Laboratoire dInformatique pour la Mécanique et les Sciences de lIngénieur Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D de l'amplification d'onde thermoacoustique

Laboratoire d’Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l’Ingénieur

Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D

de l'amplification d'onde thermoacoustique

O. Hireche, K. Sodjavi, C. Weisman, D. Baltean-Carlès, M. Xavier-François, P. Le Quéré , LIMSI-CNRS, Orsay, France

et L. Bauwens, Université de Calgary, Canada

Générateur d’ondes Thermoacoustique

Résonateur

Charge: refrigérateur

Qc Qf

Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009

Objectif : simulation et analyse de l’amplification d’onde thermoacoustique , à partir d’un zoom sur la cellule active

Modèle en 2 parties : analyse multi-échelle

Equations d’Euler + Développement Faible Mach dans les résonateurs gauche et droit (acoustique linéaire) : solution analytique 1D par méthode des caractéristiques

Equations de Navier-Stokes + Développement Faible Mach dans la cellule active (échangeurs + stack) : solution numérique 2D

2/31

Domaine de simulation 2D : cellule active

Echangeur chaud Echangeur froid

Acoustique linéaire 1D

Acoustique Linéaire 1D

Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 3/31

Couplage au niveau des section d’entrée et sortie de la

cellule active

Demie-plaque stack

Domaine de simulation 2D : cellule activeuL uR

Echangeur chaud Echangeur froid




Hypothèses fondamentales :

Résonateurs :Tfroidc

L~ résonateur

Stack + Échangeurs

stack L

~U

Même échelle de temps: =période référence /2

résonateur

stack

L

L

c

UM

Tfroid

M<<1 : hypothèse “stack court” ou acoustiquement compact

pv

Développements asymptotiques

< > = < > + M < >(1)+ M2 < >(2)

/2

4/31


3,5 cm

LL=9 cm LR=91cm

LT=1 m

Exemple de cas test (exp. A. Atchley, 1992-95)

3,8cm

6 cm

Inox 304 L

Cellule active

0,74 mm

Nickel

2,2 cm0,8 cm

H=1,06mmh=0,78 mmHélium

Ensemble


Gaz: hélium à pmoy = 1,5 – 4,4 bar ; Tfroid =TC =293K, Lstack= 3,5cm

ref =0,25 - 0,74 kg/m3 ; cref = 1008 m/s; f=500 Hz; =1ms;

Uref= 35 m/s

M=0,035 ; Pe=11000-31500 ; Re=16000-46500;

Plaques stack : Inox 304 L

Plaques échangeurs : Nickel

Epaisseurs de couche limite thermique et visqueuse20380 ,,

hk

1000fp

stackp

)c(

)c(

Conditions de l’expérience

1000fp

echp

)c(

)c(

600f

ech

k

k100

f

stack

k

k

160280 ,,h


15 cm

LL=7 cm LR=7,5cm

LT=7,57 m

Exemple de cas test (inspiré d’une expé. LIMSI, 2007)

5,6cm

45 cm

Inox 304 L

Cellule active

Nickel

0,75 cm0,75 cm

H=0,97mmh=0,77 mmHélium

Ensemble


Gaz: hélium à pmoy = 10bar ; Tfroid =TC =293K, Lstack=0,15 m

ref =1,63kg/m3 ;cref = 1008 m/s; f=67 Hz; =7,8ms; Uref= 19,2 m/s

M=0,02 ; Pe=1,7.105; Re=2,4.105

Plaques stack et échangeurs : Inox 304 L

Epaisseurs de couche limite thermique et visqueuse

240,h

k

1000fp

stackp

)c(

)c(

Conditions de l’expérience

100f

stack

k

k

200,h


LL LR

Cellule active

Acoustique linéaire

Résonateurs:


9/31

RLTref LLLL

Adhérence aux parois du résonateur négligées Frontières adiabatiques (sur chaque partie du résonateur) Ecoulement 1D, non visqueux, faiblement

conducteur

Ecoulement isentropique

Equations adimensionnées, termes jusqu’en O(M) Tp

x̂

)up(M

t

p

x̂

p

t

uM

x̂

uM

t

01

01

0

froidrefmoyref TT,PP,,U


1

0

0

000

1

10

)()()(

)(

)()(

Tp

x̂

u

t

p

x̂

pT

t

u

01000100

)pTu(x̂

T)pTu(t

)()()()()()()(

)()()()()()( pTuL;pTuR 100100

solution analytique (d’Alembert)

LL

Cellule active



cLcR

LR

Développement Faible Mach :

Variables de Riemann L et R constantes sur les caractéristiques se

déplaçant à la vitesse , avec à gauche, =1 à droite)(T 0

froid

chaud)(

T

TT 0


Tube fermé à l’extrémité gauche :

), (1) leftbackLchaudLL tx(LpTu)t,x(R

) 1 rightbackR

)(froidRR t,x(ZRpTu)t,x(L

hot

Lleftback

T

Ltt

2

cold

Rrightback

T

Ltt

2

0u

Charge (résistive) positionnée à l’extrémité droite :

fup )( 1

froid

froid

Tf

TfZ

avec

Conditions aux limites:


Equations de Navier-Stokes 2D + Développement Faible Mach

Faible Mach

Cellule active, Stack+échangeurs

12/31

Stackref LL

froidrefmoyref TT,PP,,U

H


Cette formulation autorise les variations temporelles de p(0)

IV3

2VV

11V

11

11VV

V

(t)

0V

0000

000

00000

000

00200000

11

00

000

)()(

Tp

td

dp)Tk(

PeT)(

t

Tc

Ree)(

Frp

t

)(

)t(pp

pp

t

)(t)()()(

)()()(

)()()()()(

)(

p)()(

)(z

)()()()()()()(

)()(

)()(

)()()(

Mais : à cause du couplage avec l’acoustique dans le résonateur, seules les variations temporelles de p(1) sont autorisées, que ne voit pas le modèle stack + échangeurs

1

1 constante


IV3

2VV

1

1V

11

11VV

V

0V

0000

000

00000

0

00200000

000

0

)()(

Tp

)Tk(Pe

T)(t

Tc

Ree)(

Frp

t

)(

t

)(t)()()(

)()()(

)()()()()(

p)(

)(z

)()()()()()()(

)()()(

)(

)Tk.(Pet

T)c( ssp

1

Conduction dans les plaques

01 0

S

ndSTPe

uuHRL

Bilan d’énergie dans le domaine de calcul (conservation masse+energie)

Gravité négligée


Traitement des échangeurs

Tchaud Tfroid

Tchaud Tfroid

Echangeurs « idéaux »

Echangeurs à température fixée

Echangeurs à flux de chaleur fixé

qchaud

qchaud

qfroid

qfroid


Modèle 2D uL uR

Tchaud Tfroid

Couplage

C.L. aux sections d’entrée et de sortie:P(0) est le même dans la cellule active et à l’extérieur

))( -( (1)(1) leftbackchaudLchaudL tpTu)t)(pTu(

))( Z( (1)(1) rightbackfroidRfroidR tpTu)t)(pTu(

HT

Lleftback

TL

Ltt

2

CT

Rrightback

TL

Ltt

2

01

S

RL ndSTPe

uuH

Bilan d’énergie (conservation de la masse + energie)

LL LR

chargeExtrémité fermée

16/31


Frontières extérieures (bleues) adiabatiques

Glissement sur les frontières ouvertes horizontales

adhérence, continuité de température et de flux de chaleur aux interfaces fluide/solide –stack et échangeurs)

Différents modèles de CL sur les échangeurs

Vitesses uL et uR calculées à partir du couplage avec l’acoustique et le bilan d’énergie

Modèle 2D uL uR

Tchaud Tfroid

Conditions aux limites

Distribution linéaire de température entre les échangeurs (gaz et stack) OU température sol. stationnaire du pb de conduction sans écoulement

Résonateur : bruit aléatoire ou/ onde stationnaire de faible amplitude

et Conditions initiales

17/31


Volumes finis/second ordre

Traitement implicite des termes visqueux et diffusifs

Discrétisation explicite des termes convectifs

Intégration temporelle de type Prédicteur-correcteur

Calcul des champs sur tout le domaine solide+fluide (utilisation d’une fonction scalaire pour différentier les points solides des points fluides)

A chaque pas de temps, calcul de uL, uR et p(1) en fonction des valeurs calculées aux instants antérieurs tenant compte de la propagation dans les deux parties du résonateur, et de l’intégrale du flux de chaleur sur le domaine fluide

Méthode numérique


• Début du pas de temps

• Calcul (ADI ou GMRES) du nouveau champ de température à partir de

• Résolution des 3 équations de couplage utilisant l’intégrale du flux de chaleur, et les valeurs de L et R aux instants antérieurs en tenant compte des allers-retours. Calcul des vitesses uL et uR qui serviront de CL et calcul de la pression acoustique p(1) .

• Mise à jour de la masse volumique

• Calcul de la divergence souhaitée en chaque point

• Calcul (ADI ou GMRES) des vitesses intermédiaires

• Calcul de la correction de pression (algorithme multigrille)

+ C.L. Homog. Neumann

• Update des vitesses et de la pression

• Fin du pas de temps

)n(T 1

Algorithme

)n(

)Tk.(Pe

)V.( )n()n( 11 1

V~

t

V~

.V..

)n(

)n(

1

1

1

)n()n(

)n()n(

tV~

V1

1

2

31


Maillages uniformes : de 512x32 (grossier) à 2048x128 (fin)

Minimum 500 pas de temps par période acoustique de référence (1 s/point/pas de temps sur NEC SX8, Idris-CNRS)

~ 0.5-2 hr CPU/run pour la phase initiale de l’amplification,

~ 50 hr CPU/run pour les calculs jusqu’à saturation

Paramètres numériques

20/31

Adimensionnement code

Les distances sont adimensionnées par H et non par LStack


Stack plate

Isothermes, milieu du stack, bruit initial aléatoire

Stack plate

21/31


Développement de vitesse entre stack et échangeur chaud

22/31


Mp)(1 1

Mp)(1 1

Variation temporelle de la pression totale (à partir d’un bruit aléatoire).

Tube fermé aux deux extrémités.Mode Fondamental mode instable (période adimensionnée=2)

Simulations Pm = 5 bar, Tchaud =1.5Tfroid

23/31


Mp)(1 1

Mp)(1 1

Simulations Pm = 5 bar, Tchaud =2Tfroid


Tube fermé aux deux extrémités.Mode fondamental instable (période adimensionnée=2),

solution non linéaire

24/31


Variation temporelle pression acoustique, vitesses

(à partir d’un bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités.

)(u),(u,p)(

001

)(u)(u,Mp)(

001

Simulations Pm = 5 bar, Tchaud =2 Tfroid

25/31


Mp)(1 1

Mp)(1 1

Simulations Pm = 1.7 bar, Tchaud =1.2 Tfroid


Tube fermé aux deux extrémités.Mode fondamental et premier harmoniques semblent instables

26/31



Tube fermé aux deux extrémités.Mode fondamental et premier harmonique instables. Le second mode croît.

Mp)(1 1

Mp)(1 1

27/31

Simulations Pm = 1.7 bar, Tchaud =1.5 Tfroid



Tube fermé aux deux extrémités.Mode fondamental et premier harmonique semblent instables.

Le second mode semble le plus instable.

Mp)(1 1

Mp)(1 1

28/31

Simulations Pm = 1.7 bar, Tchaud =2 Tfroid


Résultats Atchley

29/31


Influence du champ initial de température

-Saturation obtenue par introduction d’une charge f à la place de l’extrémité fermée. - Deux champs initiaux testés .

30/31

~40s~120s


Conclusion

L’approche faible Mach permet de décrire l’amplification thermoacoustique,

et de détecter les modes instables

On a montré l’influence du champ initial de température (effets 2D)

Perspectives

Etudes paramétriques, exploitation du code : déplacement du stack dans le résonateur, variation de la distance échangeur/stack

Calage de la charge pour comparaison avec des situations expérimentales réelles

Analyse de stabilité pour interpréter la sélection des modes

Documents

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