Le nouveau programme de logique de secondecharlotte.fabert.free.fr/pdf/memoire_charlotte_fabert.pdf4-C. Propositions du document ressources pour les différentes notions de logique

Septembre 2010

Le nouveau programme de logique de seconde

Ambitions, difficultés, bénéfices et limites

Élaboration d'une expérience pour évaluer les connaissances et concepts d'élèves sur ces bases de logique

Mémoire soutenu par Charlotte FABERT dans le cadre du master IC2A spécialité didactique des mathématiques parcours agrégation

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SOMMAIRE

1. Introduction 7

2. Définitions 9

3. Analyse de la logique dans le nouveau programme 2009 de seconde

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3-A. Introduction 15

3-B. Objectifs généraux de la logique dans le programme de seconde 16

3-B-1. Motivations et lien avec la réforme du collège 163-B-2. Ambitions du programme de seconde 173-B-3. Contrainte et divergence avec les "maths modernes" 18

3-C. Capacités attendues pour la logique dans le programme de seconde 19

3-C-1. Répartition sur trois ans et programme de première scientifique en consultation

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3-C-2. Séparation entre raisonnement logique et théorie des ensembles

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3-C-3. Particularités de la logique dans ce programme 203-C-4. Contenu 21

3-D. Premières conclusions 27

4. Analyse du document ressources pour la logique 29


4-B. Organisation de l'enseignement de la logique selon le document ressources

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4-B-1. Place de la logique 304-B-2. Pistes pour l'évolution et l'évaluation des acquis 31

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4-C. Propositions du document ressources pour les différentes notions de logique

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4-D. Conclusions 41

5. Élaboration de notre expérience 43


5-B. Entretien avec les enseignants 44

5-B-1. Organisation générale de l'enseignement de la logique 445-B-2. Notions de logique enseignées 44

5-C. Réalisation du questionnaire 48

5-C-1. Choix des exercices 485-C-2. Analyse a priori des problèmes 52

6. Résultats de notre expérience 57


6-B. Analyse des réponses au questionnaire 58

6-C. Synthèse des conceptions et connaissances des élèves 62

7. Conclusions et perspectives 65

7-A. Bénéfices du programme 65

7-B. Logique naturelle et logique mathématique 65

7-C. La proposition conditionnelle 66

7-D. Les limites du programme 66

A. Annexes 69

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1. Introduction

Ce mémoire est motivé par l'apparition explicite, dans le nouveau programme de seconde, paru en juillet 2009, de l'enseignement de la logique.

D'une part, la logique a une place essentielle dans le raisonnement mathématique. Elle forme la base des démonstrations. Son apprentissage apparaît donc comme nécessaire dans l'enseignement des mathématiques. Il n'était pourtant pas présenté, comme une partie intégrante de l'enseignement, dans le programme précédent du lycée.

D'autre part, la logique mathématique est une modélisation de la logique naturelle ; par conséquent, elle est souvent conforme à la logique naturelle, et, de ce fait, considérée comme un objet facile d'utilisation, intuitif, qui ne nécessite pas d'attention particulière. Pourtant, nous remarquons que certains points de logique, divergeant de la logique naturelle, sont très mal appréhendés par les élèves, et que des difficultés, concernant la logique, subsistent jusqu'à l'université.

Nous définirons, dans le chapitre 2, les termes de logique que nous emploierons. En effet, en raison de la proximité entre logique mathématique et logique naturelle, certains termes sont utilisés, dans le langage courant, dans un sens différent de celui où nous les utiliserons. Il nous paraît donc essentiel de commencer cette étude par quelques définitions.

Les remarques précédentes nous ont amenés à nous interroger sur comment la logique est introduite dans ce nouveau programme, et quels sont les moyens proposés pour appréhender au mieux les difficultés de cet apprentissage, notamment celles liées à la proximité avec la logique naturelle. Ces deux points seront abordés dans les chapitres 3 et 4, lors de l'analyse de la logique dans le programme et le document ressources.

Ensuite, nous poursuivrons notre étude en proposant, au chapitre 5, à partir des observations que nous aurons faites sur les pratiques enseignantes cette année par rapport à la logique, une expérience pour évaluer les bénéfices de ce programme et les difficultés qui persistent.

Puis, dans le chapitre 6, nous analyserons les copies des élèves participant à cette étude et proposerons une synthèse des conceptions et connaissances des élèves sur les notions de logique au programme.

Enfin, nous résumerons les différentes conclusions que nous avons pu déduire de cette étude et exposerons les hypothèses qui n'aurons pas pu être vérifiées.

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2. Définitions

Nous proposons dans un premier temps de définir les principaux termes de logique selon le sens où nous les emploierons. Nous finirons ce chapitre par une note sur la reforme des maths modernes dont nous parlerons dans la suite de notre étude.

Logique formelle (ou logique mathématique) : La logique mathématique, ou logique formelle, est la discipline qui définit et étudie les représentations formelles du langage mathématique. Les objets fondamentaux de la logique mathématique sont les formules modélisant les énoncés mathématiques, les dérivations modélisant les raisonnements mathématiques et les sémantiques établissant les liens entre ces modèles et les objets qu'ils sont censés représenter. Nous prendrons les conventions de bivalence des propositions (les propositions ont exactement deux valeurs de vérité possibles : vraie ou fausse) et du tiers exclu (une proposition est soit vraie soit fausse, jamais les deux en même temps).

Logique naturelle : Nous appellerons logique naturelle l'ensemble des façons naturelles de raisonner.

Langage mathématique : Nous désignerons, par l'appellation langage mathématique, l'ensemble des termes propres aux mathématiques (symboles, notations, expressions...)

Vérifonctionnalité : On dira qu'un connecteur (c'est-à-dire un objet permettant de construire une formule à partir de deux sous-formules), ou plus généralement un opérateur (c'est-à-dire un objet permettant de construire une formule à partir d'une ou plusieurs sous-formules), possède la propriété de vérifonctionnalité si la valeur de vérité de la formule qu'il construit dépend de, et seulement de, la valeur de vérité des sous-formules combinées. Les connecteurs logiques et l'opérateur logique de négation sont vérifonctionnels.

Et (connecteur logique) : Le connecteur logique "et", noté ∧, est défini par la table de vérité suivante :

P Q P ∧ QVRAI VRAI VRAIVRAI FAUX FAUXFAUX VRAI FAUXFAUX FAUX FAUX

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Ou (connecteur logique) : Le connecteur logique "ou", noté ∨, est défini par la table de vérité suivante :

P Q P ∨ QVRAI VRAI VRAIVRAI FAUX VRAIFAUX VRAI VRAIFAUX FAUX FAUX

Négation : La négation d'une formule P sera la formule, notée ¬P ou non P, qui est vraie lorsque P est fausse, et fausse lorsque P est vraie.

P ¬PVRAI FAUXFAUX VRAI

Implication : On appellera implication (ou implication logique), une formule définie à partir de deux sous formules reliées par le connecteur logique d'implication, noté ⇒. Ce connecteur est vérifonctionnel, il est défini par la table de vérité suivante :

P Q P ⇒ QVRAI VRAI VRAIVRAI FAUX FAUXFAUX VRAI VRAIFAUX FAUX VRAI

(Nous aurions pu définir P ⇒ Q comme la formule prenant les mêmes valeurs de vérité que la formule ¬P ∨ Q)

Proposition conditionnelle : Nous choisissons d'appeler proposition conditionnelle, une formule écrite sous la forme "si P alors Q" (ou encore "Q si P"). Elle a le même sens mathématique que l'implication P ⇒ Q.

Cependant, la proximité entre le sens mathématique de la proposition conditionnelle et son utilisation dans le langage courant peut induire des problèmes de compréhension de ces formules.

Nous développerons ce point plus tard. Nous nous contentons ici de décrire les conceptions naturelles (notamment celles de causalité et de temporalité) souvent associées aux énoncés de la forme "si P alors Q".

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L'utilisation de la formulation "si P alors Q", selon la logique naturelle, ne prend son sens que dans le cas où les contenus sémantiques de P et Q ont un lien entre-eux, l'hypothèse P est la cause de la conclusion Q. À cela s'ajoute souvent une notion de temporalité, c'est-à-dire que P doit avoir lieu avant Q, puisque Q en résulte.

"Une implication connote donc, en logique naturelle, une notion de causalité, l'hypothèse est la cause de la conclusion, et une notion de temporalité, l'hypothèse a toujours lieu avant la conclusion."(Deloustal-Jorrand V. , 2004, L'implication mathématique)

Enfin l'utilisation de ces formules est souvent limitée à un cadre particulier : montrer que Q est vraie dans le cas où P est vraie, ou encore pour montrer que si Q est fausse alors P est fausse.

Équivalence : On appellera équivalence (ou équivalence logique), une formule définie à partir de deux sous formules reliées par le connecteur logique d'équivalence, noté ⇔. Ce connecteur est vérifonctionnel, il est défini par la table de vérité suivante :

P Q P ⇔ QVRAI VRAI VRAIVRAI FAUX FAUXFAUX VRAI FAUXFAUX FAUX VRAI

Si P ⇔ Q est vraie, on dira que P et Q sont logiquement équivalentes.

(Nous aurions pu définir P ⇔ Q comme la formule prenant les mêmes valeurs de vérité que la formule (P⇒Q) ∧ (Q⇒P). )

Réciproque : On appellera réciproque, d'une implication P⇒Q, l'implication Q⇒P. De même, on appellera réciproque d'une proposition conditionnelle "si P alors Q", la proposition "si Q alors P".

Contraposée : On appellera contraposée d'une implication P⇒Q, l'implication nonQ⇒nonP. De même, on appellera réciproque d'une proposition conditionnelle "si P alors Q", la proposition "si non Q alors non P". La contraposée d'une implication (ou d'une proposition conditionnelle) est logiquement équivalente à cette implication (ou cette proposition).

Condition nécessaire / condition suffisante : Dans une implication vraie du type P⇒Q, ou dans la proposition conditionnelle "si P alors Q", nous dirons que P est une condition suffisante de Q, et Q est une condition nécessaire de P.

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Une condition nécessaire à une proposition P est une proposition qui doit être vraie pour que P soit vraie.

Une condition suffisante à une proposition Q est une proposition qui, lorsqu'elle est vraie, assure que P est vraie.

Énoncé contingent : Un énoncé est contingent, pour un individu, à un instant donné t, si l'individu n'a pas les moyens, à l'instant t, de savoir si l'énoncé est vrai ou faux.

Variable libre : Une variable libre est une notation qui spécifie à quelles places dans une expression mathématique une substitution peut avoir lieu.

Prédicat : Nous désignerons par prédicat une formule ouverte, c'est-à-dire comportant une ou plusieurs variables libres. Le prédicat ne dépend pas du nom de ces variables.

Quantificateur universel : Un quantificateur est un opérateur reliant une ou plusieurs variables à une quantité. La quantification universelle est représentée, en notations mathématiques, par le symbole : ∀. Elle signifie "pour tout" (ou "quel que soit"), et est utilisée pour formuler des propositions mathématiques à partir de prédicat.

Quantificateur existentiel : La quantification universelle est représentée, en notations mathématiques, par le symbole : ∃. Elle signifie "il existe un" (au sens, il existe au moins un), et est utilisée pour formuler des propositions mathématiques à partir de prédicat.

Raisonnement : Nous appellerons raisonnement un cheminement mental. Certains raisonnements pourront amener directement à la rédaction d'une preuve, mais ce n'est pas le cas du raisonnement inductif par exemple.

Raisonnement inductif : Le raisonnement inductif est un genre de raisonnement qui se propose de chercher des lois générales à partir de l'observation de faits particuliers. Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement inductif.

Raisonnement déductif : Le raisonnement déductif est un type de raisonnement qui consiste à montrer un résultat en le voyant comme une conséquence d'une loi, considérée comme vraie. Ce raisonnement se fonde sur des axiomes et/ou définitions.

Raisonnement par disjonction de cas : Le raisonnement par disjonction de cas est une forme de raisonnement logique consistant à démontrer une propriété, en la prouvant dans un nombre fini de cas, ces cas couvrant tous les cas possibles.

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Raisonnement par l'absurde : Le raisonnement par l'absurde est une forme de raisonnement logique consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (ou négation de la proposition), soit à montrer la fausseté d'une autre proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes.

Raisonnement par contraposée : Le raisonnement par contraposée consiste à montrer une implication, ou une proposition conditionnelle, en montrant sa contraposée.

La reforme des maths modernes : La réforme dite des "maths modernes" est une grande réforme, survenue dans les années 70, qui a visé à améliorer la formation scientifique et à incorporer certaines des mutations connues par les mathématiques au début du XXe siècle. L'introduction des mathématiques modernes a souvent été vécue difficilement, et a donné lieu à des critiques.

Elle insiste sur les structures mathématiques à travers des concepts abstraits comme la théorie des ensembles ou les bases de numération autres que la base 10. C'est là l'aspect le plus visible de la réforme à l'école primaire, et celui où l'influence des travaux du groupe Bourbaki est la plus sensible. Le programme commençait par l'étude de la théorie naïve des ensembles, au lieu de l'arithmétique ; on espérait ainsi développer la pensée logique et les facultés d'abstraction des élèves.

Au niveau du collège étaient introduites les notions de structure de groupe, d'anneau et de corps algébrique, avec un symbolisme issu de la théorie des ensembles (quantificateurs logiques notamment) ; à partir de la classe de quatrième, la géométrie était détachée de la notion de dessin et de construction, pour endosser une structure axiomatique. Mise à part l'utilisation de la théorie des ensembles et une approche différente de l'arithmétique, l'approche déductive de la géométrie euclidienne céda ainsi la place à une approche basée sur les notions d'action de groupe et d'invariant, et la mise en pratique du calcul fut remplacée par une approche théorique.

Les classes de lycée voyaient l'introduction massive de l'algèbre linéaire, les problèmes de géométrie du baccalauréat se transformant en questions d'algèbre pures.

De nombreux parents et professeurs se sont plaints du nouvel enseignement, à leurs yeux trop éloigné des compétences moyennes des élèves. De plus, le programme demandait un nouveau savoir de la part des professeurs, qui ne reçurent pas toujours la formation adéquate. Très rapidement, les physiciens ont également douté de l'efficacité des mathématiques modernes. L'abstraction des mathématiques modernes telle l'introduction de la géométrie euclidienne sans le moindre support concret concernant les droites, plans, surfaces et autres ne fit qu'aggraver l'incompréhension des jeunes élèves.

La réforme des mathématiques modernes fut abandonnée au cours des années 80 (par exemple, la géométrie traditionnelle revint dans les programmes de lycée à partir de 1983, au détriment de l'algèbre linéaire).

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http://fr.wikipedia.org/wiki/XXe_si%C3%A8cle

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3. Analyse de la logique dans le nouveau programme 2009 de seconde

3-A. Introduction

L'analyse des programmes nous permettra de mieux identifier le savoir à enseigner.

Nous allons nous intéresser ici à la logique, où elle vit, ce qu'elle est, ses liens avec les autres objets mathématiques, les fonctions qu'elle occupe...

Plus précisément, nous allons étudier le bulletin officiel présentant le nouveau programme de seconde, paru le 23 juillet 2009, qui se distingue par l'apparition dès la première page de l'expression "entraînement à la logique". L'enseignement de la logique formelle avait disparu des programmes depuis la réforme des maths modernes. Aucune apparition explicite du mot "logique" n'est apparu dans les programmes de mathématiques au lycée.

Dans un premier paragraphe nous parlerons des objectifs généraux du programme concernant la logique, ses motivations (nous ferons le lien avec les changements survenus dans les nouveaux programmes du collège paru l'année précédente), ses ambitions et ses contraintes (en particulier les divergences constatées par rapport aux maths modernes).

Ensuite, nous parlerons des capacités attendues en logique évoquées dans ce nouveau programme 2009, sa répartition sur le lycée (en particulier nous étudierons le contenu du nouveau programme de première en consultation pour la rentrée prochaine), la séparation faite entre théorie des ensembles et logique, la particularité des exigences en logique, et enfin nous décrirons les différents éléments de logique qui devront être enseigner.

Puis nous apporterons quelques conclusions, et interrogations auxquelles nous tenterons de répondre dans le prochain chapitre, consacré à l'étude du document ressources.

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3-B. Objectifs généraux de la logique dans le programme de seconde

Le programme de seconde se décompose en deux parties. Une première partie décrit les objectifs principaux du programme de seconde, l'organisation sous forme de trois thèmes généraux – fonctions, géométrie, et statistiques et probabilités – et de deux thèmes transversaux – algorithmique et raisonnement (c'est dans ce dernier qu'intervient des notions de logique) – et les principales finalités de cette classe de seconde. La deuxième partie identifie ce qui est attendu dans chacun de ces cinq thèmes.

Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser à la première partie du programme.

3-B-1. Motivations et lien avec la réforme du collège

La première apparition du terme "logique" intervient, en relief, dans un chapitre de la première partie du programme, consacré aux raisonnement et langage mathématique et à leur intégration au sein du nouveau programme.

"Le développement de l'argumentation et l'entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée." (B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Nous pouvons faire l'hypothèse que cet accent mis sur la logique provient de l'absence de ces notions dans les programmes précédents du lycée. Sa présence au sein de ce chapitre, intitulé raisonnement et langage mathématique, insiste sur la place essentielle que joue la logique dans le raisonnement mathématique.

En effet, les raisonnements et démonstrations mathématiques s'appuient sur des règles constituées par les notions de base de logique. Cette réapparition, après plusieurs décennies d'absence, semble marquer le souhait de donner plus de sens au raisonnement mathématique et donc de permettre aux élèves de se l'approprier.

La volonté de favoriser le raisonnement était déjà présente dans les nouveaux programmes du collège. Ce point a même fait l'objet d'un document ressource dont le but était de

"faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège."(extrait du programme de mathématique du collège en 2008),

à travers la résolution de problèmes

"La résolution de problème constitue en effet, dans le champ des mathématiques, la mise en œuvre de la méthode d'investigation."(extrait du document ressource pour les classes du collège intitulé "raisonnement et démonstration au collège" paru en 2008),

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et en favorisant le raisonnement inductif

"Le raisonnement inductif prend toute sa place en mathématiques dans la phase de recherche, […] , cela conduirait à se poser la question de ce qu'il suffirait d'avoir pour emporter la conclusion."(extrait du document ressource pour les classes du collège intitulé "raisonnement et démonstration au collège" paru en 2008).

Le programme du collège décrit deux étapes dans le raisonnement mathématique :

"la première, et la plus importante, est la recherche et la production d'une preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré".(extrait du programme de mathématique du collège en 2008)

L'accent est clairement mis sur l'activité de raisonnement de l'élève, sans se limiter au raisonnement déductif ou au formalisme de la preuve.

3-B-2. Ambitions du programme de seconde

Le programme paraît ambitieux puisqu'il demande de faire ressentir aux élèves les fondements de la logique mathématique, et notamment

"de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009).

En effet, nous verrons plus tard que certaines notions de logique vont à l'encontre de la logique naturelle ou de l'intuition, ce qui constitue un frein majeur dans leur apprentissage et occasionne beaucoup d'erreurs qui subsistent souvent bien au delà du lycée.

Prenons un exemple qui figure explicitement dans le programme. Le problème de

"distinguer implication mathématique et causalité" (B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

i.e. de distinguer «P⇒Q» de P est une cause de Q et Q est une conséquence de P. A cette conception causale de l'implication s'ajoute la notion de temporalité puisque dans le monde physique la conséquence arrive après la cause, P est avant Q ce qui empêche de voir Q comme une condition nécessaire à P.

Selon une étude menée par V. Deloustal-Jorrand, jusqu'à la fin de l'université,

"la conception causale-temporelle de l'implication est très prégnante. Elle empêche de différencier la condition nécessaire de la condition suffisante. […] En particulier, la recherche d'un lien explicatif entre P et Q, et donc la non reconnaissance de la verifonctionnalité de l'implication, sont prédominantes.

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Cette conception causale, issue de la logique naturelle, est renforcée par les manuels et l'utilisation habituelle de l'implication dans l'enseignement."(Deloustal-Jorrand V. , 2004, L'implication mathématique)

Ce nouveau programme apparaît alors comme un souhait de confronter les élèves à ces différents obstacles pour permettre une meilleure acquisition des concepts de base de la logique formelle.

3-B-3. Contrainte et divergence avec les maths modernes

Cette requête est d'autant plus ambitieuse que le programme stipule que

"les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l'objet de cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme […] Comme les éléments de logique mathématique, les notations et le vocabulaire mathématiques sont à considérer comme des conquêtes de l'enseignement et non comme des points de départ. Pour autant, ils font pleinement partie du programme..."(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Cette contrainte, interdisant la production de cours spécifique à la logique, est répétée plusieurs fois dans le programme et dans le document ressource associé. Cela a probablement pour but d'éviter de retomber dans l'enseignement de la logique formelle tel qu'il était au temps des maths modernes (cf la note sur les maths modernes dans le chapitre 2).

Cependant, on peut alors se demander comment enseigner à des secondes, ayant une faible expérience en raisonnement mathématique, des concepts, tel que l'implication et sa distinction avec la causalité, qui posent problème à beaucoup d'étudiants et de futurs ou actuels enseignants, en ajoutant la contrainte d'intégrer cet apprentissage au sein des chapitres du cours et en interdisant la production de séances de cours spécifiques.

Ce souhait de prendre des distances avec les maths modernes apparaît à plusieurs reprises dans le programme.

Par exemple, dans l'intitulé du dernier paragraphe de ce programme, "notations et raisonnement mathématiques (objectifs pour le lycée)", titre également donné au document ressource associé, les expressions de "raisonnement logique" ou de "logique" n'interviennent pas. Ce choix de vocabulaire semble marquer un souhait de se détacher des maths modernes et de l'enseignement de la logique formelle comme un "point de départ". Les notions seront enseignées dans le but de mener à bien un raisonnement mathématique et non comme une fin en soit.

Un autre exemple consiste en la séparation faite entre la logique et la théorie des ensembles. Ce point sera développé dans le prochain chapitre.

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3-C. Capacités attendues pour la logique dans le programme de seconde

Avant de proposer quelques hypothèses de réponse, nous proposons d'analyser la deuxième partie de ce document qui présente les exigences du programme pour chacun des cinq thèmes cités précédemment.

Aucun des quatre premiers thèmes (fonctions – géométrie – statistiques et probabilités – algorithmique) n'intègre de notions de logique que ce soit dans la description ou dans le tableau récapitulatif des notions au programme. Nous retiendrons néanmoins les notions au programme autour desquelles les notions de logique devront être introduites.

Dans cette partie, nous allons étudier le dernier paragraphe de cette deuxième partie du programme qui détaille les capacités attendues en notations et raisonnement logique.

3-C-1. Répartition sur trois ans et programme de première scientifique en consultation

Une première remarque concerne l'expression "(objectifs pour le lycée)", dans le titre, elle indique, comme pour le thème transversal algorithmique, que ces objectifs sont communs à toutes les classes du lycée.

Ces notions seront donc traitées sur trois ans mais aucune précision n'est apportée sur comment échelonner ce travail ou sur ce qu'on attend précisément à chaque niveau.

Nous constatons notamment que dans le programme de première scientifique en consultation, cette partie apparait identique à l'exception de deux points : l'apparition de la notion d'équivalence et l'allégement de la contrainte concernant l'interdiction de cours spécifiques à la logique.

En effet, sur l'interdiction de cours spécifiques, le programme en consultation pour la classe de première scientifique diverge légèrement de son prédécesseur de seconde en apportant une nuance :

" Il importe toutefois de prévoir des moments d'institutionnalisation de certains concepts ou types de raisonnement, après que ceux-ci ont été rencontrés plusieurs fois en situation […] Il convient de prévoir des temps de synthèse, l'objectif étant que ces éléments soient maitrisés en fin de cycle terminal."(projet de programme de la classe de première de la voie générale du 3 mai 2010).

Cette modification par rapport au programme de seconde, la seule de ce programme en consultation concernant l'enseignement de la logique, semble vouloir accorder plus de liberté aux enseignants en allégeant cette contrainte. Nous pouvons faire l'hypothèse que ce léger retour en arrière provient de la difficulté rencontrée par les enseignants à

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satisfaire le programme et/ou du public concerné (les élèves de première scientifique seront, à priori, plus à même de tirer parti de ces compléments théoriques).

3-C-2. Séparation entre raisonnement logique et théorie des ensembles

Nous remarquons également la distinction faite entre la première sous-partie, intitulée notations mathématiques, qui introduit les notations de base de la théorie des ensembles (∈, ⊂, ∩, ∪, ensemble de nombres, intervalles et complémentaires), et la deuxième sous partie, intitulée raisonnement logique.

Nous pouvons faire l'hypothèse que cette séparation a pour but de prendre des distances avec l'enseignement de la théorie des ensembles et de la logique tel qu'il était pratiqué pendant la période des maths modernes.

Néanmoins, nous attirons l'attention sur les inconvénients que peut avoir cette séparation en deux parties sur l'acquisition de ces notions. En effet, pour l'objet implication, par exemple, nous avons vu que le cadre du raisonnement déductif basé sur le concept de causalité était insuffisant pour acquérir la notion d'implication. Selon cette même étude menée par V. Deloustal-Jorrand, les trois cadres – logique, déductif et ensembliste – sont complémentaires et nécessaires pour une bonne appréhension et une bonne utilisation de l'objet implication.

" Le cadre ensembliste, en mettant en jeu des ensembles, permet de prendre en compte les implications entre énoncés contingents […]travailler l'implication dans le cadre ensembliste peut être un «remède» à la conception causale temporelle[…] Un résultat important est donc la pertinence et l'efficacité de l'outil jeu de cadre, mis en œuvre avec les cadres théorie des ensembles, logique formelle et raisonnement déductif, pour la construction d'une situation d'apprentissage sur le raisonnement."(Deloustal-Jorrand V. , 2004, L'implication mathématique)

Or, le cadre ensembliste du concept implication est très souvent absent, y compris à l'université, et aucun lien n'est fait entre ces différents cadres.Cette séparation risque de renforcer le clivage qui existe entre ces différents cadres.

3-C-3. Particularités de la logique dans ce programme

La deuxième sous-partie de ce thème apparaît comme différente. En effet, les objectifs n'apparaissent pas sous forme d'exigences de connaissances et de capacités comme pour les autres parties du programme, mais sous forme d'expériences.

"Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples :"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

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Cela pose un premier problème d'interprétation, l'enseignant doit-il seulement confronter les élèves à ces diverses notions de logique tout au long de son cours, ou est-il nécessaire de traiter chacun, ou certains, de ces points de manière plus approfondies, comme pour les autres notions au programme ?

Dans le premier cas, le problème sera alors d'évaluer les acquis des élèves et d'obtenir un niveau correct et homogène en fin de terminale. Dans le second cas, la contrainte interdisant les séances de cours spécifiques à la logique sera délicate à appliquer.

3-C-4. Contenu

Parlons maintenant du contenu de cette sous-partie consacrée au raisonnement logique.

Elle recouvre les principales notions de base de la logique nécessaires à la compréhension et à la conduite d'un raisonnement mathématique, rencontré au niveau du lycée.

Ces notions sont regroupées sous sept points :

– les connecteurs logiques «et» et «ou» ;– les quantificateurs existentiels et universels ;– la proposition conditionnelle (proposition directe, réciproque, contraposée,

négation) ;– les expressions "conditions nécessaires" et "conditions suffisantes" ;– la négation d'une proposition ;– l'utilisation du contre-exemple ;– les différents types de raisonnement (disjonction de cas, contraposée,

raisonnement par l'absurde).

a) Les connecteurs logiques «et» et «ou»

Pour ce qui est du premier point, le programme stipule que

"Les élèves sont entrainés […] :à utiliser correctement les connecteurs logiques «et» et «ou» et à distinguer leur sens des sens courants de «et», «ou» dans le langage usuel ;"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Le sens mathématique du connecteur «ou» entre deux assertions A et B est la disjonction non exclusive de ces deux assertions. L'assertion "A ou B" est vraie si au moins une de ces deux assertions est vraie (la première, la deuxième, ou les deux). Cette définition va à l'encontre de son utilisation dans le langage courant, où il désigne soit une alternative entre deux possibilités : dans l'expression "fromage ou dessert" par

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exemple, le "ou" est exclusif, il est sous-entendu que c'est l'un ou l'autre, mais pas les deux ; soit une équivalence : par exemple, "l'acide acétylsalicylique, ou aspirine".

Le sens mathématique du connecteur «et», entre deux assertions A et B, est la conjonction de ces deux assertions. "A et B" est vraie si les deux assertions A et B sont vraies simultanément.

Alors que dans le langage courant, la conjonction «et» peut exprimer l'adjonction ("Achète du pain et du beurre"), la succession ("Je finis et je sors"), l'opposition ("Elle travaille beaucoup et elle n'est pas bien payée"), la conséquence (" Il a beaucoup couru et il est fatigué.") ou l'insistance ("Il nous a félicités, et en public.").

Dans presque tous les cas, les utilisations du langage courant sont différentes, voire contradictoires avec les définitions mathématiques de ces connecteurs. Nous pouvons donc nous demander comment peut-on familiariser les élèves avec ces notions de logique, qui vont à l'encontre du langage courant.

b) Les quantificateurs

"à utiliser à bon escient les quantificateur universel, existentiel (les symboles ∀, ∃ ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ;"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Nous pouvons faire l'hypothèse qu'il s'agit ici, d'une part de reconnaître les quantifications universelles et existentielles, implicites dans les propositions. Par exemple dans la proposition "La fonction f est croissante, alors si x ≤ 3 on a f(x) ≤ f(3)", il est sous-entendu, "pour tout x dans l'intervalle de définition de f, si x ≤ 3 alors f(x) ≤ f(3)".

D'autre part, il faut amener les élèves à utiliser, dans leur production, les expressions "quel que soit" (ou "pour tout") comme quantificateur universel – c'est-à-dire pour indiquer qu'un prédicat est vrai pour toutes les valeurs d'un certain ensemble – et "il existe" comme quantificateur existentiel – c'est-à-dire pour indiquer qu’un prédicat est vrai pour au moins un élément d'un ensemble donné.

Une difficulté sera d'introduire la définition du mot "un". Cette définition dépend du contexte. En effet, le mot "un" peut être interprété comme le nombre, c'est-à-dire au sens "exactement un", ou encore comme l'article indéfini, qui peut soit signifier "au moins un", par exemple dans l'expression "il existe un", soit signifier une vérité générale : par exemple, dans la phrase "un carré a quatre côtés égaux", le mot "un" signifie en fait "tout".

Nous verrons si le document ressource apporte des indications sur comment introduire ces notions délicates aux élèves.

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c) La proposition conditionnelle

"à distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Nous constatons que les concepteurs du programme ont fait le choix d'exposer cette notion de proposition conditionnelle au dépens de la notion d'implication.

Ce choix pourrait avoir comme conséquence de renforcer la prédominance actuelle du point de vue déductif de la notion d'implication, qui privilégie la conception causale-temporelle de l'implication, ce qui constitue un obstacle à l'apprentissage de cette notion.

" Le point de vue déductif est prépondérant notamment en collège et lycée où il est l'unique point de vue présenté. [...]La conception causale de l'implication, déjà présente dans la logique naturelle, est renforcée dans les manuels par de nombreuses expressions, souvent dans le cadre du raisonnement déductif. "(Deloustal-Jorrand V. , 2004, L'implication mathématique)

Dans une proposition conditionnelle du type "si A alors B" (ou encore "B si A"), la réciproque sera "si B alors A", la contraposée sera "si non B alors non A", et la négation sera "A et non B".

Il paraît difficile de transmettre ces notions sans justifier ces définitions et leurs utilités. Se contenter de proposer une méthode pour distinguer ces différentes notions paraît dommageable à la cohérence de ce programme. Par exemple, la notion de contraposée est intéressante puisqu'il s'agit d'une formulation équivalente à la proposition directe.

Sans les liens entre ces différentes notions il sera difficile de défendre l'intérêt de cet enseignement, mais en incluant ces points au programme il sera difficile de respecter la contrainte interdisant la production de cours spécifique.

Nous verrons comment le document ressource répond à ces interrogations.

d) "conditions nécessaires" et "conditions suffisantes"

"à utiliser à bon escient les expressions «condition nécessaire», «condition suffisante» ;"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Une condition nécessaire à Q est une condition sans laquelle B ne peut être réalisé, alors qu'une condition suffisante à Q est une condition qui, à elle seule, assure la réalisation de B.

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Ces notions sont complexes et des difficultés subsistent jusqu'à l'université, principalement, comme nous l'avons vu précédemment, en raison de la conception causale-temporelle de l'implication.

Enfin, nous ajouterons qu'il paraît compliqué de parler de conditions nécessaires et de conditions suffisantes sans parler de la notion d'implication, en particulier pour les raisons que nous avons invoqué précédemment.

Nous verrons quelles solutions propose le document ressource pour aborder ces notions.

e) La négation d'une proposition

"à formuler la négation d’une proposition ;"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Nous avons déjà rencontré la négation d'une proposition conditionnelle dans le troisième point, nous pouvons donc supposer qu'il s'agit ici de savoir formuler la négation de propositions quelconques, notamment comportant des quantificateurs ou des connecteurs logiques.

On peut également faire l'hypothèse que si la négation de quantificateurs, ou de connecteurs logiques, n'intervient pas dans leur description, comme c'est le cas pour la proposition conditionnelle, c'est que cette notion est nouvelle et pose problème jusqu'à l'université.

Une des raisons de la complexité de la négation provient de son éloignement de la logique naturelle.

En effet, dans le langage courant on aura tendance à prendre pour négation de "A et B", "non A et non B", alors que la négation mathématique de cette tournure est "non A ou non B". Par exemple, si on demande de donner la négation de "tu auras un bonbon et du chocolat", il est probable d'obtenir comme réponse "tu auras ni bonbon ni chocolat", alors que la négation mathématique de cette phrase serait "tu n'auras pas de bonbon ou pas de chocolat.".

De même, la négation mathématique de "pour tout x dans un ensemble E, x vérifie la propriété A" sera "il existe un x dans E tel que x ne vérifie pas A". Pourtant, on trouvera dans le langage courant "pour tout x dans E, x ne vérifie pas A".Par exemple, on risque de trouver comme négation de "tous les enfants aiment les bonbons" : "aucun enfant n'aime les bonbons", alors que la négation mathématique sera "il existe un enfant qui n'aime pas les bonbons".

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Pour exprimer la négation de proposition comportant des connecteurs logiques ou de quantificateurs, il apparaît nécessaire de bien maitriser ces notions et d'avoir une expérience en logique suffisante pour s'éloigner de la logique naturelle du langage courant.

On peut alors se demander comment obtenir ces résultats avec des secondes. Nous verrons si le document ressource propose des idées pour faire assimiler cette notion.

f) Le contre-exemple

"à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ;"(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Ce point apparaît logiquement dans ce programme. Il ne s'agit pas d'un élément nouveau. En effet, nous venons de voir la négation mathématique d'une proposition universelle, c'est-à-dire du type "pour tout x dans un ensemble E, x vérifie la propriété A". Un contre-exemple sera un certain x dans l'ensemble E qui ne vérifie pas la propriété A. Le paragraphe précédent assure que l'existence d'un tel x suffit à infirmer la proposition universelle.

Nous pouvons supposer que ce point apparaît de manière explicite pour lutter contre l'absence de cette justification aussi bien au lycée qu'à l'université.

g) Les différents types de raisonnement

"à reconnaître et à utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde."(B.O. n°30 du 23 juillet 2009)

Ce point apparaissait déjà dans le programme précédent mais était repoussée à la première, et même à la terminale pour le raisonnement par récurrence.

"Des problèmes bien choisis permettront d'aborder en première le raisonnement par contraposition, par l'absurde ou par disjonction des cas ; le raisonnement par récurrence relève de la classe de terminale."(B.O. H.S. n°7 du 31 août 2000)

La nouveauté réside donc dans son introduction en classe de seconde.

Nous remarquons également qu'il apparaissait déjà, sous forme d'initiation dans les nouveaux programme du collège :

"De nombreux types de raisonnement peuvent être mis en œuvre : le raisonnement par induction présomption y est très présent puisque, dans une activité d’investigation, la démarche à suivre n’est pas suggérée par

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l’énoncé, mais il peut être aussi déductif, par l’absurde, par exhaustivité des cas, …Cependant, il est important que la mise en œuvre, orale ou écrite, ne soit pas gênée par un formalisme prématuré."(extrait du document ressource pour les classes du collège intitulé "raisonnement et démonstration au collège" paru en 2008).

Nous pouvons néanmoins supposer que le raisonnement par l'absurde sera d'avantage travaillé à un niveau supérieur. En effet, ce type de raisonnement, consistant à supposer la négation de la proposition que l'on souhaite démontrer et d'aboutir à une contradiction, est totalement nouveau pour les élèves.

Nous pouvons également faire l'hypothèse que la difficulté principale du raisonnement par contraposée réside dans la reconnaissance de la contraposée d'une proposition conditionnelle comme une proposition équivalente à la proposition directe. Ce point a déjà été étudié dans le paragraphe c.

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3-D. Premières conclusions

Pour conclure, nous retiendrons que ce programme atteste d'une volonté, déjà annoncée dans les nouveaux programmes du collège, de favoriser le raisonnement mathématique.

Cette volonté est particulièrement marquée par la réapparition explicite dans les programmes de seconde des notions élémentaires de logique, qui sont la base du raisonnement et de la preuve mathématique, et dont l'enseignement était précédemment repoussé aux premières années d'université.

Ces notions avaient disparu de l'enseignement depuis la réforme des maths modernes. Ce nouveau programme apparaît comme un souhait de redonner à ces notions la place essentielle qu'elles occupent dans la formation mathématique et donc de redonner du sens et de l'importance au raisonnement mathématique. Cependant, nous remarquons, à travers les diverses contraintes imposées, le soin qui est apporté à se détacher au maximum de l'enseignement de la logique comme il était pratiqué au temps des maths modernes, au détriment parfois de la cohérence de ce programme.

Par ailleurs, ce programme soulève quelques difficultés.

La première concerne la complexité des notions à enseigner. L'obstacle majeur, dont nous avons parlé précédemment, figure dans le caractère contre-intuitif de certaines de ces notions.

Le second obstacle concerne la contrainte imposée par le programme interdisant la production de séances de cours spécifiques à la logique. Une troisième difficulté sera de gérer l'apprentissage progressif de ces notions tout au long de l'année.

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4. Analyse du document ressources pour la logique

4-A. Introduction

Nous allons maintenant chercher dans le document ressources les réponses à nos questions concernant l'organisation générale de ce programme de logique et les moyens proposés pour traiter les différentes notions que nous avons détaillées précédemment.

Dans un premier temps, nous allons détailler le positionnement du document ressources par rapport à l'organisation de l'enseignement de la logique, notamment concernant la place de la logique et les contraintes évoquées dans le programme ainsi que la question de l'évolution et de l'évaluation des acquis des élèves au cours des trois années de lycée.

Ensuite, nous détaillerons pour chacune des notions précédemment cités les moyens proposés par ce document pour introduire et travailler ces notions au sein des chapitres du programme.

Enfin, nous conclurons en résumant les réponses que ce document fournit et les questions qui restent en suspens.

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4-B. Organisation de l'enseignement de la logique selon le document ressources

Nous avons relevé précédemment la volonté, présente dans le nouveau programme de seconde de 2009, de favoriser le raisonnement mathématique, à travers la réintroduction de diverses notions de logique qui avait disparues de l'enseignement depuis la réforme des maths modernes.

Cependant certaines contraintes visant probablement à prendre des distances par rapport à l'enseignement de la logique tel qu'il était pratiqué au temps des maths modernes avaient soulevé plusieurs interrogations.

Nous proposons ici d'étudier le document ressources, plus précisément son positionnement concernant la place de la logique dans le programme du lycée, ainsi que les pistes proposées pour échelonner le travail sur les trois années de lycée et pour évaluer les acquis des élèves.

4-B-1. Place de la logique

Le document ressources réaffirme l'importance, soulignée dans le nouveau programme de seconde, de l'enseignement de la logique dans la formation au raisonnement mathématique.

" L’étude des formes diverses de raisonnement et la nécessité de distinguer implication mathématique et causalité sont essentielles à la formation mathématique. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Il s'appuie également sur la réforme du collège de l'année précédente pour réaffirmer l'objectif de favoriser le raisonnement mathématique.

" Comme le rappelle le document ressource sur le raisonnement et la démonstration au collège, une part non négligeable des élèves arrivant en seconde sont aptes à conduire des raisonnements sans pour autant les produire par écrit sous une forme aboutie. L’objectif du travail fait sur la logique et le raisonnement au cours de l’année de seconde est de les conduire peu à peu à mieux comprendre la logique mathématique et à s’approprier notations et vocabulaire. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Cependant, nous constatons le même souhait de s'éloigner de l'enseignement de la logique tel qu'il était pratiqué au temps des maths modernes, en particulier de

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l'apprentissage de la théorie des ensembles.

" En 1969, le langage des ensembles était un objet d’apprentissage qui n’est plus apparu aussi explicitement dans les programmes ultérieurs. On retrouve néanmoins un point commun important à tous ces programmes : tout exposé de logique mathématique est exclu. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Les conséquences, évoquées dans l'analyse du programme, sont la distinction faite entre théorie des ensembles et éléments de logique, mais également l'intégration de ces notions au sein des chapitres du cours avec interdiction de production de cours spécifiques à la logique.

" Cette acquisition doit être répartie tout au long de l’année, lorsque les situations étudiées en fournissent l’occasion et il n’est pas question de traiter la logique dans un chapitre spécifique. […]Il s’agit de procéder par petites touches présentées sous forme de bilan, de synthèse ou de généralisation."(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Le seul lien proposé par le document ressources entre langage des ensembles et éléments de logique réside dans les similitudes entre les connecteurs logiques «et» et «ou» et les notions de réunions et d'intersections.

" Les notions de réunion, intersection et inclusion ont été rencontrées lors du travail sur les intervalles. Ici, il s’agit de faire le lien entre «et », « ou » et les symboles ∩ et ∪. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Dans l'ensemble, le document ressources réaffirme à la fois la place importante de la logique et les contraintes déjà présentes dans le programme.

Nous pouvons faire l'hypothèse qu'en raison de cette contrainte d'interdiction de cours spécifiques à la logique, et en l'absence d'informations supplémentaires dans ce document, les objectifs de cette enseignement risquent de ne pas être atteints.

4-B-2. Pistes pour l'évolution et l'évaluation des acquis

Le document ressources n'apporte pas d'éléments nouveaux concernant la répartition du programme de logique sur les trois années du lycée.

Il affirme le besoin d'évaluer les élèves sur leurs acquis en logique.

" Les compétences évoluées « raisonner, démontrer, élaborer une

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démarche » ou « développer une démarche connue, mettre en forme un raisonnement » sont des compétences évaluées au baccalauréat dans toutes les séries. Il convient donc d’évaluer progressivement dès la classe de seconde les apprentissages sur la logique et le raisonnement. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Il propose deux moyens : à l'oral et à l'écrit.

Commençons par envisager la première possibilité.

" L’évaluation peut être faite à l’oral. Être capable de reformuler de manière mathématique un énoncé est une compétence qu’il convient de faire acquérir dans le dialogue et le débat. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Sur ce point, nous pouvons nous interroger sur comment mettre en place un système de notations des élèves sur une évaluation orale. Est-il question de proposer un examen oral de logique pour chacun des élèves ? L'évaluation doit elle être continue sur toute l'année ? Dans ce cas, comment la mettre en place, sur quels critères...

En ce qui concerne l'évaluation écrite, ce document n'est pas plus précis.

" A l’écrit, de la même manière qu’au collège, deux principes essentiels doivent être retenus : distinguer le fond de la forme valoriser des écrits intermédiaires. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

La seule véritable piste proposée consiste en l'idée d'une bonification.

" Dans la mesure où on rend les élèves attentifs à la nécessité de préciser ce dont ils parlent, il semble essentiel de valoriser les efforts de clarté et d’explicitation. On peut envisager une valorisation sous forme de bonus. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

En résumé, ce document apporte peu de précisions concernant l'évaluation des acquis et la répartition du travail sur les trois années de lycée.

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4-C. Propositions du document ressources pour les différentes notions de logique

Nous avons relevé précédemment deux points que nous devions éclaircir.

Le premier concerne l'intégration des différentes notions de logique au sein des chapitres du cours.

Le second concerne la difficulté de ces notions, en particulier en raison de leur divergence avec la logique naturelle et le langage courant.

Nous allons maintenant, pour chacune des notions de logique au programme de seconde, détailler et commenter le domaine d'intégration choisi par le document ressources et les exemples d'exercices proposés.

En particulier nous discuterons de la pertinence de ces exercices par rapport aux difficultés que nous avons décrites dans le chapitre précédent.


Nous remarquons que les connecteurs «et» et «ou» font l'objet d'un paragraphe dans un chapitre intitulé "langage courant et langage mathématique".

Nous avions précédemment relevé la difficulté liée aux différences de définitions entre le langage mathématique et le langage courant.

Ce document souligne cette difficulté :

" Certains mots tels que « et », « ou », « un » n’ont pas toujours la même signification dans le langage courant et dans leur utilisation en mathématique. Il est important d’attirer l’attention des élèves sur les similitudes et les différences de leur emploi dans ces deux domaines. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Il propose deux exemples. Le premier traite de la différence entre le «ou» exclusif utilisé dans le langage courant et le «ou» inclusif du langage mathématique.

" Sur le menu du restaurant scolaire il est écrit : fromage ou yaourt. Est-il permis de prendre une portion de fromage et un yaourt ?Il est clair qu’ici le « ou » est exclusif alors que le « ou » mathématique est par défaut inclusif. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

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Le document propose de travailler sur cette utilisation du connecteur «ou» à partir des équations.

" Dans la résolution des équations-produit, on écrit :« A(x) × B(x) = 0 si et seulement si A(x) = 0 ou B(x) = 0 ».Cela peut être une occasion de travailler le sens du « ou » mathématique si on propose des situations dans lesquelles les deux facteurs sont simultanément nuls. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Cette exemple paraît pertinent pour traiter de la différence de signification du «ou» entre langage courant et mathématique.

Le second exemple propose d'étudier les liens entre les connecteurs «et» et «ou» et les notions d'intersection et de réunions de deux ensembles.

Dans un premier point, l'exemple traite du lien entre «et» et «ou», en soulignant le fait que l'intersection de deux ensembles est incluse dans leur réunion.

" Tous les élèves qui suivent l’option théâtre ou l’option danse participeront au spectacle de fin d’année.1. Sophie suit les deux options, participera-t-elle au spectacle ? "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Il semblerait plus pertinent de remplacer la question par "Sophie suit l’option théâtre et l’option danse, participera-t-elle au spectacle ?", pour faire intervenir le connecteur «et» de manière explicite. De plus, cette inclusion est directement liée au caractère inclusif du «ou» dans le langage mathématique, il s'agit donc de la même difficulté que précédemment sous un point de vue différent.

Le second point traite de la deuxième difficulté que nous avions soulevée dans le chapitre précédent. Dans le langage mathématique, le «et» correspond à une intersection et le «ou» à une réunion, mais dans certains énoncés mathématiques subsistent des expressions en langage courant. Dans ce dernier, nous pouvons rencontrer l'utilisation du connecteur «et» pour décrire une réunion.

" 2. Les deux phrases suivantes : « Tous les élèves qui suivent l’option théâtre ou l’option danse » et « Tous les élèves qui suivent l’option théâtre et tous ceux qui suivent l’option danse » désignent-elles les mêmes élèves ? "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Nous avions notamment mis en évidence l'exemple de l'écriture littérale des solutions d'une équation dans le chapitre précédent. Cet exemple est repris dans ce document.

"Une analogie peut être faite avec l’emploi des mots « et » et « ou » dans la phrase suivante :

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« A(x) = 0 si et seulement si x = 1 ou x = 2donc les solutions de l’équation A(x) = 0 sont 1 et 2. »."(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Cet exercice est une approche intéressante des difficultés d'utilisation des connecteurs «et» et «ou», par rapport à leur différence de significations entre les langages courant et mathématique.

Ce document propose également deux exemples dans le chapitre "programme et éléments de logique ou de raisonnement". On remarque l'intégration de ces connecteurs au sein de la partie fonctions dans un exercice consacré aux notions d'implication et d'équivalence. Ils interviennent ensuite dans un exemple concernant les réunions et intersections, au sein de la partie statistiques et probabilité.

Nous pouvons faire l'hypothèse que le premier exercice, dans la partie fonctions, ne sera pas pertinent pour le travail sur les connecteurs logiques, en raison de sa difficulté. Nous étudierons cet exercice ultérieurement. Nous retiendrons néanmoins que le cadre des équations semble être favorable à l'introduction de ces connecteurs.

Le second exercice, dans la partie statistiques et probabilité, propose l'introduction conjointe des notions de réunions et d'intersections et des connecteurs.

" Un club sportif propose des cours de judo et des cours de karaté. On note A le groupe des adhérents inscrits au judoB le groupe des adhérents inscrits au karaté.C le groupe des adhérents inscrits au judo et au karaté.D le groupe des adhérents inscrits au judo ou au karaté.E le groupe des adhérents inscrits à un seul de ces deux sports.Farid s’est inscrit uniquement au karaté, Katia uniquement au judo, et Léo s’est inscrit aux deux cours.De quels groupes A, B, C, D ou E chacun fait-il partie ?Myriam est dans le groupe D. Fait-elle partie du groupe des adhérents inscrits au judo ? "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Cet exercice permet de se familiariser avec les définitions des connecteurs logique. Cependant, on peut regretter de ne pas voir apparaître une question concernant les inclusions entre chacun de ces ensembles.

De même, tel qu'il est posé, cet exercice ne permet pas de voir le lien entre le connecteur «ou» et la notion de réunion (ici D représente A ∪ B) ou encore le lien entre le connecteur «et» et la notion d'intersection (C représente A ∩ B).

En résumé, le document propose une assez bonne approche des connecteurs logique et des difficultés liées aux divergences avec leur utilisation dans le langage courant. Néanmoins, certains de ces exercices pourraient être posés différemment pour confronter davantage les élèves aux difficultés liées à ces connecteurs et aux liens qui existent avec les notions d'intersection et de réunion.

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Nous avons vu dans le paragraphe précédent que le document proposait un travail sur la signification du mot "un" entre le langage mathématique et le langage courant.

Le document met en évidence les différentes définitions du mot "un" que nous avons décrites dans le chapitre précédent et propose un exemple d'exercice.

Cet exercice a pour but de distinguer l'utilisation du mot "un", comme le nombre, c'est-à-dire au sens "exactement un", de l'utilisation du mot "un" au sens existentiel, c'est-à-dire au sens "au moins un". Il propose une situation où une fonction f a deux antécédents pour l'image 3, et où on pose une question sur l'existence d'un antécédent de 3 par f.

" Existe-t-il un nombre qui a pour image 3 par f ?Les élèves qui interprètent « un » comme « exactement un » répondent FAUX puisqu’il y a deux nombres qui ont pour image 3 par f. Il convient donc d’attirer leur attention sur le fait qu’en l’absence de précision «un» peut signifier « au moins un » dans ce type d’énoncé. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Cette approche du "un" est intéressante. L'utilisation du "un" au sens existentiel est courante en mathématique, une mauvaise interprétation de son sens peut être à l'origine d'erreurs.

Il serait intéressant de faire remarquer qu'on utilisera plutôt le chiffre "1" lorsqu'on voudra dire "exactement un".

Nous trouvons également dans le deuxième chapitre de ce document un paragraphe consacré à l'explicitation des quantificateurs au sein de la partie fonctions. Ce paragraphe contient trois exemples que nous allons commenter.

Le premier exemple est un exercice de reformulation. L'énoncé proposé contient des quantificateurs implicites. On demande d'utiliser des quantificateurs pour préciser le domaine de la définition de la fonction, de l'existence de solution d'une équation et de sa résolution.

Le second exemple a pour but de montrer l'utilité de ces précisions, en proposant un énoncé vrai dans le domaine des réels positifs, mais faux pour les réels.

" Ici, il s’agit de faire prendre conscience de la nécessité de préciser le contexte de la proposition conditionnelle, c’est-à-dire l’ensemble auquel appartient x pour pouvoir donner la valeur vraie ou fausse à cet énoncé. […]La nécessité de ce type de précision se retrouve dans la modélisation d’une situation où il est nécessaire de préciser le domaine de définition de la variable. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé

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"notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Enfin le troisième exemple propose, à partir d'un tableau de variation d'une fonction, d'étudier la véracité d'énoncés comportant des quantificateurs, et de justifier son résultat.

Cet exercice n'est pas commenté dans le document ressources, cependant il paraît pertinent pour l'étude des quantificateurs, puisqu'il demande à la fois de maitriser le sens des quantificateurs employés, et de savoir justifier ces résultats.

Notamment, il faudra justifier une existence par un exemple et savoir que des exemples ne suffirons pas à prouver la véracité d'une proposition avec quantificateur universel. En revanche, un seul contre-exemple suffira à prouver qu'une proposition de ce type est fausse.

Il serait intéressant de faire un lien, dans ce type d'exercice, entre les justifications demandées et la négation des quantificateurs.


Nous remarquons que le document ressources abandonne la notion de proposition conditionnelle évoquée dans le programme au profit de la notion d'implication.

Ce choix peut avoir des répercussions. Il pourrait provoquer un renforcement de la confusion entre proposition conditionnelle et implication. Nous avons déjà parlé des conséquences, dues à l'utilisation exclusive du raisonnement déductif, dans l'acquisition de la notion d'implication. Du point de vue de la logique, l'implication répond au concept de vérifonctionnalité, expliqué dans la thèse de Virginie Deloustal-Jorrand.

" La valeur de vérité d'une phrase ne dépend que des valeurs de vérité des propositions en jeu et de la définition des connecteurs qui les relient. En particulier, la valeur de vérité de la phrase ne dépend ni du contexte, ni du contenu sémantique des propriétés en jeu. "(Deloustal-Jorrand V. , 2004, L'implication mathématique)

Nous pouvons faire l'hypothèse que ce concept a été abandonné par le programme en raison de sa complexité. Cependant, il serait surement plus cohérent de respecter le vocabulaire choisi par le programme, pour ne pas devenir un obstacle à l'acquisition ultérieure de la notion d'implication.

Le document propose un exemple, dans le cadre de résolution d'équation, pour traiter les notions d'implication et d'équivalence. L'exercice donné met en scène différentes propositions à partir desquelles il faudra trouver des implications et équivalences correctes.

Nous faisons l'hypothèse que cet exercice risque de ne pas être pertinent pour l'acquisition de la notion de proposition conditionnelle du programme, en raison de sa complexité.

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En effet, nous remarquons plusieurs difficultés, en plus de celles liées au cadre de la résolution d'équations.

La première concerne le caractère abstrait des propositions. Les propositions écrites avec les lettres a et b désignant des nombres réels permettent de rester dans le cas général mais pourraient être un obstacle à la compréhension de l'exercice, en particulier pour une première approche du concept d'implication.

La deuxième difficulté consiste en la compréhension de la formulation 1 ⇒ 2, qui est moins explicite qu'une proposition du type "si A alors B", comme rencontrée dans le langage courant.

Enfin, nous remarquons également que ces propositions comportent des connecteurs logiques qui pourraient être un obstacle supplémentaire à la résolution de l'exercice.

Nous verrons dans notre expérience comment les élèves réagissent à ce type d'exercice.

Dans la troisième partie de ce document, une partie importante est consacrée à l'implication mathématique en parallèle avec le langage courant.

Un exemple propose de mettre en évidence les règles auxquelles le langage courant obéit, et qui entrainent une interprétation différente des propositions conditionnelles.

" « Si tu es sage, tu auras des bonbons ». Le sens commun laisse penser que l’enfant qui reçoit des bonbons a été sage. Il est important de montrer sur un exemple ou deux que cette logique tient compte du contexte, du ton employé par l’interlocuteur et de la sémantique.[…]D’un point de vue mathématique, les phrases (1) et (2) sont équivalentes mais dans le langage courant, l’ordre des propositions a une influence sur la compréhension que l’on a de la phrase. D’autres éléments interviennent aussi, comme l’intonation et le degré de crédibilité de la personne qui parle, ou encore le principe du « maximum d’information » selon lequel celui qui parle est supposé expliciter clairement sa pensée. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Dans le paragraphe suivant, deux exemples, analogues du point de vue de la logique, sont proposés. L'un se situe dans le cadre de la vie courante, l'autre dans le cadre de la géométrie. Il s'agit, dans les deux cas, de déduire des conclusions à partir d'une propriété donnée et d'informations fournies.

L'analogie entre la situation de la vie courante et la situation mathématique paraît intéressante pour relever les discordances et les concordances entre la logique naturelle et la logique mathématique et permettre une meilleure appréhension de ce type de problèmes.

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On retrouve les notions de conditions nécessaires et suffisantes, dans le document ressources, au sein de la partie géométrie du programme.

Deux exemples sont consacrés à ces éléments.

Le premier fait appel aux propriétés géométriques des parallélogrammes. Il propose une question ouverte sur le positionnement d'un point. Cet exercice a probablement pour but d'amener les élèves à conjecturer un résultat et à se placer dans une démarche d'investigation pour aboutir à la preuve.

Même si cet exercice peut s'avérer pertinent pour l'apprentissage du raisonnement mathématique, il paraît inapproprié à l'objet de ce paragraphe : les conditions nécessaires et suffisantes.

Le second propose, à partir d'une propriété géométrique, de reconnaître une condition suffisante et de se questionner sur le caractère nécessaire de cette condition.

Ce travail peut être intéressant pour introduire ces notions. Les propriétés géométriques familières, enseignées au collège, peuvent être reformulées avec ce vocabulaire. Le théorème de Pythagore et sa réciproque, par exemple, peut être vu comme une condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit rectangle, ou encore le théorème de Thalès réalise une condition suffisante, mais non nécessaire, à l'égalité de deux rapports de longueurs de segments.

Ces exemples semblent insuffisant à l'acquisition de ces notions. Nous remarquons également qu'aucun lien n'est proposé entre implication et conditions nécessaires et suffisantes.


La négation est abordée dans la partie statistiques et probabilité mais aucun exemple n'est proposé.

" Expliciter des évènements contraires peut être l'occasion de nier des propositions : des exemples sont donnés dans la partie III. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

La troisième partie n'est pas beaucoup plus explicite sur comment mener à bien ce travail sur la négation.

" Comme cela a été dit dans la partie II, expliciter des événements

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contraires peut être l'occasion de nier des propositions : par exemple, écrire l'événement contraire de « tous les murs de la pièce sont blancs » ou encore « le temps est chaud et humide ».Ce type d'exercice, nouveau et délicat, pourra faire l'objet d'un entrainement tout au long de l'année. "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

Il serait probablement intéressant de proposer la négation des notions telles que les quantificateurs, les connecteurs ou encore les propositions conditionnelles, au fur et à mesure de leur introduction.

Cette notion de négation reconnue difficile est peu traitée dans ce document.


Aucun paragraphe de ce document n'est consacré aux contre-exemples.

Cependant, nous avons vu précédemment, dans l'étude sur les quantificateurs, des exemples d'exercices dans lesquels les contre-exemples sont des moyens efficaces de justifications.


Ce point n'est pas traité dans ce document. La référence proposée est le document ressource sur le raisonnement mathématique, publié l'année précédente, pour le collège.

" Dans ce document, nous ne reviendrons pas sur les différents types de raisonnement, le document ressource du collège restant à ce sujet une référence indispensable... "(extrait du document ressources pour la classe de seconde intitulé "notations et raisonnement mathématiques" paru en juillet 2009)

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4-D. Conclusions

Les interrogations soulevées par l'analyse du programme trouvent peu de réponses dans ce document ressources.

Les remarques et contraintes évoquées dans le bulletin officiel, concernant l'organisation générale de l'enseignement de la logique au sein du programme de seconde, sont réaffirmées dans ce document, sans éléments nouveaux.

Les moyens proposés pour aborder les principales difficultés du programme sont faibles. Certains exemples semblent peu pertinents pour l'enseignement de ces notions de logique. D'autres proposent des pistes plus intéressantes, mais nous pouvons faire l'hypothèse que ces exercices, tels quels, ne permettront pas de respecter les ambitions du programme.

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5. Élaboration de notre expérience

5-A. Introduction

L'analyse du programme et du document ressources ont amené beaucoup d'interrogations. Nous proposons, dans ce chapitre, d'étudier les pratiques enseignantes en seconde cette année, pour découvrir quels choix ont été faits, et comment les enseignants se sont adaptés à ce nouveau programme en l'absence de manuels.

Pour cela, nous avons interrogé deux enseignants d'élèves de seconde sur leur interprétation du programme, les décisions qu'ils ont prises concernant le contenu en logique de leur cours, les choix qu'ils ont effectués pour introduire les différentes notions, leur ressenti...

Ces différents analyses nous permettront d'élaborer un questionnaire, sous forme d'exercices faisant appel à diverses notions de logique, afin d'évaluer les élèves de seconde sur ce qu'ils ont assimilé du programme. Nous interrogerons également d'autres élèves du même lycée, de classes supérieures, mais n'ayant pas suivi ce programme, de manière à distinguer, dans l'éventualité où les résultats de ces derniers seraient inférieurs ou proches de ceux des élèves de seconde, les bénéfices de ce programme et ces limites.

Pour notre étude, nous avons choisi un lycée général et technologique, où les élèves suivent, à la place du programme de biologie, des cours de sciences de l'ingénieur au cours desquels ils sont davantage confrontés à des notions de logique formelle. Notamment, les étudiants de classes préparatoires interrogés ont étudié des tableaux de vérité et ont été initiés à l'algèbre de Boole. Nous avons choisi de faire notre étude dans ce lycée parce que les enseignants, pour la raison que nous avons évoquée précédemment, se sont particulièrement mobiliser pour incorporer dès cette année une partie conséquente des notions de logique au programme à leurs cours destinés aux élèves de seconde.

Dans une première partie, nous allons résumer les entretiens avec les deux enseignants. Nous décrirons les décisions qu'ils ont prises concernant l'organisation générale du programme de logique et la place qu'ils ont accordée à chacune des notions de logique dans leurs cours.

Puis, nous développerons les exercices que nous proposerons en questionnaire aux élèves, afin de montrer en quoi ils sont susceptibles de mettre en évidence à la fois les bénéfices du programme mais également les difficultés qu'il reste à surmonter. Dans cette partie, nous expliciterons nos choix d'exercices et notre analyse à priori de l'expérience.

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5-B. Entretien avec les enseignants

5-B-1. Organisation générale de l'enseignement de la logique

Les deux enseignants ont modifié leurs cours pour introduire certaines notions de logique du nouveau programme.

Ils utilisent le manuel Belin pour les parties communes à l'ancien programme, mais aucun manuel spécifique aux nouveautés du programme n'a été utilisé.

Aucun des deux enseignants n'a fait de cours spécifiques à la logique pour leurs élèves. Les diverses notions ont été introduites au cours des chapitres.

Nous proposons le détail des notions enseignées, des parties du programme où elles ont été introduites ou travaillées, et des difficultés rencontrées, dans le paragraphe suivant.

5-B-2. Notions de logique enseignées


Les connecteurs logiques «et» et «ou» ont été traités en parallèle avec les notions d'intersection et d'union, en privilégiant les changements de cadre entre la formulation littérale avec les connecteurs «et» et «ou» et les symboles ∩ et ∪.

Ce travail a eu lieu dans le cadre des chapitres de probabilité (écriture d'événements dans les deux cadres) et de fonctions (plus précisément pour l'écriture et la résolution de systèmes d'équations ou d'inéquations).

Ce point a été sujet à de nombreuses incompréhensions de leurs élèves, notamment dans le cadre de la résolution d'équations ou d'inéquations.

En effet, prenons un exemple concret décrit par un des enseignants : x est solution de l'équation (E) x2=1 si et seulement si x=1 OU x=– 1 , donc les solutions sont 1 ET -1. Ici, nous pouvons faire l'hypothèse que le changement de cadre, entre la résolution de l'équation et l'écriture de l'ensemble des solutions de cette équation, est facteur d'erreurs chez les élèves.

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Prenons un autre exemple plus complexe : x est solution du système (S) {x21x24

si et

seulement si x vérifie x21 ET x24 . On peut donc écrire que x est solution de (S) si et seulement si x∈[−2,−1] OU x∈[1,2 ] , les intervalles solutions sont [-2,-1] ET [1,2]. Ce jonglage entre les deux connecteurs logiques est apparu très compliqué à faire assimiler à leurs élèves.

En raison de ces remarques sur l'instabilité des notions «et» et «ou» chez ces élèves, soulevées par les enseignants interrogés, il apparaît important de faire intervenir ces connecteurs dans notre questionnaire, afin de voir quelles sont leurs conceptions sur ces notions, vérifier nos hypothèses ou en formuler de nouvelles.


Les quantificateurs sont systématiquement explicités dans le cours.

Ces notions ont été fréquemment rencontrées, notamment au cours du chapitre sur les fonctions. Par exemple, dans la définition des fonctions (pour tout réel x, f(x)=2x+3), ou pour la recherche de solution d'une équation, d'un antécédent.... (existe-t-il un réel x dont l'image par f est 2 ?)

Les enseignants ont mentionné que les expressions "pour tout" et "il existe un" restaient instables chez leurs élèves.

Nous proposerons un exercice, intégrant ces expressions, dans notre questionnaire, pour évaluer les conceptions des élèves sur les quantificateurs.


Les notions de proposition directe et de proposition réciproque ont été introduites en géométrie, pendant le rappel des théorèmes et propriétés géométriques appris au collège.

Par exemple, le théorème de Pythagore et sa réciproque ont été reformulés avec le symbole ⇒. A partir de la vérification de la proposition et de sa réciproque, la notion d'équivalence a été introduite et le résultat reformulé avec le symbole ⇔.

A partir d'autres théorèmes, les cas de réciproque fausse (et donc de non équivalence) ont également été mis en avant.

Ces notions de proposition directe et de réciproque ont également été travaillé à partir de situations courantes.

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Par exemple, on considère comme vraie une phrase du type : "S'il pleut, alors je sors avec mon parapluie". Est-ce que je sors avec mon parapluie seulement s'il pleut ? Pleut-il si je prends mon parapluie pour sortir ?

En revanche, les divergences entre logique naturelle et logique formelle n'ont pas été évoquées. Notamment, les règles implicites du langage n'ont pas été mises en évidence, et les différentes formulations d'une même proposition n'ont pas été étudiées.

Nous proposerons des exercices mettant en jeu ces notions de proposition directe et de réciproque dans les deux cadres, le cadre mathématique et le cadre d'une situation réelle où le contexte et les règles du langage peuvent modifier l'interprétation de la proposition conditionnelle.

Comme nous l'avons vu précédemment, il sera aussi important de faire intervenir différentes formulations de propositions conditionnelles, notamment pour évaluer la place de la conception causale-temporelle de l'implication chez les élèves.


Ces notions ont été peu traitées dans l'ensemble.


La négation n'a pas été traité de manière indépendante.

Les négations de quantificateurs, de connecteurs logique ou de proposition conditionnelle n'ont pas été explicitées.

Elle a été utilisée implicitement pour comprendre la justification par contre-exemple.

La formulation d'évènements contraires en probabilité a aussi été l'occasion de traiter ce point.


Les enseignants ont apporté un soin particulier à faire développer, chez leurs élèves, le réflexe de l'utilisation du contre-exemple dans les exercices de type vrai/faux avec justifications.

Cependant, selon eux, cette notion passe très mal. Son acquisition passerait par deux phases, qui s'avèrent toutes deux complexes : la reconnaissance qu'un exemple ne suffit

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pas pour démontrer un résultat général puis la compréhension de la suffisance d'un contre-exemple pour infirmer une propriété générale.

Il serait intéressant de voir quel proportion d'élèves de seconde a passé chacune de ces phases, et de le comparer aux autres élèves interrogés.


Le raisonnement par l'absurde a été particulièrement traité en géométrie dans l'espace, par exemple pour montrer qu'une droite peut ne pas couper un plan.

Le résultat de cet introduction du raisonnement par l'absurde dès la seconde a été assez probant. Même si les élèves ne pensent pas naturellement à faire un raisonnement par l'absurde, à partir d'indications, ils parviennent à écrire une preuve correcte.

Cependant, le raisonnement par l'absurde reste pour les élèves de seconde, selon leurs enseignants, une méthode qu'ils admettent, sans comprendre sur quoi elle se base.

Le raisonnement par disjonction de cas a également été exploré à partir d'étude de variations de fonctions, par exemple, la monotonie de la fonction inverse ou les variations de fonctions affines....

Le raisonnement par contraposée n'a pas été exposé.

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5-C. Réalisation du questionnaire

5-C-1. Choix des exercices

Nous allons maintenant, à partir des différentes remarques que nous avons faites précédemment, présenter les exercices que nous proposons dans le questionnaire et justifier ces choix.

Nous proposons cinq problèmes.

Les problèmes 1 et 3 traitent de la notion de proposition conditionnelle dans le langage courant puis dans le cadre mathématique de la résolution d'inéquations.

Les problèmes 2 et 5 portent sur les quantificateurs dans une situation réelle puis dans le cadre de l'étude des variations d'une fonction.

Nous choisissons d'évaluer ces notions dans ces deux cadres pour voir si le changement de cadre modifie ou non les conceptions des élèves sur ces éléments de logique.

Le problème 4 traite des notions d'implications, d'équivalences, et des connecteurs logiques «et» et «ou».

a) Problèmes 1 et 3

Problème 1 : Répondre aux questions par oui (O), non (N) ou ne peux pas savoir (NPPS).

Une mère dit à son enfant : "Si tu manges ta soupe alors tu auras un dessert."L'enfant aura-t-il un dessert s'il mange sa soupe ? S'il ne la mange pas ?

Si la mère avait dit : "Tu auras un dessert si tu manges ta soupe."Vos réponses changeraient-elles ? (Si oui, précisez.)

Pour le premier problème, il s'agit de reconnaître une implication du type P⇒Q dans une proposition conditionnelle énoncée en langage courant sous la forme "si P alors Q" (où P serait "l'enfant mange sa soupe" et Q "sa mère lui donne un dessert"), de ne pas confondre la proposition directe avec la réciproque (ici la contraposée de la réciproque i.e. non P ⇒ non Q), et donc de ne pas confondre avec une équivalence.

L'énoncé est ensuite reformulé sous une forme équivalente "Q si P" pour travailler sur la

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conception causale-temporelle de l'implication que nous avons évoquée précédemment, qui consiste à ne reconnaître une implication que si la cause est avant la conséquence.

Nous avons choisi cette situation particulière pour attirer l'attention sur l'importance du contexte dans le langage naturel. En effet, nous pouvons penser que, dans la plupart des cas, par ces mots, la mère veut signifier à son enfant qu'il aura un dessert seulement s'il mange sa soupe. Manger sa soupe est une condition nécessaire pour avoir son dessert, et suffisante sous certaines conditions implicites : il va de soit pour l'enfant que s'il fait une bêtise au cours du repas, il n'aura pas le droit à un dessert, même s'il a mangé sa soupe, cependant si aucun événement ne se produit, il obtiendra son dessert.

Pourtant la formulation choisie, dans son sens mathématique, signifie que manger sa soupe est une condition suffisante pour avoir un dessert, quoiqu'il arrive jusqu'à la fin du repas. Le contexte de cette situation modifie le sens de la phrase et le rend non conforme à l'interprétation logique mathématique de la phrase.

Problème 3 : Indiquer si les propositions suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) et justifier.

Propositions V/F Justifications

Si x2>1 alors x>1

Si x−1 alors x2>1

x2>1 si x−1

x>1 si et seulement si x2>1

Pour le problème 3, il s'agit d'étudier la véracité d'implication et d'équivalence et de justifier le résultat.

Les connaissances mathématiques mises en jeu dans cet exercice sont la résolution d'inéquations de la forme f(x)<k où f polynomiale de degré 2 (ici f(x)=x2 et k=1). Ces compétences font partie du programme de seconde.

Nous avons choisi une inéquation qui se trouve dans le cours des élèves de seconde, pour diminuer l'interférence de la difficulté mathématique avec ce problème de logique.

Cependant, nous retiendrons que ce problème nécessite des connaissances sur la fonction carré et de ne pas se restreindre à l'étude dans le cas positif. Ces difficultés mathématiques constitueront vraisemblablement un facteur important d'erreur que nous devrons tenter de discerner des erreurs de logique.

Les difficultés principales que présente cet exercice, du point de vue de la logique, sont en partie les mêmes que pour le problème 1 : reconnaître une implication dans la formulation

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"si ... alors ..." et dans la formulation "... si ...", ne pas confondre cette implication avec la réciproque, et donc avec la formulation "… si et seulement si …." qui caractérise une équivalence entre deux propositions.

À ces difficultés s'ajoutent la reconnaissance du quantificateur universel implicite (pour tout x réel) et le problème de la justification du résultat. Il s'agit de connaître les différents types de justifications correctes pour affirmer ou infirmer de telles propositions. Plus précisément, il s'agit de savoir qu'une proposition avec quantificateur universel, de la forme "tout x dans un certain ensemble E vérifie une propriété P ", se justifie uniquement dans un cadre général, que des exemples ne suffisent pas mais qu'un contre-exemple (il existe un x dans E qui ne vérifie pas P) suffit à l'infirmer.

b) Problèmes 2 et 5

Problème 2 : On considère l'affirmation "Tous les voironnais aiment la montagne". Indiquer si les quatre propositions suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) du point de vue de la logique :

1/ Cette affirmation est vraie, car tous mes amis voironnais aiment la montagne.

2/ Cette affirmation est fausse, car je ne suis pas voironnais et j'aime la montagne.

3/ Cette affirmation est fausse, car mon ami voironnais n'aime pas la montagne.

4/ Je ne peux rien dire, car je ne connais pas tous les voironnais.

Pour le second problème, il s'agit de distinguer, parmi quatre propositions de réponses justifiées à une affirmation, lesquelles sont correctes du point de vue de la logique.

La première difficulté est de reconnaître le quantificateur universel dans l'affirmation, la deuxième de connaître les différents types de justifications correctes pour affirmer ou infirmer une telle proposition et de reconnaître celles qui ne le sont pas.

Cet exercice est susceptible, dans le cadre du langage courant, de repérer le pourcentage d'élèves qui pensent que des exemples suffisent à montrer une propriété générale et ceux qui ne reconnaissent pas le contre-exemple comme un moyen d'infirmer une proposition. Ces deux problèmes ont été soulevés par les enseignants interrogés.

Problème 5 : On donne le tableau de variation d'une fonction f définie sur [0,2]. Indiquer si les propositions suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) et justifier.

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x 0 1 2

f(x)1

-2 -5Il existe un nombre réel de l'intervalle [0,2] dont l'image par f est négative.

Tous les nombres réels de l'intervalle [0,2] ont une image par f négative.

Tous les nombres réels de l'intervalle [0,2] ont une image par f inférieure à 3.

Le problème 5 consiste en l'étude des images d'une fonction dont on fournit le tableau de variation, qui fait partie des compétences exigibles en seconde.

Ce problème met en jeu des quantificateurs existentiels et universels. Le but est d'étudier la véracité de trois propositions comportant des quantificateurs et de justifier sa réponse.

Ce problème confronte également l'élève avec l'utilisation mathématique du mot "un" qui signifie "au moins un", et non pas "exactement un" comme dans le langage courant.

Cet exercice a les mêmes ambitions que le problème 2, mais dans un cadre mathématique : évaluer la proportion d'élèves de seconde qui pensent qu'un exemple suffit à démontrer une propriété générale et distinguer ceux qui maitrisent l'utilisation du contre-exemple.

Dans ce couple de problèmes également, il sera intéressant de voir si les réponses changent selon le cadre, naturel ou mathématique, de l'exercice.

c) Problème 4

Problème 4 : a et b désignent deux nombres réels. On donne cinq propositions numérotées de 1 à 5.1/ a2=b2 2/ a=b 3/ a=b ou a=−b 4/ a=b et a=−b 5/ a=0 et b=0(Nota bene : L'implication 1 ⇒ 2 signifie « a2=b2 implique a=b »)

Quelles sont les implications vraies du type 1 ⇒ ..?

Quelles sont les implications vraies du type .. ⇒ 1?

Quelles sont les propositions équivalentes?

Le problème 4 fait intervenir les notions d'implications, d'équivalences, et implicitement de conditions nécessaires et suffisantes, entre différentes propositions numérotées. Les connaissances sur les connecteurs logiques "et" et "ou" sont également interrogées dans cet exercice.

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Ce problème est largement inspiré du document ressources. Son intervention dans ce questionnaire a pour but de confirmer ou infirmer notre hypothèse sur sa complexité et sur la difficulté de reconnaître à partir de cet exercice des conceptions erronées sur l'objet implication.

Nous avons ajouté la proposition 4/ qui diffère de la proposition 3/ uniquement par son connecteur logique. Nous souhaitons, par cet ajout, mettre en évidence une éventuelle confusion entre ces deux connecteurs. Cette difficulté a pour but de tester l'hypothèse, qui

nous a été suggérée par les enseignants, concernant l'instabilité de ces notions de connecteurs logiques "et" et "ou".

5-C-2. Analyse a priori des problèmes


Pour le premier problème, les réponses prévues sont de trois types :

– type A : O – N – N Les deux énoncés sont vus comme une équivalence (P⇔Q). Ce type correspond à une compréhension de la phrase selon les principes du langage courant, en prenant en compte le contexte et l'implicite de la situation.

– type B : O – NPPS – O "Si P alors Q" est vu comme l'implication mathématique P⇒Q. Il n'y a pas de confusion entre la proposition directe et sa réciproque. P est vu comme une condition suffisante mais non nécessaire pour Q. En revanche, la deuxième formulation "Q si P" n'est pas interprété comme logiquement équivalente à la précédente. Elle est vue soit comme la proposition réciproque Q⇒P, soit comme une équivalence P⇔Q..

– type C : O – NPPS – N Les deux énoncés sont reconnus logiquement équivalents comme l'implication P⇒Q sans confusion avec la réciproque.

Nous ne considérerons pas un type de réponse plus correct qu'un autre, en particulier parce qu'il n'était pas mentionné, dans cet exercice, de répondre selon les principes de la logique formelle, ou selon ceux de la logique naturelle.

Nous retiendrons néanmoins les différents concepts en vigueur dans ce cadre et les comparerons à ceux rencontrés dans le problème 3.

Pour le troisième problème, la bonne réponse prévue est F – V – V – F avec deux types

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de justifications :

Les quatre propositions peuvent être traitées indépendamment avec un contre-exemple dans le cas où x est négatif comme justification aux propositions 1 et 4 et une démonstration brève mais générale pour les propositions 2 et 3 (aucune exigence particulière est attendue pour cette justification mais des exemples comme justification seront considérés comme une erreur). Il est également possible de remarquer les liens entre ces différentes propositions, en particulier, les propositions 2 et 3 peuvent être remarquées comme logiquement équivalentes, si l'une est vraie l'autre aussi, et la proposition 4 peut être vue comme la proposition 1 et sa réciproque, donc fausse puisque la proposition 1 est fausse.

Les erreurs prévues sont : (* désigne une réponse quelconque)

– erreur 1 : * – V – F – * La formulation "si … alors …" est vue comme une implication mais la deuxième formulation "… si …" est vue, soit comme une équivalence, soit comme la proposition réciproque. Cela peut correspondre au concept causal-temporel de l'implication, la cause placée après la conséquence empêche de voir l'implication logique correcte.

– erreur 2 : V – * – * – * La proposition directe est soit confondue avec sa réciproque, soit considérée comme vraie car se vérifie sur des exemples (pour les réels positifs) ou parce qu'il est supposé implicitement que x est positif.

– erreur 3 : * – * – * – V L'équivalence est reconnue vraie, soit pour les mêmes raisons que pour l'erreur 2 (dans le cas de réponse du type V – * – * – V), soit parce qu'une des implications est vraie (dans le cas de réponse du type F – * – * – V).


Pour le second problème, la réponse prévue est F – F – V – V.

Aucune erreur n'est attendue en particulier dans cet exercice, mais il sera intéressant de voir les répercussions des erreurs au problème 2 sur les réponses au problème 5, ou encore au problème 3, et les concepts des élèves sur les notions de quantificateur universel, exemple et contre-exemple das le cadre du langage naturel.

Pour le problème 5, la bonne réponse prévue est : V – F – V avec un exemple pour justifier l'existence dans le premier point, un contre-exemple pour infirmer la deuxième proposition, et enfin, pour le dernier point, une démonstration générale.

L'utilisation d'exemples comme justification de la dernière assertion ne sera pas accepté, mais nous accepterons toutes les démonstrations mettant en évidence le maximum f(1)=1 de la fonction.

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L'erreur principale attendue est : F – * – * (compréhension de "un" par "exactement un")

Nous attendons également des erreurs de justifications, notamment, absence du contre-exemple pour la deuxième proposition ou justification par des exemples pour la dernière (les valeurs f(0), f(1) et f(2), inférieures à 3, ne suffisent pas à démontrer ce point, il faut parler aussi des variations de la fonction).

c) Problème 4

Dans ce problème 4, nous voulons, comme condition nécessaire à la proposition 1, la proposition 3, c'est-à-dire comme implication vraie : 1⇒3.

Toutes les propositions sont des conditions suffisantes, la bonne réponse attendue est donc : 2⇒1, 3⇒1, 4⇒1 et 5⇒1 vraies.

Les équivalences voulues sont 1⇔3 et 4⇔5.

La notion d'équivalence est au programme de première et terminale S la rentrée prochaine mais elle est présente dans le document ressources de seconde.

Dans cet exercice difficile, le plus intéressant est de repérer les erreurs qui apparaissent dans les copies des élèves de secondes, confrontés pour la première fois à ce type d'exercice. Ces erreurs seront autant d'obstacles qu'il faudra traverser pour permettre l'acquisition de ces notions.

Nous prévoyons des erreurs par rapport à l'utilisation des connecteurs "et" et "ou", d'où des réponses du type 1⇒4 ou 4⇔3.

Nous attendons également des erreurs du type 1⇒2, par oubli du cas négatif. Cette erreur pourra être due, soit à un problème de résolution mathématique, soit à une confusion entre proposition directe et réciproque.

Le cadre mathématique, très abstrait dans cet exercice, sera un facteur d'erreurs important, au moins pour les élèves de seconde.

Nous pouvons faire l'hypothèse que les conditions suffisantes seront rarement toutes trouvées, surtout dans les copies des élèves de secondes.

Nous attendons davantage de réponses dans les copies des élèves de terminales ou des étudiants.

Nous prévoyons plus particulièrement l'équivalence 1⇔3, résultat du cours de seconde.

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6. Résultats de notre expérience

6-A. Introduction

Dans ce chapitre, nous proposons d'analyser les 117 copies d'élèves de seconde, de terminales S et de classe préparatoires aux grandes écoles d'ingénieurs, interrogés sur ce questionnaire.

Dans un premier temps, nous étudierons ces réponses selon les critères mis en évidence précédemment. Nous comparerons cette analyse des copies à l'analyse a priori du questionnaire que nous avons fait dans le chapitre précédent.

Puis, nous résumerons les conclusions que nous pouvons tirer de cette étude, les bénéfices de ce programme, les lacunes persistantes des élèves, et les conceptions qui prédominent sur les notions de logique que nous avons évaluées.

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6-B. Analyse des réponses au questionnaire


En ce qui concerne le premier problème, sur les 59 élèves de seconde interrogés, on constate 29 réponses de type A, 12 de type B, 6 de type C.

Parmi les 58 élèves de la terminale S à la deuxième année de classes préparatoires aux grandes écoles d'ingénieurs qui ont également subi ce questionnaire, nous relevons 12 réponses de type A, 26 de type B et 16 de type C.

Parmi ceux qui voient une implication dans le premier énoncé ce qui correspond à la logique mathématique ("si P alors Q" signifie "P⇒Q"), la moitié voit une équivalence dans la deuxième formulation ("Q si P"). C'est cette deuxième interprétation qu'on retrouve le plus fréquemment dans les copies d'élèves de terminale S et des étudiants.

Pour conclure sur ce premier problème, nous retiendrons que les élèves de seconde se partagent en deux groupes, ceux qui analysent l'énoncé selon la logique naturelle dans ce contexte et ceux qui reconnaissent au moins dans la première formulation une implication mathématique.

Nous remarquons également que si la plupart des élèves de terminale et étudiants interrogés reconnaissent une implication dans la première formulation ("si ... alors …"), une majorité d'entre-eux analyse la seconde tournure ("… si …") soit comme la proposition réciproque soit comme une équivalence,

ce qui dénote la forte prédominance de la conception causale-temporelle de l'implication. On retrouve également cette prédominance dans les copies des élèves de seconde en plus faible proportion.

Enfin, la réponse de type C correspondant à la logique mathématique a été peu rencontrée que ce soit dans les copies des élèves de seconde ou dans les copies des élèves de terminale et des étudiants, pourtant beaucoup plus expérimentés face à la notion d'implication et disposant d'un bagage mathématique plus conséquent.

La première hypothèse que nous pouvons émettre est que ce programme a été bénéfique pour les secondes qui commencent, au moins pour certains, à penser selon la logique mathématique et obtiennent des résultats proche d'élèves de niveaux mathématiques beaucoup plus élevés. Cependant la conception causale-temporelle de l'implication prédomine encore à tous les niveaux.

Pour le problème 3, nous relevons la réponse attendue dans seulement 15 copies d'élèves de seconde et 17 copies d'élèves de terminale S et d'étudiants.

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Parmi les élèves de seconde, les trois types d'erreurs attendues sont intervenues, chacune sur une vingtaine de copie environ.

Pour les autres élèves la principale erreur rencontrée subsiste dans la proposition avec la formulation "... si …" vu soit comme la proposition réciproque, soit comme une équivalence. Cette erreur concerne 30 copies et montre, comme pour le problème 1, que la conception causale-temporelle de l'implication prédomine à ce niveau. Les deux autres types d'erreurs sont survenus, chacun, sur une dizaine de copies.

Nous remarquons également que les justifications rencontrées, même pour les bonnes réponses, sont souvent incorrectes.

Plus précisément, parmi les réponses correctes pour les propositions 2 et 3, de nombreuses justifications fausses ont été rencontrées dans les copies des élèves de seconde mais également dans celles des élèves de terminale et des étudiants ; nous retiendrons principalement la justification par des exemples et une autre erreur inattendue, la confusion entre plus grand que 1 et positif. Cette dernière erreur semble être d'ordre mathématique et nous pouvons penser qu'elle n'est pas en lien avec des conceptions de logique erronées.Nous ajouterons que seulement 10 élèves ont invoqué le caractère logiquement équivalent de ces propositions 2 et 3.

Parmi les bonnes réponses des élèves de seconde aux propositions 1 et 4, on retrouve un contre-exemple en justification dans la plupart des cas. En revanche, on retrouve cette justification par contre-exemple dans seulement 24 copies parmi les 50 bonnes réponses à ces questions dans les copies des élèves de terminale et de classes préparatoires, la plupart se contentant pour justifier leur réponse de compléter la proposition pour qu'elle devienne correcte.

Nous remarquons également que seulement 3 élèves ont utilisés le lien entre ces deux propositions pour justifier leurs réponses.

Nous pouvons ici émettre de nouvelles hypothèses. Ce problème semble indiquer que les bases de logique mathématique enseignées cette année ont amené ces élèves de seconde à une meilleure maitrise de l'utilisation du contre-exemple, en comparaison avec les terminales et étudiants interrogés. Nous vérifierons cette hypothèse sur les réponses aux problèmes 2 et 5.

Ce constat est en faveur de la première hypothèse que nous avons formulée concernant l'aspect bénéfique de ce programme, notamment pour l'utilisation des contre-exemples qui demeurent trop souvent absents dans les copies des lycéens et étudiants qui n'ont pas suivi ce programme.

Cependant ce constat est nuançable puisque de nombreuses notions de logique sont encore instables ou absentes. Nous retrouvons principalement la prédominance de la conception causale-temporelle de l'implication chez tous les élèves interrogés et, plus particulièrement chez les élèves de seconde, une confusion entre proposition directe et réciproque et donc avec l'équivalence. Nous retiendrons également, chez les élèves de seconde, l'utilisation abusive d'exemples pour justifier une proposition générale.

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Enfin, en ce qui concerne la cohérence entre les réponses aux problèmes 1 et 3, nous avons relevé, parmi les 22 copies dont la réponse au premier problème était de type C (c'est-à-dire celle correspondant le mieux à la logique mathématique), 7 erreurs de type * – V – F – *, dans le troisième problème, marquant une mauvaise interprétation de la formulation "… si …", contre 13 réponses de type * – V – V – *. Pour les 28 copies dont la réponse au premier problème était de type B (c'est-à-dire la formulation "… si …" est mal interprétée dans le cadre de la vie courante), on remarque cette erreur 18 fois dans le problème 3, contre 13 réponses de type * – V – V – *. Enfin pour les 53 copies concernées par le type A au problème 1, on relève 24 erreurs de type * – V – F – * contre 23 réponses de type * – V – V – *.

On peut déduire de ces résultats que l'interprétation de la formulation "… si …", dans le cadre de la situation réelle, a une influence sur son interprétation dans le cadre mathématique. Cependant, la corrélation entre les réponses au premier problème et au second problème est faible, ce qui semble indiquer que peu d'élèves font un lien entre ces deux problèmes.


Sur le deuxième problème encore, les résultats sont homogènes entre élèves de secondes et autres niveaux.

La plupart des élèves interrogés ont réussi cet exercice, nous verrons par la suite si ces notions de quantificateurs exemples et contre-exemples sont suffisamment maîtrisées pour être utilisées dans le problème 5.

Pour le dernier problème, 42 élèves de seconde ont répondu à cet exercice par la réponse attendue avec des justifications correctes dans presque tous les cas. Parmi eux, on remarque néanmoins 12 justifications erronées de la dernière proposition par des exemples de valeurs, sans étude des variations.

13 élèves ont répondu faux à la première proposition en comprenant "exactement un" au lieu de "au moins un".

Les autres lycéens et étudiants, ont presque tous répondu correctement à cet exercice. On ne retrouve pas, comme dans le problème 3, une absence de justification par contre-exemple. Dans ce problème 5, les difficultés liées aux quantificateurs et aux justifications semblent mieux maîtrisées, cela peut être dû au cadre mathématique du problème qui semble moins problématique que le cadre des inéquations du problème 3.

c) Problème 4

En ce qui concerne le problème 4, la moitié des élèves de seconde trouvent la condition

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nécessaire (proposition 3) attendue pour la proposition 1, résultat souvent associé à d'autres conditions nécessaires fausses.

En ce qui concerne les conditions suffisantes (propositions 2, 3, 4 et 5) pour 1, seulement une dizaine d'élèves de seconde a donné une réponse complète.

Pour les équivalences (notion au programme de première et terminale S la rentrée prochaine), une dizaine d'équivalences correctes ont été trouvées dans les copies au niveau seconde.

Concernant les diverses erreurs survenus dans cet exercice, nous retiendrons principalement les difficultés concernant l'utilisation de "et" et de "ou", notamment la différence entre "a=b et a=-b" et "a=b ou a=-b" n'est pas maitrisée.

Un des problèmes majeurs, que cet exercice a suscité, est la compréhension de 1, 2, 3, 4 et 5 comme des propositions, 1⇒2 (respectivement 1⇔2) comme une implication (respectivement une équivalence), qui peut être vraie ou fausse.

Nous avons notamment relevée des réponses du type 4=5 au lieu de 4⇔5, des implications vues comme des propositions d'où des réponses du type 1⇒2 équivaut à 3⇒4 ou encore confusion entre proposition directe et réciproque.

Plus surprenant, beaucoup de ces erreurs ont été retrouvées dans les copies des terminales S et étudiants interrogés, pourtant plus expérimentées face à ce type d'exercice.

Les principales erreurs rencontrées sont des confusions entre conditions nécessaires et suffisantes, et la non reconnaissance des conditions suffisantes et des équivalences.

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6-C. Synthèse des conceptions et connaissances des élèves

Ce questionnaire nous a permis d'évaluer les conceptions et les connaissances des élèves sur certains points de logique. Nous allons maintenant détailler ces résultats.


Le problème 4 nous a permis de constater l'absence de connaissance des élèves, toutes classes confondues, sur ces deux connecteurs logiques. Les propositions comportant ces connecteurs ont été mal reconnues, ou pas suffisamment maitrisées pour reconnaître des implications ou équivalences logiques. Une conception, rencontrée fréquemment, notamment dans les copies des élèves de seconde, est que ces deux connecteurs ont la même signification.


Les problèmes 2 et 5 problématisaient la quantification. Le problème 3 comportait un quantificateur universel implicite.

Dans ce dernier problème, le quantificateur implicite "pour tout x réel" a été reconnu par tous les élèves qui ont traité cet exercice. Cependant, dans certaines propositions, le cas négatif a été oublié, mais nous pouvons penser que ce problème est d'ordre mathématique et ne provient pas d'une incompréhension du quantificateur universel.

En revanche, une conception assez présente, en particulier chez les élèves de seconde, est que des exemples sont suffisants pour justifier une proposition avec un quantificateur universel. En revanche, cette conception se limite au cadre mathématique, en effet presque tous les élèves interrogés ont reconnu la fausseté de ce type d'argument dans la situation réelle rencontrée dans le problème 2.

En ce qui concerne la quantification existentielle, le problème 5 a suscité l'apparition d'une conception sur le sens de l'expression "il existe un", souvent interprétée comme "il existe exactement un". Cette conception n'a été relevée que dans certaines copies d'élèves de seconde.

Les quantificateurs semblent, dans l'ensemble, bien maitrisés par les élèves de terminale et classes préparatoires interrogés.


La proposition conditionnelle a été un des points principaux traités dans ce questionnaire.

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Le problème 4 a permis de mettre en évidence les faibles connaissances de la plupart des élèves sur l'implication et l'équivalence logique. Une conception rencontrée dans les copies des élèves de seconde concerne la proximité des symboles d'équivalence et d'égalité : nous avons relevé des substitutions incorrectes entre ces deux symboles.

Les problèmes 1 et 3 ont permis de distinguer les différentes conceptions des élèves sur les deux formulations de propositions conditionnelles : "si A alors B", ou "B si A". En particulier, il s'agissait de voir si les changements de cadre, ou de formulation, avaient une influence sur la compréhension des propositions conditionnelles, et éventuellement de remarquer des confusions entre proposition directe et réciproque, ou encore équivalence.

Le problème 1 a montré que, dans le cadre d'une situation de la vie courante, les propositions conditionnelles sont le plus souvent interprétées selon le contexte de la situation, en particulier pour les élèves de seconde. Cette interprétation diverge souvent de l'interprétation mathématique de la phrase.

De plus, l'étude croisée des problèmes 1 et 3 a montré que cette interprétation différente des propositions conditionnelles dans le cadre d'une situation de la vie courante avait une influence sur l'interprétation de propositions dans le cadre mathématique.

En particulier, cette étude a montré que la conception causale-temporelle de l'implication, qui entraine la compréhension de l'expression "B si A" comme la réciproque de la proposition conditionnelle "si A alors B", est souvent effective dans les deux cadres.

d) Le contre-exemple

Les problèmes 2, 3 et 5 traitaient de la notion de contre-exemple.

Le problème 2 a montré que l'utilisation du contre-exemple est reconnu par la plupart des élèves comme une justification correcte pour infirmer une proposition universelle dans le cadre de la situation réelle.

Les problèmes 3 et 5 n'ont pas amené les mêmes conclusions. Dans le problème 5, le cadre de l'étude des variations d'une fonction a été propice à l'utilisation du contre-exemple par la plupart des élèves, touts classes confondues. En revanche, dans le problème 3, la justification par contre-exemple a été absente des copies des élèves de terminale et classe préparatoires. Au contraire, les élèves de seconde ont presque tous utilisé le contre-exemple comme justification, lorsque c'était possible. Le problème 3 a également mis en évidence une pratique d'élèves de terminale et de classes préparatoires : La justification de la fausseté de propositions par transformation en une proposition correcte.

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7. Conclusions et perspectives

Nous avons commencé notre étude par l'analyse du programme et du document ressources pour l'enseignement de la logique mathématique en seconde.

Cette analyse nous a permis de formuler plusieurs hypothèses sur les bénéfices de ce programme, les difficultés des éléments de logique au programme, en particulier celles liées à la proximité entre logique naturelle et logique mathématique, et les limites liées aux faibles moyens proposés pour asservir ces ambitions.

7-A. Bénéfices du programme

Nous avons comparé ce programme au précédent, et remarqué que ces éléments de logique était précédemment repoussés au delà du lycée, et qu'ils étaient l'objet d'importantes difficultés à l'université.

Nous avons alors formulé une première hypothèse sur l'intérêt, que ce programme pourrait avoir, sur la compréhension des bases du raisonnement mathématique et de la logique.

Cette hypothèse a été en partie vérifiée par notre expérimentation. En effet, les élèves de seconde obtiennent, sur la plupart des exercices, des résultats proches de ceux obtenus par les élèves de terminale et classes préparatoires interrogés.

7-B. Logique naturelle et logique mathématique

Nous avons également mis en évidence les divergences entre l'utilisation des objets de logique en mathématique et leur utilisation dans le langage courant. Lors de notre observation des pratiques enseignantes et du document ressources, nous avons regretté l'absence de situation problématisant les limites de la proximité entre logique naturelle et logique mathématique.

Nous avons formulé l'hypothèse, vérifiée dans notre expérimentation, que ces concepts effectifs dans le cadre d'une situation de la vie courante avaient une influence sur l'appréhension des éléments de logique dans le cadre mathématique. Les résultats de notre questionnaire ont montré qu'il existait un lien entre la perception des objets de logique dans le cadre mathématique et dans le cadre de la situation réelle.

Nous soutenons l'hypothèse, que nous n'avons pas pu vérifier dans notre étude, qu'il serait bénéfique de proposer des situations problématisant la proximité et les contradictions entre logique naturelle et logique mathématique.

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7-C. La proposition conditionnelle

Nous avons regretté dans notre étude préalable à l'expérimentation, l'assimilation de l'implication logique à la proposition conditionnelle présentée toujours sous la même forme "si A alors B".

Nous avons formulé l'hypothèse que cette présentation renforçait la conception causale-temporelle de l'implication et constituerait un frein à l'apprentissage de cette notion, notamment en entrainant des confusions entre proposition directe, réciproque et équivalence.

Notre expérimentation nous a permis de conclure sur les inconvénients de présenter sous une seule et même forme la proposition conditionnelle (et plus généralement l'implication logique). La forme "si A alors B", vue seule, renforce la conception causale-temporelle de l'implication et entraine une mauvaise appréhension de la formulation équivalente "B si A".

7-D. Les limites du programme

Nous avons relevé, dans l'analyse du programme, les précautions prises, pour se détacher au maximum de l'enseignement de la logique, tel qu'il était pratiqué au temps des maths modernes, notamment en interdisant la production de cours spécifiques et en séparant l'enseignement de la logique de l'initiation aux notations de la théorie des ensembles.

Nous soutenons l'hypothèse que ces précautions sont dangereuses et risquent de mettre en péril les bénéfices de ce programme.

De plus, nous souhaitons attirer l'attention sur la difficulté de ce programme de logique, qui concerne les élèves et étudiants jusqu'en fin d'université. Nous avons cité précédemment l'étude de Virginie Deloustal-Jorrand, dont l'expérimentation sur des PLC2 soulignait ce point. Aussi serait-il probablement intéressant de proposer une formation spécifique à la logique pour les enseignants.

À ce jour, nous n'avons pas pu faire passer notre questionnaire à des étudiants de préparation au capes, à l'agreg ou à des enseignants, mais nous soutenons l'hypothèse qu'ils pourraient partager certaines conceptions et lacunes relevés sur les copies de nos participants.

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Annexes

Sommaire

A1 ) Programme de mathématiques de seconde (B.O. n°30 du 23 juillet 2009).

A2 ) Document ressources pour la classe de seconde "notations et raisonnement mathématiques" (paru en juillet 2009)

A3 ) Questionnaire de logique

A4 ) Un corrigé du questionnaire de logique

A5 ) Les questionnaires réponses des élèves interrogés

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Introduction

La seconde est une classe de détermination. Le programme de mathématiques y a pour fonction :• de conforter l’acquisition par chaque élève de la culture mathématique nécessaire à la vie en société et à la compréhen-

sion du monde ;• d’assurer et de consolider les bases de mathématiques nécessaires aux poursuites d’étude du lycée ;• d’aider l’élève à construire son parcours de formation.

Pour chaque partie du programme, les capacités attendues sont clairement identifiées et l’accent est mis systématique-ment sur les types de problèmes que les élèves doivent savoir résoudre. L’acquisition de techniques est indispensable,mais doit être au service de la pratique du raisonnement qui est la base de l’activité mathématique des élèves. Il faut,en effet, que chaque élève, quels que soient ses projets, puisse faire l’expérience personnelle de l’efficacité des conceptsmathématiques et de la simplification que permet la maîtrise de l’abstraction.

Objectif général

L’objectif de ce programme est de former les élèves à la démarche scientifique sous toutes ses formes pour les rendrecapables de :• modéliser et s’engager dans une activité de recherche ;• conduire un raisonnement, une démonstration ;• pratiquer une activité expérimentale ou algorithmique ;• faire une analyse critique d’un résultat, d’une démarche ;• pratiquer une lecture active de l’information (critique, traitement), en privilégiant les changements de registre (gra-

phique, numérique, algébrique, géométrique) ;• utiliser les outils logiciels (ordinateur ou calculatrice) adaptés à la résolution d’un problème ;• communiquer à l’écrit et à l’oral.Dans la mesure du possible, les problèmes posés s’inspirent de situations liées à la vie courante ou à d’autres disciplines.Ils doivent pouvoir s’exprimer de façon simple et concise et laisser dans leur résolution une place à l’autonomie et àl’initiative des élèves. Au niveau d’une classe de seconde de détermination, les solutions attendues sont aussi en généralsimples et courtes.

Raisonnement et langage mathématiques

Le développement de l’argumentation et l’entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes delycée. À l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer lesprincipes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant et, par exemple, à distinguer implicationmathématique et causalité. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l’objetde cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme. De même, levocabulaire et les notations mathématiques ne doivent pas être fixés d’emblée ni faire l’objet de séquences spécifiques maisdoivent être introduits au cours du traitement d’une question en fonction de leur utilité. Comme les éléments de logiquemathématique, les notations et le vocabulaire mathématiques sont à considérer comme des conquêtes de l’enseignementet non comme des points de départ. Pour autant, ils font pleinement partie du programme : les objectifs figurent, avecceux de la logique, à la fin du programme.

MathématiquesClasse de seconde

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http://www.education.gouv.fr

Utilisation d’outils logiciels

L’utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), d’outils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ouformel), de simulation, de programmation développe la possibilité d’expérimenter, ouvre largement la dialectique entrel’observation et la démonstration et change profondément la nature de l’enseignement.L’utilisation régulière de ces outils peut intervenir selon trois modalités :• par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective adapté ;• par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ;• dans le cadre du travail personnel des élèves hors du temps de classe (par exemple au CDI ou à un autre point d’accès

au réseau local).

Diversité de l’activité de l’élève

La diversité des activités mathématiques proposées :• chercher, expérimenter – en particulier à l’aide d’outils logiciels ;• appliquer des techniques et mettre en œuvre des algorithmes ;• raisonner, démontrer, trouver des résultats partiels et les mettre en perspective ;• expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit ;doit permettre aux élèves de prendre conscience de la richesse et de la variété de la démarche mathématique et de la situerau sein de l’activité scientifique. Cette prise de conscience est un élément essentiel dans la définition de leur orientation.Il importe donc que cette diversité se retrouve dans les travaux proposés à la classe. Parmi ceux-ci les travaux écrits faitshors du temps scolaire permettent, à travers l’autonomie laissée à chacun, le développement des qualités d’initiative. Ilsdoivent être conçus de façon à prendre en compte la diversité et l’hétérogénéité des aptitudes des élèves.Le calcul est un outil essentiel pour la pratique des mathématiques dans la résolution de problème. Il est important enclasse de seconde de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul mental,du calcul numérique et du calcul littéral. L’utilisation d’outils logiciels de calcul – sur calculatrice ou sur ordinateur –contribue à cet entraînement.

Organisation du programme

Le programme est divisé en trois parties,• Fonctions• Géométrie• Statistiques et probabilitésLes capacités attendues dans le domaine de l’algorithmique d’une part et du raisonnement d’autre part, sont transversaleset doivent être développées à l’intérieur de chacune des trois parties. Des activités de type algorithmique possibles sontsignalées dans les différentes parties du programme et précédées du symbole �.

Le programme n’est pas un plan de cours et ne contient pas de préconisations pédagogiques. Il fixe les objectifs à atteindreen termes de capacités et pour cela indique les types de problèmes que les élèves doivent savoir résoudre .

Évaluation des élèves

Les élèves sont évalués en fonction des capacités attendues et selon des modes variés : travaux écrits, rédaction de travauxde recherche, compte-rendus de travaux pratiques. L’évaluation doit être en phase avec les objectifs de formation rappelésau début de cette introduction.

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1. Fonctions

L’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier :• un problème se ramenant à une équation du type f (x) = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée

(définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associerau problème divers aspects d’une fonction ;

• un problème d’optimisation ou un problème du type f (x) > k et de le résoudre, selon les cas, en exploitant les potentia-lités de logiciels, graphiquement ou algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problèmeune fonction.

Les situations proposées dans ce cadre sont issues de domaines très variés : géométrie plane ou dans l’espace, biologie,économie, physique, actualité etc. Les logiciels mis à la disposition des élèves (tableur, traceur de courbes, logiciels degéométrie dynamique, de calcul numérique, de calcul formel, etc.) peuvent être utilement exploités.Par ailleurs, la résolution de problèmes vise aussi à progresser dans la maîtrise du calcul algébrique et à approfondir laconnaissance des différents types de nombres, en particulier pour la distinction d’un nombre de ses valeurs approchées.Il s’agit également d’apprendre aux élèves à distinguer la courbe représentative d’une fonction des dessins obtenus avecun traceur de courbe ou comme représentation de quelques données. Autrement dit, il s’agit de faire comprendre quedes dessins peuvent suffire pour répondre de façon satisfaisante à un problème concret mais qu’ils ne suffisent pas àdémontrer des propriétés de la fonction.

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Fonctions

Image, antécédent, courbereprésentative.

• Traduire le lien entre deux quantitéspar une formule.Pour une fonction définie par unecourbe, un tableau de données ou uneformule :• identifier la variable et,éventuellement, l’ensemble dedéfinition ;• déterminer l’image d’un nombre ;• rechercher des antécédents d’unnombre.

Les fonctions abordées sontgénéralement des fonctionsnumériques d’une variable réelle pourlesquelles l’ensemble de définition estdonné.Quelques exemples de fonctionsdéfinies sur un ensemble fini ou sur N,voire de fonctions de deux variables(aire en fonction des dimensions) sontà donner.

Étude qualitative defonctions

Fonction croissante,fonction décroissante ;maximum, minimumd’une fonction sur unintervalle.

• Décrire, avec un vocabulaire adaptéou un tableau de variations, lecomportement d’une fonction définiepar une courbe.• Dessiner une représentationgraphique compatible avec un tableaude variations.

Les élèves doivent distinguer lescourbes pour lesquelles l’informationsur les variations est exhaustive, decelles obtenues sur un écrangraphique.

Lorsque le sens de variation estdonné, par une phrase ou un tableaude variations :• comparer les images de deuxnombres d’un intervalle ;• déterminer tous les nombres dontl’image est supérieure (ou inférieure) àune image donnée.

Les définitions formelles d’unefonction croissante, d’une fonctiondécroissante, sont progressivementdégagées. Leur maîtrise est un objectifde fin d’année.�Même si les logiciels traceurs decourbes permettent d’obtenirrapidement la représentationgraphique d’une fonction définie parune formule algébrique, il estintéressant, notamment pour lesfonctions définies par morceaux, defaire écrire aux élèves un algorithmede tracé de courbe.

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Expressions algébriquesTransformationsd’expressions algébriquesen vue d’une résolution deproblème.

• Associer à un problème uneexpression algébrique.• Identifier la forme la plus adéquate(développée, factorisée) d’uneexpression en vue de la résolution duproblème donné.• Développer, factoriser desexpressions polynomiales simples ;transformer des expressionsrationnelles simples.

Les activités de calcul nécessitent unecertaine maîtrise technique et doiventêtre l’occasion de raisonner.Les élèves apprennent à développerdes stratégies s’appuyant surl’observation de courbes,l’anticipation et l’intelligence ducalcul. Le cas échéant, celas’accompagne d’une mobilisationéclairée et pertinente des logiciels decalcul formel.

ÉquationsRésolution graphique etalgébrique d’équations.

•Mettre un problème en équation.• Résoudre une équation se ramenantau premier degré.� Encadrer une racine d’une équationgrâce à un algorithme de dichotomie.

Pour un même problème, combinerrésolution graphique et contrôlealgébrique.Utiliser, en particulier, lesreprésentations graphiques donnéessur écran par une calculatrice, unlogiciel.

Fonctions de référenceFonctions linéaires etfonctions affines

• Donner le sens de variation d’unefonction affine.• Donner le tableau de signes deax + b pour des valeurs numériquesdonnées de a et b.

On fait le lien entre le signe de ax + b,le sens de variation de la fonction et sacourbe représentative.

Variations de la fonctioncarré, de la fonctioninverse.

• Connaître les variations desfonctions carré et inverse.• Représenter graphiquement lesfonctions carré et inverse.

Exemples de non-linéarité. Enparticulier, faire remarquer que lesfonctions carré et inverse ne sont paslinéaires.

Études de fonctionsFonctions polynômes dedegré 2.

• Connaître les variations desfonctions polynômes de degré 2(monotonie, extremum) et la propriétéde symétrie de leurs courbes.

Les résultats concernant les variationsdes fonctions polynômes de degré 2(monotonie, extremum) et la propriétéde symétrie de leurs courbes sontdonnés en classe et connus des élèves,mais peuvent être partiellement outotalement admis.Savoir mettre sous forme canoniqueun polynôme de degré 2 n’est pas unattendu du programme.

Fonctionshomographiques.

• Identifier l’ensemble de définitiond’une fonction homographique.

Hormis le cas de la fonction inverse, laconnaissance générale des variationsd’une fonction homographique et samise sous forme réduite ne sont pasdes attendus du programme.

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Inéquations

Résolution graphique etalgébrique d’inéquations.

•Modéliser un problème par uneinéquation.• Résoudre graphiquement desinéquations de la forme :

f (x) < k ; f (x) < g(x).• Résoudre une inéquation à partir del’étude du signe d’une expressionproduit ou quotient de facteurs dupremier degré.• Résoudre algébriquement lesinéquations nécessaires à la résolutiond’un problème.

Pour un même problème, il s’agit de :• combiner les apports de l’utilisationd’un graphique et d’une résolutionalgébrique,•mettre en relief les limites del’information donnée par unereprésentation graphique.

Les fonctions utilisables sont lesfonctions polynômes de degré 2 ouhomographiques.

Trigonométrie

« Enroulement de la droitenumérique » sur le cercletrigonométrique etdéfinition du sinus et ducosinus d’un nombre réel.

• On fait le lien avec les valeurs dessinus et cosinus des angles de 0◦, 30◦,45◦, 60◦, 90◦.

On fait le lien avec la trigonométrie dutriangle rectangle vue au collège.

La notion de radian n’est pas exigible.

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2. Géométrie

L’objectif de l’enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d’étudier un problème dont la résolu-tion repose sur des calculs de distance, la démonstration d’un alignement de points ou du parallélisme de deux droites,la recherche des coordonnées du point d’intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie planerepérée.Les configurations étudiées au collège, à base de triangles, quadrilatères, cercles, sont la source de problèmes pour lesquelsla géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants.En fin de compte, l’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier un problème d’alignement de points, de parallélismeou d’intersection de droites, de reconnaissance des propriétés d’un triangle, d’un polygone – toute autonomie pouvant êtrelaissée sur l’introduction ou non d’un repère, l’utilisation ou non de vecteurs.Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique par les élèves leur donneune plus grande autonomie et encourage leur prise d’initiative.La définition proposée des vecteurs permet d’introduire rapidement l’addition de deux vecteurs et la multiplication d’unvecteur par un nombre réel. Cette introduction est faite en liaison avec la géométrie plane repérée. La translation, en tantque transformation du plan, n’est pas étudiée en classe de seconde.


Coordonnées d’un pointdu planAbscisse et ordonnée d’unpoint dans le planrapporté à un repèreorthonormé.Distance de deux pointsdu plan.Milieu d’un segment.

• Repérer un point donné du plan,placer un point connaissant sescoordonnées.• Calculer la distance de deux pointsconnaissant leurs coordonnées.• Calculer les coordonnées du milieud’un segment.

Un repère orthonormé du plan estdéfini par trois points (O, I, J) formantun triangle rectangle isocèle desommet O.À l’occasion de certains travaux, onpourra utiliser des repères nonorthonormés.

Configurations du plan

Triangles, quadrilatères,cercles.

Pour résoudre des problèmes :• Utiliser les propriétés des triangles,des quadrilatères, des cercles.• Utiliser les propriétés des symétriesaxiale ou centrale.

Les activités des élèves prennentappui sur les propriétés étudiées aucollège et peuvent s’enrichir desapports de la géométrie repérée.� Le cadre de la géométrie repéréeoffre la possibilité de traduirenumériquement des propriétésgéométriques et permet de résoudrecertains problèmes par la mise enœuvre d’algorithmes simples.

DroitesDroite comme courbereprésentative d’unefonction affine.

• Tracer une droite dans le planrepéré.• Interpréter graphiquement lecoefficient directeur d’une droite.

Équations de droites. • Caractériser analytiquement unedroite.

On démontre que toute droite a uneéquation soit de la forme y = mx + p,soit de la forme x = c.

Droites parallèles,sécantes.

• Établir que trois points sont alignés,non alignés.• Reconnaître que deux droites sontparallèles, sécantes.

On fait la liaison avec la colinéaritédes vecteurs.

• Déterminer les coordonnées dupoint d’intersection de deux droitessécantes.

C’est l’occasion de résoudre dessystèmes d’équations linéaires.

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VecteursDéfinition de la translationqui transforme un point Adu plan en un point B.Vecteur

−→AB associé.

À tout point C du plan, on associe, parla translation qui transforme A en B,l’unique point D tel que [AD] et [BC]ont même milieu.

Égalité de deux vecteurs :−→u =

−→AB =

−→CD.

• Savoir que−→AB =

−→CD équivaut à

ABDC est un parallélogramme,éventuellement aplati.

Coordonnées d’un vecteurdans un repère.

• Connaître les coordonnées(xB − xA, yB − yA) du vecteur

−→AB.

Somme de deux vecteurs. • Calculer les coordonnées de lasomme de deux vecteurs dans unrepère.

La somme des deux vecteurs −→u et −→vest le vecteur associé à la translationrésultant de l’enchaînement destranslations de vecteur −→u et devecteur −→v .

Produit d’un vecteur parun nombre réel.

• Utiliser la notation λ−→u .• Établir la colinéarité de deuxvecteurs.

Pour le vecteur −→u de coordonnées(a, b) dans un repère, le vecteur λ−→uest le vecteur de coordonnées (λa, λb)dans le même repère. Le vecteur λ−→uainsi défini est indépendant du repère.

Relation de Chasles. • Construire géométriquement lasomme de deux vecteurs.• Caractériser alignement etparallélisme par la colinéarité devecteurs.

S’adressant à tous les élèves de seconde, le programme de géométrie dans l’espace a pour objectif :• de développer la vision dans l’espace des élèves en entretenant les acquis du collège concernant les solides usuels ;• d’introduire les notions de plans et droites de l’espace et leurs positions respectives ;• de fournir ainsi des configurations conduisant à des problèmes aptes à mobiliser d’autres champs des mathématiques

(géométrie plane, fonctions, probabilités) ou de la physique.Il importe donc tout particulièrement que la géométrie dans l’espace soit abordée tôt dans l’année scolaire.L’utilisation d’un logiciel de visualisation et de construction est un élément déterminant dans « l’apprentissage de l’es-pace ».Les élèves doivent être capable de représenter en perspective parallèle (dite aussi cavalière) une configuration simple etd’effectuer des constructions sur une telle figure. Ils doivent aussi être capables de mobiliser pour des démonstrations lesthéorèmes de géométrie plane.


Géométrie dans l’espace

Les solides usuels étudiésau collège :parallélépipède rectangle,pyramides, cône etcylindre de révolution,sphère.

•Manipuler, construire, représenteren perspective des solides.

C’est l’occasion d’effectuer des calculsde longueur, d’aire et de volumes.

Droites et plans, positionsrelatives.Droites et plans parallèles.

On entraîne les élèves à l’utilisationautonome d’un logiciel de géométriedans l’espace.

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3. Statistiques et probabilités

Pour des questions de présentation du programme, les cadres relatifs à l’enseignement des statistiques et des probabilitéssont présentés séparément à la suite l’un de l’autre. Pour autant, ces enseignements sont en relation étroite l’un avec l’autreet doivent faire l’objet d’allers et retours.Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmes

dans le cadre de l’analyse de données , rendre les élèves capables• de déterminer et interpréter des résumés d’une série statistique ;• de réaliser la comparaison de deux séries statistiques à l’aide d’indicateurs de position et de dispersion, ou de la courbe

des fréquences cumulées ;dans le cadre de l’échantillonnage

• faire réfléchir les élèves à la conception et la mise en œuvre d’une simulation ;• sensibiliser les élèves à la fluctuation d’échantillonnage, aux notions d’intervalle de fluctuation et d’intervalle de confiance

et à l’utilisation qui peut en être faite.


Statistique descriptive,analyse de donnéesCaractéristiques deposition et de dispersion• médiane, quartiles ;• moyenne.

• Utiliser un logiciel (par exemple, untableur) ou une calculatrice pourétudier une série statistique.• Passer des effectifs aux fréquences,calculer les caractéristiques d’une sériedéfinie par effectifs ou fréquences.• Calculer des effectifs cumulés, desfréquences cumulées.• Représenter une série statistiquegraphiquement (nuage de points,histogramme, courbe des fréquencescumulées).

L’objectif est de faire réfléchir lesélèves sur des données réelles, richeset variées (issues, par exemple, d’unfichier mis à disposition par l’INSEE),synthétiser l’information et proposerdes représentations pertinentes.

ÉchantillonnageNotion d’échantillon.Intervalle de fluctuationd’une fréquence au seuilde 95%*.

Réalisation d’unesimulation.

• Concevoir, mettre en œuvre etexploiter des simulations de situationsconcrètes à l’aide du tableur ou d’unecalculatrice.

• Exploiter et faire une analysecritique d’un résultatd’échantillonnage.

Un échantillon de taille n est constituédes résultats de n répétitionsindépendantes de la même expérience.À l’occasion de la mise en place d’unesimulation, on peut :• utiliser les fonctions logiques d’untableur ou d’une calculatrice,�mettre en place des instructionsconditionnelles dans un algorithme.

L’objectif est d’amener les élèves à unquestionnement lors des activitéssuivantes :• l’estimation d’une proportioninconnue à partir d’un échantillon ;• la prise de décision à partir d’unéchantillon.

* L’intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille n, est l’intervalle centré autourde p, proportion du caractère dans la population, où se situe, avec une probabilité égale à 0, 95, la fréquenceobservée dans un échantillon de taille n. Cet intervalle peut être obtenu, de façon approchée, par simulation.Le professeur peut indiquer aux élèves le résultat suivant, utilisable dans la pratique pour des échantillons detaille n > 25 et des proportions p du caractère comprises entre 0, 2 et 0, 8 : si f désigne la fréquence du caractère

dans l’échantillon, f appartient à l’intervalle[

p − 1√n

, p +1√n

]avec une probabilité d’au moins 0, 95. Le

professeur peut faire percevoir expérimentalement la validité de cette propriété mais elle n’est pas exigible.

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Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmesdans le cadre des probabilités , rendre les élèves capables :

• d’étudier et modéliser des expériences relevant de l’équiprobabilité (par exemple, lancers de pièces ou de dés, tirage decartes) ;

• de proposer un modèle probabiliste à partir de l’observation de fréquences dans des situations simples ;• d’interpréter des événements de manière ensembliste ;• de mener à bien des calculs de probabilité.Les situations étudiées concernent des expériences à une ou plusieurs épreuves.� La répétition d’expériences aléatoires peut donner lieu à l’écriture d’algorithmes (marches aléatoires).


Probabilité sur unensemble fini

Probabilité d’unévénement.

• Déterminer la probabilitéd’événements dans des situationsd’équiprobabilité.• Utiliser des modèles définis à partirde fréquences observées.

La probabilité d’un événement estdéfinie comme la somme desprobabilités des événementsélémentaires qui le constituent.

Réunion et intersection dedeux événements,formule :p(A∪ B) + p(A∩ B) =

p(A) + p(B).• Connaître et exploiter cette formule.

Pour les calculs de probabilités, onutilise des arbres, des diagrammes oudes tableaux.

Algorithmique (objectifs pour le lycée)

La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l’activité mathématique. Au collège,les élèves ont rencontré des algorithmes (algorithmes opératoires, algorithme des différences, algorithme d’Euclide, algo-rithmes de construction en géométrie). Ce qui est proposé dans le programme est une formalisation en langage naturelpropre à donner lieu à traduction sur une calculatrice ou à l’aide d’un logiciel. Il s’agit de familiariser les élèves avec lesgrands principes d’organisation d’un algorithme : gestion des entrées-sorties, affectation d’une valeur et mise en formed’un calcul.

Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés :• à décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ;• à en réaliser quelques uns à l’aide d’un tableur ou d’un petit programme réalisé sur une calculatrice ou avec un logiciel

adapté ;• à interpréter des algorithmes plus complexes.Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé.

L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être enrelation avec les autres parties du programme (fonctions, géométrie, statistiques et probabilité, logique) mais aussi avecles autres disciplines ou la vie courante.

À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et de petits programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes derigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle.

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Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).

Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :• d’écrire une formule permettant un calcul ;• d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ;ainsi que les instructions d’entrées et sorties nécessaires au traitement.

Boucle et itérateur, instruction conditionnelle

Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :• de programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné ;• de programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucleconditionnelle.

Notations et raisonnement mathématiques (objectifs pour le lycée)

Cette rubrique, consacrée à l’apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l’objet de séancesde cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l’année scolaire.

Notations mathématiques

Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’apparte-nance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les sym-boles de base correspondant : ∈, ⊂, ∪, ∩ ainsi que la notation des ensembles de nombres et desintervalles.Pour le complémentaire d’un ensemble A, on utilise la notation des probabilités A.

Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples :• à utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » et à distinguer leur sens des sens

courants de « et », « ou » dans le langage usuel ;• à utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles ∀, ∃ ne sont pas

exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulière-ment, dans les propositions conditionnelles ;• à distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque,

sa contraposée et sa négation ;• à utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante » ;• à formuler la négation d’une proposition ;• à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ;• à reconnaître et à utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction

des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.

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eduscol.education.fr/ D0015

Mathématiques

Lycée

Ressources pour la classe de seconde

- Notations et raisonnement mathématiques -

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Juillet 2009

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Direction générale de l’enseignement scolaire Notations et raisonnement 1 / 12

NOTATIONS ET RAISONNEMENT MATHÉMATIQUES

SOMMAIRE

I. INTRODUCTION................................................................................................................................................... 2

1. PLACE DE LA LOGIQUE DANS LES PROGRAMMES ................................................................................................ 22. LOGIQUE ET RAISONNEMENT ............................................................................................................................... 2

II. PROGRAMME ET ÉLÉMENTS DE LOGIQUE OU DE RAISONNEMENT.......................................... 2

1. FONCTIONS ............................................................................................................................................................ 21.1. Notion d’ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion......................................................... 21.2. Explicitation des quantifications................................................................................................................... 31.3. Implication et équivalence ............................................................................................................................. 5

2. GÉOMÉTRIE ............................................................................................................................................................ 52.1. Condition nécessaire, condition suffisante.................................................................................................... 52.2. Appartenance d’un point à une droite .......................................................................................................... 7

3. STATISTIQUES ET PROBABILITÉS............................................................................................................................ 73.1. Réunion et intersection.................................................................................................................................. 73.2. Négation ......................................................................................................................................................... 7

III. LANGAGE COURANT ET LANGAGE MATHÉMATIQUE.................................................................... 7

1. LANGAGE COURANT EXPLICITE ET IMPLICITE..................................................................................................... 72. IMPLICATION MATHÉMATIQUE ............................................................................................................................ 83. « OU, ET, UN »........................................................................................................................................................ 9

3.1. « ou, et » ......................................................................................................................................................... 93.2. « un ».............................................................................................................................................................. 9

4. NÉGATION ........................................................................................................................................................... 10

IV. POUR CONCLURE............................................................................................................................................ 11

1. LA QUESTION DES TRACES ÉCRITES .................................................................................................................... 112. PISTES POUR L’ÉVALUATION............................................................................................................................... 12

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I. Introduction

1. Place de la logique dans les programmesDepuis 1969, les différents programmes mentionnent la place de l’enseignement de lalogique dans l’acquisition des connaissances. En 1969, le langage des ensembles était un objetd’apprentissage qui n’est plus apparu aussi explicitement dans les programmes ultérieurs.On retrouve néanmoins un point commun important à tous ces programmes : tout exposé delogique mathématique est exclu.L’étude des formes diverses de raisonnement et la nécessité de distinguer implicationmathématique et causalité sont essentielles à la formation mathématique. Cette acquisitiondoit être répartie tout au long de l’année, lorsque les situations étudiées en fournissentl’occasion et il n’est pas question de traiter la logique dans un chapitre spécifique.

2. Logique et raisonnementDans le nouveau programme, il est mentionné que « l’élève devra avoir acquis uneexpérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logiquemathématique de ceux de la logique du langage courant... Mais tout exposé de cours sur cesnotions est exclu, les notations et le vocabulaire mathématique étant des conquêtes del’enseignement et non des points de départ. » A la fin du programme, un certain nombre denotions à travailler sont détaillées.Dans ce document, nous ne reviendrons pas sur les différents types de raisonnement, ledocument ressource du collège restant à ce sujet une référence indispensable à consulter surle site www.eduscol.education.fr.

II. Programme et éléments de logique ou de raisonnementLa logique et le raisonnement concernent chaque partie du programme : fonctions,géométrie, statistiques et probabilités. Mais certaines notions sont plus faciles à appréhenderdans un domaine plutôt qu’un autre. Ce paragraphe propose, sous forme d’exemples, uneintégration possible de ces notions dans les différents domaines.

1. Fonctions

1.1. Notion d’ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusionExemple 1

Soit (O, I, J) un repère orthonormal d’unité 1 cm. On considère les points suivants :

A(2 ; 5,5 ), B(1,1 ; 1,21), C ( 3;2 3) , D (23

;32

) , E(–1,21 ; –1,1) et F (− 5

3;−8) .

Parmi ces points, quels sont ceux dont les coordonnées vérifient la relation : x2 + y 2 = 25 ?Placer dans le repère d’autres points dont les coordonnées vérifient cette relation.

L’objectif de cet exemple est de faire comprendre la notion d’appartenance à un ensemble, iciun ensemble de points défini analytiquement. Cet exemple unique est insuffisant. Unscénario possible d’exploitation dans la classe peut être de grouper les élèves et de proposerdifférentes relations du type : 3 x − 2 y + 5 = 0 ; x y = 1 ; y = x2 ; x = y2 ; 3 x + 5 = 0… chaquegroupe choisissant une relation différente.À cette occasion, la définition de la courbe représentative d’une fonction peut être travailléeou reprise.

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Exemple 2Compléter le tableau suivant donnant trois traductions de chaque énoncé, sachant que xest un nombre réel :

Intervalle Inégalités Langue naturellex ∈ [3, 5]

x appartient à l’ensemble des réels inférieurs ouégaux à 6

2 < x

Dans cet exemple, il s’agit de proposer aux élèves différents registres pour traduire uneinégalité. Une quatrième colonne peut être introduite pour représenter l’intervalle sur ladroite des réels.Par la suite, lorsque l’élève sera confronté à un énoncé plus difficile et s’il en ressent lebesoin, le professeur pourra l’inviter à revenir sur les différentes traductions d’une mêmepropriété, conformément à cet exercice de référence.

Par exemple, la compréhension de l’énoncé suivant,« Soit x un nombre réel qui vérifie 2,6 ≤ x ≤ 3,8. Donner le meilleur encadrement possible dece nombre par deux entiers »suppose l’acquisition des compétences suivantes : savoir traduire les conditions « x > 2,6 et x ≤ 3,8 » en termes d’intervalle ou depositionnement des réels sur la droite des réels ; comprendre que l’intervalle [2,6 ; +∞[ est inclus dans l’intervalle [2 ; +∞[ (c'est-à-dire

avoir conscience de la transitivité de l’inégalité) et que l’intervalle ]−∞ ; 3,8] est inclusdans l’intervalle ]−∞ ; 4].

1.2. Explicitation des quantificationsLes élèves ont fréquemment rencontré au collège des énoncés comportant des quantificationsimplicites. C’est le cas, par exemple :♦ dans l’énoncé de règles de calcul dans le programme de 5e

♦ dans la présentation des identités remarquablesEn classe de seconde, l’explicitation des quantifications doit être faite dans l’optique d’aiderles élèves à mieux comprendre les énoncés. Elle ne doit pas être systématique mais doit êtrefaite dès qu’il peut y avoir ambiguïté de la situation proposée. Il est inutile de compliquer lesnotations lorsque ce n’est pas utile à la compréhension.Les quantificateurs seront introduits en situation progressivement tout au long de l’année, lalangue naturelle et le langage symbolique devant coexister pendant toute l’année.Les étapes « comprendre la nécessité de quantifier », « être capable d’expliciter lesquantifications » et « être capable de rédiger avec des quantificateurs » sont des étapesdifférentes ; la dernière étant un objectif de fin de lycée et non de la classe de seconde.Il convient d’amener progressivement les élèves à prendre l’habitude de faire apparaître lesquantifications dans leurs productions écrites, quand la compréhension le demande.

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Exemple 3Reformuler les énoncés suivants en faisant apparaître les quantifications.Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = 2 x + 5.(Pour tout nombre réel x, l’image de x par la fonction f est égale à 2 x + 5)L’équation f (x) = 2 x + 5 a-t-elle des solutions ?(Existe-t-il des nombres réels x pour lesquels f (x) et 2 x + 5 sont égaux ?)Résoudre l’équation f (x) = 2 x + 5.(Trouver l’ensemble de tous les réels x pour lesquels f (x) et 2 x + 5 sont égaux)

Dans les deux énoncés, la trace écrite (au tableau ou sur le cahier) est souvent la même :f (x) = 2 x + 5.

Cependant les deux énoncés n’ont bien sûr pas le même statut : le premier énoncé définit unefonction, le second conduit à résoudre (graphiquement ou par calcul) une équation. Il estimportant de clarifier par oral ces différents statuts dès que l’occasion se rencontre, et danscertains cas, de faire noter les quantifications par écrit, sans formalisme excessif.

Exemple 4L’énoncé : « si x2 > 1 alors x > 1 » est-il vrai ?

Ici, il s’agit de faire prendre conscience de la nécessité de préciser le contexte de laproposition conditionnelle, c’est-à-dire l’ensemble auquel appartient x pour pouvoir donnerla valeur vraie ou fausse à cet énoncé. En effet, si x est un nombre positif, l’énoncé est vrai, six est un réel, l’énoncé est faux et un contre-exemple est facilement trouvé.La nécessité de ce type de précision se retrouve dans la modélisation d’une situation où il estnécessaire de préciser le domaine de définition de la variable.

Certains élèves n’interprètent pas de la même façon les phrases suivantes :« si x ≤ –1 alors x2 ≥ 1 » et « x2 ≥ 1 si x ≤ –1 ». La première est déclarée vraie, la deuxième estdéclarée fausse, comprise à tort comme « x2 ≥ 1 si et seulement si x ≤ –1 ». Cette confusionprovient du sens commun dans la langue naturelle. La résolution d’équations et inéquationset le travail sur des encadrements à partir de courbes et de tableaux de variations defonctions sont des occasions pour préciser la signification de ces phrases.

Exemple 5Le tableau de variation ci-contre est celuid’une fonction f définie sur l’intervalle[−3 ; 3].En exploitant les informations données,justifier pour chacune des propriétéssuivantes, si elle est vraie ou fausse.a. Il existe un nombre réel de l’intervalle[−3 ; 3] qui a une image par f strictementinférieure à 0.b. Tous les nombres réels de l’intervalle[−3 ; 3] ont une image par f négative.c. Tous les nombres réels de l’intervalle[−3 ; 3] ont une image par f strictementinférieure à 3.

x −3 −1 3

f(x)

2

−5 −2

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1.3. Implication et équivalenceExemple 61

A. Voici deux propositions où a et b désignent des nombres réels :1 (a + b)2 = 0 2 a = 0 et b = 0Si a et b sont des nombres réels tels que la proposition 2 est vraie, alors la proposition 1est vraie. On note : pour a et b réels, 2 ⇒ 1 et on dit que, pour a et b réels la proposition 2implique la proposition 1.Est-il vrai que pour a et b réels, la proposition 1 implique la proposition 2 ?

B. Voici quelques propositions où a et b désignent des nombres réels :1 a2 = b2 2 a = b 3 a = −b 4 (a + b)(a – b) = 0 5 a = b ou a = −b 6 a = 0 ou b = 0

a. Quelles sont les implications du type 1 ⇒ .., vraies pour a et b réels ?b. Quelles sont les implications du type .. ⇒ 1, vraies pour a et b réels ?c. Quelles sont les propositions équivalentes pour a et b réels ?d. Application : résoudre l’équation (2 x – 3)2 = (2 x + 9)2.

Cet exemple peut être traité en utilisant la représentation de la fonction carré et des fonctionspolynômes de degré 2. Un débat oral, par groupes ou collectivement, permet de faireprendre conscience de la signification des termes « et » et « ou ».Le plus important est de faire émerger les conceptions des élèves sur l’implication, termeutilisé fréquemment dans la langue naturelle (s’impliquer dans une démarche, impliquer lesautres membres d’un groupe dans un travail, par exemple). Une fois assimilé, cet exemplepeut devenir un exemple de référence pour les résolutions d’équations.

2. GéométrieLe travail sur le raisonnement en géométrie, initié au collège, est stabilisé et consolidé enclasse de seconde avec, en perspective, une démarche de modélisation de situationsconcrètes. Les élèves sortant de collège sont habitués à manipuler des énoncés contenant uneimplication correspondant à un raisonnement logique. La proposition réciproque d’uneproposition conditionnelle a aussi été rencontrée (comme la réciproque du théorème dePythagore) mais n’était pas un exigible du collège. La reprise de certains résultats vus aucollège peut fournir l’occasion d’approfondir la notion d’implication.Des mises au point sur la notion d’implication et des exemples sont également proposés dansle paragraphe III.

2.1. Condition nécessaire, condition suffisanteL’étude de problèmes d’alignement de points, de parallélisme ou d’intersection de droites,de reconnaissance des propriétés d’un triangle ou d’un polygone, comme le préconise leprogramme, est l’occasion de travailler les conditions suffisantes. En effet, si conjecturer quedes points sont alignés, à l’aide d’un logiciel de géométrie par exemple, est une tâcheaccessible à beaucoup d’élèves, établir la preuve de cette conjecture est souvent difficile. Larecherche de cette preuve suppose d’avoir « l’idée du ou des théorèmes » à appliquer. Unedes aides possibles est d’apprendre aux élèves à raisonner par conditions suffisantes : quesuffit-il de savoir si la conclusion à obtenir est l’alignement de trois points ? Il peut êtresuffisant de montrer par exemple que ces points appartiennent à une droite particulière d’untriangle, ou bien que les coordonnées de ces trois points vérifient une même équation dedroite, ou bien que deux des vecteurs formés par ces trois points sont colinéaires. Parchaînage arrière (c’est-à-dire en continuant à raisonner par conditions suffisantes), on risquede rencontrer des pistes de solution qui n’aboutissent pas. Certaines méthodes seront

1 Exemple issu de la brochure APMEP « pour les mathématiques vivantes en seconde »

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écartées, soit parce qu’elles ne peuvent être mises en œuvre, soit en raisonnant parconditions nécessaires.

Exemple 7Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Les milieux des côtés [BC] et [CD] sontnotés respectivement I et J.Que peut-on dire de la position du point d’intersection de la droite (AC) et de la droite(IJ) ?

Ici, il s’agit de montrer qu’un point est le milieu d’un segment donné. Le professeur pourrainciter l'élève à explorer les différentes méthodes qu'il connaît pour prouver qu'un point estle milieu d'un segment. Suivant le contexte, ce dernier peut chercher les coordonnées de cepoint et vérifier que ce sont bien celles du milieu du segment ; il peut aussi chercher si c’esteffectivement le point d’intersection d’un côté d’un triangle et d’une droite parallèle à unautre côté ou bien encore chercher à démontrer que c’est le point d’intersection de diagonalesd’un parallélogramme.

Il est également possible de revoir certains des énoncés de géométrie appris au collège etd'expliciter s'ils expriment une condition nécessaire, une condition suffisante ou unepropriété caractéristique.

Exemple 8Voici un énoncé de classe de cinquième :« Chaque médiane d’un triangle partage ce triangle en deux triangles de même aire »Exprimer une condition suffisante pour qu’une droite partage ce triangle en deuxtriangles de même aire. Cette condition est–elle nécessaire ?

Pour démontrer que cette condition est nécessaire, un raisonnement par l’absurde estpossible. On admet ici qu’une droite qui partage le triangle en deux triangles passenécessairement par un sommet, une justification intuitive pouvant être acceptée.On peut alors faire remarquer que l’on a obtenu deux propriétés qui peuvent s’énoncercomme suit.Propriété 1Soit ABC un triangle. Si une droite D est une médiane de ce triangle, alors elle partage cetriangle en deux triangles de même aire.Cette propriété correspond à une condition suffisante pour partager un triangle en deuxtriangles de même aire.Propriété 2Soit ABC un triangle. Si D est une droite qui partage le triangle en deux triangles de mêmeaire, alors D est une médiane de ce triangle.Cette propriété correspond à une condition nécessaire pour partager un triangle en deuxtriangles de même aire2.

On peut faire observer que les deux propriétés précédentes peuvent être regroupées dans unénoncé commun sous la forme suivante :Soit ABC un triangle. Une droite D du plan est une médiane du triangle ABC si et seulementsi elle le partage en deux triangles de même aire.Il est ensuite possible de revenir sur la notion de propriété caractéristique rencontrée aucollège.

2 pour en savoir plus sur les aires,se référer à l’article de D. Perrin (2006), Aires et volumes : découpage et recollement,euler.acversailles.fr/webMathematica/reflexionpro/conferences/perrin/iprdp.pdf

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2.2. Appartenance d’un point à une droiteUn travail analogue à celui sur les courbes peut être fait avec les questionnements suivants : trouver les coordonnées de points d’une droite connaissant son équation. reconnaître qu’un point appartient à une droite.

3. Statistiques et probabilités

3.1. Réunion et intersectionLes symboles d’union et intersection sont introduits en liaison avec les conjonctions « ou » et« et », en comparant leur sens mathématique avec leur usage dans la langue courante.On pourra utiliser des diagrammes de Venn qui permettent de mieux visualiser lesensembles.

Exemple 9Un club sportif propose des cours de judo et des cours de karaté. On note :A le groupe des adhérents inscrits au judoB le groupe des adhérents inscrits au karaté.C le groupe des adhérents inscrits au judo et au karaté.D le groupe des adhérents inscrits au judo ou au karaté.E le groupe des adhérents inscrits à un seul de ces deux sports.Farid s’est inscrit uniquement au karaté, Katia uniquement au judo, et Léo s’est inscritaux deux cours.De quels groupes A, B, C, D ou E chacun fait-il partie ?Myriam est dans le groupe D. Fait-elle partie du groupe des adhérents inscrits au judo ?

3.2. NégationExpliciter des événements contraires peut être l’occasion de nier des propositions : desexemples sont donnés dans la partie III.

III. Langage courant et langage mathématique

1. Langage courant explicite et implicite« Si tu es sage, tu auras des bonbons ». Le sens commun laisse penser que l’enfant qui reçoitdes bonbons a été sage. Il est important de montrer sur un exemple ou deux que cettelogique tient compte du contexte, du ton employé par l’interlocuteur et de la sémantique.

Exemple 10Paroles d’un père à son enfant :(1) « Si la température dépasse 25° alors tu pourras aller te baigner ». L’enfant aura-t-il lapermission de se baigner s’il fait 20° ? s’il fait 28° ?(2) « Tu pourras aller te baigner si la température dépasse 25°».Est-ce que les phrases (1) et (2) ont la même signification dans le langage courant ?

Suivant la logique mathématique, il est clair que l’enfant pourra se baigner s’il fait 28° etqu’on ne sait pas ce que son père décidera s’il fait 20°. Cependant en langage courant le « si »de la phrase (1) signifie en général « seulement si » et dans la seconde phrase (2) il peutsignifier « si et seulement si ».D’un point de vue mathématique, les phrases (1) et (2) sont équivalentes mais dans lelangage courant, l’ordre des propositions a une influence sur la compréhension que l’on a dela phrase. D’autres éléments interviennent aussi, comme l’intonation et le degré de crédibilitéde la personne qui parle, ou encore le principe du « maximum d’information » selon lequelcelui qui parle est supposé expliciter clairement sa pensée.

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2. Implication mathématiqueDeux grands types d’implication sont mis en œuvre : les implications correspondant à une inclusion (ou de type ensembliste) ; les implications correspondant à un raisonnement logique (faisceau d’informations

permettant d’en déduire une conclusion).Pour ce deuxième type, il est intéressant de faire un parallèle entre les situations issues de lavie courante et le transfert vers les situations mathématiques.

Exemple 113

Une réunion de cosmonautes du monde entier a lieu à Paris. Les cosmonautes américainsportent tous une chemise rouge.1. À l’aéroport on voit quelqu'un qui porte une chemise blanche.Est-il cosmonaute américain?2. À côté de la personne précédente, on voit quelqu'un qui porte une chemise rouge.Est-il cosmonaute américain?3. Le haut-parleur annonce l'arrivée d'un cosmonaute russe.Porte-t-il une chemise rouge ?4. Dans le hall, on voit un cosmonaute américain qui porte un manteau.Porte-t-il une chemise rouge ?

L’énoncé qui permet le raisonnement peut s’écrire de manière analogue à un théorème telque l’apprend un élève de collège : « Soit un cosmonaute. S’il est américain, alors il porte unechemise rouge. ».Les questions 2 et 3 sont difficiles car la bonne réponse « on ne peut pas savoir » est peurencontrée dans un cours de mathématiques, sauf dans les exercices de « vraifaux ». Cetype de question revient à se poser la question de la vérité de la proposition réciproque d’unénoncé.

Cet exercice peut être repris avec des énoncés de géométrie de collège comme par exempledans l’exemple suivant où l’énoncé proposé est : «Soit un quadrilatère ABCD. Si ABCD estun rectangle, alors ses diagonales ont même longueur ».

Exemple 121. Les diagonales d’un quadrilatère mesurent 3 cm et 5 cm. Est-ce un rectangle ?2. On sait que ABCD est un parallélogramme. Est-ce un quadrilatère dont les diagonalessont de même longueur ?3. Un quadrilatère a des diagonales de même longueur. Est-ce un rectangle ?4. Un quadrilatère a trois angles droits. A-t-il des diagonales de même longueur ?

Dans le langage courant, les locutions « il faut », « il suffit » ont souvent une utilisationdifférente de celle qu’elles ont en mathématiques et les connecteurs « donc », « or » ne sontpas utilisés conformément à la logique mathématique. Un travail en coordination avecl’enseignant de lettres peut s’avérer tout à fait approprié. Dans le cadre de ce travail, il peutêtre aussi intéressant de comparer l’argumentation en français où il est demandé d’apporteret de développer un certain nombre d’arguments de manière parallèle avant de conclure et leraisonnement déductif en mathématiques où chaque conclusion intermédiaire est réutilisée,si elle n’est pas la conclusion finale.

3 Exemple issu de l’article « les cosmonautes » de Marc Legrand, Petit x n°1

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3. « ou, et, un »Certains mots tels que « et », « ou », « un » n’ont pas toujours la même signification dans lelangage courant et dans leur utilisation en mathématique. Il est important d’attirer l’attentiondes élèves sur les similitudes et les différences de leur emploi dans ces deux domaines.

3.1. « ou, et »Exemple 13

Sur le menu du restaurant scolaire il est écrit : fromage ou yaourt. Est-il permis deprendre une portion de fromage et un yaourt ?

Il est clair qu’ici le « ou » est exclusif alors que le « ou » mathématique est par défaut inclusif.Dans la résolution des équations-produit, on écrit :

« A(x) × B(x) = 0 si et seulement si A(x) = 0 ou B(x) = 0 ».Cela peut être une occasion de travailler le sens du « ou » mathématique si on propose dessituations dans lesquelles les deux facteurs sont simultanément nuls.

Le lien entre les connecteurs « et » et « ou » nécessite aussi d’être explicité.

Exemple 14Tous les élèves qui suivent l’option théâtre ou l’option danse participeront au spectaclede fin d’année.1. Sophie suit les deux options, participera-t-elle au spectacle ?2. Les deux phrases suivantes : « Tous les élèves qui suivent l’option théâtre ou l’optiondanse » et « Tous les élèves qui suivent l’option théâtre et tous ceux qui suivent l’optiondanse » désignent-elles les mêmes élèves ?

La première question met en évidence que l’intersection de deux ensembles est incluse dansleur réunion.La seconde question montre une utilisation du mot « et » en langue naturelle qui correspondà une réunion.Une analogie peut être faite avec l’emploi des mots « et » et « ou » dans la phrase suivante :« A(x) = 0 si et seulement si x = 1 ou x = 2

donc les solutions de l’équation A(x) = 0 sont 1 et 2. ».

3.2. « un »Le mot « un » a plusieurs significations en langage courant comme en mathématiques :♦ le nombre qui sous-entend « exactement un » comme dans la phrase « le prix d’un

sandwich est deux euros » qui veut dire que « pour deux euros, on n’a effectivementqu’un seul sandwich » ;

♦ l’article indéfini qui signifie « au moins un » comme dans la phrase« pour la sortie dedemain, emporte un sandwich » : il est tout à fait possible d’en emporter plusieurs ;

♦ l’article indéfini qui signifie « tout » comme dans la phrase « un sandwich est composé depain et d’autres ingrédients »

♦ « un parmi d’autres » comme dans la phrase « je cherche un sandwich sans mayon-naise ».

En mathématiques, la bonne interprétation du mot « un » est indispensable pour pouvoirinterpréter correctement les énoncés.« Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu » : ici, un est l’articleindéfini qui signifie « tout ». Par contre, dans la phrase « ABCD est un parallélogramme », lemot « un » a le sens de « un parmi d’autres ».

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Exemple 15

La courbe ci-contre représente lafonction f définie sur R,

f : x x2 − 4 .Existe-t-il un nombre qui a pour image 3par f ?

Les élèves qui interprètent « un » comme « exactement un » répondent FAUX puisqu’il y adeux nombres qui ont pour image 3 par f. Il convient donc d’attirer leur attention sur le faitqu’en l’absence de précision « un »peut signifier « au moins un » dans ce type d’énoncé.

4. NégationComme cela a été dit dans la partie II, expliciter des événements contraires peut êtrel’occasion de nier des propositions : par exemple, écrire l’événement contraire de « tous lesmurs de la pièce sont blancs » ou encore « le temps est chaud et humide ».Ce type d’exercice, nouveau et délicat, pourra faire l’objet d’un entraînement tout au long del’année.

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IV. Pour conclureIl est exclu de consacrer un chapitre à ces notions de logique et raisonnement. Il s’agit deprocéder par petites touches présentées sous forme de bilan, de synthèse ou degénéralisation.La langue naturelle et le langage symbolique doivent coexister tout au long de l’année,l’apprentissage du langage symbolique devant être étalé sur le cycle terminal.Il s’agit de profiter des questions, des erreurs des élèves ou des situations évoquées pourfaire émerger et approfondir les notions de logique. L’objectif est que l’élève disposed’exemples de référence à partir d’objets connus, qu’il pourra réutiliser dans d’autresdomaines.Les notions de condition nécessaire et condition suffisante sont difficiles pour les élèves deseconde ; il s’agit dans un premier temps de revoir des propriétés ou théorèmes étudiés aucollège afin de travailler les notions de condition nécessaire et condition suffisante dans uncontexte mathématique connu.Les notions de réunion, intersection et inclusion ont été rencontrées lors du travail sur lesintervalles. Ici, il s’agit de faire le lien entre «et », « ou » et les symboles ∩ et ∪ . Il fautrappeler que dans le programme de seconde pour la rentrée 2009, le travail sur lesintervalles, comme le travail sur les notations et le raisonnement, ne fait pas l’objet d’unchapitre et ne doit pas être le thème d’un cours spécifique.

1. La question des traces écritesComme le rappelle le document ressource sur le raisonnement et la démonstration au collège(site www.eduscol.education.fr), une part non négligeable des élèves arrivant en secondesont aptes à conduire des raisonnements sans pour autant les produire par écrit sous uneforme aboutie. L’objectif du travail fait sur la logique et le raisonnement au cours de l’annéede seconde est de les conduire peu à peu à mieux comprendre la logique mathématique et às’approprier notations et vocabulaire. L’introduction du programme le précise : leraisonnement et le langage mathématique doivent prendre naturellement leur place danstous les chapitres du programme. Mais quelle trace écrite peut alors être notée par lesélèves ? Une des pistes possibles prend appui sur le fait que certains exemples traités aucours de l’année peuvent servir d’exemples de référence. On peut donc prévoir une partie ducahier ou du classeur dans laquelle l’élève note ce qu’il a appris en traitant tel ou tel exercice.Cet écrit peut être à la charge de l’élève seul (ce peut être un travail donné à la maison) oubien pris en charge collectivement. La mise en forme peut alors être faite par l’enseignant àpartir des propositions des élèves. Rappelons qu’un cours sur la logique est bien entenduexclu.La trace écrite est aussi celle que l’élève produit lorsqu’il rédige un travail de recherche :réorganiser ses idées, essayer de les mettre en forme en choisissant des notations qui luipermettent d’être précis. Ce type d’écrit ne peut en aucun cas être soumis à un protocolerigide et doit être varié (plan de la solution, rédaction d’une partie d’un travail cherché engroupes, rédaction d’une démonstration cherchée collectivement) afin de permettre à tous des’engager dans la restitution.Il y a des différences entre ce qui est dit et ce qui est écrit. Si l’enseignant annonce toujours cequ’il est en train de faire (comme par exemple, résoudre une équation dans l’ensemble desréels ou résoudre une inéquation par lecture graphique), il est fréquent de ne pas trouver detelles indications au tableau et il est rare de les trouver dans les notes des élèves. Cela nepose pas de problème lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. En revanche, il est important de faireprendre conscience aux élèves de la nécessité et de l’intérêt de certaines explicitations, et deles amener progressivement à préciser leur démarche lorsqu’ils rédigent la solution d’unproblème. Toutefois cette exigence, qui n’est pas une fin en soi, ne peut être prise en comptepar les élèves que si on leur a laissé le temps de comprendre les concepts et de chercher :ainsi, l’écriture formalisée d’une démonstration ne prend du sens que lorsque les élèves ontbien compris les différents statuts d’un énoncé, la notion d’implication et qu’ils ont trouvéune piste pour la résolution.

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2. Pistes pour l’évaluationLes compétences évoluées « raisonner, démontrer, élaborer une démarche » ou « développerune démarche connue, mettre en forme un raisonnement » sont des compétences évaluées aubaccalauréat dans toutes les séries. Il convient donc d’évaluer progressivement dès la classede seconde les apprentissages sur la logique et le raisonnement. Mais comment y répondre ?L’évaluation peut être faite à l’oral. Etre capable de reformuler de manière mathématique unénoncé est une compétence qu’il convient de faire acquérir dans le dialogue et le débat.A l’écrit, de la même manière qu’au collège, deux principes essentiels doivent être retenus : distinguer le fond de la forme valoriser des écrits intermédiaires (cf. document ressource collège).

Dans la mesure où on rend les élèves attentifs à la nécessité de préciser ce dont ils parlent, ilsemble essentiel de valoriser les efforts de clarté et d’explicitation. On peut envisager unevalorisation sous forme de bonus.

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Nom : Problèmes de logiquePrénom :


Une mère dit à son enfant : "Si tu manges ta soupe alors tu auras un dessert."L'enfant aura-t-il un dessert s'il mange sa soupe ? S'il ne la mange pas ?

Si la mère avait dit : "Tu auras un dessert si tu manges ta soupe."Vos réponses changeraient-elles ? (Si oui, précisez.)


1/ Cette affirmation est vraie car, tous mes amis voironnais aiment la montagne.2/ Cette affirmation est fausse, car je ne suis pas voironnais et j'aime la montagne.3/ Cette affirmation est fausse, car mon ami voironnais n'aime pas la montagne.4/ Je ne peux rien dire, car je ne connais pas tous les voironnais.

Problème 3 : Indiquer si les propositions suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) et justifier.Propositions V/F Justifications

Si x2>1 alors x>1

Si x−1 alorsx2>1

x2>1 si x−1

x>1 si et seulementsi x2>1

Problème 4 : a et b désignent deux nombres réels. On donne cinq propositions numérotées de 1 à 5.1/ a2=b2 2/ a=b 3/ a=b ou a=−b 4/ a=b et a=−b 5/ a=0 et b=0(Nota bene : On dit que l'implication 1 2 est vraie si a2=b2 implique a=b)

Quelles sont les implications vraies du type 1 ..?

Quelles sont les implications vraies du type .. 1?

Quelles sont les propositions équivalentes?

Problème 5 : On donne le tableau de variation d'une fonction f définie sur [0,2]. Indiquer si les propositionssuivantes sont vraies (V) ou fausses (F) et justifier.

x 0 1 2

f(x)1

-2 -5Il existe un nombre réel de l'intervalle [0,2] dont l'image par f est négative.

Tous les nombres réels de l'intervalle [0,2] ont une image par f est négative.

Tous les nombres réels de l'intervalle [0,2] ont une image par f inférieure à 3.

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Nom : Problèmes de logiquePrénom :


Une mère dit à son enfant : "Si tu manges ta soupe alors tu auras un dessert."L'enfant aura-t-il un dessert s'il mange sa soupe ? OS'il ne la mange pas ? NPPS

Si la mère avait dit : "Tu auras un dessert si tu manges ta soupe."Vos réponses changeraient-elles ? (Si oui, précisez.) N


1/ Cette affirmation est vraie, car tous mes amis voironnais aiment la montagne. F2/ Cette affirmation est fausse, car je ne suis pas voironnais et j'aime la montagne. F3/ Cette affirmation est fausse, car mon ami voironnais n'aime pas la montagne. V4/ Je ne peux rien dire, car je ne connais pas tous les voironnais. V

Problème 3 : Indiquer si les propositions suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) et justifier.Propositions V/F Justifications

Si x2>1 alors x>1 F Contre-exemple : (-2)2>1 mais -2<1

Si x−1 alors x2>1

V La fonction carrée est strictement décroissante sur ]-∞,0] donc si x<-1alors x2>(-1)2

x2>1 si x−1 V Cette proposition est équivalente à la précédente

x>1 si et seulement si x2>1

F L'implication "x2>1 ⇒ x>1" est fausse (cf première proposition de cet exercice) donc l'équivalence est fausse.

Problème 4 : a et b désignent deux nombres réels. On donne cinq propositions numérotées de 1 à 5.1/ a2=b2 2/ a=b 3/ a=b ou a=−b 4/ a=b et a=−b 5/ a=0 et b=0(Nota bene : L'implication 1 ⇒ 2 signifie « a2=b2 implique a=b »)

Quelles sont les implications vraies du type 1 ⇒ ..? 1 ⇒ 3 (éventuellement 1 ⇒ 1)

Quelles sont les implications vraies du type .. ⇒ 1? 2 ⇒ 1 ; 3 ⇒ 1 ; 4 ⇒ 1 ; 5 ⇒ 1 (éventuellement 1 ⇒ 1)

Quelles sont les propositions équivalentes? 1 ⇔ 3 ; 4 ⇔ 5

Problème 5 : On donne le tableau de variation d'une fonction f définie sur [0,2]. Indiquer si les propositions suivantes sont vraies (V) ou fausses (F) et justifier.

x 0 1 2

f(x)1

-2 -5Il existe un nombre réel de l'intervalle [0,2] dont l'image par f est négative. V exemple : f(0)=-2

Tous les nombres réels de l'intervalle [0,2] ont une image par f négative. F contre-exemple : f(1)=1

Tous les nombres réels de l'intervalle [0,2] ont une image par f inférieure à 3. V car f croissante sur [0,1] décroissante sur [1,2] et f(1)=1<3.

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Documents

Le nouveau programme de logique de secondecharlotte.fabert.free.fr/pdf/memoire_charlotte_fabert.pdf4-C. Propositions du document ressources pour les différentes notions de logique