URE REHAROUE SUR LEg EOOATIORS DIFFERERTIELLES

STOCHASTIOUES k SOLUTIORS HARKOVIERRES

J . JACOD e t P. PROTTER ( ] )

C o n s i d ~ r o n s t ' ~ q u a t i o n d i f f 6 r e n t i e l t e s t o c h a s t i q u e

(~I = f(Xt_) dZ t v = x dXt " "0 '

o~ Z est une semimartingale sur (Q,T,(~t)aP) et f est unc fonc-

tion bor~lienne telle que, pour chaque x, (~) admette une solution

(forte) unique X x. II est alors bien connu que si 2 est ~ aecrois-

sements ind6pendants et stationnaires (PAIS), les processus X x sent

markoviens homog6nes, avec un semi-groupe de transition ne d6pendant

p a s de x .

Ce r 6 s u l t a t a d m e t u n e " r f i c i p r o q u e " un p e u s u r p r e n a n t e , e t t r ~ s s i m -

p l e ~ d ~ m o n t r e r :

THEOREHE t . S u p p o s o n s que f ne s ' a n n u l e p a s . S i l e s p r o c e s s u s X x

s e n t t o u s m a r k o v i e n s h o m o g ~ n e s a v e c l e m~me s e m i - g r o u p e de t r a n s i t i o n ,

alors Z est un PAIS.

D6monstratien. Herons O' l ' e space canonique des £onctions r 6 e l l e s

c~dl~g sur R+, avec le processus canonique X', la filtration canoni-

que (~) e t i~ s e m i - g r o u p e ( 0 ~ ) des translations. Si Px d~signe

l a l o i de X x , n o t r e h y p o t h d s e s i g n i f i e que l e t e r m e (~'j~,0~jX',P~) est un processus de Marker au sens de Dynkin (ou Blumenthal-Getoor).

Comme f ne s'annule pas, (~) s'inverse en

t

(I) Z t = Z O + /O f(X~ ) -~ dX~.

On peut donc d~finir sur ~'j et relativement ~ chaque P' x' l'integra-

l e s t o c h a s t i q u e

t ~2, z~ = / f ( x ' ,-~ d x : ,

e t on a a u s s i :

(~) la loi de Z' sous P~ est iz ioi du processus Z - Z O.

( ~ ) S u p p o r t e d i n p a r t by RSF g r a n t ~ B H S - 8 8 0 5 5 9 5

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D ' a u t r e p a r t Z ' e s t une f o n c t i o n n e l l e a d d i t i v e . P o u r t o u t e f o n c -

t i o n b o r ~ I i c u n e p o s i t i v e g , l a p r o p r i ~ t ~ de H a r k o v e t ( $ ) i m p l i q u e n t :

~[g(z~+s-z~)i~'t ~ = ~g(Z')o~l~]s = ~[~(z')]~ = ~[~(zs-Zo)~.

On en d~dult quc Z~+s-Z ~ est P~-ind~pendant de F~ done des Z~

pour rgt~ et aussi que la loi de Z~+s-Z ~ sous P~ ~gale la Ioi de

Zs-Z O. Appliquant un¢ nouvelle lois (3), on obticnt is r~sultat.

RE~ARQUE. Regardons le cas particulier o~ f~. (~) s'~crit

x {4) X t = z + Z t - Z 0

et Io th~or~mo dit quo si los X x sont markoviens homog~nos avec tous

le m~me semi-groupe~ alors Z (et done les X x ~galement) sour des

PAIS. Cela ne veut ~videmment pas dire que tout processus markovien

h o m o g ~ n e e s t un PAIS ! Le " m i r a c l e " p r o v i e n t de c e q u e ( d ) s ' ~ c r i t x x

X t = X 0 + Z t - Z 0 s t que p a r h y p o t h ~ s e l a l o i de Z ne d ~ p e n d p a s de

X~=x: o r l o s s e u l s p r o c o s s u s m a r k o v i o n s h o m o g d n e s X t e l s que X t - X 0

a i t une l o i i n d ~ p o n d a n t e de c o l l e do X 0 s o n t l e s P A I S .

Dans l e m~me o r d r e d ' i d ~ e s j on a l e r ~ s u l t a t e n c o r e p l u s ~ l ~ m e n t a i -

re d~crit ci-dessous. Supposons que (fl~) soit muni d'une famille

PZ de p r o b a b i l i t ~ s s o u s l e s q u e l l e s Z s o i t une s e m i m a r t i n g a l e a v e c

P z ( Z o = z ) = ~. Si Z e s t m a r k o v i e n homog ~n e s o u s c h a q u e P z j de t r a n -

s i t i o n i n d ~ p e n d a n t e de z~ i l e s t b i e n c o n n u que l e c o u p l e ( Z j X x) e s t

m a r k o v i e n h o m o g d n e de t r a n s i t i o n i n d ~ p e n d a n t e de ( z , x ) .

THEOREHE 2 . S...i...........sous c h a q u e Pz e t p o u r c h a q u e x l e c o u p l e {Z~X x)

e s t m a r k o v l e n h o m o ~ n e de t r a n s i t i o n i n d @ p e n d a n t e de ( z j x ) ~ a l o r s l e

processus Z cst lui-m~me markovien homog~ne SQU s chaque Pz (de

transition ~videmment ind~pendante de z).

D~monstration. Soit {qt)t>O le semi-groupe des transitions de (Z~XX). x

On a QtIz~xjA×~) = Pz(ZteAIZo=z st Xo=x) = Pz(ZtEA)j de sorte que

Q t ( z ~ x ~ A × ~ ) = R t { z , A ) ne d ~ p e n d p a s de x . I1 e s t a l o r s i m m ~ d i a t que

Z lui-m~me est markovien homogdne de transitions {Rt)t> O,

Ce r ~ s u l t a t ne f a i t p a s v r a i m e n t i n t e r v e n i r l ' ~ q u a t i o n (~), e t

d ' a i l l c u r s i l u ' y a a u c u n e h y p o t h d s e s u r f ! S e u l i n t e r v i e n t l e f a i t

que l e s Pz ne d ~ p e n d e n t p a s d~ x . h i n s i , a s s e z c u r i e u s c m ~ n t ~ l c

t h ~ o r ~ m e 2 e s t b e a u c o u p p l u s ~ l ~ m e n t a i r e que l e t h ~ o r ~ m e ~ ( q u i c s t

d ' a i l l e u r s f a u x s a n s h y p o t h ~ s ~ s u r f: p e n s ~ r au c a s off f ~ O ) .