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Revue
Construction
Métallique
DÉVERSEMENT ÉLASTIQUE
D’UNE POUTRE À SECTION BI-SYMÉTRIQUE
SOUMISE À DES MOMENTS D’EXTRÉMITÉ
ET UNE CHARGE RÉPARTIE OU CONCENTRÉE
par Y. GALÉA
Référence
STA-CAL 1-02
1. – INTRODUCTION
Que ce soit dans les Commentaires de l’article 5.22 de l’Additif 80 aux règles CM66 [1]ou dans l’Annexe F de l’EC3-DAN [2], tous deux consacrés au calcul du moment critiquede déversement élastique Mcr (ou MD) d’une poutre fléchie, le praticien ne peut trouvertout ce dont il a besoin pour appliquer la formulation énoncée au cas pourtant fréquentd’une poutre soumise à moments d’extrémité et chargement transversal. En effet, et ense limitant volontairement ici au cas des sections bi-symétriques pour écarter C3 (voirEC3 DAN), les coefficients C1 et C2 imprimant dans Mcr l’influence de la forme de la dis-tribution du moment fléchissant, des conditions de maintiens aux extrémités et du pointd’application des charges ne sont pas donnés pour ce type de chargement.
L’auteur avait pour cela fourni il y a plus de vingt ans dans la référence [3] des abaqueset une formulation de ces coefficients qui résultaient d’une approche analytique menéemanuellement en adoptant comme hypothèse une déformée d’instabilité en une demionde de sinusoïde à une onde. La nécessité d’envisager un développement en série deFourrier en sinus avec un plus grand nombre de termes se faisait cependant déjà sentirpuisqu’il avait été précisé dans cette référence [3] que les résultats obtenus pouvaients’avérer d’une précision insuffisante dans certaines parties du domaine investigué. Maisla pratique et la puissance de l’informatique n’étant pas à l’époque ce qu’elles sontdevenues, l’auteur avait mis en suspens ces développements futurs et s’en était tenu là.
Depuis, des comparaisons faites avec des calculs plus précis ont pu confirmer qu’eneffet l’erreur commise dans certains cas pouvait atteindre 40 % pour C1, bien que lesrésultats soient tout à fait acceptables dans une grande partie de l’étendue de l’étude,avec des erreurs du même ordre induites pour C2. Il était donc indispensable, pourl’auteur, de reprendre cette étude avec les moyens d’aujourd’hui et de fournir au prati-cien des résultats plus fiables.
1
CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIEL
DE LA CONSTRUCTION MÉTALLIQUE
Domaine de Saint-Paul, 78470 Saint-Rémy-lès-ChevreuseTél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38
Construction Métallique, n° 2-2002
Y. GALÉA – Chef du service Recherche et Développement au CTICM
STA-CAL 1-02
Construction Métallique, n° 2-2002
60 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
2
2. – ÉTENDUE DE L’ÉTUDE
Sont considérées ici les poutres rectilignes à section bi-symétrique constante, fléchiespar rapport à leur axe de forte inertie selon l’un des schémas de la figure 1. Le secondcas n’était pas traité dans l’étude initiale [3].
Fig. 1
Les extrémités de la poutre sont maintenues au déversement (translation latérale etrotation de torsion), en supposant une rotation en flexion latérale et un gauchissementlibres (conditions classiques d’appuis dits «à fourche»). Il n’y a pas de maintiens entreles extrémités de la poutre.
Ainsi, la distribution du moment fléchissant peut être caractérisée par les deux para-mètres suivants :
ψ rapport des moments aux extrémités. Par définition : – 1 � ψ � 1
ψ = 1 correspond au moment uniforme.
a) µ = rapport du moment isostatique au moment d’extrémité maximum M envaleur absolue
b) µ =
µ � 0 si q (ou F ) et le moment maximum d’extrémité M fléchissentla poutre dans le même sens (cas de la figure 1).
Dans ces conditions, et en adoptant ici les notations de l’Annexe F de l’EC3-DAN [2], lemoment critique de déversement Mcr au point de moment maximum dans la poutre estdonné par :
Mcr = C1 ��������+ + (C2zg)2 – C2 zg)� (1)
où :
E module d’Young
G module de cisaillement (G = E/2,6 pour l’acier)
Iz inertie de flexion de la section par rapport à l’axe faible
It inertie de torsion de la section
Iw inertie de gauchissement de la section (Iw = Iz h2/4 pour profils en I, h = distanceentre centres de gravité des semelles)
L2GItπ2EIz
IwIz
π2EIzL2
FL
4M
qL2
8M
M ψMq
La)
M ψMF
Lb)
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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 61
3
zg distance du point d’application de la charge au centre de gravité de la section
zg � 0 si la charge transversale est dirigée vers le centre de gravité
zg = 0 si la charge est appliquée au centre de gravité
zg � 0 si la charge s’éloigne du centre de gravité de la section
Fig. 2
C1, C2 coefficients dépendant de la distribution du moment fléchissant, donc ici desparamètres ψ et µ.
Note : Bien qu’en réalité le coefficient C1 varie également notablement avec le rapport
χ = ��� (voir par exemple [4] où la variation de C1 pour les moments
d’extrémité peut atteindre 15 % dans certaines conditions), on ne considèrera icique les valeurs minimales, obtenues pour Iw = 0. En écartant l’influence de ceparamètre χ sur le coefficient majeur C1, on se place ainsi en sécurité. La valeurde C2 doit être logiquement calculée dans les mêmes conditions.
3. – MÉTHODE DE CALCUL EMPLOYÉE
3,1. – Présentation succincte du logiciel utilisé et de la méthodologie appliquée
Dans le cadre d’un projet de recherche européen sur le déversement [5], l’auteur a étéamené à développer un logiciel (nommé LTBEAM) de calcul du moment critique dedéversement élastique de poutres fléchies isostatiques ou continues. Ce logiciel permetde traiter un éventail très large de cas de supports en déversement (maintiens ponctuelsou répartis, au centre de gravité des sections ou en dehors, maintiens rigides ou élas-tiques,…) et de chargement (appliqué ou non au centre de gravité des sections). Ce logi-ciel a été validé avec succès par comparaison avec des résultats tirés de la littératurespécialisée ou obtenus par simulations numériques réalisées par divers partenaireseuropéens sur différents codes par éléments finis (ANSYS, FINELG, ABAQUS, …).
Il n’est pas dans l’objet de cette note technique de détailler les bases du logicielLTBEAM auxquelles un article spécifique pourrait être consacré, mais on précise ici quela modélisation du comportement de la poutre y fait appel à la technique des élémentsfinis de type «tronçon de poutre» (donc à 2 nœuds), ce qui impose une discrétisation dela poutre en un certain nombre de petits éléments. Les composantes de déplacement –les degrés de liberté – prises en compte à chaque nœud ainsi créé sont essentiellement :
● le déplacement latéral,
● la rotation de torsion,
EIwGItL2
G GG
zg > 0 zg = 0 zg < 0
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62 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
4
● la rotation de flexion latérale,
● et le gauchissement.
La matrice de rigidité tangente K du système, ayant été établie à l’issue d’un bilan éner-gétique à l’instabilité exprimé dans le cadre d’une théorie linéaire de la stabilité (bifurca-tion d’équilibre à partir d’une configuration non déformée), est donc construite, ou plusexactement sa partie « linéaire» KL et sa partie «géométrique» KG(M). Cette dernière estfonction des moments de flexion M dans les éléments de poutre. La détermination dumultiplicateur critique φcr de la distribution de moment fléchissant M dans la poutre estréalisée par résolution du problème aux valeurs propres associé.
Déterminant |KL + φcr KG(M )| = 0
Si Mmax est le moment maximum dans la poutre sous les charges appliquées, lemoment critique est alors obtenu par :
Mcr = φcr . Mmax
Pour déterminer les coefficients C1 et C2 pour un cas donné caractérisé par un couple devaleurs (ψ, µ) des paramètres définis plus haut, la procédure générale suivante a étéappliquée :
a) on a choisi des valeurs de L, Iz et It, mais on a pris Iw = 0 pour les raisons expliquéesdans la Note exposée plus haut au § 2. La poutre a été discrétisée en 50 éléments.
b) en présence des moments d’extrémités M et ψM, la charge transversale q (ou F ) a étéappliquée tout d’abord au centre de gravité (zg = 0), ce qui a permis d’écarterl’influence de C2 dans ce premier temps, et une première valeur Mcr1 a été calculéepar le programme LTBEAM. C1 a été alors déduit par la formule suivante résultant dela résolution de l’expession (1) en C1 :
C1 =
c) puis, toujours en présence des moments d’extrémité, la charge transversale q (ou F )a été appliquée à une distance donnée zg du centre de gravité. Une deuxième valeurMcr2 du moment critique a été ainsi calculée avec LTBEAM.
d) Adoptant la valeur de C1 calculée auparavant en b), le coefficient C2 a été ensuiteobtenu en tirant sa valeur de l’expression (1) avec Mcr = Mcr2.
3,2. – Discussion sur certains choix faits et hypothèses adoptées
En a) de la procédure ci-dessus, le logiciel impose de choisir des caractéristiques de sec-tion, donc, en pratique, un profil. En c), une valeur de zg doit aussi être fixée. La sensibi-lité de C1 et C2 à ces paramètres a par conséquent été regardée.
Il est apparu que C1 affiche une très bonne constance, quelle que soit la série de profils(toujours avec Iw = 0), et est bien sûr indépendant de zg par définition.
Il n’en est pas de même pour C2 qui peut varier notablement selon le profil et la distancezg retenus. Ainsi la figure 3 montre l’évolution de C2 pour 3 profils de la série IPE, enfonction du rapport zg/h où h est la hauteur du profil, et ceci pour le cas de la chargeconcentrée seule (à mi-portée) et de la charge répartie seule (sans moments d’extré-mité). Ces 2 cas de charges sont bien sûr ceux pour lesquels une imprécision sur C2 esttransmise avec son effet maximal sur Mcr.
Mcr1L
���EIzGIt
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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 63
5
Fig. 3
La figure 3, relative à des profils IPE, montre que pour le cas de la charge répartie, lavariation de C2 est relativement faible, et que le choix du profil et de zg /h n’a pratique-ment pas d’influence (la conclusion est identique pour des profils HEA et HEB).
Par contre, la variation de C2 est très notable pour la charge concentrée. Aussi, pourdonner au praticien des valeurs «uniques» mais «acceptables» de C2 dans ce cas, unprofil «moyen» – le profil IPE 300 – a été retenu (en lui imposant Iw = 0) et, sachant quedans la pratique, la charge transversale est généralement gravitaire et appliquée auniveau de la semelle supérieure, une valeur zg = + h/2 a été fixée. Il faut garder à l’idéeque dans le cas présent de combinaison de la charge transversale avec des momentsd’extrémité, l’influence d’une imprécision sur C2 est d’autant plus diminuée que le para-mètre µ est faible (en valeur absolue), c’est-à-dire que le moment «isostatique» dû à lacharge transversale est faible.
Enfin, la méthode étant numérique, une formulation analytique n’est malheureusement
pas disponible ici, contrairement à ce qui avait pu être fait dans l’étude [3].
4. – TABLEAUX ET ABAQUES DE COEFFICIENTS C1 ET C2 –
EXEMPLES D’UTILISATION
Les coefficients C1 et C2 sont donnés en annexes sous forme de tableaux et sous formed’abaques. Il a été jugé utile de donner également ces coefficients sous forme detableaux car la lecture des courbes n’est pas toujours très aisée à cause de leur entrela-cement dans certains domaines. De plus, les valeurs peuvent être reprises dans un pro-gramme ou dans un tableur pour faciliter les interpolations car une formulation analy-tique n’est pas disponible ici.
Les tableaux sont donnés en Annexe A et les abaques en Annexe B :
● Moments d’extrémité et charge répartie
Tableau/Abaque 1 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau/Abaque 2 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau/Abaque 3 : Coefficient C2 – µ � 0
Tableau/Abaque 4 : Coefficient C2 – µ � 0
0.300
0.350
0.400
0.450
0.500
0.550
0.600
0.650
0.700
-1 -0.5 0 0.5 1
IPE80
IPE300
IPE600
IPE80
IPE300
IPE600
Charge répartie
Charge concentrée
zg/h
C2
[ ]
[ ]
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64 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
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● Moments d’extrémité et charge concentrée
Tableau/Abaque 5 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau/Abaque 6 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau/Abaque 7 : Coefficient C2 – µ � 0
Tableau/Abaque 8 : Coefficient C2 – Q � 0
Dans les abaques, le domaine des valeurs de � est 0 � ��� � 2 pour cause de lisibilité,
alors qu’il est étendu jusqu’à ��� = 10 dans les tableaux.
Une information succincte est donnée ci-après sur la comparaison avec les résultats del’étude précédente [3]. Puis deux exemples d’utilisation des tableaux donnés en AnnexeA sont exposés, en poussant le calcul jusqu’à la vérification de la résistance ultime audéversement avec l’EC3-DAN [2].
4,1. – Comparaison avec l’étude précédente [3]
Dans l’étude [3], les courbes avaient été tracées pour un coefficient C 01 relatif au
moment maximum d’extrémité M ; le coefficient C1 relatif au moment maximum Mmaxdans la barre était obtenu par C1 = C 0
1 �Mmax/M�. Pour µ � 0,2 – ψ et µ � – 1,2 (en valeuralgébrique), l’écart entre les valeurs de C1 (et non C 0
1) obtenues dans l’étude précédenteet celles obtenues ici reste inférieur à 3 %, en diminuant rapidement dès qu’on s’éloignede ces limites. Entre ces 2 limites, l’erreur peut atteindre 16 % dans le domaine µ � 0 et43 % dans le domaine µ � 0.
En ce qui concerne l’écart sur les valeurs de C2, les domaines d’erreur mineure sont parcontre plus difficiles à préciser. Mais dans certains cas, l’écart atteint 50 %. L’imprécisionsur ce coefficient a cependant, sur la valeur du moment critique Mcr, une incidencemoins «directe» que celle sur C1 qui est le coefficient majeur.
4,2 – Exemple d’application 1
4,21. – Données
Profil : IPE 200 Longueur L = 4 m
Extrémités maintenues en déversement
Caractéristiques : Iz = 142,4 cm4
It = 7,02 cm4
Iw = 13052 cm6
Wpl.y = 220,6 cm3
Matériau : E = 210 000 MPa
G = 80 769 MPa
fy = 235 MPa
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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 65
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Distribution du moment de flexion :
4,22. – Moment critique de déversement
La charge q et le moment d’extrémité M pris séparément fléchissent la poutre en senscontraire. Le paramètre µ est donc affecté du signe négatif.
µ = – = – = – 0,667 � 0
Les tableaux concernés sont le tableau 2 pour C1 et le tableau 4 pour C2.
Calcul de C1
Extrait du tableau 2 :
La double interpolation linéaire conduit à C1 = 2,30.
Calcul de C2
Extrait du tableau 4 :
La double interpolation linéaire conduit à C2 = 0,581.
µ \ ψ -0,5 -0,4 -0,6 0,540 0,625 -0,7 0,544 0,617
µ \ ψ -0,5 -0,4 -0,6 2,385 2,722 -0,7 2,046 2,300
10 × 42
8 × 30qL2
8M
M ψMq
L
Mψ M
M = 30 kN.m ψ = -0,45 q = 10 kN/m gravitaire
appliquée sur la semelle supérieure, zg = +h/2 = 10 cm (> 0)
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66 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
8
Calcul de Mcr
Mcr = C1 ��������+ + (C2zg)2 – C2 zg)�
Mcr = 2,3 ×
×������������+ + (0,581�× 1�0)2� – 0,581 × 10)�Mcr = 636127 daN . cm = 63,61 kN . m
Le moment de flexion maximum se situant ici à l’origine de la poutre (Mmax = 30 kN . m),
cette valeur de Mcr est donc aussi la valeur critique du moment à l’origine de la poutre.
Valeur de référence trouvée par le logiciel LTBEAM : Mcr = 63,74 kN . m
(La présente méthode donne donc un écart sécuritaire de : 0,2 %).
4,23. – Vérification de la résistance selon l’EC3-DAN [2]
On donne ci-après les principaux résultats intermédiaires sans les détailler. Les réfé-rences entre parenthèses sont celles des clauses concernées de l’EC3-DAN [2].
Classe de la section : 1 → βW = 1,0 (§ 5.5.2 (1))
Courbe de déversement :a (Tableau 5.5.3)
Élancement réduit :λLT = ������������βwWpl.y fy /Mcr = 0,903 (§ 5.5.2 (5))
� 0,4 → Réduction due au déversement (§ 5.5.2 (7))
Facteur d’imperfection : αLT = 0,21 (§ 5.5.2 (3))
Paramètre φLT : φLT = 0,5[1 + αLT (λLT – 0,2) +
λ2
LT] = 0,981 (§ 5.5.2 (2))
Coefficient de réduction : χLT = = 0,732 (§ 5.5.2 (2))
Coefficient de sécurité : γM1 = 1,1 (§ 5.1.1 (2))
Moment résistant : Mb.Rd = χLT βW Wpl.yfy /γM1 = 34,5 kN . m (§ 5.5.2 (1))
Moment maximum : My.Sd = 30 kN . m
Vérification : My.Sd � Mb.Rd → Résistance au déversement vérifiée
1
φLT + �φ2LT –
λ2
LT
4002 × 807690 × 7,02
π2 × 2100000 × 142,4
13052
142,4
π2 × 2100000 × 142,4
4002
L2GItπ2EIz
IwIz
π2EIzL2
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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 67
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4,3. – Exemple d’application 2
4,31 – Données
Profil : HEA 500 Longueur L = 12 m
Extrémités maintenues au déversement
Caractéristiques : Iz = 10367 cm4
It = 310,3 cm4
Iw = 5652400 cm6
Wpl.y = 3949 cm3
Matériau : E = 210 000 MPa
G = 80 769 MPa
fy = 235 MPa
Distribution du moment de flexion :
4,32 – Moment critique de déversement
La charge F et le moment d’extrémité M pris séparément fléchissent la poutre dans lemême sens (moment isostatique et M de même signe). Le paramètre µ est donc affectédu signe positif.
µ = = = 1,5 � 0
Les tableaux concernés sont le tableau 5 pour C1 et le tableau 7 pour C2.
Calcul de C1
Avec ψ = – 0,8 et µ = 1,5, la lecture dans le tableau 5 donne directement : C1 = 1,263.
150 × 12
4 × 300FL
4M
M ψM
F
L
M
ψ M
M = 300 kN.m ψ = -0,8 F = 150 kN gravitaire
accrochée sous la semelle inférieure, zg = -h/2 = -24,5 cm (< 0)
Mmax = 480 kN.m à mi-portée →
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68 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
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Calcul de C2
Avec ψ = – 0,8 et µ = 1,5, la lecture dans le tableau 7 donne directement : C2 = 0,448.
Calcul de Mcr
Mcr = C1 ��������+ + (C2zg)2 – C2 zg)�Mcr = 1,263 ×
×�� + + (0,448 × (– 24,5))2 – 0,448 × (– 24,5))�Mcr = 11 195 300 daN . cm = 1119,53 kN . m
Le moment de flexion maximum se situant ici à mi-portée de la poutre (Mmax = 480 kN . m),
cette valeur de Mcr est donc aussi la valeur critique du moment à mi-portée de la poutre.
Valeur de référence trouvée par le logiciel LTBEAM : Mcr = 1145,7 kN . m
(La présente méthode donne donc un écart sécuritaire de : 2,3 %. L’aspect légèrementsécuritaire du choix fait au § 3 concernant la valeur de zg utilisée pour établir lestableaux y contribue pour une bonne part).
4,33. – Vérification de la résistance selon l’EC3-DAN [2]
On donne ci-après les principaux résultats intermédiaires sans les détailler. Les réfé-rences entre parenthèses sont celles des clauses concernées de l’EC3-DAN [2].
Classe de la section : 1 → βW = 1,0 (§ 5.5.2 (1))
Courbe de déversement :a (Tableau 5.5.3)
Élancement réduit :λLT = ������������βwWpl.y fy /Mcr = 0,9105 (§ 5.5.2 (5))
� 0,4 → Réduction due au déversement (§ 5.5.2 (7))
Facteur d’imperfection : αLT = 0,21 (§ 5.5.2 (3))
Paramètre φLT : φLT = 0,5[1 + αLT (λLT – 0,2) +
λ2
LT] = 0,989 (§ 5.5.2 (2))
Coefficient de réduction : χLT = = 0,727 (§ 5.5.2 (2))
Coefficient de sécurité : γM1 = 1,1 (§ 5.1.1 (2))
Moment résistant : Mb.Rd = χLT βW Wpl.yfy /γM1 = 613,4 kN . m (§ 5.5.2 (1))
Moment maximum : My.Sd = 480 kN . m
Vérification : My.Sd � Mb.Rd → Résistance au déversement vérifiée.
1
φLT + �φ2LT –
λ2
LT
12002 × 807690 × 310,3
π2 × 2100000 × 10367
5652400
10367
π2 × 2100000 × 10367
12002
L2GItπ2EIz
IwIz
π2EIzL2
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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 69
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5. – CONCLUSION
Il faut avoir à l’esprit que la formule (1), et plus généralement la formulation complètedonnée dans l’EC3-DAN Annexe F [2], est un modèle simplifié pour calculer le momentcritique de déversement. Ce modèle ne devient analytiquement exact que dans certainscas élémentaires précis (où, au minimum, la déformée d’instabilité est une sinusoïdeparfaite). L’applicabilité d’une telle formule à des cas s’en éloignant se fait en adaptant,avec plus ou moins de précision, les coefficients qui y interviennent, notamment C1, C2et C3. Dans des cas complexes, pourtant rencontrés souvent dans la pratique, proposerdes valeurs fiables de ces coefficients devient problématique car la formulation de Mcrn’est plus très adaptée. Si l’on ne veut pas adopter des hypothèses simplificatrices, logi-quement pénalisantes, et si l’on veut avoir une bonne estimation de Mcr, le recours àl’informatique, via des logiciels comme LTBEAM utilisé dans cette étude, devient alorsdifficilement contournable.
6. – RÉFÉRENCES
[1] DTU P22-701 – Règles CM66 – «Règles de calcul des construction en acier» – Addi-tif 80 (juin 1980) – 12e édition – 1996.
[2] XP P22-311 – EC3-DAN – «Calcul des structures en acier» et Document d’Applica-tion Nationale – Partie 1.1 : «Règles générales et règles pour les bâtiments».
[3] Y. Galéa – «Abaques de déversement pour profils laminés» – Revue ConstructionMétallique n° 4-1981 – CTICM.
[4] M. Braham – «Le déversement élastique des poutres en I à section monosymé-trique soumises à un gradient de moment de flexion» – Revue Construction Métal-lique n° 1-2001 – CTICM.
[5] Recherche européenne CECA «Déversement des poutres en acier et mixtes acier-béton» – Projet n° 7210 PR 183 – Septembre 1999-Août 2002.
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70 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
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ANNEXE A
Tableaux de coefficients C1 et C2
● Moments d’extrémité et charge répartie
Tableau 1 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau 2 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau 3 : Coefficient C2 – µ � 0
Tableau 4 : Coefficient C2 – µ � 0
● Moments d’extrémité et charge concentrée
Tableau 5 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau 6 : Coefficient C1 – µ � 0
Tableau 7 : Coefficient C2 – µ � 0
Tableau 8 : Coefficient C2 – µ � 0
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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 71
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M
ψM
ψ
M
ψM
C1
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1 0
2,55
4 2,
627
2,60
6 2,
534
2,43
8 2,
331
2,21
9 2,
104
1,99
0 1,
878
1,77
0 1,
667
1,56
9 1,
477
1,39
1 1,
312
1,23
8 1,
171
1,10
9 1,
052
1,00
0 0,
1 2,
450
2,41
1 2,
337
2,24
6 2,
148
2,04
6 1,
943
1,84
2 1,
744
1,64
8 1,
558
1,47
2 1,
391
1,31
5 1,
245
1,17
9 1,
119
1,07
0 1,
037
1,01
8 1,
012
0,2
2,23
3 2,
160
2,07
6 1,
986
1,89
4 1,
802
1,71
2 1,
625
1,54
1 1,
461
1,38
5 1,
314
1,24
6 1,
187
1,13
9 1,
101
1,07
1 1,
049
1,03
4 1,
025
1,02
2 0,
3 2,
003
1,92
5 1,
843
1,76
0 1,
678
1,59
8 1,
521
1,44
6 1,
375
1,31
0 1,
254
1,20
6 1,
165
1,13
1 1,
102
1,08
0 1,
062
1,04
8 1,
039
1,03
3 1,
030
0,4
1,79
0 1,
717
1,64
2 1,
569
1,49
7 1,
430
1,37
0 1,
316
1,26
9 1,
227
1,19
0 1,
159
1,13
1 1,
108
1,08
9 1,
073
1,06
1 1,
051
1,04
4 1,
039
1,03
7 0,
5 1,
604
1,53
9 1,
479
1,42
3 1,
373
1,32
6 1,
284
1,24
7 1,
213
1,18
4 1,
157
1,13
5 1,
115
1,09
8 1,
084
1,07
2 1,
063
1,05
5 1,
049
1,04
6 1,
043
0,6
1,46
8 1,
421
1,37
7 1,
336
1,29
9 1,
265
1,23
4 1,
206
1,18
1 1,
159
1,13
9 1,
122
1,10
6 1,
093
1,08
2 1,
073
1,06
5 1,
059
1,05
4 1,
051
1,04
9 0,
7 1,
382
1,34
6 1,
313
1,28
2 1,
253
1,22
7 1,
203
1,18
1 1,
161
1,14
4 1,
128
1,11
4 1,
102
1,09
1 1,
082
1,07
4 1,
068
1,06
3 1,
059
1,05
6 1,
054
0,8
1,32
4 1,
296
1,27
0 1,
245
1,22
2 1,
201
1,18
2 1,
164
1,14
8 1,
134
1,12
1 1,
110
1,10
0 1,
090
1,08
3 1,
076
1,07
1 1,
066
1,06
2 1,
060
1,05
8 0,
9 1,
284
1,26
1 1,
239
1,21
9 1,
201
1,18
3 1,
167
1,15
3 1,
140
1,12
8 1,
117
1,10
7 1,
098
1,09
1 1,
084
1,07
8 1,
073
1,06
9 1,
066
1,06
3 1,
061
1 1,
254
1,23
6 1,
217
1,20
1 1,
185
1,17
0 1,
157
1,14
5 1,
133
1,12
3 1,
114
1,10
5 1,
098
1,09
1 1,
085
1,08
0 1,
076
1,07
2 1,
069
1,06
7 1,
065
1,1
1,23
3 1,
217
1,20
1 1,
187
1,17
4 1,
161
1,15
0 1,
139
1,12
9 1,
120
1,11
2 1,
105
1,09
8 1,
092
1,08
7 1,
082
1,07
8 1,
075
1,07
2 1,
070
1,06
8 1,
2 1,
216
1,20
2 1,
189
1,17
6 1,
165
1,15
4 1,
144
1,13
5 1,
126
1,11
8 1,
111
1,10
4 1,
098
1,09
3 1,
088
1,08
4 1,
081
1,07
7 1,
075
1,07
2 1,
071
1,3
1,20
3 1,
191
1,17
9 1,
168
1,15
8 1,
148
1,13
9 1,
131
1,12
4 1,
117
1,11
0 1,
104
1,09
9 1,
094
1,09
0 1,
086
1,08
3 1,
079
1,07
7 1,
075
1,07
3 1,
4 1,
193
1,18
1 1,
172
1,16
2 1,
153
1,14
4 1,
136
1,12
9 1,
122
1,11
6 1,
110
1,10
4 1,
099
1,09
5 1,
091
1,08
7 1,
084
1,08
1 1,
079
1,07
7 1,
075
1,5
1,18
4 1,
175
1,16
5 1,
157
1,14
8 1,
141
1,13
4 1,
127
1,12
1 1,
115
1,11
0 1,
105
1,10
0 1,
096
1,09
2 1,
089
1,08
6 1,
083
1,08
1 1,
079
1,07
8 1,
6 1,
177
1,16
8 1,
160
1,15
2 1,
145
1,13
8 1,
131
1,12
5 1,
120
1,11
4 1,
110
1,10
5 1,
101
1,09
7 1,
094
1,09
1 1,
088
1,08
5 1,
083
1,08
1 1,
080
1,7
1,17
1 1,
164
1,15
6 1,
149
1,14
2 1,
135
1,13
0 1,
124
1,11
9 1,
114
1,10
9 1,
105
1,10
2 1,
098
1,09
5 1,
092
1,08
9 1,
087
1,08
5 1,
083
1,08
1 1,
8 1,
167
1,15
9 1,
153
1,14
6 1,
140
1,13
4 1,
128
1,12
3 1,
118
1,11
4 1,
109
1,10
6 1,
102
1,09
9 1,
096
1,09
3 1,
090
1,08
8 1,
086
1,08
4 1,
083
2 1,
159
1,15
3 1,
147
1,14
1 1,
136
1,13
1 1,
126
1,12
2 1,
118
1,11
4 1,
110
1,10
7 1,
103
1,10
1 1,
098
1,09
5 1,
093
1,09
1 1,
089
1,08
7 1,
086
2,2
1,15
3 1,
148
1,14
3 1,
138
1,13
3 1,
129
1,12
5 1,
121
1,11
7 1,
114
1,11
1 1,
107
1,10
5 1,
102
1,10
0 1,
097
1,09
5 1,
093
1,09
1 1,
090
1,08
9 2,
5 1,
148
1,14
3 1,
139
1,13
5 1,
131
1,12
7 1,
124
1,12
0 1,
117
1,11
4 1,
111
1,10
9 1,
107
1,10
4 1,
102
1,10
0 1,
098
1,09
6 1,
094
1,09
3 1,
092
3 1,
141
1,13
8 1,
135
1,13
1 1,
128
1,12
6 1,
123
1,12
0 1,
117
1,11
5 1,
113
1,11
1 1,
109
1,10
7 1,
105
1,10
3 1,
102
1,10
0 1,
099
1,09
8 1,
096
3,5
1,13
7 1,
134
1,13
2 1,
130
1,12
7 1,
125
1,12
2 1,
120
1,11
8 1,
116
1,11
4 1,
112
1,11
1 1,
109
1,10
8 1,
106
1,10
5 1,
103
1,10
2 1,
101
1,10
0 4
1,13
5 1,
133
1,13
0 1,
128
1,12
6 1,
124
1,12
2 1,
121
1,11
9 1,
117
1,11
5 1,
114
1,11
2 1,
111
1,11
0 1,
108
1,10
7 1,
105
1,10
5 1,
104
1,10
3 5
1,13
2 1,
130
1,12
9 1,
127
1,12
6 1,
124
1,12
2 1,
121
1,11
9 1,
118
1,11
7 1,
116
1,11
5 1,
114
1,11
2 1,
111
1,11
0 1,
109
1,10
8 1,
108
1,10
7 7
1,12
9 1,
128
1,12
7 1,
126
1,12
5 1,
124
1,12
3 1,
122
1,12
1 1,
120
1,12
0 1,
119
1,11
8 1,
117
1,11
6 1,
115
1,11
4 1,
114
1,11
3 1,
112
1,11
2 10
1,
128
1,12
7 1,
127
1,12
6 1,
125
1,12
5 1,
124
1,12
3 1,
123
1,12
2 1,
121
1,12
1 1,
120
1,11
9 1,
119
1,11
8 1,
118
1,11
7 1,
117
1,11
6 1,
116
µ=qL²/8M > 0
∞
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7
TABLEAU 1 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ � 0
STA-CAL 1-02
Construction Métallique, n° 2-2002
72 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
14
Mψ
M
ψ
Mψ
M
C1
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1 0
2,55
4 2,
627
2,60
6 2,
534
2,43
8 2,
331
2,21
9 2,
104
1,99
0 1,
878
1,77
0 1,
667
1,56
9 1,
477
1,39
1 1,
312
1,23
8 1,
171
1,10
9 1,
052
1,00
0 -0
,1
2,45
0 2,
672
2,80
5 2,
815
2,75
1 2,
653
2,53
8 2,
415
2,28
8 2,
160
2,03
3 1,
909
1,79
1 1,
678
1,57
3 1,
475
1,38
5 1,
302
1,22
7 1,
158
1,09
5 -0
,2
2,23
3 2,
490
2,76
3 2,
972
3,03
4 2,
987
2,89
0 2,
770
2,63
7 2,
497
2,35
4 2,
210
2,06
9 1,
932
1,80
2 1,
680
1,56
7 1,
464
1,37
1 1,
286
1,20
9 -0
,3
2,00
3 2,
231
2,50
5 2,
817
3,10
8 3,
249
3,23
6 3,
149
3,02
7 2,
886
2,73
5 2,
576
2,41
4 2,
252
2,09
4 1,
942
1,80
0 1,
670
1,55
1 1,
444
1,34
8 -0
,4
1,79
0 1,
980
2,21
0 2,
491
2,82
8 3,
190
3,44
0 3,
489
3,42
3 3,
306
3,16
2 3,
001
2,82
9 2,
648
2,46
3 2,
279
2,10
1 1,
934
1,78
1 1,
644
1,52
2 -0
,5
1,60
4 1,
759
1,94
4 2,
171
2,45
0 2,
795
3,20
1 3,
570
3,72
6 3,
703
3,60
1 3,
461
3,29
6 3,
113
2,91
5 2,
705
2,49
0 2,
279
2,08
1 1,
902
1,74
2 -0
,6
1,46
8 1,
570
1,71
9 1,
897
2,11
5 2,
385
2,72
2 3,
140
3,59
8 3,
908
3,97
1 3,
902
3,77
5 3,
614
3,42
6 3,
214
2,97
9 2,
728
2,47
7 2,
240
2,02
7 -0
,7
1,38
2 1,
410
1,53
0 1,
671
1,84
0 2,
046
2,30
0 2,
618
3,02
0 3,
507
3,97
2 4,
191
4,19
2 4,
094
3,94
5 3,
760
3,54
0 3,
281
2,98
9 2,
685
2,40
0 -0
,8
1,32
4 1,
316
1,37
2 1,
486
1,61
8 1,
776
1,96
7 2,
201
2,49
3 2,
862
3,32
6 3,
863
4,29
0 4,
433
4,39
7 4,
276
4,10
4 3,
882
3,60
0 3,
253
2,88
4 -0
,9
1,28
4 1,
278
1,27
1 1,
332
1,43
8 1,
562
1,70
8 1,
882
2,09
5 2,
357
2,68
5 3,
101
3,61
7 4,
175
4,55
0 4,
646
4,58
4 4,
438
4,21
9 3,
898
3,47
1 -1
1,
254
1,25
0 1,
245
1,24
2 1,
291
1,38
9 1,
503
1,63
7 1,
796
1,98
6 2,
218
2,50
5 2,
865
3,31
7 3,
865
4,41
9 4,
754
4,82
0 4,
724
4,49
8 4,
089
-1,1
1,
233
1,22
9 1,
226
1,22
3 1,
222
1,24
8 1,
339
1,44
4 1,
566
1,70
9 1,
879
2,08
3 2,
331
2,63
8 3,
019
3,49
1 4,
045
4,57
4 4,
869
4,87
1 4,
590
-1,2
1,
216
1,21
3 1,
211
1,20
9 1,
208
1,20
8 1,
208
1,29
0 1,
386
1,49
6 1,
625
1,77
5 1,
954
2,16
8 2,
428
2,74
6 3,
136
3,60
7 4,
133
4,58
3 4,
712
-1,3
1,
203
1,20
1 1,
199
1,19
8 1,
197
1,19
7 1,
198
1,20
0 1,
241
1,32
9 1,
429
1,54
4 1,
678
1,83
4 2,
019
2,23
9 2,
504
2,82
3 3,
207
3,64
8 4,
084
-1,4
1,
193
1,19
1 1,
190
1,18
9 1,
189
1,18
9 1,
190
1,19
2 1,
195
1,19
9 1,
274
1,36
4 1,
467
1,58
6 1,
723
1,88
3 2,
070
2,29
2 2,
555
2,86
5 3,
221
-1,5
1,
184
1,18
3 1,
182
1,18
2 1,
182
1,18
3 1,
184
1,18
5 1,
188
1,19
1 1,
196
1,22
1 1,
303
1,39
6 1,
501
1,62
1 1,
760
1,92
0 2,
107
2,32
5 2,
578
-1,6
1,
177
1,17
6 1,
176
1,17
6 1,
176
1,17
7 1,
178
1,18
0 1,
183
1,18
6 1,
190
1,19
4 1,
200
1,24
5 1,
328
1,42
2 1,
528
1,64
9 1,
788
1,94
6 2,
128
-1,7
1,
171
1,17
1 1,
171
1,17
1 1,
171
1,17
2 1,
174
1,17
6 1,
178
1,18
1 1,
185
1,18
9 1,
194
1,19
9 1,
207
1,26
6 1,
350
1,44
4 1,
550
1,67
0 1,
805
-1,8
1,
167
1,16
6 1,
166
1,16
7 1,
167
1,16
8 1,
170
1,17
1 1,
174
1,17
7 1,
180
1,18
4 1,
189
1,19
4 1,
200
1,20
7 1,
214
1,28
3 1,
366
1,46
0 1,
564
-2
1,15
9 1,
159
1,15
9 1,
160
1,16
1 1,
162
1,16
3 1,
165
1,16
7 1,
170
1,17
3 1,
176
1,18
0 1,
185
1,19
0 1,
195
1,20
1 1,
208
1,21
5 1,
223
1,23
2 -2
,2
1,15
3 1,
154
1,15
4 1,
155
1,15
6 1,
157
1,15
9 1,
160
1,16
2 1,
165
1,16
7 1,
170
1,17
4 1,
178
1,18
2 1,
186
1,19
2 1,
197
1,20
3 1,
209
1,21
7 -2
,5
1,14
8 1,
148
1,14
8 1,
149
1,15
1 1,
152
1,15
3 1,
155
1,15
7 1,
159
1,16
1 1,
164
1,16
7 1,
170
1,17
3 1,
177
1,18
1 1,
185
1,18
9 1,
195
1,20
1 -3
1,
141
1,14
2 1,
143
1,14
3 1,
144
1,14
6 1,
147
1,14
8 1,
150
1,15
2 1,
154
1,15
6 1,
158
1,16
0 1,
163
1,16
6 1,
169
1,17
2 1,
175
1,17
9 1,
183
-3,5
1,
137
1,13
8 1,
139
1,14
0 1,
141
1,14
2 1,
143
1,14
4 1,
146
1,14
7 1,
149
1,15
1 1,
152
1,15
5 1,
157
1,15
9 1,
161
1,16
4 1,
167
1,17
0 1,
173
-4
1,13
5 1,
136
1,13
6 1,
137
1,13
8 1,
139
1,14
0 1,
142
1,14
3 1,
144
1,14
5 1,
147
1,14
9 1,
151
1,15
2 1,
154
1,15
6 1,
158
1,16
0 1,
163
1,16
5 -5
1,
132
1,13
3 1,
133
1,13
4 1,
135
1,13
6 1,
137
1,13
8 1,
139
1,14
0 1,
141
1,14
2 1,
144
1,14
5 1,
146
1,14
8 1,
149
1,15
1 1,
152
1,15
4 1,
156
-7
1,12
9 1,
130
1,13
0 1,
131
1,13
2 1,
133
1,13
3 1,
134
1,13
5 1,
136
1,13
7 1,
137
1,13
8 1,
139
1,14
0 1,
141
1,14
2 1,
143
1,14
4 1,
145
1,14
6 -1
0 1,
128
1,12
9 1,
129
1,13
0 1,
130
1,13
1 1,
131
1,13
2 1,
132
1,13
3 1,
133
1,13
4 1,
134
1,13
5 1,
136
1,13
6 1,
137
1,13
8 1,
139
1,13
9 1,
140
µ=qL²/8M < 0
∞
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7 1,
127
1,12
7
TABLEAU 2 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ � 0
Construction Métallique, n° 2-2002
STA-CAL 1-02
Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 73
15
M
ψM
ψ
M
ψM
C2
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1 0
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
1 0,
081
0,07
6 0,
072
0,07
0 0,
068
0,06
6 0,
065
0,06
3 0,
062
0,06
0 0,
058
0,05
6 0,
054
0,05
2 0,
049
0,04
7 0,
045
0,04
3 0,
041
0,03
9 0,
037
0,2
0,14
2 0,
136
0,13
1 0,
128
0,12
5 0,
122
0,11
9 0,
116
0,11
2 0,
109
0,10
5 0,
101
0,09
7 0,
093
0,09
0 0,
086
0,08
2 0,
079
0,07
5 0,
072
0,06
9 0,
3 0,
192
0,18
6 0,
181
0,17
6 0,
172
0,16
7 0,
163
0,15
8 0,
154
0,14
9 0,
144
0,13
8 0,
133
0,12
8 0,
123
0,11
8 0,
113
0,10
9 0,
104
0,10
0 0,
096
0,4
0,23
4 0,
227
0,22
2 0,
216
0,21
1 0,
205
0,19
9 0,
193
0,18
7 0,
181
0,17
5 0,
169
0,16
3 0,
157
0,15
1 0,
145
0,14
0 0,
134
0,12
9 0,
125
0,12
0 0,
5 0,
269
0,26
2 0,
255
0,24
9 0,
242
0,23
6 0,
229
0,22
2 0,
215
0,20
8 0,
201
0,19
4 0,
187
0,18
1 0,
174
0,16
8 0,
162
0,15
7 0,
151
0,14
6 0,
141
0,6
0,29
8 0,
290
0,28
3 0,
276
0,26
8 0,
261
0,25
3 0,
245
0,23
8 0,
230
0,22
3 0,
216
0,20
8 0,
201
0,19
5 0,
188
0,18
2 0,
176
0,17
0 0,
165
0,15
9 0,
7 0,
322
0,31
3 0,
305
0,29
7 0,
289
0,28
1 0,
273
0,26
5 0,
257
0,24
9 0,
241
0,23
4 0,
226
0,21
9 0,
212
0,20
5 0,
199
0,19
3 0,
187
0,18
1 0,
175
0,8
0,34
1 0,
332
0,32
4 0,
315
0,30
7 0,
298
0,29
0 0,
282
0,27
3 0,
265
0,25
7 0,
250
0,24
2 0,
235
0,22
8 0,
221
0,21
4 0,
208
0,20
2 0,
196
0,19
0 0,
9 0,
357
0,34
8 0,
339
0,33
0 0,
321
0,31
3 0,
304
0,29
6 0,
287
0,27
9 0,
271
0,26
3 0,
256
0,24
8 0,
241
0,23
4 0,
227
0,22
1 0,
215
0,20
9 0,
203
1 0,
370
0,36
1 0,
352
0,34
2 0,
334
0,32
5 0,
316
0,30
8 0,
299
0,29
1 0,
283
0,27
5 0,
268
0,26
0 0,
253
0,24
6 0,
240
0,23
3 0,
227
0,22
1 0,
215
1,1
0,38
0 0,
371
0,36
2 0,
353
0,34
4 0,
335
0,32
7 0,
318
0,31
0 0,
302
0,29
4 0,
286
0,27
8 0,
271
0,26
4 0,
257
0,25
0 0,
244
0,23
8 0,
232
0,22
6 1,
2 0,
389
0,38
0 0,
371
0,36
2 0,
353
0,34
4 0,
336
0,32
7 0,
319
0,31
1 0,
303
0,29
5 0,
288
0,28
1 0,
274
0,26
7 0,
260
0,25
4 0,
248
0,24
1 0,
236
1,3
0,39
7 0,
387
0,37
8 0,
369
0,36
0 0,
352
0,34
3 0,
335
0,32
7 0,
319
0,31
1 0,
304
0,29
6 0,
289
0,28
2 0,
275
0,26
9 0,
263
0,25
6 0,
251
0,24
5 1,
4 0,
403
0,39
4 0,
385
0,37
6 0,
367
0,35
9 0,
350
0,34
2 0,
334
0,32
6 0,
318
0,31
1 0,
304
0,29
7 0,
290
0,28
4 0,
277
0,27
1 0,
265
0,25
9 0,
253
1,5
0,40
8 0,
399
0,39
0 0,
381
0,37
3 0,
364
0,35
6 0,
348
0,34
0 0,
333
0,32
5 0,
318
0,31
1 0,
304
0,29
7 0,
291
0,28
4 0,
278
0,27
2 0,
266
0,26
1 1,
6 0,
413
0,40
4 0,
395
0,38
6 0,
378
0,37
0 0,
362
0,35
4 0,
346
0,33
9 0,
331
0,32
4 0,
317
0,31
0 0,
304
0,29
7 0,
291
0,28
5 0,
279
0,27
4 0,
268
1,7
0,41
6 0,
408
0,39
9 0,
391
0,38
3 0,
375
0,36
7 0,
359
0,35
1 0,
344
0,33
7 0,
330
0,32
3 0,
316
0,31
0 0,
303
0,29
7 0,
291
0,28
6 0,
280
0,27
4 1,
8 0,
420
0,41
1 0,
403
0,39
4 0,
386
0,37
9 0,
371
0,36
3 0,
356
0,34
9 0,
342
0,33
5 0,
328
0,32
2 0,
315
0,30
9 0,
303
0,29
7 0,
291
0,28
6 0,
281
2 0,
425
0,41
7 0,
409
0,40
1 0,
393
0,38
6 0,
378
0,37
1 0,
364
0,35
7 0,
351
0,34
4 0,
338
0,33
1 0,
325
0,31
9 0,
313
0,30
8 0,
302
0,29
7 0,
292
2,2
0,42
9 0,
421
0,41
4 0,
406
0,39
9 0,
392
0,38
5 0,
378
0,37
1 0,
365
0,35
8 0,
352
0,34
6 0,
340
0,33
4 0,
328
0,32
3 0,
317
0,31
2 0,
306
0,30
1 2,
5 0,
433
0,42
6 0,
419
0,41
2 0,
406
0,39
9 0,
392
0,38
6 0,
380
0,37
4 0,
368
0,36
2 0,
356
0,35
0 0,
345
0,33
9 0,
334
0,32
9 0,
324
0,31
9 0,
314
3 0,
438
0,43
2 0,
426
0,42
0 0,
413
0,40
8 0,
402
0,39
6 0,
390
0,38
5 0,
380
0,37
4 0,
369
0,36
4 0,
359
0,35
4 0,
349
0,34
4 0,
340
0,33
5 0,
331
3,5
0,44
1 0,
436
0,43
0 0,
425
0,41
9 0,
414
0,40
9 0,
404
0,39
8 0,
393
0,38
9 0,
384
0,37
9 0,
374
0,37
0 0,
365
0,36
1 0,
356
0,35
2 0,
348
0,34
4 4
0,44
4 0,
438
0,43
3 0,
428
0,42
4 0,
419
0,41
4 0,
409
0,40
5 0,
400
0,39
6 0,
391
0,38
7 0,
382
0,37
8 0,
374
0,37
0 0,
366
0,36
2 0,
358
0,35
4 5
0,44
6 0,
442
0,43
7 0,
433
0,42
9 0,
425
0,42
1 0,
417
0,41
3 0,
409
0,40
6 0,
402
0,39
8 0,
394
0,39
1 0,
387
0,38
4 0,
380
0,37
7 0,
374
0,37
0 7
0,44
8 0,
445
0,44
2 0,
439
0,43
5 0,
432
0,42
9 0,
426
0,42
3 0,
420
0,41
8 0,
415
0,41
2 0,
409
0,40
6 0,
404
0,40
1 0,
398
0,39
5 0,
393
0,39
0 10
0,
449
0,44
7 0,
445
0,44
2 0,
440
0,43
8 0,
436
0,43
3 0,
431
0,42
9 0,
427
0,42
5 0,
423
0,42
1 0,
419
0,41
6 0,
414
0,41
2 0,
410
0,40
8 0,
406
µ=qL²/8M > 0
∞
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4
TABLEAU 13 – Coefficient C2 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ � 0
STA-CAL 1-02
Construction Métallique, n° 2-2002
74 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
16
Mψ
M
ψ
Mψ
M
C2
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1 0
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 -0
,1
0,08
3 0,
094
0,09
6 0,
089
0,08
3 0,
080
0,07
7 0,
076
0,07
4 0,
073
0,07
1 0,
069
0,06
7 0,
064
0,06
1 0,
058
0,05
5 0,
052
0,05
0 0,
047
0,04
4 -0
,2
0,15
0 0,
172
0,19
7 0,
209
0,19
7 0,
181
0,17
1 0,
165
0,16
1 0,
159
0,15
6 0,
153
0,14
9 0,
144
0,13
8 0,
132
0,12
4 0,
118
0,11
1 0,
104
0,09
8 -0
,3
0,20
5 0,
232
0,26
5 0,
307
0,33
8 0,
328
0,29
8 0,
277
0,26
6 0,
259
0,25
6 0,
253
0,24
9 0,
243
0,23
5 0,
224
0,21
2 0,
200
0,18
7 0,
175
0,16
4 -0
,4
0,25
0 0,
279
0,31
5 0,
360
0,41
8 0,
477
0,48
7 0,
445
0,40
6 0,
384
0,37
2 0,
367
0,36
4 0,
360
0,35
3 0,
341
0,32
5 0,
306
0,28
5 0,
265
0,24
6 -0
,5
0,28
7 0,
316
0,35
2 0,
396
0,45
3 0,
526
0,61
2 0,
665
0,62
9 0,
567
0,52
6 0,
505
0,49
7 0,
494
0,49
1 0,
483
0,46
7 0,
442
0,41
2 0,
381
0,35
0 -0
,6
0,31
7 0,
345
0,38
0 0,
421
0,47
4 0,
540
0,62
5 0,
731
0,83
4 0,
849
0,77
7 0,
708
0,66
9 0,
652
0,64
8 0,
646
0,63
8 0,
616
0,57
8 0,
532
0,48
5 -0
,7
0,34
0 0,
368
0,40
0 0,
439
0,48
6 0,
544
0,61
7 0,
710
0,82
9 0,
968
1,06
7 1,
035
0,94
6 0,
878
0,84
4 0,
834
0,83
2 0,
823
0,78
9 0,
731
0,66
1 -0
,8
0,35
8 0,
385
0,41
5 0,
451
0,49
3 0,
544
0,60
6 0,
683
0,78
0 0,
904
1,05
8 1,
223
1,30
0 1,
241
1,15
1 1,
091
1,06
5 1,
058
1,03
9 0,
982
0,88
8 -0
,9
0,37
3 0,
398
0,42
7 0,
460
0,49
8 0,
542
0,59
6 0,
660
0,73
8 0,
836
0,95
8 1,
113
1,30
2 1,
483
1,54
4 1,
482
1,40
3 1,
355
1,32
8 1,
280
1,16
9 -1
0,
385
0,40
9 0,
435
0,46
5 0,
500
0,54
0 0,
586
0,64
0 0,
705
0,78
3 0,
878
0,99
6 1,
145
1,33
0 1,
548
1,74
3 1,
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1,76
0 1,
696
1,62
8 1,
498
-1,1
0,
394
0,41
7 0,
442
0,46
9 0,
501
0,53
6 0,
577
0,62
4 0,
678
0,74
2 0,
819
0,91
0 1,
022
1,16
0 1,
332
1,54
3 1,
785
1,99
4 2,
071
2,02
5 1,
876
-1,2
0,
402
0,42
3 0,
446
0,47
2 0,
500
0,53
2 0,
569
0,60
9 0,
656
0,71
0 0,
773
0,84
7 0,
934
1,03
9 1,
166
1,32
2 1,
513
1,74
2 1,
993
2,19
0 2,
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-1,3
0,
409
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8 0,
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4 0,
500
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9 0,
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5 0,
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0,79
8 0,
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1 1,
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1,16
5 1,
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1,47
4 1,
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1,91
1 2,
133
-1,4
0,
414
0,43
3 0,
453
0,47
5 0,
499
0,52
5 0,
555
0,58
7 0,
623
0,66
4 0,
709
0,76
0 0,
819
0,88
6 0,
964
1,05
4 1,
161
1,28
6 1,
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1,61
3 1,
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-1,5
0,
419
0,43
6 0,
455
0,47
5 0,
498
0,52
2 0,
549
0,57
8 0,
610
0,64
6 0,
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0 0,
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6 0,
900
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1,15
4 1,
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1,40
0 1,
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-1,6
0,
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0,43
9 0,
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6 0,
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9 0,
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0,57
0 0,
599
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1 0,
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0,70
5 0,
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0,79
6 0,
850
0,91
0 0,
978
1,05
6 1,
146
1,24
8 1,
366
-1,7
0,
426
0,44
1 0,
458
0,47
6 0,
495
0,51
6 0,
539
0,56
3 0,
589
0,61
8 0,
650
0,68
4 0,
722
0,76
3 0,
809
0,86
1 0,
918
0,98
2 1,
055
1,13
7 1,
230
-1,8
0,
428
0,44
3 0,
459
0,47
6 0,
494
0,51
3 0,
534
0,55
7 0,
581
0,60
7 0,
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0,66
6 0,
700
0,73
7 0,
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0,82
1 0,
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0,92
4 0,
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2 1,
128
-2
0,43
3 0,
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0,46
1 0,
476
0,49
2 0,
509
0,52
7 0,
546
0,56
7 0,
589
0,61
2 0,
638
0,66
5 0,
695
0,72
6 0,
761
0,79
9 0,
839
0,88
4 0,
933
0,98
6 -2
,2
0,43
6 0,
448
0,46
1 0,
475
0,48
9 0,
504
0,52
0 0,
537
0,55
5 0,
574
0,59
4 0,
616
0,63
9 0,
663
0,69
0 0,
718
0,74
8 0,
780
0,81
5 0,
853
0,89
3 -2
,5
0,44
0 0,
451
0,46
2 0,
474
0,48
6 0,
499
0,51
3 0,
527
0,54
2 0,
558
0,57
4 0,
592
0,61
0 0,
629
0,65
0 0,
672
0,69
5 0,
719
0,74
5 0,
772
0,80
2 -3
0,
444
0,45
3 0,
462
0,47
2 0,
482
0,49
2 0,
503
0,51
4 0,
526
0,53
8 0,
551
0,56
4 0,
578
0,59
2 0,
607
0,62
3 0,
639
0,65
6 0,
674
0,69
2 0,
712
-3,5
0,
447
0,45
4 0,
462
0,47
0 0,
479
0,48
7 0,
496
0,50
5 0,
515
0,52
5 0,
535
0,54
5 0,
556
0,56
8 0,
579
0,59
1 0,
604
0,61
7 0,
630
0,64
4 0,
659
-4
0,44
8 0,
455
0,46
2 0,
469
0,47
6 0,
483
0,49
1 0,
499
0,50
7 0,
515
0,52
4 0,
532
0,54
1 0,
550
0,56
0 0,
570
0,58
0 0,
591
0,60
1 0,
612
0,62
4 -5
0,
450
0,45
5 0,
461
0,46
6 0,
472
0,47
8 0,
483
0,49
0 0,
496
0,50
2 0,
508
0,51
5 0,
521
0,52
8 0,
535
0,54
2 0,
550
0,55
7 0,
565
0,57
2 0,
581
-7
0,45
2 0,
456
0,45
9 0,
463
0,46
7 0,
471
0,47
5 0,
479
0,48
3 0,
487
0,49
2 0,
496
0,50
0 0,
505
0,50
9 0,
514
0,51
8 0,
523
0,52
8 0,
533
0,53
8 -1
0 0,
453
0,45
5 0,
458
0,46
1 0,
463
0,46
6 0,
469
0,47
1 0,
474
0,47
7 0,
480
0,48
2 0,
485
0,48
8 0,
491
0,49
4 0,
497
0,50
0 0,
503
0,50
6 0,
509
µ=qL²/8M < 0
∞
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4 0,
454
0,45
4
TABLEAU 4 – Coefficient C2 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ � 0
Construction Métallique, n° 2-2002
STA-CAL 1-02
Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 75
17
M
ψM
ψ
M
ψM
C1
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1 0
2,55
4 2,
627
2,60
6 2,
534
2,43
8 2,
331
2,21
9 2,
104
1,99
0 1,
878
1,77
0 1,
667
1,56
9 1,
477
1,39
1 1,
312
1,23
8 1,
171
1,10
9 1,
052
1,00
0 0,
1 2,
494
2,47
5 2,
408
2,31
7 2,
216
2,10
9 2,
002
1,89
6 1,
792
1,69
3 1,
597
1,50
7 1,
423
1,34
4 1,
271
1,20
3 1,
140
1,08
2 1,
029
1,02
8 1,
027
0,2
2,34
8 2,
285
2,20
0 2,
105
2,00
6 1,
906
1,80
7 1,
711
1,61
9 1,
532
1,44
9 1,
371
1,29
8 1,
231
1,16
8 1,
109
1,05
5 1,
055
1,05
5 1,
053
1,05
1 0,
3 2,
168
2,08
9 2,
000
1,90
8 1,
815
1,72
4 1,
636
1,55
1 1,
470
1,39
4 1,
322
1,25
5 1,
192
1,13
4 1,
079
1,08
0 1,
080
1,07
8 1,
077
1,07
4 1,
072
0,4
1,98
3 1,
901
1,81
6 1,
730
1,64
6 1,
564
1,48
6 1,
412
1,34
2 1,
276
1,21
3 1,
155
1,10
1 1,
102
1,10
3 1,
102
1,10
1 1,
098
1,09
6 1,
093
1,09
0 0,
5 1,
809
1,73
0 1,
651
1,57
3 1,
498
1,42
6 1,
358
1,29
3 1,
231
1,17
4 1,
120
1,12
2 1,
124
1,12
4 1,
123
1,12
1 1,
118
1,11
6 1,
112
1,10
9 1,
105
0,6
1,65
0 1,
577
1,50
5 1,
436
1,37
0 1,
306
1,24
6 1,
189
1,13
6 1,
140
1,14
2 1,
143
1,14
3 1,
141
1,14
0 1,
137
1,13
4 1,
131
1,12
7 1,
123
1,11
9 0,
7 1,
508
1,44
2 1,
378
1,31
7 1,
258
1,20
3 1,
150
1,15
5 1,
158
1,16
0 1,
161
1,16
0 1,
159
1,15
7 1,
154
1,15
1 1,
148
1,14
4 1,
140
1,13
6 1,
132
0,8
1,38
3 1,
324
1,26
7 1,
213
1,16
1 1,
168
1,17
3 1,
175
1,17
7 1,
177
1,17
7 1,
175
1,17
3 1,
170
1,16
7 1,
163
1,16
0 1,
156
1,15
2 1,
147
1,14
3 0,
9 1,
273
1,22
1 1,
170
1,17
9 1,
185
1,18
9 1,
191
1,19
2 1,
192
1,19
2 1,
190
1,18
8 1,
185
1,18
2 1,
178
1,17
4 1,
170
1,16
6 1,
162
1,15
8 1,
153
1 1,
177
1,18
7 1,
194
1,20
0 1,
203
1,20
6 1,
207
1,20
6 1,
205
1,20
4 1,
201
1,19
9 1,
195
1,19
2 1,
188
1,18
4 1,
180
1,17
6 1,
171
1,16
7 1,
163
1,1
1,20
2 1,
209
1,21
4 1,
217
1,21
9 1,
220
1,21
9 1,
218
1,21
7 1,
214
1,21
1 1,
208
1,20
5 1,
201
1,19
7 1,
193
1,18
8 1,
184
1,18
0 1,
175
1,17
1 1,
2 1,
222
1,22
7 1,
230
1,23
1 1,
232
1,23
1 1,
230
1,22
9 1,
226
1,22
3 1,
220
1,21
7 1,
213
1,20
9 1,
205
1,20
1 1,
196
1,19
2 1,
187
1,18
3 1,
179
1,3
1,23
8 1,
241
1,24
3 1,
243
1,24
3 1,
241
1,24
0 1,
237
1,23
5 1,
231
1,22
8 1,
224
1,22
0 1,
216
1,21
2 1,
208
1,20
3 1,
199
1,19
4 1,
190
1,18
6 1,
4 1,
252
1,25
3 1,
254
1,25
3 1,
252
1,25
0 1,
248
1,24
5 1,
242
1,23
8 1,
235
1,23
1 1,
227
1,22
3 1,
218
1,21
4 1,
210
1,20
5 1,
201
1,19
6 1,
192
1,5
1,26
3 1,
263
1,26
3 1,
262
1,26
0 1,
258
1,25
5 1,
252
1,24
8 1,
245
1,24
1 1,
237
1,23
3 1,
229
1,22
4 1,
220
1,21
6 1,
211
1,20
7 1,
202
1,19
8 1,
6 1,
273
1,27
2 1,
271
1,26
9 1,
267
1,26
4 1,
261
1,25
8 1,
254
1,25
0 1,
246
1,24
2 1,
238
1,23
4 1,
230
1,22
5 1,
221
1,21
7 1,
212
1,20
8 1,
204
1,7
1,28
0 1,
279
1,27
7 1,
275
1,27
3 1,
270
1,26
6 1,
263
1,25
9 1,
255
1,25
1 1,
247
1,24
3 1,
239
1,23
5 1,
230
1,22
6 1,
222
1,21
7 1,
213
1,20
9 1,
8 1,
287
1,28
6 1,
283
1,28
1 1,
278
1,27
5 1,
271
1,26
8 1,
264
1,26
0 1,
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1,25
2 1,
248
1,24
3 1,
239
1,23
5 1,
231
1,22
6 1,
222
1,21
8 1,
214
2 1,
298
1,29
6 1,
293
1,29
0 1,
287
1,28
3 1,
279
1,27
6 1,
272
1,26
8 1,
264
1,26
0 1,
256
1,25
1 1,
247
1,24
3 1,
239
1,23
5 1,
231
1,22
6 1,
222
2,2
1,30
6 1,
303
1,30
0 1,
297
1,29
4 1,
290
1,28
6 1,
282
1,27
8 1,
274
1,27
0 1,
266
1,26
2 1,
258
1,25
4 1,
250
1,24
6 1,
242
1,23
8 1,
234
1,23
0 2,
5 1,
315
1,31
2 1,
309
1,30
5 1,
302
1,29
8 1,
294
1,29
0 1,
287
1,28
3 1,
279
1,27
5 1,
271
1,26
7 1,
263
1,25
9 1,
255
1,25
1 1,
247
1,24
4 1,
240
3 1,
325
1,32
2 1,
318
1,31
5 1,
311
1,30
7 1,
304
1,30
0 1,
296
1,29
3 1,
289
1,28
5 1,
282
1,27
8 1,
274
1,27
1 1,
267
1,26
4 1,
260
1,25
7 1,
253
3,5
1,33
1 1,
328
1,32
4 1,
321
1,31
7 1,
314
1,31
1 1,
307
1,30
4 1,
300
1,29
7 1,
293
1,29
0 1,
287
1,28
3 1,
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1,27
7 1,
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1,27
0 1,
267
1,26
3 4
1,33
5 1,
332
1,32
8 1,
325
1,32
2 1,
319
1,31
6 1,
312
1,30
9 1,
306
1,30
3 1,
300
1,29
6 1,
293
1,29
0 1,
287
1,28
4 1,
281
1,27
8 1,
275
1,27
2 5
1,33
9 1,
337
1,33
4 1,
331
1,32
8 1,
325
1,32
2 1,
320
1,31
7 1,
314
1,31
1 1,
308
1,30
6 1,
303
1,30
0 1,
298
1,29
5 1,
292
1,29
0 1,
287
1,28
4 7
1,34
3 1,
341
1,33
9 1,
337
1,33
4 1,
332
1,33
0 1,
328
1,32
6 1,
323
1,32
1 1,
319
1,31
7 1,
315
1,31
3 1,
311
1,30
8 1,
306
1,30
4 1,
302
1,30
0 10
1,
346
1,34
4 1,
342
1,34
1 1,
339
1,33
7 1,
336
1,33
4 1,
332
1,33
1 1,
329
1,32
7 1,
326
1,32
4 1,
322
1,32
1 1,
319
1,31
8 1,
316
1,31
5 1,
313
µ=FL/4M > 0
∞
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8
TABLEAU 5 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge concentrée – µ � 0
STA-CAL 1-02
Construction Métallique, n° 2-2002
76 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
18
Mψ
M
ψ
Mψ
M
C1
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
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0,7
0,8
0,9
1 0
2,55
4 2,
627
2,60
6 2,
534
2,43
8 2,
331
2,21
9 2,
104
1,99
0 1,
878
1,77
0 1,
667
1,56
9 1,
477
1,39
1 1,
312
1,23
8 1,
171
1,10
9 1,
052
1,00
0 -0
,1
2,49
4 2,
682
2,76
0 2,
737
2,66
3 2,
563
2,45
1 2,
333
2,21
2 2,
090
1,97
0 1,
852
1,74
0 1,
633
1,53
3 1,
439
1,35
3 1,
274
1,20
2 1,
136
1,07
5 -0
,2
2,34
8 2,
597
2,80
4 2,
889
2,86
8 2,
792
2,69
0 2,
575
2,45
1 2,
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2,19
5 2,
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1,93
9 1,
817
1,70
0 1,
590
1,48
9 1,
395
1,31
0 1,
232
1,16
1 -0
,3
2,16
8 2,
417
2,68
9 2,
916
3,01
2 2,
994
2,91
9 2,
817
2,70
0 2,
573
2,44
0 2,
304
2,16
6 2,
029
1,89
6 1,
769
1,64
9 1,
538
1,43
7 1,
344
1,26
1 -0
,4
1,98
3 2,
207
2,47
2 2,
763
3,01
2 3,
124
3,11
4 3,
044
2,94
3 2,
826
2,69
7 2,
560
2,41
7 2,
270
2,12
3 1,
978
1,83
8 1,
707
1,58
6 1,
476
1,37
7 -0
,5
1,80
9 2,
000
2,23
1 2,
505
2,81
1 3,
083
3,21
9 3,
225
3,16
3 3,
067
2,95
0 2,
821
2,68
1 2,
532
2,37
7 2,
218
2,05
9 1,
906
1,76
2 1,
631
1,51
2 -0
,6
1,65
0 1,
811
2,00
4 2,
236
2,51
4 2,
828
3,12
2 3,
291
3,32
2 3,
274
3,18
5 3,
072
2,94
3 2,
801
2,64
7 2,
483
2,31
1 2,
138
1,97
0 1,
813
1,67
1 -0
,7
1,50
8 1,
643
1,80
2 1,
992
2,22
2 2,
496
2,81
1 3,
122
3,33
2 3,
399
3,37
2 3,
295
3,18
9 3,
062
2,91
9 2,
760
2,58
6 2,
400
2,21
0 2,
025
1,85
5 -0
,8
1,38
3 1,
496
1,62
7 1,
783
1,96
8 2,
189
2,45
3 2,
760
3,08
0 3,
332
3,44
9 3,
453
3,39
4 3,
297
3,17
5 3,
032
2,86
8 2,
681
2,47
7 2,
267
2,06
6 -0
,9
1,27
3 1,
368
1,47
8 1,
605
1,75
4 1,
931
2,14
1 2,
390
2,68
1 2,
998
3,28
3 3,
458
3,50
8 3,
475
3,39
3 3,
278
3,13
5 2,
963
2,76
0 2,
533
2,30
2 -1
1,
177
1,25
8 1,
349
1,45
4 1,
576
1,71
8 1,
884
2,08
0 2,
312
2,58
3 2,
885
3,18
5 3,
414
3,52
3 3,
529
3,46
9 3,
363
3,22
0 3,
035
2,80
7 2,
554
-1,1
1,
202
1,22
0 1,
239
1,32
7 1,
427
1,54
2 1,
675
1,83
1 2,
012
2,22
5 2,
472
2,75
3 3,
048
3,31
3 3,
485
3,54
4 3,
515
3,42
2 3,
273
3,06
6 2,
806
-1,2
1,
222
1,23
9 1,
258
1,27
9 1,
301
1,39
6 1,
505
1,62
9 1,
773
1,94
0 2,
133
2,35
7 2,
612
2,88
9 3,
163
3,38
2 3,
500
3,51
2 3,
434
3,27
3 3,
031
-1,3
1,
238
1,25
5 1,
273
1,29
3 1,
314
1,33
8 1,
363
1,46
5 1,
581
1,71
3 1,
865
2,04
0 2,
242
2,47
0 2,
722
2,98
4 3,
222
3,38
6 3,
439
3,37
4 3,
193
-1,4
1,
252
1,26
8 1,
285
1,30
4 1,
324
1,34
6 1,
369
1,39
5 1,
424
1,53
1 1,
652
1,79
1 1,
949
2,12
9 2,
333
2,55
9 2,
798
3,02
9 3,
210
3,29
1 3,
233
-1,5
1,
263
1,27
8 1,
295
1,31
2 1,
331
1,35
1 1,
374
1,39
7 1,
423
1,45
1 1,
481
1,59
2 1,
718
1,86
1 2,
022
2,20
3 2,
403
2,61
6 2,
827
3,00
3 3,
090
-1,6
1,
273
1,28
7 1,
302
1,31
9 1,
337
1,35
6 1,
376
1,39
8 1,
422
1,44
7 1,
474
1,50
3 1,
534
1,64
8 1,
777
1,92
1 2,
082
2,25
8 2,
446
2,63
3 2,
792
-1,7
1,
280
1,29
4 1,
309
1,32
5 1,
341
1,35
9 1,
378
1,39
8 1,
420
1,44
3 1,
468
1,49
4 1,
522
1,55
1 1,
581
1,69
8 1,
827
1,96
9 2,
125
2,28
9 2,
453
-1,8
1,
287
1,30
0 1,
314
1,32
9 1,
345
1,36
1 1,
379
1,39
8 1,
418
1,43
9 1,
461
1,48
5 1,
511
1,53
7 1,
565
1,59
4 1,
623
1,73
9 1,
866
2,00
3 2,
147
-2
1,29
8 1,
310
1,32
3 1,
336
1,35
0 1,
364
1,38
0 1,
396
1,41
3 1,
431
1,45
1 1,
471
1,49
2 1,
514
1,53
7 1,
561
1,58
5 1,
611
1,63
6 1,
660
1,68
3 -2
,2
1,30
6 1,
317
1,32
9 1,
341
1,35
3 1,
366
1,38
0 1,
394
1,40
9 1,
425
1,44
1 1,
458
1,47
6 1,
495
1,51
5 1,
535
1,55
6 1,
577
1,59
9 1,
621
1,64
2 -2
,5
1,31
5 1,
325
1,33
5 1,
345
1,35
6 1,
367
1,37
9 1,
391
1,40
3 1,
416
1,43
0 1,
444
1,45
8 1,
473
1,48
9 1,
505
1,52
2 1,
539
1,55
6 1,
574
1,59
2 -3
1,
325
1,33
3 1,
341
1,34
9 1,
358
1,36
7 1,
376
1,38
6 1,
395
1,40
5 1,
416
1,42
6 1,
437
1,44
8 1,
460
1,47
2 1,
484
1,49
7 1,
509
1,52
2 1,
535
-3,5
1,
331
1,33
8 1,
344
1,35
1 1,
359
1,36
6 1,
373
1,38
1 1,
389
1,39
7 1,
406
1,41
4 1,
423
1,43
2 1,
441
1,45
0 1,
460
1,46
9 1,
479
1,48
9 1,
499
-4
1,33
5 1,
341
1,34
6 1,
352
1,35
9 1,
365
1,37
1 1,
378
1,38
4 1,
391
1,39
8 1,
405
1,41
2 1,
420
1,42
7 1,
435
1,44
2 1,
450
1,45
8 1,
466
1,47
5 -5
1,
339
1,34
4 1,
348
1,35
3 1,
358
1,36
3 1,
367
1,37
2 1,
377
1,38
2 1,
388
1,39
3 1,
398
1,40
4 1,
409
1,41
4 1,
420
1,42
6 1,
432
1,43
7 1,
443
-7
1,34
3 1,
347
1,35
0 1,
353
1,35
6 1,
359
1,36
3 1,
366
1,36
9 1,
372
1,37
6 1,
379
1,38
3 1,
386
1,39
0 1,
393
1,39
7 1,
401
1,40
4 1,
408
1,41
1 -1
0 1,
346
1,34
8 1,
350
1,35
2 1,
354
1,35
6 1,
358
1,36
1 1,
363
1,36
5 1,
367
1,36
9 1,
372
1,37
4 1,
376
1,37
9 1,
381
1,38
3 1,
386
1,38
8 1,
390
µ=FL/4M < 0
∞
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8 1,
348
1,34
8
TABLEAU 6 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge concentrée – µ � 0
Construction Métallique, n° 2-2002
STA-CAL 1-02
Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 77
19
M
ψM
ψ
M
ψM
C2
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
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0,7
0,8
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0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
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000
0,00
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000
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000
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000
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000
0,00
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000
0,00
0 0,
000
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0 0,
000
0,00
0 0,
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4 0,
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6 0,
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3 0,
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9 0,
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2 0,
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5 0,
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1 0,
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150
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1 0,
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0,15
3 0,
153
0,15
2 0,
151
0,14
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145
0,14
2 0,
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3 0,
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4 0,
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4 0,
110
0,10
5 0,
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0,4
0,19
6 0,
195
0,19
5 0,
196
0,19
6 0,
196
0,19
5 0,
193
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0 0,
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2 0,
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0,16
0 0,
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0,13
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0,12
7 0,
5 0,
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6 0,
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6 0,
235
0,23
4 0,
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0,22
8 0,
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0,21
9 0,
213
0,20
7 0,
201
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4 0,
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1 0,
175
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0,15
6 0,
151
0,6
0,27
5 0,
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0,27
3 0,
272
0,27
0 0,
267
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3 0,
258
0,25
3 0,
247
0,24
0 0,
233
0,22
6 0,
219
0,21
2 0,
205
0,19
8 0,
191
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4 0,
178
0,17
2 0,
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0,30
8 0,
306
0,30
3 0,
300
0,29
5 0,
290
0,28
4 0,
278
0,27
1 0,
264
0,25
6 0,
249
0,24
1 0,
233
0,22
6 0,
218
0,21
1 0,
204
0,19
8 0,
191
0,8
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0 0,
337
0,33
4 0,
330
0,32
5 0,
320
0,31
4 0,
307
0,30
0 0,
292
0,28
4 0,
276
0,26
8 0,
260
0,25
2 0,
245
0,23
7 0,
229
0,22
2 0,
215
0,20
8 0,
9 0,
367
0,36
3 0,
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3 0,
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0,34
1 0,
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6 0,
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0,31
1 0,
303
0,29
4 0,
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0,27
7 0,
269
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1 0,
253
0,24
6 0,
238
0,23
1 0,
224
1 0,
390
0,38
5 0,
379
0,37
3 0,
366
0,35
9 0,
351
0,34
3 0,
335
0,32
7 0,
318
0,31
0 0,
301
0,29
3 0,
285
0,27
6 0,
268
0,26
1 0,
253
0,24
6 0,
239
1,1
0,41
0 0,
404
0,39
7 0,
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0,38
3 0,
375
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7 0,
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0,26
7 0,
259
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2 0,
426
0,42
0 0,
413
0,40
5 0,
397
0,38
9 0,
380
0,37
2 0,
363
0,35
4 0,
345
0,33
7 0,
328
0,31
9 0,
311
0,30
2 0,
294
0,28
7 0,
279
0,27
1 0,
264
1,3
0,44
1 0,
434
0,42
6 0,
418
0,41
0 0,
401
0,39
2 0,
383
0,37
5 0,
366
0,35
7 0,
348
0,33
9 0,
331
0,32
2 0,
314
0,30
6 0,
298
0,29
0 0,
283
0,27
6 1,
4 0,
453
0,44
6 0,
437
0,42
9 0,
420
0,41
2 0,
403
0,39
4 0,
385
0,37
6 0,
367
0,35
8 0,
349
0,34
1 0,
333
0,32
4 0,
316
0,30
8 0,
301
0,29
3 0,
286
1,5
0,46
4 0,
456
0,44
8 0,
439
0,43
0 0,
421
0,41
2 0,
403
0,39
4 0,
385
0,37
6 0,
368
0,35
9 0,
350
0,34
2 0,
334
0,32
6 0,
318
0,31
0 0,
303
0,29
6 1,
6 0,
473
0,46
5 0,
456
0,44
8 0,
439
0,43
0 0,
421
0,41
2 0,
403
0,39
4 0,
385
0,37
6 0,
368
0,35
9 0,
351
0,34
3 0,
335
0,32
7 0,
320
0,31
2 0,
305
1,7
0,48
2 0,
473
0,46
4 0,
455
0,44
6 0,
437
0,42
8 0,
419
0,41
0 0,
401
0,39
3 0,
384
0,37
6 0,
367
0,35
9 0,
351
0,34
3 0,
335
0,32
8 0,
321
0,31
3 1,
8 0,
489
0,48
0 0,
471
0,46
2 0,
453
0,44
4 0,
435
0,42
6 0,
417
0,40
8 0,
400
0,39
1 0,
383
0,37
5 0,
366
0,35
8 0,
351
0,34
3 0,
336
0,32
8 0,
321
2 0,
500
0,49
1 0,
482
0,47
3 0,
465
0,45
6 0,
447
0,43
8 0,
429
0,42
1 0,
412
0,40
4 0,
396
0,38
8 0,
380
0,37
2 0,
365
0,35
7 0,
350
0,34
3 0,
336
2,2
0,50
9 0,
500
0,49
1 0,
483
0,47
4 0,
465
0,45
7 0,
448
0,44
0 0,
431
0,42
3 0,
415
0,40
7 0,
399
0,39
2 0,
384
0,37
7 0,
369
0,36
2 0,
355
0,34
9 2,
5 0,
519
0,51
1 0,
502
0,49
4 0,
485
0,47
7 0,
469
0,46
0 0,
452
0,44
4 0,
436
0,42
9 0,
421
0,41
4 0,
407
0,39
9 0,
392
0,38
5 0,
379
0,37
2 0,
365
3 0,
530
0,52
3 0,
514
0,50
7 0,
499
0,49
1 0,
484
0,47
6 0,
469
0,46
1 0,
454
0,44
7 0,
440
0,43
3 0,
426
0,42
0 0,
413
0,40
7 0,
400
0,39
4 0,
388
3,5
0,53
8 0,
530
0,52
3 0,
515
0,50
8 0,
501
0,49
4 0,
487
0,48
0 0,
474
0,46
7 0,
460
0,45
4 0,
448
0,44
1 0,
435
0,42
9 0,
423
0,41
7 0,
412
0,40
6 4
0,54
2 0,
535
0,52
9 0,
522
0,51
5 0,
509
0,50
2 0,
496
0,49
0 0,
483
0,47
7 0,
471
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5 0,
459
0,45
4 0,
448
0,44
2 0,
437
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1 0,
426
0,42
0 5
0,54
8 0,
542
0,53
6 0,
531
0,52
5 0,
519
0,51
4 0,
508
0,50
3 0,
497
0,49
2 0,
487
0,48
2 0,
477
0,47
2 0,
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2 0,
457
0,45
2 0,
447
0,44
3 7
0,55
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549
0,54
4 0,
540
0,53
5 0,
531
0,52
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522
0,51
8 0,
514
0,51
0 0,
506
0,50
2 0,
498
0,49
4 0,
490
0,48
6 0,
482
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8 0,
475
0,47
1 10
0,
556
0,55
2 0,
549
0,54
6 0,
543
0,53
9 0,
536
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3 0,
530
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7 0,
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0,52
1 0,
518
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5 0,
512
0,50
9 0,
506
0,50
3 0,
500
0,49
7 0,
494
µ=FL/4M > 0
∞
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0
TABLEAU 7 – Coefficient C2 – Moments d’extrémité et charge concentrée – µ � 0
STA-CAL 1-02
Construction Métallique, n° 2-2002
78 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
20
Mψ
M
ψ
Mψ
M
C2
-1
-0,9
-0
,8
-0,7
-0
,6
-0,5
-0
,4
-0,3
-0
,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1 0
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 0,
000
0,00
0 -0
,1
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7 0,
073
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058
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1 0,
061
0,06
1 0,
060
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0,04
8 0,
046
0,04
4 -0
,2
0,13
4 0,
154
0,16
3 0,
151
0,13
5 0,
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1 0,
120
0,12
2 0,
125
0,12
8 0,
129
0,13
0 0,
128
0,12
6 0,
121
0,11
6 0,
111
0,10
5 0,
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0,09
4 -0
,3
0,20
2 0,
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3 0,
277
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3 0,
222
0,20
2 0,
193
0,19
1 0,
194
0,19
8 0,
203
0,20
6 0,
206
0,20
4 0,
198
0,19
1 0,
181
0,17
2 0,
161
0,15
2 -0
,4
0,26
7 0,
304
0,34
9 0,
396
0,41
6 0,
382
0,33
2 0,
298
0,28
0 0,
275
0,27
7 0,
282
0,28
9 0,
293
0,29
3 0,
288
0,27
8 0,
265
0,25
0 0,
235
0,22
0 -0
,5
0,32
6 0,
368
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9 0,
482
0,54
8 0,
581
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1 0,
391
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1 0,
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2 0,
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5 0,
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0 -0
,6
0,37
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1 0,
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1 0,
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507
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0 0,
483
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7 0,
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6 -0
,7
0,41
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463
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6 0,
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2 0,
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2 0,
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0,94
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4 0,
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0,64
6 0,
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623
0,59
2 0,
552
0,50
9 -0
,8
0,45
2 0,
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8 0,
610
0,68
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1,11
0 1,
156
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2 0,
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5 -0
,9
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0 0,
522
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1 1,
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2 1,
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8 -1
0,
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5 1,
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0 1,
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1,49
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-1,1
0,
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0,
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0,
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5 0,
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0 0,
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4 0,
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0,98
4 1,
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1,14
6 1,
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1,35
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0 1,
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0,
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1 0,
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1,49
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-1,7
0,
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0 0,
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1,05
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1,21
2 1,
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1,40
2 1,
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5 1,
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1,90
4 2,
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-1,8
0,
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9 0,
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0,73
5 0,
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5 0,
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1,02
3 1,
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-2
0,59
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0 0,
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0 0,
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0 0,
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1,02
1 1,
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1,14
0 1,
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1,28
1 1,
361
1,44
9 1,
543
1,64
5 -2
,2
0,59
8 0,
620
0,64
2 0,
666
0,69
2 0,
719
0,74
8 0,
779
0,81
2 0,
848
0,88
6 0,
926
0,97
0 1,
017
1,06
8 1,
123
1,18
1 1,
245
1,31
4 1,
388
1,46
7 -2
,5
0,60
5 0,
624
0,64
4 0,
665
0,68
6 0,
710
0,73
4 0,
760
0,78
8 0,
817
0,84
7 0,
880
0,91
5 0,
952
0,99
1 1,
033
1,07
7 1,
125
1,17
6 1,
230
1,28
7 -3
0,
612
0,62
8 0,
644
0,66
1 0,
679
0,69
8 0,
717
0,73
7 0,
759
0,78
1 0,
804
0,82
8 0,
854
0,88
1 0,
909
0,93
8 0,
969
1,00
2 1,
036
1,07
3 1,
111
-3,5
0,
617
0,63
0 0,
644
0,65
8 0,
673
0,68
9 0,
705
0,72
1 0,
739
0,75
6 0,
775
0,79
4 0,
814
0,83
5 0,
857
0,88
0 0,
903
0,92
8 0,
953
0,98
0 1,
008
-4
0,62
0 0,
632
0,64
4 0,
656
0,66
9 0,
682
0,69
5 0,
709
0,72
4 0,
739
0,75
4 0,
770
0,78
7 0,
804
0,82
1 0,
839
0,85
8 0,
878
0,89
8 0,
919
0,94
1 -5
0,
624
0,63
3 0,
642
0,65
2 0,
662
0,67
2 0,
682
0,69
3 0,
704
0,71
5 0,
727
0,73
8 0,
750
0,76
3 0,
775
0,78
8 0,
802
0,81
5 0,
830
0,84
4 0,
859
-7
0,62
7 0,
633
0,64
0 0,
647
0,65
3 0,
660
0,66
7 0,
675
0,68
2 0,
689
0,69
7 0,
705
0,71
2 0,
720
0,72
8 0,
737
0,74
5 0,
754
0,76
2 0,
771
0,78
0 -1
0 0,
628
0,63
3 0,
637
0,64
2 0,
647
0,65
1 0,
656
0,66
1 0,
666
0,67
1 0,
676
0,68
1 0,
686
0,69
1 0,
696
0,70
1 0,
707
0,71
2 0,
718
0,72
3 0,
729
µ=FL/4M < 0
∞
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0 0,
630
0,63
0
TABLEAU 8 – Coefficient C2 – Moments d’extrémité et charge concentrée – µ � 0
Construction Métallique, n° 2-2002
STA-CAL 1-02
Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 79
21
ANNEXE B
Abaques de coefficients C1 et C2
● Moments d’extrémité et charge répartie
Abaque 1 : Coefficient C1 – µ � 0
Abaque 2 : Coefficient C1 – µ � 0
Abaque 3 : Coefficient C2 – µ � 0
Abaque 4 : Coefficient C2 – µ � 0
● Moments d’extrémité et charge concentrée
Abaque 5 : Coefficient C1 – µ � 0
Abaque 6 : Coefficient C1 – µ � 0
Abaque 7 : Coefficient C2 – µ � 0
Abaque 8 : Coefficient C2 – µ � 0
STA-CAL 1-02
Construction Métallique, n° 2-2002
80 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
22
Abaque 1 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ positif
2.0
2.5
C1
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
0
1,2
0,8
0,7
0,4
1
0,5
0,6
0,3 0,10,2
21,5
2
Abaque 2 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ négatif
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
C1
-0,1
-0,9
-1,1
-1,2
-0,7
-0,6
-0,5
-0,3
-0,4
-0,8
-1,8-1,7
-2
-1,3
-1,4
-1,5
-1
-1,6
-0,2
0
Construction Métallique, n° 2-2002
STA-CAL 1-02
Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 81
23
Abaque 3 – Coefficient C2 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ positif
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
C1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,50,6
0,7 0,8
0,9 1
1,21,5
2
Abaque 4 – Coefficient C2 – Moments d’extrémité et charge répartie – µ négatif
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
C1
-0,1-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1
-1,1
-1,2
-1,3
-1,4
-1,5
-1,6
-1,7
-1,8
-1,9
-2
-1,2
STA-CAL 1-02
Construction Métallique, n° 2-2002
82 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS
24
Abaque 6 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge concentrée – µ négatif
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
C1
-0,1
-0,9
-1,1-1,2
-0,7
-0,6
-0,5
-0,3
-0,4
-0,8
-1,8
-1,7
-2
-1,3
-1,4
-1,5
-1
-1,6
-0,2
0
Abaque 5 – Coefficient C1 – Moments d’extrémité et charge concentrée – µ positif
1.5
2.0
2.5
C1
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
C
00,10,20,30,40,50,6
0,7
0,8
1
1,2
1,50,9
2
2
0,20,1
1
Construction Métallique, n° 2-2002
STA-CAL 1-02
Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 83
25
Abaque 7 – Coefficient C2 – Moments d’extrémité et charge concentrée – µ positif
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
C1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,91
1,2
1,5
2
Abaque 8 – Coefficient C2 – Moments d’extrémités et charge concentrée – µ négatif
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ψ
C1
-0,1-0,2
-0,3-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1
-1,1
-1,2
-1,3
-1,4
-1,5
-1,6
-1,7
-1,8
-2
