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Le bipotentiel
Mécanique du contact
Plasticité des sols
loi de sous-normalité implicite
),( p
pp b
contraintehydrostatique
contrainte déviatoriqueskd
1
ms
c
K
K
p
p
angle de frottement
angle de dilatance
cohésion
LE MODELE DE DRUCKER-PRAGER NON ASSOCIE ...
surface d’écoulement
... ADMET UN BIPOTENTIEL
pmd
pm
K
p
K
pp
ec
sk
ec
b
tan)tan(tan
tan
)(
)(),(
critère de plasticité 0tan1
)( cssk
f md
terme de couplage
fonction indicatrice(puit de potentiel)
condition cinématique pd
pm eke tan
K
0
terme de sommet
METHODE DE NEWTON MODIFIEE
compatibilité:
équilibre: 0 ext
Tr FdF B
Ux )(B
loi de comportement:
0),(
br
dA
C
Théorème des fonctions implicites :
Matrice tangente locale:
rrt
r
D
1
0
bct DDIb
Ib
D 12
21
)(
matricehessienne
matrice decouplage
symétrique
définiepositiveMatrice de rigidité structurale :
dDK b
Tb BB
de Saxcé & Berga (1994)
de Saxcé & Berga (1994)
20Mécanisme de ruine ( )
Loi associée ( ) Loi non associée( )20 10
BIFONCTIONNELLE B
dufdupdup
dpub
dubuB
ddd
c
p
10
2
)(
))(,(
)),((),(
bipotentieldu matériau
bipotentielde contact
potentiel desactions extérieures
INEGALITEFONDAMENTALEDU BIPOTENTIEL
+PRINCIPE DES PUISSANCES
VIRTUELLES
. .u C A
. .S A B u( , ) 0
Pour les solutions du problème aux limites. :
B u( , ) 0
BIFONCTIONNELLE B
PRINCIPES VARIATIONNELS COUPLES
Approche cinématique
. ., ( , ) ( , ) 0u C A B u B u
Inf B u( , ) . .u C A
Approche statique
S A B u B u. ., ( , ) ( , ) 0
Inf B u( , ) S A. .
Analyse Limite étendue
Hypothèses:facteur de
charge
déplacement
l
charge
limite
0dd ff
1. loi de normalité implicite
0dd pp
2. chargement proportionnel :
Approche de Mandel
Théorèmes de bornes couplés
principe en vitesses dualité
0),(),( uBuBInf . .u C A
principe en contraintes
),( uBInf ..AS
dub
dub
ps
pl
)),((
)),((
condition de normalisation : 11
00 dupduf dd
de Saxcé & Bousshine (1995)
lp
k dub )),((
De Saxcé & Hjiaj (1999)charge limite d’une
fondation
contrainte équivalente
2/4/
2/4/
Le bipotentiel
Mécanique du contact
Plasticité des sols
L’écrouissage non linéaire
loi d’écoulementgénéralisée , b
LA REGLE D’ECROUISSAGE CINEMATIQUE NON LINEAIRE ...surface limite
contrainte s
seuil courant R
surface de charge
back-stress X
p
X C
traction 11
11p
déformationplastique
stabilized cycle
X
R Ycontraintelimite Y
X
Armstrong & Frederick (1966), Chaboche & Lemaitre (1988)
... ADMET UN BIPOTENTIEL
p
p
R
X
*
0
2
( , ) ,
,
3
2
( )
K
p
K
p
eq
b X R
p
Xp
X
Xp
X
critère de plasticité eq X R 0
terme de couplage
déformation plastiqueisotrope
cinématiqueécrouissage
contrainteseuil courant
back stress
fonction indicatrice(puit de potentiel)
écrouissage isotrope p eqp
K
0écrouissagecinématique
p X
Xp
3
2
erreur en loi de comportement de Saxcé & Hjiaj (1999)
. .u C A
. .S A B u( , ) 0bifonctionnelle
Chargement proportionnel: Analyse limite
Chargement variable répété: Adaptation plastique
P P 0
P0
charge 1
charge 2domaine de charge
domaine de charge de référence
a
Ruine incrémentaleRochet
a
Fatigue plastiqueAccommodation
Charge d’adaptation a
Adaptationplastique
charge
déplacement
charge
déplacement
charge
déplacement
chargemorte
X
/ 1 2 / 1 2
histoire de charge
chargecyclique
tractionconstante 11
2
3 12p
11p
p
cisaillementalterné
3 12
Quel est le maximum del’amplitude du cycle
en adaptation plastique?
EPROUVETTE SOUS TRACTIONCONSTANTE & TORSION CYCLIQUE
ALTERNEE
rochet entraction
De Saxcé, Bouby, Tritsch (2003)
déformationsplanes
2
1Y
0 contraintes
planesLemaitre,
Chaboche (1988)
2
21 (1 )Y
( )MPa
( )MPa
rochet
domaineélastique
domained’adaptation
plastique
AUTRES BIPOTENTIELS
Cam-clay (de Saxcé, 1995)
Endommagement plastique ductile de Lemaitre (Bodovillé, 1999)
Lois coaxiales (Vallée et al., 1997)
CONCLUSIONS : le bipotentiel
- est une méthode constructive pour concevoir de nouveaux algorithmes
- est un outil théorique
- fournit une extension naturelle du calcul des variations
QUESTIONS OUVERTES
- unicité du bipotentiel
- existence du bipotentiel