F=3/

8

Non

con

clus

if



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La tablette HT 123: une comptabilité en linéaire A