Le théorème de Thalès

Céline Saussez

2006 - 2007

Thalès

Né à Milet fin du VIIème, début du VIème siècle avant J.C.

Philosophe, Mathématicien, et Physicien Grec. 

Originaire d’une famille thébaine, il est le plus ancien et le plus illustre des sept sages de la Grèce, il est regardé par Aristote comme le premier des philosophes Ioniens. Il fut à la fois mathématicien, astronome et physicien.

Il aurait rapporté d’Égypte en Grèce les fondements de la géométrie .

Outre la résolution du problème consistant à inscrire un triangle dans un cercle et la détermination de la hauteur d’un objet au moyen de son ombre, on lui attribue certaines connaissances relatives aux angles des triangles ainsi que l’affirmation, sinon la démonstration de l’égalité des angles opposés par le sommet.

Son théorème

A

B C

M N

Voici un triangle ABC:

Soit MN une parallèle au côté [BC].

Dans de telles conditions, Thalès nous dit que:

DémonstraDémonstration:tion: Traçons les triangles MBC et NBC et comparons leurs aires:

A

B C

M N

P Q

Les triangles MBC et NBC ont la même aire car ils ont la

même hauteur et leur base en commun ([BC])

Étant donné que les triangles BNC et BMC ont la même aire, nous pouvons également dire que les triangles ABN et ACM ont la même aire.

A

B C

M N

P Q

A

B C

M N

P Q

On a retiré l’aire du triangle BNC au triangle ABC

On a retiré l’aire du triangle BMC au triangle ABC

=> Aire (ABN) = Aire (AMC)

* Divisons chaque membres de cette égalité par l’aire du triangle ABC:

A

B C

M N

P Q

H

Traçons dans le schéma suivant la hauteur du triangle ABN relative à la base [AN]

Traçons dans le schéma suivant la hauteur du triangle AMC relative à la base [AM]

A

B C

M N

P Q

R

                                                                            

* Exprimons l’aire de ce triangle :

* Exprimons l’aire de ce triangle :

* Exprimons l’aire du triangle ABC en fonction de la hauteur [BH]:

* Exprimons l’aire du triangle ABC en fonction de la hauteur [CR]:

*Ecrivons maintenant le rapport entre ces 2 aires :

*Ecrivons maintenant le rapport entre ces 2 aires :

* En utlilsant l’égalité suivante:

Nous pouvons remplacer chaque membre l’égalité par ce que nous venons de trouver.On obtient donc que :

Conclusion : A

B C

M N

Deux droites sécantes (AB et AC) coupées par deux droites parallèles (MN et BC) déterminent des segments de longueurs proportionnelles:

FIN