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THÈSE
présentée devant
L'ECOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir
le titre de DOCTEUR-INCENTEUR
spécialité : Génie Eletrique
par M. Christophe MA!kc$IAND
ingénieur E.C.L. .
LES EFFETS D'EXTREMITEEN CHAUFFAGE PAR INDUCTION
soutenue le 30 janvier 1984
devant la commission d'examen
Jury: M. R. Bonnefille, Président
et MM. M. Coevoet,
A Foggia,
J. Heurtin,
A. Nicolas et
JC. Sabonnadière.
T-'i5 tL)
N°d'ordre ECL 84-03 Année 1984
N d'ordre : ECL 84-03 Année 1984
THÈSE
présentée devant
L'ECOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir
le titre de DOCTEUR-INGENIEUR
spécialité : Génie Electrique
par M. Christophe MARCHAND
ingénieur E.C.L.
LES EFFETS D'EXTREMITEEN CHAUFFAGE PAR INDUCTION
soutenue le 30 janvier 1984
devant la commission d'examen
Jury: M. R. Bonnefille, Président
et MM. M. Coevoet,
A. Foggia,
J. Heurtin,
A. Nicolas et
JC. Sabonnadière.
ELECTROTECHNIQUE
MECANIQUE DES SOLIDES
MECANIQUE DES SURFACES
MECANIQUE DES FLUIDES ET ACOUSTIQUE
MACHINES THERMIQUES
CONCEPTION ET DEVELOPPEMENT DE PRODUITSIN D USI RI ELS
ECOLE CENTRALE DE LYON
DIRECTEUR A. MOIROUX
DIRECTEUR ADJOINT R. RICHE
DEPARTEMENTS DtENSEIGNEMENT ET DE RECHERCHE
MATHEMATIQUES-INFORMATIQUE-SYSTEMES C.M. BRAUNER1F. MAITRE
Pl-IYS1COCHIMIE DES MATERIAUX P. CLECHET3. CURRAN
METALLURGIE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX P. GUIRALDENQD. TREHEUX
ELECTRONIQUE 3.3. URGELLP. VIKTOROVITCHS. KRAWCZYKR. BLANCHET
Ph. AURIOLA. FOGGIA
SIDOROFF
3.M. GEORGES3. SABOT
3. MATHIEUCOMTE-BELLOT (Mlle)
D. JEANDEL
X. LYSM. BRUN
R. RUSSIERP. CLOZEL
Sont aussi habilitées à diriger des thèses à l'E.C.L.
les personnes dont les noms suivent:
MM. E. ALCARAZ
L-I. ARBEY
3. BATAILLE
J. BOREL (LET!)
Cl. CAMBON
B. CAMBOU
3.P. CHANTE
CHARNAY
B. COQUILLET
3. DIMNET
A. HAUPAIS
3. JOSEPH
Ph. KAPSA
Cl. MARTELET
J.M. MARTIN
J.R. MARTIN
T. MATHIA
MONTES
R. MOREL
NGUYEN DU
R. OLlER
R. PHILIPPE
G. ROJAT
3.P. SCHON
M. SUNYACH
CI. SURRY
A. TAILLAND
G. THOMAS
L. VINCENT
L'étude qui fait l'objet de ce mémoire a été réalisée
conjointement au Département Electrotechnique de l'Ecole Centrale
de Lyon, et at' Laboratoire Induction d'Electricité de France ( Di-
rection des Etudes et Recherches, Service Applications de i'Electrici-
té et Environnement, Département Applications de l'Eiectricité ).
Je tiens à adresser mes sincères remerciements à:
M. R. BONNEFILLE, Professeur au Conservatoire National des Arts et
Métiers, qui a accepté de présider le jury de cette thèse.
M. A. FOGGIA, Professeur au Département Electrotechnique de l'Ecole
Centrale de Lyon, qui a proposé le sujet et a assuré avec
efficacité et bienveillance la direction scientifique de
ce travail.
M. J. HEURTIN, Directeur adjoint du Département Applications de
l'Electricité d'EdF, pour l'intérêt qu'il a bien voulu
accorder à notre travail.
MM. R. POIROUX, M. COEVOET et J. NUNS, ingénieurs de l'équipe " In-
duction " d'EdF, dont l'expérience et les conseils ont
joué un rôle essentiel au cours de cette étude.
M. JC. SABONNADIERE, Professeur à PEcole Nationale Supérieure des
Ingénieurs Electriciens de Grenoble, et M. A. NICOLAS,
Maître-Assistant au Département Electrotechnique de l'Ecole
Centrale de Lyon, pour leur participation au jury, et
l'attention avec laquelle ils ont suivi notre travail.
J'exprime ma gratitude et mon amitié à tous les membres
du Département Electrotechnique de l'Ecole Centrale de Lyon, et de
l'équipe " Induction " d'EdF.
Je remercie enfin MM. L. MARIAUX et D. BONNEAU, responsables
respectifs de l'ordinateur du Département Electrotechnique de l'Ecole
Centrale de Lyon, et de celui du Département Applications de l'Elec-
tricité d'EdF, pour leur patience et leur compétence.
RESUME
INTRODUCTION
CHAPITRE i
CHAPITRE 2
CHAPITRE 3
CHAPITRE 4
CHAPITRE 5
CONCLUSION
TABLE DES MATIERES
Une modélisation du chauffage par induction
en géométrie axisymétrique
Les méthodes numériques choisies
Description du logiciel réalisé
Les résultats expérimentaux
La validation du ogiciel
1
9
21
41
60
73
102
Annexe i Reformulation des équations de Maxwell
en utilisant le potentiel vecteur magnétique 104
Annexe 2 Quelques mots d'informatique et de programmation 113
Annexe 3 Propriétés magnétiques des aciers de
construction courante 117
Annexe 4 Le travafl expérimental: informations
complémentaires 123
BIBLIOGRAPHIE 132
Table des symboles 137
RESUME
Les méthodes classiques de calcul ne permettent pas de prédire
exactement le comportement des inducteurs de chauffage par induction.
Pour pallier cet inconvénient, nous avons réalisé un ensemble de pro-
grammes constituant un outil de dimensionnement d'inducteurs, destiné
en particulier à l'étude des effets d'extrémité.
Nous avons restreint notre travail à l'étude des phénomènes
électromagnétiques non-linéaires intervenant en chauffage par induction
dans le cas particulier des géométries tridimensionnelles axisymétri-
ques.
A partir des équations de MAXWELL, nous avons modélisé les phéno-
mènes physiques en simplifiant les lois de comportement des matériaux
et en introduisant le potentiel vecteur magnétique, dont le comporte-
ment est régi par une EDP parabolique du second ordre.
Le problème d'évolution a été transformé en une succession de
problèmes stationnaires grâce à une technique de discrétisation en
temps, les différences finies semi-implicites. Le problème spatial
stationnaire a été abordé par la méthode des éléments finis, en utili-
sant une technique de substitution pour la résolution des équations
non-linéaires.
Ces méthodes numériques ont été mises en oeuvre dans 1e logiciel
interactif CARMEN, implanté sur mini-ordinateur. Ce nouveau logiciel
a été conçu comme un outil de conception assistée, destiné aux ingé-
nieurs de bureau d'étude, par conséquent nous avons accordé une grande
importance à sa "portabilité" et à la clarté de son dialogue.
La campagne d'essais et de mesures que nous avons réalisée a
permis de valider les hypothèses de la modélisation, et de vérifier
la qualité des résultats fournis par le logiciel CARMEN.
Notre travail a donc permis la mise à la disposition de l'indus-
trie d'un logiciel simple et robuste, destiné à la conception assistée
des inducteurs de chauffage par induction.
INTRODUCTION
Après avoir résumé l'action menée par EDF pour la modélisation
du chauffage par induction, nous en déduisons la nécessité d'un nouvel
outil numérique. Nous situons ensuite le travail à effectuer dans le
contexte de la recherche menée au Département Electrotechnique de
J 'Eco].e Centrale de Lyon, et de a collaboration Edf-universitaires.
Enfin, nous indiquons les spécifications générales du logiciei souhaité,
en insistant sur sa validation par des résultats expérimentaux et sur
sa facilité d'utilisation.
-2-
i LE CHAUFFAGE PAR INDUCTION : PERSPECTIVES ET DEVELOPPEMENTS
Le chauffage par induction est une technique déjà ancienne,
utilisée depuis longtemps pour la trempe ou la fusion des aciers, et
pour quelques applications ponctuelles comme le traitement thermique
du carbone.
Des études techriico-économiques ont révélé un marché potentiel
important pour le chauffage par induction, en particulier dans le
domaine du réchauffage avant formage des demi-produits sidérurgiques.
Le développement industriel attendu n'a pas eu lieu, principalement
à cause de l'importance des investissements, et des difficultés rencon-
trées lors du dimensionnement des installations. En effet, les méthodes
simples de calcul donnant des résultats peu satisfaisants, la mise en
service d'une chauffeuse exige des essais préalables, souvent longs
et coûteux, sur des prototypes.
2 ACTION DE ELECTRICITE DE FRANCE : ETAPES ESSENTIELLES
La promotion des techniques électriques industrielles nouvelles
étant la vocation du département "Applications de l'électricité" de
EDF, un effort important a été consenti, dans I.e cadre de ce dépar-
tement, pour ]e développement du chauffage par induction.
Rapidement dotée de moyens expérimentaux, l'équipe "induction"
a pu mener parallèlement des prises de contact avec l'industrie, de
nombreux essais, et une réflexion approfondie sur l.es problèmes d'ins-
trumentation et de dimensionnement.
/
3
Résumons le travail de modélisation réalisé par l'équipe "induction":
Recherche, au prix d'hypothèses simplificatrices contraignantes
(géométrie monodimensionnelle, matériaux linéaires et homogènes)
de méthodes analytiques de calcul des grandeurs électriques et thermi-
ques dans le matériau à chauffer (Ill, inspirée de loi), complétée
par des travaux expérimentaux 21.
Analyse approfondie des limites du modèle analytique et détermination
de coefficients correctifs permettant de prendre en compte les géomé-
tries réelles et les non-linéarités des matériaux 31, 141.
Etude expérimentale des sous-chauffes ou sur-chauffes d'extrêmité
cette étude démontre que l'origine des hétérogénéités de températu-
re est essentieflement électromagnétique 151. Une étude ultérieure
161 montre que ces défauts d'homogénéité ne sont pas prévisibles
à l'aide de calculs simples, ou par l'utilisation d'abaques établis
par une campagne d'essais.
Il est donc apparu rapidement qu'une approche numérique était indispen-
sable.
Deux études, menées à terme par A. BOSSAVIT (Service Informatique et
Mathématiques Appliquées), ont permis de progresser dans la compréhen-
sion des phénomènes physiques
Résolution numérique du problème non-linéaire thermique et électrique
d'un conducteur axisymétrique de longueur infinie placé dans un champ
magnétique uniforme 181
Extension du travail précédent au cas d'un conducteur de section
rectanui aire.
Bénéficiant de ]'éc}airage nouveau fourni par ces deux études, l'équipe
"induction" a développé un logiciel d'aide à la conception d'inducteurs
de chauffage, basé pour la partie électromagnétique sur les calculs
analytiques corrigés, et pour la partie thermique sur une méthode numé-
rique de différences finies en géométrie unidimensionnelle 171.
4
Récemment, la partie analytique de ce logiciel a été remplacée
par une méthode numérique d'éléments finis, résolvant le problème élec-
tromagnétique en géométrie unidimensionnelle 191 , et en tenant compte
plus exactement de la saturation magnétique des matériaux.
Parallèlement, le logiciel MAG-2D, crée par ROSE iiI( Informati-
que et Mathématiques appliquées) pour résoudre des problèmes de conduc-
tion, a été adapté aux besoins de l'induction. Basé sur une méthode
numérique d'éléments finis, ce logiciel résout le problème bidimension-
nel électromagnétique linéaire d'un conducteur de section quelconque
placé dans un champ orthogonal au pian d'étude.
3 LE POINT DE LA SITUATION EN 1981: NECESSITE D'UN NOUVEL OUTIL
DE DIMENSIONNEMENT.
Malgré les moyens de calcul disponibles, le dimensionnement d'une
chauffeuse restait parfois difficile, même dans le cas de géometries
relativement simples.
Par exemple, pour des applications de chauffage de billettes
par un inducteur solénoïde classique, deux probèmes majeurs sub-
si staient:
Effets d'extrémité pour les charges "longues": si l'une des
dimensions de la billete est grande devant les deux autres, le
dimensi onnement global fourni par les méthodes unidimensionnelles
est généralement correct: la puissance prévue est dissipée sous
la tension nominale d'alimentation. Mais des défauts dans l'homo-
généité de la température finale, fréquemment constatés, néces-
sitent une mise au point supplémentaire avant la mise en service
industriel et augmentent le côut de l'installation.
Dimensionnement pour les charges "courtes": si les trois dimen-
sions sont du même ordre de grandeur, en plus des défauts cités
ci-dessus, on obtient généralement une alimentation mal adaptée.
-5
Les modifications nécessaires sont alors déterminées par une
campagne d'essais.
Pour aborder ces deux problèmes, l'équipe induction a utilisé,
dans un premier temps, le logiciel FLUX-2DI I
. Ce programme, dévelop-
pé par l'équipe de SABONNADIERE à 1' ENSIEG, actuellement implanté au
Centre Interuniversitaire de Calcul de Grenoble, est à la disposition
des industiels, via le réseau TRANSPAC. Ses spécifications (la résolu-
tion des équations de MAXWELL en géometrie bidimensionnelie, dans les
cas particuliers de l'électrostatique, de la magnétostatique et de la
magnétodynamique linéaire) en font un outil d'intérêt général pour
i' électrotechnique.
Malgré l'existence de FLUX-2D, il est apparu nécessaire de déve-
lopper un outil spécifique au chauffage par induction, pour deux
raisons principales:
les formes généralement simples des matéri.aux à étudier permet-
tent d'alléger considérablement les pré-processeurs, et donc de
gagner un temps important lors de la saisie des caractéristiques
du cas à traiter, et lors de la préparation du calcul.
les matériaux à chauffer ont souvent des comportements magnéti-
ques non-linéaires (saturation): un calcul magnétodynamique en
milieu çonducteur non-linéaire est donc indispensable.
C'est pourquoi, dans un deuxième temps, l'équipe "induction" a
décidé la mise en chantier d'un nouveau logiciel, en complément de FLUX-
2D, spécifiquement adapté au calcul d'inducteurs de chauffage par induc-
tion.
-6
4 EdF ET LE DEPARTEMENT ELECTROTECHNIQUE DE L'ECOLE CENTRALE DE
LYON.
De nombreuses équipes de recherche, dans le monde, ont consacré
depuis 1970 un effort important à l'utilisation et à l'adaptation de
méthodes numériques de calcul pour les besoins de l'électrotechnique.
L'étude de la bibliographie ( articles dans les revues IEEE, com-
munications aux congrès COMPUMAG, INTERMAG, etc...) montre la diversité
des problèmes abordés et des méthodes utilisées. Des modèles numériques
résolvant les équations de MAXWELL ont rapidement été développés pour
des géométries bidimensionnelles, dans le cas des phénomènes non-
linéaires statiques ou des phénomènes linéaires dynamiques. Actuelle-
ment, la recherche est orientée principalement vers les modèles 3D,
et le perfectionnement des modèles 2D.
L'équipe "modélisation" du Département Electrotechnique de
l'Ecole Centrale de Lyon a participé activement à ces travaux, et s'est
interessée en particulier à l'adaptation du savoir-faire numérique déjà
acquis aux problèmes spécifiques du chauffage par induction 12 à 151.
C'est pourquoi, dans le cadre de la politique de collaboration
avec les laboratoires universitaires menée par EdF, cette action nouvel-
le de modé'isation a été confiée au Département Electrotechnique de
T'ECL.
5 SPECIFICATIONS GENERALES DU LOGICIEL SOUHAITE.
Avant d'aborder le travail proprement dit, il est nécessaire de
définir le cahier des charges du logiciel spécifique au di.mensionnement
des inducteurs.
-7
La priorité sera accordée à la résolution du problème électro-
magnétique, principalement pour deux raisons:
la constante de temps des phénomènes électromagnétiques est
petite devant celle des transferts thermiques en chauffage par
induction: à un instant donné, on peut résoudre les équations
électriques en régime permanent, en "figeant" la carte des tempé-
ratures.
les défauts de chauffage aux extrémités sont essentiellement
d'origine électromagnétique 151.
Les équations de MAXWELL seront résolues par une méthode numéri-
que en géométrie bidimensionnelle, en supposant les courants orthogo-
naux à la section étudiée. Ces hypothèses simplifient considérablement
les équations ( Cf chapitre I ), et conservent au logiciel un domaine
d'application étendu. En effet, pourront être traités:
les problèmes 3D axisymétriques ( billette à section circulaire
au centre d'un inducteur solénoide par exemple ).
les problèmes 3D pouvant raisonnablement être approchés par
une géométrie axisymétrique ( billette à section carrée par ex-
emple ), moyennant éventuellement une étude complémentaire sur
une section orthogonale à Paide du 'ogiciel MAG-2D de ROSE.
l.es problèmes 3D "longs", étudiés sur une section particulière
telle que les courants soient orthogonaux au plan d'étude, la
modélisation étant complétée par un calcul effectué par MAG-2D.
Sachant que la majorité des pièces à réchauffer avant formage
ont une forme simple, l'approche bidimensionnefle choisie est donc un
compromis acceptable face à 1a complexité des logiciels tridimension-
nels actuels.
-8
Le logiciel devra, à terme, être utilisable par des ingénieurs,
en milieu industriel3 ceci implique:
un dialogue aisé entre opérateur et programmes.
la présentation des résultats du calcul sous une forme adaptée
aux besoins de l'ingénieur.
la rédaction d'un code "portable", destiné à des ordinateurs
de taille "modeste'.
une mise au point et une validation soignées du logiciel.
6 COMMENT ATTEINDRE LES OBJECTIFS FIXES ?
Nous distinguerons trois étapes importantes:
La modélisation: moyennant des hypothèses simplificatrices,
nous définirons les grandeurs décrivant les phénomènes physiques,
et les équations simulant leur comportement( chapitre I ).
La création de l'outil numérique: nous choisirons les méthodes
numériques adaptées ( chapitre 2 ), puis réaliserons leur mise
en oeuvre dans le cadre d'un logiciel interactif ( chapitre 3).
La validation du logiciel: nous effectuerons une campagne
d'essais ( chapitre 4 ) dont les résultats permettront de véri-
fier la qualité des informations fournies par le logiciel, et
de préciser ses limites d'utilisation ( chapitre 5 ).
Au cours d'une discussion finale, nous jugerons l'aptitude du
logiciel à atteindre les objectifs initiaux.
CHAPITRE I
UNE MODELISATION DU CHAUFFAGE PAR INDUCTION
EN GEOMETRIE AXI SYMETRI QUE
Partant des équations de MAXWELL, nous présentons la démarche
et les hypothèses successives choisies pour obtenir un système
d'équations simplifiées décrivant correctement les phénomènes électro-
magnétiques intervenant dans le chauffage par induction.
Nous nous restreignons ensuite à l'étude des cas axisymétriques,
lorsque les courants inducteurs sont orthogonaux à la section méridien-
ne, et présentons le problème numérique à résoudre.
- IO -
1.1 INTRODUCTION.
Modéliser une installation de chauffage par induction n'est pas
un problème nouveau, et les équations auxquelles nous aboutissons
figurent dans un nombre respectable de publications.
Ces équations ont fait preuve de leur efficacité, mais leur
établissement soulève quelques difficultés souvent passées sous silence.
Le présent chapitre, qui tente de détailler la succession d'hypo-
thèses et de raisonnements conduisant à l'équation "du potentiel
vecteur" est dédié au chercheur néophyte s'interrogeant sur les "on
pose V = O et on en déduit.. .", merveilles de concision.
Le lecteur averti pourra donc se reporter directement à la
conclusion de ce chapitre.
Nous proposons la démarche suivante:
Rappel des équations de MAXWELL des états quasi-stationnaires.
Description des phénomènes et des matériaux à modéliser.
Simplification des équations de MAXWELL.
Introduction des potentiels vecteur magnétique et scalaire
électrique.
Hypothèse de jauge et équations tridimensionnefles.
Restriction aux géométries axisymétriques.
Exposé du problème final.
1.2 EQUATIONS DE MAXWELL DES ETATS QUASI-STATIONNAIRES.
Moyennant les hypothèses suivantes:
matériaux immobiles dans un repère fixe.
effets de propagation négligeables.
diélectriques non chargés et courants de déplacement négligés.
les équations de MAXWELL se simplifient et l'on obtient les équa-
tions classiques des états quasi-stationnaires:
div B = O
rot H J
div D = O (i)rot E = -
A ces équations s'ajoutent les lois de comportement des matériaux
liant B à H et D à E, et la loi d'OHM dans les conducteurs, liant J
à E.
Les vecteurs B, H, J, D, E dépendent des coordonnées x,y,z relativement
à un repère fixe, et du temps t.
1.3 QUE MODELISONS NOUS ?
Une chauffeuse par induction est souvent constituée d'un matériau
conducteur que l'on souhaite chauffer ( la charge ), placée dans un
champ magnétique variable dans le temps, créé par des spires parcourues
par un courant électrique alternatif ( l'inducteur ), ce courant étant
fourni par une alimentation ( transformateur, groupe tournant, généra-
teur statique ) reliée à une source d'énergie ( réseau électrique ).
Frequemment, on ajoute des culasses à proximité de la charge et de i'
inducteur pour canaliser le flux magnétique.
- 12 -
Il n'est pas question de modéliser la totalité de l'installation,
mais simplement la charge et son entourage immédiat. Nous supposerons
donc que notre sytème se réduit à l.a charge, à l'inducteur et aux culas-
ses focalisant le flux.
Pour exciter ce dispositif simplifié, nous supposerons connues
les densités de courant dans les enroulements inducteurs. Cette hypo-
thèse, choisie en raison des simplifications qui en résultent, peut
être considérée comme très restrictive; nous verrons ultérieurement
qu'eUe est acceptable pour l'application qui nous interesse.
1.4 LES LOIS DE COMPORTEMENT DES MATERIAUX.
Précisons les lois de comportement choisies pour la modélisation
des éléments constituant notre chauffeuse.
Charge.s. pièces métalliques, elles sont supposées avoir les
propriétes suivantes:
D =EB =H perméabilité dépendante de II.
J = crE loi d'OHM
Inducteurs: enroulements en cuivre, dans lesquels la densité
de courant est supposée connue à chaque instant:
D=B=H
Culasses: assemblage de tôles magnétiques, générall.ement non
saturées:
D =
B =,tH permeabilité indépendante de H.
U= O
- 13 -
( on néglige donc l'hystérésis et les courants de FOUCAULT dans
les culasses ).
Nous supposerons enfin que l'air ambiant, l'eau de refroidis-
sement des inducteurs et les divers isolants thermiques ont les
propriétes du vide pour les phénomènes qui nous interessent.
1.5 LE PROBLEME A RESOUDRE.
Nous devons donc résoudre le problème suivant:
Soit C un ouvert de R3
Calculer E, B, H, J dans ç pour tout t variant de O à t0 , tels
que:
div B = O
rot H = J + J0
div E = O
rot E = - -
et sachant que: (2)
B = zH
J = o-E dans les charges, J = O ailleurs.
J0connue dans es inducteurs, J0= O ailleurs.
Les conditions initiales et les conditions aux limites
seront précisées ultérieurement ( chapitres 2 et 3 ).
Remarquons que la distinction effectuée dans l'équation de MAXWELL
AMPERE entre courants source J0 et courants induits J est purement
formelle, et évite Ta séparation du problème (2) en deux problèmes cou-
plés par leur condition d'interface.
Le nombre des inconnues du problème (2) rend celui-ci mal adapté
à une résolution numérique, nous allons donc le rformuTer en utilisant
Tes potentiels vecteur magnétique et scalaire électrique.
- 14 -
1.6 NOUVEAU PROBLEME, REFORMULE A L'AIDE DU POTENTIEL VECTEUR.
Dans ce paragraphe, nous ne donnons que les étapes principales
du raisonnement, les détails des calculs font l'objet de l'annexe 1.
1.6.1 Si nous supposons connus les champs E et B solution du problème
(2), on peut définir deux potentiels, le potentiel vecteur A et le
potentiel scalaire , tels que:
B = rot A
)E =--- _gradçd
(3)
Les potentie's A et (D ne sont pas uniques.
1.6.2 Nous montrons ensuite que, parmi l'ensemble des couples ( A ,
satisfaisant les relations (3), il en existe un au moins de la forme
( A0 , O ). L'unicité de A0 est assurée si une condition initiale est
fixée sur A3.
1.6.3 Ainsi, si O est imposé à tout instant (hypothèse de jauge),
alors on peut décrire les champs E et B solutions du problème (2) par
un potentiel vecteur unique A tel que:
B - rot A
E=- (4)
A connu à t = O.
1.6.4 Enfin, nous démontrons que résoudre le problème (2) est équiva-
lent à résoudre le problème suivant:
15
Trouver A, fonction de Q dans R3, pour tout tE O,t0, telle que
rot(!rotA) AU -- = J0fil
( div A ) = O
sachant que: M = t( x,y,z,t, Urot AH )
o x,y,z
o = \ X,)Z,
et connaissant les conditions initiales et aux limites.
Le lien avec les grandeurs électromagnétiques habituelles étant:
B = rot A
E = -
1.7 LES PROBLEMES AXISYMETRIQUES.
Supposons que le problème à résoudre vérifie Tes conditionssuivantes:
-. La forme des matériaux et leurs propriétés physiques présentent
une symétrie de révolution autour d'un axe.
La répartition des courants "source" J est invariante par une
rotation autour de cet axe.
Le domaine d'étude Q choisi et les conditions aux limites sur
lia frontière de ce domaine respectent l'axisymétrie des matériaux
et des sources.
- 16 -
Repérons 2 par un système de coordonnées cylindriques r, a,z.
Les conditions (7) impliquent que toutes les grandeurs intervenant dans
le problème (5) sont indépendantes de c ;il suffira donc de résoudre
le problème (5) sur une partie de Ç2 , une section méridienne X , pour
connaitre la solution complète dans 2 par rotation autour de l'axe de
symétrie.
Remarquons que les conditions (7) impliquent que, sur l'axe de
symétrie, le potentiel vecteur A est colinéaire à cet axe.
Fig. J Un problème axisymétrique.
1.8 CAS PARTICULIER: COURANTS ORTHOGONAUX A LA SECTION MERIDIENNE.
Supposons de plus J0 = j0( r.z,t ) ea
Fig. 2 Courants orthogonaux.
- 17 -
C'est par exemple le cas d'un inducteur solénoïde, bobiné en
hélice dont le pas est négligeable par rapport au diamètre de l'induc-
teur.
Dans le cadre des hypothèses (7), ii est physiquement intuitif
que, si la condition (8) est réalisée, les courants induits seront éga-
ement orthogonaux à la section méridienne, et que par conséquent:
A = a ( r,z,t ) e (9)
On en déduit immédiatement:
A = O sur l'axe de symétrie.
div A = O car a est invariante en a.
Par ailleurs, en utilisant l'expression du rotationnel en coor-
données cylindriques, on déduit aisément de (8) et (9) que l'équation:
(!rotA) =J0cT-- + rotfil
devient:
- ( - - (ra)) - ( - I (ra)) = jt r r,ur z r,u.z
Le prob'ème initial (5) s'écrit donc beaucoup plus simplement
si l'on impose les conditions (7) et (8), et si l'hypothèse (9) est
vérifiée:
Trouver a ( r,z,t ) dans X section méridienne de
telle que:
(io)t r rfllr z
a = O sur l'axe, conditions initiales et aux
limites connues.
On peut démontrer que le problème (io) a une solution unique si
i est indépendant de a, et nous supposerons l'existence et l'unicité
de la solution dans le cas générai =p ( a ).
D'autre part, si l'on calcule A dans L à partir de la solution
unique du problème (io) en utilisant la relation (9), on montre faci-
lement que ce potentiel vecteur vérifie les équations du problème (5),
ce qui prouve l'équivalence entre les deux problèmes.
1.9 REMARQUE: PROBLEMES 3D INVARIANTS LE LONG D'UNE DIRECTION.
Si l'on rejette l'axe de symétrie à l'infini des matériaux, on
obtient un "problème limite" proche du précédent:
si c et les matériaux possèdent une "direction d'invariance" et
si les courants sont parallèles à cette direction, alors le problème
suivant dans , section quelconque orthogonale aux courants, est équi-
valent au problème initiai dans
étant rapportée à un repère cartésien Oxy,
trouver a ( x,y,t ) dans , telle que:
- 18 -
io
conditions initiales et aux limites connues.
sachant que:
A = a ( x,y,t ) e , invariant en z.
La possibilité de traiter ce cas particulier 2D-plan est lais-
sée à l'utilisateur, mais au cours des chapitres suivants, nous ne nous
interesserons qu'aux problèmes réellement axisymétriques, c'est à dire
dans lesquels les matériaux sont proches de l'axe de symétrie.
- 19 -
1.10 CONCLUSION.
Nous modélisons une chauffeuse à induction par un domaine C ayant
les propriétés électromagnétiques du vide, dans lequel nous disposons:
des sources ou inducteurs dans lesquels circulent une densité
de courant connue.
des charges, dans lesquelles circuleront les courants induits,
dont la conductivité a est connue, et dont la perméabilité varie
en fonction du champ magnétique selon une loi connue.
des culasses, matériaux magnétiques à perméabilité connue, et
dont la conductivité est nulle.
Nous imposons les conditions suivantes:
le problème est axisymétrique.
Tes courants source" sont orthogonaux à toute section méridien-
ne de Ç
Alors, dans 2 rapporté à un système de coordonnées cylindriques
r,a,z , on peut calculer e potentiel vecteur A tel que:
A = a ( r,z,t ) e
en résolvant le problème suivant par une méthode numérique:
/Trouver dans section méridienne de 2,
a ( r,z,t ) telle que:
(-i -- (ra)) - ( -i -- (ra)) = j (12)
t r rr z rza = O sur l'axe Oz, conditions initiales et aux
limites sur la frontière extérieure U de L connues.
- 20 -
Les grandeurs électromagnétiques habituelles se déduisent de la
solution du problème (12) en utilisant la définition de A:
B rot A
E=-
Fig. 3 Le prob'ème à résoudre.
CHAPITRE 2
LES METHODES NUMERIQUES CHOISIES
Parmi les méthodes numériques usuelles en électrotechnique, nous
avons choisi, pour notre application particulière, l'approche suivante:
le problème d'évolution est remplacé, grâce à une technique de
différences finies semi-implicite, par une succession de problèmes
stationnaires. Nous obtenons une solution approchée de chaque problème
stationnaire en utilisant une méthode d'éléments finis.
Nous exposons dans ce chapitre les raisons des choix effectués,
puis décrivons sommairement les techniques utilisées: schéma d'EULER
semi-imp'icite, reformulation faible du problème stationnaire et change-
ment de variable, approximation par éléments finis, et résolution du
système algébrique d'équations obtenu.
- 22 -
2.1 INTRODUCTION: LES ELEMENTS FINIS ET L'ELECTROTECHNIQUE.
L'équation aux dérivées partielles - EDP - qui est au coeur de
notre problème numérique appartient à la famille des EDP paraboliques
du second ordre, dont "l'équation de la chaleur":
k t
est l'exemple type. La modélisation fine de nombreux problèmes physi-
ques passant par la résolution de cette équation, des recherches ap-
profondies ont depuis longtemps été consacrées à son étude. Le dévelop-
pement du calcul numérique sur ordinateur a permis d'obtenir des
solutions approchées satisfaisantes dans de nombreux cas, dont la
complexité ne permettait pas d'atteindre la solution par une méthode
analytique.
La première utilisation de ces méthodes nouvelles à l'étude d'un
problème électromagnétique date du début des années soixante: il s'agis-
sait d'une technique "de différences finies" de discrétisation des EPP.
Vers 1970, la méthode des éléments finis - MEF -, initialement
développée pour les problèmes de mécanique, a été adaptée aux besoins
de l'électrotechnique 1161. Par rapport aux différences finies, l'avan-
tage de la MEF résidait -et réside encore- en son aptitude à la descrip-
tion de phénomènes à géométrie complexe, cet atout étant déterminant
pour l'étude des machines par exemple. Mais son application était
limitée aux cas particuliers statiques de notre EDP, c-à-d aux problèmes
de LAPLACE et de POISSON, ou à leurs variantes non-linéaires.
Les travaux d'extension de la MEF à l'étude des problèmes dyna-
miques se sont orientés vers les formulations "en complexe", qui, dans
Te cas particulier des excitations sinusoidales en milieu linéaire,
conduisent à la solution en régime permanent. La simulation du compor-
tement non-linéaire des matériaux a été tentée par le biais de perméa-
bilités équivalentes, réelles 1191 ou complexes 1201.
- 23 -
Une seconde approche, présentée en 1975, consiste en la résolu-
tion "pas à pas" dans le temps grâce à un schéma implicite 171.
Employée pour l'étude des régimes transitoires, elle est potentiellement
adaptée aux phénomènes non-linéaires car elle n'impose pas l'évolution
sinusoidale des grandeurs.
2.2 LA SPECIFIChE PE NOTRE PROBLEME; NOS CHOIX NUMERIQUES.
La modélisation du chauffage par induction pose un problème dif-
ficile: dans une très petite partie du domaine d'étude( la périphérie
de la charge ) coexistent une "forte" non-linéarité et un comportement
dynamique "violent" ( courants de FOUCAULT intenses en milieu saturé.).
Souhaitant obtenir des résultats aussi précis que possible, nous
avons choisi une méthode combinant la MEF pour les problèmes statiques
non-linéaires et la méthode "pas à pas" pour les régimes transitoires.
La méthode "pas à pas" permet de décrire avec précision les évo-
lutions non-sinusoIdales des grandeurs dans l'épaisseur de peau ( nous
verrons en effet que l'induction a une allure en "créneaux", et que
le potentiel vecteur et les courants induits sont très déformés par
rapport aux courants inducteurs ). Nous éviterons ainsi i.e calcul d'une
perméabil i.té équivalente.
A chaque pas de temps, la MEF a été choisie pour résoudre le pro-
blème non-linéaire à cause des raisons suivantes:
l.a MEE est largement employée par les électrotechniciens, et
nous en avions déjà l'expérience 1151.
les méthodes intégrales de frontière, récemment adaptées à l.a
résolution des équations de MAXWELL, ne permettent pas, actuelle-
ment, de traiter les problèmes non-linéaires dynamiques 1181.l.es méthodes de différences finies ne bénéficient pas du for-
mai.isme de l.a MEE, et leur mise en oeu? est relativement lourde
si l'on souhaite obtenir un outil performant.
¿t
Méthode explicite: le calcul du laplacien de Tn permet d'éva-
luer directement
n+I n-Tk St
Méthode implicite: T1 est calculée grâce à la résolution de
"l'équation écrite à l'instant n+1".
i T'1 Tnl
k ¿t
La méthode explicite est souvent instable ( amplification de
l'erreur ) la méthode implicite est très utilisée à cause de sa sta-
bilité inconditionnelle, mais est peu précise si ¿t n'est pas très
petit. Nous avons choisi une méthode hybride, appelée "semi-implicite"
1211 ou " 0-method" 1221, caractérisée par une bonne stabilité et une
meilleure précision que la méthode implicite:
- 24 -
2.3 LA DISCRETISATION EN TEMPS: EULER SEMI-IMPLICITE.
La discrétisation en temps permet de remplacer la résolution
d'un problème d'évolution par celle de Np problèmes stationnaires aux
instants successifs ¿t, 2t,... , NpSt.
Les schémas d'EULER explicite et implicite sont, parmi les nom-
breuses méthodes existantes 211, les plus simples.
Si nous reprenons l'exemple de l'équation de la chaleur:
LT =k t
et si nous notons Tri la solution supposée connue à l'instant nbt, les
deux méthodes d'EULER permettent le calcul de T à partir de Tri
moyennant une approximation de la dérivée par rapport au temps de T
entre nt et(n+1) ¿t:
T Tn+I - T
- 25 -
Méthode semi-implicite:
Soit Ocompris entre O et 1, notons n+0 l'instant (n+O)t.
La méthode implicite écrite à n0 permet de calculer T0:
Tn= ! T0 T
k
n+0 n+1Connaissant T , on calcule T sachant que:
Tn+O= OTn+l+( i )
Tr
En simplifiant: semi-implicite = 0* implicite + (io) * explicite.
La valeur optimale de O a été déterminée par des essais numériques
en recherchant le meilleur compromis entre stabilité et précision
( O = 0.66, Cf chapitre 5 ). Lorsque 0= 0.5, on retrouve la méthode
de CRANK-NICHOLSON.
Après discrétisation en temps, le problème (12) est donc trans-
formé en une succession de problèmes stationnaires de type elliptique:
nConnaissant a dansa 1 instant nat,
trouver an+O( r,z, (n0) 6t ) dans I, telle que:
a n+0 I n+0 I n+0 .n+0 a n- a - - - (ra )) - -- - - ra )) = j + a (13)06t r r,a r r,u
° 0t
n-f-0a = O sur 1'axe Oz, conditions aux limites sur
frontière extérieure connues.
On calcule an+là partir de at140et anl
n+l i n+0 0-1 na =-a + ao
05t
('4)
- 26 -
2.4 REFORMULATION FAIBLE DU PROBLEME STATIONNAIRE.
La méthode des éléments finis, utilisée pour la résolution du
problème (13), comporte deux démarches successives: la reformulation
du probième, qui conduit d'une équation locale à une infinité d'équa-
tions intégrales dépendantes de "fonctions test" appartenant à un espace
fonctionnnel, puis la projection de l'espace fonctionnel sur un nombre
fini de fonctions orthogonales, constituant la base d'un espace d'inter-
polation.
La projection des équations intégrales sur l'espace d'interpola-
tion conduit à un nombre fini d'équations, dont les inconnues sont les
coordonnées dans la base d'interpolation d'une solution approchée du
problème initial.
La méthode est qualifiée "des éléments finis" car l'interpolation
est réalisée par un découpage du domaine de résolution en "éléments"
de forme géométrique simpe ( triangles, quadrilatères ), sur lesquels
les fonctions d'interpolation ont une expression analytique simple.
Une littérature abondante et de qualité à été consacrée à la MEF
par des numériciens et des ingénieurs. Nous n'indiquerons donc que les
étapes essentielles, dans le cadre de notre application particulière,
et renvoyons le lecteur désireux d'en savoir plus aux ouvrages spécia-
usés ( 211 par exemple ).
Avant d'exposer la reformulation du problème (13), nous allons
préciser la nature des conditions aux limites, définir un espace fonc-
tionnel, et justifier i.e changement de variable "habituel" u = ra.
- 27 -
2.4.1 Les conditions aux limites admissibles.
Nous admettrons qu'un problème tel que (13) n'admet une solution
unique que si les conditions aux limites sur la frontière extérieure
du domaine d'étude sont parmi les trois types suivants:
DIRICHLET: valeur imposée sur la frontière.
NEUMANN: dérivée normale imposée sur la frontière.
FOURIER: relation imposée entre valeur et dérivée normale sur
la frontière.
Les conditions aux limites peuvent être mêlées, par exemple une
partie de la frontière en DIRICHLET, le complément en NEUMANN.
Ces conditions aux limites sur le potentiel vecteur, imposées
à une distance finie de l'axe Oz, ne conviennent pas bien à notre pro-
blème nous reviendrons sur ce point au cours des chapitres 3 et 5.
Afin de simplifier la suite de l'exposé, nous nous restreindrons
aux conditions de DIRICHLET et de NEUMANN homogènes ( valeur ou dérivée
normale nulle sur la frontière ).
2.4.2 Le choix d'un espace fonctionnel.
Nous noterons:le domaine d'étude.
['la frontière du domaine.
Ila partie de ['ou l'on impose des conditions de
DIRICHLET homogènes ( axe Oz par exemple ).
Ila partie de F ou l'on impose des conditions de
NEUMANN homogènes ( vide éventuellement ).
z'
j
Fig. 4 Le domaine d'étude.
- 28 -
On peut alors définir l'espace de SOBOLEV ) de la façon
suivante:
) est l'ensemble des fonctions définies dans !, nulles sur
de carré intégrable sur 2 , et dont toutes les dérivées
partielles à Pordre I sont de carré intégrable sur .
( ) est un espace de fonctions suffisamment régulières pour
que les calculs qui suivent aient un sens.
2.4.3 Changement de variable u = ra.
Avant d'aborder la formulation faible du problème, nous effectuons
un changement de variable. En effet, les problèmes axisymétriques pré-
sentent, par rapport aux problèmes 2D-plans, un inconvénient qui rend
leur traitement numérique délicat: les variables r et z ne jouent pas
le même rôle, et si l'on n'y prend pas garde,des intégrales non définies
à proximité de l'axe de révolution apparaissent. Par ailleurs, la réso-
lution du système final d'équations est souvent peu précise, ]a présence
de termes dépendant du rayon perturbant le "conditionnement" du système.
Nous avons testé numériquement trois formulations, traitées de
façon à obtenir une matrice finale symétrique, en utilisant respective-
ment es inconnues a/ft , a et ra.
La formu'ation en " a/sfr " ne pose aucun problème d'intégration,
mais des erreurs importantes apparaissent lors de la résolution, même
pour des cas simples ( écarts de 2O sur les puissances, résidus de
l'ordre de 1O ).
La formulation en " a " conduit à des intégrales calculables sur
l'axe moyennant un traitement approprié, et sa résolution est plus pré-
cise que la précédente ( puissances correctes pour les problèmes li-
néaires, résidus de l'ordre de 5.IO ).
La formulation ra fait apparaitre des termes non intégrables
- 29 -
sur l'axe, en particulier avec une interpolation du premier ordre. La
difficulté est levée si l'on remarque que la condition a = O sur l'axe
Oz est équivalente à ra = O et ra/r = O sur l'axe. Le résidu après
une résolution est généralement de l'ordre de 10_6, et si aucune dif-
férence n'est détectable ( sauf éventuellement très près de l'axe )
lors de calculs linéaires entre cette formulation et la précédente,
un écart de quelques % sur les puissances globales apparait lors de
l'étude de problèmes non-linéaires: le résidu des deux formulations
augmente ( grand nombre d'inconnues, matrice "mal conditionnée" ), mais
la formulation " ra " reste plus précise.
SILVESTER propose un changement de variable intermédiaire, en
a "; nous ne l'avons pas retenu, car les calculs sont beaucoup plus
lourds qu'en formulation " ra ", pour laquelle des simplifications font
disparaitre un terme à intégrer.
Précisons pour les spécialistes que ces essais numériques ont
été réalisés en simple précision, avec des éléments triangulaires du
premier ordre, les matrices élémentaires étant calculées analytiquement.
La résolution du système matriciel a été obtenue par une factorisation
de CHOLESKI et la "descente-remontée" des deux systèmes triangularisés.
Le résidu est évalué après une résolution, en utilisant la norme habi-
tuelle ( somme des carrés ).
Le changement de variable u = ra n'est donc pas dicté par un
arbitraire souci d'élégance, mais par la recherche d'une meilleure pré-
cision. Nous avouons avoir été surpris par les écarts constatés entre
les trois formulations que nous avons testées; le traitement numérique
des problèmes axisymétriques mériterait une étude plus approfondie,
en particulier en direction des formulations conduisant à des systèmes
non symétriques.
En adoptant les notations simplifiées suivantes:
n+Ou = ra
nu0= ra
.n+O
.10= JO
le problème (13) s'écrit, après changement de variable:
Trouver u dans H( fl telle que:
U/ -u---()--( 1u U
rOst r rr z
- = 0rOst
0
= O sur I ( NEUMANN homogène ).
On remarque que l.a condition de DIRICHLET devient implicite
uEH(X) ).
2.4.4 FORMULATION FAIBLE DU PROBLEME (16).
Soit y un élément de H( ). En "multipliant l'équation du pro-
blème (16) par"v", on obtient après intégration sur
+i
SUdrdz _5v[ --( J) 1U)]
drdz =- vuOt r r r,ur z rJ.z
- 30 -
I Iy= 5v] drdz + - vu drdz
O OtJr O
En utilisant la "formule" de GREEN ( ou intégration par parties.)
on transforme le second terme du membre de gauche de la relation (17):
5v[-L) -( J)} drd =
1 vuz drdz-
r r z r $r r r z z
"1 uJ_v
r
-3
On a ainsi remplacé le terme "laplacien" de la relation (17) parun terme symétrique en u et y ne faisant apparaitre que des dérivéespartielles du premier ordre, auquel s'ajoute un terme "de bord" danslequel figure la dérivée normale de u le long de U
Le terme de bord est nul, car:
SurIs: y = O car vEH (2:).
Sur I: = O , condition de NEUMANN homogène.
Dans le cas plus général des conditions aux limites non-homogènes,leur influence est introduite par ce terme de bord, alors non nul.
La formulation faible du problème (16) est donc:
Trouver u dans H ( 2: ), telle que, pour tout y deH1 (2:):
('u Ç I u v u v 1'. 1 0- uy drdz + -( - - + - -) drdz = j0v drdz + - - u0v drdzr rz r r z z O t r2: 2:
2: 2:
Nous admettrons que les problèmes (16) et (18) sont équivalents.La démonstration, par utilisation du théorème de LAX-MILGRAM, est dé-taillée dans 1231 en supposant la perméabilité constante par morceaux.
Le problème (18), pas plus que le problème initial (16), ne peutêtre résolu exactement; nous allons maintenant en chercher une solutionapprochée.
(18)
32 -
2.5 SOLUTIONS APPROCHEES DU PROBLEME STATIONNAIRE.
Interpolons I ( ) par un espace W, de dimension finie N, dont
une base est ( w1,W2,... ,W
W est un espace d'interpolation de H si on peut "approcher avec
une précision suffisante" toutes les fonctions de H par une combinaison
linéaire des w. ( par exemple, interpolation par développement limité
à l'ordre N, ou par décomposition de FOURIER spatiale dont on tronque
le spectre ).
La MEF utilise une interpolation particulière: le domaine d'étude
est représenté par un assemblage d'éléments finis ek de forme géometri-
que simple. Les fonctions d'interpolation seront nuli sur la totalité
des éléments sauf quelques uns, sur lesquels leur expression analytique
sera simple.
Réalisons par exemple un découpage de X par des éléments trian-
gulaires. Nous supposerons que la frontière de X est constituée de seg-
ments de droite, pour ne pas introduire des éléments courbes.
Fig. 5 Un exempi.e de découpage.
Les sommets des triangles sont les noeuds géométriques du mail-
lage. Le noeud i est commun à plusieurs triangles e.1, e.2,..., e.6.
- 33 -
Si N est le nombre de noeuds du maillage, un interpolation pos-
sible consiste à choisir N fonctions w., telles que:
w.= i au noeud i.
w.= O aux noeuds j / i.
w. est continue, et varie linéairement dans les tri-i
angles.
La fonction w. est alors uniformément nulle en dehors des trian-i
gies e.1, e12,..., e.6.
Dans cet exemple, nous avons réalisé une interpolation à partir
d'éléments triangulaires du premier ordre. On peut utiliser des éléments
de forme différente ( quadrilatères, etc... ), ou des fonctions d'inter-
polation d'ordre supérieur 1211, mais quel que soit le découpage choisi,
il doit décrire entièrement ( sans "trous" ni superpositions ), et
respecter les interfaces entre les milieux.
Plus généralement, si un espace d'interpolation W est choisi,
si w1 , w2,..., WN est une base de W, on obtiendra une solution appro-
chée du problème (18) en résolvant le problème suivant:
Trouver u dans W telle que, pour tout i variant de I à N:
j-Juw drdz u+ - drdz
Ost r r1u rr zz4w.drdz - u w drdzOiOi OStr
Si nous explicitons u en fonction de ses composantes dans la base
des w.:i
Nu =u.w.
iJi
un peu de calcul permet d'écrire le problème (19) sous forme matricielle:
(19)
- 34 -
Trouver le vecteur U de composantes u. tel que:
( F + L ) u = s + F U0
S vecteur des sources, de composantes s.:
si = $0w. drdz
U0 vecteur des composantes de u0 , solution approchée
au pas de temps précédent.
U vecteur des composantes de la solution cherchée:
u = u.w.Ji
F matrice de "FOUCAULT", de termes:
Iraf. . = w.w. drdz
XL matrice "LAPLACIEN", de termes:
r w. w.
i....I-' ( -i + -i _1 ) drdz
Jru r r z z
XRésoudre le problème (20) revient à résoudre un système algébrique
de N équations à N inconnues. Ce système est non-linéaire car les termes
de la matrice L dépendent de la perméabilité, donc de la solution. On
remarquera que les matrices L et F sont symétriques et creuses ( terme
ij nul dès que l'une des fonctions w. ou w. est uniformément nulle ).
Nous avons donc transformé un problème défini par une EUP et des
conditions aux limites en un système d'équations algébriques dont la
résolution par une méthode numérique fournira une solution approchée
au problème initial..
- 35 -
2.6 RESOLUTION BU SYSTEME D'EQUATIONS ALGEBRIQUE5.
Si des méthodes de résolution des systèmes algébriques de N équa-
ti.ons à N inconnues existent depuis fort longtemps, elles ont fait
l'objet, depuis une vingtaine d'années, de multiples perfectionnements
tendant à les adapter au calcul numérique par ordinateur.
Nous ne citerons ici que les deux méthodes que nous avons testées.
Elles sont classiques, et leur principe figure dans tous les ouvrages
de base.
2.6.1 Méthode directe: factorisation de CHOLESKI.
Soit MU = S le système à résoudre.
On factorise M en produit d'une matrice triangulaire inférieure
L et de sa transposée tL:
M s LtL
La résolution successive de deux systèmes triangulaires permet
alors d'obtenir la solution (J:
LY = S permet le calcul de Y.
tLU = Y permet le calcul de U.
La factorisation de CHOLESKI n'est possible que dans le cas par-
ticulier des matrices symétriques définies positives. Nous avons vu
que la matrice F + L du prob].ème (20) est symétrique, on peut démontrer
aisément qu'elle est définie positive; cette méthode est donc applicable
à la résolution du système algébrique (20).
Si I.e système est non-linéaire, on utilise une technique itérati-
ve de substitution 1211:
- 36 -
U initial! ( en pratique, U à l'instant précédent
Assemblage de l!a matrice M
I
Factorisation de CHOLESKI de M
Résolution de MU = S
rComparaison entre U initial et U calculé
Istabilité ?oui
non[
U initial! = U calculé JLU solution = U calculé
Fig. 6 La méthode de substitution.
La méthode de NEWTON-RAPHSON 211, qui est une généralisation
de l.a méthode "de la tangente" utilisée pour la recherche des racines
d'une équation, permet d'accélérer la méthode de substitution.
2.6.2 Méthode itérative: GAUSS-SEIDEL.
Cette méthode repose sur une résolution "ligne à ligne" du système.
Notons:
L
- 37 -
i l'indice de ligne, variant de I à N.
b l'indice de "balayage".
U le vecteur des inconnues.
U1une valeur initiale arbitraire de U.
V un vecteur de travaill, de N composantes y..
On calcule une nouvelle valeur y'. de y.i
par résolution de l'équation correspondant à
la ligne i du système, dans iaque]1e les
inconnues d'indice différent de i ont été
remplacées par leur valeur dans V
Jon remplace y. par v dans V
Fi n
joui L H= 1LU
non
Fig. 7 La méthode de GAUSS-SEIDEL.
=b+ I
b= i
v=i=I
- 38 -
Une variante classique de GAUSS-SEIDEL, la méthode SOR ( succes-
sive over relaxation ) remplace, dans l'algorithme précédent:
y. =úv! + (i-w) y.
dans V, au lieu de y! ;est un coefficient de relaxation, destiné
à accélérer la convergence.
Si le système est non-linéaire, la résolution de l'équation i
est effectuée par une méthode de NEWTON 1241.
2.6.3 Comparaison des deux méthodes: essais numériques.
GAUSS-SEIDEL est peu gourmande en place mémoire ( le stockage
de la matrice M n'est pas nécéssaire ), mais elle ne fournit pas direc-
tement la solution d'un système linéaire. CHOLESKI est certainement
défavorisée lors de l'étude de problèmes non-linéaires, car le système
est traité globalement par une méthode "lourde", alors que dans la
méthode SOR, seu'es les équations relatives à un milieu non-linéaire
sont résolues par la méthode de NEWTON.
Le choix a priori est donc délicat, et nous avons réalisé des
essais numériques afin de comparer les précisions et les temps de
cal cui.
Nous avons commencé notre étude par le cas "linéaire statique"
( premier pas de temps d'un probilème linéaire dynamique ), ce qui nous
a permis de remarquer:
La précision des deux méthodes est comparable, à condition bien
sûr de fixer le test d'arrêt de la méthode SOR à une valeur adé-
quate ( si E= io , les résultats sont "identiques"; voilà qui
est rassurant...).
La méthode SOR est plusieurs fois plus longue que la méthode
directe.
Le nombre de balayages de SOR dépend fortement du coefficient
de relaxation w : une variation de quelques % de w entrame par-
fois une augmentation de 30% à 50% du nombre de balayages.
La valeur optimale du coefficient de relaxation dépend d'un
grand nombre de paramètres: perméabilité et résistivité de la
charge, nombre d'inconnues du système.
- 39 -
Ces observations ont été confirmées lors de l'étude de quelques
cas dynamiques linéaires sur un période. Nous avons constaté en parti-
culier que la sensibilité du temps de calcul par SOR au coefficient
de relaxation n'est pas spécifique au premier pas de temps, plus "bru-
tal" que les suivants.
A ce stade de nos essais, nous avons décidé de choisir la méthode
directe par factorisation de CHOLESKI: au risque ( comportement capri-
cieux de la méthode SOR, potentiellement plus rapide) nous avons pré-
féré la sécurité ( CHOLESKI est moins adaptée aux problèmes non-liné-
aires, mais nous conduira au résultat ).
A posteriori, l'expérience que nous avons acquise sur le comporte-
ment des systèmes non-linéaires nous a montré la faiblesse de cette
argumentation. En effet, il est bien clair que SOR ne présente aucun
interêt pour l'étude des systèmes dynamiques linéaires en pas à pas
la factorisation de CHOLESKI étant réalisée uniquement au premier
pas de temps ). Mais les comportements transitoires d'un matériau li-
néaire et d'un matériau saturé sont très différents, car la saturation
écrète les valeurs de l'induction et assagit le régime transitoire.
Il était donc maladroit de juger la méthode SOR sur des essais numéri-
ques en linéaire, car le coefficient optimal de relaxation aurait peut-
être été moins dispersé, d'un cas fortement saturé à l'autre.
Pour notre défense, nous ajouterons que la méthode directe nous
a fourni des résultats satisfaisants, et que la vectorisation de la
factorisation de CHOLESKI ( impossible pour SOR ) associée à une réduc-
tion de la taille de la matrice à factoriser à chaque itération non-
linéaire ( Cf chapitre 3 ) a permis de diminuer notablement les temps
de calcul
- 40 -
2.7 CONCLUSION.
Nos choix ont été guidés par la volonté sousjacente de réaliser
un logiciel utilisant des méthodes numériques aussi simples que possible
afin de minimiser les délais de programmation et de mise au point.
C'est pourquoi nous avons délibérément écarté des méthodes numériques
plus élaborées: éléments finis en espace et en temps, ou méthode de
"rigidité extérieure" 1231, par exemple.
En contrepartie, un travail expérimental important permettra de
justifier en détail les hypothèses fondamentales de la modélisation.
Si la validation est jugée satisfaisante, alors il sera possible de
revenir à l'approche numérique, en s'appuyant cette fois sur des réfé-
rences plus solides.
CHAPITRE 3
DESCRIPTION DU LOGICIEL REALISE
Après avoir justifié quelques hypothèses simplificatrices sup-
plémentaires, nous préciserons dans ce chapitre comment les méthodes
numériques choisies ont été mises en oeuvre dans le logiciel interactif
CARMEN. Au passage, nous insisterons plus particulièrement sur les
points suivants:
Informatique et programmation ( Cf annexe 2 ).
Conditions aux limites sur les frontières extérieures.
Choix des éléments triangulaires du premier ordre.
Modélisation des propriétés magnétiques des aciers ( Cf annexe 3 ).
Calcul de la perméabilité dans un éIément:= ( H ).
Réduction des temps de calcul: vectorisation et diminution de
la taille du système non-linéaire.
Calcul des puissances active et réactive locales instantanées.
- 42 -
3.1 INTRODUCTION: DU PROGRAMME AXSYM AU LOGICIEL CARMEN.
Au cours des années qui suivirent la mise au point d'un program-
me 2D-plan pas à pas dans le temps 1171, une version axisymétrique,
baptisée AXSYM, fut réalisée par FOGGIA à l'Ecole Centrale de Lyon 12!.
Les résultats fournis par AXSYM furent comparés à des relevés expéri-
mentaux, et jugés satisfaisants. Quelques essais numériques, dans le
cas de matériaux non-linéaires, avaient encouragé à persévérer.
Modifier AXSYM afin de le rendre conversationnel fut notre premier
travail, grâce auquel nous avons rapidement pu effectuer des essais
numériques et la mise au point de préprocesseurs et postprocesseurs.
Mais, de modification en extension, AXSYM finit par devenir illisible
et incohérent: on ne peut pas transformer un programme de calcul destiné
à la recherche universitaire, en logiciel interactif à vocation indus-
trielle.
Les trois derniers mois de notre travail furent donc consacrés
à la réécriture complète d'AXSYM, devenu CARMEN à l'occasion. Moyennant
l'utilisation d'une méthode plus rationnelle de programmation ( Cf
annexe 2 ), CARMEN devint à l.a fois plus général dans ses applications,
d'une écriture plus compacte et plus lisible, et surtout plus facile
à utiliser que son prédécesseur.
Nous préciserons au cours de la description du logiciel CARMEN,
comment les méthodes numériques choisies ont été appliquées: géométrie,
éléments finis et maillage, paramètres numériques du calcul, puissances
active et réactive, et post-processeurs.
- 43 -
3.2 LE SCHEMA DU LOGICIEL.
CARMEN est un assemblage de huit programmes, contrôlés par un
superviseur:
Trois pre-processeurs:
Saisie des données physiques du problème.
Saisie des limites d'étude et maillage du domaine.
Saisie des paramètres numériques du calcul.
Un processeur de calcul:
Résolution numérique du problème ( plan ou axi-
symétrique, linéaire ou saturé ), et calcul des puis-
sances active et réactive moyennes.
Trois post-processeurs:
Tracé des lignes de champ de l'induction, à un
pas de temps quelconque de la dernière période de
calcul.
Tracé des courbes iso-densité de puissance moyenne
dissipée au cours de la dernière période de calcul.
Tracé des évolutions en fonction du temps de gran-
deurs locales ( induction, densité de courant ),
et calcul des valeurs moyenne et efficace de ces
grandeurs au cours de la dernière période.
Un utilitaire:
Edition sur imprimante de 'l'état" d'un problème
à une étape quelconque de son étude: données physi-
ques, maillage, paramètres numériques, résultats
globaux du calcul.
Les informations relatives au problème étudié ( données, résul-
tats ) sont stockées dans un fichier spécifique. Ce fichier assure la
circulation de l'information entre les divers programmes du logiciel,
- 44 -
sa structure et son contenu ont été étudiés afin de minimiser les redon-
dances ( cohérence des données ), et de réduire la quantité d'informa-
tion figurant explicitement ou implicitement dans le "code" des prog-
rammes ( extensions et modifications facilitées ).
3.3 HYPOTHESE FONDAMENTALE: TRACE DES MILIEUX RECTANGULAIRE DANS LE
PLAN D'ElUDE.
La modélisation du chauffage par induction en vue d'une résolu-
tion numérique a déjà entramé une succession d'hypothèses simplifica-
trices exposées au premier chapitre.
Lors de la réalisation du logiciel, nous avons effectué des sim-
plifications supplémentaires: courant inducteur sinusoidal, propriétés
physiques uniformes dans chaque milieu, courbes de saturation appro-
chées, géométries simplifiées ( trace des matériaux dans Je plan d'ét-
ude constituée par un assemblage de rectangles dont les côtés sont pa-
rallèles aux axes ).
Si les utilisateurs le souhaitent, nous pourrons étendre les pos-
sibilités du logiciel, sans que cela entrame des modifications impor-
tantes: ondes de courant source quelconques, courbes de saturation défi-
nies point par point, répartition continue des propriétés physiques
simulant une "carte" des températures.
Seule l'hypothèse relative à Ja géométrie des milieux est fonda-
mentale, car les simplifications qu'elle autorise, aussi bien dans le
dialogue ( saisie de la géométrie ), que lors du maillage ( grille de
différences finies ) et du calcul. ( numérotation des inconnues, stoc-
kage de la matrice, calcul analytique des matrices élémentaires ), ont
été exploitées au maximum lors de la programmation du logiciel.
La validation des résultats du logiciel ( Cf chapitre 5 ) mon-
trera que les hypothèses "secondaires" sont assez bien justifiées. Par
ailleurs, l'utilisation fréquente du programme AXSYM, puis du logiciel
CARMEN, par les ingénieurs de l'équipe "induction" de EdF nous a conf ir-
mé que, malgré la restriction sur la géométrie, le domaine d'appli-
cation du logiciel était bien adapté au chauffage par induction.
- 45 -
3.4 SAISIE DES DONNEES PHYSIQUES DU PROBLEME.
Chaque matériau est décrit par un assemblage de milieux" de
géométrie rectangulaire et dont les propriétés physiques sont uniformes.
La modélisation choisie suggère la classification des milieux
en trois types: inducteur, culasse et charge.
La géométrie est définie, indépendamment du type, par quatre
valeurs (rayons intérieur et extérieur, abscisses gauche et droite)
dans un repère dont l'origine en z est choisie par l'utilisateur.
r
Oz
Fig. 8 Géométrie.
La nature des propriétés physiques dépend du type du mileu:
3.4.1 Milieux "inducteur":
Un inducteur est assimilé à une nappe de courant uniforme; l'évo-
lution de la densité de courant est supposée sinusoidale, et calculée
à partir des informations suivantes:
intensité efficace.
nombre de spires.
fréquence.
phase initiale.
- 46 -
La saisie de la phase initiale des courants inducteurs permet
d'agir sur le régime transitoire ( Cf chapitre 5 ), et de simuler des
inducteurs polyphasés.
Selon la géométrie de l'inducteur réel, on le représentera ou
bien par une nappe unique ( cas le plus fréquent ), ou bien en tenant
compte de sa discrétisation en spires ( autant de milieux "inducteur"
que de spires ).
3.4.2 Milieux "culasse":
Conformément aux hypothèses de la modélisation, la seule proprié-
té physique d'une culasse est sa perméabilité relative.
3.4.3 Milieux "charge":
Quelles que soient ses propriétés magnétiques, sa résistivité
est supposée uniforme.
Si l'on désire simuler un matériau saturable, il faut fournir
sa courbe d'aimantation. Ne pouvant disposer rapidement de relevés expé-
rimentaux, nous nous sommes inspirés des travaux de BRISSONNEAU sur
les propriétés magnétiques de l'acier XC 38 1261.
Nous en avons déduit une courbe simplifiée M ( H ), dépendant de
trois paramètres:
M aimantation à saturation.sat
B induction rémanente.
H champ coercitif.
La courbe M (H) choisie est linéaire si le champ est inférieur
en modul.e au champ coercitif, et évolue en ( Hc/H)02
au delà.
L'induction B est calculée à partir de M et H:
B = M +
M
Msat
Br
Hc H
Fig. 9 Courbe d'aimantation simplifiée.
Des informations complémentaires sur les propriétés magnétiques
des aciers de construction courante ( l'essentiel des matériaux concer-
nés par le réchauffage avant formage ) sont fournies en annexe 3.
3.5 CHOIX DU DOMAINE D'ETUDE, ET MAILLAGE.
Telle que nous l'avons présentée, la méthode des éléments finis
n'est utilisable que si le domaine d'étude est borné. La condition aux
limites naturell.e sur le potentiel vecteur est sa nullité à l'infini,
que nous remplaçons par des conditions sur une frontière extérieure
arbitraire.
inducteur
charge
Fig. IO Frontière extérieure du domaine.
La pratique confirme que les résultats du calcul dépendent de
l'emplacement de la frontière extérieure, et des conditions aux limites
imposées sur cette frontière. Cependant, un "bon choix" de la frontière
et des conditions aux limites minimise l'erreur, et, si ce choix estimpossible ( une frontière éloignée entrainant un nombre d'i.nconnues
élevé ) un encadrement du résultat peut être obtenu( Cf chapitre 5).
frontière
extérieure
L
Fig. 11 Un problème simple.
aaa
- 48 -
Le découpage du domaine d'étude en éléments triangulaires du pre-
mier ordre est réalisé automatiquement, le maillage ayant l'allure d'une
grille de différences finies:
i I ' I 1
IuIhlwuI I
ii i '
I ¡ I I I illitlilli I I i i IjFT1J I I 11111111111 I
i i i r t itrniiiimniiiii ILJiH11111HI+ Hii:j.......II I I I I
iI..s. -s.-s.s.-s.s.-
--- = lull
L.._ i__ liii.
iii" uiL t I I tU 'im II Ii- f
Fig. 12 Le maillage.
--
..a S¡1.lu.
I I I I
1! ¡ I -i
-
culasse
I inducteur
charge
aa
- 49 -
Chaque rectangle est divisé en deux triangles rectangles. Ce mail-
age n'est pas optimal, car le nombre des inconnues dans l'air est sou-
vent inutilement grand. Mais sa mise en oeuvre est rapide, et sa stuctu-
re simplifie le processeur de calcul: numérotation des inconnues et
stockage de la matrice évidents, calcul analytique des matrices élémen-
taires ( f. et 1. .sur un élément ) possible.'J 1J
L'utilisateur agit sur la finesse du maillage par trois paramètres:
plus petite hauteur des triangles.
plus grande hauteur des triangles.
rapport maximal toléré entre hauteurs de deux triangles voisins.
Le maillage est dense à proximité des interfaces, à la périphé-
rie de la charge en particulier ( Cf chapitre 5 ).
La version actuelle de CARMEN limite le nombre des inconnues à
2000 environ, valeur suffisante pour la grande majorité des cas traités.
3.6 SAISIE DES PARAMETRES NUMERIQUES.
Nous distinguons quatre "ciasses" de paramètres numériques, selon
leur rôle: discrétisation temporelle, conditions aux limites, tests
d'arrêt, réduction de la taille du domaine non-linéaire.
3.6.! Discrétisation temporelle.
Nombre de pas de temps par période ( 20 à 60 ).
Nombre de périodes de calcul ( 1,5 à 5 ).
3.6.2 Conditions aux limites.
Le domaine d'étude est rectangulaire, et le choix est proposé,
côté par côté, entre:
DIRICHLET homogène ( rA = O ).
NEUMANN homogène( O ).
Dans le cas d'une frontière extérieure:
DIRICHLET homogène annule le flux au delà de la frontière.
NEUMANN homogène impose aux lignes de champ de l'induction
l'orthogonalité à la frontière: le flux est "refermé" à l'exté-
rieur du domaine, dans une culasse fictive.
Dans le cas d'une frontière "intérieure", ces conditions aux limi-
tes permettent de tenir compte des symétries éventuelles d'un problème.
DIRICHLET homogène: identité avec inversion de signe de part
et d'autre de la frontière.
NEUMANN homogène: identité de part et d'autre de la frontière.
.1
- 50 -
<=>
Fig. 13 Symétries et conditions aux limites.
+ I DIRICHLET
L'-
+ I NEUMANN
+
L__J
- 51 -
3.6.3 Relaxation et test d'arrêt de la méthode de substitution.
La résollution de problèmes non-linéaires par une méthode directe
( CHOLESKI ) exige son insertion dans unschéma itératif sur les perméa-
bilités ( Cf chapitre 2 ).
Dans la littérature, les auteurs proposent le calcul de la per-
méabilité, à chaque itération, en fonction de la valeur locale de l'in-
duction: = (B). Ce schéma est très instable, et la convergence n'est
atteinte que moyennant une forte sous-relaxation des perméabilités d'une
itération à l'autre (w varie de 0.3 à 0.08 ).
Nous avons préféré le calcul de la perméabilité en fonction du
champ magnétique: u= ,u(H). Cette approche est logique, car l'inducteur
a plutôt tendance à imposer un champ magnétique qu'une induction, et
l'expérience numérique prouve que le schéma ,u(H) est à la fois plus
stable ( sous-relaxation inutile ), et plus rapide ( réduction générale-
ment constatée de 30 du nombre moyen d'itérations ) que le schéma
Lors de lia préparation d'un calcul non-linéaire, l'utilisateur
choisit:
lie test d'arrêt sur les perméabilités ( norme "sup", de 0.1
à 0.01 ).
le coefficient de relaxation ( entre 0.9 et i ).
3.6.4 Réduction du domaine non-linéaire.
Afin de réduire les temps de calculi, nous avons introduit une
variante diminuant la taille de la matrice à factoriser à chaque ité-
ration.
Le domaine d'étude initial est automatiquement divisé en deux
parties: un sous-domaine contenant tous les milieux ( domaine non-
linéaire ), et son compliément ( air uniquement, domaine linéaire ).
interface
j
- 52 -
Ces deux problèmes sont résolus séparément, et couplés par les
valeurs du potentiel vecteur et de sa dérivée normale le long de la
frontière interface des deux sous-domaines.
- Domaine linéaire
Domaine non-linéaire
Fig. 14 Séparation en deux sous-domaines.
Les inconnues des deux problèmes sont numérotées indépendamment
( mais le maiflage est "continu" d'un sous-domaine à l'autre ). Les
noeuds de l'interface sont supposés connus pour la résolution du pro-
blème linéaire ( condition de DIRICHLET non-homogène ), et inconnus
pour celle du problème non-linéaire ( condition de NEUMANN non-
homogène ).
La matrice du problème linéaire est assemblée et factorisée une
fois seulement au premier pas de temps calculé.
En cours de calcul, pour chaque pas de temps, la résolution du
système complet est réalisée par une boucle itérative comportant six
étapes, les va'eurs initiales étant les valeurs calculées au pas de temps
précédent.
L'organigramme suivant schématise le processus de couplage:
A
itération suivante
Résolution du système linéaires les
conditions dc DIRICHLET non-homogè-
nes sont déterminées à partii' des
résultats dc l'étape (d) dc l'ité-
ration précedente.
TLa dérivée normale du potentiel est
ca I cul ée dans chaque élément du do-
na i ne li néa i re i e i ong de i 'i titer-
face.
La ma t ri ce du dona i ne non- li néa i re
est assemblée et factorisée, en u -
t i li sant les perméah i li tés ca leu- (c
lécs à l'étape (e) de l'itération
précédente.
Réso I ut.i on du système non- li néa i re,
avec les conditions de NEUMANN non- (d
homogènes calculées à l'étape (b).
Calcul des nouvel les valeurs des
perméabilités, en fonct ion du champ (e)
H dans chaque é I ément.
Double test d'arrêt:
compara i son entre les va I curs du
potentiel imposées en (a) et cal- ( f )
culées en (d).
stabilité des perméabilités.
pas de temps suivant
( a )
( b )
- 54 -
Comment se comporte ce couplage ?
Sa stabilité est bonne avec des conditions aux limites de
NEUMANN homogène sur la frontière extérieure, mais exige une sous-
relaxation des couplages à l'interface ( 0.7 à 0.8 ).
Si le test d'arrêt est bien choisi ( 5%, norme "sup" sur le
potentiel à l'interface ), les résultats sont identiques ( à 1%
près à ceux fournis par un calcul "global" ( pas de réduction
du domaine non-linéaire )
Le gain en temps de calcul dépend de la taille relative du do-
maine linéaire, mais peut atteindre 30%
Nous avons essayé deux emplacements différents de l'interface:
Domaine non-linéaire confondu avec les limites du milieu ef-
fectivement saturable ( la charge ): le système est instable,
car trop sensible aux conditions aux limites sur l'interface.
Domaine non-linéaire constitué de la charge et d'une "épaisseur"
d'air: le système est stable, mais peu précis ( conditions de
NEUMANN non-homogènes avec des éiéments du premier ordre ).
En conclusion, nous précisons que ce découpage en deux problèmes
couplés par leur interface n'est pas une solution optimale pour réduire
les temps de caicul; c'est la simplicité de sa mise en oeuvre qui la
justifie.
Cependant, elle ouvre la voie vers l'adaptation au logiciel d'une
méthode de résolution spécifique à Péquation de LAPLACE ( méthode inté-
grale de frontière, ou technique de "rigidité extérieure" simplifiée
231 ).
- 55 -
3.7 LE CALCUL.
Précisons quelques points sur le calcul lui-même:
Eléments finis triangulaires du premier ordre, dans lesquels
la perméabilité est supposée uniforme ( erreur en 4!r
Matrices élémentaires ( L. et par élément, Cf chapitre 2 )
calculées analytiquement.
Adaptation de la factorisation de CHOLESKI et de la "descente-
remontée" du système au VIS ( Vector Instruction Set ) disponible
sur le calculateur HP 1000-F( gain estimé en temps de calcul:
de 20 à 30 ).
Temps de calcul variant entre quelques minutes et quelques heu-
res sur mini-ordinateur HP 1000-F, selon la complexité du pro-
blème.
La "double précision" est indispensable.
Avant d'aborder le calcul des puissances, revenons sur le choix
des éléments finis.
Ii est clair que des éléments triangulaires du second ordre four-
niraient, à maillage identique, une interpolation plus précise, ou une
approximation comparable avec un nombre d'éléments réduit. De plus,
la perméabilité, sensiblement constante dans un élément du premier or-
dre, varie dans un élément du second ordre, entrainant une modélisation
plus fine de la saturation dans l'épaisseur de peau de la charge.
Nous avons réalisé une version expérimentale du logiciel, en
remplaçant:
"élément d'ordre I - constant - intégration analytique"
par:
"élément d'ordre 2 - variable - intégration numérique ( GAUSS 5 pts.)"
toutes choseségales par ailleurs.
- 56 -
L'examen des temps de calcul a montré que, si l'assemblage de
la matrice est quasi-instantané avec les triangles d'ordre I ( quelques
secondes ), sa part dans le temps total de calcul n'est plus du tout
négligeable avec les triangles d'ordre 2 ( quelques minutes ).
A ce stade, les deux alternatives étaient les suivantes: réécrire
complètement le logiciel, en donnant la priorité à la réduction du nom-
bre d'éléments ( nouveau maifleur automatique, choix d'un algorithme
de numérotation des inconnues, choix d'une méthode de stockage de la
matrice ), ou conserver les éléments du premier ordre.
La seconde option a été choisie; nous connaissons quelques algo-
rithmes de numérotation et de stockage assez simples, mais la réalisa-
tion d'un maflieur automatique, optimisant le nombre des éléments tout
en découpant finement la profondeur de peau de la charge, nous a semblé
incompatible avec les objectifs et les délais de ce travail.
Nous avons donc admis que, dans le cadre du logiciel CARMEN, le
choix des éléments finis triangulaires du premier ordre était justifié.
3.8 LES PUISSANCES.
Les puissances active et réactive sont calculées élément par élé-
ment, à chaque pas de temps de la dernière période du calcul:
puissance active instantanée: pJ2 ( effet JOULE ).
puissance réactive instantanée 291: wIBIIHI ( pulsation ).
La moyenne des valeurs instantanées fournit les valeurs globales,
miJieu par milieu.
Nous avons préféré une évaluation locale et instantanée des puis-
sances, malgré la difficulté rencontrée pour définir une puissance réac-
tive instantanée en régime périodique quelconque, à une méthode basée
sur PutiJisation du vecteur de POYNTING complexe ( régimes supposés
sinusoidaux; intégration sur un contour, moins précise ). 4ais nous
devrons comp1 éter ce calcul "1 ocal" par un calcul "sur un contour",
dans un post-processeur futur, pour Pétude de la répartition des puis-
sances entre les inducteurs d'un système polyphasé.
- 57 -
3.9 LES POST-PROCESSEURS.
Le dessin des lignes de champ de l'induction, à un instant donné,
fournit des indications physiques( influence d'une culasse sur le
flux, par exemple ), ou numériques ( effets des conditions aux limites
choisies ).
Fig. 15 Lignes de champ de l'induction.
L'homogénéité du chauffage est visuallisée par le tracé des lignes
iso-densité de puissance:
-----------JFig. 16 Lignes iso-densité de puissance.
L'accès aux grandeurs locales est parfois intéressant:
ISIS -4
., 7
- 58 -
IM!
Potentiel vecteur
Induct ion
Courant induit
Fig. 17 Un exemple d'évolutions en fonction du temps
à J'intérieur d'une charge magnétique.
Il 'I
- 59 -
3.10 CONCLUSION.
La voie menant du choix des méthodes numériques à la création
d'un logiciel destiné à l'industrie est semée d'embûches: la variété
des problèmes à résoudre, et leur imbrication souvent implicite, consti-
tue un travail dont l'ampleur est parfois sous-estimée.
CARMEN concrétise notre approche, et nous ne prétendons pas
qu'elle est optimale; la validation du logiciel confirmera cependant
son efficacité.
CHAPITRE 4
LES RESULTATS EXPERIMENTAUX
L'absence de références adaptées à la validation du logiciel
CARMEN a entramé la réalisation d'une campagne d'essais.
Nous présentons dans ce chapitre les conditions expérimentales,
une évaluation de la précision des mesures, et les principaux résultats
obtenus.
- 61 -
4.1 INTRODUCTION.
La validation d'un nouveau logiciel est généralement réalisée
par comparaison avec des résultats analytiques, des logiciels "de réfé-
rence', et des relevés expérimentaux.
Les méthodes analytiques de résolution des équations de MAXWELL
ne sont applicables qu'aux problèmes linéaires unidimensionnels il
et les logiciels bidimensionnels dont nous disposions ( FLUX-2D par
exemple ) ne tenaient pas compte de la variation locale et instantanée
des perméabilités.
Le logiciel CARMEN est destiné à la résolution des problèmes
magnétodynamiques non-linéaires, pour lesquels la seule référence pos-
sible est donc expérimentale. La compilation des comptes rendus d'essais
antérieurs nous a montré qu'ils n'étaient pas utilisables pour notre
validation: paramètres omis, conditions expérimentales incomplètes.
C'est pourquoi nous avons réalisé une campagne d'essais, au cours
de laquelle une grande importance a été accordée au choix des matériaux
et aux moyens de mesure.
4.2 UNE CHAUFFEUSE SIMPLE: BILAN DES PUISSANCES.
Considérons une chauffeuse par induction, constituée par:
une alimentation, source de courant ( ou de tension ) périodique.
un inducteur solénoïde.
une charge cylindrique.
Fig 18 Une chauffeuse simple.
inducteur
billette
- 62 -
L'accès aux grandeurs locales ( induction, courants induits
est difficile sans perturber le système, mais certaines grandeurs globa-
les sont mesurables assez aisément:
V : tension efficace d'alimentation.ef f
I : intensité efficace du courant d'alimentation.ef f
Pact: puissance active fournie par l'alimentation.
Si les ondes de courant et de tension d'alimentation sont sinu-
soidales, Te calcul du facteur de puissance permet alors d'évaluer la
puissance réactive fournie au système inducteur-charge.
Iflustrons le bilan des puissances par un schéma équivalent:
V
I-iflflr V
R. R Xi ch tot
Fig. 19 Schéma équivalent d'une chauffeuse.
R. est la résistance d'inducteur, représentant la puissance perdue
par effet JOULE dans l'inducteur.
Rchest Ta résistance de charge, représentant Ta pui.ssance active
transmise à la charge.
Xreprésente la réactance totale du système.
Si on suppose que la répartition de Ta densité de courant dans
les spires de l'inducteur, à fréquence donnée, ne dépend pas de la char-
ge, alors on peut déduire la résistance R. des mesures de puissance
active effectuées à vide. Lorsque l'inducteur est chargé, Te calcul
de la puissance active transmise à Ta charge ( Rch ) est réalisé à par-
tir de Ta mesure de la puissance active totale, à laquelle on retranche
le terme R.I2ff correspondant aux pertes dans l'inducteur.
4.3. BUT DES ESSAIS.
La puissance réactive fournie au système inducteur-charge et la
puissance active cédée à la pièce chauffée sont les deux grandeurs im-
portantes qui sont à la fois calculées par le logiciel et accessibles
expérimentalement.
La validation de CARMEN reposera donc sur des mesures de puis-
sances globales.
4.4 GENERATEURS, INDUCTEURS ET CHARGES.
La campagne d'essais a été effectuée au laboratoire induction
d'EdF ( site des Renardières ), où nous avons trouvé un matériel par-
faitement adapté à nos besoins, et une grande expérience de la métro-
logie du chauffage par induction.
4.4.1 Générateurs.
Désirant travailler sur des charges à diamètre réduit, l'alimenta-
tion à la fréquence du réseau n'était pas adaptée à nos essais. Parmi
les générateurs disponibles au laboratoire, nous avons choisi le MHM.40,
onduleur hybride série parallèle ( schéma annexe 4 ), car il fournit
un courant sinusoIdal à fréquence imposée ( 4000 Hz ).
Des essais complémentaires ont été réalisés sur un générateur
plus puissant ( ACEC ), mais nécessitant l'ajustement de la fréquence,
au moyen des condensateurs de compensation, à chaque point de mesure.
4.4.2 Inducteurs.
Deux inducteurs ont été construits:
Inducteur 1: diamètre intérieur 120 mm, hauteur 140 mm, 8 spires
Inducteur 2: diamètre intérieur 45.5mm, hauteur 495 mm,7ospires.
Les spires des inducteurs sont refroidies par une circulation
forcée d'eau.
Volontairement, ces deux inducteurs ont des proportions très dif-
férentes: le rapport hauteur/diamètre est sensiblement égal à l'unité
pour le premier ( inducteur "court" ), à 10 pour le second ( inducteur
"long" )
Fig. 21
Inducteur 2 en cours d'essai.
Fig. 20 Inducteur 1 et sa "charge à eau".
- 65 -
A l'intérieur de ces deux inducteurs, est placée une "charge à
eau", enveloppe étanche en matière plastique, dans laquelle la charge
métallique est disposée, centrée et refroidie ( Fig. 22 ). La circula-
tion d'eau autour de la charge métallique assure son maintien à basse
température, et permet de faire des mesures en régime permanent thermi-
que tout en fournissant une puissance élevée.
Fig. 23
Quelques charges.
4WFig. 22 La "charge à eau".
4.4.3 Charges.
Nous avons choisi de faire réaliser les charges en deux matériaux:
Z2 CN 18/io acier inoxydable amagnétique.
XC 38 acier magnétique courant.
inducteur
charge à eau
eau
4.5 DISPOSITIFS DE MESURE, PRECISION.
Afir de minimiser les risques d'une erreur grossière, nous avons
utilisé deux dispositifs de mesure des puissances actives: mesure élec-
trique et mesure thermique.
4.5.1 Mesures thermiques.
La charge et l'inducteur sont refroidis par eau au moyen de deux
circuits indépendants.
La chaleur perdue par rayonnement est négligeable, car les tempé-
ratures sont peu élevées; les pertes par convection naturelle à l'exté-
rieur des spires de l'inducteur sont également négligeabiles devant la
quantité de chaleur évacuée par convection forcée dans l'eau de refroi-
dissement.
On peut donc raisonnablement supposer que la puissance active
respectivement fournie à Pinducteur et à la charge par effet JOULE
est intégralement évacuée par l'eau de refroidissement, en régime perma-
nent.
Chacune de ces puissances est mesurée grâce à deux thermocouples
montés en opposition ( indiquant l'élévation de température de l'eau
de refroidissement ), et à un débimètre à flotteur inséré dans le cir-
cuit d'alimentation. L'indication des thermocouples est mesurée par
un microvoltmètre numérique, et visualisée par un millivolltmètre enre-
gistreur.
no 0 mmext Ø. mmmt hauteur mm
40 30 50
2 40 30 100
3 40 30 200
16 0 549 ( inducteur 2t-
Fig. 24 Charges en acier magnétique.
'
Une étude détaillée de la précision des mesures ( chronomètre,
bascule, thermomètres à mercure... ) a révélé des erreurs relatives
de l'ordre de 5% au mieux, mais 10% aux faibles débits ( inférieurs
à loo i/h ), dues au débimètre.
Nous n'avons donc conservé le dispositif thermique de mesure qu'à
titre de confirmation des mesures électriques, et pour vérifier l'obten-
tion du régime permanent.
4.5.2 Mesures électriques.
La mesure de la fréquence est aisée( fréquencemètre digital ),
mais le faible facteur de puissance habituel en chauffage par induction
rend la mesure de la puissance active, fournie au système inducteur-
charge, plus difficile.
Nous avons utilisé pour cela un muitimètre "NORMA", qui, à partir
de deux tensions U1 et U périodiques, calcule les valeurs efficaces
"vraies" de U1 et U, et la valeur moyenne du produit U1U2:
ueicrme.mt
)ç, ._
- 67 -
U-FUNCTIONMETERNouvel appareil, permettant l'analyse de signaux périodiques et apériodiques indépendamment du facteurde forme.Le nouveau procédé Stochastique et Ergodique de Mesure rend possible le traitement de signaux ayant unfacteur de forme élevé, dans une gamme de fréquence étendue, avec une très grande précision.Les deux voies assurent par mesure corrélative, la suppression de signaux parasitesCaractéristiques mesurables: Facteur de forme:
Valeur efficace vraie (valeur efl. croisée) 14 max. pour déviation pleine échelle.Valeur moyenne quadratique de tension (produit Précision:de tensions, puissance) ± 1% de la valeur pleine échelle de 15 Hz àValeur crête (positive et negative) 1 MHZValeur redressée (valeur moyenne) ± 2% de la valeur pleine échelle pour 10 á 15Hz
Calibres: et 1 MHz è 2 MHz.I mV .300V Sortie:lo- ... lo V par bonds de lo dB Appareil indicateur et sortie analogique pour
enregistreur.Gamme de fréquence : lo Hz ... 2MHz. Alimentation:Résistance d'entrée: 100/110/125/200/250V AC (commutable)
i Mu /130 pF pour tous les calibres. 45... 65Hz
Le 0-Fonctionmeter sert à la mesure des valeurs caractéristiques de grandeurs alternativesmesures depuissance dans les circuits commandés par thyristors, analyses de signaux biologiques et de données,mesure des facteurs de forme et de crête, etc.
Fig. 25 Les caractéristiques du NORMA.
Sur I.e générateur MHM, l'inducteur est isolé galvaniquement: l'une
des voies du NORMA est directement reliée aux bornes de l'inducteur,
et mesure la tension d'alimentation. Pour obtenir une tension image
- 68 -
de l'intensité circulant dans l'inducteur, nous avons employé un trans-
formateur de courant débitant dans un shunt coaxial.
Les spécifications du NORMA indiquent une précision de 1% de
la valeur pleine échefle; par ailleurs, une étude très soignée des
transformateurs de courant et des shunts utilisés au laboratoire, effec-
tuée en 1981, a permis d'évaluer la classe de ces appareils 1301:
transformateur de courant: classe 1.
shunt coaxial: classe 0,5.
Les erreurs de mesure peuvent être évaluées à chaque essai, et
les ordres de grandeur des erreurs relatives sont de:
1% à 2% pour Vff.
3% à 5% pour "act'
3% à 5% pour 'eff'
La détermination de l'incertitude sur la puissance fournie à la
charge, et sur la puissance réactive globale, est plus difficile car
ces puissances sont obtenues par des calculs se référant aux résultats
d'autres mesures ( résistance d'inducteur par exemple ). Néanmoins,
les incertitudes augmentent peu, car certaines grandeurs sont liées
entre-elles ( intensité efficace et puissance active par exemple ),
et que les pertes dans l'inducteur sont généralement faibles devant
la puissance totale ( cas des charges magnétiques en particulier ).
C'est pourquoi nous estimons l'erreur relative sur les grandeurs
finales à 5% environ.
4.5.3 Mesure des propriétés physiques des matériaux.
Nous disposons des mesures de résistivité de l'acier XC 38 effec-
tuées par BRISSONNEAU:
- 69 -
1 40
130
1 20
110
î 100
ci90
TEMPERATURE (en °C )
Fig. 26 Résistivité de l'acier XC 38.
A titre de contrôle, nous avons mesuré la resisti.vité à 20°C des
charges magnétiques:
Charges I à 3: 23.108Q.m
Charge 4: 13,7.108Q.mà 3% près ( mesure de la section
Nous avions un doute sur la nature de 1a charge 4 ( XC 38 ou
A 37 ? ), confirmé par la mesure des résistivités.
Ne disposant pas de matéri& adapté à la mesure des propriétés
magnétiques des aciers, nous n'avons pas pu vérifier si les valeurs
fournies dans a littérature, et par BRISSONNEAU en particulier, corres-
pondaient à nos échantiflons.
cci,
'-
F-
(f)wci::
fl50
80
70
6O
30
20O
I ¡ f t I .1 I
10(X)200 400 600 800
4.6 RESULTATS.
Au total, plus de 120 mesures ont été réalisées ( annexe 4 ).
A partir des résultats obtenus avec les charges magnétiques, nous avons
tracé les courbes de résistance de charge en fonction de J.)intensité
efficace, qui illustrent le comportement des matériaux magnétiques en
chauffage par induction ( Fig. 27 à 30 ):
Rch
m12 -
Is
Io
5
o
- 70 -
'eff
Ii
I
Ieff
250 500 750 1000 A
Fig. 28 Charge 2.
o 500 1000 1500 A
Fig. 27 Charge 1.
Rçh
mO
6
s HI
4-
3
2
RchmQ
30
600
400
200
20
o
- 71 -
100 200 300 400 A
Fig. 30 Charge 4.
En comparant les allures de ces quatre courbes, on remarque que
l'augmentation de Ja résistance de charge lorsque l'intensité décroit
est d'autant plus grande que la pièce chauffée est longue. En effet,
lorsque le champ magnétique diminue, la perméabilité à la surface de
la charge augmente, et les effets du champ démagnétisant deviennent
perceptibles si la pièce est "courte dans le sens du champ", la déma-
gnétisation est telle que l.a puissance transmise est fortement réduite
( le champ d'excitation ne pénètre plus ).
200 400 600 800 A
Fig. 29 Charge 3.
Teff
R ch
ii
si
Io
IO ef f
- 72 -
4.7 REMARQUE: REFROIDISSEMENT ET GRADIENT DE TEMPERATURE.
L'apparition d'un gradient de température à l'intérieur de la
charge au cours du chauffage est inévitable.
Pour nous rapprocher des hypothèses de la modélisation ( pro-
priétés physiques homogènes ), nous avons cherché à minimiser ce gra-
dient thermique, en particulier dans le cas des matériaux magnétiques.
A cet effet, les charges ont été refroidies énergiquement, si possible
sur deux faces ( tubes ).
Deux ou trois essais à forte puissance mis à part, aucun signe
d'ébullition de l'eau de refroidissement n'a été constaté. Nous avons
également vérifié que la puissance mesurée, à intensité fixée, ne va-
riait pas de façon significative en fonction du débit d'eau de refroi-
dissement, tant que des preuves évidentes d'ébullition n'apparaissaient
pas ( au delà, la puissance évolue certainement; nous n'avons pas es-
sayé... ).
4.8 CONCLUSION.
L'ensemble des précautions prises au cours de nos expériences
et les recoupements des mesures electriques et thermiques garantissent
une précision correcte sur les puissances globales, mesurées dans des
conditions assez bien définies.
Nos résultats constituent donc une référence convenable pour la
validation du logiciel CARMEN, mais nous reconnaissons cependant que
le recours à la bibliographie pour l'évaluation des propriétés magnéti-
ques de l'acier XC 38 est un point faible.
CHAPITRE 5
LA VALIDATION DU LOGICIEL
La première partie de ce chapitre est une étude détaillée de la
sensibilité des résultats fournis par le logiciel CARMEN aux paramètres
numériques, abondamment iflustrée par des exemples caractéristiques.
Au cours de la seconde partie, nous comparons les résultats du
logiciel aux références expérimentales, en insistant tout particuliè-
rement sur les cas des charges magnétiques.
La concordance satisfaisante entre les puissances calculées et
les valeurs mesurées nous permet de conclure à l'efficacité du logiciel.
5.1 INTRODUCTION
Quelle est la précision des résultats fournis par le logicielCAR4EN ?
Fournir une réponse simple à cette question est impossible, car] 'exactitude d'une méthode numérique de simulation dépend d'un grandnombre de facteurs. Dans le cas de notre logiciel, les causes princi-
pales d'une éventuelle erreur sont
- les hypothèses "physiques": comportement magnétique simplifié
des matériaux, évolution sinusoidale des courants inducteurs.
- les discrétisations: densité de discrétisation en temps, qua-
lité de l'interpolation spatiale (maillage).
- les conditions aux limites, imposées sur une frontière exté-
rieure arbitraire à distance finie.
- les méthodes algébriques de
"d'arrondi", lorsque des calculs numériques sont effectués
sur un ordinateur, "tests d'arrêt".
- les fautes de programmation.
La "qualité" d'un calcul dépend donc, dans une grande mesure, des para-mètres numériques fixés par l'utilisateur. Nous avons étudié l'influencede ces paramètres sur les puissances active et réactive globales calcu-lées, en l'illustrant éventuellement par des grandeurs 1-ocales. Nous
avons vérifié que la variation des résultats en fonction des paramètres
numériques présente une convergence asymptotique vers une limite prochedes résultats de référence.
- 74 -
résolution : cumul des erreurs
- 75 -
L'étude de la sensibilité aux paramètres numériques est divisée en
quatre parties
discrétisation temporelle
conditions aux limites
maillage
tests d'arrêt, en calcul non linéaire
Nous terminerons en donnant quelques indications sur la sensibilité
des résultats aux paramètres physiques : résistivité, courbe de satu-
ration.
5.2 DISCRETISATION TEMPORELLE
Nous avons regroupé sous cette appellation quatre paramètres
Q, paramètre de la méthode semi-implicite
N nombre de pas de temps par période de calcul
le nombre de périodes de calcul
la phase initialle du courant inducteur sinusoIdal
5.2.1 Paramètre Q de la méthode semi-implicite
Non accessibil.e à l'utilisation, il agit sur la stabilité du schéma
de différences finies en temps : les illustrations de la figure (31)
sont parlantes (charge "infinie", p= 23.108Q.m,r
= oo Øext = 20mm).
potentiel
vecteur
induction
courant
induit
Fig. 31
Valeurs locales au cours de la première période de calculi,
pour 3 valeurs de O
0= 1
I
- 77 -
La valeur 0= 0,66 que nous avons choisie améliore la précision
sur les puissances tant en conservant au schéma une stabilité satisfai-
sante.
Iflustrons son influence sur la puissance active par comparaison
avec les calculs analytiques effectués dans le cas charge "infinie",
p = 120.10 Q.m, Øext = 40 mm, u= 1, frequence variant de 379 Hz a
37900 Hz (& x rayon / profondeur de pénétration de i à 10)
Figure 32 : Comparaison entre puissance active analytique
et puissance active numérique pour deux vaieursde0
Ces essais ont été réalisés avec 20 pas de temps par période, et un
maillage arbitraire nous voyons que O = 0,66 permet d'améliorer
jusqu'à 10% la précision sur la puissance active. Naturellement, l'écart
diminue quand on affine la discrétisation en temps.
/*rayon ch./peau 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
erreur 0=1 -10 -14 -11 -8 -6 -5 -6 -6 -6 -6en
sure =0, 66 -5 -5 -2,5 -0,7 -0,1 -0,1 -0,5 -0,7 -0,3 -0,5
'act
- 78 -
L'erreur constatée aux fortes pénétrations est spécifique à la
formulation "rA", car elle est liée aux difficultés d'intégration à
proximité de l'axe Oz. Cette erreur peut être réduite à l'aide d'un
maillage approprié, mais en pratique, ces pénétrations élevées ne se
rencontrent jamais en chauffage par induction (mauvais rendement).
Le choix d'une méthode de discrétisation semi-implicite en temps,
dont le paramètre O est fixé à 0,66, permet donc d'augmenter la préci-
sion des puissances globales calculées.
On constate également l'excellent accord entre les résultats numériques
et les calculs analytiques pour les faibles pénétrations (voir aussi
tableau 33).
5.2.2 Paramètre N : nombre de pas de temps par période.
Les résultats du tableau de Ta figure 32 sont calculés avec 20
pas de temps par période. Avec 40 pas de temps par période, le gain
en précision sur les puissances est inférieur à 2 %
f[2*rayon ch/peau 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
erreur %
sur Pact
erreur %
sur Préa
Figure 33 : Comparaison entre puissances analytiques et
numériques, pour deux valeurs de N.
Npp=20 -5 -5 -2,5 -0,7 -0,1 -0,1 -0,5 -0,7 -0,3 -0,5Npp40 -5 -3,7 -0,9 0,4 0,5 0,4 0,7 0,4 0,7 0,6
Npp=20 I i i i 0,6 0,3 0,2 -0,2 -0,2 -0,6Npp=40 -0,5 0,3 1 i 0,4 0,2 0,1 -0,1 -0,2 -0,6
- 79 -
L'expérience des calculs "linéaires" nous a montré que N = 20pp
est le compromis idéal entre précision et temps de calcul.
Dans le cas de la simulation d'une charge magnétique, on observe
une influence du paramètre N sur les valeurs locales, illustréepp
par les évolutions en régime permanent du potentiel vecteur, de l'induc-
tion et des courants induits (figure 34, cas typique)
pot en t i e1
vecteur
courant
induit
Fig.
34Grandeurs locales en régime permanent non-linéaire, pour
3valeurs de N.
N=60
pp
N=20
pp
N=
40pp
a.
On remarque que les "fronts raides" sur l'induction et les
courants induits sont mieux décrits par les discrétisations fines en
temps les oscillations des courants induits après le front raide sont
numériques, et dépendent des tests d'arrêt choisis pour le schéma itéra-
tif non linéaire (voir paragraphe).
L'influence de N sur les puissances moyennes est plus importante
dans cet exemple que lors de calculs linéaires
-Npp
Puissance active
charge W
- 81 -
Puissance réactive Temps de calcul
charge VAR minutes
Figure 35 : Puissances moyennes et temps de calcul en fonction
du nombre de pas de temps par période dans le cas d'une charge
magnétique.
Le passage de N = 20 à N = 40 permet d'améliorer de 3 les
puissances, mais augmente de 70 les temps de calcul. De N = 40 à
N s 60, 1 sur les puissances et 30% sur les temps de calcul. Au delà
de N = 60, aucune évolution significative des puissances n'a été
constatée.
Nous pouvons donc conclure que 20 pas de temps par période
permettent de calculer rapidement avec une précision convenable, et
que les résultats ne varient plus au delà de 40 pas de temps par période.
20 165 110
40 169 113
60 170 114
- 82 -
5.2.3 Nombre de périodes de calcul et phase initiale des courants
inducteurs.
Notre méthode ne permet pas d'obtenir directement le régime perma-
nent électrique. Il est donc nécessaire de calculer plusieurs périodes
du phénomène pour éliminer le régime transitoire dû aux conditions ini-
tiales.
Nous proposons deux critères qui, en fin de calcul, permettent
de vérifier l'obtention d'un régime permanent "pratique"
- les extremums du potentiel au cours de la dernière période
calculée. Si ces extremums sont égaux et opposés, la "composan-
te continue" du régime transitoire a disparu.
- les puissances active et réactive sont calculées, à partir des
valeurs instantanées, au cours de la dernière période, mais
nous indiquons également les valeurs calculées pendant la
dernière demi-période. Si ene sont égales, alors le régime
transitoire a disparu.
Nous avons remarqué que le comportement transitoire diffère selon les
propriétés magnétiques de la charge et Ta phase initiale des courants
inducteurs
- si la charge est amagnétique, I.e régime permanent "pratique" est
atteint au bout de 3 à 5 périodes de calcul. La phase initiale
"optimale" des courants inducteurs est 00 pour les fortes péné-
trations (rV/p<5) et 90° pour les faibles pénétrations.
- si la charge est magnétique ( = (H)), Te régime permanent
est atteint au bout de 1,5 à 2 périodes de calcul ("écrêtage"
dû à la saturation), et la phase initiale optimale est 90°
(courant inducteur maximal à l'instant initial).
sur
- 83 -
En réalité, le "véritable" régime permanent est atteint au bout
de plusieurs dizaines de périodes. Mais les grandeurs dans l'épaisseur
de peau de la charge se stabilisent beaucoup plus vite, et ce sont elles
qui fournissent l'essentiel de la puissance active. La puissance réac-
tive est principalement due à l'entrefer, et dépend peu du régime tran-
sitoire.
Donc, le régime permanent "pratique" est atteint après un calcul
5 périodes pour les charges amagnétiques (phase initiale 00
ou 90°)
2 périodes pour les charges "saturables" (phase initiale 90°)
Au delà, les puissances n'évoluent pas.
En conclusion, les paramètres numériques de la discrétisation
temporelle ont une influence sur la précision des résultats du logiciel
CARMEN. Mais l'évolution de l'erreur en fonction de ces paramètres est
facile à cerner, et des règles pratiques simples ont pu être définies
afin de maitriser et de minimiser cette erreur.
5.3 LES CONDITIONS AUX LIMITES
Le problème lié aux conditions aux limites a été abordé lors de
la description du logiciel : sur une frontière extérieure arbitraire,
à distance finie de l'inducteur, il faut choisir entre deux conditions
aux limites
- DIRICHLET homogène, qui annule le flux à l'extérieur du domaine
d'étude.
- NEUMANN homogène, qui "suggère" au flux de se refermer à l'exté-
rieur du domaine d'étude, dans une culasse fictive de perméa-
bilité infinie.
- 84 -
Les deux figures 36 et 37 illustrent l'allure des lignes de champ
se'on la condition aux limites choisie
Figure 36 : Condition de DIRICHLET homogène
Figure 37 : Condition de NEU1ANN homogène
Lt influence sur les puissances calculées en régime permanent,
de l'emplacement de la frontière extérieure et de la condition aux limi-
tes choisie est importante, mais on constate dans tous les cas que,
au de'à d'un certain éloignement de la frontière, les résultats n'évo-
luent plus, et les puissances calculées ne dépendent plus de la nature
de la condition aux limites.
Dans e cas de la figure 37, mais avec une charge amagnétique
(inducteur 1, charge inox no 3) représentons l'évolution des puissances
en fonction de "l'éloignement" (d/rayon inducteur) de la frontière
extérieure
écart puissance/puissance 1mite
A
30%
20%
10%
O
_______o o-.I
- 85 -
o actif
réactif
DIRICHLET
NEUMANN
Figure 38 : Puissances en fonction de l'emplacement de la
frontière extérieure et des conditions aux limites
Le comportement est caractéristique : les conditions de NEUMANN
sur-évaluent les puissances, alors que les conditions de DIRICHLET les
sous-évaluent. Lorsque T'empTacemnt de la frontière extérieure est
fixé, la précision obtenue est meilleure avec des conditions de NEUMANN,
mais cette amélioration est moins évidente pour les matériaux non
linéaires.
d/rayon inducteur
5
-10% -
-20% - ./ ///
-30% - FI
po
- 86 -
En pratique, le problème des conditions aux limites ne se pose
pas dans certains cas particuliers, quand une culasse canalise le flux
par exemple.
-J
Figure 39 : Influence d'une "culasse de retour"
Lorsque l'on simu1e un inducteur "ouvert" sans culasse de retour
(figure 37 par exemple), l'expérience suggère deux méthodes
faire deux calculs, avec une frontière extérieure "suffisamment
éloignée" et les conditions aux limites de NEUMANN, puis de
DIRICHLET : es deux résultats obtenus fournissent un encadre-
ment précis des puissances.
faire un seul calcul, avec des conditions de NEUMANN sur une
frontière extérieure "aussi éloignée que possible", et contrôler
que l'induction est négligeable le long de la frontière.
En résumé, l'erreur introduite sur les puissances par les condi-
tions aux limites sur la frontière extérieure est parfois importante
(± 30 %) si cette frontière est trop proche de l'inducteur l'erreur
décroît rapidement lorsque la frontière s'éloigne. Dans tous les cas,
on peut obtenir un encadrement des puissances qui permet d'évaluer
Uerreur due aux conditions aux limites.
- 87 -
5.4 LE MAILLAGE DU DOMAINE D'ElUDE
La méthode des éléments finis calcule une solution approchée
d'autant plus proche de la solution exacte que le maillage du domaine
d'étude est plus dense. En chauffage par induction, les phénomènes phy-
siques déterminants ont lieu dans la charge, où se développent les cou-
rants de Foucault : c'est donc plus particulièrement au maillage de
la pièce chauffée que nous avons accordé notre attention. Lorsque le
découpage de la charge en éléments triangulaires est correct, la struc-
ture du maillage et le principe de notre mailleur garantissant (sauf
dans certains cas très particulier) que le découpage dans le reste du
domaine d'étude est assez fin pour ne pas induire une erreur sensible
sur les puissances moyennes calculées.
Avant d'étudier l'influence du maillage de la charge sur la pré-
cision des résultats, ii nous faut revenir sur le principe de fonction-
nement du maflleur, et définir une profondeur de peau équivalente pour
les charges saturables.
5.4.1 Le fonctionnement du mailleur.
Nous rappelons que Te maillage final est du type "grille de diffé-
rences finies", et que deux des paramètres du mailleur sont
la plus petite hauteur des triangles (h)
le rapport maximal toléré entre les hauteurs de deux triangles
voisins (k).
- 88 -
A partir d'une interface, le maillage est réalisé avec des trian-
gles de hauteur h, kh, k2h...
p=
évalue la profondeur atteinte par les courants Ii I
En chauffage par induction, la puissance active est fournie à
la pièce chauffée dans son "épaisseur de peau", et c'est donc dans cette
partie de la charge qu'il faut mailler finement pour obtenir des puis-
sances moyennes calculées correctes.
p résistivité du conducteur
perméabilité du conducteur
f fréquence des courants
)$ le-
hkh Ih Ih etc...
Figure 40 : Maillage dans un milieu, fonction
des paramètres k et h
Si le paramètre k est supérieur à 1, ce maillage privilégie la périphé-
rie des milieux.
5.4.2 Une profondeur de peau équivalente
Lorsque des courants alternatifs circulent dans un conducteur,
ils se concentrent à l.a surface c'est "l'effet de peau".
La profondeur de peau
Pour l'étude des matériaux non linéaires, les ingénieurs en chauf-
fage par induction utilisent une perméabilité équivalente, qui permet
d'évaluer la profondeur de peau en fonction de l'induction à saturation
du matériau et du champ extérieur efficace appliqué
p
irfpeq
- 89 -
Bsatavec 1,3 ---- l31 (21)
Hef f
Nous distinguons deux profondeurs de peau pour les matériaux satu-
rables
- la profondeur de peau minimale, quand il n'y a pas de saturation
(perméabilité maximale)
- la profondeur de peau équivalente, dont l'ordre de grandeur
est prédit à l'aide des relations (21).
5.4.3 Le maiUage de la charge.
L'étude des charges amagnétiques ne pose généralement aucun pro-
bilème ;en effet, l'optimisation du rendement de la chauffeuse dicte
le choix d'une fréquence des courants inducteurs telle que la profon-
deur de peau soit de l'ordre du quart ou du cinquième du diamètre de
la pièce chauffée I,
et la stabilité des puissances est atteinte à
partir de 4 ou 5 éléments dans cette profondeur de peau
- 90 -
Figure 41 : Evolution de l'erreur sur les puissances
calculées en fonction du maillage
Nombre d'éléments dans
la profondeur de peau 2 3 4 5 6 9
Erreur en sur Pact 1,5 -0,7 -0,7 -0,3 -0,3-0,8
Erreur en % sur Prea -3,6 -1 -0,3 0,5 0,5 0,5
Lorsque le matériau est magnétique, ii est dans la plupart des
cas chauffé de la température ambiante jusqu'à une température propice
au formage, au delà du point de CURIE. La fréquence de la chauffeuse
est adaptée au chauffage en phase amagnétique, et la profondeur de peau
à basse température sera donc très petite par rapport au rayon de la
charge.
A géométrie identique, le nombre d'éléments triangulaires néces-
saires pour un calcul précis sera beaucoup plus élevé en phase magnéti-4'
que qu'en phase amagnétique.
Le tableau suivant montre l'évolution de l'écart entre puissance
active calculée et puissance active expérimentale pour différents
maillages (induction 1, charge magnétique 2, 4 000 Hz, 702 A,
N = 40, conditions de NEUMANN)pp
Nombre d'éléments dans
la profondeur de peau
équivalente ( 0,5 mm )
- 91 -
Nombre d'éléments dans
la profondeur de peau
minimale ( 0,05 mm
Figure 42 : Evolution de a puissance active calculée
en fonction du maiflage (charge magnétique)
Erreur en % sur
la puissance
active
16
10
9
9
2,53,54
L5
- 92 -
Des essais relativement nombreux ont montré un comportement comparable
pour d'autres charges ou des intensités différentes.
L'évolution de la puissance active moyenne en fonction du maillage
de la charge est donc sensiblement le même pour les matériaux magnéti-
ques ou amagnétiques les résultats ne dépendent plus du maillage à
partir de quatre à cinq éléments dans la profondeur de peau équivalente.
5.5 LA RELAXATION ET LE TEST D'ARRET
Ces paramètres numériques sont caractéristiques du schéma itératif
sur les perméabilités utilisé pour la résolution à chaque pas de temps
d'un problème non-linéaire.
La relaxation des perméabilités d'une itération à l'autre permet
d'agir sur la stabilité du schéma et sur sa vitesse de convergence.
Le test d'arrêt est le critère de stabilisation du schéma itératif
si l'écart relatif entre les perméabilités est inférieur à la valeur
fixée par l'utilisateur, alors la stabilité est acquise et le calcul
du pas de temps suivant commence.
Tant que le schéma itératif est stable à chaque pas de temps (pas
d'oscillations entretenues) aucun rapport n'a pu être établi entre le
coefficient de relaxation et une variation éventuelle des puissances
en pratique, l'erreur ne dépend que du test d'arrêt, et seuls les temps
de calcul sont affectés par le coefficient de relaxation.
Au cours des essais numériques que nous avons réalisé, une légère
sous-relaxation ( w = 0,95) des perméabilités a permis de minimiser les
temps de calcul sans que des oscillations soient constatées.
Aucun écart significatif sur les puissances n'a été relevé lorsque
le test d'arrêt décroît de 10% à 1%
Test d'arrêt
4-
- 93 -
Puissance active Temps de calculW minutes
1703
1695
1692
25
34
64
Figure 43 : Evolution de la puissance active et du temps de
calcul en fonction du test d'arrêt sur
les perméabilités (charge magnétique)
L'écart constaté, sur l'exemple de la figure 43, est inférieur à 1%
al ors que le temps de calcul double. (Notre test utilise la norme "Sup":
seul le plus grand des est comparé lors du test d'arrêt).
La figure 44 illustre l'effet du test d'arrêt sur l'évolution
des valeurs locales . le lissage de l'induction et des courants induits
y est perceptible.
Nous utiliserons donc pour la simulation des charges saturables
une relaxation sur les perméabilités de 0,95 et un test d'arrêt compris
entre 10% et 5%.
potenti el
vecteur
induction
courant
induit
Fig. 44
Grandeurs locales en régime permanent non-'inéaire, pour 3 tests d'arrêt:
-I
- 95 -
5.6 LA VALIDATION DU LOGICIEL
Après avoir étudié le comportement du logiciel par rapport aux
paramètres des méthodes numériques utilisées, nous allons comparer les
résultats expérimentaux avec les valeurs calculées.
Nous ne détaillons pas les comparaisons lorsque la charge est
amagnétique à cause de difficultés d'usinage, nous n'avons pas pu
réaliser un échantillon adapté à la mesure de la résistivité de l'acier
inox utilisé, et nous avons dû utiliser une valeur trouvée dans la lit-
térature. Dans tous les cas, l'écart entre les puissances calculées
et 11es puissances expérimentales (active et réactive) ne dépasse pas
5 %. Cet écart n'est cependant pas suffisamment systématique pour qu'on
puisse l'attribuer à priori à la valeur de la résistivité. Enfin, des
comparaisons réalisées avec les résultats du logiciel FLUX-2D n'ont
pas révélé d'écart significatif sur les puissances.
La spécificité de notre logiciel réside dans la simulation des
matériaux magnétiques. Nous avons superposé aux courbes expérimentales
de résistance de charge en fonction de l'intensité efficace (figures
27 à 30) l'encadrement que nous avons obtenu par le calcul, la valeur
par excès avec des conditions aux 11-imites de NEUMANN sur la frontière
extérieure du domaine d'étude, la valeur par défaut avec des conditions
de DIRICHLET.
Les autres paramètres numériques ont été choisis en tenant compte
des essais de sensibilité décrits au cours des paragraphes précédents
- 40 pas de temps par période
- 2 périodes de calcul
- phase initiale des courants inducteurs : 900
- relaxation sur les perméabilités: 0,95
- test d'arrêt sur les perméabilités : IO %
- 4 éléments dans la profondeur de peau équivalente
Chaque problème comportant de 1200 à 1800 noeuds de maillage (2400 à
3600 éléments finis triangulaires), les temps de calcul varient entre
2h et 6h.
Les propriétés physiques (résistivité, paramètres de la courbe
de saturation) sont prises à température ambiante (entre 20 et 1000C).
Rch
+ NEW4ANN
0 DIRICHLET6
5.j Ittti0004 +
03
2
i
- 96 -
X'¡i f0
'ef fo500 1000 1500 A
Figure 45 : Charge I (XC 38, Øext 40 mm, h 50mm)
La correspondance entre valeurs calculées et valeurs expérimen-
tales de la résistance de charge est bonne, sauf aux faibles valeurs
de champ (inférieures à 10 000 A/rn).
Nous pensons que cet écart peut provenir d'une erreur numérique
à Ta résolution (mauvais conditionnement de la matrice lié aux perméa-
bilités élevées en surface de la charge) ou bien d'une surestimation
de la perméabilité de Ta charge à faible champ (augmentant la démagné-
tisation de la charge aux dépends de la puissance transmise).
lo -
5
o
+
+
+
- 97 -
+
+ NEUMANN
O DIRICHLET
O
Ief fT
250 500 750 1000 A
Figure 46 : Charge 2 (xc 38, Øext 40mm, ch = loo mm)
L'encadrement de la valeur expérimentale par les résistances cal-
culées est correct sur tout la gamme des intensités.
On peut néanmoins remarquer une augmentation de l'écart vers 300A,
sans doute liée à la forme simplifiée de la courbe B(H) de la simula-
tion. Nous notons également une amplification de la différence entre
les puissances calculées avec des conditions de NEUMANN ou de DIRICHLET
lorsque l'intensité diminue, mais nous ne pouvons pas proposer d'expli-
cation à ce phénomène.
+
cp
+
¡I
- 98 -
+ NEUMANN
O DIRICHLET
I
Figure 47 Charge 3 (XC 38, Øext 40 mm, h = 200 mm)
On constate à nouveau sur cette troisième simulation une augmen-
tation de l'erreur aux faibles intensités.
Rapprochons ces résultats de ceux de la simulation de la charge
i (quatre fois plus courte) : dans le cas de la charge courte, la puis-
sance active est sous-évaluée à faible champ, tandis qu'elie est sur-
évaluée pour la charge 3. Ce comportement est compatible avec l'hypo-
thèse d'une perméabilité trop élevée car la démagnétisation et la
puissance active ont a'ors tendance à augmenter ;si a pièce est courte
dans le sens du champ, T'effet de démagnétisation est prépondérant,
tandis que si la pièce est longue, la démagnétisation est plus faible
et l'effet d'augmentation de a puissance active l'emporte.
200 400 600 800
ff
A
+
+
- 99 -
1
+
cf f
100 200 300 400 A
Figure 48 Charge 4 (XC 38 ou A 37, Øext 16, h = 549 mm)
Pour simuler cette pièce longue, placée dans l'inducteur 2
(Ø 45,5, h 495), nous avons considéré quelle était "infiniment
longue", et le calcul a été réalisé comme pour l'étude d'un problème
monodimensionnel. (Pans ce cas, le champ magnétique est nul à l'exté-
rieur du solénoïde, et le problème des conditions aux limites ne se
pose pas). Compte tenu du gain considérable en temps de calcul apporté
par cette simplification, on peut considérer que les résultats sont
très satisfaisants.
mç
600
400
200
0
- loo -
Avant de conclure, précisons que nous n'avons pas présenté les
courbes de réactance totale en fonction de l'intensité car la réactance
d'entrefer est dominante la réactance totale est donc pratiquement
constante, et l'erreur sur la puissance réactive est toujours inférieure
à I1'erreur sur la résistance de charge.
Dans l'ensemble, on peut considérer que la corrélation entre les
puissances calculées et les résultats des mesures est très satisfaisan-
te . Nous pensons que les écarts constatés proviennent essentiellement
du modèle simplifié que nous utilisons pour décrire la courbe d'aimanta-
tion du matériau chauffé, mais ce point ne sera éclairci que lorsque
nous disposerons d'une courbe B(H) expérimentale.
5.7 LA SENSIBILITE MX DONNEES PHYSIQUES.
Les données physiques de la simulation d'une chauffeuse par
induction sur lesquelles une erreur peut être commise sont essentielle-
ment la résistivité et les propriétés magnétiques de la charge : ou
bien on ne dispose pas de mesures précises, ou bien les gradients de
température causent une dérive de ces propriétés.
Lorsque la charge est amagnétique, on constate que la variation
des puissances dans la charge est sensiblement "en conformément
à la théorie Il
Le comportement des matériaux saturés est moins clair. Par
exemple, dans un cas, une diminution de 21 de la résistivité a induit
une diminution de 5 % et 4 respectivement sur la puissance active
et réactive.
Mais lors d'un autre essai, une augmentation de 15 % der
s'est
traduite par + 2 % sur la puissance active et - 2 % sur la puissance
réactive. Nous n'avons pas réalisé une étude systématique de la sensi-
bilité à la résistivité il semble qu'elle soit inférieure à la sen-
sibilité constatée en amagnétique mais nous ne pouvons pas l'affirmer
avec certitude.
- 101 -
De même, nous regrettons de ne pas pouvoir fournir des informa-
tions précises sur le comportement des puissances en fonction des
paramètres de la courbe d'aimantation. Citons pêle-mêle
- le doublement du champ coercitif Hc est pratiquement sans
influence ( I %) lorsque l'excitation est élevée (40 000 A/m).
- le changement d'exposant (de 0,2 à 0,5) du terme Hc/H dans
l'expression simplifiée de la courbe d'aimantation
(cf annexe 3 ) entrame une augmentation de l'ordre de 5%
des puissances.
- une augmentation de 15 % de l'aimantation maximale Msat induit
une augmentation de l'ordre de 5 % à 8 % de la puissance active
(à 40 000 A/m).
La valeur de l'aimantation à saturation semble avoir une influence plus
importante sur les puissances que la "forme" de la courbe B(H), aux
fortes excitations utilisées en chauffage par induction.
Une étude systématique de la sensibilité aux paramètres physiques
est donc indispensable.
5.8 CONCLUSION
La comparaison entre les références expérimentales et les résul-
tats du logiciel CARMEN, réalisée après une étude détaillée de la sensi-
bilité aux paramètres numériques, permet de conclure que CARMEN est
un outil efficace pour le dimensionnement des chauffeuses par induction
axisymétriques de produits magnétiques ou amagnétiques. Néanmoins, une
étude complémentaire de la sensibilité des résultats aux données phy-
siques devrait permettre d'améliorer leur précision, si cela est jugé
nécessaire.
CONCLUSION
- 103 -
CONCLUSION
Pour étudier les effets d'extrémité en chauffage par induction,
nous avons effectué un travail de modélisation à l'issue duquel nous
avons créé le logiciel CARMEN, outil efficace de CAO d'inducteurs
de chauffage, dont les résultats ont été validés par une campagne
de mesures.
A cette occasion, nous avons réalisé une analyse détaillée d'une
méthode de résolution en pas-à-pas dans le temps des problèmes élec-
tromagnétiques dynamiques non-linéaires.
Nous proposons un calcul des perméabilités qui améliore considé-
rablement la stabilité de la technique de substitution, et un algo-
rithme de résolution accélérée basé sur la division du domaine d'étude
en deux sous-domaines.
Grâce à cet algorithme, on peut envisager un couplage simple
avec la méthode des équations intégrales de frontière, et donc de
repousser à l'infini la frontière extérieure du domaine d'étude.
Par ailleurs, une partie importante du logiciel CARMEN est adap-
table à la réso'ution du problème thermique, ce qui permettrait de
réaliser la simulation complète d'une installation de chauffage par
induction.
ANNEXE I
REFORMULATION DES EQUATIONS DE MAXWELL TRIDIMENSIONNELLES
EN UTILISANT LE POTENTIEL VECTEUR MAGNETIQUE
- 105 -
A1.1 RAPPEL DU PROBLEME POSE.
Soit I un ouvert de R3
Calculer E, B, H, J dans fl pour tout t variant de O à t0 , tels
que:
div B = O
rot II = J + J0
div E = O
rot E = - -
et sachant que:
B=HJ = aE dans les charges, J = O ailleurs.
J0connue dans les inducteurs, J0= O ailleurs.
les conditions initiales et aux limites étant données.
A!.2 DEFINITIONS PREALABLES.
Pour la commodité de Pexposé, introduisons deux espaces de fonc-
tions, F et G:
Soit F ( resp. G ) un ensemble de fonctions de c2*[o , t] dans
R3 ( resp. R ), "suffisamment régulières" pour que les calculs qui sui-
vent aient un sens.
Soit ç une fonction de F ou G3 nous noterons:
(M) une fonction constante sur [o , to].
(t) une fonction constante surÇ.
- 106 -
A1.3 QUELQUES PROPRIETES CLASSIQUES.
Nous admettons les deux relations suivantes:
divUO 3VEF/U=rotyVtE[O , t , VUEF
rotll=O 3UEG/U=-gradu
les opérateurs rotationnel, divergence et gradient ayant leurs
propriétés habituelles dans R3.
A1.4 DEFINITION DES POTENTIELS.
Soient E et B deux champs donnés, solution du problème (2).
div B = O donc 3AEF te que B = rot A
Le potentiel vecteur A n'est pas unique, car:
soit uEG alors rot A = rot( A + grad u ).
Choisissons arbitrairement une solution particulière A0 teUe que:
B = rot A0
Si on remplace par ( rot A ) dans l'équation de MAXWELL-O
FARADAY, on obtient:
rot ( E ) = O
Donc: telle que: E + = -grady
Le potentiel scalaire électrique ça n'est pas unique, mais défini à une
constante dans Q près:
grad% = grad ( ç -- ça(t) ).
Si on désire remplacer le problème (2) par un problème équivalent
dont la solution sera calculée numériquement et dont les inconnues sont
A et ç , il. est souhaitable d'imposer une condition sur ces potentiels
qui garantisse leur unicité.
A1.5 LES FAMILLES DE SOLUTIONS A , q.
Nous montrons comment construire une famille de solutions à partir
d'une solution particulière A0 associée à un potentiel scalaire
Soient:
Alors:
est telle que:
Or
donc
- 107 -
A0 et çp, une solution particulière
une fonction quelconque de G
r A0+ gradq
B = rot A1
rot ( E + 1 ) = O
tefle que E + -grad
Calculons 1en fonction de A0 , % et J.
A E+-0+grad(-)- grad ç1 = E + 1 =
-grad ( c ) =E+-0I
E + -0 = - grad
grad ( ÇD + - ) = - gradI o
ce qui implique
= - - + g(t)
donc
or
donc
- 108 -
Conclusion: à partir d'une solution particulière A0 , c on peut
construire une famiil.e de solutions A1,
q à l'aide de deux fonctions
4. et g de G, g étant uniforme sur 2:
s
A1 = A0 +
ç1 = - + g(t)
A1.6 EXISTENCE D'UNE SOLUTION PARTICIJLIERE A TELLE QUE qO.
Choisissons deux fonctions particulières et g:
t= Jcdt
.0gO
Alors:
ç1,
dt = Oç31= (p0 - - = Çi) - - co
t Jo
= O
Nous avons donc montré que nous pouvons construire, à partir d'un
couple de potentiels A0 et , au moins un potentiel vecteur A tel-
que:
B = rot A
(3)
E=-
- 109 -
A1.7 CONDITION D'UNIChE DU POTENTIEL A TEL QUE qO.
Nous démontrons maintenant que la solution A associée à un poten-
tiel scalaire électrique identiquement nul, est unique si une condition
initiale est imposée.
Soient A et A' deux potentiels associés à un potentiel scalaire
identiquement nui.
rot A = rot A' = B
=
Nous déduisons de la relation (5) qu'il existe une fonction f
de F telle que:
f = f (M) f indépendante du temps.
A' = A + f(M)
La relation (4) implique : rot f = O
Donc, A et A' diffèrent d'une fonction f indépendante du temps,
irrotationriefle sur
Si on impose une condition initiale au potentiel A, alors il estunique.
conclusion: soient E et B donnés, satisfaisant aux équations du problème
(2), ii existe un potentiel vecteur A unique, teï que:
B = rot A
E = - (6)
A connu dans à t = O
- 110 -
A1.8 EQUATIONS DU POTENTIEL VECTEUR.
Nous déduisons de la définition du potentiel vecteur, de la jauge
= O choisie, et des équations (2) le système d'équations vérifié
par le potentiel vecteur. En admettant que le nouveau problème au poten-
tiel vecteur a une solution unique, nous démontrons que cette solution
est celle du problème (2), et qu'il y a donc équivalence entre les deux
probil èmes.
Soient E et B deux champs solution du problème (2),
soit A le potentiel vecteur vérifiant les relations (6).
D'une part,
div E = O
implique:
div A ) = O
D'autre part,
rot H = J + J0
B=H ( u/O)J =oE
impliquent:
rot ( rot A ) + J0
Le potentiel vecteur A vérifie donc les deux équations suivantes:
rot ( rot A ) + = J0
div A ) = O (7)
Admettons maintenant que le problème suivant est "bien posé",
et admet une solution unique:
Trouver A dans F telle que:
rot ( rot A ) +a-- = J0
( div A ) = O (8)
A connu à t = O.
Conditions aux limites connues.
On peut démontrer facilement que les champs E et B calculés à
partir de la solution du problème (8) en utilisant les relations (6),
vérifient les équations du problème initial (2).
Les problèmes (2) et (8) sont donc équivalents, si les conditions
initiales et aux limites du potentiel A sont "équivalentes" aux condi-
tions correspondantes sur E et B.
Dans les deux problèmes, on suppose que toutes les inconnues
( champs et potentiel ) sont identiquement nulles à t = O, ce qui réali-
se l'équivalence des conditions initiales.
La condition aux limites physique est:
"toutes les grandeurs sont nulles à l'infini",
que nous devrons remplacer par des conditions sur une frontière à dis-
tance finie. Le caractère "physique" de ces conditions aux limites,
et les résultats satisfaisants fournis par le logiciel, suggère que
l'équivalence est réalisée, malgré cette approximation.
- 112 -
A1.9 DISCUSSION.
Le lecteur aura reproché à la présentation qu'il vient de lire,
et nous le remercions de sa patience, quelques insuffisances:
une réflexion supplémentaire sur les conditions initiales et
aux limites aurait peut-être conduit à des remarques interes-
santes.
la jauge qO a été introduite à partir de considérations très
mathématiques, au détriment d'une analyse physique. Dans le
cas particulier des problèmes bidimensionnels, une approche
physique peut être effectuée, mais le raisonnement sur les
potentiels reste délicat.
ANNEXE 2
QUELQUES MOTS D'INFORMATIQUE ET DE PROGRAMMATION
- 114 -
A2.1 LANGAGE ET METHODE DE PROGRAMMATION.
Dans un souci de portabilité, CARMEN a été programmé en FORTRAN-
77, car ce langage est actuellement le plus diffusé et le mieux standar-
disé. Deux écarts à la norme 77 ont été tolérés, IMPLICIT NONE et DO
WHILE. Ces extensions ( FORTRAN 77 militaire, MIL-STD-1753 ) sont propo-
sées sur la grande majorité des compilateurs.
D'autre part, nous avons choisi des techniques de programmation
destinées à faciliter la "maintenance" du logiciel, et son aptitude
à évoluer selon les besoins des utilisateurs et les progrès de l'infor-
matique et de l'analyse numérique 1251
A cete effet, le logiciel a été construit à partir d'un grand
nombre de modules de petite taille ( moins de 40 instructions en moyen-
ne ), ayant chacun une fonction très précise:
saisie d'information sur terminai.
affichage sur terminai.
graphique sur terminal.
stockage d'information sur fichier.
lecture d'information sur fichier.
initialisation.
calcul.
édition sur imprimante.
La lisibilité des modules et des programmes a été soignée ( une
ligne "commentaire" par instruction en moyenne ), et les modules ont
été regroupés en bibliothèques ( outils généraux, outils graphiques,
outils calcul, etc... ).
- 115 -
A2.2 LES MODULES NON-PORTABLES.
Certains sous-programmes de CARMEN exploitent les possibilités
spécifiques de la machine sur laquelle le logiciel est implanté3 ils
sont regroupés dans une bibliothèque, des "outils non-portables".
Nous avons fait allusion, au cours du chapitre 3, à la vectorisa-
tion de certains algorithmes. Pour faciliter l'implantation sur une
machine ne disposant pas d'un processeur vectoriel, les instructions
"classiques" figurent systématiquement, en commentaire, à coté cies ins-
tructions vectorisées.
A2.3 LES RESSOURCES UTILISEES.
CARMEN est actuellement implanté sur un mini-ordinateur 16 bits
HP 1000-F, sous système RTE6-VM, disposant de la mémoire virtuelle et
d'un processeur vectoriel. L'implantation du logiciel sur un mini-ordi-
nateur 32 bits ( HP 9000, système UNIX ) est envisagée pour début 1984.
Les modules graphiques du logiciel ont été réalisés à partir de
la bibliothèque PLOT 10, et il n'est donc utilisable que sur des termi-
naux graphiques TEKTRONIX ( 4010, 4014, 4054... ) ou compatibles PLOT
10 ( SECAPA 741 par exemple ). Cependant, l'adaptation à un autre stan-
dard graphique est réalisable, moyennant une réécriture partielle des
outils graphiques.
Le volume mémoire occupé par le code de chaque programme ne dépas-
se pas 32 k-mots de 16 bits. Les variables du programme de calcul sont
réparties entre la mémoire centrale et la mémoire de masse ( 300 k-mots
au total dont 150 en mémoire centraIe actuellement ). CARMEN nécessite
donc un volume mémoire important, et ne peut raisonnablement être uti-
lisé que sur une machine disposant de la mémoire virtuelle.
Si la présence d'un processeur "vectoriel" n'est pas indispensable
celle d'un processeur arithmétique câblé est nécessaire: la quasi-tota-
lité des calculs est effectuée en double précision, et l'étude de prob-
lèmes non-linéaires demande 10 fois plus de temps sur le HP 1000-E
( ne disposant pas du "processeur virgule flottante' ) que sur le 1000-F.
r
- 116 -
A2.4 CARMEN: 15 000 LIGNES DE FORTRAN.
On peut déduire du tableau suivant:
une ligne commentaire par instruction.
4/5 des instructions dans les sous-programmes, dont le nombre
moyen d'instructions est inférieur à 40.moins du tiers des instructions consacrées au calcul ( MEF ).
Si l'on rapporte le nombre d'instructions de CARMEN à la durée
de notre travail, ori aboutit à une moyenne de 14,5 instructions par
jour.
t
f Ic hi e r programme s/programmes bi. data total
ligne s instr» Nb Jlignes instr.-+--* lignes lignes instr.
77 0 0 O 110 77superviseur 110 0
saisie données 402 188 18 993 510 67 1462 698
maillage 243 126 12 1118 642 82 1443 768
prép. calcul 200 92 7 747 460 117 1064 552
calcul 824 438 o o 0 146 970 438
bibli. calcul O o 43 3314 1738 o 3314 1738
visu, données 279 168 8 287 122 144 710 290
évolutions f(t) 185 104 7 740 434 64 989 538
iso-densités 171 94 3 356 200 67 594 294
i. de champ 175 97 4 268 144 65 508 241
non-portables O ° 7t 333 180 o 333 180
généraux O ° 4O 2473 1218 o 2473 :1218
graphiques O O 12 777 409 0 777 409
exploitation O ° 3: 147 55 0 147 55
4
total 2589 1384 16411553 6112 752 14894 7496
ANNEXE 3
PROPRIETES MAGNETIQUES DES ACIERS
DE CONSTRUCTION COURANTE
- 118 -
A3. i INTRODUCTION.
Si la littérature est riche en mesures des propriétés magnétiques
des tôles destinées à la fabrication des machines électriques, les in-
formations disponibles sur le comportement des aciers de construction
( l'essentiel des matériaux réchauffés avant formage ) sont plutot suc-
cintes.
Cependant, un travail important a été réalisé par BRISSONNEAU,
dans le cadre du Club chauffage par induction 1261. Ses conclusions
sont les suivantes:
Les propriétés magnétiques des aciers dépendent peu de la fré-
quence du champ d'excitation, dans la gamme de fréquence utili-
sée en chauffage avant formage.
Les comportements des diverses nuances d'acier de construction
sont assez semblables.
Aux excitations élevées, l'hystérésis est négligeable, et la
courbe B(H) a une allure assez simple.
La saturation réelle n'est jamais atteinte à cause des effets
du champ démagnétisant.
Il propose de modéliser le comportement des aciers, dans la gamme
O - 10 000 A/rn, de la façon suivante:
ltinduction B est calculée à partir de l'aimantation.
B = M +
M varie linéairement de O à Br, si H varie de O à Hc.
M varie en ( Hc/H ) u dela de Hc:
B H
M = M ( i - ( I - --i- ) (
)05)()
maxM Hmax
( XC 38, 600 Hz, champ crète 10 600 A/rn
A3.2 NOTRE ADAPTATION DES RESULTATS DE BRISSONNEAU.
Les essais de chauffage de pièces magnétiques ont montré que les
excitations maximales en surface peuvent atteindre des valeurs plusélevées ( 50 000 A/rn ). Nous avons donc modifié le modèle proposé, pour
tenir compte de cette forte saturation.
- 119 -
Il relève les valeurs suivantes:
Toc Hc A/rn Br Tesla Mrnax Tesla
o 164 1.28 1.75100 155 1.20 1.75200
j145 1.13 1.75
300 136 1.06 1.74400 123 0.97 1.69500 107 0.87 1.61600 84 0.77 1.46700 51 0.55 1.13800 o o o
Nous avons
de grandeur de l'aimantation
déduit des valeurs Mmax
à saturation
mesurées à 10 000 A/rn un ordre
"réelle" de l'acier XC 38:
T°C t1sat Tesla
O 2.00
100 2.00
200 2.00
300 1 .98
400 1 .93500 1 .84
600 1.66700 1 .29
800 o
Ces valeurs de Msat, déduites de 1261, correspondent assez bien
à celles ( rares ) que nous avons relevées dans la littérature 1271
et 1281.
L'utilisation de la relation (i) en remplaçant Mmax par Msat
conduit à une surévaluation de l'aimantation aux valeurs intermédiaires
du champ ( voir courbes page suivante ).
Nous avons cherché à adapter la relation (i) en changeant l'ex-
posant du terme Hc/H, pour obtenir une allure convenable aux faibles
valeurs de H.
Les courbes de la page suivante suggèrent le choix de l'expo-
sant O,2
M=Msat
- 120 -
B H( i____ (C)O2)
M Hsat
(2)
i
01 t I t t
0 200 400 O0 eoo x i0H Sn A/M
AIMANTATION
i
2
- 121 -AIMANTATION
O I I
20° io' io4 io' io'
H en A/M
( courbe de BRISSONNEAU à 20°C ).
courbe choisIe (2)
ModélisatIons possibles de la courbe d'aimantatIon du XC 38 à 20°C.
Courbe 1: M ,
max exposant 0,5
2: M ,
sat exposant 0,5
3: Id , 0,4
4: id , 0,3
5: Id , 0,2
6: id , 0,1
- 122 -
Bien que les comparaisons effectuées entre les calculs utilisant
la modélisation (2) et les résultats expérimentaux valident correctement
cette approche, ii est clair que l'expression (2) n'est pas entièrement
satisfaisante: si la modélisation (i) représente bien l'évolution de
l'aimantation aux valeurs moyennes de l'excitation, (2) s'en écarte.
D'autre part, on sait que l'approche de la saturation est en H2 26!,
et la relation (2) n'en tient pas compte.
L'utilisation d'un banc de mesure des propriétés magnétiques des
aciers aurait permis d'obtenir un meilleur modèle que celui que nous
proposons; mais, ces mesures sont délicates, et nous n'avons disposé
ni du temps, ni des moyens nécessaires.
Cependant, il est probable qu'une courbe B(H) simplifiée ( paramé-
trée par quelques grandeurs "faciles à mesurer" ) suffit à la modéli-
sation du chauffage par induction.
ANNEXE 4
LE TRAVAIL EXPERIMENTAL: INFORMATIONS COMPLEMENTAIRES
Ph1o1_m
Ph2
Ph I3
sctionneur
I mH200A
REDRESSEUR
T IIci
FUSIBLE S
250 A
f,,,,
T antoVmateu
FUSIBLES2004
ONDULEUR
SCHEMADU
3ENER,TEUR
BOulER id en sa teure
Transfo dadaptatiOfl
INDUCTEUR
lique à proximité des inducteurs installés
est plus sensible à son environnement que
à l'extérieur ce qui e st i]iustré par
résistance apparente
- 125 -
Résistance à vide des inducteurs.
Inducteur (1): 0int= 120 mm, hauteur = 140 mm, 8 spires.
Sur le générateur MHM: R.= 3,59 m dispersion: 1%
Sur le générateur ACEC: R.= 3,80 m dispersion: 6%
Inducteur (2): 0int= 45,5mm, hauteur = 495 mm, 70 spires.
Sur le générateur MHM: R.= 28,85 m dispersion: 1,2%
Sur le générateur ACEC: R.= 29,9 m dispersion: 1%
La variation de R. d'un générateur à l'autre est due à 'l'environ-
nement de l'inducteur, en particulier à la présence d'une porte métal-
au changement de générateur,
des mesures. Cette perte de précision sur
sur ].'ACEC. L'inducteur court
l'inducteur long ( il rayonne
l'augmentation de 6% de sa
et par la dispersion
II'ACEC est secondaire, carseuls les essais en charge magnétique ont été réalisés sur ce généra-teur, au cours desquels la puissance fournie à la charge est grandedevant les pertes dans l'inducteur.
Ø mm Ø. mm I Hauteur mm X m R mch
Les charges en acier inoxydable Z2 CN 18/io.
- 126 -
écart type Rch
Essais réalisés à 4000 Hz, charges maintenues à température ambi-
ante, avec 4 mesures par charge, sur le générateur MHM ( la dernière
charge dans l'inducteur 2 ).
ext mt tot
40.6 27.6 420 114 3.28 1 .5%
40.6 27.6 200 114 3.17 1 .8%
40.6 27.6 100 116 2.52 1 .3%
40.6 27.6 50 117 1.69 1%
42.5 39 420 117 4.48 1.5%
42.5 39 100 118 3.20 1%
42.5 39 50 119 1.89 3%
40 0 420::
115 3.10 o .4%
40 o 100.6 116 2.38 2.4%
40 0 51 118 1.64 2.8%
40.3 20 700 302 113 1 .2%
- 127 -
Charge I inducteur 1.
TUBE XC 38 d..tu. 40 mm, d.tht_ 30 mm, h. - 50 mm.
Resiatjyjt mesuree à 20°C * 23.10 Q.m
INWCTEUR d.tm 120 mm, h. - 140 mm, 8 8pire8, 4000 Hz.
WI
AOZO
é bu lii t i on
Aeff
R a?ch.
elec - th1tot
mclec
99 4.80 127
201 4.83 7% 127306 4.96 8% 124
400 5.01 6% 126503 4.76 4% 124
590 4.68 2% 124
700 4.57 4% 122
874 4.50 1% 121
1076 4.32 1% 1201240 4.20 1% 1071420 4.1]. 2% 1201600 3.93 -1% 120
ACEC
- 128 -
Charge 2 inducteur 1.
TUBE XC 38 d.t_ 40 mm, d.tht_ 30 mm, h.. loo mm.
Resjatjyjtd me8ure & 20°C - 23.108 mrINIIJCTEUR d.t_ 120 mm, h. - 140 mm, 8 Spires, 4000 Hz.
Aeff
R m(ch.
elec - th1totdec
102 15.6 16% 136197 13.7 9% 131310 12.4 5% 126
400 11.8 4% 127497 11.0 3% 126580 10.7 10% ?? 125702 10,2 2% 123
685 10.6 3% 126
895 10.0 3% 1241028 9.7 4% 124
1201 9.2 3% 126
1312 9.0 3% 129
ACEC
- 129 -
Charge 3 inducteur 1.
TUBE XC 38 d.t.l 40 mm, d.tu. 30 mm, h. 200 mm.
Resjstjyjté mesurée à 20°C - 23.10_8 i.m
INWCTEUR d.t= 120 mm, h.ic140 mm, 8 spires, 4000 Hz.
I Aeff
Roh.
elec - thtotdec
123 28.5 4% 120
236 23.4 4% 131
343 21.3 4% 130
400 20.0 4% 128
463 19.2 5% 128
517 18.2 4% 126
565 17.8 2% 126
630 17.2 2% 124
623 17.5 1% 130
797 15.7 3% 128
1068 14.6 2% 126
ACEC
- 110 -
Charge 4 inducteur 2.
CYLINDRE XC 38 ou A 37 d.tI. 16 mm, h.. 549 nm.
Resiatjvjté mesuree à 20°C 13.75 I0 í.m
INWCTEUR 45.5 mm, h.. 495 mm, 70 apIres, 4000 Hz.
ébuiiiti on
'eff A Roh malec - th
1totdec
27 494 8% 826
52 392 -3% 756
75 335 3% 713
112 290 1% 679
145 257 3% 651
172 241 1% 637
192 232 1% 631
216 222 3% 633
208 219 -1% 631
254 209 1% 634
305 198 1% 634
357 191 1% 629
423 180 -4% 623
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- '33 -
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pour le calcul. de la puissance active. Note EdF, HE 122 NS 1264.
- 137 -
TABLE DES PRINCIPAUX SYMBOLES UTILISES
B induction magnétique.
H champ magnétique.
D déplacement électrique.
E chanp électrique.
J densité de courant.
J0 courants 'source' imposés.
t temps.
E0 permittivité.
perméabilité.
ci conductivité.
p résistivité.
A potentiel vecteur magnétique.
Ç1potentiel scalaire électrique.
t0 borne supérieure de l'intervafle de temps étuduié.
domaine d'étude, ouvert de R3.
section méridienne de2
1' frontière de .
x,y,z repère cartésien de R3
r,ci,z système de coordonnées cylindriques.
T température.
t intervalle de temps entre deux calculs.
o paramètre de la méthode d'EULER semi-implicite.
¡ partie de f où des conditions de DIRICHLET homogènes sont imposées
ç, partie defoù des conditions de NEUMANN homogènes sont imposées.
H() espace de SOBOLEV d'ordre i surI
w. fonctions d'interpolation de H.
F' matrice des termes "lap'acien".
L matrice des termes "de Foucault".
M aimantation.
Msat aimantation à saturation.
Br induction rémanente.
Hc champ coercitif.
résistance d'inducteur.
- 138 -
Rch résistance de charge.
X réactance totale.tot
N nombre de pas de temps de calcul par période.
coefficient de relaxation sur les perméabilités.
dernière page de la thèse
AUTORISATION DE SOUTENANCE
Vu les dispositions de l'article 3 de l'arrêté du 16 avril 1974,
Vu le rapport de présentation de Messieurs R. BONNEFILLE
M. COEVOET
A. FOGGIA
J. HEURTIN
A. NICOLAS
J.C. SABONNADIERE
M. MARCHAND Christophe
est autorisé à présenter une soutenance de thèse pour l'obtention du titre deDOCTEUR INGENIEUR, Spécialité Génie Electrique.
Fait à Ecully, le 6 janvier 1984
Le Direct 'e I'E.C.L.
OIROUX
P.OM(.vl pr.cI.I.n du o. d. 1113., 1. ca. ¿chsnt)
pr*.. :
DAIr d, SOLTYLWAWCt
30 Jaivir i(4
lITRI :
Les effets d'extremjte en chauffage par induction
PA7L1RX :
DOCT. Do:7LUR- DOCTORAT DOCTORAT ded.u,v. 1,L.LNIELrR DETAT 3. CYCl2 Specislite
Niuiro drdr, : ECL 84-
a D QCote B.3.U. - Lyoz
: T 50/210/19 / et bi.
)i:su
Les méthodes c'assiques de calcul ne permettent pas de prédire exactement 1
comportement des inducteurs de chauffage par induction. Pour pallier cet inconvéniennous avons réalisé un ensemble de programmes constituant un outil de dimensionnemer.d'induteurs, destiné en particulier à l'étude des défauts d'homogénéité de tempéra-ture aux extrêmités des pièces chauffées.
Nous avons restreint notre travail à l'étude des phénomènes électromagnétiquesnon-linéaires intervenant en chauffage par induction, dans le cas particulier degéométries tridimensionnelles axisymétriques.A partir des équations de Maxwell, nous avons modélisé les phénomènes physiques er
introduisant ]e potentiel vecteur magnétique, dont le comportement est régi par ur.MW parabolique du second ordre, et en simplifiant les lois de comportement des matériLe problème d'évolution a été transformé en une succession de problèmes stationnaire
grâce à une technique de discrétisation en temps, les différences. finies semi-impuicï-tes. Le problème spatial stationnaire a été abordé par la méthode des éléments finis.en utilisant une technique de substitution par la résolution des équations non linéarCes méthodes numériques ont été mises en oeuvre dans le logiciel intéractif CARMEN.nplanté sur mini-ordinateur. Ce nouveau logiciel a été conçu comme un outil de concep-
tion assistée, destiné aux ingénieurs de bureaux d'étude, par conséquent nous avor.accordé une grande importance à sa "portabilité" et à la clarté de son dialogue, lorsde son écriture.
La campagne d'essais et de mesures que nous avons réalisée a. permis de valider lehypothèses de la modélisation, et de vérifier la qualité des résultats fournis parle logiciel CARMEN.
Notre travail a donc permis la mise à la disposition de l'industrie d'un logicie]simple et robuste, destiné à la conception assitée des inducteurs de chauffage parinduction.
ULT.o.
C)MOTS-C LES :
UN1U!IJChauffage par induction - Eléments finis - Equations de eli - in ucte s
L..bor.toire (s) de recherche.Département d'Electrotechnique de . Centra] on
et Laboratoire d'Induction du Service ADE d'EDF aux Renarclièl-. (/4Dl..barcteur de recherche.
A. FOGGIA
ir..jdent de jur) ZR. BONNEFILLE
C...poâtjon du jury : M. COEVOET - A. FOGGIA - J. HEURTIN - A. NICOLAS
p
J.C. SABONNADIERE
