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Le modle dquilibredes actifs financiers(MEDAF)

I. Points cls

Tout actif nancier est caractris par une rentabilit et un risque. Le risque est une notion polymorphe. Sur le plan nancier, il doit tre

rmunr. Le MED! est un mod"le qui permet d#e$pliquer les tau$ de rentabilit des

di%rents actifs nanciers en fonction de leur ni&eau de risque. Le MED! montre que seul le risque non di&ersiable doit tre rmunr. 'l

permet de dterminer le tau$ de rentabilit e$i( pour un titre ou unportefeuille compte tenu de son risque systmatique.

II. lments de gestion de portefeuille

A. Rentabilit et risque dun portefeuille

1. La mesure de la rentabilit et du risque dun portefeuille

)n suppose un portefeuille * compos de n titres, constitu des titres T +,, T i, T n, en proportion $ +,, $ i,, $ n.

La rentabilit du portefeuille correspond - la moyenne pondre des rentabilitsespres des titres, soit

Le risque est mesur par la &ariance du portefeuille, soit

Le risque d#un portefeuille dpend aussi de la tendance des titres - &oluer de lamme fa/on 0co&ariance1.

2. Risque et le nombre de risque le composant

Si l#on suppose un portefeuille quipondr de n titres, et si le nombre de titresest le& 0portefeuille inniment di&ersi1, la &ariance du portefeuille est (ale- la co&ariance moyenne des titres qui le composent 0Mar2o3it4, +5651.nnulertotalement le risque du portefeuille si(nie que la co&ariance est nulle c#est impossible car les &aleurs ne 7uctuent pas de fa/on totalementindpendante sur le march nancier.

B. Les composantes du risque dun portefeuille

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1. Risque de march et risque spcique

Le risque total du portefeuille peut tre dcompos entre deu$ composantes

Le risque spcique 0idiosyncratique1 il reprsente le risque propre - larme elle8mme 0acti&it, rsultats, etc.1. 'l peut tre limin par di&ersication 9

Le risque de march 0systmatique1 c#est le risque auquel l#in&estisseurest e$pos lorsqu#il dsire in&estir sur le march. )n reprsente (nralementrisque total, risque de march et risque spcique par le (raphique sui&ant

2. Caractristiques dun portefeuille ecient

Seul le risque spcique peut tre annul.

:n portefeuille e;cient est donc un portefeuille

qui n#est e$pos qu#au risque de march uniquement 9 dont on ne peut plus rduire le risque sans rduire (alement la

rentabilit.

)n consid"re que le portefeuille e;cient est le portefeuille de march quicomprend l#ensemble de tous les titres en proportion de leur capitalisationboursi"re 0par simplication, on l#assimile - un indice boursier1.

C. Les explications du modle de march

1. Caractrisation du risque dun titre

Si l#on calcule sur plusieurs priodes la rentabilit d#une action 0< $1 par rapport -la rentabilit du march 0< M1 on obtient un nua(e de points.

=e nua(e peut faire l#ob>et d#un a>ustement linaire

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L#quation de la droite d#a>ustement est a&ec lecoe;cient an(ulaire de la droite d#a>ustement 0mthode des moindres carrs1.

?$ e$prime la sensibilit de la rentabilit de l#action au$ 7uctuations de larentabilitdu march, soit

*our un titre prcis $ composant le portefeuille, pour trou&er les &aleurs de

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III. La construction du MEDAF

!. La frontire eciente des portefeuilles accessibles

=omme la di&ersication rduit le risque, les in&estisseurs ont intrt -constituer des portefeuilles - partir de plusieurs actifs disponibles sur lemarch nancier.

Les in&estisseurs pri&il(ieront les portefeuilles qui, pour un cart8typedonn, o%rent une esprance de (ain suprieure.

Dans le schma ci8dessous, le choi$ du portefeuille n#est pas pertinent

car le portefeuille I prsente, pour le mme risque, une esprance derentabilit suprieure

La A fronti"re e;ciente B reprsente donc l#ensemble de ces portefeuilles.

B. Le choix dun portefeuille optimal

Sur le march, e$istent des titres non risqus 0)T, etc.1 de rentabilitcertaine.

En appelant < ! la rentabilit de l#actif sans risque 0a&ec 0< !1 F1, onreprsente (raphiquement cet actif sur l#a$e des ordonnes.

Tout in&estisseur peut constituer son portefeuille en combinant du

portefeuille M et de l#actif sans risque comme le montre le schma ci8dessous

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La dcision de l#in&estisseur se fera selon son de(r d#a&ersion au risque

au point M, tout le capital est plac dans le portefeuille M 9 au point , une partie est plac dans le portefeuille M 9 au point < !, tout le capital est plac dans l#actif sans risque 9 au point I, on contracte un emprunt 0au tau$ sans risque1 et on place

cette somme dans le portefeuille M.

La droite 0< !, M1 constitue la fronti"re e;ciente en prsence de l#actif sansrisque 9 c#est la droite de march des capitau$.

Le portefeuille M est le point de tan(ence entre la droite 0< !, M1 et la fronti"ree;ciente.

M est le portefeuille de march, portefeuille A super8e;cient B compos detous les titres en proportion de leur capitalisation boursi"re.

C. La formulation du "edaf

La rentabilit d#un portefeuille Le MED! permet d#&aluer le pri$ du risque, etdonc des primes de risque requises par les in&estisseurs, - l#quilibre du march0Sharpe J Lintner, +5K1.Sur la droite de march des capitau$, les in&estisseursne &ont ensuite arbitrer qu#entre le portefeuille M et l#actif sans risque< ! 0principe de sparation1. )n a donc

a&ec E0

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portefeuille de march est e$prime par la co&ariance entre le titre et leportefeuille de march

partir de cette relation, on tablit la droite du "edafqui est une relationlinaire entrele bta d#un titre et son esprance de rentabilit

!pplication

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$olution

Question 1

La capitalisation boursi"re d#une rme est (ale au nombre de ses titres multiplipar leur cours.La prime de march est E< 01 M! < P . =omme le tau$ sans risqueest de Q R et que la prime de march est de ,6 R, on en dduit que larentabilit du march est deQ R ,6 R ,6 R

Question

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=ette strat(ie consiste - in&estir dans un fonds indiciel 0le portefeuille demarch1 ense disant qu#il est impossible de A battre le march B sur une lon(uepriode. )n parlede (estion A passi&e B.

Question!

=ompte tenu des btas indiqus, on peut calculer les rentabilits espres destitres et I

Le bta reprsente la part de risque systmique apport par le titre. 'l traduit lasensibilit du titre au$ &ariations du march. Le bta de I tant suprieur - +, ilest normal quela rentabilit - attendre de ce titre soit plus forte. )n sait que pourun titre $, on a

*our l#actif sans risque, son risque est par dnition nul ainsi que sa corrlationa&ec leportefeuille de march

*our le portefeuille de march, la corrlation a&ec lui8mme est totale, c#est8-8dire de +.D#oU

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La rentabilit du portefeuille constitu de et de I - parts (ales sera

Question "

*our le titre =, on aura

La rentabilit espre du titre = sera donc