Universit6 de StrasbourgS4minaire de Probabilit6s 1974/75

UN COURS SUR ILES INTEGRALES

STOCHASTIQUES

Octobre 1974 / D6cembre 1975

Parmi les auditeurs du s6minaire, tous mes remerciements

vont A MM. G. Letta, M,, Pratelli, C. Stricker, Yen Kia-An,Ch. Yoeurp pour de nombreuses corrections et am4liorations.

La premi6re r6daction a 4t6 relue par Catherine Dol6ans -

Dadet B. Maisonneuve, M. Weil et Ch. Yoe-arp, qui y ont re-

lev6 d1innombrables erreurs mat6rielles on math6matiquesQu1ils trouvent ici l1expression de ma gratitude.

P.A. Meyer

M. Emery and M. Yor (Eds.): LNM 1771, pp. 174–329, 2002.c© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

175 B3

INTRODUCTION ET NOTATIONS GENERALES

Int4grer f par rapport a g, clest rechercher la limite de. sommes de la

forme Zif(ti)(g(ti+l)-g(ti.)), lorsque les subdivisions (ti) de 11inter-

valle [O,t] deviennent arbitrairement fines. La limite, si elle existe,

se not"e Itfdg .Le cas classique est celui o-a g est une fonction A va-

0riation born4e sUr tout intervalle [O,t], et o x f est bor4lienne, par

exemple born4e sur tout intervalle [O,t]. Lorsque f et g sont des pro-

cessus, i.e. d4pendent d1un param6tre w parcourant un espace probabilis4

le r4sultat de llint4gration est une fonction A la fois de t et de w,

i.e. un nouveau processus, et on a affaire A un probl6me dlint4grale

stochastig_im.Clest WIENER qui a remarqu4 le premier que Pon pouvait donner un

sens A des int4grales de la forme suivantel

It f(s)dBs(w) ( Bt est,le mouvement brownien, f est certaine)0

par un proc4d4 global sur n, alors que 11int6grale individuelle, pour

chaque w fix4, est d4pourvue de sens du fait que les trajectoires du

mouvement brownien ne sont nulle part a variation born4e. Mais 114tape

essentielle a 4t4 franchie par ITe, qui a d4fini des int4grales de la

forme tf fs(w)dBsM = It(w)0

pour certains processus (ft), adapt4s A la famille de tribus de (B ).Dans la pr4sentation des r4sultats VITO qui figure dans le livre ] de

DOOB, celui-ci met bien en 4vidence le fait que la d6finition de llint6-

grale n1utilise que deux propri4t4s du mouvement brownien : (Bt) et

(B2_t) sont des martingales. Aussi la premi re application de la d4com-t

position des surmartingales fut l1extension de la d4finition VITO

toutes les martingales de carr4 int4grable.

Nous verrons cela en d4tail plus loin. Mais le travail VITO n1aurait

pas '4t4 aussi fondamental E31il en 4tait rest4 a la d4finition de 11in-

t4grale : ITO a d4velopp4 tout un calcul diff4rentiel et int4gral sur.

1. WIENER consid6rait mgme des int4grales multiples ( de telles int4-

grales interviennent en physique, oa dB est le "bruit blane" Voir

aussi ITO [51 et [6].,2. R6f4rence [4].

B3 176

le mouvement brownien, mgme a plusieurs dimensions, mgme dans des

vari4t6s. La pi ce maltresse en est la formule du changement de varia-

bles : si F est une fonction sur la droite, deux fois diff4rentiable,et si It est le processus d6fini plus haut par 11int6grale stochastique,alors t I t 2F(I F(O) + f FI(I )f dB + f F"(I )f dst .

0 s s s 0 s s

Il y a une formule analogue pour le mouvement'brownien A. valeurs

dans 0.

Toute une s4rie de travaux font suite A ceux VITO, en particulierceux de 114cole Russe ( le th4oAme de SKOROKHOD sur la repr4sentationdes martingales du mouvement brownien A n dimensions comme int4gralesstochastiques, les innombrables applications a la construction de dif-fusions ). En m me temps, llint4r&t se porte sur des martingales non

continues. A vrai dire, des travaux de math4matiques appliqu4es utili-saient depuis longtemps les int6grales stochastiques du processus de

Poisson, mais celles-ci ont une apparence triviale, puisquIelles se

r4duisent A des sommes finies !

Le lecteur pourra trouver un tr6s bel expos4 des int4grales sto-

chastiques browniennes dans le livre de McKEAN [7].Apr6s TTO, 114tape essentielle est le travail de KTJNITA-WATANABE [81,

sur lequel repose toute la th4orie ult4rieure. L'apport de KUNITA-WATA-

NABE est triple l1extension de la formule PITO a toutes les martin-

gales continues la d4monstration Vune forme-assez g6n4rale de la

formule du changement de variables pour les martingales discontinues

mais qui, utilisant le syst6me de LEVY, ne pouvait encore sl4tendre

aux martingales quelconques ). Enfin, alors que les travaux ant4rieurs

ne faisaient intervenir que le processus croissant <M,Pl> associ4 a

une martingale'de carr4 int4grable, KUNITket WATANABE le "polarisent'

en une fonction bilin4aire dY1,N> , qulils utilisent pour la d4monstra-

tion de th4or6mes de projection. A cet 4gard, le travail de KUNITA-WATA-

NABE devait 6tre grandement simplifi6 par CORNEA et LICEA [9].L'article de KUNITA-WATANABE a 4t4 4tudi4 en d4tail A Strasbourg [101

expos4s sur les int4grales stochastiques dans le volume I du s4mi-

naire ), avec pour r4sultat la d4couverte de la forme g4n4rale des for-

mules de changement de variables, du second processus croissant [M,MIassoci4 A une martingale de carr4 int4grable, du r6le de la tribu pr4-

visible

177 B3

visible. Llemploi de EM,M] au lieu de ::D',,M> a permis d14tendre l1int6-

grale stochastique aux martingales locales, introduites par ITO et

WATANABE [111. Depuis lors, et avec les am4liorations apport4es par

Catherine DOLEANS-DADE ([12],et DOLEANS-MEYER [1]), la th4orie semble

avo.ir atteint une forme A peu pr6s d4finitive.

Seulement, alors qulautrefois il suffisait'de deux heures dtexpos4

pour traiter llint4grale d'ITO,,et quIensuite les belles applications

commengaient, il faut A pr4sent un cours de six mois sur les d4finitions.

Que peut on y faire ? Les math4matiques et les math4maticiens ont pris

cette tournure. Il est temps de commencer.

NOTATIONS. Tous les processus consid4r4s dans ce cours sont en Principe

d4finis sur un m6me espace probabili.s4 complet (n,F,P), muni d1une fa-

mille croissante (Kt)t>O de sous-tribus de F satisfaisant aux condi-

tions habituelles

F = F = n F pour tout t=t :t+ s5;t =s

et F, contient tous les ensembles P-44gligeables d'di la m9me propri-=V

4t4 pour tout F ). Nous supposerons de plus que On cQnvient=t

que Ft=FO pour t<O.

Toutes les notions de th4orie des processus que nous rencontrerons

processus adapt4s, temps d'arr9t, martingales... seront relatives A la

famille (Ft Toutes les martingales sont continues a droite et pourvues

de limites gauche. Si PL--(Nt ) est une martingale, ou plus g4n4ralement

un processus a trajectoires continues ; droite et pourvues de limites a

gauche (ficMlAg"), on note Mt-

la limite a gauche en t - en convenant

tou ours que XO =O ( ce qui ne pr4serve pas la propri4t4 de martingale

en g4n4ral, mais clest sans importance ) et2que Xt=0 pour2t<O. On note

AM le saut N -Nt_ en t, et on abr9ge (bM ) (AM )P en AM AMP malgr4t t t t t, t

la 14g6re ambiguit4 de 'ces notations.

Nous ne faisons aucune distinction dans le langage entre deux proces-

sus X--(Xt), Y=(Yt) indistinguables ,cAd. tels que pour Presque tout

weO on ait X (w)=y (w). En particulier, tous les 4nonc6s d'unicit6 de

processus fi urant*dans le cours 6tabliesent en r4alit6 llunicit4 d'

une classe de processus indistinguables.

Les rappels de th6orie g4n6rale des processus dans l1expos6 I figu-

rent en note , avec r6f4rences soit A DELLACHERIE [2], aussi not6 [D],

soit A la nouvelle 4dition [13] de Probabilit6s et Potentielsp aussi

not4e [p], et dont seuls les chapitres I-IV sont parus.

B3 178

CHAPITRE I. INTEGRALES DE STIELTJES STOCHASTIQUES

Ce chapitre n1introduit aacune d4finition nouvelle de l1int6grale :

il slagit d1un bout A l1autre dlint4grales de Stieltjes ordinaires sur

la droite. Et cependant, il est loin de se r4duire a des 4vidences.A mon avis, il est m6me plus difficile que le chapitre concernant les

martingales de carr4 int4grable.

PROCESSUS CROISSANTS ET PROCESSUS A VARIATION FINIE

Soit (At)t>O un processus. Nous dirons que (At est un processuscroissant bru? ( clest la terminologie de GETOOR 'raw additive func-

tional') si les trajectoires A.(w) sont des fonctions croissantes et

continues A droite, un processus a variation finie (VF) brut si les

trajectoires A.M sent des fonctions A variation born4e sur tout inter-

valle de 11+, continues & droite. Rappelons quIelles ont alors des limi-

tes a gauche At-, et que Ao-=O Par convention.

Conform4ment aux bons principes de "rectification des noms', quiexigent que les 9tres les plus fr4quemment utilis4s aient les noms les

plus beaux et les plus simples, no-as appellerons simplement processus

croissant,, processus A variation finie (VF) un processus croissant brut

(resp. VF brut ) adapt6 a la famille (F=tSoit (At) un processus VF brut. La variation totale JdAsI se

. [0, 00calcule comme la limite de sommes IAOI+ ZiJAti+1 -AtiI relatives a des

subdivisions dyadiques ti=i2-n

de la droite : clest done une variable

al6atoire. Nous dirons que A est A variation int6grable (VI) brut si

11 Aj = E[fooldAs11 < +oo. Comme plus haut, llomission du mot brut signi-0-

fie que le processus est adapt4. Sur l1ensemble des process-as VI brats,l1application At- -11AIIvest une norme.

Nous noterons V llespace des processus VF ( adapt4s

2 Etant donn6 un processus VI brut (At), posons pour tout processus

mesurable born4 X

(2.1) jj(X) = E[100XsdAS]0-

Il est 6vident que lion d4finit ainsi une mesure sign4e sur 'Y'llmuni de la tribu produit B(FQxK, born4e, qui ne charge pas les ensem-

bles 4vanescents (NJ)

NJ. Une partie H de 11+_141 est dite 4vanescente si elle est contenue

dans unelbandew R+xU, o-a U est n6gligeable dans n - autrement dit, sila Projection de H sur 0 est P-n4gligeable.

179 B3

La r4ciproque est a la fois facile et importanteTHEOREME. Si' jt est une mesure born4e sur 1+> ), qui. ne charge pas les

ensembles dvanescents, il existe un Processus VI brut (At) unique

tel 'que llon ait (2.1), et JJAJ est la norme de la mesure t.

DEMONSTRATION. On d6compose L en deux mesures positives It+ et - comme

toujours, et celles-ci ne chargent pas les ensembles 6vanescents. On

se' trouve done ramen4 au cas oa ji est positive. On d6finit alors une

mesure a sur 0 (t>O) par at(B)=ji([O,t]xB) pour BeF . Comme L ne charget

pas les ensembles 4vanescentst at

est absolument continue et admet une

1densit4 A! par rapport a P, que llon r4gularise en poSant successivement2 " 1 2

Aj = sup A , le sup 4tant pris sur les r rationnels d, et At--Al+r

Les d4tails sent laiss6s au lecteur ( cf.[D]IV.T41, P.90).

3 Comment reconnaltre sur la mesure t si le processus VI brut At) est

adapt4 ( resp. pr4visible : N2) ? Clest 11objet d1un important th4or6med l a C therine DOLBANS-DADE.

N2. La tribu. optionnelle (aussi appel4e bien-mesurable ), sur X+x0, est

engendr6e par les ensembles 4vanescents (NI) et par les processus adapt6sa trajectoires continues 5. droite et pourvues de limites .1 gauche - en

particulier, pour les pro-qessus VI bruts,oadapt6fietwoptionnel"sont s.yno-nymes De m6me, la tribu pr4visible est engendr4e,par les processus

adapt4s, A trajectoires continues a gauche sur 10,oo[ ; elle est conte-

nue dans la tribu optionnelle.La tribu optionnelle est engendr4e par les intervalles stochastiques

[ET,coE =I(t,w) - t>T(w)J, oa T est un temps, Varr6t. La tribu pr4vi-

sible est engendr4e par les intervalles [I T,co E[ ,oil T est un temps

(d'arr&t)pr4visible, i.e. il existe une suite croissante (Tn) de temps

d'arr6t telle que Tn tT partout, et Tn<T partout sur l1ensemble JT>OJon dit-que la suite (Tn) annonce T ).

Voir [D]IV.D2, p.67, [D]IV.D36, ou EPIIV.61, IV.64, IV.67, IV.69-77.

N3. Etant donn4 un processus mesurable born4 X=(Xt), il existe un proces-

sus optionnel Xo unique tel que llon ait, pour tout temps darr&t T,

XTOIIT<ool = BEXT1JT<oDJ1ET] P's" X0. est la projection optionnelle de X.

Par exemple, soit Y une v.a. born4e, et soit (Yt) la martingale E[YJFtAlors la projection optionne3le du processus Xt(w)=I[a,b[ (t)Y(w) est le

processus X0-I (t)Y (w). Llextension du cas born4 au cas positif,t- Ea,b[ t

par convergence monotone, ne pr6sente aucune difficult6.

Voir [D'JV.Tl4, p.98.

B3 180

THEUEME. Le processus VI (At) associ4 A la mesure-a est adapt6( resp. pr4visible ) si et seulement Si a commute avec la projectionoptionnelle (N3) ( resp. la projection 12r6visible (NO).

Cela sigmifie que si X est un processus mesurable born4, si-Xo est

sa projection optionnelle ( resp. XP sa projection pr4visible on a

ji(Xo)=1i(X) ( resp. ji(XP)= t(X)). Noter que cela a bien un sens Xo et

XP sont des classes de processus indistinguablds, mais L(Xo) et L(XP)sont bien d4finis, du fait que ji ne charge pas les ensembles 4vanescents.

DEMONSTRATION. Nous ne donnerons pas tous les d4tails ( voir ED]V.T26et nous traiterons uniquement le cas pr4visible, qui est plus d4licat,

Soit T un temps pr6visible, et soit Y une variable al4atoire born4e,orthogonale A F La projection pr4visible du processus X = I y=T EE O,TJJest nulle ( N5,N4 v4rification laiss6e au lecteur ). Done, si tcommute avec la projection pr4visible, on a t(X)---EEf0DXsdAs]=O, done

0E[YA ]=O, et comme Y est ar-bitraire AT est F _-mesurable. En particu-T =Tlier At est F.-mesurable, et A est adapt4.

N4. Pour tout temps d1arr6t T on note F la tribn engendr4e par F etP =T- =0les ensembles AnJt<TJ, AeFt (ED]III.27, P.52 ; [PIIV.54). Si T est un

temps pr4visible, et T est une suite annongant T, on a 7 =V Fn =T- n =Tn*

Etant donn4 un processus mesurable born4 X=(Xt), il existe un proces-

sus pr4visible XP unique tel que llon ait, pour tout temps pr4visible T,

XTPI XP est la projection pr visible de X.T f T<co. I ==E ExTI f T<oo I -T- 3 P 's * *

Avec les notations de 3 ci-dessus, la projection pr6visible du processus

(Xt) est le proc'essus IEa,b[(t)yt-(w) , en convenant que Y0-=Y0.

Voir [DIV.T14, p.98.

N5. Si S et T sont deux temps d'arr&t tels que S<T, [[S,TI] est l1ensem-ble des (t,w) tels que S(w) -t: T(w). On d4finit de mgme les intervalles

Fstochastiques I SITL[etc. E'n particulier, [ET]]=[[TpT]] designe le

graphe de T (ED]III.17, p.49 ; [F]IV.60 ).

N6. Un temps d1arr&t T est dit totalement inaccessible si Pls=T<ool=Opour tout temps pr4visible S ([D]III.D39, p.58 [P]IV.80-81 La

caract4risation inverse, a laquelle on slattend S est pr4visible si

et seulement si PIS=T<oDI=O pour tout T totalement inaccessible, nlest

pas toujours vraie : en g4n4ral, cette propri6t4 signifie seulement quele graphe de S est contenu dans la r6union d1une suite de graphes E 3n11de temps d1arr6t pr4visibles, que llon peut supposer disjoints (ED,IIII.39-41 ; [P]IV.80-81 ). On dit alors que S est accessible.

1.81 B3

Si T est un temps totalement inaccessible (N6), la projection

pr6visible du processus X=,[[T]] est nulle ( la v4rification est tr6s

simple, et laiss4e au lecteur ). Comme t commute avec la projection

pr6visible, EUXsdAs]--FEAA,,]=O. Remplagant T par les temps darr6t TB,BeF (N7) on voit que E[&A=T TIET1=0* Or nous avons vu que A est adaptd,d-c AAT est F -mesurable, et 4A =0 : A ne charge pas les temps totale-

=T Tment inaccessibles.

Il est facile de repr4senter l1ensemble 1(t,w) : AAt(w) Oj comme

une r4union de graphes de temps d'arr6t Un ( regarder le premier, le

26,..., le n-e saut >e, puis faire t9ndre e vers 0 : on n1exige pas

ici que les graphes soient disjoints Comme A ne charge pas les temps

totalement inaccessiblesp les Un sont accessibles (N6), donc la rdunion

des graphes'[[Un]] est contenue dans une r4union d4nombrable de graphes

pr4visibles [[Tn]], que llon peut rendre disjoints ([D]IV.Tl7, [P]IV.88).On a alors, comme les trajectoires de A sont des fonctions A variation

born4e

(3.1) At = Ac + E I o-a Ac est continu et adapt4,et Z=AA Tn

nest kn--mesurable dlapr s ce qui pr4c de. On v4rifie alors sans

peine que le processus VI 'n,ft>T, I est pr4visible ( en approchant npar des v.a. 4tag4es, et en considerant des temps d'arr6t de la forme

(Tn)B o-a Bek -, on se ram ne A d4montrer 4'ae si S est pr4visible,

le procen

Ilt>.l est pr4visible : cela r4sulte aussit5t de l1exis-

tence d1une suite =annongant S. Mais cf. N8 ). Par sommation, Ac 4tant

continu ,donc pr4visible, on voit que A est pr4visible, et la moiti4

du th4or6me est 4tablie.

Inversement, supposons A pr4visible. Comme le processus (At-

) est

adapt4 et continu A, gauche. il est aussi pr4visible, donc le processus

N7. Si T est un temps dlarr t, et BeF la v.a. T =1T sur B

.est

=T B +oo sur B

un temps dlarr t. De agme, si T est pr4visible et BeF T est pr4-=T- I B

visible ([DIIII.40 p.58, 111.49 p.61 ; IPIIV.73Si T est un temps d'arr6t quelconaye, il existe BeF tel que T

=T B

soit totalement inaccessible, TRc accessible.

N8. Le raisonnement indiqU4 ci-dessus correspond A. 11ordre de l1expos4

de [D], mais non'A celui de [P]. On a tendance maintenant a d4finir un

temps pr4visible comme une v.a. T telle que [[T,oo[[soit un ensemble

pr4visible, et a d4montrer qulil existe alors une suite annongant T.

B3 182

AAt---At-At_ est pr4visible, et l1ensemble f(t,w) : JAAtl !!ej est pr4vi-sible. Son d4but T est alors pr4visible (Ng), car cet ensemble est A

coupes ferm4es. D'autre part, AAT

est FT_-mesurable (NIO), et nous:2

avons d4ja signal4 plus haut quIalors le processus LATIJt>Tj est

pr4visible. Recommengant llop4ration sur At- &AT*IIt>TI-

, et ainsi

de suite ind6finiment, on d4barrasse A des sauts >e. %is faisant ten-

dre e vers 0, on arrive a une rep_:b6sentation de A du type (3.1).

Nous regardons maintenant ftJAA I = JIt JdAc

s sl + 7nI InIJt>T 1. Du c8t60 0 = n

droit, le ler processus croissant est cottinu, donc 2r4visible, et

ceux de la somme aussi. Par diff6rence, on voit que (At) peut slc';crire

(Bt-Ct), oA B et 0 sont deux processus pr4visibles croissants a varia-

tion int6grable.On est donc ramen4 a d4montrer que la mesure t associ4e a un proces-

sus pr4visible a variation int4grable croissant A commute avec la projec-

tion pr4visible. On utilise alors la repr6sentation (3.1), oA maintenant

AC est croissant, et les I sont positives. . Soit X un processus mesura-n

ble positif, et soit XP sa projection pr4visible. On a

E E X I = E Xg I PuisqueXp -E IXT I If

-

] sur I Tn<oon Tn n

n Tn n _TnB[fGD X dAcl fo"-ds EEX I I]= fOD ds EI[X I IC

0 s s 0C 10 <00 0 Cs s

E[fOD XPdAc I0 S s

N9. Le d4but d'un ensemble pr4visible a coupes ferm6es a droite est

un temps pr4visible : [D]IV.T16, P- 74. Cela r4sulte du th4or6me de

section pr4visible (NIO.

N10. Si T est un temps dIarr&t ( pr4visible ou non ) et X un processus

pr4visible, X est F mesurable ( et toute v.a. F mesurable slobtientT =T-- =T--

ainsi ). Cf. [D]IV.T20, p.77.

Nii. Toute la th4orie g4n4rale des processus repose sur les th4or6mes

de section , cons4quences du th6or me de Choquet sur les capacit4s-, que

nous n1aurons gu6re lloccasion dfutiliser directement ici. En voici 11

4nonc4 :'soit H une partie optionnelle ( resp. pr4visible ) de 2+X11 p

et soit h.la probabilit4 de sa projection sur D. Il existe alors pour

tout e>O un temps optionneI( resp. pr4visible ) T, tel que (T(w),w)eH

pour tout w tel que T(w)<oD- le graphe de T passe dans H - et que

P IT<oo I ! h-e .

183 B3

oa pour tout w, C.(w) est la fonction inverse continue 9. gauche de AC.M.Chaque Cs est un temps d'arr6t pr4visible, done E[XC,I1C . 1] =

E[XPCsIJCs<001 I par d4finition de la proJection pr4visiblS.Le cas optionnel est analogue, mais plus simple.La de'monstration pr4c4dente a des cons4quences importantes.

4 THEOiiB10. Soit (A ) un -Processus A V.I. pr4visible ( resp. adapt4tOn peut alors 6crire

C(4.1) At = At + En AnI Jt>T= n

oil les A. sent des constantes , lesTn des temps d'arr6t pr6visibles

(resP. des t.d1a.) - ?L graphes non n4cessairement disjoints -, oa (Ac)est un processus V.I. continu, o'a la s6rie converge absolument

t

(4.2) 1tJdAsl ftJdAcl + E 1? IJIs n Jt>T0 0 n

La diff6rence aved (3.1) est ici le remplacement des v.a. n par des

constantes il suffit pour cela de repr6senter+

et comme sommes

de v.a. 4tag6es. Mais noter que chaque Tn de (3.1) se trouve ainxi

d4composd en temps darr&ts a graphes non disjoints.

5 THB'Oi 1 2. Si ji, commute avec la projection optionnelle ( resp. Mrivisi-ble ), il en est de mgme de 1jil.

En effet, si Ltest associ4e au processus V.I. brut (Atest associ(,'Se a (f JdASI).

06 THE'OREME. Si X et ji commutent toutes deux avec la projection pr4visi-

ble ( resp. optionnelle) et X est absolument continue par rapport A

i ,X admet par rg2port a ji une densit4 Pr4visible ( resp. optionnelle).

DEMONSTRATION. Traitons par exemple le cas pr4visible. Soit I une den-

sit6 de X par rapport A JXJ.sur la'tribu pr4visible , ne prenant que

les valeurs +1 : I est un processus pr4visible, et on a

Comme les deux mesures commutent toutes deux avec la projection pr4vi-

sible, cette relation valable sur la tribu pr6visible a lieu sur

B (1+) x? . On peut de mgme 6crire ji=m. I ji 1i I =m. L oa m est pr4visiblevaleurs dans 1+1,-11. De mgme, on peut 4crire JXJ=aJ4J, oil a est un

processus pr4visible positif ( pour v6rifier que cette relation sl6tend

de la tribu pr4visible A la tribu produit, il faut la positivitg', car a

nlest pas born6 ) . Et enfin on a

BI 184

RROJECTION DB K-;SU]' S, COMPENSATION DE PROCESSUS V.I.

7 Soit Ii. une mesure born4e sur -B(a+)xF , qui ne charge pas les ensembles

4vanescents. Nous d4finissons ses projections ji0 (optionnelle ) et 1,P

(prdvisible) par les formules suivantes, o-a X est un processus mesurable

born6

(7.1) Y0M= L (Xo) Ilp (X) =4(xp)

Il est clair que po commute avee la projection,optionnelle, pp avec la

projection pr4visible. Du point de vue des processus V.I., partons d'

un processus V.I. brut 'A et faisons les constructions

110 <---> 10, processus Y.I.-r. PP processus V.I. pr6visible

Nous avons mis un chapeau^

pour soiligner que 10, lp ne sont pas les

projections-optionnelle et pr4visible du RLocessus A - on les appelle

projections duales de A. De toute fagon, ces notations ne sont pas tr6s

souvent utilis6es. En'revanche, la suivante Ilest beaucoup, en th4orie

des martinZales :

8 DEFINITION. Soit A un pr6cessus V.I. ( adapt6 1). La project-ion duale

pr6visible de A est aVpel4e le compensateur de A, et not4e A, et le

J

processus A-A est appeUle compens4 de A, et not4

( On esp4re que, malgr4cla ressemblance des notations, le lecteur ne

confondra pas le compens4 A avec la partie continue Ac de A ).

La notion qui vient d19tre introduite est fondamentale. Elle a 4t6 in-

troduite par Paul LEVY en th4orie des processus a accroissements indd-

pendants : si (Xt) est un processus a accroissements ind6pendants rdel,les trajectoires de X ne sont pas en g6n4ral des fonctions a variation

born4e, et la somme des sauts de X entre 0 et t West en g4n4ral pas

convergente. Mais si llon consid6re la somme des sauts bXtdont l1am-

plitude est comprise entre e>O et 1, soit

Ax Is. s fs;glAx 1;; 11I =1 s- -

on peut montrer que Aeest un processus VI sur tout intervalle fini.

Ce processus est adapt4, mais nlest absolument pas'pr4visible : il ne

saute en fait quIen des temps totalement inaccessibles. Son compensa-

teur est de la forme Ae= a t . Lorsque c-,-O, ni c ni, A6 n1ont de li-

t e e

mite, mais en revanche la somme compens4e2des sauts -C,t a, comme

LEVY l1a montr6, une limite (au sens de L. par 6xemple ), et ce r4sul-

tat donne la U6 de la structure des processus A accroissements ind6-pendants.

185 B3

Cette id4e de Paul LEVY-pourra 9tre suivie tout le long du cours.

9 THEOREF-E. Pour qul-un processus VI M soit une martingale, il faut etC

il suffit qulil soit de la forme Mt-_M0+At .oA A est un processus VI.

On peut choisir Pour A le Processus VI sans partie continue et nul en

0

(9.1) At O<S<t AMS

dont le compensateur X est continu.

Pour toute martingale born4e N, on a

(9.2) E EMODNOD EE ES AMSANSI ( y compris AMOANO = MONOet le processus

(9.3) MtNt - ES<t AMS ANSest une m rtingale uniform4ment int4grable nulle en 0.

c

DEMONSTRATION. a) Montrons d'abord.que si A est un 9rocessus VI, A est

une martingale nulle en 0. La mesure jt associ4e a A est nulle Sur

la tribu pr4visible, en particulier

11( 10 JxB) = 0 si BeF0(9.4-) j1(]s,t]xB) = 0 si s<t<4co , BeF

=sc

La premi6re condition entralne que AO=O . La seconde sl4crit

EE JOD Ic c c

0 ]s,t]xBc(r,w)dAr (W) E[(At-As)IBIet cela exprime que A est une martingale.

Inversement, soit(At) une martingale VI nulle en 0. et soit 1i la

mesure associ4e A A. Les r4unions finies dlensembles disjoints de la

forme JOJxB (BeFO) et ]s,t]xB ( s<t, BeF ) forment une alg6bre de Boole=S

qui engendre la tribu pr4visible ( [P] IV.67). Done ji est nulle Sur

celle ci, et 1 =0, done A--Ac

.

Soit M une martingale VI nulle en 0, et soit A le processus'donn6par (9.1). Posons D=M-A clest un processus VI nul en 0 et continu,done pr6visible, et &D Done D= I-iqZ = O-Z

, et M--D+A=A-X=Ac.

On a

vu aussi que X est continu, et cela ach6ve la premi6re partie.b) Passons (9.2). La projection optionnelle du processus constant

6gal A N00 est la martingale (Nt), et la mesure dM commute avec la

projection optionnelle. On a done ( comme MO-=0 )

EEMODN00 ] ---E E NOD dMS] = E[f NSdY1S If 0' Co [ E 0, oo I

B3 186

D'autre part, la mesure dM est nulle sur tout ensemble pr4visible con-

tenu dans 10,oo[xn ( nous ne supposons pas MO=O 1 ), et le processus

(Nt- ) est pr4visible, nul pour t=O par convention. Done

0 = BEf Ns-dMs[O,oo E

d1oa par diff6rence EEMOONCo E[fANsdMs E[Es bmsANsSoit T un temps d1arr9t. Appliquons ce r4sultat A la martingale

arr t4e ( born4e ) NtAT * 11 vient

.

BENCoNT] = E[Es.4 AMs4Ns ] .

Le c6t4 gauche vaut aussi EIMTNT3* Si nous notons, Lt=XtNt-E,_tAXs &Nstnous avons done EELT =O pour tout temps d1arr&t T. Un petit lemme nous

permet alors de conclure la d4monstration :

LEMPIE. Soit (Lt)t<+OD un processus adapt6 continu a droite, tel que

E[ILT11<00IEELT3=0 pour tout teRps dlarr t T. Alors L est une martinp-q-

le uniform4ment int6grable.

DEMONSTRATION. Comme on va le voir, les hypothAses de 114nonc6 sont

beaucoup trop fortes ! Prenons tell+f AeFt 9 T=tA= t sur A, +cosur Ae

(N7), il vient

fA Lt + fc L00 = 0, et aussi f LCD

+ fC LOD = 0

A A A

done f Lt L00 et Lt=E[L,, jEt]A A

REMARQUE. La d4monstration pr4c4dente n1exige pas que N soit bornge,

mais seulement que E[N*. fo,c)o E101s< co ,o L N*= sups I Ns

10 Il faut expliciter les r4sultats obtenus, suivant l1id4e de LEVY

cit4e au nO8 : la premi re partie de 114no=4 ( formule (9.1)) exprime

que toute martingale VI est la somme compens4e de ses sauts. Les for-

mules (9.2) et (9. ) entrailnent des propri4t4s dlorthogonalit4 d1une

martingale VIj et d1une martingale qui n1a pas de saut commun avec elle.

Tout cela sera bien d4velopp4 plus loin.

Il faut noter que l1application At-->A diminue la norme 11 11V( d4composer A en deux processus croissants ). Il r4sulte alors du

th4or6me pr4cAdent que

(10.1) E[foo I dMs I 2E[EsI Am.S110

pour tolate martingale VI (Kt

187 B3

INTEGRALES DE STIELTJES STOCHASTIQUES

11 Soit (At) un processus V.I.9 et soit (Ht ) un processus optionnel te-1

que E E 00 J'Hsj1dAs11 < w. on peut alors d4finir le processus

It = ItHdA hors d1un ensemble de mesure nulle. Comme nous ne travail-0

lons qu'A des processus indistinguables de 0 pr s, nous le consid4rons

comme bien d4fini : il est manifestement adapt4 et continu droite,.done optionnel, et clest un processus V.I. Dans toute la suite, nous

le noterons HoA. rarement H;A pour rappeler qulil est construit au

moyen de 11int6grale de Stieltjes ordinaire sur chaque trajectoire.

Rappelons que nous avons convenu que &A., la masse en 0, est 4galeA AO . Cela entralne que IO=H0AO

Cette notion dlint4grale stochastique est 6videmment tout A fait

terre A terre, et sans int6r6t apparent... et cependant, nous allons

rencontrer ici, apr6s llid4e de la compensation des processus crois-

sants, une deuxi6me id4e fondamentale de la th4orie des int6grales sto-

chastiques : le r8le des Processus pr4visibles : a quelle condition,lorsque A est une martingale VI, peut on affirmer que H*A est aussi une

martingale VI ? La r6ponse est dans le petit th4or6me suivant :

12 THEOREME. Soit M une martingale VI, et soit H un processus pr4visibletel (ue E[fjH.jjdMsj] < co. Alors H-M est encore une martingale VI.

DEMONSTRATION. On se ram6ne aussit8t au cas oa M0=0. Soit ji la inesure

born4e associ4e a M ( n02) ; t est nulle sur,la tribu pr4visible, H

est pr4visible et ji-int4grable, done Hji est une mesure born4e, nulle

.sur la tribu pr4visible. Clest la mesure associ4e au processus VI H-M,done celui-ci est une martingale ( cf. n09).

Nous poserons la d4finition suivante : on 4vitera de confondre Wt

qui.est un espace de martingales, avee llespac'e V des processus VF,d6fini au n0I.1.

13 DEFINITION. Nous notons W llespace des martingales VI, muni de la

norme variation JJMJ = EU JdMS11.[O,oo E

CARACTERISTIQUES DIUN PROCESSUS VI ET DECOMPOSITION

Nous n1avons encore jamais utilis4 les th4or mes de d4compositiondes surmartingales : notre construction du compensateur d1un processus

VIv par exemple, n1utilisait que le th6or me de Radon-Nikodym. Nous

allons 4noncer bri6vement les r4sultats dont nous aurons besoin plus

loin.

B3 188

14 DEFINITION. Soit (At) un Processus V.I.. On appelle potentiel droit

ou simplement potentiel associ6 a A la projection optionnelle (Xt)du processus (Aco-At), potentiel gauche la projection optionnelle (Xtl)-du Processus (A,,-At_).

Il est facile de calculer (Xt) : en effet, la projection option-nelle de A00 est la-martingale continue A droite 3EA, JEtl, et par

cons4quent((At) 4tant un processus,optionnel )(14.1) xt = B[A

Co JEtI - At ( aussi XC,_=EEA00 JE01)Il est 4vident que X est continu a droite. En revanche,

(14.2) Xt' = 2 Aw Ift] At_nlest continu ni a droite, ni gauche.

Les r6sultats d1unicit6 suivants font comprendre llint6r6t de la

notion de potentiel gauche ( qui nlest pas tout a fait classiqueelle figure sous une forme implicite dans un travail de MERTENS, d1oa

elle a dt4 d6gag4e par AZEMA ).

15 THEO13EME. Un processus croissant pr4visible nul en 0 est uniquement

d4termin4 par son potentiel'

Un processus croissant optionnel est uniquement d4termin4 par son

j2otentiel gauche!DEMONSTRATION. Soit A un processus croissant pr4visible nul en 0, et

soit t la mesure associ4e a A. Si llon a s<t, BeEs, on a

L(]s,t]xB) f (At-A,)P= f (XS-Xt)P oil X est le potentiel de AB B

Comme Ab=O, on a 11( 10 J><B)=0 pour BOO .La mesure 1i est donc connue sur

une algAbre de Boole qui engendre la tribu pr4visible, donc sur celle-ci,

donc sur la tribu B(I )> F puisqulelle commute avec la projection pr4vi-

sible, et finalement d4termine A (n02).Si A n1ftait pas nul en 0, il faudrait introduire une v.a. suppl4men-

taire X()_--E[Aco 1 0] ( AO_ est nulle par convention, mais X0_ nlest pas

nulle et on aurait alors L(J0JxB)=f(X0--XO)PB

Passons au cas optionnel. Soient S et T deux temps dtarr9t tels

que S<T ; on a -X' d6signant le potentiel gauche de A

_-AS_1 = E[(AC,)-AS_)-(Aw-AT_)1 = E[XI-X'l1).(E 3,T[E )=EEAT S T

Les r4unions finies dlensembles disjoints de la forme E S,T[J forment

1 . Dans les deux cas, l1extension aux processus VI est 4vidente.

189 B3

une alg6bre de Boole qui e gendre la tribu optionnelle ([D]IV.1, p.67).I XI d6termine donc la restriction de Ii A la tribu optionnelle. Mais Lcomrmite A la projection optionnelle, et on conclut comme dans le cas

pr6visible.

Il nous rest-e enfin A rappeler le th6or6me de decomposition des surmar-

tingales, sous sa forme, usuelle ( nous n1aurons pas besoin de la for-

me relative aux potentiels gauches

16 TFEMIUbT. Pour qu'un processus X soit le potentiel droit d1un processus

croissant int4grable Pr4visible A tel que A0--0, il faut et-il suffit queX soit une surmartingale Positive continue ! droite,X appartienne a la classe (D) : toutes'les v.a. X., T parcourant ,

l1ensemble des temps dIarr9t P.s. finis,sont uniform6ment int4grablps.1X soit nul. A 11infini : iit_ x =O, p.s. ou dans L

> co t

(voir [.D]V.T4(,', p.116, la d6monstration de Catherine DOLEANS. Il existerdes demonstrations plus 14.16mentaires, telles que celle de RAO L141.

.La condition de nullit4 a 11infini nlest pas essentielle : on a un

th4or4me de repr6sentation analogue, au moyen d1un processus croissant

pr6sentant un saut A 11infini ACD-Aco- = XOD , q:ai slinterpr te ou moyen,

d I une mesure p, sur [ 0, co ])d-).Le thdorame suivant eat fr6quemment-utilis6. L16galit4 (17.1) eat

une.cons4quence simple de la d6finition de X, et du fait que LAT eat

F -mesurable.'Voir [D] V.T52, p.119.=T-

17 TIEME'l-2. Si X sa-tisfait aux propri-,'t4s pr6-..c4.dentes, soit A 3- ju e

processus croiss,.-.nt int4grable pr4visible dont X est le potentiel, et

soit T un temps pr4visible Alors

(17.1) .0,"T = XT-- EXTIET-1 ( conventions pour 0 : Xe.=Xo_,Ao= 06A =O, F

0 =0-=E-O )En particulier. A est continu si t seulement si X est r6gulier : pour

touIte suite croissante (Sn

) tS de temps d I arAt, on a XS I=limnE[XSn

B3 190

Universit4 de Strasbourg

96minaire de Probab lit4s 1974/75

UN COURS SUR.'LE,S INTEGRALES STCICHASTIQUEES

(P.A.Meyer)CHAPITRE II . MARTINGALES DE CARRA INTEGRABLE

La th4ori'e de l1int6grale stochastique est un 4difice que Pon cons-

truit avec deux sortes de briques': la th4orie de l1int6grale de Stielt-

jes stochastique ( chap.I ) et la th4orie de llint4grale dans 12

aue llon va d4velopper maintenant. Ce chapitre contient a-ussi des r4-

sultats sur la strubture des martingales de carrd int6grable.

DEFINITICN4 ORTHOGONALITA1 M est l1ensemble des (classes- de ) martingales (M telles que

2t t>O

supt E[M ] < oo .Les 65,14ments de M.'sont appel4s mart-Ingrales de carr4

t,,,ales M nulles en 0int4a.,able .

Le sous-espace de M form4 des marting

est not4 110.On rappelle qu'une telle martingale M admet une limite 11infini,

M00 = limt _>w Mt , que MT=EEMooIET3-Pour tout temps d'arr6t T, que

23 = li 3[ 2 2Sup ECM m

>oo M 3 = E[Mco3 ,et cette quFmtit4 est note-e

t t t_2.JIM 112*Comme F=F

00 , la correspondance N -.t-->MCO

est une-bijection entre2

= =

El et L (F). Cela permet de consid4rer M comme un espace de Hilbert,

avec le produit scalaire (M,N)t--> E[NCONCO 1. Llorthogonalit4 au sens

de ce produit scalaire sera dite faible.

Rappelons llin6galit4 de DOOB : s61t MeM , et soit M*= suptIMtI.Alors

Y'* 112< 411 M 112co 2 = aD 2

Avec une cons6quence bien connue : si des martingales If' e M co'nver-

gent vers MeL4 en norme, il existe une suite (nk) t+oo telle que

(Mnk _M)* tende vers 0 p.s., et par cons6quent telle que p.s. la

trajecto'ire krk(w) converge uniform6ment sur R+ vers M.M, ce qui

permet de pasLbr a la limite sur les limites A gauche, les sauts, etc.

2 DEFINITION. Deux martin ales P1 et N e M sont dites 6rthogonales si

E[MrpN,]=O pour tout temps d1arr&t T ( avec*la convention que sur JT=ooj

on a M =11 N = N ) et si M N 0'T- oo I T Co 0 0

Prenant T=+oo, on voit que M et N sont alors faiblement orthogonales.

191 B3

3 THM BME. Deux martingales M et N e M sont orthogonales si et seulement

si leur produit HN est une martin ale nulle en 0.

DE1-,:ON.3T_'-UaIC;N. Il nly a aucun probl6me dlint6grabilit4, car le processus

DMT est domin6 par la v.a. M*N*eL1.

Si MT est une marting-ale dlesp6rance ftulle, nous avons M NT T

E [MI00Nm 1ET31 done E 11"TNT3=E' EM(r Noo 3=!E[Y1tNt3=O.Inversement, le raisonnement de la d4monstration de 1.9, dernier

lemme'

raontre que S' EIMTNT1=0 Pour tout T, alors MTNT_-E[MODNoolPT3*La notation suivante sera utilis6e dans toute la suite :

4 NOTATION. Si X est un processus, T un temps d'arr9t, XT

d4sil4ie le pro-

cessus X arr&t6 A T ( ie. XT=Xt' tAT

La d6finition suivante est due a KUNITA-WATANAM en substance, mais

sous cette forme tr s commode, elle est empruntee A CORNE-A-LICEA.

5 DEPINITION,. On appelle sous-espace stable de M un sous-espace ferm6 H,stable pax arr6t, et tel que si MeH , AeF e H.

=0 on ait I

6 TH:',,OU,-I,!E. Soit H un sous-espace stable, et soit Lij' son orthogonal faibleT-

dans M.. Alors H est stable, et si M et N appartiennent A H et H' res-

pectivement, M et N sent orthogonales ( sens fort

DEMONSULaTION. Remarquer que nous n1utiliserons pas le fait que H est

ferm6, ni la stabilit4 pour les op4rations vectorielles. Soient MleH,

NeHl, T un t.dla.. Comme nous avons E[L N 1=0 pour LeH, et 11 est sta-T OD OD

ble par arr6t, prenant L=M, il vient que E[MTNGo ]=O. Or E[KTNCD

E[MTNT] , done E[MTNT1=0'pour tout t.d1a.. De mgme, remplagant M par

IAMeH (AeFO), on a E [1AMTNT1=0 , dlo l pour T=O la-relation M0NO=O.On a 4tabli llorthogonalitg forte de M et N.

La relation.E[IAMTNT1=0 sl6crit aussi E[M (IANT )OD]=O' et montreT CD

que I N appartient 9. H', de sorte que H est stable.A

CCIVK J-TTAIIC,.La th6orie usuelle ne se -fait que pour les martingales

nulles en 0. Nous avons un peu modifi4 la d4finition des sous-espaces

stables pour tenir compte de MO6bis COROLLkIRE. Si H est un sous-espace stable, tout 414ment M de DI admt,

une decomposition M=N+N' , oa N appartient a H, N' est orthogonale A H

( au sens des moxtingales ), et N N =00 0

Clest la d6composition ordinaire de M en sa projection N sur H et

le morceau restant Yi-N=N'eH'.

B3 192

EXE11PLES DE SOUS-ESRXES STABLES

Dans les 6nonc6s qui suivent, la continuit6 en 0 doit slentendre en te-

nant compte d6 la convention DI =0.0-

11or-7 DEFINITION. On note Me llespace des ma_rtin,, ,ales continues, et 1,dygonal de DIC. Les martingalesthor lop.-Id sont dites parement discontinues

on verra plus loin que ce sont aussi les semmes compens4es de sauts

On a MccV1 d1apAs la convention ci-dessus, et Me est 4videmment= =0

stable par arr6t, ferm6 d'apr6s llin4galit4 de DOOB (nOl), done stable.

Yid est done 4galement stable.

Les projections de HeM sur Me ( partie continue de H ) et Did ( par-d

tie discontinue ) sont en g4n6ral notges HO,HOn va 6tudier des sous-espaces remarquables de Pfd

8 NOTATION. Soit T un temps d'arr&t. On d6signe par EI[T] ilespace des

martingales HeM purement discontinues, continues hors du graphe de T.

1) Prenons T=O. Si H appartient a MEO], la martingale Mt=Ht-H0 est con-

tinue partout, aussi purement discontinue, done orthogonale a elle meme,

done nulle. 1[0] est llespace des martingales constantes ( en t , non

en w ) : Ht=HO pour tout t.

2) Nous supposons maintenantIT >0 partgut D'apr6s la convention du haut

de la page, on-a MIETIcLlo . 11ETI est 6videmment un sous-espace stable.

Nous avons alors les deux th6or6mes suivants

9 THEOiREME. 2LAMosons T totalement inaccessible. Alors PI[T]C W

, et est

onstitu6 de toutes les martihgales de la forme i.2 X--,oA A est le proces-

sus V.I. a un seul saut

(9.1) At = lIlt Tj avec eL2%) (cf. 1.8)

Pour toute martingale NeM . le Processus

(9.2) MtNt - ANT4"TI1t>T1est alors une martingale unif=orm6ment int4frab e. nulle en 0. En arti-

culier on a ue

2 2(9.3) Mt TIit>Ti est une martingale, E[Moc)] = E[bMTI-Pour toute YeM t la projection de N sur M[T].ftst M--i (9.1),avec

=bNT.10 M,'OREY03. Supposons T pa. lout >0 Alors 114nonc4 pr4c4- r

_

dent reste valablev avec la seule modification ue eL2(F ) doit tre=TassuJetti a la condition 'BEQT-J=O, et quIalor A

.

La d6monstration sera divis4e en plusieurs parties assez simples.c

1) V4rifions que si A est donn6 par (9.1), alors A est une martingalede carr4 int4grable. Il suffit de traiter le cas oil est positive, et

de montrer que 1,1[X2 _Go (1.8).GD

193 B3

Le processus,VI A est continu. Il suffit en effet de v4rifier que

la mesure associge a X ( qui est pr6visible ) ne charge aucun temps pr4-visible. Or elle coincide sur la tribu pr4visible avec la mesure associ6e

a A, et celle ci est port4e par le graphe de T totalement inaccessible.

On applique alors la formule d1int4gration par parties, puis le fait

que dX commute avec la projection optionnelle, pour obtenir

E[A2 ] = 2E[f00 (Z -X )dX ] = 2B [ f

OD(A -A ) dX I

CO 0 00 a a 0 00 a a

En effet, lea deux processus (A.-A ) et (A -A ) ont m6me projectiont-

OD toptionnelle ( cela signifie juste que A-A est une martingale ). Donc,comme >O

E[X2 ] :! - 2E E X ]00 - co

d'di d'apr6s llin4galit4 de Schwarz 1&1 112 -:5 2111112 d6s que llon sait

que le premier membre est fini. On commence par supposer <c, puis l'on

atteint le cas g4n4ra-l par troncation.

Dana le cas prz.visible, le calcul est explici-te : Aco='-E['JF'2.]Donc il nly a rien a d4montrer. Dana tous lea cas, noter que =LM

T

2) La martingale M appartient a KETID'abord, le processus A nlest discontinu qu.'a 11instant T. Dana lea

deux cas, le prccessus X est continu.( dans le cas pr4visible, il estc

nul ). Donc 1 ' =A nlest discontinue qul . 11instant T. Il faut montrer que

MeM . Nous allons prouver mieux : pour toute martingale NeM nous avons

(10.1) ri' [M00NCo ] = E[AMTOT] = E[ .6NTIEn effet, le r4sultat est connu lorsque N est born4e puisque M est

une martingale V.I. (1.9), et le passage a la limite est imm6diat.

Il en r4sulte que M est orthogonale, non seulement a toute martingalecontinue NeM , mais a toute martingale NeM continue a 11instant T.

3) Si NeM ,M N - AMT6N I est une martingale.t t T Jt>TJ

Notons Lt

ce processus. Soit S un teraps d1arr5t. AppliquonsS S S(10.1) A la martingale arret4e N Il vient comme N

OD =NS EEMOD NCO

B[MSNS1E [MSNSJ -- EE 6MTOTI I T<S

ou encore E[I 1=0. On en conclut que L est une martingale par le lemme

du chap.I, n09.

(On notera que cette martingale est. domin4e par 5M*N*, donc unifor-

m4ment int4grableC

4) Si N appartient a M, sa projection sur MET] est I-L--A

, avec =bN-T*

Dana le cas pr6visible comme dans le cas totalement inaccessible,

B3 194

on a vu plus haut que INT

Done N-11 est continue a 11instant T.

Dlapr s 2) on a MeM[T] .N-M est continue a 11instant T done orthogona-

le a MET], et M est bien la projection de N sur MET].La d4monstration est achev4e.

STRUCTURE DES P INGALES PUREDIENT DISCONTINM,S

11 Soit MeNO 9et soit (T

n) une suite de temps dIarr&t, soit totalement

inaccessibles, scit przvisiblesp tous > Ot A graphes disjoints, et

tels que J(t,w):LZIt (w) 01 soit contenu dans la r4union des graphes

Tn]] (N12). Posons pour tout n

n a,n en

0 At - TI Jt>T D"t= A

n = n

Mn est une martingale de carr4 int4grable, qui est continue hors de

[[Tn]], et d'ont le saut a cet instant est exactement AMTn

* Posons

aussi kH =M

La martingale M-Hk

est continue aux instants T T done crtbogonale1 k 11-11k I

ka M O.M , done A leur somme Hk j Les martingale s M .'.,M sont ortho-

-gonales entre elles, et nous avons

EEM2 Ek ) 2]+E[(kl-Hk )2 ]=ZkE[(Mn )2]+E[(Y,-Rk )2

Co 1 1'1 00 C 00 00

E _Hk)2kE [ a12 ] + 1,3. E (1,

0 Tn OD

Nons en d4duisons que la s4rie orthogonale E DO ' converge dans M vers

kn k

une martingale H.Comme M-H est orth9gonale a H

,M-H est orthogonale

a H. En utilisant une sous-suite de Hk

qui converge p.s. uniforinement

vers H (nOl) on voit que 11-H n1a, plus de sauts : elle est continue et

nous avons2

(11o2) EEM00

BEEn aITn] + E[(M-H)

N12, Soit A une r4union d4nombrable de graphes de temps dlarr t Un

Alors A est contenue dans une r4union d4nombrable de graphes disjoints

de temps d'arr&t, soit totalement inaccessibles soit pr4visibles.En effet, quitte a remplacer [EunlIpar EEUn]]\UM<n[EUm]],- nous pou-

vons supposer les graphes des Un

disjoints. Nous repr4sentoris chaque

[EU 1] comme la r4union de deux graphes EET 11 et [[Ua]], l'un totale-n n

ment inaccessible, l1autre accessible (W). Les graphes [[U3-1] sontn

disjoints, quant a ceux des Ua. nous les recouvrons au moyen d1une

n

r4union d4nombrable de graphes pr4visibles (N6), que nous rendons dis-

joints A leur tour par diff4rence comme ci-dessus (cf.[D]I'V.Tl5, P.74).

195 B3

Si M nl4tait pas nulle en 0, on ajouterait a la suite T1,T21- le

temps dIarr&t T,,TO, avec la martingale correspondante'Mo -M et on po-

serait Hk=Mo+...+Mk. Les r4sultats seraient les'm&mes.t- Op

Il est clair que M-H est la projection de M sur llespace Me des mar-

Md.tinga,les continues nulles en 0, et que H est la projection de M sur=

Nous en d6duisons les propri4t6s suivantes.

D'abord, si M est purement discontinue, DI-H--O, done M="mk Hk dans

M. Ainsi

12 THEOREME. Toute martingale purement discontinue M est la somme compensk

de ses sauts. M est orthogonale non seulement A toute martingale con-

tinue, mais toute martingale NeM sans discontinuit4 commune avec M.

13 TH-BOREME. Pour toute martingale MeM, on a

EM2 ].(13.1) E[Z a12 ] :5 E (hM =M0s s - 00 0

avec 114galit6 si et seulement si-M est purement discontinue.

Cela d4coule aussit8t de (11.2)).Nous 4crivons maintenant que, si M et N sont deux 614ments de M

(13.2) E 1,LM LN (z Lill2 )1/2(Z LN2 ) 1/2

's s s s S1

s

Le second membre appartient . L dlapr s (13.1). Plus pr,4cis4ment

(13.3) BEEsI by,sLNs 13 IIM 112 JIN 112

14 THEOREDIE. Soient M et N deux 414ments de M, dont l'un au moins est sans

partie Icontinue. On a alors

(14.1) EEMOD N00 ] = E[EsAMsANS]

(14.2) MtNt - ES<t LMs4Ns est une martingale nulle en 0, domin6e

dans L

DBMONSTRATION. Lorsque M et N sont toutes deux sans partie continue,

(14.1) r6sulte de 116galit4 (13.1) appliqu4e a M+N, M et N, et (14.2)T T

d4coule de (14.1) appliqu4e aux martingales arr&t4es M et N, et du

lemme du chap.I n09. Le processus (14.2) est toujours domin4 par la

v. a. M*N*+ ES

I amsANs I qui appartient a L

Supposons ensuite que M seule soit purement discontinue. Nous 4cri-

vons que N=Nc+NI, oa NI est la projection de N sur Md

; comme M appar-

tient A Mdq E[M 'Nc 1=0, et Mt t est.une martingale=nulle en 0, domin4e1- OD 00

dans L,d1oa aussit6t 1'4nonc4 par addition.

15 Soit M une martingale qui appartient : la fois a M et a llespace W

des martingales VI. Nous savons d'apr6s 1.9 que llon a

(15.1) EEMODNOD

] = E[zs

AMsANs ] pour toute martingale born4e N.

D'apr6s (13.3), les deux membres sont des formes lin4aires continues

en N pour la norme de M , done 114galit4 vaut aussi pour NeM. Prenant

B3 196

N=M, on voit que tonte mar1jagale MeKirly est pnrement discontinue en

tant qn'614ment.de M, i.e. n1admet pas de partie

en tant qu'616ment de V,elle pent avoir une partie continue

On voit done que 1'emploi de la notion de sous-espace stable, d-aA CORNEA-LICEA [91, permet d1obtenir avec tr6s peu de moyens des r4sul-

tats int4ressants sur la structure des martingales de carr4 int4grable.Nous. n1avons pas encore utilis4 la decomposition des surmartingales 1.

Nous arrivons maintenant au point o-a nous allons llutiliser - mais un

peu de r4flexion montrera au lecteur quIelle nlest r4ellement indispensa-ble que pour d4finir le processus croissant <M,M> associ4 ' une martin-

gale continue. D'une mani re g4n4rale, ce sont les martingales continues

dont 116tude est d4licate, et la structure mal connue : nous retrouve-

rons cela plus loin, a propos de la formule du changement de variables.

LES PROCESSUS CROISSANTS ASSOCIES A UNEE MARTINGALE

Soit MeM. Le processus M2

est une sousmartingale domin4e dans L

par 14*2 2 2, done le processus E[MoolEtl - M

test une surmartingale de

la classe (D) (1.16) ; comme elle est positive et nulle A 11infini, on

peu lui appliquer la th4orie de la d4composition des surmartingales :

16 DEFINITION. On note :JvI,M> l'unique croissant Pr4visib12 teLgue I,Dt>o2

, 2__que M2- I,DL> soit une martingale.= MO17 DEFINITION. Soit Mc la partie continue de MePl. 2n_pose

-Fm-,141 dvicpMc>t + E, _t&M2(17-1)

9_t-

s

D'apr6s (14.2), si M est purement discontinue (Mc=O) M2-EM,M] estt t

une martingale, et -dI,M> est la compensatrice pr4visible de

Compte tenu de llorthogonalit4 des projections de M sur Me et Md9 il

,est toujours vrai que [M,MI est un processus croissant int4grable,

que M2-EM,M] est une martingale, <M,M> la compensatrice pr4visible de

EMPM]. On ne sait pas se passer de la d4composition,des surmartingales

pour d4finir <KC,Mc> . Noter que <Mc,Mc> est continu 1

Dlapr s KUNITA-WATANABE E81, nous "polarisons" maintenant les "formes

quadratiques" -d I,Pt> et [M,MI :

18 DEFINITION. Soient M et N deux 414ments de M On pose

18. 1 JI, N> =I( <-DI+N, M+N> - <M,M> - <.N, N>2

l'unique processus pr4visible VI tel que. <M,N>O=Iq0N0 et que MN-<M,N>soit une martingale, et

(18.2) [M,N] = -11(EM+N,D1+N] - IM,M] - EN,N])

197 B3

On a 4videmment

(18.3) [M,N]t= .84c,No> + 's.,zt 'MsAN,t

Les processlas [M,N]-.:I,;I,N>, MN-[M,N] sont des martingales. Les deux

'tin,ar ales M et N sont orthogonales si et seulement si <M,N> estm

nul.

Les deux processus VI 44,N> et [M,N] sont int4ressants a des titres

diff4rents, mais clest le second sans doute qui est le plus utile :

nous en 4tendrons plus loin la d4finition A des martingales locales

quelconques.

19 Le processus croissant pr4visible <M,Pb> est uniquement caract4risd

(1.14) par son potentiel X,. donn4 par

(19.1) X = E[<PI,M> -<M, = E[M2 2T OD K>TI-ET1 a) I-ETI-MT

=12 IFO]. Le processus croissant [M,MI estavec la convention XO_ 3[Moo =

caract4ris4 par son potentiel gauche XI, donn4 par

(19.2)"Xt= E[[M,M] = E[M2 M2 + LM2

T oo-[MIM3T-1-FT] CD T T

En effet, [M,Ml-<M,N> 4tant une martingale, nous, avons EE1M,M1oo-EMIX3TFT] = EE-:-Jq,kt>

2-

2

20o-'-MIM>TI2T I = EEMCo IM-MT , et d1autre part [MtMITIMIMIT- = 4M -

20 Soit T un temps dIarr6t ; on a <M,NT> = <M,N>T ( arr9t A. T ), d1oaT T

aussit8t par (18.3) EM,N ]=[M,N]En effet, dlapr s le th4oAme d1arr6t de DOC-B (MN) T-.:dq,N>T est une

martingale, et M.NT.(MN)2 est la martingale EE(M00 -MT)NT1W , de sorte

T T_jrl,que M.e-<X,N> est une martingale. Comme M.N NT> en est une par

d4finition de <3,1,NT>q <X,N:>T-<M,NT> est constante, et il ne reste plus

quIa remarquer quIelle est nulle en 0.

LES INEGALITES DE =TA-WATANABE

Soit un intervalle 10,t], et soit t = it2-n

pour O<i<2n. C.DOLEANS1

1a montr4 que llon a, au sens de la convergence L

<M%,N>t = limt Z, E[(Mtn

-M )(Nn

-N n) I 1 tn I + MONOt l t3-+1 ti =

ii+1 a.

EM,N] = limn Ei (M -M )(N -N n) + M N

.

t tl tn tn ti 0 01+1 i i+1 ,

Nous n1aurons pas lloccasion d1utiliser ce r4sultat, et ne le prouve-

rons pas. Mais il est clair sur ces expressions que ces deux processus

donnent lieu A des "in6galit6s de Schwarz" Nous allons d6montrer cel-

les ci maintenant, d1apr6s K=TA-WATAN.ABE noter cependant que KUNITA-

WATANABE n1en donnaient dans [8] que la forme int4gr4e - mais la forme

Itrajectorielle"fait partie du folklore des martingales ).

B3 198

21 THEOREME. Si M et N sont deux 614ments de M,H et K

mesurables, on a p.s.'-

deux Processus,

(KW1) f00 IHs11KsI I d44, N> I ] :5 (fOchQ&d4,11> )112(foOK2d<N,N> )1/20 s 0 s s 0 s s

(KW2) fOD

I H j1d[M,N] I ] f11)H2d[M,M] )112(fOOK2d[N,N] )1/20

s11Ks s 0 S s 0 S s

22 COROLLAIRE. Si p tt q sont deux exposants conjugu6s,,'on a

E[fjH I IK I jd<V1,H> 11 :51P H2d-all,M>, 11 11 JT;a-0- , >, 11s s 8 s pT-7-

q

et llin4galit6 analogue avec des E ].DEMONSTRATION. Celle-ci nous a 4t6 sugg6r6e par P. PRIOURET, qui a

d4barrass4 le th6or6me d1une hypoth6se inutile sur H et K.

1) Prenons s et t rationnels, s<t, et 4crivons que llona pour tout

X rationnel <M+ LN,M+XN>t- <M+XN,M+XN> >0 p.s.. Il vient, avec desS

notations abr4g4es claires

j.d,,,X>tj < (.::: jK>t)1/2(<N,N>t)1/2S =

f s s

et aussi en 0 IA. fi,N>O[=IA.:a'vl,M>Oll,&<NtN>01.Prenons maintenant une subdivision finie de la droite : O--t 0<11<...

<t,+j=-+oD , des v.a. HOfKO, Htiq11ti(0 5L .:n ) born4es, et posons

H -H I -F E H It tt= 0 It=01

,

i ti I i, i+1

et Kt de mgme. Ecrivons les in4galit4s pr6c4dentes pour s=t,,t=t,+,,multiplions les par, ItixtiI , sommons, et appliquons llin4galit4 de

Schwarz. Il vient

/H K d<11, kT> :5 1 H K A<1,1, N>0 I +Ht Kt 4,11, N>ts s 0 0 0i ti

= ( 112A<M,M> + E 2 ti+1)1/2 2 2 ti+1 1/20 0 H i<M 0 M:>t

i(KOA<N,N>0+ZKi<N 9N>ti)

clest A dire llin4galit6 (KW1) dans le cas particulier de deux processus

6tag6s continus A gauche H et K, a cela pr6s que le signe est hors

du symbole f au lieu d16tre , llint4rieur.

2) Les processus-6tag6s du type pr4c6dent forment une alg bre qui

engendre'la tribu produit sur 2 XQ Un argument de classes monotones

permet alors d16tendre llin6galit4 toujours avec le signe hors

de llint4grale ) , deux processus mesurablesH et K born4s.

3) Soit Jsun processus mesurable a valeurs dans I-1,1j tel que,

Id<N,N>sI = Jsd<M,N>S ; en appliquant le r4sultat pr4c4dent aux proces-

sus Hs et KSjson fait entrer le signe I I dans llint4grale. Apr squoi llin4galit4 se trouve ramen4e au cas positif, et la derniAre ex-

tension au cas non borng se fait par troncation et convergence monotone.'

199 B3

Le raisonnement pour EM,N] est identique.REDURQUE. Nous verrons auIchapitre V une autre majoration de E['Ad[M,N],jJlige a la dualit4 entre H et BMO

, et plus profonde que 22.

INTEGRALE STOCHASTIQUE DE PROCESSUS PREVISIBILES

Nous abordons maintenant la'th4oriede llint4grale stochastique pro-

prement dite, en suivant d'abord exactement la d6finition VITO. Seu-

lement, dans la th6orie relative au,mouvement brownien, 11importancedu caract4re pr4visible du processus A int4grer n1apparaissait pas.

23 Nous remarquons d'abord que llon peut toujours d4finir 11int6grale

d'une fonction 4tag4e continue A gauche f d6finie sur I+

to=O<t 1 ...<tn<+00 =tn+1 'f(t) = fi pour toltipti+11

par rapport a une fonction g d4finie sur T+ , continue a droite et pour-

vue de limites a gauche :

f00 fdg = f (O)g(O) + 0 f (9(t )-g(t0

0 i i+1 i

tfdg =f00

fi dg = f(O)g(O)+ Zn fig(tAt,+,)-g(tAti))0 0 [Olt] 0

La fonction fdg est continue a droite avec des limites A gauche, et0

son saut en t vaut f(t)Lg(t)..D6,qi,,,,7nons maintenant par A llespace des processus pr4visibles bor-

n4s (Ht) 4tag4s sur 11, s Il existe une subdivision (t.) comme ci-dessus

telle que n =n pour tejtipt les v.a. h 6tant F,- -mesurable's bor-t i i+1jl i

ne'es, et HO fo-mesurable bornde.

Dans ces conditions, soit MleM . Nous avons le lemme trAs facile

LEPUrl,. Le processus H-M =(ftHSdMs) ap-partient A M

, et on a

2 ] = 1, 2 2a[ME[(H-M) foPH d<N,YI-- I EU00H i ) ."V]1

00 0. S s 0- s s

et maintenant, nous a-vons le th6or6me VITO

*2M",,'OREF

.Soit L Y, llespace des processus pr4visibles H tels gue

IIH 11 (B[IH2d<11 1>83)1/2 <OD . Alors l1application lin4aire H-->H.ML2 (10

S

de A dans K se prolonge de mani re unique en une application lin6aire

continue une isom6trie ) de L2(M) dans LI , encore not6e H-30- H-M.7

Pour tout Het"(11), les processus

(23.1) A(H-M) t Lt HtbMtsont indistingra

1. On rappelle que [M,M]-.<M,M> est une martingale VI, et induit done

une mesure nulle sur la tribu pr6visible.

B3 200

RE,-MONSTRATION. L2 (14) ( le r6le du * apparattra plus tard, quand L2(M)

sera d4fini ) est llespace L2d1une certaine mesure sur la tribu pr4vi-

sible. Llespace A est dense dans L2(M), llisom6trie H-->H-M de A dans

M se prolonge done de maniare unique en une isom4trie de L2 (M) dans M.

La derni6re assertion r4sulte de llin--igaliU de DOOB ( nOl), et d1un

argument de convergence uniforme p.s. a partir du cas 6tag4.

24 EXEMPL3. Si T est un temps dlarr ,t, et H -I [0,T] ,H-M est la martingale

Tarret4e M ( approcher T par une suite d4croissante de temps d'arr&t

4tag4s ).

Nous suivons maintenant llid4e fondamentale de KTJNITA-WAT!iNABE, quiconsiste ; caract4riser uniquement, non pas un op4rateur de L2(M) d-ans

M,mais individuellement le processus H*M

*225 T11)],WEK9. Soit HeL (M). Alors pour tout NeYl on a

(25.1) B[foo IHs

I I d4i11,N>s I< oD ( .2t E [f I Hs I I d CM,N]s I ]<oo0-

L'int4grale stochastigue L=H-M est uniquement caract4ris4e, comme le

seul, 614ment de M tel que, pour tout NeM

(25.2) E[L00 N00 B[f( OHSd- YIJT>s] ( --'E[fooHsd[D-'1,N]s

0. 0et on a alors pour tout N

(25.3) <L,N> = H-:d 11,N> [L,N] = H-EM,N]

(les int4grales au second membre scnt des int4grales de Stieltjes.).

DEMONSTRATION. Les in4galit6s (25.1) sont des cons4quences des in6gali-

t6s KW1 et KW2 ( n022). Pour montrer clue L satisfait (25.2), on re-

marque que.la forme Hs.-> E[(HoM) N - f00 H d<M,N> sur L2 (M) est00 00 n s s

continue (in6galit6 KWI), on v6rifie ausgitot quIelle est nulle sur A,

done sur tout L2 (M). Quant aux deux esp4rances de droite de (25.2),

elles sont 4gales du fait que EM,N]-<M,N> est une martingale VI, et in-

duit done sur la tribu pr6visible une mesure nulle, Pour 4tablir (25.3),

introduisons le processus Jt=LtNt-ftHsd<M,N>s, domin6 par L

*N* +

10 T

fjHS jjd-::N,N>sI e L

. Appliquant (25.2) a la martingale arr9t4e N ,et

le n02O, nous voyons que EEJT1=O pour tout temps d'arr&t T, de sorte

q e J est une martingale ( chap.I. lemme du n09). Mais alors <L,N>t IH d<kl,N> est une martingale pr6visible, nulle en 0. done nulle, et

0 s s .

cela nous donne la premi re relation (25.3). Pour 4tablir la seconde,

nous d4cofaposons M et 9 en leurs parties continue et discontinue Me,Md et Ne,Nd, et nous remarquons que H-Me est la partie continue

201 B3

dhoj - nale a toutede L : en effet, elle, est continue, et H-M est ort go

martingale continue nulle en 0 ( si K est une telle martingale, on a

<H.Md,K> = H--d la K> ='O ). Alors (23.1 )

EL,N]t= <Lc,No>t + 's<t ALs4Ns = H.<Yic,Lc>t+ Es_tHs6MsANSt=IH d[DI,N]0. s s

clest ! dire la seconde 4galit4 (25.3).Il reste donc un seu-I point a 4tablir, le fait que (25.2) caract6rise

uniquement L.Or le second membre est une forme lin4aire continue en

N connue lorsquIon connalt H et Y, tandis que le premier membre est

la forme linA,aire Nl-> (LON) associ4e a L par le produit scalaire de

llespace de Hilbert M

Notons explicitement un point de la d4monstrAion pr4c4dente, quisera d'ailleurs contenu aussi dans un 4nonc4 plus g4n4ral au paragraphesuivant ,

relatif aux sous-espaces stables.

-226 COROLLAIRE. Si HeL M), les parties continue et purement discontinue de

H-M sont respectivement H-1-Ic et H-gd.

Nous verrons plus loin que le th4or6me 25, caract4risant 11int6gra-le stochastiquet permet dlen 4tendre la d4finition A des processus H

oTtionnels , et a des processus M qui sont des martingales locales et

non plus des 414ments de M. Indiquons en une cons4quence ( dont la

d6monstration est laiss4e en exercice au lecteur ).

27 THEOREME. Soient HeL2 (M), K pr6visible born6. alors (KH)-M--K-(H-M).

INTEGRALES STOCHASTIQUES ET SOUS-ESPACES STABLES

28 Soit S un sous-espace stable de M (5). Alors pour tout MeS,tout HeL2(M), on a H-MeS

TInversement, comme les op4rations M-->MI

, M-->IAM sont des

int6grations stochastiques a.vec H=I 10,TJ H=I,+XA , cette propriA6entralne la stabilit4 ).

P IDEMONSTRATION. Il suffit de d4montrer que H-MeS". Or si Nei:i on a

D-IONO=O et YI et N sont orthogonales au sens des martingales (6)', donc

.::k-1,N>--O (17), donc H- Y1,N>-0, <H-M,N>--O, E[(H-M) N 1=0 et H-MeS".00 00

29 Tliv",ORE'143. Soit MeII Le sous-espace stable engendr4 par M est l1ensem-

ble des int4grales stochastiques H-M, Hj2p .2L NeM , la -projection

B3 202

de N sur ce sous--egRLce ast D-M,

oil D est une densit4 2r4visible de

<M.N> -par rapport A <M,Yi>.

D.31-IONSTRATION. Comme l1application H-3p-H-M de L2 (M) dans M est une

isom6trie, 11image I est ferm4e, 4videmment stable, et contenue dans

tout espace stable contenant M d1aprAs 28. Clest done le sous-espace

stable engendr4 par M.

Ecrivons N=N'+Nw,

o-a N' est la projection de N sur I, et N*eI

On a vu dans la d6monstration de 28 que <Y1,N't-0. done <M,N>--<M,Nl>,D'autre part, par d4finition de I on peut 4crire NI=D-M, avec DC12 (M).Alors = D-<N,M>, et D est une densit4 pr4visible de

- YI,N> par rapport A <11,P1>. On remarquera que si IT est une seconde telle

densit6, on a D=r -dK1,M>-p.p., done E[f(D zs)2d- , Pb>s1=0 , done reL2(M)

et D-M=15.M

COMT, ITTAIRE. Ces deux th6orkes ont des cons6quences importantes en

th6orie des processus de Markov, en permettant des repr4sentations de

processus au moyen dlint4grales stochastiques. Il y a 6. ce sujet des

r4sultats tr s utiles de KUNITA-WATANABE. Mais nous laisserons cela de

c6t4 pour 11instant. J1esp9re avoir le courage d16crire un chapitre d'

-applications.

INTBGRALES STOCHASTIQUES ET INTEGRALOS DE STIELWES

Le r4sultat suivant est fondamental : il explique le r6le jou4 par

les processus pr4visibles en th4orie de llint4grale stochastique ( cf.

plus loin le n034 au sujet des processus optionnels ), et il sera A la

base de la d6finition de llint4grale stochastique par rapport aux mar-

tingales locales.

30 THEW ME. Soit MeMf)W , et soit H un processus Pr4visible tel que Pon ait- 2= =

A la fois H d[K,M] ] < OD et B[f(-' IH I JdM I ]<co . Alors l1in-t6grale 16T s s 0. s s

stochastigue H-14 et l1int6U,1:ale de Stieltjes stochastique H;F'1 sont

6gales.

DEMONSTfu'LTION.Nous savons d4jA (1.12) que H;M est une martingale A V.I.,done (1.9) que pour toute martingale born6e N on a

(30-1) E[N .(H-1-1) ] = E[Z H iaYl bN ]OD s 00 s s s s

Dlapr s 15., d'autre part, K est une martin-ale purement discontinue,

_t AYISANS et on a , pour toute NeMdone Es., en particulierN'born6e)

(30.2) E [iT00

(H - MI)OD E[JHsd[K,N]s E[LsHs6MsaTS1

Comme N est une v.a. bcrn6e'arbitraire, on a (H-M)()O=(H,.M)cc ,d1oa

OD s

H.M= He;! en conditionnant.

203 B3

INTEGRALES STOCHASTIQUES DE PROCESSUS OPTIONNELS

Le lecteur fera sans dolate bien d1omettre en premi6re lecture le

court paragraphe qixi suit : en effet, cette notion dlint4grale stochas-

tique n1a pas encore connu d1applications int4ressantes, et nous verrons

aussi quIelle ne sl4tend pas bien aux semimartingales ( en revanche,

nous 114tendrons plus'loin aux martingales locales ).

Quoi qulil e4 soit, ces int4grales stochastiques existent. La d4fi-

nition en est d1une simplicit6 enfantine.-

31 DEFINITION. Soit MeM. On note L2 (M) llespace des processus optionnels

H tels que 11HIJ 2d[M,Mls])1/2 , 00.L2(M) - (E[ JEO,00[ Hs

L2 (M) est le sous-espace de L2 (M) constitu4 par les processus

pr4visibles.t

32 DEFINITION. Soit HeL (M). On d4sieMe par H-M = (f.HsdMS)te"+ l'uniqu0

414ment L de X-tel que00

(32.1) pour tout NeM , E[L N E[f H d[M,N]OD OD 0- s s

En effet, dlapr s llin4galit4 KW2 (21), EUJHs jjdEM,N]s 1.1<oo, et

le c8t4 droit de (32.1) est une forme lin4aire continue sur llespace

de Hilbert M. Dlapr s (25.2), cela 4tend la d4finition de llint4grale

stochastique pr4visible.

33 En arr9tant N A un temps d1arr9t T arbitraire on v4rifie', comme au

nOI.9, quet

(33.1) pour toute NeM, LtNt H d[M,N] est une martingale ( domin4e

1 * * 000.

dans L par L N +f IHs Jjd[D11,N]sj

034 Nous allons calculer explicitement H-M

1) Si Y1 est une martingale ind4pendante de t, Mt=Y10p alors (H-M) t---HC 1.la v6rification est imm4diate.

2) Si 1 1 est continue, choisissons HI pr4visible tel que pour presque

tout w it : Ht(w) Htl(w)j soit d4nombrable ([D]V.Tl9, p.101, [PIIV.66).On v6rifie alors aussit8t que HI j2(M)

,et que L=H'.M satisfait L

(32.1). Donc HoM = HleMv et dans ce cas l1int4grale stochastique op-

tionnelle ne repr6sente rien de nouveau.

3) Supposons que MeM[T] (n08), o-a T est totalement inaccessible. Je dis

que l1int4grale stochastique L= Hohl appartient aussi a M[T], et quIelleest 4gale I

,oa A est le processus V.I.. H LiM I

t Tj (H eL2 puisque2 c T T I >- Tbk'T

HeL (M), et A appartient . M dlapr s le 1) du n'9-1 5). Nous savons enc =* c

effet que AeM[T] (n09-10v 2))p que AAT=H et que (10.1) pour toutT 6D'T

NeM cE[A00N0D E[HTAMT&NTI

ce qui 6quivaut a (32.1), car [1,N]t= ATANTIjt>Tj -

B3 204

Noter que dans les trois cas qui pr6c6dent, on a

(34.1) A(H-M)t = Ht4Mt (processus indistinpuables

(34.2) [H-MI,N] = H-EM,N]2 ] = B04.3) E[(H-M) '[fH2d[M,'M]00 s s

Les choses bizarres se passent dans le cas suivant

4) Supposons que Me MET], oil T.partout >0 est pr6visible . Je dis que=' cL=H-MI appartient a LICTI et est 6gale A A

,o'a A est d6fini comme au

3) pr6c4dent. Mais il y a ici une diff4rence, car "'T=HT'C'MT-h' T TIET-3[H AM

Alors si Netl'c

-B ]_Br B[H ],aN(34.4) E[AcCIDNOD ] ---Z, [ AAT6NT I-- [HT6MT&"T L T 61"T I k- T3= BEHTa'TANT 3 = E[fwH

sd[I4,N] S1

0clest a dire (32.1). Mais on peut affirmer (34.1) et (34.2) seulement

si E[HTW4TIET-1=0 en particulier si H est pr4visible ... ou M=O. De

m6me2

= BE 02]_E[(H AM E[H AM2 :[H2,&M2I(34.5) BE (H *M)

Co Lu T T- T T T T

E,[fH2d[M,M3 Is s

5) Nons passons maintenant au cas g4n6ral : soit PlIeM, que nous d6compo-

sons M A la mani6re des n0811-12c

(34.6) +PIc + znDin (Y!'--Bn, oil AMT., I t>T est not6 B= n

les Tn

6tant des temps d'arr6t partout >0, 3. graphes disjoints, dont

chacun est soit totalement inaccessible , soit pr4visible.Soit HeL

2 (K), albrs HeL2(Mc), L2(0), jpuisque [M,Ml--MZ+[Mc'Mc] +0

En [kn'Mn] ; les int4grales stochastiques H-MOq H-Mc, H-Pin ont 6t4 d6fi-

nies plus haut, et nous avons vu quIelles sont toutes orthogonaleselles appartiennent aux espaces stables orthogonaux M[03, L4c,M[T 1).

- = n

D'apr4s (34.3) et (34.5), la s4rie H-MO + H-Mc + En H-0 converge dans

Mp et si nous notons L sa sommep il est facile.de voir que (32.1) est

satisfaite ( argument de convergence domin4e au second membre).Nous allons maintenant donner des 4nonc4s formels de quelques uns

des r4sultats obtenus :2

35 THEOREME . Si MeM admet la d4composition orthoaonale (34.6), tt HeL (N),alors L=H-14' admet la d4composition orthogonale(35.1) H-M = HOMO + H-Mc + E

nH-kn

On a

(35.2) ECL2 E[/H2d[M,MIOD 8 s

205 B3

6M F pour tout tem2savec 116'.-,alit4 si et seulement si 2,EHT Tl'=T-3=0pr4visible T Partout >0. Cette condition est aussi 4guivalente a cha-

cune des deux suivantes

(35.3) les processus LLt

et HtAMtsont indistinguables

(35.4) pour tout NeM on a [L,N] = H.[14,N]

DEMONSTRATION. a) Nous avons vu la d4composition orthogonale (35.1)au n'34, ainsi que llin4galit4 (35.2), qui est une 4galit4 si et seu-

lement si E[HTU4T If-T _1=0 pour tout n tel que Tn 80't pr4visible.n n n

Comme la condition dl4galit4 dans (35.2) est ind4pendante de la suite

(T ) choisiev et comme n1importe quel temps pr4visible T partout >0n

peut 9tre pris comme temps dlarr t T. d1une telle suite, cela nous

donne la condition.E[HTAMTIk-1=0 ( exprimant que la projection pr4visi-

ble du processus (HtAMt) est nulle sur 10,oD [xC) ).

Cette condition est satisfaite si (35.3) llest, car E[ALTik-1=10pour toute martingale LeIII . Enfin, (35.4) entralne 114galit4 (35.2),

car si (35.4) a lieu, en prpant N=L puis N=M

1 [L2 ]=B,[[L,L] ] = E[fH d[M,L] E[fODH2d[M,M]OD 00 Cj. S s (,.,. S s

36 On dit qu'une-martingale M est quasi-continue Agauche si 6MT=O p.s.

pour tout temps pr4visible T>O .Il arrive assez fr4quemment que la

famille de tribus (Et) soit telle que toutes les martingales soient

quasi-continues a gauche, ce qui revient a, dire que F pour tout=T=ET-temps pr4visible T ( la famille est alors dite quasi-continue A gauche,

ou sans temps de discontinuit4, et tout temps accessible est'

pr4visible.

Nous n1aurons pas besoin de ces r6sultats pour 11instant ([D]III,D38, p.

57, T51, p.62, T42 p.112 ). Lorsque M est quasi-continue a gauche,

toute la pathologie de llint4grale stochastique optionnelle disparal't.Il faut noter en particulier llassociativit4 (HK)-M = H-(K-I'.I,)=K.(H-M).

37 UK EXEMPLE. M. PRATELLI et C. YOEURP ont calcul6 ltint6grale

(37-1) ftAM dMe = [M,11]t_dI,15t MeM ,nulle en 0, AMe,2(,M)

a-

tqui, compt9 tenu de la formule classique 21 M,_dM, (111.9) permet de'

calculer IMSdM8 tNoter par exemple la Jolie formals

(37.2) (M +M,3_)dM,3 = M2-:34#14>t0 8 t

le principe do la d4monstration de (37.1) est simple : lea deux membres

sont des sommes compens6es de sauts, et ils ont lea mgme sauts aux temps

pr6visibles ou totalement inaccessibles. Maio on.est gind pour traiter

(37-1) dans M, car AM n1appartient pas n6cessairement g. L2(M). On y

reviendra au nOV.21.

B3 206

Universit4 de StrasbourgS4minaire de Probabilit4s 1974/75

UN COURS SUR LES INTEGRALES STOCHASTIQUES(P.A.Meyer )

CHAPITRE III : LA FORDIULE DU CHANGEMENT DE VARIABLESforme pr4liminaire

Nous allons interrompre ici 11ordre logique du cours, pour des

raisons p4dagogiques : ayant d4velopp4 une th4orie de llint4gration,nous voulons nous en servir pour faire des calculs avant de passer A

une th6orie plus g4n4rale. Nous y perdrons en puret4 ( nous serons

amen6s A poser des d4finitions provisoires, nous serons g&n6s par des

restrictions dtint6grabilit4 inutiles... ) mais nous ne commettrons

tout de m6me aucun crime : la d6monstration de la vraie formule du chan-

gement de variables passe obligatoirement par la r4duction au cas trai-

t4 dans ce chapitre..'

DEFINITION DE DIVERS ESPACES DE PROCESSUS

Rappelons les espaces d4jA d4finis :

Y espace des processus ( adapt4s variation finie sur tout intervalle

compact [O,t].espace des martingales A variation int4grable.

M espace des martingales de carr4 int4grable.Nous y ajouterons ici

A espace des processus (adapt4s) ,:! variation int4grable (Yc Ac V), muni de

la norme 11 1 de la variation totale.

et nous poserons la d4finition provisoire suivante

1 DEFINITION. Un processus X=(X,) est une semimartin.Zale au sens restreint

(abr4g4 en : semimartingale (;)) slil appartient At llespace S=DI+A .

La vraie d4finition des semimartingales sera donn4e au chapitre IV.

La pr6sence d1un0 : MO,AO'SO... sert A d6signer un espace de processus

nuls 1 11 instant 0.

X appartient 3si et seulement slil admet une d4compositionX + Mt + A XOeL1(fO), MeMO , AeAOXt 0 t

Mais cette d6composition nlest pas unique. Quels en sont les 616ments

intrins6ques ? Les r6sultats des chapitres I-II donnent aussit6t

2 THEOREEIAE. Dans (1.1), la Partie continue MC de M est ind4pendante de la

d4composition, et sera apZtl6e la partie martingale continue de X, et

not6e Xc. On Posera

.,:-C 2 AX2(2.1) Ex,x]t = ac tX >t + E AX y compris _X2

8St s 0- 0

207 B3

Soit H un processus pr4visible born4. Le processus

(2.2) HOXO + I HsdMs + ftHsdAs ( int6grales respectivement dans M0 0 et de Stielties

ne d6pend pas de la d4composition (1.1), et appartient A S. Nous le

noterons H-X.

DEMONSTRATION. Nous consid4rons deux d4compositions analogues

X = X0+M+A = X0+Tq+x ,

nous avons alors M-M = W-A e m nwo .Il r4sulte de 11.15 que M41 n1a pas=0 =

4e partie martingale continuet done que Mc---Mc. Il r4sulte de 11.30 que

H-(M-M) est 4gale a llint4grale de Stieltjes H ; (1-A). Clest tout.

REMARQUBS. 1) X admet une d4composition (1.1) canonique, o-a AeA est=0

pr4visible, mais nous ne nous en serviro.ns pas.

2) Llin4galit4 AX2< 2(bM2+.&A2) prouve que EX,X] est un prQcessus crois-

S = s s

sant a valeurs finies sur [O,ODI.

LA FORMULE DU CHANGEMENT DE VARIABLES

Nous en donnons un 6nonc6 complet, et nous passerons le reste du

chapitre a le d4montrer - la principale difficult4 tenant au cas des

martingales continues.1

3 THEORBME. Soit X une semimartingale_ rj, et soit F une fonction sur R,

deux fois contin-ament d4rivablep admettant des d4riv4es born4es des

deux premiers ordres, On a alors deux processus indistinguablest t c c

(3.1) FOXt= FOX0+ I F'oXs-dX + -if FoX -d<X 'X

0 s 20 s

+ (FOX FOX -F'oX 4XO<S<t s- s- S- s

. oa la premi re int6grale au second membre est celle d1un processus

pr4visible born4par rapport a X, et oa la s4rie est p.s. absolument

convergente sur [0,+oD].La convergence absolue, r6sulte aussit8t de la formule de Taylor

si 0 est une borne de IF"I 02, 2ES IFoXS-FoXS--F'oXS-LXS 1 5 72"s 'Xs

Nous verrons plus tard que la condition que les d6riv6es de F soient

born4es est trop forte, et tient :i' une d4finition trop restrictive de

11int6grale stochastique. Par exemple, F(t)=t 2est exclue 1

Dans la formule (3.1). nous avons 6crit fF1oXs-d<XC,Xc>

spour lles-

th6tique, car -:::Xe.Xc> est continu, et 11int6grale pr6c6dente est 6gale

a fF11oXsd<XC,Xc>s .Le lecteur pr4f6rera peut 6tre aussi 4crire la som-

me des deux dernie'rs termes de (3.1) sous la forme suivante

B3 208

'j F11oX _d[X,X] + E (FoX -FoX F'oX 6X - !F"oX LX22 s s O<s t s s-- s- s 2 s- so

llint4r6t 4tant ici que la partie martingale continue <Xc,Xc> d4pendde la loi P sur Q, tandis que la variation quadratique IX,XI n1en d4-

pend pas . Nous reviendrons plus tard sur tout cela.

Passons A la d4monstration. Nous commengons par r4duire le probl me.4 LEMME. Si la formule est vraie pour des 1semimartingales (r) Y=YO+N+Bv

oil Y. parcourt un ensemble dense dans L,N un ensemble dense dans MO,

B un ensemble dense dans A09 alors elle est vraie en toute g4n4ralit4-

DEMONSTRATION. Choisissons des semimartingales yn_vn+Nn+Bn pour les-0quelles la formule soit vraie, et telles que, 4tant donn4e X=XO+M+A ,

on ait

E Ilyn X < COn 0- 0 111 < oo I En IINnco -1%o 112 < 00 1 ""n I on_A 11v

n 1La premi re in4galit4 entraitne que Y6-->Xo p-s- et dans L. La seconde,

dlapr s llin4galit4 de DOOB, entraine que, (Nn-M)* ->O p.s., d'oA la

convergence p.s. des trajectoires de Nn vers celles de M, et en particu-lier la convergence des limites a gauche. Noter aussi que Nn* < M*+Ek(M-Nk)* est domin4 dans L2

*

=

yn,Nous comparons alors les termes de 116galit4 (3.1) 6crite pour

aux termes correspondants relatifs i X.20yn __> ,,)X n . -1 ) Il es-u (.-' vident que t t

FoY0-->IoAo p.s.p donc en mesure.

2) Soit I =/tFjoyn_dNn -ftFloX dM Nous allons montrer que I ->O

20 S -s 0 s- s

dans L donc en mesure. Pour cela, nous ecrivons I,=I2+1I =f FfoYn -FY(),K )dY1 f

I = ftFl,)yn_d(Nn-M20 s- s- s 3 0 s S s

2 2B E (,,n_,,, )2On majore 1113112 par Cs Is GD

1, o i C borne IFII, de sorte que 1 3-> 0

112 =E[ft ,2On a (F Yn -F1 X qui tend vers 0 par convergence1112 2

0 s- 20 s- s

domin4e ( domin4e par 4C <J1-1 M>Co ) .

3) Soit I =ftF10Yn dBn -ftF'oX dA. Nous allons montrer que I -;i-O

14 0 s- S 0 s- s 4

dans donc en mesure. Pour cela, nous Acrivons 14=I5+1 0

I =ft(FtoYn FIOX )dA I FloYn d(BEn_A5 s-- s- s 6= ft

s- s so 0On majore 11,6111 par C3[fIdBn-dA

s11, qui tend vers 0

s

On a 111 5111 E[fI...IIdAS11, qui tend vers 0 par convergence domin4e

domin,4e 2Cf IdASI ).t r, nc nc t

4) Soit I f F"oY'_d<*Y Y >-f F"oX d<;CctXc>s . Le raisonnement est0

ync>le m6me quIen 3) si nous savons montrer que 2[fld<Yncs-d<Xc,Xc>sllj

--> 0.

Or cela vaut aussi E[fld<Y'nc+XC,Ync-Xc>s11, et d1apr6s llin4-

209 B3

galit,6 KW1 clest major4 par IIY"+Xcl6l[Y'C-X' JIM .Mais nous avons par

d6finition Ync=Nnc, Xc---Mc, et Nn-->M=dans M done Nnc-->Mc dlapr6s la

continuit4 des projections. D'oA la conclusion.

5) Soit I = E,_t ((FoYn-FoYn -F'oYn AYn)-(F,,X,-Fc)X,_-FtOXS_AXS)).8 s s- s- S

La somme est en r4alit4 ftendue A une r4union d4nombrable de graphes de

temps d'arr9t Tn . Nous allons d4montrer que 18 tend p.s. vers 0, done

aussi en mesure. Comme chaque terme de la somme tend vers 0,-et que.

llon a domination par 20( yn2+.2 o-h cette fois C borne JIF1111 ilS s n2

nons suffit de d4montrer que supn Es 4ys est p.s. fini.

Il suffit de d6montrer cela s6parA-ment pour sup Z ABn2

et sup ,n2n s n s s

et cela revieii.; sup E &(A..Bh)2 , Supn EsA(X_Nn) .n S s s

Pour la premiAre somme, on majore par(supn Zs,6(A_Bn)sl)2, et on

remarque que E.ES,4(A_Bn) Is a une esp4-rance finie, done est finie p.s..

Pour la seconde, on remarque de m,&me que E Z (,.1_Nn)2 a une esp4-n s S

rance finie.

Ayant montr6 la convergence en mesure de tous les termes de 114galit4

(3-1) relative aux Yn, vers le terme correspondant de (3.1) relative

a X, on voit que (3ol) passe a la limite, et le lemme est 4tabli.

RE"U.' UE. Dans l1approximation de X par les yn Cluj sera effectivement

utilis4e par la suite, la discussion des parties 4) et 5) se simplifie.

Mais il me semble quton gagne en clart6 4noncer formellement le lemme,

en dehors de tout proc4d4 particulier d1approximation.

5 Nons d6crivons maintenant l1approximation utilis4e.

Nous choisisscns une suite de temps dlarr t Tn

graphes disjoints,

partout >0, soit pr4visibles scit tctalement inaccessibles (note N12,

p.21) portant tous les sauts do M et A. Nous posons

5.1) n- by, I L;T I C t 6AT I I t>Tn lt>=Tn n = n

Alors nous avons

111--MIc+Z Kcn dans M,A=Ac+E C

ndans A

n n

Notre premi re approximation va consister a remplacer Zn

par Z... dans

chacune des deux sommes, oa N est assez grand. Autrement, dit, ='

nous ramener au cas de martingales et de processus croissants ayant

des sauts uniquement en N temps dlarr t T, ...TN*

B3 210

Ci CNSeulement, les martingales K K sont aussi des processus VI, et

nous pouvons oublier que ce sont des martingales, en les faisant en-

trer dans la partie VI. Autrement dit, nous pouvons nous ramener a la

situation suivante

(5.2) X = X0+M+AMeMo est une martingale continue

AeA0 posske au plus N sauts

Nous rangerons ces N sauts danq leur ordre naturel : G<R,:-:-...<RM<+ODUne seconde approximation commode consiste a remplacer M,A,Xo par

Mt = MtAS , It = A

tAS f70 - XO.- I I IX0 I 2gk I

oA S est le temps dIarr&t inff t : li4tl>k ou f JdAS1 k I . Si k est

assez grand, M et I sont tr6s pr s de M7et de0A respectivement, et

de plus , la martingale R est continue born4e, et la variation totale du

processus VI continu Ic est born4e. Ainsi, gr9ce au lemme,

(5.3) Eans (5.2) on peut supposer de plus M born4e, fCD dAcj born4e0

1s

et X0born4e.

6 Nous faisons une r4duction suppl4mentaire : supposons la formule

6tablie lorsque A est continu ( et fj dASI born6e ) en plus des hypoth6-ses pr4c4dentes, et d4duisons en le 0cas g4n4ral. Nous nous appuyons sur

la remarque suivante

LEPM. Les deux membres de (3-1) ont les mgmes sauts.

En effet, le saut du c6t4 droit A 11instant t vaut , comme <XC,Xc>est continu

FIoX -AX + (.FOX FOX - F'oX LXt t t t- I t- t

et clest aussi le saut du c8t4 gauche.

Reprenons alo s la situation (5.2)-(5.3). Introduisons la semimartin-

gale auxiliaire, continue1 7t= XotN+Ac

Nous avons Xt=Xt sur [[.0,RIEE , done Xt-=7

t- sur [Eo,.R111, et aussi

ftF'oX,_dNs= ftFlo7s_dMSsur 1E0,R11]. Sur [[O,R1[E nous avons0 0t

dA =f F'oXS

f FIo7 dAc ( il s.'agit d1int6grales de Stieltjes ordi-0 s- 0 s- s

naires ). Les autres termes pour les deux semimartingales sont 4gaux,X et 7 ayant m me partie martingale continue, sur 11intervalle [[0,RI[[.La formule du changement de variables, suppos4e vraie pour 7 sur [[O,oo[[,est done vraie pour X sur [E0,R1

H. Mais les aeux membres ont le mgme

saut en R1 d'apr6s le lemme, et la formule est done -,,Taie sur [[O,R111.

211 B3

Mais alors, en d4calant, le m me raisonnement permet d1avoir 114galit4-sur E[R,,R2]]' et ainsi de suite jusqu'a [[R,,+oo11. Le th4or6me sera

donc complAtement kabli.

LA FORMULE D'ITO : DEMONSTRATION POUR LE CAS CONTINU

7 Nous 4crivons X--X +M+A : JXOj:5X, MeMO continue born4e par K , AeAO0CD.

continu avec jdAsj-j[ , et nous voulons kablir la formule VITO

(7-1) F(Xt)-F(Xo) tFI()Cs)dMs + ftFI(X )dA +1 ftF"(X )d<M,

0 0 8 s 70 s M>s

I+ + , I

2 If 3

Le processus X prend ses valeurs dans 11intervalle [-3K,+3K]. Nous

d4signons par 0 une constante majorant IF11,1F111 sur cet intervalle,et nous 4crivons la formule de Taylor pour deux points de E-3K,+3K]

(7.2) F(b)-F(a) = (b-a)FI(a) + 71(b-a)2F"(a) + r(a,b)

oa d1apr9s la continuitd uniforme de F" sur 11intervalle

(7.3) jr(a,b)l 5 e(jb-aj).(b-a) 2 e(t) fonction croissante de t

z(t)->O lorsque t->O

Nous consid6rons maintenant une subdivision (ti) de 11intervalle [O,t].Bien que, not6e avec des t et non des T, il slagira d1une subdivision

al6atoire ainsi d6finie : a>O 6tant choisi , to=O et

ti+1 = tA(ti+a)Ainffs>ti:lms-Mti I>a ou [A,-Atii>aainsi, lorsque a-;>O, le pas de la subdivision supi(ti+,-ti)<a tend vers

0 uniform4ment, et la v.a. supi JMti+1

-Mti1:5a tend vers 0 uniform4ment.

Plus pr4cis6ment? lloscillation du processus X sur chaque intervalle

[[tifti+1]] est major4e par 4a. Nous 6crivons

( 7.4) F(Xt)-F(Xo) = E,[F(Xti+1 )-F(Xti )]

F'(X ) 1L F,(X )(X X )2+ Eir(Xt,gX )- t (Xt -Xt +.2:- i t t t . tji-1i i+1 1 i i+1 I

S + Is +I -

7 2

et nous allons montrer successivement que 31tend vers 1 1+12 en mesure,

que 3 tend vers en mesure, que R tend vers 0 en mesure, lorsque2

a-> 0. Cela ache'vers. la d4monstratibn.

B3 212

SETUA DO 31 Nous coupons la somme on deux

U1 Ei FI(Xt

i)(I.',

ti+1 -YIti ) U2= Ei FI(X

ti )(Ati+J-Atiet nous montrons que U

I->I

1dans L

2,U2-->I2 dans LI lorsque a-.>O

Premiare soi ,ime : Nous 6crivons 1t = E. fti+1 , puis en utilisant.llor-0 1 t

Ithogonalit4 des diff4-rents termes de la somme

IIU -1 1112 = Eill fti+1(FI(X,)---d'(Xti))dMsjj22 ti ti+1 2

2

= qs E zi

f (F'(Xs)-FI(Xt)) d-aNI,Pb>ti

I

t.)21. :5 E [I si p sup (F' (X ) -F' ::M DI>1 se[tipti+ljl s t

Le sup entrp converge uniform4ment vers 0 sur 0, <M,YI>t est int6-

grable, d1oa le r4sultat annonc4 plus haut.

Seconde somme. Raisonnement analogue, plus simple : nous majoronsdirectement IU2- 21 par

ift'+'

FI(X )-FI(Xt )JIdAti s isl

qui se majore encore parfsupi supsrt

1,1.f JdASI et on conclut comme

ci-dessus. 0

3TUDE DE S2*

Nous coupons la somme en trois

2V

IEi

F",,Xt-i (Ati+I-At i) , V2 =2EiF"oXti (Ati+I

-Ati )(Mti+l -Mti

V3

= Ei F-(Xti ) (D-Iti+I-IIti)2

Nous montrons que V1

et V2tendent vers 0 p.s. et dans L'

, et que V.,

-- -I3 en mesure .*

Traitons par exemple V nous la majorons par C. supilAti+1

a-Ati 1.0 JdAS1.

Le supi est majord par a, d1o'a aussitSt la conclusion.

L14tude de V-z est plus d4licate. Nous aurons besoin de savoir que

- TL' TVb>00

e L du fait que K est born4e, de sorte que la martingale

2_.:yIM 1,1-t> appartient A M.Four voir cela, nous 4crivons que

E[M2 M2 < K.2, donc

t t oo -t t =

23[foo (<NItN> -<MtTIb-t)d<NtD5t100 0 Co

7.5) 2E[fOD (EEM2 jEt]2)d-14PR> 2K4

0 CD t

213 B3

Nous allons montrer que V3-J3 -->-O dans L2, done en mesure, oa J3estla somme

i = E F"(X )<M,Dt>ti+1

3 i ti ti1

Un argument d4jA utilis4 montre ais4ment que I3-J3 --i>O dans L,done

en mesure, et nous en d4duirons bien que V3-,3 -io-O en mesure, achevant

ainsi 114tude de S2.2

La v.a. <34, t'+' -(M -M ) est orthogonale i F propri4t411> i t1+1 ti =tide martingale de <M,M>-M ) et le reste apr s multiplication par

F"(Xt done les diff4rents termes de la somme V3-j3sont orthogonaux

et on a

2 2 ti+1 2 2IV3-J3112 i

E[(F"oXti) (<m,Y>ti

- (Mti+1

_y1ti

2 2Nous majorons (F'oXt ) par C

, et pour l1autre terme, nous utilisons la.

majoration grossi re'(x-y) 2<2(x2+y2). Nous sommes ramen4s A montrer que

les esp4rances suivantes tendent vers 0

E L z, W4,ti+1 )2 1 9 E[ E (M _M )4]INi

i ti+1 tiLa premi re est semblable 9. la somme V

1: nous la majorons par

ti+1EUsupi <M,M>t

i).,M,M>tl

Le supi tend vers 0 simplement ( continuit6 uniforme de <N,M> ), en

restant domin6 par <3,1,1 b% ; comme nous avons vu que <M,M>teL2, le th4o-

r6me de Lebesgue slapplique.

La seconde 'est'major4e par

BE(supi (Mt2)"E (M -M )2]-Mt i t t

2i+1 2' 2

i+1 iE< a a B M;]

qui tend bien vers 0. Ctest iciv et ici seulement, que le caract6re

al4atoire de la subdivision(ti) a 4t4 utilis4, dans le fait que,

IM -M- 15 a identiquement. Sans cela, on a besoin de raisonnementsti+ U

plus Lmpli-qu4s.ETUDE DE R. Conform4ment a (7.3), nous majorons R par

i(xti+l-xti )2e(lxti+l-xt 1) :5 2e(2a).Ei((At -At

)2+(Mt

-Mt?2i i+1 i i+1

E[z (M 2]=E E 21 reste fixe, E[E (At A2

aE E E, I At Ati ti+1 -Mti Mi i i+1- ti i+1- i

reste born4, e(2a) tend vers 0 avec a, et la d4monstration est finie.

Il est bon de jeter un regard en arriare la d4monstration est elle

vraiment compli'qu4e ? Dans une premi6re 4tape, au n04v nous nous som-

mes d4barrass4s des sauts pour n1en laisser qu'un nombre fini. Au,n06,

nous no.us sommes ramen4s au cas continu. Au n07,-nous avons trait4 ce

dernier cas, oil se pr4sentent les difficult4s tenant au fait qui une

B3 214

martingale continue nlest pas un processus A variation finiev mais, a

en quelque sorte une "variation finie d1ordre 2". Tout cela a pris du

temps - et cependant il nly a rien de r4ellement difficile : on a 4t4

tout-droit, en -atilisant comme seul outil. la formule de Taylor a 11ordre

2, ajout4e aux r4sultats 414mentaires sur les martingales.Au chapitre IV, nous 4tendrons la formule A une classe de processus

plus g4n4rale, mais sans grand effort.

8 La formule de changement de variables admet l1extension suivante

n dimensions : si X1,...,)Cn sant n semi-martingales (r), si F est une

fonction sur Rn, deux fois contin iment diff4rentiable , avec des d6ri-

v4es partielles born4es du premier et du second ordre, not4es DiF, DiDiF,on a llidentitA-

tF(X1 f.1) - F (X 1f . . . f-1) + Z. I D F (Xs- P - I

in ) dX2- +t'.., t 0 0

ti 0

1 S_ s

(8.1) 6 D D F(X'_,..,)ea )d<X'C,Xjc>s+i i S S_

+ E (F(X1,..)(n)-F(X1_,..,D )-Z.D.F(X'_,..fl )&X'-)s s s s S-_ I I s S_ s

La d4monstration est exactement la m6me', avec des notations plus

lourdes.

9 EXEDTL, ' DIAPPLICATIONS.Si YI est une martingale born4e, il suffit

4videmment que F soit contin-ament d6rivable a 116rdre 2, sans que llon

ait exiger des d4riv4es born4es. On peut alors appliquer le r6sultat2a F(t)=t , et obtenir

2 t c 0 2(9.1) M =M + 2f YI dM + <:Ml

,M > + E all

t Ii s- S S O<S _t So

ou encore la formule bien connue on lt4tendra plus tard aux martingaleslocales, sans aucune restriction

t 2(9.2) 21 M

s-dDIs= Mt

o

et en polarisant, la formule d1int4gration par parties, qui sera aussi

6tendue plus loin

d(MsNs MS_dN3 + NS_dMs+ d[M,N]s

Cette formule est vraie plus g6n4ralement pour les semi-martingales (r)borne'es, en posant ( cf. (2.1) ) [X,Y]t =<XP,Yc>t+ 's<t AXSAYS . Elle

contient en particulier la formule d1int4gration par =parties pour les

processus croissants d4terministes 1

Nous reprendrons cela plus tard.

215 B3

APPLICATION AU MOUVEMENT BROWNIEN ET AU PROCESSUS DE POISSON

Nous reproduisqns maintenant la magnifique d4monstration, due

KUNITA-WATANABE [8], du th4or6me de LEVY caract4risant le mouvement

brownien, et du th4or6me analogue relatif au processus de Poisson.

DELLACHERIE a remarqu4 (1151,[16]) que ces th4or mes sont 4troitement

li4s au th4or6me de SKOROKHOD sur la repr4sentation de martingales au

moyen dlint4grales stochastiques. Ici, nous allons donner une d4monstra-tion commune des deux th6or6mes, apr6s quoi nous dirons quelques mots

de la d4monstration de DELLACHERIE.

10 THEOREME. Soi (Bt) une martingale A trajectoires continues de la famil-

le (F ), telle que B2_t soit u e martingale. Alors (B ) est un mouvement=t t tbrownien : pour tout couple (s,t) tel que s<t, Bt-Bs est gaussienne cen-

tr4e de variance t-s, ind4pendante de F

=s

Soit (Gt) la famille de tribus naturelle de (Bt), rendue continue

droitelet-compl4t4e. Toute v.a. XeL2(GCD

) admet une repr4sentation

comme int4grale stochastique

(10.1) X--E[Xlqo]+ foo H dB oil H est pr4visible/(qt) 2t E[fH2ds ]<aD0 s s s

et llon a

(10.2) E[Xlqt] = E[Xlft] p.s. pour tout t

DEMONSTRATION. Tout tient dans le calcul suivant. Soit XeL2(Eco ), et

soit Xt la martingale E[XIEt]. Supposons que le produit XtBt soit une

martingale. Alors, pour tout ue-R, pour tout couple.(s,t) tel que s<t

(10.3) E[eiu(Bt-Bs)X IF I = X e-(t-s)u2/2t =z s

Pour d4montrer cela, nous simplifions les notations en nous ramenant,par d4calage, au cas o'a 0, B =0 ( poser pour u>O : FI=F XI=XIs= n =U =s+u' u s+ulBI=B -B tl=t7s , et appliquer le cas particulier a ces tribus etu S+U s

processus Le changement d6 notation 6tant fait, 4crivons la formule

du changement de variables entre les instants 0 et t, avec la fonction

deux fois d4rivable F(x)=eiux

iuBt 1 + iuft -BsdB U'-ft iuB(10.4). e e'u' -

2e S ds

puisque <B,B>s=s Soit AeEO , et soit

i(s) f eiuBs X P

AMultiplions (10'.4) par Xt , int4grons sur A, et regardons. Du

c8t4 gauche, nous trouvons j(t), Du c8t4 droit, nous trouvons successive-

ment : fXtP = fXCP . Puis .0 : en effet, X est orthogonale l B, doncA A

1. En fait, l'adjonction des ens. P-n4gligeables rend la famille c.A d..

B3 216

toute int4grale stochastique de B done fA XtP ft eiuBs dBs 0.t IuB t 0

Enfin f XtP f e S ds = f J(s)ds DoneA 0 0

JM f x P -

U f j(s)dsA

0 T0

4quation diff4rentielle qui se r4sout ais4ment

i(t) =U X0P) e_tU2/2

A-tu2/2

qui 4quivaut 9. E[e'UBt Xt I FO] = X,e , la formule cherch4e.

1) Prenons X-_1. La formule sl4crit alors (apr s d4calage de s )

E[e'u (Bt-Bs )IF ] = e- (t-s)u2/2-S

qui nous dit que la loi conditionnelle de (B -B ) connaissant F estt s =S

une loi fixe, gaussienne centr4e de variance t-s. Cela nous donne la

premi6re assertion.

Pour la seconde, nous pouvons nous restreindre A la famille (qtet supposer que XO=EEX1901=0. Soit (Tt ) la projection de la martingale(Xt sur (Bt) - il y a ici une minuscule difficult6, due au fait que

(Bt nlest de carr4 int6grable que sur tout intervalle compact, et n'

appartient pas a M, mais elle se leve tr6s facilement

. D'apr6s 11.29,(Yt) est une int4grale stochastique H-B

. Quitte A remplacer Xtpar Xt_YtV

nous pouvons supposer que (Xt) est orthogonale (Bt). Il slagit alors

de montrer que X--XOD =0.

D'apr6s (10.3) nous avons, quels que soient t 1<t2***<tn I ul...unCIR(10.5) E[eiu1Bt le'u2(Bt2-Btl) .... e iun(Btn-Btn-l)X001

_t U2 -(t _tn.1) 2/20EEXOe 1 1 e n %

Soit L la mesure born4e X.P sur 2 la mesure image de t par=C0

le vecteur al4atoire (Bt1vBt2-Bti v ... 9Btn

-Btn-1

) est nulle, puisque

sa transform4e de I ourier est nulle. Il en est de m6me de la mesure

image de ji par (B, B, q....,B ) puis, par limites projectives, de 11tnX - p'IraHe que __C _p.s. Si le lecteur n1aime paselle mgme. Cela en

raisonner sur des mesures sign6es, il pourra s6parer L en A+

et 1_ Otmontrer que L+=P- 1

Enfin, pour la troisi me assertion, soit (Zt ) une version continue

A droite de la martingale E[Xlgtl. Comme elle sl4crit comme int4grale

stochastique (10.1), et que (Bt) est une martingale de (ft), (Zt

) est

aussi une martingale de %), born6e dan8 L2

: done elle admet une limi-

te a 11infini Zco

dans L2-et p.s., et Zt=EEZOD JKtI. Mais comme X est

G -mesurable on a d'aprAs le th4or6me de convergence appliqu4 dans (2t)=CO

que Z00

=X, et cela donne (10.2).

217 B3

11 Le th4or me admet une extension a in, qui se d4montre de la m6me mani -

re si (B )=(Blv ...Bn ) est une martingale vectorielle a valetws dans

t t tiEn A,trajectoires continues, et si llon a <B BJ>t=6'Jt , alors (Bt)

est un mouvement brownien A n dimensions, et lea martingales(Xt).de car-

r4 int4grable, de la famille naturelle (a ) de (B ), sont des sommes d-1t i I

-t tint4grales stochastiques En-1 H dB Seules les notations sont pluslourdes.

0

L'application au processus de Poisson est en substance beaucoup plustriviale : le calcul diff6rentiel stochastique qui y intervient est

celui des martingales V.I. Nous en donnons deux formes.

12 THECREDIE. Soit,(Pt) un processus croissant (adapt4 A la famille (Ft))purement discontinu, dont tous lea sauts sont 6gaux L +1. On d6signe

par 91, ... PSn

** lea instants de sauts successifs. Sile Processus

Qt = Pt-t est une martingale, (Pt ) est un Processus de Poisso : lea

v.a. 3,, 32-SIP ... Sn-Sn-1 sont exponentielles de param4tre 1, jnd4pen-dantes respectivement de E 19-PES *=0 -ES

n-1Soit (qt) la famille de ttibus naturelle de (Pt), rendue continue A

droite et compl4t6el . Toute v.a* XeL2(qoO) admet une repr4sentation

comme int4grale stochastique

(12.1) X =E[XjqO1 + fooHadQs ,oA H est pr4visible/(Q ) et E[fH2ds]<OD.

0 t a

et llon a

(12.2) E[XjGt1 = B[XIFt] p.s. pour tout t,

13 VARIANTE. Soit (Q ) une martingale telle que E[Q2I<aDpour tout't, 2ure-t tment discontinue en tant cLue martingale. dont tous lea sauts sont 4gaux

+1. Si Q2-t est une martingale, P =Q +t est un processus de Poisson.t t t

14 VARIANTE. Soit S un temps d'arr6t de(U. Si le Processus I. -

- I t s I -t1Sest une martingale, on a pour tout t

(14.1) FfS--ft+ujE e-UIt

DEMONSTRATION. Nous donnerons moins de d4tails que pour le cas brownien.

Nous laisserons enti rement de c8t4 la variante 14, et supposerons Qo= P =0 .-Ramenons d'abord A 12 la variante 13. Comme (Q ) est,purement0 t

discontinue en tant que martingale

E[[Q,Q] B[Q2 1< oo , 1Q'Q1 = E AQ2 E AQt t t aSt. a S<t a

En fait, J'adjonction des ens. P-n4gligeables rend la famille c.A d..

B3 218

puisque tous les sauts sont 4gaux a +1. Pt

= ES<t 'QS est un proces-

sus croissant, et llint6grabilit6 de EQ,Q]t entraine celle de Pt .

Comme'Q est la somme compens4e de ses sauts, Q=P-T . Comme P=[Q,Q](Q2_t)+(LQ, ]t_

2et EQ,Qlt-t =

t Q Qt ) est une martingale, on a Pt=t ,d1oa

finalement Qt=Pt-t.Passons A. la d4monstration de 12. Nous 4crivons la formule du chan-

gement de variables entre les instants 0 et 3=S1, pour la martingaleux

Q et la fonction F(x)=e'eiuQS = I + N

9 eiuQ"" dQr

+ 0 + (e'uQ3 -e'uQS- -iue'uQS-LQ,)puisqulil nly a pas de partie continue et qulil y a un seul saut entre0 et S compris. A vrai dire, ce calcul i lest pas abpolument rigoareux,

du fait que Q nlest pas de carr4 integrable sur 11+ entier, et que S

nlest pas born4, mais la justification est facile ( appliquer A SAn et

passer A la limite ) et nous ne voulons pas donner les d4tails. On a

aQS=1 , QS_= -S,il reste donc

.0 = 1 + iuf9eiuQr-dQr_0 +iu) e-ius0

Prenons une esp4rance conditionnelle par rapport a FO 9il vient que

E[e-'uSIEOI=1/(l+iu), donc 9 est ind4pendante de F =avec une loi expo-=0

nentielle de param tre 1. Par d4calage, 3n-Sn- 1est ind4pendante de

F avec une loi exporientielle de param6tre 1. et (P ) est bien un=n I t

process-as de Poisson.

Sachant cela, nous pouvons v4rifier que ) appaxtient a N, et(QtAS

mett3 e dans le calcul la martingale (Xt) orthogonale a (Qt), et voir

E[eiusXCD'EO] = XO/(l+iU) E[eiu(Sn-Sn-1)Xo. &n-1 ]=xSn-1 /(i+iu)

et finalement

E[e'UlSleiu2(S2-31)..eiun(3n-Sn-l)X]=F,[Xo]/(l+iu1)***('+iun)qui est nul si EEX,1=0. Comme la tribu G est engendr6e par les v.a.

=Co

S11 ... 9Sn-Sn-1 ... aux ensembles de mesure nulle pr6s, on en d4duit

comme pour IC que si X est G -mesurable et E[XOI=O, alors X est nulle,=OD

ce qui entratne (12.1) et (12.2) comme au n01C.

15 Indiquons maintenant, en suivant DELLACHERIE, le rapport direct entre

le th4or6me d'unicit4 en loi ( caract4risation des lois du mouvement

brownien et du processus de Poisson ) et le th4orke de repr4sentation

des martingales comme int6grales stochastiques. Traitons le cas du

mouvement brownienp qui est plus simple. Nous pouvons prendre pour'n

1.Ecrire la d6composItLon danOII.11, et constater quIelle converge en 11 Iv.

219 B3

llespace des applications continues de R+ dans JR, avec ses applicationsco6rdonn4es B et.ses tribus naturellps F ., Soit (X ) une martingalet =t tborn4e (JXt1:5 M ) orthogonale a (Bt), telle que X

0-0, et soit Q lax

loi de probabilit6 (1+ *).P, 4quiva-lente a: P. Comme (Xt) est orthogo-nale A (B

t ), elle est aussi orthogonale A toute int4'grale stochastiquede (B ), done a la martingale (B2_t). On v4rifie alors aussit8t quet t

Bt est une martingale de carr4 int4grable pour la loi Q

B2-t est une martingale pour la loi Qt

Mais alors,(B )est un mouvement brownien pour la loi Q, et comme B at

0la m6me loi pour Q et pour P, on a Q=P, done X(,O=O.

Cela ne suffit pas a montrer le th4or6me de representation : il fau-

drait savoir que toute martingale de carr4 int6grable, orthogonale a

(Bt), est nulle. DELLACHERIE explique dans E16] comment on-peut ramener

cela au cas born6 avec un minimum de travail.

Une d6monstration analogue vaut pour le processus de Poisson compen-

s4 (Q ), mais il est moins 4vident que Q2_t soit une int4grale stochas-t t

tique de NO, et le passage du cas born6 au cas des martingales de

carr6 int4grable nlest pas aussi facile.

POLYNOMES DIHERMITE ET MARTINGALES BROWNIENNES

16 Nous allons profiter des calculs pr6c4dents pour indiquer un r4sultat

amusant sur le mouvement brownien. Plagons nous par exemple a deux dimen-

sions. La formule (10.3) - avec X=1 - nous dit que le processus1 2 1 2 12= 2 2exp(iu1Bt+iU2Bt+ -,Jul t) (ju u1+U2

est une martingale . Autrement dit, si s<t, AeFs , on a

(16.1) f exp(iu Bl+iu B2 1 2 1exp(iU BT+iu B2 1 2

A1 t 2 t+.2;-tlul )*P=Af 1 S 2 PTPlul ).P

Les deux membres sont des fonctions ind6finiment diff4rentiables de

u1pu21 et ont les mgmes d4riv4es de tous ordres en 0. Pour calculer

celles-ci, nous partons de la, s4rie g4n4ratrice des polyn6mes d'HERMITE

2,

U ul(16.2) exp(u x +u x - -!Jul ) = Z H .(x 'x ')

1 1 2 2 2 n,m n! m! hm 11 2

que nous transformons en n+m (n+m)/2 n m

1 2 i t UjU2 X1 X2(16.3) exp(iuj..:q +iu2x2- ttlul )=- n1m.1

'- Hhm(Tt- , Tt

Portant cela dans (16.1), nous voyons que, pour tout (n,m) le processus

t(n+m)/2%m( Bl/,,/t-, B2/",rt- ) est une martingale.t t

B3 220

Universit4 de Strasbourg

S6minaire de Probabilit4s 1974/75

UN COURS SUR LES INTEGRALES STOCHASTIQUES

(P.A. Meyer)

CHAPITRE IV.

MARTINGALES LOCALES

CHANGEMENT DE VARIABLES, FOT.UJLES ,XPONENTIELLES

Dans ce chapitre, en introduisant la notion de martingale locale

ITO et WATANABE [11]) puis celle de semimartingale, nous donnons

au calcul sur les int4grales stochastiques toute la souplesse n4ces-

saire. Nous 6tendons la formule du changement de variables, et en don-

nons des applications aux "formules exponentielles" . Cependant, nous

nous limitons ici il llint4gration d1une classe restreinte de processus :

les processus pr4visibles localement born4s. Au chapitre V, nous traite-

rons plus en d4tails la th6orie de llint6grale stochasticlue par rapport

aux martingalep.locales ( et non plus par rapport aux semimartingales ),en utilisant les espaces H1 et BMO.

MARTINGALES LOCALES

1 DEFINITION. Soit M un processus ad.Mt4, nul en 0. On dit que M est une

martingale locale slil existe des temps d'arr&t Tn

t +oo tels Que les

processus arr&t4s MTn soient des martingales uniform4ment int4gral les.On dit que M est localement dans M ( localement de carr6 int4grable)

i llon peut choisir les Tn de telle=sorte que MTn sbit de carr6 int6gra-ble pour tout n.

Si M nlest pas nulle en 0, on dit que M est une martingale locale

est localement dans M ) si M-MO posske cette propri4t4.

2 REHARQUES. a) Une martingale locale est un processus . trajectoirescontinues a droite et pourvues de limites a gauche.

b) M est une martingale locale si et seulement slil existe des Tntootels que les processus MTnI

fTn>01 soient des martingales uniformdment

,int6grables.

3 NOTATIONS. Llespace des martingales locales ( nous verrons dans un ins-

tant que clen est un est noU L. Llespace des martingales locales

nulles en 0 est not4 LO Llespace des martingales locales localement de

carr4 int4grable est noU=10c

Soit H un processus adapt4 nul en 0. Nous dirons qu'un temps d1ar-

rk S r4duit H si HS

est une-martingale uniform4ment int4grable.

221 B3

Nous 4nongons maintenant quelques propri4t4s simples des martingaleslocales : le lecteur 4noncera les r6sultats analogues pour M

=loc4 a) Si le temps d1arr6t T r6duit H, et S est un temps d1arr&t tel que

S.,-T, alors S r4duit H.

b) La somme de deux martingales locales est une martingale locale on

se ram ne a LO . Si les Sn

t +ao r4duisent M, si les Tnt +oo r6dui-

sent N, alors les SnATn r4duisent M+N

c) Soit M une martingale locale nulle en 0. Alors un temps d'arr6t S

r4duit M si et seulement si le Processus MSappartient a la classe

(D). On rappelle qu'un processus H appartient a la classe (D) si et

seulement si toutes les v.a. HT 9oa T est un temps d1arr&t fini, sont

uniform4ment int4grables.DEMONSTRATION. Si S r6duit M, M

Sest une martingale uniform4ment int4-

grable, donc appartient A la classe (D) (r4sultat cit4 dans EDI,V.T9,p.98, avec renvoi a la premi6re 4dition de EPI, V.T19 ). Inversement,soient des Tn too r4duisant M. Soit s<t. Alors M

sASATn=EEMtASATnI-fs]puisque MSATn =(MTn)S est une martingale. Gr9ce a llint4grabilit4 uni-

forme on peut faire tendre n vers +oo, ce qui donne E [MsAS ]=E [MtAS%11donc MSest une martingale.d) Si M est une martingale locale nulle en 0, si S et T r6duisent M,alors SVT r4duit M.

En'.effet, le processusIMSVTI miajor4 par IMS I+IMT I appartient a la

classe (D).

e) Soit M un processus quelconque. Slil existe des temps d'arr&t Tntootels que les MTn soient des martingales locales, M est une martingalelocale.

DEMONSTRATION. On se ram6ne au cas o-a MO=O.'Pour chaque n soient des

RDin too r4duisant MTn, et soit Snm.=RnmATnt Tn Rangeons les S

Dmen

une seule suite Sk

et posons Hk=S1 V...VSk too Il suffit de voir-queles Hk r4duisent M. Or en revenant aux notations a deux indices, soit

S =Sf ... Is =S et soit r--n n 9

mr4duit MTni ; or1 n

1m

Tk nkmk lv***v k * 'n

i iTni M rM et ont la m me arr6t4e a 11instant Sn mi

p donc 9n1mIr6duitT

ri Tr

M .D'apr6s d) il en est de m&me de Hk * Comme M et M ont mgme arr&

t6e A 11instant Hkv Hk r4duit M.

B3 222

4bis Avant de passer A des propri4t4s plus fines des martingales locales,

on va indiquer la raison pour laquelle celles-ci ont 6t4 introduites.

par ITO et WATANABE dans [111. Consid4rons une surmartingale positive

(Xt). Il est bien conn-a que la limite Xco = limtXt existe et est finie,

de sorte que les temps d'arr6t

T = inf it : X >njn t=

tendent p.s. vers +ooavec n - il est m me vrai que pour presque tout

w on a T,(w)=+oo pour n grand. Dlapr s le th4or6me d'arr&t de DOOB,T

la v.a. XT, est int4grable, de sorte que la surmartingale arr t4e X 11

est.domin6e par la v.a. nVXT , et admet done une d4composition de DOCB

X - Xn An n

tATn

- t t

oil (e) est un processias croissant int4grable pr4visible nul en 0,t tune martingale uniform4ment int4grable. D'apr6s l1unicit6 de la d4compo-

sition, il existe un processus MI, un processus A tels que l'on ait pour

tout n 0--Mfe=A

t tATn .

t- tATn

On v4rifie aussit8t que A est*un processus croissant, pr4visible, et

llin4galit4 EEA ] = lim E[A a ] < E[XO] montre que,A est int4grable.00 n 00 =

Quant A M, clest une martingale locale dlapr s la d4finition 1. Il nlya aucune difficult;4 a prouver llunicit4 d1une telle d4composition.

On voit done que la notion de martingale locale slintroduit de mani -

re parfaitement naturellet et toute la suite ne fera que confirmer cela:

clest la "bonne" extension de la notion de martingale.

REDUCTION FORTE : UN LEMME FONDAPIENTAL

On va maintenant 4tablir un r4sultat concernant la structure des

martingales locales, qui va permettre de les ramener aux deux 414ments

avee lesquels on a travaill4 jusqu'a maintenant : martingales de carr4

int4grable, processus VI. Ce lemme ( 8 ci-dessons ) est li4 i la "d4com-

position de GUNDY" des martingales discr tes.

5 DEFINITION. Soit M une martingale locale nulle en 0. On dit que le temps

d1arr9t T r4duit fortement M si T r6duit M et si la martingale EEIMTII- s3est born4e sur [[O,T[E .

Alors , si S<T, et si llon note (Y ) la martingale EE114TI JE.], ons

a E[jMSjjKs12-- YSAs v et on peut en d4duire que S r4duit fortement M.

6 LME. Si S et T r6duisent fortement M. il en est de m&me de SVT.

DEMONSTRATION. SVT r4duit M. Il suffit de montrer que Ilt<T,E[ NVAM

223 B3

est une martingale born4e ( remplacer T par S et ajouter ). Or clest

major4 par

E[IMTIIEt3Ijt<Tj' + E[IMSII 1STIIE-t3I1tT1Le premier terme est born4 (T r4duit fortement M). Le second vaut

E[IMSIIt_ , EEIM, qui-est born4.,T<S I IFt SIIjt<,qjIEt

7 LEPIME. Si M est une martingale locale nulle en 0, il existe des tem

d'arr&t T too r4duisant fortement M.

DEMONSTRATION. Nous utiliserons la remarque suivante, qui devrait &tre

classique : si 3 et T sont deux temps d'arr&t, EE*IkIM=EE*IESAT3T S SAT

( en terme, d'arr6t, cela revient a(X ) =X

On prend des Rntoo Ir4duisant M. Puis on pose

SIm = Rn

A inf it : BEIMRn I jEt] m I

On les range en une.seule suite Sn I et on prend Tn=S 1V... VSn . D'apr6s

le lemme pr4c4dentt il suffit de montrer que Snm

r4duit fortement MI

ou encore - en enlevant les indices que B[IMSIlEtl est born4e sur

I[ OISE[Or soit (Yt) la martingale E[IMRIIFt1, born4e sur [[0,,9.[[ par la

constante m. On a E[IMSII ft<SI,E-t1 = E[IE[MR, jt<S,jj &9] 1 Ft] ::-

E[E[IMRI It.,:: S I I fS I Et I = E [ I % I I f t<S I I ESAt YSAJ I t<S Yt,It<S !g M.

8 THEOREME. Soit M une martingale'locale. Alors il-existe des tepps d1ar-

r9t Tn too tels que la martingale arr6t4e MTn puisse s'4crire ( de mani -

re non unique

(8.1) M0 + tn+ Vn

oil Un appartient A MO ( est de carr4 int4grable ), et_n , ( est a2 =0

variation int4grable ), Un et Vn .4tant aussi arr9t4es Tn.

DEMONSTRATION. Compte tenu de ce qui pr4c de, il suffit de prouver que

si M est une martingale locale nulle en 01

et T r4duit fortement M

T -Talors M admet une d6composition M =U+V du type pr4c6dent.

Par d6finition I IMTI ( 6ventuellement prolong6 par sa limite sur'

JT=oo I ) est int4grable, et la martingale EEIMT11-4 I est born6e sur

[[O,T[[ par une constante K. Nous pouvons aussi supposer que M=M

Posons Ct=MTIjt ,Tj---J11tI1t>T1xt=MtI It-ITI

B3 224

C est un processus a variation int4grable, soit ' sa compensatrice

prdvisible. Nous posons V=C-C, martingale .1 variation int4grable (la

norme variation de V est au plus 2E[JMTJ1 et U=X+a - Clest U qulilfaut 4tudier.

Nous introduisons les divers processus suivants et les-processus

analogues avec des au lieu de +

M = E [PI+ Et C --M I I t: :.T X =14 I x - 7c+t T - t T t- t 1t<T1 tt t t

Le processus est une surmartingale born4e positive, le processus

une martingale? done Z+ est le processus croissant int4grable pr4visi-ble engendrant la partie potentiel de X

, qui est elle aussi born4e par

K. Nous allons montrer quIalors E[ + ]:!:-2K2 ( cf. le d4but de la d4mons- 1+0-

tration de II.10). Four all4ger les notations, nous 4crirons xt, c au+ Z+

tlieu de Xt , Ct. Nous avons ( int4gration par parties

2 OD 00,c f Re -c )+(c -c )]do < 2f (c -c )dcOD 0- OD s 00 s- s =

0- Cc s- s

Prenons une esp4rance. Comme, (ct ) est pr6visible, on peut remplacer le

processus (coo-cS- ) par sa projection pr4visible. Comme on a xT

E[coo

-cTlk*3 pour tout temps d1arr6t T, on a aussi xT-=EEcoD -CT- I lk-pour tout temps pr4visible T ( utiliser une suite annongant T ). Done

la projection pr4visible en question est le processus (xt- ) et on a

2 2E[c 1 :5 2EUX dc I < 2KEUdc I = 2KE Ex 2KCID s- s = s 0

REMARQUES. La martingale U a de bien meilleures propri4t4s que l1appar-tenance A on verra plus loin ( nOV.5 quIelle appartient a llespaceBMO.

Llin4galit4 que nous venons d1utiliser est la seule in4galit4 sur les

martingales et surmartingales que nous utilisons dans ce cours, et quine figure pas dans le livre de DOOB. Les in4galit4s plus r4centes seront

kablies au chap,Vp par les m4thodes de Gj RSIA, mais il est bon de sou-

ligner que la th4orie de llint4grale stochastique repose, en fin de

compte, sur des r4sultats plut8t 414mentaires.

APPLICATIONS

9 Soit M une martingale locale, que nous supposons d'abord nulle en 0.

Si T est un temps d'arr&t qui r4duit fortement M, MTcMo+ O est une

Isemimartingale au sens restreint" ( n1III.1), et nous pouvons lui appli-

quer les r4sultats du chap.III - en particulier, d4finir les processus

225 B3

(MT)c, partie martingale continue de M

T

[14T, MT ] = <(MT)-c,(MT)c 't + E AM2

t S<tAT' s

Si maintenant S et T r4duisent tous deux fortement M. les processus

que llon vient de construire colincident jusqu'a 11instant SAT. Faisant

tendre S et T vers 11infini, on en d4duit sans peine, que,

THEOREME. Si M est une martingale locale nu-Ile en 0, il existe une mar-

tingale locale continue Me nulle en 0, la partie continue de M, telle

que pour tout, t.d1a. T r4duisant fortement M on ait

(9-1) (Mc)T = (MT)cOn d4signe par dqc,Mc> l'unique processus croissant continu nul en 0

tel que Pon ait

(9.2) `dqC1MC>tAT = < (MT )C,(YlT)c>t

pour tout T r4duisant fortement X. On d4signe par EM,M] le processus

croissant ( fini Dour t fini

(9.3) EM,M]t = ,dqc,mc>t + E,95t al2

et [M,N] se d4finit par polarisation. Si M nlest pas nulle en 0, soit

M =D1 -M, - on pose MC_-Fc [M MI = [Y,R]t+kl2 -( de mgme pour [M,N]).t t 0 .. t t 9 f t 0

10 REMARQUES. Llin4galit4 KW2 (11.21) sl4tend aussit8t aux martingaleslocales par arr6t.

On peut d4finir pour une martingale locale M localement de

carr4 int4grable. Nous verrons plus loin ( jlesp re ) que llon a dans

certains cas avantage a d4finir <M,N> sans supposer l1existence de

.d4,Yr> et <N,N>.

FROCESSUS A VARIATION LOCALEMENT INTEGRABLE

11 DEFINITION. On dit qu'un processus A est un rocessus a variation locale-

ment int6grable slil est a VF ( adapt4 ) et slil existe des t.d'a. Tn

too

tels que EE f JdA 1] < co pour tout n.

]O,T ]Llespace des-PPocessus a variation localement int6grable est not4

A 6tait, rappelons le, llespace des pro.cessus a variation intA.-=10cgrable

Rien nlest exig4 quant a llint4grabilit4 de AO.Si llon sait a l1avance que A est.un processus . VF, on dira souvent

11 A est localement int4grable" pour 11 A est a variation localement in-

t4grable".

B3 226

12 THEOOME. a) Tout AeV Pr4visible. ou sauts born4s, est localement

int4grable,.b) Si AeV est localement int4grable, il existe un processus AeV 2LeLvi-sible unique tel que le processus A =A-1 soit une martingale locale

Z5nulle en 0. On dit que X est le compensateur de A. A le compens4 de A.

c) Tout Aey qui est aussi une martingale locale est localement int4gra-ble.

DEMONSTRATION. a) On se ram6ne aussit5t au cas oil ArO. On v6rifie

comme au nOI.4 que si A est pr4visible, le processus ft JdA.1 est pr4vi-sible. Soit alors

0

Sk== inf I t : ftjdAs I ? k0

Comme AO est nul, Sk est partout >O, et il est pr4visible (N9, p.9).Soit (Skm) une suite annongant Sk . La variation de A sur EEO, Skm]3est <k, donc int6grable, et pour obtenir une suite T too satisfaisant A

n

la definition 12 il suffit de prendre Tn= suPk<:n,m<n Sim .

Le cas des processus A sauts born4s est imm4diat : prendre Tn=S

n'D4montrons maintenant c). On se ram6ne au cas oa AO=O. Soit Rnt oo une

suite de t.d1a. r4duisant fortement la martingale loca-le A.

Soit

Sn = inf I t : ftjdAs1 -n I . et soit Tn=RnA'n . Il nous suffit de mon-

0trer que EU JdAs11<cD. Comme EU JdAs 11: n , il suffit de prou-

101 Tn] [-O,TnEver que EEJAAT 11<(D. Cela r4sulte de 8, T

nr4duisant fortement A

Tn n 2 1A s I 4crit U+V, UeM, VeA , de sorte que 1,UT eL , AVT eL .

n n

Passons A b). On peut supposer que A0-0 A 4tant localement int4-

grable, consid4rons des Tnt+00 tels que E[f njdAs11<oo ; les processus

Tn n0

A VI A admettent des compensateurs B, et on v4rifie aussit5t que

si n.<n Bn---(Bm ) Tn p de sorte qulil existe un processus B tel que Bn--

BTn pour tout n .Il nly a aucune difficult4 a v4rifier que B est

pr4visible, que B est un processus A variation loc. int4grable, et

que A-B est une martingale locale ( r4duite par les T.L'unicit4n )

r4sulte du lemme plus pr4cis suivant :

13 LEIVIME. Toute martingale locale pr4visible M est continue. Toute martin-

Eale locale pr4visible A VF est constante ( et done nulle si MO-=O).DEMONSTRATION. Par arr9t , un t.dla.* r4duisant fortement M, on se ramke

M est une martingale uniform4ment int4grable. Pour to-at tempsau cas ou

227 B3

dlarAt pr4visible S on a alors &13=KS-MS_=MS-EENSI ,S_1 ( utiliser une

suite annongant S ). Or Y1S

est FS_-mesurable puisque M est pr4visible

(N1O, p.9), donc a4,=O. M 4tant pr6visible, on ten d6duit que M est con-

tinue (N11, p.9, par exemple ). Si M est VF,. JdMsj est continue, et

par arr9t on peut supposer que M est VI. Mais alors K. pr6visible et

ayant un potentiel droit nul, est constante (1.15).

14 NOTATIONS . On notera Yloc llespace des martingales locales a VF ( donc

A variation localement int6grable : cf. W. espace des martingales VI

Pour tout couple de martingales locales M,N tel que EM,N] soit loc.

int4grable, on notera --c3d,N> la compensatrice pr4visible de EM,N].

SEMIKARTINGALES

Nous pouvons maintenant donner la vraie d6finition des semimartin-

gales ( cf. III.1 pour la d4finition provisoire ). Nous en donnohs plus

loin une forme plus facile : v4rifier (n'33).

15 DEFINITION. Un Processus adapt4 X.est une semimartinga-le slil admet

une d4composition de la forme

(15.1) Xt

= X0+Mt+Ato-a M est une martingale locale nnlle en 0, A un process-as VF nnl en 0.

On nlimpose A A ancune restriction dlint4grabilit4. La d4compositionnlest, bien entendul pas unique,BXEPLPLE. Soit X un processus a accroissements ind4pendants ( non homo-

g ne ) a trajectoires continues droite. Il est bien connu que les

trajectoires de X sont alors cadlAg ( cf. E31 ). Soit Zt la somme des

sauts de X d'amplitude >1 entre 0 et t ; clest un processus a VF. Il

est bien connu que Y=X-Z est un processus a accroissements ind4pendants,admettant des moments de tous les ordres, de sorte que le processus

Yt-B EYtI est une martingale. Ainsi, X est une semimartingale si et seu-

lement si la fonction tt- EEYt ] est A variation born4e.

16 Consid4rons deux d4compositions du type (15.1)X=X +X1+A = X 4y,+7

0 0A

alors M-1711 = T-A appartient LorLVO , d1apr6s 12 c) clest un Processus

variation localement int4grable. En tant que martingale locale elleI

est sans partie continue d.lapr6s 11.15, donc Mic--f-1c. Nous poserons Mc=Xc,et nous llappellerons la partie marting2le continue de X ( on devrait

ajouter "locale", mais clest trop lourd ). On pose aussi

(16.1) Ex,x]t = <xc,xc>t + z x2 (2)

s<t s

1. Cleat trop rapide. Voir P.75. 2. Voir aussi P.75 , et le chap.VI,nO4.

B3 228

IN'TEGRALES STOCHASTIQUES

Notre but est d1arriver maintenant a la formule du changement de

variables pour les semimartingales. A cette fin, nous d4finissons une

notion tr s simple dlint4grale stochastique, d1abord par rapport aux

martingales localesp puis par rapport aux semimartingales.

17 DEFINITION. Un Processus optionnel (Ht) est ditlocalement born4 slil

existe des temps d1arr6t Tntoo et des constantes K., tels que

(17.1) Ht I I I O,:: t., TKn

Quant a Hog on exige simplement qulil soit fini

18 THEOREME. a) .9oit M une martingdle locale, et soit H un processus pr4vi-.gible localement bor 4. Il existe alors une martingale locale H-M et une

seule telle gie llon ait, pour toute martingale born4e N

(18.1) [H-M,N] = H-[M,N]

( au second membre, il slagit d1une int4grale de Stieltjes ordinaire ).b) .2n a (H M)o =HOMO 9 (H*M)c = H*Mcv et les processus A(H#M)

Set

HSalS sont indistinguables.

c) Si M appartient a loc f H-M-se calcule comme une int4grale de Stiel-

tjes sur les trajectoires.

DEMONSTRATION. a) Nous supposerons que 1;1,=O, en laissant au lecteur le

soin de passer au cas g4n4ral, ce qui est imm4diat. Nous pouvons alors

supposer 4galement que HC=O. Il existe alors des temps dlarr t Tnt 00 ,

a la fois r6duisant fortement M et tels que HTn

soit un processus born4.On sait alors d4composer la martingale M1n=1VITn en Un+Vn

,oa Un appar-

tient a M,Vn a Ao , et 1JR,Vn sont arr6t4es a T

. On peut alors=0 n

d4finir (111.2, b)) lld:nt4grale stochastique H-DIn = H-Un+H.Vn qui est

une martingale uniform4ment int6grable. Si n<p, on a par arr&t l1ar-r9t 4tant une op6ration dlint4grale stochastique, si llon veut

H.Mn = (HoYIP) Tn du fait que Mn4,,p)TnIl enTr4sulte qulil existe un processus H-M tel que pour tout n HoMn(H-M) n

. Il est clair que HoM est une martingale locale, et que llon a

par recollement )

A(H-M)t = HtADItIl r6sulte aussi de la d4finition de Mc (9), et de 11.26 que llon a

H-Mc =(H-M)c . Il en r4sulte que llon a , par addition

229 B3

[H-M,Nlt= [H-MC,Nclt+E,,t H.6M.AN, =(H-[M,N])tpour toute martingale born4e N. Enfin, si M appartient on peut

choisir les Tn

de telle'sorte que les martingales Mn appartiennent a W

les int4grales H-Mn sont alors des int6grales ordinaires (11.30), d'o-a

C).Slil existait deux martingales H-DI et HTM satisfaisant A (18.1),

leur diff4rence L serait une martingale locale telle que EL,N]=O pour

toute martingale born4e N. Nous allons montrer que cela entral4e L=O.

M&me mieux :

19 THEOREME. Soit L une martingale locale.

a) Le processus [L,N]eV est localement int4grable pour toute martingale

born4e N. Plus pr4cis4ment, si T r4duit fortement L, IT Id[L,N]SI est

int4grable.G+

b) Slil existe des T too r4duisant fortement L tels qvB_ E[[L,N],2]=On n

po toute martingale born6e N, on a L=O.

DEMONSTRATION. Nous supposerons que L =0. Ecrivons que LT=U+V, UeKO f0

VeW . Dlapr s llin4galit4 KW2 (11.21), comme U et N appartiennent a M=0

nous avons E[fld[UtN]s1]<oo et E[fd[U,N]S]=EEUOC)N00 ] dlapr s la d4fini-

tion de [U,N] par polarisation ( et 11.18 ). De mgme, V n1a pas de-par-

tie continue, de sorte que EV N] =ES<tAVsANs. Comme N est born4e, V

' ' est=int4grable, et E[fd[V,N] I=E[V Na variation int6grable, Ad[V,N]s s 00 CoI

d'apr6s 1.9. Finalement, la relation E[[L,NITI=O sl4crit E[LTNM J=O*

Comme No,Test une v.a. born4e arbitraire, cela entraine LT=01 Tpuis( comme L est une martingale uniform6ment int4grable ) que L =0. Dfoij

b). Le lecteur 4tendra cela au cas o'a LO O.HEIq&RQUE. a) permet de d6finir <M,N> si M est une martingale locale, et

N une martingale locale localement born6e, comme compensatrice de [M,N].

Nous d6finissons maintenant 11int4grale stochastique d1un processus

pr6visible localement born4 par rapport a une semimartingale.

20 THI 'O,',!,M. Soient X--XO+DI+A une semimartingal (MeLop AeVO) et H un proces-

sus pr4visible localement born4. Le processus

(20.1) H-X = HOX0 + H-1,11 + H-A

ne d4pend pas de la d4composition choisie. H-X est une semimartingale

et llon a a des processus 4vanescents pr s

(20.2) H.Xc = (H-X)c , HtAXt = A(H-X)tet, si T est un temps dIarr9t

(20.3) H-XT = (H.X)T .

B3 230

DEMONSTRATION. Consid6rons deux d4compositionsX--X +II+A = X 4,14C ( M,!,-l eLO A,TeVO)0 0

Alors M- K = W-A appartient a Lo et Vo ( est une martingale locale

VF donc est a variation localement int4grable (12,c)). Mais alors

11int4grale H-(M-el) se calcule comme une int4grele de Stieltjes (18,c)),donc H-(MZ)=H-(X-A). Le reste est imm4diat dlapr s 18.

LA FORNULE DU CHANGEMENT DE VARIABLES ( CAS GENERAL )Comm au chapitr6 III, nous ne d4montrerons que le cas des semimar-

tingales r4elles, mais nous 4noncerons le th4oreme pour les semimartin-

gales a valeurs dans Rn.

21 THEOREME. Soit X un processus A valeurs dans dont les n composantesX' sont des semimartingales. Soit F une fonction deux fois contin lmentdiff4rentiable sur in ( on ne suppose pas les d4riv4es partielles bor-

n4es ). Alors le processus FoX est une semimartingale et on a llidentit4

(21.1) FoX = FoX + E f D'FoX dX' + 1Z.. ftD'DJFoX d<Xlc

.

X30>t.

0 i]Olt] s- s 2 J-, 0 s

+ ZO.'xt (FoXs FoXs_-EiDiYoX AXi

s- s

DEMONSTRATION ( une dimension). Nous v4rifions d'abord.que le c6t4

droit de (21.1) a un sens. Le processus F'oXs kant continu A droite

et pourvu de limites a gauche, (F'oXs-

) est pr4visible localement

born4 ( arr8tor a S= inf It : I-FloXs1 :nj ). De mgme, F" ox,_. Les deux

int4grales au second membre ne posent donc pas de probl6me. Pour tout

weQ, la trajectoire X.(w) reste sur [Oqt] dans un intervalle compact

[-C(t,w),+C(t,w)j , our 1equel la d4riv4e seconde de F reste born4e en

valeur absolue par une constante K(t,w). Nous avons alors si s: tjFoX (w)-FoX (w)-F1 oX (W) AX (W) I -

1 2(W).5 K(t,w)AX

s s- s s S

2Dans la d4composition X--X +M+A (MeLO,AeVO), nous savons que E AM <00

20 s<t s

p.s., que E,,,,'A-< oD p.s.. Il en r4sulte que la s4rie au seconE- membreI b

de (21.1) est p.s. absolument convergente.

Supposons maintenant qulil existe un temps d'arr9t T poss4dant les

propri6t4s suivantes : soit X--x +P,,+A , MeLO 9 AeYO , alors0T r4duit fortement M, en particulier K est born4e sur [[u,T[[

JO,T[ JdA.1 est born6e, X0 est bornk sur JT>01

K,A sont arr6t4s a 11instant T.

D6signons alors par K une constante dominant IXI sur [[O,T[E, par Y le

processus

231 B3

Yt = xt - AXI'I It>TJ ( an particulier Yt=0 Sur IT=01 )

at par G une fonction deux fois d4rivable, a d4riv4es premi res at se-

condes born4es, coincidant avec F Sur 11intervalle [-K,+Kl. Le processus

Y s I 4crit de la mani re suivante ( T r4duisant fortement M, on pent

poser II=U+V, UeMO 9 VeWO U at V arr t4s a 11instant T

Yt = x01 1T>01. + Ut + Vt-AVTII t>T I + At-LATIIt>TJ AUTII t 'T I),qui montre qua Y est une semimartingale au Sens restraint (III.1) : Utest de carr4 int4grable, at la derni re parenth se est un processus a

variation int4grable . Nous appliquons alors la formula du changementde variables du chap.III a Y at a G

. Puis, comme F at G coincident Sur

11intervalle E-K,+Kl, oa Y prend ses valeurs, nous remplagons G par F.

Ainsit 4crivant.Y=YO+M+B ,o-a Bt=At-LXTI jt>T> t t C CF'oY dB +

1 1FoY

t= FoY

0+ f FloY

S-dMS+ fS- S 2f F"oY

S-dcdl M >

S+ES<t-0 0 0

Les processus X at Y cdincident Sur 11intervalle [[O,TEI, done X-

at Y

sont 4,gaux Sur EEO,T]] ( pourvu qua T soit >0 ). Comme M est arr&t4e a

11instant IL at nulle an 0, on a pour tout processus pr6visible H

H-M. = H'-M,

o-a HI H It t 10<t<TJ

t tat par cons4quent f F'oYs_dMs f FIOX

s-dM

Spour tout t

o 0 t c 'c tDe mgme, mais plus simplement, on a f F",Y d-d4 9M >s=f FIIoX d<llc,Mc>

0 S- S- S

D'autre part, B at A coincident Sur 11intervalle0 [[O,T[E ,

at

les propri4t4s de 11intervalle de Stieltjes ordinaire entrainent qua

ftF'OYs-dBS = ftFIoX

s-dASpour t<To 0

Par cons4quent, nous obtenons qua pour t<T

t tC

FoX = FoX + f F'oX dX + 1f F"oX d<X 'xc> +t 0 S- S 2 s- So 0

Seul-ement, nous avons v4rifi4 au nOIII.6 qua les deux membres de (21.1)ont les mgmes sauts : Us sont done 4gaux, non seulement Sur E[O,T[E,mais Sur [[O,T]] ( Sur IT=01 tout est 4vident ). Comme ils sont tous

deux arr t4s A 11instant T, llidentitd (21.1) est 6tablie Sur toute la

droite, pour les semimartingales du type particulier consid4r4. Il faut

bien remarquer qua toutes les difficult4s ont 4t4 r4solues au chap.III :

on n1a fait ici qua de petits d4placements de processus croissants d,u

c8t6 des martingales A celui des processus VF, dans les d4compositions.

Il reste a ramener le cas g4n4ral au cas particulier qui vient d'

6tre trait4 ici. Pour cela, nous choisissons des temps dIarr9t Rht+OD,

r4duisant forte-ment M. Nous posons aussi

B3 232

S = inf I t dAsn 0

I ?.n

Un = 0 si IXOI>n, +oo sinon

T =R AS AUn n n n

Les temps dIarr5t Tn

croissent vers +oo, et la semimartingale XTn

satisfait aux hypoth ses de la premi re partie de la d4monstration.TnLa formule du changement de variables est donc vraie pour X

. Cela

revient :! dire quIelle est vraie pour X si t ,T , d'o-a le th4or me lorsquen

n-> +oc)

Le corollaire suivant peut se d4montrer directement ( mais ce nlest

pas tr6s facile ).22 COROLLAIRE. Pour toute martingale locale M, le processus M2_[M fM]

21tM dM est une martingale locale nulle en 0.0 8- S

On a aussi la formule g4n4rale d1int6gration par parties23 COROLLAIRE. Pour tout couple X,Y de semimartingales , le produit XY est

ane semimartingale, et llon a

(23-1) d(XY)t = Xt-dYt + Y

t-dXt+ d[X,Y]tou plus explicitement

xtyt = / X dY + ys-dXs+ Ex,y]t10,t] s- s 10,t]

et, si X est un processus a variation finie

(23.2) d(XY)t = Xt-dYt + Y

tdXt Voir aussi le n038

(En effet, si X est A VF <Xc',Yc>--O, EX,Y]t=ES<tAxSAYs, et d[X,Y]t=,&Yt.dXt , de sorte que Yt_dXt+d[X,Y]t=YtdXt).-LIEXPONENTIELLE DIUNE SEMIMARTINGALE

Nous illustrons 1'emploi du changement de variables en r4solvant,dans l1ensemble des semimartingales, 11"4quation diff4rentielle" dZ

=X.7-La th6orie est due A C. DOLEANS-DADE, avec ici quelques all6gement-s dus

A Chantha YOEURP. Voir aussi le n036 ci-dessous.

24 Nous commengons par rappeler quelques r4sultats 416mentaires sur les

fonctions a variation born4e sur 1. Dans les quelques formules qui sui-

vent, a(t), b(t)... sont des fonctions A variation born6e, continues a

droite, pouvant pr4senter un saut en 0 : on convient que a(O-)=O, a(t)=0 pour t<O, de sorte qve la masse en 0 est a(O). On a la formule (23.2)d1int6gration par parties(24.1) a(t)b(t)=fE0't3a(s-)db(s) + fo,t]b(s)da(s)et la formule du changement de variables ( 11hypoth6se que F est deux

fois diff4rentiable est ici trop forte, du moins pour la seconde

233 B3

formule

(24.2) F(a(t))--*F(O)+ f FI(a(s-))da(s)+[O't1

+EO<s<tF(a(s))--"(a(s-))-FI(a(s-)), a(s)

ftFl(a(s))dac(s) + ZO<s<t F(a(s))-F(a(s-))0

oa ac est la partie continue de la fonction A variation born4e a. Comme

application de (24.1) ou (24.2), nous notons que si a est une fonction

croissante

(24.3) d(a(t) )n i na(t )n- 1da(t)et nous en d4duisons le lemme suivant

LED90. Soit a(t) une fonction a variation born4e. Il existe au plus une

solution de 114quation

(24.4) z(t)-z(O-) z(s-)da(s)[O't1

localement born4e sur [O,oD [.

DEMONSTRATION. Consid4rant la diff4rence de deux solutions, nous nous

ramenons prouver que 0 est la seule solution de (24.4) telle que

z(O-)=O Sous cette condition, la masse de a en 0 nlintervient pas, et

nous pouvons supposer que a(O-)=O .Soit b(t)=1tIda(s)I, et soit

K sup Iz(s)j. Nous avons successivement si O<r<t0r r

==

Iz(r)l =If z(s-)da(s)l < f Iz(s-)Idb(s) Yb(r)0 -,,OKfr r

Iz(r)I 5 frlz(s-)Idb(s) b(r-)db(r)0 0

2

r 2 b*3(r)Iz(r)I z(s-ldb(s) b (r-)db(r) 5 KrI 2 3.

0 0

etc on utilise a chaque fois (24.3)). Pour finir, comme bn(t)/n: tend

vers 0, on a que z est nulle.

Ces lemmes 4tant 4tablis, nous prouvons

25 THEOREME. Soit X une semimartingale. Il existe une semimartingale Z et

une seule telle que

(25.1) zt = z + f Z dX Pour t>O (X _=O par convention)0- [O't3 s- s 0

Blle est donn4e par la formule

(25.2) z = Z. exp (X XC'xc>t) T7 (1+AXs)e-1&X

S (t>O)t 0- t

-s -t

o z le produit infini est p,,s. absolument convergent.

NOTATION. On 4crit Z=Z0-&(X). Le cas le plus familier est celui o i X0=O'

ZO_=ZjD ; 114quation sl4crit alors Zt=Zo+ftZs_dXs0

B3 234

DEMONSTRATION.-i)Nous allons d'abord prouver que'le processus (Zt) d6fini

par (25.2) existe, eat une semimartingale, et satisfait a (2 -.I). A

cet effet, nous commengons par l1existence, qui se ram6ne 4videmment a

celle du produit infini. Nous prendrons ZO_=1 pour simplifier.LETOLE'. Le produit infini eat p.s. solument convergent. et le processus

(25.3) Vt = 'FT ( 1 +AXa)e-AXa ()ro-= I

a.g-text A Varia+,ion finie, purement discontinu.

DEVIONSTRATION. Le produit d1un nombre fini de fonctions a variation fi-

nie purement discontinues eat encore du m6me type ( formule dlint4gra-tion par parties ). Nous 6cartons alors lea sauts tels que lax8I:-= 1/2,qui sont en nombre fini sur tout intervalle fini, et nous sommes ramen4s

a d4montrer le m6me r4sultat pourI

Vt' = T-70 +ix,I , I ax 1<1/21)e- a

S<t a

Mais nous avons alors log VI = Z (log(1+6X III)-bX,Ijj) ,s4rie

t s<t a

absolument convergente puisque Z AX2 converge, et log VI eat unS<t a tvariation finie pure

=

processus . ment discontinu. Il en eat alors delog V,mgme, d'apr6s (24.2), de Vtl= e t .

c cc:::. x2) Posons Kt=Xt-2<X I t , et soit F(x,y)=e y ; on a Zt=F(KtpVt), de

sorte que Z eat une semimartingale. Appliquons la formule du changementde variables

KS+ .1 t

cz -Z = ft]Z dK + ft3 e - dV '/ Z d<KC,K >t 0- [0 a- a [0 a 20 a- a

11 12 13

+ Eo<st (zs-za--Za-6Ka-e-KS-6va ) (*)

4

xc>Dans I, , nous remplagons dK par dX - Ld,-Xc, et dans I nous8 8 2 a 3

remplagons Kc par Xc. Il y a une simplification et il reste simplement

ft] Za-dX

[0I)ans 12 1 nous utilisons le lemme, pour dire que V dtant a V.F. pure-

ment discontinu, 12 vaut EO.CS<t eKs_&Va

Dans 14 , nous remarquons que Z,=Za- (1+Axa), za-&Ks = za- AXS, et il y a

simplification avec 12.(*) La formule eat 16g6rement diff6rente de la formule usuelle en rai-son du Z(O-) au premier membre.

235 B3

3) Pour 6tablir lounicit4, nous d4signons par 'Zt

une solution de (25.1)

telle que -ZO_=10 nous posons Vt

= e-KtZt , de sorte que ( avec la m&me

fonction F que ci-dessus ) Vt = F(-Kt,-Zt), et nous appliquons la formule

du changement de variables. Nous avons VO_=1 et

7 -V = ft] -V _dK + ft]e-Ks-d"Z + I ftV d<Kc Kc>

t 0- EO S s [0s 2

0 s f s

-fte-K9d<Kc,-Zc> + Et (V -V 4-V iiK -e-Ks-o-0

s s- s- S s

11+12+13+14+1 5

ns que d- "Z1 s 9Plaintenant, nous 4crivo Zs= s-dXs , dKs=dXs- td.,:)Cc Xc>

K C=Xc. Aussi d<KC,-Zc>s d<Xc,Zc>s = 'Z,_d<XctXc>, - La somme 11+12-K C, c

> dXsl4crit f-V dK +fe s dX = 1-7 dX + IfV d<X X +fVs- s s- S s- s 2 s- s s- s

Deux termes disparaissent, et I I+1 2+13 = 213*

D'autre part, 14

=

-fe-Ks*ZS-d<XC,Xc>s= -fVsd<Xc,X >s = -213 * Reste done seulement,I 5 '

Nous avons -Zs 'Zs_&Xs AKs = 'Xs fdone il reste seulement

7t-V0- E0<1s<t 4VS

s4rie absolument convergente ( ce qui exprime que V est un processus

V.F. purement discontinu ). Nous avons VS = e-Ks-zs p done V. = e-Ks-.e-AxS zs- VV

s-e-axS(1+AX.), enfin AVS = VS-((l+&Xs)e- L.aS

Introduisons le processus a V.F. purement discontinu

At = Eo<s<t(e-bx

s(1+Axs)-1)( la s4rie 4tant absolument convergente P-S-)# nous avons alors que

Vt-7V-O_ = ft 3 Vs_dAs V0-

=1

E 0

d'apr6s le lemme 24 cela caract4rise uniquement 7, et done -Z==VeK est

aussi unique.

La propri6t4 fondamentale d1une exponentielle est 4videmment sa

multiplicativ#4 : celle-ci n1a pas toujours lieu, maisl

26 TEEBOREVIE. Si X et Y sont des semimartingales et [X,YI=O, alors e.(X+Y)=

&W&M.En effet, [X,Y]=O veut dire que X et Y n1ont pas de sauts communs,--et

que <Xc,Yc>--O, i.e. <(X+Y)c,(X+Y)c> = <Xc,,Xc>+<Yc+Yc> .

I.YOR vient de d4couvrir la jolie formule e(X)e(Y)=&(X+Y+[X,Y]).

B3 236

Llessentiel du chapitre est dit. Il reste A pr4sent diverses ques-tions A traiter, dont les liens sont assez lAches. Nous allons d'abord6noncer un th4or6me assez simple et frappant sur les int4grales sto-

chAstiques de processus pr4visibles. Puis d4finir une sous-classe im-

portante de la classe des semimartingales, celle des semimartingalessp4ciales, dont nous donnerons diverses applications, Ens-aite, nous

d4finirons une autre exponentielle, qui apparait en liaison avec les

probl mes-de d6composition multiplicative des surmartingales positives.Enfin, nous donnerons en appendice divers r6sultats qui sont tous plus ou moins li4s a la th4orie - jusqu'A pr6sent peu d6veloppde - des int6-

grales stochastiques multiples.Il nlest pas recommand4 de lire cela A la suite. Il pourrait 6tre

raisonnable, par exemple, de lire la d4finition des semimartingalessp4ciales (31-32 ) et de passer au chapitre V.

CARACTERE LOCAL DE L'INTEGRALE STOCHASTIQUEDans le cas discret, tout processus (X

nest A VF, et 11int6grale

stochastique d1un processus pr*4visible (H (HO ?O-mesurable, H Fn n =n

m.esurable pour n>1 ) est le processus

(H-X)n =H0x0+H,(X,-X0)+...+Hn(Xn-Xn- 1)

Si llon connaitt les trajectoires X.(w), H.(w), on sait done calculer

la trajectoire (H-X).(w). Il nlest pas 4vident que llon puisse d4montrer

une propr16t6 analogue dans le cas continu. Il qn est pourtant ainsi

27 THBOi EIVIE, Soient X et 7 deux semimartingalesv H et 7 deux processus

.pr6visibles localement born6s, I et I les processus H-X et Alors

(.27-1) Sur llensemble C=lw : H.(w)=Z.(w), X.(w)=a.(w)jon a p.s.

DEMONSTRATION. Il suffit de traiter s4par4ment les cas o-a X=7,et oa

HZ.

1) Supposons HAT, et montrons que H-X et H-7 sont indistinguables sur

l1ensemble C=fX.=X.I. On peut se borner au cas o-a H0=0 .

Nous pouvons d'abord restreindre llespace A IX0=701, puis nous rame-

ner au cas oil X :=7 -0 Nous d4composons X=M+A, Y= 19 + I (M,lq e o f Aj0 0 *

eVO , et il slagit de savoir si H-(M-R)--H-('X-A) sur l1ensemble C =

jM-M="K-Aj. Notons N la martingale locale M-M, B le processus A VF I-A,de sorte que C=jN --B I . Soit T un temps d1arr9t r6duisant fortement N;il nous suffit de*d6;ontrer que H-NT=H-BTsur C. Quitte a diminuer T,

237 B3

on peut supposer aussi que H - qui est localement born4 par hypoth6se-est born6 Sur [[O,T11. Comme on a ]]T,cx) [[ " NT=j

]] T, oo [E*BT =0, on

peut remplacer H par H,[[O,T]] .et on peut donc supposer H born4 par-

tout. D'autre part, NT

peut s'4crire U+V (UeMOvVeWO) , et il suffit de

montrer que H-U = H-(B-V) Sur C. On utilise pour cela un raisonnement

par classes monotones A partir des processus pr6visibles 414mentaires,

pour lesquels la propri6t6 est 4vidente.

2) Supposons X--Y, et montrons que H-X et II-X sont indistinguables Sur

l1ensemble

La proprift4 est 4vidente pour les 614ments de V. On se ram6ne donc

au cas oa X est une martingale locale, que llon peut supposer nulle en

0. Soit T un temps d'arr&,t r6duisant fortement X : il suffit de montrer

T- Tque H-X g.XT Sur C

. Wcomposant X en U+V (UeMO JeWO ) on se ram -

ne 6. 114galit4 H-U=Z-U. On peut aussi supposer H et TI born6s comme ci-

dessus. Finalement, posant K=H-Z, on est ramen6 A prouver que

si, UeMO v si K est pr4visible born6, 1---K-U est nulle Sur jw : K (W)=Ol

ou encore, si llon se rappelle que <L,L>--K2-<U,U> , que LeM est nulle=0 -

Sur l1ensemble J=1 <,L,L,>co=O 1.

Soit T inf I t : <LtL> > Ces temps d'arr&t d4croissent versn t = n

T00 = inf t <L,L>t>O 1, ils sont >0 partout, 4gaux . +oo Sur J

D'autre part, Tn

est pr4visible en tant que d4but d1un ensemble pr4visi-

ble ferm4 A droite. (N9, p.9). Par cons4quent on a ( L ---L,L> dtant une

martingale uniformdment int4grable nulle en 0

E[L2 E[<,L,L.>Tn_] 1 /nT

puis pour toutn

t

(L2-<,L,L> )I tE[(L2 _<,LIL>T )Ift]jlt<T It

2t --T

n 2Tn- n- n

d I oil E[ L I <t It<T

et finalement E[L2, ]=O , donc Lt est nulle Sur [[O,Too [[ - en par-t I t<T00

ticulier, L. est nulle Sur J.

28 Voici un raffinement du th6or6me 27, partie 1. Soient X et 7 deux

semimartingales, H un processus pr4visible localement born4, T un temps

dIarr6t, et 0 l1ensemble

w : X (w) 7 (w) pour O<t<T(w)lt talors on a p.s. Sur C (H-X)t(w) (H-Y)t(w) pour tout t<T(w). Si llon

avait mis O<t<T(w) dans la d4finition de Cp le r4sultat se rdduirait A

27 appliqu4 a XT et YT, mais ici il faut faire plus attention.

B3 238

Soit Y=XI EEO,TEE I Y=YIEEOT[[ ; nous pouvons alors 4crire XT=Y+V,YT=Y+V, oil V et V sont nuis avant T, constants apr6s T, et sont A VF.Dlapr s 27, nous avons H-Y=H-Y sur 0. D'autre part, H-V et H-V sont

des int4grales de StieltjeS, donc nulles sur [[O,T[[ o-a V et V sont

T -Tnuls. Par diff4rence on voit que (H-X ) t(w),(H-X )t (w) sont 6gale-spour weC , t<T(w), et on conclut en remarquant que H.XT=(H.X)TH-YT=(H X)T.

On a un raffinement analogue pour la partie 2. Soient X une. semimar-

tingale, H et IT deux processus prdvisibles localement born4s, T un tempsd'arr9t, et C l1ensemble

w : Ht(w)=IT (w) pour O<t<T(w)jtalors on a P.s. sur C (H-X)t(w)=(rI-X)t(w) pour tout t-cC(w). Ici encore,on peut se ramener par arr6t au cas oil H et F sont borads, supposer que

HO=O. Pais se ramener au cas oil X est une martingale locale, puis pararr6t A un tdIa, r4duisant fortement Xv au cas oA X=UeM . Finalement,=0en posant K=H-IT9 L=K-U comme dans la d6monstration de 27, A montrer quesi <L,L:>t(w)=O pour t<T(w), alors Lt(w)=O pour t<T(w) (LeMO). Or nous

avons vu dans la d6monstration de 27 que L est nulle sur [[O,Too[[, etla relation <L,L>t(w)=O pour t<T(w) entralne T(w):: T

00(W) -

29 Les raisonnements pr6c6dents entralnent une autre cons6quence int4-ressante. Soit X une semimartingalet et soit H un processus pr6visiblelocalement born6. Soit C l1ensemble des w tels que X.(w) soit une fonc-tion A variation finie - comme la variation peut se calculer avec dessubdivisions finies appartenant aux rationnels, C est mesurable. Alors

Pour presque tout weC, la trajectoire (H-X).(w) est donn4e par

11int4grale de Stielties f H,(w)dXS(W) -

0Cela I'loca-lise" le th6or6me 18, c). Four voir cela, on se ram6ne aus-

sitSt par d6composition de X au cas o-a X est une martingale locale nul-

le en 0 ; par arr9t, au cas oil HO=Oq oa H est born4 ; par arr9t a un

t.dIa. r6duisant fortement X, au cas o-a X est de carr6 int4grable. Et

dlors, il ne reste plus quI& utiliser un argument de classe monotone

A partir du cas des processus pr6visibles 614mentaires, pour lesquelsle r6sul-tat est 4vident - le passage A la limite reposantzur llin6ga-lit4 de DOOB.

239 B3

SEMIMARTINGALES SPECIAIES

30 Notre point de d4part va &tre la remarque suivante, qui sera exploit4e

syst6matiquement au chapitre V.

Soit M une martingale locale nulle en 0, et soit T un temps d'arr9t

r6d-aisant fortement M. Alors (8) MT peut s'4crire U+V, oa U appartient

M, et V est A variation int4grable. Nous avons d1apr6s llin4galit4

KW2 4tendue aux martingales locales (10)

([M,M] )1/2 = rMT VMT]1/2 [U,U]1/2 +[V,V,1/2T - GD OC) 00

C.omme U est de carr4 int4grable, [U,U]1/2 appartient a L2

donc ! Lle00

D'autre part, V est a variation int4grable, donc d6pourvue de partie

continue (11.15, 111.2,...), donc [V,V]1/2 = (E AV2 )1/2< Z JAVsleL'.Nous avons pronyd

OC) s s = s

(30.1) .Pour toute martingale locale M le processus croissant1/2[M,M]t est localement-int4gr ble

31 DEFINITION. Une semimartingale X est dite sp4ciale stil existe une

d4composition

(31.1) X = X +M +At (MeLO , AeVOt 0 t

po laquelle le processus A est a variation localement int4grable.

32 TMIOREME. Les conditions suivantes sont 6quivalentesa) X est sp4ciale.b) Pour toute d4composition (31.1), A est a variation localement int4-

grable.

C) Il existe une d4composition (31.1) pour laquelle A est pr4visible.

d) .Le processus croissant (I bX2)112 est localement int4grable.O<s<t s

De plus, si ces conditions sont satisfaites, la d4compo ition c) est

unique : on l1appellera la d4composition canonique de la semimartingale

sp4ciale X.

DETHONSTRATION. Nous proc4derons suivant 11ordre c)=>a)=>d)=>b)=>c).F T ->a Clest le n012v a) : tout processus a variation finie pr4vi-sible est localement int4grable.

2 1/2 2 1/2 2 1/2a =>d On 4crit que si X=X +M+A

, (ZLX < (ELM +(ELA <

1/2 1,1 M]1/2 +0 s s s

[M,N] + ZJAASl :5 1 , f1dA.1 est localement int4grable si A

est localement int4grable((30.1)), donc si X est peciale.2)1/2< (LLX2)1/2+[M'M]1.On a de m&me (ILAs s

1, donc si d) est satis-

faite, le premier membre est un processus croissant localement int4gra-

ble. Soit Rn=inflt : ft JdAs li-n soient des Snt+oo tels queC.

B3 240

BE (Z &A2)1/2]<OD.Alors si T =R AS on a BE I AAT I I<co , dones<S s n n n= n n

EE/ njdAsI E I &AT I ] < co

0 n

. Soit X=XO+M+A, oa A est localement int4grable, et soit

la compensatrice pr4visible de A. Alors X--XO+(M+A- X)+X , la parenth seest une martingale locale, et X est pr4visible.

Prouvons l1unicit4 de la d4composition canonique : soit X--XO+M+A=X0+7M+X ,

o L A et I s6nt pr4visibles. Alors A-W = M-M. Posons N---R-M,et appliquons le lemme 13 : une martingale locale A VF pr6visible, nnlle

en 0, est nulle. Dlo L aussit6t la conclusion.'

Nous allons utiliser d1abord la notion de semimartingale sp4cialepour donner des,semimartingales une d6finition 6quivalente, mais plusfacile A v6rifier. Voir aussi la note p.68.

33 THEOREME. Soit X un processus. Supposons qulil existe des teMps d'arr9t

Tn tels que supn Tn +oo, et que pour chaque n le processus arr&t6

xTn soit une semimartingale. Alors X est une semimartingale.

DEMONSTRATION. a) Supposons que XS et XT soient des semimartingales.Alors XSVT= XS+I ]]SAT,T]]'XT est une semimartingale ( la notation des

int6grales stochastiques recouvre ici quelque chose de bien trivial 1. )b) Cela permet de se ramener au cas oa la suite T

ntend vers + oD en

croissant. Nous remarquons alors que le processus X a des trajectoirescontinues a droite et pourvues de l.imites a gauche. Par cons6quent, le

processus

Vt = EO<S<t, I AX I 1 AXss -

est A variation finie sur tout intervalle fini. Nous posons Y=X-V. Il

nous suffit de montrer que Y est une semimartingale. Quitte a remplacerY par Y-XO 9 nous pouvons supposer que Y0=O.

TnPour tout n, le processus Y est une semimartingale sauts born4s,

done sp4ciale (32,d) , done admet une d4composition unique en

yTn = Mn + Anoa 0 est une martingale locale, nulle en 0, et Anun processus A va-

riation localement int4grable nul en 0, et pr4visible. Mais alors l1uni-

cit4 entraine que les An se recollent bien en un processus pr4visible A

a variation loc. int. , les Mn se recollent en une martingale loca-

le (4,e)) M, et alors X--XO+V+A+M est bien une semimartingale,

24 1 B3

34 Le th4or6me pr4c4dent va nous servir.A. vdrifier un r4sultat tr6s

int6ressant, d i i N.KAZAMAKI : la notion de semimartingale est pr6ser-v6e par les changements de temps.

Nous appellerons changtment de temps une famille (Rt)t>o de temps d'

arrit de la famille %), telle que pour tout wcO la fonction R.(w) soit

croissante et continue A droite. Nous supposerons de plus ici que chaque

Rt est fini ( hypoth6se que llon ne fait pas toujours, en th6orie des

processus de Markov, par exemple ). L& famille de tribus 7t=Fat

satis-

fait alors aii conditions habituelles ([D], III.T34, P.54).-Si (Xt)est un processus adaptg %) et continu A droite, le processus trans-

form4 7 =X est encore continu a droite, et adapt4 a la famille (Tt Rt =t

([D], III.T20, p.50). Le changement de temps transforme done les proces-

sus optionnels en'processus optionnels, mais on ne peut rien dire en

g4n4ral sur les processus pr4visibles. En particulier,-si T est un

temps d'arrit de (Et) et si X est le processus [[T,oo[[ , on a 7 =

I[Ey,oo[[ ,oA T= inf ju : R >TJ T est done un temps dIarr6t de (I ).

U= t

11 est clair que si (At) est un processus croissant,(A-t)=(A. ) en

est un aussi. Tout processus A VF 4tant diff4rence de deux proce sus

croissants, le r4sultat 4nonc4 au d6but est 4quivaient au suivant : pour

toute martingale locale M, le processus transform4 (Mt)-(MRt) est une

semimartingale. D'apr6s le th4or6me dIarr6t de DOOB, si M est une mar-

tingale uniform4ment int6grable, M est une martingale uniformdment int6-

grable : on slattend done plut6t a ce que F soit une martingale locale,

mais ce nlest pas toujours vrai(l.) nSoit (Tn) une suite de t.dIa. r4duisant M. Le processus t=MtATnest

une martingale uniform4ment int6grable, et le processus 3P obtenu part

changement de temps A partir de Mn est done une martingale de la famille

(Ft). Seulement, les processus 'Mn ne sont pas n6cessairement des proces-

sus arr6t6s du processus F transform4 de M, si le changement de temps"saute" par dessus la valeur Tn' -On peut tout de m&me.dire ceci : intro-

duisons les temps dIarr&t YT = inf ju : R >T les R 4tant finis, onn u= n u

1. Les raisons en apparaltront bien dans le cas discret. On montre faci-

lement qu'un processus (Xn ) adapt4.A (Fn

) est une martingale locale si

et seulement siIX J.P est a-finie sur F pour tout n>1n =n-1 =

I et E[XnIE-n-13=X

n-l'Il est facile avec ce crit6re de fabriquer un exemple oaIX

nJ.P

nlest a-finie sur F pour aucun n. Mais alors le processus nlest=n-2 X2n

pas une martingale locale par rapport a la famille de sorte que

le changement de temps nv--> 2n,vraiment le plus anodin, ne pr4serve pas

les martingales locales.

B3 242

a limn Yn=+oo. D'autre Ipart, la relation t<Tn entralne Rt<Tn , done..n n

M - MRt - MRtATn = MRt= Rt -- MtAT.- AInsi le processus transform6 IW

possade la propridt6 S-aivante :

(34. 1 ) II existe _Ies td I a. % t+oD et des martin&qles uniform4ment int6-grables Rn jels aLxe 31---r sur 11intervalle ouvert EEO,TnH. (* )

Compte tenu de 33, M est alors une semimartingale : en effet, sur

11intervalle ferm6 E[0,7fnl] F coincide avee un processus de la forme

Mn+e, Oa n - MEUt = MT- -- ), -

I est an processus a VF. Cela d4montre cen T t>Tnque nous voulions. n

KAZAMAKI a 6tudi6 dans 1171 les processus satisfaisant A (34.1), sous

leF nom de "weak martingales' .Il a montr6 aussi que les changements de

temps continue pr6servent les martingales locales et lee processus pr6vi-sibles, done les semimartingales sp6ciales.

35 Nous allons maintenant r4soudre une autre 114quation diff4rentielle

stochastiquell ressemblant , celle du n025. Soit X une semimartingale

sp4ciale, que nous supposerons nulle-en 0 pour simplifier, et dont

nous d4signerons par X--PI+A la d6composition canonique. Soient Tn des

temps dIarr9t croissant vers +oo, r6du-isant fortement la martingalelocale M. et tels que E [fTn IdAsIl<oopour tout n . Il est imm4diat que

0le processus arr&t4 X n est alors domin4 par une v.a. int4grable, il

admet done une projection pr6yisible. Ces projections pr4visibles se

"recollent" bien en un processus pr4visible, que nous appellerons la

projection pr6visible de la semimartingale s124ciale X, et que nous

noterons X.Le calcul en est imm4diat : on sait que la projection prd-

visible d1une ma, tingale uniform4ment int4grable (Mt

) telle que M0=0est 4gale 9, (Mt et cela passe aux martingales locales. Done

(35.1) it Mt-+At= Xt-+&AtNoter que clest un process-as localement born6, et no-as pouvons nous

proposer de r6soudre 114quation diff4rentielle stochastique dZt=2tdXt

dans l1ensemble des semimartingales sp4ciales. Le th6or6me suivant est

di A Ch.YOEURP ( avec une d4monstration simplifi6e par K.A. YEN ). Pen

donne une d4mo*nstraiion compl6te, bien que le travail de.YOEURP doive

sans doute paraltre dans le mgme volume d-a s4minaire que ce cours.

Cet argument permet d'am6liorer 33 : si X coincide sur chaque in-

tervalle ouvert, E[O,T I avec une semimartingale, X est une semimartale.

243 B3

36 THEOREME. Soit X--M+A la d4composition canonique d'une s-emimartingale

sp4ciale nu-Ile en 0. On supposeque le processus 1-AAt

ne slannule

jamais. Il existe alors une semimartingale sp6ciale Z et une seule

telle quet.

(36.1) zt= i + f zsdX80

On la note Z--6*(X). Elle est 4gale A 11exponentielle ordinaire P-(Y),oil Y est la semimartingal sp4ciale nulle en 0

(36.2) y = ft dX

t 0 1 ZtR7,int4grale stochastique qui a un sens, car le processus 1/1-AAt 2ft_pr6-visible et localement born6.

( On donnera au n037 une expression explicite de e,*(X)).

DEMONSTRATION. Prouvons d'abord que 1/1-AAt est localement born4. Soit

Hn = I t : 11-tiAtl 5 I/n+11 ; clest un ensemble pr4visible dont ies

coupes n1ont aucun point d1accumulation dans "+, car (t,w)eHn

=>

IAAtWl 1/2 . Les Hn

d6croissent, leur intersection est vide puisque

1-LAt ne slannule jamais, leurs d4buts Tn tendent done vers +oo. D'au-

tre part, d1apr6s la note N9 p.9, les Tn sont des temps d'arr6t pr6vi-

pibles. En consid4rant des temps d'arr6t Snm

annongant Tn,

on voit que

1/1-AAt est localement born4, et cela entralne la possibilit6 de d6fi-

nir Y ( qui est 4videmment sp4ciale ).Soit Z une solution - sp4ciale par hypoth se - de (36.1). Z admet

la d4composition canonique ( on rappelle que si Z est sp6ciale, est

localement born.4 ) t.

Zt= 1 + f sdMs + f ZsdAs 1 + Nt + Bt

0.

0

Alors ((3'5.1)) Zt=Zt-+ABt= zt-+ZtlAt , done Zt= Zt- / 1-AA

tet

(36.1) sl4crit t z tz = i+ f -1_

S- dX = 1 + f Z dYt o AAa s 0 s- s

d1oil l'unique possibilit6 Z=e(Y).Inversement, Z=e(Y) satisfait 61le a (36.1) ? Comme Y est sp4ciale,

Z=I+Z--Y est sp6ciale, et Z admet la d6composition canonique

z i + ft Zs-dM + ft Zs-

dA. = I + Iff + Ftt 01 -&A S 0 1-Ak t

Alors 2t zt-+h7t ((35.1)) = Zt-+ Z

t- AAt/1-4At Zt-/1-AAt, de sorte

que t t t.

zt= i + f zs-dYs = 1+ f s(1-AAs)dYs 1+ f ZsdX8o 0 0

et Z satisfait A (36.1).

B3 244

37 THEOREME. Avec les notations du n036, on a

1.,czxc xc , 1 +NWK - &X(37-1) z = exp (Xt - -i 1t t e s

s<t s

o-a le produit infini est absolument conyeLg2nt ( ainsi 8'(X)=e(M)/e(-A))DEMONSTRATION. Posons H=a(M), K=e(-A), L=J/K, Z=HL ; il nous faut

v4rifier que, dZ=LX : cela entralnera que Z=e*(X), et compte tenu de

l1expression explicite de l1exponentielle e, le lecteur en d6duira

(37.1) sans aucune peine.Nous commengons par remarquer que K et L sont des processus a VF, et

que la relation KL--I, avec la formule usuelle dlint4gration par parties(24.1), nous donne

O- d(KL) = K dL + LdK

mais par d6finition de l1exponentielle e,dK=-K-dA : nous en d6duisons

que L est solution de 114quation diff6rentielle dL/L = dA avec la

condition initiale LO=1.Ensuite, nous utilisons le fait que L est un processus VF Rr .yisi-

ble (v6rification facile sur la rel-ation K=&(-A)). Alors, la formule

dlint6gration par parties donn4e ci-dessous au n'38 nous donne

dZ = H dL + LdH ou Zt + ftL dH + f H dL0 S s 0 s- S

ce qui nous donne la d4composition canonique de Z. Rappelons que est

la projection pr4visible de Z=HL ; comme la projection pr4visible de H

est H_ , et L est pr4visible localement born4, on a =U-L. Alors

dZ dZ dL dHdA + dM = dX

2= -H..I = 7- + F-

la relation cherch4e.

Voici la formule dlint4gration par parties1dont nous avons eu besoin,so-as une forme uh peu plus g4n4rale. Ci dessus, X=L, Y=H

38 THEOREME. Soient X un processus ! VF pr4visible, Y une semimartingale.Alors

(38.1) d(XY) = XdY + Y-dX( lorsque X est A VF non pr4visible, XdY n1a pas de sens, et on doit se

contenter de (23.2) : d(XY)=X-dY+YdX ).

DEMONSTRATION. Nous d4composons Y = Y +i4+B, oil W appartient L Lop B a0

Vo . La v6rification pour Yo et B 6tant triviale ((24.1)), nous pouvons

nous borner A regarder N. Par arr6t a un temps d'arr6t T qui r6duit

fortement N, nous pouvons supposer que N=U+V, o-a U est de carr4 int6-

grable, V A variation int4grable. Llint4grale stochastique par rapporta V 4tant une int4grale de Stieltjes, on retombe 3. nouveau sur la for-

mule d1int6gration par parties usuellev et il suffit de regarder U.1. Due A C. YOEURP.

245 B3

Nous avons vu au n0I.3 que le processus croissant it= JdXs I estf0

pr6visible. D'apr6s N9, p.9, le temps d1arr9t Tn = infIt Jt?nj est

pr4visible. Quitte 9L remplacer le processus VF (Xt) par (XtATrun

) ,0 1

la suite (T..) annonce Tn , on peut se ramener au cas oA le processus

VF (Xt) est tel que fooldX.1 soit une variable al4atoire born4e. Nous0

d6composons ensuite X comme au nOI.4, formule (4.1)x = xc + E I = xC + E ilt t n "n, I t>-rn t n t

oil Xc est A VF continu, oil les An sont des constantes telles que En Ixn I<oo, et les T

ndes temps d1arr6t pr4visibles tels

que TO==O. Llint4grale stochastique X-U se d6compose alors en Xc-U +

E X -U, s4rie convergente dans M

, et il suffit de d4montrer la for-n n

mule pour Xc et les in. Pour Xc, elle se r4duit A (23.2). Posons X hW= Ijt>Sj ,

0 1 S=Tn

est pr4visible. La formule , 4tablir est

d(WU) = WdU + U-dWComme nous avons aussi d(WU)= W-dU+U-dW+d[W,U], tout revient A montrer

que llint4grale stochastique (W-W_)-U est 4gale a [W,U]. Or

1w, Ult = AUSIlt s I

dlau re part, soit (Sk) une suite annongant 3 ; W-W- est 11indicatrice

du graphe [[S]], donc la limite de IHO'S11- I1LO,Sk11 ,donc

[Is]] U = limk US_U9k'= (US_US_)I TS'001Le th4or6me est 4tabli.

DECOMPOSITION MULTIPLICATIVE DES SURMkRTINGALES POSITIVES

Il est tout naturel de se demander si toute surmartingale positive

X peut 6tre repr6sent4e comme un produit d1une martingale positive et

d1un processus d4croissant positif. La solution de ce problAme, dans

le cas o z la famille de tribus est quasi-continue A gauche, est due

ITO-WATANABE [111, et C.DOLEANS a montr6 comment, dans ce cas, la d6com-

position multiplicative peut se rattacher L l1exponentielle F'. Le cas

g6n6ral a A6 trait6 dans [181, mais cet article est si obscur que m&me

son auteur ne peut le relire, et l1a cru faux. Nous allons nous borner

ici au cas plus simple,o i ( la famille de tribns 6tant quelconque ), X

ne slannule Jamais . Nons suivons une d4monstration de YOEURP, et nous

renvoyons au travail de YOEURP pour le cas g4n4ral o-a X peut slannuler.

1 . Dans ce volume.

B3 246

39 THEOREME. Soit X une surmartingale 'Positive qui ne slannule jamais.Alors X admet une d4composition unigue de la forme Xt=XOLtDt t

o z J,

est une martingale locale positive telLe__que L0=1, D un Processus

d4croissant Pr6visible positif tel gue D0=1.DEMONSTRATION. Nous pouvons 6videmment supposer que X

0=1.

Nous avons vu au nO 4bis que X admet une d4compqsition unique de la

forme X=M-A, oa M est une martingale locale, A un processus croissant

pr6visible nul en 0. X est done une semimartingale sp6ciale (32), et

nous pouvons consid6rer sa projection pr6visible M--A Llesse'ntielde la d4monstration est contenu dans le lemme suivant, d'a a YOEURP :

LEMME. Le_processus 2r6visible 1/i est localement born4.

Nous remarquons dabord que, la surmartingale positive X 6tant nullea partir du temps d'arr6t inf it : Xt_=Ol ( voir la premi6re 4dition de

[F], VI.T1'5 ), le processus X-

ne slannule. jamais ; le processus 1/X_est alors fini et continu a gauche, done 1-ocalement born4. Nous 4crivons

alors 1/1 = (1/X_)/(1/X-

)# ce qui nous ram6ne a montrer que le processusi/X- est localement born4 inf4rieurement. Comme X=M-A, la seconde for-

mule (35.1) montre que i/X_ = 1- &A/] - . Posons 0t

= Es<t AAS/XS-C est un processus croissant pr6visible, A valeurs finies puisque 1/Xest localement born6, done l1ensemble I s.: AC > 1-1/nJ n1a aucun points =

d1accumulation A distance finie ; comme il est pr4visible, son d6but

Tn est pr4visible (N9, p.9). Prenant une suite Tnm

annongant T., on

voit que 1-AA IX_

> 1/n pour t<T, le r4sultat d6sird.t t = = nm

Nous pouvons alors d6finir la semimartingale sp4ciale nulle en 0

t dX(39.1) y f 7-s

t 0 X S

dent la d4composition canonique est

t dM t dA(39.2) Y = N +B f s f 'St t t

0 Is 0 XsNous avons AN :5 0 pour tout t, done 1-ABt ne sannule J?mais , et nous

pouvons appliquer 36 et 37 : X kant solution de Xt=i+f sdYs , on a0.X--P-*(Y)= e(N)/e(-B). D'autre part, e(N)=L est une martingale locale.

Calculons D=1/9(-B) en nous rappelant que, en tout temps pr6visible T,AAT=XT_-E[XTIET-3 -5 XT- y et ABT =-AAT/ELXTIET-3= -6AT/4

-Bt T-7 1 -bB -BeD e 1-AB e s e t T7 (1 -AB0<s; -ts O<s -t

dexp(-It -k ) T7 exp ( )T7X90 xs O<s<t

s

6A AA1 . Evidemment positive. 2. AAs-xs--X,,,donc (1+-a )-'=I- Ls-ts x

s-

247' B3

C I est la premigre expression de la derni re ligne ( oil Ac est la partiecontinue du process-us croissant A, et oil llon a 4crit X8 an lieu de I.,11int4grale 6tant la mgme ) qui montre que D est un processus d6crois-

sant prdvisible. Cela prouve l1existence de la d6composition multipli-cative.

Quant A llunicit4, supposons que X=LD,L martingale locale 4gale

1 en 0, D processus d4croissant pr6visible 6gal a 1 en 0. Alors 1 =L D

par projection pr6visible. Puis dY = dX/I = (DdL+L_dD)/L-D d'apr6s la

formule dlint4gration par parties du n038, et finalement

(39.3) dY =dX dL

+dD

1.= -T- -r

Comme la d4composition canonique de Y Y=N+B, est unique, nous avons

('39.4) dL= dN , done Y=C(N) dD dB

, done D=l/e(-B)D

Le lecteur 4crira lee expressions explicites de N et D pour son propre

usage : elles sont utiles.

DEVELOPMENT DE LtEXPONENTIELLE

40 Nous allons d6montrer ici une formule de KAILATH-MGALL [19], li4e

aux calculs faits sur le mouvement brownien au nOIII.16.

Soit X une semimartingale. Nous convenons comme d1habitude que X0-=Oet nous d6finissons par r4currence les semimartingales

(40.1) P0 1 9-P 1

= X.....

Pn f Iln- 1 dX (pn =0)8- 'S 0-t t t t EO't]

En abr4gd, dpn=pn-'dX. Lorsque X est une fonction certaine continue,Pn est 6gale A X /n! ; les Pn sent done des "puissances symboliques",de 1 L la lettre P. Elles sont li6es A la formule exponentielle par la

propriA6 suivante : posons

X(40.2) E = (1+;kXo)&(;kX), oA X est un para.mkre complexe

et par r4currence

(40.3) FX10 = EX FX, n= f FX, n- 1dX (FX,n =0t t t O't] s- is 0-

Si llon fait la convention que EX-=1 EX satisfait A 114galit40

(40.4) EX = i + Xf EX dXt [0, t I s- s

et on a alors par une r6currence facile

(40.5) EX I + XP1+ ,2p2...+Opn + OFX,n

de sorte que les Pn sont les coefficients de Taylor de EXA 11origine.On suppose d1habitude que XO=O ( alors E --&(XX) ), et que X est une

martingale locale ( alors les Pn sont aussi des martingales locales

Introduisons d'autre part les crochets d1ordre n, de la mani6re

suivante :

B3 248

(40.6) C1 2=[X 1] 2 n

t= xt , Ct t- Xc,Xc>t+ES<t AX

8 , Ct = ES<t

A)es

(n>2)1

Notre but est de d6montrer la formule de r6currence de KAILATH-

SEGALL :

41 THEOREME. On a

(41.1) In= .1[2n-lCl_,A-2C2+,A-3C3+...+(_I)n+11,0()n].U

DEMONSTRATION . Par rdourrence : siapposons (41.1) vraie au rang n, passons

au rang n+1. Multiplions par n les deux membres de (41.1), prenons une

limite a gauche, et int4grons par rapport A dX

n.Pndl = Pn- 1 C11 _ ln-2C2dX + pn-3C3- - -

X- - -

_d.X -. . .

C1 d-Pn - 02d-Pn-1 + C3dpn-2

dlapr s la d4finition des P. Ajoutons PndX = PndC

,il vient

(n+l)dEn+'= (ID'L'dC'+Cldpn) _C2dPn-'+ C3d,:,n-2...

d(PnCl)_d[pn,Cl] _C2dPn-l + C3dpn-2...[pn 1

. [ X, yOr Pn = I'!-' - X,

C' w Y-, done ,

C1 1= 1 '.- ]= p -l .02 dlapr s la

2. In 1 pn-1 2d4finition de C Ainsi d[1 C dC et

(n+l)dlln+l = d(l'nC') -(-P -'dC2+C2dPn-') + C30n-2

= d(PnC 1) _ a(pn-lC2) + d[Pn-1 'C2] + C3dpn-2

C2 est un processus a variation born4e, done le crochet se r4duit

. pn-1 .2 = rA , (px1-2'4X )(bX2) et finalement d[pn-1'C2]=j i-2dC3, et les s s- 8 s

t4lescopage continue.

No-as renvoyons a [19] pour le cas des semimartingales vectorielles.

42 Exemples

a) Martingales locales continues. Si X est une martingale locale conti-

nue nulle en 0, posons 1-t-X'X>t ,et 4crivons (41.1), qui se r4duit a

(42.1) In= I[Xln- 1 _Aln-2 Pi =X, P2= 1 (X2_', )n 7

Rappelons la formule de r4currence des polyn5mes d'Hermite

(42.2) H (z:) = -1 (xHn_ 1 (x) -H (H1 =x L(x2_1n n n-2 (x) H2= 2

Alors il est clair qi e

pn' 1/2(42.3) = A H

n(X/,,/A-)

car le second membre satisfait A la formule (42.1), et a les bonnes

valeurs au d6part. On rapprochera cela de 111.16.

b) Processus_p.2nctuels . Soit (Nt) un processus croissantj admettant

des sauts 4gaux a 1, constant entre ces sauts, nul en 0. N est alors

localement int4grable, et admet donc un compensateur pr4visible At.Nous supposerons ici A continu, ce qui revient a dire que les sauts de

1. la so ion exel-at s=O pour n=2, et 11inclut pour n>2.

249 B3

N sont totalement inaccessibles. Soit X la martingale locale N-A

elle est purement discontinue, donc [X,XI =Z AX2 = Z &N2 Nt s<t s S<t s t

De m me, tous les crochets d1ordre supgrieur=

Ct sont=

4gaux A Nt

pour n>2, et la formule (41.1) prend la forme

(42.4) pn =

1 [Pn_1(N-A)_Pn-2N,pn-3N... + (_,)n+jp j]n

=

I Epn-1 x - 1>n-2(X+A), ln-3(X+A)+..+(-I)n+lj?O(X+A)]R

Il existe des polyn6mes de degr4 n ( appel4s polyn6mqs'de*CHARLIER par

KAILATH-SEGALL )I Cn(x,y), satisfaisant a la relation de r6currence

C = E1[ xC ...+(_,)n,n n n-I_(x4y)('n-2_Cn-3+Cn-4 03 1 C0=1

et on voit que dans ce cas P = C (X At). Par exemple,t n t C2(xly)1 2_ 2_ 1 (j2 1 27(x x-y) ,

et P;- 7 t-xt-At)= (x -Ex,x1t) comme d1habitude.t

c) Relations dlorthogonalit6. Supposons que X'soit une martingale tel-

le que <X,X>t=t, ntille en 0, et que Xt admette des moments de tous lea

ordres pour tout t<oo . Nous verrons au chapitre V quIalors [X,X]t admet

aussi des moments de tous lea ordres. Il est alors facile de d6montrer

le mgme rdsultat pour tous lea Cn I et pour tous lea Pn gr9Lce 9.

La relation -Pn=Pn-'-X no-as donne alors

E[P F ] = E[It 1PJ_1d<X,)b-a /tE[P'-'PJ-l]dst t

0PI_ a 0 a a

dIoA llon d6duit aussit8t que E[P PJI 0 si i j , E[(LIt)2]= ti/ijt tNous reviendrons dans l1appendice sur lea martingales telles que <X, X>t=t .

Correction A la p.53. Le raisonnement est trop rapide : pour montrer

qu'une martingale locale M appartenant 9, _Eonyo est sans partie con-

tinue, on regarde T qui la r4duit fortement, et tel aussi que la varia-

ti.on de XT soit int6grable (12.c)). On 6crit MT=U+V (UeM., V a variation

int4grable ) et alors uem nW est sans partie continue d'apr6s 11.15, et=0 =

M elle mgme est sans partie continue d'apr9s 9.

Compl4ment A la p.53. Il faut noter que llin4galit4 de KMTA-WATANABE

slapplique au crochet de semimartingales [X,Y]. La d4monstration de

11.21 exige seulement que le crochet soit une fonction bilin4aire et

positive.

B3 250

,APPENDICE AU CHAPITRE IV

NOTIONS SUR LES INTEGRALES MIULTIPLES

Les physiciens emploient de temps en temps, de mani6re plus ou moins

formelle , des int6grales multiples du type

ff(tjP..Ptn)dXtl,,,dXtnoa f d4pend parfois de w, et X est un processus plus ou moins concret.

De telles"int6gralesv lorsquef est une fonction certaine et X est le

monvement brownien, sont presque aussi anciennes que les int4grales sto-

chastiques "simples", puisquIelles remontent A. WIENER. La th4orie.g4n4-

rale n1en est pas faite. Elle est li4e a celle des processus A. temps

n-dimensionnel, qui commence tout juste A se pr6ciser un peu, avec les

travaux de CAIROLI et WALSH, WONG et ZAKAI ... Je voudrais ici donner

quelques principes pour la construction des int4grales multiples.

Tout d1abord, il 6st clair quIon ne restreint pas la g4n6ralit6 en

consid6rant uniquement des int4grales prises sur le domaine 0<tilo _t 21...

O<t . Dans la suite, les t seront toujours suppos6s positifs.= n i

La premiAre id6e, pour d6finir 11int6grale multiple, consiste a la

considgr.er comme une int4grale it4r6e. Seulement, mgme lorsque f au

d4part est une fonction certaine, la premi re int4gration partielle

suffit a faire apparaltre une fonction de tj, ... vtn-11 et w. Comme on

ne sait int4grer par rapport A dX que des fonctions al4atoires ]MeLvi-

sibles, il se pose un probl6me d'adaptation. Celui-ci ( clest llid4e

d'ITO dans sa d6finition des int4grales stochastiques multiples brow-

niennes ) est facile r4soudre si llon se borne A int4grer sur l1en-

semble O<t <t <t et sur les ensembles qui slen d4duisent par per-= 1 2- n

mutation des ti . Mais on laisse ainsi 6chapper des ensembles 11 diago-

naux" de dimension <n .Faut il n4gliger ces ensembles "d4g4n4r4s" ?

Nous allons voir que la formule (41.1) donne des indications int4res-

santes sur cette question.

L'appendice est divis4 en trois parties. D'abord, nous interpr4tons

la formule (41.1) en tormes d1int6grales multiples. Puis, nous en d4dui-

sons quelques principes de d4finition dlint4grales multiples tr6s g4n4-

rales, mais sans aller loin dans la th4orie. Enfin, nous poussons un

peu. plus loin la th4orie de llint4grale multiple 4tendue a l1ensemble

O<tl ...<tn, lorsque X est une martingale telle que <X,X>t=t ( int4gra-

les multiples d'ITO ).Cet appendice est certainement destin4 a se d4moder tr6s rapidement.

Du moins, je lle'sp re 1.

251 B3

INTERPRETATION DE LA RELATION (41.1)

43 Nous,supposons ici que la semimartingale X de la formule (41.1) est

un processus i variation finie ( en fait, tout ce qui suit se ram6ne aix

cas o-a X est une fonction certaine, i variation born6e ). Nous nous

6viterons aixssi de regarder ce qui se passe en O'en supposant que XO=O.Nous pouvons gerire

22 tfU2

t 2(43.1) P1 = ftdX =f dX d10, .. . - f dxu ***f dXu1t U t XU t

00 0 u2 0 n 0

Ces int6grales it6r6es peuvent slinterpr6ter comme des int4gralesmultiples. Ecrivons (41.1) pour n---2

(43.2) 2p2 _Pici - C2

t t t t

Regardons le premier terme du c8t6 droit : PI=C,1=X done clest 11in-

t6grale de la mesure dX, dXu sur llensemble 10<-uul 2

1:- - t . O<u2:-5t 1'. que

nous coupons en trois morceaux en sous-entendant la positivit4. des

ui )IuJ<uZ, -t u2--U 1;9t ' 12-u 1-:5t

Les int4grales our lea deux premiers morceaux se calculent comme int4-

grales it4rdes, et valent toutes deux 2P2, cleat A dire le c8t4 gauchet

de (43.2). La troisigme int6grale est done " en trop" , il faut la re-

2trancher. D'apr6s le th6orAme de Fubini, elle vaut-E Ax

, qui estS<t a2

bien 6gale A Ct.Passons au cas oa n=3. La formule sl6crit

3P3 = P2x - Pici + C3't t t t t t

consid4rons le premier terme du c8t4 dro"it : il ccrrespond a une int4-

gration par rapport A la mesure dXu dXu dXu sur le domaine ju1<U2 5t'u ( positivit4 toujours sous-eLenLeJ33 -5t 9 domaine qui se coupe en 5

ju3<U1<U21 1 'u,<u3<U211 lul <U2-:: u31lu3=u1-:Iu21 1 lul <U2=u31

les trois int4grales de la premi re ligne sont 4gales , et se calculent'5

comme des int4grales it4r6es : leur somme vaut 3Pt . clest a dire le

c8t4 gauche. Les deux autres sont "en trop".Le second terme du c6t4 droit correspond a une int4gration sur

juj: -t , u =u - t 1, domaine qui se coupe en trois2 5

jul<u2=U31 1 lu2=u3<U 11 1 IUJ=U2=u31Les deux premi res int4grales , affect6es du coefficient -1, se t6lesco-

3pent avec les deux int4grales I.en trop" pr4c4dentes. Quant A Ct

B3 252

3E AX clest justement Vayrrb'a lr theorcime de Pubini l1int6grale des<t s

dXuldXU2dXu3 sur la diagonale lu,=1.72=U31 ,d1oa la disparition de la

derni6re int4grale.

Ainsi, lorsque X est un processus A variation finie, la formule

de KAILAT4-SEGALL (41.1) peut se d6montrer par des arguments combina-

toires, a partir de la th4orie de llint4grale multiple. Nous allons

maintenant proc6der en sens inverse : la validit4 de la formule (41.1)donne des indications sur la mani6re, de d6finir 11int6grale multiple

par rapport A une, semimartingale, de telle sorte que les arguments com-

binatoires mentionn6s ci-dessus slappliquent.

PROBLEMES LIES A LA DEFINITION DE LIINTEGRAIE MULTIPLE

44 La premiAre remarque que llon peut faire est celle ci : dans le

cas de l1int6grale multiple ordinaire, nous savons ce quIest une mesure

surn

. Ici, l1analogue, serait une th6orie, de, llint4grale multipler du type ff(ulp ... Pun)dXuj 1-1un,

- 6tendue, comme on l1a dit au d4but,

A l1ensemble, O<ujq ... .0; -u - par rapport A une 11 semimartingale a tempsn

n-dimensionnel" . Mais pour 11instant on n1a qu'une idge impr6cise de

ce que doivent tre de tels processus, et on se bornera 9. consid4rer

des int6grales multiples par rapport a des "mesures produit"

(44.1) ff(uj,...,un)dX1j ... ax n

oa les Xi sont des semimartingales r4elles, et f une fonction bor4lien-

ne sur En - donc une fonction certaine, . On peut 4videmment supposer

les X' nulles en 0.

Nous commencerons par illustrer les difficult4s dans le cas de 11

int4grale double. On peut alors partager llint4grale en trois

I f(u,,u )dX1 dX2 + I f(ul,u )dX1 dX2 + f f(ul,u )dX' dX2ul<u2

2 .ul u2 u2<ul2 ul u2 lu2=ull 2 U 1 u2

Les deux premiers morceaux ne diffArent que par 116change de u, et u2,Nous 6tudierons plus loin dans l1appendice des int4grales de ce type

- par rapport A des martingales particuli res - et nous nous bornerons

ici au principe de d4finition. L'id6e naturelle, consiste A les consi-

d4rer comme des int4grales it6r6es. Le premier morceau par exemple s'

6crira-

00 2 2-f(u u1

(44.2) dX P1 2 dY,

0 2 0

a prendre au sens suivant : pour u2 f'", on peut d4finir un processus

F tf(ulu )dX1 (W)+(u2,tlo) = fo 2 u1

253 B3

qui est - sous r6serve de conditions dtint4grabilitg convenables sur

f - une semimartingalev pourvue de limites A gauche

It-f(n,qu )djCl (w) = F, not6es F_(u t,w)

o2 u

1+(u2,t-'w) 21

Seu-1ement, F+ ntest pa's vraiment un processust mais une classe de pro-

cessus indistinguables, pour chaque u2*

Le probl6me consiste A choisir

pour chaque U2 une version de ce processus, de telle sorte que

(v,(t,w)) --F_(v,t,w)soit mesurable par rapport A la tribu produit B(f )xV ( la tribu pr4vi-sible Alord le rocessus

F(-v,w) f f(ul,v)dX' (w) F_(v,v,w)0 u1

sera pr6visible, et Pon pourra - sous des conditions dlint4grabilit6 c

pr4ciser - d4finir

f00 d2 fU2-f(u ,u )dX1 f00 F(v,.)dX20

X 20

2 u1 0 v

a condition toutefois de savoir montrer que cette int6grale stochastiquene d6pend pas du choix accompli pr6c4demment. Il reste donc beaucoup de

points techniques obscurs! Cependant, 116tude du choix de bonnes versions

a 4t6 commenc4e par Catherine DOLEANS dans [20].

Maintenant, le dernier morceau : si llon veut que la formule (41.1)puisse slinterpr6ter comme un r6sultat sur les int4grales multiples, il

faut poser

(44.3) f f(ul,u )dX1 dX2

= foof(v,v)d[Xl,X2]lul =u21 2 uIu2 0 v

Sauf erreur de ma part, WIENER et ITO ont n6glig6 ce terme dans leur

d4finition de llint4grale stochastique double par rapport au mouvement

brownien. (NB : M. ZAKAI m I a dit que la m4thode de WIENER en tient ccmpte ).

.Passons aux int4grales d1ordre supe rieur. Une int6grale triple

ff(u,,u u )dX 1 dX2 dX32' 3 u1u2

u3

se d4compose en

- six int4grales du type f , a interpr4ter comme des int6gra-les it6r6es. lu1<u2<u31- trois int4grales du type f ,

a interpr4ter comme int6gralesju 1=u2<u3l

1. Cependant, si f(u,,u2) est une somme de produits a(ul)b (u2)1 il nly

a aucune difficult6 de mesurabilit6, et llon peut souvent proc6der par

compl4tion 9. partir de ce cas. Clest ainsi quIon fera plus loin.

B3 254

it4r4es / dX3 fu3-f(v,v,u d[X1 X2 I .

u3 0 3 v

- trois int4grales d'a type interpr4ter comme

2, 3]v-

f d[X Xv

f f(u,,v,v)d1 jj0

- une int4grale interpr4ter comme E f(v,v,v)AXlAX26 3

ful =u2=u3' v v 'V X

Pour n>3, on voit apparaitre des d4g6n6rescences plus compliqu4es,que la formule (41.1) ne semble pas 4clairer, par exemple, pour n=4

f .Il me semble clair que 11int6grale correspondante est

1u1=u2<u3=u4'

.jv<W1f(v,vpwlw)d[Xl X2 ]vdLX3,X4]w 9 la r6gle g4n4rale dtant la suivan-

te : une d4g4n6rescence simple jui=uiI fait apparaitre le crochet d1or-

dre 2 [X ,Xj], qui comporte en plus de EV AXAXJ la contribution

<X'c,Xjc> des martingales continues. Une d4g4n4rescence d1ordre plus4lev6 ju =u =uyl fait apparaitre E AX'AXJ

...AX-t sans contribution

i J'** , v v v vpdes martingales continues.

On n1a jamais 6prouv4 le besoin, jusqu'a maintenant, de consid4rer

des int4gr6les multiples aussi g4n4rales, et il nlebt pas utile de

pousser plus loin ces remarques. Il vaut sans doute mieux 4tudier plus

en'd4tail un cas particulier, qui comprend les int6grales multiples

par rapport au mouvement brownien. On va restreindre A la fois les

processus par rapport auxquels on int6gre, et l1ensemble dlint4gration,

mais en revanche on va int4grer des fonctions f(ul,...,un w) al4atoires,

et non plus certaines. La classe de fonctions al4atoires quIon va sa-

voir int4grer semble int6ressante du point de vue de la thdorie g4n4-

rale des processus.

I.S. MULTIPLES PAR RAPPORT A CERTAINES MARTINGALES

45 NOTATIONS. Cn d6sioe le c8ne 10<u1<u2***<un1 jans Rn ; Cn(t) -tt Cn(t-)sont les ensembles Cnn lun tl I Cnnlun t' respectivement. 11n est la res-

triction A C. de la mesure de Lebespue sur En.

(Mt) est une martingale nulle en 0, localement de carr6 int4grable,

telle q <N,M>t = t

11 semble que la th6orie sl4tende sans peine au cas ou M, M>t=F(t)fonction certaine ) ou bien o-ad<M,M> ebt une mesure al4atoire major4e

par dt. Mais nous ne cherchons pas la g4n4ralit4.Pour 6viter une accumulation de difficult6s, nous allons int4grer

d1abord des fonctions certaines sur C Nous d6signons par H len

255 B3

sous-espace de L2(Cn ' Ln) consitu4 par les combinaisons lin4aires finies

d1indicatrices de rectangles contenus,dans Cn1 semi-ouverts du type(46.1) ci-dessous ; Ll est 6videmment dense dans L

46 Soit A un rectangle contenu dans Cn,

de la forme

(46.1) A--1a1,b11x1a2b23**.xlan,b (a -b bn] 1--5 102-*- - 2*;0n;Pn

u2

Il y a 6videmment une seule mani6re raisonnable

C* de d6finir 11int6grale multiple SA7fdM ...dMA '1 un

clest de poserbI u

(46.2) 3 -MA (Mb 1a1)(Mb2-Ma2 (Mbn Man

L'application A--),.SAse prolonge 6videmment, par lin6arit6,'en une

application fo oSf sur H.SoitX =]iZ1,F11x..x1Kn,Vn1 un second rectan-

gle du mgme type. Nous allons prouver le r6sultat suivant, en soulignant

Won ne postule pas l1existence de moments d1ordre >2

LEMME. On a

FA

2... -M I'Ln(46.3) LS2] = EL(1v1b -Ma (Mb a-

I

n n A2

de sorte 9 SA appartient A L, et alors

(46.4) ELSAS-A] = A'F7A JJn *

DEMONSTRATION. Pour 6tablir la premi6re formule, on 4crit

E[Jk1A (Mb -Ma 2J...Jkn-1A(Mb -Ma2"b -Ma )

2

1 n-1 n-1 n n

=(bl,-an)E[Jk1A( )21 ... Jkn-1A( )2 11

apr s quoi on fait tendre kn-1 vers + cD, et on recommence jusqu'A2

obtenir E[SA] = (bn-an)...(b1-a,), clest dire (46.3). Pour 6tablir

(46. 4), on coupe les rectangles en petits morceaux pour se ramener

la situation suivante : pour tout i,les intervalles ]aibil,et 1- itTil

sont, ou bien 4gaux, ou bien disjoints. Slils sont 4gaux pour tout it

la formule se r6duit a (46.3). Sinon, soit j le plus grand des i tels

qulils soient disjoints, et supposons pour fixer les id6es que ai5bj:5La fonction 3 est alors le produit des

aj --- J.Soit te[bjl i ASA

deux fonctions f et g suivantes

f = T7 (Mb -M W - -M- (Mb 41ak<j k ak

) (^-bk ak

B3 256

g -- (Mb -Ma T7 (Mb -M ) 2

i i k>j k ak-

Nous v4rifions d'abord, par troncation dowme plus haut, que E[IgI]

T-7 (bk-ak)*EEINU -M-g 11 < +oo, ce qni entraine l1existence de E[gIFtk>j i i

puis que E[glEt]=E[glF- Ift] = T-T(b -M- IF- I t] = 0. Nous=ai

-

k>jk-ak)EN

iai =ai

en d6duisons alors, comme f est finie et F -mesurable, que EEgfI=t I If k9n ml] = 0

. Lorsque m-)>+oo, on peut appliquer le th6o-=E[E[gI?t1.fIIIf1.r6me de Lebesgue Evee domination par PAS-Al int6grable, et il vient que

ECSAS-A3=0, clest A dire (46.4) puisque A et I sont disjoints.

47 Ce qui vient 06tre prouv6 revient A dire que l1application f; o 3f

est une isom6trie de H c L2 ) dans L2(0). Comme H est dense, nous

=2

(Cnl)lnpouvons d6finir pour feL (Cnvjin) 11int6grale stochastique multiple

(47-1) Sf= I f(uJ'...,u,)d%J ...dMuC n

n

Ii y a plus : posons

(47.2) Mf = f f(ul,...,un)dM1...dMt

C M u un,n

(Cn(t)=Cnnfun -tj a 6t6 d6fini au n045 ). Un passage A la limite facile

a partir du cas de H montre que, si f est nulle sur C (t), E[SfIF ]=O.n

On en d4duit que

E[Sf-MtfIE I E[f f IEt 0=t Cn\0n(t)

de sorte que kf est une martingale de carr6 int6grable. Nous prouvons ,

maintenant un r4sultat classique, d-a a WIENER dans le cas du mouvement

brownien

48 THEOREME. Soient feL2(Cn), geL2(Cm), m n . Alors Sf et 39

sont orthogo

nales .

( Les martingales DIf et Mg sont faiblement orthogonales

DE'MONMIATION. Il suffit de montrer que si A est un rectangle -F-Flai,bi],i<nun rectangle T7T5i,Fi1, alors EESAS-A1=0. En coupant les

i<M

rectangles en petits bouts, on peut supposer que les intervalles ]ai9b ilet laj, Fi] sont, ou 4gaux, ou disjoints . Le produit SA'X sl4crit alors

sous la forme T-T (Md. -1"lc1)'i ,

o-a les cipdi sont tels que cl'-' -dl -5c2<d oA les exposan+s a sont 4gaux 3L I ou 2 suivant que le= 2*** 1 ifacteur figure dans S

A ou S7: seulementp ou dans les deux. Comme m n,

257 B3

11unau moins des ai

est 6gal A 1, et on voit alors comme dans la d4-

monstration de 46 que E[SAS`A-1--O -

PROCESSUS PREVISIBLES SUR 0n

Nous vondrions maintenant arriver A calculer les int6grales multiplescomme des int6grales it4r4es. Pour cela, il faut savoir int6grer des

fonctions f(ul, ... Pun1w) , pr4visibles en -an sens convenable.

48 DEFINITION, La tribu pr6visible Pn

sur 0nxQ est engendr6e par les en-

sembles ( dits pr4visibles 414mentaires ) de la forme AxB, o x A est

un rectangle lal,b 1]x ...x]%,bn] (al'5bl-5a2- n-5bn) contenu dans Cny

et di B appartient A Fa

Il nly a ici, contralrement a la d4finition usuelle a une dimension,aucune sp4cification concernant 0 : en effet, les coordonn4es des pointsde 0

nsont strictement positives (C,=]O,oo[ ).

Comme d1habitude, une fonction f(tl,...,tn w) est dite pr4visible si

elle est P -mesurable. Nous d4signerons par HI llespace des combinaisonsn

-lin4aires d1indicatrices dlensembles pr4visibles 414mentaires. Il est

,ffi-ble .,.o j&p1 de erifier que les r6unions finies dlensembles pr6visibles 614-

",mentaires disjoints forment une alg bre de Boole qui engendre V : HI q 2 n

-rAest donc dense dans L (V oa est la mesure jinOP0 n Jln TnIP Reprenons les notations de 116nonc4, et posons f=IAxB Pu's

(48.1) S = I M -Mf B*(Mb 1- a1),**(Mbn an

L'application ft---> S se prolonge A HI par lin6arit6, et on v4rifief

2 -

exactement comme au n046 que clest alors une isom4trie de HICL (P2

= - n I 11n)dans L (Q), que llon peut alors prolonger. En langage clair, si f est

une fonction pr4visible de carr6 int4grable par rapport T11n(48.2) E[S2]=E[(ff(tl,..,t w)dMt ..dM ) 2f

2n 1 tn

E[f f (t1p..?tn w)dt, ... dtn0n

et de plus si f est nulle sur CnM> -)

(48.3) E[JfdMt ... dMt IFt 0

1 n=

d1oA la possibilit6 de d4finir les martingales tcomme pour les fonc-

tions certaines. Nous d4signerons respectivement par

(48.4) 1 dM ...dM et f fdM...

dMCn(t)f ti tn C (t-) ti tnla version continue A droite de f,net le processus de ses limites

gauche. Le th6or6me 48 ( orthogonalit4 des int4grales stochastiquesd1ordres diff4rents ) sl4tend sans modification.

B3 258

Nous allons maintenant illustrer sur un exemple le calc-Ul d1int6gra-les multiples comme int4grales it4r4es. Llexemple n14tant pleinement

significatif qu19. partir de la dimension 4, les notations seront un

peu lourdes. 02 d4signera l1ensemble 1(t,,t 2) : O<tl<t2l'a2 l1ensem-

ble 1(tY t4 ) :" O<t 3<t-4 I .Il faut remarquer que 11ordre, des int4grations

joue ici un r8le : nous int4grons d'abord par rapport A (tlvt2) ( les

plus petites variables ) , (t3' t4) 4tant fix6es. Est ce quIon pourraitdonner un sens a llint4grale de mani6re A fixer (t21t4 ) et int6grer en

(tift3),, par exemple ? J'avoue ne pas avoir regard6.

49 THEOREME. Soit f(tl,t 21t3' t4' w) une fonction j2r6visible sur C4)(0 , telle

que

E[f f2(ujPu21u3'u4'* )du1du2du3du41 < oo .

a) Pour tout (t3' t4 la fonction f(.,.,t3' t41* ) est pr6visible sur

C2xn. Llensemble N des (t3't4 ) tels que

EE I f2(ul fu21t3't4" )du1 du2 < 00

est bor4lien dans U2 , et dgjigeable pour la mesure dt3dt4b) Il existe des fonctions g(t 3' t41 W) , -f(t3't4' w), respectivement

mesurable sur 'd2)(C) pr4visible sur U2xD, telles que pou presgue to-tit

(t 3't4) N on ait

(49.1) g(t3't41w) f f(ul9u2lt3' t4' w)dMu (w)dMU (W) P.S.

C2 1 2

(49.2) Y(t3't41 .)=E g(t3't49*)IF-t f f(uJqu2Vt3't49' )dMudMu3- C 1 22(t3-) P.S.c) On a alors E[j Y(t3't4'* )dt3dt41 < OD, et

02(49.3) f fdMU dM dM dMu TdM

u dMuC4 , u2 u3 4 02 3 4

DEMONSTRATION. La premiAre assertion de a) se d4montre par classes

monotones A partir des fonctions pr4visibles 414mentaires, et la secon-

de r4sulte aussit6t d-u. thgor6me de Fubini.

Pour 4tablir b), traitons le cas o-a f est une fonction pr4visible414mentaire : f s14crit IA(tllt2)','X(t3' t4)1B(to) ,

oil A=Ial,bllxla2b211T = ]a b 1x1a b I , avec a,5b., Sa2** .:! -b et BeF . Nous avons alors3' 3 4' 4 - - 4 =a,,

f fdMU dMUdMu dM IB(Mb -Ma )-(Mb -M

aC4 1 2 3 u4 1 1 4 4

g(t3' t4'w) =[.(Mbi -Ma,)(Mb2-Ma2 ),B'Il(t3't4)Notons U le crochet : nous-avons E[UlEt]=U pour t>a donc E[Ul -]=U

= 3version continue A gauche de la martingale ) pour t>a

3 'donc

259 B3

T(t3't4'w)= EEU'Et-]II(t3't4)1t=t3

= UIj(t3'Y =9(t3't4' W)

car I-X(t31t4W => t3>a3 .Comme U est F -mesurable, cette fonction

=a3est pr6visible 616mentaire sur -j2. Enfin, on v6rifie aussit5t que

f TdMu3dMu4 U(Mb3-Ma3)(Mb4-Ma4)"U2et cela est dgal 11intdgrale quadruple calcul6e plus haut. Le cas

614mentaire est donc v6rifi6d

Soit ensuite f pr4visible ; supposons qulil existe des.f. pr4visi-

bles, des gnt?. associ6s aux fn et satisfaisant a (49.1), (49.2) et

(49.3)p et que fn converge vers f dans L2 (Pnt n)- Quitte A extraire

une sous-suite, nous pouvons supposer que

(49.4) Eh ('[f (fn-fn+l) 2duldu2du3du4 ]) 1/2 < +cO

C4Posons alors

g(t3't4lw) = "mn gn(t3't4'0) si cette limite existe, 0 sinon,

T(t3't4'0) = "mn 'fn(t3't4'w)et montrons que ces fonctions satisfont A (49.1), (49.2) et (49.3).Il est clair d'abord quIelles posskent les propri4t4s de mesurabilit4

requises. Ensuite, soit NI la r4union de N et de l1ensemble des (t3lt4)tels que En (E[f (fn(ul 9tL21 t3't4' *)-f +l(ul,u2lt3't4',))2du1du2 ]) 2= OD

C2N' est n4gligeable d'apr6s (49.4) et le th6or6me de Fubini, et pour

(t3't4 ) N' on a

En IIgn(t3't4'*)-gn+1(t3't4'*)I'L2 (C ) < + OD

et le mgme r6sultat avec Yn au lieu de gn pour presque tout (t3't4)tcar on a pour presque tout (t31Y

T (t3'tV*) "": EEgn(t3't4'* )JEt3-

1 pour tout n

et llesp6rance conditionnelle diminue la norme L2. Alors, pour presque

tout (t3't4)' gn(t3't4' .) et 'fn(t3t4l*) convergent vers g(t31t4I .) et2

T(t3t4'* ) respectivement, P. s. et dans L,et (49.1), (49.2) et

(49.3) passent alors a la limite sans aucune peine. -

Par un argument de convergence a partir des fonctions 'pr4visibleS

414mentaires, on 4tablit alors ais4ment qulil existe pour toute f pr6-

visible, des fonctions g,Y satisfaisant A 49.1,2,3.Mais en fait 116nonc6, sous une forme un peu cach6e, dit un peu plus

que cela : il dit ( c) : on a alors,) que (49.3) est satisfaite d6s que

(49.1) et (49.2) le sont pour presque tout (t3't4 ). A cet effet, consi-

B3 260

d4rons un second couple (gljl) satisfaisant a (49.1) et (49.2). On a

alors pour presque to-at (t t ) ) p.s., done3' 4 :y *) W(t3vt4"

F(t t t ) P.s.. C a a alors F,1-1(7--Yt)2du du 1=0 , done3' 4'* )=Yl(t3' 4" L3 4

EE(f('?-ZI)dMU

dMU

)2 1=0, et finalement la relation (49.3) 4tablie pourC2 3 4

est dgalement vraie pour 71.

REMARQUE. D'habitude, on construit la fonction pr4visible Y de la

mani6re suivante : on construit d'abord une version g(t3' t4' w) de

JfdMu dMU , mesurable en (t3't4' w). Puis une version cklag de la

martilgal g(t,t3' t4'*)---E[g(t3't4")1431 mesurable en (t,t 3't4' W) .

Puis le processus g-(t,t31 t4*) = g(t-,t3' t41*)' et enfin on prendT(t3't4,w) = g-(t3' t3' t4' w). Nous n1insisterons pas 1& dessus.

EXEMPLE. Il rdsulte aussit6t de la formule de r6currence (40.1) queles "puissances symboliques" Pn sont des int6grales multiples

(50.1) P - I dMul ... dMt on(t) un

Dans le cas oi (Mt) est le mouvement brownien, on peut montrer ( clest

un r6sultat ancien, d-Ci a WIENER ) que les espaces orthogonaux dlintg-

grales stochastiques de fonctions certaines

H = f f f(ul, ....u )dM1... dM , feL

2(C=n

0n n u un n I 11n)

engendrent tout L2(D). Une d4monstration1de ce fait un peu sommaire)figure dans le s4minaire V, p.280-281 : elle repose sur la formule

pn(50.1), et la formule (42.3) suivant laquelle =tn/2H (Mt/A,/t-), det nsorte quIon sait exprimer tout polyn6me en Mt comme combinaison lin4-

aire d1int6grales stochastiques multiples. Nous renvoyons le lecteur

au s6minaire V (IN volume 191 ) pour plus de d6tails.

1. La d6finition des i.s. dans cet expos6 nlest pas correcte (p.279,ligne 7 du bas, le processus consid6rg nlest pas continu ).CORRECTION A LA PAGE 83. Le cogipl6mentaire d1un ensemble pr4visible614mentaire nlest pas une r6union finie dlensembles pr4visibles 616men-taires disjoints, mais une r6union d4nombrable de tels ensembles, et les

cons6quences sont les m mes.

261 B3

Universit4 de Strasbourg

36minaire de Probabilit4a 1974/75

UN COURS SUR LES INTEGRALES STOCHASTIQUES

( P.A. Meyer )CH.APITRE V

.LES ESPACES H1 ET BMO

Nous revenons ici A la th6orie de 11int6grale stochastique par

rapport aux martingales locales, abord4e au chapit: e IV, mais avec un

esprit tr s diff4rent. Nous n1avions d4fini alors que llint4grale sto-

chastiqne de processus pr4visibles localement born4s ( mais, en revan-

che, nous int4grions par rapport a une semimartingale quelconque ). Ici,

nous allons consid4rer une martingale locale M, et dire exactement pour

quels processus pr4visibles H - non localement born6s - on peut d4finir

de mani re raisonnable llint4grale stochastique H-M. Nous allons aussi

d6finir un espace de martingales unif6rm4ment int4grables qui contient

la fois llespace M des martingales de carr6 int4grable, llespace W des

martingales a variation int4grable, et qui est admirablement adapt4 A

la th6orie de llint4grale stochastique des processus pr4visibles, et1

mgme optionnels. Cet espace est llespace , son dual est llespace BMO

( les lettres signifient "bounded mean oscillation', mais cette termino-

logie est emprunt6e A l1analyse, et ne sugg6re rien en th6orie des mar-

tingales, aussi parle t1on des espaces 11 achun" et " b4h6meaul sans sl

arr&ter au sens des initiales ). Llin6galit6 qui permet de les mettre

en dualit4 est une forme de llin4galit4 de KUNITA-WATANABE (11.21), mais

plus profonde que celle-ci, que llon appelle llin4galit6 de FEFFERMAN.

On peut mgme dire que c I est la plus inipcrtante de tcate lath6orie , si 11 on

consid6re son caract re 414mentaire, et le fait que GARSIA a su en d6-

duire les in6galit6s difficiles de BURKHOLDERt DAVIS, GUNDY, etc.

De 11histoire de cette th4orie, je ne dirai que ce que Je sais :

1H et BMO ont 4t6 invent4s pour les besoins de l1analyse : le H de H

signifie sans doute HARDY,le cas de la dimension I a 6t.4 kudi4 par

HARDY, LITTLEWOOD..., le cas g4n4ral surtout par STEIN ; BMO semble

avoir k4 introduit par JOHN et NIREMBERG ( en dimension I ), la dualit4

entre H1 et BMO d6couverte par FEFFERMAN, 114tude approfondie de la

dualit4 A plusieurs dimensions kant due A FEFFERMAN et STEIN. Quani A

l1analogie avec les martingales, elle slest d4velopp4e au long d1une

s6rie d1articles, souvent non publi4s, circulant entre BURKHOLDER, GAR-

SIA, GUNDY, HERZ, STEIN... dont je ne connais qulune petite partie.

1(*) En analyse, Li ,

BMO sont des espaces de fonctions mesurables sur

wn, ou sur la sph6re.

B3 262

I. L'INEGALITE DE FEFFERMAN

LIESPACE BMO

Soit M une martingale de carr4 int4grable. Nous rappelons la.formule

11.(19.2), qui donne le potentiel gauche du processus croissant EM,M].Pour tout temps d'arr6t T

(1.1) E[[M,,M]C0Jf ]-[M,M],,_ = EEM2 IE I-M2+AM2 = EE(M -M2 IE IT - oD _T T T 0) T-) _T

DEFINITION. Soit X une martingale locale. On dit que M appartient a BMO

si M est de carr6 int6grable, et slil existe une constante c telle que

llon ait, Pour tout temT)s d'arr6t T

(1.2) E[(M -M )2 ,7

00 T- I ET c R-*sLa plus petite constante Poss4dant cette proprik4 est appel4e la norme

BMO de M,et not4e 11M11BMO *Slil n1existe pas de telle constante, on si

M nlest pas de carr6 .on convient que 1016MO = +0.-

2 REMARQUES. a) c2majore E[ 2 JEOI ( rappelons la convention M =O), donc%,

- 0-

1IM112 -5 11m 16mo -En particulier 11M11BMO=O => M=O*

La possibilit6 de remplacer T par T AeF (N7, p.8) montre queA =T

(1.2) 4quivaut2 2

(2.1) BE(M -M c PJT<ooJ pour tout temps dkarr6t T00 T-)

doncE[ (14QQ-MT-)2(2.2) 11M 11BMO = 8 PT

-=P f T<oo

ce qui montre que 1111BMO est une semi-norme, puisque clest un sup de

semi-normes quadratiqiies. Nous verrons plus tard que BMO est complet.Noter llinterpr4tation de (2.1) : sur n'=JT<ooJ consid6rons les

tribus induites F1, la loi induite renormalis4e PI 1 t)PIC), , et la

A _R(_0martingale Mt'=XT+t_MT-1c)t .

Alors (2.1) signifie que la norme de MI

dans L2 est born6e par c, quel que soit le temps d1arr&t T. Etant donn6e

la fr6quence de tellea op6rations de translation en th4orie des martin-

gales, on voit le caract6re parfaitement naturel de la norme BMO,

b) Compte tenu du th6orAme de section (N11, p.9) des ensembles op-

tionnels, on voit que (1.2) exprime en fait que le jEo ssus EEEM,M]2 2 2

_ae .

-[MVM]t-=ELMOD 141_M;+M! , projection optionnelle du processus

(Moo-M

t- ) . est majore par c2 aux ensembles 6vanescents pr s.

c) M appartient, : BMO si et seulement si les sauts de M ( y compris

le saut MO en 0 ) sont uniform6ment born6s , et si le processus

(2.3) EELM,M]OD I'Etl - [M,M]t = E[<X,M>oo JFt] - <M, M>t

E[M2 Et] _

200 Mi

qui est continu L droite, est uniform4ment born6. Par exemple, le

mouvement brownien arr6t4 a N fini appartient A BMO, puisqulil est

263 B3

continu, et que le crochet <,> associ4 est 4gal a NAt.

d)'Si H est une variable aldatoire int4grable, on dit assez souvent

que H appartient A. BMO ( ou, dans le langage oral' I est BMO si la

martingale Ht=E[HIEt] appartient AL BMO, et on d4finit IIH16MO comme la

norme de cette martingale. Cet usage est illustr4 dans 114n-He4 4

EXEMPLES DE MARTINGALES APPARTENANT A BMO

Le premier exemple est 4vident(2)

3 THEOREME. Si (Mt) est une martingale born4e, on a JIM16MO :5 35 IIMo L,DEMONSTRATION. Si c majore M

Coon a

2 2 2 2 2 2E[M M + AM c + (2c) = 5c

CD t t

On en d4duit aussit6t des exemples de martingales qui appartiennent

A BMO sans 6tre born6es soit H un processus pr4visible major6 par 1

en module, et soit N=H-M alors EN,N](, -EN, NIT- -5 EKIMIoD -EMt KIT- et

on a aussi 111'11BMO '-5 avr5*

Le second exemple est particuligrement important . Clest sous cette

,que Von rencontre le plus souvent BMO .forme

4 THEOREME. a) Soit (At) un processus croissant ( adapt4 ) dont le Po-

tentiel gauche est major4 par une constante c. Alors IIAOD

11 BMO :< c ,/3b) Soit (At) un Processus croissant-pr4visible, nul en=--O--, dont le

potentiel (xt) est major4 par une constante c. Alors IIA00IIBMO :,-- 2 cF3.

DEMONSTRATION. Le cas pr4visible se ramene au cas adapt4 : soit (Yt )-Ie

potentiel gauche du processus croissant pr4visible (At) : (Yt) est pro-

jection bien-mesurable de (AOO-At_), (Xt) projection bien-mesurable de

(A. -At), donc Yt=Xt+AAt .Le saut AAT en T pr4visible est 4gal a

-E[LXTlkl (1.17), donc AAT5c ( comme XT et XT-

sont tous deux compris

entre 0 et c, leur diff4rence est au plus c ), et comme (At) est pr4-visible on a identiquement 6At-:5c , donc Yt:! -2c, et b).

Prouvons donc a). Soit Mt

la martingale B[A,,IEt] = Xt+At_. Nous

avons M00-MT- = (AOD-AT-)-XT- pour tout temps d'arr&t T, et aussi

E[(M -M ) 2 IF E[(AOO-AT_) 2 2_-2X E[A -A FTI(3D T- =T3 IET +XT T- oo T-1-E [ (AcD -AT-)

2 2- < E[ ] + c2Ikl + X =

Dfautre part, on a pour toute fonction croissante a(t) ( a(O-)=O)

a(co )2= f [(a(co )-a(s))+(a(oD )-a(s-))1da(s)

[O,C0 [

< 2f (a(oD)-a(s-))da(s) ( cf'. IV.24 ).= EO, OD [

1. On ne dit pas ulune variable al4atoire est"b6h6melle".2. EL(M -M ) IF I < (2c)2, on peut donc prendre 2 au lieu de /5

. T- =T

B3 264

(Aw -AT_ )2 2 f (A -A ) dA[T oD OD s- s

Nous prenons une esp4rance, en remarquant que la projection optionnel-

le du Processus (Aco-A8- ) est (xs), et que la mesure dAs

commute

la projection optionnelle (1.3). Ainsi

EE(A -A ) 2 2B[f X dA I < 2cE[A -A IXTIoo T- [T, co [ s s 00 T-1 = 2cE

2c2P I T<oo I

Remplagant T par TB (N7, p.8) oa B parcourt ET ,il vient que

2E [ (ACC) -AT_) 2c

2,llin4galit4 d4sir4e.

5 REMARQUES. a) Le th4or6me 4 sl4tend aux processus croissants pr6sentant

un saut A 11infini. La m4thode consiste a utiliser une bijection crois-

sante cp de [0,11 sux [O,oo I ,a poser At, = A,(t) pour t- I, AI=Aoo Pour

t>1, a d4finir les F1 de mani re analogue, et a appliquer le th.4.=t

b) En r6alit4 . on a pour le cas pr4visible la m6me constante

sans n4cessit4 de doublement : il suffit de suivre la m6me m4thode que

pour le cas optionnel, en remarquant que la projection pr4visible du

processus (A. -A,_) est alors le processus(Xs-

). Pour plus de d4tails,voir la d4monstration du th. IV.8.

c) En se reportant a la d4monstration du th6orke IV.8, on verra la

propri6t4 suivante : si M est une martingale locale nulle en 0. si T

est un temps d1arr&t qui r6duit fortement M, alor6 MT

peut s'4crire

U+V, oil V est A variation int6grable, et U appartient A BMO .

Le troisi me exemple ( emprunt4 a GARSIA, et qui servira plus loin

dans la d4monstration de llin4galit6 de DAVIS) montre comment on peutconstruire des martingales de BMO au moyen dlint4grales stochastiques.Noter qulil contient le premier exemple (B=1).

6 THEOREME. Soient H une martingale locale, B un processus croissant

( adapt6.; on ne suppose pas BG_=O). Si le processus qHtBtl) est born4

par 1, la martingale locale L=B -H appartient BMO, avec JIL IIBM"</'g

--y-

DEMONSTRATION. Quitte A. arr6ter H a un temps d'arr&t S qui r6duit a la

fois les martingales locales H et M=H2_ [H,HI, nous supposerons q-L Iellessont toutes deux uniform4ment int4grables. AprAs quoi, il restera :

faire tendre S vers 11infini, passage a la limite simple que nous lais-

serons au lecteur.

Nous allons montrer, d1une part que les sauts ALt

sont uniform4ment

born4s, et d'autre part que le potentiel E[[L,L] 00- [L,L]tJEt3 est born4,et nous appliquerons alors la remarque 2 c).

265 B3

Tout d-abord les sauts : nous avons JALtJ = lBt_(fit-Ht_)l S JBt Ht_l+JBt_ Htl . Htl 5 2

..5 lBt_Ht_I+IBt -

2Passons au potentiel. Nous avons EL,L] = B_ .[H,H] ,

done

[L,L] - [L,L] = fooB2_d[H,HIS 100 -[H,H] )dB2 +OD t t

st

00 s s

+ ([ii,H] -[H,H] )B200 t t

Noter que [H,H] est finie, car la martingale H2_LH H] =M est uni-OD t ' t t

form6ment int4grable ; on a aussi' [H,H] -[H,H] = H2 - H2 _(M _M2 2co s 00 s 00 S

done E[[ki,H] = E[h JE pour tout temps d'arr6t T00 _ "" ']T I ET] 00 M_fiT

- ceci nlest pas absolument 6vident, car h nlest pas suppos4e de carr4

int4grable .1 Alors, comme dB2

commute la projection optionnelles

2 CX) 2 2 2 2E[foo [H,H] -[H,H] )dB I:"! H dB I.Et] E[H B Et

(00 s s _t -

tOD s - 00 w - -

E[([H,H].-[H,H] )B21 t] = B2(E EH2 1 Ft ]-H2) E[H2 B' I Et 1 :,-1t t - t OD - t 00 00 - -

Cela ach6ve la d4monstration (22+1+1=6). GARSIA dans le cas discret

indique 5 au lieu de 6, mais j'ai perdu mon exemplaire de son livre et

je ne sais pas comment il fait. De toute fagon, ce nlest pas grave

REMARQUE. On utilise plus so-avent le corollaire suivant : soit U un

processus pr4visible, tel qulil existe un processus croissant (Bt ) tel

que JUJ:! B_ et JHEJ<1 . Alors llint4grale stochastique U-H appartient a

BLO, etc. Voir la remarque suivant l1exemple du n'3.

Nous reviendrons plus loin sur les propri6t4s de BMO - en particu-

lier, nous montrerons que les 614ments de BMO sent born4s, non seule-2

ment dans L,mais dans tous les LP (nOV.27).

LIESPACE Hi

7 DEFINITION. Soit 14 une martingale locale. On pose 101H1 = E [VT-M-,9 ]00

1et on dit que M appartient a HI

si JIM11 Hi < Co.

8 REMARQUES. a) JJMJJ..1 est une seminorme llhomog6n4it4 est 4vidente,1/2 112 1/2

et la sous-additiV :it4 Se ram6ne A [M+NtM+Nl < [M'M1 +[N,N] soit

[N,M] 1 /2 /2encore a [M,N]:!_ EN,N]l ( in4galit4s KW ). La relation 11M11H1=0 entraine que M n1a pas de sauts ( y compris le saut MO en 0 ), elle

est done continue, done localement de carr6 int6grable, et on v4rifie

alors aussit6t que M--O.

Nous verrons plus loin que M appartient Hi si et seulement si

M*= suptJMtJ appartient A L1, et que la1norme=Hl est 4quivalente

10*11L 1 ;'il en r6sultera aussit3t que H est complet.112 z

1E[JM,R] M,M] done MCH, avec uneb) Nous avons

CID(E L I

a)

norme plus forte, De m6me, si M est une martingale locale V1, nous

B3 266

avons EM,Mlco= E AM2< (E JAM 1) 2, done JIMIJ 1 :E.-JIMI ,

et WCH 1avecs S = s s

Hune norMe plus forte.

LfINEGALITE DE FEFFERMAN'9 Sous sa forme usuellev clest le r4sultat suivant : soient M et N

deux martingales locales. bdors

(9.1) E[ f IdEM,N]s11 15 c JIM I H1 JIN 11BMO

10,00 [ -==

oil c*est une constante dont la valeur importe peu (c--,V7 convient). Cette

in4galit4 ressemble aux in4galit4s de KUi ITA-WATANABE du chapitre II,n022, mais elle n1existe que sous forme int4grale, alors que les in4ga-lit4s KW slobtenaient en appliquant llin4galit4 de H6LDER aux in6galit6sdu n021, vraies pour presque toute trajectoire.

Nous allons montrer en fait une in4galit6 plus g4n4rale, dont nous

aurons besoin par la suite. (9.1) correspond au cas o-a U=1

THEOREME. Soient M et N deux martingales locales, U un procesayA_op-tionnel. Alors

(9.2) E[f JU JJd[M,N]sJ] :5 cE[(f U2d[M,MI )112]JINs s 11BMO (c

10,oo E [0,co E S

DEMONSTRATION. Posons C =ftU2d[M,M]s tet introduisons les deux pro-t 0 s

cessus optionnels positifs H et K d4finis par2 2 2

H; = U,

C__U

+'/Ct-

1Ct'l/CtzMNous avons les propri4t4s

- H2d[M,M] = dC dA/C-, ( int4gration par partiest t t/,/-Ct+,,C-t- t2 2 1 2

- HtK -? -fU; presque partout pour la mesure d[M,M]t ,

done aussi

pour la mesure JdLM,N]tJ, absolument continue par rap-

port a d[M,M]t .

Appliquons l1in6galit6 de KUNiTA-WATANABE :

EUIU JJd[M,N] 1]:< E[fH K Jd[M,N] 1] :5 ,/-El 'V72T2 s s - s s s -

oil E E[f H2d[M,M]s E2=E[f K2d[N,N]

s10100 1 S EO,co I s

Calculons d'abord E comme H2d[M,M]s = d,/-Ct , c-est E[,/77 -VC-O_ I ets 00

E E[(f Tj2d[M,M] )1/2 1 par d6finition de C10,00 E s s t

Pour calculer E int4grons par parties : (K2 ) est un processus crois-2 t

sant, done

K2d[N,N]s ([N,N],.-[N,N] )dK2

s 8- s[O,CD L EO,oo E

Int4grons : la mesure dK2

commute avee la projection optionnelle, ets

la projection optionnelle du processus ([N,N],,-[N,N]s- ) est major6e

1. Fremi re extension au cas continix : GETOOR-SHARPE E251.

267 B3

par JINI par d4finition de BM (2,b)). Donc6M02 00 2

2

112 2E *EEf dK JIN E[ r JIN Ainsi2 11N11BM0 s BMO 00 IIBMO*21

=== 0

E11IN et clest tout juste (9.2).VE2 5 E 11BM0

APPLICATION A LA DUALITE ENTRE H! ET BMO

Nous allons d4duire de llin6galit4 de FEFFERMAN trois types de cons4-

quences *

- le 11 th4orgme de FEFFERMAN11 sur la dualit4 entre H1 et BMO ( pour

les martingales, d4montr6 inddpendamment par HERZ, GARSIA, FEFFERMAN-STEIN

- La possibilit4 de d4finir les int4grales stochastiques par rapportaux martingales locales, pour des processus pr4visibles ou optionnels

non localement born4s ( II de ce chapitre ).- Dlapr s GARSIA, les principales in4galit6s de la th6orie des

martingales ( III de ce chapitre ).

10 Nous commengons par la partie facile du th6or6me de dualit4. Si1

M appartient a H,N A BMO

,la variable al4atoire I IdEM,N] I est

E 0' oc, [ s

int6grable, donc p.s. finie, donc d[M,N]s

existe et est int4gra-LO,OD [

1ble. Nous pouvons donc d4finir sur H xBM0 la forme bilin6aire

(10.1) C(MqN) = EE O, OD Ed[M,N]s 'EILM,N] 01)1

Lorsque M est de carr4 int4grable, cela vaut ELM00 N00 1. Lorsque M ap-

partient L H1, M est uniform6ment int6grable ( nous verrons cela plus

loin ), mais on n1a pas n6cessairement EL[M,N]CD ]=ELMODNGD] , le pro-

duit au second membre pouvant nl6tre pas int6grable.

Llin4galit4 de FEFFERMAN affirme que la forme lin6aire C(.,N) est

continue pour la topologie de H Si llon a C(.,N)=O , comme BMOcMcHlT-

- -

on a C(N,N)=O, donc N=O. Ainsi, BMO se plonge dans le dual de H.Et

nous avons la partie plus d4licate :

11 THEOREDU,'. Toute forme lin4aire continue (P sur est de la forme C(.,N),oil N appartient a BMO

.

DEMONSTRATION. Nous supposerons que jjyjj=1 .Comme avec une norme

plus grande, cp induit sur M une forme lin4aire de norme <1, et il exis-

te donc une martingale de carr4 int4grable N telle que

pour MeM 0 y(M) = ELM N00 OD

Nous allons montrer que N appartient BMO . Bornons d1abord les sauts

de N.Soit T un temps d'arr6t, soit pr6visible, soit totalement inac-

cessible, et soit U une variable al4atoire born4e ,F -mesurable, telle=T

que 1 . Soit M la martingale compens6e du processus UIjt>Tj1. Nous supposons T partout > 0

,laissant au lecteur 114tude'en 0.

B3 268

M' est A VI, avec JIM11v :!E - 21JUJIL1 : 2, done (8,b)) 1IM161 -52 . D'autre

part, comme U est born6e, M est do carrd int4grable -(II.9), done

y(M)=E[M00N00 1, et toujours dlapr s 11.9 cela vaut ELbMTANTI . Ainsi

dans le cas totalement inaccessible AMT = U, et

ME [UAN 2 .52.,et en passant au sup sur U IIANTI1 = 1' ( )I

-T11

LODDans le cas pr4visible, &14

T=U-E[Ul k-I mais ANT est orthogonale a

F et on a encore E[AM- AN ]=E[UAN avec la mgme conclusion.=T- I T T T3Nous montrons ensuite que EEEN,N]00- [E,N]TI Tl ; - 1 pour tout temps

d1arr9t T. Posons Z =[N,N]CO- [.N,N IT ; comme d1habitude, il suffit de

montrer que E[Z] :5 PjT<oDj pour tout T, et d'appliquer ce r4sultat auxT TTA (AeF it M la martingale N-N ; comme N est llint4grale=T)* or so

stochastique,I[[O,,T]] *N ,M est llint4grale stochastique D-N, di D

2=I ]]T,ooLL * Done [M,N]=D-LN,N] , tandis que LM,M3=D .[N,N] , et

comme D2=D on a [M,M]oo =[M,Nlw=Z , et JIM111,1 =E[ ,/7]. Or Z est nulle

sur IT=ool, done BE./-ZI:5 (E[Z])1/2(pjT<aD 1)172Nous avons alors d1une partEEM

OD N00 1 = EL[M,N]00

1 = ELZIet d'autre part

/2JEEMOD N00 ]1= I y(M) 1 -:5 IM111,1 = E[W-Z3 :5 ELZI1 (P f T<oc)

d1oa finalement llin4galit4 ELZI :5 PjT<ooj , le r4sultat cherch4. En

mettant tout ensemble, il vient que

(11.2) Ilyll :f- 1 => IN BM0La d4monstration nlest pas tout fait finie : les formes lin4aires

y et C(.,N) coincident sur M, mais co'incident elles sur H1 9 Cela

r4sulte aussit6t du lemme suivant

12 THEOREME. M est dense dans HiDEMONSTRATION. Soit M une martingale locale qui appartient A H et

soit Tnune suite de temps d'arr&t r4duisant fortement M, qui tend

en croissant vers +oD. On v4rifie aussit6t sur la d4finition de H 1que

Tn Iles martingales arr6t4es M convergent vers M dans H. D'autre part,

TM ( omettons Pindice n sl4crit U+V, o7a U appartient A M

, et VPq11

est la compens4e de M I est int4grable, approchons la dans L''Cd T I t>T I ; MT

Vk(1) par des variables al6atoiFes FT-mesurables born4es mk , et notons0

la compens4e de mkIft>TJ ; la martingale Vk appartient a M (V.4*),et-;' converge vers V en norme 11 1 , plus forte que la norme '. En d6fini-- tive, M est bien approch6e dans H1

par des 614ments de M.

13 COROLLAIRE. Les martingales born6es sont denses dans H

En effetv elles sont denses dans M. pour une norme plus forte que

celle de H.

269 B3

14 COROLLAIRE. Toute martin ale locale Mehl est uniform4ment int6grable, et

:-5 ClIM111ji ( on verra bien mieux plus loinon a 11MOD 11 1 -

L

DEMONSTRATION. Supposons d1abord MeM,et soit N une martingale born6e.

Llin6galit6 de FEFF,ERMAN nous donne, compte tenu du fait que E[[M,N] 001=ELM00NOD ] et du n03 ( la constante c varie de place en place

JEEMCDN00 c 11M 11H1 JIN 11BMO * --- c11M11H1 JjNoC) 11Loo

Done 100DII 1 L-- clIM11 - et le compl4t4 de M pour la norme Hl - clest a

IL

- H1 P

dire H lui-m&me - 6st contenu dans le compl4t4 de M pour la norme

M'-' "MOD Ll , c I est 3. dire 11 espace d.es martingales uniform4ment int4-

grables remarquer que la relation Mt=ELMoo jEt] passe bien a la limite

dans cette compl6tion ! ).

II. INTEGRALES STOCHASTIQUES DANS Hl

Ce paragraphe ne se suffit pas enti6rement a lui m6me : nous allons

admettre, en effet, que Hl est complet , ce qui r4sultera plus loin

de llin4galit4 de DAVIS clest a dire, indirectement, de llin4galit4de FEFFERMAN ). Llin4galit4 (9.2) interviendra aussi, directement, dans

la construction de llint4grale stochastique pour les processus option-nels.

15 Posons d1abord le probl6me .Etant donn4s un processus pr6visible

H, une martingale locale M, nous d6sirons d6finir une int4grale stochas-

tique H-M poss4dant des propri4t6s raisonnables. Nous exigerons d1abord

que H-M soit une martingale locale , que (H-M)O =HOMO - ce qui nous

ram6ne au cas o-a MO=O . Ensuite, nous exigeons que

(15.1) [H-k,H-M] = H2.[M,M]et cela impose tout de suite une limitation au processus pr4visible H.

En effet, soit T un temps d1arr&t r4duisant fortement la martingale

locale I-H-M - nulle en 0 puisque M =0. LT

sl4crit U+V, UeM c Hl1 T 1

0 =0 =9

Ve.W C: H done L cH ,et E[j1-,L-TT1 <oo .

Autrement dit=0 =

9

On ne peut se poser raisonnablement le probi6me de la construction

de l1int4grale stochastique H-M,dans la classe des martingales locales,

que pour des processus H tels que le processus croissant (ftH2d[M,MI ) 112

soit localement int6grable.0+ S s

Sous cette condition, on peut *effectivement construire une int4grale

stochastique parfaitement satisfaisante. Nous supposons que M0=0 dans 11

4nonc4 suivant, laissant au lecteur le soin d1aJouter le terme HOMOa 11int4grale stochastique si cette condition nledt pas satisfaite.

B3 270

16 THEOREME. Soit M une martingale locale nulle en 0, et soit H un pro-

essus pr4visible tel que le processus croissant

(16.1) (ftH2dEM,M] ) 1/20 s s

soit localement int4ZEable. Alorst

a) Pour toute martingale locale N, le processus croissant f IHslld[M,N]slest & valeurs finies pour t<oo.

0

b) Il existe une martingale locale L=H-M telle que llon ait, pour toute

martingale locale N

(16.2) [L,N] = H-[M,N']et cette relation, 6crite seulement pour les martingales born6es N,aract6rise uniguement L.

c) Les processus 6Lt et HtAMt sont indistinguables, et on a (H-M)c=H-M

DEMONSTRATION. Nous commengons par llunicit4, que nous d6duirons du

lemme suivant, qui reservira.

16a LEMME. Soit J une martingale locale nulle en 0. Si EJ,N] est une mar-

tingale locale pour toute martingale born6e N, on a J=O.

En effet, si T r6duit cette martingale locale on a ELLJ,N ITI=EELJ,N]O]=O. On applique alors le th6or6me IV.19, b).

Pour en d4duire llunicit6, on consid6re deux martingales locales

L et L sati.sfaisant a (16.2), et on pose J=L-7; ; alors EJ,NI=O pour

toute martingale born6e N, et on applique le lemme.

Pour 6tablir l1existence, nous allons supposer d'abord que

(fODH2d[M,M] )1/2 est int4grable. Soit(Hn) le processus obtenu en

0 S s t

tronquant (H ) a n ; comme 0 est bornev nous pouvons d4finir lat

Hn. 1martingale locale Hn-M = In .

On remarque que MeH et que

Hn.M _Hk.M E[(f(Hn_Hk)2d[M,MI )1/21

H1 s s s

qui tend vers 0 lorsque n et k tendent vers 11infini, par1convergencedomin4e. Les kn-M forment donc une suite de Cauchy dans d . Comme

nous avons admis que H1 est complet, nous pouvons affirmer que 0-M

Ln converge dans H 1vers une martingale locale L.

2Prouvons que [L,Ll = H *LM9M1. Cela r4sulte aussit t du fait que

2 2 2[Ln,Ln] = Hn.[M,M] , du fait que H tH ,

et du lemme suivant ':

n T T 12as L' pour t T.16b LEMME, Si L --> L dans H1, jT;;7 T--n7n n n

DEMONSTRATION. Cela r4sulte de l1in6galit6 triangulaire

JL-L L-L 17= __Tc1471 T_ ' TL;7b LT nTT 1 n' nJT n7=-n

qui se ram6ne a llin6galit4 de KUiNITA-WATANABE.

271 B3

Ensuite, v4rifions la proprift4 a) de 114nonc4, et (16.2). a) r4sulte

de llin6galit6 de KUNITA-WATANABE

It IH Jjd[M,N1,j :,-- (ftH2d[M,.M] )1/2([N,N]t) 1/20 s -7 0 s s

et entralne a son tour, par convergence domin6e, que ftOd[M,N] tend

t 0 S s

vers f Hsd[M,N] spour tout t. Dans la relation (16.2) LLn' N] =Hn.[M,N]

04crite & 11instant t, il y a donc convergence p.s. du second membre

vers H-[M,N]. Du c5t6 gauche, nous avons

I[L-Ln N]tj :S ([L-LnvL-Ln]t) 112 (EN,N]t)1/2(ft(H -H")2d[Mq'MI )1/2 (LNvN] )1/20 S S s t

qui tend aussi vers 0 par convergence domin4e.

V6rifions c). Comme L converge vers L dans Hi,donc dans llespace

n

des martingales uniform4ment int4grables, 14 entraine que, pour une

suite extraite, Ln

converge p.s. uniform6ment vers L [ nous verrons

plus loin que le sup de L.7L converge en fait vers'O dans L' ], donc,

la relation A(Hn-M)=HnAM passe bien ! la limite. Il est clair que si M

est continue, HoM est continue. Si M est purement discontinue, il en

est de mgme de lin-M,et L

nN est une martingale locale pour toute N

continue born4e. Comme L est une martingale uniform6ment int4gra ble,n

donc appartient a la classe (D), et N est born4e, LnN appartient a la

classe (D), donc LnN est une vraie martingale. Er. tout instant t, elle

converge dans L1vers LN, qui est donc une martingale, et il en r6sulte

que L est purement discontinue. D'o-h la relation H-Mc=(H-M)C.

Il nous reste A. no-us affranchir de 11hypothAse auxiliaire d1int6gra-

bilit6. Clest tout simple : nous choisissons des T t+oc) tels quen

E[(fTn H2d[M,M] )1/2] < co ,

et nous appliquons le r4sultat pr4c6dent0 s s

aux processus H,[[O,TJ * D'apr6s llunicit4 les int4grales stochasti-

ques ainsi construites se recollent bien... le lecteur regardera les

d6tails.

INTEGRALES STOCHASTIQUES DE PROCESSUS OPTIONNELS

17 Nous nous proposons ici, 4tant donn6s une martingale locale M nulle

en 0, et un processus optionnel H satisfaisant a la propri4t4

le processus croissant UtH2d[M,MI )1/2 est localement

int4grable ,

0

de d4finir une int4grale stochastique H-M. qui g4n4ralise celle du n*

11.32. Rappelons que celle-ci 6tait d6finie pour MeM ,et H optionnel

B3 272

tel que E[ fCD H2d[M,MI 1--oo, par la propri4t60 8 S

(17.2) E[LH-M,N] I =ELfoif dEM,N] I pour tout NeM00 0 s s

Nous adoptons une pr6sentation de M. PRATELLI, en d6montrant d'abord

le lemme

18 LEMME. Si M apartient A M9 si EU

00 H2d[M,M] I < oo, on a

foo H20 112(18.1) 11H.M11 CE[(

8dEMPM]S) I

DEMONSTRATION. Nous appliqnons au second membre de (17.2) llin4galit6de FEFFERMAN ( la constante c change de place en place )

JE[fH d[M,N] ]I:,-- EUJH j1d[M,N] 1]..5'cE[(fH2d[M,M] ) 1/2].IIN16MOs s s s s S

Apr6s quoi on fait parcourir A N la boule unit6 de BMO c M. D'apr6s le

th4or6me de dualitg, '9uPN EE[H-M,N]00

] !! cjjH-MjjH1, et le lemme est 4ta-

bli.

19 THEOREME. Soit M une martingale locale nulle en 0Net soit H Rn_pro-

cessus optionnel tel que.le processus crois6ant

(19.1) (fl H2d[M,M] ) 1/20 S s

soit localement int6grable. Il existe alors une martingale locale H-M=

L et une seule telle que, pour toute martingale N born6e ( ou seulement

localement born4e ) le processus

(19.2) EL,N]t - ftHsdEM,N] s0soit une martingale locale nulle en 0. On a

(19.3) (H M)T = H-MT

pour tout temps dlarr t T

(19.4) JJH-M - cEE(jc0H2d[MvM] )1/2IHI0 S s

DEMONSTRATION. Nous commengons par une remarque sur 1'6nonc6 : on peut

y remplacer les martingales born6es N par les martingales de BMO, mais

le gain de g6n6ralit4 nlest qulapparent : en effet, toute martingale

de BMO est A sauts born6s, donc localement born6e. Cela vaut la peine

dl&tre dit d1une autre mani6re : les martingales locallement born4es et

localement dans BMO sont les m&mes. L'unicit6 r6sulte de 16a.

1) Nous commenopons

=

par le cas oil M appartient a H1, et oil H est born4

par une constante h. D'apr6s 18, l1application MF--> H-M d4finie sur M

satisfait a

(19.5) 11H.M11 cE[h(Lm,ml,,,,, )112] = ch 11M11H1H

Comme M est dense dans H elle se prolonge de mani re unique en une,

application continue de H dans Ho

(*)Cette condition ne figure dans 114nonc4 que par paresse,

273 B3

Soit MeHl, et soit (Mn) une suite d'414ments de M qui converge vers

M dans Hi. Poqogs ] n-H-Mn

. Nous avons si N est

=

born4e

fOD H d[M,N] fODH dLMn,N]SI :5 fCOjH I ld[M_Mn,N] I0 s s 0 s 0 s s

dont llesp6rance est major6e par

(19.6) cEL (fH2dLM_Mn,M_Mn, ) 1/2 ] JIN _,,In 11 1N

s s IIBMO 5 chlo IIBMOH

qui tend vers 0 lorsque n->oo . D'antre part

E[I[L-Ln,N]co

1] 5 cjjL-Lnjj 11IN16MOH ===

qui tend aussi vers 0. Ainsi,=dans 'la relation (17.2)nEILLn,N] ELf(x)h d[M ,N] I

00 0 S s

nous avons convergence L des deux c8t6s, et nous obtenons

EILL,N]00

ELfOD Hsd[M,N] sI

0T

Comme au chapitre II, en remplacant N par N

, nous voyons que

[L,N]t -tHsd[M,N] s

est une martingale uniform4ment int4grable, nulle

en 0. Et la d6monstration du lemme 18 nous donne (19.4). Quant A

(19.3), cela r4sulte de la m6me propri4t4 dans M, par passage a la li-

mite.

2) Maintenant, nous passons au cas o-a M appartient a H1, et H est un

2 1/2processus optionnel tel que (fODHsd[M,Mls) soit int4grable. Nous

0

d4signons par 0 le processus optionnel born6 obtenu. en tronquant H

n, et par Ln 11int6grale stochastique O*M, Dlapr s (19.4), les Ln

forment une suite de Cauchy dans H1, qui converge donc vers une martin-

gale H-M=L. Nous avond comme ci-dessus que

ELI[L-Ln,N],D 1] ->O N born6e

et d'autre part

ELIfH d[M,N] - fedEM,N] I EU IH -Hnj IdLM,N]sl]s s s s s s

tend vers 0 par convergence domin4e. D'o-a a nouveau par passage la

limite EL[L,N]OD

] = E[fHsdEM,N]s] ,

d I oil (19.2) - la martingale 4tant

en fait uniform4ment int4grable - et A nouveau llin4galit6 (19.4) comme

dans la d4monstration de 18, par llin4galit4 de FEFFERMAN. (19.3) est

4vidente.

3) Finalement, si M est une martingale loca'le, si H satisfait seulement

Lla condition dlint4grabilit4 locale, on consid6re des temps d'arr&t

T r4duisant fortement M ( donc MTeH') et tels que E[TH2dEM'M1 ) 1.12 1 <oc)

TS S

On sait alors d4finir H-M d'apr6s 2), et on v4rifie que ces int4grales

stochastiques se recollent bien . Nous laissons les d6tails au lecteur.

B3 274

20 REMARQUE. Nous avons vu dans la d4monstration le fait suivant' Ul

1 2 02m4rite peut 9tre d16tre soulign4 : si MeLi ,si ERfoo H d[M,MI ) ]<Go,

1 0 S s

et si NeBMO, on a H-McH et

(20.1)===

E[LH-M,N] ELfcoH d[M,N]CD 0 s S

la martingale (19.2) 4tant uniform4ment int4grable.1De plus, on peut montrer par convergence dans H

, les faits suivants- Si M est continue, H-M est continue. Si M est une somme compens4e de

sauts, (20.1) appliqu4e aveo N continue born4e montre que H-M est une

somme compens4e de sauts.

- Si T est un temps totalement inaccessible,, A(H*M)T =HTAMT- Si T est un temps pr4visible, A(H-M )T = HTAMT-E[HT6MT1ET-]*-UN EXEMPLE DIINTEGRALE OPTIONNELLE

Nous allons tenir notre promesse du nOII.37 en calculant 11int6gralestochastique tM dM

. Comme nous savons calculer ftM dM tout0 8

0 s- s 9

revient A regarder f%M dM Nous montrons, d1apr6s M.PRATELLI etC.YOEURP :

0

21 THEOREME. Si ( et seulement si ) la martingale locale M nulle en 0 estlocalement de-.carr6 int4grable,' le processus croissant

(21.1)' (ft j 2Td[M,M) 1/2-= AM4 )1/2s0

est loca-lement int6grable, et llon a alors

(21.2) ft AMsdMs = [M,M]t

- -d4f M>t0

DEMONSTRATION. Nous ne chercherons pas A prouver la parenth6se, qui ne

pr4sente pas dlint4r6t. Llintggrabilit6 locale de (21.1) r4sulte de 11

in4galit6 (Z AM4)1/2 Z 6M2.Pour d6montrer (21.2), nous pouvonss s

Isupposer que M est de carr4 int4grable, et alors AM-M appartient A H

.

Comme 116galit4 (21.2) est triviale lorsque M est continue, nous pouvons

supposer que clest une somme compens4e de sauts. Les deux membres de

(21.2) sont alors des sommes compens4es de sauts, nulles-en 0, il suf-

fit de v6rifier quIelles ont les m6mes sauts. On regarde en T pr6visi-ble partout >O, en T totalement inaccessible, d'apr6s 20 ci-dessus. Les

I

d6tails sont laiss4s au lecteur.

22 Nous conclurons ce paragraphe sur la remarque suivante ( qui n1a rien

voir avec 11int6grale stochastique si M est une martingale locale,M est localement dans H donc le processus fld[M,N] I est localement

0 s

275 B3

int6grable, dlapr s llin4galit4 de FEFFERMAN,, pour toute martingale lo-

cale N localement born4e localement dans BMO, cf. 19 ). Cela per-

met de d4finir le crochet oblique <X,N>, compensateur de [M,N]. Voir

ce sujet le travail de YOEURP.

III. INEGALITES

Notre but dans ce paragraphe est assez modeste. Nous voulons d4mon-

trer d1apr6s GARSIA ( 4tendu au cas continu par CHOU ) que llin6galitdde FEFFERMAN entraine l1in-4galit6 de DAVIS, avec comme corollaire le

fait ( utilisd au paragraphe pr4c4dent ) que H' est complet. Puis 6ta-

blir les in4galit4s de BURKHOLDER classiques, afin de pouvoir,dire quand

une int4grale stochastique ept born6e dans LP - 1A encore, nous suivrons

GARSIA et CHOU. Nous nlessaierons pas dlentrer dans la th6orie moderne

des in4galit4s de martingales, pour laquelle on consultera le livre de

GARSIA, et les articles cit4s dans la bibliographie.

UN LEMME SUR LES PROCESSUS CROISSANTS

GARSIA donne de ce lemme (E211,[241) une d4monstration sans temps

d'arr&t,'qne Ilon trouvera en temps continu dans CHOU [26]. Nous pr4f6-rons r4tablir les temps d'arr&t, et ajonter une variante due A STROOCKv

qui paral't int6ressante(E271.

23 THEOREME. SoitxLt (At) un processus croissant enter unPouvant Pr4s

saut a 11infini ) et,Y une v.a. positive int6grable. On suppose

scit que

(23.1) E[A00 IfT AT_ :5 E[YI fT1 P*s* pour tout t.d1a. T

soit que A est pr6visible nul en 0, et que

(23.2) ECAoo

I ET AT y I ET 3 p Is

On a alors _pour tout X>O

(23.3) f (A -X)P < yp

JA >X 1 00 = JA >X1OD CO =

Soit,cp une fonction croissante et continue a droite sur R+, et soit

(X)=jCX cp(t)dt. an a alors

(23.4) E[ (A00

) ] :5 ELq,(ACD )Y]

DEMONSTRATION. La forme (23.4) est celle de GARSIA. Elle contient (23.3)

lorsque cf--I[X,co[ , (t)=(t-X)+. Inversement, (23.3) entraine' (23.4) en

int6grant par rapport a la mesure dy.

B3 276

Plagons nous dans le cas (23.1) et d4signons par T le t.d1a.

, et JA >XJ = JT<coJUJT=oo, A >XJinfit : At !Xj : nous avons AT-

XGo = OD

ne pas oublier le saut A 11infini 1. ) appartient A F Done=T

f (A00-X)P < f (ACD -AT_) P < yp

JA00

clest A dire (23.3). Dans le cas (23.2), on peut affirmer que T est

pr6visible, soit par la note N9, p.9, soit parce que I E[T,oo[[ =

J(t,w) : At(w) :-Xj et que A est pr4visible. Utilisant une suite qui an-

nonce T, on v4rifie que E[Aoo-AT_I _] 5 E[YI , et on a JA >XleFT k-1 01) = =T-*D'oA la mgme chalne dlin6galit4s que ci-dessus.

Maintenant, nous citons un r4sultat purement analytique, qui a 4t4

d6montr6 ind4pendamment par NEVEU [28], et par GARSIA ( voir par exem-

ple la d6monstration de GARSIA pr4sent4e par CHOU dans le S4m.IX, p.206-212

, et celle de NEVEU p.205 de [28]).Nous dirons que la fonction convexe croissante est a croissance

mod4r4e si (2t)5 Wt).24 THEOREME. Soient U et V deux v.a. positives telles que

(24.0 f (U-X)P < VP

On a alors

(24.2) U 11LP

:5 P 11 VLP pour 1<p<co

(24.3) E[(U)] CEE(V)]

1si est i croissance mod4r4e, C d6pendant uniquement de la constante c

pr4c4dant 114nonc4. Enfin,.si V est major4e par une constante Y<1

U 1(24.4) E Ee Iy

25 Voici des exemples d'application du lemme de GARSIA.

a) (Bt) est un processus croissant non adapt4, (At

) sa projection duale

optionnelle (ELB00

-BT-Ik ]=E EAOO -A on prend Y=BOD

De m6me

pour la projection duale pr4visible (A pr4visible, ELB IF00 T =T1

EEAm -ATlklLlin4galit4 (24.3) est alors due , BURKHOLDER-DAVIS-GUNDY.

b) (Xt) est une surmartingale de la classe (D), positive, et A le pro-

cessus croissant pr6visible qui l1engendre ; on prend Y=X*= suptxtc) Nous d6duirons plus loin de ce lemme llin4galit4 de DAVIS pour les

martingales, et les in6galit4s de BURKHOLDER.

277 B3

UNE VkRIANTE DU LEMME 23

Cette variante est due A STROOCK [271, et je la trouve jolie.26 THEOREME. Soit (Xt)t,+. un processus adaPt6 a trajectoires cAdlA

. et

soit Y une y.a. positive int4grable. Supposons que lton ait ( avec la

convention Xo_==O )(26.1) Eux - x

cx) T-IIET3 .5 E EY I T3 2222 pour tout t.d1a. T.

Soit. X* = suptjXtj .' On a alors pour tout X>O

(26.2) XPfX* > 2XI 2 ypI X%;x I

DEMONSTRATION. Soient S=inflt : jXtj !Xj , T=infit IXt 1 :2X J. On a

X.3 --X et._1:,

P JX* 2X I = P I I XT I - 2X P I I XS I i X' I XT-XS- I X

<1 1 Ix X3= T I I XS 1:- !x I T_ _IP

Comme JIX.1 1XI appartient a F et F=S =T , nous majorons JXT_XS-1 par

Ix00 _xS_ I + I x0D_XT1 , et nous 6crivons

f Ix _xS_1P < f yp

I I OD = I I

pour l1autre terme, nous avons XT "' limn X(T+-')_ , et nous appliquonsle lemme de Fatou- n

27 Cette in4galit4 n1eA pas aussi puissante que (23.3), mais elle permet

( par le raisonnement qui conduit a llin4galit4 de DOOB classique ) de

montrer que JJX* 11p :E ' c 11Y I lp pour 1 P<- -

D'autre part, la d4monstration peut donner un peu plus. STROOCK

remarque que llon a en fait

(27-1) tP I X* !. X+ t 2 f yplx*>xl

(la d4monstration ci-dessus carrespond a Supposons que Y soit

born4e par une constante r. Alors une r4currence imm4diate donne, en

prenant t.constante 4gale a 4r

(27.2) PIX*> 4rn 1 5 2-n+1

d1oil il r4sulte que E[exp(XX*)]<oD pour X>O assez petit.'Par exemple,

tout cela slapplique au cas oa X est une martingale BMOI-( pour la der-

ni6re in4galit4, due L JOHI -NIREMBERG, il est possible d1avoir des r4-

sultats plus pr4cis au moyen des formules exponentielles, mais nous n'

insisterons pas

1. Llespace des martingales X telles que E[jXw -XT-11k] soit born6

uniform6ment en T contient 6videmment BMO,et en fait coincide avec lui.

B3 278

L'INEGALITE DE DAVIS : PREMIERE MOITIE

28 Nous commengons par renforcer llinggalit4 de FEFFERMAN de la mani6resuivante : soientM et N deux martingales locales, T un temps dlarrk.Soit 01=JT<oD1, muni de la loi P1= 1 PIC), 9 de la famille de tribusPT-()I )FI=F et des deux martingales locales M =M Ntt=N=t =T+t 1 1 T+t-MT- T+t-"OT-*On v4rifie sans peine que

EMI 9Milt = EM'm]T+t - EMIMIT- , et de mgme pour N1.

On en tire

,M70- --[M-,M T-]/PJT<co IJIM' 161 E L,/T-Y-0

JINI 11= 0 JIN16MOBM

Llin4galit6 de FEFFERMAN nous donne alors

E[ f Id[M,N]8

1 h , cE [W LM, III Iw L-MvMJT_ ]JIN I1BMOI T, oo I

qui, si lion remplace T par T (AeF , nous donne la forme condition-A =T)nelle

(28.1 ) E[f Id[M,N] I JE ] - IV m-PM J LMs -T :5 cE oD- 9MJT-I-fTlI[N I1BMOLT, oo I

Nous posons maintenant

(28.2) M*(w) sup IM Ml M*=M*t s<t s 00

Voici la premi6re moiti4 de llin4galit4 de DAVIS [29], avec sa forme

conditionnelle due A GARSIA

29 THEOREME. On a

(29.1) EEM*] :5 cE[v/lTr,-7m00

c JIM 11H1et, Dour tout tem-ps d1arr&t T

(29.2) E [M* -M*_ I F CE [,/[R-,M7 MJ cE [AJFM 9M

oo T T oo T ---TooT- I ET

DEMONSTRATION. Soit S une v.a. quelconque a valeurs positives, non

n4cessairement un temps dlarrk, et soit Bt

le processus a VI non adapt4sgn(MS)Ilt>Sl . Soit (At) la projection duale optionnelle de (B

t). On

a pour touf temps d1arr&t T E[f JdAsIIETI :f- E[f JdBsllLl[T.oo I IT, oo IDonc, dlapr s 4a), la martingale N=E[A00JEtl appartient a BMO avec une

norme major6e par une constante c ind4pendante de S ( c=2%/2 par ex.).

Supposons d1abord que M soit de carr6 int6grable. Nous avons alors

E[IMSI] = B[/MsdBs] = EE/MsdAs] ( d6f. de la proj. optionnelle )= EEM

00 A00 1 ( parce que A est adapt6 )= E[M

CO NCO ]=P,[fd[M,N] s] ( mart. de carr6 int6gr,)c I IM 11 111 N IIBMO :5 c I I M I I

H H

la constante c variantt comme d1habitude, de place en place. Nous ap-

pliquons cela en prenant pour 3

S (w) = inf I t : Imt (W) M* (W) -C

279 B3

de sorte que 1M.1 !M*-e p.s., et il vient que E[M*]:5cllMll 1 .du moins

lorsque M est de carr6 int6grable. Pour passer au cas g7en6ral, nous

consid4rons MeHl, des MneM qui convergent vers M dans H1 (n012).

D'apr4s 14 et l1in6galit6 de DOOB, quitte a extraire une suite, on peutsupposer que les trajectoires e(w) convergent p.s. uniform6ment vers

M.(w), donc Mn* converge p.s. v;rs M*. On applique alors le lemme de

Fatou et on a (29.1).Pour en d4duire (29.2), on pose 01=jT<ooj, avec les tribus F1=

F, la loi PI =

1,la martingale MI = M=T+tlf)l P(of) PIC)l t T+t-MT- I

de sorte que EM;Mllt=[MIMIT+t-[MIMIT- * Alors EI[M'*] :<cJIM11 H1 d1aprAs

(29.1). Mais d'autre part M* < M*_ + M1*, doncT

E[M*-M*- T_

et en remplagant T par T (AeE on a llin4galit4 (29.2).A =T)En appliqnant ?L (29.2) le lemme de GARSIA 23, et les in4galit4s analy-tiques 24, on obtient la premi re moiti4 des ih4galit4s de BURKHOIDER,DAVIS et GUNDY [301.

30 THEOREME. Si est une fonction convexe L croissance mod4r6e, on a

cE(30.1) E[ t(M ] -

LtINEGALITE DE DAVIS : SECONDE MOITIE

31 THEOREME. On a

(31.1) EOD

cE LM* I

e-k, Pour tout temps d1arr&t T

(31.2) TM cE [M*BEJM M7fMToD -

t T- I ET

DEMONSTRATION. Nous ne dirons rien sur (31.2), qui se d4duit de (31.1)

par un conditionnement analogue a celui du n029, mais plus simple.Pour kablir (31.1), quitte A d4sint6grer P relativement a la v.a.

MO p nous pouvons supposer que MO'est une constante a , et quitte -

remplacer M par M+e (e->O) si a=O, nous pouvons supposer a O. Alors

nous avons 4%jaj donc I/M:* est born4e. Nous 4crivons

(31. 3) E E [M,M]1/2 (E [M*])1/2 (EE[M'M]

1) 1/200 M*

Appliquons maintenant le n04 A la martingale H =E[ 1*1E I , au proces-t M tsus croissant Bt- t

: la martingale locale B_-H a une norme BMO majo-

r4e par une constante c (j ? ), et il en est de m6me de M--H puisque

IM_I<.B. . Posons L--M--H. Nous avons dlapr s llin4galit4 de FEFFERMAN

B3 280

(31.4) E[fld[M,Lls11 c JIM I 1 1 JIL 16MO :5 c JIM I I

H ---

Mais [M,L] = [M,M--H] M_-[M,H] = [M_-M,H Notons K la martingalelocale 2M_.M =M2_ [M'M1 1et supposons pour commencer que M et K appar-

tiennent toutes deux a H. La formule pr4c4dente entralne que, pour

tout temps d1arr9t S

(31.5) JEE[K,H],9]1 =12E[[M,L]S]l :5 clIM11H1Si S r4duit la martingale locale KH - [K,H], cela sl6crit simplement

JE[KSHS]J -

1.5 clIMIJ Or H est born4e, K dans H faisant tendre S vers

H

11infini il vientM2 _[M,M]COJEEKODH00 ]1 =JEL

M*

11 -:5 c JIM 11HINous remarquons maintenant que M

2 /m* :S M*,donc-

00

(31.6) E[ E[M-] + c

M* -

JIM 11H1Posons,pour all4ger les notations

,

=

A=JJMJIdj , B=E[M*] (31.3) s'4-

crit, compte tenu de (31.6)

A < V13VB--+cAd1oa nous pouvons tirer . sous llhypoth6se soulign4e plus haut ( qui

implique en particulier que A<oo ! ) que A=JJMJ 1 est born6e d6s que

B=E[M*] < I Pour passer au cas g4n4ral, nous prenons M telleT

que EEM*151 et nous appliquons le r6sultat pr6c4dent A M o l T

r4duit fortement les deux martingales locales M et K=2M--M aprAsquoi nous faisons tendre T vers 11infini.

En appliquant a (31.2) le lemme de GARSIA 23, et les in6galit6s analy-

tiques 24, on obtient la"seconde moiti4 des in4galit4s de BURKHOLDER,DAVIS et UUiNDY

32 THEOREME. Si est une fonction convexe a croissance mod4r6e, on a

. -- cE (M*)(32.1) E (jff-,M-T ] -

D'autre part, nous avons une autre caract6risation de H1

33 THEOREME. Les normes JIMIJ 1 tt JIM*11 1sont 4quivalentes. En particulier,

1 H LH est coMPlet.

281 B3

LES ESPACES HP, p>1

Nous allons dire un mot de ces espaces, qui sont assez banaux - bien

moins int4ressants que H1 ( en fait, la mode en analyse et en th4orie

des martingales semble se tourner vers les espaces HP, p<1, qui ne sont

pas des espaces de Banach

34 DEFINITION. Si M est une martingale locale, on pose JIMIJ I jM9RT_Lp IHP= 00

et on d4signe par HP l1ensemble des M tels que JIMIJ <o(:F.HP

Le lecteur v4rifiera que 11 IIHP est bien une norme pour 1-;: p GD .

HCO nlest gu re int6ressant. H a d4jA 4t6 vu, quant A HP pour 1<p<oD,son sort est r6g14 par les in6galit4s de BURKHOLDER et de DOOB

35 THEOREME. Les normes JIMIJ 2-t 11M*1 sont 6quivalentes-pour 1<p<oo.HP LP

HP est identique a llespace, des martingales born4es dans LP, avec une

norme 4quivalente A la norme M--> JIM. 11 LP .

Soit q l1exposant conjugu6 de p. Llin4galit6 qui correspond A, l1in6-

galit4 de FEFFERMAN - mais qui est-bien moins profonde - est llin4ga-lit4 11.22, que nous recopions :

36 THEOREME. Si M et N sont deux martingales locales

(36.1) ELjjdLM,N]J S] :5 IIMIIHP

JINIIHq

q37 COROLLAIRE. Si M appartient a HP, N H,la martingale locale K=MN-

1EM,N] appartient A. H

En effet, K* est-domin4 par M*N*+fcoldEM,N] sI e Li.0

qLe dual de HP est 4videmment H,la forme bilin6aire qui les met

en dualit4 kant (M,N)-->E[M00NC0 ]=E[[M,N]00

Nous conclurons ce chapitre sur une remarque de M.PRATELLI, qui a

un int6r6t 4vident : elle permet de reconnaitre quand une int4gralestochastique optionnelle est born4e dans LP.

38 THEOREME. Soit M une martinaale locale, et soit H un processus option

nel tel que EWH2d[M,MI )p/2]<OD.Alors H-M appartient A HPs s

DEMONSTRATION. On 4crit llin6galit6 de KUNITA-WATANABE

E[fJH JJd[M,N] 1] :5 (E[(fH2d[M,M] )p/2])l /PJJN qS s s S IIH

m

Prenons N born4e, posons L=H-M, et d4signons par K le premier facteur

du second membre. Par d4finition de l1int6grale stochastique option-

nelle, [L,N]-H-,[M,N] es.t une martingale locale, donc aussi LN-H-[M,N].

B3 282

Si T r4duit celle-cir nous avons

JE[LTNT131 t-- 'KIIN16q :5 cK Ncojj LqFaisant parcourir a N

COun. ensemble dense dans la bou-1e unit4 de Lq(?T

nous voyons que JILTIILp 5 cK, apr s quoi nous faisons tendre T vers 11

infini.

39 REMA.RQUE. Nous avons vu le mgme r4sultat pour p=1 au n02O.Il est tout nat'arel de se poser alors la mgme question pour BMO : si

M appartient A BMO, et si H est un processus optionnel born4 par 1,

a tIon IP-M16MO 5 clIM16MO ? Clest 4vident-si H est pr6visible.Tout dlab5YUt on a MiM , done le calcu-1 des sauts de H*M qui figure

au nOII.34 nous donne, si Pon pose H-M--L

ALT = HTbMT si T est totalement inaccessible

= HT AMT-E[HT '6MT I ET-I si T est pr4visible partout >0

montre que H-M est a sauts born4s.

D'autre part, la relation (35.2) du th. 11.35 se conditionne en

E[(Lco-LT)2 IETI 5 E[f H2dEM,M] sIET3

]T,oD [ s

< E[EM,M] -EMIM3TI-ET IOD

Vol! en d6finitive, si JJMJ Mo 5 1, llin4galit4 JIL16MO ::- /5 .

283 B3

Universit6 de StrasbourgS4minaire de Probabilit4s 1975/76

UN COURS SUR LES INTEGRALES STOCHASTIQUES

( P.A. Meyer )

CHAPITRE VI. COMPLEMENTS AUX CHAPITRES I-V

Ce chapitre contient une s4rie de r6sultats en d48ordre, li6s aux

sujets trait6s pendant llann4e 1974/75.

I. LIEXISTENCE DE [M,M] ET LIINTEGRALE DE STRATONOVITCH

Llint4grale de STRATONQVITC I est une int6grale stochastique d6finie

pour certaines classes de process-as A trajectoires continues, et quia llavantage"dlob6ir A la formule du changement de variables ordinaire,celle du calcul diff6rentiel, et non a la formule VITO. Pour pr4senter

cela, nous commengons par quelques remarques sur les semimartingalescontinues.

Soit X une semimartingale continue, n-alle en 0.D lapr5s IV. 32 d), X

est une semimartingale sp6ciale ; soit X=M+A sa d4composition canonique.Il existe des temps d'arr&t T tels que fT IdAsI e LI, et que X soit

T T 0T -

born4e sur [E O,T]] . Posons X =7, M =R, A =A ; la martingale M est

uniform4ment int6grable et llon a pour tout temps d'arr&t S A7,3=O.Si 9 est totalement inaccessible, comme 1 est pr4visible, on a AK,=O,

donc AMS=O aussi.

Si S est pr4visible, on a E[kYSlg,_]=O, donc E[kXSjg,_1=O. Comme

I est pr4visible, cela entralne AAS=O , puis AS=O.Ainsi, M et 1 sont continus. et en faisant tendre T vers 11infini

on voit que M et A sont continus. Ainsi, nous avons 4tabli

Toute semimartingale continue nulle en 0 admet une d4composition en

une martingale locale continue et un processus VF continu.

Llextension aux processus non nuls en 0 est bien claire ! X=X0+M+A

2 Soient H et X deux sTmimartingales continues. D4finissons I11int4gra-le de STRATONOVITCH 3 H dX par

0 u U

t t 1 c'xc(2.1) S HudX H dX + <H0 U

0u U

oA Hc,Xc sont, comme d1habitude, les parties martingales continues de

H et X. Alors que llint4grale stochastique ordinaire est limite en

probabilit4 de sommes E. Hti (Xt

i+1-Xt i) sur des subdivisions de [O,t],

B3 284

itint4grale de STRATONOVITCH est limite de sommes de la forme

E H (Xt ), avec s =.I(t +t ), ainsi que dlint4grales dei si i+l-xti 1 2 i i+1

la forme J t Hnde int4grales de Stieltjes relatives aux lignes poly-0 s s 9

gonales obtenues par interpolation lin4aire de H et X entre les ins-

tants tn de la n-i6me subdivision dyadique. Surtout, llint4grale dei

STRATONOVITCH poss de une formule de changement de variables int4res-

sante. Consid4rons une fonction f de classe C3 sur I ( l1extension

au cas vectoriel est possible ). Le processus fl(Xt ) est une semimartin-

gale continue pour t>O, que nous noterons Ht . D4composant X en X0+M+A,C

avec M=X, nous.avons d1apr6s la formule d1IT0

H = H + ftf"(X )dM + E ftflt(X )dA + lftftlf(X )d-aNI,M>t 00 s s 0 s s 20 s s

d'o-a la partie martingale continue He, 4gale a la premi6re int4gralestochastique, et aussi '

<He 9M >t ftf"(Xs )ddq,M>s0

Par cons4quent, d1apr6s la formule d'ITOt t ft(2.2) S f'(Xs )dXs fl(Xs )dXs+ 2 f"(Xs )d<M,M>s = f(Xt)-f(XO)0 0 0

et llon voit que llint4grale de STRATONOVITCH ob4it a la formule du

changement de variables ordinaire, non celle d'ITO. Llennui, clest

que nous avons d-a supposer f de classe C3 pour que fl(Xs) soit une semi-

artingale. Notre but maintenant va 9tre de donner un sens A llint4graleS H dX pour une classe de processus H plus large que celle des semi-0 S s

martingales, et contenant les processus obtenus par llop4ration de

fonctions de classe C1sur les semimartingales : cela donnera un sens

1 2a la partie gauche*de (2.2) pour une fonction f de classe C

,et nous

4tendrons alors la validit6 de (2.2).Auparavant, nous allons poser le probl6me de mani re plus g4n4rale, en

sortant du cas continu : nous n1avons d6fini le processus croissant

[X,XI que pour des semimartingales ; peut on le d4finir pour des classes

plus larges de processus ? Cela nous am ne aux th4or6m,.s d'approximation

de Catherine DOLEAN3-DADE, et a diverses questions int',ressantes.

APPROXIMATION DE [X,X] AU MOYEN DE SUBDIVISIONS

3 THEOREME. Soit X=M+A une semimartingale, telle que la martingale M

appartienne a M que le processus A soit ii V.I., nul en 0, et tel

que fooldA e L2 Les variables al4atoires0

285 B3

2 2(3.1) STW -- xo+ Ei (Xti+l-xti )

associ4es aux diff4rentes subdivisions finies de 11intervalle [O,t]-T=(O--tO<tl ... <tn+l =t<+OD ) sont -uniform6ment int4grables, et convergentvers [X,X]t dans Ll lorsque le paside la subdivision tend vers 0.

DEMONSTRATION. a) Int4grabilit6 uniforme. Nous 4crivons qne ST(X) :5

2(ST (M)+ST(A)). Il nly a aucun probl6me pour ST(A), major4e par

WD IdAs 1)2 e L'. Regardons ST(M). Nous allons montrer que pour tout

0-

e>O, les ST(M) sont major4es par des v.a. de la forme H+K, o-a K est1 2

contenu dans la boule de rayon e de L,H restant born4 dans L

. Lfint4-

grabilit4 uniforme des ST(M) en r6sultera.

Pour cela, nous d4signons par Ut

la martingale E[M001 JIM I<X1143,et posons V=M-U. Nous avons S

T(M) 5 2(S

IT (U)+sT(V)). Nous avoRos2EES (V)3 = 2E E 2 2f M2P

T QD JIMOD

I>xj CO

qui est -g e si X est choisi assez grand. Ce choix 4tant fait, 4valuons

E[(S (U))2] : clest ( en convenant que U2 =(Ut )2 pour i=-lT 0 i+1-Ut i

EE Zi(Uti+1-Uti )4 + 2Ei(Ut i+1-Uti) 2Ej>i(ut j+1 -Uti)2Dans le Premier Li puisque U est major4e en valeur absolue par X,

2 2nous majorons ( )4 par (2X) Dans le second tiq nous remplagons

2Ej par (Ut-Ut

i+1qui a la m6me esp4rance c.onditionnelle par rapport

2puls nous majorons cela L nouveau par (2X) .

Reste donc

2 2 )2] = 12X2 U2 ] :5 12X4

E[(ST(U)) (4X +8X2)E[Ei(Uti+1-Uti EE00 -

qui est bien born4 ind4pendamment de T.

Noter quIon aurait pu remplacer les subdivisions par des ti, par

des subdivisions d4termin4es par des temps d'arr&t Ti.1

b) Convergence dans L . Nous coupons M en deux : d1me part N,.form6e de

la partie continue et des n premiers termes de la somme compens4e des

sauts, et d1autre part Q, reste de la somme compens4e des sauts. Ainsi

X = M+A = N+Q+A ,et nous posons Y= N+A

Nous allons montrer que EX,X]t-EY,Y]t et ST(X)-ST(Y) sont petits dans

Li si n est grand ( uniform4ment en T ), puis que Slr(y)-lylylt est

petit dans L' si le pas de T est assez petit.

1. Sit =+oc), le pas de la subdivision doit tre d4fini raisonnablement.

B3 286

Pour le pre1mier terme, nous 4crivons X=Y+Q, donc EX,X]=[Y,Y]+1/2[2Y+Q,Q], donc EEI[X,X]t-[Y,Y]tl] = E[1[2Y+Q,Qltl] ! (E[[2Y+Q,2Y+Q]t])

(E[[Q,Q]t ])1/2. Le dern--Ler terme vaut JQII , petit pour n grand. Dans

l1autre ,nous 4crivons 2Y+Q==.2X-Q, et nous majorons E2X-Q,2X-Q] par

2([2X,2X]+EQIQI). Le premier termexeste donc born4, et EEIE]-[]I].-;-O.Pour IST(X)-ST(Y)I, le raisonnement est exactement le meme, avec

de moins bonnes notations : apr6s tout, ST(X) nlest rien d'autre que

le crochet [,] de X consid4r4e sur l1ensemble de temps discret T 1

Maintenant, regardons Y = N+A : no-as avons le droit de faire passer

les n sauts compens6s du c6t6 du processus VI, autrement dit, de suppo-

ser que N est continue. Nous 4crivons alors ( toujours avec la m6me

convention relative a 0 ) :

S (Y) = S (N) + S (A) +2E (N -N )(A -AT T T i t

i+1 ti ti+j ti.S (A) converge-ps. vers E ' AA

2= E AY

2 : il slagit ici d1un

T S<t S s<t s

r4sultat sur les fonctions a variation born4e, que nous laissons au

lecteur. Le dernier terme est major4 en valeur absolue part

sup, INt -Nt.I. f IdAsI : il tend vers 0 p.s. ( donc en Prob.) d1apr9si+1 . 1 0

la continuit4 uniforme des trajectoires de N sur [0,t]. Reste donc

montrer que ST(N) converge en probabilit4 vers EN,N]t - car, compte

tenu de llint4grabilit4 uniforme 4tablie en a), la convergence en proba-

bilit4 4quivaut A. la convergence L

Commengons par le cas oil N est born4e par une constante X .Nous

avons alors, en utilisant le fait que N2_ EN,N]t est une martingaletti+1 2

EE(ST (N)-EN,N]t)2] = EE(ST (N)-Ei EN,N]t ) I

= E[ Ei ((Nt -N0 2_[N,N]ti+1 ) 21i+1 1 i

que nous d4veloppons E[Ei (Nti+1

-Nti

)41 est major6 par

E[ supi (Nt -Nt)2 i(Nt. -Nt

Le supi tend P.s. vers 0 en

i+1 i2

1+1 i 2restant born4 par 4X tandis que le E

Ireste born6 dans L

, comme

on l'a vu dans la d4monstration de a). Cn applique alors llin6galit4,

de Schwarz. t t

De m me, nous majorons F,I([N,N]ti+1 par supi [N'Njti+1 . ['N'N]t

2i i

EN,N]t appartient a L dlapr s la formule

E[[N,N]2 ] = 2E[f([N,N] [N,N]t)d[N,N]tl= 2E[f(Ncl)-N )2d[N,N]tlOD 00

< 8x2EIEN,N]= OD

1.L'in4galit4 de KUNITA-WATANTABE slapplique aux semimartingales

287 1'B3

tandis que le supi tend vers 0 d'apr6s la continuit4 uniforme des2

trajectoires de EN,N], en restant domin6 par E.N,N]00

eL . Apr s quoion applique llin4galit4 de Schwarz.

Enfin, le t-erme mixte se majore par supi(Nti+J-Nti)2.[X,N]t , et se

traite de m me.

Pour nous affranchir de la condition sur N9 introduisons le tempsd'arr&t

T = inf I s : I Ns I IX Iet choisissons X assez grand pour que, PIT<tl<e ; sur l1ensemble IT=tlnous avons ST(N)=ST(NT), [N,N]t=[NT,NT]t , donc

PJJST(N)-[N,N]tj>&j :,-- PjT<tj +1 f. (S (N)-[N,N]t )2p7 JT=tj 'r

est <e d6s que le pas de la subdivision est assez petit.1

4 THEOREME. Soit X une semimartingale. Avee les m6mes notations que, ci-

dessus, on peut affirmer qRe STW converge-vers [X,X1t en probabilit4

lorsque le pas de la subdivision T de [O,t] tend vers 0, pour O<t<oD.

DEMONSTRATION. Nous pouvons supposer que XO=O.R = inf I s AX I :-x

s

et choisissons X assez grand pour que PjR<tj<e. Soit Y la semimartinga-

le X on a [X,X]t=[Y,Ylt, ',r(X)=S,Ils<R,+XR Ils. "'(Y) sur un ensembles T

de probabilit4 voi=Sine de 1j donc il suffit de prouver le th4or6me pour

Y. Soit Y=!,',+A la d4composition canonique, de la semimartingale sp4ciale

Y, et soit Vs=fsldAul choisissons 4 assez grand pour que PJS -tke, oa0

S = inf s : V jj,S=

est un temps d'arr6t pr4visible (N9, p.9) Soit (Sn

) une suite annongant

S, et soit n assez grand pour que PjSn tje. Choisissons v assez grand

pour que P I T<t 1-:5e ,oil

T=SnAinf fs IMs

I :VLe processus AT a une variation totale born4e par jj. Donc ses sauts

sont aussi born4s par t, et comme les sauts'de Y sont born4s par X, les

sauts de MT

sont born4s'par X+ t . Comme M est born4e par v sur [[O,TjMT est born4e par X+ji+v .

Donc le'th4or6me 3 slapplique a Z=YT=kT+AT,et on conclut en remarquant que Ex,xlt=lz,zlt , Sr(X)"-Sr(Z) sauf sur

un en'semble de probabilit4 au plus 2c.

Maintenant, pour quels processus X peut on 4tablir un r4sultat ana-

logue au th4or6me 3 ? au th4or6me 4 ? Le point important est ici llefait que ces classes sont beaucoup, plus riches que celle des semimar-

tingales : d1une mani re impr4ciset elles sont stables par les

1.Un r4sultat tr6s proche vient dl6tre d4montr4 par D.LEPINGLE.

B3 288

op4rations C alors que la classe des semimartingales est stable par2

lea op4rations C. Pr6cis4ment

5 THEOREME. (Xi d dSoient X=k ...,X ) une semimartingale a valeurs dans I,

f une fonction de classe C 1sur 2d, Y le processus r4el

1-

d).

(5.1) fox = f(X '...'XAlors, ave'c lea notations du th.3, -pour tout t fini 3

T(Y) converge en

probabilit4 vers la v.a.

(5.2) [Y,Y] = E ft. D f(X )D f(X )d<Xic,xjc> + E Ay2t ij i a i a a a _ta0

Si lea X1 satisfont aux hypoth6ses du th4or6me 3, et si lea d6riv6es

de f sont born4es sur 1 ,la convergence a lieu dans L'.

DEMONSTRATION. Nous pouvons supposer que XO=O. Ensuite, par un argument

presque identique celui du th4or6me 4, nous pouvons nous ramener au

.cas oil X est une semimartingale vectorielle born6e, dont lea composan-tes satisfont aux hypoth ses du th.3. Comme X est born4e, nous pouvons

nous ramener au cas oil feE1est a support compact. Nous pouvons alors2

trouver des r4gularis6es fneC , dont lea d6riv4es du premier ordred

convergent vers lea d6riv4es correspondantes de f, uniformdment sur 2

en restant born4es sur tout Rd. Les f. sont donc lipschitziennes de rap-

port K ind4pendant de n, tandis que lea fnm=fn-fm sont lipschitziennesde rapport enm tendant vers 0 l6rsque n,m tendent vers +oo.

Pour simplifier lea notations, nous supposerons qu6 d=1.

Nous avons d'abord2

S (fnox) -(5-3) T : _ K STMD'apr6s le th.3, lea v.a. S

T (f,oX) sont toutes uniform4ment int4grables,et la convergence en probabilit4 4quivaut a la convergence dans Li.

Nous avons ensuite, comme f =f +fn m nm

(5 'ST (fnox)-sT(f OX)l :5 S (f 2%/",`7Tf-4)m T nMoX)+ 7 m-o'T"7nmoX)

- (e2+2Ke ) S (X)rlm nm T

d1oil il r6sulte que, pour n et m assez grands, llesp4rance du premiermembre est petite ind4pendamment de T .

De m&me, comme foX et fmOX

sont des semimartingales, leurs crochets [,] existent, et sont la limite

en probabilit4 des 'T(fnoX)l ST(fMoX) relatives a des subdivisions de

[O,t]. On peut donc passer A la limite sur (5.4). Plus.g4n4ralement,sur un intervalle Es,t], s<t

[Ef 0X'f oxlt-Efmox,fmox]t1 -.5 (e 2 +2Ke )EX,X]tn n a a - nm rim a

Vol! en coupant CO,t] en petits bouts et en sommant

289 B3

(5.5) ftId[f X,f Xlg-d[fmoX,fmoX] (e2 +2Ke )[X,X]0 n n S 11m rim t

-d1oil une suite de Cauchy en norme variation. Comme fn est de classe2

C,la formule VITO nous dit que la partie martingale continue de

f oX est ftf'oX dXc d1oiln o n s s I

[f 2d<Xcxc 2noXgfnoXlt = f fn'oXs) 's + ":S<t '(fnoX)s0

et la convergence en norme variation permet dlidentifier la limite

comme la v.a. (5.1). Maintenant, le reste est facile :

BEIST(f,X)-[Y,Y]tl]:5 EEI',r(foX)-'T('fnoX)I]+EEI[Y'Ylt-[fnoXlfnoXltlI+EEIST(fnox)-EfnoXlfnoXltll

On choisit d'abord n grand , pour rendre la somme des deux premierstermes au second membre petit'e. ind4pendamment de T ((5.4) et (5.5)),apr s quoi on prend le pas de T assez petit pour rendre petit le der-

nier terme.

La derni re phrase de 114nonc4 provient de llint4grabilit4 uniforme

des ST(foX) si f est lipschitzienne ( mgme argument que pour (5.3)).

6 REMARQUE. LIensemble des processus Y du type consid4r4 en 5 est un

espace vectoriel ( il n1en aurait pas 4t4 de mgme si llon sl4tait

born4 a la dimension d=1 ). On peut donc "polariser" le th4or6me 5

pour d4finir EY,Y11 pour tout couple de processus repr4sentables sous

la forme (5.1).

La principale cons4quence du th-5 est le fait que le processus

(5.2) ne d4pend que du processus Y lui-mgme, non de la repr4sentationfoX choisie.

7 Nous pouvons maintenant d4finir en toute g4n4ralit4 llint4grale de

STRATONOVITCH. Soit 6 llespace des processus Y admettant une repr4sen-tation de la forme (5.1). Si H appartient a E5 , si X-est une semimar-

tingale, posons t t

(7.1) S H dX H dX + -![H,Xc]t0

U- U 0 U- U e

Si f est une fonction de classe C2( nous restons en dimension d=1

pour simplifier ), nous avons

t(7.2) f(Xt)-f(XO) ' f'(Xs_)dXs + 's_t (f(Xs)-f(Xs_)-f'(Xs_)'Xs)

0

clest a dire la m6me formule que lorsque X est un procesrs a V.F. En

effet, si nous remplagons llint4grale de STRATONOVITICH0fI(Xs)dxs

B3 290

par sa valeur (7.1), puis Ef,oX,XClt par sa valeur tir4e de (5.2),

soit f f11(Xs)d<Xc,Xc>, v nous retombons sj-mplement sur la formule d'0

ITO. Ce nlest 4videmment qul-one petite astuce de notation, le r4sultat

d1ordre math4matique 6tant le th6or6me 5. H dX ne.slinterpr te plus comme limite de sommes de la0 u- U

forme E H (Xt X ), avec s = 1(t +t ) : ce r4sultat nlest vraii si i+1- ti i 7 1 i+1

(et assez facile ) que pour des semimartingales continues ; je le

laisserai de c8t6. En revanche, ce que llon peut toujours d6montrer,clest que, bien s ix

tE. H (X -X ) converge en P. vers / H dXi ti ti+1 ti 0 u- U

et dlapr s le th6or6me 5

E1 (Hti+1 - HtiXxti+1 -Xti converge vers EH,X]t(pour simplifier, on prend XO=O Alors

(7.3) E H (X -X ) converge en P. vers ftH dX + [H,X]i ti+1 ti+1 ti 0 'a- U t

Clest dans un cours de KUNITA ( diffusions et contr8le, Paris,1973/74 ) que j1ai vu mentionn4e llint4grale de STRATONOVITCH, dans

le cas des martingales ( ou semimartingales ) continues. On y trouvera

des d6tails suppl4mentaires, par exemple le r4sultat d1approximationomis ci-dessus.

Il me semble qulil y a beaucoup A dire sur la thgorie de la

"variation quadratiquel EM,M] pour des processus M qui ne sont pas des

semimartingales - th4orie li4e a celle de 114nergie. Le sujet a 4t4

abord4 par BROSAMLER, mais on sait peu de choses en g6n4ral.

II. FONCTIONS CONVEXES ET SEMIMARTINGALES

Lorsque X est une semimartingale A valeurs dans Rd, f une fonction

C2 sur Rd, la formule VITO nous dit que foX est une semimartingale.2

Y a Vil d1autres fonctions que les fonctions C .qui op6rent sur la

classe des semimartingales ? En voici,un exemple, raisonnablement2

proche de la classe C.

d8 THEOREME. Soient X une semimartin&qle a valeurs dans R

,f une fonc-

tion convexe sur J a. Alors foX est une semimartingale.

291 B3

DEMONSTRATIGN. Nous allons traiter uniquement le cas r4el, mais le

lecteur se convaincra ais4ment que seules les notations se compliquent

en dimension d>1.

Nous commengond par traiter le cas o i X=M+A, oa M est'une martinga-

le ( non n4cessairement nulle en 0 ) born4e par une constante C, et

A un processus VI nul en 0, tel que fQojdA81 :! , C. Alors X prend

ses valeurs dans 11intervalle E-2C,+02C], et le processus foX est bor-

n6. Soit K une constante de Lipschitz de f sur 11intervalle [-2C,+2C]si d>1, voir le nO'l 6). Nous prouvons :

Le processus (foXt+ K tJdAuj) = Yt

est une sousmartingale.

Ainsi, foX est la diff6rence de deux'sousmartingales, clest une semi-

martingale.Pour prouver cela, nous 4crivons si s<t

BEYt_ySIES B[f(Mt+At)-f(Mt+As )+Kf'tIdAullEs] +E[f(Mt+As)IFS]s

- f(Ms+AS)Comme MtvAtqAs appartiennent a 11intervalle E-C,C], nous avons

If(Mt+At )-f(Mt4-As)1 5 KjAt-AsI j-_ YftJdAj8

de sorte quo la premi re esp4rance conditionnelle est positive. Quant

s), elle est positive d1apr6s 11 L la diff4rence E[f(Mt+As)IEs]-f(Ms A.in4galit4 de Jensen, M 4tant une martingale.

Maintenant, nous 4tendons le r4sultat en supposant que'les sauts

de X sont born6s par-une constante X ( y compris le saut X0 en 0 ).'

Alors X est sp4ciale, et admet une d4composition X=NfB, o-a le proces-

sus VF B est pr4visible, nul en 0.t

S = inf I t f I dBs0

qui est pr4visible (N9, p.9), et soit Sn une suite annongant S ; soit

T = SnAinf It : jNtI v I

Le processus BT=A a une variation totale born4e par 4 ,donc son saut

en T est born6 par ji, et comme le saut de X en T est bqrn4 par X, celui

de N est born4 par X+4. Comme N est born4e par v sur 30,Tj ,NT

est

born6e par \+4+v, et finalement le r6sulltat pr6c4dent slapplique

XT avec C=X+4+v .D'autre part, si t,v,n sont pris assez grands, T

est arbitrairement grand, et il en r6sulte que foX est i,,ne semimar-

tingale.Enfin, passons au cas g4n4ral : soit R

n= infit : JAXtl>nl ; X

coincide sur I O,RnE avec une semimartingale a sauts born4s, donc

foX colincide sur EEO,RnI avec une semimartingale. En ajoutant un

processus sautant seulement en Rn , on a la mgme chose sur I O,Rn111et on conclut par le th.IV.33.

B3 292

9 La oons4quence la plus importante est 4videmment le fait que, si X

est une semimartingale, JXJ en est une aussi . Par cons6quentsi X et Y sont des semimartLnggles, XAY et XVY en sont aussi.

D'autre part, on peut am4liorer un peu le th4orke 5, grace a ce

r4sultat - mais la classe de fonctions que llon obtient ainsi ne s'

explicite bien quIen dimension 1

10 THEOREME. Soit X une semimartingale r6elle, et soit f une fonction

sur 2, primitive d1une fonction ckl, , y--D+f. Soit Y=foX. AlorS,avec les notations du th.3, pour tout t fini S T(Y) converge en proba-bilit4 vers

t20X d<Xc,Xc> + E 4y2(10.1) f T

s s s<t s0

DEMONSTRATION. Nous allons proc6der comme dans la d4monstration du

th4or me 5. Nous nous ramenons au cas oil X est born4e. Nous pouvons

alors supposer que f est une fonction A support compact. La fonction

cadlag y est donc nulle hors d1un intervalle [-C,+Cl, et dlint4-

grale nulle puisque clest une d4riv4e. Nous approchons uniform4ment

y par des fonctions 4tag4es continues a droite Y. " a support dans

[-C,+C] et dlint4grale nulle. Les Yn

ont alors des primitives ; sup-

port compact fn qui convergent iiniform4ment vers f, et les fn

sont

lin4aires par morceaux, donc diff6rences de fonctions convexes. Les

processus fn0X Sont alors des semimartingales, et le raisonnement du

th4or4me 5 nous dit exactement ceci : si le th.10 est vrai pour chaque

fnp il est vrai aussi pour f.

Nous allons d4montrer qulil est vrai pour toute fonction f

par une m4thode qui aboutit a red4montrer le th4or me 8, de mani re

moins 416mentaire, mais qui par ailleurs fournit des informations

int4ressantes, malheureusement, en dimension d=1 seulement

11 Nous continuons a supposer, pour simplifier,-que X est une sur-

martingale born6eq a valeurs dans [-C,+C] - nous pouvons m6me, au

d4part, supposer que X=M+A, oa M est une martingale born4e, A un pro-

cessus VF nul en 0, pr4visible, a variation totale born4e ( cf. la

d4monstration du th4or6me 8 ).

(1) Je sais peu de choses sur les propri4t4s de diff4rentiabilit4 des

fonctions convexes de plusieurs variables, et cela me g&ne dans les

nos qui suivent.

293 B3

Nous allons 6tablir une formule du changement de variables pour une

fonction convexe f sur R. Malheureusement, il nly a pas une coh4rence

parfaite entre les calculs ci-dessous et les notations de 114nonc6

10 : cp d4signait la d4riv4e a droite de f, tandis que P est mainte-

nant la d4riv4e a gauche de f. Ce nlest pas grave !

Soit fn(t) = nf +Df(t+s)j(ns)ds, oa j est une fonction positive-OD

COD support compact contenu dans 11 intervalle l- , 01 td I int 4grale 1

Alors fn est convexe de classe C2, et lorsque n->m fn' tend en crois-

sant vers fl. Ecrivons la formule du changement de variables pour fn(11.1) f (X f (xc,) + I

tf,1oX. dX, + An

n t n 0+- t

nt c

E (f X f X Pox AX ) + if f"oX d<X ,Xc>O<s<t no s- no s-- n s- s 2 n s s

0

Nous remarquons que(An ) est un processus croissant, en raison de lat

convexit4 de f, et nous faisons tendre n vers 11infini. En vertu des

hypoth6ses faites sur X, f (X ),f (XO)q ItVoX dX convergent dans

2 tn t n 0 n s- s

2L vers f(X ), f(XO), I fl(X,_)dX, ,

donc e converge dans L vers unet 0

t

v.a. A .Comme (e) 4tait un processus croissant, (A ) peut aussi se

t s s

r4gulariser en un processus croissant continu a droite. Ainsi

(11.2) f(Xt) = f(xc;) + Itf,oxs_dXs + At0+

Maintenant, comparons les sauts des deux membres. En 0, llint4grale

stochastique slannule , f(Xt )-f(x6 ) aussi, donc AO=O. En t, le saut

de f(Xt ) est f(Xt)-f(Xt_) ,le saut de llint4grale stochastique est

ft(Xt_)AXt ,donc le saut de A est f(Xt)- f(Xt-)-f,(Xt- )AXt et nous

avons la formule du changement de variables pour fonctions convexes

(11.3) f(Xt)=f(Xo) +ftf'(Xs_)dXs + Eo.:: S.':z t(f(xs)-f(xs-)-fl(xS_)axS)0+

+ Cft

O-a Cfest un processus croissant continu. Nous allons continuer

discuter cette formule, mais auparavant, achevons la d6monstration

de 10.

Tout d'abord , (11.3) red4montre llessentiel du th.8 ,A savoir

que foX est une semimartingale lorsque f est une fonction convexe,

ou une diff6rence de fonctions convexes. Mais de plus, il nous donne

la partie martingale continue de foX = Y dans ce cas : clest

It fl(X )d<Xc,Xc> . Alors EY,Y] = ft(f'(X _) 2d<Xc,Xc> + L 6y2

0' S_ s t 0 s s s sI

et comme <XO,Xc> est continue, cela 4quivaut , 00.1). Le th4or6me 10

6tant vrai pour les fn' diff4rences de fonctions convexes, il est

vrai pour f.

B3 294

12 Revenons a la formule (11.3). Nous commengons par remarquer qUIellesl6tend - par un argument dlarr t d6ja employ6 a plusieurs reprises -

a une semimartingale X cMtelclonque. Notre but va kre d'6tendre a X la

formule de TANAKA relative av. mo-avement brownien

+ + t 1 0B =B + f I idBs + =ILt 0

0 IBs>0 2 t

O-at est.le temps local en 0 - il est bien connu que le temps local

ne crolt que sur l1ensemble des z4ros de(Bt).A cet effet, nous 6crivons (11.3) pour les fonctions f(t)=t

f(t)=t- , en notant C+ et C--les processus croissants correspondants.Par exemple, si f(t)=t fl(t)=i 10,ODE

- si X >0, f(X )-f(x )-f,(X )&XS = X+-X -(xs-x )=X+-Xs=x- 9s- s s- s- s s- s- s 8

- si X <10 M )-f(X )-fI(X )AXS = X+

S- s s- s- s

( il est difficile de prononcer mentalement la diff4rence entre X-s

et X,_ Nous pouvons done 4crire

(12.1) X+=-X+- + fti dXs + EO<, + E ++ C+t 0 Ix >0 S<tI Ix >0 IXs O<s<t Ix <OIXs t0+ 8- s- S-

De mgme pour f(t)=t- , fl(t)=-I I-00,01- -

t+(12.2) Xt=X0 - if) _:50jdXs + Eo<s<tI Ix >0 IxS+ LO<S<tIIx <OIX, + Ct0+ s- S-

D'o-a en prenant une diff4rence

C_C- - 0t t

et il est naturel de poser

(12.3) C+-C- =1 0t- t tLt

oa Loest-le processus croissant correspondant a f(t)=Itl.

Nous d6veloppons maintenant les cons4quences assez 4tonnantes dela formule (12.1). Tout d'abord, regardons la somme

(12.4) E I X-+E I X+

O<S; -t Ix >01 s O<S;- t Ix :501 ss- S--

Elle est p.s. finie. Cela exprime que les sauts qui enjambent 0 enjam-bent I'de peull 0

. Ensuite, remplagons X,par -X dans la formule (12.1)x--X-- - ftI

<0 I dXs + E I + EIX X- + C_0 IX+t 0 Ix O<s<t I X s >0 I s t0+ s- s- S--

( a+ est a priori distinct de C), et prenons une diff4rence avee

(12.2). Il tvient une expression de fIfxs-=o jdXs(12.4) IIX =OjdXs = Eo<s<tIIX ---Z+_OIAXS + C

0+ s- 8-t t

le second membire 6tant un processus A variation finie (. i.e., la s6rie

est absolument convergente ). Le c6t6 droit n1a pas de partie

295 B3

martingale continue, donc il en est de m6me du c8t4 gauche, autrement

ditt

(12.5) I,Xs_=Oid<XCOXC>s = 00

Par exempleg si (Xt )=(Bt ), le mouvement brownien, on retrouve le fait

que l1ensemble-des z6ros de (Bt) est n4gligeable pour la mesure de

Lebesgue. Mais on'd4montre mieux : soit (Yt) n1importe qu6lle martin-

gale orthogonale au mouvement brownien, ou mgme n1importe quelle semi-

martingale dont la partie continue est orthogonale A (Bt). Alors 11

ensemble I t : Bt=Yt1. est n6gligeable pour la mesure de Lebesgue. Enc c

effet, appliquons (12.5) avec X=B-Y, et remarquons,que <X ,x It =

<13,B>t+ <YC,Yc>t 1.

Maintenant, nous montrons que C+

ressemble vraiment A un temps local,

clest a dire que dC+

est une mesure al4atoire Port6e par l1ensemble

Is : XS_=X8=01.Consid4rons deux rationnels u et v, u<v, et soit H

uVl1ensemble des

w tels que Eu,v] soit contenu dans I s: X (w)<O dapr6s le ca-S_

ract re local de 11int6grale stochastique ( nosIV. 27-29 ). on a

IV IIX >0 dXs = 0 p.s. sur HUV

. Dans la formule (12.1) relative AU+ S_

+11intervalle Eu,v], on a aussi E I X- =0

,x =0

U<B<V I x >0 I s uS_

+ +E iX+ = X

+sur H

,d1oa finalement C -C = 0 sur H

.U<S<IVIIX <0 s V UV V U UVS-

Comme l1int6rieur de l1ensemble IX <Oi est la r4union des intervallesS-

A extr4mit4s rationnelles qalil contient, nous voyons que

dC+ ne charge pas llint4rieur de IX <01t S-

En particulier, il ne charge pas llint4rieur de IXS_

<01, qui pst un

ensemble ouvert A gauche, et ne diff re de son int4rieur que par un

ensemble d4nombrable ( que dC+ne charge pas non plus ). Ainsi

dC+

ne charge pas IX <01s

De la m me mani re, soit Kuv l1ensemble des w tels que [u,v] soit

contenu dans f s : XS_

(w)>01. Sur KUV

on a p.s. IV Ijx >0 idXs+ +

U+ S_

X -X, on a X = x

,E IIx <01xs =0

,EU<S<Vilx >01 xs = xV,

V u u u U<S<VS- S_

dlo- l a nouveau C+-C+ = 0 p.s.. AinsiV u

dC+ ne charge pas llint4rieur de IXs-

>01 ( et donc ne charge

pas jxs_>01 , qui en diff re par un ensemble d4nombrable ).

Pour finir, dC+

est port4(e) par IXS_

=01 - et m me, par cet ensemble,

priv4 de son int4rieur. Comme dC ne charge pas les ensembles d4nombra-

bles, on peut remplacer cet ensemble par lXs_=X,s=Oi si llon veut.

B3 296

013 Nous avons d6fini Lt . le " temps local en 011

, qui intervient dans

la formule du changement de variables relative i f(t)=Itl. Il est

clair que llon peut d4finir de m6me le 'temps local en a' , relatif

f(t)=It-al. Il est moins clair que llon peut choisir des versions de

ces "temps locaux" qui d4pendent mesurablement du triplet (a,t,w)cela r4sultera du Worke de C.DOLEANS-DADt sur les int4grales sto-

chastiques d4pendant d1un param6tre, quIon verra plus loin ( je lles-

p6re ). Un tel choix 6tant fait, on peut en principe calculer tous

les processus croissants. Cf de la formule (11.3). Soit en effet la1

tmesure positive ji = tf" ( d4riv4e seconde de f au sens des distribu-

tions ) .Je dis quIon a alors

(13.1) Cf = f+ooLa ji(da)t-00

t

Pourquoi cette int4grale a t1elle un sens ? Parce quIen r4alit4, pour

t et w fix4s, on a La(w)=O pour a assez grand, le temps local ne com-tmengant A crol'tre quIA partir du premier instant o-a Xs(w)=a, et la

trajectoire Otant born6e sur [O,t].Le principe de la d4monstration est tout a fait simple. En vertu du

caract6re local de 11int4grale stochastique, on a le r4sultat suivant

si llon a deux semimartingales X.et 5t, sur llensemble des w tels que

x (W)=X (w) sur [O,t], tous les temps locaux La( w) et ja(w) sont 4gauxs r nous omettons les d4tails ). On peut alors ;e ramener au

cas o-a X est born4e, A valeurs dans un intervalle compact J. On peutalors 4crire dans J

f(t) = a+Pt + f jt-xj t(dx) = a4Pt + g(t)i

et on a simultan6ment

f La ji(da) f La t(da) puisque La=O pour a J

f=Cgi,et d1autre part C car'foX et goX ne diff6rent que d1un processus

de la forme a+PX pour lequel aucun terme continu a variation born4e

nlest n4cessaire. On est donc ramen6 au cas o-a ji est a support compact,la fonction convexe 4tant de la forme f(t)=Ijt-xj t(dx) - clest alors

simplement le th4or6me de Fubini.

14 La formule (13.1) a une cons4quence importante : lorsque f(t)=t2, on

a Cf = < XC,Xc >,

d'o-a la formule

c c+00

a(14.1) < X x >t = I Lt da p.s. sur n

il slagit ici d1une identit4 entre mesures : donc si h(s,w) est une

fonction positive, mesurable du couple, on a

297 B3

(14.2) f00 h(s,w)d--XC,Xc> (w) = f+coda fw h(s,w)dLa(w)0 -00 0 s

en particulier, prenons h(s,w)= I 10,t] (s)j(X,,(w)), o i j est mesurable

positive sur IR. Il vient

ftj(X (w))d<XC,Xc> (w) = 1+00

da Itj(X (w))dL' (w)0 8 s

-00 0 s s

et comme dLa(, ) est port6e par l1ensemble I s : X (w)=a 1, on a sim-s

plement tC, c

+00

a(w)(14.3) j(X,(w))d<X X >S(W) Lt J(a)da0 -00

ce qui sl4nonce ainsi : pour presque tout w, 11image de la mesure

d<Xc,Xc>s(w) gur EO,t] Ear l1application st-->X, (w) est une mesure

sur I absolument continue par rapport Ala mesure de Lebesgue, dont

la densitg est La(w).t

Cette interpr4tation du temps local comme densit4 d1occupationest bien connue dans le cas du mouvement brownien, o-h <XC,Xc>t=t .

Mais si Pon prend Xt=Bt-a(t), par exemple o-a a(t) est une fonction

a variation born4e et Bt

est un mouvement brownien, on a encore

<XC Ixc>t=t ,d'o-a le m&me r4sultat. Si a(t),='fth(s)ds, o-a fth2(s)ds<oo

,

0 0alors la loi de (Xt) est absolument continue par rapport a celle de

(Bt ), avec une densit4 calculable explicitement ( nous verrons cela

plus tard, JIesp6re ) : il nly a done pas lieu de sl4tonner , puisqueles 11 p.s. sur Q " sont les m mes pour les deux mesures. Mais si a(t)nlest pas de cette forme, il y a lieu de sl4tonner 1.

'

15 Revenons aux formules (12.1) et (12.2), que nous 4crirons

(15.1) x+ = x+ + ft I i dXs + Gtt 00+ Ix

s->0

xt = x0 - it I jx -o dXs + Gt0+ S-

o-a G est le processus croissant E (I X- +I x+ )+CIO<s<t Ix >01 s IX <01 s t

s- S--

Supposons que X sl4crive XO+M+A, oa M appartient H et M0=0, o-a A

est a variation int4grable, pr4visible, avec AC.=O. Alors les premiers

membres sont int4grables,,les int4grales stochastiques aussi, et done

Gt

aussi : Gtadmet done un compensateur pr4visible, que nous noterons

U ,et nous introduirons de mani re analogue le processus croissant

f t

pr4visible Aapour tout aeR Ainsi, nous pouirons 4criret

ta

(15.2) IX -al = IX -al + f sgn(X -a)dX + A + martingalet 0 0+ s- s t

B3 298

Avec les hypoth6ses ci-dessus, on a B[Aal < oo .Il faut noter quet

Aa nlest pas d6fini de mani re absolument intrins6que : on a pris detmani re assez arbitraire que sgn(O)=-l ( c.ontinuit6 a gauche si

llon avait convenu par exemple de prendre pour f1 la demi-somme des

d4riv6es a droite et a gauche de f, les formules du changement de va-

riables pr4c4dentes seraient restges vraies ( a condition de modifier

simultan4ment la d4finition dans llint4grale stochastique et dans les

sauts on aurait eu sgn(O)=O ,et 11int6grale stochastique aurait

4t6 modifi4e d1un multiple de ft I IX,_=aldXs; le terme It II jdMs0+ 0+

est une martingale, et n1aurait rien chang4, mais Aa aurait 4t4 modifi6

d1un multiple de itIIX =a IdAst

0 S_

Admettons qutil existe des versions de Aa d4pendant mesurablementt

de (t,a,w), et supposons que M soit une martingale de carr4 int6grable,2

que A ait une variation totale de carr4 int6grable, et que X0eLSi HeFO p on a

IXt-aIP = fjXO_aIP + fP ftsgn(X,_-a)dXs

+ f a pH H H G+ H t

int6grons en a, d'abord de -0 a'C en nous appuyant sur les formules

fCIt-ajda = t2pour ItI.:50 2CIt I _C2 pourt !C

-C

jrc sgn(t-a)da 2t pour It I:EzC 2Csgn(t) pour t >C-C

puis faisons tendre C vers + oo. Il vient

f x2p = f ( X2+ It 2X dX + f +ODAada )P

H t H0

0+ S_ s-00

t

ou. encore, avec un peu plus dleffort ( d6calage en sell+x2 = X2 + 2ftX dX + f +oD a

da + martingalet 0 1. S_ s t

que nous comparons a

2=

2+ 2ftX dX + ftd[X,XIX; X6

0+ s- s 0+ s

pour d4duire que, si <X,X> d4signe la compensatrice pr4visible de

Ex'XI, on a

--Xpx> = X2 + I +oo Aadat 0

-ODt

Ce qui est amusant dans cette formule, clest que toute semimartingale

sp4ciale admet des arAt4es satisfaisant aux hypoth4ses initiales du

n015, et que llon peut donc d4finir par recollement des processus pr4-

visibles Aa, tandis que <X,X> n1a de sens que pour des semimartingales

t

sp4ciales "localement de carr6 int4grable".

299 B3

Lorsque X ne poss6de pas de partie martingale continue, la formule

(14.1) montre que les temps locaux La ne servent a rien, et il est ten-t

atant de les remplacer par les At . On est donc amen4 a se demander si

,a 8upposer qulil soit continu, clest 6. dire que les sauts de Xtsoient totalement inaccessibles - est port6 par l1ensemble Is:X,=ai.Stil en est ainsi, <X,X> sera 4galement continu, et on pourra.inter-;-

pr4ter Aa

comme densit6 de la mesure image de d<X,X> Sur [0,t] partla trajectoireq a la mani6re du n014.

Il est impossible de donner une r4ponse g4n4rale A cette question- apr s tout, en th4orie des processus de Markov, il faut bien suppo-

'ser que les points ne sont pas polaires, et on ne poss6de pas de cri-

t re g4n4ral pour cela .En'voici cependant llinterpr4tation probabi-

liste. Pour tout r>O, posons

T = inf I s>r : Xs=ar

Le processus croissant Ga,( formule (15.1)) ne charge pas 11intervalle

ouvert 11r'.Tr[E. Si llon sait affirmer qulil ne charge pas 11intervalle

11r,Tr11, qui est pr6visible, on saura aussi que sa projection duale

pr6visible 2Aa ne charge pas llr,,Tr11, et en faisant parcourir ia r

l1ensemble des rationnels, que Aa ( suppos4 continu ) est port4 par

l1ensemble f s : Xs=a 1. Maintenant, Ga charge 11intervalle 11r, TrIlsi et seulement si, par exemple, Xr(w)<a et la trajectoire X.(w)p4n6tre par un saut dans la demi-droite ouverte la,oo[. Pour beaucoup

de processus a accroissements ind4pendants, on sait qu'un tel compor-

tement est impossible. Voir par ex. dans le s4minaire V l1expos4 de

BRETAGNOLLE Sur les travaux de XESTEN.

16 Il est tr s vraisemblable que la formule (11.3) admet une bonne

extension aux dimensions d>1, mais je ne sais pas le prouver. Je vais

me borner a des r4sultats fragmentaires.

Peut tre est il utile de prouver ici le r4sultat, n4cessaire au

th.8 en dimensio.n.d, suivant lequel une fonction convexe Sur Ed est

lipschitzienne Sur tout compact. Soit B une boule ferm4e de Ed, et

soit un nombre m < inf f(x) . D'apr6s le th. de Hahn-Banach, f estxeB

4gale Sur B A l1enveloppe supdrieure des fonctions affines h telle&

que m<h<f Sur B. Ces fonctions affines forment un compact dans lles-

pace localement compact ) de toutes les fonctions affines Sur ad,leurs pentes sont born4es, elles admettent donc une m6me constante de

Lipschitz K, et leur sup est aussi lipschitzien de rapport K.,

B3 300

Dans des cas concrets, il est assez facile d'4tendre en dimension d>1

la m6thode et le r6sultat du nO11. Par exemple, soit Y(t) une fonction

convexe sym4trique de classe 02 sur R, telle que y(t)=t pour jtj !%

En approchant la fonction f(x)=Ixl par fn(x)=T(nM)/n, on aboutit a

nne formule du changement de variables pour le module d1une semimartin-

gale vectorielle. Je ne peux pas en dire plus...

III. SUR CERTAINES PROPRIETES DIINTEGRABILITE UNIFORME

Voici 11origine du probl6me que llon va traiter ici.

Consid4rons la forme la plus classique de llin6galit4 de DOOB

X d4signant une martingale , soit U-b le nomb're des mont4es ( uperos-a

sings ) de X au dessus de la,b[ jusquIA 11instant t. Il est bien con-

nu que (b-a)EEUb] est une quantit6 born4e. Nous nous 4tions pos4 il.a

y a six ans au moins, DELLACHERIE et moi, le probl6me de rechercher

la limite de eUa+e lorsque e- --O ( dans le cas o-a X est le mouvementa

brownien, cette limite existe p.s., et est li4e au temps local de a

1L'id6e naturelle consistant a utiliser la topologie faible de L, nous

nous 4tions demand6 si les v.a. (b-a)Ub sont uniform4ment int4grables.a

Et le r4sultat de ce paragraphe est une reponse affirmative a cette

question, sous des conditions tr6s larges. Mais le probl6me ne cons-

titue qu'un pr6texte pour 114tude de llint4grabilitd uniforme de cer-

taines parties de llespace H

17 Reprenons la d4monstration classique de.

11 in4galit6 de DOOB. Posons

T = inf I s X <a I A t1 S=

T = inf js>T : X >bj A t2 S=

T = inf js>T : X <aj A t3 2 S=

et ainsi de suite. Consid6rons la variable al6atoire

Hb = (X ) + (X X termes pairsa T2-XT1 T4- T3

Pour chaque w, cette somme ne comporte qu'un nombre fini de termes non

nuls, dont les premiers correspondent aux mont4es de X M par dessus

11intervalle ]a-,b[, tandis que le dernier vaut (Xt-XL)IA Io-a L est

le dernier des T2k-1

< t, et A est 114v4nement 'Ila trajectoire ne

remonte plus au dessus de b entre L et t ". On a donc (b-a)Ub +

ba

H ,donc comme XL<a-XL)IA '=(Xt ab b IP + (a-X )+

(b-a)U < H + (X X )I a ta a I- t A

Hb + 2X*a t

301 B3

(Dans tout ce paragraphe, on emploiera la notation X; pour notert

sup t JXSJ , et X* pour X* ). La premi6re majoration est tradition-S_ OD

nelle ( in4galit6 de DOOB ), la seconde plus brutale 41imine compl6-tement le r8le de a et b dans le probl6me dlint6grabilit4 uniforme,d6s que X* est int4grable, et le ram ne a un probl6me sur les int4gra-tles stochastiques. En effet, on peut 4crire

Hb = ftJ dX,oa J=I +I est pr6visible,

a 0 s s ]T, T21 ]T3' T4 .compris entre 0 et 1

On est donc amen4 A se poser le probl6me suivant, beaucoup plus int4-

ressant que le problke initial ; t y est suppos4 fini :

Pour quelles semimartingales X peut on affirmer que toutes les

int6grales stochastiquest

iSdXs ,oa J est pr4visible et IJI:51,

forment un ensemble uniform6ment int4grable ?

La r6ponse est tout.a fait simple18 THEOREME. X Poss6de la propri6t6 (18.1) si et seulement si la semi-

martingale arr&t4e Xt sl6crit Xt=14+A, di N appartient A H1

et A est un

processus a variation int6grable.

De plus, on obtient la m me classe de processus en remplagant dans1 ,(18.1) 11 uniform4ment int4grable" par 11 born4 dans L

t tDEMONSTRATION. Quitte a remplacer X par X

, nous pouvons remplacer f

par Im .D'autre part, en prenant J =0 pour s>O, on voit que XCI

0

0 S

doit &tre int4grable, et on se ramene au cas o-a XC,=O.La propri6t6 (18.1), ou sa forme affaiblie, entraine que X est

sp4ciale. Nous utilisons le crit6re IV.32, d) . Soit le temps d'arr&t

T = infl s IX j_-2nj A infl s E AX2 > ns r<S r =

eLl doncPrenant J=I[O,T] nous avons que XTeL donc AXTAX

2 1/2eLI et X est sp4ciale.r<T r)Ecrivons alors X=DI+A, o i M est une martingale locale nulle en 0

et A un processus VF pr4visible nul. en 0. Soit (Ds)une densit4 pr6visi-ble de la mesure dA

Spar rapport A JdAsI , prenant les valeurs.+1 et

-1. Soit J=I[O'S1D ,di S r4duit fortement la martingale M. Alors

100

J dXs = foOJ dMS + fSjdA 1. En int6grant, et en notant que le pre-0 s 0 S S 0 s

mier terme au second membre a une esp4rance nulle, tandis que le pre-

mier membre est born6 dans L 1, on voit ( lorsque StoD) que A est a

variation int4grable. Mais alors, il est clair que les v.a. f00JsdAs0

B3 302

sont uniform4ment int6grables, et par cons4quent il en est de m6me

des fOD JsdMs Prenant J=I[O,R] ,oil R est un temps d'arr&t, on voit

0

que la martingale locale M appartient a la classe (D)v donc est une

vraie martingale uniform6ment int4grable.1Reste a voir quIelle appartient a'H

. A cet effet, d4signons par

T une subdivision finie (ti) de [O,ool, et d6signons par (sk (w)) une

suite de v.a. ind6pendantes , d6finies sur un espace auxiliaire (W,G,11),prenant les valeurs +1 avec probabilit6 112 ( fonctions de RADEMACHER).Dlapr s la propri4t6 (18.1), il existe une constante K telle que llon

ait, pour tout w

fle'(w)(M (w)-Mt (W) )+--+e (w)IP(dw)<K()

0 t1 0 n- 1 (w) (MoD (w) -Mt

n-1

Int4grons en w , ce qui revient a int4grer sur Wxn par rapport a

p&P ,et intervertissons-:

(18.2)fP(dw)f t(dw)je,(w)( )+ en-l(w)( K

Maintenant, il existe un lemme classique, le lemme de KHINTCHINE, quidit ceci : quels que soient les nombres a

ia2)1/2f L(dw)jaOeO(w)+...+an-1 en-1 (W)n

en ce sens que le rapport des deux membres est born4 inf4rieurement

et sup4rieurement par deux constantes >0, ind4pendantes de n . Appli-quant ce r4sultat a (18.2),Inous voyons que notation S n03

E[ ST ) j :- cK o'a c est une constante

et maintenant nous appliquons le n'4, et le lemme de Fatou, pour en

1d4duire que E[q7Y,,MT- 1 -:5 cK,de sorte que M appartient a H

OD

La r4ciproque est sans doute plus int4ressante. Si X--M+A, oa M

appartient a Hi et A est a variation int4grable, 1'es v.a. f(DJSdAs

00 1 0jil-:5 1 ) sont toutes major4es par f JdAsJeL .Il nous sUffit donc

iGD 10

de montrer que toutes les v.a. sdMssont uniform4ment int4grables.

Nous allons montrer mieux : les v.a. (J-M)* sont uniform4ment int4-

grables. Nous en donnerons une d4monstration rapide par un th4or6me

marteau-pilon, et le principe d1une d4monstration 416mentaire.

Rappelons le lemme de LA.VALLEE POUSSIN ( Probabilit6s et Poten-

tiels, le 4d. n' 11.22 , 2e 6d. ,m6me num4ro ). Une famille de v.a.

positives Zi est uniform4ment int4grable si et seulement slil existe

une fonction sur JR+ , convexe, croissante, telle que (O)=O, que

limt-> w V(t)=+(3D., et que sup, E[(Zi)]<oo . Quitte a remplacer

303 B3

par ft '(s)As ds, nous pouvons supposer que eat a croissance0

mod6r6e. Appliquons ce r4sultat A l1ensemble constitu4 par la seule

variable int6grable et posons J.M=N. Comme nous avons

EM,M], nous avons aussi E[(,/[IT,-VTCD

Par[N,N]. co

cons4quent, d1apr6s llin4galit6 de BURYCHOLDER-DAVIS-GUNDY (IV.30)

E[ (N*)] < cE[(qf[F-,RT ind4pendamment de J

et lea v.a. N* sont uniform4ment int4grables.

Pour 4viter 1'emploi du lemme de L-V.P., on peut proc4der ainsi.

On part de IV.29.2 in4galit4 de DAVIS, moiti4 facile )B[N* -N*_l cE[JN,NJ--LN,Nj,- :5 cE1JM,MJ. -LM,MJT-IfT100 T ET-1 T-IET3

-

Prenant T = inf I a : N*>I\l inf I a : IN I>X1 on a N* <A eta a T-

par cons4quent , comme IT<oD I IN* >X Ico

(N* -X)P < 'F7. P

IN >X 1 00 = IN* >XjCD OD

Sur IN* >2XI on a N*-X > N* /2 ,

doneOD OD = OD

I N* P < 2cl 'Vq7PIN* >2X ICo =

>x II N*00 OC)

D'autre part , E[N* ]:5 cE[W7], done PIN* >XI tend vers 0 lorsque X--OD - 00

uniform4ment en N ( ou J ), et llint4grabilit4 uniforme en d4coule.

19 Nous revenons maintenant au probl me pos4 au d4but du paragraphe.

Il r6sulte imm4diatement de la discussion du n'15 que si X satisfait

aux conditions du th.18, toutes lea v.a.(b-a)Ub sont uniform4ment in-

t4grables ( majorer le reste 0 par 2X*eL' ).a

a

Soit maintenant X une semimartingale quelconque, que nous 4crivons

X=XC+M+A ( M eat une martingale locale nulle en 0, A eat VF nul en

0 ). Il existe des temps d'arr&t Tn

tendant vers +oo tels que

- x0 soit int4grable sur ITn>01- T r4duise fortement M ( done M n appartienne a H

fTn-IdAsI soit int4grable0

Wsignons par U" ( il faut bien laisser de la place pour t let

nombre de mont6es de X sur la,b[, jusqu'a 11instant t compris : ce

sont des processus croissants continua a droite, nuls en 0, et le

r6sultat pr4c4dent nous dit que

pour tout n, lea v.a. (b-a)Uab sont uniform4ment int6grablesTn

B3 304

(appliquer le th4orgme a la semimartingale YT

t=XOIIT,01+"; + -'-t,ltTi+ AT_Ilt>Ti ). Comme on a Uab < Uab_ + 1, on a le m5me r4sultat surTn = T

n

les intervalles [0,Tn] ferm4s, A condition que, b-a reste born6.

20 Nous apportons maintenant un compl4ment au th4or6me 18.

THEOREME. Soit X une semimarLin ale. Supposons'BL_

_que pour tout Droces

--6 sus pr6visible J tel que JJJ-:51 la v.a. f J dX soit int6grable. Alors0 S, s

1l1ensemble de toutes-ces v.a. est born4 dans L ( et a-lors, d1apr6s18, X satisfait a (18.1), et l1ensemble de toutes ces v.a. est unifor-

m4ment int4grable ).21 COROLLAIRE. Soit M une martingale uniform4ment int4grable, mais n1ap-

partenant pas Hi. Il existe alors un processus pr6visible J tel que.

IJI-51 (J.M)OD

L1.En effet, si M est uniform4ment int4grable, on peut appliquer le

r4sultat pr4c6dent A la(semj)nartingale X d4finie par

Xs = s --S <1 " XS=MODsi S>1MS11-S i O=

de mani6re A se ramener 9. un intervalle de temps fini ( bien entendu,il faut effectuer ce changement de temps sur les tribus aussi ). On

construit alors un processus pr4visible -J par rapport A la nouvelle

famille de tribus tel que (-J-X), Ll, et on pose Jt= jt/i+t , Alors

on a (J-M). = (7-X), t car -j-X et X sont continues au point 1.

DEMONSTRATION DU TH.20. La condition de 114nonc4 entralne que XO(=(IjOI-X)t ) est int4grable. On peut done se ramener au cas oil XO=O.Puist en arr9tant X A t, nous pouvons nous ramener au cas o x toutes

les int4grales stochastiques f00JsdXs existent et sont int4grables.0

Comme dans la d4monstration de 18 (d4but),nous voyons que X est sp4-ciale, et considgrons sa d4composition canonique X=M+A ( M martingalelocale nulle en 0, A pr4visible 9. VF nul en 0

Soit (Tn ) une suite croissante de temps d'arr&t, tendant vers +oo,telle que les v.a. fTn JdAsj soient int4grables et que les T

nr4dui-

0sent fortement M. Soit P llespace de Banach des processus pr4visibles,muni de la norme de la convergence uniforme. Si des JkeP convergentdans P vers J, les int4grales stochastiques foo ikdX Convergent en

OD0

OD tprobabilit4 vers JsdXs . Pour le voir, on remarque, que

305 B3

que l1ensemble ITn<tj a une probabilit4 petite pour n grand, et que

sur JTn tj les int6grales stochastiques coincident avec les int4gralesTn

par rapport A X pour lesquelles on a convergence dans L1. Il en

.' 'r6s-62te que la fonction r4elle positive F sur P

F( J ) = EE I fODJ8Us I I0

est semi-continue inf6rieurement sur P ( lemme de Fatou ). Notre

hypoth6sd sur X signifie que cette fonction est finie sur P. Dlapr s

le th6or6me de Baire, l1un des ferm6s I J : F(J):5n I a un point int4--

00rieur, ce qui signifie que l1application lin4aire J-- ,:j J dX de P

10 s s

dans L admet un point de continuit4. Elle est alors born4e, et le

th4or me est kabli.

IV. SUR LE THEOREME DE GIRSANOV1

22 Nous conservons toutes les notations pr6c4dentes, et consid4rons

une seconde loi de probabilitd Q , 4quivalente A P. La famille de

tribus (F.) satisfait alors aux conditions habituelles par rapportI'U'

aussi bien qu'A P, les ensembles 4vanescents, les tribus option-

nelle et pr4visible sont les mgmes pour Q et pour P. Soit M la martin-

gale/P

(22.1) Mt

= Ep[MoojEt]O-a M est une densit4 de Q par rapport a P sur F

. Alors, pour toutOD =GD

temps d'arr6t T, M est une densit4 de Q par rapport a P sur F. La

T =T

martingale M est positive, uniform6ment int4grable. Il est bien con-

nu qu'une martingale positive ( ou mgme une surmartingale positiveM garde la valeur 0 A partir de 11instant inf I t : Mt=0 ou M

t-=0

cf. probabilit4s et pptentiels, VI.T15 ). Comme Q et P sont 4quiva-

lentes, M00

est P-p.s. strictement positive, donc pour P-presque tout

w la fonction M (w) est born4e inf4rieurement sur [O,ool par un nombre

>0 ( elle est aLsi born6e sup4rieurement par un nombre fini, mais

clest plus banal ). Nous dirons que M est la martingale fondamentale.

Un processus cAdlag X est une martingale/Q si et seulement si le

processus XM est une martingale/P. Il en r4sulte aussit8t quo X est

une martingale locale/Q si et seulement si XM est une martingale lo-

cale/P. Cela va nous permettre de d4montrer sans peine le th4or6me

suivant, cas particulier d1un r4sultat qui semble avoir 4t4 4tabli

ind4pendamment par divers auteurs ( sous des hypoth6ses variables

1. Ce paragraphe r4sulte de discussions avec C.DELLACHERIE et C,YOEUR-P.

B3 306

d"16quivalence locale" de mesures : je pense que le r4sultat le pluscomplet est d z A JACOD ).

23 THEOREME. X est une semimartingal2e/Q si et seulement si X est une

semimartingale/P.

DEMONSTRATION. Il suffit 4videmment de montrer que toute martingalelocale/Q X est une semimartingale/P. Or XM est une martingale loca-

le/P , que nous noterons Y. Autrement dit, il suffit de montrer quesi Y est une martingale locale/P, y

est une semimartingale/P. Ou

encore, que 1/M est une semimartingale/P. Il nlest pas tout fait

6vident que la formule'du changement de variables yuisse slappliquer.;! la fonction F(t)=1/t, qui nlest pas de classe 02 sur la droite,mails on peut 116tablir par l1argument de localisation de IV.21 ( quinous a permis de supprimer llhypoth se que les d4riv4es de F 4taient'

born4es sur I Un autre argument simple est le suivant. Soit

Tn

inf I t : Mt:5 1/n I

et soit Nn = M I MT -I Alors Nn est une semimartin-t t It'T I + jt>Tn n = n

gale/P born4e inf4rieurement, et il est imm4diat que 1/Nn est une

semimartingale/P. Comme les Tn

tendent vers +aD, on peut appliquerle th4or6me IV.33 : 1/M coincide sur 11intervalle ouvert [[O,TJEavec la semimartingale 1/Nn , elle coIncide donc sur 11intervalle

ferm4 E[09T'11 avec une semimartingale, et clest une semimartingale/P.n

24 Soit X une martingale locale/P . Pouvons nous faire apparaltreexplicitement X comme une semimartingale/Q , clest a dire d4terminerun processus A VF A tel que X-A soit une martingale locale/Q , ou

M(X-A) une martingale locale/P ? Une telle d4composition fait 11objetd-u th4or6me de GrRSANOV, 4tabli en to-ate g4n4ralit4 dans le travail

de YOEURV, auquel nous renverrons. En voici un dnonc6. Introduisons la

martingale locale/.Pt dM(24.1) Lt= fM

s de sorte que M = MO&(L).0 s-

Alors, si le crochet oblique <X,L> existe, X-<X,L> est une martingale

locale/Q, M(X-<.X,I>) une martingale locale/P. Mais que peut on dire si

le crochet oblique n1existe pas ?

THEOREME. Soit X une martingale locale/P. Alors X-B est une-martingale

locale/Q, oat d[X.M](24.2) Bt= f

Ms = ft M9=d[X,L]

s0 s 0 MsX est une semimartingale sp4ciale/Q, i.e. il existe A pr4visible tel

que X-A soit une martingale locale/Q, si et seulement si <X,L> existe,

et alors A--.,:-X,L> A un processus constant pAs.

307 B3

DEMONSTRATION. Il slagit de trouver B tel que M(X-B) soit une mar-

tingale locale/P . Dans la formule dlint4gration par parties suivante,

les diff4rentielles soulign4es d1un===

sont celles de martingales

locales/P

d(M(X-B)), = (X-B)s-dMs+ M

s-dX

s -Ms-dBs +d[M,X-B]s

Nous d4composons le dernier terme en deux : d[M,Xls

- d [M,B]s ,et

4ous remarquons - comme B est un processus VF - que d[M,BIs

se r4duit

A AMsABses, ou encore A &MsdBs v qui se regroupe avec le terme en

M8-dBs. Finalement, la propri4t4 qui caract4rise B est

(24.3) d[M,XIs

- MsdBs = dYs

o-a Y est une martingale locale/P

Le plus simple est de prendre Y=O, ce qui donne pour B la valeur

(24.2). Supposons maintenant qud B soit pr4visible. Alors YOEURP a

montr4 ( cela revient a la formule dlint4gration par parties IV.38

que CM,B] est une martingale locale, de sorte que llon peut souligner

d1un__

d[M,B] dans la formule de d6part, et qulil reste simplement

(24.3) d[M,XIS - Ms_dBs = dYs

ce qui exprime 1) que [M,X] admet une compensatrice pr6visiblet done

que --M,X> existe, 2) d'apr6s llunicit4, que Ms-dBs = d<M,X>

s4-,auf en

0 - on n1a pas l1unicit4 compl6te, car on n1impose pas a YO une valeur

d4termin4e. Ces deux conditions 4quivalent A. l1existence de <,Tj,X>, et

a-a fait que B=<L,X> A la valeur en 0 pr6s,

25 Nous allons maintenant appliquer les r4sultats obtenus sur la

variation quadratique des semimartingales (n04). Soit X une semimartin-

gale inutile de pr4ciser si la mesure est P ou Q : cela revient au

mgme Puisque - avec les notations de 4 - 3T(X) converge en proba-

bilit4 a la fois pour P et Q lorsque le pas de la subdivision T tend

vers 0, la limite [X,X]t est la mgme-pour P et Q. Mais d'autre part,

les parties martingale continue/P ( not4e Xc) et martingale continue/Q

( not6e 1c) ne sont pas les m&mes,, en g6n4ral, rour P et Q, et nous,

avons,

- , xc 2= , 3tc,3tc 2

[x,x] t-

act >t + E.'t axs >t + Es-t ax

s

d1ou une premi re cons4quence : <Xc,Xc> = jXc,lc> .En particuli6r,

si XC=O, nous avons aussi !c=0.

B3 308

Maintenant, 4crivons X--Xc+Y, oil Y est sans partie martinga2e continue/P.Nous avons aussi X=(Xc-<L,)(C>)+(Y+<L,Xc>). Le premier terme est une

martingale continue/Q, le second une semimartingale sans partie martin-

gale continue/Q. Autrement dit, nous avons prouv6

La_ partie martLm-0

&zLle continue X de la semimartingale X pour la loi

Q est 4gale A 0 C>-A X -.<I, X

Nous allons maintenant 4tablir un th6or6me simple et utile, cas parti-culier de r6sultats beaucoup plus g6n4raux de Cath. DOLEANS-DADE, que .

jlesp6re que llon verra plus loin.

26 THEOREME. Soit H un processus pr6visible localement born6, et soit X

e semimaELLngale ( inutile de pr4ciser si /P ou /Q ). Alors les int6-

grales stochastigues H-X et H-X prises au sens de P et Q sont 4gales.P - Q

DEMONSTRATION. Il suffit de traiterle cas oa X est une martingale loca-

le/P. Soit Y=HpX . Alors Y- JM--[Y,M] est une martingale locale/Q d'Mapr6s 24 : notons la Y. Comme Y=HpX , nous avons [Y,M] = H-[X,MI, et

nous avons pour toute semimartingale/P , not4e U :

[ 'U4= Ey _ f.[X,M],U]t= Ey,U]t_ Zs_H

4X AM AUM Rs s s s_t

=(H-[ X- .1-Ex,m],u])t = (H-[2,U])t (car [Y,U]=H-EX,U1),en d6signant par i la martingale locale/Q X- 1-EX,M]. Prenant pourMU une martingale locale/Q t nous obtenons la relation caract4risant

llint4grale stochastique H ainsi He puis comme X = i+ M'-EX,MIH.[X"M] + H.[X,H X ;-- H X + R 3! M] HpX

Y. REPRESENTATIONS DES FONCTIONS BMO

Notre but dans ce paragraphe est l1extension au cas continu d1un

magnifique th4or6me de GARSIA concernant BMO en temps discret : il

slagit de montrer que le I'mod6le" d'614ment de BMO donn6 au nOV.2est en fait 1.1414ment de BMO le plus g4n4ral ( ce nlest pas tout

fait exact, car il y a deux mod6les 14g6rement diff4rents : voir 11

4nonc-4 pr4cis ). Mais nous faisons de nombreuses digressions autour

de cette id6e. La m6thode utilis6e est celle de GARSIA.

Nous commengons par un r4sultat d'analyse fonctionnelle, plut8tamusant le lecteur regardera le cas particulier oa n est r4duit a

un point Nous consid4rons un espace mesurable (n,F) , et d6si-

gnons par K llespace des processus mesurables (Xt), born6s, dont

309 B3

toutes les trajectoires X (w) sont cadlAg. sur [O.ool : un processus

XeX est done une fbnction sur [O,oD[xn, mais la limite a gauche X(,)_existe 9. llinfini, et nous conviendrons toujours que Xo_=XOO=O. Nous

posons X*(W)= suptlxt(w)l.27 THEOREME. Soit H une forme lin4aire sur X poss4dant la proprik4

suiv t e

(27-1) Si des X eX+ convergent vers 0 en restant uniform4ment

borngs. et si Xn* -> 0 sur Q, alors H(fl) --> 0 .

Alors il existe deux mesures born6es a et 0 sur [0,(D ]xD telles

que

(27.2) H(X) f X8(w)a(ds,dw) + fXs-

(w)P(ds,dw)

Il y a unidit4 si llon impose . 0 de ne pas charger 101)6), 9. a de

ne pas charger jooj>d , et a 0 dl4tre port4e par une r4union d4nombra-

ble de graphes de v.a. positives.

DEMONSTRATION. Par un raisonnement familier, nous allons montrer dl

abord que H est diff4rence de deux formes lin4aires positives.

Posons pour tout XeX+ H+(X) = sup H(Y) . Cette quantit4 estO<Y<X

finiet car sinon il existerait des= = yn positifs tels que Yn: X,H(Yn)-en , et les )e'=Yn/n contrediraient (27.1). On a 4videmment

H+(tX)= tH+(X) (t>O), et dlautre part H+(X+X')=H+(X)+H+(YI) ( raison-

nement familier tout ZeX+major4 par X+Xl peut sl4crire Y+Yl, oil

O<Y<X,, O<Y'<Xl) Enfin, H+ satisfait a 21.1) : sinon, il existerait

des )JleX+ tels que f'*-> 0 P-p.s., et que H+(e) reste >e , et llon

pourrait trouver des Yn tels que O<YW et H(yn) reste >e/2, ce qui

contredirait (27.1). H se prolonge alors a X=X X, en une forme li-

n4aire positive, on a que e-H=H- est une forme lin4aire positive qui

satisfait A (27.1). On pose IHI=H++H- ,et on rappelle que ( par un

raisonnement classique )IHI(X) = Isup H(Y) si XeX

+

Y 1:5x

Consid6rons llensemble W form4 des 414ments de [O,colXClxj+,-j qui

sontv ou de la forme (tow,+) avec O<t<m, ou de la forme (tow,-) avec

O<t< co .Si 0 est une partie de [O,oo ]xC), nous notons C la partie de

W form6e des (tow,+) tels que Ost<co , (t,w)eC ,et C. llensemble des

(tow,-) tels que O<t; -m , (t,w)eC .De m6me, si c est une fonction

B3 310

sur [0,co I>n , c+ est d4finie sur W par c+(t#ot-)=Ot c.+(t,w,+)=c(t,w), et c_ par clt,w,+)=O, c_(t,w,-)=c(t,w) - clest le prolonge-ment aux fonctions de la notion pr4c4dente pour les ensembles. Enfin,si X est un processus appartenant a X

, nous lui associons la fonc-

tion 7 sur W d4finie par

'Y(t,w,+)= Xt(w) 7(t,w,-) = xt-

(W)

cela expliqne pourquoi nous avons des notations en + et Nous

d6signons par 'R l1ensemble des XeX, et par W la tribu engendr6e

sur W par 7.Il est clair que R est un espace vectoriel, stable pour

les op4rations A et V contenant les constantes, et que X--> 7 est

une bijection de X sur . Nous pouvons donc d4finir une forme lin6-

aire TT sur T par la relation TI(Y)=H(X). Nous d6montrons :

27a LE101E. Il existe uhe mesure born4e ( sign4e unique sME (W,W) lel-le clue H(X)=v('X) 22aK tout XeX. La mesure a6soci4e A la forme lin4aire

JHJ est alors_ ieA jvj.Pour prouver l1existence, nous pouvons supposer H positive ( nous

en d4duirons l1existence pour H quelconque par diff6rence, et l1uni-

cit4 est une cons4quence famili6re du th4or6me des classes monotones

deux me-sures born4es 6gales sur I r6ticul6 sont 4gales sur la tribu

engendr4e ). Tout revient a prouver que si H est positive et satisfait

(27.1), alors rl satisfait a la condition de DANIELL : si des reRtendent ve'rs 0 en d4croissant, alors 11(r) -3>0. Introduisant les in

correspondants, et utilisant (27-1), il nous suffit de montrer queXn* ->O .

Or soit weO et Kn(W)= Ite[Otoo I:xn(w)>e ou xn I ;t t -

les Xn(w) sont des coMpacts qui d6croissent,.et la condition limn

=0 entrailne que 11intersection des n(w) est vide, donc Kn(W)=O pour

n assez grand, quel que soit e, et cela signifie que )[n*(w)->O .

La derni re phrase de 1'4noncg se lit ainsi : si v est une mesure

sur la tribu W engendr4e par T r4ticul6, alors pour toute feT+ on

a jvj(f) = sup V(g). Ce r4sultat devrait figurer dans tousge Y. 19 1:5-f

les bons trait6s dlint4gration, mais il ne figure m6me pas dans les

mauvais.

Notre probl me consiste maintenant A ramener v sur [O,co]xn. A cet

effet, nous faisons les remarques suivantes.

a) Soit S une fonction F-mesurable positive, et soit [S] son graphe.Alors [S1+ et [S]_ appartiennent ?L W. En effet, soit X 11indicatrice

de [S,S+&[ ; X appartient A X,'X est 11indicatrice de [S,S+&[+ U

]S,S+e]_ . qui appartient donc ?L W. apres quoi on passe L

311 B3

11intersection sur e=l/n et il vierit que [Sl+e .On traite l1autre

cas en regardant [(S-&)+,S[.b) Si C est une partie mesurable de [O,cD ]xC) t alors C UC e W

Pour voir cela, il est Plus simple de montrer que si c est mesurable,alors C++C_ est R-mesurable. En effet, il suffit de v6rifier cela pour

des fonctions c qui engendrent la tribu B([O,oo])x? , et nous choisis-

sons les processus mesurables X A trajectoires continues . Alors

X++X_ = 7, et clest 4vident.

27b LEMME. Il existe trois mesures p+,ji_,A sur [O,co 1xn , -pqssgdant les

propri6t6s suivantes

1) ji+ est port6e par [O,oo[XC), et par une r6union d4nombrable de

graphes. Pour tout graphe [S] on a ji+([S])=v([S]+).2) ji- est port6e Pa ]O,oo]xQ,-.et par une r6union d6nombrable de

graphes. Pour tout graphe ESI on a v([S]_).3) ne charge-aucun graphe.

4) Pour tout XeX, on a

(27.3) H(X) -- fXt(w)li( t,dw) + IX (w) (dt,dw)+ fX Mji (dt,dw)r +d t

De plus, ces mesures sont uniques, et les trois mesures associ4es 6.la forme lin4aire IHI sont

Construisons par exemple ji+ . Considgrons une suite (3n) de v.a. tel-

le que la mesure de G+ = U[S I+ pour la mesure IvI soit maximale.n n

Quitte A remplacer S par +oo sur U IS =S 1, on Peut supposer que lesn n

.

graphes [SnI sont disjoints dans [O,co[xn . Nous posons

V+ = IG+-v -

Puisque v+ est port6e par G+ c::(EO,oD]xn)+ # ce dernier ensemble est

v+-mesurable et Porte v+ . Pour tout 0 mesurable dans [O,co]xn, C+est 11intersection de C+ U C_ avec un ensemble portant v+ , et nous

pouvons d6finir une mesure ji+ en posant

L+(C) = V+(C+U C-) = V+(C+) .

On v6rifie aussit8t-que ji+ est portge par la r'6union des [8.1 et

satisfait a 1), en raison du caract6re maximal de G+ . La construction

de L- et v- est exactement semblable. Nous posons enfin

V-v+-V- (C+ U C-)Wrifions (27.3). Le seul point d6licat est celui des notations.

B3 312

Notons -a la fonction (t,w),->Xt(w) , v la fonction (t,w)si--Xt_(w).Alors 7 =u++v- et no-as avons

H(X) = v(7) = (v++I +v_)(uII+v-)Nous d4veloppons : v+(u++y_)=v+(u+)=V,+(u ). De mgme, v_(-u++v_) =

4_(v). Enfin , u et v ne diff9rent que sur une r4union d4nombrable de

graphes, et ne charge aucunI [S]_ , done (v_)=;(u_) et llon

a (u++v_)=;(u++n.)=A(u). Ainsi H(X)=ji+(u)+ (u)+ju-(v), et clest (27.3).Il ne reste plus qnIa poser , P= t_ pour avoir (27.2).

Remarque. Seule la phrase soulign4e ci-dessus a servi : il importe peu

que ; charge des graphes ESI+. La d4composition au moyen de t+ n1a

done servi a rien, il suffit dlisoler )I_ .

Achevons la d4monstration du lemme, et done du th4or6me. Nous lais-

serons de c6t4 llunicit4. Quant ! la derni6re phrase, il suffit de

remarquer que la d4composition de H en deux formes H+

et H- correspond

celle de v en les mesures etranqeres v+

et v-, et que les couples

de mesures (ji++ t-+) , (ji-+, c-) , 61 jI ) sont des couples de mesures

positives 4trang resp fournissant ainsi les d4compositions canoniques

de ji+ 9 t_, ji.

REMARQUE. Cette d4monstration est en substance celle par laquelle

Catherine Dol4ans 4tablit l1existence de la d4composition des surmartin-

gales. Voir le n'30.

L"application 9. BMO repose sur le corollaire suivant, dans 1equel

(0, ) est t! nouveau muni d1une loi de probabilit4 P.

28 THEOREME. aupposons que la forme lin4aire H du n027 satisfasse a la

condition

.:5 cE[X*] si Xey.(28.1) IH(X)l -

Elle admet alors la repr4sentation

(28.2) H (X) = I xtdAt + I Xt-dBtEO,OD E 10,OD I

oil A et B sont deux Processus A variation intgUables non adaptgs,A non n4cessairement nul en 0, B nul en 0 et pouvant sauter L 11infini,

purement discontinu, A et B 4tant de plus tels que

(28-3) fO'oO ]JdAsJ+jdBsj 5 c P-2--s -

313 B3

DEMONSTRATION. Commengons par le cas oil H est positive. Alors (28.1)entralne (27.1), et H admet la repr6sentation (27.2). De plus, siU est un 616ment P-n4gligeable de F

, xt(w)=Iu(w) d6finit un proces-sus cMl&g. tel que X*=O P-P.s., donc H(X)=O, et Pon voit que a et0 ne chargent pas les ensembles 4vanescents, d1oa la repr4sentation(28.2) d1apr6s le chap.I. n02. Enfin, si Xt(w)=U(w) est un proces-sus cAdlAg. constant,en t, on a X*=IUI, et la relation (28.1) st6critE[(A +B )U] :5 cE[U] si U>O est born6e, dlAx (28.3).op 00

Si H nlest pas positive, nous 4crivons que pour XeX+

IHI(X) sup H(Y) Y parcourant l1ensemble des 416ments de Xy major4s par X en valeur absolue

Alors IHI(X) :5 c.supy E[Y*] = cE[X*]. Il en r6sulte a nouveau que 1-1et 101 ne chargent pas les ensembles P-4vanescents, d1oa les repr4sen-tations (28.2) pour H et JHJ, les processus associ4s A JHJ 4tant

ftJdAsI et ftJdBsj. Il ne reste plusqu'A appliquer le cas pr4c4dent,0 0a la forme lin4aire positivejH1.

Voici le th4or6me de GARSIA, 6tendu au cas continu

29 THEOREME. Soit M une martingale telle que 11M11BMO '-51 . Il existe alors

un processus A variation int6grable adapt6 (Jt7=, tel que

(29.1) EE f JdJsIIET 3 ':5 0pour tout t.d"a. T[T, oo [

et un Processus A variation int6grable pr6visible (Kt), nul en 0,pouvant sauter a 11infini, tel que

(29.2) E[f IdKsHET 3 -5 c

]T,cotels que llon ait

(29.3) moo =JCo + KOD

DEMONSTRATION. Ddfinissons une forme lin4aire H sur llespace des

.martingales born4es en posant

H(X) = E[X00MOD si X est une martingale born4e1 1Comme M a une norme BMO < 1, que BMO est le dual de H

,et que H

peut 9tre d4fini par la norme E[X*] (V.33), on a IH(X)1.5 cE[X*].Gr9ce au th4or6me de HAHN-BANACH, nous savons que H est prolongea-

ble A X suivant une forme lin4aire satisfaisant a la mgme in4galit4,

que nous noterons encore H, et qui admet une repr4sentation donn6e

par le th4or6me 28. Alors, avec les notations de ce th6or6me, nous

avons pour toute martingale X born6e

B3 314

EEX00M00 E[f xsdAs + X CUBs

' [O,OD E J0,00 ] s-

Soient respectivement J la projection duale optionnelle de A, K

la projection duale pr4visible de B. Comme les variations totales

de A et de B sont born4es par c , nous avons (29.1) et (29.2).D'autre part, la formule pr4c4dente sl4crit

E[XmMcc I = E[f xsdJs+ / X dK8

E[XGoJaD +X00K00']10,00 10,00 1 S

dlo-a (29.3), XC04tant une v.a. born4e arbitraire.

REMARQUE. Dans le cas discret, Xn_ est la valeur de X A llinstant

n-1, de sorte qulon peut faire entrer le second terme dans le premier,

A llexception de Ilintdgrale portant sur JoDl. Ainsi, on peut r4duire

B'a son 11 saut a llinfinill, et la condition (29.2) exprime simplement

que ce saut est born6. Ainsi, dans le cas discret, KOD

peut 6tre pris

simplement 4gal a une v.a. born4e. On obtient alors la forme indiqu4e

par GARSIA dans [21], th.II.4.1, p.48(l).Nous nous engageons maintenant dans des digressions au sujet du

th4or6me 27, apr6s quoi nous reviendrons au probl me de repr4sentation

de BMO .

APPLICATION A LA DECOMPOSITION DES SURMARTINGALES

Nous allons regarder de pr6s la m6thode qui nous a conduit aux

th4or6mes 27 et 28, et llutiliser ! dlautres fins que la repr6senta-

tion de BMO : elle permet on effet de d4montrer rapidement des th4or6-

mes de d4composition des surmartingales.

30 Nous fixons dlabord nos notations. Nous d4signons par X une surmar-

tingale forte optionnelle, positive et appartenant A la classe (D).

Autrement dit, X est un processus optionnel positif, satisfaisant

ltin4galit4 des surmartingales pour les temps dtarrgt

si S<T , XeE[XTIFS] p.s. ( avec la convention XOD=Oet telle que toutes les v.a. X., oA 3 parcourt llensemble des temps

dlarr9t, soient uniform4ment int4grables. Soulignons que ces hypoth6-

ses nlimpliquent aucune esp ce de propri4t6 de continuit6 de X, ni

que X soit un potentiel au sens usuel de ce terme.

(1) Jlen profite pour remercier R.CAIROLI, grace A. qui j'ai maintenant

un exemplaire de [21] ( of. p.91 ).

315 B3

Une,variante de cette d6finition est celle des surmarting2jes for-

tes,j2r6visibles , processus pr4visibles positifs (Xt)teX+ , satisfai-

Sant a XS :E[XXjFS_l ( avec la convention Xco=O ) si S et T sont deux

temps d'arr9t pr4visibles tels que S<T. Ces processus sont assez peu

utilis4s, et clest malheureusement A eux que slapplique directement la

m4thode du th4or6me 27. Pour traiter les surmartingales fortes option-nelles, il faut travailler Sur les processus cAglad., non cAdlag. Cela

va nous obliger a de nouvelles notations.

Nous d4signons par HO llespace des processus cklag. pr4visibles414mentaires , i.e. llespace vectoriel engendr4 par les processus

I[S,T[ Sur [O,oD[xn ,o l S et T sont deux temps pr4visibles tels que

S<T - je devrais 4crire JS,T[[ , mais clest trop compliqu6. De mgme,

SO sera llespace vectoriel engendr4 par les processus caglAd. pr4visi-

bles 414mentaires Sur 10,co3x(), clest L dire par les I (AeFO) etIOjxAles I

]S,T] ,oil 3 et T sont deux temps dlarr&t tels qne S<T ( noter,

pour la m4moire, que x est ltinitiale de hAdlag et I celle de ladcagUn 414ment U de 1. sl4crit de mani6re unique

(30.1) U = a I IXA + ,n1 ajI],0 0. J= jtT i

oa n est fini, ao,...,an sont des constantes, A appartient A FO,les Si9T sont des temps d'arr&t tels que S,:,--T, < Sn<T avec

i :532* * *= n

O<Sl 9Si<TiSur ISI<ool. Nous d4finissons alors une forme lin4aire

H Sur 10 en posant

(30.2) H(U) = a0f x0P + Ei aiE[XS _xT.3

A i 0

H est manifestement positive. Nous voulons d4montrer dlabord

30a LEMME. Il existe deux mesures positives a et P Sur [O,oD lx() , ne

chargeant pas les ensembles 6vanescents,,telles gue pour Uezo

(30.3) H(U) Ut+(w)a(dt,dw)+f Ut(w)P(dt,dw)10, oo Exn 10,CD ]XQ

Il y a pour cela deux m4thodes : llune est celle de C.DOLEANS-DADE,llautre passe par les espaces d'ORLICZ, et elles sont toutes deux

assez int4ressantes.

31 PREMIERE METHODE. Nous reprenons la d4monstration de 27, en munissant

[O,oD]x() de la tribu pr4visible P. Nous d4doublons llespace comme au

n027, et munissons W de la tribu W engendr4e par les fonctions TT, oa

B3 316

Ue.r 0 et

U(t,w,+) = Ut+(w) , TJ(t,w,-)= Ut(w).Nous Wrifions comme aux pages 136 et 137 que

a) Si S est un temps d1arr9t, [31 appaxtient a W ( U=I],,,+,] appar-

tient a 10 , donc [S,S+e[ U]StS+el. appartient a W, et on passe a 11

intersection en e ), et si S est un temps d'arr t pr4visible, [S]_appartient a: W ( si S est une suite annongant S, U=I appartient

n ]Sn'ia 10 et on raisonne comme ci-dessus ).

b) Si C est un. ensemble pr4visible, C UC_ appartient a W Il suffit

de le v4rifier pour des g4n4rateurs de la tribu pr6visible. Pour ceux

de la forme C=10lxA (AeFO) on a C UC- = ESI+ ,oil S est le temps d1ar-

cr6t qui vaut 0 sur A, +oo sur A,

et b) r4sulte de a).'Pour ceux de la

forme C=]O,S] , on a C+UC- = ]O,S]+U]O,S]- = ([O'S[+U]O'S]-)U[S]+\EO1+,et on applique a nouveau a).

Nous construisons ensuite une mesure v sur W repr4sentant H H(U)=

v(U) pour Uex ,A la mani re du lemme 27a, p.136 . Comme tout est

positif, il suffit de v4rifier la condition (27.1) sous la forme

,,nsi des processus U el " tendent en d4croissant vers 0, de telle

,sorte que Un*-> 0, alors H(Un) -> 0

qui suffit a entrainer la condition de DANIELL sur W. Pour voir cela,

nous pouvons supposer tous les Un born6s par 1. Posons S. = inf I t :

U ' > r- le fait que les Un* tendent vers 0 signifie que pour tout et

les Sn croissent vers +co, et que pour,tout w Sn(w)=+oD 32our n arand

Nous avons d'autre part Un<e sur [0,SnI par continuit4 A. gauche, donc

H(Un) :5 eH(1) + H(I ]'9n, CO I) = eH(1)+E[XSnIEt maintenant E[XS ]-,- 0 par llint4grabilit4 uniforme des XS *

Len n

reste de la d4monstration se poursuit comme au n027. La mesure ji_ se

d4finit sur la tribu. pr4visible, mais il y a une nuance int4ressante

la tribu. optionnelle est engendr4e par la tribu pr4visible et les

graphes [S] de temps d1arr9t. Ayant form4 vl=v-v_ , qui ne charge

aucun. graphe [S]_ ,o L S est pr4visible, nous remarquons que toute

Hunion d4nombrable de graphes [Sn]- IO-a les Sn sont des t.d1a. _qjLel-

conques ,est int4rieurement vl-n4gligeable. Nons pouvons alors 4ten-

dre v' en une mes. '; pour laquelle les graphes ES]- sont n4gligeables.

Mais alors, C+UC- est VI-mesurable pour C 2p1l2antl , et les mesures

t+, se trouvent d4finies sur la tribu optionnelle. Ainsi :

317 B3

il existe deux mesures positives born4es a ( sur la tribu optionnelle,ne chaxgeant pas JODIXC) ) 0 ( Sur la tribu pr4visiblep port4e par une

r4union d4nombrable de graphes pr6visibles, ne 6hargeant pas JOJXQtelles que pour UeZ.

H(U) Ut+,(w)a(dt,dw) + f Ut(w)P(dt,dw)(0, cc lxn 101- IX0et il y a d'ailleurs unicit4. Ces.mesures ne chargeant pas les ensem-

bles dvanescents, nous pouvons-les ftendre A la tribu B([O,oD])xF en

deux mesures - encore not4e's a et 0 dont la premigre est compatibleavec la projection optionnelle, la seconde compatible.avec la projec-ti6n pr4visible. Notant A et B les deux processus croissants C'ontinus

a droite correspondants, le premier optionnel, le second pr6visible,nous avons pour Uezo

(31 .1 )H(U) = E[' f Ut+(w)dAt(W) + f Ut(w)dBt(W)10,00 E 10,001soit, en prenant U=I]T,c,)](31.2) E[X,2] E[(A

00+BoD)-AT--BT]

puis, en remplagant T par TH , He=ET(31.3) xT = EEA

OD+Bcolk] - AT- -BT

ou

tIM martinga-le c.A.d. unif. int4grable(31.4) Xt = Mt - At_ - B A processus croissant c.a.d. adapt4

B processus croissant c.a.d. pr4visiblepurement discontinu

Clest la d4composition de.MERTENS. Exactement de la m&me mani re, mais

un peu plus ais4ment, on obtient la d4composition des surmartingalesfortes pr4visibles

(31.5) X = Mt_ At - Bt_M martingale c.A.d. unif. int6grable

t A processus croissant c.,Ld. pr4vis.B processus croissant c.a.d. pr4vis.

purement discontinu

Personne, n1a encore rencontr4 ces surmartingales 1A !

32 SBCONDE METHODE. Elle consiste A 4viter les raisonnements "analogues"a ceux du th.27, mais plus ou moins d4licats, en se ramenant directe-

ment A 27 par une application du th4or me de HAHN-BANACH. Nous utilise-

rons les r4sultats sur les espaces dIORLICZ pr4sent4s dans NEVEUt,mar-

tingales A temps discret, p.193-200.

B3 318

Nous utilisons le lemme de la VALLEE-POUSSIN ( Probabilit4s et

potentiel, chap.II, n022 : toutes les variables al4atoires XT 1011

T est un temps d'arr6t arbitraire, 4tant Dniform6ment int6grables,il existe une fonction de YOUNG sur 11 ( fonction convexe, croissan-

te, telle que (O)=O et limt_,,,., (t)/t +co ) telle que

(32.1) SUPT E[oX T :-5 1 *

Rappelons que, polar toute v. a. f 11f inf f a : BE ]51 +GD

est la norme dans llespace d1ORLICZ L. Ainsi, (32.1) slecrit aussi

< . Nous d6signons par T la fonction convexe conjuga4e deSuPTIIXTII=', et rappelons llin6galit4 E[Ifgll 5 2jjfjjjjgII.. Dautre part, nous

d4signons par a(t) une fonction de YOUNG sur R+, telle que

(32.2) f+o ) dt+ OC)

1 77 <

I+epar exemple, a(t)=t , et. nons posons r=yoa, qui est encore une fonc-

tion de YOUNG. Quitte A remplacer (t) par un multiple de (t)+t sa-

tisfaisant encore ?L (32.1), nous pouvons supposer et done Y

strictement croissante, ce qui simplifie la d4monstration du lemme

suivant ( les notations sont celles de 31

32aLEMME. H est born4e sur l1ensemble des Uego tels que IJUIIr' :5 1

DEMONSTRATION. Nous pouvons nous borner aux U positifs. Pour tout

t>O, nous d6signons par St

le temps d1arr6t

(32.3) St= inf I s : Us>t

de sorte que ( la continuit4 a gauche de U A. 11infini est utilis6e ici)

(32.4) fSt M I = I u->t

Regardons la forme (30.1) de U : l1ensemble J(s,w) : Us(w)>tj est

r6union de certains des ensembles JOIxA, ]SjT11, et il en r4sulte

que son indicatrice appartient a go. Il est alors imm4diat de v4rifier

clue

(32.5) H(U) = /(X)H(IfU>ti)dt < 100

dt fX P0

=0 St

Nous reviendrons sur cette formule dans.une autre digression. Pour

ll.instant, nous coupons llint4grale en 1dtfXStPV que nous majorons

par E[Xo] ,et fco

.Dans ce second terme nous 4crivons

1

E, EX3t] = E[XStIiu*>til :5 211Xst11 III IU*>t I ly

319 B3

En d6finitive, compte tenu de (32.1), il nous suffit de montrer que

fOD I dt est born4. Or la d4finition de rappel4e plus1

haut montre que

(32.6) 11 I1U*,tI1y T-1 (-11PfU*>tJ

o1a Y-1 est la fonction r4ciproque de T, strictement croissante. Par

hypoth se, nous avons E[roU*] 1, done PJU`*>tJ:S-1-) , d1oa successi-F(tvement : 1/PJ 1 2:. r(t) , T-1(1/Pf 1) !! Y-l(r(t))= a(t), et enfin

(32.7) U*>t :5 -7Tt7et llhypoth se (32.2) est juste ce qulil nous1faut. Le lemme 32a est

prouV4.

Maintenant, la fin de la d4monstration est tr6s simple par la secon-

de m4thode. Wsignant par I llespace de tous les.processus caglad.( non adapt4s ), nous prolongeons la forme lin4aire H sur 10 , born4e

pour la norme Ut---> 11 U* III, , en une forme lin4aire sur C de mgme norme

- encore not6e H. Il est imm4diat que cette formp,satisfait A (27.1),

d1oll l1existence de deux mesures ao et 00 telles que sur-L-

(32.8) H(U) U,+(W)ceo(dspdw) + Us(w)PO(dsodw)[ 0, OD EXQ ]O,GD ]Xn'-

clest A dire, le lemme 30a. Pour aboutir a (31.1), qui est notre but,nous prenons.les projections optionnelle a de (x, , pr4visible 0 de

po v et les processus croissants associ4s.

33 Mais la seconde,m4thode donne aussi des in4galit4s int4ressantes.

Introduisons le processus d4croissant no adapt6

(33.1) Dt = (AO +BO At_ -BO00 00 t

- qui nlest d1ailleurs continu, ni A droite, ni A gauche - oa At et

BO sont les processus croissants non adapt4s associ4s anx,mesures a.tet 00. Ce processus d4croissant admet X comme projection optionnelle.D'autre part, en prenant pour U dans (32.8) un processus constamment

4gal A une v.a. positive u, nous obtenons que

B[DOu] :5 cIIuI1r ,o-a e est la norme de la forme lin4aire H

et cela entraine que D0

est danallespace d1ORLICZ associ4 a la fonc-

tion de YOUNG conjuga4e de F, qui est "A peine moins bonne" que . On

B3 320

peut avoir des r4sultats plus plaisants en raisonnant directement

sur X, au lieu du "module dlint4grabilitV .

Soit Y une v.a. int4grable, telle que le processus X soit major6par la martingale continue a droite EEYIEt] - il existe toujours de

telles v.a., par exemple la v.a. AO +BO, ou A +B.)f construite

OD a) 00

pr4c4demment. Reprenons maintenant la formule (32.5), en 114crivant

(33.2) H(U) 9 E[ foOXS dt

0 t

Nous avons S = inf s : U >t inf 1 8 : U*>t 1, oa U* slobtientt s s s

en rendant continu droite le processus sup Ur

Alors il est bienr<s

connu que llon a aussi

E[fODX dt BEfooX dU*] < E[joOY dU*(33.3) H(U) -

0 St 0 s S 0 s s

E[fooYdU* E[YU*10 s

Xaintenant, l1application U-->EEYU*] ezt une norme sur I , et la forme

lin4aire H sur CO a une norme au plus 6gale a 1. Elle se prolonge donc

en une forme lin4aire sur I de norme au plus 4gale : 1, qui satisfait

(27.1), dIoA deux mesures nous les noterons encore ao et 50 , pour

ne pas encore avoir de nouvelles notations - et nous introduirons les

processus croissants non adapt4s correspondants AO et BO, et le proces-

sus d4croissant (Dt) de (33.1). Llin4galit4 (33.3) appliqu4e A un

processus U constamment 4gal a u nous donne

(33.4) E[u(AO +BO )] < E[YU100 00

et cela entral-ne AO +BO < Y p.s.. Nous avons d4montr4 le th4or6meGD (ID =

suivant, conjectur4 par GkRSIA, d4montr4 dans le s4minaire VIII, p.

310, par une m4thode enti rement diff6rente

34 THEOREME. Soit X une surmartinea-e fort.e optionnelle, major4e par une

martingale continue a droite E[Ylft 1. Alors X est proJection optionnel-

le d1un processus d6croissant non a t4 (Dt) major4 par Y.

Par exemple, si X*.est int4grable, on peut prendre Y=X*

1. Llemploi d1une formule exponentielle un peu myst4rieuse ( explicite).Seul le cas des surmartingales continues ;! droite est trait6 dans le

s4minaire VIII. Voir dans ce volume p.503-504.

321 B3

35 Ce th4or6mev et le th6or6me de repr4sentation de BMO que nous

1-_

avons vug permettent d'envisager la dualit6 entre H et BMO d1une

mani re un peu diff4rente. Nous savons que si M appartient a H1, N

A BMO, le produit M N nlest pas n4cessairement int6grable, et il00 00

stagit de donner un sens au symbole IIE[KOD NCD Ift .

La m6thode employ6eplus haut consistait A llinterpr4ter comme E[EM,N]

001 (V.10). Ici,

on procke ainsi : on 4crit N00

comme A., +BOD , o-a A est un processus

a VI optionnel ( sans saut a 11infini et B un.processus croissant

pr4visible ( nul en 0, pouvant sauter 11infini ). Si M est une mar-

tingale born4e, on a

(35.1) E[M00 NGo ] = E[M

00(A

00+B

00) ]--E[f M dA + f M

s-dB; S]

10,001 S 8 IOICD ISoit maintenant un processus a VI non adapt4 AO ( ne sautant pas

A 11infini ) admettant A comme projection duale optionnelle, et soit

BO non adapt4 ( nul en 0 ) admettant B comme projection duale pr4vi-sible. Nous avons alors aussi

(35.2) E[M N E[f M dAO + f M dBOOD OD CO,OD E S s ] 0, 00 ]s- s

Mais cette expression peut avoir un sens sans que le premier membre

en ait un. Par exemple, si E[M*( f IdAOI+IdBOl)] < co. On peut10,00 ] s s

affirmer l1existence de deux tels processus AO et BO, si la surmartin-

gale forte

(35.3) Xt= E[ I.dAsI+f JdBsMM[T,oD [ ]T, oD ]

est mWor& par une martingale E[Ylft ] ,o-a E[M*Y]<o'D - car alors on

peut trouver AO et BO tels que la'somme de leurs variations totales

soit -: Y. Clest pr4cis4ment ce qui arrive lorsque M appartient

WeLl ) et N a BMO ( Y=Cte ), et un passage la limite sur (35.2)partir du cas OA M est de carr4 int4grable - ou m&me born4e- montre

que llon obtient ainsi la bonne forme bilin4aire sur Hl><BMO.

UNE REMARQUE SUR LES THEOREMES 18-20

36 Nous allons conclure ce paragraphe en indiquant comment les th4or6-

mes 18 et 20 conduisent "presque" a une seconde repr4sentation des

414ments de BEP . Bien que les essais dans cette direction aient W

infructueux, ils ne me semblent pas d4pourvus dlint4rk.

B3 322

Nous d4signons par P llespace des processus pr4visibles born4s J,

avec la norme P(J) = sup ess J* ( nous voulons 4viter la notation 1111OD

car nous aurons aussi des v.a. locc, un peu partout ). De m me, si L est

une martingale born4e, P(L) sera sup ess L* ( = JILCO 1100

! Illustra-

tion de ce que nous voulons 4viter ). Soit MeHl ; alors nous avons

pour toute martingale N=J-M o-a P(J):51 , EN,N]C05 IMIMICO , donc JIN 161!5 JIMIJ I , et finalement ,

la norme H 4tant plus forte que la norme

H

L

(36.1) SU ll(J*M)()C) Ill 5 CJJMIIHl0 (%lou encore

(36.2) sup IB[(J.M) ODLaD cIIMIIHlOW51P(L)51

Mais inversement, le c8t4 gauche de (36.2) ou (36.1) est une norme

4quivalente ?t la norme H Pour le voir, il suffit de reprendre le

raisonnement de 18, en regardant seulement les J de la forme IEC. I+Ei &i(w), tit,+,T relatifs aux subdivisions dyadiques de la droite,

avec des ei al4atoires, et en appliquant le lemme de KHINTCHINE

.

Soit maintenant K l1ensemble des martingales de la forme J-L, J

parcourant la boule unit4 JJ : O(J):51 1, et de mgme L la boule unit4

IL : O(L):!! ,l 1. On, a pour toute martingale MeHl

(36.3) IIMII 1 '5 c sup B[(J.M) L c sup E[M (J-L)H 0 OD OD OD OD

Oj <1L : El

C sup E[MODNGoNeK

Les I I ont 4t4 enlev6es a dessein ! Soit alors B une martingale

telle que JIB < I . Pour toute martingale MeM nous avons, enIIBMOd4signant par le produit scalaire dans llespace de Hilbert M

I (B,M) J=JE[BOD

"4 1 :-5 c I IB < c sup (M,N)OD 1BMOIIMIIjjl=

=== - NeK

ici la constante c varie de place en place. Cela signifie qulun demi-

espace de M qui contient K ( il est de la forme I UeM : (U,M):5 1 1,avec sup (N,M) 5 1 contient la martingale B/c . Autrement dit

NeK

323 B3

Tout 616ment de BMO de norme < 1/c appartient a llenveloppe convexe

ferm6e de K dans M.

On voit donc qnlen "un certain sens les,int4grales stochastiquesde processias horn4s par rapport A des martingales born4es sont bien

des mod6les d'616ments de BMO suffisamment g6n4raux. Mais K nlest pas

un ensemble compact dans M semble tlil ), et on ne peut d4duire du

r4sultat pr6c4dent une repr6sentation des 414ments de BMO au moyen dl

une mesure sur K.

FIN DU COURS POUR LIANNEE 1974-1975

Au cours dlun voyage A Paris ( Janvier 1976 ), j'ai appris que des r6sul-

tats voisins de ceux des n06 27-29 ( reprAsentation de BMO ) avaient 6ti

expos6s Ilan dernier par C. HERZ dans un cours de 3e cyo7we sur BMO , et dlau-

tre part qae des rdsultats de convergence de sommes de oarrgs vers la varia-

tion quadratique pour lee semimartingales avaient 6t6 obtenus par M. LENGLART.

B3 324

ESPACES DE PROCESS-US

MARTINGALES

N , martingales de carr6 int6grable

Eof martingales .. nulles en 0

K martingales localement de carr6 int4grable=loc,

, martingales locales

Lop ...nulles en 0

pROCESSUS A VARIATION FINIE

Y, processus a variation finie

Vo, processus ... nuls en 0

processus 1 variation int4grable

AO, processus... nuls en 0

A, , processus A variation loc. int4grableOC

martingales A variation int4grable

Yloc, martingales locales . variation loc. int4grable

325 B3

INDEX

On n1a fait aucun effort,pour classer les termes do cet index : ils y

figurent par ordre dlentr6e en segne. Le chap.VI nly figure pas.

Croissant brut ( processus), I.1

A variation finie brut processus ), I.1.

Croissant ,A variation finie ( processus ),I.1.

vF,I.l ( abr4viation de 11 a variation finie").

A variation int4grable I.1.

111[v , norme variation, I.1.

y , espace des processus VF.

VI, I.1 ( abr4viation de "A variation int4grablel).

Evanescentp note N1 p.5.

Optionnel, note N2 p.6.Pr6visible, note N2. p.6.Temps pr4visible, note N2, p.6.[[S, TEE ,

intervalle stochastique, note N5, P.7.

[,[T]],-graphe de.T, note N5, P.7-

Suite annongant un temps pr4visible, note N2, p.6.

Projection optionnelle, note N3, p.6. (notation Xo).Projection pr4visible, note N4 p.7 ( notation XP).Temps totalement inaccessible, note N6 P.7.Temps accessiblep note N6 P.7.

TB (T sur B, +oo sur BC), note N7 P.8.Th6or6mes de section, note N11, p.9.

Projection optionnelle ou pr4visible d1une mesure, 1.7-

Projections duales d1un processus VI, 1-7.

Compensateur et compens4 d1un processus VI, 1.8.

1 compensateur de A, 1.8.cA compens4 de A, 1.8.

,

H-A, H;A , int6grales de Stieltjes stochastiques, I.11.

y , espace des martingales VI, 1.13.

Potentiel droit ( potentiel), 1.14.

Potentiel gauche d1un processus VI, 1.14.

M martingales de carr4 int6grable, II.1.

M martingales de M nulles en 0, 11.1.=0Orthogonalit6, orthogonalit6 faible, 11.2.

XT, processus X arrgt6 a T, 11.3-

Sous espace stable de 11, 11.5.

B3 326

INDEX (suite

Mc martingales de carr6 int4grables, continues, nulles en 0, 11-7.id martingales de carr6 int6grable, purement discontinues, 11-7.

LI(T) martingales de carr4 int4grables, purement discontinues, continues

hors du graphe de T, 11.8.

.dq,m>, <M,N>, [M,M], 34,N> , 11.16 A 18.

In4galit6s de Kunita-Watanabe (KW), 11.21.

L2(M), 11.23.

H-M, int4grale stochastique de H pr6,visible P.r.a MeM, 11.23.

A. espace des processus pr4visibles 4tag4s born4s, 11.23.

L2(M), espace de processus optionnels, iI.31.H-M pour H optionnel, MeM , 11.32.

quasi-continue : gauche, 11.36.

A,AO , processus VI, III.1.

S,SO , semimartingales (r), III.1.

Semimartingales au sens restreint ( d4f. provisoire), III.I.

Xc, partie martingale continue de X, 111.2.

EX,X3, variation quadratique de X semimartingale (r), 111.2.

H-X, H pr4visible born4, X semimartingale (r), 111.2.

Changement de variables, 111.3, 111.8.

Martingale locale, IV.1

Martingale localement de carr4 int4grable, IV.1.

L, espace des martingales locales, IV.3.

Kloc, espace des martingales loc. de carr4 int4grable, IV.3.Temps dlarr&t reduisant une mart. loc. IV.3.

Temps d1a. r6duisant fortement une mart, loc,, IV.5.

Mc, partie continue d1une martingale locale, IV.9.

<Mc,Mc>, M mart. locale, IV.9.

EM,M], EM,N] pour des mart. locales, IV.9.

Processus A variation localement int4grable, IV.11.

A=]_Oc processus A var. loc. int. IV.11.

X 6ompensateur de AeA JV.11.c =locA compens4 de AeA

=loc, IV.11.

&C martingales locales i var. loc. int. IV.14.

-::M,N> pour deux martingales locales, IV.14.

Semimartingale, IV.15.

xc,Ex,xl pour X semimartingale, IV.16.

Processus localement born4, IV.17.

H-X pour H pr4visible loc. born4, X semimartingale, IV.18-19

Changement de variables, cas g4n4ral, IV.21.

327 B3

INDEX (suite)Int6gration par parties, IV.23, IV.38.,

Exponentielle d1une semimartingale, IV.25.

e(X), exponentielle de X. TV.25.Caract re local d1l1i.s., IV.27-28.

Semimartingale sp4ciale, IV.31.

Wcomposition canonique d1une semim. sp4ciale, IV.32

Changement de temps, IV.34.

Weak martingales IV.34.

Projection pr4visible d1une semimartingale sp4ciale, IV.35.

projection pr4visible de la semimartingale sp6ciale Z, IV.35.

e*(X), autre exponentielle de X, IV.36.

D6composition multiplicative, IV.39.BMO

, V.1.

11 11BMO' V.1.

V-7.

In4galit6 de FEFFERMAN, V.9.

Th6or6me de FEFFERMAN, V.9-10.

Int4grales stochastiques dans- 1, V.16.

Int4grales stochastiques de processus optionnels, V.19.

In4galit4 de Davis, V.29 et 31.

In4galit.4 de Burkholder, Davis et Gundy, V.30 et 32.

Lip tp>l , V.34.

B3 328

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Les articles sont num4rot4s dans 11ordre o-a ils sont cit6s pour la

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