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LES CONIQUES

Qu’est-ce qu’une conique ?

Une conique est une courbe plane que l’on peut tracer sur un cône de révolution à deux nappes. Suivant la position qu’il occupe par rapport à un cône, un plan qui coupe ce dernier déterminera une intersection qui sera :

� un cercle : le plan est perpendiculaire à l’axe ; � une ellipse : le plan est incliné sur l’axe, mais il ne coupe qu’une seule des deux nappes ; � une hyperbole : le plan est incliné ou parallèle à l’axe et coupe les deux nappes ; � une parabole : le plan est parallèle à un plan tangent au cône.

Les définitions précédentes sont les définitions « historiques »

des coniques. Elles avaient été données par les géomètres grecs. Il existe cependant d’autres définitions, plus aisées à utiliser

dans certains problèmes de mathématiques. Remarque Si le plan contient l’axe et coupe les deux nappes selon une

génératrice, l’intersection sera un couple de droites. Si le plan coupe les deux nappes à leur point commun, l’intersection sera ce point. Ces deux cas limites font encore partie des coniques.

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Définitions comme ensembles de points Les définitions suivantes font intervenir un plan P et des points ou une droite contenus dans P.

Ellipse

Étant donnés deux points fixes F1 et F2, on ap-

pelle ellipse l’ensemble des points du plan dont la somme des distances à F1 et F2 est constante.

M1F1 + M1F2 = M2F1 + M2F2 = Constante = 2a

F1 et F2 se nomment les foyers de l’ellipse, S et S’ sont ses sommets, O est son centre.

Hyperbole

Étant donnés deux points fixes F et F’ , on appel-

le hyperbole l’ensemble des points du plan dont la dif-férence des distances à F et F’ est constante.

|MF – MF’ | = Constante = 2a

SS’ = 2a

F et F’ se nomment les foyers de l’hyperbole, a est son demi-grand axe, S et S’ sont ses sommets,

O est son centre.

Parabole

Étant donnés un point F et une droite D, on ap-

pelle parabole l’ensemble des points du plan dont les distances au point F et à D sont égales.

MF = MH

F se nomme le foyer de la parabole, O est son sommet, D est sa directrice,

H est la projection orthogonale de M sur D.

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Cercle

Étant donné un point O contenu dans un plan, on

appelle cercle l’ensemble des points du plan dont la distance à O est constante.

MO = NO = Constante

la constante est le rayon du cercle, O est son centre.

Le cercle apparaît comme un cas particulier de l’ellipse : celui où les deux points F1 et F2 sont confondus.

Définitions analytiques Si l’on rapporte le plan à un repère orthonormal bien choisi, les définitions précédentes peuvent être traduites

par des équations cartésiennes. Ce sont ces définitions qui se prêtent le mieux à des calculs.

Cercle

Étant donnée une distance R, un cercle est

l’ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :

222 Ryx =+

R est le rayon du cercle.

Ellipse

Étant donnés deux réels strictement posi-

tifs a et b, une ellipse est l’ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :

12

2

2

2

=+b

y

a

x

a et b sont respectivement le demi-grand axe et le

demi-petit axe de l’ellipse.

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Hyperbole

Étant donnés deux réels strictement posi-

tifs a et b, une hyperbole est l’ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :

12

2

2

2

=−b

y

a

x

a porte le nom de demi-grand axe ;

sur le graphique ci-contre, les droites en bleu sont les

asymptotes de l’hyperbole.

Parabole

Étant donné un réel strictement positif p,

une parabole est l’ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :

022 =− pxy

F est le foyer,

p porte le nom de paramètre de la parabole.

Remarque

L’équation à deux variables x et y, 022222 =+++++ feydxcxybyax , est l’équation la plus générale du second degré ; c’est celle d’une conique.

Excentricité et astronomie

Définition L’excentricité e d’une conique est définie par a

ce= , avec c défini par 222 bac −= et 0>c .

Comètes et coniques

On démontre que : � Si e = 0, la conique est un cercle,

� Si e = 1, la conique est une parabole,

� Si 0 < e < 1, la conique est une ellipse,

� Si e > 1, la conique est une hyperbole.

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L’excentricité d’une conique est un élément important en astronomie. Par exemple, pour toute nouvelle comète, on détermine une orbite approximative en prenant e = 1 (on fait l’hypothèse que cet astre circule sur une parabole). Puis, lorsque le nombre d’observations est suffisant, on détermine la vraie valeur de e. D’après ce qui précède on aura :

� Si 0 < e < 1, la comète circule sur une orbite elliptique. Elle appartient (tout comme les planètes que nous voyons dans le ciel), au Système solaire et est périodique.

� Si e > 1, la comète circule sur une hyperbole. Il s’agit donc soit d’une comète venant de l’extérieur du Système solaire, soit d’une comète appartenant au Système solaire, mais déviée par une grosse planète (essentiellement Jupiter) auprès de laquelle elle est passée. Dans ce dernier cas, cette comète sortira du Système solaire.

Orbites de quatre comètes périodiques (vues en projection sur l’écliptique) : Halley, Hyakutake, Tempel1, et Wild2.

Parabole et miroirs de télescopes

Il est établi qu’un miroir parabolique permet d’éviter le défaut d’aberration chromatique rencontré avec les lunettes : avec un miroir parabolique, tous les rayons lumineux convergent vers le foyer du mi-roir, ce qui n’est pas le cas lorsqu’ils traversent une lentille.