Les bases du groupe symétrique dont l'une des substitutions est un cycle du sixième ordre

Les bases du groupe sym trique dont l'une

des substitutions est un cycle du sixi/ me ordre

Par SOPHIE PICCARD, Neuch~tel

w 1. Introduction Soit n u n entier ~ 6, soit ~ , le groupe sym~trique des substitutions

des ~l~ments 1,2 . . . . . n. I1 existe, comme on sait, des couples S, T de substitutions de ~ , -- appel~s bases de ~ , -- qui engendrent le groupe ~ , tout entier par composition finie.

Le but du present travail est de rechercher routes les bases S, T du groupe ~ , dent l'une des substitutions Tes t de la forme T : ( b l b ~ b 3 b 4 b s b e ) ,

o~ b~, b~, b 3 , b 4 , b~, b e sent six hombres distincts quelconques de la suite 1 ,2 , . . . , n .

Pour r~soudre ce probl~me, nous examinerons d'abord tous les groupes que peuvent engendrer deux cycles c o n n e x e s du sixi~me ordre, e'est-~- dire deux cycles du sixi~me ordre qui ont au moins un ~l~ment commun. Nous d~montrerons que si un groupe primitif de substitutions G contient deux cycles connexes et imprimitifs ind~pendants du sixi~me ordre, alors G est le groupe sym~trique des substitutions des ~l~ments permut~s. Cette proposition curieuse en soi est tr~s utile pour l'~tude que nous avons entreprise. Nous examinerons ensuite les groupes que peut engendrer un syst~me conexe et primitif quelconque de cycles du sixi~me ordre ~) et nous en d~duirons les crit~res permettant de diseerner toutes les bases du groupe ~ , dent l 'une des substitutions est un cycle du sixi~me ordre.

1) Un syst~me de cycles qui permutent un ensemble E d'~l~ments est dit connexe s'ii n 'existe aucun sous-ensemble propre Ej de E compos4 de la totalit~ des ~lSments de certains cycles du syst~me envisag6. Un syst~me connexe de cycles est dit primitif s'il est impossible de d6eomposer l 'ensemble E des 61$ments permutes par les diff4rents cycles du syst~me en une somme de k ~ 2 sous-ensembles E l , . . . , Ek, tels que

. . . . . si et clue, qucls clue soient les indices i e t j (1 ~ i ~ k, 1 ~ / " ~ k) et quel que soit le cycle C du syst~me envisage, si C transforme au moins un ~16ment de Et en un ~lSment de Er alors C transforme tout l 'ensemble Ei en E~, et le syst~me est dit imprimitif

dans le cas eontraire. Rappelons que le symbole Ei d~signe la puissance de l 'ensemble Er

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w 2. Les divers groupes

que peuvent engendrer deux cycles eonnexes du sixi~me ordre

Soient C1 et C~ deux cycles connexes du sixi~me ordre. Soit n le hombre total des ~l~ments qu'fls permutent et soient 1 , 2 . . . . . n c e s ~l~ments. Soient C 1 = (1 2 3 4 5 6) et soit h le nombre d'~l~ments communs & C 1 et s C~. Comme C1 et C2 sont connexes, on a 1 ~ h < 6.

w) Supposons d'abord que h----- 6. Alors C~ = (blb2b3b4bsbe), oh blb~b3b4b6be est une permutation quelconque des hombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. I1 y a done en tout 120 cycles C2 diff~rents.

al) Lea deux cycles C1 et C~ sont primiti/8 (ce qui se produit dans 102 cas). Alors deux 6ventualit~s peuvent se pr6senter.

a l l )C2es t l ' undes 18cycles C~UIC~ i, oh U ~- (1 4 5 3 2 6), ~ = q - l , et i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ou bien U = ( 1 3 5 2 6 4 ) , ~ = 1 , i = 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, et alors C1 et C z engendrent le groupe Gx~o, d'ordre 120 et de degr6 6, trois lois transitif, simplement isomorphe au groupe sym6- trique ~ .

Le g roupe GI~O p e u t ~tre caract~ris~ p a r les q u a t r e re la t ions S ~ = 1, T ~ = 1, (TS~) ~ = 1, (TS) ~ = 1. I1 se compose de 20 s u b s t i t u t i o n s d u t y p e 6"), 20 subs t i - t u t i o n s d u t y p e 3 .3 , 24 s u b s t i t u t i o n s d u t y p e 5, 30 s u b s t i t u t i o n s d u t y p e 4, 15 sub- s t i t u t i o n s d u t y p e 2 .2 , 10 s u b s t i t u t i o n s d u t y p e 2 . 2 . 2 e t de la s u b s t i t u t i o n iden- t ique . Si l ' o n r ~ p a r t i t les s u b s t i t u t i o n s de G~0 en classes de s u b s t i t u t i o n s conju- gug~s, e n p r e n a n t d a n s u n e m 6 m e classe deux s u b s t i t u t i o n s de G~o d a n s le cas e t ce cas seu le rnen t os l ' u n e de ces s u b s t i t u t i o n s es t la t rans form( ie de l ' a u t r e p a r une s u b s t i t u t i o n d u g roupe G~0, on cons t a t e que d e u x s u b s t i t u t i o n s semblab le s de G~o f o n t t o u j o u r s paxt ie d ' u n e m b m e classe. L a cond i t ion n4cessaire e t suf f i sante p o u r que deux s u b s t i t u t i o n s de Gl~0, d o n t l ' une a u mo ins ost impaire , c o n s t i t u e n t une b a s e de ee groupe, e ' e s t qu 'e l les so ien t connexes e t p r imi t ives . Le g roupe G ~ 0 poss~de des bases des douze t ypes ~) s u i v a n t s : (6,6), (6,5), (6,4), (6,3.3) , (6 ,2 .2 .2 ) , (6,2.2) , (5,4), (5 ,2 .2 .2 ) , (4,4), (4 ,3.3) , ( 4 ,2 .2 .2 ) e t (4,2.2). I1 a n o t a m m e n t 180 bases d u t y p e (6,6), 360 bases d u t y p e (6,3.3) , 480 bases d u t y p e (6,5), 600 bases d u t y p e (6,4), 120 bases d u t y p e (6 ,2 .2 .2 ) , 240 bases du t y p e (6,2.2) , 240 bases d u t y p e (5 ,2 .2 .2 ) , 480 bases d u t y p e (5,4), 120 bases d u t y p e (4 ,2 .2 .2 ) , 360 bases d u t y p e (4,3.3) , 120 bases d u t y p e {4,2.2) c t 120 bases d u t y p e {4,4). Le n o m b r e

~) S o i e n t n , al , a~ . . . . . a k (a l ~ a ~ . . . ~ a k ) des entiers :>1 e t s o i t S u n e s u b - s t i tu t ion du groupe ~n" Nous dirons que la subst i tut ion S eat du type a 1 �9 a 2 �9 . . . �9 a k s'il eat possible d 'ordonner lea cycles d 'ordre ~- 1 de S e n une suite C1, C 2 , . . . , C~, telle que le cycle C t eat d 'ordre a t , i = 1, 2 , . . . , k.

Soit G u n sous-groupe transi t i f e t primitif de ~ n ' ~ base du second ordre. Nous dirons qu 'une base S, T de (7 eat du type (a, b) si la subst i tut ion S eat du type a e t si T eat du type b. Une base S, T de G eat di te de premiere eap~ce et du genre 1 s'il n 'existe aucune subs t i tu t ion R de ~ n ' telle que R S R -1 = T , R T R -1 = ,.q, et elle eat dite de premiere esp~ce et du genre 2 s'il existe une subst i tut ion de l 'ensemble ~ . - (7 qui t ransforme

en T et T e n S. Une base S, T de (7 est dite de seconde eal~ce s'il existe une subst i tut ion R de G, telle que R S R -1 = T et que R T R - I = S .

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to ta l do bases de Gx~o est 3420 = 57 • 60. C'est un mul t ip le do la moiti~i do l 'ordre du groupe consider6. 3120 bases do G12o sent de premiere esp~co e t du genre 1 et 300 bases sent de seconde esp~ce~). N o t a m m e n t , routes les bases de l ' un des types (6,6) ou (4,4) sent de secondo esp~co. Le groupe Glzo est compos6. I1 adme t pour seul vrai sous-groupe dist ingu6 le groupe G6o d 'ordre 60 form6 do toutes les substitu t ions de classe paire de Gl~ 0. I1 n 'ex is te aucune subs t i tu t ion de l 'ensemblo 6 6 - Gl~0 qui soit pe rmutab le avec GI~.

al~) C~ est l'un des 84 cycles du sixi~me ordre de ~s, primitifs avee C1 et qui ne font pas partie de G120. Alors C 1 et C~ engendrent le groupe sym~trique ~e.

as) Les deux cycles C1 et C2 sent imprimiti/s. I1 y a au total 18 cycles C2 imprimitifs avec C1. Deux cas sent alors s distinguer.

a21) C1 et C~ ont pour syst$mes d'imprimitivitd les deux ensembles {1,3,5} e$ {2, 4, 6}. Ce cas se subdivise en les trois suivants :

a~l ) C~ ~--C~ 1 et alors C 1 et C2 engendrent le groupe cyclique G e d'ordre 6.

a~l) C~-~CilUiC~i, ofl U = - ( 1 2 5 6 3 4 ) , ?'----- • i = 1 , 2 , e ta lors C 1 et C~ engendrent le groupe imprimitif Gla, d'ordre 18, qui se compose de six substitutions du type 6, 4 substitutions du type 3.3, 4 substitutions du type 3, 3 substitutions du type 2.2.2 et de la substitution identique. Deux substitutions du type 6 de GIs, dent l 'une n'est pas une it~r~e de l'autre, constituent toujours une base de Gls.

f i r , = i a21 ) C~ C 1UjC[ i, off U = ( 1 2 3 6 5 4 ) , ~ = ~ 1 , i = 1 , 2 , 3 , et alors C 1 et C~ engendrent le groupe imprimitif Ga6 d'ordre 36, compos~ de 12 substitutions du type 6, 4 substitutions du type 3.3, 4 substitutions du type 3, 6 substitutions du type 2 .2 .2 , 9 substitutions du type 2.2 et de la substitution identique. Deux substitutions du type 6 de G~e, qui ne font pas toutes deux partie du groupe G1s , engendrent toujours le groupe Gas. On a Gls=Ga6.

a~) C 1 et C~ ont pour syst~mes d'imprimitivitd les ensembles {1,4}, {2,5} et {3,6}, mais non pas {1, 3, 5} et (2, 4, 6}. Alors C~ = C~ UiC[ i, off U ~ ( 1 3 2 4 6 5 ) , ~ = :~:1, i = 1, 2, 3, e t a lo r sCle tC~engendren t le groupe imprimitif Gu, d'ordre 24, compos6 de 8 substitutions du type 6, 8 substitutions du type 3.3, 1 substitution du type 2.2.2, 3 substitutions du type 2.2, 3 substitutions du type 2 et de la substitution identique. Deux substitutions du type 6 de G~a, dent l 'une n'est pas une it~r~e de l 'autre, engendrent toujours le groupe Gu.

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b) Sutrposon8 maintenant que h = 5. Done C~-~ (blbabab, bsb6), off einq des nombres bl, ba, ba, b4, bs, bs font pa t t i e de la sui te 1, 2, 3, 4, 5, 6 e t le sixi~me est 7. I1 y a 720 cycles Ca, C1 et C~ sont alors tou jours primitifs . Le eas b) se subdivise en les trois su ivan t s

bl) C ~ e s t l ' u n d e s 1 2 c y c l e s C~UIC1 i, off U----- ( 1 3 4 2 5 7 ) , j ~ i l , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Alors les deux subs t i tu t ions C~ et C~ engendren t le groupe m~tacycl ique 1G4a, d 'o rd re 42.

Lo groupe 1G42 comprend 6 substitutions du type 7, 14 substitutions du type 6, 14 substitutions du type 3.3, 7 substitutions du type 2.2.2 et la substitution identique. Ce groupe est caract~ris~ par los trois relations fondamentales S s = 1, T6~ 1, TaSTeS4 ~ 1. Lo groupe 1Ga2 possible des bases des cinq types (7,6), (6,6), (6,3.3), (6,2.2.2), (3.3,2.2.2). Toute substitution du type 7 forme avec touto substitution du type 6 de 1Gaa une base do ce groupe. La condition n4ses- saire et suffisante pour qu'une substitution A du type 6 forme une base de 1G4z avec une substitution B de Fun dos types 6, 3.3 ou 2.2.2, c'est que A e t B soient connexes. De m~me, la condition n~eessaire et suffisanto pour qu'une substitution A du type 3.3 forme avec une substitution B du type 2.2.2 de 1G4s une base do ce groupe, c'est que A e t B soient connexes. Le groupe 1G4s poss~de au total 504

12• bases, dont 84 sont du type (7,6), 84 du type (6,6), 168 du type (6,3.3), 84 du type (6,2.2.2) et 84 du type (3.3,2.2.2). 462 bases de 1G42 sont de premiere esp~ee et du genre 1 et 42 sont do secondo esp~ce. Le nombre total de bases de 1G, j e s t un multiple de l'ordre do co groupe. Auctme substitution de ~ - 1G4z n'est permutable avec le groupe 1G4s. Le groupe 1G~z est compos6 et admet pour vrais sous-groupes distingu6s le groupe G,1 compos~ de routes les substitutions paires de 1G42, le groupo G14 compos~ de routes les substitutions des types 7, 2.2.2 et 1 do 1G4z ainsi que le groupe cyclique G T d'ordre 7 engendr6 par chaque substitution du type 7 de 1G~2.

ba) Ca est l ' une des 12 subs t i tu t ions ~ _r71~-~_~ , oh U ~ (1 4 2 3 5 7), -----• 1, i ~ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Alors C1 et Cs engendren t le groupe

aG, a d ' o rd re 42, s implemen t i somorphe avec ~G~,, mais :fi ~G,,, et on a ~G~ = R~G~ R -~, R --~ (2 4 3) (6 7).

Done, dans 24 eas, C~ et Ca ne cons t i tuen t pas une base de ~ .

ba) Ca ~ ~G~a + aG~a. 696 cycles Ca sont dans e e c a s et C~ et Ca fo rmen t alors tou jours une base de ~ .

c) Supposons maintenant que h - ~ 4. Done C~-~ (blbabab~b~b~), oh qua t re des nombres b~, b~, ba, b~, ba, bs fon t pa t t i e de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 e t les deux au t res sont 7 e t 8. I1 y a en t o u t 1800 cycles C~ diff , - rents. Ce cas se subdivise en les su ivan t s

c~) C~ est Fun des 24 cycles C~UtC~ ~, off U---- ( 1 2 7 4 5 8 ) ou U - - - - ( 1 5 7 4 2 8 ) , ~ -~ :~:1, i ~ - - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Alors C~ et C~ sont imprimit i fs , ils on t pou r sys t~mes d ' impr imi t iv i t~ los ensembles {1, 4}, {2,5}, {3,6}, {7,8} e t fls engendren t le g roupe impr imi t i f G~a, d ' o rd re

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192, composd de 32 subs t i t u t i ons d u t y p e 6, 32 subs t i t u t i ons du t y p e 3 .3 , 32 subs t i t u t i ons d u t y p e 6 .2 , 32 subs t i t u t i ons du t y p e 3 . 3 . 2 , 24 subs t i - t u t i o n s d u t y p e 4 . 2 . 2 , 12 subs t i t u t i ons d u t y p e 4 . 4 , 13 subs t i t u t i ons du t y p e 2 . 2 . 2 . 2 , 4 subs t i t u t i ons d u t y p e 2 . 2 . 2 , 6 subs t i t u t ions du t y p e 2 . 2 , 4 subs t i t u t i ons d u t y p e 2 et de la subs t i t u t i on ident ique .

%) Les cycles C 1 et C2 sont pr imit i /s . Trois cas son t a lors possibles :

ca1) Ca est l ' u n des 30 cycles C~ UJC[ 1, oh U es t l ' une des subs t i tu - t ions ( 1 4 3 7 8 2 ) , ( 1 5 3 8 2 7 ) , j : i l , i ~ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , o u e n - core U - ~ ( 1 6 8 3 4 7 ) , j : 1, i ~ - 1 , 2 , 3, 4 , 5, 6. Alors C1 e t Ca e n g e n d r e n t le g r o u p e t ro is lois t r ans i t i f 1G33e, d ' o r d r e 336, et de degr~ 8.

Le groupe 1Gaa6 se compose de 84 substitutions du type 8, 48 du type 7, 56 du type 6, 42 du type 4.4, 56 d u t y p e 3.3, 2 1 d u t y p e 2 .2 .2 .2 , 2 8 d u t y p e 2 .2 .2 et de la substitution identique. Le groupe Gaa 6 est form4 des substitutions UiVJW k, off U : ( 3 4 8 7 5 6 ) , V = ( 2 8 3 4 5 7 6 ) , W : ( 1 7 4 6 2 8 5 3 ) , i - - - -1 .2 .3 .4 .5 .6 , ? ' ~ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et k ~ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Legroupe 1Gaa6 peut 8tre caract6ris~ par les cinq relations fondamentales S ~ ~ 1, (T~S~) ~ ~ 1, (TS) a ~ 1, TSaTSSTaS s = 1 et TS4T~SaT~S4 ~ 1. Les substitutions de 1Gaa6 se r6partissent en neuf classes de substitutions conjugu~es, dont deux comprennent, chacune, 42 substitutions du type 8 et les 7 autres eomprennent respeetivement routes les substitutions des types 7, 6, 3.3, 4.4, 2 .2 .2 .2 , 2 .2 .2 et 1 de 1Gaa6. Le groupe 1G3a6 poss~te au total 34776 = 207 • 168 bases. Ce nombre est un multiple de la moiti6 de l'ordre du groupe consid6r4. I1 y a 3360 bases du type (8,8), 4032 bases du type (8,7), 4704 bases du type (8,6), 4704 bases du type (8,3.3), 3360 bases du type (8,4.4), 1344 bases du type (8,2.2.2.2), 2016 bases du type (8,2.2.2), 2016 bases du type (7,6), 1008 bases du type (7,2.2.2), 840 bases du type (6,6), 1680 bases du type (6,3.3), 2352 bases du type (6,4.4), 1008 bases du type (6,2.2.2.2), 672 bases du type (6,2.2.2), 672 bases du type (3.3,2.2.2), et 1008 bases du type (4.4,2.2.2). I1 y a donc des bases de 16 types diff~rents. 32256 bases de 1Gaa6 sont de premiere esp~ce et du genre 1 alors clue 2520 bases sont de seeonde esp~ce. Notamment routes les bases du type 6,6 et la moiti4 des bases du type 8,8 sont de seconde esp~ce. I1 n'existe aueune substitution de Fen- semble ~ s - iGaaa qui soit permutable avee le groupe 1Gaaa. Le groupe iGaa6 est un groupe compos~. I1 admet un vrai sons-groupo distingu~ G16s, d'ordre 168, eompos6 des substitutions de ciasse paire de 1Gaa6; le groupe G16s est simple et il est simplement isomorphe au groupe intersection de 1Gla~a et ~Glaa, a).

caa ) C, es t l ' u n des 30 cycles C~ UIC~ ~, off U es t l ' une des subs t i t u - t ions ( 1 4 3 8 7 2 ) , ( 1 5 3 7 2 8 ) , ] ~ ~ - 1 , i ~ - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , o u b i e n U - ~ ( 1 6 7 3 4 8 ) , ] ~ 1 , i ~ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , a lors C~ et C2 en-

g e n d r e n t le g r o u p e aGa3,, d ' o r d r e 336, s i m p l e m e n t i s o m o r p h e s ~G33 e

mais :fi 1G336 et on a aG336 - - - - - (7 8) 1G336 (7 8).

8) Voir S. Piccard, Les groupes engendr6s par un syst~me connexe de cycles d 'ordre sept et les bases des groupes sym6t r ique et a l tern6 de degr~ n ~ 1O dont l 'une des s u b s t i t u t i o n s est un cycle du septi~me ordre , Comment. Math. Helv., vol. 24, 1950, fasc. 1, p. 6.

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%3) Dans les 1716 cas restants oh C1 et C2 sont prhnitifs mais oh C2u 1G33e ~-~G336, C 1 et C~ engendrent le groupe sym6trique 68.

d) Soit ~ pr~ent h = 3. Donc C2 = (blb2b3b4bsbe), oh trois des nombres b 1, b~, b 3, b 4, bs, b6 font pattie de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les trois autres sont 7, 8 et 9. I1 y a en tout 2400 cycles C~ diff~rents.

dl) Supposons d'abord que C1 et C~ 8ont imprimiti/s. C 1 et C~ ont alors pour syst~mes d'imprimitivit~ les ensembles (1, 3, 5}, (2, 4, 6} et (7, 8,9}. I1 existe 24 cycles C~ imprimitifs avec C 1. Deux cas sont s distinguer.

dn) C~es t l 'undes 12cycles C~U/C~ ~, oh U = (1 7 3 8 5 9), j ~ : 1 , i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Alors G1 et G~ engendrent le groupe imprimitif 1Gle~, d'ordre 162 et de degr~ 9, comprenant 36 substitutions du type 9, 18 substitutions du type 6, 26 substitutions du type 3 .3 .3 , 12 substitutions du type 3.3, 6 substitutions du type 3, 18 substitutions du type 3 .2 .2 .2 , 9 substitutions du type 2.2.2, 36 substitutions du type 6.3 et la substitution identique.

d12) C2es t l 'undes12cyc les C~UiC[ i, oh U = ( 1 7 3 9 5 8 ) , j = • i ~ 1, 2, 3, 4, 5, 6. Alors C1 et C2 engendrent le groupe imprimitif 2Gle~, d'ordre 162, simplement isomorphe ~ 1Gle~, mais r 1Gle~, et on a ~Gle ~ = (8 9) 1G162 (8 9).

d2) Supposons maintenant que C 1 et C~ sont primiti/s. I1 existe 2376 cycles C~ primitifs avec C 1 et chacun de ces cycles ferme avec C1 une base du groupe sym~trique 69.

e) Soit ~ present h = 2. Donc C2 = (blb~b3b4bsbe), oh deux des hombres b~, b2, b3, b a, b 5, b e font partie de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les quatre autres sont 7, 8, 9, 10. I1 y a 1800 cycles C2 diff~rents.

el) Les deux cycles C 1 et C~ sont imprimiti/s. 72 cycles C~ sont imprimitifs avec C 1 et trois cas sont s distinguer.

ell ) C~ est l 'un des 24 cycles C~UiC~ ~, oh U = ( 1 7 8 4 9 1 0 ) ou U = ( 1 9 8 4 7 1 0 ) , ] ~ ~:1, i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Alors C~ et C~ engendrent le groupe imprimitif 1G19~o d'ordre 1920 et de degr~ 10, dont les syst~mes d'imprimitivit~ sont les ensembles (1,4}, (2,5}, {3,6}, (7,9} et (8,10}. Ce groupe comprend 384 substitutions du type 10, 384 substitutions du type 5.5, 60 substitutions du type 4.4.2, 60 substitutions du type 4.4, 120 substitutions du type 4 .2 .2 .2 , 120 substitutions du type 4.2.2, 80 substitutions du type 3 .3 .2 .2 , 160 subssitu- tions du type 3.3.2, 80 substitutions du type 3.3, 80 substitutions du

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type 6.2.2, 160 substitutions du type 6.2, 80 substitutions du type 6, 61 substitutions du type 2 .2 .2 .2 .2 , 65 substitutions du type 2.2 .2 .2 , 10 substitutions du type 2.2.2, 10 substitutions du type 2.2, 5 substitutions du type 2 et de la substitution identique.

e12) C2 est l'un des 24 cycles C~UIC~ i, oh U = (1 8 7 4 9 10) ou U = ( 1 8 1 0 4 9 7 ) , j = =J=l, i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Alors C1 et C~ engendrent le groupe imprimitif 2G19~, ayant pour syst~mes d'imprimiti- vit6 les ensembles (1,4}, (2, 5}, (3, 6}, (7, 10) et (8, 9}. Le groupe 1G~92o est simplement isomorphe ~ 1G19~ et on a ~G192o = (7 8) 1G19~o (7 8).

e~3) C2 est l 'un des 24 cycles C~UJC~ i, off U = ( 1 8 9 4 7 1 0 ) ou U = ( 1 1 0 8 4 9 7 ) , ] = ~ 1 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Alors C1 et C~engendrent le groupe imprimitif 3G~9~o, d'ordre 1920, dont les syst~mes d'imprimitivitd sont les ensembles {1,4}, {2, 5}, {3, 6}, {7, 8} et {9, 10}. Le groupe 3G19~ est simplement isomorphe s 1G19~ et on a aG1920 = (7 9) 2G19~o (7 9).

e~) Les deux cycles C1 et C~ sont primiti/s. Ils engendrent alors toujours le groupe ~10.

f) Soit, en/in, h = 1. Alors C~ = (blb2b3b4bsbe), off un des nombres bl, b~, b 3, b4, bs, be fair partie de ]a suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les cinq autres sont 7, 8, 9, 10, 11. I1 y a en tout 720 cycles C~ diff~rents. Chacun de ces cycles est primitif avec C~ et constitue, avec C 1, une base du groupe sym4trique ~11-

Remarque 1. Consid~rons les cycles du sixi~me ordre des groupes G120, 1G4~, ~G4~ , 1G336, G18 , G36 , 1G162, G~4 , G19 ~ et 1G~9~ et passons en revue ceux de ces cycles qui forment avec le cycle C1 = ( 1 2 3 4 5 6 ) une base de chacun de ces dix groupes.

Le groupe GI~ contient les cycles suivants du sixi~me ordre : C1 :~:l e t C~U~C1 ~, off i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 et U = ( 1 2 4 3 6 5 ) , ? ' = • ou bien U ~ ( 1 3 5 2 6 4 ) , ~ ---~ 1. Chacun des cycles C~UtC~ ~ constitue, avec C1, une base de G~0.

Les cycles d'ordre 6 du groupe 1G~2 ~ont C~ ~ et C~UiC~ ~, off i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ] = : t : l et U---- ( 1 3 2 6 7 4 ) . Chaeune des substitutions C~ UtC~ ~ constitue, avec C1, une base de ~Ga2.

Les cycles d'ordre 6 du groupe ~G~2 sont C~ 1 et C~UiC~ ~, oh i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , U ~ ( 1 2 4 7 6 3 ) , ~----- ~ 1 . Chacune des substitutions C~U~C~ ~ forme avec C1 une base de ~G4~.

Les cycles d'ordre 6 de ~G33 ~ sont: C~ 1 et ~.~r~i~-~ oh i - 1 ,2 , 3, ~1 ~ ~1 ' 4, 5, 6, U est l 'un des 4 cycles ( 1 2 4 8 6 3 ) , ( 1 2 5 6 8 7 ) , ( 1 2 6 3 7 5 ) ,

7 CommentarU Mathomatlcl Helvotic| 9 7

( 1 5 3 8 2 7 ) , j = - } - l , ou encore U = ( 1 2 7 5 4 8 ) , j = 1. Chacun des cycles C~UiC~ ~, off U = ( 1 2 5 6 8 7 ) ou U - - - - - ( 1 5 3 8 2 7 ) ,

= i l , ou U = ( 1 2 7 5 4 8 ) , ~ = 1, forme avec C 1 une base de

1(~33@ �9 Les cycles d'ordre 6 de (~18 sont : C~ 1 et C~UJC[ ~, off i - ~ 1 ,2 ,

U = ( 1 2 5 6 3 4 ) , j = q-1. Chacune des substitutions C~UtC~ ~ forme avec C 1 une base de (718.

Les cycles d 'ordre 6 du groupe Gae sont C~ 1 et C~UiC~ 4, off U = ( 1 2 5 6 3 4 ) , i = 1 , 2 , ] = q - l , ou bien U = ( 1 2 5 4 3 6 ) i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ~ = 1 . Chacune des substitutions C~U~C[ ~, U----- ( 1 2 5 4 3 6 ) , i = 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, forme avec C l u n e b a s e d e G a e .

Les cycles d 'ordre 6 de 1G162 sont : C~ 1 et C~UJC[ i, oh U ~ ( 1 2 5 6 3 4 ) , j = q - 1 , i = 1 , 2 , ou bien U ~ ( 1 7 3 8 5 9 ) , j - - - - - i l , i - - - - 1 , 2 , 3 , 4, 5, 6. Chacune des substitutions CiIUJC~ ~, off U ----- ( 1 7 3 8 5 9 ) ,

= i 1, i ----- 1 , 2 , 3, 4, 5, 6, forme avec C 1 une base de 1GleZ. Les cycles d 'ordre 6 du groupe Gu sont : C1 ~1 et C~UJC~ i , off

U ~ ( 1 2 6 4 5 3 ) , ~ = q- 1, i ~ 1 , 2 , 3. Chacune des substitutions C~ UJ C~ -i forme avec C 1 une base du groupe Gu.

Les cycles d'ordre 6 de {~192 s o n t : C1 :]:1 et C~UJC1 i , off ~---- - b l , U = ( 1 2 6 4 5 3 ) , i----- 1 , 2 , 3 , ou bien U est l 'un des deux cycles ( 1 2 7 4 5 8 ) , ( 1 3 7 4 6 8 ) et i----- 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Chacune des substitutions C~UC~ i, off U = ( 1 2 7 4 5 8 ) ou U----- ( 1 3 7 4 6 8 ) , formeavec C1 une base de G19~.

Les cycles d'ordre 6 de 1G]9~o sont C~ 1 et ~iTrt~-i off U = (132465) ----- q - l , i = 1 , 2 , 3, ou bien U est Fun des six cycles ( 1 2 8 4 5 1 0 ) ,

(151042s), (127459), (159427), (1784910), 071049s ) , = • 1, i = 1 ,2 , 3, 4, 5, 6. Chacune des substitutions -l~irri~-i~ - -1 , off

U----- ( 1 7 8 4 9 1 0 ) ou U : ( 1 7 1 0 4 9 8 ) , forme avee C1 une base de

1(~ I920 �9

w 3. La proposition fondamentale I et sa dbmonstration

Dd~inition. Soit G u n groupe transitif de substitutions et soit C un cycle d 'ordre > 1. Soit E l'ensemble des dl~ments permutds par les substitutions de G et soit E r l 'ensemble des ~l~ments permutes par C. Nous dirons que le cycle C et le groupe G sont connexes si les ensembles E et E ~ ont au moins un ~l~ment communs. Supposons que G e t C sont connexes. Alors nous dirons que Get C sont imprimiti/s si l 'on peut d~composer l'ensemble E + E v en une somme de k > 2 ensembles E1, E 2 . . . . . E~, tels que EiE j = O , 1 ~ i ~ k , 1 ~ ] ~ k ,

i r , . E I = . E ~ . . . . . 1 ~ ' ~ 2 , E q - E ' = E l q - E , q - . . . q - E ~ et

98

que, quels que soient les indices i e t ] eompris, au sells large, entre 1 et k et quelle que soit la substitution S de l'ensemble G ~ C, si S transforme au moins un ~l~ment de E~ en un ~16ment de Er S transforme tout l'ensemble E~ en Ej, et nous dirons que (7 et C sont primiti /s dans le cas contraire.

Notations. Soit G u n groupe et soit S une substitution qui ne fair pas partie de G. Nous d~signerons par le symbole (G, S) le groupe engendr~ par S e t les substitutions du groupe G. D'autre part, $1, $2, . . . . Sk' ~tant des substitutions en nombre fini k queleonque, nous d6- signons par le symbole ($1, S~ . . . . , Sk) le groupe engendr6 par les substitutions S, . . . . . S~.

Proposition I. S i un groupe transiti/ et primit i / de substitutions des dldments 1 , 2 . . . . , n contient deux cycles connexes et imprimit i /s indd- pendants du sixi~me ordre, alors ce groupe est le sym~trique ~,~ des substitutions des gldments 1 , 2 . . . . . n .

La d6monstration de la proposition I repose sur les lemmes suivants.

Lemme 1. Quel que soit le cycle C = (c 1 c~ c a c4 c5 c6), connexc et primit i / avec le groupe G18, le groupe (Gls, S) est le symdtrique ~ des substitutions des dldments de l'ensemble (1 ,2 , 3, 4, 5, 6} ~- (cl, c2, ca, c4, c5, c,}.

Ddmonstration. Le groupo Gls est engendr6 par les deux substitutions S = ( 1 2 3 4 5 6 ) , T = ( 1 2 5 6 3 4 ) et on a ( G ~ s , C ) = ( S , T , C ) . I1 suffit donc de montrer clue (S, T, C) = ~ .

Le groupe G~8 est imprimitif et a pour syst~mes d'imprimitivit6 les deux ensembles {1,3 , 5} et {2, 4, 6). Comme C est primitif avee G~s, on a C~ G~8. Six cas sont h distinguer.

1) clCsCaC4CsC , est une permutation des nombres 1, 2 , 3, 4, 5, 6. Comme C est primitif avec Gls , {cl, ca, ca) ~ {1,3 , 5) et {el, %, c5) =/= {2,4,6}.

Ce cas se subdivise ell les trois suivants. Ou bien les deux substitutions S e t C sont primitives et C c ~e -- G ~ .

Alors les deux substitutions S e t C engendrent le groupe ~e et on a aussi (S, T, C) = ~e.

Ou bien S e t C sont primitives et C e GI~. Comme, dans ee eas, T r S • d'apr~s la remarque 1, S e t C en-

gendrent alors le groupe GI~. Ce groupe contient la substitution U -~ (1 2 4 3 6 5) et eette substitution engendre avec T l e groupe ~6.

99

En effet, on a T U -~ (152 ) et cette derni~re substitution forme avec T une base de ~e, d'apr~s la proposition 5, pages 20, Bases, 14).

Ou bien C et S sont imprimitives. Alors C ~ G~ et engendre avee S le groupe G~,, d'apr~s la remarque 1. Or G~ contient la substitution V~- ( 1 3 2 4 6 5 ) et on a T ~V-~ (36) . Or, d 'apr~s la proposition 4, page 13, Bases, I , la substitution (36) forme avee T une base de ~e.

Donc, dans tous les cas, (S, T, C) ----- ~e-

2) C permute cinq des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et le nombre 7. Dans ce cas C et S sont toujours primitives et engendrent soit le groupe ~ (auquel cas le lemme est d~montr~), soit l 'un des deux groupes 1G4~,

2(~45 �9 Soit (S, C) -~ 1(742. Ce groupe contient la substitution U -~ (134257),

on a (T 3 U~) 3 ~ (2 7) et, d'apr~s le eorollaire 2, page 13, Bases, I , la substitution (2 7) engendre avec T le groupe ~v. I)onc (S, T , C ) -~ ~ .

Et, si (S,C)--~ ~G4~, ce dernier groupe eontient la substitution V ~ ( 1 4 2 3 5 7 ) et on a (TSV~) 3~-- (3 7). Or (3 7) et T engendrent ~v, d'apr~s le corollaire 2, page 13, Bases I . On a donc (S, T , C ) ~-- ~ .

3) C permute quatre nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les deux nombres 7 et 8. Montrons qu'alors (S, T,C) ~ ~8. En effet, si C et S sont primitives, elles engendrent soit le groupe ~8 (auquel cas notre assertion est d~montr~e) soit Fun des deux groupes 1Gaa~, ~Gaaa.

Si (S ,C) ~--~Gaaa, ee dernier groupe eontient la substitution U ~ ( 1 4 3 7 8 2 ) , on a (T~UT) ~ ~ et cette substitution engendre avee T l e groupe ~s, d'apr~s le corollaire 2, page 13, Bases I . Et si (S, C) ~ ~Gaa~ ee groupe eontient la substitution V-~ (143872) et on a ( T ~ V T ) ~ ~- (678) , substitution qui engendre avee T l e groupe ~a.

Supposons maintenant que S et C sont imprimitives. Elles ont alors n~cessairement pour syst~mes d'imprimitivit~ les ensembles (1, 4), (2, 5), (3, 6) et (7, 8), puisque le groupe (S, T, C) est primitif. Alors (C, S) ----- (7~ , groupe qui contient la substitution U ~ (127458). On a ( T U ) ~ ----- (3 6 4), cette substitution engendre avec T l e groupe ~ et (~ , , C) ~ ~a, d'apr~s le lemme I I de Hoyer~).

4) Voir 8. Piccard, S u r les b a s e s du g r o u p e s y m 6 t r i q u e e t les c o u p l e s de s u b - s t i t u t i o n s q u i e n g e n d r e n t u n g r o u p e r ~ g u l i e r , Paris, Vuibert, 1946, ouvrage que nous citon~ sous l'abr6viation Bases, I .

6) Lemme I I de Hoyer : Soit (7 un groupe de substitutions qui permutent les ~14ments d 'un ensemble E l . Supposons que (7 contient l'altern~ des substitutions des ~16ments de l 'ensemble E 1. Soit G u n cycle d 'ordre ~> 1 qui permute les ~l~ments d 'un ensemble Ez, tel que E 1 E z 7~ 0, mais que E l C_~ E 2. Alors le groupe ((7, C) contient l'altern~ des substitutions des ~l~ments de l 'ensemble E 1 -~ E a. (Voir P. ttoyer, VeraUgemeinerung zweier S~tze aus der Theorie der Substitutionengruppen, Math. Ann., Bd. 46, 1895.)

100

Donc en tous cas (S, T, C) : 6s.

4) C permute trois nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les trois nombres 7, 8, 9. Alors, comme le groupe (S, T, C) est primitif, puisque C est primitif avec Gls, S e t C sont forc~ment primitives et engendrent le groupe 69. Done (S, T, C) -~ 69.

5) C permute deux des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les quatre hombres 7, 8, 9, 10. Alors, si S e t C sont primitives, elles engendrent, d'apr~s ce qui precede, le groupe 61o et (S, T, C) ~-- 610. Et, si S e t C sont imprimitives, elles ont alors n~cessairement pour syst~mes d'imprimitivitd les ensembles {1,4) , (2, 5), (3, 6} ainsi que (7, 9) et (8, 10) ou {7,10} et (8,9} ou enfin (7,8} et (9 ,10) et a l o r s S e t C e n - gendrent respectivement le groupe 1G1920 ou ~G19~0 ou enfin aG192o. Si (S, C) ~ 1G192o, ce groupe eontient la substitution U ~- (1 7 8 4 9 10), (T U) 7 == (1 7 8). La substitution (1 7 8) engendre, avee S, le groupe 6s, d'apr~s le corollaire 2, page 13, Bases I, et C engendre avec 6s le groupe 61o, d'apr~s le lemme II de HoyerS). Done (S, T, C) -~ 61o. Si (S,C) : ~G19~, ce groupe contient la substitution V : (1874910), (TV) 7 -~ (1 8 7), la substitution (1 8 7) engendre avec S l e groupe 6s et C engendre avec 68 le groupe 61o. Done (S, T, C) ~- 61o.

Et, si (S, C ) ~ aG19~, ce groupe contient la substitution

W = ( 1 8 9 4 7 1 0 ) , o n a (TW) 7 = ( 1 8 9 ) , lessubstitutions (189)

et S engendrent le groupe symdtrique 6 des substitutions des ~l~ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 et C engendre avee 6 le groupe 61o. Done (S, T, C) = 610.

6) C permute un seul des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les cinq nombres 7, 8, 9, 10, 11. Alors S et C engendrent toujours le groupe 611, d'aprbs le corollaire 2, page 13, Bases I , done aussi (S, T, C) ~ 611.

Le lemme 1 est done d~montr4.

Corollaire 1. Quel que soit le cycle C du sixi~me ordre, connexe et primiti/ avec le groupe Gae, le groupe (G3e, C) est le symdtrique 6 des substitutions de tousles dldments permutds par C et les substitutions de Ga6.

Ddmonstration. Comme (718 est un sous-groupe de Ga6, on a t) (Gls, C) c (Gae, C). Et comme les substitutions des deux groupes (G1s, C) et (G3e, C) permutent les m~mes ~l~ments, on a, d'apr~s le lemme 1, ((718, C) ~ 6 . E t comme (G3e, C) c 6 , on a, d'apr~s ~f), (Gae, C) = 6 , c. q. f. d.

101

Lemme 2. Quel que soit le cycle du sixi$me ordre C ~ (e 1 c~ c a c 4 cs c,), connexe et pr imi t i / avec le groupe Gu, le groupe (Gu, C) est le symdtrique

des substitutions des dldments de l'ensemble (1, 2, 3, 4, 5, 6} ~- (cl, c~, c3, c4, c~, ce}.

Ddnmnstration. On a Gu : (S , T ) , off S : ( 1 2 3 4 5 6 ) et T = ( 1 3 2 4 6 5 ) , doric (Gu, C ) - ~ ( S , T , C ) et il suffit de d~montrer que (S, T, C) ~ ~ . Le groupe (~2~ est imprimitif et admet pour syst~mes d'imprimitivit~ les ensembles (1,4}, (2 ,5 ) , (3, 6}.

Six eas sont k distinguer.

1) {ci, c~, e3, c,, c5, ca} - - {1, 2, 3, 4, 5, 6} .

Alors, si les deux substitutions S e t C sont primitives, elles engendrent soit le groupe ~e, et alors le lemme 2 est d4montr~ dans le cas considerS, soit le groupe GI~. Supposons que (S, C) = GI~. Ce groupe contient la substitution U ~ (12 43 65), (T4U) 3 ~- (23) et la substitution (23) engendre avec S le groupe ~e d'apr~s la proposition 1, page 11, Bases I : Donc (S, T, C) : ~6.

Supposons maintenant que S et C sont imprimitives. Comme le groupe (G u, C) est primitif, les substitutions S et C ont alors n~cessairement pour syst~mes d'imprimitivit~ les ensembles {1,3, 5} et {2, 4, 6). Alors S e t C engendrent l 'un des deux groupes Gls ou G3e, groupes qui tous deux contiennent la substitution U -~ ( 1 2 5 6 3 4). Or TaU : (1 5 3) et cette substitution engendre avec T le groupe ~e, d'apr~s la proposition 5, page 20, Bases I . Donc (S, T, C) ~ ~e.

2) C permute cinq des hombres 1 ,2 , 3, 4, 5, 6 et le nombre 7. Alors C et S sont toujours primitives et engendrent soit le groupe ~7, auquel cas le lemme est d~montrd, soit l 'un des deux groupes ~Ga~ ou ~Ga,. Si (S, C) ~ 1G42, ce groupe contient la substitution U ~ (13 42 57), (T~U) 4 ~ (146) , la substitution (146) engendre avec S l e groupe ~e, d'apr~s la proposition 5, page 20, Bases I , et C engendre avee ~e, le groupe ~ , d'apr~s le lemme I I de Hoyer. Doric (S, T, C) : ~7. Et si (S, C) ---- ,Gas, ce groupe contient la substitution V ---- (12 4 7 6 3) et on a (T~V) 4 -~ (253) . Or la substitution (2 53) engendre avee S le groupe ~6 et C engendre avec ~e le groupe ~ . Donc (S, T, C) ---- ~ .

3) C permute quatre des nombres 1 ,2 , 3, 4, 5, 6 et les deux nombres 7 et 8. S e t C sont alors forc4ment primitives, ear le groupe (S, T, C) est primitif et que S e t T sont imprimitives et ont pour syst~mes d'imprimitivit~ (1 ,4 ) , (2, 5) et (3, 6). Si donc S et C ~taient imprimitives, elles devraient avoir pour syst~mes d'imprimitivit~ des ensembles com-

102

prenant chacun trois ~l~ments, ce qui est impossible puisque S e t C permutent au total 8 ~l~ments et que 8 ~ 0 (mod 3). Donc S et C engendrent soit le groupe ~8, auquel cas le lemme est d~montr~, soit Fun des deux groupes 1G33 e, ~G33e. Si (S, C) ~ 1G33e, ce groupe contient la substitution U = (1 4 3 7 8 2) et on a ( T U ) 5 = (1 5 6). Or (1 5 6) engendre avec S le groupe ~e, d'apr~s la proposition 5, page 20, Bases I, et C engendre avec ~6 le groupe ~s d'aprbs le lemme II de Hoyer. Done (S, T, C)-----~s. Le raisonnement est tout ~ fait analogue si (S, C) ----- 2G33e, groupe qui contient la substitution (1 4 3 8 7 2).

4) C permute trois des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ainsi que les trois nombres 7, 8, 9. Alors si S e t C sont primitives, elles engendrent, d'apr~s ee qui precede, le groupe ~9 et on a aussi (S, T, C) = ~9-

E t si C et S sont imprimitives, elles ont ndcessairement pour systbmes d'imprimitivit4 les ensembles {1,3, 5}, {2, 4, 6} et {7, 8, 9} et engendrent l'un des deux groupes 1Gla2 ou ~Gla ~. Si (S, C) ~-- 1Glad, ce groupe contient la substitution U ----- (1 7 3 8 5 9), (T2U) 7 = (3 8), la substitution (3 8) engendre avec S, d'aprbs le corollaire 2, page 13, Bases I , le groupe symdtrique des substitutions des ~16ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 et ee dernier groupe engendre avee C le groupe ~9, d'apr~s le lemme II de Hoyer. Done (S, T, C) = ~9. Le raisonnement est tout

fait analogue si (S , C ) - ~ ~Gla ~.

5) C permute deux des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les quatre nombres 7, 8, 9, 10. Alors, comme le groupe (S, T, C) est primitif, S e t C sont ndcessairement primitives. En effet, si S e t C dtaient imprimitives, leurs systbmes d'imprimitivit6 devraient comprendre chacun trois dl6ments, ce qui est impossible, puisque S e t T permutent, ensemble, 10 61~ments et que 10~)~0 (mod3). Donc (S,C)----- ~x0~- ( S , T , C ) .

6) C permute un seul des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les cinq nombres 7, 8, 9, 10, 11. Alors (S, C) = ~ , d'aprbs le eorollaire 2, page 13, Bases I . Done aussi (S, T, C) = ~ n et le lemme 2 est d6montr6.

L e m m e 3. Quel que soit le cycle du s ix i$me ordre C = (c 1 c~ c a c 4 e 5 ca),

connexe et p r imi t i / avec le groupe G192, en composant C a v e c les substi tut ions

de G~9 ~ on obtient le groupe symdtrique ~ des substi tutions des dldments de

l 'ensemble {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ~- {Cl, c~, c a, c~, c~, ca}.

Ddmonstration. On a G~9 ~--- ( S , T ) , off S ~ - (1 2 3 4 5 6 ) , T = (1 2 7 4 5 8) et, comme (S, T, C) = (G~9 ~, C), il suffira de montrer que (S, T, C) = ~ . Le groupe G ~ est imprimitif e t a pour systbmes d'imprimitivit6 les ensembles {1, 4}, {2, 5}, (3, 6}, {7, 8}.

103

Comme la substitution C est connexe et primitive avee le groupe G19~, le groupe (S, T, C) est transitif et primitif. E t eomme il est de degr~ ~ 8 , et qu'il eontient des substitutions de classe impaire, pour d~- montrer que (S, T, C) ~- 6 , il suffit de montrer que le groupe (S, T, C) eontient un cycle quelconque du second ou du troisi~me ordre ou encore de montrer que deux quelconques des substitutions S, T, C engendrent le groupe sym&rique des substitutions des dl~ments qu'elles permutent, d'ou il r~sulte aussitSt, d'apr~s le lemme II de Hoyer, que (S, T, C) =---6.

Sept cas sont s distinguer.

l) C permute les six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Si S et C sont primitives, deux cas sont s distinguer. Ou bien (S, C) 6e et alors T et 6e engendrent le groupe 6s, d'apr~s le lemme II de

Hoyer, et alors (S, T, C) ---- 6s. Ou bien (S, C) : Gl~0, groupe qui contient la substitution U ~ ( 1 2 4 3 6 5 ) , (TsU) 2 ~- (346) et cette substitution engendre avec T l e groupe 6s, d'apr~s le corollaire 2, p. 13, Bases I . I1 s'ensuit que (S, T, C) : 6s.

Supposons maintenant que S e t C sont imprimitives. Alors comme C est primitive avec G19~, S e t C ont forc~ment pour syst~mes d'imprimitivit~ les ensembles {1,3, 5} et {2, 4, 6} et, par cons4quent, (S, C) contient en tout cas le groupe GlS. ((S, C) est alors l 'un des deux groupes Gls ou G3e. )Donc le groupe (S, C) contient la substitution U -~ ( 1 2 5 6 3 4 ) . Or (TU) TM -~ (356) et cette derni~re substitution engendre avec T l e groupe 68, d'apr~s le corollaire 2, page 13, BasesI. Donc (S, T, C) : 6s.

2) C permute cinq des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et un nombre c de l'ensemble (7, 8, 9}. Les substitutions S e t C sont alors primitives et les cas suivants sont alors possibles.

Ou bien S e t C engendrent le groupe sym&rique des substitutions des ~l~ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, d'oh il rdsulte que (S, T, C) : 6 .

Ou bien S e t C engendrent un groupe simplement isomorphe s ~G4~, groupe qui contient soit la substitution U ----- ( 1 3 2 6 c 4) soit la substitution V : ( 1 2 4 c 6 3 ) . Si c----- 7, on a (TU) 5 : (246) et (T2V) a : ( 2 8 ) . Si c = 8 , o n a (T2U) s = ( 2 6 ) , (TV) 5 : ( 1 4 7 ) . E t s i c : 9 , on a (TsU)4-~ (485) et (T2V) 7 : (28). Donc dans tous les cas ( s , T, C) = 6 .

3) C permute quatre des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les deux nombres c , d (c<d) qu i forment l 'undescouples (7, 8}, (7, 9}, (8, 9}, (9, 10}. Dans ee cas encore S et C sont forc~ment primitives, car elles permutent

104

ensemble huit ~l~ments et que, comme le groupe (S, T, C) est primitif, si S e t C ~taient imprimitives, leurs syst~mes d'imprimitivit6 devraient comprendre trois dl~ments chacun, ce qui est impossible puisque 8 ~?~ 0 (mod 3). Deux cas peuvent se presenter. Ou bien S e t C engendrent le groupe sym~trique des substitutions des dldments l, 2, 3, 4, 5, 6, c, d et, par suite, (S, T, C) ---- 6 . Ou bien le groupe (S, C) est simplement isomorphe ~ 1Gaa e et comprend l'une des deux substitutions U = (143cd2), V = ( 1 4 3 d c 2 ) . Alors, si c = 7 et d------ 8, on a (T2U) a-- (27) et (T2V) ~ =- (1 8 5). S i c ----- 7 et d ~-- 9, on a (TU) 4 ~- (1 5 8), (T~V~) 4 = (135) . Si c = 8 et d ----- 9, on a ( T s U ) 5 -~ ( 3 4 5 ) et ( T 4 V ) s

----- (349). Si c = 9 et d = - 1 0 , o n a ( T U ) ~~ (158), (TV) ~o= (158). Done dans tous les cas (S, T, C) ---- 6 .

4) C permute trois des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ainsi que trois nombres c, d, e ( c<d<e) qui forment l 'un des cinq ensembles {7, 8, 9), {7, 8, 10}, {7, 9, 10}, (8, 9, 10) ou (9, 10, 11). Si les substitutions S e t C sont primitives, elles engendrent le groupe sym~trique des substitutions desdl6ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c , d , e e t ( S , T , C ) = 6 . Sup- posons maintenant que S et C sont imprimitives. Comme le groupe (S, T, C) est primitif, S e t C ont alors ndcessairement pour syst~mes d'imprimitivitd les trois ensembles {1, 3, 5}, {2, 4, 6), (c, d, e} et l 'un des deux ensembles {1,3, 5), {2, 4, 6} comprend les trois ~ld- merits de la suite l , 2, 3, 4, 5, 6 qui sont permutds par C.

Les substitutions S e t C engendrent alors un groupe simplement isomorphe s 1Gle2, groupe qui contient l'une des deux substitutions U = ( l c 3 d S e ) ou V = ( l c 3 e S d ) . Si c = - 7 , d = 8 et e - - 9 , o n a (T3U2)5= (89) et (TV) 1~ (145) . Si c = 7, d ~ - 8 et e = 10, o n a (T4U) 5-- (510), (TV) ~ ~ Si c - ~ 7 , d = 9 e t e - = 10, o n a (T4U) 3 = (510), (T4V) 3 = (59). Si c----- 8, d = 9 et e----- 10, on a (TU) 5 = ( 3 8 9 ) , (TV) 5 - - ( 3 8 1 0 ) . Enfin, si c-----9, d----- 10 et e ----- 11, les cycles C et T ont alors en commun soit les deux hombres 1, 5, soit les deux hombres 2, 4 et ils sont primitifs. En effet, comme le groupe (S, T, C) est primitif, si les deux substitutions T et C ~taient imprimitives, leurs syst~mes d'imprimitivitd devraient contenir trois dl~ments chacun, ce qui est impossible puisque l'un de ces syst~mes doit ~tre compos~ des ~l~ments communs aux deux cycles T et C. Donc les deux substitutions T et C engendrent le groupe sym4trique des substitutions des ~l~ments 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 et, par consequent, (s , T, C) = ~ .

5) C permute deux des hombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et quatre nombres

105

c, d, e, f supdrieurs s 6. S e t C sont alors ndcessairement primitives et engendrent le groupe symdtrique des substitutions des dldments qu'elles permutent. Done (S, T, C) = 6 .

6) C permute un seul des nombres, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ainsi que cinq nombres c, d, e, ], g supdrieurs ~ 6. Alors S e t C engendrent le symdtrique des substitutions des dldments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, d, e, ], g et on a ( S , T , C ) = 6 .

7) C ne permute aueun des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Comme C est connexe avec le groupe 1Gxgz, C permute alors l 'un au moins des deux nombres 7, 8.

Supposons d'abord clue C permute les deux nombres 7 et 8, ainsi que les nombres 9, 10, 11, 12. Les substitutions T et C sont forc~ment primitives. En effet, comme le groupe (S, T, C) est primitif, si T et C ~taient imprimitives, les ensembles (1, 7, 5} et {3, 4, 8} devraient alors constituer deux syst~mes d'imprimitivit~ de C et T, ce qui est impossible, d'apr~s les hypotheses faites sur C. Done T et C sont bien primitives et engendrent le groupe sym~trique des substitutions des ~l~ments 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12. I l s ' ensu i tque ( S , T , C ) = 6 .

Supposons enfin que C permute l 'un des deux nombres 7, 8 ainsi que les cinq nombres 9, 10, 11, 12, 13. Alors T et C engendrent le sym~- trique des substitutions des ~ldments l , 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et (S, T, C) ----- 6 .

Le lemme 3 est done d~montrd.

Lemme 4. Quel que soit le cycle du sixi~me ordre C : (cxczc3c4csce) connexe et primiti] avec le groupe 1Gle2, en composant C avec les substitutions du groupe 1G~e~ on obtient le groupe symdtrique ~ des substitutions des dldments de l'ensemble (1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ~- (cl,c~,c3,c4,c5,ce}.

Dgmonstration. Le groupe 1Gle2 est imprimitif et admet pour syst~mes d'imprimitivit~ les trois ensembles {1,3, 5}, {2, 4, 6}, (7, 8, 9}. On a 1G162 : (S , T) , o~l k~ ----- (1 2 3 4 5 6) et T = (1 7 3 8 5 9). Done (1Gle2, C) = (S, T, C) et pour ddmontrer le lemme 4, il suffit de prouver que (S, T, C) = 6 . Comme C est connexe et primitif avee 1G16~, le groupe (S, T, C) est transitif et primitif. Done pour ddmontrer que (S, T, C) = 6 , il suffit de prouver que le groupe (S, T , C) eontient un cycle queleonque du second ou du troisi~me ordre ou encore de prouver que deux quelconques des substitutions S, T, C engendrent le groupo symdtrique des substitutions des 61dments qu'elles permutent.

106

Sept cas sont k distinguer.

1) C permute les six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Si S et C sont primitives, ou bien elles engendrent le groupe 6 , et alors (S, T, C) ---- 69, ou bien (S, C) = G1,0, groupe qui contient la substitution U = ( 1 2 4 3 6 5 ) et on a (T4U) 3 ---- (36), donc (S, T, C) ---- 69. Et si S e t C sont imprimi- tires, elles ont alors n6cessairement pour systbmes d'imprimitivitd les ensembles {1,4}, {2, 5} et {3, 6} et (S, C)---- G u, groupe qui contient la substitution U----- ( 1 3 2 4 6 5 ) et on a (TU2) ~ (58). Donc (S, T, C) = 69.

2) C permute cinq des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et un nombre c de l'ensemble {7, 8, 9, 10}. S et C sont alors toujours primitives et engendrent soit le groupe sym~trique des substitutions des 4ldments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, ce qui implique que (S, T, C) = 6 , soit un groupe simplement isomorphe au groupe 1G,~, qui contient l 'une des deux substitutions U - - - - ( 1 3 2 6 c 4 ) , V = ( 1 2 4 c 6 3 ) . Si c = 7 , on a (TU) 4 --~ (263), (T4/) 7 --~ (35). Si c ---- 8, on a (T2U) 7 ~--- ( 1 5 ) et ( T a / ) 4

: (124). Si c : 9, on a (T~U) 7--- (15) et (TV) 4 = (124). Et, si c ----- 10, on a (T~U) TM = (15) et (T4V) 15 = (35). Donc, dans tous les cas, ( S , T , C ) = 6 .

3) C permute quatre des hombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ainsi que les deux nombres c et d (c<d) qui forment l 'un des couples {7, 8}, {7, 9}, {8, 9}, {7, 10}, {8, 10}, {9, 10} ou {10, 11}. Alors si C et S sont primitives, ou bien elles engendrent le groupe symdtrique des substitutions desdldments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, d e t (S, T, C) ----- 6 ; ou bienle groupe (S, C) est simplement isomorphe ~ 1G33e et contient l 'une des substitutions U----- (143cd2) , V = ( 1 4 3 d c 2 ) . Alors, si c - ~ 7 et d = 8 , on a (T~U) 3---(79), (T~V) 4 ~ ( 1 4 5 ) ; si c = 7 et d-----9, on a (T2U) 4- - (145), (T2V) a - (89); si c-----8 et d = 9 , on a (TU)X~ (T~V)4-----(145); si c = 7 , d - - 1 0 , on a (TU) x~ = (2710), (T4V) 7 -~ (14); s i c = 8 et d ----- 10, o n a (T3U) 4 = (2810), (T4V) 7 = (14); si c--~ 9 et d = 10, on a (T4U) 7--- (14), (T4V) 7 -~ (14); enfinsi c = 10 et d - - l l , o n a (T4U) 1 ~ et (T4V) t~

(798). Et si les substitutions S e t C sont imprimitives, comme le groupe (S, T, C) est primitif, elles ont alors ndcessairement pour sys- throes d'imprimitivitd les ensembles {1,4}, {2, 5}, {3, 6} et {c,d} et elles engendrent un groupe simplement isomorphe ~ G19z, groupe qui contient la substitution U = ( 1 2 c 4 5 d ) . Alors si c----7 et d----- 8, on a (T3U) 4 - - ( 1 2 5 ) ; si c = 7 et d----9, on a ( T U ) 5 = ( 4 7 9 ) ; si c = 8 et d----9, on a (TU) ~ ~ si c = 7 et d = 10, on a

107

(T4U)~= (510); si c = 8 et d = 10, o n a (T4U) 7 = (5 10); si c - - 9 et d = 10, on a (T~U) ~ = (510): enfin, si c - - 10 et d = 11, on a (T4U) 1~ = (7 9 8). Done, dans tous ees cas (S, T, C) -- ~ .

4) C permute trois des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et trois nombres c, d, e sup4rieurs s 6. Alors, comme le groupe (S, T, C) est primitif, les substitutions S e t C sent n4cessairement primitives et engendrent le t roupe sym4trique des substitutions des 414ments 1 ,2 , 3, 4, 5, 6, c, d, e. Donc ( S , T , C ) = ~ .

5) C permute deux des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et quatre nombres c, d, e, [ supdrieurs s 6. Alors, si S et C sent primitives, elles engendrent ]e groupe sym4trique des substitutions des 414ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, d, e, [ e t (S, T, C ) = ~ . E t si S e t C sent imprimitives, leurs sys- t6mes d'imprimitivit4 sent alors n4cessairement les ensembles (1 ,4} , {2,5}, {3,6} et {c,d}, {e,[} ou {c,e}, {d[} ou encore {c,[}, {e, d}. Dans ce cas, S e t C engendrent un t roupe simplement isomorphe

1G19~0 , groupe qui contient une des trois substitutions U -~ (lcd4e]), V - - - ( l d c 4 e [ ) , W = ( l d e 4 c ] ) . Alors si c = 7, d = 8, e ~ 9 et [ = 10, on a (TsU) ' = (458) , (T2V) 5 = (47), (T4W) 5 = (4 9). D'autre part, si deux des nombres c, d, e, [ e t deux seulement font partie de l'ensemble {7, 8, 9}, les cycles C et T ont alors trois 414ments communs (savoir un des nombres 1, 3, 5 et deux des nombres 7, 8, 9), ils sent n4cessairement primitifs, puisque le groupe (S, T, C) est primitif, et ils engendrent le groupe sym4trique des substitutions des 414ments qu'ils permutent. Donc (S, T, C) -- ~ . Supposons maintenant qu'un seul des nombres c, d, e, [ , notamment c, fair partie de l'ensemble {7, 8, 9}. Alors chacune des substitutions U, V, W a avec T deux 416ments communs, notamment 1 et c, elle est donc primitive avec T et engendre avec T le sym4trique des substitutions des 414ments permut4s. Donc (S, T, C)-- ~ .

6) C permute un seul hombre de la suite 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 et cinq hombres c, d, e, [, g sup4rieurs ~ 6. Alors S e t C engendrent le groupe sym6trique des substitutions des 414ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, d, e, [, g et (S ,T ,C) ----- ~ .

7) C ne permute aucun des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Comme C est connexe avec le groupe 1Gle~, C permute alors l'un at, moins des nombres 7, 8, 9.

Si C permute les six nombres 7, 8, 9, 10, 11, 12, comme le groupe (S, T, C) est primitif, T et C sent alors forc4ment primitives. En effet T et C permutent ensemble neuf 414ments et si C et T 4talent imprimi- rives, leurs syst6mes d'imprimitivit4 devraient comprendre deux 414-

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ments chacun, ee qui est impossible puisque 9 ~)~ 0 (rood 2). Donc T et C sont bien primitives et engendrent, par consequent, le groupe sym4- trique des substitutions des ~l~ments 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Done (S, T , C) ---- 6 .

Supposons maintenant que C permute deux des nombres 7, 8, 9 et les quatre nombres 10, 11, 12, 13. Dans ce cas aussi, comme le groupe (S, T, C) est primitif, les deux substitutions T et C sont n4cessairement primitives, ear si T et C 4taient imprimitives, elles devraient avoir pour syst~mes d'imprimitivit4 les ensembles (1,8}, (5, 7}, (3, 9}, ce qui est impossible d'apr&s les hypotheses faites sur C. Donc T et C engendrent le groupe sym4trique des substitutions des 414ments 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et, par suite, (S, T, C) ---- ~la.

Supposons enfin que C permute un seul des nombres 7, 8, 9 et les cinq hombres 10, 11, 12, 13, 14. Alors T et C engendrent le groupe sym4trique des substitutions des 414ments 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 et (S, T, C) ----- ~14.

Le lemme 4 est done d~montr~.

Corollaire 2. Quel que soit le cycle du sixi~me ordre C connexe et primiti[ avec le groupe ~Gle ~, en composant Cavec les substitutions de ~G16 2, on obtient le groupe sym~trique des substitutions de tou8 les dldments permutds par C et Ies substitutions de s G l e ~ .

Ddmonstration. Soit C un cycle du sixi~me ordre connexe et primitif avec 2Gle2 et soit R ~- (7 8). On a R2Gle~R -1 ---- 1Gle2. Posons R C R -1 ----- C' . Comme C et 2G16~ sont connexes et primitifs, il en est de m~me de C' et de 1G,e2. Or, d'apr~s le lemme 4, C' et ~Gle ~ engendrent le groupe sym4trique des substitutions des 414ments permut4s par C' et les substitutions de 1Gie2. Soit G-~ (~G16,, C) et soit G'-----(1Gle,, C') . On a R G R -~ ----- G'. Done G e t G' sont simplement isomorphes et, comme ces deux groupes sont du m~me degr4, il s'ensuit que G aussi est le sym4- trique des substitutions des 414ments permutds par C et les substitutions de ,G~e~. Le corollaire 2 est donc d4montr4.

Lemme 5. Quel que soit le cycle du sixi$me ordre C ~- (clc~c3c4c5ce) connexe et primit i / avec le groupe ~GI9~, en composant C avec les substitutions du groupe ~G,9 ~, on obtient le groupe sym~trique ~ des substitutions des 414ments de l'ensemble (1 ,2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} + (c,, c~, c 3, c4, C 5 ~ C6 } �9

Ddmonstration. Le groupe 1(~1920 est imprimitif e t a pour syst~mes d'imprimitivit~ les ensembles (1,4}, (2, 5}, (3, 6}, (7, 9} et (8, 10}.

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On a 1G19~ = (S, T), ou S -~ (1 2 3 4 5 6) et T ----- (1 7 8 4 9 10), done (1Gxgz0, C)-~ (S, T, C) et, par suite, pour ddmontrer le lemme 5, il suffit de montrer que (S, T, C) ~- 6 .

Comme C est connexe avec 1G19~o, C a au moins un fil~ment commun avee l'un au moins des cycles S, T. Supposons d'abord que C a des dlfiments communs seulement avec S. Ces dldments communs font alors partie de l'ensemble {2, 3, 5, 6}. S e t C sont alors primitives. En effet, si elles ~taient imprimitives, comme le groupe (S, T, C) est primitif, alors que le groupe (S, T) est imprimitif e t a pour systbmes d'imprimi- tivit6 {1,4}, (2, 5}, {3, 6}, {7, 9} et {8, 10}, S e t C devraient avoir pour syst6mes d'imprimitivitd les deux ensembles {1,3, 5} et (2, 4, 6}. Or 1 et 4 ne sont pas permutds par C, alors que l'un au moins des nombres 2, 3, 5, 6 fair partie du cycle C. Done S e t C sont forc6ment primitives et les deux cycles du sixibme ordre S e t C ont au plus quatre 61dments eommuns ; si S e t C ont 1, 2 ou 3 dldments communs, ils engendrent le groupo sym6trique des substitutions des dldments qu'ils permutent et (S, T, C) = 6 . Supposons maintenant que S e t C ont quatre dldments communs et que les 616ments permut6s par C sont 2, 3, 5, 6, 11, 12. Deux eas sont possibles. 0 u bien S e t C engendrent le groupe symdtrique des substitutions des dldments 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, d'oh il rdsulte que (S, T, C) ----- 6 . Ou bien S e t C engendrent un groupe simplement isomorphe ~ ~Ga3e et qui contient l 'une des deux substitutions U = (t 5 3 12 2 11) ou V ----- (1 5 3 11 2 12). Or, chaeun des cycles U, V a un seul dldment avec le cycle T et, par suite U et T aussi bien que V et T engendrent le groupe symdtrique des substitutions des dldments 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12. I1 s'ensuit que (S, T, C) = 6 .

Le raisonnement est tout ~ fait analogue si le cycle C a des dl4ments eommuns seulement avee T, mais pas avee S.

Supposons maintenant que C a des dldments eommuns aussi bien avec S qu'avee T. C a alors au maximum quatre 61~ments communs avec Fun au moins des cycles S o u T. Supposons, pour fixer les iddes, que C a au plus quatre dldments eommuns avec S. Comme le groupe iS, T, C) est primitif et que {1,4} est un systbme d'imprimitivit6 de S et T, {1,4} ne saurait ~tre un systbme d'imprimitivitd de S e t C. Si S et C sont imprimitives, les cycles S e t C ont alors trois dldments eommuns et fls ont pour systbmes d'imprimitivitd les trois ensembles {1,3, 5}, {2, 4, 6}, {c, d, e}, off c, d, e sont trois hombres permut6s par C qui ne font pas partie de S (et qui peuvent faire pattie de T ou non). Dans ce eas S e t C engendrent un groupe simplement isomorphe ~ 1G~e~, groupo qui contient en tout cas la substitution U = (1 2 5 6 3 4). Or

110

U a deux 61dments communs avec T et est primitif avec T. Done U et T engendrent le groupe sym6trique 610 et, par suite, (S, T, C) ----- 6 . Sup- posons maintenant que S e t C sont primitives. Alors, si S et C ont un seul, deux ou trois dl6ments eommuns, ils engendrent toujours le groupe sym6trique des substitutions des 6Mments qu'ils permutent. Et si S et C ont quatre 616ments eommuns, alors ou bien S et C engendrent le sym6- trique des substitutions des 6Mments qu'ils permutent ou bien S e t C engendrent un groupe simplement isomorphe s 1G33e, groupe qui contient la substitution U ----- (1 3 2 6 b 4), off b d6signe un nombre > 6 permutd par C. Or les cycles U et T ont deux ou, au maximum, trois dldments communs et ils sont primitifs. Ils engendrent donc toujours le groupe sym6trique des substitutions des 616ments qu'ils permutent. I1 s'ensuit qu'en tous ces cas (S, T, C) = ~ . Le lemme 5 est donc d6montr6.

Corollaire 3. Quel que soit le cycle du sixi$me ordre C connexe et primit i / avec 2G19~o ou avec 3G192o, en composant C avec les substitutions de 2G19Z0 ou de 3G192o, on obtient le groupe symdtrique ~ des substitutions des dldments permutds par C et par les substitutions de 2G19~o respectivement de 3G192o.

Ddmonstration. Posons R ----- (7 8), R ' = (7 9), R C R -1 = C ' , R ' C R'-I = C", (zG19~0, C) ----- G, (.~G19m, C) -~ G 1 . Nous savons que R~G19~o R-1 ---- 1G192o et que R'aG192oR'-I = ~G19~o" Done les groupes (1G19~,C ') et (~G19~o,C) d'une part et les groupes (~G192o, C" ) et (aG19~0, C) d'autre part sont simplement isomorphes, ees quatre groupes sont du m6me degr6 et chaeun d'eux est transitif et primitif. Or, d'apr~s le lemme 5, le groupe (1G19~o, C') est le sym6trique des substitutions des 6Mments permut6s par C' et les substitutions de 1G1920. I1 s'ensuit que G est le sym6trique des substitutions des 616ments permut6s par C et les substitutions de 2G19~0 et que G 1 est le sym6trique des substitutions des 616ments permut6s p a r C et les substitutions de aG19~0, 6. q. f. d.

Lemme 6. Soient m > 2 et n > m deux entiers, soit G u n groupe transiti] et primit i / de substitutions de degrd n qui permutent les dlgments de l'ensemble E = {1,2 . . . . . n}, groupe qui contient un cycle d'ordre m : C = (c~%. . . c,~). Alors lea trans/ormges de C par routes lea substitutions du groupe G constituent un syst~me connexe et primit i / de cycles d'ordre m qui permutent lea n nombres 1,2 . . . . , n.

Ddmonstration. Soit G u n groupe qui satisfait aux conditions de l'6nonc6, soit N l'ordre de G et soit

l) S~= 1, S~ . . . . . S~ une suite form6e de routes les substitutions de G. Soit 2) C~=S~CS:( ~, i = 1 , 2 . . . . . iV. Posons G~ = (C~, C~ . . . . . C2~ ).

111

Montrons d'abord que les cycles 2) permutent tousles dIdments de ren- 8emble E et qu'ils constituent un syst~me connexe.

A cet effet, il suffit de remarquer que le groupe G1 est engendrd par une classe de subst i tu t ions conjugu~es de G et, pa r suite, que G1 est un sous-groupe distingu~ de (7. Or on sait e) que tou t sous-groupe distingu~ d 'un groupe pr imit i f de subst i tut ions est transit if . Donc le groupe (71 est t ransi t i f et ses subst i tu t ions pe rmu ten t t ous l e s ~l~ments de l 'ensemble E . Or, si les cycles 2) ne pe rmuta ien t pas tous les ~l~ments de l 'ensemble E e t s'fls ne formaient pas un syst~me connexe, ils engendreraient un sous- groupe intransi t i f de (7, ce qui est contradictoire. Not re assert ion est donc d~montr6e.

Montron8 maintenant que le syst~me 2) est primiti/. En effet supposons le contraire. Comme le syst~me 2) est connexe et qu'i l est compos~ de cycles du m6me ordre m, il existe alors un ent ier h diviseur de m e t tel que si m : m ' h et si C ~ ( c i l c~ . . . ci,,), i : 1 , 2 . . . . , N , les ensembles

7) E i q : {c~, c t q+a . . . . . ci q+(~,-l~ a}, q ~- 1 ,2 . . . . . h, i --~ 1, 2 . . . . . N) 7),

cons t i tuent les syst~mes d ' imprimit iv i td des cycles 2). Mais alors le groupe (7 est imprimit i f et adme t ~galement les ensembles 7) pour syst~mes d ' imprimit ivi t~. En effet, soit S une subs t i tu t ion quelconque de G, et soient E~q et Eiq, deux syst~mes d ' imprimit ivi t~ quelconques des cycles 2). Montrons que si S t ransforme au moins un ~l~ment de E~q en un ~l~ment de E j q , alors S t r ans fo rme t o u t l 'ensemble Etq en l 'ensemble ECq,. E n effet, on a Ct : St CK~i "1, Cj : S j C S [ 1 . Comme (7 est un groupe, SS~ est une subs t i tu t ion de(7 et il existe un indice Q, tel que I _ < O _ < N et que S S ~ = S q . On a donc SC~S - 1 ~ C ~ (%1 c q 2 . . . %~). Comme t o u s l e s 61dments .de Eiq sont permutd par C~ et que S t rans forme au moins un dldment de Etq en un dldment de Etq , le cycle Cp pe rmute au moins un dldment de Etq , et on peu t toujours choisir les no ta t ions de fagon a avoir cq 1 ~ E~.q, . Comme Cq est un cycle du syst~me 2) que ce systbme 2 est imprimit i f et que Er est un de ses syst~mes d' imprimitivitf i , on doit avoir (% 1, % l+a . . . . . cr 1+ (~,-1)~}

Eta,. Or, ~ t rans forme un dl~ment de Etq en % 1 et le cycle C~ en Cq, deux ~ldments consdcutifs dans C~ ~tant t ransformds par S e n deux ~ld-

6) Voir, par exemple, W. Burnside, Theory of groups of f init order, Second Edi- tion, Cambridge 1911, th. X, p. 196.

~) Ensembles qui ne sont pas tous distincts, mais dont deux quelconques sont soit disjoints soit confondus.

112

ments cons~cutifs dans C~. Donc S transforme n~cessairement E~ en Ejq,. Cela ~tant quelle que soit la substitution S du groupe (7 ainsi que les syst~mes d'imprimitivit~ E~q et E~q, du syst~me 2), il s'ensuit que le groupe G est imprimitif et admet les m~mes syst~mes d'imprimitivit~ que le syst~me 2). Or ceci contredit notre hypoth~se que le groupe G est primitif. Donc le syst~me 2) est bien primitif et le lemme 6 est d~montr~.

D~monstration de la proposition I. Soit G un groupe transitif et primitif de substitutions des 61~ments 1 ,2 . . . . . n qui contient deux cycles connexes et imprimitifs du sixi~me ordre C1 et C2 tels que C~ ~: C~, ~-~ ~ 1. I1 s'agit de montrer que (7 est le groupe sym~trique ~ des substitutions des ~l~ments 1 ,2 . . . . . n.

D'apr~s le w 2 du present travail, C 1 et C~ engendrent un groupe F simplement isomorphe k l 'un des groupes Gls, G36, iGle~, G24, G19~ ou

1(~1920 �9

D'apr~s le lemme 6, l'ensemble des cycles transform~s de C1 par toutes les substitutions de G constituent un syst~me connexe et primitif de cycles du sixi~me ordre, qui permutent les n nombres 1 , 2 , . . . , n. For- mons avec tous ces cycles une suite

1) al----Cl, as . . . . . a s ( / Y ~ o r d r e de G, N > I ) ,

telle que, quel que soit l 'entier i ~> 2, a~ a au moins un ~l~ment commun avec l 'un au moins des cycles a~, as . . . . . J~_~. Supprimons dans la suite 1) tout cycle aj (~ ~ 2), pour lequel il existe un indice ~r, tel que

h off h ~ l o u - - l , e t so i t 1 ~ ' ~ - - 1 et que a j ~ a ~ , ,

2) C~ ~ C1, C~ . . . . . C~, la suite restante. Comme le syst~me 1) est connexe et primitif, il en est de m~me du syst~me 2). Du fair que le syst~me 2) est primitif il r~sulte qu'il existe un indice ~ ~ 1, tel que les

f cycles C~, C~ . . . . . C~_~ constituent un syst~me imprimitif alors que C~, C~ . . . . . C~ forment un syst~me primitif. Deux cas sont ~ distinguer.

a) q ---- 2. Alors, d'apr~s les lemmes 1--5 et les corollaires 1--3, les trois cycles C~, C~2, C~ qui forment un syst~me connexe et primitif engendrent le groupe symdtrique des substitutions des ~ldments qu'ils permutent. Formons maintenant avec les cycles 2) et C~ une nouvelle suite 3) C;, C~, C~, C; . . . . . C~v, et supprimons dans la suite 3) tout cycle, ~ partir du quatri~me, qui ne permute aucun ~14ment laiss~ fixe par tous les cycles qui le pr4c~dent dans la suite 3).

Soit 4) C~,C~,C~,C( C ~. ,,, ,, . . . . . C~t la suite restante. D'apr~s ce qui prdc~de, les cycles 4) forment un syst~me connexe et permutent,

8 Commentarl! Mathematici Helvetic| 1 1 3

les n nombres 1, 2 . . . . . n . Or, d'apr~s le lemme I I de Hoyer, comme les trois cycles C~, C~, C~ engendrent le sym~trique des substitutions des ~l~ments qu'ils permutent , il en est de m6me des quatre cycles G~, C~, C~, C~, etc. ainsi que de l 'ensemble des cycles C~, G~, C~, C~ . . . . . C~ t. Or GI~ (C~, C~, C~, C(~ , . . . , C~t ) est le groupe sym6trique des substitutions de tous les 616ments permutes par les substitutions de Get , comme G l c C , il s 'ensuit que G~-G 1. Donc G est bien le sym6trique des substitutions des 616ments 1, 2 , . . . , n .

b) e > 2 . Alors les cycles 5) C; = . . . . . C _I orment syst~me connexe et imprimitif dont les syst~mes d' imprimitivit6 comprennent soit trois soit deux 61~ments chacun. Par d~finition de la suite 2), G~ a au moins un ~l~ment commun avec l 'un au moins des cycles

r i (1 < ~ < 1) un cycle de 5) qui a au C ~ , C ~ , . . . , C o _ 1. Soit C i _ _ ~ - - moins un 616ment commun evee C~ et soit C~z (1 ee j) un cycle de 5) qui a au moins un ~l~ment commun evec C~. Un tel cycle C~ existe en tout cas puisque ~ > 2 et que le syst6me 5) est connexe. Les deux cycles C~, C~t sont connexes et imprimitifs alors que les trois cycles C~, C~, C~ forment un syst~me connexe et primitif. Donc, d'apr6s les lemmes 1--5 et les corollaires 1--3, le groupe (C~, C~, C~) est le sym6trique des substitutions des 616ments permut6s par les trois cycles C~, C~, C~. Formons maintenant avec les cycles du syst~me 2) une nouvelle suite 6) c ' i , , i5 . . . . . C ~ , , telle que chaque cycle de cette suite

partir du second a au moins un 616ment commun avec l 'un au moins des cycles qui le pr6c6dent, ee qui est toujours possible, puisque le sys- t6me 2) est connexe. Supprimons dans la suite 6) tout cycle ~ partir du quatri6me (s'il y e n a) qui ne permute aucun 616ment laiss6 fixe par tous les cycles de la suite 6) qui pr6c6dent, dans cette suite, le cycle consid6r6. Soit 7) C~, Cfz, C~, C' C' t ~ , ~ . . . . . C~t la suite restante. Les cycles 7) forment un syst~me connexe et primitif et ils permutent le m6me ensemble d'616ments que les substi tutions de G. E t comme le groupe (C~, C~t, C~) est le sym6trique des substitutions des 616ments permut6s par les trois cycles C~, C~, C~, il r6sulte du lemme I I de Hoyer que le oupe = (c; c' , ~, . . . . , C~t ) est le sym6trique des substitutions de tous les ~16ments permut6s par les substitutions de G. Or G I ~ G . I1 s'ensuit que G~ ----G et, par suite, G est bien le groupe sym~trique des substitutions de tous les gl6ments qui sont permutes par les substitutions de G.

La proposition I e s t done d6montr~e.

114

w 4. Les divers groupes que peut engendrer un syst~me connexe et primitif de cycles du sixi~me ordre

Proposition 1I. Quel que soit rentier k ~ 2 et quels que soieut les k cycles du ~ixi~me ordre C 1, C2 . . . . . C~ qui ]orment un syst~me connexe et primiti], le groupe (C1, Ca . . . . . Ck) est soit simplement isomorphe ~ l'un des trois groupes GI~, 1G42, 1G33e, soit le symdtrique des substitutions des dldments permutds par tows les cycles du syst~me considdrg.

La d~monstration de la proposition I I repose sur la proposition I et sur les lemmes suivants.

Lemme 7. Quel que soit le cycle du sixi~me ordre C---- (clC2CaC4CsCe) connexe et primiti/ avec le groupe G~2o, mais ne ]aisant pas pattie de ce groupe, en composant C avec les substitutions de Gl~o, on obtient le groupe symgtrique ~ des substitutions des dldments permutds par C et toutes les substitutions de G~o.

Dgmonstration. On a G120----- (S,T), oh S----- ( 1 2 3 4 5 6 ) , T----- (1 2 4 3 6 5), donc (S, T, C) = (Gl~0, C). Pour d~montrer le lemme 7, il nous suffira dont de montrer que (S, T, C) ----- ~ . Comme le cycle C est connexe avec le groupe G~0, C permute l'un au moins des nombres 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .

Six cas sont ~ distinguer.

1) C permute les six nombres 1 ,2 , 3, 4, 5, 6. Alors si C et S sont imprimitifs, on a (S, T, C) = ~e, d'apr~s la proposition I, car alors {S, T, C) est un groupe primitif qui contient deux cycles connexes et imprimitifs du sixi~me ordre. E t si C est primitif avec S, eomme C'~GI~o, (S, C) = ~ , d'apr~s le w 2.

2) C permute cinq des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et le nombre 7. S e t C sont alors en tout cas primitifs et engendrent soit le groupe ~7, auquel cas le lemme est d~montr~, soit l 'un des deux groupes 1G42, ~G4~. Or le groupe 1G42 contient la substitution U = (1 3 4 2 5 7) et on a {T4U) ~ = ( 1 2 3 ) = A , ( A , S ) = ~6 et (~e, C) ----- ~----- ( S , T , C ) . D'autre part, ~G4~ contient la substitution V-~ (1 4 2 3 5 7) et on a (T2V) 5 ---- ( 1 6 ) = B, ( B , S ) = ~e et ( ~ e , C ) = ~7-----(S,T,C).

3) C permute quatre des hombres 1 ,2 , 3, 4, 5, 6 et les deux nombres 7 et 8. Alors, si S et C sont imprimitives on a (S, T, C) ----- ~s, d'apr~s la proposition I. E t si S e t C sont primitives, elles engendrent soit le groupe ~s, auquel cas le lemme est ddmontr~, soit l 'un des deux groupes 1G3a6, ~G38 e. Or le groupe 1G33, contient la substitution U ----- {143782)

115

et on a (T"U) a = ( 1 6 ) , donc (S , T, C) ---- 6s . Et le groupe ,G3~ , contient la substitution V - - - - ( 1 4 3 8 7 2 ) , (T'V) a - - (16 ) , done (S, T, C) = 6 , .

4) C permute trois des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les trois nombres 7, 8, 9. Alors, si S e t C sent imprimitives, (S, T, C) ------ 69, d'apr6s la proposition I, et, si S e t C sent primitives, on a (S, C) : : 69, d'apr6s le w Done aussi (S,T,C)----- 6~.

5) C permute deux des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les quatre nombres 7, 8, 9, 10. Alors, si S e t C sent imprimitives, (S, T, C) = 6,0, d'apr6s la proposition I, et, si S e t C sent primitives, (S, C) ---- 610 : - (S, T, C), d'apr~s le w 2.

6) C permute un des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les cinq nombres 7, 8, 9, 10, l l . Alors S et C sent toujours primitives et (S, C) = ~,~ ---- (S, T, C), d'apr~s le w

Le lemme 7 est done d6montr6.

Lemme 8. Quel que soit le cycle C ---- (ClC, C3C4C5C6) du sixi~me ordre, connexe avec le groupe 1G~2 et ne faisant pas pattie des groupes (8h) iGa3e (8h), h >~ 8, en composant C avec les substitutions de 1G42, on obtient le groupe symgtrique ~ des substitutions des glgments permutgs par C el par les substitutions de 1G42.

.Dgmonstration. On a 1G4~ • (S, T), o~1 S ----- (1 2 3 4 5 6), T : (1 3 4 2 5 7), done (ldt4~, C) ~ (S, T, C). Comme C est connexe avec 1G4~, C est eonnexe avee l 'une au moins des substitutions S, T. Le groupe G ----- (S, T, C) est en tout cas primitif. Done, d'apr6s la proposition I, si G eontient deux cycles connexes et imprimitifs du sixi6me ordre, on a G = ~ . Aussi nous nous bornerons h envisager le cas off les deux cycles S, C respeetivement T, C pour autant qu'ils sent connexes, sent primitifs. Cinq cas sent alors s distinguer.

1) C permute lea six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les deux cycles S e t C sent primitifs. Alors S et C engendrent soit le groupe ~e, auquel cas (S, T, C) = ~ , soit le groupe G,20, groupe qui contient la substitution U = ( 1 2 4 3 6 5 ) , et on a alors (T2U) 4 = ( 2 5 4 ) , done ( S , T , C )

2) C permute einq des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et un nombre c de l 'ensemble (7, 8}. Alors si C ~ ~G3ae, eomme Cu 1G33e par hypoth6se, S e t C engendrent, d'apr~s ]e w 2, le groupe sym6trique des substitutions des 616monts 1, 2, 3, 4, 5, 6, c et ( S , T , C ) = 6 . E t si C~aG33 e,

116

comme C ~ 1G336, ~ et C engendrent un groupe simplement isomorphe ,G4~ et qui contient l 'une des deux substitutions U = (1 2 4 7 6 3) ou

V - ~ ( 1 2 6 3 8 5 ) . Or (T2U) 5 = (3 4) et (TV) 5 = ( 2 4 6 ) . I l en r4su l t e que (S, T, C) = 6 .

3) C permute quatre nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 ainsi que les deux nombres c et d (c<d) formant Fun des couples {7, 8}, (7, 9}, {8,9} ou {9,10} et C e s t primitif a v e e S . Si c = 7 et d = 8 et si C ~ 2G336, ~ et C engendrent le groupe 6s et (S, T, C) = ~s. Ou bien C C 2G336 et alors (S, C) = 2G336, groupe qui contient la substitution U ~ ( 1 4 3 8 7 2 ) , on a (T3U2) ~ = (2 7) et, par suite, ( S , T , C ) = 6 . Si c = 7 et d = 9, comme C~(89 ) 1G336(89 ) et C~1G336 l e sdeux substitutions S e t C engendrent soit le groupe sym4trique des substitutions des414ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9e t , parsui te , ( S , T , C ) = 6 , soit le groupe (8 9)2G336 (8 9), groupe qui eontient la substitution U ~ ( 1 2 5 6 7 9 ) et on a (TU) 1~ (156) , donc ( S , T , C ) = 6 . Et si c ~ 8, d ~ 9 ous i c = 9, d ~ 10, a l o r s S e t C e n g e n d r e n t s o i t l e sym4trique des substitutions des 414ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, c, d soit un groupe simplement isomorphe ~ 1G33e et qui contient l 'une des deux substitutions U ~ ( 1 2 5 6 c d ) , V = ( 1 2 5 6 d c ) et on a (TsU) 5 ~- (134 ) , (TSV) 5 = ( 1 3 4 ) . Donc dans tous ces cas, (S, T , C ) = 6 .

4) C permute trois, deux ou un seul hombre de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et S e t C sont primitifs. Alors S e t C engendrent toujours, d'apr~s le w 2, le groupe sym4trique des substitutions de tous les 414ments qu'ils permutent et (S, T, C) = 6 .

5) C ne permute aucun des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Comme C est connexe avec le groupe 1G~, C permute alors n4cessairement le hombre 7. Soient 8, 9, 10, 11, 12 les cinq autres nombres permut6s par C. Alors T et C engendrent, d'apr6s le w 2, le groupe sym4trique des substitutions des 414ments 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, i l , 12 et, par suite, (S, T, C)

612. Le lemme 8 est donc d4montr4.

Corollaire 4. Quel que soit le cycle C du 8ixi~me ordre, connexe et primiti/ avec ,G4, et qui ne /air pas partie des groupes (8h) ~G33,(8h), h _~ 8, en composant C avec les substitutions de ~G4~, on obtient le groupe symdtrique 6 des substitutions des dldments permutds par C et par les substitutions de ~G42.

Ddmonstration. Ce corollaire r~sulte aussitSt du lemme 8 et du fair que 2G4s= R,G4~R -~, 2G33,= R~G336R -~, off R = (243)(67) , et que ~G,, c (8h) ,G3~e (8h).

117

Lemme 9. Quel que soit le cycle du sixi~me ordre C ~- (clc~c~c4c5c~), connexe et primiti~ avec le groupe ~G33 ~ mais ne faisaut pas partie de ce groupe, en composant Cavec les substitutions de ~G33~, on obtient le groupe symdtrique des substitutions des dldments permutds par C et les substitutions de ~G3~.

Ddmonstration. On a 1G338-~ (S ,T ) , oh S - ~ ( 1 2 3 4 5 6 ) et T ( 1 4 3 7 8 2 ) , done (IGa36, C ) ~ ( S , T , C ). Posons ( S , T , C ) ~ - G . Pour d~montrer le lemme 9, il suffit de montrer que G ~ ~ . Le groupe (7 est primitif puisque 1Ga36 est un groupe primitif de degr~ 8 et que C est un cycle du sixi~me ordre connexe avce 1G33e. Si Fun au moins des couples. S , C ou T, C est imprimitif, G ~ ~ , d'apr~s la proposition I.

Supposons d 'abord que le cycle C a des 61~ments eommuns avec un seul des deux cycles S, T. Si c'est avee S seulement, les ~l~ments communs k C et k T font alors partie de l'ensemble (5, 6} et, si les cycles S et C sont primitifs, ils engendrent d'apr~s le w 2 le groupe symdtrique des substitutions des ~l~ments permutes par S e t C. E t si le cycle C a des ~il~ments communs avee T, mais pas avec S, ces ~l~ments communs font partie de l'ensemble {7, 8} ; si donc T et C sont primitifs, ils engendrent le groupe sym~trique des substitutions des ~l~ments qu'fls permutent. I1 s 'entuit dans les deux c a s q u e G ~- ~ .

Supposons maintenant que le cycle T a des ~l~ments communs aussi bien avec S qu'avec T. Le groupe (S, T) ---- 1Gas e qui est trois lois transitif contient des cycles du sixi~me ordre qui permutent six quelconques des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Supposons d'abord que C ~ C8 et que C permute au moins un n o m b r e > 8. Alors le groupe (S, T) eontient un cycle du sixi~me ordre C~ qui a au plus trois et au moins un ~l~ment commun avec C. Si C et Cs sont imprimitifs, (S, T , C ) ~ ~ , d'apr~s la proposition I. Et, si C et C~ sont primitifs, ils engendrent, d'apr~s le w 2, le groupe sym~trique des substitutions des ~16ments qu'ils permutent, et par suite (S, T, C) -~ 6 . Supposons maintenant que C a des 41~ments eommuns avee S e t avec T et que C �9 ~e. Si C permute cinq nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et le nombre 7, S e t C sont alors primitifs et engendrent soit le groupe ~ soit le groupe ~(74z qui contient ]a substitution U ~ ( 1 2 4 7 6 3 ) et (T4U) 3 ~ ( 3 8 ) . Si C permute cinq nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et le hombre 8, S e t C sont aussi primitifs et engendrent soit le groupe sym~trique des substitutions des ~l~ments 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, soit le groupe (7 8)~Ga~(7 8), groupe qui contient la substitution V ---- (1 3 2 6 8 4) et alors (T~V) 5 ~ (3 4). Et, si C permute quatre nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 et les deux

118

nombres 7 et 8, alors si 8 et C sont imprimitifs, (S, T, C) = 6 , d'apr6s la proposition I. Et si S e t C sont primitifs, ils cngendrent soit le groupe 6s soit le groupe zG33e, groupe qui contient la substitution W----- (1 2 5 6 7 8) et, dans ce dernier cas, (T2W) 3 ~ (3 8). Il en r6sulte quc, dans tous ces cas, ( S , T , C ) = 68.

Le lemme 9 est donc d6montr6.

Corollaire g. Quel que soit le cycle C-= (elc~e3c4csca) connexe et primitif avec le groupe ~G33 a mais qui ne fait pas partie de ce groupe, en composant C avec les substitutions de ,G33e, on obtient le groupe sym6- trique des substitutions des 616ments de l'ensemble { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7,8} + {cl, ca, c3, c,, ca, ca}.

Dgmonstration. Le corollaire 5 est une cons6quence imm6diate de la relation aG33a = (7 8) 1G33 a (7 8) et du lemme 9.

Proposition II. Tout syst~me connexe et primiti[ S de cycles du sixi~me ordre qui ne contient aucun couple de cycles connexes et imprimiti[s engendre soit un groupe d'ordre 120, de degrg 6, simplement isomorphe ?L G~0, soit un groupe d'ordre 42 et de degrg 7, simplement isomorphe ~ ~G4~, soit un groupe d'ordre 336 et de degrg 8, simplemen$ isomorphe ?~ ~G33 a, soit le groupe symgtrique 6 des substitutions de tous les gl~ments permutgs par les cycles du syst~me considdrg.

Dgmonstration. Soit b u n entier >__ 2 et soit S un syst~me connexe et primitif compos6 de b cycles du sixi~me ordre, syst~me qui ne contient aucun couple de cycles connexes et imprimitifs. Formons avec tous les cycles du syst6me S une suite

I) e l , C i . . . . . C~

telle que C~ est un cycle quelconque de Se t , quel que soit l'indice i > 2, C~ est un cycle du syst~me S qui a au moins un 616ment commun avec

! Fun au moins des cycles C[, C', . . . . . C~_~. I1 est toujours possible de former une telle suite, puisque le syst~me S est connexe.

Supprimons dans la suite 1) tout cycle C~ (i > 2), tel que

et soit

!

2) C~ ,Cz , . . . ,C~ ,

Ia suite restante. I1 est clair que les cycles 2) permutent les m~mes ~l~- ments et engendrent le m~me groupe que les cycles du syst~me S. Les

119

deux cycles C 1 et C~ sont connexes et primitifs, d'apr~s nos pr~misses, ils engendrent donc, d'apr~s le w 2, soit un groupe simplement isomorphe

l'un des trois groupes Glz0, 1G4~, 1Ga3e, soit le groupe sym~trique 6 v des substitutions des ~l~ments qu'ils permutent. Posons dans t ous l e s cas (C1, C~) ~ G, et soit F l e groupe engendr~ par tous les cycles du sys- t~me S. Alors si k r ----- 2, on a F ~ G e t la proposition est d~montr~e.

Supposons que b' ~ 2. Alors si G est d'ordre 120, il r~sulte du lemme 7, que le groupe

(C1, C~, C3) est le sym~trique des substitutions des ~l~ments permut6s par les trois cycles C1, C~, C 3. Donc, d'apr~s le lemme I I de Hoyer, (CI, C~ . . . . . C~ , ) = 6 .

Si G est d'ordre 336, il r~sulte du lemme 9, que (C1, C2, C3) est alors en tous cas le sym~trique des substitutions des ~l~ments permutes par les trois cycles C~, Cz, C3 et, par suite (C1, C~ . . . . , C~,) = 6 .

Si G = 6 ' , on a (C 1,C~ . . . . . C ~ , ) - - 6 , d'apr~s le l e m m e I I de Hoyer.

Supposons enfin que G est d 'ordre 42. Si le groupe (C1, C~, C3) n'est pas de degr~ 8, d'apr~s le lemme 8, c'est le sym~trique des substitutions des ~l~ments pormut~s par C1, C~ et C 3. Donc (C1, C z , . . . , C r ) = 6 . E t si le groupe (C1, C2, C3) est de degr~ 8, il ressort de l'~tude des groupes ~G~, ~G33 ~ et du lemme 8 que le groupe (C~, C2, C3) est soit le sym~trique des substitutions des ~l~ments permutes par C1, C~ et Cs, auquel cas (C~, C~ . . . . . C~,) = 6 , soit un groupo simplement isomorphe s ~G33 ~ ;dans ce dernier cas, si k ' ----- 3, on a F = (C~, C2, C3). E t si k ' > 3 et le groupe (C~, Cz, C3) est d'ordre 336, d'apr~s le lemme 9, le groupe (C~, C~, C 3, C~) est alors n~cessairement le sym~trique des substitutions des ~l~ments permutes par les quatre cycles C~, C~, C3, C4. Donc (C~,C~,. . . ,C~,)-----6.

La proposition II est donc d~montr~e.

Remarque 2. I1 ressor~ de la dgmonstration des propositions I e t I I que tout syst~me connexe et primiti/ de cycles du sixi~me ordre qui permutent, dans leur ensemble, un hombre ~ 9 d'dldments engendre le groupe symdtrique des substitutions de tows les dldmeuts t~ermutds par les cycles du syst$me.

w 5. Les bases du groupe sym6trique 6n de degr~ n ~ 6 dont l'une des substitutions est un cycle du sixi~me ordre

Soit n u n entier ~ 6, soit 6n le groupe sym~trique des substitutions des ~l~ments 1, 2 . . . . . n. Proposons nous maintenant de rechercher routes les bases 8 , T du groupe 6 , , dont l 'une des substitutions T est

120

un cycle du sixi~me ordre. Nous verrons que, s i n >_ 9, la condition ndcessaire et suffisante pour que deux substitutions S, T du groupe ~n, dont l'une T est un cycle du sixibme ordre, constituent une base de ~n, c'est que S e t T soient connexes et primitives. Nous indiquerons aussi les conditions nfcessaires et suffisantes pour que deux substitutions con- hexes S, T du groupe ~ dont l'une T est un cycle du sixi~me ordre, soient imprimitives. Enfin nous donnerons des critbres permettant de reconnaltre routes les bases des groupes ~e, ~ et ~s dont l'une des substitutions est un cycle du sixibme ordre.

Lemme 10. Soient m >_ 2 et n >_ m deux entiers et soient S et T deux substitutions connexes et primitives de degrd n , dont l 'une T e s t un cycle d'ordre m . Soit k l'ordre de S et soit E ----- {1,2 . . . . , n} l'ensemble des dIg- ments permutds par S e t T . Alors les k substitutions S i T S -i , i ----- 0, 1 . . . . . k - - 1~ constituent toujours un syst~me connexe et p r i m i t i / d e cycles qui permutent tons les dldments de rensemble E .

Ddmonstration. Soient S e t T deux substitutions connexes et primitives de degr~ n qui permutent (ensemble) les dldments de l'ensemble E ---- { 1 , 2 , . . . , n}, soit k l'ordre de S e t soit T ---- (bib ~. . .b,,,).

Posons T i = S i T S -i, i = 0 , 1 , 2 . . . . . k - - 1.

Soit ] un gldment quelconque de l'ensemble E . Montrons qu'il existe au moins une substitution T t (0 < i < k - - 1) qui permute ]. En effet si fait partie de l'ensemble B = {bl, b2 , . . . , bin}, alors le cycle To----- T permute ]. E t si ~7 B, comme j E E , ] e s t permut~ par S. I1 existe dont un cycle C- - - - (a laz . . . ah) de S, d'ordre h _> 2, et un indice i ' (1 < i ' < h), tel que ] = ar Comme les substitutions S e t T sont connexes, un filament au moins de B fair partie de l'ensemble A---- {a 1,a~ . . . . . ah}. Soit ae, , un 6lfiment de A qui r et soit a i , = b t ( l < t < m ) . Posons u ~ i ' - - i r~, si i ' > i ~,et u = i ' - - i rfA-h, si i ' < i '~. Alors T , = S " T S -u est un des cycles Tt qui permute j . En effet, soit brl l'dldment que S ~ substitue ~ bt, quel que soit 1 = 1 , 2 , . . . , m. O n T . = b'.) e t = i .

Montrons maintenant que les cycles 1) T o , T ~ . . . . . T~ constituent un

syst$me connexe. En effet, supposons le contraire. I1 existe alors un entier r < k e t r cycles

2) Tt, = To, T~, . . . . . T t ,

de la suite 1), tels que ces r cycles constituent un syst~me connexe alors que quel que soit le cycle T~,+, de la suite 1) qui ne fair pas partie de 2), ee cycle ne permute aucun des 414ments permut4s par les cycles 2). Soit

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E 1 l 'ensembles des 414ments permut4s par les cycles 2). On a Ej c E mais E 1 ~ E . Soit S E 1 S -1 ---- E2. Les ensembles E 1 et E~ sont disjoints. E n effet supposons que E 1 E 2 :/: 0 et soit a un 414ment commun

E 1 et ~ E2. Les deux ensembles E 1 et E~ sont 4videmment d'dgale puissance. E t s'il existait un 414ment b de E~ qui ~ E , , il existerait un cycle de 1) 4tranger ~ 2) mais eonnexe avee le syst~me 2). En effet, soit T'~ = S T , ~ S -1, l = 1 , 2 . . . . . r . Tous ces cycles font partie de la suite 1). Comme le syst~me 2) est eonnexe, il en est de m~me du syst~me 3) T' T' T' il, i, . . . . , i, e t E~ est l 'ensemble des 414ments permut4s par les cycles 3). Comme E1E~ :/: O, et que chaeun des deux syst~mes 2) et 3) est connexe, les cycles des deux syst~mes 2) et 3) const i tuent ensemble un syst~me connexe et ce syst~me contient au moins un cycle de la suite 1) qui ne fai t pas partie de 2), puisque b �9 E , et b ~ E l , ee qui est en contradiction avec la d4finition de 2). Si done E 1 E , :/: O, on a E~ c E,,

et c o m m e E l ~- E2, on dolt avoir E 1 = E 2. Mais alors, comme tous le s 414ments permut4s par T font partie de E~, chacune des subst i tut ions S et T t ransforme l 'ensemble E , en lui-m~me et, comme E~ est un vrai sous-ensemble de E , S e t T ne sauraient ~tre eonnexes, ce qui est en contradict ion avec les hypotheses faites sur S e t T . Donc E 1E~ est bien

0. Posons E 3 = S E ~ S - L Les deux ensembles E~ et E 3 sont disjoints. En effet, s'il existai t au moins un 4Mment eommun ~ E~ et E 3 on devrai t avoir E , = E3, sinon il existerait un cycle de l) ne faisant pas partie de 2), mais connexe avec 2) ce qui est contradietoire. Or on ne saurai t avoir E , = E3, puisque alors on devrai t avoir SE~S -~ = E2, SE~S -~ = Es , ce qui est impossible, les ensembles E~ et E , 4tant disjoints. Done E , E 3 = O. Montrons main tenan t que les ensembles E , et E3 sont soit confondus soit disjoints. En effet, supposons que EIEa V: 0 et soit a un 4Mment communs h E~ et s E3. Soit T ~ = S 'T ,~S -~, l = 1 , 2 . . . . , r . Comme le syst~me 2) est connexe, il e n e s t de m~me de 4) T ~ T ~ T~f les cycles 4) pe rmuten t les 414ments de l 'ensemble E a e t comme E , E a ~ O, tous les cycles 2) et 4) ensemble forment un syst~me connexe. Si done E a eontenait au moins un 414ment b 4tranger

E l , il existerait un cycle de 4), done aussi de 1), eonnexe avee 2), mais ne faisant pas partie de 2), ce qui contredit la d~finition de 2). Si done

E , E 3 ~ O, on a E 3 c E~. E t eomme E~ = E3, on a donc bien dans co c a s E , ~ E 3 . Les ensembles E 1 et E a sont donc soit disjoints, soit confondus. Or si E , = E3, on dolt avoir E = E , + E , , puisque ehacune des deux subst i tut ions S et T t ransforme l 'ensemble E , + E~ en lui- m~me et que S e t T sont connexes.

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Soit maintenant h u n entier > 2 et supposons que nous ayons ddjk dfimontrfi que les ensembles E 1, E 2 ~ S E 1S -1 . . . . , E h ~ SEh_ 1S -1 sont disjoints deux k deux. Posons E~+ 1 ~ S E h S -1. Montrons que E~Ea+ 1

-~ 0, quel que soit i ~- 2, 3 . . . . . h, que E 1 et E~+I sont soit disjoints, soit confondus et que si E x = E h + I, alors E = E I ~ - E ~ + . . . A - E h . En effet, soit d'abord i un indice, tel que 2 < i < h, et supposons que E~Eh+ ~ =/= O. Alors on doit avoir E~ = Eh+ ~. En effet, les cycles 5) Si-~ T S -i+~ 1 ~ 1, 2, r, qui tous font partie de 1) constituent un syst~me connexe et permutent les ~l~ments de l'ensemble E~. Les cycles 6) S a T i n S -h, l - ~ 1 , 2 . . . . . r , constituent ~galement un syst~me connexe de cycles appartenant ~ la suite 1) et les cycles 6) permutent les dl4ments de l'ensemble Ea+ 1 . Si E~Ea+ 1 ~ O, les cycles 5) et 6) ensembles cons- t i tuent un syst~me connexe qui permute tousles ~l~ments de l'ensemble E 1 -~- E h + 1 . Et si Ea+ ~ contenait au moins un ~l~ment b ~tranger k E~, les transform~s des cycles 5) et 6) par S -i+~ formerait un syst~me connexe de cycles appartenant k la suite 1) et comprenant tous les cycles de la suite 2) et au moins un cycle de 1) ~tranger k 2), ce qui est contradictoire. Si done EtEh+ ~ :fi O, on doit avoir E ~ + ~ E ~ et comme

E~ ---- Ea+~, on doit avoir E~ ---- E~+~. Or, par d~finition de E i, S transforme Et_ ~ en E t. On doit done avoir E~_~ ----- Ea+I et E t ~ Ea+~, ce qui est impossible puisque E~_~ et E~ sont, par hypoth~se, disjoints. Donc E~Ea+~ ~- 0, i : 2, 3 . . . . . h. Quant aux deux ensembles E~ et Ea+x, en r4p~tant le raisonnement fait pour E~ et E3, on volt qu'ils sont soit confondus soit disjoints. Et comme S et T sont connexes, si E1 = Ea+~, on doit alors avoir E ---- E~ ~ E~ % . . . - t - Ea, puisque S aussi bien que T transforme l'ensemble E 1 ~- E~ % . . . % Ea en lui-m~me. Si donc le syst~me 1) n'est pas connexe, on pout en tout cas d~composer l'ensemble E en une somme de v ~ 2 sous-ensembles E~, E~ . . . . , E~, disjoints deux-k-deux, d'~gale puissance et tels que T transforme chacun de ces ensembles en lui-m~me, alors que S transforme E~ en E~, E~ en E 3 . . . . . E~ en E~. Done les deux substitutions S e t T sont imprimitives et ont pour syst~mes d'imprimitivitd les ensembles E~, E~ . . . . . E~. Or ceci eontre- dit l'hypoth~se que les deux substitutions S e t T sont primitives. On voit donc que le syst~me 2 est n~cessairement connexe.

Montrons en / in que le syst~me 1) est pr imi t i f . En effet supposons le contraire. Comme le syst~me 1) est connexe et qu'il se compose de cycles qui sont tous du m~me ordre m, il existe done un entier t, diviseur de m, tel que 2 ~ t < m , r a ~ - m ' t et que, quel que soit le cycle T~ ~- (b~l b~ . . . . b~) , i = 0, 1 . . . . . k -- 1 , du syst~me 1), les ensembles

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E~,---- {b~,, b~,+~ . . . . , b~,+(~,-1) t } , 8---- 1 , 2 . . . . . t , sont des syst~mes d ' imprimitivit~ de tous les cycles du syst~me 1) tou t syst~me d' imprimitivit~ des cycles 1) ~tant, ~ son tour, un ensemble de la forme E~,. Soient E 1 et E~ deux syst~mes d ' imprimitivi t~ quelconques de l 'ensemble des cycles l) et supposons que S t ransforme au moins un ~l~ment de E 1 en un ~l~ment de E~. Montrons que S t ransforme alors tou t l 'ensemble E 1 en E~. E n effet, comme E x est un syst~me d ' imprimit ivi t~ de l 'ensemble des cycles 1), il existe deux entiers i e t s , tels que 0 < i < k -- 1, 1 < s < t et que E 1 ----- {b~s, bt ,+l . . . . . b~,+(~,_a)t}. Done t o u s l e s ~l~- ments de l 'ensemble E~ sont permutes par le cycle T~ = (b~ b~ , . . , b ~ ) du syst~me 1). Soit b~,+j t un ~l~ment de E x que S t ransforme en un ~l~- ment u de E~. Or, par d~finition de la suite 1), S transforme T i en T~+~, i q- 1 devan t ~tre remplac~ par 0, si i ----/c -- 1, e t Tt+ 1 = (b~+ 11, bi+12. �9 �9 b~+l~ ). Comme S transforme b~,+~ en u , il dolt exister un indice v (1 < v -< m), tel que U = bt+a~ et, d'apr~s ce qui pr~c&le, l 'ensemble E~ -- {b~+x~ , b~+l~+~ , ...,b~+1~+(=,_1)~}, off les indices v-}- t . . . . . v -}- (m' -- 1)t doivent ~tre r~duits modulo m de fa~on s ~tre compris au sens large entre 1 et m, est un syst~me d' imprimitivi t~ de l 'ensemble des cycles 1). E t comme S t r a n s f o m e T~ en T~+I et b~,+~ en b~+l~, b~,+j~+~ en b ~ + ~ + ~ , . . . , b ~ , + ~ + ~ _ 1 en b~+~+~_ 1, o5 les indices > m doivent ~tre r~duits modulo m, on voit que S t ransforme E 1 en E~. E t comme E~ et E~ sont deux syst~mes d ' imprimit ivi t~ de l 'ensemble des cycles l) qui on t en commun l'~l~ment u , on doit avoir E~ ----- E'~. On voit done bien que si S t ransforme au moins un ~l~ment de E 1 en ~l~- ment de E~, S t ransforme tou t l 'ensemble E I en E~. La subst i tut ion T joui t de la m~me propri~t~ puisque T ----- T o est un cycle du syst~me 1) qui est imprimit if et dont Ex et E~ sont deux syst~mes d ' imprimitivi t~ quelconques. Done les subst i tut ions S e t T sont imprimitives et ad- m e t t e n t les m~mes syst~mes d ' imprimit ivi t~ que les cycles 1). Or ceci contredit notre hypoth~se que S et T sont primitives.

Done le syst~me l) est bien primitif et le lemme 10 est d~montr~.

Proposition I I I . Quel que soit l'entier n ~ 9, /a condition ngcessaire et su/~isante pour que deux substitutions S , T du groupe symgtrique ~,, d'ordre n / , dont l'uue T e s t un cycle du sixi~me ordre, constituent une base de ~,~, c'est que S e t T 8oient connexes et primitives.

Ddmonstration. La condition est n4cessaire. En effet, soit 8 , T u n e base du groupe ~ , , dont l 'une des subst i tut ions T e s t un cycle du sixi~me ordre. On a done ( S , T ) -~ ~,~. Si S et T n '~taient pas connexes, le groupo (S, T) serait intransitif , ce qui est impossible puisque ~ , est

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transitif. Donc S et T sont n~cessairement connexes. Et, si S et T ~taient imprimitives, le groupe (S, T) serait imprimitif, ce qui ~galement est impossible, puisque le groupe ~n est primitif. La condition ~nonc~e est donc bien n~cessaire.

La condition est suHisante. En effet, soient S et T deux substitutions connexes et primitives de degrd n > 9 qui permutent, ensemble les n nombres 1 , 2 , . . . , n, soit T u n cycle du sixi~me ordre et soit k l'ordre de la substitution S. Posons T i = S i T S -i, i = 0, 1 , . . . , k. On a, en particulier, T o ~ T . D'apr~s le lemme 10, les cycles T o , T 1 . . . . . T,~ forment un syst~me connexe et primitif de cycles du sixi~me ordre qui permutent les n nombres 1, 2 . . . . . n et, d'apr~s la remarque 2, ces cycles engendrent le groupe sym~trique ~n des substitutions des filaments l , 2 . . . . . n. Donc ~ c (S, T). Et comme on a ~videmment (S, T) c ~ , il s'ensuit que (S, T) --~ ~n. Done S, T e s t une base de ~ et la condition ~nonc~e est bien suffisante.

Les conditions ndcessaires et suHisantes pour que deux substitutions con- hexes S et T , de degrd n, dont l'une T e s t un cycle du sixi~me ordre, soient imprimitives.

Soit n u n entier >_ 6, soit S une substitution de degr~ n composge desh (1 < h < 6 ) cycles C 1 , C ~ , . . . , C a, t e l sque C1-= ( a l a ~ . . . a ~ l ) ,

C~ : (a~1+1... a~ l+~) . . . . Ca = (a~,+m2+...+mh_l+l" �9 �9 a~,+m~...+~h) , m l + m ~ - ~ - . . . + m a = n , e t so i t T = (blb2b~b4bsbs), off bl, b~,b 3,b4, b s, b 6 sont six nombres de la suite a~, a~ . . . . . a n, dont l 'un au moins appartient h chaque cycle de S.

Nous utiliserons les notations suivantes. Si deux ~l~ments b~, b~ per- raut~s par T font pattie d 'un m~me cycle C~ (1 ~ 1 ~ h) d'ordre m~ de S e t si C~ ~ (a~+la,,+2... a,,+mz) oh u = ml-4- ..--t- m~_~, a~ = b~, aw : b~, u + 1 < v < u + rnt, u -~ 1 <_ w < u -4- mt, nous ddsigne-

Ct rons par le symbole b~ be ou, pour abrdger, simplement par b~ b~ et nous appellerons distance de bt ~ b~ dans le cycle Ct le plus petit entier positif, tel que v + b~ be ~ w (mod mr).

D'autre part, quel que soit l'dl6ment a~ du cycle Ct (uA-1 < l < u + m t ) et quel que soit l 'entier k, nous d6signerons par le symbole ar+~ l'dl~ment a~ du cycle Ct, tel que u A- 1 < s < u -t- mt et que s -- r A- k (mod mr).

Soit j , k, l, m, n, p, q une permutation quelconque des nombres 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 e t s o i t b r b ~ = a ~ , b t = a ~ , b~-----a~, b y = a % et b~ = a~q .

Les conditions suivantes sont n~cessaires et suffisantes pour que les deux substitutions S et T soient imprimitives.

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I. Si S se compose d 'un seul cycle C~ --- (a~a~... a,) d'ordre n qui contient tous les ~l~ments permutes par la substi tution T~-(b lb~ba b~b~b,) et si b~ ----- a~ (~ ---- 1 , 2 , 3, 4, 5, 6), pour que S e t T soient imprimitives,

il faut et il suffit que l 'une (au moins) des trois conditions suivantes soit satisfaite :

1. D(b~b~, blba, blba, b~b~, blb~,n)~>l ,

2. b~b~-----~b~, b2b~----- b~b~, b ab~ =b~b a ,

3. n ---- 0 (rood 3), {a~,, a~+,/~, a~+~,/~} ~- (b~, b~, b~} et

(a~ , a~+n/a , a~+~,~/a} : {b~, b~, b~} off a~-----b~ , a~-----b~.

II. Si S contient deux cycles C 1 ~ (a~a~... am) et C~ -~ (am~+~... am~+m~), trois cas sont ~ distinguer.

I Ia) L 'un des deux cycles C~, C2 contient un seul des $1~ments permut~s par T et le second des deux cycles C1, C~ contient cinq ~l~ments permutes par T. Soit bj l'~l~ment de T permut~ par le cycle C~ et soient b~, b~, b m, b~, b~ les cinq ~lgments de T permutes par C~, o5 {2, ~u} ~- {1, 2}. Alors la condition n~cessaire et suffisante pour que S e t T soient imprimitives, c'est que D(~b~, b~bm, b~,b~,, ~b~ , ml ,m~)> l .

I Ib ) L 'un des deux cycles CI, G~ eontient deux ~l~ments permutes par T et le second des deux cycles C1, G~ contient quatre de ces ~l~fments. Soit C~ le cycle de S qui permute les deux ~l~ments bj, b~ de T et soit C~ le cycle de S qui permute les quatre autres ~l~ments b~, bin, b~, b~ de T. Alors pour que S e t T soient imprimitives, il faut et il suffit que l 'on air soit

,

soit 2.

D(b~b~, b~bm, b~b~, bzbq, m 1 , m 2 ) > 1 ,

b~b k-~ b~bj, b~b m ~ bmb z, b~bq ~ bqb~,,

les ensembles {], It}, {1, m } , {p, q} ~tant, /~ l 'ordre pros, (1, 4}, {2, 5} et (3,0}

I Ic) Chacun des cycles C1, C~ contient trois ~ldments permutds par T. Soit C~ le cycle de S qui permute les trois ~l~ments bj, bk, b~ de T et soit C~ le cycle de S qui permute les trois ~l~ments bin, b~ et bq de T . Alors pour que S e t T soient imprimitives, il faut et il suffit que soit

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1. D(b~bk, b~bz, bmb~,, b,,bq, m l , m z ) > l soit

2. que { j ,m}, {k,p} et {l,q} ~tant, k l 'ordre pros, les couples {1,4} , {2,5} , {3,6}, que m ~ = m ~ , b~b~:= bmb~,, b~b~= b,,,b~ .

Soit 3. que {j, k, I} et {m, p , q} 4tant, ~ l 'ordre pros, les ensembles {1 ,3 ,5} et { 2 , 4 , 6 } , que m ~ - - 0 ( m o d 3 ) , m~_----0(mod3),

{%, a,~+.~/~. %+~/~} --- {b~, b~, b,}, {a~, a,,~+,, , .~ , a,,~+~.,~,/~} ---- {bm, b~,,bq}, oh a~t-----b~, a ~ : b ~ .

III . Si S contient trois cycles

Cl=(a la~...am~), C~=(am~+i...amt+m~) , C3=(am~+m~+l...am~+m~+m,), trois cas sont k distinguer.

I I I a) Deux eyc!es de S contiennent ehacun un 616ment permut6 par T et le troisi~me cycle de S contient qu~tre 616ments permut6s par T. Soit b~ r C A, b~ ~ C~, et soient bz, bin, b~,, bq les quatre 616ments per- mut6s par T qui font paxtie du cycle C~ de S, {~,/~, v} -- {1, 2, 3}. Alors pour que S e t T soient imprimitives, il faut et il suffit que soit

1. D(b~ bin, b~ b~, , b~bq , m I , m2 , ma)> 1, soit 2. que {] , k} , {l , m} , {p, q} 6rant, k l 'ordre prbs, les trois ensembles {1,4}, {2, 5},

{3, 6}, que m;t : m~,, b~6,,, : b , , , b z , b~bq ~ bqb~, .

I I Ib ) Un cycle de S contient un seul ~l~ment permut6 pax T, un second cycle de S contient deux ~ldments permutds pax T et le troisi~me cycle de S contient trois ~l~ments permutes par T. Soit bj E C~, b~ et b~ c C~, b~, b~ et bq e Q . Alors pour que S et T soient imprimitives, il faut et il suffit que soit

1. D(b~b~, b,,,b~,, bmbq, m l , m2, m a ) > l , soit

2. que {i t , i k, is} et {im, i~,, iq} 6tant h l 'ordre pros les ensembles { 1 , 3 , 5 } , { 2 , 4 , 6 } on ait m~,~--2m~, b~b~---bzb,~,

my ~ 0 (mod 3),{aim, a~m+~v/3 , a~m+~mv/a } = {b~, b~, bq} off ai~ = b~.

I I Ic ) Chacun des trois cycles de S contient deux ~l~ments permutes pax T. So i en tb~e t b~eC~, b~et b moCk, b~e t bqcC v. Pour q u e S et T soient imprimitives, il faut alors et il suffit que soit

127

1. D(b~b k , ~ tbm, ~ b q , m l , m s , m3) > 1 soit 2. que { j , k } , {l, m}, {p, q} ~tant, k l'ordre prbs, les ensembles {1, 4}, {2, 5}, {3, 6} l 'ona i t b ~ b ~ , : b k b ~ , b~b m = b - ~ t , b ~ = b - ~ , soit 3. que {j ,k}, {l, p}, {m, q} ~tant, ~ l'ordre pros, les ensembles {1,4}, {2, 5}, {3, 6}, l 'ona i t b j b ~ : : b ~ b j , m ~ = m v , b ~ b m = b ~ , 5 ~ , soit 4. que {] , l ,p} et {k, m, q} dtant, ~ l'ordre pros, les ensembles {1 , 3, 5}, {2 , 4 , 6},

on air m 1 = ms = m3 , b~ bl, = b'--t'~,,, = b~, bq .

IV. Si S eontient quatre cycles

C1---- ( a l a s . . . am,) , C~= (am,+1 ...am,+m~) , C3 = (am,+m~+l... am,+m2+m,), C, = (aral+nt~+m.+l...aml+m~+m,+m,),

deux cas sont k distinguer.

IVa) Trois cycles de S contiennent chacun un seul dldment permut~ par T et le quatribme cycle de S contient trois ~ldments permutds par T. Soit b j ~ C a , b1,~Ct, , b l ~ C v , b,~, b~, et bqECQ, {'~'~,~,e}~---" {1, 2, 3, 4}. Pour que S et T soient imprimitives, il faut alors et il suffit que soit

1. D(bmb~,, bmbq, m l , m , , m3, m4)>l , soit 2. que {] ,k , l} ~tant l'un des deux ensembles {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, l'on ait m a : m t , = my ,

m e _~ 0 (mod 3), {a~ m, a~m+mq/3, ai~+~mQ/3 } = {b m, b~,, bq}, oh air ~ : bm.

IVb) Deux cycles de S contiennent chacun un ~ldment permut~ par T et les deux autres cycles de S eontiennent chacun deux dldments permutds par T. Soit b~r b , r b te t b mr bvet bqr Alors pour que S e t T soient imprimitives, il faut et il suffit que soit

1. D(b, bm, b v b q , m ~ , m , , m a , m 4 ) > l , soit 2. que {~,k}, { l ,m}, {p, q} 6tant, k l'ordre prbs, les ensembles {1,4}, {2, 5}, {3, 6}, on air m a = m t , , b t b m = b m b t , b ~ , b q = b q b v , soit 3. que, {],k}, {1, p } , {m, q} 6tant, ~ l'ordre prbs, les ensembles {1,4}, {2, 5}, {3, 6}, on air m a ~ mr, , m,, = mq, btb,,, ----- bvbq, soit 4, que {j, l, m} et {k, p, q} fitant, ~ l'ordre prbs, les ensembles {1 , 3 , 5}, { 2 , 4 , 6 } , l'on air m~...~ 2 m a , mr ~ 2mr , , b tb , , ~ b m b t , b~bq ~ bqbv.

V. Si S contient cinq cycles

C~-~- (a~as . . .am,) , C , = (a~,+~...am,+m,), C a = (am,+m,+~...a~,+m,+m.), C,~--- (am,+~,+m,+~...am+m,+m.+m,),

Ca = (a,n+m,+m,+, , , ,+, . . . am,+m,+m,+m+m,) ,

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quatre cycles de S contiennent chacun un ~ldment permut~ par T, alors que le cinqui~me cycle de S contient deux ~l~mnets permutes par T. Soit

b ~ C ~ , b ~ C ~ , b ~ C v, bm~C ~, b~e tbq~C~, { 2 , / ~ , ~ , ~ , a ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

Pour que S et T soient imprimitives, il faut et il suffit que soit

1. D(b~bq, m l , ms, m3, m4, m s ) > l , soit

2. que, {], ]c}, {l, m}, {p, q} 6tant, ~ l'ordre pros, les ensembles

(1 ,4}, (2, 5}, (3,6}, on ait m ~ : m ~ , m~-----me, b~bq=b~---6~, soit

3. que, {?', k, l} et (m, p, q} dtant, s l'ordre pros, les ensembles

(1 ,3 , 5}, {2,4, 6}, on ait m;~--m~-----mv, m , : 2 m q , b~bq = bqb~.

VI. Si S contient six cycles C1, Cs, C3, C4, Cs, C6 d'ordres respectifs m~, m s, m3, m4, ms, me, chaque cycle de S contient un ~16ment et un seu lpe rmut~par T. Soit b 1EC~, b2eC~, b acC~, b 4EC~, bs~C~ et b~ e Ce, {2,/~, v, ~, a, e} = {1,2, 3, 4, 5, 6}. Alors la condition ndcessaire et suffisante pour que S et T soient imprimitives c'est que soit 1. D(m~, ms, m3, m4, ms, m ~ ) > l , soit 2. que m ~ = m q , m ~ = m ~ , m ~ = m e soit 3. que m ~ = m ~ = m a , m ~ = m q = m e .

Les bases des groupes ~ , ~7 et ~s dont l 'une des substitutions est un cycle du sixi~me ordre.

Soit n u n entier vdrifiant les indgalitds 6 < n < 8, soit ~ le groupe symdtrique d'ordre n! dont les substitutions permutent les dldments 1 ,2 . . . . . n, et soient S e t T deux substitutions de ~ , dont l'une T est un cycle du sixibme ordre. La condition que S et T soient connexes et primitives est alors ndcessaire pour que S e t T puissent constituer une base de ~ , mais cette condition n'est pas suffisante. Soit T = (a~a2aaa4aaa~). Distingons maintenant les cas off n = 6, 7 et 8.

1. Soit n = 6. Alors la condition ndcessaire et suffisante pour que les deux substitutions S e t T constituent une base de ~ , c'est que S et T soient connexes et primitives et que S r T i Ui T -i, off

U : (ala~a4aaaeas) , ~ : 1 , 2 , 3 , 4 , 5

U = (alaaasasaea4) , ] = 1, 2 U : (alasa3aea,), ] : 1 ,2 , 3, 4 U : (ala2aaas) ou (alasasa3) , ~ : 1 , 2 , 3

U = (alasasa4) ~ = 1

U = (alas) (a, a4) , j = 1, i = 1 , 2 , 3 .

l i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

I 9 Commentarti Mathcraatici Helvetici 129

2. Soit n = 7. Alors la condit ion ndcessaire et suffisante pour que ( S , T ) = ~7, c 'est que S e t T soient connexes e t primit ives e t que S =/= TiU~T -i, off

i ~ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 et

U -= (ala~asa4a6aTa3) ou (ala2a6aTa3asa4), ] = 1 U = (a~a~aeaaa~as) ou (a~a~a4a~a6a3), ] = 1, 2, 3, 4 . 5

a~ d6signant le nombre de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 qui n 'es t pas permut~ pa r T .

3. Soit n = 8. Alors la condit ion ndcessaire e t suffisante pour que (S, T ) ~ ~s, c 'est que S et T soient connexes e t pr imit ives e t que S = / = R k T i U J T - i R - k , o~ R = ( a ~ a s ) , k ~ 1 ou 2, i ~ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

U = (ala,aaa6aTasasa,), (a la ,a , aaasaea~as) ou (ala,,asa3a~asaea,). j - ~ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

U ~ (ala2asasa6aaa4a~), ~ ~ 1 , 2 , 3 U -~ (ala~aaaTa4aeas), j ~ l , 2, 3, 4, 5, 6 U = (ala~asaeasa~) ou (ala3asa~a6as) j = 1 , 2 , 3, 4, 5 U = (ala2a~asa4as), ~ = 1 , 2

a T e t a s ddsignant les deux nombres de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 qui ne sont pas permutds par T.

(Re~u le 14 avril 1949.)

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Documents

Les bases du groupe symétrique dont l'une des substitutions est un cycle du sixième ordre