Le calcul en cycle 2

Définition, enjeux, objectifsDéfinition, enjeux, objectifs

Origine historique:Le terme « calcul », vient du mot latin « calculus » qui

renvoie aux cailloux que les romains utilisaient pour compter, dans des pratiques sociales diverses, et il est en priorité associé dans la culture aux calculs est en priorité associé dans la culture aux calculs élémentaires sur les nombres intervenant dans le dénombrement de quantités et la mesure de grandeurs.

Définition du calcul:

On nomme couramment « calcul », l’activité qui consiste à effectuer l’activité qui consiste à effectuer des opérations arithmétiques et « calcul mental », le fait de les effectuer sans poser d’opérations.

Détour historique� En 1909 : «Les exercices de calcul mental figureront à l’emploi du temps et ne

devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes.»� En 1970 : «Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent

mentalement […]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité.»

� En 2002 : «Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2.»

� En 2006 socle commun de connaissances: il est nécessaire de créer aussitôt que possible à l’école primaire des automatismes de calcul, en particulier la maîtrise des possible à l’école primaire des automatismes de calcul, en particulier la maîtrise des quatre opérations qui permet le calcul mental.

� Avril 2007 : «L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. C’est au cycle 2 que les élèves élaborent les bases du calcul mental, en particulier dans le domaine additif. Il s’appuie sur la connaissance progressive de la table d’addition puis de la table de multiplication. Les compétences correspondantes doivent donc être développées en priorité, notamment à travers le calcul réfléchi. Les procédures utilisées doivent être explicitées et faire l’objet d’échanges entre les élèves.»

� Juin 2008 :«L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés.»

Le point de vue des experts«Il (le calcul mental) est une façon privilégiée de lier calcul et

raisonnement, en mettant en jeu les propriétés des nombres et des opérations. Il s’agit d’utiliser les caractéristiques du calcul mental:

� pour susciter la réflexion sur le calcul, � pour mettre en évidence la diversité des façons possibles d’aborder

généralement un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui généralement un calcul, comparer leur coût, les connaissances qui les fondent,

� pour susciter des formulations, des généralisations, des preuves.»

Commission de réflexion sur l’enseignement des math ématiques (CREM), dite commission Kahane

Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves

� Analyse des évaluations CE2:Redéfinir les compétences acquises par les

élèves à l’école primaire pour mieux comprendre la structure des apprentissages.

Sophie Morlaix IREDU-CNRS Université de Bourgogne 2006

Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves.

� Les compétences qui structurent les apprentissages des élèves à l’entrée au élèves à l’entrée au CE2:

Les élèves en difficulté en calcul mental � Les élèves en difficulté en Mathématiques le sont

en général en calcul mental.� Les causes de ces difficultés:1. Un défaut d’adaptabilité des élèves. Ils préfèrent 1. Un défaut d’adaptabilité des élèves. Ils préfèrent

utiliser des procédures sûres (qui fonctionnent dans tous les cas et conduisent aux résultats attendus; ce sont souvent les procédures « posées dans la tête ») et coûteuses plutôt que des procédures adaptées au calcul en cours.

Les élèves en difficulté en calcul mental � Un manque de procédures automatisées

s’appliquant à des calculs arithmétiques élémentaires (par exemple, le passage par la dizaine).dizaine).

� L’installation de procédures élémentaires automatisées permet aux élèves d’échapper aux automatismes sur des procédures plus complexes (Grand N n 79, D. Butlen, M. Charles-Pézard).

Objectifs pour le cycle 2� Comprendre la nécessité de disposer d’un répertoire

structuré de résultats et d’en mémoriser une partie� Savoir puiser dans ce répertoire pour résoudre des

problèmesproblèmes� Savoir retrouver des résultats inconnus à partir de

résultats connus, soit mentalement, soit par écrit� Maîtriser la technique opératoire de l’addition � Savoir que la calculette permet d’obtenir des

résultats difficiles à calculer, à condition de l’utiliser de manière réfléchie

Pour cela, trois moyens de calcul

�calcul mental

�calcul instrumenté �calcul instrumenté

�calcul écrit

Calcul mental : définition� Entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat,

on renonce à utiliser toute opération posée, mais on n’interdit pas l’usage de l’écrit.

� L’écrit peut donc quand même être présent dans la consigne ou la formulation du résultat.

Calcul mental : finalités� Mise en place des moyens efficaces de calculer,

utiles dans la vie courante.� Etablissement et renforcement des connaissances

mathématiques sur les nombres, les opérations et mathématiques sur les nombres, les opérations et leurs propriétés.

� Elaboration de procédures originales.� Aide à la résolution de problèmes. � Développer des capacités et des attitudes

indispensables : concentration, mémoire

Les vertus traditionnelles

A quoi sert le calcul mental?

pratique d’une gymnastique intellectuelle

Les vertus traditionnelles

développe l’adresse de l’esprit

développe l’attention et la mémoire

Compétencesdéveloppées

A quoi sert le calcul mental?

Fonctions

L’utiliser dans la Aider à la

Calcul automatisé

Sociale Pédagogique

L’utiliser dans la vie quotidienne pour obtenir-Un résultat exact-Un ordre de grandeur

Aider à la compréhension de notions mathématiques-Familiarisation avec les nombres-Approche des propriétés des opérations

Calcul automatisé� Il est aussi appelé calcul automatique, ou encore

mémorisé.� Il y a calcul automatisé chaque fois qu’on donne un

résultat sans réfléchir, On calcule une opération résultat sans réfléchir, On calcule une opération sans réfléchir

� Il s’agit ici des tables, des doubles et moitiés usuels, du calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure…

� Nécessité : entraînement, répétition

Calcul réfléchi

Compétencesdéveloppées

A quoi sert le calcul mental?

Fonctions

L’utiliser dans la Aider à la

Calcul automatisé

Sociale Pédagogique

Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser-Tables, doubles, moitiés-Compléments à 10 …

L’utiliser dans la vie quotidienne pour obtenir-Un résultat exact-Un ordre de grandeur

Aider à la compréhension de notions mathématiques-Familiarisation avec les nombres-Approche des propriétés des opérations

Calcul réfléchi (raisonné)

Il y a calcul réfléchi chaque fois que :

- On élabore une procédure pour résoudre un calcul donné.

-On prend des décisions, on fait des choix personnels

un calcul donné.

Pour obtenir un calcul exact ou un calcul approché(ordre de grandeur d’un résultat)

� Elaborer une procédure adaptée au calcul proposé.� Stratégie et raisonnement sont alors sollicités.� Aucune procédure ne s’impose a priori, et le plus

souvent plusieurs sont possibles.

Calcul réfléchi (raisonné)

souvent plusieurs sont possibles.� Il est alors indispensable de pouvoir les confronter,

les expliciter sans jamais en favoriser l’une plus que l’autre.

Automatis é Réfléchi� Stable chez un même

individu : Le rappel des résultats et des procédures se fait automatiquement et probablement de façon

� Variable chez le même individu selon le moment, le contexte…

� Très personnalisé : Le même calcul peut être réalisé de plusieurs probablement de façon

semblable d’une fois à l’autre.

� Assez proche d’un individu à l’autre : Ce sont des répertoires, des règles ou des procédures communs à tous.

réalisé de plusieurs manières selon les individus, notamment en fonction de leurs connaissances sur les nombres et les opérations. Mentalement ou avec traces écrites.

� nécessite peu d’efforts , car exécuté par réflexe. Il peut être réalisé rapidement.

� la charge mentale de travail peut être importante. .. le temps disponible plus important et les traces

Automatis é Réfléchi

rapidement.important et les traces écrites parfois nécessaires.

� s’apparente à un exercice routinier : il suffit d’exécuter une procédure connue.

� s’apparente davantage à la résolution de problèmes : il faut imaginer une

Automatis é Réfléchi

procédure connue. imaginer une procédure possible, il faut opérer des choix.

Calcul réfléchi

Compétencesdéveloppées

A quoi sert le calcul mental?

Fonctions

L’utiliser dans la Aider à la

Calcul automatisé

Sociale Pédagogique

Ce qu’il faut être capable de reconstruire-Rendre un calcul plus simle en s’appuyant sur ce qui est connu-Développer des stratégies de raisonnement…

Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser-Tables, doubles, moitiés-Compléments à 10 …

L’utiliser dans la vie quotidienne pour obtenir-Un résultat exact-Un ordre de grandeur

Aider à la compréhension de notions mathématiques-Familiarisation avec les nombres-Approche des propriétés des opérations

Calcul automatisé et réfléchi cohabitent et témoignent de la diversité des individus.

- Le calcul réfléchi montre l’intérêt du calcul automatisé et crée ainsi un enjeu à la mémorisation.à la mémorisation.- Pour un même calcul réussi, la part revenant au calcul réfléchi et au calcul automatisé varie d’un individu à l’autre et permet la différenciation .

Calcul instrumentéUtilisation d’une calculette ou d’un ordinateur.Les finalités :� Elle peut être un outil de calcul capable de réaliser

ce que l’élève n’est pas encore capable de mener à ce que l’élève n’est pas encore capable de mener à bien seul.

� Elle est un instrument permettant à l’élève de vérifier un calcul qui vient d’être réalisé mentalement ou par écrit.

� Elle est enfin support de problèmes et d’apprentissage. Exemple : chercher comment obtenir 12 à l’écran sans taper ni 1, ni 2.

Calcul poséIl est survalorisé par les parents et par les enseignants alors qu’il n’est

pas utilisé socialement alors:Faut-il continuer à enseigner les techniques opérat oires ?Roland Charnay dit oui pour trois raisons:� la société n’est pas prête à abandonner ces techniques qui font

partie, en quelque sorte du patrimoine culturel.partie, en quelque sorte du patrimoine culturel.� Connaître ces techniques donne un certain rapport à la machine. La

machine permet de faire plus vite des calculs qui seraient trop longs à la main.

� Les élèves apprennent des choses sur les nombres et la numération en apprenant ces techniques.

L’apprentissage des techniques opératoires passe do nc d’une nécessité sociale à un intérêt pédagogique.