MIAS 2 – Chap. I & II - page 1 Physique MIAS2 Physique Ondulatoire IOscillateurs Harmoniques simples IIOscillateurs harmoniques couplés IIIPhénomènes de

MIAS 2 – Chap. I & II - page 1

Physique MIAS2

Physique Ondulatoire

I Oscillateurs Harmoniques simples

II Oscillateurs harmoniques couplés

III Phénomènes de propagation

IV Ondes sonores

V Ondes lumineuses

VI Interférences et Diffraction


I Oscillateurs Harmoniques simples

I.1 Généralité : Quelques exemples d’oscillateurs

l

m

x

MK

C L

Pendule simple oscillant dans un plan

Petites oscillations :

d2dt2

gl

0

Masse glissante sans frottements

d2xdt2

KM

x0

Circuit LC

d2qdt2

1LC

q0


Caractéristiques communes à tous ces systèmes

Ils obéissent tous à la même équation du type :

C’est une équation d’oscillateur harmonique à un degré de liberté (équation différentielle du 2nd

ordre à coeff. csts)

Oscillations : compétition entre élasticité et inertie (oscillateur mécanique)

d2sdt2

0

2s0 avec 0

2 0

Définitions

Oscillateur libre : Oscillateur est placé hors équilibre et abandonné c-à-d à t > 0, on ne fournit

pas d’énergie à l’oscillateur.

Oscillateur à la fréquence propre

Oscillateur forcé : On impose la fréquence d’oscillations à l’aide d’un système extérieure qui

fournit d’énergie à l’oscillateur.


I.2 Oscillateurs libres non amorti (sans pertes)

x

MK

x0x(t)

R

P

F

HypothèsesPas de frottements

Masse du ressort négligeable

Oscillations le long de Ox

I.2.1 Equation du mouvement Solution

Md2xdt2

x

R

F

P

F K (x x0)

x

R

P

0

Md2xdt2

K (x x0)

On pose x- x0 =X allongement d2Xdt2

KM

X 0

initiales conditions lespar sdéterminée

nsintégratiod’ constantes dessont et A M

K avec tcosAtX

jM

Kj=r 0

M

K+r

tiquecaractérisEquation

00

02

Bilan des forces


Mouvement harmonique (sinusoïdal)0 = pulsation0 = 2..f0 f0 = fréquenceA = Amplitude des oscillations = Phase à l’origine des temps

X tAcos0t avec 0 KM

I.2.2 Energie de l’oscillateur libre non amortiEchange entre deux forme d’énergie :

Energie cinétique de la masse M

Energie potentielle stockée dans le ressortCalcul de Ep

dWFdX dEp F dEpdX

et

F K.X K.Acos0t Ep1

2K.X2 1

2K.A2cos2 0t

Calcul de Ec

tAKEc

tAMEc

dt

dXMMvEc

022

022

02

22

sin..2

1

sin...2

1

.2

1

2

1

E Ec Ep12.A2.K 1

2.A2.M.0

2Si on néglige les pertes Etotale = Ec +Ep = ConstanteSystème conservatif

Ec0

EpK .A2

2

EcK .A2

2Ep0

EcK .A2

2Ep0

Ec0

EpK .A2

2

Ec EpK .A2


I.3 Oscillateurs libres amortis

I.2.1 Equation du mouvement Solution

Bilan des forces

Force élastique :F K(x x0)

x

Force de frottement : F f dx

dtx avec 0

R

P

0

Md2Xdt2

KX dXdt

d2Xdt2

M

dXdt

KM

X 0

Equation caractéristique

r2 +M

r KM

0

2.M

2

0

2

On suppose <0 cas oscillatoire uniquement

2.M

0 r=-

2.M j 0

2

2.M

2

Solution

X te-

2.M

tC1.e

j t C2.e j t avec 0

2

2.M

2

ou

X tA.e-

2.M

t.cos t

Coefficient d'amortissement : =

2.M

on a : C1 A2

.ej et C2 A2

.e j

Les constantes d'intégration sont déterminées

à l'aide des conditions initiales

e 2M


I.4 Oscillateurs harmoniques à 1 degré liberté forcé

On va donc exciter le système par une force extérieure dans le cas d’un système mécanique. Pour le cas électrique on intercalera un générateur de tension ou de courant.

I.4.1 Equation du mouvement

x

MK

Amortissement ()Force extérieure

F F0cost

Bilan des forces

Force élastique :F r K(x x0)

x

Force de frottement : F f dx

dtx avec 0

Force excitatrice : F F0cost

x R

P

0

d2Xdt2

M

dXdt

0

2X F0

Mcost avec 0 K

M

Solution mathématique = Solution générale + solution particulière

d2Xdt2

M

dXdt

0

2X 0

X X0cost

Cette solution est la superposition du mouvement libre (déjà étudié) et d’un terme d’oscillation forcé. Pour avoir le régime forcé il faut donc attendre que le régime propre d’oscillations soit amorti.


Force appliquée : F F0cost F0ejt

Solution particulière : X X0cost X0.ej t

d2Xdt2

M

dXdt

0

2X F0

Mcost

2.X0.ej t j

MX0.e

j t 0

2.X0.e

j t F0

Mejt

X0.ej 2 j

M0

2

F0

M

X0.ej F0 M

2 j M

0

2

X0 F0

2

K M2 2 22

arctan

M2 K

Degré d’amortissement :

D 0

2

1MK


II Oscillateurs Harmoniques couplés

II.1 Un cas simple à 2 degrés de libertés

y

x

M1 M2K KK

• Oscillations longitudinales : si on l’écarte de sa position d’équilibre suivant x’x

• Oscillations transversales : si on l’écarte de sa position d’équilibre suivant y’y ou z’z


II.1.1 Oscillations longitudinales

y

xx1 x2

a0a0 a0

K KKM1 M2

M d2x1

dt2 Kx1K x2 x1 1.a

M d2x2

dt2 Kx2 K x2 x1 1.b

En appliquant la RFD aux deux masses M1 et M2 :

M d2x1

dt2 2Kx1Kx2 (2.a)

M d2x2

dt2Kx1 2Kx2 (2.b)

ou


Le système différentiel obtenu (2) est un système couplé car les variables x1 et x2 apparaissent dans les 2 équations. On peut obtenir des équations indépendantes, en posant le changement de variable :

Sx1x2 et Dx1 x2

(2.a)+(2.b) Md2

dt2x1x2 Kx1 Kx2 =-K x1x2

(2.a)-(2.b) Md2

dt2x1 x2 3Kx13Kx2 =-3K x1 x2

M d2S

dt2 KS (3.a)

M d2Ddt2

3KD (3.b)

Donc le système (2) devient:

S tA1cos1t B1sin1t D tA2cos2t B2sin2t avec

1

2K

M

2

23K

M

Les solutions du système (3) sont :


Une autre solution aurait pu être :

S tA1cos1t1 D tA2cos2t2

Les constantes A1, B1, A2 et B2 (ou A1, 1, A2 et 2) sont déterminées à l’aide des conditions initiales. On abandonne généralement le système dans une position quelconque et sans vitesse.

à t0 x1 0 =A x2 0 =B

x 1 0 =0 x 2 0 =0

x1 tS tD t

21

2A1cos1t A2cos2t B1sin1t B2sin2t

x2 tS t D t

21

2A1cos1t A2cos2t B1sin1t B2sin2t

x 1 0 0 B11 B22 0

x 2 0 0 B11 B22 0

B1 B2 0

x1 tA1

2cos1t A2

2cos2t

x2 tA1

2cos1t A2

2cos2t


Si par exemple on écarte de la même grandeur les masses M1 et M2 on obtient :

x1 0 A A1 A2

2A

x2 0 A A1 A2

2A

A1 A

A2 0

x1 tA

2cos1t

x2 tA

2cos1t

Dans le cas opposé, on écarte les masses M1 et M2 de quantité opposées à t=0 .

x1 0 A A1 A2

2A

x2 0 A A1 A2

2 A

A1 0

A2 A

x1 tA

2cos2t

x2 t A2

cos2t

Le mouvement des deux masses est

uniquement décrit par la pulsation 1

On excite dans ce cas

uniquement la pulsation 2


Représentation graphique des 2 solutions :

2 1

2K

M

2 2

23K

M

Mode 1:

Mode 2:

Ces deux cas particuliers représentent une base permettant de décrire toutes les oscillations possibles du système. On les appelle les modes normaux. Les pulsations sont appelées pulsations propres.

II.1.2 Oscillations transversales

On suppose qu’il n’y aura pas de mouvement suivant l’axe x’x, donc des mouvements purement transversaux. Ceci peut être obtenue facilement en faisant un trou dans chaque masse

et en mettant un axe pour empécher le déplacement horizontal.


y

x

y1y2

aa a

T0 T0T0M1 M2

Comme précédemment nous allons écrire la RFD pour les deux masses.

y1 y2

a a

l 1l2

T2T1

Md2y1

dt2 T1cos T2cos

Lorsque le système est à l’équilibre les ressorts ont tous la même tension :

T0 K a a0


T1 K l1 a0 T2 K l2 a0

On peut facilement écrire T1 et T2 :

Md2y1

dt2 K y1

2a2 a0

cos K y1 y2 2 a2 a0

cos

On obtient donc :

Cette équation différentielle n’est pas linéaire. - termes en puissance de y1 et y2 - les coefficients ne sont pas constant (cos et cos).

Pour revenir au cas linéaire nous allons faire l’approximation des petites oscillations, c’est-à-dire que l’angle est petit ou encore que la longueur l du ressort lors du mouvement est très voisine de a.

T1cos K l1 a0 cos K l1 a0 y1

l1

Ky1 1 a0

l1

Ky1

aa a

a0

l 1

Ky1

aa a0

T1cos T0

ay1

On obtiendrait de la même façon :

T2cos T0

ay1 y2


Le système final est :

Md2y1

dt2 y1

T0

a T0

ay1 y2 = 2T0

ay1 +

T0

ay2 (4.a)

Md2y2

dt2 y2

T0

aT0

ay1 y2 =

T0

ay1 -

2T0

ay2 (4.b)

y1 tA1

2cos1t A2

2cos2t

y2 tA1

2cos1t A2

2cos2t

avec 1

2 T0

Ma

22

3T0

Ma

Les solutions sont


Représentation graphique des 2 solutions :

2 1

2 T0

Ma

2 2

23T0

Ma

Mode 1 :

Mode 2 :

En regardant de plus près le système on aurait pu trouver directement les deux modes normaux du système oscillant.

Exercice : déterminer les modes normaux d’un système à 3 masses pour des mouvements purement transversaux ou longitudinaux.


II.1.3 Recherche générale des modes propres

Reprenons l’exemple des oscillations longitudinales (II.1.1). Pour chercher les modes propres, on substitue les solutions suivantes dans les équations du mouvement (2.a).

y

xx1 x2

a0a0 a0

K KKM1 M2

Md2x1

dt2 2Kx1 Kx2

Md2x2

dt2Kx1 2Kx2

x1 tA1cost1 et x2 tA2cost2

On utilise généralement la notation complexe pour la simplicité.

xi tAiej ti Aie

jt

M2 2K A1 K A2 0

K A1 M2 2K A2 0

On obtient un système de Kramer qui admet deux solutions : (représente la position d’équilibre et donc sans intérêt)

A1 A2 0

le déterminant du système est nul.


D M2 2K 2 K 2 M2 K M2 3K 0

1 K

M

2 3KM

Il faut donc annuler le déterminant :

On a donc retrouvé les deux pulsations propres. Pour = 1, le système se réduit à et les abscisses x1 et x2 sont d’amplitude égales et varient en phase. Pour = 2, le système se réduit à et là elles sont de même amplitudes mais en opposition de phase.

A1 A2

A1 A2


II.1.3 Oscillations forcées

Dans les deux cas précédents (II.1.1 et II.1.2), nous avons étudié le régime d’oscillations libres.

Aucune force extérieur n’est appliquée sur le système

Ici nous allons donc nous intéresser aux oscillations forcées. Prenons l’exemple des oscillations longitudinales et supposons que l’on applique une force F(t)=F0cost x sur M1. Le système différentiel s’écrit alors :

d2x1

dt2 2

KM

x1 KM

x2 +F0

Mcost (5.a)

d2x2

dt2K

Mx1 2

KM

x2 (5.b)

La solution de ce système est obtenue en superposant la solution de l’équation homogène et une solution particulière. L’équation homogène est l’équation ne faisant apparaître que des termes où les variables d’espaces sont présentes, donc la solution homogène a déjà été déterminée au paragraphe II.1.1. Il faut juste déterminer une solution particulière.


Généralement on prend comme fonction d’essai une fonction semblable à F(t) ou encore :

F t Fonction d’essai

x2 4 Ax2 + Bx + C

cost Acos t + sint Asin t + 4cos1t + 5sin1t Acos 1t +1 + Bsin 2t +2

x1 tx10cost1 et x2 tx20cost2 Donc on va choisir pour fonction d’essai :

x1 t x10ej t1 X10e

jt

x2 t x20ej t 2 X20e

jt

Pour simplifier les calculs, on va utiliser la notation complexe :

F t F0

Me jt

La force excitatrice s’écrit :


2X10ejt 20

2X10e

jt 0

2X 20e

jt =F0

Mejt

2X 20ejt 20

2X 20e

jt 02X10e

jt =0

Le système (5) devient :

0

2=

KM

avec

20

2 2

X10 0

2X 20F0

M 0

2X10 20

2 2

X 20 0

Finalement : Pour

2 202

X10 =F0

M

20

2 2

30

2 2

0

2 2

x1 tF0

M

20

2 2

30

2 2

0

2 2

cost

X 20 =F0

M0

2

30

2 2

0

2 2

x2 tF0

M0

2

30

2 2

0

2 2

cost


Pour

2 202

X10 =0

X 20 =-F0

M0

2

Les amplitudes deviennent infinies pour les pulsations propres

Fréquences ou pulsations de résonance

02 et 30

2.


II.2 Passage à la limite : Système continu

II.2.1 Mouvements longitudinaux : Cas de N oscillateurs non-amortis

xxn-1

K KMn-1 Mn Mn+1

xn+1xn

Intéressons nous au mouvement de la masse Mn

Md2xn

dt2 K xn xn1 K xn1 xn

d2xn

dt20

2xn1 20

2xn 0

2xn1 avec 0

2K

M

RFD


Supposons maintenant que les différentes masses sont soumises à de faibles oscillations, c’est-à-dire que le mouvement de chaque masse est petit.

La distance entre les différentes masses est pratiquement constante et égale à celle au repos a0.

On peut donc poser :

xn tu x,t xn1 tu x a0,t xn1 tu xa0,t

a0 étant petit on peut utiliser un développement limité pour exprimer

u x a0,t et u xa0,t

u x a0,t u x,t a0ux

a0

2

22u

x2

u xa0,t u x,t a0ux

a02

22u

x2

2u x,t t2

0

2u x a0,t 20

2u x,t 0

2u xa0,t

L’équation différentielle devient


2u x,t

t20

2a0

2 2u x,t x2

Finalement :

Cette équation est dite d’Alembert ou équation de propagation. On peut voir que le terme est homogène à une vitesse.

En posant , on peut écrire l’équation de propagation unidimensionnelle de la grandeur u(x,t) à la vitesse c .

02a0

2

c2 02a0

2

2u x,t

t2c2 2u x,t

x2

Exercice : montrer que est homogène a une vitesse.

0a0


II.2.1 Mouvements transversaux : Cas d’une corde vibrante

Prenons comme exemple une corde faiblement extensible de longueur l et de masse linéique . Elle est tendue par une force appliquée à son extrémité droite.

y

y(x,t)

équilibre

F

F

Pour déterminer l’équation du mouvement des différents points de la corde au voisinage de l’équilibre. On négligera le poids de la corde devant . On se limite à des petits mouvements transversaux.

F


Considérons un élément infinitésimal de la corde :

y

x

A

B

-T(x,t)

T(x+dx,t)

x x+dx

y(x+dx,t)

y(x,t) (x,t)

Le point d’abscisse x (A) subit l’action de la partie gauche de la corde :

T x,t

T xdx,t Le point d’abscisse x+dx (B) subit l’action de la partie droite de la corde :

RFD

dx2y x,t

t2 y

T xdx,t

T x,t

T

xdx


Tx

x0

Tcos x

Tx

0 (6.a)

Ty

x

2y x,t t2

Tsin

x

T x

2y x,t

t2 (6.b)

En projetant sur les axes on a :

(6.a) montre que T est indépendant de x : Donc la valeur de la tension est calculée en se plaçant à l’extrémité droite de la corde :

T x,t T t

T tF

2y x,t

t2T

x

F x

On sait que

tg yx

2y x,t t2

F

2y x,t x2

Equation d’Alembert ou de propagation

Excercice : Montrer que est homogène à une vitesse.

F

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