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Cours de maths en 5ème

Les aires de

figures

DES AIRES - Encadrements de l’aire d’une surface quelconque Définis, dans chaque cas, un encadrement de l’aire de la surface représentée ci-dessous : a) Donne l’aire d’un carré du quadrillage b) Colorie les carrés entiers de la surface et évaluer leur aire totale

c) Colorie le minimum de carrés supplémentaires recouvrant entièrement la surface et donne leur aire totale

d) Déduis-en, dans chaque cas, un encadrement de l’aire de la surface.

a) .......................................................... a) ................................................................ a) ........................................................................

b) .......................................................... b) ................................................................ b) ........................................................................

c) .......................................................... c) ................................................................ c) ........................................................................

d) .......................................................... d) ................................................................ d) ........................................................................

Remarque :..................................................................................................................................................................................................................

- Aires de surfaces simples L’aire d’un carreau étant égale à l’unité d’aire, donne les valeurs exactes des aires des surfaces suivantes :

....................................................... ................................................................... ..........................................................................

....................................................... ................................................................... ..........................................................................

................................................................................................................... ........................................................................................................... .................................................................................................................... ...........................................................................................................

DES AIRES - Rappels

b

a

a) l’aire du rectangle

L’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent a et b est : a bA = ×

b) l’aire du carré L’aire d’un carré dont le côté mesure a est :

2a a aA = × =

a

c) l’aire du triangle rectangle L’aire d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent a et b est :

a b

2A ×=

a

b

d) Les unités d’aire

51,2807 hm² = 5128,07 dam² = 512807 m² 3,2490 dm² = 324,90 cm² = 32490 mm² = 0,03249 m²

km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 5 1 2 8 0 7 3 2 4 9 ha a ca

- L’aire du parallélogramme b

h

L’aire d’un parallélogramme dont un côté mesure b et dont la hauteur correspondante mesure h est : b hA = × Remarque : c’est l’aire du rectangle construit à partir du parallélogramme.

c

k Remarque : L’aire de ce même parallélogramme, dont on connaît l’autre côté c et sa hauteur correspondante k est : c kA = ×

- L’aire du triangle

b

h

L’aire d’un triangle dont un côté mesure b et sa hauteur correspondante h est :

h

2bA ×

=

Remarque : c’est la moitié de l’aire du parallélogramme construit à partir du triangle. Remarque : Il y a trois façons d’écrire l’aire d’un triangle…selon le côté et la hauteur correspondante :

A

B CH

A

B C

P

A

B C

K

BC AH

2A ×=

AB CP2

A ×=

AC BK2

A ×=

- L’aire du trapèze

b

b + a

a

h

L’aire d’un trapèze de bases b et a et de hauteur h est la même que l’aire d’un triangle de côté b + a et de hauteur correspondante h.

b a(

2h)A =

+ ×

- L’aire du disque L’aire d’un disque de rayon r est :

2r r rA π π= × × = ×

r

Remarque : Il ne faut pas confondre avec la longueur du cercle de rayon r qui est : 2 rl π= × ×

Exercices 1 DES AIRES

- Représente et colorie dans le quadrillage ci-dessous des surfaces de formes différentes et de 1 cm² :

- Effectue les mesures nécessaires pour calculer les aires des trois triangles représentés ci-contre. (N’utilise que des longueurs simples à mesurer ; les hauteurs nécessaires sont toutes tracées ; certaines sont à l’extérieur des triangles) L’échelle de représentation est 1/100.

Aire (AED) = ...................................................................................................................................................... Aire (CED) = ...................................................................................................................................................... Aire (BEC) = ....................................................................................................................................................... - Construis, ci-dessous, le losange ABCD tel que : AC = 50 mm et BD = 35 mm. Calcule l’aire de ce losange. ...........................................…………………………………………………………………………................................................................... ...........................................…………………………………………………………………………................................................................... ...........................................…………………………………………………………………………...................................................................

Exercices 2 DES AIRES

- Un terrain de sport a la forme ci-contre : Calcule l'aire de ce terrain si L = 120 m et R = 40 m.

L

R Écris une formule qui permet de calculer l'aire d'un tel terrain. En utilisant la règle de la distributivité, montre que l'aire peut se calculer ainsi : R (2L R)A π= × +

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- Un carré est inscrit dans un cercle de rayon R.

Exprime l'aire du carré en fonction de R Exprime en fonction de R et π, l'aire de l'ensemble des parties hachurées, puis de l'une de ces quatre parties.

Compare (plus petit, plus grand) l'aire du carré et celle des parties hachurées. ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………

2 cm

- Calcule l’aire de la surface grise.(Le rayon des quarts de cercle est 1 cm)

…………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….…………………………

7 cm

13 cm

2,5

cm

x cm

- Détermine la valeur du nombre x pour que les aires des deux

figures soient égales. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

Devoir 1

- En utilisant le quadrillage, donne un encadrement de l'aire de cette surface. Un carreau de ce quadrillage mesure en réalité 1 cm de côté.

- Effectue les constructions puis les mesures nécessaires pour trouver les aires des surfaces représentées ci-

dessous. Un carreau de ce quadrillage mesure en réalité 1 cm de côté.

- On donne la surface ABCD ci-dessous. Elle est représentée à l'échelle 1/100.

On veut calculer son aire mais elle n'a aucune forme simple. En t'aidant du dessin complémentaire, représenté en pointillés, trouve l'aire de cette surface ABCD.

Devoir 2 DES AIRES

- ABCD est un parallélogramme dont les dimensions

sont indiquées sur le schéma.

4 cm

3,4

cm

3 cm

A

B C

D

H

a) Calcule l’aire du parallélogramme

b) Déduis-en les aires des triangles ABC et BCD.

- ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD].

8 cm

x

14c m

A B

CD

L’aire de ce trapèze est, en réalité, 92 cm².

a) Démontre que l’aire de ce trapèze peut s’écrire (en fonction de x) :

56 4A x= +

b) Calcule alors la valeur de x.

- Calcule x pour que l’aire du triangle ABC soit égale à 72 m².

18 m

x

A

BC

H

DES AIRES - Encadrements de l’aire d’une surface quelconque Définis, dans chaque cas, un encadrement de l’aire de la surface représentée ci-dessous : a) Donne l’aire d’un carré du quadrillage b) Colorie les carrés entiers de la surface et évaluer leur aire totale

c) Colorie le minimum de carrés supplémentaires recouvrant entièrement la surface et donne leur aire totale

d) Déduis-en, dans chaque cas, un encadrement de l’aire de la surface. a) 16 unités d’aire. a) 4 unités d’aire .a) 1 unité d’aire

b) b) 16 16 256× = 75 4 300× = b) 338 1 338× =

c) c).( )16 18 16 544+ × = ( )75 33 4 432+ × = c) ( )338 73 1 411+ × =

d) 256 Aire 528< < d) 300 Aire 432< < d) 338 Aire 411< <

Remarque : Plus le quadrillage est fin, plus l’encadrement de l’aire de cette surface est précis

- Aires de surfaces simples

L’aire d’un carreau étant égale à l’unité d’aire, donne les valeurs exactes des aires des surfaces suivantes :

Rectangle : Parallélogramme = Rectangle Triangle = demi-parallélogramme longueur largeur×

12 8 96× = côté hauteur = × 12 8 96× = coté hauteur 12 8 96 482 2 2

× ×= = =

Triangle = coté hauteur 28 8 1122 2

× ×= = Trapèze= Triangle= coté hauteur (20 8) 8 112

2 2× + ×

= =

Exercices 1 DES AIRES

- Représente et colorie dans le quadrillage ci-dessous des surfaces de formes différentes et de 1 cm² :

- Effectue les mesures nécessaires pour calculer les aires des trois

triangles représentés ci-contre. (N’utilise que des longueurs simples à mesurer ; les hauteurs nécessaires sont toutes tracées ; certaines sont à l’extérieur des triangles) L’échelle de représentation est 1/100.

Aire (AED) =. 2AE AD 3 3 4,5 m2 2× ×

= =

Aire (CED) = 2CD AE 3 3 4,5 m2 2× ×

= =

Aire (BEC) =. 2EB AC 1 6 3 m2 2× ×

= =

- Construis, ci-dessous, le losange ABCD tel que : AC = 50 mm et BD = 35 mm. Calcule l’aire de ce losange.

2AC BD 50 35Aire(ABCD) 875 mm2 2× ×

= = = .

5 cm

3,5

cmA

B

C

D

Exercices 2 DES AIRES

- Un terrain de sport a la forme ci-contre :

L

R Calcule l'aire de ce terrain si L = 120 m et R = 40 m. Écris une formule qui permet de calculer l'aire d'un tel terrain. En utilisant la règle de la distributivité, montre que l'aire peut se calculer ainsi : R (2L R)A π= × + L’aire di terrain est égale à la somme de l’aire de la surface rectangulaire( de longueur L=120 m et de largeur D = 2R = 80 m) et de l’aire de deux demi disques (donc d’un disque) de rayon R = 40 m

2 2Aire L 2R R 120 80 40 14627mπ π= × + = × + × ≈ 2

)

( ) (Aire L 2 R L 2 R 2L RR R R Rπ π= × + × = ×× + × = +× × π

- Un carré est inscrit dans un cercle de rayon R.

Exprime l'aire du carré en fonction de R R

Exprime en fonction de R et π, l'aire de l'ensemble des parties hachurées, puis de l'une de ces quatre parties.

Compare (plus petit, plus grand) l'aire du carré et celle des parties hachurées. Le carré se compose de quatre triangles rectangles isocèles de côtés de l’angle droit R ; ou de deux carrés de côté R ; son aire est donc : 22RL’aire du disque de rayon R est : 2Rπ L’aire de la partie hachurée est donc : ( )2 2 2R 2R 2 R 1,14Rπ π− = − ≈ 2

<

2 21,14R 2R car 1,14 2< donc l’aire hachurée est plus petite que l’aire du carré

7 cm

13 cm

2,5

cm

x cm

2 cm

4 cm

- Calcule l’aire de la surface grise.(Le rayon des quarts de cercle est 1 cm)

L’aire de la surface grise est égale à l’aire du carré moins l’aire des quatre quarts de disque (donc d’un disque) de rayon 1 cm :

2 24 1 16 12,86 cmπ π− × = − ≈ 2

- Détermine la valeur du nombre x pour que les aires des deux figures soient égales. L’aire du carré est : 2x

L’aire du trapèze est : ( )7 13 2,5 20 2,5 252 2

+ × ×= =

Les deux aires sont égales, soit :

2x 25donc

x 5 cm

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩