LA#PROPAGATION#DES#ERREURS#DANS#LE#CALCUL#DES#SURFACES#

##

Joël#van#Cranenbroeck,#Managing#Director#CGEOS#B#CREATIVE#GEOSENSING#SPRL#

####

1. INTRODUCTION+#

S’il#est#un#des#produits#des#géomètres#bien#connu#du#grand#public,#c’est#la#détermination#des#surfaces,#des#superficies#et#même#des#cubatures.##Le#géomètre#doit#adapter#son#mode#de#travail#selon#les#exigences#du#client,#motivées#généralement#par#le#prix#du#terrain#au#m2#à#vendre#ou#à#acheter.##Or#bien#souvent#cela#consiste#à#«#mesurer#avec#plus#de#soin#»,#«#avec#une#plus#grande#précision#»#...#ce#qui#en#définitive#ne#signifie#pas#grand#chose#et#surtout#rien#de#précis.##EstBce#donc#possible#de#répondre#de#manière#rigoureuse#aux#exigences#posées#par#un#client#qui#en#regard#à#un#prix#élevé#au#m2#souhaite#évidemment#que#la#surface#soit#correcte#?#Et#d’abord,#le#client#aBt’il#luiBmême#une#notion#exacte#de#ce#qu’il#demande#?#L’autre#question#concerne#les#conflits#générés#par#des#calculs#de#surface#d’une#même#parcelle#et#dont#les#résultats#sont#différents.###Il#appartient#au#géomètre#de#renseigner#son#client##de#la#possibilité#ou#de#l’impossibilité#de#remplir#sa#mission#ou#de#l’exigence#non#fondée.##Le#sujet#de#cet#article#est#également#d’attirer#l’attention#du#professionnel#sur#l’effet#de#la#propagation#des#erreurs#dans#un#modèle#mathématique#et#d’optimiser#ses#méthodes#de#travail.#Et#nous#caractériserons#les#erreurs#commises#sur##la#détermination#des#sommets#d’une#parcelle#en#utilisant#l’écartBstandard#(écartBtype#ou#moyenne#quadratique)#obtenus#en#considérant#les#performances#de#l’instrumentation#utilisée#mais#également#l’imprécision#d’idéalisation#des#points.####

2. EXPOSE+DU+PROBLEME+#

La#méthode#la#plus#répandue#et#la#plus#systématiquement#utilisée#pour#déterminer#la#surface#d’une#parcelle#de#forme#quelconque#est#de#coordonner#les#sommets#de#celleBci.##Puis#à#l’aide#de#ces#coordonnées,#additionner#les#surfaces#de#tous#les#trapèzes#consécutifs#formés#en#considérant#l’axe#des#abscisses#ou#des#ordonnées#comme#hauteur#de#ces#trapèzes.#

La#formule#bien#connue#étant#:##

! = !! + !!!!2

!

!!!. !!!! − !! #

#Avec#S#:#la#surface,#n#=#le#nombre#de#sommet#de#la#parcelle#et##x,%y#les#coordonnées#des#sommets#de#celleBci.##En#développant#et#en#simplifiant#les#termes,##cette#formule#peut#également#se#décliner#de#la#manière#suivante#selon#les#axes#respectifs#considérés#:##

2! = !!!

!!!. !!!! − !!!! #

#

2! = !!!

!!!. !!!! − !!!! #

#Pour#déterminer#les#coordonnées#des#sommets#d’une#parcelle,#le#géomètre#dispose#d’un#véritable#arsenal#de#méthodes#et#de#moyens,#le#plus#usité#étant#l’usage#du#GNSS#RTK#ou#de#la#station#totale.#Les#possibilités#qu’offrent#actuellement#les#constructeurs#d’instruments#topographiques#sont#telles#que#l’on#peut#traiter#l’information#numérique#in#situ.##Mais#si#perfectionnés#soientBils,#ces#instruments#présentent#toujours#des#imperfections#traduites#en#terme#d’écartBstandard.#L’opérateur,#le#porte#canne#GNSS#RTK#ou#le#porte#prisme#sont#euxBmêmes#la#cause#d’erreurs#à#caractère#accidentel.#Les#erreurs#systématiques#et#grossières#étant#éliminées#par#une#instrumentation#réglée#(sans#oublier#le#réglage#de#la#nivelle#des#cannes#de#lever)#et#les#techniques#d’observation#appropriées,#nous#pouvons#considérer#les#résultats#comme#faisant#partie#d’une#distribution#normale#non#biaisée.##

#Afin#de#tenir#compte#du#fait#que#les#sommets#d’une#parcelle#ne#sont#pas#tous#généralement#pourvus#de#borne#ou#de#marque#de#propriété,#nous#pourrions#ajouter#une#imprécision#d’idéalisation.#CetteBci,#exprimée#en#terme#d’écartBstandard,#reprendrait#les#variations#qu’il#y#a#de#la#part#de#différents#opérateurs#à#définir#la#position#d’un#sommet.###La#question#est#donc#celleBci#:##Ayant%une%parcelle%de%forme%donnée,%qu’elle%est%l’erreur%que%je%commets%sur%le%calcul%de%la%surface%eu%égard%à%la%propagation%des%erreurs%instrumentales%ou%autres%–%mais%accidentelles%–%qu’affectent%mes%observations%?%##

3. PROPAGATION+DES+ERREURS+DANS+LE+CALCUL+DE+LA+SURFACE+#

Il#s’agit#de#l’application#stricte#de#la#propagation#des#erreurs#(varianceBcovariance)#dans#un#modèle#mathématique#que#nous#reprenons#brièvement#dans#l’annexe.##Nous#avons#l’expression#de#la#surface#:##

! = !! + !!"# !!! !2

!

!!!. !!"# !!! ! − !! #

#En#différentiant#cette#expression#et#en#groupant#les#termes#nous#obtenons#aisément#le#développement#suivant#exprimant#la#variation#différentielle#sur#le#calcul#de#la#surface#en#fonction#des#variations#différentielles#sur#les#sommets#:###2!" = !"!. !! − !! + !"!. !! − !! +⋯+ !!"!. !!!! − !! +⋯##

… !+ !"!. !! − !! + !"!. !! − !! +⋯+ !!"!. !! − !!!! ###Que#nous#pouvons#généraliser#somme#suit#:##

#

!" = 12 . !!

!

!!!. !!!! − !!!! + !! . !!!! − !!!! #

##

Et#en#appliquant#la#loi#de#composition#des#variances##(linéarisation)#les#écartBstandards#aux#expressions#différentielles,#nous#obtenons#l’expression#suivante#:##

#

!!! =14 . !!!!

!

!!!. !!!! − !!!! !+.!!!! !!!! − !!!! !#

#Si#l’écartBstandard#estimé#sur#la#détermination#des#sommets#de#la#parcelle#est#statistiquement#homogène#et#isotrope,#les#ellipses#de#dispersion#sont#des#cercles#de#même#rayon#et#donc#!!!! !=##!!!! #=#!!!!.##Nous#obtenons#:##

!!! =!!!! . !!!!,!!!!!

!!! ##avec###!!,!! = !! − !!! + !! − !!

!#

#

Les##!!,!! = !! − !!! + !! − !!

!#représentent#les#longueurs#des#diagonales#

prises#sur#les#sommets#adjacents#en#un#point#considéré#et#nous#pouvons#assimiler#leur#somme#à#un#critère#de#forme#de#la#parcelle#désigné#par#K.##

!! = ! !!!!,!!!!!

!!!#

Pour#arriver#à#une#expression#plus#concise#:##

!! =!!2 .!#

#Nous#voyons#ainsi#que#l’écartBstandard#commis#sur#le#calcul#de#la#surface#d’une#parcelle#est#estimé#comme#fonction#de#l’écartBstandard#commis#sur#la#position#des#sommets#de#celleBci#et#de#sa#forme#et#non#pas#comme#étant#le#produit#de#l’écartBstandard#sur#la#position#des#sommets#multiplié#par#le#périmètre#de#la#parcelle.#Il#est#vrai#que#lorsque#la#parcelle#est#parfaitement#rectangulaire#nous#obtiendrons#par#la#relation#qui#lie#les#côtés#adjacents#d’un#triangle#rectangle#et#son#hypoténuse##une#relation#au#périmètre.##Pour#répondre#aux#exigences#d’un#client#(!!)#et#pour#une#parcelle#de#forme#donnée#(l’évaluation#du#critère#K#peut#se#faire#avec#toute#l’information#géoBspatiale#que#nous#disposons#en#ligne)#nous#pouvons#estimé#l’incertitude#maximale#sur#la#positions#des#sommets#(coordonnées)#comme#:##

!! =2.!!

!"#$%.!##Sigma#indique#l’intervalle#de#confiance#(Loi#Normale)#variant#de#2,#2,5#à#3#selon#que#l’on#souhaite#s’assurer#que#si#le#client#fait#procéder#au#mesurage#de#sa#parcelle#par#un#autre#géomètre#utilisant#les#mêmes#critère#d’imprécision#sur#la#détermination#de#la#position#des#sommets,#on#aura#une#probabilité#de#5%,#1%#ou#0,1%#que#la#différence#entre#le#nouveau#résultat#et#celui#que#l’on#aura#fourni,#dépasse#les#exigences#du#client.####

4. EXEMPLE+NUMERIQUE+#

Soit#une#parcelle#de#38#a#et#13#ca#(3814#m2)#dont#les#coordonnées#des#sommets#sont#donnés#ciBaprès#et#dont#les#différents#calculs#sont#explicités#:##

##Nous#avons#tabulé#sous#la#colonne#«#Trapèzes#»#les#différentes#valeurs#pour#en#calculer#la#surface.#La#colonne#«#Diagonales#»#permet#de#calculer#le#critère#de#forme#K.#Nous#trouvons#donc#un#écartBstandard#de#4,8#m2#sur#le#calcul#de#la#surface#en#considérant#un#écartBstandard#sur#la#position#des#sommets#de#5#cm.##On#peut#aisément#calculer#l’erreur#commise#sur#le#calcul#de#la#surface#qui#s’élève#à#0,3%.#En#postulant#que#l’exigence#d’un#client#serait#d’avoir#une#erreur#maximale#de#1#m2#garantie#à#95%#de#confiance,#nous#trouvons#que#l’écartBstandard#sur#la#position#des#sommets#ne#devrait#pas#dépasser#5#mm.####

5. CONCLUSION+#

Nous#espérons#avoir#suscité#l’intérêt#auprès#des#professionnels#de#la#mesure#topographique#que#sont#les#géomètres#et#surtout#dans#un#exemple#où#ils#ont#une#certaine#prérogative#légale.##Appliquées#à#l’ensemble#des#méthodes#de#travail#du#géomètre,#cette#approche#utilisant#la#loi#de#propagation#des#variancesBcovariances#dans#un#modèle#mathématique#permet#non#seulement#de#garantir#les#résultats#obtenus#mais#également#d’optimiser#les#opérations#en#choisissant#ou#en#justifiant#l’une#ou#l’autre#instrumentation.#Il#est#évident#qu’aujourd’hui#pour#des#levés#importants#

on#privilégierait#le#GNSS#RTK#et#nous#avons#utilisé#cette#approche#pour#en#justifier#son#usage#auprès#d’une#administration#ayant#l’agriculture#dans#ses#missions.##Il#serait#également#intéressant#que#les#éditeurs#de#logiciels#de#traitement#des#données#«#topographiques#»#puissent#joindre#systématiquement#l’évaluation#des#écartBtypes#résultant#des#calculs#de#longueur,#surfaces#et#volumes.#A#tout#le#moins#une#organisation#cadastrale#se#devrait#de#considérer#ce#développement#pour#revoir#les#«#tolérances#»#et#autres#spécifications#techniques.##Une#autre#considération#porte#sur#la#résolution#numérique#(arrondit)#des#résultats#où#cette#approche#pourrait#être#utilisée.#Ce#n’est#pas#en#augmentant#les#décimales#que#l’on#convaincra#le#client#que#le#résultat#est#précis.####

AUTEUR+#

Joël#van#Cranenbroeck,#Managing#Director#CGEOS#–#Creative#Geosensing#SPRL#Rue#du#Tienne#de#Mont,#11#5530#MONT,#Yvoir#Belgique##Courriel#:#joel@creativeBgeosensing.com#Mobile#:#+32#474#98#61#93#####

ABSTRACT+#

If#it#is#one#of#the#products#of#surveyors#well#known#to#the#general#public,#it#is#the#determination#of#surfaces,#areas#and#even#volumes.#The#surveyor#must#adapt#his#working#method#according#to#the#client's#requirements,#generally#motivated#by#the#price#of#land#to#m2#to#sell#or#buy.#However,#this#often#means#"measuring#with#more#care",#"with#greater#precision”...,#which#in#the#end#does#not#mean#much#and#especially#nothing#precise.#Is#it#therefore#possible#to#respond#rigorously#to#the#demands#made#by#a#customer#who,#at#a#high#price#per#m2,#obviously#wants#the#surface#to#be#correct?#And#first#of#all,#does#the#customer#have#an#exact#idea#of#what#he#is#asking#for?#The#other#question#concerns#the#conflicts#generated#by#calculations#of#surface#of#the#same#plot#and#whose#results#are#different.#It#is#up#to#the#surveyor#to#inform#his#client#of#the#possibility#or#the#impossibility#of#fulfilling#his#mission#or#the#unfounded#requirement.##The#subject#of#this#article#is#to#answer#those#questions#and#also#to#draw#the#professional's#attention#to#the#effect#of#error#propagation#in#a#mathematical#model#and#to#optimize#its#working#methods.###

MOTS+CLES+#

Surface,#superficie,#propagation#des#erreurs,#exigences#client,#statistique,#topographie,#arpentage.##