Master 1 MMD - Mouvements Brownien et Evaluations d'Actifs Contingents (Paris-Dauphine)

7/22/2019 Master 1 MMD - Mouvements Brownien et Evaluations d'Actifs Contingents (Paris-Dauphine)

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Evaluation dActifs contingents

M1 MIDO

Romuald ELIE


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Ces notes correspondent un cours donn en Master 1 luniversit Paris Dauphine.

Elles ont pour but de prsenter les bases mathmatiques des mthodes de pricing et decouverture des produits drivs. Aprs lobtention de la dfinition mathmatique de la

notion darbitrage, nous tudions les modles par arbre binomial 2 puis n priodes.

Nous dveloppons ensuite quelques outils de calcul stochastiques ncessaires ltude

des modles en temps continu et en particulier du modle de Black-Scholes. Ces notes

de cours sont accompagnes de TDs.

Nota :Ces notes de cours sont librement inspires de diffrentes manuels, polycopis,

notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis Comets, Nicole El

Karoui, Monique Jeanblanc, Bernard Lapeyre, Damien Lamberton, Steven Shreeve... Je

les en remercie.

Mea Culpa :Comme dans toutes notes de cours, des erreurs sont encore prsentes

dans ce polycopi. Nhsitez pas me les communiquer : [email protected].


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Table des matires

1 Notion dArbitrage 5

1.1 Hypothses sur le march . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Comparaison de portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Relation de parit Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Prix dun contrat Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Modle Binomial une priode 11

2.1 Modlisation probabiliste du march . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Stratgie de Portefeuille simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Probabilit risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Evaluation et couverture dun produit driv . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Modle binomial n priodes 19

3.1 "Rappels" de probabilit : Processus discret et Martingale . . . . . . . . 19

3.2 Modlisation du march . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Stratgie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Arbitrage et Probabilit risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Duplication dun produit driv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6 Evaluation et couverture dun produit driv . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Calcul stochastique 31

4.1 Processus et Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 EspacesLp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.3 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.5 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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4 TABLE DES MATIRES

4.2 Mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Variation totale et Variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Intgrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5 Formule dIto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6 Processus dIto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.7 Equation Diffrentielle Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Modle de Black Scholes 63

5.1 Hypothses sur le march . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Modlisation probabiliste du march . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Probabilit risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Portefeuilles autofinanants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5 Duplication dun produit driv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.6 Formule de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7 Sensibilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


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Chapitre 1

Notion dArbitrage

1.1 Hypothses sur le march

Nous supposerons que :

1. Les actifs sont divisibles linfini ;

2. Le march est liquide : on peut acheter ou vendre tout instant ;

3. On peut emprunter et vendre dcouvert ;

4. Les changes ont lieu sans cots de transaction ;

5. On peut emprunter et prter au mme taux constant r.

1.2 Arbitrage

Quelles sont les volutions possibles du march ?

: ensemble des tats possibles du march ;

P : Probabilit relle (ou en tout cas anticipe) de survenance de chacun des tats.

Quelles sont les stratgies dinvestissement ?

Dfinition 1.2.1 Unportefeuille autofinancantest une stratgie dachat ou de vente

de titres, actions, prts et emprunts la banque, et plus gnralement de produits drivsdont la valeur nest pas modifie par lajout ou le retrait dargent. On notera

Xt lavaleur en t du portefeuilleX.

On se donne donc simplement un capital initial et une stratgie dynamique dinves-

tissement dans les actifs du march partir de ce capital de dpart.

Quest ce quune stratgie darbitrage ?

Dfinition 1.2.2 Unarbitrage sur la priode [0, T] est un portefeuille autofinanant

Xde valeur nulle en t = 0 dont la valeurXT enTest positive et strictement positive

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6 CHAPITRE 1. NOTION DARBITRAGE

avec une probabilit strictement positive.

X0= 0, XT 0 et P(XT >0) > 0

On supposera quil y a sur le march lhypothse dAbsence dopportunits dar-

bitrage(AOA, no free lunch) entre tout instant 0 et T.

{X0= 0 et XT 0} P(XT >0) = 0

Lhypothse signifie simplement : "Si ma richesse aujourdhui est nulle, elle ne peut

devenir positive et non identiquement nulle", soit "On ne peut gagner dargent sans

capital initial".Le raisonnement (dfaitiste) est : "Si il y avait un arbitrage, quelquun en aurait dja

profit". Sachant quil y a dans les banques beaucoup darbitragistes, cette hypothse

est cohrente sur les marchs.

1.3 Comparaison de portefeuilles

Proposition 1.3.1 En AOA, si deux portefeuilles autofinanants X et Y ont mme

valeur enT, ils ont mme valeur en 0.

XT =YT X0 = Y0

Dmonstration : Supposons X0 < Y0 et proposons la stratgie suivante : A linstant

t = 0, achat de X, vente de Yet placement de Y0 X0 >0 la banque. La valeur duportefeuille linstant t = T est XT YT plus ce qua rapport largent la banque,qui est toujours> 0.

en 0 en T

Achat de X X0 XT

Vente de Y Y0 YTPlacement du gain la banque Y0 X0> 0 (Y0 X0)/B(0, T)> 0

Valeur 0 >0

Donc AOA implique X0 Y0 et, de manire similaire, on obtient X0 Y0 si bienqueX0= Y0.

Remarque 1.3.1 Pour crer un arbitrage, on a achet le moins cher et vendu le plus

cher. Vu quils ont meme valeur enT, on y gagne, logique...


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1.4. RELATION DE PARIT CALL-PUT 7

Proposition 1.3.2 En AOA, si deux portefeuilles autofinanants X et Y ont mme

valeur enT, elles ont presque srement mme valeur en tout instantt T.XT =YT t T Xt= Yt Pp.s.

Ce rsultat est une consquence directe du rsultat suivant :

Proposition 1.3.3 En AOA, considrons deux portefeuilles autofinanants X et Y,

alors :

XT YT t T Xt Yt p.s.

Dmonstration : Soit t T. Proposons la stratgie suivante :en 0 : je ne fais rien.

en t : Sur{ , Xt() > Yt()}, jachte le portefeuille Y au prix Yt, je vend leportefeuille X au prix Xt et je place la diffrence Xt Yt > 0 la banque. Sur{, Xt() Yt()}, je ne fais rien.

Finalement, en T, sur{Xt > Yt}, je touche YT XT 0 plus ce qua rapportlargent la banque qui est toujours > 0, soit une valeur > 0, et sur{Xt Yt}, lavaleur du portefeuille est nulle.

en t en T

Sur{Xt> Yt} Achat de Y en t Yt YTVente de X en t Xt XT

Placement du gain la banque Xt Yt > 0 (Xt Yt)/B(t, T)> 0Valeur 0 >0

Sur{Xt Yt} Valeur 0 0

Donc AOA implique P(Xt> Yt) = 0.

1.4 Relation de parit Call-Put

Uncall de strike Ket dchance T sur le sous-jacent Sa pour payoff(ST K)+ ;notons Ct son prix linstant t.

Un put de strike K et dchance T sur le sous-jacent S a pour payoff (KST)+ ;notons Pt son prix linstant t.

Unzero-coupon dchanceTest un produit financier de valeur 1 en T. Son prix en t

est not B (t, T).


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Alors, en AOA, les prix des calls et des puts ent sont relis par la relation deparit

call put :Ct Pt = St KB(t, T)

En effet considrons les deux stratgies de portefeuille :

en 0 en t en T

Port. 1 Achat dun Put europen ent Pt (K ST)+Achat dun actif risqu en t St ST

Valeur Pt+ St (K ST)+ + STPort. 2 Achat dun Call europen ent C

t (S

TK)+

Achat de Kactifs sans risque en t KB(t, T) K

Valeur Ct+ KB(t, T) (ST K)+ + KRemarquons que lon a :

(K ST)+ + ST = K1{STK}+ ST1{KST} = (ST K)+ + K

Donc, les deux portefeuilles ont des flux finaux gaux, et donc en AOA des valeurs gales

tout instant t Tce qui nous donne la relation de parit Call-Put :

Remarque 1.4.1 Cette relation est intrinsque labsence dopportunit darbitrage

sur le march et ne dpend en rien du modle dvolution impos aux actifs.

1.5 Prix dun contrat Forward

Le contrat Forward est un contrat sign la datet = 0qui assure lchange enT de

lactif risquScontre un prixF(0, T)fix en t = 0. Il ny a aucun change dargent la

date t = 0. Pour dterminer le prix F(0, T) du contrat, considrons les deux stratgies

de portefeuille suivantes :

en 0 en TPort. 1 Achat de lactif S0 en 0 S0 ST

Vente de F(0, T) zros coupons en 0 F(0, T)B(0, T) F(0, T)Valeur S0 F(0, T)B(0, T) ST F(0, T)

Port. 2 Achat du contrat Forward en0 0 ST F(0, T)Sous, AOA, on a donc

F(0, T) = S0B(0, T)

.


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1.5. PRIX DUN CONTRAT FORWARD 9

Remarque 1.5.1 Montrez que de manire plus gnrale, on obtient :

F(t, T) = StB(t, T)

.


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Chapitre 2

Modle Binomial une priode

Le modle binomial est trs pratique pour les calculs et la plus grande partie des

rsultats obtenus se gnralisent aux modles en temps continu.

2.1 Modlisation probabiliste du march

Considrons un march deux dates : t = 0 et t = 1 et deux actifs

Un actifsans risquequi vaut 1 ent = 0et vautR = (1+ r)en t = 1, qui reprsente

largent plac la banque au tauxr (dans une obligation), il est sans risque dans le sens

o lon connat en t = 0 la valeur quil aura en t = 1 .

1 R= 1 + r

Et unactif risqu S, il vaut S0 ent = 0et linstant 1, il peut avoir pris 2 valeurs

diffrentes : soit il est mont Su1 =u.S0, soit il est descendu Sd1 =d.S0 avec d < u.

uS0

S0

dS0

La modlisation probabiliste du march est la donne de 3 choses : ,F et P.est lensemble des tats du monde : 2 tats possibles selon la valeur de lactif

risqu en t = 1, tat "haut" u ou "bas"d. = {u, d}P est la probabilit historique sur . P(u) =p et P(d) = 1 p. Le prix a une

probabilit relle p de monter et 1 p de descendre. Attention p]0, 1[ car les 2 tatsdu monde peuvent arriver.

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12 CHAPITRE 2. MODLE BINOMIAL UNE PRIODE

F= {F0, F1}est un couple de deux tribus reprsentant linformation globale dispo-nible sur le march aux instants t = 0et t = 1.En t = 0, on ne dispose daucune information :

F0 ={, }.

En t = 1, on sait si lactif est mont ou descendu :

F1 =P() ={, , {u}, {d}}.

Cette tribu reprsente lensemble des parties de dont je puisse dire linstant t = 1

si elles sont ralises ou non.

Remarque 2.1.1 Bien sr, on aF0 F1, en effet plus le temps avance plus lonacquiert de linformation.

Remarque 2.1.2 Une variable alatoire estF1-mesurable si et seulement si elle estconnue avec linformation donne parF1, i.e. dtermine linstant 1. En effet, heuris-tiquement

Une variable alatoireX estF1-mesurable

Limage rciproque de tout Borlien

BdeR est dans

F1;

Je peux dire ent= 1 pour tout BorlienB deR siX est valeur dansB ; Je peux dire pour tout relr siXest dans ] , r[ ou pas ; Je connaisX la datet= 1.

Remarque 2.1.3F1 est la tribu engendre parS1 :

F1 = (S1).

En effet, par dfinition, la tribu engendre parS1 est limage rciproque parS1 des Bo-

rliens deR, i.e.{

S11

(B

) ,B B

(R)}

. Cest la plus petite tribu qui rendeS1 mesurable.

Pour tout BorlienB deR,- siuS0 etdS0 sont dansB, on aS11 (B) = ,- si justeuS0 est dansB, on aS11 (B) =u,- si justedS0 est dansB, on aS11 (B) =d,- et si aucun des 2 nest dansB, on aS11 (B) = .DoncF1 est bien la tribu engendre parS1 se qui se rcrit :

"ConnatreS1 est quivalent connatre tout lmentF1-mesurable"


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2.2. STRATGIE DE PORTEFEUILLE SIMPLE 13

Dfinition 2.1.1 Unproduit driv (ou actif contingent) est une v.a. F1-mesurable.La valeur dun produit driv dpend de ltat du monde ralis la date t = 1 et

de manire quivalente, tout produit driv scrit comme une fonction mesurable de

S1.

Proposition 2.1.1 Soit X et Ydeux variables alatoires sur un espace de probabilit

(, A,P). Alors, Y est (X)-mesurable ssi elle est de la formef(X) avec f une appli-cation mesurable (borlienne).

Dmonstration : Si Y =f(X), alors, pour tout BorlienBde R, on a

f(X)1

(B) = X1 f1(B) (X).

Rciproquement, si Y est lindicatrice dun ensembleAqui est (X)-mesurable, on a :Y = 1A = 1X1(B) = 1B(X) ,

et f = 1B convient. Si Y est une somme finie dindicatrice 1Ai avecAi = (Bi), lasomme des 1Bi convient. Si Y est positive, elle scrit comme limite croissante de Yn,sommes dindicatrices qui donc scrivent fn(X)et f =limfn convient. (cette fonction

peut valoir + mais pas en des points atteints par X). Si Yest de signe quelconque,on la dcompose en sa partie positive et sa partie ngative et lon approche les deux

sparment.

Par exemple, le call est donc un produit driv (S1) avec : x (x K)+Notre problme est dvaluer le prix la date t = 0 dun produit driv. On va

donc essayer de crer un portefeuille de duplication de notre produit driv, i.e. une

stratgie dinvestissement autofinanante dans lactif risqu et dans lactif sans risque.

Lhypothse dAOA nous indiquera alors que ces deux stratgies qui ont mme valeur

en t = 1 ont mme valeur en t = 0, ce qui nous donnera la valeur en 0 de notre produit

driv.

2.2 Stratgie de Portefeuille simple

Dfinition 2.2.1 Une stratgie de portefeuille simple Xx, est la donne dun

capital initialx et dune quantit dactif risqu.

Le portefeuille ne subit aucune rentre ou sortie dargent. La stratgie de portefeuille

simple consiste en lachat la date0 de actifs risqus et dexS0actifs sans-risquestelle que la valeur en 0 du portefeuille est :

Xx,0 = S0+ (x S0) 1 =x .


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Sa valeur en t = 1est donc donne par :

Xx,1 = S1+ (x S0)R= x R+ (S1 S0R) .

Cette stratgie est autofinanante car lon napporte ni de retire dargent aucun instant

entre t = 0 et t = 1. On lappelle stratgie de portefeuille simple, car elle ne comporte

que des actifs de base du march : lactif sans risque et lactif risqu.

Thorme 2.2.1 Tout produit drivC est duplicable par une stratgie de portefeuille

simple(x, ) (On dit que le march estcomplet).

Dmonstration : Considrons un produit driv C. En t = 1, il prend la valeur Cu1dans ltat "up" et Cd1 dans ltat "down". On cherche un couple (x, )vrifiant :

Cu1 = Su1 + (x S0)R =xR+ (u R)S0

Cd1 = Sd1+ (x S0)R =xR+ (d R)S0

Cest un systme deux quations et deux inconnues dont la solution est donne par :

= Cu1 Cd1(u d)S0

=

(Su1 ) (Sd1)Su1 Sd1

et x =

1

R

R du d C

u1 +

u Ru dC

d1

.

Donc, sous lhypothse dabsence dopportunits darbitrage, la dfinition cono-

mique du prix dun produit driv en t = 0 est donne par :

C0 = 1

R

R du d C

u1 +

u Ru dC

d1

.

Le prix du produit driv scrit comme une somme pondre de ses valeurs futures.

Etudions plus en dtail comment sexprime la valeur en 0 dune stratgie de portefeuille

simple en fonction de ses valeurs finales.

2.3 Probabilit risque neutre

Dfinition 2.3.1 Une opportunit darbitrage simple est une stratgie de porte-

feuille simple qui, partant dune richesse nulle ent = 0, est ent = 1toujours positive et

strictement positive avec une probabilit strictement positive. Cest la donne de Rtel que

X0,1 0etPX0,1 >0

> 0


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2.3. PROBABILIT RISQUE NEUTRE 15

L absence dopportunits darbitrage simple (AOA) (sur stratgie de por-

tefeuille simple) scrit :

R,

X0,1 0 X0,1 = 0 P-p.s

Proposition 2.3.1 Lhypothse AOA implique la relationd < R < u.

Dmonstration : Supposons d R. Une stratgie darbitrage est alors donne parlachat dun actif risqu en t = 0 ( = 1) car la valeur du portefeuille en t = 1 est

- dans ltat "up", X0,11 =S0(u R)> 0,- dans ltat "down", X0,11 =S0(d R) 0.

Supposons uR, alors une stratgie darbitrage est donne par la vente dun actifrisqu en t = 0 ( = 1). En effet, la valeur du portefeuille est- dans ltat "up", X0,11 =S0(R u) 0,- dans ltat "down", est X0,11 =S0(R u)> 0 .

Remarque 2.3.1 Pour crer un arbitrage, on a de nouveau achet celui qui rapporte

le plus et vendu celui qui rapporte le moins. Finalement, si lune des ingalits dans

d < R < u ntait pas vrifie, un des actifs rapporterai toujours plus que lautre et

lhypothse dAOA ne serait plus vrifie.

Introduisons X, lavaleur actualisedu portefeuille Xdfinie pour i = 0, 1par :

Xx,i := Xx,i

Ri .

On a alors Xx,0 =x etXx,1 = S1+ (x S0)et la condition dautofinancement du

portefeuille se rcrit en terme de portefeuille actualis de la manire suivante :

Xx,1 Xx,0 = (S1 S0) .

Dfinition 2.3.2 On appelle probabilit risque neutre toute probabilit quivalente

P qui rende martingale toute stratgie autofinanante simple ractualise , i.e. telle

que :

X0 = EQ[Xx,1 ] ou de manire quivalente X0 =

1

REQ[Xx,1 ] .

Remarque 2.3.2 Deux probabilits sont dites quivalentes lorsquelles ont les mme

ensembles ngligeables, i.e. quelles chargent les mmes tats du monde ( i.e. quelles

ont chacune une densit de Radon-Nikodym lune par rapport lautre). Ici, cela signifie

simplement queQ(d)> 0 etQ(u)> 0.


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Remarque 2.3.3 Dire queXx, est une martingale sous Q signifie que lesprance

de ses valeurs futures est gale elle mme, autrement dit que ce portefeuille est unjeu quitable (nous verrons une dfinition plus gnrale de la notion de martingale au

chapitre suivant).

Proposition 2.3.2 Sid < R < u, alors il existe une probabilit risque neutreQ.

Dmonstration : Prenons un portefeuille autofinanant (x, ), et notons pour simpli-

fierXu1 etXd1 ses valeur en t = 1dans les tats "up" et "down". Alors, on a les relations

suivantes :

Xu1 = Su1 + (x S0)R =xR+ (u R)S0Xd1 = S

d1+ (x S0)R =xR+ (d R)S0

Nous obtenons le mme systme que prcdemment et lon obtient :

x = 1

R

u Ru d X

d1 +

R du dX

u1

.

Introduisons donc la probabilit Q dfinie sur par :

Q(u) := R d

u d := q et Q(d) := u R

u d = 1 q .

Comme d < R < u, q]0, 1[ et Q est bien une probabilit et elle est quivalente P.Notre quation se rcrit alors :

X0 = x = 1

R

Q(d) X

d1 + Q(u) X

u1

=

1

REQ[Xx,1 ] .

Remarque 2.3.4 Le terme "risque neutre" provient de la thorie conomique : si les

intervenants nont pas daversion au risque, ils vont saccorder pour valuer la valeur

dun portefeuille comme lesprance actualise des flux quil gnre. Lintroduction de

cette probabilit permet de faire comme si les agents taient neutres au risque, mais

attention ce nest pas le cas ! ! !

Proposition 2.3.3 Sil existe une probabilit risque neutreQ, alors il y a AOA.

Dmonstration : Soit R tel que X0,1 0. Comme Q est une probabilit risqueneutre, on a :

EQ[X0,1 ] = R . 0 = 0 ,


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2.4. EVALUATION ET COUVERTURE DUN PRODUIT DRIV 17

et X0,1 est une variable alatoire positive desprance nulle donc elle est nulleQ p.s.,

et, comme P et Q sont quivalentes (elles ont les mme ngligeables), P(X0,1 >0) = 0.

Nous avons finalement montr que

AOA d < R < u il existe une proba risque neutre AOA ,

et donc toutes ces implications sont des quivalences :

AOA d < R < u il existe une proba risque neutre

2.4 Evaluation et couverture dun produit driv

Comme tout produit driv est duplicable par une stratgie de portefeuille simple et

que la valeur ractualise de toute stratgie de portefeuille simple est martingale sous

la probabilit risque neutre, en AOA, le prix du produit driv est donn par :

C0 = 1

R

q Cd1 + (1 q) Cu1

=

1

1 + rEQ[C1]

Remarque 2.4.1 La probabilit risque neutre nest pas relie aux probabilits histo-

riquesp de monter ou de descendre1 p, et donc

"Le prix dune option est indpendant de la tendance rellep du sous-jacent"

Ceci sexplique en partie par le fait que le sous-jacent fait partie du portefeuille de du-

plication du produit driv.

Remarque 2.4.2 Comme tout produit driv est duplicable, la valeur ractualise de

tout produit driv est martingale sous la probabilit risque neutre.

Remarque 2.4.3 On a juste besoin de connatre r, u et d, pour trouver le prix du

produit driv, mais encore faut il estimer les paramtres. Connatre u et d revient a

connatre ce que lon nommera par la suite la volatilit de lactif.

Remarque 2.4.4 Dans le portefeuille de couverture de loption, la quantit dactif ris-

qu est donne par :

= Cu1 Cd1(u d)S0

=

(Su1 ) (Sd1)Su1 Sd1

qui sapparente la variation du prix de loption en rponse la variation du prix du

sous-jacent.


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Proposition 2.4.1 Comme le march est complet (tout actif est duplicable par une

stratgie de portefeuille simple), il y aunicit de la probabilit risque neutre.

Dmonstration: En effet, prenons deux probabilits risque neutre Q1et Q2. Pour tout

B F1= P(), 1B est un produit driv car il estF1-mesurable, donc il est duplicablepar un portefeuille autofinanant (x, )et lon a

Q1(B) = EQ1 [1B] = Rx = EQ2 [1B] = Q2(B).

Donc Q1 et Q2 sont indistinguables.

Exemple : Pricing dun call et dun put la monnaiePrenonsS0= 100, r = 0.05, d = 0.9et u = 1.1.

1.Quel est le prix et la stratgie de couverture dun call la monnaie i.e.K=S0= 100 ?

On construit la probabilit risque neutre :

q = 1 + r d

u d = 0.75 .

On en dduit le prix et la stratgie de couverture :

C0 = .75 10 + .25 0

1.05 =

7.5

1.05 7.14 et = C

u1 Cd1

(u

d)S0=

10 020

= 0, 5

=> stratgie : achat de 1/2 actif risqu et placement de (7.14 50) dans lactif sansrisque.

2. Quen est t-il du Put la monnaie ?

Connaissant la probabilit risque neutre, on calcule le prix et la stratgie de couverture :

P0 = .75 0 + .25 10

1.05 =

2.5

1.05 2.38 et = P

u1 Pd1

(u d)S0 = 0 10

20 =0, 5

=> stratgie : vente de 1/2 actif risqu et placement de (50 2.38) dans lactif sansrisque.

3. Vrifie ton la relation de parit call put ?

C0 P0 = 7.51.05

2.51.05

= 5

1.05 = 100 100

1.05 = 100 100

R = S0 KB(0, T)


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Chapitre 3

Modle binomial n priodes

Letude de ce modle, nomm galement modle de Cox Ross Rubinstein, va per-

mettre de r-obtenir des rsultats similaires au cas du modle 1 priode et donner de

bonnes intuitions sur les rsultats que lon obtiendra beaucoup plus difficilement dans

ltude des modles en temps continu.

3.1 "Rappels" de probabilit : Processus discret et Martin-

gale

Dfinition 3.1.1 On appelleprocessus discret(Yk)1kn toute collection den v.a.

Dfinition 3.1.2 On appellefiltration(Fk)1kn toute collection croissante de tribu.i.e.

Fk Fk+1, k n .

Dfinition 3.1.3 le processus discret (Yk)1p

n, est dit adapt la filtration

F (ou

F-adapt) si pour toutk n, Yk estFk-mesurable.

Proposition 3.1.1 Si (Yk)1pn estF-adapt, la v.a. Yi estFk-mesurable pour touti k.

Dmonstration : En terme dinformation, si Yi est connue avec linformation don-

ne parFi, elle sera connue avec linformation donne parFk Fi. En effet, limagerciproque de tout BorlienB par Yi est dansFi et donc dansFk.

19


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20 CHAPITRE 3. MODLE BINOMIAL N PRIODES

Dfinition 3.1.4 Lafiltration engendre par un processus discret (Yi)0ik est la

plus petite filtration qui rende ce processusF-adapt. Par analogie avec les tribus en-gendres,

FYk := (Y1, . . . , Y k) .

Remarque 3.1.1 Suite une proposition vue dans le chapitre prcdent, une variable

alatoire estFYk -mesurable si et seulement si elle scrit comme une fonction (borlienne)de(Y1, . . . , Y k).

Dfinition 3.1.5 Un processus discret (Mi)1in est uneF-martingale sous P silvrifie :

- EP[|Mi|]< i n,- M estF-adapt,- EP[Mi+1/Fi] = Mi.

Remarque 3.1.2 Si lgalit prcdente est replace par une ingalit on parle desur-

martingale() ou desous-martingale(). Une martingale est un jeu quitable, une

sur-martingale un jeu perdant, et une sous-martingale un jeu gagnant.

Remarque 3.1.3 SiM est uneF-martingalesousP, alors,

EP[Mk/Fi] =Mi i k

et en particulier on a : EP[Mp] =M0.

3.2 Modlisation du march

On reprend la mme modlisation que dans le chapitre prcdent mais dans un

monde n priodes. On considre un intervalle de temps [0, T] divis en n priodes

0 =t0< t1< ... < tn= T.Le march est compos de 2 actifs,

- un actif sans risque S0t :

1 (1 + r) (1 + r)2 . . . (1 + r)n

- et un actif risqu St :


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3.2. MODLISATION DU MARCH 21

unS0

. . .un1S0

. ..

u2S0 dun1S0

. . .uS0

. ..

S0 udS0

. . .dS0

. ..d2S0 d

n1uS0. . .

dn1S0

dnS0

Larbre estrecombinant: linstantti, lactif peut prendrei +1valeurs diffrentes.

Ensemble des tats du monde : est lensemble des trajectoires possibles pour

lactif risqu. Cest lensemble des n-uplets (1, . . . , n) tel que chaque i prenne deux

valeurs possibles di ou ui.

:= {(1, . . . , n) : i n i= di ou i= ui }On se donne une probabilit historique P de survenance de chacun des tats du

monde et lon suppose que la probabilit de monter et de descendre est la mme dans

tout noeud de larbre, i.e. pout tout i

P(i= ui) =p et P(i=

di) = 1 p

Hypothse cruciale:

Les rendements Yi:= StiSti1

sont indpendants.

Par indpendance des tirages, on en dduit donc :

P(1, . . . , n) = p#{j,j=uj }.(1 p)#{j,j=dj }


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et lon peut crire de manire quivalente la valeur de lactif linstant ti comme :

Sti = S0.i

k=1

Yk,

avec lesYk des variables alatoires indpendantessur qui prennent la valeur u avec

une probabilit p et la valeur d avec une probabilit 1 p. Alors on a bien sr :

P(Yi= u) = P(i= ui) = p et P(Yi= d) = P(i=

di) = 1 p

Linformation disponible tout date ti est donne par la filtration (Fti)0in :

Fti := (1, 2, . . . , i) = (Y1, Y2, . . . , Y i) = (St1 , St2 , . . . , S ti)

Une variable alatoireFti- mesurable est donc naturellement une variable donne partoute linformation accumule jusqu linstant ti. Elle scrit donc comme un fonction

de (St1 , . . . , S ti)ou de manire quivalente comme une fonction de (Y1, . . . , Y i).

Dfinition 3.2.1 Unproduit driv(ou actif contingent) CT est une variable ala-

toireFT-mesurable et scrit donc, avec une application borlienne, sous la forme

CT = (St1 , . . . , S tn) .

On cherche comme prcdemment trouver le prix et le portefeuille de couverture dun

produit driv qui seront encore donns par le prix et la stratgie de son portefeuillede duplication. Avant de montrer que lactif est duplicable, tudions les proprits des

stratgies de portefeuille simple dans ce modle.

3.3 Stratgie de portefeuille

Dfinition 3.3.1 Une stratgie de portefeuille simple X(x,) est la donne dun

capital initialx et dun processus discret(0, ..., n1) qui estF-adapt.

La stratgie consiste tout instanttien linvestissement dans une quantitidactif

risqu. Le processusest Fadapt, carla quantit dargent investir dans lactif linstant ti est dtermine avec linformation accumule jusqu linstant ti.

Le portefeuille ne subit aucune entre ou sortie dargent (condition dautofinan-

cement). Entre les instants ti et ti+1, le portefeuille Xx, est constitu dune quantit

i dactifs risqu et dune quantit (Xx,i iSti)/(1 + r)i actifs sans-risque. La valeur

du portefeuille linstantti est donc donne par :

Xx,ti = i Sti+(Xx,ti iSti)

(1 + r)i (1 + r)i .


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3.4. ARBITRAGE ET PROBABILIT RISQUE NEUTRE 23

Or, sur chaque intervalle [ti, ti+1), le portefeuille ne bnficie daucune entre ou sortie

dargent, donc :

Xx,ti+1 = i Sti+1+(Xx,ti iSti)

(1 + r)i (1 + r)i+1

Donc, en introduisant les processus actualiss :

Xx,ti := Xx,ti(1 + r)i

et Sti := Sti

(1 + r)i ,

ces deux relations se rcrivent :

Xx,ti = iSti+ (

Xx,ti iSti)1 , et Xx,ti+1 = iSti+1+ ( Xx,ti iSti) .

Par diffrence, on obtient donc la relation que lon appelle relation dautofinance-

ment :

Xx,ti+1 Xx,ti = i(Sti+1Sti) ,qui se rcrit galement :

Xx,ti+1 = x +i

k=0k(Stk+1 Stk) .

Remarque 3.3.1 Le processus valeur du portefeuilleXx, est bien srF-adapt.

3.4 Arbitrage et Probabilit risque neutre

Dfinition 3.4.1 Une opportunit darbitrage simple est une stratgie de porte-

feuille simple qui, partant dune richesse nulle en t= 0 est enT =tn toujours positive

et strictement positive avec une probabilit strictement positive. Cest donc la donne de

R satisfaisant

X0,T 0 et PX0,T >0

> 0

L absence dopportunits darbitrage simple (AOA) (sur stratgie de porte-

feuille simple) scrit donc :

R,

X0,T 0 X0,T = 0 P p.s

Proposition 3.4.1 Sous lhypothse dAOA, on ad


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Dmonstration : Supposons par exemple 1 +r d et considrons la stratgie deportefeuille (0, ), o 0= 1et i= 0pouri 1: on achte lactif risqu en t0, on lerevend en t1 et on place le gain dans lactif sans risque. Cette stratgie estFadaptecar dterministe et la valeur du portefeuille en T =tn est donne par :

X0,T = 0 +i

k=0

k(Stk+1Stk) = St1St0

CommeSt1 peut prendre 2 valeurs, la valeur du portefeuille en Tpeut prendre 2 valeurs

qui sont

(1 + r)n S0 u1 + r 1 > 0 , et (1 + r)n S0 d1 + r 1 0avec respectivement des probabilitsp et 1 ptoutes deux strictement positives si bienque notre stratgie cre un arbitrage. Le cas u 1+ rest trait similairement en vendantlactif risqu (0= 1).

Remarque 3.4.1 Comme dans le modle une priode, si R > u lactif sans risque

rapporte toujours plus que le lactif risqu donc arbitrage, et si R < d, lactif risqu

rapporte toujours plus que lactif sans risque, donc arbitrage...

Remarque 3.4.2 En fait,sous lhypothse AOA, il y a AOA sur tous les sous-

arbres. Par contrapose, si il existe une stratgie darbitrage sur un sous arbre, il faut

considrer la stratgie globale qui ne fait rien si elle ne croise pas le noeud de dpart du

sous-arbre, et qui utilise la stratgie gagnante jusqu la fin du sous arbre puis place les

gains dans lactif sans risque sinon. Comme la probabilit de passer par chaque noeud

est strictement positive, cette stratgie est un arbitrage.

En sinspirant des rsultats du modle 1 priode, introduisons la probabilit Q

sur identique sur chaque sous arbre une priode celle obtenue dans ltude du

modle une priode. On dfinit donc Q de la manire suivante :

Q(1, . . . , n) = q#{j,j=uj }.(1 q)#{j,j=dj } avec q := (1 + r) d

u dRemarque 3.4.3 On a alors les relations suivantes :

Q(Sti =uSti1) = Q(Yi= u) = q et Q(Sti =dSti1) = Q(Yi= d) = 1 q

Dfinition 3.4.2 Uneprobabilit risque neutre est une probabilit quivalente la

probabilit historique P sous laquelle toute stratgie de portefeuille simple ractualise

est martingale.


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3.4. ARBITRAGE ET PROBABILIT RISQUE NEUTRE 25

On se propose de montrer que Q est une probabilit risque neutre.

Proposition 3.4.2 S est uneF-martingale sousQ.

Dmonstration : Sest intgrableF-adapt et

EQ[Stk+1/Ftk ] = 1

1 + r

q uStk + (1 q) dStk

=

1

1 + r

(1 + r) d

u d u +u (1 + r)

u d d

Stk

= Stk .

Proposition 3.4.3 La valeur ractualiseXx, de toute stratgie de portefeuille simple

(x, ) est uneF-martingale sousQ.

Dmonstration : Xx, est intgrableF-adapt et

EQ[Xx,k+1 Xx,k /Ftk ] = EQ[k(Stk+1Stk)/Ftk ] = k EQ[(Stk+1Stk)/Ftk ] = 0

Remarque 3.4.4 Ce rsultat nous indique que si les actifs de base ractualiss sont

martingales sous une certaine probabilit, les stratgies de portefeuilles simples le sont

aussi. Ceci est du la condition dautofinancement et surtout au fait quela quantit

dactif risqu entre tk et tk+1 estFtk-mesurable. (On dit que la valeur actualisedu portefeuille est une transforme de martingale). Donc, on vient de voir que :

"Tout actif de base ractualis est martingale sous une probabilitQ"

"Toute stratgie de portefeuille simple ractualise est martingale une probabilitQ"

Thorme 3.4.1 Sid


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La valeur tout date ti dune stratgie de portefeuille simple de valeur finale Xx,T

scrit :

Xx,ti = 1

(1 + r)niEQ[Xx,T /Fi]

Donc, si lon arrive construire un portefeuille de couverture pour tout produit drive,

en AOA, sa valeur tout instant ti sera donne par lesprance sous la probabilit

risque-neutre de son flux final actualis. Avant cela, remarquons que lexistence dune

probabilit risque neutre va encore impliquer lhypothse AOA comme dans le modle

une priode.

Proposition 3.4.4 Lexistence dune probabilit risque neutre implique lhypothse AOA.

Dmonstration : Exactement comme dans le cas du modle une priode,

X0,T 0 et EQ[X0,T ] = 0 Q(X0,T = 0) = 1donc X0,T est nulleQ-p.s. et donc P-p.s.

On a donc, comme dans le modle une priode :

AOA d < R < u il existe une probabilit risque neutre

3.5 Duplication dun produit drivThorme :

Tout produit driv Cest duplicable par une stratgie de portefeuille simple (x, )

Le march est dit complet.

ANALYSE DU PROBLEME

Nous recherchons une stratgie de portefeuille simple de duplication (x, )de notre

produit driv de valeur CT enT. CommeCT est Ftn-adapt, la valeur du produit drivse rcrit (St1 ,...,Stn)et on cherche donc (x, )tel que :

Xx,tn = (St1 ,...,Stn)

Comme nous venons de le voir, toute stratgie de portefeuille simple est martingale

sous la probabilit risque neutre Q donc la valeur Xx,tk du portefeuille de duplication

satisfait :

Xx,tk = 1

(1 + r)nkEQ[(St1 ,...,Stn)/Ftk ]


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3.5. DUPLICATION DUN PRODUIT DRIV 27

Donc, la richesse initiale x de notre portefeuille de duplication est ncessairement :

x := 1

(1 + r)nEQ[(St1 , . . . , S tn)]

Remarquons que 1(1+r)nk

EQ[(St1 ,...,Stn)/Ftk ], en tant que variable alatoireFtk -mesurable, se rcrit sous la forme Vk(St1 , . . . , S tk) avec Vk une fonction dterministe

(i.e. non alatoire). On note donc :

Vk(St1 , . . . , S tk) := 1(1 + r)nkEQ[(St1 , . . . , S tn)/Ftk ]

Dans le calcul du portefeuille une priode, nous avions vu que la quantit dactif risqu

du portefeuille de duplication sapparentait la variation de la valeur du produit driv

en rponse la variation du sous-jacent. Nous proposons donc le processus de couverture

dfini pour k {1, . . . , n} par :

k := Vk+1(St1 , . . . , S tk ,u.Stk) Vk+1(St1 , . . . , S tk ,d.Stk)

u.Stk d.Stk.

Linvestissement initialx est dterministe et, pour k {1, . . . , n},k estFtk -mesurableen tant que fonction de (St1 , . . . , S tk). Donc estF-adapt et (x, ) dfinit bien unestratgie de portefeuille simple.

RESOLUTION DU PROBLEME

On se propose donc de montrer que la stratgie de portefeuille (x, ) dfinie prc-

demment duplique notre produit driv, soit : Xx,tn = (St1 , . . . , S tn) = Vn(St1 , . . . , S tn).

Pour cela, montrons, par rcurrence sur k {1, . . . , n}, la relation :

Xx,tk = Vk(St1 , . . . , S tk)

Par construction, la relation est vraie pour k = 0, montrons donc "k => k+1".


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Remarquons tout dabord que

Xx,tk = Vk(St1 , . . . , S tk)

= 1

(1 + r)nkEQ [(St1 , . . . , S tn)/Ftk ]

= 1

(1 + r)EQEQ

1

(1 + r)n(k+1)(St1 , . . . , S tn)/Ftk+1

/Ftk

=

1

(1 + r)EQ[Vk+1(St1 , . . . , S tk+1)/Ftk ]

= 1

(1 + r)EQ[Vk+1(St1 , . . . , S tk , u Stk)1{Xk+1=u} + Vk+1(St1 , . . . , S tk , d Stk)1{Xk+1=d}/Ftk ]

= 1(1 + r) {Q(Xk+1= u).Vk+1(St1 , . . . , S tk , u Stk) + Q(Xk+1= d).Vk+1(St1 , . . . , S tk , d Stk)

= 1

(1 + r){q.Vk+1(St1 , . . . , S tk , u Stk) + (1 q).Vk+1(St1 , . . . , S tk , d Stk)} .

La condition dautofinancement du portefeuille scrit :

Xx,tk+1 = Xx,tk + k(Stk+1Stk) .

En "dsactualisant", on obtient donc

Xx,tk+1 = q.Vk+1(St1 , . . . , S tk , u Stk) + (1

q).Vk+1(St1 , . . . , S tk , d Stk) +

Vk+1(St1 , . . . , S tk , u Stk) Vk+1(St1 , . . . , S tk , d Stk)u Stk d Stk

Stk+1 (1 + r)Stk

.

En remplaant Stk+1 par Yk+1 Stk et qpar 1+rd

ud , on en dduit

Xx,tk+1 = Vk+1(St1 , . . . , S tk , u Stk)Yk+1 d

u d + Vk+1(St1 , . . . , S tk , d Stk)u Yk+1

u d .

CommeYk+1 ne prend que les valeurs d ou u, on vrifie alors

Xx,tk+1 = Vk+1(St1 , . . . , S tk , Yk+1 Stk) = Vk+1(St1 , . . . , S tk , Stk+1) ,

ce qui conclut la rcurrence et donc la preuve.

3.6 Evaluation et couverture dun produit driv

Comme tout produit driv est duplicable, on en dduit que, sous AOA, la valeur

tout instant tk dun produit driv CT := (St1 , . . . , S tn) est donne par

Ctk = 1

(1 + r)nkEQ[(St1 , . . . , S tn)/Ftk ] ,


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3.6. EVALUATION ET COUVERTURE DUN PRODUIT DRIV 29

et, en particulier, son prix en 0 est donn par

C0 = 1

(1 + r)nEQ[(St1 , . . . , S tn)] .

Proposition 3.6.1 Comme le march est complet (tout actif est duplicable par une

stratgie de portefeuille simple), il y aunicit de la probabilit risque neutre.

Dmonstration : Comme dans le modle une priode, prenons deux probabilits

risque neutre Q1 et Q2. Pour toutB F1 =P(), 1B est un produit driv car il estF1-mesurable, donc il est duplicable par un portefeuille autofinanant (x, ) et lon a

Q1(B) = EQ1 [1B] = Rx = EQ2 [1B] = Q2(B) .Donc Q1 et Q2 sont indistinguables.

Remarque 3.6.1 Comme dans le modle une priode, le prix de lactif ne dpend que

de la forme du payoff, deu, r etd. Doncle prix de dpend pas de la proba relle

p qua le prix de monter ou de descendre ! ! !

Remarque 3.6.2 Nous avons galement dtermin le portefeuille de couverture qui per-

met tout instant de se couvrir contre les variations de loption. La quantit dactif

risqu prendre dans le portefeuille de couverture sinterprte de nouveaucomme la variation du prix de loption en rponse une variation du cours du

sous-jacent. En temps continu, on obtiendra naturellement le portefeuille de duplication

comme drive de la valeur du produit driv par rapport la valeur du sous-jacent.

Comment utiliser ce type darbre dans la pratique ? Si nous considrons un

produit driv dont la valeur ne dpend que de la valeur finale, on peut calculer sa

valeur sur chacun des noeuds maturit. On revient alors progressivement en arrire

dans larbre pour passer de ses valeurs aux noeuds de linstant ti+1 ses valeurs aux

noeuds de linstanttien actualisant sous la probabilit risque neutre. Lintrt dutiliser

un arbre recombinant n priodes et que lon a seulementn + 1valeurs possible enT au

lieu de2n si larbre ntait pas recombinant. Pour connatre son prix en 0, on doit donc

faire n! calculs au lieu de 2n 2n1 . . . 2 =2n(n+1)/2. Pour n = 10 par exemple onobtient11 valeurs possibles et 11! 4 107 avec unarbre recombinant, et 2048 valeurspossibles soit 7 1019 calculs sinon.

A RETENIR :

- Le prix de lactif scrit toujours comme lesprance actualise de sa valeur


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finale sous la probabilit risque neutre Q.

- La probabilit risque neutre rend les actifs ractualiss martingales et demanire quivalente les stratgies de portefeuille simple ractualises mar-

tingales.

Si lon fait tendre le nombren de priodes vers linfini, et pour un choix judicieux de

la forme de u et d, ce modle converge vers un modle en temps continu appel modle

de Black-Scholes (cf TD). Afin de manipuler des objets similaires en temps continu, il

nous faut dvelopper la thorie des processus en temps continu que lon appelle calcul

stochastique.


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Chapitre 4

Calcul stochastique

Dans toute la suite on se place sur un espace de probabilit (, A,P).

4.1 Processus et Martingale

4.1.1 Processus

Dfinition 4.1.1 Unprocessus (alatoire) Xsur lespace de probabilit(, A,P)estune famille de v.a. alatoires(Xt)t[0,T]. Cest donc une fonction de 2 variables :

X : [0, T] R.

Remarque 4.1.1 t [0, T] reprsente le temps mais on aurait pu galement prendret R, t R2... De mme, lespace darrive pourrait tre bien plus complexe queR.

Remarque 4.1.2 On peut voir un processus comme une fonction qui associeune fonction de [0, T] dansR, t Xt(), appele trajectoire du processus.

Dfinition 4.1.2 On dit que X est un processus continu (p.s.) si il est continu

trajectoire par trajectoire, i.e. t Xt() estC0 pour presque tout.

4.1.2 EspacesLp

Notation : Pour tout p R+, nous noterons :

Lp() :=

X v.a. t.q.||X||p := E[|X|p]1p <

Lp(, [0, T]) :=

(s)0sT processus t.q.||||p := E T

0|s|pds

1/p<

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32 CHAPITRE 4. CALCUL STOCHASTIQUE

Proposition 4.1.1 Pour p 1 les espacesLp() muni de||.||p etLp(, [0, T]) munide||.||p sont des espaces de Banach (i.e. complets).

Nous passerons sur la dmonstration mais vous avez dja vu que lespace Lp()taitcomplet et Lp(, [0, T])lest galement pour les mme raisons. Au lieu de considrer desfonctions dune variable , il suffit de considrer des fonctions de deux variables (t, ).

4.1.3 Filtration

Dfinition 4.1.3 UneFiltration(

Ft)tR+ est une collection croissante de tribus (sous-

tribus deA), i.e.Fs Ft s t.

Remarque 4.1.3Ft reprsente la quantit dinformation disponible linstantt ; il estlogique que cette quantit augmente avec le temps.

Dfinition 4.1.4 Un processus (Xt)t0 est ditF-adapt si, pour tout t, la variablealatoireXt estFt-mesurable.

Proposition 4.1.2 SiX estF-adapt, la v.a. Xs estFt-mesurable pour touts t.

Dmonstration: Le rsultat est naturel lorsque lon raisonne en terme dinformation,

la tribuFt est plus grande que la tribuFs, donc, si Xs est connue avec linformationFs, il lest avec linformationFt. Maintenant, analytiquement, soitB un Borlien deR, alors limage rciproque deB par Xs, X1s (B) est un lment deFs et est donc unlment deFt Fs.

Dfinition 4.1.5 La filtration engendre par un processusX, noteFX est la suitecroissante de tribusFXt engendres par(Xs)st i.e.,FXt =(Xs, s t)

Remarque 4.1.4FX est la plus petite filtration qui rendeX adapt.Une tribu est dite complte lorsquelle contient lensemble des ngligeablesN de

(, A,P) qui est dfini par

N := {N ,A A / N A , P(A) = 0}

Dfinition 4.1.6 Une filtrationF est complte lorsque toutFt contient lensembledes ngligeablesN(ce qui quivaut N F0).


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4.1. PROCESSUS ET MARTINGALE 33

Remarque 4.1.5 Pour complter une filtrationF, il suffit de remplacerFt par (A N , (N, A) N F t)ou plus simplement remplacerF0 par(AN , (N, A) N F 0).La filtration complte engendre par un processusXest gnralement appelefiltration

naturelle du processus.

SiF est complte, t fix, on a

Xt= Yt p.s. {Xt Ft mesurable Yt Ft mesurable}

On montre alors que, si une tribuFt est complte, alors, toujours t fix :

Xnt p.s. Xt et n, Xnt Ft mesurable {Xt Ft mesurable}Le rsultat reste vrai pour une convergence dansLp() avec p 1, car on peut alorsextraire un sous suite qui converge p.s. vers la mme limite et donc la limite reste

mesurable :Xnt

Lp Xt et n Xnt Ft mesurable

{XtFt mesurable}

Dans toute la suite, nous allons considrer des filtrations compltes

et parlerons donc de filtration naturelle de processus.

4.1.4 Martingale

Dfinition 4.1.7 Un processus alatoireM est uneF-martingalesi- M estF-adapt,- pour toutt T, Mt L1(), i.e. E[|Mt|]< ,- E[Mt/Fs] =Ms pour touts t.Unesur-martingaleet unesous-martingalesont des processus qui vrifient les deux

premires proprits et pour toutst respectivementE[Mt/Fs]Ms etE[Mt/Fs]M

s.

Remarque 4.1.6 une martingale est un jeu quitable, une sur-martingale un jeu per-

dant, et une sous-martingale un jeu gagnant.

Proposition 4.1.3 Toute martingaleM vrifie :

t T E[Mt] = E[M0] .

Dmonstration : On a pour tout t T, E[Mt] = E[E[Mt/F0]] = E[M0].


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Proposition 4.1.4 Soit M uneF-martingale et : R R une fonction convexemesurable, alors si(M) est intgrable, cest une sous-martingale.

Dmonstration : (M) est intgrable et adapt et lingalit de Jensen conditionelle

nous donne :

E[(Mt)/Fs] (E[Mt/Fs]) = (Ms) .

Proposition 4.1.5 SoitM uneF-martingale de carr intgrable (i.e. E[M2t] < pourtoutt), alors, pours t, on a :

E[(Mt Ms)2/Fs] = E[M2t M2s /Fs]

Dmonstration:

E[(Mt Ms)2/Fs] = E[M2t/Fs] 2E[MtMs/Fs] + E[M2s /Fs]= E[M2t/Fs] 2MsE[Mt/Fs] + M2s= E[M2t M2s /Fs]

On retrouve donc que M2 est uneF-sous-martingale.

Proposition 4.1.6 StabilitLp des martingalesSoitp 1et(Mn)une suite deF-martingales, telles que, pour toutn ett,Mnt Lp().Si, pour toutt fix dans [0, T] la v.a. Mnt converge vers la v.aMt au sens de la conver-

gence dansLp(), alors le processus limite M est uneF-martingale et pour tout t,Mt Lp().

Dmonstration : Il faut montrer 3 choses :

(1) M estF-adapt ;(2) pour tout t [0, T], Mt Lp() (alors Mt L1() Lp()) ;(3) pour 0

s

t

T, on a : E[Mt/

Fs] =Ms.

(1) Pour tout n, Mnt estFt-mesurable, donc Mt estFt-mesurable. (car la filtrationFest complte)

(2) Pour tout t fix, Mnt converge vers Mt dansLp(), donc Mt est dansLp().(3) Pour 0 s t T, on a :

||Mns E[Mt/Fs]||p = ||E[Mnt Mt/Fs]||p ||Mnt Mt||p 0

OrMnsE[Mt/Fs]converge versMs E[Mt/Fs]dans Lp(), doE[Mt/Fs] = Ms p.s.


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4.2. MOUVEMENT BROWNIEN 35

4.1.5 Processus Gaussien

Dfinition 4.1.8 Un vecteur de v.a. (X1, . . . , X n) est un vecteur Gaussien si et

seulement si toute combinaison linraire desXi est Gaussienne (i.e. < a, X > est une

v.a. Gaussienne pour touta Rn).

Voici deux propositions trs utiles dans la manipulation des vecteurs Gaussiens.

Proposition 4.1.7 Si le vecteur (X1, X2) est Gaussien, les v.a. X1 et X2 sont ind-

pendantes si et seulement sicov(X1, X2) = 0.

Proposition 4.1.8 Tout vecteur de variables alatoires Gaussiennes indpendantes est

un vecteur Gaussien.

Remarque 4.1.7 Attention, il est possible de trouver des variables alatoires Gaus-

siennes non indpendantes de covariance nulle.

La version continue des vecteurs Gaussiens sont les processus Gaussiens.

Dfinition 4.1.9 Un processus(Xt)t0 est appelprocessus Gaussiensi pour toutn

et toutt1 . . . tn le vecteur(Xt1 , . . . , X tn) est Gaussien.

4.2 Mouvement Brownien

Historiquement :

- 1828 : Robert Brown, botaniste observe le mouvement du pollen en suspension dans

leau.

- 1877: Delsaux explique que ce mouvement irrgulier est du aux chocs du pollen avec

les molcules deau (changements incessants de direction),

-1900: Louis Bachelier dans sa thse "Thorie de la spculation" modlise les cours de

la bourse comme des processus accroissements indpendants et Gaussiens (problme :

le cours de lactif, processus Gaussien, peut tre ngatif)

- 1905 : Einstein dtermine la densit du MB et le lie aux EDPs. Schmolushowski le

dcrit comme limite de promenade alatoire.

-1923: Etude rigoureuse du MB par Wiener, entre autre dmonstration de lexistence.

Un Mouvement Brownien gnralement not B pour Brown ou Wpour Wiener.


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Dfinition 4.2.1 Un Mouvement Brownien (standard) est un processus B vri-

fiant :- B0= 0 P-p.s. ;

- B est continu, i.e. t Bt() estC0 pour presque tout ;-B est accroissements indpendants : BtBs est indpendant deFBs :=(Bs, s t) ;- les accroissements sont stationnaires, Gaussiens et pours t : Bt Bs N(0, t s).

Remarque 4.2.1 Pour information, dans le dfinition, la quatrime proprit peut tre

remplace par "les accroissements sont stationnaires centrs de carr intgrable avec

V ar(B1) = 1". Cette hypothse plus faible implique, grce la continuit deB, que les

accroisements sont Gaussiens. En effet, on a Bt

Bs = limnni1(Bs+(ts)i/nBs+(ts)(i1)/n)somme compose de v.a. alatoires indpendantes de mme loi car le pro-

cessus est stationnaire. Grce la continuit duB, on obtient quelles sont desprance

nulle et de variance(t s)/n. On a alors envie de conclure grce au Thorme CentraleLimite mais les termes de la somme dpendent de n et la dmonstration ncessite une

gnralisation du TCL, un thorme du type Lindebergh, qui est possible par contrle des

moments des v.a. alatoires. Lorsque lon cherche un processus stationnaire, continu

accroissements indpendants et de variance finie, il est donc naturel de considrer un

Mouvement Brownien qui sera donc un outil trs utile pour modliser les fluctuations

des cours des actifs dans un march financier.

Thorme 4.2.1 Le Mouvement Brownien existe ! ! !

Dmontration :Ce rsultat non vident est admis. La plus grosse difficult rside

dans lobtention de la continuit du Mouvement Brownien. Le Mouvement Brownien

peut tre vu comme limite de marches alatoires sur des pas de temps de plus en plus

courts.

Proposition 4.2.1 Si B est un Mouvement Brownien etFsa filtration naturelle, lesprocessus(Bt), (B

2t t) et(eBt

2t2 ) (Brownien Exponentiel) sont desF-martingales.

Dmonstration : Ces trois processus sont adapts F. Il sont intgrables car BtN(0, t), donc son esprance, sa variance et sa transforme de Laplace sont finies. Reste vrifier la dernire condition. Pour le premier, on a :

E[Bt/Fs] = E[Bs/Fs] + E[Bt Bs/Fs] = Bs+ E[Bt Bs] = Bs+ 0 = BsPour le deuxime, comme B est une martingale, on a :

E[B2t B2s /Fs] = E[(Bt Bs)2/Fs] = E[(Bt Bs)2] = V ar[Bt Bs] =t s


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4.2. MOUVEMENT BROWNIEN 37

Et la condition sur le dernier sobtient grce la transforme de Laplace dune Gaus-

sienne :

E

eBt

2t2 /Fs

= e

2t2 E

e(BtBs)eBs/Fs

= e

2t2 eBsE

e(BtBs)

= eBs

2s2

Pour dmontrer quun processus est un mouvement Brownien, au lieu de revenir

sa dfinition, il est souvent plus ais dutiliser la caractrisation suivante :

Thorme 4.2.2 Caractrisation du Mouvement Brownien

Un processus B est un Mouvement Brownien ssi cest un processus Gaussien continu

centr de fonction de covariancecov(Xs, Xt) =s t.Dmonstration :

Sens direct : Pour t1t2. . .tn, le vecteur (Bt1 , Bt2 Bt1 , . . . , Btn Btn1) estcompos de v.a. Gaussiennes indpendantes, donc il est Gaussien et toute combinaison

linaire desBti qui se rcrit comme combinaison linaire de ces v.a. et est Gaussienne.

Par consquent, le processus B est Gaussien. Il est continu par hypothse, centr car

E[Bt] =E[Bt B0] = 0et de fonction de covariance, pour s t :

Cov(Bs, Bt) = E[BsBt] = E[Bs(BtBs)]+E[B2s ] =BsE[BtBs]+V ar[BsB0] = 0+s= s

Rciproquement, on va montrer les proprits de la dfinition du MB une une :

- E[B20 ] =V ar[B0] = 0donc B0= 0 p.s.

- B est continu par hypothse

- Prenons r1 . . . rn s t, le vecteur (Br1 , . . . , Brn , Bt Bs) est Gaussien. Orcov(Bt Bs, Bri) =ri s ri t= 0, donc Bt Bs est indpendante de tout vecteur(Br1 , . . . , Brn) et donc deFBs =(Br, r s).- Pour st, Bt Bs est Gaussienne et est donc dtermine par son esprance E[Bt Bs] = 0et sa variance :

V ar[Bt Bs] =V ar(Bt) + V ar(Bs) 2 cov(Bt, Bs) =t + s 2 s t= t s.

Donc Bt Bs N(0, ts) et, la loi de Bt Bs ne dpendant que de ts, lesaccroissements sont stationnaires.

Remarque 4.2.2 Le rsultat indiquant que montrer lindpendance entre BtBs et(Bs, s t) est quivalent montrer que tout vecteur de la forme (Br1 , . . . , Brn) sedmontre laide du thorme de la classe monotone. Le lecteur intrss pourra se

reporter au Livre de Briane-Pages.


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Proposition 4.2.2 Si B est un Mouvement Brownien, les processus 1aBa2t, tB1/t +

valeur nulle en 0, etBt+t0 Bt sont des Mouvements Browniens.

Dmonstration :On utilise la caractrisation en tant que processus Gaussien. Ce sont

des processus Gaussiens. On a la continuit facilement sauf pour tB1/t (fate en TD)

Remarque 4.2.3 Le fait que le processus 1aBa2t soit encore un Mouvement Brownien

est laproprit fractale du Mouvement Brownien. Son comportement est stable par

changement dchelle. Il traduit galement que les trajectoires du Mouvement Brownien

ont une longueur infinie.

Citons quelques proprits du Mouvement Brownien sans les dmontrer simplement

pour mieux comprendre la manire dont il se comporte :

(1) Si B est un Mouvement Brownien, alors :

Btt

t 0 p.s.

Ce rsultat, difficile montrer pour t R, est obtenu naturellement sur les suites valeur dans N :

Bnn =

1

n

n

i=1

(Bi Bi1) n E[Bi Bi1] = 0 p.s.

grce la loi de grands nombres, les Bi Bi1 tant indpendantes de loiN(0, 1).(2) Le Mouvement Brownien a ses trajectoires continues mais elles ne sont drivables

nulle part.

(3) Si B est un Mouvement Brownien, alors, on a :

limtBt = + et limtBt =

Ainsi, le Mouvement Brownien passe par tous les points de lespace presque surement.

(4) Le Mouvement Brownien repasse presque surement en tout point une infinit de

fois.

(5) Le Mouvement Brownien est un processus markovien :

s t Bt/Fs loi Bt/Bs

En conclusion, le Mouvement Brownien oscille normment. Il est continu et impr-

visible dans le sens ou ses accroissements sont indpendants du pass. Cet outil sera

donc idal pour modliser la partie alatoire de lvolution dun actif sur un march.


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4.3. VARIATION TOTALE ET VARIATION QUADRATIQUE 39

4.3 Variation totale et Variation quadratique

Dfinition 4.3.1 On dfinit la variation infinitsimale dordrep dun processusX sur

[0, T] associe une subdivisionn= (tn1 , . . . , t

nn) de [0, T] par :

VpT(n) :=n

i=1

|Xtni

Xtni1

|p

SiVpT(n) a une limite dans un certain sens (convergenceLp, convergence p.s.) lorsquen :=||n|| := M axin|tni+1tni | 0, la limite ne dpend pas de la subdivisionchoisie et nous lappellerons variation dordrep deX sur [0, T] . En particulier :

- sip= 1, la limite sappelleravariation totale de X sur [0, T] ;- sip= 2, la limite sappellera variation quadratique de X sur [0, T] noteXT.

Remarque 4.3.1 Pourquoi la limite de dpend pas de la subdivision choisie ?

Supposons que la variation infinitsimale dordrep a une limite lorsque le pas de la sub-

division tend vers0. Considrons deux subdivisions diffrentes. Alors la nouvelle subdi-

vision compose de lunion des 2 prcdentes converge galement et les deux subdivisions

prcdentes sont des subdivisions extraites de celle-ci qui convergent donc vers la mme

limite.

Remarque 4.3.2 Si la variation totale dun processus existe presque surement alors

elle vaut :

V1T := supP

ni=1

|Xti Xti1 | p.s.

oP est lensemble des subdivisions possibles de [0, T]. Rciproquement, si ce sup estfini, le processus admet une variation totale. Ce rsultat est du la dcroissance en de

la variation infinitsimale : si alorsV1T() V1T() qui vient naturellement delingalit triangulaire

|x

y

| |x

z

|+

|z

y

|.La variation totale dun processus

sinterprte comme la longueur de ses trajectoires.

Proposition 4.3.1 La variation quadratique sur[0, T] du mouvement Brownien existe

dansL2() (la variation infinitsimale converge en||.||2) et vautT. De plus, si la sub-division n satisfait

n=1 n


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Dmonstration : La variation infinitesimale dordre 2 du Mouvement Brownien est

donne par :

V2T(n) :=n

i=1

|Btni

Btni1

|2

On rappelle que si X N(0, 2) alors E[X2] =2 et V ar[X2] = 2 4. On a donc :

E[V2T(n)] =n

i=1

E[(Btni

Btni1

)2] =n

i=1

(tni tni1) = T

Et en notant n:= M ax|tni1 tni |, on obtient :

V ar[V2T(n)] =n

i=1

V ar[(Btni

Btni1

)2] = 2n

i=1

(tni tni1)2 2 T nn0

0

Donc||V2T(n) T||2 = V ar[V2T(n)] 0 quand n 0. Pour obtenir la conver-gence presque sre, il faut utiliser lingalit de Markov qui donne pour tout :

P[|V2T(n) T| > ] V ar[V2T(n)]

2 T n

Donc si

n=1 n< , on a pour tout,

i=1 P[|V2T(n) T| > ]< ce qui (parBorel-Cantelli) entrane la convergence presque sre de V2T(n) vers T.

Proposition 4.3.2 Pour toute subdivisionn satisfaisant

n=1 n


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Remarque 4.3.3 La variation totale du Mouvement Brownien trajectoire par trajec-

toire est simplement la longueur de son chemin. Le rsultat obtenu est donc cohrentavec la proprit fractale du Mouvement Brownien. Un Mouvement Brownien oscille en

permanence et donc la longueur de ses trajectoires est infinie. Ceci est galement li au

fait que les trajectoires du MB, bien que continues ne sont pas rgulires.

En effet, lorsquune fonction f : [0, T] R est drivable drives bornes, pourtoute subdivision n de [0,T], il existesi]ti1, ti] tel que :

ni=1

|f(tni) f(tni1)| =n

i=1

f(sni)|tni tni1| ||f||T

Donc, cette fonction est variation totale finie :

sup

ni=1

|f(ti) f(ti1|


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o les (t)sont des subdivisions de [0, t]. Alors Xt se rcrit :

Xt = Xt+ X

t

2 X

t Xt

2 := X+t Xt

Les processus X+t et Xt sont croissants car, pour s t,|Xt Xs| Xt Xs .

Rciproquement, si Xet de la forme X+ X avec X+ et X croissants, on a,pour toute subdivision de [0, T] :

ni=1

|Xti Xti1 | =n

i=1

(X+ti X+ti1) +n

i=1

(Xti1 Xti)

= X+t

X+0 + X0

Xt = Xt

X0

Donc Xest variation borne.

Proposition 4.3.4 Si X est un processus variation borne trajectoires continues,

sa variation quadratique est nulle presque surement :XT = 0.

Dmonstration : Comme nous lavions vu prcdemment, pour presque tout :

V2T(n)() sup|u

v

|n

|Xu() Xv()| V1T(n)()

CommeXest continue sur le compact [0, T], lesup tend vers0 et la variation totale

de Xest finie donc sa variation quadratique est nulle p.s.

Remarque 4.3.4 Malheureusement les rsultats que nous obtenons sont des conver-

gence dansL2 ou des convergence presque sre. A une modification presque sre prt,la limite ne dpend pas du type de convergence considr mais ces convergences ne sont

pas quivalentes. Loutil adquat pour dfinir la variation quadratique est la convergence

en probabilit mais cet outil est peu intuitif et difficile manipuler.

Finalement le tableau rcapitulatif retenir est le suivant :

Variation totale Variation quadratique

Mouvement Brownien TProcessus continu var. borne < 0

Par construction de la variation quadratique, X =2X, si bien quil est naturelde prolonger lapplication X X, X := Xen une application bilinaire.


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Dfinition 4.3.3 SoientX etYdeux processus tels queX, Y etX+ Yont des varia-

tions quadratiques finies dansL2. On dfinit alors la covariation quadratique entre lesprocessusX etY comme :

X, Y := 12

(X+ Y X Y)Par construction, cette dfinition rend lapplication(X, Y) X, Y bilinaire :

Relation de bilinarit : X+ Y, X+ Y =X, X + 2 X, Y + Y, YRelation scalaire X,Y = X, Y

Dmonstration : Par construction, 2||

XiYi X, Y||2 converge vers 0 car il

est born par :(Xi+ Yi)2 X+ Y2

+X2i X2 + Y2i Y2

Remarque 4.3.5X, Ysidentifie la limite dansL2()deni=1|Xtni Xtni1 | |Ytni Ytn

i1|.

Proposition 4.3.5 SoitXun processus variation borne continu ayant une variation

quadratique dansL2 (qui est donc nulle) etYun processus variation quadratique finiedansL2, alorsX+ Y est variation finie dansL2 et lon a :

X+ Y = YCe qui revient dire que :

X, Y = 0Dmonstration :On a la relation

E

XiYi2 E X2i Y2i X2i 2 Y2i 2

Ce qui donneX, Y = 0 la limite. Remarque 4.3.6 Nous venons de voir que la variation quadratique du Mouvement

Brownien sur [0, T] est T. Or, si vous vous souvenez, nous avions vu que le proces-sus (B2tt) est une martingale. Ceci nest pas un hasard, il existe un rsultat plusgnral que nous ne dmontrerons pas mais qui permet de caractriser les martingales

de carr intgrables. Il sagit de la dcomposition de Doob-Meyer.

Thorme 4.3.1 Dcomposition de Doob Meyer

Si Mest une martingale continue de carr intgrable (E(M2t)


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4.4 Intgrale stochastique

On veut donner un sens la variable alatoire : T0

s dBs

Lorsque lon intgre une fonction g par rapport une fonction fdrivable, si g est

rgulire, on dfinit son intgrale comme : T0

g(s) df(s) =

T0

g(s) f(s)ds

Si jamais f nest pas drivable mais simplement variation borne, on sen sort encore

en dfinissant lintgrale par : T0

g(s) df(s) = limn0

n1i=0

g(ti)(f(ti+1) f(ti))

Lintgrale alors dfinie sappelle intgrale de Stieljes. Dans notre cas, le Mouvement

Brownien nest pas variation borne donc, on ne peut pas dfinir cette limite

trajectoire par trajectoire. Par contre, comme il est a variation quadratique finie,

il est naturel de dfinir lintgrale par rapport au Mouvement Brownien comme une

limite dans L2 (convergence au sens de ||.||2 ) de cette variable alatoire.

T0 s dBs = limn0n1i=0

ti(Bti+1 Bti)Attention, la convergence est au sens de la convergence des variables alatoires dans

L2(). Pour cela nous allons donc devoir imposer au processus dtre L2(, [0, T]).On demandera galement lintgrant dtreF-adapt afin que ti soit indpen-dant deBti+1 Bti . En effet, dans les applications en finance, treprsentera la quantitdactif risqu contenue dans notre portefeuille linstant t et dBt la variation infinitsi-

male de cet actif risqu. Il est donc naturel de vouloir imposer que soitF-adapt.Sil ne ltait pas, on pourrait tout de mme dfinir une intgrale par rapport au mouve-

ment Brownien mais elle serait trs diffrente car la variation quadratique du Mouvement

Brownien est non nulle. Sur un exemple simple par exemple, comme approximations deT0 Bt dBt, nous aurions entre autre le choix entre les 2 approximations suivantes :

n1i=0

Bti [Bti+1 Bti ] oun1i=0

Bti+1 [Bti+1 Bti]

Lcart entre nos deux intgrales est alors gal :

n1i=0

[Bti+1 Bti ]2 L2 T


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4.4. INTGRALE STOCHASTIQUE 45

Nous allons construire lintgrale stochastique ou lapproximation est faite au point le

plus gauche afin que lintgr soit indpendant de lintgrant. Cest lintgrale au sensdIto (et non Stratonovich ou anticipante). Enfin, pour des raisons techniques, nous

allons demander de la rgularit aux processus que nous manipulons. Nous leur deman-

derons dtre presque surement Continus A Droite avec Limite A Gauche (CADLAG).

Finalement, nous allons donc construire lintgrale stochastique sur lensemble

L2F(, [0, T]) =

(t)0tT, processus CADLAGF-adapt tq E T

02sds

<

Construisons tout dabord lintgrale stochastique sur lensemble des processus l-

mentaires.

Dfinition 4.4.1 Un processus(t)0tTest appelprocessus lmentaire sil existeune subdivision0 = t0 t1 . . .tn = T et un processus discret (i)0in1 tel quetouti estFti-adapt et dansL2() tel que :

t() =n1i=0

i()1]ti,ti+1](t)

On noteElensemble des processus lmentaires qui est un sous espace deL2F(, [0, T]).

Dfinition 4.4.2 Avec les mme notations, lintgrale stochastique entre 0 et t Tdun processus lmentaire Eest la variable alatoire dfinie par : t

0sdBs :=

ki=0

i(Bti+1 Bti) + i(Bt Btk) sur ]tk, tk+1] ,

soit t0

sdBs =n

i=0

i(Btti+1 Btti) .

On associe donc E le processus t0sdBs0tT.Remarque 4.4.1 On dfinit naturellement

tsudBu:=

t0udBu

s0 udBu.

Proposition 4.4.1 Proprits de lintgrale Stochastique surESur lensemble des processus lmentairesE, lintgrale stochastique satisfait les propri-ts :

(1) t0sdBs est linaire


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(2) t

t0sdBs est continue p.s.

(3) t0sdBs0tTest un processusF-adapt.(4) E

t0sdBs

= 0 etV ar

t0sdBs

= E

t0

2sds

.

(5) proprit dIsomtrie :

E

t0

sdBs

2= E

t0

2sds

(6) De manire plus gnrale, on a :

E t

s

udBu/F

s= 0 et E t

s

vdBv2

/F

s= E t

s

2vdv/F

s(7) On a mme le rsultat plus gnral :

E

ts

vdBv

us

vdBv

/Fs

= E

tus

vvdv/Fs

(8)

t

0 sdBs0tT

est une F-martingale.

(9) Le processus t

0sdBs2 t02sds0tT est uneF-martingale.

(10) la variation quadratique de lintgrale stochastique est donne par :

t0

sdBs

=

t0

2sds

(11) La covariation quadratique entre 2 intgrales stochastiques est donne par : t0

sdBs,

u0

sdBs

=

tu0

ssds

Dmonstration :

(1) La linarite de lintgrale est immdiate.

(2) La continuit de lintgrale stochastique se lit sur sa deuxime criture par la conti-nuit des trajectoires du Mouvement Brownien.

(3) La v.a.t0sdBs estFt-mesurable comme somme de v.a.Ft-mesurables, donc lint-

grale stochastique est un processusF-adapt.(4) Prenons t = tk quitte rajouter un point la suite (ti)01n. Alors, le calcul delesprance de

t0sdBs donne :

E

t0

sdBs

=

k1i=0

Ei(Bti+1 Bti)

=

k1i=0

EiE

Bti+1 Bti/Fti

= 0


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Le calcul de la variance, un peu plus lourd, scrit :

V ar

t0

sdBs

= E

t0

sdBs

2 = E

k1i=0

i(Bti+1 Bti)2

=k1

i=0E

2i (Bti+1 Bti)2

+ 2

i


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Le deuxime calcul, un peu plus lourd, scrit :

E t

sudBu

2/Fs

= E

k1i=j

i(Bti+1 Bti)2

/Ftj

=k1i=j

E

2i (Bti+1 Bti)2/Ftj

+ 2i


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Exemple :

t0dBs = Bt B0= Bt

Finalement, lintgrale stochastique dun lment deE est une martingale continuede carr intgrable. Nous noteronsM2([0, T]) lensemble des martingales continues decarr intgrable :

M2([0, T]) :=

MF martingales telles que E[M2t] < t [0, T]

Pour le moment, lintgrale stochastique est une fonction de E[0, T]dans M2([0, T]).On va maintenant, comme annonc, tendre la dfinition de lintgrale stochastique

des processus adapts ayant un moment dordre 2, i.e. :

L2F(, [0, T]) = (t)0tT, processus CADLAGF-adapt tq E T0 2sds<

Lemme 4.4.1 Lensemble des processus lmentairesEest dense dansL2F(, [0, T])ausens de la convergence en norme quadratique. Autrement dit, pour tout L2F(, [0, T]),il existe une suiten dlments deE telle que

||n ||2 = E T

0(s ns )2 ds

1/2 0

Ce lemme sera admis. Il sagit dune gnralisation de la densit des fonctions en escalier

dans lensemble des fonctions avec un contrle global sur lensemble des trajectoires. Pas

super comme remarque.

Thorme 4.4.1 Il existe une unique application linaireIdeL2F(, [0, T])dansM2([0, T])qui coincide avec lintgrale stochastique sur lensemble des processus lmentairesE etvrifie la proprit disomtrie :

t T E[I()2t ] = E t

02sds

.

Dmonstration :

Approximation : Soit un processus lment de

L2

F(, [0, T]). Daprs le lemme admis,

il existe une suite n dlments deEtelle que :

|| n||2 = E T

0(s ns )2 ds

1/2 0

Convergence : La proprit disomtrie entre 0 et t T sur lintgrale stochastiquedu processus(n+p n)deEnous donne :

E

t0

(n+ps ns )dBs2

= E

t0

(n+ps ns )2ds E

T0

(n+ps ns )2ds


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ce qui scrit en terme de norme :

t0 n+ps dBs t0

ns dBs2

n+p n

2

Comme n converge dansL2(, [0, T]), elle est de Cauchy et donc t0ns dBs est deCauchy dansL2(). OrL2() muni de||.||2 est un espace de Banach (donc complet),par consquent la suite

t0

ns dBs converge dansL2(). En notant

t0sdBs sa limite, on

a donc :

E

t0

s dBs t0

ns dBs2

= E

t0

(s ns )2dsUnicit :Cette proprit implique que la limite ne dpend pas de la suite approxi-

mante choisie, en effet, si javais 2 suites approximantesnet n, la condition disomtrie

donnerait : t0

ns dBs t0

ns dBs

2

= E

t0

(ns ns )2ds1/2

||n n||2 0

Donc les deux suites approximantes donnent la meme limite dans L2() qui sont donc

gales p.s.

Convergence dansM

2([0, T]): Le processus limite Mest un lment deM

2([0, T])

car chaqueMtscrit comme limite dans L2()deMnt avecMn une suite de martingalesF-adaptes telles que E[|Mnt|2]


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(2) t

t0sdBs est continue p.s.

(3) t0sdBs0tTest un processusF-adapt.(4) E

t0sdBs

= 0 etV ar

t0sdBs

= E

t0

2sds

.

(5) proprit dIsomtrie :

E

t0

sdBs

2= E

t0

2sds

(6) De manire plus gnrale, on a :

E ts udBu/Fs= 0 et E ts vdBv2

/Fs= E ts 2vdv/Fs(7) On a mme le rsultat plus gnral :

E

ts

vdBv

us

vdBv

/Fs

= E

tus

vvdv/Fs

(8)t

0sdBs0tT est uneF-martingale.

(9) Le processus t

0sdBs2 t02sds0tT est uneF-martingale.

(10) la variation quadratique de lintgrale stochastique est donne par : t0

sdBs

= t0

2sds

(11) La covariation quadratique entre 2 intgrales stochastique est donne par : t0

sdBs,

u0

sdBs

=

tu0

ssds

Dmonstration :On a dj vu (1) (3), (5) et (8).

(2) La proprit disomtrie donne la continuit dansL2() mais nous allons admettrela continuit presque sre.

(4) est un cas particulier de (6).

(6) La premire est la proprit de martingale de lintgrale stochastique et la deuxime

la proprit de martingale du processus donn par la proprit (9).

(7) On lobtient partir de (6) comme on lavait obtenu dansE en considrant 2, 2et (+ )2.

(9) On lobtient grce la proposition (4.1.6) avec p = 1.

(10) est obtenu par Doob-Meyer.

(11) est une consquence de (10).


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Remarque 4.4.3 Lintgrale stochastique est une limite dansL2()et est donc dfinie une modification presque sre prs.

Cas particulier ou le processus nest pas alatoire.

Proposition 4.4.3 Si le processus nest pas alatoire mais simplement une fonction

f du temps, en plus des proprits prcdentes, lintgrale stochastique alors appele

intgrale de Wienerest Gaussienne : t0

f(s)dBs N

0,

t0

f2(s)ds

Dmonstration : En effet,

t0f(s)dBs scrit comme une limite dansL2()de v.a. de

la forme :

n1i=0

fi(Bti+1 Bti) L2

t0

f(s)dBs

Orn1

i=0 fi(Bti+1 Bti)est Gaussienne comme combinaison linaire dlments du vec-teur Gaussien Bt1 , . . . , Btn . Donc

t0f(s)dBs est Gaussienne comme limite dansL2()

de v.a. Gaussiennes. En effet, la convergence dansL2() entrane la convergence delesprance, de la variance et donc de la fonction caractristique des v.a. gaussiennes.

De plus, toute combinaison linaire de ti0 f(s)dBs est galement une intgrale deWiener qui est Gaussienne. Donc lintgrale de Wiener

t0f(s)dBs est un processus

Gaussien caractris par

cov

t0

f(s)dBs,

u0

g(s)dBs

=

tu0

f(s)g(s)ds

On dmontre galement que la v.a.tsf(u)dBu est indpendante de la tribuFs (cf

TD).

Cas particuler o le processus est de la forme f(B)Pour linstant, nous avons vu que, lorsquune suite de processus lmentaires n

converge vers dansL2(, [0, T]), alors lintgrale stochastique de est la limite dansL2() des intgrales stochastiques des n. Le candidat le plus naturel pour approcherlintgrale stochastique de f(B)est alors :

n1i=0

f(Bti)(Bti+1 Bti)

Mais, quelles conditions, a ton la convergence voulue ?


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Proposition 4.4.4 Sifest une fonction drivable drive borne, on a :

n1i=0

f(B inT)(B (i+1)

n T

B inT)

L2 T0

f(Bs)dBs

La convergence a lieu dansL2().

Dmonstration : Avant toute chose, il faut justifier que lintgrale stochastique a un

sens, i.e. que f(B) L2F(, [0, T]). Le processus f(B) est bienF-adapt et CADLAGcar le mouvement Brownien estF-adapt et continu p.s. . On a, pour tout t T :

|f(Bt)| |f(B0)| +||f||.|Bt B0| = |f(0)| +||f||.|Bt|

La constante|f(0)| est bien sr dansL2F(, [0, T])et on a :

E

T0

|Bs|2ds

=

T0E[|Bs|2] ds =

T0

s ds = T2

2


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Le deuxime terme converge dansL2() vers la variation quadratique sur [0, T] duMouvement Brownien qui vautTdonc on obtient finalement :

B2T =

T0

2Bs dBs + T

On retrouve donc queB2TTest une martingale. Par rapport lintgrale classique, il ya un terme en plus, (leT) qui vient du fait que la variation quadratique du Mouvement

Brownien est non nulle.

Heuristiquement, on peut se dire quune petite variation du Mouvement Brownien

dBt quivaut une variation en

dt car sa variation quadratique est en dt et que lon

considre des convergence en norme quadratique.

dBt

dt (dBt)2 dt

Donc, les termes en dB2t ne sont pas ngligeables dans les dveloppements de Taylor

et lon garde un terme en plus. La formulation de ce rsultat est la formule dIto. De

manire moins heuristique, on peut retenir :

dBt N(0, dt)

4.5 Formule dIto

Voici loutil qui permet de calculer les intgrales stochastiques sans repasser par des

suites approximantes.

Thorme 4.5.1 Toute fonctionf C2(R) drive seconde borne vrifie p.s. :

f(Bt) = f(B0) +

t0

f(Bs) dBs + 1

2

t0

f(Bs) ds , t T

La notation infinitsimale de cette relation est :

d f(Bs) = f(Bs) dBs +

1

2f(Bs) ds

Dmonstration :(source : polycopi de Francis Comets) Fixons tT et considronsde nouveau la partition de [0, t] en n intervalles ]ti, ti+1] avec ti= it/n. Trajectoire par

trajectoire, la formule de Taylor couple la continuit p.s. de B nous donne :

f(Bt) f(B0) =n

i=1

[f(Bti) f(Bti1)]

=n

i=1

f(Bti)(Bti Bti1) + 1

2

ni=1

f(Bi)(Bti Bti1)2


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4.5. FORMULE DITO 55

o les i sont des variables alatoires valeur dans ]ti1, ti[. Commef est drivable

drive borne, la proposition 4.4.4 nous donne : ni=1

f(Bti)(Bti Bti1) t0

f(Bs) dBs

2

n 0

Il reste contrler le dernier terme :

Un :=n

i=1

f(Bi)(Bti Bti1)2

Nous allons successivement remplacer i par ti1 puis (Bti Bti1)2 par ti ti1. In-troduisons :

Vn :=n

i=1

f(Bti1)(Bti Bti1)2 et Wn :=n

i=1

f(Bti1)(ti ti1)

On a alors, par lingalit de Schwartz :

E[|Un Vn|] E

supi

|f(Bti1) f(Bi)|n

i=1

(Bti Bti1)2

E

supi

|f(Bti1) f(Bi)|21/2

E

ni=1

(Bti Bti1)221/2

Pour toute trajectoire,s

f(Bs())est continue sur un compact, donc uniformment

continue et le sup converge donc vers 0. La convergence vers 0 de lesprance est assure

par le thorme de Lebesgue car f est borne. Le deuxime terme est la variationquadratique du mouvement Brownien qui converge vers t. Donc on a||Un Vn||10.Par ailleurs, on a :

E[|Vn Wn|2] = E n

i=1

f(Bti1)((Bti Bti1)2 (ti ti1))2

=n

i=1

E

f(Bti1)((Bti Bti1)2 (ti ti1))

2

||f||2n

i=1

V ar((Bti Bti1)2)

= ||f||2n

i=1

2(ti ti1)2 = 2 ||f||2t2

n n 0

On a ainsi||VnWn||2 n 0. Enfin, par dfinition de lintgrale de Lebesgue,

commef est borne, on a :

Wn

t0

f(Bs)ds

1

n 0


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La convergenceL2 impliquant la convergenceL1, on a finalement la convergencedansL1()de

f(Bt) f(B0) =n

i=1

f(Bti)(Bti Bti1) + 1

2

ni=1

f(Bi)(Bti Bti1)2

vers t0

f(Bs) dBs + 1

2

t0

f(Bs) ds

Ceci entrane donc lgalit presque sre entre les deux v.a. On intervertit ensuite le

"t" et le "p.s." grce la continuit de chacun des processus.

Remarque 4.5.1 Lorsque lon a une galit entre processus qui est vrai presque sur-

ement pour toutt, elle nest pas forcment vrai pour tout t presque surement. En effet,

pour toutt, lensemble o lgalit nest pas vrifi est ngligeable, mais lunion surt Rde ces ensembles nest pas forcment ngligeable. Par contre, lorsque les processus sont

continus, lunion (dnombrable) sur tQ de ces ensembles reste ngligeable et stend lunion surt R par continuit.

Donc, ce quil faut retenir est que lorsque que lon drive par rapport au Mouvement

Brownien, comme "dBt se comporte comme

dt", il faut garder un terme en plus dans

le dveloppement de Taylor.

Exemple: On retrouve BT =T0 dBt e

Documents

Master 1 MMD - Mouvements Brownien et Evaluations d'Actifs Contingents (Paris-Dauphine)