Le variefft a c u r v e s e z i o n i el l itt iche.

(Di GAETANO SCORZA, Ct Palermo.)

Le ricerche dei professori CASTELNUOVO ed ENRIQUES sulle superiicie e sulle varieth tridimensionali a curve sezioni ellittiche facevano prevedere che aumentando la dimensione il numero dei casi possibili di varieth, a curve se- zioni ellittiche dovesse andare diminuendo.

Questo lavoro conferma appunto una tale previsione, in quanto dimostra che, eccettuate le forme cubiche, le quartiche intersezioni di due quadriche e le varieth costituite da una ~ ellittica di spazi lineari, non si hanno, al- l'infuori dei coni, altre variet'h a curve sezioni ellittiche la cui dimensione superi 6.

Pi~ precisamente, r iunendo in uu enunciato unico i risultati di questa Memoria con quelli gih ottenuti dai professori CASTEL~UOVO ed ENmQUES, si ha it seguente teorema:

Ogni V] irriducibile non conica di S,. a curve sezioni ellittiche ~ :

c 0 una o~ ~ ellittica di S~ ~, oppure

b) una forma cubica di S~_~, oppure

c) ~ razionale ed ~ proiezione di una W~ normale non conica di uno

spazio a n + k - - 2 dimension/, con k quolunffue s e n ~ ~ e con k ~ 6 s e n ~ 9.

Le W~ normali non co~dche eli S,,>~._~ si riducono poi :

d) per .~ ~ ~ e k qualunque alle W~ basi dei fasci di quadriche di S~+~;

c") per k : 2 [compreso il ca,~'o di n - ~ 3 che rie~tra in b) e di n - ~

che rientra irt c')] cdle W~ di S,~ (n--I-9) studiate dal prof. DEL PEZZO e rap-

presentabili sul piano o mediante il sistema di tulte le cubiche plane per 9 - - ~

purdi bct se, o a nche, se n ~-8, medictnte il sistema di tutte le quartiche plane

con due punt i doppi asseg~tc~ti ;

c") per k - - 3 ed n ~ ~ alle W3 determinate dal prof. ENRrQUES, le quali

danno luogo a sei tipi (generali) diversi, cio~ ct un tipo pel quale n--~ 5, tre

tipi pei quali n ~- 6 e infine due tipi pei quali si ha rispettivamente n ~-~ 7, 8; d v) per k ~-~, 5, 6 ed rt--~ 5, atlct W~ di S~ che rappresenta nel solito

°218 S c o r z a : Le varietd a curve sezioni ellittiche.

modo la variet~ delle rette di un S, e alle W~ e W~ the se ne ottengono ta-

gl iandola mediante spazi a 8 e 7 dimensioni ;

c v) per k ~ 4 ed n = 6 allot W~ (di $8) del prof. SEGRE, che rappresenta,

senza eccezione, le topple di pun t i di due pia, ni, e ctlla W~ ((li $8) intersezione

residua di un cono W~ pro]ettante da un p iano una superficie di Veronese e

di una quadrica che passa pel vertice di W ~ ed ha comune con esso uno dei

suoi ~ toni quadrici a quattro dimensioni.

Particolari pifi minuti sui vari tipi possibili, come anche le necessarie citazioni bibliografiche, si troveranno a suo luogo pih innanzi; qui basti aver presentato, per comodith del lettore, in rapido quadro riassuntivo, le varie ricerche che esauriscono ormai la questione delia determinazione delle va- rieth a curve sezioni ellittiche.

Aggiungeremo soltanto che mediante i risultati di questo lavoro si pub passare facilmente aila determinazione dei tipi, irriducibili per trasformazioni cremoniane, di sistemi lineari (semplici e di grado n~> 3) di forme di un & a curve sezioni variabili ellittiche, e che lo studio delle W~ (k_~ 6) mentre d~t luogo a nuove propriet'~, che pajono interessanti, dello spazio rigato a quattro dimensioni, conduce, per k = 3, a una costruzione diretta di un no- tevolissimo gruppo ~ di trasformazioni cremoniane incontrato per la prima volta dai professori E~mlQuEs e FAro.

GENERA L[TA.

IY Consideriamo una varieta qualsiasi irridueibile VL d'ordine n e di- mensione k, appartenente a uno spazio &., the dagli S,. ~ , dello spazio am- biente sia tagliata in curve ellittiche.

Se r : > k-L-1, proiettando la V~ da un S,. ~,_~ generieo sopra un S~.+, si ottiene in quest 'ultimo spazio una V'~;, in corrispondenza birazionale con V;, the dai piani dello spazio stesso g tagliata in curve ellittiche d'ordine n,

quindi: Ogni V ; (irriducibile) di S,. (r 2> k q- I) (~ curve sezioni ellittiche si pu5

trasforma,re birazionalmente in u~,c~ ipersuperficie V*~ di urt Sk+, a seziorti

p lane ellittiche.

S c o r z a : Le varie t~ a curve seziord ellittiche. ~19

2. ° Ci5 posto, sin V; u n a forma (o ipersuperficie) i rr iducibi le di S~+, a sezioni p lane ellitt iche e s u p p o n i a m o di tagiiarla con un piano generico. La sezione sar~t una curva ellittica d 'ord ine n e quindi , s e n ~ 3, ammet t e r~ u n a curva agg iun ta d 'ord ine n - - 3 , ?,,_~, che non la incontrer'~ in a lcun p u n t o fuor i dei pun t i multip]i .

Ora dico che, se V;. no n ~ u n a ~ ' ellittica di S ,_ , , al var iare del p iano secante la curva ?,,_~ descrive u n a ¢i: -~ sub-aggiunta a V~, ossia una ib rma d 'ord ine n - - 3 che helle varieth mult iple di V;: di d imens ione k - - I (e non, even tua lmente , in quelle di d imens ione miqore) si compor t a come le forme aggiunte a V;; inoltre tale ,J,~-~ non taglia V~. fuori delle variet~ mult iple.

S u p p o n i a m o che il t eo r ema sin vero per le V~_~ di S~ e d imos t r i amolo veto aache per le V"~ di S~+~-, dopo cib, essendo vero per k : 2, per u n a uota d imos t raz ione del prof. GASTELNUOVO (*), sar~ vero in generale.

Per ques to si cons ider ino nello spazio ambien te S~+~ un S~._, gener ico e il fascio di iperpiaui che lo ha per asse. In ognuno degli iperpiani del fa- scio la V~ aw'h per traccia u n a V~_~ che n o n potrh essere u n a cx) ~ etlittica di S~._~ e qu indi tale VT,_, ammet t e rh (per ipotesi) u n a fbrma sub-aggiunta ¢7,:? che non la taglier'h fuori delle varieth multiple. Di pifi le oc ~ ¢7,5~ rela- tive agli (x) ~ iperpiani del fascio tagl ieranno tu t te l' S~_~ asse del fascio nella stessa ¢~:~ sub-aggiunta alla V" ~_~ ore l 'asse in discorso taglia la da ta VT,; qufi~di il luogo di quelle oc' ¢~::~ sar~ una ¢7, -~, purch~ n e s su n a di esse si spezzi nel cons idera to S~_~ e in u n a res idua ¢~.~ d 'o rd ine n - - $ .

Ma si vede subi to ehe nelle ipotesi fatte u n tal caso non pub p resem tarsi. Se infatti per un S~_~ gener ico dell 'S~+, passasse qualche iperpiano secante V~" in una V"~_~ con u n a ¢'-~_, sub-aggiunta spezzata nell'S~._~ e in una res idua ¢"-'~_,, la V'~_, sarebbe tagl iata dalla ¢,,-3,_, in tut t i i pun t i della sua in tersezione con I'S~_~, e quindi anche in pun t i es terni alle sue variet'h mul t ip le di d imens ione k - 2, cio~ essa non sarebbe irriducibile. Allora ta- g l iando V~ con un S, geuer ico si o t te r rebbe u n a superficie V: tale che per ogni ret ta del suo spazio passe rebbe quatche p iano secante la V.~' in u n a eurva spezzata, cio~ V7 sarebbe una r igata oppure la superfieie r o m a n a di

(**).

(~) Sulle superficie algebriche te cui sezioni plane sono curve ellittiche (Rendic. R. Accad,

dei Lincei, 12 semestre, i89Q. (¢¢~¢) CASTELNUOVO, Sulle supe~'fi~ie algebriche che an2n~eltono un sistet'~a doppia~t~e~te ittfi-

nito di sezioni plane rid~ttibili (Atti della R. Accad. dei Lincei, 1894, 1. ° semestre).

Annal i di Matematica, Serie IlI, Tomo XV. 29

220 S c o r z a : L e var ie t i~ a c u r v e s e z i o n i e l l i t t iche .

Di queste due alternative, la pr ima contras ta con l ' ipotesi che V; non sia una ec' ellittiea di S~._,, 13 seconda (ehe por terebbe a n = $ e pi£t pre- e isamente a toni ot tenut i per proiezione da un eono ehe proiet ta da on S~_~ una superfieie di VERONES~ (*)) con l'ipotesi ehe V; sia a curve sezioni ellit- tiehe, dunque b dimosira to the il luogo di quelle ~ ' ¢~_? b una ,~;-~.

Tale q~;;-~ non taglia V'L fuori delle sue variet/t multiple, dunque ogni piano dell' S~.~ taglia V; e *;-~ in una tm'va d 'ordine u ellittiea e ne l la c o l r ispondente eurva aggiunta %_, d 'ordine n - - 3 ; e questo basra per dimo-

strafe il t eorema enuneia to . 3. ° Consider iamo ora una V; di S~.+~ a curve sezioni ell i t t i the the non

sia una ~ ' ellittiea di S~._, e d imostr iamo the, se n y> 3, si pub sempre eo- struire un sis tema lineare oc ''+~-~ di V "-~ sub-aggiunte a V"~ the tagliano su V~, fuori delle variet'X multiple di d imensione k - 1 (eventuahnente esistenti),

u n sistema linear(; o , "~-'~ di V~. -'. Poiehb il t eorema te veto per k = 2 (nel qual easo, anzi, si r i tonos te (**)

ehe per ognuna delle ~,,_~, sezioni di V~ toi plant de l lo spazio ambiente, passano ~ ' superfi t ie *~-~ sub-aggiunte a V~), per dimostrar lo in generale

baster~'~ far vedere the essa ~ vero per una V; di S~.÷~ qua.ndo sia veto per una V2_, di S~., e r iguardo a questa sar~ inoltre leeito supporre ehe per ogni V~-~ sub-aggiunta a una sezione iperpiana passino ~c' V;:~ sub-ag-

giunte a V" k - 1 *

Consider iamo dunque un S~.~ gener i to di S~.÷~, la varietlt V;_~ seeondo cut esso taglia V; e una .;t:~ sub-aggiunta a questa. Un iperpiano ~. the passi per 1' & . , taglia V; in una V~., ehe eontiene la V~_.~; quindi per la

e"-'~ passano oc ~ ,p"--~ '~ ~._~ ~._~ sub-aggiunte alla V~_, e di queste ~c' .2-~ una potr'h

essere fissata imponendo the essa totehi in un punto A di *;:g, esterno alla *~-~ sub-aggiunta a V; un iperpiano v eondotto t o m u n q u e per I'S,,.~ tangente in A a a,~_~, ma the per5 non eontenga 1 &._, considerato. Va-

r iando ~ intorno all~S~._,, la ~'L-~ cosi fissata descriver~ una q'7~, il cut or- dine x non potrA differire da n--o~, perch~ (non potendo essere evidente- inente inferiore a n - - ~ ) se fosse maggiore di n - - o , , per qualehe posizione

di :~ la corr ispondente ,v;;~ dovrebbe spezzarsi in un S~., e in una residua • ;'_-~ passante per A; e questo non pus accadere, se, come appunto si ~ sup-

(~) ENRIQUES, Sttt; sistemi lineari di superficie algebriche ad intersezio,~i variabili iperel-

littiche (Math. Annalen , Bd. 46), n. ° 9. ( ~ ) CASTELNUOVO, Ioe. cit. n. ° ~.

S c o r z a : Le variet(~ a curve sezioni ellittiche. ~21

posto, A non si trova sutla ¢V 3 sub-aggiunta alla V;. La (J,~ che cosi si ot- tiene ~ dunque una ,i)7, -~ che luago le variet'h multiple di dimensione k - - 1 di V"~ si comporta come le forme aggiuate," e di tall ¢~-~ per ogni %_,"-~ sub- aggiunta a una sezione iperpiana di V~. ne passano ~ , perch~ la costruzione precedente ne fornisce appunto oc I quando si prenda p~r Sk_l un S~._~ del- l ' iperpiano considerat0, per ~,~,__-~ la ¢~-~_ secondo cui [ale S~._~ taglia la ¢"-~_~ in discorso e per iperpiano "~ uno degli ~ ' iperpiani passanti per I'S~_, tangente a *~:~ in un punto generico A della ,1,;2~. Pit~ di ~ ,I); -~ per una ~,~-~_, sub-aggiunta a una sezione iperpiana non possono passare, perch~ di esse una sola si spezza nell ' iperpiano della sezione e in una residua *Y3 sub-aggiunta, dunque le *V~ sub-aggiunte a V~ saranno ~ + * se ~ z sono le ~:~ sub-aggiunte a una V L , . Ma per ipotesi queste sono ~'+~-~, dunque le ¢;-~ formano un sistema lineare oc °+~-~ ed ~ chiaro che esse tagliano sulla V; un sistema lineare ~+~-~ di V;:_~, poich6 n ~ il numero dei punt i in cui si tagliano fuori dei punt i multipli una curva piana ellittica d 'ordine n e una sua curva aggiunta d 'ordine n - - 2 .

~o 11 sistema lineare di VL, tagliato sulla V; (.a :~ 3) dalle forme sub- aggiunte di ordine n - - 2 i~ un sistema che contiene le sezioni iperpiane di V~, dunque ~ semplice e di grado n e pub servire a trasformare birazio- nalmente la V~ in una W'~ normale di uno spazio a, n - i - k - - 2 dimensioni, di cui la V~ pub pensarsi (a meno di un~ trasformazione omografica) come

proiezione. Ora si osservi in primo luogo che se IV~ ~ la variet'~ normale di S,,~_~._~

da cui pub dedursi per proiezione ta V~ di S~+~ ot tenuta proiet tando sopra 1' S~+, da punt i esterni una V*~ di &., il sistema lineare completo che con- tiene le sezioni iperpiane di V*~ si muta net sistema lineare completo che contiene le sezioni iperpiane di V~, cio~ in quello delle sezioni iperpiane di W~" ; quindi V*~ pub pensarsi anch'essa come proiezione della W ~ da punti esterni. In seeondo luogo ~ chiaro c h e l a W~ normale di S,~._~, essendo ta- gliata da un S,, in una V~, per una osservazione del prof. E~n~Qu~s (*), eon- terr~ sempre una eurva razionale normale irriducibile d 'ordine n - - - 3 o, se n - - 8 , d 'ordine n - - 4 , ; ed 5 pur chiaro ehe dallo spazio di una tal eurva la W2. si proiet ta biunivocamente sopra un S'~ o sopra una quadriea di &.+,. [nfatti se la W~ contiene una curva razionale normale d 'ordine n - 3, un S~,, ehe passi per l'S,,_~ di questa eurva taglia W~ in una g~ ehe pub proiet-

(~) ENR[QUES, loe. cit. al n. ° ~ di questo lavoro.

S c o r z a : Le varietd ce curve sezioni ellittiehe.

tarsi dall' 8,_3 b iunivocamente sopra un piano e se la W~ contiene una curva razionale normale d 'ordine n - - ¢ un 8,, t he passi per lo spazio S,,_~ di questa tagtia W"~ in una V;' ehe dali 'S,,_, stesso viene proiet ta ta b iunivocamente sopra una quadrica.

Possiamo per tanto enuncia te il t eo r ema : ~Stc~ V~ di S,. a curve sezioni ellittiche o ~ una oc ~ ellittica di S~_~ o, se

non ~ unc~ [orma c~biea (*), ~ razionale. In quest'ultimo caso pub pensarsi

come proiezione da punl i esterni di una V~. normale di S,,÷~_2 a curve sezioni

ellittiche normali.

5. ° Col prof. ENe~QUES dis t inguiamo in specie le V~ (n~> 3) normati di S~+~..~ ch iamando della 1." specie quelle abe contengono delle curve razionali normali d 'ordine n - - 3 e della 22 specie quelle ehe eontengono soltanto delle eurve raziouati noi'mali d 'ordine n - - $ e ehe quindi sono dell 'ordine n == 8.

Dimostreremo pifi innanzi t he quelle di ~.a specie pet" k ~ 3 sono tutte

dei toni, quindi per il momento r ivolgeremo la nostra at tenzione alle V~ di 1. a specie.

6. 0 Sia V" • una variet'a di 1. a specie e sia C "-~ tma sna eurva razio- nale normale d 'ordine n - - 3 . Se dall' S,,_~, ~, the contiene la C ''-~ si pro- tetra la V~. sopra un & , la proiezione risulta, come gigt si ~ detto, biunivoea, le V;' sezioni della Vi~ con gli S,, passanti per ~ si proie t tano net plant di & e le sezioni di V~ con gli iperpiani per ~. si proiet tano negli iperpiani di & .

lnveee un iperpiano generieo taglia V; in una VL, the ha soltanto ~ - - a punti eomuni con la C ''-~ di ~, quindi tale V';., si proiet ta in una forma eubica di & , e si ha il t eo r ema :

Ogni V~ normale di 12 specie si pub rappresentare punto per punlo sopra

un S~ per ,modo che le sezioni iperpiane abbiano per immagini le forme cu-

biche di un sistemc~ lin.eare completo. Fra, quesle forme ve ne sono oc ~ spezzate

in un iperpiano qualunque dell' S~ e in una quadriea fissa V~_,.

Alla quadr ica V~., che compare in questo enunciato si pub pervenire anehe in at t ra maniera.

Essa ~ infatti la varieth dei punti dell' &, rappresentat ivo che corrispon- dono ai punti di VI: inf ini tamente vicini ai punti della C "-~ contenuta in :~; quindi pub r iguardars i come il luogo degli co' spazi lineari-di & i cut punti corr i spondono alle direzioni delle tangent i a Vi2 uscenti dai punti della C "-~

(*) Notisi che se una V~ g a curve sezioni ellittiche essa appartiene necessariamente a un &+~, clog ~ una forma cubica.

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni eUittiche. 223

Ora le tangenti di V; uscenti da un punto di C "-3 r iempiono un S~ che ha in comune una retta (cio6 la tangente a C ''-3 in quel punto) con % dunque esse sono proiettate da :¢ seeondo spazi a r t - - 2 dimensioni situati in un S.+~_, e ehe pertanto tagliano lo spazio rappresentat ivo S~ net punti di un S~_,. Segue da ci6 c h e l a quadrica V~_, eontiene oc' S~_, e quindi essa speeializzata almeno k - - 3 volte e ammet terh almeno un S~_, doppio.

Se supponiamo che V~_, sia irriducibile (e, in generale, questo appunto aceade) e ehe essa ammet ta un S~_, doppio m a non uno spazio doppio di dimensione superiore, essa conterr~t una seeonda serie ~ di S~_, e questi S~_,, come vedremo, avranno nella rappresentazione delia V: ufficio ben diverso dai precedenti. Risulter~t anehe dal seguito che mentre per rt = ~, 5 lo spazio doppio della V~_, 6 realmente un S~_,, in altri cast la dimensione dello spazio doppio aumenta.

7. 0 Due forme cubiche del sistema rappresentat ivo di una V~ di 1. a specie si tagliano in una V~.~ immagine della V~_~, sezione di V; con un S,,+~_,; ma tale immagine si ottiene mediante una proiezione da ~., dunque quelle due forme cubiche debbono tagliarsi fuori della variet/t base del sistema, in una variet~ d 'ordine n, e la variet/t base ~ una V~_~ dell 'ordine 9 u (donde segue ehe deve essere n ~ 9). Questa VT_.~ 5 natura lmente situata sulla qua- driea V~_, ehe insieme con gli iperpiani di S~ d~ ~ forme eubiehe del si~- sterna rappresentativo, e, come risulter~t dall 'esame dei singoli easi partieo- lari, passa per lo spazio doppio di V~_,.

Riassumendo possiamo dire : Proiettaudo u~ V; di 1." specie dall' S,,_~ di una sua C "-~ razionale nor-

male sopra un S~ si ottiene una rappresentazione biunivoca di V: sopra

questo S~,. Le sezioui iperpiane di V~ si proieltauo helle forme eubiche di un

sistema lineare compteto avenle per var iet~ base una V~_~, situata soprcb urta

V~_, con un S~ (3 >-~ k - ~) doppio, e la V~:'~ passa per questo Sz .

8. 0 Net numer i suecessivi enumereremo i vari tipi possibili di V# cor- r ispondenti alle varie ipotesi che possono farsi sui valori di k ed u, ma bene osservare fin d'ora che per ~ : 4 si hanno delle Vt di dimensione k elevata quanto si vuole.

Infatti, per un teorema del prof. Em~IQUES (*), esse si trovano, come la loro eurva sezione (spaziale) generica, sopra ~ ' quadriche e quindi sono le

(•) ENRIQUES, S u i s i s t emi l inear i d i superficie algebriche te cut in tersez ioni var iabi t i sono

curve ellittiche (Rendic. della R. Accad. dei Lincei, 1894, 12 sere.), n. ° 3 in nora.

225 S c o r z a : L e v a r i e t ~ a c u r v e s e z i o n i e l l i t t iche .

quartiehe base di fasei di quadriehe. Allora la rappresentazione ehe se ne tmb ottenere sopra uua S~. 1)roiettandole da una 1.oro tetra 6 quella ehe 6 stata gih studiata dal prot: ROSATI in uU SUO lavoro d i qualehe anno fa (*). Essa eomprende come easo partieolare una notissima rappresentazione delle rette d i t m eomplesso quadratieo sui punti dello spazio ordinario.

§ I[.

LE V~ NORMAL[ A CURVE SEZIONI ELLITT[CHE.

9. ° Le Iq nornmli a curve sezioni ellittiche sono state gig[ enumerate dal prof. ENar0ugs ht un tavoro eitato; qui non si riprendono ehe per asse- gnarne delle costruzioni e dimostrarne aleune nuove proprietg proiettive.

I1 prof. ENmQU1;:S distingue, come gig[ si 6 detto, le G a curve sezioni ellittiehe in due specie; se immaginiamo di considerate soltanto le V~ nor- mali ehe non sono eoni, le V~ (li 1. a specie sono:

a) la V~ di S~ rappresetltata hello spazio ordinario dal sistema ~ delle superficie eubiehe ehe passano pet' una quartica di °2.a specie (ehe pub de- generare, sotto la eondizione di mantenersi di 2.a specie);

b) la V~ di S, rappresentata hello spazio ordinar[o dal sistema m ' delle superfieie eubiehe ehe passano per tre rette a due a clue sghembe;

e) la V:~ di S; rappresentata hello sp-:tzi 9 ordinario dat sistema ~ delle superIieie eubiehe ehe passano per una eubiea gobba (ehe pub degenerate) e hanno in un suo punto fisso un punto doppio;

d) la V~ di S; rappresentata nello spazio ordinario dal sistema ~ ; delle supertieie eubiche ehe passa~m per una eubiea piana con un punto doppio ed hanno in questo punto un punto doppio bip!anare con un piano oscu- latore tisso;

e) la V~ di S~ rappresentata hello spazio ordinario dal sistema ~ delle quadriehe ehe passano per tltl punto.

La varieth e) si ottiene, per proiezione da ml suo pun[o, dalia V~ di S, rappresentata nello spazio ordinario dal sistema di tutte le quadriehe e que- sta V~ 6 l 'uniea V~ di 2.~ specie ehe noel sia un eono.

(*) RappreseJdazione della q~eartica, etc. (Annali di Mat., I (3) 1899).

S c o r z a : Le varieth a curve sezioni ellittiche. ~ 5

Questa v~ di S~ ~ caso particolare della V~ ~ di S~(,.+3 ) rappresentata 2

punto per punto sull'S,, cosl che le sezioni iperpiane abbiano per immagini le quadriche di S,., variet~t che, per una ragione ovvia, proporrei di chiamare varieh'~t di Veronese. Per alcune questioni lo studio detle varieth di VERO~ESE non presenta alcuna difflcolth e basta tener presenti i notissimi lavori dei proff. VEaONESE e SEG}~n sulla superiicie di VERONESE e la Nora del prof. SEGRE SU << gli ordini delle variet}~ che annulla~w i determinanti dei diversi gradi estratti da una data ~iatrice ~ (*) per risolverle hnmediatamente. Perci5 credo inutile trattenermi qui sulla V~ di S~, nna cui prop rieth notevole e non im- mediata esteasione di proprieth analoga per la superiicie di VERONESE ~i trova in una mia Nora recente (**).

102 Volendo considerare un po' da vicino le proprieth della V~ di S~ del caso a), chiamiamo (in questo n. ° e nei successivi) K l a quartica di 2. a specie base del sistema rappresentativo di superticie cubiche L e Q la qua- drica c h e l a contiene.

Le corde di h? sono taglit~te dalle superficie L in un sol punto variabile, quindi rappresentano rette della varieth obbiettiva. Poich~ questa osserva- zione pub senz'alh*o invertirsi e poich~ 3 ~ il numero dei punti doppi ap- parenti di una quartica di 2. a specie, abbiamo:

La V~ co~tieue ~ r~tte; per ogr~i suo pu~to ne passano, in generale, tre.

Un iperpiano qualunque taglia V~ in un V~ razionale normale, rappresen- tara su ua piano mediante il sistema lineare ~~) detle cubiche passanti per quattro punti, dunque, rammentando uua uoLa propriet~ di questa supedicie :

Ogni iperpiano contier~e 10 rette del sistema costituito dalle relte di V~ o

ne co~#ie~e infinite. Per brevith chiameremo A i l sistema d'ordine 3 e classe 10 costituito da

queste rette. 1 [. ° Le retie delle due schiere rigate delia quadrica Q secano K, quelle

di una schiera in tre punti, quetle dell'attra in un punto solo. Ora la rappresentazione della V~ sulto spazio ordinario si ottiene per

proiezione dal piano di una sua conica C ~, da ogni puuto della quale escono tre retie di A conte~mte nello S~ ivi t angente alla V~, dunque:

Le rette di Q, ciascuna deUe quali rappresenta i punti eli V~ infinitamente

(+) Rendic . della R. Accad. dei Lincei , 1900, 2. ° sem. (++) SCORZA, Determinazione delle varietY+ a tre d i m e n s i o u i d i S~ (r ~.~ 7) i c~i S 8 tangen t i

si t~gl iano a due a due (Readic. Circ. ~[at. d[ Palermo, XXV, 1908).

O226 S c o r z a : Le varieth a curve sezioni ellittiche.

vicini a uno dei pun t i della conica C~, sono date dalle trisecanti di K e ogni

punto di h: ~:~ppresenta tutti i p~enti di una retta di V~.

l°2. 0 Per precisare a~cora meglio questi teoremi, osserviamo che la V~ contiene ua sistema o~' d[ coniche tale che per una coppia di punt i gene- riei della V~ passa una co,flea ed una sola.

Questa osservazione pub giustificarsi in varia maniera. Pub dirsi, per es., c h e s e 0 ~ un punto generico dello spazio ambiente, ogfli iperpiano per 0 taglia la VI; in una V~ dotata di uu sol putlto doppio apparente (*), quindi le oo ~ corde di V~ che passano per 0 s tanno iu un piaao ~, e la V~ con- tieae oo ~ curve disposte iu piani di cui ~le passa uno ed uno solo per ogni punto dello spazio ambieute. Ma allora queste oc ~ curve sono necessaria- mente cotliche (in caso contrario ogni corda di V~ sarebbe almeno una trisecante) e per una coppia di puat i generici della V~ non ne passer'h che una sola.

Si deduce incidenta]mente di qui un teorema noto, del quale del resto avremmo potuto servirc[ per dimostrare l 'esistenza su V.~ di un sistema oo ~ di coniche. Si vede subito infatti the le oc ' coniche in discorso sono rappresen- tate nello spazio ordinario dalle oo ~ coniche quadrisecanti K e quindi :

Per due pun t i generici dello spazio di una quartica di 2." specie passa

una ed una sola conica qua4risecante la quartiea (**). t3. ° Cib posto si pub supporre che la conica C ~ sia una qualunque

delle ~ co~iehe della V~; d'altra parte gli S, che proiet tano dal piano di C ~ gli S~ tangenti alia V~ nei punti di C ~ costituisco~m un cono quadrico che ha per traccia sullo spazio ordinario rappresentativo la quadrica Q, d u n q u e :

Gti $3 tangenli alla V~ nei punt i di una sua eoniea sono proieltati dal

piano di questa secondo gli S~ di una sehiera di un cono quadrieo avenle per

vertice quel piano. Le tracce sulto spazio rappresentativo degli S~ di cui si parla in questo

enunciato, ([uando ci si riferisca alla conica C ~-, sono le trisecanti di K; le tracce degli S~ del l 'aRra schiera appar teaente al cono quadrico souo le ge-

(~') SEVERI, [~torno ai punti doppi impropri di uua superficie generale dello spazio a

quattro dimensioni, e a' suoi punti tripli apparenti (Rendic. del Circolo Mat. di Palermo,

t. XV), n. ° 9. (~ ) Teorema del prof. MON'rESANO, cfr. Su i vari tipi di congruenze lineari eli coniche

dello spazio (Rendic. della R. Acead. di Scienze fis. e mat. di Napoli, 1895; Nota II). Vedi anche per l ' i avers ione di questo teorema: BERZOL~R[, Sulle coniche appoggiate in pill, punti

a date curve atgebriche {Rendic. det R. Ist. Lombardo, vol. XXXIII, 1900), aota I, n. ° 11.

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche. 227

neratrici di Q unisecanti K', quindi tall S~ tagliano la V~ in una curva del 52 ordine che si spezza in una conica contata due volte e in una retta residua.

I1 cone quadrico in discorso contiene poi la rigata delle rette di A uscenti dai punt i della conica; d 'a l t ra parte esso taglia la V~ in una V~ °, dunque :

L a r igata costituita daUe rette di A uscenti dai pun t i di una conica della V~

una rigata (razionale, perch~ in corrispondenza biunivoca con K) del 10. ° or-

dine avente nella oonica u n a direttrice tripla.

]~ utile osservare che rord ine di questa rigata poteva esser calcolato di- versamente: bastava considerare percib o che un iperpiano per una conica della V~ tag[ia la V~ in una V~ per la conica con quattro rette appoggiate ad essa, oppure che una S~ generico taglia la V~ in una curva del 5. 0 ordine rappresentata dalla ulteriore intersezione di due superficie cubiche passanti per K,~ e che tale intersezione ~. del 5. ° ordine e de! genere 1~ per mode da avere 10 punti a comune con /~'(*).

14,." Se chiamiamo rigate 0 le rigate costituite dalle rette di A uscenti dai punt i delle oc ~ coniche della V~, si ha subito che:

Le rigate 0 costituiscono nella variet~ o~ ~ delle rette di A (varietb razio-

hale perch~ in corrispondenza biunivoca colle coppie di pun t i di K ) u n si-

sterna lineare o¢) ~.

Infatti siano a, b, c, d quattro rette generiche di V~. Le prime tre a, b, c sono congiunte da un S~ che taglia la V~ in una V~ razionale normale con- tenente le tre rette a, b, c e secante la retta d in un punto D.

Questa V~ contiene un solo fascio di coniche che siano appoggiate ad a, b, c e di questo fascio una conica passa per D, dunque la sola rigata 0 che ha questa conica per direttrice tripla passa per le quat tro rette a, b, c, d.

Guardando allo spazio rappresentat ivo si ricava incidentalmente il teorema:

Data una quartica di 2." specie e quattro sue corde generiche esiste una

ed una sola coniea che si appoggi alle quattro corde e tagli la quartiea in

quattro punti .

I1 grade del sistema lineare costituito dalle rigate 0 entre la varieth delle rette di A si calcola con tut ta facilit~t.

(~) Per la notissima formula (di NOETHER) che d~t il genere (virtuale) di una curva spezzata.

Annali di Matematica, Serie III, Tome XV. 30

~ 8 S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche.

Si osservi per questo che, se k~ e k~ sono due coniche generiche di V~, l ' iperpiaao ch6 le contiene sega la V~ in una V~ su cui k~ e G (non avendo aicm~ punto comune) appartengono a uno stesso dei cinque fasci di coniche in essa contenuti (*). Dunque vi sono quattro rette di A appoggiate a k, e G, cio6 le due rigate 0 aventi k~ e k o per direttrici triple hanno quattro gene- ratrici in comune e il grado richiesto 6 4.

15. ° Insieme con le rigate 0 giova considerare entro la varieta A l e rigate 0,, ciascuna delle quali 6 costituita dalle ~ coppie di rette di A. che escono dai punti di una retta della V~. Una rigata 0~ 6 rappresentata dalle come di l< appoggiate a una sua corda tissa e queste costituiscono una ri- gata cubica passante per K, dunque la rigata obbiettiva costituisce una se- zione iperpiana della V.~ ed 6 una V~ razionale (normale in un S~) dotata di una retta dh'ettrice doppia.

Si ricava di qui che: Per ogni retta d~lla V~ passa un iperpiano ehe la tocca in tutti ~ punt i

della retta stessa.

Una rigata razionale V~ di S~ che abbia una retta direttrice doppia proiezione di una V~ di So da un punto del piano di una sua conica direr- trice, dunque sulla direttrice doppia vi sono due punti uniplanari.

A due corde generiche di I< si appoggia sempre una ed una sola corda della curva stessa (due g~ in un ente razionale hanno sempre una coppia comune), dunque:

Entro A le rigate O~ costituiscono una rete omaloidica.

Infine poich6 una conica e una retta generiche della V~ sono congiunte da un S~ che taglia la V~ in due rette ulteriori appoggiate ad esse, od anche, poich6 due rigate 0, corrispondenti a rette incidenti della V~ possono con- siderarsi come costituenti insieme una rigata 0, si conclude che:

Una rigata 0 e una r igata O~ hanno in generale due rette in comune.

162 I teoremi precedenti dhnno luogo a una importante deduzione relativamente alia V~.

[nfatti si immagini di riferire proiet~.ivamente le rigate 0 agli iperpiani di un S~: le rette del sistema A verranno nmtate nei punti di una superficie del &o ordine di S~, la quake conterrh ~ coniche, corrispondentemente alle rigate 0~ di A, dunque questa superficie, che chiameremo F{, sarh proiezione da un punto esterno di una superticie di VERONESE.

(~) Cfr. CAPORALI, Sutla superficie del quinto ordine dotata di unct curvet doppia del quinto

ordine (Memorie di Geometria, Napoli, Pellerano, i888).

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche. ~29

Ora si osservi che le tre rette di .~ uscenti da un punto della V~ im- pongono due sole condizioni a una rigata 0 che debba contenerle, quindi i tre punti di F~ che le rappresentano impongono due sole condizioni agli iper- piani che debbono contenerli, ossia sono allineati. Ne segue che, come le rette di A vengono riferite biunivocamente ai pu,~ti di F~, cosl i punti della V~ vengono riferiti biunivocamente alle sue trisecanti. Ma le trisecanti della F~ costituiscono il sistema ~ di rette comuni a tre (e quindi a una rete di) complessi lineari in S~ (*), dunque:

I p u n t i della V~ possono rappresevttarsi biunivooamente sul sistema ~ delle

rette comuni a tre compless{ linec~ri di uno spazio a quattro dimensioni.

17. ° Per approibndire ancora lo studio delle propriet'~ della V~, ram- mentiamo ehe in una F~ di S, con ~ coniche (come del resto si verifica subito o direttamente o ricorrendo alla rappresentazione della F~ mediante un sistema lineare oc' di coniche), il piano di una conica taglia ulteriormente la F~ in un punto, centro del fascio delle ~ ' trisecanti della superficie situate in quel piano, e che il luogo dei punti di contatto delle tangenti condotte ad una conica dal punto in cui il suo piano taglia uIteriormente la F~ ~ una curva de1 quart 'ordine C ~ razionale normale. Questa C ~ ~ anche il luogo dei punti della F~ per i quali le ~ triseeanti riduconsi a oc' tangenti-secanti e infine it piano tangente .alla F~-in un punto della 0 ~ 6 osculatore a questa ultima (**).

Le trisecanti di /~'~ che sono delle tangenti-secanti corrispondono, nel modo che si ~ detto precedentemente, ai punti della V~ da eui escono due, anzi che tre rette di A, e poich6 tall trisecanti si distribuiscono in ~ fasci col centri nei punti di C ~, cosi questi punti della V~ si distribuiranno sopra ec ~ rette costituenti una rigata (***), ta rigata + di A c h e corrisponde ai punti della linea C ~ di F~.

Se h ~ una generatrice di ~, da ogni punto di h esce una sola ulteriore

(,~) CASTELNUOVO, Ricerche di Geometria della tetra hello spazio a quattro dimensioni

(Atti del R. Ist. Veneto di scienze, letterc ed arti, serie VII, t. II), n. i 7, 8. (~) Cfr. SsGns, Stdle variet(t c~biehe, etc. (Memorie della R. Accad. delte Scienze di

Torino, t888) n. i 43 e 4~; od anche : BSRTINI, Introd,tzione edla. geom. proiettiva degli ipersl)azi

(Pisa, Spoerri, i907), pp. 3~7-8. ( ~ ) In generale i punti di una retta di A corrispondono alie trisecanti di E¢ del fascio

avente il centro in un sno punto. I punti d i appoggio di queste trisecanti sulta F~ fuori del centro del fascio stanno poi suUa conica che rappresenta la rigata 0 i avente quella retta per direttrice doppia.

230 S c o r z a : L e v a r l e t 4 c~ curve se z ion i elli t t iche.

retta di A, come dal corrispondente punto H di Ft (e C 4) escono soltanto detle tangenti-secanti di F~: e come da H esce u n a retta (la tangente alla conica situata nel piano ivi tangente alla F~, ossia la tangente a C ~) the ha un contatto tripunto in H con F~, cost vi ~ su h u r t punto dal quale n o n

escono ulteriori rette di A. Se diciamo ? la curva di • luogo dei punti di V~ da cui esce una sola

retta di A, per cercare l 'ordine di y converr~ osservare the le sezioni iper- plane di V~ corrispondono, nella rappresentazione dei punti di questa varieth sulle trisecanti di F~, alle congruenze staccate sulla variet~ delle trisecanti di F~ dai complessi tineari dell'S~ eui appartiene la F~.

InNtti una tale eongruenza ~ ad es. quella delle triseeanti useenti dai punti di una eoniea di /v~ ehe sono (si vede subito) tutte e sole le triseeanti della F~ appoggiate al piano della eoniea, e quindi appartenenti al eom- plesso lineare speeiale ehe ha un tal piano per asse, e, per quanto ~ stato (letto, alle rette di questa eongruenza torrispondono i punti di V~ situati sulle rette di una rigata 0~, ossia di una eerta sezione iperpiana di V~.

E allora poieh~ i punti di ~ eorrispondono alle tangenti di C 4, l'ordine di ,~ uguaglierh il numero delle tangenti di C ~ appartenenti a un eomplesso lineare, o, in partieolare, al numero delle tangenti di C ~ appoggiate a u n S, generieo dell 'S, the la eontiene. Tale numero g 6, dunque ~ ~ una sestiea razionale normale, pereh~ come le tangenti di C ~ non appartengono ad uno stesso eomplesso lineare, tosi ~ non 5 eontenuta in un S~.

Si osservi ehe per trovare i punti di eontatto delle 6 tangenti di C ~ ap- partenenti a un dato tomplesso lir~eare basta, per es., tostruire le eoinei- denze della eorrispondenza simmetriea (3, 3) ehe si ottiene sulla C ~ ehia- mando omologhi due punti X ed X' quando X ' sta nell'S~ the eontiene le rette del eomplesso useenti da X. Ne segue ehe se si eonsidera un eomplesso lineare il quale eontenga tutte le rette del faseio avente il eentro net punto H e situato nel piano ivi tangente ad F~, essendo questo piano oseulatore a C ~, due eoineidenze della torrispondenza (3, 3) in distorso eadono in H, poieh~ H coincide con due dei punti ad esso omologhi (*). Maalla eongruenza ehe un tal eomplesso lineare statea dalla variet~ delle triseeanti di F~ eorrisponde sulla V~ una sezione iperpiana passante per h, dunque un iperpiano ehe passi per h ha un eontatto bipunto con ~ nel punto ehe questa eurva ha a tomune con h, ossia h ~ tangente a ~ e ¢ ~ la rigata (sviluppabile) delle rette tangenti a ~.

(~) Vedi BERTINI, Introduzio~te, etc., pag. ~05.

S e o r z a : Le variet(e a curve sezioni ellittiche. 231

Di qui segue che ¢ ~ del 102 ordine e costituisce la completa interse- zione della V~ con la quadrica ,v rispetto alla quale ogni punto di ~ ha per iperpiano polare l ' iperpiano ia esso osculatore a %

182 Fra le trisecanti di F~ appoggiate a una sua conica generica due sole sono tangent i a C ~, poich~ se una tangente a di C ~ si appoggia atla co- nica considerata, tale tangente dovendo avere un contatto t r ipunto con F t in un punto appar tenente atla conica sarh una detle due rette tangenti a C ' net punt i ove essa tag!ia il piano della conica.

Che se pot la conica in discorso ~, per es., quella che sta nel piano tangente a F~ net punto H, allora l 'unica tangente di C ~ appoggiata ad essa

quella che tocca C ~ nel punto H. Si conclude che gli iperpiani contenenti le rigate 0~ che hanno per diret-

triei doppie le rette di A appoggiate ad h hanno tutte un contatto t r ipunto con ta curva ~ n e l punto che essa ha a comune con h, mentre la rigata 0, costituita dalle rette di h che escono dai punti di h ~ la sezione di V~ con l ' iperpiano osculatore a ~ in quel punto stesso.

Cib posto, sia d una retta qualunque della V~ e siano h e d i le due ge- neratrici di • appoggiate a d. Se H' ed I ' s o n o i punt i ore h e d i toccano ?, gli iperpiani osculatori a ~ in H ' ed I' passano per d, quindi gli iperpiani polari dei punt i d h e d i rispetto a ~ passano per H' ed I ' e, precisamente, il primo passerh semplicemente per I ' mentre avrtt con y un contatto 5-punto in H'(*) e il secondo passer~ semplicemente per H' mentre avr'~ con ~ un contatto 5-punto in I ' .

Ne segue che l ' involuzione I~ del 6. 0 ordiae e di l. a specie tagliata su dagli iperpiani polari dei punti d i d avr'~ per equazione sull 'ente razionale

s e i punt i fondamental i x, = 0 e x,~ --- 0 sono H ' ed I ' e quindi ogni gruppo della I~ sarh una sestiea ottaedrica, cio~ una sestica binaria costituita da tre

coppie separantisi a due a due armonicamente. Deduciamo di qui the: La V~ di S~ a~ curve sezioni ellittiche ~ il luogo dei pu~t i i eui iperpic~ni

polari rispetto a unce eurv(~ del 6 ° ordine razionale normcde ~ tagliano la curva

stessa in. una sesticct binc~ric~ ottaedrica,.

(~) Si ricordi che nella polarit~ individuata dalla curva y hello S 6 una retta tangente a ~ ha per S, polare l'S~ oscu]atore a y nel suo punto di contatto.

232 S v o r z a : L e vc~riet~ ct c u r v e s e z i o n i e l l i t t iche .

Le ~'~ eollineazioni ehe mutano in s~ la eurva ? mutano pure in s~ la V~ e vieeversa; quindi:

Lc~ V~ ammette ~,~n gruppo ~ di trasfor,mazioni omografiche in s& Questo gruppo si riflette hello S;~ rappresentativo in un gruppo ~ di

trastbrmazioni eremoniane ehe in una ricerea dei proff. ENIIIQUES e _P,~NO si prese~ltato come uno dei poehi tipi di gruppi imprimitivi irridueibili (per

trasformazioni eremoniane) a gruppi di Jo~Qur~t~Es generalizzati(*). 19. Abbiamo osservato ehe una rigata (1~ ha per immagine nell'S~ rap~

presentativo della V~ la rigata di 3.0 grado eostituita dalle eorde di K ap- poggiate a una sua eorda fissa. Fineh~ questa eorda g generiea la rigata di 3. 0 grado ad essa relativa ha in essa soltanto la direttriee doppia, ma se la corda eonsiderata b ~ immagine di una tetra di A appartenente a *, da ogni punto della eorda deve partite soltanto una eorda utteriore di K e deve esi- stere s u b un punto pel quale b sia l 'uniea eorda di K passante per esso; quindi b deve essere la tetra eongiungent, e i punti di eontatto di un piano bitangente a K e la rigata relativa a b deve risultare una rigata di CAYI~EY.

Ora * essendo situata sulla quadriea • ha in eomune quattro punti con (ogni eoniea e quindi con) la eoniea di eui si fa la proiezione, dunque l'im- magine di • ~ una rigata sviluppabile razional~ del 6. o grado.

Questo, poiehg ~ ehiaro ehe l ' immagine di q) g la sviluppabile bitangente a K, eollima eol fatto noto e h e l a sviluppabile bitangente di K ~ del 6.o or- dine e della $.a elasse. II suo spigolo di regresso ~ poi una sestiea gobba razionale C ~, proiezione della sestiea normale ?.

Come il gruppo delle trasformazioni proiettive della V~ in s~ g determi- nato dalla eurva ?, eosi il gruppo delle trasformazioni eremoniane ad esso eorrispondente nello spazio rappresentativo si pub eostruire partendo dalla sestiea C ~.

Si osservi dapprima the i punti in eui una retta d di ~k ineontra la ri- gata * hanno per immagini i due punti uniplanari della rigata gobba di 3. ° grado eontenente K e avente per direttriee doppia l ' immagine d' di d, ossia le intersezioni d i d ' con la sviluppabile bitangente di K non situate sulla

(*) F. ENRIQUES e G. FANo, Sui gruppi continui di trasformazioJ~i cremoniane dello spazio (Annali di Matematica, 1897), n. ° 26. In questo lavoro Ie e(luazioni delia V~ vengono seritte utilizzando la teoria delle forine binarie, ma alle stesse equazioni si arr iva anche tenendo conto del teorema da noi dimostrato c h e l a V~ pub rappresentars i sul la variet~t deiie rette eomuni a tre complessi l ineari di S 4.

Scorza: Le varietal a curve sezioni ellittiche. ~33

curva K. Le due tangenti di C ° passanti poi per questi punti vanno a toe- care C s nei punti immagini di quelli ehe ? ha sulte rette di q, tagliate da d.

La definizione di V~ assegnata nel numero preeedente dh allora it teorema: Se per un punto qualunque deUo spazio (ordinario) contenente K si con-

ducono le tre corde che vi passano, e poi si costruiscono sullo spigolo di re- gresso C s della sviIuppabile bitangente i punti di corttatto delle tangenti di C s

che si appoggiano a quelle corde fuori di K~ si ottengono sopra C s t re coppie di punti che si separano armonicamente due a due.

Allora le ~ trasformazioni cremoniane in discorso si ottengono stabi- lendo che per ogni trasformazione proiettiva della C ¢ in s~ stessa si dicano omologhi i due punti X ed X' dello spazio ehe d~nno luogo su C ° a due sestiche binarie ottaedriche corrispondenti nella data proiettivit~.

20. ° Passiamo ora alla considerazione della V~ di S~ a curve sezioni ellittiche rappresentata dalle superficie eubiche L passanti per tre rette a, , a~, as sghembe fra di loro a due a due. La quadrica Q the passa per a~, a~, a~

la quadrica fondamentale dello spazio rappresentativo che corrisponde ai punti di V~ infinitamente vicini alla cubica gobba C ~ di V~ da cui si fa la proiezione.

Si riconosce subito the la V~ ¢ontiene tre sistemi di rette ~'~ tall ehe per ogni punto delia V~ passa una retta per ogni sistema; tall rette hanno per immagini quelle delle tre eongruenze lineari aventi per direttrici (a,, a~), (a~, aJ , (a~, a,). Poi, siccome ogni supertieie cubica L passante per a~, a~, a~ contiene due rette appoggiate a due di queste t r e e non alla terza, cbsi qnei ire sistemi ~ di rette sono ciascuno della 2. ~ classe.

Un piano dello spazio rappresentativo t h e passi, per es., per a,, taglia le superfieie cubiehe L fuori di a, in eoniehe residue passanti per i punti ore esso ineontra le rette a~, a~: quindi ~ immagine di una quadriea V~ di V~. Risulta eosl c h e l a V~ contiene tre fasei di quadriche corrispondentemente a i t r e fasci di piani a , , a~, a~.

Le quadriche passanti, per es., per a , , a~, poieh~ con ogni piano passante per a~ costituiscono una superficie L, rappresenteranno le sezioni residue delia. V~ con gli iperpiani passanti per le quadriehe del fascio corrispondente a quello dei piani per as; quindi si avranno sopra V~ tre sistemi oc ~ di V~ razionali normali (rigate). Ognuno di questi sistemi ~ residuo di uno dei tre precedenti fasci di quadriehe rispetto a quello delle sezioni iperpiane.

Le rette dei tre sistemi di V~ uscenti dai punti della C ~ da eui si fa la proiezione eostituiseono tre rigate distinte razionali normali appartenenti ai

234 S c o r z a : Le variet~t a curve sezioni ellittiche.

ire sistemi ora considerati; ma ai punti di una generatrice di una di esse non corrisponde hello spazio rappresentativo che un unico punto di una delle tre rette al, a~, as.

Per fissare le idee chiamiamo A,, A.~, As i tre sistemi di retie di V~ rap- presentati dalle congruenze lineari (a~, a~), (a~, al), (al, a~); %, %, % i tre fasci di quadriche rappresentate dai piani per al, a~, as e infine q~l, ~'~, *~ i ire sistemi liueari ~ di V~ corrispondente alle rigate quadriche contenute helle congruenze (a~, as), (as, a 0, (al, a~) rispettivamente.

Allora si vede subito che le rigate q~, sono formate con le rette del si- sterna A,, mentre le due schiere di retie di una quadrica , , appartengono l 'uuo al sistema h,,, l 'altra al sistema A~, se i, h, k costituiscono una per- mutazione qualsiasi dei numeri 1, 2, 3.

Una quadriea ~, e una rigata ~ prese insieme costituiscono una sezione iperpiana di V~ e si tagliano lungo una conica (le ~ ' coniche direttrici di una ~, sono appuntd tagliate su questa dalle quadriche del fascio ~,).

Due quadriche dello stesso fascio non hanno punti comuni; invece due quadriche di fasci differenti si tagliano secondo una retta e tre quadriche appartenenti ai tre fasci hanno un sol puato comune. Due quadriche ~, sono punteggiate proiettivamente dalie retie 4el sistema A,; etc., etc.

217 DaUe osservazioni fatte si deduce una facile eostruzione proiettiva della V~ che stiamo studiando.

Prendiamo infatti in un S~ due S 8 indipendeuti ~', :~" e riferiamoli col- linearmente. 1~] chiaro che le retie congiungenti i punti omologhi formano una V~ razionale normMe contenente ~x) ~ S~ (di cui due sono appunto a' e ~") e ~ retie: gli S~ tagiiaao sulle ~'~ retie ~~ punteggiate proiettive e le rette punteggiano collinearmente gli ~ ' S~. Allora segue subito che, se entro :( e ~" si considerauo due quadriche omologhe ~'1 e ~)"~, le retie che ne con- giungono i punti omologhi si appoggiano ad ~ ' Mire quadriche ¢ ' ~ . . . e formano uu sistema A~ di un~ VL

Gli altri sistemi di rette della V~ souo costituiti dalle rette dei due si- stemi di schiere delle ~'~, ~",, (P", . . . etc.

I tre fasci di quadriche apparteuenti alle V~ permettono di determinate facilmente le trasformazioni proiettive in s~ delia V~. 1~ chiaro, infatti, che una omografia la quale muti in s~ la V~ muta in s~ o scambia fra di loro, proiettivamente, i tre fasci di quadriche; e d'altra parte se si stabiliscono, per es., delle proiettivit~ nei singoli fasci di quadriche (p,, %, % verr~ sta- bilita fra i punti della V~ una corrispondenza biunivoca, quando si supponga

S c o r z a : Le varietd a curve sezioni ellittiche. ~35

che siano omologhi due punti che si trovino su quadriche omologhe dei fasci. Tale corrispondenza biunivoca ~ poi una proiettivifft perch~ muta la sezione iperpiana formata da tre quadriche prese una per fascio in una analoga se- zione iperpiana, quindi:

La V~ di $7 che stiamo esamina~do ammette ~ omografie (costituenti gruppo) che mutano in s& ciaseuno dei tre fasci di quadriche; tre sistemi ~

di omografie ehe mutano in s~ le quadriche di un fascio ma scambiano fra di loro quelle degli altri due, e infine un altro sistema o¢) ~ di omografie che scambiano fra di loro i tre fa, sci di quadriche.

22.o Non ci fermiamo pifl minutamente sullo studio di questa V~ poich~ come ~ chiaro esso ~ estremamente semplice. Osserveremo soltanto che essa pub assumersi come la variet~ di S~ rappresentante, nel modo che fu indi- cato dal prof. SEGRE (*), la variet~ delle terne di punti di tre rette; quindi una sua sezione iperpiana, cio~ una F~ di S~ razionale normale pub riguar- darsi come rappresentante la varlet& delle terne di punti omologhi in tre punteggiate in corrispondenza trilineare; allora lo studio della F~ diventa quello della variet~ di queste terne e viceversa.

in particolare si osservi come il fatto che un iperpiano il quale passi per cinque punti della V~ la taglia in un sesto individuato dai precedenti diventa il teorema noto (**):

Date su tre rette a, b, e cinque terne di punt i omologhi vi sono ~" corri- spondenze trilineari che le eoutengo~w e le corrispondenze stesse hanno i~} co- mune una sesta terna individuata da quelle.

23. ° Pifi interessanti risultano le V~ di S~ rappresentate nello spazio ordinario dalle superlicie cubiche per una cubica gobba e con un punto doppio in uu punto di questa o dalle superficie cubiche per una cubica piana nodale con un punto biplanare nel nodo della cubica e in esso un piano osculatore fisso.

Cosi ho dimostrato in una Nora gi~ citata che esse sono insieme con la V~ di ~2. ~ specie e le sue proiezioni sopra un S~ o un S~ alcune delle poche V, di S,.(r ~ 7 ) a S~ tangenti mutuamente secantisi. Qui piuttosto che ripro- durre quel ragionamento preferisco notarne qualche altra propriet'~.

(~) SEGRE, Sulle variet~ che rappresentano le coppie di pu~ti di due p iaui o spazi (Rendi- conti del Circolo Natematico di Palermo, V, 1891).

(¢~¢¢) CASTELNUOVO, S~UdiO 8ul~ omografia di secouda specie (Atti del R. Ist. Veneto di scienze, lettere ed arti, t. V, serie VI), n. ° ~8.

Annali di Matematica, Serie III, Tomo XV, 31

236 S c o r z a : Le variet~ a curve sez4oni eIlittiche.

~&o Consideriamo in primo luogo la V~ rappresentata dalle superficie

eubiche L che passano per una cubica gobba K e hanno in un suo punto 0

un punto doppio. Tale V~ contiene due sistemi cx9 di rette: l 'uno, che diremo A, ~ rap-

presentato dalle rette della stella 0, l'altro che diremo ~I, dalle eorde della

eubica K. Per ogni punto di V~ passa una retta di A e una retta di ~1, in- vece in ogni iperpiano vi sono tre rette di A e tre rette di r,L

I piani dello spazio rappresentativo ehe passano per 0 e le quadriche che

contengono K rappresentano due reti di rigate cubiehe normali di V~, mu- tuamente residue rispetto al sistema lineare delle sezioni iperpiane. Le diret- trici delle rigate cubiche corrispondenti ai piani per 0, cio~ deUe rigate for- mate con rette di A appartengono al sistema ~l e cosi le direttrici delle ri- gate riempite da rette di M appartengono a A(*).

Due rigate appaFtenenti a u n a medesima rete si tagliano in una retta

che ~ una loro generatriee eomune; invece due rigate appartenenti a reti diverse si tagliano in una conica rappresentata dalla conica intersezione di

una quadrica per K con un piano per 0.

Pub dirsi pertanto: Date d~te rette della V~ appartenenti a uuo ~.tesso sistema esiste sempre

una ed una sola retta dell'nitro che si appoggia ad entra,mbe.

25. 0 Alla V~ appartengono anche oc ~ coniche e per due suoi punti ge-

nerici ne passa una ed una sola. Esse sono rappresentate dalle ~ coniche dello spazio rappresentativo che passano per 0 e si appog~iano in due punti ulteriori a K, e come ognuna di queste sta sopra una quadrica per K e un piano per 0, cosl ognuna delle coniche di V~ sta sopra due rigate cubiche normali, formate l 'una dalle rette di A che escono dai suoi p u n t i e l'altra

dalle rette di M che escono dai punti medesimi. 26. ° Un iperpiano che contenga una rigata d i u n a rete taglia V~ in

uaa rigata dell'altra rete e quindi tocca V~ in tutti i punti della conica se- condo eui le due rigate si tagliano. Viceversa, un iperpiano che sia costretto a toccare V~ in due punti tagtia la V:~ ia una superticie rappresentata da

(~) La cosa si vede subito nell'S', rappresentativo. Cosi un piano per 0 taglia K in due punti uiteriori A e B e le superficie L in un sistema lineare ~4 di eubiche per 0, A, B con un punto doppio in 0. Queste rappresentano adunqne le sezioni iperpiane diuna V~ razio- nale normale, la cui direttrice ha per immagine A B e AB ~ appunto una corda dl K. Se si considera una quadrica per K, la direttrice della V~ corrispondente 6 l' tmisecaate di K che appartiene alia quadrica ed esee dai punto 0.

Scorza: Le varieti~ a curve 8ezioni ellittiche. ~37

una superficie eubica per K, con un punto doppio in O e due attri punt i doppi A e B, cio~ da una superficie spezzata nel piano 0 A B e nella qua- drica che passa per K ed A, B; dunque :

Se un iperpiano tocca V~ in piit di urt punto la tocca in ~ ' e precisa-

mente in tutti i punti di una conica. Viceversa la V~ ~ toccata Iungo ogni sun conica da un iperpiano.

27. ° Siano a, , a~, a~ tre rette qualunque di A e ~ , %, % le tre ri- gate cubiche normali che contengono (come generatrici) a~, a~; a~, a~; a, , a~ rispettivamente. Se dieiamo z,, :~, ~ gli S, che le eontengono, si pub fissare nell'S~ una corrispondenza fra gli S~ passanti per :~, ~ , :~, chiamando omo- loghi tre S~ the congiungono questi t r e spazi t on una stessa retta di M (*).

Se si conduce per ~ un iperpiano ~,, esso taglia V~ in una rigata resi- dua ~, di rette di M the insieme con ~ e % d~ l ' interseaione completa di V~ con altri due iperpiani % e %, dunque agli S~ per ~, che proiet tano le rette di ¢'~ e formano un fascio nell' iperpiano :q corr ispondono helle stelle ,2~ e :~s gli S~ the proiet tano le rette di ~'~ e formano dei fasci negti iperpiani :¢~ e ~ ; ossia le tre stelle ~ , z~, e ~ sono riferite omograficamente.

Ne deduciamo, dopo una facile inversione del ragionamento ora fa, tto: Se in un S~ si riferisco~w proiettivamente gli S~ passanti per tre S~ ge-

nerici, le ~ rette secondo cui si intersecano le terne di S~ omologhi riempiono

una V ] a curve sezioni ellittiche. Essa contiene un secondo sistema di ~2 retie che ~ ge~,erabile hello stesso modo, e anzi i ire S~, centri di tre stelle proiettive generanti la V2, sono gli spazi che contengono tre rigate cubiche normali qua-

lunque di una delle due reti di tall rigate che possono formarsi con le rette dei due detti sistemi.

Poich~ una F~ razionale normale di S~, rappresentata su un piano dal sistema ~ ° di t ub i the the passano per tre punti, pub sempre pensarsi come una sezione iperpiana della V~, tosi segue senz'altro da questo teorema la generazione proiettiva della F~ che fu indicata dal prof. BORDIGA (**).

0~8. ° Una tubica gobba incontra tompless ivamente in tre punt i due rigate tubiche (di reti diverse) costituenti insieme una sezione iperpiana: quindi, per un noto ragionamento, ineontra in un punto t iascuna rigata di una rete e in due punt i ciascuna rigata dall 'altra fete.

(~) Notisi che ogni retta di M si appoggia in un punto auna rigata cubica costituita da rette di h.

(~) BORDI(~A, Di alcune superficie, etc. (Atti Ist. Veneto, t. IV, serie 6. a, 1886).

o~38 Scorzc~: Le varietd~ c~ curve sezioni ellittiche.

Segue che, se si prendono due punti delia cubica e si conduce per essi la rigata della I. a fete che li contiene, tale rigata contiene la cubica per intero.

Adunque: SuUa V~ si hanno due sistemi ~ ' di cubiche gobbe. Essi sono costituiti

dcdle cubiche gobbe sib~de rispettivame~te sulle rigate cubiche normali formate

con le rette di A e ~1. Le cubiehe situa.te sulte rigate di £ sono rappresentcde

dcdle cubiche p iane che hanrto in 0 u~t nodo e bisecano altrove la cubica K;

quelle dell'altro sono rappresentate dalle cubiche gobbe che passct~m per 0 e

quadrisecano altrove la cubica K. Tra le pr ime si trovano pertanto le cubiche

gobbe che hanno per immagin i le ret'te dello spazio rappresentativo.

29. ° Dai punti di una eubica gobba situata sopra la V] eseono due serie ~ di rette: uua ~ la serie detle generatrici di una V~ normale, ma l 'al tra non pub essere c h e l a serie delle generatriei di una rigata d'ordine pifi elevato.

Per trovare quest 'ordiue supponiamo the la cubiea di eui si tratta si trovi sopra una rigata' cubiea della fete costruita con rette di A e, per faci- litare aneora pit~ la ricerea, supponiamo, come ~ possibile, che essa abbia per immagine una retta r dello spazio rappresentativo. Allora la rigata delle rette di ~J uscenti dai punti della cubica ha per immagine la rigata delle corde di K uscenti dai punti di r, e questa ~ dell'ordine 4, ha in K una di- rettrice doppia e in r una direttrice sempiiee.

D'altra parte, due superfieie cubiehe L si tagliano oltre che in K i n una se- stica residua con un punto triplo in 0 e appoggiata in attri sei punti a K, quindi questa sestica taglia la rigata quartica precedente in ~ X 6 - - 3 X 2 - - 6 X 2 = 6 punti fuori di K e la rigata di cui questa ~ immagine 5 dell 'ordine 6.

In particolare detle due rigate formate dalle rette di A e M uscenti dai punti della cubica da eui si fa la proiezione della V~ sullo spazio rappresen- tativo, la seconda, ehe ~ una V~, ha per immagine it solo punto 0, la prima, che ~ una V~, ha per immagine la curva K, ogni sua generatrice proiettan- dosi in un punto di K. Questo dimostra c h e l a V~ appartiene all'S~ (altri- menti- K sarebbe una cubica piana) ed ~ una V~ razionale normale con ~ direttrici minime d'ordine 3.

Riassumendo abbiamo : Le rette di V~ useenli dai punt i di una sua cubica gobba coslituiscono

due rigate razionali normali. Una ~ unc~ V~ e l 'altra ~ unct V~ con o¢) ~ di-

rettrici min ime d 'ordine 3; quest' u l t ima ~ incontrata in due pun t i dc~ ogni

retta del sistema A se ~ costituitc~ da retie di ~I, e viceversa.

S c o r za : Le variet~ a curve sezioni ellittiehe. 239

Tenendo presente ancora la cubica gobba da cui si fa la proiezione si r~cava inoltre che:

La V~, contata due volte, e la V~ formate dalle retle di V~ uscenti dai punt i d i u n a sun cubica costituiseono la complela intersezione della V~ col cono qua- drico (cinque volte specializzato) proiettanle dallo spazio della eubica gli spazi tangenti alla V~ nei punt i della cubica stessa.

30. ° Una rappresentazione della V~, di cui stiamo occupandoci, sopra un S~ pub ottenersi anche in un altro modo, utilizzando la proprieth che essa coutiene c~ ~ coniche di cui ne passa una per ogni coppia di punti generici della V~; propriefft che, sotto certe restrizioni, ~ conseguenza del- l 'altra, di cui pure essa ~ dotata, che g[i $3 ad essa tangenti in due punti generici A e B si incontrano in un punto.

Consideriamo infatti un punto A della V~ e I'S~, :¢, c h e l a tocca in questo punto: allora la V~ ~ rappresentata biunivocamente su ~. quando si faccia corr~spoudere al puuto X di V~, il punto X' di :¢ ove la tangente in X alla conica di V~ che passa per A e per X taglia la retta tangente alia conica stessa nel punto A. Infatti per ogni coppia di punti di V~ passa una sola sua conica e quindi in particolare per ogni retta di :~ uscente da A vi ~ una sola conica di V~ che ie risulti tangente in A.

3l. ° Per esaminare brevemente le proprieth della rappresentazione cosl ottenuta (*) chiamiamo l~, ed m. le rette di A e ~, r ispettivamente, uscenti dal punto A, e cerchiamo l ' immagine di una retta generica 1 (o m) di A. (o ~).

Per le due rette 1. ed 1 di /k passa una rigata cubica V~ di rette dello stesso sistema avente per direttrice una retta m di M appoggiata ad l,, nel punto D, per conseguenza i punti di ~ corrispondenti ai punti di V~ situati su tale V~ si potranno considerare come ottenuti tagliando il piano m 1. col piani tangenti alla V~ nei suoi singoli punti.

Ma con ta le costruzione (**) le generatrici di V~ vengono ad avere come

(+) Una considerazione analoga a quella del testo d~t subito una costruzione della nora rappresentazione della superficie di VERONESE mediante il sistema di tutte le coniche di ua piano (e pill in generale, di ogni varietal di Veronese mediante il sistema delle quadriche di m~ S,). Se infatti, preso an punto A delia superiicie di V~.R0~ESE e il piano ~ ad essa tan- geute in A, si fa corrispondere ad ogni altro punto X della superficie il punto X' d i a che il polo della retta A X rispetto atla conica delia superficie che passa per A e per X, si vede c h e l a corrispondenza fra X e X ' ~ biunivoca senza eccezioni e che le sezioni iperpiane della superficie sono rappresentate dalle coniche di ~.

(++) Se la costruzione indicata nella nota precedente si applica a uaa V~ di S~ la conclu- sione a cui si perviene ~ del tutto aualoga. Se infatti (tenute le notazioni precedenti), D 5

~ 0 S c o r z a : Le varietd a curve sezioni ellittiehe.

i m m a g i n i le r e t i e del p i a n o m l° u s c e n t i da D e le sez ion i i p e r p i a n e de l la V~

vengono ad avere per immagini le coniche d i m I. passant[ per 19, dunque: Nella indicata rappresentazione della V~ sullo spazio ~, le relte di A ven-

gono rappresentate da rette appoggiate ad l~,, le rette di M da retle appogffiate ad m,,. Le rette di A (di ~!) costituenti una V~ passante per I. hanno per im-

magini le rette di un faseio a vente il eenlro su 1. (s~t m.) e situato in un piano per l,, (per m.) e alloreh~ la V~ deserive il fasoio delle rigate di A (di ~J) con- tenenti 1,, On,,) il centro e i l piano del fascio di rette ora nominato deserivono su l.(m,,) e intorno ad l,, One,) due forme proiettive. Per eonseguenza le rette di A e M hanno per immagini in ~ le retie di due congruenze lineari speciali

aventi per assi 1. em, , . P e r b rev i th i n d i c h e r e m o nel s egu i to q u e s t e d u e c o n g r u e n z e col s i m b o l i

[/,,1 ed [m,,].

32. ° C o n s i d e r i ~ m o o r a u n a V~ di A che n o n c o n t e n g a la r e t t a 1. e che

a b b i a p e r d i r e t t r i ce la r e t t a m, di ~. Le i m m a g i n i delle sue g e n e r a t r i c i sa-

r a m m le r e t t e de l la c o n g r u e n z a [l.] a p p o g g i a t e a l la t e t r a m' , di [m,] che cor-

r i s p o n d e ad m , , cio~ le r e t t e d ' u n a r i g a t a q u a d r i c a p a s s a n t e p e r m,,, d u n q u e :

Le due reti di V~ della V~ sono rappresentate in ~ dalle d~te reti di qua-

driche contenute helle congruenze lineari speeiali ]/.] ed [m,,] e passanti per m,,

la traccia delia direttriee d sul piano a (per modo che A D ~ la generatriee contenuta in a) i piani tangenti alla V~ nei punti di una generatriee l, formando un fascio di asse I in un S~ passante per d, hanno per tracce su ~ i punti dl una retLa ~' passante per D, ed ~' sar~ l'imraagine di 1 nella rappresentazione eseguita. Allora una sezione iperpiana qnalunque ineontrando ogni geueratriee in un punto e ogni eonica della V~ passante per A in due punti, avfft per immaglne la curva generata da[ fasci A e D di ~ riferiti in corrispondenza (1, 2) col raggio unito AD; ma questa ~ una coniea per it punto D, dunque le immagini delle sezioni iperpiane sono le ~4 coniehe ~ per it punt() D.

utile scriver le formule della eorrispondenza biunivoca cosi stabilita fra i punti della V~ e quelli del piano ~ ad essa taugente in A.

Fissando opportuuamente i vertici 0l~,3a della piramide fondamentale si pub fare in modo che' le coordinate del punto generieo della V~ siauo date, al variare dei parametri ~ e ~, dalle formule:

x 0 ~ l , xl-~-~, x , ~ l , xa~/z , x 4 ~ / ~ ;

allora il piano i24 risulta tangente alle V~ nel punto 2, e la retta 34 6 la direttriee, cosicch5 possiamo supporre A = 2, a _= 154 e D ---- 4. Le quadriche:

Xo x~ - - x~ = 0 (t) e Xo x~ - - x~ xa - 0 (~)

contengono la V~, quindi il piano ~ tangente alla V~ nel punto Y-~ y,- sar£ rappresentato

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche. ~ 1

od 1,~ rispeltivamente, quindi le oc' coniche della V~ sono rappresentate daUe cx~'

coniche appoggiale ad l~, ed m, seeondo cui si tagliano a due a due le qua- driche di queste due reti.

Due V~ qualsiansi della V~ appartenenti a reti diverse d~nno, prese in- sieme, una sezione iperpiana e le loro immagini costituiscono complessiva- mente una superficie del quart'ordine, quindi:

Le sezioni iperpiane della V~ hanno per immagit~i in ~. un sistema li-

neare o¢ ~ di superficie N del quart' ordine. Una qualuuque superiicie N, essendo immagine d iuna sezione iperpiana,

seca un piano r. che passi per l~, (od m,~), oltre che nella retta l,~ (om,), in una conica residua immagine della linen comune al considerato iperpiano e alla V~ rappresentata da =; e d'attra parle le rette della congruenza [l~] (od [m,]) non incontrano la superficie N fuori di l,o (odm,,) che in un sol punto ulteriore, dunque:

Le superfieie N hanno tutte in l~. ed m,~ due rette doppie ed in A u~ punto doppio unipla~are col piano osculatore fisso l, m, . Inoltre in ogni punto di l~

dalle equazioni degli iperpiani tangenti in Y alle quadriche ([) e (2), ossia da l le :

y ~ X o - - 2 Y l x I T YoX~--O, y 4 x o - - y s x l + y o x ~ O .

Le coordinate del punto ore ~ taglia ~. sono al lora:

x o = O , x l = y o , x ~ = 2 y l , x s = 0 , x 4 = y s ,

e di qai, tenendo auche conto delle (l) e (2), si ricavano le formule della rappresentazione:

~yo :=4x~ ; ~ y l = 2 x l x ~ ; ~y2---x~; ~ y s ~ 4 X l x 4 ; v y 4 = x 2 x 4 .

Queste dimostrano che al la sezione di V~ ottenuta col l ' iperp iano:

% Yo -t- ~1 Yl + % Y~ + % Y8 + ~ Y4 = 0

corrisponde nel piano a la conica:

conica che tagiia la ret ta 2!~ ~ A D nel punto 4 -- D e nei punto C la cui coordinata xA sopra xa

la re t ta A D ~ da ta da ~ a4 . La coordinata iavece dei punto [ in eui la re t ta A D ~ ta- %

gi iata da l l ' iperp iano ~ ~ data da - - ~-~-, quindi le coppie A I e CD si separano armonica-

mente; cio~ si ha il teorema : L'ulteriore punto d'iutersezio~e della tetra A D colta couica passante per D e ~'appresentante

nel modo che si d detto la sezio~e della V~ con u~ iperpiano ~ ~ il coniugato armouico di D

rispetto ad A e al p~tnto d'incontro di ~ co~ la ~'etta A D.

S c o r z a : Le varleti~ a curve sezio~d ellittiche.

(odm, ) uno dei p ia ni osculatori ~ costituito dal piano che contiene le retle di [/,,] (od [m,,]) uscenti dal punto.

Una sezione iperpiana della V~ si pub considerate come il luogo delle oc ~ cubiche gobbe segaate su di essa dalle ~ ' V~ formate con le rette di A (di ~,~) che passauo per 1,~ (m,~), quindi la corrispondente imatagine N ~ il luogo di oc ~ coniche situate in piani passanti per l,, (od ,m,,) e secanti 1,, ( o d m , ) nelle coppie di una. involuzione quadratica aveute per punti doppi il punto A e l ' intersezione di l~ (m,~) col considerato iperpiano.

33. ° Se diciamo ~ lo spazio su cui ta V~ ~ rappresentata mediaate il sistema delle superiicie cubiehe L passanti per la cubica gobba K e aventi un punto doppio in un suo punto 0, tra lo spazio ,8 e lo spazio ~. dei n) 30, 3t e 32 viene stabilita mediante la V~ una corrispondenza cremoniana, quando si dieano omologhi due punti di ~ ed :~ che rappresentano uno stesso punto

della V~. Poich~ i piani d~ ~ insieme col eono quadrico projettante K d a 0 costi-

tuiscono delte superiicie cubiche L, anzi le superficie cubiche L che rap- presentano le sezioni della V~ con gli iperpiani passanti per una sun certa cubica gobba C a, cosi ad essi corrisponderanno in q. le superficie N di un sistema lineare oc ~ passanti per l ' immagine di & in ~.. Tale immagine poi es sendo l'ulteriore intersezione, fuori di l~, ed ~n~, di una superticie N con una quadrica della congruenza [m~,] passante per m~,, ~ ancora una cubiea gobba.

D'altra parte anche in ~ un piano variabile insieme col piano l~,m¢, con- tato tre volte costituisce una superficie N, dunque ai piani di ~ corrisponde in ~ un sistema lineare oc ~ di superficie cubiche L e si conclude che la trasformazione cremoniana di ~ in ~ ~ in un senso del &o ordine e hel-

l 'nitro del 3. °. Ora ~ interessante cercare le formule di unit corrispondenza cremoniana

atta a trasformare il sistema di superficie quartiche N in un sistema di superfieie cubiche del tipo L, perch~ cosi troveremo incidentalmente una nuova proprietor delle superticie N.

3-~. ° Per questo, cominciamo dallo stabilire in ~ un sistema di coor- dinate prendendo il punto 1,~m,~ come vertice i della piramide fondamen- tale, un punto qualunque di l,o come vertice 2, un punto qualunque di m,, come vertice 3, il piano che contiene le rette di[l,,] uscenti da 2 come piano 12~, il piano che contiene le rette di [m,.] useenti da 3 come piano 13~, e iniine seegliamo il punto ~ (sulla retta intersezione di questi due piani) e il pnnto unitg /_7, in modo che il piano 12 U sin quello che contiene le rette di [l,,] uscenti dal punto ore 12 taglia il piano 3~ U.

S c o r z a : Le var ie t~ a curve sez ioM ellittiche.

Allora, se ind ich iamo con % e ?~ delle forme di 3 .°e 4. ° ordine nelle tre variabil i x~, x3, x~, l ' equazione di u n a superi icie N sar~t in tan to del t ipo:

a x, ~ x~ + ~ x~ -[- ?~ = 0

poich~ il p u n t o 1 ~ per essa un p u n to doppio un ip lana re col p iano oscula tore in 123; e poich~ essa deve anche avere in 12 e 13 delte rette doppie man-

2 3 2 2 che ranno in ,% i te rmini in x~, x~x~, x=x , , x , , x ~ x , , x ~ x , e in ~, i t e rmin i x ~ x , cio~ l ' eqhazione sadt del t ipo: in x~, x~x~, x i x ~ , x~, x ~ x . ,

ax~x~° ° --~-(bx,-t-cx~x~+dx~x~--i-exox3x~)x~-]-fxl-i-g'~ o x~x~ + ~ (1) • 2 2 g~2~_1_ . ~ O .

Ora si osservi c h e l a proiett ivit i t s tabi l i ta dalla congruenza [l~,] fra i pun t i e i piani di l,~ per le ipotesi fatte sulla p i ramide fondamenta le , ~ rappresen- ta ta ana l i t i camente ser ivendo che al pun to r appresen ta to sopra 12 dal l 'e- quaz ione

x~ - - k x2 = 0

cor r i sponde nel fascio 12 il p iano di e q u a z i o n e :

qu indi se s i eerea la eoniea, res idua in tersezione di N con ques to p iano e poi si eereano le coord ina te dei clue pun t i ove essa taglia la ret ta 12, le coor-

d inate di uno di quest i debbono essere --x' _= ;~, x~ = x, := O. ~2

P o n e n d o nel la (1) x~ -----;~ x , , d iv idendo per xl e poi faeendo x~ = 0, resta :

a x~ -+- (c -+- e ~) x~ x~ -+- (i iF" -~- l X + j ) x~ ----- 0 (2)

pe r t an to la (2 )deve r imanere soddisfat ta , q u a l u n q u e sia X, p o n e n d o x-!~ = X ;

cio5 deve essere

a - ~ - e + i = O ; c + / = O ; / - = 0 . (3)

i )opo eib la (2) si pub scr ivere :

[ a - (i x - e) x d [x , - x x d = o

e i due punt i che sulla ret ta 12 h a n n o per coord ina te x~ i ;~ - - c w,

d ebbono eorr i sponders i in u n a involuzione quadra t ica avente un p u n t o

Annali di Matematica, Serie III, Tomo KV. 3~

S c o r z a : Le varietg a curve sezioni ellittiche.

doppio in 1, dunque :

a + i = 0 (~)

e, eombinando con la prima delle (3),

= o. (5)

Infine, osserviamo e h e l a proiettivit'~ stabilita daila eongruenza [m~,] fra i punti e i piani di m~,, ~ rappresen ta ta anal i t ieamente da una relazione del tipo :

f r a i l pa ramet ro ?. del punto

a~ 1 - - ,u. X ~ - -~ 0

della ret ta 13 e it pa ramet ro ), del piano corr ispondente

a~ 2 - - ). tv~ ~--- 0 ,

v essendo una oppor tuna eostante, poiehg per le ipotesi fatte ai valori 0 e oc

di ~. eorr ispondono i valori 0 e ~ di ),. Allora, se nella I) poniamo x.~ = X x, e dopo aver diviso per x~ faeeiamo

x, = 0, rester~t, tenuto eonto delle 3), ~) e 5):

a x'~ + d x~ x~ - - (a V - - m ~ - - k) x] = 0

e questa equazione deve esser soddisfatta, qua lunque sia ),, da x l = v ),. Cib 9gs

porta ehe deve essere ident ieamente :

a (v ~ - - 1) v ÷ (d v + " 0 X + k --- 0

ossia a ( v ~ - 1 ) ~ 0 , d r + r e = O , k-~O. (6)

Ma a non pub essere zero, perchg al tr imenti il piano l,~ m, si s taccherebbe dalla, superiicie iV, dunque deve essere:

e per eonseguenza :

35. ° Facciamo vedere, sere v -= -F 1.

v - - _+ l (7)

pr ima di procedere innanzi, ehe non pub es-

S c o r z a : L e var ie t~ a curve sez ioni eIlittiche. 2~5

Per questo osserviamo che l 'equazione di una quadrica di [l~] passante per too, cio~ rappresentante una V] della V~, ~ del tipo:

e quindi il piano:

la taglia fuori di m,~ nella retta ove ~ tagliato dal piano:

Ora, se si volesse trovare il valore di ;~ per il quale accade che questo ultimo piano passa per il punto corrispondente sulla 13 al piano

avendosi per tale punto (aell'ipotesi v = 1) x~ =)~, si arriverebbe per X al- ~3

t 'equazione: ~:~ ÷ ( ~ , - - ~ ~) = 0,

cio~, non potendo essere ~, = 0 per la genericit& della quadrica considerata, si troverebbe sempre la soluzione ~, = ~ .

Tale conseguenza ~ per quanto ~ stato detto nei n. * preeedenti assurda, poich~ la quadrica generica di [l.] contenente m,, deve avere una delle sue direttrici in una retta gener ica di Iraqi, dunque non pub essere, nel easo nostro,

v-----i- I

e si conclude che v = - - l , d = -~- m,

ossia the l 'equazione d'una superficie N ~ del tipo:

2 2 2 2 3 3 x~ x~ ÷ (b ~ - ÷ c x~ x~ ~- d x~ x~) x, ÷ fx~ ÷ g x~ x~ ÷ h x~ x~ - - a ~ x~ - -

In questa equazione compaiono omogeneamente otto parametri lineari, quindi essa ~ appunto l'equazione del sistema lineare ~ di superficie N.

36. 0 Nell'ipotesi v = 1, la quadrica

qualunque siano ~ e 13, ~ tale che rispetto ad essa ogni punto di 1. (od too)

~24~6 S c o r z a : Le variet(~ a c~trve sezioni eUittiche.

ha per piano polare ( tangente)i l piano che ad esso corrisponde nel fascio l~ (od m~,), in virtfi della congruenza [/,,] (od [m,,]), quindi la reciprocith che resta determinata fra i punti del piano l,, m,, e i piani delia stella avente per centro il punto l~, m~, dalle topple di forme proiettive ora nominate ~ eontenuta in una (anzi in ~ ' ) polarit'a dello spazio ~.

Invece, nell'ipotesi v------ 1, la reciprocit'a determinata fra il piano lo m~, (nel quale le coordinate sono Xl, x~, x~) e t a stella l.m~, (nelta quale le coordinate di piano sono {~,, .,,~ {~) dalle punteggiate e dai fasci projettivi l., m,, ~ rappresentata dalle formule:

e quindi ~ contenuta in un sistema nullo delto spazio :~. Ora Ie ipotesi v = ~ 1 sono le sole compatibili con l'altra a ~I= O, quando

debba essere :

--1) =0,

pertanto ricaviamo incidentalmente il teorema: Date in uno spazio (ordinario) due congruenze lineari speciali con le di-

rettriei a e b uscenti da un punto 0 e contenenti entrambe il fascio determinato

da a e b, non esistono, in generale, superficie (irriducibili) del quart 'ordine

con due rette doppie in a e b, che abbiano su queste un contatto tripunto con

ogni retta delle due congruenze e che siano tagliate dai p i a n i per a e b in

coniche appoggiate a queste rette helle coppie di una involuzione quadratica

con u n punto doppio in O. Fanno eceezione soltanto i casi in cui le due con-

gruenze appartengono al complesso delle rette tangenti a una quadrica, 019-

pure a u n eomplesso lineare, nei quali ne esistono infinite (cxJ) aventi in 0 u n

punto doppio un ip lanare col p iano osculatore a b.

in particolare deduciamo di qui che le due congruenze lineari speciali [l~,] ed [m.] appartengono a uno stesso complesso lineare.

37. o La quadrica, delia rete 9), rappresentata dall 'equazione:

~ 4 X 1 - - ~ - - - 0

contiene la retta xl ~ 0 x.~ ~- 0

delia congruenza [m.], e un piano variabile intorno a questa retta:

xl -- IJ- x.~ ~ 0

Scorza: Le variet~ a curve sezioni etlittiche. 2~7

taglia ulteriormente la quadrica nella retta:

~ - - ~. x~ = 0 "x~ - - ~. x~ = O. (lO)

0ra consideriamo la superiicie N rappresentata dall 'equazione:

ao x]x~ ÷ (boxi ÷cox~x~ ÷ dox~xa)x~ ÷ go ~c,x~ ÷ hox~X~--aox:x~--cox~x~ x~ t (11)

e cerchiamo le coordinate del punto, comune ad essa e alla retta (10), non situato sulla retta t2.

Si trova facilmente che tall coordinate sono:

zx,---~--hotL ~ zm~---~--hog, z x o - ~ y . [ 2 d o ? 2 ÷ ( b o ÷ n o ) g . ÷ g o ] (12) x,4 ----- 2 do ,~.~ ÷ (bo ÷ no) ~. ÷ go

e se in queste formule si fa variare il parametro 7, il punto corrispondente descrive la cubica gobba secondo cui si tagliano, fuori delle rette l~, ed too, la quadrica e la superficie N considerata.

Se nelle (12) si mutano ho, do, (bo ÷ no), go rispettivamente in ~ho, p do, ~(bo÷no), ~go, essendo 0 un qualsiasi fattore di proporzionalifft, la cubica da esse rappresentata non muta, per conseguenza l 'equazione:

(is) - - a x~ x~ - - c x~ x~ x , ÷ ,~ do x~. x~ x~ ÷ [~ (bo -4- no) - - b] x~ x~ x~ = 0

coi quattro parametri indipendenti ,a, b, c, ~ rappresenta il sistema lineare c~ 3 delle superficie N passanti per la cubica gobba rappresentata dalle equa- zioni (12).

Scritta la (13) sotto la forma:

2 2 ~.

÷ ? x, [do x, x~ x~ ÷ go x~ x~ ÷ ho x~ x~ ÷ do x~ x~ ÷ (bo ÷ no) x~ xo x~] ~ 0

basra porre :

: y~ = x , [do x, x,~ x4 ÷ go x~ x,~ ÷ ho x~ x~ ÷ do x~ x ~-t- (bo ÷ no) x~ xo x~]

2~8 S c o r z a : Le vctrietdt a curve sezioni ellittiche.

per avere le formule d'una trasformazione cremoniana the muti ii sistema delle superfieie N in un sistema di supertieie eubiehe del tipo L.

Le formule inverse delle (16) sono le:

x, = y, y~ y4 + do y~ y~ + ho y, y~ + (bo -~- no) y1 Y~ y~ -t- go y~ Y~

": x~. --~ 2 Yl Y, -}- do y, y.~ y~ Jr- ho y~ y~ + (bo + no) y~ y~ (15)

": x3 = y, y~ y , - - go Y~ Y3

• x, = ~ y~ y~ y, -+- do y, y~ + ho y~ + (bo + no) yj y~

dalle quali si deduce ehe il sistema delle oc:' superiicie cubiche corrispon- denti nello spazio (y,, y.~, y~, y~) ai piani dello spazio ~ ~ (x~, x2, x~, x,) ha per linee basi le rette:

y~=O, y , = O e y~=O, y ~ = O e la cubiea gobba: .

,Jy, = - - g o h o V ; ' , y 2 = ),[dogo V-l- (bo-+no);~-]-2]; (16)

y~ = - - ho V; v y; ~ do go V + (bo + n °) X + 2.

Questa cubica gobba passa pel punto (0, O, O, 1), come si vede facendo nelle (t6) z = O, e questo punto ~ doppio per le superficie cubiche in discorso.

38. 0 Le cose dette flu qui permettono facilmente di risolvere un'altra questione sollevata dalla mia Nora gi~. citata di Palermo.

Risulta da essa ehe uno dei gruppi pifi notevoli di V~ di un S, (r ~ 7) a S~ tangenti mutuamente seeantisi g quello eostituit0 dalla V~ di S, , ehe stiamo stud iando, e dalla V~ di $3 di Veronese e sue proiezioni su spazi a 7 o 8 dimensioni.

Nel easo della V~ di S~ due S~ tangenti generiei sono tagliati da tutti gli altri in eoppie di punti eorrispondentisi in una omogralia: si presenta quindi spontanea la questione di studiare la trasformazione eremoniana sta- bilita fra due S~ tangenti generiei della V~ dai punti di appoggio di tutti gli altri.

Per questo, osserviamo ehe se ?, ~ I'S~ tangente alla V~ in un suo p~anto generieo C ed lo, m~ sono le rette della V~ useenti da C, la V~ pus riferirsi biunivoeamente ai punti di 7 nel modo stesso ehe ~ stato indieato per rife- rirla biunivoeamente ai punti di a e ehe due punti di ~ e ~ i quali rappre- sentino uno stesso punto della V~ sono preeisamente due punti di ~ e 7 omolc Ji nella trasformazione eremoniana x ehe si tratta di earatterizzare.

La eorrispondenza -z muta evidentemente-le superiieie N di :¢ nelle aria-

S o o r z a : Le vdrie l~ a curse sezioni ellittiche.

loghe N' di y; ma al sistema delle N (delle N') appartengono i piani di (di "f), insieme col piano l~. m~ (l~. m~) contato tre volte, dunque la corrispon- denza ~ ~, in ambedue i sensi, del $o ordine.

I piani dello spazio ~, insieme col piano 1.m, , costituiscono delle qua- driche del sistema ~ :

b x~ x~ -+- fx ' i -~-g x~ x~ ~- h x~ x~ -~- n x~. x~ -= 0 (17)

la cui equazione si ottiene da quella del sistema N facendovi a -~ o-= d-= 0 e sopprimendo il fattore x~, e queste quadriche rappresentano il sistema ~ ' delle sezioni iperpiane della V~ passanti per le rette l°, m., dunque ai piani dello spazio u corrispondono in "l ~ superficie N' passanti (oltre che, dop- piamente, per lo, m~) per le due rette delle congruenze [/~] ed [mJ (*), rispet- tivamente, che rappresentano, in .f, le rette l~ ed m. .

Nello stesso modo, ai piani di y corrispondono in :¢ le superficie N di uu sistema omaloidieo c~ ~ avente per rette basi (fuori di lo ed m~,) le due rette di [/~] ed [m~] immagiui di lo ed m~.

Supponiamo (e con questo non si vien meno in nulla alla generalit~t) the le immagini di l~ ed m~ sieno in ~ precisamente le rette ~4 e 34; le su- perficie N che le "contengono sono allora quelle del sistema cx)':

2 ~ 2 3

ed entro questo sistema c ~ contenuto il sistema omaloidico corrispon- dente ai piani di ~..

Poich~ il sistema (18) ~ del grado 2 (**) se ne possono estrarre c~ ~ si- stemi omaloidici considerando quelle delle sue superficie che passano per un punto fissato a piacere in ~; m a i l sistema dei piani di y corrisponde a un sistema omaloidico di sezioni iperpiane della V~ che si ottiene da quello delle c~ ~ sezioni iperpiane passanti per I,. ed m~ considerando le sezioni iper- plane che passano per un punto della V~ avvicinatosi infinitamente al punto l~m,., dunque, per avere le superiieie N di ~ corrispondenti ai piani di ~[, dobbiamo considerate net sistema (t8) le superficie che passano per un punto avvicinatosi iniiuitamente al punto 4, immagine, in ~, del punto l~. m~.

Considerando che il piano x, = 0 taglia le superficie del sistema (18),

(*) Cio~ dMle due coagruenze che rappresentaao in 7 i sistemi .~ e M della V~. (**) Infatti il sistema omologo in 7 ~ rappresentato da una equazione analoga alia (1).

250 S e o r z a : Le w r i e t ~ a curve sezio~d eTlittiche.

fuori di 2~ e 35, nel s is tema di coniehe:

- - ~ 0 a x~ x~ + c x.~ x~ - - d x~ x~ ~ x~ =

si conclude che, per avere le superticie N richieste, bisogna fare nella (18) n = 0 .

Dopo eib si vede subito che, con una conveniente scelta della piramide fondanlentale in "[, ch iamando y~, y.~, y~, y~ le coordinate correnti di punto in y, le fornmle della corr ispondenza x sono, in un senso, le formule:

e, nell 'altro, quelle perfet talnente analoghe:

z x~ = y~ y, (y, y, + y~ y~) I

-r x~ = y.~ y~ (y~ y~ - - y~ y~)

T x~ : y'~ y~ - - Yl Yl. ]

09)

39 o Tenendo presente la rappresentaz ione delia V~ sopra uno spazio

ordinar io mediante le superticie cubiche per K con un punto doppio nel puuto 0 di K , si t rovano subito le omografie dell'S~ ehe mutano la V~ in s~.

Infatti una tale omograf ia o a) seambia in s~ i sistemi A e M, o

b) scambia fra di loro A e M. Nell ' ipotesi a) l 'omografia eonsiderata .q subordina fra le rette di i una

corr i spondenza biunivoea the si riflette in una corr ispondenza biunivoea fra le ret te di O, e questa corr ispondenza g una proiettivit~, perehg i piani per 0 rappresen tano la V~ di A e queste, per l 'omografia ~, si seambiano fra di loro.

Inversamente , si immagini di considerare una qualsiasi proiettivit'~ o, fra

le rette della stella 0. Si avrtt fra le ret te di A u n a eorr ispondenza biuni- voea ehe muta le g] in g~ e poich~ le ret te d i m non sono altra eosa ehe

le direttrici delle V~ di A, eosi anehe fra le rette di M si avr'h una eorri- spondenza biunivoea, ehe si t radurr~ in quella fra le eorde di K the si ot- tiene eh iamando omologhe due eorde di K situate in piani per 0 eorrispon- denti in ~. 0 r a s e u n a corda di K deserive una sehiera rigata di una delle ~c~ quadriehe per h , essa si appogger~ eos tan temente a una eerta ret ta l useente

S c o r z a : Le varieti~ a curve seziorti ellittiche. ~51

da 0; quindi la corda ad essa omologa nelta corrispoadenza considerata si appogger~t costantemente alla retta l' di 0 omologa ad l nella proiettivit'~ o). Ci6 significa c h e l a corrispondenza costruita fi'a le rette di M muta le V~ in V~ e allora le due corrispondenze stabilite in A e ~l dgnno luogo a u n a trasformazione in s~ della V~ che ~ evidentemente eontenuta in una omo- grafia dell'S~, perch~ una sezione iperpiana delia V~ spezzata in due V] si muta per essa in una analoga sezione iperpiana.

A una conclusione simile si arriva quando si faccia l'ipotesi b), purch~ si tengano presenti due rappresentazioni della V~ del tipo di quella consi- derata, per modo che nell 'una siano rappresentate da raggi di una stella le rette di A, nell 'altra da raggi di una stella le rette di ~,.

~9. ° Ed ora passiamo a considerare la V~ di & rappresentata sullo spazio ordinario dalle superlicie cubiche che passano per una cubiea pinna nodale H ed hanno un punto biplanare nel nodo 0 di questa cubica e un piano osculatore tisso in un piano o~ passante per una delle due rette tan- genti ad H nel punto 0.

Le rette per 0 dello spazio rappresentativo corrispondono a rette della V~,

dunque: Sulla V~ esiste u~ sistem~ oc 2 di rette, tale ehe per ogni punto della V~ ue

passa una ed urea sola. L e o & superfieie eubiehe spezzate nel piano della cubica H e in un cono

quadrico col vertice in 0 rappresentano te sezioni iperpiane della V~ ottenute con gli ~ S, passanti per una certa retta d. Poi due coni quadrici col ver- tice in 0 non si tagliano ulteriormente ehe in quattro rette, dunque un S~ generico per d taglia la V~ fuori di d soltanto in quattro rette, ossia:

La V~ ha una relta doppia d ed ~ formata di ~c ~ rette appoggiate tutte a d.

Si trova allora facilmente la classe del sistema di rette della V,~, cio~ il numero di esse contenute iri un iperpiano.

Infatti un iperpiano generico taglia la V] in una V~ dotata di un punto doppio conico e rappresentabile su un piano mediante un sistema di cubiche con tre punti-base allineati (*), quindi:

Ut~ iperpiano gel~erico corttierte tre rette della V~ concorrenli in ut~ purtto

della, r e t t a d . [ piani dello spazio rappresentativo uscenti da 0 corrispondoao a rigate

(~) D~J~ PEZZO, Sulle superficie dell'no ordine, etc. (Rend. del Circ. Mat. di Palermo,

1, 1887).

Annali di Matematica, Serie ]II, Tomo XV. 33

~5~ Scorza: Le varieth ct curve sezlonl ellitt,iche.

cubiche normali della V~ e poithb due tall piani pres[ iasieme dSnno un cono quadrico (degenere) passante per O si conclude che:

La g~ ammette unct fete di rigate cubiche normali autore~'idua r,ispetlo al sistema deUe sezioni iperpiane. Le rigate hanno poi tutte per direttrice la tetra doppia d.

Di qui segue in particolare che gli S~ tangeuti alla V~ nei punti di una sun rigata cubita stanno tutti in un $6, e, come ho dimostrato altrove, questo fatto si riconnette con la cirtostanza che essa sta sopra una Vi ottenuta proiettando d a d una superficie di VERONESE.

Per stabilire la verit~ di qnesta asserzione si immagini di proiettare daila retta d l e ~ rette della V~. Si otterrauuo, uella stella dell'S~ avente per ceatro d, ~ piaai e in questa variet~ di piani esisteranno, corrispon- deatemente alla rete di rigate cubiche della V~, ~ coni quadrit i con retta doppia. Ma allora la superficie che si ottiene tagliando con un S~ la variet~t di punti riempita d{t questi ~ " piani sar'~ una superficie con ~ coniche e quindi uua superfitie di VERONESE.

~1. ° Cerchiamo di invertire la considerazione ora fatta e ne ritaveremo una semplice costruzione delia V~ di eui ci stiamo oecupando.

Sin Vi la varieth di S~ che si ottiene proiettaudo da una retta d una superfitie di VERONESE, e sin Y~ uua quadri ta (non spetializzata) the passi per d, tale the dei suoi ~ piani pas~anli per d e costituenti, nell'S~ tan- genre alla V~ lungo d, una V~ con la retta doppia d, ~ ' coincidano con gli cx~' piani della V~ costituenti su questa una Vi con la retta doppia d. La re- sidua intersezione della V~ e della quadrica sar~ una V~ con retta doppia in d e si comporrh di ~ rette appoggiate a d.

Uno qualunque degli oc ~ coni quadrici della Ir~ diverso da quello con- tenuto nella V~ taglia la V~ in una Vt dalla quate si stacca it piano the esso ha, a comune con quest'ultimo, quindi taglia la V~ in una V~ rigata normale. E dopo ci5 ~ facile riconoscere che ta V~ ottenuta ~ proprio quella di eui si ~ discorso nei humeri precedenti.

4~2. ° Anche Ia ricerea delle omografie dell'S~ the trasformano in s~ quest 'ultimo tipo di V~ non presenta alcuna difficolt~. Si vede subito infatti ehe s e u n a omografia n dell'S~ trasforma iu s~ la V~, per la ,q te rette della V~ si scambieranno fra di loro per modo che ogni V~ rigata normale si muter~ in un'altra V~; quindi nella stella 0 le rette immagini delle rette della V~ sa- ranno atcoppiate in una corrispondenza proiettiva. D'altra parte questo ra- gionamento ~ evidentemente invertibile, quindi:

Le omografie che ~nutano in s~ la V~ formano ten gruppo ~ .

S e o r z a : Le variet~ ct curve sezioni ellittiche.

§ III.

LE V~ A CURVE SEZIONI ELLITTICHE.

$3. ° Supponiamo che VI ( r t ~ 5) sia una variet~ normale di 1. a specie di S,,+~ a curve sezioni ellittiche, e sia C ~-3 la curva razionale normale dalla quale si suppone di proiettarla sopra un S~.

Le sezioni iperpiane passanti per la C ~'-' sono delle V;' normali di I. a spe- cie che si proiet tano sopra gli S~ dello spazio rappresentativo, quindi se chiamiamo Q la quadrica che appart iene parzialmente al sistema lineare delle forme cubiche che rappresentano le sezioni iperpiane di VI e K l a V~ -" si- tuata sopra Q e base del sistema liueare medesimo, basta tener presente l 'enumerazibne dei tipi delle V~ di 1. ~ specie eseguita dal prof. ENRIQUES per concludere che:

Se si prescinde dalle V7 che si r iducono a coni, le sezioni iperpiane ge- neriche della quadrica Q e della superficie K sono r ispet t ivamente:

a) per n ~ 5 una quadrica ordinaria Q' e una quartica di 2. a specie K' ; b) per n ~ 6 una quadrica ordinaria Q' e una terna di rette a due a

due sghembe; oppure un cono ordinario Q' e una cubica gobba K'; o intine, una quadrica Q' spezzata in una coppia di piani e una cubica piana nodale K';

c) per ~ ~ 7 un cono quadrico ordinario Q' e una conica K'; e in ogni caso la curva K' sarh na turahnente si tuata sulla quadrica Q'.

45o Per esaminare par t i tamente i vari casi comineiamo dal supporre

che sia n - ~ 5. Allora, poieh6 la sezione iperpiana generica K 6 una quartica di 2a specie,

la superficie K sara una superticie del 4.o ordine a curve sezioni razionali e quindi proiezione sopra un S~ da un punto esterno di una superficie di VERONESE O d 'una rigata razionale normale del 42 ordine. La prima ipotesi

da escludere perch6 altrimenti K o non sarebbe situata sopra il cono quadrico Q, o conterrebbe una retta doppia e allora starebbe sopra infinite anzi ehe sopra una quadrica; dunque resta la seconda, cio6 K 6 una rigata razionale del &o ordine di S~, dotata di un punto doppio improprio nel ver- tice 0 dell 'unico cono quadrico Q che ta contiene.

Ne segue che sar~t dimostrata l 'esistenza di una V~ a curve sezioni el-

~5~ S c o r z a : Le varieh'e a c,trve sezioni ellittiche.

l i t t iche di S~ quando si sin fatto vedere che per una rigata K del quart 'or- dine di S~ (e quindi razionale) passano ~ : forme cubiehe.

Ora ques to pub d imost ra rs i in doppia manie ra ; calcotando ciob la po- s tulazione di K per le forme cubiche del suo spazio, oppure cos t ruendo di- r e t t amen te le forme cubiche che passano per K e t rovando cosi ehe esse SOI~IO O~ 7.

~5. ° I1 ealeolo delia pos tu laz ione di K si fa r ap idamen te r icor rendo ad ateuni teoremi stabiliti dal prof. S~vERI.

Si conducano infatti per la superficie K do ta ta del pun to doppio im- propr io O due forme cubiehe gener iehe L, ed L, (di tall forme ne esis tono eerto, poich6 il loro s i s tema deve contenere gli ~c" ton i eubici t he si otten- gono p ro ie t t ando K dai suoi purit i): la ioro intersezione res idua sar& una superfieie del 5. ° ordine K, con un p u n t o doppio impropr io in 0 avente a e o m u n e con K una, curva del t 0 2 ordine (e della !6 a e lasse )con u n pun to quad rap lo in 0 (*).

Poich6 il pun to 0 p resen ta ev iden temente u n a condizione agli iperpiani ehe debbono eontenerlo , segue, per un t eo rema del prot\ SEVERI (**), ehe K e K~ sono en t r ambe regolari e ehe per ealeolare la pos tu laz ione di K per le forme eubiehe si pub far uso della fo rmula :

m ( l -~2 l ) - - l (p - - 1 ) -~- P . - 4 - 1 - - d

facendovi m - - ~, l = 3 , ,p := P~, ----- 0, d --~ 1. Si t rova cosl, come valore della pos tu laz ione in discorso, 27, e quindi , le forme eubiche dell'S~ essendo ~ * , per la superficie K passano a p p u n t o ~ forme cubiche.

4~6. ° Ma allo stesso r isul tato s[ pub arrivare, come abb iamo detto, per un 'a l t ra via, meno rapida, ma assai pih e lementare .

Si taglino, per questo, la r igata K e i l cono quadr ico Q the la proie t ta dal suo p u n t o d o p p i o impropr io O, con un S~ gener ico :¢ e s iano K ' e Q r i spe t t ivamente la quar t ica di 2.~t specie e la quadr ica sezioni di K e Q.

(*) SEvErn, S~dle intersezioni delle variet~e Mgebriche, etc. (Memorie dell'Accad, delle Scienze di Torino, serie I[, t. LII, 1902), § 9. I caratteri di Kz sono, adoperando le notazioni del prof . SEVERI, ~ ' 0 ~ 5, ~z' 1 ~ 10, ~'2 ~ 8~ ~'2 == 8, d ' ~ 1 essendo t~, = 4~, ~ = 6, 1~ ~ 4., ~, = 4, d = l quelli di K.

(**) SEVERI, Su alcune questioni di postulazione (Rendic. del Circ. Mat. di Palermo, XVH, i903), n. ° 32.

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche. 255

Nello spazio :¢ per la curva K' passano c~ ~ superficie cubiche L ' e se si chiamano A, B, C, D i punti ore K' 5 tagliata da un piano generico 7: di ~, queste oc ' superficie L' tagliano ~. nel sistema lineare (completo) delle oc 5 cubiche passanti per A, B, C, D.

0 ra si prenda a considerare una determinata superficie L', di quelle ~ ° e detta )~, la sua traccia su =, sia -: il piano ad essa tangente in un punto M di ),~ esterno alla conica sezione di = con Q, e ~ un $3 generico passante per -:. Se :¢" ~ un altro $3 del fascio avente per asse 7: e z" ~ la sua sezione con ~, ~" taglier~ -: nella retta tangente a ),~ net punto M, e in ~" vi sadt una sola superficie cubica L"~ che passi per la quartica K", sezione di ~." con K, e per la cubica ).~ e inoltre tocchi nel punto M il piano ~". Variando :~" intorno a =, la superficie L"~ assumerh certe ~ ' posizioni distinte e riem- pir~t una forma V~', il cui ordine m ~ appunto 3.

Infatti asserire che m ~ 3 equivale ad asserire che per nessuna posizione di :~" intorno a r~ la relativa superficie L", si spezza nel piano = e in una residua quadrica Q"~ passante per il punto M e per la quartica K" sezione di ~" con Q, e questo si dimostra facihnente per assurdo. Poich~ se per una certa posizione di :¢" avvenisse il detto spezzamento, per quella posizione di £', K" o sarebbe una quartica di 2. a specie priva di punto doppio o sa- rebbe dotata di un punto doppio. Nella pr ima ipotesi, K" essendo situata sopra u n a sola quadrica, Q"~ sarebbe la sezione di Q con ~" e quindi M sa- rebbe situato su Q; nella seconda ipotesi, ~" risulterebbe tangente a K o passante pel suo punto doppio improprio 0. 0 r a di queste due ultime alterna- tive la prima ~ da escludersi per ragione analoga ad altra gih detta. (in quanto per essa si arriverebbe a una K " spezzata in una cubica gobba e una sua unisecante e quindi sitnata sopra una sola quadrica), la seconda porterebbe alla consegnenza che Q"~ sarebbe una quadrica generica fra le oc ' passanti per /f" e quindi una quadrica non avente un punto doppio in 0, mentre la V~' costruita (e quindi Q",) ha necessariamente un punto doppio in 0 (*).

I1 ragionamento compiuto mostra che per ogni superiicie cubica L' di ~. contenente K' passa una forma cubica L dell 'S, contenente K e tan- genre in un punto M di L' a u n dato S~ (passante pel piano ": tangente ad L' in M), quindi per ogni superficie L' di ~ passano ~ ' forme cubiche con-

('~) SEVER|, ft~,tort~o ai punt i doppi impvopri, etc. (Rendic. Circ. Mat. di Palermo, XV,

1901), n. ° 1/,.

256 S c o r z a : Le varietY, a curve sezioni eltittiche.

tenenti K e K si trova in totale sopra un sistema lineare ~c ~ di forme eu- biche L.

~7. ° Facciamo o ra l ' ipolesi n ~-- 6 e supponiamo che le sezioni iperpiane geaeriche di Q e K siano una quadrica ordinaria Q' e una sua terna di rette, sghembe fra di loro a due a due.

AUora K sarh una terna di plant di Q passanti pel punto doppio 0 di Q (appartenenti allo stesso sistema) e un S, generico per 0 segber'~ Q e K in un cono quadrico e in una terna di rette situate su questo cono.

Cib significa che ogni iperpiano dello spazio $8 contenente la V~ che si sta considerando e passante per l'S~ che congiunge O con lo spazio della C 8 da cut si fa la proiezione, taglia la V~ in una V~ conica (*). Per ognuno di questi iperpiani il vertice del relativo cono V~ ~ il vertice del cono cubico contenuto in quell 'S~, dunque anche V~ ~ un cono col vertice in quel punto.

$8. ° Supponiamo adesso che, pur essendo n = 6 , la quadr[ca Q e la superficie K siano tagliate da un iperpiano generico in un cono quadrico Q' e in una cubica gobba K'. Allora K 6 una V~ rigata normate con una direr- trice d e Q ~ una quadrica per K con retta doppia, cio6 sar~ il cono quadrico (doppiamente specializzato) che proietta le generatrici di K dalla direttrice d.

Segue da cib che sarh dimostrata l 'esistenza di una V~ a curve sezioni ellittiche di S~, corr ispondentemente alle ipotesi ora fatte, purch~ s[ dimostri che data in un S~ una rigata cubica normale vi sono oc ~ forme cubiehe pas- santi per essa e aventi una retta doppia netla sua direttrice d.

Ora si potrebbe comporre una tale dimostrazione imitando il ragiona- menlo diretto del n. ° 4,6, ma preferiamo ricorrere a una via indiretta che avremmo potuto seguire anche per il caso della V~.

Se, per un momento , si suppone c h e l a V~ in diseorso realmente esista e sia rappresentata dal sistema delle forme cubicbe passanti per una V~ ri- gala normale e aventi una retta doppia nella sua direttrice d, ~ chiaro ehe gli ~x? piani passanti per d dell'S~ rappresentat ivo saranno le immagini di ~ piani appar tenent i alla V~, e lo stesso potr~ dirsi degli oc ~ piani eontenenti le eoniehe della V~; quindi sulla V.~ si avranno intanto due serie ~c ~ di piani tali ehe per ogni punto della V~ passa un piano di eiaseuna serie.

(~) ENRIQUES, SUi sistemi lineari, etc. (Math. Anm Bd. 46), n. ° 15. Notisi che in questo easo Q ~ il cono quadrico tangente nel punto doppio 0 a tul le le forme cubiche passanti per i tre plant di K.

S c o r z a : Le varieta a curve sezioni eliittiche. 257

D'altra par te i piani di due coniche qua lunque della V~ sono tagliati in

due sistemi prospet t ivi da quelli uscent i da d, per conseguenza i piani di uno a lmeao (questa restr izione non ~ che provvisoria , come vedremo) dei

due sistemi di V~ tagliano col l inearmente i piani dell 'nitro sistema.

Si conclude c h e s e la V~ in discorso esiste, essa non pub che coincidere

con una nota varieth s tudiata gi~ dal profi SEGRE e generata dai piani che

congiungono i punti omologhi di tre piani collineari generici di un S~ o dai piani secondo cui si in tersecano gli So di tre stetle proiet t ive di uu S~ aveat i per centri tre S~ generici.

Poich~ si r iconosce subi to che pro ie t tando ques ta V~ di SEGRE sopra un S, dall'S~ di una sun cubica gobba si ot t iene una sun rappresentaz ione biu-

nivoca in cui il s is tema delle immagini delle sezioni iperpiane ~ un sistema ~

di forme cubiche del t ipo considera to in ques to numero, si conclude che

l ' ipotesi quivi fat ta por ta rea lmente a un tipo di V~ non conica a curve se-

zioni eltittiche !*). ~9. ° Come ~ noto, la V~ di SEGRE, contiene due serie oc ~ di piani in

condizioni per fe t tamente ident iche; quindi i piani di ognuna delle due serie

puuteggiano proie t t ivamente i piani dell'ultra.

Tenendo conto della sua rappresen taz ione sopra un S, , or ora indicata,

si arr iva incidentahnente al teorema: Due piani passanti per la direr!rice di u~a rigata cubica normale sono

tagliati dai p iani delle sue coniche in due sistemi piani collineari (**).

50.9 Per esaurire la d iscuss ione del caso b) det n. ° 4~3 vediamo diret-

t amente se possa esistere una V~ di S~ ehe da ogni S~ sin tagliata in una VI

a curve sezioni ellittiche dota ta di ret ta doppia (n) 40, SJ, ~2).

Se esiste, poich~ ogni iperpiauo la taglia in una V~ con re t ta doppia,

('~) Una propriet'~ caratteristica di questa V~ 6 data da un teorema dimostrato netla mia gi/t citata Nota di Palermo.

(~) Non 6 difficile dimostrare direttamente questo teorema. Se r 6 una retta d'un piano ~ passante per la direttriee d di una rigata cubiea nor-

male V~, da ogni punto di r (come da ogni punto generico dell' S t contenente la rigata) esce ur~ piano che seen la rigata secondo una couica. Gli o~ ' piani che eosi si ottengono corri- spondentemente agii c~' punt[ di r riempiono una V~, il cui ordine x sar~t quello delle su- perficie secondo cui 6 tagiiata da un S a generico condotto per r. Ma tale superficie ~ la ri- gata delle corde appoggiate ad r della cubica gobba, sezione dell'S s stesso con la V~, ed r

una unisecante della eubiea, dunqtte x = ~2 e quella V~ 6 un cono quadrico passante evi- dentemente per d. Ma allora ogni altro piano passante per d seca i piani della V~ nei punti di una retta, etc.

~58 Scorzc~ : Le weriet& ~ c~erve sezio~d ellittiche.

essa ammettefft un piano doppio 8, e un S~ generico condotto per 3 la ta- glier'~, in uua residua superiieie del 4~. ° ordine F ~ che si spezza in quattro piani, hffatti se si immagina di tagliare tutta la figura con un S~, Ia V~ d~ luogo a u n a V~, l'S0 a un S~ generico passante per la retta doppia della V~ e la F ' alla residua intersezione della V~ con questo S~, e tale intersezione si compone appunto di quattro rette.

Segue che, eventualmente, la considerata V~ eonsta di ~-~ piani tutti appogg[ati secondo rette al piano doppio ~; per modo che se si fa la proie- zione della V~ dal piano 3 si ottengono in corrispondenza ai suoi ~ piani ~ S : ~ uscenti da 3 e costituenti una V~ appartenente ad S~. Ora tale V~ il risultato della proiezione di una superficie di VERONESE del piano 8, e d'altra parte per un teorema gi;~ citato del prof. E~UIQUES, se la V~ in di- scorso esiste deve essere certo situata su qualche quadrica, dunque se la V~ esiste essa deve essere intersezione parziale deI cono Y~ ora nominato con una quadrica passante pel piano 8.

Questo ragionamento indica subito come possano esser costru[te le V~ del tipo che si sta 'eonsiderando.

Assumiamo infatti nell'S~ un piano ~ e una quadrica generica V~ pas- saute per esso. La V~ sar~ una ([uadrica non specializzata ed ammetter~t ~ S~ passanti per 8; anzi questi S~ costituendo la sua intersezione con l'S~ polare del piano ~ formeranno una V i e si potraano ottenere proiettando da 3 i punti di una certa conica k ~, situata in un piano indipendente da 8. Ma al- lora si costruisca in un S~ indipendente da 3 e passante per k ~ una super- ficie di VERONESE che contenga questa conica: la Y~ proiettante da ~ la su- perficie di VERONESE taglier~ la quadrica V~ nella Vi proiettante k: da ~ e in una residua V~ che conterr~ oc,:S~ appoggiati secondo rette al piano (perch~ ogni S~ per 3 delia Vt taglia V~ in ~ e in un piano residuo) e che sarh evidentemente a curve sezioni ellittiehe normali.

Gli ~ piani della V~ ora costruita si distribuiscono in una fete di V] in- tersezioni degli oc ~ coni quadrici della V~ con la V~ fuori della Vi proiettante da 3 ta coniea k °', e tali V~ sono naturahnente dei coni col vertici situati su 8. Inf'atti ciascuna di esse appar t i ene a u ~ S~ come il cono quadrico della Vt che la contiene e non pub essere una V~ razionale normale, perch~ allora non 3 ma una rigata quadrica vera e propria sarebbe una sua ri- gata direttrice d'ordine minimo.

La rete delle coniehe di una supe~'ficie di VERONESE e autoresidtta ri- spetto al sistema lineare delle sezioni iperpiane ed ~ pure omaloidica, dunque:

Seorza : Le variet~ a curve sezioni ellittiehe. 259

S,dla V~ ora costruita la rete dei coni V] ~ auloresidua rispetto al si- sterna delle sezioni iperpiane e due V~ della rete si tagliano fuori di ~ in

un piano. In particolare: Gli S, tangenti alla V~ nei punti di una sun V~ stanno tutti in u~ iper.

piano, ciob in un S~. La rappresentazione della V~ sopra un S~ si ottiene, naturahneute, proiet-

tandola dall'S~ ~. di una sun cubica gobba C:~ situata sopra una delle V~ che chiameremo ~. Ora s e s i chiama 0 il puuto ove la C ~ taglia il piano 3 e F il cono V~ dei piani della V~ usceati da O, l'S~ del cono F e l'S~ ~. della cubica C ~ stanno in uno stesso iperpiano ( in quello cio~ che contiene r e a) quindi gli ~ S~ che congiuagono i piani di ~" con ~ taglian0 l'S, rappresen- tativo nelle rette di uua superficie cubica appar tenente ad un S~. Tale su- perficie K ~ la variet~t base del sistema lineare delle forme eubiehe immagini delle sezioni iperpiane della V~, ed ~ uaa rigata cubica d i CAYLEY.

Questa asserzione pub gmstificarsi in doppia maniera. Pub osservarsi in p r i m o luogo ehe gli S~ di r e h hanno in eomune l'S~ determinato dal pia~o ~ e dal piano generatore comune a [" e A, quindi :¢ e I'S~ di [" hanno in eomune una retta di tale S~, eio~ uua retta situata nel cono quadrico ehe proietta r da 3. Ma la proiezione di r da ~ sopra t'S~ dell'S~ rappresen- tativo, in eui questo ~ tagliato dall ' iperpiano ~co,~tenente F e d ~., ~ it~ sostanza la proiezione da ~ della rigata cubica normale in cui F ~ tagliata da un S, generico del suo spazio, e allora tale proiezione, poich~ it punto eomune ad ~ e all'S~ della rigata eubica trovasi s u l cono quadrico che proietta questa rigata dalla sun direttriee, sadt appunto una rigata di CAYLEY ($).

Ma, volendo, si pub anche osservare che se si chiamano, al solito, Q e K l a quadrica fondamentale e la variet~ base nella rappresentazioae della V~ sopra un S,, le sezioni iperpiane generiche di Q e K debbono essere una coppia di piani e una cubica nodale situata in Uno di essi e tangente al- l 'altro nel nodo. Ma allora Q dovrb~ essere una coppia di S~, K una rigata cubiea con la direttrice d0ppia nel piano eomuue di due S~ e di pih tale piano dovr~ toccare K in tutti i punt i della direttrice doppia. Ci6 significa precisamente che K ~ una rigata di CAYL~Y.

51. ° Esauri ta la discussione per il caso n ~ 6, faceiamo l ' ipotesi che

sin n ~ 7.

(~) Cfr. BERT[NI, Introduzione, etc. (Pisa, Spoerri, 1907), pag. $99.

Annali di Matematica, Serie III, Tomo XV. 3~

°260 S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche.

Poich~ le sezioni iperpiane generiche di Q e K sono un cono ordinalio Q' e una conica K ' situata su di esso, Q sar~ un cono quadrico a tre dimen- sioni con uua retta doppia e K un cono quadrico ordinario situato su Q col vertice V sul[a retta doppia. Allora un iperpiano generico che passi per l'S~ congiungente V con I'S~ da cui si fa la proiezione taglia la Vi in una V, ~ che si rappresenta sopra un S~ mediante il sistema delle superiicie cubiche L, passanti per due rette, con punto doppio netla loro intersezione e con un assegnato cono tangente in esso; quindi in una W~ conica (*) e il vertice di questa V~ conica ~ il vertiee del c o n o del quart ' ordine che il detto S~ ne coutiene. Cib signiiiea che addiri t tura la V] ~ un cono.

La cosa stessa pub vedersi anche altrimenti. I1 sistema delle immagini delle sezioni iperpiane ~ un sistema ~ ° di

forme cubiche L con quadrica base K (che ~ un cono) e con retta doppia d passante pel vertice V di I<. Si trasformi quadra t icamente l'S~ rappresen- tativo in un a]tro, prendendo net primo come punto fondamentale un punto 0 d i d e come quadricit fondamentale K. Ad una forma L corrisponder'~ una forma L' dei 6. ° ordine da cui si stacca due volte l ' iperpiano o~' corrispon- dente al punto 0 e una volta la quadrica proiet tante dal punto fondamen- tale O' del secondo S~ la relativa quadrica fondamentale K'. Quindi il sistema delle L si muta in un sistema di quadr iche passanti pel punto fondamentale 0' e tangenti nel vertice di K ' all ' iperpiano o;, poich~ se si considera un piano generico = uscente da d, ad esso corr isponde un piano r:' e fra r. e ,~' vi ~ uaa corrispondenza quadratica tale che in ~.' due dei punt i fonda- mentali vengono a coincidere col vertice di K' , e a]lora alia retta ulteriore intersezione di = con una forma L viene a corrispondere in =' una conica tangente ad o~' nel vertice di K' .

Si conclude che la Vi ~ rappresentabile punto per punto sopra un S~ per modo che le sezioni iperpiane abbiano per immagini le quadriche pas- santi per due punti iissi A e B e con un iperpiano tangente fisso in uno di essi, per es. in A. Ed allora il sistema lineare di toni quadrici col vertice in A e passanti per B, sistema lineare ~ , rappresenta il sistema delle se- zioni della V[ con gli iperpiani passanti per un punto M da cui escono ~ retie delia V] (le rette che hanuo per immagini quelle dello spazio rappre- sentativo uscenti da A), cio~ la V] ~ un cono.

5~. ° La dimostrazione ora compiuta conduce facilmente alla determi-

(~) Cfr. ENRIQUES, lOC. cit. al n. ° 41.

S c o r z a : Le varie th a curve sezioni ellittiche. 261

nazione delle V~ di ~.~ specie, di quetle V~ cio~ che non contengono delle C ~ razionali normali, o, cib c h e f a lo stesso, di quelle Y~ di $1o che sono ta- gliate da un S~ generico in una V~ di 2. a specie.

Ora risulta dalle ricerche del prof. ENRIQCES che una lz~ di ~.a specie o 5 un cono o ~ la VI di VERONESE: quindi per dimostrare, come gi~ abbiamo annunciato, che tutte le V~ di ~.a specie sono coni, basra far ve- dere che ~ un cono una V~ di S,o avente per sezioni iperpiane delle V~ di VERONESE.

Di questo teorema possono darsi varie dimostrazioni. PuS dirsi in pr imo luogo che una V~ di S~o a curve sezioni ellittiche ~ proiettata da un suo punto generico in una V, ~ di S~ che ~ pure a curve sezioni ellittiche; ma al- lora, come questa V~ ~ un cono, cosi anche la V~ ~ un cono.

Oppure si pub imitate un ragionamento del prof. SEGRE, osservando che le collineazioni fra i due S~ rappresentativi di due V~ di VERONESE danno luogo a ~ omografie tra i loro spazi ambienti in cui esse si corrispondono. Per modo che se si hanno due V~ di VE~ONESE e, considerate due loro sezioni iperpiane, si stabilisce fra queste la corrispondenza biunivoca in cui si ri- flette una proiettivit~ stabilita fra te due quadriche che ne sono te immagini, tale corr ispondenza ~ contenuta in una omografia tra i due S~ delle V~ in cui queste si corrispondono.

Si osservi ancora che due V~ di VERONESE le quali abbiano due sezioni iperpiane comuni coincidono, poich~ un S~ generico dell'S~ che le contiene entrambe le taglia in due curve normali ellittiche dell'8. ° ordine con 16 punti comuni, cio~ in due curve coincidenti.

Posto ci5, sia V~ una variet'~ dell'S~o tagliata da due iperpiani generici :¢ e ~ in due V~ di VEttONESE. Queste due V~ hanno una loro sezione iperpiana (una V~) comune, quirldi resta iadividuata una omografia tra i loro spazi e ~ in cui esse si corr ispondono e in cui quella V~ ~ uni ta punto per punto. Ma allora tale omograiia ~ una prospettivit~ e le due V~ stanno sopra un cono W~, che coincide con la data V~ perch~ ogni iperpiano taglier~ questa e i l cono in due V~ di VEnONESE con due loro sezioni iperpiane comuni (quelle

contenute in :¢ e ~)(*).

(~) I1 ragionamento di SEGR~ 6 riportato in BERTINI, Introduzione, etc. (Pisa, Spoerri 1907), pag. 342, ed ~ evidentemente estendibile a tutte le variet~ aventi per sezioni iperpiane delle variet~ di VERONESE. Si arriva con ¢i5 a u n teorema che ~ caso particolare di un altro sta- bilito dal sig. TANTURR1 (Giornale di Matematiche, Napoli, serie 2. a vol. XIV, i907).

~6~ S c o r z a : Le varietie a curve sezioni elliltiche.

53. ° Riassumendo la discussione preeedente, abbiamo l ' enuncia to :

Una V~ (n :> 3) raz ionale normale non conica a curve sezioni ellittiche

a) per n == ~ u n a V~ base di u n fascio di quadr iche di ~n S~;

b) pet" n = = 5 u n a V~ di S~;

e) per n == 6 la V~ di SEGRE di Ss o la V!~ (pure di Ss) inlersezione

parz ia l e di unit, q~adr ica e di u n cone proiet tante da ~n p i a n o u n a superfieie

di V EHO~F~SE (*).

51+. e Le proprieth p[fi notevoli della V~ di S~, che indire t tamente risul-

te ranno anehe da un teorema che t roveremo pifi tardi, possono dedursi subito

da| la sua rappresentazione.

La r igata del quar t 'ord ine K base del s is tema di forme L rappresentant i

le sezioni iperpiane della V~ pub essere di due specie: pub avere cio~ una

direttrice rett i l iuea o oc ~ direttrici coniche (**). In ogni case ha perb un puuto

doppio improprio 0 the ~ doppio anche per tut te le L.

Per sempticith cdnsideriamo soltanto i[ case generale nel quale / / con-

tiene _~ coniche (irriducibili) e siano a e b le due generatrici uscenti dal punto

doppio O. Le ~ corde di K rappresentano un sistema ~ di rette di V~

tale che per ogni punto di V~ ne passano c~ ~ costi tuenti un cone cubico

appar tenente ad un S~ e percib razionale.

Gli oc' eoni cubiei delle rette useenti dai vari punt i della conica C ~ di V[

da cui si intende fatta la proiezione, hanno per immagini le oc ' cubiehe

nodali (col node in O) secondo eui K ~ tagliata dai piani di un sistema del

cone quadrico che ta contie~le (***). Inoltre essi costi tuiscono ta totale inter-

(~) I risuitati di quesLo lavoro furono gi~ annuuziati in brevissimo riassunto in una Nora pubblicata nei Rendiconti della R. Accad. dei Lincei (gennaio 1908), ma quando pub-

blicai quella Nota mi pareva di peter dimostrare the per n ~ 6 ogni V'~ fosse un cone op-.

pure la V~ di SSC~RE e cosi nel teorema ivi eaunciato non compare l'altro ripe di g~ che si trova nel teorema del testo.

Nel sense medesimo va rettificata l'asserzione contenuta nell'ultima nota a pi~ di pagina del lavoro pubbiicato nei Rend. del Circolo di Palermo, citato pi~:~ innanzi. Ma si vede subito che tale correzioae non ha alcuua influenza sul teorema che da quella asserzione viene dedotto.

(~) SSGRE, SuUe ~'igate razh, nali, etc. (Atti della R. Accad. delle Scienze di Torino, 1884). ( ~ ) L'immagine di uua. sezione iperpiaua ~ uaa forma cubica per K. D'altra parte quella

sezione tagtia ia conica C ~ da cui si fa la proiezione in due punti da ciaseuno dei quail par- tone tre rette della sezione, quindi l'immagine avrh in corrispondenza due terne di punti doppi diversi da 0 sopra due cubiche plane di K. I| che collima con un bel teorema del prof. SEVERI (Sulle intersezioni, etc., n. ° $9.).

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche. 263

sezione della V~ col eono quadrico proiettante dal piano di C ', gli S, tan- genti alla V~ nei punti di C ~, dunque essi riempiono una V~ ° ehe ha in ogni punto di C ~ un punto triplo.

Una sezione iperpiana generiea della Y~ eontiene ~ eoniehe e per ogni eoniea deila ~ passano ~c ~ iperpiani, dunque ta F~ eontiene un sistema di eoniehe ~ ' e per due suoi punti generiei ne passano ~c ~. Segue per l'osser- vazione preeedente ehe le rette della V~ si distribuiseono in ~c ~ g~ ° con al- trettante eoniehe triple nelle eoniehe ,della V~.

55. ° Notisi prima di proeedere oltre ehe il luogo delle ~ coniehe della V~ passanti per due suoi punti generiei ~ una quadri'ea.

Infatti se si immagina di proiettare la V~ da un punto generieo A dello spazio ambiente sopra un S~, per il punto A passano ~ eorde della V~ e ogni S~ eondotto per A ne eontiene una, dunque queste ~ : eorde riempiono un S~, ehe avrh in eomune con la V~ una superfieie. Ma tale supertieie non potr'~ essere ehe una quadriea, per eonseguenza:

L a V~ contiene cx? quadriche ordinarie. Per og~i coppia di pun t i generici

di V~ ne passa una ed una sola.

I1 fatto che gli 0¢' S~ contenenti le quadriche di V~ riempiono semplice-

mente lo spazio ambiente db~ luogo al teorema: Per ogni punto dell 'S: passano oc ~ S~ tangenti della V~: il luogo dei loro

pun t i di contatto ~ una conica : cosicch~ il sistema c~ ~ delle coniche di V~ pub

fars i corrispondere biunivocamente ai p u n l i di un S~.

Adoperando una Iocuzione introdotta dal prof. SEVERI iIl una sua Me- moria pi~t volte eitata, questo teorema pub enuneiarsi dieendo che l 'ul t imo

ceto (%) della V~ ~ uguale a 2. Crediamo inutile a questo proposito intrat- tenerci sul ealeolo degli altri due eeti : si trova faeilmente o~ = t0 e % = 8 (*).

Nello spazio rappresentativo le oc ~ quadriehe della V~ hanno per im- magini le quadriehe ehe passando per 0 tagliano K in una quartiea gobba dotata di punto doppio e le coniehe della V~ hanno per immagini delle coniehe quadriseeanti K, dunque:

Se si considera in u n S~ u n a r igata del quart ' ordine vi sono oc ~ qua-

driche ordinarie c h e l a segano in quartiche gobbe nodali ; di tali quadriche non

(~) Anche per la V~ di $6, studiata precedentemente, i valori dei tre ceti sono ~1-- 10; ~ 8 ; oJ a =~. Cib significa, per an teorema del prof. SEVERI (lot, cir. 11. ° 3), chela V~ non ha punti doppi impropri.

~6~ S e o r z a : Le variet& a curve sezio~d elliltiehe.

ne p a s s a the una per due p u n t i generici dell'S~, tnoltre il ~istema oC delte

coniche quadrisecanti la r igata ~ unc~ variet~ razionale.

Due quadriche seeanti K in quartiehe nodali hanno in totale quattro punti eomuni. Ma di questi uno eade in 0, altri due stanno parimenti su K, dunque non ne resta ehe uno esterno a K. Ci6 signiiiea ehe:

Due quadriche generiehe della V~ hanno un sol punto comune.

Se A e B sono due punti generiei della V~, la quadriea ehe passa per A e B mostra che vi sono due rette di V~ per A ehe s[ appoggiano a due rette della V~ passanti per B; e si potrebbe vedere che queste sono le ~ole rette incidenti della V~ useenti da A e B rispettivamente, dunque:

I toni cubiei r iempit i datle rette the escono dai pun t i della V~ si tagliano

a due a due in due punti.

50. ° I eoni eubiei delle rette di V~ uscenti dai punti di una sun retta a riempiono una V.~ ehe ha per immagine nello spazio rappresentativo la V~ delle eorde di K i@poggiate a una sun corda generiea. Ma questa ~ una V~ passante per K, dunque quella t~ una V~ sezione di V~ con un iperpiano ad essa tangente (si riconosee subito) in tutti i punti di a.

57. ° I piani dello spazio rappresentativo ehe eontengono le ~ eoniche di K sono, come 5 ehiaro, immagini di ~ piani della V~, poieh(? ogni tetra di uno qualunque di essi, essendo eorda di K, g immagine di una retta di V~.

0ra si eonsideri la rigata razionale normale F~ di S~ da cui K si pub immaginare ottenuta mediante proiezione da un punto esterno P. I piani delle eonlehe di Vt sono i piani secondo eui si intersecano gli iperpiani cor- rispondenti di due fasei proiettivi aventi per assi gli S~ di due eoppie di generatriei della V~, quindi il ]oi'o luogo ~ una Vg razionale normale con oc ~ rigate quadriche direttriei i eui S~ riempiono semplieemente 1o spazio ambiente.

Ne segue ehe il luogo degli oc ~ piani eontenenti le eoniche di K ~ una V~, avente un piano direttore doppio nella proiezione della quadrica direttrice della V] razionale suddetta, ehe ~ eontenuta in un S~ passante per P. Poi sieeome questo S~ taglia la V~ in una linen e perei5 in una eubica gobba una cui corda passa per P, si conclude ehe il piano direttore doppio della V] eontenente i piani di K g il piano delle due generatriei di K useenti dal punto doppio improprio. Sopra un tal piano, intine, i piani delle eoniehe di K tagliano le tangenti di una conica.

Dalle eose dette segue subito ehe: Gli o¢) ~ piare.i della V~ eostituiseorw ul, a sezion.e iperpicena e quindi il

loro luogo ~ una F ~ razionale (normaIe in un SO eo~ un p iano diretlore

S c o r z a : Le varieth a curve sezioni ellittiche. ~65

doppio ~ su cui gli altri p ian i segnano le tangenti di una eonica, cio~ l'iper- piano contenente questa V~ tocca lc~ V~ in tutti i punt i di 8.

58. ° Sulla V~ di $8 studiata dal prof. SEGRE (*)crediamo inutile tratte- nerci miautamente. Ricorderemo soltanto che essa pub rappresentarsi senza eecezioni sulla vacieth delle coppie di punti di due piani, e allora poich~ la V~ di S~ con due sistemi di rette £ e ~[ pub sempre riguardarsi come una se- zione iperpiana di una tale V~, si avrit che:

La V~ di S~ (a curve sezioni ellittiche) con due sistemi di rette si pub rappresentare biu~dvocamente senza eccezioni sulla varietd~ deUe coppie di punt i co~iugati in due sistemi p ian i reeiproci.

Cosl uaa V~ di S~ a curve sezioui etlittiehe si pub sempre considerare come la sezione di una V~ di SEGRE eseguita con un certo S0, dunque:

La V~ di $6 a curve sezioni ellittiche si pub riferire biunivocamenle senza eccezioni alla varieth delle coppie di pm~ti omologhi in due p iani riferiti qua- draticamente.

]~ noto inoltre che gli S~ contenenti le V~ razionali nonra l i delle V~, oppure g]i S~ che ne eontengono le quadriche, o infine gli S~ tangenti alia V~ hanno per luogo una V~ di cui la V~ ~ da considerarsi come variet~ doppia, dunque :

11 luogo degli S~ contenenti le rigate cubiche normali di una V~ di $7 (a curve sezioJ~i eIlittiche) con due sistemi di rette A e M, oppure il luogo degli S~ the ne contengono le ~c ~ coniche, o infine il luogo degli S~ tangenti ~ una V], per la qualc ~ doppio ogni punto della V~.

Questa ~ pub deiinirsi, volendo, come la forma riempita dalle corde della Y~ (al pari della V~ rispetto alla V~), e quindi le corde della V~ non riempiono lo spazio ambiente, ossia essa ~ priva di punt i doppi ap-

parenti. Alcune considerazioai che qui non riporto perch~ non mi ~ ancora riu-

scito di presentarle ia maniera eompiuta, mi fan pensare che le V~ di S~ (r=~ 7) le cui corde non riempiono una V~ rientrano fra le V.~ a spazi tangenti mu- tuameate secantisi: se cib fosse il teorema che ho dimostrato nella Nora di Palermo gi'~ citata, darebbe una nuova propriet~ caratteristica di alcune delle V~ a curve sezioni ellittiche. Qui mi limiterb a far notare che il luogo delle corde della V~ con una retta doppia ~ la V~ proiettante dalla retta

(~) SEG~¢, loc. cit., n. ° ~2.

0~66 S c o r z a : Le varietie a curve sezioni ellittiche.

doppia la M ~, contenente le corde di una superficie di VERONESE, e il luogo delle eorde della V~ di VEaONESE ~ una V~'°(*).

59. ° Prima di Iaseiare questo argomento delle V, a curve sezioni ellit- tiche, osserveremo ehe esse d~nno per proiezione da loro punti delle note- voli forme cubiehe di S~.

La F~ di S~ proiettata da due suoi punti generici A e B sopra un S~ dh luogo a una V[ con due S~ ~ e ~ immagini dei punti delia V~ infinita- mente vieini ad A e B, e la quadriea della V~ the passa per A e B dh luogo a una retta I (intersezione di ~ e ~) doppia per la V'~.

I due sistemi ~c' di quadriehe di V~ passanti per A o B, rispettivamente, d~mno luogo a due Sistemi ~ di piani appoggiati seeondo r e t t e a d ~. o rispettivamente, tall the per ogni punto della V'~ passa un solo piano di ognuno dei due ~istemi.

Due piani delto stesso sistema non hanno in generale punti eomuni, in- vece due piani di sistemi differenti hanno sempre m~ punto tomune.

Chiameremo piani del sistema [~] quelli the tagliano ~ in rette e piani del sistema [~j i rimanenti.

I eoni eubici delte rette della V~ ustenti da A e B si proiettano in due eubithe gobbe k~ e h~ situate in ~ e it rispettivamente, le quali hanno due punti eonmni su l, come i toni obbiettivi hanno due punti eomuni sulla qua- driea passante per A e B.

Un iperpiano the passi per I'S, tangente in un punto A alia V~ e poi passi per un altro punto X della V~ tontiene la quadriea della V) ehe passa per A ed X poieh~ ne eontiene il punto X e due rette per A, dunque la se- zione iperpiana della V~ ad essa corrispondente ~ riempita da ~ ' quadriehe passanti tutte per A.

Ne segue ehe se si considerano gli iperpiani passanti per B e per l '& tangente alla Vi nel punLo A, essi tagliano la V~ in V~ per B con un punto doppio iJg A the si proiettano in eoni quadriei delia V~: preeisamente in eoni quadriei formati dai piani del sistema [~.]. Uno di questi toni quadrici sara la residua intersezione delia V~ con un iperpiano (S~) del suo spazio pas- sante per ~: quindi esso conterr~, un piano di ~ e avr'h il yet'flee su ,~.

Anzi, se si osserva ehe un iperpiano passante per B e per I'S, tangente alla V~ in A contiene tre rette della VX uscenti da B, di eui due si appog-

(~) L 'ordine di questa V 6 pub calcolarsi mediante le formule date dal prof. SEOaE nella Nota citata al n. ° 9. I piani tr isecanti della V~ riempiono poi uaa V~.

S c o r z a : L e var ie t~ a curve sez ioni ellittiche. ~67

giano al cono cubico delle rette uscenti da A, mentre la terza si appoggia in un punto a ciascuna delle ~1 quadriche costituenti la sezione della V~ col considerato iperpiano, si conclude che gli ~ coal quadrici ora considerati hanno i loro vertici sulla cubica k~.

Nello stesso modo si dimostra che k~ ~ il luogo dei vertici dei coal qua- drici intersezioni residue della V~ con gli iperpiani passanti per ~, e dopo cib ~ chiaro che k~ e h i sono linee doppie della V~.

Notisi che i piani di [~] tagliano :¢ nelle corde di k~, e i piani di [~] ta- gliano ~ helle corde di k~, quindi gli S~ che proiettano, per es., i piani di [:¢] da due piani di [~] descrivono intorno a questi due piani due stelle proiettive.

Questo dimostra che la V] di cui qui si parla ~ caso particolare della V~ studiata dal prof. VENERONI (*) e generabile mediante stelle di iper- piani proiettive. La sestica ellittica che nel caso generale ¢ostituisce il solo luogo di punti doppi della V~ si spezza qui nelle due cubiche gobbe k'. e k l .

60. ° Molto pifi notevole ~ la V~ di S~ che si ottiene proiettando da tre suoi punti generici A~, A~, A~ la V~ di SEGRE.

Come gi~ si ~ detto, questa V~ contiene due sistemi ~'~ di piani e te- nendo conto, per es., della sun rappresentazione sulla variet~ delle COl)pie di punti di due piani, si vede subito che essa contiene oo' quadriche ordi- narie e o~ ~ superficie di VEnONESE per modo che per due suoi punti ge- nerici passa u n a quadrica e per quattro puntl generici u s a superficie di VERONESE.

Allora i sei piaui di V~ uscenti da A~, A~, A~ e le tre quadriche pas- santi per (A~, A~), (A2, A,) e (A~, A~) hanno per immagini hove rette doppie della V~, e inoltre, i due sistemi di piani della V~, le tre reti di quadriche passanti per A,, A2, A~ rispettivamente e la fete di superticie di VERONESE passanti per A~ A~ A~ danno luogo a sei sistemi ~'~ di piani della V~, i piani di ciascun sistema appoggiandosi in punti a tre di quelle hove rette.

La V~ contiene nose $3 congiungenti le nove coppie di rette sghembe che possono formarsi con le nove rette doppie, etc., etc., etc.

Questo basra per riconoscere che la V~ a cui si perviene ~ quella stu-

(~) Intorno ad uu fascio di varieN~ cubiche clello spazio a cinque dimeusioui (Bendic. del R. Ist. Lombardo di scienze e lettere, serie II, t. XXXVIII, 1905).

Annali di Matematica, Serie III, Tomo XV. 35

~68 S c o r z a : L e var ie t~ a curve sezioni eilittiehe.

diata gi~ dat prof. PERAZZO (*) in una sun Nora del 1901 e della quale

per tanto po t rebbe rifarsi con tu t ta facilifft [a teoria par tendo dalla V~ di

SE RE (**).

§ IV.

LE ALTRE VARIETA A CURVE SEZIONI ELL1TTICHE.

61. ° La discussione fatta per le variet~ a quat t ro dimensioni d imost ra

gi'~ che una V~ di S,+~ ~. non conica per k ~ 4 non pub avere che l 'ordine

n ~ 5, 6 (***); ma 6 facile vedere che anche per n-----6 e k ~ 4 le V~ si ridu-

cono a coni. Sia (poich6 basra limitarsi al caso di k ~ 5) V~ una variet'~ a

curve sezioni elliffiche di S~. La sua sezione iperpiana generica sa ra :

a) una V~ di SEGRE, oppure b) -una V~ con piano doppio, s i tuata sopra una V** proiet tante da ua

piano una superticie di VERO~ESE; e non saranno possibili altri casi se non si vuol supporre tin dal prin-

cipio che V~ sin un cono. Nelt ' ipotesi a) la V~ sar~t rappresentabi le punto per puu to sopra un S~

e le sezioni iperpiane av ranao per immagiui le forme cubiche di un sis tema

l ineare ~ passant i per una variet~ K del 3. ° ordine e a ire dimensioni si-

tua ta sopra una quadr ica Q. Di pi6 le sezioni iperpiane generiche di K e

di Q dovranno essere una rigata cubica normale e il cono quadrico a tre

dimensioni con ret ta doppia c h e l a proiet ta dalla sua direttrice. Ma allora Q

dovr~ avere un piano doppio ~) e K dovr~ essere il luogo di ~ piani ap-

(~) Sopra una forma cubica con hove rette doppie, etc. (Atti della R. Accad. dette Scienze di Torino, i901).

(~*) Sulle forme cubiche dell'S~ cui danno luogo per proiezioni le Vs a curve sezioni el- littiche non giova fermarsi dopo la nota ed esauriente trattazione del prof. SEGaE. Pure non

sar~ fuor di luogo notate incidentalmente come lo studio della V] di $4 con 10 punti doppi

diventi rapidissimo quando si cousideri la V] come proiezione da cinque suoi punti gene-

rici della V~ (di So) di VERONESE. (~*~) Infatti per n :> 6 ogni sua sezione con un S,q-~ 6 una V4 normale a curve sezioni el-

littiche e tale V~' per ~ ~ 6 6 un cono.

S c o r z a : L~ var i e t~ a curve sez ioni ellittiche. ~69

poggiati ad co secondo rette. D'altra parte una V~ di S~ riempita da ~ ' piani, che non sia la V~ razionale normale (e K non sar~ una tale V] perch~ ha un piano direttore) non pub essere che un cono proiet tante da un certo punto 0 una rigata cubica normale, quindi K coincider~ con un tat cono e Q sar~ la. quadrica con piano doppio ehe lo proietta dal suo piano direttore.

Cib posto si consideri in un & una W~ ot tenuta proiet tando da un punto V una V~ di SEGRE e presa una sun qua lunque cubica gobba C ~ si immagini di proiettarla dallo spazio di questa C ~ sopra un & .

Da un punto della C ~ escono due S~ della W~, cosicch~ variando il punto su C ~, si hanno due serie ~ di S~, il luogo dell 'una (*) essendo una V] conica col vertice V proiet tante da V una V~ razionale normale di un S~, il luogo dell 'altra essendo una V~ conica proiet tante da V una V~ razionale normale (luogo di c~ ~ piani) di un & . Segue allora che l ' immagine della V~ nell'S~ su cui si fa la proiezione sadt un piano passante per l ' immagine V" di V, poich~ la V~ sta in un S~ passante per C ~, e che l ' immagine dell~t V~ ~ una V] conica col vertice in V', ogni S~ della V~ avendo per imma- gine un & della V~, poich~ sta con la C ~ in un & . Ma allora il sistema detle forme cubiche rappresentante Ie sezioni iperpiane di W~ ~ un sistema riducibile per trasformazione omografica al sistema di forme cubiche della V~ prima considerata, dunque V~ ~ un eono al pari di W~.

Netl'ipotesi b) la V~ dovendo esser tagliata da ogni iperpiano in una V~ con un piano doppio, dovr~ possedere un S~ doppio 3; e dovendo esser ta- gliata (si vede subito) da ogni & per ~ in quat tro & , si comporrh di c~ ~ & appoggiati a 3 secondo piani. Di pifi gli ~ S, proiettanti da 3 questi ~ S ~ saranno gli & proiettanti da 3 i punt i di una certa superficie di

VERONESE. Ognuno degli ~ : coni quadrici proiettanti da ~ le coniche di questa su-

perficie conterr~ della V~ una V~ ehe, dovendo esser tagliata da ogni iper- piano in una V] conica, sarh una V~ ot tenuta proiet tando da una certa retta una rigata eubica normale, dunque avremo in 8 ~ piani, traeee su ~ degli ~ & della V~, e ~ retle, vertiei della oc. ~- V~ corrispondenti alle ~ " coniche della superfieie di VEROh'ESE. Poieh~ ogni & della V~ fa parte di ~ V~,, eor-

(~) Da un teorema dimostrato precedentemente (n.o 29) segue che una V~ di SmG~E con- tiene due sistemi oo l° di cubiche gobbe e che i piani della V~ uscenti dai punti di una sua cubica gobba riempiono due lrs, distinte, razionali normali, la prima dew ordine 3, la se- conda dell'ordine 6.

270 S c o r z a : Le variel~ a curve sezioni ellittiche.

rispondentemente al fatto che per ogni punto di una superticie di VERONESE passano oc ~ coniche, concludiamo che quelle ~ - rette di 3 formano una con- gruenza con oc"- piani singolari, cio~ una stella ordinaria di centro V. Ma allora la V~ ~ un cono di vertice V, c. d. d.

6~2. ° Per dimostrare invece l'esistenza di V~ (appartenenti a spazi a 8 dimensioni) e V~ (appartenenti a spazi a 9 dimensioni) a curve sezioni el- littiche non coniche, ammettiamo provvisoriamente che una V~ esista e stu- diamone le proprietor della rappresentazione sopra un St.

La rappresentazione sarh ottenuta mediante proiezione dal piano di una conica della V~: le immagini delle sezioni iperpiane saranno forme cubiche con una V~ base, luogo di ~ ' S~, dotata di un piano doppio 3 (poich~ ogni S~ dell'St deve tagliarla in una V~ con un punto doppio improprio), e i l resto degli iperpiani dell'S0 rappresentativo rispetto at sistema di queste forme eubiche sara: il cono quadrico proiettante da ~ la VI.

La VI, essendo costituita da oc' S~, potr~ considerarsi come proiezione di una W~ razionate normate di S~ da un punto esterno O. Considerando la W~ come rappresentata, nel modo indicato dal prof. SEG~E, sopra la va- rieth delle coppie di punti di una retta, r, e di un S~, :(, si vede subito che essa contiene ~ ' quadriche ordinarie, ognuna di esse essendo rappresentata dalle coppie di puuti di r e di una retta di ~, e si vede anche che per ogui coppia di punti delia WI di queste quadriche non ne passa che una sola. Gti S~ di queste oc ' quadriche riempiono semplicemente I'S: della W~, quindi la VI essendo ottenuta dalla W~ per proiezione da 0 conterr~ (come appunto si voleva) un piano doppio ~ e oc ' quadriche ordinarie.

Ora ~ chiaro cbe gli S:~ dell'St rappresentativo eontenenti le quadriche di VI (in parLicolare, uscenti da 3) rappresentano S~ della V~ e poich~ gli S.~ uscenti da 3 tagliano su quattro S~ contenenti quattro quadriche generiehe della VI quattro spazi omografici, anzi prospettivi, si conclude che gli ~ s S~ della V~ aventi per inimagini gli ~ S~ dello spazio rappresentativo uscenti d a ~, formano sulla V~ un sistema ": che si pub immaginare come generato congiungendo i punti omologhi di certi quattro S, proiettivi, aventi (come le loro immagini) due a due un punLo comune e in esso un punto unito.

Arrivati a questo pnnto si potrebbe dimostrare l'esistenza della V~ fa- cendo vedere che si possono costruire in un S, quattro S~ proiettivi eosi che gli S~ congiungenti i punti omologhi generino una V~, ma si pub evitare ogni ulteriore ragionamento osservando che una V~ del tipo di quella che andiamo cercando (e tutte queste V~ sono proietti~;amente identiche) 6 tbr-

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche. 271

nita senz'altro dalla V~ d[ $9 che rappresenta nelta nota maniera la variefft delle retie di uno spazio a quat t ro dimensioni.

Allora non solo resta dimostrata l 'esistenza delle V~ di S~ e delle V~ di S~, ma si vede anche la ragione int ima di alcune propriet~ proiettive gih esaminate delle V~ di S~ e delia V~ di S ¢ e si ha una via sempl[ce per to studio de]la V~ di S~ e della V~ di S~ (*).

Cosi per es. la V~ di S~ potr;~ rappresentarsi sulla varieff~ delie rette di un complesso lineare di S~, quindi conterrh un S~ e ~ ' S.. appoggiati a questo in punti, etc., etc.

Si osservi ancora come dalie cose de[re qui intorno alla rappresenta- zione della V~, della V~ e della V~ sopra un S~, un S~ o un S~ e da quelle stabilite dai proff. ENRIQUES e DEL PEZZO intorno alia rappresentazione delle V~ e V~ sopra un S~ o un S~, risultino delle notevoli rappresentazioni :

a) della variet~ delle rette di un S~ sopra i punt i di un S~ ;

b) delle rette di u~ complesso linez~re eli un S , sopra i punl i di un S~;

c) delle rette comuni a due, tre o quattro complessi lineari di un S~

sopra i pun t i di un $4, di un $3 o di un S~.

Nel 1. ° caso, le immagini dei vari complessi lineari dell 'S,, in tutti gli altri, le immagini delle intersezioni della variet'h considerata con i vari complessi lineari dell 'S, sono costituite da forme cubiche a 5, 4, 3, 2 e 1 dimensioni.

63. 0 Dimostr iamo ora che per k : > 6 anche le V~ di S~+~ si r iducono a coni, e per questo basta limitarsi al caso in cui k = 7.

Supponiamo per un momento che V~ sin una variefft a curve sezioni ellittiche di S~0 e facciamone la proiezione sopra un S~ dal piano di una sun conica qualunque. La proiezione risulter'~ biunivoca e la variefft base del sistema ~ ' ° delle forme cubiche immagini delle sezioni iperpiane dovrh es- sere una V~ riempita da oc ~ S~. Ora se si indicano con m', m', m", m '~ gli ordini delle V~, V~, V~, V, direttrici m[nime che tagliano in So, S~, S~ o S~ gli S, generatori di una W~ razionale normale di cui questa V~ sia (eventual- mente) proiezione, deve aversi m' ~ m " - - m' -~ m " - - m " ~_~ 4 - - m" (**) e d'altra parte ~ impossibile soddisfare a .queste disuguaglianze con humer i interi,

(~) In particolare si potranno scrivere le equazioni delle V~ (k ~ 6, 5, 4, 3, 2) di Sk+a: esse si otterranno in ogni caso ponendo cinque equazioni quadratiche fra le coordinate correnti.

(-x-~¢) BELLA.TALLA, S~tl~e variet(~ razionali normali, etc. (Atti della R. Aecad. delle Scienze di Torino, Vol. XXXVI, 1901).

~72 S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni eUittiche.

dunque la V~ ~ necessariamente un cono, e alloI'a segue nel solito modo che anche la V~ ~ un cono ottenuto proiettando da un punto una V~ di So.

6~. ° Riassumendo le ricerche qui compiute possiamo dire: UJta V~ a curve sezioni ellittiche o ~ una ~ ' elli#ic(~ di S~._, o, s e n ~ 3,

razionale. In. quest 'ultimo caso o ~ u n cono o ~ proiezione di unc~ W~ nor

mode non corsica di uno spazio a n - ~ - k - 2 dimensioni. 0 Le W~ razio~ali normal i no~ coniche di S,,+~._~ si riducono poi per k ~ o

(ed n ~ 3 ) : a) alle V~ basi dei fasci di quadriche di un S~.+~,

b) alla V~ di S~ che rappresenta nel solito modo la variet(~ delle rette

di urt S , , e alle V~ (di Ss) e V~ (di S~) che si otteJ~go~w da ess~ ta,gliandola

mediante spazi a 8 o 7 dimensioni,

c) alla V~ (di S~) del prof. SEGRE e alla ~ ~ (di S~) intersezione residua

di un cono Vt proiettante dce u n p iano una superficie di VERONESE e di una

quadrica che pas sa pel vertice di V~ ed ha comune con esso uno dei suoi ~ '

coni quadrici a quattro dimensioni.

65. ° Tenendo presente la rappresentazione della V~ di S~ sopra le rette di un S~ si vede subito che essa contiene ~ S~, gli oc' S~ uscenti da un punto qualunque costituendo una V~ proiettante da quel punto una V~ ra- zionale normale: tall S~ hffatti non sono altra cosa che !e variet'~ della V~ corHspondenti alle rette dell'S, useenti dai vari suoi punti.

Sulla V~ si hanno ancora ~ quadriche a quattro dimensioni, per due punti generici della V~ passandone una sola; esse corrispondono agli ~ spazi (ordinari) rigati dell'S, e quindi si tagliano a due a due ia piani.

Le due V~ costituite dagli S~ che escono da due punti A e B della V~ si tagliano in una F~: la quadrica V~ passante per A e B contiene due si- stemi ~ ' di S~ passanti per A e due tali sistemi per .B; dei due sistemi per A (o per B) uno ~ formato di S~ si tuati negli S~ per A (o per B), l'altro di S~. direttori della V~ da essi costituita; inoItre tale quadrica V~ contiene la V~ secondo cui si tagliano le due V~.

Infine si vede facilmente che un iperpiano il quate passi per l'S0 tan- genre in A alla V~ e poi per ua punto X della variet~ stessa, contiene la quadrica V~ passante per A e per X perch~ ne contiene una V] ed un punto: dunque una sezione della V~ con un iperpiano tangente ~ composta di oc' V~. Cib che del resto ~ immediato se si pon mente all' S~ rappresentativo.

66. ° 0 ra supponiamo di proiettare la V~ di S~ da due suoi punti A e B sopra un S~. Si avr~t una V] con due S~, ehe rappresenteranno i punti della V~ infinitamente vicini ad A e B e che chiameremo ~ e it.

S c o r z a : Le variet~ a curve sezioni ellittiche. 173

La quadrica (a quattro dimensioni) della V~ che passa per A e B, stando in un S~ per A e B, si proietta nell'S~ )~ comune ad ~ e ~, e si riconosce subito che ogni punto di ), ~ doppio per la V].

Le ~ V~ per A danno luogo a ~ " S, della V~ costituenti un sistema [¢¢]; cost si hanno altri ~ S~ costituenti un sistema [~].

Gli S, di [~] si appoggiano ad ~ secondo S~, e cosi quelli di [~] a 8. Due S, di uno stesso sistema si tagliano secondo una retta: due S~ di

sistemi diversi si tagliano in un piano. Le due V~ di V~ usceati dai punti A e B danno luogo a due V~ razio-

nali normali situate in ~. e ~ ; e come le due V~ hanno comune una V~ sutla V~ per A e B, cosi le due V~ in ~ e ~, che chiameremo K~, e K~, hanno comune una V~ sull'S~ )~.

Una sezione iperpiana con put, to doppio in A si proietta in una qua- drica contenente ~ S~ residua intersezione della V] con un iperpiano (S~) del suo spazio passante per a; tale quadrica V], contenendo ~ ' S, , ha un piano doppio situato in ,~, anzi su K~. E 1o stesso pub ripetersi per il punto B.

Ne segue the la V~, oltre lo spazio doppio k, ha anche due V~ doppie, K~ e K~, te quali si tagliano su ). in una quadrica ordinaria; gli S, di [:¢] tagliano ~ nei piaui di / ~ e a negli S~ contenenti le quadriche (ordinarie) di K~, e aualogamente per gli S, di [8], etc., etc.

Tutto cib dimostra c h e l a V] in discorso ~ caso particolare della V~ che si ottiene in un S~ come luogo degli S, secondo cui si tagliano gli iperpiani omologhi di tre stelle proiettive aventi per centri tre S , .

Tale V] contiene due sistemi ~ " di S~ e ha una V~ doppia a curve se- Zioni ellittiche con due sistemi di rette; quindi essa ~on ~ altra cosa che la variet~ delle corde di questa V~ (n. ° 58).

II suo studio, allora, ~ implicitamente contenuto in quello della V~ con- tenente le corde di u[m V~ det SEGRE, forma cubica che d~ per sezione con un S~ la forma studiata dal prof. VENERONI nel lavoro che gi~t abbiamo avuto occasione di citare.

Notisi c h e s e si volesse considerare la forma cubica generata da tre stelle proiettive di iperpiani di un S, aventi per centri tre S0 (e lo stesso dicasi per spazi di dimensione pid elevata) questa non presenterebbe pifl alcun interesse, perch~ si r idurrebbe ad un cono; ad un co~m, cio~, proiet- tante dal punto comune a i t r e S~ una V~ di SEGRE.

Palermo, marzo ~908.