Le calcul au cycle 3 - ac-bordeaux.fr

Le calcul au cycle 3

Valentina Celi

Sylvie Perez

ESPE d’Aquitaine21 janvier 2015

Robert Doisneau

Le calcul sous ses diverses facettes

• Calcul mental– Automatisé (ou mémorisé)

– Réfléchi (raisonné)

Tables de multiplicationMultiplication par 10, 100, 1000

…

43 + 280 + 60 + 57 + 20= 43 + 57 + 280 + 20 + 60= 100 + 300 + 60

• Calcul instrumenté

• Calcul posé

L’apprentissage de chacun de ces types de calcul doit être pensé dans sa complémentarité avec l’apprentissage des autres

= 100 + 300 + 60= 400 + 60

138 + 27 =138 + 2 + 25 = 140 + 25 = 165135 + 3 + 27 = 135 + 30 = 165

LE CALCUL INSTRUMENTÉLA CALCULATRICELA CALCULATRICE

Du côté des programmes� Cycle 2

CE1 « Utiliser les fonctions de base de la calculatrice »

� Cycle 3

« la calculatrice fait l’objet d’une utilisation raisonnée en fonctionde la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves »de la complexité des calculs auxquels sont confrontés les élèves »

CE2 « Utiliser les touches des opérations de la calculatrice.Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental,posé, ou à l’aide de la calculatrice »

CM1 « Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utilespour effectuer une suite de calculs »

CM2 « Utiliser sa calculatrice à bon escient »

La calculatrice comme ...

• outil de calcul

– Problèmes classiques, problèmes ouverts

• instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalitéscertaines fonctionnalités

• support pour explorer des faits numériques

• source de problèmes et d’exercices

• outil pour développer des automatismes


• outil de calcul






Distinguer les cas où la calculatrice peut être une aide pour les élèves des cas où son usage n’est pas nécessaire ou doit être décidé avec prudence.

Dans la résolution de problèmes, la calculatrice …– … évite que la reconnaissance de l’opération pertinente

dépende des capacités de calcul de l’élève

Outil de calcul

dépende des capacités de calcul de l’élève– … est un outil de différenciation qui peut éviter la peur du

calcul

– … est un outil d’investigation : par exemple, pour faciliter lerecours à une procédure par essais et ajustements

– … peut constituer une entrave au raisonnement des élèveslorsque l’on veut qu’ils recourent à des procédurespersonnelles

– … doit être utilisée avec modération : dans une situationdonnée, savoir choisir le moyen de calcul le plus approprié


• outil de calcul






Dictée de nombres avec la calculatrice

Afficher un nombre …• … dit ou écrit en toutes lettres au tableau

« affichez trois cent quarante-sept et neuf centièmes »

Source de problèmes et d’exercices

• … en donnant son chiffre des centaines, des dizaines, des unités, des dixièmes … (dans l’ordre puis dans le désordre)

• … décrit

« il contient quatre dizaines et vingt-sept unités »

« il contient quatre dixièmes, sept millièmes et vingt-sept unités »


Passer d’un nombre à un autre (sans effacer !) – Le maître demande aux élèves d’afficher un nombre cité

oralement, par exemple 5,82. Puis, il leur demanded’afficher le nombre 15,82 sans effacer l’écran. Une miseen commun permettra de verbaliser les procéduressuivies. On recommence ensuite avec les cas suivants :

• Affichez 127, 6. Sans effacer, affichez 247,6.• Affichez 127, 6. Sans effacer, affichez 247,6.

• Affichez 3,2. Sans effacer, affichez 3,7.



• Affichez 1 200 427. Sans effacer, affichez 1 260 427.

– Affichez 567 et, sans l’effacer, affichez 589

– Affichez 2,8 ; puis 2,9 ; puis 3 ; …

– Affichez 14,6. Comment afficher l’entier supérieur, soit 15.


– Affichez 345 257. Sans effacer, affichez 34 525 700.

– Affichez 2 760 400. Sans effacer, affichez 276 040.

– Affichez 456. Sans effacer, affichez 4,56.

– Affichez 670,04. Sans effacer, affichez 6 700,4.– Affichez 670,04. Sans effacer, affichez 6 700,4.

– Affichez 85,007. Sans effacer, affichez 850,07.

– Affichez 85,007. Sans effacer, affichez 850,007.

Affichages sous contraintes • Afficher 15 sans taper ni 1 ni 5

• Afficher 2222 sans taper sur 2

• Afficher 42 sans taper sur 4, [+], [-]


• Afficher 42 sans taper sur 4, [+], [-]

• Calculer des produits sans utiliser la touche [×] :

« 64 × 3 ; 64 × 11 ; 64 × 99 »

• Passer d’un nombre à un autre en au plus n étapes :

« On affiche 85. Sans effacer, obtenir 812 en au plus trois

étapes »

• A partir d’un nombre décimal affiché, faire disparaître la partie décimale, en un minimum de coups et en utilisant seulement les touches [+] et [=]

Par exemple 307,408 …

• On interdit des touches et on en impose d’autres

13


• Le joueur A affiche un nombre entier (à 4 ou 5 chiffres) ; sans effacer et en utilisant seulement les touches [+] et [=], le joueur B doit afficher un nombre ayant le même nombre de chiffres et contenant un 0 de plus ; etc.

47 05847 058 + 2 = 47 060

47 060 + 3 000 = 50 060

50 060 + 9 940 = 60 000

• Intérêt de ces activités :

– l'aspect ludique,

– la calculatrice n'est pas utilisée, ici, pour fournir une réponse, mais pour valider une réponse élaborée par


réponse, mais pour valider une réponse élaborée par l'élève,

– travailler la numération et les opérations autrement


• outil de calcul






Pour développer des automatismes

Tables d’addition et de multiplication (jeux à deux)

Jeu 1 : Un élève propose au second un calcul de la tabled’addition ou de la table de multiplication et le tape à lad’addition ou de la table de multiplication et le tape à lacalculette. Le second donne le résultat oralement que l’onvérifie avec la touche « = ». Le but du jeu est par exemplede réussir dix calculs successifs.

Pour développer des automatismes

Tables d’addition et de multiplication (jeux à deux)

Jeu 2 : Un élève A tape un nombre et annonce oralementun deuxième nombre. Il passe la calculatrice à l’autrejoueur B qui, en une seule fois, doit taper une séquencejoueur B qui, en une seule fois, doit taper une séquencedu type [+] n [=] pour atteindre le deuxième nombre.

Si le nombre attendu s’affiche, le joueur B marque 1point, sinon c’est le joueur A qui marque 1 point. Les rôlessont ensuite inversés. Le premier joueur qui atteint parexemple 10 points gagne la partie.

LE CALCUL MENTALCALCUL RÉFLÉCHI – CALCUL AUTOMATISÉ

Calcul réfléchi Calcul automatisé

• Ce qu’il faut être capable de reconstruire : idée de rendre plus simple un calcul en s’appuyant sur ce qui est connu (bien que les étapes pour y parvenir soit souvent nombreuses)

• On renonce à utiliser toute opération posée (techniques

• Ce qu’il faut automatiser ou mémoriser : le tables, quelques doubles et moitiés, les compléments à la dizaine supérieure, … , les produits par les puissances opération posée (techniques

opératoires usuelles)

• On ne s’interdit pas forcément un support écrit (dans la consigne, dans la formulation du résultat, pendant le calcul)

• Il dépend des connaissances dont on dispose

• Il évolue dans le temps, avec la pratique

produits par les puissances de 10, …

• Nécessaire pour accéder aux techniques opératoires

20

Calcul mental : pourquoi ?

• Tester (et enrichir) les conceptions numériques des élèves et leur disponibilité

• Rendre les nombres « familiers » aux élèves– Envisager chaque nombre sous différents aspects

– Mettre les nombres en relation les uns avec les autres

• Entraîner les élèves au calcul• Entraîner les élèves au calcul– Construire, découvrir diverses procédures de calcul,

apprendre à choisir la plus adaptée par rapport aux nombres et à ses propres connaissances

– Faire fonctionner et s’approprier les propriétés des opérations

– Apprendre à évaluer l’ordre de grandeur du résultat d’un calcul, à vérifier un calcul

Calcul mental : pourquoi ?

• Renforcer le sens des opérations

• Développer les facultés de raisonnement

• Accroître les performances des élèves en résolution de problèmes (Butlen & Pézard, 1990-1991)(Butlen & Pézard, 1990-1991)

– se décharger de la peur du calcul ou de la surcharge de travail impliquée par un calcul

– Se donner des moyens pour avancer des hypothèses avant de se lancer dans la résolution effective

Calcul mental : comment ?

• Le rythme doit être soutenu (concentration)• Proposition d’exercices de difficulté croissante• L’énoncé peut être : oral, écrit au tableau (toujours

présent ou caché au bout de quelques instants) ou écrit sur une feuille

• L’élève écrit la réponse (par exemple sur ardoise) ; peut • L’élève écrit la réponse (par exemple sur ardoise) ; peut écrire des résultats intermédiaires ; peut consulter visuellement des supports

• Certains erreurs peuvent être commentées et analysées• En grand groupe, il s’agit surtout d ’activités

d’apprentissage, d’entraînement : on a le droit à l’erreur• Le travail individuel sur fiche permet par contre une

évaluation plus précise des performances des élèves

Calcul mental : comment ?

• Séances de mémorisation : c'est le résultat qui compte – Ex : tables de multiplication

• Séances orientées vers le calcul réfléchi : c'est le procédé qui compte – Les procédures utilisées peuvent/doivent être

explicitées et comparées

Quelles activités ? Quels supports ?

Jeux du furet

• Jeu des intrus

• A la recherche des multiples

27

8 8

Jeux de mémoire

• Pour développer la mémoire à court terme

– Il s’agit de mémoriser plusieurs nombres et les restituer après leur avoir fait subir un traitement

• Ils requièrent concentration et silence• Ils requièrent concentration et silence

• Des exemples :

– Calculs additifs, soustractifs

– Calculs multiplicatifs

– Doubles et moitiés

• Observe ces trois nombres

156130

143

• Écris les nombres obtenus lorsqu’on ajoute une dizaine à chacun de ces nombres


5,205,02

0,52

• Écris ces nombres dans l’ordre croissant

5,205,02


2,72,3

2

• Écris les nombres obtenus lorsqu’on enlève un dixième à chacun de ces nombres

2,3


2575

30

• Écris le double de chacun de ces nombres

75


8014

22

• Écris la moitié de chacun de ces nombres

14

Les jeux de portraits et de devinettes

Si on m’ajoute une dizaine, je deviens égal à 135,7. Qui suis-je ?

Sur la ligne numérique, sur la droite numérique

35

Sur la ligne numérique, sur la droite numérique

36

Jeux de cartes

• Quelle est la carte qui emporte la bataille ?

Jeux de cartes• Quelle est la carte qui emporte la bataille ?

38

Difficultés d’élèves en calcul mental

• Les décompositions additives ne sont pas toujours reconnues comme outils et restent encore indisponibles en fin de CE1

– Proposer des exercices préalables de calcul rapide, – Proposer des exercices préalables de calcul rapide, par écrit et individuellement, par exemple

• 66 + 4 = …

• 63 = 43 + …

Cf. Butlen & Pézard (1990-1991) et Butlen (2004)

140

• Les décompositions additives

140

10 20 30 40 50 60 70 110

• Écrire 96 avec TROIS nombres et le signe +


• Écrire 248 avec TROIS nombres de DEUX chiffres et le signe +

Indique les « triangles » qui totalisent 10


5 2 8 3 2 6 4 3

3 7 3 1 2 4 4 4

Retrouvez toutes les combinaisons de quatrenombres alignés dont la somme est égale à 15


3 7 3 1 2 4 4 44 3 9 6 7 3 7 96 3 4 3 2 2 8 72 6 8 7 2 6 9 75 4 6 3 4 4 3 49 2 1 4 3 4 8 44 3 8 2 9 1 2 9

Chaque case contient la somme des nombres situésau-dessus d'elle. Il s'agit de trouver les nombres quimanquent dans les grilles ci-dessous

11

7 4

19

21

Difficultés d’élèves en calcul mental

• Les décompositions multiplicatives sont très peu disponibles en fin de CM2 (pas d’automatismes, il faut « inventer »)

– Pour chaque nombre, récapituler ses décompositions multiplicatives, par exemple

• 16 = 4 × 4 = 2 × 8 = 4 × 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 2

• 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 2 × 3 × 2

• 18 = 2 × 9 = 3 × 6 = 2 × 3 × 3

Cf. Butlen & Pézard (1990-1991) et Butlen (2004)

18

• Les décompositions

18

6 10 3 2 5

Avec trois nombres, en utilisant la multiplication, puis l’addition ou la soustraction trouve le nombre cible

• Les décompositions

cible

38

Le jeu de la cible (1)ZonesChaque zone a une valeur.La valeur peut être représentée par un entier ou un décimal.Le nombre de zones peut varier.

ImpactsIls occupent les différentes zones.

ScoreOn multiplie le nombres d’impacts par On multiplie le nombres d’impacts par la valeur des zones qu’ils occupent ; on additionne les différents produits obtenus.

PartiesLe nombre de parties peut varier. On peut demander de calculer le score à la fin d’une partie et/ou de plusieurs parties (score final). On peut donner le score d’une partie, le score final et demander de chercher le score de l’autre partie.

Le jeu de la cible (2)

Le jeu de la cible (3)

Tout sur …

…

…

… …

…

…

1254Pair

…

Mille deux-cent-

cinquante-quatre

…

Documents

Le calcul au cycle 3 - ac-bordeaux.fr