LEGI - Etude de la stabilit¶e et de l’interaction de cyclones ...Jan-Bert Fl or (co-directeur) JURY M. C. Baudet, Professeur, UJF Pr esident M. L. Jacquin, Directeur de Recherche,

Universite Joseph Fourier - Grenoble I

N attribue par la bibliotheque

_/_/_/_/_/_/_/_/_/_

These

pour obtenir le grade dedocteur de l’universite joseph fourier

Specialite : “Mecanique des fluides et transferts”Secteur de Recherche : “Mecanique des milieux fluides”

preparee au sein duLaboratoire des Ecoulements Geophysiques et Industriels

dans le cadre del’Ecole Doctorale “Mecanique et Energetique”

presentee et soutenue publiquement par

Benjamin Cariteau

Le 6 juillet 2005

Titre:

Etude de la stabilite et de l’interactionde cyclones intenses en fluide stratifie

Directeurs de these:Emil Hopfinger

Jan-Bert Flor (co-directeur)

JURY

M. C. Baudet, Professeur, UJF President

M. L. Jacquin, Directeur de Recherche, ONERA Rapporteur

M. M. Rossi, Charge de Recherche, CNRS Rapporteur

M. S. Le Dizes, Charge de Recherche au CNRS

M. J.-B. Flor, Charge de Recherche, CNRS

M. E. Hopfinger, Directeur emerite de Recherche, CNRS

Remerciements

Le titre de Docteur est attribue a une personne, mais il a fallu pour cela le concoursd’un grand nombre d’intervenants. Je tiens, autant que possible, a remercier tous ceuxqui ont contribue a l’obtention de ce titre. Ce travail a ete encadre par Jan-Bert Florqui en est l’initiateur. J’ai de nombreuses raisons de lui adresser ici mes remerciementsles plus sinceres, pour m’avoir fait profiter de son experience, pour son enthousiasme,pour son investissement, par exemple. Aussi pour m’avoir pousse lorsque cela etaitnecessaire, pour son soutien et ses encouragements, pour son exigence. Je remercieEmil Hopfinger pour m’avoir permis de realiser cette these en acceptant d’en prendrela direction officielle.

Les membres du pool technique ont beaucoup contribue a l’accomplissement de cetravail, qu’ils trouvent ici l’expression de toute ma reconnaissance. En particulier, PierreCarecchio, pour ses conseils avises, sa patience et surtout, son don d’ubiquite. Un grandmerci aussi a Joseph Virone et Jean-Marie Miscioscia qui m’ont rendu bien des servicespar la qualite et la rapidite de leurs interventions. Une partie du travail experimentala ete effectue au sein de l’equipe CORIOLIS sur la plateforme du meme nom. J’aialors beneficie du soutien des membres de cette equipe. Pour leur implication, leur aideet leurs conseils, entre autres, je suis tres reconnaissant envers Henri Didelle, SamuelViboud et Stephane Mercie ainsi que le responsable de l’equipe, Joel Sommeria.

Parce qu’ils ont pris sur leur temps, precieux, pour evaluer ce travail, j’exprime toutema reconnaissance et mes remerciements aux membres du jury. J’apprecie la valeurdes commentaires qu’ils ont faits et des questions qu’ils ont soulevees. Je remerciesincerement MM. Jacquin et Rossi pour leurs rapports detailles et critiques ainsi queMM. Le Dizes et Baudet pour avoir accepte de prendre part a ce jury.

J’ai pu profiter des discussions enrichissantes avec Frederic Moulin et Stephane Leblancque je tiens a remercier sincerement. Enfin, pour avoir partage avec moi les bons et lesmauvais moments de la vie d’un doctorant, pour le plaisir que j’ai eu a les avoir ren-contres, je remercie le plus chaleureusement possible, dans le desordre, Aude, Frederic(encore), Olivier ... les deux, Marie, Edouard, Philippe, Estelle, et tous ceux que je necite pas et qui se reconnaıtront.

L’etude presentee ici a ete realisee au sein des equipes T.H.E.O. et CORIOLIS du Labo-ratoire des Ecoulements Geophysiques et Industriels dans le cadre de l’A.C.I. CyclonesIntenses du C.N.R.S..

1

A mes parents,a mon frere.

2

Table des matieres

1 Introduction generale 7

1.1. Les ecoulements geophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Instabilites et interactions des cyclones intenses : le cadre de l’etude . 10

2 Rappels theoriques sur les vortex en fluide stratifie 13

2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Les equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1. Le nombre Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2. Quelques proprietes des fluides stratifies . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3. La rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Stabilite des ecoulements axisymetriques . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1. L’etat de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2. Note sur les effets non-Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3. Le probleme aux valeurs propres : quelques equations pour lesamplitudes des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4. Les modes d’oscillations stables et l’influence du gradient dedensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4. Mecanismes d’instabilites de vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1. l’instabilite centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2. Les instabilites de vortex elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.3. Les autres instabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3

4 Table des matieres

3 Methodes experimentales 29

3.1. Dispositif en cuve fixe : la methode du volet . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Methodes de visualisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. L’ombroscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.2. La methode “schlieren synthetique” . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3. Visualisations au colorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. Mesures du champ de vitesse de l’ecoulement . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1. Velocimetrie par correlation d’images . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2. Velocimetrie par suivi de particules . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Les vortex generes par le volet 35

4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Le vortex de demarrage : formation et caracteristiques . . . . . . . . . 36

4.2.1. Formation du vortex de demarrage . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2. Le vortex de demarrage vu de cote . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.3. Mesures sur le vortex de demarrage . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Effets de la decroissance de vitesse du volet . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4. Influence du vortex negatif sur la stabilite du vortex de demarrage . . 43

4.5. Influence de la stratification : regimes d’ecoulement . . . . . . . . . . 47

4.6. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Instabilite du vortex, stratification moderee 51

5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Observation et caracteristiques de l’instabilite au bord du vortex. . . 52

5.3. Analyse des perturbations de l’ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1. Les perturbations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.2. Les perturbations de densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4. Consequences sur l’ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5. Discussion et Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Table des matieres 5

6 Instabilite de coeur, faible stratification 65

6.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. L’instabilite du vortex d’arret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3. Instabilite elliptique au coeur du vortex de demarrage . . . . . . . . . 67

6.4. Evolution a long terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4.1. Structure radiale du vortex turbulent . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4.2. Rayonnement d’ondes internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4.3. Dynamique du coeur a long terme et eclatement . . . . . . . . 75

6.5. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 Interaction et instabilite de deux cyclones en fluide stratifietournant 81

7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2. Dispositifs experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3. Caracterisation des vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3.1. Les vortex generes par les cylindres . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.3.2. Les cyclones generes dans la cuve “Coriolis” . . . . . . . . . . . 93

7.4. Interaction en champ lointain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4.1. L’instabilite des vortex en colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.4.2. Evolution a long terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.5. Coalescence des cyclones intenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.5.1. Resultats des experiences dans la cuve de 1m . . . . . . . . . . 102

7.5.2. Resultats des experiences sur la plate-forme “Coriolis” . . . . . 104

7.5.3. Visualisations tri-dimensionnelles au colorant . . . . . . . . . . 112

7.6. Vers les petits rapports d’aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.6.1. Le cas des vortex generes par les volets . . . . . . . . . . . . . 112

7.6.2. Interaction bi-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.6.3. Instabilites aux faibles rapports d’aspects . . . . . . . . . . . . 114

7.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6 Table des matieres

8 Conclusions et perspectives 121

A Reduction de l’equation pour l’amplitude de la perturbation depression 125

A.1. L’equation pour la perturbation de pression . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.2. Les conditions aux limites, developpement limite et solutions a l’infini. 127

B L’instabilite du vortex puits en fluide stratifie tournant 129

C Mesure de vitesse par imagerie de particules sur un vortex 133

Chapitre 1

Introduction generale

1.1. Les ecoulements geophysiques

La figure 1.1 montre une photo satellite de la terre dans le domaine visible. Les nuagesmettent en evidence les mouvements de l’air dans l’atmosphere et montrent un certainnombre de structures. Elles se forment dans une couche de l’atmosphere d’une dizaine dekilometres d’epaisseur. L’atmosphere et les oceans sont le siege d’ecoulements typiquestels que les tourbillons, les jets ou les courants de gravite. Ils se caracterisent tous pardes echelles de longueurs horizontales L, verticales H et de vitesses U . Les effets de lastratification en densite et de la rotation de la terre sont plus ou moins importants selonces echelles. La stratification est une variation verticale de densite due aux gradientsde pression et temperature dans l’atmosphere et essentiellement de temperature dansles oceans. Elle est stable si la densite diminue lorsque l’altitude augmente. Le gradientde densite est mesure par une frequence caracteristique N appelee frequence de Brunt-Vaisala. La comparaison du temps caracteristique associe a cette frequence et du tempscaracteristique de l’ecoulement dans la direction verticale, H/U , donne le nombre deFroude, Frv = U/(NH). La rotation de la terre est responsable de la force de Coriolis,proportionnelle a la composante horizontale de vitesse du fluide. Elle est mesuree parle parametre de Coriolis qui n’est autre que le double de la vitesse angulaire de rotationdu repere. Par le meme raisonnement que pour le nombre de Froude, on obtient lenombre de Rossby Ro = U/(fL) qui donne l’importance relative de la force de Coriolispar rapport a l’inertie. Le rapport de ces deux nombres donne l’importance des effetsde la stratification par rapport a ceux de la rotation, NH/(fL). Il fait ressortir uneechelle caracteristique qui depend de N , H et f : le rayon de deformation Rd = NH/f .Si la taille horizontale caracteristique de l’ecoulement est superieure a cette longueur,les effets de la rotation sont dominants.

7

8 Introduction generale

Fig. 1.1 – Vue de la terre dans le domaine du visible.

Fig. 1.2 – Image satellite de la concentration en chlorophylle a la surface de la mer d’Arabie.

Les ecoulements geophysiques 9

Les phenomenes tels que les tourbillons, jets et courants de gravite ont souvent unedensite differente du fluide environnant. Par exemple le Gulf Stream dans l’ocean At-lantique est un courant d’eau chaude qui circule dans de l’eau froide. Dans l’atmosphere,l’air froid qui vient des poles cree un courant de gravite vers les moyennes latitudes.La limite entre l’ecoulement et l’environnement, au travers de laquelle la densite variefortement, s’appelle un front. La combinaison des gradients de vitesse et de densite autravers d’un front et de l’effet de la rotation peut favoriser la croissance de l’instabi-lite barocline. Elle est a l’origine de la formation de tourbillons comme les depressionsmoyennes latitudes visibles sur la figure 1.1. Les vortex oceaniques et atmospheriquespeuvent aussi etre dus a un cisaillement eleve, c’est l’instabilite barotrope, ou encore ala combinaison de mouvements de convection et d’une rotation de fond.

La nature de l’instabilite influence beaucoup la taille des tourbillons qu’elle genere enfonction de la longueur d’onde la plus amplifiee. L’instabilite barocline presente la plusgrande longueur d’onde, du meme ordre de grandeur que le rayon de deformation. Parconsequent elle limite la taille maximale des vortex qui est differente entre l’ocean etl’atmosphere (figures 1.1 et 1.2). L’image satellite de la mer d’Arabie donne une mesurede la concentration en chlorophyle. Il s’agit de l’ecoulement confine entre la surface libreet une forte variation de densite , appelee thermocline, situee a quelques centaines demetres de profondeur. La hauteur et la frequence de stratification sont differentes dansl’atmosphere et les oceans. Le rayon de deformation dans l’atmosphere est de l’ordrede 1000km alors que dans la couche superieure des oceans, il est de l’ordre de 10km a100km.

Si le rayon de deformation fixe une taille caracteristique maximale pour les vortexgeophysiques, il n’y a pas d’autres limitations vers les petites echelles que la viscosite.Les instabilites barotropes et la convection sont souvent responsables de plus petitesechelles. Le tableau 1 donne certaines echelles caracteristiques et les nombres sansdimensions correspondants, pour differents vortex geophysiques. La rotation de la terredonne un parametre de Coriolis maximum de f = 1.45 10−4rad/s qui diminue avec lalatitude pour etre nul a l’equateur. La frequence de Brunt-Vaisala dans l’atmosphereest de l’ordre de 10−2rad/s et 10−3rad/s dans les oceans. Dans ce tableau on trouve lessuper-cellules qui sont des meso-cyclones dus a un fort mouvement de convection et endessous desquels une tornade peut se former. Le rapport Rd/L n’est pas precise pourles tornades car comme la rotation, la stratification en densite n’a pas d’effet sur cetype d’ecoulements. Les meddies sont des tourbillons oceaniques que l’on trouve dansles eaux profondes de l’Atlantique. Ils proviennent de la mer mediterranee.

Les tourbillons atmospheriques et oceaniques jouent un role predominant dans unelarge gamme de processus naturels. Ils transportent la chaleur et contribuent de cettefacon a l’equilibre thermique de la planete et au climat. Ce sont des phenomenesmeteorologiques incontournables et peuvent etre catastrophiques comme les tempetes,


L (km) U m/s Ro NH/(fL) = Rd/L

Atmosphereanticyclone 1000 5 0.01 1

depression moyenne latitude 500 20 0.1 2cyclone tropical 200 50 1 5

super-cellules (meso-cyclones) 10 20 10 100tornade 0.5 100 1000 -Oceans

vortex oceaniques de surface 10 1 1 1meddie 100 0.5 0.05 0.05

Tab. 1 – Taille, vitesse, nombre de Rossby et rayon de deformation normalise typiques dedifferents vortex oceaniques et atmospheriques.

les cyclones tropicaux ou les tornades. Ils peuvent aussi bien favoriser la dissipationd’un agent polluant que son transport sur de grandes distances. Dans les oceans, lesvortex sont aussi le moyen de transport des micro-organismes. La duree de vie, leschangements d’intensite et le mouvement de ces tourbillons font partie des nombreuxaspects de la recherche sur ces tourbillons.

1.2. Instabilites et interactions des cyclones intenses : le

cadre de l’etude

Les depressions et les tempetes qui balayent nos latitudes trouvent leurs origines dansles instabilites des fronts. Leur impact sur la meteorologie a logiquement motive ungrand nombre d’etudes (voir par exemple, Pierrehumbert & Swanson (1995)). L’insta-bilite barocline est le mecanisme de base de formation des depressions mais la presenced’un fort cisaillement peut aussi faire intervenir l’instabilite barotrope. La combinai-son de ces deux instabilites est complexe et peut etre a l’origine de la formation devortex de tailles plus petites que ceux issus de l’instabilite barocline. La tempete quia traverse l’Europe du nord en 1999 avait une taille caracteristique bien inferieure acelle classiquement donnee pour l’instabilite barocline. De recents resultats numeriqueset observations suggerent que des instabilites secondaires des fronts peuvent produiredes vortex relativement petits mais d’intensites nettement plus destructrices (voir parexemple Neiman et al. (1993)). La taille caracteristique de ces structures est de l’ordrede 10km et, pour une vitesse caracteristique de quelques dizaines de metres par se-conde, le nombre de Rossby de ce type de vortex dans l’atmosphere est de l’ordre de10.

Instabilites et interactions des cyclones intenses : le cadre de l’etude 11

Les travaux presentes dans cette these se placent dans le cadre de l’etude de la stabiliteet de l’interaction des cyclones intenses qui peuvent resulter de ce type d’instabilites se-condaires. De tels vortex subissent peu la rotation de la terre mais ils peuvent subir cellede la stratification en densite. Leur intensite est telle que les phenomenes non-lineairespeuvent jouer un role important. Sur ce point, l’utilisation de methodes experimentalespermet de mettre en evidence ces phenomenes non-lineaires. Une des difficultes de cetteapproche est le respect des conditions de similitude avec les ecoulements etudies. Lesdimensions caracteristiques des vortex de laboratoire sont considerablement plus pe-tites que celles des vortex geophysiques avec L ≈ 1− 10cm. Les vitesses typiques sontde l’ordre du centimetre par seconde. L’utilisation de cuves tournantes permet de fairevarier la rotation et d’ajuster le nombre de Rossby. Le parametre de Coriolis du la-boratoire est de l’ordre de 1rad/s et le nombre de Rossby est aussi de l’ordre de 1.Afin de se rapprocher le plus possible de la realite, les effets de la viscosite doivent etrenegligeables par rapport a l’inertie. L’importance de l’inertie est donnee par le tempsd’advection L/U . La comparaison avec le temps caracteristique de diffusion L2/ν ou ν

est la viscosite cinematique du fluide, donne le nombre de Reynolds Re = UL/ν. Lesvortex geophysiques ont des nombres de Reynolds superieurs a 109. En laboratoire, cenombre est plutot de l’ordre de 1000. Les effets visqueux sont plus importants que dansla nature mais ils sont tout de meme suffisamment faibles pour etre negliges.

Les experiences mises en oeuvre nous ont permis d’etudier la dynamique des vortexintenses, cycloniques le cas echeant, dans deux situations : en fluide faiblement stratifi-cation non tournant, et en fluide stratifie tournant. Les experiences en cuve fixe ont eterealisees sur des vortex de grande hauteur comparee au rayon. En fluide tournant, unelarge gamme de frequences de stratifications et de rapports d’aspect a ete exploree. Lesvortex etudies s’etendent initialement sur toute la hauteur du fluide et notre interets’est porte sur les instabilites qu’ils peuvent subir. La duree de vie et l’intensite de cesvortex depend en grande partie de ces phenomenes d’instabilites et d’interactions.

Le chapitre 2 presente certains resultats theoriques a propos de l’influence de la stra-tification sur les ondes et les instabilites de vortex, suivi d’un chapitre consacre auxmethodes experimentales. Le dispositif experimental utilise pour le cas non-tournantnous a conduit a etudier la formation et les differents regimes d’un dipole asymetriquepresentes dans le chapitre 4. L’influence de la stratification sur le vortex le plus intensea ete exploree sur les dipoles les plus asymetriques et fait l’objet des chapitres 5 et 6.La stabilite et l’interaction de deux cyclones en fluide stratifie tournant fait l’objet duchapitre 7. Les principales conclusions et perspectives sont presentees dans le chapitre 8.


Chapitre 2

Rappels theoriques sur les vortex en fluide

stratifie, ondes et instabilites

2.1. Introduction

Les plus grandes echelles des ecoulements atmospheriques et oceaniques sont domineespar la force de Coriolis qui est due a la rotation de la terre. A mesure que la vitessede l’ecoulement augmente et que sa taille caracteristique diminue, son effet diminue.Lorsqu’elle n’est plus dominante, l’ecoulement est dit ageostrophique. Dans la limiteou la rotation est negligeable, il peut toujours subsister les effets de la stratification endensite.

Les vortex peuvent etre sujet a plusieurs instabilites (centrifuge, elliptique, zig-zag,barocline et d’autres) dont certaines n’existent que dans le contexte des fluides stratifiestournants et d’autre peuvent etre supprimees par les effets de la stratification et de larotation. Les instabilites ont souvent comme point commun de faire intervenir des ondesqui se propagent dans les fluides stratifies et tournant ou sont guidees le long d’un tubede vorticite.

Les rappels theoriques presentes dans ce chapitre sont axes sur les effets de la stratifi-cation sur les ondes et la stabilite des vortex. Ceux de la rotation sont ponctuellementabordes. En premier lieu, la section 2 presente les equations du mouvement pour unfluide stratifie et certaines proprietes qui en decoulent. Les nombres sans dimensionsqui permettent de quantifier les effets de la rotation, la stratification et la diffusionsont aussi presentes dans cette section. La section 3 presente la methode des modesnormaux appliquee a un ecoulement axisymetrique bidimensionnel. La section 4 estconsacree a l’influence de la stratification sur les ondes dans un cylindre en rotation

13

14 Rappels theoriques sur les vortex en fluide stratifie

solide. Certaines instabilites de vortex sont presentees dans la section 5 .

2.2. Les equations du mouvement

Le mouvement d’un fluide est decrit par le champ de vitesse u = (u, v, w) dans lerepere (ex, ey, ez), et depend, dans le cas general, de la position dans l’espace et dutemps. Il obeit localement au principe fondamental de la mecanique. L’accelerationd’une particule fluide est equilibree par la somme des forces qui s’exercent dessus.Pour un fluide incompressible constitue d’une seule phase, les deux principales forcesqui agissent sur une particule fluide sont le gradient de pression ∇p et le frottementvisqueux. Lorsque le fluide a une densite ρ variable, la force d’Archimede s’exerce surtoutes particules dont la densite est differente de celles des particules environnantes.Les champs de vitesse, de pression et de densite doivent verifier les equations de Navier-Stokes (voir par exemple Tritton (1988)) :

ρ∂u

∂t+ ρu · ∇u = −∇p + µ∇2u + ρg, (1)

ou µ est la viscosite du fluide. Les champs de vitesse et de densite doivent en plusverifier la conservation de la masse :

∇ · (ρu) = 0, (2)

et l’equation de transport de masse :

∂ρ

∂t+ u · ∇ρ = κ∇2ρ. (3)

La constante κ est le coefficient de diffusion de la masse dont le temps caracteristique estgeneralement bien superieur a celui des phenomenes etudies ici. Pour un fluide incom-pressible, les variations de densite peuvent etre dues a une salinite ou une temperaturevariable. La densite dans le fluide est decomposee en une somme de la densite moyenneρ et de la variation ∆ρ. L’approximation de Boussinesq peut etre appliquee lorsqueles variations ∆ρ sont faibles devant la valeur moyenne. Elles sont alors negligeedans les equations de Navier-Stokes et de continuite sauf dans le terme de gravite.Lorsque le fluide au repos est lineairement stratifie il verifie l’equilibre hydrostatiquedp0/dz+ρ0(z)g = 0 qui peut etre soustrait de l’equation. Les equations de Navier-Stokess’ecrivent alors :

∂u

∂t+ u · ∇u = −1

ρ∇p + ν∇2u +

∆ρ

ρg, (4)

ou la pression p et ∆ρ representent ici les variations par rapport a p0 et ρ0 et ν est laviscosite cinematique.

Les equations du mouvement 15

Ces equations sont composees de plusieurs termes dont certains peuvent etre negligeablesselon l’ecoulement considere. Des simplifications peuvent etre faite en calculant l’ordrede grandeur des termes. Pour cela, supposons connues, une longueur L et une vitesseU caracteristiques de l’ecoulement.

2.2.1. Le nombre Reynolds

En considerant comme temps caracteristique L/U , aussi appele temps d’advection,l’effet relatif de la viscosite et de l’inertie peut etre estime. L’ecriture des equations deNavier-Stokes (1) avec des variables adimensionnalisees par les longueurs, vitesses ettemps precedents donne :

∂u

∂t+ u · ∇u = −∇p +

1Re∇2u, (5)

ou Re = UL/ν est le nombre de Reynolds. Les variables sont sans dimensions et ledernier terme de l’equation (1) a ete omis pour l’instant. Le nombre de Reynolds estle rapport des temps de diffusion L2/ν et d’advection. Le nombre de Reynolds desecoulements geophysiques qui nous concernent ici est tres eleve. Il est plus faible pourles experiences de laboratoire mais il est suffisamment important pour que le termevisqueux soit negligeable. Le systeme d’equation est simplife, ce sont les equationsd’Euler.

2.2.2. Quelques proprietes des fluides stratifies

La presence d’un gradient vertical de densite stable permet la propagation d’ondes.Une particule de densite ρ0(z) deviee verticalement d’une distance η subit une force−gηdρ0/dz. En negligeant les diffusions de quantite de mouvement et de masse, ledeplacement η satisfait :

d2η

dt2− g

ρ0

dρ0

dzη = 0. (6)

Cette equation decrit un oscillateur dont la pulsation propre est N = (−g/ρ0(d/dz)ρ0)1/2

aussi appele frequence de Brunt-Vaisala. Ce parametre caracterise la stratification etdonne un temps qui peut etre utilise dans l’analyse dimensionnelle.

La comparaison de ce temps caracteristique et du temps de transport L/U donne lenombre de Froude, Fr = U/(NL). C’est une mesure de l’importance des termes non-lineaires des equations de Navier-Stockes par rapport au terme de gravite. Son utilisa-tion dans la simplification des equations peut etre faite de plusieurs manieres. Tritton(1988) utilise l’equation de transport pour ρ = ρ0(z) + ρ′(x, y, z) :

∂ρ′

∂t+ u · ∇ρ′ + w

dρ0

dz= 0, (7)


afin de relier les variations de densite au rapport des vitesses W/U . Le resultat donne :

ρ′

ρ≈ N2L

g

W

U, (8)

ou ρ est une densite de reference. De la meme facon, l’equation pour la vorticite s’ecrit,avec l’approximation de Boussinesq :

ρ(u · ∇ω − ω · ∇u) = g ×∇hρ′, (9)

ou ∇h est le gradient horizontal. La relation ρ′/ρ ≈ U2/(gL) est tiree de cette equationet, combinee avec la precedente, donne :

W/U ≈ Fr2. (10)

Pour cette analyse, les grandeurs caracteristiques U et L sont prises dans un planhorizontal. Dans la limite des petits nombres de Froude, les vitesses verticales sontnegligeables.

Une autre analyse est faite par Riley et al. (1981) qui introduisent une hauteur ca-racteristique H et le nombre de Froude correspondant, Frv = U/(NH). Le rapport desvitesses est alors W/U ≈ FrFrv dans la limite Fr ¿ 1. Les equations d’Euler sontdecomposees en une partie pour l’ecoulement horizontal et l’autre pour l’ecoulementvertical :

∂uh

∂t+ uh · ∇huh + Fr2

vw∂uh

∂z= −∇hp (11)

Fr2(∂w

∂t+ w · ∇hw + Fr2

vw∂w

∂z) = −∂p

∂z− ρ′ (12)

∇h · uh + Fr2v

∂w

∂z= 0 (13)

∂ρ′

∂t+ uh · ∇hρ′ + Fr2

vw∂ρ′

∂z− w = 0. (14)

Billant & Chomaz (2000b) utilisent cette decomposition pour l’analyse asymptotiquede l’instabilite zig-zag des dipoles. L’utilisation du nombre de Froude vertical permetun decouplage entre les champs horizontaux et verticaux lorsqu’il est faible. Le champde vitesse horizontal est conservatif et obeit aux equations d’Euler bidimensionnelles.Dans la limite Fr ¿ 1, la conservation de la quantite de mouvement verticale se reduita l’equilibre hydrostatique.

2.2.3. La rotation

Lorsque le repere dans lequel le champ de vitesse est exprime est en rotation a lavitesse angulaire Ωr, la force de Coriolis −ρ2Ωr × u s’ajoute au terme de gauche des

Stabilite des ecoulements axisymetriques 17

equations de Navier-Stokes. Le parametre de Coriolis est defini par f = 2Ωr et par uneanalyse comparable aux precedentes, l’influence relative des effets de la rotation et del’advection est donnee par le nombre de Rossby, Ro = U/(fL). Lorsqu’il est tres faible,l’ecoulement resulte de l’equilibre entre la force de Coriolis et le gradient de pression.Il est dit geostrophique. La presence combinee de la rotation et de la stratificationintroduit un autre nombre sans dimension qui correspond au rapport du nombre deFroude vertical et du nombre de Rossby :

RoFrv

=NH

fL. (15)

Ce rapport peut aussi s’interpreter comme le rapport de deux longueurs caracteristiquesdont une est donnee par les proprietes du fluide, c’est le rayon de deformationRd = NH/f . La hauteur H utilisee ici est la hauteur totale de la couche de fluide.Un ecoulement dont la dimension caracteristique depasse Rd est plus influence par larotation que par la stratification. Dans la suite, nous nous placons dans le cas opposepour lequel la stratification joue un role plus important que la rotation.

2.3. Influence de la stratification sur la stabilite et les ondes

des ecoulements axisymetriques

L’influence de la stratification est abordee de facon generale a la fin de la section 2. Parla suite, nous allons voir comment elle peut modifier les ecoulements axisymetriques etbidimensionnels. C’est une premiere approximation assez bonne de l’ecoulement vor-tex etudie experimentalement par la suite. Elle autorise l’utilisation de la methode dedecomposition en modes normaux pour mettre en evidence certaines proprietes phy-siques de ce type d’ecoulement. La plus evidente de ces proprietes est la propagationd’ondes. Elles jouent generalement un role important dans les instabilites de vortexmeme lorsqu’ils ne sont pas axisymetrique. L’utilisation d’un modele simple permet demontrer comment la stratification modifie les ondes inertielles des ecoulements tour-nants. Certaines proprietes de stabilite peuvent aussi etre deduites a partir de cette ap-proche theorique. Cette section est aussi l’occasion de discuter les effets non-Boussinesqet ceux de la presence d’un gradient de vorticite.

La methode des modes normaux est basee sur le principe de la superposition lineaired’un ecoulement de base stationnaire et d’une perturbation instationnaire de faibleamplitude. Nous considerons ici les equations d’Euler valables pour un fluide dont laviscosite est negligeable. L’ensemble de l’ecoulement doit les verifier. L’hypothese defaible amplitude permet de les lineariser et d’obtenir les equations pour la perturbation.La stabilite de l’ecoulement est donnee par l’evolution temporelle de son amplitude. Sielle croıt, l’ecoulement est instable, sinon, il est stable et la perturbation s’apparente a


une onde. La perturbation resulte de la superposition de modes d’oscillations de Fouriercaracterises par, un vecteur d’onde k et une pulsation ω. La solution doit permettrede determiner la relation de dispersion k(ω) qui donne la stabilite de l’ecoulement.Contrairement a l’ecoulement de base, la perturbation est tri-dimensionnelle ce quiimplique que la stratification en densite peut influencer les proprietes de la perturbationharmonique.

2.3.1. L’etat de base

L’etat de base considere est axisymetrique, bidimensionnel, stationnaire et le fluideest stratifie en densite. L’axe de symetrie de l’ecoulement est parallele au gradient dedensite de la stratification lui-meme parallele a la gravite. Les champs de vitesse et depression sont exprimes dans le repere cylindro-polaire par :

U = (0, V (r), 0), p = p(r, z). (16)

Pour la suite, la vitesse angulaire et la vorticite de l’etat de base sont definis respec-tivement par Ω = V/r et Z = 1/r(d/dr)(rV ). La stratification est caracterisee par lafrequence de Brunt-Vaisala N2 = −g/ρ0(d/dz)ρ0 ou g est la gravite et ρ0(z) est ladensite du fluide en l’absence d’ecoulement.

Le champ de vitesse doit verifier les equations du mouvement. Pour un fluide nonvisqueux, incompressible, avec l’approximation de Boussinesq, elles se reduisent auxequations :

ρ0V 2

r=

∂p

∂r, (17)

et−ρ0g =

∂p

∂z, (18)

qui correspondent respectivement aux equilibres cyclostrophiques et hydrostatiques.Compte tenu des approximations faites, l’ecoulement est barotrope malgre la presencede la stratification. Ceci est du a l’hypothese du champ bidimensionnel et a l’approxi-mation de Boussinesq.

2.3.2. Note sur les effets non-Boussinesq

Pour evaluer les effets non-Boussinesq, il faut reconsiderer le systeme d’equation (17)et (18) avec la densite variable ρ(r, z) = ρ0(z) + ρ(r), ou ρ(r) est une perturbationde densite. La pression est alors eliminee par combinaison des deux equations pourdonner :

ρ =1g

dρ0

dz

∫V 2

rdr. (19)


Pour un ecoulement bidimensionnel, les effets non-Boussinesq peuvent etre a l’originede variations dans le champ de densite (voir par exemple Miyazaki (1992)). Lorsquela stratification est stable, le gradient de densite selon z est negatif et la densitediminue vers le centre de l’ecoulement. Chaque iso-densite est deviee vers le bas.Pour une vitesse typique U , l’amplitude de la variation de densite liee a cet effetnon-Boussinesq peut etre estimee par ρ/ρ0 ≈ (NU/g)2. Si R est une longueur ca-racteristique horizontale de l’ecoulement, la modification de densite est de l’ordre de(NU/g)2 = (NR/U)2(U2/gR)2. Le nombre sans dimension U2/gR caracterise l’impor-tance des effets centrifuges par rapport a ceux de la gravite. Il est parfois appele nombrede Froude mais pour la suite nous utiliserons comme definition Fr = U/NR.

Cette analyse montre que l’approximation de Boussinesq conduit a negliger cette modi-fication de la densite de l’ecoulement de base. Une etude theorique de Miyazaki (1992)montre une consequence des effets non-Boussinesq dans le cas d’un vortex bidimension-nel legerement elliptique. La deformation du champ de densite par l’ecoulement presentedes oscillations verticales selon la direction azimutale. Combinee avec la presence del’ecoulement, cette deformation peut exciter localement des ondes de gravite internesla ou 2Ω = N .

Dans la suite, nous nous placons dans le cadre de l’approximation de Boussinesq, pourl’etat de base comme pour toutes les autres perturbations. Le champ de densite del’etat de base est donne par ρ = ρ(z).

2.3.3. Le probleme aux valeurs propres : quelques equations pour lesamplitudes des perturbations

La resolution du probleme passe par une reduction du nombre d’equations. Elles sontau nombre de cinq et correspondent a la linearisation des equations d’Euler pour uneperturbation definie par u′(r, θ, z) = (u′, v′, w′), p′(r, θ, z) et ρ′(r, θ, z) :

Du′ − 2Ωv′ = −∂p′

∂r, (20a)

Dv′ + Zu′ = −1r

∂p′

∂θ, (20b)

Dw′ = −N2h′ − ∂p′

∂z, (20c)

Dh′ = w′, (20d)

ou p′ = p′/ρ, h′ = ρ′/(dρ/dz) et D = ∂/∂t+Ω∂/∂θ . Le champ de perturbation verifieaussi la continuite :

1r

∂

∂r(ru′) +

1r

∂v′

∂θ+

∂w′

∂z= 0. (21)


La methode de decomposition en modes normaux est basee sur le choix de perturbationsde la forme :

χ′ ∝ χ(r)ei(lθ+mz−ωt). (22)

ou m est le nombre d’onde axial, l est le mode azimutal et ω est la pulsation. Avec cesdefinitions, un mode est instable si la partie imaginaire de la pulsation est positive.

Un systeme pour les amplitudes est obtenu par substitution des perturbations par leursexpressions en terme de modes. Il devient, apres quelques combinaisons lineaires :

(Φ− σ2)u = iσdp

dr− i

2lΩr

p, (23a)

(Φ− σ2)v = Zdp

dr− l

rσp, (23b)

(N2 − σ2)w = −mσp. (23c)

ou σ = ω − lΩ est la frequence modifiee par l’effet Doppler aussi appelee frequenceintrinseque. La fonction Φ = 2ΩZ est connue sous le nom de discriminant de Rayleigh.La continuite est donnee par :

1r

d

dr(ru) +

il

rv + imw = 0. (24)

La reduction du systeme peut emprunter plusieurs voies selon la composante qui estisolee. La methode employee par Smyth & McWilliams (1998), detaillee dans l’an-nexe A, permet d’obtenir une seule equation pour l’amplitude de la perturbation depression :

d

dr

[r

Φ− σ2

dp

dr

]+

[− l

σ

d

dr

(2Ω

Φ− σ2

)− l2

Φ− σ2

1r− m2

N2 − σ2r

]p = 0. (25)

Une autre methode a ete utilisee par Yavneh et al. (2001) pour reduire le systeme enune equation pour la perturbation radiale de vitesse. Ils obtiennent :

d

dr

(G(N2 − σ2)r

d

dr(ru)

)+

[l

σ

d

dr

(G(N2 − σ2)Z

)−GΦrm2 − 1

r

](ru) = 0, (26)

ou G = [l2(N2 − σ2) − r2m2σ2]−1. La solution de ces equations ne peut etre obtenuequ’avec les conditions aux limites appropriees. Pour l’equation (26), Yavneh et al. (2001)appliquent une perturbation de vitesse radiale nulle aux deux bords d’un domaine bornestrictement positif. Ce choix se justifie dans leur etude de la stabilite de l’ecoulemententre deux cylindres coaxiaux. Le cas du domaine semi-infini necessite le calcul desolutions particulieres en r → 0 et r → ∞ (voir annexe A). Un developpement limitevers r = 0 applique a l’equation (25) donne p ∼ rl. A l’infini, la perturbation de vitesseest nulle mais cette condition est tres rigide dans le cas d’une resolution numerique sur


un domaine fini car elle interdit alors la propagation d’onde au sein du fluide stratifie.La solution pour Ω = 0 est une bonne approximation si r est suffisamment grand etelle conduit a une solution ondulatoire :

p = Ha(n)l (κr), (27)

ou Ha est la fonction de Hankel et κ2 = ω2m2/(ω2−N2). Le choix de n fixe le sens depropagation des ondes internes.

Chacune des equations (25) et (26) avec les conditions aux limites appropriees constitueun probleme aux valeurs propres. La resolution de ce probleme conduit a la relation dedispersion ω = ω(k) qui donne aussi la stabilite et le taux de croissance de l’amplitudede la perturbation.

Ces equations presentent toutes un certains nombre de singularites. La premiere singu-larite correspond a σ = 0. Cette condition peut etre atteinte selon la distribution de lavitesse angulaire. Elle definit un rayon critique rc. Une nouvelle classe de modes ditssinguliers peuvent exister a ce rayon critique. L’onde qui se developpe a cet endroit estaussi appelee couche critique. Ce type de solution particuliere fait l’objet de plusieursetudes theoriques pour ces applications dans les phenomenes d’axisymetrisation desvortex (le Dizes (2000) et Balmforth et al. (2000)), de rayonnement d’ondes internes(Montgomery & Kallenbach (1997)) et, dans la stabilite des cyclones a fort gradient devorticite (Schecter & Montgomery (2004)).

L’equation pour la perturbation de pression est singuliere en σ2 = Φ. Schecter & Mont-gomery (2004) montrent que les fonctions propres sont prolongeables par continuite entous points ou cette condition est satisfaite. Ceci est coherent avec le fait que cettesingularite n’apparaıt pas dans l’equation pour la perturbation de vitesse radiale (26).

Pour finir, les deux equations pour les amplitudes de pression et de vitesse radiale sontsingulieres en N2 = σ2. Cette singularite est classiquement contournee en utilisant l’ap-proximation hydrostatique qui equivaut a considerer N2 À σ2. Lorsque la stratificationest forte (N > Ω), la singularite est supprimee.

2.3.4. Les modes d’oscillations stables et l’influence du gradient dedensite

La solution des equations pour l’amplitude de la perturbation donnent la relation dedispersion des modes dont la stabilite depend. Dans le cas ou la pulsation est reelle, lesmodes sont stables et s’apparentent a des ondes. Pour un cylindre de fluide homogene,de rayon fini et en rotation solide, l’equation (25) se simplifie en une equation de Bessel :

r2 d2p

dr2+ r

dp

dr+

((Φσ2− 1)m2r2 − l2

)p = 0. (28)


0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

mR

ω/Z0

Fig. 2.1 – Relation de dispersion pour lesondes dans une colonne de fluide homogeneen rotation solide. R est le rayon et Z lavorticite. Les familles de branches corres-pondent aux modes azimutaux l = −1 (·-),l = 0 (··) et l = 1 (-).

0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

mR

ω/Z0

Fig. 2.2 – Comme la figure 2.1 mais pourun fluide stratifie avec N/Z = 0.1.

Le discriminant Φ = 4Ω2 est constant dans ce cas et les solutions existent si Φ/σ2 > 1.Ceci donne que la pulsation intrinseque doit etre inferieure a la vorticite pour que lesondes d’inertie cylindriques se propagent. Ce resultat peut etre compare au cas d’uneonde d’inertie plane dans un repere cartesien qui ne peut se propager que si sa pulsationω est inferieure a la vorticite de fond. L’equation (28) avec une condition aux limitesrigide en r = R le rayon du cylindre et la condition de non singularite en r = 0 donnela relation de dispersion :

σ∗ = ± 2√1 + α2/(mR)2

, (29)

ou σ∗ = σ/Ω et la constante α est donnee par :

αJ ′l (α)± l√

1 + α2/(mR)2Jl(α) = 0. (30)

Jl est la fonction de Bessel de premiere espece d’ordre l. Il existe une infinite de αn

(n=0,1,2...) solutions de cette derniere equation. La relation de dispersion presente doncun ensemble de branches pour chaque valeur du mode azimutale l. La figure 2.1 montrele resultat pour les premieres branches des modes l = −1, 0 et 1. Ce graphe montreplusieurs proprietes des ondes. En premier lieu, leur sens de propagation est donne parla pente de chaque branche et les branches croissantes correspondent ici aux modes co-grades qui tournent dans le meme sens que l’ecoulement, les branches decroissantes cor-respondent aux modes retrogrades. Par consequence, pour certaines longueurs d’ondes,il peut exister plusieurs modes de nombres d’ondes azimutaux differents et de meme


pulsation. Enfin, les modes l = ±1 presentent la particularite d’etre les seuls a cou-per l’axe des abscisses ou leur pulsation est nulle. Dans la limite des grands nombresd’ondes m, la pulsation intrinseque σ reste inferieure a Z et pour les petits nombresd’ondes verticaux, la celerite devient constante.

Les resultats obtenus avec le modele du cylindre en rotation solide s’avere proche de cequi est obtenu pour un vortex realiste en milieu infini et avec un gradient de vorticite.Cependant, l’existence d’un gradient de vorticite apporte une modification importante.Il existe un pole en σ = 0. Il affecte les modes retrogrades de pulsation positive quisont alors supprimes. La methode des modes normaux permet toutefois d’obtenir dessolutions dans ce domaine en considerant un contour d’integration complexe. Une nou-velle famille de modes, aussi appelees couches critiques, est alors mise au jour. Ellespeuvent jouer un role important dans la stabilite des vortex geophysiques bien qu’enfluide homogene ils aient une amplitude decroissante.

La presence d’une stratification en densite modifie la relation de dispersion des ondes.Pour le cylindre en rotation solide, l’equation pour l’amplitude de la perturbation depression devient :

r2 d2p

dr2+ r

dp

dr+

(Φ− σ2

σ2 −N2m2r2 − l2

)p = 0. (31)

La modification apporte une condition sur la pulsation intrinseque la plus basse. Lesmodes stables existent si, en plus de la precedente condition, leur pulsation intrinsequeest superieure en valeur absolue a N . La relation de dispersion est similaire a celleobtenue en fluide homogene, seule l’equation (2.3.4.) est modifiee :

σ∗ = ±√

4 + N∗2α2/(mR)2

1 + α2/(mR)2, (32)

ou N∗ = N/Ω. Comme pour un fluide homogene, le parametre α est solution del’equation (2.3.4.).

Le resultat, illustre par la figure 2.2, est assez proche de l’influence du gradient devorticite puisqu’il existe alors, pour chaque l, une bande de pulsation ou aucun moderegulier ne peut exister. La largeur de cette bande augmente avec la frequence destratification. Dans la limite des petits nombres d’ondes, la pulsation intrinseque desondes tend vers N . La presence de la stratification a deux consequences remarquables.La celerite des ondes dans la limite des petits nombres d’ondes verticaux n’est plusconstante mais tend vers zero et,pour une frequence de stratification N superieur a Ω,il n’y a plus de points d’intersections entre les branches(voir figure 2.3).


0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

mR

ω/Z0

Fig. 2.3 – Comme la figure 2.1 mais pour un fluide stratifie avec N/Ω = 1.

2.4. Mecanismes d’instabilites de vortex

La theorie des modes normaux donne qu’un vortex axisymetrique dont la vorticite esttoujours decroissante, est stable vis a vis des petites perturbations. La stabilite dependbeaucoup de la distribution de vorticite et, dans la suite, plusieurs cas sont presentespour lesquels le vortex est instable.

2.4.1. l’instabilite centrifuge

L’instabilite centrifuge intervient lorsque le moment angulaire dans un ecoulement axi-symetrique diminue vers l’exterieur. Le discriminant de Rayleigh Φ(r) est negatif etl’equation (28) montre que l’ecoulement est instable. Une facon simple d’en montrer lemecanisme est de considerer une particule dans l’ecoulement dont la vitesse angulairedecroit vers l’exterieur. Supposons maintenant que la viscosite est negligeable et quela particule est deviee vers l’exterieur. Elle se retrouve dans un environnement ou lavitesse angulaire est plus faible que la sienne, le gradient de pression a cet endroit estaussi plus faible et il n’equilibre plus la force centrifuge. Le critere de stabilite s’ecrit :

1r3

d

dr(r2Ω)2 > 0. (33)

Le discreminent de Rayleigh Φ = 2ΩZ = (1/r3)(d/dr)(r2Ω)2 pour un vortex est negatifsi la vorticite change de signe. Les vortex dits isoles possedent un anneau de vorticitenegative autour d’un coeur positif. Ils sont instables du point de vue centrifuge.

L’equation (28) montre qu’il existe une analogie entre les ecoulements presentant unestratification verticale en densite et ceux qui possedent une stratification radiale de mo-

Mecanismes d’instabilites de vortex 25

ment angulaire r2Ω. L’ecoulement peut-etre instable si Φ < 0 mais aussi si N2 < 0. Cecas correspond a un fluide dont la densite augmente avec l’altitude. C’est l’instabilite deconvection. De meme, l’instabilite centrifuge intervient lorsque le moment angulaire dufluide en rotation est plus eleve au coeur qu’a l’exterieur de l’ecoulement. L’instabilite semanifeste par la formation de rouleaux d’axes azimutaux et de sens de rotation alterne.Comme pour l’instabilite de convection, ou le transport de masse permet au fluide deminimiser l’energie potentielle du fluide, l’instabilite centrifuge produit des rouleaux quitransportent de la quantite de mouvement vers l’exterieur. Cette analogie s’etend aucas des ecoulements turbulents en presence d’un gradient de densite et d’un gradient demoment angulaire (Bradshaw (1969)). Pour un ecoulement cisaille en fluide stratifie,avec un cisaillement vertical et une vitesse unidirectionnelle horizontale, l’instabilitede Kelvin-Helmholtz qui est responsable d’un retournement (vortex horizontaux) estsupprimee si Ri = N2/(dU/dz)2 > 1/4. Bradshaw (1969) montre qu’un nombre deRichardson equivalent pour un ecoulement avec un gradient de moment angulaire peutetre defini par :

Rii = 2U

R2

d

dr(RU)

(dU

dr

)2

. (34)

La presence d’un gradient de moment angulaire stable a le meme effet sur la turbulenceque celle d’une stratification en densite stable et supprime le retournement pour lesvaleurs elevees de Rii.

L’influence de la stratification en densite sur l’instabilite centrifuge a fait l’objet deplusieurs etudes theoriques et experimentales (voir par exemple Boubnov et al. (1987)et Caton et al. (1999)) dans le cas de l’ecoulement de Taylor-Couette. Ooyama (1966)montre que le critere de Rayleigh s’applique aussi aux vortex en fluide stratifie et cecritere est confirme par des etudes numeriques et theoriques sur l’ecoulement de Taylor-Couette Yavneh et al. (2001) et pour un vortex par Smyth & McWilliams (1998). Smyth& McWilliams (1998) montrent aussi que le mode le plus instable n’est pas toujoursaxisymetrique. Au-dela d’une certaine frequence de stratification, il est stabilise auprofit du mode helicoıdal l = 1.

2.4.2. Les instabilites de vortex elliptiques

Un vortex axisymetrique qui presente un profil de vorticite maximum au centre, toujourspositif et decroissant doit etre stable. Cette propriete est remise en question lorsqu’iln’est pas axisymetrique. C’est le cas s’il se trouve proche d’un deuxieme vortex oud’une paroi. Il prend alors une forme elliptique. Lorsqu’un cisaillement stationnaire(de pulsation nulle) deforme le vortex, il peut exciter des ondes de Kelvin qui entrenten resonance et rendent le vortex instable (voir par exemple Kerswell (2002)). Pourun ecoulement en rotation solide superpose a un faible etirement ε et un fluide non


visqueux, le taux de croissance de l’instabilite elliptique est proportionnel a l’etirement,s = 9/16ε.

L’instabilite elliptique est affectee par la viscosite et la stratification. Pour qu’elle sedeveloppe, il faut que le nombre de Reynolds de l’ecoulement soit suffisamment eleve etque la stratification soit suffisamment faible. L’effet de la stratification est claire si l’onconsidere la relation de dispersion des ondes de Kelvin. Les points d’intersection desbranches tendent vers les petits nombres d’ondes lorsque la frequence de stratificationaugmente jusqu’a la valeur critique N = Ω au-dela de laquelle, il n’y a plus d’intersec-tion et donc plus d’instabilite elliptique. Le taux de croissance pour l’ecoulement nonvisqueux en rotation solide dans la limite des faibles etirements est :

s =916

ε4(1−N∗2)4−N∗2

, (35)

avec N∗ = N/Ω.

La combinaison de la stratification et de l’ellipticite peut engendrer d’autres modesd’instabilite pour des frequences de stratifications elevees. Des modes instables ont eteidentifies par Miyazaki & Fukumoto (1992) sur un vortex de Rankine elliptique lorsqueN/Ω > 1. Les dipoles en presence d’une forte stratification presentent aussi une in-stabilite de grande longueur d’onde appele instabilite zig-zag (voir Billant & Chomaz(2000a,c,b)). Elle est le resultat d’un mecanisme qui fait intervenir les modificationsdu champ de densite lorsque le dipole subit une legere deformation sinusoıdale selonla verticale. La deformation des iso-densites etire localement la vorticite verticale del’etat de base qui amplifie la deformation du dipole (voir Billant & Chomaz (2000b)).Il se brise en vortex lenticulaires qui evoluent alors quasiment independamment lesuns des autres a differentes altitudes. Ce type d’instabilite est l’objet d’un interetimportant car elle est presentee comme une explication de la structure verticale desecoulements geophysiques en presence d’une stratification. Ainsi, dans un fluide stratifietournant quasi-geostrophique, les vortex elliptiques peuvent etre instables avec une lon-gueur d’onde qui depend du rapport N/f . L’instabilite des vortex colonnes elliptiquespresentee par Dritschel. & de la Torre Juarez (1996) les conduits a se briser lorsqueleurs rapport d’aspect est tel que H/R > 3f/N . Miyazaki & Hanazaki (1994) donnentun mecanisme d’instabilite pour les vortex initialement bi-dimensionnels legerementelliptiques et quasi-geostrophiques. Ils presentent une instabilite due a la resonance dumode helicoıdal (dit de torsion) barocline et d’un mode elliptique barotrope (de nombred’onde vertical nul).

2.4.3. Les autres instabilites

La stratification peut etre responsable d’une instabilite alors que le critere pour la stabi-lite centrifuge est respecte. C’est ce que montrent Yavneh et al. (2001) pour l’ecoulement

Mecanismes d’instabilites de vortex 27

entre deux cylindres coaxiaux. Dans ce cas, l’instabilite est interpretee par les auteurscomme le resultat de l’interaction entre des ondes retrogrades stoppees par l’ecoulementmoyen. La condition pour la stabilite est alors que dΩ2/dr > 0.

Une autre instabilite des vortex axisymetriques dont le profil de vorticite verifie le criterede stabilite de Rayleigh a ete mise au jour recemment (Schecter & Montgomery (2004))dans le cadre des ecoulements cycloniques en fluide stratifie tournant. Cette instabilitese developpe si le gradient de vorticite est suffisamment raide, proche du profil duvortex de Rankine. L’instabilite fait intervenir l’excitation d’une couche critique et lapropagation vers l’exterieur d’ondes de gravite. Son mecanisme est lie a l’effet de laretroaction des ondes internes sur le cyclone.


Chapitre 3

Methodes experimentales

Ce chapitre est consacre aux differentes methodes experimentales mises en oeuvre aucours de ces travaux. Les methodes de visualisations et de mesures y sont decritesainsi que le dispositif experimental en cuve fixe utilise dans les trois chapitres suivants.Les dispositifs en cuves tournantes sont presentes dans le chapitre sur l’interaction devortex.

3.1. Dispositif en cuve fixe : la methode du volet

Le dispositif experimental utilise est schematise figure 3.1. Il est constitue d’une cuvede 80×80×40cm3 dans laquelle se trouve un volet de 35cm de haut et 15, 5cm de cote,dispose verticalement. Il est fixe a l’axe d’un moteur par son cote le plus proche dubord de la cuve. L’axe se trouve a 8cm du bord et le passage entre les deux est obstruepar une paroi. La vitesse du moteur est commandee par un PC permettant ainsi defaire varier la vitesse de rotation en fonction du temps. Ces variations sont illustrees parla figure 3.2. Le vortex de demarrage est forme par l’acceleration constante du volet.Puis, la vitesse du volet decroıt en suivant une loi en 1/t jusqu’a une vitesse constanteet faible. Le temps de decroissance est regle afin de minimiser la formation du vortexd’arret et la vitesse tend vers une vitesse constante faible de sorte qu’il s’arrete le plusloin possible du tourbillon forme au demarrage. L’acceleration est controlee par deuxparametres, la vitesse maximale Ωmax et le temps d’acceleration tacc. Un troisiemeparametre controle la deceleration, il a ete fixe pour un jeu de 5 couples de parametres(Ωmax,tacc). Ces couples sont la combinaison de trois vitesses de rotation maximum,0.2rad/s, 0.23rad/s et 0.27rad/s et deux temps d’accelerations, 0.5s et 2s.

La stratification lineaire stable est obtenue en faisant varier la concentration en sel

29

30 Methodes experimentales

Motor

Flap

Tank

80 cm

40 c

m

35 c

m

15.5 cm

8 cm

Fig. 3.1 – Schema du dispositif experimental

pendant le remplissage a l’aide du dispositif de double cuve (Oster (1965)). Pour toutesces experiences le fond de la cuve est rempli d’une couche d’eau tres concentree en sel(environ 1150kg/m3). Ceci limite les effets de pompage dus au frottement au fond dela cuve qui produit un ecoulement axial au sein du vortex. Au dessus de cette couchede 2 a 3cm, la cuve est remplie d’eau dont la concentration diminue lineairement sur25 a 30cm. A la fin du remplissage, un peu d’eau douce est ajoute afin de limiter leseffets de la surface libre. Le profil typique de densite est illustre par la figure 3.3. Cettegeometrie permet de realiser des stratifications d’une frequence allant de 0.5rad/s a2rad/s. Les variations de densite pour le calcul de la frequence de Brunt-Vaisala ontete mesurees par refractometrie sur des prelevements. La frequence de la stratificationest calculee dans l’approximation de Boussinesq ce qui donne :

N2 = −g

ρ

dρ

dz, (1)

ou ρ est la densite moyenne et N est constant.

3.2. Methodes de visualisations

Les methodes de visualisations utilisees ont permis d’obtenir des informations qualita-tives aussi bien que quantitatives. Les acquisitions d’images ont ete realisees avec une

Methodes de visualisations 31

temps

Vitesse angulaire

Fig. 3.2 – Variations typiques de la vitesseangulaire du volet.

Masse volumique

Altitude

Fig. 3.3 – Profil de densite caracteristiquede la stratification de base.

camera numerique Pulnix de 484x768 pxl2 a une frequence maximum de 30Hz. Deuxtypes de methodes de visualisations ont ete utilisees, la visualisation d’un traceur (co-lorant ou particules) et la visualisation qui utilise les variations d’indices de refractiondans l’ecoulement. L’utilisation des particules est essentiellement reservee a la mesurede vitesse decrite dans la section suivante.

3.2.1. L’ombroscopie

L’ombroscopie est une methode de visualisation qui utilise les fluctuations d’indice derefraction au sein d’un ecoulement de fluide a densite variable. Elles changent la tra-jectoire des rayons d’un faisceau de lumiere parallele qui traverse le volume fluide pourilluminer un ecran. Avec le dispositif de la figure 3.4 les variations d’indice projettentdes zones plus ou moins eclairees sur l’ecran. L’eclairage a ete realise ici avec un projec-teur equipe d’un diaphragme place le plus loin possible de la cuve (4 a 5m). L’image estprojetee sur un papier calque place sur la paroi opposee a celle d’entree de la lumiere.Pour ameliorer la qualite des images, les variations de luminosite dues a l’eclairage sontsupprimees en soustrayant une image de base acquise en l’absence d’ecoulement. Lamethode d’ombroscopie est sensible a la courbure du champ de densite. Cela signifiequ’une stratification effectivement lineaire ne doit pas projeter d’ombre. Les rayonssont devies mais ils restent tous paralleles. Il n’y a donc pas de variations d’intensiteen l’absence d’ecoulement.

Des mesures de longueur d’onde ont ete realisees avec cette methode de visualisation.Pour cela, le champ a ete calibre en placant un marqueur de taille connue dans la cuve.Les effets optiques sont pris en compte en utilisant un coefficient de calibration mesureen fonction de la distance entre le marqueur et l’ecran. Supposons que la position dutourbillon connue a 5cm pres, alors, l’erreur liee aux effets optiques est inferieure a 3%.


3.2.2. La methode “schlieren synthetique”

Une autre methode de visualisation basee sur les fluctuations d’indice de refractiona ete utilisee, le “schlieren synthetique”. Elle a ete utilisee pour les visualisations del’ecoulement dans un fluide faiblement stratifie car elle se distingue par une grande sen-sibilite lorsque le contraste des images par ombroscopie est faible. Son developpement apour but la visualisation et la mesure des gradients de densite (voir par exemples Dal-ziel et al. (2000)). Le principe est d’enregistrer l’image d’un motif au travers du volumefluide (voir figure 3.4). Pour obtenir une image des gradients de densite, une imagedu motif d’origine est soustraite a l’image deformee par les fluctuations de l’indice derefraction. En fonction du motif, il est possible de selectionner le gradient observe. Ainsides rayures verticales mettent en evidence les gradients horizontaux. La relation entrele gradient de densite et le deplacement des pixels entre les deux images dans un cassimple d’ecoulement independant de la direction de l’eclairage est :

d ρ

dz≈ 2

ρ0

β

∆z

W (W + 2B), (2)

avec ρ0 = 1000kg/m3 la densite de reference et β = ρ0/n0(d/dρ)n ≈ 0.184 (Dalziel et al.(2000)). Par analogie entre le cas d’application de cette expression et la configurationde la presente etude, W est la distance sur laquelle varie la densite et B est la distancequi separe cette zone du masque du motif. Les valeurs typiques sont respectivement15cm et 45cm. Cette expression vaut pour un deplacement en pixels entiers. Pour unpixel de deplacement, soit une distance de l’ordre de 0.01 cm, le gradient de densiteest de l’ordre de 0.01kg/m4. Ceci correspond au cas ou la soustraction des deux imagesdonne un pixel noir. Si le deplacement reel est inferieur a 1 pixel, le resultat de cecalcul est a ponderer avec le niveau de gris normalise. Celui-ci varie de 0 a 1 avec uneprecision de 8 bits. La sensibilite de cette methode de visualisation est tres elevee. Ungradient inferieur a 0.01kg/m4 peut imprimer un motif sur l’image traitee.

3.2.3. Visualisations au colorant

Afin de colorer l’ecoulement sur toute la hauteur un fil plombe et imbibe de colorant estplonge verticalement dans la cuve. Ceci permet de deposer une colonne ou une surfacecylindrique de colorant sur toute la hauteur d’eau. Lorsque la colonne de colorant estplacee loin du volet, il est advecte dans la zone potentielle. Si elle est deposee contre lapartie exterieure (cote dont la normale est dans la meme direction que le mouvementdu volet) a proximite du bord de fuite, c’est le coeur du vortex de demarrage qui seracolore et contre la partie interieure a proximite du bord c’est en quelque sorte le champproche du vortex qui sera colore. L’ecoulement mis en evidence est illumine soit par unesource halogene en eclairage volumique, soit par un plan laser horizontal ou vertical.

Mesures du champ de vitesse de l’ecoulement 33

caméra

écran semi-opaque pour l'ombroscopiecuve

volet

masque pour le "schlieren synthétique"

projecteur

diaphragme

4-5m

Fig. 3.4 – Schema du dispositif optique utilise pour les visualisations par ombroscopie et“schlieren synthetique”.

3.3. Mesures du champ de vitesse de l’ecoulement

3.3.1. Velocimetrie par correlation d’images

La mesure de vitesse par imagerie de particules (P.I.V.) utilisee est basee sur lacorrelation croisee d’images. Pour ces mesures, le champ de particules est dense etles particules petites (60µm). L’orgasol utilise a une densite de 1027kg/m3. Dans unfluide stratifie, ces particules se trouvent dans une tranche horizontale plus ou moinsepaisse selon la stratification. Elles sont illuminees par un plan laser horizontal realisea l’aide d’une lentille demi-cylindrique. La stratification a ete choisie de sorte que lesparticules se placent a mi-hauteur.

La base de l’algorithme utilise pour le traitement est decrite par Fincham & Spedding(1997) et utilise la correlation vraie pour mesurer le deplacement d’une sous-imagerectangulaire entre deux instants. Le champ de vitesse est obtenu en effectuant cetteoperation sur une grille de sous-images. L’algorithme de base est enrichi de diverstraitements qui permettent d’augmenter la precision et la fiabilite de la mesure. Enparticulier, la fonction de correlation est interpolee afin d’acceder aux fractions depixels, la mesure du deplacement est centree (position moyenne entre les deux images)et les champs corriges sont interpoles par des surfaces spline de type plaque minceavec un coefficient de raideur. Les erreurs liees au cisaillement sont reduites en recal-culant les correlations une nouvelle fois avec des sous-images deformees selon le champde deplacement estime par un premier calcul (Fincham & Delerce (2000)). Dans debonnes conditions, c’est-a-dire pour un deplacement proche de 10pxl, l’erreur sur lavorticite est inferieure a 10%. Dans les conditions des experiences, avec une image de484x768pxl2, la resolution typique est d’environ 0.05cm/pxl (soit un champ d’environ40cm de diagonale). Pour une frequence d’acquisition des images de 30Hz, la vitessemaximum mesurable est de 18cm/s. Dans les faits, le bruit devient important lorsque la


vitesse atteint environ 8cm/s du fait des forts taux de cisaillement au coeur du vortex.

3.3.2. Velocimetrie par suivi de particules

Une autre methode de mesure de vitesse par imagerie de particules a ete mise en oeuvrepour des besoins bien specifiques. Il s’agissait alors de mesurer le champ de vitesse dansune tranche horizontale et de visualiser simultanement de cote l’ecoulement colore. Lecolorant etait depose de sorte qu’il met en evidence le coeur du vortex pour mesu-rer les longueurs d’onde de ces deformations. Les mesures de vitesses ont pour but dedonner acces a la vitesse maximum et au rayon du vortex. Les contraintes techniquesimposaient que la colonne de colorant traverse le plan de particules et que la concen-tration en colorant soit elevee. La mesure de la vitesse maximum et du rayon necessitede connaıtre le champ de vitesse le plus pres possible de la zone des images satureesa cause du colorant. Comme ces mesures portent sur une petite quantite d’images etqu’une resolution spatiale elevee n’est pas necessaire, la methode employee est la ver-sion la plus basique du suivi de particules. Effectivement, le plus efficace pour detecteret suivre des particules dans des zones concentrees en colorant reste de le faire manuel-lement. L’informatique n’intervient alors que pour faciliter la selection de particules etpour mesurer la distance parcourue. A cette fin, les images sont localement interpoleesavant la detection des maxima d’intensite de lumiere. Pour obtenir un profil, trois pairesd’images ont ete traitees, avec au total, une centaine de points de mesures. Ensuite,une regression non lineaire a ete utilisee pour ajuster un profil de vortex gaussien a cespoints de mesure. Chaque champ resulte d’une moyenne de trois champs sur un lapsde temps d’environ 3s et d’une centaine de points de mesures par champ.

Chapitre 4

Les vortex generes par le volet : formation et

evolution aux temps courts de l’ecoulement

barotrope

4.1. Introduction

L’identification de structures coherentes persistantes dans de nombreux ecoulementsa haut Reynolds (vortex de bout d’ailes, allee de Von Karman, cyclone tropicaux etmedies, etc...) est a l’origine d’une vaste litterature a propos de leur stabilite. Lesmoyens employes sont aussi bien theoriques, numeriques qu’experimentaux (voir parexemple Kerswell (2002)). Souvent plus proche de la realite, l’approche experimentalede la stabilite des vortex en l’absence d’ecoulement moyen se heurte au probleme duforcage qui permettra de generer de maniere controlee un ou plusieurs vortex. En fluidehomogene, la methode qui utilise un ou plusieurs volets mis en mouvement dans unfluide au repos est bien adapte. C’est pourquoi, pour ces experiences sur la stabilite desvortex en fluide stratifie, nous avons eu recours a cette methode, avec comme objectifde produire un ecoulement domine par la presence d’un vortex en colonne intense.

La conservation de la circulation dans les ecoulements a haut Reynolds rend difficilela production d’un seul vortex. Dans le cas de l’ecoulement genere par le volet, ledemarrage et l’arret du volet sont a l’origine de deux vortex contra-rotatif (Thomas &Auerbach (1994)). Ce dispositif et sa variante a deux volets ont ete utilises pour l’etudede la stabilite d’une paire de vortex dans plusieurs configurations ; 1 et 2 (Thomas &Auerbach (1994), Leweke & Williamson (1998) et Meunier & Leweke (2001)) voletsen fluide homogene, 2 volets en fluide stratifie (Billant & Chomaz (2000a)) ou 1 volet

35

36 Les vortex generes par le volet

a)

c) d)

b)

Fig. 4.1 – Schema des etapes de l’evolution de l’ecoulement , lors de la mise en mouvementdu volet.

en fluide tournant (Afanasyev (2002)). L’utilisation de deux volet garantit la symetriede la paire de vortex alors qu’un seul volet genere une paire asymetrique. C’est bienla l’objectif des experiences presentees ici puisque nous cherchons a minimiser l’inten-site du vortex negatif. Elles se distinguent des precedentes principalement par l’arretprogressif du volet. Les autres differences concernent l’influence de la stratification,moderee a faible, et le nombre de Reynolds du vortex de demarrage qui est nettementplus eleve.

Ces differences justifient que l’on s’interesse plus en detail a l’ecoulement genere par levolet dans ces premiers instants avant de se focaliser sur l’evolution a long terme duvortex de demarrage (voir chapitre 5 et chapitre 6). Ce chapitre s’articule autour de troisaspects : la formation et la caracterisation du vortex de demarrage , la production et ladistribution de vorticite negative et enfin, l’influence de la stratification sur l’evolutionglobale de l’ecoulement.

4.2. Le vortex de demarrage : formation et caracteristiques

4.2.1. Formation du vortex de demarrage

Durant les 20 premieres secondes, le vortex de demarrage se forme suite a l’enroulementd’une couche de vorticite (positive) qui se developpe le long du volet. La formation duvortex de demarrage peut etre decomposee en quatre etapes (voir figure 4.1). Toutd’abord, il y a le developpement visqueux de la couche limite autour du volet. Puis,

Le vortex de demarrage : formation et caracteristiques 37

Fig. 4.2 – Visualisation en coupe horizontale du vortex de demarrage lors de sa formation.Les instants correspondent de gauche a droite et de haut en bas a 2.3, 3.5, 5, 9.4, 14.7 et 20.4s.Le temps d’acceleration est de 2s.


toujours domine par la viscosite, le bulbe commence a se former au bout du volet. Vientalors l’etape durant laquelle les effets non-lineaires prennent une importance equivalentea la viscosite. Le bulbe s’ouvre et une spirale se forme. Enfin, le vortex se detache. Lanappe de vorticite qui forme la spirale lors de la troisieme etape est fortement instable.Elle peut se briser en petits vortex secondaires.

Le dispositif experimental utilise est decrit en detail dans le chapitre 3. Rappelonsque le volet de 15.5cm de long est soumis a une acceleration constante jusqu’a unevitesse angulaire maximale variant de 0.2 a 0.3rad/s. Pullin & Perry (1980) donnent unnombre de Reynolds caracteristique du phenomene d’enroulement base sur l’ecoulementpotentiel autour de la plaque :

Res =A2/(2−m)t4/(2−m)−1

ν, (1)

pour une acceleration constante. La geometrie definit la constante m (m = 1/2 pourune plaque plane), t est le temps d’acceleration et ν est la viscosite. Le coefficient A

est relie a la vitesse loin de la plaque V∞ = Bt, par :

A = B√

csin α, (2)

ou α est l’angle d’attaque de l’ecoulement a l’infini et c la corde de la plaque. Leresultat donne un nombre de Reynolds de la couche d’enroulement variant de 1600 a3000 environ dans les experiences.

Luchini & Tognaccini (2002) trouvent une valeur critique de 5000 pour Res afin quel’instabilite de la couche d’enroulement se developpe. Cette valeur est sensiblementplus elevee que dans les experiences alors que l’instabilite a bien ete observee (voirla figure 4.2). Cet ecart peut etre lie a la difference dans le mouvement de la plaque.Dans leur etude numerique, Luchini & Tognaccini (2002) utilisent une vitesse uniforme al’infini. Ici, la plaque est en rotation et la couche limite qui se developpe autour du voletn’est plus d’epaisseur constante comme dans un ecoulement uniforme. Son epaisseurdiminue vers le bout du volet. Les observations montrent aussi que le vortex ne sedetache pas immediatement apres la phase d’acceleration et l’instabilite de la couched’enroulement continue a se developper alors que le volet commence a decelerer.

Les vortex secondaires issus de l’instabilite d’enroulement fusionnent avec le premiervortex forme, augmentant ainsi sa taille et son intensite. Le vortex tend a redeveniraxisymetrique dans un laps de temps tres court (≈ 10s). Tous les vortex secondaires nefinissent pas par fusionner avec le vortex principal. Notamment, ceux qui sont trop loinlorsque la vitesse du volet est faible. Mais ces vortex sont de tres faible intensite et d’in-fluence negligeable. Par la suite, nous nous interesserons a l’evolution de l’ecoulementau dela de 10s, lorsqu’il est approximativement axisymetrique.

Le vortex de demarrage : formation et caracteristiques 39

(a) (b)

Fig. 4.3 – Visualisation de cote du vortex colore par de la fluoresceine 15s (a) apres le debutdu mouvement du volet. Le trait noir correspond a 4cm. (b) evolution temporelle de la ligne decoeur tiree d’une serie d’images comme (a). L’abscisse correspond au temps et l’ordonnee a ladirection verticale. Ici, le fluide est stratifie en densite avec N = 0.7rad/s.

4.2.2. Le vortex de demarrage vu de cote

La figure 4.3a montre le vortex visualise de cote. Le coeur est colore par de la fluo-resceine. Cette image, prise apres 15s, montre que l’ecoulement est bidimensionnel enpremiere approximation. La couche dense qui se trouve au fond de la cuve remplit bienson role dans l’inhibition du pompage due a l’effondrement de l’equilibre entre la forcecentrifuge et le gradient de pression proche de la paroi.

A partir des images realisees de cote de l’ecoulement colore a la fluoresceine, il estpossible d’extraire la courbe correspondant au coeur du vortex. Ainsi, son evolutionspatial peut-etre facilement trace. C’est ce que montre la figure 4.3b ou l’axe des or-donnees correspond a la verticale et les abscisses au temps. Sur cette figure, il apparaıtclairement une onde qui se propage le long du vortex et qui se reflechit a ses extremites.Cette perturbation est stable et s’amortit. La celerite dinimue aussi ce qui peut etreattribue a la chute, par viscosite, de la vorticite au coeur du vortex. Son excitation doitetre liee a l’ajustement de l’equilibre entre la force centrifuge et le gradient de pressionlors de la formation de la colonne de vorticite.


0 1 2 3 4 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

r/R

ω/

ωmax

Fig. 4.4 – Profils de vorticite instantanes pour trois experiences differentes (symboles) etcourbe theorique du modele de vortex gaussien (continu). Mesures realisees environ 20s apresle debut du mouvement dans une faible stratification N = 0.7rad/s

4.2.3. Mesures sur le vortex de demarrage

Trois profils de vorticite instantanes, resultats d’une moyenne selon l’azimut, sontpresentes sur la figure 4.4. La distance radiale est normalisee par le rayon R correspon-dant au maximum de vitesse, la vorticite est normalisee par son maximum. Ces profilssont compares au modele d’un vortex gaussien, represente par la courbe continue etl’expression :

ω(r) = e−r2, (3)

ou ω et r sont sans dimensions. L’accord entre les mesures et le modele est bon. Enpremiere approximation, le vortex peut etre qualifie de gaussien.

A partir du champ de vitesse du vortex de demarrage, les grandeurs caracteristiquesmesurees sont, le rayon et la vitesse maximum. Ceci a ete realise pour cinq couples deparametres du mouvement du volet (Ωmax,tacc) tous presentes dans le tableau 1 avecles valeurs a 10s de ces grandeurs caracteristiques. Les tests de reproductibilite donnentde bons resultats avec une erreur de 0.3cm sur la position du maximum de vitesse etde 0.5cm/s sur la vitesse maximum (voir figures 4.5 et 4.6). L’augmentation du rayonet la diminution de la vitesse sont la consequence de la diffusion. Cette augmentationest bien modelisee par la diffusion normale d’une distribution de vorticite gaussiennebidimensionnelle.

Les grandeurs caracteristiques de cet ecoulement sont donc R, U et N . En ajoutantla viscosite ν, nous considerons comme parametres les deux nombres sans dimensions,Re = UR/ν le nombre de Reynolds et Fr = U/(RN) le nombre de Froude. Par lameme occasion, le nombre de Reynolds base sur la circulation Γ ∝ 2πUR est defini parReΓ = Γ/ν. Pour les vortex calibres le nombre de Reynolds, varie de Re = 800 a 1100

Effets de la decroissance de vitesse du volet 41

10 15 20 25 30 35 40

4

5

6

t (s)

V (cm/s)

Fig. 4.5 – Vitesse maximum en fonctiondu temps pour differentes valeurs de Ωmax,0.2 (, 2), 0.23 (+, 4) et 0.27rad/s (3).

10 20 30 40 501.6

1.8

2

2.2

2.4

t (s)

R (cm)

Fig. 4.6 – Rayon du vortex en fonctiondu temps pour differentes valeurs de tacc,0.5 (+, 2, 3) et 2s (, 4).

Ωmax (rad/s) tacc (s) R (cm) U (cm/s)0.2 0.5 1.7 4.80.2 2.0 2.0 4.80.23 0.5 1.7 5.50.23 2.0 2.0 5.50.27 0.5 1.7 6.4

Tab. 1 – Parametres des experiences.

(soit ReΓ = 5000 a 7000) et la gamme de valeurs du nombre de Froude initial (10sapres le debut du mouvement du volet) est de 1.2 a 5.

4.3. Effets de la decroissance de vitesse du volet sur la dis-

tribution de vorticite negative

La conservation de la circulation sur l’ensemble du domaine fluide impose la presencede vorticite de signe oppose au vortex de demarrage. La figure 4.7 montre l’evolutiontypique du champ de vorticite verticale en coupe horizontale. Durant les premiers ins-tants, une couche de vorticite negative se developpe sur la face interieur du volet induitepar le vortex de demarrage. La majeure partie de la vorticite negative reste attacheeau volet durant la phase d’acceleration, en accord avec les resultats numeriques surce phenomene d’enroulement (Luchini & Tognaccini (2002)). L’advection liee au voletreste dominante devant celle due au vortex de demarrage. Lors de la deceleration du


5 10 15 20 25 30

4

8

12

16

20

(cm)

(cm)

a b

c d

Fig. 4.7 – Champ de vorticite verticale en coupe horizontale aux instants 10.5, 14.5, 18.4 et24.3s de gauche a droite et de haut en bas. Les contours d’iso-vorticite continus correspondentau vortex de demarrage.

volet, l’influence de la vitesse induite par le vortex devient proche puis superieure acelle induite par le volet. La nappe de vorticite negative s’etire dans le prolongementdu volet alors que la formation du vortex positif est terminee. La couche de cisaillementreste dans le prolongement du volet qui se trouve environ a 4R du vortex de demarrage.

Tout en s’eloignant du vortex de demarrage, la couche de vorticite negative devientinstable. En general, deux a trois vortex negatifs se forment a l’issue de l’instabiliteprimaire de cette couche de cisaillement negative, et deux s’appareillent. Finalement,une part importante de la vorticite negative se trouve concentree dans un vortex designe oppose au vortex de demarrage. Le reste se filamente et se dissipe au bout duvolet ou dans un deuxieme vortex negatif d’intensite negligeable. Par analogie avec lecas de l’arret brutal du volet, le vortex negatif le plus intense est appele par la suitevortex d’arret. A titre de comparaison, l’arret brutal du volet produit un vortex quiconcentre presque la totalite de la vorticite negative. La figure 4.8 montre que dansces conditions, le vortex d’arret se forme nettement plus pres du vortex de demarrage.La distance entre les centres est d’environ 2R. Les deux vortex ont un maximum devorticite et une intensite proche, en consequence de quoi, ils sont tous les deux instablesdu point de vue elliptique. Ils perdent leur coherence sur un laps de temps tres court.

Pour toutes les experiences, il subsiste donc au moins un vortex negatif d’intensite si-gnificative. Sa circulation est d’environ 10cm2/s pour une vorticite maximum d’environ1rad/s. Ces valeurs sont approximativement d’un ordre de grandeur plus faible que pour

Influence du vortex negatif sur la stabilite du vortex de demarrage 43

4

8

12

16

12 16 20 24 28(cm)

a b c

d e f

Fig. 4.8 – Champ de vorticite verticale en coupe horizontale dans le cas de l’arret brutal duvolet. Les instants 4 5 6 8.5 12.5 et 15.5s de gauche a droite et de haut en bas.

le vortex de demarrage. Les eventuels autres vortex negatifs sont tout a fait negligeables.Ce comportement observe durant les 20 premieres secondes est independant du nombrede Froude.

4.4. Influence du vortex negatif sur la stabilite du vortex

de demarrage

Lors de la caracterisation de l’ecoulement genere par le volet il est apparu que malgrela decroissance lente de la vitesse du volet, il subsiste un vortex negatif. Chaque vortexinduit un champ d’etirement sur l’autre le rendant elliptique. Si les nombres de Reynoldset Froude sont suffisamment eleves, l’instabilite elliptique peut se developper (voir parexemple Kerswell (2002)). Or, les mesures de vitesse nous montrent que le nombre deFroude du vortex de demarrage est toujours superieur a la valeur critique.

Les resultats analytiques de le Dizes & Laporte (2002) permettent d’estimer lesgrandeurs caracteristiques de cette instabilite dans un cas proche des conditionsexperimentales. Le calcul s’applique aux paires de vortex gaussien bidimensionnellesd’intensite et taille quelconques. Le modele analytique prend en compte la viscositedans le calcul du taux de croissance. Seule la stratification n’est pas prise en compte.Des resultats theoriques sur le modele plus simple du patch elliptique de vorticiteconstante montrent que la stratification a pour principal effet de diminuer le taux de


15 20 25 30

10

14

18

22

26

(cm)

(cm)

(a)

15 20 25 30 3510

14

18

22

26

(cm)

(cm)

(b)

Fig. 4.9 – Fonction de courant theorique (a) et experimentale (b) pour un dipole asymetriqueavec d = 10cm, Γ1 = 14cm2/s et Γ2 = −70cm2/s.

croissance jusqu’a la suppression totale de l’instabilite. Pour le meme type de vortex,en fluide homogene non visqueux et dans la limite des faibles ellipticites ε le taux decroissance est de 9/16ε. En presence d’une stratification de frequence N , le taux decroissance est donne, dans les memes approximations, par :

σ =916

ε× 4(1−N∗2)4−N∗2 , (4)

ou N∗ = N/Ω et Ω est la vitesse angulaire du fluide dans le patch de vorticite (Miyazaki& Fukumoto (1992)). Pour une valeur de N∗ typique de 0.4, le facteur correctif de l’effetde la stratification est d’environ 0.9.

L’analyse theorique qui permet de calculer le taux de croissance de l’instabilite elliptiquecommence par l’utilisation du modele des points-vortex. Dans le cas de deux points-vortex distants de d et d’intensite Γ1 et Γ2, le couple tourne avec une vitesse angulaire :

Ωp =Γ1 + Γ2

2πd2. (5)

Pour Γ1 6= Γ2, la trajectoire du vortex le plus intense (Γ2) a un rayon de courbure :

d2 =Γ1d

Γ1 + Γ2. (6)

Avec ces resultats, il est possible de verifier la validite de ce modele. Sur une experiencecaracteristique les circulations des deux vortex ont ete mesurees a 70 et 14cm2/s. Ladistance entre les deux vortex est constante durant environ 60s et de 10cm. La theorie

Influence du vortex negatif sur la stabilite du vortex de demarrage 45

15 20 25 30 355

10

15

20

25

(cm)

(cm)

Fig. 4.10 – Fonction de courantexperimentale correspondant a la figure 4.9exprimee dans un repere fixe par rapport audipole.

0.5 1 1.5 2

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

k (cm-1)

σ (s-1)

n=0

n=1

n=2

σmax=0.015 1/s

Fig. 4.11 – Taux de croissance des troispremieres branches de l’instabilite elliptiquedu vortex de demarrage pour Λ = −0.2 etd = 10cm et a2 = 3.5cm.

potentielle donne Ωp = 0.09rad/s et d2 = 12.5cm. La mesure directe de ces deuxgrandeurs donne 0.1rad/s et 12.5cm respectivement. L’accord est excellent. Il est aussibon sur l’allure de la fonction de courant comme le montre la figure 4.9. La figure 4.10montre la meme fonction de courant experimentale mais exprimee dans un repere fixepar rapport au dipole. On note alors la faible ellipticite du vortex de demarrage parrapport au vortex d’arret.

Ce modele donne aussi le taux d’etirement que subit chacun des vortex. Pour le vortexde demarrage d’intensite Γ2 (ici |Γ2| > |Γ1| et Γ2 < 0) :

Se2 =Γ1

2πd2. (7)

Les indices sont inverses pour le vortex d’arret. Cette expression donne dans le casde l’experience, un champ de cisaillement externe d’intensite 0.022s−1. Pour le vortexd’arret le cisaillement externe est 5 fois plus eleve avec 0.1s−1. Au coeur du vortex,cette valeur est modifiee par la distribution de vorticite d’un vortex realiste. Pourun vortex gaussien et dans des conditions verifiees par cette experience, le facteur deproportionnalite entre les champs d’etirement interne et externe est donne par :

K(Ω0) = 1.5 + 0.038(0.16− Ω0πa2

Γ)−9/5

, (8)

ou Ω0, Γ et a sont les vitesses angulaires maximum, circulations et rayon du vortexconcerne. Dans les conditions typiques des experiences, le coefficient vaut 4.

Comme cela a ete note plus haut, le seul facteur qui pourrait empecher l’instabiliteelliptique de se developper est la viscosite. Le critere de stabilite porte donc sur le


nombre de Reynolds. Sa valeur critique est donnee pour le vortex de demarrage par :

Re2c =2π(2.26− 14.8Ω02)2d2

(1/2− Ω02)2(3/4− Ω02/2)2K(Ω02)|Λ|a22, (9)

ou Λ = Γ1/Γ2. L’application numerique donne une valeur critique de 4000. Le nombrede Reynolds experimental est ReΓ2 = |Γ2|/ν = 7000. En d’autre terme, l’instabiliteelliptique peut se developper. Pour avoir une estimation du temps caracteristique dedeveloppement, il faut calculer le taux de croissance.

Les expressions qui donnent le taux de croissance de l’instabilite elliptique normalisepar le temps de retournement tg = 2π/Ωp pour chacun des vortex sont 1 :

σ∗1 =2π

|1 + Λ|

√(34− Ω1

2)4

K2(Ω1)− 4Λ2d4

a41

(1/2− Ω1 − cosξ(n)1 )2

− 4π2|Λ|(kzd)2

Re1|1 + Λ|cos2ξ(n)1

,

(10)

σ∗2 =2π|Λ||1 + Λ|

√(34− Ω2

2)4

K2(Ω2)− 4d4

Λ2a42

(1/2− Ω2 − cosξ(n)2 )2

− 4π2(kzd)2

Re2|1 + Λ|cos2ξ(n)2

,

(11)

ou,

cosξ(n)1,2 =

12− (2.26 + 1.69n)− kza1,2

14.8 + 9nn=0,1,2,..., (12)

Ω1,2 = πa21,2Ωp/Γ1,2. (13)

Dans ces expressions, kz est le nombre d’onde vertical et n represente la branche dumode defini par le couple (m,kz) ou m est le mode azimutal. Le cas m = 1 est considere.Le graphe de la figure 6.7 montre le taux de croissance en fonction du nombre d’ondepour les trois premieres branches dans les conditions de l’experience deja considereeplus haut. La premiere branche est la seule a avoir un taux de croissance positif. Sonmaximum vaut 0.015s−1 pour un nombre d’onde de 0.67cm−1 soit une longueur d’ondede 9.4cm. Le temps caracteristique de croissance de l’instabilite elliptique du vortexde demarrage est donc assez grand. De plus, il est bien plus eleve que celui du vortexd’arret puisque ce dernier subit un cisaillement externe 5 fois plus eleve.

1Ces equations ont ete corrigees par rapport a celles de l’article original qui comportent une erreurs

signale par S. Le Dizes. L’exposant du rapport d/ai dans la racine carre n’est pas 2 mais 4.

Influence de la stratification : regimes d’ecoulement 47

4.5. Influence de la stratification : regimes d’ecoulement

Dans l’analyse de l’evolution de la vorticite negative il a ete note qu’elle est independantedu nombre de Froude, dans les premiers instants (< 20s). Une forte dependance en fonc-tion du nombre de Froude est observee pour des temps plus eleves. Il existe une valeurlimite entre deux regimes tres differents.

La figure 4.12 montre une sequence typique de l’evolution du dipole asymetrique lorsquel’influence de la stratification est faible devant l’advection. Dans ce cas, le nombrede Froude initial est de 4. La frequence de stratification est de 0.65rad/s. Dans cesconditions, elle est trop faible pour inhiber l’instabilite elliptique des deux vortex. Enparticulier, celle du vortex d’arret se developpe rapidement. De la meme facon quedans les experiences en fluide tournant de Afanasyev (2002), le vortex d’arret vients’enrouler autour du vortex de demarrage produisant ainsi un melange important dansson environnement. Malgre ce melange induit par l’instabilite du vortex d’arret, le coeurdu vortex de demarrage reste coherent. La dynamique du coeur a ete etudiee sur destemps jusqu’a quatre fois plus eleves avant qu’il perde toute coherence (voir chapitre 6).

Lorsque la frequence de la stratification est plus elevee, les nombres de Froude desdeux vortex diminuent. Comme l’ecart entre les extrema de vorticite est grand, il existeun regime pour lequel la stratification inhibe l’instabilite elliptique du vortex negatif.Les experiences montrent effectivement un changement de comportement de la pairede vortex dans ces conditions. Le vortex negatif reste coherent et loin du vortex dedemarrage (voir figure 4.13). Son influence est faible pour les nombres de Froude prochesde 1.

La figure 4.13 montre aussi le developpement d’une zone de melange annulaire autour ducoeur du vortex demarrage. Le temps necessaire au developpement de cette instabiliteest bien inferieur a ce qui est attendu pour une instabilite elliptique. Contrairement al’instabilite responsable de cet anneau de melange, l’instabilite elliptique est liee auxmodes de coeur et devrait se developper la ou la vorticite est maximum. Cette transitiondu vortex de demarrage fait l’objet du chapitre 5.

4.6. Conclusions

L’ecoulement genere par un volet a ete etudie et caracterise dans son ensemble durantles premiers instants (. 20s). Les visualisations de cote montrent que le vortex estapproximativement bidimensionnel. Seules des ondes amorties perturbent le coeur duvortex. Les mesures du champ de vitesse par P.I.V. donnent que le vortex est gaussien,reproductible, avec un nombre de Reynolds allant de 800 a 1100 et un nombre deFroude initial de 1.2 a 5. Ces nombres sans dimensions caracteristiques du vortex de


Fig. 4.12 – Visualisation en coupe horizontale de l’ecoulement colore a la fluoresceine. Lesparametres du vortex sont U = 4.8 cm/s et R = 1.7 cm, la frequence de la stratification estN = 0.65 rad/s soit Fr = 4. Les images correspondent de gauche a droite et de haut en bas,aux instants, 30, 35, 41, 46, 49 et 51 s.

Fig. 4.13 – Visualisation en coupe horizontale de l’ecoulement colore a la fluoresceine. Lesparametres du vortex sont U = 4.8 cm/s et R = 2 cm, la frequence de la stratification estN = 1.5 rad/s soit Fr = 1.6. Les images correspondent de gauche a droite et de haut enbas, aux instants, 21, 23, 25, 26, 27, et 28 s.

Conclusions 49

demarrage sont calcules a partir de la vitesse maximum U et du rayon correspondant R.Les mesures du champ de vorticite montrent aussi qu’il subsiste un vortex d’arret dontl’intensite est proche 10cm2/s et de vorticite maximum proche de 1rad/s. Ce vortexest genere a environ 4R du vortex de demarrage.

Comme il y a un autre vortex dans le champ du vortex de demarrage, il subit uncisaillement qui a ete estime a partir des grandeurs caracteristiques mesurees sur uneexperience. Les resultats montrent que le vortex de demarrage peut etre instable dansles conditions des experiences quels que soient les parametres choisis. Mais le taux decroissance de l’instabilite elliptique est faible et celui du vortex d’arret est nettementplus eleve du fait de sa plus forte ellipticite.

Durant les 20 premieres secondes, l’ecoulement est independant du nombre de Froudemais au-dela, des differences importantes ont ete observees. Lorsque le nombre deFroude est eleve, le vortex de demarrage est instable du point de vue de l’instabi-lite elliptique. Il vient s’enrouler autour du vortex de demarrage generant une zone defort melange. Par contre, lorsque le nombre de Froude est faible, le vortex d’arret eststable du point de vue de l’instabilite elliptique et il est de faible influence. Le vortexde demarrage presente tout de meme une instabilite a l’origine d’une zone de melangeannulaire proche du coeur.


Chapitre 5

Instabilite du vortex de demarrage en presence

d’une stratification moderee.

5.1. Introduction

Lord Kelvin (1880) montre qu’une colonne de fluide homogene en rotation solide eststable et supporte la propagation d’ondes. Elles sont aussi appelees ondes d’inertie.En presence d’une distribution continue et monotone de vorticite, la reponse a uneperturbation est plus complexe mais des ondes stables peuvent toujours se propager.Ces modes de Fourier en geometrie cylindrique se caracterisent par, une pulsation, unnombre d’onde vertical et un mode azimutal. Pour un vortex gaussien, le mode azimutalaxisymetrique (0) reste stable en presence de la stratification (Miyazaki & Fukumoto(1991)).

La presence du gradient de vorticite ajoute une nouvelle famille de modes qui vientcompleter celle des modes reguliers. Ils interviennent lorsque la pulsation intrinsequedes ondes est nulle. A ces endroits, il se developpe ce qui est classiquement appele unecouche critique. Les etudes des couches critiques concernent surtout le processus d’axi-symetrisation durant leur amortissement (Melander et al. (1987); le Dizes (2000); Schec-ter et al. (2001); Balmforth et al. (2000)). Elles peuvent aussi jouer un role importantdans l’evolution de l’energie des vortex geophysiques et sur leur stabilite (Montgomery& Kallenbach (1997); Schecter & Montgomery (2004)).

Pour un vortex sans ecoulement axial et avec une faible stratification, il y a principale-ment deux instabilites qui peuvent intervenir. S’il est soumis a un cisaillement, le vortexpeut subir une instabilite elliptique (Kerswell (2002)). Miyazaki & Fukumoto (1992)montrent que la stratification diminue le taux de croissance jusqu’a supprimer l’insta-

51

52 Instabilite du vortex, stratification moderee

bilite elliptique. L’autre instabilite qui peut concerner un ecoulement axisymetrique estl’instabilite centrifuge. Elle est due a une diminution radiale du moment angulaire. Unecoulement doit presenter cette propriete pour etre instable, c’est le critere de Rayleigh.Il reste valable en presence d’une stratification mais les proprietes de l’instabilite sontmodifiees. L’ecoulement de Taylor-Couette en presence d’une stratification a fait l’objetd’une serie d’etudes experimentales et theoriques centrees sur les differents regimes del’ecoulement (Boubnov et al. (1987); Caton et al. (1999)). Smyth & McWilliams (1998)ont analyse le cas du vortex isole instable du point de vue centrifuge. Ils montrent quela stratification stabilise le mode axisymetrique (0) mais le mode helicoıdal (1) resteinstable. La presence d’une stratification peut modifier les conditions de stabilite. Yav-neh et al. (2001) montrent que l’ecoulement de Taylor-Couette presente une instabilitelorsque les conditions doivent garantir la stabilite centrifuge.

Dans le chapitre 3, les methodes experimentales utilisees pour etudier la stabilite d’unvortex ont ete presentees. La formation de l’ecoulement est decrite et caracterisee endetail dans le chapitre 4. Il a ete montre que le vortex de demarrage produit lors del’acceleration d’un volet est proche du modele de vortex gaussien. Pour une stratifica-tion suffisamment elevee, le vortex d’arret dont l’instabilite elliptique est inhibee resteloin du vortex de demarrage et induit un faible champ d’etirement sur le vortex dedemarrage. Ce chapitre est consacre a l’instabilite observee dans ce cas par la forma-tion d’une zone de melange annulaire se developpant autour du coeur du vortex dedemarrage.

La suite se compose de 4 sections. Les proprietes generales de l’instabilite telle qu’elle apu etre observee sont presentees dans la section 2. La section 3 est dediee a une etude deschamps de vitesse et de densite en vue de proposer un mecanisme pour cette instabilite.La section 4 est consacree aux consequences sur l’ecoulement du developpement del’instabilite. Pour clore ce chapitre, la section 5 reprend les principaux resultats.

5.2. Observation et caracteristiques de l’instabilite au bord

du vortex.

L’evolution typique du vortex de demarrage observee de cote par la methode d’om-broscopie est representee par la serie d’images de la figure 5.1. Des le debut de sonevolution, deux bandes verticales apparaissent de part et d’autre de son centre. Ellessont constituees d’une alternance de zones sombres et claires qui signalent la presenced’une forte perturbation du champ de densite. Durant l’evolution de l’ecoulement lecontraste augmente avant qu’une ondulation de courte longueur d’onde verticale sedeveloppe. L’amplitude de cette ondulation augmente de facon explosive pour formerun alignement vertical de petits vortex co-rotatifs. L’ecoulement devient rapidement

Observation et caracteristiques de l’instabilite au bord du vortex. 53

Fig. 5.1 – Sequence d’images de l’evolution de l’ecoulement vu de cote par la methode d’om-broscopie. La surface libre se trouve en haut et le volet a droite. Le centre du vortex se trouveapproximativement au milieu des bandes verticales visibles des la premiere image. Les instantscorrespondants sont 27, 29, 30, et 44s. Le nombre de Froude est de 2 et la hauteur de l’imageest de 14cm.


0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

Fr

λ/R

Fig. 5.2 – Longueur d’onde normalisee par le rayon du vortex en fonction du nombre deFroude.

turbulent formant l’anneau de melange observe sur les visualisations au colorant encoupe horizontale (figure 4.13).

L’observation des images obtenues lors du developpement de l’instabilite permet deconstater que ce mode instable est non-axisymetrique. La longueur d’onde a ete mesureeen fonction du nombre de Froude. Ce dernier est calcule a partir de la vitesse et durayon, compte tenu de leurs evolutions dans le temps par viscosite. Le graphe de lafigure 5.2 montre qu’elle augmente legerement de 0.5R a R pour un nombre de Froudeallant de 0.7 a 2. L’instabilite n’a pas ete observee en dehors de cette gamme. Parcontre, les bandes verticales apparaissent aussi dans le cas des plus faibles nombres deFroude alors qu’elles n’ont pas ete observees pour les valeurs plus elevees que 2. Letemps caracteristique de developpement de l’instabilite est d’une dizaine de secondes apartir du moment ou la longueur d’onde verticale est observable.

5.3. Analyse des perturbations de l’ecoulement

Le principe de l’analyse effectuee ici est de considerer un modele d’ecoulement de basemoyennant certaines hypotheses. Ensuite, il est confronte aux mesures et observationsafin de caracteriser les ecarts et leurs influences sur la stabilite du vortex. Le modeleconsidere est une distribution de vorticite axisymetrique bidimensionnelle et maximumen centre de symetrie. Suite aux mesures preliminaires faites sur le champ de vitessedu vortex, la distribution est supposee gaussienne dans un premier temps. Nous auronsrecours a un autre modele pour plus de precision par la suite. Concernant le champ de

Analyse des perturbations de l’ecoulement 55

18 22 26 30

2

6

10

14

(cm)

(cm)

Fig. 5.3 – Iso-valeurs de la distribution de perturbation de vorticite positive aux instants, 3,4, 5, 6, 7, 8, 11 et 29s. Les courbes continues correspondent a une perturbation positive. Lastratification est de 1.3rad/s. Le cercle en trait continu represente 10% de la vorticite totalemaximum, et le cercle en pointilles represente le lieux ou V/r = N .

densite, nous le considerons a priori insensible a la presence du vortex bi-dimensionnelce qui correspond a l’approximation de Boussinesq.

5.3.1. Les perturbations de vitesse

A l’issue de la serie de mesures d’etalonnage, le vortex de demarrage a ete caracterise parune distribution de vorticite gaussienne. Mais de faibles ecarts pourraient etre a l’origined’une instabilite centrifuge si la vorticite devenait negative au voisinage du vortex. Unenouvelle serie de mesures de P.I.V. a ete realisee et traitee avec une precision accrue.Le pas spatial a ete reduit et plusieurs iterations ont ete realisees afin d’obtenir descorrelations elevees avec des deplacements eleves.

Pour chaque champ, le modele du vortex gaussien a ete ajuste sur les donnees au coeurdu vortex (pour r < R). Puis, un champ de perturbation est obtenu en soustrayant lemodele au champ mesure. Cette operation est realisee sur le champ de vorticite presentesous la forme d’iso-valeurs par la figure 5.3. Les courbes continues correspondent auxvaleurs positives. L’amplitude de la perturbation normalisee par le maximum de vor-ticite varie de -0.4 a 0.2 a t = 3s, et de -0.08 a 0.06 a t = 29s. Ces valeurs sontproches du bruit et par consequent peu fiables, mais le comportement est coherent etla variation est significative. L’amplitude de la perturbation est importante au debut


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

v/U

Fig. 5.4 – Profils de vitesse azimutale me-sures pour 3 differentes experiences (sym-boles). Les courbes continues sont les pro-fils theoriques bases sur la fonction deWhittaker et celles en trait discontinu sontles profils de vorticite theoriques corres-pondants.

10 20 30 40 50 600.5

0.55

0.6

0.65

0.7

t (s)

α

Fig. 5.5 – Coefficient α du modele de vor-tex non gaussien obtenu par regression apartir des mesures. Le vortex est isole siα > 1

de l’experience car le vortex de demarrage est encore en pleine formation et plusieursvortex secondaires issus de l’instabilite de la couche d’enroulement n’ont pas finis defusionner (voir chapitre 4). Ensuite, la rotation et la diffusion agissent et l’ecoulementrelaxe vers un vortex gaussien axisymetrique. Vers t = 29s, la perturbation de vorticiteau voisinage de l’endroit ou l’instabilite se developpe est positive. Elle tient ses originesdans la formation meme du vortex et est une trace des vortex secondaires qui fusionnenten dernier. Ces resultats semblent coherents bien qu’ils soient bases sur des mesuresde vorticite proches de l’erreur. Pour les confirmer, ils peuvent etre completes par uneanalyse du champ de vitesse sujet a une erreur encore plus faible.

Un autre modele que le vortex gaussien a ete utilise pour la comparaison avec lesmesures. Ce modele a l’avantage de bien representer une large gamme de vortex auxcoeurs prochent du modele gaussien mais dont la decroissance de vitesse a l’exterieurpeut etre controlee par un parametre supplementaire. L’expression du profil de vitesseest donnee par :

v(r) = Wim,n(r2/2)e−r2/4, (1)

ou Wim,n est la fonction de Whittaker avec n = 0.5 et m = (α − 1)/2 (Kloosterziel(1990), Flor & Eames (2002)). α est le coefficient dont depend la decroissance de vitessea l’exterieur. Le vortex est isole si α > 1, ce qui se traduit par la presence d’une couronnede vorticite negative au-dela du coeur positif. Une methode de regression non lineairea ete utilisee pour determiner le coefficient α et les deux autres parametres, U et R apartir des mesures. Cette methode donne le coefficient α avec une erreur inferieure a

Analyse des perturbations de l’ecoulement 57

6 8 10 12 14 16 18

-2

-1

0

1

2

t (s)

r/R

Fig. 5.6 – Diagramme spatio-temporelobtenu en moyennant les images d’ombro-scopie selon la verticale.

Fig. 5.7 – Vue en coupe horizontale duchamp de particules en moyenne sur 9s avant le developpement de l’instabilite.L’image fait environ 10x10 cm et N=1.3rad/s.

3%.

Les resultats sur les profils de vitesse sont presentes sur la figure 5.4. Les symbolescorrespondent aux mesures alors que les courbes continues sont le resultat de la regres-sion. L’ecart moyen entre les mesures et la courbe de regression est inferieur a 0.1cm/s.La vitesse au-dela du coeur du vortex est superieure a celle obtenue pour un vortexgaussien et ce jusqu’a une distance de 3R. Le coefficient α est strictement inferieur a1 dans l’intervalle de confiance de la mesure. La figure 5.5 presente l’evolution dans letemps du coefficient α. Le coefficient α reste inferieur a 1, avec une valeur en moyennelegerement superieure a 0.65 jusqu’a 40s. Le pic au debut s’explique par la forte non-axisymetrie du vortex lorsqu’il est encore en pleine formation (avant 20s). Cette valeurnettement inferieure a 1 s’explique par la presence de l’exces de vorticite positive aubord du vortex observe precedemment (voir figure 5.3). L’ecart avec le profil gaussiende vorticite est a peine visible sur la figure 5.4 alors que la consequence sur le profilde vitesse est plus visible. La precision de la mesure de α est suffisante pour mettre enevidence le debut de la croissance de l’instabilite a partir de 40s qui se manifeste parune brutale diminution.

5.3.2. Les perturbations de densite

La variation de densite pour un ecoulement effectivement barotrope, ne doit rien pro-jeter sur l’ecran de l’ombroscope. Or, la premiere image de la figure 5.1 montre une


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

r/R

Ω (rad/s)

Fig. 5.8 – Vitesse angulaire Ω = v/r en fonction de r/R. Les symboles indiquent la positionde la perturbation de densite pour chaque experience. La ligne pointillee horizontale indique lafrequence de la stratification pour toutes les experiences.

anomalie du champ de densite qui precede le developpement de l’instabilite helicoıdalede courte longueur d’onde. Cette anomalie se developpe tres tot et evolue dans letemps. Elle est la signature d’un fort gradient de densite. La figure 5.6 montre lesvariations temporelles de l’intensite lumineuse d’une image d’ombroscopie moyenneeselon la verticale. A chaque instant, le profil de niveau de gris a ete recentre par rap-port a la perturbation. Cette representation spatio-temporelle permet de mettre enevidence l’augmentation du contraste entre les bandes claires et sombres. Ceci impliqueune augmentation du gradient de densite horizontal. L’instabilite se developpe a partirde t = 20s. Cette perturbation de densite semble donc etre liee a l’instabilite. Mais lavisualisation par ombroscopie limite son analyse.

La structure radiale et azimutale de la perturbation de densite a l’origine de ces bandesverticales a pu etre mise en evidence grace aux particules utilisees pour les mesurespar P.I.V.. Elles ont une densite de 1027kg/m3 en moyenne avec des variations de±2kg/m3. Pour une stratification de 1.3rad/s, elles sont distribuees dans une couchede 2cm d’epaisseur. La tranche laser qui les illumine fait moins de 5mm d’epaisseur.Ainsi, en l’absence de melange, il est possible de visualiser les mouvements verticaux dedessus. Comme la tranche laser passe juste en dessous du maximum de concentrationen particules, les mouvements de fluide vers le haut creent un deficit de particules illu-minees alors que dans le cas contraire, il y a plus de particules illuminees. La figure 5.7montre le champ de particules moyenne sur 9s. La perturbation est clairement visibleet presente un mode azimutale 1. Elle est localisee sur environ 1cm et presente unefaible variabilite temporelle. La structure ne varie quasiment pas durant les 9s de lamoyenne. De telles variations dans le champ de particules implique une amplitude d’aumoins 1cm des mouvements verticaux. L’ordre de grandeur de la variation de densite

Consequences sur l’ecoulement 59

0 20 40 60 80 100 1200.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t (s)

E/E0

Fig. 5.9 – Energie cinetique totale del’ecoulement en fonction du temps.

0 20 60 100 1400

0.4

0.8

1.2

t (s)

M/M0

Fig. 5.10 – Moment angulaire ca-racteristique de l’ecoulement normalise parsa valeur initiale en fonction du temps.

associee est estimee a 1kg/m3. A titre de comparaison, la variation de densite due auxeffets non-Boussinesq est de l’ordre de ρ0(NU/g)2 ≈ 0.001kg/m3 et reste invisible parla methode d’ombroscopie.

Au sein de la perturbation de densite, les particules fluides subissent des oscillationsverticales tout en tournant autour du centre du vortex. Elles effectuent une perioded’oscillation par tour. Grace a ces images, il est possible de comparer avec precisionla position de la perturbation de densite par rapport au profil de vitesse. En fait, ils’avere plus utile de la comparer a la vitesse angulaire definie par Ω = v/r avec v(r)la vitesse azimutale. L’interet d’utiliser Ω est qu’elle entre en compte dans l’expressionde la pulsation intrinseque des ondes σ = ω − lΩ que le vortex peut supporter. Lafigure 5.8 montre differents profils de vitesse angulaire pour differentes experiences.La frequence de la stratification est de 1.3 rad/s. Les symboles indiquent la positionde la perturbation de densite et la ligne pointillee horizontale indique la valeur de lafrequence de stratification. Ceci montre que la position de la perturbation coıncide aveccelle de la ligne de courant sur laquelle la vitesse des particules verifie Ω = N .

5.4. Consequences sur l’ecoulement

Cette section est consacree aux consequences de cette instabilite sur l’ecoulement.Comme cela a ete montre, elle conduit a la formation d’une zone de melange annu-laire qui s’etend sur toute la hauteur du vortex. La turbulence est a l’origine d’uneforte diminution de l’energie cinetique de l’ecoulement comme cela est illustre sur la fi-gure 5.9. Il s’agit la d’une mesure tiree de l’experience analysee dans la section 5.3. Cette


10 5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

d/dν

ω/

ω0

Fig. 5.11 – Profils de vorticite instantanes selon une diagonale normalises par la vorticitemaximum. Le rayon est normalise par la distance de diffusion normale dν =

√νt. Les instants

correspondants sont 28 s (−), 60 s (−−), 79 s (··) et 89 s (−·).

decroissance de l’energie n’intervient que plusieurs secondes apres le developpementde l’instabilite. Au meme instant, le moment angulaire caracteristique M = UR del’ecoulement augmente brutalement (voir figure 5.10). La presence de l’anneau demelange se traduit par une augmentation de la diffusion de vorticite. La vitesse maxi-mum diminue peu alors que le rayon augmente brutalement. Les consequences sur laforme du profil de vorticite sont visibles en les normalisant par la vorticite maximum etla distance de diffusion normale dν =

√νt (figure 5.11). Lorsque l’instabilite est totale-

ment developpee (vers 60s), le profil se raidit et devient proche d’un profil de Rankineapres l’effondrement de la turbulence (vers 80s).

La mesure de la divergence bidimensionnelle permet de mettre en evidence les vitessesverticales d’amplitudes significatives. Elle n’est pas assez sensible pour detecter la per-turbation de densite observee sur la figure 5.7, mais elle permet de detecter clairementles ondes rayonnees par le vortex devenu fortement instationnaire (voir figure 5.12).Le debut du rayonnement coıncide avec le changement de pente dans la decroissancede l’energie cinetique ce qui suggere qu’une part importante de l’energie est rayonnee.Le sens de propagation de ces ondes est le meme que celui de l’ecoulement. Elles sontgenerees dans la zone definie par 10% de la vorticite maximum et marquee par le cercleen trait continu. La longueur d’onde radiale est proche du rayon du vortex. Enfin, ellespossedent aussi une structure verticale bien definie qui fait apparaıtre une longueurd’onde, elle aussi proche du rayon du vortex (figure 5.13).

Consequences sur l’ecoulement 61

10 15 20 25

10

14

18

22

26

(cm)

(cm)

Fig. 5.12 – Champ de divergence dans un plan horizontal. Les instants sont 61, 63, 66, 67, 68et 72s de gauche a droite et de haut en bas. le cercle en trait continu correspond a 10% de lavorticite maximum et celui en trait pointille correspond a Ω = N .

Fig. 5.13 – Image par ombroscopie des ondes rayonnees lorsque le bord du vortex est turbulent.Celui-ci se trouve a droite de l’image. Il s’agit de la meme experience que celle presentee figure 5.1et cette image est une moyenne sur environ 5s a partir de 44s. La hauteur de l’image corresponda environ 12cm


5.5. Discussion et Conclusion

L’anneau de melange qui se developpe autour du vortex de demarrage lorsque la stra-tification a une influence comparable a l’advection (voir figure 4.13) est la consequenced’une instabilite de courte longueur d’onde. Elle se developpe au bord du vortex entreR et 1.5R. Une analyse approfondie des champs de vitesse et de vorticite montre qu’ilne peut pas y avoir de vorticite negative dans cette zone de l’ecoulement pouvantdeclencher une instabilite centrifuge. Elle ne peut pas non plus etre interpretee commeune instabilite elliptique etant donne son court temps de developpement et sa positiondans le vortex. L’instabilite elliptique concerne plutot le coeur du vortex.

Les visualisations par ombroscopie montrent la croissance d’une perturbation de den-site de mode azimutal 1 juste avant le developpement de l’instabilite de courte longueurd’onde verticale. Elle est localisee autour d’un rayon tel que Ω = N . Comme sa pulsa-tion ω dans le repere du laboratoire est nulle, cette condition peut aussi s’ecrire σ = N ,ou σ = ω − lΩ est la pulsation intrinseque du mode. C’est bien ce qui est observe.Une particule dans son mouvement au sein de la perturbation (voir figure 5.7) subitune periode d’oscillation verticale a chaque tour qu’elle execute. La pulsation de cettepertubation dans le repere du laboratoire (ω) est nulle et celle exprimee dans le reperelocal d’une particule fluide est σ = N . Du fait de sa position radiale dans l’ecoulement,la frequence de ces oscillations est egale a la frequence naturelle des oscillations verti-cales dans un fluide stratifie au repos, suggerant ainsi qu’un phenomene de resonanceest a l’origine de l’instabilite observee.

L’instabilite est une consequence de la croissance de la perturbation de densite. Les par-ticules fluides sont localement animees d’une vitesse verticale necessairement cisailleeradialement au travers de la perturbation. Le couple barocline du a la deformationdu champ de densite a cet endroit s’oppose a la composante de vorticite horizontaleliee au cisaillement. Mais si le nombre de Froude est suffisamment eleve (> 0.5), le ci-saillement l’emporte et il y a retournement. L’instabilite de courte longueur d’onde quise developpe possede une structure non-axisymetrique. Cette situation ne dure pas etl’ecoulement devient rapidement turbulent. L’energie cinetique chute en meme tempsqu’un train d’onde interne est rayonne vers l’exterieur.

Ce mecanisme permet d’expliquer l’absence de cette instabilite pour les nombres deFroude inferieurs a 0.7 et superieurs a 2. En dessous de 0.7, l’energie potentielle maxi-mum que peut gagner une particule fluide n’est pas suffisante pour qu’il y ait retourne-ment. La perturbation apparaıt mais son amplitude sature. Au dessus de 2, la conditionde resonance est satisfaite loin du vortex et les deformations du champ de densite lieesaux ondes et perturbations du vortex sont tres faibles. Enfin, l’augmentation de la lon-gueur avec le nombre de Froude s’explique par un argument energetique simple : enprenant de l’altitude, les particules fluides gagnent de l’energie potentielle en proportion

Discussion et Conclusion 63

ρ=Cste

z

r

axe

de

sym

étr

ie d

u v

ort

ex

uz

couple barocline

Fig. 5.14 – Representation schematique de la perturbation de densite avant le retournementet de la competition entre le cisaillement et le couple barocline

de la difference de densite. Elle est fournie par l’energie cinetique de l’ecoulement. Pourune energie cinetique donnee, une diminution du gradient de densite de la stratificationpermet aux particules de parcourir une plus grande distance verticale et la longueurd’onde de l’instabilite est plus grande.

D’autres types de resonances sont deja connus pour intervenir dans les ecoulementsageostrophiques. Par exemple, Sakai (1989) utilise le modele d’ecoulement unidirec-tionel cisaille dans un canal pour mettre en evidence l’instabilite due a la resonanceentre les ondes de Rossby et de gravite. Miyazaki (1992) a identifie theoriquement unphenomene de resonance semblable a celui observe mais dans des conditions differentes.Il utilise un modele de vortex bi-dimensionnel non-axisymetrique et non-Boussinesq. Enl’absence de variations dans la direction verticale, les deformations du champ de densitesont uniquement dues aux effets non-Boussinesq. Le mode azimutal le plus bas pourlequel la resonance intervient dans ce cas particulier de vortex bidimensionnel est de2. Miyazaki (1992) ne mentionne pas d’instabilite et se focalise sur les proprietes de lacouche interne lorsque les effets visqueux sont predominants.

Recemment, Montgomery & Kallenbach (1997) et Schecter & Montgomery (2004) ontmontre l’existence d’une instabilite des cyclones qui met en jeu un mecanisme complexed’echange d’energie entre une couche critique excitee par les ondes de Rossby et lesondes de gravite rayonnees a l’exterieur. Elle se developpe lorsque le profil de vorticiteest proche du vortex de Rankine avec un fort gradient de vorticite. La couche critiquese trouve la ou la frequence intrinseque des ondes est nulle (σ = ω − lΩ = 0). Pourcette etude theorique, les auteurs ont recours a la methode des modes normaux decrite


dans le chapitre 2. Ils obtiennent une equation pour le probleme aux valeurs propressimilaire a celle obtenue par Smyth & McWilliams (1998). Ces equations font apparaıtredes singularites en σ = 0 et σ = N . La premiere correspond aux modes de couchecritique qui intervient dans le mecanisme propose par Schecter & Montgomery (2004).La deuxieme est supprimee par l’approximation hydrostatique qui revient a negliger lesaccelerations verticales et a appliquer σ À N .

Les resultats experimentaux presentes ici tendent a montrer que la singularite qui cor-respond a σ = N a une realite physique et produit un mode singulier similaire aune couche critique. Le lien entre la position de cette perturbation et la condition deresonance a ete verifie sur un autre type d’ecoulement genere par aspiration sur toutela hauteur d’un fluide stratifie tournant. Dans ces experiences, la rotation est faible etl’aspiration produit un cyclone avec un profil de vitesse de vortex potentiel. La pertur-bation de densite a ete observee et sa position qui evolue dans le temps a mesure que lefluide est aspire, est en accord avec la condition de resonance σ = N (voir annexe B).

Chapitre 6

L’instabilite de coeur du vortex en fluide

faiblement stratifie

6.1. Introduction

L’influence de la stratification sur l’instabilite elliptique a surtout fait l’objet d’etudestheoriques et numeriques (voir par exemple Kerswell (2002)). Entre autres, Miyazaki& Fukumoto (1992) utilisent l’ecoulement du cylindre en rotation solide pour montrerque la stratification diminue le taux de croissance de l’instabilite jusqu’a ce qu’elle soittotalement supprimee. Ce resultat a ete confirme dans les experiences sur le dipolesymetrique de Billant & Chomaz (2000a). Les resultats theoriques sur l’instabilite el-liptique sont nombreux mais ils concernent surtout les fluides homogenes (voir parexemple Tsai & Widnall (1976), Landman & Saffman (1987), Eloy & le Dizes (1999)ou le Dizes & Laporte (2002)).

Le dispositif et les methodes experimentales utilisees ici sont presentes en detail dans lechapitre 3. Il s’agit de la cuve fixe de 80×80×40cm3 dans laquelle le dipole asymetriqueest forme par l’acceleration brutale et la deceleration lente d’un volet vertical dansun fluide faiblement stratifie (< 1rad/s). Les experiences realisees nous ont permisd’etudier la transition du dipole asymetrique, le comportement a long terme du coeur duvortex de demarrage et l’influence de la stratification sur ces deux etapes de l’evolutionde l’ecoulement.

L’etude de l’ecoulement genere par le volet (voir chapitre 3) montre qu’il existe deuxregimes distincts en fonction de la stratification. Lorsqu’elle est elevee, le vortex d’arretreste eloigne du vortex de demarrage. Si elle est suffisamment faible, le vortex d’arret(negatif) se rapproche et s’enroule autour du vortex de demarrage. Dans ce regime, le

65

66 Instabilite de coeur, faible stratification

0 20 40 60 80 100 1200.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t (s)

Ec/E0

Fig. 6.1 – Energie cinetique totale del’ecoulement en fonction du temps. Lafrequence de stratification est de 0.6rad/s.

0 20 40 60 80 100 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

M/M0

Fig. 6.2 – Moment angulaire ca-racteristique de l’ecoulement normalise parsa valeur initiale en fonction du temps.La frequence de la stratification est de0.6rad/s.

nombre de Froude du vortex de demarrage Fr = U/(RN) est superieur a 2 (avec U lavitesse maximum du vortex de demarrage, R le rayon correspondant et N la frequencede stratification). Ce chapitre est consacre aux resultats obtenus dans ces conditions.Les visualisations montrent que le vortex negatif perd rapidement toute coherence etproduit une large zone de melange a petites echelles (voir figure 4.12. Contrairement aucas du dipole symetrique, le vortex le plus intense du dipole asymetrique reste coherent.

Ce regime se distingue de celui etudie pour Fr < 2 (voir chapitre 5), il n’y a pas dechute rapide de l’energie cinetique et le moment angulaire caracteristique M = UR

n’augmente pas (voir figures 6.1 et 6.2). Ces resultats sont obtenus dans les memesconditions de mouvement du volet que ceux des figures 5.9 et 5.10. Les variations tem-porelles de l’energie cinetique et du moment angulaire presentent un leger changementvers t ≈ 50s. Il marque la transition entre le dipole asymetrique et un ecoulementdomine par la rotation du vortex de demarrage entoure par une zone turbulente. Aucours de cette transition, le vortex de demarrage doit subir un cisaillement plus eleveque dans la situation initiale avec le vortex negatif eloigne. Le taux de croissance del’instabilite elliptique du vortex de demarrage peut etre accru.

L’instabilite du vortex d’arret est presente dans la section 2. Le vortex de demarragesubit une instabilite elliptique etudiee en detail dans la section 3. La section 4 estconsacree a l’evolution a long terme du coeur du vortex. La conclusion est donnee dansla section 5.

L’instabilite du vortex d’arret 67

6.2. L’instabilite du vortex d’arret

La sequence de la figure 6.3 montre l’instabilite du vortex negatif. L’ecoulement estvisualise par la methode ”schlieren synthetique” (voir, e.g., Dalziel et al. (2000)).La premiere image de la sequence montre le vortex juste apres sa formation. Sur ladeuxieme image, une ondulation marquee par la courbe en trait noir apparaıt. Il s’agitdu vortex negatif deja tres deforme par une instabilite. La longueur d’onde est claire-ment visible sur la troisieme image. Le vortex negatif sort du champ de visualisationsur les images entre les instants 41 et 51s. Il repasse dans le champ sur l’avant derniereimage, puis eclate sur la derniere qui montre la turbulence engendree. La longueurd’onde mesuree sur ces images est de 9cm. Dans des conditions typiques, les resultatstheoriques sur l’instabilite elliptique donnent une longueur d’onde de 7cm.

Ce type de comportement des dipoles fortement asymetriques a deja ete observe dansdes experiences en fluide tournant (Afanasyev (2002)) et des simulations numeriques enfluide homogene(voir par exemple, Marshall et al. (2001); Ortega et al. (2003)). La lon-gueur d’onde et le taux de croissance sont compatibles avec les estimations theoriquessur l’instabilite elliptique. Comme ce phenomene d’enroulement du vortex negatif au-tour du vortex de demarrage n’intervient plus pour les stratifications plus fortes, ilsemble que l’instabilite du vortex negatif qui en est responsable est une instabiliteelliptique.

6.3. Instabilite elliptique au coeur du vortex de demarrage

Les vues de cotes du coeur du vortex marque au colorant montrent la croissance d’uneondulation de courte longueur d’onde. Elle commence a croıtre vers t = 20s, lorsque levortex negatif commence a s’enrouler autour du vortex de demarrage (voir figure 6.4et 6.5). La figure 6.8 montre une vue de cote en coupe au travers d’un diametre du vor-tex. Elle donne une visualisation detaillee de la structure de l’ecoulement perturbe avec,en particulier, la presence d’un cylindre non-perturbe entoure d’oscillations en oppo-sition de phase de part et d’autre. La longueur d’onde a ete mesuree en fonction dunombre de Froude pour une gamme allant de Fr = 2 − 5 en complement des mesuresfaites anterieurement dans une cuve de 40 × 40cm2 sur la gamme Fr = 1 − 2. D’unevaleur maximum de 3.2R pour Fr ≈ 1, elle diminue fortement pour tendre vers 2.4R

(voir figure 6.6).

Cette instabilite se developpe au coeur et presente une structure semblable en touspoints a celle de l’instabilite elliptique. Le taux de croissance a ete mesure a partir del’augmentation de l’amplitude de la deformation du coeur (voir figure 6.7). La regressionexponentielle donne 0.13s−1, ce qui est bien plus eleve que les 0.015s−1 estimes pourune distance de 12cm et un rapport de circulations de 0.2 (voir chapitre 4). Cette


Fig. 6.3 – Visualisation de cote de l’ecoulement par “shlieren synthetique”. Le trait vertical enbas des images marque la position du vortex de demarrage. La hauteur des images corresponda environ 22cm, la frequence de stratification est de 0.7rad/s et le temps va de gauche a droiteet de haut en bas. Les instants sont 25, 34, 36, 41, 51 et 57s.

Instabilite elliptique au coeur du vortex de demarrage 69

Fig. 6.4 – Visualisation de cote au colorant du coeur du vortex. La hauteur de l’image corres-pond a 20cm et la longueur d’onde sur la deuxieme image est de 4cm. Les instants correspon-dants sont 10, 45 et 170s. La frequence de stratification est 0.7rad/s.

t (s)

h=13.7 cm

10 30 50 70

Fig. 6.5 – Deformation de la ligne de coeur du vortex de demarrage, vue de cote, en fonctiondu temps. N = 0.7rad/s et Fr = 4.5. Ce resultat est obtenu a partir de la meme experience quela figure 6.4.


1 2 3 4 5 61

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Fr

λ/R

Fig. 6.6 – Longueur d’onde de l’instabilite au coeur normalisee en fonction du nombrede Froude. Les symboles correspondent a deux series d’experiences. Les courbes continuesrepresentent les variations theoriques de la longueur pour un cylindre en rotation solide(branches 2 et 3). Les courbes pointillees representent la limite en fluide homogene pour unvortex gaussien (2 premieres branches).

difference est une consequence directe de l’enroulement du vortex negatif qui augmentel’ellipticite du vortex positif et, par voie de consequence, le taux de croissance.

L’instabilite elliptique resulte de la resonance entre deux modes de Kelvin de memelongueur d’onde, l’un retrograde, l’autre co-grade qui sont excites par l’ellipticite duvortex. Dans ce cas, les modes excites sont helicoıdaux. Les visualisations du coeurmarque au colorant montrent que le mode est effectivement helicoıdal et stationnairedurant sa phase de croissance (voir figure 6.5). La visualisation en coupe met en evidenceun tube de courant non perturbe (figure 6.8). Il correspond a un zero de la fonctionpropre caracteristique des modes de Kelvin. Pour chaque mode azimutal, la relation dedispersion des ondes de Kelvin presente plusieurs branches. A chacune de ces branchescorrespond un nombre de zeros de la fonction propre. Il n’y a qu’un seul zero ici etil s’agit a priori de la premiere branche. Le diametre du tube invariant vaut deuxfois la longueur d’onde verticale. La valeur theorique de ce diametre est obtenue apartir des resultats sur l’instabilite elliptique obtenus par Waleffe (1990) qui donnentla perturbation de vitesse pour un ecoulement infini en rotation solide :

ur = C

√3

2est [J0(

√3kzr) + 1

3J2(√

3kzr)] cos(kzz) sin(θ + 14π) (1a)

uθ = C

√3

2est [J0(

√3kzr)− 1

3J2(√

3kzr)] cos(kzz) cos(θ + 14π), (1b)

dans le repere (r, θ, z), ou Jn est la fonction de Bessel du premier type, kz est le nombred’onde vertical et s est le taux de croissance. La valeur theorique du diametre du


16 20 24 28 320

2

4

6

8

10

t (s)

A

Fig. 6.7 – Amplitude en fonction dutemps des perturbations du coeur du vor-tex pendant la croissance de l’instabilite el-liptique. La courbe en trait continu corres-pond a l’ajustement d’une croissance expo-nentielle. L’amplitude A est arbitraire.

4.5

cm

2.2 cm

Fig. 6.8 – Vue en coupe selon un diametrede l’instabilite qui apparaıt sur la deuxiemeimage de la figure 6.4.

cylindre invariant de kz/1.99 est tres proche de celle mesuree.

Avec les longueurs d’ondes mesurees, la figure 6.6 montre aussi certains resultatstheoriques. En pointilles, ce sont les valeurs de la limite homogene obtenues theoriquementpar Eloy & le Dizes (1999) pour un vortex gaussien. Les deux premiers modes sont delongueur d’onde 2.5R et 1.4R, ou R est le rayon a la vitesse maximum. La longueurd’onde theorique du premier mode instable est tout a fait en accord avec la limite de2.4R obtenue experimentalement. Les courbes en traits continus correspondent aux va-riations theoriques pour les seconde et troisieme branches dans le cas d’un cylindre defluide stratifie en rotation solide. Les conditions aux limites et l’absence de gradientde vorticite modifient les relations de dispersion mais elles gardent la meme structure.La premiere branche de la relation de dispersion pour le cylindre ne presente pas dezero. La longueur d’onde correspondante est d’environ 4R dans la limite homogene.Malgre les differences entre le modele et la realite, les variations de la longueur d’ondesont correctement representees par le modele du cylindre en rotation solide. La fortevariation pour les nombres de Froude inferieurs a 2 est bien en accord avec les mesures.

Le taux de croissance obtenu, normalise par le temps de retournement R/U est de0.052. Cette valeur est comparable a celle obtenue en fluide homogene pour un dipolesymetrique mesure dans des experiences de Leweke & Williamson (1998). A partir de latheorie sur un vortex gaussien de Eloy & le Dizes (1999), l’etirement externe responsabled’un taux de croissance de 0.13s−1 est de 0.094s−1. La theorie des points vortex permet


de relier le cisaillement externe a la circulation et la distance de separation :

Se =Γ

2πd2, (2)

ou d est la distance de separation et Γ la circulation de chacun des vortex de la paire.Le dipole symetrique equivalent dont l’etirement externe est egal a celui mesure aune distance de separation de b = 12cm. Dans ces conditions, le rapport R/b = 0.17est comparable a celui de 0.2 obtenu dans les experiences sur les dipoles symetriquesde Leweke & Williamson (1998) et explique que les taux de croissance soient proches.Ceci implique que l’enroulement du vortex negatif engendre un cisaillement equivalenta celui que subit chaque vortex d’un dipole symetrique.

La croissance de l’instabilite elliptique n’est observee que durant une vingtaine desecondes, apres quoi l’amplitude sature. L’analyse theorique d’Eloy & le Dizes (1999)montre que la diffusion de vorticite peut causer la saturation de l’instabilite elliptique.Pour un mode donne, le taux de croissance de l’instabilite elliptique est non-nul dansune bande de nombre d’onde. Initialement, les propietes du vortex (taille, circulation,ellipticite) fixent la longueur d’onde qui croıt. Comme la viscosite modifie certaine de cesproprietes, la bande de longueurs d’ondes instable se decale par rapport a la longueurd’onde qui croıt. La saturation intervient lorsque la longueur d’onde sort de la bandeinstable. Sur la base de considerations dimensionnelles, Eloy & le Dizes (1999) donnentun ordre de grandeur du temps du regime transitoire de l’instabilite, τ ≈ SReΓδ4/Γ2 ouS est l’etirement, Γ la circulation, ReΓ le Reynolds base sur la circulation et, δ ≈ 2.24R

est une dimension horizontale caracteristique du vortex gaussien dont le maximum devitesse est en R. Pour un vortex typique, le taux de croissance est de l’ordre de 0.1s−1,soit un cisaillement S ≈ 0.1s−1 pour une circulation d’environ 90cm2/s et R = 2cm.Le temps caracteristique du regime transitoire est estime a 20s ce qui est tres prochedu temps obtenu dans les experiences.

Les perturbations de vitesse et de vorticite liees a cette instabilite sont obtenues ensoustrayant le modele de vortex gaussien aux champs de mesures. Ce modele est ajustea partir de la moyenne selon la direction azimutale des donnees au coeur du vortex.La figure 6.9 montre les champs de vitesse et de vorticite ainsi que les perturbationscorrespondantes, 27s apres le debut du mouvement. Le cercle correspond a la tailledu vortex definie par ωz < 0.01ωmax. L’amplitude des perturbations du champ devitesse est suffisamment significative, entre 0.5 et 2cm/s, par rapport a la precision dela mesure. Le vortex negatif se trouve en haut du champ. Il induit une sur-vitesse a lalimite du vortex de demarrage. Au coeur du vortex, la perturbation de vitesse prendune structure dipolaire proche de ce qui est obtenu theoriquement pour une instabiliteelliptique (voir figure 6.10).


4

8

12

16

20

24

(cm)

(cm)

10 15 20 25 3010 15 20 25 30

4

8

12

16

20

24

(cm)

(cm)

12 16 20 24 28

8

12

16

20

(cm)

(cm)

12 16 20 24 28

8

12

16

20

(cm)

(cm)

Fig. 6.9 – De gauche a droite et de haut en bas, champ de vitesse, perturbation du champde vitesse par rapport au vortex gaussien, champ de vorticite et perturbation du champ devorticite. Mesure a 27 s pour N = 0.7 rad/s.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Fig. 6.10 – Champ de la perturbation de vitessetheorique de l’instabilite elliptique.


Fig. 6.11 – Visualisation de cote en coupe selon un diametre du vortex de demarrage. Cedernier se trouve a gauche. L’image est prise a 64s, la frequence de stratification est de 0.8rad/S.La dimension verticale est de 15cm.

6.4. Evolution a long terme

Apres la saturation du mode de coeur, le vortex de demarrage reste coherent contraire-ment au vortex negatif. De ce dernier il ne subsiste qu’une large zone turbulente autourdu premier vortex qui reste coherent longtemps. Les dipoles asymetriques sont instableset le taux de croissance de l’instabilite du plus petit vortex est le plus eleve. Alors, il s’en-roule autour du vortex le plus intense. Lorsque les vortex ont des circulations proches,cette interaction conduit a une rupture du vortex le plus intense (voir par exemple Mar-shall et al. (2001) et Ortega et al. (2003)). Par contre, il existe une asymetrie limitepour laquelle le vortex le plus intense reste coherent. Les caracteristiques typiques dudipole asymetrique dans ces experiences sont, Γ2/Γ1 ≈0.2 et R1/b ≈ 0.2 (les indices1 correspondent au vortex de demarrage). Dans ces conditions, la faible influence duvortex negatif est en accord avec les resultats numeriques realises en fluide homogene(Marshall et al. (2001)).

6.4.1. Structure radiale du vortex turbulent

La structure radiale complexe du vortex de demarrage apres l’eclatement du vortexnegatif est montree sur la figure 6.11. Elle peut etre decomposee en trois zones, lecoeur laminaire du vortex, le pourtour turbulent et une zone dans laquelle des ondesinternes se propagent. La zone turbulente forme des couches horizontales classiquement

Evolution a long terme 75

observees lors de l’effondrement de la turbulence en fluide stratifie.

Malgre la presence de la turbulence au bord du vortex, le coeur reste laminaire. Lenombre de Richardson permet de definir un critere pour la formation de vortex ho-rizontaux dans une couche horizontale de cisaillement vertical en fluide stratifie. Ilcorrespond au rapport de la frequence de la stratification et du gradient de vitesse.L’analogie existant entre la stabilite des ecoulements en rotation et la convection na-turelle est etendue aux cas de la turbulence par Bradshaw (1969). Il definit alors unnombre de Richardson equivalent a celui utilise en fluide stratifie mais applique auxecoulements tournants :

Rii = 2S(S + 1), (3)

avec S = (U/r)/(dU/dr). La frequence des ondes inertielles remplace celle des ondesde gravite. Dans le cas d’un vortex turbulent, U(r) represente la vitesse moyenne. Riidonne un critere pour l’inhibition totale du retournement par le gradient de momentangulaire qui joue un role similaire a la stratification en densite. Pour un profil de vitessede vortex gaussien, la presence d’un maximum de vitesse se traduit par une singularitedans les variations radiales de Rii qui tend vers l’infini au voisinage du rayon (Cotel &Breidenthal (1999)). Ceci equivaut a une tres forte stratification en densite, comparablea une interface. Pratiquement aucun retournement ne peut la traverser. Sur la coupede la figure 6.11, la limite entre la zone laminaire et la zone turbulente est effectivementproche du rayon du vortex.

6.4.2. Rayonnement d’ondes internes

Plus loin encore, les deformations d’une ligne de colorant initialement verticale et droitemet en evidence le rayonnement d’ondes qui resulte de l’effondrement. La encore, unelongueur d’onde apparaıt clairement mais elle varie en fonction de la distance (voirfigure 6.12). La longueur d’onde augmente avec la distance par rapport au vortex. Lacelerite d’une onde de gravite augmente avec la longueur d’onde. Les plus grandesatteignent la paroi en premier. Dans les conditions de la figure 6.12 (N = 0.8rad/s,Fr = 3.5), l’onde atteint le bord de la cuve environ 50s apres le declenchement de laturbulence. La distance parcourue durant ce laps de temps est de 35cm environ soitune celerite de 0.9cm/s pour une longueur d’onde d’environ 4R.

6.4.3. Dynamique du coeur a long terme et eclatement

Au lieu de croıtre horizontalement jusqu’a la transition a la turbulence du vortex, lemode le plus instable sature (voir figure 6.5). Apres cela, il est semblable aux ondesnon-lineaires telles que celles observees dans des experiences en fluide tournant (Hop-finger et al. (1982), Maxworthy et al. (1985)) et des simulations numeriques en fluide


a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

Fig. 6.12 – Visualisation de cote en coupe selon un diametre. Le vortex de demarrage se trouvea gauche. La hauteur de chaque image est de 12cm, les instants vont de 58 a 102s par pas de4s. La frequence de stratification est de 0.8rad/s.

homogene (Melander & Hussain (1993)). Les ventres et noeuds oscillent verticalementet tournent autour de l’axe du vortex.

L’evolution spatio-temporelle de l’intensite lumineuse le long de la ligne de coeur co-loree a la fluoresceine met en evidence des oscillations verticales au coeur du vortex dedemarrage (voir figure 6.14). Durant les premiers instants, ces oscillations verticales sontliees au passage des ondes stables. Leur frequence est plus elevee que la frequence de lastratification. Puis, tres tot apres le debut du developpement de l’instabilite elliptique,l’amplitude des oscillations verticales croıt (t ≈ 20s). Elles saturent et sont maintenuesa un niveau eleve jusqu’a l’eclatement du coeur. Une frequence caracteristique apparaıtclairement. Elle est proche de la frequence de la stratification dont la periode corres-pondante est de 9s. Ce regime se maintient durant une centaine de secondes avant quele vortex eclate. Les observations faites en fluide homogene montrent un comportementdifferent avec un coeur qui diffuse et une longueur d’onde des deformations qui aug-mente (voir figure 6.13). Les oscillations verticales ne se developpent pas et le vortexn’eclate pas.

Evolution a long terme 77

Fig. 6.13 – Visualisations de cote du vortex dont le coeur est marque au colorant. Le fluideest homogene et le temps correspondant aux images est, de gauche a droite, 10, 33, 41 et 105s.

15

10

5

020 60 100 140

t (s)

h (cm)

Fig. 6.14 – Intensite des images le long de la ligne de coeur du vortex de demarrage vue decote. N = 0.7rad/s et Fr = 5.5


Les resultats des etudes en fluide homogene sur l’interaction de la turbulence avec unvortex intense montrent que la turbulence, deformee par le cisaillement du vortex, fa-vorise l’excitation de modes non-axisymetriques (Melander & Hussain (1993), Pradeep& Hussain (2004)). C’est aussi ce qui est observe en presence de la stratification. Parcontre, la difference intervient a long terme. En fluide homogene, de recents resultatsnumeriques montrent que le vortex intense relaminarise l’ecoulement (Pradeep & Hus-sain (2004)). Ici, des oscillations verticales de fortes amplitudes a une frequence prochede la frequence de la stratification etirent et compriment periodiquement le vortex. Ilfinit par eclater et perdre soudainement toute coherence verticale. Ces oscillations verti-cales et l’eclatement du coeur sont manifestement des consequences de la presence d’unestratification en densite. Le lien entre les oscillations verticales et l’instabilite elliptiquereste a etablir mais l’eclatement du vortex (voir figure 6.4) n’est pas une consequencedirecte de la croissance de l’instabilite dont l’amplitude sature rapidement. Il fait suitea ces oscillations verticales.

6.5. Conclusions

Les experiences sur la stabilite du dipole asymetrique en presence d’une faible strati-fication montrent une evolution en trois etapes. La premiere correspond a l’instabiliteelliptique du vortex le moins intense (negatif ici). La deuxieme etape est la croissancestationnaire d’une instabilite elliptique du vortex le plus intense lorsque l’autre vortexs’enroule et eclate. Durant la troisieme etape, qui precede l’eclatement du vortex dedemarrage, il subit des oscillations verticales a une frequence proche de la frequence destratification.

Le developpement clair de l’instabilite elliptique du vortex de demarrage a permis unecomparaison qualitative et quantitative assez bonne avec les theories existantes. Ellesmontrent en particulier que la longueur d’onde augmente brutalement pour une valeurdu nombre de Froude proche de 1. Au-dela de Fr ≈ 2, les proprietes de l’instabiliteelliptique sont tres proches de celles obtenues experimentalement et theoriquement enfluide homogene. Le modele simple des ondes dans un cylindre en rotation solide montreque pour les faibles stratifications, la modification de la relation de dispersion concerneles plus grandes longueurs d’ondes. Comme celle de l’instabilite elliptique est courte,elle est peu modifiee tout comme le taux de croissance.

Le mode instable croıt de facon stationnaire jusqu’a saturation, puis il devient instation-naire. Le comportement observe apres la saturation de l’instabilite elliptique presentedes similitudes avec celui obtenu avec des simulations numeriques sur l’interaction d’unvortex avec une zone de turbulence a petite echelle (voir par exemple Melander & Hus-sain (1993), Pradeep & Hussain (2004)). Durant la phase qui precede l’eclatement duvortex de demarrage, l’ecoulement se caracterise par la presence d’un vortex intense

Conclusions 79

entoure par une zone de melange. La persistance du coeur dans ces conditions, tienta la forte variation du moment angulaire. Elle joue un role equivalent a celui de lastratification en densite sur une couche de cisaillement en inhibant le retournementlorsque le gradient est suffisamment eleve. Un vortex presente un maximum de vitesseequivalent a une interface pour la turbulence environnante. Les resultats en fluide ho-mogene montrent que la rotation intense relaminarise le vortex en colonne. En presencede la stratification, les experiences montrent qu’il n’y a pas relaminarisation et que levortex eclate. La difference entre les fluides homogenes et stratifies est la presence d’os-cillations verticales au coeur a une frequence proche de celle de la stratification. Cesresultats suggerent qu’elles sont liees a un phenomene de resonance.


Chapitre 7

Interaction et instabilite de deux cyclones en

fluide stratifie tournant

7.1. Introduction

Dans le vaste domaine que constitue la dynamique des vortex, l’interaction et la coales-cence de deux vortex est un mecanisme fondamental. Il est generalement admis commele phenomene de base a l’origine de l’augmentation de la taille des structures de laturbulence bidimensionnelle. L’interaction de deux vortex d’intensite et de taille egalesfait l’objet de nombreuses etudes dont les premieres remontent a 1966 avec les tra-vaux de Fraymuth (1966). A l’epoque, l’application principale concernait la transitiondes couches de cisaillement. Lors de l’instabilite primaire, l’appareillement est alorsle mecanisme a l’origine de la croissance de la couche de cisaillement. Plus tard, cetecoulement particulier a donc trouve des applications dans la turbulence bidimension-nelle donnant lieu a de nombreuses etudes numeriques (voir par exemple Overman& Zabusky (1982), Dritschel (1985) et Dritschel (1986)). Dans toutes ces etudes, le filconducteur est le critere de coalescence qui est le rapport de la distance de separationet du rayon maximum pour qu’elle se produise. La valeur obtenue est d’environ 3.2.L’interaction de deux vortex trouve toujours un grand interet actuellement avec no-tamment des applications dans le domaine aeronautique ou l’etude des sillages d’avionsa conduit naturellement a celle de la coalescence de deux vortex.

Le critere de coalescence a ete etendu a d’autres types de vortex que le vortex deRankine par Meunier et al. (2002). L’etude experimentale de Meunier & Leweke (2001)concerne l’influence de l’instabilite elliptique. Un mecanisme complet de l’interactionet de la coalescence de deux vortex en fluide homogene bi-dimensionnel se degage au

81

82 Interaction et instabilite de deux cyclones en fluide stratifie tournant

Fig. 7.1 – Diagramme des regimes d’interaction de deux vortex d’egale intensite et rayon enfluide bi-couche. L’abscisse donne le rayon de deformation NH/f normalise par le rayon R etl’ordonnee donne la distance de separation normalisee d/R (d’apres Hopfinger & van Heijst(1993).

travers de contributions aussi bien theoriques (Melander et al. (1986)), numeriques(Melander et al. (1988)) qu’experimentales (Cerretelli & Williamson (2003)).

En premiere approximation, les plus grandes echelles des ecoulements atmospheriquessont bidimensionnelles. En plus de cela, la force de Coriolis et la stratification ont aussipour effet de limiter les mouvements verticaux et l’etirement de la vorticite dans cettedirection. Sur les plus grandes echelles, la seule difference est alors l’influence de la forcede Coriolis. Des experiences realisees par Griffiths & Hopfinger (1987) montrent quepour les anticyclones le critere est proche du cas sans rotation. Les ecarts constates pourles cyclones sont lies a des effets de topographie. A la meme epoque, les effets d’unevariation de densite sont abordes dans des etudes en fluide bi-couches. Les resultatsexperimentaux de Griffiths & Hopfinger (1986) et numeriques de Verron et al. (1990)et Verron & Valcke (1994), montrent des variations de la distance critique de coales-cence en fonction du rapport NH/(fR) (avec N est la frequence de la stratification, H

est la hauteur caracteristique, f est le parametre de Coriolis et R est le rayon du vor-tex). La frequence de stratification est definie par N2 = −(g/ρ)∂ρ/∂z. Ce nombre sansdimension peut aussi s’ecrire λ/R, ou λ est appele rayon de deformation. Il donne l’in-fluence relative de la stratification et de la rotation. Pour une dimension caracteristiqueplus petite que le rayon de deformation, les effets de la stratification sont dominant etinversement, les echelles plus grandes que le rayon de deformation sont dominees parla rotation.

Introduction 83

Les resultats sur l’interaction de vortex en fluide bi-couche montrent que la distancecritique de coalescence tend vers une constante lorsque NH/(fR) augmente. Dans cesetudes, les vortex ne s’etendent pas au travers des deux couches. Le fait de generer lesvortex dans une couche cree une forte deflexion de l’interface entre les deux couches.Ils sont dit baroclines et l’echelle caracteristique de la deformation de l’interface estde l’ordre du rayon de deformation. La distance critique de coalescence est modifieepar cette deflexion de l’interface. Elle presente de fortes variations pour des valeurs deNH/(fR) de l’ordre de l’unite, c’est a dire pour des effets equivalents de la rotation etde la stratification. Les differents resultats sont resumes sur le graphe de la figure 7.1dans le plan (NH/(fR) = λ/R, d/R) ou λ est le rayon de deformation. Ce parametredonne la distance caracteristique en dessous de laquelle les effets de la rotation sontpredominants. Il est fixe uniquement par les proprietes du volume fluide considere. Laligne en pointille correspond a un cas ou l’interface n’est pas deviee, ce qui rend ladistance critique independante du rapport NH/(fR).

Les premieres simulations numeriques de turbulence en fluide lineairement stratifie tour-nant montrent une structure particuliere en couches horizontales et par consequenceune forte variabilite dans la direction verticale (voir par exemple McWilliams (1986)ou Herring & Metais (1988)). De nombreuses etudes des proprietes statistiques etdes structures coherentes de la turbulence quasi-geostrophique ont suivi (McWilliams(1990), McWilliams et al. (1994), McWilliams et al. (1999)). Il ressort de ces etudesque la dynamique des vortex et leurs interactions jouent un role predominant sur lesproprietes statistiques de la turbulence. Il s’en suit une autre serie d’etudes concer-nant l’interaction de vortex avec cette fois deux fils conducteurs qui sont, la distancecritique et le rapport d’aspect “naturel” des vortex. L’influence du rapport d’aspectsur l’interaction de deux vortex a fait l’objet d’une etude numerique de Dritschel. &de la Torre Juarez (1996) qui a montre l’existence d’une instabilite tri-dimensionnelledes vortex. Ils se brisent en vortex plus petits si leurs rapports d’aspect depassent 3.Le lien est alors fait avec une instabilite des vortex elliptiques en fluide stratifie tour-nant qui fait intervenir un mecanisme d’excitation de modes baroclines par un champd’etirement (Miyazaki & Hanazaki (1994)). Le role que joue cette instabilite dans lacoalescence a fait recemment l’objet d’une etude numerique par Dritschel (2002) quimontre le lien entre cette instabilite et la coalescence partielle. Dans les deux cas, cesresultats tendent a montrer que les vortex dans un ecoulement quasi-geostrophiquedoivent avoir un rapport d’aspect maximum de 3. Dans la limite des petits rapportsd’aspect les etudes numeriques de von Hardenberg et al. (2000) et de Dritschel (2002)montrent que la distance critique tend vers une valeur allant de 2.2 a 2.6 et qu’elle variepeu pour des rapports d’aspects inferieurs a 2 ou 3.

Les etudes sur la coalescence en fluide stratifie tournant realisees dans l’approximationquasi-geostrophique par von Hardenberg et al. (2000) et Dritschel (2002) montrentun comportement different du cas de la stratification bi-couche. La difference la plus


marquante est que la distance critique augmente avec le rapport d’aspect. Le pointcommun est que d’une facon ou d’une autre, ce sont les effets baroclines qui rendent ladistance critique plus elevee en presence d’une stratification.

Globalement, il est reconnu que la coalescence et les instabilites de vortex jouent un roleimportant dans les proprietes statistiques de la turbulence des fluides geophysiques. Denombreux resultats ont deja ete obtenus le plus souvent a partir de calculs numeriques.Ainsi, McWilliams et al. (1994) montrent que lors de la decroissance de la turbulencegeostrophique l’ecoulement tend a s’organiser en deux colonnes de vortex alignes ver-ticalement et de signes opposes. Dritschel. & de la Torre Juarez (1996) montrent quedeux vortex initialement barotropes sont rendus instables par l’etirement horizontalqu’ils induisent l’un sur l’autre.

C’est dans ce cadre que nous presentons une etude experimentale de l’interaction et de lastabilite des cyclones en fluide stratifie tournant. Elles ont ete realisees sur deux disposi-tifs experimentaux differents avec deux methodes differentes pour generer l’ecoulement.Ces differentes methodes ont permis d’explorer la dynamique de l’ecoulement pour unegamme de NH/(fR) allant de 2 a 12 et un Reynolds base sur la circulation de 2000 a20000. La limite des plus grands nombres de Reynolds est rendu possible grace a l’uti-lisation sur la plate-forme de “Coriolis” de 13m de diametre d’un volet a la geometrieoriginale. Ce dispositif a permis de generer un vortex dont la distribution de vorticiten’est pas gaussienne et au nombre de Reynolds particulierement eleve. Notre interets’est logiquement focalise sur les proprietes de l’interaction des cyclones (coalescence etinstabilite) et l’existence ou non d’une configuration en equilibre des vortex en colonne.

Les sections 2 et 3 concernent la description des differents dispositifs experimentauxainsi que la caracterisation des vortex generes. Ensuite, la section 4 presente les resultatssur l’interaction en champ lointain et l’instabilite des vortex de grand rapport d’aspectsont analyses. La section 5 concerne la coalescence des vortex de grand rapport d’aspectet la section 6 est consacree aux vortex de petit rapport d’aspect. Enfin la section 7donne les principales conclusions.

7.2. Dispositifs experimentaux

Deux dispositifs experimentaux differents ont ete utilises : l’un est installe dans unecuve tournante de 1× 1m2, l’autre monte sur la plate-forme “Coriolis” de Grenoble de13m de diametre. Les deux dispositifs qui permettent de generer une paire de cyclonessont differents et detailles dans cette section.

Dans la cuve tournante de 1m de cote remplie d’un fluide lineairement stratifie endensite, les deux vortex sont generes lors du mouvement de retrait vertical de deuxcylindres pleins. La stratification est classiquement obtenue par une variation lineaire

Dispositifs experimentaux 85

Fig. 7.2 – Dispositif experimental.

de la concentration en sel, realisee par la methode de la double cuve (Oster (1965)).Pour generer les vortex, deux cylindres d’axes verticaux sont plonges dans l’eau. Unefois l’ensemble au repos, deux vortex barotropes sont produits lorsque les cylindressont retires de l’eau. Le dispositif experimental est schematise figure 7.2. Les cylindresutilises font 2.5 et 5cm de rayon.

L’utilisation d’une petite cuve permet d’acceder a des rotations de base du volume defluide elevees. Elle presente comme inconvenients, l’influence du vent a la surface etles petites dimensions font que les effets visqueux peuvent etre importants. Pour eviterque le vent ne cree un ecoulement cisaille sur toute la hauteur d’eau, la surface libre aete bachee pour toutes les experiences sur l’interaction des deux vortex. Par contre, lesmesures de vitesse sur un seul vortex, realisees par P.I.V. ( voir Fincham & Spedding(1997), Fincham & Delerce (2000) et chapitre 3) ont ete effectuees sans bache. Cettebache modifie les conditions aux limites ce qui doit etre pris en compte dans le calculdu rayon de deformation. Pour une hauteur d’eau H, la hauteur qui intervient dans lecalcul du rayon de deformation est h = H/2 si la surface libre est couverte, sinon c’estH.

Le retrait des cylindres pour produire les cyclones est une methode simple qui permet debien controler la circulation et la distance initiale entre chaque vortex. Afin de reduirele melange dans le sillage des cylindres, ils sont usines en pointe avec des raccordsarrondis. Malgre tout, il subsiste necessairement une zone de melange qui se concentreau centre du vortex, la ou la rotation est tres intense. Cette forte rotation combinee avecla stratification favorise la relaminarisation dans le laps de temps tres court compare


0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t (s)

Ω/

Ωmax

Fig. 7.3 – Variation en fonction du temps de la vitesse angulaire du volet.

au temps caracteristique de l’evolution de l’ecoulement apres le retrait complet descylindres.

Le principal inconvenient du petit dispositif est sa taille. La viscosite peut influen-cer encore beaucoup l’ecoulement surtout pour les observations a long terme. Avecle deuxieme dispositif utilise, ce probleme n’intervient plus. La plate-forme “Coriolis”est un instrument d’envergure exceptionnelle. Il s’agit d’une cuve tournante de 13m dediametre. Un systeme de double cuve permet de la remplir d’eau lineairement stratifiee.L’utilisation d’un tel dispositif permet d’envisager d’atteindre des tres hauts nombresde Reynolds permettant l’etude de l’evolution sur des temps tres longs.

La methode des volets a ete preferee a celle des cylindres car ceux-ci auraient ete degrandes dimensions et le melange dans leurs sillages tres important. Les axes de rotationdes volets sont verticaux de sorte que l’axe des vortex soit parallele au gradient dedensite. Ce dispositif a tout d’abord ete utilise dans sa configuration initiale, en plaqueplane. Les etapes de la formation du vortex sont en tout point semblables a ce qui estpresente dans le chapitre 4 a l’exception de l’echelle puisque chaque volet fait 1m decote. Pour generer une paire de cyclones co-rotatifs, deux volets sont utilises et placesen vis-a-vis. Leur sens de rotation est anti-cyclonique et le vortex de demarrage qui seforme est cyclonique.

La geometrie de plaque plane s’est trouvee inadaptee dans certaines conditions, c’estpourquoi elle a ete modifiee pour generer des vortex de plus grandes dimensions. L’ex-ploitation de vortex de grandes tailles a aussi ete rendue possible grace aux importantesmodifications realisees sur la table tournante. Entre les deux series d’experiences, lapremiere avec les volets plans et l’autre avec les volets modifies, le pilier qui se trouvait

Dispositifs experimentaux 87

Fig. 7.4 – Vue de dessus de la geometrie du volet modifie.

au centre de la cuve sur lequel le support d’instrumentation s’appuyait a ete enleve. Laplage de distance entre les cyclones a pu etre augmentee et la taille des vortex aussi. Lamodification du volet consiste en un appendice courbe schematise sur la figure 7.4 dontla geometrie est telle que l’ecoulement vers le bord de fuite soit parallele a la paroi.Les deux configurations sont schematisees dans la figure 7.5. Les variations de vitesseangulaire imposees au volets et presentees sur la figure 7.3, sont differentes de cellesutilisees sur le petit dispositif (voir chapitre 3). La deceleration est parabolique maissurtout, un palier a vitesse est impose pour l’une des deux lois de vitesse utilisees.

Les methodes de mesures et de visualisations sont dans l’ensemble les memes que cellespresentees dans le chapitre 3 a l’exception du materiel d’acquisition d’image pour lesexperiences sur la plate-forme “Coriolis”. Pour les mesures de vitesse effectuees parP.I.V., les images ont ete prises par une camera numerique SMD60 de 1024x1024 pixelsavec une sensibilite de 12 bits et une frequence d’acquisition pouvant aller a 60Hz.Cette camera permet de prendre des images pour la mesure de vitesse sur un champde 2.5× 2.5m2. Le resolution spatiale est de 2cm.


13 m

1m

3 m

rotating tank

flaps

(a)

13 m

1.3 m

2.8 - 4.3 m

rotating tank

fixe walls

movable wall

flaps

(b)

Fig. 7.5 – Vue de dessus du dispositif experimental installe sur la plate-forme “Coriolis”, (a)avec le pilier central, (b) apres la modification.

Caracterisation des vortex 89

0 5 10 150

10

20

30

40

50

60

70

80

90

t/T

Γ (cm2/s)

Fig. 7.6 – Circulation du vortex en fonc-tion du temps pour les cylindre de 5 et10cm de diametre. Les lignes pointilleescorrespondent a l’estimation theorique.

7.3. Caracterisation des vortex

7.3.1. Les vortex generes par les cylindres

L’effet produit lorsqu’un cylindre est retire verticalement selon son axe d’une cuved’eau en rotation solide est equivalent a celui de l’aspiration. A mesure que le cylindremonte, il se produit en dessous un ecoulement radial qui subit l’influence de la forcede Coriolis. Tout comme pour l’aspiration, un cyclone se forme du fait de l’absence degradient de pression pour s’opposer a la force de Coriolis. Par consequent, la memeestimation de la circulation Γ peut etre utilisee. Elle depend du parametre de Coriolisf , du volume aspire V ainsi que de la hauteur d’eau, soit Γ = fV/H. Dans le cas ducylindre, la circulation est independante de la hauteur d’eau excepte au niveau du cone.En negligeant cette partie du cylindre, la circulation peut etre estimee par Γ = fπR2

c

ou Rc est le rayon du cylindre. Deux series de cylindres ont ete utilisees. Une paire decylindres de 10cm de diametre et une paire de cylindres de 5cm de diametre. Dans desconditions experimentales typiques, le parametre de Coriolis est de 1rad/s et la hauteurd’eau est de 40cm. L’estimation donne des circulations de 20cm2/s et 80cm2/s pour lescylindres de 5cm et 10cm de diametre, respectivement. Pour un vortex gaussien avec unrayon de l’ordre de 1cm, la vitesse maximum est de l’ordre de 10cm/s. Soit un RossbyRo = U

fR de 10. Cette valeur est un maximum. Les vortex ont un rayon generalementplus eleve et la vitesse maximum plus faible. Cette tendance augmente avec le tempsdu fait de la diffusion visqueuse.

Des mesures du champ de vitesse ont ete realisees sur un seul vortex afin de verifier


0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

u/U

Fig. 7.7 – Profils de vitesse norma-lises pour trois experiences differentes.La courbe continue correspond au vortexgaussien.

0 5 101.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

t/T

R (cm)

Fig. 7.8 – Rayon du vortex en fonctiondu temps pour les cylindres de 5 et 10cm

de diametre. Les carres corrpespondent aun nombre de Froude initial de 0.8, pourles rond, il est de 0.2.

ces estimations. La frequence de stratification pour ces mesures est de N = 1.3rad/s etla periode de rotation de la cuve est de T = 13s. La figure 7.6 montre le relativementbon accord entre les valeurs theoriques et les mesures de circulation. Les effets de laviscosite sont probablement a l’origine des ecarts observes. Pour la circulation la plusbasse, la diminution est de 0.5cm2/s par periode de rotation. Pour ce vortex, le melangeest faible lors du mouvement du cylindre du fait de son petit rayon (2.5cm). Le vortexde circulation plus elevee a une evolution moins reguliere avec une diminution plus fortepour des temps inferieurs a 5 periodes de rotation de la cuve. Ensuite, la decroissanceest de 0.1cm2/s par periode de rotation. La circulation plus elevee pour le vortex generepar le cylindre de 5cm de rayon explique la plus faible decroissance de circulation apresla chute initiale. Le nombre de Reynolds base sur la circulation ReΓ = Γ/ν est d’environ6000 pour le plus eleve et 1500 pour le plus faible et les effets visqueux sont plus faiblespour le premier.

La figure 7.7 montre le bon accord entre le profil de vitesse azimutale pour plusieursexperiences (traits pointilles) et du modele de vortex gaussien (trait continu) donnesous forme adimensionnelle par :

v(r) =1r(1− e−r2

). (1)

La mesure de vitesse s’ecarte legerement de la courbe theorique vers l’exterieur duvortex ou la decroissance de vitesse pour certains profils est legerement plus rapide.Cet ecart signale la presence de vorticite negative qui peut influencer la stabilitede l’ecoulement. Deux phenomenes expliquent la production de vorticite negative ; la


presence d’un ecoulement de fond engendre par le vent a la surface libre et la diminutionde la hauteur d’eau lors du retrait du cylindre.

Le phenomene d’entraınement par le vent est essentiellement du a la presence de lastratification puisqu’en fluide homogene, la dissipation est confinee dans les couchesd’Eckman a la surface et fond. Afin de supprimer les effets du vent, la surface libreest bachee pour les experiences d’interaction. Les conditions aux limites sont doncsymetriques et la dimension caracteristique dans la direction verticale est h = H/2.

Si la bache supprime la rotation globale induite par le vent, elle n’empeche pas leseffets de la diminution de hauteur d’eau lors du retrait du cylindre. La conservationde la vorticite potentielle du volume de fluide impose une production de vorticite anti-cyclonique. L’utilisation de l’approximation de l’eau peu profonde permet d’estimer laproduction de vorticite lors de la diminution de hauteur car il doit y avoir conservationde la vorticite potentielle :

Π =f + ω

H. (2)

Pour une diminution de hauteur δh, on obtient :

ω− ≈(

1− H

H − δh

)f =

(1− 1

1− ε

)f, (3)

ou ε est le rapport des surfaces du cylindre et de la cuve. Pour le plus grand rapportcela donne une vorticite de l’ordre de 1% de la vorticite de fond. Cette estimationest basee sur l’hypothese que la vorticite negative est repartie sur toute la surface dela cuve. Pour un parametre de Coriolis de 1rad/s, la part negative de la circulationest d’environ 80cm2/s. Si la meme circulation negative est concentree dans un anneaude 1cm d’epaisseur qui commencerait a 5cm du centre du vortex, la vorticite seraitalors d’environ 2rad/s pour une vorticite positive d’environ 5rad/s. Une telle valeurde vorticite negative est tout a fait mesurable par P.I.V. et n’a pas ete observee. Deplus, cela entraınerait une decroissance bien plus rapide de la vitesse a l’exterieur. Toutceci suggere que la vorticite negative est bien diffuse sur toute la cuve et n’affectepas la stabilite du vortex du fait de sa faible amplitude. Rappelons que dans le casd’un fluide tournant, le critere de Rayleigh est generalise par Kloosterziel & van Heijst(1991) et il se base sur le moment angulaire absolu. Le discreminent de Rayleigh s’ecritalors Φ = (2Ω + f)(Z + f), avec Ω = v/r, Z = (1/r)d(rv)/dr et v(r) est le profil devitesse du vortex. L’instabilite centrifuge ne se developpe sur un cyclone isole que sile minimum de vorticite (anticyclonique) est superieur en valeur absolue a f . Ici, lavorticite negative est tres faible et son seul effet est de diminuer la valeur effective duparametre de Coriolis de 1%.

Des tests de stabilite du vortex ont ete regulierement effectues en ne generant qu’unseul vortex. Ceux-ci permettent aussi de verifier l’influence de la courbure de la surfaceen le produisant a mi-distance entre le centre et le bord de la cuve. Pour un parametre


de Coriolis inferieur ou egal a 1.5rad/s, elle n’a pas d’effets significatifs. Par contre,pour un parametre de Coriolis de 2rad/s, seul le plus petit vortex reste insensible a laforte courbure.

Le rayon R du vortex est defini dans un premier temps par la position du maximumde vitesse. Le nombre de Reynolds base cette longueur caracteristique et le maximumde vitesse est d’environ 900 pour le plus eleve et 250 pour le plus faible.

La repartition de vorticite joue un role central dans l’interaction entre deux vortex. Laquantite de vorticite qui se trouve au-dela du maximum de vitesse pour un vortex dutype gaussien est non negligeable. Afin de comparer les resultats experimentaux avecles resultats numeriques sur l’interaction de vortex de Rankine, il convient d’adopterune autre definition de la taille du vortex. Meunier et al. (2002) proposent d’utiliserle rapport des moments angulaires d’ordre 2 et 0 comme taille du vortex. Le momentd’ordre 0 correspond a la circulation Γ du vortex et le moment d’ordre deux est donnepar :

J =∫∫

S|r|2ω(r)dS. (4)

Le rayon du vortex est alors :Rω =

√J/Γ. (5)

Cette definition du rayon donne une mesure de l’etendue de la distribution de vorticiteindependamment de sa forme.

La figure 7.8 montre l’evolution du rayon en fonction du temps pour les deux cylindresde 2.5 et 5cm de rayon. Ici, c’est l’evolution du rayon pris au maximum de vitesse quiest mesuree. La courbe continue correspond a la loi de croissance du rayon theoriquepar diffusion visqueuse donnee par R2 = R0

2 +4νt avec R0 = 1.8cm le rayon extrapolea t = 0s. L’evolution du rayon pour le vortex genere avec le cylindre de 5cm de diametreest bien en accord avec cette theorie alors que l’autre vortex voit son rayon augmen-ter brutalement. Ce changement est du au developpement d’une instabilite de courtelongueur d’onde localisee au bord du vortex qui a pu etre observee par ombroscopie.Elle est semblable a celle observee en l’absence de rotation sur un vortex genere parle mouvement d’un volet qui fait l’objet du chapitre 5. Malgre cela, le vortex conservesa coherence verticale, la stratification et la rotation favorisent sa relaminarisation. Fi-nalement, le vortex desormais plus grand retrouve un comportement diffusif proche decelui d’un vortex gaussien. Au terme de ces essais, cette methode permet une bonne re-productibilite sur le rayon qui est alors estime avec une incertitude inferieure a ±0.5cm.

Les resultats sur l’influence de la taille du cylindre montrent que pour des diametresallant de 5cm a 16cm, le rayon initial du vortex ne varie pas de facon significative. Ilen est de meme pour l’influence de la vitesse de retrait dans la gamme 1cm/s− 8cm/s.

Les experiences d’interaction ont ete realisees avec des cylindres de 5 et 2.5cm de rayon.


N (rad/s) f (rad/s) f/N H (cm) Nh/f (cm)1.8 1 0.55 38.5 351.7 1 0.6 32 271.8 2 0.9 38 171.7 1 0.6 27 231 1 1 20 101 1.5 1.5 20 7

Tab. 1 – Parametres des experiences sur la cuve de 1 m de cote.

Ils permettent de generer des vortex gaussiens d’une circulation allant de 15cm2/s a70cm2/s. Apres 6 periodes de rotations de cuve, le rayon des vortex base sur le momentangulaire Rω est de 2cm pour le vortex genere avec le plus petit cylindre et 3cm pourl’autre. Le tableau 1 donne l’ensemble des parametres de rotation et de stratificationexplores. Dans ce tableau, N est la frequence de la stratification, f est le parametre deCoriolis, H est la hauteur d’eau et h est la demi-hauteur d’eau. En ce qui concerne lahauteur d’eau, elle n’est limitee que dans la mesure ou l’on considere comme negligeablela zone d’influence des extremites. Sur la base des observations, l’influence du fonds’etend sur 3 a 4cm. Aux effets du frottement au fond s’ajoutent ceux de la geometrieen cone. Au niveau de la surface couverte, la zone d’influence est moins etendue, 1−3cm.

7.3.2. Les cyclones generes dans la cuve “Coriolis”

Avec la methode des volets, les deux cyclones sont generes lors de l’acceleration des vo-lets. Il s’agit du vortex de demarrage deja decrit dans le chapitre 4. Tous les phenomenesobserves a petite echelle se retrouvent donc dans ces experiences a grande echelle, laformation de la couche limite et du vortex de demarrage visqueux, la spirale de lacouche d’enroulement, son instabilite puis la coalescence des vortex secondaires pourdonner, apres relaminarisation, un cyclone.

Le temps necessaire pour obtenir un vortex coherent approximativement axisymetriquedepend beaucoup de l’intensite de la couche de vorticite par rapport a celle du vortexgenere au debut. Dans l’ecoulement non visqueux autour d’une plaque plane, la vitessetend vers l’infini au niveau du bord de fuite. Ceci se traduit, pour un fluide reel, par deforts gradients de vitesse et une couche de vorticite intense. Afin de generer des vortexde grandes dimensions, le temps d’acceleration est allonge et la vitesse maximum duvolet est diminuee pour diminuer le nombre de Rossby. Dans ces conditions, le premiervortex est de faible intensite et, sous l’effet de la rotation, les vortex issus de l’instabilitede la couche d’enroulement sont d’intensite comparable (voir figure 7.9).

Avec l’appendice, le bord de fuite n’est plus une singularite dans l’ecoulement potentiel


0 50 100 15060

80

100

120

140

(cm)

(cm)

Fig. 7.9 – Champ de vorticite del’ecoulement genere avec le volet d’ori-gine pour un temps d’acceleration de 80s,195s apres le debut du mouvement. Le pasentre chaque contour est 0.12rad/s et lescontours de plus faible vorticite sont de0.06rad/s.

140 160 180 200 220 24040

60

80

100

120

140

(cm)

(cm)

Fig. 7.10 – Champ de vorticite del’ecoulement genere par l’acceleration du vo-let modifie. Le temps d’acceleration est de80s et cette mesure correspond a 190s apresle debut du mouvement. Le pas de vorticiteentre chaque contour est de 0.06rad/s et lesprofils de plus faible vorticite correspondent a0.06rad/s.

mais un point d’arret. Par consequence, la couche de cisaillement est plus epaisse et lecisaillement de vitesse est plus faible. La couche de vorticite qui s’enroule n’est pas plusstable mais les vortex issus de l’instabilite sont plus petits et moins intenses commeillustre par la figure 7.10. La formation d’un vortex coherent est alors plus rapidequ’avec la plaque plane. Dans le premier cas, le temps necessaire a la formation d’unvortex de grande dimension est superieur a 400s ce qui rend impossible l’utilisation duvolet d’origine pour l’interaction de deux vortex sur des temps courts. Dans le deuxiemecas, le temps de formation est d’environ 250s.

Lorsque deux vortex sont generes, les petits vortex secondaires ne contribuent pas tousa la formation de chaque vortex principal. Le champ de vitesse induit par chaque vortexprincipal entraıne les petits vortex secondaires qui se forment en dernier. Il subsiste doncdes vortex secondaires majoritairement cycloniques mais aussi quelques anticyclones.La circulation de ces vortex est au maximum d’environ 10cm2/s. Leur influence sur ladynamique de la paire de cyclones principaux est evaluee par la suite en comparant lestrajectoires des deux vortex aux resultats donnes par la theorie des vortex ponctuels.

La caracterisation des vortex est effectuee sur des experiences d’interaction durant lespremiers instants. Deux lois de vitesse angulaire du volet ont ete utilisees, l’une possedeune acceleration de courte duree (10s) suivie d’un plateau de vitesse constante de 60s,l’autre possede une acceleration de longue duree (80s). Pour ces deux lois, la vitesseangulaire maximum est de 0.015rad/s et la vitesse minimum est 0.007rad/s. Dans le


0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r (cm)

ω (rad/s)

Fig. 7.11 – Profil de vorticite du vor-tex genere par une acceleration de 10s. Lacourbe en trait pointille correspond a unprofil gaussien.

0 10 20 30 400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

r (cm)

ω (rad/s)

Fig. 7.12 – Profil de vorticite du vortexgenere par une acceleration de 80s du volet.La courbe en trait pointille correspond a unprofil gaussien.

premier cas, le vortex obtenu est tout a fait similaire a celui obtenu dans des experiencesde plus petite echelle avec le volet classique. Il s’agit d’un vortex gaussien comme celaest illustre par la figure 7.11 ou la mesure est comparee au profil de vorticite theorique.La position du maximum de vitesse se trouve a environ 10cm et le rayon calcule a partirdu moment angulaire est de 9cm. La vitesse maximum est de 2cm/s ce qui donne unnombre de Reynolds base sur la vitesse et le rayon de 2000. La circulation est compriseentre 120 et 150cm2/s. La formation de ce vortex est illustree par la sequence 7.13.

La formation du vortex genere par la longue acceleration est presentee par la figure 7.14.Il se forme rapidement un vortex coherent de petit rayon autour duquel les vortex issusde l’instabilite de la couche d’enroulement viennent s’agglomerer. Ce processus prendenviron 100s puis, le cyclone ainsi forme tend vers une relative axisymetrie. Le vortexest bien coherent apres environ 250s. Un profil de vorticite typique est presente par lafigure 7.12. Il apparaıt clairement deux zones dans la distribution de vorticite. Au coeur,sur environ 10cm de rayon, elle est proche du profil gaussien. Plus vers l’exterieur, il ya une rupture avec le profil gaussien et la vorticite diminue lentement selon une penteconstante.

Pour un tel profil de vorticite, le maximum de vitesse se trouve autour de 12cm derayon mais une part importante de vorticite se trouve au-dela et le rayon base sur lemoment angulaire Rω est de 16cm. La vitesse maximum est d’environ 1.5cm/s ce quidonne un nombre de Reynolds base sur la vitesse et le rayon du vortex de 1800. Danstous les cas, la vorticite maximum est 4 a 5 fois plus elevee que la vorticite de fondde 0.1rad/s. Ces vortex se classent donc plutot dans les ecoulements ageostrophiques.Cependant, le nombre de Rossby base sur la vorticite maximum ne rend pas compte dela distribution de vorticite. Il peut alors etre base sur le rayon et la vitesse maximum


20

40

60

80

cm

20

40

60

80

cm

20

40

60

80

cm

20

40

60

80

cm

0 50 100 150

20

40

60

80

cm

cm

0 50 100 150cm

Fig. 7.13 – Champ de vorticite lors de la formation du vortex. Le temps d’acceleration duvolet est de 10s. Les instants correspondants de haut en bas et de gauche a droite sont, 15 a 85s

toutes les 10s, 115 et 175s. Les contours de vorticite minimum sont de 0.06rad/s et augmententpar pas de 0.1rad/s.


160

200

cm

50 100 150 200

160

200

cm

cm

50 100 150 200cm

160

200

cm

160

200

cm

160

200

cm

160

200

cm

Fig. 7.14 – Champ de vorticite lors de la formation du vortex. Le temps d’acceleration duvolet est de 80s. Les instants correspondants de haut en bas et de gauche a droite sont, 10, a190 s par pas de 10 s, 250 s et 290 s. Les contours de vorticite minimum sont de 0.06rad/s etaugmentent par pas de 0.06rad/s.


N (rad/s) f (rad/s) f/N H (cm) NH/f (cm)1 0.1 0.1 90 900

0.4 0.1 0.25 60 2400.4 0.2 0.5 60 1200.4 0.1 0.25 35 1400.4 0.2 0.5 35 70

Tab. 2 – Parametres des experiences sur la plateforme “Coriolis”.

Γ (cm2/s) ωmax (rad/s) R (cm) Rω (cm) V (cm/s)vortex 1 120-150 1 10 9 2.5vortex 2 180-220 0.5 12 16 1.5

Tab. 3 – Parametres des vortex.

comme cela est plus souvent le cas pour des distributions gaussiennes de vorticite. Lenombre de Rossby est alors de 1 a 2 selon la vorticite de fond utilisee (0.1 et 0.2rad/s).Ceci implique que pour le plus gros vortex on prenne la position du maximum de vitesse,soit 12cm, comme valeur pour le rayon. Or, il a ete montre que le vortex genere parune longue acceleration n’est pas gaussien et qu’une large part de vorticite se trouve al’exterieur de ce rayon.

Pour finir, la duree d’une experience la plus longue est d’environ 1500s. La diffusiondoit agir et augmenter le rayon du vortex selon la loi R2(t) = R0

2 + 4νt. Apres 1500s,un vortex de rayon initial 10cm doit avoir un rayon de 12.5cm. Par la suite, cetteaugmentation du rayon est negligee. Dans les faits, les mesures sur le rayon montrentune legere augmentation a la limite de la resolution confirmant l’estimation precedente.

En dehors des parametres de l’ecoulement, chaque experience est caracterisee par leparametre de Coriolis f = 4π/T ou T est la periode de rotation de la cuve, la frequencede la stratification N et la hauteur d’eau H. Trois conditions de cuve (N ,H) ont eteutilisees pour deux taux de rotation differents. Dans tous les cas, le rapport f/N estplus petit que 1. Le taux de rotation est maintenu faible pour limiter les effets du ventet de courbure de la surface libre. Le tableau 2 regroupe les conditions experimentalespour les 5 series. Pour ces experiences, la surface est laissee libre. Par consequent, lesconditions aux limites aux extremites du vortex sont dissymetriques contrairement auxexperiences sur la petite cuve et aux simulations numeriques realisees par Dritschel(2002). Le tableau 3 resume les valeurs de ces parametres pour chacun des vortex.Dans ce cas, le rayon de deformation est calcule a partir de la hauteur d’eau totalecar la surface n’est pas couverte et les conditions aux limites sont dissymetriques. Lefrottement a la surface libre est tout a fait negligeable devant le frottement au fond.

Interaction en champ lointain 99

7.4. Interaction en champ lointain des grands vortex

L’interaction de deux vortex est dite elastique lorsque la distance qui les separe estsuffisamment elevee pour qu’il n’y ait pas coalescence. Chaque vortex induit un champde vitesse sur l’autre qui provoque la rotation de la paire et la deformation en ellipse.Cette section est consacree a ce regime dans lequel les vortex peuvent etre sujet a uneinstabilite mise au jour par les calculs analytiques et numeriques de Dritschel. & de laTorre Juarez (1996).

7.4.1. L’instabilite des vortex en colonnes

L’experience utilisant les cylindres permet de generer un vortex de faible intensite avecle cylindre de 5cm de diametre assez loin d’un autre vortex plus intense genere avec legros cylindre de 10cm de diametre. Ainsi le champ de cisaillement induit par le pluspetit vortex sur l’autre est negligeable alors que inversement, le cisaillement qu’il subitest eleve. La figure 7.15 montre l’evolution de cet ecoulement colore et visualise decote. Il apparaıt clairement une demi longueur d’onde qui deforme le plus petit vortexjusqu’a se qu’il se rompe. Durant cette evolution, le vortex intense qui se trouve aucentre n’est que faiblement perturbe. Pour cette experience, le parametre de Coriolisest de 1rad/s, la frequence de stratification est 1.8rad/s et la hauteur d’eau est de38.5cm. Cette instabilite intervient aussi lorsque les deux vortex sont de meme intensite.Son developpement est plus long et la dynamique est sensiblement plus complexe. Lafigure 7.16 montre l’evolution typique pour deux vortex de meme intensite. Plusieursphenomenes remarquables interviennent avant la rupture du vortex. Au debut de leurevolution, les deux vortex s’eloignent l’un de l’autre, puis, ils s’inclinent et effectuent desoscillations. Dans le meme temps, les extremites des vortex en contact avec les paroissubissent une erosion. Pour finir, chaque vortex se deforme en une demi-longueur d’ondeavant de se dechirer en deux. Typiquement, on obtient quatre vortex repartis deux adeux dans deux couches fluides.

Pour toutes les experiences d’interaction en champ lointain, la hauteur des vortexqui resulte de l’instabilite a ete mesuree. Leur hauteur est telle que Nh/fR < 3,en accord avec les resultats de Dritschel. & de la Torre Juarez (1996). Les mesuresrealisees sur la plate-forme “Coriolis” de la longueur d’onde et du taux de croissance (fi-gure 7.17 et 7.18) sont comparees aux resultats numeriques. Malgre les erreurs elevees,les resultats experimentaux sont en relativement bon accord avec les calculs numeriques.Les erreurs sont dues essentiellement a des images d’une qualite reduite et a la grandelongueur d’onde. La mesure du taux de croissance est encore plus incertaine puisqu’ellepasse par une mesure de l’amplitude. Cette mesure est rendue difficile par le mouve-ment du mode instable dans le repere de la cuve. Les mesures d’amplitude sont realiseeslorsque le mode se developpe dans un plan parallele au plan de prise de vue. Il a donc


a

b

c

d

e

f

Fig. 7.15 – Instabilite d’un vortex dans le champ de cisaillement provoque par un autrevortex. Les temps sont de haut en bas et de gauche a droite, 2, 4.3, 6.7, 8.5, 12.3 et 19.6,normalises par la periode de rotation de la cuve. La distance initiale entre les vortex est de22cm, f = 1rad/s, N = 1.8rad/s. Pour le vortex instable, le rapport Nh/(fR) est de 18.L’intensite des vortex est d’environ 65cm2/s pour le plus intense au centre de l’image et15cm2/s.

Fig. 7.16 – Instabilite de deux vortex de meme intensite. Les temps sont de haut en bas etde gauche a droite, 9, 19, 28, 31, 35, et 38 normalises par la periode de rotation de la cuve.La distance initiale entre les vortex est de 18cm soit d/R = 4.5, f = 1.5rad/s, N = 1.8rad/s

et la hauteur d’eau est de 38.5cm. Le rapport Nh/(fR) est de 7 pour les deux vortex.

Interaction en champ lointain 101

d/R

kRf/N

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

3 5 7 9 11 13 15 17 19

Fig. 7.17 – Variations du nombre d’onde nor-malise en fonction du rapport de la distanceet du rayon des vortex. Les courbes corres-pondent aux limites de stabilite en pointilleset au maximum de taux de croissance en traitcontinu (communication personnel avec D. G.Dritschel

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3kRf/N

σ (1/s)

Fig. 7.18 – Variations du taux de croissanceen fonction du nombre d’onde normalise.

fallu se contenter de quelques points pour estimer le taux de croissance.

L’ensemble de ces resultats montre que le profil de vorticite ainsi que le nombre deRossby de l’ecoulement jouent peu sur cette instabilite. En effet, les calculs numeriquesont ete realises pour des vortex de vorticite potentielle constante et dans l’approxima-tion quasi-geostrophique. Ici, la comparaison entre la vorticite maximum et la vorticitede fond donne un nombre de Rossby eleve. Cependant, il est difficile de comparer lenombre de Rossby d’un patch de vorticite constante base sur la vorticite et celui d’unedistribution continue de vorticite. Ainsi le nombre de Rossby passe d’environ 5 a 1 sil’on considere la vitesse maximum et le rayon et il tombe a 0.5 si il est construit a partirde la circulation.

7.4.2. Evolution a long terme

Les experiences realisees sur la petite cuve ont aussi ete l’occasion d’observer l’evolutiona long terme de l’ensemble des vortex. Les temps concernes ici sont de 400 a 600s.A partir des mesures de circulations realisees lors du qualibrage, la circulation doittoujours etre superieure a 50cm2/s. Le rayon doit etre d’environ 5cm ce qui donnepour la vitesse une valeur de l’ordre de 1.5cm/s. Le nombre de Reynolds base sur lacirculation est alors de 5000 alors que l’utilisation de la vitesse et la taille caracteristiquedu vortex donne 750.

Apres leur rupture, les vortex sont animes d’un mouvement de precession autour deleurs axes. Dans certaines conditions non controlees, un phenomene de reconnexion


a

b

c

d

e

f

Fig. 7.19 – Reconnexion partielle entre deux vortex de deux couches differentes visualises decote. Les images correspondent de haut en bas et de gauche a droite aux instants 43, 45, 48, 50et 52 normalises par la periode de rotation de la cuve. La distance initiale entre les vortex estde 20cm, f = 1rad/s, N = 1.8rad/s et la hauteur d’eau est H = 38.5cm. Le rapport Nh/(fR)est de 11.5.

partielle a ete observe. La figure 7.19 illustre un de ces evenements durant lequel lapartie inferieure d’un des vortex se rapproche et fusionne avec la partie superieurede l’autre. Bien que ceci intervienne a long terme, le temps caracteristique lie a cephenomene est assez cours (quelques dizaines de secondes au maximum).

7.5. Coalescence des cyclones de grand rapport d’aspect

7.5.1. Resultats des experiences dans la cuve de 1m

Lorsque la distance entre les deux cyclones est inferieure a une distance critique, ilsfusionnent pour ne donner plus qu’un seul vortex. Des mesures du champ de vitessepar imagerie de particules ont ete realisees sur deux cas de coalescence pour les vortexde plus faible circulation. Pour ces experiences la periode de rotation de la cuve est de13s soit f = 1rad/s, la frequence de la stratification est de 1.3rad/s soit un rapportf/N = 0.8. La hauteur d’eau est de 37.5cm. Les cylindres utilises font 5cm de diametreet distants de 12 et 14cm. Pour ces experiences, la surface libre n’est pas couverte,

Coalescence des cyclones intenses 103

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t (s)

d/R

Fig. 7.20 – Variations en fonction du tempsde la distance de separation des deux vortex.Les vortex sont generes par les cylindres de5cm de diametre, N = 1.3rad/s, f = 1rad/s,H = 37.5cm. La distance de separation ini-tiale est de 12cm (carres) et de 14cm (ronds).

0 10 20 30 400

0.1

0.2

t (s)

Ω (rad/s)

Fig. 7.21 – Variations en fonction du tempsde la vitesse angulaire du couple de vortexdont la distance initiale est de 14cm. Lesconditions sont N = 1.3rad/s, f = 1rad/s,H = 37.5cm. La courbe continue corresponda la vitesse angulaire calculee a partir de lacirculation et de la distance.

le rayon de deformation est alors Rd = NH/f = 49cm. Les mesures de vitesse sonteffectuees a mi hauteur.

Les resultats de ces mesures montrent un comportement qualitativement comparableau cas homogene avec deux vortex qui se rapprochent en tournant l’un autour de l’autreavant de fusionner (voir figure 7.22). La figure 7.20 montre l’evolution de la distance enfonction du temps normalise par le rayon du vortex. Les distances normalisees initialessont de 3.5 et 3. La theorie des vortex ponctuels peut etre utilisee ici pour estimer lavitesse angulaire du couple de vortex a partir des mesures de circulation et de distancede separation, et la comparer aux mesures directes. La vitesse angulaire d’une paire devortex ponctuels est egale a la vitesse induite par chaque vortex sur l’autre que divisela moitie de la distance qui les separe :

Ω = Γ/πd2. (6)

La figure 7.21 presente la comparaison entre la vitesse angulaire calculee (trait continu)et celle mesuree directement (symboles). L’accord avec la vitesse angulaire calculee estassez bon confirmant ainsi la faible influence des effets baroclines. Les faibles ecartspeuvent etre attribues aux erreurs de mesure et a la taille finie du coeur des vortex. Ilest remarquable que ce modele reste applicable pour de faibles distances de separationcompare au rayon des vortex. Pourtant, l’instabilite des vortex de grandes hauteurssoumis a un cisaillement intervient lors de l’appareillement des deux vortex (voir Drit-schel (2002)) et conduit a un ecoulement tri-dimensionnel. La coalescence des deux


vortex ne se fait que sur une fraction de la hauteur initiale des vortex. La figure 7.23montre une visualisation de cote des deux vortex colores. Ils prennent rapidement uneforme courbee pour ne s’appareiller qu’en leurs milieux.

La hauteur de coalescence a ete mesuree, pour toutes les experiences, inferieure a3Rf/N . Elle augmente lorsque la distance entre les vortex diminue comme le montre lafigure 7.24. Le parametre hc est la moitiee de la hauteur de la zone sur laquelle les deuxvortex fusionnent. Tous les points de mesures de ce graphe correspondent aux memesconditions, N = 1.8rad/s, f = 2rad/s, h = H/ = 19cm soit Rd = 17cm et les deuxvortex sont generes avec les cylindres de 5cm de diametre. Le rapport Nhc/(fR) estsuperieur a 1 dans toutes les experiences. Ce resultat est en accord avec ceux obtenuspar Dritschel (2002) quoique les rapports d’aspects obtenus numeriquement peuventatteindre des valeurs encore plus elevees.

La figure 7.25 montre la variation du temps de coalescence en fonction de la distance deseparation dans les memes conditions. Comme attendu, ce temps augmente lorsque ladistance augmente mais contrairement a ce qui a pu etre obtenu dans d’autres etudes,la coalescence des deux vortex n’intervient pas systematiquement pour des temps suffi-samment longs. Si les deux vortex sont separes d’une distance superieure a la distancecritique (ici d/R > 4), il s’eloignent l’un de l’autre et l’instabilite se developpe sansqu’il y ait coalescence. Ce comportement confirme que la deviation de la surface libren’a effectivement pas d’effet dans ces conditions.

7.5.2. Resultats des experiences sur la plate-forme “Coriolis”

La mesure du champ de vorticite de la figure 7.26 montre un cas de coalescence observepour les vortex generes par les volets. Il s’agit des experiences realisees sur la plate-forme“Coriolis”. C’est aussi la suite de la figure 7.10. Les deux cyclones sont generes par uneacceleration longue, leurs distributions de vorticite est non-gaussienne. Cette sequencemontre un comportement qualitativement similaire au cas bidimensionnel. Elle permetaussi de mettre en evidence les petits vortex secondaires qui persistent dans le champdes deux principaux cyclones. En particulier, il reste un anticyclone qui a tendance ase rapprocher de l’un des cyclones.

a) Influence des ecoulements parasites et definition de la distance initiale

Contrairement aux experiences realisees avec les cylindres, la distance initiale entre lesvortex generes par les volets n’est pas clairement definie. Il est necessaire aussi d’evaluerl’influence des ecoulements qui pourraient parasiter la mesure (vortex secondaires, vent,mouvement du volet, etc.). A cet effet, les variations de la distance entre les deuxprincipaux cyclones a ete mesuree en fonction du temps. Trois comportements bien


20 24 28 32

20

24

28

32

(cm)

(cm)

Fig. 7.22 – Champ de vorticite dans un plan horizontal a mi-hauteur de deux vortex generes parles cylindres de 5cm de diametre distants de 12cm initialement. Les parametres sont f = 1rad/s,N = 1.3rad/s et H = 37.5cm. Les instants correspondent a 2.8, 3.2, 3.7, 4.2, 4.6, 5.1, 5.6 et 6periodes de rotation de la cuve. Les contours de vorticite vont de 0.08rad/s a 3rad/s par pasde 0.15rad/s.


a b c

d e f

Fig. 7.23 – Visualisation de cote de la coalescence de deux vortex pour N = 1.8rad/s, f =1rad/s, H = 38.5cm et d = 10cm, soit Nh/(fR) = 17. Les deux vortex sont generes par lescylindres de 5cm de diametre. Les instants correspondent, de gauche a droite et de haut en basa 2.6 3.75, 4.75, 5.7, 6.6 et 7.4 normalises par la periode de rotation de la cuve.

2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

d/R

Nhc/fR

Fig. 7.24 – Hauteur de coalescence adimen-sionnelle en fonction de la distance initiale deseparation des deux vortex.

2 3 40

10

20

30

40

50

60

70

80

d/R

Tc/T

Fig. 7.25 – Temps de coalescence normalisepar la periode de rotation de la cuve en fonc-tion de la distance initiale de separation desdeux vortex.


0 40 80 120(cm)

0

40

80

120

(cm)

a

b

c

d

e

f

g

h

i

Fig. 7.26 – Champ de vorticite lors de l’interaction de deux vortex non-gaussiens generes parles volets. N = 0.4rad/s, f = 0.1rad/s, H = 35cm et le rapport NH/(fR) est de 8.7. Le pasde temps entre chaque champ est de 40s, Le contour de plus basse vorticite correspond a 10%du maximum. Les instants normalisees par la periode de rotation de la cuve sont 2.48, 2.8, 3.12,3.44, 3.76, 4.08, 4.4, 4.72 et 5.04. L’origine des temps est prise de sorte que la distance entre lesvortex soit proche de celle observee sur le premier champ de la figure.


distincts ont ete observes comme l’illustre la figure 7.27.

Lorsque la distance entre les volets est grande, les deux vortex s’eloignent l’un de l’autreet ne fusionnent pas. Cette augmentation de la distance n’a pas les memes originesphysiques que dans le cas des vortex generes par les cylindres. Ici, l’augmentationde distance peut etre attribuee au mouvement du volet lorsque les vortex sont tropeloignes l’un de l’autre pour qu’ils aient une influence mutuelle. Lorsque les voletss’arretent, les deux vortex (alors hors champ de mesure) cessent de se deplacer. Pour unedistance faible entre les volets, les deux vortex se rapprochent tres rapidement l’un del’autre pour fusionner. Enfin, la courbe en pointille montre un comportement atypiquepar rapport aux deux precedents. La distance commence par augmenter jusqu’a unevaleur superieure au premier cas (courbe continue). Malgre cela, la distance diminuefortement par la suite pour atteindre une valeur approximativement constante avantque les deux vortex fusionnent. Durant la phase de distance constante, des oscillationssont clairement visibles.

La definition de la distance initiale n’est pas triviale et pose le probleme de l’evaluationde l’influence du volet et des vortex secondaires. Pour cela, nous utilisons la theoriedes points vortex. Elle donne la vitesse angulaire du couple de vortex en fonction dela distance de separation et de la circulation. La vitesse angulaire obtenue par lesmesures de distance et de circulation est comparee a la valeur mesuree directement.La figure 7.28 montre cette comparaison pour les trois cas de la figure 7.27. Il y amanifestement un bon accord entre la vitesse angulaire calculee et celle mesuree al’exception des premiers instants. Le temps necessaire pour que l’estimation et la mesuresoient proches correspond avec le temps de mouvement du volet, c’est a dire 250s pourle plus gros vortex et 440s pour le plus petit.

Les influences des petits vortex secondaires et du vent sont negligeables, et celle dumouvement des volets diminue jusqu’a leur arret. Le cas particulier du regime d’inter-action avec des oscillations dans la distance est plus ambigue. Elles pourraient etre uneconsequence du mouvement des volets bien qu’elles persistent alors que les volets sontarretes et loin des vortex. Mais il est plus probable qu’il s’agisse d’oscillations dues al’interaction propre entre les vortex.

Pour certaines experiences realisees avec du colorant il a ete observe que les vortex serapprochent plus rapidement au niveau de la surface libre qu’au fond. Les deux vortexs’inclinent. Si la distance qui les separe est trop grande, ils finissent par se redresser.L’inclinaison des vortex par leur partie haute peut etre attribuee a la difference deconditions aux limites. Lorsqu’ils tournent l’un autour de l’autre, leur partie basseest ralentie par le frottement contrairement a la partie superieure. Ce comportementest semblable a celui observe dans les simulations numeriques de l’interaction de deuxcyclones ellipsoıdaux de revolution realisees par Dritschel (2002). Dans ce cas, il n’y apas de frottement mais la forme en ellipsoıde a des consequences tout a fait similaires.


0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6

7

t/T

d/R

Fig. 7.27 – Distance de separation des vortex en fonction du temps pour trois positions initialesdes volets. La courbe en pointille correspond au vortex gaussien de petit rayon, les deux autresau vortex non gaussien de grand rayon.

Dans les simulations numeriques, ce comportement ne conduit pas a la coalescence desdeux vortex. Mais dans les experiences, la diffusion augmente le rayon des vortex. Cetteaugmentation est faible mais une variation de 10% du rapport d/R peut conduire a lacoalescence ce qui correspond a moins de 1cm d’augmentation du rayon.

Ces resultats nous permettent de choisir une definition pour la distance initiale deseparation des vortex qui sera utilisee pour tracer les variations de la distance critiqueen fonction de NH/(fR). En dehors des cas ou il y a oscillation, nous prendrons commevaleur initiale la distance entre les vortex apres l’arret des volets. Concernant les casqui presentent des oscillations, la distance est prise au niveau du plateau quelque soitle temps necessaire pour l’atteindre.

Il reste que les anticyclones de grande dimension qui s’organisent dans les volets apresleur arret peuvent avoir une influence importante. Le temps caracteristique de forma-tion de ces anticyclones est grand (environ 1500s), ce qui rend leur influence negligeablesur la dynamique des vortex lorsqu’elle est de courte duree. Pour les experiences d’in-teraction sur des temps plus longs il est arrive qu’un anticyclone arrache un cyclone del’influence du deuxieme pour former un dipole. Dans ce cas, la distance de separationcroıt brutalement. Ce phenomene reste rare, mais il empeche alors de conclure sur lecomportement de la paire de cyclones.


200 300 400 500 6000

10

20

30

40

t (s)

Ω (mrad/s)

(a)

200 300 400 5000

2

4

6

8

10

t (s)

Ω (mrad/s)

(b)

0 400 800 12000

20

40

60

80

100

t (s)

Ω (mrad/s)

(c)

Fig. 7.28 – Mesures (symboles) et estimations (continue) de la vitesse angulaire du couple devortex en fonction temps pour les trois cas presentes figure 7.27, (a) cas divergent et (b) casconvergent, (c) cas oscillant.


Fig. 7.29 – Visualisation volumique de l’ecoulement colore a la fluoresceine. La surfacerepresente une valeur d’iso-intensite des images normalisees par tranche horizontale par lesminimum et maximum d’intensite. La hauteur correspond a 42cm et les instants sont 1020,1090, 1120 et 1150s. Le parametre de Coriolis est f = 0.1rad/s et N = 0.4rad/s. Le rapportNH/(fR) est de 15. Les instants normalises par la periode de rotation de la cuve sont, 0, 0.5,0.8, 1. L’instant t=0 est pris 8 periodes de rotation de la cuve apres le debut du mouvement.


7.5.3. Visualisations tri-dimensionnelles au colorant

La coalescence dans ces experiences est tri-dimensionnelle, comme attendu, etant donneque le rapport NH/(fR) est superieur a la valeur critique pour que les vortex restentstables. A la difference des experiences sur la cuve de 1m, les conditions aux limitesne sont pas symetriques et la coalescence en presence d’une surface libre fait ressortircette asymetrie. Tous les cas de coalescences observes sur le grand dispositif se font parla partie haute, proche de la surface libre. La sequence d’images tri-dimensionnelles desdeux vortex de la figure 7.29 montre bien cette dissymetrie. Cette sequence est realiseea partir d’acquisitions volumiques d’images au colorant effectuees en balayant le volumefluide dans la direction verticale avec un plan laser horizontal.

7.6. Vers les petits rapports d’aspect

Les cas explores precedemment se caracterisent par une valeur elevee du rapport d’as-pect normalise NH/(fR), impliquant une influence importante de la stratification parrapport a la rotation. Cette section est consacree au cas des faibles rapports d’aspect.

7.6.1. Le cas des vortex generes par les volets

Les conditions choisies pour les experiences sur la plate-forme “Coriolis” sont, unehauteur de 35cm avec une stratification de 0.4rad/s et un parametre de Coriolis de0.2rad/s. Avec le vortex de 35cm de rayon, le rapport NH/(fR) vaut 2. Ici, H est lahauteur totale de fluide car la surface libre n’est pas couverte.

Bien que le rapport NH/(fR) soit inferieur a la valeur critique pour que l’instabilite sedeveloppe, la coalescence est tri-dimensionnelle. L’explication de ce desaccord avec lesresultats numeriques qui prevoient une coalescence bidimensionnelle, peut resider dansles consequences du frottement au fond de la cuve. Il est inexistant dans les simulationsnumeriques. Il engendre un ecoulement axial qui, pour de telles circulations et une sifaible stratification, remonte presque jusqu’a la moite du vortex. Les visualisations decotes montrent que la coalescence se fait au dessus de la zone de recirculation due aufrottement parietal. De toute evidence, pour seulement 35cm d’eau et N = 0.4rad/s

de stratification, les effets tridimensionnels ne sont pas negligeables et l’ecoulement nepeut etre considere comme barotrope.

7.6.2. Interaction bi-dimensionnelle

Les faibles rapports d’aspect dans la cuve de 1m avec les vortex generes par les cylindressont accessibles sous deux conditions necessaires ; une faible hauteur d’eau et un rapport

Vers les petits rapports d’aspect 113

a

b

c

d

e

f

g

h

Fig. 7.30 – Vue de cote des deux vortex colores avec de la fluoresceine. La hauteur d’eauest de 20cm, f = 1.5rad/s, N = 1rad/s et Nh/(fR) = 2.2. Les deux vortex sont generespar les cylindres de 5cm de diametres, initialement distant de 6cm soit d/R = 2.5. Le pasde temps entre chaque image est de 5s, et les cylindres sortent de l’eau a la premiere image.Les instants normalises par periode de rotation de la cuve sont, 0, 0.6, 1.2, 1.8, 2.4, 3, 3.6 et4.2.

a

b

c

d

f

g

h

i

e j

Fig. 7.31 – Memes conditions que la figure 7.30 avec une distance initiale de 8cm soitd/R = 3.2. Les instants pour chaque image a partir de la sortie des cylindres sont 0, 4, 9,25, 28, 31, 33, 36, 39 et 42.


N/f inferieur a 1. Cette derniere condition doit etre prise avec precaution car l’inversiondu rapport N/f change les proprietes des ondes qui peuvent se propager. En outre,N/f < 1 n’est plus representatif des grandes structures des ecoulements atmospheriquespour lesquelles N/f À 1. Une serie d’experiences a ete realisee avec une hauteur d’eaude 20cm, N = 1rad/s et f = 1.5rad/s. Du fait de la symetrie des conditions auxbords, le rayon de deformation est de 6.7cm. Soit, pour des vortex de 2 a 2.5cm derayon, des rapports d’aspects de 2.7 et 3.3. La sequence de la figure 7.30 montre uncas de coalescence bi-dimensionnelle. Il s’agit de visualisations de cote des deux vortexgeneres par les cylindres de 5cm de diametre et colores avec la fluoresceine. La premiereimage correspond a l’instant meme ou les deux cylindres sortent de l’eau. Comme ladistance de 6cm entre les deux vortex est faible, leur interaction debute alors que lescylindres ne sont pas completement sortis. Ceci explique la deformation de l’un desdeux vortex. Ces legers effets tri-dimensionnels s’attenuent rapidement pour laisserplace a un appareillement bi-dimensionnel. L’operation se fait tres rapidement. Surcette courte echelle de temps, le rayon du vortex genere par le petit cylindre de 5cmdoit etre d’environ 2 ± 0.4cm. La distance normalisee d/R pour cette experience estdonc de 3±0.4 et le rapport d’aspect est 2.7±0.4 cm. La figure 7.31 montre l’evolutionde la paire de vortex dans les memes conditions mais pour une distance initiale de8cm, d/R = 3.2± 0.5. Pour ce rapport d’aspect, les calculs numeriques donnent 3 a 3.4comme distance critique de coalescence. Apres environ 200s les extremites des vortexs’erodent comme dans les experiences sur les rapports d’aspects plus eleves, et les deuxvortex sont animes d’oscillations. Mais l’instabilite des grands vortex n’intervient pasici, en accord avec le critere de stabilite sur le rapport d’aspect.

7.6.3. Instabilites aux faibles rapports d’aspects

Une serie d’experience a ete realisee avec 10cm d’eau, N = 1.1rad/s et f = 1rad/s. Lasurface libre a ete couverte par un film transparent ce qui donne un rayon de deformationde 5.5cm. Pour generer les vortex, les cylindres de 10cm de diametre ont ete utiliseset modifies pour qu’ils soient cylindriques sur toute la hauteur. La coalescence a lieupour une distance de 11cm au maximum soit une distance critique de d/R = 3.6± 0.5.Cette valeur est en accord avec les resultats numeriques qui donnent un rapport d/R

variant de 3.1 a 3.7.

La figure 7.32 montre le champ de vorticite lors de l’interaction avec coalescence desdeux cyclones. Elle se fait de facon tout a fait similaire qualitativement au cas barotropemais la suite de l’evolution est tres differente. Une fois le processus de coalescence fini, ildevrait y avoir axisymetrisation du vortex. Ce processus fait intervenir la filamentationde la vorticite aux extremites de l’ellipse. Ici, les filaments sont bien visibles a partirde 80s mais le vortex reste fortement elliptique. Ces mesures montrent aussi de la vor-ticite anticyclonique entre les filaments et le vortex. L’intensite de la vorticite negative

Vers les petits rapports d’aspect 115

-20 -10 0 10 20-20

-10

0

10

20

(cm)

(cm)

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

Fig. 7.32 – Champ de vorticite relative verticale dans un plan horizontal lors de l’interactionde deux cyclones generes par les cylindres de 10cm de diametre. Ici, H = 10cm, N = 1.1rad/s,f = 1rad/s, Nh/(fR) = 1.8 et la distance initiale est de 11cm soit d/R = 3.6. Le premierchamp est pris 21s apres la sortie des cylindres et le pas de temps entre chaque champ est de15s. La vorticite (en valeur absolue) du contour le plus bas correspond a 10% de la vorticitemaximum.


augmente et se concentre pres du cyclone. Ceci est a l’origine d’une zone localisee defort gradient de vorticite dans le cyclone. Ces gradients se trouvent aux extremites del’ellipse ce qui provoque une augmentation de l’ellipticite. Finalement, le cyclone sebrise sous l’effet croissant des deux anticyclones et forme deux dipoles qui s’eloignentl’un de l’autre.

Cette experience presente donc une grande difference par rapport aux autres puisquele vortex resultant de la coalescence est instable. Sur le plan qualitatif, cette instabi-lite rappelle fortement l’instabilite barocline. Elle intervient sous deux conditions ; unetaille caracteristique de l’ecoulement superieure au rayon de deformation et des gra-dients de vitesse et de densite selon la verticale. La premiere condition est effectivementremplie. La taille de la structure apres 80s sur la figure 7.32, est superieure au rayon dedeformation puisque le rayon moyen de l’ellipse est d’environ 8cm. En ce qui concernela deuxieme condition, il est necessaire de revoir l’hypothese initialement faite d’unecoulement barotrope. En effet elle etait valable pour des vortex de grande hauteurpour lesquels les effets de parois sont negligeables puisqu’ils sont confines a des couchesde faibles epaisseurs aux extremites des vortex. Mais dans ces conditions (H = 10cm),les zones d’influences des extremites sont d’une epaisseur comparable puisqu’elles sontd’environ 2cm a chaque extremite. La portion de vortex qui peut etre consideree commebarotrope se reduit alors a la moitie de la hauteur totale. Ces deux caracteristiques del’ecoulement suggerent fortement que le cyclone resultant de la coalescence est sujet aune instabilite barocline.

7.7. Conclusion

L’interaction de deux cyclones en fluide stratifie tournant a ete etudiee au moyen dedeux dispositifs experimentaux. Ils ont permis d’explorer la dynamique des deux cy-clones pour differents profils de vorticite, une large gamme de nombres de Reynolds etde rapports NH/(fR) des vortex. Cette etude porte aussi bien sur le comportementdans un plan horizontal que sur l’evolution tri-dimensionnelle de l’ecoulement. L’accenta ete mis sur l’instabilite des vortex de rapport NH/(fR) eleve et son influence sur lacoalescence des cyclones. Le cas des cyclones de faibles rapports NH/(fR) a aussi eteexplore dans la limite des possibilites experimentales.

A l’issue de ces deux series d’experiences, sur la cuve de 1 m et celle de 13 m, nouspouvons tracer les variations de la distance critique de coalescence en fonction durapport NH/(fR). Les resultats correspondent a 4 types de vortex differents :– vortex gaussien a faible Reynolds genere par le cylindre de 5 cm de diametre– vortex avec un anneau turbulent genere par le cylindre de 10 cm de diametre– vortex gaussien a haut Reynolds genere par le volet– vortex non gaussien a haut Reynolds

Conclusion 117

Dans le cas des experiences sur la petite cuve, la surface libre est couverte et les condi-tions aux limites sont symetriques. Alors, la hauteur prise pour calculer le rapportNH/(fR) correspond a la demi-hauteur d’eau. Pour les experiences sur la cuve “Corio-lis”, la surface est laissee libre et les conditions aux limites ne sont pas symetriques. Lahauteur prise en compte pour le calcul de NH/(fR) est alors la hauteur d’eau totale.Dans tous les cas, la comparaison des resultats obtenus pour differents profils de vorti-cite et les simulations numeriques realisees pour des vortex de type Rankine, necessited’utiliser le rayon du vortex defini par le moment angulaire. C’est a dire la taille de lazone de vorticite.

L’evolution de la paire de cyclones depend de la distance qui les separe normalisee parle rayon d/R. Lorsqu’elle est superieure a une valeur critique, les deux vortex tournentl’un autour de l’autre. En dessous de cette valeur, les deux cyclones se rapprochent etfusionnent. La figure 7.33 montre le comportement des cyclones en fonction de leursrapports NH/(fR) et de la distance initiale qui les separe d/R. Les differents symbolescorrespondent aux differents vortex, ceux qui sont pleins correspondent aux cas de coa-lescence. Ce graphe montre que la distance critique de coalescence depend du rapportNH/(fR). Les resultats numeriques de Dritschel (2002), obtenus pour des vortex el-lipsoıdaux de vorticite potentielle constante dans l’approximation quasi-geostrophique(pointilles), montrent un comportement comparable. La pente suivie par la distance cri-tique mesuree experimentale suit remarquablement bien les resultats numeriques maiselle est dans la plupart des cas inferieure. Cet ecart semble systematique, suggerant qu’iln’est pas du uniquement aux erreurs de mesures. Il peut etre du aux deux principalesdifferences entre les experiences et les simulations qui sont, un profil de vorticite continuet un nombre de Rossby relativement eleve. Les vortex generes par le cylindre de plusgrand diametre presentent tous une distance critique encore plus basse. Rappelons quelors de sa formation, ce vortex subit une instabilite de courte longueur d’onde semblablea celle etudiee dans le chapitre 5. Elle est a l’origine d’un anneau de melange autourdu coeur du vortex. Il isole le vortex et la coalescence intervient plus difficilement.

La coherence entre les distances critiques obtenues pour les differents types de vortex,de conditions aux limites et de conditions experimentales montrent que :– la definition du rayon la plus appropriee a ce probleme est bien celle basee sur le

moment angulaire introduite par Meunier et al. (2002) et s’applique a des profils devorticite non-gaussien,

– les conditions aux limites aux extremites des cyclones doivent etre prises en comptepar l’intermediaire de la definition de la hauteur caracteristique,

– le nombre de Reynolds n’a pas d’influence sur la distance critique– l’influence du nombre de Rossby doit etre faibleLors de l’interaction en champ lointain, une instabilite tri-dimensionnelle se developpe siles vortex depassent un rapport d’aspect critique Nh/fR = 3. Les mesures de longueurd’onde et de taux de croissance tout comme l’evolution qualitative de l’ecoulement sont


0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

NH/fR

d/R

Fig. 7.33 – Distance critique de coalescence en fonction du rapport d’aspect NH/(fR) calculeenumeriquement (d’apres Dritschel Dritschel (2002)) en pointille et resultats des experiences(symboles). Les ronds et les carres correspondent aux experiences sur la plate-forme “Coriolis”.Les carres correspondent au vortex non-gaussien. Les triangles pour les vortex generes parle cylindre de 5cm de diametre, les diamants pour ceux generes par le cylindre de 10cm dediametre. Les symboles pleins correspondent aux cas de coalescence.

proches des resultats obtenus numeriquement par Dritschel. & de la Torre Juarez (1996).L’instabilite des grands vortex qu’ils presentent apparaıt dans les memes conditions surle rapport d’aspect ce qui nous permet de conclure qu’il s’agit bien du meme phenomenequi intervient dans les experiences. Cette instabilite est due a l’ellipticite que chaquevortex induit sur l’autre.

La coalescence des vortex de grand rapport d’aspect est partielle. Ce resultat est aussien accord avec les simulations numeriques recentes de Dritschel (2002) qui attribuece phenomene de coalescence partielle au developpement de la meme instabilite quecelle des grands vortex citee plus haut. Lorsque le rapport NH/(fR) est inferieur a 3,les experiences realisees sur la cuve de 1m montrent une coalescence bidimensionnellecomme attendu. Les experiences sur la plate-forme “Coriolis” ont montre un compor-tement different avec une coalescence tridimensionnelle pour des rapports NH/(fR)en-dessous du critere. Cette difference est attribuee aux effets du frottement au fondqui, en presence d’une faible stratification, engendre un ecoulement de recirculationvertical qui modifie de facon importante les conditions de stabilite.

Ces resultats confirment une premiere difference avec le cas des ecoulements bi-couchesqui donnent tous une distance critique qui tend a etre independante du rapport d’aspectlorsqu’il augmente. Les etudes en bi-couche couvrent une gamme de rapport NH/(fR)

Conclusion 119

allant de 0 a environ 4. Dans le cas des vortex baroclines, les effets de densite sont sen-sibles sur quasiment toute cette gamme par des variations de la distance critique allantdu simple au double. Les effets baroclines en presence d’une stratification continue sefont sentir pour des valeurs elevees de NH/(fR), contrairement au cas de la stratifi-cation bi-couche. Ils interviennent par l’intermediaire d’une instabilite des vortex quisubissent une deformation elliptique.


Chapitre 8

Conclusions et perspectives

Le fil conducteur de l’etude presentee ici est l’effet de la stratification sur les vortexen colonnes intenses. Une premiere partie des experiences pour lesquelles un volet aete utilise pour generer un dipole fortement asymetrique a permis d’etudier la stabi-lite d’un vortex intense en presence d’une faible stratification. Lorsque le nombre deFroude de l’ecoulement est suffisamment eleve, le vortex le moins intense se rapproche ets’enroule autour du vortex de demarrage qui conserve sa coherence verticale longtempsapres l’eclatement de l’autre vortex. L’evolution du coeur du vortex le plus intense a eteanalysee et montre qu’elle peut etre decomposee en quatre etapes : evolution diffusivequasiment bidimensionnelle ; croissance d’une instabilite elliptique ; regime d’oscilla-tions et l’eclatement. L’enroulement du vortex de faible intensite est a l’origine d’uneaugmentation de l’etirement et du taux de croissance de l’instabilite elliptique du vor-tex le plus intense. Les mesures de la longueur d’onde de l’instablite en fonction dunombre de Froude, Fr = U/(NR), montrent qu’elle varie fortement en dessous de 2pour tendre rapidement vers la limite homogene au-dela. Pour des valeurs elevees dunombre de Froude, les proprietes de l’instabilite elliptique sont peu differentes du cashomogene.

L’instabilite elliptique sature pour laisser place a un regime durant lequel le coeurdu vortex reste coherent mais il est deforme par des ondulations de grandes ampli-tudes. Ces mouvements s’accompagnent d’oscillations verticales a une frequence prochede la frequence de stratification. L’eclatement du vortex intervient apres plusieursperiodes d’oscillations. Ce comportement complexe necessite de plus amples investiga-tions pour apporter une comprehension complete des phenomenes en jeu mais il semblequ’un phenomene de resonance lie ou non a l’instabilite elliptique, soit responsable del’eclatement du coeur.

121

122 Conclusions et perspectives

Dans les experiences realisees sur l’ecoulement genere avec le volet, une instabilite croıtau bord du vortex de demarrage alors que la stratification est suffisamment forte poursupprimer l’enroulement du vortex negatif. Elle se developpe sur un temps nettementplus court que l’instabilite elliptique due au vortex negatif qui reste eloigne. Les me-sures sur le profil de vitesse montrent qu’il n’y a pas de vorticite negative a proximitedu vortex de demarrage dans la zone ou l’instabilite se developpe. Le mecanisme pro-pose pour expliquer cette instabilite fait intervenir un phenomene de resonance. Il estbase sur l’observation d’une forte perturbation de densite a l’endroit ou se developpel’instabilite avant qu’il y ait retournement. Cette perturbation a une structure azimu-tale claire correspondant a un mode 1. Une particule transportee par l’ecoulement dansla perturbation subit une periode d’oscillation verticale a chaque tour. La resonanceintervient lorsque la frequence de ces oscillations forcees par l’ecoulement est egale ala frequence de la stratification. Il en decoule une augmentation d’amplitude de la per-turbation jusqu’a ce qu’elle deferle formant une zone de melange annulaire. En plus deproduire du melange, cette instabilite augmente rapidement le rayon du vortex.

Le melange vertical est une consequence commune aux deux instabilites observees.L’une melange au coeur et l’autre au bord du vortex. Une des perspectives possibles ace travail serait de caracteriser ce melange en fonction des conditions. Dans une seried’experiences complementaires, l’instabilite de resonance observee au bord du vortexa aussi ete obtenue dans un ecoulement produit par aspiration dans un fluide stratifietournant. L’aspiration modifie l’instabilite et permet de maintenir un regime de rou-leaux qui rend l’etude du melange plus faisable. Une autre perspective de poursuite del’etude de cette instabilite concerne l’effet de la rotation. Une instabilite semblable apu etre observee sur des cyclones generes en fluide stratifie tournant. Enfin, un rayon-nement d’ondes internes a ete observe dans plusieurs experiences realisees au cours decette etude et pourrait faire l’objet d’experiences plus appprofondies.

La deuxieme partie de cette etude concerne l’instabilite et l’interaction de deux cyclonesen fluide stratifie tournant. Les cyclones de meme intensite fusionnent si la distance quiles separe est inferieure a une valeur critique. L’ensemble des resultats obtenus dansles experiences realisees au cours de cette etude et les resultats numeriques precedentsmontrent que la distance critique varie avec le rapport d’aspect NH/(fR), c’est adire avec le rayon de deformation. La variation est donnee par une pente de d/R ∝(5/8)NH/(fR). Un ecart systematique est observe entre les mesures de la distancecritique et les resultats des calculs numeriques. Le nombre de Rossby est plus faible dansles calculs et les profils de vorticite utilises sont tres raides. Les vortex sont initialementbarotropes dans les experiences alors que les calculs sont realises pour des ellipsoıdesde revolution. L’influence du profil de vorticite est faible si l’on considere comme rayonla taille totale de la zone de vorticite. La forme ellipsoıdale a elle aussi probablementpeu d’influence dans la limite ou les vortex sont grands devant leurs rayons. L’ecartentre les mesures et les calculs de la distance critique peut etre une consequence des

123

differences entre les nombres de Rossby.

La variation de la distance critique est une consequence directe de la stratification. Enfluide homogene, elle est independante de la rotation. Une serie d’etude sur l’interactionen fluide bi-couche montre que la presence de l’interface et sa deviation par l’ecoulementsont responsables d’une augmentation de la distance critique pour des rapports Rd/R

de l’ordre de 1 ( Griffiths & Hopfinger (1986), Verron et al. (1990) et Verron & Valcke(1994)). Pour une stratification continue, l’influence de la variation de densite inter-vient par l’intermediaire d’une instabilite. Elle se developpe sur des vortex soumis aun champ d’etirement horizontal. Lorsque deux vortex se trouvent a proximite l’un del’autre, ils induisent chacun un champ d’etirement qui les rend elliptiques. La combinai-son des effets de la rotation et de la stratification est a l’origine de cette instabilite. Ellea pour effet de rompre les colonnes de vorticite elliptiques. Cette instabilite a d’abordete l’objet d’etudes theoriques et numeriques (voir Miyazaki & Hanazaki (1994) et Drit-schel. & de la Torre Juarez (1996)). Les resultats obtenus experimentalement ici sontqualitativement et quantitativement tres proches des resultats numeriques. Le criterede stabilite donne par NH/fR < 3 est bien verifie.

Ces resultats peuvent etre compares a ce qui est observe dans l’atmosphere car l’in-teraction de deux cyclones tropicaux n’est pas un phenomene rare. Durant certainessaisons, deux cyclones tropicaux peuvent se former a proximite l’un de l’autre. Les ob-servations montrent qu’au dela de 1600km de distance entre deux cyclones tropicaux, iln’y a pas d’interaction. Un cyclone tropical typique fait 10km de haut pour un diametrede 200km avec des vents pouvant atteindre 80m/s. Ceci donne NH/(fR) ≈ 20 et lesmodeles donnent une distance critique normalisee d’environ 13. Le rapport d/R mini-mum observe dans la nature pour qu’il n’y ait pas d’interaction est de 16.

124 Conclusions et perspectives

Annexe A

Reduction de l’equation pour l’amplitude de la

perturbation de pression

Les details du calcul de l’equation pour l’amplitude de la perturbation de pression apartir du chapitre 2 sont donnes dans cette annexe.

A.1. L’equation pour la perturbation de pression

Les equations de polarisation sont obtenues en remplacant les champs perturbes dansles equations du chapitre 2 (20) et (21) par leur forme (22). Le systeme d’equationspour les amplitudes est :

iσu + 2Ωv =dp

dr, (1a)

iσv − Zu =il

rp, (1b)

iσw = N2h + imp, (1c)

iσh = w, (1d)

ou σ = ω − lΩ est la frequence modifiee par l’effet Doppler, et :

1r

d

dr(ru) +

il

rv + imw = 0. (2)

Afin de preparer la reduction de ce systeme d’equation, les equations (1) sont rearrangeesde sorte que les amplitudes de la perturbation du champ de vitesse soient exprimees enfonction de la perturbation du champ de pression. Les deux premieres sont recombinees

125

126 Reduction de l’equation pour l’amplitude de la perturbation de pression

pour donner u et v et les deux dernieres sont utilisees pour donner w :

(Φ− σ2)u = iσdp

dr− i

2lΩr

p, (3a)

(Φ− σ2)v = Zdp

dr− l

rσp, (3b)

(N2 − σ2)w = −mσp. (3c)

La fonction Φ = 2ΩZ est connue sous le nom de discreminant de Rayleigh.

En remplacant u, v et w par leurs expression en fonction de la pression dans l’equationde la continuite, on obtient directement l’equation pour la pression :

d

dr

[σ

Φ− σ2rdp

dr− 2lΩ

Φ− σ2p

]+

lZ

Φ− σ2

dp

dr− l2σ

Φ− σ2

p

r− m2σ

N2 − σ2rp = 0. (4)

Sous la forme plus classique :

Ay′′ + By′ + Cy = 0, (5)

on a pour chacun des termes :

A =σ

Φ− σ2r, (6)

B =d

dr

(σ

Φ− σ2r

)+ l

Z − 2ΩΦ− σ2

, (7)

C = σ

[− l

σ

d

dr

(2Ω

Φ− σ2

)− l2

Φ− σ2

1r− m2

N2 − σ2r

](8)

La derivee dans le terme B est developpee comme le produit σr× (Φ− σ2)−1. Puis, enutilisant les expressions :

Z = 2Ω + rdΩdr

, (9)

etdσ

dr= −l

dΩdr

, (10)

le terme B se reduit a :

B = σd

dr

(r

Φ− σ2

). (11)

Ainsi l’equation (4) s’ecrit :

r

Φ− σ2

d2p

dr2+

d

dr

(r

Φ− σ2

)dp

dr

+[− l

σ

d

dr

(2Ω

Φ− σ2

)− l2

Φ− σ2

1r− m2

N2 − σ2r

]p = 0

(12)

Les conditions aux limites, developpement limite et solutions a l’infini. 127

On reconnaıt dans les deux premiers termes le developpement de la derivee du produitdp/dr × r(Φ − σ2)−1 et on retrouve ainsi la forme classique des problemes de typeSturm-Liouville :

d

dr

[r

Φ− σ2

dp

dr

]+

[− l

σ

d

dr

(2Ω

Φ− σ2

)− l2

Φ− σ2

1r− m2

N2 − σ2r

]p = 0. (13)

A.2. Les conditions aux limites, developpement limite et

solutions a l’infini.

La solution quand r tend vers 0 est obtenue a partir d’une forme simplifiee del’equation (25). Dans cette limite, la rotation de l’ecoulement de base peut etreconsideree constante et l’equation pour la perturbation de pression se met sous laforme d’une equation de Bessel :

r2 d2p

dr2+ r

dp

dr+

(Φ− σ2

σ2 −N2m2r2 − l2

)p = 0. (14)

La deuxieme etape consiste a considerer des solutions sous la forme polynomiale sui-vante :

p(r) =∞∑

λ=0

aλrk+λ, a0 6= 0. (15)

Par substitution et identification, le premier ordre nous donne la relation suivante pourr proche de zeros :

p ∼ rl. (16)

Vers l’exterieur du vortex, la condition doit permettre un raccord a la solution pour lesondes en l’abscence d’ecoulement. L’equation pour la perturbation de pression devient :

r2 d2p

dr2+ r

dp

dr+

(ω2m2

ω2 −N2r2 − l2

)p = 0. (17)

Il s’agit la encore d’une equation de Bessel. Les solutions propagatives de cette equationsont appelees fonctions de Hankel. Ce sont des fonctions complexes dont la partie reelleest la fonction de Bessel de premier genre (J) et la partie imaginaire est la fonction deBessel de second genre (N). La solution est :

p = Ha(n)l (κr), (18)

avec κ2 = ω2m2/(ω2 −N2) et :

H(1)l (x) = Jl(x) + iNl(x), (19)

H(2)l (x) = Jl(x)− iNl(x). (20)

128 Reduction de l’equation pour l’amplitude de la perturbation de pression

Les fonctions de Hankel sont l’equivalent de exp(±iθ). Le choix entre celle de genre 1ou 2 se fait selon le comportement physique recherche et joue sur le sens de propagationdes ondes.

Annexe B

L’instabilite du vortex puits en fluide stratifie

tournant

Les experiences sur la stabilite d’un vortex intense en fluide stratifie mettent en evidencele developpement d’une forte perturbation de densite suivi d’une instabilite de courtelongueur d’onde. Les resultats tendent a montrer que son developpement est conditionnepar l’existence d’un rayon rc pour lequel σ = ω − lΩ(rc) = N ou ω est la pulsation dumode, l, le mode azimutal et Ω(r), la distribution radiale de vitesse angulaire.

Malgre le faisceau d’elements montrant que cette instabilite est bien liee a un phenomenede resonance, il s’avere important de verifier cette conjecture sur un autre typed’ecoulement normalement stable en fluide homogene. Pour cela, une autre seried’experiences a ete realisee sur la stabilite de l’ecoulement vortex puits. Ce dernierest realise dans une cuve tournante de 1m de cote remplie d’eau lineairement stratifieeavec une frequence de 1rad/s. L’ecoulement est produit en aspirant le fluide sur la hau-teur d’un tube perce de trous. Ceci produit un ecoulement radial qui subit la force deCoriolis. Comme il n’y a pas de gradient de pression pour s’y opposer, un ecoulementcyclonique s’etablit rapidement. Il s’agit du vortex puits, bien connu pour etre stablepuisqu’il presente une decroissance de vitesse proportionnelle a 1/r ou r designe ladistance radiale par rapport au tube. Cette methode garantit aussi l’absence d’autrevortex. Afin d’anticiper d’eventuelles effets stabilisants de la rotation de fond, elle estfixee a une valeur faible de 0.115rad/s. Le debit total d’aspiration est de 5.3 e−5 m3/s.Une nouvelle fois, c’est la methode d’ombroscopie qui a ete utilisee pour visualiserl’ecoulement de cote.

La figure B.1 montre le resultat obtenu. Il y a la deux principales observations : lesbandes verticales dues a une forte perturbation locale du champ de densite se forment

129

130 L’instabilite du vortex puits en fluide stratifie tournant

Fig. B.1 – Visualisation de l’ecoulement vortex puit par ombroscopie. les instants corres-pondent a 260, 331, 402 et 476 s, et la hauteur des images est de 11 cm.

comme pour l’experience sur le vortex gaussien et l’instabilite de courte longueur d’ondeverticale se developpe. Bien que cela n’apparaisse pas clairement sur ces images, le modeest aussi helicoıdale et les vortex sont co-rotatifs. Les principales differences avec lesprecedentes experiences sur le vortex gaussien sont, un taux de croissance manifeste-ment plus faible et la structure de l’ecoulement apres le developpement de l’instabilite.Dans les deux cas, il semble que l’aspiration continue soit responsable de ces differences.

Pour verifier que la position de la perturbation de densite est effectivement liee a ladistribution de vitesse angulaire, nous avons eu recours a des resultats theoriques surl’ecoulement vortex puits en fluide stratifie. L’etude analytique de Monismith et al.(1996) nous permet de calculer les variations spatiales et temporelles de la vitesseazimutale. Lorsque l’ecoulement est etabli, c’est a dire pour t À f−1 ou f est lavorticite de fond, la vitesse radiale s’exprime par :

u ≈ −Q

2πh2

[h

2r+

f

N

∞∑

n=1

nπK1

(nπfr

Nh

)cos

(nπz

h

)], (1)

ou Q est le debit a travers un puits ponctuel situe en r = 0 et z = 0 entre deuxparois horizontales distantes de 2h. Ce resultat est etabli en negligeant la viscosite. Lacomposante de vitesse azimutale est donnee par :

v = −ftu. (2)

Elle augmente lineairement avec le temps pour un debit d’aspiration constant. L’ecoulementdepend de z dans une couche autour du puits dont l’epaisseur est independante dutemps et proportionnelle a Nh/f . Au-dela de cette distance l’ecoulement devientindependant de z.

Pour utiliser ces resultats theoriques, il nous faut determiner une equivalence entre lesparametres de l’experience (hauteur d’aspiration H et debit total Qt) et ceux de latheorie (h et Q). Le tube utilise est perce de 128 trous repartis en quinconce sur 22.5

131

Fig. B.2 – Diagramme spatio-temporelle obtenu a partir d’une ligne horizontale tiree de chaqueimages. Le cylindre se trouve en bas du diagramme. Les courbes correspondent a la positiontheorique de la ligne de courant qui verifie v/r = N compte tenu de l’incertitude.

cm selon 6 generatrices et separes d’une distance verticale d’environ 1 cm. Suite auxobservations, il s’avere que l’aspiration ne se fait pas sur toute la hauteur mais plutotsur 12 a 15 cm. En considerant que les trous sont repartis regulierement sur chaquesection droite du tube, on trouve un debit par tranche horizontale Q = 2.0± 0.3 cm3/s

et la distance entre chaque tranche est de 1 cm soit h = 0.5 cm. Dans les conditionsexperimentales, N/f = 5 et la distance radiale d’etablissement est estimee a 1.5 cm.

Le mecanisme propose pour l’instabilite observee sur le vortex gaussien est base surl’existence d’une ligne de courant sur laquelle la vitesse angulaire des particules fluidesest egale a la frequence de la stratification. A partir des resultats theoriques precedents,nous pouvons calculer la position de cette ligne de courant definie par v/r = −ftu/r =N dans les conditions de l’experience. Comme l’aspiration est constante, la theoriedonne que cette ligne de courant s’eloigne du centre de rotation a mesure que le tempss’ecoule. C’est bien cela qui est observe. L’application numerique et la verification decela sont presentes sur la figure B.2 qui est un diagramme spatio-temporel construita partir d’une ligne horizontale prise sur chaque image. En bas de ce diagramme onretrouve le tube. On note la presence de la perturbation de densite qui evolue ens’eloignant du tube. Les courbes superposees representent la position theorique de laligne de courant qui verifie v/r = N . Les deux courbes indiquent l’intervalle de confiancequi depend de l’evaluation du debit equivalent par unite de hauteur. On note alorsl’excellent accord entre la position effective de la perturbation de densite et la positiontheorique de la ligne de courant sur laquelle la condition de resonance est verifiee.

132 L’instabilite du vortex puits en fluide stratifie tournant

Dans son ensemble, cette experience confirme les resultats obtenus sur le vortex generepar le volet. Ainsi, nous pouvons confirmer par la meme occasion que l’influence duvortex negatif est negligeable et que cette instabilite est bien liee a un phenomene deresonance.

Annexe C

Mesure de vitesse par imagerie de particules sur

un vortex

Les analyses d’erreurs en matiere de mesures de champs de vitesse et de vorticite parP.I.V. sont nombreuses, tout comme les methodes utilisees pour les reduire. Malgre cela,l’evaluation de l’erreur dans un cas pratique depend beaucoup de la qualite des images,du type d’ecoulement et de l’algorithme de traitement utilise (voir par exemple Fincham& Spedding (1997). Comme la chaıne de traitement peut etre differente en fonction del’etude menee, il s’est avere plus pratique de s’assurer de la precision des mesures.

Pour cela, les particules d’une image synthetique sont deplacees selon le champ devitesse d’un vortex. Les conditions de deplacement et d’echelle de l’ecoulement sontsemblables a celles des experiences. Avec une resolution de 0.05cm/pxl, une vitessemaximum de 10cm/s et un rayon de 2cm, le temps entre les deux images pour lepremier passage est de 0.025s et pour le deuxieme, de 0.05s. Le deplacement maximumest respectivement de 5 et 10pxl. Le traitement des mesures s’est donc fait de la memefacon. Il s’agit de l’algorithme decrit par Fincham & Delerce (2000). Il utilise unemethode iterative pour ameliorer la precision en prenant en compte les deformationslocales. Les parametres du traitement sont typiques de ceux utilises pour les experiences.

L’objectif de ce test est de verifier les erreurs sur la mesure des profils de vitesse et devorticite d’un vortex dans les conditions les plus proches des experiences. En plus deces tests sur le traitement des images, le post-traitement utilise pour faire des mesuressur le vortex est aussi teste. Il consiste a ajuster un profil de vitesse theorique sur lesmesures. La fonction utilisee est donnee par :

v(r) = Wim,n(r2/2)e−r2/4, (1)

ou Wim,n est la fonction de Whittaker avec n = 0.5 et m = (α − 1)/2 (Kloosterziel

133

134 Mesure de vitesse par imagerie de particules sur un vortex

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

v/vmax,

ω/

ωmax

Fig. C.1 – Profils de vitesse et de vorticite theoriques avec, du moins isole au plus isoleα = 1, 1.1, 1.2.

(1990) Flor & Eames (2002)). α est le coefficient dont depend la decroissance de vitessea l’exterieur. Le vortex est isole si α > 1. La regression donne, le maximum de vitesse,le rayon correspondant et le coefficient α. Ce profil presente l’avantage d’avoir un coeurproche du vortex gaussien avec une decroissance de la vitesse a l’exterieur controleepar un parametre. Il regle la distribution de vorticite au bord du vortex. La figure C.1montre certains des profils utilises pour les tests. Le coefficient α des ces trois courbesest de 1, 1.1 et 1.2 du moins isole au plus isole.

Le premier resultat des tests concerne les mesures de champs de vitesse et de vorticite.L’erreur relative sur la vitesse est donnee par la figure C.2 pour le vortex gaussien. Elleest inferieure a 2% sur la plupart du champ excepte au coeur. Au maximum, elle est10% au coeur du vortex. La mesure de l’erreur relative sur la vorticite est presentee parla figure C.3. Elle n’a de valeur que la ou la vorticite a une amplitude significative. Audela de 1R, la vorticite est faible (< 0.2ωmax) et l’erreur relative devient tres elevee. Lafigure C.4 montre l’erreur absolue normalisee par la vorticite maximum. Au coeur, elleest proche de 10%, puis est chute rapidement vers l’exterieur. Elle est alors inferieur a2% de la vorticite maximum. Les erreurs obtenues ici tiennent aussi compte de l’erreursur la mesure de la position du vortex puisqu’elles sont presentees en fonction de ladistance r/R.

A partir des champs de vitesse et de vorticite, le traitement effectue consiste en premierlieu a mesurer le profil de vitesse azimutale du vortex. L’hypothese d’axisymetrie estfaite et chaque point selon r correspond a la moyenne des vitesses sur un cercle centreau minimum de vitesse ou au maximum de vorticite. Le resultat sur les profils de vitesseest presente par la figure C.5. Ils sont compares au profil theorique du vortex gaussien.

Pour finir, la stabilite centrifuge du vortex est donnee par le coefficient α. Il doit etre

135

0 1 2 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

r/R

∆V/V

Fig. C.2 – Erreur relative sur le champ devitesse du vortex en fonction de la distanceradiale.

20 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

∆ω/

ω

Fig. C.3 – Erreur relative sur le champde vorticite du vortex en fonction de la dis-tance radiale.

0 1 2 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

r/R

∆ω/

ωmax

Fig. C.4 – Erreur absolue sur le champ devorticite en fonction de la distance radiale.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/R

v/U

Fig. C.5 – Profils de vitesse azimutalemesures (en traits continus) pour α =1, 1.1, 1.2, 1.5. La courbe pointille corre-pond au modele theorique du vortex gaus-sien.

136 Mesure de vitesse par imagerie de particules sur un vortex

α αfit Ufit Rfit

1 1.02 9.45 2.131.1 1.08 9.69 2.041.2 1.17 9.67 2.041.5 1.46 9.72 2.01

Tab. 1 – Resultats des mesures sur le vortex par regression.

strictement superieur a 1 pour que l’instabilite se developpe. Pour le mesurer, l’ensembledes points du champ de vitesse est utilise pour effectuer une regression non-lineaire surle modele (C) qui donne, Ufit, Rfit et αfit. Le tableau 1 montre les resultats pour lesquatres profils de la figure C.5. Le coefficient α est retrouve avec une erreur inferieurea 3%.

Bibliographie

Afanasyev, Y. D. (2002). Experminents on instability of columnar vortex pairs inrotating fluid. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., Vol. 96, No. 1 , 31–48.

Balmforth, N. J., Smyth, S. G. L., & Young, W. R. (2000). Disturbing vortices. J.Fluid Mech., 426 , 95–133.

Billant, P. & Chomaz, J.-M. (2000a). Experimental evidence for a new instability of avertical columnar vortex pair in a strongly stratified fluid. J. Fluid Mech., vol. 418 ,167–188.

Billant, P. & Chomaz, J.-M. (2000b). Theoretical analysis of the zig-zag instability ofvertical columnar vortex pair in a strongly stratified fluid. J. Fluid Mech., vol. 419 ,29–63.

Billant, P. & Chomaz, J.-M. (2000c). Three-dimensional stability of a vertical columnarvortex pair in a stratified fluid. J. Fluid Mech., vol. 416 , 65–91.

Boubnov, B. M., Gledzer, E. B., & Hopfinger, E. J. (1987). Stratified circular couetteflow : instability and flow regimes. J. Fluid Mech., 292 , 333–359.

Bradshaw, P. (1969). The analogy between streamline curvature and buoyancy inturbulent shear flow. J. Fluid Mech., 36 , 177–191.

Caton, F., Janiaud, B., & Hopfinger, E. J. (1999). Primary and secondary hopf bifur-cations in stratified taylor-couette flow. Phys. Rev. Lett., 82 , 4647–4650.

Cerretelli, C. & Williamson, C. H. K. (2003). The physical mechanism for vortexmerging. J. Fluid Mech., 475 , 41–77.

Cotel, A. J. & Breidenthal, R. E. (1999). Turbulence inside a vortex. Phys. Fluids,Vol. 11, No. 10 , 3026–3029.

137

138 Bibliographie

Dalziel, S. B., Hughes, G. O., & Sutherland, B. R. (2000). Whole-field density measu-rement by ’synthetic schlieren’. Exps. fluids, 28 , 322–335.

Dritschel, D. G. (1985). The stability and energetics of corotating uniform vortices. J.Fluid Mech., 157 , 95–134.

Dritschel, D. G. (1986). The nonlinear evolution of rotating configurations of uniformvorticity. J. Fluid Mech., 172 , 157–182.

Dritschel, D. G. (2002). Vortex merger in rotating stratified flows. J. Fluid Mech., 455 ,83–101.

Dritschel., D. G. & de la Torre Juarez, M. (1996). The instability and breakdown oftall columnar vortices in quasi-geostrophic fluid. J. Fluid Mech., 328 , 129–160.

Eloy, C. & le Dizes, S. (1999). Three-dimensional instability of burgers and lamb-oseenvortices in a strain field. J. Fluid Mech., 378 , 145–166.

Fincham, A. M. & Delerce, G. (2000). Advanced optimization of correlation imagingvelocimetry algorithms. Exps. fluids, Suppl., S13–S22.

Fincham, A. M. & Spedding, G. R. (1997). Low cost, high resolution dpiv for measu-rement of turbulent fluid flow. Exps. fluids, 23 , 449–462.

Flor, J.-B. & Eames, I. E. (2002). The dynamics of monopolar vortices on the β-plane.J. Fluid Mech., 456 , 353–376.

Fraymuth, P. (1966). On the transition in a separated boundary layer. J. Fluid Mech.,25 , 683.

Griffiths, R. W. & Hopfinger, E. J. (1986). Experiments with baroclinic vortex pairsin a rotating fluid. J. Fluid Mech., 173 , 501–518.

Griffiths, R. W. & Hopfinger, E. J. (1987). Coalescing of geostrophic vortices. J. FluidMech., 178 , 73–97.

Herring, J. R. & Metais, O. (1988). Numerical simulations in forced stably stratifiedturbulence. J. Fluid Mech., 202 , 97–115.

Hopfinger, E. J., Browand, F. K., & Gagne, Y. (1982). Turbulence and waves in rotatingtank. J. Fluid Mech., 125 , 505–534.

Hopfinger, E. J. & van Heijst, G. F. J. (1993). Vortices in rotating fluids. Annu. Rev.Fluid Mech., 25 , 241–289.

Kelvin, L. (1880). Vibration of a columnar vortex. Phil. Mag., 10 , 155–168.

Bibliographie 139

Kerswell, R. R. (2002). Elliptical instability. Annu. Rev. Fluid Mech., 34 , 83–113.

Kloosterziel, R. C. (1990). The vortices of two-dimensional turbulence. Ph.D. thesis,University of Utrecht.

Kloosterziel, R. C. & van Heijst, G. J. E. (1991). An experimental study of unstablebarotropic vortices in a rotating fluid. J. Fluid Mech., 223 , 1–24.

Landman, M. J. & Saffman, P. G. (1987). The three-dimensional instability of strainedvortices in a viscous fluid. Phys. Fluids, 30 , 2339–2342.

le Dizes, S. (2000). Non-axisymmetric vortices in two-dimensional flows. J. Fluid Mech.,406 , 175–198.

le Dizes, S. & Laporte, F. (2002). Theoretical predictions for the elliptical instabilityin a two-vortex flow. J. Fluid Mech., 471 , 169–201.

Leweke, T. & Williamson, C. H. K. (1998). Cooperative elliptic instability of a vortexpair. J. Fluid Mech., 360 , 85–119.

Luchini, P. & Tognaccini, R. (2002). The start-up vortex issuing from a semi-infiniteplate. J. Fluid Mech., 455 , 175–193.

Marshall, J. S., Brancher, P., & Giovannin, A. (2001). Interaction of unequal anti-parallel vortex tubes. J. Fluid Mech., 446 , 229–252.

Maxworthy, T., Hopfinger, E. J., & Redekopp, L. G. (1985). Wave motions on vortexcores. J. Fluid Mech., 151 , 141–165.

McWilliams, J. C. (1986). The emergence of isolated coherent structures in turbulentflow. J. Fluid Mech., 146 , 21–43.

McWilliams, J. C. (1990). The vortices of geostrophic turbulence. J. Fluid Mech., 219 ,387–404.

McWilliams, J. C., Weiss, J., & Yavneh, I. (1994). Anisotropy and coherent vortexstructures in planetary turbulence. Science, 264 , 410–413.

McWilliams, J. C., Weiss, J. B., & Yavneh, I. (1999). The vortices of homogeneousgeostrophic turbulence. J. Fluid Mech., 401 , 1–26.

Melander, M. V. & Hussain, F. (1993). Coupling between a coherent structure andfine-scale turbulence. Phys. Rev. E , Vol. 48, No. 4 , 2669–2689.

Melander, M. V., McWilliams, J. C., & Zabusky, N. J. (1987). Axisymmetrizationand vorticity-gradient intensification of an isolated two-dimensional vortex throughfilamentation. J. Fluid Mech., 178 , 137–159.

140 Bibliographie

Melander, M. V., Zabusky, N. J., & McWilliams, J. C. (1988). Symmetric vortex mergerin two dimensions : causes and conditions. J. Fluid Mech., 195 , 303–340.

Melander, M. V., Zabusky, N. J., & Styczek, A. S. (1986). A moment model for vortexinteractions of the two-dimensional euler equations. part1. computation validation ofa hamiltonian elliptical representation. J. Fluid Mech., 167 , 95–115.

Meunier, P., Ehrenstein, U., Leweke, T., & Rossi, M. (2002). A merging criterion fortwo-dimensional co-rotating vortices. Phys. Fluids, Vol. 14, No 8 , 2757–2766.

Meunier, P. & Leweke, T. (2001). Three-dimensional instability during vortex merging.Phys. Fluids, Vol. 13, No 10 , 2747–2750.

Miyazaki, T. (1992). Parametric excitation of buoyancy oscillation and formation ofinternal boundary layer in a stably stratified fluide. Phys. Fluids, A 4 (10), 2145–2150.

Miyazaki, T. & Fukumoto, Y. (1991). Axisymmetric waves on a vertical vortex in astratified fluid. Phys. Fluids, A 3 (4), 606–616.

Miyazaki, T. & Fukumoto, Y. (1992). Three-dimensional instability of strained vorticesin a stably stratified fluid. Phys. Fluids, A 4(11), 2515–2522.

Miyazaki, T. & Hanazaki, H. (1994). Baroclinic instability of the kirchhof’s ellipticvortex. J. Fluid Mech., 261 , 253–271.

Monismith, S. G., McDonald, N. R., & Imberger, J. (1996). Axisymmetric selectivewithdrawal in a rotating stratified fluid. J. Fluid Mech., 249 , 87–305.

Montgomery, M. T. & Kallenbach, R. J. (1997). A theory for vortex rossby-wavesand its applications to spiral bands and intensity changes in hurricanes. Q. J. R.Meteorol. Soc., 123 , 435–465.

Neiman, P. J., Shapiro, M., & Fedor, L. (1993). The life cycle of an extratropicalmarine cyclone. part ii : mesoscale structure and diagnostics. Mon. Wea. Rev., 121 ,2177–2199.

Ooyama, K. (1966). On the stability of the baroclinic circular vortex : a sufficientcondition for instability. J. Atmos. Sci., 23 , 43–53.

Ortega, J. M., Bristol, R. L., & Savas, . (2003). Experimental study of the instabilityof unequal-strength counter-rotating vortex pair. J. Fluid Mech., 474 , 35–84.

Oster, G. (1965). Censity gradient. Sci. Am., 212 , 70–76.

Overman, E. A. & Zabusky, N. J. (1982). Evolution and merger of isolated vortexstructures. Phys. Fluids, 25 , 1297–1305.

Bibliographie 141

Pierrehumbert, R. T. & Swanson, K. L. (1995). Baroclinic instability. Annu. Rev. FluidMech., 27 , 419–467.

Pradeep, D. S. & Hussain, F. (2004). Effects of boundary condition in numericalsimulation of vortex dynamics. J. Fluid Mech., 416 , 115–124.

Pullin, D. I. & Perry, A. E. (1980). Some flow visualization experiments on the startingvortex. J. Fluid Mech., 97 , 239–255.

Riley, J. J., Metcalfe, R. W., & Weissman, M. A. (1981). Direct numerical simulationsof homogeneous turbulence in density-stratified flows. In B. West (Ed.), NonlinearProperties of Internal Waves. Amer. Inst. of Physics, 79–112.

Sakai, S. (1989). Rossby-kelvin instability : a new type of ageostrophic instabilitycaused by a resonance between rossby waves and gravity waves. J. Fluid Mech., 202 ,149–176.

Schecter, D. A., Dubin, D. H. E., Cass, A. C., Driscoll, C. F., Lansky, I. M., & O’Neil,M. (2001). Inviscid damping of asymmetries on a two-dimensional vortex. Phys.Fluids, Vol. 12, No. 10 , 2397–2412.

Schecter, M. T. & Montgomery, M. T. (2004). Damping and pumping of a vortexrossby wave in a monotnic cyclone : critical layer stirring versus inertia-buoyancywave emission. Phys. Fluids, Vol. 16, No 5 , 1334–1348.

Smyth, W. D. & McWilliams, J. C. (1998). Instability of an axisymetric vortex ina stably stratified, rotating envirenment. Theoret. Comput. Fluid Dynamics, 11 ,305–322.

Thomas, P. J. & Auerbach, D. (1994). The observation of the simultaneous developmentof a long- and short-wave instability mode on a vortex pair. J. Fluid Mech., 265 ,289–302.

Tritton, D. J. (1988). Physical fluid dynamics. Oxford Science Publications.

Tsai, C.-Y. & Widnall, S. E. (1976). The stability of short waves on a straight vortexfilament in a weak externally imposed strain field. J. Fluid Mech., 73 , 721–733.

Verron, J., Hopfinger, E. J., & McWilliams, J. C. (1990). Sensitivity to initial conditionsin the merging of two-layer baroclinic vorticies. J. Fluid Mech., 264 , 81–106.

Verron, J. & Valcke, S. (1994). Scale-dependent merging of baroclinic vortices. J. FluidMech., 264 , 81–106.

von Hardenberg, J., McWilliams, J. C., Provenzale, A., Shchepetkin, A., & Weiss, J. B.(2000). Vortex merging in quasi-geostrophic flows. J. Fluid Mech., 412 , 331–353.

142 Bibliographie

Waleffe, F. (1990). On the three-dimensional instability of strained vortices. Phys.Fluids, A 2(1), 76–80.

Yavneh, I., McWilliams, J. C., & Molemaker, M. J. (2001). Non-axisymetric instabilityof centrifugally stable stratified taylor-couette. J. Fluid Mech., 448 , 1–21.

Resume : L’influence de la stratification sur la stabilite et l’interaction des vortex a fait l’ob-jet d’une etude experimentale. En cuve fixe, une instabilite de courte de longueur d’onde sedeveloppe au bord du vortex, la ou la vitesse angulaire est proche de la frequence de stratifica-tion. Les resultats suggerent que son mecanisme fait intervenir une resonance entre le mouvementhorizontale et les oscillations gravitaires verticales. Au coeur du vortex, l’instabilite elliptiquepeut se developper avec des proprietes dependantes du nombre de Froude base sur la vitessemaximum et le rayon correspondant. La longueur d’onde augmente fortement pour des valeursdecroissantes et proches de la valeur critique d’inhibition. Pour des valeurs plus grandes, lesproprietes de l’instabilite sont tres proches de celle obtenues pour un fluide homogene.En suite, les differents regimes de stabilite et d’interaction de deux cyclones en fluide stratifietournant on ete etudies en fonction de la distance de separation initiale et du rapport d’aspectdes vortex. Une instabilite de grande longueur d’onde conduit chaque cyclone a se couper envortex de plus petit rapport d’aspect. Les resultats sont proches de ceux obtenus numeriquementpar Dritschel & la Torre Juarez (1996), en particulier, le critere sur le rapport NH/(fR) ouN et f sont les frequences de stratification et de rotation. Cette instabilite intervient dans lemecanisme de coalescence pour NH/(fR) > 3 et cause une augmentation de la distance critiquede coalescence. Ces resultats sont en accord avec de ressentent etudes numeriques de Dritschel(2002).

Mots clefs : vortex colonne, stratification, rotation, instabilite, interactions, cyclones

Abstract : The stability of a single columnar vortex in a weakly stratified fluid is investigated bymeans of laboratory experiments. A short wavelength instability develops at a radius where theangular velocity of fluid particles matches the buoyancy frequency. This instability is found to bea consequence of a resonant interaction between the horizontal motion and the vertical buoyantoscillations. In the core of the vortex, elliptical instability is found to depend on the Froudenumber, based on the horizontal velocity, vortex radius and stratification. The wavelength ofthis instability strongly increases for Froude numbers close to the threshold of total inhibition.For higher values of the Froude number the wavelength and growth rate tend rapidly towardthe homogeneous limit.Further, we have investigated the stability and merger of two cyclones as a function of theirinitial separation distance and height-to-width aspect-ratio. The long wavelength instabilitycauses each vortex to split into two vortices with lower aspect-ratio. As a consequence of thisinstability, the critical merging distance increases with the Burger number given by NH/(fR)where N and f are the stratification and rotation frequencies. These results are in excellentagreement with numerical simulations by Dritschel & la Torre Juarez 1996, and Dritschel 2002.

Key words : Columnar vortex, stratification, rotation, instability, interactions, cyclones

Documents

LEGI - Etude de la stabilit¶e et de l’interaction de cyclones ...Jan-Bert Fl or (co-directeur) JURY M. C. Baudet, Professeur, UJF Pr esident M. L. Jacquin, Directeur de Recherche,