Le prix Nobel de Physique 2016 - École Polytechnique

”for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter”

Gilles MontambauxLaboratoire de Physique des Solides, CNRS

Université Paris-Sud, Orsay, France

Le prix Nobel de Physique 2016

Topologie et matière condensée

Journées X-ENS-UPS, 9 mai 20172

« Applications pratiques dans une ou deux décades … »« Nouveaux matériaux moins consommateurs en énergie … »« Ordinateurs du futur … »« Transport de l’énergie et de l’information plus loin et plus vite… »

Topologie = « robustesse » :

Un état « topologiquement » protégé ne peut pas être perturbé

Topologie: « l'étude des déformations spatiales par des transformations continues »

3

Ω(~r)Géométrie courbure

Topologie nombre de trous

ZΩ(~r) · ds = 4π(1− g)

Gauss-Bonnetg=1

g=0

g=2

g

pté locale

pté globale

4

“topological phase transitions and topological phases of matter”

M. Kosterlitz(U. Brown)

D. Thouless(U. Washington)

D. Haldane(U. Princeton)

5

La transition de Kosterlitz-Thouless (1973)

La chaîne de Haldane (1983)

L’effet Hall quantique TKNN (1982)

Le modèle de Haldane (1988)

Les isolants topologiques (2005)

“Topological phase transitions and topological phases of matter”

graphène

“isolant topologique”

La transition de Kosterlitz-Thouless

(1973)

Nouveau concept de transition de phase où les défauts topologiques jouent un rôle crucial


hm(~r)m(~0)i = Cte

Contexte : les transitions de phase années 70 :

On comprend que les transitions de phase présentent des caractéristiques universelles

Paramètre d’ordre

Brisure spontanée de symétrie

Fonction de corrélation

Exemple : magnétismeT

phase ordonnée phase désordonnéeTc

Exposants critiques

T

Exposants critiquesExemple

Classes d’universalité : deux paramètres seulementla dimension d’espace dla dimensionnalité du paramètre d’ordre n

Théorie de Landau (champ moyen, néglige les fluctuations)Très peu de solutions exactes (Onsager, 1944, d=2, n=1)

Exemple : magnétismeT

phase ordonnée phase désordonnéeTc

Contexte : les transitions de phase années 70 :

On comprend que les transitions de phase présentent des caractéristiques universelles


9

Théorie de Landau exposants de champ moyen,

Solution exacte, Onsager d=2, n=1 (Ising)

Modèle canonique : transition para-ferromagnétisme

Le modèle d’Heisenberg

Importance des fluctuationsGroupe de renormalisation

1970’s K. Wilson, L. Kadanoff, M.E. Fisher, E. Brézin, J.C. Le Guillou, J. Zinn-Justin, etc…

Classes d’universalité1982

fluctuations

d=2, n=2 aimants ou supraconducteurs, 4He superfluide

condensat supra : amplitude et phase n=2

Pas d’ordre à longue distance

mais ordre algébrique : décroissante lente des corrélations

À basse dimension, les fluctuations thermiques et quantiques sont importantesPas d’ordre à longue distance

Peierls (1934) Mermin-Wagner-Hohenberg (1966)

À pas de transition de phase à température finie avec brisure spontanée de symétrie continue(Transition de phase à T= 0K)

2d Ising (transition)

2d XY (pas de transition)

d=2, n=1

d=2, n=2

11

Modèle X-Y

Ordre algébrique : décroissante lente des corrélations

des défauts topologiques, des vortex, enroulement de l’angle

Configurations topologiquement distinctes

des vortex + et des vortex -

++

-

Kosterlitz-Thouless :

-

+

d=2, n=2

La transition de Kosterlitz-Thouless…

… est une transition de dissociation des vortex

À basse température, les vortex forment des paires liéeset ne perturbent pas l’ordre algébrique à longue distance

À haute température, dissociation des paires de vortex décroissance exponentielle des corrélations

Nouveau type de transition de phase, induite par des défauts topologiques13

Argument entropique

Énergie libre associée à un vortex

Prolifération de vortex libres

Vortex liés

Nouveau type de transition de phase, induite par des défauts topologiques14

La transition solide-liquide à 2 dimensions

T>Tc1 Apparition de dislocations brisure de l’ordre translationnel à longue distance

phase “hexatique”

T>Tc2 Apparition de disinclinaisons brisure de l’ordre orientationnel à longue distance

Kosterlitz, Nelson, Halperin, Young

Observations expérimentales4He suprafluideFilms supraconducteursSystèmes magnétiques 2D

Atomes froids pas de condensation de Bose à 2Dobservation de la transition de Kosterlitz-Thouless (J. Dalibard, ENS)


15


dislocation disinclinaison

L’effet Hall quantique

“TKNN”

(1982)

Thouless, Kohmoto, Nightingale, den Nijs

L’effet Hall quantique : première réalisation d’un « isolant topologique » 17

L’effet Hall (1879)

Conductivité transverse ou de Hall

résistivitétransverse

résistivitélongitudinale

18

L’effet Hall quantique (1980) K. von Klitzing

19

L’effet Hall quantique (1980)

20 2c e

h

1985

RK =h

e2= 25812.807557(18)Ω

Von Klitzing, 4 fév. 1980

2Hq hRp e

* pe eq

L’effet Hall quantique fractionnaire (1983)

1998

Stormer, Tsui, Laughlin

21

Effet Hall Quantique

Métrologie

Isolants topologiquesInteractions électroniques

Désordre et localisation États de bords et physique 1D

Géométrie non-commutative

Équation de Dirac et graphène

Gravitation…Théorie des champs, cordes

Information quantique

22

Sous fort champ magnétique, trajectoires fermées quantifiées

Niveaux de Landau

B

Deux ingrédients importants, les bords et le désordre

pulsation cyclotron

L.D. Landau (1908-1968)

23

Sous fort champ magnétique, trajectoires fermées quantifiées

Niveaux de Landau

B

Choix de jauge, dite de Landau

24

Parenthèse : dérive sous champ électrique

B

E0 2

E BvB

25

En présence d’un potentiel de désordre V(r), les trajectoires cyclotron s’enroulent autour des équipotentielles,et sont localisées. Elles sont piégées par le désordre.

0 2

V Bve B

0v V

Dans l’échantillon, le désordre est décrit par un potentiel V(r) aléatoire dû aux impuretés de substitution

+

+

26

Les trajectoires de bord sont insensibles au désordre

Le courant est porté par les états de bords

M. Büttiker

1V 2V

Isolant en volumeConducteur « chiral » parfait sur les bords

28


B

1

2( )n c cE n V r

1V 2V

FE

29 Isolant en volumeConducteur « chiral » parfait sur les bords

B

1

2( )n c cE n V r

1V 2V

FE

30

B

Les trajectoires de bord, chirales, sont insensibles au désordre

B

« skipping orbits »

Les bords et le désordre

M. Büttiker

Les trajectoires en volume sont piégées par le désordre


V2 V1

0LR 2

HeI n Vh

nH canaux de conduction parfaite, localisés sur les bords

quantum de conductanceR. Landauer (1957)

États de volume piégés par le désordreEn surface, pas de rétrodiffusion robustesse des plateaux de Hall

32

33

Conductance d’un gaz unidimensionnel

22eG Th

Formule de Landauer

Conducteur parfait 22eGh

Conductance quantum

1 2( )I G V V

1V 2VT

I

34

1D wire

Very qualitatively…

I =charge

temps= e

energie

h= e

e∆V

h

1 2( )I G V V

I =e2

h∆V

22eGh

⇒

1V 2VT

I

Conductance d’un gaz unidimensionnel

L’entier est le nombre de canaux de bords

C’est aussi une propriété topologique en volume (nombre de Chern)

“bulk-edge correspondence”

L’effet Hall quantique

Premier exemple d’«isolant topologique»

D. Thouless

2016 “TKNN”35

Électrons dans un cristal

36

Q : tout est dans le spectre ?

Un peu de théorie des bandes

Des propriétés intéressantes sont codées dans

Électrons libres

Particules dans un potentiel périodique (a)

Fonction de Bloch

Isolant ou métal selon la position du niveau de Fermi

R : NON

isolantF

métal

1ère zone de Brillouin

Des propriétés intéressantes sont codées dans

métal

isolant

définie sur un tore

TKNN

est un entier (nb de Chern)

connection de Berry

courbure de Berry

Un peu de théorie des bandes

Géométrie

Topologie

Équations du mouvement semiclassiques

métal

isolant

1ère zone de Brillouin

métal

isolant

Courant dans un gap

nombre de Chern

Nature topologique de l’effet Hall quantique “TKNN”

Équations du mouvement semiclassiques

Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields, Douglas Hofstadter, Phys. Rev. B 14 (1976) 2239

0

0

he

Le papillon de Hofstadter

2Ba

a

41

La loi de Hofstadter…

« Il faut toujours plus de temps que prévu,

même en tenant compte de la Loi de Hofstadter. »

42

Les modèles sur réseau

Couplage entre états atomiques localisés

a

ECouplage entre états atomiques localisés

E


44

E

, , 1 , 1 1, 1,H m n m n m nt m n nt t t m

Couplage entre états atomiques localisésE

,m n 1,m n1,m n

, 1m n

, 1m n


45

2Ba

Les modèles sur réseau : avec un champ magnétique

46

0

3 0

3 0

3

0

3 0

3 0

3

Exemple : 0

3


47

0

3 0

3 0

3

0

3 0

3 0

3

Exemple : 0

3

Périodicité triplée 3 bandes

q bandes

q sous-bandes E(kx,ky)

Périodicité selon x : q apq


48

00

2

0

3

E

E E


49/p q

q solutions E(kx,ky) q sous-bandes

période 1Symétrie 1-

pq

p/q=1/3

p/q=10/31

3 bandes

31 bandes !!

ener

gy

magnetic flux50

/p q



pq

p/q=1/3

p/q=10/31

3 bandes

31 bandes !!

ener

gy

magnetic flux51

/p q



pq

p/q=1/3

p/q=10/31

3 bandes

31 bandes !!en

ergy

magnetic flux52

Wannier, TKNN, AvronSimon, Bellissard

Gap structure and topology

1

23

-1

-2

-2

2

-3 3

1

-3

-1

2

H H

filled

H ii

e nh

n C

nH est un nombre topologique

Ci nombre de Chern, caractérise chaque bande53

Gap structure and topology

1

23

-1

-2

2

2

-3 3

1

3

-1

Avron

Wannier, TKNN, AvronSimon, Bellissard nH est un nombre topologique

Ci nombre de Chern, caractérise chaque bande

2

H H

filled

H ii

e nh

n C

54

http://www.nobelprize.org/55

En résumé, dans le régime d’effet Hall quantique:

Isolant en volume à cause du désordreConducteur « chiral » parfait sur les bords

C’est un isolant non trivial :Il est isolant en volume, mais conducteur parfait sur les bords (protégé topologiquement)

Correspondance « bulk-edge »

C’est le premier exemple d’isolant topologique

Isolants topologiques 2007 …….

Isolants en volume, états conducteurs en surface topologiquement protégés

Pour l’EHQ, cet état nécessite la brisure de l’invariance par renversement du temps induite par le champ magnétique

Même physique en l’absence de champ magnétique ?56

Du graphène aux isolants topologiques

Concevoir un système physique qui présente les mêmescaractéristiques que l’effet Hall quantique,

isolant en volume, conducteur parfait en surface,

en l’absence de champ magnétique, sans briser l’invariance par renversement du temps.

57

Du graphène aux isolants topologiques

Modèle de Haldane (1988), variante du graphène

Effet Hall quantique sans champ magnétique

D. Haldane

201658

Le graphènet

21

3

*

0 ( )

( ) 0k

f kH

f k

A B

( )

112 i k

ue

k

i kru e k k

k k k kH u u

Fonction d’onde à 2 composantes

AB

59

Le graphène

k

( ) ( )k f k

1

*

0 ( )

( ) 0k

f kH

f k

A B

( )

112 i k

ue

k

1

Fonction d’onde à 2 composantes

( ) arg[ ( )]k f k

phase de Berry

Le graphène t

21

3*

0 ( )

( ) 0k

f kH

f k

A B

yk xkE

K’K

« Dirac point »

Équation de Dirac à 2d

( ) p c p

H = c

µ0 ±px−ipy

±px+ipy 0

¶A B

A = B

Le graphène t

21

3*

0 ( )

( ) 0k

f kH

f k

A B

yk xkE

« Dirac point »


QED in a pencil trace… (K. Novoselov)

Relativistic quantum physics in a benchtop experiment(A. Geim)

( ) p c p

A = B

Le graphène gappé, nitrure de bore (BN) t

21

3*

( )

( )k

f kH

f k

A B

yk xkE

« Dirac point »


A B

2 4 2 2( ) p m c p c

A = B2 2( ) ( )k f k

t

21

3

*

0 ( )

( ) 0k

f kH

f k

A B

Graphène (fermions de Dirac sans masse) :

les deux atomes sont identiques, c’est un semi-métal

yk xkE

Microondes (Nice)

états de bord

( )kE f k

x

xk

K- K0B

64

t

2

13

yk xkE

Nitrure de Bore (fermions de Dirac massifs) :

les deux atomes sont différents, c’est un isolant

*

( )

( )k

f kH

f k

A B

22 ( )kE f k

Isolant “trivial”

F

états de bord

xk

K- K

B

B

65

*

( )

( )k

f kH

f k

A B

( ) ( )K K

Isolant “trivial”

Haldane : changer le signe du gap entre K et -K

22 ( )kE f k

F

xk

K- KB

B

66

( ) ( )K K

Isolant “topologique”

Haldane : changer le signe du gap entre K et -K

22( ) ( )kE f kk

F

xk

K- K*

( )

(

( )

( ))k

f kH

f k

k

k

A B

( )B xk

( )B xk

67

( ) ( )K K

F

xk

Le spectre en volume est inchangé mais il y a deux états de bord dispersifs, topologiquement protégés.

K- K*

( )

(

( )

( ))k

f kH

f k

k

k

A B

22( ) ( )kE f kk

( )B xk

( )B xk

68

( ) ( )K K ( ) ( )K K Isolant “trivial” Isolant “topologique”

un état de bord chiral protégé topologiquement

K- KK- K

1

1

1

1

1

1

6

-2-2

-2 -2

-2-2

*

( )

( )k

f kH

f k

A B

A

B

A

B

A

B

*

( )

(

( )

( ))k

f kH

f k

k

k

A B

Modèle de Haldane (1988), variante du graphèneEffet Hall quantique sans champ magnétique

A

B

A

B

A

B

Le gap change de signe entre les points K et K’

1

1

1

1

1

1

6

-2-2

-2 -2

-2-2

*

( )

( )k

f kH

f k

A B

A

B

A

B

A

B

Modèle de Haldane (1988), variante du graphèneEffet Hall quantique sans champ magnétique

A

B

A

B

A

B

Pas de champ magnétique, mais brisure d’invariance par renversement du temps

Effet Hall quantifié 71

un état de bord chiral protégé topologiquement sans champ magnétique,

Mais on a brisé l’invariance par renversement du temps 72

Les isolants topologiques

(2005)

C. Kane and E.J. Mele, Quantum spin Hall effect in graphene (PRL 2005)73

C. Kane and E.J. Mele, Quantum spin Hall effect in graphene (PRL 2005)

Nouvel ingrédient : le couplage spin-orbite

Deux copies du modèle de HaldaneLe couplage spin-orbite ne brise pasl’invariance par renversement du temps

Les électrons de spin opposé « voient » un champ interne opposé

spin

spin

Effet Hall quantique

Les états de spin + ou – se déplacent dans la même direction

Effet Hall quantique de spin

Les états de spin + ou – se déplacent dans des directions opposées

Science,766, 318 (2007)

L’effet Hall quantique de spin 2006 – 2007

Pas de champ magnétique, mais couplage spin-orbite

Les états de spin + ou – se déplacent dans des directions opposées

Isolants topologiques 3D 2007 …….

Isolants en volume, états conducteurs en surface topologiquement protégés

77

« Topological insulator »

LAURENS MOLENKAMP

Le prix Nobel de Physique 2016

https://www.nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=2690

Conférence Nobel par D. Haldane :

79

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