Alggbres de Lie niipotentes,formule de Baker-Campbell-Hausdorff

et intggrales it~r~es de K.T. Chen

Michel FLIESS et

Doroth6e NOR~MAND-CYROT

Laboratoire des Signaux & Syst6mes

C.N.R.S. - E.S.E. Plateau du Moulon

91190 Gif-sur-Yvette

INTRODUCTION

Yanmto [19] a montr6 que la solution de l'~quation diff6rentielle stochastique

ii_

dq = Ao(q) dt + ~ Ai(q) db i (I) i=l

est f~176 C~ d'un n~ fini d'integrales it6r6es I2 d ~ j ~ ' ' ' d ~ j o s i ' e t s e u l e -

merit si, l'alg~bre de Lie engendr6e par les champs de vecteurs Ao, AI, ..., An, sup- co

pos6s C , est nilpotente. L'gquation (I) doit ~tre interpr~t~e au sens de Stratono-

vich; hi, ..., b n sont des browniens. L' int6grale itgr~e stoehastique "it d~j~..d~jo o

est d~finie par rgcurrence sur la longueur :

- go(T) = T , ~i(T) = bi(T) (i=l ..... n) ,

- - = = o d~j ~ j ( t ) ( j=O, l . . . . . n; on suppose b i ( o ) = O, i I . . . . . n ) ,

- d ~ j v . . , d~jo = dg . . . . dg. , o~ la de rn i f i r e i n e 6 g r a f i o n o o o J r - 1 J o

est prise au sens de Stratonovich.

Yamato note que ce r~sultat g6n~ralise des calculs de Gaveau [7] ~ propos de diffu-

sions sur des groupes nilpotents. Comme le souligne Kunita []3], ces d~veloppements

participent de la vogue actuelle de la g6om6trie diff~rentielle stochastique (cf.

Meyer [16]).

La d~monstration originale de Yamato, qui fait appel ~ la th6orie g6om6trique des

6quations lin6aires aux d6riv~es partielles du premier ordre, est complexe et, cer-

tainement, peu naturelle. C'est pourquoi, Kunita [12, 13], d'une part, Krener et

Lobry [11], de l'autre, ont propos6 des approches diff~rentes qui seront analys6es

plus loin.

258

Ici, le second th~or~me fondamental de Lie permet de se ramener aux liens alg~briques,

connus depuis plus de vingt ans, entre formule de Baker-Campbell-Hausdorff et int~-

grales it~r~es de K.T. Chen. Est ainsi obtenue une expression intrins&que de la so-

lution, ind~pendante de tout choix de coordonn~es. Le r&sultat de Yamato nous sem-

ble passablement @tranger au cadre stochastique dans lequel il a, jusqu'& present,

~t~ ~noncg. Aussi commen~ons-nous par traiter les ~quations d~terministes. Le cas

stochastique s'en d~duit par transfert (I)

Disons, pour terminer, que les intggrales it~r~es ont ~tg introduites comme un ins-

trument important en topologie par Chen [4] et qu'elles sont utilis~es en [6] pour

l'~tude des fonctionnelles causales non lin~aires.

Les auteurs tiennent ~ remercier I. Kupka, C. Lobry, P.A. Meyer et H.J. Sussmann

pour d'utiles conversations et conmaentaires.

(1)Nous donnons, en fait, deux d~monstrations. La premiere s'appuie sur la formule fondamentale de [6] donnant le d~veloppement fonctionnel d'une ~quation diff~ren- tielle forc~e. La seconde, qui n'est qu'esquiss~e ~ la fin de l'article, se ram&ne au cas matriciel en utilisant le fait que tout groupe de Lie nilpotent, simplement connexe, admet une representation lin~aire fid&le de dimension finie.

259

I - PROLEGOMENES ALGEBRIQUES

Consid~rons un chemin Cto,t I de Rn+I donn~ par n+| fonctions $o' ~I' "''' ~n :

[to, t|] + R continues, ~ variations born~es. On d~finit l'int6grale it6r6e

It d~jv.., d~jo par r~currence sur la longueur t o

o

d~j = Sj(t) - ~j(to)

o o

(j = 0, I ..... n)

I T

d~o (T) d~o . O0 la derni~re int6gration J~ t J~-I "'d~jo'

o

est au sens de Stieltjes.

Soit R << X >> la R - alg~bre des s6ries formelles, g coefficients r~els, en les

indfiterminfies a s s o c i a t i v e s x . e X ( j = 0 , 1, . . . , n) ( n o n c o m m u t a t i v e s s i n > 1 ) . j -

A s s o c i o n s ~ C t o , t I l a s ~ r i e ( e x p o n e n t i e l l e ) de Chen [2 ] d a n s R << X >>:

n I d ~ j . e ( C t o ' . . . . x . t l . . d ~ j o tl) = I + ~ ~ xJv JO t

U~O Jo ..... j =o o

On montre (Chen [3]) que cette s6rie caract~rise le chemin Cto,t I g une translation

pr~s.

Venons-en aux propri~t~s alg~briques.

Fait | - Prenons deux chemins Cto,t | et Ctl,t 2 (t o < t| < t 2) d6finis par

~(1) ] § R et ~!2): [t],t2 ] § R (j = 0, I .... n) que nous mettons bout- j : [to,t I _ j -- ,

~-bout de fa~on ~ obtenir le chemin C donn~ par to,t2

t o t I

~j(T) =I ~2) (T) - ~j-(2)(ti) + ~!I)3 (tl) si ti < T < t 2

La s~rie de Chen e (Cto,t2) est 6gale au produit e (Ct],t 2) e (Cto,t ]) des s6ries

de Chen des chemins (cf. Chen [2]). II faut faire attention g l'ordre du produit,

ce dernier ~tant 6vidermment non commutatif.

260

Fait 2 - Chen [2] et Ree [18] (2) ont g6n~ralis~ la formule de Baker-Campbell-Haus-

dorff (cf. Bourbaki [I]) en consid6rant le logarithme h(Cto,tl)=Log e(Cto,t I) d'une

s6rie de Chen. Cela est possible puisque toute s6rie de Chen est de la forme I+U o3

le terme constant de U est nul. ii vient

h ( C t o , t 1) = ~1 + ~2 + ~a3 + " ' ' '

o3 ~I' ~2' ~3' "'" sont des polynSmes de Lie homog~nes de degr6 1,2,3,

obtient

n I n ~I = ~ xj tl d~j =

j =o t o j =o xj(~j(t]) - ~j(to)),

n f I [ [x. ,x. ] tl dSjl d~jo , ~2 = 2 jo,Jl= ~ 31 Jo t o

... On

n ft I ~ ([xj2 ' Ix. ,x. ]]+[[x. ,x. ],Xjo]) 1 dgjo"

�9 - Jl 3o J2 Jl t d~j2 d~jl ~3 = 6- jo,Jl,32_o o

Ici, le crochet de Lie [~, xj,] est d~fini par

Ix j, xj,] = xj x j, - x j, xj .

Plus g~n~ralement, on peut ~crire :

n itl ) = ~ ~ L. (2) h(Cto'tl v>o Jo' "" "'Jr =~ t �9 3v'"Jo d~jv "''d~jo'

o

o3 L. est une combinaison lingaire de crochets d'ordre ~+I des ind~termin~es Jv'''Jo

Xo, x l, ..., x . n

(2)L'article de Ree qui utilise les propri~t~s du mglange [6] ("shuffle product" en

anglais) est d'une grande richesse combinatoire.

261

II - EQUATIONS DETERMINISTES

a) - Presentation

Consid~rons le syst~me diff~rentiel

n

~(t) = Ao(q) + ~ ui(t ) Ai(q) (3) i=l

L'~tat q appartient g une vari~t~ Q, C~ de dimension N. Les champs

de vecteurs Ao, AI, ..., A n sont aussi C ~. Ils engendrent une alg~bre de Lie L nil-

potente de classe p : la s~rie centrale descendante de Lest nulle ~ partir du ter-

me d'ordre p+]. Cormne il est n~cessaire de le faire dans le cas stochastique, on

suppose les champs de vecteurs Ao, AI, ..., A n complets, c'est-~-dire tels que les

groupes ~ un param~tre qu'ils engendrent soient toujours dgfinis. Les entrges

sont continues par morceaux. u I , �9 u n

D~finissons, ici, le crochet de Lie [Aj, Aj,] par

[Aj, Aj,] = Aj, Aj - A.j Aj,

La difference avec le paragraphe I s'expliquera par la suite. Le champ de vecteurs

s'obtient en substituant dans l'expression L. de la formule (2) A. Ajv...j o Jv.--Jo J

ft dEj~ . d~jo �9 L'int~grale it~r~e se calcule comme au paragraphe I, en po- xj o " "

sant ~o(T) = T, ~i(T) = o ui(o ) do (i = I ..... n).

Le thgor~me suivant est le rgsultat principal de cet article.

Thgor~me ] - La solution de l'~quation (3) est une fonction C d'un nombre fini

d'int~grales it~r~es, donn~e par la formule

exp(p~l n ft d~.jv .dSj ) q(o) (4) q(t) = ~ A. "Jo i !O " " " �9 - Jv 0 �9

~=OJo,...j -o o

D'apr~s Palais [17], on salt que tout champ de vecteurs de Lest eomplet. En effet,

Lest de dimension finie et engendr~e par Ao, AI, ..., A n qui sont complets. Cela

montre que l'expression (4) est toujours d~finie. Cette formule une fois prouv@e,

la d~pendance C ~ en fonction des intggrales it~r~es d~coule des r~sultats classiques

262

sur la dgpendance param~trique des solutions d'~quations diffgrentielles ordinaires~

b) - DEmonstration.

L'alggbre de Lie L gtant de dimension finie, on peut appliquer la globalisation, due

Palais [17](voir aussi Kobayashi [10], chap. I, w 3), du second th~or~me fonda-

mental de Lie [14], chap. 25, w 111-114.

^

II existe un groupe de Lie G, d'alg~bre de Lie L, isomorphe g L, agissant sur la

vari~t~ Q de la fa~on C suivante :

^ ^

Notons A un ~l~ment quelconque de Let A son correspondant dans L. Soient e tA le

groupe gun param~tre engendr~ par A ete tA l'gl~ment de G donn~ par l'application

exponentielle. Pour tout q ~ Q, on pose

^

tA tA e .q = e .q .

Introduisons le systgme diff~rentiel Sur G

~(t) = Ao(g) + ~ ui(t ) Ai(g ). (5) i=I

A ^

g(o) est l'~l~ment neutre de G. Les champs de vecteurs Ao(g), Al(g) ..... An(g)

sont invariants g droite et correspondent ~ Ao, A I, ..., An. Les Equations (3) et

(5) sont liges par la propri~t~ fondamentale

q(t) = g(t). q(o).

La d~monstration se ram~ne alors ~ celle du lemme suivant :

Lemme. - La solution de (5) est donn~e par

g(t) = exp( A ft

p-l ~ A. dE .... d~jo) �9 Jo' ,j =o J~'''Jo 3~ ~=0 �9 �9 0

Notons, d'abord, qu'en vertu des faits let 2 du paragraphe I, on peut ~crire :

exp ( p~1 n ^ [t+~d~j ...d~jo) AN.. "Jo =

~=o Jo ..... j =o -o

263

p-I n ^ it+~ "d~jo) p-1 ~ ^ dE . . . . exp( ~ A. exp( 2 ~. _ Aj . "'Jo ~t Jv " =o Jr" "'Jo

V=o Jo .... 3v -~ v=o Jo ..... Jv

Ii dEJu" "'dEjo)

Prenons sur Gun syst~me de coordonnfies locales g = (gl, ... gd),

d'origineg(t) = exp( p-1 n ^ ft

v=o jo,...,j =o 3v"'Jo o dKJv'''d~jo)" Comme G est

analytique, il existe une formule de Taylor permettant d'~crire, pour ~ suffisam-

ment petit,

1 (;)~ gk I (k=l .... d) gk.t+~)( = ~ ~ g(t) " ~o

(6)

^

oO A= p-! n (t+~ I I A. dE .... dE. (3)

�9 - ]v'''Jo Jt Jv 3o. La barre [g(t) dgsigne ~=o jo,...,] -o

l'gvaluation en g(t).

Le fait 2 du paragraphe I conduit ~ d~velopper (6) :

n ^ ^ [t+d d~jo = dE ..... gk(t+6) gk(t) + ~ ~" - Ajo'''AJv gklg(t) Jt J~ ~o Jo .... U-o

^ [t+~ dEj �9 .dEjo Notons l'ordre inverse des suites A .... A. et . , qui explique la Jo J~ Jt

definition du crochet de Lie prise ici. On retrouve la formule, dite fondamentale,

de [6] qui exprime le d~veloppement fonctionnel de la solution d'un syst~me diff~-

rentiel force, g v~rifie donc l'~quation (5).

Remarques - (i) Si l'on ne supposait pas la compl~tude des champs de vecteurs, il

suffirait d'utiliser la version originale du second th~or~me fondamental de Lie

[]4], qui est locale (voir Bourbaki [1] pour une presentation moderne). II faut

alors prendre le temps t et les entr~es u. petits. i

(3)Nous confondons les ~l~ments de Let les champs de vecteurs sur G, invariants g

droite.

264

(ii) II nous semble indispensable pour pouvoir appliquer, d'une mani~re

ou d'une autre, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff, d'utiliser le second th~o-

r~me fondamental de Lie. Quoique Kunita le fasse en [13], il s'en abstient en [12],

o~ sa mise en oeuvre de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff repose sur une in- tA

terprEtation litt~rale de la notion exponentielle e pour le groupe gun param~tre

associE gun champ de vecteurs A. Or, e tA ne doit pas ~tre confondue avec une "v~ri- tA t 2 A 2 C ~

table" exponentielle 1 + ~.T + ~.t + ''', surtout si A est suppose et non ana-

lytique.

III - EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTISQUES

Reprenons l'gquation diffgrentielle stochastique (I) o~ q, Ao, AI, ..., A n ob~issent

aux m~mes hypothgses qu'en (3). Le principe de transfert d~ ~ Malliavin [15], par-

tie If, chap. I, et qui consiste ~ "r~gulariser" les browniens par des fonctions C =,

permet d'~noncer l'Equivalent stochastique du th~or~me I.

Th~orgme 2 - La solution de l'Equation (I) est une fonction C~d'une nombre fini

d'intggrales it~r~es stochastiques,.donnEe par la formule

p-I n it d~J~'''d~jo) q(t) = exp ( ~ ~ A. . q(o) . �9 - 3~'''Jo o ~=o jo,...~ -o

Remarques - (i) Notre definition de l'int~grale it~rEe stochastique, donn~e dans

l'introduction, reprend celle de Yamato [19]. On trouvera en [5] une construction

par approximations polygonales utilisant les s~ries de Chen. II est clair que cette

intggrale diffgre de celle que l'on obtiendrait g partir de l'int~grale multiple

de Wiener et It8 [9]. Pourtant, Kunita [12, 13] et Krener et Lobry [II] affirment,

notre avis ~ tort, employer cette dernigre qui, n'ob~issant pas aux r~gles de

calcul ordinaires, ne redonnerait pas des formules identiques ~ celles du cas dE-

terministe. Etayons cela en considErant le syst~me au sens de Stratonovich

ldq I = db 1

dq2 ql db I (q1(o) = q2(o) = o).

I I t I t I T il vient q (t) = db I = bl(t) , q2(t) = dbl(T) dbl(o) O O O

Wiener - ItS, on obtiendrait un polyn$me d'Hermite.

(bl(t)) 2 �9 Avec

(ii) Comme en [5], on peut employer le th~or~me 2 ~ Etudier la stabilitE

de la solution par rapport ~ des approximations des browniens.

265

IV - DEUX EXEMPLES SIMPLES

a) Champs de vecteurs commutatifs

Supposons qu'en (I), les champs de vecteurs Ao, AI, ..., An commutent deux

deux, c'est-g-dire que [Aj, Aj,] = O. Alors le th~or~me 2 montre que ]a solution

s' ~crit

n

q(t) = exp (tA ~ + [ bi(t) Ai). q(o). i=l

b) Champs de vecteurs lin&aires

Soit le syst~me diff~rentiel au sens de Stratonovich

n

dq(t) = (M dt + ~ M i db i) q(t). (7) o i= 1

L'~tat q appartient g R_ N. Les matrices Mo, MI, ..., M n sont carries, d'ordre N.

Avec le formalisme des champs de vecteurs, il lui correspond une ~quation de type

(I) oh q = (ql, --., qN) et

N tM [ ql I Aj(q) =[ q . . . . . q ] J

L~/~qNJ (j = O, 1 . . . . . n)

( tM. dgsigne ]a matrice transposge de M.). 2 J

Supposons !'alg~bre de Lie matricielle engendr~e par M MI, ... M n nilpotente, de o 7

classe p. En raison de la transposition, le crochet de Lie [Mj, Mj, ] est d~fini ,

ici, par

[M j, M j,] = Mj M j, - M j, M.3 .

Soit Mjv.. "Jo la matrice obtenue en substituant M.j ~ x.2 dans L.3v. �9 "Jo

(2). Le th~orgme 2 donne :

de la formule

p - I n it q(t) = exp ( I ~ M. d~j v...d~jo), q(o).

v=o Jo .... 'Jr =~ J~'" "Jo o

(8)

266

Remarques - (i) On sait (cf. [5]) pouvoir ~crire la solution de (7) sous la forme

n I t d~j~ .d~jo) q(t) = (I + ~ ~ M .... M . . . . q(o) �9 - J ~ J o o ~o Jo ..... j-o

qui est une s~rie p.s. absolument convergente. Prenons alors le logarithme de la

rgsolvante

.... I t v>_o Jo ..... Jv =~ Jv Jo o d~Jv'''d~jo

Le fait 2 du paragraphe I conduit ~ retrouver la formule (8).

(9)

Ii importe de noter que l'~quation (1) peut se ramener ~ (7). En effet, la formule

de Baker-Campbell-Hausdorff permet de doter l'alggbre de Lie nilpotente L, engendr~e

par Ao, AI, ..., An, d'une structure de groupe nilpotent, simplement connexe (cf.

Bourbaki [l], chap. III, w 9.5). Ce groupe opgre canoniquement sur la vari~t~ Q et,

comme il est simplement connexe, admet une representation lin~aire fiddle de dimen-

sion finie (cf. Hochschild [8], chap. XVIII, w 3). Un avantage de cette m~thode est

qu'une fois d~montr~e la convergence de (9), il n'est plus besoin d'un principe de

transfert g~n~ral pour passer du dgterministe au stochastique.

(ii) Si l'alggbre de Lie engendr~e par Mo, M l, ..., Mn est nilpotente, on

sait pouvoir triangulariser simultan~ment ces matrices. Avec Krener et Lobry [l l],

on en d~duit que q(t) est fonction d'un nombre fini d'intggrales it~r~es.

CONCLUSION

Comme Kunita [13] et Krener et Lobry [II], nous pourrions passer aux alg~bres de

Lie r~solubles. Pour ne pas trop allonger, nous ne le ferons pas d'autant plus qu'il

suffit d'employer les m~mes techniques, 5 savoir second th~or~me fondamental de Lie

et int~grales it~rges de Chen que, dans le eas stochastique, il ne faut point con-

fondre avec l'int~grale multiple de Wiener - ItS.

Enfin, il est clair que l'on obtiendrait les m~mes r~sultats avec l'6quation au

sens de Stratonovich

n

dq = ~ Aj(q) j=o dSj ,

o3 les ~j sont des semi-martingales continues.

267

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