S~minaire BOURBAKI

3Oe ann6e, 1977/78, n ° 518

518-O1

F6vrier 1978

LA DEMONSTRATION DE FURSTENBERG DU THEOREME DE SZEMEREDI

SUR LES PROGRESSIONS ARITHMETIQUES

par Jean-Paul THOUVENOT

Introduction

En 1936, ErdSs et Turin ont conjectur6 que dans toute suite d'entiers de densit6

positive, on peut trouver des progressions arithmitiques de longueur arbitraire.

K. F. Roth [4] a montr6 que c'6tait vrai pour les progressions de longueur 3 et

E. Szemeridi a dimontr6 la conjecture en toute g6n6ralit6 dans [5]. Sa d6monstration

est combinatoire. H. Furstenberg a donni darts [2] une d6monstration enti~rement

diff6rente du Th6or~me de Szemer6di apr~s l'avoir traduit en un inonc6 6quivalent

dans le cadre de la th6orie ergodique. Nous donnons ici une prisentation de son

travail. La strat6gie que nous suivons est essentiellement conforme ~ celle de [2],

et il n'y a, m~me dans les itapes interm6diaires, aucun risultat qui ne soit prati-

quement contenu dans [2]. Mais le point de vue g6n6ral, les d4monstrations, sont sou-

vent diffirents. Ce point de vue, toutes ces d6monstrations sont dus ~ la colla-

boration de D. Ornstein, Y. Katznelson et S. Varadhan et ont it6 expos6s ~ Paris VI.

par Y. Katznelson dans son cours de 3~me cycle (Automne 1977).

D~FINITION I.- Une partie E de ~ est dite de densit6 asymptotique positive s'il

existe un nombre ~ strictement positif et deux suites d'entiers % , M~ , ~ ~ 1 ,

telles que :

(a) N~ - M e - - ~ +~ quand ~ -~ +~ ,

I (b) N$ - M E card(E A [Me , N£]) ---> ~ quand e----> + ~

Notre but est de montrer le

TH~OP~ME I (Szemeridi).- Si une partie E de ~ a une densit6 asymptotique posi-

tive, elle contient, pour tout entier positif k , une progression arithm~tique de

longueur k .

Pour le d6montrer, nous produisons d'abord un nouvel inonc6 :

TH£OREME 2 (Th6or~me ergodique de Szemer6di-Furstenberg).- Si T est une bijection

bimesurable pr6servant la mesure de l'espace probabilisi (X , ~ , m) , 6tant donn6

k un entier plus grand que 2 et un ensemble A dans ~ tel que m(A) > O ,

il existe un entier n tel que m(A Q TnA P T2nA n...n T(k-1)nA) > 0 .

Lemme I.- Le Thior~me ergodique de Szemer6di-Furstenberg entra[ne le Thior~me de

Szemeridi.

221

518-02

D6monstration

Soit E une partie de 2Z de densit6 sup6rieure ~ strictement positive. Cela

entra~ne qu'il existe une moyenne L sur 77 invariante par la translation S ,

(Sx = x + I) , telle que L(E) = ~ . Soit X = ({0} , {I]) ~Z muni de la transla-

tion T (i.e. si x = (Xn) n6ZZ ' Tx = (Xn+1 )n 6ZZ ). Etant donne- un cylindre de X ,

: E l . - _ c = (x = 6 , x I ,.. , x = ~ ) o{/ E : O ou I , 0 < i < r , on pose

o o r r i

(I) m(c) = L(E n SE E ~] $2E£ N ... ~ SrE

o 1 2 r = = E c si E : O . o{] E 8 : E si £i I , E i

i i

Alors m d6finit une mesure de probabilit6 T-invarlante sur X muni de la tribu

91 associ6e ~ sa structure d'espace produit. Si on prend pour A l'ensemble

(x = I) , m(A) : ~ , et le th6or~me 2 se traduit ~ l'aide de (1) par l'existence o

d'un entier n tel que

L(E N SnE n S2nE P, ... ~ s(k-1)nE) > O

et les progressions arithmetiques de longueur k , de pas n ,dans E , ont une

densit6 asymptotique positive.

Remarque.- On peut montrer directement que l'implication r6ciproque dans l'inonc6

du lemme 1 est vraie.

On appelle syst~me, et on note (X, 9], m,T) la donnee d'une bijection bime-

surable, pr6servant la mesure, de l'espace probabilis@ (X , 9/ , m) . Le syst~me

(X , 9/ , m , T) est dit ergodique si m(A ATA) = 0 entra~ne m(A) : O ou I . I1 est

dit faiblement m~langeant si son carre cart~sien (X × X , 9/6 9/ , m~ m , T x T) est

ergodique.

DEFINITION 2.- Soit (X , 9/ , m , T) un syst~me. Un ensemble A de 91

tive est dit (L.B.) si, pour tout entier k > O , il existe un nombre £ > O et un

entier L > 0 tels que la suite des entiers n 6 ~ pour lesquels

m(A n TnA ~ T2nA Q...Q T(k-1)nA) > E soit ~ lacunes born~es par L . 8i tout ensem-

ble A de 9] est (L.B.), on dit que le syst~me (X , 9] , m , T) a la propri~t6 (L.B.)

On va montrer, en fait, un r6sultat un peu plus fort que le Th6or~me 2.

THEOREME 2' - Pour tout syst~me (X , 9/ , m , T) , si A E 9/ et m(A) > O

N

I lim inf ~ ~ m(A ~ TnA ~...~ T (k-1)nA) > 0 .

N n:1

Pour d~montrer ce r~sultat, on va parcourir un certain nombre d'etapes dans

le domaine de la th4orie ergodique.

de mesure posi-

222

518-O3

(X , ~ , m , T) est faiblement mElangeant et si fl ' f2 .... ' fk sont Lemme 2." Si

k fonctions de L~(X , ~] , m) , alors :

N In~_1 n 2n kn / / / I I~ T fl T f2 "'" T fk - fl dm f2dm ... fkdm ~ O ,

: 2

quand n ~ ~ [Par Tnf , on dlsigne f o T n .]

DEmonstration

Ce rEsultat se dEmontre par r/currence. Pour k = I , c'est exactement le Th6or~me

ergodique de Von Neumann. Pour le montrer au rang k , il suffit de prouver que si

1 n~=l n 2n T k n f e t s i f k d m = O a l o r s Mk(N) ~ 0 ~ ( N I = ~ = T f l T f 2 " ' " k

quand N----> + ~ . Soit H un entier positif. Alors : N n+H

(Mk(N))2 < O + N "'" k n:1 H j:n

N

o(H) I ~ Z H-lji f j n 2j T(k-1 + N 2 (fl T fl)T (f2 T f2)... )n(fkTk3f k) dm

n:l ~jI-<H H

On a utilisE que x 2 est convexe, que les f sont uniformiment bornEes dans L ~ 1

et que T priserve la mesure.

Si £ > O est donne et si N > NI(H) , l'hypoth6se de recurrence entra~ne :

( M k ( N ) ) 2 < O ~ + e + 2 " 1 dm . . . . . IjI<H H

Comme T est faiblement milangeante et comme Ifk dm = O , on a que ]

ffkTkJfk dm --) O quand j--~ + ~ sur un ensemble de I . ICe densitE rEsultat

"classique" se volt ais~ment en appliquant le ThEor~me de Von Neumann

fk(x)fk(x') dans le cart6 cart4sien de (X , 9/ , m, T) .3 On choisit H de fagon

. I1 existe alors N 2 tel que

sont isomorphes s'il

tels que

que la derni~re somme soit plus petite que

N > N 2 entraine (Mk(N))2 < 3E .

DEFINITION 3.- Deux syst~mes (X , ~, m, T) et (X , ~ , m , T)

existe deux ensembles invariants X I dans X e t Xl dans

m(X1) = m(Xl ) = I et une bijection bimesurable ~ d_~e X I su___rr Xl qui envoie m

sur m et telle que pour tout x de x I , ~ ~(x) = ~ T(x) .

Darts toute la suite, tousles systSmes que nous considSrerons seront dlfinis

sur un espace de Lebesgue : c'est-~-dire que (X , ~ , m) sera isomorphe au segment

[O , I] muni de sa tribu borElienne et de la mesure de Lebesgue. Le lemme suivant

est d~ ~ Rohlin ([I], [3]).

223

518-04

Lemme 3.- Soient (X , ~ , m , T) un syst~me ergodique et ~ une sous- a -alg~bre

T-invariante de ~ (i.e. si B ~ ~ , TB ~ ~ ). Alors, il existe un syst~me

(Xl ' ~I ' ml ' TI) et une application mesurable x --~ ~x ' x ~ X I ,dans les bijec-

tions bimesurables pr6servant la mesure de (X2 ' ~2 ' m2) telles que le systSme

(Xl ×X2 ' ~I ® ~2 ' ml ® m2 ' ~) oh la transformation T est difinie par

T(x I , x 2 ) : (T1(x I ) , ~x1(X2)) soit isomorphe ~ (X , ~ , m , T) de telle maniSre que,

dans cet isomorphisme, la tribu ~I x X 2 soit envoy6e sur ~ .

[L'espace des transformations qui pr6servent la mesure sur (X2 ' ~2 ' m2) est muni

de la structure borilienne associ6e ~ la m6trique d(~1, 92) = ~ _j_1 m2(91A n h~2A n) n~O 2 n

oh An d6signe une suite dense d'ensembles dans ~2 "]

Remarque.- Dans cette d6composition le syst~me (XI ' ~I ' ml ' TI) est canonique

[on le notera (X~, ~ , m , T) ] mais la famille 9x ne l'est pas. [La sous-tribu

de ~ image de ~2 × Xl n'est pas canonique.]

Conservant les notations du le[[mle 3, on introduit la

DEFINITION 4.- Etant donne (X , ~ , m , T) un syst~me ergodique et ~ une sous-

O-alg~bre T-invariante de ~ , on appelle produit cart6sien ~-fibr~ et on note

(X, ~, m , T) x~ (X, ~ , m, T) le syst6me

(X I X X 2 × X~, ~1 ~ ~2 ~ ~2' ml ~ m2 ~ m~, T) d6fini par

T(Xl, x2, x~) = (T1Xl, ~x1(X2) ' ~x1(X2)) . [(X~ , ~ , m 2)' est une copie de

(X2' ~2' m2) "]

Ii est ais6 de v6rifier que ce syst~me est bien difini ind6pendamment du

choix de ~x " On dit maintenant que (X , ~ , m , T) est ~ relativement faiblement

milangeant si (X , ~ , m , T) x~ (X , ~ , m , T) est ergodique.

Lemme 4.- Si

f l , f 2 , . . . , f k N

1 n (T fl T f2"

n=1

Eon note f = E~Sf .]

D6monstration

(X , ~ , m , T) est ~ relativement faiblement m61angeant, et si

sont k fonctions de L~(X , ~ , m) alors

2n- .Tkn[ "'Tknf - Tnfl T f2 "" ) ---~O quand N--~ + k k 2

Pour k = 1 , le lemme est vrai pour la m6me raison que pr6c6demment. Or

224

N

1 ~ n 2n knf n- 2n- kn- 2 n=1 (T f l T f 2 " ' ' T k - T f l T f 2 " ' ' T fk )

k-1 N

< ~ (I 1 Z (Tnfl ---T3n~.T(j+I" . . .Tknf j=O n=1 ] )nfj+1 k

n- j+2 ) nf kn 2 ) - T fl...T(J+1)nfj+iT( j+2...T fk )

Ii suffit donc de prouver que N

I ~-- n- 2n- ' ' kn ~,j(N) = ~ n~=1= T fl T f2"''T]n~3T(3+l)nfj +I"''T fk 12

v~rifie Mk,.(N)__> O quand N--> + ~ et quand fj+1 = 0 , 0 g j ~ k- I . 3

Un calcul identique ~ celui de la d~monstration du lemme 2 nous donne ( H est

un entier positif) N

+ I ) T T " %,e,

518-05

)Tn(f2T2~f2)...TJn(fj+iT(J+1)~fj+1)..

..T(k-1)n(fkTk~fk)d m Si E > O est donnl et si le lemme est vrai jusqu'au rang k - 1 , alors il existe

N I(H) tel que si N > N I

• . . II •

Mais comme T est • relativement faiblement m~langeant,

(fj+1"T(J+1)~f L2 j+1) J 0 (~j+1 = O) quand 6 ~ + ~ sur un ensemble de

densit4 I . [On le voit en appliquant le th4or~me ergodique dans le produit fibr4 L

)f .(x ,x') Alors I T .I(fj+IT~fj+1 )2dm ~ 0 La d4monstration

6=I s'ach~ve maintenant comme celle du lemme 2.

Remarques.- I) Le lemme 4 est encore vrai dans le cas suivant :

Dans le syst~me (X,T) x (X,T 2) × ... x (X,T k) , la tribu des ensembles inva-

riants est contenue dans • ~ ~ ~ ... ~ ~ (k fois).

2) Ce lemme dit que si tousles ensembles d'une sous- o -alg~bre ~ de ~ sont

(L.B.) et si T est ~ relativement faiblement m~langeant, alors T a la propri~t~

(L.B.). [En particulier, le Thlor~me 2 est vrai si T est faiblement m41angeant.]

D~FINITION 5.- Soit (X , ~ , m , T) un syst~me ergodique. Soit H un espace homog~ne

d'un groupe compact m4trisable muni sur sa tribu bor~lienne ~(H) de la mesure

image de la mesure de Haar de G et ~ une application mesurable de X dans G ;

le syst~me (X x H , ~ ~ ~(H) , m ~m,~) difini par ~(x,h) = (T(x) , ~(x)h) est

225

5 18-06

appel6 extension isom6trique du syst~me (X , ~ , m, T) .

Lemme 5.- Soit (X , 9/ , m, T) un syst~me ergodique. Soit ~ une sous- O-alg~bre T

invariante de 9/ . Si T n'est pas ~ relativement faiblement m~langeant, il

existe une sous-O-alg~bre ~ de 9/ , T-invariante contenant ~ strictement,

telle que le syst~me (X, ~, m, T) soit isomorphe ~ une extension isom~trique de

(~,~, m, T) .

D6monstration

L'hypoth~se entraZne que (X , 9/ , m, T) x~ (X , 9/ , m , T) est non ergodique. On reprend

les notations du lemme 3 et de la d~finition 4. Soit I un ensemble ~-invariant de

mesure positive diff~rente de I dans X I x X 2 × X~ . Si x = (x I,x2) et

x = (Xl,X2) sont deux points de X I × X 2 , on pose :

d(x,x) = ~ I II(X1'X2'X ~) - li(x1'x2'x2) I dm~ .

d(x,x) d6finit une pseudo distance sur X 1 x X 2 . L'invariance de I entra~ne :

d((x1,x2),(Xl,X2) ) = d((TlX I , 9x1(X2)),(T1Xl , 9x1(X2)) . [ ~x I est une isom6trie

de x I x X 2 sur T1x I x X 2 .] Soit B(Xl,X2,S) pour designer la boule de centre

(Xl,X 2) , de rayon £ , associ4e ~ d .

(I) Pour tout n ~ I , la fonction (x1'x2) ----~ mx1(B(x1'x2'!))n est T-invariante

et ~gale presque partout ~ une constante positive, car T est ergodicfue et I

pas ~-mesurable. [Par mxl , on designe la d6sint6gration de m suivant X I :

~X 1 mxl(A)dm I = m(A) .]

1 I On prend X I tel que m1(Xl) = 1 pour lequel toutes les fonctions pr6c6dentes

sont constantes partout.

n'est

I (2) Pour chaque x I 6 X I , la fibre (x I x X 2) est pr6compacte .~ soit £ > 0 . Si

i c Bx1(X 2 , [) , i~ I , est une famille maximale de boules disjointes, alors I est

i E i E) fini d'apr~s (I), [ Bx1(X 2 , [) = (x I X X 2) N B(Xl,X~,~) ]et les Bx1(X 2 , ,

I i ~ I , forment un recouvrement de (x I x X 2) . Pour chaque x I dans X I , soit

(x1,H(Xl)) l'espace compact, qui est le s6pari compl6t~ de (x1,X2) muni de la

m~trique d . Si (Xl,X2) est dans (x1,X 2 ) , on note (x1,~2) sa classe dans

(x1,H(Xl)) .

(3) Ii existe un ensemble 2 1 2

X I C X I , m(Xl) = I tel que pour tout couple de points

226

518-07

(Xl,h I) (x2,h 2) o{/ x I x 2 sont dans X 2 ' ' I , il existe une isom~trie 9 de

(x1,H(x~)) sur (x2,H(x2)) telle qua ~(Xl,hl) = (x2,h2) : en effet, il existe

un point (x ,x ) , une suite de nombres positifs £ O , et une suite d'ensem- o o k

bles A k de mesures positives, contenant (Xo,X o) , de diam~tres plus petits que

et tels qua si (x,y) est dans k

m x mesure plus grande qua 1 - £k

fibre (Xo,X 2) .

[Pour voir cel~, on note qua

A k , alors une partie de la fibre (x,X 2)

soit contenue dans le voisinage V de la £ k

de

£ £

(I) il y a une suite ~k ~ __kk telle qua mx(B(x,y, ~)) > 10 ~k V (x,y) dans I 2

X 1 × X 2 ;

k (2) il y a pour tout k une reunion finie de cubes disjoints K , j 6 J , tels

] que m((O Kk) ~ I) < 4

j 3 ~k I

(3) si E k e s t l ' e n s e m b l e d e s ( X l , X 2 ) d a n s X 1 × X 2 t e l s q u e

(I ~ (U Kk)) < ~k ' m(Ek) > 1 3 mxl,x 2 j ] - ~k ;

(4) si F k est l'ensemble des x dans X I tels qua mx(Ek) > I - ~k l

2 m1(F k) > I - ~k ;

(5) si ~k] est la partition de X I dont les il4ments sont PrxI(K~), (Prx1(Kk))c3 '

la r4union ~k des atomes p de V ~k tels qua m1( p n F ) > (1 - ~k)m1(P) j E J ] k

a une mesure plus grande qua 1 - ~k et on prend (Xo,Xo) dans

k

ergodique ponctuel entra2ne qu'il existe un ensemble X~ de mesure I th~or~me Le

2 tel qua, pour tout x I de X I , pour tout k , pour mxl presque tout (Xl,X2) ,

n n il existe un entier n(k) tel qua T (Xl,X2) = (T1x I , ~ n-1 o ~ n-2 ~...o ~ (x2))

T 1 x 1 T x 1 Xl

soit dans A k . Soit (Xl,X2) dans (x I x X2) . On peut alors d~finir ~ , appli- n

cation de (xl,X2) dans (Xo,X2) telle qua :

(a) Id((Xo' ~n (y)) ' (Xo' ~n(Y'))) - d((xI'Y) ' (xI'Y'))I< £k

pour tout couple (xl,Y) , (xl,Y') dans Ck C (Xl,X2) avec

(b) d((x ~n(X2)) ) < E k o ' ' (Xo'Xo)

On construit alors par un proc6di diagonal une isomltrie

(Xo,X 2) telle qua }(Xl,X2) = (Xo,Xo)

mxl(C k) > I - E k ,

de (Xl,X2) sur

227

518-O8

(4) I1 y a donc un groupe compact G et un sous-groupe ferm~ K de G tels que

2 si on fixe (Xl,X2) dans (x1,H(Xl)) , (x1~ X I ) , il y ait une unique identifi-

cation I ~ de (Xl,H(Xl)) ~ H = G/K de fagon que I ~ (Xl,X 2) = eK ( e

Xl,X 2 Xl,X 2

l'614ment neutre de G ). Soit m l'unique mesure G-invariante sur ~(H) . Soit

la sous- O-alg~bre de ~ obtenue ~ partir de la relation d'~quivalence x ~ x'

= x' et d( ' . si x I I (Xl,X 2) , (Xl,X~)) = O Pour tout x dans X 2 l'application

® : (~, ~ , m) ~ (X I x H , ~ ® ~(H) , m ® ~) d4finie par

®(x1,~ 2 ) = (x I , I (xl,x2)) est une bijection bimesurable. [On le voi% en exa-

X1,x

minant la construction pr~c~dente.] Soit L une section mesurable de G/K----~ G .

Soit ~(Xl) : L(I ~ (TIX I , ~x1(X1,~)) ) .

(TIXl,X)

X I dans G et ~ definit un isomorphisme entre

sant sur (X I × H) par

~(Xl,h) = (T1(Xl) , 9(Xl)h) .

DEFINITION 6.- Un syst~me (X , ~ , m , T) ergodique est dit distal s'il existe une

famille dlnombrable de sous-tribus T-invariantes de ~ indic~es par des ordinaux

' ~ ~ ~O telles que ~o = ~ ' ~I = ~ (la tribu triviale), pour tout

< ~ ' ~ < ~ ' (X~+ I ' ~+I ' m , T) est une extension isom4trique de

(~ ,~ , m, T) et si ~ est un ordinal limite ~ = lim ~ ~ ~ ~ ~ .

Comme corollaire imm6diat du lemme 5, nous avons le

THEOREME 3.- Si (X , ~ , m , T) est un syst~me ergodique, il existe une sous- o-

alg~bre T-invariante ~ de ~ telle que :

(I) (~, ~ , m , T) est distal ;

(2) (X , ~ , m , T) est ~-relativement faiblement m61angeant.

Remarque.- En fait, ~ est canonique et peut s'identifier ~ la plus petite sous-

°-alg~bre de ~ telle que (2) soit vrai. On est donc ramen~ ~ 6tudier le "cas

distal".

est une application mesurable de

T agissant sur X et ~ agis-

Lemme 6.- Soient (X , 91 , m, T) un syst~me et ~ , n ~ I , une suite croissante n

d e s o u s - O - a l g ~ b r e s T - i n v a r i a n t e s d e ~1 t e l l e s q u e , p o u r t o u t n ~ 1 ,

(~ , ~ , m , T) ait la propri6t6 (L.B.) et que ~1 = lim ~ • . Alors (X , ~] , m, T) n n

n

a la p r o p r i 6 t 6 ( L . B . ) .

228

D6monstration

Soit k > O et soit A dans ~1 . Ii existe n > 0 et A n

m(h ~ i ) n I

> I - - - . Soit A dans A l'ensemble des m(A n ) 100k 4 n n

1 [ m est une d~sint~gration de m mx(A ~ An) > 1 iOk 2 " x

m(~ )>n (I- i~k2] m(An)et si £ et L sont associ6s ~

E 1 - ~ et L conviendront pour A .

518-O9

dans ~ tels que n

x de ~ tels que

n

suivant ~ .] Alors n

pour k , n

Lemme 7.- Soit (X , ~ , m , T) un syst~me ayant la propriit6 (L.B.). Si

(X , ~ , m, T) est une extension isomitrique de (X , ~, m , T) , ce syst~me a aussi

la propriit6 (L.B.).

D6monstration

On reprend les notations de la d6finition 4. Alors

(X, ~, m, T) = (X x H, ~ ~ ~(H) , m ~ ~,~) avec ~(x,b) = (Tx, 9(x)h) oh X--~G :

x ----> ~(x) est mesurable.

(I) Soit k positif et soit ~ dans ~ ® ~(H) tel que m(~) > O . Ii existe deux

ensembles mesurables AI~-- ~ et A 2 dans ~(H) , de mesures positives, tels que,

mx (h ~ Am) I pour tout x de A I , > I - - - (se d6montre comme le lemme 6).

mx(A2) IOk 2

(2) Ii existe un ouvert U de G , voisinage de l'616ment neutre, tel que si o

g ~U , ~(g A 2 ~ A 2) < m(A2) o 2

IOk

(3) Ii existe une partition finie de G k , R I , R 2 , R 3 ,.. ., Rs et des entiers

positifs finis m I , m 2 .., m tels que si gi ' I ~ i ~ m , sont m ~l~ments '" s 3 3

k de R , alors gl g2 "'" gm. est un 6liment du voisinage U xU × ... xU de G

3 o o o 3

(4) Soit ~k,n(X) l'application de X --> G k :

x ---> (~-1(T-(n)x)~-1(T-(n-1)x)...~-1(T-Ix) , ~-1(T'-(2n]x)~-1(T-(2n-1)x)-..#-1(T-Ix), --

• -, {-1(T-(k-1)nx)~-1(T-(k-1)n-lx)...9-1(T-Ix) ) .

(5) On dlfinit par r4currence une famille d'ensembles A(j) dans ~ , et trois

suites d'entiers a(j) , b(j) , n(j) , j ~ O , de la mani~re suivante :

pour j = O , A(O) = A I , a(O) = I , b(O) = O , n(O) = O .

Si B est un ensemble de ~ et p un entier positif plus petit que s , on appelle

229

518-Io

Q(p,B) la question suivante : existe-t-il un entier n et un ensemble B de

mesure positive dans ~ tels que :

(a) pour tout x de B , 9k,n(X) ~ Rp

(b) B C B ~ TnB ~ T2nB ~ ... ~ T(k-1)nB ?

Si b(j) ~ ma(j) - 2 , on pose Q(a(j), A(j)) . Si la r6ponse est positive, elle

produit n(j + I) et A(j + I) et on pose a(j + I) = a(j) , b(j + I) = b(j) + I

Sinon on pose Q(a(j) + I , A(j)) , Q(a(j) + 2 , A(j)) .... et le premier entier q

tel que Q(a(j) + q , A(j)) soit positive, fournit n(j + I) et A(j + I) . On

pose alors a(j + I) : a(j) + q , b(j + I) = 1 . Si b(j) = ma(j) - I , on pose

Q(a(j) + I , A(j)) et si la reponse est positive, elle produit n(j + I) , A(j + I)

et on pose a(j + 1) = a(j) + I , b(j + I) = I . Sinon, on continue comme pr~c6-

demment. La r6currence s'arr~te ~ l'indice t tel que ou bien a(t) = s ,

b(t) = m - I , ou bien b(t) = m - I et la r4ponse ~ Q(a(t) + q, A(t)) est s a(t)

n6gative pour tout q tel que 1 ~ q ~ s - a(t) .

Soit J l'ensemble des entiers j dans [I , s] tels qu'il existe un ~ tel

que a(~) = j , b(~) = m - 1 . Comme A(t) est (L.B.) par hypoth~se, il existe J

E I > O et L I entier tels que, pour [t°ut entier no '(k-1)[il existe no tel que

~o - noi < LI et si A(t) = A(t) ~ T °(A) Q ... ~ T °A(t) , m(A(t)) > £I

E I et la construction entra~ne qu'il existe un ensemble ~(t) c A(t) , m(A1(t)) > --s

et un entier j ~ J tel que, pour tout x de A1(t) , } (x)~-- R . 8oit

k,~ ] 0

I(j) l'ensemble de tousles indices m tels que a(m) = j et soit

N(j) = ~_ n(m) . Alors

m E I(j)

+N(j)

• x((A 1 × A 2 n A) ~ T o (A I

(k-1)(~ +N(j)) o

... T

tout x de A1(t) pour o

2(no+N(J ) )

× A 2 n A)T (A I × A 2 n A) ...

- I (AIXA 2 n A))> (I ~)m(A2)

£

Par consequent, A est (L.B.)avec E ---!I- s (1-~)~(A2) et

L = L I + sup N(j) . j ~ J

Fin de la ddmonstration du Th/or~me ergodique de Szemer~di-Furstenberg

Du Thlor~me 3, des lemmes 6, 7 et 4, il r~su]te que le Th~or~me est vrai quand

(X , ~ , m , T) est ergodique. [Iia en fait la proprilt~ (L.B.).]

EDans le Th4or~me 2, on ne consid~re que l'automorphisme d'espace de Lebesgue

230

518-11

qui provient de la restriction de T ~ la O-alg~bre V Tip , P la partitior -~o

(A,A c ) .]

Si (X , ~ , m, T) n'est pas ergodique, soit ~ la tribu des invariants et

soit m , x ~ ~ , la d6sintigration de m suivant ~ . Soient A de mesure X

positive et k un entier positif. Comme T est ergodique sur chaque fibre, la

propri6t6 (L.B.) entra~ne que d~s que mx(A) > O , N

lim inf ~ mx(A n TnAn ... N T(k-1)nA) > O et le lemme de Fatou entra[ne

N

I ~--- m(A TnA . . . T ( k - 1 ) n A ) > 0 . l i r a i n f ~ 1 n

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518-12

BIBLIOGRAPHIE

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