Mécanique des sols chp 4

8/8/2019 Mcanique des sols chp 4

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Chapitre 4

CONTRAINTES DANS LES SOLS :

LOI DE TERZAGHI


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CONTRAINTES DANS LES

SOLS : LOI DE TERZAGHI

1. Notion De Contraintes Notions De Base

1.1. Notion de contrainte dans un milieu quelconque

Soit un solide quelconque (S) soumis un systme de forces

surfaciques. Considrons un plan fictif (P) qui spare le solide au voisinage

du point M en deux parties (I) et (II).

Soit dS une petite portion de surface entourant M.

Soit la force exerce sur dS par la partie (II) sur (I). Onappelle vecteur contrainte au point M sur la facette dS le

vecteur :


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Le vecteur contrainte peut se dcomposer en une composante

normale et une composante tangentielle au plan (P) :

Le vecteur contrainte est une fonction du point considr et de lorientation de

la facette passant par ce point (changement de repre) :


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Pour un point M donne, f a donc une expression diffrente selon la facette

considre (changement de repre).

Cest une remarque fondamentale : cela signifie quen un point M donne et

pour une contraint f donne selon le plan considr, un sol aura ou naura pas

par exemple une composante tangentielle (cisaillement). Cest dautant plusimportant si le matriaux na pas les mmes limites de rsistance qui en

traction, compression ou cisaillement (ce qui est souvent le cas).


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Exemple : Cas dune barre bidimensionnelle en traction simple

Soit une barre bidimensionnelle

soumise sur ses bases une traction

uniforme 1

Sur ces faces latrales ne sexerce

aucune contrainte (3= 0). Dans la

barre, ltat de contraintes est dithomogne, cest--dire quen tout

point M la contrainte qui sexerce

sur le plan horizontal est normale et

a pour valeur -1 tandis que la

contrainte qui sexerce sur le plan

vertical est nulle.


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Ltat des contraintes est donc le mme partout (intensit). En particulier

par rapport au plan horizontal (I), Le vecteur contraintefscrit :

Soit un plan (P) faisant langle avec lhorizontale. Par rapport au plan

(P), Le vecteur contrainte


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La thorie montre que pour dterminer les contraintes qui

sexercent sur toutes les diffrentes facettes autour dun point

Cest--dire les composantes des contraintes sexerant sur les

faces dun cube centr au point M et dont les arrtes sont

parallles aux axes Ox, Oy, Oz.


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Il existe en tout point M trois plans privilgis pour lesquels la

contrainte est uniquement normale ( ). Ils sont appels

plans principaux, leurs directions normales, directions

principales, et les contraintes correspondantes, contraintes

principales :

On les notes , telles que (1< 2 < 3 ), et elles

sont respectivement appeles contraintes principales

mineures, intermdiaires et majeures.

0!X


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En dautres termes, en prenant ces trois directions dites

principales, comme repre, le tenseur des contraintes devientdiagonal, et le vecteur contrainte f dans ce systme daxes

form par les vecteurs principaux, scrit :


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2. LOI DE COMPORTEMENT

La dformation dun solide rsulte des contraintes qui lui sont

appliques et inversement les contraintes apparaissent dans un

solide sous laction des dformations.

Ceci exprime une ralit savoir quil existe une relation entre

contraintes et dformations dpendant essentiellement de lanature du matriau considr.

Lexprimentation est indispensable, et rvle que ce lien entre

contrainte et dformation, parfois complexes, peut gnralement

s'exprimer partir dun nombre de paramtres mcaniquesmesurables.

Cest la loi de comportement.


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La loi de Hooke en lasticit linaire et isotrope exprime dans un

solide la linarit et la rversibilit des dformations.

Cest une loi de comportement, dont on peut dire par ailleurs

quelle est la loi support la description du comportement de

nombreux matriaux. Comment scrit-elle?

Considrons par exemple la dformation dun volume

lmentaire de sol en M provoquant les contraintes v et h.

Les dplacements seront suffisamment faibles pour pouvoir

appliquer la loi Hooke.

Cette loi scrit alors :


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Il existe par ailleurs une grandeur appele Coefficient de Poisson, tel que :

A noter :

1. E est appel le module dYoung ; E a la dimension dune contrainte,

2. Le coefficient de Poisson est un coefficient sans dimension toujours compris

entre [0 ; 0,5]

Dans le cas dun sol,

ces paramtres dpendent en ralit,

de ltat decontrainte : en particulier E crot lorsquon augmente la contrainte moyenne

v .

On pourra cependant toujours travailler par plage defforts:

(exemple : v ] 10 KPa ; 11 Kpa ] E = 10 Mpa ;

v ]11 KPa ; 11 KPa] E = 15 Mpa), de manire pouvoir utiliserlocalement la loi de Hooke (notion de calculs lastiques).


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3. Les quations dquilibre dun Sol.

Ltat des contraintes dans un solide peut tre variable entout point, cest--dire que les six quantits que nous avons

dfinies, savoir sont des fonctions de

coordonnes x, y, z du point M considr.

Considrons un cube de solide de centre M dont les cts

sont parallles aux axes Ox, Oy et Oz. Ce cube, pouvant tre

aussi petit que dsir, est soumis une force de volume

et


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Lquilibre intrieur du solide (PFS : partie dquations exprimant la

rsultante des forces nulles (F=0 ) sexprime en dimension 2 par les

relations :

Dans le cas dun solide en dimension 3 on obtient les relations :


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A noter :

1. En gnral, en mcanique des sols les forces de volume se

rduisent aux forces de pesanteur et laxe Oz est pris vertical

ascendant, donc :

X = 0 , Y = 0 , Z = -

2. La partie dquation du PFS exprimant la rsultante desmoments nulles amne le rsultat qui est dj

annonc ci-avant:zxxzzyyzyxxy XXXXXX


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4. APPLICATION AUX SOLS

4.1. Contraintes dans les sols

Les sols ne dveloppant que trs peu de contraintes normales

de traction, on adopte en mcanique des sols, linverse de la

mcanique des milieux continus (cours de RDM), la

convention de signe suivante :

< 0 : traction

> 0 : Compression


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a) le cas dun sol satur.

Dans un tel sol, les contraintes se rpartissent entre le squelette

solide et leau de la mme manire que dans une barre

composite de mtal et de caoutchouc, la force de compression

F se rpartit entre une force de compression F1 dans le

caoutchouc et une force de compression F2 dans le mtal.

Fig. 4.5 Equivalence eau/sol & caoutchouc/mtal

La seule diffrence est que, dans

le sol, leau et le squelette solide

sont intimement mlangs.


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b) Le cas dun liquide :

Nous savons que dans un liquide lquilibre, donc dans leau sans

mouvement, les contraintes sont uniquement normales quelque soit le plan

considr (un liquide ne peut pas "tenir" une contrainte tangentielle quelque

soit le plan considr en un point M de leau, ).

Les contraintes dans leau se rduisent donc la pression de leau au

point M considr,pression appele pression interstitielle et note u.

c) Dans un squelette solide (sol sans eau), sur toute facette, sexerce une

contrainte normale notes et une contrainte tangentielle note appeles

contraintes effectives.

0!X

'X


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Ainsi, si les contraintes totales qui sexercent dans les deux

phases du sol (squelette + eau) sur la facette prcdente cit en2), sont et t , on a alors la relation trs importante de

TERZAGHI :


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4.2. Application des quations dquilibre

4.2.1. Sol indfini surface horizontale

Daprs la symtrie du problme, les contraintes totales x et z sont

principales donc txy= 0

Equation dquilibre :

Soit un sol indfini surface

horizontale, soumis uniquement

laction de la pesanteur (poids

volumique total).


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La surface libre du sol ntant pas charge, il ne sexerce sur elle aucune

contrainte si bien que cte =0 et lon a :

Dans le cas des sols lits:

Par contre la connaissance de x ncessite la connaissance de la loi de

comportement du matriau.

Fig. 4.8. : Cas des sols lits


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4.2.2. Sol indfini surface incline

Soit un sol indfini dont la surface plane fait un angle avec lhorizontale ;

Fig. 4.9. : Sol indfini surface incline : calcul defpour une facette // lasurface en M


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Cherchons la contrainte qui sexerce sur une facette parallle la surface.

Les quations dquilibre scrivent :

Mais, dans ce problme ltat des contraintes en un point, doit treindpendant de x, ce qui impose :

Lintgration des quations dquilibre donne alors :

z

x

tzx

t

xz


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4.2.3. Exemple de calcul de contraintes

Soit un sol indfini surface horizontale, submerg, leau tant la

hauteur H au-dessus du sol (fig. 4.7).

1) Dterminer, la profondeurZ, la contrainte verticale totale.

2) Dduire la contrainte effective.


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Rponse:

A la profondeur Z, la contrainte verticale totale a pour valeur :


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Chapitre 5

Proprits Hydrauliques Des Sols


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5- Proprits Hydrauliques Des Sols

I. GENERALITE - DEFINITIONS

I.1 Nappes souterraines - Vocabulaires

Lorsque les sols sont saturs, que leau est libre de circuler et quun

gradient hydraulique apparat, on parle alors de nappe souterraine.

En particulier, on distingue :

Les terrains aquifres dans lesquels leau circule avec des dbits

importants. Ils sont constitus de sols ou de roches permables

Les terrains aquifuges qui sont si peu permables que les dbits sontinsignifiants. Ils se comportent donc comme des sols ou roches

impermables.


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Surface de la nappe, surface de leau limitant la partie suprieure de la

nappe.

Nappe libre, nappe o la pression interstitielle de leau au niveau de la

surface est nulle.

Nappe phratique, premire nappe libre rencontre depuis la surface. La

surface de cette nappe sappelle le niveau phratique.

Nappe artsienne, nappe pour laquelle la pression de leau la surface de

la nappe est positive.

Une telle nappe est gnralement prisonnire entre deux couches de terrains

aquifuges.

Nappes artificielles, ce sont des nappes cres par lhomme, telles celles

qui existent lintrieur du corps dun barrage en terre.


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I.2. Hydraulique des sols

Leau dans le sol peut se prsenter sous trois formes diffrentes :

Eau de constitution : cest leau de cristallisation. Exemple : gypse(SO4Ca, 2H2O , ou encore appel pltre.

Eau libre : contrairement aux cas prcdents, pour lesquels leau

est solidaire des grains solides, leau libre remplit les espaces

forms par les grains solides et peut y circuler.

Lhydraulique des sols de ce chapitre concerne exclusivement :

1. Leau libre des sols,

2. Son coulement en rgime permanent,

3. Et en supposant que le sol est compltement satur.


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Par ailleurs, pour tudier lcoulement de leau dans les sols, nous

admettrons les hypothses suivantes :

a) Leau interstitielle est incompressible

b) La masse deau interstitielle se conserve,

En effet si lon considre un volume V de sol satur, la quantit deauV1 qui rentre dans ce volume en un instant donn est gale au

volume V2 qui en sort, si bien qu tout instant le volume deau

contenu dans le sol est le mme. Cest--dire :V1=V2


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Si (V (vx, v

y, v

z) est la vitesse dcoulement de leau dans le sol, la

condition de conservation de la masse deau interstitielle scrit :

c) Les contraintes totales et effectives ainsi que la pression de

leau (u) restent lies par la relation de TERZAGHI :

= +u et 'XX !


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I.3. Proprit de leau libre : coulement linaire travers un

sol

Considrons un cylindre de sol de section S (fig.5.1) et supposonsquil se produise un coulement de M vers N.

Laltitude de la particule fluide

au point M

Laltitude de la particule fluide

au point N


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I.3.1. Vitesse de leau dans le sol

Soit Q le dbit travers S. la vitesse apparente v de leau est pardfinition :

Cette dfinition bien que la plus utilise, donne une vitesse fictive

car en ralit leau ne circule que dans les pores de surface n.S (ntant la porosit du sol) dune part et dautre part, les trajectoires

sont vraisemblablement tortueuses et zigzagantes.

On dfinit la vitesse moyenne v par le rapport :


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I.3.2. Charge hydraulique

En hydrodynamique, on appelle charge hydraulique en un point Mla quantit :

A noter:

1. La charge hm sexprime en m.2. Dans les sols, les vitesses dcoulement sont si faibles (10 cm/s

grand maxi) que lon peut ngliger la quantit

La charge hydraulique scrit alors :

Thorme de Bernoulli


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I.3.3. Gradient hydraulique

On dfinit le gradient hydraulique i entre deux points A et B par lerapport :

Si A est voisin de B ,

A noter :

1. Cette relation dfinie dans un milieu unidirectionnelle se gnralise

aisment dans un milieu deux ou trois dimensions. On a alors


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2. Si i = 0, la charge hydraulique est la mme en tout point du milieu ;

leau interstitielle est dite en quilibre hydrostatique,

3. i est une quantit sans dimension,

4. En tout point M du sol, le vecteur i et la ligne de courant sont

tangents et sont orients dans le mme sens.

5. En tout point M du sol, le vecteur vitesse est tangent la ligne de

courant et orient dans le mme sens.

Cette perte de charge i traduit le frottement exerc par leau sur

le squelette solide: La pousse dcoulement qui en rsulte est

lorigine de nombreux sinistres (glissement de terrain, ).


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Les premires expriences intressantes concernant la filtration de leau ontt ralises par Darcy partir de 1854 dans la cour de lHpital de Dijon.

Il tudiait lcoulement de leau sans pression dans une canalisation

verticale de 35 cm de diamtre et de 2.5 m de hauteur et remplie de sable.

Darcy mesurait la fois la perte de charge entre les 2 extrmits de la

conduites et le dbit de la filtration correspond lorsque le rgime permanent

tait tabli.

Le rsultat fondamental de Darcy (1856) est que le dbit par unit daire est

proport. la perte de charge et inversement proport. la hauteur de la

conduite

1.3.4. Loi de DARCY


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1.3.4. Loi de DARCY

La loi de DARCY est la loi fondamentale de lhydraulique des sols. La loi fondamentale de DARCY publie en 1856 exprime la

proportionnalit entre la vitesse dcoulement et le gradient hydraulique.

Cest une loi exprimentale :

1. La loi de DARCY se vrifie en gnrale trs bien condition de rester en

rgime laminaire, cest--dire quand les vitesses restent faibles

2. Le coefficient de proportionnalit K est appel coefficient de permabilit

du sol. Il sexprime en cm/s

3. Lquation du dbit travers une section S de sol, scrit alors en fonctionde i et K :


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1.3.5. Surfaces quipotentielles Nous avons vu que dans le cas dune nappe deau stagnante, la

charge hydraulique est alors la mme en tout point.

Par contre, sil y a un coulement(fig.5.3 ), caractris par les lignesou filets deau (a,b,c, ), les points (A,B,C,) perpendiculaire ces lignes dcoulement et sur un mme plan, ont la mme chargehydraulique, ces surfaces portent le nom de surfaces

quipotentielles.


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2. PERMEABILITE DU SOL 2.1.Coefficient de permabilit

Etudions lcoulement de leau dans un tube horizontal comprenant un

chantillon de sol AB (fig. 5.4). Lexprience montre que le dbit Q deau

qui passe travers cet chantillon peut tre donn par une formule de la

forme :


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2.2. Dtermination du coefficient de permabilit K au

laboratoire

Le plus simple procds utilis pour dterminer la permabilit dunsol est lutilisation dun permamtre.

Lchantillon E est plac entre deux pierres poreuses P. Le rcipient

R est maintenu toujours plein. La mesure du volume deau Q qui

traverse lchantillon dpaisseur L pendant un temps T permet

davoir la valeur de K.

En effet, on tire de lquation (1) :


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La valeur du coefficient de permabilit K dpend de nombreux facteurs.On peut citer notamment :

La granulomtrie,

La forme des grains, Lenchevtrement des grains et la compacit du milieu.

Le tableau suivant donne quelques caractristiques correspondant diverses valeurs de K :

1. 10-6 cm/s reprsente une vitesse de 30 cm/an,

2. Il est utilis pour des sols trs faible permabilit ( K< 10-5 cm/s -exemple cas des Argiles) un permamtre dit charge variable :


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Le tube (1) (fig.5.6 ) est rempli deau.

A linstant t = t1 la hauteur de leau dans le rcipient est h1 ;

A linstant t = t2

la hauteur devient h2

On dmontre dans ce cas que

la permabilit de lchantillon

est donne par la relation :

d est le diamtre de la section (1)

D: est le diamtre de lchantillon de sol


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3. La permabilit des sables granulomtrie uniforme

peut tre value en utilisant la formule approche de HAZEN :

NB :

K en m/s et d en mm

d10 est le diamtre efficace cest dire le diamtre correspondant 10%de passant.

A noter: en pratique HAZEN est valable si lon trouve


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2.3. Mesure in situ

Les mesures de permabilit au laboratoire ont linconvnient

doprer sur des chantillons trop petits pour fournir une

reprsentation valable de la permabilit dun sol, par suite

des htrognits locales.

Les permabilits mesures en laboratoire sont toujours plusfaibles que celles mesure in situ.

Il existe plusieurs mthode de mesure de permabilit in situ,

parmi lesquels les essais Dupuit et Lefranc qui seront

examins plus loin.


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2.4. Permabilit moyenne fictive horizontale et

verticale des terrains lits

La plupart des sols sont lits (succession de roches altres dediffrentes origines ). Il apparat que la permabilit est beaucoup

plus forte dans le sens des lits que dans le sens perpendiculaire aux

lits.


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2.4.1 Coefficient de permabilit moyen

perpendiculaire aux plans de stratification ou

permabilit moyenne verticale Ecrivons lquation de conservation de la masse deau interstitielle :


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2.4.2 Coefficient de permabilit moyen paralllement au

plan de stratification ou permabilit moyenne horizontale

Le dbit total est la somme des dbits dans chaque couche

pour une tranche dpaisseur unit et pour un gradient

hydraulique i.


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Soient : Q le dbit total.

le dbit traversant chaque couche lmentaire i.


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2.4.3 Coefficient de permabilit quivalent

Nous sommes dans le cas dun coulement vertical et horizontal.

On dfinie alors la grandeur suivante :

A noter: La direction dcoulement dans les terrains sdimentaires est

importante. En effet, les dpts successifs tant horizontaux, leau

circule plus facilement horizontalement que verticalement.


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3. Hydraulique souterraine sous des ouvrages

de gnie civil

3.1. Equation de LAPLACE

Considrons un sol soumis un coulement.

En combinant la condition de continuit et la loi de DARCY nous obtenons

le systme suivant :


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Soit :

A noter :

Cette quation concerne la charge hydraulique exclusivement ;

elle suffit caractriser tout coulement souterrain dans un sol.

Le niveaupizomtrique est l'altitude ou la profondeur (par

rapport la surface du sol) de l'interface entre la zone satureet la zone non sature dans une formation aquifre


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3.2. Cas des coulements deux dimensions en

milieu homogne et isotrope

La plupart des problmes dhydraulique des sols peuvent tre

ramens deux dimensions :

Dans ce contexte lquation de Laplace scrit :

Plusieurs mthodes permettent de rsoudre cette quation :

- la mthode numrique,

- la mthode analogique (analogie lectrique),- la mthode graphique.


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Exercice dapplication:

Calculer la perte de charge travers largile dans lcoulementpermanent ascendant.

Cte de rfrence : 0 en A


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Exercice 5.1 Cas dune tranche drainante

On recherche le dbit Q par mtre de longueur de tranche pour

descendre le niveau de la nappe proximit de la tranche une

cte L en rgime permanent. On supposera lcoulement horizontal ;

le sol est un sable dont d10 = 0,06 mm (voir formule de HAZEN

pour le calcul de k, au paragraphe 2.2 du prsent chapitre).


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Solution de lexercice 5.1


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Exercice 5.2

On considre une pente infinie incline d'un angle b par rapport l'horizontale. Le sol, de poids volumique g est le sige d'un

coulement parallle la pente et dont la surface libre est la

profondeur zo. On considre que le poids volumique est le mme au-

dessous et au-dessus de la nappe.

a) Dterminer la contrainte totale s'exerant au point M(z) sur la facette

parallle la surface.

b) Dterminer la pression interstitielle en M, ainsi que la contrainte

effective normale sur la facette parallle la surface.

c) Calculer le gradient hydraulique de l'coulement.


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Exercice 5.3

On considre la coupe gotechnique ci-aprs d'un sol

constituant le fond d'une fouille creuse par dragage. Il s'agit

essentiellement de trois argiles surmontant une couche de

sable de permabilit trs leve

On supposera que les couches d'argile ont le mme poids

volumique, soit = 20kN/m3. La pression interstitielle labase de la couche 3 est UD=270kPa.

En admettant que les couches d'argile sont le sige d'un

coulement permanent vertical :


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a) Calculer la permabilit verticalequivalente de l'ensemble destrois couches d'argile.

b) Calculer le dbit traversant lestrois couches.

c) Tracer la courbe de variation dela charge hydraulique h enfonction de z

NB : On appliquera le principede la conservation du dbit decouche en couche :

d) En dduire la courbe de variation de la pression interstitielle u en fonction de z.

e) Calculer les forces agissant sur la phase solide en tte de chacune des couches.En tirer des conclusions quant leur stabilit.


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Solution de lexercice 5.3


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