0.1. Les ensembles.La notion d’ensemble est une notion qu’on ne pas definir d’autres notions, c’est une no-tion premiere. Sans entrer dans le detail des theories axiomatiques des ensembles, nous nouscontenterons de la definition suivante.

Definition 1. On appelle ensemble une collection d’objets ; ces objets s’appellent les elementsde l’ensemble.

Notations.

• Un ensemble est souvent note par une lettre majuscule : A, B, .... Par contre unelement est note par une lettre minuscule : x, y, a, b,....• Si un objet x est un element d’un ensemble A, alors on ecrit x ∈ A (x appartient a A).• Si un objet x n’est pas un element d’un ensembleA, alors on ecrit x 6∈ A, (x n’appartient

pas a A).

Remarque 1. Il existe deux facons de decrire un ensemble E :

• soit en donnant la liste des elements de cet ensemble, on dit qu’on a ecrit l’ensembleen extension, E = {0, 1, 2, 3, 4}• soit en donnant une propriete qui caracterise les elements de l’ensemble, on dit qu’on

a ecrit l’ensemble en comprehension, E = {a ∈ N | a est pair}.Soit l’ensemble A = {1, 2, 3, 4}, on represente A par un diagramme qu’on appelle diagramme

de Venn :

A×1 ×2

×3

×4

Exemples 1.

1. Les entiers naturels 0, 1, 2, 3, ..., forment un ensemble note N.2. Les entiers relatifs ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., forment un ensemble note Z.3. Les nombres decimaux, les nombres qui peuvent s’ecrire sous la forme a

10n , ou a ∈ Z etn ∈ N, forment un ensemble note D.

4. Les nombres rationnels, les nombres qui peuvent s’ecrire sous la forme ab , ou a ∈ Z et

b ∈ Z∗, forment un ensemble note Q.5. Les nombres reels forment un ensemble note R.6. Les nombres complexes forment un ensemble note C.7. L’ensemble qui contient un seul element a se note {a}, l’ensemble qui contient deux elementsa et b se note {a, b} ; etc.

8. L’etoile ‘*’ enleve le zero. Par exemple Z∗ = {...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ...}.9. L’ensemble qui ne contient aucun element est dit : l’ensemble vide. Il est note ∅ ou encore{}.

Definition 2. Soient A et B deux ensembles.

1. A et B sont dits egaux, s’ils contiennent les memes elements, et on ecrit A = B.2. Si A contient un nombre fini d’elements, alors A est dit un ensemble fini. Le nombre

d’elements de A est appele cardinal de A, et est note Card(A) ou |A| ou #A.

3

0.2. Operations elementaires sur les ensembles.

0.2.1. Inclusion.

Definition 3. Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B si et seulementsi tout element de A est element de B, et on ecrit A ⊂ B ou B ⊃ A. On dit aussi que A estune partie de B.

A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B.

,,,

'

&

$

%����A

lll'&$%

����B

Pour montrer l’inclusion A ⊂ B, il faut montrer que tout element de A appartient a B.

Remarques 1. Soient A, B et C trois ensembles.

• Si A 6= B et A ⊂ B, alors on ecrit A B.• Si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C.• A ⊂ B et B ⊂ A⇔ A = B.• S’il existe un x ∈ A tel que x 6∈ B, alors on dit que A n’est pas inclus dans B et on

ecrit A 6⊂ B.

Exercice Soient A = {x ∈ R/ − 2 ≤ x ≤ 3} et B = {x ∈ R/|x| ≤ 3}. Montrer que A ⊂ B.Exercice Soient A = {(x,y) ∈ R2/ 4x− y = 1} et B = {(t+ 1,4t+ 3) ∈ R2/ t ∈ R}.Montrer que A = B. (On doit donc montrer la double inclusion A ⊂ B et B ⊂ A).

Exemples 2.

• N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.• N 6⊂ Z∗.• L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble A : ∅ ⊂ A.• Chaque ensemble A est inclus dans lui-meme : A ⊂ A.

0.2.2. Ensemble des parties d’un ensemble.

Definition 4. L’ensemble qui contient toutes les parties d’un ensemble E donne est ditl’ensemble des parties de E, on le note P(E) = {A|A ⊂ E}.

Exemple 1.

• L’ensemble des parties de E = ∅ est : P(E) = P(∅) = {∅}.• L’ensemble des parties de l’ensemble E = {a} est : P(E) = {∅, {a}}.• L’ensemble des parties de l’ensemble E = {a, b} est :P(E) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.• L’ensemble des parties de l’ensemble E = {a, b, c} est :P(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.• L’ensemble E = {∅} n’est pas vide, et l’ensemble de ses parties est : P(E) = {∅, {∅}}.• ]− 2,+∞[∈ P(R), ]− 2, 7[∈ P(R) et Q ∈ P(R).

NB. Ne pas confondre ∅ et {∅}, card(∅) = 0 par contre card({∅}) = 1.

Remarque 2. Pour tout ensemble A, on a :

4

• ∅ ∈ P(A) et A ∈ P(A).• Si a ∈ A, alors {a} ⊂ A et {a} ∈ P(A).• B ⊂ A⇐⇒ B ∈ P(A).

0.2.3. Intersection.

Definition 5. Soient deux ensembles A et B, l’ensembles des elements qui appartiennent aA et a B est appele intersection de A et de B et est note A ∩B. Ainsi on a :

A ∩B = {x|x ∈ A et x ∈ B} et x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B.

Si A ∩B = ∅, on dit que A et B sont disjoints.

A B

A ∩B

Exemple 2. Si A = {a, b, c, d} et B = {a, e, c, f, g}, alors A ∩B = {a, c}.

Proposition 0.1. Soient A, B et C trois ensembles. Alors on a :

1. A ∩B = B ∩A, on dit l’intersection est commutative.2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C, on dit l’intersection est associative.3. A ∩A = A et A ∩∅ = ∅.4. (A ∩B) ⊂ A et (A ∩B) ⊂ B.5. A ∩B = A⇔ A ⊂ B.

Preuve. Simple a verifier. �

0.2.4. Reunion.

Definition 6. Soient deux ensembles A et B, l’ensembles des elements qui appartiennent aA ou a B est appele reunion de A et de B, et est note A ∪B. Ainsi on a :

A ∪B = {x|x ∈ A ou x ∈ B} et A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B.

A B

A ∪B

5

Exemple 3. Si A = {a, b, c, d} et B = {a, e, c, f, g}, alors A ∪B = {a, b, c, d, e, f, g}.

Proposition 0.2. Soient A, B et C trois ensembles. Alors on a :

1. A ∪B = B ∪A, on dit la reunion est commutative.2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, on dit la reunion est associative.3. A ∪A = A et A ∪∅ = A, on dit la reunion admet ∅ comme element neutre.4. A ⊂ A ∪B et B ⊂ A ∪B.5. A ∪B = B ⇔ A ⊂ B.

Preuve. Simple a verifier. �

Proposition 0.3. Soient A, B et C trois ensembles.

1. L’intersection est distributive par rapport a la reunion, c’est-a-dire que :A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

2. La reunion est distributive par rapport a l’intersection, c’est-a-dire que :A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Preuve.1. Soit x ∈ A ∩ (B ∪ C), donc x ∈ A et x ∈ B ∪ C, c’est-a-dire que x ∈ A et (x ∈ B oux ∈ C). Si x ∈ B, alors x ∈ A ∩ B ; si x ∈ C, alors x ∈ A ∩ C. Par suite, dans les deux casx ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Reciproquement, soit x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C), donc x ∈ A ∩B ou x ∈ A ∩ C. Si x ∈ A ∩B,alors x ∈ A et x ∈ B, d’ou x ∈ A et x ∈ B ∪ C ; par suite x ∈ A ∩ (B ∪ C). De meme, six ∈ A ∩ C, alors x ∈ A et x ∈ C, d’ou x ∈ A et x ∈ B ∪ C ; par suite x ∈ A ∩ (B ∪ C).

2. La preuve est analogue a la precedente. �

Remarque 3. Si A et B sont deux ensemble finis, alors

card(A ∪B) = card(A) + card(B)− card(A ∩B).

0.2.5. Complementaire.

Definition 7. Soit A une partie d’un ensembles E. L’ensembles des elements qui appar-tiennent a E et qui n’appartiennent pas a A est appele complementaire de A par rapport aE, et est note A ou {AE ou AC . Ainsi on a :

{AE = {x ∈ E | x 6∈ A}, x ∈ A⇔ x ∈ E et x 6∈ A

E

{AE = A

A

Exemples 3.

• Si E = {a, b, c, d, e, f, g} et A = {a, b, c, d}, alors {AE = {e, f, g}.• {N∗

N = {0} et {{0}R = R∗.

Remarque 4. Soit A une partie d’un ensembles E.

6

1. A ∩A = ∅, car sinon on aura un x qui appartient a A et a A.2. A ∪A = E.

Proposition 0.4. Soient A et B deux parties d’un ensemble E.

1. A ⊂ B ⇔ B ⊂ A.2. A ∩B = ∅⇐⇒ A ⊂ B.3. A ∪B = E ⇐⇒ B ⊂ A.

4. {{AEE = A, i.e., A = A.

5. {∅E = E et {EE = ∅.

6. {A∪BE = {AE ∩ {BE et {A∩BE = {AE ∪ {BE . Ces formules se generalisent a un nombre quelconqued’ensembles.

Preuve. 1. Supposons que A ⊂ B et montrons que B ⊂ A. Soit x ∈ B, donc x 6∈ B ; or A ⊂ B,d’ou x 6∈ A, par suite x ∈ A. Donc x ∈ B ⇒ x ∈ A c’est-a-dire que B ⊂ A.

Reciproquement, supposons que B ⊂ A et montrons que A ⊂ B. Soit x ∈ A, donc x 6∈ A ;ceci implique que x 6∈ B, puisque B ⊂ A. Par suite x ∈ B, d’ou x ∈ A ⇒ x ∈ B, c’est-a-direque A ⊂ B.

2. =⇒), soit x ∈ A, alors x 6∈ B, d’ou x ∈ B, c-a-d, A ⊂ B.⇐=), si A∩B est non vide, alors il existe x ∈ A∩B. Donc x ∈ A et x ∈ B, ceci implique

que x ∈ A et x 6∈ B, d’ou A 6⊂ B, absurde.3. Utiliser 2).

4. x ∈ {{AEE ⇐⇒ x ∈ E et x 6∈ {AE⇐⇒ x ∈ E et x ∈ A.

Donc {{AEE = A.

5. Simple.6. Soit x ∈ {A∪BE , alors x ∈ E et x 6∈ A ∪B. Donc x 6∈ A et x 6∈ B, d’ou x ∈ {AE et x ∈ {BE ,

c’est-a-dire x ∈ {AE ∩ {BE .Reciproquement, soit x ∈ {AE ∩ {BE ; donc x ∈ E, x ∈ {AE et x ∈ {BE , d’ou x ∈ E, x 6∈ A et

x 6∈ B. Donc x ∈ E et x 6∈ A ∪ B, i.e, x ∈ {A∪BE . Ceci etablit la premiere formule. Pour ladeuxieme, en appliquant la premiere, on trouve que :

{{AE∪{

BE

E = {{AEE ∩ {

{BEE = A ∩B.

Ce qui implique que {AE ∪ {BE = {A∩BE . �

0.2.6. Difference de deux ensembles.

Definition 8. Soient deux ensembles A et B, l’ensembles des elements qui appartiennent aA et qui n’appartiennent pas a B est appele difference de A et de B, et est note A\B ouA−B.

A\B = {x|x ∈ A et x 6∈ B} c-a-d x ∈ A\B ⇐⇒ x ∈ A et x 6∈ B.

7

A B

A−B

Exemple 4. Si A = {a, b, c, d} et B = {a, e, c, f, g}, alors A\B = {b, d} et B\A = {e, f, g}.

Proposition 0.5. Soient A et B deux parties d’un ensemble E.

1. {AE = E −A2. A−B = A ∩B.3. A−B = ∅⇐⇒ A ⊂ B.

Preuve.1. On a x ∈ {AE ⇐⇒ x ∈ E et x 6∈ A⇐⇒ x ∈ E −A.2. Soit x ∈ E, alors x ∈ A−B ⇐⇒ x ∈ A et x 6∈ B

⇐⇒ x ∈ A et x ∈ {BE = B⇐⇒ x ∈ A ∩B.

Donc A−B = A ∩B.3. Admettons que A− B = ∅. Si A 6⊂ B, alors il existe x ∈ A et x 6∈ B, d’ou x ∈ A− B ; cequi est absurde. �

Definition 9 (Difference symetrique). Soient deux ensembles A et B, l’ensemble (A− B) ∪(B −A) est appele difference symetrique de A et B, et est note A M B.

A M B = (A−B) ∪ (B −A) = {x|x ∈ (A−B) ou x ∈ (B −A)}.

A B

A M B

Exemple 5. Si A = {a, b, c, d, e} et B = {a, c, e, f, g}, alors A−B = {b, d} et B−A = {f, g} ;donc A M B = {b, d, f, g}.

8

Proposition 0.6. Soient deux ensembles A et B.

1. A M B = B M A, la difference symetrique est commutative.2. A M (B M C) = (A M B) M C, la difference symetrique est associative.3. A M ∅ = A, la difference admet un element neutre.4. A M A = ∅,5. A M B = (A ∪B) ∩ (A ∪B) = (A ∪B)− (A ∩B).

Preuve.1. On a A M B = (A−B) ∪ (B −A) = (B −A) ∪ (A−B) = B M A.2. Voir TD.3 et 4. Simples.5. On a A M B = (A−B) ∪ (B −A)

= (A ∩B) ∪ (B ∩A)= [(A ∩B) ∪B] ∩ [(A ∩B) ∪A]= [(A ∪B) ∩ (B ∪B)] ∩ [(A ∪A) ∩ (B ∪A)]= (A ∪B) ∩ (B ∪A)= (A ∪B) ∩ (B ∩A)= (A ∪B)− (B ∩A)

�

Remarque 5. Soit E un ensemble, alors l’ensemble P(E) muni de la loi M est un groupecommutative.

0.3. Produit cartesien d’ensembles.

Definition 10. Soient x et y deux objets. On appelle couple (x, y) la suite d’objets dont lepremier element est x et le deuxieme est y.Soient deux ensembles A et B. On appelle produit cartesien de A et B l’ensemble des couples(x, y) tels que x ∈ A et y ∈ B ; cette ensemble est note A×B.

A×B = {(x, y) | x ∈ A et y ∈ B}.

Remarque 6. les couples (a, b) et (x, y) sont egaux , i.e., (a, b) = (x, y) si et seulement sia = x et b = y.

Exemples 4.

1. Soient A = {1, 2} et B = {a, b, c}, alors on a :A×B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}B ×A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 3)}A×A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}B ×B = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c),(c, a), (c, b), (c, c)}.

2. N×R = {(n, x)| n ∈ N et x ∈ R}.

Remarque 7. Soient A et B deux ensembles.

• Il ne faut pas confondre la notion du couple avec la notion d’ensemble {x, y}. On a{x, y} = {y, x} mais (x, y) 6= (y, x).• En general on a : A×B 6= B ×A.

Proposition 0.7. Soient A, B, C et D des ensembles quelconques.

1. Si A ⊂ C et B ⊂ D, alors A×B ⊂ C ×D.2. A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).3. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).4. A×∅ = ∅×A = ∅.

9

5. A×B = ∅⇔ A = ∅ ou B = ∅.

Preuve. Simple a verifier. �

Remarque 8. Si A et B sont deux ensemble finis, alors card(A×B) = card(A)card(B).

Definition 11. Soient A et B deux ensembles.

1. On appelle diagonale de A×A l’ensemble des couples (x, x), ou x ∈ A.2. Toute partie non vide Γ de A × B est appelee un graphe de A vers B. Autrement dit,

tout element de Γ est un couple ordonne (x, y) ou x ∈ A et y ∈ B.

Exemple 6. Soient A = {1, 2} et B = {a, b, c}, alors

A×B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.1. La partie Γ1 = {(1, a), (1, b)} est un graphe de A vers B.2. La partie Γ2 = {(1, b), (1, c), (2, a), (2, b)} est un autre graphe de A vers B.3. La partie Γ3 = {(2, c)} est un troisieme graphe de A vers B.4. La diagonale de A×A est {(1, 1), (2, 2)}5. La diagonale de B ×B = {(a, a), (b, b), (c, c)}.

Generalisation.

Definition 12. Soient n objets x1, x2, ..., xn, la suite ordonnee (x1, x2, ..., xn) est dit unn-uplet.Soient alors n ensembles A1, A2, ..., An ; l’ensemble des suites ordonnees (x1, x2, ..., xn) tellesque x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, ..., xn ∈ An, s’appelle le produit cartesien des ensembles A1, A2, ...,

An et se note A1 ×A2 × · · · ×An, on note aussin∏

i=1

Ei.

A1 ×A2 × · · · ×An = {(x1, x2, ..., xn) | xi ∈ Ai pour tout i}.

Notation. Si A1 = A2 = · · · = An = A, alors le produit A1 ×A2 × · · · ×An se note An. Parexemple R×R se note R2, et R×R×R×R se note R4, etc.

0.4. Partition d’un ensemble.

Definition 13. Une partition d’un ensemble E est une famille de parties non vides de E,disjointes deux a deux, et dont la reunion est l’ensemble E tout entier.Autrement dit, les parties A1, A2, ..., Ak de E forment une partition de E en k classes si etseulement si :

1. ∀1 ≤ i ≤ k, Ai 6= ∅.2. ∀1 ≤ i, j ≤ k, i 6= j =⇒ Ai ∩Aj = ∅.

3.

i=k⋃i=1

Ai = E.

Exemples 5.

1. Soit l’ensemble E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.i. Les parties de E : A = {1, 2} et B = {3, 4, 5, 6} forment une partition de E, car A etB sont non vides, A ∩B = ∅ et A ∪B = E.

ii. Les parties de E : A = {1, 2} et B = {3, 4, 5} ne forment pas une partition de E, carA ∪B 6= E.

iii. Les parties de E : A = {1, 2, 3}, B = {4} et C = {5, 6} forment une partition de E,car A, B et C sont non vides, A ∩B = ∅, A ∩ C = ∅ et B ∩ C = ∅, A ∪B ∪ C = E.

10

2. Pour E = [1, 7], les intervals A = [1, 2[, B = [2, 4] et C =]4, 7] forment une partition de E.3. L’ensemble des entiers naturels pairs et l’ensemble des entiers naturels impairs constituent

une partition de N.

Remarque 9. Si A est une partie non vide d’un ensemble non vide E et A 6= E, alors A etA est une partition de E. En effet, A ∩A = ∅ et A ∪A = E.

11

1. Les applications et les relations

1.1. Les applications.

1.1.1. Les correspondances.

Definition 14. Soient E et F deux ensembles. On appelle correspondance de E vers F touttriplet (Γ, E, F ), ou Γ est un graphe de E vers F . E est alors appele ensemble de depart et Fensemble d’arrivee de la correspondance.

Definition 15. Soit f = (Γ, E, F ) une correspondance de E vers F .

1. On appelle ensemble de definition de f , et on note Df , l’ensembleDf = {x ∈ E | ∃y ∈ F tel que (x, y) ∈ Γ}.

2. On appelle ensemble image de f , et on note Im(f), l’ensembleIm(f) = {y ∈ F | ∃x ∈ E tel que (x, y) ∈ Γ}.

Definition 16. Soit (Γ, E, F ) une correspondance de E vers F .

1. On dit que Γ est un graphe fonctionnel si et seulement si ∀x ∈ E, l’ensemble {y ∈F tel que (x, y) ∈ Γ} est vide ou reduit a un seul element. Dans ce cas, on dit que fest une fonction de E vers F.

2. Si, de plus, Df = E, c-a-d ∀x ∈ E, ∃!y ∈ F ; (x, y) ∈ Γ, alors on dit que f est uneapplication de E vers F.

Γ est dit le graphe de l’application (resp. fonction).

Remarque 10.

1. Une fonction de E vers F associe a chaque element x de E au plus un element y de F .2. Une application de E vers F associe a tout element x de E un et un seul element y de F .

Remarques 2. Soit f = (Γ, E, F ) une application.

1. Si (x, y) ∈ Γ, on dit que y est l’image (unique) de x par f et que x est un antecedent de ypar f et on ecrit f(x) = y.

2. L’ensemble E s’appelle l’ensemble de depart et l’ensemble F s’appelle l’ensemble d’arriveede f . On note souvent une application par f : E → F ou, si les ensembles E et F sontsous-entendus, x 7→ f(x).Si par exemple E = {a, b, c, d} et F = {1, 2, 3, 4, 5}, l’application f est represente par lediagramme suivant

a

b

c

d

1

2

3

4

5E F

f

Figure 1. Diagramme d’une application

12

Remarques 3. Soit f = (Γ, E, F ) une application.

1. Le graphe Γ de l’application f est donc l’ensemble des couples {(x, f(x))| x ∈ E}.2. L’application x 7→ x de E dans E est dite application identique de E ; elle se note idE .3. Si A ⊂ E, alors l’application x 7→ x de A dans E est appelee l’injection canonique de A

dans E, et est notee iA.4. Toute application est une fonction, mais l’inverse n’est pas vrai.5. L’ensemble des applications de E vers F est note F(E,F ) ou FE .6. L’application f : E −→ F est dite constante si l’on a f(x) = f(y) quels que soient x, y

dans E.7. Soit A une partie non vide d’un ensemble E. On appelle application caracteristique de A,

l’application

χA : E −→ R a valeurs reelles definie par : χA(x) =

{1 si x ∈ A0 si x 6∈ A.

χA est aussi dite application indicatrice de A.8. Soient E et F deux ensembles. Les applications

E × F −→ E, (x, y) 7−→ x,E × F −→ F , (x, y) 7−→ y

s’appellent la premiere et la deuxieme projection respectivement.

Exemples 6. On donne dans ce qui suit quelques exemples des applications :

1. f : N −→ N

n 7−→ f(n) = 2n+ 1le graphe de f est Γ = {(n, 2n+ 1)| n ∈ N}.

2. f : N −→ R

n 7−→ f(n) =√n+ 1

le graphe de f est Γ = {(n,√n+ 1)| n ∈ N}.

3. f : N −→ R

n 7−→ f(n) =√n− 1

f n’est pas une application mais est une fonction, car 0 n’a pas d’image dans R, et on a ;Df = N∗.

4. f : Q −→ R

x 7−→ f(x) = x2+3x−7x2+6

le graphe de f est Γ = {(x, f(x))| x ∈ Q}.

5. f : R −→ R

x 7−→ f(x) = x2+3x−7|x|−2

f n’est pas une application car −2 et 2 n’ont pas d’images dans R. Mais f est une fonctiontelle que Df = R− {−2, 2}.

Exercice. Soit l’application f : N2 −→ N

(x, y) 7−→ f(x, y) = x+ y

1. Determiner les antecedents de 0 par f .2. Determiner l’ensemble des antecedents de 3 par f .3. L’implication suivante est elle juste : f(a, b) = f(a′, b′)⇒ (a, b) = (a′, b′) ?

Definition 17. Soient E, G, F et H des ensembles. On dit que deux applications f : E → Fet g : G → H sont egales si et seulement si E = G, F = H et leur graphe sont egaux,c’est-a-dire ∀x ∈ E, f(x) = g(x).

1.1.2. Restriction et prolongement.

Definition 18. Soient f : E → F et g : A → F deux applications. On dit que l’applicationg est une restriction de f a A si A ⊂ E et ∀x ∈ A, f(x) = g(x). L’application g est souventnotee fA.

13

Exemple 7. Soit l’application f : R −→ R

x 7−→ f(x) = |x− 2|,l’application g : [2,+∞[−→ R

x 7−→ g(x) = x− 2est la restriction de f a [2,+∞[.

Definition 19. Soient f : E → G et g : F → G deux applications. On dit que l’applicationg est un prolongement de f a F si E ⊂ F et ∀x ∈ E, f(x) = g(x).

Exemple 8. L’application g : R −→ R

x 7−→ g(x) = |x− 2|,est un prolongement de l’application f : [2,+∞[−→ R

x 7−→ f(x) = x− 2.

1.1.3. Composition des applications.

Definition 20. Soient f : E → F et g : F → G deux applications. L’application h : E → Gdefinie par

∀x ∈ E h(x) = g(f(x))

est dite application composee de f et g, et est notee g ◦ f .

Exemple 9. Soient les deux applications f(x) = x + 1 et g(x) = x2 definies de R dans R.On a

g ◦ f(x) = g(f(x)) = (x+ 1)2 etf ◦ g(x) = f(g(x)) = x2 + 1.

On voit que f ◦ g 6= g ◦ f en general.

Generalisation de la composition.

1. Soient les applications f1 : E1 → E2, f2 : E2 → E3, ..., fn : En → En+1, on peut formerl’application composee fn ◦ fn−1 ◦ ... ◦ f2 ◦ f1 : E1 → En+1.

2. Soit f : E → E une application d’un ensemble E dans lui meme. Les composes f ◦ f ,f ◦ f ◦ f , f ◦ f ◦ f ◦ f , ... ; se notent f2, f3, f4, ....

Proposition 1.1. Soient f : E → F , g : F → G et h : G → H des applications, on a :(g ◦ f) ◦ h = g ◦ (f ◦ h) (associativite de la composition).

1.1.4. Image direct et image reciproque.

Definition 21. Soient f : E → F une application, A ⊂ E et B ⊂ F . Alors

1. On appelle image directe de A par f , et on note f(A), l’ensemble

{f(a) | a ∈ A} = {y ∈ F | ∃a ∈ A, y = f(a)}.2. On appelle image reciproque de B par f , et on note f−1(B), l’ensemble des x ∈ E tels quef(x) ∈ B, on a : f−1(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}.

Attention. Soient f : E → F une application, A ⊂ E et B ⊂ F .

1. f(A) est un sous-ensemble de F , tandis que f−1(B) est un sous-ensemble de E.2. L’image directe d’un singleton f({x}) = {f(x)} est un singleton. Par contre l’image

reciproque d’un singleton f−1({y}) depend de f . Cela peut etre un singleton, un ensemblea plusieurs elements ; mais cela peut-etre E tout entier (si f est une fonction constante) oumeme l’ensemble vide (si aucune image par f ne vaut y).

Remarques 4. Soient f : E → F une application, A ⊂ E et B ⊂ F .

1. L’image f(E) de E s’appelle l’image de f et se note Im(f).

14

2. Si f(A) ⊂ A, alors l’ensemble A est dit stable par f .3. Si f(A) = A, alors l’ensemble A est dit invariant par f .4. Si pour un x ∈ E, f(x) = x, alors l’element x est dit un point fixe.5. L’application g : A→ B, ou B ⊂ F , telle que ∀x ∈ A, g(x) = f(x) est appelee l’application

induite par f sur A.

Exemple 10. Pour l’application f : R → R definie par x 7→ x2, representer et calculer lesensembles suivants : f([0,1[), f(R), f(]− 1,2[), f−1([1,2[), f−1([−1, 1]), f−1({3}), f−1(R\N).

1.1.5. La bijection.

Definition 22. Soit f : E → F une application. On dit que :

1. f est injective si ∀x, x′ ∈ E, f(x) = f(x′)⇒ x = x′,ou encore x 6= x′ =⇒ f(x) 6= f(x′).

2. f est surjective si ∀ y ∈ F , ∃x ∈ E tel que y = f(x).3. f est bijective si f est a la fois injective et surjective.

En termes d’antecedents on a :

Remarques 5. Soit f : E → F une application.

1. f est injective si chaque element y ∈ F admet au plus un antecedent dans E.2. f est surjective si chaque element y ∈ F admet au moins un antecedent dans E, c’est-a-dire

que Imf = f(E) = F .3. f est bijective si chaque element y ∈ F admet un et un seul antecedent dans E.

Exemples 7.

1. L’injection canonique iE est injective.2. x 7→ 5x est injective non surjective de N vers N.3. x 7→ x2 est surjective non injective de R vers R+.4. x 7→ ex est une bijection de R vers R∗+.5. L’application f : R −→ R, x 7−→ |x| n’est ni injective ni surjective tandis que g : R −→ R+,x 7−→ |x| est surjective.

Remarque 11. Une bijection d’un ensemble E sur lui meme est parfois appelee une permu-tation de E. L’ensemble des permutations de E se note S(E). Si E = {1, 2, · · · , n}, on ecritSn au lieu de S(E).

Proposition 1.2. La composee de deux injections (resp. surjections, bijections) est une in-jection (resp. surjection, bijection).

Preuve. Soient f : E → F et g : F → G deux applications.Supposons que f et g sont injectives, donc ∀x, x′ ∈ E on ag ◦ f(x) = g ◦ f(x′) ⇒ g(f(x)) = g(f(x′))

⇒ f(x) = f(x′), car g est injective⇒ x = x′, car f est injective.

Par suite g ◦ f est injective.Supposons que f et g sont surjectives. Soit y ∈ G, il existe donc x′ ∈ F tel que g(x′) = y,

puisque g est surjective. Et comme f est aussi surjective, il existe x ∈ E tel que f(x) = x′.D’ou g(f(x)) = g(x′) = y c’est-a-dire g ◦ f(x) = y , par suite g ◦ f est surjective.

Si f et g sont bijectives, alors elles sont injectives et surjectives. D’ou g ◦ f est injective etsurjective, par suite g ◦ f est bijective. �

Proposition 1.3. Soient f : E → F et g : F → G deux applications.

15

1. Si g ◦ f est injective, alors f est injective.2. Si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.

Preuve. 1. Supposons que g ◦ f est injective. Soient x et x′ ∈ E avec f(x) = f(x′), alorsg(f(x)) = g(f(x′)), car g est une application, ainsi g ◦ f(x) = g ◦ f(x′) ; et comme g ◦ f estinjective, alors on a x = x′. C’est-a-dire que f est injective.2. Supposons que g ◦ f est surjective, alors ∀ z ∈ G, ∃x ∈ E tel que g ◦ f(x) = z. Posonsy = f(x), donc g(y) = z, ceci entraıne que g est surjective. �

Theoreme 1.4. Soitf : E → F une application. Pour que f soit bijective, il faut et il suffitqu’il existe une application g : F → E verifiant

g ◦ f = idE et f ◦ g = idF . (1)

Lorsqu’elle existe, l’application g verifiant (1) est unique ; elle est bijective, on l’appelle l’ap-plication reciproque de f , et on la note f−1. De plus (f−1)−1 = f

Preuve. Si f est bijective, alors ∀ y ∈ F , ∃!x ∈ E tel que y = f(x). Soit g la relation definiede F dans E par y 7→ x, on verifie facilement que g est une application, et que ∀x ∈ E,g ◦ f(x) = x ; et ∀ y ∈ F , f ◦ g(y) = y, c’est-a-dire que g ◦ f = idE et f ◦ g = idF .

Inversement, si g ◦ f = idE et f ◦ g = idF , alors la Proposition 1.3 entraıne que f estsurjective et injective (idE est injective et idF est surjective). D’ou f est bijective. �

Exemples 8.

1. x 7→ ex est une bijection de R vers R∗+ et son application reciproque est l’applicationx 7→ ln(x) definie de R∗+ vers R.

2. x 7→ x2 est une bijection de R+ vers R+ et son application reciproque est l’applicationx 7→ 2

√x =√x.

3. x 7→ x3 est une bijection de R vers R et son application reciproque est note x 7→ 3√x. Alors

( 3√x)3 = x et

3√x3 = x.

Corollaire 1. Soient f : E → F et g : F → G deux applications. Si f et g sont bijectivesalors g ◦ f est bijective et son application reciproque (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Preuve. D’apres le Theoreme 1.4, il existe u : F → E tel que u ◦ f = idE et f ◦ u = idF . Ilexiste aussi v : G→ F tel que v ◦ g = idF et g ◦ v = idG.On a alors (g ◦ f) ◦ (u ◦ v) = g ◦ (f ◦ u) ◦ v = g ◦ idF ◦ u = g ◦ u = idE .Et (u◦v)◦(g◦f) = u◦(v◦g)◦f = u◦idF ◦f = u◦f = idE . Donc g◦f est bijective et son inverseest u◦v. Comme u est la bijection reciproque de f et v celle de g alors : u◦v = f−1 ◦g−1. �Remarques 6. Soit f : E → F une application.

1. f est surjective si et seulement si f(E) = F .2. Toute application f : E → E telle que fof = IdE est bijective et f−1 = f . Une telle

bijection s’appelle une involution de E.3. Nous avons utilise la notation f−1 dans deux contextes differents : l’applications reciproque

et l’image reciproque. Si f n’est pas bijective, f−1 n’a pas de sens en tant qu’applicationde F vers E, mais f−1 peut etre vu comme une application de P(F ) vers P(E).

1.2. Relations binaires.

1.2.1. Definitions.

Definition 23. Soient E et F deux ensembles. On appelle relation binaire de E vers F , et onnote R, une correspondence R de E vers F , i.e. un triplet R = (Γ, E, F ), ou Γ est un graphede E vers F .

16

Considerons un couple (x, y) de E×F verifiant (x, y) ∈ Γ. On dit que l’element x de E esten relation par R avec l’element y de F , ce que l’on note xRy.

Definition 24. Soit E un ensemble. Une relation binaire R de E vers E est appelee unerelation binaire sur E.

Exemples 9.

1. La relation d’egalite a = b sur un ensemble E est une relation binaire dont le grapheest la diagonale de E2, c’est-a-dire l’ensemble des couples (x, x) quand x parcourt E. Lesensembles de definition et image de cette relation coıncident avec E.

2. Soient E un ensemble, A et B deux parties de E. La relations d’inclusion A ⊂ B est unerelation binaire dans P(E). Les ensembles de definition et image de cette relation coıncidentavec P(E) tout entier.

3. L’inegalite ≤ est une relation sur N, Z ou R.4. Le parallelisme et l’orthogonalite sont des relations sur l’ensemble des droites du plan ou

de l’espace.5. Soit n un entier naturel. On definit sur Z la relation binaire R par son graphe Γ = {(p, q) ∈Z2| ∃k ∈ Z, p− q = kn}. La relation ainsi definie est appelee congruence modulo n. Au lieud’ecrire (p, q) ∈ Γ ou encore pRq, on ecrit p ≡ q (mod n), et on lit p congru a q modulo n.

6. Soit f : E −→ F une application d’un ensemble E vers un ensemble F . On definit sur Ela relation binaire R par

aRb⇐⇒ f(a) = f(b).

Cette relation est dite relation binaire associee a f .

Definition 25. Soit R une relation binaire sur ensemble E. R est dite :

1. reflexive si : ∀x ∈ E, xRx,2. symetrique si : ∀(x, y) ∈ E2, (xRy ⇒ yRx),3. antisymetrique si : ∀(x, y) ∈ E2, ((xRy et yRx)⇒ x = y),4. transitive si : ∀(x, y, z) ∈ E3, ((xRy et yRz)⇒ xRz).

Exemples 10.

1. La relation d’egalite dans un ensemble quelconque est reflexive, symetrique et transitive.2. L’inclusion dans P(E) est reflexive, non symetrique, antisymetrique et transitive.3. L’intersection vide dans P(E) est symetrique, mais n’est ni reflexive, ni antisymetrique, ni

transitive.4. Dans Z∗, la relation xRy ⇐⇒ x divise y est reflexive et transitive mais elle n’est ni

symetrique ni antisymetrique, ce qui montre au passage que la propriete d’antisymetrien’est pas la negation de la propriete de symetrie.

5. Dans N∗, la relation xRy ⇐⇒ x divise y est reflexive, transitive et antisymetrique, maiselle n’est pas symetrique.

6. Dans l’ensemble des droites du plan affine euclidien :a. la relation ⊥ d’orthogonalite est symetrique, mais n’est ni reflexive, ni antisymetrique,

ni transitive. Une droite n’est en effet pas perpendiculaire a elle-meme et, d’autre part,D⊥D′ et D′⊥D′′ entraınent D||D′′ (D parallele a D′′),

b. le parallelisme est une relation reflexive, symetrique et transitive ; mais elle n’est pasantisymetrique.

7. La congruence modulo un entier naturel n est une relation, sur Z, reflexive, symetrique ettransitive ; mais elle n’est pas antisymetrique.

17

8. Soit f : E −→ F une application d’un ensemble E vers un ensemble F . La relation binaireassociee a f est une relation sue E reflexive, symetrique et transitive ; mais elle n’est pasantisymetrique.

Definition 26. Soient E un ensemble, R une relation binaire sur E et A une partie de E.La relation binaire sur A, notee RA, definie par :

∀(x, y) ∈ A2, (xRAy ⇔ xRy),

est appelee relation induite par R sur A.

1.2.2. Relations d’equivalence.

Definition 27. SoitR une relation binaire dans un ensemble E. On dit queR est une relationd’equivalence si elle est reflexive, symetrique et transitive.

On note xRy ou x ≡ y (modR) et on lit : x est equivalent a y modulo R.

Exemples 11. Nous donnons quelques exemples de relations d’equivalence.

1. La relation d’egalite dans un ensemble E quelconque est une relation d’equivalence, puisqueelle est reflexive, symetrique et transitive.

2. Soit n ∈ N, la congruence modulo n est une relation d’equivalence dans Z. En effet :- elle est reflexive, car ∀x ∈ Z, on a x− x = n · 0⇔ x ≡ x (mod n),- elle est symetrique, car ∀(x, y) ∈ Z2, x ≡ y (mod n) ⇔ x − y = nk, k ∈ Z ceci est

equivalent a y − x = n(−k), d’ou y ≡ x (mod n),

- elle est transitive, en effet ∀(x, y, z) ∈ Z3, on a :{x ≡ y (mod n),y ≡ z (mod n),

⇔{x− y = nk,y − z = nk′,

⇒ x− z = n(k + k′).

D’ou x ≡ z (mod n).3. Soit f : E −→ F une application d’un ensemble E vers un ensemble F . La relation binaireR associee a f est une relation d’equivalence sur E. En effet,- R est reflexive, puisque ∀x ∈ E, f(x) = f(x),- R est symetrique, puisque si pour x, y ∈ E, f(x) = f(y), alors f(y) = f(x),- R est transitive, puisque si pour x, y, z ∈ E, f(x) = f(y) et f(y) = f(z), alors f(x) =f(z).

Etant donnee une relation d’equivalence, on identifie les elements qui sont en relation enintroduisant les classes d’equivalence.

Definition 28. Soit R une relation d’equivalence sur un ensemble E. Pour chaque x ∈ E, onappelle classe d’equivalence de x (modulo R) le sous-ensemble de E defini par les elementsqui sont en relation avec x, on le note C(x) ou x. On a :

C(x) = x = {y ∈ E | xRy}

Tout element de x est appele un representant de la classe x. L’ensemble des classes d’equivalencemodulo R se nomme ensemble quotient de E par R et se note E/R. On a

E/R = {x | x ∈ E}.

Exemples 12. Nous donnons quelques exemples de relations d’equivalence.

1. Comme nous l’avons deja vu, la relation d’egalite dans un ensemble E quelconque est unerelation d’equivalence, d’ensemble quotient {{x} | x ∈ E}.

18

2. La congruence modulo un entier naturel n est une relation d’equivalence dans Z, la classed’equivalence d’un entier a est :

a = {b ∈ Z| a ≡ b (mod n)}.

Comme un tel b s’ecrit b = a+ nk, pour un certain k ∈ Z alors c’est aussi exactement

a = {a+ nk| k ∈ Z}.

Comme n ≡ 0 (mod n), n+ 1 ≡ 1 (mod n), ..., alors

n = 0, n+ 1 = 1, n+ 2 = 2, ....

donc l’ensemble quotient qu’on note Z/nZ ou Zn est :Z/nZ = {0, 1, 2, ..., n− 2, n− 1}, avec i = {i+ nk | k ∈ Z}, 0 ≤ i ≤ n− 1.• Par exemple dans Z, la congruence modulo 2 est une relation d’equivalence R definiepar :

mRn⇐⇒ m− n est pair ⇐⇒ m ≡ n (mod 2).

L’ensemble quotient est Z/R = {0, 1} = Z/2Z.RemarqueDans beaucoup de situations de la vie courante, nous raisonnons avec les modulos. Parexemple pour l’heure : les minutes et les secondes sont modulo 60 (apres 59 minutes onrepart a zero), les heures modulo 24 (ou modulo 12 sur le cadran a aiguilles). Les jours dela semaine sont modulo 7, les mois modulo 12,...

3. Dans l’ensemble des droites d’un plan affine, la relation de parallelisme ‖ est une relationd’equivalence. Pour toute droite D, la classe de D modulo ‖ est appelee la direction D.

4. Voici un exemple important qui nous definit l’ensemble des rationnels.Definissons sur E = Z× Z∗ la relation R par

(p, q)R(p′, q′)⇐⇒ pq′ = p′q.

Tout d’abord R est une relation d’equivalence :• R est reflexive : pour tout (p, q) on a bien pq = pq et donc (p, q)R(p, q).• R est symetrique : pour tout (p, q), (p′, q′) tels que (p, q)R(p′, q′) on a donc pq′ = p′q

et donc p′q = pq′ d’ou (p′, q′)R(p, q).• R est transitive : pour tout (p, q), (p′, q′), (p′′,q′′) tels que (p, q)R(p′, q′) et (p′, q′)R(p′′, q′′)

on a donc pq′ = p′q et p′q′′ = p′′q′. Alors (pq′)q′′ = (p′q)q′′ = q(p′q′′) = q(p′′q′). Endivisant par q′ 6= 0 on obtient pq′′ = qp′′ et donc (p, q)R(p′′, q′′).

La classe d’equivalence d’un couple (p, q) ∈ Z × Z∗ sera noter (p, q) = pq . Par exemple,

comme (2,3)R(4,6) (car 2× 6 = 3× 4) alors les classes de (2,3) et (4,6) sont egales : aveccette notation ces classes s’ecrivent : 2

3 = 46 .

C’est ainsi que l’on definit les rationnels :l’ensemble des classes d’equivalence de la relation R est note Q, et est appelel’ensemble des rationnels.

Les nombres 23 = 4

6 sont bien egaux (ce sont les memes classes) mais les ecritures sontdifferentes (les representants sont distincts).

Proposition 1.5. Soit R une relation d’equivalence sur un ensemble E. Alors

1. ∀x, y ∈ E, xRy ⇔ x = y.2. ∀x ∈ E, x 6= ∅, (car x ∈ x).3. ∀x, y ∈ E, on a : x = y ou bien x ∩ y = ∅.

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Preuve.1. Soient x et y dans E tels que xRy, montrons que x = y. Si a ∈ x, alors aRx ; commexRy, alors aRy. D’ou a ∈ y. Par suite x ⊂ y. De la meme facon on montre que y ⊂ x, ce quiimplique x = y.2. Ce point est banal, car x ∈ x.3. Soient x et y dans E. Supposons que x∩ y 6= ∅, alors il existe a ∈ x∩ y ; donc xRa et aRy.D’ou x = a = y. �

Definition 29 (Rappel). Soient E un ensemble non vide et I une partie non vide de N. Soit(Ai)i∈I une famille de parties de E. On dit que (Ai)i∈I est une partition de E si :

1. ∀i ∈ I, Ai 6= ∅,2. ∀i, j ∈ I, i 6= j ⇒ Ai ∩Aj = ∅,3.⋃

i∈I Ai = E.

Proposition 1.6. Soient E un ensemble et R une relation d’equivalence sur E. Les differentesclasses d’equivalence de E/R forment une partition de E.

Preuve.- ∀a ∈ E, a 6= ∅ voir Proposition 1.5.- Soient a, b ∈ E et supposons que a ∩ b 6= ∅.Soit x ∈ a ∩ b ; donc on a : x ∈ a implique que xRa et aRx,

x ∈ b implique que xRb.Donc par transitivite on obtient que : aRb, c’est-a-dire a = b. Les classes sont donc biendisjointes.- On a ∀a ∈ E, {a} ⊂ a ⊂ E. Alors

⋃a∈E{a} ⊂

⋃a∈E a ⊂ E. Or E ⊂

⋃a∈E{a}, par suite

E ⊂⋃

a∈E a, d’ou E =⋃

a∈E a. �

Proposition 1.7. Soit (Ai)i∈I une partition d’un ensemble E. Soit R la relation binairedefinie sur E par :

xRy ⇔ ∃j ∈ I/ x ∈ Aj et y ∈ Aj .

R est une relation d’equivalence et E/R = {Ai; i ∈ I}.

Preuve.1- Montrons que R est une relation d’equivalence.

• R est reflexive, en effet ∀x ∈ E, ∃i ∈ I/ x ∈ Ai.• R est symetrique, car xRy ⇔ ∃j ∈ I/ x ∈ Aj et y ∈ Aj ⇔ yRx.• Transitivite de R : xRy ⇔ ∃j ∈ I/ x ∈ Aj et y ∈ Aj ,

yRz ⇔ ∃k ∈ I/ y ∈ Ak et z ∈ Ak.Or les (Ai)i∈I forment une partition de E, donc si y ∈ Aj et y ∈ Ak on aura j = k. D’ou xet z appartiennent au meme Aj i.e. xRz.

2- Par definition de R, ∀i ∈ I, ∀x ∈ Ai, x = Aj . �

Remarque 12. Soit R une relation d’equivalence sur un ensemble E. L’application p :E −→ E/Rx 7−→ x

est surjective appelee la surjection canonique.

1.2.3. Relations d’ordre.

Definition 30. Une relation binaire R sur un ensemble E est dite relation d’ordre si elleest reflexive, antisymetrique et transitive.

Notation. En general, une relation d’ordre sera notee �.

20

Definition 31. Un ensemble E muni d’une relation d’ordre � est appele un ensembleordonne. L’ordre est dit total si ∀x, y ∈ E, on a soit x � y soit y � x. Il est dit partieldans le cas contraire.

Definition 32. Deux elements x et y d’un ensemble ordonne E sont dits comparables sion a : x � y ou y � x.

Remarques 7. Soit un ensemble E muni d’une relation d’ordre �.1. L’ordre est total si et seulement si tous les elements sont comparables entre eux.2. L’ordre strict associe a l’ordre� est la relation binaire, notee≺ definie sur E par : ∀x, y ∈ E,

(x ≺ y ⇐⇒ x � y et x 6= y).3. Une relation binaire sur E qui est reflexive et transitive et dite un preordre sur E.

Exemples 13.

1. Soit E un ensemble, l’inclusion est une relation d’ordre partiel sur P(E).2. L’ordre usuel ≤ est une relation d’ordre total sur N, Z, Q et R.3. Dans N∗, la relation de divisibilite est une relation d’ordre partiel. Par exemple 2 ne divise

pas 7 et 7 ne divise pas 2. Par contre, dans Z∗ la relation de divisibilite n’est pas unerelation d’ordre, c’est un preordre.

4. Dans C, la relation R definie par zRz′ si |z| ≤ |z′| est un preordre.

Exercice.Soit R un preordre sur un ensemble E. On considere la relation ⊥ definie sur E par :

x ⊥ y ⇐⇒ xRy et yRx.Montrer que ⊥ est une relation d’equivalence sur E.

Definition 33. Soit (E,�) un ensemble ordonne et soit A une partie de E. La relation x � yentre elements de A est evidemment une relation d’ordre sur A, appelee relation d’ordreinduite sur A par celle de E.

Elements remarquables d’un ensemble ordonne

Definition 34. Soient (E,�) un ensemble ordonne et A une partie de E.

1. Un element M ∈ A est appele un plus grand element de A si ∀a ∈ A, a �M.2. Un element m ∈ A est appele plus petit element de A si ∀a ∈ A,m � a.

Exemple 11. Soit A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ⊂ N, sur N on definit la relation R par

xRy ⇐⇒ x divise y;

R est une relation d’ordre. On a ∀x ∈ A, 1Rx et xR12. Donc 12 est le plus grand element deA, par contre 1 est plus petit element de A.

Remarque 13. Si E admet un plus grand (ou un plus petit) element, alors celui-ci est unique.En effet, si a, a′ ∈ E sont tels que x � a et x � a′ quel que soit x ∈ E, alors, en particulier,

on a : a � a′ et a′ � a, d’ou a = a′. On pourra donc parler du plus grand (ou du plus petit)element de E lorsqu’il existe.

Definition 35. Soient (E,�) un ensemble ordonne et A une partie de E.

1. Un element M ∈ A est dit element maximal de A si a ∈ A et M � a⇒M = a.2. Un element m ∈ A est dit element minimal de A si a ∈ A et a � m⇒ m = a.

Remarque 14. Si E est totalement ordonne les notions de plus grand element et elementmaximal (resp. plus petit element et element minimal) coincident.

21

Exemples 14.

1. Soit l’ensemble E = N− {0, 1}. On definit sur E la relation R par :

xRy ⇐⇒ x divise y,

R est une relation d’ordre.- E n’a pas de plus petit element (car le nombre qui divise tous les entiers est 1).- E a une infinite d’elements minimaux, qui sont les nombres premiers de E. En effet, soitp un nombre premier de E ; pour tout x ∈ E,

x divise p =⇒ x = p.

De meme E n’a ni element maximal ni plus grand element.2. Dans l’ensemble totalement ordonne (R,≤) on a :

• R+ n’a pas d’element maximal.• [0, 1] admet un element maximal et un seul, qui est 1. C’est aussi le plus grand element

de [0, 1].

Definition 36. Soient (E,�) un ensemble ordonne et A une partie de E.

1. Un element M ∈ E est appele un majorant de A dans E si ∀a ∈ A, a � M . A est ditemajoree si elle admet au moins un majorant.

2. Un element m ∈ E est appele un minorant de A dans E si ∀a ∈ A, m � a. A est diteminoree si elle admet au moins un minorant.

3. Si A est majoree et minoree, on dit que A est une partie bornee.

Exemple 12. Dans l’ensemble totalement ordonne (R,≤) on a :

• la partie R+ est minoree, mais elle n’est pas majoree.• la partie [0, 1] est bornee.• La partie A =]0, 1[ de R ordonne par l’ordre usuel est une partie majoree et minoree

de R, mais n’admet ni un plus grand element ni un plus petit element.• Dans (P(E),⊂), si X,Y ∈ P(E), la partie A = {X,Y } est minoree et majoree dansP(E). En effet, X ∩ Y (resp. X ∪ Y ) est un minorant (resp. un majorant) de A dansP(E).

Definition 37. Soient (E,�) un ensemble ordonne et A une partie de E.

1. La borne superieure de A dans E (s’il existe) est le plus petit element des majorants deA dans E, on la note sup(A).

2. La borne inferieure de A dans E (s’il existe) est le plus grand element des minorants deA dans E, on la note inf(A).

Voici une caracterisation des bornes inf et sup d’une partie A d’un ensemble E.

Theoreme 1.8. Soient (E,�) un ensemble totalement ordonne, et A une partie de E. Pourqu’un element M de E soit la borne superieure de A, il faut et il suffit que M verifie les deuxconditions.

1. Pour tout x ∈ A, on a : x �M .2. Pour tout element c ∈ E tel que c ≺M , il existe x ∈ A tel que c ≺ x.

Preuve. Si M est la borne superieure de A, alors M est un majorant de A. La condition 2.est verifiee car sinon c serait un majorant de A strictement inferieur a M .

Reciproquement, si les deux conditions sont verifiees, alors M est un majorant de A et toutelement de E strictement inferieur a M n’est pas un majorant de A. Donc M est le plus petitdes majorants de A, i.e., la borne superieure de A. �

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Theoreme 1.9. Soient (E,�) un ensemble totalement ordonne, et A une partie de E. Pourqu’un element m de E soit la borne inferieure de A, il faut et il suffit que m verifie les deuxconditions.

1. Pour tout x ∈ A, on a : m � x.2. Pour tout element c ∈ E tel que m ≺ c, il existe x ∈ A tel que x ≺ c.

Preuve. Demonstration analogue a celle du theoreme precedent. �

Exemples 15.

1. Dans R muni de l’ordre usuel,- N ne possede pas de borne superieure.- [0, 1[ possede une borne superieure egale a 1 et une borne inferieure egale a 0.

2. Dans Q muni de l’ordre usuel, on considere A = {x ∈ Q∗+| x2 < 2}.- 0 est bien la borne inferieure de A mais A n’admet pas de plus petit element.- L’ensemble des majorants de A dans Q est {a ∈ Q∗+| a2 ≥ 2} = {a ∈ Q∗+| a2 > 2}, qui n’a

pas de plus petit element (cela revient a√

2 6∈ Q), A n’admet donc pas de borne superieuredans Q. Mais A admet une borne superieure dans R qui est

√2.

Remarque 15. Si une partie A d’un ensemble E possede un plus grand (resp. un plus petit)element a, alors a, qui appartient a A, est la borne superieure (resp. la borne inferieure) deA. Soit en effet a le plus grand element de A ; alors a est un majorant de A et si a′ est unautre majorant de A, on a : a ≤ a′ car a ∈ A. Donc a est le plus petit des majorants de A,c’est-a-dire la borne superieure de A.

Definition 38. Soit f une application d’un ensemble A dans un ensemble ordonne E.

1. On dit que f est majoree (resp. minoree) si f(A) est une partie majoree (resp. minoree)dans E. Si f est majoree et minoree dans A, on dit que f est bornee dans A.

2. On appelle borne superieure (resp. borne inferieure) de f dans A la borne superieure (resp.la borne inferieure) dans E (si elle existe) de l’ensemble f(A). On les note respectivementsupx∈A

f(x) et infx∈A

f(x).

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