Leçon n°1

Les oscillations

harmoniques

Introduction

Cette leçon s’intitule « les Oscillations harmoniques » et est divisée en deux parties : le mouvement harmonique et l’analyse harmonique.

Cette leçon commence donc par donner des définitions sur le mouvement harmonique qui est le mouvement périodique le plus simple avec des solutions en sinus et cosinus. Nous donnerons bien sur cette partie toutes les définitions concernant ce genre de mouvement telles que la période, la fréquence; la phase. Nous décrirons ce mouvement sous sa forme vectorielle et sa forme complexe. Nous utiliserons ces deux représentations (vectorielles et complexes) pour additionner deux fonctions harmoniques. Cette première partie de la leçon d’aujourd’hui sur les mouvements harmoniques est plutôt une révision de concepts que vous avez déjà vu. Ce qui peut être différent pour la seconde partie que nous avons intitulé « Analyse harmonique » et qui concerne les développements en série de Fourier de fonctions périodiques.

Ces fonctions concernent soit le mouvement oscillatoire d’un système, soit la force extérieure appliquée au mouvement. Les développements en série de Fourier concerneront le cas général de fonctions périodiques et les cas particuliers de ces fonctions tels que les fonctions paires et impaires ou les extensions de demi-fonctions. Nous apprendrons à calculer numériquement les coefficients des séries de Fourier.

Les mouvements périodiques ,

définitionsLes définitions qui suivent sont utiles dans la descriptiondes mouvements harmoniques :Cycle de vibration : Il décrit le mouvement suivant :

Position d’équilibre → position extrême dans une direction→ position d’équilibre → position extrême dansl’autre direction → position d’équilibre

Exemples : pendule simple, un déplacement de 2 π radiansde l’extrémité d’un vecteur sur un cercle.

Un mouvement périodiques est un mouvement qui serépète à des intervalles de temps égaux selon un motifélémentaire.

Amplitude : Déplacement maximum d’un corps vibrant àpartir de sa position d’équilibre.

( ) ( ) ( 2 ) ... ( ) ...x t x t T x t T x t nT= + = + = = + =

Fig.1 mouvement périodique

Angle de phase :Les deux mouvements vibratoires sont dit synchrones carils ont la même vitesse angulaire ω. Le second mouvementest en avance sur le premier d’un angle ϕ qu’on appellel’angle de phase.

( )φωω +== tsinAxettsinAx 2211

Fig.2 : Différence de phase entre deux vecteurs

Période des Oscillations : Temps mis pour compléter uncycle du mouvement, dénoté par T. C’est le temps mis par

le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation de 2 π.

ω est la vitesse angulaire.

Fréquence des Oscillations : C’est le nombre de cycles parunité de temps

2T

πω

=

1

2f

T

ωπ

= =

Un mouvement oscillatoire peut se répéter régulièrement comme dans le cas d’un pendule simple, ou il peut montrer de considérables irrégularités, comme dans le cas de mouvements du sol durant un tremblement de terre. Si le mouvement est répété après des intervalles de temps égaux, on appelle ça un mouvement périodique.

Le plus simple des mouvements périodiques est le mouvement harmonique. La figure 4 montre un simple mouvement harmonique. Nous avons une baguette de rayon A, qui tourne autour d’un point O. L’autre bout de la manivelle P glisse à l’intérieur d’une baguette solidaire d’un axe vertical R. Quand la manivelle tourne à la vitesse angulaire ω, l’extrémité S et donc la masse se déplace suivant x.

Ce mouvement est monté par la courbe sinusoïdale de la figure.

Le mouvement harmonique

Fig.4 : Exemple d’un Oscillateur Harmonique

Fréquence naturelle : Si après une perturbation initiale, onlaisse vibrer un système librement. La fréquence aveclaquelle il oscille est appelée la fréquence naturelle dusystème.

Valeurs moyennes: On appelle valeur moyenne d’unmouvement périodique x(t) pendant une période laquantité suivante

Exemple :

Valeurs efficaces : dite aussi valeur RMS d'un mouvement périodique ou d'un mouvement aléatoire , est la racine carrée de la moyenne de cette grandeur au carré

00

0

1

2f

T

ωπ

= =

0

0

1( )

t T

moy

t

x x t dtT

+

= ∫

0

0

21( )

t T

eff

t

X x t d tT

+

= ∫

0

2( ) sin avec

1 sin 0

T

m oy

x t A tT

x A t d tT

πω ω

ω

= =

⇒ = =∫

Fig.3: Quelques exemples de la valeur efficace

• Type le plus simple de mouvement

harmonique de m avec un déplacement x

Où A: est l’amplitude

θ : est la phase et ϕ : est la phase initiale

t : le temps

ω : la pulsation

• On a :

T : la période

f : la fréquence; nombre de

fois la variation de x

La vitesse de la masse m au temps t est donnée par:

•

et son accélération est donnée par :

•

( )sin sinx A A tθ ω ϕ= = −

c o sd x

v A td t

ω ω= =

22 2

2sin

d xA t x

dtγ ω ω ω= = − = −

où la trajectoire x(t) est égale à (-ω²) fois l’accélération qui est

dirigée en sens inverse.

22 f

T

πω π= =

Représentation vectorielle du mouvement

harmonique

Fig.5 : Montrant le mouvement harmonique résultant de la projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation

Le mouvement donné par x = A cos ωt est autre exemple de mouvement harmonique simple. La figure 5 montre clairement la similarité entre un mouvement cyclique et un mouvement sinusoïdale à travers la projection sur les deux axes du vecteur en rotation. Donc un mouvement harmonique représente par un vecteur de longueur A en rotation à une vitesse angulaire constante ω. La projection de l’extrémité du vecteur sur l’axe vertical est donnée par x = A cos ωt et sa projection sur l’axe horizontal est donnée par x = A sin ωt

X�

OP X→

=�

Un vecteur en rotation peut être exprimé par un nombre complexe:

la dérivé de ce vecteur par rapport au temps donne

la dérivé second de ce vecteur par rapport au temps donne

Ces quantités sont montrées comme des vecteurs en rotation sur la figure 7. On peut voir que le vecteur vitesse devance le vecteur déplacement de 90°.

Fig.7. : La rotation des vecteurs déplacement, vitesse et accélération.

cos sin i tX A t i A t Ae ωω ω= + =

2

2

sin cos ;

;

ii t

i t

X A t i A t i Ae i e

X Ae

πω

πω

ω ω ω ω ω

ω

•

• +

= − + = =

=

( )

2 2 2

2

cos cos ; 1

;

i t i

i t

X A t A t Ae e

X Ae

ω π

ω π

ω ω ω ω ω

ω

••

••+

= − − = − − =

=

Représentation complexe d’un mouvement harmonique

� Un vecteur dans le plan xOy peut être représentée par un nombre complexe

Les composantes a et b sont aussi appelées les parties réelles et imaginaires du vecteur,

�Si A est le module de et φ son angle avec l’axe ox :

X�

1i,ibaX −=+=�

X�

cos sin iX A iA Ae

ϕϕ ϕ= + =

( )2 2 1 bAvec A a b et tg

aϕ −= + =

Fig. 6 : Représentation vectorielle par un nombre complexe

� Si à l'origine, le déplacement est donné par x(t)= A cosωt, nous prenons les parties réelles des expressions complexes ci dessus:

On peut écrire :

� Si à l’origine, le déplacement est x(t)=A sin ωt, nous prenons les parties imaginaires des expressions complexes.

nous aurons :

2 2

2

déplacement Re cos

vitesse Re sin

cos2

accélération Re cos

i t

i t

i t

Ae A t

i Ae A t

A t

Ae A t

A

ω

ω

ω

ω

ω ω ω

πω ω

ω ω ω

ω

= =

= =−

= +

= − =−

= ( )cos tω π+

( )2 2

déplacement Im sin

vitesse Im sin2

accélération Im sin

i t

i t

i t

Ae A t

i Ae A t

Ae A t

ω

ω

ω

ω

πω ω ω

ω ω ω π

= =

= = +

= − = +

et pour phase :

� Comme les fonctions originales sont données comme les composantes réelles, leur somme est donnée par la projection réelle du vecteur somme s’écrit :

1 2

1 2

sin

cos

Atg

A A

θα

θ−

= +

( ) ( )α+ω= tcosAXRe�

� En utilisant des nombres complexes

Addition de Fonctions Harmoniques(Ayant la même pulsation ωωωω)

Les fonctions harmoniques peuvent être additionnées. Si par exemple le module du vecteur résultant et son angle a seront donnés par (fig.8) :

�Soient les fonctions originales:

� Le vecteur résultant a pour amplitude

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2( ) Re cos ( ) Re cosx t X A t et x t X A tω ω θ= = = = +� �

1 2X X X= +� � �

( ) ( )2 2

1 2 2

2 21 2 1 2

cos sin

2 cos

A A A A

A A A A A

θ θ

θ

= + +

= + +

( ) ( )( ) ( )α+ωωαω

ωθθ+ωω

==θ+θ+=

+=+=+=titiiti

221

tii21

ti2

ti121

AeeAeesiniAcosAA

eeAAeAeAXXX���

Exemple 1: Mouvement Harmonique

Un mouvement harmonique a une amplitude de 0,05 m et une fréquence de 10Hz. Trouver la période, la vitesse maximale et l’accélération maximale.

Solution :

( )22 2

0,05 ; 2 62,832 / sec

2 2période / sec 0,1sec

62,832

vitesse maximale

0,05 62,832 3,1416 / sec

accélération maximale

0,05 62,393 197,393 /

A m f rad

T rad

A m

A m s

ω ππ πω

ω

ω

= = =

= = =

= × =

= =

Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques

Énoncé :Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants : Nous utiliserons trois méthodes différentes.

( ) ( ) ( )2tcos15txettcos10tx 21 +ω=ω=

Fig.8 : Addition Vectorielle de deux Fonctions Harmoniques

• Première méthode : En utilisant des relations trigonométriques, on exprime la somme par :

qui nous donne :

d’où :

en égalant les coefficients correspondant de cos ωt et sin ωt des deux membres, on obtient

d’où :

( ) ( ) ( ) ( )txtxtcosAtx 21 +=+= αω

( ) ( )( ) ( )

cos cos sin sin

cos 10 15cos 2 sin 15sin 2

t A t A

t t

ω α ω α

ω ω

−

= + −

( ) ( )( )2sintsin2costcos15tcos10

2tcos15tcos10sintsincostcosA

ω−ω+ω=

+ω+ω=αω−αω

cos 10 15cos2 sin 15sin2A Aα α= + =

( ) ( )

°=

+=α

=++=

− 5963,742cos1510

2sin15tget

1477,142sin152cos1510A

1

22

� Deuxième méthode : en utilisant des vecteurs et unereprésentation graphique pour une valeur arbitraire de ωt, lasomme graphique des deux vecteurs x1(t) et x2(t) peut êtretrouvée comme étant :

( ) ( )14.1477 cos 74.596x t tω= + °

Le vecteur résultant est égal à:

Fig.9 : Addition de deux vecteurs

Battements : Quand deux mouvements harmoniques avec des fréquences proches l’un de l’autre sont additionnés, le mouvement résultant exhibe un phénomène connu comme des battements. Par exemple si,

Où δ une valeur très inferieure devant ω

L’addition de ces deux mouvements donne

On voit que le mouvement résultant représente une onde en cosinus avec la fréquence ω+δ/2 qui est à peu près égale à ω, et avec une amplitude qui varies de 2X cosδ t/2. La fréquence δ à laquelle l’amplitude croît et meurt entre 0 et 2X est appelé la fréquence des battements est souvent observé dans les machines et les structures quand l’amplitude de la force extérieure est proche de la fréquence naturelle du système.

Addition de Fonctions Harmoniques(Ayant des valeurs de pulsation très proches)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

la re la tio n :

co s co

co s co s

o n u tilisan t

2 co s co

s 2 co s co s 2 2

s2 2

x t x t x t X t t

t

p q p qp q

x t X t

ω ω δ

δ δω

− ++ =

= + = + +

= +

( ) ( ) ( )1 2cos , cosx t X t x t X tω ω δ= = +

En utilisant les nombres complexes, on écrit :

la somme des parties réelles de x1(t) et de x2(t) peut être exprimée par:

� Troisième méthode : en utilisant les nombres complexes

La somme peut s’écrire :

où A et α sont données par

( )

( ) ( ) ( )

1 1

22 2

Re = Re 10

Re = Re 15

i t i t

i t i t

x t A e e

x t A e e

ω ω

ω θ ω+ +

=

=

( ) ( )Re i tx t Ae

ω α+ =

( ) ( ) ( )

( )1 2 1 2 2Re cos sin

= Re 10 15 cos 2) 15 sin 2

i t

i t

x t x t A A iA e

i e

ω

ω

θ θ + = + +

+ +

( ) ( )2 2

1

1 0 1 5 co s 2 1 5 sin 2 1 4 ,1 4 7 7

1 5 sin 27 4 , 5 9 6 6 3

1 0 1 5 co s 2

A

tgα −

= + + =

= = ° +

Figure 10 : Phénomène des battements

• Si les amplitudes sont différentes, on obtient la forme suivante

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

1

2

1 2

cos , cos

cos cos

cos cos2 2 2 2

cos cos sin sin2 2 2 2

cos cos sin sin2 2 2 2

x t X t x t X t

x t x t x t X t X t

X t X t

t tX t t

t tX t t

x t X X

ω ω δ

ω ω δ

δ δ δ δω ω

δ δ δ δω ω

δ δ δ δω ω

= = +

= + = + +

+ − + + + =

+ + +

+ + − +

= +

( )1 2

cos cos2 2

sin sin2 2

tt

tX X t

δ δω

δ δω

+

+ − +

• Si : on obtient la forme suivante :

Où l’amplitude maximale est :et l’amplitude minimale est :

L’enveloppe représente la modulation de l’amplitude

1 2X X≈

max 1 2X X X= +

min 1 2X X X= −

Addition de Fonctions Harmoniques(Ayant des valeurs de pulsation différentes)

Si les deux fonctions ont des pulsations différentes respectivement ω1 et ω2

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2 1 21 2

cos , cos

2 cos cos2 2

x t X t x t X t

x t x t x t X t t

ω ω

ω ω ω ω

= =

− += + =

Addition de Fonctions Harmoniquesde direction perpendiculaire

Si les deux fonctions représentent des mouvement de directionsperpendiculaires et ont des pulsations égales . Exemple deuxpendules qui se déplacent l’un suivant l’axe ox et l’autre suivantl’axe oy (figure 11)

On a :En utilisant la relation trigonométrique

et en substituant cos ωt et en sommant les carrés des termes 1 ,2

On trouve l’équation suivante , elle varie suivant la valeur de ϕ

Les courbes fermés obtenues sont les courbes de Lissajous inscrites dans un rectangle de côtés 2X et 2Y

( ) ( ) ( ) ( )cos , cos 1x t X t y t Y tω ω ϕ= = +

( )cos cos sin sin

y tt t

Yω ϕ ω ϕ= −

( ) ( )( ) 1cos s in 2

sin

y tx tt

X Yϕ ω

ϕ

− =

2 222 . cos sin

x y x y

X Y X Yϕ ϕ + − =

Fig. 11: Dispositive pourtracer des movements perpendiculars

Si ω2 > ω1

Si ω1 > ω2

La somme x(t) suit le mouvement qui a la plus petite pulsation

Si les pulsations sont différents , ω1= n ω et ω2=m ω

Si le rapport p = n/m est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle 2X,2Y Si n et m sont commensurables c-à-d le rapport p = n/m est rationnel, la courbe est une courbe algébrique (unicursale)Cas particulierssi p=1, la courbe est une ellipse.

si X=Y et ϕ=π/2 , cette ellipse est un cerclesi ϕ =0 où ϕ=π , cette ellipse est un segment de droite

si X=Y et p=2 , la courbe est une besacesi ϕ = 0 ou ϕ = π, cette besace est une portion de parabolesi ϕ = π/2 , cette besace est une lemniscate de Gerono

( ) ( ) ( )cos , cosx t X n t y t Y m tω ω ϕ= = +

Courbes de Lissajous

Développement en série de Fourrier

Le mouvement de la plupart des systèmes vibratoires n'est pasharmonique et donc pas simple a analyser. Cependant, dansplusieurs cas, le mouvement est périodique, et peut êtrereprésenté par une série de fourrier, comme une somme infiniede fonctions sinus et cosinus.

• Si x(t) est une fonction de période T, sa représentation en série de fourrier est donnée par :

où ω=2π/T est la fréquence fondamentale, et a0, a1, a2, . . ., b0, b1, b2, . . sont des coefficients constants. Pour déterminer les coefficients an et bn, on multiplie l'équation ci-dessus par

cos nωt et sin nωt, respectivement, et on intègre sur une période T=2π/ω. On trouve que tous les termes du membre de droite sauf un seul s'annulent.

Les coefficients a0, an et bn sont donnés par :

( ) 01 2 1 2

0

1 1

cos cos 2 .... sin sin 2 ...2

cos sin2 j j

j j

ax t a t a t b t b t

aa j t b j t

ω ω ω ω

ω ω∞ ∞

= =

= + + + + +

= + +∑ ∑

( ) ( )2

0 0 0

2 T

a x t dt x t dtT

πωω

π= =∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

2

0 0

2

0 0

2cos cos

2sin sin

T

n

T

n

a x t n t dt x t n t dtT

b x t n t dt x t n t dtT

πω

πω

ωω ω

πω

ω ωπ

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫

Dans certains cas cependant, quand une fonction périodique est représentée par une série de fourrier, un comportement anormal peut être observé près de points de discontinuité. Par exemple, l’onde triangulaire montrée dans la figure 12c, on voit que l’approximation s’améliore de partout, sauf au point P. La déviation reste à peut près 9% de la valeur réelle même quand le nombre de termes est infini. Ce comportement est connu sous le nom de phénomène de Gibbs d’après son inventeur.

Fig. 12 c : Le phénomène de Gibbs

Les séries de Fourrier peuvent aussi être représentées par une somme de termes seulement en cosinus ou seulement en sinus, , par exemple, avec des termes en cosinus, nous avons :

L’interprétation physique est que n’importe quelle fonction périodique peut être représentée par une somme de fonctions harmoniques. Bien que nous ayons une somme infinie de termes, on peut approximer la plupart des fonctions périodiques par seulement quelques fonctions harmoniques.Par exemple, l’onde triangulaire de la figure 12 peut être représentée convenablement en additionnant seulement trois fonctions harmoniques comme le montre la figure 12b.

(a)

(b)

Fig. 12 : Une fonction périodique triangulaire

( ) ( ) ( )

( )

=φ+==

+φ−ω+φ−ω+=

−

n

n1n

21

2n

2nn

00

22110

a

btanetbad,

2

adoù

....t2cosdtcosddtx

Série de Fourriers Complexes

Les séries de Fourier peuvent être représentées en termes de nombres complexes, on note que

Où les cosinus et sinus peuvent être exprimés par

L’équation du développement en série de Fourier prend la forme

On défini les coefficients de Fourier complexes Cn et C-n par

Ce qui nous donne pou x(t) et les coefficient Cn :

cos sin ; cos sini t i te t i t e t i tω ωω ω ω ω−= + = −

( )

( )

0

1

0 0 0

1

0

2 2 2

2 2 2 2 2 2

0

in t in t in t in t

n n

n

i t in t in tn n n n

n

a e e e ex t a b

i

a ib a ib a ibe e e

où b

ω ω ω ω

ω ω ω

− −∞

=

∞−

=

+ − = + +

= − + − + + =

∑

∑

2

ibaC,

2

ibaC nn

nnn

n

+=

−= −

( )

( )[ ] ( )0 0

;

1 1cos sin

2

in t

n

n

T T

in tn nn

x t C e

a ibC x t n t i n t dt x t e dt

T T

ω

ωω ω

∞

=−∞

−

=

−= = − =

∑

∫ ∫

cos ; sin2 2

i t i t i t i te e e et t

ω ω ω ω

ω ω− −+ −

= =

Les fonctions harmoniques an cos nωt et bn sin nωt sont appelées des harmoniques d’ordre n de la fonction x(t). L’harmonique d’ordre n a une période T/n. Ces harmoniques peuvent être illustrées comme des lignes verticales sur un diagramme d’amplitude (an et bn ou dn et φn) en fonction de la fréquence nω, appelé le spectre de fréquence ou le diagramme spectral. La figure 13 montre un spectre de fréquence typique.

Fig.13 Spectre de fréquence d’une fonction périodique typique

Représentation spectrale d’un fonction

périodique

Fonctions paires et fonctions impaires

• Fonction paire:

Une fonction paire satisfaite la relation x(-t)=x(t) dans ce cas, le développement en série de Fourier de x(t) contient seulement des termes en cosinus :

où a0 et an vous ont déjà été donnés.

• Fonction impaire:

Une fonction impaire satisfait la relation : x(t)=-x(t). Dans ce cas, le développement en séries de Fourier contient uniquement des termes en sinus

Dans certains cas, une fonction peut être considérée comme paire ou impaire dépendant de la location de l’axe des ordonnées. Par exemple, une translation de l’axe vertical de (a) vers (b) ou (c) de la figure 15 rendra la fonction impaire ou paire. Ce qui veut dire que nous devons seulement calculer les coefficients an et bn. De la même manière, un changement de l’axe temporel de (d) à (e) revient à additionner une constante égal à la quantité du changement (shift).

( ) ( ) ( ) ∑∞

=

ω+=⇒=−1n

n0 tncosa

2

atxtxtx

( ) ( ) ( ) ∑∞

=

ω=⇒−=−1n

n tnsinbtxtxtx

Fig.14 Représentation d’une fonction dans les domaines temporels et de fréquence

On peut donc représenter une fonction périodique dans le domaine temporel ou dans le domaine des fréquences. Par exemple, la fonction x(t)=sin(ωt) dans le domaine temporel que nous voyons dans la figure 14a peut être représenter par l’amplitude et la fréquence ω dans le domaine des fréquences. De la même manière, on peut utiliser les amplitudes an et bn et représenter dans le domaine des fréquences la fonction triangulaire de la figure 14c

Fig.15 : Fonction paire et fonction impaire

Exemple 3: Fonctions paires et fonctions impaires.

1. Trouver les développements en série de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii).

2. Trouver aussi leur développement en série de Fourier quand l’axe temporel est déplacé vers le bas d’une distance A.

3. Montrer qu’il existe une relation directe entre les développements en séries de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii)

Pour illustrer les développements en séries de Fourier de fonctions paires et impaires, on suppose la fonction de la figure qui a la particularité d’être rendue impaire ou paire juste par un déplacement de l’axe x(t). Si on déplace le point b, on aura une fonction impaire. Si on le déplace sur le point (c), on aura une fonction paire.

( ), 0

2

,2

TA t

x tT

A t T

− ≤ ≤ = ≤ ≤

( )

, 04

3,

4 43

,4

TA t

T Tx t A t

TA t T

≤ ≤

= − ≤ ≤

≤ ≤

( )0 , 0

2

2 ,2

Tt

x tT

A t T

≤ ≤ = ≤ ≤

( )

2 , 043

0 ,4 43

2 ,4

TA t

T Tx t t

TA t T

≤ ≤

= ≤ ≤

≤ ≤

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0 0 2

0 2

0 2

2 20 2 2

2 4cos . sin 0

2 4sin . cos

4cos 2 cos

T T

T

T T

n T

T T

n T

a x t dt A t AT T

Aa x t n t dt n t

T n T

Ab x t n t dt n t

T n

An n

n

ω ωω

ω ωωτ

π πωπ

= = + =

= = =

= = −

= − −

∫

∫

∫

( )( )

( )1

4 1 2sin 2 1

2 1n

Ax t A n t avec

n T

πω ω

π

∞

=

= − − =−∑

( ) ( ) ( ),txtxd =− Fonction paire donc bn=0

( )

( ) ( ) ( )

0 0

43

004

2 2 32 0 2 2

4 4

2 4cos . sin sin

4 3sin sin2 sin

2 2

T

TT T

Tn

T Ta x t dt A A T A

T T

Aa x t dt n t dt n t n t

T n T

A n nn

n T

ω ω ωω

π ππ

ω

= = − + − =

= = +

= + −

∫

∫

( ) ( )( )

( )1

1

14 2cos 1

2 1

n

n

Ax t n t avec

n T

πω

π

+∞

=

−= − =

−∑

(c) Fonction ni paire , ni impaire donc :

( ) ( ) ( ),txtxa −=−

( )

( )

2

0 20

2

0

2 2sin . sin . sin .

2 cos 2 cos

22cos cos0 cos 2

T

T T

n Tb x t t dt A n t dt A n t dt

T T

A n t A n t

T n T n

An n

Tn

π πω ω

πω

ω ω ω

ω ωω ω

π πω

= = − +

= − − + −

= − −

∫ ∫ ∫

Fonction impaire donc les a0 et an sont nuls

( )( )

( )∑∞

=

ω−−π

=1n

t1n2sin1n2

1A4tx

( ) ( ) ( ),txtxb −=− Fonction paire donc bn=0

( ) ( ) ( ) ( )

( )

34 4

30 00 4 4

0

34 4

30 4 4

2 20

2cos .

2sin

4 1,5,9,....32sin sin sin2

42 2 3,7,11,...

TT T T

TT

T

n

TT T

TT

a x t dt A t A t A tT T

a x t dt n t dtT

An t sinn t sinn t

Tn

A pour nA n n nn

An pour nn

ω

ω ω ωω

π π πππ

π

= = − + =

=

= − +

= = − + = − =

∫

∫

( ) ( )( )

( )1

1

14cos 1

2 1

n

n

Ax t n t

nω

π

+∞

=

−= −

−∑

( )( )

( )11

4 1sin 2 1

2 1n

Ax t n t

nω

π

∞

=

= −−∑

3) Relation en la fonction paire et la fonction impaire

( ) ( )( )

( )1

21

14cos 2 1

2 1

n

n

Ax t n t

nω

π

+∞

=

−= −

−∑

( )1 24

Tx t x t + =

( )( )

( )( ) ( )

11

1

2 2 14 1sin

4 2 1 4

2 2 1 2 2 14 1sin

2 1 4

n

n

nT A Tx t t

n T

n t nA

n T

π

π

π π

π

∞

=

∞

=

− + = + −

− −= +

−

∑

∑

( )( ) ( )

( ) ( )

11

2 2 1 2 2 14 1sin cos

4 2 1 4

2 2 1 2 2 1 cos sin

4

n

n nT Ax t

n T

n n

T

π π

π

π π

∞

=

− − + = −

− −+

∑

( )( )

( )1

11

1 2 2 14cos

4 2 1

n

n

n tT Ax t

n T

π

π

+∞

=

− − + = − ∑

Extension de demi-fonction

Dans certaines applications pratiques, la fonction x(t) est définie seulement dans un intervalle de 0 à T, comme le montre la figure 16. Dans ce cas, nous n’avons pas de périodicité. Cependant, on peut faire une extension de la fonction en incluant l’intervalle de -T à 0 pour en faire, comme on veut, une fonction paire ou une fonction impaire. On peut après cela développer la fonction en séries de Fourier. On appelle ça une extension de demi-fonction. Ceci est très utile pour résoudre les équations différentielles des vibrations dans le cas d’une force extérieure qui est un choc ou une impulsion.

Fig.16 : Extension de demi-fonction

Exemple 4 : Développement en série de Fourier

d’une fonctionEnoncé : trouver le développement en série de Fourier de la valve du système arbre à came de la figure 18. On notera que la fonction x(t) peut être représentée pendant le premier cycle par :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

1 2 1

; 0

y t x ttg x t y t

toù y t Y t T

T

θ = = ⇒ =

= ≤ ≤

ℓ

ℓ ℓ ℓ

Fig 18 : Système d’arbre à came

01

1

1

2

22c o s

22s in

N

i

i

Ni

n i

i

Ni

n i

i

a xN

n ta x

N T

n tb x

N T

π

π

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

Calcul numérique des coefficients

Fig.17 : Valeurs de la fonction périodique x(t) aux points t1,t2,…..tN

Dans certaines applications pratiques, comme dans le cas de la détermination expérimentale des vibrations, la fonction x(t) est inconnue, et on ne la connait qu’aux points t1, t2, …., tn. Dans ce cas, les coefficients an et bn peuvent être évalués en utilisant une procédure d’intégration numérique comme la règle trapézoïdale ou la règle de Simpson.

Supposons que t1, t2, …., tn sont un nombre paire de points équidistants sur la période T (N pair), avec les valeurs correspondantes de x(t) données par x1=x0(t), x2=x(t2),…xN=x(tN), l’application de la règle trapézoïdale donne les coefficients an et bn, (en notant que T=N∆t):

On écrit x(t) = A(t/T) où la période est donnée par T=2π/ω

Pour calculer les coefficients du développement de Fourier an etbn, nous utilisons les équations définies précédemment .

�

�

( )2

2 2 2

0 0 00

2

t A ta x t dt A dt A

T T

ππ π ωω ωω ω ω

π π π

= = = =

∫ ∫

( )2 2

0 0

22

2 200

cos . cos .

cos sincos .

2

0 , 1,2,......

n

ta x t n t dt A n t dt

T

A A n t t n tt n t dt

nT n n

n

π πω ω

ππ ωω

ω ωω ω

π π

ω ω ω ωω

π

= =

= = + = =

∫ ∫

∫

�

�donc :

( )2 2

0 0

22

2 200

sin . sin .

sin cossin .

2

, 1,2,......

n

tb x t n t dt A n t dt

T

A A n t t n tt n t dt

n n n

An

n

π πω ω

ππ ωω

ω ωω ω

π π

ω ω ω ωω

τ π

π

= =

= = −

=− =

∫ ∫

∫

( ) sin sin 2 .....2 2

1 1sin sin2 sin3 ......

2 2 3

A A Ax t t t

At t t

ω ωπ ππ

ω ω ωπ

= − −

= − + + +

Les fluctuations de la pression de l’eau dans une pipe mesurées à 0,01secondes d’intervalles sont données par le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les trois premières harmoniques du développement en séries de Fourier.

Exemple 4 : Analyse numérique en séries deFourier

i Temps (s), ti Pression (kN/m²), Pi

0 0 0

1 0,01 20

2 0,02 34

3 0,03 42

4 0,04 49

5 0,05 53

6 0,06 70

7 0,07 60

8 0,08 36

9 0,09 22

10 0,10 16

11 0,11 7

12 0,12 0

Tableau 1 : Mesure des fluctuations de pression dans une pipe

n=1 n=2 n=3

ti pi

0,01 20000 17320 10000 10000 17320 0 20000

0,02 34000 17000 29444 -17000 29444 -34000 0

0,03 42000 0 42000 -42000 0 0 -42000

0,04 49000 -24500 42434 -24500 -42434 49000 0

0,05 53000 -45898 26500 26500 -45898 0 53000

0,06 70000 -70000 0 70000 0 -70000 0

0,07 60000 -51960 -30000 30000 51960 0 -60000

0,08 36000 -18000 -31176 -18000 31176 36000 0

0,09 22000 0 -22000 -22000 0 0 22000

0,10 16000 8000 -13856 -8000 -13856 -16000 0

0,11 7000 6062 -3500 3500 -6062 0 -7000

0,12 0 0 0 0 0 0 0

Σ 409000 -161976 49846 8500 21650 -35000 -14000

N/2x Σ

68166,

7

-26996 8307,7 1416,7 3608,3 -5833 -2333

12,0

t2cosp i

i

π12,0

t2sinp i

i

π12,0

t4cosp i

i

π12,0

t4sinp i

i

π12,0

t6cosp i

i

π12,0

t6sinp i

i

π

Tableau 2 : Les trois premières harmoniques du développement en séries de Fourier

01 1

20,12 sec ; 52, 36 / sec

2 1681 66, 7

6

N N

i i

i i

T radT

a p pN

πω

= =

= = =

= = =∑ ∑

1 1

1 1

2 22 1co s co s

6 0,1 2

2 22 1s in s in

6 0,1 2

N Ni i

n i i

i i

N Ni i

n i i

i i

n t n ta p p

N T

n t n tb p p

N T

π π

π π= =

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

( )

2

34083, 3 26996, 0 cos 52, 36

8307, 7 sin 52, 36 1416, 7 cos104, 72

3608, 3sin104, 72 5833,3 cos157, 08

2333, 3sin157, 08 .... /

p t t

t t

t

t N m

= −

+ +

+ −

− +