MARCHES ALEATOIRES, MOUVEHENT BROWNIEN ET PROCESSUS

DE BRANCHEMENT

Jean-Franqois LE GALL

Laboratoire de Probabilit~s - Universit~ P. et M. Curie -

4, place Jussieu - Tour 56 - 75252 PARIS CEDEX 05

I. Introduction.

Les relations entre mouvement brownien et marches al@atoires d'une part,

processus de branchement d'autre part, ont fair l'objet de plusieurs @tudes

r@centes. La cl@ de ces relations se trouve peut-@tre dans un article de Dwass

[D], qui construit un processus de Calton-Watson associ@ aux excursions de

eertaines marches al@atoires discF@tes. L'id@e de Dwass est d@j~ pr@sente dans

un article plus ancien de Kawazu et Watanabe [KW]. Dans ce dernier travail,

les th@oF@mes de Ray-Knight, qui identlfient en termes de c8/'r@s de pFocessus

de Bessel la loi de la famille des temps loeaux d'un mouvement brownien li-

n@aire pris a certains temps d'arr@t, sont d@duits de th@or@mes limites pour

les processus de Galton-Watson avec immigration. Comme les carr@s de processus

de Bessel sont pr@cis@ment les processus limites qui interviennent dens l'@tu-

de des processus de branchement avec immigration, cette approche foul"nit

l'explication peut-@tre la plus satisfaisante des th@or@mes de Ray-Knight

(dans le m@me esprit, voir Rogers [R] et Le Gall iLl). R@cemment, Neveu [NIl a

remarqu@ qu'il existe une correspondance naturelle, pr@servant la mesure,

entre l'excursion d'une marche al@atoire standard dans Z et l'arbre associ@

un processus de Galton-Watson de loi de reproduction g@om@trlque de

param~tre 1/2. Cette correspondance est appliqu@e dans iLl ~ des d@monstra-

tions @l@mentaires des th@or@mes de d@composition de Williams pour les tra-

jectoires browniennes.

Le pr@sent travail poursuit l'@tude des liens entre marches al@atoires,

mouvement brownien et processus de branchement, en mettant l'accent sur l'im-

portance de la notion d'arbre associ~ ~ un processus de brenchement. Nous

renvoyons ~ Neveu iN2] pour une formalisation pr6eise du concept d'arbre et

des applications aux propri@t@s des processus de brenchement (voir aussi

Chauvin [C]). Dans la partie 2, nous retrouvons un resultat elassique donnant

la loi du temps d'entr@e dans l-m,0[ pour une marehe al~atoire sup R, issue

de 0 et de loi sym@trique et sans atomes. S'[I s'agit la d'un r6sultat bien

connu, l'int@r@t de la m@thode employee est de mettre en ~videnee les id@es

qui jouent un rble essentiel dans le pr@sent travail. Dens la pattie 3, nous

consid@rons la marche al@atoire inhomog@ne (Zn, n ~ 0) telle que, pour tout

259

n z O, (-I) n (Z -Z ) suive une loi exponentielle standard. Nous 6tablissons n+l n

une correspondance pr@servant ]a mesure entre l'excursion de cette marche

al6atoiPe et l'arbre associ~ a un processus de branchement binaire A temps de

vie exponentiels (on appelle ici processus de brsnchement binsire un processus

de branchement qui attPibue A un individu donn6 0 ou 2 descendants avec la

m4me probabilit~ I/2). Cette correspondance est l'anslogue continu du r6sul-

tat mentionn6 plus haut pour l'excursion de la marche aleatoire standard dans

Z. Dans la partie 4, nous appliquons les resultats de la partie 3 ~ la

d6monstration d'un joli th6or~me de Neveu et Pitman [NPI,NP2] ; soient h > O,

B un mouvement brownien reel issu de O, T le premier instant o~ le temps

local en 0 de B d6passe 1 et, pour tout x a O, N le nombre d'excur- x

sions de hauteur plus grande que h de B au-dessus de x, avant l'instant

T. Le processus (Nx, X a O) est un processus de branchement binaire, ~ temps

de vie exponentiels, partant avec un nombre poissonnien d'individus. Notre

approche de ce theor~me utilise a la fois les resultats de is partie 3 et

l'id6e-cl@ de Neveu et Pitman [NPI] consistant ~ ~tudier les mont~es et

descentes successives de hauteur plus grande que h d'une trajectoire

brownienne. Enfin, dans la pattie 5, nous donnons un r~sultat voisin,

concernant maintenant le nombre N d'excursions au-dessus de x qui x

atteignent 1 : le processus (N×,x e [0, I[) est un processus de branchement

inhomog~ne, dont la structure probabiliste tr~s simple est decrite dans le

th~or~me 8. Ce dernier r~sultat est l'analogue brownien d'un theor~me de

Fleischmann et Siegmund-Schultze [FS] pour l'arbre r~duit associe a un

processus de Galton-Watson critique conditionne ~ la non-extinction.

Je remercie vivement J. Neveu et J. Pitman pour de tr@s utiles discus-

sions qui ont ~te ~ l'origine du present traw~[l.

2. Le premier temps d'entr~e dans ]-~,0[ pour une ,*arehe alestoire sy~trique.

Nous consid6rons dans cette pattie une marche slestoire X = (Xn, n z O)

sur ~, issue de O. Nous supposons que Is loi ~ de X est symetrique et i

sans atomes. Ii est alors bien connu que, si

T = inf{n z 0 ; X < O} n

on a : T < ~ p.s. Le th~oreme suivsnt, qui [dentifie Is loi de T, est clas-

sique : voir par exemple Feller iF], p. 414.

Th6or~me I : La fonction g~n~ratrice de T est donn~e par :

E[a T] = I - ~ - a (a ~ [0,1]).

II decoule de ce resultst que is loi de T ne depend pss de ~. Feller

deduit le theor~me I d'un r@sultat plus g~n~ral, s'appliquant ~ des marches

non necessairement symetriques, qui lui-m@me est une consequence d'un lemme

T(w) = inf{n ; w(n) = A} - I = sup{n ; w(n) v A}.

combinatoire. Nous proposons ici une d@monstration plus probabiliste qui

montre directement gue T-i suit la loi du nombre total d'individus d'un

certain processus de branchement. Cette d~monstration repose sur le lemme

suivant, que nous 6nonQons apr~s quelques notations.

Sur l'ensemble {T z 2}, on d~finit S comme l'insta_nt, unique p.s., tel

que :

X = inf{X ; l ~ n ~ T-i}. s n

Soit A un point cimeti&re ajoute A ~. On note W l'espace canonique des

fonctions de ~ dans E u {A}, qui sont tu~es apr&s un temps fini. Pour tout

w E W, le temps de mort T(w) de w v~rifie :

X ~ Enfin, on note ~ la loi du processus d~fini par :

{X si n -< T, X m = n

n A si n> T.

X' , X" Lemme 2 : Sur l'ensemble {T z 2} soient

par :

X - X sl n z S, X' = S-n s

n A Si n < S,

X n

les deux proeessus d~finis

I X - X si n -~ T-S,

X" = S+n s

n A si n > T-S.

ia loi conditionnellement ~ {T z 2} du couple CX',X") coincide avee l'ima-

Ee de ~ ® ~ par l"applica£ion :

[ (w,w') si w'CTCw')) < wCTCw)), • (w,w' )

1 C W' , W) sinon.

I

S T

260

) n

2 6 1

Remarque : Solt X une seconde marche al@atoire lnd@pendante de X et de

m@me ioi, et solt T = inf{n; X < 0}. Le lemme 2 entralne que la lol de X n S

conditionnellement A {T z 2} est la Ioi de inf( -XT, -X~ ).

Le r~sultat du Lemme 2 est lllustr6 par la flgure i cl-dessus.

D~__mo_ns_t_r_atio__n : Soient p,q z I et F,G deux fonctions born~es d~finies res-

pectivement sur RP et Rq. Alors,

[F(Xs_n- X s, - X s, l(s=p ) ] E 0 ~- n s p) GCXs÷ n 0 -< n -< q) ICT=p+q )

= E[F(Xp_ n- Xp, 0 -< n -< p) G(Xp+n- Xp, 0 -~: n -< q)

1C Xp_ n-~xp, l~n-<p-1) 1 (Xp >0) 1(Xp+nZXp, l'*n-<q-1 ) 1 (Xp+q <0)]

En utilisant ~'ind~pendance des accroissements de X et l a sym~trie de ~ on

peut encore 6erire derni&re esp@rance comme :

E[FCXn, O -~ n - p) G(Xn, O - n - q) ICT=p ) I(~=q) I(~ < XT)]

avec les notations de la remarque ci-dessus. Le lemme en d~coule en sommant

sur pet q. D

Demonstration du th~or#me 1 : L'identit~ triviale T = S + (T-S) ...........................

2 montrent que la fonction g@n~ratrice ~(a) = E[a T] satisfait :

et le lemme

a 1 ~Ca) = ~ + ~ ~ ( a ) 2 - -

d'o~ le r~sultat voulu, o

Remarque : Le r~saltat du lemme 2 sugg&re d' introduire le processus (Mn, n z O)

d 6 f i n i par :

M = 0 I(Ta2)

M I = I(TZ2)(I(s_~2) + I(T_Sa2)),

puis par la r~currence evidente. Le processus (M) est un processus de n

Galton-Watson (critique), partant avec 0 ou I individu avec la m~me pro-

babilite i/2, et dont la lol de reproduction est d~crite comme suit : chaque

individu donne naissance ~ 0,1,2 descendants avec les probabilit~s respec-

rives 1/4, I/2, ]/4. De plus, T - I = ~ Mn, ce qui redonne le th~or&me I. n=O

262

3 . L ' a r b r e a s s o e i e & l ' e x c u r s i o n d ' u n e m a r c h e a l 6 a t o i r e d e l o i e x p o n e n t i e l l e

b i l a t 6 r a l e .

Nous supposons maintenant que ~ est la loi exponentielle bilat~rale :

i e-lX] p(dx) = ~ dx. P]utSt que de raisonner sur la marche al~atoire de loi ~,

il sera int6ressant, surtout en vue des applications d~velopp~es dans la

partie suivante, de consid~rer le processus Z = (Zn, n Z 0) d~fini comme suit.

On se donne une suite (Y ;i = 1,2 .... ) de variables exponentielles standard i

(de moyenne I) ind~pendantes, et on pose :

n Z O = 0, Z = ~ (-I) I+I Y.

n i i=1

E v i d e m m e n t , X = Z e s t une m a r c h e a l ~ a t o i r e d e l o i p . n 2 n

Soit :

H = inf{n a 0 ; Z < 0} n

et soit Q la loi (sur l'espace canonique W

d@fini par :

d e l a p a t t i e 2 ) d u p r o c e s s u s Z °

Z si n<H, n

Z ° = 0 s i n = H, n

A s i n > H.

L e s p r o p r i 6 t ~ s ~ i 6 m e n t a i r e s d e l a l o i e x p o n e n t i e l l e m o n t r e n t q u e

r i a n t e p a r r e t o u r n e m e n t a u temps de mort : l'application

p(w)(n) = ~ w(r(w)-n) si n ~ T(w)

[ A si n > x(w)

Q e s t i n v a -

p d 6 f i n i e p a r

p r 6 s e r v e l a p r o b a b i l i t @ Q.

On s e p r o p o s e d ' @ t a b l i r u n e c o r r e s p o n d a n c e b i j e c t i v e , p r @ s e r v a n t l a m e s u -

r e , e n t r e l ' e s p a c e p r o b a b i l i s 6 (W,Q) e t u n c e r t a i n e s p a e e d ' a r b r e s m a r q u 6 s

n a t u r e l l e m e n t a s s o c i 6 & u n p r o c e s s u s d e b r a n c h e m e n t e n t e m p s c o n t i n u . R a p p e -

l o n s b r i e v e m e n t l e s q u e l q u e s d & f i n i t i o n s q u i n o u s s o n t n 6 c e s s a i r e s ( v o i r N e v e u

iN2] p o u r p l u s d e d 6 t a i l s , n o u s n o u s r e s t r e i g n o n s i c i & d e s a r b r e s b i n a i r e s

f i n i s , e t d o n c n o s d 6 f i n i t i o n s s o n t u n p e u d i f f 6 r e n t e s d e c e l l e s d e i N 2 ] ) . On

n o t e U l ' e n s e m b l e d e s s u i t e s f i n i e s u : j l . . . j n d ' e n t i e r s a p p a r t e n a n t &

{ 1 , 2 } . L a s u i t e v i d e , n o t @ e a , a p p a r t i e n t & U. L a l o n g u e u r d ' u n e s u i t e u ~ U

e s t n o t r e lul (10I = 0 ) . Un a r b r e ~ e s t u n s o u s - e n s e m b l e f i n i d e U q u i

s a t i s f a i t l e s d e u x p r o p r i @ t ~ s :

263

( i ) u ~ ~ d e s q u e u l ~ ~ o u u 2 e w ;

( i i ) s i u ~ ~ e t u 2 e w, a ] o r s u l ~ ~ .

L a p r o p r i e t 6 ( i ) e n t : r a ~ n e q u e , o u b i e n ~ = s , o u b i e n a e ~ . On n o t e

l ' e s p a c e d e s a r b r e s . Un ~ a - b r e m a r q u e e s t l a d o n n e e d e ~ ~ ~] e t p o u r c h a q u e

u e ~ , d ' u n e m a r q u e Wu e.- ~ . S o i t 8 l ' e n s e m b l e d e s a r b r e s m a r q u & s . Un ~ l & -

ment O de 8 s'@crit e = {(ul,w u ),...,(Up,~ u )} pour un ~ = (u I ..... up) ~ ~.

1 p

Nous appellerons processus de branchement binaire un processus de bran-

chement (en temps continu) dans lequel chaque individu donne naissance & 0 ou

2 descendants avec la meme probabilite I/2. Saul indication du contraire, on

suppose tou~ours que le processus part avec un individu ~ i' instant 0. A un

tel processus de branchement on associe de mani&re natupelle (voir iN2] ou

[C]) une loi sur l'espace ® des apbres mar'ques : chaque u E w repr@sente

un individu de la population du processus de branchement, et W u correspond

la duree de vie de u. 0n note ~ la probabilit& su/" O qui est associ&e au

processus de branchement binalre ~ temps de vie exponentiels de parametre 1/2.

Nous avons besoin d'une derniere notation avant d'&noncer le th&op&me.

Pour tout w E W tel que T(w) -~ 2 on pose :

o-(w) = inf{p a 1 ; w(p) = inf(w(i); 0 < i < T(w)) }

et on d&finit # (w), @21[w) e W par les relations

0 si n= 0,

#l(w)(n) = w(n)-w(e-(w)) si 0 < n -< ~(w),

/~ si n > ~(w),

[ w(~(w)+n)-w(~(w)) si 0 s n < T(w)-~(w),

@2(w)(n) = 0 si n = ~(w)-~(w),

A si n > ~(w)-~(w).

Theoreme 3 : II existe une unique application mesurable

tisfait les deux propri~t~s :

(i) si ~(w) ~ I, A(w) = o

A : W ---+ 8 qui sa-

(ii) si T(w) a 2, A(w) = {(a,w(¢(w)))} U {(lu, n) ; (u,n) ~ A(¢ (w))} i

De plus, A(Q) = ~.

U {(2u, n) : (u,n) ~ ^(~2(w))}.

264

w(n)

I

v(w) T(w)

figure 2

) n

Le resultat du th~or~me 3 est illustr6 par la figure 2 ci-dessus. La

demonstration repose sur le lemme suivant :

Lemme 4 :

(i) Sous la loi Q conditionn6e par {T(w) = 2}, w(~(w)) suit une loi

exponentielle de moyenne I/2.

(ii) Sous la loi Q conditionn6e par {T(w) > 2}, @1(w), ~2(w) et

w(~(w)) sont ind6pendants ; @ (w) et ¢ (w) ont pour loi Q et w(~(w)) i 2

suit une loi exponentielle de moyenne I/2.

Demonstration : La pattie (i) est evidente : elle revient & dire que si e,e'

sont deux variables exponentielles de moyenne i, e ^ e' suit une loi expo-

nentielle de moyenne I/2.

Pour la pattie (ii) on introduit les notations suivantes. Sur {T(w) m 2}

on definit

~i (w)(k) = ~ w(~(w)-k} si 0 ~ k ~ ~(w),

[ A si k > ~(w),

~2 (w)(k) = [ w(vCw)+k) si 0 ~ k ~ T(w)-v(w),

[ A si k > T(w)-~(w).

On note Q~ la loi de Z ~ = Z si n ~ T, A si n > T. 0bservons que Q n n

coYncide avec la loi sous Q* de w÷ (o~ w÷(n) = w(n) v 0 et par convention

w+(n) = A si w(n) = A). De plus, grace aux propri6t6s de la loi exponentielle,

w et w(T(w)) sont independants sous Q~ et -w(~(w)) suit une loi +

exponentielle de moyenne I.

Une leg@re modification de la preuve du lemme 2 (n~cessaire parce que

nous travaillons avec Z au lieu de X) montre que la loi de (@i(w),~2(w)),

265

sous Q~ conditionn@e pap {TOw) > 2}, coincide avec l'image de Q. ® Qi par

l'application :

(w,w') si w(T(w)) > w'(T(w')),

(w,w') > [(w',w) sinon.

Gr&ce aux remarques pr@c@dentes, il en d@coule que, toujours sous Qi condi-

tionn@e par {x > 2}, les processus ~i(w).,~e(w)+ sont ind@pendants de loi

Q, et sont aussi ind@pendants de

wC~Cw)) = - ~iCw) C~C~1(w))).

De plus l'argument de (i) montre que cette dernL@re variable suit une Io[

exponentielle de moyenne I/2. La preuve du lemme est compl@t@e en remarquant

que ~2(w) = ~2(w)÷ et ~l(W) = p(~l(W)+), s

D@monstratlon du th@or@me 3 : On v@rlfle d'abord facilement, par exemple en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

raisonnant par r@currence sur T(w), que l'appllcation A est blen d@finie

sur W et est caract@ris@e par les propri@t@s (i) et (ii). De plus, Q(dw)

p.s., Card A(w) = ] si et seulement si T(w) = 2. On d@duit alors du lemme 4

que : 1

(i) Q(card A(w) = I) = ~ et, conditionnellement ~ {card A(w) = I}, la

marque de @ , D a = w(~(w)) , suit une loi exponentielle de moyenne I/2 ; I

(ii] Q(card A(w) > I) = ~ et, condltionnellement ~ {card A(w) > I}, les

arbres "translat@s"

^iCw) = {(u,n) ; (lu, n) e A(w)} = ^(¢I(w))

A2(w) = {(u,n) ; (2u, n) ~ A(w)} = A(¢2(w))

sont ind@pendants et ind@pendants de la variable n@ = w(~(w)), qui suit une

loi exponentielle de moyenne I/2; de plus, la loi condltlonnelle de chacun

des arbres Al(W), A2(w) coYncide avec la loi sous Q de A(w).

Les propri@t@s (i), (ii) caract@risent la loi de l'arbre assoc[@ ~ un

processus de branchement blnaire avec temps de vie exponentiels de moyenne

i/2. La d@monstration du th@or@me est donc compl@te.

Corollaire 5 : Pour tous x z O, w ~ W, soit N (w) x

w au-dessus de x :

le nombre d'excursions de

N (w) = card{n < T(w), w(n) ~ x, w(n+l) > x}. x

Le processus (N x, x z 0) est sous Q un processus de branchement binaire

temps de vie exponentiels de param~tre I/2.

266

D6monstrmtion : On ecrit d'abord : Q(dw) p.s,

N (w ) = i si x ~ [O,w(~(w))[ x

N (w) = N )(~1(w)) + N (¢2(w)), si x ~ wC~Cw)). x x - . ( ~ ( . ) × - . ( ~ ( . ) )

On se convainc ensuite ais~ment ~ l'aide de ces relations que (N ,x z O) ×

n'est autre que le processus de branehement associ6 ~ l'arbre A(w) du th6o-

r~me 3, d'oQ le r~sultat recherche. []

Remarques : (i) La donn6e de l'arbre A(w) fournit davantage d'informations

que celle du processus de branchement (N (w),x z O) : ~ condition de se x

restreindre ~ un ensemble de Q-mesure pieine, on peut reconstruire w

partir de A(w), mais non ~ paFtir de (N (w),x z 0). x

(ii) On aurait pu aussi ~tudier le processus des nombres d'excursions

pour la maFche X (tu6e en T). On obtient encore un processus de branchement

temps de vie exponentiels de moyenne 1/2, mais il part cette fois avec 0

ou 1 individu avec probabilit~ I/2 et la loi de reproduction est celle

d~crite & la fin de la pattie 2. L'arbre associ~ est obtenu sous Q en

supprimant les branches terminales de A(w).

4. Excursions de hauteur plus grande que h d'un mouvement brownien lineaire.

Nous consid&Pons dans cette pattie un mouvement brownien r&el B =(Bt,tzO)

issu de O. On note L ° = (L~,t z O) le processus du temps local de B en 0

et, pour tout s z O,

= L ° > s} ~s i n f { t ~ 0 ; t "

P o u r t o u t x ~ R, o n a p p e l l e i n t e r v a l l e d ' e x c u r s i o n e n d e h o r s de x u n i n -

t e r v a l l e de l a f o r m e ] a , b [ a v e c 0 s a < b, B = B = x e t B m x p o u r a b t

t o u t t ~ ] a , b [ . P o u r t o u s h > O, T > O, o n n o t e N h ( T ) e t o n a p p e l l e n o m b r e x

d'excursions de B de hauteur plus grande que h au-dessus de x avant

l'instant T, le nombre de tels intervalles ]a,b[ qui satlsfont de plus: b ~ T

et :

sup(Bs,S ~ ]a,b[) > x+h.

Le th&or&me suivant (Neveu et Pitman [NPI,NP2]) donne la structure probabi-

liste du processus (Nh(~s),X× z 0).

Theor~me 8 : Pour tous h > O, s > O, le processus (N~(~s), x a O) est un

processus de branchement binaire A temps de vie exponentiels de moyenne h/2,

dont la population initiale suit une loi de Poisson de moyenne s/2h.

267

P~2D~E~ : Nous montrerons qu'on peut d~duire le th@or~me 6 du corollaire

S ci-dessus. Auparavant, nous proc@dons ~ quelques r@ductions du probl~me.

Sans perte de g@n~ralit@, on peut supposer que B est dQfini sur l'espace

canonique ~ des fonctions continues de ~+ dans R, de sorte que, pour tout

t z O, Bt(~) = ~(t). La propri@t& d'invariance par changement d'~chelle de la

loi du mouvement brownien permet de se restrelndre ~u cas h = i. Ensuite on

utilise la th@orie des excursions du mouvement brownien lin@aire (voir par

exemple [RW] chapter VI.8) qui montre que N~(~ s) suit une loi de Poisson de

moyenne s/2. A nouveau un argument simple de th~orie des excursions permet de

se ramener ~ l'@nonce suivant : soit n (d~) la mesure d'It6 des excursions

conditionn@e pap l'Qv@nement {sup(~(s),s z O) > I} ; sous n le processus 1

(N~(~), x z O) est un processus de branchement binaire, ~ temps de vie expo-

nentiels de param~tre I/2, et partant avec un individu a l'instant O.

L' id@e de la preuve de ce dernier ~nonc6 est de construire un processus

discret (Vn, n z O) ~ valeurs dans @R u {A}, de loi Q et tel que le proces-

sus des nombres d'excursions de (V ,n ~- 0), (d~fini dans le CoPollaire S) n

coincide ni(d(a) p.s. avec (Nx~(~),x -~ 0). Le r~sultat recherch6 est alors

une cons@quence du Corollaire S.

Ii sera commode de travailler sous la probabilit~ n (d~) caract6ris6e I

par les deux ppopri~t@s suivantes :

(a) si T = inf{t > 0 ; w(t) = 0}, la loi sous n*(d~) de (~(t^T), taO) o I o

est n (dw) ; 1

(b) les deux processus ((a(tATo),tzO) et ((a(T +t),tzO) sont ind~pen- o

dants sous n , et le second suit la lol d'un mouvement brownien lln@aire Issu 1

de O.

n* Soit T = inf{t > 0 ; ~(t) = 1}. Evidemment T < T sous , et le 1 i I 0 1

+t),t a O) est sous n un mouvement brownien l i n 6 a i r e Issu processus (~CT 1 1

de I, ind6pendant de ((a(tATl),t -~ 0). Suivant Neveu et Pitman [NPI], on i

introduit les temps d'arr@t suivants, qui sent finis p.s. sous n i '

= 0 , et pour tout p ~ N, o

~p= iIlflt > ~ ; ~(t) - inf ~(s) = I }, P ~ ss~t

p

~p+i : inf{ t > ~p ; sup ~(t) - ~(t) : I }. ~s~t

p

En des termes plus concrets, les instants a , ~ correspondent respective- p p

ment aux d e s c e n t e s e t a u x m o n t e e s d e h a u t e u r p l u s g r a n d e q u e 1 d e l a t r a - o

jectoire de ~ sous n , deux mont~es suecessives @tant s@par~es par une 1

268

descente et inversement (cf fig. 3). On pose ensuite Z 0

Z = ~ ( e ) = s u p ~ ( s ) - 1 2p-1 p ~p - 1 s s E ~ p

Z = ~(~ ) - 1 = inf 2p p ~ SSS~

P P

~(s) .

= 0 et pour tout pzl,

- - ?

eO BO el ~1 e2 622 e33 TO i~3

Z 6 figure 3

Alors, le processus (Zk, k z O) a la loi d6crite au d&but de la pattie 3. En

effet, ~crivons d'abord pour tout p ~ O,

Z - Z = sup ~(s) - ~(~ ), 2p+l 2p ~ -<s-~e p

p p÷l

~o = Ti donc, d'apr&s les remarques pr&cedentes, le et observons que ~p

processus 8 p = ~(~ +t) - ~(~ ) est sous n un mouvement brownien lin~aire t p p 1

issu de 0 ind~pendant de (~(t^~),t z 0). De plus, p

e - ~ = inf{t ; sup e p - e p = I}, p+l p O~sst s t

Z - Z = sup 8 p. 2p+1 2p 0 ~ S ~ e p + l _ ~ p s

Un c61&bre th6or~me de Levy donne l'identit6 en loi :

( sup 8 p sup Oss~t t'O~sst

8p _ ep ( l o i ) o t ; t ~- o ) = ( L , J B t J ; t ~- O)

On e n d e d u i t que Z2p÷l - Z2p s u i t l a l o i de L °~ , o~ v1 = i n f { t , ]B t = 1}, 1

q u i e s t u n e l o i e x p o n e n t i e l I e de moyenne 1. Les a r g u m e n t s p r & c e d e n t s m o n t r e n t

- ( Z I , 0 a u s s i que Z2p+l Z2p e s t i n d & p e n d a n t de -< i -< 2 p ) . Des r a i s o r m e m e n t s

269

similaires donnent le r~sultat analogue pour Z 2 ce qui ach&ve de 2p 2p-I

montrer que Z a la Ioi voulue.

On d6finit maintenant Z ° comme au d~but de la psrtie 3, et on note M x

le nombre d'excursions de Z ° au-dessus de x. La proposition suivante, com-

bin@e avec le corollaire 5, compl~te la preuve du th~or@me 6.

Proposition 7 : On a : n (d~) 1

NI(T ) = M . X O X

p.s. pour tou t x z O,

Plus precis&ment, l'application qui A un intervalle ]a,b[ associe

2 sup{k ; ~ s a} induit une correspondance bijective entre l'ensemble des k

intervalles d'excursions de hauteur plus Erande que 1 au dessus de x, avant

To, et 1"ensemble des entiers p tels que Z ° ~ x, Z 0 > x. p p+l

D@monstration : Notons g l'ensemble des intervalles d'excursion de hauteur ............. ×

p l u s g r a n d e q u e 1 a u - d e s s u s d e x , a v a n t T o , e t ~ x l ' e n s e m b l e d e s e n t i e r s

p tels que Z ° - < x, Z ° > x. Nous allons v@rifier que, pour tout x -> O, p p+l

l'application F : x

Fx(]a,b[) = 2 sup{k ; =k -< a}

d6finlt une bijection entre Ex et A{ x, dont I' inverse est donn@ par :

Cx(p) = ]a (x),b (x)[, P P

oO : a (x) = supls < ~ ; ~(s) = x}. p p12+l

On utilisera implicitement la remarque suivante, qui d6coule aisement des

0,22p < T ~ d@finitions : si H = inf{p > ~ O} on a : ~H o s'

Montrons d'abord que l'applieatlon F envole E dans • . Si ]a,b[ ~ @x' x x x

un raisonnement simple montre qu'il existe au molns un entier k z I tel que

~ ]a,b[. Choisissons k minimal ayant cette propri@t@. Alors, k

Z2k_i = ~(~k) > x.

D'autre part, on a :

= mC~ ) - i ~ x, Z2k-2 k-1

En effet, dans le cas contraire on aurait

w(~k_1) > x+l,

et la d@finition de a montrerait k

inf ~(s) > x,

~k_l~S~k

a l o r s q u e

270

e t d o n c a u s s i ( p u i s q u e w(~k_ l ) - 1 = i n f ~ ( s ) ) : < <

( Z k - 1 - - S - - ~ k - 1

i n f ~) (s ) > x , O~ --<S----O~

k - 1 k

c e q u i c o n t r e d i r a i t l a m i n i m a l i t @ d e

V e r i f i o n s m a i n t e n a n t q u e , s i p • ~ x ' Gx(P} • g " E v i d e m m e n t x

u n e n t i e r k -> 0 e t o n a :

k . On c o n c l u t q u e F ( ] a , b [ ) = 2 ( k - 1 ) g 2d . x x

p = 2 k p o u r

Z = sup ~(s) - I > x 2k+ 1

~k--<S--<(Xk+ 1

ce qui, compte-tenu de la d@flnition de ~ , entratne aussitSt que k+l

a (x) = sup{s < = ; ~(s) = x) p k ÷ l

est le d@but d'un intervalle d'excursion de hauteur plus grande que I au-

dessus de x.

De plus, l'in@galit@

Z = inf 2k

montre que ~ -< a (x) < a k p k + l

De m@me, l e s

G ( F ( ] a , b [ ) ) = x x

p r o p o s i t i o n 7 .

~(s) ~ x,

, d'o~ Fx(Cx(p)) = p .

arguments d@velopp@s ci-dessus entralnent

] a , b [ p o u r t o u t ] a , b [ e g . x

0

C e c i t e r m i n e

ais@ment que

la preuve de la

Remarques : (i) II est naturel de chercher ~ comprendre comment le processus

(N:(m),x z 0), pris sous n I pour simplifier, se traxlsforme quand h varie.

Comme le remarquent Neveu et Pitman [NPI], cette tra/~sformation s'interpr~te

de manidre tr@s simple en termes des arbres associ@s : le passage de h

h' > h revient ~ "effacer" sur une longueur de h'-h les branches terminales

de l'arbre, en partant des extr@mit@s (voir Neveu iN4] pour plus de d@tails

sur cette proc@dure d'effaeement).

~ii) De mani@re analogue & la pattie 3, on peut bien stir donner une

version "arbre" du th@or~me 6 (voir [NPI]).

S. Le nombre d'excursions qui atteignent un niveau donn6.

N o u s n o u s p r o p o s o n s d a n s c e t t e p a t t i e d ' @ t a b l i r u n r @ s u l t a t v o i s i n d u

th@or@me 6 , b i e n q u e d e d @ m o n s t r a t i o n s e n s i b l e m e n t p l u s f a c i l e . N o u s n o u s

p l a q o n s s o u s l a p r o b a b i l i t ~ n ( d ~ ) i n t r o d u i t e d a n s l a p a r t i e 4 ( l a m e s u r e 1

d ' I t 6 c o n d i t i o n n @ e p a r { s u p e ( s ) > 1} ) e t p o u r t o u t x • [ 0 , 1 [ , n o u s n o t o n s

(~ ) l e n o m b r e d ' e x e u r s i o n s d e w a u - d e s s u s d e x q u i a t t e i g n e n t 1. x

271

Theor~me 8 : Sous nl(d~), le processus (Nx,X e [0,1[) est un processus de

branchement inhomog~ne, caractdrisd en loi par les trois propridt~s suivantes:

( a ) N = 1 ; o

(b) la variable U = inf{x a 0, N ~ i} suit une loi uniforme sur I x

l"intervalle [0,1] ;

(c) pour tout x e [0, I[,

N = N' + N" , U +(I-U )x x x I i

ok (N~,X • [0, i[), (N:,x • [0, I[) sont deux processus ind~pendants et ind,-

pendants de U i, qui ont chacun la m~me loi que (N .x • [0, I[). x

De mani~Pe plus concrete, N repr6sente le nombPe d'individus ~ l'ins- x

rant x d'une population ~voluant selon les rSgles suivantes. A l'instant 0

la population comprend un seul individu qui meurt ~ un temps U uniform~ment I

distPibu~ sup [0, I], en donnant naissance k deux descendants. Chacun de ces

deux individus meuFt & un temps uniform~ment distFibu~ suF [UI. II, en donnant

naissance ~ deux descendants, et ainsi de suite.

Le pFocessus de branchement inhomog6ne du th6oP~me 8 apparait dans cer-

tains th6oF~mes limites concePnant la population de l'a/-bPe P6duit associ6

un processus de Galton-Watson critique partant avec un individu et conditionn~

la non-extinction a l'instant n. On appelle ici aFbFe P6duit, l'arbre

d6pouill6 des branches qui n'atteignent pas le niveau n. ApP&s un changement

d'echelle convenable en temps (pour se Famener de l'intervalle [0,n] ~ [0, I])

la population de l'aPbre F~duit converge en distribution, quand n tend vers

+ m, vers un processus de m6me loi que (Nx.X e [0, I[) (volt [FS]). En fait,

en s'inspiPant des methodes de ILl, il sePait assez facile de deduire le

th6oPdme 8 du F~sultat principal de [FS]. Nous donnons ici une demonstration

diFecte. Cette demonstration utilise certains theoremes reliant mouvement

bFownien Peel et processus de Bessel de dimension trois dus pour l'essentiel

Williams [W] (voiF ILl pour des pPeuves dans l'esprit du present travail,

ainsi que des references plus precises).

D6monstration : On se place sous la probabilite n et on repPend les nota- ............. I

tions de la partie 4, en posant de plus :

L I = sup{t < T o ;w[t) = I}

U = inf ~(s). I

T <s<L I I

0bservons que Nx = I si x < UI, Nx z 2 si x z U .i On note m l'instant

unique p.s tel que m • [TI,L I] et ~(m) = U I.

U 1

T O

T m L 1 1

~(t)

i

272

figure 4

Les processus (~(tAT1),t z 0) et (~((Tl+t)ATo),t a 0) sont ind@pen-

dants, le premier est un processus de Bessel de dimension trois issu de 0

arr~t~ au temps d'atteinte de I, le second est un mouvement brownien r~el issu

de 1 arr@t~ au temps d'atteinte de 0. D'apr~s un th~or~me de d~composition

de Williams (vole [W] ou [L], p. 4S9) la variable U suit une loi uniforme 1

sur [0;I] et conditionnellement A {U = h}, le processus (~((T +t)Am),t Z 0) 1 1

est independent de (~(m+t),t a 0), et suit la loi d'un mouvement brownlen

r~el issu de i arr@t& qua_nd ii atteint h.

Pour tout h ~ [0, I] , soient

A h = sup{t s T1,~(t) = h} ' ~h = inf{t z L1,~(t) = h}.

Observons que le processus (~((Ah+t)^T1),t z O) est un processus de Bessel de

dimension trois issu de 0 arr@t~ au temps d'atteinte de 1-h (utiliser par

exemple la rema/-que p. 4S2-453 de [L]). II d~coule aloes des remarques

pr~c~dentes que, conditionnellement & {U = h} , le processus 1

e'(t) = w((A +t)Am) - h ( t a 0 ) h

a pour loi n (la mesure d'It6 conditionn~e par { sup ~(s) > l-h }). Des 1-h

arguments similaires, ou l'invaria_nce de n par retournement, montrent que 1

e"(t) = ~((m+t)^~h) - h ( t z 0 )

a aussi pour loi conditionnelle n . De plus, le th~or~me de d@composltion l-h

de Williams rappel~ ci-dessus montre que e' et e" sont ind~pendants

conditionnellement & U I. Pour x ~ [0, I[, notons N~, respectivement N~, le

nombre d'excursions de e', respectivement de e", au-dessus de (I-U)x qui 1

atteignent 1-U I. Les observations pr~c~dentes, et les propri~t~s d'invariance

par changement d'~chelle de la mesure d'It6, entra~nent que les processus N' x

et N" sont conditionnellement ~ {U = h} ind~pendants et de m~me loi x 1

condltionnelle, qul coYnclde avec la loi de N . Comme cette loi condi- x

273

et ~'i sont conditionnellement & {U I = h}

conditionnelle, qui coincide avec la loi de N . Comme cette loi x

tionnelle ne d@pend pas de h, on conclut que N' , N" et U x x 1

ind@pendants. L'@galit@ facile

= N ' + N " U ÷(I-U )x x x 1 i

montre que la propri@t~ (c) est v@rifi@e. Comme les propri@t@s (a) et

d@coulent aussi de ce qui pr@c@de, cela termine la preuve du th&or@me 8.

ind@pendants et de m@me loi

condi-

sont

( b )

[]

Remarque. Notre d@monstration du th@or@me 8 repose sur la d@composition de

l'excursion brownienne, prise sous la probabilit@ n , & l'instant du minimum I

entre T et L L'approche du th@oreme 6 donn@e dans Neveu et Pitman [NP2] 1 1

utilise une autre d@composition au minimum de l'excursion brownienne sous n , 1

la d@composition correspondant au plus petit minimum local de profondeur plus

grande que 1 (cette d@composition n'a de sens que s'il existe au moins un tel

minimum local, voir [NP2] pour plus de d@tails).

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