Universit~ de Strasbourg

S~minaire de Probabilit~s 1974/75

LA THEORIE DE LA PREDICTION DE F.KNIGHT

par P.A. Meyer

Cet expos@ analyse un m~moire de Knight, " a predictive view of

continuous time processes", ~ para~tre aux Annals of Probability~

qui est extr~mement rlche en idles nouvelles, et me semble ~tre

l'un des plus importants de ces derni~res armies.

Je remercie vivement Frank Knight pour son expos@ au s@minaire

de Strasbourg, et les nombreuses conversations dont le present tra-

vail est l'aboutissement!

I. LE POINT DE VUE DE KNIGHT SUR LES PROCESSUS

Soit E un espace m~trique s~parable, muni de sa tribu bor~lienne

E , et soit (~t)t~ un processus mesurable ~ valeurs dans E, d@fi-

ni sur un espace probabilis@ (W,~,P). Le point de d~part de Knight

est la remarque ( qui est aussi ~ l'origine du point de rue des

'distributions al~atoires' ) que si le procsssus a des trajectcires

peu r~guli~res, l'inertie des appareils de mesure ne permet pas d'

observer les valeurs inetantan~es ~t(w), mais seulement des moyennes

de la forme b

(I) I~(~,w) = f f(~s(w))ds a

oG f est bor~lienne born~e sur E. Ce point de vue amine ~ identi-

fier deux trajectoires ~gales p.p. au sens de Lebesgue, et ~ filtrer

W par la f~mille de tribus Gt= ~ (I~(f) , a~b_~t ). I1 a ~t~ d~velop-

p@ par plusieurs auteurs, par exemple Ito ~I~,~2~, Dellacherie-Meyer

~I~, mais touJours avec l'intention de choisir de bonnes versions

du processus. Knight, lui, prend une direction enti~rement diff@-

rente: il d@veloppe la th@orie de la prediction du prccessus par

rapport aux tribus ~t " C'est cela qu'on va exposer.

I. La r~daction pr~c~dente a @t~ consid~rablement am@lior~e ~ la suite

de discussions avec Marc Yor, ~ qui vont aussi tous mes remerciements.

*. Vol 3, 1975, p.573-596.

87

Puisque le processus (~t) est seulement suppos@ mesurable, ses

trajectoires peuvent ~tre tr~s irr~guli~res. D~cidons donc que le

topologie de E ne nous int~resse pas, que seul l'espace mesurable

(E,~) nous importe. Or c'est un espace mesurable s@parable et s@pa-

r@, il est bien connu qu'on peut l'identifier ~ une partie ( non

n@cessairement bor@lienne ) de l'intervalle K0,1], munie de la tribu

induite par ~([0,1]). Grace ~ cette identification, nous pouvons

consid~rer (~t) comme unprocessus mesurable ~ valeurs dans [0, I].

Si la topologie nous int~ressait, nous plongerions E comme sous-

espace topologique de [0, I~ - c'est c~ que fait Knight, mais nous

laisserons cela de cSt~.

D~signons maintenant par O l'ensemble de toutes les applica-

tions m de ~+ dans �9 telles que m(0)=O, croissantes, et lipschitz-

iennes de rapport 1 (Im(t)-m(s)[~It-s[). Posons Lt(m)=~(t), =Fo =

T(L 8 , s~+) , ~ = T(L s, s<t ). I1 est bien donnu qu'une applica-

tion lipechitzienne est d~rivable p.p., et l'in~grale de sa d~ri- I

v~e. Posons doric 60(m)=O , 6t(~) = lim sup n n(m(t)-~(t- ~ )). Le

processus (6t) est mesurable sur O, ~ valeurs dans [0,11, et l'on

a Lt(m) = /ot6s(m)ds. Consid@rons l'application suivante de W dane O

~(w) = ( t ~ r /t~s(W)ds ) s O 0

Elle est mesurable de G= darts F ~ de G t darts F__~ . Nous dirons que

~(w) est la pseudo-trajectoire de w . I1 faut noter cependant que

d~pend du plongement de E clans [0, I ] ( une d@finition intrins@que

des pseudo-trajectoires est donn~e dans Dellacherie-Meyer [I], mais

cela n'apporterait rien au pr@sent travail ). On a ~(w)=~(w') si et

seulement si ~.(w)= ~ (w') p.p., et la connaissance de ~(w) entra~ne

celle de Iba(f,w) pour toute f bor@lienne born~e sur E. En effet, soit

g bor@llenne born@e sur [0,1] prolongeant f, on a b

Iba(f,w) = f go6s(~(w))ds a

I1 en r~eulte ais@ment que Gt=~-1 (F~) . La m~thode de Knight con- = siste

88

transporter P sur ~ au moyen de l'application ~ , ~ utiliser

les excellentes propri~t~s de (O,~ ~ pour faire une th~orie de la

prediction sur ~, et ~ revenir ensulte sur W. En revanche, cet

expos~-ci va oublier le probl~me initial, omettre presque enti~re-

ment le retour sur W , et d@velopper la th~orie de Knight en utili-

sant aussi peu que possible les propri~t@s sp@ciales de l'espace

O, de mani~re ~ pouvoir l'~tendre ~ d'autres espaces'tanoniques".

Nous ne chercherons cependant pas le maximum de g~n~ralit~.

PROPRIETES DE L'ESPACE

Tout d'abord, O muni de la topologie de la convergence uniforms

sur les compacts de R+ est un espace compact m~trisable, dont FO

est la tribu bor~lienne. Nous d~signerons par M I l'ensemble des lois

de probabilit@ sur O, par M l'ensemble MIUIO} - la mesure 0 Jouant

icl le rSle du point ~ en th~orie des processus de Markov - que

nous munirons de la topologie de la convergence ~trolte sur O,

pour laquelle il est compact, 0 ~tant isol~. La tribu bor~lienne de

M sera notre ~ .

Pour tout ~6~ , nous d~finirons @t~EO par la formule

(2) Ls(@tw ) = Ls+t(m ) - Lt(~)

Le lecteur familier avec les op~rateurs @t de la th~orie des proces-

sus de Narkov pourra trouver cela inhabituel, mais il faut qu'il se

rappelle que les '~raies" trajectoires sont les d~riv~es des fcnc-

tions ~ , et que les @t op~rent vraiment par ~translation" sur les

d~riv~es. On a @O=I, @set=@s+t , et l'application (t,~)~-~@t~ est

mesurable de ~(R+)xF= ~ ~o _ elle est m~me continue, mais ceci ne

sera pas utilis~.

A cSt~ des op~rateurs de translation, il nous sera tr~s commode

d'utiliser les op~rateurs de raccordement ainsi d~finis. Etant donn~s

~,m' E O, t E ~+ , nous construisons m/t/~' par la formule

(3) Ls(~/t/~') = LsCm) pour s_<t

= Lt(~ ) + Ls_t(~' ) pour s~t

L'application (~,t,m')~-~/t/~' est continue, mais nous ne nous ser-

virons que de sa mesurabilit~. Noter que Ot(~/t/m')=m' �9

89 4

Nous poserons ~8- = ~8 " En raison de la continuit4 du processus O -- O (Lt) , nous aurons doric ~t--~t pour tout t, mais cette propri4t4 ne

sera pas utilis~e non plus. Nous d~signerons par P ( tribu pr~visible)

la tribu sur ~+xO engendr4e par les processus adapt4s & la famille

(F~_) et continus ~ gauche sur ]0,col, par ~ ( tribu optionnelle ou

bien-mesurable ) la tribu engendr4e par les processus adapt4s

(F~+) et & trajectoires c~dl&g. ( continues ~ droite et limitues

gauche ).

Nous allons raisonner sur O, mais en pr~parant le plus possible

la g4n4ralisation & d'autres espaces, qui sera examinee dans un

court paragraphe IV. Les consid4rations sp4ciales & l'espace des

fonctions lipschitziennes seront plac4es entre ast4ristques *.....

II. THEORIE DE LA PREDICTION SUR L'ESPACE CANONIQUE

Lorsqu'il a @crit son article, Knight ne connaissait pas le

travail de Schwartz sur les d~sint~grations r~guli~res, qu'il a en

partie red~couvert. Ce travail fournit pourtant la vole d'approche

la plus rapids et la plus comprehensible. J'aimerais renvoyer le

lecteur ~ Schwartz [I], ou ~ l'expos~ sur les r~sultats de Schwartz

contenu dans le volume VII du s@minaire, mais malheureusement ( ou

heureusement ) c'est impossible. En effet, la th@orie de Schwartz

concerne un espace probabilis~ filtr@, alors que c elle de Knight

concerne ~m espace mesurable filtr~, et construit un syst~me de

pr@dicteurs qui marche pour toutes les lois ~ simultan@ment. Cela

me semble une difference essentielle entre les deux points de vue.

Darts ce paragraphe, les op~rateurs @t et ././. ne sont pas uti-

lis@s. Bien que nous parlions de O,~ ~ ~ avec leurs sens ant@rieurs,

la g@n~ralisation est imm@diate : (O,~ ~ peut ~tre un espace compact

m@trisable quelconque muni de sa tribu bor~lienne, et d'une filtra,

tion (~) par des sous-tribus s@parables de ~o.

d~signant un @l@ment de M, nous noterons au moyen de E , P

des esp~rances ou probabilit~s , absolues ou conditionnelles, rela- tives

90 5

~ . En toute rigueur, P est inutile : c'est ~ tout simplement

Mais la notation est plus parlante.

Premiere 4tape.

Le point de d~part est le lemme suivant, dans lequel test fixe.

LEMME I. Pour toute mesure ~EM, il existe un noyau ~tt d_~e (O,F=~) darts

(O,F ~ poss4dant les propri4t4s suivantes

I) Pour tout m6~, la masse totale de ~t~(m) est I o__uu 0 ( i.e.,

Kt~(m,.)EM ), et si ~=0, Kt~(m,.)=O pour tout ~.

2) Pour toui~v.a. Y sur O, F=O-mesurable st born4e, E [YIF~])-~t~(.,Y)

;i-p. s..

3) L'application (~,~)~-~ Kt~(~,.) de (MxO, ~xF~ ) dans (M,~) est

me surable.

( Esquisse de la d4monstration : ~ est s4parable, doric engendr4e

par la r4union d'une suite croissante de tribus finies ~n " Pour

toute loi ~, on construit de mani~re explicite le noyau d'esp4rance

conditionnelle E~ dormant E [. IHn] , au moyen de la partition engen-

drant ~n' et en convenant que 0/0=0. Alors E~ d4pend mesurablement

de ~, et les mesures E~(~,.) out masse I ou O. Puls on pose K~(m,.)

= lim n E~(m,.) si cette limite existe darts la topologie 4troite, 0

si elle n'existe pas~ Elle exiete en fait ~-poS. d'apr~s le th4or~-

me de convergence des martingales ).

Knight ne construit pas tout de suite des noyaux dormant E[YIF~] ,

mais plut8t des noyaux dormant E[YoetI~ ]. Nous verrons qu'on passe

ais4ment des uns aux autres.

Seconde ~tape : r~ularisation.

a) Pour t rationnel, on choisit arbitrairement K~ comme dans le

lemme I. On le modifie - sans changer de notation - de la mani~re

suivante : si pour un rationnel s<t, K~(~,.)=O, alors on remplace

K ~,.) par O.

b) Soit ~(m) la borne sup4rieure de l'intervalle I~(~) I form4

des t tels que : pour tout rationnel s<t, toute fonction YEC(O), la

fonction K~(~,Y) sur les rationnels ait une limite ~ droite en tout

1. I~(m) = [ O , ~ ( m ) ] ou [ O , ~ ( m ) [ �9

91

point de [0,s[, une limite ~ gauche en tout point de ~0,s~.

On a t~I~(u) si et seulement s'll existe un rationnel s<t

et deux rationnels a<b tels que le nombre de mont~es de K~(~,Y) par

dessus [a,b~, sur les rationnels de [0,s], soit ~gal ~ +m. I1 en

r~sulte que ~ est un temps d'arr~t de la famille (~+), et que

(~,u)~-* ~(u) est mesurable. D'autre part, la th~orie des martin-

gales entra~ne que ~<m I = 0 pour toute loi ~, Modifions alors

K~(u,.) - sans changer de notations - en lui donnant la valeur 0

si t$I~(u). Le noyau ainsi modifi~ continue ~ satisfalre au lemme I

pour t rationnel, et de plus la limits ~ droite le long des ration-

nels existe partout, la limite ~ gauche le long des rationnels

existe partout, sauf peut ~tre au point ~(~).

Nous convenons maintenant de poser, pour tout t

(4) - K~(m,.) = K~+(~,.) , limite ~ droite le long des rationnels.

- K~_(~,.)= K~(m,.) st, pour t>0

- K~_(~,.)= ~_(m,.) limite ~ gauche le long des ration- nels si celle ci existe,

= 0 si la limite n'existe pas.

Nous r~sumerons les propri~t~s de K~ dans l'~nonc~ suivant :

LEMME 2. a) Pour YE~(O), le processus (K~(.,Y)) est une version

continue ~ droite de la martingale ~[YJF~+~).

b) Posons ~(~)= inf I t : K~(~)=01. Alors K~(u)=0 pour t>C ~,

K~E M I pour t<C~ , et l'on a ~ C~<~ ~ = 0.

c) Pour YE~(O), la fonction K~(m,Y) admet une limite ~ gauche en

tout point de l'intervalle ]0,C~(~)[.

d) La fonction (~,t,~)~-~K~(~,.) est mesurable de ~xB__(~+)x~ ~

(M,~).

I1 e~t facile de voir sur la con~truction que (~,~)~-~K~ (~) est

~x~_~mesurable, mais on peut seulement affirmer que (~,~)~-~K~(~)

est ~xF=~+ -mesurable ~our tout ~>0, ce qui n'est pas la m~me chose

qu~tre ~<~+-mesurable. La r~dactlon pr~c~dente ~nongait, ~ cet

~gard, un r~sultat faux~ D~ m~me, il est ~acile de d~montrer, soit

92 7

directement, soit au moyen du th@or~me de Blackwell ( la tribu

@tant une sous-tribu s~parable de la tribu de Blackwell ~(~+)•

que l'application (~,(t,~)),-~ K~_(m,.) est ~-mesurable, mais

on n'a pas le m~me r@sultat pour (~,(t,~))~-~K~(m,.) relativement

~0 , car 0 n'est pas une tribu s@parable. Cela cr@e des difficul-

t~s techniques consid@rables par moment (I).

La topologie de O a enti~rement disparu de l'@nonc@ suivant :

THEOREME I. Pour tout processus mesurable born@ X=(Xt), pour toute

loi ~, le processus

(5) K~.X : (t,~)~ ~ / K~(~,dw)Xt(w)

est une projection optionnelle de X pour ~, et le processus

(6> K .X : /

une projection pr~visible de X pour la loi ~.

DEMONSTRATION. C'est un argument simple de classes monotones,

partir du cas oG Xt(w)=a(t)Y(~ ) avec YE~(O). Cemme l'application

(t,m)~--~a(t) est ~-mesurable, on se trouve ramen~ au fait que

K~(.,Y) est une version continue ~ droite de la martingale E[YI~] ,

et K~ (.,y) le processus des limites ~ gauche correspondant. o-

PROP~ETES DES NOYAUX K~

Nous pouvons am~liorer le th~or~me I de la fa@on suivante - le

lecteur ~noncera le r~sultat analogue pour la tribu pr6visible.

LEMME 3. Soit X(t,~,t',m') une fonction born~e mesurable par rapport

~__OxB=(~+)• ~ Alorsune projection optionnelle ( pour la loi ~ ) d_~u

processus X(t,m,t,~) est donn~e par

(7) (t,~)~-~ /Kt(~,dw)X(t,~,t,w).

DEMONSTRATION. On raisonne par classes monotones ~ partlr du cas o~

X(t,~,t',~')= a(t,~)b(t',~'), a optionnel, ~ mesurable.

Dans l'@nonc~ qul suit, nous nous refusons ~ tenir compte du fait O O que ~t=~t - darts le cas particulier o~ ~ est l'espace des fonctions

lipschitziennes : le r~sultat ( d~ ~ Schwartz ) est bien plus g~n~ral.

LEMME 4. Pour ~-pres~ue tout ~, pour tout t, K~(m) est port@e par l'atome de ~_ qui contient ~.

I. Voir dane ce volume l'article de Yor

~3 8

DEMONSTRATION. Les tribus F~ ~tant s~parables, il est bien connu que

est s~parable, de sorts qu'il existe une application J(s,~) de

R+~ darts [0,1] engendrant la tribu ~. Ainsi j(s,m)=J(s',m') si et

settlement si (s,~) et (s',~') appartiennent au m~me atoms de ~, i.e.

sl s=s' et ~ et ~' appartiennent au m~me atome de ~s-" Si f est une

fonction bor~lienne born~e sur [0,1]• la fonction X(t,~,t',~')=

f(J(t,~),J(t',m')) satisfait aux hypotheses du lemme 3, comme on le

volt aussit8t en partant du cab o~ f(x,y)=a(x)b(y>. Prenons alors

f(x,y) = Ijx~y I : le processus X(t,m,t,m) est identiquement nul, donc

sa projection optionnelle est ~-indistinguable de O. Ainsi le proces-

SUB J~ d~fini par

J~(t,~) = / K~(m,dw)Ilj(t,~)~j(t,w) I

est ~-~vanescent, et cela signifie exactement ce que l'on cherche.

Remarque. Le lemms 4 s'applique aussi aux K~_ .

*Dans le cas qui nous int~resse, l'atome de ~_ contenant

est l'ensemble des w co~ncidant avec m sur [O,t]..

Le r~sultat suivant est ~galement dG ~ Schwartz.

LEMME 5. Pour tout t, pour tout s_<t , on a pour ~-presque tout

( 8 ) = t

Plus g~n~ralement, on peut remplacer s par un temps d'arr~t de la

o major~ par t f~mille (Fu+)

DEMONSTRATION. Nous laissons au lecteur l'extension aux temps d'arr~t.

Le membre de gauche est une fonction ~+-mesurable. Du c8t~ droit, on

Bait que (X,~)~--~ K~(m) est mesurable de ~x~+s dans ~ pour tout

c>O, tandis que m~-~ K~(m) est mesurable de ~+~ darts ~ du fait que K~(~),

s est major@ par t. Par composition, on volt que ~-~at s est

~+ -mesurable pour tout s>O, donc ~+-mesurable. Ce point ~tant

v~rifi~, il nous sufflt de montrer que, pour toute Y born~e F~

rable, touts U born~e = F~+-mesurable, on a

(9) E [U(~)K~(~,Y)] = E [U(~)K~(~)(~,Y)]

Le cSt~ gauche vaut

E~[U.E~[YI ~+] ]~ [uY] = ~ [~ [uYIF~+].=~ ]=~ [K~(.o ,UY)] =

@4 9

Fo = ~[~(~) [~3 ]~[~K~(~) [~(~) [~I = t + ] ]

~[~K~(~)[~(~)(.,r)] Le cSt~ droit : Posons U(m)K~(~,Y) = f(A,~), fonction ~~

Posons K~(~,.)= k(~), fonction ~+-mesurable ~ valeurs darts M. Alors

le cSt@ drolt de (9) s'~crlt

~ [ r ( k ( ~ ) , ~ ) ) ] : ~ [ ~ [ r ( k ( ~ ) , ~ ) ) l ~ + ]

: E [IK~(~,dw)f(k(m),w)]

( argument de classes monotones ~ partir du cas o~ f(A, )=a(A)b(),

sl l'on veut ) K~(~)

= ~ [~ Imp. ~ (.,~)] qul est la m~me que l'expression obtenue pour le cSt~ gauche. L'~ga-

lit@ (9) est bien v@rifi@e.

Traduisons ce lemme suivant les idles de Knight : le processus de

pr@diction (K~) ~ valeurs dans M est un processus de Markov non homo-

~ne .

PROPOSITION I. Posons pour s~t, hEM, AE~

(10) Qs,t(X,A) : Xl ~ : K~(~)EA ~(I)

Alors nous avons pour toute mesure ~EM I

(I~) P~I ~ : K~(~)EA I F~ = Qs,t(K~,A) ~-p.s.

DEMONSTRATION. Soit f(~,~) l'indicatrice de l'ensemble I(~,~) :

K~(m)EA I ; elle est ~~ Soit aussi k(~)=K~(m), qui e~t

~+-mesurable. Du cSt~ gauche de (11), nous avons d'apr~s le lemme

:~(m)(m)EAl F " o D'apr~s la d~mons- P~I ~ : K ~+ I : ~ [ ~ ( ~ ( ~ ) , ~ ) ) l ~ s + ] .

tratlon du lemme 5, cela s'~crlt JK~(m,dw)f(k(m),w)), et c'est le

cSt@ droit de (11). Cette d~monstration ~tait fausse dans la premi~-

re r@daction, eta ~t~ corrig@e par B. Malsonneuve. Nous allons maintenant nous occuper de perfectionner le lemme 4.

Pour cela, nous allons introduire un langage abr@g@. Nous dirons

I. I1 n'y a pas d'erreur : s figure ~ gauche, mais non ~ droite.

95 10

qu'une loi A est t_-d~g~n~r~e ( resp. t+-d~fi~n~r~e ) si la tribu

~_ ( resp. ~+ ) est d~g~n~r~e pour la loi A . Comme F_~_ est s~pa-

rable, dire que A est t_-d~g@n~r~e revient ~ dire que A est port,s

par un atoms de ~_ , et nous pouvons doric dire, de m~i~re plus

pr@cise, que A est t_-d@~@n@r@e en w6~ si A est port,s par l'atome

de ~_ qul contlent ~. Ainsi, le lemme 4 s'~nonce ainsi

Pour toute loi ~, pour ~-presque tout m, pour tout tER+ , la me-

sure K~(m,.) est t_-d@~@n@r~e en m .

La m@thode de Knight vanous donner le r@sultat suivant :

PROPOSITION 2. Pour touts loi ~, pour ~-yresque tou$ m~, on a la

propri~t@ suivante

pour tout tER+ , K~(m) est t+-d~g~n@r@e .

( Mais comme ~+ n'est pas s~parable en g@n@ral, cela ne signifie ]ms

que K~(m) est port@e par l'atome de ~+ contenant ~, i.e. par l'en- semble des m' co~ncldant avec m sur unvoisinage de [O,t]).

DEMONSTRATION. Nous commen~ons par un r@sultat auxiliaire : l'ensem-

ble des (A,t) tels ~ue A solt t+-d@g~n~r~e est bor~lle~.

En effet, ~ quol reconna~t on que A est t+-d@g@n~r~e ? Au fait

que l'op~rateur d'esp@rance conditionnelle EA~.I~+] est ~gal ~ l'

op~rateur d'esp@rance EA, ou encore au fait que Aim : K~(m)~k}=O.

Or la fonction (k,~,v,t)~-~ Aim : K~(~)~ est bor@lienne ( argu-

ment de classes monotones ~ partir de la fonction EA[a(K~(~))b(v)3). I1 en r~sulte que (A,t),-*AIK~AI est bor~lienne.

L'ensemble des (s,m) tels que K~(~) ne soit pas s+-d~g~n~r~e est

alors l'image r@ciproque d'un bor~lien par la fonction optionnelle

(s,m)~->(K~(m),s) ; il est donc optionnel, et pour montrer qu'il

est ~-@vanescent, il suffit de montrer que pour tout temps d'arr~t

S on a pour ~-presque tout

( pour m i e u ~ oomprendre, d'abord, le lecteur pourra traiter lecas

o6 S est constant ~ ). Cela revient ~ montrer que

(12) / ~ ( = , a w ) f ( k ( = ) , w ) = o

96 11

o~ fest la fonction sur (Mxl+)xO indicatrice de ~((A,s ,w) : K~(w)~A},

qui est (~_(R+))•176 tandis que k(w) est la fonctlon de

O dans MX~+ u~-~ (K~(~)(~),S(w)), qui est ~+-mesurable

Un argument de classes monotones ~ partir du cas oG f(k,s,w)=

a(~)b(s)c(u) montre que (12) s'interpr~te comme

Ii nous suffit donc de montrer que f(k(~),u)=O ~-p.s. Or appliquons

le lemme 5 ~ t rationnel et au temps d'arr~t SAt. ll vient que pour

tout t rationnel on a

K~(w) = "~K~(w)(w) sur It>S~ (~-p.s.).

Par continuit@ ~ droite, on a ~-p.s. cela pour tout t r@el ~S(~). En

particulier, pour t=S(u), on a ~-p.s.

K~(~)(=) = K~(~)(=)S(=) i.e. f(K~(~),S(=),=)=O ~-p.s.

III. PREDICTION DU FUTUR

Nous faisons intervenir maintenant les op@rateurs e t ( et ././.,

dont l'emploi n'est pas indispensable, mais est tr~s commode ), et

nous abordons la th@orie de Knight proprement dite.

Nous d@finissons les mesures de Knight par

(13) ~t(u,Y) = K~(Yo@ t) , Z~_(w,Y) = K~_(Yo@t)

* Ncus rencontrons icl tun trait particulier ~ l'espace O des fonctions

lipschitziennes : celui-ci est compact pour une topolcgie naturelle-

ment li@e ~ son op@rateurde translation, et sl Y appartient ~ ~(O),

t~-~Yo@ test continue pour la convergence uniforme, et Yo@ t appartient

~(O). I1 est alors tr~s facile de d~duire des propri~t~s des K~ que

le processus (Z~) est continu ~ droite pour la topologie ~troite,

limitu ~ gauche, et que le processus de ses limites ~ gauche est

(Z~_). Mais il s'agit i~ d'une propri~t~ qui ne s'~tend pas ~ des

espaces canoniques excellents, auxquels tout le reste de la th~orie

s'applique. : en g@n@ral, o n ne peut affirmer nl que le Processus (Z~)

soit continu ~ droite pour la topologie @troite de M, nl que le pro-

cessus (Z~_) apparaisse comme le processus des limites ~ gauche de

97 12

(Z~). Aussi n'utiliserons nous pas ces propri@t~so Pour plus de

details, consulter darts ce volume l'article de Yor.

Le syst~me des ~t rend les m~mes services que celui des K~ . En

effet, le lemme 4 nous dit que pour ~-presque tout m, K~(~) est,

pour tout t, t_-d@g@n@r@e en ~. D'autre part

LEMME 6. Soient ~ une mesure t -d@g@n~r~e e n ~EO, ~ la mesure image

d_~e ~ par @t ' Ow,t l'application w~-~m/t/w . Alors k est l'ima~e de

y par C, t "

DEMONSTRATION. Soit Y ~~ born@e ; on a

< ~,Y> = /X(dw)Y(w/t/@tw ) Mais k est port@e par l'atome de F ~ �9 =S m

contenant w, donc w/t/@tw=~/t/@tw X-p.s. = ~X(dw)Y(m/t/etw)

= /~(du)Y(~/t/u) = <~,YoC~,t > .

Ainsi, nous pouvons exprimer explicitement les K~ au moyen des Z~ .

Mais en fait nous n'avons pas besoin de ce lemme pour @tablir le th@-

or~me suivant, qui r@sume les propri@t@s des Z~ :

THEOREME 2. a) L'ap~lication (~,t,~)~-* Z~(~) (rest. Z~_(~)) es_~t

~xB__(~+)• ; po.ur toute mesure F , le processus (Z~) e st

optionnel, le processus (~t_) pr@visible.

b) Pour tout processus mesurable born@ X=-(Xt), toute loi ~, l e

processus

(14) (t,m),---> / Z~(m,dw)Xt(~/t/w)

est une pro~ection optionu, elle de X pour la loi ~, et le ~rocessus

(15) (t,~), , > /z~_Cm,dw)Xt(mltlw) une projection pr~visible de X.

DEMONSTRATION. a) Si H(t,m) est une fonction ~(~+)•176

born~e, les applications (F,t,~)~-* /K~(~,dw)H(t,dw) ; (t,~)~-*

/K~(~,dw)H(t,w) ; (t,~)~-->/K~_(~,dw)H(t,w) sont respeotivement

mesurable, optionnelle, pr@visible ( partir du cas oG H(t,m)=a(t)b(m)).

D'oG a) en prenant H(t,m)=Y(@tm).

Pour b), traitons par exemple le cas optionnel. Nous nous ramenons

au cas oG X est de la forme a(t)H(m), puis oG Xt(~)=H(m) seulement.

98 13

Dans ce cas, le processus (14) vaut

/Z~(m,dw)H(w/t/w) = /K~(~,dw)H(~/t/@tw)

Nous vErifions que l'application ~t,m),w)~-->H(~/t/@tw) est __PxF__~ -

rable. Alors, pour verifier que le processus (14) est optionnel, il

nous suffit de montrer que si U(~,~),w) est pxFa-mesurable, le pro-

cessus (t,~)~-~]K~(~,dw)U(t,m,@tw) est optionnel. On commence alors

par le cas o~ U(t,~,w)=a(t,m)b(w), a prEvisible, k mesurable , et on

fait le raisonnement usuel de classes monotones.

Quant au fait que (14) est projection optionnelle de X, c'est le

lemme 6 : ce processus est ~-indistinguable de K~.X .

Nous d4montrons maintenant un lemme important, analogue au lemme 5

pour les Kt~ . La premiere redaction le pr4sentait avec des notations

un peu diff4rentes, et en "laissant au lecteur" une extension aux

temps d'arr~t pr4sum@e facile. A la relecture, je me suis apsr~u que

Js ne savais pas la faire sous cette forms " Voir la remarque suivant

le lemme, et surtout l'article de Yor dans ce volume.

LEMME 7. Pour tout couple (s,t), pour toute lol ~, on a

(16) Zs~+t(~) = Z t (esm) ~-p.s..

DEMONSTRATION. Ii est clair que le cStE gauche est une fonction

~s+t)+-mesurable. Montrons le pour le cStE droit. Nous Ecrivons que

pour tout c>O (k,w)~-~ Z%~(w) est ~xF~+ -mesurabls, et que ~-~

(Zs~(~),@s~) est F~176162 -mesurable. Par composition, le c8t4

droit est F~+t+s-mesurable pour tout r i.e. ~+t)+-mesurable.

Ii nous suffit donc de montrer que pour toute v.a. U, F__~s+t)+-mes.

bornEe, toute Y F_~ bornEe, on a

1 Je dis qu'il exists une fonction ~(~,W) sur OxO, F~_x~__~ ,

poss4dant les deux propriEtEs suivantes :

- pour tout m, U(~,.) est F~+-mesurable

- u(~)=U(~,~s~). C'est tr~s facile : il suffit de poser U(~,w)=U(m/s/w). La verification

I . Pour ce lemme, F~+• ~ est ce qu'il nous faut : le =s- F~ intervient

dans l'4noncE analogue pour les Z~ . o--

99 ~4

des deux propri@t@s de mesurabilit@ ne pose pas de probl~me : si U

eet F~ (m,w)~--> U(m/s/w) est F ~ xF~ ( regarder les

g@n@rateurs ), et sl U est F ~ -mesurable, cette application est =s+t+~

m~me ~_x~+s-mes. , done pour B fixe U(~/s/.) est ~+e-mes., apr~s

quol on fait tendre s vers 0.

Calculons alors (17). Le cSt@ gauche vaut, comme Z~+t(.,Y) =

E[Yoee+tlF~+t)+]_~ ~-p.s., et U est ~s+t)+ -mesurable

~) E~[U.Yoes+ t] : E ~ [ E ~ [ U . Y o e s + t I ~ + ] ]

0nv@rifie maintenant, par un argument de classe monotone, que

pour toute fonction V(m,w), ~+• = born@e, on a

(18) E~[v(m,eem) lE~ +] = / z~(m,dw)V(~,w) ~-p.s.

Prenant V(m,w)=U(~,w)Y(@tw), l'esp~rance de dnoite en (*) devlent

E [ EZ~(~)[U(~,,)Yo@t(o)] ]

A l'int~rieur de EZ~(~)[ ], remplagons la v.a. par son esp@rance s

condltlonnelle par rapport ~ ~+ , pour la mesure Z~(m) : ici

est fixe, done U(~,.) est ~+-mesurable, et la d~finition des Z

nous donne :

Z~(~) (19) E [ EZ~(m)[ ~(~,.)Z t (Y)] .

Du cSt~ droit de (17), maintenant, nous appliquons ~ nouveau (18),

avec V(~,w)= ~(m,w)Z~(m)(w,Y), qui est ~+•176 Remplagant

la v.a. sous le signe E par son esp@rance conditionnelle par rapport

F~ , nous trouvons alors Z~(~)

(2o) E[ /z~(~,~w)~(~,w)z~ (w,Y)] qul est bien la m~me chose que (19). Le lemme est ~tabll.

I. Volr note page pr~c~dente.

100 15

REMARQUE. Passons au remplacement de s par untemps d'arr~t S de la

famille (~+), que nous supposerons fini. Quelles sont les modifica-

tions & apporter & la d4monstration ?

Darts (16), tout d'abord, le c8t4 gauche est ~IS+t)+-mesurable. Du

c8t4 droit, il nous faut savoir, pour recopier le raisonnement, que

pour tout c>O @S est ~+t+r162 et Z~ ~+t+c-mesurable,

ce qui est bien vrai.

Le point d41icat est maintenant le suivant : 4taut donn4e une v.a.

U , ~S+t)+-mesurable, existe t'il une fonotion ~(~,w), ~ xF~ -

rable, telle que pour tout m U(w,.) soit ~+-mesurable, et que U(m)

= U(~,@Sm) identiquement ? La r4ponse est oui, mais le choix 4vident

U(m,w)=U(m/S(m)/w) ne marche pas. Nous renverrons & l'article de Yor

darts ce volume pour la d4monstration.

Ce point 4taut admis, le reste de la d4monstration est le m~me que

pour les temps constants.

Nous en arrivons au th4or~me principal de Knight. C'est un r4sultat

tr~ s remarquable, qui exprime que, pour toute loi ~ , le processus

(Z+~) est un processus markovien homog~ne, avec un semi-groupe de tran-

sition ( bor~lien par construction ) qui ne d4pend pas de la loi ~.

Compte tenu de la remarque pr4c4dente, ce processus est m~me fortement

markovien.

THEOREME 3. Posons pour AEM , As

(21) Jt(X,A) = A{ m : Z~(~,.) E A

Alors on a pour toute loi

(22) P~{ Z~+ts IF~ I = Jt(Z~, A) ~-p.s..

DEMONSTRATION. On a d'apr~s (16) Z~(~) ~) ~A

P { Z~+ tEA I F~ ~ = Z t IF~ 1 =s+ P~{ "-s =s+

Nous appliquons 81ors (18) avec V(~,w) = IAOZ t

nons pour cette esp4rance conditionnelle

PZa(m ) s { Z t (.)EA ~ = J t (Z~(~) ,A) . cqfd .

(w), et nous obte-

101 16

REMARQUES. a) V@rifions que lee Jt forment un vrai semi-groupe :

Js+t(~,A) = P IZs~+tEAI = E [P IZ~EAIFO• = E [Jt(Zs~,A)] = Js(~,JtIA). ~ oi~ =o~

b) On a ~Jo=~ si et seulement si ~IZ~o=~}=1, ou encore si ~-p.s.

E~[YIFS+]=~(Y) pour toute Y =F~ born@e, ou encore s_! FS+

est une tribu d@g@n@r~e pour la loi ~.

c)* Dane le cas partlculier de l'espace des fonctions lipschitziennes,

nous avons signal@ au d@but du ~ III que le processus (Zt~) a des

trajectoires p.s. continues & droite et limitues & gauche dane la

topologie @trolte de M . Pour le cas g@n@ral, voir l'article de Yor..

d) Comme ~{C~=+eo ~=I pour ~EM I , lee Kt~ ,donc lee Zt~ , appartiennent

p.s. & M I si ~EM I . Le semi-groups (Jt) est donc markovien sur M I.

e) Soit S l'ensemble des lois sur ~ pour lesquelles F~ est d@g@n@r@e.

On a ~ES sl et seulement sir Jo=s , et S est bor@lien ( prop.2 ou

v@rification directe ). D'autre part, le processus (Zt~) est ~-indistin-

guable d'un processus & valeurs dane S ( prop. 2 ou v@rification di-

recte ). C'est donc S qui est le v@ritable espace d'~tate du procee-

sue de pr@diction. Pour une loi quelconque ~, la loi inltiale du pro-

cessus de Markov (Zt~) est ~Jo port@e par S, et la formule

~(Y) = /~(a~)~o(~,Y) '~8int~gre" ~ suivant lee mesures , extr@males", pour lesquelles F~

est d@g@n@r@e. Lee mesures ~S jouent le r81e de points de branchement

pour le processus de pr@diction.

IV. RETOURAU PROBLEME INITIAL

Si l'on connalt la trajectoire Z~(m), on peut reconstruire com-

pl~tement l'application lipschitzienne m de la mani@re suivante :

modifions l@g@rement lee v.a. 6 t que nous avons d@finies au d@but de

l'expos@, en posant

(23) 6 0 = lim sup n n~(I/n) , 6t=60o@ t

6 0 est une v.a. ~8+-mesurable. Posons alors pour toute mesure ~EM

(24) p (~) = E [ 6 0 ]

102 17

Nous avons alors le lemme suivant :

LEMME 8. Pour ~-presque tout ~, on a pour tout t

(25) ~(t) = ftp(Z~(m))ds . 0

DEMONSTRATION. Consid@rons le processus mesurable (6t)=(60oet) ; le

processus s t = E E60~ = p(Z~) enest une projection optionnelle

pour la loi ~. Mais le processus (6 t) est adapt@ ~ la f~mille (~+),

donc 6t=r t p.s. pour chaque t, et le th@or~me de Fubini entralne que

pour ~-presque tout m on a 6t(~)=et(m) pour presque tout t, donc

~t~(~)ds=ft~o(m)ds . On conclut en remarquant que, m @taut lipschit- 0 ~ 0 ~ t zienne,est l'int@grale de sa d@riv@e, donc ~(t)=~ 8s(m)ds, d'o~ le

m~me r@sultat pour Cs"

Revenons alors au probl~me du d@but : nous sommes partis d'un es-

pace probabilis~ (W,~,P~ sur lequel nous @tait donn@ un processus (~t)

mesurable, ~ valeurs dans l'intervalle EO, I~. Nous avons construit une

premiere version " canonique" de ce processus, qui ~tait en fait le

precessus (6t) ci-dessus, sur l'espace O des applications lipschitz-

iennes. Puis nous avons construit le processus de pr@diction (Z~)

sur O... et maintenant nous venons de d@terminer une seconde version

canonique de (~t) , qui est le processus st=p(Z~) . Le fait remarqua-

ble, c'est que (~t) est un processus de Markov ~ semi-groupe de tran-

sition homog~ne. Ainsi, si l'on se plsce du point de vue de Knight,

tout processus (~t) a " m~me loi" qu'un processus de la forme (PoZt),

o~ (Z t) est un processus de Markov droit, p une fonction bor@lienne

sur l'espace d'@tats de (Zt).

Cela @claire peut ~tre le rSle des processus de Markov en th@orie

g@n@rale des processus, et la raison pour laquelle tant de th@or~mes

ont @t@ @tablis d'abord pour les Markov, puis g@n@ralis@s. L'expos@

suivant montrera tout de m~me les limites de l'analogie markovienne..

V. GENERALISATIONS

En ce qui concerne la partie " Schwartzienne ~ de l'expos~, nous

avons d@J~ signal@ que tout s'@tendait au cas o~ (~,~o) @tait tun es-

pace compact m@trisable muni de sa tribu bor@lienne, et d'une famille

croissante (~) se sous-tribus s@~arables de ~o~ Ceci est plus g@n@-

ral qu'il n'y para~t ~ premiere rue. En effet, soit (O,~ ~ un espace

103 18

mesurable lusinien non d~nombrable ( on suppose que FO s~pare les

points de O ). Alors (O,~ ~ est isomorphe ~ l'intervalle [0,1]

muni de sa tribu bor@lienne ( Dellacherie-Meyer [I], chap.III , n~

p.248 ), de sorte qu'll existe une topologie compacte m@trisable

sur O - @videmment tout ~ fait artificielle - dont F ~ est la tribu

bor~lienne.

Quant au reste de la th@orie, Je me garderai bien de faire de

l'axiomatique. Je soulignerai simplement que tout ce qu'on a dit

s'applique ~ l'espace des applications c&dl~g, de ~+ dans E polonais,

muni de ses op~rateurs usuels de translation et de raccordement, et

que c'est l~ sans doute que la th@orie de la prediction s'av@rera le

plus utile. Les d@monstrations de l'expos@ ont ~t~ r~dig6es de telle

mani~re qu'elles s'appliquent ~ cette situation sans en changer un

mot.

BIBLIOGRAPHIE C.Dellacherie et P.A.Meyer. [I]. Probabilit~s et potentiel, 2e ~d.

des chapltres I-IV. Hermann, Paris 1975.

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on Funct. Anal. p.369-377. Univ. of Tokyo Press, 1970.

L.Schwartz.[1]. Surmartlngales r~guli~res & valeurs mesures et d@sln-

t@grations r@guli~res d'une mesure. J.Anal. Math.,26,1973,p.1-168.