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Le principe de moindre action
Le principe de moindre action
F. Hérau
Laboratoire de MathématiquesUniversité de Reims
Fete de la science novembre 2008
Le principe de moindre action
Définition
Principe de moindre action :
en physique, hypothèse selonlaquelle la dynamique d’unequantité (position, vitesseaccélération...) entre deuxinstants se déduit d’uneunique grandeur appeléeaction dont on suppose
qu’elle atteint son minimum.
"la nature est fainéante" "principe d’économie naturelle".
Le principe de moindre action
La ligne droite
Route des alizés 4500 milles :route de vents réguliers soufflanttoute l’année dans la zoneintertropicale du nord-est ausud-ouest dans l’hémisphère nordRoute loxodromique 3584 milles :c’est la ligne droite sur unplanisphère, mais ce n’est pas laroute la plus courte. elle coupe lesméridiens sous un angle constant.Route orthodromique 3540 milles :c’est la ligne de plus courtedistance entre deux points de lasurface de la Terre.
entre A et B le plus court cheminest la ligne droite....... s’il n’y a pas de vent ... si leterrain est plat ... etc...
Route du Rhum 2002
Le principe de moindre action
Un peu d’histoire ...
Les formulations changent mais le principe reste identique.1655 Fermat : "la trajectoire minimise une durée ou unelongueur"1744 Maupertuis : "principe de moindre action pour lamecanique" ."Si sage si digne de l’être suprême" (considérationsmétaphysiques).1756 Lagrange : Expression mathématique (Lagrangien).1788 : puis preuve du principe à partir de la dynamique deNewton et de la conservation de l’énergie (plus deconsidérations métaphysiques...)
Le principe de moindre action
...
Un principe fécond.1827 Hamilton : développement de la mécaniquehamiltonnienne (suivi par Jacobi 1840).1920 : le principe guide De Broglie dans sa théorie des quanta.1916 : réecriture des équations de la relativité générale parHilbert.1942 : Feynmann propose une nouvelle formulation du principeen mécanique quantique et retrouve l’équation de Schrödinger.
Le principe de moindre action
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Joseph-Louis Lagrange1736-1813
Sir William Rowan Hamilton1805-1865
Adrien-Marie Legendre 1752-1833
Le principe de moindre action
...
David Hilbert 1862-1943 Richard Feynman 1918-1988
Le principe de moindre action
Un peu de mécanique classique
Le principe dit que l’action est minimisée le long de la trajectoireeffectivement suivie.Le Lagrangien au temps t d’une particule classique de masse m,position x(t) et vitesse v = x(t) est défini par
L(t , x , v) = Ec − Ep =12
mv2 − V (x)
et l’action pour aller de la position x1 au temps t1 à la position x2 autemps t2 est donnée par
A(x(t); t1, x1, t2, x2) =
∫ t2
t1L(t , x(t), v(t))dt .
minimiser l’action entre t1 et t2 revient à trouverla trajectoire qui minimise l’énergie cinétique
et maximise l’énergie potentielle.
Le principe de moindre action
Elements de preuve : Particule classique
Considérons une trajectoire x(t) et une trajectoire proche x(t) + δx(t)de mêmes extrémités.Alors la variation de l’action est donnée par
δA =
∫ t2
t1
(∂L∂x
δx +∂L∂v
δv)
dt ,
et par intégration par parties en utilisant que δv = ddt δx on obtient
δA =
∫ t2
t1
(∂L∂x− d
dt∂L∂v
)δxdt .
Le principe dit que A doit être extrémal, donc δA = 0 quel que soit lapetite perturbation δx , ce qui implique
∂L∂x− d
dt∂L∂v
= 0 qui s’écrit ici m~a = mddt
v = −∂V∂x
= ~F
On retrouve l’équation fondamentale de la mécanique.
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Equation d’Euler-Lagrange et Lagrangien
c’est l’équation précédente :
∂L∂x −
ddt∂L∂v = 0
permet de déterminer la dynamique du mouvement étant donné unLagrangien
Comment construire un Lagrangien ?
c’est une question difficile.Le lagrangien est non unique.La résolution de l’équation d’Euler-Lagrange est difficile(équation ordre 2)s’il n’y a pas d’origine des temps privilégiée alors L = L(x , v) nedépend pas du temps (système isolé).Il est construit à partir de considérations de symétrie (invariancepar translation pour la mécanique classique par exemple, parrotation...)Considérations physiques (pour les constantes)
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Lagrangien et énergie
De manière abstraite, on peut considérer un Lagrangien L (et doncdes trajectoire réalisées) et chercher quelles sont les quantitésconservées le long des trajectoires.Considérons une trajectoire x(t) satisfaisant l’équationd’Euler-Lagrange (pour un Lagrangien homogène) On a alors
ddtL(x , v) = x
∂L∂x
+ v∂L∂v
= vddt∂L∂v
+dvdt∂L∂v
=ddt
(v∂L∂v
)où on a utilisé l’équation d’Euler-Lagrange et la dérivée d’un produit.On a donc obtenu
ddt
(v∂L∂v− L
)= 0.
La quantité
E(x , v) = v∂L∂v− L
est donc une quantité conservée on l’appelle énergie(c’est une "intégrale première du mouvement")
Le principe de moindre action
Energie, quantité de mouvement et Hamiltonien
Dans le cadre classique précédent, pour L = 12 mv2 − V (x) on
retrouve l’énergie totale de la particule.
E = vmv − (12
mv2 − V (x)) =12
mv2 + V (x)
On introduit alors le moment conjugué de v , noté p :
p(x , v) =∂L∂v
(x , v)
ici cela donne p = mv , c’est la quantité de mouvement. Sous lacondition L′′v (x , v) 6= 0 on écrit l’énergie comme fonction de x et de pet on l’appelle Hamiltonien
H(x ,p) =p2
2m+ V (x)
Le principe de moindre action
Equations canoniques
La relation liant Lagrangien et Hamiltonien est
H(x ,p) = pv − L(x , v) ( si p =∂L∂v
)
de manière générale
H(x ,p) = maxv (pv − L(x , v))
le Hamiltonien H est la transformée de Legendre du Lagrangien L.
On peut réecrire les équations du mouvement dans les variables(x ,p) : ce sont les équations canoniques{
x(t) = ∂H∂p (t , x ,p)
p(t) = −∂H∂x (t , x ,p)
ce système d’équation d’ordre 1 est plus facile à résoudre quel’équation d’Euler Lagrange (ici d’ordre 2 )
Le principe de moindre action
élément de preuve...
On a d’une part
dH =∂H∂t
dt +∂H∂x
dx +∂H∂p
dp
d’autre part puisque H(x ,p) = pv − L(x , v)
dH = pdv + vdp − ∂L∂t
dt +∂L∂x
dx +∂L∂v
dv
= vdp − ∂L∂t
dt +∂L∂x
dx
par définition du moment conjugué on obtient ainsi en identifiant
dxdt
def= v =
∂H∂p
, −∂H∂x
=∂L∂x
=ddt∂L∂v
def=
dpdt
Dans le cas où H = 12m p2 + V (x), on obtient
dxdt
= p/m etdpdt
= −∇V (x).
Le principe de moindre action
Un autre xemple : principe de Fermat
En dimension 3 (x ∈ R3)."Pour aller de A à B, la lumière met le temps minimal"."La lumière Parcourt la longueur minimale"On définit Le Lagrangien
L(x , v) = ‖x‖ =√
v21 + v2
2 + v23 .
(on a ds = ‖v‖dt longueur infinitésimale)L’action est alors
L(x1, x2)def= A(x(t), t1, x1t2, x2) =
∫ t2
t1‖x‖dt = ”
∫ x2
x1
ds”
l’équations d’Euler Lagrange est alors
0 =∂L∂x
=ddt∂L∂v
= v/‖v‖
d’ou v = 0 et donc v = cte (dans R3). ie le plus court chemin c’est laligne droite.
Le principe de moindre action
Géodésiques
La recherche des courbes de longueurminimale (par exemple sur une sphere) estimportante : elles sont appeléesgéodésiques, et sont construites sur lemême modèle que précédemment.
Cela définit même une distance pour lagéométrie considérée : d(x1, x2) = L(x1, x2).penser à l’exemple du début : ligneorthodromique pour la route du Rhum.
En mécanique semi-classique par exemple, certaines fonctionspropres d’opérateurs sont proches de fonctions du type e−d(x0,x)2/h
où x0 est un minimum de V et P = −h2∆ + V (x).
Le principe de moindre action
Analyse microlocale, mécanique semi-classique
De manière générale, la mécanique hamiltonnienne est très présente(sous-jacente) dans la branche des EDP (Equations aux DérivéesPartielles) appelée analyse microlocale.
La mécanique semi-classique (i.e. dans laquelle il y a un petitparamètre par exemple la constante de Planck h) est une branche dela mécanique quantique dans laquelle le comportement desparticules (quantiques) est très similaires (mais différent :-) a celuides particules classiques.
Ces branches des mathématiques sont très représentées à Reims.
Le principe de moindre action
d’autres Lagrangiens...
Relativité L = −mcτ = −mc2√
1− v2/c2 où τ est le tempspropre du trajet (longueur de la trajectoire pour la métrique del’espace)Physique quantique :
L(φ, ∂φ) =ih2
(φφ− ¯φφ)− 12m
(−hi∇φ)(
hi∇φ)− V (x)φφ
Théorie quantique des champs QED, Dirac...Intégrale de chemin - Feynman 1942
K (x2, t2, x1, t1) =
∫Dx(t)eiA(x(t))/h
où A est l’action classique, et où on a utilisé la mesure formelle
Dx(t) = limN
( m2πihε
)N/2 N−1∏k=1
dxk .
On retrouve la formule de Schrödinger en considérant l’équationde Euler-Lagrange associée.
Le principe de moindre action
bibliographie
[1] Histoire du principe de moindre action, F. Martin Robine, Vuibert 2006.
[2] Principe variationnels et dynamique, J.-L.Basdevant, Vuibert 2005.
[3] Photons et atomes, introduction a la QED, C. Cohen-Tannoudji, J. Dupond-Roc et G.Grynberg, Intereditions 1998.
[4] The principle of least action in quantum mechanics, R. Feynman, thèse de l’université deprinceton 1942
[5] Calculus of variations, I.M. Gelfand et S.V. Fomin, prentice-Hall, 1963.
